### 6.51.6 Réduction d’une conique : `reduced_conic conique_reduite`

`conique_reduite` a un ou deux arguments : l’expression d’une conique et le vecteur de composantes les variables utilisées si il est différent de `[x,y]`.
`conique_reduite` renvoie une liste d’éléments :

- l’origine de la conique,
- la matrice d’un repère dans lequel la conique est réduite,
- 0 ou 1 pour savoir si la conique est dégénérée ou pas,
- l’équation réduite de la conique dans ce repère,
- un vecteur contenant son équation paramétrique ou ses équations paramétriques lorsque la conique est composée de plusieurs nappes.

On tape :

`conique_reduite(2*x```^```2+2*x*y+2*y```^```2+5*x+3,[x,y])`

On obtient :

`[[-5/3,5/6],[[-1/(sqrt(2)),1/(sqrt(2))],[-1/(sqrt(2)), -1/(sqrt(2))]],1,3*x```^```2+y```^```2+-7/6, [[(-10+5*i)/6+(1/(sqrt(2))+(i)/(sqrt(2)))*((sqrt(14)*cos(‘ t‘))/6+ ((i)*sqrt(42)*sin(t))/6),t,0,2*pi,(2*pi)/60]]]`

La conique n’est pas dégénérée et a pour équation réduite :

3x2+y2−7/6=0

dans le repère d’origine −5/3+5*i/6 et d’axes parallèles aux vecteurs (−1,1) et (−1,−1).
Son équation paramétrique est :

−10+5*i
6

+

(1+i)

√

2

*

(

√

14

*cos(t)+i*

√

42

*sin(t))

6

et pour le dessin, le paramètre t varie de 0 à 2π avec un pas `tstep`=2π/60.

Remarque :
Lorsque la conique est dégénérée en 1 ou 2 droite(s), chaque droite n’est pas donné par son équation paramétrique mais par la liste constituée par un vecteur normal à la droite et un point de la droite.
On tape :

`conique_reduite(x```^```2-y```^```2+3*x+y+2)`

On obtient :

`[[(-3)/2,1/2],[[1,0],[0,1]],0,x```^```2-y```^```2, [[(-1+2*i)/(1-i),(1+2*i)/(1-i)], [(-1+2*i)/(1-i),(-1)/(1-i)]]]`

On obtient :
`(2*sqrt(5*23297```^```2*126757```^```*21302293```^```2))/62906903119301897`
Soit :
`2*sqrt(5)`
On tape :
`H1:=projection(D1,M)`
`longueur(M,F1)/longueur(M,H1)`
On obtient :
`(2```^```14*3*13*17*89*311*521*563*769*2609*
sqrt(2*3*49409```^```2*112249```^```2*126757```^```2*21302293```^```2*568000439```^```2*6789838247809```^```2))/
(2```^```14*3```^```2*13*17*89*311*521*563*769*2609*49409*112249*126757*21302293*568000439*6789838247809)`
Soit :
`(sqrt(6))/3`