5.4 BIEGETRÄGER MIT BALKEN NR.13

Die Beispieldatei B4_X.DXF in Z88- Eingabedateien Z88X.DXF umkopieren:
B4_X.DXF ---> Z88X.DXF CAD-Eingabefile

CAD:
Z88X.DXF in Ihr CAD-Programm importieren und betrachten. Diese Vorlage hätten normalerweise Sie in CAD gezeichnet (was sich hier nicht lohnt) und dann als Z88X.DXF exportiert.

Z88: (in Kurzform, ausführlichere Anleitung vgl. Beispiele 5.1, 5.2 und 5.3)
Z88X, Konvertierung ”von Z88X.DXF nach Z88I*.TXT”
Z88O, Strukturfile Z88I1.TXT, Struktur betrachten
Z88F, berechnet Verformungen
Z88D, berechnet Spannungen
Z88E, berechnet Knotenkräfte
Z88O, Plotten FE-Struktur, nun auch verformt (FUX,FUY,FUZ je 10.)

Es wird ein beidseitig eingespannter Träger behandelt, der in der Mitte mit 1648 N nach unten belastet wird, vgl. Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau, 15.Auflage, Springer 1986, S.201, Fall 6. Geometrie: Länge 1000 mm, Querschnitt Flach 50 x 10 mm. Damit ist: A= 500 mm2, Izz= 4167 mm4, ezz= 5 mm.

Die Biegelinie hat Wendepunkte, daher nehmen wir 4 Balken Nr.13. Die Knoten 1 und 5 werden eingespannt, im Knoten 3 wird belastet.

Analytisch rechnet man:

- f in der Mitte : F*L3/(192*E*I) = 10 mm
- f in den Wendepunkten : fw= f/2 = 5 mm
- Die Momente links, rechts, Mitte : F*L/8 = 206000 Nmm
- Die Neigung in den Wendepunkten : phi= atan(3*f/L) = 0.029991 rad

Bei der Auswertung von Z88O2.TXT (Verschiebungen) und Z88O4.TXT (Kräfte, Momente) die Vorzeichendefinitionen beachten (vgl. Abschnitt 3.13). Besonders Z88O4.TXT, Knoten 3: Die Kraft F(2) = Kraft in Y ist die Summe aus den Einzelkräften der Elemente 2 und 3, weil äußere Last. Die Kraft F(3) = Biegemoment ist nicht über Elemente 2 und 3 zu addieren, weil Schnittmoment, keine äußere Last ! Auch die Vorzeichen für Last F(3) am Knoten 1 und F(3) am Knoten 5 sind richtig, vgl. Abschnitt 4.13. In der Technischen Mechanik gelten t.w. andere Konventionen.

5.4.1 EINGABEN

An diesem Beispiel wird deutlich, daß bei einer FEM-Rechnung an allen Stellen, an denen man Ergebnisse haben möchte, definitiv Knoten vorhanden sein müssen. Da der Balken links und rechts "eingemauert" ist, stellt sich zwar in der Mitte bei x = L/2 die höchste Absenkung ein, jedoch hat die Biegelinie zusätzlich zwei Wendepunkte bei x= L/4 und bei x= 3L/4. Um an diesen Stellen Rechenergebnisse zu erhalten, ist die Struktur in 4 Balken Nr.13 aufzuteilen mit Knoten bei x= 0, x= L/4, x= L/2, x= 3L/4 und x= L.

Hier wird nur die Eingabe via Dateien gezeigt, da sich hier der CAD-Einsatz nicht lohnt.

So wird Z88I1.TXT:

2 5 4 15 1 0 1 0 0 (2-D,5 Knoten,4 Ele, 5 FG, 1 E-Gesetz, KFLAG 0, Balkenflag IBFLAG 1, Plattenflag IPFLAG 0, Flächenlastflag IQFLAG 0)
1 3 0 0 (1.Knoten, 3 FG, X- und Y-Koordinate)
2 3 250 0
3 3 500 0
4 3 750 0
5 3 1000 0
1 13 (1. Element, Typ Ebener Balken Nr.13)
1 2 (Koinzidenz 1.Element)
2 13
2 3
3 13
3 4
4 13
4 5
1 4 206000 0.3 1 500 0 0 4167 5 0 0 (E-Gesetz Ele 1 bis 4, E-Modul, nue, INTORD (bel.), QPARA = Fläche, Ixx=0, exx=0, Izz, ezz, It=0, Wt=0)

Bei den Randbedingungen wird der Knoten 1 in allen Freiheitsgraden gesperrt. Wichtig ist insbesondere die Verschiebung in X = Freiheitsgrad 1, damit die Struktur wirklich raumfest wird. Am Knoten 5 genügt die Festlegung der Freiheitsgrade 2 (= Verschiebung in Y) und 3 (= Einspannmoment). Den X-Freiheitsgrad kann man, wenn man will, rechnerisch sperren. In der Praxis werden die Auflager so ausgeführt, daß der Träger zumindest in einem Auflager in X wegen Wärmedehnung schieben kann. Das ist in Z88I2.TXT berücksichtigt.

Hier Z88I2.TXT:

6 (6 Randbedingungen)
1 1 2 0 (Knoten 1, am FG 1 eine Verschiebung von 0 = FG 1 gesperrt)
1 2 2 0 (Knoten 1, FG 2 gesperrt)
1 3 2 0 (Knoten 1, FG 3 gesperrt (Einspannmoment))
3 2 1 -1648 (Knoten 3, am FG 2 eine Kraft von -1648 N)
5 2 2 0
5 3 2 0

Für die Spannungsberechnung kann das Parameterfile für Spannungsprozessor Z88I3.TXT beliebigen Inhalt haben (vgl. Abschnitte 3.5 und 4.13), denn Gaußpunkte, Radial- und Tangentialspannungen sowie Berechnung der Vergleichsspannungen haben für Balken Nr.13 keine Bedeutung.

5.4.2 AUSGABEN

Der Cholesky-Solver Z88F liefert folgende Ausgabefiles:
Z88O0.TXT die aufbereiteten Strukturwerte. Für Dokumentationszwecke.
Z88O1.TXT aufbereitete Randbedingungen: Für Dokumentationszwecke.
Z88O2.TXT die berechneten Verschiebungen, die Lösung des FE-Problems.
Der Spannungsprozessor Z88D verwendet die berechneten Verschiebungen von Z88F und gibt Z88O3.TXT die berechneten Spannungen aus. Die Steuerparameter in Z88I3.TXT können bei Balken Nr.13 beliebig sein.
Der Knotenkraft-P Z88E verwendet die berechneten Verschiebungen von Z88F und gibt Z88O4.TXT die berechneten Knotenkräfte aus.

Hier wurden die Verschiebungen mit den Faktoren FUX, FUY und FUZ von je 10 um das Zehnfache vergrößert.

Bei den Ergebnissen der Knotenkräfte ist zu beachten: Knoten 3: Die Kraft F(2) = Kraft in Y ist die Summe aus den Einzelkräften der Elemente 2 und 3, weil äußere Last. Die Kraft F(3) = Biegemoment ist nicht über Elemente 2 und 3 zu addieren, weil Schnittmoment, keine äußere Last ! Auch die Vorzeichen für Last F(3) am Knoten 1 und F(3) am Knoten 5 sind richtig, vgl. Abschnitt 4.13. In der Technischen Mechanik gelten t.w. andere Konventionen.

Zusatzbemerkung: Wie ersichtlich, sind solche einfachen Beispiele gut geeignet, um sich die Vorzeichendefinitionen klar zu machen. Experimentieren Sie mit diesem Beispiel und rechnen Sie andere Biegefälle aus Dubbel oder Hütte. Sinngemäß werden Balkenfachwerke etc. mit Balken Nr.2 berechnet. Dann muß aber eine echte räumliche Struktur vorliegen: Mindenstens eine Z-Koordinate muß ungleich 0 sein.

Ansicht Struktur unverformt und verformt

Beachte: Das Plotprogramm Z88O verbindet die Knoten mit geraden Linien, obwohl im Falle eines Balkens Nr.13 bzw. Nr.2 die Biegelinie eine kubische Parabel darstellt. Das bedeutet: Die Verformungen zeigt Z88O an den Knoten selbst korrekt, zwischen den Knoten sind Geradenstücke. Es wird also keine Biegelinie abgebildet. Wollte man dies mit Z88O tun, dann müßten wesentlich mehr Balken verwendet werden (die kubische Biegelinie wird dann durch eine größere Anzahl Geraden stückweise abgebildet).
Und das machen wir jetzt: Erweitern Sie die Datei Z88I1.TXT auf 21 Knoten und 20 Elemente und ändern Sie die Randbedingungsdatei wie folgt:
6
1 1 2 0.
1 2 2 0.
1 3 2 0.
11 2 1 -1648.
21 2 2 0.
21 3 2 0.
Das ist selbstverständlich für Sie schon vorbereitet: B4_20ELE_X.DXF --> Z88X.DXF, dann mit Z88X konvertieren und rechnen.

Neue Struktur mit 21 Knoten und 20 Elementen

Neue Struktur mit 21 Knoten und 20 Elementen, verformt

Wie Sie dem Bild entnehmen können, haben wir jetzt schon eine gefällige Biegelinie. Und die Verschiebungswerte können wir uns auch anzeigen lassen. Vergrößerungsfaktoren je 10.

Merke: Überall, wo Sie Ergebnisse haben wollen, müssen Knoten sein!