### 6.13.21 Éliminer une (ou des) variable(s) dans une liste d’équations : `eliminate`

`eliminate` permet d’éliminer une ou plusieurs variables dans une liste d’équations algébriques, équations algébriques qui sont verifiées par plusieurs variables.
`eliminate` a 2 arguments :
une liste d’équations `L1` et
la variable ou la liste des variables à éliminer.
`eliminate` renvoie la liste `L2` des équations qui sont vérifiées par les variables non éliminées et pour lesquelles `=0` est sous entendu.
On tape :

`eliminate([x=v0*t,y=y0-g*t```^```2],t)`

On obtient si la variable `t` n’est pas affectée et si les autres variables ne sont pas affectées (si les autres variables sont affectées, elles sont remplacées par leur valeurs ce qui modifie le résultat) :

`[x```^```2*g-v0```^```2*y0+v0```^```2*y]`

On tape :

`eliminate([x=2*t,y=1-10*t```^```2,z=x+y-t],t)`

On obtient si la variable `t` n’est pas affectée et si les variables `x,y,z` ne sont pas affectées :

`[x+2*y-2*z,-10*y```^```2+20*y*z-y-10*z```^```2+1]`

On tape :

`eliminate([x+y+z+t-2,x*y*t=1,x```^```2+t```^```2=z```^```2],[x,z]`

On obtient si les variables `x` et `z` ne sont pas affectées et si les autres variables ne sont pas affectées (si les autres variables sont affectées, elles sont remplacées par leur valeurs ce qui modifie le résultat) :

`[y```^```3*t+2*y```^```2*t```^```2-4*y```^```2*t-4*y*t```^```2+4*y*t+2*y+2*t-4]`

Attention
Si la réponse est `[1]` ou `[-1]`, cela veut dire que la ou les variables ne peuvent pas être élinminées.
Si la réponse est `[]`, cela veut dire que certaines équations déterminent les valeurs des variables à éliminer et que ces valeurs vérifient toutes les équations.
On tape :

`x:=2;y:=-5`
`eliminate([x=2*t,y=1-10*t```^```2],t)`

On obtient si la variable `t` n’est pas affectée :

`[1]`

On ne peut donc pas éliminer `t` des deux équations :
2=2t,−5=1−10t2.
On tape :

`x:=2;y:=-9`
`eliminate([x=2*t,y=1-10*t```^```2],t)`

On obtient si la variable `t` n’est pas affectée :

`[]`

En effet la première équation :
2=2t donne t=1 et t=1 vérifie la deuxième équation −9=1−10t2.
On tape :

`x:=2;y:=-9`
`eliminate([x=2*t,y=1-10*t```^```2,z=x+y-t],t)`

On obtient si la variable `t` n’est pas affectée :

`[z+8]`

En effet la première équation :
2=2t donne t=1, t=1 vérifie la deuxième équation −9=1−10t2 et il reste la troisième équation z=2−9−1=−8 soit z+8=0.