Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.25 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 4 2133 770895 749207 2022-08-19T10:00:04Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt nach [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2022]] archiviert – letzte Bearbeitung: [[user:TaxonBot|TaxonBot]] (12.08.2022 00:00:04) wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Universal Code of Conduct News – Issue 1 == <section begin="ucoc-newsletter"/> <div style = "line-height: 1.2"> <span style="font-size:200%;">'''Universal Code of Conduct - Neuigkeiten'''</span><br> <span style="font-size:120%; color:#404040;">'''Ausgabe 1, Juni 2021'''</span><span style="font-size:120%; float:right;">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]</span> ---- Willkommen zur ersten Ausgabe der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] Nachrichten! Dieser Newsletter soll Wikimedianern helfen, an der Entwicklung des neuen Kodex beteiligt zu bleiben, und soll über relevante Neuigkeiten, Forschung und bevorstehende Ereignisse im Zusammenhang mit dem UCoC informieren. Bitte beachtet, dies ist die erste Ausgabe des UCoC-Newsletters, der an alle Abonnenten und Projekte als Ankündigung der Initiative geliefert wird. Wenn du die zukünftigen Ausgaben auf deiner Diskussionsseite, Village pumps oder anderen spezifischen Seiten, die du für angemessen hältst, zugestellt haben möchtest, dann trage dich bitte [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/UCoC Newsletter Subscription|hier ein]]. Du kannst uns helfen, indem du die Newsletter-Ausgaben in deine Sprachen übersetzt, um die Neuigkeiten zu verbreiten und ein Bewusstsein zu schaffen, damit unsere Community für uns alle sicher bleibt. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/Participate|trage dich hier ein]], wenn du im Voraus über den Entwurf der zu übersetzenden Ausgabe informiert werden möchtest. Deine Mithilfe ist sehr willkommen. </div><div style="margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;"> * '''Konsultationen mit Partnerorganisationen''' – Wikimedia-Mitgliedsorganisationen aller Größen und Formen waren eingeladen, im März und April 2021 an der Konsultation der UCoC-Partnerorganisationen teilzunehmen. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec1|Weiterlesen]]) * '''Zentrale Konsultationen 2021''' – Die Wikimedia Foundation hielt im April und Mai 2021 Konsultationen zu Schlüsselfragen der Anwendung ab, um von der breiteren Wikimedia-Gemeinschaft Meinungen zur Anwendung der UCoC einzuholen. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec2|Weiterlesen]]) * '''Diskussionen am runden Tisch''' – Das UCoC-Moderationsteam veranstaltete im Mai 2021 zwei 90-minütige öffentliche Gespräche am runden Tisch, um die wichtigsten Fragen der UCoC-Durchführung zu diskutieren. Weitere Gespräche sind geplant. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec3|Weiterlesen]]) * '''Phase 2 Entwurfsausschuss''' – Der Entwurfsausschuss für die Phase 2 des UCoC hat am 12. Mai 2021 seine Arbeit aufgenommen. Lesen Sie mehr über seine Arbeit. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec4|Weiterlesen]]) * '''Diff blogs''' – Die UCoC-Moderatoren haben mehrere Blog-Beiträge verfasst, die auf interessanten Erkenntnissen und Einsichten aus den einzelnen Communities während der lokalen Projektkonsultationen, die im ersten Quartal 2021 stattfanden. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec5|Weiterlesen]])</div><section end="ucoc-newsletter"/> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SOyeyele (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SOyeyele_(WMF)/Announcements/German&oldid=21301095 --> == Subscribe to the This Month in Education newsletter - learn from others and share your stories == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Dear community members, Greetings from the EWOC Newsletter team and the education team at Wikimedia Foundation. We are very excited to share that we on tenth years of Education Newsletter ([[m:Education/News|This Month in Education]]) invite you to join us by [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|subscribing to the newsletter on your talk page]] or by [[m:Education/News/Newsroom|sharing your activities in the upcoming newsletters]]. The Wikimedia Education newsletter is a monthly newsletter that collects articles written by community members using Wikimedia projects in education around the world, and it is published by the EWOC Newsletter team in collaboration with the Education team. These stories can bring you new ideas to try, valuable insights about the success and challenges of our community members in running education programs in their context. If your affiliate/language project is developing its own education initiatives, please remember to take advantage of this newsletter to publish your stories with the wider movement that shares your passion for education. You can submit newsletter articles in your own language or submit bilingual articles for the education newsletter. For the month of January the deadline to submit articles is on the 20th January. We look forward to reading your stories. Older versions of this newsletter can be found in the [[outreach:Education/Newsletter/Archives|complete archive]]. More information about the newsletter can be found at [[m:Education/News/Publication Guidelines|Education/Newsletter/About]]. For more information, please contact spatnaik{{@}}wikimedia.org. ------ <div style="text-align: center;"><div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[User:ZI Jony|<span style="color:#8B0000">'''ZI Jony'''</span>]] [[User talk:ZI Jony|^{<span style="color:Green"><i>(Talk)</i></span>}]], {{<includeonly>subst:</includeonly>#time:l G:i, d F Y|}} (UTC)</div></div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:ZI_Jony/MassMessage/Awareness_of_Education_Newsletter/List_of_Village_Pumps&oldid=21244129 --> == Bekanntgabe der sechs Kandidat*innen für die Wahl zum Board of Trustees 2022 == <section begin="announcement-content"/> :''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo zusammen, Das Wahlverfahren der Affiliates (Chapter und Usergroups) ist abgeschlossen. Vertreter*innen der einzelnen Affiliates (Chapter und Usergroups) haben sich über die Kandidat*innen informiert, indem sie die Erklärungen der Kandidat*innen gelesen, die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen geprüft und die vom Analyse-Komitee erstellten Bewertungen der Kandidat*innen berücksichtigt haben. Die ausgewählten Kandidat*innen für das Board of Trustees 2022 sind: * Tobechukwu Precious Friday ([[User:Tochiprecious|Tochiprecious]]) * Farah Jack Mustaklem ([[User:Fjmustak|Fjmustak]]) * Shani Evenstein Sigalov ([[User:Esh77|Esh77]]) * Kunal Mehta ([[User:Legoktm|Legoktm]]) * Michał Buczyński ([[User:Aegis Maelstrom|Aegis Maelstrom]]) * Mike Peel ([[User:Mike Peel|Mike Peel]]) Du kannst mehr Informationen über die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Results|Ergebnisse]] und [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Stats|Statistiken]] dieser Boardwahlen sehen. Bitte nimm dir einen Moment Zeit, um den Vertretern der Affiliates (Chapter und Usergroups) und den Mitgliedern des Analyse-Komitees dafür zu danken, dass sie an diesem Prozess teilgenommen und dazu beigetragen haben, das Board of Trustees in seiner Kapazität und Diversität zu erweitern. Diese Stunden ehrenamtlicher Arbeit verbinden uns über Verständnis und Perspektive hinweg. Vielen Dank für deine Teilnahme. Vielen Dank an die Community-Mitglieder, die sich als Kandidat*in für das Board of Trustees zur Verfügung gestellt haben. Die Entscheidung, in das Board of Trustees einzutreten, ist keine leichte Entscheidung. Die Zeit und das Engagement, das die Kandidat*innen bis jetzt gezeigt haben, sprechen für ihr Engagement in diesem "Movement". Herzlichen Glückwunsch an die Kandidat*innen, die ausgewählt worden sind. Große Anerkennung und Dankbarkeit für die Kandidat*innen, die nicht ausgewählt wurden. Bitte stellt Wikimedia weiterhin eure Führungsqualität zur Verfügung. Vielen Dank an alle, die bei dieser Boardwahl das Affiliate-Verfahren verfolgt haben. Du kannst die Ergebnisse der Wahl der Affiliates (Chapter und Usergroups) einsehen. Der nächste Teil der Boardwahlen ist die Community-Wahlperiode. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022#Timeline|Hier kannst du den Zeitplan für die Boardwahlen einsehen]]. Zur Vorbereitung der Community-Wahlperiode gibt es einige Dinge, an denen sich Community-Mitglieder auf folgende Weise beteiligen können: * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Lest die Aussagen der Kandidat*innen]] und die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen der Affiliate-Vertreter*innen. * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Questions_for_Candidates|Schlage Fragen vor und wähle 6 aus, die die Kandidat*innen während ihres Video-Q&A beantworten sollen]]. * Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Analyse-Komitee Bewertungen der Kandidat*innen auf der Erklärung der einzelnen Kandidaten]]. * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Community Voting/Election Compass|Vorschläge zu Aussagen für das Wahlomat-Tool]] können die Wähler*innen nutzen, um herauszufinden, welche Kandidat*innen am besten zu ihren Prinzipien passen. * Ermutige andere in deiner Community, sich an den Wahlen zu beteiligen. Beste Grüße, Movement Strategy and Governance ''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses'' </div><section end="announcement-content"/> [[User:MNadzikiewicz (WMF)|MNadzikiewicz (WMF)]] 15:20, 20. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen == [[File:Vector 2022 showing language menu with a blue menu trigger and blue menu items 01.jpg|thumb]] Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Reading/Web/Desktop Improvements/de|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''26. Juli 2022 at [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220726T1200 12:00 UTC] and [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220726T1900 19:00 UTC]''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/5304280674 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 5304280674. [https://wikimedia.zoom.us/u/kc2hamfYz9 Wähle dich über deinen Ort ein]. [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web/de|Mehr dazu]]. Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 18:27, 25. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=23201372 --> == Kommerzielle Nutzung von Wikiversity-Kursen == Die Lizensierung von Wikiversity-Inhalten wird in der Regel nicht mit dem NC-Attribut versehen. * Wikiversity-Inhalte von Kursen wie [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien]] * werden kommerziell genutzt z.B. unter https://www.duhoctrungquoc.vn/edu/de /Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien und mit Werbung versehen und gleichzeitig hinterlassen solche Webseiten mit einer Emulation den Eindruck, dass Wikiversity mit Werbung Geld verdient. Halte es für eine gute Option zumindest den Autor:innen die Möglichkeit zu geben, die NC-Non-Commercial-Option auch auswählen zu können. --[[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 13:58, 3. Aug. 2022 (CEST) ::Ich kann das verstehen, es ist aber "politisch" nicht erwünscht. --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 10:18, 5. Aug. 2022 (CEST) == Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 7 == <section begin="msg-newsletter"/> <div style = "line-height: 1.2"> <span style="font-size:200%;">'''Neues von Movement Strategy und Governance'''</span><br> <span style="font-size:120%; color:#404040;">'''Ausgabe 7 – Juli - September 2022'''</span><span style="font-size:120%; float:right;">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]</span> ---- Willkommen zur 7. Ausgabe der Movement Strategy and Governance News! Der Newsletter informiert über relevante Neuigkeiten und Veranstaltungen zur Umsetzung der Strategieempfehlungen der Wikimedia Foundation für das Movement, über andere relevante Themen im Zusammenhang mit der Governance des Movements sowie über verschiedene Projekte und Aktivitäten, die vom Movement Strategy and Governance (MSG) Team der Wikimedia Foundation unterstützt werden. Der MSG Newsletter wird vierteljährlich versandt, während der häufiger erscheinende [[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy/Updates|Movement Strategy Weekly]] wöchentlich erscheint. Bitte vergiss nicht, dich [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|hier]] anzumelden, wenn du zukünftige Ausgaben des Newsletters erhalten möchtest. </div><div style="margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;"> * '''Nachhaltigkeit im Movement''': Der jährliche Nachhaltigkeitsbericht der Wikimedia Foundation wurde veröffentlicht. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A1|Weiterlesen]]) * '''Verbesserung der Benutzerfreundlichkeit''': Aktuelle Verbesserungen der Desktop-Oberfläche für Wikimediaprojekte. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A2|Weiterlesen]]) * '''Sicherheit und Inklusion''': Aktuelles zum Überarbeitungsprozess der Leitlinien zur Durchsetzung des Universal Code of Conduct. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A3|Weiterlesen]]) * '''Gleichberechtigung in der Entscheidungsfindung''': Berichte aus den Gesprächsrunden der Hubs, die jüngsten Fortschritte des Entwurfskomitees der Movement Charter und ein neues Weißbuch für die Zukunft der Beteiligung in der Wikimedia-Bewegung. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A4|Weiterlesen]]) * '''Koordination der Stakeholder''': Einführung eines Helpdesks für Affiliates und freiwillige Communities, die an der Partnerschaft für Inhalte arbeiten. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A5|Weiterlesen]]) * '''Entwicklung der Führungsqualität''': Updates zu den Führungsqualitäten der Organisatoren des Wikimedia Movements in Brasilien und Kap Verde. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A6|Weiterlesen]]) * '''Internes Wissensmanagement''': Start eines neuen Portals für technische Dokumentation und Community-Ressourcen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A7|Weiterlesen]]) * '''Erneuerung im Freien Wissen''': hochwertige audiovisuelle Ressourcen für wissenschaftliche Experimente und ein neues Toolkit zur Aufzeichnung mündlicher Mitschriften. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A8|Weiterlesen]]) * '''Evaluieren, iterieren und anpassen''': Ergebnisse aus dem Pilotprojekt Equity Landscape ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A9|Weiterlesen]]) * '''Weitere Neuigkeiten und Aktualisierungen''': ein neues Forum zur Diskussion über die Umsetzung der Movement Strategy, die bevorstehende Wahl zum Board of Trustees der Wikimedia Foundation, ein neuer Podcast zur Diskussion über die Movement Strategy und eine personelle Veränderung im Movement Strategy and Governance Team der Foundation. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A10|Weiterlesen]]) </div><section end="msg-newsletter"/> [[Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)|MNadzikiewicz (WMF)]] ([[Benutzer Diskussion:MNadzikiewicz (WMF)|Diskussion]]) 15:44, 3. Aug. 2022 (CEST) rks27lgll5qovt98i9atnvkafrl6sqq 0 10650 770754 154510 2022-08-18T12:49:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= H |SZ=}} eine Untergruppe von {{math|term= G |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl {{math|term= {{op:Anzahl|H|}} |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= {{op:Anzahl|G|}} |SZ=.}} |Zusatz=Insbesondere teilt die Ordnung {{math|term= \operatorname{ord}(x) |SZ=}} eines Gruppenelementes {{math|term= x |SZ=}} von {{math|term= G |SZ=}} die Kardinalität {{math|term= {{op:Anzahl|G|}} |SZ=.}} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Lagrange (Gruppentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6xubp16qnlff9pkojfd5ko78n1dhev9 108 11991 770825 661970 2022-08-19T06:14:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Der einzige Sinn dieser Seite ist, solche Seiten aufzulisten, auf die im Moment zwar nicht von irgendwoher zugegriffen wird, die aber in sinnvoller Weise kategorisiert wurden. Dies kann auf Aufgaben, die auf Vorrat angelegt wurden, oder auf Definitionsvarianten etc. zutreffen. Der Zweck ist, dass solche Seiten nicht unter [[Spezial:Verwaiste_Seiten|verwaiste Seiten]] auftauchen. Es handelt sich ja nicht wirklich um verwaiste Seiten, da sie über das Kategoriensystem auffindbar und verfügbar sind. Ebenso werden hier Latexvarianten von Seiten abgelegt. Es besteht kein Grund, die Seiten hier zu löschen, nachdem sie verlinkt sind. [[Kategorie:Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Sonstiges]] =Verwaiste Vorlagen = [[Vorlage:Aufzählung11‏‎]] [[Vorlage:Arbeitsblattaufzählungsform]] [[Vorlage:Algorithmen-Kategorie unter]] [[Vorlage:Element-Kategorie]] [[Vorlage:Elemente-Kategorie‏]] [[Vorlage:DefinitionslinkAnführung‏‎]] [[Vorlage:DefinitionslinkFußnote‏]] [[Vorlage:Extralatex]] [[Vorlage:Fakten mit Beweis-Kategorie]] [[Vorlage:FaktlinkAufgabe]] [[Vorlage:Latexdruck2\!]] [[Vorlage:Latexmakros-Kategorie unter]] [[Vorlage:Mathbed3‏‎]] [[Vorlage:Mathbed3/disp‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie2‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie3‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/FaktKategorie1‏‎‏‎]] [[Vorlage:Semantische Vorlage‏]] [[Vorlage:Seminarformvorlage‏]] [[Vorlage:Sumj0k]] [[Vorlage:Sumj1m‏‎]] [[Vorlage:Sumn0k‏]][[Vorlage:Synchronized‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitdreispalten]] [[Vorlage:Tabellemitzeilen‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitzeilen]] [[Vorlage:Textabschnitts-Kategorie]] [[Vorlage:Vorlesungsaufzählungsform]] [[Vorlage:Vorlesungsfußform‏‎]] [[Vorlage:Vortragseintragaktuellsek‏‎]] [[Vorlage:Wertetabelle13‏‎]] [[Vorlage:Wertetabelle13/wiki‏‎]] = = [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Lizenzerklärung]] [[Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Ableitungen und Regeln/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt]] [[Euro-Münze/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt/Name/Inhalt]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung]] [[MDLUL/Kommutativ]] [[MDLUL/Körper-Automorphismen]] [[MDLUL/Quader (Rechteck)]] [[MDLUL/Richtungsableitungen (\R)]] [[MDLUL/Ring-Automorphismus]] [[MDLUL/Tangentialraums]] [[MDLUL/Taylorpolynom (mehr)]] [[MDLUL/differenzierbar (total \R)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktion(1 K)]] [[MDLUL/gleichmäßig konvergente]] [[MDLUL/höheren Richtungsableitungen (\R)]] [[MDLUL/kompakter Quader]] [[MDLUL/limes inferior]] [[MDLUL/stetig differenzierbar (n \R)]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbarer Fall/Fakt]] [[Aussagenlogik/Modellbeziehung/Folgerung/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Rationale Zahlen/Unterringe/Sind Nenneraufnahmen/Fakt]] [[Logarithmus/Reihen und Integrale/Aufgabe]] [[Erststufige Peano-Arithmetik/Kommutativer Halbring/Fakt]] = = [[Spektrumsabbildung/Faser/Tensorprodukt/Aufgabe]] [[Summierbarkeit/1 durch ab/a,b geq k/Aufgabe]] [[MDLUL/Abgeschlossene Intervalle (ang)]] [[MDLUL/Algebraischen Vielfachheit]] [[MDLUL/Berührpunkte (mr)]] [[MDLUL/Berührpunkten (mr)]] [[MDLUL/Differentialgleichungen (gdg)]] [[MDLUL/Differenzierbarkeit (K)]] [[MDLUL/Einheitsmatrizen]] [[MDLUL/Endliche (Menge)]] [[MDLUL/Erzeugendensysteme (LinAlg)]] [[MDLUL/Inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung]] [[MDLUL/Intervalle(ang)]] [[MDLUL/Intervallen (R)]] [[MDLUL/Intervalls (ang)]] [[MDLUL/Inverse (Matrix)]] [[MDLUL/Kern (GH)]] [[MDLUL/Kern (LinAbb)]] [[MDLUL/Kugel]] [[MDLUL/Kugeln (mr)]] [[MDLUL/Körper-Isomorphismen]] [[MDLUL/abgeschlossene Intervalle (ang)]] [[MDLUL/abgeschlossene Kugel (mr)]] [[MDLUL/abgeschlossene Menge]] [[MDLUL/abgeschlossene Menge (mr)]] [[MDLUL/abgeschlossenen (mr)]] [[MDLUL/abgeschlossenen Kugeln (mr)]] [[MDLUL/abgeschlossenes Intervall (ang)]] [[MDLUL/adjungierten Matrix]] [[MDLUL/affin-linear (abb)]] [[MDLUL/affin-lineare Funktionen]] [[MDLUL/arithmetisches Mittel]] [[MDLUL/aufgespannte Unterraum]] [[MDLUL/aufgespannte Unterräume]] [[MDLUL/aufgespannte Untervektorräume]] [[MDLUL/aufgespannter Unterraum]] [[MDLUL/aufgespannter Untervektorraum]] [[MDLUL/beschreibende Matrizen]] [[MDLUL/beschränkte (abb)]] [[MDLUL/beschränkte Funktion]] [[MDLUL/beschränkte Funktionen]] [[MDLUL/beschränkten Funktionen]] [[MDLUL/beschränkter (mr)]] [[MDLUL/bestimmt divergente (R)]] [[MDLUL/bestimmte Divergenz (R)]] [[MDLUL/bestimmte Divergenz (ang)]] [[MDLUL/bestimmte Integrale]] [[MDLUL/bestimmten Integrale]] [[MDLUL/bestimmten Integrals]] [[MDLUL/diagonalisierbare (ev)]] [[MDLUL/differenzierbar (höher mr)]] [[MDLUL/differenzierbare Abbildung (K)]] [[MDLUL/differenzierbaren (K)]] [[MDLUL/dimensional (eeVR)]] [[MDLUL/divergent (mr)]] [[MDLUL/divergent (reihe C)]] [[MDLUL/divergente Reihe (C)]] [[MDLUL/divergieren (reihe C)]] [[MDLUL/divergiert (reihe C)]] [[MDLUL/duale Monoid]] [[MDLUL/elementar konstruierbar]] [[MDLUL/elementare Zeilenumformung]] [[MDLUL/erststufige Peano-Arithmetik]] [[MDLUL/erzeugten Unterraum]] [[MDLUL/erzeugtes Ideal]] [[MDLUL/euklidische Räume]] [[MDLUL/euklidische Vektorraum]] [[MDLUL/euklidischen Räumen]] [[MDLUL/fallende (abb)]] [[MDLUL/gemeinsamer Zerfällungskörper]] [[MDLUL/gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen]] [[MDLUL/gewöhnliche 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[[MDLUL/lokalen Maxima (mr)]] [[MDLUL/lokalen Minima (mr)]] [[MDLUL/maximales Element]] [[MDLUL/nichtnegativ (ang)]] [[MDLUL/nichtnegativen (ang)]] [[MDLUL/obere Dreiecksmatrizen]] [[MDLUL/offene Intervalle (ang)]] [[MDLUL/offene Kugel (mr)]] [[MDLUL/orthogonal (vr)]] [[MDLUL/orthogonalen Komplements]] [[MDLUL/positiv (ang)]] [[MDLUL/quadratisch (Matrix)]] [[MDLUL/quadratische Matrizen]] [[MDLUL/rationale Funktionen (K)]] [[MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (K)]] [[MDLUL/stetig differenzierbaren (K)]] [[MDLUL/stetig in (mr)]] [[MDLUL/stetige Fortsetzungen (mr)]] [[MDLUL/stetigen Fortsetzung (mr)]] [[MDLUL/streng fallend (Folge ang)]] [[MDLUL/streng fallende (Folge ang)]] [[MDLUL/streng fallende (abb)]] [[MDLUL/streng fallende Funktion]] [[MDLUL/streng wachsend (Folge ang)]] [[MDLUL/streng wachsende (Folge ang)]] [[MDLUL/summierbare (C)]] [[MDLUL/wachsende (abb)]] [[Nichtmodulare Gruppe/Normalteiler/Lineare Operation/Linearisierbar/Aufgabe]] [[SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis]] [[R^3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe]] [[Intrat/Aufgabe]] [[Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe]] [[Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis]] [[Algebra/Seminar/Mögliche Themen]] [[Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Modultheorie/Untermodul/Definition]] [[MDLUL/Grenzwert]] [[MDLUL/Ideale (kommutativ)]] [[MDLUL/Identische Abbildung]] [[MDLUL/Offene Teilmenge (mr)]] [[MDLUL/Polarkoordinatenabbildung]] [[MDLUL/Verträgliche Operation (Modul)]] [[MDLUL/Wegintegrals]] [[MDLUL/allgemeine komplexe Lösungen (glg)]] [[MDLUL/beschreibenden (Modulhomomorphismus durch Matrix)]] [[MDLUL/differenzierbare Abbildung (R total)]] [[MDLUL/differenzierbaren Weg]] [[MDLUL/höhere Richtungsableitung]] [[MDLUL/höhere Richtungsableitungen]] [[MDLUL/kanonischer Primfaktorzerlegung]] [[MDLUL/konjugierte Elemente]] [[MDLUL/minimales Element]] [[MDLUL/partiell differenzierbar (\R)]] [[MDLUL/primitives Element]] [[Lexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe]] [[Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangswertproblems]] [[MDLUL/Gleichheitsaxiom]] [[Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt]] [[Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel]] [[Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Invariantenringe/Textabschnitt]] [[Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/-3 bis 4/Beispiel]] [[Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/Euklidisch/Definition]] [[Totale Differenzierbarkeit/R/Polynomiale Funktion/Aufgabe]] [[Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos(xy),x-y)/Beispiel]] [[Stetigkeit/Wikipediaartikel/Aufgabe]] [[Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel]] [[Polynomfunktionen/R/Sind stetig/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomring/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Primzahlen/Fermatsche Primzahl/Doppelexponent/Definition]] [[Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition]] [[R^n/Abgeschlossene Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt]] [[Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/2/Definition]] [[Differentialgleichung/y+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Ebene Kurve/Bogenparametrisiert/Definition]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-4 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe]] [[Fakultätsfunktion/Stetigkeit/Aufgabe/en]] [[Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Bezout Euklid Faktoriell/Textabschnitt]] [[Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Prädikatenlogik/Ableitungskalkül/Surjektivität/Verknüpfung/Beispiel]] [[Prädikatenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Sequenzenkalkül ableitbar/Textabschnitt]] [[Rationale Zahlen/Verschiedene Teilmengen/Schrankenbegriffe/Aufgabe/en]] [[Reihe/1 durch n(n+1)/Grenzwert ist 1/Aufgabe/en]] [[Reihe/Koch Schneeflocke/Länge und Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Sinus/R/Additionstheorem/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[Vektorraum/K nach V/Linear/Aufgabe/en]] [[Lineare Abbildung/Auf Erzeugendensystem eindeutig bestimmt/Keine Abbildung/Aufgabe/en]] [[Lineare Abbildung/Graph/Ist Untervektorraum/Aufgabe/en]] [[Lineare Abbildung/Graph/Vorstellung/Aufgabe/en]] [[MDLUL/Cauchyfolge (R)]] [[MDLUL/Kerns]] [[Matrix/Spaltenrang/Produkt/Aufgabe/en]] == == [[MDLUL/Isomorphismen (Gruppe)]] [[MDLUL/direkten Produkt]] [[MDLUL/Funktionslimes (mr)]] [[MDLUL/Grade]] [[MDLUL/Grade (Polynom)]] [[MDLUL/Matrizen (Ring)]] [[MDLUL/Minimum (R)]] [[MDLUL/Monotonieverhalten]] [[MDLUL/Ableiten]] [[MDLUL/Ableitung (höher K)]] [[MDLUL/Archimedes Axioms]] [[MDLUL/Randpunkt (mr)]] [[MDLUL/Reellen Intervalls]] [[MDLUL/absolut konvergent]] [[MDLUL/beschränktes (R)]] [[MDLUL/beschränktes offenes Intervall]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen]] [[MDLUL/innerer Punkt (mr)]] [[MDLUL/isoliertes lokales Minimum]] [[MDLUL/konvergente Reihe]] [[MDLUL/konvergieren (Reihe R)]] [[MDLUL/n-mal differenzierbar]] [[MDLUL/n-te Ableitung]] [[MDLUL/stetige Funktionen]] [[MDLUL/streng wachsende]] [[MDLUL/äquivalent (lineares Gleichungssystem)]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 97/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus/Arbeitsblatt 1]] [[Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt]] [[MDLUL/Eulersche Funktion]] [[Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Urbild eines maximalen Ideals/Nicht maximal/Aufgabe]] [[Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweis]] [[Gruppentheorie/Index/Definition/2]] [[Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Nichteinheiten Ideal/Definition]] [[Konjugierte invertierbare Matrizen/R/Invariante Eigenschaften/Aufgabe]] [[MDLUL/Automorphismen]] [[MDLUL/Automorphismengruppen]] [[MDLUL/Automorphismusgruppe (Körper)]] [[MDLUL/Einbettung (Algebra)]] [[MDLUL/Fixpunkte]] [[Teilbarkeitstheorie/Bereich/prim ist irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[MDLUL/Galois-Erweiterung]] [[MDLUL/Polynomring (n Variablen)]] [[MDLUL/invariant]] [[Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe]] [[MDLUL/linearer Isomorphismus]] [[MDLUL/periodischen]] [[MDLUL/teilerfremde]] [[MDLUL/teilt]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt mit Beweisklappe]] [[Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt mit Beweisklappe]] [[Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt]] [[Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt mit Beweisklappe]] [[Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweisverweis]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt mit Beweisklappe]] [[MDLUL/kompakten Teilmengen]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Funktion/Definition]] [[Quadratische Lösungsformel/R/Beweise/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Linksseitiger rechtsseitiger Limes/Definition]] [[Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^3y^2dxdy/Stammform/Aufgabe]] [[MDLUL/Offene Innere]] [[MDLUL/Untermannigfaltigkeit mit Rand]] [[MDLUL/diffeomorph (Rand)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (C^k)]] [[MDLUL/Überdeckung untergeordnete Partition der Eins]] [[Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/M und R^n/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialformen und Orientierung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/2/Lösung]] [[Angeordneter Körper/Vollständigkeit/Textabschnitt]] [[MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/4 5 9/1 4 7/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung]] [[MDLUL/messbaren Funktion]] [[MDLUL/Schnitt]] [[MDLUL/abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit]] [[MDLUL/orientierungstreu]] [[MDLUL/regulären Punkt (Kurve)]] [[Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt]] [[MDLUL/wachsenden (Funktionenfolge)]] [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Textabschnitt]] [[MDLUL/kompakten]] [[MDLUL/Endomorphismus]] [[MDLUL/Polygons]] [[MDLUL/Dimension (Mannigfaltigkeit)]] [[MDLUL/Niveaumenge zum Wert 0]] [[Produktraum/Endlich/Produktprämaß auf Produktpräring/Textabschnitt]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt]] [[Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit/Glatter Tensor/Definition]] = = [[Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt]][[Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Linearität des Integrales/Textabschnitt]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt]] [[Existenzsätze für Maße/Fortsetzung/Produktmaß/Textabschnitt]] [[Diskrete Bewertungsringe/Einführung/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangsbedingung (dgl)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gd)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gdg)]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen (gdg)]] [[MDLUL/Exponentialfunktionen (allg R)]] [[MDLUL/Funktionenfolgen (mr)]] [[MDLUL/Lineare Abbildung]] [[MDLUL/Linearfaktor (1K)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangswertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangwertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung des Anfangwertproblems (gdg)]] [[MDLUL/Matrixpotenz]] [[MDLUL/Maximum (fkt)]] [[MDLUL/Minimum (fkt)]] [[MDLUL/Neilsche Parabel]] [[MDLUL/Nullfolgen (R)]] [[MDLUL/Nullteiler]] [[MDLUL/Obere Schranke]] [[MDLUL/Obere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Ordnung (Gruppe)]] [[MDLUL/Orthonormalbasen]] [[MDLUL/Partialsumme (C)]] [[MDLUL/Polynomring (1)]] [[MDLUL/Potenz (matrix)]] [[MDLUL/Produkt (Matrix)]] [[MDLUL/Rang (Matrix)]] [[MDLUL/Restklassenring (Z)]] [[MDLUL/Skalarprodukte (R)]] [[MDLUL/Skalarprodukten (R)]] [[MDLUL/Teilen]] [[MDLUL/Teilfolgen (mr)]] [[MDLUL/Untere Schranke]] [[MDLUL/Untere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Wachstumsverhalten (abb)]] [[MDLUL/endlichdimensional (VR)]] [[MDLUL/erzeugte σ-Algebra]] [[MDLUL/stetige Abbildung (tr)]] [[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet 2]] [[Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt]] [[Topologische Grundbegriffe/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt]] [[Transformationsformel/Asphalt und Mittelstreifen/Beispiel]] [[Der Banachsche Fixpunktsatz/Textabschnitt]] [[Gewöhnliche Differentialgleichungen/Picard Lindelöf/Textabschnitt]] [[Satz über Umkehrabbildung/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Textabschnitt]] [[Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^3 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 sqrt(x^2+x+1) x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/f^2/Über 1 durch n+1 bis 1 durch n/Aufgabe]] [[Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/0 bis -infty/Aufgabe]] [[Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt]] [[Uneigentliches Integral/0 bis 1/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/Zusatz]] = = [[Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Variante 1/Aufgabe]] [[Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe]] [[Polynom/Linearfaktor/Definition]] [[Potenzen, Wurzeln/Aufgabe 3/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus]] [[Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion/Ist Treppenfunktion/Aufgabe]] [[Stammfunktionen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe]] [[Q nach R/Kleiner sqrt(2)/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe]] [[Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Themen]] [[Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition]] [[Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition]] [[Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Definition]] [[Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise]] [[Matrix/Körper/Potenz/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition]][[Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition]][[Obere Dreiecksmatrix/Definition]] [[Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition]] [[Lineare Algebra/Quadratische Matrix/Definition]] [[Matrix/Zeilenrang einer Matrix/Definition]] [[Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt]] [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition]] [[Vektorraum/Nullraum/Definition]] [[Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis]] [[Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Fakt]] [[Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Beweis]] [[Körper/2 nicht null/Arithmetisches Mittel/Definition]] [[Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis]] [[Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Textabschnitt]] [[Reelle Zahlen/Binomi/Fakt]][[Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/In M unendlich/Gibt disjunkte bijektive Menge/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Über Injektion vergleichbar/Aufgabe]] [[Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition]] [[Binomialkoeffizient/Anzahl der Monome vom Grad maximal n/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Bijektion zu 1...kl(T)/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Wohldefinierte Addition über disjunkte Mengen/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Definition]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Isoliertes System/Definition]] [[Vektorraum/Familie von Untervektorräumen/Untervektorraum/Aufgabe]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Eigentheorie/Textabschnitt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis]] [[Affiner Raum/Reell/Lineare Variablentransformation/Definition]] [[Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe]] [[Semantische Einlesevorlagen/Alphabetische Parameterweitergabe]] [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt]] = = [[Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Themen]] [[Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis]] [[Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette]] [[Theorie der Abbildungen/Abbildung/Als Relation/Definition]] [[Quadratische Reste/35 mod 97/Aufgabe]][[Ebene algebraische Kurve/Irreduzibel/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität (ohne Nakayama)/Fakt/Beweis]] [[Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/align]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detail]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/display//Grund1]] [[Topologie/Topologische Räume/Simplex/Definition]] [[Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Arbeitsblatt 2]] = = [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Logik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt]] [[Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 3/Fakt]] [[Satz von Schwarz/x^4y^5/Beispiel]] [[Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition]] [[Quadratzahl/Definition]] [[JohnSinclair/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]] [[Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/78+66i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/2/Aufgabe]] [[Identitätssatz für Polynome/Unendlicher Körper/Zariski-offene nicht-leere Menge/Aufgabe]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis]] [[Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt]] [[Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt]] [[Monomiale Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 2/X^6+X^2+1 und X^3+X/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/X^4+2X^2+X+2 und X^2+2X+1/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 7/X^3+6X^2+4 und X^2+3X+2/Aufgabe]] [[ Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/2X^4-7X^2+5/2X+3 und X^3+1/Aufgabe]] = = [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/Basislösungen/7 8 9/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/71 mod 89/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Aufgabe]] = = [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition]] [[Affine Varietäten/Irreduzible/Rationale Funktion/Definition]] = = [[Stetige Funktion/Halbgerade/Überabzählbare Nullstellen/Aufgabe]] [[Stetige Funktion/R/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/Zweite Woche/Doppelinduktion]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/TeilI I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Ferientutorium]] [[Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/4 5 11/Basislösungen/Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 6/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 7/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 11/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] = = [[Vorkurs/Mathematik/2/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/3/Klausur]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorwort zum Skript]] [[Restklassenringe (Z)/Z/12/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Z/48/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] = = [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 1/Statistik]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 11+23i/Aufgabe]] [[Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Berechnung/14! mod 187/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/35x ist 5 mod 100/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 2 mod 6/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 6 mod 9/Aufgabe]] = = [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/19/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/20/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/21/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/14/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T1/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T2/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T3/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T5/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T7/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsfrageliste]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur]] [[Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/ist Primzahl/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/-1+10i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/350+70i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7-4i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/93-55i/Aufgabe]] = = [[Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Aktuelles]] = = [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur mit Lösungen]] [[Quadratische Reste/19 mod 97/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/53 mod 83/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/44 mod 73/Aufgabe]] = = [[Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Länge des Graphen/x^2 durch 2 - x + 13/Von 4 nach 8/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt]] [[Proportionalität/Summe und Produkt/Interpretation/Bemerkung]] [[Quadratisches Polynom/R/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe]] [[Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/2/Aufgabe]] [[Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/55/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/65/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/2/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/3/Aufgabe]] [[Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/1/Aufgabe]] [[Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Starke Zugehörigkeit auf Komponenten/Beispiel]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt Ggt teilerfremd/Definition]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Definition]] [[Verknüpfung/Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Wurzel/Definition]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Zwei Beweise/Textabschnitt]] [[Zählen/Zweiersystem/Bis 10000/Aufgabe]] [[Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endlicher Körper/16/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/8/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/8/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/9/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/9/Multiplikationstafel]] [[Idealoperationen/Idealprodukt/Definition]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Multiplikationstafel]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungsklappe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT(zwei Elemente)/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 18/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/7x ist 0 mod 91/Aufgabe]] = = [[Magisches Quadrat/Erste n^2 Zahlen/Definition]] [[Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweislink]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT 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Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt]] [[MDLUL/Norm (Zahlbereich)]] [[MDLUL/Ordnung (Z)]] [[MDLUL/Quadrate]] [[MDLUL/Tensorierung]] [[MDLUL/beschränkt (Folge R)]] [[MDLUL/freie Gruppe vom Rang]] [[Matrix/Diagonalgestalt/1/Beispiel]] [[Matrix/Diagonalgestalt/2/Beispiel]] [[Mengentheorie/Partition/Definition]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt]] [[Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kombinatorik/Elementar/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche geometrische Reihe/Term/Natürliche Zahlen/Aufgabe]] [[Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primfaktorzerlegung/1573/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/2047/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/539/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/717/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/827/Aufgabe]] == == [[Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante]] [[Prädikatenlogik/Substitution/Ohne Beweis/Einführung/Textabschnitt]] [[Strukturen/Automorphismus/Definition]] [[Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition]] [[MDLUL/Alleinführung im Sukzedens]] [[MDLUL/Automorphismusgruppe (Struktur)]] [[MDLUL/Bijektive Abbildung]] [[MDLUL/Disjunktive Normalform]] [[MDLUL/Drehung (2)]] [[MDLUL/Extrema (mr)]] [[MDLUL/Grenzfunktion (mr)]] [[MDLUL/Konjugation (Untergruppe)]] [[MDLUL/Peano-Modelle]] [[MDLUL/Polynomfunktion (n R)]] [[MDLUL/Polynomringen (n)]] [[MDLUL/Randpunkt (R)]] [[MDLUL/Randpunkten (mr)]] [[MDLUL/Register-Programmen]] [[MDLUL/beschränkten (mr)]] [[MDLUL/differenzierbar (n)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (n)]] [[MDLUL/divergiert (mr)]] [[MDLUL/erststufigen Peanoaxiome]] [[MDLUL/gleichmäßig konvergiert]] [[MDLUL/gleichmäßig stetigen (mr)]] [[MDLUL/kompakten (Rn)]] [[MDLUL/konvergiert]] [[MDLUL/offenes (R)]] 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Streckung/Aufgabe]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Multilineare Abbildung/Alternierend/K/Definition]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition]] [[Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt]] [[Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt/Beweis]] [[KursEinführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Algebra/Linear unabhängig/Fast alle/Definition]] [[MDLUL/Kerne]] [[MDLUL/Peano-Axiome]] [[MDLUL/Unterraum]] [[MDLUL/Unterraum (vr)]] [[MDLUL/aufgespannten Parallelotops]] [[MDLUL/hermitesche (sesquilinear)]] [[MDLUL/isoliertes Minimum (R)]] [[MDLUL/nichtausgeartet]] [[MDLUL/translationsinvariant (Maß)]] [[MDLUL/translationsinvariante]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Cayley-Hamilton/Fakt/Name/Inhalt]] [[Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Spalte/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe]] [[MDLUL/linear-magischer Quadrate]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/16/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/17/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 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|ref2={{#if: {{{ref2|}}}|{{{ref2}}}|Fakt}} |ref3={{#if: {{{ref3|}}}|{{{ref3}}}|Fakt}} |ref4={{#if: {{{ref4|}}}|{{{ref4}}}|Fakt}} |ref5={{#if: {{{ref5|}}}|{{{ref5}}}|Fakt}} |ref6={{#if: {{{ref6|}}}|{{{ref6}}}|Fakt}} |ref7={{#if: {{{ref7|}}}|{{{ref7}}}|Fakt}} |ref8={{#if: {{{ref8|}}}|{{{ref8}}}|Fakt}} |ref9={{#if: {{{ref9|}}}|{{{ref9}}}|Fakt}} |ref10={{#if: {{{ref10|}}}|{{{ref10}}}|Fakt}} |refa1={{#if:{{{refa1|}}}|{{{refa1}}}|Aufgabe}} |refa2={{#if:{{{refa2|}}}|{{{refa2}}}|Aufgabe}} |refa3={{#if:{{{refa3|}}}|{{{refa3}}}|Aufgabe}} |refa4={{#if:{{{refa4|}}}|{{{refa4}}}|Aufgabe}} |refa5={{#if:{{{refa5|}}}|{{{refa5}}}|Aufgabe}} |refa6={{#if:{{{refa6|}}}|{{{refa6}}}|Aufgabe}} |refa7={{#if:{{{refa7|}}}|{{{refa7}}}|Aufgabe}} |refa8={{#if:{{{refa8|}}}|{{{refa8}}}|Aufgabe}} |refa9={{#if:{{{refa9|}}}|{{{refa9}}}|Aufgabe}} |refa10={{#if:{{{refa10|}}}|{{{refa10}}}|Aufgabe}} |refb1={{{refb1|}}} |refb2={{{refb2|}}} |refb3={{{refb3|}}} |refb4={{{refb4|}}} |refb5={{{refb5|}}} |refb6={{{refb6|}}} 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Multiplizität/en/Definition|Hilbert-Kunz multiplicity| }} The Hilbert-Kunz multiplicity of the maximal ideal of a local noetherian ring {{math|term=R|SZ=}} is called the {{Stichwort/-|Hilbert-Kunz multiplicity|SZ=}} of {{math|term=R|SZ=.}} {{ inputfakt |Noetherscher Ring/Positive Charakteristik/Existenz der Hilbert-Kunz-Multiplizität/en/Fakt|Theorem|Monsky| || }} With the help of the Hilbert-Kunz invariant of a local noetherian ring one may characterize when {{math|term=R|SZ=}} is regular, as the following theorem shows {{ Zusatz/Klammer |text=which was initiated by Kunz in 1969 but finally proven by Watanabe and Yoshida in 2000| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Regular ring/Characterization with Hilbert-Kunz multiplicity/Fakt|Theorem|Watanabe, Yoshida| || }} {{ inputfakt |Eindimensionaler Ring/Hilbert-Kunz Multiplizität ist Multiplizität/en/Fakt|Theorem|| || }} {{ inputfakt |Regular ring/Hilbert-Kunz multiplicity/Colength/Fakt|Theorem|| || }} There is a direct relation between Hilbert-Kunz multiplicity and tight closure {{ Zusatz/Klammer |text=and the test ideal of tight closure theory is related to the multiplier ideal of the ideal| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Tight closure/Relation to Hilbert-Kunz multiplicity/Fakt|Theorem|Hochster, Huneke| || }} We are interested in the following three problems of the Hilbert-Kunz multiplicity. {{ Aufzählung3 |Is {{mathl|term=e_{HK}(I)|SZ=}} a rational number? |In a relative situation, does there exist a limit for {{mathl|term= {{lim|p|\infty| }} e_{HK}(I_p) |SZ=?}} |Is there a direct interpretation of the Hilbert-Kunz multiplicity in characteristic zero {{ Zusatz/Klammer |text=which coincides with the limit in the relative situation, if this limit exists| |ISZ=|ESZ=? }} }} We explain the relative situation: Let {{math|term=A|SZ=}} be a finitely generated {{math|term=\Z|SZ=-}}domain {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=A=\Z|SZ=}} is a good example| |ISZ=|ESZ= }} and let {{math|term=S|SZ=}} be a noetherian {{math|term=A|SZ=-}}algebra. This gives a family {{ Ma:abbele/disp |name= | \operatorname{Spec} \, S | \operatorname{Spec} \, A || |SZ=. }} For every maximal ideal {{math|term= {\mathfrak m} |SZ=}} of {{math|term=A|SZ=}} the residue class field {{mathl|term=A/ {\mathfrak m}|SZ=}} is a finite field of some positive characteristic {{math|term=p|SZ=,}} and the fiber ring {{mathl|term=S_{\mathfrak m} = S \otimes_A A/ {\mathfrak m}|SZ=}} is a commutative ring of characteristic {{math|term=p|SZ=.}} Over the prime ideal {{math|term=(0)|SZ=}} we get the {{math|term=Q(A)|SZ=-}}algebra {{mathl|term=S_0 = S \otimes_A Q(A)|SZ=}} of characteristic zero. An ideal {{mathl|term=I \subseteq S|SZ=}} induces the extended ideal {{ mathbed|term= I_P ||bedterm1= P \in \operatorname{Spec} \, A ||bedterm2= |SZ=, }} in every fiber ring. If for all maximal ideals {{mathl|term=P={\mathfrak m} |SZ=}} these ideals are all primary to a maximal ideal in {{math|term=S_{\mathfrak m}|SZ=,}} then we can compute the Hilbert-Kunz multiplicities {{ math/disp|term= e_{HK} (I_{\mathfrak m}) |SZ= }} and can look what happens to these real numbers as the characteristic of {{mathl|term=A/ {\mathfrak m} |SZ=}} tends to infinity. This limit, in case that it exists, should be an invariant of the generic fiber ring {{mathl|term=S \otimes_A Q(A)|SZ=}} and the ideal {{mathl|term=I_{0}|SZ=}} and should not depend on the relative family. There should also be an interpretation of this number which is independent of positive characteristic. <noinclude>[[Kategorie:Benutzer:Bocardodarapti/Tight closure]]</noinclude> 1671r7e27cdu8jxbffqgeu34oqaa00o 0 42358 770735 253142 2022-08-18T12:07:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term=K|SZ=}} denote a field of positive characteristic {{math|term=p|SZ=,}} let {{mathl|term=K \subseteq R|SZ=}} be a noetherian ring and let {{mathl|term=I \subseteq R|SZ=}} be an ideal which is primary to some maximal ideal. Then the {{Definitionswort/-|Hilbert-Kunz function|SZ=}} is the function {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_I |\N|\N |e| \varphi_I(e) {{=|}} \operatorname{length} \, (R/I^{[p^e]}) |SZ=, }} where {{mathl|term=I^{[p^e]}|SZ=}} is the extended ideal under the {{math|term=e|SZ=-}}th iteration of the Frobenius homomorphism {{ Ma:abbele/disp |name= |R|R |f|f^{p^e} |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4agul72f1zt3q96lra40w4kbji7o7zy 0 42359 770736 490812 2022-08-18T12:08:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term=K|SZ=}} denote a field of positive characteristic {{math|term=p|SZ=,}} let {{mathl|term=K \subseteq R|SZ=}} be a noetherian ring and let {{mathl|term=I \subseteq R|SZ=}} be an ideal which is primary to some maximal ideal of height {{math|term=d|SZ=.}} Then the {{Definitionswort/-|Hilbert-Kunz multiplicity|SZ=}} of {{math|term=I|SZ=}} is the limit {{ Zusatz/Klammer |text=if it exists| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{lim|e|\infty}} {{op:Bruch| \operatorname{length} \, (R/I^{[p^e]}) |p^{ e d } }} || {{lim|e|\infty}} {{op:Bruch| \varphi_I(e) |p^{ e d } }} || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6sc8zzwhe4jmbckhoboiicxv427vjen 0 42386 770737 253167 2022-08-18T12:08:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Let {{math|term=G|SZ=}} be a finite group acting linearly on a polynomial ring {{mathl|term=B=K[x_1 {{kommadots|}} x_n]|SZ=}} with invariant ring {{mathl|term=A=B^G|SZ=.}} This is a positively graded {{math|term=K|SZ=-}}algebra with irrelevant ideal {{math|term=A_+|SZ=}} consisting of all invariant polynomials of positive degree. The extended ideal {{mathl|term={\mathfrak h} = A_+ B|SZ=}} is called the {{Stichwort/-|Hilbert ideal|SZ=.}} The residue class ring {{ Ma:Vergleichskette/disp |B_G ||B/ A_+B || || || |SZ= }} is called the {{Stichwort/-|ring of coinvariants|SZ=.}} We are interested in the Hilbert-Kunz multiplicity of {{math|term=A|SZ=}} and of its localization at the irrelevant ideal. A result of Watanabe and Yoshida implies the following observation. It uses the fact that for regular rings the Hilbert-Kunz multiplicity of an ideal is just the colength. {{ inputfakt |Hilbert-Kunz/Invariantenring/Koinvarianten/en/Fakt|Lemma|| || }} With this observation we can give a Hilbert-Kunz proof of the following theorem of invariant theory {{ Zusatz/Klammer |text=which was proved in positive characteristic by Larry Smith| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Hilbert-Kunz/Invariantenring/Koinvarianten/Polynomring/en/Fakt|Corollary|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j92gtmzqgjk0pnuxx4brd1h336zba77 0 42417 770739 509089 2022-08-18T12:12:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= We discuss briefly an approach of Brenner and Fischbacher-Weitz to replace the Frobenius asymptotic {{ Zusatz/Klammer |text=which is only available in positive characteristic and where, in a relative situation, different Frobenius homomorphisms occur| |ISZ=|ESZ= }} by the {{Stichwort/-|symmetric asymptotic|SZ=.}} This means that instead of global sections of Frobenius pull-backs of the syzygy bundle {{mathl|term= \operatorname{Syz} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=on a projective variety| |ISZ=|ESZ= }} we look at the global sections of the symmetric powers {{ math/disp|term= S^k (\operatorname{Syz}) |SZ=. }} This approach works at the moment only in graded ring dimension two, the appropriate generalization to higher dimensions is not clear right now. In dimension two however, this approach gives even a {{Stichwort/-|symmetric Hilbert-Kunz function|SZ=,}} which assigns to every natural number {{math|term=k|SZ=}} a rational number, which is {{Anführung|close|}} to {{mathl|term= {{op:Bruch|\varphi_{I_p}(e)|q^2|}} |SZ=}} if {{math|term=q|SZ=}} is a power of {{math|term=p|SZ=.}} It is defined in the following way. We start again with the presenting sequence {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz} \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) \longrightarrow {\mathcal O}_C \longrightarrow 0 |SZ=. }} This sequence yields {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow S^q(\operatorname{Syz}) \longrightarrow S^q( \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) ) \longrightarrow S^{q-1}( \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) ) \longrightarrow 0 |SZ=. }} The global mapping of suitable twists of this squence is {{ Ma:abbele/disp |name=\psi_{q,m} |H^0 (C,(S^q(\bigoplus_{i {{=|}} 1}^n{\mathcal O}_C(-d_i)) )(m)) |H^0 (C, (S^{q-1}(\bigoplus_{i {{=|}} 1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) ))(m)) || |SZ=. }} These mapping can be computed explicitly. We make the following definition. {{ inputdefinition |Symmetrische Hilbert Kunz Theorie/Funktion über Kokern/en/Definition|| }} The ranks of the symmetric powers and hence the global sections grow fast, we have to look at {{ math/disp|term= {{op:Bruch|\sum_{m {{=|}} 0}^\infty \operatorname{dim}_K \,(\operatorname{coker} \, \psi_{q,m} ) | \binom{q+n-1}{n} }} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Symmetrische Hilbert Kunz Theorie/Graduiert zweidimensional/Limes/enFunktion über Kokern/en/Definition|| }} For the computation on the Fermat-Quartic in characteristic zero see [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Fermat-Quartik/x,y,z|here]]. In characteristic zero we have the following theorem. {{ inputfakt |Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Kurve/Gleichheit mit Hilbert-Kunz Multiplizität/en/Fakt|Theorem|Brenner, Fischbacher-Weitz|| || }} This rests upon the fact that from the asymptotic behaviour of the global sections of the symmetric powers of a bundle we can read of the slopes in its Harder-Narasimhan filtration {{ Zusatz/Klammer |text=this is not possible from the tensor powers| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j42ccw8dpnqyurt0t3yjqvantdtev12 0 42418 770741 253354 2022-08-18T12:13:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= For a homogeneous {{math|term=R_+|SZ=-}}primary ideal {{math|term=I|SZ=}} in a two-dimensional standard-graded normal domain {{math|term=R|SZ=}} we define {{ math/disp|term= \varphi_I^S (q) = \sum_{m {{=|}} 0}^\infty \operatorname{dim}_K \,(\operatorname{coker} \, \psi_{q,m} ) |SZ= }} and call this the {{Definitionswort/-|symmetric Hilbert-Kunz function|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 803k0e0wk8tvzxpzwhjjbiu3mz7mw9h 0 42419 770740 508603 2022-08-18T12:13:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= The {{Definitionswort/-|symmetric Hilbert-Kunz multiplicity|SZ=}} is defined by {{ math/disp|term= e_{HK}^S (I) = {{lim|q|\infty}} {{op:Bruch|\sum_{m {{=|}} 0}^\infty \operatorname{dim}_K \,(\operatorname{coker} \, \psi_{q,m} ) | \binom{q+n-1}{n} }} |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d4vekgxkrroj7zqfdz9q5fx2e0aofuc 2 46516 770725 509009 2022-08-18T12:01:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Benutzer:Holger Brenner/Talks]] {{Seitenüberschrift|term=Local cohomology and ideal closure operations I}} In these two talks I want to discuss three topics related to local cohomology: the affineness of {{ Zusatz/Klammer |text=quasi-affine| |ISZ=|ESZ= }} schemes, the relation of local cohomology to closure operations, in particular tight closure, and the behavior of local cohomology {{ Zusatz/Klammer |text=and cohomological dimension| |ISZ=|ESZ= }} in an {{ Zusatz/Klammer |text=arithmetic or geometric| |ISZ=|ESZ= }} deformation. {{Zwischenüberschrift|term=Affine schemes}} A scheme {{math|term=U|SZ=}} is called {{Stichwort/-|affine|SZ=}} if it is isomorphic to the spectrum of some commutative ring {{math|term=R|SZ=.}} If the scheme is of finite type over a field {{ Zusatz/Klammer |text=or ring| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=if we have a variety| |ISZ=|ESZ=, }} then this is equivalent to saying that there exist global functions {{ math/disp|term= g_1 {{kommadots|}} g_m \in \Gamma(U, {\mathcal O}_U) |SZ= }} such that the mapping {{ Ma:abbele/disp |name= |U|{\mathbb A}^m_K |x|(g_1(x) {{kommadots|}} g_m(x)) |SZ=, }} is a closed embedding. The relation to cohomology is given by the following well-known theorem of Serre. {{ inputfakt |Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/en/Fakt|Theorem||X=U || }} It is in general a difficult question whether a given scheme {{math|term=U|SZ=}} is affine. For example, suppose that {{mathl|term=X= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} is an affine scheme and {{ math/disp|term= U=D({{ideala}}) \subseteq X |SZ= }} is an open subset {{ Zusatz/Klammer |text=such schemes are called quasiaffine| |ISZ=|ESZ= }} defined by an ideal {{mathl|term={{ideala}} \subseteq R|SZ=.}} When is {{math|term=U|SZ=}} itself affine? The cohomological criterion above simplifies to the condition that {{mathl|term=H^{i}(U, {\mathcal O}_X)=0|SZ=}} for {{mathl|term=i \geq 1|SZ=.}} Of course, if {{mathl|term= {{ideala|}} =(f) |SZ=}} is a principal ideal {{ Zusatz/Klammer |text=or up to radical a principal ideal| |ISZ=|ESZ=, }} then {{mathl|term=U=D(f) \cong {{opsyn|Spec|R_f|tief=|hoch=}}|SZ=}} is affine. On the other hand, if {{mathl|term=(R, {{idealm|}}) |SZ=}} is a local ring of dimension {{math|term=\geq 2|SZ=,}} then {{ math/disp|term= D( {{idealm|}} ) \subset {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ= }} is not affine, since {{ Ma:Vergleichskette/disp | H^{d-1}(U , {\mathcal O}_X) ||H^d_{ {{idealm|}} }(R) |\neq |0 || || |SZ= }} by the relation between sheaf cohomology and local cohomology and a theorem of Grothendieck. A variant of this observation shows that for an open affine subset {{mathl|term=U \subseteq X|SZ=}} the closed complement {{mathl|term=Y=X \setminus U|SZ=}} must be of pure codimension one {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=U|SZ=}} must be the complement of the support of an effective divisor| |ISZ=|ESZ=. }} In a regular or {{ Zusatz/Klammer |text=locally {{math|term=\Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=- }} factorial domain the complement of every divisor is affine, since the divisor can be described {{ Zusatz/Klammer |text=at least locally geometrically| |ISZ=|ESZ= }} by one equation. But it is easy to give examples to show that this is not true for normal threedimensional domains. {{ inputbeispiel/en |Dreidimensionale Standardquadrik/Nicht affin/Beispiel|| }} The argument employed in this example rests on the following definition and the next theorem. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Superhöhe/en/Definition|| }} {{ inputfakt |Quasiaffines Schema/Affin/Superhöhe 1 und endlich erzeugter Schnittring/en/Fakt|Theorem|| || }} It is not true at all that the ring of global sections of an open subset {{math|term=U|SZ=}} of the spectrum {{math|term=X|SZ=}} of a noetherian ring is of finite type over this ring. This is not even true if {{math|term=X|SZ=}} is an affine variety. This problem is directly related to Hilbert's fourteenth problem, which has a negative answer. We will later present examples where {{math|term=U|SZ=}} has superheight one, yet is not affine, hence its ring of global sections is not finitely generated. {{Zwischenüberschrift|term=Forcing algebras and their torsors}} We want to deal now with a very special class of open subsets and ask whether they are affine or not and what their cohomological dimension is. Though it is in some sense a very special class it exhibits already a very rich behaviour. These open subsets are given by so-called forcing equations and forcing algebras. {{:Forcing algebra/Relation to closure operations/description}} {{Zwischenüberschrift|term=Tight closure}} We want to deal with tight closure, a closure operation introduced by Hochster and Huneke. {{:Tight closure/situation/description for domains}} The relation between tight closure and forcing algebras is given in the following theorem. {{inputfakt|Forcing algebras/Relation to tight closure/Local cohomology/Characterization/Fakt|Theorem|||A=B}} If the dimension {{math|term=d}} is at least two, then {{math/disp|term=H^d_{\mathfrak m} (R) \longrightarrow H^d_{\mathfrak m} (B) \cong H^d_{\mathfrak m B} (B) \cong H^{d-1}(D({\mathfrak m B), \mathcal O_B}) |SZ=.}} This means that we have to look at the cohomological properties of the complement of the exceptional fiber over the closed point. Such an open subset is called a torsor. If the dimension is two, then we have to look whether the first cohomology of the structure sheaf vanishes. This is true if and only if the open subset {{mathl|term=D(\mathfrak m B)}} is an {{Betonung|term=affine scheme}} {{ Zusatz/Klammer |text=the spectrum of a ring| |ISZ=|ESZ=. }} The right hand side of this equivalence {{ Zusatz/Gs |text=the non-vanishing of the top-dimensional local cohomology| |ISZ=|ESZ= }} is independent of any characteristic assumption, and the basis for solid closure. It is a fact that tight closure is difficult to compute. Since tight closure can be formulated with local cohomology, it follows that it must be quite difficult to give a general criterion for vanishing of local cohomology. An important property of tight closure is that it is trivial for regular rings, i.e. {{mathl|term=I^*=I|SZ=}} for every ideal {{math|term=I|SZ=.}} This implies the following cohomological property. {{ inputfaktbeweis/en |Regulärer Ring/Positive Charakteristik/Erzwingende Algebra/Nicht drin/Lokale Kohomologie/en/Fakt|Corollary|| || }} In dimension two this is true in every {{ Zusatz/Klammer |text=even mixed| |ISZ=|ESZ= }} characteristic. {{ inputfakt |Regulärer Ring/Dimension 2/Erzwingende Algebra/Nicht drin/Affin/en/Fakt|Theorem|| || }} The example above, the equation {{mathl|term=xu+vy=0|SZ=}} can be considered as the forcing algebra for the ideal {{mathl|term=(x,y)|SZ=}} and the element {{mathl|term=0 \in (x,y)|SZ=.}} The non-affineness of {{mathl|term=D(x,y)|SZ=}} corresponds to this containment. We will continue in the next lecture with a detailed study of the situation of a two-dimensional graded base ring. In higher dimension in characteristic zero it is not true that a regular ring is solidly closed, as was shown by the following example of Paul Roberts. {{ inputbeispiel/en |Erzwingende Algebra/Regulärer Ring/Roberts/Beispiel|| }} This example uses a forcing equation of a special type: For parameters {{mathl|term=x_1 {{kommadots|}} x_d|SZ=}} in a {{math|term=d|SZ=-}}dimensional local ring {{math|term=R|SZ=}} and some {{mathl|term=s \in \N|SZ=}} one considers the forcing algebra given by {{ math/disp|term= (x_1 \cdots x_d)^s = x_1^{s+1}T_1 {{plusdots|}} x_d^{s+1} T_{d+1} |SZ=. }} The monomial conjecture states that this equation does not have a solution in {{math|term=R|SZ=.}} It is open only in mixed characteristic. The equation expresses that the {{Netz oder Druck|Čech|\v{C}ech}} cohomology class {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x_1 \cdots x_n}} |SZ=}} is mapped to {{math|term=0|SZ=}} in the forcing algebra. Robert's computation shows that this does not imply that the complete local cohomology module vanishes. Therefore solid closure is not a characteristic-free replacement for tight closure. There is a variant, called parasolid closure, which is characteristic free and has all the properties of tight closure {{ Zusatz/Klammer |text=over a field| |ISZ=|ESZ=. }} A detailed understanding of the top-dimensional local cohomology of the torsors given by the forcing algebras for these special equations could solve the monomial conjecture. {{Zwischenüberschrift|term=Plus closure}} The above mentioned {{ Zusatz/Klammer |text=finite| |ISZ=|ESZ= }} superheight condition is also related to another closure operation, the plus closure. {{:Tight closure/Plus closure/tantalizing/description}} In terms of forcing algebras and their torsors, the containment inside the plus closure means that there exists a {{math|term=d|SZ=-}}dimensional closed subscheme inside the torsor which meet the exceptional fiber {{ Zusatz/Klammer |text=the fiber over the maximal ideal| |ISZ=|ESZ= }} in one point, and this means that the superheight of the extended ideal is {{math|term=d|SZ=.}} In this case the local cohomological dimension of the torsor must be {{math|term=d|SZ=}} as well, since it contains a closed subscheme with this cohomological dimension. {{ inputbemerkung/en |Erzwingende Algebra/Charakteristik 0/Superhoehe/en/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel/en |Fermatgleichung/x^2 in (y,z)^*/Erzwingende Algebra/Verschiedene Charakteristiken/Beispiel||zusatz1=due to {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Erzwingende Algebra/Charakteristik 0/Superhoehe/en/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} }} [[media:Local cohomology and ideal closure operations Mumbai2011.1.pdf|Pdf-version]] 8br4gfaaztguaox3mdkfbnznkw4gacv 106 46837 770723 595246 2022-08-18T11:59:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|1| {{Zwischenüberschrift|term=Locally free sheaves}} We start this lecture series by asking what are the easiest modules {{math|term=M|SZ=}} over a commutative ring {{math|term=R|SZ=.}} There are several possible answers to this question, but the answer should definitely include the ring {{math|term=R|SZ=}} itself and also the {{math|term=0|SZ=-}}module. Another easy module is the direct product {{mathl|term=R^n = R {{timesdots||}} R|SZ=}} of the ring with itself. These modules are called free modules of rank {{math|term=r|SZ=.}} Ideals might look easy at first sight, but in fact they are not, with the exception of a principal ideal domain, where all non-zero ideals are isomorphic as a module to {{math|term=R|SZ=.}} Instead we consider here {{math|term=R|SZ=-}}modules which have the property that their localizations are free. For this we look at a typical example, the so-called syzygy modules. {{:Auflösung eines Ideals/Erste Syzygien/Motivierendes Beispiel für lokal frei/en/Textabschnitt}} We have seen that a syzygy module as above considered on {{mathl|term=U= \bigcup_{i=1}^n D(f_i)|SZ=}} has the following two properties: On the {{mathl|term=D(f_i)|SZ=,}} which cover {{math|term=U|SZ=,}} there are isomorphisms with a free module, and if we connect two such isomorphisms then the transition map is linear. These two properties give rise to what is called a locally free sheaf {{ Zusatz/Klammer |text=the second condition is somehow hidden in the coherence. It will be explicit in the equivalent definition of a geometric vector bundle below| |ISZ=|ESZ=. }} We will now give the precise definition. For this we will work in the context of schemes. If you are not familiar with the theory of schemes, it is enough to think of {{math|term=X|SZ=}} as the spectrum {{mathl|term={{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} of a ring or an open subset {{mathl|term=D( {{ideala|}}) \subseteq {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ=}} of it defined by an ideal {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq R |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=such schemes are called quasiaffine| |ISZ=|ESZ=. }} Recall that {{mathl|term= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ=}} consists of all prime ideals of {{math|term=R|SZ=}} together with the Zariski topology where a basis is given by {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(f) || {{mengebed| {{idealp|}} \in {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |f \not\in {{idealp|}} }} |\cong| {{opsyn|Spec|R_f|tief=|hoch=}} || || |SZ=. }} If {{mathl|term=R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=,}} where {{math|term=K|SZ=}} is a field, then one should consider {{mathl|term= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} as the usual affine space {{mathl|term=K^n|SZ=,}} where the points {{mathl|term=(a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=}} correspond to the maximal ideals of the form {{mathl|term=(X_1 -a_1 {{kommadots|}} X_n-a_n)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=and all maximal ideals with residue class field {{math|term=K|SZ=}} are of this form| |ISZ=|ESZ=. }} If {{mathl|term=R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/(H)|SZ=,}} then one should think of {{mathl|term= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} as the closed subset of affine space {{math|term=K^n|SZ=}} consisting of the points {{mathl|term=(a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=}} such that {{mathl|term=H(a_1 {{kommadots|}} a_n) = 0|SZ=.}} For some also the word sheaf might be scary. As a first good approximation, one may think of a quasicoherent sheaf as an {{math|term=R|SZ=-}}module {{math|term=M|SZ=}} together with the family of localizations {{math|term=M_f|SZ=}} which are associated to the open subsets {{mathl|term=D(f)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=f \in R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Schema/Lokal freie Garbe/en/Definition|| }} The easist locally free sheaves are {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}^r|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=r \in \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} these are called free. The definition says exactly that locally a locally free sheaf is such a free sheaf. Over a local ring, any locally free sheaf is free, so there is not much to say. However, if we consider over a local ring {{math|term=R|SZ=}} the modules which are locally free outside the unique closed point {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} of {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=,}} i.e. on {{mathl|term=D( {{idealm|}} )|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=which is called the punctured spectrum| |ISZ=|ESZ=, }} then this is already a very important class of modules. Examples of this type will be the first syzygy module for an {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primary ideal. The following two theorems give equivalent characterizations of locally free sheaves on an affine scheme {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=.}} Basically it says that the term locally can be understood in any meaningful sense. {{ inputfakt |Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/en/Fakt|Theorem|| || }} {{ inputfakt |Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Projektiv und flach/en/Fakt|Theorem|| || }} The following theorem provides many locally free sheaves. The syzygy sheaves discussed above are a special case of this construction, since they are the kernel of {{ Ma:abb |name= | {{op:Strukturgarbe|X}}^n | {{op:Strukturgarbe|}}_X || |SZ=, }} which is surjective on {{ Ma:Vergleichskette |U ||\bigcup_{i {{=|}} 1}^n D(f_i) || || || |SZ=. }} {{ inputfakt/en |Schema/Lokal freie Garben/Surjektiv/Kern/Fakt|Theorem|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Geometric vector bundles}} We develop an equivalent but more geometric notion for a locally free sheaf. Both concepts are equally important, and it is good to switch from one perspective to the other. {{ inputdefinition |Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/en/Definition|| }} Here we can restrict always to affine open coverings. If {{math|term=X|SZ=}} is separated then the intersection of two affine open subschemes is again affine and then it is enough to check the condition on the intersection. The trivial bundle of rank {{math|term=r|SZ=}} is the {{math|term=r|SZ=-}}dimensional affine space {{mathl|term={\mathbb A}^r_X|SZ=}} over {{math|term=X|SZ=,}} and locally every vector bundle looks like this. Many properties of an affine space are enjoyed by general vector bundles. For example, in the affine space we have the natural addition {{ Ma:abbele/disp |name= + | ({\mathbb A}^r_U ) \times_U ( {\mathbb A}^r_U ) | {\mathbb A}^r_U | (v_1 {{kommadots|}} v_r, w_1 {{kommadots|}} w_r ) |(v_1 +w_1 {{kommadots|}} v_r + w_r ) |SZ=, }} and this carries over to a vector bundle. The reason for this is that the isomorphisms occurring in the definition of a geometric vector bundle are linear, hence the addition on {{math|term=V|SZ=}} coming from an isomorphism with some affine space is independent of the chosen isomorphism. For the same reason there is a unique closed subscheme of {{math|term=V|SZ=}} called the {{Stichwort/-|zero-section|SZ=}} which is locally defined to be {{mathl|term=0 \times U \subseteq {\mathbb A}^r_U|SZ=.}} Also, the multiplication by a scalar, i.e. the mapping {{ Ma:abbele/disp |name= \cdot | {\mathbb A}_U \times_U ( {\mathbb A}^r_U ) | {\mathbb A}^r_U | (s, v_1 {{kommadots|}} v_r ) |(sv_1 {{kommadots|}} s v_r ) |SZ=, }} carries over to a scalar multiplication {{ Ma:abbele/disp |name= \cdot | {\mathbb A}_X \times_X V | V || |SZ=. }} In particular, for every point {{mathl|term=x \in X|SZ=}} the fiber {{mathl|term=V_x= V \times_X x|SZ=}} is an affine vector space over {{mathl|term=\kappa(x)|SZ=.}} This given we can say that a vector bundle {{math|term=V|SZ=}} is in particular a commutative group scheme {{ Zusatz/Klammer |text=but one which is defined over an arbitrary base {{math|term=X|SZ=,}} not over the spectrum of a field| |ISZ=|ESZ=, }} meaning that we have morphismus {{ math/disp|term= +:V \times V \longrightarrow V,\, 0:X \longrightarrow V \text{ and } -: V \longrightarrow V |SZ= }} fulfilling certain natural arrow-conditions expressing associativity, that {{math|term=0|SZ=}} is the neutral element and that {{math|term=-|SZ=}} gives the negative. This viewpoint will be later important when we have a look at the torsors of this group scheme. For a geometric vector bundle {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} and an open subset {{mathl|term=U \subseteq X|SZ=}} one sets {{ math/disp|term= \Gamma(U,V) = {{mengebed|s : U \rightarrow V {{|}}_U| p \circ s {{=|}} {{op:Identität|U|}} }} |SZ=, }} so this is the set of sections in {{math|term=V|SZ=}} over {{math|term=U|SZ=.}} This gives in fact for every scheme over {{math|term=X|SZ=}} a set-valued sheaf. Because of the observations just mentioned, these sections can also be added and multiplied by elements in the structure sheaf, and so we get for every vector bundle a locally free sheaf, which is free on the open subsets where the vector bundle is trivial. {{ inputfakt |Schema/Lokal freie Garben und Vektorbündel/Äquivalenz/en/Fakt|Theorem|| || }} The free sheaf of rank {{math|term=r|SZ=}} corresponds to the affine space {{mathl|term= {\mathbb A}^r_X|SZ=}} over {{math|term=X|SZ=.}} {{ inputbemerkung/en |Schema/Syzygienbündel/Geometrische Realisierung/en/Bemerkung|| }} If the elements {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_n \in R|SZ=}} do not generate the unit ideal in {{math|term=R|SZ=,}} then the syzygy module yields only a vector bundle on the open subset {{mathl|term=D(f_1 {{kommadots|}} f_n) |SZ=.}} However, the algebra just mentioned, {{ math/disp|term= A=R[T_1 {{kommadots|}} T_n]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n) |SZ=, }} always gives rise to a commutative group scheme {{mathl|term= {{opsyn|Spec|A|tief=|hoch=}}|SZ=}} over {{mathl|term= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=.}} Note that {{ math/disp|term= A \otimes_R A \cong R[T_1 {{kommadots|}} T_n, S_1 {{kommadots|}} S_n]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n,f_1S_1 {{plusdots|}} f_nS_n ) |SZ=. }} The coadditon is given by {{ Ma:abbele/disp |name= |A |A \otimes_R A |T_i|T_i +S_i |SZ=, }} and the addition is given by {{ Ma:abbele/disp |name= | {{opsyn|Spec|A \otimes_R A |tief=|hoch=}}| {{opsyn|Spec|A|tief=|hoch=}} |(t_1{{kommadots|}} t_n, s_1 {{kommadots|}} s_n ) | (s_1+t_1 {{kommadots|}} s_n+t_n) |SZ=. }} The zero element and the negatives are also defined in an obvious way. Also, the fibers of {{mathl|term= {{opsyn|Spec|A|tief=|hoch=}}|SZ=}} over a point {{mathl|term=x \in {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} is always a vector space over the residue class field. However, the dimension may vary. If {{mathl|term=x \in X|SZ=}} is a point where all the functions {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} vanish {{ Zusatz/Klammer |text=and such points exist if these elements do not generate the unit ideal| |ISZ=|ESZ=, }} then the equation which defines {{math|term=A|SZ=}} degenerates to {{math|term=0|SZ=}} and then the dimension of the fiber is {{math|term=n|SZ=}} instead of {{mathl|term=n-1|SZ=.}} This corresponds to the property that the linear equation degenerates and hence the dimension of the solution space goes up. In the next lecture we will study torsors of vector bundles and forcing algebras, which correspond to inhomogeneous linear equations varying with a basis. [[media:Vectorbundlestorsors(Kolkata-2011)lecture1.pdf|Pdf-version]] }} i9s9jvsrjk271i4oxiokt7a10z0yik4 0 46879 770744 540387 2022-08-18T12:18:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{mathl|term=(G, \alpha, {{{n|n}}})|SZ=}} denote a group scheme over a scheme {{math|term=X|SZ=}} and let {{ Ma:abbele/disp |name= | {{{T|T}}}|X || |SZ= }} denote a scheme over {{math|term=X|SZ=.}} A morphism {{ Ma:abbele/disp |name=\beta |G \times_X {{{T|T}}}|{{{T|T}}} || |SZ= }} is called a {{ Definitionswort/- |Prämath= |group scheme action| |msw= |SZ= }} of {{math|term=G|SZ=}} on {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=,}} if the diagram {{kommutatives Quadrat/ru|G \times_X G \times_X {{{T|T}}} | G \times _X {{{T|T}}} |G \times _X {{{T|T}}} | {{{T|T}}}|abb12= {{op:Identität|G|}} \times \beta|abb34=\beta|abb13= \alpha \times {{op:Identität|{{{T|T}}}|}}|abb24=\beta}} commutes and if the composition {{ math/disp|term= {{{T|T}}} \stackrel{\cong}{\longrightarrow} X \times_X {{{T|T}}}\, \stackrel{{{{n|n}}} \times {{Op:Identität|{{{T|T}}}}} }{\longrightarrow} \, G \times_X {{{T|T}}} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} {{{T|T}}} |SZ= }} is the identity on {{math|term= {{{T|T}}}|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Gruppenschemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Group scheme action |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8db6n1cbei2j4urawm3te8dbgv097dz 0 48283 770824 764079 2022-08-19T06:04:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Alphabet einer Sprache erster Stufe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Dann nennt man die folgenden rekursiv definierten Wörter über diesem Alphabet die {{ Definitionswort |Prämath= |Ausdrücke| |msw=Ausdruck |SZ= }} dieser Sprache. {{ Aufzählung4 |Wenn {{ mathkor|term1= t_1 |und|term2= t_2 |SZ= }} Terme sind, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |t_1 ||t_2 || || || |SZ= }} ein Ausdruck. |Wenn {{math|term=R|SZ=}} ein {{math|term=n|SZ=-}}stelliges Relationssymbol ist und {{mathl|term=t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} Terme sind, so ist {{ math/disp|term= R t_1 {{ldots|}} t_n |SZ= }} ein Ausdruck. |Wenn {{ mathkor|term1= {{logprop|}} |und|term2= {{logprop2|}} |SZ= }} Ausdrücke sind, so sind auch {{ math/disp|term= \neg {{makl| {{logprop|}} |}} ,\, {{makl| {{logprop|}} |}} {{logund}} {{makl| {{logprop2|}} |}},\, {{makl| {{logprop|}} |}} {{logoder}} {{makl| {{logprop2|}} |}},\, {{makl| {{logprop|}} |}} \rightarrow {{makl| {{logprop2|}} |}}, \, {{makl| {{logprop|}} |}} \leftrightarrow {{makl| {{logprop2|}} |}} |SZ= }} Ausdrücke. |Wenn {{math|term={{logprop|}} |SZ=}} ein Ausdruck und {{math|term=x|SZ=}} eine Variable ist, so sind auch {{ mathkor/disp|term1= \forall x {{makl| {{logprop|}} |}} |und|term2= \exists x {{makl| {{logprop|}} |}} |SZ= }} Ausdrücke. }} |Textart=Definition |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ausdruck in einer Sprache erster Stufe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghnb485j0e2x5cndsv523c5gf32sk70 0 49225 770733 285855 2022-08-18T12:06:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation/en|SZ=.}} For {{mathl|term=a \in K|SZ=}} the linear map {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V |v|av |SZ=, }} is called the {{Definitionswort/-|stretching|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=or {{Definitionswort/-|homothety|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} with {{Stichwort|extension factor|SZ=}} {{math|term=a|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Streckung| |Definitionswort2=Homothetie |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zasxu492ifyu0dwgggf65ux293i57s 0 49541 770732 287265 2022-08-18T12:05:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term=M|SZ=}} be a set and let {{ Ma:abb/disp |name=f |M|M || |SZ= }} be a function. An element {{mathl|term=x \in M|SZ=}} such that {{mathl|term=f(x)=x|SZ=}} is called a {{Definitionswort/-|fixed point|SZ=}} of the function. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fixpunkt |Definitionswort2= |Stichwort=Fixpunkt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dawp1f0zwdnsv037vxqvved8cchexb5 0 49669 770738 288067 2022-08-18T12:09:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= A function {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} is called {{Definitionswort/-|periodic|msw=Periodische Funktion|SZ=}} with {{Definitionswort|period|SZ=}} {{mathl|term=L>0|SZ=,}} if for all {{mathl|term=x \in \R|SZ=}} the equality {{ math/disp|term= f(x)=f(x+L) |SZ= }} holds. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Periodische Funktion |Definitionswort2=Periode |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkv6g7plldkhfsb526ar0hkwmfunakc 0 49761 770731 288636 2022-08-18T12:04:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation/en|SZ=.}} A map {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |V|W |v|\alpha(v) {{=|}} \varphi(v) +w |SZ=, }} where {{math|term=\varphi|SZ=}} is a linear map and {{mathl|term=w \in W|SZ=}} is a vector, is called {{Definitionswort/-|affine-linear|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der affin-linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Affin-linear |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahg1s7727nk3prwkps11xitrdpyqs7g 106 50015 770727 770171 2022-08-18T12:01:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|5| {{Zwischenüberschrift|term=Affine schemes}} A scheme {{math|term=U|SZ=}} is called {{Stichwort/-|affine|SZ=}} if it is isomorphic to the spectrum of some commutative ring {{math|term=R|SZ=.}} If the scheme is of finite type over a field {{ Zusatz/Klammer |text=or a ring| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=if we have a variety| |ISZ=|ESZ=, }} then this is equivalent to saying that there exist global functions {{ math/disp|term= g_1 {{kommadots|}} g_m \in \Gamma(U, {\mathcal O}_U) |SZ= }} such that the mapping {{ Ma:abbele/disp |name= |U|{\mathbb A}^m_K |x|(g_1(x) {{kommadots|}} g_m (x)) |SZ=, }} is a closed embedding. The relation to cohomology is given by the following well-known theorem of Serre. {{ inputfakt |Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/en/Fakt|Theorem||X=U || }} It is in general a difficult question whether a given scheme {{math|term=U|SZ=}} is affine. For example, suppose that {{mathl|term=X= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} is an affine scheme and {{ math/disp|term= U=D({{ideala}}) \subseteq X |SZ= }} is an open subset {{ Zusatz/Klammer |text=such schemes are called quasiaffine| |ISZ=|ESZ= }} defined by an ideal {{mathl|term={{ideala}} \subseteq R|SZ=.}} When is {{math|term=U|SZ=}} itself affine? The cohomological criterion above simplifies to the condition that {{mathl|term=H^{i}(U, {\mathcal O}_X)=0|SZ=}} for {{mathl|term=i \geq 1|SZ=.}} Of course, if {{mathl|term= {{ideala|}} =(f) |SZ=}} is a principal ideal {{ Zusatz/Klammer |text=or up to radical a principal ideal| |ISZ=|ESZ=, }} then {{mathl|term=U=D(f) \cong {{opsyn|Spec|R_f|tief=|hoch=}}|SZ=}} is affine. On the other hand, if {{mathl|term=(R, {{idealm|}}) |SZ=}} is a local ring of dimension {{math|term=\geq 2|SZ=,}} then {{ math/disp|term= D( {{idealm|}} ) \subset {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ= }} is not affine, since {{ Ma:Vergleichskette/disp | H^{d-1}(U , {\mathcal O}_X) ||H^d_{ {{idealm|}} }(R) |\neq|0 || || |SZ= }} by the relation between sheaf cohomology and local cohomology and a theorem of Grothendieck. {{Zwischenüberschrift|term=Affineness and superheight}} One can show that for an open affine subset {{mathl|term=U \subseteq X|SZ=}} the closed complement {{mathl|term=Y=X \setminus U|SZ=}} must be of pure codimension one {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=U|SZ=}} must be the complement of the support of an effective divisor| |ISZ=|ESZ=. }} In a regular or {{ Zusatz/Klammer |text=locally {{math|term=\Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=- }} factorial domain the complement of every divisor is affine, since the divisor can be described {{ Zusatz/Klammer |text=at least locally geometrically| |ISZ=|ESZ= }} by one equation. But it is easy to give examples to show that this is not true for normal threedimensional domains. The following example is a standardexample for this phenomenon and is in fact given by a forcing algebra. {{ inputbeispiel/en |Dreidimensionale Standardquadrik/Nicht affin/Beispiel|| }} The argument employed in this example rests on the following definition and the next theorem. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Superhöhe/en/Definition|| }} {{ inputfakt |Quasiaffines Schema/Affin/Superhöhe 1 und endlich erzeugter Schnittring/en/Fakt|Theorem|| || }} It is not true at all that the ring of global sections of an open subset {{math|term=U|SZ=}} of the spectrum {{math|term=X|SZ=}} of a noetherian ring is of finite type over this ring. This is not even true if {{math|term=X|SZ=}} is an affine variety. This problem is directly related to Hilbert's fourteenth problem, which has a negative answer. We will later present examples where {{math|term=U|SZ=}} has superheight one, yet is not affine, hence its ring of global sections is not finitely generated. If {{math|term=R|SZ=}} is a two-dimensional local ring with parameters {{mathl|term=f,g|SZ=}} and if {{math|term=B|SZ=}} is the forcing algebra for some {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primary ideal, then the ring of global sections of the torsor is just {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma(D( {{idealm|}}B) , {{op:Strukturgarbe|}}_B ) || B_f \cap B_g || || || |SZ=. }} In the following two examples we use results from tight closure theory to establish {{ Zusatz/Klammer |text=non| |ISZ=|ESZ=- }}affineness properties of certain torsors. {{ inputbeispiel/en |Fermatgleichung/x^2 in (y,z)^*/Erzwingende Algebra/Verschiedene Charakteristiken/Beispiel||zusatz2=&nbsp;because plus closure is trivial for normal domains in characteristic {{math|term=0|SZ=,}} }} {{ inputbeispiel/en |E_8-Gleichung/x nicht in (y,z)^*/Erzwingende Algebra/Beispiel|| }} }} [[Medium:Vectorbundles(Tehran-2012)lecture5.pdf|Pdf-version]] 9294fn4r5jlmbjznjg8266tjcxeqvci 106 51295 770726 373861 2022-08-18T12:01:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|6| If {{math|term=R|SZ=}} is a normal local domain of dimension {{math|term=2|SZ=}} and {{mathl|term=I=(f_1 {{kommadots|}} f_n)|SZ=}} an {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primary ideal, then {{mathl|term=f \in I^*|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=or inside the solid closure| |ISZ=|ESZ= }} if and only if {{mathl|term=D( {{idealm|}}) \subseteq {{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}} |SZ=}} is not an affine scheme, where {{math|term=B|SZ=}} denotes the forcing algebra. Here we will discuss in general, with this application in mind, when a scheme is affine. {{Zwischenüberschrift|term=Affine schemes}} A scheme {{math|term=U|SZ=}} is called {{Stichwort/-|affine|SZ=}} if it is isomorphic to the spectrum of some commutative ring {{math|term=R|SZ=.}} If the scheme is of finite type over a field {{ Zusatz/Klammer |text=or a ring| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term=K|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=if we have a variety| |ISZ=|ESZ=, }} then this is equivalent to saying that there exist global functions {{ math/disp|term= g_1 {{kommadots|}} g_m \in \Gamma(U, {\mathcal O}_U) |SZ= }} such that the mapping {{ Ma:abbele/disp |name= |U|{\mathbb A}^m_K |x|(g_1(x) {{kommadots|}} g_m (x)) |SZ=, }} is a closed embedding. The relation to cohomology is given by the following well-known theorem of Serre. {{ inputfakt |Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/en/Fakt|Theorem||X=U || }} It is in general a difficult question whether a given scheme {{math|term=U|SZ=}} is affine. For example, suppose that {{mathl|term=X= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} is an affine scheme and {{ math/disp|term= U=D({{ideala}}) \subseteq X |SZ= }} is an open subset {{ Zusatz/Klammer |text=such schemes are called quasiaffine| |ISZ=|ESZ= }} defined by an ideal {{mathl|term={{ideala}} \subseteq R|SZ=.}} When is {{math|term=U|SZ=}} itself affine? The cohomological criterion above simplifies to the condition that {{mathl|term=H^{i}(U, {\mathcal O}_X)=0|SZ=}} for {{mathl|term=i \geq 1|SZ=.}} Of course, if {{mathl|term= {{ideala|}} =(f) |SZ=}} is a principal ideal {{ Zusatz/Klammer |text=or up to radical a principal ideal| |ISZ=|ESZ=, }} then {{mathl|term=U=D(f) \cong {{opsyn|Spec|R_f|tief=|hoch=}}|SZ=}} is affine. On the other hand, if {{mathl|term=(R, {{idealm|}}) |SZ=}} is a local ring of dimension {{math|term=\geq 2|SZ=,}} then {{ math/disp|term= D( {{idealm|}} ) \subset {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ= }} is not affine, since {{ Ma:Vergleichskette/disp | H^{d-1}(U , {\mathcal O}_X) ||H^d_{ {{idealm|}} }(R) |\neq|0 || || |SZ= }} by the relation between sheaf cohomology and local cohomology and a theorem of Grothendieck. {{Zwischenüberschrift|term=Codimension condition}} One can show that for an open affine subset {{mathl|term=U \subseteq X|SZ=}} the closed complement {{mathl|term=Y=X \setminus U|SZ=}} must be of pure codimension one {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=U|SZ=}} must be the complement of the support of an effective divisor| |ISZ=|ESZ=. }} In a regular or {{ Zusatz/Klammer |text=locally {{math|term=\Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=- }} factorial domain the complement of every divisor is affine, since the divisor can be described {{ Zusatz/Klammer |text=at least locally geometrically| |ISZ=|ESZ= }} by one equation. But it is easy to give examples to show that this is not true for normal threedimensional domains. The following example is a standardexample for this phenomenon and is in fact given by a forcing algebra. {{ inputbeispiel/en |Dreidimensionale Standardquadrik/Nicht affin/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Ring of global sections of affine schemes}} {{ inputfaktbeweis/en |Offenes Unterschema/Affin und Erweiterungsideal/Endlich erzeugt/Fakt/en|Lemma|| || }} An application of this is the following computation. {{ inputbeispiel/en |Fermat-Kubik/z nicht in tight closure von (x,y)/Beispiel|| }} We will see later also examples where the ring of global sections is not finitely generated. {{ inputbeispiel/en |Fermat-Kubik/z^2 in tight closure von (x,y)/Beispiel|| }} }} [[media:Vectorbundles(Medellin-2012)lecture6.pdf|Pdf-version]] d7q21zpqgfl3ju7k7d0u1dlb1uyapb5 106 53319 770747 770176 2022-08-18T12:26:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|1| In these lectures we want to demonstrate how tight closure can be understood and computed with the help of geometric and cohomological methods. We recall briefly the definition of tight closure. {{Zwischenüberschrift|term=Tight closure}} {{:Tight closure/situation/description for domains}} If {{math|term=R|SZ=}} is not a domain, then one requires that {{math|term=z|SZ=}} does not belong to any minimal prime ideal of {{math|term=R|SZ=.}} This definition is not well suited for computations. The problem is that it one has to check infinitely many conditions. The tight closure of an ideal in a regular ring is just the ideal itself. The following observations translate the containments {{mathl|term=f \in I|SZ=}} and {{mathl|term=f\in I^*|SZ=}} into statements on certain cohomology classes. Let {{mathl|term=(R, {{idealm|}})|SZ=}} be a noetherian local ring of dimension {{math|term=d |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=we treat the case of a standard-graded ring at the same time| |ISZ=|ESZ= }} and let {{mathl|term=I=(f_1 {{kommadots|}} f_n)|SZ=}} be an {{math|term={{idealm|}} |SZ=-}}primary ideal. Then we have a free {{ Zusatz/Klammer |text=not necessarily minimal| |ISZ=|ESZ= }} resolution {{ Zusatz/Klammer |text=in fact it is enough that the complex is exact on the punctured spectrum| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \cdots \longrightarrow F_{3} \longrightarrow F_2 \longrightarrow F_1 \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n}{\longrightarrow} F_0=R \longrightarrow R/I \longrightarrow 0 |SZ=. }} An element {{mathl|term=f \in R|SZ=}} belongs to {{math|term=I|SZ=}} if and only if it is mapped to {{math|term=0|SZ=}} in {{mathl|term=R/I|SZ=.}} We split up the long exact sequence into several short exact sequences of {{math|term=R|SZ=-}}modules, namely into {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz}_1 {{defeq}} {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} \longrightarrow F_1 \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n}{\longrightarrow} F_0=R \longrightarrow R/I \longrightarrow 0 |SZ=, }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz}_2 \longrightarrow F_2 \longrightarrow \operatorname{Syz}_1 \longrightarrow 0 |SZ=, }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz}_3 \longrightarrow F_3 \longrightarrow \operatorname{Syz}_2 \longrightarrow 0 |SZ=, }} etc. These syzygy modules do not have especially nice properties. This changes if we consider the restriction of these sequences to the open subset {{ math/disp|term= U {{defeq}} D( {{idealm|}} ) ={{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} \setminus \{ {{idealm|}} \} |SZ=. }} This scheme is called the {{Stichwort/-|punctured spectrum|SZ=}} of {{math|term=R|SZ=,}} and restriction means that we consider the restrictions of the coherent sheaves {{mathl|term=\widetilde{\operatorname{Syz} }|SZ=.}} Because the support of {{math|term=I|SZ=}} is just {{mathl|term=\{ {{idealm|}} \}|SZ=,}} the restriction of {{mathl|term=R/I|SZ=}} to {{math|term=U|SZ=}} becomes {{math|term=0|SZ=,}} hence we get the short exact sequence {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz}_1 = {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} \longrightarrow F_1 = {{op:Strukturgarbe|U}}^n \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n}{\longrightarrow} F_0={{op:Strukturgarbe|U}} \longrightarrow 0 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=we do not distinguish in the symbols between the modules and the sheaves, with the exception of the structure sheaf| |ISZ=|ESZ=. }} That this last mapping is surjective is also clear since the corresponding module-mapping is surjective when localized at {{math|term=f_i|SZ=}} and since {{mathl|term=U= \bigcup_{i=1}^n D(f_i)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=and since sheaf surjectivity is a local property| |ISZ=|ESZ=. }} Now for a surjective sheaf homomorphism {{ Ma:abbele/disp |name= | {{garbeS|}} | {{garbeT|}} || |SZ= }} between locally free sheaves the kernel is itself locally free. So in particular {{mathl|term= {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n| ||tief=|hoch=}} |SZ=}} is locally free {{ Zusatz/Klammer |text=on {{math|term=U|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} By induction it follows that all {{mathl|term= \operatorname{Syz}_i |SZ=}} are locally free. If {{math|term=R|SZ=}} has dimension at least {{math|term=2|SZ=}} and is normal {{ Zusatz/Klammer |text=or is at least {{math|term=S_2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} then {{ math/disp|term= \Gamma(U, {{op:Strukturgarbe|U}} )=R |SZ=. }} Hence {{mathl|term=f \in I|SZ=}} if and only if {{mathl|term=f \in I \Gamma(U, {{op:Strukturgarbe|U}} ) |SZ=,}} and this property can be checked over {{math|term=U|SZ=.}} Because {{math|term=U|SZ=}} is itself not an affine scheme, this property is not a local property, but a global property. Locally {{math|term=f|SZ=}} belongs to the ideal sheaf given by {{math|term=I|SZ=}} on {{math|term=U|SZ=.}} The difference between local and global properties are usually controlled by sheaf cohomology {{ Zusatz/Klammer |text=or by local cohomology| |ISZ=|ESZ=. }} The short exact sequence {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} \longrightarrow {{op:Strukturgarbe|U}}^n \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n}{\longrightarrow} {{op:Strukturgarbe|U}} \longrightarrow 0 |SZ= }} from above gives rise to a long exact cohomology sequence {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \Gamma(U, {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} )\longrightarrow R^n \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n}{\longrightarrow} R \longrightarrow H^1(U,{{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} ) \longrightarrow H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U}})^n \longrightarrow |SZ=. }} The element {{mathl|term=f \in R|SZ=}} is mapped to some element {{ math/disp|term= c=\delta(f) \in H^1(U, {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} ) |SZ=. }} Now {{ math/disp|term= c=0 \text{ if and only if } f \in I |SZ=, }} because {{math|term=f|SZ=}} comes from the left if and only if it is mapped to {{math|term=0|SZ=}} on the right. The short exact sheaf sequence {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz}_2 \longrightarrow F_2 = {{op:Strukturgarbe|U}}^{\beta_2} \longrightarrow \operatorname{Syz}_1 \longrightarrow 0 |SZ= }} yields again a long exact cohomology sequence, and we write down the part {{ math/disp|term= \longrightarrow H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U}} )^{\beta_2} \longrightarrow H^1(U, \operatorname{Syz}_1) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^2(U, \operatorname{Syz}_2) \longrightarrow H^2(U, {{op:Strukturgarbe|U}} )^{\beta_2} \longrightarrow |SZ=. }} In particular we get a cohomology class {{ Ma:Vergleichskette/disp |c_2 | {{defeq|}} |\delta(c) ||\delta(\delta(f)) || || |SZ= }} in {{mathl|term= H^2(U,\operatorname{Syz}_2)|SZ=.}} Suppose that {{mathl|term=H^1(U, {{op:Strukturgarbe|U}}) =0 |SZ=.}} Then {{ Ma:abbele/disp |name= \delta |H^1(U, \operatorname{Syz}_1) |H^2(U, \operatorname{Syz}_2) || |SZ= }} is injective and so {{mathl|term=f \in I|SZ=}} if and only if {{mathl|term=c_2= 0|SZ=.}} From the other short exact sheaf sequences {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz}_i \longrightarrow F_i = {{op:Strukturgarbe|U}}^{\beta_i} \longrightarrow \operatorname{Syz}_{i-1} \longrightarrow 0 |SZ= }} we obtain {{ math/disp|term= \longrightarrow H^{i-1} (U, {{op:Strukturgarbe|U}} )^{\beta_i} \longrightarrow H^{i-1} (U, \operatorname{Syz}_{i-1}) \stackrel{\delta}{\longrightarrow} H^{i} (U, \operatorname{Syz}_i) \longrightarrow H^{i} (U, {{op:Strukturgarbe|U}} )^{\beta_i} \longrightarrow |SZ= }} and hence the inductively defined cohomology classes {{ math/disp|term= c_i {{defeq|}} \delta^{i} (f) |SZ=. }} Now suppose that {{math|term=R|SZ=}} is Cohen-Macaulay of dimension {{mathl|term=d \geq 2|SZ=.}} Then {{ math/disp|term= H^{i} (U, {{op:Strukturgarbe|U}} ) = H^{i+1}_{{idealm|}}(R)= 0 |SZ= }} for {{mathl|term=1 \leq i \leq d-2|SZ=}} and therefore {{ math/disp|term= H^{i-1} (U, \operatorname{Syz}_{i-1}) \cong H^{i} (U, \operatorname{Syz}_{i}) |SZ= }} for {{math|term=i|SZ=}} between {{ mathkor|term1= 2 |and|term2= d-2 |SZ= }} and {{ Ma:abbele/disp |name= |H^{d-2} (U, \operatorname{Syz}_{d-2}) |H^{d-1} (U, \operatorname{Syz}_{d-1}) || |SZ= }} is injective {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=d \geq 3|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Thus {{mathl|term=f \in I|SZ=}} if and only if {{mathl|term=\delta^{i}(f)=0|SZ=}} for any {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} d-1|SZ=.}} We will in particular work with {{ math/disp|term= c _{d-1} \in H^{d-1} (U, \operatorname{Syz}_{d-1}) |SZ= }} and call this the {{Stichwort/-|top-dimensional cohomology class|SZ=}} inside the {{Stichwort/-|top-dimensional syzygy sheaf|SZ=.}} {{ inputbeispiel/en |Cohen-Macaulay/Endliche projektive Dimension/Kohomologie-Transport/Regulär/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel/en |Cohen-Macaulay/Parameter/Koszul-Auflösung/Kohomologie-Transport/Cech/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Cohomological criteria for tight closure}} The following theorem says that tight closure {{ Zusatz/Klammer |text=for a Cohen-Macaulay ring of dimension at least {{math|term=2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} is a {{Anführung/en|cohomological closure operation|SZ=,}} i.e. it depends only on the induced cohomological class over the punctured spectrum {{math|term=U|SZ=.}} This is the base for understanding tight closure on {{math|term=U|SZ=}} and {{ Zusatz/Klammer |text=in the graded case| |ISZ=|ESZ= }} on {{mathl|term= {{opsyn|Proj|R|tief=|hoch=}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis/en |Cohen-Macaulay Ring/Positive Charakteristik/Kohomologisches Kriterium für tight closure/Fakt/en|Theorem| |zusatz1=Fußnote || }} In general it is difficult to control the sequence {{ mathbed|term= F^{e*}\operatorname{Syz_j} ||bedterm1= e \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} of locally free sheaves. It is one of the goals of these lectures to discuss situations where it can be controlled. The easiest case is when {{mathl|term=\operatorname{Syz_j} |SZ=}} is free {{ Zusatz/Klammer |text=which is only possible for {{mathlk|term=j=d-1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} In this case we can deduce two well-known theorems in tight closure theory. The presented proofs are different from the classical proofs and give a hint how we will argue in the next lectures. The standard proof of the following theorem uses the fact that the Frobenius is flat for regular rings. We use instead that every ideal in a regular ring has a finite free resolution or, equivalently, that the top-dimensional syzygy sheaf is free. {{ inputfaktbeweis/en |Regulärer Ring/Positive Charakteristik/Tight closure trivial/Fakt/en|Theorem| |zusatz1=Fußnote | }} The standard proof of the following fact is based on the {{Netz oder Druck|Briançon|Brian\c{c}on}}-Skoda theorem. It is also true without the Cohen-Macaulay condition. {{ inputfaktbeweis/en |Cohen-Macaulay graduierter Ring/Positive Charakteristik/Parameter/Tight closure Gradkriterium/Inklusion/Fakt/en|Theorem||zusatz1=Fußnote || }} A theorem of Hara states that the {{Anführung/en|converse}} of this theorem is also true for prime numbers {{mathl|term=p \gg 0|SZ=,}} i.e. that an element of degree smaller than the sum of the degrees of the parameters can belong to the tight closure only if it belongs already to the ideal itself. A classical example of this inclusion criterion is that {{ math/disp|term= z^2 \in (x,y)^* |SZ= }} in the Fermat ring {{mathl|term=K[x,y,z]/(x^3+y^3+z^3)|SZ=}} in characteristic {{mathl|term=p \neq 3|SZ=.}} The same holds for any equation under the condition that this {{ Zusatz/Klammer |text=hyper| |ISZ=|ESZ=- }}surface is a normal domain and {{ mathkor|term1= x |and|term2= y |SZ= }} are parameters. In these lectures we are in particular interested in determining degree bounds for the tight closure of primary ideals which are not parameter ideals. An easy looking question for a non-parameter ideal was raised by M. McDermott, namely whether {{ math/disp|term= xyz \in (x^2,y^2,z^2)^* \text{ in } K[x,y,z]/(x^3+y^3+z^3) |SZ=. }} This was answered positively by A. Singh by a long {{Anführung/en|equational}} argument. {{ inputbeispiel/en |Fermatkubik/xyz in (x^2,y^2,z^2)^*/Kohomologischer Beweis/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste/en}} }} [[Medium:Tight closure (Ann Arbor-2012)lecture1.pdf|Pdf-version]] [[Kategorie:Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)]] lfkcjdp9ey9pl2gvzciwzg7cad7olm1 106 53334 770730 770177 2022-08-18T12:04:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|2| {{Zwischenüberschrift|term=Geometric interpretation in dimension two}} We will restrict now to the two-dimensional normal graded case in order to work on the corresponding smooth projective curve. {{:Tight closure/2 dim, standard-graded/interpretation with syzygzy bundles/description|zusatz1=|zusatz2=}} Thus a homogeneous element {{math|term=f|SZ=}} of degree {{math|term=m|SZ=}} defines a cohomology class {{mathl|term=\delta(f) \in H^1({{{C|C}}}, {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n |tief=|hoch=}}(m) )|SZ=.}} Again we have that {{mathl|term=f \in I^*|SZ=}} if and only if {{mathl|term=\delta(f)|SZ=}} is tightly zero. The advantages to work on the projective curve are: {{ Aufzählung5 |We may work in dimension {{math|term=1|SZ=.}} |The projective curve is smooth, we do not need to worry about singularities. |We can use the well-developed theory of vector bundles on curves, in particular the notion of degree, of semistable bundles and the existence of moduli spaces. |We can use ampleness results. Tight closure is then related to positivity and negativity of bundles. |We can work within projective bundles, so that everything can be embedded into a smooth projective situation. }} The following example shows already that one can not expect a sharp degree bound for primary non-parameter ideals. It also shows that one can compute tight closure whenever one has a nice decomposition of the syzygy bundle. This is always the case when the ideal has finite projective dimension. The notion of strong Harder-Narasimhan filtration which we introduce below is a replacement of such a decomposition. {{ inputbeispiel/en |Tight closure/x^4,y^4,xy^3/Auf P^1 und anderen Kurven/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Torsors}} A cohomology class {{mathl|term=c \in H^1(C, {{garbeS|}} )|SZ=}} in a locally free sheaf {{math|term= {{garbeS|}} |SZ=}} has a geometric realization {{ Zusatz/Klammer |text=or a geometric model| |ISZ=|ESZ=, }} namely a so-called {{math|term={{garbeS|}} |SZ=-}}torsor {{ Zusatz/Klammer |text=or a principal fiber bundle| |ISZ=|ESZ=. }} This is an affine-linear bundle over {{math|term=C|SZ=}} on which {{math|term={{garbeS|}} |SZ=}} acts by translations. The relation between cohomology classes and {{math|term= {{garbeS|}} |SZ=-}}torsors holds over any noetherian separated scheme by a general construction. We mention an alternative description of the torsor corresponding to a first cohomology class in a locally free sheaf which is better suited for the projective situation. {{ inputbemerkung/en |Schema/Lokal freie Garbe/Torsor/Beschreibung mit Ext und projektiven Bündeln/en/Bemerkung| |zusatz1=Fußnote }} Properties of a cohomology class are equivalent to geometric properties of the corresponding torsor {{math|term=T|SZ=.}} The property of being tightly zero {{ Zusatz/Klammer |text=itself equivalent to {{mathlk|term=f \in I^*|SZ=,}} if the cohomology class is {{mathlk|term=\delta(f)|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} is equivalent to the property that {{math|term=T}} is not an affine variety {{ Zusatz/Klammer |text=i.e. not isomorphic to the spectrum of a ring| |ISZ=|ESZ=. }} This rests on the reinterpretation of tight closure as solid closure. For this {{ Zusatz/Klammer |text=non| |ISZ=|ESZ= }} affineness property, positivity (ampleness) properties of the bundle are crucial. {{Zwischenüberschrift|term=Semistability of vector bundles}} For inclusion and exclusion results we need the concept of {{ Zusatz/Klammer |text=Mumford| |ISZ=-|ESZ= }} semistability. {{inputdefinition|vector bundles on smooth projective curves/semistable and strongly semistable/Definition|}} An important property of a semistable bundle of negative degree is that it can not have any global section {{math|term=\neq 0|SZ=.}} Note that a semistable vector bundle need not be strongly semistable, the following is probably the simplest example. {{ inputbeispiel/en |Fermat-Quartik/Syz (x,y,z)/Charakteristik 3/Semistabil, nicht stark semistabil/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel/en |Fermat-Kubik/Syz (x^2,y^2,z^2)/Stark semistabil/Beispiel|| }} For a strongly semistable vector bundle {{math|term={{garbeS}}|SZ=}} on {{math|term={{{C|C}}}|SZ=}} and a cohomology class {{mathl|term=c \in H^1({{{C|C}}}, {{garbeS}})|SZ=}} with corresponding torsor we obtain the following affineness criterion in any characteristic. {{ inputfakt |Torsor über Kurve/Stark semistabil/Affinitätskriterium/en/Fakt|Theorem|| |zusatz1=Fußnote| }} This result rests on the ampleness of {{mathl|term= {{garbeS|}}'^\vee |SZ=}} occuring in the dual exact sequence {{mathl|term=0 \rightarrow {{op:Strukturgarbe|}}_{{{C|C}}} \rightarrow {{garbeS|}}'^\vee \rightarrow {{garbeS|}}^\vee \rightarrow 0 |SZ=}} given by {{math|term=c|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=work of Hartshorne and Gieseker| |ISZ=|ESZ=. }} It implies for a strongly semistable syzygy bundle the following {{betonung|degree formula}} for tight closure. {{inputfakt|tight closure/degree bound for inclusion/strongly semistable/curve case/Fakt|Theorem|}} We indicate the proof of the inclusion result. The degree condition implies that {{mathl|term=c= \delta(f) \in H^1({{{C|C}}}, {{garbeS}})|SZ=}} is such that {{mathl|term={{garbeS}} ={{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}} (m) |SZ=}} has nonnegative degree. Then also all Frobenius pull-backs {{mathl|term=F^*({{garbeS}})|SZ=}} have nonnegative degree. Let {{mathl|term={\mathcal L} = {\mathcal O}(k)|SZ=}} be a twist of the tautological line bundle on {{math|term={{{C|C}}}|SZ=}} such that its degree is larger than the degree of {{mathl|term=\omega_{{{C|C}}}^{-1}|SZ=,}} the dual of the canonical sheaf. Let {{mathl|term=z \in H^0({{{C|C}}}, {\mathcal L})|SZ=}} be a non-zero element. Then {{mathl|term=z F^{e*}(c) \in H^1({{{C|C}}}, F^{e*}({{garbeS}}) \otimes {\mathcal L})|SZ=,}} and by Serre duality we have {{ math/disp|term= H^1({{{C|C}}}, F^{e*} ({{garbeS}}) \otimes {\mathcal L}) \cong H^0 ({{{C|C}}}, F^{e*}({{garbeS}}^{*} ) \otimes {\mathcal L}^{-1} \otimes \omega_{{{C|C}}})^{\vee} |SZ=. }} On the right hand side we have a semistable sheaf of negative degree, which can not have a nontrivial section. Hence {{mathl|term=zF^{e*} = 0|SZ=}} and therefore {{math|term=f|SZ=}} belongs to the tight closure. {{Zwischenüberschrift|term=Harder-Narasimhan filtration}} In general, there exists an exact criterion depending on {{math|term=c|SZ=}} and the {{Betonung|term=strong Harder-Narasimhan filtration}} of {{math|term={{garbeS}}|SZ=.}} For this we give the definition of the Harder-Narasimhan filtration. {{ inputdefinition/en |Projektive Kurve/Vektorbündel/Harder-Narasimhan Filtration/Definition|| }} The number {{math|term=\mu_1|SZ=}} is called the {{Stichwort/-|maximal slope|SZ=}} and the number {{math|term=\mu_t|SZ=}} is called the {{Stichwort/-|minimal slope|SZ=}} of {{math|term={{garbeS}}|SZ=.}} In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Tight closure/x^4,y^4,xy^3/Auf P^1 und anderen Kurven/Beispiel/en |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} the Harder-Narasimhan filtration of {{mathl|term= \operatorname{Syz} \,(x^4,y^4,xy^3)|SZ=}} is {{ math/disp|term= {{op:Strukturgarbe|C}} (-5) \subset \operatorname{Syz} \,(x^4,y^4,xy^3) |SZ=, }} the quotient is {{mathl|term={{op:Strukturgarbe|C}} (-7) |SZ=.}} This Harder-Narasimhan filtration is strong, since any line bundle is strongly semistable. The {{ Zusatz/Klammer |text=strong| |ISZ=|ESZ= }} Harder-Narasimhan filtration is a replacement for the easy decomposition we had in this example. The Harder-Narasimhan filtration exists and is uniquely determined by its properties {{ Zusatz/Klammer |text=by a theorem of Harder and Narasimhan| |ISZ=|ESZ=. }} A Harder-Narasimhan filtration is called {{Stichwort/-|strong|SZ=}} if all the quotients {{mathl|term= {{garbeS}}_{k}/{{garbeS}}_{k-1} |SZ=}} are strongly semistable. A Harder-Narasimhan filtration is not strong in general, however, by a Theorem of A. Langer, there exists some Frobenius pull-back {{mathl|term=F^{e*} ( {{garbeS|}} )|SZ=}} such that its Harder-Narasimhan filtration is strong. {{ inputfakt |Torsor über Kurve/Starke Harder-Narasimhan Filtration/Affinitätskriterium/en/Fakt|Theorem|| || }} {{ inputbemerkung/en |Tight closure/Graduierter Ring/Inklusionsschranke über starke HN-Filtration/Bemerkung/en|| }} We describe two important consequences from this characterization of tight closure in terms of vector bundles. {{Zwischenüberschrift|term=Plus closure}} Recall that the plus closure {{math|term=I^+|SZ=}} of an ideal {{math|term=I|SZ=}} is given by {{mathl|term=f\in I^+|SZ=}} if and only if there exists a finite extension {{ Zusatz/Klammer |text=of domains| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=R\subseteq S|SZ=}} such that {{mathl|term=f\in IS|SZ=.}} In terms of the torsor this is equivalent to the property that there exists a projective curve inside the torsor, or that the corresponding cohomology class can be annihilated by a finite morphism of projective curves. Over a finite field, the same criterion along the strong Harder-Narasimhan filtration which holds for tight closure also holds for {{ Zusatz/Klammer |text=graded| |ISZ=|ESZ= }} plus closure. Therefore we get. {{ inputfakt |Tight closure/Plus closure/2 dim, standard-graded/Brenner/Fakt|Theorem|| || }} This is also true for non-primary graded ideals and also for submodules in finitely generated graded submodules. Moreover, G. Dietz has shown that one can get rid also of the graded assumption {{ Zusatz/Klammer |text=of the ideal or module, but not of the ring| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Test exponents}} The problem with an algorithmic computation of tight closure is that we have to check infinitely many conditions. For a test element {{math|term=z|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=a well established theory| |ISZ=|ESZ= }} a {{Stichwort/-|test exponent|SZ=}} is a number {{math|term=e_0|SZ=}} such that {{mathl|term=zf^{q} \in I^{[q]}|SZ=}} for all {{mathl|term=q=p^{e}|SZ=}} and {{mathl|term=e \leq e_0|SZ=}} implies {{mathl|term=f \in I^*|SZ=.}} This makes also sense for a restricted class of ideals. But even for parameter ideals nothing substantial is known. The following variant is more promising and has the same computational effect: Let {{math|term=\tau|SZ=}} denote the test ideal of {{math|term=R|SZ=.}} We call {{math|term=e_0|SZ=}} a {{Stichwort/-|test ideal exponent|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=for a class of ideals| |ISZ=|ESZ= }} if {{ math/disp|term= z f^{q} \in I^{[q]} \text{ for all } z \in \tau |SZ= }} and for all {{mathl|term=q=p^{e}|SZ=}} and {{mathl|term=e \leq e_0|SZ=}} implies {{mathl|term=f \in I^*|SZ=.}} For this one has to know the test ideal, but this is known in many cases. For the class of parameter ideals in the Gorenstein case this works, because then {{mathl|term=I^* = (I: \tau)|SZ=}} and so we can take even {{math|term=0|SZ=}} as test ideal exponent. The methods from above allow us to extend this to homogeneous primary ideals in a standard-graded two-dimensional domain over a finite field. The test ideal exponent is however huge and not suitable for computations. It depends on the genus, the number of ideal generators and most importantly on the number of elements in the field {{ Zusatz/Klammer |text=via the finite number of semistable bundles in the moduli space| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfakt |Tight closure/Graduiert/Dimension 2/Gorenstein/Finite field/Test ideal exponent/Fakt/en|Theorem|| || }} The finite field assumption in the last two statements is necessary. Both proofs rely on the fact that for fixed rank and degree there exists only finitely many semistable sheaves defined over the field with these numerical data. {{Fußnotenliste/en}} }} [[Medium:Tight closure (Ann Arbor-2012)lecture2.pdf|Pdf-version]] [[Kategorie:Kurs:Computation of tight closure (Ann Arbor 2012)]] o6wwnk38bmlfhkux9mx0tgkftad57pk 106 55010 770724 511207 2022-08-18T11:59:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|1| {{Zwischenüberschrift|term=Systems of linear equations}} {{:Inhomogeneous linear equation/System/Geometric situation/description}} These objects {{math|term=T|SZ=}} have new and sometimes difficult global properties which we try to understand in these lectures. We will work mainly in an algebraic setting and restrict to the situation where just one equation {{ math/disp|term= f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n=f |SZ= }} is given. Then in the homogeneous case {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=f=0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} the fibers are vector spaces of dimension {{ mathkor|term1= n-1 |or|term2= n |SZ=, }} and the later holds exactly for the points {{mathl|term=P \in X|SZ=}} where {{mathl|term=f_1(P) = \ldots = f_n(P)=0 |SZ=.}} In the inhomogeneous case the fibers are either empty or of dimension {{ mathkor|term1= n-1 |or|term2= n |SZ=. }} We give some typical examples. {{ inputbeispiel/en |Erzwingende Gleichung/Gerade/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel/en |Erzwingende Gleichung/Ebene/Monomiale Parametersituation/Beispiel|| }} In {{ Zusatz/Klammer |text=most of| |ISZ=|ESZ= }} these examples we can observe the following behavior. On an open subset, the dimension of the fibers is constant and equals {{mathl|term=n-1|SZ=,}} whereas the fiber over some special points degenerates to an {{math|term=n|SZ=-}}dimensional solution set {{ Zusatz/Klammer |text=or becomes empty| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Forcing algebras}} We describe now the algebraic setting of systems of inhomogeneous linear equations depending on a base space. For a commutative ring {{math|term=R|SZ=,}} its spectrum {{mathl|term=X={{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ=}} is a topological space on which the ring elements can be considered as functions. The value of {{mathl|term=f \in R|SZ=}} at a prime ideal {{mathl|term=P \in {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=}} is just the image of {{math|term=f|SZ=}} under the morphism {{mathl|term=R \rightarrow R/P \rightarrow \kappa(P) =Q(R/P)|SZ=.}} In this interpretation, a ring element is a function with values in different fields. Suppose that {{math|term=R|SZ=}} contains a field {{math|term=K|SZ=.}} Then an element {{mathl|term=f \in R|SZ=}} gives rise to the ring homomorphism {{ Ma:abbele/disp |name= |K[Y]|R |Y|f |SZ=, }} which itself gives rise to a scheme morphism {{ Ma:abbele/disp |name= | {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}| {{opsyn|Spec|K[Y]|tief=|hoch=}} \cong {\mathbb A}_K^1 |SZ=. }} This is another way to consider {{math|term=f|SZ=}} as a function on {{mathl|term= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=.}} The following object was introduced by M. Hochster in 1994 in his work on solid closure. {{ inputdefinition |Forcing algebra/Ideal and element/Definition|| }} The forcing algebra {{math|term=B|SZ=}} forces {{math|term=f|SZ=}} to lie inside the extended ideal {{mathl|term=(f_1 {{kommadots|}} f_n)B|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hence the name| |ISZ=|ESZ= }} For every {{math|term=R|SZ=-}}algebra {{math|term=S|SZ=}} such that {{mathl|term=f \in (f_1 {{kommadots|}} f_n)S |SZ=}} there exists a {{ Zusatz/Klammer |text=non unique| |ISZ=|ESZ= }} ring homomorphism {{ Ma:abb |name= |B|S || |SZ= }} by sending {{math|term=T_i|SZ=}} to the coefficient {{mathl|term=s_i \in S|SZ=}} in an expression {{mathl|term=f=s_1f_1 {{plusdots|}} s_nf_n |SZ=.}} The forcing algebra induces the spectrum morphism {{ Ma:abbele/disp |name= |{{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}}|{{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} || |SZ=. }} Over a point {{mathl|term=P \in X={{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} |SZ=,}} the fiber of this morphism is given by {{ math/disp|term= {{opsyn|Spec| B \otimes_R \kappa(P)|tief=|hoch=}} |SZ=, }} and we can write {{math/disp|term=B \otimes_R \kappa(P) = \kappa(P)[T_1 {{kommadots|}} T_n]/(f_1(P)T_1 {{plusdots|}} f_n(P)T_n - f(P) ) |SZ=,}} where {{mathl|term=f_i(P)|SZ=}} means the evaluation of the {{math|term=f_i|SZ=}} in the residue class field. Hence the {{mathl|term=\kappa(P)|SZ=-}}points in the fiber are exactly the solutions to the inhomogeneous linear equation {{mathl|term=f_1(P) T_1 {{plusdots|}} f_n(P) T_n = f(P) |SZ=.}} In particular, all the fibers are {{ Zusatz/Klammer |text=empty or| |ISZ=|ESZ= }} affine spaces. As the solution vector space of a system of homogeneous linear equations acts on the solution set of a system of inhomogeneous linear equations, the spectrum of a homogeneous forcing algebra acts on the spectrum of an inhomogeneous forcing algebra. The spectrum {{ math/disp|term= V= {{opsyn|Spec|A|tief=|hoch=}} = {{opsyn|Spec|R[S_1 {{kommadots|}} S_n]/(f_1S_1 {{plusdots|}} f_nS_n) |tief=|hoch=}} |SZ= }} is a group scheme over {{mathl|term= {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}}|SZ=,}} and the Hopfalgebra structure is given by {{mathl|term=S_i \mapsto S_i +T_i|SZ=.}} Similarly, the action of {{math|term=V|SZ=}} on {{math|term=T={{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}}|SZ=}} is given by {{ Ma:abbele/disp |name= | {{opsyn|Spec|A|tief=|hoch=}} \times_{ {{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} } {{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}} |{{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}} |(s_1 {{kommadots|}} s_n, t_1 {{kommadots|}} t_n )| (s_1+t_1 {{kommadots|}} s_n+t_n) |SZ=. }} On the ring level this map is again induced by {{mathl|term=T_i \mapsto S_i+T_i|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Forcing algebras and closure operations}} Let {{math|term=R|SZ=}} denote a commutative ring and let {{mathl|term=I=(f_1 {{kommadots|}} f_n )|SZ=}} be an ideal. Let {{mathl|term=f \in R|SZ=}} and let {{ math/disp|term= B= R[T_1 {{kommadots|}} T_n ]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n -f) |SZ= }} be the corresponding forcing algebra and {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}}|{{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} || |SZ= }} the corresponding spectrum morphism. How are properties of {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=or of the {{math|term=R|SZ=-}}algebra {{math|term=B|SZ=}} |ESZ= }} related to certain ideal closure operations? We start with some examples. The element {{math|term=f|SZ=}} belongs to the ideal {{math|term=I|SZ=}} if and only if we can write {{mathl|term=f=r_1f_1 {{plusdots|}} r_nf_n |SZ=.}} By the universal property of the forcing algebra this means that there exists an {{math|term=R|SZ=-}}algebra-homomorphism {{ Ma:abbele/disp |name= |B|R || |SZ=, }} hence {{mathl|term=f \in I|SZ=}} holds if and only if {{math|term=\varphi|SZ=}} admits a scheme section. This is also equivalent to {{ Ma:abbele/disp |name= |R|B || |SZ= }} admitting an {{math|term=R|SZ=-}}module section or {{math|term=B|SZ=}} being a pure {{math|term=R|SZ=-}}algebra {{ Zusatz/Klammer |text=so for forcing algebras properties might be equivalent which are not equivalent for arbitrary algebras| |ISZ=|ESZ=. }} We have a look at the radical of the ideal {{math|term=I|SZ=,}} {{ math/disp|term= {{opsyn|rad|I|tief=|hoch=}} = {{mengebed|f \in R| f^k \in I \text{ for some }k}} |SZ=. }} As this is quite a coarse closure operation we should expect that this corresponds to a quite coarse property of the morphism {{math|term=\varphi|SZ=}} as well. Indeed, it is true that {{mathl|term=f \in {{opsyn|rad|I|tief=|hoch=}}|SZ=}} if and only if {{math|term=\varphi|SZ=}} is surjective. This and the interpretation of other closure operations like integral closure and in particular tight closure in terms of forcing algebras will be discussed in the tutorial session and in the next lectures. {{Zwischenüberschrift|term=Geometric vector bundles}} We have seen that the fibers of the spectrum of a forcing algebra are {{ Zusatz/Klammer |text=empty or| |ISZ=|ESZ= }} affine spaces. However, this is not only fiberwisely true, but more generally: If we localize the forcing algebra at {{math|term=f_i|SZ=}} we get {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |(R[T_1 {{kommadots|}} T_n]/(f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n-f))_{f_i} |\cong| R_{f_i}[T_1 {{kommadots|}} T_{i-1},T_{i+1} {{kommadots|}} T_n] || || || |SZ=, }} since we can write {{math/disp|term=T_i= - \sum_{j \neq i} {{op:Bruch|f_j|f_i}} T_j + {{op:Bruch|f|f_i}} |SZ=.}} So over every {{mathl|term=D(f_i)|SZ=}} the spectrum of the forcing algebra is an {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}dimensional affine space over the base. So locally, restricted to {{mathl|term=D(f_i)|SZ=,}} we have isomorphisms {{ math/disp|term= T{{|}}_{D(f_i)} \cong D(f_i) \times {\mathbb A}^{n-1} |SZ=. }} On the intersections {{mathl|term=D(f_i) \cap D(f_j)|SZ=}} we get two identifications with affine space, and the transition morphisms are linear if {{mathl|term=f=0|SZ=,}} but only affine-linear in general {{ Zusatz/Klammer |text=because of the translation with {{mathlk|term= {{op:Bruch|f|f_i}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} This local description holds on the union {{mathl|term=U= \bigcup_{i=1}^n D(f_i)=D(I)|SZ=.}} Moreover, in the homogeneous case {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=f=0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} the transition mappings are linear. Hence {{mathl|term=V {{|}}_U |SZ=}} is a geometric vector bundle according to the following definition. {{ inputdefinition |Schema/Geometrisches Vektorbündel/Als Schema/en/Definition|| }} Here we can always restrict to affine open coverings. If {{math|term=X|SZ=}} is separated then the intersection of two affine open subschemes is again affine and then it is enough to check the condition on the intersection. The trivial bundle of rank {{math|term=r|SZ=}} is the {{math|term=r|SZ=-}}dimensional affine space {{mathl|term={\mathbb A}^r_X|SZ=}} over {{math|term=X|SZ=,}} and locally every vector bundle looks like this. Many properties of an affine space are enjoyed by general vector bundles. For example, in the affine space we have the natural addition {{ Ma:abbele/disp |name= + | {\mathbb A}^r_U \times_U {\mathbb A}^r_U | {\mathbb A}^r_U | (v_1 {{kommadots|}} v_r, w_1 {{kommadots|}} w_r ) |(v_1 +w_1 {{kommadots|}} v_r + w_r ) |SZ=, }} and this carries over to a vector bundle, that is, we have an addition {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |V \times_X V|V || |SZ=. }} The reason for this is that the isomorphisms occurring in the definition of a geometric vector bundle are linear, hence the addition on {{mathl|term=V {{|}}_{U} |SZ=}} coming from an isomorphism with some affine space over {{math|term=U|SZ=}} is independent of the choosen isomorphism. For the same reason there is a unique closed subscheme of {{math|term=V|SZ=}} called the {{Stichwort/-|zero-section|SZ=}} which is locally defined to be {{mathl|term=0 \times U \subseteq {\mathbb A}^r_U|SZ=.}} Also, the multiplication by a scalar, i.e. the mapping {{ Ma:abbele/disp |name= \cdot | {\mathbb A}_U \times_U {\mathbb A}^r_U | {\mathbb A}^r_U | (s, v_1 {{kommadots|}} v_r ) |(sv_1 {{kommadots|}} s v_r ) |SZ=, }} carries over to a scalar multiplication {{ Ma:abbele/disp |name= \cdot | {\mathbb A}_X \times_X V | V || |SZ=. }} In particular, for every point {{mathl|term=P \in X|SZ=}} the fiber {{mathl|term=V_P = V \times_X P|SZ=}} is an affine space over {{mathl|term=\kappa(P)|SZ=.}} For a geometric vector bundle {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} and an open subset {{mathl|term=U \subseteq X|SZ=}} one sets {{ math/disp|term= \Gamma(U,V) = {{mengebed|s : U \rightarrow V {{|}}_U| p \circ s {{=|}} {{op:Identität|U|}} }} |SZ=, }} so this is the set of sections in {{math|term=V|SZ=}} over {{math|term=U|SZ=.}} This gives in fact for every scheme over {{math|term=X|SZ=}} a set-valued sheaf. Because of the observations just mentioned, these sections can also be added and multiplied by elements in the structure sheaf, and so we get for every vector bundle a locally free sheaf, which is free on the open subsets where the vector bundle is trivial. {{ inputdefinition |Schema/Lokal freie Garbe/en/Definition|| }} Vector bundles and locally free sheaves are essentially the same objects. {{ inputfakt |Schema/Lokal freie Garben und Vektorbündel/Äquivalenz/en/Fakt|Theorem|| || }} The free sheaf of rank {{math|term=r|SZ=}} corresponds to the affine space {{mathl|term= {\mathbb A}^r_X|SZ=}} over {{math|term=X|SZ=.}} The global sections in {{ Ma:abbele/disp |name= |V {{=}} {{opsyn|Spec|R[S_1 {{kommadots|}} S_n]/(f_1 S_1 {{plusdots|}} f_n S_n|tief=|hoch=}}|{{opsyn|Spec|R|tief=|hoch=}} || |SZ= }} are just the tuples {{mathl|term=(s_1 {{kommadots|}} s_n)|SZ=}} such that {{mathl|term=\sum_{i=1}^n s_if_i=0|SZ=.}} So these are just the syzygies for the ideal generators, and they form the syzygy module. We denote this by {{mathl|term= {{opsyn|Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|tief=|hoch=}}|SZ=.}} The sheaf of sections in {{math|term=V|SZ=}} is also the sheafification of this syzygy module. The restriction of this sheaf to {{mathl|term=U= D(f_1 {{kommadots|}} f_n)|SZ=}} is locally free and corresponds to the geometric vector bundle {{mathl|term=V{{|}}_U|SZ=.}} . This action of {{math|term=V|SZ=}} on {{math|term=T|SZ=}}induces an action of the vector bundle {{mathl|term=V{{|}}_U |SZ=}} on {{mathl|term= {{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}}{{|}}_U |SZ=,}} and endowed with this action {{mathl|term= {{opsyn|Spec|B|tief=|hoch=}}{{|}}_U |SZ=}} becomes a torsor. We will deal with this structure in the next lecture. {{Fußnotenliste}} }} [[media:Vectorbundles(MSRI-2012)lecture1.pdf|Pdf-version]] 91icaa3siwyt0wxtfxoxuj7asgjmsrr 106 71793 770823 415573 2022-08-18T18:58:50Z 87.116.29.62 wikitext text/x-wiki {{Projekt:Alles fürs Abitur/Vorlagen}} Hier eine der Wikipedia entnommene Liste '''rhetorischer Stilmittel'''. Die Links der einzelnen Begriffe führen zu deren Wikipedia-Eintrag und ermöglichen eine weitere Vertiefung. In der Prüfung wird nicht verlangt alle Stilmittel auswendig zu können, bzw. alle Stilmittel in einem Text zu finden. Entscheidend ist lediglich, die wichtigen vom Autor bewusst eingesetzten Elemente zu entdecken, und deren Funktion zu erkennen. Um sicher mit den Stilmittel umgehen zu können gibt es hierzu einige [[Kurs:Abitur/Deutsch/Grundwissen/Stilmittel/Übungen|Übungen]]. {{TOC}} == A == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#ddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Accumulatio]]''' (auch: ''Akkumulation'') | Anhäufung thematisch zusammengehörender Wörter unter einem genannten oder nicht genannten Oberbegriff. | ''„Feld, Wald und Wiesen“''; ''„Sonne, Mond und Sterne“'' |- | '''[[Adynaton]]''' | Vergleich mit Unmöglichem | ''„Eher geht die Welt unter, als dass&nbsp;…“'' |- | '''[[Akrostichon]]''' | Wort- oder Versanfänge ergeben hintereinander gelesen einen neuen Sinn | ''„Iesòus (Jesus) Christòs (Christus) Theòu (Gottes) Yiòs (Sohn) Sotèr (Erlöser)“ (Ichthys = Fisch)'' |- | '''[[Allegorie]]''' | Verbildlichung, ausgeführte Metapher; eine Allegorie ist im Allgemeinen ein Gleichnis. Häufig wird hierbei eine abstrakte Idee durch etwas Gegenständliches ausgedrückt. | ''„Auf dem Theater der Welt sind alle Menschen Spieler: mancher bekommt die Rolle eines Königs, mancher die eines Bettlers&nbsp;…“'' |- | '''[[Alliteration]]''' | Zwei oder mehrere unmittelbar aufeinander folgende Wörter besitzen den gleichen Anfangslaut. | ''„Kind und Kegel“''; ''„Milch macht müde Männer munter“''; ''„Mensch Meier“''; ''„Veni vidi vici“'' (Cäsar); ''„Chor der Kinder“''; ''„O Tite, tute, Tati, tibi tanta, tyranne, tulisti!“'' (Ennius) |- | '''[[Allusion]]''' | Anspielung | ''„Sie wissen, was ich meine.“'' |- | '''[[Alogismus]]''' | Drückt einen unlogischen Sachverhalt aus oder stellt eine Überlegung dar, die sich selbst oder der Logik widerspricht. | ''„Sind nackte Frauen intelligent?“''; ''„Nachts ist es kälter als draußen.“'' |- | '''[[Anadiplose]]''' | Sonderfall der Repetitio, Wiederholung eines (satz-/)[[vers]]<nowiki/>schließenden Wortes am Beginn des nächsten Satzes/Verses (Schema: ''… x / x …'') | ''„Mit dem Schiffe spielen Wind und Wellen, Wind und Wellen spielen nicht mit seinem Herzen.“'' (Johann Wolfgang von Goethe) |- | '''[[Anakoluth]]''' | Satzbruch; eine plötzliche Änderung in der grammatischen Konstruktion, dem Aufbau eines Satzes | ''„Korf erfindet eine Mittagszeitung, / welche, wenn man sie gelesen hat, / ist man satt.“'' (Christian Morgenstern) |- | '''[[Anapher]]''' | Sonderfall der [[Repetitio]], Wiederholung am Satz-/Versanfang (Schema: ''x … / x …''), häufig auch mit Parallelismus; häufig z.&nbsp;B. bei politischen Reden. | ''„Ich fordere Moral. Ich fordere Verständnis.“'' |- | '''[[Anastrophe (Rhetorik)|Anastrophe]]''' | Vertauschung zweier zusammengehörender Wörter (siehe auch: [[Inversion (Sprache)|Inversion]]) | ''„der Verstellung schwere Kunst“'' anstelle von: „die schwere Kunst der Verstellung“ |- | '''[[Anthropomorphismus]]'''<br />(auch: ''[[Personifikation]]'') | Zusprechen menschlicher Eigenschaften auf unbelebte Gegenstände (siehe auch: [[#V|Verdinglichung]]) | ''„Die Frau schüttet den Tee aus der Kannennase“'' |- | '''[[Antizipation (Stilistik)|Antizipation]]'''<br />(auch: ''Prolepse'') | eine Vorausschau bzw. einen Zeitsprung in die Zukunft oder durch den Text geweckte Lesererwartungen (siehe auch: [[Epische Vorausdeutung|Vorausdeutung]]) | ''„Wohlan, nun walte Gott, [sagte Hildebrand], Unheil geschieht:“'' ([[Hildebrandslied]]) |- | '''[[Klimax (Sprache)|Antiklimax]]''' | Abfallende Steigerung, Gegenteil zur [[Klimax (Sprache)|Klimax]] | ''„Urahne, Großmutter, Mutter und Kind“'' ([[Gustav Schwab]]: ''Das Gewitter'') |- | '''[[Antilabe]]''' | Text einer (vom Rhythmus her zusammengehörenden) Zeile wird auf mehrere Sprecher verteilt | ''„<small>DER HERR:</small> Kennst du den Faust? / <small>MEPHISTOPHELES:</small> Den Doktor? / <small>DER HERR:</small> Meinen Knecht!“'' ([[Goethe|J. W. v. Goethe]]: ''[[Faust I]]'') |- | '''[[Antiphrasis]]''' (auch: ''Antiphrase'') | Es soll das Gegenteil des eigentlich Gesagten ausgedrückt werden; kann sich auf ein einzelnes Wort, einen Satz oder eine Passage beziehen; eine der häufigsten Formen der [[Ironie]] | ''„Hast du heute wieder gute Laune!“'' |- | '''[[Antithese]]''' | Polarität (gedanklicher Gegensatz) (siehe auch: [[Antitheton]]) | ''„Er konnte alles, aber er konnte dies nicht.“; „Sein Blut ist heiß, sein Blut ist kalt.“; „Was dieser heute baut, reißt jener morgen ein.“'' ([[Andreas Gryphius]]) |- | '''[[Antitheton]]''' | Gegenüberstellung zweier entgegengesetzter Gedanken (kein Widerspruch) (siehe auch: [[Antithese]]) | ''„Das wird Schaden, nicht Nutzen bringen.“'' |- | '''[[Antonomasie]]''' | Sonderfall der [[Synekdoche]], Eigenname als Gattungsbegriff (oder umgekehrt) | ''„[[Herakles|Herkules]]“'' als Bezeichnung für einen physiologisch starken Menschen; ''„[[Kritikerpapst]]“'' für: [[Marcel Reich-Ranicki]] |- | '''[[Apokoinu]]''' | Ein Teil (Wort oder Satzteil) eines Satzes wird gleichmäßig auf zwei andere Teile bezogen. | ''„Was sein Pfeil erreicht, <u>das ist seine Beute</u>, was da kreucht und fleucht.“'' |- | '''[[Aposiopese]]''' | Abbruch mitten im Satz | ''„Seht mal, was ich&nbsp;…“'' |- | '''[[Apostrophe]]''' | Hinwendung zum Publikum oder zu einer anwesenden, abwesenden oder vorgestellten Person oder Sache | ''„Alter Freund! Immer getreuer Schlaf, fliehst du mich?“'' |- | '''[[Archaismus]]''' | Veralteter sprachlicher Ausdruck | ''„[[Wams]]“'' für: „Jacke“; ''„gülden“'' für: „golden“ |- | '''[[Assonanz (Lyrik)|Assonanz]]''' | Vokalischer Halbreim | ''„<u>O</u>tt<u>o</u>s M<u>o</u>ps tr<u>o</u>tzt.“'' ([[Ernst Jandl]]); ''„<u>U</u>nt<u>e</u>rpf<u>a</u>nd – w<u>u</u>nd<u>e</u>rb<u>a</u>r“'' |- | '''[[Asyndeton]]''' | Unverbundene Reihung gleichwertiger Elemente; Bindungswörter und [[Konjunktion (Wortart)|Konjunktionen]] werden weggelassen (siehe auch: [[Polysyndeton]]) | ''„Wasser, Feuer, Erde, Luft – ewig werden sie bestehen.“'' |} == B == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Bathos]]''' | Gegenüberstellung eines höheren Wertes mit einem niedrigeren | ''„Die Explosion zerstörte alle Häuser auf der anderen Straßenseite und meinen Briefkasten.“'' |- | | '''[[Brachylogie]]''' | Auslassung von Satzgliedern (siehe auch: [[Ellipse (Sprache)|Ellipse]], [[Zeugma (Sprache)|Zeugma]]) | ''„Das Gras verdorrt in der Sonne, das Hähnchen im Grill.“'' |- | | '''[[Brevitas]]''' | Auffällig knappe Ausdrucksweise, oft durch [[Ellipse (Sprache)|Ellipsen]] unterstützt | ''„Wenn du mal gesellig im Wirtshaus gezecht hast, dich mit Freunden vergnügt hast und dich des Lebens gefreut hast, kommst du nichts ahnend nach Hause und staunst nicht schlecht: Auto weg, Frau weg, Geld weg.“'' |- | '''[[Buchstabendreher]]''' (Wortsilbentausch) | Meist Vertauschung der anlautenden Konsonanten, seltener der Vokale, zweier zusammengehöriger Wörter, so dass sich ein neuer, meist alberner Sinn oder Klang ergibt; Sonderfall: [[Schüttelreim]] (siehe auch: [[Paronomasie]], [[Polysemie]], [[Wortspiel]], [[Neologismus]]) | ''„Hauptpreis sind ein Paar kopflose Schnurhörer“'' („schnurlose Kopfhörer“); ''„Wechstaben verbuchseln“'' („Buchstaben verwechseln“); ''„Liebes Lästerschwein, bitte ...“'' („Schwesterlein“); „Lechts und rinks kann man nicht velwechsern“ ([[Ernst Jandl]]) |} == C == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Chiasmus]]''' | Symmetrische Überkreuzstellung von [[syntaktisch]] oder [[semantisch]] entsprechenden Satzteilen (siehe auch: [[Epanodos]], [[Parallelismus (Rhetorik)|Parallelismus]]) | ''„Ich bin groß, klein bist du.“''; ''„Wie viel schneller man die Welt mit einem Könige versorge, als Könige mit einer Welt.“''; ''„Er liebt Rosen, Nelken mag er nicht.“'' |- | '''[[Chiffre (Literatur)|Chiffre]]''' | Zeichen, dessen Inhalt rätselhaft und letztlich nicht (oder nur vom Autor (und Eingeweihten) im Gesamtzusammenhang) zu erfassen ist | ''„Stadt“'' als Chiffre der Hoffnungslosigkeit in der [[Expressionismus (Literatur)|expressionistischen]] Lyrik |- | '''[[Chrie]]''' | Spruchweisheit, Merkspruch, ethische Maxime | ''„Den Freunden Gutes tun, den Feinden Böses tun.“'' |- | '''[[Contaminatio]]''' | Die Zusammenziehung zweier Wörter mit ähnlicher Bedeutung | ''„Schlache“'' für ''„Schlange“'' und ''„Drache“'' |- | '''[[Concessio]]''' | Die Richtigkeit eines gegnerischen Argumentes wird eingestanden, allerdings durch stärkere eigene Argumente gleich wieder unwirksam gemacht. |''„Er mag sich unmoralisch verhalten haben, aber bestrafen kann man ihn dafür nicht.“'' |- | '''[[Constructio ad sensum]]''' | Eine [[syntaktisch]]e Konstruktion, die formal gegen die Regeln der [[Kongruenz (Grammatik)|grammatischen Kongruenz]] verstößt, aber sinngemäß korrekt ist. | ''„Er liebte das Mädchen und wollte sie heiraten.“'' (formal richtig wäre: „… und wollte es heiraten.“); ''„Der ganze Haufen stürzte auf ihn zu. Sie warfen ihn in heißen Teer und federten ihn dann.“'' (formal richtig wäre: „Er warf ihn …“); ''„Mehr als ein Drittel der Beschäftigten legten die Arbeit nieder.“'' (formal richtig wäre: „… legte …“); ''„Das König der Biere“'' (formal richtig wäre: „Der König …“) |- | '''[[Contradictio in adiecto]]''' | Spezialfall des [[Oxymoron]], widersprüchliche Kombination von Adjektiv und Substantiv | ''„fünfeckiger Kreis“''; ''„geschliffener Rohdiamant“''; ''„gerade Kurve“''; ''„alter Jüngling“'' ''„ehemalige Zukunft“'' ([[Ödön von Horváth]]: ''[[Jugend ohne Gott]]'') |- | '''[[Conversio]]''' | Wiederkehr eines Wortes am Satzende (siehe auch: [[Epiphora (Rhetorik)|Epiphora]]) | ''„Er hatte am Ende nur noch Schmerzen, nur Schmerzen.“'' |- | '''[[Correctio]]''' | Verbesserung, Korrektur | ''„Es war ein Erfolg – was sage ich – ein Triumph.“'' |} == D == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Diaphora]]''' | Wiederholung desselben Wortes in verschiedenen Bedeutungen | ''„Auf acht Leute acht geben“'' |- | '''[[Trikolon|Dikolon]]''' | Zweigliedriger Ausdruck, bei dem die Teile [[semantisch]] gleich aufgebaut sind und zueinander [[Parallelismus (Rhetorik)|parallel]] und/oder [[Chiasmus|chiastisch]] stehen (siehe auch: [[Tetrakolon]], [[Trikolon]]) | ''„Biblische Bilder sind häufig verwendete Allegorien, biblische Gleichnisse oft herangezogene Metaphern.“'' |- | '''[[Diminutiv]]''' | Verniedlichungsform | ''„Häuschen“''; ''„Zicklein“'' |- | '''[[Trikolon|Dreier-Figur]]''' | Siehe: [[Trikolon]] | &nbsp; |- | '''[[Dysphemismus]]''' | Abwertende, wertverschlechternde Umschreibung oder Wortschöpfung/Schimpfwort; Gegenteil von [[Euphemismus]] (siehe auch: [[Pejoration]]) | ''„Saftschubse“'' für: „Stewardess“; ''„Penner“'' für: „Obdachlose(r)“ |} == E == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | | '''[[Elision]]''' | Weglassen eines oder mehrerer meist unbetonter Laute (in der [[Orthographie]] gelegentlich durch einen [[Apostroph]] gekennzeichnet) | ''„bracht“'' statt: „brachte“; ''„fröhl'chen“'' statt: „fröhlichen“ |- | | '''[[Ellipse (Sprache)|Ellipse]]''' | Auslassung von Satzteilen (siehe auch: [[Brachylogie]], [[Zeugma (Sprache)|Zeugma]]) | ''„Na und?“''; ''„Wer? Ich!“''; aber auch: ''„Ich kann dies, du nicht“'' |- | '''[[Emphase]]''' | Nachdrückliche Hervorhebung eines Wortes zur Gefühlsverstärkung | ''„Menschen! Menschen! Falsche heuchlerische Krokodilsbrut!“'' ([[Friedrich Schiller]]) |- | '''[[Enallage]]''' | Siehe: [[Hypallage]] | &nbsp; |- | '''[[Enjambement]]''' | Fortführung eines Satzes über das Vers-/Zeilenende hinaus | ''„Die Wellen schaukeln / Den lustigen Kahn“'' ([[Heinrich Heine]]) |- | '''[[Enumeratio]]n''' | Aufzählung | ''„die grünen, die blauen, die roten und die gelben Bälle“'' |- | '''[[Epanalepse]]''' | Wiederholung eines Wortes / einer Wortgruppe am Satzanfang oder im Satz (siehe auch: [[Repetitio]]) | ''„Mein Vater, mein Vater, jetzt fasst er mich an.“'' ([[Johann Wolfgang von Goethe]]: ''[[Erlkönig (Ballade)|Erlkönig]]'') |- | '''[[Epanodos]]''' | Sonderfall des [[Chiasmus]], Wiederholung von Worten in umgekehrter Reihenfolge | ''„Wer nicht kann, was er will, der wolle, was er kann.“'' ([[Leonardo da Vinci]]) |- | '''[[Epipher]]''' | Sonderfall der [[Repetitio]], (lateinisch: ''conversio'') Wiederholung am Satz-/[[Vers]]<nowiki/>ende (Schema: ''… x / … x'') (siehe auch: [[Anadiplose]], [[Anapher]], [[Geminatio]], [[Kyklos]], [[Symploke]]) | ''„Ich fordere Moral, du lebst Moral.“'' |- | '''[[Epiphrase]]''' | [[Syntaktisch]] scheinbar beendeter Satz erhält Nachtrag zur Abrundung | ''„Mein Retter seid Ihr und mein Engel.“'' |- | '''[[Epitheton]]''' (ornans) | Stehendes Beiwort, das eigentlich nicht notwendig ist | ''„der <u>listenreiche</u> [[Odysseus]], die <u>rosenfingrige</u> [[Eos (Mythologie)|Eos]]“'' |- | '''[[Eponomasie]]''' | Ersetzung eines Begriffs durch kennzeichnenden Eigennamen einer bekannten Exempelfigur | ''„ein ungläubiger Thomas“'' statt: „Skeptiker“ |- | '''[[Etymologische Figur]]''' (''figura etymologica'') | Verb verbunden mit einem stammverwandten Substantiv | ''„einen Kampf kämpfen“''; ''„eine Schlacht schlagen“''; ''„in Ruhe ruhen“''; ''„ein Spiel spielen“'' |- | '''[[Euphemismus]]''' | Beschönigende Umschreibung; Gegenteil: [[Dysphemismus]] | ''„kräftig“'' statt: „dick“; ''„das Zeitliche segnen“'' statt: „sterben“; ''„Seniorenresidenz“'' statt: „Altenheim“ |- | '''[[Evidenz (Rhetorik)|Evidenz]]''' | Detaillierend-konkretisierende Häufung, bei der der eigentliche Hauptgedanke in mehrere koordinierte Teilgedanken getrennt wird, die als Aufzählung erscheinen, den Hauptgedanken aufgreifen und im Detail ausführen | ''„Seine Augen suchten einen Menschen – und ein Grauen erweckendes Scheusal kroch aus einem Winkel ihm entgegen, der mehr dem Lager eines wilden Thieres als dem Wohnort eines menschlichen Geschöpfes glich. Ein blasses todtenähnliches Gerippe, alle Farben des Lebens aus einem Angesicht verschwunden, in welches Gram und Verzweiflung tiefe Furchen gerissen hatten, Bart und Nägel durch eine so lange Vernachlässigung bis zum Scheußlichen gewachsen, vom langen Gebrauche die Kleidung halb vermodert und aus gänzlichem Mangel der Reinigung die Luft um ihn verpestet – so fand er diesen Liebling des Glücks, […]“'' ([[Friedrich Schiller]]) |- | '''[[Exclamatio]]''' | Ausruf | ''„Stirb!“''; ''„Hilfe!“''; ''„Mörder!“''; ''„Au!“'' |- | '''[[Exemplum]]''' | Beispiel; verdeutlicht einen konkreten Sachverhalt | ''„Hierzu werfen wir einen Blick in unsere Geschichte. Die Zeit der Weimarer Republik zeigt beispielhaft auf, warum das Recht des Parlaments auf Selbstauflösung in unserem Grundgesetz nicht vorhanden ist.“'' |} == F == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Floskel]]''' | Phrasendrescherei; oberflächliche, banale Bemerkung | ''„Ein Mann muss tun, was ein Mann tun muss.“'' |} == G == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Geminatio]]''' | Sonderfall der [[Repetitio]]; Verdoppelung (siehe auch: [[Anadiplose]], [[Anapher]], [[Epipher]], [[Kyklos]], [[Symploke]]) | ''„Diese, diese Unverschämtheit!“'' |- | '''[[Gleichnis]]''' | Konkrete bildhafte Veranschaulichung eines Sachverhalts mittels eines durch sprachliche Kontinuation ausgebauten [[Vergleich (Literatur)|Vergleichs]] (siehe auch: [[Allegorie]]) | ''„Die Nachricht schlug ein wie ein Blitz aus heiterem Himmel.“'' |} == H == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Hendiadyoin]]''' | [[Syntaktisch]]e Beiordnung eines [[semantisch]] untergeordneten Begriffs (oft falsch verstanden: Zwei Wörter mit gleicher oder sehr ähnlicher Bedeutung werden zur Verstärkung der Gesamtaussage verwendet (siehe: [[Tautologie (Sprache)|Tautologie]])) |''„Um ihn muhen hundert Herden und sizilische Kühe“'' ([[Horaz]]) |- | '''[[Homoioteleuton]]''' | Endungsgleichheit, (End-)Reim nahe aufeinanderfolgender Wörter | ''„und verschlang die kleine fade Made ohne Gnade. Schade!&nbsp;…“'' ([[Heinz Erhardt]]: ''Die Made'') |- | '''[[Homoioarkton]]''' | Anfangsgleichheit, Gegenstück zum Homoioteleuton (siehe auch: [[Alliteration]]) | ''„Billionen böse Buben beobachten Boris Becker beim Bechern.!&nbsp;…“'';<br />''„Milch macht müde Männer munter.“'' |- | '''[[Hypallage]]''' (auch: ''Enallage'') | Zuordnung eines Attributs zum falschen Substantiv | ''„das blaue Lächeln seiner Augen“''; ''„Dunkel gingen sie durch die schweigende Nacht.“'' ([[Vergil]]) |- | '''[[Hyperbaton]]''' (auch: ''Sperrung'', ''Sperrstellung'') | Einschub durch Umstellung; zwei Wörter, die syntaktisch (und inhaltlich) zusammengehören, stehen weit voneinander | ''„‚Hier‘, rief er, ‚bin ich‘“''; ''„Der Kragenbär&nbsp;/ der <u>holt sich</u>&nbsp;/ munter&nbsp;/ einen nach&nbsp;/ dem andern&nbsp;/ <u>runter</u>.“'' ([[Robert Gernhardt]]) |- | '''[[Hyperbel (Sprache)|Hyperbel]]''' | Starke Übertreibung (siehe auch: [[Untertreibung]]) | ''„todmüde“''; ''„fuchsteufelswild“''; ''„Schneckentempo“'' |- | '''[[Hypotaxe]]''' | Unterordnung von Nebensätzen unter einen höherrangigen Teilsatz in verschachtelter Form (Gegenteil zur [[Parataxe]], siehe auch: [[Satzgefüge]]) | ''„Als sie nach einer langen Konferenz, als es draußen bereits dunkel wurde, nach Hause fuhr, warf sie einen Blick in die glitzernde Metropole.“'' |- | '''[[Hysteron-Proteron (rhetorische Figur)|Hysteron-Proteron]]''' | Nachholtechnik; das logisch/zeitlich Nachfolgende wird an den Anfang gestellt (Sonderfall: [[Anachronismus]]) | ''„Dein Mann ist tot und lässt dich grüßen!“'' ([[Goethe|J. W. v. Goethe]]: ''[[Faust I]]'': [[Mephistopheles|Mephisto]] an Marthe) |} == I == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Imperativ (Modus)|Imperativ]]''' | Aufforderung | ''„Geh!“''; ''„Stehen bleiben!“''; ''„Wer Ohren hat zu hören, der höre!“'' |- | '''[[Inkonzinnität]]''' | Bewusste Vermeidung von Parallelem in [[Syntax]], Wortwahl, [[Tempora]] (siehe auch: [[Konzinnität]]) | ''„Germanien ist von den Sarmaten und Dakern durch gegenseitige Furcht und Berge getrennt.“'' ([[Tacitus]]: ''[[Germania (Tacitus)|Germania I]]'') |- | '''[[Interjektion]]''' | Ausruf, Gefühlsausdruck | ''„Ah!“''; ''„Igitt!“'' |- | '''[[Inversion (Sprache)|Inversion]]''' | Umkehrung der normalen Wortstellung im Satz zur Hervorhebung des Umgestellten (siehe auch: [[Anastrophe (Rhetorik)|Anastrophe]]) | ''„Ein Dieb ist er!“'' statt: „Er ist ein Dieb!“ |- | '''[[Invokation]]''' | Feierliche Anrufung, oft einer höheren Macht | ''„Gott sei mein Zeuge!“'' |- | '''[[Ironie]]''' | Divergenz, nicht notwendigerweise Gegensatz, von wörtlicher und wirklicher Bedeutung (siehe auch: [[Sarkasmus]]) | ''„Schöne Bescherung!“''; ''„Das hast du ja mal wieder toll gemacht!“'' |} == K == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Kakophonie]]''' | Als unangenehm oder unästhetisch empfundener Laut, Klang oder Wortfolge; Lautfolge, die schlecht auszusprechen ist | ''„Rex Xerxes“'' |- | '''[[Katachrese]] (1)''' | [[Metapher]]/[[Metonymie]] als Ersatz für fehlendes Wort (vor allem bei technischen Neuerungen) | ''„der <u>Arm</u> eines Flusses“''; ''„der <u>Arm</u> eines Gerätes“'' |- | '''Katachrese (2)''' | Bildbruch, Bildmissbrauch, falsche Verbindung zweier Bilder | ''„Das schlägt dem Fass die Krone ins Gesicht.“''; ''„Der Zahn der Zeit, der schon so viele Tränen getrocknet hat, wird auch Gras über diese Wunde wachsen lassen.“'' |- | '''[[Klimax (Sprache)|Klimax]]''' | Stufenweise Steigerung von Wörtern; Gegenteil zur [[Antiklimax]] | ''„Sie arbeiten zehn, zwölf, ja vierzehn Stunden täglich am Erfolg.“'' |- |'''[[Concetto|Konzetto]]''' | Geistreich-witziges [[Gedankenspiel|Gedanken]]- oder [[Wortspiel]] | ''„in seiner Amtszeit hätte man rechtzeitig auf den Bush klopfen sollen“'' |- | '''[[Konzinnität]]''' | Klanglich-rhythmische Ebenmäßigkeit, [[syntaktisch]]e Eleganz (siehe auch: [[Inkonzinnität]]) | &nbsp; |- | '''[[Kyklos]]''' | Sonderfall der [[Repetitio]], Wiederholung des Satz-/Versanfangs am Ende (Schema: ''x … x'') (siehe auch: [[Anadiplose]], [[Anapher]], [[Epipher]], [[Geminatio]], [[Symploke]]) | ''„Entbehren sollst du, sollst entbehren.“'' ([[Johann Wolfgang von Goethe]]) |} == L == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiel |- | '''[[Onomatopoesie|Lautmalerei]]''' | Nachahmung eines Naturlautes oder eines sonstigen außersprachlichen akustischen Phänomens durch die klanglich als ähnlich empfundene Lautgestalt eines sprachlichen Ausdrucks (siehe auch: [[Onomatopoesie]]) | ''„schnattattattattern“'' |- | '''[[Litotes]]''' | Hervorhebung eines Begriffs durch Untertreibung, Abschwächung oder [[doppelte Verneinung]] | ''„meine Wenigkeit“''; ''„nicht wenig verdienen“'' (Sonderfall [[Negation]]); ''„ich hasse dich nicht“'' statt: „ich liebe dich“ |- | '''Littera secuta''' | Zwei oder mehrere unmittelbar aufeinander folgende Wörter besitzen Anfangslaute, die in alphabetischer Reihenfolge vorkommen (siehe auch: [[Abecedarius]]) | ''„Zantens Yacht Xanthippe war völlig unberechenbar, trieb stets Regelwidrig quer.“'' ([[James Krüss]]); ''„Durch Ewigkeiten fort.“'' ([[Georg Heym]]) |} == M == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Metapher]]''' | Ersatz durch bildlichen Ausdruck, wobei zwischen beiden eine (oder auch mehrere) besondere Eigenschaft(en) verbindend wirkt (siehe auch: [[Metonymie]], [[Synekdoche]], [[Vergleich (Literatur)|Vergleich]]) | ''„Deckmantel einer Feigheit“''; ''„Am Fuße des Berges“''; ''„ein Meer von Menschen“'' |- | '''[[Metonymie]]''' | Ersatz durch bildlichen Ausdruck, wobei eine reale Beziehung zwischen Beiden besteht: Ursache/Wirkung, Rohstoff/Produkt, Gefäß/Inhalt,... (siehe auch: [[Metapher]], [[Synekdoche]]) | ''„Schiller lesen“''; ''„das Eisen“'' für: „das Schwert“; ''„ein Glas trinken“''; ''„einen Teller aufessen“'' |- | '''[[Montage (Literatur)|Montage]]''' | Ineinanderverschieben verschiedener Sprach-/Inhaltsebenen | Aus „Euro“ und „teuer“ wird ''„[[Teuro]]“''; ''„kaufgepasst“'' |} == N == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Neologismus]]''' | sprachliche Neubildung, Wortneuschöpfungen | ''[[Selberlebensbeschreibung]]'' ([[Jean Paul]]); ''Knabenmorgenblütenträume'' ([[Goethe]]); ''[[knorke]]'' |} == O == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Onomatopoesie]]''' (auch: ''Onomatopöie'', ''Onomatopoiie'') | Lautmalerei; der Klang des Wortes unterstreicht die Bedeutung | ''„Quak!“''; ''„Kuckuck!“''; ''„Muh!“''; ''„Bumm!“''; ''„Peng!“''; ''„Zisch!“''; ''„Es knistert und knastert“'' |- | '''[[Oxymoron]]''' | Innerer Widerspruch (Sonderfall: [[Contradictio in adjecto]]) | ''„heißkalt“''; ''„bittersüß“''; ''„Flüssiggas“''; ''„hübschhässlich“''; ''„Hassliebe“''; ''„großer Zwerg“''; ''„beredtes Schweigen“'' ([[Cicero]]) |} == P == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Palindrom]]''' | Wörter oder Sätze, welche von vorn und hinten gelesen gleich bleiben oder jeweils einen anderen Sinn ergeben | ''„Noch war und tat ich nichts; aber wenn noch das <u>Leben</u> ein leerer <u>Nebel</u> ist, kannst du ihn übersteigen, oder festgreifen und zerschlagen?“'' ([[Jean Paul]]: ''[[Titan (Jean Paul)|Titan]]'') |- | '''[[Paradoxon#Sprachlich-rhetorische Paradoxa|Paradoxon]]''' | Scheinbare Widersprüchlichkeit oder Formulierung einer Idee, die der üblichen Meinung widerspricht | ''„Der Entwurf ist teuflisch, aber wahrlich – göttlich“'' (zugleich [[Antithese]]); ''„Die Verbrechen bringen unermessliche Wohltaten hervor und die größten Tugenden entwickeln unheilvolle Konsequenzen.“'' ([[Paul Valéry]]), ''„Ich weiß, dass ich nichts weiß“'' ([[Sokrates]]) |- | '''[[Paralipse]]''' (auch: ''Praeteritio/Praeterition'') | Vorgebliche Auslassung; der Autor täuscht vor, etwas auszulassen, auf das er in Wirklichkeit fest besteht | ''„Ganz zu schweigen davon, dass Caesar auch in Gallien&nbsp;…“''; ''„Ich werde Ihnen nicht die Schande bereiten, Sie daran zu erinnern, dass&nbsp;…“'' |- | '''[[Parallelismus (Rhetorik)|Parallelismus]]''' | Paralleler Aufbau von (Teil-)Sätzen | ''„Vogel fliegt, Fisch schwimmt, Mensch läuft.“'' ([[Emil Zátopek]]) |- | '''[[Paraphrase (Sprache)|Paraphrase]]''' | Erklärende Umschreibung (als Zusatz) (siehe auch: [[Periphrase]]) | ''„Fische, <u>die stummen Meeresbewohner</u>“'' |- | '''[[Parataxe]]''' | Nebeneinanderstellen gleichwertiger Hauptsätze bzw. beigeordneter Nebensätze (Gegenteil zur [[Hypotaxe]], siehe auch: [[Satzreihe]]) | ''„Hier stehe ich, ich kann nicht anders. Gott helfe mir! Amen!“'' ([[Luther]]) |- | '''[[Parenthese]]''' | Einschub von Wörtern oder Satzteilen im Satz | ''„Das ist – wie gesagt – unwichtig.“'' |- | '''[[Paronomasie]]''' (auch: ''Annominatio'') | Sonderfall eines [[Wortspiel]]s, Verbindung zweier von der Bedeutung her unterschiedlicher, aber ähnlich klingender Begriffe (siehe auch [[Buchstabendreher]], [[Polysemie]], [[Schüttelreim]]) | ''„Wer rastet, der rostet.“''; ''„Lieber arm dran als Arm ab.“'' |- | '''[[Pars pro toto]]''' | Sonderfall der [[Synekdoche]]: Etwas wird durch einen Teil benannt (siehe auch: [[totum pro parte]]). | ''„pro Kopf“'' für: „pro Person“; ''„Ein Dach über dem Kopf haben“'' |- | '''[[Pejoration]]''' | Eine Bedeutungsverschlechterung, die ein Wort oder einen Begriff bewusst negativer erscheinen lässt. Sie ist das Gegenteil des [[Euphemismus]] (siehe auch: [[Dysphemismus]]). | ''„Ungeziefer“'' statt: „Insekten“; ''„sich zusammenrotten“'' statt: „sich versammeln“ |- | '''[[Periphrase]]''' | Umschreibung eines Begriffs durch Einzelmerkmale (siehe auch: [[Paraphrase (Sprache)|Paraphrase]]) | ''„der Vater des Wirtschaftswunders“'', umschreibt [[Ludwig Erhard]] |- | '''[[Personifikation]]''' | Zuweisung menschlicher Eigenschaften an Tiere, Gegenstände oder ähnliches (siehe auch: [[Anthropomorphismus]]) | ''„Die Sonne lacht“''; ''„Stimme des Gewissens“''; ''„Mutter Erde“''; ''„Vater Staat“''; ''„Der Wind spielt“ |- | '''[[Pleonasmus]]''' | Häufung sinngleicher, der Wortart nach verschiedener Wörter, wobei beide Worte schon die Bedeutung des Gesamtbegriffs beinhalten (siehe auch: [[Accumulatio]], [[Hendiadyoin]], [[Tautologie (Sprache)|Tautologie]]) | ''„weißer Schimmel“''; ''„runde Kugel“''; ''„alter Greis“'' |- |'''[[Pluralis Auctoris]]''' (Autorenplural) | Verwendung des Plurals in wissenschaftlichen Werken zu Betonung der Objektivität und Generalität einer wissenschaftlichen Arbeit und des Charakters wissenschaftlicher Arbeiten als Gemeinschaftswerk | ''„Wir kommen damit zum Kern des Problems...“'' |- | '''[[Pluralis Majestatis]]''' | Verwendung des Plurals in bezug auf die eigene Person als Ausdruck von Macht, ursprünglich bei Adel und Würdenträgern | ''„Wir, Benedictus PP. XVI im 1. Jahr Unseres Pontifikates&nbsp;…“'' |- | '''[[Pluralis Modestiae]]''' | Verwendung des Plurals anstelle des Singular zum Ausdruck von Bescheidenheit | ''„Wir haben es geschafft.“'' statt: „Ich habe es geschafft.“ |- |'''[[Plural#Besondere Funktionen des Plurals|Pluralis Sanitatis]]''' | Verwendung des Plurals zur oft fürsorglichen Verharmlosung von Bevormundung oder Anweisung, meist in der ärztlichen oder pflegerischen Praxis. | ''„So, jetzt gehen wir ins Bett!“'' oder ''„Dann ziehen wir uns mal die Jacke an!“'' |- | '''[[Pointe]]''' | Unerwartete Zuspitzung | ''„Wenn einer, der mit Mühe kaum&nbsp;/ Gekrochen ist auf einen Baum,&nbsp;/ Schon meint, dass er ein Vogel wär,&nbsp;/ <u>So irrt sich der.“</u>'' ([[Wilhelm Busch]], ''[http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Busch_Werke_v4_p_384.jpg Der fliegende Frosch]'') |- | '''[[Polyptoton]]''' | Wiederholung eines Wortes in verschiedenen Beugungsformen | ''„[[Homo homini lupus|Lupus est homo homini.]]“'' (''„Der Mensch ist des Menschen Wolf.“'') ([[Titus Maccius Plautus|Plautus]]: ''[[Asinaria (Plautus)|Asinaria]]'') |- | '''[[Polysyndeton]]''' | Mehrfach verbundene Reihung (häufige Bindewörter sind „und“ oder „oder“) (siehe auch: [[Asyndeton]]) | ''„Einigkeit <u>und</u> Recht <u>und</u> Freiheit“'' ([[Hoffmann von Fallersleben]]: ''[[Lied der Deutschen]]'') |- | '''[[Prokatalepsis]]''' | Vorwegnahme (z.&nbsp;B. eines möglichen Einwandes) | ''„Natürlich könnte man hier einwenden, dass&nbsp;…“'' |} == R == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiel |- | '''[[Redundanz (Kommunikationstheorie)|Redundanz]]''' | Informationsdopplung | ''„‚Bei der Schlußfeier der XVI. Olympischen Sommerspiele schickten die australischen Salutschützen dem Muskelkrieg von Melbourne ein martialisches Echo nach. Die Artilleristen Ihrer Majestät der englischen Königin lieferten den aktuellen kriegerischen Kulissendonner zu jenem olympischen Schauspiel, das inmitten einer sehr unfriedlichen Welt zum schlechten Stück geworden war. Sie kanonierten die wie einen Zylinderhut aufgestülpte Schlußfeier-Stimmung und alle preisenden Reden von der Gleichheit und Brüderlichkeit unter Sportsleuten zu eitel Schall und Rauch.‘'' […] ''Versucht man, das Zitat aus seiner Zeitschrift ins Deutsche zurück zu übersetzen, so ergeben sich zwei Sätze, die in der Tat knapp sind: ‚Bei der Schlußfeier der Olympiade wurde Salut geschossen. Das hat uns mißfallen.‘“'' ([[Hans Magnus Enzensberger]]); ''„Bei Dämmerung gehen die Straßenlaternen abends an und beleuchten die Straßen, wenn es dunkel wird.“'' |- | '''[[Repetitio]]''' | Wiederholung eines Wortes/Satzteils (siehe auch: [[Anadiplose]], [[Anapher]], [[Epanalepse]], [[Epipher]], [[Geminatio]], [[Kyklos]], [[Polyptoton]] [[Symploke]]) | ''„er gab und gab und gab et dar“'' ([[Konrad von Würzburg]]); ''„bald da, bald dort“'' |- | '''[[Rhetorische Frage]]''' | Frage, auf die keine Antwort erwartet wird (Scheinfrage) | ''„Was ist schon normal?“''; ''„Seh’ ich so blöd aus?“''; ''„Wo sind wir denn hier?“'' |} == S == {| class="wikitable" width="100%" |- ! bgcolor="#dddddd" width="130"| Bezeichnung ! bgcolor="#dddddd" width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung ! bgcolor="#dddddd"| Beispiele |- | '''[[Sarkasmus]]''' | Beißender, bitterer und/oder verletzender Spott und Hohn; oft unter Verwendung von [[Ironie]] (z.&nbsp;B. als Reaktion auf einen Angriff) (siehe auch: [[Zynismus]]) | ''Der Geschlagene ruft, anstelle zu weinen: „Natürlich! Gleich noch mal!“'' |- | '''[[Scheindefinition]]''' | Gibt vor, etwas allgemeingültig zu erklären, ist aber nur die Meinung des Sprechers | ''„Purex ist Geschmack.“''; ''„Nacht ist, wenn kein Sonnenlicht mehr auf die Erde trifft.“'' |- | '''[[Sentenz]]''' | Knapper, treffend formulierter Sinnspruch, der einen Satz zusammenfasst und zu allgemeiner Bedeutung erhebt | ''„Die Axt im Haus erspart den Zimmermann“'' ([[Friedrich Schiller]]: ''[[Wilhelm Tell (Schiller)|Wilhelm Tell]]'') |- |'''[[Sermocinatio]]''' | Einführung einer lebenden, verstorbenen oder erdichteten Person mittels einer Rede in der [[1. Person]]. Die Sprache wird dieser Person angepasst. |''Und so schliesse ich dann dieses Kapitel mit einem Ausspruch, der die Tante Jolesch nicht nur in sprachlicher Hinsicht auf dem Höhepunkt ihrer Formulierungskraft zeigt: „Was ein Mann schöner ist als ein Aff’, ist ein Luxus.“'' ([[Friedrich Torberg]]: ''[[Die Tante Jolesch]]'') |- | '''[[Solözismus]]''' | Grober sprachlicher Fehler, besonders in der [[syntaktisch]]en Verbindung der Wörter | ''„Wo du wolle?“''; ''„Hier werden Sie geholfen.“''; ''„[[Angst essen Seele auf]]“'' ([[Rainer Werner Fassbinder|R. W. Fassbinder]]) |- | '''[[Stabreim]]''' | Aufeinanderfolgende oder nah beieinander stehende Wörter ähneln sich in der ersten Silbe, zum Beispiel durch den gleichen Anfangskonsonanten und den gleichen darauf folgenden [[Vokal]] (siehe auch: [[Alliteration]]) | ''„Fischers Fritze fischt frische Fische“''; ''„Wiegende Welle auf wogender See“''<ref>http://norberto68.wordpress.com/2011/02/14/alliteration-stabreim-beispiele/</ref> |- | '''[[Stichomythie]]''' | Schnelle Wechselrede, Schlagabtausch mit wenigen Worten, Rednerwechsel von Vers zu Vers | Dialog zwischen Iphigenie und Arkas in ''[[Iphigenie auf Tauris]]'' (J. W. v. Goethe): ''„Iphigenie: ‚Wie's der Vertriebnen, der Verwaisten ziemt.‘/ ,Arkas: Scheinst du dir hier vertrieben und verwaist?‘/ Iphigenie: ,Kann uns zum Vaterland die Fremde werden?‘/ Arkas: ,Und dir ist fremd das Vaterland geworden.‘“''<ref>{{Literatur|Autor=Johann Wolfgang Goethe|Titel=Iphigenie auf Tauris|Ort=Stuttgart|Verlag=Reclam|Jahr=1993|Seiten=7|ISBN=3-15-000083-1}}</ref> |- | '''[[Sustentio]]''' | Auslösen von Überraschung beim Zuhörer durch Nichtbefriedigen der Erwartungshaltung, wie der Text weitergehen müsste, oder widersprüchlich scheinende Begründung für eine vorher abgegebene Erklärung | ''„Selbsterkenntnis ist der beste Weg zur Verstellung.“''; ''„Milch ist ein starkes Getränk.“'' |- | '''[[Syllepse]]''' | Ein nur einmal gesetztes Satzteil gehört mehreren [[Kolon (Rhetorik)|Kola]] (Satzgliedern) oder Wörtern in verschiedenen grammatischen Formen oder verschiedenem Sinn an und muss in den ausgelassenen Fällen sinngemäß in modifizierter Form ergänzt werden. | ''„[[Was heißt und zu welchem Ende studiert man Universalgeschichte?]]“'' ([[Schiller]]); ''„Die Augen des Herrn sehen auf die Gerechten und seine Ohren auf ihr Schreien.“'' ([[Psalm]] 34 ([[Luther]])) |- | '''[[Symbol]]''' | Bild, das auf eine abstrakte Vorstellung verweist (siehe auch: [[Allegorie]]) | ''„weiße Taube“'' für: „Frieden“; ''„rotes Herz“'' für: „Liebe“ |- | '''[[Symploke]]''' | Verbindung von [[Anapher]] und [[Epipher]] (siehe auch: [[Anadiplose]], [[Geminatio]], [[Kyklos]]) | ''„Was ist der Toren höchstes Gut? Geld! Was verlockt selbst die Weisen? Geld!“'' |- | '''[[Synästhesie#Rhetorische Figur|Synästhesie]]''' | Verbindung verschiedener Sinneseindrücke | ''„Das nasse Gras klang wie ein Liebeslied“''; ''„[[Süßer die Glocken nie klingen]]“'' |- | '''[[Synekdoche]]''' | Ersetzung durch numerisch verwandten Begriff: Teil/Ganzes, Gattung/Art, Singular/Plural, Früheres/Späteres (siehe auch: [[Antonomasie]], [[Metapher]], [[Metonymie]], [[Pars pro toto]], [[Periphrase]], [[Totum pro parte]]) | ''„Dach über'm Kopf haben“'' für: „in einem/-r Haus/Wohnung leben“; ''„Kopf“'' für: „Person/Mensch“; ''„der Deutsche“'' für: „viele Deutsche“ |- | '''[[Synonymie|Synonym]]''' | Ersetzung eines Wortes durch ein anderes ihm gleichbedeutendes (siehe auch: [[Variatio]]) | Hund, Köter, Kläffer |} == T == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Tautologie (Sprache)|Tautologie]]''' | Häufung, Wiederholung des Gesagten mit sinnverwandtem Wort, wobei bereits beide Wörter die Bedeutung des Gesamtausdrucks beinhalten; beide Wörter gehören hierbei derselben Wortart an (siehe auch: [[Accumulatio]], [[Hendiadyoin]], [[Pleonasmus]]) | ''„hegen und pflegen“''; ''„immer und ewig“''; ''„Angst und Bange“''; ''„Not und Elend“''; ''„List und Tücke“'' |- | '''[[Tetrakolon]]''' | Viergliedriger Ausdruck, bei dem alle vier Teile semantisch gleich aufgebaut sind und zueinander [[Parallelismus (Rhetorik)|parallel]] und/oder [[Chiasmus|chiastisch]] stehen (siehe auch: [[Trikolon|Dikolon]], [[Trikolon]]) | ''„dare, donare, dicare, consecrare“'' ([[Cicero]]) („ihm geben, ihm schenken, ihm widmen, ihm darbringen“) |- | '''[[Totemismus]]''' | Gegenteil des [[Anthropomorphismus]]. Ein Mensch oder eine menschliche Eigenschaft erhält tierische Eigenschaften. Im Bereich prähistorischer Religionen zum Beispiel Mischwesen aus Mensch und versch. Tieren, wie zum Beispiel der sog. Zauberer aus der Höhle von Trois-Frères.<ref>{{Literatur | Autor= Schrott, Raoul & Jacobs, Arthur | Titel= Gehirn und Gedicht. Wie wir unsere Wirklichkeiten konstruieren | Jahr= 2011 | Seiten= 45}}</ref> | ''„Da sprach der König: ‚Wenn ich nur wüsste, was dich vergnügt machen könnte. Willst du meine schöne Tochter zur Frau?‘ ‚Ach ja‘, sagte das Eselein, war auf einmal ganz lustig und guter Dinge, denn das war es gerade, was es sich gewünscht hatte. Also ward eine grosse und prächtige Hochzeit gehalten.“''<ref>http://www.maerchenlexikon.de/texte/archiv/derungs01.htm</ref> |- | '''[[Totum pro parte]]''' | Sonderfall der [[Synekdoche]]. Etwas wird durch den Oberbegriff seines Bedeutungsfeldes ausgedrückt (siehe auch: [[Metonymie]], [[Pars pro toto]]) | ''„Wald“'' für: „Baum“; ''„Deutschland gewinnt“'' statt: „der deutsche Sportler gewinnt“ |- | '''[[Trikolon]]''' (auch: ''Dreierfigur'') | Dreigliedriger Ausdruck, bei dem alle drei Teile [[semantisch]] gleich aufgebaut sind und zueinander [[Parallelismus (Rhetorik)|parallel]] und/oder [[Chiasmus|chiastisch]] stehen (siehe auch: [[Trikolon|Dikolon]], [[Tetrakolon]]) | ''„[[Veni, vidi, vici]]“''; ''„quadratisch, praktisch, gut“'' |- | '''[[Tricolon in membris crescentibus]]''' | Dreigliedriger Ausdruck in Verbindung mit einer inhaltlichen oder syntaktischen Steigerung ([[Klimax (Sprache)|Klimax]]) | ''„Ich achte, liebe, vergöttere dich“'' |} == U == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Untertreibung]]''' | Es wird nicht genau das angesprochen, was eigentlich gemeint ist, indem man es herunterspielt, seinen Wert mindert, untertreibt (siehe auch: [[Litotes]]) | ''„ganz gut“'' statt: „hervorragend“ |} == V == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Variatio]]''' | Gleichklangs-/Wiederholungsvermeidung (siehe auch: [[Synonym]]) | ''„Die gebürtige <u>München</u>erin verbrachte ihre Jugend in der <u>Bayernmetropole</u> und kehrte im Alter in die <u>weißblaue Landeshauptstadt</u> zurück“'' |- | '''Verdinglichung''' | Zuordnung nichtmenschlicher Eigenschaften zu Personen (siehe auch: [[Anthropomorphismus]]) | ''„Die Dachdecker brechen entzwei“''; ''„Bayern München hat wieder Spielermaterial zugekauft“'' |- | '''[[Vergleich (Literatur)|Vergleich]]''' | Veranschaulichung, gekennzeichnet durch ein Vergleichswort (siehe auch: [[Gleichnis]]) | ''„stark wie ein Löwe“''; ''„größer als ein Elefant“'' |- | '''[[Vulgarismus (Sprache)|Vulgarismus]]''' | derbe oder ordinäre Ausdrucksweise (Vulgär- oder Fäkalsprache) | ''„[[kacke]]n“'' |} == W == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Wortspiel]]''' | 1) Verwendung des gleichen oder eines vom gleichen Wortstamm abgeleiteten Wortes in verschiedenen Bedeutungen oder verschiedenen Sinnzusammenhängen<br/> 2) Leichte Veränderung des Wortes, durch die dieses eine Zusatzbedeutung erhält (siehe auch: [[Buchstabendreher]], [[Paronomasie]], [[Polysemie]], [[Schüttelreim]]) | ''„Jesuiter – Jesuwider“''; ''„Unbiegsam sei sein Wille, aber biegsam sein Rücken“'' |} == Z == {| class="wikitable" width="100%" |- !bgcolor=#dddddd width="130"| Bezeichnung !bgcolor=#dddddd width="370"| Beschreibung oder deutsche Bezeichnung !bgcolor=#dddddd| Beispiele |- | '''[[Zeugma (Sprache)|Zeugma]]''' | [[Syntaktisch]] korrekte Verbindung [[semantisch]] nicht zusammengehöriger Satzglieder | ''„Er hob den Blick und ein Bein gen Himmel.“''; ''„Er öffnete die Schachtel, danach den Mund.“''; ''„Er saß ganze Nächte und Sessel durch“''; ''„Ich heiße [[Heinz Erhardt]] und Sie willkommen“'' |- | '''[[Zynismus]]''' | (Als rhetorisches Stilmittel:) Boshaft verletzende, oft [[Ironie|ironische]], Äußerung als Demonstration der Überlegenheit, unter Missachtung, Umdeutung oder [[Ad absurdum|Ad-absurdum-Führung]] allgemein verbreiteter/anerkannter Werte (siehe auch: [[Sarkasmus]]) | ''„Der Schläger sagt nach seiner Tat: ‚Hat es dir gefallen? Soll ich noch mal draufhauen?‘“''; ''„[[Liste geflügelter Worte/J#Jedes Volk hat die Regierung, die es verdient|Jedes Volk hat die Regierung, die es verdient]]“'' |} {{TOC}} == Einzelnachweise == <references /> a57etdndorpn6kffp7dm4hc6esqrwz3 0 74172 770752 428762 2022-08-18T12:44:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Eine Lösung von Lukas Freudenberg. [[File:Aufgabe57.16.png|thumb|Veranschaulichung der Funktion h und einiger Fasern]] [[File:Aufgabe57.16 2.gif|thumb|Animation zu Lösungen für verschiedene a]] [[File:Aufgabe57.16 3.gif|thumb|Animation zu Lösungen für verschiedene b]] |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eq242mys61ztsa1ys2kjev42yfk94wa 770753 770752 2022-08-18T12:45:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Eine Lösung von Lukas Freudenberg. 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{{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Skalarmultiplikation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Höhere tangentiale Äquivalenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kurvenkeim/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n mod Z^n/Mannigfaltigkeitsstruktur/Differenzierbare Abbildung/Tangentialabbildung bijektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} gzf8puznjnm3laf7qzowc3nshzawv6b 106 74850 770790 458650 2022-08-18T16:03:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|83| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe||def1=&nbsp;84.3 |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Standardform/Integration über Teilmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integration auf Mannigfaltigkeiten/Nullmengen/Ignorierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Abzählbare Topologie/Nullmengen/Unabhängig von Volumenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/Faser/Gradient/Längenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^2/Faser/Gradient/Flächenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/Trigonometrischer Kreis/xdx+ydy etc/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/x^3dx-yzdy+xz^2dz/(-t^2,t^3-1,t+2)/-1 bis 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegrale/t nach (t,t^(-1))/(u,v) nach (u^2,uv,-u+v^2)/xdx-zdy+dz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegrale/t nach (t,t^3)/(u,v) nach 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y,y)/Diskutiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Graph der Exponentialfunktion im Negativen/Kleiner 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kartenbeispiele/Auf Einheitskugel/Surjektiv bis auf Nullmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kartenbeispiele/Auf Einheitskugel/Finde Formeln für partielle Umkehrabbildungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Längenkreis und Breitenkreis/Senkrecht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erde/Breitenkreis 30/Länge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erde/Sonnenseite/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Ellipsoid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Großkreise auf Karte/Horizontale Zylinderprojektion/Infimum und Supremum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stereographische Projektion/Flächenform/Inhalt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Graph als riemannsche Mannigfaltigkeit/Flächeninhalt von x^2+y/Über Quadrat/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Parabelbogen/Keine Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kugeloberfläche/Als Rotationsfläche/Flächeninhalt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Als Rotationsfläche/Flächeninhalt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erdkugel/Abstand/Osnabrück und Bangalore/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erde/Breitenkreis 30/Länge auf verschiedenen Karten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 9513wmy9hobo0085js1cy3d3rdlofun 106 74855 770797 449085 2022-08-18T16:05:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|88| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist topologischer Rand des Komplementes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einige Funktionen auf R/Ihr Träger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Funktion/Träger/Stetigkeitstest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilmenge/Abschluss und Träger der Indikatorfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Kompakte Ausschöpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Kompakte Ausschöpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition der Eins/Triviale Überdeckung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition der Eins/Indikatorfunktionen zu Punkten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Kompakte Ausschöpfung durch abgeschlossene Intervalle/Überdeckung durch offene Intervalle/Lokal endliche Intervalle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossenes Einheitsintervall/Partition der 1/0 im Träger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbraum/Offene Menge/Differenzierbare Funktion/Gemeinsame Fortsetzung/Aufgabe|| |zusatz= 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2022-08-18T12:42:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Vertauschungseigenschaft bei einer alternierenden Abbildung. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} schko738a9pna4w8hzsgyqwsiqhgset 0 103821 770728 577037 2022-08-18T12:02:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term=(R, {{idealm|}}) |SZ=}} be a local noetherian {{math|term=K|SZ=-}}algebra. Then the intersection {{ math/disp|term= \bigcap_{n \in \N} {{idealm|}}^{\langle n \rangle} |SZ= }} is called the {{ Definitionswort/- |Prämath= |differential core| |msw= |SZ= }} of {{math|term=R|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8udch8tzmi6uecxbxk2van74e2sjk9o 0 103822 770729 577045 2022-08-18T12:02:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term=R |SZ=}} be a {{math|term=K|SZ=-}}algebra and {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} an ideal. Then we call {{ Ma:Vergleichskette/disp | I^{\langle n \rangle} || {{Mengebed|f \in R| E(f) \in I \text{ for all } E \in \operatorname{Diff}^{n-1}(R,R) }} || || || |SZ= }} the {{math|term=n|SZ=}}th {{Definitionswort/-|differential power|SZ=}} of {{math|term=I|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6e8o1zz8hegumfw2xzflyduv5f4xwl 2 113276 770879 769236 2022-08-19T09:10:10Z Methodios 23484 /* Projekte */ wikitext text/x-wiki Hello, I'm now a editor in the German Wikipedia and a uploader in the Russian Wikipedia and work in many languages with 80.477 edits at the moment. --[[User:Methodios|Methodios]] ([[User talk:Methodios|talk]]) 05:54, 20 February 2018 (UTC) == Höhere Aktivitäten in: == [[w:de:Benutzer:Methodios]] [[w:ru:Участник:Methodios]] [[w:en:User:Methodios]] [[w:pt:Usuário(a):Methodios]] [[w:ro:Utilizator:Methodios]] [[w:commons:User:Methodios]] [[w:wikibooks:de:Benutzer:Methodios]] [[w:en:wikibooks:User:Methodios]] [[w:wikidata:User:Methodios]] == Elend == [[File:Blick auf Elend.jpg|mini|Blick auf [[w:Elend (Harz)|Elend]].]] [[File:Sorge EG 27.04.12 w.JPG|mini|Harzbahnhof [[w:Sorge (Harz)|Sorge]].]] [[File:Bevoelkerungspyramide Sachsen 2011.png|mini|Bevölkerungs-'''"Pyramide"''' Sachsen: Selbstverschuldetes [[w:Elend (Harz)|Elend]].]] Der sächsische Wanderführer im sozialistischen Oberharz: "''Nu, da [[w:Geschichte der Bundesrepublik Deutschland (bis 1990)|drühm]] sehnse den schterbenden und faulenden [[w:Imperialismus|Immbrialismuß]], und bei uns [[w:Sorge (Harz)|Sorge]] und [[w:Elend (Harz)|Elend]].''" == Wichtig! == * [[w:Lückeprofessor|Lückeprofessor]] - ''Tatsächlich erhalten die betroffenen Professorinnen und Professoren der Geburtsjahrgänge 1930 bis 1940 die geringsten Altersbezüge von allen deutschen Hochschullehrerinnen und Hochschullehrern bzw. Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern, nämlich nur ca. 35 Prozent des letzten Bruttogehaltes, anstatt der bundesweit üblichen 71,75 Prozent. Diese Altersbezüge entsprechen damit ca. 40 Prozent der Bezüge der aus den alten Bundesländern stammenden verbeamteten Berufskolleginnen und -kollegen. Als zumindest politisch-moralisch noch gravierender ist der Umstand zu werten, dass die Gruppe der Betroffenen zudem in ihrer Altersversorgung deutlicher schlechter gestellt ist als diejenigen Professorinnen und Professoren, Hochschullehrerinnen und Hochschullehrern, die im Ergebnis der Evaluierungen Anfang der 1990er Jahre aus dem Hochschuldienst ausschieden und bis heute Altersbezüge unter vollem Bestandsschutz ihrer in der DDR erworbenen Altersversorgung der Intelligenz der DDR (AVI-Bestandsschutz) erhalten, während dieser für die Altersversorgung der nach dem 1. Juli 1995 in den Ruhestand getretenen ostdeutschen „Aufbauprofessorinnen und –professoren“ ersatzlos entfiel. Der Petitionsausschuss kritisiert außerdem, dass trotz allseitiger Bestätigung des beschriebenen unhaltbaren Zustandes durch Vertreter der Länder- und Bundesregierung über mehr als ein Jahrzehnt eine Korrektur der offenkundig von niemandem gewollten gravierenden Benachteiligung dieser Personengruppe bisher nicht gelungen ist. Im Gegenteil: Unternommene Bemühungen, auch und insbesondere von Mitgliedern der Thüringer Landesregierung in der 5. und 6. Legislaturperiode, sind immer wieder in den Mühlen der Bund-Länder-Konferenzen und Abstimmungen ins Stocken geraten. Die Betroffenen, die meisten von ihnen im neunten Lebensjahrzehnt, haben aber keine Zeit mehr zu verlieren. Für sie steht das Wort von der „biologischen Lösung“ im Raum. Der Petitionsausschuss bekennt sich zu der Tatsache, dass die Thüringer Professorinnen und Professoren, Hochschullehrerinnen und Hochschullehrer nach dem 3. Oktober 1990 in den Status von Landesbediensteten eintraten und damit dem Landesrecht unterlagen; es damit also nicht um eine rentenrechtliche Benachteiligung als Folge des Einigungsvertrages geht, die zuvorderst vom Bund zu beseitigen wäre. Ein noch länger währendes „Schwarze-Peter-Spiel“ zwischen Bund und Ländern ist den Lebensleistungen derer, die die Grundlagen für den erfolgreichen Aufbau der Hochschul- und Wissenschaftslandschaft in den neuen Ländern legten, unwürdig. Der Petitionsausschuss bekennt sich schließlich zur Notwendigkeit einer nunmehr unverzüglichen Lösung, die den Betroffenen wenigstens eine „späte Gerechtigkeit“ widerfahren lässt.'' [https://petitionen.thueringer-landtag.de/petitions/1595 Altersversorgung nichtverbeamteter Hochschullehrer neuen Rechts im Freistaat Thüringen] == Bearbeiten == https://www.was-war-wann.de/1900/1920/musikjahr_1925.html === [[Diskussion:Fachbereich Theologien]] === Analyse: 30. Dezember 2019 vgl. [[w:wikiversity:en:School:Theology]] === [[Fachbereich Religionswissenschaften und Theologie]] === letzte Bearbeitung: [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Fachbereich_Religionswissenschaften_und_Theologie&diff=352150&oldid=352149 am 18. März 2013] Kategoriebaum: [[:Kategorie:Fachbereich]] --> [[:Kategorie:Alte Wikiversity]] (''In dieser Kategorie werden alle Seiten, Medien und Kategorien gesammelt, die im Zuge des Relaunchs seit 2013 nicht mehr benutzt werden.'') [[Fachbereich Theologie]] = WL auf [[Fachbereich Religionswissenschaften und Theologie]] * Kategoriebaum: [[:Kategorie:Fachbereich Religionswissenschaften und Theologie]] --> [[:Kategorie:Fachbereich]] --> [[:Kategorie:Alte Wikiversity]] ** Kategoriebaum neu: [[:Kategorie:Fach:Religionswissenschaften und Theologie]] --> [[:Kategorie:Fach]] === [[Diskussion:Fachbereich Evangelische Theologie]] === Analyse: 30. Dezember 2019 === [[:Kategorie:Fach:Religionswissenschaften und Theologie]] === derzeit nur zwei! Einträge: eine Unter- [[:Kategorie:Islam]] mit einer Seite [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)]] - vgl. [[Wikiversity:Cafeteria#BEGI]] und die WL [[Fachbereich Theologie]] auf [[Fachbereich Religionswissenschaften und Theologie]] Kategorienbaum: [[:Kategorie:Fach]] --> [[:Kategorie:!Hauptkategorie]] === [[:Kategorie:Kurs]] === eine [[:Kategorie:!Hauptkategorie]] mit * [[:Kategorie:Kurs an einer Universität]] und * [[:Kategorie:Kurs an einer Volkshochschule]] offen: * [[:Kategorie:Kurs an einer Geistlichen Akademie]] (31. Dezember 2019 angelegt) vgl. [[w:wikiversity:en:Biblical Studies (NT)]] * [[w:wikiversity:en:Category:Courses]] * [[w:wikiversity:en:Category:Christianity]] * [[w:wikiversity:en:Category:Biblical studies]] * [[w:wikiversity:en:Category:Ancient texts]] * [[w:wikiversity:en:Category:Completed resources]] == Neue Seiten == === [[Fachbereich Orthodoxe Theologie]] === angelegt: 30. Dezember 2019 == Kurse == === Kurs an einer Geistlichen Akademie === [[/Geistliche Akademie]] [[/Akademie]] ==== Einführung in die Orthodoxie ==== * [[Kurs:Einführung in die Orthodoxie]] (31. Dezember 2019 angelegt) ==== Jesus Christus ==== * [[Kurs:Jesus Christus]] (24. März 2020 angelegt) ==== Die Psalmen ==== * [[Kurs:Die Psalmen]] (21. April 2020 angelegt) ==== Orthodoxes Hagiologion ==== * [[Kurs:Orthodoxes Hagiologion]] (10. März 2020 angelegt) ==== Ikonographie ==== * [[Kurs:Ikonographie]] (29. April 2020 angelegt) ====Orthodoxes Brauchtum ==== * [[Kurs:Orthodoxes Brauchtum]] (17. Februar 2021 angelegt) ==== Frühe Geistliche Akademien ==== * [[Kurs:Frühe Geistliche Akademien]] (4. Januar 2020 angelegt) ==== Das Große Schisma von 1054 ==== * [[Kurs:Das Große Schisma von 1054]] (27. März 2020 angelegt) ==== Geschichte der Orthodoxie ==== * [[Kurs:Geschichte der Orthodoxie]] (3. Mai 2020 angelegt) ==== Exerzitien unter der Straße ==== * [[Kurs:Exerzitien unter der Straße]] (24. Mai 2020 angelegt) === Kurs an einer Volkshochschule === ==== 1020-2020: Tausend Jahre Dresdner Frauenkirche ==== * [[Kurs:1020-2020: Tausend Jahre Dresdner Frauenkirche]] (3. Mai 2020 angelegt) ==== Die Nisaner – Dresdens Ureinwohner ==== * [[Kurs:Die Nisaner – Dresdens Ureinwohner]] ==== Alte Dresden-Literatur ==== * [[Kurs:Alte Dresden-Literatur]] (23. November 2020 angelegt) ==== Dresden ==== * [[Kurs:Dresden]] (28. November 2020 angelegt) == Projekte == === Lobbyismus in Wikimedia-Projekten === * [[Projekt:Lobbyismus in Wikimedia-Projekten]] === Aktion wasserdicht === * [[Projekt:Aktion wasserdicht]] === Clothing First === * [[Projekt:Clothing First]] === Niemandskunst === * [[Projekt:Niemandskunst]] === UnterArt === * [[Projekt:UnterArt]] === Soziale Ungleichheit === * [[Projekt:Soziale Ungleichheit]] === Asoziale Marktwirtschaft === * [[Projekt:Asoziale Marktwirtschaft]] === Dissidenten im Ostblock === * [[Projekt:Dissidenten im Ostblock]] === Altes Dresden === * [[Projekt:Altes Dresden]] === Dresdner Postkarten === * [[Projekt:Dresdner Postkarten]] === Altes Bernburg === * [[Projekt:Altes Bernburg]] (20. Dezember 2020 angelegt) === Virtuelles Bernburg === * [[Projekt:Virtuelles Bernburg]] (20. Dezember 2020 angelegt) == Benutzerseiten == * [[/SUV]] * [[/Tantra]] * [[/Schreibwerkstatt]] * [[/Sammlung]] * [[/Druck]] * [[/Naturräumliche Gliederung]] * [[/Dresden]] * [[/Niemandskunst]] * [[/Punk]] * [[/Politik]] * [[/Abgleich]] * [[/Josefshof]] * [[/Temporär]] * [[/Kirche]] * [[/Kirchengeschichte]] * [[/Glossar]] * [[/Frauenobdachlosigkeit]] * [[/Bundesregierung]] * [[/Chronik]] * [[/Musik]] * [[/Zivilverteidigung]] * [[/Material]] * [[/Shinrin Yoku]] * [[/Sachsen]] * [[/Armut]] == Kategorien == https://www.sub.uni-goettingen.de/goettinger-online-klassifikation/ [[:Kategorie:Kurs an einer Geistlichen Akademie]] (31. Dezember 2019 angelegt) [[:Kategorie:Synaxarion]] (15. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Liturgik der Ostkirchen]] (15. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Liturgiewissenschaft]] (15. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Praktische Theologie]] (15. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Christliche Religion und Theologie]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Fach:Religionswissenschaften und Theologie]] [[:Kategorie:Orthodoxe Heilige/P]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Orthodoxe Heilige]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Einzelne Heilige]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte der Heiligen]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte der Märtyrer und Heiligen]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte der christlichen Mystik]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte der christlichen Frömmigkeit]] (12. März 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Fach:Religionswissenschaften und Theologie]] [[:Kategorie:Geschichte des Heiligen Landes]] (6. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Heiliges Land]] (6. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Religionsgeographie]] (6. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Bevölkerungsgeographie]] (6. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Anthropogeographie]] (6. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Fachbereich Geowissenschaften]] [[:Kategorie:Bulgarische Geschichte im Mittelalter]] (8. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Bulgarische Geschichte]] (8. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte der Balkanstaaten]] (8. April 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Fach:Geschichte]] (8. April 2020 angelegt) [[:Kategorie:Chronik des orthodoxen Christentums]] (3. Mai 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte des orthodoxen Christentums]] (3. Mai 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Geschichte des Christentums]] (3. Mai 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Religionsgeschichte]] (3. Mai 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Kulturgeschichte]] (3. Mai 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Teilbereiche der Geschichte]] (3. Mai 2020 angelegt) --> [[:Kategorie:Fach:Geschichte]] [[:Kategorie:Projekt]] + [[:Kategorie:Projekt:Aschmidt/Projekt:Konflikte in Wikimedia-Projekten]] + [[Benutzer:Aschmidt/Projekt:Konflikte in Wikimedia-Projekten]] === Angedachte Kategorien === * LEW 910: Ethnische und religiöse Minderheiten in einzelnen Regionen und Ländern --> LEW 900: Ethnische und religiöse Minderheiten --> LE 000: Soziologie ([[:Kategorie:Fachbereich Soziologie]]) --> L XXX: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften * LEI 490: Sonstige Gruppen. Behinderte. Arbeitslose. Migranten. --> LEI 430: Sozialisation. --> LE 000: Soziologie ([[:Kategorie:Fachbereich Soziologie]]) --> L XXX: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften * LL 020: Obdachlosigkeit --> LL 010: Wohnungswesen. Wohnungsbau. Wohnungspolitik --> L XXX: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften * LEO 790: Sozialer Protest: --> LEO 780: Kollektives Handeln --> LEO 770: Sozialer Wandel. Soziale Konflikte --> LE 000: Soziologie ([[:Kategorie:Fachbereich Soziologie]]) --> L XXX: Wirtschafts- und Sozialwissenschaften == Wichtige Hilfseiten == * [[Wikiversity:Administratoren]] * [[Wikiversity:Fachdatenbanken]] == The Wikipedia Library == Nachricht 11. Januar 2022 ''Herzlichen Glückwunsch. Du bist zum Zugriff auf The Wikipedia Library berechtigt. Klicke hier ...'' https://wikipedialibrary.wmflabs.org/?markasread=386999&markasreadwiki=dewikiversity == Kiwix == vgl. [[w:de:Kiwix]] == Werkstatt == [[w:Akut|Akut]]: Á á É é Í í Ó ó Ú ú Ý ý - vgl. [[w:en:Acute accent|Acute accent]] [[w:Doppelakut|Doppelakut]]: A̋ a̋ E̋ e̋ I̋ i̋ Ő ő Ű ű - vgl. [[w:en:Double acute accent|Double acute accent]] [[w: Gravis (Typografie)|Gravis]]: À à È è Ì ì Ò ò Ù ù Ỳ ỳ - vgl. [[w:en:Grave accent|Grave accent]] https://yandex.ru/ === Seitenpräfixe für die verschiedenen Wikimediaprojekte === :Präfixe sind (z.B.): :*w für Wikipedia<br /> :*b für Wikibooks<br /> :*wikt für Wiktionary<br /> :*n für Wikinews<br /> :*q für Wikiquote<br /> :*s für Wikisource<br /> :*v für Wikiversity<br /> :*meta für das Wikimedia-Metawiki === Verküpfung mit Wikiquote === {{Q|67471938}} - Verküpfung mit Wikiquote === Vorlagen === {{xyz}} == Latein == [http://www.richardwolf.de/latein/index.html Lateinische Wörterbücher - Eine illustrierte Bibliographie von Richard Wolf] * [http://www.zeno.org/Georges-1913 Karl Ernst Georges: Ausführliches lateinisch-deutsches Handwörterbuch] (⁸1913) * [http://www.zeno.org/Georges-1910 Karl Ernst Georges: Kleines deutsch-lateinisches Handwörterbuch] (1910) * [http://de.pons.eu/latein-deutsch/ PONS: Lateinisch-Deutsches Wörterbuch] * [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433075910111 Karl Ernst Georges: Kleines deutsch-lateinisches Handwörterbuch] * [http://www.frag-caesar.de/lateinwoerterbuch/ frag-caesar.de Lateinwörterbuch] mit Deklinationen, Konjugationen und Übersetzungen * [http://www.archive.org/stream/romanischesetymo00meyeuoft#page/n5/mode/2up Wilhelm Meyer-Lübke, Romanisches etymologisches Wörterbuch. Heidelberg: Carl Winter’s Universitätsbuchhandlung, 1911] == Rumänisch == * https://dexonline.ro/ Dicționare ale limbii române * http://hallo.ro/ hallo.ro Englisch * [http://hallo.ro/search.do?l=ro&d=de&query= hallo.ro hallo.ro Rumänisch - Deutsch] * [http://www.archeus.ro/lingvistica/CautareDex?query= Archeus.ro] einsprachig * [http://wortschatz.uni-leipzig.de/ Wortschatz-Lexikon der Uni Leipzig] einsprachig * [http://dictionar.dex2online.ro/ Dictionar Roman-Englez] * http://www.dictionare.com/ dictionare.com Englisch * [http://www.coral4u.ro/dict/deutsch_rumaenisch.htm Online Deutsch - Rumänisch Wörterbuch - Grundwortschatz] * [http://www.ectaco.co.uk/English-Romanian-Dictionary/ Bilingual Dictionary from ECTACO] Englisch * [http://www.seelrc.org:8080/grammar/pdf/stand_alone_romanian.pdf Romanian Reference Grammar, by Dana Cojocaru, University of Bucharest] Englisch == Englisch == * https://www.merriam-webster.com/ == Lesezeichen == [[File:BritLibRoyal14CVIIFol006rMattParisSelfPort.jpg|mini|Selbstporträt des Matthäus Paris aus seiner Chronik (London, British Library, MS Royal 14.C.VII, folio 6r).]] *[https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page Wikiversity Beta] *[[Umwelt des Alten Testaments]] *[[Benutzer:Jeanpol/Buch]] * https://ar.wikiversity.org/wiki/%D9%83%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%84%D9%88%D9%85_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B3%D9%8A%D8%AD%D9%8A%D8%A9 ** Hochschule für Christliche Wissenschaften: Willkommen am College of Christian Sciences, einem Wiki der Fakultät für Arabisch, dem Zentrum für Kreativität und freie Bildung der Wikimedia Foundation * https://ar.wikibooks.org/wiki/%D9%85%D8%B3%D9%8A%D8%AD%D9%8A%D8%A9 ** Einige der Unterschiede in den Aussagen der Bibel * https://ar.wikibooks.org/wiki/%D9%86%D9%82%D8%A7%D8%B4:%D9%85%D8%B3%D9%8A%D8%AD%D9%8A%D8%A9 ** Erklärung einiger Fehler in der heiligen Schrift * https://bjn.wikipedia.org/wiki/Tumbung:Kerest%C3%A9n * https://bjn.wikipedia.org/wiki/Tumbung:Agama == Probleme mit Commons == [[File:Dresden, Städtebaulicher Situationsplan des Knöffel- und Cäsarschen Hauses , Plan um 1744.jpg|mini|Dresden, Städtebaulicher Situationsplan des Knöffel- und Cäsarschen Hauses , Plan um 1744]] erscheint in Wikiversity als Rotlink offenbar erledigt [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Commons:Forum&diff=422654519&oldid=422652468 Da scheint es unlösbare Probleme zu geben und gerüchteweise haben die Programmierer keine Lust, sich damit zu befassen. Was funktioniert ist der Commonist, der ist sehr fehlertolerant. Ralf Roletschek 08:49, 30 May 2020 (UTC)] - behuf: ''Hochladen mit Commons-Assistent (Upload-Wizard) nicht möglich'' == Urheberrecht == vgl. https://www.gesetze-im-internet.de/kunsturhg/__22.html [[Fotorechte DACH]] == Entwicklung == ''Die positiven Erfahrungen aus den Buchveröffentlichungen zu den Fällen im Verwaltungsrecht von Nikolas Eisentraut bei Wikibooks sollen aufgegriffen und gezielt mit Community Management Ansätzen weiter geführt werden. Wir wollen nach außen geschlossen auftreten, indem wir unter einheitlichem Design eine Buchreihe bei Wikibooks starten. Die laufende Erstellung, Aktualisierung und Diskussion der Texte (Versionierung bis zur nächsten Auflage) soll bei Wikibooks stattfinden. Um den Bekanntheitsgrad zu steigern und einen zusätzlichen Anreiz für die Autor:innen zu schaffen, wollen wir Bücher, die erstmalig fertig gestellt oder grundlegend überarbeitet worden sind, zusätzlich in einem Verlag unter Open Access Bedingungen veröffentlichen.'' [[Wikiversity:Fellow-Programm Freies Wissen/Einreichungen/OpenRewi - Community Building für Offene Rechtswissenschaft]] Trend weg von Wikiversity - offenbar gecancelt - vgl. Löschbuch von Wikibooks vom 19. November 2020 * Lösch-Logbuch 17:50 Yomomo Diskussion Beiträge löschte die Seite Grundrechte-Lehrbuch ‎(Wunsch des Autors: Inhalt war: „ Löschen | (ganzes Buch) Inzwischen haben wir unsere Vorlagen überarbeitet und wollen eine eigene Buchreihe anlegen. -- Maximilian.Petras 15:25, 19. Nov. 2020 (CET)}} ==Allgemeine Informationen== Regal|Rechtswissenschaft Vorlage:StatusBuch|0 * '''Zielgruppe:''' Das Lehrbuch richtet sich an Jurastudierende in den ersten Semestern und Studierende in der Vorbereitung auf das 1. oder 2. juristische Staatsexamen. * Lösch-Logbuch 17:50 Yomomo Diskussion Beiträge löschte die Seite Grundrechte-Lehrbuch/ Einleitung ‎(Wunsch des Autors: Inhalt war: „Hier soll es in einem ersten Entwurf um die Theorie der Grundrechte und ihre Anwendung in der Klausur gehen. ==Was machen Grundrechte?== Grundrechte sind dafür da, Freiheitsräume der Bürger:innen zu sichern.<ref>''Epping, Volker'', Grundrechte, Berlin, Heidelberg 2019, S. 19.</ref> ==Wie werden Grundrechte normalerweise in der Klausur geprüft…“. Einziger Bearbeiter: Maximilian.Petras ([[User talk:Maximilian.Petras|Dis…) https://de.wikibooks.org/wiki/Handbuch_Open_Science https://de.wikibooks.org/wiki/Handbuch_Open_Science/_Rechtswissenschaft https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi * https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Grundrechte-Lehrbuch * https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Lehrbuch_Strafrecht_Besonderer_Teil * https://de.wikibooks.org/wiki/Verwaltungsrecht_in_der_Klausur/_Das_Lehrbuch * https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Staatsorganisationsrecht-Lehrbuch * https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Grundrechte-Fallbuch *https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen * https://de.wikibooks.org/wiki/Verwaltungsrecht_in_der_Klausur/_Die_F%C3%A4lle * https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Geistige_G%C3%BCter_und_Wettbewerb Alles auf Anfang 7. Februar 2022 von Maximilian Petras Dieses Jahr werden die ersten OpenRewi Projekte ihre Bücher im renommierten DeGruyter-Verlag veröffentlichen. Über 130 Rechtswissenschaftler:innen aus der ganzen Welt haben etwas Neues gewagt und hybride Buchkonzepte geschaffen. Sie sind als OpenAccess PDF frei verwendbar und existieren zudem in einer flexiblen Variante bei Wikibooks, um die Diskussion über die Inhalte nicht abreißen zu lassen. Wir haben viel gelernt und möchten unsere Erfahrungen an euch weiter geben. Deshalb wird OpenRewi ein Verein, dessen Mitglieder sich für eine systematische Verbreitung von Open Educational Ressources in der Rechtswissenschaft einsetzen. Warum es eine gute Idee ist, bei uns Mitglied zu werden, kannst Du hier nachlesen. Für aktuelle Informationen kannst Du uns bei Twitter folgen. „Die gemeinsame Arbeit innerhalb der Projekte, wie auch im Verein, ist für mich auf ganz vielen Ebenen eine Bereicherung. Zum einen lernt man unglaublich viele spannende Jung-Wissenschaftler:innen kennen, zum anderen gibt es einen fachlichen Austausch auf höchstem Niveau.“ Valentina Chiofalo, Sprecherin OpenRewi „Das Lehr- und Fallbuch zu den Grundrechten gemeinsam mit meinen Ko-Herausgeber:innen zu koordinieren und in einem großen Team zu schreiben war eine unheimliche Bereicherung. Jeder Arbeitsschritt wurde durch ein intensives Feedback begleitet, das wir allen neuen Projekten zugänglich machen wollen.“ Maximilian Petras, Sprecher OpenRewi Vorstand & Projektkonferenz Auf der Gründungsversammlung Ende 2021 wurde nicht nur eine Satzung verabschiedet, sondern auch ein neuer Vorstand gewählt, der das vorherige Koordinationsteam ablöst. Laut Satzung koordiniert der Vorstand die Geschicke des Vereins. Dabei wollen wir jedoch die Ideale einer offenen Vereinskultur leben – die wesentlichen Impulse für die Fortentwicklung unserer Vereinsarbeit sollen von den Mitgliedern und den Projekten ausgehen. Schon jetzt gibt es bei OpenRewi sieben Projekte mit unterschiedlichen thematischen Ausrichtungen. Alle kommen in der monatlich stattfindenden Projektkonferenz zusammen, um über ihren Fortschritt zu berichten und gemeinsame Ideen für die Vereinsarbeit zu sammeln. Unsere Ziele für 2022 Für 2022 haben wir uns als Vorstand einiges vorgenommen. Die OpenRewi Strukturen verfestigen und auf eine solide Finanzierung stellen, neuen Projekten beim Start helfen und die anstehenden Veröffentlichungen so weit wie möglich in die Praxis der juristischen Lehre tragen. Neue Projekte: Gerade im Zivil-, aber auch im Strafrecht fehlen uns noch examensrelevante Themen. Dabei muss natürlich nicht jedes Mal das Rad neu erfunden werden – sofern es Überschneidungen mit vorangegangenen Projekten gibt, sind deren Materialien wegen der freien Lizenz ohne Probleme wiederverwertbar. Einige Projekte planen schon jetzt Ausgründungen mit den bestehenden Autor:innen. Reuse! Remix!: Open Educational Ressources leben davon, benutzt und verbessert zu werden. Unsere Lehrbücher und Fälle sollen Eingang in so viele Arbeitsgemeinschaften/Seminare/Lerngruppen/Kaffeekränzchen wie möglich finden. Die erscheinenden Bücher zu Grundrechten, Staatsorganisationsrecht, Migrationsrecht, Strafrecht BT, Public International Law oder Intellectual Property Law sollen so breit wie möglich beworben werden. Open Science muss eine Selbstverständlichkeit in der Rechtswissenschaft werden. Stabil / Divers / International: Mit möglichst vielen Mitgliedern wollen wir unsere Vereinskultur lebendig halten, aber zugleich eine solide Finanzierung für unsere Projekte garantieren. Dabei setzen wir – genau wie in unseren Projekten – auf eine diverse und solidarische Zusammensetzung der Mitglieder. Über das Public International Law Projekt haben wir Autor:innen auf allen Kontinenten gewonnen. Auch für sie soll OpenRewi eine Plattform sein, auch wenn der Schwerpunkt zurzeit noch in der deutschsprachigen Rechtswissenschaft liegt. Wir freuen uns auf das nächste Jahr! Jaschar, Katharina, Lars, Max, Niko, Rhea, Saskia & Valentina https://openrewi.org/alles-auf-anfang/ gvdgcpz1rl537kn6clvhymiwq17eme8 2 118119 770757 624726 2022-08-18T13:04:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt. wikitext text/x-wiki == == == == == == ocwdrhdlvg1wmrod7fpc7uv4bg2ur1k 770759 770757 2022-08-18T13:10:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Arbeitsblatt|5| {{ inputaufgabe |Figuren/Flächeninhalt und Volumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punkt/Volumen/R^k/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Menge der endlichen Teilmengen und Komplemente/Mengenalgebra/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} qnu7ubuhoily8lcvj22n7lrpdje34hd 770763 770759 2022-08-18T13:44:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Arbeitsblatt|5| {{ inputaufgabev |Figuren/Flächeninhalt und Volumen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabev |Punkt/Volumen/R^k/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabev 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(siehe Definition 32.7), dessen beide Komponenten reell sind, unbedingt eine reelle Zahl liefert? Also, warum für <math>a, b \in \R: \langle a+0i, b+0i \rangle \in \R</math> ? :In einem komplexen Vektorraum kann man gar nicht sagen, dass ein Vektor reell ist. Das geht allenfalls, wenn eine Basis ausgewählt ist. Im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} ergibt aber das komplexe Standardskalarprodukt, wenn man es auf den {{math|term= \R^n |SZ=}} einschränkt, das reelle Standardprodukt. == Rechtschreibfehler == Unter Satz 35.9 "...mit deren Hilfe man *Teilmenge* definieren kann,[...]" == Rechtschreibfehler == Lemma 37.7 "...in *einen* Vekorraum V" :Danke. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 19:55, 25. Apr. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == Vorlesung 41 "Nach Satz 29.10 müssen *wie* eine Stammfunktion von ..." :Danke == Testklausur == Ist die Teilnahme an der Testklausur optional oder notwendig für die Teilnahme an der Hauptprüfung (selbst wenn eine Gruppe ohnehin genug Punkte hätte)? :nur die 200 Punkte müssen insgesamt erreicht werden, die Teilnahme ist nicht nötig. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:10, 29. Mai 2022 (CEST) == Aufgaben 52.21-23 == Wie können die Funktionen in den Aufgaben 52. 21-23 überhaupt kritische Punkte haben? Ein kritischer Punkt liegt doch genau dann vor wenn alle partiellen Ableitungen null sind. Das ist zwar nicht genau die Definition der Vorlesung wird aber sonst, so weit ich weiß, so definiert, also gehe ich davon aus dass diese Definitionen äquivalent sind (?). Bei den Funktionen in diesen Aufgaben gibt es doch immer eine partielle Ableitung die ungleich null ist oder? Nehmen wir 52.21. Dort ist doch die partielle Ableitung der ersten Komponentenfunktion immer 1? Danke für die Hilfe! [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 13:23, 20. Jun. 2022 (CEST) :nein, die Definitionen stimmen nur überein, wenn der Zielraum eindimensional (gleich R) ist, andernfalls besteht ein großer Unterschied. Es geht um den Rang!![[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:40, 20. Jun. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == 52.2 Bemerkung "von regulär mit Definition . überein" [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 15:14, 20. Jun. 2022 (CEST) :erledigt.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:05, 20. Jun. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == Beispiel 54.6 "Wenn man *eine* bestimmtes Budget..." [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 13:00, 25. Jun. 2022 (CEST) :Danke[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 11:57, 26. Jun. 2022 (CEST) == Redundanz Aufgabenblatt 57 == Aufgabe 57.6 und Aufgabe 57.11 sind identisch [[Spezial:Beiträge/84.168.6.221|84.168.6.221]] 20:25, 17. Jul. 2022 (CEST) :Danke [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 22:40, 17. Jul. 2022 (CEST) == Fehler in Beispiel 54.11 == Die partiellen Ableitungen nach x und y sind falsch vereinfacht worden. Es müsste folgendermaßen aussehen: <math> \frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \dots = 6x((x^2+y^2-1)^2+9y^2) \text{ und } \frac{\partial{f}}{\partial{y}} = \dots = 6y((x^2+y^2-1)^2+9x^2) </math> [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:E86C:E5F5:A3AD:8E74|2001:638:508:B80:E86C:E5F5:A3AD:8E74]] 13:03, 6. Aug. 2022 (CEST) :Danke [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 15:06, 6. Aug. 2022 (CEST) == Definition von J in Lemma 40.10 == In Lemma 40.10 wird eine Funktion <nowiki><math>\alpha<math> von J in R definiert. Dabei ist unklar ob J ein beliebiges Intervall, eine Teilmenge von I oder noch etwas anderes ist.</nowiki> [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:DD1F:251B:998B:EA0E|2001:638:508:B80:DD1F:251B:998B:EA0E]] 16:06, 16. Aug. 2022 (CEST) :Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | J |\subseteq| I || || || |SZ= }} ein Intervall, das {{math|term= t_0 |SZ=}} umfasst. Das steckt indirekt darin, dass es sich um eine Lösung einer Differentialgleichung handeln soll.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:50, 16. Aug. 2022 (CEST) == Fehler in der Musterlösung von Beispielklausur 20, Aufgabe 15 == https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e590d67c2e477cfb2d7cef6affc9f7306bdaa9fe Bei der dritten Ausführung der Picard–Lindelöf-Iteration entsteht ein Rechenfehler in der Matrixmultiplikation im der zweiten Zeile. Wegen 1*(3/2)s^3+s*2s^2= 7/2s^3. Das sind nicht 17/6 wie die Musterlösung behauptet und das Ergebnis entsprechend fehlerhaft. [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:8127:7C4E:FEF0:64CF|2001:638:508:B80:8127:7C4E:FEF0:64CF]] 15:06, 18. Aug. 2022 (CEST) 2gainwcexoi3w6b7i5k5gf95ljqo3g4 770761 770758 2022-08-18T13:19:13Z Bocardodarapti 2041 /* Fehler in der Musterlösung von Beispielklausur 20, Aufgabe 15 */ wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Navigation}} {{Intro-Forum}} == Komplexes Skalarprodukt mit reellen Komponenten == Hey, kann vielleicht jemand erklären, wie man begründen kann, dass [[Komplexer_Vektorraum/Skalarprodukt/Definition|ein auf einem komplexen Vektorraum definiertes Skalarprodukt]] (siehe Definition 32.7), dessen beide Komponenten reell sind, unbedingt eine reelle Zahl liefert? Also, warum für <math>a, b \in \R: \langle a+0i, b+0i \rangle \in \R</math> ? :In einem komplexen Vektorraum kann man gar nicht sagen, dass ein Vektor reell ist. Das geht allenfalls, wenn eine Basis ausgewählt ist. Im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} ergibt aber das komplexe Standardskalarprodukt, wenn man es auf den {{math|term= \R^n |SZ=}} einschränkt, das reelle Standardprodukt. == Rechtschreibfehler == Unter Satz 35.9 "...mit deren Hilfe man *Teilmenge* definieren kann,[...]" == Rechtschreibfehler == Lemma 37.7 "...in *einen* Vekorraum V" :Danke. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 19:55, 25. Apr. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == Vorlesung 41 "Nach Satz 29.10 müssen *wie* eine Stammfunktion von ..." :Danke == Testklausur == Ist die Teilnahme an der Testklausur optional oder notwendig für die Teilnahme an der Hauptprüfung (selbst wenn eine Gruppe ohnehin genug Punkte hätte)? :nur die 200 Punkte müssen insgesamt erreicht werden, die Teilnahme ist nicht nötig. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:10, 29. Mai 2022 (CEST) == Aufgaben 52.21-23 == Wie können die Funktionen in den Aufgaben 52. 21-23 überhaupt kritische Punkte haben? Ein kritischer Punkt liegt doch genau dann vor wenn alle partiellen Ableitungen null sind. Das ist zwar nicht genau die Definition der Vorlesung wird aber sonst, so weit ich weiß, so definiert, also gehe ich davon aus dass diese Definitionen äquivalent sind (?). Bei den Funktionen in diesen Aufgaben gibt es doch immer eine partielle Ableitung die ungleich null ist oder? Nehmen wir 52.21. Dort ist doch die partielle Ableitung der ersten Komponentenfunktion immer 1? Danke für die Hilfe! [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 13:23, 20. Jun. 2022 (CEST) :nein, die Definitionen stimmen nur überein, wenn der Zielraum eindimensional (gleich R) ist, andernfalls besteht ein großer Unterschied. Es geht um den Rang!![[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:40, 20. Jun. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == 52.2 Bemerkung "von regulär mit Definition . überein" [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 15:14, 20. Jun. 2022 (CEST) :erledigt.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:05, 20. Jun. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == Beispiel 54.6 "Wenn man *eine* bestimmtes Budget..." [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 13:00, 25. Jun. 2022 (CEST) :Danke[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 11:57, 26. Jun. 2022 (CEST) == Redundanz Aufgabenblatt 57 == Aufgabe 57.6 und Aufgabe 57.11 sind identisch [[Spezial:Beiträge/84.168.6.221|84.168.6.221]] 20:25, 17. Jul. 2022 (CEST) :Danke [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 22:40, 17. Jul. 2022 (CEST) == Fehler in Beispiel 54.11 == Die partiellen Ableitungen nach x und y sind falsch vereinfacht worden. Es müsste folgendermaßen aussehen: <math> \frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \dots = 6x((x^2+y^2-1)^2+9y^2) \text{ und } \frac{\partial{f}}{\partial{y}} = \dots = 6y((x^2+y^2-1)^2+9x^2) </math> [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:E86C:E5F5:A3AD:8E74|2001:638:508:B80:E86C:E5F5:A3AD:8E74]] 13:03, 6. Aug. 2022 (CEST) :Danke [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 15:06, 6. Aug. 2022 (CEST) == Definition von J in Lemma 40.10 == In Lemma 40.10 wird eine Funktion <nowiki><math>\alpha<math> von J in R definiert. Dabei ist unklar ob J ein beliebiges Intervall, eine Teilmenge von I oder noch etwas anderes ist.</nowiki> [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:DD1F:251B:998B:EA0E|2001:638:508:B80:DD1F:251B:998B:EA0E]] 16:06, 16. Aug. 2022 (CEST) :Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | J |\subseteq| I || || || |SZ= }} ein Intervall, das {{math|term= t_0 |SZ=}} umfasst. Das steckt indirekt darin, dass es sich um eine Lösung einer Differentialgleichung handeln soll.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:50, 16. Aug. 2022 (CEST) == Fehler in der Musterlösung von Beispielklausur 20, Aufgabe 15 == https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e590d67c2e477cfb2d7cef6affc9f7306bdaa9fe Bei der dritten Ausführung der Picard–Lindelöf-Iteration entsteht ein Rechenfehler in der Matrixmultiplikation im der zweiten Zeile. Wegen 1*(3/2)s^3+s*2s^2= 7/2s^3. Das sind nicht 17/6 wie die Musterlösung behauptet und das Ergebnis entsprechend fehlerhaft. [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:8127:7C4E:FEF0:64CF|2001:638:508:B80:8127:7C4E:FEF0:64CF]] 15:06, 18. Aug. 2022 (CEST) :Danke, bis morgen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 15:19, 18. Aug. 2022 (CEST) hpc270h9tq9lmlhhckzey81auww1cd8 770900 770761 2022-08-19T11:02:28Z 131.173.191.229 Neuer Abschnitt /* Musterlösung */ wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Navigation}} {{Intro-Forum}} == Komplexes Skalarprodukt mit reellen Komponenten == Hey, kann vielleicht jemand erklären, wie man begründen kann, dass [[Komplexer_Vektorraum/Skalarprodukt/Definition|ein auf einem komplexen Vektorraum definiertes Skalarprodukt]] (siehe Definition 32.7), dessen beide Komponenten reell sind, unbedingt eine reelle Zahl liefert? Also, warum für <math>a, b \in \R: \langle a+0i, b+0i \rangle \in \R</math> ? :In einem komplexen Vektorraum kann man gar nicht sagen, dass ein Vektor reell ist. Das geht allenfalls, wenn eine Basis ausgewählt ist. Im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} ergibt aber das komplexe Standardskalarprodukt, wenn man es auf den {{math|term= \R^n |SZ=}} einschränkt, das reelle Standardprodukt. == Rechtschreibfehler == Unter Satz 35.9 "...mit deren Hilfe man *Teilmenge* definieren kann,[...]" == Rechtschreibfehler == Lemma 37.7 "...in *einen* Vekorraum V" :Danke. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 19:55, 25. Apr. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == Vorlesung 41 "Nach Satz 29.10 müssen *wie* eine Stammfunktion von ..." :Danke == Testklausur == Ist die Teilnahme an der Testklausur optional oder notwendig für die Teilnahme an der Hauptprüfung (selbst wenn eine Gruppe ohnehin genug Punkte hätte)? :nur die 200 Punkte müssen insgesamt erreicht werden, die Teilnahme ist nicht nötig. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:10, 29. Mai 2022 (CEST) == Aufgaben 52.21-23 == Wie können die Funktionen in den Aufgaben 52. 21-23 überhaupt kritische Punkte haben? Ein kritischer Punkt liegt doch genau dann vor wenn alle partiellen Ableitungen null sind. Das ist zwar nicht genau die Definition der Vorlesung wird aber sonst, so weit ich weiß, so definiert, also gehe ich davon aus dass diese Definitionen äquivalent sind (?). Bei den Funktionen in diesen Aufgaben gibt es doch immer eine partielle Ableitung die ungleich null ist oder? Nehmen wir 52.21. Dort ist doch die partielle Ableitung der ersten Komponentenfunktion immer 1? Danke für die Hilfe! [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 13:23, 20. Jun. 2022 (CEST) :nein, die Definitionen stimmen nur überein, wenn der Zielraum eindimensional (gleich R) ist, andernfalls besteht ein großer Unterschied. Es geht um den Rang!![[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:40, 20. Jun. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == 52.2 Bemerkung "von regulär mit Definition . überein" [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 15:14, 20. Jun. 2022 (CEST) :erledigt.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:05, 20. Jun. 2022 (CEST) == Rechtschreibfehler == Beispiel 54.6 "Wenn man *eine* bestimmtes Budget..." [[Spezial:Beiträge/212.82.79.246|212.82.79.246]] 13:00, 25. Jun. 2022 (CEST) :Danke[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 11:57, 26. Jun. 2022 (CEST) == Redundanz Aufgabenblatt 57 == Aufgabe 57.6 und Aufgabe 57.11 sind identisch [[Spezial:Beiträge/84.168.6.221|84.168.6.221]] 20:25, 17. Jul. 2022 (CEST) :Danke [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 22:40, 17. Jul. 2022 (CEST) == Fehler in Beispiel 54.11 == Die partiellen Ableitungen nach x und y sind falsch vereinfacht worden. Es müsste folgendermaßen aussehen: <math> \frac{\partial{f}}{\partial{x}} = \dots = 6x((x^2+y^2-1)^2+9y^2) \text{ und } \frac{\partial{f}}{\partial{y}} = \dots = 6y((x^2+y^2-1)^2+9x^2) </math> [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:E86C:E5F5:A3AD:8E74|2001:638:508:B80:E86C:E5F5:A3AD:8E74]] 13:03, 6. Aug. 2022 (CEST) :Danke [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 15:06, 6. Aug. 2022 (CEST) == Definition von J in Lemma 40.10 == In Lemma 40.10 wird eine Funktion <nowiki><math>\alpha<math> von J in R definiert. Dabei ist unklar ob J ein beliebiges Intervall, eine Teilmenge von I oder noch etwas anderes ist.</nowiki> [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:DD1F:251B:998B:EA0E|2001:638:508:B80:DD1F:251B:998B:EA0E]] 16:06, 16. Aug. 2022 (CEST) :Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | J |\subseteq| I || || || |SZ= }} ein Intervall, das {{math|term= t_0 |SZ=}} umfasst. Das steckt indirekt darin, dass es sich um eine Lösung einer Differentialgleichung handeln soll.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:50, 16. Aug. 2022 (CEST) == Fehler in der Musterlösung von Beispielklausur 20, Aufgabe 15 == https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e590d67c2e477cfb2d7cef6affc9f7306bdaa9fe Bei der dritten Ausführung der Picard–Lindelöf-Iteration entsteht ein Rechenfehler in der Matrixmultiplikation im der zweiten Zeile. Wegen 1*(3/2)s^3+s*2s^2= 7/2s^3. Das sind nicht 17/6 wie die Musterlösung behauptet und das Ergebnis entsprechend fehlerhaft. [[Spezial:Beiträge/2001:638:508:B80:8127:7C4E:FEF0:64CF|2001:638:508:B80:8127:7C4E:FEF0:64CF]] 15:06, 18. Aug. 2022 (CEST) :Danke, bis morgen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 15:19, 18. Aug. 2022 (CEST) == Musterlösung == Hallo, in der Lösung zur heutigen Beispielklausur 16 ist der Text der Lösung von Aufgabe 2 wieder der Text der Aufgabenstellung. [[Spezial:Beiträge/131.173.191.229|131.173.191.229]] 13:02, 19. Aug. 2022 (CEST) k09sw5hro61puhj12ptz2kjg1g9dunx 14 136999 770750 726800 2022-08-18T12:39:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Listen]] 0gzzqjqmsnlwg1d0i7qexnzl1mqaz65 4 138820 770896 749208 2022-08-19T10:00:10Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt aus [[Wikiversity:Cafeteria]] archiviert wikitext text/x-wiki {{Archiv|Wikiversity:Cafeteria}} == Schon mal vormerken: Vom 24.1. bis zum 6.2. findet die Umfrage Technische Wünsche statt == '''Die 6. Umfrage Technische Wünsche steht vor der Tür …''' [[Datei:Boxillustruation-150pxwidth-png.png|300px|rechts|alt=Das Bild zeigt eine Wahlurne mit dem Logo des Projekts Technische Wünsche]] … genauer gesagt hinter dem 24. Türchen. '''Vom 24. Januar bis 6. Februar 2022''' findet die nächste '''[[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]]''' in der deutschsprachigen Wikipedia statt. Wie schon in den letzten beiden Jahren geht es darum, den Bereich zu bestimmen, in dem technische Verbesserungen am dringendsten nötig sind. Mit diesem Bereich beschäftigt sich das Projektteam [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]] (WMDE) dann zwei Jahre lang, in engem Austausch mit den deutschsprachigen Communitys. Welcher Bereich das ist, sollen möglichst viele Menschen mitentscheiden können. Darum ist die Umfrage so aufgesetzt, dass man auch ohne technische Expertise oder langjährige Mitarbeit verstehen kann, worum es geht. Es stehen [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte#Diese 16 Themenschwerpunkte stehen zur Wahl|16 Themenschwerpunkte]] zur Wahl, die im Vorfeld gemeinsam mit den deutschsprachigen Communitys erarbeitet wurden. Neu ist in diesem Jahr, dass alle Abstimmenden angeben, welche fünf Themenschwerpunkte ihnen am wichtigsten sind. Das Konzept ist [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]] genauer beschrieben. Dort finden sich auch Antworten auf häufig gestellte Fragen und einiges mehr. Auf der [[w:Wikipedia Diskussion:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind außerdem Fragen und Anregungen sehr willkommen. Wir würden uns freuen, wenn ab dem 24. Januar auch viele Mitarbeitende aus den Schwesterprojekten mit dabei sind, denn die Verbesserungen, die bei den Technischen Wünschen umgesetzt werden, betreffen in der Regel alle Wikis. Technikkenntnisse oder viele Bearbeitungen sind ausdrücklich <u>nicht nötig</u>, um teilzunehmen. Gerne weitersagen! -- Für das Team Technische Wünsche, [[w:Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 15:35, 6. Jan. 2022 (CET) PS: Wer über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf der eigenen Diskussionsseite informiert werden möchte, kann [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|hier den Newsletter abonnieren]]. == Wiki Loves Folklore is back! == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]] You are humbly invited to participate in the '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' an international photography contest organized on Wikimedia Commons to document folklore and intangible cultural heritage from different regions, including, folk creative activities and many more. It is held every year from the '''1st till the 28th''' of February. You can help in enriching the folklore documentation on Commons from your region by taking photos, audios, videos, and [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:UploadWizard&campaign=wlf_2022 submitting] them in this commons contest. You can also [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Organize|organize a local contest]] in your country and support us in translating the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|project pages]] to help us spread the word in your native language. Feel free to contact us on our [[:c:Commons talk:Wiki Loves Folklore 2022|project Talk page]] if you need any assistance. '''Kind regards,''' '''Wiki loves Folklore International Team''' --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 14:14, 9. Jan. 2022 (CET) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Tiven2240/wlf&oldid=22560402 --> == Umfrage zur Community-Wunschliste 2022 == [[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|right|200px]] Die '''[[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2022|Umfrage zur Community-Wunschliste 2022]]''' ist ab jetzt eröffnet! Diese Umfrage ist der Prozess, durch den Communities entscheiden, woran das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community Tech]] Team im kommenden Jahr arbeiten soll. Wir möchten jeden dazu ermutigen, sich bis zum '''23. Januar''' daran zu beteiligen, oder die Vorschläge anderer zu kommentieren, um sie zu verbessern. Die Communities werden zwischen dem 28. Januar und dem 11. Februar über die Vorschläge abstimmen. Das Community Tech-Team konzentriert sich auf Werkzeuge für erfahrene Wikimedia-Benutzer. Du kannst in jeder Sprache Vorschläge machen, wir werden sie für dich übersetzen. Vielen Dank, wir freuen uns auf Vorschläge von dir! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 19:12, 10. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=20689438 --> == Der Call for Feedback zu den Boardwahlen hat begonnen == <section begin="announcement-content" />:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.'']]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Der Call for Feedback: Wahlen zum Board ist jetzt eröffnet und läuft bis zum 7. Februar 2022. Mit diesem Call for Feedback verfolgt das Team für Bewegungsstrategie und Governance einen neuen Ansatz. Er bezieht das Feedback der Community aus dem Jahr 2021 mit ein. Anstatt mit Vorschlägen zu beginnen, dreht sich der Call um Schlüsselfragen des Boards. Die Schlüsselfragen stammen aus den Rückmeldungen zur Boardwahl 2021. Ziel ist es, ein gemeinsames Gespräch und eine gemeinsame Entwicklung von Vorschlägen zu diesen Schlüsselfragen anzuregen. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections|Nimm an den Diskussionen teil.]] Herzlichst, das Movement Strategy & Governance Team<section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:18, 14. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Sprich mit dem Community Tech-Team == [[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|150px|{{dir|{{pagelang}}|left|right}}]] {{int:Hello}} Wir – das Team, das an der Umfrage zur Community-Wunschliste arbeitet – möchten dich zu einem Online-Treffen mit uns einladen. Es wird am [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220119T1800 '''{{#time:j xg|2022-01-19}} ({{#time:l|2022-01-19}}), {{#time:H:i e|18:00|de|1}}'''] per Zoom stattfinden und eine Stunde dauern. Für diese externe Plattform gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 '''Klick hier, um teilzunehmen''']. '''Programm''' * Bring Entwürfe deiner Vorschläge mit und sprich mit einem Mitglied des Community Tech-Teams über deine Fragen, wie du deinen Vorschlag verbessern kannst '''Format''' Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder übertragen. Eine Mitschrift ohne Namensnennung wird erstellt und auf Meta veröffentlicht. Die Präsentation (die gesamte Tagesordnung mit Ausnahme der Fragen und Antworten) wird auf Englisch gehalten. Wir können Fragen auf Deutsch, Englisch, Französisch, Polnisch und Spanisch beantworten. Wenn du vorab Fragen stellen möchtest, füge sie auf der [[m:Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite der Abstimmung über die Technischen Wünsche]] ein oder sende sie an sgrabarczuk@wikimedia.org. [[m:Special:MyLanguage/User:NRodriguez (WMF)|Natalia Rodriguez]] ([[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community-Tech]]-Manager) veranstaltet das Treffen. '''Einladungslink''' * [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 Nimm online teil] * Meeting ID: <span dir=ltr>85804347114</span> * [https://wikimedia.zoom.us/u/keu6UeRT0T Wähle dich über deinen Ort ein] Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 01:17, 18. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=20689438 --> == Desktop Verbesserungen und Einladung zu Sprechzeiten == {{int:Hello}}. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs, sowie weiteres betreffen. Die Verbesserung sind nun als Standard für Leser und Editoren auf 24 Wikipedias festgesetzt, darunter für die [[:fr:|französische]], die [[:pt:|portugiesische]] und die [[:fa:|persische]] Wikipedia. Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector] Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen. === Seit dem letzten Update neu eingebaute Funktionen === * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/User_menu|Nutzer Menü]] – die Navigation intuitiver gestalten durch die visuelle Hervorhebung der Struktur von Nutzer-Links und deren Zweck. * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Sticky Header|Sticky header]] – Zugriff auf wichtige Funktionen (Login, Versionsgeschichte, Diskussionen, etc.) ohne wieder an den Seitenanfang gehen zu müssen. Für eine vollständige Liste der Funktionen besuche bitte die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektseite]]. Wir laden auch auf unsere [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Updates|Updates-Seite]] ein. [[File:Table_of_contents_shown_on_English_Wikipedia_02.webm|thumb|600px|center]] <br clear=all> === Wie man die Verbesserungen aktiviert === [[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]] * Es ist möglich, [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|in den Einstellungen auf der Registerkarte "Aussehen"]] das Kästchen "{{int:prefs-vector-enable-vector-1-label}}" zu deaktivieren. (Es muss leer sein.) Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren. * Wenn man der Meinung ist dass dies als Standard für alle Leser und Redakteure des Wikis gut wäre, kann man gerne eine Diskussion mit der Gemeinschaft beginnen und mich kontaktieren. * In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors. === Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen === Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am online-Meeting mit uns teilnehmen ([https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220127T1500 '''{{#time:j xg|2022-01-27}} ({{#time:l|2022-01-27}}), {{#time:H:i e|15:00|de|1}}''']). So kann man an unserem Online-Treffen teilnehmen * [https://wikimedia.zoom.us/j/89205402895 Nimm online teil] * Meeting ID: <span dir=ltr>89205402895</span> * [https://wikimedia.zoom.us/u/kdPQ6k2Bcm Wähle dich über deinen Ort ein] {{int:Feedback-thanks-title}} Im Namen des Web-Teams der Wikimedia Foundation, [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 07:14, 25. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=20689438 --> == Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 5 == <section begin="ucoc-newsletter"/> :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' <span style="font-size:200%;">'''Neues von Movement Strategy und Governance'''</span><br> <span style="font-size:120%; color:#404040;">'''Ausgabe 5, Januar 2022'''</span><span style="font-size:120%; float:right;">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]</span> ---- Willkommen zur fünften Ausgabe der Movement Strategy und Governance Newsletter (früher bekannt als Universal Code of Conduct News)! Dieser neu gestaltete Newsletter enthält relevante Neuigkeiten und Ereignisse über die Movement Charta, den Universellen Verhaltenskodex, Grants zur Umsetzung der Movement Strategy, Board-Wahlen und andere relevante MSG-Themen. Dieser Newsletter wird vierteljährlich verschickt, während häufigere Updates auch wöchentlich oder zweiwöchentlich an Abonnenten verschickt werden. Bitte denk daran, dich [[:m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|anzumelden]], wenn du diese Updates erhalten möchtest. <div style="margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;"> *'''Call for Feedback zu den Board-Wahlen''' - Wir laden Euch ein, Euch Euer Feedback zu den anstehenden Wahlen zum WMF Board of Trustees zu geben. Der Call for Feedback wurde am 10. Januar 2022 veröffentlicht und wird am 16. Februar 2022 enden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Call for Feedback about the Board elections|Weiterlesen]]) *'''Ratifizierung des Universellen Verhaltenskodex''' - Im Jahr 2021 befragte die WMF die Communitys, wie der Text des Universellen Verhaltenskodexes umgesetzt werden soll. Der überarbeitete Entwurf der Umsetzungsleitlinien sollte im März zur Abstimmung durch die Community bereit sein. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Universal Code of Conduct Ratification|Weiterlesen]]) *'''Movement Strategy Implementation Grants''' - Während wir weiterhin viele interessante Vorschläge prüfen, ermutigen und begrüßen wir weitere Vorschläge und Ideen, die auf eine spezifische Initiative aus den Empfehlungen der Movement Strategy abzielen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Movement Strategy Implementation Grants|Weiterlesen]]) *'''Die Neuausrichtung des Newsletters''' - Da der UCoC-Newsletter in den MSG-Newsletter übergeht, können Sie gemeinsam mit dem Moderatorenteam über die Neuausrichtung des Newsletters nachdenken und entscheiden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#The New Direction for the Newsletter|Weiter lesen]]) *'''Diff Blogs''' - Die neuesten Veröffentlichungen über MSG findest Du auf Wikimedia Diff. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Diff Blogs|Weiterlesen]])</div><section end="ucoc-newsletter"/> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 02:51, 29. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Wiki Loves Folklore is extended till 15th March == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">{{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]] Greetings from Wiki Loves Folklore International Team, We are pleased to inform you that [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore|Wiki Loves Folklore]] an international photographic contest on Wikimedia Commons has been extended till the '''15th of March 2022'''. The scope of the contest is focused on folk culture of different regions on categories, such as, but not limited to, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, etc. We would like to have your immense participation in the photographic contest to document your local Folk culture on Wikipedia. You can also help with the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|translation]] of project pages and share a word in your local language. Best wishes, '''International Team'''<br /> '''Wiki Loves Folklore''' [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 05:50, 22. Feb. 2022 (CET) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=22754428 --> == Nicht vergessen: beteiligt Euch an den Gesprächen zum UCoC und stimmt mit ab! == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo allerseits, Im Rahmen des Ratifikationsverfahrens für die Leitlinien zur Umsetzung des Universal Code of Conduct (UCoC) ist eine [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|'''Abstimmung in SecurePoll vom 7. bis 21. März 2022''']] geplant. Wahlberechtigte sind eingeladen, eine Umfragefrage zu beantworten und Kommentare zu teilen. [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information|Siehe Wahlinformationen und Details zur Wahlberechtigung]]. Bei der Umfrage werden die Wähler*innen gefragt, ob sie die Umsetzung des Universal Code of Conduct auf der Grundlage der vorgeschlagenen Leitlinien unterstützen. Der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) bietet eine Grundlage für akzeptables Verhalten für das gesamte "Movement". Die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinien im gesamten Movement veröffentlicht. In einer Erklärung des [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Board_noticeboard/January_2022_-_Board_of_Trustees_on_Community_ratification_of_enforcement_guidelines_of_UCoC|Wikimedia Foundation Board]] wird zu einem [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|Ratifikationsverfahren]] aufgerufen, bei dem die Stimmberechtigten die Möglichkeit haben, die Umsetzung der UCoC-Leitlinien in einer Abstimmung zu unterstützen oder abzulehnen. Wikimedianerinnen und Wikimedianer sind eingeladen, wichtige Informationen zu [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information/Volunteer|übersetzen und zu teilen]]. Weitere Informationen über den UCoC findest du auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|Projektseite]] und den [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/FAQ|häufig gestellten Fragen]] im Meta-Wiki. Folgende Veranstaltungen sind geplant, um mehr zu erfahren und zu diskutieren: * Ein [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations/Panel_Q&A|Community-Panel]] am 18. Februar 2022 um 15:00 UTC zeigt die Perspektiven von Teilnehmern kleiner und mittelgroßer Communities auf. * Das [[m:Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance]] (MSG) Team veranstaltet Gesprächsrunden am 25. Februar 2022 um 12:00 Uhr UTC und am 4. März 2022 um 15:00 Uhr UTC. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations|'''melde dich für diese Gesprächsrunden an''']], um mit dem Projektteam und dem Entwurfskomitee über die aktualisierten Leitlinien für die Umsetzung und das Ratifikationsverfahren zu sprechen. Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/2022_conversation_hour_summaries|Gesprächsrunde Hour summaries]] für Notizen vom 4. Februar 2022. Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org oder ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org Herzlichst, Movement Strategy and Governance <br /> Wikimedia Foundation <br /><section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:12, 25. Feb. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Coming soon == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> === Demnächst: Verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen === Hallo, ab dem 9. März werden verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen in deinem Wiki verfügbar sein: * Grundlegende Verbesserungen des [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor-Vorlagendialogs]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|1]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen von einer Seite entfernen (VisualEditor)|2]]), * Verbesserungen, um das Einfügen einer Vorlage auf einer Seite zu erleichtern ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen suchen und einfügen|3]]) (für die Vorlagendialoge in [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor]], dem [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:WikiEditor#/media/File:VectorEditorBasic-en.png|2010 Wikitext]] und dem [[Mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|neuen Wikitextmodus]]), * und Verbesserungen in der Erweiterung für die Syntaxhervorhebung [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserung der Farben der Syntaxhervorhebung|4]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Zusammengehörige Klammerpaare hervorheben|5]]) (die auf Wikis mit Schreibrichtung von links-nach-rechts verfügbar ist). Alle diese Änderungen sind Teil des Projekts „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Vorlagen]]“ der [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche|Technischen Wünsche bei WMDE]]. Wir hoffen, dass sie euch bei eurer Arbeit helfen werden und würden uns über euer Feedback auf den Diskussionsseiten dieser Projekte freuen. </div> - [[m:User:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:38, 28. Feb. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&oldid=22907463 --> == Universal Code of Conduct - Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien läuft vom 7. bis 21. März 2022 == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo zusammen, Die Abstimmung zur Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist jetzt eröffnet! Die '''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting|Abstimmung auf SecurePoll]]''' hat am 7. März 2022 begonnen und wird am 21. März 2022 abgeschlossen. Bitte [[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|lies mehr über die Informationen für Wähler und zur Wahlberechtigung]]. Der Universal Code of Conduct (UCoC) enthält die Grundregeln für akzeptables Verhalten im gesamten "Movement". Die überarbeiteten Leitlinien zur Umsetzung wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinie im gesamten "Movement" veröffentlicht. Du kannst [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|mehr über das UCoC-Projekt]] lesen. Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org Herzlichst, Movement Strategy and Governance Wikimedia Foundation<section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 18:03, 8. Mär. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Einladung Workshop neue Administratoren: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr == [[Datei:Wikipedia Administrator.svg|mini|alternativtext=Logo der Administratoren]] Der '''2. Adminworkshop''' der deutschsprachigen Wikipedia findet am Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr online statt. Teilnehmen können sowohl Administratorinnen und Administratoren als auch alle anderen Interessierten. Auf der Agenda stehen Maßnahmen zur Verbesserung der Einarbeitung und Dokumentation des Adminjobs. Weitere Infos zur Teilnahme findet ihr im neu gegründeten '''[[w:Wikipedia:WikiProjekt Administratoren/Workshops#2. Admin-Workshop: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr|WikiProjekt Administratoren]]'''. Weitere Workshops werden ebenfalls auf dieser Seite angekündigt.</br> Im Rahmen der [[w:Wikipedia:AdminConvention 2022|AdminCon 2022]] wurde der Wunsch geäußert die Zusammenarbeit unter den Admins zu verbessern und neue gewählte in die verantwortungsvollen Aufgaben einzuführen. Daraus hat sich das neue Format der regelmäßigen Workshops entwickelt. Die Schwesterprojekte möchten wir einladen sich zu beteiligen, um besser voneinander lernen zu können. Gruß, --[[Benutzer:Wnme|Wnme]] ([[Benutzer Diskussion:Wnme|Diskussion]]) 21:23, 11. Mär. 2022 (CET) == Juhu ich kann hier schreiben == Bin mal wieder da. Hab was im Wikipedia:Café gelesen und wollte was dazu schreiben. Jedoch schaut mal meine Benutzerseite in der Wikipedia an. Habe inzwischen über die Versionsgeschichte herausgefunden, das die Wikipedia keine freie Meinungsäußerung unterstützt ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2020/05/17#Benutzer:Serotas (hier - man beachte die Zeitstempel...)]. Jedenfalls die Regeln offensichtich viel zu locker gehandhabt werden. Barrierefrei ist das alles auch nicht. Im Sinne das man einfach herausfindet, warum denn dies nun da ist. Und das u.a. der Link zu meinem Projekt hier und der Beatmungsgerätegedanke von meiner Benutzerseite verschwunden ist, ist auch nicht nachvollziehbar [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer:Serotas&oldid=200010755 (hier die letzte Version meiner erstellten Seite)]. Habe da halt nicht mehr reingeschaut. Und eine Antwort ist nun auch nicht entstanden. Und natürlich schreib ich in die Artikelseiten der Wikipedia nichts rein, dass muss dort doch belegt sein. --[[Benutzer:Serotas|Serotas]] ([[Benutzer Diskussion:Serotas|Diskussion]]) 18:19, 13. Mär. 2022 (CET) :Was ist ein ANR und was ist ein BNR? Artikelnamensraum und Benutzernamensraum. Wunderbar geklärt. Barrierefreiheit bitte. (Wenn ich mich jetzt schon damit auseinandersetze, mache ich es gleich richtig. Manch einer ist wohl auf Verständlichkeit angewiesen.) --[[Benutzer:Serotas|Serotas]] ([[Benutzer Diskussion:Serotas|Diskussion]]) 18:32, 13. Mär. 2022 (CET) == Wiki Loves Folklore 2022 ends tomorrow == [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]] International photographic contest [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022| Wiki Loves Folklore 2022]] ends on 15th March 2022 23:59:59 UTC. This is the last chance of the year to upload images about local folk culture, festival, cuisine, costume, folklore etc on Wikimedia Commons. Watch out our social media handles for regular updates and declaration of Winners. ([https://www.facebook.com/WikiLovesFolklore/ Facebook] , [https://twitter.com/WikiFolklore Twitter ] , [https://www.instagram.com/wikilovesfolklore/ Instagram]) The writing competition Feminism and Folklore will run till 31st of March 2022 23:59:59 UTC. Write about your local folk tradition, women, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, folk games, folk cuisine, folk wear, folklore, and tradition, including ballads, folktales, fairy tales, legends, traditional song and dance, folk plays, games, seasonal events, calendar customs, folk arts, folk religion, mythology etc. on your local Wikipedia. Check if your [[:m:Feminism and Folklore 2022/Project Page|local Wikipedia is participating]] A special competition called '''Wiki Loves Falles''' is organised in Spain and the world during 15th March 2022 till 15th April 2022 to document local folk culture and [[:en:Falles|Falles]] in Valencia, Spain. Learn more about it on [[:ca:Viquiprojecte:Falles 2022|Catalan Wikipedia project page]]. We look forward for your immense co-operation. Thanks Wiki Loves Folklore international Team [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 15:41, 14. Mär. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=22754428 --> == Die Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien des Universal Code of Conduct ist beendet. == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo, Die Abstimmung über die Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist am 21. März 2022 zu Ende gegangen. Über {{#expr:2300}} Wikimedianer/innen haben in verschiedenen Regionen unseres "Movements" abgestimmt. Vielen Dank an alle, die sich an diesem Prozess beteiligt haben! Die Prüfergruppe überprüft jetzt die Abstimmung auf ihre Richtigkeit. Bitte gib ihnen bis zu zwei Wochen Zeit, um ihre Arbeit abzuschließen. Die endgültigen Ergebnisse der Abstimmung werden [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Results|hier]] bekannt gegeben, zusammen mit den relevanten Statistiken und einer Zusammenfassung der Kommentare, sobald sie verfügbar sind. Bitte sieh dir [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|die Wählerinformationsseite]] an, um mehr über die nächsten Schritte zu erfahren. Du kannst auf der Projekt-Talkseite [[m:Talk:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|im Meta-Wiki]] in jeder Sprache Kommentare abgeben. Du kannst das UCoC-Projektteam auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org Viele Grüße, Movement Strategy and Governance<br /><section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 03:19, 30. Mär. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen == [[File:New table of contents shown on English wikipedia.png|thumb]] Hallo! Habt ihr bemerkt, dass einige Wikis eine veränderte Desktop-Oberfläche haben? Interessiert ihr euch für die nächsten Schritte? Vielleicht habt ihr Fragen oder Ideen zum Design oder technischen Details? Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''29. April 2022 um 15:00 CEST, 20:00 CEST''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/88045453898 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 88045453898. [https://wikimedia.zoom.us/u/kcOMICmyyA Wähle dich über deinen Ort ein]. '''Agenda''' * Informationen zu den letzten Entwicklungen * Fragen und Antworten, Diskussion '''Format''' Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder gestreamt. Notizen werden in einem [https://docs.google.com/document/d/1G4tfss-JBVxyZMxGlOj5MCBhOO-0sLekquFoa2XiQb8/edit# Google Doc] aufgezeichnet. [[mw:User:OVasileva_(WMF)|Olga Vasileva]] (Produkt-Manager) veranstaltet das Treffen. Der Präsentationsteil findet auf Englisch statt. Wir können Fragen beantworten, die auf Englisch, Französisch, Italienisch und Polnisch. Wenn du im Voraus Fragen stellen möchtest, kannst du diese auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Diskussionsseite]] stellen oder an sgrabarczuk@wikimedia.org senden. At this meeting, both [[foundation:Friendly_space_policy|Friendly space policy]] and the [[mw:Special:MyLanguage/Code_of_Conduct|Verhaltensregeln]] for Wikimedia technical spaces apply. Für Zoom gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 02:29, 26. Apr. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=23201372 --> == New Wikipedia Library Collections Available Now - April 2022 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Hello Wikimedians! [[File:Wikipedia_Library_owl.svg|thumb|upright|The TWL owl says sign up today!]] [[m:The Wikipedia Library|The Wikipedia Library]] has free access to new paywalled reliable sources. You can these and dozens more collections at https://wikipedialibrary.wmflabs.org/: * '''[https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/128/ Wiley]''' – journals, books, and research resources, covering life, health, social, and physical sciences * '''[https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/125/ OECD]''' – OECD iLibrary, Data, and Multimedia​​ published by the Organisation for Economic Cooperation and Development * '''[https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/129/ SPIE Digital Library]''' – journals and eBooks on optics and photonics applied research Many other sources are freely available for experienced editors, including collections which recently became accessible to all eligible editors: Cambridge University Press, BMJ, AAAS, Érudit and more. Do better research and help expand the use of high quality references across Wikipedia projects: log in today! <br>--The Wikipedia Library Team 15:17, 26. Apr. 2022 (CEST) :<small>This message was delivered via the [https://meta.wikimedia.org/wiki/MassMessage#Global_message_delivery Global Mass Message] tool to [https://meta.wikimedia.org/wiki/Global_message_delivery/Targets/Wikipedia_Library The Wikipedia Library Global Delivery List].</small> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Samwalton9@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikipedia_Library&oldid=23036656 --> == Bald gibt es weitere Verbesserung rund um die Arbeit mit Vorlagen == [[File:Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors durch das Technische Wünsche Team.webm|thumb|Grundlegende Überarbeitung des Vorlagendialogs]] Hallo, in Kürze kommen weitere Verbesserungen rund um Vorlagen in dein Wiki: Der [[mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|'''Vorlagendialog''' im VisualEditor]] und im [[mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|2017 Wikitext-Editor]] (Beta-Funktion) wird '''grundlegend verbessert''': Dies soll dabei helfen, besser zu verstehen, was die Vorlage erwartet, wie man in der Vorlage navigieren kann, und wie man Parameter hinzufügt. * [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Diskussionsseite]] In der '''Syntaxhervorhebung''' ([[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]]-Erweiterung), kann ein Modus für '''Farbfehlsichtige''' in den Einstellungen aktiviert werden. * [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Diskussionsseite]] Die Bereitstellung soll am 10. Mai erfolgen. Dies sind die letzten Verbesserungen aus dem Themenschwerpunkt „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]” des Projekts [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. Wir freuen uns über Feedback auf den Diskussionsseiten! -- Für das Team Technische Wünsche: [[w:de:Benutzerin:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:26, 29. Apr. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&oldid=23222382 --> == <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">Editing news 2022 #1</span> == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <section begin="message"/><i>[[metawiki:VisualEditor/Newsletter/2022/April|Read this in another language]] • [[m:VisualEditor/Newsletter|Subscription list for this multilingual newsletter]]</i> [[File:Junior Contributor New Topic Tool Completion Rate.png|thumb|New editors were more successful with this new tool.]] The [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools#New discussion tool|New topic tool]] helps editors create new ==Sections== on discussion pages. New editors are more successful with this new tool. You can [[mw:Talk pages project/New topic#21 April 2022|read the report]]. Soon, the Editing team will offer this to all editors at the 20 Wikipedias that participated in the test. You will be able to turn it off at [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing-discussion]].<section end="message"/> </div> [[User:Whatamidoing (WMF)|Whatamidoing (WMF)]] 20:55, 2. Mai 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Quiddity (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&oldid=22019984 --> == Update zu den Desktop-Verbesserungen == [[File:Table of contents shown on English Wikipedia 02.webm|thumb]] ; Dies zum neuen Standard machen Hallo. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Unsere Arbeit ist fast beendet! 🎉 Wir würden uns freuen, wenn diese Verbesserungen der Standard für alle Leser und Autoren in allen Wikis werden würden. <span style="background-color:#fc3;">In den kommenden Wochen werden wir Gespräche mit weiteren Wikis beginnen, darunter auch deins. 🗓️</span> Gerne lesen wir eure Anregungen! Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs sowie Weiteres betreffen. Die Verbesserungen sind bereits auf mehr als 30 Wikis in den Standardeinstellungen für Leser und Autoren sichtbar, unter anderem in den Wikipedias auf [[:fr:|Französisch]], [[:pt:|Portugiesisch]] und [[:fa:|Persisch]]. Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector]-Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen. ; Die neuesten Funktionen * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Table of contents|Inhaltsverzeichnis]] - Unsere Version ist einfacher zu erreichen, erhält den Kontext der Seite und ermöglicht die Navigation auf der Seite, ohne zu scrollen. Es wird derzeit in unseren Pilot-Wikis getestet. Es ist auch für Benutzer verfügbar, die den Skin Vector 2022 aktiviert haben. * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Page tools|Seitenwerkzeuge]] - Es gibt nun zwei Arten von Links in der Seitenleiste. Es gibt Aktionen und Werkzeuge für einzelne Seiten (wie [[Special:RecentChangesLinked|Änderungen an verlinkten Seiten]]) und Links für das ganze Wiki (wie [[Special:RecentChanges|Letzte Änderungen]]). Wir werden diese in zwei intuitive Menüs aufteilen. ; Wie man die Verbesserungen aktiviert [[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]] * Es ist möglich, die Funktionen zu aktivieren, indem man [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|im Reiter "Aussehen" in den Einstellungen]] "{{int:skinname-vector-2022}}" auswählt. Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren. * In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors. ; Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Online-Treffen mit uns teilnehmen]]. Danke! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 17:54, 21. Jun. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=23201372 --> == Results of Wiki Loves Folklore 2022 is out! == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]] Hi, Greetings The winners for '''[[c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' is announced! We are happy to share with you winning images for this year's edition. This year saw over 8,584 images represented on commons in over 92 countries. Kindly see images '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Winners|here]]''' Our profound gratitude to all the people who participated and organized local contests and photo walks for this project. We hope to have you contribute to the campaign next year. '''Thank you,''' '''Wiki Loves Folklore International Team''' --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:12, 4. Jul. 2022 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=23454230 --> == Schlage Stellungnahmen für den Wahl-Kompass 2022 vor == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Liebe alle, Community-Mitglieder sind anläßlich der [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022|Wahl zum Board of Trustees 2022]] eingeladen, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|Vorschläge für Aussagen im Wahl-o-mat zu machen]]. Ein Wahl-o-mat ist ein Instrument, das den Wähler*innen hilft, die Kandidat*innen auszuwählen, die am besten mit ihren Überzeugungen und Ansichten übereinstimmen. Community-Mitglieder schlagen den Kandidat*innen Aussagen vor, die sie mit Hilfe einer Lickert-Skala (zustimmen/neutral/ nicht zustimmen) beantworten sollen. Die Antworten der Kandidat*innen auf die Aussagen werden in den Wahl-o-mat eingepflegt. Die Wähler/innen nutzen das Tool, indem sie ihre Antwort auf die Aussagen eingeben (zustimmen/ablehnen/neutral). Die Ergebnisse zeigen die Kandidat*innen, die am besten mit den Überzeugungen und Ansichten der Wähler*innen übereinstimmen. Hier ist die Zeitleiste für den Wahl-o-mat: 8. bis 20. Juli: Freiwillige schlagen Aussagen für den Wahl-Kompass vor 21. - 22. Juli: Der Wahlausschuss überprüft die Erklärungen auf ihre Klarheit und streicht themenfremde Erklärungen. 23. Juli - 1. August: Die Communitys stimmen über die Erklärungen ab 2. bis 4. August: Der Wahlausschuss wählt die 15 besten Stellungnahmen aus 5. bis 12. August: Kandidat*innen positionieren sich zu den Aussagen 15. August: Der Wahl-o-mat steht ab jetzt den Wahlberechtigten zur Verfügung, um sie bei ihrer Wahlentscheidung zu unterstützen. Der Wahlausschuss wird Anfang August die 15 besten Aussagen auswählen. Der Wahlausschuss wird den Prozess überwachen, unterstützt vom Movement Strategy and Governance Team. MSG prüft, ob die Fragen klar sind, ob es keine Duplikate gibt, ob es Tippfehler gibt und so weiter. Beste Grüße, Movement Strategy and Governance ''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''<br /><section end="announcement-content" /> [[User:Xeno (WMF)|Xeno (WMF)]] 17:17, 12. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Das Team "Movement Strategy and Governance" sucht nach Community-Mitgliedern, die sich als Wahlhelfer bei den anstehenden Wahlen zum Board of Trustees zur Verfügung stellen. Die Idee für das Wahlhelferprogramm entstand während der Wahlen zum Wikimedia Board of Trustees 2021. Das Programm erwies sich als erfolgreich. Mit Hilfe der Wahlhelfer*innen konnten wir die Reichweite und die Beteiligung an der Wahl im Vergleich zu 2017 um 1.753 Wähler/innen erhöhen. Die Wahlbeteiligung lag insgesamt bei 10,13 %, 1,1 Prozentpunkte höher, und 214 Wikis waren bei der Wahl vertreten. Aber in insgesamt 74 Wikis, die 2017 nicht teilgenommen haben, haben bei der Wahl 2021 Wähler*innen mitgemacht. Willst du mithelfen, die Beteiligung zu verbessern? Wahlhelfer*innen werden in den folgenden Bereichen helfen: * Übersetzen von Kurznachrichten und Ankündigung der laufenden Wahlen in den Kanälen der Communitys * Optional: Beobachte die Community-Kanäle auf Kommentare und Fragen der Communitys Freiwillige sollten: * Bei Gesprächsrunden und Veranstaltungen die Friendly-Space-Politik aufrechterhalten * Der Community die Leitlinien und Abstimmungsinformationen auf neutrale Art und Weise präsentieren Möchtest du dich als Wahlhelfer*in engagieren und dafür sorgen, dass deine Community bei der Wahl vertreten ist? Melde dich [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|hier]] an, um aktuelle Informationen zu erhalten. Du kannst die [[m:Special:MyLanguage/Talk:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|Diskussionsseite]] für Fragen zur Übersetzung nutzen.<br /><section end="announcement-content" /> [[User:MNadzikiewicz (WMF)| MNadzikiewicz (WMF)]] 10:45, 20. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> 0ekfpypow3bgjjvspupl6ehh4yzww5g 0 138851 770877 748386 2022-08-19T08:49:42Z Eric-schumacher 23857 /* Messwerkzeug/ Erstelltes Tool */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile außerschulischen Lernens = = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht ey0cjltoo0sm170jkwyyl7jbqhbqzjx 770878 770877 2022-08-19T09:05:14Z Eric-schumacher 23857 /* Vorteile außerschulischen Lernens */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernenorts "Kletterpark" =</br> </br> Allgemein:</br> * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> Bezogen auf den Mathematikunterricht: KOMPETENZEN:</br> • Mathematisch argumentieren (K1): Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • Probleme mathematisch lösen (K2): Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. • Mathematisch modellieren (K3): Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. • Mathematische Darstellungen verwenden (K4): Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5): Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> LEITIDEEN: • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br></br> Bezogen auf den Sportunterricht: * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht oyap4xnu1eqjbi5qcc5v9yhzqhgqyck 770880 770878 2022-08-19T09:10:35Z Eric-schumacher 23857 /* Notwendigkeit */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> </br> Allgemein:</br> * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> Bezogen auf den Mathematikunterricht: '''KOMPETENZEN''':</br> • Mathematisch argumentieren (K1): Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • Probleme mathematisch lösen (K2): Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. • Mathematisch modellieren (K3): Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. • Mathematische Darstellungen verwenden (K4): Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5): Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br></br> Bezogen auf den Sportunterricht: * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 0d6zurlxw3v1gwcu3g5cbzpua400ll2 770881 770880 2022-08-19T09:11:02Z Eric-schumacher 23857 /* Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> </br> Allgemein:</br> * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> Bezogen auf den Mathematikunterricht: </br> '''KOMPETENZEN''':</br> • Mathematisch argumentieren (K1): Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • Probleme mathematisch lösen (K2): Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. • Mathematisch modellieren (K3): Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. • Mathematische Darstellungen verwenden (K4): Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5): Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br></br> Bezogen auf den Sportunterricht: * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 08f2kqo87fndpd8kmac1xwd8vbb2wrw 770882 770881 2022-08-19T09:13:02Z Eric-schumacher 23857 /* Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> </br> # Allgemein:</br> * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> # Bezogen auf den Mathematikunterricht: </br> '''KOMPETENZEN''':</br> • Mathematisch argumentieren (K1): Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • Probleme mathematisch lösen (K2): Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. • Mathematisch modellieren (K3): Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. • Mathematische Darstellungen verwenden (K4): Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5): Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> # Bezogen auf den Sportunterricht: * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 677cki1q8pnuszgugmycazwqfaa4b0r 770883 770882 2022-08-19T09:16:46Z Eric-schumacher 23857 /* Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> Allgemein:</br> * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> Bezogen auf den Mathematikunterricht: </br> '''KOMPETENZEN''':</br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • Mathematische Darstellungen verwenden (K4): Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5): Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> Bezogen auf den Sportunterricht: * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 60a9o7vyjb8nau5evjumcgfnirzrrgk 770884 770883 2022-08-19T09:18:03Z Eric-schumacher 23857 /* Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> Allgemein:</br> * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> Bezogen auf den Mathematikunterricht: KOMPETENZEN:</br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> Bezogen auf den Sportunterricht: * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 4f4xxks0esc3e23sln6jbptitm7bq1c 770885 770884 2022-08-19T09:18:52Z Eric-schumacher 23857 /* Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) </br> </br> == Mathematikunterricht: == KOMPETENZEN:</br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht pdh3zxtah5w4tp3f24fkoiyxwcni5af 770886 770885 2022-08-19T09:19:16Z Eric-schumacher 23857 /* Allgemein: */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == KOMPETENZEN:</br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 67soo29ug3k693m2zmpwpe442sjzy58 770887 770886 2022-08-19T09:19:34Z Eric-schumacher 23857 /* Mathematikunterricht: */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == '''KOMPETENZEN:''' </br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • Messen: Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • funktionaler Zusammenhang: Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • Algorithmus und Zahl: Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht sqlkdfjvdp2ls9kwhuq74xbn29bzd4q 770888 770887 2022-08-19T09:20:20Z Eric-schumacher 23857 /* Mathematikunterricht: */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == '''KOMPETENZEN:''' </br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • ''Messen:'' Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • ''funktionaler Zusammenhang:'' Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • ''Algorithmus und Zahl:'' Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht m7dfxax2w86668top2u0uat4860wlzu 770889 770888 2022-08-19T09:20:55Z Eric-schumacher 23857 /* positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == '''KOMPETENZEN:''' </br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • ''Messen:'' Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • ''funktionaler Zusammenhang:'' Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • ''Algorithmus und Zahl:'' Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht 5g7lz7qrwzjm54kxkcthrazkmaxzgdg 770892 770889 2022-08-19T09:29:19Z Eric-schumacher 23857 /* Notwendigkeit */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte = Das Verlassen des Klassenzimmers sollte immer in Hinblick auf deine Chancen begründet werden und sollte nie zum reinen Selbstzweck werden. Allerdings gehen mit einem außerschulischen Lernortbesuch auch Herausforderungen einher, welche von der Lehrkraft in die Entscheidungsfindung eines passenden Lernortes beachtet werden müssen. Die nachfolgende Tabelle bildet stichpunktartig Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte ab, die Poisch ? in dem Werk "Begegnungen der Wirklichkeit" ausführlich erläutert: </br> {| class="wikitable" |+ Text der Überschrift |- ! Überschrift !! Überschrift |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == '''KOMPETENZEN:''' </br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • ''Messen:'' Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • ''funktionaler Zusammenhang:'' Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • ''Algorithmus und Zahl:'' Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht dwifr2cniga2m83csrkmq3468qimvrk 770893 770892 2022-08-19T09:29:57Z Eric-schumacher 23857 /* Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte = Das Verlassen des Klassenzimmers sollte immer in Hinblick auf deine Chancen begründet werden und sollte nie zum reinen Selbstzweck werden. Allerdings gehen mit einem außerschulischen Lernortbesuch auch Herausforderungen einher, welche von der Lehrkraft in die Entscheidungsfindung eines passenden Lernortes beachtet werden müssen. Die nachfolgende Tabelle bildet stichpunktartig Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte ab, die Poisch ? in dem Werk "Begegnungen der Wirklichkeit" ausführlich erläutert: </br> {| class="wikitable" |+ |- ! Chancen!! Herausforderungen |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Beispiel |} = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == '''KOMPETENZEN:''' </br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • ''Messen:'' Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • ''funktionaler Zusammenhang:'' Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • ''Algorithmus und Zahl:'' Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht re00qx1y8y98dnd1jyxto47157sivg0 770894 770893 2022-08-19T09:33:51Z Eric-schumacher 23857 /* Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte = Das Verlassen des Klassenzimmers sollte immer in Hinblick auf deine Chancen begründet werden und sollte nie zum reinen Selbstzweck werden. Allerdings gehen mit einem außerschulischen Lernortbesuch auch Herausforderungen einher, welche von der Lehrkraft in die Entscheidungsfindung eines passenden Lernortes beachtet werden müssen. Die nachfolgende Tabelle bildet stichpunktartig Chancen und Herausforderungen außerschulischer Lernorte ab, die Poisch ? in dem Werk "Begegnungen der Wirklichkeit" ausführlich erläutert: </br> {| class="wikitable" |+ |- ! Chancen!! Herausforderungen |- | Öffnung des Schulunterrichts|| Gefahr kognitiver Überforderung |- | regionale Identität und gesellschaftliche Teilhabe- und Wissenschaftsbezug|| Planungsaufwand |- | Primärerfahrungen || Experten-Laien-Kommunikation |- | authentische Kontexte|| Kosten |- | fächerübergreifende Inhalte|| - |- | Beispiel || - |} = Vorteile des außerschulischen Lernorts "Kletterpark" = </br> == Allgemein:</br> == * Kletterparks befinden sich häufig in dichtbewachsenen Wald. Dieser spendet an heißen Sommertagen schatten und schützt zugleich vor leichtem Regen. Folglich ist der Besuch des Kletterparks weniger anfällig für Absagen aufgrund äußerer Einflüsse * affektive Komponente * Möglichkeiten zum Fächerübergreifendem Unterricht (Sport, Mathematik, Physik, Informatik etc.) * für viele Schüler unterschiedlicher Altersstufen und Leistungsniveaus zugänglich * Möglichkeiten zur Inklusion (werden später in einem separatem Abschnitt erläutert) == Mathematikunterricht: == '''KOMPETENZEN:''' </br> • ''Mathematisch argumentieren (K1)'': Durch die entdeckten Zusammenhänge der verschiedenen kinematischen Größen, welche sowohl gemessen als auch erlebt wurden, sind die Schüler in der Lage, mathematischer Aussagen zu verstehen und zu bewerten. </br> • ''Probleme mathematisch lösen (K2):'' Die Kompetenz wird dahingehend gefördert, indem die Schüler mit dem Differenzenquotienten bzw. Differenzialquotienten und der Trapezregel Verfahren anwenden können um Ableitungen und Integrale berechnen zu können. Die Lernenden können somit „einen Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden“. </br> • ''Mathematisch modellieren (K3)'': Durch den Wechsel zwischen erlebter Realsituationen im Kletterpark und mathematischen Berechnungen via Calc können die Schüler ein mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen sowie dessen Ergebnisse interpretieren. </br> • ''Mathematische Darstellungen verwenden (K4)'': Durch den zielgerichteten Einsatz einer Tabellenkalkulation fördern die Schüler ihre Kompetenzen hinsichtlich der Auswahl geeigneter Darstellungsformen sowie dem Erstellen mathematischer Darstellungen. Dazu gehören sowohl Diagramme, Graphen, Tabellen als auch Formeln. Anforderungsbereich. Darüber hinaus können sie die Darstellungen interpretieren bzw. eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln.</br> • ''Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)'': Zuletzt wird durch die Anwendung der App PhyPhox in Verbindung mit einer Tabellenkalkulation auch der sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen gefördert. Die Lernenden können diese Hilfsmittel nutzen und formale mathematische Verfahren der Tabellenkalkulation anwenden. Darüber hinaus können sie die Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren. Diese zeigen sich beispielsweise während der Grenzwertbildung diskreter Messwerte oder bei der beschränkten Messfrequenz einiger Sensoren. </br> </br> '''LEITIDEEN:''' </br> • ''Messen:'' Diese mathematische Leitidee wird dahingehend gefördert, dass die Schüler durch die beschriebenen Aktivitäten befähigt werden, Sekanten- und Tangentensteigungen an Graphen zu bestimmen, Änderungsraten zu berechnen und deuten sowie Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenz sind, zu ermitteln. </br> • ''funktionaler Zusammenhang:'' Die Schüler können die Verknüpfungen von Graphen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen. Darüber hinaus sind sie in der Lage, die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate zu deuten, die Änderungsraten funktional zu beschreiben und interpretieren sowie den Ableitungsgraphen zur Bestimmung von Extrema zu nutzten. Ebenso können sie den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln, das bestimmte Integral, insbesondere als rekonstruierten Bestand, zu deuten und geometrisch-anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff zu begründen. </br> • ''Algorithmus und Zahl:'' Die Vorstellung reeller Zahlen wird hin zu Annäherungen mittels infinitesimaler Methoden erweitert. Somit können sie Schüler Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen </br> </br> == Sportunterricht: == * Teambuilding-Maßnahme * Sozialkompetenz durch gegenseitige Hilfestellungen * Möglichkeit zum "lebenslangem Sporttreiben" * Erwerb, die Erweiterung sowie die Verbesserung motorischer Fähigkeiten und Fertigkeiten * Entwicklung der Wahrnehmungsfähigkeit für körperliche sowie psychische Reaktionen * Aufgezählter Listeneintrag = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht i72uigeyc7zl7eqguou9t7t7fzkxeca 106 142542 770811 767799 2022-08-18T16:44:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |kontrolle={{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |Referenzabgleich={{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |#default= {{Umrahmung/grün|{{Arbeitsblatt|{{{1|}}}|{{{2|}}}{{:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt/Fuß|{{{1|}}}|}}|}}|}} }} <noinclude> [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Hilfsstruktur]] </noinclude> r0uopltf5kiw7sdsd4ny8ewisxnsmts 106 142564 770755 767821 2022-08-18T12:54:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|20| {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} }} 2s6ap14sjqflkpdr2w0ul3oqkxtroy5 770756 770755 2022-08-18T12:55:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|20| {{ inputfakt |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} }} 5xni32g8dc8ay3x4uke9v5x5jghjuno 106 142635 770780 767892 2022-08-18T15:58:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|1| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} Auf einer Kugeloberfläche {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} nennt man einen Durchschnitt von {{math|term=K|SZ=}} mit einer Ebene, die durch den Kugelmittelpunkt läuft, einen {{Stichwort|Großkreis|SZ=}} auf {{math|term=K|SZ=.}} Zwei Punkte {{ mathbed|term= P,Q \in K ||bedterm1= P \neq Q ||bedterm2= |SZ=, }} heißen {{Stichwort|antipodal|SZ=,}} wenn ihre Verbindungsgerade durch den Kugelmittelpunkt läuft. {{ inputaufgabe |Sphäre/Großkreis/Durch zwei Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbild |Planned flight map of the Oiseau Blanc|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Warum fliegt das Flugzeug einen Bogen? |Autor= |Benutzer=Pethrus |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Flugzeug/Osnabrück/Südhalbkugel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sonnenschein/Zeitzonen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Abstände in Standardkarten/Differenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass man über Karten im Allgemeinen keinen sinnvollen Abstandsbegriff auf einer Mannigfaltigkeit erhalten kann. Eine natürliche Metrik auf der Einheitssphäre ergibt sich durch die induzierte Metrik des {{math|term=\R^3|SZ=}} oder durch den geodätischen Abstand, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Einheitssphäre/Metrik über Großkreis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Halboffenes Intervall/Keine topologische Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halboffenes Intervall/Kreis/Stetige Bijektion/Kein Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eindimensionale Mannigfaltigkeiten/R, 1-Sphäre, R punktiert/Nicht homöomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus 1 durch x/Keine Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Offener euklidischer Ball/Diffeomorph zu R^n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Beschreibung von offenen Halbsphären/Nicht von 3 überdeckt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Zylinder/Punktierte Ebene/Sphäre ohne Pole/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsmenge/Positive Funktion oder Nullstelle/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Zusammenhängend/Wegzusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Übergangsabbildungen/Kozykelbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitskugel/Kozykelbedingung für Standardkarten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Großkreise durch Pole/Bild unter stereographischer Projektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Metrik über Großkreis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Nordpol und (1,0,0)/Abstand längs Ebenenschnitt/Abhängigkeit vom Winkel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Injektive stetige Abbildung/R nach S^2/Bild unendliche Länge/Pole als Limiten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achsenkreuz/Keine topologische Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgabe zum Hochladen}} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Nordpol und (1,0,0)/Abstand längs Ebenenschnitt/Animation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} gvtbwpehumpkg69kq66lahi1knzd9wy 106 142636 770781 767893 2022-08-18T15:59:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Überdeckungskriterium für differenzierbare Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Karte ist Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sphäre/Stereographisch/Koordinaten des Raumes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Ringhomomorphismus auf Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinateneinbettung/R^m in R^n/Differenzierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Zylinder/Punktierte Ebene/Sphäre ohne Pole/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition. {{:Funktion/K/Homogen/Definition||}} {{ inputaufgabe |Homogene Funktion/Faser/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsmenge/Positive Funktion/Differenzierbar/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ellipsoidoberfläche und Sphäre/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit/Ohne Punkt/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^n/Antipodenabbildung/Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Viele Diffeomorphismen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt. {{:Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition|}} {{ inputaufgabe |Topologische Mannigfaltigkeit/Folge/Konvergenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologische Mannigfaltigkeit/Rekonstruktion aus Karten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im {{math|term=\R^n|SZ=}} mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Übergangsabbildungen/Kozykelbedingung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom {{Stichwort|offenen Verkleben|msw=Offenes Verkleben|SZ=}} von Räumen. {{ inputaufgabe |Zwei Geraden/Verklebung/1-Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade/Verdoppelter Punkt/Verklebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} In der folgenden Aufgabe interpretiere man {{math|term={{CC}}|SZ=}} als {{math|term=\R^2|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Komplexe Multiplikation/Fasern/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sphäre/Zwei Punkte/Überführender Diffeomorphismus/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbeneigenschaft/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nicht einpunktig/C^1-Funktionen/Nullteiler/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 5oeaytx9njenmmrwmpatcywqu293273 106 142637 770783 767894 2022-08-18T15:59:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |2-Sphäre/Tangentialvektor/Großkreis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zylinder/Tangentialvektor/Realisierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeiten/Differenzierbare Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Nicht surjektiv/Tangentialabbildung überall bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitskreis/Nicht injektiv/Tangentialabbildung überall bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Addition über Karte/Nicht wohldefiniert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Trigonometrische Parametrisierung/Tangentialabbildung punktweise/Bijektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Surjektiv/Tangentialabbildung im Punkt/Nicht surjektiv/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Injektiv/Tangentialabbildung im Punkt/Nicht injektiv/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Funktionskeim in einem Punkt/Äquivalenz und Ringstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bildtopologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die in der vorstehenden Aufgabe eingeführte Topologie nennt man {{Stichwort|Bildtopologie|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Z^n in R^n/Äquivalenzrelation/Quotient ist hausdorffsch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Tangentialraum/Skalarmultiplikation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Höhere tangentiale Äquivalenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kurvenkeim/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n mod Z^n/Mannigfaltigkeitsstruktur/Differenzierbare Abbildung/Tangentialabbildung bijektiv/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} q3qp23cwghgx70lc43521qn3tzo104h 106 142638 770784 767895 2022-08-18T16:00:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Russell-Kubik/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matrizenmenge/Determinante ist 1/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Abgeschlossene Teilmenge/Keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten im R^n/(Disjunkte) Vereinigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph einer differenzierbaren Funktion/Ist abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nilpotente Matrizen/2x2/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Tangentialvektor/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Projektion ist stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Tangentialabbildung/Stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialbündel/Basis der Topologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialabbildung/(x,y,z) nach (x^2y-3xz^3+y^2,x sin y -e^yz)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/Weg/Tangentialbündel/Basiskonvergenz/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Untermannigfaltigkeit/Tangentialabbildung/Addition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Untermannigfaltigkeit/Tangentialabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Abgeschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetiges Vektorfeld/S^2/Nur eine Nullstelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sphäre/Drehbewegung/Vektorfeld/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/ux^m+vy^n ist 1/x-y-Projektion/Fasern/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R nach R^2/x nach (x^2,x^3)/Injektiv und Bild abgeschlossen/Keine Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tangentialbündel/S^1/Trivial/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines {{math|term=R|SZ=-}}Moduls verwendet {{ Zusatz/Klammer |text=das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes| |ISZ=|ESZ=. }} {{:Kommutative Algebra/Modul/Definition}} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfelder als Modul über Ring/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 3242cpbprvsw2yhktqrx6ek9ibmx3ti 106 142639 770785 767896 2022-08-18T16:01:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Karten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktierte Ebene/Produktmannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Wegzusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vertauschung/Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Rotationsmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Sphäre/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Sphäre/Nicht homöomorph/Heuristisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Ohne Diagonale/Diffeomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Surjektive Abbildung von Ebene/Surjektive Tangentialabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreislinie/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/R/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1xR/Spiegelung/Selbstinverser Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Surjektive Abbildung mit Struktur/Vektorraumstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Zwei Punkte/Gemeinsame Kartenumgebung/Quadrat/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Rechenbeispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgabe zum Hochladen}} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Animation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 665vaceuepof6ylsk45r9xm7b72874d 106 142640 770786 767897 2022-08-18T16:01:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputbild |Diciembre|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |Text=Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten! |Autor= |Benutzer=Lumentzaspi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Multilineare Abbildung/Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/(2,3,2) \wedge (4,-1,5)/Standardbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt {{Stichwort|Dualbasis|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Basis/Dualbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Determinantenabbildung zu fixierten Dualformen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^2 nach R^3/4 -1 0 7 2 3/Zweites Dachprodukt in Standardbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geschenkpapier/Verkleben/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Mannigfaltigkeiten/Theorieaufbau/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |R^3/(-2,5,-4) \wedge (7,-2,4)/Standardbasis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^4/-2 (3,6,-2,5) \wedge (2,7,4,0) \wedge (0,3,-4,-2) +4 (1,2,3,4) \wedge (1,-1,-2,3) \wedge (7,6,5,-4) /Standardbasis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweites Dachprodukt des R^n/Flächeninhalt von Parallelotopen faktorisiert/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3 nach R^3/4 -2 5 6 8 -3 1 4 -1/Zweites Dachprodukt in Standardbasis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Abbildung mit fixierten Dachprodukt/Alternierend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/Zweites Dachprodukt/Standardbasis und Dachbasis zu (9,8,1), (4,7,-3), (2,5,-2)/Umrechnung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} n5n0c96ggnp0xsr6lesfl59r1x05no5 770787 770786 2022-08-18T16:01:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Multilineare Abbildung/Vektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/(2,3,2) \wedge (4,-1,5)/Standardbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt {{Stichwort|Dualbasis|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Basis/Dualbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Determinantenabbildung zu fixierten Dualformen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^2 nach R^3/4 -1 0 7 2 3/Zweites Dachprodukt in Standardbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geschenkpapier/Verkleben/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Mannigfaltigkeiten/Theorieaufbau/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |R^3/(-2,5,-4) \wedge (7,-2,4)/Standardbasis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^4/-2 (3,6,-2,5) \wedge (2,7,4,0) \wedge (0,3,-4,-2) +4 (1,2,3,4) \wedge (1,-1,-2,3) \wedge (7,6,5,-4) /Standardbasis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweites Dachprodukt des R^n/Flächeninhalt von Parallelotopen faktorisiert/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3 nach R^3/4 -2 5 6 8 -3 1 4 -1/Zweites Dachprodukt in Standardbasis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Abbildung mit fixierten Dachprodukt/Alternierend/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^3/Zweites Dachprodukt/Standardbasis und Dachbasis zu (9,8,1), (4,7,-3), (2,5,-2)/Umrechnung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} qpbkh8n75s98l7fld6hj6z1obpriuy9 106 142641 770788 767898 2022-08-18T16:02:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputbild |DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen| |Text= |Autor=Börnsen |Benutzer=NobbiP |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Spiegel/Orientierungsbeobachtungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Basis/Negation eines Vektors/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/2x2/2 4 -5 7 und -3 6 2 -5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/(1,0,4),(2,4,-3),(0,3,-5) und (-3,7,2),(-4,5,-1),(-6,0,11)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/1 2 3 und 0 2 -2 und x 5 7/Abhängig von x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von orientierten Mannigfaltigkeiten/Orientiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition|}} {{ inputaufgabe |S^1/Antipodal/Orientierungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von orientierter Mannigfaltigkeit/Vertauschung ist nicht unbedingt orientierungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Raum/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Endliche viele kompakte Teilmengen/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/S^1/Stetig/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/R/Stetig/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Nicht überdeckungskompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Diskrete Metrik/Abgeschlossen und beschränkt/Nicht kompakt//Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Orientierung/3x3/2 4 -5 7 6 -1 0 2 -3 und -3 6 2 -4 4 -2 -5 0 13/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexer Vektorraum/Als reeller Vektorraum orientiert/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |2-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/Stetige Abbildung von Intervall nach Basen/Konstante Orientierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} oakm464u1jod6jsdvkvp5mkiw10u6fk 106 142642 770789 767899 2022-08-18T16:02:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Topologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen. {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^m |Mannigfaltigkeit| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} und {{mathl|term=\ell < m|SZ=}} ist, so bezeichnet man mit {{mathl|term= {{symbol:Differentialformen|U|k|\ell}}|SZ=}} die Menge der {{math|term=\ell|SZ=-}}fach stetig differenzierbaren {{math|term=k|SZ=-}}Differentialformen. {{ inputaufgabe |Differentialformen/Modul über Funktionenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialform/Ableitung einer Funktion/Auswertung an Tangentialvektor/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialformen/Zurückziehen auf M in R^n/f und df/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen von Differentialformen/Eindimensional/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweites Dachprodukt/(x,y,z) nach (xyz^2,xy-z^3)/(1,3,5)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen einer Differentialform/R^2 ohne (0,0) nach R^2 ohne (0,0)/(u,v) nach (u^2,v^3-u)/1 durch x^2+y^2 dxdy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen einer Differentialform/Punktierte Ebene nach S^1/Längenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialform/Zurückziehen/dxdydz-wdxdydw+cos(xy)dxdzdw-ywdydzdw/Unter (r^2s,t, sin r, e^(st))/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen von Differentialformen/Verträglichkeit mit skalarer Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kettenregel/Verträglichkeit von Ableitung und Zurückziehen von Funktion und Differentialform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Dachprodukte des Kotangentialbündels/Topologie/Charakterisierung der Stetigkeit von Differentialformen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen von Differentialformen/Dachprodukt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen einer Differentialform/R^3 ohne 0 nach R^3 ohne Gerade/(u,v,w) nach (uvw,u^2-vw^5,u^2+v^2+w^2)/z^2dxdy+xy durch z dxdz+(xe^y-z)dydz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^2 in R^3/Wann ist dx und dy Basis auf Kotangentialraum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} t8xokkxwpclxh8zm7vby8muzlgwy54q 106 142643 770791 767900 2022-08-18T16:03:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|9| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe||def1=&nbsp;84.3 |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Standardform/Integration über Teilmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integration auf Mannigfaltigkeiten/Nullmengen/Ignorierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Abzählbare Topologie/Nullmengen/Unabhängig von Volumenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/Faser/Gradient/Längenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^2/Faser/Gradient/Flächenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/Trigonometrischer Kreis/xdx+ydy etc/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/x^3dx-yzdy+xz^2dz/(-t^2,t^3-1,t+2)/-1 bis 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegrale/t nach (t,t^(-1))/(u,v) nach (u^2,uv,-u+v^2)/xdx-zdy+dz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegrale/t nach (t,t^3)/(u,v) nach (u^3,u^2+v^2,u^-1+v^-1)/(x-y)dx-z^2dy+dz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |S^2 in R^3/Wann ist dx und dy Basis auf Kotangentialraum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Volumenform/Kleinere Dimension/Nullmenge/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/R^2/Monomiale Daten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wegintegral/Trigonometrische Helix/(y-z^3)dx+x^2dy-xzdz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 488zmj7idq8xsa2palpnbbypcxqa4o7 106 142644 770792 767901 2022-08-18T16:04:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Offene euklidische Teilmenge/Riemannsch/Kanonische Form/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Riemannsche_Mannigfaltigkeit/Vektorfelder_und_1-Formen/Linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Offene euklidische Teilmenge/Vektorfelder und 1-Differentialformen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Form/Wert an jeder Orthonormalbasis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierter Vektorraum/Borel-Lebesgue-Maß/n-Form/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Karte/Keine Isometrie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/(u,v) nach u^2+uv-v^3/Von Tangentialvektoren aufgespannte Parallelotope/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/Reguläre Funktionen/Volumenform/Orthogonale Gradienten und Skalarprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sphäre/Faser/Flächenform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} definiert man zu einem Tangentialvektor {{mathl|term=v \in T_PM|SZ=}} die Norm durch {{mathl|term= {{op:Norm|v|}} =\sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v|v}}_P }|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Norm ist stetig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Hesse-Form zu x^2+y^4/RxR+/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einheitssphäre/Orthonormalbasis in jedem Punkt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Flächenberechnung/Ellipsoid x^2+y^2+3z^3 \leq 5/Ebene 7x-3y-2z ist 2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zurückziehen von Vektorfeldern auf R^n/Skizze/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} bn4owrhnon9sqrkn7ta13vbxs0etczw 106 142645 770794 767902 2022-08-18T16:04:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph zu linearer Funktion/Maßberechnung/Konstant/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/(sin 1 durch y,y)/Diskutiere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Graph der Exponentialfunktion im Negativen/Kleiner 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kartenbeispiele/Auf Einheitskugel/Surjektiv bis auf Nullmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kartenbeispiele/Auf Einheitskugel/Finde Formeln für partielle Umkehrabbildungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Längenkreis und Breitenkreis/Senkrecht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erde/Breitenkreis 30/Länge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erde/Sonnenseite/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Ellipsoid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Großkreise auf Karte/Horizontale Zylinderprojektion/Infimum und Supremum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stereographische Projektion/Flächenform/Inhalt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Graph als riemannsche Mannigfaltigkeit/Flächeninhalt von x^2+y/Über Quadrat/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsfläche/Parabelbogen/Keine Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kugeloberfläche/Als Rotationsfläche/Flächeninhalt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Als Rotationsfläche/Flächeninhalt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erdkugel/Abstand/Osnabrück und Bangalore/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Erde/Breitenkreis 30/Länge auf verschiedenen Karten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 7koz80de0b2iab6pnzfsxnuftztmya6 106 142646 770795 767903 2022-08-18T16:05:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/(x^2-y^3)dx+x^3y^2dy/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/xy^2dx+yzdy+x^3dz/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/x^2 durch y dx- x durch y^2 dy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/e^(xz)dx wedge dy -xyz dx wedge dz + (sin (cos (xy))+y^(10)z^(100))/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/sin^3(t^4) durch 1+t^2/Und dt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/xdxdy+xy^2zdydz+xe^ydxdz/Bestimme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |(2x-siny)dx-xcosydy/Geschlossen und exakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialform/Rückzug/Exakt und geschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/Vektorfeld/Geschlossen gdw Integrabilitätsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/Vektorfeld/Exakt gdw Gradientenfeld/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgenden Aufgaben vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Vektorfeld/(x,y) nach (-y,x)/Nicht integrabel/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Vektorfeld/(x,y) nach (-y,x)/Nicht integrabel/Formversion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorfeld/Punktierte Ebene/(x,y) nach (-y,x) durch x^2+y^2/Integrabel nicht exakt/Formversion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Offene Menge/R^n/n-Form/Exakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Form/Mannigfaltigkeit/Exakt gdw Wegintegrale endpunktabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Rückzug einer volldimensionalen Form/Geschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R_+ definierte Funktionen/Differenzierbare Fortsetzung nach 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbraum/In R^n offene Umgebung/Kein Randpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbräume/Übertragung von Begriffen/Diffeomorphismus, Totales Differential, Höhere Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/xy^2z^3dx+xyzdy+x^3yz^4dz/Bestimme/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Äußere Ableitung/xy^2dxdy+(x^3-y^2z^4)dydz+sin(xy)dxdz/Bestimme/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialform/Äußere Ableitung/Mehrfaches Dachprodukt/Formel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |(2xy+3x^2-ye^(xy))dx+(x^2-xe^(xy)+8y)dy/Geschlossen und exakt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbebene und Quadrant/Homöomorph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} harig3ximbakuwu3s9aacjw88jlevwt 106 142647 770796 767904 2022-08-18T16:05:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Kleidung/Mannigfaltigkeit mit Rand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kugeloberfläche/Kreis/Berandete Mannigfaltigkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit mit und ohne Rand/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Annulus/Zylinder/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Ebene/Eindimensionale Teilmenge/Mannigfaltigkeit mit Rand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit mit Rand/Innerer und äußerer Halbweg/Äquivalenz/Tangentialraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit mit Rand/Durchgängiger Weg/Tangential zum Rand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit mit Rand/Offene Teilmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbraum/Randpunkt/Keine offene Menge im Raum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbraum/Offene Menge/Diffeomorphismus/Offene Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisscheibe/Standardorientierung/Randorientierung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputbild |Not-star-shaped|svg| 200px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Kreisring/Explizite Karten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbebene und Quadrant/Nicht diffeomorph/Aufgabe|p| |zusatz=(Was ist hierbei der geeignete Diffeomorphiebegriff?) |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweifach punktierte Kreisscheibe/Offenes x abgeschlossenes Intervall/Diffeomorph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diffeomorphismus/Halbraum_auf_Halbraum/Induziert_Diffeomorphismus/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kugeloberfläche/Standardorientierung/Nordpol/(2,1,0) und (3,-1,0)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} e3zcyqhta6e9moofxhatzpxw2ruuar0 106 142648 770798 767905 2022-08-18T16:06:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist topologischer Rand des Komplementes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Einige Funktionen auf R/Ihr Träger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Funktion/Träger/Stetigkeitstest/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilmenge/Abschluss und Träger der Indikatorfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Kompakte Ausschöpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n/Kompakte Ausschöpfung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition der Eins/Triviale Überdeckung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Partition der Eins/Indikatorfunktionen zu Punkten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Kompakte Ausschöpfung durch abgeschlossene Intervalle/Überdeckung durch offene Intervalle/Lokal endliche Intervalle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossenes Einheitsintervall/Partition der 1/0 im Träger/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Halbraum/Offene Menge/Differenzierbare Funktion/Gemeinsame Fortsetzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R nach R/Differenzierbar/Kompakter Träger/Ableitung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R \geq 0 nach R/Differenzierbar/Kompakter Träger oder nicht/Satz von Stokes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Kompakte Ausschöpfung/Beziehung der Teilmengen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Stetige Partition der Eins/Zu Intervallen der Länge 3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^2/Kompakte Ausschöpfung durch abgeschlossene Bälle/Überdeckung durch offene Kreisringe/Lokal endliche Bälle/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Keine kompakte Ausschöpfung/Beispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} cy46c6uc0sem9kijbjhejrvr79i5z5u 106 142649 770799 767906 2022-08-18T16:06:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Spezialfall zu Stokes/Diskussion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz von Stokes/Quaderversion/Monom/Direkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geschlossene Differentialform/Wert über Rand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand/n-1-Form/Integral ist 0/Aufgabe|| |zusatz=Was bedeutet diese Aussage für {{math|term=S^1|SZ=?}} Wie kann man diese Aussage in diesem Fall über ein Wegintegral beweisen? |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand/Positive Volumenform/Nicht exakt/Aufgabe|| |zusatz=Wie sieht dies ohne die Kompaktheitsvoraussetzung aus? |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Exakte k-Form/Rückzug auf kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand/n-1-Form/Integral ist 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^n ohne 0/Geschlossene nicht exakte n-1-Form/Durch Rückzug von Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisscheibe ohne Punkt/Senkrechte Differentialform und mit Pol/Satz von Stokes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz von Green/Keine Beziehung Flächeninhalt und Randlänge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^2ydxdy/Stammform/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz von Green/Form/Bestätige/Einheitsquadrat/x^ay^bdx+x^cy^ddy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz von Green/Form/Bestätige/Einheitskreis und umgebendes Quadrat/(x-y)dy+xydy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz von Green/Direkter Beweis für Dreieck/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Satz von Green/Subgraph einer Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abgeschlossene 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Diese handschriftlichen Zeugnisse kamen auf nur der Familie bekannten Wegen in die Hände von Sacharow-Verwandten in Amerika. Sie entschlossen sich, die Briefe an die Öffentlichkeit zu geben. Der SPIEGEL druckt in dieser und in der nächsten Nummer Auszüge aus den Dokumenten, die enthüllen, was »normale Bedingungen«, unter denen Sacharow laut Moskau in dem für Ausländer gesperrten Gorki lebt, im real existierenden KGB-Alltag bedeuten. 16.02.1986, 13.00 Uhr aus DER SPIEGEL 8/1986 Der Verfemte bettelt förmlich darum, vor Gericht gestellt zu werden: »Ich erachte es als gesetzwidrig, meine Frau anzuklagen, ohne die gleiche Maßnahme auch gegen mich zu ergreifen. Ich verlange, in das Verfahren einbezogen zu werden, um meinen Teil der Verantwortung auf mich nehmen zu können.« Aber er wurde weder angeklagt, noch durfte er überhaupt vor Gericht erscheinen, auch nicht »als Zeuge und engster Verwandter der Beschuldigten«, wie er in seinem Brief an den Staatsanwalt gefordert hatte. Er erfuhr überhaupt erst fünf Wochen später, nach seiner Entlassung aus dem Krankenhaus, in dem er zwangsweise festgehalten wurde, daß seine Frau wegen »Verbreitung verleumderischer Gerüchte« verurteilt worden war - zur gleichen Strafe, die er selbst damals schon mehr als vier Jahre ohne jegliches Urteil verbüßte: Verbannung in die für Ausländer gesperrte Stadt Gorki an der mittleren Wolga. Solche Einzelheiten aus dem Schicksal des prominentesten Verbannten Rußlands werden jetzt erstmals bekannt - niedergeschrieben vom Opfer selbst. Die längst in Amerika lebende Familie gab Briefe des Atomphysikers und Friedensnobelpreisträgers heraus, die der in strengster Isolierung lebende Regimekritiker 1984 und 1985 an Behörden, Freunde und Verwandte geschrieben hatte. In den handgeschriebenen Briefen schildert Sacharow seine dauernde Drangsalierung durch den Staatssicherheitsdienst KGB bis hin zur physischen Gewalt und fordert vor allem immer wieder die Ausreiseerlaubnis für seine schwerkranke Ehefrau Jelena Bonner. Frau Bonner durfte im vorigen Dezember tatsächlich ausreisen, zur erneuten Behandlung ihres grünen Stars in Italien, zu einer schweren Bypass-Operation in Amerika. Die war nach einem Herzanfall notwendig geworden, den Sacharows Frau 1983 erlitten hatte. Doch Jelena Bonner muß strikt über ihr Schicksal und das ihres Mannes schweigen - dieses Versprechen preßten ihr die Moskauer Behörden vor der Ausreise ab. Sie hielt sich im Wortsinn daran - trat aber dennoch beispielsweise als beredt schweigender Ehrengast bei einem Menschenrechtler-Treffen in New York auf, wo die SowjetUnion wegen ihrer Dissidenten-Unterdrückung scharf attackiert wurde. Doch dann fügte es sich, daß plötzlich Post ins Haus der Bonner-Tochter Tatjana und des Schwiegersohnes Jefrem Jankelewitsch im Bostoner Vorort Newton flatterte: zwei Päckchen - »aufgegeben in einem westlichen Land« (Jankelewitsch) mit Briefen in vertrauter Handschrift - der Andrej Sacharows. Die Briefe, deren Umwege aus Gorki nach Newton wohl im dunkeln bleiben müssen, erhellen dramatische Ereignisse aus jenen fast anderthalb Jahren, in denen die Sacharows von jedem Kontakt zur Außenwelt abgeschlossen waren - samt Photos der Verbannten aus dieser Zeit, die einen anderen Sacharow zeigen als die vom KGB-Journalisten Victor Louis im Westen gestreuten Bilder. Die Familie übergab die aus Gorki herausgeschmuggelte Post einem langjährigen Vertrauten: dem britischen Lord und Mitarbeiter des Londoner »Observer«, Nicholas Bethell. Der Lord, konservativer Vorsitzender der Menschenrechtsgruppe des Europaparlaments, Verfasser mehrerer Bücher über Osteuropa und Übersetzer des Dissidenten Autors Solschenizyn, hofft, daß die Veröffentlichung der Briefe »den Druck auf Gorbatschow und Reagan verstärkt, das Ehepaar Sacharow nicht zu vergessen«. So denkt wohl auch die Familie - Sohn, Tochter, Schwiegersohn, Schwiegertochter und Jelena Bonners Mutter Ruth. Sie ließen durchblicken, daß sie notfalls auch mit weniger als einer Ausreise des Atomphysikers, der als Geheimnisträger gilt, zufrieden wären - Aufhebung der Verbannung und Erlaubnis zur Rückkehr in seine seit der Verbannung versiegelte Moskauer Wohnung. oytbycax7ycf40e8mtkqfqsm0miyfud 770891 770890 2022-08-19T09:27:31Z Methodios 23484 wikitext text/x-wiki == Andrei Dmitrijewitsch Sacharow == [https://www.spiegel.de/politik/briefe-die-aus-gorki-kamen-a-5bf29e7f-0002-0001-0000-000013517943 Briefe, die aus Gorki kamen] Regimekritiker und Friedensnobelpreisträger Sacharow beschreibt den Leidensweg seiner Verbannung Der Atomphysiker Andrej Sacharow, Rußlands prominentester Verbannter, schilderte in bewegenden Briefen, wie er und seine Frau Jelena Bonner in Gorki vom Staatssicherheitsdienst KGB gequält wurden. Diese handschriftlichen Zeugnisse kamen auf nur der Familie bekannten Wegen in die Hände von Sacharow-Verwandten in Amerika. Sie entschlossen sich, die Briefe an die Öffentlichkeit zu geben. Der SPIEGEL druckt in dieser und in der nächsten Nummer Auszüge aus den Dokumenten, die enthüllen, was »normale Bedingungen«, unter denen Sacharow laut Moskau in dem für Ausländer gesperrten Gorki lebt, im real existierenden KGB-Alltag bedeuten. 16.02.1986, 13.00 Uhr aus DER SPIEGEL 8/1986 Der Verfemte bettelt förmlich darum, vor Gericht gestellt zu werden: »Ich erachte es als gesetzwidrig, meine Frau anzuklagen, ohne die gleiche Maßnahme auch gegen mich zu ergreifen. Ich verlange, in das Verfahren einbezogen zu werden, um meinen Teil der Verantwortung auf mich nehmen zu können.« Aber er wurde weder angeklagt, noch durfte er überhaupt vor Gericht erscheinen, auch nicht »als Zeuge und engster Verwandter der Beschuldigten«, wie er in seinem Brief an den Staatsanwalt gefordert hatte. Er erfuhr überhaupt erst fünf Wochen später, nach seiner Entlassung aus dem Krankenhaus, in dem er zwangsweise festgehalten wurde, daß seine Frau wegen »Verbreitung verleumderischer Gerüchte« verurteilt worden war - zur gleichen Strafe, die er selbst damals schon mehr als vier Jahre ohne jegliches Urteil verbüßte: Verbannung in die für Ausländer gesperrte Stadt Gorki an der mittleren Wolga. Solche Einzelheiten aus dem Schicksal des prominentesten Verbannten Rußlands werden jetzt erstmals bekannt - niedergeschrieben vom Opfer selbst. Die längst in Amerika lebende Familie gab Briefe des Atomphysikers und Friedensnobelpreisträgers heraus, die der in strengster Isolierung lebende Regimekritiker 1984 und 1985 an Behörden, Freunde und Verwandte geschrieben hatte. In den handgeschriebenen Briefen schildert Sacharow seine dauernde Drangsalierung durch den Staatssicherheitsdienst KGB bis hin zur physischen Gewalt und fordert vor allem immer wieder die Ausreiseerlaubnis für seine schwerkranke Ehefrau Jelena Bonner. Frau Bonner durfte im vorigen Dezember tatsächlich ausreisen, zur erneuten Behandlung ihres grünen Stars in Italien, zu einer schweren Bypass-Operation in Amerika. Die war nach einem Herzanfall notwendig geworden, den Sacharows Frau 1983 erlitten hatte. Doch Jelena Bonner muß strikt über ihr Schicksal und das ihres Mannes schweigen - dieses Versprechen preßten ihr die Moskauer Behörden vor der Ausreise ab. Sie hielt sich im Wortsinn daran - trat aber dennoch beispielsweise als beredt schweigender Ehrengast bei einem Menschenrechtler-Treffen in New York auf, wo die SowjetUnion wegen ihrer Dissidenten-Unterdrückung scharf attackiert wurde. Doch dann fügte es sich, daß plötzlich Post ins Haus der Bonner-Tochter Tatjana und des Schwiegersohnes Jefrem Jankelewitsch im Bostoner Vorort Newton flatterte: zwei Päckchen - »aufgegeben in einem westlichen Land« (Jankelewitsch) mit Briefen in vertrauter Handschrift - der Andrej Sacharows. Die Briefe, deren Umwege aus Gorki nach Newton wohl im dunkeln bleiben müssen, erhellen dramatische Ereignisse aus jenen fast anderthalb Jahren, in denen die Sacharows von jedem Kontakt zur Außenwelt abgeschlossen waren - samt Photos der Verbannten aus dieser Zeit, die einen anderen Sacharow zeigen als die vom KGB-Journalisten Victor Louis im Westen gestreuten Bilder. Die Familie übergab die aus Gorki herausgeschmuggelte Post einem langjährigen Vertrauten: dem britischen Lord und Mitarbeiter des Londoner »Observer«, Nicholas Bethell. Der Lord, konservativer Vorsitzender der Menschenrechtsgruppe des Europaparlaments, Verfasser mehrerer Bücher über Osteuropa und Übersetzer des Dissidenten Autors Solschenizyn, hofft, daß die Veröffentlichung der Briefe »den Druck auf Gorbatschow und Reagan verstärkt, das Ehepaar Sacharow nicht zu vergessen«. So denkt wohl auch die Familie - Sohn, Tochter, Schwiegersohn, Schwiegertochter und Jelena Bonners Mutter Ruth. Sie ließen durchblicken, daß sie notfalls auch mit weniger als einer Ausreise des Atomphysikers, der als Geheimnisträger gilt, zufrieden wären - Aufhebung der Verbannung und Erlaubnis zur Rückkehr in seine seit der Verbannung versiegelte Moskauer Wohnung. [[Kategorie:Projekt]] 0dqvzmwea6komn7rsl0vtsg9a89e3yt 770897 770891 2022-08-19T10:02:23Z Methodios 23484 /* Andrei Dmitrijewitsch Sacharow */ wikitext text/x-wiki == Andrei Dmitrijewitsch Sacharow == === 70er Jahre === 1970 gründete er ein Komitee zur Durchsetzung der Menschenrechte und verlangte in einem offenen Brief an die Regierung eine Demokratisierung der Sowjetunion. Am 4. April 1971 protestierte der Wissenschaftler gegen eine Praxis der Machthaber, Regimegegner in psychiatrische Kliniken einzuweisen. Am 30. Oktober 1974 informierte Sacharow ausländische Journalisten auf einer Pressekonferenz über den Hungerstreik von politischen Häftlingen in mehreren Lagern. An diesem Tag wird seit 1991 gemäß dem Erlass des Obersten Sowjets der RSFSR Nr. 1431 vom 18. Oktober 1991 der „Tag der Erinnerung an die Opfer der politischen Repressionen“ begangen.[14] Die Regierung reagierte mit zunehmender Repression. Sacharow kümmerte sich um politische Häftlinge und setzte sich für das Selbstbestimmungsrecht von Krimtataren, Mescheten, Armeniern, Kurden und Georgiern ein. 1974 trat er für seine Ziele in den Hungerstreik. Am 10. Dezember 1975 wurde Sacharow der Friedensnobelpreis verliehen. Das Nobelkomitee würdigte seine Leistungen bei der Unterstützung Andersdenkender und seinem Streben nach einer rechtsstaatlichen und offenen Gesellschaft. Die sowjetische Regierung verbot ihm, zur Verleihung nach Oslo zu reisen. Den Preis nahm seine Frau Jelena Georgijewna Bonner entgegen. In den Augen des KGB wurde Sacharow damit zum „Staatsfeind“. === 80er Jahre == Nach Protesten gegen die sowjetische Intervention in Afghanistan wurde Sacharow am 22. Januar 1980 verhaftet und nach Gorki verbannt, wo er unter Aufsicht des KGB leben musste. Dort arbeitete er am Entwurf einer neuen sowjetischen Verfassung. Jelena Bonner blieb sein einziger Kontakt zur Außenwelt, bis auch sie 1984 nach Gorki verbannt wurde. Im Dezember 1986 wurde die Verbannung Sacharows und Bonners aufgehoben. Parteichef Michail Gorbatschow bat ihn telefonisch, nach Moskau zurückzukehren und seine politische Tätigkeit fortzusetzen. === 1986 === [https://www.spiegel.de/politik/briefe-die-aus-gorki-kamen-a-5bf29e7f-0002-0001-0000-000013517943 Briefe, die aus Gorki kamen] Regimekritiker und Friedensnobelpreisträger Sacharow beschreibt den Leidensweg seiner Verbannung Der Atomphysiker Andrej Sacharow, Rußlands prominentester Verbannter, schilderte in bewegenden Briefen, wie er und seine Frau Jelena Bonner in Gorki vom Staatssicherheitsdienst KGB gequält wurden. Diese handschriftlichen Zeugnisse kamen auf nur der Familie bekannten Wegen in die Hände von Sacharow-Verwandten in Amerika. Sie entschlossen sich, die Briefe an die Öffentlichkeit zu geben. Der SPIEGEL druckt in dieser und in der nächsten Nummer Auszüge aus den Dokumenten, die enthüllen, was »normale Bedingungen«, unter denen Sacharow laut Moskau in dem für Ausländer gesperrten Gorki lebt, im real existierenden KGB-Alltag bedeuten. 16.02.1986, 13.00 Uhr aus DER SPIEGEL 8/1986 Der Verfemte bettelt förmlich darum, vor Gericht gestellt zu werden: »Ich erachte es als gesetzwidrig, meine Frau anzuklagen, ohne die gleiche Maßnahme auch gegen mich zu ergreifen. Ich verlange, in das Verfahren einbezogen zu werden, um meinen Teil der Verantwortung auf mich nehmen zu können.« Aber er wurde weder angeklagt, noch durfte er überhaupt vor Gericht erscheinen, auch nicht »als Zeuge und engster Verwandter der Beschuldigten«, wie er in seinem Brief an den Staatsanwalt gefordert hatte. Er erfuhr überhaupt erst fünf Wochen später, nach seiner Entlassung aus dem Krankenhaus, in dem er zwangsweise festgehalten wurde, daß seine Frau wegen »Verbreitung verleumderischer Gerüchte« verurteilt worden war - zur gleichen Strafe, die er selbst damals schon mehr als vier Jahre ohne jegliches Urteil verbüßte: Verbannung in die für Ausländer gesperrte Stadt Gorki an der mittleren Wolga. Solche Einzelheiten aus dem Schicksal des prominentesten Verbannten Rußlands werden jetzt erstmals bekannt - niedergeschrieben vom Opfer selbst. Die längst in Amerika lebende Familie gab Briefe des Atomphysikers und Friedensnobelpreisträgers heraus, die der in strengster Isolierung lebende Regimekritiker 1984 und 1985 an Behörden, Freunde und Verwandte geschrieben hatte. In den handgeschriebenen Briefen schildert Sacharow seine dauernde Drangsalierung durch den Staatssicherheitsdienst KGB bis hin zur physischen Gewalt und fordert vor allem immer wieder die Ausreiseerlaubnis für seine schwerkranke Ehefrau Jelena Bonner. Frau Bonner durfte im vorigen Dezember tatsächlich ausreisen, zur erneuten Behandlung ihres grünen Stars in Italien, zu einer schweren Bypass-Operation in Amerika. Die war nach einem Herzanfall notwendig geworden, den Sacharows Frau 1983 erlitten hatte. Doch Jelena Bonner muß strikt über ihr Schicksal und das ihres Mannes schweigen - dieses Versprechen preßten ihr die Moskauer Behörden vor der Ausreise ab. Sie hielt sich im Wortsinn daran - trat aber dennoch beispielsweise als beredt schweigender Ehrengast bei einem Menschenrechtler-Treffen in New York auf, wo die SowjetUnion wegen ihrer Dissidenten-Unterdrückung scharf attackiert wurde. Doch dann fügte es sich, daß plötzlich Post ins Haus der Bonner-Tochter Tatjana und des Schwiegersohnes Jefrem Jankelewitsch im Bostoner Vorort Newton flatterte: zwei Päckchen - »aufgegeben in einem westlichen Land« (Jankelewitsch) mit Briefen in vertrauter Handschrift - der Andrej Sacharows. Die Briefe, deren Umwege aus Gorki nach Newton wohl im dunkeln bleiben müssen, erhellen dramatische Ereignisse aus jenen fast anderthalb Jahren, in denen die Sacharows von jedem Kontakt zur Außenwelt abgeschlossen waren - samt Photos der Verbannten aus dieser Zeit, die einen anderen Sacharow zeigen als die vom KGB-Journalisten Victor Louis im Westen gestreuten Bilder. Die Familie übergab die aus Gorki herausgeschmuggelte Post einem langjährigen Vertrauten: dem britischen Lord und Mitarbeiter des Londoner »Observer«, Nicholas Bethell. Der Lord, konservativer Vorsitzender der Menschenrechtsgruppe des Europaparlaments, Verfasser mehrerer Bücher über Osteuropa und Übersetzer des Dissidenten Autors Solschenizyn, hofft, daß die Veröffentlichung der Briefe »den Druck auf Gorbatschow und Reagan verstärkt, das Ehepaar Sacharow nicht zu vergessen«. So denkt wohl auch die Familie - Sohn, Tochter, Schwiegersohn, Schwiegertochter und Jelena Bonners Mutter Ruth. Sie ließen durchblicken, daß sie notfalls auch mit weniger als einer Ausreise des Atomphysikers, der als Geheimnisträger gilt, zufrieden wären - Aufhebung der Verbannung und Erlaubnis zur Rückkehr in seine seit der Verbannung versiegelte Moskauer Wohnung. [[Kategorie:Projekt]] 97wck1r1hs0r0fmndzkcg1cialunmmr 770898 770897 2022-08-19T10:03:35Z Methodios 23484 wikitext text/x-wiki == Andrei Dmitrijewitsch Sacharow == === 70er Jahre === 1970 gründete er ein Komitee zur Durchsetzung der Menschenrechte und verlangte in einem offenen Brief an die Regierung eine Demokratisierung der Sowjetunion. Am 4. April 1971 protestierte der Wissenschaftler gegen eine Praxis der Machthaber, Regimegegner in psychiatrische Kliniken einzuweisen. Am 30. Oktober 1974 informierte Sacharow ausländische Journalisten auf einer Pressekonferenz über den Hungerstreik von politischen Häftlingen in mehreren Lagern. An diesem Tag wird seit 1991 gemäß dem Erlass des Obersten Sowjets der RSFSR Nr. 1431 vom 18. Oktober 1991 der „Tag der Erinnerung an die Opfer der politischen Repressionen“ begangen.[14] Die Regierung reagierte mit zunehmender Repression. Sacharow kümmerte sich um politische Häftlinge und setzte sich für das Selbstbestimmungsrecht von Krimtataren, Mescheten, Armeniern, Kurden und Georgiern ein. 1974 trat er für seine Ziele in den Hungerstreik. Am 10. Dezember 1975 wurde Sacharow der Friedensnobelpreis verliehen. Das Nobelkomitee würdigte seine Leistungen bei der Unterstützung Andersdenkender und seinem Streben nach einer rechtsstaatlichen und offenen Gesellschaft. Die sowjetische Regierung verbot ihm, zur Verleihung nach Oslo zu reisen. Den Preis nahm seine Frau Jelena Georgijewna Bonner entgegen. In den Augen des KGB wurde Sacharow damit zum „Staatsfeind“. === 80er Jahre === Nach Protesten gegen die sowjetische Intervention in Afghanistan wurde Sacharow am 22. Januar 1980 verhaftet und nach Gorki verbannt, wo er unter Aufsicht des KGB leben musste. Dort arbeitete er am Entwurf einer neuen sowjetischen Verfassung. Jelena Bonner blieb sein einziger Kontakt zur Außenwelt, bis auch sie 1984 nach Gorki verbannt wurde. Im Dezember 1986 wurde die Verbannung Sacharows und Bonners aufgehoben. Parteichef Michail Gorbatschow bat ihn telefonisch, nach Moskau zurückzukehren und seine politische Tätigkeit fortzusetzen. === 1986 === [https://www.spiegel.de/politik/briefe-die-aus-gorki-kamen-a-5bf29e7f-0002-0001-0000-000013517943 Briefe, die aus Gorki kamen] Regimekritiker und Friedensnobelpreisträger Sacharow beschreibt den Leidensweg seiner Verbannung Der Atomphysiker Andrej Sacharow, Rußlands prominentester Verbannter, schilderte in bewegenden Briefen, wie er und seine Frau Jelena Bonner in Gorki vom Staatssicherheitsdienst KGB gequält wurden. Diese handschriftlichen Zeugnisse kamen auf nur der Familie bekannten Wegen in die Hände von Sacharow-Verwandten in Amerika. Sie entschlossen sich, die Briefe an die Öffentlichkeit zu geben. Der SPIEGEL druckt in dieser und in der nächsten Nummer Auszüge aus den Dokumenten, die enthüllen, was »normale Bedingungen«, unter denen Sacharow laut Moskau in dem für Ausländer gesperrten Gorki lebt, im real existierenden KGB-Alltag bedeuten. 16.02.1986, 13.00 Uhr aus DER SPIEGEL 8/1986 Der Verfemte bettelt förmlich darum, vor Gericht gestellt zu werden: »Ich erachte es als gesetzwidrig, meine Frau anzuklagen, ohne die gleiche Maßnahme auch gegen mich zu ergreifen. Ich verlange, in das Verfahren einbezogen zu werden, um meinen Teil der Verantwortung auf mich nehmen zu können.« Aber er wurde weder angeklagt, noch durfte er überhaupt vor Gericht erscheinen, auch nicht »als Zeuge und engster Verwandter der Beschuldigten«, wie er in seinem Brief an den Staatsanwalt gefordert hatte. Er erfuhr überhaupt erst fünf Wochen später, nach seiner Entlassung aus dem Krankenhaus, in dem er zwangsweise festgehalten wurde, daß seine Frau wegen »Verbreitung verleumderischer Gerüchte« verurteilt worden war - zur gleichen Strafe, die er selbst damals schon mehr als vier Jahre ohne jegliches Urteil verbüßte: Verbannung in die für Ausländer gesperrte Stadt Gorki an der mittleren Wolga. Solche Einzelheiten aus dem Schicksal des prominentesten Verbannten Rußlands werden jetzt erstmals bekannt - niedergeschrieben vom Opfer selbst. Die längst in Amerika lebende Familie gab Briefe des Atomphysikers und Friedensnobelpreisträgers heraus, die der in strengster Isolierung lebende Regimekritiker 1984 und 1985 an Behörden, Freunde und Verwandte geschrieben hatte. In den handgeschriebenen Briefen schildert Sacharow seine dauernde Drangsalierung durch den Staatssicherheitsdienst KGB bis hin zur physischen Gewalt und fordert vor allem immer wieder die Ausreiseerlaubnis für seine schwerkranke Ehefrau Jelena Bonner. Frau Bonner durfte im vorigen Dezember tatsächlich ausreisen, zur erneuten Behandlung ihres grünen Stars in Italien, zu einer schweren Bypass-Operation in Amerika. Die war nach einem Herzanfall notwendig geworden, den Sacharows Frau 1983 erlitten hatte. Doch Jelena Bonner muß strikt über ihr Schicksal und das ihres Mannes schweigen - dieses Versprechen preßten ihr die Moskauer Behörden vor der Ausreise ab. Sie hielt sich im Wortsinn daran - trat aber dennoch beispielsweise als beredt schweigender Ehrengast bei einem Menschenrechtler-Treffen in New York auf, wo die SowjetUnion wegen ihrer Dissidenten-Unterdrückung scharf attackiert wurde. Doch dann fügte es sich, daß plötzlich Post ins Haus der Bonner-Tochter Tatjana und des Schwiegersohnes Jefrem Jankelewitsch im Bostoner Vorort Newton flatterte: zwei Päckchen - »aufgegeben in einem westlichen Land« (Jankelewitsch) mit Briefen in vertrauter Handschrift - der Andrej Sacharows. Die Briefe, deren Umwege aus Gorki nach Newton wohl im dunkeln bleiben müssen, erhellen dramatische Ereignisse aus jenen fast anderthalb Jahren, in denen die Sacharows von jedem Kontakt zur Außenwelt abgeschlossen waren - samt Photos der Verbannten aus dieser Zeit, die einen anderen Sacharow zeigen als die vom KGB-Journalisten Victor Louis im Westen gestreuten Bilder. Die Familie übergab die aus Gorki herausgeschmuggelte Post einem langjährigen Vertrauten: dem britischen Lord und Mitarbeiter des Londoner »Observer«, Nicholas Bethell. Der Lord, konservativer Vorsitzender der Menschenrechtsgruppe des Europaparlaments, Verfasser mehrerer Bücher über Osteuropa und Übersetzer des Dissidenten Autors Solschenizyn, hofft, daß die Veröffentlichung der Briefe »den Druck auf Gorbatschow und Reagan verstärkt, das Ehepaar Sacharow nicht zu vergessen«. So denkt wohl auch die Familie - Sohn, Tochter, Schwiegersohn, Schwiegertochter und Jelena Bonners Mutter Ruth. Sie ließen durchblicken, daß sie notfalls auch mit weniger als einer Ausreise des Atomphysikers, der als Geheimnisträger gilt, zufrieden wären - '''Aufhebung der Verbannung und Erlaubnis zur Rückkehr in seine seit der Verbannung versiegelte Moskauer Wohnung'''. [[Kategorie:Projekt]] 1zuqxghhzu41rk13zto2fz9kmr9wwds 770899 770898 2022-08-19T10:04:10Z Methodios 23484 wikitext text/x-wiki == Andrei Dmitrijewitsch Sacharow == === 70er Jahre === 1970 gründete er ein Komitee zur Durchsetzung der Menschenrechte und verlangte in einem offenen Brief an die Regierung eine Demokratisierung der Sowjetunion. Am 4. April 1971 protestierte der Wissenschaftler gegen eine Praxis der Machthaber, Regimegegner in psychiatrische Kliniken einzuweisen. Am 30. Oktober 1974 informierte Sacharow ausländische Journalisten auf einer Pressekonferenz über den Hungerstreik von politischen Häftlingen in mehreren Lagern. An diesem Tag wird seit 1991 gemäß dem Erlass des Obersten Sowjets der RSFSR Nr. 1431 vom 18. Oktober 1991 der „Tag der Erinnerung an die Opfer der politischen Repressionen“ begangen. Die Regierung reagierte mit zunehmender Repression. Sacharow kümmerte sich um politische Häftlinge und setzte sich für das Selbstbestimmungsrecht von Krimtataren, Mescheten, Armeniern, Kurden und Georgiern ein. 1974 trat er für seine Ziele in den Hungerstreik. Am 10. Dezember 1975 wurde Sacharow der Friedensnobelpreis verliehen. Das Nobelkomitee würdigte seine Leistungen bei der Unterstützung Andersdenkender und seinem Streben nach einer rechtsstaatlichen und offenen Gesellschaft. Die sowjetische Regierung verbot ihm, zur Verleihung nach Oslo zu reisen. Den Preis nahm seine Frau Jelena Georgijewna Bonner entgegen. In den Augen des KGB wurde Sacharow damit zum „Staatsfeind“. === 80er Jahre === Nach Protesten gegen die sowjetische Intervention in Afghanistan wurde Sacharow am 22. Januar 1980 verhaftet und nach Gorki verbannt, wo er unter Aufsicht des KGB leben musste. Dort arbeitete er am Entwurf einer neuen sowjetischen Verfassung. Jelena Bonner blieb sein einziger Kontakt zur Außenwelt, bis auch sie 1984 nach Gorki verbannt wurde. Im Dezember 1986 wurde die Verbannung Sacharows und Bonners aufgehoben. Parteichef Michail Gorbatschow bat ihn telefonisch, nach Moskau zurückzukehren und seine politische Tätigkeit fortzusetzen. === 1986 === [https://www.spiegel.de/politik/briefe-die-aus-gorki-kamen-a-5bf29e7f-0002-0001-0000-000013517943 Briefe, die aus Gorki kamen] Regimekritiker und Friedensnobelpreisträger Sacharow beschreibt den Leidensweg seiner Verbannung Der Atomphysiker Andrej Sacharow, Rußlands prominentester Verbannter, schilderte in bewegenden Briefen, wie er und seine Frau Jelena Bonner in Gorki vom Staatssicherheitsdienst KGB gequält wurden. Diese handschriftlichen Zeugnisse kamen auf nur der Familie bekannten Wegen in die Hände von Sacharow-Verwandten in Amerika. Sie entschlossen sich, die Briefe an die Öffentlichkeit zu geben. Der SPIEGEL druckt in dieser und in der nächsten Nummer Auszüge aus den Dokumenten, die enthüllen, was »normale Bedingungen«, unter denen Sacharow laut Moskau in dem für Ausländer gesperrten Gorki lebt, im real existierenden KGB-Alltag bedeuten. 16.02.1986, 13.00 Uhr aus DER SPIEGEL 8/1986 Der Verfemte bettelt förmlich darum, vor Gericht gestellt zu werden: »Ich erachte es als gesetzwidrig, meine Frau anzuklagen, ohne die gleiche Maßnahme auch gegen mich zu ergreifen. Ich verlange, in das Verfahren einbezogen zu werden, um meinen Teil der Verantwortung auf mich nehmen zu können.« Aber er wurde weder angeklagt, noch durfte er überhaupt vor Gericht erscheinen, auch nicht »als Zeuge und engster Verwandter der Beschuldigten«, wie er in seinem Brief an den Staatsanwalt gefordert hatte. Er erfuhr überhaupt erst fünf Wochen später, nach seiner Entlassung aus dem Krankenhaus, in dem er zwangsweise festgehalten wurde, daß seine Frau wegen »Verbreitung verleumderischer Gerüchte« verurteilt worden war - zur gleichen Strafe, die er selbst damals schon mehr als vier Jahre ohne jegliches Urteil verbüßte: Verbannung in die für Ausländer gesperrte Stadt Gorki an der mittleren Wolga. Solche Einzelheiten aus dem Schicksal des prominentesten Verbannten Rußlands werden jetzt erstmals bekannt - niedergeschrieben vom Opfer selbst. Die längst in Amerika lebende Familie gab Briefe des Atomphysikers und Friedensnobelpreisträgers heraus, die der in strengster Isolierung lebende Regimekritiker 1984 und 1985 an Behörden, Freunde und Verwandte geschrieben hatte. In den handgeschriebenen Briefen schildert Sacharow seine dauernde Drangsalierung durch den Staatssicherheitsdienst KGB bis hin zur physischen Gewalt und fordert vor allem immer wieder die Ausreiseerlaubnis für seine schwerkranke Ehefrau Jelena Bonner. Frau Bonner durfte im vorigen Dezember tatsächlich ausreisen, zur erneuten Behandlung ihres grünen Stars in Italien, zu einer schweren Bypass-Operation in Amerika. Die war nach einem Herzanfall notwendig geworden, den Sacharows Frau 1983 erlitten hatte. Doch Jelena Bonner muß strikt über ihr Schicksal und das ihres Mannes schweigen - dieses Versprechen preßten ihr die Moskauer Behörden vor der Ausreise ab. Sie hielt sich im Wortsinn daran - trat aber dennoch beispielsweise als beredt schweigender Ehrengast bei einem Menschenrechtler-Treffen in New York auf, wo die SowjetUnion wegen ihrer Dissidenten-Unterdrückung scharf attackiert wurde. Doch dann fügte es sich, daß plötzlich Post ins Haus der Bonner-Tochter Tatjana und des Schwiegersohnes Jefrem Jankelewitsch im Bostoner Vorort Newton flatterte: zwei Päckchen - »aufgegeben in einem westlichen Land« (Jankelewitsch) mit Briefen in vertrauter Handschrift - der Andrej Sacharows. Die Briefe, deren Umwege aus Gorki nach Newton wohl im dunkeln bleiben müssen, erhellen dramatische Ereignisse aus jenen fast anderthalb Jahren, in denen die Sacharows von jedem Kontakt zur Außenwelt abgeschlossen waren - samt Photos der Verbannten aus dieser Zeit, die einen anderen Sacharow zeigen als die vom KGB-Journalisten Victor Louis im Westen gestreuten Bilder. Die Familie übergab die aus Gorki herausgeschmuggelte Post einem langjährigen Vertrauten: dem britischen Lord und Mitarbeiter des Londoner »Observer«, Nicholas Bethell. Der Lord, konservativer Vorsitzender der Menschenrechtsgruppe des Europaparlaments, Verfasser mehrerer Bücher über Osteuropa und Übersetzer des Dissidenten Autors Solschenizyn, hofft, daß die Veröffentlichung der Briefe »den Druck auf Gorbatschow und Reagan verstärkt, das Ehepaar Sacharow nicht zu vergessen«. So denkt wohl auch die Familie - Sohn, Tochter, Schwiegersohn, Schwiegertochter und Jelena Bonners Mutter Ruth. Sie ließen durchblicken, daß sie notfalls auch mit weniger als einer Ausreise des Atomphysikers, der als Geheimnisträger gilt, zufrieden wären - '''Aufhebung der Verbannung und Erlaubnis zur Rückkehr in seine seit der Verbannung versiegelte Moskauer Wohnung'''. [[Kategorie:Projekt]] hanbx3tiryey5eefl97o1r9l23qn7ct