Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Gadget Discussion gadget Définition de gadget Discussion définition de gadget Sujet 0 3416 881207 804729 2022-08-11T11:06:34Z Slzbg 68495 Il manquait une voyelle. wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = informatique | numéro = 2 | précédent = [[../Introduction au Fortran/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} == Introduction == Ce chapitre explique la réalisation d’un programme (très) simple permettant de saisir l’apparence globale du Fortran. Ce programme s'affiche en console. == Édition et Compilation == Le nom du fichier contenant le code n’importe pas en Fortran. Traditionnellement, l'extension pour le Fortran est « f » suivi de l'année de la version à deux chiffres. Par exemple, pour le Fortran 95, l'extension est « f95 ». == Bonjour, le monde! == Le programme le plus simple faisant quelque chose de visible est <syntaxhighlight lang="fortran"> ! Ce programme affiche "Bonjour, le monde!" program hello_world implicit none ! important print *, "Bonjour, le monde!" end program hello_world </syntaxhighlight> === Décomposition === La ligne commençant par un <code>!</code> est un commentaire. La ligne avec un <code>!</code> au milieu est un commentaire à partir du <code>!</code>. D'une manière générale, toute portion de ligne vers la droite commençant par un <code>!</code> est un commentaire. La ligne <code>program hello_world</code> indique le début de la définition du programme « hello_world ». La ligne <code>end program hello_world</code> indique la fin de la définition du programme. Le <code>hello_world</code> de fermeture est optionnel. Le <code>program</code> de fermeture est optionnel aussi (s'il est absent, <code>hello_world</code> ne doit pas figurer). Il est cependant conseillé de les mettre. La ligne <code>implicit none</code> (comme on l'a dit, <code>!...</code> est ignoré) indique au compilateur qu’il ne doit pas faire de déclarations implicites de variables. Cet ordre au compilateur doit être placé en tête de chaque fonction, procédure ou programme. Cf l'Annexe 2. La ligne <code>print *, "Bonjour, le monde!"</code> est séparée en deux parties : une opération de base, <code>print</code>, et une liste d'arguments, séparés par des virgules : <code>*</code> et <code>"Bonjour, le monde!"</code>. <code>*</code> est un format d'affichage. Les formats seront discutés dans le chapitre sur le système d'entrée/sortie du Fortran. Comme celui-ci est assez complexe, on ignore le problème et suppose que cela fonctionne ''ad hoc''. <code>"Bonjour, le monde!"</code> est un littéral, i.e. une chaîne de caractère écrite telle quelle dans le code. Elle est dénotée par des « " » de part et d'autre. <code>print</code> est une opération de base du langage, qui prend deux arguments : un format et une liste (ici réduite à un élément) d'expressions (variables, résultats d'opérations et littéraux). Elle écrit sur la sortie standard les variables, formatées selon le format. === Analyse === Le programme <code>hello_world</code> (ligne 2), qui n'utilise pas de déclaration implicites (3), affiche le littéral <code>"Bonjour, le monde!"</code> (4). === Résultat === Le programme, compilé puis exécuté, affiche « Bonjour, le monde! ». Il est à noter qu’il affiche un espace avant le « H », à cause du format. == Syntaxe == Pour définir un programme, on a la syntaxe <code> program nom ... end program nom </code> Pour ordonner au compilateur de ne pas faire des définitions implicites, on a la syntaxe <code> implicit none </code> qui se place juste après le début de la définition du programme (du bloc, plus généralement). La syntaxe pour un littéral de caractères est <code> "caractères" </code> Pour un littéral numérique, on écrit le chiffre « normalement ». Par exemple <code> print *, 12 </code> L'opération primitive <code>print</code> s'utilise avec la syntaxe suivante : <code> print *, expression1, expression 2… </code> Par exemple, <code> print *, "Bonjour, le monde!", 12 </code> affiche <code> Bonjour, le monde! 12 </code> avec un retour à la ligne. La syntaxe pour un commentaire est <code> ... ! ... </code> où tout ce qui suit le <code>!</code> est un commentaire. {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Introduction au Fortran/]] | suivant = [[../|Sommaire]] }} 7bnp2iu7ze1petp3hlrw1i7212qmwqi 0 8776 881200 817539 2022-08-10T18:17:27Z 2A01:CB06:516:3E00:D037:3E97:4B98:D2E6 /* g(x) = f(|-x|) */ wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Somme et différence/]] | niveau = 12 }} == Définition == {{Définition | contenu = Soit ƒ une fonction dont la représentation graphique dans un repère <math>(O;\vec i,\vec j)</math> est notée <math>\mathcal C_f</math>. On appelle '''fonction associée à ƒ''' toute fonction ''g'' dont la représentation graphique <math>\mathcal C_g</math> est obtenue par une transformation simple de <math>\mathcal C_f</math>. }} == Fonctions associées courantes == Dans toute cette page, <math>k\in\R</math> === g(x) = f(x) + k === {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(x)+k</math> <math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la translation de vecteur <math>k\,\vec j</math>}} [[Fichier:Fonction math01.png]] === g(x) = f(x + k)=== {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(x+k)</math> <math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la translation de vecteur <math>-k\,\vec i</math>}} [[Fichier:Fonction math02.png]] === g(x) = -f(x) === {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto -f(x)</math> <math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la symétrie d’axe (Ox)}} [[Fichier:Fonction math5.png]] === g(x) = f(-x)=== {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(-x)</math> <math>\mathcal C_g</math> est l'image de <math>\mathcal C_f</math> par la symétrie d’axe (Oy)}} [[Fichier:Fonction math6.png]] === g(x) = |f(x)| === {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto |f(x)|</math> On a alors : * <math>g(x) = f(x) \Leftrightarrow f(x)\geq 0 \Leftrightarrow \mathcal C_f</math> est au-dessus de (Ox) * <math>g(x) = -f(x) \Leftrightarrow f(x)\leq 0 \Leftrightarrow \mathcal C_f</math> est en-dessous de (Ox) On aboutit à la transformation suivante : * Si <math>\mathcal C_f</math> est au-dessus de (Ox), <math>\mathcal C_g</math> correspond à <math>\mathcal C_f</math> * Si <math>\mathcal C_f</math> est en-dessous de (Ox), <math>\mathcal C_g</math> est l’image de <math>\mathcal C_f</math> par la symétrie d’axe (Ox)}} [[Fichier:Fonction math03.png]] === g(x) = f(|x|) === {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(|x|)</math> On a alors pour tout <math>x,~g(-x)= f(|-x|) = f(|x|) = g(x)</math>, donc '''''g'' est paire'''. (Oy) est donc axe de symétrie pour la courbe <math>\mathcal C_g</math>. On a donc : * <math>\mathcal C_g</math> coïncide avec <math>\mathcal C_f</math> sur <math>\R^+</math> * On complète le tracé de <math>\mathcal C_g</math> en faisant la symétrie par rapport à l’axe (Oy).}} [[Fichier:Fonction math04.png]] === g(x) = k × f(x), affinité=== {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto k\cdot f(x)</math> <math>\mathcal C_g</math> s’obtient en multipliant par ''k'' les ordonnées des points de <math>\mathcal C_f</math>. On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens vertical.}} [[Fichier:Fonction math7.png]] === g(x) = f(kx) === {{Théorème | contenu= Soit la fonction ''g'' définie par <math>g:x\mapsto f(kx)</math> <math>\mathcal C_g</math> s’obtient en divisant par ''k'' les abscisses des points de <math>\mathcal C_f</math>. On peut parler d’étirement ou de contraction dans le sens horizontal.}} [[Fichier:Fonction math8.png]] {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Somme et différence/]] }} 64eo4uwij7c5ozn8ishvjlf7ymessu6 0 14570 881193 675571 2022-08-10T12:44:55Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 2 | titre = Emploi du subjonctif | titre_leçon = Grammaire espagnole | idfaculté = langues | leçon = [[../|Grammaire espagnole]] | numéro = 9 | précédent = [[../Progressif/]] | suivant = }} == Les emplois du subjonctif en espagnol == Les exemples suivants ne sont valable que dans le cas où les deux verbes se réfèrent à deux sujets différents, dès lors que le sujet de la principale et de la subordonnée (donc des deux verbes) le verbe de la subordonnée sera, soit conjugué à l'indicatif, soit à l'infinitif. (ex "Si quiero, bebo" (Si je veux je bois) "Quiero verlo" (je veux le voir)) les deux verbes ayant la même personne comme sujet. == Après un verbe de désir, de souhait == {{Prononciation | langue1 = es | 1 = Si quieres que yo beba, beberé. | 2 = Si tu veux que je boive, je boirai. | 3 = [si ˈkje.res ke ʝo ?? ??] | 4 = }} == Après un verbe d’opinion, de jugement de valeur == {{traductions | langue1 = es | langue2 = fr | Más vale que duermas entre 7 y 9 horas. |Il vaut mieux que tu dormes entre 7 et 9 heures. | Es indispensable que cuides de ti mismo. |Il est indispensable que tu prennes soin de toi-même. }} == Pour exprimer la défense (impératif négatif) == {{Prononciation | langue1 = es | 1 = No exageres en nada. | 2 = N'exagère pas. | 3 = [no ?? en ˈna.ða] | 4 = }} == Après para que, a fin de que, etc. == {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = No podrán participar modelos flacas, para que no sea un mal ejemplo para las jóvenes. | 2 = Les mannequins trop maigres ne pourront pas participer, afin qu’elles ne donnent pas le mauvais exemple aux jeunes (/afin que ce ne soit pas un mauvais exemple pour les jeunes). | 3 = | 4 = }} == Après un verbe de conseil (aconsejar, recomendar…) == {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = Te aconsejo que desayunes por la mañana si no quieres desmayarte. | 2 = Je te conseille de déjeuner(/que tu déjeunes) le matin si tu ne veux pas t'évanouir. | 3 = | 4 = }} == Après un verbe d’interdiction (prohibir…) == {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = La madre le prohíbe a su hijo que vaya al cole en ayunas. | 2 = La (/sa) mère interdit à son fils qu’il aille à l'école le ventre vide. | 3 = | 4 = }} == Après un verbe d’ordre, souhait (ordenar, mandar, decir, pedir) == {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = La madre le dice que desayune antes de ir al cole. | 2 = La (/sa) mère lui dit de déjeuner (/qu’il déjeune) avant d'aller à l'école. | 3 = | 4 = }} == Après « es necesario que », « hace falta que », etc. == {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = Es necesario que bebamos agua. | 2 = Il faut que nous buvions de l'eau. | 3 = | 4 = }} == Pour formuler un vœu ou un ordre == On peut utiliser la tournure que + subjonctif. Cette tournure n’a pas d’équivalent en Français et peut se traduire de différentes façons. {{traductions | langue1 = es | langue2 = fr | ¡Que disfrutéis, niños ! | Amusez-vous bien les enfants ! | ¡Que tengas buen viaje ! | Bon voyage ! | ¡Que vengan ! | Qu’ils viennent ! }} On peut aussi utiliser la formule ''ojalá + subjonctif''. {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = ¡Ojalá puedas venir ! | 2 = Pourvu que tu puisses venir ! | 3 = | 4 = }} == Pour traduire le futur dans une proposition subordonnée de temps == Introduite par CUANDO, EN QUE, TAN PRONTO COMO (dès que), EN CUANTO (dès que), MIENTRAS (tant que) AUNQUE (bien que, tandis que, alors que, même si, quoique) etc. Attention : Les expressions "tandis que" et "bien que" fonctionnent inversement de leur équivalent français et se traduisent toutes les deux par AUNQUE, seul le mode suivant AUNQUE permet de rendre l'équivalent français (même si + indicatif français est rendu par aunque + subjonctif en espagnol et bien que, alors que, tandis que, quoique + subjonctif français est rendu par AUNQUE + indicatif en espagnol, d'autres constructions françaises, notamment "avoir beau" et "quand bien même" se construisent également avec AUNQUE + subjonctif en espagnol. De même MIENTRAS dispose de deux constructions spécifiques, si ce dernier décrit des actions simultanées, il se traduit par MIENTRAS + indicatif "pendant que", si la proposition introduite par MIENTRAS dépend de l'action de la principale, la subordonnée sera au subjonctif, (Cela indépendamment du sujet des deux verbes) dans le second cas, MIENTRAS + subjonctif peut se traduire en français par "tant que". MIENTRAS peut également traduire "tandis que" mais n'est dans ce cas jamais suivi d'une proposition, comparez: "Yo estudio mientras tu no" (j'étudie tandis que toi, non) "Yo estudio aunque tu pasas tu tiempo mirando la TV" (J'étudie tandis que tu passes ton temps à regarder la télé) {{Prononciation | langue1 = es | langue2 = fr | 1 = Cuando el médico te vea, te vas a sentir mejor. | 2 = Quand le médecin te verra, tu te sentiras mieux. | 3 = | 4 = }} /\ Uniquement dans les phrases affirmatives (ni négatives ni interrogatives). {{traductions | langue1 = es | langue2 = fr | ¿ Sabes cuándo llegará (futur) tu padre ? | Sais-tu quand ton père arrivera ? |No, no sé cuándo llegará (futur). | Non, je ne sais pas quand il arrivera. }} À noter également que l'équivalent français commercial, (ex : Achetez aujourd’hui et payez demain) est rendu en espagnol par un indicatif et non un impératif (employant le subjonctif présent 3{{ème}} personne) puisque sous entendu "Vous achetez aujourd’hui et vous payez demain". {{Bas de page | idfaculté = langues | précédent = [[../Progressif/]] | suivant = }} qwalrc38cwsdw7zlfn8iz1zqjdk2nz5 0 22266 881206 866679 2022-08-11T09:13:23Z 212.195.100.232 /* Groupes nilpotents */ wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 14 | idfaculté = mathématiques | numéro = 19 | précédent = [[../Groupes résolubles/]] | suivant = [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] | page_liée = Exercices/Groupes nilpotents }} __TOC__ {{Clr}} == Suite centrale descendante == {{Théorème | titre = Énoncé 1 | contenu = Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, K un sous-groupe normal de G. Pour que l'image canonique H/K de H dans G/K soit contenue dans le centre de G/K, il faut et il suffit que {{nobr|[G, H]}} soit contenu dans K. }} Démonstration. Notons <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G/K''. Dire que l'image canonique de H dans G/K est contenue dans le centre de G/K revient à dire que tout élément de <math>\varphi(H)</math> commute avec tout élément de G/K, autrement dit que <math>[\, \varphi(H), G/K \,] = 1</math>. Or, comme <math>G/K = \varphi(G)</math> et <math>\varphi</math> est un homomorphisme de groupes de noyau K, on a les équivalences suivantes : <!-- Il faut ruser un peu pour qu'amsmath ne croie pas que le premier crochet ouvrant marque le début d'un argument optionnel de l'environnement align, cf. https://github.com/latex3/latex2e/issues/5 --> <math>\begin{align} {}[\, \varphi(H), G/K \,] = 1 &\iff [\, \varphi(H), \varphi(G) \,] = 1\\ &\iff \varphi([\, H, G \,]) = 1\\ &\iff [\, H, G \,] \subseteq K\\ &\iff [\, G, H \,] \subseteq K \end{align}</math> Ceci prouve donc le résultat annoncé. Nous allons étendre<ref>Cette extension est conforme à J.S. Rose, ''A Course on Group Theory'', réimpr. Dover, 1994, p. 144.</ref> l'usage du mot « central », que nous n'avons utilisé jusqu'ici que pour parler d'un élément central ou d'un sous-groupe central d'un groupe. {{Définition | contenu = Soient G un groupe, K un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G contenant K. On dit que le sous-groupe H/K de G/K est central dans G s'il est contenu dans le centre de G/K, ce qui, d’après le lemme qui précède, revient à dire que [G, H] est contenu dans K. }} Bien que ce ne soit pas une expression standard, on dira ici, dans ce cas, que le sous-groupe H de G est ''central dans G modulo K''. {{Définition | contenu = Soit G un groupe. La suite centrale descendante de G est par définition la suite infinie (Cⁿ(G))_{n ≥ 1} de sous-groupes de G définie par récurrence par :<math>C^{1}(G) = G</math> :<math>C^{n+1}(G) = [G, C^{n}(G)]</math> pour tout n ≥ 1. }} Au lieu de Cⁿ(G), on écrit aussi <math>\gamma_{n}G .</math> {{Théorème | titre = Énoncé 2 | contenu = Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G tels que H soit contenu dans K. Alors, pour tout n ≥ 1, ::<math>C^{n}(H) \subseteq C^{n}(K).</math> }} Démonstration. Récurrence sur ''n'', en tenant compte que si A, B, C et D sont des sous-groupes de G, si A est sous-groupe de B et C sous-groupe de D, alors [A, C] est sous-groupe de [B, D]. {{Théorème | titre = Énoncé 3 | contenu = La suite centrale descendante d'un groupe est décroissante (pour la relation d'inclusion). }} Démonstration. Il s'agit de prouver que, pour tout n ≥ 1, Cⁿ⁺¹(G) ⊆ Cⁿ(G). C'est évident si n = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel ''n'' et prouvons que c’est vrai pour n + 1. Par hypothèse de récurrence, Cⁿ⁺¹(G) ⊆ Cⁿ(G). Nous avons vu au chapitre ''Commutateurs, groupes dérivés'' que si A, B, H et K sont des sous-groupes de G tels que A ⊆ B et H ⊆ K, alors [A, H] ⊆ [B, K]. En faisant A = B = G, H = Cⁿ⁺¹(G) et K = Cⁿ(G), nous trouvons [G, Cⁿ⁺¹(G)] ⊆ [G, Cⁿ(G)], autrement dit Cⁿ⁺²(G) ⊆ Cⁿ⁺¹(G), d'où la démonstration par récurrence sur n. {{Théorème | titre = Énoncé 4 | contenu = Soit <math>f : G_{1} \mapsto G_{2} </math> un homomorphisme de groupes. Pour tout nombre naturel ''n'' ≥ 1, :<math>f(C^{n}(G_{1})) = C^{n}(f(G_{1})).</math> Il en résulte que :<math>f(C^{n}(G_{1})) \subseteq C^{n}(G_{2})</math> et qu'on a l'égalité si ''f'' est surjectif. }} Démonstration. La première assertion est banale si ''n'' = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour un nombre naturel ''n'' et prouvons qu'elle reste vraie si on remplace ''n'' par ''n'' + 1. Nous avons vu dans le chapitre ''Commutateurs, groupe dérivé'' que si A et B sont des sous-groupes de <math>G_{1}</math>, alors l'image de [A, B] par ''f'' est [f(A), f(B)]. En faisant <math>\ A =G_{1},\ B = C^{n}(G_{1}) </math>, nous trouvons :<math>\ (1) \quad f(C^{n+1}(G_{1})) = [f(G_{1}), f(C^{n}(G_{1}))].</math> Par hypothèse de récurrence, nous avons <math>\ f(C^{n}(G_{1})) = C^{n}(f(G_{1}))</math>, donc (1) peut s'écrire :<math>\ \quad f(C^{n+1}(G_{1})) = [f(G_{1}), C^{n}(f(G_{1}))],</math> d'où, par définition de la suite centrale descendante, :<math>\ \quad f(C^{n+1}(G_{1})) = C^{n+1}(f(G_{1})),</math> ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. En appliquant la règle A ⊆ B ⇒ Cⁿ(A) ⊆ Cⁿ(B) aux sous-groupes A = f(G₁) et B = G₂ de G₂, nous trouvons :<math>\ \quad C^{n}(f(G_{1})) \subseteq C^{n}(G_{2}),</math> ce qui, d’après la première assertion de l'énoncé, peut s'écrire :<math>\ (2) \quad f(C^{n}(G_{1})) \subseteq C^{n}(G_{2}),</math> ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé. Si ''f'' est surjectif, nous pouvons remplacer f(G₁) par G₂ dans la première assertion de l'énoncé, ce qui prouve que, dans ce cas, l'inclusion (2) est une égalité. {{Théorème | titre = Énoncé 5 | contenu = Soit G un groupe. Les groupes <math>C^{n}(G)</math> sont des sous-groupes caractéristiques (et donc normaux) de G. }} Démonstration. Dans le théorème précédent, faisons G₁ = G₂ = G. Nous trouvons que <math>\ C^{n}(G)</math> est stable par tout endomorphisme de G, donc est caractéristique dans G. Remarque. Du fait que <math>\ C^{n}(G)</math> est distingué dans G, on tire facilement que [G, Cⁿ(G)] est contenu dans Cⁿ(G), autrement dit que Cⁿ⁺¹(G) est contenu dans Cⁿ(G). C'est une autre façon de prouver que la suite centrale descendante est décroissante. {{Théorème | titre = Énoncé 6 | contenu = Soit G un groupe. Pour tout n ≥ 1, Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G) est contenu dans le centre de G/Cⁿ⁺¹(G)</sub>. (Dans la terminologie dont on a convenu plus haut : Cⁿ(G) est central dans G modulo Cⁿ⁺¹(G).) }} Démonstration. Dans le lemme 1, faire H = Cⁿ(G) et K = Cⁿ⁺¹(G). {{Théorème | titre = Énoncé 7 | contenu = Soit G un groupe. Pour tout n ≥ 1, le groupe quotient Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G)</sub> est commutatif. }} Démonstration. Cela résulte de la proposition précédente, puisque tout sous-groupe du centre d'un groupe est commutatif. {{Théorème | titre = Énoncé 8 | contenu = Soient G un groupe et <math>\ (G_{n})_{n \geq 1} </math> une suite décroissante, finie ou infinie, de sous-groupes de G possédant les propriétés suivantes : <math>G_{1} = G </math> et, pour tout ''n'' tel que G_n et G_n+1 sont définis, [G, G_n] ⊆ G_n+1. Alors, pour tout ''n'', G_n est distingué dans G et Cⁿ(G) ⊆ G_n pour tout ''n''. }} Démonstration. Prouvons que Cⁿ(G) ⊆ G_n. C'est banal si ''n'' = 1. Supposons que ce soit vrai pour un nombre naturel ''n'' et prouvons que cela reste vrai si on remplace ''n'' par ''n'' + 1. Par hypothèse de récurrence, :<math>(1) \qquad C^{n}(G) \subseteq G_{n}</math>, d'où :<math>[G, C^{n}(G)] \subseteq [G, G_{n}],</math> c'est-à-dire :<math>(2) \qquad C^{n+1}(G) \subseteq [G, G_{n}].</math> Par hypothèse de l'énoncé, [G, G_n] est contenu dans G_n+1. Le second membre de (2) est donc contenu dans G_n+1, d'où Cⁿ⁺¹(G) ⊆ G_n+1, ce qui prouve la relation Cⁿ(G) ⊆ G_n par récurrence sur ''n''.<br /> Prouvons maintenant que, pour tout ''n'', G_n est distingué dans G. Puisque la suite des G_n est décroissante, l'hypothèse [G, G_n] ⊆ G_n+1 entraîne [G, G_n] ⊆ G_n, ce qui équivaut (chapitre ''Commutateurs, groupe dérivé'') à dire que G_n est distingué dans G. == Groupes nilpotents == {{Définition | contenu = Un groupe G est dit nilpotent s'il existe un nombre naturel ''n'' ≥ 0 tel que Cⁿ⁺¹(G) = 1. Dans ce cas, le plus petit nombre naturel ''n'' (≥ 0) tel que {{nobr|1=Cⁿ⁺¹(G) = 1}} est appelé la classe de nilpotence de G. On dit aussi que G est nilpotent de classe ''n''. }} {{Théorème | titre = Énoncé 9 | contenu = Soient G un groupe et G = G₁ ⊇ ... ⊇ G_n+1 = 1 une suite finie de sous-groupes de G. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :<br /> 1) pour tout i ≤ n, [G, G_i] est contenu dans G_i+1;<br /> 2) les sous-groupes G_i sont normaux dans G et pour tout i ≤ n, G_i/G_i+1 est contenu dans le centre de G/G_i+1. }} Démonstration. C'est une conséquence immédiate de l'énoncé 1. Il résulte de l'énoncé qui précède que dans une suite <math>G = G_{1} \supseteq \ldots \supseteq G_{n+1} = 1</math> telle que dans cet énoncé, les sous-groupes G_i sont normaux dans G. A fortiori, la suite en question est une suite de composition de G (selon la terminologie de Bourbaki, qui est celle qu'on a adoptée dans ce cours). {{Définition | contenu = Soit G un groupe. Nous dirons qu'une suite finie <math>G = G_{1} \supseteq \ldots \supseteq G_{n+1} = 1</math> de sous-groupes de G satisfaisant aux conditions équivalentes 1) et 2) du théorème qui précède est une suite de composition centrale de G. }} Au lieu de « une suite de composition centrale de G », il nous arrivera de dire « une suite centrale de G », l'article indéfini prévenant toute confusion avec ''la'' suite centrale descendante de G. Rappelons que pour une suite de composition <math>G = G_{1} \supseteq \ldots \supseteq G_{n+1} = 1</math> d'un groupe G, le nombre <math>n</math> est appelé la longueur de cette suite. {{Théorème | titre = Énoncé 10 | contenu = a) Un groupe G est nilpotent de classe ≤ n si et seulement s'il a une suite de composition centrale de longueur ≤ n.<br /> b) Un groupe G est nilpotent si et seulement s'il a une suite de composition centrale. }} Démonstration. Si G est nilpotent de classe k ≤ n, alors la suite finie :<math>G = C^{1}(G) \supseteq \ldots C^{k+1}(G)</math> est une suite de composition centrale de G de longueur <math>k \leq n .</math><br /> Réciproquement, supposons que G a une suite de composition centrale de longueur ≤ n. Il existe donc un nombre naturel <math>k \leq n</math> et une suite G = G₁ ⊇ ... ⊇ G_k+1 = 1 de sous-groupes de G telle que, pour tout i ≤ k, [G, G_i] soit contenu dans G_i+1.<br /> D'après l'énoncé 8, Cⁱ(G) ⊆ G_i pour tout i. C'est vrai en particulier pour i = k + 1, donc C^k+1(G) ⊆ G_k+1 = 1, donc G est nilpotent de classe <math>\leq k</math> et donc de classe <math>\leq n .</math> Nous avons ainsi démontré le point a) de l'énoncé. Le point b) s'en déduit facilement. {{Théorème | titre = Énoncé 11 | contenu = Soit <math>G = G_{1} \supseteq \ldots \supseteq G_{n+1} = 1</math> une suite de composition centrale d'un groupe (nilpotent) G, soit <math>G = H_{1} \supseteq \ldots \supseteq H_{r+1} = 1</math> une suite décroissante de sous-groupes de G obtenue en insérant des sous-groupes dans la suite <math>(G_{i})_{i} .</math> Alors la suite <math>(H_{j})_{j}</math> est une suite de composition centrale de G. }} Démonstration. Il suffit clairement de prouver que si <math>i</math> est un indice tel que <math>i \leq i \leq n</math>, si <math>H</math> est un sous-groupe de <math>G</math> tel que <math>G_{i} \supseteq H \supseteq G_{i+1}</math>, alors la suite <math>G = G_{1} \supseteq G_{i} \supseteq H \supseteq \supseteq G_{i+1} \ldots \supseteq G_{n+1} = 1</math> est une suite de composition centrale de G. Pour cela, tout revient à prouver que :(thèse 1) <math>\qquad [G, G_{i}]</math> est contenu dans <math>H</math> et que :(thèse 2) <math>\qquad [G, H]</math>est contenu dans <math>G_{i+1} .</math><br /> Nous avons <math>[G, G_{i}] \subseteq G_{i+1}</math> et le membre droit est contenu dans <math>H</math>, donc <math>[G, G_{i}] \subseteq H</math>, ce qui est notre thèse (1).<br /> D'autre part, <math>H</math> est contenu dans <math>G_{i}</math>, donc <math>[G, H] \subseteq [G, G_{i}]</math> et le membre droit est contenu dans <math>G_{i+1}</math>, donc <math>[G, H]</math>est contenu dans <math>G_{i+1}</math>, ce qui est notre thèse (2). Il nous arrivera d'appliquer l'énoncé 10 en le formulant comme suit : tout raffinement d'une suite de composition centrale d'un groupe G est une suite de composition centrale de G. Il faut cependant noter qu'un raffinement, d'après la définition que nous en avons donnée dans le chapitre [[../Théorème de Jordan-Hölder/]], doit être une suite de composition, alors que l'énoncé 11 nous dispense de vérifier que la suite insérée est une suite de composition (elle en sera une même si on ne le suppose pas). Remarques. # Si G est un groupe nilpotent de classe ''n'', la suite finie <math>\ G = C^{1}(G), C^{2}(G), \ldots , C^{n+1}(G) = 1</math> est évidemment strictement décroissante. (Si on avait <math>\ C^{i}(G) = C^{i+1}(G)</math> pour un certain <math>i \leq n</math>, ''n'' - ''i'' applications successives de <math>\ H \mapsto \lbrack G, H \rbrack </math> aux deux membres donneraient Cⁿ(G) = Cⁿ⁺¹(G), d'où Cⁿ(G) = 1, ce qui contredit la minimalité de ''n''.) # Il est clair que les groupes nilpotents de classe 0 sont les groupes triviaux et que les groupes nilpotents de classe 1 sont les groupes abéliens non triviaux. Donc tout groupe abélien est nilpotent. # Tout groupe nilpotent de classe ''n'' est résoluble de classe ≤ n. En effet, on montre facilement par récurrence sur ''n'' que Dⁿ(G) ⊆ Cⁿ⁺¹(G) pour tout n ≥ 0. (En fait, on prouvera dans les compléments du présent chapitre que tout groupe nilpotent de classe ≤ 2ⁿ - 1 est résoluble de classe ≤ n.) # La remarque précédente montre que la classe de résolubilité d'un groupe nilpotent peut être majorée en fonction de sa classe de nilpotence. Nous verrons dans les [[../Exercices/Groupes nilpotents|exercices]] que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être majorée en fonction de sa classe de résolubilité. # Nous verrons plus loin qu'un groupe résoluble n’est pas forcément nilpotent (exemple de S₃). # On verra dans les exercices (« Groupes de matrices unitriangulaires ») que pour tout nombre naturel ''n'', il existe des groupes nilpotents de classe ''n''. # Soit ''f'' un homomorphisme d'un groupe G₁ dans un groupe G₂. Nous avons vu que pour tout ''n'', f(Cⁿ(G₁)) est égal à Cⁿ(f(G₁)). Il en résulte que si ''f'' est un homomorphisme partant d’un groupe G nilpotent de classe ''n'', alors f(G) est nilpotent de classe ≤ ''n''. En particulier, si H est un sous-groupe distingué de G, si G est nilpotent de classe ''n'', alors G/H est nilpotent de classe ≤ ''n''. (Considérer l'homomorphisme canonique de G sur G/H.) # En appliquant la remarque précédente à un isomorphisme ''f'' et à l'isomorphisme réciproque, on voit que si G est un groupe nilpotent de classe ''n'', tout groupe isomorphe à G est nilpotent de classe ''n''. # Nous avons vu que si H est un sous-groupe d'un groupe G, Cⁿ(H) est contenu dans Cⁿ(G) pour tout ''n''. Donc si G est un groupe nilpotent de classe ''n'', tout sous-groupe de G est nilpotent de classe ≤ ''n''. # Le théorème d’après lequel, si G est un groupe et H un sous-groupe distingué de G, si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble, ne s'étend pas aux groupes nilpotents, en ce sens qu'un groupe G peut avoir un sous-groupe distingué H nilpotent tel que G/H soit nilpotent sans que G soit nilpotent. Par exemple, si G = S₃, si H = A₃, alors H et G/H sont respectivement d'ordre 3 et 2, donc sont commutatifs, donc sont nilpotents, mais nous verrons que G = S₃ n’est pas nilpotent. # Le produit direct d'un groupe nilpotent de classe p et d'un groupe nilpotent de classe q est nilpotent de classe r, où r désigne le plus grand des deux nombres p et q. (Voir exercices.) {{Théorème | titre = Énoncé 12 | contenu = Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ ''n'' et H un sous-groupe normal de G. Il existe une suite de sous-groupes :H = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = 1, telle que [G, H_i] ⊆ H_i+1 pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n). }} Démonstration. Pour tout ''i'', posons H_i = H ⋂ Cⁱ(G). Puisque C{{exp|1}}(G) = G, que Cⁿ⁺¹(G) =1 et que la suite des Cⁱ(G) est décroissante, nous avons :H = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = 1. Reste à prouver que si 1 ≤ i ≤ n, alors [G, H_i] ⊆ H_i+1. Puisque H est distingué dans G, [G, H] est contenu dans H. Puisque H_i est contenu dans H, il en résulte que [G, H_i] est contenu dans H. D'autre part, puisque H_i est contenu dans Cⁱ(G), [G, H_i] est contenu dans [G, Cⁱ(G)], c'est-à-dire dans Cⁱ⁺¹(G). Ainsi, [G, H_i] est contenu à la fois dans H et dans Cⁱ⁺¹(G), donc il est contenu dans leur intersection H_i+1, ce qui achève la démonstration. {{Théorème | titre = Énoncé 13 | contenu = Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe normal de G non réduit à l'élément neutre. Alors H ⋂ Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. }} Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes :H = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = 1, telle que [G, H_i] ⊆ H_i+1 pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n). Puisque H n’est pas réduit à l'élément neutre, il y a au moins un indice ''i'' (1 ≤ i ≤ n), à savoir ''i'' = 1, tel que H_i soit distinct de 1. Soit ''k'' le plus grand de ces indices. Alors {{nobr|k < n + 1,}} H_k ⊋ 1 et H_k+1 = 1. Puisque [G, H_i] ⊆ H_i+1 pour tout ''i'', nous avons en particulier [G, H_k] ⊆ H_k+1 = 1, ce qui montre que H_k est contenu dans Z(G) et donc dans H ⋂ Z(G). Puisque H_k ⊋ 1, H ⋂ Z(G) n'est donc pas réduit à l'élément neutre. Remarque. Si dans le théorème qui précède, on omet l'hypothèse selon laquelle H est normal dans G, l'énoncé devient inexact. On en verra un exemple dans les exercices de la série [[../Exercices/Groupes diédraux|Groupes diédraux]]. {{Théorème | titre = Énoncé 14 | contenu = Un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre a un centre non réduit à l'élément neutre. }} Démonstration. Il suffit de faire H = G dans le théorème précédent. Toutefois, comme la démonstration se simplifie un peu si H = G, on va la refaire dans ce cas particulier. Soit G un groupe nilpotent non réduit à l'élément neutre, soit ''n'' sa classe de nilpotence. Puisque G n’est pas réduit à l'élément neutre, n > 0, donc nous pouvons parler de Cⁿ(G). D'après la remarque 1), Cⁿ(G) > Cⁿ⁺¹(G), donc Cⁿ(G) n’est pas réduit à l'élément neutre. D'autre part, d’après une proposition ci-dessus, Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G), c'est-à-dire Cⁿ(G)/{1}, est contenu dans le centre de G/Cⁿ⁺¹(G) = G/{1}, ce qui revient à dire que Cⁿ(G) est contenu dans le centre de G. Nous avons donc montré que Cⁿ(G) n’est pas réduit à l'élément neutre et est contenu dans le centre de G, donc le centre de G n’est pas réduit à l'élément neutre. Remarque. Nous avons vu que S₃ est résoluble, mais nous avons vu aussi que son centre est réduit à l'élément neutre, donc d’après le précédent théorème, S₃ n’est pas nilpotent. Cela montre qu'un groupe résoluble n’est pas forcément nilpotent. {{Théorème | titre = Énoncé 15 | contenu = Un groupe G est nilpotent si et seulement si G/Z(G) est nilpotent. Si G/Z(G) est nilpotent de classe ''n'' et que G n’est pas réduit à l'élément neutre (auquel cas, d’après un précédent théorème, Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre), G est nilpotent de classe ''n'' + 1. (Autrement dit : si G est un groupe nilpotent de classe <math>c \geq 1</math>, G/Z(G)) est nilpotent de classe <math>c-1 .</math>) }} Démonstration. Si G est nilpotent, G/Z(G) est nilpotent d’après une des remarques ci-dessus. Réciproquement, supposons G/Z(G) nilpotent et prouvons que G est nilpotent. Nous pouvons évidemment supposer que G n’est pas réduit à l'élément neutre. Dans ce cas, prouvons, plus précisément, que si G/Z(G) est nilpotent de classe ''n'', G est nilpotent de classe n + 1. Nous avons Cⁿ⁺¹(G/Z(G)) = 1 et Cⁿ(G/Z(G)) > 1. Si nous désignons par φ l'homomorphisme canonique de G sur G/Z(G), cela s'écrit Cⁿ⁺¹(φ(G)) = 1 et Cⁿ(φ(G)) > 1. D'après une des remarques ci-dessus, cela peut s'écrire φ(Cⁿ⁺¹(G)) = 1 et φ(Cⁿ(G)) > 1, autrement dit Cⁿ⁺¹(G) ⊆ Z(G) et Cⁿ(G) ⊈ Z(G). De la première de ces relations résulte {{nobr|[G, Cⁿ⁺¹(G)] {{=}} 1}} et de la seconde {{nobr|[G, Cⁿ(G)] ⊋ 1}}. Autrement dit, Cⁿ⁺²(G) = 1 et Cⁿ⁺¹(G) ⊋ 1, donc G est nilpotent de classe ''n'' + 1, ce qui achève la démonstration. {{Théorème | titre = Énoncé 16 | contenu = Soient G un groupe et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Les deux conditions suivantes sont équivalentes : a) G est nilpotent de classe ≤ n ; b) il existe un sous-groupe H de G, contenu dans le centre de G (et donc distingué dans G), tel que G/H soit nilpotent de classe ≤ n – 1. }} Démonstration. Supposons la condition a) satisfaite et prouvons que b) l'est. C'est banal si G est réduit à l'élément neutre. Dans le cas contraire, il résulte du théorème précédent que G/Z(G) est nilpotent de classe {{nobr|≤ n – 1,}} donc b) est vraie avec H = Z(G). (Remarque : on pourrait aussi prendre H = Cⁿ(G). Voir exercices.) Réciproquement, supposons b) et prouvons a). D'après une remarque précédente, il résulte de b) que le quotient (G/H)/(Z(G)/H) est nilpotent de classe ≤ n – 1. D'après le troisième théorème d'isomorphisme (chapitre ''[[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]''), (G/H)/(Z(G)/H) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est nilpotent de classe ≤ n – 1, donc, d’après le théorème précédent, G est nilpotent de classe ≤ n. (Autre justification : du fait que G/H est nilpotent de classe ≤ n – 1 résulte Cⁿ(G/H) = 1, ou encore, si φ désigne l'homomorphisme canonique de G sur G/H, Cⁿ(φ(G)) = 1, ce qui, d’après une remarque ci-dessus, peut s'écrire φ(Cⁿ(G)) = 1, autrement dit Cⁿ(G) ⊆ H, d'où, puisque H est contenu dans le centre de G, [G, Cⁿ(G)] = 1, c'est-à-dire Cⁿ⁺¹(G) = 1, donc G est nilpotent de classe ≤ n.) {{Théorème | titre = Énoncé 17 | contenu = Soient G un groupe, K un sous-groupe normal de G, L un sous-groupe de G central dans G modulo K, H un sous-groupe de G contenant K. Alors L normalise H et LH/H est commutatif. }} Démonstration. Désignons par ''p'' l'homomorphisme canonique de G sur G/K. Dire que L est central dans G modulo K signifie que p(L) est contenu dans le centre de p(G). De façon générale, si S est un groupe, si C est un sous-groupe de S contenu dans le centre de S, si T est un sous-groupe de S, alors C normalise T et CT/T est commutatif. (Ce dernier fait résulte de ce que, d’après le second théorème d'isomorphisme, CT/T est isomorphe à un quotient du groupe commutatif C.) Donc : (1) p(L) normalise p(H) et : (2) p(L) p(H)/p(H) est commutatif. D'après (1), p(H) est normal dans ⟨p(L), p(H)⟩, c'est-à-dire dans p(⟨L, H⟩). Puisque H et ⟨L, H⟩ contiennent K, il résulte du [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Sous-groupes d’un groupe quotient|théorème de correspondance]] que H est normal dans ⟨L, H⟩. Donc L normalise H et LH est un sous-groupe de G. D'après (2), p(LH)/p(H) est commutatif, autrement dit (LH/K)/(H/K) est commutatif. D'après le troisième théorème d'isomorphisme, il en résulte que LH/H est commutatif. {{Théorème | titre = Énoncé 18 | contenu = Soient G un groupe nilpotent de classe ≤ n et H un sous-groupe de G. Il existe une suite de sous-groupes :G = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = H, telle que pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 soit normal dans H_i et H_i/H_i+1 commutatif. }} Démonstration. Pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n+1), Cⁱ(G) est un sous-groupe distingué de G, donc HCⁱ(G) est un sous-groupe de G. Posons H_i = HCⁱ(G). Il est clair que la séquence des H_i est décroissante. Pour i ≤ n, Cⁱ(G) est central dans G modulo Cⁱ⁺¹(G), donc, d’après le lemme qui précède, Cⁱ(G) normalise H_i+1 et Cⁱ(G) H_i+1/ H_i+1 est commutatif. Comme Cⁱ(G) H_i+1 égale H_i, l'énoncé en résulte. {{Théorème | titre = Énoncé 19 | contenu = Soient G un groupe nilpotent et H un sous-groupe propre de G (c'est-à-dire que H < G). Alors <math>H < N_{G}(H).</math> }} Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes :G = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = H, telle que pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 soit distingué dans H_i. (Nous n'avons pas besoin ici de savoir que les quotients sont commutatifs.) Il existe au moins un indice ''i'' (à savoir ''i'' = 1) tel que H_i soit distinct de H. Considérons le plus grand de ces indices ''i''. Alors H est sous-groupe distingué de H_i, donc N_G(H) contient H_i. Puisque H_i ⊋ H, on a donc bien N_G(H) ⊋ H. La proposition qui suit dit trois fois la même chose sous des formes différentes. {{Théorème | titre = Énoncé 20 | contenu = Soit G un groupe nilpotent. a) Pour tout sous-groupe H de G distinct de G, il existe un sous-groupe normal N de G, distinct de G et contenant H, tel que G/N soit commutatif. b) Pour tout sous-groupe propre H de G (rappelons qu'on signifie par là que H < G), {{nobr|H D(G)}} est un sous-groupe propre de G. c) Si X est une partie de G telle que X ∪ D(G) engendre G, alors X engendre G. }} Démonstration. Prouvons l'assertion a). D'après une proposition précédente, il existe une suite de sous-groupes :G = H₁ ⊇ H₂ ⊇ ... ⊇ H_n+1 = H, telle que pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n), H_i+1 soit distingué dans H_i et H_i/H_i+1 commutatif. Il existe au moins un indice ''i'' (à savoir n + 1) tel que H_i soit distinct de G. Soit ''i'' le plus petit de ces indices. Alors i > 1 et H_i-1 = G, donc H_i convient pour N. Prouvons l'assertion b). Si N est comme en a), alors, puisque G/N est commutatif, N contient D(G). Puisque N contient aussi H, N contient donc H D(G). Puisque N est sous-groupe propre de G, H D(G) est donc sous-groupe propre de G. Prouvons l'assertion c). Dire que X ∪ D(G) engendre G revient à dire que ⟨X⟩D(G) = G, donc d’après b), ⟨X⟩ n’est pas sous-groupe propre de G. {{Théorème | titre = Énoncé 21 | contenu = Soient G un groupe nilpotent et M un sous-groupe maximal de G, c'est-à-dire un sous-groupe de G distinct de G et tel que M et G soient les seuls sous-groupes de G contenant M. Alors M est sous-groupe normal de G et le quotient G/M est (cyclique) d'ordre premier. }} Démonstration. D'après la proposition précédente, il existe un sous-groupe normal N de G, distinct de G et contenant M (et tel que G/N soit commutatif). Puisque M est maximal, N doit être égal à M, donc M est un sous-groupe normal de G et est donc évidemment un sous-groupe normal maximal de G. Il en résulte que le groupe quotient G/M est simple (voir section ''[[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Sous-groupes normaux maximaux|Sous-groupes normaux maximaux]]'' dans le chapitre ''Sous-groupe distingué et groupe quotient''). Par exemple parce que, G étant nilpotent, G/M est lui aussi nilpotent et donc résoluble, G/M est donc un groupe simple résoluble et est donc cyclique d'ordre premier (voir le chapitre [[../Groupes résolubles]]). Remarques. 1° Un groupe fini non réduit à l'élément neutre admet toujours au moins un sous-groupe maximal (considérer un sous-groupe propre du plus grand ordre possible), mais ce n’est pas forcément le cas pour un groupe infini. Par exemple, il résulte du théorème précédent que si G est un groupe commutatif (et donc nilpotent) qui n'a pas d’autre sous-groupe d'indice fini que lui-même, alors G n'a pas de sous-groupe maximal. Or il existe de tels groupes G, par exemple le groupe additif '''Q''' des nombres rationnels. (Si H est un sous-groupe d'indice ''n'' de ce groupe, ''nx'' appartient à H pour tout nombre rationnel ''x''. Comme tout nombre rationnel ''y'' est de la forme ''nx'' pour un nombre rationnel ''x'', H est égal à '''Q''' tout entier.)<br /> 2° Soit G un groupe résoluble et M un sous-groupe normal maximal de G. Le groupe quotient G/M est simple (voir section ''[[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Sous-groupes normaux maximaux|Sous-groupes normaux maximaux]]'' dans le chapitre ''Sous-groupe distingué et groupe quotient''). Puisque G est résoluble, G/M l'est aussi et est donc un groupe simple résoluble et est donc d'ordre premier (voir le chapitre [[../Groupes résolubles]]). Donc M est un sous-groupe maximal (et, par hypothèse, normal) de G. Cela montre que dans un groupe résoluble, les sous-groupes normaux maximaux sont exactement les sous-groupes maximaux normaux. Joint à l'énoncé 21, cela montre que dans un groupe nilpotent, les sous-groupes maximaux sont exactement les sous-groupes normaux maximaux. == Groupes nilpotents finis == Rappelons (chapitre [[../Théorèmes de Sylow/]]) que, ''p'' étant un nombre premier, un ''p''-groupe fini peut se définir comme un groupe fini dont l’ordre est une puissance de ''p''. {{Théorème | titre = Énoncé 22 | contenu = Soient ''p'' un nombre premier et G un p-groupe fini opérant sur un ensemble fini X. Le nombre des points fixes de cette opération (c'est-à-dire le nombre des éléments ''x'' de X tels que gx = x pour tout élément ''g'' de G) est congru modulo ''p'' au nombre d'éléments de X. }} Démonstration. On sait que le nombre d'éléments d'une orbite divise toujours l’ordre de G. Puisque G est un p-groupe, il en résulte que le cardinal d'une orbite non ponctuelle est de la forme pⁿ avec ''n'' > 0, donc les cardinaux des orbites non ponctuelles sont divisibles par ''p''. Comme X est la réunion des orbites et que les orbites sont deux à deux disjointes, la réunion des orbites non ponctuelles a donc un cardinal congru modulo ''p'' au cardinal de X. Comme la réunion des orbites ponctuelles est l’ensemble des points fixes, l'énoncé en résulte. {{Théorème | titre = Énoncé 23 | contenu = Soit G un groupe fini dont l’ordre est une puissance de nombre premier. Si G n’est pas réduit à l'élément neutre, son centre ne l'est pas non plus. }} Démonstration. Faisons opérer G sur son ensemble sous-jacent par conjugaison. D'après le lemme précédent, le nombre des points fixes pour cette opération est congru modulo ''p'' à l’ordre de G. D'après les hypothèses, il existe un nombre premier tel que l’ordre de G soit de la forme pⁿ, avec ''n'' ≥ 1, donc l’ordre de G est divisible par ''p''. Ainsi, le nombre des points fixes pour l'opération considérée est divisible par ''p''. Ces points fixes sont les éléments du centre de G, donc l’ordre du centre de G est divisible par ''p'' et, en particulier, n’est pas égal à 1. Le centre de G n'est donc pas réduit à l'élément neutre. {{Théorème | titre = Énoncé 24 | contenu = Tout groupe fini dont l’ordre est une puissance de nombre premier est nilpotent. }} Démonstration. Soit ''p'' un nombre premier. Il s'agit de prouver que pour tout nombre naturel ''n'', tout groupe fini d'ordre pⁿ est nilpotent. Supposons que ce soit vrai pour tout nombre naturel < ''n'' et prouvons que c’est vrai pour ''n''. C'est banalement vrai si ''n'' = 0, donc nous pouvons supposer ''n'' ≥ 1. Soit G un groupe d'ordre pⁿ. D'après le lemme qui précède, le centre Z(G) n’est pas réduit à l'élément neutre, donc l’ordre de G/Z(G) est de la forme pⁱ avec ''i'' < ''n''. Par hypothèse de récurrence, G/Z(G) est nilpotent. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est nilpotent. Remarque. On trouvera un énoncé un peu plus précis en exercice. Rappelons que, G étant un groupe fini et ''p'' un nombre premier, on dit que G est p-clos s'il n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, ce qui revient à dire que G a un p-sous-groupe de Sylow normal. {{Théorème | titre = Énoncé 25 | contenu = Soit G un groupe fini. Les conditions suivantes sont équivalentes : :(i) G est nilpotent; :(ii) pour chaque facteur premier <math>p</math> de G, G est <math>p</math>-clos; :(iii) G est produit direct (interne) de ses sous-groupes de Sylow; :(iv) G est produit direct (interne ou externe) de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. }} Démonstration. Prouvons que (i) entraîne (ii). Soit P un sous-groupe de Sylow de G. Il s'agit de prouver que P est normal dans G. Désignons par N le normalisateur N_G(P). Il s'agit de prouver que N est G tout entier. D'après un théorème vu au chapitre ''Théorèmes de Sylow'', N est son propre normalisateur dans G. Or nous avons vu dans le présent chapitre que, dans un groupe nilpotent, un sous-groupe propre n’est pas son propre normalisateur. Donc N n’est pas sous-groupe propre de G, autrement dit N est G tout entier, Comme nous l'avons vu, cela prouve que (i) entraîne (ii).<br /> Prouvons maintenant que (ii) entraîne (iii). Soient p₁, ... p_n les facteurs premiers de l’ordre de G. Si la condition (ii) est satisfaite, alors, pour chaque ''i'' (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''), G admet un seul p_i-sous-groupe de Sylow, soit P_i, et ce sous-groupe est normal dans G. Les ordres des P_i sont premiers entre eux deux à deux et le produit de ces ordres est égal à l’ordre de G. D'après un énoncé démontré au chapitre [[../Produit direct et somme restreinte/]], G est donc produit direct des P_i, c'est-à-dire de ses sous-groupes de Sylow. Cela prouve que (ii) entraîne (iii).<br /> Puisque les sous-groupes de Sylow de G ont pour ordre des puissances de nombres premiers, il est banal que (iii) entraîne (iv). <br /> Prouvons que (iv) entraîne (i). Si (iv) est satisfaite, G est produit direct de groupes H_i dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. D'après un des énoncés qui précèdent, chaque H_i est nilpotent, donc G est un produit direct de groupes nilpotents. Or, comme démontré dans un des [[Théorie_des_groupes/Exercices/Groupes_nilpotents|exercices de ce chapitre]], le produit direct d'une famille finie de groupes nilpotents est nilpotent, donc G est nilpotent. Cela prouve que (iv) entraîne (i). == Compléments == La présente section peut être omise en première lecture. === Groupes nilpotents de classe ≤ 2 === Un groupe G est nilpotent de classe ≤ 2 si et seulement si le dérivé de G est contenu dans le centre de G, ce qui revient à dire que pour tous éléments ''x'', ''y'' de G, le commutateur [x, y] = x{{exp|-1}}y{{exp|-1}}xy appartient au centre de G. Avec la notation a{{exp|z}} = z{{exp|-1}}az pour ''a'' et ''z'' dans G, G est nilpotent de classe ≤ 2 si et seulement si [x, y]{{exp|z}} = [x, y] pour tous éléments ''x'', ''y'', ''z'' de G. Soit G un groupe nilpotent de classe ≤ 2. Les identités :<math>\qquad [xy, z] = [x, z]^{y} [y,z]</math> et :<math>\qquad [z, xy] = [z, y] [z, x]^{y},</math> [[Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé|vraies dans tout groupe]], deviennent dans G :<math>\qquad [xy, z] = [x, z] [y,z]</math> et :<math>\qquad [z, xy] = [z, y] [z, x] = [z, x] [z, y].</math> Donc si ''a'' est un élément de G, l'application f_a : x ↦ [a, x] et l'application g_a : x ↦ [x, a] sont des endomorphismes de G. On a donc :<math>\qquad [x^{r}, y] = [x, y]^{r}</math> et :<math>\qquad [x, y^{r}] = [x, y]^{r}</math> pour tous éléments ''x'', ''y'' de G et tout entier rationnel ''r''. De ces relations et du fait que les commutateurs d'éléments de G appartiennent au centre de G, on déduit la relation :(1)<math>\qquad (xy)^{n} = x^{n} y{^n} [y, x]^{n(n-1)/2}</math> pour tous éléments ''x'', ''y'' de G et tout entier naturel ''n''. Cette formule peut être démontrée directement par récurrence sur ''n'', ou encore déduite de l'identité suivante, vraie dans tout groupe : :<math>\qquad (xy)^{n} = x^{n} \ y \ [y, x^{n-1}] \ y \ [y, x^{n-2}]... [y, x^{2}] \ y \ [y, x] \ y.</math> La formule (1) sert par exemple dans la détermination de la structure des [[w:Groupe hamiltonien (théorie des groupes)|groupes hamiltoniens]]<ref>Voir D.J.S. Robinson, ''A Course in the Theory of Groups'', seconde édition, 1996, p. 143-145.</ref>. === Classe de résolubilité et classe de nilpotence === Nous avons vu plus haut que la classe de résolubilité d'un groupe nilpotent est inférieure ou égale à sa classe de nilpotence. L'objet de la présente section est de donner une majoration plus forte de la classe de résolubilté d'un groupe nilpotent en fonction de sa classe de nilpotence. {{Théorème | titre = Énoncé 26 | contenu = Soit G un groupe. Pour tous nombres naturels i, j non nuls, :[Cⁱ(G), C^j(G)] ≤ C^i+j(G). }} Démonstration. On raisonne par récurrence sur ''j''. Pour j = 1, la thèse résulte immédiatement de la définition de la suite centrale descendante. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain j ≥ 1, on ait :[Cⁱ(G), C^j(G)] ≤ C^i+j(G) pour tout i ≥ 1. D'après le [[../Commutateurs, groupe dérivé|corollaire du théorème des trois sous-groupes]], :[ [C^j(G), G], Cⁱ(G)] ≤ [ [G, Cⁱ(G)], C^j(G)] [ [Cⁱ(G), C^j(G)], G], c'est-à-dire :[C^j+1(G), Cⁱ(G)] ≤ [Cⁱ⁺¹(G), C^j(G)] [ [Cⁱ(G), C^j(G)], G]. D'après l'hypothèse de récurrence, chacun des deux facteurs du second membre est contenu dans le groupe C^i+j+1(G), donc :[Cⁱ(G), C^j+1(G)] ≤ C^i+j+1(G), ce qui démontre la thèse par récurrence sur ''j''. Remarque. Dans l'énoncé, l'inégalité (inclusion) ne peut pas être remplacée par l'égalité. On en verra un exemple dans les [[../Exercices/Groupes diédraux|exercices sur les groupes diédraux]]. {{Théorème | titre = Énoncé 27 | contenu = Soit G un groupe. Pour tous nombres naturels i, j non nuls, :Cⁱ(C^j(G)) ≤ C^ij(G). }} Démonstration. On raisonne par récurrence sur ''i''. Pour i = 1, la thèse signifie C^j(G) ≤ C^j(G), ce qui est banalement vrai. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain i ≥ 1, on ait :Cⁱ(C^j(G)) ≤ C^ij(G) pour tout j ≥ 1. Nous avons :Cⁱ⁺¹(C^j(G)) = [Cⁱ(C^j(G)), C^j(G)], d'où, d’après l'hypothèse de récurrence, :(1) Cⁱ⁺¹(C^j(G)) ≤ [C^ij(G), C^j(G)]. D'après le lemme précédent, le second membre est contenu dans C^ij+j(G), autrement dit dans C^(i+1)j(G). On en déduit :Cⁱ⁺¹(C^j(G)) ≤ C^(i+1)j(G), ce qui démontre la thèse par récurrence sur ''i''. {{Théorème | titre = Énoncé 28 | contenu = Soit G un groupe. Pour tout nombre naturel i ≥ 0, :<math>D^{i}(G) \leq C^{2^{i} }(G).</math> }} Démonstration. Pour i = 0, les deux membres de la thèse sont égaux à G, donc la thèse est banalement vraie dans ce cas. Supposons (hypothèse de récurrence) que, pour un certain nombre naturel ''i'', on ait :<math>D^{i}(G) \leq C^{2^{i} }(G).</math>. Alors :<math>[D^{i}(G), D^{i}(G)] \leq [C^{2^{i} }(G), C^{2^{i} }(G)].</math> Par définition de la suite dérivée, le premier membre est égal à <math>D^{i+1}(G)</math> et, d’après le premier des deux lemmes qui précèdent, le second membre est contenu dans <math>\ C^{2^{i+1} }(G).</math> Donc :<math>\ D^{i+1}(G) \leq C^{2^{i+1} }(G),</math> ce qui démontre la thèse par récurrence sur ''i''. {{Théorème | titre = Énoncé 29 | contenu = Tout groupe nilpotent de classe ≤ 2ⁿ - 1 est résoluble de classe ≤ n. }} Démonstration. Si G est un groupe nilpotent de classe ≤ 2ⁿ - 1, alors <math>\ C^{2^{n} }(G) = 1</math>, donc, d’après le lemme qui précède, D{{exp|n}}(G) = 1, donc G est résoluble de classe ≤ n. === Suite centrale descendante et produit tensoriel === Dans cette section, on suppose que le lecteur possède les notions classiques sur le produit tensoriel d'une famille de A-modules, A étant un anneau commutatif. G étant un groupe et ''n'' un entier naturel ≥ 1, désignons par F_n(G) le groupe quotient Cⁿ(G)/Cⁿ⁺¹(G). En particulier, F₁(G) est égal à G/D(G), autrement dit à l'abélianisé de G. On va montrer que la connaissance du groupe F₁(G) fournit à elle seule des renseignements sur les autres groupes F_n(G). On a vu que les quotients F_n(G) sont des groupes abéliens. Ils peuvent donc être considérés comme des ℤ-modules. On va s'intéresser aux produits tensoriels de ces modules. Quand, dans ce chapitre, on parlera du produit tensoriel d'une famille finie de groupes abéliens, il s'agira de leur produit tensoriel comme ℤ-modules. Les lois de groupe des modules considérés sont induites par la loi de groupe de G; c’est pourquoi, bien que la loi de groupe d'un module soit en général notée additivement, nous garderons ici la notion multiplicative. {{Théorème | titre = Énoncé 30 | contenu = Soient G un groupe, ''n'' un nombre naturel ≥ 1, ''x'', ''y'' des éléments de Cⁿ(G), ''z'' un élément de G, ''a'' un élément de Cⁿ(G) et ''b'', ''c'' des éléments de G. Alors<br /> <math>\lbrack xy, z \rbrack \equiv \lbrack x, z \rbrack \lbrack y, z \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}</math><br /> et<br /> <math>\lbrack a, bc\rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \lbrack a, c \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}</math><br /> }} Démonstration. D'après la huitième des identités démontrées dans [[../Commutateurs, groupe dérivé#Compléments|la section Compléments du chapitre Commutateurs, groupe dérivé]], nous avons<br /> <math>\ \lbrack xy, z \rbrack = \lbrack x, z \rbrack \cdot \lbrack \ \lbrack x, z \rbrack , y \rbrack \cdot \lbrack y, z \rbrack .</math><br /> Puisque [x, z] appartient à Cⁿ⁺¹(G), [ [x, z], y] appartient à Cⁿ⁺²(G), d'où la première assertion de l'énoncé.<br /> D'après la sixième des identités démontrées dans [[../Commutateurs, groupe dérivé#Compléments|la section Compléments du chapitre Commutateurs, groupe dérivé]], nous avons<br /> <math>\ \lbrack a, bc \rbrack = \lbrack a, c \rbrack \cdot \lbrack c, \lbrack b, a \rbrack \ \rbrack \cdot \lbrack a, b \rbrack .</math><br />​ Puisque [b, a] appartient à Cⁿ⁺¹(G), [c, [b, a] ] appartient à Cⁿ⁺²(G), donc <math>\lbrack a, bc\rbrack \equiv \lbrack a, c \rbrack \lbrack a, b \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}.</math><br /> La seconde assertion de l'énoncé en résulte, puisque [a, b] et [a, c] appartiennent à Cⁿ⁺¹(G) et que le groupe quotient Cⁿ⁺¹(G)/Cⁿ⁺²(G) est commutatif. {{Théorème | titre = Énoncé 31 | contenu = Il existe une (et une seule) application de F_n(G) × F₁(G) dans F_n+1(G) qui, pour tout élément ''a'' de Cⁿ(G) et tout élément ''b'' de G, envoie le couple (aCⁿ⁺¹(G), b C²(G) ) sur [a, b] Cⁿ⁺²(G). Cette application est ℤ-bilinéaire. }} Démonstration. Commençons par prouver l'existence.<br /> Soient ''a'' et ''a''<nowiki>'</nowiki> deux éléments de Cⁿ(G) congrus entre eux modulo Cⁿ⁺¹(G), soit ''b'' un élément de G; prouvons que<br /> <math>\lbrack a', b\rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}.</math>.<br /> Nous avons a' = ax avec x dans Cⁿ⁺¹(G), d'où [a', b] = [ax, b]. Puisque ''a'' et ''x'' appartiennent tous deux à Cⁿ(G), ceci entraîne, en vertu du lemme qui précède,<br /> <math>\lbrack a', b\rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \lbrack x, b \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}.</math><br /> Puisque ''x'' appartient à Cⁿ⁺¹(G), [x, b] appartient à Cⁿ⁺²(G), donc<br /> <math>\lbrack a', b\rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)},</math>.<br /> comme annoncé.<br /> Soient maintenant ''a'' un élément de Cⁿ(G) et ''b'', ''b''<nowiki>'</nowiki> deux éléments de G congrus ente eux modulo C²(G); prouvons que <math>\lbrack a, b' \rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}.</math>.<br /> Nous avons b' = by avec ''y'' dans C²(G), d'où [a, b'] = [a, by]. Puisque ''a'' appartient à Cⁿ(G), ceci entraîne, en vertu du lemme qui précède,<br /> <math>\lbrack a, b'\rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \lbrack a, y \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}.</math><br /> Puisque ''a'' appartient à Cⁿ(G) et ''y'' à C²(G), [a, y] appartient à Cⁿ⁺²(G) d’après un lemme démontré dans la section ''Classe de résolubilité et classe de nilpotence''. Donc<br /> <math>\lbrack a, b' \rbrack \equiv \lbrack a, b \rbrack \pmod{C\ ^{n+2}(G)}.</math>.<br /> On tire facilement des deux résultats obtenus qu’il existe une application telle que dans l'énoncé. Cette application est clairement unique. Le fait qu'elle soit ℤ-bilinéaire se déduit immédiatement du lemme qui précède. {{Théorème | titre = Énoncé 32 (Théorème de Robinson<ref>D. J. S. Robinson, « A property of the lower central series of a group », ''Mathematische Zeitung'', vol. 107, 1968, p. 225-231. Référence donnée dans J. C. Lennox et D. J. S. Robinson, ''The Theory of Infinite Soluble Groups'', Oxford University Press, 2004, réimpr. 2010, p. 10 et 322.</ref>) | contenu = Soient G un groupe et ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Le groupe F_n+1(G) est image homomorphe du produit tensoriel <math>F_{n}(G) \otimes F_{1}(G)</math>. Le groupe F_n(G) est image homomorphe de <math>\bigotimes_{i=1}^{n} F_{1}(G)</math> (produit tensoriel de ''n'' groupes abéliens égaux à l'abélianisé de G). }} Démonstration. D'après le lemme qui précède, il existe une (et une seule) application bilinéaire de F_n(G) × F₁(G) dans F_n+1(G) qui, pour tout élément ''a'' de Cⁿ(G) et tout élément ''b'' de G, envoie le couple (aCⁿ⁺¹(G), b C²(G) ) sur [a, b] Cⁿ⁺²(G). En vertu de la propriété universelle du produit tensoriel, il existe donc une et une seule application linéaire du produit tensoriel <math>F_{n}(G) \otimes F_{1}(G)</math> dans F_n+1(G) qui, pour tout élément ''a'' de Cⁿ(G) et tout élément ''b'' de G, envoie <math>\ a C^{n+1}(G) \otimes b C^{2}(G)</math> sur [a, b]Cⁿ⁺²(G). Puisque les éléments de la forme [a, b] Cⁿ⁺²(G) engendrent F_n+1(G), cette application linéaire est un homomorphisme surjectif. Ceci prouve la première assertion de l'énoncé.<br /> Tirons-en la seconde assertion de l'énoncé par récurrence sur ''n''. Elle est banalement vraie pour n = 1. Supposons qu'elle soit vraie pour un certain ''n''. Il existe donc un homomorphisme surjectif g_n de <math>\bigotimes_{i=1}^n F_{1}(G)</math> sur F_n. On sait que si M₁, N₁, M₂ et N₂ sont des modules sur un même annean commuatif, si f₁ est un homomorphisme de M₁ dans N₁ et f₂ est un homomorphisme de M₂ dans N₂, il existe un (et un seul) homomorphisme :<br /> <math>f : M_{1} \otimes M_{2} \rightarrow N_{1} \otimes N_{2}</math><br /> qui, pour tout élément ''a'' de M₁ et tout élément ''b'' de M₁, envoie <math>a \otimes b </math> sur <math>f_{1}(a) \otimes f_{2}(b) </math>. Si f₁ et f₂ sont surjectifs, alors, puisque les éléments de la forme <math>x \otimes y</math> engendrent <math>N_{1} \otimes N_{2}</math>, l'homomorphisme ''f'' est surjectif. En appliquant ceci au cas où <math>M_{1} = \bigotimes_{i=1}^{n} F_{1}(G)</math>, <math>\ N_{1} = F_{n}(G)</math>, <math>\ M_{2} = N_{2} = F_{1}(G)</math>, f₁ = g_n et où f₂ est l'automorphisme identité de F₁(G), nous trouvons que <math>F_{n}(G) \otimes F_{1}(G)</math> est image homomorphe de <math>\bigotimes_{i=1}^{n} F_{1}(G) \otimes F_{1}(G)</math> :<br /> <math>\bigotimes_{i=1}^{n} F_{1}(G) \otimes F_{1}(G) \rightarrow F_{n}(G) \otimes F_{1}(G).</math><br /> D'après la première assertion de l'énoncé, il en résulte que <math>F_{n+1}(G)</math> est image homomorphe de <math>\bigotimes_{i=1}^{n} F_{1}(G) \otimes F_{1}(G)</math>, lequel, comme on sait, est isomorphe à <math>\bigotimes_{i=1}^{n+1} F_{1}(G)</math>. Donc <math>F_{n+1}(G)</math> est image homomorphe de <math>\bigotimes_{i=1}^{n+1} F_{1}(G)</math>, ce qui prouve la seconde assertion de l'énoncé par récurrence sur ''n''. Il résulte du théorème de Robinson que la structure du premier des quotients de la suite centrale descendante de G, c'est-à-dire la structure de l'abélianisé de G, fournit des renseignements sur la structure des autres quotients. C'est intéressant en particulier si G est nilpotent, comme le montre le critère suivant, qui se déduit immédiatement du théorème de Robinson : {{Théorème | titre = Énoncé 33 (Critère de Robinson) |contenu= Soit P une propriété de groupe telle que les deux conditions suivantes soient satisfaites :<br /> 1° si <math>\ (G_{i})_{i \in I}</math> est une famille finie de groupes abéliens possédant la propriété P, toute image homomorphe du produit tensoriel de cette famille possède la propriété P;<br /> 2° si G est un groupe et H un sous-groupe normal de G, si H et G/H possèdent la propriété P, alors G possède la propriété P.<br /> Alors tout groupe nilpotent dont l'abélianisé possède la propriété P possède lui-même la propriété P. }} Avant d'appliquer ceci à la propriété « est un groupe fini », démontrons un lemme sur les produits tensoriels. {{Théorème | titre = Énoncé 34 | contenu= Soit A un anneau commutatif. Le produit tensoriel d'une famille finie de A-modules finis est fini. }} Démonstration. On peut se limite à deux modules M et N, l' « associativité » du produit tensoriel permettant de passer au cas général. Soient donc M et N deux A-modules finis. Le produit tensoriel <math>M \otimes N</math> est engendré comme groupe par les éléments <math>a \otimes b</math>, avec ''a'' dans M et ''b'' dans N. Ces éléments sont en nombre fini. Ils sont de plus d'ordres finis, par exemple parce que chaque élément de M est d'ordre fini. Ainsi, le groupe <math>M \otimes N</math> est engendré par un nombre fini d'éléments d'ordre fini. Puisque ce groupe est commutatif, il est donc fini. (Voir un problème de la série [[../Exercices/Groupes résolubles|Groupes résolubles]].) De ce lemme et du critère de Robinson, on déduit le théorème qui suit : {{Théorème | titre = Énoncé 35 | contenu= Tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est fini est lui-même fini. }} Si G est un groupe, considérons l’ensemble des entiers rationnels ''n'' tels que pour tout élément ''x'' de G, on ait xⁿ = 1. Cet ensemble est clairement un sous-groupe de ℤ et est donc de la forme ''e''ℤ pour un certain nombre naturel ''e'', déterminé de façon unique. Nous appellerons ''e'' l'exposant<ref>Cette définition est conforme à Hans J. Zassenhaus, ''The Theory of Groups'', 2{{e}} édition, 1958, réimpression Dover, 1999, p. 108. La plupart des auteurs définissent l'exposant de ''G'' comme étant infini dans le cas où, selon notre définition, il est nul.</ref> de G. On peut le caractériser de la façon suivante : 1° si 0 est le seul entier naturel ''n'' tel que pour tout élément ''x'' de G, on ait xⁿ = 1, alors l'exposant de G est 0 ; 2° dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe au moins un entier naturel non nul ''n'' tel que pour tout élément ''x'' de G, on ait xⁿ = 1, alors l'exposant de G est le plus petit de ces entiers naturels non nuls. De la première définition de l'exposant de G, on déduit que pour un entier rationnel ''n'', les deux conditions suivantes sont équivalentes : 1° pour tout élément ''x'' de G, on a ''xⁿ'' = 1 ; 2° ''n'' est divisible par l'exposant de G. Un groupe est appelé un groupe de torsion si chacun de ses éléments est d'ordre fini. Tout groupe d'exposant non nul est un groupe de torsion, mais un groupe de torsion n’est pas forcément un groupe d'exposant non nul (prendre la somme directe des groupes ℤ/''n''ℤ, où ''n'' parcourt les entiers naturels non nuls). Si un groupe H est image homomorphe d'un groupe G, l'exposant de H divise l'exposant de G. (En effet, le sous-groupe de ℤ formé par les ''n'' tels que x^''n'' = 1 pour tout élément ''x'' de G est contenu dans le sous-groupe de ℤ formé par les ''r'' tels que y^''r'' = 1 pour tout élément ''y'' de H ; donc le générateur naturel du premier de ces deux sous-groupes est multiple du générateur naturel du second.) {{Théorème | titre = Énoncé 36 | contenu= Si un groupe '''abélien''' est engendré par des éléments dont les ordres divisent un entier naturel ''d'', l'exposant de ce groupe divise ''d''. }} Démonstration. Tout élément d'un tel groupe est de la forme x = x₁ ... x_n, où x_i^d = 1. Vu la commutativité, on a alors x^d = x₁^d ... x_n^d = 1. {{Théorème | titre = Énoncé 37 | contenu= Soient G₁, ... G_n des groupes abéliens. L'exposant du produit tensoriel des G_i divise l'exposant de chaque G_i. }} Démonstration. Le produit tensoriel est engendré (comme groupe) par les éléments de la forme <math>a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n}</math>. Si, pour chaque ''i'', e_i désigne l'exposant de G_i, nous avons <math>(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n})^{e_{i} } = a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{i}^{e_{i} } \otimes \cdots \otimes a_{n} = 1,</math> donc le produit tensoriel est engendré par des éléments dont les ordres divisent e_i. L'énoncé résulte donc du lemme qui précède. {{Théorème | titre = Énoncé 38 | contenu= Soit G un groupe. Pour tout nombre naturel n ≥ 1, l'exposant de Cⁿ(G)/ Cⁿ⁺¹(G) divise l'exposant de G/D(G). }} Démonstration. Désignons par ''e'' l'exposant de G/D(G). Soit ''n'' un nombe naturel ≥ 1. D'après le théorème de Robinson, Cⁿ(G)/ Cⁿ⁺¹(G) est image homomorphe du produit tensoriel de ''n'' groupes abéliens égaux à G/D(G). D'après une remarque faite plus haut, il en résulte que l'exposant de Cⁿ(G)/ Cⁿ⁺¹(G) divise l'exposant du produit tensoriel en question. D'après le lemme qui précède, l'exposant du produit tensoriel divise ''e'', donc l'exposant de Cⁿ(G)/ Cⁿ⁺¹(G) divise ''e''. {{Théorème | titre = Énoncé 39 | contenu= Soit G un groupe nilpotent de classe ''c'' et ''e'' l'exposant de G/D(G). L'exposant de G divise ''e^c''. }} Démonstration. Il résulte du théorème précédent que pour tout nombre naturel n ≥ 1, l'exposant de Cⁿ(G)/ Cⁿ⁺¹(G) divise ''e''. Pour tout élément ''x'' de G, on a donc <math>x^e\in C^2(G)</math>, puis <math>x^{e^2} \in C^3(G)</math>, etc. et finalement <math>x^{e^c} \in C^{c+1}(G)</math>, c'est-à-dire <math>x^{e^c} = 1,</math> d'où l'énoncé. {{Théorème | titre = Énoncé 40 | contenu= Soit G un groupe nilpotent de classe ''c'' engendré par une famille finie x₁, ... , x_n d'éléments d'ordre fini. Alors G est fini. Si ''e'' est un nombre naturel tel que x_i{{exp|''e''}} = 1 pour chaque ''i'' (autrement dit si ''e'' est multiple de l’ordre de chaque x_i), alors l'exposant de G divise ''e^c''. }} Démonstration. Les images des x_i par l’application canonique de G sur G/D(G) engendrent G/D(G), sont en nombre fini et sont d'ordres finis dans G/D(G). Or, comme on l'a rappelé dans une précédente démonstration, un groupe commutatif engendré par un nombre fini d'éléments d'ordres finis est fini. Donc G/D(G) est fini. D'après un précédent théorème, il en résulte que G est fini. De plus, les ordres des images canoniques des x_i divisent tous ''e'', donc, d’après un précédent lemme, relatif aux groupes abéliens, l'exposant de G/D(G) divise ''e''. D'après le théorème qui précède, l'exposant de G divise donc ''e^c''. {{Théorème | titre = Énoncé 41 | contenu= Soit G un groupe nilpotent de classe ''c'', soient ''a'' et ''b'' deux éléments de G. Si ''n'' est un nombre naturel tel que ''aⁿ = bⁿ'' = 1, alors <math>\ (ab)^{n^c} = 1</math>. }} Démonstration. Appliquer le théorème précédent au groupe <a, b> (sous-groupe de G engendré par ''a'' et ''b''), qui est nilpotent de classe ≤ c. On a vu (exercices de la série [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], problème ''Ordre du composé de deux éléments commutant entre eux'') que les éléments d'ordre fini d'un groupe ''abélien'' G forment un sous-groupe de G. Le théorème suivant montre que cela s'étend aux groupes nilpotents. {{Théorème | titre = Énoncé 42 | contenu= Soit G un groupe nilpotent. Les éléments d'ordre fini de G forment un sous-groupe caractéristique T de G. Pour tout nombre premier ''p'', les éléments de G dont les ordres sont des puissances de ''p'' forment un sous-groupe T_''p'' de T, caractéristique dans T et dans G. Le groupe T est somme restreinte des T_''p''. }} Démonstration. Le fait que T et T_''p'' soient des sous-groupes de G résulte du corollaire qui précède. Il est clair que T_''p'' est contenu dans T. On sait que l’ordre de l'image homomorphe d'un élément ''x'' est un élément dont l’ordre divise celui de ''x'', donc T est stable par tout endomorphisme de G et T_''p'' est stable par tout endomorphisme de T. En particulier, T est caractéristique dans G et T_''p'' est caractéristique dans T, d'où aussi dans G. Prouvons que T est somme restreinte des T_p. Soit H un sous-groupe de type fini de T. D'après un exercice de la série [[../Exercices/Produit de groupes|Produit de groupes]], il suffit de prouver que H est somme restreinte des H ⋂ T_''p''. Puisque H est un groupe de torsion nilpotent et de type fini, il résulte d'un précédent théorème que H est fini. Soit ''p'' un nombre premier. D'après ce que nous avons vu sur les groupes nilpotents finis, H n'a qu'un ''p''-sous-groupe de Sylow, qui est donc égal à l’ensemble des éléments de H dont les ordres sont des puissances de ''p''. Autrement dit, l'unique ''p''-sous-groupe de Sylow de H est H ⋂ T_p. Nous avons vu aussi qu'un groupe nilpotent fini est produit direct de ses sous-groupes de Sylow, donc H est somme restreinte des H ⋂ T_''p'', ce qui, comme nous l'avons vu, prouve que T est somme restreinte des T_''p''. {{Définition | contenu = Si G est un groupe nilpotent, le sous-groupe de G formé par les éléments d'ordre fini est appelé le sous-groupe de torsion de G. }} Dans les exercices, on démontre quelques résultats de cette sous-section en évitant d’utiliser la notion de produit tensoriel. == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes résolubles/]] | suivant = [[../Groupes commutatifs finis, 1/]] }} cwqlrh72smt4yj2ekjlxg4juyycpe20 2 22316 881187 742503 2022-08-10T12:13:42Z Cabayi 51233 Cabayi a déplacé la page [[Utilisateur:AnneJea]] vers [[Utilisateur:.Anja.]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/AnneJea|AnneJea]] » en « [[Special:CentralAuth/.Anja.|.Anja.]] » wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 3 22322 881190 432003 2022-08-10T12:13:42Z Cabayi 51233 Cabayi a déplacé la page [[Discussion utilisateur:AnneJea]] vers [[Discussion utilisateur:.Anja.]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/AnneJea|AnneJea]] » en « [[Special:CentralAuth/.Anja.|.Anja.]] » wikitext text/x-wiki =Bonjour !!= Voici ma page de discussion. n'hésitez pas à y laisser un message ! [[Utilisateur:AnneJea|AnneJea]] 2 avril 2009 à 14:03 (UTC) [[Utilisateur:AnneJea/Ebauche]] {{Bienvenue}} |} ---- qte67r6vmn1odxv42hg66umm26yyenl 0 22909 881194 866472 2022-08-10T13:41:27Z 2001:860:DE06:4101:212:195:100:225 /* Problème 1 */ corrections mineures wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 5 | chapitre = [[../../Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z/]] | niveau = 13 | précédent = [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] | suivant = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] }} == Problème 1 == {{Wikipédia|Treillis (ensemble ordonné)|Treillis}} a) Soit E un ensemble ordonné. On suppose que pour tous éléments ''x'', ''y'' de E, la partie {x, y} de E admet une borne inférieure, qu'on désignera par <math>\text{x} \wedge \text{y}</math>, et une borne supérieure, qu'on désignera par <math>\text{x} \vee \text{y}</math>. (Un ensemble ordonné qui possède ces deux propriétés est dit ensemble réticulé<ref>N. Bourbaki, ''Théorie des ensembles. Chapitres 1 à 4'', Paris, Masson, 1998, ch. III, § 1, {{numéro}}11, p. 13.</ref>) Prouver que les lois de composition dans E <math> (a, b) \mapsto a \wedge b</math> et <math> (a, b) \mapsto a \vee b</math> sont commutatives et associatives. {{clr}} {{Solution | contenu = La commutativité de ces deux lois résulte immédiatement du fait que les ensembles {a, b} et {b, a} sont égaux. Prouvons que la loi <math> (a, b) \mapsto a \wedge b</math> est associative. Il s'agit de prouver que pour tous éléments ''a'', ''b'', ''c'' de E, :<math>(1) \qquad a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c. </math> Le premier membre est le plus grand des minorants de <math>\{a, b \wedge c\} </math>. Un élément ''x'' de E est un minorant de <math>\{a, b \wedge c\} </math> si et seulement si on a à la fois <math>\ x \leq a</math> et <math>x \leq b \wedge c </math>. La condition <math>x \leq b \wedge c </math> équivaut à ce qu'on ait à la fois <math>x \leq b </math> et <math>x \leq c </math>. Donc un élément ''x'' de E est un minorant de <math>\{a, b \wedge c\} </math> si et seulement si c’est un minorant de {a, b, c}. Ainsi, :(2) le premier membre de (1), à savoir <math> a \wedge (b \wedge c) </math>, est la borne inférieure de {a, b, c}. Par changement de notations, on en tire que <math> c \wedge (a \wedge b) </math> est la borne inférieure de {c, a, b} = {a, b, c}. Puisque la loi <math> (x, y) \mapsto x \wedge y</math> est commutative, cela revient à dire que :(3) <math> (a \wedge b) \wedge c </math> est la borne inférieure de {a, b, c}. La comparaison de nos résultats (2) et (3) prouve notre thèse (1), donc la loi <math> (a, b) \mapsto a \wedge b</math> est associative. Pour prouver que la loi <math> (a, b) \mapsto a \vee b</math> est associative, on peut par exemple appliquer le résultat précédent à l’ordre opposé de l’ordre considéré sur E. }} b) Aux hypothèses du point a), on ajoute que E admet un plus petit élément, soit ''m'', et un plus grand élément, soit M. Montrer qu'alors E, muni de la loi <math> (a, b) \mapsto a \wedge b</math>, est un monoïde commutatif admettant M pour élément neutre et que E, muni de la loi <math> (a, b) \mapsto a \vee b</math>, est un monoïde commutatif admettant ''m'' pour élément neutre. Comme dans tout monoïde, on définit alors le composé d'un n-uplet (a₁, ... , a_n) d'éléments de E par récurrence sur ''n'' : :<math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} = M</math> si n = 0 ; :<math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} = (a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n-1}) \wedge a_{n} </math> si n ≥ 1. De même, pour la loi <math> \vee </math> : :<math>a_{1} \vee \ldots \vee a_{n} = m</math> si n = 0 ; :<math>a_{1} \vee \ldots \vee a_{n} = (a_{1} \vee \ldots \vee a_{n-1}) \vee a_{n} </math> si n ≥ 1. Prouver que <math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} </math> est la borne inférieure et <math>a_{1} \vee \ldots \vee a_{n} </math> la borne supérieure de <math>\{a_{1} \ldots a_{n}\}.</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''x'' de E, <math>x \wedge M</math> est la borne inférieure de l’ensemble {x, M}. Cet ensemble admet ''x'' comme plus petit élément et donc comme borne inférieure, donc <math>x \wedge M = x</math>, ce qui montre que M est neutre pour la loi <math>\wedge </math>. On montre de même que ''m'' est neutre pour la loi <math>\vee. </math> Compte tenu du point a), E est donc bien un monoïde commutatif pour les deux lois considérées. Prouvons que pour tout nombre naturel n ≥ 0, <math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} </math> est la borne inférieure de {a₁, ... , a_n}. Pour n = 0, cela signifie que M est la borne inférieure de E, ce qui est vrai. (Si un ensemble ordonné admet un plus grand élément, cet élément est la borne inférieure de la partie vide dans E.) Supposons que n ≥ 1 et que notre thèse est vraie pour n - 1, et prouvons-la pour ''n''. Par hypothèse de récurrence, <math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n-1} </math> est la borne inférieure inf(a₁, ..., a_n-1) de {a₁, ... , a_n-1}, donc, vu notre définition de <math>{a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n}}</math> par récurrence, <math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} = inf(a_{1}, \ldots a_{n-1}) \wedge a_{n}</math>, autrement dit, :(2) <math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} </math> est la borne inférieure de <math>\{inf(a_{1}, \ldots a_{n-1}), a_{n}\},</math> c'est-à-dire le plus grand minorant de {inf(a₁, ... , a_n-1), a_n}. Un élément ''x'' de E est un minorant de {inf(a₁, ... , a_n-1), a_n} si et seulement si on a à la fois x ≤ inf(a₁, ..., a_n-1) et x ≤ a_n. La condition x ≤ inf(a₁, ..., a_n-1) équivaut à ce que ''x'' soit inférieur ou égal à chacun des éléments a₁, ..., a_n-1, donc un élément ''x'' est un minorant de {inf(a₁, ... , a_n-1), a_n} si et seulement si c’est un minorant de {a₁, ... , a_n}. Dès lors, la borne inférieure de {inf(a₁, ... , a_n-1), a_n} est la borne inférieure de {a₁, ... , a_n}. Notre résultat (2) signifie donc que <math>a_{1} \wedge \ldots \wedge a_{n} </math> est la borne inférieure de {a₁, ... , a_n} comme annoncé. Par exemple en appliquant ce résultat à l’ordre opposé de l’ordre considéré sur E, on prouvera que <math>a_{1} \vee \ldots \vee a_{n} </math> est la borne supérieure de {a₁, ... , a_n}. }} c) Soient a₁, ... , a_n des entiers rationnels. Retrouver à l'aide de ce qui précède la relation :ppcm (a₁, ... , a</sub>_n</sub>) = ppcm (ppcm(a₁, ... , a</sub>_n-1</sub>), a</sub>_n</sub>), démontrée dans la théorie. {{clr}} {{Solution | contenu = Nous avons évidemment toujours <math>ppcm (c_{1}, ... , c_{1}) = ppcm (\vert c_{1}\vert , ... , \vert c_{1}\vert )</math>, ce qui permet de se ramener au cas où les a_i sont naturels. L'ensemble des nombres naturels, muni de la relation « divise », est un ensemble ordonné admettant 1 pour plus petit élément et 0 pour plus grand élément. Les points a) et b) s'appliquent à cet ensemble ordonné. En particulier, la loi de composition <math>(a, b) \mapsto a \vee b = ppcm(a, b)</math> est associative et <math>a_{1} \vee \ldots \vee a_{n} </math> est égal à la borne supérieure de {a₁, ... , a_n}. La relation <math>a_{1} \vee \ldots \vee a_{n} = (a_{1} \vee \ldots \vee a_{n-1}) \vee a_{n}</math> (qui a servi à définir le composé de plusieurs éléments) donne donc ppcm (a₁, ... , a</sub>n</sub>) = ppcm (ppcm(a₁, ... , a</sub>n-1</sub>), a</sub>n</sub>), comme annoncé. }} d) Un ensemble ordonné réticulé est dit distributif si les deux lois de composition <math>(a, b) \mapsto sup(a, b)</math> et <math>(a, b) \mapsto inf(a, b)</math> (où sup(a, b) et inf(a, b) désignent respectivement la borne supérieure et la borne inférieure de {a, b}) sont distributives l'une par rapport à l'autre. En fait, si une de ces deux lois est distributive par rapport à l'autre, la seconde est également distributive par rapport à la première. En effet, si par exemple <math>\lor</math> est distributive par rapport à <math>\land</math> alors :<math>(a\land c)\lor(b\land c)=[a\lor(b\land c)]\land[c\lor(b\land c)]=(a\lor b)\land(a\lor c)\land c=(a\lor b)\land c</math> donc <math>\land</math> est distributive par rapport à <math>\lor</math>. Prouver que tout ensemble totalement ordonné est un ensemble réticulé distributif. {{clr}} {{Solution | contenu = Soient E un ensemble totalement ordonné. Pour tous éléments ''x'', ''y'' de E, désignons par max{x, y} le plus grand des deux éléments ''x'', ''y'', et par min{x, y} le plus petit de ces deux éléments. Le plus grand élément d'une partie étant toujours la borne supérieure de cette partie, max{x, y} est la borne supérieure de {x, y}. De même, min{x, y} est la borne inférieure de {x, y}. Ceci montre que E est réticulé. Prouvons qu’il est distributif. Prouvons d’abord que la borne inférieure est distributive par rapport à la borne supérieure. Il s'agit de prouver que, pour tous éléments ''a'', ''b'' et ''c'' de E, :min{ a, max{b, c} } = max{ min{a, b}, min{a, c} }. Cette relation étant symétrique en ''b'' et ''c'', nous pouvons supposer b ≤ c. Alors max{b, c} = c, donc le premier membre de la thèse est égal à min{a, c} et la thèse revient à dire que min{a,b} ≤ min{a, c}, autrement dit que min{a, b} est inférieur ou égal à chacun des deux éléments ''a'' et ''c'', ce qui est clair puisque min{a, b} est inférieur ou égal à ''a'' et à ''b'', lequel est ≤ c. Nous avons donc prouvé que dans un ensemble totalement ordonné, la borne inférieure est distributive par rapport à la borne supérieure. Comme noté dans l'énoncé, cela suffit à prouver que E est distributif.}} e) Prouver que l’ensemble des nombres naturels, muni de la relation d'ordre « divise », est un ensemble réticulé distributif, autrement dit que le pgcd et le ppcm sont distributifs l'un par rapport à l'autre. (Indication : utiliser le point d) et la décomposition en facteurs premiers.) {{Solution | contenu = On esquissera seulement la démonstration. (Pour une autre méthode, voir [[Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices#Exercice 5|cet exercice de la leçon sur les anneaux]].) Posons <math>a \wedge b = \mathrm{pgcd}(a,b)</math> et <math>a \vee b = \mathrm{ppcm}(a,b)</math>. Prouvons que le pgcd est distributif par rapport au ppcm. Le pgcd étant commutatif, il suffit de prouver que pour tous nombres naturels ''a'' et ''b'', :<math>a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c).</math> Le cas où un des nombres a, b, c est nul se traite facilement à part. Nous pouvons donc supposer qu'a, b et c sont tous trois non nuls. Pour tout nombre naturel non nul ''x'' et pour tout nombre premier ''p'', désignons par <math>\ v_{p}(x)</math> le plus grand nombre naturel <math>\ v \geq</math> 0 tel que <math>\ p^{v}</math> divise ''x''. De l’existence et de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, on tire :<math>x = \prod_{p \in P}p^{v_{p}(x)},</math> où P désigne l’ensemble des nombres premiers. (Le fait que le produit soit indexé par un ensemble infini ne pose pas de problème car les nombres premiers ''p'' pour lesquels v_p(x) n’est pas nul sont en nombre fini.) On montre facilement que si ''a'' et ''b'' sont deux nombres naturels non nuls, :<math>a \wedge b = \prod_{p \in P}p^{min\{v_{p}(a), v_{p}(b)\}}</math> et :<math>a \vee b = \prod_{p \in P}p^{max\{v_{p}(a), v_{p}(b)\}}</math> La distributivité de <math>\wedge</math> et de <math>\vee</math> l'une par rapport à l'autre se déduit alors facilement de la distributivité de max et de min dans un ensemble totalement ordonné (point d) ), l’ensemble totalement ordonné étant ici l’ensemble des nombres naturels muni de la relation d'ordre usuelle. }} == Problème 2 (Théorème chinois) == a) Soient ''a'', ''b'' et ''c'' des entiers rationnels. Montrer que pour qu’il existe un entier rationnel ''x'' tel que :<math>ax \equiv b \pmod{c}</math> il faut et il suffit que ''b'' soit divisible par le pgcd de ''a'' et ''c''. {{clr}} {{Solution | contenu = Sil existe un entier rationnel ''x'' tel que :<math>ax \equiv b \pmod{c},</math> alors b = ax + cr pour un certain entier rationnel ''r'', donc ''b'' est clairement divisible par le pgcd de ''a'' et ''c''. Réciproquement, supposons que ''b'' soit divisible par le pgcd de ''a'' et ''c''. Soit ''d'' ce pgcd. Il existe donc un entier rationnel ''s'' tel que b = sd. D'autre part, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers rationnels ''t'' et ''u'' tels que ta + uc = d. En multiplianr par ''s'', nous trouvons sta + suc = b, d'où :<math>sta \equiv b \pmod{c}</math> d'où :<math>ax \equiv b \pmod{c}</math> avec x =st. }} b) (Théorème chinois) Soient m₁, ... , m_n des entiers naturels et a₁, ... , a_n des entiers rationnels. On suppose que pour tous indices ''i'', ''j'' distincts, :<math>\qquad a_{i} \equiv a_{j} \pmod{\mathrm{pgcd}(m_{i}, m_{j})}.</math> Prouver qu’il existe un entier rationnel ''a'' tel que, pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n), :<math>\qquad a \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}.</math> (Raisonner par récurrence sur ''n''.) {{clr}} {{Solution | contenu = Prouvons-le d’abord dans le cas particulier n = 2. Il s'agit de prouver que si m₁ et m₂ sont des nombres naturels, si a₁ et a₂ sont des entiers rationnels tels que :<math>(1) \qquad a_{1} \equiv a_{2} \pmod{\mathrm{pgcd}(m_{1}, m_{2})},</math> il existe un entier rationnel ''a'' tel que :<math>a \equiv a_{1} \pmod{m_{1}}</math> et :<math>a \equiv a_{2} \pmod{m_{2}}.</math> D'après l'hypothèse (1), a₁ - a₂ est divisible par pgcd(m₁, m₂), donc, d’après le point a), il existe un entier rationnel ''x'' tel que :<math>a_{1} - a_{2} \equiv xm_{1} \pmod{m_{2}},</math> autrement dit, il existe des entiers rationnels ''x'' et ''y'' tels que :<math>\ a_{1} - a_{2} = xm_{1} + ym_{2}.</math> On a alors a₁ - x m₁ = a₂ + y m₂, donc la valeur commune de a₁ - x m₁ et a₂ + y m₂ convient pour ''a''. Nous avons donc démontré l'énoncé dans le cas particulier où n = 2. Passons au cas général. L'énoncé est banalement vrai si n = 0. Soit ''n'' un nombre naturel ≥ 1. Supposons l'énoncé vrai pour n - 1 (hypothèse de récurrence) et prouvons-le pour ''n''. Par hypothèse de récurrence, nous pouvons choisir un entier rationnel ''b'' tel que :<math>b \equiv a_{1} \pmod{m_{1}}</math> ... :<math>b \equiv a_{n-1} \pmod{m_{n-1}}.</math> Pour démontrer l'énoncé, il suffit clairement de prouver qu’il existe un entier rationnel ''a'' tel que :<math>a \equiv b \pmod{ \mathrm{ppcm}(m_{1}, \ldots m_{n-1})}</math> et :<math>a \equiv a_{n} \pmod{ m_{n}}.</math> Puisque nous avons démontré l'énoncé dans le cas particulier où n = 2, il suffit de prouver que :<math>a_{n} \equiv b \pmod{\mathrm{pgcd}(m_{n}, \mathrm{ppcm}(m_{1}, \ldots m_{n-1}))}.</math> Puisque le pgcd est distributif par rapport au ppcm, nous avons :<math>\mathrm{pgcd}(m_{n}, \mathrm{ppcm}(m_{1}, \ldots m_{n-1})) = \mathrm{ppcm}( \mathrm{pgcd} (m_{1}, m_{n} ), \ldots , \mathrm{pgcd} (m_{n-1}, m_{n})),</math> donc il s'agit de prouver que :<math>a_{n} \equiv b \pmod{\mathrm{ppcm}( \mathrm{pgcd} (m_{1}, m_{n} ), \ldots , \mathrm{pgcd} (m_{n-1}, m_{n}))}.</math> Ceci revient à prouver que :<math>a_{n} \equiv b \pmod{\mathrm{pgcd}(m_{i}, m_{n})}</math> pour chaque ''i'' (1 ≤ i ≤ n-1). Cette congruence résulte du fait qu'a_n et ''b'' sont tous deux congrus à a_i modulo pgcd(m_i, m_n). (Pour a_n, c’est vrai d’après les hypothèses de l'énoncé ; pour ''b'', cela résulte clairement du choix de ''b''.) }} c) Prouver que si ''a'' est un entier rationnel satisfaisant aux conditions du point b), un entier rationnel ''<nowiki>a'</nowiki>'' satisfait à ces conditions si et seulement s'il est congru à ''a'' modulo le ppcm des m_i. {{clr}} {{Solution | contenu = Soit ''<nowiki>a'</nowiki>'' un entier rationnel. Dire que, pour tout ''i'', <math>a' \equiv a_{i} \pmod{m_{i}}</math> équivaut à dire que pour tout ''i'', <math>a' \equiv a \pmod{m_{i}}</math>, autrement dit que pour tout ''i'', a - a' est divisible par m_i, ce qui équivaut à ce qu'a - a' soit divisible par le ppcm des m_i, d'où l'énoncé. }} d) Soient m₁, ..., m_n des nombres naturels premiers entre eux deux à deux, soient a₁, ..., a_n des entiers rationnels. Prouver qu’il existe au moins un entier rationnel ''a'' tel que, pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n), :<math>a \equiv a_{i} \pmod {m_{i}}.</math> {{Solution | contenu = C'est évidemment un cas particulier du théorème chinois. À titre de curiosité, on va donner une démonstration différente de celle qui a été donnée dans le cas général. L'énoncé étant banal si n = 0, nous pouvons supposer n ≥ 1. Posons :<math>M = \prod_{1 \leq i \leq n} M_{i}</math> et, pour chaque ''i'' (1 ≤ i ≤ n), :<math>M_{i} = \prod_{j \not=i} m_{j},</math> où ''j'' parcourt les éléments de {1, ..., n} distincts de ''i''. Par hypothèse, les m_j qui interviennent dans le produit M_i sont premiers avec m_i, donc (théorie) leur produit M_i est premier avec m_i. Prouvons que les M_i sont premiers entre eux dans leur ensemble. Supposons que, par absurde, ''p'' soit un diviseur premier commun à tous les M_i. Puisque nous supposons n ≥ 1, ''p'' divise au moins un M_i et divise donc (lemme d'Euclide) un facteur m_j de M_i. Puisque M_j est premier avec m_j, il n'est donc pas divisible par ''p'', ce qui contredit nos hypothèses sur ''p''. Cette contradiction prouve que les M_i sont premiers entre eux dans leur ensemble. Soit ''i'' un indice dans {1, ... , n}. Puisque M_i est premier avec m_i, il existe, d’après le point a), un entier rationnel b_i tel que :<math>(1) \qquad b_{i} M_{i} \equiv a_{i} \bmod m_{i}.</math> Posons :<math> a = b_{1}M_{1} + \ldots + b_{n}M_{n}.</math> Pour chaque indice ''i'', tous les termes b_jM_j pour j ≠ i, sont divisibles par m_i (car M_j est divisible par m_i), donc, pour chaque ''i'' (1 ≤ i ≤ n), a est congru à b_iM_i modulo m_i, d'où la thèse en vertu de (1). }} == Problème 3 == Soient <math>m,n\in\N^*</math> et <math>\pi:\Z\to\Z/m\Z\times\Z/n\Z,\;x\mapsto(x\bmod m,x\bmod n)</math>. #Montrer que <math>\ker\pi=\langle\operatorname{ppcm}(m,n)\rangle</math>. #À quelle condition sur <math>m</math> et <math>n</math> le morphisme <math>\pi</math> est-il surjectif ? {{Solution|contenu= #<math>\pi(x)=(0\bmod m,0\bmod n)</math> si et seulement si <math>x</math> est divisible par <math>m</math> et par <math>n</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] par <math>\operatorname{ppcm}(m,n)</math>. #<math>\pi</math> est surjectif si et seulement si l'injection de <math>\Z/\ker\pi\to\Z/m\Z\times\Z/n\Z</math> qu'il induit l'est, donc si et seulement si <math>\Z/\ker\pi</math> et <math>\Z/m\Z\times\Z/n\Z</math> ont même cardinal. D'après la question 1, cela équivaut à <math>\operatorname{ppcm}(m,n)=mn</math> donc à <math>\operatorname{pgcd}(m,n)=1</math>. }} == Problème 4 == Soit G un groupe, soit H un sous-groupe d'indice (fini) premier de G. Prouver que H est un sous-groupe maximal de G. {{Solution|contenu= Soit K un sous-groupe de G tel que <math>H \leq K \leq G</math> ; il s'agit de prouver que K est égal à H ou à G. D'après la [[../../Classes modulo un sous-groupe|formule des indices]], [G:H] = [G:K] [K:H]. Puisque le membre gauche est un nombre premier, un des deux facteurs du membre droit est égal à 1, ce qui revient à dire que K est égal à G ou à H. }} == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient/]] | suivant = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] }} qa7k7bzd4yax06bpwp71vfbqskp3zs6 2 23043 881186 677152 2022-08-10T12:13:42Z Cabayi 51233 Cabayi a déplacé la page [[Utilisateur:AnneJea/Ebauche]] vers [[Utilisateur:.Anja./Ebauche]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/AnneJea|AnneJea]] » en « [[Special:CentralAuth/.Anja.|.Anja.]] » wikitext text/x-wiki = Espagnol: = == Constructions verbales == Tout comme en français, l'espagnol use également de constructions courantes: * '''Estar + gérondif''': (''être en train de'') désigne une action en train de se dérouler. ** Exemples: Estoy trabajando : ''Je suis en train de travailler''. <br /> Estamos comiendo : ''Nous sommes en train de manger''. * '''Ir + gérondif ''': (''aller + verbe'') l’idée de progression. * '''Seguir + gérondif''' : désigne la continuité d'une action. ** Exemple: Seguimos andando: ''Nous continuons à marcher''. * '''Ir a + ''': induit l’idée d'un futur proche. ** Exemples: Esta tarde, voy a buscar mi hermana en el centro de la ciudad : ''Cet après-midi, je vais chercher ma sœur dans le centre ville''. * '''Acabar de + infinitif ''' : (''venir de + verbe '') ** Exemples: Acabo de terminar mis ejercicios de matemáticas : ''Je viens de terminer mes exercices de mathématiques''. <br /> Acaban de decorar (adornar) el árbol de Navidad : ''Ils viennent de terminer de décorer l'arbre de Noël''. * '''Volver a''' : * '''Llevar + durée''' : * '''Tardar + durée + para + infinitif''' : * ---- == Remarques: == # continuer à ou continuer de ? # ir + gérondif: exemples ? ---- mte82nbh0xuv0iw99waimdpwat1aq3z 0 26542 881208 809912 2022-08-11T11:06:49Z Slzbg 68495 Il manquait une voyelle. wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 1 | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Structure d'un programme/]] | niveau = 15 }} == Histoire et concepts == === Un langage de programmation === Forth est un langage de programmation. C'est un outil que le développeur utilise pour parvenir à ses fins : mettre en place son logiciel. C'est l'américain ''[[w:Charles H. Moore|Charles H. Moore]]'' qui imagine Forth et qui, en partenariat avec ''[[w:Elizabeth Rather|Elizabeth Rather]]'', fonde en 1973 la société '''[http://www.forth.com/ FORTH, Inc.]''' pour promouvoir son langage et ses logiciels. Forth gagne vite en popularité, alors que Moore change régulièrement de ''job'' et déploie son langage sur des architectures toujours plus nombreuses. Ainsi Forth s'illustre dans des projets renommés, comme lorsqu’il devient en 1984 un système de développement prépondérant chez les premiers Macintosh d'Apple (le ''MacForth''). Il est alors normalisé sous la forme du FORTH-83. Dès lors, dans les années quatre-vingts, le logiciel gagne en notoriété dans le milieu de la micro-informatique de par sa ''légèreté'' et sa ''portabilité''. Aujourd'hui, la société '''FORTH, Inc.''' est toujours active, et ses services sont utilisés par des entreprises majeures dans le domaine de l'aérospatial, des transports ou encore de l’[[w:Instrumentation_(science)|instrumentation]]. Le langage en lui-même a été normalisé par l’[[w:ANSI|ANSI]] et est devenu le ANS Forth ; depuis 1958, de nombreuses implémentations ont vu le jour, mais beaucoup ont disparu. Ses attraits pour le développement bas niveau et celui d’applications embarquées furent évincés par la popularité montante du langage C, qui proposa alors plus simplement des mécanismes tout aussi puissants. === Atypique === Forth est atypique. Du moins il l'est pour les programmeurs d'aujourd'hui. En effet, il fait partie d'une catégorie très particulière de langages dits ''langages à pile'' ; cela signifie que les piles de données constituent un élément central des programmes Forth. {{Section difficile|Facultatif}} Les différentes composantes d'un programme Forth communiquent effectivement entre elles ''via'' une '''pile des paramètres''' (''parameter stack''), globale au programme. Ainsi, les fonctions s'enchaînent les unes à la suite des autres sans passage d'arguments explicite, chacune faisant son travail avec ce qu'elle trouve sur la pile : un dispositif aussi intéressant que dangereux, puisque c’est l'incarnation même des [[w:Effet_de_bord_(informatique)|effets de bord]] contre lesquels se battent désormais de nombreux programmeurs.<br /> Cette particularité des procédures Forth donne lieu à une nomenclature bien spécifique : les fonctions sont des ''mots'' qui les uns à la suite des autres forment des ''phrases'', phrases qui viennent définir de nouveaux mots dans le ''dictionnaire'' (l'ensemble des mots employés par un programme Forth). D'ailleurs un programme Forth se reconnaît facilement. Premièrement, il est d’usage qu'une partie ou la totalité des mots soit en capitales, et la ponctuation est abondamment utilisée (un mot peut contenir n’importe quel caractère [[w:ASCII|ASCII]]). Ensuite, Forth utilise la [[w:notation polonaise inversée|notation polonaise inversée]] pour le calcul numérique : « <code>34 3 2 * /</code> » divise ainsi 34 par le produit de 3 par 2. Mais cette notation inversée influe aussi sur l'allure des expressions : en Forth on écrit « <code>3 TROIS !</code> » là où un pythonneux aurait écrit « <code>trois = 3</code> ». Par ailleurs, la communauté Forth a mis en place de nombreuses conventions de nommage, et notamment des abréviations à base de symboles, ce qui rend les sources particulièrement cryptiques pour le néophyte : : C+! ( b addr -- ) TUCK C@ + SWAP C! ; === Efficace === Enfin, Forth assume bien sa tâche, à savoir : être '''léger''', '''rapide''' et '''puissant'''. Sa légèreté vient du fait qu'un système Forth est un logiciel très compact, qui comporte essentiellement des routines pour manipuler les nombres et la mémoire. Ensuite, sa rapidité est due au cœur du système souvent écrit directement en Assembly. Pour finir, sa puissance vient de l'infinie liberté laissée au développeur : on fait tout simplement '''ce que l’on veut'''. == Installation d'un système Forth == La première chose à faire est de '''choisir son Forth'''. La plupart des « gurus » Forth utilisent ce langage depuis des temps reculés, et possèdent de vieux Forth bien souvent non standards (comme Turbo Forth). Dans le cadre de ce cours, nous allons utiliser un système classique pour PC, normalisé (ANS Forth) et le plus portable possible. Je vous en propose un écrit en C : GForth. === GForth === GForth est le système Forth du projet [[w:GNU|GNU]], il s'agit donc d'un logiciel '''libre'''. Il fonctionne sur de nombreuses plates-formes dont UNIX, Microsoft Windows et MS-DOS. Il est très simple à installer, puisqu’il suffit d'aller sur [http://www.complang.tuwien.ac.at/forth/gforth/ le FTP du projet] et de télécharger la version adaptée à son système ; le « windowsien » choisira alors l'installateur ''gforth-0.7.0.exe''. Parmi ses atouts, on peut souligner un grand respect de la norme ANSI et une vélocité tout à fait honnête ; voici d'ailleurs un petit ''benchmark'' réalisé sous une machine GNU/Linux avec un PIII {{Unité|650|{{abréviation|Mhz|mégahertz}}}} (sur un algorithme MD5) : <div style="text-align: center;"> {| class="wikitable" style="text-align:center; width:50%;" |+ Performances de différents Forths (chiffrage MD5) |- ! scope=col | ! scope=col | Bigforth ! scope=col | GForth ! scope=col | pForth ! scope=col | Ficl |- ! scope=row | Temps (''ms'') |0,73 |10 |44 |48 |} </div> {{Remarque | contenu = Le système développé et soutenu par '''FORTH, Inc.''' est SwiftForth™<ref>[http://www.forth.com/swiftforth/index.html SwiftForth™ sur forth.com]</ref>. C'est de loin le plus abouti, mais il n'est ni portable, ni libre, ni gratuit.}} Libre à vous de choisir un autre Forth. Étant donné l'ancienneté du langage, on peut dire que vous avez l'embarras du choix<ref>[http://wiki.forthfreak.net/index.cgi?ForthSystems inventaire des systèmes Forth]</ref> ! === Premiers pas === Pour lancer GForth, tapez <code>gforth</code> dans un terminal (sous Windows : <code>Exécuter</code><ref>''Exécuter'' se lance ''via'' la combinaison de touches <code>Windows + R</code></ref> → <code>gforth</code>). Après un bref accueil de l'interpréteur (le logiciel qui va analyser nos programmes Forth), on vous ''invite'' à taper du code (''prompt'' en anglais) : Gforth 0.7.0, Copyright (C) 1995-2008 Free Software Foundation, Inc. Gforth comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY; for details type `license' Type `bye' to exit C'est parti : tapez « <code>2 40 + .</code> », validez avec la touche ''Entrée''. Vous obtiendrez quelque chose comme : 2 40 + . 42 ok * <code>2 40 +</code> additionne 2 et 40 ; * <code>.</code> (''dot'') afficher le résultat ; * et le « ok » nous indique que l'interprétation du code est terminée, on retourne au ''prompt''. Tapez « <code>bye</code> » afin de quitter GForth. 2 40 + . 42 ok bye == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../|Sommaire]] | suivant = [[../Structure d'un programme/]] }} hta8idi0xog0bi5q6icksll65wzl32a 104 31965 881209 685607 2022-08-11T11:07:19Z Slzbg 68495 Il manquait une voyelle. wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = biologie | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]] }} {{Hypothèse | titre = Chimio-osmose prébiotique | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]] | image = {{idfaculté/logo/biologie}} }} '''Résumé''' En appliquant la théorie chimio-osmotique de P. Mitchell(1), à un système de liposomes et de ionophores, dans un environnement abiotique, la réflexion menée dans ce travail(2), conclut à la formation de protéines membranaires fonctionnelles et à l'initialisation du métabolisme à l'intérieur du liposome, par ce système. Le métabolisme ne se conçoit plus alors comme un ensemble de réactions chimiques en réseau synchrone, soumises aux lois de la thermodynamique, mais comme deux réseaux couplés de protons et d'électrons soumis aux lois électromagnétiques et dont les structures sont implantées dans la membrane, créées et maintenues par le processus chimio-osmotique. Les évolutions concomitantes du métabolisme, des structures et du processus chimio-osmotique se renforcent mutuellement et devraient aboutir à un organisme qui évolue de façon cohérente. Au début de l'évolution moléculaire, chaque partie du système peut se reproduire indépendamment l'une de l'autre. Les liposomes peuvent intégrer des phospholipides abiotiques ou synthétisés par le nouveau métabolisme et se scinder en deux, sans endommager les ilôts de protéines membranaires. Les oligo-nucléotides peuvent se dupliquer par appariement entre bases. Deux copies d'oligo-nucléotides peuvent se lier par des liaisons hydrogènes à deux groupes d'acides aminés presque identiques, intégrés à la membrane sur la face interne du liposome et positionnés par le processus chimio-osmotique. Cette reproduction des groupes d'acides aminés, par l'intermédiaire de copies d'oligo-nucléotides, amorce le processus de traduction qu'on connaît chez le vivant. La reproduction de ces 3 parties de façon coordonnée doit être envisagée ultérieurement dans une étude approfondie des ribosomes et de la traduction. L'hypothèse de la formation géochimique d'une poche de pétrole abiotique est envisagée, dans cette réflexion, comme environnement prébiotique pour la chimio-osmose prébiotique. Cette hypothèse fait suite aux travaux en laboratoire et sur le terrain sur les origines de la vie au niveau des sources hydrothermales des dorsales océaniques. (1) Peter Mitchell (1961). "Coupling of phosphorylation to electron and hydrogen transfer by a chemi-osmotic type of mechanism". Nature 191(4784):144–148. (2) [http://en.wikiversity.org/wiki/Prebiotic_chemo-osmosis english] <br /> '''Note''' du 14.03.2015: Cet article fait partie de la synthèse de mes travaux jusqu'en 2014, synthèse publiée dans Origins of Life and Evolution of Biospheres de mars 2015. <br /> Référence: Prebiotic Petroleum; Mekki-Berrada Ali, Origins of Life and Evolution of Biospheres, 2015, DOI 10.1007/s11084-015-9416-7<ref>http://link.springer.com/article/10.1007/s11084-015-9416-7?sa_campaign=email/event/articleAuthor/onlineFirst</ref>. == Une hypothèse pour l'évolution moléculaire du minéral vers le vivant : la chimio-osmose prébiotique == La théorie chimio-osmotique de Peter Mitchell<ref name="mitchell"> Physiology and biochemistry of procaryotes 2nd edition, David White, Indiana university, Oxford university press 2000. Pages 66-102</ref> explique la synthèse de l'ATP par le potentiel électrochimique élaboré par un ensemble de protéines et de coenzymes membranaires, et par la circulation des ions H+ à travers la membrane au niveau de l'ATP synthase et des canaux ioniques. Si on faisait abstraction des protéines et des acides nucléiques, il resterait 3 coenzymes de type prébiotique : les hèmes, les ubiquinones et les complexes FeS ; le potentiel électrochimique n'est plus alors élaboré de l'intérieur, mais peut être le fait d'un changement ionique de l'environnement du liposome par rapport à son intérieur ; par contre, il n'y a plus circulation des ions à travers la membrane, car elle leur est imperméable. La chimio-osmose prébiotique, à l'origine de la chimio-osmose biotique, ne peut s'effectuer alors que s'il y a un passage des ions à travers la membrane. Ceci est possible avec des molécules de type prébiotique, les ionophores qui transportent à travers la membrane des cations surtout monovalents dont H+. Ils sont relativement spécifiques à un cation donné, mais peuvent en transporter plusieurs types. Quoique d'origine souvent bactérienne, ces molécules sont très intéressantes d'un point de vue théorique : * Elles sont simples, petites, cycliques et oligomériques de quelques monomères. * Les monomères peuvent être des acides aminés L ou D, des α-hydroxyl acides L ou D, des analogues aux acides aminés biotiques. Exemples d'[[w:en:ionophore |ionophore]], (x monomères différents, répétés n fois): ionophores [[w:fr:Depsipeptide |depsipeptides]]: [[w:fr:Valinomycine |valinomycine]] (4,3), [[w:en:Beauvericin |beauvericine]] (2,3); Oligopeptide : [[w:fr:Gramicidine |gramicidine]], 5 acides aminés différents de forme L et D en alternance et se termine par l'éthanolamine, 15 acides aminés au total; ionophore sans acide aminé : [[w:en:Nonactin |nonactine]] (1,4). * Entre deux α-hydroxyl acides et, entre un acide aminé et un α-hydroxyl acide, il y a une liaison ester, comme les liaisons entre les molécules du phospholipide ( éthanolamine, phosphate, glycérol et acide gras ). Dans la nonactine il n' y a que des liaisons esters. * Ces caractéristiques les rapprochent des oligomères des parois bactériennes. Et surtout, le fait qu’elles puissent rester dans la membrane, elles ressemblent aux porines. Il suffit d'un exemplaire par liposome pour rendre possible le processus chimio-osmotique de façon permanente. * Certains ionophores chélatent des cations métalliques, ce qui les rapprochent aussi des enzymes membranaires. == Le processus fondamental de la chimio-osmose prébiotique == Comme pour l'hypothèse du processus biotique, il est basé sur un potentiel électro-chimique, avec un potentiel électrique créé localement et temporairement. Mais ici le gradient osmotique varie et est imposé par le milieu extérieur. Comme pour le processus biotique, le champs électrique est renforcé par l’asymétrie ionique du fait de la présence de la sérine sur la face interne, au lieu de l'éthanolamine. Ce potentiel électro-chimique est converti en travail qui consiste non seulement en un transport des cations pour rétablir l'équilibre osmotique et ionique, mais aussi en la structuration temporairement du champs électrique local. C'est une action physique à distance. Cette structuration influe sur toutes les molécules polaires au contact des faces internes et externes du liposome, mais aussi les molécules polaires chélatées à l'intérieur de la membrane. Ces actions à distances rapprochent et positionnent des molécules ayant des affinités jusqu'à provoquer la création ou la destruction d'une liaison covalente. Au début de l'intégration de l'ionophore ( ou des ) dans la membrane l'effet peut être très faible, dû au désordre. Mais plus le temps passe, plus l’ordre grandit et plus l'effet grandit. C'est un processus analogue à la cristallisation, mettant en jeu des liaisons covalentes, avec mobilité des molécules formées, à la place du positionnement des ions dans un cristal, dans une géométrie fixe. == Mise en place des structures pour la chimio-osmose biotique == Le processus chimio-osmotique prébiotique, même si son action peut paraître infiniment plus faible que celle du processus biotique, il évolue néanmoins dans un milieu réactionnel structuré par et avec le liposome et se renforcent mutuellement. Ses effets seront alors orientés par ce milieu. Ils seront très différents d'une région à une autre région. C'est ainsi qu'on doit considérer le milieu extérieur, la face externe du liposome, la zone hydrophobe du liposome, la face interne du liposome et le milieu intérieur. === Le milieu extérieur: === Sur le milieu extérieur, le liposome n'a aucune influence. L'étendue de celle-ci ne dépasse pas l'épaisseur d'une membrane, et toute molécule lâchée dans ce milieu sera perdue par diffusion. Par contre, pour cette première étape de l'évolution moléculaire, le milieu extérieur doit avoir des conditions physico-chimiques et une composition favorables à cette évolution. Je détaillerai ce milieu dans le chapitre de l'origine géochimique des molécules initiales. === Évolution de la face externe du liposome === * Formation et entrée des ionophores : je considère que la tête hydrophile est constituée d'éthanolamine sur la face externe. Cette tête est un zwitterion comme celle d'un acide aminé et peut s'apparier à ce dernier par 2 liaisons ioniques. Les α-hydroxyl acides peuvent s'apparier aussi au phospholipide avec une liaison hydrogène ( entre OH de la fonction alcool et le phosphate) et une liaison ionique. La surface du liposome, arborant des millions de têtes de zwiterrions( 10{{exp|7}} ), favoriserait la formation des ionophores depsipeptides et leur pénétration dans la membrane. * Cependant l'encombrement stérique des têtes hydrophiles, imposé par le rapprochement des chaines aliphatiques hydrophobes, oppose une forte contrainte à la pénétration. Et cet encombrement est renforcé par la longueur de l'éthanolamine qui arrime un phospholipide à son voisin. C'est ce qui fait d'ailleurs la solidité et la cohérence du liposome. Une méthylamine à la place de l'éthanolamine ne permettrait pas l'arrimage et une propylamine le rendrait trop lâche. L'encombrement stérique des têtes hydrophiles devrait imposer une configuration stérique aux acides aminés et aux α-hydroxyl acides qui pénètrent dans la membrane, même contenus dans un oligomère cyclique. Cette configuration concerne la longueur de la chaîne carbonée et la chiralité. C'est ainsi que parmi les 20 acides aminés biotiques, 13 portent le groupement fonctionnel sur le 3{{e}} C, 4 sur le 4{{e}} C, 1 sur le 5{{e}} C ( Arg ) et 1 sur le 6{{e}} C (Lys). La configuration stérique concerne la chiralité aussi. Elle est imposée par la chiralité du glycérol de la tête hydrophile, elle-même imposée par l'encombrement stérique. Les 2 chiralités doivent être complémentaires pour réduire encore l'encombrement. Comme celle du glycérol est D, la chiralité des acides aminés et des α-hydroxyl acides doit être L. L'ion phosphate a aussi une chiralité. Mais elle est très changeante à cause de la charge électrique négative délocalisée sur ses 2 oxygènes libres. Cette charge peut être attirée par une charge positive externe, ce qui créera la chiralité. Cette souplesse permet d'organiser et de faire pénétrer dans la membrane certaines molécules dont les acides aminés, les α-hydroxyl acides et les ionophores. Nous voyons ainsi qu’à la face externe, le liposome intervient par sa structure même, sans tenir compte du processus chimio-osmotique auquel elle s'ajoute. Il faut ajouter à ces 2 processus la pression osmotique des molécules qui ne peuvent pas traverser la membrane, pression qui renforce la pénétration des ionophores, des acides aminés et des α-hydroxyl acides. Les réactions chimiques minimales sur la face externe , outre les liaisons ester pour ajouter les têtes hydrophiles aux acides gras, sont les liaisons ester et peptidique entre les monomères des ionophores. Une fois un ionophore engagé dans la membrane, il peut chélater un métal et devenir un coenzyme. C'est le cas de la chélation du complexe FeS qu'on a vu, en faisant abstraction des protéines. Les ionophores peuvent évoluer aussi en porines et en enzymes comme l'ATPase. === Évolution de la zone hydrophobe de la membrane === Lors de la formation, et même une fois formé, le liposome peut intégrer des chaines aliphatiques longues, insaturées et sans charge ionique. C'est le cas des quinones qui peuvent s'étendre sur toute l'épaisseur de la membrane, comme l'ubiquinone. Le liposome peut aussi intégrer un hème ayant chélaté, ou pourrait chélater, un métal. L'hème est hydrophobe et porte une longue chaine aliphatique insaturée. Le processus chimio-osmotique va orienter les électrons délocalisés des doubles liaisons et faciliter, le cas échéant, le passage des électrons d'oxydo-réduction d'un hème à l'autre. En intégrant certains acides aminés dans la membrane et autour des hèmes par le processus chimio-osmotique, ces derniers évoluent petit à petit en cytochromes de plus en plus performants. Sur la face externe la tête d'une quinone peut s'entourer d'acides aminés et faire fonction de déshydrogénase initiant peut-être la chaine d'oxydo-réduction. La [[w:en:Methanol_dehydrogenase |méthanol déshydrogénase]] EC.1.1.99.8 d'une bactérie Gram-négative, par exemple, utilise la [[w:fr:Pyrroloquinoléine_quinone |pyrroloquinoline]] quinone à la place de NAD+. === Évolution de la face interne du liposome et du milieu intérieur === En continuité avec l'évolution des 2 parties précédentes nous avons l'enrichissement de la face interne par les acides aminés qui ont subi la contrainte de l'encombrement stérique lors de leur traversée de la membrane, seuls ou sous forme de ionophores. Ils ont été sélectionnés pour leur longueur et ils sont homochiraux. Là nous retrouvons les comportements des acides aminés en relation avec les têtes hydrophiles qu'on a vu sur la face externe : regroupement par appariement des zwiterrions pouvant avoir une fonction de déshydrogénase en entourant un coenzyme de type quinone, initialisant ainsi le métabolisme. Là encore les réactions chimiques se font sur une surface poly-ionique. Cependant l'évolution de la face interne est très spécifique et représente même l'origine de l’ordre biologique tel qu'on le connaît: * En plus du processus chimio-osmotique prébiotique, qu'elle subit comme les autres parties, la face interne est en contact avec le milieu intérieur qui est fermé, et dont la réactivité chimique est provoquée à distance par la pression osmotique globale des anions externes qui ne peuvent traverser la membrane. * Le milieu intérieur étant fermé, il conserve toute organisation créée par la face interne, en limitant la diffusion moléculaire. Les changements en espèces chimiques sont sous le contrôle de la membrane. La composition en ces espèces est très spécifique: ce sont de petites molécules apolaires ou polarisées, mais pas ionisées. Elles sont faiblement acides ou basiques, car elles ont pu traverser la membrane sous forme neutre. Elles vont servir de substrat pour les réactions qui se déroulent sur la face interne: méthane, méthanol, glycérol, H2S, CO2, H2, adénine, uracile, urée... * Les anions et les grosses molécules externes ne peuvent pas traverser la membrane. Ces anions doivent affronter la répulsion de l'anion phosphate de la tête hydrophile, répulsion qui est plus forte que celle opposée aux cations par la fonction amine de l'éthanolamine. Et apparemment pour les anions, les équivalents des ionophores pour le transport des cations doivent être rares, en tout cas dans la littérature. Par contre certains acides faibles, ceux qui ont pu traverser la membrane, peuvent se dissocier en anions et protons et diminuer ainsi la pression osmotique globale due aux anions externes. Ce qui augmente la réactivité chimique à l'intérieur et sur la face interne. * Cependant c’est la face interne qui va apporter le plus important: le relargage du phosphate dans le milieu intérieur. La pression osmotique globale des anions externes et celle de l'ion phosphate lui-même vont favoriser, sur la face interne, l'hydrolyse de la liaison ester entre le glycérol et le phosphate. La phospho-sérine ou la phospho-éthanolamine deviennent libres. Elle apporte un anion potentiel et le phosphate. C'est équivalent à un transport de l'anion phosphate. Ce qui n’est pas valable pour les autres anions minéraux tels que le chlorure et le sulfate. Le processus de [[w:en:Flippase |flip-flop]] spontané remet le glycérol nu et attaché à l'acide gras sur la face externe où il est estérifié par un phosphate. Avec le fait que le milieu intérieur conserve l'organisation générée par la face interne, la chimie à l'intérieur devient la chimie du phosphate. Ceci est illustré par le fait que les nucléotides ne se retrouvent ni à l'extérieur, ni même dans le périplasme quand il est étroit, les anions étant, dans ce cas là, entre 2 têtes hydrophiles. Par ailleurs chez les bactéries il y a 2 types de transports de l'ion phosphate, tous les 2 beaucoup plus complexes que ceux des cations. == Les étapes suivantes de l'évolution moléculaire == * Initialisation du métabolisme et séquestration du phosphate. Petit à petit, le processus chimio-osmotique aidant, les acides aminés s'ordonnent autour des coenzymes ( hèmes, quinones, complexes FeS ) sur les faces internes et externes pour compléter la chaîne d’oxydoréduction. Certains ionophores chélateront des métaux ou des coenzymes pour former des enzymes. D'autres ionophores évolueront en porines, canaux ioniques et pompes à protons comme l'ATPase. Très vite les premiers enzymes de la face interne vont initialiser le métabolisme des sucres phosphates à 3 carbones préfigurés déjà par le glycérol libre, la phospho-sérine et la phospho-éthanolamine. C'est la séquestration du phosphate. Elle deviendra de plus en plus irréversible avec la synthèse des nucléotides dont les bases arrivent par diffusion passive. * Le périplasme : Si la population des liposomes dans un environnement donné, devient dense, un liposome peut en englober un autre. L'espace entre les deux s’appelle le périplasme chez les bactéries. Si on a la même configuration que chez les bactéries, c'est-à-dire que le liposome externe ne contient que des ionophores et que le deuxième est bien évolué vis-à-vis de la chimio-osmose, alors l'évolution de ce dernier va s'accélérer car le périplasme va retenir les cations et notamment les protons, ce qui renforce le potentiel électro-chimique. * Synthèse des phospholipides et multiplication des liposomes: Dans un premier temps la multiplication des liposomes peut se faire par un apport de chaînes d'acides gras externes qui s'insèrent dans la membrane et fixent par estérification glycérol, phosphate et éthanolamine. C'est le processus même de la formation des liposomes qu'on étudiera au chapitre de leur origine géochimique plus loin. Une autre façon de se multiplier des liposomes est qu’ils synthétisent les acides gras eux-mêmes. Elle est tout à fait probable dans le contexte géochimique évoqué lors de leur synthèse abiotique. Cette possibilité consiste en la chélation par des acides aminés et son intégration dans la membrane, du groupe catalytique qui synthétise les acides gras dans le milieu extérieur. Dans tous les cas l'incorporation des acides gras ne détruit pas les structures échafaudées par le processus chimio-osmotique. La construction de ces structures ressemble à la formation d'un cristal. La multiplication des liposomes permet donc l’augmentation du nombre de ces structures. * La synthèse des nucléotides, les ribosomes et l'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}: À l'initialisation du métabolisme, les mononucléotides peuvent se former très tôt dans l'évolution moléculaire. Ils vont servir de coenzymes et de substrat. Ils seront incorporés dans les groupements d'acides aminés par des liaisons hydrogènes. S'il y a synthèse d'oligo-nucléotides par ces pseudo-enzymes accrochés aux membranes, ils y resteront, liés par des liaisons hydrogènes. Nous entrevoyons là la naissance des ribosomes. À mon avis, avant l'apparition du monde {{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}, où les brins d'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}} sont libres, ce groupement d'acides aminés et d'oligo-nucléotides attaché à la membrane doit certainement ébaucher la reproduction des séquences d'acides aminés pré-existantes. Et de là apparaîtrait une relation entre séquence de nucléotides et un acide aminé. La duplication d'une séquence de nucléotides devrait se faire en premier par le processus d'appariement des bases qui fait intervenir les liaisons hydrogènes. Ce processus est simple, souple et réversible et ne met en jeu que 4 bases au maximum. Deux séquences de nucléotides identiques vont regrouper deux ensembles d'acides aminés quasiment identiques par liaisons hydrogènes: C'est une reproduction de groupes d'acides aminés par l'intermédiaire de la duplication des oligo-nucléotides. C'est l'amorce de la traduction telle qu'on la connait chez le vivant. J'arrête là le scénario de l'évolution moléculaire, car il faudrait étudier plus en détail la grande complexité des ribosomes et des {{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}. Par ailleurs il faudrait consolider le scénario développé jusqu'ici par l'expérimentation. == Les conséquences conceptuelles de l'hypothèse de la chimio-osmose prébiotique == * Le réseau métabolique de réactions chimiques avec de petites molécules libres, se réduit grâce au processus chimio-osmotique appliqué au liposome, à deux réseaux électrochimiques de cations et d'électrons. * Les cations alcalins sont aussi importants que C H O N P S pour le vivant, notamment pour la chimio-osmose prébiotique. * Le liposome intégrant des ionophores constitue l'organisme vivant minimal puisqu’il définit un espace fermé qui évolue et qui communique instantanément avec l'extérieur par chimio-osmose. * La chimio-osmose prébiotique agit sur les petites molécules abiotiques dont des acides aminés et des acides α-hydroxylés, pour former des ionophores et les premières enzymes membranaires qui initialisent le métabolisme à l'intérieur par les sucres phosphates à 3 carbones. Grâce aux acides aminés, produits par ce métabolisme, la chimio-osmose prébiotique va évoluer vers la chimio-osmose biotique. * La chimie dans la membrane et à l'intérieur du liposome est très spécifique et ne peut se faire à l'extérieur. Cette spécificité est due à la séquestration du phosphate à l'intérieur du liposome. * Les réactions chimiques ne se font plus selon les lois de la thermodynamique, mais selon les lois de l'électronique de la membrane liposomique et des protéines. Les enzymes ne sont pas des catalyseurs, comme on conçoit la catalyse avec des atomes métalliques infiniment plus petits qu'elles. Ce sont des constructions électroniques qui structurent le champ électrique local, lequel attire et dirige les petites molécules vers le site catalytique. À la place du concept de biochimie qui sous-tend chimie et donc thermodynamique, il faut mettre le concept d'électronique biologique. Car les petites molécules, dès leur contact avec la membrane, passent d'un espace électromagnétique défini par une protéine à un autre espace électromagnétique défini par une autre protéine. Elles suivent, certes pas des trajets linéaires, mais des couloirs physiques. Les voies métaboliques de la biochimie ne sont que des schémas mnémotechniques. * Les protéines fonctionnelles sont apparues avant l'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}} susceptible de les recréer. * L'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}} une fois formé, se duplique lui-même par un appariement entre ses bases. Les séquences dupliquées attirent les acides aminés par des liaisons hydrogènes. Ce qui constitue des groupements d'acides presque identiques. L'évolution de ce processus aboutira au code génétique et à la traduction. * La reproduction des liposomes se fait par auto-assemblage des phospholipides abiotiques puis par les phospholipides produits par un métabolisme restreint des acides gras, de l'éthanolamine, de la sérine et du glycérol. * La prolifération des premières protéines se fait par nucléation sur les liposomes à la façon de la nucléation des cristaux minéraux. == Origines géochimiques des molécules initiales == === Les sources hydrothermales des dorsales océaniques === Actuellement la plupart des recherches sur les origines de la vie se font dans les conditions des sources hydrothermales des dorsales océaniques: autour de {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et 300 bars. Il a été démontré dans ces sites que le méthane produit était d'origine abiotique ( Charlou<ref> Charlou J.L., Donval J.P., Fouquet Y., Jean-Baptiste P., Holm N., « Geochemistry of high H2 and CH4 vent fluids issuing from ultramafic rocks at the Rainbow hydrothermal field », Chemical Geology, vol. 191, 2002, p. 345-359. [http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]</ref> 2002, Proskurowski<ref>Giora Proskurowski, Marvin D. Lilley, Jeffery S. Seewald, Gretchen L. Früh-Green, Eric J. Olson,1 John E. Lupton, Sean P. Sylva, Deborah S. Kelley: Abiogenic Hydrocarbon Production at Lost City Hydrothermal Field . Science vol 319, 1 février 2008 [http://www.sciencemag.org/ sciencemag]</ref> 2008 ). Depuis, des travaux en laboratoire, dans des conditions de température et de pression analogues ont montré qu'on puisse synthétiser abiotiquement: * Des acides gras et des alcools à longue chaine par le procédé Fischer-Tropsch: Rushdi<ref>Ahmed I. Rushdi, and Bernd R.T. Simoneit: Lipid formation by aqueous fischer-tropsch-type synthesis over a temperature range of 100 to {{Unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Origins of Life and Evolution of Biospheres (2001) 31: 103–118.</ref> 2001, McCollom 1999<ref>T.M.McCollom et al. 1999: Lipid synthesis under hydrothermal conditions by fischer-tropsch-type reactions . Origins of Life and Evolution of the Biosphere 29: 153–166, 1999</ref>, 2006<ref>T.M.McCollom et al. 2006:Carbon isotope composition of organic compounds produced by abiotic synthesis under hydrothermal conditions. Earth and Planetary Science Letters Volume 243, Issues 1-2, 15 March 2006, Pages 74-84</ref>. * Les esters de ces acides gras avec le glycérol: Rushdi<ref>Ahmed I. Rushdi, and Bernd R.T. Simoneit : Abiotic condensation synthesis of glyceride lipids and wax esters under simulated hydrothermal conditions . Origins of Life and Evolution of Biospheres (2006) 36: 93–108 . DOI: 10.1007/s11084-005-9001-6 [http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]</ref> 2006. * Les acides aminés Ser, Ala, Asp et éthanolamine: A.D. Aubrey 2009<ref>A.D. Aubrey, H.J. Cleaves, Jeffrey L. Bada: The Role of Submarine Hydrothermal Systems in the Synthesis of Amino Acids. Orig Life Evol Biosph (2009) 39:91–108.[http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]</ref>. * De l'adénine: Michael Franiatte 2008<ref>Michael Franiatte, Laurent Richard, Marcel Elie, Chinh Nguyen-Trung, Erwan Perfetti, Douglas E. LaRowe: Hydrothermal Stability of Adenine Under Controlled Fugacities of N2, CO2 and H2. Orig Life Evol Biosph (2008) 38:139–148.[http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]</ref>. Si l’on ajoute les travaux faits dans des conditions proches des conditions hydrothermales ou même standards, on se rapproche quasiment de l'hypothèse de la chimio-osmose prébiotique: * Synthèse d'oligopeptides à partir d'acides aminés en présence de liposomes: Hideaki Tsukahara 2002<ref>Hideaki Tsukahara, Ei-Ichi Imai, Hajime Honda, Kuniyuki Hatori and Koichiro Matsuno: Prebiotic oligomerization on or inside lipid vesicles in hydrothermal environments.Origins of Life and Evolution of the Biosphere 32: 13–21, 2002. [http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]</ref>. * Synthèse des hèmes, Lindsey<ref>Jonathan S. Lindsey, Marcin Ptaszek, Masahiko Taniguchi: Simple Formation of an Abiotic Porphyrinogen in Aqueous Solution. Orig Life Evol Biosph (2009) 39:495–515. DOI 10.1007/s11084-009-9168-3.</ref> 2009. * Synthèse des sucres à 3 carbones, dont le glycéraldéhyde, par hydroformylation à 120 bar et 100-{{Unité|140|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}<ref>Zoltán Györgydeák,István F. Pelyvás. Monosaccharide sugars: chemical synthesis by chain elongation, degradation...(Page 8). Academic Press 1998.</ref>. * [[w:en:Hydrogenation |Hydrogénation]] du glycéraldéhyde en glycérol Mis à part les travaux sur le méthane abiotique, tous ces travaux sont des expériences de laboratoire. Sur site, on a bien mesuré des traces d'hydrocarbures à chaines longues, mais l'environnement aquatique disperse en principe tous les produits par diffusion. === La poche de pétrole abiotique === Par contre il est admis par les spécialistes de ces recherches (Charlou, [http://www.ifremer.fr/serpentine/fiches/fiche8.htm Ifremer]), que les grandes quantités de gaz produites au niveau des dorsales océaniques puissent former des clathrates de gaz. Ces clathrates peuvent être recouverts de sédiments et évoluer ainsi durant des temps géologiques. C'est une des hypothèses de la formation du pétrole abiotique. * Sous la pression de quelques kilos bar de sédiments, pression beaucoup plus élevée que la pression des sources hydrothermales, les clathrates de gaz, H2 CO2 N2 H2S CH4, étant réducteurs peuvent se transformer en pétrole abiotique et en molécules organiques. À ces pressions les réactions du processus de Fischer-Tropsch pour la formation des hydrocarbures et les réactions du processus de Haber-Bosch pour la synthèse de l'ammoniac, voient leurs équilibres se déplacer vers les hydrocarbures et l'ammoniac, alors que leurs vitesses diminuent. Dans le cas du gisement de pétrole [[w:en: Pre-salt_layer |Tupi]], découvert au large du Brésil, dans une zone sans subduction, sous {{Unité|2|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} d'eau et {{Unité|5|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} de sédiments la pression est estimée à 1,5 kbar et la température à {{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Par comparaison, la pression et la température d'une poche de pétrole fossile abritant des procaryotes<ref>Dorota Wolicka, Andrzej Borkowski, and Dariusz Dobrzynski: Interactions between Microorganisms, Crude Oil and Formation Waters. Geomicrobiology Journal, 27:43–52, 2010.</ref> s'étendent sur une gamme de 400-800 bar et plus de {{Unité|55|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} respectivement. * L'apport du phosphate qu'on n'a pas mentionné jusqu'à maintenant pose le problème de solubilité de la forme minérale la plus répandue, l'apatite. Les travaux d'Arrhenius 1997<ref>G. Arrhenius, B. Sales, S. Mojzsis and T. Lee : Entropy and Charge in Molecular Evolution-the Case of Phosphate Journal of Theoretical Biology Volume 187, Issue 4, 21 August 1997, Pages 503-522 [http://www.sciencedirect.com/ sciencedirect]</ref>, ont pu montré qu'au fond des mers, les phosphates apportés par l'érosion en surface, précipitent en hydrogénophosphates. Ces derniers, à la pression standard et chauffés entre 100 et {{Unité|550|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} libèrent des oligophosphates. Je suppose que les sédiments qui recouvrent et se mélangent aux clathrates de l'hypothèse ci-dessus, apportent par ce processus, le phosphate nécessaire à la formation des liposomes de la chimio-osmose prébiotique. === Les liaisons esters des phospholipides === Ces liaisons [[w:en:Esterification | esters]] sont: acide gras-glycérol, glycérol-phosphate, phosphate-éthanolamine. Abiotiquement et sans catalyseur minéral, ce sont des réactions très lentes, athermiques et réversibles. Donc tout à fait adaptées pour les processus géochimiques. En outre dans la poche de pétrole abiotique et dans la phase huile, les vésicules aqueuses concentrent les substrats polaires et ioniques qui agissent sur les têtes carboxyles des acides gras en bordure de la vésicule. Les phospholipides se seraient formés par estérifications abiotiques de ces molécules elles-mêmes formées abiotiquement. Aux travaux d'estérification des acides gras avec le glycérol de Rushdi 2006, cités ci-dessus, il faut ajouter les travaux de L.Orgel 1996<ref>Vera Kolb and Leslie E. Orgel:Phosphorylation of glyceric acid in aqueous solution using trimetaphosphate. Origins of Life and Evolution of Biospheres Volume 26, Number 1, 7-13, DOI: 10.1007/BF01808156.</ref> et 2004<ref>Leslie E. Orgel: Prebiotic Chemistry and the Origin of the RNA World. Critical Reviews in Biochemistry and Molecular Biology, 39:99–123, 2004 </ref>, qui a fait une synthèse de la phosphorylation de l'acide glycérique et des aldéhydes alpha-hydroxylés par le trimétaphosphate dans les conditions standard de température et de pression. == Références == <references /> o2qgmwwal7wt4g3x4djflk0tol45dxl 104 49807 881199 880659 2022-08-10T16:07:00Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki {{Travail de recherche | idfaculté = histoire | niveau = 13 | titre = Morts 14-18 }} <div style="text-align: center;">'''{{grossir|facteur=2 |Morts de septembre 1915 à août 1916}}''' {{grossir|facteur=1.3 |[[Recherche:Morts 14-18|« Quelle connerie la guerre ! »]] : [[Recherche:Morts 14-18/2013-2014|2013-14]] ; [[Recherche:Morts 14-18/2014-2015|2014-15]] ; [[Recherche:Morts 14-18/2015-2016|2015-16]] ; [[Recherche:Morts 14-18/2016-2017|2016-17]] ; [[Recherche:Morts 14-18/2017-2018|2017-18]] ; [[Recherche:Morts 14-18/2018-2019|2018-19]]}}</div> [[Fichier:Nécropole Douaumont.JPG|thumb|upright=1.5|Alignements de tombes de la [[w:Ossuaire de Douaumont|nécropole de Douaumont]], photo prise lors d'une sortie scolaire de février 2013 sur le champs de bataille de {{w|Verdun}} ([[w:Meuse (département)|Meuse]]).]] Les séances de l'année scolaire 2015-2016 sont consacrées à la période de début septembre 1915 à fin août 1916. → Articles connexes à utiliser : [[w:Seconde bataille de Champagne|bataille de Champagne]], [[w:Bataille de Verdun (1916)|bataille de Verdun]] et {{w|bataille de la Somme}}. == Travail à faire == {{Principe |titre=Consignes aux élèves |contenu= # Choisir un militaire parmi ceux proposés ci-dessous (chacun le sien) ; # enquêter pour savoir qui il est, en utilisant les ressources proposées ; # rédiger un petit paragraphe présentant le parcours de ce militaire et de son unité. }} '''Première étape''' : la [http://www.memoiredeshommes.sga.defense.gouv.fr/fr/arkotheque/client/mdh/base_morts_pour_la_france_premiere_guerre/ base des « morts pour la France »] permet de trouver le nom complet (avec le deuxième voir troisième prénoms pour éviter les homonymes), la fiche fournissant la date et le lieu de naissance, la classe (année des {{unité|20|ans}}, année du recensement avant de faire son service militaire), le numéro matricule lors du recrutement, le grade, l'unité, ainsi que la date et le lieu de décès. '''Deuxième étape''' : à partir de la classe et du numéro matricule, les [http://archives.yvelines.fr/article.php?larub=27&titre=registres-d-incorporation-militaire registres de matricules de Versailles] (si il est du département, sinon il faut consulter les archives d'un autre département, en espérant qu’elles soient en ligne...) fournissent les identités des parents, une description physique, le métier et un récit des affectations. '''Troisième étape''' : avec les noms de l'unité d'affectation (régiment ou bataillon), une recherche sur Wikipédia donne le lieu de casernement et les différents opérations (on peut consulter aussi le [http://www.memoiredeshommes.sga.defense.gouv.fr/fr/arkotheque/inventaires/recherche.php?fam=3 journal de marche de l'unité sur le site mémoire des hommes]). Pour d'autres sources (par exemple le recensement), cf. [[Recherche:Morts_14-18#Sources]]. Éléments à rechercher (si possible) : * nom complet (pour éviter les homonymes), date et lieu de naissance ; * lieu de domicile (si possible la rue), membres de la famille, travail dans le civil ; * dates d'incorporation (début du service militaire) et/ou de mobilisation, classe (année des {{unité|20|ans}}) ; * régiment, lieu(x) de casernement, corps d'armée d'affectation, grade, opérations pendant la guerre ; * date et lieu de décès, type de décès, lors de quelle bataille, âge au décès et lieu de sépulture. Pour les sources, cf. [[Recherche:Morts_14-18#Sources]]. == Morts == === Gaëtan ANTONUGGI === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Agathe et Nora (1{{re}} S 3) en janvier 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Gaëtan ANTONUGGI, né le 18 mai 1891 à Paris dans le [[w:17e arrondissement de Paris|17{{e}} arrondissement]]. {{w|Caporal}} au [[w:107e régiment d'infanterie (France)|107{{e}} régiment d'infanterie]], mort le 5 septembre 1915 suite à ses blessures. Son corps est enterré au cimetière de {{w|Habarcq}}, dans le {{w|Pas-de-Calais}}, tandis que son nom est inscrit parmi la liste des « [[w:Mort pour la France|morts pour la France]] ». === Alexandre BOUTET === Alexandre Désiré BOUTET, soldat au 290{{e}} régiment d'infanterie, mort le 19 septembre 1915 à Rivière (dans le Pas-de-Calais). === Victor EVRARD === Victor François EVRARD, mort le 22 septembre 1915 à Souchez (Pas-de-Calais). === Jacques BERNAUER === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Cece (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Jacques BERNAUER est né le 17 octobre 1883 à Paris. Il fait partie de la classe 1903, ce qui signifie qu’il a eu {{unité|20|ans}} en 1903 et qu’il commence son {{w|service militaire}} cette année là. Il fût affecté au moment de la [[w:Mobilisation française de 1914|mobilisation d'août 1914]] au sein du 346{{e}} régiment d'infanterie (c'est-à-dire un régiment composé de [[w:Réserve militaire|réservistes]]), comme soldat de 2{{e}} classe. Son numéro de matricule au recrutement était le 3600. Sur la période du 22 au 23 septembre 1914, les 346{{e}} et 356{{e}} régiments d'infanterie ont attaqué le village de {{w|Lironville}}, dans la {{w|Meurthe-et-Moselle}}. Pendant deux jours, les différents {{w|bataillon}}s se sont succédé lors des attaques pour récupérer Lironville. À la fin de ces deux jours de combat, les pertes s'élèvèrent à 760 hommes. Selon le soldat responsable du {{w|journal des marches et opérations}}, « ces pertes du 346{{e}} témoignent de l'acharnement du combat. » Le 23 septembre 1914, Jacques Bernauer a succombé de ses blessures à Lironville. Jacques n’est pas natif de {{w|Croissy-sur-Seine}}, il habitait {{w|Bagnolet}}. Mais sa famille a dû s'installer à Croissy vers la fin de la guerre, et payer pour l'inscription de son nom sur le monument aux morts de la commune. === Louis MISTIGRY === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Jeanne et Marie (1{{re}} ES 4) en novembre 2016|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Louis Eugène Marcel MISTIGRY est né le 22 septembre 1892 dans les Yvelines à Chatou. De la classe 1912, il s'engage volontairement en 1913, avec le matricule 5568 lors de son recrutement à Versailles. Il reçoit le grade de caporal dans le 68{{e}} régiment d'infanterie. Il est mort le 25 septembre 1915 à Wailly (Pas-de-Calais). JMO du 28e RI : http://www.memoiredeshommes.sga.defense.gouv.fr/fr/ark:/40699/e005279f2e10334c/5279f2e21902c === Henry CHABLE === Henry CHABLE, né au Royaume-Uni, soldat au 2{{e}} {{w|régiment de marche}} du 2{{e}} étranger, mort le 25 septembre 1915. {{w|2e régiment de marche du 2e étranger}}. === Gaston CHAUVELIN === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Les Loubards (1{{re}} ES 4)|couleurbord=blue|couleurfond=#F9FFB2|padding=0}} Gaston Joseph Pierre CHAUVELIN est né le 31 janvier 1886 à Paris dans le 8{{e}} arrondissement et vivait au Vésinet, avenue du Belloy. Cet homme mesurait 1 m 70, avait les cheveux et sourcils châtains, les yeux gris, la bouche moyenne, le nez fort et le visage ovale. Le soldat Gaston CHAUVELIN était soldat de 2{{e}} classe dans le 53{{e}} régiment d'infanterie colonial (53{{e}} RIC). Il fut recruté au bureau de recrutement de Versailles, canton de Saint-Germain. Il s'engagea volontairement pour {{unité|3|ans}}. Il fut porté disparu en août 1915 à Souain (Marne), puis fut déclaré décédé le 25 septembre 1915 par le jugement du tribunal de Versailles en date du 1{{er}} février 1921. # REDIRECTION MEMOIRE DES HOMMES ²[http://www.memoiredeshommes.sga.defense.gouv.fr/fr/arkotheque/client/mdh/base_morts_pour_la_france_premiere_guerre/resus_rech.php] === Georges PIERRE === Georges Auguste PIERRE, mort le 25 septembre 1915 à Neuville-Saint-Vaast (Pas-de-Calais). === Henri REIGNOUX === Henri Louis REIGNOUX, mort le 25 septembre 1915 à Massignes (Marne). === Georges RAY === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Laré Demonku (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Georges Honoré RAY est le fils de Jules Louis et de Blanche Léontine Marie, né le 17 juin 1896 à {{w|Chatou}} (dans le département de la {{w|Seine-et-Marne}}) et mort à l'âge de {{unité|20|ans}} le 25 septembre 1915 à {{w|Baconnes}} (dans la [[w:Marne (département)|Marne]]). Il appartenait au [[w:101e régiment d'infanterie|101{{e}} régiment d'infanterie]] (101{{e}} RI). Georges avait un visage long, les cheveux brun, les yeux marrons, un nez long et un front vertical. Il mesurait environ un mètre 68. Il a été déclaré mort le 29 juin 1918 par le tribunal de Versailles, car il a été porté disparu jusqu'à ce jour. Il repose aujourd’hui à la {{w|nécropole nationale d'Aubérive}}, sous le numéro de sépulture 2114 où il repose seul. Il fait partie des « morts pour la France » dont les noms sont affichés sur le monument aux morts de Chatou. === Adrien MASSON === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par adri LA POUC(1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Adrien Jules MASSON est né le 12 mai 1889 à {{w|Croissy-sur-Seine}}. Il était de la classe 1905, c'est-à-dire qu'il a eu {{unité|20|ans}} en 1883. Son numéro de matricule était le 2015. Il est « mort pour la France » le 25 septembre 1915 à {{w|Massignes}}, déclaré « tué à l'ennemi ». Il était 2{{e}} classe au [[w:23e régiment d'infanterie coloniale|23{{e}} régiment d'infanterie coloniale]] (23{{e}} RIC). === Maurice BLANCHARD === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Team Maurice (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=blue|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Maurice Félix BLANCHARD, {{w|caporal fourrier}} au 21{{e}} régiment d'infanterie colonial (21{{e}} RIC), né le 10 avril 1889 à {{w|Croissy-sur-Seine}}. Il est le mort le 25 septembre 1915 (à Massiges, Marne). Fils de Félix BLANCHARD et de Berthe Marie PORTAT domiciliés à Croissy-sur-Seine. Physiquement il était châtain, avait les yeux marron clair, avait un front moyen, un nez droit, une bouche moyenne, un menton rond et un visage ovale. Il mesurait 1 mètre 69. Il a été « tué à l'ennemi ». Son matricule de recrutement est le 2779. Il est incorporé le 4 octobre 1910, à l'âge de {{unité|21|ans}}, au 69{{e}} régiment d'infanterie et immatriculé sous le n° 3613. Arrivé au corps et soldat de 2{{e}} classe le 4 octobre 1910. Envoyé dans la disponibilité le 25 septembre 1912 puis passé dans la réserve de l'armée active le 1{{er}} octobre 1912. Il a été rappelé à l'activité par suite de mobilisation générale du 1{{er}} août 1914, arrivé le 3 août 1914 au 21{{e}} régiment d'infanterie coloniale. Il a été par la suite nommé {{w|caporal}} le 24 février 1915, puis nommé caporal fourrier le 16 mai 1915. {{...}} === Louis BISSOLATI === Louis Charles BISSOLATI, soldat au 21{{e}} RIC, mort le 25 septembre 1915 à Massiges (Marne). === Yves COCHEREL === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Cloclo et Clacla (1{{re}} ES 2) en novembre 2018|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Yves COCHEREL est né le 29 juillet 1882 à {{w|Croissy-sur-Seine}} ; il a les cheveux et les sourcils châtains, les yeux bleus, le front moyen et couvert, nez et bouche moyen, visage rond. Il est mort le 26 septembre 1915 dans le Pas-de-Calais, « tué à l'ennemi ». Il est incorporé le 16 novembre 1904 dans le 6èe régiment d'infanterie et immatriculé sous le numéro 5959, c'est un soldat de 2e classe. Il a reçu un certificat de bonne conduite. Le 1er octobre 1906, il est affecté au régiment d'infanterie de Falaise-Paris. Condamné le 2 février 1911 par le jugement contradictoire du tribunal conseil de Versailles à six jours de prison et 5 francs d'amende, pour outrage aux agents et ivresse. === Adrien BONNET === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par ViCha (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Adrien Eugène BONNET est né le 8 décembre 1880 à {{w|Croissy-sur-Seine}} dans le département de la {{w|Seine-et-Oise}}. Adrien BONNET avait des yeux gris vert, un nez moyen, une bouche moyenne, un visage ovale et un menton à fossette. Il mesurait un mètre 65. Il était affecté au 3{{e}} [[w:Escadron|escadron]] du [[w:Train (Armée française)|train des équipages]] lors de son service militaire. En tant que [[w:Réserve militaire|réserviste]], il était membre du 20{{e}} escadron du train des équipages à {{w|Versailles}} puis il est muté dans le 20{{e}} [[w:Bataillon|bataillon]] de [[w:Chasseur à pied|chasseurs à pied]]. Il décède le 28 septembre 1915 à {{w|Givenchy-en-Gohelle}}. Il est annoncé comme mort à sa famille le 28 avril 1916. === François CRAUSER === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par QU , Cam-Cam et Clém (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} François Ernest CRAUSER, {{w|Sapeur (militaire)}} au 1{{er}} régiment du [[w:Génie militaire|génie]], mort le 28 septembre 1915 au nord de Massiges (Marne). François Crauser Ernest est né le 25 février 1883 au [[w:Le Vésinet|Vésinet]], dans le département de {{w|Seine-et-Oise}}. Il était le fils de Jean Pierre Pernault et de Lavigne Marie Josephe Elisabeth. Il était surnommé Georges par ses camarades. François Crauser, avant d’être appelé au combat, était cordonnier. François Crauser mesurait un mètre 83, il avait un visage ovale, un menton rouet, le front couvert, une bouche de taille moyenne, un nez fort, des yeux gris avec les cheveux bruns et les sourcils noires. Il a été recruté à Versailles, son numéro de matricule était le 2337. Il a été ajourné un an en 1904 et en 1905 et il a été bon pour les services auxiliaires en 1906 réservés aux personnes possédant des faiblesses. François a été rappelé à l'activité par suite de la mobilisation générale le 1{{er}} août et est arrivé dans son régiment le 3 août 1914. En septembre 1915, la [[w:Bataille de Champagne (1915)|bataille de Champagne]] fut un vrai carnage. Là bas, François creusait (jeu de mot avec son nom de famille) entre autre des tranchées, coupaient les barbelés... François Creuset avait pour grade sapeur (équivalents de simple soldat) dans le premier {{w|régiment du génie français}}. Lors de l'offensive de Champagne, François est mort le 28 septembre 1915 au nord de {{w|Massiges}}. === Louis CAUBIT === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par DEMSKO 2.0 & SAAD LA MENACE & JB2O (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=20}} Louis Jean Robert CAUBIT, {{w|Caporal|brigadier}} au 12{{e}} régiment de cuirassiers, née le 4 janvier 1887. Il avait les yeux gris, les sourcils châtains, un front étroit, une bouche moyenne, un visage ovale, un menton rond et mesurait 1m75. Il est déclaré décédé le 29 septembre 1915 dans {{w|la Marne (département français)}} par le jugement du tribunal de Versailles le 21 janvier 1921. Son numéro de {{w|matricule}}, lors de son recrutement, était le 2563. Il est « mort pour la France », déclaré tué par l'ennemi. === René BOUDVILLAIN === René Hubert BOUDVILLAIN, soldat au 282{{e}} RI, mort le 29 septembre 1915 (à Souchez, Pas-de-Calais). === Robert LECHARD === Robert Louis LECHARD, mort le 1{{er}} octobre 1915 à Vimy (Pas-de-Calais) === Joseph DARNAY === Joseph DARNAY, soldat au 41{{e}} RIC, mort le 2 octobre 1915 à Souchez (Pas-de-Calais) === Léon BERSON === Léon Alexandre BERSON, caporal au 43{{e}} RIC, mort le 3 octobre 1915 (à Givenchy-en-Gohelle). === André KNODERER === André Georges KNODERER, canonnier au 17{{e}} régiment d'artillerie, mort le 7 octobre 1915 en mer Ionienne sur le vapeur ''Amiral Hamelin''. === Paul CAMILLE === Paul Marie Joseph CAMILLE, mort le 8 octobre 1915 à Auroy. === Hippolyte BÉHURET === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Arnaud et La Portos (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Hippolyte Augustin BÉHURET est né le 20 janvier 1880 à {{w|Montesson}} et il est mort le 8 octobre 1915 à Virginy (dans la Marne). Cet homme fut nommé caporal le 11 février 1915, et il est affecté au 21{{e}} régiment d'infanterie coloniale (21{{e}} RIC) à {{w|Évreux}} ; il a été recruté à {{w|Versailles}}. Hippolyte a des cheveux châtains, ses yeux sont gris-verts. Son visage est ovale et il mesure un mètre 76. Il est l'enfant d'Hipollyte et de Berker Rosalie, il a été tiré au sort dans le canton de {{w|Saint-Germain-en-Laye}} afin de faire son service militaire. Il fut rappelé à l'activité par suite de [[w:Mobilisation française de 1914|mobilisation générale]] le 3 août 1914 Béhuret monta en grade : il passa de soldat de 2{{e}} classe à soldat de 1{{re}} classe. Son numéro de matricule est le 1116 et il appartient à la classe 1900<ref>http://memoiresdeshommes.fr</ref>. === Jean COURNON === Jean Edmond Adrien COURNON, caporal au 224{{e}} RI, mort le 8 octobre 1915 à [[w:Sommepy-Tahure|Tahure]] (Marne) === Edmond DUVAL === Edmond DUVAL, a 2{{e}} classe au 82{{e}} RI, mort le 26 octobre 1915. === Maurice GUIMARD === Maurice Ferdinand GUIMARD, mort le 2 novembre 1915 à Moulins (Allier) === Louis PIQUE === Louis Henri PIQUE, mort le 9 novembre 1915 à Souchez (Pas-de-Calais) === Adolphe CORDONNAIRE === Adolphe CORDONNAIRE, {{w|soldat}} au 23{{e}} {{w|Régiment d'infanterie territorial}}, mort de maladie le 9 novembre 1915 à Saint-Germain-en-Laye. === Edmond CLÉNET === Edmond Henri CLÉNET, {{w|soldat}} au {{w|43e régiment d'infanterie de marine}}, mort le 16 novembre 1915. === Alexandre LEVANNEUR === Alexandre LEVANNEUR, sergent au 18{{e}} RIT, mort le 13 novembre (ou octobre ?) 1915 à Souain (Marne). === Paul BONLEU === Paul Louis BONLEU, sergent au 22{{e}} RIC, mort à Éclusier (Somme). === Louis GAY === Louis Paul GAY, mort le 27 novembre 1915 à Nieuport (Belgique) === Henri MATHERON === Henri MATHERON, mort le 31 décembre 1915 à Montdidier (Somme) === Adrien HARMANT === Adrien Paul HARMANT, mort le 24 janvier 1916 à Nieuport (Belgique) === Eugène NOEL === Eugène NOEL, mort le 13 février 1916 à Souain-Perthes-lès-Hurlus (Marne) === Émile CINET === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par les bitchs (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Émile CINET, fils de François et de Marie CINET, né le 12 juin 1897 à Miraumont (Somme) et mort le 24 juin 1916 aux Épargnes (Meuse) à l'âge de {{unité|19|ans}}, il fut tué à l'ennemi. Il s'était engagé volontairement. Sa classe de mobilisation était en 1916. Il n'a présenté aucune blessure lors de la guerre jusqu'à sa mort, et il n'a pas été condamné pendant la guerre. Il était 3{{e}} classe au 13{{e}} régiment d'infanterie dès le 24 février 1915. Son numéro de matricule de recrutement était 346 et au sein de l'infanterie était 7828. Il mesurait 1 mètres 69, avait les cheveux châtain et les yeux marron. Sa profession d'origine était menuisier. À la suite de la campagne menée contre l'Allemagne, il mourut et reçut après sa mort la médaille militaire. {{...}} === André BAUJARD === André Pierre Pascal BAUJARD, soldat au 164{{e}} RI, mort le 22 février 1916 (Meuse). === Henri BESNARD === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par les guisterlouz (1{{re}} S 3) en janvier 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Henri Marie Théodore BESNARD, fils de Théodore Felix Auguste et de Ferrand Esther Marthe, est né en 1881 à {{w|Chatou}} dans le département de la {{w|Seine-et-Oise}} (correspondant aux actuelles {{w|Yvelines}}). Il est fruitier de sa profession. Physiquement, il est châtain, il a les yeux bleus, le front ordinaire, un nez et une bouche moyenne, un menton rond et, enfin, un visage ovale. Il mesure un mètre 64. Il commence son service militaire en 1901 (il fait donc partie de la classe 1901), recruté à {{w|Versailles}} avec le matricule 2967. Ayant une {{w|hernie inguinale}} droite, il est simplement considéré bon pour les services auxiliaires (mais pas assez bon pour le service actif à cause de son handicap). Pourtant lorsqu’il est rappelé à l'activité lors de la [[w:Mobilisation française de 1914|mobilisation générale de 1914]], il est affecté au [[w:24e régiment d'infanterie|24{{e}} régiment d'infanterie]], au 2{{e}} {{w|bataillon}} caserné à {{w|Bernay}} (dans l’[[w:Eure (département)|Eure]]) dès le 2 août 1914. Au début de la guerre, il est âgé de {{unité|33|ans}} et a le grade de soldat de seconde classe. Au régiment, son matricule est le 18953. Dans le cadre de la [[w:Mobilisation française de 1914|mobilisation de 1914]], le régiment quitte ses casernes le 6 août pour prendre le train. Faisant partie du [[w:3e corps d'armée (France)|3{{e}} corps d'armée]], le régiment est envoyé dans les Ardennes, puis sur la {{w|Sambre}} en Belgique, où il est engagé face aux forces allemandes le 22 août 1914 lors de la {{w|bataille de Charleroi}}. Pendant la [[w:Grande Retraite|retraite qui suit]], le régiment est de nouveau engagé lors de la {{w|bataille de Guise}} et la [[w:Bataille de la Marne (1914)|bataille de la Marne]]. En mai 1915, le régiment participe au sein du [[w:v|21{{e}} corps]] à la [[w:Bataille de l'Artois (mai-juin 1915)|bataille d'Artois]] à {{w|Aix-Noulette}}. Le 22 février 1916, Henri décède à {{w|Hangest-en-Santerre}} dans le département de la [[w:Somme (département)|Somme]]. Les causes de sa mort restent cependant incertaines : il est sans doute mort suite à des blessures de guerre ou peut-être serait-il mort parce qu’il a été gazé. En effet, ce 22 février 1916 le régiment subit une attaque allemande aux gaz. Ce jour-là, deux cent autres hommes se retrouvent au poste de secours. === Louis CHAUVON === Louis François CHAUVON, {{w|sergent}} au 21{{e}} {{w|régiment d'infanterie}}, mort le 12 mars 1916. === Jean DUEGOU === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par WéMa (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}}Jean DUEGOU, 2{{e}} classe au 61{{e}} BCP, mort le 16 mars 1916 (à Verdun) Jean DUEGOU né le 20 janvier 1885 au Vésinet en Seine-et-Oise (aujourd'hui en Yvelines). Il fût appelé à ses {{unité|20|ans}} et recensé en 1907 à Paris. Il a été soldat de 2{{e}} classe. Il meurt pour la France le 16 mars 1916 à Verdun, d'une blessure de guerre. Il faisait partie du 61{{e}} bataillon de chasseurs à pied. Son numéro de matricule au corps était 06678, et celui du recrutement était 3684. Le 14 mars 1916, le 61{{e}} bataillon de chasseurs à pied arrive au fort de Tavane près de Verdun, où il subit ses premiers bombardements d'obus et par conséquent ses premiers morts. Le 16 mars 1916 Jean DUEGOU trouva la mort sous ces bombardements. === Sébastien MADELIN === Sébastien Marie Jean MADELIN, mort le 1er avril 1916 à Warvillers (Somme) === Léon DEBEAUPUIS === Léon Alphonse Bernard DEBEAUPUIS, mort le 7 avril 1916 à Avocourt (Meuse) === Henri FELPIN === Henri-Julien-Joseph FELPIN, {{w|sous-lieutenant}} au [[w:74e régiment d'infanterie|74{{e}} régiment d'infanterie]], est né le 14 juillet 1891 dans le [[w:16e arrondissement de Paris|14{{e}} arrondissement de Paris]]. Ses parents se nommaient Jules Armand et Jeanne Joséphine Dumas, et habitaient dans la commune du {{w|Vésinet}}, au 13 rue de la Meule. Il est décédé le 12 avril 1916 pendant la {{w|bataille de Verdun}}, dans la zone entre les forts [[w:Fort de Vaux|de Vaux]] et [[w:Fort de Douaumont|Douaumont]], dans le [[w:Meuse (département)|département de la Meuse]]<ref>{{lien web |titre=Citation publiée par le conseil municipal du Vésinet |url=http://www.histoire-vesinet.org/citations-1916.htm |site=http://www.histoire-vesinet.org/ }}.</ref>. Ce jeune homme, blond au yeux bleu, ayant un visage ovale, qui mesurait 1m65, était employé de commune. Son numéro matricule lors de son recrutement au corps était 2965. Il est maintenant enterré dans une tombe individuelle à la [[w:Ossuaire de Douaumont|nécropole nationale de Douaumont]] dans la {{w|Meuse}}. C'était un engagé volontaire pour trois ans, le 20 octobre 1909 à la mairie de {{w|Limoges}} au titre du 21{{e}} régiment de chasseurs à cheval. Il est remis brigadier sur sa demande le 20 septembre 1912. Il a eu le certificat de bonne conduite accordé et obtenu de la Commission du Corps. Il a ensuite obtenu le certificat d'aptitude à l'emploi de chef de {{w|peloton}} le 18 septembre 1912. Passé dans la réserve de l'armée active le 20 octobre 1912, il est rappelé à l'activité suite à une grande mobilisation et est nommé sous-lieutenant à titre temporaire et affecté au 74{{e}} {{w|régiment}}<ref>http://www.memoiredeshommes.sga.defense.gouv.fr/fr/ark:/40699/m00523a04d7b1623/5242c0f76624b</ref>{{,}}<ref>http://archives.yvelines.fr/arkotheque/client/ad_yvelines/incorporation_militaire_indexation/resus_rech.php</ref>. === Lucien BISSOLATI === Lucien Étienne BISSOLATI, {{w|soldat}} au {{w|418e régiment d'infanterie}}, mort le 20 avril 1916 (au bois d'Avocourt, Meuse). === Maurice SENOYER === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Féfé et Chlochlo (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Maurice SENOYER est né le 23 septembre 1887 à Chatoux en ex {{w|Seine-et-Oise}}. Il a été recruté au bureau de recrutement de Versailles en 1907. Il a été nommé {{w|caporal}} au {{w|41e régiment d'infanterie coloniale}} le 14 octobre 1915. Son numéro de matricule était le 2578. Il est mort le 23 avril 1916 dans la {{w|Meuse}} (nécropole de Haudromont), tué par l'ennemi. Il est ajourné au service de 1908 il l'effectue donc en 1909. Fils d'Hipppolite SENOYER et d'Angeline COSSET, il était télégraphiste. C'était un petit homme d'un mètre 61. Il avait les cheveux châtains foncés, les yeux gris, le nez fort, la bouche moyenne, le menton a fossette, le front petit et le visage ovale. Il habitait rue de Saint-Germain à Chatou. === Joseph ENGELHARD === Joseph Raoul ENGELHARD, mort le 9 mai 1916 au Vésinet (Seine-et-Oise) === Georges MARTAIS === Georges Blaise MARTAIS, mort le 1er juin 1916 à Douaumont (Meuse) === Eugène RATEAU === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Vivizerahdlastreetduturfu et clemclemdu78izioklmlabanlieue (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=blue|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Eugène RATEAU, {{w|caporal}} au [[w:5e régiment d'infanterie (France)|5{{e}} régiment d'infanterie]], il est mort le 1{{er}} juin 1916 à {{w|Fleury-devant-Douaumont}} dans la Meuse (il est enterré dans la nécropole de Douaumont). Eugène RATEAU est né le 8 janvier 1889 à {{w|Chatou}} dans le département de Seine-et-Oise (actuel département des Yvelines). Il a les yeux gris-bleus et les cheveux châtains, il mesure un mètre 70. Il est le fils de Louis Auguste et de Caroline Désirée Desfontaines. Il était maçon. Il a fait son service militaire en 1909 (numéro matricule 5469) et a été incorporé au 37{{e}} régiment le 11 octobre 1910 et est considéré comme un réserviste durant la guerre; il fait partie de la {{w|Réserve militaire}}. Il a été classé {{w|soldat}} en 1911, le 1{{er}} octobre 1912 il passe dans la réserve de l'{{w|armée active}}. Il a été rappelé a l'activité par suite de mobilisation générale et arrive au 5{{e}} régiment d'infanterie le 2 aout 1914 et nommé caporal le 11 octobre 1915. Il est mort tué au combat le 1{{er}} juin 1916. === Robert DUVAL === Robert Marcel DUVAL, mort le 12 juin 1916 à Baleicourt (Meuse) === Émile BRUNET === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Tartuk (1{{re}} ES 4)|couleurbord=black|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Émile Louis BRUNET, matricule: 4705, née le 11 septembre 1893 au Vésinet, département de Seine-et-Oise. Il avait les cheveux châtains clairs, les yeux marrons clair, un front moyen, un nez moyen, un visage lourd, une petite bouche, des lèvres moyennes et un teint mat. Il faisait un mètre 64. Il était employé de commerce. Son père s'appelait Maurice Léon et sa mère, Marie Chalumeau. Soldat au {{w|39e régiment d'infanterie}}, il est mort le 14 juin 1916 à Verdun. Incorporé à partir du 4 septembre 1914. Arrivé au corps le 4 septembre 1914, il passe soldat de {{w|deuxième classe}} le 21{{e}} jour. Tué à l'ennemi le 14 juin 1916 devant Verdun (Meure) et déclaré « mort pour la France »<ref>http://www.memoiredeshommes.sga.defense.gouv.fr/fr/ark:/40699/m005239dc4481d8d/5242bca38be91</ref>. === Auguste EYL === Auguste EYL, mort le 1er juillet 1916 à Maricourt (Somme) === Alexandre BOUILLET === Alexandre BOUILLET, marsouin au {{w|23e régiment d'infanterie coloniale}}, mort le 2 juillet 1916 à Dompierre-Becquincourt (Somme). === Camille PERRET === Camille Philippe Léon PERRET, mort le 12 juillet 1916 à Faucaucourt (Somme) === Charles RIEUL === Charles Jean RIEUL, mort le 13 juillet 1916 à Belleray (Meuse) === Messire ROUVEL === Messire Oscar ROUVEL, mort le 23 juillet 1916 à Marcelcave (Somme) === Théodore CIMON === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Marion et Marianne (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Théodore Albert CIMON, {{w|caporal}} au 25{{e}} {{w|régiment d'infanterie territoriale}} (25{{e}} RIT : la territoriale correspond à des soldats particulièrement âgés), est né le 28 septembre 1871 dans la [[w:Sarthe (département)|Sarthe]] à {{w|Marolles-les-Braults}} en France. Il est mort de maladie inconnue durant son service le 17 août 1916 à Amiens dans l'hôpital temporaire numéros 10. L'acte de jugement fût rendu le 17 août 1916 par le maire du Vésinet (78) en France. === Louis BURON === Louis Georges Théodore BURON, {{w|caporal}} au {{w|17e bataillon de chasseurs à pied}}, mort le 26 août 1916 (blessures, à Flaucourt, Somme). === Émile COULON === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par gustave eiffel (1{{re}} ES 4) en novembre 2015|couleurbord=red|couleurfond=#F6FFB2|padding=0}} Émile Désiré Aimable COULON, né 17 décembre 1895 à Croissy-sur-Seine dans le département de la Seine-et-Oise (actuel Yvelines) et domicilié à Croissy-sur-Seine et travaille en tant que cultivateur. Il fait un mètre 73, il a les yeux bleus et les cheveux châtain. Il commence son service militaire en 1915 ; son matricule est 4457. Il participe à la {{w|Première Guerre mondiale}} à l'âge de {{unité|20|ans}} et « meurt à l'ennemi » le 31 août 1915 dans la forêt de la Mîne dans l'Aisne (actuel bois d'Aubreaux près de la commune de Pontavert)<ref>{{lien web |url=http://pages14-18.mesdiscussions.net/pages1418/forum-pages-histoire/cherche-situer-mine-sujet_7867_1.htm |titre=PdD forum |site=http://pages14-18.mesdiscussions.net/pages1418/}}.</ref> dans une mission avec les régiments de la 5{{e}} division (la {{1re}} compagnie du 3{{e}} bataillon du 3{{e}} régiment du [[w:Génie militaire|génie]] était affectée à la 5{{e}} {{w|Division (militaire))}} d'infanterie. Il a participé à la campagne contre l'Allemagne du 21 décembre 1914 jusqu'au 31 août 1915. === Robert LEPEINTRE === {{Cadre simple|contenu=Recherches réalisées par Clem (1{{re}} ES 2) en novembre 2018|couleurbord=red|couleurfond=#FF8080|padding=0}} Robert est un soldat de la classe 1915,aux 76ème régiment d'infanterie, matricule 123 il a été recruté à Versailles, il a {{Unité|20|ans}} quand il est envoyé au combat il est née en 1895 à Chambourcy. Robert est mort le 26 septembre 1915 à Tahure, il est mort au combat. Robert a des cheveux bruns et des yeux châtain verdâtre, un nez rectiligne, un visage ovale, il mesure 1 mètre 76. Mr Lepeintre était maçon. Il avait une femme, Madame Lepeintre. Robert vivait aux Vésinet dans le canton de Saint Germain dans le département de Seine et Oise. Son degré d'instruction est de trois. Fiche matricule : https://archives.yvelines.fr/ark:/36937/s0053dcb0e0ad992/53dcb0e170d37 == Notes et références == {{références}} 27m6lu9zw8ep8e554c07dydvcqm3ra7 0 58909 881196 808888 2022-08-10T15:25:33Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 2 | précédent = [[../Historique/]] | suivant = [[../Scribunto/]] | niveau = 12 }} Lua peut s'utiliser à la fois comme un langage de script avec son propre interpréteur local, mais aussi pour produire des scripts pour d'autres plateformes. Cette leçon se concentre sur l'utilisation de Lua avec son propre interpréteur installé localement. et disponible sur Lua.org. Reportez-vous à la prochaine leçon pour l'étude de Lua et sa nouvelle extension Scribunto pour Mediawiki. == Prérequis == Vous aurez besoin de l’interpréteur Lua que vous pouvez télécharger via le site officiel. L'archive contient le compilateur et quelques exemples de script. Votre système d'exploitation propose probablement une version propre. Le programme est léger, facile et rapide à installer même sur OpenSuse. == Interpréteur en ligne de commande == L’interpréteur en ligne de commande est un outil utile pour tester rapidement votre code. Il exécute les lignes de commandes dès que vous appuyez sur <kbd>Enter</kbd> et retient un bloc d'instructions (comme une condition ou boucle) jusqu’à ce que vous l'ayez terminée par son code <code>end</code>. Si vous avez installé le programme, ouvrez le terminal et saisissez <code>lua</code> pour démarrer l’interpréteur. Sinon [http://www.lua.org/download.html télécharger] pour l'installer, où suivez [http://www.lua.org/demo.html La démo Lua, interpréteur en ligne]. Voici un exemple de session: <syntaxhighlight lang=lua> Lua 5.1.1 Copyright (C) 1994-2006 Lua.org, PUC-Rio > print("Hello, world!") Hello, world! > print(5+7) 12 > if true then >> print(true) >> end true </syntaxhighlight> La première ligne utilise la fonction print pour renvoyer le message "Hello World" sous forme de chaine de caractères (string). Les nombres et valeurs booléennes peuvent s'afficher par le biais de la même commande print. L’interpréteur ajoute automatiquement un symbole ">" aux blocs pour les indenter sur la ligne de commande. Quand vous avez terminez faites Ctrl-D (EOF) pour fermer l’interpréteur. == Exécuter et compiler un programme == La méthode précédente est convenable pour tester quelques instructions, pas pour écrire un script. Les scripts sont communément enregistrés dans des fichiers avec le suffixe <code>.lua</code>. Pour exécuter le script on passe le nom du fichier à l’interpréteur en argument de la commande lua. <code>lua monscript.lua</code> Vous pouvez compiler votre script avec: <code>luac monscript.lua</code>, qui va compiler le code binaire dans un fichier nommé <code>luac.out</code>. Vous utiliserez le paramètre -o pour spécifier le fichier de sortie. Ce qui donne :<code>luac -o outputfile inputfile</code>. == Variables == La suite de cette leçon vous montre des exemples de code ; à vous de "jouer" en les testant directement sur l’interpréteur ou via un fichier. Lua attribue de façon dynamique leur type aux variables, ou plutôt les variables n'ont pas de type, seules les données en ont. Concrètement, vous pouvez attribuer à une même variable des données de types différents... Observez ceci : <syntaxhighlight lang=lua> a = 15 print(a) a = "Hello" print(a) </syntaxhighlight> Output: <samp><pre>15 Hello</pre></samp> Avantage : vous pouvez manipulez facilement des données de différents types avec une seule variable ; inconvénient : les données aux formats inattendus peuvent provoquer des erreurs. === Types de données === Heureusement, la liste des types de données basiques disponibles est courte: * ''boolean'': Soit '''true''' soit '''false''' * ''number'': Un nombre réel (précision virgule flottante) * ''string'': Une chaîne de caractères "Opa pessoal, sou Carioca!". * ''function'': Les fonctions sont des valeurs de première-classe pour Lua (nous en reparlerons). * ''userdata'': Un objet C que vous passez à Lua (nous en reparlerons). * ''thread'': Co-routine Lua (nous en reparlerons). * ''table'': Les tables qui sont la clé du langage car elles constituent une structure de données flexible (nous en reparlerons souvent). * ''nil'': Nul est un type de donnée '''nil''', qui représente l’absence de valeur '''nil''' Constitue avec les tables l'autre clé du langage, une variable doit avoir une valeur sinon elle devient nil... == Voir aussi == [[v:en:Lua| Lua for Wikiversity (en)]] {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Historique/]] | suivant = [[../Scribunto/]] }} 0yft8r0cgn4qg0u7yythllrj4c1i9um 0 58925 881195 820235 2022-08-10T15:25:19Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = informatique | numéro = 6 | précédent = [[../Variables/]] | suivant = [[../Conditions/]] | niveau = 12 }} {{nobots}} Un module de Lua Scribunto est une page de l'espace de nom "Module" qui utilise une table comme variable locale pour stocker ses fonctions et variables mais aussi pour renvoyer la réponse à la fin du processus. Une expression est formée de valeurs, variables et opérateurs ces derniers ont classés en trois catégories: arithmétique, relationnelle, logique. Cette leçon montre comment utiliser les expression dans un script<ref>[[MW:Extension:Scribunto/Lua_reference_manual/fr#Expressions|Aide Mediawiki sur les expressions]]</ref>. __TOC__ == Prérequis == Cette leçon suppose que vous ayez assimilé la leçon [[../Variables | Variables]]. == Créer un script Lua avec des expressions == # Rendez-vous sur le [[Module:Sandbox]]. # Supprimer le code existant. # Ajouter le code suivant et enregistrer la page <syntaxhighlight lang="lua"> local p = {} function p.arithmetic() local a = 3 local b = 2 local result result = ';Arithmetic\n' result = result .. ':a is ' .. a .. '\n' result = result .. ':b is ' .. b .. '\n' result = result .. ':a + b is ' .. a + b .. '\n' result = result .. ':a - b is ' .. a - b .. '\n' result = result .. ':a * b is ' .. a * b .. '\n' result = result .. ':a / b is ' .. a / b .. '\n' result = result .. ':a % b is ' .. a % b .. '\n' result = result .. ':a ^ b is ' .. a ^ b .. '\n' result = result .. ':-a is ' .. -a .. '\n' return result end function p.relational() local a = 3 local b = 2 local result result = ';Relational\n' result = result .. ':a is ' .. a .. '\n' result = result .. ':b is ' .. b .. '\n' result = result .. ':a == b is ' .. tostring(a == b) .. '\n' result = result .. ':a ~= b is ' .. tostring(a ~= b) .. '\n' result = result .. ':a < b is ' .. tostring(a < b) .. '\n' result = result .. ':a > b is ' .. tostring(a > b) .. '\n' result = result .. ':a <= b is ' .. tostring(a <= b) .. '\n' result = result .. ':a >= b is ' .. tostring(a >= b) .. '\n' return result end function p.logical() local a = 3 local b = 2 local result result = ';Logical\n' result = result .. ':a is ' .. a .. '\n' result = result .. ':b is ' .. b .. '\n' result = result .. ':a < b and b < a is ' .. tostring(a < b and b < a) .. '\n' result = result .. ':a < b or b < a is ' .. tostring(a < b or b < a) .. '\n' result = result .. ':a < b is ' .. tostring(a < b) .. '\n' result = result .. ':not (a < b) is ' .. tostring(not (a < b)) .. '\n' return result end function p.length() local string = 'This is a string' local result result = ';Length\n' result = result .. ':The length of "' .. string .. '" is ' .. #string return result end return p </syntaxhighlight> == Tester votre script == # Rendez-vous sur "votre page de test". # Ajouter le code suivant et enregistrer la page <blockquote><pre> {{#invoke:Sandbox|arithmetic}} {{#invoke:Sandbox|relational}} {{#invoke:Sandbox|logical}} {{#invoke:Sandbox|length}} </pre></blockquote> Le résultat doit correspondre à ceci: <blockquote> ;Arithmetic :a is 3 :b is 2 :a + b is 5 :a - b is 1 :a * b is 6 :a / b is 1.5 :a % b is 1 :a ^ b is 9 :-a is -3 ;Relational :a is 3 :b is 2 :a == b is false :a ~= b is true :a < b is false :a > b is true :a <= b is false :a >= b is true ;Logical :a is 3 :b is 2 :a < b and b < a is false :a < b or b < a is true :a < b is false :not (a < b) is true ;Length :The length of "This is a string" is 16 </blockquote> == Comprendre le script == # <code>local</code> Le code qui suit défini les variables '''a''', '''b''' et '''result''' ; a et b sont initialisés ; result est <code>nil</code>. # <code>3</code> et <code>2</code> sont des valeurs littérales numériques. # <code>';Arithmetic\n'</code> est une chaine de caractères littérale, Lua accepte également le symbole " parfois appelé guillemet français ou double-guillemets comme délimiteur pour les chaines: <code>";Arithmetic\n"</code>. # <code>\n</code> représente une nouvelle ligne. Le contenu qui suit apparaitra sur la ligne suivante dans votre page de test. # <code>..</code> est l'opérateur permettant de concaténer (c-à-d joindre) deux chaines de caractères. Les valeurs numériques sont automatiquement converties en string lors de cette opération. # <code>+</code>, <code>-</code>, <code>*</code>, et <code>/</code> sont les opérateurs respectifs d'addition, soustraction, multiplication et division. # <code>%</code> est appelé modulo il calcul le reste de la division euclidienne. # <code>^</code> opérateur exposant, élève à la puissance. # <code>-</code> précédé d'une variable est l'opérateur de négation- # <code>==</code> comparateur d’équivalence. # <code>~=</code> comparateur de non-équivalence (différence exacte). # <code><</code>, <code>></code>, <code><=</code>, et <code>>=</code> opérateurs de comparaison respectivement, inférieur, supérieur, inférieur ou égal, supérieur ou égal. # <code>tostring()</code> converti explicitement le contenu en chaine de caractère (string). Les comparateurs ne convertissent pas le type des valeurs. # <code>and</code> retourne false si l’opération de gauche est fausse, ou la valeur de droite si l’opération de gauche est vraie. ... #:Cette approche gauche/droite est plus efficace, car l’opérateur logique <code>and</code> stop son évaluation dès que le résultat est faux. # <code>or</code> retourne vrai si l’opération de gauche est vraie, ou la valeur de droite si l'opération de gauche fausse... #:Cette approche gauche/droite est plus efficace, car l’opérateur logique <code>or</code> stop son évaluation dès que le résultat est vrai. # <code>not</code> retourne l'opposé vrai/faux de ce qui suit... # <code>#</code> retourne la longueur de la variable qui suit. == Conclusion == Félicitation vous êtes capable de créer, tester et comprendre un script Lua avec des expressions. Continuez avec la leçon [[../Conditions | Conditions]]. == Voir aussi == * [[Wikipedia: Expression (informatique)]] == Références == {{Références}} [[v:en:Lua| Lua for Wikiversity (en)]] {{Bas de page | idfaculté = informatique | précédent = [[../Variables/]] | suivant = [[../Conditions/]] }} 8y851jt8mt7mqdge6l6h4r103euvpm4 0 60737 881198 771403 2022-08-10T16:06:35Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki {{Leçon du jour | idfaculté = psychologie | département = Psychopathologie et psychologie clinique | niveau = 12 }} [[Recherche:Principes du travail collaboratif|Voir : Recherche:Principes du travail collaboratif]] Les '''principes du travail collaboratif''' consistent en des règles de conduite, de courtoisie et de respect des contributions apportées par les participants à un travail collaboratif, contributif ou collectif. == Méthodes appliquées == Les prises de décision du groupe — concerné par un travail collaboratif — sont guidées par «la pertinence de l'argumentation développée»<ref>Sylvain Connac, « La classe coopérative ou l'autorité de l'argument », Diotime, no 32,‎ janvier 2007.</ref>. Le travail collaboratif s'appuie donc sur une culture de l'argument qui se construit différemment suivant les domaines décisionnels, pragmatiques ou subjectifs. Dans ce dernier cas, il n'est plus nécessaire de convaincre le groupe ni d'obtenir un vote majoritaire, mais d'entrer dans une logique de recherche du meilleur argument par dialogisme : <blockquote>«Nous cherchons à nous entendre entre nous au titre de ce que nous acceptons pour valable, c'est-à-dire exact, pertinent, correct, vrai. Donc cela signifie que nous nous situons sous la loi de l'argument meilleur en attendant un meilleur, sachant qu'il n'y a pas d'argument définitivement meilleur.»<ref>J. Habermas</ref></blockquote>Les sciences de l'Homme, la philosophie, la psychologie ou les sciences politiques relèvent ainsi de méthodes de travail collaboratif fondées sur un espace contradictoire de parole partagée, rendant compte des désaccords, des conflits et des divisions. La subjectivité de ces domaines implique que les consensus n'y sont jamais neutres, mais qu'au contraire ils reproduisent des schémas sociaux de domination dogmatique, partisane ou hiérarchique<ref>Pierre Bourdieu et Jean-Claude Passeron, La reproduction : Éléments d’une théorie du système d’enseignement, Les Éditions de Minuit, coll. « Le sens commun »,‎ 1970, 284 p.</ref>. La solution collaborative se construit progressivement au moyen de débats argumentés permettant de confronter les idées, d'évaluer les décisions et d'opposer contradictoirement les points de vue des participants<ref>Françoise Darses, « Analyse du processus d'argumentation dans une situation de reconception collective d'outillages », Le travail humain, vol. 69, no 4,‎ 2006, p. 317-347.</ref>. Pour Anne-Laure Fayard et John Weeks de Harvard, les facteurs de la proximité, de l'intimité et de la permissivité sont déterminants de l’efficacité du travail collaboratif<ref>-en- Anne-Laure Fayard et John Weeks, « Who moved my cube? », Harvard Business Review,‎ juillet 2011.</ref>. En particulier, la permissivité peut se comprendre comme un respect donné à la créativité de chacun, ou encore comme un droit à la Joie :<blockquote>"La joie c'est tout ce qui consiste à remplir une puissance. (...) La méchanceté c'est quoi? C'est empêcher quelqu'un de faire ce qu'il peut. C'est empêcher quelqu'un de faire, d'effectuer sa puissance. Si bien qu'il n'y a pas de puissance mauvaise. (...) Je dirais que tout pouvoir est triste... même si ceux qui ont le pouvoir se réjouissent beaucoup de l'avoir ... C'est une joie triste"<ref>''J comme Joie'', L'Abécédaire de Gilles Deleuze, téléfilm français produit par Pierre-André Boutang et réalisé par Michel Pamart, 1988.</ref>.</blockquote>Afin que chaque contributeur garde motivation et plaisir dans son travail, un certain nombre d'interdits relevant du bon sens, de l'éthique professionnelle et de la déontologie peuvent être dégagés afin de définir ce qui n'est pas efficace dans le cadre d'un projet de travail collaboratif. Voici, Par ordre décroissant de gravité, une liste opérationnelle non exhaustive des procédés contraires aux principes démocratiques de l'argumentation, nécessaires au respect des principes du travail collaboratif et contributif : *<blockquote>l'obstruction systématique ;</blockquote> *<blockquote>la modification multiple visant à empêcher la discussion et à dissimuler une obstruction systématique ;</blockquote> *<blockquote>les suppressions à la chaîne de contributions ;</blockquote> *<blockquote>la suppression de contribution référencée sans contre-référence ;</blockquote> *<blockquote>la suppression de contribution sans discussion préalable ;</blockquote> *<blockquote>la suppression de contribution, non argumentée à la fois sur le fond et la forme ;</blockquote> *<blockquote>la dénégation argumentée par des propos incohérents ou absurdes ;</blockquote> *<blockquote>les arguments prêtant aux interlocuteurs des propos, des intentions ou des idées qu’ils n’ont pas soutenus ;</blockquote> *<blockquote>les discussions ne tenant pas compte des arguments soulevés par les interlocuteurs ;</blockquote> *<blockquote>les réponses de dénégation non argumentée ;</blockquote> *<blockquote>les discussions présentant des arguments incohérents ;</blockquote> *<blockquote>la double modification empêchant de revenir sur la modification précédente ;</blockquote> *<blockquote>l'argument non référencé, etc.</blockquote> == Scientificité == "Science sans conscience n'est que ruine de l'âme". L'argument de la scientificité des TCC et de "l'evidence based medicine" est systématiquement opposé à la subjectivité de la psychanalyse comme un critère de vérité, d'efficacité et de consensus international. La France incarnant un des rares pays laïcs au monde, il est probable que la psychanalyse y puise sa force dans des motions spirituelles qui dans les autres pays sont encore régulées par des religions, des philosophies spirituelles ou des sectes. Toutefois, au coeur même du développement d'une religion, on y trouve des travaux scientifiques, parfois des découvertes importantes comme celle du moine Mendel avec ses petits pois et l'hérédité génétique. La théologie en elle-même est un modèle précurseur de la démarche scientifique, accompagné de la diffusion d'un savoir sur l'homme par des textes et qui a induit un travail sur la langue et les lettres. Là où la science s'est imposée comme un progrès au regard du prototype religieux, c'est en proposant une démarche réflexive, en constant mouvement, rejetant les dogmes, l'intégrisme et le fondamentalisme. Là encore, les sciences modernes ne sont pas exemptes de dogmatisme ; la psychanalyse a pu occuper une position monopolistique excessive en psychologie par exemple, ce qui n'est plus le cas aujourd'hui. Les progrès médicaux, en proposant des remèdes encore plus miraculeux que les miracles eux-mêmes, puisqu'on peut les expliquer, se propagent de plus en plus dans les modes de vie, de pensée, et du vivre ensemble, comme une véritable toile de fond dont la psychanalyse n'est peut-être bien aujourd'hui qu'une parenthèse francophone, une exception culturelle dont le matérialisme et la rigueur rationnelle restent compatibles avec le monde moderne. Face à la réaction des déçus de la psychanalyse, et de tous ceux qui ne se sont pas sentis libres de penser et de se soigner différemment, les psychanalystes sont confrontés à de nouveaux dogmes médicaux qui répètent ses propres erreurs passées, souvent encore pleines de vigueur. Ainsi, de ce point de vue, non seulement la psychanalyse n'a pas été et n'est pas toujours scientifique, mais en plus les "sciences" actuelles, en particulier en psychologie, instaurent de nouveaux dogmes et à ce titre s'écartent de l'esprit scientifique, fait de doutes et de remises en question. De plus le critère de la réfutabilité de Poppers ne peut plus aujourd'hui faire référence du fait de l'avancée des sciences dures, avec l'avènement de la théorie des cordes, qui ne peut pas être réfutée parce que ses variations sont infinies et ne peuvent donc pas être toutes prouvées. Ces considérations nous amènent à proposer une idée, dans le but de repérer à quel moment une discipline s'inscrit dans une éthique et un esprit scientifique, et à quel moment elle s'en éloigne : la science ne s'efface jamais elle-même. Elle se remet en question, réinterprète ses hypothèses, mais elle s'inscrit toujours dans une lignée symbolique qui implique le respect et l'étude de ses aïeux. Serait donc scientifique l'attitude des tenants d'une discipline consistant à défendre leurs idées avec des arguments, des recherches et la capacité de dialogue, alors que ne le serait pas celle consistant à vouloir détruire une autre discipline ou d'autres modes de pensée, que ce soit par une violence politique comme le lobbying, économique, physique ou monopolistique. En effet, le jugement d'impiété serait toujours issu d'une démarche intégriste incompatible avec l'éthique propre au progrès scientifique. Galilée et sa rétractation illustrent bien ce fait de la propension des religions à utiliser la violence, ici physique, pour imposer leur vision du monde. De même, Einstein et sa théorie de la relativité n'ont jamais visé à effacer les découvertes de Newton et Kepler, ni à nier leur utilité par exemple en mécanique ou thermodynamique. L'invention de la télévision n'a pas supprimé les postes de radios, ni les livres. La croyance des hommes antiques en un globe terrestre plat issue de l'observation de la ligne d'horizon n'est plus valide aujourd'hui, mais chaque écolier se souvient et étudie avec toute l'humanité cette erreur, tandis que l'observation de cette ligne reste toujours valide comme objet de science. Les intuitions et les croyances ont toujours aidé les scientifiques à penser, à concevoir leurs hypothèses, ou comme dirait Einstein, féru d'astrologie et croyant, à les imaginer. La récente découverte d'un filament de matière noire dans l'univers montre bien que parfois l'intuition et l'observation directe sont justes dès le départ : combien de temps, d'efforts et d'investissement a-t-il fallu pour démontrer cette évidence qu'il y a quelque chose de noir entre les étoiles ?<ref>''Un filament de matière noire repéré'', Sean Bailly, Pour la science, 2012, [http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-un-filament-de-matiere-noire-repere-30165.php Lire en ligne]</ref> Pouvez-vous trouver des exemples de découvertes scientifiques ayant été totalement effacées ou annulées par de nouvelles découvertes qui se seraient imposées par violence ? Quelle forme de violence symbolique serait de bonne guerre en la matière ? Comment pourrait on présenter ces arguments en faveur de la préservation d'une dose de psychanalyse dans nos pratiques à des parents, des professionnels ou des patients ? Un cheminement alternatif serait d'abandonner la prétention dogmatique pour un modèle dialectique, pour éviter que la psychologie ne dévie à nouveau vers une vision du monde et une philosophie au travers du modèle de société scientiste que nous connaissons, quand précisément Freud a défini la psychanalyse comme distincte d'une mythologie, d'une vision du monde. La perspective spirituelle et artistique sur laquelle s'ouvre la psychanalyse française est une source de dialogue interculturel, utile au travail participatif, conforme à la norme internationale de la domination, dans l'ordre du savoir et des pratiques traditionnelles, par les courants spirituels et religieux dans la majorité des cultures de notre planète, en particulier les États-Unis. == Notes & Références == <references /> === Articles connexes === Processus collaboratif pair à pair Droit collaboratif -en- Nétiquette, <nowiki>RFC 1855</nowiki>, 1995, Sally Hambridge pour l'Intel Internet Engineering Task Force ([https://tools.ietf.org/pdf/rfc1855.pdf lire en ligne]) [[Recherche:Déclaration des droits des internautes|Déclaration des droits des internautes]] 68ivzjh1fo4iicxrkxarticu79bol1e 0 61121 881197 772835 2022-08-10T16:05:22Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <div id="moocwikiv"> =Mallette pédagogique Troubles du comportement = === [[Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement | Menu-Mallette pédagogique Troubles du comportement ]] === </div> [[Fichier:Chrono-3'.png|alt=durée de lecture 3 mn|droite|sans_cadre|125px]] == Objectif == Connaître les différents moyens responsabilisant les élèves. == Que mettre en place ? == Nous allons tenter de faire prendre conscience aux élèves de l’importance de leurs actes. * '''En observant :''' Noter sur un cahier les dysfonctionnements pour pouvoir montrer aux partenaires que tel jour à telle heure il s’est passé un incident. L’observation fine des élèves est un élément important. L’observation non planifiée des élèves, l’observation critériée, construite antérieurement . On peut aussi les filmer et leur passer le film. * '''En discutant :''' L’entretien est très important, il va permettre à l’élève de mettre en mots et d'effectuer un retour réflexif sur sa conduite : ''Pourquoi et comment permettre à l’élève de prendre conscience de ses actes ?'' Attention l’enseignant n’est pas un psychologue ou un confident et doit toujours respecter sa posture professionnelle. Il doit trouver le moment adéquat pour s’entretenir avec l’élève afin de mettre en mots ses difficultés, de revenir sur un comportement inadapté, pour relever un comportement positif. * '''Avec un contrat, un tableau des engagements :''' Le contrat comme le tableau des engagements permettent à l'enfant de prendre du recul par rapport à ses actes. Cela doit leur permettre de repérer les comportements qui ne sont pas adaptés, de se contrôler et d'adopter de meilleures attitudes. Ils doivent permettre de mettre en lumière les bonnes attitudes et de les valoriser. Chaque outil doit être élaboré avec les élèves. Leur mise en œuvre doit toujours être accompagnée d'une discussion. == Comment les mettre en place ? == En personne, l’élève s’engage ainsi que ses parents et l’enseignant. Il faut mettre en place une définition claire de l’objectif. Il est important de contractualiser avec les parents. Ils sont nos premiers partenaires. * '''Le contrat''' C’est une convention par laquelle une ou plusieurs personnes s’engagent. Le fait d’établir un contrat responsabilise l’élève, il est acteur, il va d’ailleurs signer le contrat. On peut contractualiser des efforts sur le comportement mais aussi contractualiser un travail. On peut contractualiser des choses différentes. Le contrat est '''balisé''' : date et durée, objectifs, parties signataires, moyens mis en oeuvre, réengagement, évaluation ... On peut aussi dire pas de contrat pendant un certain temps . Pas de surprise pour l’élève : tout est inscrit dans le contrat. '''A qui on le diffuse ?''' Classe, école, utiliser le réseau spécialisé et aux parents. Si l’élève a des difficultés en cours de récréation le contrat va être diffusé aux collègues. '''Comment l’évaluer ?''' En conseil de classe, lors d'un entretien, lors d'un rendez-vous avec les parents : la famille est le premier partenaire. L'enseignant se doit de garder des traces du comportement des élèves par une observation fine notée pour travailler dans le respect :''"j’ai relevé telle et telle chose et on va trouver des solutions".'' '''cf page “outils”''' sur laquelle va se trouver des modèles de contrats prêts à l’emploi et modifiables, ainsi que le tableau des engagements. On peut également attribuer des tâches responsabilisantes : * '''Le tableau de responsabilités et des métiers de la classe''' '''Pourquoi un tableau ?''' La classe est une mini société : pour que les élèves se sentent reconnus, ils participent tous à la construction et à la vie de la classe. On met une étiquette "en repos" plutôt que de dire que l’élève n’a pas de tâche car si on est en repos on est présent et on ne nous a pas oublié. Chaque détail compte surtout pour des enfants au profil abandonnique. '''Pourquoi le mettre en place ?''' Il fait partie de la pédagogie coopérative dès le début de l’année, tout le temps et pour tous. Le tableau peut être à la journée ou à la semaine en fonction du profil de la classe. <div style="text-align: right"> [[Troubles du comportement-Mise en place d_un conseil de cooperation|< Précédent]] | [[Troubles du comportement-Mise en place du developpement de l_autonomie| Suivant >]] </div> [[Catégorie:Mallette troubles du comportement]] l1jehsmrz9rml1vg6gai7y3odcc1i84 0 71498 881211 821879 2022-08-11T11:08:05Z Slzbg 68495 Il manquait une voyelle. wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | niveau = 12 | numéro = 1 | suivant = [[../Décomposition de vecteurs/]] }} == Exercice n^o 1 == Soit <math>ABCD</math> un parallélogramme. # Construire les points <math>E</math>, <math>F</math>, <math>G</math> et <math>H</math> tels que : <math>\vec{AE} = 3 \vec{AB}</math>, <math>\vec{BF} = 3 \vec{BC}</math>, <math>\vec{CG} = 3 \vec{CD}</math> et <math>\vec{DH} = 3 \vec{DA}</math>. # '''Recopier''' et compléter l'égalité suivante en utilisant la relation de Chasles : <math>\vec{EF} = \vec{EA} + \ldots + \vec{BF}</math>. En déduire l'expression du vecteur <math>\vec{EF}</math> en fonction des vecteurs <math>\vec{AB}</math> et <math>\vec{BC}</math>. # Donner une expression du vecteur <math>\vec{HG}</math> en fonction des vecteurs <math>\vec{DC}</math> et <math>\vec{AD}</math>. # Montrer que : <math>\vec{EF} = \vec{HG}</math>. Que pouvez-vous en conclure ? {{Solution|contenu= <ol> <li> [[File:Parallelogram with protruding sides.svg|500px]] </li> <li> :<math>\begin{align} \vec{EF} &= \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BF} \\ &= -\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{BF} \\ &= -3 \vec{AB} + \vec{AB} + 3 \vec{BC} \\ \vec{EF} &= -2 \vec{AB} + 3 \vec{BC} \end{align}</math> </li> <li> :<math>\begin{align} \vec{HG} &= \vec{HD} + \vec{DG} \\ &= \vec{HD} + \vec{DC} + \vec{CG} \\ &= -\vec{DH} - \vec{CD} + \vec{CG} \\ &= -3 \vec{DA} - \vec{CD} + 3 \vec{CD} \\ &= -3 \vec{DA} + 2 \vec{CD} \\ \vec{HG} &= 3 \vec{AD} - 2 \vec{DC} \end{align}</math> </li> <li> Dans le parallélogramme ''ABCD'', :<math>\begin{align} \vec{AB} &= \vec{DC} \\ \vec{AD} &= \vec{BC} \end{align}</math> donc :<math>\begin{align} \vec{EF} &= -2 \vec{AB} + 3 \vec{BC} \\ &= -2 \vec{DC} + 3 \vec{AD} \\ \vec{EF} &= \vec{HG} \end{align}</math> </li> </ol> }} == Exercice n^o 2 == Dans un repère <math>(O ; \vec{i} ; \vec{j})</math>, on considère les points : <math>A(2; 1)</math>, <math>B(5; 3)</math>, <math>C(3; -3)</math> et <math>D(6; -1)</math>. # Démontrer que <math>ABDC</math> est un parallélogramme. # Soit <math>E</math> le symétrique de <math>D</math> par rapport à <math>B</math>. Calculer les coordonnées du point <math>E</math>. # Quelle est la nature du quadrilatère <math>ACBE</math> ? Justifier votre réponse. {{Solution|contenu= <ol> <li> Dans le repère <math>(O ; \vec{i} ; \vec{j})</math> : :<math>\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{CD}\begin{pmatrix}x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix} = \vec{CD}\begin{pmatrix}6 - 3 \\ -1 - (-3) \end{pmatrix} = \vec{CD}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{AB}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{CD}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix}</math> Donc <math>ABDC</math> est un parallélogramme. </li> <li> <math>E</math> est le symétrique de <math>D</math> par rapport à <math>B</math> donc <math>B</math> est le milieu de <math>[ED]</math>. :<math>x_B = \frac{x_E + x_D}{2}</math> :<math>\Leftrightarrow 2 x_B = x_E + x_D</math> :<math>\Leftrightarrow x_E = 2 x_B - x_D</math> :<math>y_B = \frac{y_E + y_D}{2}</math> :<math>\Leftrightarrow 2 y_B = y_E + y_D</math> :<math>\Leftrightarrow y_E = 2 y_B - y_D</math> :<math>E(2 x_B - x_D ; 2 y_B - y_D)</math> :<math>\Leftrightarrow E(2 x_B - x_D ; 2 y_B - y_D)</math> :<math>\Leftrightarrow E(2 \times 5 - 6 ; 2 \times 3 - (-1))</math> :<math>\Leftrightarrow E(4 ; 7)</math> Donc <math>E(4 ; 7)</math>. </li> <li> :<math>\vec{AC}\begin{pmatrix}3 - 2 \\ -3 - 1 \end{pmatrix} = \vec{AC}\begin{pmatrix}1 \\ -4 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{BE}\begin{pmatrix}7 - 5 \\ -5 - 3 \end{pmatrix} = \vec{BE}\begin{pmatrix}2 \\ -8 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{BE} = 2 \vec{AC}</math> <math>\vec{BE}</math> et <math>\vec{AC}</math> sont colinéaires et ne sont pas de la même longueur donc <math>ACBE</math> est un trapèze. </li> </ol> }} == Exercice n^o 3 == Soit <math>ABCD</math> un rectangle. On note <math>E</math> le symétrique de <math>C</math> par rapport à <math>B</math> et <math>F</math> le symétrique de <math>A</math> par rapport à <math>D</math>. Le point <math>G</math> est tel que : <math>\vec{AG} = \frac{2}{3} \vec{AB}</math>. # On se place dans le repère <math>(A ; \vec{AB} ; \vec{AD})</math>. Donner les coordonnées des points <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> et <math>D</math> dans ce repère (aucune justification nécessaire). # Calculer les coordonnées de <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math>. # Les points <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math> sont-ils alignés ? Justifier la réponse. {{Solution|contenu= <ol> <li> Dans le repère <math>(A ; \vec{AB} ; \vec{AD})</math> : :<math>A(0 ; 0)</math> :<math>B(1 ; 0)</math> :<math>C(1 ; 1)</math> :<math>D(0 ; 1)</math> </li> <li> <math>E</math> est le symétrique de <math>C</math> par rapport à <math>B</math> donc <math>B</math> est le milieu de <math>[EC]</math> donc : :<math>x_B = \frac{x_E + x_C}{2}</math> :<math>\Leftrightarrow 2 x_B = x_E + x_C</math> :<math>\Leftrightarrow x_E = 2 x_B - x_C</math> :<math>y_B = \frac{y_E + y_C}{2}</math> :<math>\Leftrightarrow 2 y_B = y_E + y_C</math> :<math>\Leftrightarrow y_E = 2 y_B - y_C</math> :<math>E(2 x_B - x_C ; 2 y_B - y_C)</math> :<math>\Leftrightarrow E(2 \times 1 - 1 ; 2 \times 0 - 1)</math> :<math>\Leftrightarrow E(1 ; -1)</math> Donc <math>E(1 ; -1)</math>. <math>F</math> est le symétrique de <math>A</math> par rapport à <math>D</math> donc <math>D</math> est le milieu de <math>[AF]</math> donc : :<math>x_D = \frac{x_A + x_F}{2}</math> :<math>\Leftrightarrow 2 x_D = x_A + x_F</math> :<math>\Leftrightarrow x_F = 2 x_D - x_A</math> :<math>y_D = \frac{y_A + y_F}{2}</math> :<math>\Leftrightarrow 2 y_D = y_A + y_F</math> :<math>\Leftrightarrow y_F = 2 y_D - y_A</math> :<math>F(2 x_D - x_A ; 2 y_D - y_A)</math> :<math>\Leftrightarrow F(2 \times 0 - 0 ; 2 \times 1 - 0)</math> :<math>\Leftrightarrow F(0 ; 2)</math> Donc <math>F(0 ; 2)</math>. On sait que <math>\vec{AG} = \frac{2}{3} \vec{AB}</math>. :<math>x_G - x_A = \frac{2}{3} (x_B - x_A)</math> :<math>\Leftrightarrow x_G - x_A = \frac{2}{3} x_B - \frac{2}{3} x_A</math> :<math>\Leftrightarrow x_G = \frac{2}{3} x_B + \frac{1}{3} x_A</math> :<math>y_G - y_A = \frac{2}{3} (y_B - y_A)</math> :<math>\Leftrightarrow y_G - y_A = \frac{2}{3} y_B - \frac{2}{3} y_A</math> :<math>\Leftrightarrow y_G = \frac{2}{3} y_B + \frac{1}{3} y_A</math> :<math>G(\frac{2}{3} x_B + \frac{1}{3} x_A ; \frac{2}{3} y_B + \frac{1}{3} y_A)</math> :<math>\Leftrightarrow G(\frac{2}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 ; \frac{2}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times 0)</math> :<math>\Leftrightarrow G(\frac{2}{3} ; 0)</math> Donc <math>G(\frac{2}{3} ; 0)</math>. </li> <li> :<math>\vec{EG}\begin{pmatrix}\frac{2}{3} - 1 \\ 0 - (-1) \end{pmatrix} = \vec{EG}\begin{pmatrix}\frac{-1}{3} \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{EF}\begin{pmatrix}0 - 1 \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \vec{EG}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{EF} = 3 \vec{EG}</math> <math>\vec{EF}</math> et <math>\vec{EG}</math> sont colinéaires donc les points <math>E</math>, <math>F</math> et <math>G</math> sont alignés. </li> </ol> }} == Exercice n^o 4 == <math>ABC</math> est un triangle. On note <math>M</math>, <math>N</math> et <math>P</math> les points tels que : <math>\vec{AM} = \frac{2}{3} \vec{AB}</math>, <math>\vec{AN} = 2 \vec{AC}</math> et <math>\vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{BC}</math>. # Exprimer <math>\vec{MN}</math> et <math>\vec{NP}</math> en fonction de <math>\vec{AB}</math> et <math>\vec{AC}</math>. # Démontrer que les points <math>M</math>, <math>N</math> et <math>P</math> sont alignés. {{Solution|contenu= <ol> <li> :<math>\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN}</math> :<math>\Leftrightarrow \vec{MN} = \frac{-2}{3} \vec{AB} + 2 \vec{AC}</math> :<math>\vec{NP} = \vec{NA} + \vec{AB} + \vec{BP}</math> :<math>\Leftrightarrow \vec{NP} = -2 \vec{AC} + \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC}</math> :<math>\Leftrightarrow \vec{NP} = -2 \vec{AC} + \vec{AB} - \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}</math> :<math>\Leftrightarrow \vec{NP} = \frac{1}{2} \vec{AB} - \frac{3}{2} \vec{AC}</math> </li> <li> :<math>\frac{-4}{3} \vec{NP} = \frac{-4}{3} (\frac{1}{2} \vec{AB} - \frac{3}{2} \vec{AC})</math> :<math>\Leftrightarrow \frac{-4}{3} \vec{NP} = \frac{-2}{3} \vec{AB} + 2 \vec{AC} = \vec{MN}</math> :<math>\Leftrightarrow \vec{MN} = \frac{-4}{3} \vec{NP}</math> <math>\vec{MN}</math> et <math>\vec{NP}</math> sont colinéaires donc les points <math>M</math>, <math>N</math> et <math>P</math> sont alignés. </li> </ol> }} == Exercice n^o 5 == On donne les points <math>M(-3 ; 0)</math> et <math>N(2 ; 1)</math> deux points d'un repère <math>(O ; I ; J)</math>. La droite <math>(MN)</math> coupe l'axe des ordonnées <math>OJ</math> en <math>P</math>. # Calculer l'ordonnée <math>y_P</math> du point <math>P</math>. # Trouvez le nombre <math>\lambda</math> tel que <math>\vec{MP} = \lambda \vec{MN}</math>. {{Solution|contenu= <ol> <li> <math>P \in (MN)</math> donc les points <math>M</math>, <math>N</math> et <math>P</math> sont alignés et les vecteurs <math>\vec{MN}</math> et <math>\vec{MP}</math> sont colinéaires. De plus <math>P \in (OJ)</math> donc <math>x_P = 0</math>. :<math>\vec{MN}\begin{pmatrix}2 - (-3) \\ 1 - 0 \end{pmatrix} = \vec{MN}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{MP}\begin{pmatrix}0 - (-3) \\ y_P - 0 \end{pmatrix} = \vec{MN}\begin{pmatrix}3 \\ y_P \end{pmatrix}</math> <math>\vec{MN}</math> et <math>\vec{MP}</math> sont colinéaires donc :<math>5 y_P - 3 \times 1 = 0</math> :<math>\Leftrightarrow 5 y_P = 3</math> :<math>\Leftrightarrow y_P = \frac{3}{5}</math> </li> <li> On cherche <math>\lambda</math> tel que <math>\vec{MP} = \lambda \vec{MN}</math>. :<math>\vec{MN}\begin{pmatrix}5 \\ 1 \end{pmatrix}</math> :<math>\vec{MP}\begin{pmatrix}3 \\ \frac{3}{5} \end{pmatrix}</math> donc <math>\lambda</math> est tel que <math>\begin{cases} 3 = \lambda \times 5 \\ \frac{3}{5} = \lambda \times 1 \end{cases}</math> donc :<math>\begin{cases} \lambda = \frac{3}{5} \\ \lambda = \frac{3}{5} \end{cases}</math> donc <math>\vec{MP} = \frac{3}{5} \vec{MN}</math> </li> </ol> }} chlcmp2ti1u857fldkcgufl2jmytrtf 104 73919 881210 773368 2022-08-11T11:07:41Z Slzbg 68495 Il manquait une voyelle. wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = mathématiques | niveau = 16 | numéro = 4 | précédent = [[../Valeur intermédiaire/]] | suivant = [[Recherche:L'espace_hypercomplexe|L'espace hypercomplexe]] }} <center>'''« D'ici quelques années, une machine pourra véritablement se faire passer pour un humain.''' »<ref>Michel {{pc|Eltchaninoff}}, ''Le match du siècle'', Philosophie magazine, avril 2018</ref></center><br> Complet ou incomplet ? Si l'intelligence est la faculté de constituer des connexions sémantiques, un monde de Kripke, elle utilise nécessairement une ''fonction de valuation'' binaire et un dispositif graphique. Pour ouvrir une connexion, il faut que nos trois postulats initiaux soient effectifs. Ce sera le premier point. Il faut ensuite que le champ sémantique existe (magma), ou, du moins une zone de magma analogique dans laquelle il sera possible de compléter le contenu énumérable. Deuxième point. Et enfin, la possibilité de suivre une trajectoire en tenant compte des objets plasmiques rencontrés. Comment automatiser la faculté de décision ? Comment identifier l'absurde ? == Loi d'intégration et absurdité == Un magma, qu'il soit naturel ou artificiel est dénombrable et complétable. S'agissant d'un continuum entre horizons, nous dirons même que les composants sont ''repérables'', c'est-à-dire qu'il existe un mode de localisation axiale fondé sur la topologie quantique normée permettant de « mesurer » la position dans l'espace-temps. L'objet ainsi localisé peut être comparé à une liste (en mémoire). Cette comparaison active une fonction de valuation qui décide si l'objet est intégrable ou non. De cette décision, découle une suite de « comportements ». Ceci établit qu'il existe plusieurs réseaux de connexion dépendant de la décision prise en rapport du résultat de valuation. Ami ? ... ou Ennemi ? Si ami, alors ..., et si ennemi, alors ? Ceci suppose, que le répertoire binaire est <u>complet</u> : liste des ''amis'' et liste des ''ennemis''. Et justement, se pose encore ici le problème du complément de ces listes, ou même de la « mise à jour ». Loi d'intégration s'oppose naturellement à une loi ... de '''désintégration''' ! Ce qui se fait naturellement, voire instinctivement, pour nous prémunir des attaques virales par exemple, l'est aussi artificiellement par le biais d'un vaccin. Mais pouvons-nous affirmer que TOUS les objets plasmiques sont répertoriés ? Ce serait affirmer que le magma est parfaitement inclus dans le plasma. Ce qui est contradictoirement [[wikt:absurde|absurde]] car si c'était le cas, le plasma serait complet et il n'y aurait pas d'éléments nouveaux à intégrer. Plasma et magma seraient confondus. Il n'y aurait AUCUNE connexion entre les deux. Nous aurions atteint la plénitude du savoir pour l’Éternité. L'ennui de la monotonie nous attendrait. Pauvre perspective ! Existe-t-il une ''bijection'' entre [0 , 2] et ‖0‖ ∪ {½ , ‖1‖ , 1½} ∪ ‖2‖ ? === Logique ... ou absurde ? === Entre la certitude ''logique'' (intégrable) et l'''absurdité'' (non-intégrable), il existe (au moins) une valeur intermédiaire imaginaire qui entre dans la considération binaire. Et, encore une fois, ce sera la réalité de cette valeur intermédiaire qui permettra l'intégration (prise de considération). Ce ne peut être qu'une '''singularité''' qui active la valeur (ni-VRAI ; ni-FAUX) de la fonction de valuation. Or, cette singularité ne peut pas être répertoriée en soit-VRAI, soit-FAUX (définitivement acceptée ou définitivement rejetée). La loi d'intégration dépend naturellement d'une règle de <u>probabilité</u> ou d'une norme <u>statistique</u>. Mais peut-on ignorer ce qui est « rare » ? Et quid de la « nouveauté » ? Pour illustrer ceci prenons l'objet magmatique classé ''absurde'' : le [[w:Paradoxe_du_barbier|paradoxe du barbier]]. Le paradoxe se situe dans le fait qu'il est impossible de prendre une décision par rapport à une directive sémantique (champ imposé). Mais est-il possible d'imposer un champ ? La première chose est donc d'annihiler ce champ en lui retournant l'absurdité. Autrement dit, sa faculté de décision dépend de la réponse faite par la fonction de valuation. Si il enfreint la règle, il est sanctionné : il se rase = il est en tort car il se rase lui-même ; il ne se rase pas, il est en tort car il doit être rasé. La fonction a la même valeur dans les deux cas. Le plasma concerne l'ensemble des hommes (<math>H</math>) qui ne se rasent pas eux-mêmes. On définit un modèle magmatique sur la CAB rasé/non-rasé et la fonction de valuation φ = VRAI/FAUX. On obtient deux mondes distincts comprenant un intermédiaire éventuel (ni-rasé ; ni-non-rasé) que nous ignorerons par décision naturelle sur un critère subjectif, qu'il serait possible d’objectiver artificiellement pour une machine intelligente, en mesurant la longueur des poils (par exemple). Notre barbier est donc soit-rasé ; soit non-rasé. S'il est rasé, il n' y a pas de difficulté pour appliquer la consigne. S'il N'est PAS rasé, c'est une <u>singularité</u> qui doit faire l'objet d'une décision particulière du champ qui doit adapter sa consigne sur un cas particulier. Nous espérons simplement que ce champ soit '''naturellement intelligent'''. Pour ce cas particulier la valeur de φ est (ni-VRAI ; ni-FAUX). C'est une réalité intermédiaire.<br><br> <center>'''Comment l'intelligence artificielle peut-elle résoudre une singularité ?</center><br> <center>{{Encadre|contenu={magma} ⊂ {plasma} ⇔ ∃k ∈ {plasma} : φ(k) = (ni-VRAI ; ni-FAUX)'''}}</center><br> Dans le continuum reliant 3 à 4 : 3.5 est-il plus près de 3 ou de 4 ? === Consistance === Nous avons défini le magma comme un schéma éthérique relationnel sur deux objets '''sans consistance''' évoluant dans un champ sémantique sur une ''ligne de champ''. La description s'apparente à une ''onde''. Le ''corpuscule'' associé est présenté comme un objet de taille 0 évoluant sur un intervalle de taille ¬0. La topologie quantique normée est fondée sur la « distance » qui sépare ces objets qui définit la « taille » de l'objet global. Ceci correspond à ce que nous savons de la géométrie classique, à savoir qu'un « segment est composé d'une infinité de points ». De la même manière, un « intervalle est composé d'une infinité de nombres ». Cette « infinité » n'étant pas dénombrable, elle correspond à un <u>plasma</u>. Jusqu'à présent, nous avons construit un « magma » grâce à une différenciation bipolaire sur des objets distinguables du continuum : le « début » et la « fin ». Puis nous avons « localisé » un objet intermédiaire imaginaire : le « milieu ». Ces trois objets caractérisent le segment (ou l'intervalle) entier par les règles de fractionnement. MAIS NOUS NE SAVONS TOUJOURS RIEN, à une échelle infinitésimale, si la séparation entre deux objets quelconques est PLEINE ou VIDE ? N a beau être « très grand », on aura toujours N x 0 = 0, même si la taille (1/n) est infiniment petite par fractionnement. Il nous faut donc trouver un mode différentiel (une CAB) capable de distinguer un objet de sa trajectoire. C'est-à-dire capable de structurer une géométrie sur la topologie quantique, en termes d'espace et de temps.<br><br> <center>{{Encadre|contenu=On appelle '''consistance''' la part d'espace et de temps occupée par un ''objet'' ou un ''intervalle''.}}</center><br> Et nous pouvons différencier les OGE plasmiques et magmatiques par une fonction de valuation de leur consistance ξ :<br><br> <center>''∀k ∈ {plasma} : ξ(k) = 0 ⇔ k ¬∈ {magma}''</center><br> ATTENTION : Si ξ(k) = ¬0, nous ne pouvons pas affirmer que k ∈ {magma}, mais seulement que k ¬¬∈ {magma}. C'est une singularité qu'il faudra évaluer par une autre CAB sur le plasma : VIDE/non-VIDE (υ(k , ¬k)): <br><br> <center>''∀k ∈ {plasma} : ξ(k) = ¬0 ∧ υ(k , ¬k) = VIDE ⇔ k ¬∈ {magma}<br>''</center><br> Les objets magmatiques sont donc '''consistants''' et '''non-vide'''. === Structure de l'espace intermédiaire === Intéressons-nous à la structuration des objets de taille fondamental que nous avons décrits au chapitre précédent. ==== Magma de taille 0 ==== Un magma de taille 0 contient trois objets confondus, et un intervalle sur une ligne de champ virtuelle contenant l'objet « milieu » (valeur intermédiaire). La caractéristique du continuum précise que la distance est nulle et la durée également. Cela correspond à une '''collision''' spatio-temporelle de deux objets évoluant sur une ligne de champ. Ces objets, de consistance non nulle au départ, sont nécessairement de consistance nulle au final. Du moins <u>dans l'absolu</u>. En effet, un magma de taille 0, contenant des objets de consistance nulle n'est pas un élément du magma. Nous le considérerons comme un élément virtuel « limite » dont la taille est 1/n, et donc bien ¬0. Il nous suffit, virtuellement toujours, d'affecter la valeur PLEIN à la fonction υ, pour décider de son appartenance au magma.<br><br> <center>''(x , y) ∈ {magma} ∧ d(x , y) = 0 ∧ τ(x , y) = 0 ⇒ υ(x , y) = PLEIN''</center><br> Toutefois, la ligne de champ « géométrique » peut se déduire de ce comportement, puisqu'il s'agit d'une ''singularité'' qui permet de compléter un continuum par identification d'une ''vir'' <u>sur</u> une trajectoire. La ''vii'' devient ''vir''. De plus, il n'y a AUCUN décalage δ entre les temps objectifs et subjectifs. Nous déduisons de ceci que l'important est le '''point de collision''' et non pas les points originaux. Nous décrirons un magma de taille nulle ainsi <br><br> <center>''‖x‖ = ]x , x[ ∧ ½ = ENTRE x et x ∧ υ(x , x) = PLEIN ∧ ξ(x) = ¬0 ∧ d(x , x) = 0 ∧ τ(x , x) = 0 ∧ δ = 0''</center><br> La consistance de cet objet de taille 0 étant non nulle, nous pourrons l'utiliser comme '''base logique des structures hypercomplexes''', fondement de continuums spatio-temporels considérés comme la relation coordonnée de deux objets sur une ligne de champ sémantique. Nous écrirons un magma de taille 0-hypercomplexe par :<br><br> <center>{{Encadre|contenu=x = ¬x ⇔ ‖x‖ ∪ ]x , x[ ∪ ‖x‖ ∧ '''ξ(x) = ¬0 ∧ ½ ∈ ]x , x['''}}</center> ==== Magma de taille 1 ==== Le magma de taille 1-hypercomplexe « contient » deux objets réels, x et y, séparés par un intervalle contenant un milieu imaginaire et qui est '''le plus petit''' objet global élémentaire d'un champ sémantique, non-fractionnable. Il se présente comme une figure symétrique autour d'un plan axial, perpendiculaire à la ligne de champ (<u>vue imaginaire d'artiste</u>). La trajectoire de x vers y et la trajectoire de y vers x sont des sortes de « vrilles inversées » corrélées de nœuds x et y, de telle sorte que le « milieu » imaginaire soit un centre de symétrie '''sur l'axe''' de deux valeurs intermédiaires z et ẕ, variables ENTRE x et y. Le graphe (simplifié) correspondant serait plutôt de la forme : x ⇐½⇒ y, avec ⇐½⇒ = {z , ½ , ẕ). Si nous observons ces trajectoires depuis le milieu imaginaire, il nous faudrait effectuer un demi-tour sur nous-mêmes pour suivre z et un demi-tour dans le même sens, et simultanément, pour suivre ẕ. Pour fixer l'idée, nous devrions suivre des yeux, simultanément, les deux cabines d'un téléphérique entre les deux stations. Tout objet magmatique ayant un milieu et un seul, il nous faut admettre l'existence d'une relation entre la taille hypercomplexe du continuum et la consistance des composants magmatiques, c'est-à-dire une relation qui permette de distinguer deux objets (consistance de l'intervalle) sans dépasser la taille du continuum. Le plus petit intervalle possible séparant deux objets est un 0-hypercomplexe (taille 0 et consistance ¬0). La distance topologique entre les deux objets est 1. Nous avons donc une égalité du style 1 + ¬0 = 1, qui donne aussi : 1 = 1 − ¬0. D'où l'égalité :<br><br> <center>''{1} = [1 , 1] = ‖1‖ ∪ ]1 — ¬0 , 1 , 1 + ¬0[ ∪ ‖1‖ ∧ ξ(1) = ¬0 ∧ υ(1) = PLEIN''</center><br> Ce magma 0-hypercomplexe est <u>complet</u>, puisqu'il contient 3 objets et 2 intervalles centrés au milieu 1, et vérifie la définition ci-dessus. Ce qui permet d'écrire, en posant ¬0 = α :<br><br> <center>''{½} = ‖½ — α‖ ∪ ]½ — α , ½ , ½ + α[ ∪ ‖½ + α‖''<br> ''‖x‖ ∪ {½} ∪ ‖y‖ = ‖x‖ ∪ ‖½ — α‖ ∪ ]½ — α , ½ , ½ + α[ ∪ ‖½ + α‖ ∪ ‖y‖''<br> ''ξ(x , ½ — α) = α ∧ υ(x , ½ — α) = PLEIN ⇔ d(x , ½ — α) = α ; de même d(½ + α , y) = α''<br> ''d(x , y) = α + 2 x α + α = 1 ; soit α = ¼''<br> D'où : '''‖x‖ ∪ {½} ∪ ‖y‖''' = [x , x+¼] ∪ [½ — ¼ , ½ , ½ + ¼] ∪ [y — ¼ , y] = '''[x , y]'''</center><br> <center>{{Encadre|contenu=<center>Dans un magma 1-hypercomplexe, '''toute valeur intermédiaire appartient à l'une des extrémités ou au milieu imaginaire'''. L'ensemble constitué est PLEIN.</center>}}</center> <br> Les deux extrémités sont des objets consistants topologiquement [[w:Espace_séparé|séparés]] (par un milieu]. Le magma 1-hypercomplexe est la '''base la [[w:Théorème_de_Borel-Lebesgue|compacité]]''' dès lors que l'on considère un enchainement de mailles. Avec le '''théorème de complétude''' et la '''loi d'intégration''', on peut « intégrer » tout objet plasmique dans un magma différentiel lorsque le milieu imaginaire devient une réalité, et prendre la décision qui s'impose. C'est l'objectivation qui pose problème à l'intelligence artificielle. Par exemple, décider, pour un avion, de retourner à son point de départ, implique la connaissance du « milieu du trajet » et la distance qui le sépare de la destination (point de non-retour). Quel critère, universellement valable, utiliser ? Dans un espace géométrique, il représente '''le plus petit segment''' ayant deux extrémités, donc non-réduit à un seul point (qui est 0-hypercomplexe). Dans un espace vectoriel, c'est '''le plus petit vecteur''' non-nul, générateur d'une <u>direction</u> (avec deux sens ''opposés'' (CAB)). En électro-magnétisme, c'est '''le plus petit dipôle''' générateur de champ. En géométrie symplectique, c'est '''le plus petit espace des phases''' décrivant un mécanisme. En physique quantique, c'est '''le plus petit corpuscule''' confondu avec son onde. En physique relativiste, c'est le '''plus petit espace-temps''' décrivant un espace et un temps confondus, qui ne soit pas une « vision intuitive » d'un objet imaginaire. Nous noterons que α désigne un « infiniment petit » qui est, ici, 4 fois plus petit (!) que la plus petite fraction matériellement admise, qui est 1/n, n infiniment grand. Nous sommes donc '''au plus près''' de la limite absolue du 0-hypercomplexe que nous pouvons « toucher » par :<br><br> <center>{{Encadre|contenu=<math>\lim_{\rightarrow}</math> n→∞ d(x , y) = 0 ⇔ x = y ∧ '''1-hypercomplexe = 0-hypercomplexe'''}}</center> ==== Magma de taille 2 ==== Le 1-hypercomplexe est une ''maille'', donc un <u>objet magmatique</u>, considéré comme un ''continuum'' entre deux horizons et traçant une ''ligne de champ'' sémantique. Il est « virtuellement » complet par le fait que le « milieu » est imaginaire, composite variable des objets plasmiques fictifs z, ½ et ẕ. Nous avons à déterminer comment ces 3 objets, matériellement non observables pourraient se comporter en tant que valeurs intermédiaires du continuum ([[w:Fonction_d'onde|fonction d'onde ?]]). La seule façon, semble-t-il, est de procéder par analogie sur la DA, comme nous l'avons fait pour fractionner [0 , 1]. il est, en effet difficile d'imaginer ce que représenterait la moitié de quelque chose qui n'existe pas encore ! Alors que, cette « chose » étant achevée, il est possible de « l'abouter » et d'étudier le comportement d'une « structure » magmatique ayant deux horizons (les deux 1-hypercomplexes) et un ''milieu'' réel : le point de fractionnement. Le magma 2-hypercomplexe est '''le plus petit ensemble complet''' manipulable : un ''maillon''. Possédant un milieu réel, il est accessible à l'intelligence artificielle. Toutefois, se posent deux questions d'importance : la première sur la nature du '''raccordement''' ; la deuxième sur la '''direction à suivre'''. Si l'on en juge par les modèles décrits en théorie du chaos, on peut proposer que la panoplie des possibilités est une variable magmatique (dénombrable) et n'est donc pas une ''singularité''. Il semble donc que le champ sémantique soit absent (défaut d'instruction). La loi d'intégration n'est pas applicable. Le point de raccordement apparait donc comme une <u>articulation</u>, à partir de laquelle l'extrémité finale est située à une distance établie. Nous nous intéresserons au plus petit 2-hypercomplexe, composé de deux 1-hypercomplexes articulés autour d'une extrémité commune, que nous écrirons :<br><br> <center>''‖x‖ ∪ {½ , ‖m‖ , ½} ∪ ‖y‖ = ‖x‖ ∪ {½} ∪ '''‖m‖ ∪ ‖m‖''' ∪ {½} ∪ ‖y‖</center><br> Ce qui suggère que l'articulation ''m'' est un 0-hypercomplexe magmatique de consistance non-nulle. == D'une connexion ''naturelle'' à une connexion ''artificielle'' == Si le magma 1-hypercomplexe, virtuellement complet, décrit une '''connexion sémantique naturelle''' par l'alliage de deux objets plasmiques évoluant <u>relativement</u> l'un avec l'autre dans un continuum PLEIN, il constitue '''la base logique des structures naturellement intelligentes''' établie sur le modèle du 0-hypercomplexe absolu qui est « à la fois » VIDE et PLEIN. VIDE, c'est un objet plasmique. PLEIN, c'est un objet magmatique, ou susceptible de l'être. Nous avons donc l'opportunité de créer une CAB sur cette valuation pour distinguer les deux mondes : <br><br> <center>''‖x‖ ∪ ]x , x[ ∪ ‖x‖ ∧ ξ(x) = ¬0 ⇔ x = ¬x ∧ x ∈ {plasma} ⇔ ‖¬x‖ ∪ ]¬x , ¬x[ ∪ ‖¬x‖ ∧ υ(x , ¬x) = VIDE''<br> ''‖x‖ ∪ ]x , x[ ∪ ‖x‖ ∧ ξ(x) = ¬0 ⇔ x = ¬x ∧ x ∈ {magma} ∧ ½ ∈ ]x , x[ ∧ υ(x , ¬x) = PLEIN''</center><br> Et nous avons une valeur intermédiaire possible, pour le cas où ξ(x) = 0 : correspondant à un « trou » plasmique susceptible de se « remplir » et donc de prendre une consistance non nulle. Ce qui revient à exprimer que l'on peut créer un magma partout et en tous temps à partir d'un « trou » que l'on soumettrait à un champ sémantique ! Ceci interviendrait AVANT 0 ! === Convergence vers l'origine === Nous traiterons la ''convergence'' comme une réalité topologique sur la CAB (CONVERGE/DIVERGE) avec une ''vi'' de l'ensemble analogique {ni-l'un ; ni-l'autre}, par exemple, CONSTANT.<br><br> {{Encadre|contenu=<center>Deux "objets" sont dits '''convergents''' (CONV) [resp : '''divergents''' (DIV) ou '''constants''' (CST)] si la distance qui les sépare '''diminue''' [resp : '''augmente''' ou '''constante''']</center>}}<br> Ceci suppose que ces objets sont <u>contemporains</u> et [[Recherche:Principe_de_complétude/Valeur_intermédiaire#LOI_D’INTÉGRATION_CONTINUE|intégrables]]. Autrement dit, un objet magmatique peut être « prolongé » par un PLEIN ou un VIDE plasmique de consistance non nulle. Ceci indique qu'il nous faut différencier la consistance d'un PLEIN et d'un VIDE pour satisfaire à une CAB magmatique. Nous choisirons + , — et =.<br><br> <center>''x ∈ {magma} : υ(x , ¬x) = PLEIN ⇔ ξ(x) > 0 ; υ(x , ¬x) = VIDE ⇔ ξ(x) < 0 ; ξ(x) = 0 ⇔ x ∈ {ni-magma ; ni-plasma}''</center><br> Nous remarquerons qu'il est impossible de caractériser le plasma par la consistance, ce qui est conforme à sa non-définition. On ne peut l'approcher que par la consistance d'un trou suffisamment proche d'un objet magmatique qui serait susceptible d'intégrer le continuum dans un prolongement. Par conséquent :<br><br> <center>''y = ¬x : ξ(x) > 0 ⇔ ξ(y) < 0 ∨ ξ(x) < 0 ⇔ ξ(y) > 0 ∨ '''ξ(x) = 0 ⇔ ξ(y) = ¬0'''''</center><br> La convergence vers l'origine dépend de la consistance de celle-ci et de la consistance de la fin, qui ne peut-être nulle. A la limite, nous dirons que la taille 1-hypercomplexe étant 1, la taille de l'origine étant 0, nous aurons une taille 2α = ½ pour le milieu imaginaire et une taille 2α = ½ pour la fin. L'objet correspondant étant à moitié plein et à moitié vide, il n'appartient ni au magma, ni au plasma. Il est du domaine de l'absolu. === Table d'arrimage === A l'opposé de la ''collision'', qui est le résultat d'un conflit de champs sémantiques différents (affrontement, interférence, ...), l'''arrimage'' est un '''assemblage''' d'objets dans la continuité sémantique d'une ligne de champ (formation de mots, de phrases, ...). Il génère une chaine hypercomplexe d'objets magmatiques. Il faut bien comprendre ceci comme une ''composition'' hypercomplexe formant un continuum élargi, c'est-à-dire que tout ''ouvert'' est une partie continue.<br><br> <center>''∀ ]a , b[ ∈ ‖x‖ ∪ {½} ∪ ‖y‖ ∪ ‖z‖ ∪ {½} ∪ ‖w‖ : a = ¬b, b = ¬a ∧ ∃ vi ENTRE a et b''</center><br> Autrement dit, tout ''ouvert'' est SUR la ligne de champ dans la direction axiomatique. Dans le cas de deux 1-hypercomplexes, l'intervalle qui les sépare est un ouvert qui s'écrira : <br><br> <center>''{½} = ]y , z[ , {½} étant le milieu imaginaire du 1-hypercomplexe ‖y‖ ∪ {½} ∪ ‖z‖ défini par υ(y , z) = VIDE''</center><br> D'après le th. de complétude, l'ensemble formé sera ''complet'' ssi ]y , z[ est une ''vir'' entre x et w, soit :<br><br> <center>'''''‖x‖ ∪ {½} ∪ ‖y‖ ∪ ‖z‖ ∪ {½} ∪ ‖w‖''' = ‖x‖ ∪ {½} ∪ ]y , z[ ∪ {½} ∪ ‖w‖ = '''‖x‖ ∪ {½ , ‖m‖ ,½} ∪ ‖w‖''', avec ‖m‖ = ]y , z[''</center><br> Le résultat est un 2-hypercomplexe fractionnable par arrimage de deux 1-hypercomplexes. On confirme ce que nous avons affirmé supra, à savoir que « tout objet magmatique est un milieu potentiel ». Nous considérerons que <u>l'arrimage est réussi</u> lorsque ‖m‖ = ]y , z[ est un objet plasmique identifiable après convergence de y vers z, et sont donc de consistances opposées puisque vérifiant y = ¬z et z = ¬y et υ(y , z) = VIDE. === Évaluation de la connexion === Le résultat ci-dessus suggère que l'objet « milieu » soit un objet plasmique. À partir de quelle considération peut-on affirmer qu'une connexion est réussie (correcte) ? Ceci reviendrait à « transformer » le VIDE en PLEIN, puisque toutes les autres conditions sont remplies. La réponse est donnée la loi d'intégration dès lors que y et z sont les deux horizons d'un objet magmatique. Les deux composants 1-hypercomplexe, qui sont « dans le même continuum » peuvent « se reconnaitre ». Mais justement, comment reconnaitre cette adaptation sémantique et « accepter » la connexion ? Chacun d'entre nous a pu rencontrer cette difficulté dans la construction d'un puzzle ou le recollage d'un pot cassé. Entre un objet ''intégrable'' et un objet ''intégré'' il y a tout un monde, lié non pas à l'espace ... mais à la durée ! Du <u>conjoncturel</u> au <u>définitif</u>. Influer sur l'état d'une connexion est le propre de l'intelligence naturelle en relation avec la possibilité de décider en fonction des circonstances ou des critères. L'intelligence artificielle ne peut pas avoir accès à cette faculté autonome. Il lui faut, au préalable, acquérir le « droit à l'indépendance ». Il peut y avoir des connexions défectueuses non répertoriées qui ne peuvent donc pas appartenir à un ensemble magmatique dénombrable, sauf à rester dans un environnement confiné. Si nous lançons deux dés pour définir un nombre utilisable, la connexion utilise le fait que les deux faces soient lisibles. Nous nous limitons à une surface lisse de taille suffisante, ce qui est contraignant et limitatif. Nous n'admettons pas que l'espace soit encombré ou trop petit. Que faire en cas de « chute », ou encore de « cassé » ? Est-il possible de dénombrer '''tous les cas''' ? Se pose bien ici le traitement de cas '''analogues''' et leur évaluation. Si l'on veut '''compléter''' l'ensemble des cas envisageables, il faut bien admettre que l'ensemble est <u>incomplet</u> mais qu'il est « complétable ». C'est un problème majeur du traitement des singularités. Nombre de décisions intelligentes sont prises sur la base de ''statistiques'' et évaluer en termes de ''probabilités''. Il doit être possible d'interrompre une connexion si elle n'est pas sémantiquement conforme. Par exemple une « déviation » par rapport à la trajectoire axiomatique (la norme). Ce qui induit la possibilité d'intervention AVANT la fin ! Cette simple constatation est une réalité majeure du traitement intelligent : tout chef d'entreprise, responsable de la conduite d'engins, responsable politique doit pouvoir « modifier » une trajectoire AVANT la fin, donc modifier une connexion. Attendre la fin est-il une bonne attitude ? '''Anticiper''' la fin est la meilleure attitude intelligente. Nécessaire, mais pas suffisante. Elle permet d'évaluer un « écart différentiel », mais pas de le « corriger ». L'objectif étant d'être <u>au bon endroit, au bon moment</u>. Autrement dit, nous devons définir la réalité comme un concours circonstanciel de l'espace et du temps objectifs et subjectifs, ou [[w:Événement_(philosophie)|'''événement''']]. Nous mesurons l'écart d'espace et de temps qui sépare la prévision de la réalisation et nous déclenchons une « correction » (nous pilotons). Évaluer une connexion comporte deux aspects contingents : 1- <u>l'appréciation</u> de la validité d'arrimage des deux brins 1-hypercomplexes (emboitage). 2- <u>le contrôle</u> de la conformité spatio-temporelle (exactitude). La cause produit l'effet ... sauf intervention intermédiaire. La meilleure probabilité du monde ne pourra jamais égaler le « sentiment » que la fin est proche. Tout avion est bien prévu à l'atterrissage ... sauf événement imprévu non répertorié. Le risque zéro n'existe pas. == La [[w:Fonction d'onde|fonction transcendante]] == Pouvoir intervenir en temps et en heure est une forme d'indépendance (maitrise du destin). Mais comment déléguer cette responsabilité à une connexion artificielle qui ne dispose que d'un réservoir '''incomplet''' de possibilités ? Comment, de même, se fier à un '''sentiment''' naturel ? La solution parait résider dans le <u>suivi</u> d'une trajectoire, et donc des « valeurs intermédiaires ». Une connexion artificielle peut suivre les ''vir'', ce qui correspond à des 2-hypercomplexes, par une mesure du temps objectif. Une connexion naturelle peut suivre, en plus, les ''vii'' des 1-hypercomplexes et comparer le temps subjectif au temps objectif. Une contrainte humaine se greffe sur cette constatation : l'attention, ou la concentration. Contrainte qui échappe à la machine. D'où la nécessité « d'allier » les deux en prévoyant un dispositif adapté. L'idée majeure serait de donner à la machine la possibilité d'intervenir sur les 1-hypercomplexes, c'est-à-dire, de mesurer un temps subjectif à comparer au temps objectif ; c'est-à-dire encore à « percevoir » les ''vii''. Mesurer le décalage δ permettrait alors une intervention sur la trajectoire et déclencher une « correction » si nécessaire AVANT le passage d'une ''vir''. Agir « par réflexe », en quelque sorte. Interrompre un geste possiblement préjudiciable. Pour y parvenir, il est nécessaire de « positionner » une ''vi'' ENTRE deux horizons d'un 1-hypercomplexe. Ce qui revient à définir une '''fonction transcendante''' sur l'intervalle correspondant. === Intervalle de définition === Toute fonction est définie sur un intervalle. À chaque « valeur » de cet intervalle correspond une seule valeur de la fonction. Pour cela, nous devons travailler sur des « compacts » finis. En effet, on ne peut pas évaluer un « trou », ni définir un continuum sans horizons. Le plus petit intervalle utilisable est un 1-hypercomplexe, de taille 1, donc. De plus, nous savons abouter ces bases compactes dans un ordre sémantique tel que la connexion artificielle soit conforme à la connexion naturelle sur un décalage nul (soit un 0-hypercomplexe, base logique). Nous considérerons donc un intervalle 1-hypercomplexe PLEIN (ne comportant aucun trou) pour lequel les composants variables du « milieu », évoluant dans un continuum, sont « localisables » et « consistants ». Il s'agit, pour nous, de suivre le comportement des valeurs intermédiaires entre les deux horizons. Ces ''vi'' passent progressivement d'un état '''bra''' à un état '''ket''' sur le « parcours », ce qui donne à certaines « positions » un rôle '''bascule'''. Cela revient à « décomposer » virtuellement notre intervalle en « morceaux ».<br><br> <center>''I = [x , y] ∧ d(x , y) = 1 ⇒ ‖x‖ ∪ {½} ∪ ‖y‖ ∧ υ(x , y) = PLEIN ⇒ ξ(x) = α ; ξ({½}) = 2α ; ξ(y) = α''</center><br> La ''continuité'' sur l'intervalle de définition, que l'on obtient en faisant tendre α vers 0, se traduit par une succession de basculements entre les horizons. Et particulièrement : un '''basculement d'entrée''' dans le milieu ; un '''basculement d'état''' du milieu ; et un '''basculement de sortie''' du milieu. Nous ne cherchons pas des « états », mais des « changements d'états », puisque, globalement, nous avons x = ¬y et y = ¬x. Le changement d'état se produit « quelque part au milieu ». Nous affecterons le ''sentiment'' naturel à ce changement d'état. Il sera alors possible de localiser ce changement d'état quelque part entre les deux horizons par une valeur de la fonction transcendante. === Variation des composants === Puisque nous sommes, dans le cadre 1-hypercomplexe, dans le cas d'un milieu « variable » entre les deux horizons, il nous faut disposer d'un principe différentiel intermédiaire sans lequel nous n'aurions pas de magma, ni de continuum. Il est en effet impossible d'« isoler » un composant intermédiaire ... par définition même. Le seul intermédiaire possible est l'ouvert « milieu ». <br><br> <center>''∃ ]a , b[ ⊂ [x , y] ⇒ a = x ∧ b = y''</center><br> Toutefois, notre décomposition virtuelle permettrait cet isolement si on arrive à différencier les morceaux pour « apprécier » la variation, non plus par ''sentiment'' mais par une règle objective accessible à l'intelligence artificielle. Pour cela, nous nous plaçons dans un continuum de relativité : <br><br> <center>''∀ ]a , b[ ⊂ [x , y] ⇒ a = ¬b ∧ b = ¬a''</center><br> Les deux relations supra ne sont pas contradictoires. Elles génèrent simplement 3 morceaux PLEINS homéomorphes du 1-hypercomplexe de tailles respectives α, 2α et α. Le premier composant varie sur un intervalle de taille α et appartient à l'objet ''origine'' ; le deuxième composant varie sur un intervalle 2α et appartient au ''milieu'' ; le troisième varie sur un intervalle de taille α et appartient à l'objet ''fin''. Pour fixer l'idée, nous pouvons qualifier <u>d'envol</u> la première phase ; <u>de transit</u> la deuxième et <u>d'atterrissage</u> la troisième. Ces trois phases occupent un espace et un temps pendant lesquels nous avons un « sentiment » spécifique, et un pouvoir de décision rectificatif s'il apparait un objet plasmique (imprévu). Les modalités décisionnelles ne sont pas les mêmes sur chaque phase et le temps de décision est très court (quasi instantané). Sur un intervalle 1-hypercomplexe de taille 1/n, la fonction transcendante s'apparente à une [[w:Distribution_de_Dirac|distribution de Dirac]] puisqu'il s'agit du '''plus petit intervalle consistant PLEIN'''. La valeur correspondante est n. L'intégrale correspondante de cette fonction est n x 1/n = 1. Ce qui justifie d'appliquer une notion de « quantum » comme quantité maximale disponible sur un 1-hypercomplexe. Nous répartirons cette quantité sur l'intervalle découpé en rapport de la taille et de la courbe de la fonction qu'il nous faudra définir comme non constante sur l'intervalle, soit '''variable'''. Et nous nous intéresserons spécifiquement à la variation du milieu entre les deux bascules de départ et d'arrivée, constituant la phase transitoire, logiquement localisée sur un intervalle 2α, d'horizons ces deux bascules et contenant le milieu, qui sera l'objet virtuel de référence. Pour que la variation soit ''continue'' sur l'intervalle, il faut que les « bascules » soient « brutales » (instantanées) : nous passons d'un coup d'une phase à une autre. La fonction n'est pas « dérivable » en ces « points ». Elle s'apparenterait plutôt à un [[w:Saut_quantique|saut quantique]], passant d'un état à un autre sans discontinuité, contredisant par le fait l'affirmation ''Natura non facit saltum''. Nous introduirons sur l'intervalle un 0-hypercomplexe contenant 3 objets confondus, comme nous l'avons initié supra, de telle sorte que :<br><br> <center>''1 = α + 0 + 2α + 0 + α''</center><br> Il nous faudra différencier les deux 0-hypercomplexes introduits pour satisfaire à la norme magmatique 0 = ¬0. les deux bascules sont ainsi deux horizons fictifs de l'objet imaginaire {½} vérifiant la loi du continuum. Or nous savons que :<br><br> <center>''⇐½⇒ = {z , ½ , ẕ}''</center><br> Et nous en déduisons que :<br><br> <center>''z = ¬ẕ ∧ ẕ = ¬ z ∧ d(z , ẕ) = 2α ∧ t(z) = t(ẕ) ∧ z, ẕ ¬∈ (DA)''</center><br> Et donc que :<br><br> <center>{{Encadre|contenu='''[x , y] = [x , z] ∪ [z , ẕ] ∪ [ẕ , y] et {½} ∈ ]z , ẕ[, avec ]z , ẕ[ variable '''}}</center><br> === satellites === Les objets ''origine'', ''milieu'' et ''fin'' sont « alignés » sur la (DA). On peut traduire ceci par la représentation d'un graphe dans laquelle le « trait » représente le ''milieu'' (variable). Les objets z et ẕ représentent l'état d'avancement du système magmatique entre les deux horizons dans le sens ''bra'' et le sens ''ket''. Il sont liés au ''milieu'', mais <u>ne sont pas sur l'axe</u> (en quel cas, ils se croiseraient « au milieu » à une distance d et un temps t, et formeraient un 0-hypercomplexe avec le milieu lui-même, générant pat là-même un milieu réel (''vir'') et donc un interavlle 2-hypercomplexe). Ceci entraine qu'ils évoluent symétriquement l'un par rapport à l'autre autour du ''milieu'', à une distance variable de celui-ci entre les deux horizons et en sens opposé l'un de l'autre : l'un dans le sens DA et l'autre en sens opposé de la DA (du moins leurs projections respectives sur l'axe). La « comparaison » satellitaire exprime qu'ils se libèrent des extrémités « volent » dans une autre dimension et rejoignent finalement l'autre extrémité. La réalité hypercomplexe, décrite par une loi continue spatio-temporelle réversible, exprime au final que la partie variable se mesure depuis l'un quelconque des deux horizons, ce qui indique qu'il existe un « point fixe » intermédiaire situé au ''milieu'', entre les deux horizons et sur la ligne de champ. Et si il est possible de localiser ce milieu virtuellement, il est aussi possible de localiser la « projection » de z et ẕ sur la ligne de champ. Et alors, ces projections appartiennent au continuum : <br><br> <center>''∀z et ẕ : d(x , z) + d(z , y) = d(y , ẕ) + d(ẕ , x) = 1 ; t(x) = t(z) = t(ẕ) = t(y) ; {½} est un 0-hypercomplexe''</center><br> Nous avons donc, sur le parcours 3 points de convergence : 1 réel vers chacune des deux extrémités et 1 imaginaire vers le milieu. Les deux extrémités sont des points d'arrimage. Le milieu est un point d'inversion. Ces trois points méritent une attention particulière pour gérer la trajectoire. L'intelligence naturelle doit y apporter une « concentration » maximale. === points remarquables de la fonction === Au final, nous avons répertorié 6 « points » remarquables qui devraient permettre de modéliser la courbe de la fonction transcendante sur le parcours. Dans l'ordre chronologique selon le point de départ : <br> 1- La <u>bascule de sortie</u>, à l'abscisse α, marque le passage de l'objet initial (plein) à la partie intermédiaire variable (vide).<br> 2- La <u>bascule intermédiaire</u>, à l'abscisse 2α, marque le passage entre une phase d'éloignement (divergente) et une phase de rapprochement (convergence).<br> 3- La <u>bascule d'entrée</u>, à l'abscisse 3α, marque le passage de la partie intermédiaire variable (vide) à l'objet final (plein).<br> 4- Le <u>point de divergence</u>, à l'abscisse 0, marque la séparation des composants.<br> 5- Le <u>point d'amplitude maximale</u>, à l'abscisse 2α, marque le basculement entre la phase divergente et la phase convergente.<br> 6- Le <u>point de convergence</u>, à l'abscisse 4α = 1/n, marque la recomposition finale.<br> L'ensemble du système évolutif est réparti dans un ''quantum'', enveloppe globale, représenté par l'intégrale de la fonction sur le 1-hypercomplexe comme indiqué supra. Il nous faut donc affecter une valeur de la fonction en chacun de ces points, telle que le quantum soit conservé. Dans un premier temps, on peut considérer que la répartition du quantum est linéaire avec une inversion au ''milieu'' : 4x¼, une partie ''ascendante'' (croissante) sur la première moitié et ''descendante'' (décroissante) sur la seconde. Cette approximation pourra évoluer en fonction d'informations locales particulières entre les horizons correspondants. Ceci correspond aux équations de droites y = 2x et y = —2x sur les demi-intervalles, de telle sorte que l'aire soit 1. Les caractères de chaque tronçon permettent de les différencier logiquement et d’obtenir ainsi des magmas intermédiaires dont les horizons sont des 0-hypercomplexes permettant de les rabouter. === Modalités décisionnelles === Bien que la représentation (graphe) de la fonction ne soit pas différentiable, nous pouvons « découper » le 1-hypercomplexe en « phases » effectives sur lesquelles il est possible de greffer une '''modalité décisionnelle''' dépendant d'un objectif choisi (annulation, correction, rectification, ...). Nous bâtirons le découpage du 1-hypercomplexe sur le modèle hypercomplexe en extrapolant la règle de fractionnement au plus petit objet possible. Les fractions obtenues étant purement imaginaires, donc non vérifiables objectivement. Ainsi :<br> <center>''[x , y] = [x , z] ∪ [z , z] ∪ [z , {½} , ẕ] ∪ [ẕ , ẕ] ∪ [ẕ , y], tel que :</center> <center>''[z , z] , {½} , [ẕ , ẕ] soient 0-hypercomplexes</center> <center>''[x , z] et [ẕ , y] soient α-hypercomplexes ; [z , {½} , ẕ] 2α-hypercomplexe</center><br> On vérifie que le continuum est bien 1-hypercomplexe et qu'il existe une CAB pour chaque élément que l'on peut exprimer par :<br><br> <center>''[ẕ , y] = ¬[x , z] ; [x , z] = ¬[ẕ , y] ; [z , {½} , ẕ] = ni-[x , z] ; ni-[ẕ , y] et ENTRE les deux''</center><br> Ceci supposerait l'existence d'une disposition naturelle pour intervenir « plus vite que l'éclair » AVANT que l'évènement se produise aux points relevés. Une impulsion-réflexe ? Une intuition ? Une onde diracienne ? Dès lors que la pensée naturelle est concentrée sur la DA, consciente du but à atteindre (dispositif complet) ? == Récapitulatif == Le vecteur initial d'un magma sémantique résulte d'un <u>proto-objet</u>. L'organisation de l'espace se fait autour de ce ''proto-objet''. Si nous le considérons comme une '''maille''', il n'a de sens que si l'on peut structurer un '''maillon''' ou une '''chaine'''. À quoi servirait une ''lettre'' si elle ne s'utilisait pas à construire des ''mots'', puis des ''phrases'', puis des ''textes''. L'intelligence naturelle a su « inventer » des lettres, à partir de '''signes'''. À travers ce qui précède, nous avons essayé de modéliser la faculté « d'invention », qui, somme toute, est à la base de la Civilisation. Définir un objet à partir de RIEN nécessite une fonction créatrice qui met en œuvre une trajectoire logique débouchant sur cet objet comme étape finale d'un processus convergent. Il y aurait matière à développer le contenu subjectif qui mène à ce résultat : idée, imagination, intuition, inspiration, ... Il n'y a pas de géométrie possible sans '''points''', ni de calcul sans '''nombres'''. Mais, dans un deuxième temps, l'existence d'un seul objet ne mène à rien de concret. Il est donc bien nécessaire de pouvoir en « distinguer » (au moins) un autre. C'est cette distinction qui fait le magma (connexion). Un puzzle d'une seule pièce serait-il encore un puzzle ? L'intelligence artificielle reconnaîtra cette connexion et pourra reconnaitre ces objets dans une chaine, car ces objets ou cette chaine font partie d'un ensemble <u>dénombrable</u> qui est partie d'un ensemble ''non-dénombrable'' (plasma). Définir un magma passe donc par la réalisation d'une proto-connexion entre deux proto-objets. Certes, dans un ensemble fini (complet), le nombre de connexions est fini, et donc l'IA peut trouver <u>LA</u> bonne connexion sémantique parmi un nombre fini de possibilités. Question de temps. Mais le fera-t-elle en temps limité ? Et comment réagira-t-elle si elle se trouve devant un objet non répertorié ? Pourra-t-elle un jour maitriser le processus d'élaboration des objets ? Sans possibilité de « compléter » un ensemble complet, la réponse est non. Sans objectif sémantique, la réponse est encore non, car nous ne saurions l'utiliser. Donc :<br><br> <center>{{Encadre|contenu='''Principe de complétude''' :<br>Tout ensemble complet est complétable par un objet cohérent, intégrable, susceptible de générer des connexions.}}</center><br> Somme toute, cet ensemble complet est alors '''incomplet'''. Et les modalités de complétion sont d'une importance capitale pour son développement. Il est important de réaliser une première connexion entre deux objets. Mais, surtout, réaliser une deuxième connexion permettra de conforter la trajectoire et validera sa valeur. == Exemple d'actualité illustrant le traitement intelligent d'une singularité selon le principe de complétude == Florent {{pc|Détroit}} s'attend à ce que certains collègues "s'interrogent sur la légitimité à décrire une nouvelle espèce à partir d'un si petit assemblage de fossiles". A ses yeux, "ce n'est pas grave de créer une nouvelle espèce". Cela permet d'attirer l'attention sur ces fossiles qui semblent "différents". "Si dans le futur, des collègues montrent que l'on s'est trompé et que ces restes correspondent à une espèce que l'on connaissait déjà, tant pis, ce n'est pas grave, on oubliera"… <ref> Une nouvelle espèce humaine découverte aux Philippines</ref> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Valeur intermédiaire/]] | suivant = [[Recherche:L'espace_hypercomplexe|L'espace hypercomplexe]] }} crh8fug45sltatt9e9tx8jqplp48cei 104 79525 881192 879518 2022-08-10T12:44:41Z Slzbg 68495 Confusion é/è wikitext text/x-wiki Dans ce chapitre, nous traitons le paradoxe du train. C'est une très bonne expérience de pensée pour convenir de la célérité du temps. Pour connaître l'exacte description du paradoxe et sa résolution classique, nous vous invitons à consulter son traitement publié sur Wikipédia à l'adresse qui suit : https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_train En résumé, considérons un train et un tunnel de même longueur propre. La vitesse du train tend vers celle de la lumière alors qu'il atteint le tunnel. Pour un observateur du train, le tunnel est contracté, l'avant du train atteint la sortie du tunnel (t3) avant que l'arrière n'atteigne l'entrée (t2). A l'inverse, pour un observateur du tunnel, le train est contracté, l'avant du train atteint la sortie du tunnel après que l'arrière n'atteigne l'entrée. L'expérience de pensée revient à déterminer, dans les 2 espace-temps, les temps des évènements pour les 2 observateurs lorsque l'arrière du train atteint l'entrée du tunnel (t2) et lorsque l'avant atteint la sortie (t3). Pour une meilleure appréhension du concept, l'évènement référent lorsque l'avant du train entre dans le tunnel est (t1). t=0 est choisi pour l'observateur du train lorsque le train touche le tunnel (fig7a). La construction géométrique des figures est basée sur 2 propriétés essentielles : Première propriété : '''Le centre du train est relativement au même 'endroit' dans les deux espaces.''' Aussi, l'observateur du train est choisi au centre. Dans la théorie classique, le centre est le seul point dans le présent. De plus, dans notre théorie, aucun des endroits du train n'est au même temps, seul le centre est au même temps que celui de l'ancienne théorie. Deuxième propriété : Le temps ayant une célérité, '''deux évènements 'reliables' par un faisceau lumineux sont au même temps.''' Une représentation géométrique étant plus explicite que des expressions littérales, considérons un train se déplaçant à V = Ѵ3/2c, ce qui correspond à ɣ=2. (Fig 7a et 7b : en bleu le train, rectangle gris le tunnel, cercle gris le temps, trait vert le faisceau lumineux fictif). Pour l'observateur du train, lorsque t=0, '''t1 = -Ѵ3/2.''' Cela signifie que le point de contact train/tunnel appartient au passé (-). Le temps écoulé est celui que mettrait un faisceau lumineux pour aller à l'avant du train (Ѵ3/2). Pour l'observateur du tunnel, à t = 0, le train n'a pas encore atteint le tunnel, il l'atteindra à t = 1,5. A ce moment là, l'avant du train sera à t1 = -1,73 (1,5+0,5-1/(2-Ѵ3), soit '''t1 = -Ѵ3'''. Le temps obtenu est le double de celui pour l'observateur du train (ɣ=2). Maintenant, considérons l'évènement t2, pour l'observateur du train, il intervient après l'évènement t3. Par construction et respect de la célérité du temps, on trouve '''t2 = 2 - Ѵ3/2 ~ 1,134'''. Pour l'observateur du tunnel, c'est l'inverse, t2 se produit avant t3 par construction. Toutefois, si l'on applique la règle des évènements reliables, on trouve '''t2 = 2,5-0,5+1/(2+Ѵ3) ~ 2,27'''. Là encore, on retrouve le facteur 2 de dilatation du temps. Pour les 2 observateurs, l'arrière du train est relativement au même temps t2 à l'entrée du tunnel. A l'avant du train, considérons l'évènement t3. Pour l'observateur du train, il intervient avant l'évènement t2. Par construction et respect de la célérité du temps, on trouve '''t3 = 1 - Ѵ3/2 ~ 0,134'''. Pour l'observateur du tunnel, c'est l'inverse, t3 se produit après t2 par construction. Toutefois, si l'on applique la règle des évènements reliables, on trouve '''t3 = 3,5+0,5-1/(2+Ѵ3) ~ 0,27.''' Là encore, on retrouve le facteur 2 de dilatation du temps. Pour les 2 observateurs, l'avant du train est relativement au même temps t3 à la sortie du tunnel. ("Le chat du train, il est mort ou il est vivant?") [[Fichier:Paradoxe_du_train2.pdf|vignette|paradoxe du train avec une célérité pour le temps|centré|950x950px]]Afin de valider le modèle, nous allons convenir de la même expérience de pensée avec un observateur à l'avant du train (Fig 8a et 8b). Le temps se déplaçant, la première propriété adaptée de construction est la suivante : '''l'observateur du train est relativement au même endroit dans les 2 espaces.''' Cette fois-ci, l'observateur et l'avant du train sont au contact du tunnel en t = 0. Pour l'évènement t2, même chose, l'observateur et l'avant du train sont au contact de la fin du tunnel. On trouve simplement t2 = 1 pour l'observateur du train et t2 = 2 pour l'observateur du tunnel, cohérent, ɣ=2. Pour l'évènement t2, il est nécessaire d'appliquer la deuxième propriété. Pour l'observateur du train, '''t1 = 2 - Ѵ3 ~ 0,27.''' Pour l'observateur du tunnel, on applique la règle des évènements reliables. Ainsi, '''t1 = 1 - 1 + 2/(2+Ѵ3) ~ 0,53.''' La même dilatation du temps est observée. [[File:Paradoxe du train observateur à l'avant2.pdf|vignette|paradoxe du train avec un observateur à l'avant du train|centré|950x950px]] Les mêmes expériences de pensée peuvent être menées avec le temps propre de l'observateur du tunnel. La construction et le raisonnement sont similaires. A l'inverse, ils conduisent à une contraction paradoxale du temps. '''Synchronisation des horloges du train''' L'expérience de pensée à venir vise à vérifier que les horloges du train indiquent la même heure quelles que soient leurs position (Au regard d'une position relative identique dans les 2 espace-temps). A priori, ce n'est pas le cas dans la théorie classique qui induit une courbure de l'espace-temps. Pour ce faire, considérons deux observateurs dans le train situés aux deux extrémités du train (fig 9a et 9b) Ce train conserve sa vitesse précédente. Ce coup-ci, la longueur propre du tunnel est deux fois plus importante que pour le précédent. Ainsi, les 2 extrémités du train correspondent aux deux extrémités du tunnel lorsqu'il passe dessous. Considérons deux évènements similaires pour les deux observateurs munis de chronomètres. Ils déclenchent leur chronomètres lorsqu'ils sont aux extrémités du tunnel (t11, resp t12). Puis, ils l'arrêtent lorsqu'ils perçoivent l'autre le déclencher (t21, resp t22)). Par construction, les évènements sont 'simultanés' pour les observateurs du train. Par contre, ils sont 'décalés' pour un observateur du tunnel. Pour les observateurs du train, les évènements sont simplement identifiables. Pour l'observateur du tunnel, la distance entre les évènements t11 et t21 est identique à la distance entre les évènements t12 et t22. En conséquence, leurs 2 horloges indiquent le même temps dès lors qu'elles sont relativement au même 'endroit' dans les 2 espace-temps. [[File:Paradoxe du train synchronisation des horloges.pdf|vignette|synchronisation des horloges du train|centré|950x950px]]'''<u><big>Temps propre et position d'un évènement sont relativement identiques quel que soit l'observateur</big></u>''' pe7pj8j4kurnpd1k0atyj8rtx4ki0na 2 80463 881201 877100 2022-08-10T18:26:43Z Solstag 13856 test wikitext text/x-wiki '''PARTIE RÉSEAU''' 1) Voir shéma 2) Voir shéma [[Fichier:Shéma Partie réseau.png|vignette|Partie réseau Question 1]] [[Fichier:Partie Réseau Question 2.png|vignette|Partie Réseau Question 2]] '''PARTIE MESURES''' Calcule de la proximité des nœuds du réseau Cp(piano)= 1/5 Cp(guitare)= 1/5 Cp(sushi)= 1/4 Cp(claquettes)= 1/6 Cp(batterie)= 1/6 2)    Calcule de l’intermédiarité des nœuds du réseau G(piano)=1/2 G(guitare)=1/2 G(sushi)=2 G(claquettes)=0 G(batterie)=0 3)    Coefficient de clustering C(piano)=2/3 C(guitare)=2/3 C(sushi)=1/2 C(claquettes)=1 C(batterie)=1 3.1) Dans le cas du noeud piano, afin d'avoir une connexion entre toutes les paires de sommets, nous pourrions rajouter un lien entre Guitare et Claquettes. 3.2) Dans le cas du noeud claquettes, le plus grand ensemble de liens que nous pouvons retirer du réseau sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud est : Piano-Guitare / Sushi-Guitare / Sushi-Batterie / Guitare-Batterie {| class="wikitable" |+ ! !Degré !Intermédiarité !Transitivité !Moyenne du degré de ses voisins !Moyenne de l'intermédiarité de ses voisins !Moyenne de la transitivité de ses voisins |- |Sushis |4 |2 |1/2 |2.5 |0.25 |5/6 |- |Guitare |3 |1/2 |2/3 |3 |5/6 |13/18 |- |Piano |3 |1/2 |2/3 |3 |5/6 |13/18 |- |Batterie |2 |0 |1 |3.5 |1.25 |7/12 |- |Claquettes |2 |0 |1 |3.5 |1.25 |7/12 |} ''Corrélation entre les différentes propriétés d'un même noeud ?'' D'après le tableau, on peut constater une corrélation négative entre la transitivité et le nombre de degrés d'un noeud mais on peut également constater une corrélation positive entre l'intermédiarité d'un noeud et son degré. ''Corrélation entre les propriétés d'un noeud et ses voisins ?'' On peut constater que, plus un noeud a une forte intermédiarité, plus ses voisins auront des degrés et des intermédiarités faibles. Aussi, on remarque qu'un noeud à degré élevé a des voisins à la moyenne de transitivité élevée. ''Assortatif ou dissortatif ?'' On peut considérer ce réseau comme dissortatif car ses noeuds à degré faible ont des voisins à degré élevé et vice versa. [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] f40mcuyvcrgvya5xwmdix49v0sw12ps 881202 881201 2022-08-10T18:30:54Z Solstag 13856 Solstag a déplacé la page [[Utilisateur:Victor Simandoux/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2021)/Activité D]] vers [[Utilisateur:Victor Simandoux/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité D]] : page crée sur la mauvaise année ... wikitext text/x-wiki '''PARTIE RÉSEAU''' 1) Voir shéma 2) Voir shéma [[Fichier:Shéma Partie réseau.png|vignette|Partie réseau Question 1]] [[Fichier:Partie Réseau Question 2.png|vignette|Partie Réseau Question 2]] '''PARTIE MESURES''' Calcule de la proximité des nœuds du réseau Cp(piano)= 1/5 Cp(guitare)= 1/5 Cp(sushi)= 1/4 Cp(claquettes)= 1/6 Cp(batterie)= 1/6 2)    Calcule de l’intermédiarité des nœuds du réseau G(piano)=1/2 G(guitare)=1/2 G(sushi)=2 G(claquettes)=0 G(batterie)=0 3)    Coefficient de clustering C(piano)=2/3 C(guitare)=2/3 C(sushi)=1/2 C(claquettes)=1 C(batterie)=1 3.1) Dans le cas du noeud piano, afin d'avoir une connexion entre toutes les paires de sommets, nous pourrions rajouter un lien entre Guitare et Claquettes. 3.2) Dans le cas du noeud claquettes, le plus grand ensemble de liens que nous pouvons retirer du réseau sans modifier ni le nombre de voisins ni le coefficient de clustering de ce nœud est : Piano-Guitare / Sushi-Guitare / Sushi-Batterie / Guitare-Batterie {| class="wikitable" |+ ! !Degré !Intermédiarité !Transitivité !Moyenne du degré de ses voisins !Moyenne de l'intermédiarité de ses voisins !Moyenne de la transitivité de ses voisins |- |Sushis |4 |2 |1/2 |2.5 |0.25 |5/6 |- |Guitare |3 |1/2 |2/3 |3 |5/6 |13/18 |- |Piano |3 |1/2 |2/3 |3 |5/6 |13/18 |- |Batterie |2 |0 |1 |3.5 |1.25 |7/12 |- |Claquettes |2 |0 |1 |3.5 |1.25 |7/12 |} ''Corrélation entre les différentes propriétés d'un même noeud ?'' D'après le tableau, on peut constater une corrélation négative entre la transitivité et le nombre de degrés d'un noeud mais on peut également constater une corrélation positive entre l'intermédiarité d'un noeud et son degré. ''Corrélation entre les propriétés d'un noeud et ses voisins ?'' On peut constater que, plus un noeud a une forte intermédiarité, plus ses voisins auront des degrés et des intermédiarités faibles. Aussi, on remarque qu'un noeud à degré élevé a des voisins à la moyenne de transitivité élevée. ''Assortatif ou dissortatif ?'' On peut considérer ce réseau comme dissortatif car ses noeuds à degré faible ont des voisins à degré élevé et vice versa. [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] f40mcuyvcrgvya5xwmdix49v0sw12ps 2 80488 881204 878197 2022-08-10T18:32:39Z Solstag 13856 catégorie wikitext text/x-wiki == Réseau == 1.2) Vous trouverez ci-joint le réseau simplifié avec les trois voisins. [[Fichier:Capture d’écran 2022-05-12 à 09.56.30.png|vignette]] 3) Nous mettrons en évidence la projection sur les noeuds objets. [ Capucine ] -> [ Danse Classique ],[ Tennis ],[ Natation ],[ Sushi ] [ Margaux ] -> [ Danse Classique ],[ Tennis ],[ Tiramisu ],[ HipHop ] [ Ewen ] -> [ Natation ],[ Sushi ],[ Tacos ],[ HipHop ] == Mesures == {| class="wikitable" |+ !Nœud !Proximité !Intermédiarité !Transitivité |- |Tennis |1/(1+1+1+1+1+2) = 0.143 |(Danse Classique-Tiramisu)/2 = 0.5 |2/3 = 0.66 |- |Danse Classique |1/(1+1+1+1+1+2) = 0.143 |(Sushi-Natation)/2 = 0.5 |2/3 = 0.66 |- |Tiramisu |1/(1+1+2+2+1+2) = 0.111 |0.0 |1/1 = 1.0 |- |Natation |1/(1+1+2+1+1+1) = 0.143 |(HipHop-Tacos)/2 = 0.5 |2/3 = 0.66 |- |Sushi |1/(1+1+2+1+1+1) = 0.143 |(Natation-Sushi)/2 = 0.5 |2/3 = 0.66 |- |HipHop |1/(1+1+1+1+1+1) = 0.167 |(Tacos-Tiramisu)/2 = 0.5 |2/3 = 0.66 |- |Tacos |1/(2+2+2+1+1+1) = 0.111 |0.0 |1/1 = 1.0 |} == Corrélations == {| class="wikitable" |+ !Noeud !Proximité !Intermédiarité !Transitivité !Degré !Moyenne degré voisins !Moyenne intermédiarité voisins !Moyenne transitivité voisins |- |Tennis |0.143 |0.5 |0.66 |2 |(2+1+2)/3 = 1.67 |(0.5+0.5+0.0)/3 = 0.33 |(0.66+0.66+1.0)/3 = 0.77 |- |Danse Classique |0.143 |0.5 |0.66 |2 |(2+2+1)/3 = 1.67 |(0.5+0.0+0.5)/3 = 0.33 |(0.66+0.66+1.0)/3 = 0.77 |- |Tiramisu |0.111 |0.0 |1.0 |2 |(1+2+2+2)/4 = 1.75 |(0.0+0.5+0.5+0.5)/3 = 0.5 |(1.0+0.66+0.66+0.66)/4 = 0.99 |- |Natation |0.143 |0.5 |0.66 |2 |(2+2+1)/3 = 1.67 |(0.5+0.0+0.5+0.5)/3 = 0.5 |(0.66+0.66+1.0)/3 = 0.77 |- |Sushi |0.143 |0.5 |0.66 |2 |(2+2+1)/3 = 1.67 |(0.5+0.5+0.0)/3 = 0.33 |(0.66+0.66+1.0)/3 = 0.77 |- |HipHop |0.167 |0.5 |0.66 |2 |(2+1+1)/3 = 1.33 |(0.5+0.0+0.0)/3 = 0.17 |(0.66+1.0+1.0)/3 = 0.88 |- |Tacos |0.111 |0.0 |1.0 |2 |(1+2+2+2)/4 = 1.75 |(0.0+0.5+0.5+0.5)/3 = 0.5 |(1.0+0.66+0.66+0.66)/4 = 0.99 |} [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] ch2rj7x40zv1pol0p3azx39jq1gupho 0 80496 881205 878159 2022-08-10T20:00:42Z Solstag 13856 coquille wikitext text/x-wiki Bonjour ! Bienvenue à l'activité E. === Votre réseau === Considérez le graphe du [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Ale_Abdo_-_Mod%C3%A9lisation_des_R%C3%A9seaux_et_du_Web_-_Diapos_3.pdf/page24-1024px-Ale_Abdo_-_Mod%C3%A9lisation_des_R%C3%A9seaux_et_du_Web_-_Diapos_3.pdf.jpg diapo 24] de l'[[c:File:Ale Abdo - Modélisation des Réseaux et du Web - Diapos 3.pdf|ensemble 3]] : * Enlevez les nœuds "g" et "h". * Parmi les lettres [a, b, c, d, e, f], prenez la première et la dernière qu'apparaissent dans votre nom complet. On va las appeler L1 et L2. ** Par exemple, dans mon nom je trouve "a" (dans '''A'''lexandre) pour L1 et "d" (dans Ab'''d'''o) pour L2. * Enlevez l'un des liens sortants du nœud L1. * Rajoutez un lien depuis un nœud autre que L1 vers le nœud L2. === Composantes === I. Identifiez les composantes fortement connexes du graphe. II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? === Vecteur propre et PageRank === II. Construisez la matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle, comme proposé dans les diapos. II. Calculez une itération de PageRank avec <math>s=0,9</math> : * Initialisez le vecteur de matière pour le calcul de la centralité de vecteur propre en la partageant également entre tous les nœuds. ** Pour simplifier le calcul vous pouvez choisir une quantité totale égale au nombre de nœuds, d'une telle sorte que chaque nœud est initialisé avec <math>1</math>. * Pour une fois : ** Faites une itération pour tous les nœuds de l'algorithme pour e calcul de la centralité de vecteur propre (de façon matricielle ou manuelle). ** Multipliez la matière dans chaque nœud par <math>s\ (= 0,9)</math>, puis partagez également <math>1-s\ (= 0,1)</math> de la matière totale entre tous les nœuds. * Vérifiez que la matière totale n'a pas changé au bout des comptes. ==== Note 1 : Nœuds sans issue ==== Si en enlevant le lien sortant du nœud L1 vous vous retrouvez avec un nœud sans lien sortant, la matière dans ce nœud n'aura pas de destination et par conséquence la matière totale ne sera pas constante et aura tendance à s'anéantir. Garder la matière dans le nœud ne résout pas le problème, car on perd la correspondance entre importance du nœud et circulation de matière. C'est alors un peu le même problème des graphes non fortement connexes, et la bonne solution n'est pas si différente : si un nœud n'a pas de lien sortant, on va simplement imaginer qu'il n'a pas de préférence pour verser sa matière et donc on va la repartir également entre les autres nœuds. C'est à dire, un nœud sans lien sortant doit être traité comme un nœud avec des liens sortants vers tous les autres nœuds ! ==== Note 2 : Question pour les curieux ==== Il est aussi possible de représenter l'étape redistributive ("revenu universel") sous la forme d'une matrice qui multiplie le vecteur de matière. Quelle serait cette matrice ? == Graphe de blocs == * Pour construire un ''graphe de blocs'', on partage les nœuds du graphe original en groupes qu'on appelle ''blocs''. Chaque bloc représente alors un nœud dans le graphe de blocs, et chaque lien du graphe original devient un lien entre les blocs contenant les nœuds du graphe original participant au lien. Exemple: un graphe orienté ayant nœuds <code>A, B et C</code> et liens <code>(A, B), (B, C), (C, B)</code>, si partitionné entre les blocs <code>B1={A, B} et B2={C}</code>, donne lieu au graphe de blocs avec nœuds <code>B1 et B2</code> et liens <code>(B1, B1), (B1, B2), (B2, B1)</code>. I. Pour votre réseau '''G''', construisez en écrivant la matrice d'adjacence : * Le graphe de blocs '''H1''', ayant comme blocs B1 = {L1, plus L2, plus le premier des nœuds qui n'est pas L1 ou L2} et B2 = {les autres nœuds}. * Le graphe de blocs '''H2''', ayant comme blocs B1 = {L1, plus L2, plus le dernier des nœuds qui n'est pas L1 ou L2} et B2 = {les autres nœuds}. II. Comparez les graphes de blocs '''H1''' et '''H2''' au graphe original '''G''' pour choisir celui d'entre eux qui simplifie '''G''' de façon la plus fidèle. Argumentez votre choix : il suffit d'expliquer votre raisonnement, il n'y a pas de « bonne réponse » et aucun calcul particulier n'est requis. Bon travail ! {{Créer accéder activité}} [[Catégorie:Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)]] ob9a19zpypwu3nt5pafijncayhawpx3 2 80532 881212 878183 2022-08-11T11:36:02Z Solstag 13856 wikitext text/x-wiki [[Catégorie:{{#titleparts: {{PAGENAME}} | | 2 }}]] [[Fichier:Réseau de l'activité avec L1 et L2.jpg|vignette|Mon réseau avec a et e remplacé respectivement par L1 et L2.]] === Votre réseau === * Parmi les lettres [a, b, c, d, e, f], la première est A = L1 dans ('''A'''lexandra) et la dernière est E = L2 dans (Levign'''e'''). * Nous avons donc le graphique suivant : === Composantes === I. Identifiez les composantes fortement connexes du graphe : Tous les éléments de mon réseau forment une composante fortement connexe soit {L1,b,d,c,L2,f} II. En fonction des ses composantes fortement connexes, que peut-on conclure à propos de la centralité de vecteur propre du graphe ? Le noeud L1 est le plus central, en effet ce dernier possède 4 voisins. Les noeuds b, c, d et L2 sont eux aussi centraux, ils possèdent 3 voisins et sont connectés à des sommets très connectés également. Enfin, F est le noeud le moins central puisqu'il ne possède que 2 voisins. === Vecteur propre et PageRank === II. Construisez la matrice pour le calcul de la centralité de vecteur propre par multiplication matricielle, comme proposé dans les diapos. A = <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> M = <math> \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \ </math> M^t = <math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> II. Calculez une itération de PageRank avec <math>s=0,9</math> : Initialisation du vecteur pour distribuer de manière égale une matière totale (avec 1) V₀ =<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math> Calcul d'une itération de la centralité de vecteur propre soit '''M^t * V_{0 =}'''<math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1/2 \\ 1 \\ 1/2 \\ 3/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}</math> Nous retrouvons donc bien ici une matière totale de 6. Je multiplie ensuite la matière dans chaque noeud par 0.9 puis j'ajoute 0.1. Ainsi '''M^t * V₀ * 0,9 + 0,1 ce qui nous donne :''' <math>\begin{pmatrix} 1,9 \\ 0,55 \\ 1 \\ 0,55 \\ 1,45 \\ 0,55 \end{pmatrix}</math> Nous retrouvons encore une fois une matière totale de 6, ce qui nous confirme nos calculs. ==== Note 1 : Nœuds sans issue ==== Je me sens nulle, je n'arrive pas à remplir le reste de l'activité. 2oempttfkrak954lbancaztsifmip6k 2 80762 881188 2022-08-10T12:13:42Z Cabayi 51233 Cabayi a déplacé la page [[Utilisateur:AnneJea/Ebauche]] vers [[Utilisateur:.Anja./Ebauche]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/AnneJea|AnneJea]] » en « [[Special:CentralAuth/.Anja.|.Anja.]] » wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:.Anja./Ebauche]] 4uqs4tw0gs8d5d0mgtzqqt3q53pdrxq 2 80763 881189 2022-08-10T12:13:42Z Cabayi 51233 Cabayi a déplacé la page [[Utilisateur:AnneJea]] vers [[Utilisateur:.Anja.]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/AnneJea|AnneJea]] » en « [[Special:CentralAuth/.Anja.|.Anja.]] » wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:.Anja.]] lt0km29oixh2bkyvr3y53hubyygfgub 3 80764 881191 2022-08-10T12:13:42Z Cabayi 51233 Cabayi a déplacé la page [[Discussion utilisateur:AnneJea]] vers [[Discussion utilisateur:.Anja.]] : Page automatiquement déplacée lors du renommage de l’utilisateur « [[Special:CentralAuth/AnneJea|AnneJea]] » en « [[Special:CentralAuth/.Anja.|.Anja.]] » wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Discussion utilisateur:.Anja.]] mdhsy2wlia2un06hrg16zptq1zhjmse 2 80765 881203 2022-08-10T18:30:54Z Solstag 13856 Solstag a déplacé la page [[Utilisateur:Victor Simandoux/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2021)/Activité D]] vers [[Utilisateur:Victor Simandoux/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité D]] : page crée sur la mauvaise année ... wikitext text/x-wiki #REDIRECTION [[Utilisateur:Victor Simandoux/Modélisation des Réseaux (M1 SIREN, 2022)/Activité D]] 4xjgp1ll1zxfh0z6rjjxwdxec8imhq3