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# Chapitre 11 Exercices d’Algèbre niveau licence 1,2

## 11.1 Intersection de 2 sous espaces vectoriels

Soient dans R4 les vecteurs :
V1=[1,2,3,4]
V2=[1,1,1,3]
V3=[0,1,2,2]
V4=[−1,0,1,−2]
V5=[2,3,0,1]
Soient F le sous espace engendré par V1,V2,V3 et G le sous espace engendré par V4,V5.
Déterminer une base de F, G, F ∩ G, F+G.

Correction
On tape :
`V1:=[1,2,3,4]`
`V2:=[1,1,1,3]`
`V3:=[0,1,2,2]`
`F:=basis(V1,V2,V3)`
On obtient :
`[[-1,0,1,0],[0,-1,-2,0],[0,0,0,-1]]`
Ou on tape :
`rank(V1,V2,V3)`
On obtient :
`3`
Donc `F` est de dimension 3, et `V1, V2, V3` forment aussi une base de `F`.
On tape :
`V4:=[-1,0,1,-2]`
`V5:=[2,3,0,1]`
`G:=basis(V4,V5)`
On obtient :
`[[-3,0,3,-6],[0,-3,-2,3]]`
Ou on tape :
`rank(V4,V5)`
On obtient :
`2`
Donc `G` est de dimension 2, et `V4, V5` forment aussi une base de `G`.
On tape :
`FIG:=ibasis(F,G)`
On obtient :
`[[-1,0,1,-2]]`
Ou on tape :
`rank(V1,V2,V3,V4)`
On obtient :
`3`
et on tape :
`rank(V1,V2,V3,V5)`
On obtient :
`4`
Donc `F` `∩``G` est engendré par `V4`.
On tape :
`FPG:=basis(F union G)`
On obtient :
`[[-4,0,0,0],[0,-4,0,0],[0,0,-4,0],[0,0,0,-4]]`
Ou on tape :
`rank(V1,V2,V3,V5)`
On obtient :
`4`
Donc `F+G` est de dimension 4, et `V1, V2, V3, V5` forment aussi une base de `F+G`.
Refaire le même exercice en remplacant `V4` par `V4+V5`.
On tape :
`V4:=V4+V5`
On obtient :
`[1,3,1,-1]`
On tape :
`G:=basis(V4,V5)`
On obtient le même résultat que précédemment :
`[[-3,0,3,-6],[0,-3,-2,3]]`
On tape :
`FIG:=ibasis(F,G)`
On obtient le même résultat que précédemment :
`[[-1,0,1,-2]]`
Mais si on tape :
`rank(V1,V2,V3,V4)`
On obtient cette fois:
`4`
et on tape :
`rank(V1,V2,V3,V5)`
On obtient :
`4`
cela ne nous permet pas de trouver une base de F ∩ G : on sait seulement que F ∩ G est de dimension 1. Pour trouver un vecteur non nul contenu dans F et dans G il faut résoudre le système :
x*V1+y*V2+z*V3=a*V4+b*V5.
On tape :
`linsolve(x*V1+y*V2+z*V3-a*V4-b*V5,[x,y,z,a])`
On obtient :
`[-b,2*b,0,-b]`
Si on prend `b=-1`, on retrouve que le vecteur `V1-2*V2=V4-V5=[-1,0,1,-2]` est une base de `F` `∩``G`.

## 11.2 Rang de formes linéaires

Étudier le rang de l’ensemble des formes :
x+y−z−t
x−y−z+t
x+y+z+a*t
x−y+z−a*t
On tape :
`A:=syst2mat([x+y-z-t,x-y-z+t,x+y+z+a*t,x-y+z-a*t],[x,y,z,t])`
On obtient :
`[[1,1,-1,-1,0],[1,-1,-1,1,0],[1,1,1,a,0],[1,-1,1,-a,0]]`
On tape :
`C:=tran(A)[0..3]`
On obtient :
`[[1,1,1,1],[1,-1,1,-1],[-1,-1,1,1],[-1,1,a,-a]]`
On tape :
`det(C)`
On obtient :
`8*a+8`
Donc pour `a!=-1` le rang est 4.
On tape :
`D:=subst(C,a=-1)`
On obtient :
`[[1,1,1,1],[1,-1,1,-1],[-1,-1,1,1],[-1,1,-1,1]]`
On tape :
`rank(D)`
On obtient :
`3`
Donc pour `a=-1` le rang est 3.
Ou on tape :
`normal(lu(C))`
On obtient :
`[0,1,2,3],[[1,0,0,0],[1,1,0,0],[-1,0,1,0],[-1,-1,a/2+1/2,1]],`
`[[1,1,1,1],[0,-2,0,-2],[0,0,2,2],[0,0,0,-2*a-2]]`
On retrouve ainsi le résultat précédent.

## 11.3 Une rotation

Montrer que la matrice :

M=

1
9

⎡
⎢
⎢
⎣

8 | 1 | −4
−4 | 4 | −7
1 | 8 | 4

⎤
⎥
⎥
⎦

est une matrice de rotation.
Déterminer l’axe et l’angle de cette rotation.
On tape :
`M:=1/9*[[8,1,-4],[-4,4,-7],[1,8,4]]`
`isom(M)`
On obtient :
`[[3,-1,-1],acos(7/18),1]`
Cela signifie que l’on a une rotation (le 1 indique que l’on a une isométrie positive) d’axe porté par le vecteur [3,-1,-1] et d’angle t=arccos(7/18) avec sin(t)>0 (`isom` choisit l’orientation de l’axe pour que l’angle soit dans [0,π] ie pour que son sinus soit positif).

Comment retrouver ces résultats ?
On cherche les points fixes de l’application linéaire `rot` de matrice `M` dans la base canonique de R3, c’est à dire les points `[x,y,z]` tels que :
`(M-idn(3))*[x,y,z]=0`.
On tape :
`linsolve((M-idn(3))*[x,y,z],[x,y,z])`
On obtient :
`[-3*z,z,z]`
Il y a donc une droite de points fixes qui est pour `z` ∈ R :
`z*[-3,1,1]`
Cherchons une base orthonormée E1,E2,E3 avec E3 porté par l’axe, par exemple E3=√11/11[−3,1,1].
On choisit E1*E3=0 les coordonnées `[x,y,z]` de E1 doivent vérifier :
`-3*x+y+z=0`
On choisit `x=0,y=-z` donc E1=√2/2[0,1,−1]
Puis on choisit E2=E3∧ E1.
On tape :
`E3:=sqrt(11)/11*[-3,1,1]`
`E1:=sqrt(2)/2*[0,1,-1]`
`E2:=normal(cross(E3,E1))`
On obtient :
`[-(2*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22,-(3*sqrt(22))/22]`
En prenant comme nouvelle base E1,E2,E3 on a comme matrice de passage `P:=tran(Q)` avec `Q:=[E1,E2,E3]`.
On tape :
`Q:=[E1,E2,E3]`
`P:=tran(Q)`
On vérifie que `Q=inv(P)` en tapant :
`normal(P*Q)`et `normal(Q*P)`
On obtient bien `idn(3)`
La matrice de `rot` dans cette nouvelle base est donc obtenue en tapant :
`normal(Q*M*P)`
On obtient :
`[[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],[0,0,1]]`
L’angle `t` de la rotation est donc défini par :
`acos(t)=7/18` et `asin(t)=-5*sqrt(11)/18`
On retrouve les résultats trouvés avec la commande `isom` car on n’a pas choisit la même orientation pour l’axe `E3` est dirigé selon le vecteur `[-3,1,1]` et non `[3,-1,-1]`...
On tape :
`isom([[7/18,5*sqrt(11)/18,0],[(-(5*sqrt(11)))/18,7/18,0],`
`[0,0,1]])`
On obtient :
`[[0,0,-1],acos(7/18),1]`
car `isom` choisit l’orientation de l’axe pour que l’angle soit dans [0,π] ie pour que son sinus soit positif : si l’axe est dirigé selon `-E3`, l’angle vaut α= acos (7/18) avec 0≤ α ≤ π.

## 11.4 Puissance n-ième d’une matrice

Calculer la puissance n-ième de la matrice :

A=

⎡
⎢
⎢
⎢
⎣

7 | 4 | 0 | 0
−12 | −7 | 0 | 0
20 | 11 | −6 | −12
−12 | −6 | 6 | 11

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

On cherche si `A` est diagonalisable.
On tape :
`A:=[[7,4,0,0],[-12,-7,0,0],[20,11,-6,-12],[-12,-6,6,11]]`
`P,B:=jordan(A)`
On obtient :
`P:=[[0,1,0,2],[0,-2,0,-3],[-3,2,4,1],[2,-1,-3,0]]`
`B:=[[2,0,0,0],[0,-1,0,0],[0,0,3,0],[0,0,0,1]]`
Donc `A` est diagonalisable.
On a :
`B=P```^```-1``*A*P`
donc
`B```^```n=P```^```-1``*A```^```n*P`
ou encore
`A```^```n=P*B```^```n*P```^```-1`
On a :
`B```^```n=[[2```^```n,0,0,0],[0,(-1)```^```n,0,0],[0,0,3```^```n,0],[0,0,0,1]]`
On tape :
`Bn:=[[```2^```n,0,0,0],[0,(-1)```^```n,0,0],[0,0,3```^```n,0],[0,0,0,1]]`
`An:=normal(P*Bn*inv(P))`
On obtient :
`[[-3*(-1)``n``+4,-2*(-1)``n``+2,0,0],[6*(-1)``n``-6,4*(-1)``n``-3,0,0],`
`[-6*(-1)``n``+4*3``n``+2,3*2``n``-4*(-1)``n``+1,9*2``n``-8*3``n``,12*2``n``-12*3``n``],`
`[3*(-1)``n``-3*3``n``,-2*2``n``+2*(-1)``n``,-6*2``n``+6*3``n``,-8*2``n``+9*3``n``]]`

Autre méthode :
On calcule le polynômr caractéristique de `A`.
On tape :
`pcar(A)`
On obtient :
`[1,-5,5,5,-6]`
`r2e([1,-5,5,5,-6],X)=(((X-5)*X+5)*X+5)*X-6`
Donc le polynôme caractéristique de `A` est :
X4−5*X3+5*X2+5*X−6
On tape :
`factor(r2e([1,-5,5,5,-6],X))`
On obtient :
`(X-2)*(X-3)*(X+1)*(X-1)`
La matrice `A` a donc 4 valeurs propres distinctes, et on a :
A4−5*A3+5*A2+5*A−6*idn(4)=0
Donc :
A4=5*A3−5*A2−5*A+6*idn(4)
An+4=5*An+3−5*An+2−5*An+1+6*An
On va donc étudier les suites récurrentes vérifiant :
(1) un+4=5*un+3−5*un+2−5*un+1+6*un
en cherchant les progressions géométriques de raison r qui vérifient (1). La raison est donc solution de :
X4−5*X3+5*X2+5*X−6=(X−2)*(X−3)*(X+1)*(X−1)=0
c’est à dire on peut avoir :
r=−1 ou r=1 ou r=2 ou r=3
donc comme une suite récurrente qui vérifie (1) est entièrement définie par ses 4 premiers termes : u0,u1,u2,u3, si il existe a,b,c,d tel que :
u0=a*(−1)0+b*10+c*20+d*30=a+b+c+d
u1=a*(−1)1+b*11+c*21+d*31=−a+b+2*c+3*d
u2=a*(−1)2+b*12+c*22+d*32=a+b+4*c+9*d
u3=a*(−1)3+b*13+c*23+d*33=−a+b+8*c+27*d
on aura :
un=a*(−1)n+b*1n+c*2n+d*3n
On tape :
`g(u0,u1,u2,u3):=linsolve([a+b+c+d=u0,-a+b+2*c+3*d=u1,`
`a+b+4*c+9*d=u2,-a+b+8*c+27*d=u3],[a,b,c,d])`
Puis :
`g(u0,u1,u2,u3)`
On obtient :
`[1/4*u0+-11/24*u1+1/4*u2+1/-24*u3,3/2*u0+1/4*u1-u2+1/4*u3,`
`-u0-1/-3*u1+u2-1/3*u3,1/4*u0+1/-8*u1+1/-4*u2+1/8*u3]`
On tape :
`normal((-1)```^```n*(1/4*idn(4)+-11/24*A+1/4*A```^```2+1/-24*A```^```3)+`
`3/2*idn(4)+1/4*A-A```^```2+1/4*A```^```3+2```^```n*(-idn(4)-1/-3*A+A```^```2-`
`1/3*A```^```3)+3```^```n*(1/4*idn(4)+1/-8*A+1/-4*A```^```2+1/8*A```^```3))`
ou on tape :
`vn:=[(-1)```^```n,1,2```^```n,3```^```n]`
puis,
`vn*g(idn(4),A,A```^```2,A```^```3)`
On obtient :
`[[-3*(-1)``n``+4,-2*(-1)``n``+2,0,0],[6*(-1)``n``-6,4*(-1)``n``-3,0,0],`
`[-6*(-1)``n``+4*3``n``+2,-4*(-1)``n``+3*2``n``+1,9*2``n``-8*3``n``,12*2``n``-12*3``n``],`
`[3*(-1)``n``-3*3``n``,2*(-1)``n``-2*2``n``,-6*2``n``+6*3``n``,-8*2``n``+9*3``n``]]`

## 11.5 Rang d’une matrice

Soit a ∈ R, on considère la matrice :

Ma=

⎡
⎢
⎢
⎣

2a−1 | a | 2a−1
a2+a−2 | a2−1 | a−1
a2+a−1 | a2+a−1 | a

⎤
⎥
⎥
⎦

1/ Pour quelles valeurs de a, la matrice Ma est-elle inversible ?
Quel est le rang de Ma ?
2/ Calculer l’inverse de Ma lorsque cela est possible.
1/ On cherche si `Ma` est inversible en calculant son déterminant.
On tape :
`Ma:=[[2a-1,a,2a-1],[a```^```2+a-2,a```^```2-1,a-1],[a```^```2+a-1,a```^```2+a-1,a]]`
`d:=det(Ma)`
On obtient :
`2*a```^```4+-2*a```^```3+-2*a```^```2+2*a`
On tape :
`factor(d)`
On obtient :
`2*(a+1)*a*(a-1)```^```2`
Donc Ma est inversible si est seulement si a ∈ R−{−1,0,1}.
Donc lorsque a ∈ R−{−1,0,1} le rang de Ma est 3.
Pour a=−1 on tape :
`A:=subst(Ma,a=-1)`
On obtient :
`[[-3,-1,-3],[-2,0,-2],[-1,-1,-1]]`
On tape :
`rank(A)`
On obtient :
`2`
en effet :
`det([[-3,-1],[-2,0]])!=0`
Pour a=0, on tape :
`B:=subst(Ma,a=0)`
On obtient :
`[[-1,0,-1],[-2,-1,-1],[-1,-1,0]]`
On tape :
`rank(B)`
On obtient :
`2`
en effet :
`det([[-1,0],[-2,-1]])!=0`
Pour a=1 on tape :
`C:=subst(Ma,a=1)`
On obtient :
`[[1,1,1],[0,0,0],[1,1,1]]`
On tape :
`rank(C)`
On obtient :
`1`
en effet :
Les trois colonnes sont identiques et non nulles.
2/ On tape :
`normal(inv(Ma))`
On obtient :
`[[1/(2*a```^```3-2*a),(2*a```^```2+2*a-1)/(2*a```^```3-2*a),`
`(-2*a```^```2+1)/(2*a```^```3-2*a)],[1/(-2*a```^```2+2*a),`
`(-2*a+1)/(2*a```^```2-2*a),(2*a-1)/(2*a```^```2-2*a)],`
`[(a```^```2+a-1)/(2*a```^```3-2*a),(-a```^```2-a+1)/(2*a```^```3-2*a),`
`(a```^```2-a-1)/(2*a```^```3-2*a)]]`

## 11.6 Changement de base

Soit u l’endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base canonique est :

A=

⎡
⎢
⎢
⎢
⎣

1 | a | 0 | 0
0 | 1 | a | 0
0 | 0 | 1 | a
0 | 0 | 0 | 1

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

Déterminer la matrice B de u dans la base :
E1=e1
E2=e1+e2
E3=e1+e2+e3
E4=e1+e2+e3+e4

Correction
On tape :
`A:=[[1,a,0,0],[0,1,a,0],[0,0,1,a],[0,0,0,1]]`
On définit la matrice de passage P en mettant en colonne les coordonnées des nouveaux vecteurs de base :
`P:=[[1,1,1,1],[0,1,1,1],[0,0,1,1],[0,0,0,1]]`
On définit la matrice de u dans la nouvelle base :
`B:=normal(changebase(A,P))`
On obtient :
`[[1,a,0,0],[0,1,a,0],[0,0,1,a],[0,0,0,1]]`
On a :
B=inv(P)*A*P

Vérifions :
On tape :
`E1:=[1,0,0,0]`
`E2:=[1,1,0,0]`
`E3:=[1,1,1,0]`
`E4:=[1,1,1,1]`
On tape :
`A*E1` On obtient :
`[1,0,0,0]`
On tape :
`A*E2`
On obtient :
`[1,1,0,0]`
On tape :
`A*E3`
On obtient :
`[1,1,1,0]`
On tape :
`A*E4`
On obtient :
`[1,1,1,1]`

## 11.7 Résolution d’un système

Résoudre le système :
x+2y−z+2t=1
3x−y+z+2t=3
x+3y+3z−t=1
5x+5y−z+7t=a
Pour quelles valeurs de a ce système admet-il des solutions entières ?

Correction
On tape :
`linsolve([x+2y-z+2t=1,3x-y+z+2t=3,x+3y+3z-t=1,5x+5y-z+7t=a],`
`[x,y,z,t])`
On obtient :
`[-31/24*a+179/24,-1/6*a+5/6,25/24*a+(-125)/24,4/3*a+(-20)/3]`
Pour que z soit entier il faut et il suffit que :
a−5 soit un mulitple de 24.
Si a=5+k*24, x,y,t sont alors aussi des entiers. On tape :
`linsolve([x+2y-z+2t=1,3x-y+z+2t=3,x+3y+3z-t=1,5x+5y-z+7t=5+24*k],`
`[x,y,z,t])`
On obtient :
`[-31*k+1,-(4*k),25*k,32*k]`

## 11.8 Forme bilinéaire

Soient E l’espace vectoriel réel des polynômes de degré leq 2 et à coefficients réels et f la forme bilinéaire symétrique définie par :
f(P,Q)=∫−11 P(x),Q(x) dx
1/ Déterminer la matrice de f et montrer que f est positive et non dégénérée.
2/ Déterminer l’endomorphisme adjoint à la dérivation.

Correction
La base canonique de E est : 1,x,x2.
Pour déterminer la matrice A de f on va calculer : f(ej,ek).
On tape :
`integrate(1,x,-1,1)`
On obtient :
`2`
On tape :
`integrate(x,x,-1,1)`
On obtient :
`0`
On tape :
`integrate(x```^```2,x,-1,1)`
On obtient :
`2/3`
On tape :
`integrate(x```^```3,x,-1,1)`
On obtient :
`0`
On tape :
`integrate(x```^```4,x,-1,1)`
On obtient :
`2/5`
Donc on a :
A= [

2

0

2
3

0

2
3

0

2
3

0

2
5

]

On tape pour avoir f(c,b,a) :
`normal(integrate((a*x```^```2+b*x+c)*(a*x```^```2+b*x+c),x,-1,1))`
On obtient :
`(2*a``2``)/5+(4*a*c)/3+(2*b``2``)/3+2*c``2`
On tape :
`gauss(2/5*a```^```2+4/3*a*c+2/3*b```^```2+2*```^```2,[c,b,a])`
On obtient :
`(2/3*a+2*c)``2``/2+(2/3*b)``2``/(2/3)+8*a``2``/45`
on a donc :
`f(c,b,a)=(2/3*a+2*c)``2``/2+(2/3*b)``2``/(2/3)+8*a``2``/45`
donc `f(c,b,a)>=0` et on a :
`f(c,b,a)=0` si et seulement si `a=b=c=0`.
2/ La dérivation d est une application linéaire de E dans E matrice :
B= [

0 | 1 | 0
0 | 0 | 2
0 | 0 | 0

]

L’adjoint d* de d vérifie f(d*(P),Q)=f(P,d(Q)) ou encore si C est la matrice de d*:
tP*A*B*Q=tP*tC*A*Q
A*B=tC*A ou t B*tA=tA*C
donc :
C=(tA)−1*t B*tA
On tape :
`A:=[[2,0,2/3],[0,2/3,0],[2/3,0,2/5]]`
`B:=[[0,1,0],[0,0,2],[0,0,0]]`
`C:=normal(inv(tran(A))*tran(B)*tran(A))`
On obtient :
`[[0,-5/2,0],[3,0,1],[0,15/2,0]]`
donc
C= [

0

−

5
2

0

3 | 0 | 1

0

15
2

0

]

donc
d*(a*x2+b*x+c)=−5/2*b+(3*c+a)*x+15/2*b*x2

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