Wikibooks ltwikibooks https://lt.wikibooks.org/wiki/Pagrindinis_puslapis MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Medija Specialus Aptarimas Naudotojas Naudotojo aptarimas Wikibooks Wikibooks aptarimas Vaizdas Vaizdo aptarimas MediaWiki MediaWiki aptarimas Šablonas Šablono aptarimas Pagalba Pagalbos aptarimas Kategorija Kategorijos aptarimas TimedText TimedText talk Module Module talk Gadget Gadget talk Gadget definition Gadget definition talk 0 3348 26979 26978 2022-08-12T16:26:31Z Paraboloid 1294 wikitext text/x-wiki '''Integravimas keičiant kintamąjį''': 1. Įvedę keitinį <math>x = \phi(t) </math>, kur <math>\phi(t) </math> - tolydžiai diferencijuojama funkcija, gauname: :<math>I=\int f(x) dx=\int f[\phi (t)] \phi'(t) dt.</math> Suintegrave, grįžtame prie senojo kintamojo. 2. Įvedę keitinį u=g(x), gauname: :<math>\int g(x) g'(x) dx=\int f(u) du.</math> '''Pavyzdžiai''' *<math>\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-x^2 / a^2}}=\int \frac{\mathsf{d}(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=</math> :<math>=\int\frac{\cos (t) }{\sqrt{1-\sin^2 t}} dt=\int\frac{\cos t}{\sqrt{\cos^2 t }} dt=\int\frac{\cos t}{\cos t} dt=\int dt=t+C=\arcsin u+C=\arcsin\frac{x}{a}+C,</math> :kur d(x/a)=(dx)/a, dx=a*d(x/a), u=x/a, <math>u=\sin (t)</math>; <math>t=\arcsin u=\arcsin\frac{x}{a};</math> <math>du=\cos (t) dt </math>. *<math>\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{dx}{a^2 (1+x^2/a^2)}=\frac{1}{a}\int \frac{d(x/a)}{1+(x/a)^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C.</math> *<math>\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\int \frac{1}{2a} (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}) dx =\frac{1}{2a} \int\frac{dx}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{dx}{x+a}=</math> :<math>=\frac{1}{2a}\int\frac{d(x-a)}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{d(x+a)}{x+a}=\frac{1}{2a}\ln|x-a|-\frac{1}{2a}\ln|x+a|+C=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{dx}{\cos x}.</math> Kad būtų lengviau pasirinkti keitinį, integralą užrašysime šitaip: :<math>\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{\cos x \; dx}{\cos^2 x}=\int \frac{\cos x \; dx}{1-\sin^2 x} .</math> :Dabar jau aišku, kad reikia imti keitinį <math>t = \sin x,</math> <math>dt = \cos x \; dx.</math> Tada :<math>\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2} \ln |\frac{1+t}{1-t}|+C=\ln | \text{tg} \; (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C .</math> Arba :<math>\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dt}{1-t^2}=-\int \frac{dt}{t^2-1}=-\frac{1}{2} \ln |\frac{t-1}{t+1}|+C=\ln | \text{tg} \; (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C .</math> *<math>\int x\sqrt{1+x^2} dx=\int x\sqrt{1+x^2} \frac{d(1+x^2)}{2x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1+x^2)^{0.5+1}}{0.5+1}+C=\frac{1}{3}\sqrt{(1+x^2)^3}+C,</math> kur <math>d(1+x^2)=2x dx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int\frac{8}{x^2+4}dx=</math><math>\int\frac{2dx}{(\frac{x}{2})^2+1}=\int\frac{4d( \frac{x}{2} ) }{(\frac{x}{2})^2+1}= 4\arctan \frac{x}{2},</math> kur <math>d(\frac{x}{2})= \frac{1}{2}dx; \; dx =2d( \frac{x}{2} ).</math> *<math>\int\tan^2 x\sec^2 x dx=\int\frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx=\int \tan^2 (x)\; \mathsf{d}(\tan x)=\frac{1}{3}\tan^3 x+C,</math> kur <math>d(\tan x)=\sec^2 x dx</math>. *<math>\int 6e^{-2x}dx=6\int e^{-2x}\frac{d(-2x)}{-2}=-3\int e^{-2x}d(-2x)=-3 e^{-2x}+C,</math> kur <math>d(-2x)=-2dx;</math> <math>dx=\frac{d(-2x)}{-2}.</math> *<math>\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x, </math> Keitinys: <math>x = \sin t, \mathsf{d}x = \cos t \; \mathsf{d}t, t = \arcsin x \quad</math>, :<math>\int \sqrt{1 - \sin^2 t} \; \cos t \; \mathsf{d}t = \int \cos^2 t \; \mathsf{d}t = \int \frac{1+\cos(2t)}{2} \; \mathsf{d}t = </math> :<math> = \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos (2t) \; \mathsf{d}t \right) = \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos (2t) \; \frac{\mathsf{d}(2t)}{2} \right) = \frac{t}{2} + \frac{\sin (2t)}{4} + C.</math> Įstatę pakeistą kintamąjį gauname atsakymą: :<math>\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{\sin (2\arcsin x)}{4} + C. </math> * Apskaičiuosime <math>\int \cos (2x) \; dx.</math> Šiuo atveju reikia pasirinkti labai paprastą keitinį <math>d(2x)=2 \; dx,</math> todėl <math>dx=\frac{d(2x)}{2}</math>. Pasinaudoję tuo keitiniu, gauname :<math>\int \cos (2x)= \int \cos (2x) \; \frac{d(2x)}{2} = \frac{1}{2} \sin (2x)+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{dx}{x+a}.</math> Kadangi <math>dx=d(x+a)=1,</math> tai :<math>\int \frac{dx}{x+a}=\int \frac{d(x+a)}{x+a}=\ln |x+a|+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int e^{\cos x} \sin x \; dx.</math> Lengva numatyti, kad tas integralas apskaičiuojamas, naudojant keitinį <math>d(\cos x)=-\sin x \; dx.</math> Tuomet <math>\sin x \; dx =-d(\cos x)</math> ir :<math>\int e^{\cos x} \sin x \; dx=-\int e^{\cos x} \; d(\cos x)= -e^{\cos x}+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2} \; dx.</math> Kadangi <math>d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2},</math> o dx=1, tai reiškinį <math>\frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2}</math> galima perrašyt šitaip <math>(\arctan x)^{100} \; d(\arctan x).</math> Todėl :<math>\int \frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2} \; dx=\int (\arctan x)^{100} \; d(\arctan x)=\frac{(\arctan x)^{101}}{101}+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int (7x-9)^{2999} \; dx.</math> Kadangi <math>d(7x-9)=7dx,</math> tai <math>dx={d(7x-9)\over 7}.</math> Tada <math>\int (7x-9)^{2999} \; dx = \int (7x-9)^{2999} \frac{d(7x-9)}{7} =\frac{(7x-9)^{3000}}{21000} +C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}.</math> Čia patogus keitinys <math>t=(2x)^4</math>, <math>dt=64 x^3</math>dx, nes <math>((2x)^4)'=64 x^3</math>. Tada :<math>\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}=\frac{1}{64}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{\arctan t}{64}+C=\frac{\arctan (2x)^4}{64}+C .</math> *<math>\int x\sqrt{x-2} dx=\int (2+t^2) t\cdot 2t dt=\int 4t^2+2t^4 dt=\frac{4}{3}t^3+ \frac{2}{5}t^5+C=\frac{4}{3}\sqrt{(x-2)^3}+ \frac{2}{5}\sqrt{(x-2)^5}+C, </math> kur <math>\sqrt{x-2}=t,</math> <math>x-2=t^2,</math> <math>dx=d(x-2)=d(t^2)=2t dt,</math> <math>x=2+t^2.</math> *<math>\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+4\sin x}}dx=\int \frac{t/2}{t}dt=\frac{1}{2}\int dt=\frac{t}{2}+C=\frac{\sqrt{1+4\sin x}}{2}+C,</math> kur <math>\sqrt{1+4\sin x}=t;</math> <math>1+4\sin x=t^2;</math> <math>4\cos x dx=2t dt;</math> <math>\cos x dx=\frac{t}{2} dt.</math> *<math>\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{3+x}}=\int \frac{(t^2-3)^2\cdot 2t dt}{t}=2\int t^4 dt-12\int t^2 dt+18\int dt=\frac{2t^5}{5}-\frac{12t^3}{3}+18t+C= </math> :<math>=\frac{2\sqrt{(3+x)^5}}{5}-4\sqrt{(3+x)^3}+18\sqrt{3+x}+C=\frac{2\sqrt{3+x}}{5}[(3+x)^2-10(3+x)+45]+C=</math> :<math>=\frac{2\sqrt{3+x}}{5}(x^2-4x+24)+C,</math> kur <math>\sqrt{3+x}=t;</math> <math>3+x=t^2;</math> dx=2tdt; <math>x=t^2-3.</math> *<math>\int (2x+1)^{20} dx=\int (2x+1)^{20} \frac{d(2x+1)}{2}=\frac{(2x+1)^{21}}{42}+C,</math> kur <math>d(2x+1)=2dx;</math> <math>dx={d(2x+1)\over 2}.</math> *<math>\int \frac{(2\ln x+3)^3}{x}dx=\int (2\ln x+3)^3\frac{d(2\ln x+3)}{2}=\frac{1}{8}(2\ln x+3)^4+C,</math> kur <math>d(2\ln x+3)=\frac{2}{x}dx;</math> <math>\frac{dx}{x}=\frac{d(2\ln x+3)}{2}.</math> *<math>\int \frac{dx}{\sin x\cdot \cos x}=\int \frac{dx}{\tan x\cdot \cos^2 x}=\int \frac{d(\tan x)}{\tan x}=\ln|\tan x|+C.</math> *<math>\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{dt}{t-1}-\int \frac{dt}{t}=\ln|t-1|-\ln|t|+C=x-\ln (1+e^x)+C,</math> kur <math>1+e^x=t;</math> <math>e^x=t-1;</math> <math>x=\ln (t-1);</math> dx=dt/(t-1). *<math>\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{dx}{2\sin (x/2)\cdot \cos(x/2)}=\int \frac{dt}{\sin t\cdot \cos t}=\int \frac{dt}{\tan t\cdot \cos^2 t}=\int \frac{d(\tan t)}{\tan t}=</math> :<math>=\ln|\tan t|+C=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C, </math> kur x/2=t; dx/2=dt; dx=2dt. *<math>\int \sqrt{a^2-x^2} dx=\int \sqrt{a^2 (1-\cos^2 t)}\cdot (-a\sin t) dt=-a^2 \int \sin^2 t dt=-\frac{a^2}{2} \int (1-\cos (2t)) dt=</math> :<math>=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\sin (2t)+C=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\cdot 2\sin (t)\cdot \cos(t)+C=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot \cos(t)+C=</math> :<math>=-\frac{a^2}{2}\cdot \arccos\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \sqrt{1-\cos^2 (\arccos\frac{x}{a})}\cdot \cos(\arccos\frac{x}{a})+C=-\frac{a^2}{2}\arccos\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C,</math> kur <math>\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot\cos t=2\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{x}{a}=\frac{2 x}{a}\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}=\frac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2};</math> :<math>x=a\cos t;</math> <math>\frac{x}{a}=\cos t;</math> <math>t=\arccos\frac{x}{a};</math> <math>dx=-a\sin (t) dt.</math> *<math>\int \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{-\frac{1}{2}d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\frac{(1-x^2)^{-0.5+1}}{-0.5+1}+C=-\sqrt{1-x^2}+C, </math> kur <math>d(1-x^2)=-2x dx;</math> <math>x dx=\frac{d(1-x^2)}{-2}.</math> *<math>\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\int_0^{\pi /2} \frac{d(\sin x)}{1+\sin^2 x}=\arctan(\sin x)\vert_0^{\pi /2}=\arctan(\sin \frac{\pi}{2})-\arctan(\sin 0)=</math> :<math>=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4},</math> kur <math>d(\sin x)=\cos x dx</math> arba <math>dx=\frac{d(\sin x)}{\cos x}.</math> *<math>\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx=\int_1^e \ln^2 x d(\ln x)=\frac{\ln^3 x}{3} \vert_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3},</math> kur <math>d(\ln x)=\frac{dx}{x}</math> arba <math>dx=x d(\ln x).</math> *<math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-\int_0^1\frac{d(1-x)}{\sqrt{1-x}}=-2\sqrt{1-x} \vert_0^1 =-2\sqrt{1-1}+2\sqrt{1-0}=0+2=2,</math> kur d(1-x)=-dx; dx=-d(1-x). *<math>\int \frac{2x dx}{1+x^2}=\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\ln(1+x^2)+C,</math> kur <math>d(1+x^2)=2x dx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int \cot x dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=\ln|\sin x|+C,</math> kur <math>d(\sin x)=\cos x dx.</math> *<math>\int\sin^3 x\cdot \cos x dx=\int \sin^3 x d(\sin x)=\frac{1}{4}\sin^4 x+C,</math> kur <math>d(\sin x)=\cos x dx.</math> *<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}=\int \frac{4 dx}{(4x+1-1)\sqrt{4x+1}}=\int \frac{4 dx}{((\sqrt{4x+1})^2-1)\sqrt{4x+1}}=</math> :<math>=\int \frac{4\sqrt{4x+1}d(\sqrt{4x+1})}{2((\sqrt{4x+1})^2-1)\sqrt{4x+1}} =\int \frac{2 d(\sqrt{4x+1})}{(\sqrt{4x+1})^2-1} =-2\int \frac{d(\sqrt{4x+1})}{1-(\sqrt{4x+1})^2}=</math> <math>=-2\tanh^{-1} (\sqrt{4x+1})+C=-\frac{2}{2}\ln(\frac{1+\sqrt{4x+1}}{1-\sqrt{4x+1}})+C=\ln(\frac{1-\sqrt{4x+1}}{1+\sqrt{4x+1}})+C,</math> kur <math>d(\sqrt{4x+1})=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}dx;</math> <math>dx=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}d(\sqrt{4x+1}).</math> *<math>\int \frac{dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}=\frac{1}{a^2}\int \frac{dt}{\cos^2 t}=\frac{\tan t}{a^2}+C=\frac{\sin t}{a^2 \sqrt{1-\sin^2 t}}+C=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C,</math> kur <math>t=\arcsin\frac{x}{a},</math> <math>x=a\sin t,</math> <math>dx=a\cos t dt.</math> *<math>\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}dx=\int\frac{-d(\cos x)}{\cos^2 x}=-\int (\cos x)^{-2}d(\cos x)=-\frac{(\cos x)^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{1}{\cos x} +C=\sec x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx ;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{x^2 dx}{(1+x)^4}=\int\frac{(z-1)^2 dz}{z^4}=\int\frac{z^2-2z+1}{z^4}dz=\int\frac{dz}{z^2}-2\int\frac{dz}{z^3}+\int\frac{dz}{z^4}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3z^3}+C,</math> kur <math>1+x=z;</math> <math>dx=d(1+x)=dz;</math> <math>x=z-1.</math> *<math>\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=\int-\frac{2t}{t}dt=-2\int dt=-2t+C=-2\sqrt{1-x}+C,</math> kur <math>t=\sqrt{1-x};</math> <math>x=1-t^2;</math> <math>dx=-2t dt.</math> *<math>\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}dx=\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\frac{d(1+x^2)}{2x}=\int\frac{-1}{(1+x^2)^2}d(1+x^2)=-\frac{(1+x^2)^{-2+1}}{-2+1}+C=</math> :<math>=\frac{1}{1+x^2}+C,</math> kur <math>d(1+x^2)=2xdx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int\frac{\sin^3 x}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}=-\int\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}d(\cos x)=</math> <math>=-\int(\frac{1}{\cos x}-\cos x) d(\cos x)=\frac{\cos^2 x}{2}-\ln\cos x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{1}{\sin x -1}dx=\frac{\sin x +1}{(\sin x -1)(\sin x +1)}=\int\frac{\sin x +1}{\sin^2 x -1}dx=\int\frac{\sin x +1}{-\cos^2 x}dx=</math> <math>=\int-\frac{\sin x}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}dx=-\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}-\int\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int\frac{d(\cos x)}{\cos^2 x}-\tan x+C_2=</math> <math>=-\frac{1}{\cos x}-\tan x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{x^3}{(x-1)^2}dx=\int {(t+1)^3\over t^2}=\int(t+3+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^2})dt=\frac{t^2}{2}+3t+3\ln|t|-\frac{1}{t}+C=</math> <math>=\frac{1}{2}(x-1)^2+3(x-1)+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C,</math> kur <math>x-1=t;</math> <math>x=t+1;</math> <math>dx=dt.</math> *<math>\int{dx\over \sqrt{x^2+a}}=\int{dt\over t}=\ln|t|+C=\ln|\sqrt{x^2+a}+x|+C,</math> kur <math>\sqrt{x^2+a}+x=t; \; dt=(\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}+1)dx=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}} dx; \; dx=\frac{\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}+x}dt.</math> *<math>\int{e^x dx\over\sqrt{4-e^{2x}}}=\int{dt\over\sqrt{4-t^2}}=\arcsin{t\over 2}+C=\arcsin{e^x\over 2}+C,</math> kur <math>e^x=t;</math> <math>e^x dx=dt.</math> *<math>\int x\sqrt{6-x^2}dx=\int\sqrt{6-x^2}{d(6-x^2)\over -2}=-{1\over 2}\int{(6-x^2)^{\frac{3}{2}}\over {3\over 2}}+C={1\over 3}(x^2-6)\sqrt{6-x^2}+C,</math> <math>d(6-x^2)=-2xdx;</math> <math>dx=-d(6-x^2)/2x.</math> *<math>\int\sqrt{{x+a\over a-x}}dx=-2a\int\sqrt{{a+a\cos(2t)\over a-a\cos(2t)}}\sin(2t)dt=-2a\int\sqrt{{(1+\cos(2t))^2\over 1-\cos^2(2t)}}\sin(2t)dt=</math> <math>=-2a\int\sqrt{{(2\cos^2 t)^2\over \sin^2(2t)}}\sin(2t)dt=-2a\int{2\cos^2 t\over \sin(2t)}\sin(2t)dt=-4a\int\cos^2 t dt=</math> <math>=-4a\int({1\over 2}+{1\over 2}\cos(2t))dt=-2at-2a\int\cos(2t){d(2t)\over 2}=-2at-a\sin(2t)+C=</math> <math>=-2at-a\sqrt{1-\cos^2(2t)}+C=-a\arccos{x\over a}-a\sqrt{1-({x\over a})^2}+C=</math> <math>=-a\arccos{x\over a}-a\sqrt{{a^2- x^2\over a^2}}+C=-a\arccos{x\over a}-\sqrt{a^2- x^2}+C,</math> :kur <math>t=\frac{1}{2}\cdot \arccos{x\over a},\; 2t=\arccos{x\over a},\; \frac{x}{a}=\cos(2t),</math> <math>x=a\cos(2t),</math> <math>dx=-2a\sin(2t)dt,</math> <math>dt=\frac{dx}{-2a\sin(2t)},</math> d(2t)=2dt. *<math>\int{dx\over (x^2+a^2)^{3\over 2}}=\int{a\over (a^2\tan^2 t+a^2)^{3\over 2}}{dt\over \cos^2 t}={1\over a^2}\int{1\over ({1\over\cos^2 t})^{3\over 2}}{dt\over \cos^2 t}={1\over a^2}\int\cos^3 t{dt\over \cos^2 t}=</math> <math>={1\over a^2}\int\cos t \;dt={\sin t\over a^2}+C={\tan t\over a^2\sqrt{1+\tan^2 t}}+C={a\tan t\over a^2\sqrt{a^2+a^2\tan^2 t}}+C={x\over a^2\sqrt{a^2+x^2}}+C,</math> kur <math>t=\arctan{x\over a},\;{x\over a}=\tan t,</math> <math>x=a\tan t,</math> <math>dx=a{dt\over \cos^2 t}.</math> *<math>\int\sqrt{a^2-x^2} \; dx.</math> Darome keitinį <math>x=a\sin t.</math> Tada <math>t=\arcsin\frac{x}{a}, \;\; dx=a\cos t \; dt.</math> :<math>\int\sqrt{a^2-x^2} \; dx=\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} \cdot a\cos t \; dt=a^2\int\sqrt{1-\sin^2}\cos t \; dt=a^2\int\cos^2 t \; dt=</math> :<math>=a^2\int\frac{1}{2}(1+\cos 2t)dt=\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\sin 2t +C=\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\cdot 2\sin t \cos t +C=</math> :<math>=\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{2}\sin t \sqrt{1-\sin^2 t} +C=\frac{a^2}{2} t+\frac{1}{2}a\sin t \sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} +C=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x \sqrt{a^2-x^2} +C.</math> *<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}.</math> Imame keitinį <math>t=x+\sqrt{x^2-a^2}.</math> :Tada <math>dt=(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}})dx=\frac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{\sqrt{x^2-a^2}}dx, \;\; dt=\frac{t}{\sqrt{x^2-a^2}}dx, \;\; \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{dt}{t};</math> :<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t| +C=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C.</math> *<math>\int\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}.</math> Imame keitinį <math>\sqrt{e^x+1}=t, \;\; e^x+1=t^2, \;\; e^x=t^2-1; \;\; e^x \; dx=2t \;dt, \;\; dx=\frac{2t \; dt}{e^x}=\frac{2t \; dt}{t^2-1}.</math> Tada :<math>\int\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}=\int\frac{\frac{2t \; dt}{t^2-1}}{t}=\int\frac{2 \; dt}{t^2-1}=\ln|\frac{t-1}{t+1}|+C=\ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}|+C.</math> ==Nuorodos== * http://integral-table.com/ [[Kategorija:Matematika]] pthw0xx4ch1pye0z2n22t2ogle5x2bd 26980 26979 2022-08-12T16:37:19Z Paraboloid 1294 wikitext text/x-wiki '''Integravimas keičiant kintamąjį''': 1. Įvedę keitinį <math>x = \phi(t) </math>, kur <math>\phi(t) </math> - tolydžiai diferencijuojama funkcija, gauname: :<math>I=\int f(x) dx=\int f[\phi (t)] \phi'(t) dt.</math> Suintegrave, grįžtame prie senojo kintamojo. 2. Įvedę keitinį u=g(x), gauname: :<math>\int g(x) g'(x) dx=\int f(u) du.</math> '''Pavyzdžiai''' *<math>\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-x^2 / a^2}}=\int \frac{\mathsf{d}(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}=\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=</math> :<math>=\int\frac{\cos (t) }{\sqrt{1-\sin^2 t}} dt=\int\frac{\cos t}{\sqrt{\cos^2 t }} dt=\int\frac{\cos t}{\cos t} dt=\int dt=t+C=\arcsin u+C=\arcsin\frac{x}{a}+C,</math> :kur d(x/a)=(dx)/a, dx=a*d(x/a), u=x/a, <math>u=\sin (t)</math>; <math>t=\arcsin u=\arcsin\frac{x}{a};</math> <math>du=\cos (t) dt </math>. *<math>\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{dx}{a^2 (1+x^2/a^2)}=\frac{1}{a}\int \frac{d(x/a)}{1+(x/a)^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C.</math> *<math>\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\int \frac{1}{2a} (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}) dx =\frac{1}{2a} \int\frac{dx}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{dx}{x+a}=</math> :<math>=\frac{1}{2a}\int\frac{d(x-a)}{x-a}-\frac{1}{2a}\int\frac{d(x+a)}{x+a}=\frac{1}{2a}\ln|x-a|-\frac{1}{2a}\ln|x+a|+C=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{dx}{\cos x}.</math> Kad būtų lengviau pasirinkti keitinį, integralą užrašysime šitaip: :<math>\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{\cos x \; dx}{\cos^2 x}=\int \frac{\cos x \; dx}{1-\sin^2 x} .</math> :Dabar jau aišku, kad reikia imti keitinį <math>t = \sin x,</math> <math>dt = \cos x \; dx.</math> Tada :<math>\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dt}{1-t^2}=\frac{1}{2} \ln |\frac{1+t}{1-t}|+C=\ln | \text{tg} \; (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C .</math> Arba :<math>\int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{dt}{1-t^2}=-\int \frac{dt}{t^2-1}=-\frac{1}{2} \ln |\frac{t-1}{t+1}|+C=\ln | \text{tg} \; (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})|+C .</math> *<math>\int x\sqrt{1+x^2} dx=\int x\sqrt{1+x^2} \frac{d(1+x^2)}{2x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1+x^2)^{0.5+1}}{0.5+1}+C=\frac{1}{3}\sqrt{(1+x^2)^3}+C,</math> kur <math>d(1+x^2)=2x dx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int\frac{8}{x^2+4}dx=</math><math>\int\frac{2dx}{(\frac{x}{2})^2+1}=\int\frac{4d( \frac{x}{2} ) }{(\frac{x}{2})^2+1}= 4\arctan \frac{x}{2},</math> kur <math>d(\frac{x}{2})= \frac{1}{2}dx; \; dx =2d( \frac{x}{2} ).</math> *<math>\int\tan^2 x\sec^2 x dx=\int\frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx=\int \tan^2 (x)\; \mathsf{d}(\tan x)=\frac{1}{3}\tan^3 x+C,</math> kur <math>d(\tan x)=\sec^2 x dx</math>. *<math>\int 6e^{-2x}dx=6\int e^{-2x}\frac{d(-2x)}{-2}=-3\int e^{-2x}d(-2x)=-3 e^{-2x}+C,</math> kur <math>d(-2x)=-2dx;</math> <math>dx=\frac{d(-2x)}{-2}.</math> *<math>\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x, </math> Keitinys: <math>x = \sin t, \mathsf{d}x = \cos t \; \mathsf{d}t, t = \arcsin x \quad</math>, :<math>\int \sqrt{1 - \sin^2 t} \; \cos t \; \mathsf{d}t = \int \cos^2 t \; \mathsf{d}t = \int \frac{1+\cos(2t)}{2} \; \mathsf{d}t = </math> :<math> = \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos (2t) \; \mathsf{d}t \right) = \frac{1}{2} \left( \int \mathsf{d}t + \frac{1}{2} \int \cos (2t) \; \frac{\mathsf{d}(2t)}{2} \right) = \frac{t}{2} + \frac{\sin (2t)}{4} + C.</math> Įstatę pakeistą kintamąjį gauname atsakymą: :<math>\int \sqrt{1 - x^2} \; \mathsf{d}x = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{\sin (2\arcsin x)}{4} + C. </math> * Apskaičiuosime <math>\int \cos (2x) \; dx.</math> Šiuo atveju reikia pasirinkti labai paprastą keitinį <math>d(2x)=2 \; dx,</math> todėl <math>dx=\frac{d(2x)}{2}</math>. Pasinaudoję tuo keitiniu, gauname :<math>\int \cos (2x)= \int \cos (2x) \; \frac{d(2x)}{2} = \frac{1}{2} \sin (2x)+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{dx}{x+a}.</math> Kadangi <math>dx=d(x+a)=1,</math> tai :<math>\int \frac{dx}{x+a}=\int \frac{d(x+a)}{x+a}=\ln |x+a|+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int e^{\cos x} \sin x \; dx.</math> Lengva numatyti, kad tas integralas apskaičiuojamas, naudojant keitinį <math>d(\cos x)=-\sin x \; dx.</math> Tuomet <math>\sin x \; dx =-d(\cos x)</math> ir :<math>\int e^{\cos x} \sin x \; dx=-\int e^{\cos x} \; d(\cos x)= -e^{\cos x}+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2} \; dx.</math> Kadangi <math>d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2},</math> o dx=1, tai reiškinį <math>\frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2}</math> galima perrašyt šitaip <math>(\arctan x)^{100} \; d(\arctan x).</math> Todėl :<math>\int \frac{(\arctan x)^{100}}{1+x^2} \; dx=\int (\arctan x)^{100} \; d(\arctan x)=\frac{(\arctan x)^{101}}{101}+C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int (7x-9)^{2999} \; dx.</math> Kadangi <math>d(7x-9)=7dx,</math> tai <math>dx={d(7x-9)\over 7}.</math> Tada <math>\int (7x-9)^{2999} \; dx = \int (7x-9)^{2999} \frac{d(7x-9)}{7} =\frac{(7x-9)^{3000}}{21000} +C.</math> * Apskaičiuosime <math>\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}.</math> Čia patogus keitinys <math>t=(2x)^4</math>, <math>dt=64 x^3</math>dx, nes <math>((2x)^4)'=64 x^3</math>. Tada :<math>\int \frac{x^3 \; dx}{(2x)^8+1}=\frac{1}{64}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{\arctan t}{64}+C=\frac{\arctan (2x)^4}{64}+C .</math> *<math>\int x\sqrt{x-2} dx=\int (2+t^2) t\cdot 2t dt=\int 4t^2+2t^4 dt=\frac{4}{3}t^3+ \frac{2}{5}t^5+C=\frac{4}{3}\sqrt{(x-2)^3}+ \frac{2}{5}\sqrt{(x-2)^5}+C, </math> kur <math>\sqrt{x-2}=t,</math> <math>x-2=t^2,</math> <math>dx=d(x-2)=d(t^2)=2t dt,</math> <math>x=2+t^2.</math> *<math>\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+4\sin x}}dx=\int \frac{t/2}{t}dt=\frac{1}{2}\int dt=\frac{t}{2}+C=\frac{\sqrt{1+4\sin x}}{2}+C,</math> kur <math>\sqrt{1+4\sin x}=t;</math> <math>1+4\sin x=t^2;</math> <math>4\cos x dx=2t dt;</math> <math>\cos x dx=\frac{t}{2} dt.</math> *<math>\int \frac{x^2 dx}{\sqrt{3+x}}=\int \frac{(t^2-3)^2\cdot 2t dt}{t}=2\int t^4 dt-12\int t^2 dt+18\int dt=\frac{2t^5}{5}-\frac{12t^3}{3}+18t+C= </math> :<math>=\frac{2\sqrt{(3+x)^5}}{5}-4\sqrt{(3+x)^3}+18\sqrt{3+x}+C=\frac{2\sqrt{3+x}}{5}[(3+x)^2-10(3+x)+45]+C=</math> :<math>=\frac{2\sqrt{3+x}}{5}(x^2-4x+24)+C,</math> kur <math>\sqrt{3+x}=t;</math> <math>3+x=t^2;</math> dx=2tdt; <math>x=t^2-3.</math> *<math>\int (2x+1)^{20} dx=\int (2x+1)^{20} \frac{d(2x+1)}{2}=\frac{(2x+1)^{21}}{42}+C,</math> kur <math>d(2x+1)=2dx;</math> <math>dx={d(2x+1)\over 2}.</math> *<math>\int \frac{(2\ln x+3)^3}{x}dx=\int (2\ln x+3)^3\frac{d(2\ln x+3)}{2}=\frac{1}{8}(2\ln x+3)^4+C,</math> kur <math>d(2\ln x+3)=\frac{2}{x}dx;</math> <math>\frac{dx}{x}=\frac{d(2\ln x+3)}{2}.</math> *<math>\int \frac{dx}{\sin x\cdot \cos x}=\int \frac{dx}{\tan x\cdot \cos^2 x}=\int \frac{d(\tan x)}{\tan x}=\ln|\tan x|+C.</math> *<math>\int \frac{dx}{1+e^x}=\int \frac{dt}{t(t-1)}=\int \frac{dt}{t-1}-\int \frac{dt}{t}=\ln|t-1|-\ln|t|+C=x-\ln (1+e^x)+C,</math> kur <math>1+e^x=t;</math> <math>e^x=t-1;</math> <math>x=\ln (t-1);</math> dx=dt/(t-1). *<math>\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{dx}{2\sin (x/2)\cdot \cos(x/2)}=\int \frac{dt}{\sin t\cdot \cos t}=\int \frac{dt}{\tan t\cdot \cos^2 t}=\int \frac{d(\tan t)}{\tan t}=</math> :<math>=\ln|\tan t|+C=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C, </math> kur x/2=t; dx/2=dt; dx=2dt. *<math>\int \sqrt{a^2-x^2} dx=\int \sqrt{a^2 (1-\cos^2 t)}\cdot (-a\sin t) dt=-a^2 \int \sin^2 t dt=-\frac{a^2}{2} \int (1-\cos (2t)) dt=</math> :<math>=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\sin (2t)+C=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\cdot 2\sin (t)\cdot \cos(t)+C=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot \cos(t)+C=</math> :<math>=-\frac{a^2}{2}\cdot \arccos\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \sqrt{1-\cos^2 (\arccos\frac{x}{a})}\cdot \cos(\arccos\frac{x}{a})+C=-\frac{a^2}{2}\arccos\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C,</math> kur <math>\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot\cos t=2\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{x}{a}=\frac{2 x}{a}\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}=\frac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2};</math> :<math>x=a\cos t;</math> <math>\frac{x}{a}=\cos t;</math> <math>t=\arccos\frac{x}{a};</math> <math>dx=-a\sin (t) dt.</math> *<math>\int \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{-\frac{1}{2}d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\frac{(1-x^2)^{-0.5+1}}{-0.5+1}+C=-\sqrt{1-x^2}+C, </math> kur <math>d(1-x^2)=-2x dx;</math> <math>x dx=\frac{d(1-x^2)}{-2}.</math> *<math>\int_0^{\pi /2} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}dx=\int_0^{\pi /2} \frac{d(\sin x)}{1+\sin^2 x}=\arctan(\sin x)\vert_0^{\pi /2}=\arctan(\sin \frac{\pi}{2})-\arctan(\sin 0)=</math> :<math>=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4},</math> kur <math>d(\sin x)=\cos x dx</math> arba <math>dx=\frac{d(\sin x)}{\cos x}.</math> *<math>\int_1^e \frac{\ln^2 x}{x}dx=\int_1^e \ln^2 x d(\ln x)=\frac{\ln^3 x}{3} \vert_1^e=\frac{\ln^3 e}{3}-\frac{\ln^3 1}{3}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3},</math> kur <math>d(\ln x)=\frac{dx}{x}</math> arba <math>dx=x d(\ln x).</math> *<math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=-\int_0^1\frac{d(1-x)}{\sqrt{1-x}}=-2\sqrt{1-x} \vert_0^1 =-2\sqrt{1-1}+2\sqrt{1-0}=0+2=2,</math> kur d(1-x)=-dx; dx=-d(1-x). *<math>\int \frac{2x dx}{1+x^2}=\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=\ln(1+x^2)+C,</math> kur <math>d(1+x^2)=2x dx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int \cot x dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=\ln|\sin x|+C,</math> kur <math>d(\sin x)=\cos x dx.</math> *<math>\int\sin^3 x\cdot \cos x dx=\int \sin^3 x d(\sin x)=\frac{1}{4}\sin^4 x+C,</math> kur <math>d(\sin x)=\cos x dx.</math> *<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{4x+1}}=\int \frac{4 dx}{(4x+1-1)\sqrt{4x+1}}=\int \frac{4 dx}{((\sqrt{4x+1})^2-1)\sqrt{4x+1}}=</math> :<math>=\int \frac{4\sqrt{4x+1}d(\sqrt{4x+1})}{2((\sqrt{4x+1})^2-1)\sqrt{4x+1}} =\int \frac{2 d(\sqrt{4x+1})}{(\sqrt{4x+1})^2-1} =-2\int \frac{d(\sqrt{4x+1})}{1-(\sqrt{4x+1})^2}=</math> <math>=-2\tanh^{-1} (\sqrt{4x+1})+C=-\frac{2}{2}\ln(\frac{1+\sqrt{4x+1}}{1-\sqrt{4x+1}})+C=\ln(\frac{1-\sqrt{4x+1}}{1+\sqrt{4x+1}})+C,</math> kur <math>d(\sqrt{4x+1})=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}dx;</math> <math>dx=\frac{1}{2}\sqrt{4x+1}d(\sqrt{4x+1}).</math> *<math>\int \frac{dx}{(a^2-x^2)^{3/2}}=\frac{1}{a^2}\int \frac{dt}{\cos^2 t}=\frac{\tan t}{a^2}+C=\frac{\sin t}{a^2 \sqrt{1-\sin^2 t}}+C=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C,</math> kur <math>t=\arcsin\frac{x}{a},</math> <math>x=a\sin t,</math> <math>dx=a\cos t dt.</math> *<math>\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}dx=\int\frac{-d(\cos x)}{\cos^2 x}=-\int (\cos x)^{-2}d(\cos x)=-\frac{(\cos x)^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{1}{\cos x} +C=\sec x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx ;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{x^2 dx}{(1+x)^4}=\int\frac{(z-1)^2 dz}{z^4}=\int\frac{z^2-2z+1}{z^4}dz=\int\frac{dz}{z^2}-2\int\frac{dz}{z^3}+\int\frac{dz}{z^4}=-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3z^3}+C,</math> kur <math>1+x=z;</math> <math>dx=d(1+x)=dz;</math> <math>x=z-1.</math> *<math>\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=\int-\frac{2t}{t}dt=-2\int dt=-2t+C=-2\sqrt{1-x}+C,</math> kur <math>t=\sqrt{1-x};</math> <math>x=1-t^2;</math> <math>dx=-2t dt.</math> *<math>\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}dx=\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\frac{d(1+x^2)}{2x}=\int\frac{-1}{(1+x^2)^2}d(1+x^2)=-\frac{(1+x^2)^{-2+1}}{-2+1}+C=</math> :<math>=\frac{1}{1+x^2}+C,</math> kur <math>d(1+x^2)=2xdx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int\frac{\sin^3 x}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}=-\int\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}d(\cos x)=</math> <math>=-\int(\frac{1}{\cos x}-\cos x) d(\cos x)=\frac{\cos^2 x}{2}-\ln\cos x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{1}{\sin x -1}dx=\frac{\sin x +1}{(\sin x -1)(\sin x +1)}=\int\frac{\sin x +1}{\sin^2 x -1}dx=\int\frac{\sin x +1}{-\cos^2 x}dx=</math> <math>=\int-\frac{\sin x}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}dx=-\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}-\int\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int\frac{d(\cos x)}{\cos^2 x}-\tan x+C_2=</math> <math>=-\frac{1}{\cos x}-\tan x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{x^3}{(x-1)^2}dx=\int {(t+1)^3\over t^2}=\int(t+3+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^2})dt=\frac{t^2}{2}+3t+3\ln|t|-\frac{1}{t}+C=</math> <math>=\frac{1}{2}(x-1)^2+3(x-1)+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C,</math> kur <math>x-1=t;</math> <math>x=t+1;</math> <math>dx=dt.</math> *<math>\int{dx\over \sqrt{x^2+a}}=\int{dt\over t}=\ln|t|+C=\ln|\sqrt{x^2+a}+x|+C,</math> kur <math>\sqrt{x^2+a}+x=t; \; dt=(\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}+1)dx=\frac{x+\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}} dx; \; dx=\frac{\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}+x}dt.</math> *<math>\int{e^x dx\over\sqrt{4-e^{2x}}}=\int{dt\over\sqrt{4-t^2}}=\arcsin{t\over 2}+C=\arcsin{e^x\over 2}+C,</math> kur <math>e^x=t;</math> <math>e^x dx=dt.</math> *<math>\int x\sqrt{6-x^2}dx=\int\sqrt{6-x^2}{d(6-x^2)\over -2}=-{1\over 2}\cdot {(6-x^2)^{\frac{3}{2}}\over {3\over 2}}+C={1\over 3}(x^2-6)\sqrt{6-x^2}+C,</math> <math>d(6-x^2)=-2xdx;</math> <math>dx=-d(6-x^2)/2x.</math> *<math>\int\sqrt{{x+a\over a-x}}dx=-2a\int\sqrt{{a+a\cos(2t)\over a-a\cos(2t)}}\sin(2t)dt=-2a\int\sqrt{{(1+\cos(2t))^2\over 1-\cos^2(2t)}}\sin(2t)dt=</math> <math>=-2a\int\sqrt{{(2\cos^2 t)^2\over \sin^2(2t)}}\sin(2t)dt=-2a\int{2\cos^2 t\over \sin(2t)}\sin(2t)dt=-4a\int\cos^2 t dt=</math> <math>=-4a\int({1\over 2}+{1\over 2}\cos(2t))dt=-2at-2a\int\cos(2t){d(2t)\over 2}=-2at-a\sin(2t)+C=</math> <math>=-2at-a\sqrt{1-\cos^2(2t)}+C=-a\arccos{x\over a}-a\sqrt{1-({x\over a})^2}+C=</math> <math>=-a\arccos{x\over a}-a\sqrt{{a^2- x^2\over a^2}}+C=-a\arccos{x\over a}-\sqrt{a^2- x^2}+C,</math> :kur <math>t=\frac{1}{2}\cdot \arccos{x\over a},\; 2t=\arccos{x\over a},\; \frac{x}{a}=\cos(2t),</math> <math>x=a\cos(2t),</math> <math>dx=-2a\sin(2t)dt,</math> <math>dt=\frac{dx}{-2a\sin(2t)},</math> d(2t)=2dt. *<math>\int{dx\over (x^2+a^2)^{3\over 2}}=\int{a\over (a^2\tan^2 t+a^2)^{3\over 2}}{dt\over \cos^2 t}={1\over a^2}\int{1\over ({1\over\cos^2 t})^{3\over 2}}{dt\over \cos^2 t}={1\over a^2}\int\cos^3 t{dt\over \cos^2 t}=</math> <math>={1\over a^2}\int\cos t \;dt={\sin t\over a^2}+C={\tan t\over a^2\sqrt{1+\tan^2 t}}+C={a\tan t\over a^2\sqrt{a^2+a^2\tan^2 t}}+C={x\over a^2\sqrt{a^2+x^2}}+C,</math> kur <math>t=\arctan{x\over a},\;{x\over a}=\tan t,</math> <math>x=a\tan t,</math> <math>dx=a{dt\over \cos^2 t}.</math> *<math>\int\sqrt{a^2-x^2} \; dx.</math> Darome keitinį <math>x=a\sin t.</math> Tada <math>t=\arcsin\frac{x}{a}, \;\; dx=a\cos t \; dt.</math> :<math>\int\sqrt{a^2-x^2} \; dx=\int\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} \cdot a\cos t \; dt=a^2\int\sqrt{1-\sin^2}\cos t \; dt=a^2\int\cos^2 t \; dt=</math> :<math>=a^2\int\frac{1}{2}(1+\cos 2t)dt=\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\sin 2t +C=\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\cdot 2\sin t \cos t +C=</math> :<math>=\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{2}\sin t \sqrt{1-\sin^2 t} +C=\frac{a^2}{2} t+\frac{1}{2}a\sin t \sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} +C=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x \sqrt{a^2-x^2} +C.</math> *<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}.</math> Imame keitinį <math>t=x+\sqrt{x^2-a^2}.</math> :Tada <math>dt=(1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}})dx=\frac{\sqrt{x^2-a^2}+x}{\sqrt{x^2-a^2}}dx, \;\; dt=\frac{t}{\sqrt{x^2-a^2}}dx, \;\; \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{dt}{t};</math> :<math>\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\int\frac{dt}{t}=\ln|t| +C=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C.</math> *<math>\int\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}.</math> Imame keitinį <math>\sqrt{e^x+1}=t, \;\; e^x+1=t^2, \;\; e^x=t^2-1; \;\; e^x \; dx=2t \;dt, \;\; dx=\frac{2t \; dt}{e^x}=\frac{2t \; dt}{t^2-1}.</math> Tada :<math>\int\frac{dx}{\sqrt{e^x+1}}=\int\frac{\frac{2t \; dt}{t^2-1}}{t}=\int\frac{2 \; dt}{t^2-1}=\ln|\frac{t-1}{t+1}|+C=\ln|\frac{\sqrt{e^x+1}-1}{\sqrt{e^x+1}+1}|+C.</math> ==Nuorodos== * http://integral-table.com/ [[Kategorija:Matematika]] hhn2njiqj971gj4u7eidg12hva3p1jd