Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 0 10511 767475 737357 2022-08-15T16:19:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl {{ Ma:Vergleichskette | n |\neq| 0 || || || |SZ= }} bezeichne {{math|term= \nu_p(n) |SZ=}} den Exponenten, mit dem die Primzahl {{math|term= p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n |SZ=}} vorkommt. a) Zeige{{n Sie}}: die Abbildung {{ Ma:abb |name=\nu_p | \Z \setminus \{0\} | \N || |SZ= }} ist surjektiv. b) Zeige{{n Sie}}: es gilt {{ Ma:Vergleichskette | \nu_p(nm) || \nu_p (n)+ \nu_p(m) || || || |SZ=. }} c) Finde{{n Sie}} eine Fortsetzung {{ Ma:abb |name=\nu_p | \Q \setminus \{0\} | \Z || |SZ= }} der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:Einheiten|\Q|}} || \Q \setminus \{0\} || || || |SZ= }} mit der Multiplikation und {{math|term=\Z|SZ=}} mit der Addition versehen ist| |ISZ=|ESZ=. }} d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe (Zahlentheorie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Exponent |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pmjjuugas6a8wunzp3a4h6scswjn02o 0 10916 767593 754283 2022-08-15T17:17:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Genau dann ist {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| \Z || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} modulo {{math|term=n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. {{math|term=a|SZ=}} repräsentiert eine Einheit in {{mathlk|term={{op:Zmod|n}}|SZ=}}| |SZ=, }} wenn {{ mathkor|term1= a |und|term2= n |SZ= }} {{ Definitionslink |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Einheiten modulo n |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3g3ogs626dxeblgxkjqmeuve86dowku 14 11042 768099 562783 2022-08-16T11:13:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen kommutativen Ringe|Restklassenringe |Modulare Arithmetik|Restklassenringe |Theorie der Restklassenbildung|Z |Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra)|Z |Theorie der Hauptidealringe|Z }} 8bvpyv2h5lj1v5corxczvllosdzkk3r 14 11044 768100 741306 2022-08-16T11:13:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Algebra|Kommutative Algebra}} rf2vh7tqz2dm881kwdwe9csuw0n0uq4 14 11045 768101 741240 2022-08-16T11:13:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Mathematische Disziplinen|Algebra|}} sdyxzargokh452mqob8l9mb6jqfmkai 14 11053 768102 741295 2022-08-16T11:13:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Algebra|Gruppe |Theorie der Monoide|Gruppe }} nrxas77bj5jv1hc60rpq3nfa7yk64zx 14 11102 768103 565139 2022-08-16T11:13:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki 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{{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Mengen, Relationen und Abbildungen|Abbildungen }} r036ympxjm1jmdok06yh8nrmkjgt4ne 14 13030 768172 741329 2022-08-16T11:24:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Mathematische Disziplinen|Mengen }} lz7ofukayld2iaa45xo1d2luqdoift2 14 13033 768173 497425 2022-08-16T11:24:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Relationen auf einer Menge|Äquivalenzrelation}} 2fa2zqw45uyxqdlbjcopy8kbirxnshf 14 13042 768174 741374 2022-08-16T11:24:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen|Zyklisch |commonsdat=Cyclic groups}} jzrbwqbkkbtlgeqflwytufu3w69tbfo 14 13107 768175 741289 2022-08-16T11:24:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Einheiten der Restklassenringe von Z|Eulersche Funktion|Zahlentheoretische 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{{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt|Satz|}} Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu {{math|term=\Z|SZ=}} gehören. {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt|Lemma|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt|Korollar|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt|Korollar||}} Ein solches System von Erzeugern {{mathl|term=b_1 {{kommadots|}} b_n|SZ=}} nennt man auch eine {{Stichwort|Ganzheitsbasis|SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt|Korollar|}} {{ inputbild |Noether|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Text=[[w:Emmy Noether|Emmy Noether (1882-1935)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung=http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/course/c_energy/energyl/lec001.html }} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition|}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt|Korollar||}} {{inputfaktbeweis2|Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt|Satz||||}} {{ inputbild |Dedekind|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} |Text= [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831-1916)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Jean-Luc W |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160 }} Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen. {{inputdefinition|Dedekindbereich/Definition|}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt|Korollar||||}} }} <noinclude> {{:Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Footer|18}} </noinclude> [[Kategorie:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)|Vorlesung]] tls6qw13w6lug0pgdh7yesq5gq5zcej 14 14440 768187 165838 2022-08-16T11:26:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Algebraische Zahlentheorie|Zahl |Theorie des algebraischen Abschlusses in einer Körpererweiterung|}} ifp8nuz6h3nyafdloe0u5wh9z7s3zvi 14 14441 768188 741272 2022-08-16T11:26:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der reellen Zahlen|Irrational }} 8r252u2kkzxagl0r7fgg4v6bq6q84ui 14 14544 768189 528697 2022-08-16T11:26:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra)|Körper |Theorie der algebraisch abhängigen Elemente über einem Körper|1}} 59hvu6zydlzwujybl5vu597bjij14lu 14 14601 768191 676896 2022-08-16T11:26:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Addition der rationalen Zahlen|Gruppe |Theorie der divisiblen Gruppen|Rationale Zahlen}} aq4rj2n34ssd85fd2r1e8scygibciyz 14 14602 768192 741262 2022-08-16T11:27:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Zahlentheorie|Rational |Theorie der Quotientenkörper von faktoriellen Bereichen|Rational |Theorie_der_reellen_Zahlen|Rational }} 5mkrmerz5x8rpzm9wly9gbqmj3lin3r 14 14609 768194 596096 2022-08-16T11:27:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der totalen Quotientenringe|Quotientenkörper |Körpertheorie|Quotientenkörper}} 61gl479nmoxbh9yiywqgbrsynjykd3h 14 14912 768196 652276 2022-08-16T11:27:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen|Norm |Theorie der Norm bei endlichen freien kommutativen Algebren|Körper }} du6c44gbayl9mac9lif05fl982xeg8s 14 14916 768197 664763 2022-08-16T11:27:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen Körpererweiterungen|Diskriminante |Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen|Diskriminante }} 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|Theorie der reinen Gleichungen über Z|3 }} rs4zg9vsruyonz9ve3vk2u8cgfiibwc 14 15028 768203 674477 2022-08-16T11:28:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki Für Kreisteilungskörper siehe [[:Kategorie:Theorie der Kreisteilungskörper]]. {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Zahlbereiche|Kreisteilung |Theorie der Kreisteilungspolynome|Ring }} sds10awhd4msjd8fnhm81e1lndei6e0 14 15033 768342 99062 2022-08-16T11:48:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der lokalen Ringe}} hmf1lwmm2r1odogzjs96m78g2pzis48 14 15047 768204 652080 2022-08-16T11:28:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen|Spur |Theorie der Spur (Endomorphismus)|Körpererweiterung |Theorie der Spur bei endlichen freien kommutativen Algebren|Körper }} hjx06svznpxicrqxcz8lngzocamid7f 14 15088 768205 741339 2022-08-16T11:28:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q|Konstruktion |Theorie der euklidischen Ebene|Konstruktion }} tacelt2cynz1v5ymwhvznpiujmr7u8c 14 15089 768206 741270 2022-08-16T11:28:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Geometrie|Elementare Geometrie}} 78app1o1ta5osl5kth44tgige21afbh 14 15233 768207 741393 2022-08-16T11:29:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der algebraischen Kurven|Ebene |commonsdat=Plane algebraic curves}} 9pst4py58oiwcvy5cinii4vaj2jran0 14 15234 768209 741257 2022-08-16T11:29:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Algebraische Geometrie|Kurven|}} rg3w91xu79hmi9970ct3f2m9fs1tdk4 0 15328 766741 469312 2022-08-15T13:08:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in {{math|term={\mathbb F}_9|SZ=}} für jedes Element die multiplikative {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} insbesondere die {{ Definitionslink |Prämath= |primitiven Einheiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Körper mit 9 Elementen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m724z095dyr1vih1x0lnmazvxrgp1os 14 16028 768211 497424 2022-08-16T11:29:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Relationen auf einer Menge|Ordnung}} qkbk9ovgv1xxyqps1iq69o4z3wkrewh 14 16113 768213 589113 2022-08-16T11:29:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Idealoperationen (kommutative Algebra)|Produkt |Das Produkt von Idealen und Untermoduln (kommutative Algebra)|Ideal}} j4kzbklgqqtanggghkofhraekg5d3vz 14 16140 768214 741375 2022-08-16T11:29:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Graphentheorie|Gerichtet |Theorie der Relationen auf einer Menge|Graph }} m8olrvonaoq530jgtlzb75hxjyld9ih 14 16141 768215 741294 2022-08-16T11:29:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Diskrete Mathematik|Graphentheorie }} gz0qq27fif0x1ttjfj7vxw8q0075z0f 14 16142 768216 741252 2022-08-16T11:30:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Mathematische Disziplinen|Diskret}} snfdg5f64dxsm435aofxswow0facd30 0 16180 767433 756889 2022-08-15T16:13:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | K || Q(R) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | R || \bigcap_{i \in I} R_i || || || |SZ=, }} wobei die {{ Ma:Vergleichskette | R_i |\subseteq|K || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | i |\in| I || || || |SZ=, }} alle {{ Definitionslink |diskrete Bewertungsringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Zeige{{n Sie}}: {{math|term=R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ifdhci38hnzgbh4rn4h18oq8dx0xv3q 0 16181 766692 713468 2022-08-15T12:25:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |maximalem Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (p) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |R \setminus \{0\} | \N |f|{{op:Bewertungsordnung|f|}} |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|fg|}} || {{op:Bewertungsordnung|f|}} + {{op:Bewertungsordnung|g|}} || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f+g|}} | \geq| \min \{ {{op:Bewertungsordnung|f|}} , {{op:Bewertungsordnung|g|}} \} || || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{idealm}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|}} |\geq| 1 || || || |SZ= }} ist. |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bewertungsordnung|f|}} || 0 || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ordnung |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ore9yrmyqciek73152ixt9ekm8m2pi 0 16193 767519 760362 2022-08-15T16:26:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei angenommen, dass jede ganze Zahl {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \Z || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | n |\neq|0 || || || |SZ=, }} eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R |SZ=}} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{math|term= R |SZ=}} bereits {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Faktoriell |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6n0iane3v74wycju2yt46fvki1jsh26 0 16235 766691 703144 2022-08-15T12:24:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} zu einem Element {{mathbed|term=q \in Q(R)|bedterm1=q \neq 0|SZ=,}} die Ordnung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bewertungsordnung|q|}} |\in| \Z || || || |SZ=. }} Dabei soll die Definition mit der {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für Elemente aus {{math|term=R|SZ=}} übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |Q(R) \setminus \{0\} | \Z || |SZ= }} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ordnung |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8xzqo9apq60rlllbm827kpzmpok1jd 0 16252 767445 758862 2022-08-15T16:14:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | D |\neq| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}] |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} kein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} soa7mbbnubf3yqqebkbs9ylvh45k8xa 14 16254 768217 652274 2022-08-16T11:30:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen|Z |Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen|Z}} 4t4g0nv9urubzl2r5ud6xfp4ydiwote 14 16255 768218 652270 2022-08-16T11:30:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen freien Algebren über Z|Quadratisch |Theorie der reinen Gleichungen über Z|2 }} epwpq8mk6rfuaps0v7qlso2r97ek85s 14 16279 768219 667235 2022-08-16T11:30:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der quadratischen Zahlbereiche|Klassengruppe |Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich)‎|Quadratisch }} 8pe4g4djsawz83vpyti2tbwwy1cif05 0 16534 767510 760355 2022-08-15T16:24:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | D |<| 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= A_D |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |imaginär-quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette | D |\geq| -12 || || || |SZ= }} die Nichteinheiten {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| A_D || || || |SZ= }} mit minimaler Norm. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Primfaktorzerlegung |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} savuc0p69922xu3y9sxp7gijsz3h4bz 14 16564 768220 636750 2022-08-16T11:30:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q|Ganzwertig}} jbv2dqfzjrpjwr4k9hkg7kesif65o3m 0 16574 767454 536832 2022-08-15T16:16:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\nu |(K^\times, \cdot,1)| (\Z,+,0) || |SZ= }} ein surjektiver {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \nu(f+g) | \geq |\min\{ \nu(f) , \nu(g)\} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | f,g |\in| {{op:Einheiten|K|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || {{Mengebed|f \in K^\times |\nu(f) \geq 0 }} \cup \{0\} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= 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2022-08-16T11:31:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Der Hilbertsche Nullstellensatz|Algebraisch |Theorie der kommutativen endlich erzeugten Algebren über Körpern|Nullstellensatz }} 37z2p0sqx6axk0wsg8j518eh31wzn6d 14 18008 768229 636629 2022-08-16T11:32:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der algebraischen Teilmengen und der Verschwindungsideale|Hilberts Nullstellensatz |Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper|Hilberts Nullstellensatz}} g8ko4ikbhfbz9bnmh37raepy8e8eba0 14 18009 768230 702787 2022-08-16T11:32:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Varietäten|Affine Varietäten |Theorie der affinen Schemata|Varietät}} 5dy4ikw0x06mmt7md10n0i81pmlid8n 14 18041 768231 741313 2022-08-16T11:32:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der ebenen 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Als {{ Zusatz/Klammer |text=Zariski| |ISZ=|ESZ=- }}abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch {{mathl|term=V(0)}} beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch {{mathl|term=V({{ideala}})}} mit {{mathl|term=\mathfrak a \neq 0}} beschrieben. Da {{mathl|term=K[X]}} ein Hauptidealbereich ist, kann man sogar {{ mathbed|term= {{ideala|}} =(f) ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt {{math|term=P}} mit der Koordinate {{math|term=a}} die einzige Nullstelle des linearen Polynoms {{mathl|term=X-a|SZ=,}} also ist {{mathl|term=\{P\}=V(X-a)}} Zariski-abgeschlossen. Eine endliche Ansammlung von Punkten {{mathl|term=P_1, \ldots, P_k}} mit den Koordinaten {{mathl|term=a_1, \ldots, a_k}} ist die Nullstellenmenge des Polynoms {{mathl|term=(X-a_1) \cdots (X-a_k)|SZ=.}} Die Zariski-abgeschlossenen Mengen der affinen Geraden bestehen also aus allen endlichen Teilmengen {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der leeren| |ISZ=|ESZ= }} und der gesamten Menge. |Textart=Beispiel |Kategorie=Zariski-Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Affine Gerade |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odkkb3avcn66oqghbi2c7dknmtq8v40 767595 767594 2022-08-15T17:24:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K|}} }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} lässt sich einfach beschreiben. Als {{ Zusatz/Klammer |text=Zariski| |ISZ=|ESZ=- }}abgeschlossene Teilmenge haben wir zunächst einmal die gesamte affine Gerade, die durch {{mathl|term= V(0) }} beschrieben wird. Alle anderen abgeschlossenen Teilmengen werden durch {{mathl|term= V({{ideala}}) }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} beschrieben. Da {{mathl|term= K[X] }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, kann man sogar {{ mathbed|term= {{ideala|}} =(f) ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ansetzen. Die zugehörige Nullstellenmenge besteht also aus endlich vielen Punkten. Andererseits ist jeder einzelne Punkt {{math|term=P}} mit der Koordinate {{math|term=a}} die einzige Nullstelle des linearen Polynoms {{mathl|term= X-a |SZ=,}} also ist {{ Ma:Vergleichskette | \{P\} || V(X-a) || || || |SZ= }} Zariski-abgeschlossen. 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Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}}</includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{#ifeq:{{{kon|}}}|||[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> dcrcc8y0w0rnsu4fj50yoon1zirx5p4 766689 766688 2022-08-15T12:19:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}|||[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> ozc14ldfd9wufuyjqh52avcge937pyc 766735 766689 2022-08-15T13:03:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}}{{#ifeq:{{{kon|}}}|||[[Kategorie:kon mit Eintrag]]|}}</includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> 13xqqhrd3wh4o5sdpr7kerpwxmtfxwg 767591 766735 2022-08-15T16:46:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. 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Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. 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Sei zum Beispiel {{mathl|term=T \subset {{op:Affine Gerade|K}}}} eine unendliche echte Teilmenge (was voraussetzt, dass {{math|term=K}} unendlich ist). Dann ist {{mathl|term=\operatorname{Id} (T) = 0 |SZ=,}} und also ist {{mathl|term=V(0) = {{op:Affine Gerade|K}}}} echt größer als {{math|term=T|SZ=.}} Zu (2). 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Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der Integritätsbereiche}} ke1vm4t5tdtv86mirenyqnmdill9atf 14 19933 768265 702786 2022-08-16T11:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Schemamorphismen|Varietät |Theorie der Varietäten|Morphismen}} p36p1f3md257ha39oman9x2yzl59zdw 14 20074 768266 707234 2022-08-16T11:37:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Algebraische Geometrie|Funktionenkörper |Theorie der Funktionenkörper (Schemata)|Funtionenkörper |Körpertheorie|Funktionenkörper}} j0kditf94wqgsh2qr15r5q0clvmc8gn 14 20269 768267 617011 2022-08-16T11:37:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven|Bezout |Theorie der projektiven Ebene|Bezout}} 6c31n6fzfsmoe8whosey6whrik9u5kl 14 20425 768268 741303 2022-08-16T11:37:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki 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Definiere{{n Sie}} eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige{{n Sie}}, dass dieser Ring ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wu06aj8vbsfd2q9ic9zrkcbgopqjgt 14 20581 768269 546347 2022-08-16T11:37:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der algebraischen Differentialoperatoren|Derivation}} 4ww66vyrlk7fyr3eynpl1su56bz11t1 14 20615 768270 609996 2022-08-16T11:38:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der ebenen algebraischen Kurven|Projektiv |Theorie der projektiven Kurven|Ebene |Theorie der projektiven Hyperflächen|Kurve }} het23xy90m28nrelhyucm7o9wcjjdnv 14 20764 768271 596093 2022-08-16T11:38:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki 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der {{ Definitionslink |projektive Raum| |Definitionsseitenname= Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Konstanten die einzigen globalen {{ Definitionslink |algebraischen Funktionen| |Definitionsseitenname= Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition |SZ= }} sind, d.h. es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| {{op:Projektiver Raum|n|K}} | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|K}}|}} }} || K || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8u5qdb25mi7uctziuuw4t1qxc0kpjnf 14 21442 768285 741291 2022-08-16T11:40:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der algebraischen Elemente über einem Körper|Kreis |Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal|Quadratur |commonsdatcat=Squaring the circle}} 60vyay8qr2jyhpe5znaujpdlz8uby5p 14 22045 768287 457320 2022-08-16T11:40:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Isometrien zwischen euklidischen Vektorräumen‎|Automorphismus |Theorie der maßtreuen Abbildungen|Isometrie}} kluus4uxsgts78idgtq7i2o4d3flcgg 14 22069 768288 555879 2022-08-16T11:40:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen Gruppen|Symmetrie |Theorie der Isometrien auf euklidischen Vektorräumen|Endlich |Theorie der endlichen Untergruppen von GLG|Endlich }} j64c789fzt6rzs9mbinav38p1dpwbgv 14 22080 768289 745633 2022-08-16T11:40:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der euklidischen Vektorräume|Orthonormalbasen |Theorie der Orthonormalsysteme|Normal }} a806q08eekl9jel3g9h6d6pcyd45wsm 14 22084 768290 741381 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wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Mengen, Relationen und Abbildungen|Mengen }} medeanypqqvzs5ql4x7rbeajphn026c 14 22230 768296 622044 2022-08-16T11:41:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Mengensysteme|Potenzmenge |Theorie der booleschen Verbände|Potenzmenge}} lpi5lsre9ifb76hjed5ezzxqnmuovc8 14 22276 768297 232461 2022-08-16T11:41:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Gruppenhomomorphismen|Homomorphie |Theorie der Restklassengruppen|Homomorphie |Theorie der Faktorisierung von Abbildungen|Gruppen}} 4uytheadm8ytb9d7glzh0oqmhjgrkey 106 22622 766803 508350 2022-08-15T13:52:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesungsgestaltung|27| {{Zwischenüberschrift|term=Konstruierbare Einheitswurzeln}} {{ inputdefinition |Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Definition|| }} Die Menge der komplexen Einheitswurzeln {{ mathbed|term= {{op:exp2piibruch|k|n}} ||bedterm1= k=0 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Ecks, wobei {{math|term=1|SZ=}} eine Ecke bildet. Alle Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis. Die Ecke {{mathl|term={{op:exp2piibruch||n}}|SZ=}} ist eine primitive Einheitswurzel; wenn diese mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, so sind auch alle weiteren Eckpunkte konstruierbar. Bei {{mathl|term=n=1,2|SZ=}} kann man sich darüber streiten, ob man von einem regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Eck sprechen soll, jedenfalls gibt es die zugehörigen Einheitswurzeln und diese sind aus {{math|term=\Q|SZ=,}} also erst recht konstruierbar. Das regelmäßige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck und dieses ist konstruierbar nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da der dritte Kreisteilungskörper eine quadratische Körpererweiterung von {{math|term=\Q|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=man kann einfacher auch direkt zeigen, dass ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Grundseite heraus konstruierbar ist| |SZ=. }} Das regelmäßige Viereck ist ein Quadrat mit den Eckpunkten {{mathl|term=1,i,-1,-i|SZ=,}} und dieses ist ebenfalls konstruierbar. Das regelmäßige Fünfeck ist ebenfalls konstruierbar, wie in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Fermat Zahlen/Konstruierbare Ecke/5/Beschreibe animierte Konstruktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt wurde. Wir werden im Folgenden sowohl positive als auch negative Resultate zur Konstruierbarkeit von regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Ecken vorstellen. {{ inputbild |Pentagon construct|gif| 200px {{!}} center {{!}} frame {{!}} |epsname=Pentagon_construct |Text=Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal |Autor= TokyoJunkie |Benutzer=Mosmas |Domäne=PD |Lizenz=en.wikipedia.org |Bemerkung=en:Image:Pentagon_construct.gif }} {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Produkteigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|ref2=| }} Aus diesem Lemma kann man in Zusammenhang mit den oben erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten folgern, dass die regelmäßigen {{math|term=3 \cdot 2^r|SZ=-}}Ecke, die regelmäßigen {{math|term=5 \cdot 2^r|SZ=-}}Ecke und die regelmäßigen {{math|term=15 \cdot 2^r|SZ=-}}Ecke für jedes {{math|term=r|SZ=}} konstruierbar sind. {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Euler ist Zweierpotenz/Fakt|Satz|| |ref1=|ref2=| }} {{Zwischenüberschrift|term=Winkeldreiteilung}} Wir sind nun in der Lage, das Problem der Winkeldreiteilung zu beantworten. {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Das regelmäßige 9-Eck ist nicht konstruierbar/Fakt|Korollar|| ref1=| || }} {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Wir geben noch einen weiteren Beweis, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, der nicht auf der allgemeinen Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome beruht. {{ inputfaktbeweis |Normiertes Polynom über Z/Grad maximal 3 ohne Nullstelle/Irreduzibel/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Einfache Beispiele wie {{mathl|term=F=(2X+1)^2|SZ=}} zeigen, dass ohne die Voraussetzung normiert die Aussage nicht stimmt. Dass ein ganzzahliges normiertes Polynom keine ganzzahligen Nullstellen besitzt, ist im Allgemeinen einfach zu zeigen. Für {{math|term=n|SZ=}} betragsmäßig groß kann man durch eine einfache Abschätzung zeigen, dass es dafür keine Nullstelle geben kann, und für {{math|term=n|SZ=}} in einem verbleibenden überschaubaren Bereich kann man durch explizites Ausrechnen feststellen, ob eine Nullstelle vorliegt oder nicht. {{ inputbemerkung |Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/cos 20/Minimalpolynom/Bemerkung|| ref1=|ref2= }} {{Zwischenüberschrift|term=Fermatsche Primzahlen}} Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen. {{inputdefinition|Primzahlen/Fermatsche Primzahlen/Definition|}} Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen {{ math/disp|term= 3,5,17,257,65537 |SZ= }} überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt. {{inputfaktbeweis|Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt|Lemma|}} Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition. {{inputdefinition|Fermat Zahlen/Definition|}} {{ inputbild |Pie 2|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Pie_2 |Autor= |Benutzer=Cronholm 144 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cake quarters|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Cake_quarters |Autor= |Benutzer=Acdx, R. S. Shaw |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Luxembourg Vianden Nut-fair 10|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Luxembourg_Vianden_Nut-fair_10 |Text=Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt. |Autor= |Benutzer=PlayMistyForMe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{inputfaktbeweishier|Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt|Satz||Beweistext={{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen nur die eine Richtung, dass bei einem konstruierbaren regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Eck die Zahl {{math|term=n|SZ=}} die angegebene numerische Bedingung erfüllen muss.|Teilstrategie= |Teilbeweis={{:Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt/Beweis}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für die andere Richtung muss man aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Produkteigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl {{math|term=p|SZ=}} das regelmäßige {{math|term=p|SZ=-}}Eck {{ Definitionslink |konstruierbar| |Kontext=Eck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dies haben wir für {{mathl|term=p=3,5|SZ=}} explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre {{math|term=17|SZ=-}}Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen {{ Zusatz/Klammer |text=bekannt oder nicht| |SZ= }} folgt die Konstruierbarkeit aus der Galoistheorie. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} }} 12qq7d4ydprmo0f3b98spx1veo83j7q 14 22875 768298 741380 2022-08-16T11:42:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der periodischen Funktionen|Trigonometrisch |Kreisgeometrie|Trigonometrische Funktionen }} 9gqpnjuaxnu1n5xnjitnweb06ckigk2 10 22933 766632 554612 2022-08-15T12:03:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term={{{G|G}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{{H|H}}} |\subseteq | {{{G|G}}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= 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|Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rtb69j3crd101a914fqwm0whzjksx6y 14 25020 768323 573248 2022-08-16T11:45:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q|Kreisteilung |Theorie der Kreisteilungskörper|Q}} 0zfi09zo7y43d9w0dhpxkcalng7xhui 10 25040 766608 588969 2022-08-15T12:00:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |SZ= }} und {{math|term={{{V|V}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Definition |SZ= }} {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=-}}{{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jakiau9830em2sgch0p9wl10nhtvy98 0 25085 766697 747931 2022-08-15T12:30:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= Zur Existenz. Wir wenden {{ Faktlink |Faktseitenname= Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt |Refname= |SZ= }} auf den Grundkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und das Polynom {{mathl|term=X^q-X|SZ=}} an und erhalten einen Körper {{math|term=L|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p|SZ=,}} über dem {{mathl|term=X^q-X|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} gibt es dann einen Unterkörper {{math|term=M|SZ=}} von {{math|term=L|SZ=,}} der aus genau {{math|term=q|SZ=}} Elementen besteht. Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass ein Körper mit {{math|term=q|SZ=}} Elementen der {{ Definitionslink |Zerfällungs{{latextrenn}}körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynoms {{mathl|term= X^q-X |SZ=}} sein muss, so dass er aufgrund dieser Eigenschaft nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} eindeutig bestimmt ist. Sei also {{math|term=L|SZ=}} ein Körper mit {{math|term=q|SZ=}} Elementen, der dann {{mathl|term={{op:Zmod|p}}|SZ=}} als {{ Definitionslink |Primkörper| |Definitionsseitenname= /Definition| |SZ= }} enthält. Da {{math|term= {{op:Einheiten|L}} |SZ=}} genau {{mathl|term= q-1 |SZ=}} Elemente besitzt, gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppentheorie/Lagrange/Ordnung eines Elementes/Fakt |Refname= {{{ref4|Fakt}}} |SZ= }} die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | x^{q-1} || 1 || || || |SZ= }} für jedes {{mathl|term=x \in {{op:Einheiten|L}}|SZ=}} und damit auch {{ Ma:Vergleichskette |x^q ||x || || || |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ=. }} Dieses Polynom vom Grad {{math|term=q|SZ=}} hat also in {{math|term=L|SZ=}} genau {{math|term=q|SZ=}} verschiedene Nullstellen, so dass es also über {{math|term=L|SZ=}} zerfällt. Zugleich ist der von allen Nullstellen erzeugte Unterkörper gleich {{math|term=L|SZ=,}} so dass {{math|term=L|SZ=}} der Zerfällungskörper ist. |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lc3vau9h2dvstfzkw1l8pf2k6jidekc 14 25267 768324 741292 2022-08-16T11:45:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Elementare Geometrie|Strahlensatz ||commonsdatcat=intercept theorem}} nlwcr6zmd259f9fie3xq7tikd8eeafn 14 25328 768325 169934 2022-08-16T11:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der algebraischen Zahlen|Pi ||}} 3mnljqmgbvfijjtrapi7wksw67dxgwn 14 25374 768326 170128 2022-08-16T11:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Vektorräume|Erzeugendensystem ||}} lj00fyuh51gp74hz80t59da5bdasqgz 14 25379 768327 170133 2022-08-16T11:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Vektorräume|Basis ||}} armvjlftaua4kbzz06f3deon73yvqte 14 25382 768328 170139 2022-08-16T11:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Charakteristik eines Körpers|Primkörper ||}} a3yzcz1ys05onybenzwwkr1brctplee 14 25421 768329 741293 2022-08-16T11:46:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Die Zahl pi|Konstruktionen ||commonsdat=Geometric constructions of pi}} n69m667xsvltv6cbuz5jx5zo0m8umon 14 25476 768330 741377 2022-08-16T11:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Einheitswurzeln|Komplex |Theorie der komplexen Zahlen|Einheitswurzeln |Theorie der Kreisteilungskörper über Q|Komplex |Theorie der komplexen Potenzierung|Einheitswurzel |commonsdatcat=Roots of unity}} m7bhlsl76gzr3q667p0d5iqvqs2efsw 10 25483 766626 669451 2022-08-15T12:02:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext 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|Theorie der komplexen Zahlen|Euler ||}} tl4q5yvc5kiws1io1do7qyyiwamchpr 10 25534 766625 252443 2022-08-15T12:02:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term={{{p|p}}}|SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Primzahl/Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlcdszd11zwd06e5lgqcq3qy1hafocg 14 25542 768336 573252 2022-08-16T11:47:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Kreisteilungskörper über Q|Polynom ||}} bdxg52b390z1nlki3qlm5q249w04jzd 14 25698 768337 748513 2022-08-16T11:47:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Charakteristische Polynom ||}} 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Zahlen|Gaußklammer ||commonsdatcat=Floor and ceiling}} lm7g33yfn5tz4acwdejrtzawre0xken 14 26657 768347 741308 2022-08-16T11:48:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Mathematische Disziplinen|Logik }} 8x40h3mhmsw1zafle0k0748akxr7q0n 14 26685 768348 198171 2022-08-16T11:48:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der angeordneten Körper|Folge |Theorie der Folgen (Analysis)|Angeordnet |Theorie der Folgen in einem Körper|Angeordnet}} 9zancd8er3wosvs8gq9844qzrqsq7iy 14 26690 768350 177348 2022-08-16T11:48:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der angeordneten Körper|Vollständig ||}} 7kogp6z8rcjru95dc9udkcqu3jg92j5 14 26940 768351 178679 2022-08-16T11:48:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der quadratischen Formen in drei Variablen|Summe |Theorie der Quadratsummen|3}} 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wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Logik|Aussagenlogik |Mathematische Logik|Aussagenlogik commons=Propositional logic}} 2wbutg7ryjxih9hpzewfalhnpqxk5na 106 27244 766812 577722 2022-08-15T13:54:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|25| {{Zwischenüberschrift|term=Der große Umordnungssatz}} {{ inputfaktbeweis |Familie komplexer Zahlen/Großer Umordnungssatz/Fakt|Satz|| |ref1=||zusatz1=Fußnote }} {{Zwischenüberschrift|term=Cauchy-Produkt von Reihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition|Cauchy-Produkt| }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt|Lemma||zusatz1=Klammer |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Potenzreihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition|| }} Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Basis {{mathl|term=z \in {{CC}}|SZ=}} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man {{math|term=z|SZ=}} variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in {{math|term=z|SZ=}} darstellt. Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon das letzte Mal kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe {{mathl|term=\sum_{n=0}^\infty z^n|SZ=,}} die für {{mathl|term= {{op:Betrag|z|}} < 1 |SZ=}} konvergiert und dort die Funktion {{mathl|term=1/(1-z)|SZ=}} darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt. {{Zwischenüberschrift|term=Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}} {{:Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=&nbsp;Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= {{op:exp|1|}} |SZ=}} ist, und dass {{mathl|term= {{op:exp|1|}}|SZ=}} mit der früher eingeführten eulerschen Zahl {{math|term=e|SZ=}} übereinstimmt.}} {{Zwischenüberschrift|term=Die trigonometrischen Reihen}} {{ inputdefinition |Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition|| }} Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes {{math|term=z|SZ=}} absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen {{ math/disp|term= {{op:cos|z|}} := {{op:cosinusreihe|z|}} \text{ und } {{op:sin|z|}} = {{op:sinusreihe|z|}} |SZ= }} heißen {{Stichwort|Sinus|SZ=}} und {{Stichwort|Kosinus|SZ=.}} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen. {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Für reelle {{math|term=z|SZ=}} sind {{ mathkor|term1= {{op:sin|z|}} |und|term2= {{op:cos|z|}} |SZ= }} wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles {{math|term=z|SZ=}} das Paar {{mathl|term= ( {{op:cos|z|}}, {{op:sin|z|}} )|SZ=}} ein Punkt auf dem {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=}} {{mathl|term= {{mengebed|(x,y)|x^2+y^2 {{=|}} 1}} |SZ=}} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als {{math|term= ( {{op:cos|z|}}, {{op:sin|z|}} ) |SZ=}} schreiben lässt, wobei man {{math|term=z|SZ=}} als Winkel interpretieren kann. Dabei tritt die Periode {{math|term=2 \pi|SZ=}} auf, wobei wir die {{Stichwort|Kreiszahl|SZ=}} {{math|term=\pi|SZ=}} eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden. {{Fußnotenliste}} }} gzmwuzaa8jo5wrp4yaz8eugtz08xbgc 106 27274 766811 277588 2022-08-15T13:54:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|25| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Reihe/Minorantenkriterium/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe/1 durch ak+b/Divergenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe/1 durch Wurzel k/Divergenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Summierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Teilsummen/Gittereinteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Summierbarkeit/1 durch z^kz^l/Teilsummen/Diagonaleinteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe/Cauchyprodukt/Nicht Partialsummen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinusreihe mal Kosinusreihe/Koeffizienten bis 6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Unbeschränkt/Aufgabe||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass {{math|term=\R_+|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Exponentialfunktion ist| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus/C/Additionstheorem/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} Die nächste Aufgabe befasst sich mit der {{math|term=g|SZ=-}}{{Stichwort|adischen Entwicklung|SZ=}} von reellen Zahlen, vergleiche [[G-adische Zahlen/Konvergenz/Aufgabe|Aufgabe 24.16]]. {{ inputaufgabe |G-adische Zahl/Rational und periodisch/Aufgabe|6| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Harmonische Reihe/Teilreihe/Keine 9 in Ziffernfolge/Divergent/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Familie komplexer Zahlen/Indexmenge N/Summierbar und absolut konvergent/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe nicht negativer reeller Zahlen/Konvergent/Halbsumme/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Vierte Potenz/Bis fünfter Koeffizient/Aufgabe|4| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Summierbarkeit/1 durch a^2 +b^2/Aufgabe|8| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Exponentialreihe/C/Abschätzung für Restglied/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eulersche Zahl/Berechnung mit Exponentialreihe/4 Nachkommastellen/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Durch 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|SZ=. }} Wie kann man entscheiden, ob die Matrix {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und wie kann man die {{ Definitionslink |inverse Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M^{-1} |SZ=}} finden? Dazu legt man eine Tabelle an, wo in der linken Seite zunächst die Matrix {{math|term= M |SZ=}} steht und in der rechten Seite die Einheitsmatrix. Jetzt wendet man auf beide Matrizen schrittweise die gleichen elementaren Zeilenumformungen an. Dabei soll in der linken Seite die Ausgangsmatrix in die Einheitsmatrix umgewandelt werden. Dies ist genau dann möglich, wenn diese Matrix invertierbar ist. Wir behaupten, dass bei dieser Vorgehensweise in der rechten Seite die Matrix {{math|term= M^{-1} |SZ=}} als Endmatrix entsteht. Dies beruht auf folgendem {{Stichwort|Invarianzprinzip|SZ=.}} Jede elementare Zeilenumformung kann als eine Matrizenmultiplikation mit einer {{ Definitionslink |Elementarmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E |SZ=}} von links realisiert werden. Wenn in der Tabelle {{ math/disp|term= (M_1, M_2) |SZ= }} steht, so steht im nächsten Schritt {{ math/disp|term= (EM_1,EM_2) |SZ=. }} Wenn man das Inverse {{ Zusatz/Klammer |text=das man noch nicht kennt, das es aber gibt unter der Voraussetzung, dass die Matrix invertierbar ist| |ISZ=.|ESZ= }} der linken Seite mit der rechten Seite multipliziert, so ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | (EM_1)^{-1} EM_2 || M_1^{-1} E^{-1} E M_2 || M_1^{-1} M_2 || || |SZ=. }} D.h., dass sich dieser Ausdruck bei den Einzelschritten nicht ändert. Zu Beginn ist dieser Ausdruck gleich {{mathl|term= M^{-1} {{Einheitsmatrix/ab|n}} |SZ=,}} daher muss zum Schluss für {{mathl|term= ( {{Einheitsmatrix/ab|n}} , N) |SZ=}} gelten {{ Ma:Vergleichskette/disp | N || {{Einheitsmatrix/ab|n}}^{-1} N || M^{-1} {{Einheitsmatrix/ab|n}} || M^{-1} |SZ=. }} |Textart=Verfahren |Kategorie=Der Invertierungsalgorithmus für Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sqvgd8d2b7hw8t4pmes2ngb3g15ax7h 10 30112 766603 652059 2022-08-15T11:59:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{M|M}}} ||( {{{a|a}}} _{ {{{i|i}}} {{{j|j}}} } )_{ {{{i|i}}} {{{j|j}}} } || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath={{{m|m}}} \times {{{n|n}}} |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m05a9788r2nlknu93efg8qdtd389gwi 10 30314 766605 252477 2022-08-15T11:59:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term={{{A|A}}}|SZ=}} eine {{mathl|term={{{m|m}}} \times {{{n|n}}}|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{{B|B}}}|SZ=}} eine {{math|term=n \times p|SZ=-}}Matrix über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdzmc2eokgcoetts837ftoa13xfopoo 10 30455 766639 252469 2022-08-15T12:04:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term= {{liste1n|V}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ= }} über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgv75mq9xu9ntbav43qnkcfcg1sllz5 14 30501 768386 431307 2022-08-16T11:53:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Das charakteristische Polynom|Cayley-Hamilton |Theorie_des_Einsetzungshomomorphismus_für_einen_Endomorphismus|Cayley-Hamilton}} 16e7sp0i9pkft95sozxg2vsjtiybp1m 14 30529 768387 664262 2022-08-16T11:53:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Lineare Algebra (C)|Vektorraum |Theorie der Vektorräume|Komplex}} tqf4wyzfhwgmq99cfqctklfwd9yhuzj 14 30541 768388 196625 2022-08-16T11:53:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Abbildungen|Index ||}} 98xz0afmgi0eklgxyycg36uppbi1f4u 14 30554 768389 222031 2022-08-16T11:54:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der linearen Abbildungen|Dual |Theorie der Dualräume|Abbildung}} qqjjy9fz52gqg4krqg38q8iarum6c2s 14 30571 768390 431434 2022-08-16T11:54:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der nilpotenten Elemente (Ringtheorie)|Endomorphismus |Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen|Nilpotent ||}} hn8shw583bmiil703v5r7k5bw11oy9w 14 30572 768391 196785 2022-08-16T11:54:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der linearen Abbildungen|Endomorphismen ||}} b8t4lmcc88gtqqeomdnpwvwy00pzfv0 0 30743 766699 508510 2022-08-15T12:33:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wenn {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=ev| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so kann man sofort annehmen, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine {{ Definitionslink |Diagonalmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer {{ Definitionslink |geometrischen Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag {{math|term= \lambda |SZ=}} trägt als Linearfaktor {{mathl|term= X- \lambda |SZ=}} bei. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für die Umkehrung seien {{mathl|term= {{liste1k|\lambda}} |SZ=}} die verschiedenen Eigenwerte und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu_i |{{defeq|}}| \mu_{\lambda_i}(\varphi) || {{op:dim vr| {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_i}} |}} || || |SZ= }} seien die {{ Zusatz/Klammer |text=geometrischen und algebraischen| |ISZ=|ESZ= }} Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich {{ Ma:Vergleichskette | n || {{op:dim vr|V|}} || || || |SZ= }} sein. Es seien {{ math/disp|term= v_{ij},\, j= 1 {{kommadots|}} \mu_i |SZ=, }} Basen der Eigenräume {{mathl|term= {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_i}} |SZ=}} für {{mathl|term= {{laufi|1|k}} |SZ=.}} Dies sind insgesamt {{math|term= n |SZ=}} Vektoren. Sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i,j} b_{ij} v_{ij} ||0 || || || |SZ= }} eine Darstellung der {{math|term= 0 |SZ=.}} Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | w_i | {{defeq|}} | \sum_{j {{=|}} 1}^{\mu_i} b_{ij} v_{ij} |\in| {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_i|}} || || |SZ= }} ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{i {{=}} 1}^k w_i ||0 || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= w_i |SZ=}} aus den verschiedenen Eigenräumen sind. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenvektoren/Linear unabhängig/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind diese Vektoren {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also müssen alle {{ Ma:Vergleichskette | w_i || 0 || || || |SZ= }} sein. Damit müssen auch alle {{ Ma:Vergleichskette/disp | b_{ij} ||0 || || || |SZ= }} sein und die gewählten Basisvektoren der Eigenräume sind linear unabhängig. Daher bilden sie eine Basis. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frppw3k553krd0wp6xq2yl1ac41why3 14 30833 768392 198170 2022-08-16T11:54:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Körpertheorie|Folgen ||}} qt69ojuw5yqd8fu6aa2c4au9i3z4hzw 14 30896 768393 741359 2022-08-16T11:54:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der topologischen Vektorräume| |Theorie der metrischen Räume|Vektorraum }} 81q5w026yxmi56ilzxf8icmjk5vnv82 14 30897 768394 198384 2022-08-16T11:54:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Topologie|Vektorraum |Theorie der Vektorräume|Topologie}} mc6ajbxlw3wu8qfmc0k0e60vwuuc6pl 14 30915 768395 579730 2022-08-16T11:55:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der rationalen Funktionenkörper in n Variablen|1 |Theorie der rationalen Funktionen|Körper |Theorie der Funktionenkörper (Varietäten)|Rational}} 4axd8jqx82tjsjly7vsd1buou7wl4ej 0 31140 766647 457544 2022-08-15T12:06:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Definitionsseitenname= Euklidischer Vektorraum/Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Körper/Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b3mnf4nk1odvrzx7w4543loz5vvuypz 14 31199 768396 746169 2022-08-16T11:55:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der metrischen Räume|Folge |Theorie der Folgen|Metrischer Raum |Theorie der Folgen in topologischen Räumen|Metrischer Raum}} 3dzbpb29urph6ky37u8avcyc0js888y 14 31229 768397 741376 2022-08-16T11:55:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Abbildungen|Funktion }} 41kn7phf3rjj7kafcgdhgsa8m4ni4s1 14 31236 768398 200221 2022-08-16T11:55:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der stetigen Abbildungen|Verknüpfung |Theorie der Verknüpfungen|Stetig}} mv853xy6t83rq88wmer8xtnl6t97jfo 14 31246 768399 206196 2022-08-16T11:55:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern|K |Theorie der analytischen Funktionen|Polynom}} 92ccbedpwky2fri5xtrypsgv7beu2qv 14 31251 768400 409396 2022-08-16T11:55:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der analytischen Funktionen|Rational 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Falls ihr also noch keine ausreichend große Gruppe haben solltet, meldet euch bei ilammers@uos.de und elwalthe@uos.de. Liebe Grüße, Elisa, Martin und Ina. == Vorlesungsergänzende Literatur gesucht == Es wäre hilfreich wenn unter dem Reiter "Literatur" einige Literaturverweise stehen würden. Vielleicht hilft das ja dem ein oder anderen ein tiefergehendes Verständnis aufzubauen. Vielen Dank Patrick == Beispiel 33.3 == Ich kann nicht den folgenden Schritt verstehen (vorallem woher n- 1 kommt): {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:Integral|0|x|grand=({{op:sin| t|pot=n-2}} {{op:cos| t|}}) {{op:cos| t|}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:Integralstamm|0|x|stamm =\frac{ {{op:sin|t|pot=n-1}} }{ n-1} {{op:cos|t|}} }} - \frac{1}{n-1} ({{op:Integral|0|x|grand={{op:sin| t|pot=n}} }} ) |SZ=. }} Eduardo Partielle Integration. Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Integral|0|x|grand=({{op:sin| t|pot=n-2}} {{op:cos| t|}}) }} |SZ=}} ist {{mathl|term= \frac{ {{op:sin|t|pot=n-1}} }{ n-1} |SZ=.}} --[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 08:29, 19. Apr. 2010 (CEST) == Mathe Gruppe sucht Anhang == Hi, hier ist noch eine weitere Mathe Gruppe die Anhang sucht, da unsere Gruppe sich von 6 auf 3 reduziert hat. Bei Interesse bitte melden an pharpel@uos.de, dkruempe@uos.de oder estolz@uos.de Viele Grüße Dominik == Anhang sucht Mathe-Gruppe == Auch wir - eine 2er-Aufgabengruppe - sind immer noch auf der Suche nach Macht und Reichtum, würden uns aber auch über Gleichgesinnte freuen, die bereit wären, mit uns zu fusionieren. Auch Einzelgänger sind herzlich willkommen. Bei Interesse eine Mail an ablum@uos.de / sfenzlaf@uos.de Lg, Sandra und Alex == Aufgabe 36.11 == Heisst es <math>\int_0^\infty \frac{1}{(x+1)\sqrt(x)}dx</math> oder <math>\int_0^\infty \frac{1}{(x+1)\sqrt(x)}dt</math> Im letzten Fall, ist das das Integral von einer konstanten Funktion von t? dx, siehe auch Hinweis auf Kursseite--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:46, 3. Mai 2010 (CEST) == Rekursionsformel == Hi ich habe eine kurze Frage bezüglich der Rekursionsformel, warum heißt es da urplötzlich (u+b/2) statt (x+b/2) und im zweiten teil 1/(u^2+bu+c)^n, wurde zuvor wieder irgendwo substituiert oder ist das nur ein Fehler und müsste x heißen? Danke! LG, Robert {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term=x^2+bx+c|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=b,c \in \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein quadratisches {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} |Voraussetzung= ohne reelle Nullstelle {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. dass {{mathl|term=\triangle = {{op:Bruch|b^2-4c |4}} < 0 |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist{{{zusatz1|}}} {{ math/disp|term= \int {{op:Bruch|1|x^2+bx+c}} dx = {{op:Bruch|1| \sqrt{-\triangle} }} {{op:arctan| {{op:Bruch|1| \sqrt{-\triangle} }} (u+ {{op:Bruch|b|2}}) |}} |SZ= }} und für {{mathl|term=n \geq 1|SZ=}} gilt die Rekursionsformel {{ math/disp|term= \int {{op:Bruch|1|(x^2+bx+c)^{n+1}}} dx = {{op:Bruch|1|n (4c-b^2) }} \left( {{op:Bruch|2u+b|(u^2+bu+c)^n}} + (4n-2) \int {{op:Bruch|1|(x^2+bx+c)^n}} dx \right) |SZ= }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} Bei Integrale schreibt man die Stammfunktion manchmal mit einer neuen Variablen, um den Unterschied zur Integrationsvariablen deutlicher zu machen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:31, 14. Mai 2010 (CEST) == Fehler in der Lösung zur Testklausur == Hallo, ich bin grad dabei die Lösungen der Testklausur durchzugehen und dabei sind mir zwei Dinge (Fehler?) aufgefallen: Wenn ich die Lösung von Aufgabe 5 ableite, erhalten sowohl ich als auch mein Taschenrechner -1/cos t und nicht wie gefordert +1/cos t. Hier liegt also scheinbar ein Vorzeichenfehler vor. :ist korrigiert Bei der Lösung von 9a heißt es "für ALLE t>0". Aber wählt man t<1 (zB t=1/2) und x'≥x≥1 (zB x'=2 und x=1), so erhält man t^x' = 1/4 < 1/2 = t^x. (Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?) Somit kann man dann doch auch die anschließende Ungleichung der Integrale nicht ohne weiteres formulieren, oder? Diese würde dann ja nur mit den Intervallgrenzen [1,unendlich] gelten und von 0 bis 1 würde das Gegenteil ("<") der Fall sein. :wird noch korrigiert. Jetzt wird erst die Klausur korrigiert, hätten wir zuerst machen sollen. Danke. Aufgabenstellung und Lösung abgeändert. Die ursprüngliche Aufgabenstellung ist ohne die Ableitungsregel für Integrale nicht einfach, da hab ich mich vertan, sorry.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:28, 14. Mai 2010 (CEST) LG Sebastian == Aufgabe 42.14 == In der Aufgabe steht: <math> g : D \setminus \{Q\} \rightarrow F </math> Ist es <math> g : E \setminus \{Q\} \rightarrow F </math> gemeint? EA richtig, ist geändert.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 11:58, 25. Mai 2010 (CEST) == Skript == Hallo meine Lieben, meine Frage bezieht sich auf den vollständigen Skript mit den Aufgaben - kann man diesen wieder irgendwo herunterladen? Xosrau == Def. 31.13 == In der Definition 31.13 werden Riemman-integriertbare Funktionen definiert. Dieser Begriff wird wiederum in der Definition benutzt. Wie ist das Möglich? E.A. In Definition 31.13 wird Riemannintegrierbarkeit fuer beliebige Intervalle definiert indem es auf den (bereits definierten) Fall zurueckgefuehrt wird, dass der Definitonsbereich ein kompaktes Intervall ist. --[[Benutzer:Axel|Axel]] 11:13, 3. Sep. 2010 (CEST) == 1. Testklausur, Aufgabe 11 == Moin, in der letzten Zeile der Testklausur ist der Definitionsbereich angegeben. Hab ich da irgendwo einen Denkfehler, oder muss das nicht auch rechtsseitig offen sein, da wenn (-3c)^(1:2) auch noch möglich wäre, stände unter der Wurzel im Nenner eine 0, was ja net geht. Gruß, Christian : richtig, war falsch hingeschrieben und ist geändert.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 15:58, 11. Sep. 2010 (CEST) == Satz der Umkehrabbildung == Nabend, ich würde mich freuen, wenn jemand in normalen Worten antworten könnte, was der Satz der Umkehrabbildung aussagt. Zudem wäre es gut zu wissen, was man mit diesem Satz (rechnerisch oder anderweitig) anstellen kann. Da er ja eine gesamte Vorlesung behandelt wurde, denke ich mal er könnte wichtig sein und von daher wäre ich um eine "normale" Antwort dankbar um vielleicht damit dann das Skript verstehen zu können. Nachfragen bei Komilitonen zufolge bin ich glaube ich nicht der einzige, der um eine Antwort dankbar wäre :) Danke! :In normalen Worten kann ich es nicht erklären; es mag aber hilfreich sein, sich erstmal den eindimensionalen Fall klar zu machen: Wenn {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} stetig differenzierbar ist und {{mathl|term=f'(P) \neq 0|SZ=}} in einem bestimmten Punkt {{math|term=P|SZ=}} ist, dann ist die Abbildung {{Anführung|lokal}} bijektiv. D.h. es gibt ein Intervall {{mathl|term=P \in J|SZ=}} derart, dass die Einschränkung {{ Ma:abbele/disp |name=f |J|f(J) || |SZ= }} bijektiv ist. Diese Version wurde auch im Wesentlichen schon in [[Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt|Satz 28.5]] bewiesen. Über die Größe von {{math|term=J|SZ=}} gibt es keine allgemeine Aussage. Der Satz sichert die Existenz einer Umkehrabbildung; ob man diese rechnerisch bestimmen kann ist eine andere Frage.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 22:15, 15. Sep. 2010 (CEST) == Taylor-Formel- Vorbereitung == In der Vorlesung 47 wird die Notation eingeführt: <math>r=(r_1,...,r_n)\in N^n </math> <math>D^r= D_1^{r_1}\bullet...\bullet D_n^{r_n}</math> Ich verstehe leider nicht, was hier mit D^r gemeint ist! Es ist eben die rechte Seite gemeint. Man muss also {{math|term=r_n|SZ=-}}mal die {{math|term=n|SZ=-}}te partielle Ableitung nehmen, dann {{math|term=r_{n-1}|SZ=-}}mal die {{math|term=n-1|SZ=-}}te partielle Ableitung u.s.w. Also bspw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | D^{(2,1,3)} ( x^4y^7z^5) ||{{op:partiell||x}}^2 \circ {{op:partiell||y}}^1 \circ {{op:partiell||z}}^3 (x^4y^7z^5) ||{{op:partiell||x}}^2 \circ {{op:partiell||y}}^1 (60 x^4y^7z^2) ||{{op:partiell||x}}^2 (420 x^4y^6z^2) || 12 \times420 x^2y^6z^2 |SZ=. }} --[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 16:52, 23. Sep. 2010 (CEST) == Klausur == Eine kurze Frage zur Klausur. Bekommen wir wie bei der ersten Testklausur wieder eine Formelsammlung mit den wichtigsten (kompliziertesten)Stammfunktionen und solchen Dingen? :Nein; es ist aber auch nicht nötig. Eine Stammfunktion wird auf dem Aufgabenzettel mit angegeben.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 16:06, 24. Sep. 2010 (CEST) == Kurze Frage zu Lemma 49.3 == Hallo, Mir ist gerade nicht klar, wie die Norm einer linearen Abbildung definiert ist?! (Im Lemma wird vorausgesetzt, dass die Norm des Differentials für alle x in G kleiner als eine Zahl b ist) Ich danke für erklärende Worte, Grüße, Alexander Müller 14:11, 25. Sep. 2010 (CEST) :Siehe [[Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition]].--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 14:36, 25. Sep. 2010 (CEST) == 48er Aufwärmaufgaben == Habe eine Frage zu den Lösungen von Aufgaben 48.2-48.6 . Habe diese gerechnet und mir kommt es komisch vor, dass so viele ähnliche Ergebnisse vorkommen. Würde mich über Bestätigung der Ergebnisse oder Hinweise auf Fehler freuen. 48.2 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=2 D2=-4 damit Sattelpunkt, weil indefinit 48.3 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=2, D2=0 Sattelpunkt oder unbekannt weil Unterdeterminante = 0 ist??? 48.4 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=4, D2=-1 Sattelpunkt, weil indefinit 48.5 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=4, D2=8 Minimum, weil positiv definit 48.6 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, ... Die Hesse-Matrix mit den Eingesetzten Punkten ergibt 4 Nullen (also in allen Einträgen) was ist das dann? Sattelpunkt oder unbekannt oder was? Generell zudem die Frage was passiert wenn eine Unterdeterminante = 0 ist? Danke! Bei 48.3 würde ich das Eigenwertkriterium anwenden, dass besagt wenn die Eigenwerte der Hessematrix alle größer 0 sind, ist es positiv definit und wenn alle negativ sind ist es negativ definit. Dann bekommst du die Lösung, das es größer gleich null ist, das heißt weder positv defenit noch negativ definit. Bei 48.6 sind es ja zwei kritische Punkte, wenn ich mich nicht irre und zwar (0,0) und (6,18). Bei (0,0) habe ich das Eigenwertkriterium angewendet und damit kommt dann indefinit raus. Bei (6,18) kann man das Hauptminorenkriterium anwenden wo dann indefinit auch raus kommt. == Aufgabe 50.9 == Ich kann nicht richtig die Aufgabe verstehen! Man muss zeigen, dass das Bild von einer offenen Menge unter einer stetigen Funktion offen ist. Ich habe in Wikipedia nachgeschaut, und die Definition von Stetigkeit ist genau diese Eigenschaft. Was habe ich falsch verstanden? :bei der Stetigkeit ist das Ur(!)bild (nicht das Bild) einer offenen Menge offen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 23:13, 27. Sep. 2010 (CEST) == Klausureinsicht == Hallo, ist schon ein Termin für die Klausureinsicht bekannt? Ja: 5. Oktober 2010 10 Uhr. 69/125. Es wird gebeten vorher die [[Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_II/Klausur_mit_Lösungen | Lösungen]] schon anzuschauen. == Nachschreibklausur, 18.12.10 == Kann man sich schon bei OPIuM für die Klausur anmelden? Wenn ja, wie finde ich sie? :das müsste bald möglich sein, wenn es nicht jetzt schon möglich ist.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 14:25, 18. Nov. 2010 (CET) == 34.5 == ich versuche sehr lange schon die komplexe Partialbruchzerlegung hinzubekommen. bei geraden exponenten weiß ich bescheid, aber wie mache ich das bei x³-1? zunächst kann ich das ja aufteilen in (x-1) und (x²+x+1). Aber von dem zweiten Teil bekomm ich die komplexen Nullstellen nicht raus. Ich glaube ich stehe grad ziemlich auf dem Schlauch. Bitte um Hilfe. Wie mach ich da weiter? danke! :man löst diese quadratische Gleichung {{math|term=x^2+x+1=0|SZ=}} durch quadratisches Ergänzen. Allerdings ist dann der Radiant eine komplexe Zahl. Das Wurzelziehen daraus haben wir aber schon in [[Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Beispiel|9.12]] durchgenommen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 12:57, 14. Dez. 2010 (CET) Danke, aber wär super, das Ergebnis kontrolliert zu bekommen, denn dann glaube ich es verstanden zu haben. Bei der Partialbruchzerlegung habe ich für A=(1/3) B=(1/(-1,5-(1,5(sqrt 3)i))) und C=(1/(-1,5+(1,5(sqrt 3)i))) , also als Endlösung der Partialbruchzerlegung: (1/(3x-3))+(1/(x-1-(2(sqrt 3)i)))+(1/(x-1+(2(sqrt 3)i))) Danke! p0wnhetzcdd9pe9r4m35bm5sznnrjpe 768068 766717 2022-08-16T10:01:00Z Arbota 36910 Ersetzung; kosmetische Änderungen wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Navigation}} {{Intro-Forum}} == Mathe-Gruppe sucht Anhang == 3er-Mathegruppe sucht noch Unterstützung bei der Aufgabenbearbeitung. Falls ihr also noch keine ausreichend große Gruppe haben solltet, meldet euch bei ilammers@uos.de und elwalthe@uos.de. Liebe Grüße, Elisa, Martin und Ina. == Vorlesungsergänzende Literatur gesucht == Es wäre hilfreich wenn unter dem Reiter "Literatur" einige Literaturverweise stehen würden. Vielleicht hilft das ja dem ein oder anderen ein tiefergehendes Verständnis aufzubauen. Vielen Dank Patrick == Beispiel 33.3 == Ich kann nicht den folgenden Schritt verstehen (vorallem woher n- 1 kommt): {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:Integral|0|x|grand=({{op:sin| t|pot=n-2}} {{op:cos| t|}}) {{op:cos| t|}} }} ||{{op:Integral|0|x|grand= {{op:sin| t|pot=n-2}} }} - {{op:Integralstamm|0|x|stamm =\frac{ {{op:sin|t|pot=n-1}} }{ n-1} {{op:cos|t|}} }} - \frac{1}{n-1} ({{op:Integral|0|x|grand={{op:sin| t|pot=n}} }} ) |SZ=. }} Eduardo Partielle Integration. Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Integral|0|x|grand=({{op:sin| t|pot=n-2}} {{op:cos| t|}}) }} |SZ=}} ist {{mathl|term= \frac{ {{op:sin|t|pot=n-1}} }{ n-1} |SZ=.}} --[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 08:29, 19. Apr. 2010 (CEST) == Mathe Gruppe sucht Anhang == Hi, hier ist noch eine weitere Mathe Gruppe die Anhang sucht, da unsere Gruppe sich von 6 auf 3 reduziert hat. Bei Interesse bitte melden an pharpel@uos.de, dkruempe@uos.de oder estolz@uos.de Viele Grüße Dominik == Anhang sucht Mathe-Gruppe == Auch wir - eine 2er-Aufgabengruppe - sind immer noch auf der Suche nach Macht und Reichtum, würden uns aber auch über Gleichgesinnte freuen, die bereit wären, mit uns zu fusionieren. Auch Einzelgänger sind herzlich willkommen. Bei Interesse eine Mail an ablum@uos.de / sfenzlaf@uos.de Lg, Sandra und Alex == Aufgabe 36.11 == Heisst es <math>\int_0^\infty \frac{1}{(x+1)\sqrt(x)}dx</math> oder <math>\int_0^\infty \frac{1}{(x+1)\sqrt(x)}dt</math> Im letzten Fall, ist das das Integral von einer konstanten Funktion von t? dx, siehe auch Hinweis auf Kursseite--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:46, 3. Mai 2010 (CEST) == Rekursionsformel == Hi ich habe eine kurze Frage bezüglich der Rekursionsformel, warum heißt es da urplötzlich (u+b/2) statt (x+b/2) und im zweiten teil 1/(u^2+bu+c)^n, wurde zuvor wieder irgendwo substituiert oder ist das nur ein Fehler und müsste x heißen? Danke! LG, Robert {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term=x^2+bx+c|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=b,c \in \R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein quadratisches {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=1K|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} |Voraussetzung= ohne reelle Nullstelle {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. dass {{mathl|term=\triangle = {{op:Bruch|b^2-4c |4}} < 0 |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist{{{zusatz1|}}} {{ math/disp|term= \int {{op:Bruch|1|x^2+bx+c}} dx = {{op:Bruch|1| \sqrt{-\triangle} }} {{op:arctan| {{op:Bruch|1| \sqrt{-\triangle} }} (u+ {{op:Bruch|b|2}}) |}} |SZ= }} und für {{mathl|term=n \geq 1|SZ=}} gilt die Rekursionsformel {{ math/disp|term= \int {{op:Bruch|1|(x^2+bx+c)^{n+1}}} dx = {{op:Bruch|1|n (4c-b^2) }} \left( {{op:Bruch|2u+b|(u^2+bu+c)^n}} + (4n-2) \int {{op:Bruch|1|(x^2+bx+c)^n}} dx \right) |SZ= }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} Bei Integrale schreibt man die Stammfunktion manchmal mit einer neuen Variablen, um den Unterschied zur Integrationsvariablen deutlicher zu machen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:31, 14. Mai 2010 (CEST) == Fehler in der Lösung zur Testklausur == Hallo, ich bin grad dabei die Lösungen der Testklausur durchzugehen und dabei sind mir zwei Dinge (Fehler?) aufgefallen: Wenn ich die Lösung von Aufgabe 5 ableite, erhalten sowohl ich als auch mein Taschenrechner -1/cos t und nicht wie gefordert +1/cos t. Hier liegt also scheinbar ein Vorzeichenfehler vor. :ist korrigiert Bei der Lösung von 9a heißt es "für ALLE t>0". Aber wählt man t<1 (zB t=1/2) und x'≥x≥1 (zB x'=2 und x=1), so erhält man t^x' = 1/4 < 1/2 = t^x. (Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?) Somit kann man dann doch auch die anschließende Ungleichung der Integrale nicht ohne weiteres formulieren, oder? Diese würde dann ja nur mit den Intervallgrenzen [1,unendlich] gelten und von 0 bis 1 würde das Gegenteil ("<") der Fall sein. :wird noch korrigiert. Jetzt wird erst die Klausur korrigiert, hätten wir zuerst machen sollen. Danke. Aufgabenstellung und Lösung abgeändert. Die ursprüngliche Aufgabenstellung ist ohne die Ableitungsregel für Integrale nicht einfach, da hab ich mich vertan, sorry.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:28, 14. Mai 2010 (CEST) LG Sebastian == Aufgabe 42.14 == In der Aufgabe steht: <math> g : D \setminus \{Q\} \rightarrow F </math> Ist es <math> g : E \setminus \{Q\} \rightarrow F </math> gemeint? EA richtig, ist geändert.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 11:58, 25. Mai 2010 (CEST) == Skript == Hallo meine Lieben, meine Frage bezieht sich auf den vollständigen Skript mit den Aufgaben - kann man diesen wieder irgendwo herunterladen? Xosrau == Def. 31.13 == In der Definition 31.13 werden Riemman-integriertbare Funktionen definiert. Dieser Begriff wird wiederum in der Definition benutzt. Wie ist das Möglich? E.A. In Definition 31.13 wird Riemannintegrierbarkeit fuer beliebige Intervalle definiert indem es auf den (bereits definierten) Fall zurueckgefuehrt wird, dass der Definitonsbereich ein kompaktes Intervall ist. --[[Benutzer:Axel|Axel]] 11:13, 3. Sep. 2010 (CEST) == 1. Testklausur, Aufgabe 11 == Moin, in der letzten Zeile der Testklausur ist der Definitionsbereich angegeben. Hab ich da irgendwo einen Denkfehler, oder muss das nicht auch rechtsseitig offen sein, da wenn (-3c)^(1:2) auch noch möglich wäre, stände unter der Wurzel im Nenner eine 0, was ja net geht. Gruß, Christian : richtig, war falsch hingeschrieben und ist geändert.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 15:58, 11. Sep. 2010 (CEST) == Satz der Umkehrabbildung == Nabend, ich würde mich freuen, wenn jemand in normalen Worten antworten könnte, was der Satz der Umkehrabbildung aussagt. Zudem wäre es gut zu wissen, was man mit diesem Satz (rechnerisch oder anderweitig) anstellen kann. Da er ja eine gesamte Vorlesung behandelt wurde, denke ich mal er könnte wichtig sein und von daher wäre ich um eine "normale" Antwort dankbar um vielleicht damit dann das Skript verstehen zu können. Nachfragen bei Komilitonen zufolge bin ich glaube ich nicht der einzige, der um eine Antwort dankbar wäre :) Danke! :In normalen Worten kann ich es nicht erklären; es mag aber hilfreich sein, sich erstmal den eindimensionalen Fall klar zu machen: Wenn {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} stetig differenzierbar ist und {{mathl|term=f'(P) \neq 0|SZ=}} in einem bestimmten Punkt {{math|term=P|SZ=}} ist, dann ist die Abbildung {{Anführung|lokal}} bijektiv. D.h. es gibt ein Intervall {{mathl|term=P \in J|SZ=}} derart, dass die Einschränkung {{ Ma:abbele/disp |name=f |J|f(J) || |SZ= }} bijektiv ist. Diese Version wurde auch im Wesentlichen schon in [[Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt|Satz 28.5]] bewiesen. Über die Größe von {{math|term=J|SZ=}} gibt es keine allgemeine Aussage. Der Satz sichert die Existenz einer Umkehrabbildung; ob man diese rechnerisch bestimmen kann ist eine andere Frage.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 22:15, 15. Sep. 2010 (CEST) == Taylor-Formel- Vorbereitung == In der Vorlesung 47 wird die Notation eingeführt: <math>r=(r_1,...,r_n)\in N^n </math> <math>D^r= D_1^{r_1}\bullet...\bullet D_n^{r_n}</math> Ich verstehe leider nicht, was hier mit D^r gemeint ist! Es ist eben die rechte Seite gemeint. Man muss also {{math|term=r_n|SZ=-}}mal die {{math|term=n|SZ=-}}te partielle Ableitung nehmen, dann {{math|term=r_{n-1}|SZ=-}}mal die {{math|term=n-1|SZ=-}}te partielle Ableitung u.s.w. Also bspw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | D^{(2,1,3)} ( x^4y^7z^5) ||{{op:Partielle Ableitung||x}}^2 \circ {{op:Partielle Ableitung||y}}^1 \circ {{op:Partielle Ableitung||z}}^3 (x^4y^7z^5) ||{{op:Partielle Ableitung||x}}^2 \circ {{op:Partielle Ableitung||y}}^1 (60 x^4y^7z^2) ||{{op:Partielle Ableitung||x}}^2 (420 x^4y^6z^2) || 12 \times420 x^2y^6z^2 |SZ=. }} --[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 16:52, 23. Sep. 2010 (CEST) == Klausur == Eine kurze Frage zur Klausur. Bekommen wir wie bei der ersten Testklausur wieder eine Formelsammlung mit den wichtigsten (kompliziertesten)Stammfunktionen und solchen Dingen? :Nein; es ist aber auch nicht nötig. Eine Stammfunktion wird auf dem Aufgabenzettel mit angegeben.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 16:06, 24. Sep. 2010 (CEST) == Kurze Frage zu Lemma 49.3 == Hallo, Mir ist gerade nicht klar, wie die Norm einer linearen Abbildung definiert ist?! (Im Lemma wird vorausgesetzt, dass die Norm des Differentials für alle x in G kleiner als eine Zahl b ist) Ich danke für erklärende Worte, Grüße, Alexander Müller 14:11, 25. Sep. 2010 (CEST) :Siehe [[Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition]].--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 14:36, 25. Sep. 2010 (CEST) == 48er Aufwärmaufgaben == Habe eine Frage zu den Lösungen von Aufgaben 48.2-48.6 . Habe diese gerechnet und mir kommt es komisch vor, dass so viele ähnliche Ergebnisse vorkommen. Würde mich über Bestätigung der Ergebnisse oder Hinweise auf Fehler freuen. 48.2 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=2 D2=-4 damit Sattelpunkt, weil indefinit 48.3 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=2, D2=0 Sattelpunkt oder unbekannt weil Unterdeterminante = 0 ist??? 48.4 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=4, D2=-1 Sattelpunkt, weil indefinit 48.5 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, D1=4, D2=8 Minimum, weil positiv definit 48.6 kritisch: x=0 , y=0 ; D0=1, ... Die Hesse-Matrix mit den Eingesetzten Punkten ergibt 4 Nullen (also in allen Einträgen) was ist das dann? Sattelpunkt oder unbekannt oder was? Generell zudem die Frage was passiert wenn eine Unterdeterminante = 0 ist? Danke! Bei 48.3 würde ich das Eigenwertkriterium anwenden, dass besagt wenn die Eigenwerte der Hessematrix alle größer 0 sind, ist es positiv definit und wenn alle negativ sind ist es negativ definit. Dann bekommst du die Lösung, das es größer gleich null ist, das heißt weder positv defenit noch negativ definit. Bei 48.6 sind es ja zwei kritische Punkte, wenn ich mich nicht irre und zwar (0,0) und (6,18). Bei (0,0) habe ich das Eigenwertkriterium angewendet und damit kommt dann indefinit raus. Bei (6,18) kann man das Hauptminorenkriterium anwenden wo dann indefinit auch raus kommt. == Aufgabe 50.9 == Ich kann nicht richtig die Aufgabe verstehen! Man muss zeigen, dass das Bild von einer offenen Menge unter einer stetigen Funktion offen ist. Ich habe in Wikipedia nachgeschaut, und die Definition von Stetigkeit ist genau diese Eigenschaft. Was habe ich falsch verstanden? :bei der Stetigkeit ist das Ur(!)bild (nicht das Bild) einer offenen Menge offen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 23:13, 27. Sep. 2010 (CEST) == Klausureinsicht == Hallo, ist schon ein Termin für die Klausureinsicht bekannt? Ja: 5. Oktober 2010 10 Uhr. 69/125. Es wird gebeten vorher die [[Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_II/Klausur_mit_Lösungen | Lösungen]] schon anzuschauen. == Nachschreibklausur, 18.12.10 == Kann man sich schon bei OPIuM für die Klausur anmelden? Wenn ja, wie finde ich sie? :das müsste bald möglich sein, wenn es nicht jetzt schon möglich ist.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 14:25, 18. Nov. 2010 (CET) == 34.5 == ich versuche sehr lange schon die komplexe Partialbruchzerlegung hinzubekommen. bei geraden exponenten weiß ich bescheid, aber wie mache ich das bei x³-1? zunächst kann ich das ja aufteilen in (x-1) und (x²+x+1). Aber von dem zweiten Teil bekomm ich die komplexen Nullstellen nicht raus. Ich glaube ich stehe grad ziemlich auf dem Schlauch. Bitte um Hilfe. Wie mach ich da weiter? danke! :man löst diese quadratische Gleichung {{math|term=x^2+x+1=0|SZ=}} durch quadratisches Ergänzen. Allerdings ist dann der Radiant eine komplexe Zahl. Das Wurzelziehen daraus haben wir aber schon in [[Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Beispiel|9.12]] durchgenommen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 12:57, 14. Dez. 2010 (CET) Danke, aber wär super, das Ergebnis kontrolliert zu bekommen, denn dann glaube ich es verstanden zu haben. Bei der Partialbruchzerlegung habe ich für A=(1/3) B=(1/(-1,5-(1,5(sqrt 3)i))) und C=(1/(-1,5+(1,5(sqrt 3)i))) , also als Endlösung der Partialbruchzerlegung: (1/(3x-3))+(1/(x-1-(2(sqrt 3)i)))+(1/(x-1+(2(sqrt 3)i))) Danke! kabfvr21vfo2exouk4u3d2awqpvkixw 106 33423 768069 646758 2022-08-16T10:01:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|43| {{Zwischenüberschrift|term=Partielle Ableitungen}} Sei {{ Ma:abb |name=f |{{KRC}}^n |{{KRC}} || |SZ= }} eine durch {{ math/disp|term= (x_1, \ldots, x_n) \longmapsto f(x_1, \ldots, x_n) |SZ= }} gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index {{math|term=i|SZ=}} die übrigen Variablen {{math|term=x_j|SZ=,}} {{mathl|term=j \neq i|SZ=,}} als Konstanten, so erhält man eine Abbildung {{ Ma:abb |name= |{{KRC}}|{{KRC}} || |SZ=, }} die nur von {{math|term=x_i|SZ=}} abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter| |ISZ=|ESZ=. }} Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass {{math|term=f|SZ=}} {{Stichwort|partiell differenzierbar|SZ=}} bezüglich {{math|term=x_i|SZ=}} ist und bezeichnen diese Ableitung mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} |SZ=.}} Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von {{ Ma:abb |name= |{{KRC}}^n|{{KRC}} || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition|| }} Diese Definition führt die {{math|term=i|SZ=-}}te partielle Ableitung einer Funktion {{ Ma:abb |name=f | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen {{Anführung|festgehalten|}} und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der {{math|term=i|SZ=-}}ten partiellen Ableitung von {{math|term=f|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(a_1 {{kommadots|}} a_n)|SZ=}} einfach die Existenz des Limes {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|s|0| {{op:Bruch|f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i+s,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) -f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) |s}} }} |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein {{mathl|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} betrachtet wird. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition||| }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung mit Jacobimatrix/Beispiel||| }} {{Zwischenüberschrift|term=Höhere Richtungsableitungen}} Seien {{math|term=V|SZ=}} und {{math|term=W|SZ=}} endlichdimensionale {{math|term={{KRC}}|SZ=-}}Vektorräume und {{mathl|term=G \subseteq V|SZ=}} eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi | G | W || |SZ= }} und einen fixierten Vektor {{mathl|term=v \in V|SZ=}} ist die Richtungsableitung in Richtung {{math|term=v|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existiert| |ISZ=|ESZ= }} selbst eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |G|W |P| {{op:Richtungsableitung|\varphi|P|v}} |SZ=. }} Als solche macht es Sinn zu fragen, ob {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}}|SZ=}} in Richtung {{mathl|term=v \in V|SZ=}} differenzierbar ist. Wir sprechen dann von {{Stichwort|höheren Ableitungen|SZ=.}} Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition. {{ inputdefinition |Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition|| }} Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=}} in jede Richtung {{mathl|term=v \in V|SZ=}} existiert und stetig ist. {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Schwarz}} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Schwarz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder auch {{Stichwort|Satz von Clairaut|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Höhere Differenzierbarkeit/K/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt|Korollar|| || }} }} c498ku98imycwkriw0idlt1a4b494ei 106 33426 768070 647129 2022-08-16T10:01:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|46| {{Zwischenüberschrift|term=Der Gradient}} {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt|Lemma|| || }} Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, bspw. ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben wird. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion {{ Ma:abb |name=f |V|\R || |SZ= }} gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten. {{ inputdefinition |Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition|| }} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab. Bei {{mathl|term=V=\R^n|SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel |Refname= {{{def|}}} |SZ=, }} ist der Gradient einfach gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Gradient|f|P}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1}}|\vdots| {{op:Partielle Ableitung|f|x_n}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweishier |Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt|Satz||Beweistext=(1) folgt wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|f|P|v}} || {{op:Skalarprodukt|v| {{op:Gradient|f|P}} }} || || || |SZ= }} direkt aus der {{ Faktlink |Abschätzung von Cauchy-Schwarz|Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Cauchy Schwarz, siehe {{ Faktlink ||Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Gleich und ungleich/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (3). Aus (1) und (2) folgt, dass {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt| {{op:Gradient|f|P|}} | \pm {{op:Bruch| {{op:Gradient|f|P}}|{{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}|}} |}} |}} }} || {{op:Betrag| {{op:Totales Differential|f|P| \pm {{op:Bruch| {{op:Gradient|f|P}}|{{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}|}} |}} |}} }} || {{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}| }} || || |SZ= }} gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm {{math|term=1|SZ=}} sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für {{mathl|term={{op:Bruch| {{op:Gradient|f|P}}|{{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}|}} |}} |SZ=}} nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist. || }} Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor. {{Zwischenüberschrift|term=Lokale Extrema von Funktionen in mehreren Variablen}} Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R || |SZ= }} ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graph einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium in einer Variablen verallgemeinert. {{ inputfaktbeweis |Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt|Satz|| || }} Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten. {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition|| }} Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen Fall muss man sich die zweiten Ableitungen anschauen, wobei die Situation natürlich dadurch wesentlich verkompliziert wird, dass es zu je zwei Richtungsvektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} eine zweite Richtungsableitung {{mathl|term=D_{vw}=D_v D_w|SZ=}} gibt. Die zweite Richtungsableitung wird dadurch handhabbar, dass man sie in die sogenannte Hesse-Form bzw. Hesse-Matrix zusammenfasst. Als solche ist sie eine symmetrische Bilinearform, die mit Methoden der linearen Algebra analysiert werden kann. Diese Methoden werden wir im Folgenden entwickeln und insbesondere auf die Hesse-Form anwenden, um schließlich hinreichende Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema zu erhalten. {{:Hesse-Form und Matrix/Textabschnitt}} Die Hesse-Matrix ist beispielsweise die Gramsche Matrix der Hesse-Form bezüglich der Standardbasis im {{mathl|term=\R^n|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Eigenschaften von Bilinearformen}} {{:Bilinearform/Definitheitskriterien/Textabschnitt}} }} o9dssley128po88m1hlxp1bm4yw66zm 106 33431 766813 647095 2022-08-15T13:54:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|51| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen}} {{ inputbild |Rynda Bay Beach|jpg| 300px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Rynda_Bay_Beach |Text=Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als Graph einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen {{Anführung|zwei|}} Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet{{ Zusatz/Fußnote |text=Dass man solche singulären Punkte in der Natur nur selten antrifft, liegt daran, dass das Höhenprofil der Erde nur endlich viele kritische Punkte und damit nur endlich viele Gipfel und Sattelpunkte besitzt. Es ist daher unwahrscheinlich, dass der Meeresspiegel genau auf der Höhe eines solchen kritischen Punktes liegt. Wenn man aber Ebbe und Flut betrachtet, so werden solche Punkte immer wieder durchlaufen| |ISZ=.|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Straitgate |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Abbildung/Faser/Definition|| }} Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\varphi^{-1}(\{ y \} ) |SZ=}} von {{math|term=m|SZ=.}} Zu einem Punkt {{mathl|term=P \in L|SZ=}} nennt man {{math|term=\varphi|SZ=}} die Faser über {{math|term=\varphi(P)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Faser durch|SZ=}} {{math|term=P|SZ=.}} Bei {{mathl|term=M=\R|SZ=}} sagt man statt Fasern auch {{Stichwort|Niveaumengen|SZ=}} oder, insbesondere bei {{mathl|term=L=\R^2|SZ=,}} auch {{Stichwort|Höhenlinien|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel|| }} Der {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=}} wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich {{Stichwort|lokal|SZ=}} als {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Abbildungen realisieren lassen. {{:Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung}} {{ inputbild |Agate1 hg|jpg| 300px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Agate1_hg |Text=Der Querschnitt eines [[w:Achat|Achats]]. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die {{ Zusatz/Klammer |text=verdickten| |ISZ=|ESZ= }} Fasern der Lichtabbildung. |Autor= |Benutzer=Hgrobe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz|P=a| || }} {{ inputbemerkung |Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition|| }} Häufig wird auch der an {{math|term=P|SZ=}} angelegte {{ Definitionslink |affine Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= P+ {{op:Kern|{{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} = {{Mengebed|P+v|{{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} {{=|}} 0 }} |SZ= }} als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von {{math|term=V|SZ=,}} da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man {{Stichwort|affin-lineare Unterräume|SZ=.}} Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} besitzt die Dimension {{mathl|term=n-m|SZ=.}} Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an {{math|term=P|SZ=}} sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von {{math|term=P|SZ=}} auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine {{Stichwort|lineare Approximation|SZ=}} der Faser. {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} 3mt7a33tsug17dm7zgtb9pnndauhwr4 106 33433 766814 584019 2022-08-15T13:54:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|53| In dieser Vorlesung werden wir wesentliche Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit stellen und ihn anschließend beweisen. {{Zwischenüberschrift|term=Supremumsnorm und Abbildungsräume}} {{:Stetige Abbildungen/Metrischer und euklidischer Raum/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Integration von stetigen Wegen}} Für eine stetige Kurve {{ Ma:abb/disp |name=g |I|V || |SZ= }} in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für {{mathl|term=a,b \in I|SZ=}} das {{Stichwort|Integral|SZ=}} {{mathl|term=\int_a^b g(s) ds |SZ=}} komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen {{mathl|term=g_1 {{kommadots|}} g_n|SZ=}} aus. Dann setzt man {{ math/disp|term= \int_a^b g(s) ds := (\int_a^b g_1(s) ds) v_1 {{plusdots|}} (\int_a^b g_n(s) ds)v_n |SZ=. }} Das Ergebnis ist ein Vektor in {{math|term=V|SZ=,}} der unabhängig von der gewählten Basis ist. Wenn man die untere Intervallgrenze {{math|term=a|SZ=}} fixiert und die obere Intervallgrenze {{mathl|term=b=t|SZ=}} variiert, so bekommt man eine {{Stichwort|Integralkurve|SZ=}} {{ Ma:abbele/disp |name= |I|V |t| {{op:Integral|a|t|g|s|}} |SZ=. }} Diese Integralkurve kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Es gilt die folgende Integralabschätzung. {{ inputfaktbeweis |Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Differential- und Integralgleichungen}} Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Picard-Lindelöf}} Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. {{ inputfaktbeweishier |Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz||Beweistext=Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=v |J|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Lösung des Anfangswertproblems| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term=v|SZ=}} die Integralgleichung {{ math/disp|term= v(t)= w + {{op:Integral|grand=f(s,v(s))|t_0|t||s}} |SZ= }} erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des {{ Faktlink |Banachschen Fixpunktsatzes|Faktseitenname= Banachscher Fixpunktsatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht von einem {{Stichwort|Funktional|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= \psi \longmapsto (t \mapsto w + {{op:Integral|grand=f(s, \psi (s))|t_0|t||s}} ) |SZ= }} einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in {{math|term=t|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aus einem gewissen Teilintervall von {{math|term=I|SZ=}} mit Werten in {{math|term=V|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ= }} mit Werten in {{math|term=V|SZ=.}} Um den Fixpunktsatz anwenden zu können müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach {{math|term=V|SZ=}} definieren, diesen metrischen Raum dann als {{ Definitionslink |vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das Funktional als {{ Definitionslink |stark kontrahierend| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nachweisen. {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung {{ math/disp|term= (t_0,w) \in J' \times {{op:Offener Ball|w|\epsilon}} \subseteq I \times U |SZ= }} und ein {{mathl|term=L \in \R_{\geq 0}|SZ=}} mit {{ math/disp|term= {{op:Norm|f(t,v)-f(t, \tilde{v}) |}} \leq L {{op:Norm|v - \tilde{v}|}} \text{ für alle } t \in J' \text{ und } v,\tilde{v} \in {{op:Offener Ball|w|\epsilon }} |SZ=. }} Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von {{mathl|term=J' \times {{op:Offener Ball |w|\epsilon }}|SZ=,}} also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in {{mathl|term=I \times U|SZ=}} liegt. Aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ein {{mathl|term=M \in \R_+|SZ=}} mit {{ math/disp|term= {{op:Norm|f(t,v)||}} \leq M \text{ für alle } (t,v) \in J' \times {{op:Offener Ball|w|\epsilon}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir ersetzen nun {{math|term=J'|SZ=}} durch ein kleineres Intervall {{mathl|term=J=[t_0- \delta,t_0+ \delta ] \subseteq J'|SZ=}} mit {{mathl|term=\delta >0|SZ=,}} {{mathl|term=\delta \leq \epsilon/M|SZ=}} und {{math|term=\delta \leq 1/2L|SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wir betrachten nun die Menge der {{ Definitionslink |stetigen Abbildungen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Dabei fassen wir {{math|term=w \in U|SZ=}} als konstante Abbildung {{ Ma:abbele |name= |J|U |t|w |SZ=, }} auf| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{ Ma:Vergleichskette/align |C || {{Mengebed|\psi:J \rightarrow V|\psi \text{ stetig}| {{op:Norm|\psi(t)- w|}} \leq \epsilon \text{ für alle } t \in J }} || {{Mengebed|\psi:J \rightarrow V|\psi \text{ stetig}| {{op:Norm|\psi- w|}} \leq \epsilon }} || || |SZ=. }} Dabei wird also {{math|term=C|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=J|SZ=}} versehen. Dieser Raum ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Vollständiger metrischer Raum/Teilmenge abgeschlossen gdw vollständig/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wieder ein vollständiger metrischer Raum. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall {{math|term=J|SZ=}} bzw. der zugehörigen Menge {{math|term=C|SZ=}} die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=H |C|C |\psi|H(\psi) {{=|}} (t \mapsto w + {{op:Integral|grand=f(s, \psi (s))|t_0|t||s}} ) |SZ=. }} Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass {{mathl|term=H(\psi)|SZ=}} wieder zu {{math|term=C|SZ=}} gehört. Für {{mathl|term=t \in J|SZ=}} ist aber nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stetige Kurve/Euklidisch/Integralabschätzung/Fakt‎ |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| H(\psi)(t) - w|}} || {{op:Norm| {{op:Integral|grand= f(s,\psi(s)) |t_0|t||s}} |}} |\leq| {{op:Betrag| {{op:Integral|grand= {{op:Norm|f(s,\psi(s))||}} |t_0|t||s}} |}} |\leq| {{op:Betrag|t-t_0|}} M |\leq| \frac{ \epsilon}{M} M || \epsilon |SZ=, }} und {{mathl|term=H(\psi)|SZ=}} ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien {{mathl|term=\psi_1,\psi_2 \in C|SZ=}} gegeben. Für ein {{mathl|term=t \in J|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Norm| H(\psi_1)(t)- H(\psi_2)(t) |}} || {{op:Norm| {{op:Integral|t_0|t||s|grand=f(s,\psi_1(s))}} - {{op:Integral|t_0|t||s|grand=f(s,\psi_2(s))}} |}} || {{op:Norm| {{op:Integral|t_0|t||s|grand= (f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))) }} |}} |\leq| {{op:Betrag|{{op:Integral|t_0|t||s|grand={{op:Norm| f(s,\psi_1(s)) - f(s,\psi_2(s))}} |}}||}} |\leq| {{op:Betrag|{{op:Integral|t_0|t||s|grand= L {{op:Norm|\psi_1(s) - \psi_2(s)|}} |}}||}} || L \cdot {{op:Betrag| {{op:Integral|t_0|t||s|grand= {{op:Norm|\psi_1(s) - \psi_2(s)|}} |}} }} |\leq| L \cdot {{op:Betrag| {{op:Integral|t_0|t||s|grand= {{op:Norm|\psi_1 - \psi_2|}} |}} }} |\leq| L {{op:Betrag|t-t_0|}} \cdot {{op:Norm|\psi_1 - \psi_2|}} |\leq| \frac{1}{2} {{op:Norm|\psi_1- \psi_2|}} |SZ=. }} Da dies für jedes {{mathl|term=t \in J|SZ=}} gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| H(\psi_1)- H(\psi_2) |}} |\leq|\frac{1}{2} {{op:Norm|\psi_1- \psi_2|}} || || || |SZ=, }} d.h. es liegt eine {{ Definitionslink |starke Kontraktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Daher besitzt {{math|term=H|SZ=}} ein eindeutiges Fixelement {{mathl|term= \psi \in C|SZ=,}} und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von {{math|term=J|SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in {{math|term=C|SZ=}} nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall {{math|term=J|SZ=}} Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung {{ Ma:abb |name=v |J|V || |SZ= }} gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder {{ Ma:Vergleichskette/disp |v(t) ||w + \int_{t_0}^t f(s,v(s)) ds || || || |SZ= }} und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu {{math|term=C|SZ=}} gehören muss. || }} }} {{Fußnotenliste}} }} 1kmccrn3u1r82jl2s2r30tbunx3zjns 10 33540 767085 766579 2022-08-15T15:08:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Diese Vorlage|1=dient der Einstufung von mathematischen Texten}} [[Kategorie:Projekt:Semantische Vorlagen]] [[Kategorie:Mathematische Einzeltextgestaltungen]] </noinclude><includeonly>{{{Text|}}}{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}}|en=[[Kategorie:Fachbereich Mathematik/Englische Übersetzung]]|Situation=[[Kategorie:{{{Kategorie}}}/Situationsbeschreibungen{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}}}}]]{{#if:{{{Kategorie2|}}}|[[Kategorie:{{{Kategorie2}}}/Situationsbeschreibungen{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}}}}]]|}}{{#if:{{{Kategorie3|}}}|[[Kategorie:{{{Kategorie3}}}/Situationsbeschreibungen{{#if:{{{Stichwort|}}}|{{!}}{{{Stichwort}}}}}]]|}}{{#if:{{{Bearbeitungsstand|}}}|[[Kategorie:Mathematischer Text/{{{Bearbeitungsstand}}}]]}}}}</includeonly> bw69e88ewe0ll9771ct4e2200exgf68 10 33549 766656 701185 2022-08-15T12:07:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Mathematischer Text/Situation |Text= Es sei {{math|term={{{I|I}}} {{{Iz|}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kompaktes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{I|I}}}|\R || |SZ= }} eine {{{adj|}}} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Autor= |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen }} 0mp3baglsu7e0tiaygf9scxvhfcwbwo 10 33552 766653 701188 2022-08-15T12:07:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Mathematischer Text/Situation |Text= Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Autor= |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen }} 6qxuiar8fspsvbnjj628dtwk3y3w5ne 10 33567 766654 701190 2022-08-15T12:07:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k539nhcufzbkij87mjctat55yq92b02 10 33881 766704 622249 2022-08-15T12:35:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{{1|f}}} |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Aufgabenform |Kategorie=<noinclude>Theorie der Stammfunktionen</noinclude> |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 51stryurg8ftj9ktxsqpn5gq37yg865 10 33905 766651 629691 2022-08-15T12:06:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ 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math/disp|term= y'= {{{1|f(x,y)}}} \text{ mit } y({{{2|t_0}}}) = {{{3|y_0}}} |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m6ky54x7656q2h4xrsnhgp5nvrnnsii 10 34156 766657 276863 2022-08-15T12:07:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{{I|I}}}{{{Iz|}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kompaktes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlzuq9uf6qjgdhb1lu6jdvx9jcbuzjx 10 34164 766709 620393 2022-08-15T12:39:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |bestimmte Integral| 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|Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stammfunktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cutcuind3lwhl4xzt3iqktbcyy7aaob 0 34596 768080 753773 2022-08-16T10:17:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation=Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f_n |[a,b]|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |gleichmäßig konvergente| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |stetigen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Grenzfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]|\R || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= 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Definitionslink |Prämaß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} orrodohl0ko6pvd77lbd0wka311l0qm 106 37139 766815 540577 2022-08-15T13:54:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|72| {{Zwischenüberschrift|term=Parameterabhängige Integrale}} Wie diskutieren nun, wie Integrale von einem Parameter abhängen, der sich in einem metrischen Raum bewegt. Dazu muss man in erster Linie das Verhalten bzgl. einer Folge verstehen, so dass man die Ergebnisse der letzten Vorlesung anwenden kann. Der folgende Stetigkeitssatz ist eine weitreichende Verallgemeinerung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{:Parameterabhängige Integrale/Stetigkeit und Differenzierbarkeit/Textabschnitt||}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Cavalieri-Prinzip}} {{ inputbild |Bonaventura Cavalieri|jpeg| 150px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Bonaventura_Cavalieri |Text=[[w:Bonaventura Cavalieri|Bonaventura Cavalieri (1598-1647)]] |Autor= |Benutzer=Gene.arboit |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwei sigmaendliche Maßräume/Situation|SZ=}} und {{mathl|term=T \subseteq M \times N|SZ=}} eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt {{mathl|term=x \in M|SZ=}} ist {{ math/disp|term= T(x) = {{mengebed|y \in N|(x,y) \in T}} |SZ=. }} Wir erinnern an {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht {{mathl|term=(\mu \otimes \nu)(T)|SZ=}} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |M|\R |x| \nu(T(x)) |SZ=? }} Bei {{mathl|term=N=\R|SZ=}} und wenn {{math|term=T|SZ=}} der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion {{math|term=f|SZ=}} ist, so ist {{mathl|term= \lambda^1(T(x)) =f(x) |SZ=}} und nach der Definition des {{ Definitionslink |Integrals| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(\mu \otimes \lambda^1) (T) || {{op:Integralmaß|f(x)|M|\mu}} || {{op:Integralmaß|\lambda^1 (T(x)) |M|\mu}} || || |SZ=. }} Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen {{math|term=T|SZ=}} gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion {{mathl|term=x \mapsto \nu(T(x))|SZ=}} messbar ist. {{ inputfaktbeweis |Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt|Lemma|| || }} Wir werden im Folgenden die Notation {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f(x)|M|\mu|var=x}} |SZ=}} verwenden, die betont, dass die Funktion {{math|term=f|SZ=}} von {{mathl|term=x \in M|SZ=}} abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum {{mathl|term=M \times N|SZ=}} geht und Verwechslungen möglich sind. {{ inputfaktbeweis |Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt|Satz|| || }} }} j8zah2gbe3g3ma9y6buavc5hx6kv280 106 37144 766816 237740 2022-08-15T13:54:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|77| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen und Mannigfaltigkeiten}} Die Einheitssphäre, die wir in der letzten Vorlesung als ein motivierendes Beispiel einer Mannigfaltigkeit besprochen haben, ist die Faser zur differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} über {{math|term=1|SZ=.}} Diese Abbildung ist mit Ausnahme des Nullpunkts {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Satz über implizite Abbildung macht in dieser Situation weitreichende Aussagen über die lokale Gestalt der Faser, nämlich, dass es lokal Homöomorphismen zwischen der Faser in einem regulären Punkt und einer offenen Menge des {{math|term=\R^k|SZ=}} gibt, wobei {{math|term=k|SZ=}} die Differenz zwischen der Dimension des Ausgangsraumes und der Dimension des Zielraumes ist. Wir werden gleich sehen, dass solche Fasern nicht nur topologische Mannigfaltigkeiten, sondern auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. Wir formulieren den Satz über implizite Abbildungen in einer Version, aus der sich ablesen lässt, dass die regulären Fasern differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. {{:Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Abbildungen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Funktionen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt|}} }} asgsuh5uflceby5kjwlucma1945b9ps 106 37146 766817 647112 2022-08-15T13:55:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|79| {{Zwischenüberschrift|term=Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}} {{:Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Durch die letzte Aussage ergibt sich auch, dass der in einem regulären Punkt {{math|term=P|SZ=}} der Faser {{math|term=M|SZ=}} einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |G|\R^m || |SZ=, }} {{mathl|term=G \subseteq \R^n|SZ=}} offen, als Kern des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=als Untervektorraum von {{math|term=\R^n =T_P \R^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= | Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an die Faser als einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. {{Zwischenüberschrift|term=Das Tangentialbündel}} {{:Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Torus_vectors_oblique |Text=Ein Vektorfeld auf einem Torus. Jedem Punkt des Torus wird eine tangentiale Richtung zugeordnet, dies wird durch die Pfeile angedeutet. |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition|| }} Ein Vektorfeld weist also jedem Punkt einen Richtungsvektor in diesem Punkt zu. Man sagt auch kurz, das ein Vektorfeld ein {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} im Tangentialbündel ist. Vektorfelder führen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition|| }} Die Schnitte im Kotangentialbündel heißen {{math|term=1|SZ=-}}Differentialformen. Wir werden darauf ausführlich zurückkommen. {{Fußnotenliste|}} }} srxv0e0usn1rs5lsed9p1knumdr212v 106 37148 766818 700643 2022-08-15T13:55:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|81| {{Zwischenüberschrift|term=Eigenschaften des Dachprodukts}} Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes. {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt|Satz|| || }} Bei {{mathl|term=V=K^m|SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term=e_1 {{kommadots|}} e_m |SZ=}} nennt man die {{ mathbed|term= e_{i_1} {{wedgedots|}} e_{i_n} |mit|bedterm1= i_1 < \ldots < i_n ||bedterm2= |SZ= }} die {{Stichwort|Standardbasis|SZ=}} von {{mathl|term=\bigwedge^n K^m|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere ist die äußere Potenz für {{mathl|term=n=0|SZ=}} eindimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^0 V=K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term=n=1|SZ=}} {{math|term=m|SZ=-}}dimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^1 V=V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{mathl|term=n=m|SZ=}} ist {{mathl|term=\bigwedge^m V|SZ=}} eindimensional, und die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induziert {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Identifizierung von {{math|term=V|SZ=}} mit {{math|term=K^m|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^m V | K |(v_1 {{kommadots|}} v_m) |{{op:Determinante|(v_1 {{kommadots|}} v_m) |}} |SZ=. }} Für {{mathl|term=n >m|SZ=}} sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension {{math|term=0|SZ=.}} Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie {{mathl|term=( \bigwedge^n V)^* \cong \operatorname{Alt}^n (V,K) |SZ=}} zu einer natürlichen Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigwedge^n V^* |\cong|( \bigwedge^n V)^* |\cong| \operatorname{Alt}^n (V,K) || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} }} 8fwy61fck8c7fe2e2j9ywpcoykger70 106 37150 768071 728484 2022-08-16T10:01:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|83| {{Zwischenüberschrift|term=Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}} Zu einer Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} kann man zum Tangentialbündel {{math|term=TM|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. zum Kotangentialbündel {{math|term=T^*M|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das {{math|term=k|SZ=-}}te Dachprodukt {{mathl|term=\bigwedge^k TM|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=\bigwedge^k T^*M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bilden. Es ist punktweise für {{mathl|term=P \in M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |(\bigwedge^k TM)_P || \bigwedge^k T_P M || || || |SZ= }} definiert und es gibt wieder eine Projektionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^k TM |M || |SZ=. }} Zu einer Karte {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ=, }} {{mathl|term=V \subseteq \R^n|SZ=,}} und der zugehörigen Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name=T \alpha |TU|TV {{=|}} V \times \R^n || |SZ= }} ergibt sich die Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name=\bigwedge^k ( T \alpha) |\bigwedge^k TU| \bigwedge^k TV {{=|}} V \times \bigwedge ^k \R^n || |SZ=. }} Mit Hilfe dieser Abbildungen kann man auf {{mathl|term=\bigwedge^k TM|SZ=}} eine Topologie und auch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definieren. {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die Ableitungen {{mathl|term={{op:Partielle Ableitung|f|x_j}}|SZ=}} wurden in der Vorlesung 77 eingeführt| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Zurückziehen von Differentialformen}} {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste}} }} jpubdq1d4upjw6plow5gsk040xzjun9 106 37151 766819 728485 2022-08-15T13:55:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_(Osnabrück_2009-2011)/Teil_III/Vorlesungsgestaltung|84| Wir kommen nun zur Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Ausgangspunkt dafür ist, dass auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension {{math|term=n|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}Form gegeben ist. Bei einer offenen Teilmenge {{mathl|term=V \subseteq \R^n|SZ=}} mit den Koordinaten {{mathl|term=x_1 {{kommadots|}} x_n|SZ=}} entspricht dabei die Integration bezüglich der Form {{mathl|term=dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} der Integration bezüglich des Lebesgue-Maßes. Bei einer Mannigfaltigkeit muss man die Form und das zugehörige Maß {{Anführung|zusammenkleben|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Positive Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit}} In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte {{ Ma:abb |name=\alpha |U|V || |SZ= }} und einer Differentialform {{math|term=\omega|SZ=}} auf {{math|term=U|SZ=}} die nach {{math|term=V|SZ=}} transportierte Differentialform mit {{mathl|term=\alpha_* \omega|SZ=.}} Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form {{mathl|term=\alpha^{-1 *} \omega|SZ=.}} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die zur Karte {{math|term=U|SZ=}} gehörenden Funktionen {{math|term=f|SZ=,}} die hier mit der {{math|term=n|SZ=-}}Standardform multipliziert werden, entsprechen den am Ende der 82sten Vorlesung erwähnten Dichten, mit denen ein Maß auf der Mannigfaltigkeit beschrieben werden kann| |ISZ=.|ESZ= }} }} Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit {{ Definitionslink |orientierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition|| }} Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenformen und Orientierung}} Die Existenz einer stetigen nullstellenfreien Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit hängt eng mit ihrer Orientierbarkeit zusammen. Von der folgenden Aussage werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Umkehrung beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Integration längs einer differenzierbaren Abbildung}} Auf einer {{math|term=n|SZ=-}}dimensionalen Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} sind nur {{math|term=n|SZ=-}}Formen über {{math|term=M|SZ=}} sinnvoll integrierbar. Man möchte aber auch {{math|term=k|SZ=-}}Formen {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=1 \leq k \leq n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} über gewisse {{math|term=k|SZ=-}}dimensionale Unterobjekte integrieren können. Das passende Konzept ist dabei die Integration längs einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|M || |SZ= }} einer {{math|term=k|SZ=-}}dimensionalen Mannigfaltigkeit {{math|term=L|SZ=.}} Dabei integriert man über {{math|term=L|SZ=}} einfach die mit {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |zurückgezogene Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\varphi^* \omega|SZ=}} zu einer Form {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen|M|k}} |SZ=.}} Auf {{math|term=L|SZ=}} passen dabei die Dimension und der Grad der Form zusammen. Ein wichtiger Spezialfall ist dabei der von {{math|term=1|SZ=-}}Formen und differenzierbaren Kurven {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|M || |SZ=, }} die dabei entstehenden Integrale nennt man {{Stichwort|Wegintegrale|SZ=.}} {{ inputdefinition |Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Wegintegral/Kurze physikalische Interpretation/Bemerkung|| }} Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit {{mathl|term=M \subseteq G|SZ=,}} {{math|term=G|SZ=}} offen in {{math|term=\R^n|SZ=,}} betrachten, die sogar auf {{math|term=G|SZ=}} definiert sind und daher die Gestalt {{mathl|term=\omega = \sum_{i=1}^n g_i d x_i|SZ=}} besitzen, wobei die {{math|term=x_i|SZ=}} die Koordinaten des {{math|term=\R^n|SZ=}} und die {{math|term=g_i|SZ=}} auf {{math|term=G|SZ=}} definierte Funktionen sind. Für einen Weg in {{math|term=M|SZ=}} ist es nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Wegintegral/Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf {{ mathkor|term1= G |und|term2= \omega |SZ= }} oder mit Bezug auf {{ mathkor|term1= M |und die eingeschränkte Differentialform|term2= \omega {{|}}_M |SZ= }} betrachtet. {{ inputbemerkung |Wegintegral/Berechnung für 1-Form im R^n/Werte in R/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Wegintegral/(xy+z^2)dx+zdy+x^3dz/(1+3t,2,2t)/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste|}} }} efyq6o84vak2itv6st7k78puu23x10t 10 37302 766668 232587 2022-08-15T12:09:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(M, {{mengensystem|A}}, \mu)|SZ=}} ein {{{adj|}}} {{ Definitionslink |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Maßraum/Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldt9ej1h3vdk4vmkojbqn80b0afr5au 10 37344 766671 244687 2022-08-15T12:10:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(M, {{mengensystem|A}})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} or4mebihz1yse07k2cpolawuz6ca8qx 10 37358 766666 372049 2022-08-15T12:09:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Maßraum/Situation|SZ=,}} {{math|term=E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |E \times M| {{op:abschlussnum|\R|}} |(t,x)|f(t,x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdemacrbs7bog59vygrmphlfh6y6s4z 10 37367 766667 372051 2022-08-15T12:09:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Maßraum/Situation|SZ=,}} {{math|term=I|SZ=}} ein nicht-leeres {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |I \times M| \R |(t,x)|f(t,x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ieodsxycifgys2jkbgquv88btqax4nt 14 37401 768224 229648 2022-08-16T11:31:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Maßtheorie|Bildmaß |Theorie der messbaren Abbildungen|Bildmaß}} byncyncfeay1f60zdxca7xf2ifhnhjd 10 37429 766687 405626 2022-08-15T12:12:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text={{Zwei sigmaendliche Maßräume/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |M \times N| {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ja7uz7pj0axdkbh112gesxhq1nzdbx1 10 37550 766664 734993 2022-08-15T12:09:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ= }} ein Punkt{{{SZ|}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tfdscdyx7fmgc1092yr9feey3acon3 10 37561 766663 735072 2022-08-15T12:08:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath/klammer=C^1|differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ= }} ein Punkt, {{ Ma:Vergleichskette | P |\in|U ||M || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Karte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oirht72aqn90pduv723m1720qeut4jo 14 37622 768190 230589 2022-08-16T11:26:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Differentialformen|Äußere Ableitung |Algebraische Topologie|Differentialformen |Theorie der Komplexe (homologische Algebra)|Differentialformen}} ttuat8c507it0n17f78xp35omrj0yzm 14 37623 768195 741244 2022-08-16T11:27:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Topologie|Algebraisch|Algebra|Topologie}} sxtru8bxnv3yxf1e664b31hmwhuy8my 10 37825 766648 507625 2022-08-15T12:06:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(V, {{op:Skalarprodukt|-|-}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jab8vtqrpax3aaiiqhw9v0sxt1ovlki 10 38040 766681 405392 2022-08-15T12:11:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=,}} {{math|term=I|SZ=}} ein nichtleeres {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |I \times M| \R |(t,x)|f(t,x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s4l8kn86tsu3qppd98gqbokfbzhgm03 10 38041 766680 405389 2022-08-15T12:11:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=,}} {{math|term=E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=t_0 \in E|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |E \times M| {{op:abschlussnum|\R|}} |(t,x)|f(t,x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 352rsj1tvrls6vht9xx1t04ybmi6c91 10 38124 766670 403390 2022-08-15T12:10:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ mathkor|term1= {{{M|M}}} |und|term2= {{{N|N}}} |SZ= }} Mengen und es sei {{ Ma:abb/disp |name={{{F|F}}} |{{{M|M}}}|{{{N|N}}}|| |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8u4ladkwhm6wqu37nf9ndue8ekqt1t 0 38763 766712 700897 2022-08-15T12:41:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1) folgt unmittelbar aus der Definition der {{ Definitionslink |Tangentialabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung {{mathl|term=TV \cong V \times \R^n|SZ=}} für eine offene Menge im {{math|term= \R^n |SZ=.}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (3) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (4) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (5). Sei {{ Ma:abbele/disp |name=\beta |V|V' || |SZ= }} mit {{mathl|term=V \subseteq N|SZ=}} und {{mathl|term=V' \subseteq \R^n|SZ=}} offen eine Karte für {{math|term=N|SZ=}} und {{mathl|term=Y \subseteq \R^n|SZ=}} ebenfalls offen. Dann ist {{mathl|term= (T( \beta))^{-1} (V' \times Y)|SZ=}} eine offene Menge in {{math|term=TN|SZ=,}} und solche Mengen bilden {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Tangentialbündel/Basis der Topologie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis der Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=TN|SZ=.}} Die Stetigkeit muss also nur für solche Mengen gezeigt zu werden. Dies bedeutet, dass wir {{math|term=N|SZ=}} durch {{math|term=V|SZ=}} ersetzen können, also annehmen können, dass eine differenzierbare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |M|V || |SZ= }} in eine offene Menge {{mathl|term=V \subseteq \R^n|SZ=}} vorliegt. Wir müssen zeigen, dass das Urbild von {{mathl|term=V \times Y|SZ=}} offen in {{math|term=TM|SZ=}} ist. Dazu sei {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|U' || |SZ= }} eine beliebige Karte für {{math|term=M|SZ=,}} und wir müssen die Offenheit von {{mathl|term=(T(\varphi))^{-1}( V \times Y ) \cap T U|SZ=}} zeigen. Damit sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U \times \R^m|V \times \R^n |(P,v)| (\varphi(P), {{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} ) |SZ=, }} beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} |SZ=,}} betrachten müssen. Die {{math|term=j|SZ=-}}te Komponente davon ist {{ math/disp|term= \sum_{i=1}^m v_i {{op:Partielle Ableitung|\varphi_j|x_i|P}} |SZ=, }} und dies sind nach der {{ Definitionslink |Prämath=C^1 |Differenzierbarkeits |Kontext=stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }}Voraussetzung stetige Abbildungen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (6) folgt aus (5). |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvx8cgs8vuq19mmjwvnrt0farnyovna 0 40050 768064 239238 2022-08-16T10:00:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textteil{{{opt|}}} |Text= {{ Ma:Vergleichskette/Begründungsfenster/8 |d( \omega \wedge \tau) ||d ( fdx_I \wedge gdx_J ) ||d ( (f g) dx_I \wedge dx_J ) ||\sum_{s {{=|}} 1}^n {{op:Partielle Ableitung|fg|x_s}} dx_s \wedge dx_I \wedge dx_J ||\sum_{s {{=|}} 1}^n (g {{op:Partielle Ableitung|f|x_s}} + f {{op:Partielle Ableitung|g|x_s}}) dx_s \wedge dx_I \wedge dx_J ||\sum_{s {{=|}} 1}^n g {{op:Partielle Ableitung|f|x_s}} dx_s \wedge dx_I \wedge dx_J + \sum_{s {{=|}} 1}^n f {{op:Partielle Ableitung|g|x_s}} dx_s \wedge dx_I \wedge dx_J ||\sum_{s {{=|}} 1}^n {{op:Partielle Ableitung|f|x_s}} dx_s \wedge dx_I \wedge gdx_J + \sum_{s {{=|}} 1}^n {{op:Partielle Ableitung|g|x_s}} dx_s \wedge f dx_I \wedge dx_J || d(fdx_I ) \wedge g dx_J + \sum_{s {{=|}} 1}^n (-1)^k f dx_I \wedge {{op:Partielle Ableitung|g|x_s}} dx_s \wedge dx_J || d(fdx_I ) \wedge g dx_J + (-1)^k f dx_I \wedge d( g dx_J) |SZ=. }} |Textart=Textteil |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} msz3dxxydvu7839l8dt1h21c38jx576 10 40499 766683 240685 2022-08-15T12:12:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=x \in X|SZ=}} ein Punkt{{{SZ|}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der topologischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdjvq9fmja0nmhza6agfuwb70s4njlo 0 41102 766716 555286 2022-08-15T12:44:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wo geht in den [[Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Endlichkeit| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term=M_n|SZ=}} ein? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ei1wz747cyckjkdaldhufbh57b1hg5c 0 41789 766720 540482 2022-08-15T12:48:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(M, {{mengensystem|A|}}, \mu) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher| |Kontext=Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= A_t ||bedterm1= t \in \R ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von {{ Definitionslink |Prämath= |messbaren Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den zugehörigen Indikatorfunktionen {{mathl|term= {{op:Indikatorfunktion|A_t|}} |SZ=.}} Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R \times M| \R |(t,x)|f(t,x) {{=|}} {{op:Indikatorfunktion|A_t|x}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R |t| \varphi(t) {{=|}} {{op:Integralmaß|f(t,x)|M|\mu|var=x}} |SZ=, }} nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind erfüllt, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g7ggxmxy05531lpq3omst3rzmuf8ppe 106 42501 766806 567673 2022-08-15T13:53:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesungsgestaltung|12| Wir interessieren uns für die Frage, wann eine endliche Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |einfach| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, also in der Form {{ Ma:Vergleichskette |L ||K(x) || || || |SZ= }} mit einem Element {{mathl|term=x \in L|SZ=}} geschrieben werden kann. Antwort gibt der {{Stichwort|Satz vom primitiven Element|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. erzeugenden Element| |ISZ=|ESZ=, }} der besagt, dass dies unter der recht schwachen Voraussetzung der Separabilität der Fall ist. {{Zwischenüberschrift|term=Separable Körpererweiterungen}} {{ inputdefinition |Separables Polynom/Über Erweiterungskörper/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| || }} {{:Separable Körpererweiterung/Textabschnitt|zusatz2=Unser erstes wichtiges Ziel ist es, zu zeigen, dass eine endliche Körpererweiterung bereits dann separabel ist, wenn die Minimalpolynome zu einem Erzeugendensystem separabel sind.}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz vom primitiven Element}} {{:Der Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion und separabel/Textabschnitt|zusatz21={{ Zusatz/Fußnote |text=Man fixiert hierzu eine {{math|term=K|SZ=-}}Basis von {{math|term=L|SZ=,}} die zugehörige Dualbasis entspricht dann den {{math|term=n|SZ=}} Variablen. Die folgende Tupelschreibweise bezieht sich ebenfalls auf die Basis| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Fußnotenliste}} }} mjfoixwtdqjf8as12spmlqc4thedk9d 106 42534 766805 458227 2022-08-15T13:53:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2011)/Arbeitsblattgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Polynom/Zerfällungskörper/Gradabschätzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Einbettungen nach M/Galoisgruppe operiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierte Einheitswurzeln in C/Welche konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Determinante für kleine n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht 2/Galoisch/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratsche Körpererweiterung/F_2 in F_4/Galois/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratsche Körpererweiterung/F_2(x) in F_2(sqrt(x))/Nicht Galois/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Homomorphismus nach Einheitswurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei einer endlichen Körpererweiterung {{mathl|term=K \subseteq L|SZ=}} kann man jeden {{math|term=K|SZ=-}}Algebra-Automorphismus von {{math|term=L|SZ=}} {{ Zusatz/Gs |text=also jedes Element der Galoisgruppe| |ISZ=|ESZ= }} als eine bijektive {{math|term=K|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |L \cong K^n|L \cong K^n || |SZ= }} auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Verfügung. {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Determinante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Charaktergruppe/Nach K^x/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Polynomring/Ring-Isomorphismus/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Charaktergruppe und Galoisgruppe/Produkt und Determinante/Aufgabe|2| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achte Einheitswurzeln in C/Welche konjugiert/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche zyklische Gruppe/Charaktergruppe nach K^x/1 oder -1/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} }} as7wxnmf32vdg9y88v7d3s3dsu9vmf3 0 42760 768065 700484 2022-08-16T10:00:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Die Dachprodukte {{ math/disp|term= v_{i_1} {{wedgedots|}} v_{i_k} |SZ= }} zu {{mathl|term=1 \leq i_1< \ldots < i_k\leq n|SZ=}} bilden eine Basis von {{mathl|term=\bigwedge^k V|SZ=.}} |{{:Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt|n=k}} |Die zurückgezogene Volumenform besitzt die Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^* \omega || (f \circ \varphi) \cdot {{op:Determinante| (({{op:Partielle Ableitung|\varphi_i|x_j}})_{1 \leq i, j \leq n} |}}) dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || |SZ=. }} |Es sei {{mathl|term=T \subseteq U|SZ=}} messbar und {{ Ma:abb |name=\alpha |U|V || |SZ= }} eine Karte mit der metrischen Fundamentalmatrix {{mathl|term=(g_{ij})_{ 1 \leq i,j \leq n}|SZ=}} und ihrer Determinante {{math|term=g|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|\omega | T }} || {{op:Integralform| \sqrt{g} dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |\alpha(T)}} || {{op:Integralmaß| \sqrt{g} |\alpha(T)|\lambda^n}} || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f14k1wtdv8kqs4lo09to4qamq967vbi 10 42893 766640 573146 2022-08-15T12:05:09Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{K|K}}} |\subseteq | {{{L|L}}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |algebraische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der algebraischen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j5qoru2jexekrb3qn638uxi3dkzm8nv 14 43104 768360 255492 2022-08-16T11:50:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Restklassenbildung|Kommutative Ringe |Theorie der kommutativen Ringe|Restklassenring}} 62x4acx0xxrfbi816gfdz85kz0lrinc 10 43113 766675 566424 2022-08-15T12:10:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=,}} {{mathl|term=F \in K[X]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||Z(F) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zerfällungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=F|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Zerfällungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5q0gwze9apdq2j4brtyq7b41em3hvt 10 43175 766642 751088 2022-08-15T12:05:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{K|K}}} |\subseteq| {{{L|L}}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Galoistheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjmmamua247waxufjx1usbja8pz11yn 10 44129 766643 265172 2022-08-15T12:05:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term={{{G|G}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der endlichen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbfabs5u236afgaq2skzlr32h74ltis 109 44930 766737 714690 2022-08-15T13:05:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki == Verschieben von Seiten die zu Kursen gehören == Hi Holger, Du hattest mir geschrieben, dass ich Kurs-Seiten verschoben habe. Kannst Du mir kurz sagen, um welche Verschiebung es sich handelt. Dann kann ich das Problem fixen. --[[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) == Wiki2Reveal == Nutze [[Wiki2Reveal]] für Vorlesungsfolien, auf die man auch schreiben kann. Habe gesehen, wie gut man template-gesteuert mathematische Inhalte zusammensetzen kann und nur an einer Stelle in Wikiversity pflegen kann. Muss mir noch einmal genauer überlegen, wie man in Wiki2Reveal Templates beim Rendern der Folie parsen und "expandieren" wie bei einem LateX-Marco. Eine richtig gute Lösung dafür habe ich allerdings noch nicht gefunden, da man nicht nur die orginalen Code von Wikiversity holen muss, sondern für jede Definition oder Theorem wieder eine neue Anfrage an API stellen muss. --[[Benutzer:Bert Niehaus|Bert Niehaus]] ([[Benutzer Diskussion:Bert Niehaus|Diskussion]]) 14:16, 10. Dez. 2021 (CET) == Definitionslinks auf "Definitionen en passant" == Wie wichtig ist, dass Definitionslinks auf Seiten führen, die mit Definition enden? Beispielsweise scheint es sich [[MDLUL/Kern_%28Ring%29|hier]] anzubieten, auf einen Fakt zu verlinken, da der Kern eines Ringhomomorphismus an sich nicht außerhalb definiert wird. Man könnte sich überlegen, das im Fakt als Definitionswort auszuzeichnen (was aber den Fokus im Fakt vermutlich verfälschen würde), oder eine extra Definitionsseite zu schreiben, die die Definition nochmal auslagert. --[[Benutzer:Jonathan.Steinbuch|Jonathan]] 11:00, 21. Apr. 2011 (CEST) :hier sollte auf den entsprechenden Gruppenbegriff verwiesen werden (hab ich gemacht), da der Kern eines Ringhomomorphismus einfach der Kern davon (als Gruppenhomomorphismus bzgl. der additiven Struktur aufgefasst) ist. Ein Definitionslink sollte schon immer auf eine Definition Bezug nehmen; Ausnahmen sind, wenn keine explizite Definition vorhanden ist, aber irgendwo in einer Bemerkung oder Ä. die Definition implizit drinsteht.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 17:11, 21. Apr. 2011 (CEST) ::Wenn das so gemeint ist, dann glaube ich das [[MDLUL/kommutativ_(Algebra)|hier z.B.]] nun richtig angewendet zu haben (Eine Algebra ist (hier) ein Ring). [http://de.wikiversity.org/w/index.php?title=MDLUL/Polynomring_(n)&action=edit&redlink=1|Hier] andererseits existiert keine verallgemeinerte passende Definition, man könnte sich natürlich denken, dass der Polynomring (n) analog zu dem [[Kommutative_Ringtheorie/Polynomring/Eine_Variable/Definition]] geht, aber das würde das explizite "(n)" nicht abbilden. [[K^n/Polynomiale_Funktion/Definition]] passt nicht, weil es sich nicht auf den Polynom''ring'' bezieht. Aus meiner Sicht das naheliegendste wäre, eine neue Definition die die gewünschten Eigenschaften kondensiert zu schreiben. Das kann ich tun, habe ich auch schon für {{ Definitionslink |Prämath= |irrational| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Zwischenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gemacht, aber möchte ich falls das ungewünscht ist nicht weiterführen. --[[Benutzer:Jonathan.Steinbuch|Jonathan]] 18:38, 29. Apr. 2011 (CEST) :Ja, es wäre ganz gut, dafür eine explizite Definition zu haben. Man kann es sukzessive über den Polynomring in einer Variablen definieren (wie in [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 1]]) oder aber direkt mittels Linearkombinationen von Monomen. Legen Sie ruhig solche und ähnliche Definition an, ich werf dann noch einen Blick drauf.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 19:52, 29. Apr. 2011 (CEST) == Menge an Definitionslinks == Etwas genereller: Mir ist aufgefallen: Verlinkungen sind nicht immer so gesetzt, dass für mich alle klärungswürdigen Begriffe verlinkt sind. Das steht auch im Widerspruch zum Prinzip "Vollständige Verlinkung der verwendeten Begriffe." aus den [[Projekt:Semantische_Organisation_der_Mathematik/Schreiben_von_Textbausteinen/Prinzipien|Prinzipien zum Schreiben von Textbausteinen]]. Es mag andererseits didaktisch gewünscht sein, einzelne Begriffe nicht zu verlinken um ein Nachdenken zu stimulieren - ich weiß nicht wie das intendiert ist. Falls nicht so, könnte ich zum Beispiel auch Begriffe die nicht als Links dastehen zu Links umwandeln. :grundsätzlich soll bei den Bausteinen Fakten; Beweise etc. verlinkt werden, auch wenn das manchmal vergessen wird. Da kann es nachgetragen werden. Bei den Zwischentexten der Vorlesung ist es aber nicht nötig, da dort der Kontext (inhaltlich und vom Publikum her) deutlich ist. Aus didaktischen Gründen lass ich keine Links weg, auch wenn die Interpretation natürlich nicht gewollt ist, dass man Definitionen nicht lernen muss, weil es ja immer Links gibt.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 19:44, 29. Apr. 2011 (CEST) == Lesbarkeit der Quelltexte der Textbausteine == Damit im Zusammenhang steht allerdings auch eine dritte Beobachtung, die ich einwerfen möchte: Durch die intensive semantische Organisation - insbesondere mit vielen freigelassenen Optionen in Vorlageneinbindungen - wird die Lesbarkeit des Quellcodes als Fließtext eingeschränkt. Das ist denke ich allerdings nicht im Sinne der Syntax des Wikimarkups (oder auch Latex), wo versucht wird Steuerzeichen möglichst unscheinbar unterzubringen. Man könnte sich überlegen die Vorlageneinbindungen (mithilfe eines Bots) auf das nötige einzuschrumpfen und die nichtverwendeten Optionen und überflüssigen Zeilensprünge zu löschen und die Standardoptionen einer Vorlage auf das meist verwendete setzen um dauernde Eintragungen zu vermeiden (oder häufig verwendete Optionen in Kurzversionen zusammenfassen). Andererseits kann man die gewisse Unlesbarkeit natürlich auch hinnehmen und dafür die Vorteile genießen, bei evtl. Änderungen (bspw. eines Kontextes) gleich die richtigen Einfügestellen zur Verfügung zu haben - vermutlich wird das der Grund für die derzeitige Lösung sein.--[[Benutzer:Jonathan.Steinbuch|Jonathan]] 18:38, 29. Apr. 2011 (CEST) == Kategorisierungsfehler/Kontrollseitenfehler == Ich hatte jetzt schon zwei Seiten, bei denen die Kontrollseite keine fehlenden Links mehr angezeigt hat ([[Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2011)/Separable_und_rein-inseparable_Elemente/Separabler_Abschluss/Textabschnitt/kontrolle]]), bzw. ganz komische Fehler produziert ([[Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2011)/Vorlesung_20/kontrolle#Beweis_.C2.A0_4]]), aber trotzdem die Kategorisierung als "Es fehlen noch Links" unten auf der Seite nicht weggeht.--[[Benutzer:Jonathan.Steinbuch|Jonathan]] 18:37, 12. Jun. 2011 (CEST) :ich habs gesehen, der Fehler erscheint nicht mehr, wenn man nur einen Teil abspeichert. Von daher vermute ich ein Kapazitätsproblem, da es gewisse Grenzen für die Vorlagenverschachtelung gibt. Genau weiß ich es aber nicht.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 20:07, 12. Jun. 2011 (CEST) ::im ersten Fall hab ich noch einen fehlenden Link gesehen und nachgetragen.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 20:16, 12. Jun. 2011 (CEST) :::Den hatte ich wohl aus irgendeinem Grund übersehen. Das tut mir leid.--[[Benutzer:Jonathan.Steinbuch|Jonathan]] 20:26, 12. Jun. 2011 (CEST) ::::kein Problem--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] 09:42, 13. Jun. 2011 (CEST) == Was man noch machen könnte... == Dies nur als Formalisierung von Gedanken, die ich mir letztens gemacht hatte. === Einführungsseite === Eine Einführungscrashkursseite für Studenten, die erklärt, wie man mit den Skripten arbeiten kann. Die Projektseite ist dazu nicht sehr tauglich, da Motivation und Hintergründe dargestellt werden und nicht, wie man sich faktisch das Lernen leichter machen kann. Insbesondere zum Beispiel die Suche nach Kategorien, nicht nach Begriffen (ich habe neulich mit einem Kommilitonen geredet, der sich an der Vielzahl an verschiedenen schwer durchschaubaren Ergebnissen für Suchbegriffe gestört hat). Auch eine Kurze Erklärung des Systems aus Vorlagen könnte darin vorkommen, um das Dickicht etwas durchsichtiger zu machen. === Transklusionen Rückverlinken === Pro Textbaustein eine Auflistung der Kursseiten in die ein Textbaustein eingebunden ist. Das ist interessant, wenn man etwas mehr Erläuterung dazu haben will oder sehen will in welchem Kontext ein Baustein vorgesehen ist. Das lässt sich zwar auch über die MSWer herausfinden, man bekommt aber mehr Seiten als die eigentlich wichtigen (insbesondere bei mehrstufiger Transklusion) und wird nicht direkt auf die Stelle im Text verlinkt, an der der Baustein vorkommt. Das über Veränderung der Vorlagen zu implementieren scheint schwer bis unmöglich. Man könnte die Stellen aber unproblematisch durch einen Rückverlinkungsbot, der eine vorgegebene Menge von Kursseiten durchgeht, sammeln lassen und das dann in die Textbausteine (Definitionen/Fakte/Beispiele/Aufgaben) in einen Bereich eintragen, der nur bei Textbaustein-URL-Endung angezeigt wird. Das ließe sich auch auf die Verlinkungen ausweiten - insbesondere für welche weiteren Beweise ein Satz so wichtig ist, dass er erwähnt wird fände ich interessant. Es gibt zwar die Spezialseite "Linkliste" (Bspw.: [[Spezial:Linkliste/Zahlentheorie/Quadratischer_Zahlbereich/Norm_und_Spur/Definition]]), aber die ist sehr unspezifisch, unübersichtlich und erlaubt nicht speziell nach für das Semantische Organisationsprojekt interessanten Teilen zu filtern und zu gruppieren. === Die Detailklärungsstellen === Diese könnte man als kleine unauffällige Symbole (Fragezeichen,Gedankenbläschen,...), die an bestimmten in den Vorlagen definierten Punkten (vor allem mathematische Terme, da diese auf jeden Fall durch Vorlagen realisiert werden) auftauchen darstellen. Wenn man auf diese klickt öffnet sich analog zur Ergänzung der MDLULs eine Seite, wo man dann Nachfragen eintragen und beantworten kann. Stellen wo so etwas existiert, werden dann anders markiert. Man könnte das sogar so machen, dass um diese Symbole angezeigt zu bekommen man auf einen Link unten auf der Seite klickt und sich dann etwas ähnliches wie die Kontrollseite öffnet, wo diese Symbole erscheinen. Damit wäre auch die Technologie dazu schon fast vorhanden. Es könnte natürlich sein, dass sich Probleme mit der Vorlagentiefe ergeben. ==Wikiversity-unabhängige Darstellung == ich habe eine alte Monobookversion hergestellt: [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.css]] Siehe auch [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2008/06]] unter Erstellung von Präsentationen, da hat Exxu was zu erklärt. Beispielseite (damals und jetzt) [[Zahlentheorie_%28Osnabr%C3%BCck_2008%29/Vorlesung_20]] :Ich würde vorschlagen die Java-Script-Modifikationen zu verwenden, da diese mehr Möglichkeiten bieten. Ich habe da für die Beispielseite mal was erstellt: http://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Jonathan.Steinbuch/monobook.js :Um die Seiten wie eine Präsentation darzustellen könnte man jetzt die Schriftgröße vergrößern und immer nur ein/zwei Abschnitte darstellen (den Rest verstecken), das würde Ich vermutlich als nächstes versuchen. Wegen dem Problem, dass vergrößerte Formeln schlecht aussehen habe ich eine Lösung erstellt, die ich aber weil sie jsMath verwendet (eine tex-Darstellungs-Bibliothek die unter der Apache-Lizenz steht) nicht glaube hier hochladen zu dürfen. Dazu schicke ich Ihnen eine Email. --[[Benutzer:Jonathan.Steinbuch|Jonathan]] 11:06, 8. Aug. 2011 (CEST) 7l2i18o3anbnyyvv2u0j2wi05yuggwb 14 45142 768383 604559 2022-08-16T11:53:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Algebraische Geometrie|Schema |Theorie der lokal beringten Räume|Schema}} kfqm01lgkyokmjklzj6ga23kylbw4x5 14 45146 768367 264213 2022-08-16T11:51:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Schemata|Affin |Theorie der kommutativen Ringe|Schema ||}} pbtqqc07z534x38h9u4fmqc14c7b52p 10 45188 766641 597446 2022-08-15T12:05:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{X|X}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term={{{E|E}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbares Vektorbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term={{{X|X}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8wityjhtmzvi172ybbl4yviv46d3zx 10 45204 766665 429388 2022-08-15T12:09:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{{X|X}}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term={{{E|E}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink/- |Prämath= |differenzierbares Vektorbündel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{{zusatz1|}}} auf {{math|term={{{X|X}}}|SZ=,}} das mit einem {{ Definitionslink/- |Prämath= |linearen Zusammenhang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen sei{{{SZ|}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= 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der {{math|term=n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=über| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term={\mathbb F}_p|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathl|term=n=1 {{kommadots|}} 12|SZ=;}} angegeben ist der Exponent {{math|term=e|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} r51inucay5xwf17bl414x8huueixewv 0 46334 766729 411851 2022-08-15T12:57:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |{{:Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition|}} |{{:Sigmaalgebra/Definition|}} |Unter dem Kegel versteht man die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |K_B || {{mengebed|P+t(Q-P) |Q \in B|t \in [0,1]}} || || || |SZ=. }} |{{:Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition}} |Unter der Tangentialabbildung im Punkt {{math|term=P|SZ=}} versteht man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |T_PM|T_{\varphi(P)}N |[\gamma]|[\varphi \circ \gamma] |SZ=. }} |Das Wegintegral ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_\gamma \omega ||\int_a^b \gamma^* \omega || || || |SZ= }} definiert. |Eine {{ Definitionslink |differenzierbare| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |mathprä=|Differentialform| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\omega |SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=}} heißt {{Definitionswort|geschlossen|SZ=,}} wenn ihre {{ Definitionslink |äußere Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=d \omega=0|SZ=}} ist. |Ein {{ Definitionslink |topologischer| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Hausdorff-Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine {{ Definitionslink |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} und {{ Definitionslink |Karten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\alpha_i |U_i|V_i || |SZ= }} gibt, wobei die {{mathl|term=V_i \subseteq H \subset \R^n|SZ=}} offene Mengen im {{ Definitionslink |euklidischen Halbraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Übergangsabbildungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= \alpha_j \circ \alpha_i^{-1} |V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) | V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j) || |SZ= }} {{ Definitionslink |Diffeomorphismen| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evecerj2ez3mlefehqedfdfy3pg1i79 766730 766729 2022-08-15T12:57:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung8 |{{:Abzählbar/N/Leer oder surjektiv/Definition|}} |{{:Sigmaalgebra/Definition|}} |Unter dem Kegel versteht man die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp |K_B || {{mengebed|P+t(Q-P) |Q \in B|t \in [0,1]}} || || || |SZ=. }} |{{:Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition}} |Unter der Tangentialabbildung im Punkt {{math|term=P|SZ=}} versteht man die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |T_PM|T_{\varphi(P)}N |[\gamma]|[\varphi \circ \gamma] |SZ=. }} |Das Wegintegral ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_\gamma \omega ||\int_a^b \gamma^* \omega || || || |SZ= }} definiert. |Eine {{ Definitionslink |differenzierbare| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |mathprä=|Differentialform| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\omega |SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=}} heißt {{Definitionswort|geschlossen|SZ=,}} wenn ihre {{ Definitionslink |äußere Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=d \omega=0|SZ=}} ist. |Ein {{ Definitionslink |topologischer| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Hausdorff-Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} heißt eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es eine {{ Definitionslink |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} und {{ Definitionslink |Karten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\alpha_i |U_i|V_i || |SZ= }} gibt, wobei die {{mathl|term=V_i \subseteq H \subset \R^n|SZ=}} offene Mengen im {{ Definitionslink |euklidischen Halbraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Übergangsabbildungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= \alpha_j \circ \alpha_i^{-1} |V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U_j) | V_j \cap \alpha_j(U_i \cap U_j) || |SZ= }} {{ Definitionslink |Diffeomorphismen| |Kontext=Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wh72p31wp9zhpco04wev54h1e4cjaw 106 46748 766821 457803 2022-08-15T13:55:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2011-2012)/Teil_I/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Reihe/R/Cauchyprodukt/1 durch n^2 und 1 durch n^3/Erste fünf Glieder/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe/R/Cauchyprodukt/Nicht Partialsummen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihen/R/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/R/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/R/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Unbeschränkt/Aufgabe||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Aus der Stetigkeit folgt daraus, dass {{math|term=\R_+|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Exponentialfunktion ist| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Logarithmus/Basis/Rechenregeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Inflation/2 Prozent/Verdopplung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionslimes/b^c/b gegen 0/c positiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Exponentialreihe/Cauchyprodukt/Bis fünftes Glied/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/R/Vierte Potenz/Bis fünfter Koeffizient/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Exponentialreihe/R/Abschätzung für Restglied/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eulersche Zahl/Berechnung mit Exponentialreihe/4 Nachkommastellen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe|p|zusatz1=Fußnote |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Exponentielle Gleichung/Stetig/Exponentielle Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} s15prp3xklquau4dm1wsdc1gpjng2b6 106 47052 768072 646783 2022-08-16T10:01:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|45| {{Zwischenüberschrift|term=Partielle Ableitungen}} {{:Partielle Ableitungen/R/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Höhere Richtungsableitungen}} {{:Höhere Richtungsableitung/R/Einführung/Textabschnitt}} Auch partielle Ableitungen kann man wie Richtungsableitungen hintereinanderausführen. Dies führt zu Schreibweisen wie {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||y}} f |SZ= }} und Ähnliche. {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Schwarz}} {{ inputbeispiel |Satz von Schwarz/x^4-x^3y+5xy^2+2y^3/Motivation/Beispiel|| }} In diesem Beispiel zeigt sich ein allgemeiner Sachverhalt, der {{Stichwort|Satz von Schwarz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder auch {{Stichwort|Satz von Clairaut|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} heißt. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Höhere Differenzierbarkeit/R/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt|Korollar|| || }} }} 04z3ib97guma672c4nxigylkl9gk2rd 106 47054 766822 619885 2022-08-15T13:55:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|47| {{Zwischenüberschrift|term=Die Kettenregel}} Die Eleganz des totalen Differentials wird in der folgenden allgemeinen Version der Kettenregel deutlich. Sie besagt, dass bei einer Verknüpfung von differenzierbaren Abbildungen das totale Differential {{ Zusatz/Klammer |text=also die lineare Approximation| |ISZ=|ESZ= }} gleich der Verknüpfung der einzelnen totalen Differentiale ist. Der Beweis verwendet an einer Stelle, dass eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=L |V|W || |SZ= }} zwischen euklidischen Räumen auf der abgeschlossenen Einheitskugel {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, d.h. dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |b |\in|\R || || || |SZ= }} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|L(v)|}} |\leq|b || || || |SZ= }} für alle {{math|term=v|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} |\leq| 1 || || || || |SZ=. }} Diese Aussage gilt sogar für jede stetige Abbildung, werden wir hier aber nur für eine lineare Abbildung beweisen: Dazu wählen wir eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette |v ||\sum_{i {{=|}} 1}^n a_iv_i || || || |SZ= }} aus {{mathl|term={{op:Abgeschlossener Ball|0|1}} |SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}}^2 || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i^2 |\leq| 1 || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|a_i||}} |\leq|1 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| L(v)|}} || {{op:Norm| L {{makl| \sum_{i {{=|}} 1}^n a_iv_i |}} |}} || {{op:Norm| \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i L( v_i )|}} |\leq | \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Betrag|a_i|}} {{op:Norm| L( v_i )|}} |\leq| \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Norm| L( v_i )|}} |SZ=, }} das heißt, dass die Beschränktheit mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |b | {{defeq|}} | \sum_{i {{=|}} 1}^n {{op:Norm| L( v_i )|}} || || || |SZ= }} gilt. {{ inputfaktbeweis |Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Standardbasen und Jacobimatrix/Fakt|Korollar|| || }} Bei der vorstehenden Aussage kann man mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} häufig direkt auf die totale Differenzierbarkeit schließen. {{ inputbeispiel |Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos x,x-y)/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Kettenregel/R/Kurve und lineare Abbildung/Bemerkung||f=\gamma| }} {{ inputbemerkung |Kettenregel/R/Vektor und linearer Weg/Richtungsableitung/Bemerkung|| }} Das folgende Beispiel illustriert, dass das totale Differential unabhängig von der Wahl einer Basis ist, die partiellen Ableitungen aber nicht. {{ inputbeispiel |Differenzierbarkeit/R/Partielle Ableitungen hängen von Koordinaten ab/Beispiel|| }} }} fvd82ovt2rg0whmnvyecua7k2i127ch 106 47056 768073 647126 2022-08-16T10:01:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|49| {{Zwischenüberschrift|term=Extrema}} Zu einer reellwertigen Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R || |SZ= }} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} interessieren wir uns, wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich, für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der {{ Zusatz/Klammer |text=höheren| |ISZ=|ESZ= }} Ableitungen {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existieren| |ISZ=|ESZ= }} erkennen kann. Wir verallgemeinern zuerst die relevanten Definitionen auf die Situation, wo der Definitionsbereich ein beliebiger metrischer Raum ist. {{:Extrema/R^n/Erste Beispiele/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Gradient}} Wenn eine Funktion {{ Ma:abb |name=f |V|\R || |SZ= }} total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von {{ mathkor|term1= V |nach|term2= \R |SZ=. }} Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Linearform/Definition|| }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} ist, so bilden die partiellen Ableitungen von {{ Ma:abbele/disp |name=f |G|\R || |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} eine Matrix mit einer einzigen Zeile, die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso auch als ein {{math|term=n|SZ=-}}Tupel in {{math|term= \R |SZ=}} und damit als einen Vektor in {{mathl|term= \R^n |SZ=}} auffassen. {{ inputfaktbeweis |Euklidischer Raum/Linearform/Zugehöriger Vektor/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition|| }} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab. Bei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^n || || || |SZ=, }} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel |Refname= {{{def|}}} |SZ=, }} ist der Gradient einfach gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Gradient|f|P}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1|P}}|\vdots| {{op:Partielle Ableitung|f|x_n|P}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt|Satz|| }} Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor. {{Zwischenüberschrift|term=Lokale Extrema von Funktionen in mehreren Variablen}} Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R || |SZ= }} ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graph einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium in einer Variablen verallgemeinert. {{ inputfaktbeweis |Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt|Satz||opt1=/link2 |opt2=/link2| }} Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten. {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Hesse-Form}} Wir sind natürlich auch an hinreichenden Kriterien für das Vorliegen von lokalen Extrema interessiert. Wie schon im eindimensionalen Fall muss man sich die zweiten Ableitungen anschauen, wobei die Situation natürlich dadurch wesentlich verkompliziert wird, dass es zu je zwei Richtungsvektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} eine zweite Richtungsableitung {{ Ma:Vergleichskette | D_{vw} ||D_v D_w || || || || |SZ= }} gibt. Die zweite Richtungsableitung wird dadurch handhabbar, dass man sie in die sogenannte Hesse-Form bzw. Hesse-Matrix zusammenfasst. {{:Hesse-Form und Matrix/Textabschnitt}} Die Hesse-Form zu einem festen Punkt {{math|term=P|SZ=}} ordnet also zwei Vektoren eine reelle Zahl zu, und sie ist durch ihre Hesse-Matrix vollständig beschrieben. Damit ordnet sie sich in das Konzept von symmetrischen Bilinearformen ein. }} 9nsua6crdii4wo5zg27e6scahc230kx 0 47392 766723 491610 2022-08-15T12:52:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Axiom{{{opt|}}} |Text=Die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} sind ein {{ Definitionslink |Prämath= |vollständiger| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |archimedisch angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Axiom |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vollständigkeit der reellen Zahlen |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Completeness |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1fh9dmmzi2glfpmo7jpco05c5dj8eya 10 47403 766679 511668 2022-08-15T12:11:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ math/disp|term= {{op:Reihe|a}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Reelle Zahlen/Reihe/Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlu5ljvcztyj2ovtykdfxv5rm59hzp8 10 47430 766678 590599 2022-08-15T12:11:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq| \R || || || |SZ= }} eine Teilmenge, {{ Ma:abbele/disp |name=f |D|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|D || || || |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0mn9ajdq1cguefwff2ppw1vq9fkwa59 0 47702 766724 448020 2022-08-15T12:53:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Wir beschreiben, wie man zu einer linearen {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbaren Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} findet, bezüglich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |jordanscher Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert {{mathl|term=\lambda \in K|SZ=}} den minimalen Exponenten {{math|term=s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern| {{makl| \varphi- \lambda {{op:Identität||}} |}}^s||}} || {{op:Kern| {{makl| \varphi- \lambda {{op:Identität||}} |}}^{s+1} }} || || || |SZ= }} und setzt {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_i || {{op:Kern| {{makl| \varphi- \lambda {{op:Identität||}} |}}^{i} |}} || || || |SZ= }} für {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} s |SZ=.}} Dies ergibt eine Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_1 || {{op:Eigenraum|\lambda|}} |\subseteq|V_2 |\subset \cdots \subset|V_{s-1} |\subset|V_s || {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda|}} |SZ=. }} Man wählt nun aus {{mathl|term=V_{s} \setminus V_{s-1}|SZ=}} einen Vektor {{math|term=u|SZ=.}} Die Vektoren {{math/disp|term=u, (\varphi- \lambda {{op:Identität||}})(u), (\varphi- \lambda {{op:Identität||}})^2(u) {{kommadots|}} (\varphi- \lambda {{op:Identität||}})^{s-1}(u) |SZ=}} bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in {{mathl|term=V_{s} \setminus V_{s-1}|SZ=}} einen weiteren, zu {{math|term=u|SZ=}} und {{math|term=V_{s-1}|SZ=}} linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn {{mathl|term=V_s \setminus V_{s-1}|SZ=}} ausgeschöpft ist, schaut man, ob {{mathl|term= V_{s-1} \setminus V_{s-2}|SZ=}} bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu {{math|term=\lambda|SZ=}} ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter. Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu {{math|term=\lambda|SZ=}} eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor {{math|term=v|SZ=}} zu {{math|term=\lambda|SZ=}} wählen und dazu sukzessive Urbilder unter {{math|term=\varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} finden, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |}} (v') || || || |SZ= }} lösen, dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' || {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |}} (v'') || || || |SZ= }} u.s.w. Wenn beispielsweise der Eigenraum {{math|term=k|SZ=-}}dimensional und der Hauptraum {{math|term=(k+1)|SZ=-}}dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter {{mathl|term= \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} finden. |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nbugsdw3agut75ud3mm72z7k91pas2y 10 47705 766661 277210 2022-08-15T12:08:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term={{{M|M}}}|SZ=}} eine {{mathl|term={{{n|n}}} \times {{{n|n}}}|SZ=-}}{{ Definitionslink |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term={{{K|K}}}|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rkz0dww13nkvi7drn0is64tgz1aimkz 10 47706 766644 616456 2022-08-15T12:05:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name={{{\varphi|\varphi}}} |{{{V|V}}}|{{{V|V}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in| {{{K|K}}} || || || |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8i0t3c4zqld5d9htvuiwwd1w4f1pcm1 10 47736 766677 511476 2022-08-15T12:11:19Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |reelle Folge| 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Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=Funktion R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |rationalen Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \frac{ {{{f|f}}}}{ {{{g|g}}} } |SZ= }} im Punkt {{math|term={{{a|a}}}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekr8f2vcasw9okmediqs4go7a4jcy96 10 47828 766733 277809 2022-08-15T13:00:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{{1|f}}} |SZ={{{SZ|}}} }} 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579067 2022-08-15T13:23:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Let {{math|term=F \in {{CC}}[X] }} be a {{ Definitionslink |non-constant| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |polynomial| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Prove {{n Sie}} that {{math|term=F|SZ=}} can be decomposed as a product of {{ Definitionslink |linear factors| |Kontext=1K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Fundamentalsatz der Algebra |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1cr893dsjh29pz0gi0rcqefvpzw9c44 0 48689 766763 282191 2022-08-15T13:27:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sketch the graph of the following {{ Definitionslink |rational functions| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f=g/h |U|\R || |SZ=, 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erzeugte Abelsche Gruppen vorgestellt werden. Dieser besagt, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |abelsche Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=(\Z,+)|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, ist. {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Definition|| }} Ein Element eines Produkts lässt sich also durch ein Tupel von Elementen aus den Faktoren charakterisieren. Auch an die Definition der zyklischen Gruppe soll kurz erinnert werden. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Definition|| }} Es ist leicht zu sehen, dass für alle {{math|term=n\in \N|SZ=}} die Gruppe {{math|term=\Z/(n)|SZ=}} eine zyklische Gruppe ist. Da außerdem alle Elemente einer zyklischen Gruppe (bei additiver Schreibweise) Vielfache des Erzeugers sind, ist auch klar, dass alle zyklischen Gruppen isomorph zu einer solchen Gruppe sind. Für zyklische Gruppen ist es trivialerweise klar, dass sie den Hauptsatz erfüllen und auch für endliche Produkte davon. Schon bei {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Produkten zyklischer Gruppen muss man jedoch ein wenig nachdenken. Identifizieren wir beispielsweise in {{math|term=\Z^2|SZ=}} willkürlich einige Elemente mit {{math|term=0|SZ=}}. Dann müssen wir weitere Elemente miteinander identifizieren, so dass wir wieder eine Gruppe haben (i.e. die Restklassengruppe bilden): {{math/disp|term=\Z^2/\left({{op:Spaltenvektor|2|6}},{{op:Spaltenvektor|-4|-3}},{{op:Spaltenvektor|-2|-18}}\right)|SZ=.}} Dies ist eine Gruppe, die wir auf jeden Fall durch endlich viele Elemente erzeugen können (es bleiben insgesamt nur endlich viele Elemente übrig), aber für die wir nicht unbedingt eine Produktdarstellung aus zyklischen Gruppen sehen. {{Zwischenüberschrift|term=Elementarteilersatz}} Der Beweis des Hauptsatzes geht hier über den Zwischenschritt des Elementarteilersatzes. In diesem wird gezeigt, dass sich jede {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Z|SZ=}} auf bestimmte Weise in einfach beschreibbare Teiler zerlegen lässt. Es spielen für den Elementarteilersatz zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine zentrale Rolle und zwar die Folgenden: Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung:{{ math/disp|term= V_{ij} = {{ElementarmatrixVertauschung|}} |SZ=. }} Addition des {{math|term=a|SZ=-}}fachen der {{math|term=j|SZ=-}}ten Zeile zur {{math|term=i|SZ=-}}ten Zeile, bzw. des {{math|term=a|SZ=-}}fachen der {{math|term=i|SZ=-}}ten Spalte zur {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte: {{ math/disp|term= A_{ij}(a) = {{ElementarmatrixAddition/oben|a}} |SZ=. }} Von links angewendet beschreiben die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} jeweils eine Zeilenoperation, von rechts angewendet eine Spaltenoperation. Wegen {{mathl|term=A_{ij}(a) \circ A_{ij}(-a) = E_n|SZ=}} und {{mathl|term=V_{ij} \circ V_{ij} = E_n|SZ=}} sind die Matrizen {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies wird später im Beweis des Hauptsatzes wichtig. Die Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einem Skalar {{math|term=s|SZ=}} ist über {{math|term=\Z|SZ=}} übrigens im Allgemeinen nicht invertierbar, da für die Umkehrabbildung durch {{math|term=s|SZ=}} geteilt werden müsste und {{math|term=s^{-1}|SZ=}} außer für {{mathl|term=s = 1, -1|SZ=}} nicht in {{math|term=\Z|SZ=}} liegt. {{ inputfaktbeweis|Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt|Satz|Elementarteilersatz| || }} Dazu ein kleines Beispiel: {{ inputbeispiel|Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/2x3/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen}} Für den Hauptsatz brauchen wir noch ein kleines Hilfslemma: {{ inputfaktbeweis|Untergruppen_von_Z^m/Endlich_erzeugt/Fakt|Lemma|| || }} Wir erinnern außerdem ohne Beweis an folgenden Isomorphiesatz für Gruppen: {{ inputfakt |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv_und_Restklassengruppe/Fakt|Satz|Isomorphiesatz für Gruppen| || }} Damit kommen wir zum Hauptsatz. {{ inputfaktbeweis|Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich_erzeugt/Hauptsatz/Fakt|Satz|Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen| || }} aa1935ul4gc7efn3iti5lvv5eqploqa 766732 766731 2022-08-15T12:59:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Es soll der Hauptsatz über endlich erzeugte Abelsche Gruppen vorgestellt werden. Dieser besagt, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |abelsche Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Produkt| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=(\Z,+)|SZ=,}} die {{ Definitionslink |Prämath= |zyklisch| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, ist. {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Definition|| }} Ein Element eines Produkts lässt sich also durch ein Tupel von Elementen aus den Faktoren charakterisieren. Auch an die Definition der zyklischen Gruppe soll kurz erinnert werden. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Zyklische_Gruppe/Definition|| }} Es ist leicht zu sehen, dass für alle {{math|term=n\in \N|SZ=}} die Gruppe {{math|term=\Z/(n)|SZ=}} eine zyklische Gruppe ist. Da außerdem alle Elemente einer zyklischen Gruppe (bei additiver Schreibweise) Vielfache des Erzeugers sind, ist auch klar, dass alle zyklischen Gruppen isomorph zu einer solchen Gruppe sind. Für zyklische Gruppen ist es trivialerweise klar, dass sie den Hauptsatz erfüllen und auch für endliche Produkte davon. Schon bei {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Produkten zyklischer Gruppen muss man jedoch ein wenig nachdenken. Identifizieren wir beispielsweise in {{math|term=\Z^2|SZ=}} willkürlich einige Elemente mit {{math|term=0|SZ=}}. Dann müssen wir weitere Elemente miteinander identifizieren, so dass wir wieder eine Gruppe haben (i.e. die Restklassengruppe bilden): {{math/disp|term=\Z^2/\left({{op:Spaltenvektor|2|6}},{{op:Spaltenvektor|-4|-3}},{{op:Spaltenvektor|-2|-18}}\right)|SZ=.}} Dies ist eine Gruppe, die wir auf jeden Fall durch endlich viele Elemente erzeugen können (es bleiben insgesamt nur endlich viele Elemente übrig), aber für die wir nicht unbedingt eine Produktdarstellung aus zyklischen Gruppen sehen. {{Zwischenüberschrift|term=Elementarteilersatz}} Der Beweis des Hauptsatzes geht hier über den Zwischenschritt des Elementarteilersatzes. In diesem wird gezeigt, dass sich jede {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Z|SZ=}} auf bestimmte Weise in einfach beschreibbare Teiler zerlegen lässt. Es spielen für den Elementarteilersatz zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Elementarmatrizen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine zentrale Rolle und zwar die Folgenden: Zeilen- bzw. Spaltenvertauschung:{{ math/disp|term= V_{ij} = {{ElementarmatrixVertauschung|}} |SZ=. }} Addition des {{math|term=a|SZ=-}}fachen der {{math|term=j|SZ=-}}ten Zeile zur {{math|term=i|SZ=-}}ten Zeile, bzw. des {{math|term=a|SZ=-}}fachen der {{math|term=i|SZ=-}}ten Spalte zur {{math|term=j|SZ=-}}ten Spalte: {{ math/disp|term= A_{ij}(a) = {{ElementarmatrixAddition/oben|a}} |SZ=. }} Von links angewendet beschreiben die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrizen| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} jeweils eine Zeilenoperation, von rechts angewendet eine Spaltenoperation. Wegen {{mathl|term=A_{ij}(a) \circ A_{ij}(-a) = E_n|SZ=}} und {{mathl|term=V_{ij} \circ V_{ij} = E_n|SZ=}} sind die Matrizen {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies wird später im Beweis des Hauptsatzes wichtig. Die Multiplikation einer Zeile oder Spalte mit einem Skalar {{math|term=s|SZ=}} ist über {{math|term=\Z|SZ=}} übrigens im Allgemeinen nicht invertierbar, da für die Umkehrabbildung durch {{math|term=s|SZ=}} geteilt werden müsste und {{math|term=s^{-1}|SZ=}} außer für {{mathl|term=s = 1, -1|SZ=}} nicht in {{math|term=\Z|SZ=}} liegt. {{ inputfaktbeweis|Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/Fakt|Satz|Elementarteilersatz| || }} Dazu ein kleines Beispiel: {{ inputbeispiel|Modultheorie/Z/Elementarteilersatz/2x3/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen}} Für den Hauptsatz brauchen wir noch ein kleines Hilfslemma: {{ inputfaktbeweis|Untergruppen_von_Z^m/Endlich_erzeugt/Fakt|Lemma|| || }} Wir erinnern außerdem ohne Beweis an folgenden Isomorphiesatz für Gruppen: {{ inputfakt |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv_und_Restklassengruppe/Fakt|Satz|Isomorphiesatz für Gruppen| || }} Damit kommen wir zum Hauptsatz. {{ inputfaktbeweis|Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich_erzeugt/Hauptsatz/Fakt|Satz|Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen| || }} sswbwbbu3mrqz6thu5mwa15fbntz5uu 0 49046 766757 284448 2022-08-15T13:26:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation/en}} and let {{math|term=K[X]|SZ=}} denote the {{ Definitionslink |polynomial ring| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} over {{math|term=K|SZ=.}} Let {{mathl|term=d \in \N|SZ=.}} Show that the set of all polynomials of degree {{mathl|term=\leq d|SZ=}} is a {{ Definitionslink |finite dimensional| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |subspace| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{mathl|term=K[X]|SZ=.}} What is its {{ Definitionslink |dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hgnz4nepw4i7tov52jdokfynaeli5jn 0 49047 766759 284449 2022-08-15T13:26:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Show that the set of real {{ Definitionslink |polynomials| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{ Definitionslink |degree| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\leq 4|SZ=}} which have a zero at {{math|term=-2|SZ=}} and a zero at {{math|term=3|SZ=}} is a {{ Definitionslink |finite dimensional| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |subspace| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{mathl|term=\R[X]|SZ=.}} Determine the {{ Definitionslink |dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of this vector space. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1437ehnv5mynebo6wr82gu627s325o 0 49048 766758 284450 2022-08-15T13:26:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Show that the set of all real {{ Definitionslink |polynomials| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{ Definitionslink |degree| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\leq 6|SZ=}} which have a zero at {{math|term=-1|SZ=,}} at {{math|term=0|SZ=}} and at {{math|term=1|SZ=}} is a {{ Definitionslink |finite dimensional| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |subspace| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of {{mathl|term=\R[X]|SZ=.}} Determine the {{ Definitionslink |dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of this vector space. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5d9h0egbqpjdcy6vsr59flu67ve3697 0 49404 766762 509789 2022-08-15T13:26:53Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Determine the {{ Definitionslink |Prämath= |limit| |Kontext=reelle Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of the real sequence given by {{ math/disp|term= x_n = {{op:Bruch|7n^3-3n^2+2n-11|13n^3-5n+4}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rxfzrzqg8h1iu15h5ez7fqj9smzp5u0 0 49529 766728 391669 2022-08-15T12:55:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Axiom{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{Symbolalphabet}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Ausdruck| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=x|SZ=}} eine Variable und {{math|term=t|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Term| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ math/disp|term= \vdash {{logprop|}} \frac{t}{x} \rightarrow \exists x {{logprop|}} |SZ=. }} |Textart=Axiom |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Existenzeinführung im Sukzedens |Axiomsname=Existenzeinführung im Sukzedens |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cxj22nswwzvu3ooitf9bobkoubx5py 0 49530 766727 394811 2022-08-15T12:55:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Axiom{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{Symbolalphabet}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ mathkor|term1= {{logprop|}} |und|term2= {{logprop2|}} |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Ausdrücke| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} seien Variablen. Dann gilt die folgende Regel: Wenn {{ math/disp|term= \vdash {{logprop|}} \frac{y}{x} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ= }} gilt und wenn {{math|term= y |SZ=}} weder in {{mathl|term= \exists x {{logprop|}} |SZ=}} noch in {{math|term={{logprop2|}} |SZ=}} frei vorkommt, so gilt auch {{ math/disp|term= \vdash \exists x {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=. }} |Textart=Axiom |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Existenzeinführung im Antezedens |Axiomsname=Existenzeinführung im Antezedens |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 545udoriqho1g6wgr80f5zbk7hd1qza 0 49630 766725 607302 2022-08-15T12:54:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Definitionslink{{{opt1|}}} |Prämath= |Definition| |Definitionsseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Basis/Über Logarithmus/Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^\alpha || {{op:exp(|\alpha \, {{op:ln|x|}} |}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{math|term=x|SZ=}} ist aufgrund von {{ Faktlink{{{opt2|}}} |Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt |Faktseitenname2= Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} unter Verwendung {{ Faktlink |Präwort=der|Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| x^\alpha |}}' || {{makl| {{op:exp(|\alpha \, {{op:ln|x|}} |}} |}}' || \frac{\alpha}{x} \cdot {{op:exp(|\alpha\, {{op:ln|x|}} |}} || \frac{\alpha}{x} x^\alpha || \alpha x^{\alpha -1} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0nqjz9xv405ro78c63m0s0vc89c6e0y 0 49798 766751 288742 2022-08-15T13:21:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Discuss the following properties of the rational function {{ Ma:abbele/disp |name=f |D|\R |x|f(x) {{=|}} \frac{ {{{1|}}} }{ {{{2|}}} } |SZ=, }} domain, zeros, growth behavior, {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |local| |Kontext=R Extremum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} extrema. Sketch the graph of the function. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kurvendiskussion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b9c0woruzjdb5lxc4ahxvtfz24wco0t 10 50146 766750 293825 2022-08-15T13:21:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Determine an {{ Definitionslink |antiderivative| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} for the {{ Definitionslink |function| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{{1|f}}} |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8m36c9iv8oor4jbl3jz69y91zqws4zb 10 50357 766718 294759 2022-08-15T12:46:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabenform{{{opt|}}} |Text= Determine{{n Sie}} an {{ Definitionslink |antiderivative| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} of the {{ Definitionslink |function| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{{1|f}}} |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atv8t54motyyzhn7nq9mfrcmyo9fhh5 0 50649 766820 540287 2022-08-15T13:55:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |{{:Determinante/Multiplikationssatz/Fakt}} |Die Stetigkeit von {{math|term=f|SZ=}} im Punkt {{math|term=a|SZ=}} ist äquivalent dazu, dass für jede Folge {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=,}} die gegen {{math|term=a|SZ=}} konvergiert, die Bildfolge {{mathl|term= {{Op:Folge|glied=f(x_n)}} |SZ=}} gegen {{mathl|term=f(a)|SZ=}} konvergiert. |{{:Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt}} |Für einen beliebigen Punkt {{mathl|term=a \in I|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Integralfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= F(x) := {{op:Integral|a|x|f}} |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es gilt {{math/disp|term=F'(x)=f(x)|SZ=}} für alle {{mathl|term=x \in I|SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6un50sri6e3ck061uxdqz79r3hal6bj 106 51055 766823 647096 2022-08-15T13:56:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|52| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen}} {{ inputbild |Schoenberg-ebringen-isohypsen|png| 250px {{!}} right {{!}} |Text=In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert. |Autor= |Benutzer=W-j-s |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Coast line east Karystos, Euboea, Greece|jpg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als Graph einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen {{Anführung|zwei|}} Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet{{ Zusatz/Fußnote |text=Dass man solche singulären Punkte in der Natur nur selten antrifft, liegt daran, dass das Höhenprofil der Erde nur endlich viele kritische Punkte und damit nur endlich viele Gipfel und Sattelpunkte besitzt. Es ist daher unwahrscheinlich, dass der Meeresspiegel genau auf der Höhe eines solchen kritischen Punktes liegt. Wenn man aber Ebbe und Flut betrachtet, so werden solche Punkte immer wieder durchlaufen| |ISZ=.|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Straitgate |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Abbildung/Faser/Definition|| }} Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\varphi^{-1}(\{ y \} ) |SZ=}} von {{math|term=y|SZ=.}} Zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|L || || || |SZ= }} nennt man die Faser über {{mathl|term=\varphi(P)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Faser durch|SZ=}} {{math|term=P|SZ=.}} Bei {{mathl|term=M=\R|SZ=}} sagt man statt Fasern auch {{Stichwort|Niveaumengen|SZ=}} oder, insbesondere bei {{ Ma:Vergleichskette |L ||\R^2 || || || |SZ=, }} auch {{Stichwort|Höhenlinien|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel|| }} Der {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=}} wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich {{Stichwort|lokal|SZ=}} als {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Abbildungen realisieren lassen. {{:Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung}} {{ inputbild |Agate1 hg|jpg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Agate1_hg |Text=Der Querschnitt eines [[w:Achat|Achats]]. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die {{ Zusatz/Klammer |text=verdickten| |ISZ=|ESZ= }} Fasern der Lichtabbildung. |Autor= |Benutzer=Hgrobe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbemerkung |Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition|| }} Häufig wird auch der an {{math|term=P|SZ=}} angelegte {{ Definitionslink |affine Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | P+ {{op:Kern|{{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || {{Mengebed|P+v|{{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von {{math|term=V|SZ=,}} da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man {{Stichwort|affin-lineare Unterräume|SZ=.}} Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} besitzt die Dimension {{mathl|term=n-m|SZ=.}} Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an {{math|term=P|SZ=}} sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von {{math|term=P|SZ=}} auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine {{Stichwort|lineare Approximation|SZ=}} der Faser. {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x hoch y/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über die injektive Abbildung}} Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Satz über die injektive Abbildung/Fakt|Satz|| || }} {{Fußnotenliste}} }} q8skgl4gejaf11tlgsinjz6heleckzm 0 51393 766726 302306 2022-08-15T12:54:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{Symbolalphabet}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Symbolalphabet erster Stufe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}} |Ausdrücke| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} seien Variablen. Dann gilt unter der Bedingung, dass {{math|term=y|SZ=}} weder in {{math|term=\forall x p|SZ=}} noch in {{math|term=q|SZ=}} frei vorkommt die folgende Regel: Aus {{ math/disp|term= \vdash q \rightarrow p \frac{y}{x} |SZ= }} folgt {{ math/disp|term= \vdash q \rightarrow \forall x p |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Alleinführung im Sukzedens |Definitionsname=Alleinführung im Sukzedens |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f0909xbk3f7zjlyqn5rc56iwhmal39a 10 51799 766674 306934 2022-08-15T12:10:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term={{{R|R}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ mathkor|term1= {{{M|M}}} |und|term2= {{{N|N}}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name={{{\varphi|\varphi}}} |{{{M|M}}}|{{{N|N}}} || |SZ= }} ein {{{zusatz1|}}} {{ Definitionslink |Prämath= |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7exzl2few8o6snb57u4lfm92th0yzrb 106 52792 766739 619446 2022-08-15T13:07:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kapitelnummer|2| Elemente in allgemeinen Moduln können im Gegensatz zu Vektoren manchmal durch Multiplikation eines von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenen Ringelementes annulliert werden. Dies führt zu folgenden Definitionen. {{ inputdefinition |Kommutative_Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Ideale_sind_Untermoduln_des_Ringes/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Annullator}} {{ inputdefinition |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Annullator/Definition|| }} Die Annullatoren {{mathl|term=\operatorname{Ann}_R(x)|SZ=}} und {{mathl|term=\operatorname{Ann}_RM|SZ=}} sind Ideale, weil Vielfache und Summen von annullierenden Elementen ebenfalls annullieren. Aus der Definition folgt direkt {{mathl|term=\operatorname{Ann}_RM {{=}} \bigcap_{x\in M}\operatorname{Ann}_R(x)|SZ=}} und die Beziehung {{mathl|term=\operatorname{Ann}_RR/I {{=}} I|SZ=}} für ein Ideal {{math|term=I|SZ=}} im kommutativen Ring {{math|term=R|SZ=}} ist auch klar. Für von einem Element erzeugte Ideale {{mathl|term=Rx_1|SZ=}} lässt sich auch {{mathl|term=Rx_1 \cong R/\operatorname{Ann}_R(x_1)|SZ=}} leicht nachvollziehen. Nun sollen ein paar einfache Zusammenhänge zum Annullator festgehalten werden. {{ inputfaktbeweis |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Direkte Summe/Annullator_Schnittmenge/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Restklassenmodul/Annullator/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Torsion}} {{ inputdefinition |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionselement/Definition|| }} Gegeben ein Torsionselement {{math|term=x|SZ=}} ist für alle {{math|term=r\in R|SZ=}} auch {{math|term=rx|SZ=}} Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch Summen von Torsionselementen sind wieder Torsionselemente, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung. {{ inputdefinition |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsuntermodul/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsmodul/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative_Algebra/Modultheorie/Torsionsfrei/Definition|| }} Über einem {{ Definitionslink |Prämath= |nullteilerfreien| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Ring ist daher trivialerweise jeder {{ Definitionslink |Prämath= |torsionsfreie| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Umkehrung gilt jedoch nicht. }} [[Kategorie:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Textabschnitte]] l5iqx6w7e20vquxh4shkdukue6hogsq 2 53235 768067 510544 2022-08-16T10:00:50Z Arbota 36910 Ersetzung; kosmetische Änderungen wikitext text/x-wiki == Mathematik für Anwender II == === Beispiel Klausuraufgaben === ==== Lineares Anfangswertproblem ==== {{Lineares Differentialgleichungssystem/3/Homogen/Anfangswertproblem/Aufgabenform|8|2|4|0|10|0|0|1|4|3|1|0|SZ=.}} ===== Lösung ===== Aus der homogenen DGL in der zweiten Zeile folgt {{ math/disp|term= v_2(t) =ae^{10t} |SZ=, }} mit {{mathl|term=a=1|SZ=}} aus {{mathl|term=1=ae^{10\cdot0}|SZ=}}. <br /><br /> Dann ergibt sich aus der dritten Zeile die inhomogene DGL {{ math/disp|term= v_3'(t) =4v_3 + e^{10t} |SZ=. }} Der homogene Teil lässt sich wieder in einem Schritt mit {{mathl|term=a(t)=e^{4t}|SZ=}} bestimmen. Nun folgt: {{ Ma:Vergleichskette/disp | c(t) ||\int {{op:Bruch| e^{10t} | e^{4t} }}\,dt ||\int e^{6t} \,dt ||\frac{1}6e^{6t}+c \text{ mit } c \in \R |SZ= }} Also {{ Ma:Vergleichskette/disp | v_3(t) ||e^{4t} \cdot (\frac{1}6e^{6t}+c) ||\frac{1}6e^{10t}+ce^{4t} }} mit der Anfangsbedingung {{mathl|term=0=\frac{1}6e^0+ce^0 \Leftrightarrow c=-\frac{1}6|SZ=}}. <br /><br /> Abschließend kommt die erste Zeile {{ math/disp|term= v_1'(t) = 8v_1 + 2e^{10t} + 24(e^{10t}-e^{4t}) v_1'(t) = 8v_1 + \frac{8}3e^{10t} + -\frac{2}3e^{4t} |SZ=. }} Homogener Teil {{mathl|term=a(t)=e^{8t}|SZ=}}. Damit wird wieder c(t) bestimmt {{ Ma:Vergleichskette/disp | c(t) ||\int {{op:Bruch| \frac{8}3e^{10t} - \frac{2}3e^{4t} | e^{8t} }}\,dt ||\int \frac{8}3e^{2t} \,dt - \int \frac{2}3e^{-4t} \,dt ||\frac{4}3e^{2t}+\frac{1}6e^{-4t}+c |SZ= }} und mit {{mathl|term=a(t)\cdot c(t)|SZ=}} {{ math/disp|term= v_1(t) = \frac{4}3e^{2t} + \frac{1}6e^{-4t} + c \cdot e^{8t} }} berechnet. Für die Anfangsbedingung gilt {{mathl|term=3=\frac{4}3+\frac{1}6+c \Leftrightarrow c=\frac{3}2|SZ=}}. <br /><br /> Als Lösung ergibt sich aus allen drei Zeilen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|v_1(t)|v_2(t)|v_3(t) }} || {{op:Spaltenvektor|\frac{4}3e^{2t}+\frac{1}6e^{-4t}+\frac{3}2e^{8t} | e^{10t} | \frac{1}6 \cdot (e^{10t}-e^{4t}) }} |SZ=. }} <br /> ==== Rotationskörper ==== Berechne das Volumen des Rotationskörpers <math>K_G</math>, der entsteht, wenn man den Bereich zwischen den beiden Funktionen {{Ma:abbele/disp |name=f_1 | \R|\R |x|{e^x} }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_2 | \R|\R |x|1 }} mit den Grenzen 0 und 2 um die x-Achse dreht. ===== Lösung ===== Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^3(K_1) ||\pi \cdot {{op:Integral|0|2|grand=(e^x)^2||x}} ||\pi \cdot {{op:Integralstamm|0|2| (\frac 12 e^{2x}) }} ||\frac {\pi}2 \cdot (e^4 - 1) }} ist der Rotationskörper der Exponentialfunktion bestimmt. Aus der gleichen Formel ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^3(K_2) ||\pi \cdot {{op:Integral|0|2|grand=1^2||x}} ||\pi \cdot {{op:Integralstamm|0|2| (x) }} ||2\pi }} Daraus folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^3(K_G) ||\lambda^3(K_1) - \lambda^3(K_2) ||\frac {\pi}2 \cdot (e^4 - 1) - 2\pi ||\pi \cdot (\frac {1}2e^4 - \frac {5}2) |SZ=. }} <br /> ==== Taylor Polynom ==== {{Taylor-Polynom/Mehrdimensional/Aufgabenform|\R^2|\R|f(x,y)|{{op:exp|(x^3-y)|}} |2 |SZ=,}} im Punkt {{mathl|term=P=(2,1)|SZ=.}} ===== Lösung ===== Für die 0.Ordnung gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|0!}}e^7 \cdot 1 || e^7 |SZ=. }} Nun alle partiellen Ableitungen im Punkt P für {{mathl|term=\mid r\mid=1|SZ=}} bestimmen: {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|f|x}} = 3x^2 \cdot e^{x^3-y} | |term2= {{op:Partielle Ableitung|f(P)|x}} = 12 e^{7} |SZ=, }} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung|f|y}} = -e^{x^3-y} | |term2= {{op:Partielle Ableitung|f(P)|y}} = -e^7 |SZ=. }} Somit ergibt sich für das Taylor-Polynom der 1. Ordnung {{ math/disp|term= e^7 + 12e^7 x - e^7y |SZ=. }} Weiter mit der 2. Ordnung {{mathl|term=(\mid r\mid=2)|SZ=}}: {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f|y}} = -3x^2 e^{x^3-y} | |term2= {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f(P)|y}} = -12e^7 |SZ=, }} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f|x}} = 3x(3x^3+2)e^{x^3-y} | |term2= {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung|f(P)|x}} = 156e^7 |SZ=und }} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung|f|y}} = e^{x^3-y} | |term2= {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung|f(P)|y}} = e^7 |SZ=. }} Aus {{ math/disp|term= -12e^7xy |SZ=, }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} \cdot 156e^7x^2 |SZ= und }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} \cdot e^7y^2 |SZ= }} und den vorherigen Berechnungen folgt dann die Lösung für die gesuchte quadratische Approximation: {{ math/disp|term= e^7 + 12e^7 x - e^7y - 12e^7xy + 78e^7x^2 + {{op:Bruch|1|2}} e^7y^2 |SZ=. }} <br /> ==== Charakteristisches Polynom ==== Bestimme{{n Sie}} das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von der linearen Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=f |\R^3|\R^3 || |SZ=, }} die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix {{ math/disp|term= A= {{op:Matrix33|3|-4|2|0|2|3|0|5|1}} |SZ= }} beschrieben wird. ===== Lösung ===== Das charakteristische Polynom wird mit {{ math/disp|term= P_A(x)= {{op:det|{{op:Matrix33|3-x|-4|2|0|2-x|3|0|5|1-x}}|}} = x^3-6x^2-4x+39 |SZ= }} bestimmt. Um die Eigenwerte über die Nullstellen des charak. Polynoms zu berechnen wird nach der ersten Spalte entwickelt und erhält so {{ math/disp|term= P_A(x)= (3-x) {{op:det|{{op:Matrix22|2-x|3|5|1-x}}|}} |SZ=. }} Die erste Nullstelle {{mathl|term=x_1=3|SZ=}} lässt sich direkt ablesen. Nun den rechten Faktor ausmultiplizieren: {{ math/disp|term= {{op:det|{{op:Matrix22|2-x|3|5|1-x}}|}} = x^2-3x-13 |SZ=. }} Um die weiteren Nullstellen zu berechnen kann die p,q-Formel mit {{mathl|term=p=-3|SZ=}} und {{mathl|term=q=-13|SZ=}} verwendet werden. So ergibt sich {{ math/disp|term= x_{2,3} = {{op:Bruch|3|2}} \pm \sqrt{{{op:Bruch|9|4}}+13} = {{op:Bruch|3|2}} \pm {{op:Bruch|\sqrt{61}|2}} |SZ=. }} Alle drei Eigenwerte sind also {{ math/disp|term= x_1=3\text{, } x_2={{op:Bruch|3|2}} + {{op:Bruch|\sqrt{61}|2}}\text{, } x_3={{op:Bruch|3|2}} - {{op:Bruch|\sqrt{61}|2}} |SZ=. }} <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> === Aufgabe 34.12 / Aufgabe 34.16 === [[Karussell/Doppeldrehung/Radius 10 und 3/Umlaufzeit 8 und 2/Gleichläufig/Animation/Aufgabe]] <br />Abgabegruppe F [[Datei:Karussell_klein.gif|gerahmt|400px|links|Gleichläufige Kreisbewegungen<br /> Großer Kreis: r=10 a=8; Kleiner Kreis: r=3 a=2]] <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> <br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /> <br /><br /><br /><br /><br /> irgendwas stimmt da nicht, da sich in der Aufgabe der kleine Kreis viermal dreht, wenn sich der große einmal dreht. In der Animation dreht er sich aber nur gut zweimal.--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:28, 2. Mai 2012 (CEST)<br /> Ist nun korrekt. Ich habe den kleinen Kreis irrtümlicherweise alle 3 Sekunden um sich selbst drehen lassen. --[[Benutzer:Shoetten|Shoetten]] ([[Benutzer Diskussion:Shoetten|Diskussion]]) 12:36, 4. Mai 2012 (CEST) :So ist es gut--[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 17:59, 8. Mai 2012 (CEST) lj0c3ltqh00zf3fy5mwgd1lo0h98nmu 10 53363 766655 314175 2022-08-15T12:07:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{{R|R}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term={{{M|M}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Modultheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9v2kn7z2ub5wmp03q4iedojg1py8hk 106 54865 766785 443675 2022-08-15T13:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Operationen}} Eine Operation einer Gruppe {{math|term=G|SZ=}} auf einer {{ Zusatz/Klammer |text=geometrischen| |ISZ=|ESZ= }} Menge {{math|term=M|SZ=}} ist das gleiche wie ein Gruppenhomomorphismus der Gruppe in die Permutationsgruppe des geometrischen Objektes. Häufig betrachtet man nur solche Operationen, deren zugehörige Permutationen {{Stichwort|Automorphismen|SZ=}} sind, also die relevanten geometrischen Eigenschaften des Objektes respektieren. Bei einer Operation auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird man beispielsweise fordern, dass die Automorphismen {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismen| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Wenn das geometrische Objekt ein Vektorraum ist, so interessiert man sich insbesondere für die linearen Automorphismen. {{:Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Darstellungstheorie}} Eine lineare Operation einer Gruppe auf einem Vektorraum nennt man auch eine Darstellung der Gruppe. In der Darstellungstheorie steht die Frage im Mittelpunkt, auf wie viele {{ Zusatz/Klammer |text=wesentlich verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} Arten eine bestimmte Gruppe auf einem Vektorraum operieren kann. Mit dieser Kenntnis kann man sowohl die Gruppe selbst als auch ihre Operationen besser verstehen. {{:Gruppe/Darstellungstheorie/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Charaktere}} {{:Charaktere/Monoid und Gruppe/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=Ein Charakter einer Gruppe ist nichts anderes als eine eindimensionale Darstellung.}} {{Zwischenüberschrift|term=Darstellungen der zyklischen Gruppe}} {{:Zyklische Gruppe/Darstellungstheorie/Beispiele/Textabschnitt|zusatz1= {{ Zusatz/Klammer |text=also ein Charakter| |ISZ=|ESZ= }}}} {{ inputfaktbeweis |Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Diagonalisierbar/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endliche zyklische Gruppe/Darstellung/Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakteristik 0/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste}} }} icz9ssbgeb4gu6vm8oqyr4ico1hsd1p 106 54866 766786 373473 2022-08-15T13:46:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Induzierte Darstellungen}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Gruppe/Lineare Operation/Induzierte Operationen/Fakt|Proposition|| |zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Diese Konstruktion lag schon {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Dreiecke/Kongruenzen/Einführung in Invariantentheorie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zugrunde| |ISZ=.|ESZ= }} || }} {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Operationen und der Polynomring}} {{:Gruppe/Lineare Operation auf Vektorraum/Polynomring/Einführung/Textabschnitt |zusatz1=Abgesehen von diesem Invertieren ist diese Operation der {{math|term=S_n|SZ=}} auf dem Polynomring nichts anderes als die in der ersten Vorlesung besprochene Operation. |zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Die Formulierung {{Anführung|in natürlicher Weise}} kann man an dieser Stelle gut erläutern. Die angesprochene {{math|term=\N|SZ=-}}Graduierung von {{mathl|term=K[V]|SZ=}} besteht unabhängig und ohne Bezug auf eine Basis. Man kann einen Polynomring auch mit einer {{math|term=\Z^n|SZ=-}}Graduierung versehen, doch ist dies abhängig von einer gewählten Basis| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Invariantenringe}} Da eine Operation einer Gruppe von links auf einem geometrischen Objekt in natürlicher Weise zu einer Operation von rechts auf dem Ring der Funktionen führt, werden wir im Folgenden die Operationen auf einem Ring generell von rechts schreiben. {{:Invariantenringe/Algebra/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|}} {{ inputfaktbeweis |Lineare Gruppenoperation/Invariantenring/Graduiert/Fakt|Lemma|| || }} In diesem Fall ist also die Bestimmung des Fixringes gleichbedeutend mit der Bestimmung des {{ Definitionslink |Prämath= |Fixraumes| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term=K[V]_d|SZ=}} für jedes {{mathl|term=d \in \N|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Einheitswurzeln/Skalare Multiplikation/Eindimensional/Invariantenring/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Symmetrische Gruppe/Invariantenring/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Lineare Operation/Invariantes Polynom/Invariante Funktion/Bemerkung| |zusatz1=Wir werden später sehen, dass es zu jedem kommutativen Ring einen topologischen Raum gibt, auf dem man Elemente des Invariantenringes zu einer Gruppenoperation als invariante Abbildungen auffassen kann. }} {{ inputbeispiel |F p/Variablenvertauschung/xy^p-x^py/Funktional invariant/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} fu6mvxkypl7ylwi44l64ezvdnhzheet 106 54869 766787 519711 2022-08-15T13:46:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|7| Wir haben schon vereinzelt die Standardgraduierung auf dem Polynomring verwendet. In dieser Vorlesung führen wir graduierte Ringe allgemein ein und erläutern den engen Zusammenhang zwischen Graduierungen und Gruppenoperationen von kommutativen Gruppen. {{Zwischenüberschrift|term=Graduierungen}} {{:Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Einführung/Textabschnitt| |zusatz2=Durch einen {{ Zusatz/Klammer |text=surjektiven| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z^n|D || |SZ= }} kann man aus der feinen Graduierung des Polynomrings wiederum {{Anführung|gröbere Graduierungen|SZ=}} gewinnen. In {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird diese Konstruktion eingesetzt. }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Beliebige Gruppe/Grad 0 Ring/Direkter Summand/Fakt|Lemma|| |R=A| }} Wir nennen die Stufe {{math|term=A_0|SZ=}} auch die {{Stichwort|neutrale Stufe|SZ=}} des graduierten Ringes. {{Zwischenüberschrift|term=Homogene Ideale}} {{:Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Homogenes Ideal/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Graduierungen und Gruppenoperationen}} Wir kommen nun zu der Beziehung zwischen {{math|term=D|SZ=-}}Graduierungen und Operationen der Charaktergruppe {{mathl|term= {{op:Charakterdual|D|}} |SZ=.}} {{:Graduierte kommutative Ringe/Beliebige Gruppe/Beziehung zur Charaktergruppe/Textabschnitt}} Wir besprechen abschließend zwei wichtige Beispiele für Invariantenringe, die die sogenannten {{math|term=A|SZ=-}} bzw. die {{math|term=D|SZ=-}}Singularitäten repräsentieren. {{ inputbeispiel |Einheitswurzel/xy-z^n/Graduierung/Beispiel|| }} Im vorstehenden Beispiel haben wir einen surjektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)|K[U^n,V^n,UV] {{=}} K[U,V]^G || |SZ=. }} Dies ist in der Tat ein Isomorphismus, d.h. {{mathl|term=XY=Z^n|SZ=}} ist die einzige relevante Gleichung. Dies liegt daran, dass das Polynom {{mathl|term=XY-Z^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dadurch der Restklassenring {{mathl|term=K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Die Übereinstimmung mit dem Invariantenring folgt nun aus der Dimensionstheorie, die wir aber nicht systematisch entwickeln werden. Jedenfalls ist dieser Restklassenring und der gesuchte Invariantenring zweidimensional, so dass sie übereinstimmen müssen. }} gubmkme25jt7qv741o5q62ptfxh4sam 106 54873 766781 528020 2022-08-15T13:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|11| {{Zwischenüberschrift|term=Ganzheit}} In der nächsten Vorlesung werden wir sehen, dass bei einer endlichen Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert, der Ring ganz über seinem Invariantenring ist, wodurch eine enge Beziehung zwischen diesen beiden Ringen gestiftet wird. Hier führen wir die Ganzheit und verwandte Begriffe ein. {{:Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Ganzheit und Endlichkeit}} Eng verwandt mit der Ganzheit {{mathl|term=A \subseteq B|SZ=}} ist die Endlichkeit der Algebra {{math|term=B|SZ=}} über {{math|term=A|SZ=,}} die einfach bedeutet, dass {{math|term=B|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=A|SZ=-}}Modul ist. {{:Kommutative Ringtheorie/Ganzheit und Endlichkeit/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Normale und faktorielle Integritätsbereiche}} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition|| }} Wichtige Beispiele für normale Ringe werden durch faktorielle Ringe geliefert. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt|Lemma|| || }} Der Polynomring über einem Körper ist faktoriell, was wir aber nicht beweisen werden. {{inputfaktbeweis|Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt|Satz|}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition|}} }} chj39siqlgqj8oop6jm9b3iasmoi215 106 54875 766782 532123 2022-08-15T13:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|13| {{ inputbild |Alexander Grothendieck|jpg| 180px {{!}}thumb {{!}} |epsname=Alexander_Grothendieck |Text=[[w:Alexander Grothendieck|Alexander Grothendieck (1928-2014)]] |Autor=Konrad Jacobs |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA 2.0 |Bemerkung=Quelle=Oberwolfach Photo Collection (http://owpdb.mfo.de/detail?photoID=1452) }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Spektrum eines kommutativen Ringes}} Bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Gruppe {{math|term=G|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} haben wir einerseits die Operation auf dem geometrischen Objekt, nämlich dem Vektorraum, und andererseits die Operation auf dem zugehörigen Polynomring als Gruppe von Ringautomorphismen. Es ist wünschenswert, zu einer solchen algebraischen Operation auf einem beliebigen kommutativen Ring auch eine geometrische Interpretation zu besitzen. Dieses {{ Zusatz/Klammer |text=und vieles andere| |ISZ=|ESZ= }} leistet das {{Stichwort|Spektrum|SZ=}} eines kommutativen Ringes. {{:Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=Vor der nächsten Aussage erinnern wir an die {{ Zusatz/Klammer |text=Quasi| |ISZ=|ESZ=- }}Kompaktheit von topologischen Räumen: {{:Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition|opt=Text}} Häufig spricht man von kompakt nur, wenn der Raum neben dieser Überdeckungseigenschaft auch hausdorffsch ist, und nennt dann die Überdeckungseigenschaft die Quasikompaktheit.}} Auch wenn ein beliebiger endlichdimensionaler {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]|SZ=}} vorliegt, so erhält man eine natürliche Einbettung {{ Ma:Vergleichskette/disp |V |\subseteq| {{op:Spek|K[V]|}} || || || |SZ=. }} Einem Vektor {{mathl|term=v \in V|SZ=}} ist das maximale Ideal {{mathl|term= {{mengebed|f \in K[V]|f(v) {{=}} 0}} |SZ=}} zugeordnet. Dieses wird von den in {{math|term=v|SZ=}} verschwindenden Linearformen erzeugt. Als Variante erwähnen wir noch das {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum. {{ inputdefinition |K-Algebra/L-Spektrum/Definition|| }} Dies Bezeichnung wird insbesondere bei {{mathl|term=L=K|SZ=}} verwendet. Wenn man zu einer {{math|term=K|SZ=-}}Algebra {{math|term=R|SZ=}} das affine Schema als {{mathl|term=X= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} bezeichnet, so schreibt man auch {{mathl|term=X(L)|SZ=}} für das {{math|term=L|SZ=-}}Spektrum und spricht von der Menge der {{math|term=L|SZ=-}}{{Stichwort|wertigen Punkte|msw=wertiger Punkt|SZ=.}} Wenn {{math|term=K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und {{math|term=R|SZ=}} vom endlichen Typ über {{math|term=K|SZ=}} ist, so besteht {{mathl|term=X(K)|SZ=}} genau aus den maximalen Idealen von {{math|term=R|SZ=.}} }} iquj9xbih5kp84eb7bdiqdtysbkk4ex 106 54877 766783 373768 2022-08-15T13:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Operationen auf dem Spektrum}} {{:Operation/Ring und Spektrum/Linear/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Quotient und Invariantenring bei endlichen Gruppen}} {{:Invariantentheorie/Endliche Gruppe/Beschreibung des Quotienten/Textabschnitt|zusatz1=Für die nächste Aussage über die Fasern und Bahnen bei einer endlichen Gruppenoperation benötigen wir das Lemma über die {{Stichwort|Primvermeidung|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Primideal/Vermeidung/Fakt|Lemma|| || }}|}} Aus den vorstehenden Aussagen folgt insbesondere, dass die Fasern der Spektrumsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|R|}} | {{op:Spek|R^G|}} || |SZ= }} aus endlich vielen Elementen bestehen, und zwar ist deren Anzahl maximal gleich der Anzahl der Elemente der Gruppe {{math|term=G|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Quotient und Invariantenring allgemein}} Wenn die Gruppe nicht endlich ist, so ist das Spektrum des Invariantenringes im Allgemeinen nicht der Quotient der Gruppenoperation. Es ist ein eigenständiges, umfassendes Problem, den Quotienten zu einer algebaischen Gruppenoperation zu bestimmen, die unter der Bezeichnung {{Stichwort|geometrische Invariantentheorie|SZ=}} firmiert. Zwar existiert stets der Bahnenraum, der mit der Bildtopologie versehen der Quotient in der Kategorie der topologischen Räume ist, doch wünscht man sich auch eine algebraische Struktur auf dem Quotienten {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise möchte man über {{Anführung|polynomiale Funktionen}} auf dem Quotienten sprechen können| |ISZ=|ESZ=. }} Schon einfache Beispiele zeigen, dass man einen sinnvollen algebraisch-geometrischen Quotienten nur erwarten kann, wenn man die Operation auf eine offene {{ Zusatz/Klammer |text=möglichst große| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge einschränkt. Um den Quotienten zu beschreiben reichen die affinen Varietäten nicht aus, und nur solche kann man über Invariantenringe gewinnen. Stattdessen muss man in der Kategorie der quasiprojektiven Varietäten bzw. der Schemata einen Quotienten konstruieren. {{ inputbeispiel |Affiner Raum/Skalare Multiplikation/Quotient der Gruppenoperation/Projektiver Raum/Beispiel|| }} Dennoch besitzt das Spektrum des Invariantenringes viele Eigenschaften, die man auch von einem Quotienten erwartet. Z.B. ist die Spektrumsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spec|R|}} | {{op:Spec|R^G|}} || |SZ= }} surjektiv, wenn {{math|term=R^G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direkter Summand| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=}} ist, wenn also ein {{ Definitionslink |Prämath= |Reynolds-Operator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} existiert. Dies ist nicht nur bei endlichen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht modularen| |ISZ=|ESZ= }} Gruppen der Fall, sondern auch bei Operationen {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbarer Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die den {{ Definitionslink |Prämath= |Graduierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} entsprechen, und allgemeiner bei den sogenannten {{ Definitionslink |Prämath= |linear-reduktiven Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir später einführen werden. {{ inputfaktbeweis |Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt|Lemma|bv=2 || }} Das folgende Beispiel, das an {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Erzwingende Algebra/Parameter auf Polynomring/Affine Gerade/Kein Reynoldsoperator/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} anschließt, zeigt, dass die Spektrumsabbildung zum Invariantenring zu einer Operation der additiven Gruppe {{mathl|term=(K,+)|SZ=}} nicht surjektiv sein muss. {{ inputbeispiel |Erzwingende Algebra/SL_2K/Operation der affinen Geraden/Spektrumsabbildung nicht surjektiv/Beispiel|| }} }} nseituz2xe2kx3hzfrdgz6ttzmtsywd 106 54885 766784 585820 2022-08-15T13:46:28Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesungsgestaltung|23| In den folgenden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{op:SLG|2|{{CC}} }} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Konjugation| |ISZ=|ESZ= }} und die zugehörigen Invariantenringe {{mathl|term=K[U,V]^G|SZ=}} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren {{ Zusatz/Klammer |text=also die Bahnenräume| |ISZ=|ESZ= }} nennt man {{Stichwort|ADE-Singularitäten|SZ=.}} Von Singularitäten spricht man, da diese Invariantenringe keine Polynomringe sind, also nicht {{Anführung|regulär}} sind. Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im {{math|term=\R^3|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Eine Liste von Untergruppen der {{mathlk|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}}}} Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=.}} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist. {{:Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Liste/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Untergruppen der speziellen unitären Gruppe}} In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} sind die {{ Zusatz/Klammer |text=erzeugenden| |ISZ=|ESZ= }} Matrizen von der Form {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|u|- {{op:Komplexe Konjugation|v|}}|v| {{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} |SZ=, }} d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Kontext=komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{math|term={{CC}}^n|SZ=}} ist durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|w|z}} || \sum_{i {{= }} 1}^n w_i {{op:Komplexe Konjugation|z_i|}} || || || |SZ= }} definiert. Eine lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=f |{{CC}}^n|{{CC}}^n || |SZ= }} heißt {{Stichwort|unitär|SZ=,}} wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|f(w)|f(z)}} || {{op:Skalarprodukt|w|z}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |w,z | \in | {{CC}}^n || || || |SZ= }} gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen. {{ inputdefinition |C^n/Skalarprodukt/Unitäre Gruppe/Definition|| }} {{ inputdefinition |C^n/Skalarprodukt/Spezielle unitäre Gruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt|Lemma|| || }} }} 3el6oc4kv45e80z4e6rimuvdnw2oa5s 106 54904 766780 663506 2022-08-15T13:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Verhalten von Primidealen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reduktion/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Mehrere Variablen/Fasern der Spektrumsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RX in CX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem {{math|term={{CC}}|SZ=-}}Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt. {{ inputaufgabe |C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/C nach C/Ganz/Urbild beschränkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/C/Mehrere Variablen/Ganz/Urbild beschränkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung {{math|term=F|SZ=}} {{ Definitionslink/- |Prämath= |eigentlich| |Kontext=stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass {{math|term=F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Polynomring/Kein going up/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monomiale Kurve/Normalisierung/Spektrumsabbildung/Homöomorphie/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Fasern endlich/Fakt/Beweis/Aufgabe|3| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |QX in RX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|5| |zusatz= |tipp= }} }} 3i2q13p4pecbjanoqukq3ca9cwauu9u 106 55672 766742 660409 2022-08-15T13:09:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Sei {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times V|G || |SZ= }} eine lineare Operation auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} Dies liefert eine Operation von {{math|term=G|SZ=}} auf dem Polynomring {{mathl|term=K[V]|SZ=}} durch die Verknüpfung {{mathl|term=(f,\sigma) \mapsto f \circ \sigma|SZ=,}} also in natürlicher Weise eine Operation von rechts. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Gruppenoperation/Invariantenring/Definition|| }} Das ist in der Tat wieder ein Ring, ein Unterring von {{math|term=R|SZ=.}} Die {{math|term=0|SZ=}} und die {{math|term=1|SZ=}} sind invariant, da alle {{mathl|term=\sigma\in G|SZ=}} als Ringautomorphismen operieren. Ebenso ist mit invarianten Funktionen {{mathl|term=f,g \in R^G|SZ=}} auch das Negative {{math|term=-f|SZ=,}} deren Summe {{mathl|term=f+g|SZ=}} und deren Produkt {{mathl|term=fg|SZ=}} invariant. {{Zwischenüberschrift|term=Die Operation der symmetrischen Gruppe - Symmetrische Polynome}} Die symmetrische Gruppe {{math|term=S_n|SZ=}} ist die Gruppe der Permutation auf der Menge {{mathl|term=I=\{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=,}} also {{ math/disp|term= S_n={{Mengebed|\sigma:I\rightarrow I|\sigma \text{ Bijektion} }} |SZ= }} mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben, {{ math/disp|term= \begin{pmatrix} 1 & \ldots & n\\ \sigma(1) & \ldots &\sigma(n) \end{pmatrix} |SZ=. }} {{math|term=S_n|SZ=}} ist eine Gruppe mit {{math|term=n!|SZ=}} Elementen. Die Permuationsgruppe {{math|term=S_n|SZ=}} operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf {{math|term=K^n|SZ=}} wie folgt: Der {{math|term=i|SZ=-}}te Basisvektor {{math|term=e_i|SZ=}} wird auf {{mathl|term=e_{\sigma(i)} |SZ=}} geschickt, also {{mathl|term=e_i\mapsto e_{\sigma(i)}|SZ=.}} Dies definiert {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Automorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\sigma |K^n|K^n || |SZ=, }} den wir ebenfalls mit {{math|term=\sigma|SZ=}} bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch eine sogenannte {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben. Dazu sei {{math|term=E_{ij}|SZ=}} diejenige Matrix, die genau an der Stelle {{math|term=ij|SZ=}} eine {{math|term=1|SZ=}} und sonst überall eine {{math|term=0|SZ=}} als Eintrag besitzt. Dann ist die zu {{math|term=\sigma|SZ=}} gehörende Permutationsmatrix gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | E_\sigma ||\sum^n_{i {{=}} 1}E_{i \sigma(i)} || || || |SZ=. }} Sie hat also in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine {{math|term=1|SZ=}} stehen. Die Matrix ist im gewissen Sinn der Graph der Permutation. Damit operiert die Permutationsgruppe {{math|term=S_n|SZ=}} auf dem {{math|term=K^n|SZ=.}} Wie sehen die Bahnen aus? Die Bahn zu einem {{math|term=n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|a_1| \ldots| a_n|}} \in K^n|SZ=}} besteht aus allen Permutationen des Tupels. Eine Permutationsmatrix lässt sich {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisieren| |Kontext=lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn der Körper hinreichend viele {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält. Dabei kann man sich auf eine Permutationsmatrix beschränken, die durch einen Zykel gegeben ist, der also {{mathl|term=e_1\mapsto e_2,\, e_2\mapsto e_3,\,\ldots,e_k \mapsto e_1|SZ=}} sendet. Die zugehörige Matrix auf dem durch die {{mathl|term=e_1 {{kommadots|}} e_k|SZ=}} erzeugten {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist dann {{ math/disp|term= \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & 1\\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ & & \ldots & &\\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \end{pmatrix} |SZ=. }} Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Fixgerade| |ISZ=|ESZ= }} ist gegeben durch {{mathl|term=e_1 {{plusdots|}} e_k|SZ=.}} Jede {{math|term=k|SZ=-}}te Einheitswurzel {{mathl|term=\zeta \in K|SZ=}} liefert einen Eigenvektor zum Eigenwert {{mathl|term=\zeta^{k-1}=\zeta^{-1}|SZ=,}} nämlich {{ math/disp|term= e_1+\zeta e_2+\zeta^2e_3 {{plusdots|}} \zeta^{k-1}e_k |SZ=, }} denn dieser Vektor wird durch die Permutationsmatrix auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_2+\zeta e_3+\zeta^2e_4 {{plusdots|}} \zeta^{k-1}e_1 ||\zeta^{-1} {{makl| e_1+\zeta e_2+\zeta^2e_3 {{plusdots|}} \zeta^{k-1}e_k |}} || || || |SZ= }} abgebildet. Die Operation der Permutationsgruppe auf {{math|term=K^n|SZ=}} induziert eine Operation der Permutationsgruppe auf dem Polynomring {{mathl|term=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|SZ=}} durch {{mathl|term=\sigma(X_i) {{defeq|}} X_{\sigma^{-1}(i)}|SZ=.}} Diese Wahl begründet sich dadurch, dass {{math|term=\sigma|SZ=}} aus der Koordinatenfunktion {{math|term=X_i|SZ=}} die Hintereinanderschaltung {{ math/disp|term= K^n\stackrel{\sigma}{\longrightarrow} K^n\stackrel{X^i}{\longrightarrow}K |SZ= }} machen soll. Aus einem beliebigen Polynom {{math|term=F|SZ=}} macht die Operation {{ math/disp|term= \sigma(F)=F(\text{ersetze } X_i\text{ durch }X_{\sigma^{-1}(i)}) |SZ=. }} Was sind die invarianten Polynome? Ein Polynom ist genau dann invariant unter dieser Operation der symmetrischen Gruppe, wenn sich {{math|term=F|SZ=}} bei keiner Variablenvertauschung ändert. Diese heißen {{Stichwort|symmetrische Polyome|msw=symmetrisches Polynom|SZ=.}} {{ inputdefinition |Symmetrisches Polynom/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Symmetrische Polynome/Kleine Dimensionen/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Elementar-symmetrische Polynome/Definition|| }} Die elementar-symmetrischen Polynome treten in folgender Situation auf. {{ inputbemerkung |Elementar-symmetrische Polynom/Produkt von allgemeinen Linearfaktoren/Bemerkung|| }} Mit Hilfe der elementar-symmetrischen Polynomen kann man nun einfach alle symmetrischen Polynome in eindeutiger Form schreiben. Dies ist der Inhalt des {{Stichwort|Hauptsatzes über symmetrische Polynome|msw=Hauptsatz über symmetrische Polynome|SZ=.}} Für den Beweis benötigen wir den Begriff der {{Stichwort|gradlexikographischen Ordnung|msw=Gradlexikographische Ordnung|SZ=.}} {{:Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt|Satz|| || }} [[Kategorie:Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)|Vorlesung 1]] gm5enwc3wovcff0cgv0uwvlvleuo7wh 14 55784 768278 329169 2022-08-16T11:39:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der graduierten kommutativen Ringe|Veronese |Invariantentheorie (Algebra)|Veronese}} idq4vtft18ko92fgzqgtorrqqd698e8 10 56083 766684 373208 2022-08-15T12:12:29Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{{zusatz1|}}} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} auf {{math|term=V|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tlaakf1c5tota1hon6gbpxxqnlpvrfm 14 56655 768295 333517 2022-08-16T11:41:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der kommutativen Ringe|Hopf |Theorie der affinen Gruppenschemata|Hopf}} sqgx29agrkiv3v77uarv3lts24mtf4c 10 59581 766685 346709 2022-08-15T12:12:39Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term={{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term={{{V|V}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term={{{U|U}}} \subseteq {{{V|V}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ixn7ymndfhmuyhi1vgrx0ccenqo39kj 106 60857 766789 579248 2022-08-15T13:50:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Cauchy-Produkt von Reihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt|Lemma||zusatz1=Klammer |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Potenzreihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition|| }} Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl {{mathbed|term=z \in {{CC}}|bedterm1=z \neq 0|SZ=,}} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man {{math|term=z|SZ=}} variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in {{math|term=z|SZ=}} darstellt. Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt {{math|term=0|SZ=.}} Eine Potenzreihe mit {{Stichwort|Entwicklungspunkt}} {{math|term=a \in {{CC}}|SZ=}} ist ein Ausdruck der Form {{math/disp|term= \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n |SZ=.}} Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe {{mathl|term=\sum_{n=0}^\infty z^n|SZ=,}} die für {{mathl|term= {{op:Betrag|z|}} < 1 |SZ=}} konvergiert und dort die Funktion {{mathl|term=1/(1-z)|SZ=}} darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt. {{Zwischenüberschrift|term=Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}} {{:Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=&nbsp;Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{math/disp|term= {{op:exp|1|}} =1+1+ {{op:Bruch|1|2}}+ {{op:Bruch|1|6}}+ {{op:Bruch|1|24}}+ {{op:Bruch|1|120}} + \cdots |SZ=}} ist, und dass {{mathl|term= {{op:exp|1|}}|SZ=}} mit der früher eingeführten eulerschen Zahl {{math|term=e|SZ=}} übereinstimmt ({{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihendarstellung und Exponentdarstellung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=). }}|zusatz3={{Zusatz/Fußnote|text=Eine Teilmenge {{mathlk|term=T \subseteq {{CC}}}} heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in {{math|term=T |SZ=,}} die in {{math|term={{CC}}|SZ=}} konvergiert, schon in {{math|term=T |SZ=}} konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in {{math|term=\R|SZ=.}}}}|zusatz4=Die folgende Aussage nennt man die {{Stichwort|Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion|SZ=.}} }} {{Zwischenüberschrift|term=Die trigonometrischen Reihen}} {{ inputdefinition |Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition|| }} Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes {{math|term=z|SZ=}} absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen {{ math/disp|term= {{op:cos|z|}} {{defeq|}} {{op:cosinusreihe|z|}} \text{ und } {{op:sin|z|}} {{defeq|}} {{op:sinusreihe|z|}} |SZ= }} heißen {{Stichwort|Kosinus|SZ=}} und {{Stichwort|Sinus|SZ=.}} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen. {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt|Satz||zusatz1={{Zusatz/Fußnote|text=Dies werden wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen. Hier fassen wir nur jeweils zwei aufeinander folgende Reihenglieder zusammen, was aufgrund von {{Aufgabelink|Aufgabeseitenname=Konvergente Reihe/Je zwei Glieder zusammenfassen/Aufgabe}} möglich ist.}} |ref1=|| }} Für reelle {{math|term=z|SZ=}} sind {{ mathkor|term1= {{op:sin|z|}} |und|term2= {{op:cos|z|}} |SZ= }} wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles {{math|term=z|SZ=}} das Paar {{mathl|term= ( {{op:cos|z|}}, {{op:sin|z|}})|SZ=}} ein Punkt auf dem {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=}} {{mathl|term= {{mengebed|(x,y)|x^2+y^2 {{=|}} 1}} |SZ=}} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als {{mathl|term=( {{op:cos|z|}}, {{op:sin|z|}} ) |SZ=}} schreiben lässt, wobei man {{math|term=z|SZ=}} als Winkel (im Bogenmaß) interpretieren kann. Dabei tritt die Periode {{math|term=2 \pi|SZ=}} auf, wobei wir die {{Stichwort|Kreiszahl|SZ=}} {{math|term=\pi|SZ=}} eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden. {{Fußnotenliste}} }} cehvcn0rwm92rf34s014c4zbmdj6smb 106 60863 766790 718139 2022-08-15T13:50:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|term=Konvexe Funktionen}} {{:Konvexe Funktionen/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Wendepunkt/Konvexitätsverhalten/Definition|| }} Für eine zweimal differenzierbare Funktion liegt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbare Funktion/Intervall/Konvexität und zweite Ableitung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} genau dann ein Wendepunkt in {{mathl|term=c \in I|SZ=}} vor, wenn {{mathl|term=f^{\prime \prime} (x) \leq 0|SZ=}} für {{mathl|term=x \in [c - \epsilon, c]|SZ=}} und {{mathl|term=f^{\prime \prime} (x) \geq 0|SZ=}} für {{mathl|term=x \in [c, c + \epsilon ]|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=oder umgekehrt| |ISZ=|ESZ=. }} Eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Wendepunktes ist somit, dass {{mathl|term=f^{\prime \prime} (c) = 0 |SZ=}} ist. Die Funktion {{mathl|term=f(x)=x^4|SZ=}} erfüllt im Nullpunkt dieses notwendige Kriterium, es liegt aber kein Wendepunkt vor. {{Zwischenüberschrift|term=Ableitung von Potenzreihen}} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Potenzreihe/Unendlich oft differenzierbar/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweishier |Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt|Korollar||Beweistext= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die äußeren Gleichheiten sind Definitionen. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= {{opab|ln|1|}} =1 |SZ=.}} Dies bedeutet aufgrund der Definition des {{ Definitionslink |Differentialquotienten| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} insbesondere {{ math/disp|term= {{op:Folgenlimes||Glied= \frac{ {{op:ln| (1+\frac{1}{n})|}} }{\frac{1}{n} } }} =1 |SZ=. }} Wir schreiben die Folgenglieder der linken Seite als {{mathl|term= n \cdot {{op:ln| {{makl| 1+\frac{1}{n} }} |}} |SZ=}} und wenden darauf die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an. Daraus ergibt sich unter Verwendung der {{ Faktlink |Stetigkeit|Faktseitenname= Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen/Stetig/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und der {{ Faktlink |Funktionalgleichung|Faktseitenname= Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Exponentialfunktion die Gleichungskette {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:exp|1|}} || {{op:exp(| {{op:Folgenlimes||Glied= {{makl| n \cdot {{op:ln| {{makl| 1+\frac{1}{n} }} |}} }} |}} }} || {{op:Folgenlimes||Glied= {{op:exp(| n \cdot {{op:ln| {{makl| 1+\frac{1}{n} }} |}} |}} }} || {{op:Folgenlimes||Glied= {{makl| 1+ \frac{1}{n} }}^n }} || e |SZ=. }} |Abschluss= }} |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Sinus und Kosinusfunktion/Ableitung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} }} k2pbwjsrg2uuse0zt7nc2cvzc3lk62l 106 60889 766788 400842 2022-08-15T13:50:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Reihe/Cauchyprodukt/Nicht Partialsummen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische_Reihe_mal_Exponentialreihe/Ordnung_4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Unbeschränkt/Aufgabe||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass {{math|term=\R_+|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Exponentialfunktion ist| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Teilmenge von N/Konvergenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvergente_Reihe/Je_zwei_Glieder_zusammenfassen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe nicht negativer reeller Zahlen/Konvergent/Halbsumme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinusreihe mal Kosinusreihe/Koeffizienten bis 6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Vierte Potenz/Bis fünfter Koeffizient/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Exponentialreihe/C/Abschätzung für Restglied/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eulersche Zahl/Berechnung mit Exponentialreihe/4 Nachkommastellen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe|p|zusatz1=Fußnote |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus/C/Additionstheorem/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} pogkd50gaikikv3xalhjp4hy3u0brr9 106 60951 768074 646749 2022-08-16T10:02:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|44| {{Zwischenüberschrift|term=Partielle Ableitungen}} Sei {{ Ma:abb |name=f |{{KRC}}^n |{{KRC}} || |SZ= }} eine durch {{ math/disp|term= (x_1, \ldots, x_n) \longmapsto f(x_1, \ldots, x_n) |SZ= }} gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index {{math|term=i|SZ=}} die übrigen Variablen {{math|term=x_j|SZ=,}} {{mathl|term=j \neq i|SZ=,}} als Konstanten, so erhält man eine Abbildung {{ Ma:abb |name= |{{KRC}}|{{KRC}} || |SZ=, }} die nur von {{math|term=x_i|SZ=}} abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter| |ISZ=|ESZ=. }} Falls diese Funktion, als Funktion in der einen Variablen {{math|term=x_i|SZ=,}} differenzierbar ist, so sagen wir, dass {{math|term=f|SZ=}} {{Stichwort|partiell differenzierbar|SZ=}} bezüglich {{math|term=x_i|SZ=}} ist und bezeichnen diese Ableitung mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} |SZ=.}} Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von {{ Ma:abb |name= |{{KRC}}^n|{{KRC}} || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition|| }} Diese Definition führt insbesondere die {{math|term=i|SZ=-}}te partielle Ableitung einer Funktion {{ Ma:abb |name=f | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen {{Anführung|festgehalten|}} und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der {{math|term=i|SZ=-}}ten partiellen Ableitung von {{math|term=f|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(a_1 {{kommadots|}} a_n)|SZ=}} einfach die Existenz des Limes {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|s|0| {{op:Bruch|f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i+s,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) -f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) |s}} }} |SZ=. }} Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere ergeben partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein {{mathl|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} betrachtet wird. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/R/xy^3 durch x^2+y^2/Berechnung und Erläuterung/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition||| }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung mit Jacobimatrix/Beispiel||| }} {{Zwischenüberschrift|term=Höhere Richtungsableitungen}} Seien {{math|term=V|SZ=}} und {{math|term=W|SZ=}} endlichdimensionale {{math|term={{KRC}}|SZ=-}}Vektorräume und {{mathl|term=G \subseteq V|SZ=}} eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi | G | W || |SZ= }} und einen fixierten Vektor {{mathl|term=v \in V|SZ=}} ist die Richtungsableitung in Richtung {{math|term=v|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existiert| |ISZ=|ESZ= }} selbst eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |G|W |P| {{op:Richtungsableitung|\varphi|P|v}} |SZ=. }} Als solche ergibt es Sinn zu fragen, ob {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}}|SZ=}} in Richtung {{mathl|term=v \in V|SZ=}} differenzierbar ist. Wir sprechen dann von {{Stichwort|höheren Ableitungen|SZ=.}} Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition. {{ inputdefinition |Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition|| }} Mit partiellen Ableitungen schreibt man höhere Ableitungen als {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}}, \, {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}}, \, {{op:Partielle Ableitung| | x_j }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}}, \, {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung| | x_j }}{{op:Partielle Ableitung|f|x_k}} ,\, \text{etc.} |SZ= }} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition|| }} Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=}} in jede Richtung {{mathl|term=v \in V|SZ=}} existiert und stetig ist. {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Schwarz}} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Schwarz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder auch {{Stichwort|Satz von Clairaut|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt|Satz|| || }} Ein Spezialfall des Satzes von Schwarz ist, dass für eine zweifach stetig differenzierbare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}} || {{op:Partielle Ableitung| | x_j }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} || || || |SZ= }} gilt. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Höhere Differenzierbarkeit/K/Stetigkeit/Beliebige Reihenfolge/Fakt|Korollar|| || }} }} 60c36wcs66lu9gqvj0unl1vvvveorkj 106 60954 768075 647127 2022-08-16T10:02:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|47| Zu einer reellwertigen Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R || |SZ= }} interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existieren| |ISZ=|ESZ= }} erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von {{ mathkor|term1= V |nach|term2= {{KRC}} |SZ=. }} Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Linearform/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Dualraum/Definition|| }} Wenn {{mathl|term=G \subseteq {{KRC|}}^n |SZ=}} ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt {{mathl|term=P \in G|SZ=}} eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich {{ math/disp|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1|P}} | \ldots |{{op:Partielle Ableitung|f|x_1|P}} }} |SZ=, }} die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso auch als ein {{math|term=n|SZ=-}}Tupel in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} und damit als einen Vektor in {{mathl|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=,}} und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen. {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Bilinearform/Definition|| |zusatz= |tipp= }} Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert. {{ inputdefinition |Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition|| }} In dieser Vorlesung werden wir für Vektorräume, auf denen eine nicht-ausgeartete Bilinearform gegeben ist, eine bijektive Beziehung zwischen Vektoren und Linearformen beweisen und damit einen Zusammenhang zwischen dem totalen Differential zu einer Funktion in einem Punkt und einem Vektor, dem sogenannten Gradienten der Funktion in diesem Punkt, herstellen. {{Zwischenüberschrift|term=Der Gradient}} {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt|Lemma|| || }} Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, beispielsweise ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben wird. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion {{ Ma:abb |name=f |V|\R || |SZ= }} gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten. {{ inputdefinition |Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition|| }} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab. Bei {{mathl|term=V=\R^n|SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel |Refname= {{{def|}}} |SZ=, }} ist der Gradient einfach gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Gradient|f|P}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1}}|\vdots| {{op:Partielle Ableitung|f|x_n}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweishier |Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt|Satz||Beweistext=(1) folgt wegen {{ math/disp|term= {{op:Totales Differential|f|P|v}} = {{op:Skalarprodukt|v| {{op:Gradient|f|P}} }} |SZ= }} direkt aus der {{ Faktlink |Abschätzung von Cauchy-Schwarz|Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (2) ergibt sich aus den Zusätzen zur Cauchy-Schwarz-Abschätzung, siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Gleich und ungleich/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} (3). Aus (1) und (2) folgt, dass {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt| {{op:Gradient|f|P|}} | \pm {{op:Bruch| {{op:Gradient|f|P}}|{{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}|}} |}} |}} }} || {{op:Betrag| {{op:Totales Differential|f|P| \pm {{op:Bruch| {{op:Gradient|f|P}}|{{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}|}} |}} |}} }} || {{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}| }} || || |SZ= }} gilt, und dass diese beiden Vektoren die einzigen Vektoren der Norm {{math|term=1|SZ=}} sind, für die diese Gleichung gilt. Wenn man links die Betragstriche weglässt, so gilt die Gleichheit für {{mathl|term={{op:Bruch| {{op:Gradient|f|P}}|{{op:Norm| {{op:Gradient|f|P}}|}} |}} |SZ=}} nach wie vor, da das Skalarprodukt positiv definit ist. || }} Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor. {{Zwischenüberschrift|term=Gradient und Niveaumengen}} {{ inputbild |Schoenberg-ebringen-isohypsen|png| 250px {{!}} right {{!}} |Text=In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert. |Autor= |Benutzer=W-j-s |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Niveaumenge/K/Definition|| }} Wir werden Niveaumengen {{ Zusatz/Klammer |text=ein anderes Wort ist Faser| |ISZ=|ESZ= }} später systematischer untersuchen. Die folgende Aussage bedeutet, dass der Gradient stets senkrecht auf den Niveaumengen steht. {{ inputfaktbeweis |Euklidischer Raum/Differenzierbare Funktion/Kurve in Niveaumenge/Senkrecht auf Gradient/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Lokale Extrema von Funktionen in mehreren Variablen}} Wir wollen mit den Mitteln der Differentialrechnung Kriterien erarbeiten, in welchen Punkten eine Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R || |SZ= }} ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum annimmt. Wenn man sich den Graph einer solchen Funktion als ein Gebirge über der Grundmenge {{math|term=G|SZ=}} vorstellt, so geht es also um die Gipfel und die Senken des Gebirges. Der folgende Satz liefert ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines lokalen Extremums, das das entsprechende Kriterium in einer Variablen verallgemeinert. {{ inputfaktbeweis |Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt|Satz|| || }} Ein lokales Extremum kann also nur in einem sogenannten kritischen Punkt einer Funktion auftreten. {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/R/n nach 1/Kritischer Punkt/Regulärer Punkt/Definition|| }} }} 2n9j1pjii0da801dfiqpc6yuxsjlsql 106 60961 766791 647097 2022-08-15T13:50:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|53| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen}} {{ inputbild |Rynda Bay Beach|jpg| 300px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Rynda_Bay_Beach |Text=Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als Graph einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen {{Anführung|zwei|}} Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet{{ Zusatz/Fußnote |text=Dass man solche singulären Punkte in der Natur nur selten antrifft, liegt daran, dass das Höhenprofil der Erde nur endlich viele kritische Punkte und damit nur endlich viele Gipfel und Sattelpunkte besitzt. Es ist daher unwahrscheinlich, dass der Meeresspiegel genau auf der Höhe eines solchen kritischen Punktes liegt. Wenn man aber Ebbe und Flut betrachtet, so werden solche Punkte immer wieder durchlaufen| |ISZ=.|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Straitgate |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Abbildung/Faser/Definition|| }} Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\varphi^{-1}(\{ y \} ) |SZ=}} von {{math|term=y|SZ=.}} Zu einem Punkt {{mathl|term=P \in L|SZ=}} nennt man die Faser über {{math|term=\varphi(P)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Faser durch|SZ=}} {{math|term=P|SZ=.}} Bei {{mathl|term=M=\R|SZ=}} sagt man statt Fasern auch {{Stichwort|Niveaumengen|SZ=}} oder, insbesondere bei {{mathl|term=L=\R^2|SZ=,}} auch {{Stichwort|Höhenlinien|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel|| }} Der {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=}} wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich {{Stichwort|lokal|SZ=}} als {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Abbildungen realisieren lassen. {{:Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung}} {{ inputbild |Agate1 hg|jpg| 300px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Agate1_hg |Text=Der Querschnitt eines [[w:Achat|Achats]]. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die {{ Zusatz/Klammer |text=verdickten| |ISZ=|ESZ= }} Fasern der Lichtabbildung. |Autor= |Benutzer=Hgrobe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/Einführung/x+y^2+x^2y/Beispiel|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz|P=a| || }} {{ inputbemerkung |Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition|| }} Häufig wird auch der an {{math|term=P|SZ=}} angelegte {{ Definitionslink |affine Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | P+ {{op:Kern|{{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || {{Mengebed|P+v|{{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von {{math|term=V|SZ=,}} da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man {{Stichwort|affin-lineare Unterräume|SZ=.}} Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} besitzt die Dimension {{mathl|term=n-m|SZ=.}} Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an {{math|term=P|SZ=}} sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von {{math|term=P|SZ=}} auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine {{Stichwort|lineare Approximation|SZ=}} der Faser. {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x hoch y/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} r18iipma6ptp6mcfl57ptcvapw9177a 0 61297 766738 698992 2022-08-15T13:06:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir setzen voraus, dass {{math|term=a|SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term=p|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=andernfalls sind wir fertig| |ISZ=|ESZ=. }} Dann müssen wir zeigen, dass {{math|term=b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=p|SZ=}} ist. Unter der gegebenen Voraussetzung{{{zusatz1|}}} sind {{ mathkor|term1= a |und|term2= p |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Bezout|Faktseitenname= Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ganze Zahlen {{mathl|term=r,s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | ra +sp ||1 || || || |SZ= }} Da {{mathl|term=ab|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=p|SZ=}} ist, gibt es ein {{math|term=t|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |ab ||tp || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | b || b \cdot 1 || b (ra +sp) || ab r + bs p || t p r +bsp || p {{makl| tr +bs |}} |SZ=. }} Also ist {{math|term=b|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=p|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32z2blwxi3ghccu6hyti0tevwfffcev 10 62611 766650 375709 2022-08-15T12:06:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abb/disp |name=f_n |T| {{KRC|}} || |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=n \in \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53i26vntyc4bmy09uviksm9ky69xx0f 0 64797 766744 467989 2022-08-15T13:10:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Konstruktion{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=\Gamma|SZ=}} eine Menge an {{ Definitionslink |Prämath={{Symbolalphabet}}|Ausdrücken| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen unter Ableitungen| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dann definiert man auf der Menge aller {{ Definitionslink |Prämath=S |Terme| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ math/disp|term= t \sim s \text{ genau dann, wenn der Ausdruck } t=s \text{ zu } \Gamma \text{ gehört} |SZ=. }} Es sei {{math|term=M|SZ=}} die Menge der Termklassen {{ Zusatz/Klammer |text=also die Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation| |ISZ=|ESZ=. }} Auf {{math|term=M|SZ=}} definiert man für jedes {{math|term=n|SZ=-}}stellige {{ Definitionslink |Prämath= |Relationssymbol| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}stellige {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=R^M|SZ=}} durch {{ math/disp|term= R^M([t_1],[t_2] {{kommadots|}} [t_n] ) \text{ genau dann, wenn der Ausdruck } R t_1 t_2 \cdots t_n \text{ zu } \Gamma \text{ gehört} |SZ= }} und für jedes {{math|term=n|SZ=-}}stellige {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionssymbol| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}stellige {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=f^M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^M([t_1],[t_2] {{kommadots|}} [t_n] ) | {{defeq|}} |[ f t_1 t_2 \cdots t_n ] || || || |SZ=. }} Konstanten werden als {{ Ma:Vergleichskette/disp |c^M |{{defeq|}}|[c] || || || |SZ= }} interpretiert. |Textart=Konstruktion |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} np5u08l7bpw6lw4dd2k4hgjy7lzlwll 0 67625 768066 540932 2022-08-16T10:00:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= {{ math/disp|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 3 |ux= {{op:Partielle Ableitung||X}} |uy= {{op:Partielle Ableitung||Y}} |uz= {{op:Partielle Ableitung||Z}} |uxx= {{op:Bruch|1|2}} {{op:partiellzwei||X}} |uxy={{op:partiellzwei||XY}} |uxz= {{op:partiellzwei||XZ}} |uyy={{op:Bruch|1|2}} {{op:partiellzwei||Y}} |uyz= {{op:partiellzwei||YZ}} |uzz={{op:Bruch|1|2}} {{op:partiellzwei||Z}} |uxxx={{op:Bruch|1|6}} {{op:partielldrei||XXX}} |uxxy={{op:Bruch|1|2}} {{op:partielldrei||XXY}} |uxxz={{op:partielldrei||XXZ}} |uxyy={{op:Bruch|1|2}} {{op:partielldrei||XYY}} |uxzz={{op:Bruch|1|2}} {{op:partielldrei||XZZ}} |uyzz={{op:Bruch|1|2}} {{op:partielldrei||YZZ}} |uxyz= {{op:partielldrei||XYZ}} |uyyy={{op:Bruch|1|6}} {{op:partielldrei||YYY}} |uyyz={{op:Bruch|1|2}} {{op:partielldrei||YYZ}} |uzzz={{op:Bruch|1|6}} {{op:partielldrei||Z}} }} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} syg9a72zpt91fwdx6iz2ftaiigg18tm 106 67751 766798 700936 2022-08-15T13:51:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Cauchy-Produkt von Reihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt|Lemma||zusatz1=Klammer |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Potenzreihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition|| }} Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl {{mathbed|term=z \in {{CC}}|bedterm1=z \neq 0|SZ=,}} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man {{math|term=z|SZ=}} variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in {{math|term=z|SZ=}} darstellt. Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt {{math|term=0|SZ=.}} Eine Potenzreihe mit {{Stichwort|Entwicklungspunkt}} {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} ist ein Ausdruck der Form {{math/disp|term= \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n |SZ=.}} Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty z^n |SZ=,}} die für {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|z|}} | <| 1 || || || || |SZ= }} konvergiert und dort die Funktion {{mathl|term= 1/(1-z) |SZ=}} darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt. {{Zwischenüberschrift|term=Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}} {{:Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=&nbsp;Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp|1|}} || 1+1+ {{op:Bruch|1|2}}+ {{op:Bruch|1|6}}+ {{op:Bruch|1|24}}+ {{op:Bruch|1|120}} + \cdots || || || |SZ= }} ist, und dass {{mathl|term= {{op:exp|1|}} |SZ=}} mit der früher eingeführten eulerschen Zahl {{math|term=e|SZ=}} übereinstimmt {{ Zusatz/Klammer |text={{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihendarstellung und Exponentdarstellung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |zusatz3={{Zusatz/Fußnote|text=Eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/k | T | \subseteq | {{CC}} || || || |SZ= }} heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in {{math|term= T |SZ=,}} die in {{math|term= {{CC}} |SZ=}} konvergiert, schon in {{math|term= T |SZ=}} konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in {{math|term= \R |SZ=.}}}}|zusatz4=Die folgende Aussage nennt man die {{Stichwort|Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion|SZ=.}} }} {{Zwischenüberschrift|term=Die trigonometrischen Reihen}} {{:Trigonometrische Reihen/C/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} i7vegmgk04vb77d51pcl58fa1wv7gli 106 67782 766797 406285 2022-08-15T13:51:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Reihe/Cauchyprodukt/Nicht Partialsummen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische_Reihe_mal_Exponentialreihe/Ordnung_4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Unbeschränkt/Aufgabe||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass {{math|term=\R_+|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Exponentialfunktion ist| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvergente_Reihe/Je_zwei_Glieder_zusammenfassen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe nicht negativer reeller Zahlen/Konvergent/Halbsumme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinusreihe mal Kosinusreihe/Koeffizienten bis 6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer {{Stichwort|periodischen Funktion|msw=Periodische Funktion|SZ=.}} {{:R nach R/Periodische Funktion/Definition}} {{ inputaufgabe |Periodische Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Periodische Funktion/Stetig/Ist beschränkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Vierte Potenz/Bis fünfter Koeffizient/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Exponentialreihe/C/Abschätzung für Restglied/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eulersche Zahl/Berechnung mit Exponentialreihe/4 Nachkommastellen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe|p|zusatz1=Fußnote |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus/C/Additionstheorem/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Periodische Funktionen/Rationales Verhältnis der Längen/Summe ist periodisch/Abstand/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} sojimyin1phq4hj4a13zl5igcxmyl67 106 67912 766792 540579 2022-08-15T13:50:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|71| {{Zwischenüberschrift|term=Parameterabhängige Integrale}} Wie diskutieren nun, wie Integrale von einem Parameter abhängen, der sich in einem metrischen Raum bewegt. Dazu muss man in erster Linie das Verhalten bezüglich einer Folge verstehen, so dass man die Ergebnisse der letzten Vorlesung anwenden kann. Der folgende Stetigkeitssatz ist eine weitreichende Verallgemeinerung von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Stetigkeit des Integrals/Parameter in metrischem Raum/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{:Parameterabhängige Integrale/Stetigkeit und Differenzierbarkeit/Textabschnitt||}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Cavalieri-Prinzip}} {{ inputbild |Bonaventura Cavalieri|jpeg| 150px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Bonaventura_Cavalieri |Text=[[w:Bonaventura Cavalieri|Bonaventura Cavalieri (1598-1647)]] |Autor= |Benutzer=Gene.arboit |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwei sigmaendliche Maßräume/Situation|SZ=}} und {{mathl|term=T \subseteq M \times N|SZ=}} eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt {{mathl|term=x \in M|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | T(x) || {{mengebed|y \in N|(x,y) \in T}} || || || |SZ=. }} Wir erinnern an {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht {{mathl|term=(\mu \otimes \nu)(T)|SZ=}} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |M|\R |x| \nu(T(x)) |SZ=? }} Bei {{mathl|term=N=\R|SZ=}} und wenn {{math|term=T|SZ=}} der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion {{math|term=f|SZ=}} ist, so ist {{mathl|term= \lambda^1(T(x)) =f(x) |SZ=}} und nach der Definition des {{ Definitionslink |Integrals| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |(\mu \otimes \lambda^1) (T) || {{op:Integralmaß|f(x)|M|\mu}} || {{op:Integralmaß|\lambda^1 (T(x)) |M|\mu}} || || |SZ=. }} Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen {{math|term=T|SZ=}} gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion {{mathl|term=x \mapsto \nu(T(x))|SZ=}} messbar ist. {{ inputfaktbeweis |Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt|Lemma|| || }} Wir werden im Folgenden die Notation {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f(x)|M|\mu|var=x}} |SZ=}} verwenden, die betont, dass die Funktion {{math|term=f|SZ=}} von {{mathl|term=x \in M|SZ=}} abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum {{mathl|term=M \times N|SZ=}} geht und Verwechslungen möglich sind. {{ inputfaktbeweis |Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt|Satz|| || }} }} 6iqlh95b4p167dr1u1c03wxn1wp686v 106 67917 766793 440060 2022-08-15T13:51:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|76| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen und Mannigfaltigkeiten}} Die Einheitssphäre, die wir in der letzten Vorlesung als ein motivierendes Beispiel einer Mannigfaltigkeit besprochen haben, ist die Faser zur differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} über {{math|term=1|SZ=.}} Diese Abbildung ist mit Ausnahme des Nullpunkts {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Satz über implizite Abbildung macht in dieser Situation weitreichende Aussagen über die lokale Gestalt der Faser zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n| \R^m || |SZ=, }} nämlich, dass es lokal Homöomorphismen zwischen der Faser in einem regulären Punkt und einer offenen Menge des {{math|term=\R^k|SZ=}} gibt, wobei {{math|term=k|SZ=}} die Differenz zwischen der Dimension des Ausgangsraumes und der Dimension des Zielraumes ist. Wir werden gleich sehen, dass solche Fasern nicht nur topologische Mannigfaltigkeiten, sondern auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. Wir formulieren den Satz über implizite Abbildungen in einer Version, aus der sich ablesen lässt, dass die regulären Fasern differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. {{:Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Abbildungen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Funktionen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt|}} }} mafd6qgt8ztiyw0kzh9gj0dg7kccdn2 106 67919 766794 647113 2022-08-15T13:51:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|78| {{Zwischenüberschrift|term=Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}} {{:Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Durch die letzte Aussage ergibt sich auch, dass der in einem regulären Punkt {{math|term=P|SZ=}} der Faser {{math|term=M|SZ=}} einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |G|\R^k || |SZ=, }} {{mathl|term=G \subseteq \R^n|SZ=}} offen, als Kern des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=als Untervektorraum von {{math|term=\R^n =T_P \R^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= | Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an die Faser als einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Der {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Tangentialraum {{mathl|term=T_PM|SZ=}} ist aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Untervektorraum von {{mathl|term=T_P\R^n = \R^n|SZ=}} der Dimension {{mathl|term=n-k|SZ=.}} Auch der Kern des surjektiven totalen Differentials {{ Ma:abb |name={{op:Totales Differential|\varphi|P|}} |\R^n|\R^k || |SZ= }} ist ein {{mathl|term=(n-k)|SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum von {{math|term=\R^n|SZ=.}} Die Gleichheit der beiden Untervektorräume ergibt sich daraus, dass die den abstrakten Tangentialraum definierenden differenzierbaren Kurven {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|M || |SZ= }} verknüpft mit {{math|term=\varphi|SZ=}} konstant sind, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Tangentialbündel}} {{:Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Torus_vectors_oblique |Text=Ein Vektorfeld auf einem Torus. Jedem Punkt des Torus wird eine tangentiale Richtung zugeordnet, dies wird durch die Pfeile angedeutet. |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition|| }} Ein Vektorfeld weist also jedem Punkt einen Richtungsvektor in diesem Punkt zu. Man sagt auch kurz, das ein Vektorfeld ein {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} im Tangentialbündel ist. Vektorfelder führen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition|| }} Die Schnitte im Kotangentialbündel heißen {{math|term=1|SZ=-}}Differentialformen. Wir werden darauf ausführlich zurückkommen. {{Fußnotenliste|}} }} 97sre94vnbi5swcp56hrp2qq4zkule7 106 67921 766795 700641 2022-08-15T13:51:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|80| {{Zwischenüberschrift|term=Eigenschaften des Dachprodukts}} Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes. {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt|Satz|| || }} Es bezeichne {{mathl|term= \operatorname{Alt}^n (V,K)|SZ=}} die Menge aller alternierenden Abbildungen von {{math|term=V^n|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=.}} Diese Menge kann man mit einer natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt|Satz|| || }} Bei {{mathl|term=V=K^m|SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term=e_1 {{kommadots|}} e_m |SZ=}} nennt man die {{ mathbed|term= e_{i_1} {{wedgedots|}} e_{i_n} |mit|bedterm1= i_1 < \ldots < i_n ||bedterm2= |SZ= }} die {{Stichwort|Standardbasis|SZ=}} von {{mathl|term=\bigwedge^n K^m|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere ist die äußere Potenz für {{mathl|term=n=0|SZ=}} eindimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^0 V=K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term=n=1|SZ=}} {{math|term=m|SZ=-}}dimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^1 V=V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{mathl|term=n=m|SZ=}} ist {{mathl|term=\bigwedge^m V|SZ=}} eindimensional, und die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induziert {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Identifizierung von {{math|term=V|SZ=}} mit {{math|term=K^m|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^m V | K |(v_1 {{kommadots|}} v_m) |{{op:Determinante|(v_1 {{kommadots|}} v_m) |}} |SZ=. }} Für {{mathl|term=n >m|SZ=}} sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension {{math|term=0|SZ=.}} Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie {{mathl|term= {{makl| \bigwedge^n V |}}^* \cong \operatorname{Alt}^n (V,K) |SZ=}} zu einer natürlichen Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigwedge^n V^* |\cong| {{makl| \bigwedge^n V |}}^* |\cong| \operatorname{Alt}^n (V,K) || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} }} b3fyqd5t1j6mlkuummrualhn55nrb62 106 67923 768076 728409 2022-08-16T10:02:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|82| {{Zwischenüberschrift|term=Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}} Zu einer Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} kann man zum Tangentialbündel {{math|term=TM|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. zum Kotangentialbündel {{math|term=T^*M|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das {{math|term=k|SZ=-}}te Dachprodukt {{mathl|term=\bigwedge^k TM|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=\bigwedge^k T^*M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bilden. Es ist punktweise für {{mathl|term=P \in M|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{makl| \bigwedge^k TM |}}_P || \bigwedge^k T_P M || || || |SZ= }} definiert und es gibt wieder eine Projektionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^k TM |M || |SZ=. }} Zu einer Karte {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ=, }} {{mathl|term=V \subseteq \R^n|SZ=,}} und der zugehörigen Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name=T \alpha |TU|TV {{=|}} V \times \R^n || |SZ= }} ergibt sich die Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name=\bigwedge^k ( T \alpha) |\bigwedge^k TU| \bigwedge^k TV {{=|}} V \times \bigwedge ^k \R^n || |SZ=. }} Mit Hilfe dieser Abbildungen kann man auf {{mathl|term=\bigwedge^k TM|SZ=}} eine Topologie und auch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definieren. {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die Ableitungen {{mathl|term={{op:Partielle Ableitung|f|x_j}}|SZ=}} wurden in der Vorlesung 76 eingeführt| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Zurückziehen von Differentialformen}} {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt|}} Die beschreibenden Funktionen zu einer Differentialform haben also das gleiche Transformationsverhalten wie die Dichten, die auf einer Karte ein kontinuierliches Maß auf einer Mannigfaltigkeit beschreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste}} }} rjq7bc2uqbde0av17iwbtor69by1x2w 106 67924 766796 728410 2022-08-15T13:51:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|83| Wir kommen nun zur Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Ausgangspunkt dafür ist, dass auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension {{math|term=n|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}Form gegeben ist. Bei einer offenen Teilmenge {{mathl|term=V \subseteq \R^n|SZ=}} mit den Koordinaten {{mathl|term=x_1 {{kommadots|}} x_n|SZ=}} entspricht dabei die Integration bezüglich der Form {{mathl|term=dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} der Integration bezüglich des Lebesgue-Maßes. Bei einer Mannigfaltigkeit muss man die Form und das zugehörige Maß {{Anführung|zusammenkleben|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Positive Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit}} In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte {{ Ma:abb |name=\alpha |U|V || |SZ= }} und einer Differentialform {{math|term=\omega|SZ=}} auf {{math|term=U|SZ=}} die nach {{math|term=V|SZ=}} transportierte Differentialform mit {{mathl|term=\alpha_* \omega|SZ=.}} Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form {{mathl|term=\alpha^{-1 *} \omega|SZ=.}} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die zur Karte {{math|term=U|SZ=}} gehörenden Funktionen {{math|term=f|SZ=,}} die hier mit der {{math|term=n|SZ=-}}Standardform multipliziert werden, entsprechen den am Ende der 81sten Vorlesung erwähnten Dichten, mit denen ein Maß auf der Mannigfaltigkeit beschrieben werden kann| |ISZ=.|ESZ= }} }} Dabei ist die Funktion {{math|term=f|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(Q) || \omega {{makl| \alpha^{-1} (Q) ,T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}(e_1) {{wedgedots|}} T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}( e_n) |}} || || || |SZ= }} festgelegt. Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit {{ Definitionslink |orientierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition|| }} Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für eine offene Menge {{mathl|term=M\subseteq \R^n|SZ=,}} eine messbare Teilmenge {{mathl|term=T \subseteq M|SZ=}} und eine positive {{math|term=n|SZ=-}}Form {{math|term=\omega =f dx_1 {{wedgedots}} dx_n|SZ=}} ist einfach {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_T \omega || \int_T f d \lambda^n || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenformen und Orientierung}} Die Existenz einer stetigen nullstellenfreien Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit hängt eng mit ihrer Orientierbarkeit zusammen. Von der folgenden Aussage werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Umkehrung beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Integration längs einer differenzierbaren Abbildung}} Auf einer {{math|term=n|SZ=-}}dimensionalen Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} sind nur {{math|term=n|SZ=-}}Formen über {{math|term=M|SZ=}} sinnvoll integrierbar. Man möchte aber auch {{math|term=k|SZ=-}}Formen {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=1 \leq k \leq n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} über gewisse {{math|term=k|SZ=-}}dimensionale Unterobjekte integrieren können. Das passende Konzept ist dabei die Integration längs einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |L|M || |SZ= }} einer {{math|term=k|SZ=-}}dimensionalen Mannigfaltigkeit {{math|term=L|SZ=.}} Dabei integriert man über {{math|term=L|SZ=}} einfach die mit {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |zurückgezogene Differentialform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\varphi^* \omega|SZ=}} zu einer Form {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen|M|k}} |SZ=.}} Auf {{math|term=L|SZ=}} passen dabei die Dimension und der Grad der Form zusammen. Ein wichtiger Spezialfall ist dabei der von {{math|term=1|SZ=-}}Formen und differenzierbaren Kurven {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|M || |SZ=, }} die dabei entstehenden Integrale nennt man {{Stichwort|Wegintegrale|SZ=.}} {{ inputdefinition |Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition|| }} Dabei ist {{mathl|term= \gamma'(t)=(T_t \gamma)(1) \in T_{\gamma (t)} M|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Wegintegral/Kurze physikalische Interpretation/Bemerkung|| }} Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit {{mathl|term=M \subseteq G|SZ=,}} {{math|term=G|SZ=}} offen in {{math|term=\R^n|SZ=,}} betrachten, die sogar auf {{math|term=G|SZ=}} definiert sind und daher die Gestalt {{mathl|term=\omega = \sum_{i=1}^n g_i d x_i|SZ=}} besitzen, wobei die {{math|term=x_i|SZ=}} die Koordinaten des {{math|term=\R^n|SZ=}} und die {{math|term=g_i|SZ=}} auf {{math|term=G|SZ=}} definierte Funktionen sind. Für einen Weg in {{math|term=M|SZ=}} ist es nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Wegintegral/Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf {{ mathkor|term1= G |und|term2= \omega |SZ= }} oder mit Bezug auf {{ mathkor|term1= M |und die eingeschränkte Differentialform|term2= \omega {{|}}_M |SZ= }} betrachtet. {{ inputbemerkung |Wegintegral/Berechnung für 1-Form im R^n/Werte in R/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Wegintegral/(xy+z^2)dx+zdy+x^3dz/(1+3t,2,2t)/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste|}} }} n7o4acxq1codzlr5va1suogmqxamik7 10 69076 766686 405849 2022-08-15T12:12:49Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|A}} , \mu) |und|term2= (N, {{mengensystem|B}} , \nu) |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Maßräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} foje36ssgi5hbpr86srraqid6yvcvxs 106 69954 766799 728531 2022-08-15T13:52:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|53| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen}} {{:Implizite Abbildung/Faser/Motivation/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/Einführung/x+y^2+x^2y/Beispiel|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz|P=a| || }} Die Bedingung, dass das totale Differential surjektiv ist, kann man auch so ausdrücken, dass {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} ist und dass der Punkt {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{:Implizite_Abbildung/R/Bemerkungen_und_Beispiele/Tangentialraum/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} okoxc7okt5xdidq5eh2qwrlz4bn3unv 106 70216 766773 579351 2022-08-15T13:35:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|27| {{Zwischenüberschrift|term=Das Delische Problem}} {{ inputbild |Roman Statue of Apollo|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Roman_Statue_of_Apollo |Text=Die Bewohner der Insel [[w:Delos|Delos]] befragten während einer Pestepidemie 430 v. Chr. das [[w:Orakel von Delphi|Orakel von Delphi]]. Sie wurden aufgefordert, den würfelförmigen Altar des [[w:Apollon|Apollon]] zu verdoppeln. |Autor= |Benutzer=Stuart Yeates |Domäne=flickr |Lizenz=CC-by-sa-2.0 |Bemerkung= }} Wir kommen zur ersten Konsequenz von unserer systematischen Untersuchung der konstruierbaren Zahlen auf die klassischen Konstruktionsprobleme. {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Würfelverdoppelung/Fakt|Korollar||bv=2 |ref1=|ref2=| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Quadratur des Kreises}} {{ inputfaktbeweis |Quadratur des Kreises/Unmöglichkeit/Fakt|Satz|| |ref1=|ref2=Satz von Lindemann| }} Es gibt natürlich einige geometrische Methoden die Zahl {{math|term=\pi|SZ=}} zu erhalten, z.B. die Abrollmethode und die Schwimmbadmethode. {{ inputbeispiel |Konstruktion von pi/Abrollmethode/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Konstruktion von pi/Schwimmbadmethode/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Einheitswurzeln}} {{ inputdefinition |Einheitswurzeln/In Körper/Definition|| }} Die {{math|term=1|SZ=}} ist für jedes {{math|term=n|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}te Einheitswurzel, und die {{math|term=-1|SZ=}} ist für jedes gerade {{math|term=n|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}te Einheitswurzel. Es gibt maximal {{math|term=n|SZ=}} {{math|term=n|SZ=-}}te Einheitswurzel, da das Polynom {{mathl|term=X^n-1|SZ=}} maximal {{math|term=n|SZ=}} Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term=x^n=1|SZ=}} und {{math|term=y^n=1|SZ=}} ist auch {{math|term=(xy)^n=1|SZ=}}, usw.| |SZ= }} der Einheitengruppe des Körpers. Nach einem Satz, den wir nicht bewiesen haben, ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die {{math|term=n|SZ=}} teilt. {{ inputdefinition |Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition|| }} Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es {{math|term=n|SZ=}} verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn {{math|term=\zeta|SZ=}} eine primitive {{math|term=n|SZ=-}}te Einheitswurzel ist, so sind genau die {{ mathbed|term= \zeta^i |mit|bedterm1= i <n ||bedterm2= |SZ= }} und {{math|term=i|SZ=}} teilerfremd zu {{math|term=n|SZ=}} die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau {{mathl|term={{op:Eulersche Phi-Funktion|n}}|SZ=}} primitive Einheitswurzeln, wobei {{mathl|term={{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}}|SZ=}} die {{ Definitionslink |eulersche {{math|term={{op:Eulersche Phi-Funktion||}}|SZ=-}}Funktion| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition |SZ= }} bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben. {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |3rd roots of unity|svg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=3rd_roots_of_unity |Autor= |Benutzer=Marek Schmidt und Nandhp |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |8th-root-of-unity|jpg| 200px {{!}} {{!}} |epsname=8th-root-of-unity |Autor= |Benutzer=Marek Schmidt |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Kreisteilungskörper}} {{ inputdefinition |Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition|| }} Offenbar ist {{math|term=1|SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term=X^n-1|SZ=.}} Daher kann man {{mathl|term=X^n-1|SZ=}} durch {{mathl|term=X-1|SZ=}} teilen und erhält, wie man schnell nachrechen kann, {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^n-1 ||(X-1) (X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1) || || || |SZ=. }} Wegen {{mathl|term=1 \in \Q|SZ=}} ist daher der {{math|term=n|SZ=-}}te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von {{ math/disp|term= X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |SZ=. }} Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfällungskörper gibt. Wir beschränken uns aber auf die Kreisteilungskörper über {{math|term=\Q|SZ=,}} die wir auch mit {{mathl|term=K_n|SZ=}} bezeichnen. Da {{mathl|term=X^n-1|SZ=}} in der oben explizit beschriebenen Weise über {{math|term={{CC}}|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, kann man {{math|term=K_n|SZ=}} als Unterkörper von {{math|term={{CC}}|SZ=}} realisieren, und zwar ist {{math|term=K_n|SZ=}} der von allen {{math|term=n|SZ=-}}ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von {{math|term={{CC}}|SZ=.}} Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt, wofür wir den folgenden Begriff einführen. {{ inputdefinition |Einfache Körpererweiterung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Statt {{mathl|term={{op:exp2piibruch| |n}}|SZ=}} kann man auch jede andere {{math|term=n|SZ=-}}te primitive Einheitswurzel als Erzeuger nehmen. Das Minimalpolynom zu einem Erzeuger von {{math|term=K_n|SZ=}} heißt das {{math|term=n|SZ=-}}te {{Stichwort|Kreisteilungspolynom|SZ=.}} Der Grad des {{math|term=n|SZ=-}}ten Kreisteilungspolynoms ist der Grad des {{math|term=n|SZ=-}}ten Kreisteilungskörpers über {{math|term=\Q|SZ=.}} Dieser Grad ist stets {{mathl|term=\varphi(n)|SZ=,}} was wir aber nicht beweisen werden. {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel|| }} Der Beweis der folgenden wichtigen Aussage beruht auf Überlegungen, die wir nicht entwickelt haben. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt|Lemma|| |ref1=|ref2=|ref3=|| }} {{ inputbild |Kreis5Teilung|svg| 200px {{!}} right {{!}} |Autor= |Benutzer=Exxu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel||ref1=|ref2=|zusatz1=Dies zeigt aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ=, }} dass die fünften Einheitswurzeln konstruierbare Zahlen sind. }} }} 9j9xjstgxkhgc6w9l15ktzz3pildleh 106 70217 766772 508344 2022-08-15T13:35:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Vorlesungsgestaltung|28| {{Zwischenüberschrift|term=Konstruierbare Einheitswurzeln}} {{ inputdefinition |Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Definition|| }} Die Menge der komplexen Einheitswurzeln {{ mathbed|term= {{op:exp2piibruch|k|n}} ||bedterm1= k=0 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Ecks, wobei {{math|term=1|SZ=}} eine Ecke bildet. Alle Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis. Die Ecke {{mathl|term={{op:exp2piibruch||n}}|SZ=}} ist eine primitive Einheitswurzel; wenn diese mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, so sind auch alle weiteren Eckpunkte konstruierbar. Bei {{mathl|term=n=1,2|SZ=}} kann man sich darüber streiten, ob man von einem regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Eck sprechen soll, jedenfalls gibt es die zugehörigen Einheitswurzeln und diese sind aus {{math|term=\Q|SZ=,}} also erst recht konstruierbar. Das regelmäßige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck und dieses ist konstruierbar nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da der dritte Kreisteilungskörper eine quadratische Körpererweiterung von {{math|term=\Q|SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=man kann einfacher auch direkt zeigen, dass ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Grundseite heraus konstruierbar ist| |SZ=. }} Das regelmäßige Viereck ist ein Quadrat mit den Eckpunkten {{mathl|term=1,i,-1,-i|SZ=,}} und dieses ist ebenfalls konstruierbar. Das regelmäßige Fünfeck ist ebenfalls konstruierbar, wie in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Fermat Zahlen/Konstruierbare Ecke/5/Beschreibe animierte Konstruktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt wurde. Wir werden im Folgenden sowohl positive als auch negative Resultate zur Konstruierbarkeit von regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Ecken vorstellen. {{ inputbild |Pentagon construct|gif| 200px {{!}} center {{!}} frame {{!}} |epsname=Pentagon_construct |Text=Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal |Autor= TokyoJunkie |Benutzer=Mosmas |Domäne=PD |Lizenz=en.wikipedia.org |Bemerkung=en:Image:Pentagon_construct.gif }} {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Produkteigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|ref2=| }} Aus diesem Lemma kann man in Zusammenhang mit den oben erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten folgern, dass die regelmäßigen {{math|term=3 \cdot 2^r|SZ=-}}Ecke, die regelmäßigen {{math|term=5 \cdot 2^r|SZ=-}}Ecke und die regelmäßigen {{math|term=15 \cdot 2^r|SZ=-}}Ecke für jedes {{math|term=r|SZ=}} konstruierbar sind. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Euler ist Zweierpotenz/Fakt|Satz|| |ref1=|ref2=| }} Er beruht darauf, dass der {{math|term=n|SZ=-}}te Kreisteilungskörper den Grad {{mathl|term=\varphi(n)|SZ=}} besitzt und dass im konstruierbaren Fall der Grad einer Körpererweiterung eine Zweierpotenz sein muss. {{Zwischenüberschrift|term=Winkeldreiteilung}} Wir sind nun in der Lage, das Problem der Winkeldreiteilung zu beantworten. {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Das regelmäßige 9-Eck ist nicht konstruierbar/Fakt|Korollar|| ref1=| || }} {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Wir geben noch einen weiteren Beweis, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, der nicht auf der allgemeinen Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome {{ Zusatz/Klammer |text=die wir nicht bewiesen haben| |ISZ=|ESZ= }} beruht. {{ inputbemerkung |Zirkel und Lineal/Winkeldreiteilung/cos 20/Minimalpolynom/2/Bemerkung|| ref1=|ref2= }} {{Zwischenüberschrift|term=Fermatsche Primzahlen}} Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen. {{inputdefinition|Primzahlen/Fermatsche Primzahlen/Definition|}} Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermat-Zahlen {{ math/disp|term= 3,5,17,257,65537 |SZ= }} überhaupt weitere Fermatsche Primzahlen gibt. {{inputfaktbeweis|Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt|Lemma|}} {{ inputbild |Pie 2|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Pie_2 |Autor= |Benutzer=Cronholm 144 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cake quarters|svg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Cake_quarters |Autor= |Benutzer=Acdx, R. S. Shaw |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Luxembourg Vianden Nut-fair 10|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Luxembourg_Vianden_Nut-fair_10 |Text=Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt. |Autor= |Benutzer=PlayMistyForMe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{inputfaktbeweishier|Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßige n-Ecke/Charakterisierung mit Fermatsche Primzahlen/Fakt|Satz||Beweistext={{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen nur die eine Richtung, dass bei einem konstruierbaren regelmäßigen {{math|term=n|SZ=-}}Eck die Zahl {{math|term=n|SZ=}} die angegebene numerische Bedingung erfüllen muss.|Teilstrategie= |Teilbeweis={{:Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt Beweis}} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für die andere Richtung muss man aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/Produkteigenschaften/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl {{math|term=p|SZ=}} das regelmäßige {{math|term=p|SZ=-}}Eck {{ Definitionslink |konstruierbar| |Kontext=Eck| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dies haben wir für {{mathl|term=p=3,5|SZ=}} explizit getan. Gauss selbst hat eine Konstruktion für das reguläre {{math|term=17|SZ=-}}Eck angegeben. Für die anderen Fermatschen Primzahlen {{ Zusatz/Klammer |text=bekannt oder nicht| |SZ= }} folgt die Konstruierbarkeit aus der Galoistheorie. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} }} fsfbezlvtifgciw5aswte7y5uobbdzq 0 73532 767590 459867 2022-08-15T16:45:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten einen Würfel mit der Kantenlänge {{math|term=1|SZ=}} und dem Volumen {{math|term=1|SZ=.}} Die Konstruktion eines Würfels mit dem doppelten Volumen würde bedeuten, dass man die neue Kantenlänge, also {{mathl|term=2^{1/3}|SZ=}} mit Zirkel und Lineal konstruieren könnte. Das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=2^{1/3}|SZ=}} ist {{mathl|term=X^3-2|SZ=,}} da dieses offenbar {{mathl|term=2^{1/3}|SZ=}} annulliert und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring über Körper/Bis Grad drei/Irreduzibilitätskriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, da in {{math|term= \Q |SZ=}} keine dritte Wurzel aus {{math|term= 2 |SZ=}} existiert. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Konstruierbare Zahl/Minimalpolynom hat Grad Zweierpotenz/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= 2^{1/3} |SZ=}} nicht konstruierbar, da {{math|term= 3 |SZ=}} keine Zweierpotenz ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bbylq0iqp68h46mnixikhv3kf2pziz6 106 74549 766807 541143 2022-08-15T13:53:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|25| {{Motto| |Text=J'ai décidé d'être heureux parce que c'est bon pour la santé |Autor=Voltaire }} {{Zwischenüberschrift|term=Trigonalisierbare Abbildungen}} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition|| }} Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie eine Scherungsmatrix zeigt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink{{{optlink|}}} |Präwort=||Beispielseitenname= Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit/Beispiel |Faktseitenname2= |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir werden in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Eine quadratische Matrix {{math|term=M|SZ=}} heißt {{Stichwort|trigonalisierbar|SZ=,}} wenn die dadurch definierte lineare Abbildung {{ Ma:abb |name= |K^n|K^n || |SZ= }} trigonalisierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine Basis gibt, bezüglich der die Abbildung durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, bzw., dass es eine invertierbare Matrix {{math|term=B|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Basiswechselmatrix| |ISZ=|ESZ= }} derart gibt, dass {{ math/disp|term= BMB^{-1} |SZ= }} eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist eine Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie {{ Definitionslink |Prämath= |ähnlich| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das Auffinden einer Basis, bezüglich der obere Dreiecksgestalt vorliegt bzw. die Durchführung des Basiswechsels nennt man {{Stichwort|Trigonalisierung|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Matrix/31-11/Trigonalisierbar/Ähnlichkeit/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Invariante Untervektorräume}} Ein trigonalisierbarer Endomorphismus besitzt bezüglich einer geeigneten Basis die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Obere Dreiecksmatrix}} || || || |SZ=. }} Eigenschaften, die für eine solche obere Dreiecksmatrix gelten und die als eine Eigenschaft der linearen Abbildung beschreibbar, also unabhängig von einer gewählten Basis sind, müssen für eine trigonalisierbare Abbildung gelten. Solche Eigenschaften wollen wir verstehen. Durch eine obere Dreiecksmatrix wird der {{math|term=j|SZ=-}}te Standardvektor {{math|term=e_j|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |Me_i || a_{1j} e_1 {{plusdots|}} a_{jj} e_j || || || |SZ= }} abgebildet. Insbesondere ist {{math|term=e_1|SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term=a_{11}|SZ=.}} Charakteristisch für trigonalisierbare Abbildungen ist, dass der Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_j || {{op:Span|e_1 {{kommadots|}} e_j |}} || || || |SZ= }} durch {{math|term=M|SZ=}} in sich selbst hinein abgebildet wird, d.h. die {{math|term=V_j|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath=M |invariante| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Untervektorräume, die ineinander enthalten sind und deren Dimension gleich {{math|term=j|SZ=}} ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass diese Eigenschaft trigonalisierbare Abbildungen charakterisiert. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt|Lemma|| || }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{math|term=\varphi|SZ=-}}invarianter Untervektorraum und {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} ein Polynom ist, so ist {{math|term=U|SZ=}} auch {{math|term=P(\varphi)|SZ=-}}invariant, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In dieser Situation gilt die folgende Gleichheit. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Teilbarkeit/Fakt|Korollar|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Charakterisierungen für trigonalisierbar}} {{ inputbild |149px-Animation Drap Allemagne T|gif| 250px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=149px-Animation_Drap_Allemagne_T |Text=Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen. |Autor= |Benutzer=MG |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Fahne/Definition|| }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Invariante Fahne/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Matrix/2x2/Trigonalisierbarkeit über charakteristisches Polynom/Beispiel|| }} }} jgafef5adpnb04ws9pmohpgdbzhhqhu 106 74699 766808 458997 2022-08-15T13:53:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|37| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Endliche Punktmenge/Schwerpunkt unter affiner Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Gleichseitig gdw Schwerpunkt ist Umkreismittelpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gleichseitiges Dreieck/Rationale Koordinaten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Seitenmittelpunksdreieck/Ähnlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Winkelhalbierende/Über Winkel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Umkreismittelpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Umkreismittelpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Inkreismittelpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Inkreismittelpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Höhenschnittpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Höhenschnittpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinussatz/Elementargeometrisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Prominente Geraden/Konstruktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Grundseite und Höhe/Minimaler Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreiecke/Als Vektorraum/Untervektorräume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Rechtwinkliges Dreieck/345/Schnittpunkte/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Eulersche Gerade/Berechne/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Feuerbachkreis/Berechne/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe wird auf die {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenz| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Folgen im {{math|term=\R^2|SZ=}} Bezug genommen. Sie liegt genau dann vor, wenn beide Komponentenfolgen in {{math|term=\R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Seitenmittelpunktsdreieck/Iteration/Konvergenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} bl4yqmy173ihzkr2a0ccnfkeot8av74 106 74742 766809 510832 2022-08-15T13:53:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|47| {{Zwischenüberschrift|term=Homomorphie- und Isomorphiesatz}} {{:Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Beispiele/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt|Satz|| |ref1= |ref2= |ref3= }} Kurz gesagt ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | G/H ||(G/N)/(H/N) || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Restklassenringe}} Auf einer Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe gibt es häufig zusätzliche Strukturen, wenn die Ausgangsgruppe und der Normalteiler zusätzliche Eigenschaften besitzen. In der nächsten Vorlesung werden wir Restklassenräume zu Untervektorräumen besprechen. Hier besprechen wir kurz Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring. Gelegentlich sind uns schon Ringhomomorphismen begegnet, wir erinnern an die Definition. {{ inputdefinition |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man kann umgekehrt zu jedem Ideal {{mathl|term=I \subseteq R|SZ= }} in einem {{ Zusatz/Klammer |text=kommutativen| |SZ= }} Ring einen Ring {{mathl|term=R/I|SZ=}} konstruieren, und zwar zusammen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name= |R|R/I || |SZ=, }} dessen Kern gerade das vorgegebene Ideal {{math|term=I|SZ= }} ist. Ideale und Kerne von Ringhomomorphismen sind also im Wesentlichen äquivalente Objekte, so wie das bei Gruppen für Kerne von Gruppenhomomorphismen und Normalteilern gilt. In der Tat gelten die entsprechenden Homomorphiesätze hier wieder, und können weitgehend auf die Gruppensituation zurückgeführt werden. Wir werden uns bei den Beweisen also kurz fassen können. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Nebenklasse zu Ideal/Definition|}} Diese Nebenklassen sind gerade die {{ Definitionslink |Prämath= |Nebenklassen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Untergruppe {{mathl|term=I \subseteq R|SZ=,}} die wegen der Kommutativität ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zwei Elemente {{mathl|term=a,b \in R|SZ= }} definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also {{mathl|term=a+I=b+I|SZ=,}} wenn ihre Differenz {{mathl|term=a-b|SZ= }} zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} dieselbe Nebenklasse {{Stichwort|term=repräsentieren|SZ=.}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition|}} Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=also Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind. Da {{math|term=I|SZ=}} insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe {{mathl|term=(R,+,0)|SZ=}} ist, liegt ein Normalteiler vor, so dass {{mathl|term=R/I|SZ=}} eine Gruppe ist und die Restklassenabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |R| R/I |a| a+ I {{=|}}: \bar{a} |SZ=, }} ein Gruppenhomomorphismus ist. Das einzig Neue gegenüber der Gruppensituation ist also die Anwesenheit einer Multiplikation. Die Wohldefiniertheit der Multiplikation ergibt sich so: Seien zwei Restklassen gegeben mit unterschiedlichen Repräsentanten, also {{ mathkor|term1= {{op:kl|a|}}={{op:kl|a'|}} |und|term2= {{op:kl|b|}}={{op:kl|b'|}} |SZ=. }} Dann ist {{ mathkor|term1= a-a' \in I |und|term2= b-b' \in I |SZ= }} bzw. {{ mathkor|term1= a'=a+x |und|term2= b'=b+y |SZ= }} mit {{mathl|term=x,y \in I|SZ=.}} Daraus ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp |a'b' ||(a+x)(b+y) ||ab+ay+xb+xy |SZ=. }} Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz {{mathl|term=a'b'-ab \in I|SZ=}} ist. Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt. Diesen nennt man wieder die {{Definitionswort/enp|term=Restklassenabbildung}} oder den {{Definitionswort/enp|term=Restklassenhomomorphismus|SZ=.}} Das Bild von {{mathl|term=a \in R|SZ=}} in {{mathl|term=R/I|SZ= }} wird häufig mit {{math|term=[a]|SZ=,}} {{math|term=\bar{a}|SZ= }} oder einfach mit {{math|term=a|SZ=}} selbst bezeichnet und heißt die {{Definitionswort/enp|term=Restklasse}} von {{math|term=a|SZ=.}} Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf {{math|term=0|SZ=,}} d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal. Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl {{math|term=a|SZ=}} den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl {{math|term=d|SZ= }} zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen {{mathl|term=0,1,2 {{kommadots|}} d-1|SZ=.}} Im Allgemeinen gibt es nicht immer ein solch übersichtliches Repräsentantensystem. {{Zwischenüberschrift|term=Die Restklassenringe von {{math|term=\Z|SZ=}}}} {{ inputbild |Anillo cíclico|png | 300px {{!}} {{!}} |epsname=Anillo_cíclico |Autor=Romero Schmidtke |Benutzer=FrancoGG |Domäne=es.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die Restklassengruppen {{mathl|term={{op:Zmod|d}}|SZ=}} haben wir bereits kennengelernt, es handelt sich um zyklische Gruppen der Ordnung {{math|term=d|SZ=.}} Diese Gruppen bekommen jetzt aber noch zusätzlich eine Ringstruktur. {{ inputfaktbeweishier |Restklassenringe von Z/Ringhomomorphismus/Fakt|Korollar|| |Beweistext=Dies ist ein Spezialfall der obigen Überlegungen. }} Die Restklassenringe {{mathl|term=S=K[X]/(P)|SZ=}} sind ebenfalls gut überschaubar. Wenn {{math|term=P|SZ=}} den Grad {{math|term=d|SZ=}} besitzt, so wird jede Restklasse in {{math|term=S|SZ=}} durch ein eindeutiges Polynom von einem Grad {{mathl|term=<d|SZ=}} repräsentiert. Dieses ist der Rest, den man erhält, wenn man durch {{math|term=P|SZ=}} durchdividiert. }} lvwsjmb0tpxc718ne5roj1gyaruwxpi 106 74753 766810 700650 2022-08-15T13:53:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|58| {{Zwischenüberschrift|term=Eigenschaften des Dachprodukts}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt|Satz|| || }} Bei {{mathl|term=V=K^m|SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term=e_1 {{kommadots|}} e_m |SZ=}} nennt man die {{ mathbed|term= e_{i_1} {{wedgedots|}} e_{i_n} |mit|bedterm1= i_1 < \ldots < i_n ||bedterm2= |SZ= }} die {{Stichwort|Standardbasis|SZ=}} von {{mathl|term=\bigwedge^n K^m|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Dachprodukt/Basiswechsel/Umrechnung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere ist die äußere Potenz für {{mathl|term=n=0|SZ=}} eindimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^0 V=K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term=n=1|SZ=}} {{math|term=m|SZ=-}}dimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^1 V=V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{mathl|term=n=m|SZ=}} ist {{mathl|term=\bigwedge^m V|SZ=}} eindimensional, und die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induziert {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Identifizierung von {{math|term=V|SZ=}} mit {{math|term=K^m|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^m V | K |(v_1 {{kommadots|}} v_m) |{{op:Determinante|(v_1 {{kommadots|}} v_m) |}} |SZ=. }} Für {{mathl|term=n >m|SZ=}} sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension {{math|term=0|SZ=.}} Wir erweitern die in der letzten Vorlesung gezeigte natürliche Isomorphie {{mathl|term= {{makl| \bigwedge^n V |}}^* \cong \operatorname{Alt}^n (V,K) |SZ=}} zu einer natürlichen Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigwedge^n V^* |\cong| {{makl| \bigwedge^n V |}}^* |\cong| \operatorname{Alt}^n (V,K) || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen und das Dachprodukt}} Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt|Lemma|| || }} }} tvj201yo741vxrj97095sieur1vfydj 106 74874 767927 728725 2022-08-16T08:34:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|75| {{Zwischenüberschrift|term=Das Konzept einer Mannigfaltigkeit}} In der zweiten Hälfte dieses Kurses werden wir den Begriff der Mannigfaltigkeit entwickeln. Als Beispiel betrachten wir die Erde {{ Zusatz/Klammer |text=ihre Oberfläche| |ISZ=|ESZ=, }} die in der Wissenschaftsgeschichte lange für eine Scheibe gehalten wurde, und zwar aus gutem Grund. Sie sieht nämlich lokal aus wie eine Ebene. Dies spiegelt sich auch in den Karten wieder, die man sich von ihr macht. Eine Karte ist ein ebenes {{Anführung|Blatt|SZ=,}} dessen Punkte in Bijektion zu einem Ausschnitt der Erdoberfläche steht. Insbesondere bei kleinen Ausschnitten halten wir das für unproblematisch, bei Karten aber, die große Ausschnitte oder gar die gesamte Erde wiedergeben sollen, tauchen schnell Fragen auf, was die Karte richtig wiedergibt und was nicht, Fragen nach der Längentreue, Flächentreue, Winkeltreue, Fragen über fehlende Punkte oder mehrfach auftretende Punkte, Fortsetzungsfragen, Krümmungsfragen ... {{ inputbild |Stereographic projection in 3D|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Stereographic_projection_in_3D |Text=Die stereographische Projektion, wenn man die Ebene nicht durch den Äquator, sondern durch den Südpol legt. |Autor= |Benutzer=Mark.Howison |Domäne=en.Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir besprechen zunächst die {{stichwort|stereographische Projektion}} der Kugeloberfläche. {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel|zusatz1=Fußnote| }} Eine {{Stichwort|Mannigfaltigkeit|SZ=}} ist ein geometrisches Gebilde, das {{Anführung|lokal}} so aussieht wie der euklidische Raum {{math|term=\R^n|SZ=.}} Dabei setzen wir dieses geometrische Gebilde als einen {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, und lokal wird dadurch präzisiert, dass es eine Überdeckung aus offenen Mengen gibt, die homöomorph zu offenen Teilmengen des {{math|term=\R^n|SZ=}} sind. Obwohl wir im Folgenden mit topologischen Räumen arbeiten sei erwähnt, dass sich der Vorstellungsgehalt des Folgenden nicht verringert, wenn man bei einem topologischen Raum einfach an einen metrischen Raum denkt. {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}} {{:Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Einführung/Textabschnitt}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Einführung/Textabschnitt|}} Wir haben schon früher im Kontext des Zwischenwertsatzes von {{ Definitionslink |zusammenhängenden metrischen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gesprochen. Die gleiche Definition verwenden wir auch für topologische Räume. {{ inputdefinition |Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition|| }} Häufig interessiert man sich nur für zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, vor allem deshalb, da man im nicht zusammenhängenden Fall die einzelnen {{Anführung|Zusammenhangskomponenten|SZ=}} getrennt voneinander untersuchen kann. Wir besprechen kurz niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten. {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nulldimensional/Beispiel|| }} {{ inputbild |Circle - black simple|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Circle_-_black_simple |Text=Eine Kreislinie ist eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit |Autor= |Benutzer=Dakdada |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Eindimensional/Beispiel||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Allerdings haben wir den Kompaktheitsbegriff bisher nur für Teilmengen im {{math|term= \R^n |SZ=}} definiert; wir werden bald sehen, dass es sich um einen absoluten Begriff handelt, der nicht von der Einbettung abhängt. Man kann also {{math|term=\R|SZ=}} nicht irgendwie in den {{math|term= \R^n |SZ=}} homöomorph einbetten, so dass das Bild kompakt ist| |ISZ=.|ESZ= }} }} Ab der Dimension zwei ist es ohne starke zusätzliche Voraussetzungen nicht möglich, sich eine Übersicht über alle Mannigfaltigkeiten zu verschaffen. {{Fußnotenliste|}} }} 7dd11lmcpy213kb02us299bs8du5uj6 767948 767927 2022-08-16T08:39:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|75| {{Zwischenüberschrift|term=Das Konzept einer Mannigfaltigkeit}} In der zweiten Hälfte dieses Kurses werden wir den Begriff der Mannigfaltigkeit entwickeln. Als Beispiel betrachten wir die Erde {{ Zusatz/Klammer |text=ihre Oberfläche| |ISZ=|ESZ=, }} die in der Wissenschaftsgeschichte lange für eine Scheibe gehalten wurde, und zwar aus gutem Grund. Sie sieht nämlich lokal aus wie eine Ebene. Dies spiegelt sich auch in den Karten wieder, die man sich von ihr macht. Eine Karte ist ein ebenes {{Anführung|Blatt|SZ=,}} dessen Punkte in Bijektion zu einem Ausschnitt der Erdoberfläche steht. Insbesondere bei kleinen Ausschnitten halten wir das für unproblematisch, bei Karten aber, die große Ausschnitte oder gar die gesamte Erde wiedergeben sollen, tauchen schnell Fragen auf, was die Karte richtig wiedergibt und was nicht, Fragen nach der Längentreue, Flächentreue, Winkeltreue, Fragen über fehlende Punkte oder mehrfach auftretende Punkte, Fortsetzungsfragen, Krümmungsfragen ... {{ inputbild |Stereographic projection in 3D|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Stereographic_projection_in_3D |Text=Die stereographische Projektion, wenn man die Ebene nicht durch den Äquator, sondern durch den Südpol legt. |Autor= |Benutzer=Mark.Howison |Domäne=en.Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir besprechen zunächst die {{stichwort|stereographische Projektion}} der Kugeloberfläche. {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel|zusatz1=Fußnote| }} Eine {{Stichwort|Mannigfaltigkeit|SZ=}} ist ein geometrisches Gebilde, das {{Anführung|lokal}} so aussieht wie der euklidische Raum {{math|term= \R^n |SZ=.}} Dabei setzen wir dieses geometrische Gebilde als einen {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, und lokal wird dadurch präzisiert, dass es eine Überdeckung aus offenen Mengen gibt, die homöomorph zu offenen Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} sind. Obwohl wir im Folgenden mit topologischen Räumen arbeiten sei erwähnt, dass sich der Vorstellungsgehalt des Folgenden nicht verringert, wenn man bei einem topologischen Raum einfach an einen metrischen Raum denkt. {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}} {{:Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Einführung/Textabschnitt}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Einführung/Textabschnitt|}} Wir haben schon früher im Kontext des Zwischenwertsatzes von {{ Definitionslink |zusammenhängenden metrischen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gesprochen. Die gleiche Definition verwenden wir auch für topologische Räume. {{ inputdefinition |Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition|| }} Häufig interessiert man sich nur für zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, vor allem deshalb, da man im nicht zusammenhängenden Fall die einzelnen {{Anführung|Zusammenhangskomponenten|SZ=}} getrennt voneinander untersuchen kann. Wir besprechen kurz niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten. {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nulldimensional/Beispiel|| }} {{ inputbild |Circle - black simple|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Circle_-_black_simple |Text=Eine Kreislinie ist eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit |Autor= |Benutzer=Dakdada |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Eindimensional/Beispiel||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Allerdings haben wir den Kompaktheitsbegriff bisher nur für Teilmengen im {{math|term= \R^n |SZ=}} definiert; wir werden bald sehen, dass es sich um einen absoluten Begriff handelt, der nicht von der Einbettung abhängt. Man kann also {{math|term=\R|SZ=}} nicht irgendwie in den {{math|term= \R^n |SZ=}} homöomorph einbetten, so dass das Bild kompakt ist| |ISZ=.|ESZ= }} }} Ab der Dimension zwei ist es ohne starke zusätzliche Voraussetzungen nicht möglich, sich eine Übersicht über alle Mannigfaltigkeiten zu verschaffen. {{Fußnotenliste|}} }} 5evjbn8mbtzm8rr8i6z7w4hxk16lfbx 106 74875 766800 440059 2022-08-15T13:52:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|76| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen und Mannigfaltigkeiten}} Die Einheitssphäre, die wir in der letzten Vorlesung als ein motivierendes Beispiel einer Mannigfaltigkeit besprochen haben, ist die Faser zur differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^3|\R |(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} über {{math|term=1|SZ=.}} Diese Abbildung ist mit Ausnahme des Nullpunkts {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Satz über implizite Abbildung macht in dieser Situation weitreichende Aussagen über die lokale Gestalt der Faser zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n| \R^m || |SZ=, }} nämlich, dass es lokal Homöomorphismen zwischen der Faser in einem regulären Punkt und einer offenen Menge des {{math|term=\R^k|SZ=}} gibt, wobei {{math|term=k|SZ=}} die Differenz zwischen der Dimension des Ausgangsraumes und der Dimension des Zielraumes ist. Wir werden gleich sehen, dass solche Fasern nicht nur topologische Mannigfaltigkeiten, sondern auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. Wir formulieren den Satz über implizite Abbildungen in einer Version, aus der sich ablesen lässt, dass die regulären Fasern differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. {{:Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Abbildungen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Funktionen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt|}} }} 0ny6hq9h6f0mlm1z54kp5v47fxk821r 767965 766800 2022-08-16T08:42:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|76| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen und Mannigfaltigkeiten}} Die Einheitssphäre, die wir in der letzten Vorlesung als ein motivierendes Beispiel einer Mannigfaltigkeit besprochen haben, ist die Faser zur differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^3 | \R | (x,y,z) | x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} über {{math|term= 1 |SZ=.}} Diese Abbildung ist mit Ausnahme des Nullpunkts {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Satz über implizite Abbildung macht in dieser Situation weitreichende Aussagen über die lokale Gestalt der Faser zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n| \R^m || |SZ=, }} nämlich, dass es lokal Homöomorphismen zwischen der Faser in einem regulären Punkt und einer offenen Menge des {{math|term= \R^k |SZ=}} gibt, wobei {{math|term= k |SZ=}} die Differenz zwischen der Dimension des Ausgangsraumes und der Dimension des Zielraumes ist. Wir werden gleich sehen, dass solche Fasern nicht nur topologische Mannigfaltigkeiten, sondern auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. Wir formulieren den Satz über implizite Abbildungen in einer Version, aus der sich ablesen lässt, dass die regulären Fasern differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. {{:Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Abbildungen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Funktionen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt|}} }} iqfb4f8qlb21sq1kwdhahomxh83w78q 106 74876 767929 728731 2022-08-16T08:34:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|77| {{Zwischenüberschrift|term=Der Tangentialraum einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Motivation/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition|| }} {{:Differenzierbare Mannigfaltikeit/Funktorielle Eigenschaften des Tangentialraums/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Regulär/Über Rang/Definition|| }} Diese Definition verallgemeinert die entsprechende {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition |SZ= }} von euklidischen Teilmengen auf Mannigfaltigkeiten. Sie bedeutet einfach, dass bei {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{dim} (L) |\geq| \operatorname{dim} (M) || || || |SZ= }} die Tangentialabbildung in {{math|term= Q |SZ=}} surjektiv sein muss und bei {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{dim} (L) |\leq| \operatorname{dim} (M) || || || |SZ= }} injektiv sein muss. }} ql1hgh9dadwfryucxzlunhj10ftzulf 106 74877 766801 728732 2022-08-15T13:52:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|78| {{Zwischenüberschrift|term=Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}} {{:Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Durch die letzte Aussage ergibt sich auch, dass der in einem regulären Punkt {{math|term= P |SZ=}} der Faser {{math|term= M |SZ=}} einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |G|\R^k || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen, als Kern des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=als Untervektorraum von {{ Ma:Vergleichskette/k |\R^n ||T_P \R^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= | Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an die Faser als einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Der {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} ist aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Untervektorraum von {{ Ma:Vergleichskette | T_P\R^n || \R^n || || || |SZ= }} der Dimension {{mathl|term=n-k|SZ=.}} Auch der Kern des surjektiven totalen Differentials {{ Ma:abb |name={{op:Totales Differential|\varphi|P|}} |\R^n|\R^k || |SZ= }} ist ein {{mathl|term=(n-k)|SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum von {{math|term= \R^n |SZ=.}} Die Gleichheit der beiden Untervektorräume ergibt sich daraus, dass die den abstrakten Tangentialraum definierenden differenzierbaren Kurven {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|M || |SZ= }} verknüpft mit {{math|term= \varphi |SZ=}} konstant sind, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Tangentialbündel}} {{:Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Torus_vectors_oblique |Text=Ein Vektorfeld auf einem Torus. Jedem Punkt des Torus wird eine tangentiale Richtung zugeordnet, dies wird durch die Pfeile angedeutet. |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition|| }} Ein Vektorfeld weist also jedem Punkt einen Richtungsvektor in diesem Punkt zu. Man sagt auch kurz, das ein Vektorfeld ein {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} im Tangentialbündel ist. Vektorfelder führen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition|| }} Die Schnitte im Kotangentialbündel heißen {{math|term=1|SZ=-}}Differentialformen. Wir werden darauf ausführlich zurückkommen. {{Fußnotenliste|}} }} b18sq7msjhflrefyhqwulxx35hcnf2o 767994 766801 2022-08-16T08:47:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|78| {{Zwischenüberschrift|term=Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}} {{:Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Durch die letzte Aussage ergibt sich auch, dass der in einem regulären Punkt {{math|term= P |SZ=}} der Faser {{math|term= M |SZ=}} einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |G|\R^k || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen, als Kern des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=als Untervektorraum von {{ Ma:Vergleichskette/k | \R^n || T_P \R^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an die Faser als einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Der {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} ist aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Untervektorraum von {{ Ma:Vergleichskette | T_P\R^n || \R^n || || || |SZ= }} der Dimension {{mathl|term= n-k |SZ=.}} Auch der Kern des surjektiven totalen Differentials {{ Ma:abb |name= {{op:Totales Differential|\varphi|P|}} | \R^n | \R^k || |SZ= }} ist ein {{mathl|term= (n-k) |SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum von {{math|term= \R^n |SZ=.}} Die Gleichheit der beiden Untervektorräume ergibt sich daraus, dass die den abstrakten Tangentialraum definierenden differenzierbaren Kurven {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|M || |SZ= }} verknüpft mit {{math|term= \varphi |SZ=}} konstant sind, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Tangentialbündel}} {{:Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Torus_vectors_oblique |Text=Ein Vektorfeld auf einem Torus. 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Wir werden darauf ausführlich zurückkommen. {{Fußnotenliste|}} }} pmnj388anmyr8q4z5v29s9d62ffab14 106 74878 767996 728733 2022-08-16T08:49:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|79| {{Zwischenüberschrift|term=Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=also Schnitte im Kotangentialbündel| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf [[Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{ Ma:Vergleichskette | V || K^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel {{ Zusatz/Klammer |text=da keine Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste|}} }} mm63me5doheiki96hsig4co0pb5etc3 106 74880 768003 728739 2022-08-16T09:04:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|81| {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf reellen Vektorräumen}} {{:Orientierung/Vektorräume/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Bei einem eindimensionalen reellen Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=einer Geraden| |ISZ=|ESZ= }} ist eine Orientierung einfach durch einen einzigen Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} gegeben, d.h. es wird einfach eine der beiden {{Anführung|Halbgeraden}} als {{Anführung|positiv}} ausgezeichnet. Dies ist wiederum äquivalent zu einer Identifizierung von {{math|term= V |SZ=}} mit {{math|term= \R |SZ=,}} der mit der Standardorientierung versehen ist, bei der {{math|term= 1 |SZ=}} positiv ist. Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |One Big Arm|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=One_Big_Arm |Text=Eine rechtswinkende [[w:Winkerkrabbe|Winkerkrabbe]]. Wenn sie sich auf einer dreidimensionalen orientierten Mannigfaltigkeit bewegt, bleibt sie stets rechtswinkend (weshalb es sich um einen sinnvollen Begriff handelt). Auf einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit kann sie linkswinkend werden. |Autor=Charles Lam |Benutzer=Brian679 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten}} {{:Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Möbius strip|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Mobius_strip |Text=Das Möbius-Band ist das typische Beispiel einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit. Damit es eine Mannigfaltigkeit ist, darf der Rand nicht dazu gehören; dann ist es aber auch keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^3 |SZ=,}} diese sind nämlich stets orientierbar. |Autor= |Benutzer=Dbenbenn |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei einer orientierten Mannigfaltigkeit besitzt jeder Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} eine Orientierung. Man kann einfach eine beliebige Kartenumgebung {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| U || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aus dem orientierten Atlas| |ISZ=|ESZ= }} wählen und die Orientierung auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} mittels {{mathl|term= T_P(\alpha^{-1}) |SZ=}} nach {{mathl|term= T_PM |SZ=}} transportieren. Wegen der Orientierungstreue der Kartenwechsel ist diese Orientierung unabhängig von der gewählten Kartenumgebung. In einer orientierten Mannigfaltigkeit kann man auch zu zwei Basen in den Tangentialräumen zu zwei verschiedenen Punkten sagen, ob sie die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht. Dies ist der Fall, wenn beide Basen die Orientierung der Mannigfaltigkeit repräsentieren oder aber beide nicht. Eine Mannigfaltigkeit heißt {{Stichwort|orientierbar|SZ=,}} wenn sie diffeomorph zu einer orientierten Mannigfaltigkeit ist. D.h. wenn es einen Atlas gibt, der die gleiche differenzierbare Struktur definiert und der zusätzlich orientiert werden kann. {{Zwischenüberschrift|term=Kompaktheit}} {{:Kompaktheit/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt||}} {{Zwischenüberschrift|term=Maße auf Mannigfaltigkeiten}} {{:Maße auf Mannigfaltigkeiten/Allgemeines/Ansatz mit Dichten/Bemerkung}} {{Fußnotenliste|}} }} 5joyedypezwtoaxkkxn13jzq62tl435 106 74881 768011 728740 2022-08-16T09:08:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|82| {{Zwischenüberschrift|term=Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}} Zu einer Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} kann man zum Tangentialbündel {{math|term=TM|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. zum Kotangentialbündel {{math|term= T^*M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das {{math|term=k|SZ=-}}te Dachprodukt {{mathl|term= \bigwedge^k TM |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term= \bigwedge^k T^*M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bilden. Es ist punktweise für {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|M || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \bigwedge^k TM |}}_P || \bigwedge^k T_P M || || || |SZ= }} definiert und es gibt wieder eine Projektionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^k TM |M || |SZ=. }} Zu einer Karte {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} und der zugehörigen Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name= T \alpha |TU|TV {{=|}} V \times \R^n || |SZ= }} ergibt sich die Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name=\bigwedge^k ( T \alpha) |\bigwedge^k TU| \bigwedge^k TV {{=|}} V \times \bigwedge ^k \R^n || |SZ=. }} Mit Hilfe dieser Abbildungen kann man auf {{mathl|term= \bigwedge^k TM |SZ=}} eine Topologie und auch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definieren. {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die Ableitungen {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}} |SZ=}} wurden in der Vorlesung 76 eingeführt| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Zurückziehen von Differentialformen}} {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt|}} Die beschreibenden Funktionen zu einer Differentialform haben also das gleiche Transformationsverhalten wie die Dichten, die auf einer Karte ein kontinuierliches Maß auf einer Mannigfaltigkeit beschreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste}} }} c1u3pq3yb7pa2lvwc6q25rdirgynp5h 106 74882 766802 728741 2022-08-15T13:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|83| Wir kommen nun zur Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Ausgangspunkt dafür ist, dass auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension {{math|term=n|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}Form gegeben ist. Bei einer offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} mit den Koordinaten {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} entspricht dabei die Integration bezüglich der Form {{mathl|term= dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} der Integration bezüglich des Lebesgue-Maßes. Bei einer Mannigfaltigkeit muss man die Form und das zugehörige Maß {{Anführung|zusammenkleben|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Positive Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit}} In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte {{ Ma:abb |name=\alpha |U|V || |SZ= }} und einer Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} auf {{math|term=U|SZ=}} die nach {{math|term=V|SZ=}} transportierte Differentialform mit {{mathl|term= \alpha_* \omega|SZ=.}} Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form {{mathl|term= \alpha^{-1 *} \omega |SZ=.}} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die zur Karte {{math|term=U|SZ=}} gehörenden Funktionen {{math|term=f|SZ=,}} die hier mit der {{math|term=n|SZ=-}}Standardform multipliziert werden, entsprechen den am Ende der 81sten Vorlesung erwähnten Dichten, mit denen ein Maß auf der Mannigfaltigkeit beschrieben werden kann| |ISZ=.|ESZ= }} }} Dabei ist die Funktion {{math|term=f|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | f(Q) || \omega {{makl| \alpha^{-1} (Q) ,T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}(e_1) {{wedgedots|}} T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}( e_n) |}} || || || |SZ= }} festgelegt. Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit {{ Definitionslink |orientierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition|| }} Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für eine offene Menge {{mathl|term=M\subseteq \R^n|SZ=,}} eine messbare Teilmenge {{mathl|term=T \subseteq M|SZ=}} und eine positive {{math|term=n|SZ=-}}Form {{ Ma:Vergleichskette | \omega ||f dx_1 {{wedgedots}} dx_n || || || |SZ= }} ist einfach {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_T \omega || \int_T f d \lambda^n || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenformen und Orientierung}} Die Existenz einer stetigen nullstellenfreien Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit hängt eng mit ihrer Orientierbarkeit zusammen. Von der folgenden Aussage werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Umkehrung beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenform auf Fasern}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt|Korollar|| || }} Der vorstehende Satz liefert zwar in dieser wichtigen Situation die Existenz eines positiven Maßes, aber noch nicht die kanonische Volumenform, die wir in der nächsten Vorlesung über die riemannsche Metrik einführen werden. Für den Zusammenhang zwischen den beiden Konzepten siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktionen/Volumenform/Orthogonale Gradienten und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Flächenform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Integration längs einer differenzierbaren Abbildung}} {{:Mannigfaltigkeit/Differentialform/Integration längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} cm2wm218diz1xb5we2xqrexbcd6yq02 768025 766802 2022-08-16T09:13:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|83| Wir kommen nun zur Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Ausgangspunkt dafür ist, dass auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension {{math|term= n |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}Form gegeben ist. Bei einer offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} mit den Koordinaten {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} entspricht dabei die Integration bezüglich der Form {{mathl|term= dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} der Integration bezüglich des Lebesgue-Maßes. Bei einer Mannigfaltigkeit muss man die Form und das zugehörige Maß {{Anführung|zusammenkleben|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Positive Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenformen und Orientierung}} Die Existenz einer stetigen nullstellenfreien Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit hängt eng mit ihrer Orientierbarkeit zusammen. Von der folgenden Aussage werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Umkehrung beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenform auf Fasern}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt|Korollar|| || }} Der vorstehende Satz liefert zwar in dieser wichtigen Situation die Existenz eines positiven Maßes, aber noch nicht die kanonische Volumenform, die wir in der nächsten Vorlesung über die riemannsche Metrik einführen werden. Für den Zusammenhang zwischen den beiden Konzepten siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktionen/Volumenform/Orthogonale Gradienten und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Flächenform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Integration längs einer differenzierbaren Abbildung}} {{:Mannigfaltigkeit/Differentialform/Integration längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} m4a2544y1llb0kmjjvhva98o8otz558 106 74883 768029 728744 2022-08-16T09:17:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|84| {{ inputbild |Georg Friedrich Bernhard Riemann|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann |Text=[[w:Georg Friedrich Bernhard Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)]] |Autor= |Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htm }} {{Zwischenüberschrift|term=Riemannsche Mannigfaltigkeiten}} Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius {{math|term= r |SZ=}} besitzt den Flächeninhalt {{mathl|term= 4 \pi r^2 |SZ=.}} Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wie eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann. {{ inputbild |Sphere with three handles|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Sphere_with_three_handles |Text=Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|}} Die einfachsten Beispiele sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} wobei sich das Standardskalarprodukt direkt auf {{math|term= M |SZ=}} überträgt. {{Zwischenüberschrift|term=Vektorfelder und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit}} Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt|Lemma||zusatz={{{zusatz2|}}} || }} {{ inputbemerkung |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit}} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste|}} }} noja8z49wtqmzv5dw89trhytq2owhnk 106 74884 768031 430744 2022-08-16T09:18:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|85| In dieser Vorlesung setzen wir die Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten fort und berechnen insbesondere einige Flächeninhalte. {{Zwischenüberschrift|term=Berechnungen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten}} {{ inputfaktbeweis |Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt|Korollar|| || }} Mit diesem Ansatz kann man beispielsweise den Flächeninhalt der Einheitssphäre berechnen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt|Korollar||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote || }} {{ inputbemerkung |Graph einer Funktion/Zweidimensional/EFG-Formel/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Flächenberechnung/Ignorierung von Nullmengen/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Rotationsflächen}} {{:Rotationsflächen/Riemannsch/Flächeninhalt/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Kartographie}} Die {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Kartographie beschäftigt sich mit Karten für die Oberfläche einer Kugel. {{ inputbild |Cilinderprojectie-constructie|jpg| 350px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=KoenB |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Flächenberechnung/Beispiel|| }} Die {{Stichwort|Mercator-Projektion|SZ=}} geht von der zuletzt genannten Projektion aus, ersetzt aber das unbeschränkte Intervall {{math|term= \R |SZ=}} über eine Diffeomorphie durch ein beschränktes Intervall, so dass eine winkeltreue Karte entsteht. {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} 2zrp4qpnn00n6pr9bexqr6x8g3bns7b 106 74885 768033 728747 2022-08-16T09:20:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|86| {{Zwischenüberschrift|term=Die äußere Ableitung}} In dieser Vorlesung werden wir ein neuartiges mathematisches Objekt kennenlernen, die sogenannte äußere Ableitung. Es handelt sich dabei um einen Ableitungsbegriff, der aus Differentialformen vom Grad {{math|term= k |SZ=}} Differentialformen von Grad {{mathl|term= k+1 |SZ=}} macht. Für eine Differentialform vom Grad {{math|term= 0 |SZ=,}} also eine Funktion {{math|term= f |SZ=,}} ist die zugehörige äußere Ableitung einfach die {{math|term= 1 |SZ=-}}Form {{math|term= df |SZ=,}} also die Differentialform, die jedem Punkt {{math|term= P |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem euklidischen Raum| |ISZ=|ESZ= }} das totale Differential {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Totales Differential|f|P}} | \R^n | \R || |SZ= }} bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=bei einer Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die Tangentialabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= T_P(f) |T_PM|\R || |SZ= }} zuordnet. In der eindimensionalen Differentialrechnung sind Funktionen und ihre Ableitungen bzw. Stammfunktionen gleichartige Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt auch noch für differenzierbare Kurven| |ISZ=|ESZ=, }} aber schon bei der Einführung des totalen Differentials zu einer Funktion in mehreren Variablen war die Ableitung ein fundamental anderes Objekt als die Funktion. Zwar können entlang vorgegebener Richtungen höhere Richtungsableitungen definiert werden, die selbst wieder Funktionen sind, doch erfassen diese jeweils nur einen Teilaspekt der Ableitung der Funktion, während das totale Differential die volle Information enthält. Mit diesem wesentlichen Unterschied von Funktion und Ableitung hängt auch zusammen, dass wir uns im Höherdimensionalen noch nicht mit der umgekehrten Frage beschäftigt haben, welche Ableitungen eine Stammfunktion besitzen. Eine Funktion in mehreren Variablen kann keine Stammfunktion besitzen, nur für eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Differentialform {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. das zugehörige Vektorfeld| |ISZ=|ESZ= }} ist dies eine sinnvolle Fragestellung. Der Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der Richtungsableitungen stellt dabei schon ein wichtiges notwendiges Kriterium für die Existenz einer Stammfunktion zu einer {{math|term= 1 |SZ=-}}Differentialform dar. Mit der Theorie der äußeren Ableitungen findet die Frage nach Stammfunktionen bzw. Stammformen ihren natürlichen Rahmen. Darüber hinaus erlaubt sie, den Satz von Stokes prägnant zu formulieren. Ferner können mit der äußeren Ableitung wesentliche topologische Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit charakterisiert werden, was allerdings weit über diese Vorlesung hinausgeht. {{:Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition|| }} {{ inputdefinition |Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Exakt/Definition|| }} Eine exakte Differentialform ist also eine Differentialform, für die es eine {{Stichwort|Stammform|SZ=}} {{math|term= \sigma |SZ=}} gibt. Mit diesen Begriffen kann man die obige Aussage {{ Ma:Vergleichskette | dd || 0 || || || |SZ= }} so formulieren, dass jede exakte Form geschlossen ist. Die Geschlossenheit ist also eine notwendige Bedingung dafür, dass es eine Stammform geben kann. Es sei hier ohne Beweis bemerkt, dass dieses notwendige Kriterium für den {{math|term= \R^n |SZ=}} auch hinreichend ist. Diese Äquivalenz gilt aber keineswegs auf jeder Mannigfaltigkeit. {{Zwischenüberschrift|term=Euklidische Halbräume}} {{:Euklidischer Halbraum/Einführung/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt}} }} 5t9etyz2ckswzqx6ty4zxxe9201oys0 106 74886 767931 728748 2022-08-16T08:34:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|87| {{Zwischenüberschrift|term=Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=Fußnote}} Wir wissen bereits, dass die Faser einer differenzierbaren regulären Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten die Struktur einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit trägt. Auf einem ähnlichen Argument beruht der folgende Satz, der die Existenz von sehr vielen berandeten Mannigfaltigkeiten sichert. {{ inputfaktbeweis |Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quader/Ohne Kanten und Ecken/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand}} Der {{math|term=\R^n|SZ=}} sei mit der durch die Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, ferner sei der Halbraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | H_{\leq 0} || {{mengebed|x \in \R^n|x_1 \leq 0 }} || || || |SZ= }} als der {{Anführung|innere Halbraum|}} ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene {{ Zusatz/Klammer |text=also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit {{mathlk|term= H_{\leq 0} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= E= {{mengebed|x \in \R^n|x_1 {{=|}} 0 }} |SZ= }} durch die Basis {{mathl|term= e_2 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} definierte Orientierung die {{Stichwort|Orientierung durch die äußere Normale|SZ=.}} Eine beliebige Basis {{mathl|term= v_2 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} von {{math|term=E|SZ=}} repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|H_+ || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das bedeutet, nach {{Anführung|außen|SZ=,}} also raus aus dem Halbraum zu zeigen| |ISZ=|ESZ= }} die Basis {{mathl|term= v,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term=v|SZ=}} zuerst| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term=\R^n|SZ=}} die Ausgangsorientierung repräsentiert {{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist für eine Halbgerade {{ Ma:Vergleichskette |H || \R_{\geq 0} |\subseteq| \R || || |SZ= }} mit seinem einzigen Randpunkt {{math|term= \{0\} |SZ=}} folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf {{mathl|term= \{0\} |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ=, }} und {{math|term=-|SZ=}} repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| \R_- || || || |SZ= }} der entgegengesetzte Vektor {{math|term=-w|SZ=}} die Standardorientierung von {{math|term= \R|SZ=}} repräsentiert. Für den negativen Halbraum {{mathl|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} repräsentiert hingegen im Nullpunkt {{math|term=+|SZ=}} die Orientierung durch die äußere Normale| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} in einem Randpunkt {{math|term=P|SZ=}} eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum {{mathl|term= T_P (\partial M)|SZ=}} des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine {{Anführung|innere|}} und eine {{Anführung|äußere Hälfte|}} des Tangentialraumes. {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt|Satz|| || }} {{Fußnotenliste}} }} fukrnq979s5sy55bkrczrb21sdb99f5 768035 767931 2022-08-16T09:23:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|87| {{Zwischenüberschrift|term=Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=Fußnote}} Wir wissen bereits, dass die Faser einer differenzierbaren regulären Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten die Struktur einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit trägt. Auf einem ähnlichen Argument beruht der folgende Satz, der die Existenz von sehr vielen berandeten Mannigfaltigkeiten sichert. {{ inputfaktbeweis |Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quader/Ohne Kanten und Ecken/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Rand/Orientierung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} bgilhb9sn9ba3cw8xbalnh3k5s93a0a 106 74888 768040 449126 2022-08-16T09:27:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|89| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{ Ma:Vergleichskette | \tau || dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}Form zu realisieren, beispielsweise mit {{ Ma:Vergleichskette | \omega || x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| || }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} np6xbkbxc1xjy0poon9hzpy5u5ks7mb 10 75073 766645 431441 2022-08-15T12:05:59Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |SZ= }} und es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name={{{\varphi|\varphi}}} |{{{V|V}}}|{{{V|V}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |nilpotente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endomorphismus/Nilpotent/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Körper/Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0zgby216an09585iu9fwph9sk1ihlfd 0 76482 766824 715053 2022-08-15T13:57:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Wenn {{math|term=T|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} ein {{mathl|term=x_n \in T|SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Abstand|x_n|0}} \geq {{op:Bruch|1| n}} |SZ=.}} Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn {{math|term=T|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge|x}} \in T |SZ=,}} die gegen ein {{mathl|term=x \in \R^{{{m|m}}},\, x \not \in T|SZ=,}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen {{math|term=x|SZ=,}} so dass es eine in {{math|term=T|SZ=}} konvergente Teilfolge geben muss. Sei nun {{math|term=T|SZ=}} abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge|x}} \in T|SZ=}} vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_{in} }} |SZ=}} beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente {{mathl|term=i=1|SZ=.}} Nach dem {{ Faktlink |Satz von Bolzano-Weierstrass|Faktseitenname= Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine Teilfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied =x_{n_j} }} |SZ=}} derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konvergiert dann die gesamte Teilfolge in {{mathl|term=\R^{{{m|m}}}|SZ=.}} Da {{math|term=T|SZ=}} abgeschlossen ist, liegt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Grenzwert in {{math|term=T|SZ=.}} 17hck6ii8mublwdxqgin7ovc3sfkwvz 106 79313 767580 691336 2022-08-15T16:40:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung|27| {{Zwischenüberschrift|term=Maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmengen}} Wir wollen die Vollständigkeit der modallogischen Modelle zeigen, d.h. die Beziehung, dass wenn aus einer modallogischen Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} die Gültigkeit von {{math|term=\alpha|SZ=}} folgt, dass dann {{math|term=\alpha|SZ=}} bereits aus {{math|term=\Gamma|SZ=}} modallogisch ableitbar ist. Die Ausdrucksmenge umfasst dabei stets das System {{math|term=K|SZ=}} und unter modallogisch ableitbar meint man ableitbar mit Hilfe von Modus ponens und der Nezessisierungsregel. Dies muss hier betont werden, da es auf der Modellseite in natürlicher Weise Ausdrucksmengen gibt, die unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen sind, und solche, die es nicht sind. In einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Gamma|SZ=}} gelten das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Distributionsaxiom| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die aussagenlogischen Tautologien und weitere, für {{math|term=\Gamma|SZ=}} spezifische Ausdrücke. Ferner ist {{math|term=\Gamma|SZ=}} abgeschlossenen unter dem Modus ponens und der Nezessisierungsregel. In einem modallogischen Modell {{mathl|term=(M,R,\mu)|SZ=,}} das {{math|term=\Gamma|SZ=}} erfüllt, gilt {{math|term=\Gamma|SZ=}} in jedem Weltpunkt {{mathl|term=w \in M|SZ=,}} also {{ math/disp|term= (M,R,\mu,w) \vDash \Gamma |SZ=. }} Die Gültigkeitsmenge in einem Weltpunkt ist unter aussagenlogischen Operationen und insbesondere unter dem Modus ponens abgeschlossen. Dagegen ist die Gültigkeitsmenge in einem Weltpunkt {{Betonung/Negation|nicht}} unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen. Im allgemeinen muss es zu einem modallogischen System überhaupt keine vollständige widerspruchsfreie Erweiterung geben, die der Nezessisierungsregel genügt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Beweisbarkeitslogik/Antiableitungsfixpunkt/Keine Vervollständigung mit Nezessisierungsregel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Von daher verstehen wir unter einer widerspruchsfreien Teilmenge innerhalb einer modallogischen Sprache {{math|term=L|SZ=}} eine Teilmenge {{mathl|term=W \subseteq L|SZ=,}} die die {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} umfasst und die unter Modus ponens abgeschlossen ist und keinen {{ Zusatz/Klammer |text=aussagenlogischen| |ISZ=|ESZ= }} Widerspruch enthält. Maximal widerspruchsfrei bedeutet wieder, dass aus jeder echten Erweiterung ein Widerspruch aussagenlogisch ableitbar ist. Zu jeder Welt {{mathl|term=w \in M|SZ=}} in einem beliebigen {{ Definitionslink |Prämath= |modallogischen Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(M,R,\mu)|SZ=}} von {{math|term=K|SZ=}} ist die Gültigkeitsmenge {{mathl|term=(M,R,\mu,w)^\vDash|SZ=}} eine solche Teilmenge. {{ inputfaktbeweis |Modallogik/K/System/Widerspruchsfrei/Auffüllung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Das universelle modallogische Modell}} In einer jeden Welt in einem modallogischen Modell {{mathl|term=(M,R,\nu)|SZ=}} ist die Gültigkeitsmenge maximal widerspruchsfrei. Für zwei Welten {{mathl|term=w,v \in M|SZ=}} gilt dabei {{ math/disp|term= \text{Wenn } wRv, \text{ dann } {{makl| v \vDash \alpha \Rightarrow w \vDash \Diamond \alpha |}} |SZ=. }} Die rechte Seite kann man also als eine notwendige Bedingung dafür ansehen, dass {{math|term=v|SZ=}} von {{math|term=w|SZ=}} aus erreichbar ist. Im universellen modallogischen Modell definiert man die Erreichbarkeitsrelation durch diese notwendige Bedingung. {{ inputkonstruktion |Modallogik/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung||| || }} Wir identifizieren also Welten mit der Menge der in ihnen gültigen modallogischen Aussagen. Wenn {{math|term=R|SZ=}} eine Erreichbarkeitsrelation sein soll, so muss diese Beziehung gelten. Die rechte Seite ist dabei eine Implikation, keine Äquivalenz; es wird nicht gefordert, dass aus {{mathl|term=\Diamond \alpha \in W|SZ=}} auch {{mathl|term=\alpha \in V|SZ=}} folgt. {{ inputkonstruktion |Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung||| || }} Die Relation und die Belegung im {{math|term=\Gamma|SZ=-}}universellen modallogischen Modell stimmen mit dem universellen Modell überein, es hndelt sich also um einen Teilgraphen. Es ist unser Ziel zu zeigen, dass im {{math|term=\Gamma|SZ=-}}universellen modallogischen Modell {{mathl|term=(U,R,\mu,W)|SZ=}} genau die Ausdrücke aus {{math|term=W|SZ=}} gelten. {{ inputfaktbeweis |Modallogik/Ableitung/Notwendigkeitsversion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modallogik/Möglichkeitsaussage/Weltrealisierung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modallogik/System/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Vollständigkeit der Modallogik}} {{ inputfaktbeweis |K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbemerkung |K-Modallogik/Vollständigkeit/Warnung/Bemerkung|| }} }} a35xb3x1kmsvseo70bvtjapt5b5vbzz 106 80118 767579 585129 2022-08-15T16:40:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Körper/Q und R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktkonfiguration in Ebene/Keine lineare Abbildung/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammengesetztes Funktionssymbol/fggg/Symbolkette/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionale Hülle/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der Mathematik interessiert man sich nicht nur für die von einer Teilmenge einer Struktur erzeugte funktionale Hülle, sondern auch für Unterstrukturen, in denen zusätzlich noch die gleichen Gesetzmäßigkeiten {{ Zusatz/Klammer |text=ausgedrückt durch ein Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wie in der Struktur gelten, beispielsweise die von einer Teilmenge erzeugten Untergruppen, Unterringe, Unterkörper, Untervektorräume. Diese von einer Teilmenge erzeugten {{math|term= {{Symbolalphabet|}}-\Gamma |SZ=-}}Strukturen kann man oft, wenn es sie überhaupt gibt, als Durchschnitt über alle {{math|term= {{Symbolalphabet|}}-\Gamma |SZ=-}}Unterstrukturen erhalten, die die Teilmenge umfassen. {{ inputaufgabe |Gruppe/Z/Funktionale Hülle und Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Surjektive Abbildung/Unterstruktur/Durchschnitt erfüllt nicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer {{math|term=S|SZ=-}}Struktur {{math|term=M|SZ=}} und einer {{math|term=S|SZ=-}}Unterstruktur {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq |M || || || |SZ= }} versteht man unter der relativen {{math|term=S|SZ=-}}{{Stichwort|Automorphismengruppe|SZ=}} von {{math|term=M|SZ=}} bezüglich {{math|term=N|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath=S |Automorphismen| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} die die Elemente aus {{math|term=N|SZ=}} in sich überführen. Sie wird mit {{mathl|term=S-{{op:Aut|M|N}} |SZ=}} bezeichnet. {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Galoistheorie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Konstantenanreicherung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an die Definition eines algebraisch abgeschlossenen Körpers. Die komplexen Zahlen {{math|term={{CC}}|SZ=}} sind algebraisch abgeschlossen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Fundamentalsatz der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} nicht. {{:Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition}} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Definition mit Axiomenschema/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Endliche Struktur/Logische Äquivalenzklassen/Isomorphie/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Supremumseigenschaft/Reell-abgeschlossen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Verwende{{n Sie}}, dass Polynomfunktionen auf einem angeordneten Körper stetig sind. }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Punktestand/Charakterisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Gleicher Punktestand/Nicht isomorph/Beispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 8nv6crk8zpx47o6zxblpa9lrng51y6l 106 82822 767589 666320 2022-08-15T16:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|term=Zahlbereiche}} Wir werden uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den ganzen Abschluss von {{math|term=\Z|SZ=}} in einem endlichen {{ Definitionslink |Erweiterungskörper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition |SZ= }} der rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} interessieren. {{inputdefinition|Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition|}} Den endlichen Erweiterungskörper {{math|term=L|SZ=}} von {{math|term=\Q|SZ=}} nennt man übrigens einen {{Stichwort|Zahlkörper|SZ=.}} Diese Zahlbereiche sind der Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie. Wir interessieren uns in der algebraischen Zahlentheorie insbesondere für folgende Fragen. {{:Zahlbereiche/Primfaktorzerlegung/Motivierende Fragen/Bemerkung}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Normal/Fakt|Satz|||}} Ein Ganzheitsring ist im Allgemeinen nicht faktoriell. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ganzheitsring/Normal/Quotientenkörper/Ganz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Eisenstein-Zahlen/Ganzheitsring/Beispiel|| }} {{inputfaktbeweis|Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Minimalpolynom mit ganzzahligen Koeffizienten/Fakt|Satz|}} Es ergibt sich insbesondere, dass die Norm und die Spur von Elementen aus einem Zahlbereich zu {{math|term=\Z|SZ=}} gehören. {{Zwischenüberschrift|term=Gruppenstruktur von Idealen}} In {{mathl|term=\Z[{{Imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |(a+b{{Imaginäre Einheit|}} ) || {{Mengebed| m (a+b {{Imaginäre Einheit|}} ) + n {{Imaginäre Einheit|}} ( a+b {{Imaginäre Einheit|}}) |m,n \in \Z }} |\cong| \Z^2 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt| |ISZ=|ESZ=. }} Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir jetzt beweisen werden. {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt|Lemma|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt|Korollar|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt|Korollar||}} Ein solches System von Erzeugern {{mathl|term=b_1 {{kommadots|}} b_n|SZ=}} nennt man auch eine {{Stichwort|Ganzheitsbasis|SZ=}} von {{math|term=R|SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt|Korollar|}} {{Zwischenüberschrift|term=Noethersche Ringe und Dedekind-Bereiche}} {{ inputbild |Noether|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Text=[[w:Emmy Noether|Emmy Noether (1882-1935)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung=http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/course/c_energy/energyl/lec001.html }} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition|}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Sind noethersch/Fakt|Korollar||}} {{inputfaktbeweis2|Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis|Zahlbereiche/Primideale ungleich null sind maximal/Fakt|Satz||||}} {{ inputbild |Dedekind|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} |Text= [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831-1916)]] |Autor=Jean-Luc W |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160 }} Die bisher etablierten Eigenschaften von Zahlbereichen lassen sich im folgenden Begriff zusammenfassen. {{inputdefinition|Dedekindbereich/Definition|}} Die Eigenschaft, dass jedes von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Primideal maximal ist, bedeutet, dass die maximalen Ketten von Primidealen die Form {{ Ma:Vergleichskette |0 |\subset| {{idealm}} || || || |SZ= }} besitzen {{ Zusatz/Klammer |text=wenn ein Körper vorliegt, so gibt es nur das einzige Primideal {{math|term=0|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Man sagt auch, dass die {{Stichwort|Krulldimension|SZ=}} des Ringes gleich {{math|term=1|SZ=}} ist. {{inputfaktbeweis|Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt|Korollar||||}} }} 95ozvnstt4po03psgjc0fq2asbj2bc9 106 82862 767588 489503 2022-08-15T16:42:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblattgestaltung|28| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Matrix/Z/2/Invertierbarkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Diskriminante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Einfach/Bilderzeugung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Transformation/Gramsche Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Transformation/Matrixdarstellung/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Einfachheit/Eigenschaft der Äquivalenzklasse/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Form/x^2-10y^2/2 nicht darstellbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Unter einer homogenen Linearform versteht man einen Ausdruck der Form {{mathl|term=rX+sY|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Zerfällt über C/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Verhalten über R/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |c ||0 || || || |SZ= }} ist die Diskriminante gleich {{math|term=b^2|SZ=,}} also ein Quadrat, und die Form zerfällt in {{mathl|term=Y(bX+cY)|SZ=.}} Ein ähnliches Verhalten tritt stets aus, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Dieser Fall ist vergleichsweise einfach und hat keine Entsprechung in den quadratischen Zahlbereichen. {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Diskriminante Quadrat/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Diskriminante/Quadratfrei bis auf 4/Einfach/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Z/Quadratische Form/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Form/Einschränkung auf Untermodul/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei der nächsten Aufgabe denke man an {{math|term=S=\Q|SZ=,}} {{mathl|term=R=\Z|SZ=,}} bei {{math|term=L|SZ=}} an den Quotientenkörper eines quadratischen Zahlbereichs zusammen mit der Norm als quadratischer Form {{ Zusatz/Klammer |text=mit Werten in {{math|term=\Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und bei {{math|term=M|SZ=}} an ein {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochenes Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Quadratische Form/Einschränkung auf Untermodul/Unterring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Form/Lineare Abbildung/Rückzug/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Äquivalente Ideale/Äquivalente Form/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Ideal mit vereinfachter Norm/Binäre quadratische Form/Korrespondenz/Strikte Äquivalenz/a negative/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Q-linear/Normerhaltung/Konjugation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |2x2-Matrix/Zeile/Ergänze/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Diskriminante/Berechne/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Binäre quadratische Form/Einfachheit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Form/2x^2+2xy+3y^2/5 nicht darstellbar/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} fy1qpat5csi9qdzb0q7qymhxnjzmvqa 0 83349 766830 604305 2022-08-15T14:04:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{math|term=n|SZ=-}}elementige Menge und {{ Ma:Vergleichskette/disp |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{math|term=k|SZ=-}}elementige Teilmenge. Wir betrachten die Menge aller bijektiven Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name= |{{Menge1n}}|M || |SZ=, }} die zusätzlich {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} k\} |SZ=}} auf {{math|term=T|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und damit| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= \{k+1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} auf {{mathl|term= M \setminus T |SZ=}} abbilden. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es {{mathl|term=k! \cdot (n-k)!|SZ=}} solche Abbildungen. Insgesamt gibt es {{math|term=n!|SZ=}} bijektive Abbildungen von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} nach {{math|term=M|SZ=.}} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \text{Anzahl der } k\text{-elementigen Teilmengen von } M |}} \cdot k! \cdot (n-k)! || n! || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{mathl|term= k! \cdot (n-k)!|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=n!|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Binom|n|k}} || {{op:Bruch|n!|k! (n-k)!}} || || || |SZ= }} die Anzahl der {{math|term=k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term=M|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hm6bxh3ukjp22y4nicxcn420iyhnsun 0 86827 766831 667450 2022-08-15T14:04:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term=a,b |SZ=}} natürliche Zahlen mit {{math|term=b|SZ=}} positiv. Beim {{Stichwort|Divisionsalgorithmus|SZ=}} {{mathl|term=a:b|SZ=}} führt man sukzessive die {{ Zusatz/Klammer |text=unendlich vielen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Divisionen mit Rest| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a || z_0 \cdot b + r_0 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |10 \cdot r_0 || z_{-1} \cdot b + r_{-1} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |10 \cdot r_{-1} || z_{-2} \cdot b + r_{-2} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |10 \cdot r_{-2} || z_{-3} \cdot b + r_{-3} || || || |SZ=, ... }} aus, d.h. man berechnet rekursiv{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Über die beste Indizierung hier kann man streiten. Der Vorteil bei der gewählten Indizierung ist, dass sich die Ziffer {{math|term=z_{-i}|SZ=}} auf {{math|term=10^{-i}|SZ=}} bezieht| |ISZ=.|ESZ= }} aus {{mathl|term=r_{-i}|SZ=}} mittels {{ Ma:Vergleichskette/disp |10 \cdot r_{-i} || z_{-i-1} \cdot b + r_{-i-1} || || || |SZ= }} die {{mathl|term= z_{-i-1} |SZ=}} und die {{mathl|term= r_{-i-1} |SZ=.}} Die Folge {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|Ziffernfolge|msw=Ziffernfolge (Divisionsalgorithmus)|SZ=}} und die Folge {{ mathbed|term= r_{-i} ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|Restefolge|msw=Restefolge (Divisionsalgorithmus)|SZ=}} des Divisionsalgorithmus. |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0sjp8xf5h0my6nfu3r0gyidmycgr7vs 0 87602 766833 500126 2022-08-15T14:07:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||0 || || || |SZ= }} ist der Restklassenring gleich {{math|term=\Z|SZ=}} selbst und kein Körper. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:kl|0|}} || {{op:kl|1|}} || || || |SZ=. }} Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und {{math|term=1|SZ=}} ist keine Primzahl. Sei also von nun an {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term=n|SZ=}} keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||rs || || || |SZ= }} mit kleineren Zahlen {{ Ma:Vergleichskette/disp |1 |<|r,s |<|n || || |SZ=. }} Im Restklassenring {{mathl|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} bedeutet dies, dass die Restklassen {{ mathkor|term1= {{op:kl|r|}} |und|term2= {{op:kl|s|}} |SZ= }} nicht {{math|term=0|SZ=}} sind, dass aber ihr Produkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:kl|r|}} {{op:kl|s|}} ||{{op:kl|rs|}} ||{{op:kl|n|}} || 0 || |SZ= }} ist. Das kann nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Integritätsbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in einem Körper nicht sein. Sei nun {{math|term=n|SZ=}} eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Restklasse {{ mathbed|term= {{op:kl|r|}} ||bedterm1= 0 < r < n ||bedterm2= |SZ=, }} ein inverses Element besitzt. Da {{math|term=n|SZ=}} prim ist, sind {{ mathkor|term1= r |und|term2= n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Bezout|Faktseitenname= Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es ganze Zahlen {{mathl|term=a,b|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |ar+bn ||1 || || || |SZ=. }} Dies führt im Restklassenring zur Identität {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:kl|1|}} || {{op:kl|ar +bn|}} || {{op:kl|a |}} {{op:kl|r |}} + {{op:kl|b |}} {{op:kl|n |}} || {{op:kl|a |}} {{op:kl|r |}} || |SZ=, }} die besagt, dass {{ mathkor|term1= {{op:kl|r |}} |und|term2= {{op:kl|a |}} |SZ= }} invers zueinander sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtg5847iimhf21erc8k3o4bl7y3dxdx 106 91518 768014 749379 2022-08-16T09:08:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|7| {{Motto| |Text= Schläft ein Lied in allen Dingen, Die da träumen fort und fort, Und die Welt hebt an zu singen, Triffst du nur das Zauberwort. |Autor=Joseph Freiherr von Eichendorff }} {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Unabhängigkeit}} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Linear unabhängig/Endliche Indexmenge/Definition|| }} Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie {{Stichwort| linear abhängig|SZ=.}} Man nennt übrigens eine Linearkombination {{mathl|term=\sum_{i \in I} s_i v_i= 0|SZ=}} eine {{Stichwort|Darstellung des Nullvektors|SZ=.}} Sie heißt die {{Stichwort|triviale Darstellung|SZ=,}} wenn alle Koeffizienten {{math|term=s_i|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht {{math|term=0|SZ=}} ist, spricht man von einer {{Stichwort|nichttrivialen Darstellung der Null|SZ=.}} Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann. Dies ist auch äquivalent dazu, dass man keinen Vektor aus der Familie als Linearkombination der anderen ausdrücken kann. {{ inputbeispiel |Standardvektoren/Linear unabhängig/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Unabhängigkeit/(3,3,3), (0,4,5), (4,8,9)/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Linear unabhängig/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung|| }} Für eine unendliche Familie definieren wir. {{ inputdefinition |Lineare_Algebra/Linear_unabhängig/Definition|| }} Damit ist die lineare Unabhängigkeit bei einer beliebigen Familie auf den endlichen Fall zurückgeführt. Man beachte, dass es in einem Vektorraum keine unendlichen Summen gibt, ein Ausdruck wie {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{n \in \N} s_n v_n ||0 || || || |SZ= }} kann also von vornherein bei Untersuchungen zur linearen Unabhängigkeit keine Rolle spielen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Linear unabhängig/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Basen}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Basis/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Standardvektoren/Basis aus linear unabhängig/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |K^n/Unterraum/Summe ist 0/Basis/Beispiel|| }} Für die komplexen Zahlen bilden {{mathl|term=1, {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} eine reelle Basis. Im Raum der {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term={{op:Mat|m|n|K}}|SZ=}} bilden diejenigen Matrizen, die an genau einer Stelle eine {{math|term=1|SZ=}} und sonst überall {{math|term=0|SZ=}} stehen haben, eine Basis, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Matrizen/Standardmatrizen/Basis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Basis/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Charakterisierungssatz für eine Basis}} Der folgende Satz gibt eine wichtige Charakterisierung dafür, wann eine Basis vorliegt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bijektion/Bemerkung||zusatz1=Fußnote }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlich erzeugt/Basis/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Vektorraum/Beliebig/Satz von Hamel/Bemerkung|| }} {{Fußnotenliste|}} }} 9r9wzax9x558cm6xq0vauh9t97yfnxd 106 91526 768005 749371 2022-08-16T09:07:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Unterräume und Dualraum}} Untervektorräume eines {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraumes {{math|term=V|SZ=}} stehen in direkter Beziehung zu Untervektorräumen des {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraumes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=.}} {{:Vektorraum/Dualraum/Unterräume/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=&nbsp;Im zweiten Semester, wenn wir Skalarprodukte zur Verfügung haben, wird es auch einen Orthogonalraum zu {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=}} selbst geben.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt|Korollar|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die duale Abbildung}} {{:Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Nach endlichdimensional/Darstellung mit Linearformen/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote || }} {{ inputfaktbeweis |Duale Abbildung/Duale Basis/Matrix/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote || }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Bidual}} {{:Vektorraum/Bidual/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} nlu612hvn2euq4f0fzridoandmdikdb 106 91527 768006 749372 2022-08-16T09:07:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|16| {{Zwischenüberschrift|term=Die Determinante}} Kann man einer quadratischen {{math|term=n \times n|SZ=-}}Matrix {{Anführung|auf einen Blick}} ansehen, ob sie {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? Gibt es einen Ausdruck in den {{math|term=n^2|SZ=}} Einträgen der Matrix, mit dem man dies entscheiden kann? Diese Frage wird positiv durch die Determinante beantwortet. {{:Determinante/Körper/Rekursiv/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Multilineare und alternierende Abbildungen}} Wir führen zwei Begriffe ein, die wir im Moment hauptsächlich zum weiteren Verständnis der Determinante brauchen. {{ inputdefinition |Multilineare Abbildung/K/Definition|| }} Bei {{mathl|term=n=2|SZ=}} spricht man auch von {{Stichwort|bilinear|SZ=.}} Beispielsweise sind die Multiplikation in einem Körper {{math|term=K|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K \times K|K |(x,y)|xy |SZ=, }} und zu einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} die Auswertungsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V \times {{op:Dualraum|V|}} |K |(v,f)| f(v) |SZ=, }} bilinear. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition|| }} Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen. {{ inputfaktbeweis |Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Determinante ist eine alternierende Abbildung}} Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Matq|n|K}} |\cong| (K^n)^n || || || |SZ= }} vornimmt, bei der einer Matrix das {{math|term=n|SZ=-}}Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor1n|v}} |SZ= }} auf, wobei die einzelnen Einträge {{math|term=v_i|SZ=}} Zeilenvektoren der Länge {{math|term=n|SZ=}} sind. {{ inputfaktbeweis |Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut üerblicken, wie sich die Determinate bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl {{math|term=s|SZ=}} multipliziert, so muss man die Determinante auch mit {{math|term=s|SZ=}} multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein Vielfaches davon| |ISZ=|ESZ= }} zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht. {{ inputfaktbeweis |Determinante/Null, Linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Determinant parallelepiped|svg| 300px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Determinant_parallelepiped |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbemerkung |Determinante/R/Zusammenhang zu Volumen/Bemerkung|| }} Für einen Beweis der eben genannten Beziehung zwischen Determinante und Volumen siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} frqn81yhqp7xcpa1kcz9k1lfcihkey8 106 91530 768007 749373 2022-08-16T09:07:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|19| In den folgenden Vorlesungen werden wir versuchen, eine quadratische {{ Definitionslink |Prämath=d \times d |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. einen Endomorphismus| |ISZ=|ESZ= }} dadurch zu verstehen, dass wir Ausdrücke der Form {{ math/disp|term= a_nM^n + a_{n-1} M^{n-1} {{plusdots|}} a_2M^2 +a_1 M^1 + a_0 M^0 |SZ= }} untersuchen, wobei {{math|term=M^{i}|SZ=}} als das {{math|term=i|SZ=-}}fache Matrixprodukt der Matrix mit sich selbst und {{math|term=M^0|SZ=}} als Einheitsmatrix {{math|term=E_d|SZ=}} zu interpretieren ist. Solche Ausdrücke ergeben sich, indem man in Polynome Matrizen einsetzt. In dieser Vorlesung führen wir Polynome und den Polynomring ein. {{Zwischenüberschrift|term=Der Polynomring über einem Körper}} {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{mathl|term=P={{polynomX|n|a|i}}={{polynomX/dots|n|a}}|SZ=}} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term=(a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n )|SZ=,}} die die {{Stichwort|term=Koeffizienten|SZ=}} des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper {{math|term=K|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|term=Grundkörper|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine kommutative Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|term=Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten {{math|term=0|SZ=}} sind| |SZ= }} als neutralem Element. Die Polynome mit {{mathl|term=a_i=0|SZ=}} für alle {{mathl|term=i \geq 1|SZ=}} heißen {{Stichwort|term=konstante Polynome|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term=a_0|SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term=X^{n} \cdot X^{m}|SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten, also {{ Ma:Vergleichskette | X^{n} \cdot X^{m} |{{defeq}}| X^{n+m} || || || |SZ=, }} gegeben. Dabei nennt man {{math|term=X|SZ=}} die {{Stichwort|term=Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:{{Zusatz/Fußnote|text=Wobei wir natürlich, wie auch bei der Addition oder dem Vergleichen von Polynomen verschiedener Grade, die Polynome für {{mathl|term=r>n}} bzw. {{mathl|term={k-r}>m}} mit den Koeffizienten {{mathl|term=a_r=0}} bzw. {{mathl|term=b_{k-r}=0}} ergänzen können|ESZ=|ISZ=.}} {{ math/disp|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom {{math|term=1|SZ=}} als neutrales Element, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Insgesamt liegt also ein kommutativer Ring vor. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term=a_n|SZ=,}} der zum Grad {{math|term=n|SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term=a_nX^n|SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=.}} Ein Polynom mit Leitkoeffizient {{math|term=1|SZ=}} heißt {{Stichwort|normiert|msw=Normiertes Polynom|SZ=.}} {{ inputbild |Polynomialdeg5|svg|250px {{!}} thumb {{!}} |Text=Der Graph einer Polynomfunktion von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}} vom Grad {{math|term=5|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In ein Polynom {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} kann man ein Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} {{Stichwort|einsetzen|SZ=,}} indem man die Variable {{math|term=X|SZ=}} an jeder Stelle durch {{math|term=a|SZ=}} ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K |a|P(a) |SZ=, }} die die durch das Polynom definierte {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} heißt. Diese Abbildung ist im Allgemeinen nicht linear, Linearität liegt nur bei {{ Ma:Vergleichskette |P ||a_1X || || || |SZ= }} vor. {{Zwischenüberschrift|term=Die Division mit Rest}} {{ inputdefinition |Polynomring/K/Teiler/Definition|| }} Wenn {{math|term=P|SZ=}} von {{math|term=T|SZ=}} geteilt wird, so sagt man auch, dass {{math|term=P|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=T|SZ=}} ist. In {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist es, anders wie in einem Körper, aber ähnlich wie in {{math|term=\Z|SZ=,}} nicht möglich, ein Element durch ein anderes Element {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu teilen. Es gibt aber einen wichtigen Ersatz dafür, die {{Stichwort|Division mit Rest|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Division_mit_Rest/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Das Polynom {{math|term=T|SZ=}} ist genau dann ein Teiler von {{math|term=P|SZ=,}} wenn bei der Division mit Rest von {{math|term=P|SZ=}} durch {{math|term=T|SZ=}} der Rest gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. Der Beweis des Satzes ist konstruktiv, d.h. es wird in ihm ein Verfahren beschrieben, mit der man die Division mit Rest berechnen kann. Dazu muss man die Rechenoperationen des Grundkörpers beherrschen. Wir geben dazu zwei Beispiele, eines über den rationalen Zahlen und eines über den komplexen Zahlen. {{ inputbeispiel |Polynomdivision/6x^3+x+1 durch 3x^2+2x-4/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomdivision/(4+3i)x^3+x^2+5i durch (1+i)x^2+x -3+2i/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Nullstellen}} Unter einer Nullstelle eines Polynoms {{math|term=P}} versteht man ein {{mathl|term=a \in K}} mit {{ Ma:Vergleichskette |P(a) ||0 || || || |SZ=. }} Ein Polynom muss keine Nullstellen besitzen, ferner hängt dies vom Grundkörper ab. Das Polynom {{mathl|term=X^2+1}} hat keine reelle Nullstelle, dagegen gibt es die komplexen Nullstellen {{ mathkor|term1= {{Imaginäre Einheit}} |und|term2= - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} Als Element in {{mathl|term=\R[X]}} kann man {{mathl|term=X^2+1}} nicht als Produkt von einfacheren Polynomen schreiben, in {{mathl|term={{CC}}[X]}} hingegen hat man die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X^2+1 || (X- {{Imaginäre Einheit}} )(X+ {{Imaginäre Einheit}}) || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Auswertung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Fundamentalsatz der Algebra}} Es gilt der folgende {{Stichwort|Fundamentalsatz der Algebra|SZ=,}} den wir hier ohne Beweis erwähnen. {{ inputfakt |Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt|Satz|| || }} Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, dass jedes von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Polynom {{mathl|term=P\in {{CC}}[X]|SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, d.h. man kann {{ Ma:Vergleichskette/disp | P || c(X-z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_n) || || || |SZ= }} mit bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmten komplexen Zahlen {{mathl|term=c, z_1 {{kommadots|}} z_n|SZ=}} schreiben {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Rationale Funktionen}} Der Polynomring {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mit Hilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus {{math|term=\Z|SZ=}} die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} konstruieren kann. Dazu definiert man {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(X) |{{defeq|}}| {{Mengebed| \frac{P}{Q}| P, Q \in K[X]| Q \neq 0}} || || || |SZ=, }} wobei man wie bei {{math|term=\Q|SZ=}} zwei Brüche {{ mathkor|term1= \frac{P}{Q} |und|term2= \frac{P'}{Q'} |SZ= }} miteinander identifiziert, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |PQ' ||P'Q || || || |SZ= }} ist. Auf diese Weise entsteht der {{Stichwort|Körper der rationalen Funktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Einen formalen Ausdruck {{mathl|term=P/Q|SZ=}} kann man in folgender Weise wieder als eine Funktion auffassen. {{ inputdefinition |Rationale Funktion/Körper/Definition|| }} Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Function-1_x |Text=Man kann Brüche {{math|term=P/Q|SZ=}} von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion {{math|term=1/X|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Fußnotenliste|}} }} 5zpmsldr8lverw5ritjegb8pwl5843d 106 91531 768008 749374 2022-08-16T09:08:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|20| {{Motto| |Text=Die wenigsten Menschen würden sich verlieben, wenn sie nicht davon gehört hätten. |Autor=François de La Rochefoucauld }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Interpolationssatz}} {{ inputbild |Interpolation example linear|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Eine stückweise lineare und |Autor= |Benutzer=Berland |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Interpolation example polynomial|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=eine polynomiale Interpolation. |Autor= |Benutzer=Berlang |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Polynom/K/Interpolation/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Eine Beweisvariante bzw. Interpretationsvariante besteht darin, die durch {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_n \in K |SZ=}} insgesamt definierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K^n |P| {{op:Zeilenvektor|P(a_1)| \ldots|P(a_n)}} |SZ=, }} zu betrachten. Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |Prämath=K |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} da nach {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Polynomring/Auswertung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Komponenten linear sind. Der Interpolationssatz besagt, dass diese Abbildung surjektiv ist, was wie im Beweis bewiesen werden kann. Er besagt sogar, dass diese Abbildung, wenn man sie auf den Untervektorraum aller Polynome vom Grad {{mathl|term=\leq n-1|SZ=}} einschränkt, ein Isomorphismus ist. {{ inputbemerkung |Polynom/K/Interpolation/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Einsetzen von Endomorphismen}} Zu einer linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kann man die Iterationen {{math|term=f^n|SZ=,}} also die {{math|term=n|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term=f|SZ=}} mit sich selbst, betrachten. Ferner kann man lineare Abbildungen addieren und mit Skalaren aus dem Körper multiplizieren. Insgesamt sind somit Ausdrücke der Form {{ math/disp|term= a_nf^n +a_{n-1} f^{n-1} {{plusdots}} a_2f^2 +a_1 f +a_0 |SZ= }} selbst wieder lineare Abbildungen von {{math|term=V|SZ=}} nach {{math|term=V|SZ=.}} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_0 ||a_0f^0 ||a_0 {{op:Identität|V|}} || || |SZ= }} zu interpretieren. Es ist eine von vornherein keineswegs selbstverständliche Tatsache, dass die Untersuchung solcher polynomialer Kombinationen aus {{math|term=f|SZ=}} bei der Untersuchung von {{math|term=f|SZ=}} selbst hilfreich ist. Den beschriebenen Ausdruck kann man so auffassen, dass in das Polynom {{mathl|term= a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1} {{plusdots}} a_2X^2 +a_1 X +a_0|SZ=}} für die Variable {{math|term=X|SZ=}} die lineare Abbildung {{math|term=f|SZ=}} eingesetzt wird. Diese Zuordnung durch Einsetzen besitzt die folgenden strukturellen Eigenschaften. {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt|Lemma|| || }} Wenn {{math|term=V|SZ=}} endlichdimensional ist, sagen wir die Dimension {{math|term=d|SZ=}} besitzt, so sind sämtliche Potenzen {{ mathbed|term= f^k ||bedterm1= k \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} Elemente im {{math|term=d^2|SZ=-}}dimensionalen Vektorraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hom|V|V}} || {{op:End|V|}} || || || |SZ= }} aller linearen Abbildungen von {{math|term=V|SZ=}} nach {{math|term=V|SZ=.}} Wegen der Endlichkeit des Homomorphismenraumes müssen daher diese Potenzen linear abhängig sein, d.h. es gibt ein {{mathl|term=m \in \N|SZ=}} und Koeffizienten {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= 0 \leq i \leq m ||bedterm2= |SZ=, }} die nicht alle {{math|term=0|SZ=}} sind, mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_m f^m +a_{m-1} f^{m-1} {{plusdots}} a_2f^2 +a_1 f +a_0 ||0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist {{mathlk|term=m \leq d^2|SZ=}} unmittelbar klar, wir werden später sehen, dass sogar stets {{mathlk|term=m \leq d|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Das entsprechende Polynom {{mathl|term=a_m X^m +a_{m-1} X^{m-1} {{plusdots}} a_2X^2 +a_1 X +a_0 |SZ=}} hat also die Eigenschaft, dass es selbst nicht das Nullpolynom ist, dass aber, wenn man überall {{math|term=X|SZ=}} durch {{math|term=f|SZ=}} ersetzt, die Nullabbildung auf {{math|term=V|SZ=}} herauskommt. Wir fragen uns: {{Auflistung4 |Gibt es eine Struktur auf der Menge aller Polynome {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |P(f) ||0 || || || |SZ=? }} |Gibt es ein besonders einfaches Polynom {{mathl|term=P_0 \in K[X]|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |P_0(f) ||0 || || || |SZ=? }} |Wie kann man es finden? |Welche Eigenschaften von {{math|term=f|SZ=}} kann man aus der Faktorzerlegung von diesem Polynom {{math|term=P_0|SZ=}} ablesen? }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Endomorphismus/Matrix/Einsetzung/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Ideale}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|}} Die Eigenschaft, nichtleer zu sein, kann man durch die Bedingung {{mathl|term=0 \in {{ideala}}|SZ=}} ersetzen. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Endlich Erzeugtes Ideal/Definition|}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Hauptideal/Definition|}} Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte {{Stichwort|Nullideal|SZ=,}} das wir einfach als {{mathl|term=0=(0)=\{0\}|SZ=}} schreiben. Die {{math|term=1|SZ=}} und überhaupt jede Einheit erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring. Eine {{Stichwort|Einheit|SZ=}} in einem kommutativen Ring {{math|term=R|SZ=}} ist ein invertierbares Element, also ein Element {{mathl|term=x \in R|SZ=,}} für das es ein {{mathl|term=y \in R|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |xy ||1 || || || |SZ= }} gibt. Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn alle Elemente außer der {{math|term=0|SZ=}} Einheiten sind. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Einheitsideal/Definition|| }} In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale. {{ inputfaktbeweis |Körper/Genau zwei Ideale/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Ideale in {{mathlk|term=K[X]|SZ=}} }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/2/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Minimalpolynom}} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Endlichdimensional/Endomorphismus/Minimalpolynom/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Abbildung/Minimalpolynom/Hauptideal/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Minimalpolynom/Streckung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Minimalpolynom/Diagonalmatrix/Verschiedene Einträge/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Minimalpolynom/2x2/Obere Dreiecksmatrix/Nilpotent/Beispiel|| }} }} mrumb7rpmewaxct6bhzcgjltla318pw 106 91532 768009 749375 2022-08-16T09:08:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|21| {{Motto| |Text=Ein guter Schüler lernt auch bei einem schlechten Lehrer ... |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Eigentheorie}} Unter einer Achsenspiegelung in der Ebene verhalten sich gewisse Vektoren besonders einfach. Die Vektoren auf der Spiegelungsachse werden auf sich selbst abgebildet, und die dazu senkrechten Vektoren werden auf ihr Negatives abgebildet. Beiden Vektoren ist gemeinsam, dass ihr Bild unter der linearen Abbildung in dem von diesem Vektor aufgespannten eindimensionalen Unterraum bleibt. In der Theorie der Eigenwerte und Eigenvektoren untersucht man, ob es zu einer linearen Abbildung Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=also eindimensionale Unterräume| |ISZ=|ESZ= }} gibt, die unter der Abbildung auf sich selbst abgebildet werden. {{ inputbild |Simetria axial|png| 300px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Simetria_axial |Text= Eine {{Stichwort|Achsenspiegelung|SZ=}} besitzt zwei Eigengeraden, die Spiegelungsachse zum Eigenwert {{math|term=1|SZ=}} und die dazu senkrechte Gerade zum Eigenwert {{math|term=-1|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Rovnet |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition|| }} Ein Eigenvektor ist also ein Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ=, }} der zu {{mathl|term=\varphi(v)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ inputbildmitgleich |bild=VerticalShear m=1.25|svg|300px {{!}} thumb {{!}} |epsname=VerticalShear_m_1_25 |Text=Eine {{Stichwort|Scherung|SZ=}} hat eine Eigengerade zum Eigenwert {{math|term=1|SZ=}} und keine weiteren Eigenwerte. |Autor= |Benutzer=RobHar |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Rotation illustration2|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Bei einer Drehung der Ebene um {{math|term=0|SZ=}} gibt es keine Eigenvektoren, außer bei einer Halbdrehung oder einer Volldrehung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition|| }} Die Menge aller Eigenwerte zu {{math|term=\varphi|SZ=}} nennt man, vor allem im funktionalanalytischen Kontext, das {{Stichwort|Spektrum|msw=Spektrum (Endomorphismus)|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=.}} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition|| }} Wir erlauben also beliebige Werte in der Definition der Eigenräume. Wir werden gleich zeigen, dass es sich dabei um Untervektorräume handelt. Einen eindimensionalen Eigenraum nennen wir auch {{Stichwort|Eigengerade|SZ=.}} Für die meisten {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich alle bis auf endlich viele| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term=\lambda|SZ=}} ist der Eigenraum einfach der Nullraum. Für Matrizen verwenden wir die entsprechenden Begriffe, die von der zugehörigen linearen Abbildung auf dem {{math|term=K^n|SZ=}} nahegelegt werden. Ein {{math|term=n|SZ=-}}Tupel {{mathl|term={{op:Spaltenvektor1n|x}} |SZ=}} heißt Eigenvektor zur {{math|term=n \times n|SZ=-}}Matrix {{math|term=M|SZ=,}} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |M {{op:Spaltenvektor1n|x}} || \lambda {{op:Spaltenvektor1n|x}} || || || |SZ= }} gilt, und {{math|term=\lambda |SZ=}} heißt dann Eigenwert der Matrix. Bei einer {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Streckungsfaktor {{math|term=a|SZ=}} ist jeder Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term=a|SZ=.}} Der Eigenraum zum Eigenwert {{math|term=a|SZ=}} ist der Gesamtraum. Umgekehrt kann man einen Endomorphismus auf einen Eigenraum {{ Zusatz/Klammer |text=vorne und hinten| |ISZ=|ESZ= }} einschränken, nämlich die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi{{|}}_{ {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} } | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} || |SZ= }} betrachten. Diese Abbildung ist einfach die Streckung mit dem Faktor {{math|term=\lambda|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Diagonalmatrix/Eigenwerte/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Kern und Fixraum}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Abbildung/Eigenwert null/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbemerkung |Lineare Abbildung/Eigenwert 1 und -1/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Fixraum/Eigenraum/1/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Eigenwerte bei Basiswechseln}} {{ inputfaktbeweis |Eigentheorie/Endomorphismus/Unter Isomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} Wenn ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen Vektorraum vorliegt, der bezüglich einer Basis durch die Matrix {{math|term=M|SZ=}} beschrieben wird, so entsprechen sich Eigenwerte und Eigenvektoren. Das Eigenvektortupel der Matrix ist das Koordinatentupel des entsprechenden Eigenvektors bezüglich der Basis. Die Eigenwerte hängen nicht von der gewählten Basis ab, die Eigentupel schon. {{ inputfaktbeweis |Eigentheorie/Endomorphismus/Matrix/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Matrix/Äquivalent/Eigenwert/Fakt|Korollar|| || }} }} 4tje3w35powbthn0q755xxswwc35ej1 106 91535 768010 749376 2022-08-16T09:08:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|24| {{Motto| |Text=Das Lernen und der Orgasmus finden letztlich im Kopf statt |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Cayley-Hamilton}} {{ inputbild |Arthur Cayley|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Arthur_Cayley |Text=[[w:Arthur Cayley|Arthur Cayley (1821-1895)]] |Autor= |Benutzer=Zuirdj |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=<nowiki>http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Cayley.html</nowiki> }} {{ inputbild |WilliamRowanHamilton|jpeg| 200px {{!}} thumb {{!}} |Text=[[w:William Rowan Hamilton|William Hamilton (1805-1865)]] |Autor= |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung=<nowiki>http://mathematik-online.de/F77.htm</nowiki> }} Einer der Höhepunkte dieses Kurses ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann, siehe die 20. Vorlesung. Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable {{math|term=X|SZ=}} durch die Matrix {{math|term=M|SZ=}} und muss die Potenzen {{math|term=M^{i}|SZ=}} als das {{math|term=i|SZ=-}}te Matrixprodukt von {{math|term=M|SZ=}} mit sich selbst verstehen und die Addition als die {{ Zusatz/Klammer |text=komponentenweise| |ISZ=|ESZ= }} Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar {{math|term=a|SZ=}} wird dabei als das {{math|term=a|SZ=-}}fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || 3X^2 - 5X+2 || || || |SZ= }} und die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Matrix22|2|4|3|1}} || || || |SZ= }} ist also {{ Ma:Vergleichskette/align | P(M) ||3 {{op:Matrix22|2|4|3|1}}^2 - 5 {{op:Matrix22|2|4|3|1}} + 2 || {{op:Matrix22|3|0|0|3}} {{op:Matrix22|16|12|9|13}} + {{op:Matrix22|-5|0|0|-5}} {{op:Matrix22|2|4|3|1}} + {{op:Matrix22|2|0|0|2}} || {{op:Matrix22|40|16|12|36}} || |SZ=. }} Zu einer fixierten Matrix {{mathl|term=M \in {{op:Matq|n|K}} |SZ=}} gibt es also eine {{Stichwort|Einsetzungsabbildung|SZ=}} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|{{op:Matq|n|K}} |P|P(M) |SZ=. }} Dies ist {{ Zusatz/Gs |text=ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu {{math|term=a \in K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. es gelten die Beziehungen {{ math/disp|term= (P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\, (P \cdot Q)(M)=P(M) \circ Q(M) \text{ und } 1 (M) = {{einheitsmatrix/ab|}} |SZ=. }} Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt. {{ inputfaktbeweis |Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Cayley-Hamilton/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Minimalpolynom und charakteristisches Polynom}} {{ inputfaktbeweis |Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere ist der Grad des Minimalpolynoms zu {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} durch die Dimension des Vektorraums {{math|term=V|SZ=}} beschränkt. Minimalpolynom und charakteristisches Polynom stimmen in verschiedener Hinsicht überein, beispielsweise besitzen sie die gleichen Nullstellen. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Weitere Beispiele}} Den folgenden Begriff werden wir im Moment ausschließlich für {{ Zusatz/Klammer |text=invertierbare| |ISZ=|ESZ= }} Matrizen anwenden. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Elementordnung/Definition|| }} {{:Endomorphismen/Endliche Ordnung/Permutationsmatrizen/Eigentheorie/Textabschnitt}} }} 6gdcw4n8egqz7yi9s6jykh7qs1039ci 106 91536 768012 749377 2022-08-16T09:08:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|25| {{Motto| |Text=J'ai décidé d'être heureux parce que c'est bon pour la santé |Autor=Voltaire }} {{Zwischenüberschrift|term=Trigonalisierbare Abbildungen}} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition|| }} Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie eine Scherungsmatrix zeigt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink{{{optlink|}}} |Präwort=||Beispielseitenname= Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Beispiel |Faktseitenname2= |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir werden in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sehen, dass eine lineare Abbildung genau dann trigonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Eine quadratische Matrix {{math|term=M|SZ=}} heißt {{Stichwort|trigonalisierbar|SZ=,}} wenn die dadurch definierte lineare Abbildung {{ Ma:abb |name= |K^n|K^n || |SZ= }} trigonalisierbar ist. Dies bedeutet, dass es eine Basis gibt, bezüglich der die Abbildung durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, bzw., dass es eine invertierbare Matrix {{math|term=B|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Basiswechselmatrix| |ISZ=|ESZ= }} derart gibt, dass {{ math/disp|term= BMB^{-1} |SZ= }} eine obere Dreiecksmatrix ist. Somit ist eine Matrix genau dann trigonalisierbar, wenn sie {{ Definitionslink |Prämath= |ähnlich| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Das Auffinden einer Basis, bezüglich der obere Dreiecksgestalt vorliegt bzw. die Durchführung des Basiswechsels nennt man {{Stichwort|Trigonalisierung|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Matrix/31-11/Trigonalisierbar/Ähnlichkeit/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Aussage gilt insbesondere, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || \bigoplus_{i \in I} V_i || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianten Untervektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{Zwischenüberschrift|term=Invariante Untervektorräume}} Ein trigonalisierbarer Endomorphismus besitzt bezüglich einer geeigneten Basis die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Obere Dreiecksmatrix}} || || || |SZ=. }} Eigenschaften, die für eine solche obere Dreiecksmatrix gelten und die als eine Eigenschaft der linearen Abbildung beschreibbar, also unabhängig von einer gewählten Basis sind, müssen für eine trigonalisierbare Abbildung gelten. Solche Eigenschaften wollen wir verstehen. Durch eine obere Dreiecksmatrix wird der {{math|term=j|SZ=-}}te Standardvektor {{math|term=e_j|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | Me_i || a_{1j} e_1 {{plusdots|}} a_{jj} e_j || || || |SZ= }} abgebildet. Insbesondere ist {{math|term=e_1|SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term=a_{11}|SZ=.}} Charakteristisch für trigonalisierbare Abbildungen ist, dass der Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_j || {{op:Span|e_1 {{kommadots|}} e_j |}} || || || |SZ= }} durch {{math|term=M|SZ=}} in sich selbst hinein abgebildet wird, d.h. die {{math|term=V_j|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath=M |invariante| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Untervektorräume, die ineinander enthalten sind und deren Dimension gleich {{math|term=j|SZ=}} ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass diese Eigenschaft trigonalisierbare Abbildungen charakterisiert. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt|Lemma|| || }} Wenn {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{math|term=\varphi|SZ=-}}invarianter Untervektorraum und {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=}} ein Polynom ist, so ist {{math|term=U|SZ=}} auch {{math|term=P(\varphi)|SZ=-}}invariant, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In dieser Situation gilt die folgende Gleichheit. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Teilbarkeit/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Permutationsmatrix/3-Zyklus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Charakterisierungen für trigonalisierbar}} {{ inputbild |149px-Animation Drap Allemagne T|gif| 250px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=149px-Animation_Drap_Allemagne_T |Text=Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen. |Autor= |Benutzer=MG |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Fahne/Definition|| }} Eine Fahne ist also eine Kette von ineinander enthaltenen Untervektorräumen, bei der die Dimension in jedem Schritt um {{math|term=1|SZ=}} hochgeht. {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Invariante Fahne/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/1/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbemerkung |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Verfahren/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Matrix/2x2/Trigonalisierbarkeit über charakteristisches Polynom/Beispiel|| }} }} gmi1mlomgvzd2fzcyd2vk6i4iokvvh5 106 91539 768013 749378 2022-08-16T09:08:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|28| {{Motto| |Text=If it works, it's out of date |Autor=David Bowie }} {{Zwischenüberschrift|term=Ein Zerlegungssatz}} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt|Satz|| || }} Unter den im Satz angegebenen Bedingungen ist diese Zerlegung sogar eindeutig. {{ inputdefinition |Endomorphismus/Unipotent/Definition|| }} Bei einer unipotenten Abbildung ist der diagonalisierbare Anteil im Sinne der oben beschriebenen kanonischen Zerlegung besonders einfach, es handelt sich um die Identität. {{Zwischenüberschrift|term=Jordansche Normalform}} {{ inputdefinition |Jordanmatrix/Oben/Definition||zusatz1=Fußnote }} Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung {{math|term=\varphi|SZ=}} des Standard{{latextrenn|}}raumes {{math|term=K^n|SZ=}} in sich interpretiert, so ist {{ math/disp|term= \varphi(e_1)= \lambda e_1 \text{ und } \varphi(e_k)= \lambda e_k +e_{k-1} \text{ für alle } k \geq 2 |SZ=. }} Insbesondere ist {{math|term=e_1|SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term=\lambda|SZ=.}} Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Jordanmatrix/Eigenvektor/Eindimensional/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit {{mathlk|term=\varphi- \lambda \cdot \operatorname{Id} |SZ=}} statt mit {{mathlk|term= \lambda \cdot \operatorname{Id} - \varphi |SZ=}} zu arbeiten| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_{k-1} || ( \varphi - \lambda \cdot \operatorname{Id})(e_k) || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|2 || || || |SZ=. }} Als Eigenvektor ist {{math|term=e_1|SZ=}} ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung {{mathl|term=\psi {{defeq|}} \varphi - \lambda \operatorname{Id} |SZ=,}} und die anderen Standardvektoren {{math|term=e_k|SZ=}} ergeben sich sukzessive als Urbild von {{math|term=e_{k-1}|SZ=}} unter {{math|term=\psi|SZ=.}} {{ inputdefinition |Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalmatrix/Definition|| }} Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen {{Stichwort|Jordanblöcke|msw=Jordanblock|SZ=}} der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|2|1|0|0|0|0|0|2|0|0|0|0|0|0|4|1|0|0|0|0|0|4|1|0|0|0|0|0|4|0|0|0|0|0|0|2|}} |SZ= }} gibt es drei Jordanblöcke, nämlich {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2|1|0|2}} ,\, {{op:Matrix33|4|1|0|0|4|1|0|0|4}} \text{ und } {{op:Matrix11|2}} |SZ= }} zu den Eigenwerten {{math|term=2,4|SZ=}} und nochmal {{math|term=2|SZ=.}} Wir kommen zum Satz über die jordansche Normalform für trigonalisierbare Endomorphismen. {{ inputfaktbeweis |Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt|Satz|| || }} Jede obere Dreiecksmatrix ist also ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform. Über den komplexen Zahlen kann man jede Matrix auf jordansche Normalform bringen. Wenn eine Matrix in jordanscher Normalform vorliegt, so kann man direkt den diagonalisierbaren und den nilpotenten Anteil im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ablesen: Die Diagonale liefert den diagonalisierbaren Anteil und die Einträge, die echt oberhalb der Diagonalen liegen, liefern den nilpotenten Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist im Allgemeinen für obere Dreiecksmatrizen nicht richtig| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputverfahren |Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Hauptraum/Verfahren|| |a=\lambda |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |221 023 002/Jordanform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |200 023 002/Jordanform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Obere Dreiecksmatrix/44/Jordanform/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Endomorphismen endlicher Ordnung}} In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Permutationsmatrix/Zykel/C/Eigentheorie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben wir gesehen, dass {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term={{CC}}|SZ=}} diagonalisierbar sind. Dies gilt über {{math|term={{CC}}|SZ=}} für alle Endomorphismen endlicher Ordnung. {{ inputfaktbeweis |Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/C/Diagonalisierbar/Fakt|Lemma|| || }} {{Fußnotenliste|}} }} 9va0l9smxnc9y25f4l88eq0tbihp0wb 14 93670 768369 525990 2022-08-16T11:51:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der kommutativen Ringe|Quadratwurzel ||}} 6wf1liitarjrwzoqnbhgqu9vto2k2so 14 94648 768303 533044 2022-08-16T11:42:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der nilpotenten Elemente (kommutative Algebra)|Reduziert |Theorie der kommutativen Ringe|Reduziert}} mnzzjntewkdo0fmxvtnfjico5d7vkwn 106 95655 767582 691525 2022-08-15T16:41:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorlesungsgestaltung|27| {{Zwischenüberschrift|term=Maximal widerspruchsfreie modallogische Ausdrucksmengen}} Wir wollen die Vollständigkeit der modallogischen Modelle zeigen, d.h. die Beziehung, dass wenn aus einer modallogischen Ausdrucksmenge {{math|term=\Gamma|SZ=}} die Gültigkeit von {{math|term=\alpha|SZ=}} folgt, dass dann {{math|term=\alpha|SZ=}} bereits aus {{math|term=\Gamma|SZ=}} modallogisch ableitbar ist. Die Ausdrucksmenge umfasst dabei stets das System {{math|term=K|SZ=}} und unter modallogisch ableitbar meint man ableitbar mit Hilfe von Modus ponens und der Nezessisierungsregel. Dies muss hier betont werden, da es auf der Modellseite in natürlicher Weise Ausdrucksmengen gibt, die unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen sind, und solche, die es nicht sind. In einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Gamma|SZ=}} gelten das modallogische {{ Definitionslink |Prämath= |Distributionsaxiom| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die aussagenlogischen Tautologien und weitere, für {{math|term=\Gamma|SZ=}} spezifische Ausdrücke. Ferner ist {{math|term=\Gamma|SZ=}} abgeschlossenen unter dem Modus ponens und der Nezessisierungsregel. In einem modallogischen Modell {{mathl|term=(M,R,\mu)|SZ=,}} das {{math|term=\Gamma|SZ=}} erfüllt, gilt {{math|term=\Gamma|SZ=}} in jedem Weltpunkt {{mathl|term=w \in M|SZ=,}} also {{ math/disp|term= (M,R,\mu,w) \vDash \Gamma |SZ=. }} Die Gültigkeitsmenge in einem Weltpunkt ist unter aussagenlogischen Operationen und insbesondere unter dem Modus ponens abgeschlossen. Dagegen ist die Gültigkeitsmenge in einem Weltpunkt {{Betonung/Negation|nicht}} unter der Nezessisierungsregel abgeschlossen. Im allgemeinen muss es zu einem modallogischen System überhaupt keine vollständige widerspruchsfreie Erweiterung geben, die der Nezessisierungsregel genügt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Beweisbarkeitslogik/Antiableitungsfixpunkt/Keine Vervollständigung mit Nezessisierungsregel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Von daher verstehen wir unter einer widerspruchsfreien Teilmenge innerhalb einer modallogischen Sprache {{math|term=L|SZ=}} eine Teilmenge {{mathl|term=W \subseteq L|SZ=,}} die die {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} umfasst und die unter Modus ponens abgeschlossen ist und keinen {{ Zusatz/Klammer |text=aussagenlogischen| |ISZ=|ESZ= }} Widerspruch enthält. Maximal widerspruchsfrei bedeutet wieder, dass aus jeder echten Erweiterung ein Widerspruch aussagenlogisch ableitbar ist. Zu jeder Welt {{mathl|term=w \in M|SZ=}} in einem beliebigen {{ Definitionslink |Prämath= |modallogischen Modell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(M,R,\mu)|SZ=}} von {{math|term=K|SZ=}} ist die Gültigkeitsmenge {{mathl|term=(M,R,\mu,w)^\vDash|SZ=}} eine solche Teilmenge. {{ inputfaktbeweis |Modallogik/K/System/Widerspruchsfrei/Auffüllung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Das universelle modallogische Modell}} In einer jeden Welt in einem modallogischen Modell {{mathl|term=(M,R,\nu)|SZ=}} ist die Gültigkeitsmenge maximal widerspruchsfrei. Für zwei Welten {{mathl|term=w,v \in M|SZ=}} gilt dabei {{ math/disp|term= \text{Wenn } wRv, \text{ dann } {{makl| v \vDash \alpha \Rightarrow w \vDash \Diamond \alpha |}} |SZ=. }} Die rechte Seite kann man also als eine notwendige Bedingung dafür ansehen, dass {{math|term=v|SZ=}} von {{math|term=w|SZ=}} aus erreichbar ist. Im universellen modallogischen Modell definiert man die Erreichbarkeitsrelation durch diese notwendige Bedingung. {{ inputkonstruktion |Modallogik/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung||| || }} Wir identifizieren also Welten mit der Menge der in ihnen gültigen modallogischen Aussagen. Wenn {{math|term=R|SZ=}} eine Erreichbarkeitsrelation sein soll, so muss diese Beziehung gelten. Die rechte Seite ist dabei eine Implikation, keine Äquivalenz; es wird nicht gefordert, dass aus {{mathl|term=\Diamond \alpha \in W|SZ=}} auch {{mathl|term=\alpha \in V|SZ=}} folgt. {{ inputkonstruktion |Modallogik/System/Universelles Modell/Konstruktion/Bemerkung||| || }} Die Relation und die Belegung im {{math|term=\Gamma|SZ=-}}universellen modallogischen Modell stimmen mit dem universellen Modell überein, es hndelt sich also um einen Teilgraphen. Es ist unser Ziel zu zeigen, dass im {{math|term=\Gamma|SZ=-}}universellen modallogischen Modell {{mathl|term=(U,R,\mu,W)|SZ=}} genau die Ausdrücke aus {{math|term=W|SZ=}} gelten. {{ inputfaktbeweis |Modallogik/Ableitung/Notwendigkeitsversion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modallogik/Möglichkeitsaussage/Weltrealisierung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modallogik/System/Universelles Modell/Semantische Äquivalenz/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Vollständigkeit der Modallogik}} {{ inputfaktbeweis |K-Modallogik/Vollständigkeit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbemerkung |K-Modallogik/Vollständigkeit/Warnung/Bemerkung|| }} }} 1dwm21040i5sp0ykypzz0l4sqxttm8o 106 95680 767581 585128 2022-08-15T16:40:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Permutation/Element/Funktionale Hülle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Element/Funktionale Hülle/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionssymbolstammbaum/Arithmetischer Ausdruck/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Permutation/Beispiel/Automorphismen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Permutation/Automorphismengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Z mod 12/Automorphismen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formales Funktionssymbol/Stelligkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktional abgeschlossen/Formales Funktionssymbol/Abgeschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Funktionale Hülle/1,3,pi,e, Wurzel 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Q und R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktkonfiguration in Ebene/Keine lineare Abbildung/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammengesetztes Funktionssymbol/fggg/Symbolkette/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionale Hülle/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der Mathematik interessiert man sich nicht nur für die von einer Teilmenge einer Struktur erzeugte funktionale Hülle, sondern auch für Unterstrukturen, in denen zusätzlich noch die gleichen Gesetzmäßigkeiten {{ Zusatz/Klammer |text=ausgedrückt durch ein Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wie in der Struktur gelten, beispielsweise die von einer Teilmenge erzeugten Untergruppen, Unterringe, Unterkörper, Untervektorräume. Diese von einer Teilmenge erzeugten {{math|term= {{Symbolalphabet|}}-\Gamma |SZ=-}}Strukturen kann man oft, wenn es sie überhaupt gibt, als Durchschnitt über alle {{math|term= {{Symbolalphabet|}}-\Gamma |SZ=-}}Unterstrukturen erhalten, die die Teilmenge umfassen. {{ inputaufgabe |Gruppe/Z/Funktionale Hülle und Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Surjektive Abbildung/Unterstruktur/Durchschnitt erfüllt nicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer {{math|term=S|SZ=-}}Struktur {{math|term=M|SZ=}} und einer {{math|term=S|SZ=-}}Unterstruktur {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq |M || || || |SZ= }} versteht man unter der relativen {{math|term=S|SZ=-}}{{Stichwort|Automorphismengruppe|SZ=}} von {{math|term=M|SZ=}} bezüglich {{math|term=N|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath=S |Automorphismen| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} die die Elemente aus {{math|term=N|SZ=}} in sich überführen. Sie wird mit {{mathl|term=S-{{op:Aut|M|N}} |SZ=}} bezeichnet. {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Galoistheorie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Konstantenanreicherung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an die Definition eines algebraisch abgeschlossenen Körpers. Die komplexen Zahlen {{math|term={{CC}}|SZ=}} sind algebraisch abgeschlossen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Fundamentalsatz der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} nicht. {{:Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition}} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Definition mit Axiomenschema/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Endliche Struktur/Logische Äquivalenzklassen/Isomorphie/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Supremumseigenschaft/Reell-abgeschlossen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Verwende{{n Sie}}, dass Polynomfunktionen auf einem angeordneten Körper stetig sind. }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Punktestand/Charakterisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Gleicher Punktestand/Nicht isomorph/Beispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 621gpl81a0ul1mtnoiwl489sc3oawoi 106 95992 768016 749380 2022-08-16T09:09:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|31| {{Zwischenüberschrift|term=Vektorräume mit Skalarprodukt}} Im {{math|term=\R^n|SZ=}} kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des {{Stichwort|Skalarprodukts|SZ=}} präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden Fälle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeichnung für {{ mathkor|term1= \R |bzw.|term2= {{CC}} |SZ= }} das Symbol {{math|term={{KRC}}|SZ=.}} Zu {{mathl|term=z \in {{CC}}|SZ=}} bezeichnet {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |konjungiert-komplexe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahl, bei {{mathl|term=z \in \R|SZ=}} einfach die Zahl selbst. {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Skalarprodukt/Definition|| }} Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall {{Stichwort|term=Bilinearität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das ist nur eine andere Bezeichnung für {{ Definitionslink |multilinear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist| |ISZ=|ESZ=, }} {{Stichwort|term=Symmetrie|SZ=}} und {{Stichwort|term=positive Definitheit|SZ=.}} Im komplexen Fall spricht man von {{Stichwort|sesquilinear|SZ=}} und von {{Stichwort|hermitesch|SZ=.}} Diese auf den ersten Blick unschöne Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung für einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist. {{ inputbeispiel |R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel|| }} Beispielsweise ist im {{math|term=\R^3|SZ=}} mit dem Standardskalarprodukt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|{{op:Spaltenvektor|3|-5|2}}|{{op:Spaltenvektor|-1|4|6}}|}} || 3\cdot(-1) - 5 \cdot 4 +2 \cdot 6 || -11 || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Euklidischer Vektorraum/Definition|| }} Zu einem Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} mit einem Skalarprodukt besitzt jeder Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} selbst wieder durch Einschränkung ein Skalarprodukt. Insbesondere ist zu einem euklidischen Vektorraum jeder Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} selbst wieder ein euklidischer Vektorraum. Jeder Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} trägt somit das eingeschränkte Standardskalarprodukt. Da es stets eine Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette |U |\cong|\R^m || || || |SZ= }} gibt, kann man auch das Standardskalarprodukt des {{math|term=\R^m|SZ=}} nach {{math|term=U|SZ=}} übertragen, doch hängt dies von der gewählten Isomorphie ab und hat im Allgemeinen nichts mit dem eingeschränkten Standardskalarprodukt zu tun. {{ inputdefinition |C^n/Standardskalarprodukt/Definition|| }} Beispielsweise ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|4-3 {{Imaginäre Einheit|}}|2+7 {{Imaginäre Einheit|}} }} | {{op:Spaltenvektor|-2+5 {{Imaginäre Einheit|}}|3-6 {{Imaginäre Einheit|}} }} }} || (4-3 {{Imaginäre Einheit|}}) \cdot {{op:Komplexe Konjugation|-2+5 {{Imaginäre Einheit|}}|}} + (2+7 {{Imaginäre Einheit|}}) \cdot {{op:Komplexe Konjugation|3-6 {{Imaginäre Einheit|}}|}} || (4-3 {{Imaginäre Einheit|}} ) \cdot (-2-5 {{Imaginäre Einheit|}}) + (2+7 {{Imaginäre Einheit|}}) \cdot(3+6 {{Imaginäre Einheit|}}) || -23 - 14 {{Imaginäre Einheit|}} -36 +33 {{Imaginäre Einheit|}} || -59+19 {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Stetige Funktionen/Intervall/C-wertig/Skalarprodukt/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Norm}} Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären. {{ inputdefinition |Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Definition|| }} Das Skalarprodukt {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|v|v}} |SZ=}} ist stets reell und nicht negativ und somit ist die Quadratwurzel eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Für einen komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist es gleichgültig, ob man die Norm direkt oder über den zugrunde liegenden reellen Vektorraum bestimmt, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/C/Skalarprodukt/R/Norm/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Skalarprodukt/K/Cauchy Schwarz/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt|Lemma||K={{KRC|}} |ref1=|| }} Mit der folgenden Aussage, der {{Stichwort|Polarisationsformel|SZ=,}} kann man ein Skalarprodukt aus der Norm rekonstruieren. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Normierte Vektorrräume}} Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Norm/Definition|| }} {{ inputdefinition |Normierter Vektorraum/Definition|| }} Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die {{Stichwort|euklidische Norm|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^n || || || |SZ= }} mit dem Standardskalarprodukt ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v|}} || \sqrt{ \sum_{i {{=}} 1 }^n v_i^2 } || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |K^n/Maximumsnorm/Beispiel|| }} {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |epsname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |K^n/Summennorm/Beispiel|| }} Zu einem Vektor {{ mathbed|term= v \in V ||bedterm1= v \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} in einem normierten Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} nennt man den Vektor {{mathl|term= {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }} |SZ=}} den zugehörigen {{Stichwort|normierten Vektor|msw=Normierter Vektor|SZ=.}} Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm {{math|term=1|SZ=.}} Der Übergang zum normierten Vektor heißt {{Stichwort|Normierung|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Normierte Räume als metrische Räume}} {{ inputdefinition |Metrik/Metrischer Raum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Normierter Vektorraum/Metrik/Definition|| }} Dies ist in der Tat eine Metrik. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Normierter Vektorraum/Metrischer Raum/Fakt|Lemma|| || }} Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein {{Stichwort|metrischer Raum|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Affiner Raum/Norm und Metrik/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel|| }} Daher ist insgesamt jede Teilmenge eines affinen Raumes über einem euklidischen oder normierten Vektorraum ein metrischer Raum. }} o4fv4vc5poedskubqxo0r5p3obgw9qy 106 95993 768017 749381 2022-08-16T09:09:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|32| {{Zwischenüberschrift|term=Orthogonalität}} Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken. {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonal/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonal/Längensymmetrie/Bemerkung||zusatz1=Fußnote }} {{ inputbild |Kapitolinischer Pythagoras|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:Pythagoras|Pythagoras von Samos]] lebte im sechsten vorchristlichen Jahrhundert. {{Anführung|Sein}} Satz war aber schon tausend Jahre früher in Babylon bekannt. |Autor= |Benutzer=Galilea |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir rufen uns den Satz des Pythagoras in Erinnerung. {{ inputbild |Pythagoras large font|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=KaiMartin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der folgende Satz ist der {{Stichwort|Satz des Pythagoras|SZ=,}} genauer die Skalarproduktversion davon, die trivial ist. Die Beziehung zum klassischen, elementar-geometrischen Satz des Pythagoras ist diffizil, da es nicht selbstverständlich ist, dass unser über das Skalarprodukt eingeführter Orthogonalitätsbegriff und unser ebenso eingeführter Längenbegriff mit dem entsprechenden intuitiven Begriff übereinstimmt. Dass unser Normbegriff der wahre Längenbegriff ist, beruht wiederum auf dem Satz des Pythagoras in einem cartesischen Koordinatensystem, was den klassischen Satz voraussetzt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Satz des Pythagoras/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonales Komplement/Definition|| }} Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum ist selbst wieder ein Untervektorraum, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Skalarprodukt/K/Orthogonales Komplement/Untervektorraum/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wenn ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} gegeben ist, so gehört ein Vektor {{mathl|term=v\in V|SZ=}} bereits dann zum orthogonalen Komplement von {{math|term=U|SZ=,}} wenn er auf allen Vektoren des Erzeugendensystems senkrecht steht, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Orthogonales Komplement/K/Test auf Erzeugendensystem/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputbeispiel |R^n/Orthogonales Komplement/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Orthonormalbasen}} {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonalbasis/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Definition|| }} Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm {{math|term=1|SZ=}} und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine {{Stichwort|Orthogonalbasis|SZ=,}} bei der zusätzlich die Normbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|v_i|}} || \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v_i|v_i}} } || 1 || || |SZ= }} erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes {{math|term=v_i|SZ=}} durch die Normierung {{mathl|term= {{op:Bruch|v_i| {{op:Norm|v_i|}} }} |SZ=}} ersetzt {{ Zusatz/Klammer |text=da {{math|term=v_i|SZ=}} Teil einer Basis ist, ist die Norm von {{math|term=0|SZ=}} verschieden| |ISZ=|ESZ=. }} Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm {{math|term=1|SZ=}} haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein {{Stichwort|Orthonormalsystem|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt|Lemma|| || }} Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im {{math|term=\R^n|SZ=}} ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene {{math|term=\R^2|SZ=}} ist eine Orthonormalbasis von der Form {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a|b}}, {{op:Spaltenvektor|-b|a}} |SZ=}} oder {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a|b}}, {{op:Spaltenvektor|b|-a}} |SZ=,}} wobei jeweils {{ Ma:Vergleichskette |a^2 +b^2 ||1 || || || |SZ= }} erfüllt sein muss. Beispielsweise ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3|5}} | {{op:Bruch|4|5}} }}, {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|4|5}}| {{op:Bruch|3|5}} }} |SZ=}} eine Orthonormalbasis. Das folgende {{Stichwort|Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren|SZ=}} erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Fahne| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Untervektorräumen bestimmt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{ inputbeispiel |R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Nach Schmidt/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalbasis/Existenz/Fakt|Korollar|| || }} Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Orthonormaler Basisergänzungssatz/Formuliere und beweise/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt|Korollar|| || }} Zur folgenden Aussage vergleiche auch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Beziehung zu Dualraum/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt|Korollar|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Orthogonale Projektionen}} {{ inputbild |Orthogonal_Decomposition_qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{:Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonale Projektion/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} 3ywealuyuf9mvhz7i9kn10ij6wp87e6 106 95994 768018 749382 2022-08-16T09:09:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|33| {{Zwischenüberschrift|term=Das Kreuzprodukt}} {{:Kreuzprodukt/K^3/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|zusatz3= &nbsp; Orientierungen werden wir später besprechen. }} {{Zwischenüberschrift|term=Isometrien}} {{ inputdefinition |Vektorräume/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Definition|| }} Eine Isometrie ist stets injektiv. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{KRC|}} || {{CC}} || || || |SZ= }} spricht man auch von {{Stichwort|unitären Abbildungen|msw=Unitäre Abbildung|SZ=.}} In Abgrenzung zu affinen Isometrien, die wir später behandeln werden, spricht man auch von {{Stichwort|linearen Isometrien|msw=Lineare Isometrie|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Eine Isomorphie ist also einfach eine {{Stichwort|abstandserhaltende|msw=Abstandserhaltende Abbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=lineare| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung. Die Menge der Vektoren mit Norm {{math|term=1|SZ=}} in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Sphäre| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Euklidischer Vektorraum/Isometrie zum Standardraum/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum}} Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von {{math|term=V|SZ=}} werden sie folgendermaßen beschrieben. {{ inputfaktbeweis |Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt|Lemma|| || }} Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe. {{:Matrix/K/Allgemeine lineare Gruppe/Definition||}} {{:Matrix/K/Spezielle lineare Gruppe/Definition||}} {{ inputdefinition |Orthogonale Matrix/Orthogonale Gruppe/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinition |Matrix/C/Unitäre Gruppe/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Eigenwerte bei Isometrien}} {{ inputfaktbeweis |Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Im Allgemeinen muss eine Isometrie keine Eigenwerte besitzen, bei ungerader Dimension allerdings schon, siehe dazu die nächste Vorlesung. {{ inputfaktbeweis |Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt|Lemma||bv=2 || }} {{Zwischenüberschrift|term=Eigentliche Isometrien}} {{ inputdefinition |Euklidischer_Vektorraum/Eigentliche_Isometrie/Definition|| }} Bei nichteigentlichen Isometrien, also solchen mit Determinante {{math|term=-1|SZ=,}} spricht man von {{Stichwort|uneigentlichen Isometrien|msw=Uneigentliche Isometrie|SZ=.}} {{ inputdefinition |Matrizen/Spezielle orthogonale Gruppe/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinition |Matrix/C/Spezielle unitäre Gruppe/Definition|| }} {{Fußnotenliste}} }} tnan4eu9drjx32efzo4t7dwq9qrexzt 106 95997 768019 749383 2022-08-16T09:09:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|36| {{Zwischenüberschrift|term=Dreiecke}} In dieser und der nächsten Vorlesung stehen Dreiecke im Mittelpunkt. Unter einem Dreieck verstehen wir einfach ein Tupel {{mathl|term=(A,B,C)|SZ=}} aus drei {{Stichwort|Eckpunkten|msw=Eckpunkt|SZ=}} in einem affinen Raum {{math|term=E|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise eine affine Ebene| |ISZ=|ESZ= }} über einem euklidischen Raum {{math|term=V|SZ=.}} Wir lassen die Situation, dass Eckpunkte zusammenfallen, als ausgeartete Dreiecke zu, und wir identifizieren Dreiecke, wenn sie durch eine Umbenennung der Ecken auseinander hervorgehen. Ein Dreieck ist nach Definition genau dann nicht ausgeartet, wenn die drei Punkte {{ Definitionslink |Prämath= |affin unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Häufig versteht man unter dem Dreieck auch seine {{Stichwort|konvexe Hülle|SZ=,}} das ist die Menge {{ math/disp|term= {{Mengebed|rA+sB+tC|r+s+t {{=}}1| 0 \leq r,s,t \leq 1}} |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath= |baryzentrischen Kombinationen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der drei Punkte, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ sind. Die Verbindungsstrecke {{ Ma:Vergleichskette/disp | \overline{A,B} || {{Mengebed|rA+sB |r+s {{=}}1| 0 \leq r,s \leq 1}} || || || |SZ= }} heißt {{Stichwort|Seite|msw=Dreiecksseite|SZ=}} zwischen den Eckpunkten {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder gegenüber von {{math|term=C|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sie wird häufig mit {{math|term=c|SZ=}} bezeichnet, ihre Länge ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(A,B) || {{op:Norm|{{op:Vektor|A|B}}||}} || || || |SZ=. }} Entsprechende Festlegungen gelten für die beiden anderen Seiten. Manchmal werden auch die Seitenlängen mit {{mathl|term=a,b,c|SZ=}} bezeichnet. Der Winkel {{mathl|term=\angle(A,B,C)|SZ=}} des Dreiecks im Punkt {{math|term=B|SZ=}} ist durch {{ math/disp|term= \angle ( {{op:Vektor|B|A}}, {{op:Vektor|B|C}} ) |SZ= }} definiert, entsprechend an den übrigen Eckpunkten. Die Winkel werden häufig mit {{mathl|term=\alpha,\beta,\gamma|SZ=}} bezeichnet. {{ inputdefinition |Dreiecke/Kongruent/Definition|| }} Man sagt auch, dass kongruente Dreiecke durch affin-lineare Isometrien ineinander überführt werden können. {{ inputfaktbeweis |Kongruente Dreiecke/Längengleich/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Dreiecke/Eigentlich Kongruent/Definition|| }} {{ inputdefinition |Dreiecke/Ähnlich/Verschiebung und Winkeltreu/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dreieck/Ähnlichkeit/Winkel/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz des Pythagoras}} Wir beschäftigen uns zunächst mit rechtwinkligen Dreiecken. {{ inputdefinition |Rechtwinkliges Dreieck/Definition|| }} {{ inputdefinition |Rechtwinkliges Dreieck/Hypotenuse/Definition|| }} {{ inputdefinition |Rechtwinkliges Dreieck/Kathete/Definition|| }} Der {{Stichwort|Satz des Pythagoras|SZ=}} lautet für ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt. {{ inputfaktbeweis |Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt|Satz|| || }} In dieser Formulierung wird verwendet, dass der Flächeninhalt eines Quadrats {{ Zusatz/Klammer |text=also des geometrischen Objektes| |ISZ=|ESZ= }} gleich dem {{ Zusatz/Klammer |text=arithmetischen| |ISZ=|ESZ= }} Quadrat der Seitenlänge ist. Der Beweis hat nichts mit Flächeninhalten zu tun. {{ inputdefinition |Dreieck/Höhe/Definition|| }} Die Länge der Höhe wird selbst auch oft Höhe genannt. {{ inputdefinition |Dreieck/Höhenfußpunkt/Definition|| }} {{ inputbild |Kathetensatz|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Gunther |Domäne=de wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Kathetensatz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt|Satz|| || }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Höhensatz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Höhensatz/Lineare Algebra/Fakt|Satz|| || }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Kosinussatz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz des Thales}} {{ inputbild |Triangle-thales-circle|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=MartinThoma |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Satz des Thales/Lineare Algebra/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Strahlensätze}} {{:Strahlensätze/Lineare Algebra/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} }} puxhj0rtdc1g9eth83j92z2rvyq0sjx 106 96009 768020 749384 2022-08-16T09:09:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|47| {{Zwischenüberschrift|term=Homomorphie- und Isomorphiesatz}} {{:Gruppentheorie/Homomorphiesatz/Beispiele/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Isomorphiesatz für Restklassengruppen/Fakt|Satz|| |ref1= |ref2= |ref3= }} Kurz gesagt ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | G/H ||(G/N)/(H/N) || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Restklassenringe}} Auf einer Restklassengruppe zu einem Normalteiler in einer Gruppe gibt es häufig zusätzliche Strukturen, wenn die Ausgangsgruppe und der Normalteiler zusätzliche Eigenschaften besitzen. In der nächsten Vorlesung werden wir Restklassenräume zu Untervektorräumen besprechen. Hier besprechen wir kurz Restklassenringe zu einem Ideal in einem kommutativen Ring. Gelegentlich sind uns schon Ringhomomorphismen begegnet, wir erinnern an die Definition. {{ inputdefinition |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man kann umgekehrt zu jedem Ideal {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} in einem {{ Zusatz/Klammer |text=kommutativen| |SZ= }} Ring einen Ring {{mathl|term=R/I|SZ=}} konstruieren, und zwar zusammen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus {{ Ma:abb/disp |name= |R|R/I || |SZ=, }} dessen Kern gerade das vorgegebene Ideal {{math|term=I|SZ= }} ist. Ideale und Kerne von Ringhomomorphismen sind also im Wesentlichen äquivalente Objekte, so wie das bei Gruppen für Kerne von Gruppenhomomorphismen und Normalteiler gilt. In der Tat gelten die entsprechenden Homomorphiesätze hier wieder, und können weitgehend auf die Gruppensituation zurückgeführt werden. Wir werden uns bei den Beweisen also kurz fassen können. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Nebenklasse zu Ideal/Definition|}} Diese Nebenklassen sind gerade die {{ Definitionslink |Prämath= |Nebenklassen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ=, }} die wegen der Kommutativität ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zwei Elemente {{mathl|term=a,b \in R|SZ= }} definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also {{ Ma:Vergleichskette |a+I ||b+I || || || |SZ=, }} wenn ihre Differenz {{mathl|term=a-b|SZ= }} zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} dieselbe Nebenklasse {{Stichwort|term=repräsentieren|SZ=.}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition|}} Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=also Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind. Da {{math|term=I|SZ=}} insbesondere eine Untergruppe der kommutativen Gruppe {{mathl|term=(R,+,0)|SZ=}} ist, liegt ein Normalteiler vor, so dass {{mathl|term=R/I|SZ=}} eine Gruppe ist und die Restklassenabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |R| R/I |a| a+ I {{=|}}: \bar{a} |SZ=, }} ein Gruppenhomomorphismus ist. Das einzig Neue gegenüber der Gruppensituation ist also die Anwesenheit einer Multiplikation. Die Wohldefiniertheit der Multiplikation ergibt sich so: Seien zwei Restklassen gegeben mit unterschiedlichen Repräsentanten, also {{ mathkor|term1= {{op:kl|a|}}={{op:kl|a'|}} |und|term2= {{op:kl|b|}}={{op:kl|b'|}} |SZ=. }} Dann ist {{ mathkor|term1= a-a' \in I |und|term2= b-b' \in I |SZ= }} bzw. {{ mathkor|term1= a'=a+x |und|term2= b'=b+y |SZ= }} mit {{mathl|term=x,y \in I|SZ=.}} Daraus ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | a'b' ||(a+x)(b+y) || ab+ay+xb+xy |SZ=. }} Die drei hinteren Summanden gehören zum Ideal, so dass die Differenz {{mathl|term=a'b'-ab \in I|SZ=}} ist. Aus der Wohldefiniertheit folgen die anderen Eigenschaften und insbesondere, dass ein Ringhomomorphismus in den Restklassenring vorliegt. Diesen nennt man wieder die {{Definitionswort/enp|term=Restklassenabbildung}} oder den {{Definitionswort/enp|term=Restklassenhomomorphismus|SZ=.}} Das Bild von {{mathl|term=a \in R|SZ=}} in {{mathl|term=R/I|SZ= }} wird häufig mit {{math|term=[a]|SZ=,}} {{math|term=\bar{a}|SZ= }} oder einfach mit {{math|term=a|SZ=}} selbst bezeichnet und heißt die {{Definitionswort/enp|term=Restklasse}} von {{math|term=a|SZ=.}} Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf {{math|term=0|SZ=,}} d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal. Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl {{math|term=a|SZ=}} den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl {{math|term=d|SZ= }} zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen {{mathl|term=0,1,2 {{kommadots|}} d-1|SZ=.}} Im Allgemeinen gibt es nicht immer ein solch übersichtliches Repräsentantensystem. {{Zwischenüberschrift|term=Die Restklassenringe von {{math|term=\Z|SZ=}}}} {{ inputbild |Anillo cíclico|png | 300px {{!}} {{!}} |epsname=Anillo_cíclico |Autor=Romero Schmidtke |Benutzer=FrancoGG |Domäne=es.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die Restklassengruppen {{mathl|term={{op:Zmod|d}}|SZ=}} haben wir bereits kennengelernt, es handelt sich um zyklische Gruppen der Ordnung {{math|term=d|SZ=.}} Diese Gruppen bekommen jetzt aber noch zusätzlich eine Ringstruktur. {{ inputfaktbeweishier |Restklassenringe von Z/Ringhomomorphismus/Fakt|Korollar|| |Beweistext=Dies ist ein Spezialfall der obigen Überlegungen. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt|Satz|| || }} Die Restklassenringe {{ Ma:Vergleichskette |S ||K[X]/(P) || || || |SZ= }} sind ebenfalls gut überschaubar. Wenn {{math|term=P|SZ=}} den Grad {{math|term=d|SZ=}} besitzt, so wird jede Restklasse in {{math|term=S|SZ=}} durch ein eindeutiges Polynom von einem Grad {{mathl|term=<d|SZ=}} repräsentiert. Dieses ist der Rest, den man erhält, wenn man durch {{math|term=P|SZ=}} durchdividiert. }} n84vphjfqic5v29nhzqf38xo8b20f9c 106 96015 768021 749385 2022-08-16T09:09:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|53| {{Zwischenüberschrift|term=Norm von Endomorphismen und Matrizen}} {{ inputdefinition |Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Definition|| }} genauer spricht man von der {{Stichwort|Supremumsnorm|SZ=}} oder der {{Stichwort|Maximumsnorm|SZ=.}} Dies ist in der Tat eine Norm auf dem endlichdimensionalen {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}Vektorraum {{mathl|term= {{op:Hom|V|W| {{KRC}} }} |SZ=.}} Sie ist ein Spezialfall der Supremumsnorm von Arbeitsblatt 32, wenn man die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hom|V|W| {{KRC}}}} |\subseteq| C^0 ( {{mengebed| v \in V| {{op:Norm|v|}} {{=}} 1 }} ,W) || || || |SZ= }} heranzieht. In dieser Situation kann man statt des Supremums auch das Maximum nehmen, da das Supremum aufgrund der Kompaktheit der Sphäre {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der gegebenen Norm| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | S || {{Mengebed| v \in V| {{op:Norm|v|}} {{=}} 1 }} || || || |SZ= }} angenommen wird. Diese Norm hängt von den gewählten Normen auf {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} ab, aufgrund der Ergebnisse der letzten Vorlesung ist allerdings die Topologie auf dem Homomorphismenraum für jede Norm gleich. Eine wichtige Abschätzung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| \varphi(v)|}} |\leq| {{op:Norm|\varphi|}} \cdot {{op:Norm|v|}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=v \in V|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Normabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |V || {{KRC|}}^n || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |W || {{KRC|}}^m || || || |SZ= }} erhält man bei fixierten Normen auf diesen Räumen ausgewählte Normen auf dem Matrizenraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Mat|n \times m|K= {{KRC|}} }} || {{op:Hom|{{KRC|}}^n| {{KRC|}}^m| {{KRC|}} |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Mat|n \times m|K= {{KRC|}} }} || {{KRC|}}^{n m } || || || |SZ= }} kann man den Matrizenraum auch mit der euklidischen Norm, der Maximumsnorm {{ Zusatz/Klammer |text=bezogen auf die einzelnen Matrixeinträge| |ISZ=|ESZ= }} und der Summennorm versehen. Es gibt darüber hinaus noch weitere Normen, die Bezug auf die Matrixstruktur nehmen. Es sei die Matrix {{ Ma:Vergleichskette |A || (a_{ij})_{ij} || || || |SZ= }} gegeben. Man nennt {{ math/disp|term= {{op:max| \sum_{ i {{=}} 1}^m {{op:Betrag|a_{ij}||}} | j {{=}} 1 {{kommadots|}} n }} |SZ= }} die {{Stichwort|Spaltensummennorm|SZ=}} und {{ math/disp|term= {{op:max| \sum_{ j {{=}} 1}^n {{op:Betrag| a_{ij} }} | i {{=}} 1 {{kommadots|}} m }} |SZ= }} die {{Stichwort|Zeilensummennorm|SZ=.}} Die Spaltensummennorm ist die Maximumsnorm im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Normierte endlichdimensionale Vektorräume/Lineare Abbildung/Maximumsnorm/Definition |SZ=, }} wenn man die beiden Räume mit der Summennorm versieht, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Spaltensummennorm/Als Maxiumsnorm/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Konvergenz von Matrixpotenzen}} Zu einer komplexen Zahl {{math|term=z|SZ=}} hängt das Konvergenzverhalten der Potenzen {{ mathbed|term= z^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} wesentlich vom Betrag der Zahl ab. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} |<|1 || || || |SZ= }} konvergiert die Folge {{math|term=z^n|SZ=}} gegen {{math|term=0|SZ=,}} bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} ||1 || || || |SZ= }} ist die Folge zwar beschränkt, konvergiert aber nur bei {{ Ma:Vergleichskette |z ||1 || || || |SZ=, }} und bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} |>|1 || || || |SZ= }} ist die Folge divergent. Die entsprechende Fragestellung ergibt auch für Potenzen von quadratischen Matrizen mit Einträgen über {{math|term={{CC}}|SZ=}} Sinn. All diese Potenzen liegen in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Matq|d|{{CC}} |K={{CC}} }} |\cong| {{CC}}^{d^2} || || || |SZ=. }} Da dies ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum ist, hängt die Konvergenz in ihm nach den Ergebnissen der letzten Vorlesung nicht von einer gewählten Norm ab. Für eine Diagonalmatrix {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{op:Diagonalmatrix5|z_1|z_2|\ddots|z_{d-1} |z_d}} || || || |SZ= }} hängt das Konvergenzverhalten der Potenzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^n || {{op:Diagonalmatrix5|z_1|z_2|\ddots|z_{d-1} |z_d}}^n || {{op:Diagonalmatrix5|z_1^n|z_2^n|\ddots|z_{d-1}^n |z_d^n }} || || |SZ= }} direkt von den Einträgen in der Diagonalen ab. Beispielsweise konvergieren die Potenzen der Matrix gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag eines jeden Diagonaleintrags kleiner als {{math|term=1|SZ=}} ist. {{ inputbeispiel |Jordan-Block/2/Potenzen/Konvergenzverhalten/Beispiel|| }} Die Konvergenz von Matrixpotenzen hat viel mit Eigenvektoren der Matrix zu tun. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Potenzfolge/Konvergenz/Eigenvektor oder 0/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/K/Potenz/Darstellung/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Asymptotische Stabilität und Stabilität}} {{:Potenzen von Endomorphismen/C/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt}} }} n7830pi2jtwbh7obycghlgx2bmqvxln 106 96017 768022 749386 2022-08-16T09:10:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|55| {{ inputbeispiel |Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Beispiel|| }} In dieser Vorlesung führen wir eine wichtige Konstruktion für Vektorräume ein, das sogenannte {{Stichwort|Tensorprodukt|SZ=,}} das im soeben betrachteten Spezialfall den Abbildungsraum auf der Produktmenge ergibt; es ist also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abbildungsmenge|I|K}} {{tensor|K}} {{op:Abbildungsmenge|I|K}} | \cong |{{op:Abbildungsmenge|I \times J|K}} || || || |SZ=. }} Die Eigenschaften des konstruierten Objektes sind dabei wichtiger als die Konstruktion selbst. Die Konstruktion ist sehr abstrakt und beruht auf der Konstruktion von Restklassenräumen und folgender Konstruktion. {{:Symbolmenge/K/Vektorraum/Konstruktion/Bemerkung}} Diese Konstruktion ist wiederum ein Spezialfall der {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Summe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Produktmenge/Beliebig/Vektorräume/Direkte Summe/Definition |SZ= }} von {{ Zusatz/Klammer |text=im Allgemeinen| |ISZ=|ESZ= }} unendlich vielen {{math|term=K|SZ=-}}Vektorräumen, und zwar wird hier die direkte Summe des Vektorraums {{math|term=K|SZ=}} mit sich selbst so oft genommen, wie es {{math|term=S|SZ=}} vorgibt. {{Zwischenüberschrift|term=Das Tensorprodukt von Vektorräumen}} {{:Tensorprodukte von Vektorräumen/Konstruktion/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Passt zur Konstruktion/Bemerkung|| }} }} lwolrop5vbuu839o0xxoiststduz7ne 106 96019 768023 749387 2022-08-16T09:10:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|57| {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Abbildungen bei Körperwechsel}} {{:Lineare Abbildung/Körperwechsel/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Dachprodukt}} Unter den multilinearen Abbildungen spielen die alternierenden Abbildungen eine besondere Rolle, das wichtigste Beispiel ist die Determinante. Wir führen hier eine Konstruktion für das sogenannte {{Stichwort|Dachprodukt|SZ=}} durch, dass für die alternierenden Abbildungen eine ähnliche Rolle spielt wie das Tensorprodukt für die multilinearen Abbildungen. Wir erinnern an alternierende Abbildungen. {{:Multilineare Abbildung/Alternierend/Definition}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Rechenregeln für das Dachprodukt}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt|Korollar|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die universelle Eigenschaft des Dachproduktes}} Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes. {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt|Satz|| || }} Es bezeichne {{mathl|term= \operatorname{Alt}^n (V,K)|SZ=}} die Menge aller alternierenden Abbildungen von {{math|term=V^n|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=.}} Diese Menge kann man mit einer natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Multilineare Abbildung/Alternierend/Untervektorraum/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt|Satz|| || }} Wenn {{math|term=V|SZ=}} endlichdimensional ist, so ergibt sich aus der vorstehenden Aussage und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass das Dachprodukt endliche Dimension besitzt. Diese werden wir in der letzten Vorlesung bestimmen. {{Fußnotenliste}} }} 7ae225ez16giazyqn29gufngvud6hku 106 96020 768024 749388 2022-08-16T09:10:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|58| {{Zwischenüberschrift|term=Eigenschaften des Dachprodukts}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt|Satz|| || }} Bei {{mathl|term=V=K^m|SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term=e_1 {{kommadots|}} e_m |SZ=}} nennt man die {{ mathbed|term= e_{i_1} {{wedgedots|}} e_{i_n} |mit|bedterm1= i_1 < \ldots < i_n ||bedterm2= |SZ= }} die {{Stichwort|Standardbasis|SZ=}} von {{mathl|term=\bigwedge^n K^m|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Dachprodukt/Basiswechsel/Umrechnung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere ist die äußere Potenz für {{mathl|term=n=0|SZ=}} eindimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^0 V=K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und für {{mathl|term=n=1|SZ=}} {{math|term=m|SZ=-}}dimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathlk|term=\bigwedge^1 V=V|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{mathl|term=n=m|SZ=}} ist {{mathl|term=\bigwedge^m V|SZ=}} eindimensional, und die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induziert {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Identifizierung von {{math|term=V|SZ=}} mit {{math|term=K^m|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^m V | K |(v_1 {{kommadots|}} v_m) |{{op:Determinante| (v_1 {{kommadots|}} v_m) |}} |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |n |>|m || || || |SZ= }} sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension {{math|term=0|SZ=.}} Wir erweitern die in der letzten Vorlesung gezeigte natürliche Isomorphie {{mathl|term= {{makl| \bigwedge^n V |}}^* \cong \operatorname{Alt}^n (V,K) |SZ=}} zu einer natürlichen Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigwedge^n V^* |\cong| {{makl| \bigwedge^n V |}}^* |\cong| \operatorname{Alt}^n (V,K) || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen und das Dachprodukt}} Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt|Lemma|| || }} }} bx337bs1d5ddvn3dlmcxlqbcphazf2r 106 96028 767585 553522 2022-08-15T16:41:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|37| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Endliche Punktmenge/Schwerpunkt unter affiner Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Gleichseitig gdw Schwerpunkt ist Umkreismittelpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gleichseitiges Dreieck/Rationale Koordinaten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Seitenmittelpunksdreieck/Ähnlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/(-1,3),(0,-5),(2,1)/Seitenhalbierende/Schwerpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/R^3/Standardvektoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mittelsenkrechte/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/(-2,2),(0,4),(5,0)/Mittelsenkrechte/Umkreismittelpunkt/Radius/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Umkreismittelpunkt/Koordinaten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Umkreismittelpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Umkreismittelpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Winkelhalbierende/Über Winkel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Inkreismittelpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Inkreismittelpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Höhenfußpunkt/Zwei außerhalb/Skizze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Höhenfußpunkt/Einer innerhalb/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gleichschenkliges Dreieck/Seitenhalbierende u.s.w./Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den folgenden Aufgaben setze man einen naiven Flächeninhaltsbegriff voraus. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen und für den Flächeninhalt gilt die Zerlegungseigenschaft {{ Zusatz/Klammer |text=oder Zerschneidungseigenschaft| |ISZ=|ESZ= }} und die Verschiebungsinvarianz. {{ inputaufgabe |Parallelogramm/Flächeninhalt/Zerschneidungseigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Flächeninhalt mit Höhe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Höhenschnittpunkt/Ähnlichkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Höhenschnittpunkt/Affine Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinussatz/Elementargeometrisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinussatz/Flächeninhalt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe wird die {{ Zusatz/Klammer |text=eine Variante der| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Heronsche Formel|SZ=}} bewiesen. {{ inputaufgabe |Dreieck/Flächeninhalt aus Längen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Prominente Geraden/Konstruktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Grundseite und Höhe/Minimaler Umfang/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreiecke/Als Vektorraum/Untervektorräume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Rechtwinkliges Dreieck/345/Schnittpunkte/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Eulersche Gerade/Berechne/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Feuerbachkreis/Berechne/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/R^3/Beispiel/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dreieck/Vektorraumstruktur/Umfang/Linear/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe wird auf die {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenz| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Folgen im {{math|term=\R^2|SZ=}} Bezug genommen. Sie liegt genau dann vor, wenn beide Komponentenfolgen in {{math|term=\R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Seitenmittelpunktsdreieck/Iteration/Konvergenz/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} ckxf9dbhmidtpcdq9j82uy8hxfeke0u 14 96926 768346 543749 2022-08-16T11:48:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der kommutativen Ringe|Semilokal}} es6w2bf9k3ndmxwpzlmsy4yrgwl0p2w 14 97358 768301 546848 2022-08-16T11:42:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der kommutativen Ringe|Potenz| ||}} j23a9vyfaqeopfw72v2qrna2knzjrz5 106 99987 768046 749396 2022-08-16T09:34:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|31| In den folgenden Vorlesungen werden wir uns mit {{Stichwort|linearer Algebra|msw=lineare Algebra|SZ=}} beschäftigen. Sie ist uns bereits in der [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Vorlesung 22|22. Vorlesung]] des ersten Semesters im Rahmen der Proportionalität und der linearen Funktionen begegnet. In der linearen Algebra wird stets ein Körper {{math|term=K|SZ=}} zugrunde gelegt, wobei man dabei grundsätzlich an die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} denken kann. {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Gleichungen}} Die {{Anführung|Mutter aller linearen Gleichungssysteme}} ist eine einzige lineare Gleichung in einer Variablen der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |ax ||b || || || |SZ= }} mit gegebenen Elementen {{mathl|term=a,b|SZ=}} aus einem Körper {{math|term=K|SZ=}} und gesuchtem {{math|term=x|SZ=.}} Schon hier zeigen sich drei Möglichkeiten, wie die Lösung aussehen kann. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} kann man die Gleichung mit dem Inversen von {{math|term=a|SZ=}} in {{math|term=K|SZ=,}} also mit {{math|term=a^{-1}|SZ=,}} multiplizieren und erhält als eindeutige Lösung {{ Ma:Vergleichskette/disp |x || ba^{-1} || {{op:Bruch|b|a}} || || |SZ=. }} Rechnerisch kann man also die Lösung erhalten, wenn man inverse Elemente bestimmen und mit ihnen multiplizieren kann. Bei {{ Ma:Vergleichskette |a ||0 || || || |SZ= }} hängt das Lösungsverhalten von {{math|term=b|SZ=}} ab. Bei {{ Ma:Vergleichskette |b ||0 || || || |SZ= }} ist jedes {{mathl|term=x \in K|SZ=}} eine Lösung, bei {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung. Wir untersuchen nun die entsprechende Situation, wenn es mehr als eine Variable gibt. {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineare Gleichung/Auch inhomogen/Definition||zusatz1=Fußnote }} Im Sinne von [[Kurs:Grundkurs_Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesung_17|17. Vorlesung]] des ersten Semesters handelt es sich um eine Bedingungsgleichung. Insbesondere soll nach den Tupeln gesucht werden, die die Gleichung erfüllen {{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist auch der Grund, warum wir Variablen {{math|term=x_i|SZ=}} verwendet haben, um die Gleichung zu formulieren, und die Lösungstupel mit {{math|term=\xi_i|SZ=}} angesetzt haben. Meistens schreibt man einfach nur {{math|term=x_i|SZ=}} und muss die Rolle der Variablen dem Kontext entnehmen| |ISZ=.|ESZ=. }} Statt von Koeffizienten spricht man auch von Parametern der Gleichung. Da die Lösungen im {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K^n|SZ=}} liegen, sollte man sich von Anfang an um eine geometrische Deutung der Situation bemühen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} liegen die Lösungspunkte in der Ebene, bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||3 || || || |SZ= }} im Raum. Einfache Beispiele wie das folgende zeigen aber auch, dass es künstlich wäre, die Anzahl der Variablen auf {{math|term=3|SZ=}} zu beschränken, um eine geometrische Vorstellungbarkeit zu sichern. {{ inputbeispiel |Obststand/Lucy/Preis/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt|Lemma|| || }} Eine entsprechende Aussage gilt an jeder Stelle mit {{ Ma:Vergleichskette |a_i |\neq|0 || || || |SZ=, }} die übrigen Einträge legen dann {{math|term=x_i|SZ=}} fest. Die Lösungsmenge notiert man als {{ Ma:Vergleichskette/disp |L ||{{Mengebed| {{op:Zeilentupel| {{op:Bruch|1|a_1}} {{makl|c- a_2x_2 {{minusdots|}} a_nx_n |}} |x_2|\ldots|x_n}} |x_2 {{kommadots}} x_n \in K}} || || || |SZ=. }} Die Variablen {{mathl|term=x_2 {{kommadots|}} x_n|SZ=}} treten in dieser Darstellung als {{Stichwort|freie Variablen|msw=Freie Variable|SZ=}} auf, deren Werte frei vorgegeben werden dürfen, während dadurch der Wert für {{math|term=x_1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|abhängige Variable|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eindeutig festgelegt wird. {{Zwischenüberschrift|term=Lineare Gleichungssysteme}} Bei einem linearen Gleichungssystem gibt es mehrere lineare Gleichungen in einer gegebenen Menge von Variablen, die gleichzeitig erfüllt werden sollen. Wir beginnen mit drei einführenden Beispielen. {{ inputbeispiel |Obststand/Lucy/Preis und Vitamine/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produkte/Preis/Beispieleinkäufe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Einführendes Beispiel/Glühwein/Beispiel|zusatz1=Fußnote|zusatz2=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=diesen Begriff werden wir in einer der nächsten Vorlesungen einführen| |ISZ=|ESZ=, }}| }} Wir kommen zur allgemeinen Definition eines linearen Gleichungssystems. {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Auch inhomogen/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Menge aller Lösungen eines linearen Gleichungssystems heißt die {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=.}} Im homogenen Fall spricht man auch vom {{Stichwort|Lösungsraum|SZ=,}} da es sich in der Tat, wie wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sehen werden, um einen Untervektorraum des {{math|term=K^n|SZ=}} handelt. Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte {{Stichwort|triviale Lösung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette |0 ||(0 {{kommadots|}} 0) || || || |SZ=. }} Ein inhomogenes Gleichungssystem braucht nicht unbedingt eine Lösung zu haben. Beispielsweise ist das durch die beiden Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |3x ||7 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |5x ||8 || || || |SZ= }} in der einen Variablen {{math|term=x|SZ=}} gegebene System offenbar nicht lösbar. Grundsätzlich kann auch eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||1 || || || |SZ= }} auftreten, wenn sämtliche Koeffizienten der Gleichung {{math|term=0|SZ=}} sind und die Störkomponente nicht {{math|term=0|SZ=}} ist. In diesem Fall gibt es keine Lösung. Zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem heißt das homogene System, das entsteht, wenn man den Stör{{latextrenn}}vektor gleich {{math|term=0|SZ=}} setzt, das {{Stichwort|zugehörige homogene System|msw=Zugehöriges homogenes System|SZ=.}} Dies mag auf den ersten Blick willkürlich erscheinen, da man ja das Gleichungssystem, das man lösen möchte, einfach ändert. Der Lösungsraum des zugehörigen homogenen Systems hat aber mehr Struktur und hilft, die Lösungsmenge des inhomogenen Systems zu verstehen, siehe insbesondere {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Nicht in Standardgestalt/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Lösungsverfahren für zwei Gleichungen in zwei Variablen}} In der nächsten Vorlesung werden wir ein allgemeines Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme kennenlernen, das {{Stichwort|Eliminationsverfahren|SZ=.}} Für eine einzige Gleichung in beliebig vielen Variablen haben wir ein Lösungsverfahren bereits in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Gleichung/Bijektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gesehen. Die grundlegende Beobachtung für jedes Lösungsverfahren für ein lineares Gleichungssystem ist, dass wenn {{mathl|term=(x_1 {{kommadots|}} x_n)|SZ=}} die beiden Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n ||c || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |b_1x_1 {{plusdots|}} b_nx_n ||d || || || |SZ= }} erfüllt, dass dieses Tupel dann auch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a_1+ b_1)x_1 {{plusdots|}} (a_n+ b_n)x_n ||c+d || || || |SZ= }} erfüllt. Das bedeutet, dass man die Gleichungen umformen kann mit dem Ziel, ein vereinfachtes System zu finden, aus dem man die Lösungen direkt ablesen kann. Hier besprechen wir den Fall von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen. {{ inputbeispiel |Lineares Gleichungssystem/2x2/1/Beispiel|| }} {{ inputverfahren |Lineares Gleichungssystem/2x2/Lösung/Verfahren|| }} {{Fußnotenliste}} }} ba6jk6rs47pcp7j58l5wqywnd5f8s8e 106 99992 768047 749397 2022-08-16T09:34:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|36| In dieser Vorlesung möchten wir verstehen, wie man an der beschreibenden Matrix zu einer linearen Abbildung erkennen kann, ob diese bijektiv ist, und wann ein lineares Gleichungssystem {{ Ma:Vergleichskette |Mx ||y || || || |SZ= }} die Eigenschaft besitzt, dass es für jedes {{math|term=y|SZ=}} eine eindeutige Lösung {{math|term=x|SZ=}} gibt, und wie man diese findet. {{Zwischenüberschrift|term=Invertierbare Matrizen}} {{ inputdefinition |Invertierbare Matrix/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinition |Inverse Matrix/Körper/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Diagonalmatrix/Invertierbarkeit/Beispiel|| }} Das Produkt von invertierbaren Matrizen ist wieder invertierbar, die invertierbaren Matrizen bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Aus der einzigen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |A \circ M ||E_n || || || |SZ= }} folgt sogar die umgekehrte Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |M \circ A ||E_n || || || |SZ=, }} also die Invertierbarkeit von {{math|term=M|SZ=.}} Dies ist aber rein matrizentheoretisch schwierig zu beweisen, für den Fall von {{math|term=2\times 2|SZ=-}}Matrizen siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Matrix/2/Linksinvers/Rechtsinvers/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Mit Hilfe der Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen kann man es beweisen, indem man verwendet, dass für eine lineare Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |K^n|K^n || |SZ= }} die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv äquivalent sind {{ Zusatz/Klammer |text=das haben wir nicht bewiesen| |ISZ=|ESZ=. }} Invertierbare Matrizen und bijektive lineare Abbildungen hängen unmittelbar zusammen. {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Zahlenraum/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Elementarmatrizen}} Wir möchten zu einer Matrix {{math|term=M|SZ=}} bestimmen, ob sie invertierbar ist oder nicht und wie gegebenenfalls die inverse Matrix aussieht. Dazu sind Elementarmatrizen hilfreich, da man mit ihnen die Manipulationen, die im Eliminationsverfahren auftreten, als Matrizenmultiplikationen beschreiben kann. {{ inputdefinition |Matrix/Elementare Zeilenumformungen/Definition|| }} Elementare Zeilenumformungen ändern nicht den Lösungsraum von homogenen linearen Gleichungssystemen, wie in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigt wurde. {{ inputdefinition |Elementarmatrizen/Definition|| }} Ausgeschrieben sehen diese Elementarmatrizen folgendermaßen aus. {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_{ij} ||{{ElementarmatrixVertauschung|}} || || || |SZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_k(s) ||{{ElementarmatrixSkalar|s}} || || || |SZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_{ij}(a) ||{{ElementarmatrixAddition/oben|a}} || || || |SZ= }} Elementarmatrizen sind invertierbar, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elementarmatrizen/Sind invertierbar/Explizit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} und ihre Inversen sind ebenfalls Elementarmatrizen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweishier |Matrix/Treppengestalt durch elementare Umformungen/Fakt|Satz||Beweistext=Dies beruht auf den entsprechenden Manipulationen für Gleichungen wie beim Eliminationsverfahren, siehe die zweite Vorlesung. ||| }} {{ inputbeispiel |Matrix/Diagonalgestalt/Elementarmatrizen/1/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Matrix/Diagonalgestalt/Elementarmatrizen/2/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Matrix/Nicht invertierbar/Spaltenvertauschung/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Invertierbare Matrix/Treppengestalt/Einheitsmatrix/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere gibt es zu einer invertierbaren Matrix {{math|term=M|SZ=}} Elementarmatrizen {{mathl|term=E_1 {{kommadots|}} E_k|SZ=}} derart, dass {{ math/disp|term= E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M |SZ= }} die Einheitsmatrix ist. {{Zwischenüberschrift|Auffinden der inversen Matrix}} {{ inputverfahren |Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren|| }} {{ inputbeispiel |Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren/59/-37/Beispiel|| }} Für eine invertierbare {{math|term=2\times 2|SZ=-}}Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=}} kann man die inverse Matrix einfacher direkt angeben, es ist nämlich {{ Ma:Vergleichskette/disp |M^{-1} || {{op:Bruch|1|ad-bc}} {{op:Matrix22|d|-b|-c|a|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und die {{Anführung|Determinante}} {{mathl|term=ad-bc|SZ=}} ist genau dann ungleich {{math|term=0|SZ=,}} wenn die Matrix invertierbar ist| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren/131/412/011/Beispiel|| }} }} dj04a25gpcbbxmekdlxh1l8ixhohftq 106 99994 768048 587272 2022-08-16T09:35:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|38| {{Zwischenüberschrift|term=Äquivalenzrelationen}} In der Mathematik sind Formulierungen, dass mathematische Objekte {{Anführung|äquivalent}} sind, allgegenwärtig. Zumeist geht es um Situationen, wo Objekte zwar nicht gleich, aber doch in gewisser Hinsicht, unter einem bestimmten Gesichtspunkt, als gleichwertig zu betrachten sind. In solchen Kontexten darf man Objekte durch gleichwertige Objekte ersetzen, um eine Situation zu vereinfachen. Es gibt keine allgemeine Definition von {{Anführung|äquivalent|SZ=,}} da es im Allgemeinen eine Vielzahl von konkurrierenden Gesichtspunkten gibt, unter denen man Objekte als äquivalent ansehen möchte oder nicht. Man kann aber strukturelle Bedingungen herausarbeiten, die zueinander äquivalente Objekte stets erfüllen. Insofern ist Äquivalenz eine spezielle Art einer Relation auf einer Menge. {{ inputdefinition |Mengen/Äquivalenzrelation/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Gleichheit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Klumpen/Beispiel|| }} {{ inputbild |Wildebeests in the Masaai Mara|jpg| 300px {{!}}thumb {{!}} |epsname=Wildebeests_in_the_Masaai_Mara |Text=[[w:Streifengnu|Gnus]] bilden eine Äquivalenzklasse {{ Zusatz/Klammer |text=eine vollständige Menge aus zueinander äquivalenten Elemente, siehe die nächste Vorlesung für die Definition| |ISZ=|ESZ= }} bezüglich der Äquivalenzrelation der Gleichartigkeit, ebenso [[w:Steppenzebra|Zebras]]. |Autor=Demosch |Benutzer=FlickreviewR |Domäne=Flickr |Lizenz=cc-by-2.0 |Bemerkung=Quelle:<nowiki>www.flickr.com/photos/44222307@N00/1191441866/</nowiki> }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Eigenschafts Gleichheit/Beispiel|| }} Bei den zuletzt genannten {{Anführung|alltäglichen|}} Beispielen muss man etwas vorsichtig sein, da im Allgemeinen die Eigenschaften nicht so genau definiert werden. Im Alltag spielt Ähnlichkeit eine wichtigere Rolle als Gleichheit hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft. Die Ähnlichkeit ist aber keine Äquivalenzrelation, da sie zwar reflexiv und symmetrisch ist, aber nicht transitiv. Wenn {{math|term=A|SZ=}} und {{math|term=B|SZ=}} zueinander (knapp) ähnlich sind und {{math|term=B|SZ=}} und {{math|term=C|SZ=}} ebenso, so kann {{math|term=A|SZ=}} und {{math|term=C|SZ=}} schon knapp unähnlich sein {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso: lebt in der Nachbarschaft von, ist verwandt mit, etc.| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Haufen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mehrecke/Äquivalenzrelation/Sortierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Aussagen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Term/Wertigkeit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Lineare Gleichungssysteme/Beispiel|| }} Die Gleichheit bezüglich einer Eigenschaft wird durch folgende mathematische Konstruktion präzisiert. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| || }} Prinzipiell kann man jede Äquivalenzrelation mit Hilfe einer Abbildung beschreiben, siehe die nächste Vorlesung. Wenn die Abbildung {{math|term=f|SZ=}} injektiv ist, so ist die durch {{math|term=f|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=}} definierte Äquivalenzrelation die Gleichheit. Wenn die Abbildung konstant ist, so sind unter der zugehörigen Äquivalenzrelation alle Elemente aus {{math|term=M|SZ=}} untereinander äquivalent. {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation durch Abbildung/Archimedisch angeordnet/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputbild |Ostfriesische-Inseln 2|jpg| 350px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Ostfriesische-Inseln_2 |Text=Unter der Äquivalenzrelation {{Anführung|erreichbar auf dem Landweg}} sind Inseln und Kontinente die Äquivalenzklassen. |Autor= |Benutzer=Godewind |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/2/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Z/Modulo/Äquivalenzrelation/Beispiel|| }} Mit Hilfe der Abbildung {{ Ma:abb |name=f |\Z| \{0,1 {{kommadots}} d-1\} || |SZ=, }} die jeder ganzen Zahl den Rest bei Division durch {{math|d}} zuordnet, kann man das vorstehende Beispiel auch direkt mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |SZ= }} erfassen. {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Kongruenz von Dreiecken/Beispiel||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Diese Abbildungen sind aus der Schule bekannt| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{Fußnotenliste}} }} b8z0iyr2dhnb222vs8h00riksjhf18w 106 99995 768049 735666 2022-08-16T09:35:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|39| {{Zwischenüberschrift|term=Äquivalenzklassen und Repräsentantensysteme}} Eine Äquivalenzrelation {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq| M \times M || || || |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M}} kann auch als Zerlegung der Menge {{math|term= M}} aufgefasst werden. Hierzu ist der Begriff der {{Stichwort|term= Äquivalenzklasse}} nützlich. {{inputdefinition |Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition||}} In Worten: {{math|term= [x]}} ist die Teilmenge aller Elemente von {{math|term= M|SZ=,}} die zu {{math|term= x}} äquivalent sind, also einfach die Faser zu {{math|term=x|SZ=.}} Jede Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|M || || || |SZ=, }} die die Gestalt {{ Ma:Vergleichskette |S || [x] || || || |SZ= }} für ein {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|M || || || |SZ= }} besitzt, heißt Äquivalenzklasse. Jedes Element {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| [x] || || || |SZ= }} heißt ein {{Stichwort|Repräsentant|SZ=}} für die Äquivalenzklasse {{mathl|term=[x]|SZ=.}} Insbesondere ist {{math|term=x|SZ=}} selbst ein Repräsentant für die Klasse {{mathl|term=[x]|SZ=,}} doch ist dies keineswegs der einzige oder der {{Anführung|beste}} Repräsentant. {{inputdefinition |Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition||}} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Haufen als Klassen/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Äquivalenzrelation/Äquivalenzklassen und Repräsentanten in Beispielen/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Ganze Zahlen/Teiler/Nebenklassen/Beispiel|| }} {{ inputbild |Concentric circles isotropy|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Tampert |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Ebene/Abstand zum Nullpunkt/Äquivalenzklassen/Beispiel|| }} {{ inputbild |ParalleleGeradenKlassen|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Drei Äquivalenzklassen für die durch die Parallelität gegebene Äquivalenzrelation. |Autor=Mgausmann |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Ebene/Parallele Geraden/Äquivalenzklassen/Beispiel|| }} {{ inputbild |Chess Board|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Nevit |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Schach/Läufer/Äquivalenzklassen/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Quotientenmenge und kanonische Abbildung}} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Wäschesortierung/Menge der Haufen/Beispiel|| }} {{inputdefinition|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition|}} DieQuotientenmenge ist also einfach die Menge der Äquivalenzklassen. Wenn man die Äquivalenzrelation mit {{math|term= \sim |SZ=}} bezeichnet, so schreibt man {{mathl|term= M/\sim |SZ=}} für die Quotientenmenge. Das Konzept Quotientenmenge ist nicht einfach, allein schon deshalb, da es nach Definition eine Menge von Mengen, nämlich der Äquivalenzklassen ist. Von der Handhabung und der Vorstellung her betrachtet man aber diese Äquivalenzklassen eher als neue {{Anführung|Punkte|}} in einer neuen Menge, die eben erst durch die Konstruktion entsteht. Auch die Beziehung zu einem Repräsentantensystem ist nicht ganz einfach. Wenn man ein Repräsentantensystem {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|M || || || |SZ= }} für eine Äquivalenzrelation hat, so ergibt sich eine bijektive Abbildung {{ Ma:abb |name= |T|Q || |SZ= }} zwischen dem Repräsentantensystem und der Quotientenmenge. Diese kann zu Verwechslungen führen. Wichtig ist, dass ein Repräsentantensystem von einer Wahl abhängt und nur selten kanonisch ist, während die Quotientenmenge nicht von Wahlen abhängt. Wenn es allerdings ein besonders einfaches Repräsentantensystem gibt, so übernimmt man die Bezeichnungen für die Elemente wiederum auch als Bezeichnungen für die Elemente der Quotientenmenge. Man muss aber auch sagen, dass die Abstraktion, die in der Quotientenmenge zum Ausdruck kommt, in vielen Kontexten anzutreffen ist. Beispielsweise gibt es die Menge der Tiere und die Menge der Tierarten. Hinter Tierart steckt doch eine andere Idee als die Menge der zu unter diese Tierart fallenden Einzeltiere oder die Idee, aus jeder Tierart einen Vertreter auszuwählen. Die Menge aller geraden und die Menge aller ungeraden Zahlen wird durch das Eigenschaftspaar gerade oder ungerade deutlicher gemacht. Entsprechend führt die Parallelität zur Idee der {{Anführung|Richtung}} einer Geraden, u.s.w. Im oben angeführten {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ganze Zahlen/Teiler/Nebenklassen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besteht die Quotientenmenge aus den Restklassen {{mathl|term=[0], [1] {{kommadots|}} [d-1]|SZ=,}} wobei die Bezeichnungen des einfachsten Repräsentantensystems übernommen werden. Die konzentrischen Kreise um den Punkt {{math|term=M|SZ=}} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ebene/Abstand zum Nullpunkt/Äquivalenzklassen/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} kann man mit ihrem Radius identifizieren, d.h. die Quotientenmenge steht in einer natürlichen Korrespondenz zu {{math|term= \R_{\geq 0} |SZ=.}} Auch dies ist eine wichtige Beobachtung, dass die Quotientenmenge häufig eine neue Struktur besitzt oder in einer natürlichen Beziehung zu einem anderen mathematischen Gebilde steht, was von der Ausgangsmenge her nicht unmittelbar ersichtlich ist. So kann man auch die Menge der Geraden durch einen Punkt {{math|term=M|SZ=,}} die ein Repräsentantensystem für die Parallelität ist, in einem weiteren Schritt mit den Punkten auf einem halboffenen Halbkreis um {{math|term=M|SZ=}} identifizieren, um eine geometrische gehaltvolle Interpretation der Quotientenmenge zu erhalten. Die Quotientenmenge zur Äquivalenzrelation des Läufers besteht nur aus den Feldfarben weiß und schwarz. {{inputdefinition |Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition|}} Man spricht auch von der {{Stichwort|Identifizierungsabbildung|SZ=,}} da unter dieser Abbildung äquivalente Elemente auf das gleiche Element, ihre Klasse, abgebildet werden. {{ inputfaktbeweis |Äquivalenzklassen/Partition/Quotientenmenge/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Bei der Eigenschaft (2) sagt man auch, dass die Äquivalenzrelation eine {{Stichwort|Partition|SZ=}} der Menge bewirkt. Die Eigenschaft (4) bedeutet insbesondere, dass man zu jeder Äquivalenzrelation eine Abbildung, nämlich die kanonische Abbildung in die Quotientenmenge, angeben kann, derart, dass Elemente genau dann äquivalent sind, wenn sie unter der Abbildung den gleichen Wert besitzen. Damit ist gezeigt, dass man jede Äquivalenzrelation als eine Äquivalenzrelation zu einer Abbildung im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhalten kann. Die folgende Aussage beschreibt die {{Stichwort|universelle Eigenschaft|SZ=}} der Quotientenmenge. {{ inputfaktbeweis |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Äquivalenzrelation/Abbildung/Projektion/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Äquivalenzrelation/Projektiver Raum/Körper/Beispiel|| }} }} csj42zlpxfv2gm80d1q86kkjpxbsu3j 106 99999 768050 749398 2022-08-16T09:35:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|43| {{Zwischenüberschrift|term=Quadratwurzeln}} Wir betrachten die Quadratwurzel {{math|term=\sqrt{5}|SZ=,}} von der wir die algebraische Eigenschaft, dass ihr Quadrat gleich {{math|term=5|SZ=}} sein soll, und eine geometrische Realisierung schon kennen. Wir wissen auch, dass es innerhalb der rationalen Zahlen eine solche Zahl nicht gibt. Es ist im Moment nicht klar, in welcher Weise es diese Zahl gibt, zu welcher Zahlenmenge sie gehören soll und wie mit ihr zu rechnen ist. Es ist aber klar, dass sie innerhalb der rationalen Zahlen eine {{Anführung|Lücke}} aufweist. In den nächsten Vorlesungen diskutieren wir Möglichkeiten, solche Lücken zu erkennen, zu erfassen, zu lokalisieren, rational zu approximieren und rechnerisch mit ihnen umzugehen. In einem weiteren Schritt werden wir sämtliche Lücken systematisch auffüllen und erhalten dadurch die reellen Zahlen, die ihrerseits lückenlos, oder, wie wir sagen werden, vollständig sind. Diesen Prozess kann man mathematisch mit einer Reihe von unterschiedlichen Konzepten durchführen, die alle letztlich zu ein und dem gleichen Körper der reellen Zahlen führen. Wir werden die folgenden Konzepte kennenlernen. {{ Auflistung5 |Cauchy-Folgen. |Wachsende, nach oben beschränkte Folgen. |Dezimalzifferentwicklungen (Dezimalbruchfolgen). |Intervallschachtelungen. |Dedekindsche Schnitte. }} Diese Konzepte besitzen jeweils viele Vor- und Nachteile, die wir später eingehend diskutieren werden. Als mögliche Kriterien seien aber schon mal genannt. {{ Aufzählung6 |Nähe zur Intuition der Zahlengeraden. |Rechnerische Zugänglichkeit. |Einfachheit der Konstruktion der reellen Zahlen. |Einfachheit des Nachweises von Eigenschaften der reellen Zahlen. |Bedeutung über die Einführung der reellen Zahlen hinaus. |Mathematische Eleganz. }} In dieser Vorlesung werden wir die Ideen, die diesen Konzepten zugrunde liegen, beispielhaft an Quadratwurzeln vorstellen. {{ inputbeispiel |Quadratwurzel aus 5/Unter-und oberhalb/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel|| }} Mit dem Intervallbegriff lässt sich die zuletzt formulierte Approximation durch die Dezimalbruchfolge unter einen etwas anderen Gesichtspunkt stellen. {{ inputbeispiel |Quadratwurzel aus 5/Intervallschachtelung/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Heron-Verfahren}} Die oben in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Quadratwurzel aus 5/Dezimalbruchfolge/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angeführte Dezimalbruchfolge wirkt vertraut, weil die Dezimalziffernentwicklung vertraut ist, und weil das das ist, was der Taschenrechner ausspuckt. Es gibt aber Folgen, die weit schneller die Quadratwurzel berechnen und die auch der Taschenrechner verwendet. Das sogenannte {{Stichwort|Heron-Verfahren|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auch {{Stichwort|babylonisches Wurzelziehen|SZ=}} genannt| |ISZ=|ESZ= }} ist ein typisches Beispiel dafür, dass Dezimalbruchfolgen im Allgemeinen nicht optimal sind, und es künstlich wäre, sich auf sie zu beschränken. {{ inputbeispiel |Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 3/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/5/Startwert 2/Beispiel|| }} {{ inputbild |Heron von Alexandria|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Heron_von_Alexandria |Text=[[w:Heron von Alexandria|Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)]] |Autor= |Benutzer=Frank C. Müller |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren. {{ inputverfahren |Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Heron-Folge/Verfahren|| }} Man berechnet also sukzessive das {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetische Mittel| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ mathkor|term1= x_n |und|term2= {{op:Bruch|c|x_n}} |SZ=. }} Das Produkt dieser beiden Zahlen ist {{math|term=c|SZ=,}} somit ist die eine Zahl größer und die andere Zahl kleiner als {{math|term=\sqrt{c}|SZ=.}} Die Idee des Verfahrens liegt darin, in der Mitte dieser beiden Zahlen eine bessere Approximation zu finden. Die Folgenglieder der Heron-Folge sind offenbar stets positiv. Typischerweise startet man mit einer natürlichen Zahl als Anfangswert die in der Größenordnung der Quadratwurzel von {{math|term=c|SZ=}} liegt. Die Idee, die dem Heron-Verfahren zugrunde liegt, kann man auch so verstehen: Man möchte ein Quadrat mit dem Flächeninhalt {{math|term=c|SZ=,}} also mit der Seitenlänge {{math|term=\sqrt{c}|SZ=}} konstruieren. Man gibt sich eine approximierende Seitenlänge {{math|term=x|SZ=}} vor und betrachtet das Rechteck, dessen eine Seitenlänge {{math|term=x|SZ=}} und dessen Flächeninhalt {{mathl|term=c|SZ=}} ist. Dann muss die zweite Seitenlänge gleich {{math|term= {{op:Bruch|c|x}} |SZ=}} sein. Wenn {{math|term=x|SZ=}} zu groß ist, muss {{math|term= {{op:Bruch|c|x}} |SZ=}} zu klein sein. Für das nächste approximierende Rechteck nimmt man als eine Seitenlänge das arithmetische Mittel aus den beiden Seitenlängen des vorhergehenden Rechtecks. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Eigenschaften/Fakt|Satz|| || }} Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl {{math|term=n|SZ=}} eine Folge, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz. {{Zwischenüberschrift|term=Folgen}} Wir wiederholen die Begriffe Folge und Konvergenz in einem angeordneten Körper, die wir schon in der 28. Vorlesung im Kontext des Divisionsalgorithmus erwähnt haben. {{ inputdefinition |Menge/Folge/Definition|| }} Eine Folge wird zumeist als {{mathl|term= {{Op:Folge|}}|SZ=,}} oder einfach nur kurz als {{mathl|term=(x_n)_n|SZ=}} geschrieben. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen {{math|term=\geq N|SZ=.}} Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. Grundsätzlich gibt es Folgen in jeder Menge, für die meisten Eigenschaften, für die man sich im Kontext von Folgen interessiert, braucht man aber eine zusätzliche {{Anführung|topologische Struktur|SZ=,}} eine Struktur, mit der man {{Anführung|Nähe}} erfassen kann, wie sie in einem angeordneten Körper existiert. Dies gilt insbesondere für den folgenden zentralen Begriff. {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Man sollte sich dabei die vorgegebenen {{math|term=\epsilon|SZ=}} als kleine, aber positive Zahlen vorstellen, die jeweils eine gewünschte {{Stichwort|Zielgenauigkeit|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen erlaubten Fehler| |ISZ=|ESZ= }} ausdrücken. Die natürliche Zahl {{math|term=n_0|SZ=}} ist dann die {{Stichwort|Aufwandszahl|SZ=,}} die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab {{math|term=n_0|SZ=}} folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner die Zielgenauigkeit, also je besser die Approximation sein soll, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Statt mit beliebigen positiven Zahlen {{math|term=\epsilon|SZ=}} kann man bei einem archimedisch angeordneten Körper auch mit den {{Stichwort|Stammbrüchen|msw=Stammbrüche|SZ=,}} also den rationalen Zahlen {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|k}} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} arbeiten, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zu einem {{mathl|term=\epsilon >0|SZ=}} und {{mathl|term=x \in K|SZ=}} nennt man das Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x + \epsilon[|SZ=}} auch die {{math|term=\epsilon|SZ=-}}{{Stichwort|Umgebung|SZ=}} von {{math|term=x|SZ=.}} {{ inputbild |Konvergenz|svg| 400px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Matthias Vogelgesang |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} }} ejwp03kd9h5rzv4joq1s18duv8hbfuc 106 100004 768051 749399 2022-08-16T09:35:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|48| {{Zwischenüberschrift|term=Intervallschachtelungen}} Eine weitere Möglichkeit, reelle Zahlen zu beschreiben, einzuführen, zu approximieren und rechnerisch zu handhaben, wird durch Intervallschachtelungen gegeben. {{ inputbild |Illustration nested intervals|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Stephan Kulla |Domäne= |Lizenz=CC-by sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition|| }} Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die {{Stichwort|Intervallhalbierung|SZ=}} ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist. Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch|a_n|10^ n}} || || || |SZ= }} gehört die Intervallschachtelung {{ Ma:Vergleichskette/disp |I_n || [ {{op:Bruch|a_n|10^n}} , {{op:Bruch|a_n+1 |10^n}} ] || || || |SZ=. }} Hier ist {{math|term=x_n |SZ=}} der untere Rand des Intervalls {{math|term=I_n|SZ=}} und es gilt {{ Ma:Vergleichskette | x_{n+1} |\in| I_n || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und wobei zusätzlich ausgeschlossen ist, dass {{math|term=x_{n+1}|SZ=}} der rechte Rand von {{math|term=I_n|SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Die Intervalllängen sind hier {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^n}} |SZ=.}} Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wirkt sich auf Intervallschachtelungen folgendermaßen aus. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt|Satz||| |ref1=|| }} Der Beweis zeigt, dass jede Folge {{ Ma:Vergleichskette |x_n |\in| I_n || [a_n,b_n] || || |SZ= }} gegen die gleiche durch die Intervallschachtelung definierte Zahl konvergiert. Dies gilt insbesondere für die Folge der unteren und die Folge der oberen Intervallgrenzen. {{Zwischenüberschrift|term=Dedekindsche Schnitte}} {{ inputbild |Dedekind|jpeg| 230px {{!}} right {{!}} |Text= [[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831-1916)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Jean-Luc W |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://dbeveridge.web.wesleyan.edu/wescourses/2001f/chem160 }} {{:Dedekindscher Schnitt/Vollständigkeit/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Existenz der Wurzeln}} Die Vollständigkeit der reellen Zahlen sichert auch die Existenz einer eindeutig bestimmten Wurzel für eine nichtnegative reelle Zahl. Für Quadratwurzeln folgt dies auch aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Reelle nichtnegative Zahl/Wurzel/Definition|| }} Auf der eindeutigen Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen beruht auch das {{Stichwort|Potenzprinzip|SZ=,}} mit dem man in der Regel die Gleichheit von Wurzelausdrücken begründet: Zwei positive reelle Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Dieses Prinzip findet im Beweis der nächsten Aussage Verwendung. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Wurzeln/Algebraische Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Geometrisches Mittel/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die eulersche Zahl e}} {{:Eulersche Zahl/Einführung/Zins/Textabschnitt}} {{ inputbemerkung |Eulersche Zahl/Zins/Auch Exponentialreihe/Bemerkung|| }} }} bw6wgr5bx4cyypb44g91hczlmxp87j3 106 100009 768052 749400 2022-08-16T09:35:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|53| {{Zwischenüberschrift|term=Die rationalen Exponentialfunktionen}} Zu einer positiven Zahl {{ Ma:Vergleichskette |b |\in|K || || || |SZ= }} aus einem angeordenten Körper {{math|term=K|SZ=}} haben wir in der 27. Vorlesung die ganzzahlige Exponentialfunktion {{ Ma:abb |name= |\Z|K |n|b^n |SZ=, }} zur Basis {{math|term=b|SZ=}} besprochen, die einer ganzen Zahl {{math|term=n|SZ=}} den Wert {{mathl|term=b^n|SZ=}} zuordnet. Die entscheidende Gesetzmäßigkeit ist dabei {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganzzahlige Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |b^{m+n} || b^m \cdot b^n || || || |SZ=. }} Für den Fall {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} kann man den Definitionsbereich wesentlich erweitern, und zwar in zwei Schritten. Wir besprechen zunächst die Ausdehnung von {{math|term=\Z|SZ=}} auf {{math|term=\Q|SZ=}} und anschließend die Ausdehnung von {{math|term=\Q|SZ=}} auf {{math|term=\R|SZ=.}} Ausgangspunkt ist die Bezeichnungsweise {{mathl|term=b^{1/2}|SZ=}} für {{math|term=\sqrt{b} |SZ=,}} die auf den ersten Blick willkürlich erscheinen mag, die sich aber durch die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |b^{ {{op:Bruch|1|2}} } \cdot b^{ {{op:Bruch|1|2}} } || \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} || b || b^{ {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|2}} } || |SZ= }} überzeugend rechtfertigen lässt. {{ inputdefinition |Reelle Basis/Rationale Potenz/Definition|| }} Insbesondere setzt man {{ Ma:Vergleichskette/disp |b^{ {{op:Bruch|1|s}} } || \sqrt[s] {b} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |s ||1 || || || |SZ= }} stimmt diese Schreibweise mit den früher gemachten Festlegungen überein. Die Existenz und Eindeutigkeit der Zahlen {{mathl|term=\sqrt[s]{b^r}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn also Zähler und Nenner fixiert sind| |ISZ=|ESZ= }} ist durch {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle positive Zahl/Wurzeln/Eindeutige Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gesichert {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere sind dies stets positive Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Auf dieser Eindeutigkeit beruht auch das Potenzprinzip, das wir in der 48. Vorlesung erwähnt haben: Zwei positive reelle Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Eine weitere Anwendung dieses Prinzips ist die Wohldefiniertheit der Definition von {{math|term=b^q|SZ=.}} Man muss sich nämlich noch klar machen, dass bei verschiedenen Bruchdarstellungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |q || {{op:Bruch|r|s}} || {{op:Bruch|t|u}} || || |SZ= }} das gleiche herauskommt. Dies ergibt sich aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt[s]{ b^r } || \sqrt[su]{ b^{ru} } || \sqrt[su]{ b^{st} } || \sqrt[ u]{ b^t } || |SZ=. }} Dabei gilt die erste Gleichung, da die {{math|term=su|SZ=-}}te Potenz {{ Zusatz/Klammer |text=nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} auch links {{math|term=b^{ru}|SZ=}} ergibt {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend für die rechte Gleichung| |ISZ=|ESZ=. }} Statt mit {{mathl|term= \sqrt[s] {b^r}|SZ=}} kann man genauso gut mit {{mathl|term= {{makl| \sqrt[s]{b} |}}^r|SZ=}} arbeiten. Die {{math|term=s|SZ=-}}te Potenz von {{mathl|term= \sqrt[s]{ b^r }|SZ=}} ist natürlich {{math|term=b^r|SZ=.}} Es ist aber nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Potenzgesetze/Einheitengruppe/Direkt/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| {{makl| \sqrt[s]{b} |}}^r |}}^s || {{makl| \sqrt[s]{b} |}}^{r \cdot s} || {{makl| {{makl| \sqrt[s]{b} |}}^s |}}^r || b^r || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Diese Eigenschaften sind für ganzzahlige Argumente aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganzzahlige Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vertraut. Die erste Eigenschaft nennt man auch die {{Stichwort|Funktionalgleichung der Exponentialfunktion|SZ=.}} Sie bedeutet, dass zu jedem {{mathl|term=b \in \R_+|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |(\Q,+,0)| (\R_{+}, \cdot, 1) |q|b^q |SZ=, }} vorliegt. Für {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|1 || || || |SZ= }} sind diese nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bzw. {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=7 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Angeordneter Körper/Streng wachsend/Injektiv/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Die reellen Exponentialfunktionen}} {{ inputbild |Exponentials(2)|svg| 250px {{!}} right {{!}} thumb {{!|}} |Text=Die Exponentialfunktionen für die Basen {{math|term=b=10, \frac{1}{2} |SZ=}} und {{math|term=e|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} bezeichnet wird. Wie ist diese zu definieren, welche Bedeutung soll beispielsweise der Ausdruck {{ math/disp|term= 2^{\sqrt{3} } |SZ= }} bekommen? Die richtige Idee ist hier, den Exponenten {{math|term=\sqrt{3}|SZ=}} durch eine rationale Folge {{math|term=q_n|SZ=}} zu approximieren {{ Zusatz/Klammer |text=etwa durch die Dezimalbruchfolge oder eine Heron-Folge| |ISZ=|ESZ= }} und dann die Folge {{mathl|term= 2^{q_n} |SZ=}} von Potenzen mit rationalen Exponenten zu betrachten, die wir im ersten Teil der Vorlesung eingeführt haben. Wenn diese Folge konvergiert, so hat man einen sinnvollen Kandidaten für {{mathl|term= 2^{\sqrt{3} } |SZ=.}} Dieser Ansatz erfordert aber, dass man zeigen kann, dass dieser Grenzwert unabhängig von der gewählten Folge {{math|term= q_n |SZ=}} ist. Dazu dient das folgende Lemma. {{ inputfaktbeweis |Q nach R/Monoton wachsend/Limes von unten/Fortsetzung/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Situation bedeutet, dass man für Zahlen {{math|term=x|SZ=}} durch die Festlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || {{op:Folgenlimes|Glied= f(x_n) |}} || || || |SZ= }} mit einer beliebigen rationalen streng wachsenden Folge {{math|term= x_n |SZ=,}} die gegen {{math|term=x|SZ=}} konvergiert, eine auf ganz {{math|term=\R|SZ=}} definierte Funktion erhält. Da wir für {{math|term=f|SZ=}} nicht die Stetigkeit voraussetzen, kann sich für rationale Zahlen {{math|term=x|SZ=}} der Funktionswert bei dieser Konstruktion sogar ändern. Dieses Fortsetzungsverfahren wenden wir auf die Exponentialfunktion an, d.h. für {{math|term=x|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | b^x |{{defeq}} | {{op:Folgenlimes|Glied= b^{x_n} |}} || || || |SZ= }} mit einer beliebigen streng wachsenden Folge aus rationalen Zahlen {{math|term=x_n|SZ=,}} die gegen {{math|term=x|SZ=}} konvergiert. Für rationale Zahlen ändert sich dabei der Wert nicht, da die rationalen Exponentialfunktionen stetig sind. Dies ergibt sich genau so wie die Stetigkeit der auf {{math|term=\R|SZ=}} definierten Exponentialfunktionen weiter unten aus der Funktionalgleichung und der Monotonie, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Rationale Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition|| }} Die in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gezeigten Eigenschaften übertragen sich auf die reellen Zahlen. {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Monotone_Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| || }} Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die {{ Definitionslink |Prämath= |Eulersche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=e|SZ=}} nimmt, die wir als {{ Ma:Vergleichskette/disp |e | {{defeq|}} | {{lim|n}} {{makl| 1+ {{op:Bruch|1|n}} |}}^n || || || |SZ= }} eingeführt haben. In {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Eulersche Zahl/Zins/Auch Exponentialreihe/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit {{ math/disp|term= \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|1|k !}} |SZ= }} übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt|Satz|| || }} Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein. Der Satz bedeutet insbesondere, dass die Reihe für jedes {{math|term=x|SZ=}} konvergiert, wobei diese Konvergenz im Allgemeinen recht schnell ist. {{Zwischenüberschrift|term=Logarithmen}} Zu {{ Ma:Vergleichskette |b |\neq|1 || || || |SZ= }} sind die reellen Exponentialfunktionen {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R_+ |x|b^x |SZ=, }} stetig, streng wachsend oder streng fallend und bijektiv. Wir betrachten die Umkehrfunktionen dazu. {{ inputdefinition |Logarithmus/Basis/Über_Umkehrfunktion/Definition|| }} Aus der Umkehreigenschaft ergeben sich direkt die Beziehungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:log|b^x|b}} || x || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | b^{ {{op:log|y|b}} } || y || || || |SZ=. }} Der Logarithmus zur Basis {{math|term=e|SZ=}} wird auch als {{Stichwort|natürlicher Logarithmus|SZ=,}} geschrieben {{mathl|term= {{op:ln|x||}} |SZ=,}} bezeichnet. Die Logarithmen sind nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit/Nullpunkt und Funktionalgleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelles abgeschlossenes Intervall/Streng wachsend/Umkehrfunktion/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} stetige, bijektive Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_+| \R |x| {{op:log|x|b}} |SZ=. }} {{ inputbild |Fonctionslog3|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Logarithmen zu verschiedenen Basen |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgenden Regeln ergeben sich direkt aus der Definition der Logarithmen als Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Logarithmus/Umkehrfunktion/Rechenregeln/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |Sliderule 2005|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Ein Rechenschieber kann eine Multiplikation durch eine vektorielle Addition (verschieben) ausführen, da die Zahlen logarithmisch angeordnet sind. |Autor= |Benutzer=Roger McLassus 1951 |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbemerkung |Logarithmus/Rechenschieber/Bemerkung|| }} }} su4644mxz2hpso13in2g6k88c4mvf3z 106 100010 768053 749401 2022-08-16T09:35:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_II/Vorlesungsgestaltung|54| {{Zwischenüberschrift|term=Der Einheitskreis}} Im {{math|term=\R^2|SZ=}} ist der Abstand zwischen zwei Punkten {{ Ma:Vergleichskette |P,Q |\in| \R^2 || || || |SZ= }} eine positive reelle Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. gleich {{math|term=0|SZ=,}} falls die Punkte zusammenfallen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die beiden Punkte in Koordinaten gegeben sind, also {{ mathkor|term1= P=(x_1,y_1) |und|term2= Q=(x_2,y_2) |SZ=, }} so ist der Abstand gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(P,Q) || \sqrt{ (x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2 } || || || |SZ=. }} Diese Gleichung beruht auf dem Satz des Pythagoras. Speziell besitzt jeder Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} zum Nullpunkt {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} den Abstand {{ math/disp|term= \sqrt{x^2 +y^2} |SZ=. }} Weil die Koordinaten reelle Zahlen sind, so sind auch die Abstände reelle Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=auch wenn man mit rationalen Koordinaten startet, ergeben sich über die Quadratwurzel auch irrationale Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn ein Punkt {{math|term=M|SZ=}} und eine positive reelle Zahl {{math|term=r|SZ=}} fixiert sind, so nennt man die Menge aller Punkte der Ebene, die zu {{math|term=M|SZ=}} den Abstand {{math|term=r|SZ=}} besitzen, den Kreis um {{math|term=M|SZ=}} mit Radius {{math|term=r|SZ=.}} In Koordinaten sieht die Definition folgendermaßen aus. {{ inputbild |Disk 1|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Paris 16 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |R^2/Kreislinie/Definition|| }} Von Kreislinie spricht man, um zu betonen, dass man nicht den Vollkreis {{ Zusatz/Klammer |text=die Kreisscheibe| |ISZ=|ESZ= }} meint, sondern nur den Rand. Alle Kreise sind wesensgleich, es kommt für die wichtigsten Eigenschaften des Kreises nicht auf den Mittelpunkt und nicht auf den Radius an. Von daher ist der Einheitskreis der einfachste Kreis, der alle Kreise repräsentiert. {{ inputdefinition |Einheitskreis/Reell/Definition|| }} Es ist bekannt, dass der Kreisbogen des Einheitskreises die Länge {{math|term=2 \pi|SZ=}} und den Flächeninhalt {{math|term=\pi|SZ=}} besitzt. Dies sind nichttriviale Aussagen, und zwar sowohl strategisch als auch mathematisch. Das strategische Problem ist hier, was man als Definition nimmt und was man dann unter Bezug auf die Definitionen beweisen kann und wie. Sowohl die Länge einer gekrümmten Kurve als auch der Flächeninhalt sind zwar intuitiv zugängliche, aber letztlich doch recht schwer zu fundierende Begriffe. Dasselbe trifft auf den Winkelbegriff zu. Wir werden hier mit einem naiv-intuitiven Begriff von Kurvenlänge arbeiten und darauf aufbauend den Winkel und die trigonometrischen Funktionen einführen. {{ inputdefinition |Einheitskreis/Pi/Bogenlänge/Definition|| }} {{ inputbild |Pi pie2|jpg| 230px {{!}} thumb{{!}} |epsname= |Text=Eine rationale Approximation der Zahl {{math|term=\pi|SZ=}} auf einem {{math|term=\pi|SZ=-}}Pie. |Autor=Pi_pie2 |Benutzer=GJ |Domäne=engl. Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der numerische Wert von {{math|term=\pi|SZ=}} ist etwa {{ Ma:Vergleichskette/disp |\pi ||3,1415926 \ldots || || || |SZ=. }} Es handelt sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |transzendente Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zwischenwertsatz/Reell-algebraische Zahlen/Bemerkung |SZ=, }} also keine algebraische Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=und erst recht keine rationale Zahl| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Winkel und trigonometrisches Dreieck}} {{ inputbild |Circle sector|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=MithrandirMage |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Mit dem Begriff des Winkels ist die Vorstellung verbunden, dass man einen Vollkreis gleichmäßig in Sektoren bzw. die Kreislinie gleichmäßig in Abschnitte {{ Zusatz/Klammer |text=des Kreisbogens| |ISZ=|ESZ= }} unterteilen kann. Diese Vorstellung ist mit der Vorstellung verwandt, dass man das Einheitsintervall {{mathl|term=[0,1]|SZ=}} in {{math|term=n|SZ=}} gleichlange Stücke unterteilen kann. Allerdings kann man letzteres aufgrund der Strahlensätze durch eine einfache geometrische Konstruktion für jedes {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} durchführen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe die 24. Vorlesung| |ISZ=|ESZ=, }} für den Kreisbogen hingegen nur für einige wenige {{mathl|term=n \in \N_+|SZ=.}} Bei der Kreisunterteilung in {{mathl|term=360|SZ=}} Grad zerlegt man den Kreis in {{math|term=360|SZ=}} gleichgroße Sektoren. Im {{Stichwort|Bogenmaß|SZ=}} nimmt man die Länge des gebogenen Kreisabschnittes als Winkelmaß. D.h. der volle Kreis entspricht {{math|term=2 \pi|SZ=}} gemäß der Definition der Kreiszahl {{math|term=\pi|SZ=,}} der Halbkreis {{ Zusatz/Klammer |text=die beiden Sektorengrenzen liegen auf einer Geraden| |ISZ=|ESZ= }} entspricht {{math|term=\pi|SZ=,}} der Viertelkreis entspricht {{mathl|term= {{op:Bruch|\pi|2}} |SZ=,}} der Achtelkreis entspricht {{mathl|term= {{op:Bruch|\pi|4}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Einheitskreis/Winkel/Bogenmaß/Definition|| }} {{ inputbild |Unit circle2|svg|250px {{!}} right {{!}} |Text=Ein Winkel definiert einen eindeutigen Punkt auf dem Einheitskreis, wenn man von {{mathl|term=(1,0)|SZ=}} aus startet und gegen den Uhrzeigersinn den Kreisbogen entlang geht. |Autor= |Benutzer=Pyramide |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein Winkel, also die Länge eines zusammenhängenden Kreisbogenstücks, kann man grundsätzlich überall an den Kreisbogen anlegen. Wenn man Winkel untereinander vergleichen und studieren möchte, so wählt man den Punkt {{mathl|term=(1,0)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die {{math|term=1|SZ=}} auf der {{math|term=x|SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} als Startpunkt und läuft den als Bogenmaßlänge {{math|term=\alpha|SZ=}} gegebenen Winkel gegen den Uhrzeigersinn entlang bis zu einem Punkt {{mathl|term=P(\alpha)|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass die Bogenlänge von {{mathl|term=(1,0)|SZ=}} bis {{mathl|term=P(\alpha)|SZ=}} genau {{math|term=\alpha|SZ=}} ist. {{ inputdefinition |Winkel/Trigonometrischer Punkt/Definition|| }} Diesen Punkt {{mathl|term=P(\alpha)|SZ=}} nennen wir auch den {{Stichwort|Standardpunkt zum Winkel|SZ=}} {{math|term=\alpha|SZ=.}} Durch ihn wird der {{Stichwort|Standardkreisbogen zum Winkel|SZ=}} {{math|term=\alpha|SZ=,}} nämlich der Kreisbogen von {{ mathkor|term1= (1,0) |bis|term2= P(\alpha) |SZ=, }} der {{Stichwort|Standardstrahl zum Winkel|SZ=}} {{math|term=\alpha|SZ=,}} nämlich die Halbgerade durch den Nullpunkt und den Standardpunkt, und der {{Stichwort|Standardsektor zum Winkel|SZ=}} {{math|term=\alpha|SZ=,}} nämlich der durch die {{math|term=x|SZ=-}}Achse und den Standardstrahl gegebene Sektor, festgelegt. Diese Zuordnung kann man von {{ Ma:Vergleichskette |\alpha |\in|[0,2 \pi[ || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=worauf sie bijektiv ist| |ISZ=|ESZ= }} auf ganz {{math|term=\R|SZ=}} ausdehnen. Die Zahl {{math|term=\alpha|SZ=}} gibt einfach vor, welche Strecke man auf dem Einheitskreis durchlaufen muss. Bei negativem {{math|term=\alpha|SZ=}} läuft man mit dem Uhrzeigersinn los. Zu einem Winkel {{math|term=\alpha|SZ=}} mit dem zugehörigen trigonometrischen Punkt {{mathl|term=P(\alpha)|SZ=}} zu {{math|term=\alpha|SZ=}} kann man das {{ Zusatz/Klammer |text=senkrechte| |ISZ=|ESZ= }} Lot auf die {{math|term=x|SZ=-}}Achse fällen und erhält dadurch ein rechtwinkliges Dreieck mit der Verbindungsstrecke zwischen Nullpunkt und trigonometrischem Punkt als Hypotenuse und mit einer Kathete auf der {{math|term=x|SZ=-}}Achse. Man nennt dies das {{Stichwort|trigonometrische Dreieck|msw=Trigonometrisches Dreieck|SZ=}} zum Winkel {{math|term=\alpha|SZ=.}} Die am Nullpunkt anliegende Kathete nennt man auch die {{Stichwort|Ankathete|SZ=}} zu {{math|term= \alpha|SZ=}} und die gegenüberliegende Kathete nennt man die {{Stichwort|Gegenkathete|SZ=}} zu {{math|term= \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=diese Bezeichnungen sind nur bei Winkeln bis {{mathl|term=\pi/2|SZ=}} passend| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell negativ genommenen| |ISZ=|ESZ= }} Längen dieser Katheten sind zugleich die Koordinaten des trigonometrischen Punktes. Mit den trigonometrischen Funktionen untersucht man die Abhängigkeit dieser Koordinaten vom Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=im Bogenmaß| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Winkel/Trigonometrischer Punkt/Kosinus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Winkel/Trigonometrischer Punkt/Sinus/Definition|| }} Somit besitzt der trigonometrische Punkt {{mathl|term= P(\alpha) |SZ=}} die Koordinaten {{ Ma:Vergleichskette/disp |P (\alpha) || ({{op:cos|\alpha|}},{{op:sin|\alpha|}} ) || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term=\alpha|SZ=}} sämtliche Winkel durchläuft, durchläuft {{mathl|term=P(\alpha)|SZ=}} den Einheitskreis. Die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |\R| \R^2 |\alpha| ({{op:cos|\alpha|}}, {{op:sin|\alpha|}} ) |SZ=, }} bildet also eine {{Anführung|Parametrisierung}} des Einheitskreises, die auf {{math|term=\R|SZ=}} definiert ist, für den Nullwinkel {{ Ma:Vergleichskette |\alpha ||0 || || || |SZ= }} im Einspunkt {{mathl|term=(1,0)|SZ=}} startet und sich bei {{ Ma:Vergleichskette |\alpha ||2 \pi || || || |SZ= }} erstmalig wieder in diesem Punkt befindet. {{Zwischenüberschrift|term=Die trigonometrischen Funktionen}} Wir besprechen die wichtigsten Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen. {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/2/Fakt|Satz||x=\alpha |ref1=|| }} {{ inputbild |Sine_one_period|svg| 400px {{!}} right {{!}} |epsname=Sine one period |Text=Der Graph des Sinus. Der qualitative Verlauf ist von der naiven Definition her klar. Mit der unten folgenden analytischen Definition über Reihen kann man die Funktionswerte beliebig genau ausrechnen. |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis2 |Sinus und Kosinus/R/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz||x=\alpha || }} {{ inputfaktbeweis2 |Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt|Satz||x=\alpha || }} {{Zwischenüberschrift|term=Drehungen, Additionstheoreme und Stetigkeit}} Eine Drehung der reellen Ebene {{math|term=\R^2|SZ=}} um den Nullpunkt um den Winkel {{math|term=\alpha|SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn bildet den ersten Standardvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} auf den trigonometrischen Punkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | P(\alpha) || {{op:Spaltenvektor| {{op:cos|\alpha|}} | {{op:sin|\alpha|}} }} || || || |SZ= }} und den zweiten Standdardvektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin|\alpha|}} | {{op:cos|\alpha|}} }} |SZ=}} ab. Da es sich um lineare Abbildungen handelt, werden ebene Drehungen durch die folgenden Drehmatrizen beschrieben. {{ inputdefinition |R^2/Drehung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt|Satz|| || }} Mit den Additionstheoremen können wir die Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen beweisen. {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Reell/Stetig/Additionstheoreme/Fakt|Satz|| || }} Wir erwähnen abschließend noch die analytischen Ausdrücke für die trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus. {{ inputdefinition |Kosinusreihe und Sinusreihe/R/Definition|| }} In einem streng-analytischen Aufbau der trigonometrischen Funktionen und von {{math|term=\pi|SZ=,}} der auf geometrische Intuition verzichtet, fängt man mit diesen Definitionen an und erarbeitet sich dann die Beziehung zum Einheitskreis. Man muss zunächst zeigen, dass diese Reihen konvergieren. Mit diesem Zugang erhält man dann insbesondere, dass die trigonometrischen Funktionen nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar sind. }} h4oc9whwu67ldoeoqo15xjml3wa8z6c 106 100136 767584 572038 2022-08-15T16:41:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Körper-_und_Galoistheorie_(Osnabrück_2018-2019)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Zerfällungskörper/Operation auf Nullstellen/Quadratische Körpererweiterung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zerfällungskörper/Kreisteilung/Gerade und ungerade/Operation auf Nullstellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zerfällungskörper/Q/X^4-7/Wirkungsweise/Nullstellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Einbettungen nach M/Galoisgruppe operiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Menge/Teilmenge/Bijektionen/Einschränkung/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Isometrie/R^n/Einschränkung auf Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigentliche Würfelgruppe/Wirkungsweise/Charakteristische Punkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vierte Einheitswurzeln in C/Welche konjugiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Konjugiert/Norm und Spur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lemma von Dedekind/Kleinsche Vierergruppe/Matrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexe Einheitswurzel/Potenzmatrix/Determinante für kleine n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht 2/Galoisch/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratsche Körpererweiterung/F_2 in F_4/Galois/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratsche Körpererweiterung/F_2(x) in F_2(sqrt(x))/Nicht Galois/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Homomorphismus nach Einheitswurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Bei einer endlichen Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} kann man jeden {{math|term=K|SZ=-}}Algebraau{{latextrenn}}tomorphismus von {{math|term=L|SZ=}} {{ Zusatz/Gs |text=also jedes Element der Galoisgruppe| |ISZ=|ESZ= }} als eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |L \cong K^n|L \cong K^n || |SZ= }} auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Verfügung. {{ inputaufgabe |Endliche Körpererweiterung/Galoisgruppe/Determinante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche kommutative Gruppe/Charaktergruppe/Nach K^x/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Polynomring/Ring-Isomorphismus/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graduierte Körpererweiterung/Charaktergruppe und Galoisgruppe/Produkt und Determinante/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Achte Einheitswurzeln in C/Welche konjugiert/Aufgabe|p-| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche zyklische Gruppe/Charaktergruppe nach K^x/1 oder -1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reine kubische reelle Gleichung/Nullstellen/Nicht galoissch/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 3rejakpnnqlq55j85pupvikzvhlwkwc 14 100592 768338 590709 2022-08-16T11:47:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der lokalen Ringe|Regulär |Theorie der regulären Ringe|Lokal}} 9f2otbkc3pelt3cduaneqwv10ro5u03 0 103483 766840 573952 2022-08-15T14:19:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=|K=L}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq| {{opsyn|Aut|L|tief=|hoch=}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Fixkörper|H|}} || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} || {{op:Anzahl|H|}} || || || |SZ=. }} |Zusatz=Insbesondere ist {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=H|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} alxgvit1pwzkbh9isw69lxcx317gsty 0 103488 766837 574142 2022-08-15T14:17:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | F |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann gibt es eine {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf die Reihenfolge der Faktoren| |ISZ=|ESZ= }} eindeutige Produktdarstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||a F_1 \cdots F_r || || || |SZ= }} mit {{mathl|term=a \in {{op:Einheiten|K||}} |SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierten| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Polynomen {{ mathbed|term= F_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} r ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q50pvf5gwaanv01tfai3kpiyooascqc 0 103527 766848 574351 2022-08-15T14:24:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separable Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann wird {{math|term=L|SZ=}} von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein {{mathl|term=f \in L|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || K(f) | \cong | K[X]/(P) || || |SZ= }} mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom {{mathl|term=P \in K[X]|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7nhj5xyqbbn3gath5vigiw70pmp7xef 0 104098 766836 578797 2022-08-15T14:15:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| L || || || |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbar| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|K|L}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |auflösbar| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ofd68nz5gj2g6z8xah5czsdz1z3rrly 0 104100 766834 578813 2022-08-15T14:14:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=c \in K|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |K|K |x|cx |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Funktion| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |Bei {{ Ma:Vergleichskette |c |>|0 || || || |SZ= }} ist {{math|term=f|SZ=}} streng wachsend. |Bei {{ Ma:Vergleichskette |c ||0 || || || |SZ= }} ist {{math|term=f|SZ=}} konstant und damit {{ Zusatz/Klammer |text=nicht streng| |ISZ=|ESZ= }} wachsend und fallend |Bei {{ Ma:Vergleichskette |c |<|0 || || || |SZ= }} ist {{math|term=f|SZ=}} streng fallend. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbguys8xdppnjgqdytbvhvz55n70sde 0 104101 766835 578812 2022-08-15T14:14:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |angeordneter Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine Teilmenge und {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsende| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder streng fallende|ISZ=|ESZ= }} Funktion. Dann ist {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eg4zg1yfv886l87j7ynscicckeztcu5 0 104102 766900 578811 2022-08-15T14:34:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} ganze Zahlen. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Z a_1 \cap \Z a_2 {{capdots}} \Z a_k || \Z u || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=u|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6hl9x3joil2b18a91wcmgw89v6lcml 0 104438 766847 581830 2022-08-15T14:24:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=m \in \N|SZ=,}} {{mathl|term=q=p^m|SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Endlicher Körper|p|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |zyklischen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=m|SZ=,}} die vom {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugt wird. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} amb97ugadgw8g7uu3irhlklxxrn5my0 14 105227 768255 583642 2022-08-16T11:35:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Krulldimension|1 ||}} r9wk2toxzpmt0fjxphggn4smngno2f7 0 105241 766838 660601 2022-08-15T14:18:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Primidealkette {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\subset| (X_1) |\subset| (X_1,X_2) | {{subsetdots|}} |(X_1,X_2 {{kommadots|}} X_n) || |SZ= }} zeigt, dass die Dimension des Polynomringes zumindest {{math|term=n|SZ=}} ist. Wir zeigen die andere Abschätzung durch Induktion nach {{math|term=n|SZ=,}} wobei der Induktionsanfang klar ist, da {{mathl|term=K[X]|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und Hauptidealbereiche, die keine Körper sind, die Dimension {{math|term=1|SZ=}} besitzen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | 0 |\subset| {{idealp|}}_1 | {{subsetdots|}} | {{idealp|}}_m || || |SZ= }} eine Primidealkette in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=.}} Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{idealp|}}_1 || || || |SZ=. }} Die Restklassen der {{math|term=X_i|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} Andererseits gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebra/Endlicher Typ/Noethersche Normalisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} algebraisch unabhängige Elemente {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_1 {{kommadots|}} f_r |\in| S || || || |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[f_1 {{kommadots|}} f_r ] |\subseteq| S || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich| |Kontext=ganz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dabei muss {{ Ma:Vergleichskette |r |<|n || || || |SZ= }} gelten. Nach der Induktionsvoraussetzung besitzt die {{ Zusatz/Klammer |text=zum Polynomring in {{math|term=r|SZ=}} Variablen isomorphe {{math|term=K|SZ=-}}Algebra| |ISZ=|ESZ= }} die Dimension {{math|term=r|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ganze Ringerweiterung/Spektrumsabbildung/Dimensionsgleichheit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Dimension von {{math|term=S|SZ=}} ebenfalls gleich {{math|term=r|SZ=.}} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette |m-1 |\leq|r |<|n || || |SZ= }} und also {{ Ma:Vergleichskette |m |\leq|n || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67pu7mcsrtpa79vcmdwngj3jyk4w7n1 0 105995 766839 586302 2022-08-15T14:18:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei zunächst {{ Ma:Vergleichskette |f ||\prod_{v \in A} X_v || || || |SZ= }} zu einer Nichtseite {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq|V || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x_v) || || || |SZ= }} ein Punkt der zugehörigen Achsenraumkonfiguration. Das bedeutet, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Träger| |Kontext=Tupel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=S|SZ=}} des Tupels eine Seite des simplizialen Komplexes ist. Somit ist {{ Ma:Vergleichskette |A |\not\subseteq|S || || || |SZ= }} und das heißt, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|A || || || |SZ= }} derart gibt, dass der Punkt an diesem Index den Eintrag {{math|term=0|SZ=}} besitzt. Dann ist auch {{ Ma:Vergleichskette |f(P) ||0 || || || |SZ=. }} Sei nun umgekehrt {{ Ma:Vergleichskette/disp |f |\notin|I_\Delta || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || \sum_\nu a_\nu X^\nu || || || |SZ=, }} wobei wir direkt davon ausgehen können, dass nur solche Monome {{math|term=X^\nu|SZ=}} mit einem Koeffizienten {{ Ma:Vergleichskette |a_\nu |\neq| 0 || || || |SZ= }} auftreten, deren Träger eine Seite des Komplexes ist {{ Zusatz/Klammer |text=da die Monome zu Nichtseiten die Nullfunktion induzieren| |ISZ=|ESZ=. }} Dabei sei {{math|term=S|SZ=}} eine Seite des simplizialen Komplexes, die als Träger eines Monoms in {{math|term=f|SZ=}} vorkommt. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|F || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Facette| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=K^F|SZ=}} der zugehörige Achsenraum, der eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Komponente| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Achsenraumkonfiguration ist. Ein Monom {{math|term=X^\nu|SZ=,}} das in {{math|term=f|SZ=}} vorkommt und dessen Träger nicht in {{math|term=F|SZ=}} liegt, induziert auf dem Achsenraum {{math|term=K^F|SZ=}} die Nullfunktion und man kann es weglassen, da dies den Wert der Polynomfunktion auf diesem Achsenraum nicht ändert. Ohne Einschränkung liege also der Träger eines jedes Monoms von {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=F|SZ=.}} Dann ist aber {{math|term=f|SZ=}} einfach ein Polynom in den Variablen {{ mathbed|term= X_v ||bedterm1= v \in F ||bedterm2= |SZ=, }} und der {{math|term=K^F|SZ=}} ist der natürliche affine Raum, auf dem diese Polynome als Funktionen wirken. Bei einem unendlichen Körper ist aber nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Unendlicher Körper/F nicht null/Nicht Nullfunktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom nicht die Nullfunktion auf dem affinen Raum. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxr8lne4yoeglicdo61szygky13ahmm 14 107668 768349 590710 2022-08-16T11:48:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der kommutativen Ringe|Regulär ||}} 4gyde46r14nj0x6tcvhdq991cxu8yy7 2 107732 767608 747968 2022-08-15T20:07:03Z Jeb 26942 +1 Wikipedia:60 Minuten wikitext text/x-wiki [[Datei:Auftaktveranstaltung_Fellow-Programm_2019_-_150.jpg|mini|(Q56880673)]] == Projekte == * [[Kurs:TUD linked open (2022)]], Graduiertenakademie der TU Dresden, 11. November 2022 * [[Kurs:Wikipedia:60 Minuten (9/2022)]] mit Marlene Neumann (Stadtbibliothek Erlangen), 26. September 2022 * [[Kurs:Wikiversum für Ortschronisten (2022)]] * [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * [[WikiLibCon]] + [[WikiLibCon/Proposal: Taktischer Nearbyismus]]: Dokumentation der ''Wikimedia+Libraries International Convention 2022'' am 23. und 24. Juli 2022 in Maynooth, Ireland * 59. BibChatDe: [[BibChatDE/Geschichtsvereine|Geschichtsvereine & Bibliotheken: Was geht?]], 20. Juni 2022 * Workshop: [[Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons]], 11. Juni 2022 * [[Projekt:Radfahrerwissen in Dresden]] * [[Bibliothekskongress 2022]] (#Bibtag22) und #Wisskom2022: [[Projekt:Wikiversum, Wisskomm und Saxonica (2022)]] * [[Projekt:Wikiversitätsstadt]], 2022 * [[Kurs:Digitale Mittagspause (mitforschen 2022)]], 25. März 2022 * [[Kurs:CodingDaVinciOst3]], 20. März 2022 * Blogpostprojekt: [[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)|Open Government und Open Data]], Wahlmodul 332582, Hochschule der Medien, Sommersemester 2022 * [[Kurs:Eigene Metadaten für eigene Blogposts|Eigene Metadaten für eigene Blogposts]]: mit Wikidata arbeiten, 18. März 2022; zehn Jahre [http://de.hypotheses.org/ de.hypotheses – Workshopreihe]: Geburtstagsaktion zum 9. März 2022 * [[BibChatDE/Wikiversum|57. BibChatDe]], 7. März 2022 * SLUB: [[Kurs:SAVE-Fachtag 2022|2. SAVE-Fachtag 2022]], 3. März 2022 * [[DieDatenlaube]]: Ideensammlung für die [[DieDatenlaube/Lehre|Lehre]] * [[Kurs:InnOsci Festival Wisskomm (2021)]], innOsci Festival [https://innosci.de/unknown-festival/ ‘The unknOwn unkOwns’], 14. Dezember 2021 * #vBIB21: [[VBIB21/DatenlaubeCon|DatenlaubeCon]], 2. Dezember 2021: ''[[VBIB21/DatenlaubeCon/Zusammenhänge linked open|Dinge hängen zusammen, linked open. #DieGartenlaube im Wiki~versum]]'' * Vortrag und Hands On Lab: [[Kurs:Partizipative Transkriptionsprojekte (DieDatenlaube)]], Oktober 2021 * Vortrag: [[Projekt:Digitale Heimatforschung (innoX2021)|Digitale Heimatforschung (innoX2021)]], 22.-25. September 2021, TH Wildau, digital * Workshop: [[Kurs:Wikidata und Heimatforschung (SXRM, 2021)]], Juni/Juli 2021 * Workshop: [[Kurs:Linked Open Data (Uni Potsdam, 2021)|Linked Open Data, Uni Potsdam]], Mai 2021 * Workshop: [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)/Coding da Vinci SH|Coding da Vinci Schleswig Holstein]], April 2021 * Workshop: [[Kurs:Linked Open Storytelling (2021)]], Februar 2021 [[Datei:Valga Gümnaasium.jpg|mini|Valga Gümnaasium]] * [[WikiCafe]], 2020 * [[WikiLunch]], 2020 ... * [[BibChatDE]] * [[Forum Citizen Science]], [[InnoX]] * Abstract: [[Projekt:UNLOCK Citizen Science City]] ... * [[Projekt:Fellow-Programm_Freies_Wissen_Einreichungen_2019/Europäische_Heimatforschung_mit_Radfahrerwissen|Europäische Heimatforschung]] * {{wikisource|Wikisource:Wikidata|(( #Wikisource + #Wikidata ))}} * [https://tools.wmflabs.org/scholia/author/Q56880673 Scholia] : mail @ [http://jensbemme.de jensbemme.de] == {{commons|Category:SVG of stereotype (printing)|SVG of stereotype (printing)}}== <gallery> Radfahrerin, E. TRAUTMANN facsimile J. KLEINER.svg|E. TRAUTMANN facsimile J. KLEINER, ca. 1897. Radfahrerin,_TRAUTMANN.svg|TRAUTMANN, um 1899. Herr_mit_Laufrad,_TRAUTMANN.svg|TRAUTMANN, um 1898. Zwei_Mädchen_im_Laufrad_sitzend,_TRAUTMANN.svg|TRAUTMANN, um 1898. Sitzende_Dame,_GUSTAV_BAUER.svg|Gustav Bauer, um 1899. Zwei_Radfahrer,_Klischee_(Druck).pdf|Zwei Radfahrer, Klischee, um 1897. Dame Herr Burg (Gustav Bauer).svg|Gustav Bauer, 1899 Velo i.svg|velo i, 1899 Radfahrer-Verein Wanderlust Seifhennersdorf.svg|Liederbuch des Radfahrer-Vereins "Wanderlust" Seifhennersdorf Vier Damen, GUSTAV BAUER, 1899.svg|Gustav Bauer, 1899 Radfahrer, 1899.svg|Radfahrer, Gustav Bauer, 1899 Nütze die Zeit.svg|Nütze die Zeit Radfahrerin, 1899.svg|Radfahrerin, Gustav Bauer, 1899 </gallery> == Werkzeug == <gallery> ¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|8th Wikidata birthday logo: ¡Hasta la historia siempre! Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre, 2019. Wikidata-Broschüre.pdf|mini|Wikidata-Broschüre, August 2019. Die Datenlaube.jpg|mini|Die Datenlaube FDJ IG Heimatforschung free edit.svg|mini|FDJ Interessengemeinschaft "Heimatforschung", Abzeichnenmotiv Abzeichen_„FDJ_Heimatforschung“.jpg|Abzeichen „FDJ Heimatforschung“ 1Lib1Nearby.jpg|mini|1Lib1Nearby Libraries 4 Future.png|mini|Libraries 4 Future WP20Symbols Wikiversity.svg|mini|Wikipedia 20 symbols: Wikiversity Digitale Heimatforschung (InnoX2021).jpg|Digitale Heimatforschung (InnoX2021) Fellow-Programm Freies Wissen 2016 - 2021.pdf|Abschlusspublikation zum Fellow-Programm, 2016 - 2021 Wikiversitätsstadt.png Citizen Science City.png Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) LABA Kiep it real.jpg|LABA Kiep it real: der Rucksack der in der Oberlausitz (nach)wächst </gallery> s6hjf0wj2znef8tfmmc9696deu07bjh 106 109250 767578 666632 2022-08-15T16:40:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblattgestaltung|8| {{ inputaufgabe |Maximale Ideale/Existenz/Lemma von Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Primideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Primideal/Charakterisierung als Kern nach Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ideal und multiplikatives System/Disjunkt/Primideal/Zorn/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Idealtheorie (kommutative Algebra)/Ideale im Restklassenring/Korrespondenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Nenneraufnahme/Verhalten von Primidealen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokalisierung/Beschreibung des Spektrums/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Unter Morphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integre endlich erzeugte Algebren/Lokaler Isomorphismus/In Umgebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reduktion/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Charakteristik/Positiv/Frobenius/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Frobeniushomomorphismus/Spektrumsabbildung/Homöomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutativer Ring/Produktring/Spektrum/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Mehrere Variablen/Fasern der Spektrumsabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |RX in CX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wenn der Grundkörper die komplexen Zahlen sind, so gibt es auf dem {{math|term={{CC}}|SZ=-}}Spektrum auch eine komplexe Topologie, die wesentlich feiner als die Zariski-Topologie ist. Dies wird in den folgenden Aufgaben entwickelt. {{ inputaufgabe |C-Spektrum/Natürliche Topologie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/C nach C/Ganz/Urbild beschränkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/C/Mehrere Variablen/Ganz/Urbild beschränkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Man folgere, dass in der vorstehenden Situation die Abbildung {{math|term=F|SZ=}} {{ Definitionslink/- |Prämath= |eigentlich| |Kontext=stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, dass also Urbilder kompakter Teilmengen wieder kompakt sind, und dass {{math|term=F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=stetig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ inputaufgabe |QX in RX/Spektrumsabbildung/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Faserbeschreibung/Tensorprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} f85zypndwi4whomdbrvd4w5eqxe9ihg 14 109317 768373 596092 2022-08-16T11:51:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der normalen Schemata|Ring |Theorie der kommutativen Ringe|Normal}} hubr12yviqkj2u7emv7c1hpij6z1qcw 14 109538 768246 596627 2022-08-16T11:34:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der eindimensionalen kommutativen Ringe|Integritätsbereich |Theorie der noetherschen Integritätsbereiche|Eindimensional}} 0dbhh6s30irmenu80h96fv5lhlonlg5 0 111623 767017 602161 2022-08-15T14:52:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verklebungsdatum| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} für {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben. Es sei {{math|term=Z|SZ=}} ein weiterer topologischer Raum und es seien {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \theta_i |U_i|Z || |SZ= }} gegeben, die die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette | \theta_i {{|}}_{U_{ij} } || {{makl| \theta_j {{|}}_{U_{ji} } |}} \circ \varphi_{ji} || || || |SZ= }} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass es dann eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\theta |X|Z || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| \psi_i |}}^{-1} \circ \theta {{|}}_{V_i } || \theta_i || || || |SZ= }} gibt, wobei {{math|term=X|SZ=}} den durch die Verklebungsdaten festgelegten topologischen Raum {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} auch für die Notation |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aqlmc6xwjd6jchlfq65t1835j2sv2tt 0 112068 767015 634777 2022-08-15T14:52:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |dichte| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restriktionsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:SchnittringX|U|}} |f|f {{|}}_U |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eyzwt2ffsmk5gnbmpos91kgkrb8j2cc 0 112069 767016 634766 2022-08-15T14:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der Garbe der reellwertigen Funktionen, und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |dichte| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restriktionsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:SchnittringX|U|}} |f|f {{|}}_U |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ringe von stetigen reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ah4v8nfpjeffv7h0jllbkqx53msndp7 0 112810 766948 606666 2022-08-15T14:41:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} {{plusdots}} a_2x^2+a_1x+a_0 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Approximation| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Restfunktion {{math|term=r(x)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8y3wfestms0ousineili0r6rrvjo0f0 0 112811 766851 715260 2022-08-15T14:24:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:exp|x|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Approximation| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Restfunktion {{math|term=r(x)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lydsucnq04le8r11o22dxntkrea3c2g 0 112812 766850 715256 2022-08-15T14:24:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:exp|x|}} |SZ=}} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nakuoghsh74q422303tepiry5r7lbod 0 112813 766846 711846 2022-08-15T14:22:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionslimiten| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzenquotienten| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3x0mldoqs0ylyhll09o9dwlvginxbvm 0 112815 766844 606683 2022-08-15T14:21:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} über eine Betrachtung von {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionslimiten| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass eine in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|D || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |D|\R || |SZ= }} in diesem Punkt insbesondere {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8ulspql0odmbgrq6hfg14gp18mzfzv 0 112823 766886 616729 2022-08-15T14:32:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} zusammen mit dem globalen Schnitt {{ Ma:Vergleichskette |X |\in| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} }} || || || |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Invertierbarkeitsmenge| |Kontext=invertierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| {{op:Projektive Gerade|K}} |}}_{X} || D_+(X) || || || |SZ=. }} Finde{{n Sie}} für die folgenden Funktionen {{math|term=f|SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Schnitte|D_+(X)| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K}}|1}} }} |SZ=}} ein geeignetes {{math|term=n|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | X^nf |\in| {{op:Schnitte| D_+(X) | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}} |n}} }} || || || |SZ= }} von einem {{ Zusatz/Klammer |text=von welchen| |ISZ=?|ESZ= }} Element aus {{mathl|term= {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K}} |n}} }} |SZ=}} herrührt. {{ Aufzählung3 |{{math|term= {{op:Bruch|Y|X}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Bruch|2Y^3-3Y^2X+4X^3|X^3}} |SZ=,}} |{{math|term= {{op:Bruch|Y^{17} +X^{17}|X^{17} }} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rocmfeliesoxg7yq6rwm5i7uezm27dv 0 112850 766909 616738 2022-08-15T14:35:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell}} {{tensor|}} {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|m}} |\cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}}|\ell+m}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h52ki1asvqgjsyma09m58lbu23ga09c 0 112862 766860 606816 2022-08-15T14:26:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} Konstruktionen aus der linearen Algebra wie direkte Summe, Dual, Tensorprodukt, äußeres Produkt für {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5nb4a8k0il8pocmbybktdyl3vaxppq1 0 112865 766969 606823 2022-08-15T14:44:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=}} mit der zugehörigen kurzen exakten Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|I|R|R/I|SZ=.}} Interpretiere{{n Sie}} die entsprechende kurze exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Modulgarbespektrum|I|}} | {{op:Modulgarbespektrum|R|}} | {{op:Modulgarbespektrum|R/I|}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} Auf welchen offenen Mengen und in welchen Punkten werden die Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=Auswertungen bzw. Halme| |ISZ=|ESZ= }} zu {{math|term=0|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismen| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu Isomorphismen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04f9ovjdzxzh6jbstepcye6ccq6orpt 0 112870 767004 617568 2022-08-15T14:50:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Kern {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=}} ebenfalls quasikohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pa9m6n8ppf7gupr4u0110rq2skce3qb 0 112871 767005 617567 2022-08-15T14:50:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Kokern {{mathl|term= {{op:Kokern|\varphi|}} |SZ=}} ebenfalls quasikohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l8cvcz9daih45v2zps8be90d5f819vv 0 112926 766865 607114 2022-08-15T14:27:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |integrer| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= \Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |M || R_H || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu allen {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Elementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= \neq 0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M||}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |integren Schemas| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Proj|R|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf projektiven Schemata |Kategorie2=Theorie der Funktionenkörper (Schemata) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} it4qfimbsw9dcydgu4lthtg88bxw2qf 0 112944 767003 607190 2022-08-15T14:50:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{makl| X, {{op:Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quasikohärenter Modul| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |von globalen Schnitten erzeugt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird, wenn es eine offene affine Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und Schnitte {{ Ma:Vergleichskette |s_{j} |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|M|}} }} || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |j |\in|J || || || |SZ= }} derart gibt, dass die Restriktionen {{ Ma:Vergleichskette | \rho_{U_i}(s_j) |\in| {{op:Schnitte|U_i| {{op:Garbe|M|}} }} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath={{op:SchnittringX|U_i| }} |Modulerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Schnitte|U_i| {{op:Garbe|M|}} }} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gzpxcxwi5gt4xolbbgbl6o4qf13kg83 0 112947 766867 607199 2022-08-15T14:27:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{Kurze exakte Sequenz/disp|L|M|N}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Homomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in jeder Stufe eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|L_k|M_k|N_k}} von {{math|term=R_0|SZ=-}}Moduln vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Homomorphismen von Z-graduierten Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awkilgzkb2x60fnaraalxitqzsn12vd 0 112949 766866 607208 2022-08-15T14:27:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term=L,M,N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierte| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Homomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= \varphi |L|M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \psi |M|N || |SZ=. }} Für jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | R_+ |\not \subseteq| {{idealp|}} || || || |SZ= }} sei die Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|L_{{idealp|}} |M_{{idealp|}} |N_{{idealp|}}|abblm=\varphi|abbmr=\psi }} exakt. Zeige{{n Sie}}, dass eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|L|}} | {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M|}} | {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|N|}} }} auf {{ Ma:Vergleichskette |Y || {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Homomorphismen von Z-graduierten Moduln |Kategorie2=Theorie der quasikohärenten Moduln auf projektiven Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 77wpacjc297n10zreob6utfrbzugpri 0 112961 766778 641082 2022-08-15T13:42:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ= }} eine auf einem offenen Intervall definierte {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion und sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|I || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette |f'(a) |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es offene Intervalle {{ Ma:Vergleichskette |J |\subseteq|I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|J || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |J' |\subseteq| \R || || || |SZ= }} derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion {{ Ma:abb |name=f |J|J' || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mxts3qbf6vtw1b8hsj6i9a8ph06d7r8 0 113000 767013 607392 2022-08-15T14:52:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |reelle Tangensfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |streng wachsende| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion {{ Ma:abb/disp |name= |]- \pi/2, \pi/2[ | \R || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |reelle Kotangensfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine bijektive streng fallende Funktion {{ Ma:abb/disp |name= |[0,\pi]|\R || |SZ= }} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gh88o7wjcx74e3j9z9gg30v77sfqlk7 0 113032 766871 607521 2022-08-15T14:28:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |M_{{idealp|}} ||0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette |M_f ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme für Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7n2q9c275wq8s00rshjzvsavaxx2llg 0 113033 766872 607522 2022-08-15T14:28:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name= \varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass der induzierte Homomorphismus {{ Ma:abb |name=\varphi | M_{{idealp|}} |N_{{idealp|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:abb |name=\varphi | M_f|N_f || |SZ= }} surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme für Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thxzuomtwl1oz9n4qdwue8xeq3t3gjk 0 113034 766874 607523 2022-08-15T14:28:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name= \varphi |M|N || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass der induzierte Homomorphismus {{ Ma:abb |name=\varphi | M_{{idealp|}} |N_{{idealp|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:abb |name=\varphi | M_f|N_f || |SZ= }} injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme für Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njz907tcmj9vttm5u58ncm9kycdn916 0 113041 766873 607555 2022-08-15T14:28:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X_n,Y_n,n \in \N]/(X_nY_n,\, n \in \N) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp||}} || {{makl| X_n,\, n \in \N |}} |\subseteq|R || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}}_{{idealp|}} || 0 || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}}_f |\neq| 0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |R|R/ {{idealp|}} || |SZ= }} lokalisiert in {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} injektiv {{ Zusatz/Klammer |text=also auch bijektiv| |ISZ=|ESZ= }} ist, aber keine {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an einem einzigen Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\notin| {{idealp|}} || || || |SZ= }} injektiv ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quasikohärenten Moduln auf affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme für Moduln (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der Modulhomomorphismen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7betopvz09fw602x0zwgb1cdzbs1uwl 0 113046 766869 607539 2022-08-15T14:27:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kohärenter Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine offene nichtleere Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= {{op:Garbe|F|}} {{|}}_U |SZ=}} frei ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q0tvx7zvpcrxjq8nrr2e92r18rbpu0r 0 113073 766917 607595 2022-08-15T14:37:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Z |graduierter Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1 {{kommadots|}} f_n |\in|R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=d_i|SZ=.}} Das von den {{math|term=f_i|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=I|SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |irrelevante Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_+|SZ=}} haben das gleiche Radikal. Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Es liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}} |\bigoplus_{i {{=|}} 1 }^n R(-d_i) | I}} von {{ Definitionslink |Prämath= |graduierten| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Homomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Auf {{ Ma:Vergleichskette |Y || {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}} |\bigoplus_{i {{=|}} 1 }^n {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|-d_i|}} | {{op:Strukturgarbe|Y|}} }} von {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freien Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. |Auf {{mathl|term=D_+(f_i)|SZ=}} ist die Einschränkung der lokal freien Garbe {{mathl|term= {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n|}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer direkten Summe von getwisteten Strukturgarben. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sagrdvwj9jtd9tlevq0agjl33976kjm 0 113290 766855 608156 2022-08-15T14:25:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |geometrisches Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Rang {{math|term=r|SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=p|SZ=}} über dem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|X || || || |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|r| {{op:Restekörper|P|}} }} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sq8t4hk4jsh60ecl2hsiwgb8ikx6wpf 0 113291 766863 608158 2022-08-15T14:26:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von trivialen Vektorbündeln {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Affiner Raum|r|{{op:Spek|R|}}||}} | {{op:Affiner Raum|s|{{op:Spek|R|}}||}} || |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} durch eine {{ Definitionslink |Prämath=s \times r |Matrix| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=R|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i97krg96gldxjm6z7gkpe7o8eheo13v 0 113292 766862 608159 2022-08-15T14:26:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von trivialen Vektorbündeln {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{op:Affiner Raum|2|{{op:Spek|\Z|}}||}} | {{op:Affiner Raum|2|{{op:Spek|\Z|}}||}} || |SZ= }} über {{math|term= {{op:Spek|\Z|}} |SZ=,}} der durch die {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrix| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Matrix22|5|6|7|4}} |SZ=}} gegeben ist. Bestimme die Punkte{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|{{op:Spek|\Z|}} || || || |SZ=, }} für die die zugehörige Faserabbildung injektiv bzw. surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 217eq4g92rhwpasvq2792tjyyz4ffxo 0 113319 766827 719617 2022-08-15T14:00:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine Funktion. Vergleiche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Interpolation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= n+1 |SZ=}} gegebenen Punkten und die {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynome| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= n |SZ=}} zu einem Punkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} palu3mq1crryusnb5g7b8akbixk1swa 0 113342 766826 608441 2022-08-15T14:00:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für einen beliebigen Entwicklungspunkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Reihe in einer reellen Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h7v1c0xfsvi660rpojh4125jkcexgte 0 113383 766828 719603 2022-08-15T14:01:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= f | \R| \R || |SZ= }} eine im Punkt {{math|term= a |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}fach {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass das {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=f|SZ=}} im Punkt {{math|term=a|SZ=,}} geschrieben in der verschobenen Variablen {{math|term= x-a |SZ=,}} gleich dem {{math|term= n |SZ=-}}ten Taylor-Polynom der Funktion {{ Ma:Vergleichskette | g(x) || f(x+a) || || || |SZ= }} im Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=geschrieben in der Variablen {{math|term= x |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cslqdpxzy1eqvay6tjf982gb6svjn4 0 113384 766953 656745 2022-08-15T14:42:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der sechsten Ordnung zur Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1| {{op:cos|x|}} }} |SZ=}} im Nullpunkt mit einem Potenzreihenansatz unter Verwendung von {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1|x}} || \sum^\infty_{i {{=}} 0} (-1)^{i} (x-1)^{i} || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (K) |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1acx61p6ik8zveleg5cd71olbnpahqg 0 113385 766825 672548 2022-08-15T13:59:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der dritten Ordnung zur Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1| x^2+1 }} |SZ=}} im Nullpunkt mit dem in {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschriebenen Potenzreihenansatz. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzreihenansatz für Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1sbrw84bo4cghhuv0aguwndpgc3n38n 0 113388 766829 719623 2022-08-15T14:02:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich klar, dass man zu einer Funktion {{ Ma:abb |name=f | \R| \R || |SZ= }} das {{math|term=n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term= b |SZ=}} nicht aus dem {{math|term= n |SZ=-}}ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt {{math|term= a |SZ=}} bestimmen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ajxsfulyipjjat1sg5b3v0wme398sbk 0 113405 766849 608909 2022-08-15T14:24:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term=K|SZ=.}} Es seien {{mathl|term=f_1 {{kommadots}} f_n,f|SZ=}} Elemente in {{math|term=R|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || {{Algerzw|R|f|n|T}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |erzwingende Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{ref|}}} |SZ= }} zu diesen Daten. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=p | {{op:Spek|A|}} \supseteq V {{=|}} D(f_1 {{kommadots|}} f_n) | U {{=|}} D(f_1 {{kommadots|}} f_n) \subseteq {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} die eingeschränkte {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine offene affine Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |U || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term=p^{-1}(U_i)|SZ=}} isomorph zu {{mathl|term=U_i \times {{op:Affiner Raum|n-1|}} |SZ=}} ist, und dass dabei die Übergangsabbildungen {{ Definitionslink |Prämath= |affin-linear| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erzwingenden Algebren |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kwts7fteyboqsoycu8k9ckcnf0t5j4s 0 113414 766842 608938 2022-08-15T14:20:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} das triviale {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Spek|\Z[X]|}} {{=|}} {{op:Affine Gerade|\Z|}} | {{op:Spek|\Z |}} || |SZ=. }} Was kann man über die Fasern, was über Schnitte, was über abgeschlossene Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette | Y |\subseteq| {{op:Spek|\Z[X]|}} || || || |SZ= }} und ihre Bilder in {{math|term={{op:Spek|\Z |}} |SZ=}} sagen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4wpufoqrqhqhbrqgmrp711z9h0bev7 0 113419 766858 608946 2022-08-15T14:26:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass bei einem {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischen Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |V|X || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullschnitt| |Kontext=geometrisches Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Einbettung| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfpbxviuyn7bnnilhb3a5ethsgzwphc 0 113420 766853 608947 2022-08-15T14:25:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= |W|X || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=X|SZ=}} vom Rang {{ mathkor|term1= r |bzw.|term2= s |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} die {{Stichwort|direkte Summe|SZ=}} {{mathl|term=V \times_X W|SZ=}} der beiden Vektorbündel unter Bezugnahme auf {{ Zusatz/Klammer |text=simultane| |ISZ=|ESZ= }} Trivialisierungen {{ Ma:Vergleichskette |V {{|}}_U |\cong| {{op:Affiner Raum|r|U}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |W {{|}}_U |\cong| {{op:Affiner Raum|s|U}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=es soll also {{ Ma:Vergleichskette/k | {{makl| V \times_X W |}}_U | \cong| V {{|}}_U \times_U W {{|}}_U |\cong| {{op:Affiner Raum|r+s|U}} || || || |SZ= }} gelten| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} paknyhjk17pn4ynimk455y9tns88a19 0 113421 766852 608949 2022-08-15T14:25:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Addition {{ Ma:abb |name= \alpha |V \times_XV|V || |SZ= }} die folgenden Eigenschaften besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=es ist zugleich zu zeigen, dass die angegebenen Morphismen existieren| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Das Diagramm {{Kommutatives Dreieck|V| V \times_X V |\!\!\!\!\! V|abb12= {{op:Identität||}} \times (N \circ p) |abb13=\!\!\!\!\!\!\!\! {{op:Identität||}}|abb23 = \alpha |SZ={{{SZ|}}}|}} kommutiert, wobei {{ Ma:abb |name=N |X|V || |SZ= }} den Nullschnitt bezeichnet. |Das Diagramm {{Kommutatives Dreieck|V \times_X V |V \times_X V| V|abb12= \pi |abb13=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \alpha |abb23=\alpha|SZ={{{SZ|}}}|}} kommutiert, wobei {{math|term=\pi|SZ=}} die Vertauschung der beiden Faktoren bezeichnet. |Das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|V \times_X V \times_X V|V \times_X V| V \times_X V|V|abb12= \alpha \times {{op:Identität||}}|abb13=\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! {{op:Identität||}} \times \alpha|abb24=\alpha|abb34=\alpha|SZ={{{SZ|}}}|}} kommutiert. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hzuezgjpda31ay12lf039b3etevns1e 0 113426 766859 608957 2022-08-15T14:26:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Was ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=X|SZ=}} vom Rang {{math|term=0|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ymscma26h4ypv1lk3tbdjo6qiz7z5h 0 113427 767000 608961 2022-08-15T14:49:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=X|SZ=}} und {{ Ma:abb |name= \varphi |V|W || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus von Vektorbündeln| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Zusatz/Klammer |text=punktweise genommene| |ISZ=|ESZ= }} Kern ein Vektorbündel über {{math|term=X|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qqy399t7p27ssko4ze96gtefknq1mu6 0 113428 766857 608963 2022-08-15T14:25:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündeln| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | V |W || |SZ= }} über {{math|term=X|SZ=}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Nullschnitt| |Kontext=Vektorbündel Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aufgefasst als {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenes Unterschema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} in den Nullschnitt von {{math|term=W|SZ=}} abbildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkyegbc95wjh53dlyo2l6ty6om25kow 0 113429 766856 608964 2022-08-15T14:25:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi | V |W || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Vektorbündel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündeln| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V,W|SZ=}} über {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|V \times_XV|W\times_XW|V|W|abb13=\alpha|abb24=\alpha|abb12= \varphi \times \varphi|abb34=\varphi}} kommutiert {{ Zusatz/Klammer |text=ein Vektorbündelhomomorphismus ist also mit der Addition verträglich| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Vektorbündeln auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a26nbrihqmxlbtj7htubr9tfe2efdt8 0 113433 766854 609376 2022-08-15T14:25:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe der Schnitte| |Kontext=Vektorbündel Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der direkten Summe {{mathl|term=V \times_X W|SZ=}} gleich der direkten Summe der Garbe der Schnitte von {{math|term=V|SZ=}} und {{math|term=W|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d8r6cn9g0jk390e2kgvjslz9cb9zv0f 0 113438 766910 616734 2022-08-15T14:35:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe der Schnitte| |Kontext=Vektorbündel Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dem {{ Definitionslink |Prämath= |Geradenbündel| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V_k| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Projektiver Raum/Getwistetes Geradenbündel/Geometrische Realisierung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |getwistete Strukturgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|n|K}} |k}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Geradenbündel auf projektiven Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ybxlxq1d2h533jquivo0g9zz47j0bj 0 113468 766967 685076 2022-08-15T14:44:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Situation|Iz==[a,b]|SZ=}} und es seien {{ Ma:abb |name=f,g |I|\R || |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Riemann-integrierbare| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term= {{op:max|f|g}} |SZ=}} Riemann-integrierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmk1fr1h6ohkqbztk26o52a2swbipgc 0 113475 766876 685023 2022-08-15T14:28:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Situation|Iz==[a,b]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Funktion {{math|term=f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Riemann-integrierbar| |Kontext=kompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt eine Unterteilung {{ Ma:Vergleichskette |a ||a_0 |<|a_1 |<| \cdots |<|a_n || b |SZ= }} derart, dass die einzelnen Einschränkungen {{ Ma:Vergleichskette |f_i | {{defeq|}} | f {{!}}_{[a_{i-1},a_i]} || || || |SZ= }} Riemann-integrierbar sind. |Für jede Unterteilung {{ Ma:Vergleichskette |a ||a_0 |<|a_1 |<| \cdots |<|a_n || b |SZ= }} sind die Einschränkungen {{ Ma:Vergleichskette |f_i | {{defeq|}} | f {{!}}_{[a_{i-1},a_i]} || || || |SZ= }} Riemann-integrierbar. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxe5yelc5b0gl4vn1nnwkp5lqtlikxy 0 113558 766843 673029 2022-08-15T14:20:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X,Y]/(XY) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|K}} |SZ=}} im Nullpunkt nicht {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Achsenkreuz |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 15m0n6qjuk8b0warhtv9aqna0ulmlee 0 113662 766864 609787 2022-08-15T14:26:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Definitionslink |Prämath= |glattes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Schema von endlichem Typ| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, bei dem der Rang des {{ Definitionslink |Prämath= |Moduls der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht konstant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf einem Schema |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} saug454bvkbjq5y8b3npr472xdypqg8 0 113664 766890 610019 2022-08-15T14:33:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {{op:Projektive Gerade|R |}} |R}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|R|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} isomorph zur {{ Definitionslink |Prämath= |getwisteten Strukturgarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|R |}}|-2}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kttx8flpaecspo07qyr66qmb6gl57lo 0 113744 766901 610020 2022-08-15T14:34:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialgarbe| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Tangentialgarbe| {{op:Projektive Gerade|R |}} |R}} |SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|R|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} mit der Isomorphie {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Tangentialgarbe| {{op:Projektive Gerade|R |}} |R}} |\cong| {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|R |}}|2}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die globalen Schnitte von {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|R |}}|2}}|SZ=,}} die den globalen Derivationen {{mathl|term=X {{op:Partielle Ableitung||X|}} |SZ=,}} {{mathl|term=Y {{op:Partielle Ableitung||X|}} |SZ=,}} {{mathl|term=X {{op:Partielle Ableitung||Y|}} |SZ=,}} {{mathl|term=Y {{op:Partielle Ableitung||Y|}} |SZ=}} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5y89rot5ppxde0x7l6fvc35usije404 0 113781 766911 610024 2022-08-15T14:36:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Drücke{{n Sie}} die Einschränkungen der globalen Derivationen {{mathl|term= X_i {{op:Partielle Ableitung||X_j}} |SZ=}} des {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|n|R}} || {{op:Proj|R[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]|}} || || || |SZ= }} auf die offene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(X_0) || {{op:Spek|R[Y_1 {{kommadots|}} Y_n] |}} |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|R}} || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |Y_k || {{op:Bruch|X_k|X_0}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} als Linearkombinationen der Form {{mathl|term= \sum_{k =1}^n g_k {{op:Partielle Ableitung||Y_k}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |g_k |\in|R[Y_1 {{kommadots|}} Y_n] || || || |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 414y8v26akz0sjxmto5krskiqr4f7xf 0 113804 766921 610094 2022-08-15T14:37:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Diskutiere{{n Sie}} Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=Moduln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwyp399bhy56hv5g10xpole93nzlgnp 0 113820 766920 610151 2022-08-15T14:37:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} derart, dass {{math|term=M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evpenhtn1likt0thw6t7cbazvkp563c 0 113821 766919 610152 2022-08-15T14:37:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen nicht {{ Definitionslink |Prämath= |injektiven| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} derart, dass {{math|term=M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7uzwmo3m1a7eyc80xv9cpqt12hzoazf 0 113822 766868 610155 2022-08-15T14:27:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |injektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |r |\in|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Nichtnullteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation {{ Ma:abbele |name=\mu_r |I|I |v|rv |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der injektiven Moduln |Kategorie2=Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jbbqwiezades4vpm5q1wxgxpokzn8l6 0 113823 766845 610177 2022-08-15T14:21:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=X|SZ=}} jede {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |welk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der welken Garben |Kategorie2=Theorie der diskreten topologischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmwgy3wicrqj4hxt0w58lqvwtprrw3g 0 113851 767231 724394 2022-08-15T15:37:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränktes Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |I| \R || |SZ= }} eine nach unten beschränkte {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Supremum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über alle {{ Definitionslink |Prämath= |Treppenintegrale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige{{n Sie}}, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen {{ Zusatz/Klammer |text=also das {{ Definitionslink |Prämath= |Unterintegral| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0pg86b7pby2t1uhzimt9ouizcwu5v2 106 113946 767586 647087 2022-08-15T16:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesungsgestaltung|54| {{ inputbild |Waeller33|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Uff, das wär geschafft. Nicht nur Vorli braucht jetzt erstmal Urlaub. Irgendwas mit Bergen und Meer. Land egal. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen}} {{ inputbild |Schoenberg-ebringen-isohypsen|png| 250px {{!}} right {{!}} |Text=In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert. |Autor= |Benutzer=W-j-s |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Coast line east Karystos, Euboea, Greece|jpg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als einen Graphen einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen {{Anführung|zwei|}} Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet{{ Zusatz/Fußnote |text=Dass man solche singulären Punkte in der Natur nur selten antrifft, liegt daran, dass das Höhenprofil der Erde nur endlich viele kritische Punkte und damit nur endlich viele Gipfel und Sattelpunkte besitzt. Es ist daher unwahrscheinlich, dass der Meeresspiegel genau auf der Höhe eines solchen kritischen Punktes liegt. Wenn man aber Ebbe und Flut betrachtet, so werden solche Punkte immer wieder durchlaufen| |ISZ=.|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Straitgate |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Abbildung/Faser/Definition|| }} Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(\{ y \} ) |SZ=}} von {{math|term=y|SZ=.}} Zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|L || || || |SZ= }} nennt man die Faser über {{mathl|term=\varphi(P)|SZ=}} auch die {{Stichwort|Faser durch|SZ=}} {{math|term=P|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\R || || || |SZ= }} sagt man statt Fasern auch {{Stichwort|Niveaumengen|SZ=}} oder, insbesondere bei {{ Ma:Vergleichskette |L ||\R^2 || || || |SZ=, }} auch {{Stichwort|Höhenlinien|SZ=.}} In meteorologischen Kontexten spricht man von Isothermen oder von Isobaren. {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel|| }} Der {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=}} wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich {{Stichwort|lokal|SZ=}} als {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Abbildungen realisieren lassen. {{:Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung}} {{ inputbild |Agate1 hg|jpg| 230px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Agate1_hg |Text=Der Querschnitt eines [[w:Achat|Achats]]. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die {{ Zusatz/Klammer |text=verdickten| |ISZ=|ESZ= }} Fasern der Lichtabbildung. |Autor= |Benutzer=Hgrobe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz|| || }} Die Bedingung, dass das totale Differential surjektiv ist, kann man auch so ausdrücken, dass {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} ist und dass der Punkt {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ inputbemerkung |Satz über implizite Abbildung/Endlichdimensional/Direkte Summe/Bemerkung|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Tangentialraum/An Faser/Definition|| }} Häufig wird auch der an {{math|term=P|SZ=}} angelegte {{ Definitionslink |affine Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | P + {{op:Kern|{{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || {{Mengebed|P+v|{{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} als Tangentialraum bezeichnet. In diesem Sinne ist der Tangentialraum kein Untervektorraum von {{math|term=V|SZ=,}} da er nicht durch den Nullpunkt verlaufen muss, er ist aber die Verschiebung eines Untervektorraums. Solche Räume nennt man {{Stichwort|affin-lineare Unterräume|SZ=.}} Sie besitzen eine sinnvoll definierte Dimension, nämlich die Dimension des zugehörigen Vektorraumes. Der Tangentialraum an einem regulären Punkt zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} besitzt die Dimension {{mathl|term=n-m|SZ=.}} Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass eine offene Teilmenge des Tangentialraumes an {{math|term=P|SZ=}} sich bijektiv und differenzierbar auf eine offene Umgebung von {{math|term=P|SZ=}} auf der Faser abbilden lässt. Der Tangentialraum ist also eine {{Stichwort|lineare Approximation|SZ=}} der Faser. {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x durch y/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reguläre Punkte und Fasern/(x,y) nach x hoch y/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über die injektive Abbildung}} Als ein weiteres Korollar aus dem Satz über die Umkehrabbildung besprechen wir die Situation, wo das totale Differential injektiv ist. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Satz über die injektive Abbildung/Fakt|Satz|| || }} {{Fußnotenliste}} }} rswtt2i9l78d3imdh127lreg68yo1a5 0 114115 766903 610890 2022-08-15T14:34:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=P|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |projektiver| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=M|SZ=}} ein weiterer {{math|term=R|SZ=-}}Modul. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{Ext}^n(P,M) ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq| 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Ext-Funktors |Kategorie2=Theorie der projektiven Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} btkzw556bdgyd4wppbwcndx2vkiin1h 0 114126 766841 610948 2022-08-15T14:20:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Kategorie|A}} |und|term2= {{Kategorie|B}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |abelsche Kategorien| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{Kategorie|A}} |SZ=}} habe {{ Definitionslink |Prämath= |genügend viele injektive Objekte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name=F | {{Kategorie|A}} | {{Kategorie|B}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kovarianter| |Kontext=Funktor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |additiver| |Kontext=kovarianter Funktor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linksexakter Funktor| |Kontext=kovariant| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es bezeichne {{math|term=R^nF|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsabgeleiteten Funktoren| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem Homomorphismus von exakten Sequenzen {{Kommutatives Rechteck/25/ru|0 |A|B|C|0|0|A'|B'|C'|0}} das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|R^n F(C)| R^{n+1}F(A)|R^n F(C')| R^{n+1}F(A')|abb12=\delta^n|abb34=\delta^n|SZ=}} kommutiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rechtsabgeleiteten Funktoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fmmxlzl09wd4jztx22xevhl43wml25t 0 114158 766870 660489 2022-08-15T14:27:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reelles Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |I ||U \cup V || || || |SZ= }} eine Überdeckung mit {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term=I|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} offenen Intervallen. Zeige{{n Sie}}, dass man eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |U \cap V| \R || |SZ= }} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || g {{|}}_{U \cap V } - h {{|}}_{U \cap V } || || || |SZ= }} mit stetigen Funktionen {{ Ma:abb |name=g |U| \R || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=g |V| \R || |SZ= }} schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie3=Čech-Kohomologie |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e71d5pfzcucf4kdk6my0rh0xi0m3nih 0 114440 766878 611463 2022-08-15T14:29:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete | |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zumindest zwei Elementen {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|b || || || |SZ=. }} Wir betrachten auf {{math|term=S^1|SZ=}} die exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/disp|G| {{op:Abbildungsmenge|-|G}}| {{op:Abbildungsmenge|-|G}}/G |SZ=,}} wobei hier {{math|term=G|SZ=}} die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in {{math|term=G|SZ=,}} also {{mathl|term=C^0(-, G)|SZ=,}} bezeichnet. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |S^1 ||U \cup V || || || |SZ= }} eine offene Überdeckung des Einheitskreises durch zwei sich überlappende Kreissegmente derart, dass der Durchschnitt {{mathl|term=U \cap V|SZ=}} aus zwei disjunkten Kreissegmenten {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} besteht. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |h |\in | {{op:Schnitte|S^1| {{op:Abbildungsmenge|-|G}}/G }} || || || |SZ= }} ein Schnitt, der auf {{math|term=V|SZ=}} durch die Nullabbildung {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in | {{op:Abbildungsmenge|V|G}} || || || |SZ= }} und auf {{math|term=U|SZ=}} durch eine Abbildung {{ Ma:Vergleichskette |g |\in | {{op:Abbildungsmenge|U|G}} || || || |SZ= }} repräsentiert werde, die auf {{math|term=A|SZ=}} den konstanten Wert {{math|term=a|SZ=}} und auf {{math|term=B|SZ=}} den konstanten Wert {{math|term=b|SZ=}} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass dieser Schnitt nicht durch ein Element aus {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|S^1|G}}|SZ=}} repräsentiert werden kann und dass folglich {{ Ma:Vergleichskette |H^1(S^1, G) |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Garbe von stetigen Funktionen in topologische Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ocfgfg6xxfvmf8r0x6f6lgj9e9dc67 0 114519 767002 611692 2022-08-15T14:50:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=(X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{op:Einheitengarbe|X|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=}} und es sei {{math|term= {{op:Garbe|U|}} |SZ=}} die konstante Garbe zu {{math|term= {{op:Einheiten|K|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |H^1(X, {{op:Einheitengarbe|X|}} ) || {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|U|}}/ {{op:Einheitengarbe|X|}} }} / {{op:Bild(| {{op:Einheiten|K|}} \rightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|U|}}/ {{op:Einheitengarbe|X|}} }} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 597sb9ylv1v6310qi6wb0nu55r63i41 0 114677 766964 612471 2022-08-15T14:44:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=\R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Summenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n + y_n}}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n+ y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} + {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 839un11qngt0xlbxx27malduujn8g9m 0 114795 766885 613013 2022-08-15T14:32:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}} |}} |}} |SZ=.}} Welche Beziehung besteht zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Endlicher Raum/3 Punkte/Einer generisch/Generisch Z/Kohomologie/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0l02ohvqey1ntogj3mtokjs5v3xba9e 0 115410 766966 614443 2022-08-15T14:44:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, für welche reellen Zahlen {{math|term=x|SZ=}} die {{Definitionslink|Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|k=n|Glied=n^nx^n}} |SZ= }} {{Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R | |Definitionsseitenname=/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5lacvc5aem3tzgeuwy7plm4cjfqp47w 0 115568 767561 699822 2022-08-15T16:33:43Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} ein Element mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|a |<|1 || || |SZ=. }} Es gebe ein {{math|term=N|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n+1} - x_n|}} |\leq| a^n || || || |SZ= }} gelte für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 65mk060p0z635wv45m9nklx3ijz9i88 0 115578 767251 615485 2022-08-15T15:39:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_{n} - x_{n-1}|}} |\leq| {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=n \in \N_+|SZ=.}} Folgt daraus, dass {{mathl|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fbs57m4o9asn0nbpo9xfdyr97x3fz87 0 115595 766965 615664 2022-08-15T14:44:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergente Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=\R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Produktfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=x_n \cdot y_n}}|SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n \cdot y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nyl1fbpntmscgbai7u3k806andqnp59 0 115691 766889 659905 2022-08-15T14:32:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |f || {{op:Bruch|t|t^2+1}} || || || |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ= }} für die Körper {{ Ma:Vergleichskette |K ||\R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} epqo702s6qxdppmok8jjb0f99iela6f 0 115693 766887 616709 2022-08-15T14:32:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |f || (t-3)^2(t-1)^{-5}t^2(t+2)^{-1} || || || |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ddzbzp9rx58o2afjaj7pr4dtm8jsvep 0 115694 766956 713443 2022-08-15T14:43:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} sowie die affine Gerade {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Gerade|K|}} |\subseteq| {{op:Projektive Gerade|K|}} || D_+(X) \cup \{ \infty\} || |SZ= }} mit dem globalen Schnittring {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[ {{op:Bruch|Y|X}} ] || K[t] || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |Der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| K[t] || || || |SZ= }} besitzt in {{math|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=}} keine negative Ordnung {{ Zusatz/Klammer |text=keine Polstelle| |ISZ=|ESZ=. }} |Die Ordnung von einem Polynom {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| K[t] || || || |SZ= }} in {{math|term= \infty |SZ=}} ist das Negative des Grades von {{math|term= P |SZ=.}} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette | D || \sum_P n_P \cdot P || || || |SZ= }} und {{math|term= K |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term= D |SZ=}} genau dann ein Hauptdivisor, wenn {{ Ma:Vergleichskette | \sum_P n_P || 0 || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjwf2rvngmafyqtmvjnrpwvmv852o75 0 115739 766960 616281 2022-08-15T14:43:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) || {{op:Bruch| {{op:ln(|x^2+3|}} - x \sqrt{x^2+ 2} |1 +{{op:sin|pot=2|x}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0o363hril7oebnh5nsdmvx9yeyl0sup 0 115753 766961 616324 2022-08-15T14:43:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x| {{op:sin(|pot=2| {{op:cos|x|}} |}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=2 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28pmxqxhlxg6yq45xex0sdgn2apblr9 0 115761 766884 618965 2022-08-15T14:32:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Standardüberdeckung| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} sowie die erste {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Cech-Kohomologie|1|D_+(X),D_+(Y)|{{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|}} }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Garbenkohomologie für Schemata |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3=Theorie der Einheitengarbe auf beringten Räumen |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 00o3unichvjihb4a0s7trelvzzwr01n 0 115762 766954 618966 2022-08-15T14:42:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheitengarbe|{{op:Projektive Ebene|K|}}|}} |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Standardüberdeckung| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Ebene| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 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|topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |konstante Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Komplex| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Čech-Kohomologien| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} zu einer endlichen {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Überdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4fwaozyuchxd1hyqqqx1nmf08rneq65 0 115765 766927 616353 2022-08-15T14:38:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |Z |\subset|X || || || |SZ= }} eine abgeschlossene Teilmengen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Kodimension| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=X|SZ=}} und von {{math|term=X \setminus Z|SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m628eodfb6op1zxjcesmcee8if744vl 0 115767 766912 616720 2022-08-15T14:36:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} über einem Körper je zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebenen| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H_1 || V_+(a_0X_0+a_1X_0 {{plusdots|}} a_dX_d) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |H_2 || V_+(b_0X_0+b_1X_0 {{plusdots|}} b_dX_d) || || || |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bem0e73gyi352gwwifcu3ava74g7uzr 0 115768 766913 616721 2022-08-15T14:36:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V || V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperfläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=d|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als Element in der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= dH |SZ=}} ist, wobei {{math|term=H|SZ=}} die Klasse einer {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6k36j952tzcc72x2p327v1wvvjy0lt 0 115769 766928 616384 2022-08-15T14:38:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subset|X || || || |SZ= }} eine offene Teilmengen. Zeige{{n Sie}}, dass man durch Weglassen derjenigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{math|term=U|SZ=}} nicht treffen, einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Weildivisorengruppe|X|}} | {{op:Weildivisorengruppe|U|}} || |SZ= }} erhält. Zeige{{n Sie}}, dass dabei {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= | {{op:Divisorenklassengruppe|X|}} | {{op:Divisorenklassengruppe|U|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9zj7xabmqphl03sdeyrh4lo7q69ljf1 0 115772 766930 616383 2022-08-15T14:38:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|X || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass man durch Weglassen derjenigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die nicht durch {{math|term=x|SZ=}} verlaufen, einen surjektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{op:Weildivisorengruppe|X|}} | {{op:Weildivisorengruppe| {{op:Strukturgarbe|X,x|}} |}} || |SZ= }} erhält. Zeige{{n Sie}}, dass dabei {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf Hauptdivisoren gehen und dass es daher einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Ma:abb |name= | {{op:Divisorenklassengruppe|X|}} | {{op:Divisorenklassengruppe| {{op:Strukturgarbe|X,x|}}|}} || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klvku0siidt2mm282f0d5m7bmitzovz 0 115822 766955 617397 2022-08-15T14:42:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C ||V_+(f) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} eine ebene {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Projektive Hyperebene/Kurze exakte Sequenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |-3}} \stackrel{f}{ \longrightarrow} {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |d-3}} \longrightarrow {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|d-3}} \longrightarrow 0 |SZ= }} auf der projektiven Ebene und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Dimension von {{mathl|term=H^0(C, {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|d-3}}) |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|(d-1)(d-2)|2}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wg1coo12hmri5vrad0nj6kgxj3pjyw 0 115830 766916 616937 2022-08-15T14:36:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokal faktorielles| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektives| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und sei {{math|term=D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=}} mit zugehöriger Garbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Korrespondenz zwischen den zu {{math|term=D|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalenten| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den nichttrivialen globalen Schnitten von {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) |SZ=}} gibt, wobei man Schnitte miteinander identifiziert, wenn sie durch Skalierung auseinander hervorgehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren (normales Schema) |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf projektiven Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dsrpdtjol7gcj466mtac1o4tk661wda 0 115831 766906 616712 2022-08-15T14:35:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |F ||F_1^{a_1} \cdots F_r^{a_r} || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung eines homogenen Polynoms {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über einem algebraisch abgeschlossenen Körper {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vom Grad {{math|term=e|SZ=}} im homogene Primpolynome {{math|term=F_j|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || \sum_{j {{=}} 1}^n a_j V_+(F_j) || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Weildivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung5 |Man kann jeden effektiven Weildivisor auf dem projektiven Raum in dieser Form {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bis auf Skalierung| |ISZ=|ESZ= }} darstellen. |Es gilt mengentheoretisch {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_+(F) || \bigcup_{j {{=}} 1}^n V_+(F_i) || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} eine glatte projektive Kurve, die keine Teilmenge von {{math|term=V_+(F)|SZ=}} sei. Dann induziert {{math|term=D|SZ=}} einen Weildivisor {{mathl|term=D {{|}}_C |SZ=}} auf der Kurve {{math|term=C|SZ=,}} indem man zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in|C || || || |SZ= }} die Ordnung von {{math|term=F|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|C,P|}} |SZ=}} betrachtet. |Die eingeschränkte invertierbare Garbe {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |e}} {{|}}_C |SZ=}} ist isomorph zur invertierbaren Garbe auf {{math|term=C|SZ=}} ist, die zu {{mathl|term=D {{|}}_C |SZ=}} gehört. Es gilt also {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} | D}} {{|}}_C || {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|D {{|}}_C }} || || || |SZ=. }} |{{ Definitionslink |Prämath= |Linear äquivalente| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Divisoren auf dem projektiven Raum induzieren linear äquivalente Divisoren auf der Kurve. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogg1g98jflxu0z5z3du1uhabubhf2ct 0 115884 766883 617636 2022-08-15T14:29:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V(X^2-Y^3) \supseteq U {{=}} V(X^2-Y^3) \setminus \{(0,0)\} | {{op:Affine Gerade||}} || |SZ= }} gibt, den man nicht auf {{math|term=V(X^2-Y^3) |SZ=}} ausdehnen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen affinen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6wdaid0b14ui2r1f83y0mhv4dsbz4p6 0 115886 766902 617616 2022-08-15T14:34:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term=K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Gerade|K|}} |t|t^n |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7gvk4xafw56an0ee5ulzsxxcy22m1i3 0 115889 766894 617618 2022-08-15T14:33:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Funktionenkörper {{mathl|term=K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ=, }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[t] || || || |SZ= }} ein Polynom vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |e |\geq|1 || || || |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=\infty|SZ=}} für den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Schemamorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Gerade|K|}} |t| P |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} afq6rsc1eaxi0wtqobtqtk53r9n04bp 0 115890 766915 616930 2022-08-15T14:36:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|n|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Weildivisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term={{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} den normierten {{ Definitionslink |Prämath= |homogenen Polynomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} entsprechen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g858yuta35pckdevlwub0sp7y4jxwdw 0 115903 767236 622494 2022-08-15T15:37:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine quadratische Matrix, die man als {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||{{op:Matrix22|A|0|0|B}} || || || |SZ= }} mit quadratischen Matrizen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} schreiben kann. Zeige{{n Sie}}, dass eine Zahl {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\in|K || || || |SZ= }} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=M|SZ=}} ist, wenn {{math|term=\lambda|SZ=}} ein Eigenwert von {{math|term=A|SZ=}} oder von {{math|term=B|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onw5oqnwzrpg9b5h0se6v02w4y02mpb 0 115928 767188 617340 2022-08-15T15:25:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=C|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=invertierbare Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiver| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Picardgruppe|C|}} | \Z | {{op:Garbe|L|}} | {{op:Weildivisorgrad|{{op:Garbe|L|}}||}} |SZ=, }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thnii0y0zio3aukqnbro3pwjc0lu7pd 0 115952 766999 617440 2022-08-15T14:49:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=,}} es sei {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=}} und es seien {{ Ma:Vergleichskette |s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|L|}} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |globale Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i {{=}} 0}^n X_{s_i} || || || |SZ=. }} |Der durch das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(s_0 ,s_1 {{kommadots|}} s_n) |SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|R}} |SZ=}} ist auf ganz {{math|term=X|SZ=}} definiert. |Das lineare System {{mathl|term=(s_0 ,s_1 {{kommadots|}} s_n) |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |basispunktfrei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mwe8xdmez9rgv61900l98wtj54lgn5h 0 115954 767404 617434 2022-08-15T16:08:03Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} es sei {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=}} und es seien {{ Ma:Vergleichskette |s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|L|}} }} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |globale Schnitte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=X|SZ=,}} die das {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \langle s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n \rangle |\subseteq| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|L|}} }} || || || |SZ= }} festlegen. Es sei {{mathl|term= t_0,t_1 {{kommadots|}} t_n|SZ=}} ein weiteres {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses linearen Systems. Zeige{{n Sie}} folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | \bigcup_{i {{=}} 0}^n X_{s_i} || \bigcup_{i {{=}} 0}^n X_{t_i} || || || |SZ=. }} |Für die durch diese Erzeugendensysteme {{ Definitionslink |Prämath= |gegebenen Morphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Zugehöriger Morphismus/Definition |SZ= }} gibt es einen projektiv-linearen Automorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=\theta | {{op:Projektiver Raum|n|K}} | {{op:Projektiver Raum|n|K}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \theta \circ \varphi_{s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n} || \varphi_{t_0,t_1 {{kommadots|}} t_n} || || || |SZ=. }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lvleeh9wt5rjhxaatw6zsqzvl1xxfy 0 115983 766899 617299 2022-08-15T14:34:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz von Riemann-Roch|Faktseitenname= Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} direkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Riemann-Roch für invertierbare Garben auf Kurven‎ |Kategorie2=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie=Die projektive Gerade |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1sr50ansi4yp7e4yy0h1dtiq3f446qq 0 115987 766891 617319 2022-08-15T14:33:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s,t \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|1}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fixierung eines {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystems| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} aus drei Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung| |ISZ=|ESZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0u96zifowmxrlgp8t63zqq4z5xizud 0 115989 766892 617325 2022-08-15T14:33:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s^2,st,t^2 \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|2}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Fixierung einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf Streckung| |ISZ=|ESZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Einbettung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frsags7gznee1cuqmyit1hidsuhs2tv 0 115992 766893 617329 2022-08-15T14:33:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Gerade| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} und das volle {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |L | {{defeq|}} |\langle s^3,s^2t,st^2, t^3 \rangle || {{op:Schnitte| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}}|3}} }} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörige Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektiver Raum|3|K|}} || |SZ= }} einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Veronese-Einbettung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tiw8b3wik0w2l21vtf4488u2m8kner 0 115995 767187 617338 2022-08-15T15:25:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von negativem {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=invertierbare Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatten| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=C|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte|C| {{op:Garbe|L|}} }} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwutm9hltv4zqw13j4wwgi85cdyzlut 0 116005 767393 702332 2022-08-15T16:06:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie betrachten die Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V_+(X^3+Y^3+Z^3) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} über einem Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 3|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialformen| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch|X^2|Y^2}} d {{op:Bruch|Z|X}} \text{ auf } D_+(XY), \, {{op:Bruch|Y^2|Z^2}} d {{op:Bruch|X|Y}} \text{ auf } D_+(YZ) \text{ und } {{op:Bruch|Z^2|X^2}} d {{op:Bruch|Y|Z}} \text{ auf } D_+(XZ), \, |SZ= }} auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve {{math|term=C|SZ=}} definieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fermat-Kubik |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvhy7dlir5r4u3o8igkzjjbwpjlrbkj 0 116014 766925 617413 2022-08-15T14:38:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normales| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |noethersches| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |integres Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term=K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |q |\in| Q(X) || || || |SZ= }} ein Element des {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörpers| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=q|SZ=}} auf einer offenen Menge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=q |U| {{op:Projektive Gerade||}} || |SZ= }} definiert, wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Kodimension| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=X \setminus U|SZ=}} zumindest {{math|term=2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der normalen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8n38gl0f89der0g7vde11dycqhxhb4m 0 116023 767183 617490 2022-08-15T15:25:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term=e|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | C || {{op:Proj|K[X,Y,Z]/(f)|}} |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |g_1 {{kommadots|}} g_n |\in| K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} homogene Elemente vom Grad {{mathl|term= d_1 {{kommadots|}} d_n |SZ=}} derart, dass die {{mathl|term=D_+(g_i)|SZ=}} die Kurve überdecken. Wir fassen die {{math|term=g_i|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Garbenhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= |{{op:Getwistete Strukturgarbe|C|-d_i}} | {{op:Strukturgarbe|C|}} |h| hg_i |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text= bzw. {{ Ma:abbele |name= |{{op:Getwistete Strukturgarbe|C|m-d_i}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|m}} |h| hg_i |SZ=, }} für {{ Ma:Vergleichskette/k |m |\in|\Z || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} auf. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Garbenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | \bigoplus_{ i{{=}} 1}^n {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|m-d_i}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|m}} || |SZ= }} surjektiv ist. |Es sei {{mathl|term= {{op:Syz|g_1 {{kommadots|}} g_n}} (m) |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Kerngarbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Homomorphismus aus (1). Zeige{{n Sie}}, dass diese Garbe {{ Definitionslink |Prämath= |lokal frei| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term={{op:Syz|g_1 {{kommadots|}} g_n}} (m) |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term={{op:Syz|g_1 {{kommadots|}} g_n}} (m) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qn80n0w25yisxgecr6gmr91z0k6nu4 0 116025 766897 730442 2022-08-15T14:34:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} Beispiele für {{ Definitionslink |Prämath= |lokal freie Garben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=2|SZ=}} und vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=lokal frei| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=}} derart an, dass die Dimension der globalen Schnitte beliebig groß wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf der projektiven Geraden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6519ag47q7io6ngxt9bttckc9dr3gj 0 116031 766898 617619 2022-08-15T14:34:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[X,Y]|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektive Gerade|K|}} || {{op:Proj|K[W,Z]|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörpern| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K(t)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |t || {{op:Bruch|Y|X}} || || || |SZ= }} bzw. {{mathl|term=K(u)|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |u || {{op:Bruch|Z|W}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 2|SZ=.}} Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch {{ Ma:Vergleichskette |WZ,W^2+Z^2 |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |2}} |}} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |lineare System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der zugehörigen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} | (w,z)| (wz, w^2+z^2) |SZ=. }} {{ Aufzählung6 |Handelt es sich um ein volles lineares System? |Bestimme{{n Sie}} die Urbilder zu {{ mathkor|term1= D_+(X) |und|term2= D_+(Y) |SZ= }} und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen. |Handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath= |basispunktfreies| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} lineares System? |Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(t) |\subseteq| K(u) || || || |SZ= }} der Funktionenkörper. Welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt sie? |Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(x,y) |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} das Urbild unter {{math|term=\varphi|SZ=}} sowie die jeweilige {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Beschreibe{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgezogenen Divisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \varphi^*( 0 - \infty) || \varphi^*( (Y) - (X) ) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01biizqaabgpr28nxe2927h0r7ar4q9 0 116047 767189 617611 2022-08-15T15:26:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=C|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |q |\in| Q(C) || || || |SZ= }} ein nichtkonstantes Element im {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= Q(C) |SZ=}} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=q |C| {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|{{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |zurückgezogenen Divisoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=q^*(P)|SZ=}} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |linear äquivalent| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von einer glatten projektiven Kurve in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 31qse5heqt66jv0b92jkl6t4axkexw5 0 116055 767190 617609 2022-08-15T15:26:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=C|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Q(C) || || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |q |\in| Q(C) || || || |SZ= }} mit zugehörigem Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name=q |C | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|K || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \theta | {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} derart gibt, dass das Diagramm {{Kommutatives Dreieck|C| {{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Projektive Gerade|K|}}|abb23=\theta|abb12=q|abb13=q-a}} kommutiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden‎ |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen von einer glatten projektiven Kurve in die projektive Gerade |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knzchonaqx0v9ma1gskccjrt60todki 0 116275 767300 618567 2022-08-15T15:46:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_{{idealp|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} eine offene Teilmengen und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\notin| U || || || |SZ= }} ein Punkt der Kodimension {{math|term=\geq 2|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} besitzt also eine {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=Primideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\geq 2|SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} auf {{math|term=U|SZ=}} eine eindeutige Ausdehnung auf eine offene Menge {{math|term=U'|SZ=}} besitzt, die {{math|term=U|SZ=}} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} umfasst. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der noetherschen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf quasiaffinen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjtszziwmjgzhz18d2anvhwigbri8ol 0 116294 766905 618590 2022-08-15T14:35:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp |D_+(X_i,X_j) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|d|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Ma:Vergleichskette/k |i |\neq|j || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fog0r5q02y4d2htexbtlb9q9w3hgg0f 0 116295 766914 618589 2022-08-15T14:36:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Projektiver Raum|d|K}} || {{op:Proj|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ]|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Picardgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}} |SZ=}} bei {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgcc0mmq8ueslo1yvaswccxbmlfheup 0 116359 766924 618904 2022-08-15T14:38:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Garbe|F|}} |und|term2= {{op:Garbe|G|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kohärente Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |noetherschen Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| X, {{Strukturgarbe|X}} |}} |SZ=}} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Homomorphismus| |Kontext=Modulgarbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Kern {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}} |SZ=}} ebenfalls kohärent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulhomomorphismen auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der kohärenten Moduln auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iwfyh25acyxhuh2rbssy17hk0zxiu40 0 116408 766896 619438 2022-08-15T14:33:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} von der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in sich festlegen {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ Ma:Vergleichskette |(a,b), (c,d) |\in| K^2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung3 |Der induzierte Morphismus im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zum homogenen Ringhomomorphismus {{ Ma:abb |name= |K[X,Y]| K[S,T] || |SZ= }} mit {{mathl|term=X \mapsto aS+bT|SZ=,}} {{mathl|term=Y \mapsto cS+dT|SZ=.}} |Der Morphismus zu den beiden Schnitten {{ Ma:Vergleichskette |as+bt, cs+dt |\in| {{op:Schnitte|{{op:Projektive Gerade|K|}}| {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|K|}} |1}} |}} || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Der Morphismus im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zur rationalen Funktion {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|as+bt|cs+dt}} |\in| K {{makl| {{op:Bruch|s|t}} |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vjcqcs9mkyo0f6hh5a7pk2ez5hcjoo 0 116409 766904 619241 2022-08-15T14:35:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raumes| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} in sich {{ Definitionslink |Prämath= |projektiv-linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coi7y480fvxg21m3286xj8vpxkznfca 0 116411 766957 619244 2022-08-15T14:43:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |P_1,P_2,P_3 |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |Q_1,Q_2,Q_3 |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} jeweils drei {{ Zusatz/Klammer |text=untereinander verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} Punkte auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi | {{op:Projektive Gerade|K|}} | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(P_i) || Q_i || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |i ||1,2,3 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen von der projektiven Geraden in die projektive Gerade |Kategorie2=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 42j1c4280dxpo0ahde6ad6pyb1llf20 0 116420 766908 619287 2022-08-15T14:35:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Euler-Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |getwisteten Strukturgarben| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|K}} |n}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|d|K}}|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Euler-Charakteristik auf projektiven Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovw9junooj1kov92091pk4667akfwm1 0 116439 767001 619449 2022-08-15T14:50:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=X|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Schema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn der kanonische Morphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |X| {{op:Spek| {{op:SchnittringX|X|}} |}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ri6gqhnv58uxb7z7gdwf34fzmu9dm7m 0 116441 767407 619452 2022-08-15T16:08:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der kanonische {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=lokal beringt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |X| {{op:Spek| C^1(X, \R) |}} || |SZ= }} injektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Morphismen lokal beringter Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmy9e2vryyil54zfbx0rlkybjlneavy 0 116443 766734 619462 2022-08-15T13:02:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |torsionsfreier| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |frei| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ltbbcf71fnfahfk6imt1o8gfnlgc0j0 0 116883 767198 626544 2022-08-15T15:27:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Frucht_Lombardi|svg|200px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputbild |Frucht planar Lombardi|svg|200px {{!}} left {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=David Eppstein |Domäne= |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} Beschreibe{{n Sie}} zeichnerisch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den beiden gezeigten Graphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bb3hmku0zn5y582jr8p943nvgg5dkr4 0 116898 767024 626546 2022-08-15T14:53:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Parapluie graph|svg|200px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfign9jsjjuk94feog11tf4b0qgtt96 0 116903 767025 621181 2022-08-15T14:54:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |6n-graf|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Chris-martin, AzaToth |Domäne= |Lizenz=public domain |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qwflx1llusly6bsdba333nbeknpi5ja 0 116904 767026 621183 2022-08-15T14:54:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sämtlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit drei Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7n1atqgr52zhiu701gvbz1n1qlel9wn 0 116906 767027 621189 2022-08-15T14:54:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sämtlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit vier Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ob4a3u74gh0rsb0nwu6ggm8ytp4s8ij 0 116907 767028 621190 2022-08-15T14:54:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sämtlicher {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit fünf Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5o7q9gbn4f73w3eupfhqz3l4ov8tr5v 0 116908 767029 621191 2022-08-15T14:54:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen nichttrivialen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit trivialer {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und minimaler Knotenzahl an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} na8xy2koso4dk7mv1vugksvu494a2u5 0 116915 767030 621292 2022-08-15T14:54:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hpw3zefoh6dv7yk92fxc4w854bvzzh8 0 117316 766880 622208 2022-08-15T14:29:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in einem Kreuzworträtsel die Wörter als Knotenpunkte eines {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und verbinden zwei verschiedene Wörter durch eine Kante, falls sie sich in einem Kästchen treffen. Welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat ein Knoten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyyy0yy3hdlzgqxvkg9lx1t6oz8qxsc 0 117317 766881 622210 2022-08-15T14:29:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in einem Kreuzworträtsel die Wörter als Knotenpunkte eines {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und verbinden zwei verschiedene Wörter durch eine Kante, falls sie sich in einem Kästchen treffen. Ist ein solcher Graph {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f1qf0mfg7f4noyew9do57kulbu7l6x6 0 117318 766879 622207 2022-08-15T14:29:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten in einem Kreuzworträtsel die Kästchen als Knotenpunkte eines {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und verbinden zwei verschiedene Kästchen durch eine Kante, falls sie zu einem Wort des Rätsels gehören. Welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat ein Knoten? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htiin50ykq48j4eex0y5h4a8psg4fey 0 117327 767033 622240 2022-08-15T14:55:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knoten und {{math|term=m|SZ=}} Kanten, sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K[G]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Stanley-Reisner-Ring| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=G|SZ=}} über {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumdimension| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term=d|SZ=-}}ten Stufe {{mathl|term=K[G]_d|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |d |\geq|1 || || || |SZ= }} durch das lineare Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P(d) ||m (d-1) +n || || || |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7rhbkv57qyqcb6fs0m95qdcyd1zoc1i 0 117350 766882 660737 2022-08-15T14:29:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Extrema| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) ||-2 x^3 +7x^2- 3x-1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94gcrpr3zcysz4kuvj69ossj9yyzr6y 0 117379 767276 736708 2022-08-15T15:43:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge {{math|term=V|SZ=}} und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Turmzug miteinander verbunden sind. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Punkte, den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen zwei Punkten und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 29aau68xjh8t8cmmqb8vbkjipeh817v 0 117382 767272 736711 2022-08-15T15:42:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die schwarzen Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge {{math|term=V|SZ=}} und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Läuferzug miteinander verbunden sind. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Punkte, den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen zwei Punkten, den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wflj1z76o55x1m8xslk5atecase8ud 0 117383 767275 736709 2022-08-15T15:43:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Felder eines Schachbrettes als Knotenpunktmenge {{math|term=V|SZ=}} und verbinden zwei Felder, wenn sie durch einen direkten Pferdsprung miteinander verbunden sind. Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Punkte, den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen zwei Punkten, den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8dziury33ggqoplrafkjudqa9x7qse 0 117384 767244 622397 2022-08-15T15:38:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der endlichen metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lnr4abzosv0jhojfrspb0posiihml2r 0 117385 767193 622399 2022-08-15T15:26:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit drei Knotenpunkten das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2s2ad5dmeta97fbe3l6ii8le517cps 0 117389 766861 644979 2022-08-15T14:26:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Vielfachheiten| |Kontext=Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur reellen {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|0|1|-1|1|0|0|1|0|0|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vielfachheiten von Eigenwerten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spn309giug2nllwbr5hpo50mv3lzfq4 0 117390 767196 622420 2022-08-15T15:27:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Vielfachheiten| |Kontext=Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur reellen {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 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{{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1 K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=,}} den wir als {{ Zusatz/Klammer |text=unendlichdimensionalen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} betrachten, und es sei {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|K || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ=, }} ein fixiertes Element. {{ Aufzählung2 |Ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K[X] |P(X)| P(X+c) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es wird also überall die Variable {{math|term=X|SZ=}} durch {{math|term=X+c|SZ=}} ersetzt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]|K[X] |P(X)| P(X)+c |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=es wird also zu jedem Polynom {{math|term=c|SZ=}} hinzuaddiert| |ISZ=|ESZ= }} linear? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 76aq8jm6tfnmcvkgmd5ov28bwtei4eb 0 117507 767155 660806 2022-08-15T15:20:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gerade Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ=, }} die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der (un)geraden Funktionen |Kategorie2=Theorie der Extrema von reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2p035nh0ln9msve8jq1we9q86pze4rd 0 117560 767216 623101 2022-08-15T15:30:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |DynkinE6 labeled|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Der Graph {{math|term=E6|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Tomruen |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines jeden Knotenpunktes im Graphen {{math|term=E6|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bkzsipvuz0kb8iagnezy3gikvp4sf2c 0 117562 767221 623103 2022-08-15T15:31:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |DynkinE7 labeled|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Der Graph {{math|term=E7|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Tomruen |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines jeden Knotenpunktes im Graphen {{math|term=E7|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvl8hsd7chqwlticx4azgcb8hyupjtr 0 117563 767219 623104 2022-08-15T15:30:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |DynkinE8 labeled|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Der Graph {{math|term=E8|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Tomruen |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines jeden Knotenpunktes im Graphen {{math|term=E8|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= 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Zeige{{n Sie}}, dass es eine Exponentialfunktion {{mathl|term=b^x|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |b^{x+w} || 2 b^x || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} gibt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | f(x+1) || 2 f(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| \R || || || |SZ=, }} die keine Exponentialfunktion ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sbzeqdu6jzjlk92mutlqxk7pfafdfx1 2 117658 766929 730574 2022-08-15T14:38:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputaufgabe |Kubische Kurve/Y^2 ist X^3+X^2l/Normalisierung/Gruppenisomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Absolute Invariante/Streckungsäquivalent/Fakt|Lemma|| || }} {{:Elliptische Kurve/Isogenie/Duale Isogenie/Textabschnitt}} {{:Elliptische Kurve/Isogenie/Grad/Textabschnitt}} Wenn {{math|term=E|SZ=}} eine elliptische Kurve über dem Körper {{math|term=K|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist {{ Ma:abbele/disp |name= |E_L|E || |SZ= }} endlich étale, aber über einem {{math|term=K|SZ=-}}Punkt liegen nicht verschiedene {{math|term=K|SZ=-}}Punkte, sondern ein {{math|term=L|SZ=-}}Punkt. Wenn {{math|term=K|SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, so liegen bei einer étalen Erweiterung vom Grad {{math|term=d|SZ=}} über jedem Punkt {{math|term=d|SZ=}} Punkte. {{:Elliptische Kurve/Weierstraßform/Assoziativität/Fakt/Beweis}} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurven/Morphismen/Summe/Explizit/Fakt|Lemma|| || }} [[Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Divisoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Elliptische Integrale/Bogenlängen/Einführung/Textabschnitt]] [[Gitter/Komplexe Zahlen/Geradenbündel/Textabschnitt]] {{ inputbemerkung |Elliptische Kurve/Kubisches Polynom/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/x-Koordinate/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Tangente/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Elliptische Kurve/Weierstraßform/Bemerkung|| }} 2zetrhtd12k0ijbrn68hc2qs9fk81dv 0 118213 767493 643128 2022-08-15T16:22:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_k|SZ=}} ganze Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Z a_1 \cap \Z a_2 {{capdots}} \Z a_k || \Z u || || || |SZ= }} ist, wobei {{math|term=u|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{mathl|term=a_1 {{kommadots|}} a_k|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkui5v8go5yjxvq5u9k0pq6e91dw5w3 0 118263 767239 633268 2022-08-15T15:38:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} auf der dreielementigen Menge {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c\} || || || |SZ= }} sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungen| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9n3cnod986ts19cxw4247gl4q2bjmj 0 118264 766978 625454 2022-08-15T14:46:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} auf einer vierelementigen Menge sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungen| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis auf Isomorphie {{ Zusatz/Klammer |text=die Rolle der Elemente darf also vertauscht werden| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jl3fc3a9wdatfvhanfnx41xk4s9lix8 0 118284 766922 634309 2022-08-15T14:37:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=\N|SZ=}} versehen mit der durch die Teilbarkeit {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Infimum und dem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten gemeinsamen Vielfachen| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Supremum| |ISZ=|ESZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Verbandsstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term=V|SZ=}} die Menge der Untergruppen von {{math|term=\Z|SZ=}} mit der üblichen Verbandsstruktur {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Gruppe/Untergruppen/Verband/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Definiere{{n Sie}} eine bijektive {{ Definitionslink |Prämath= |antimonotone| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N|V || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Theorie der Untergruppen von Z und Teilbarkeitstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26jxnxd8q4dm4wo8qyo8z458tzt7v7p 0 118310 767230 634787 2022-08-15T15:37:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |total geordneter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |komplementärer Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term=\{0\}|SZ=}} oder gleich {{math|term=\{0, 1\}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g6n38zyrh5u9h7bjh17i9uo7kqtad4z 0 118315 766975 625606 2022-08-15T14:45:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |geordnete Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath= |größten Element| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=1|SZ=,}} das darüber hinaus aus Elementen {{mathl|term=x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |<|x_i |<|1 || || |SZ= }} besteht, und für die es untereinander keine Größerbeziehung gibt. Ist dies ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist er {{ Definitionslink |Prämath= |komplementär| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} Ist er {{ Definitionslink |Prämath= |distributiv| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5o2m1axtbgmpzn90fbl2qb66onnvn2 0 118337 767280 625707 2022-08-15T15:43:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Teilerfremdheitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m73xyt068o9bn5os7mbpc9dzj95kz65 0 118349 766946 625741 2022-08-15T14:41:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den durch den Springer auf dem {{math|term=3 \times 3|SZ=-}}Schachbrett gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie viele Punkte welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ojqmhpqambwkzwixcz0do1c4yyowfjt 0 118350 766947 636937 2022-08-15T14:41:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den durch den Springer auf dem Schachbrett gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie viele Punkte welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. Was ist die durchschnittliche Gradzahl? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m0bs48g602gbd8pacfam0mbdnjtmhzp 0 118353 767406 636938 2022-08-15T16:08:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den durch den Läufer auf dem Schachbrett gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie viele Punkte welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. Was ist die durchschnittliche Gradzahl? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ak7x7im7gc69sbqn8zlyseq7x6qacbk 0 118363 767228 625779 2022-08-15T15:36:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Berliner U-Bahn {{ Zusatz/Klammer |text=Stand 2020| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zusammenhangs in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eouu5ph7sayu9cpuxi707w8x23djd80 0 118365 766994 625782 2022-08-15T14:48:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den Läufer im Schachspiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zusammenhangs in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q8x6aq1q9ok7396bv20mm6e6d7f2oj7 0 118367 767022 625840 2022-08-15T14:53:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |AmsterdamMetroWashingtonStyle_(from_2018)|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Alargule |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term=V|SZ=}} die Menge der Haltestellen der Amsterdamer U-Bahn. Es sei {{math|term=N|SZ=}} der Netzgraph und {{math|term=F|SZ=}} der zugehörige umsteigefreie Erreichbarkeitsgraph {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die folgenden Stationen den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ mathkor|term1= N |bzw|term2= F |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Isolatorweg. |Van der Madeweg. |Noord. |Centraal Station. |De Pijp. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gt6lslcv4rl9b6e48nqjhi0mzwf9afh 0 118405 767031 625968 2022-08-15T14:55:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=M|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abb |name=\varphi |G|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |schwacher Homomorphismus| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Graphen ist, wenn man {{math|term=M|SZ=}} mit der Struktur des {{ Definitionslink |Prämath= |Bildgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1z8zxzckx1cdfcmnhgyso19srp1336f 0 118423 767282 626286 2022-08-15T15:44:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Netzplan_U-Bahn_München|svg|500px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} zum Netzgraphen {{math|term=G|SZ=}} der Münchner U-Bahn die folgenden graphentheoretischen Invarianten. {{ Aufzählung8 |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Blätter| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Den {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Hauptbahnhof zum Innsbrucker Ring. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Odeonsplatzes. |Den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} Zwischen welchen Stationen wird er angenommen? |Den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} In welcher Station ist dies die Exzentrizität? |Den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Sendlinger Tores. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=0.5 |p4=1 |p5=1 |p6=0.5 |p7=0.5 |p8=0.5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r0dd2m0f6r67lihjctorxwp36ck112f 0 118425 766944 639635 2022-08-15T14:41:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knotenpunkten den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1dbee1xz9vltox6f73hblttnsllyfs 0 118467 767210 626151 2022-08-15T15:29:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorphe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pb05er4klyli5looxyd811w6eftcy8b 0 118472 766970 626158 2022-08-15T14:45:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Rundganges| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ksbhtnc83cir5kjz2evitfcst9ophr4 0 118477 767034 636945 2022-08-15T14:55:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Identity graph1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Hikin1987 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Zeige{{n Sie}}, dass der abgebildete Graph {{ Definitionslink |Prämath= |starr| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} swh63e16unvvxkwo2ml8055kiqvge03 0 118478 766974 636952 2022-08-15T14:45:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Identity graph7|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Hikin1987 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Zeige{{n Sie}}, dass der abgebildete Graph {{ Definitionslink |Prämath= |starr| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mr01fx600w232p8zfqzluolwy53cwff 0 118485 767265 626207 2022-08-15T15:41:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} und sein {{ Definitionslink |Prämath= |komplementärer Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G^c|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorphe| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79jrtjzd9frd0z6va7dt7f8pwg6ifp4 0 118506 767285 626275 2022-08-15T15:44:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seiner {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zusammenhangs in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ltlliay0usovsrjbq0byhdv5zz2ucr 0 118507 767225 639643 2022-08-15T15:36:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\in|V || || || |SZ= }} Punkte. Es sei {{math|term=\sim|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=,}} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} zueinander äquivalent seien und ansonsten nur jeder Punkt zu sich selbst. Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term=G/\sim|SZ=}} genau dann ein Baum ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette |d(u,v) |\leq|2 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mnqbsbh0pi4k0p0u70v4yw6ruscqdcm 0 118520 767023 626350 2022-08-15T14:53:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Prague_metro_plan_2015|svg|300px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Zirland |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Prager U-Bahn. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gz4olyiuibqmw6saz905wc4tnpcc1be 0 118522 766998 626354 2022-08-15T14:49:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu den Schachfiguren König, Dame, Läufer, Turm, Springer. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hy852qolkyg7whi7xd8axxmte5psjlu 0 118523 767010 626397 2022-08-15T14:51:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=4|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzzrooj4uw5yrgur6w9dn4y4saziw0z 0 118525 767036 626399 2022-08-15T14:57:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|0|1|0|0|1|0|1|1|0|1|0|1|0|1|1|0|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0pb43o39dlnhmtdpb5wljtpvn8v1or 0 118530 767197 736560 2022-08-15T15:27:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zugehöriger {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=A|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb |name=\pi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Permutation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Knotenmenge {{math|term=V|SZ=}} in sich mit der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M_\pi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\pi |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |A || M_\pi A M_\pi^{-1} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Permutationsmatrizen |Kategorie3=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1muro2zp3ci9826zytfvy11i2k0fs2 0 118535 767293 626384 2022-08-15T15:45:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogener Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen regulären Graphen, der nicht homogen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der regulären Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8fzb3khq3bjz1oi2p1jlmyuzfoh7wy3 0 118539 767266 626393 2022-08-15T15:41:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=A|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=D|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gradmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=I|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Inzidenzmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Zusammenhang {{ Ma:Vergleichskette/disp | I \cdot {{op:transponiert|I|}} || A+D || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fqfbrzty3kfvz257l015trx0l1ojnzw 0 118544 767401 626406 2022-08-15T16:07:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1eb88usrempsyrbotzx8dup4rwfhcsw 0 118545 767009 626407 2022-08-15T14:51:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit drei {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 62u3z60zgjb9g9twq9399hoeyuw0z78 0 118574 767246 626480 2022-08-15T15:39:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Kann es bei einem {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängenden| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein, dass es darin einen {{ Definitionslink |Prämath= |Kreis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, der die {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Graphen realisiert, der echt innerhalb eines Kreises verläuft, der den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Graphen realisiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ltg7aws6asbi4x1z9ejiggmnkgkqjko 0 118608 767204 626566 2022-08-15T15:28:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der eine {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Vereinigung| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=m|SZ=}} Kanten sei. Auf wie viele Arten kann man {{math|term=G|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiten Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auffassen? Wie viele {{ Definitionslink |Prämath= |optimale Paarungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt es? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfz23kcj5qnsd7p0u2496qdh6qwcn51 0 118620 767402 626618 2022-08-15T16:07:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Länge| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} die maximale Anzahl an Knoten in einer {{ Definitionslink |Prämath= |minimalen Knotenüberdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1mgwrit41sefurxqxhyqibow2slvjwd 0 118624 767217 626624 2022-08-15T15:30:37Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Cograph_g5|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Shager~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1o9vm71xixc20wnwftevb7e9m1xijt8 0 118626 767220 626629 2022-08-15T15:30:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere{{n Sie}} diejenigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4w5dj5a3gbq3t8sbzrahk9gi3ahcqus 0 118629 767218 626634 2022-08-15T15:30:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Icosahedron_graph|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Shager~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} if8ijbwc0fc56xk0ugjbggae3lbui2q 0 118634 767307 626642 2022-08-15T15:47:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine Teilmenge der Knotenmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=W|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq| {{op:Potenzmengezwei|W|}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gpf2kqnqchl8ozqfeul7jpui12l8isf 0 118635 766971 626645 2022-08-15T14:45:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |2-cube|svg|150px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Zeige{{n Sie}}, dass im abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} jede {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Knotenüberdeckung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Knotenüberdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6zdftyqk9yqiamp98xfxjzzv7225n0g 2 118710 766926 692154 2022-08-15T14:38:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' ||av +b || || || |SZ= }} mit Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\R || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | z(t) || e^{at} || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Lösung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} müssen wir daher eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term=b e^{-at}|SZ=}} bestimmen. Diese sind durch {{mathl|term=- {{op:Bruch|b|a}} e^{-at} +c|SZ=}} gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl|- {{op:Bruch|b|a}} e^{-at} +c|}} \cdot e^{at} || {{op:Bruch|b|a}} {{makl| e^{at} - 1|}} || || || |SZ=. }} Stammfunktion ist {{ math/disp|term= - {{op:Bruch|b|a}} t + {{op:Bruch|b|a^2}} e^{at} - {{op:Bruch|b|a^2}} |SZ=. }} führt etwa auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |a || -0,35 || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |g ||b ||4 || || |SZ= }} für einen Sprinter. Mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |b ||4 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a || - 1/3 || || || |SZ= }} erhält man die Bewegungskurve {{ math/disp|term= 12 t +36 e^{ - t/3} -36 |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |a || - 1/3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |b ||2 || || || |SZ= }} erhält man {{ math/disp|term= 6 t + 18 e^{ - t/3} -18 |SZ=. }} mit der ungebremsten Beschleunigung von {{ Ma:Vergleichskette/disp |b ||2 || || || |SZ= }} erhält man {{math|term=t^2|SZ=.}} Ziemlich nah dran, bei {{ Ma:Vergleichskette |b ||4 || || || |SZ= }} ist es {{math|term=2t^2|SZ=,}} dies ist bei etwas über {{math|term=7|SZ=}} gleich {{math|term=100|SZ=.}} Ansatz {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|4|a}} {{makl| e^{10 a} -1 |}} || 12 || || || |SZ= }} als Grenzgeschwindigkeit bzw. {{ Ma:Vergleichskette/disp | e^{10 a} || 3a+1 || || || |SZ=. }} sehr grob {{ Ma:Vergleichskette/disp |a ||- {{op:Bruch|1|4}} , - {{op:Bruch|1|5}} || || || |SZ=. }} ergibt rechts {{math|term=1/4|SZ=,}} links Gesamtkraft ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(t) || gm - \beta y'(t) || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} (t) || {{op:Bruch|F(t)|m}} || || || |SZ= }} gilt daher für diesen Bewegungsvorgang die Differentialgleichung zweiter Ordnung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} ||- {{op:Bruch|\beta|m}} y' +g || || || |SZ=. }} Wenn wir dies mit der Ableitungsfunktion {{ Ma:Vergleichskette |v ||y' || || || |SZ= }} schreiben, so erhalten wir die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' || - {{op:Bruch|\beta|m}} v +g || || || |SZ=, }} die nach {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Differentialgleichung/Inhomogen/Konstante affin-lineare Koeffizienten/Abkühlung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Lösungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(t) || c e^{- {{op:Bruch|\beta|m}} t } + {{op:Bruch|gm|\beta}} || || || |SZ= }} besitzt. Setze {{ Ma:Vergleichskette/disp |u || {{op:Bruch|m|\beta}} || || || |SZ=. }} Also {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(t) || c e^{- {{op:Bruch|t|u}} } + g u || gu {{makl| 1 - e^{- {{op:Bruch|t|u}} } |}} || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |c ||-gu || || || |SZ= }} durch die Nullbedingung festgelegt ist. Durch Intergration erhält man für die Differentialgleichung zweiter Ordnung die Lösungsfunktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | y(t) || - c {{op:Bruch|m|\beta}} e^{- {{op:Bruch|\beta|m}} t } + {{op:Bruch|g m|\beta}} t +d || || || |SZ= }} mit beliebigen Konstanten {{ Ma:Vergleichskette |c,d |\in| \R || || || |SZ=. }} Siehe auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Gravitation/Luftwiderstand/Stokes/Lineare_Differentialgleichung_zweiter_Ordnung/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} pqy5b6hruvh6hnnbdbqpnpta9y45cob 0 119027 766941 628410 2022-08-15T14:40:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term=V|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Partitionen als Relation. Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Die Verfeinerung ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} |{{math|term=V|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Was ist die inhaltliche Bedeutung des Infimums und des Supremums? |{{math|term=V|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gsgoreead0pa4ws6uoz7r14kegdv0d7 0 119028 766939 628408 2022-08-15T14:40:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term=V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Verband der Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=.}} Was sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Atome| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86ihifk1hh0whsrzegbn22dhjl8tvna 0 119031 766942 628415 2022-08-15T14:40:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge und es sei {{math|term=V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Verband der Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Ist {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |komplementär| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |distributiv| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |boolesch| |Kontext=Verband| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lepwhdvewpy6cpqsc1nna55c9fn9ab 0 119032 766938 628418 2022-08-15T14:40:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d\} || || || |SZ= }} und es sei {{math|term=V|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Skizziere{{n Sie}} diese geordnete Menge. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3f7o0tkbxmg2gi8uwrtttq5vd7y9wip 0 119055 767249 638491 2022-08-15T15:39:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man fertige|Fertigen Sie}} eine schematische Skizze der eigenen Wohnung als ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, wobei die Zimmer durch einen Knotenpunkt widergegeben werden sollen und zwei Knoten genau dann miteinander verbunden sein sollen, wenn sie in der Wohnung durch eine Tür verbunden sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzgsemmyw81480dpnnhpg440262cvpk 0 119056 766991 628509 2022-08-15T14:48:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Ewe d020 house plan with two of the most important rooms|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Ineuw |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Skizziere{{n Sie}} die gezeigte Wohnung als einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wobei die Zimmer zu Knoten und die Türen zu Kanten werden sollen. Bestimme{{n Sie}} für die einzelnen Knoten ihren {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ffbzcb2bev7jhmrh1yafsoe8ohsema 0 119069 766979 646007 2022-08-15T14:46:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{math|term=\ell|SZ=-}}te Potenz zur {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=ungerichtet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knotenpunkten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33knktfnocy0thik4p66ylzay0rwqq5 0 119081 767011 639668 2022-08-15T14:51:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Blättern| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei zu Beginn ein Gerücht mit der Stärke {{math|term=1|SZ=}} im Zentrum platziert. Wie sieht die Gerüchteverteilung nach {{math|term=\ell|SZ=}} Weitergabevorgängen aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5p49hop36sy25jg5ioh0ob5k3vyuadk 0 119095 767235 628677 2022-08-15T15:37:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es nur eine {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf die Rolle der Teile| |ISZ=|ESZ= }} bipartite Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |V ||A \uplus B || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qdfe1bbi5pcgx08ird46gleoixubtm8 0 119105 766983 639535 2022-08-15T14:47:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} jede {{ Definitionslink |Prämath= |maximale Paarung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bereits {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7ybumlt3rcr8y84ekl6plw265pnczz 0 119107 766931 736715 2022-08-15T14:39:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=P|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Paarung| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= P |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |perfekt| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{ Definitionslink |Prämath= |maximal| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |optimal| |Kontext=Paarung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist, wenn dies für die Einschränkungen von {{math|term= P |SZ=}} auf jede {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6r3roisd4yowz0ybjzseaajflbs7kts 0 119173 766770 629281 2022-08-15T13:33:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} alle Lösungen zur {{ Definitionslink |gewöhnlichen Differentialgleichung| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||cy || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Differentialgleichung y'=ay |Stichwort=Zeitunabhängig |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dkpg4xxk5x9w4x8zk7ngn6gd5hg1dh 0 119406 766767 630199 2022-08-15T13:30:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | D(\R,\R) || {{mengebed|f:\R \rightarrow \R|f \text{ unendlich oft differenzierbar} }} || || || |SZ= }} die Menge der unendlich oft {{ Definitionslink |differenzierbaren Funktionen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=eeVR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Eigenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |D(\R,\R)| D(\R,\R) |f|f' |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Funktionenräume |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6p5zzm25zei5b3mifd86eoqy6zawic6 106 119417 767572 630218 2022-08-15T16:37:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Antwort{{{opt|}}} |Text=Der Unterschied zwischen den Körpern der rationalen und der reellen Zahlen ist, dass der Körper der reellen Zahlen {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist (Siehe Vorlesung 8). Der Körper der reellen Zahlen besitzt also viele Elemente, die in {{math|\Q}} fehlen. Wenn wir aber in der Ebene jeden rationalen Punkt (also mit Werten in {{math|\Q\times\Q}}) mit einem beliebig kleinen Kreis markieren würden, wäre trotzdem die gesamte Ebene markiert. Dies ist die Eigenschaft, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Das ist äquivalent dazu, dass wir für jede reelle Zahl {{math|x}} eine rationale Folge finden die gegen {{math|x}} konvergiert. Man könnte {{math|\Q\times\Q}} also als alle rationalen Näherungen von Punkten der Ebene betrachten. |Textart=Antwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aad1iy0egu46u6ze70ehgghc1j1a7u9 0 119478 767157 725616 2022-08-15T15:20:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die konstanten Lösungen der {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnlichen Differentialgleichung| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' || {{op:Bruch|{{op:sin(| {{op:cos|t|}} |}} - e^{ t^5 }| ( t^{14} +8) e^{-t^2} + \sqrt{t^2+ \pi} |}} {{makl| y^2+3y-5 |}} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28ktefvcibfsxxxyr51hjdcthgoizdf 0 119487 767070 630517 2022-08-15T15:06:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||y^n || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} mit dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mxniypnki766g4bnb0qmq3dgmykrck 0 119488 767069 630518 2022-08-15T15:06:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' ||y^n || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\leq|-1 || || || |SZ= }} mit dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ibszak43qwaah4mfro2paf7ec1gsudh 0 119834 767105 632234 2022-08-15T15:12:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge, {{ Ma:abb |name=f |M|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Gamma || \Gamma_f |\subseteq| M \times M || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} den wir als {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=}} auffassen. {{ Aufzählung4 |Was bedeutet es für {{math|term=f|SZ=,}} dass {{math|term=\Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reflexiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Was bedeutet es für {{math|term=f|SZ=,}} dass {{math|term=\Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Was bedeutet es für {{math|term=f|SZ=,}} dass {{math|term=\Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? |Was bedeutet es für {{math|term=f|SZ=,}} dass {{math|term=\Gamma_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist? }} Man gebe jeweils Abbildungen aus der Analysis und der linearen Algebra an, die diese Relationseigenschaften jeweils erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2=Theorie der Relationen auf einer Menge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b9r4lmiqvg9sfakzpcq6pq6t96yv9gu 0 119871 767383 632341 2022-08-15T16:04:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge mit {{math|term=n|SZ=}} Elementen. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Relationen| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} die gleichzeitig {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |antisymmetrisch| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen auf einer endlichen Menge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ee77ag1waet21qcouyzwx63dj38iyj 0 120024 766973 633260 2022-08-15T14:45:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{math|term=\R^2|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |minimalen| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Einheitskreises, versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierten Ordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktordnung |Kategorie2=Theorie der Extrema von geordneten Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r29i6bkq0qyy6x9k7kamj469htdohyc 0 120025 766958 633263 2022-08-15T14:43:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=\R^\N|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Folgen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktordnung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\R^\N || || || |SZ= }} die Teilmenge aller {{ Definitionslink |Prämath= |konvergenten Folgen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |T| \R | {{op:Folge|x|}} | {{op:Folgenlimes|x|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |ordnungstreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |ordnungsvolltreu| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen geordneten Mengen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s8ds2ytw10mu5v4z6xulzpf7cxalvzp 0 120052 767008 633474 2022-08-15T14:51:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch| {{op:cos|t|}} | a+ {{op:cos|t|}} }} |SZ= }} zu einem fixierten {{ Ma:Vergleichskette |a |>|1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhglbluj7s8jg4wboa2zkwnk4rcpvdo 0 120057 767007 633475 2022-08-15T14:51:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Bruch| {{op:cos|t|}} | a+ {{op:cos|t|}} }} |SZ= }} zu einem fixierten {{ Ma:Vergleichskette |-1 |<|a |<|1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Integration rationaler Funktionen in trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mndebxydt8ukmhug8sv2htdvbqjbd27 0 120069 766963 633526 2022-08-15T14:44:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} || || || |SZ= }} die Menge aller Abbildungen von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=.}} Wir definieren auf {{math|term=M|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f | \preccurlyeq |g || || || |SZ=, }} falls es ein {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) |\leq| g(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\geq|a || || || |SZ= }} gilt. Welche Eigenschaften einer {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind erfüllt, welche nicht? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hrbwkvnt4r1khtcoptbbo9r9yb6lv7e 0 120130 767405 634791 2022-08-15T16:08:13Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=F |\R^n | \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aufgefasst als lineares {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbares| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=F|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und eine stetig differenzierbare Kurve {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[a,b]| \R^2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(a) || \gamma(b) || || || |SZ= }} derart an, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \int_\gamma F|SZ=}} nicht {{math|term=0|SZ=}} ist. |Es sei nun {{math|term=F|SZ=}} diagonalisierbar bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_\gamma F || 0 || || || |SZ= }} für jede stetig differenzierbare Kurve {{math|term=\gamma|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(a) || \gamma(b) || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie3=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ew8rsjdjhm0em6o8d2vy1fhkmpackcp 0 120181 767488 691706 2022-08-15T16:21:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Benutzen wir die Definition des {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegrals| |Kontext=Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Tatsache, dass das Vektorfeld die Identität ist, erhalten wir {{ math/disp|term= \int_{\gamma} F = \int_a^b {{op:Skalarprodukt|F(\gamma(t))| \gamma'(t)}} dt = \int_a^b {{op:Skalarprodukt|\gamma(t)| \gamma'(t)}} dt |SZ=. }} Würde das Skalarprodukt als Multiplikation interpretiert werden, sieht der Ausdruck unter dem Integral der Ableitung einer quadrierten Funktion sehr ähnlich. Denn für eine differenzierbare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R|\R |x|f(x) |SZ= }} gilt mit Hilfe der Kettenregel {{ math/disp|term= (f^2)'=(f\cdot f)'= 2\cdot f'\cdot f |SZ=. }} Der Vorfaktor müsste nur noch angepasst werden. Dass dieser Zusammenhang auch für das Skalarprodukt stimmt, zeigen wir durch nachrechnen. In der Standardbasis ist {{math|term=\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t))|SZ=}} mit den Koordinatenfunktionen {{math|term=\gamma_1|SZ=}} und {{math|term=\gamma_2|SZ=}}. Damit erhalten wir {{ math/disp|term= ({{op:Skalarprodukt|\gamma(t)| \gamma(t)}})' = (\gamma_1^2(t)+\gamma_2^2(t))' = 2\gamma_1'(t)\cdot\gamma_1(t)+2\gamma_2'(t)\cdot\gamma_2(t) |SZ= }} {{ math/disp|term= = 2 (\gamma_1'(t)\cdot\gamma_1(t)+\gamma_2'(t)\cdot\gamma_2(t)) = 2 {{op:Skalarprodukt|(\gamma_1(t),\gamma_2(t))| (\gamma_1'(t),\gamma_2'(t))}} |SZ= }} Durch entsprechende Anpassung des Vorfaktors wissen wir demnach, dass {{math|term= \frac{1}{2}{{op:Skalarprodukt|\gamma(t)| \gamma(t)}} |SZ=}} eine Stammfunktion des Ausdrucks unter dem Integral ist. Wir erhalten folglich {{ math/disp|term= \int_{\gamma} F =\frac{1}{2}{{op:Skalarprodukt|\gamma(t)| \gamma(t)}}\vert_a^b = \frac{1}{2}({{op:Skalarprodukt|Q|Q}} - {{op:Skalarprodukt|P|P}} ) = \frac{1}{2}({{op:Norm|Q|}}^2 - {{op:Norm|P|}}^2 ) |SZ=. }} |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b49j1ev58din7chl8fy7n0gbat0s1vj 0 120184 766923 634289 2022-08-15T14:38:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} eine positive natürliche Zahl und sei {{math|term=V|SZ=}} die Menge aller Teiler von {{math|term=n|SZ=,}} versehen mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Infimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Prämath= |kleinsten gemeinsamen Vielfachen| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |Supremum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Charakterisiere{{n Sie}} die Zahlen {{math|term=n|SZ=,}} für die ein {{ Definitionslink |Prämath= |komplementärer Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Charakterisiere{{n Sie}} die Zahlen {{math|term=n|SZ=,}} für die ein {{ Definitionslink |Prämath= |distributiver Verband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0mva5vu90xc2t7sz8jggx1pc1vzdu0 0 120202 766875 634744 2022-08-15T14:28:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Teilbarkeit| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reflexive| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |transitive| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber im Allgemeinen keine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9wfzm5bg4kareb1fzslc6an551hnldb 0 120204 766952 634301 2022-08-15T14:42:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=S|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Potenzmenge|S|}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die wir als {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Monoid| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Durchschnitt als Verknüpfung auffassen. Es seien {{ Ma:Vergleichskette | A,B |\in| {{op:Potenzmenge|S|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |B |\subseteq|A || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | B || B \cap A || || || |SZ=. }} |Es ist {{math|term=A|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Teiler| |Kontext=Monoid| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im monoidtheoretischen Sinn| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term=B|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in kommutativen Monoiden |Kategorie2=Theorie der Potenzmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vkalvoko37vr7ojdyaz5t0d3espacq 0 120217 766918 634337 2022-08-15T14:37:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir versehen die zweielementige Menge {{mathl|term=\{0,1\}|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |<|1 || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term=S|SZ=}} eine Menge. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Verbandsstruktur| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Abbildungsmenge {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|S|\{0,1\} }} |SZ=}} im Sinne von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Menge/Total geordnete Menge/Abbildungen/Verband/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} als Verband {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Teilmengenverband| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{op:Potenzmenge|S|}}|SZ=}} ist. Was sind die {{Anführung|atomaren Funktionen|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der booleschen Verbände |Kategorie2=Theorie der Produktordnung |Kategorie3=Theorie der Potenzmenge als geordnete Menge |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49axe466vtdljm9xwrgns4u8or32zlj 0 120271 767565 634577 2022-08-15T16:34:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} die Lösung für das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y' || y - y^2 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |y |\in| ]0,1[ || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette | y(0) || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der zeitunabhängigen gewöhnlichen eindimensionalen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t9eea8nt9n4zjvdhsh42ig4c5aka7bv 0 120322 766962 634760 2022-08-15T14:43:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |idempotenten Elemente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Ring {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|\R|\R}} |SZ=}} aller Funktionen von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die idempotenten Elemente im Ring {{mathl|term= C^0(\R,\R) |SZ=}} aller {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Ringe von stetigen reellen Funktionen |Kategorie3=Theorie der idempotenten Elemente (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1a81rpjn0sou9rlm41uyk58gpbm0hy 0 120375 766895 635037 2022-08-15T14:33:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Wir wissen bereits, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus Lösungen der Differentialgleichung {{math|y'' {{=}} -y}} sind und somit zwei Lösungen für den Spezialfall {{math|c{{=}}1}} sind. Durch kleine Anpassung können wir daraus Lösungen für die Differentialgleichung {{math|y' {{=}} -cy}} bauen. Tatsächlich stellen wir durch zweimaliges Ableiten feststellen, dass {{math|\sin(\sqrt{c} t)}} eine Lösung darstellt, ebenso wie {{math|\cos(\sqrt{c} t)}}. Nun haben wir zwei verschiedene Lösungen gefunden. Bei der Differentialgleichung handelt es sich um eine homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, sodass alle Linearkombinationen der beiden gefundenen Lösungen ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung sind. Dies kann man sich wieder durch Einsetzen in die Differentialgleichung klarmachen. So erhalten wir den zweidimensionalen Lösungsraum : <math> \{ \lambda \sin(\sqrt{c} t) + \mu \cos(\sqrt{c} t) \mid \lambda, \mu \in \mathbb{R} \}. </math> Dies lässt sich auch anhand der Potenzreihenentwicklung verstehen. Wir machen den Ansatz : <math> y(t) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k \frac{t^k}{k!}</math> mit Koeffizienten {{math|a_k \in \mathbb{R} }}. Für die zweite Ableitung ergibt sich durch formales Ableiten : <math> y''(t) = \sum_{k=2}^{\infty} a_k \frac{k (k-1) t^{k-2}}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k+2} \frac{t^k}{k!} .</math> Setzen wir das nun in die Differentialgleichung {{math|y''{{=}}-cy}} ein, stellen wir durch Koeffizientenvergleich fest, dass {{math|a_{k+2} {{=}} -c a_k}} für alle {{math| k \in \mathbb{N} }} gilt. Das bedeutet, dass die Potenzreihe {{math|y(t)}} bereits durch die ersten beiden Koeffizienten {{math|a_0, a_1}} vollständig festgelegt wird, da sich die restlichen Koeffizienten rekursiv daraus berechnen lassen. Der Lösungsraum ist daher tatsächlich zweidimensional. Explizit ergibt sich für die Koeffizienten die Beschreibung {{math|a_{2n} {{=}} (-c)^n a_0}} und {{math|a_{2n+1} {{=}} (-c)^n a_1}}. Wie müssen wir nun {{math|a_0}} und {{math|a_1}} wählen, um unsere zuvor gefundenen Lösungen in Abhängigkeit von {{math|\lambda, \mu}} zurückzuerhalten? Die Potenzreihendarstellung der {{ Definitionslink |Prämath= |Sinus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }} und der {{ Definitionslink |Kosinusfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist hierfür hilfreich. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n3gdnrmcrp85oa3ms8y1qzg5eqisfwn 0 120413 766959 678078 2022-08-15T14:43:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |]-1,1[ |\R |x|f(x) {{=|}} 1- \sqrt{1-x^2} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f'|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die zweite Ableitung {{math|term=f^{\prime \prime}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzelfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71pfztan8xuec1denxemh8rcly33ou4 0 120469 767403 635595 2022-08-15T16:07:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}}' || {{op:Matrix22| t |t^2| t^3| t^4 }} {{op:Spaltenvektor|x|y}} + {{op:Spaltenvektor|t^5|t^6}} || || || |SZ= }} mit der Anfangsbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|x|y}} (0) || {{op:Spaltenvektor|0|0}} || || || |SZ= }} bis zur sechsten Ordnung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1p1yua0af0obgnxe9lwvapk44e8mqw 106 120568 767587 636115 2022-08-15T16:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung; kosmetische Änderungen wikitext text/x-wiki {{Zwischenüberschrift|term=Rückmeldung zur Abgabe der Woche 4}} Bei Aufgabe 37.21 kam es teilweise zu Schwierigkeiten beim Basiswechsel. Bei der Aufgabe ist {{math|f}} eine Funktion {{math|f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 }} und der Basiswechsel ist eine lineare Abbildung {{math|L\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 }} vom dreidimensionalen Raum in sich selbst. Dabei ist {{math|L}} bezüglich der Standardbasis gegeben durch {{math|L(1,0,0) {{=}} (1,0,3), L(0,1,0) {{=}} (2,4,6), L(0,0,1) {{=}} (1,-1,0) }}. Zu berechnen ist nun die Hintereinanderschaltung der beiden Abbildungen {{math| L \circ f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 }}. Es muss also {{math|L(f(x))}} bestimmt werden, wobei {{math|f(x) {{=}} (f_1(x), f_2(x), f_3(x))}} ein Vektor in drei Komponenten ist, die vom Parameter {{math|x}} abhängen. Auch {{math|L(f(x))}} ist ein Vektor in drei Komponenten, der sich durch die Matrix-Vektor-Multiplikation : <math> M(L) \cdot f(x) </math> ergibt. Aufgabe 37.26 wurde kaum bearbeitet. Tatsächlich ist es kompliziert, direkt eine explizite Funktionsvorschrift anzugeben. Eine solche Funktion lässt sich aber aus mehreren Bausteinen zusammensetzen. Selbst ohne konkrete Funktionsvorschrift lässt sich nachvollziehen, wie eine solche Kurve aussehen könnte. Klar ist, dass die Kurve mindestens einen 90-Grad-Knick im Ursprung machen muss. Wie wir in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differenzierbare_Kurve/Bild_ist_Graph_des_Betrags/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und dem zugehörigen [[Differenzierbare Kurve/Bild ist Graph des Betrags/Aufgabe/Kommentar|Kommentar]] gesehen haben, kann man solche Kurven konstuieren, die zugleich differenzierbar sind. Analog dazu lassen sich auch 180-Grad-Wenden bewerkstelligen. Man denke zum Beispiel an die Kurve {{math|(0,\sin(t))}}, deren Komponenten offenbar differenzierbar sind und die in den Punkten {{math|(0,1), (0,-1) }} wendet. Durch Kombination dieser Bausteine lässt sich dann eine Kurve bauen, die das gesamte Achsenkreuz durchläuft. Auch Aufgabe 38.21 wurde häufig nicht gelöst. Dabei muss ein recht kompliziertes Integral berechnet werden, was sich aber mit den Methoden, die wir im letzten Semester entwickelt haben, lösen lässt. Eine solche Aufgabe ist eine gute Möglichkeit, den Umgang mit Integration weiter zu üben. Konkret muss die Funktion {{math|\sqrt{1 + \exp(t)^2} }} integriert werden. Dabei bietet es sich an, das Integral durch Substitution schrittweise zu vereinfachen. Beispielsweise wird man durch die Substitution {{math|u {{=}} \exp(t) }} die Exponentialfunktion los. Durch eine weitere Substitution kann man die Wurzel eliminieren. Stößt man dabei auf eine rationale Funktion mit Nenner {{math|s^2 - 1}}, so lässt sich diese durch {{ Definitionslink |Partialbruchzerlegung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei Teile mit Nennern {{math|s-1}} und {{math|s+1}} zerlegen, ähnlich wie in {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Homogen/y' ist 1 durch t^2-1 mal y/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dies wurde auch schon in der Rückmeldung zur ersten Woche angesprochen. [[Kategorie:Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Rückmeldungen]] ejhx7mdw1p69sboom0fn2jdee0gyxjd 0 120607 767398 636301 2022-08-15T16:07:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialgleichung| |Kontext=höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^{\prime \prime} -2y' +5y || e^{t} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spjkdhyk3fj34ah9vvjhqnyuhobpj24 0 120609 767399 636304 2022-08-15T16:07:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialgleichung| |Kontext=höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^{\prime \prime} +4y' +6y || (t^3+5t+3) e^{2 {{imaginäre Einheit|}} t} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rv23xbojz7d991e7p0c4r73vk1nxmog 0 120659 766950 636763 2022-08-15T14:42:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term=K[X,Y,Z]/(X^3, Y^4,Z^2,X^2Y^3, X^2Z, Y^3Z, XYZ)|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |monomialen Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (X^3, Y^4,Z^2,X^2Y^3, X^2Z, Y^3Z, XYZ) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eeqzq535a5ntc0gqrpj3csp0detcnz0 0 120725 767021 636939 2022-08-15T14:53:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für den durch den Turm auf dem Schachbrett gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wie viele Punkte welchen {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. Was ist die durchschnittliche Gradzahl? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5sk2hcdiahp7s6a84sle4lesdebkeo 0 120726 767213 636948 2022-08-15T15:30:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=ungerichtet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nicht von einer Geradenkonfiguration im Sinne von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ebene/Geraden/Schnittverhalten/Graph/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} herrührt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie2=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8r7nuu5af9zb0bql86b0epx59bk8o8k 0 120727 767214 636949 2022-08-15T15:30:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Menge {{mathl|term=\{1,2,3\}|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j68pkcekxc366zy29akrlb638r2rgox 0 120728 767215 636950 2022-08-15T15:30:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer {{math|term=n|SZ=-}}elementigen Knotenmenge {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Ma:Vergleichskette |n ||1,2,3,4,5 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} wobei Graphen, die durch eine Umbenennung der Knotenmenge ineinander übergehen, nur einfach aufgeführt werden müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfk1mxkkqfnmjnuuntkk48smir4fge4 0 120729 767271 636955 2022-08-15T15:42:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass sich jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |voller Untergraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzmengengraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisieren lässt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mh1z8c0lnqt826tm50e7gqvk7clqz7g 0 120764 766937 637141 2022-08-15T14:40:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge mit {{math|term=n|SZ=}} Elementen und es sei {{math|term=V|SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \preccurlyeq|SZ=}} von Partitionen als {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnungsrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P_1 |\preccurlyeq|P_2 |\preccurlyeq| \ldots |\preccurlyeq| P_{s-1} |\preccurlyeq| P_s || |SZ= }} eine endliche Folge von Partitionen auf {{math|term=M|SZ=}} mit echten Verfeinerungen, die man weder nach links noch nach rechts noch im Innern verfeinern kann. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |s ||n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2=Verbandstheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lb3775nrb6u9sfxqsjxti23agc76n0m 0 120767 766940 637135 2022-08-15T14:40:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine Menge, {{math|term=P|SZ=}} und {{math|term=Q|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |Partitionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zugehörigen surjektiven Abbildungen {{ Ma:abbele/disp |name=f |M| {{Menge1k}} || |SZ= }} bzw. {{ Ma:abbele/disp |name=g |M| {{Menge1m}} || |SZ= }} im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=P|SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerung| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=Q|SZ=}} ist, wenn es eine Faktorisierung von {{math|term=g|SZ=}} über {{math|term=f|SZ=}} gibt, wenn es also eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=h | {{Menge1k|}} | {{Menge1m|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |g || h \circ f || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psrjtzdus5cwjwuf31ywwqnplau8uy4 0 120774 766936 637147 2022-08-15T14:39:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||\{a,b,c,d,e,f,g,h\} || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || \{ \{a\}, \{b,e,h\}, \{c,g\}, \{d,f\} \} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Partition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=.}} Liste sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |Verfeinerungen| |Kontext=Partition| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=P|SZ=}} auf. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2=Theorie der geordneten endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6ihsru5x2rlp5p1zpkvbwyugqj50b4 0 120828 767060 650846 2022-08-15T15:04:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Als kommutative Gruppe ist {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z^n || || || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{ideala|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist das von {{math|term=a|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp |a R |\cong| \Z^n |\subseteq|R |\cong|\Z^n || |SZ=. }} Deshalb ist die Restklassengruppe {{mathl|term= \Z^n/ aR|SZ=}} endlich und wegen der natürlichen Surjektion {{ Ma:abb |name= | \Z^n/ aR| R/{{ideala}} || |SZ= }} ist auch der Restklassenring endlich. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2rpkaoxg592o44l4k15ycfjscfkznzp 767062 767060 2022-08-15T15:04:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Als kommutative Gruppe ist {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z^n || || || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{ideala|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |a |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist das von {{math|term=a|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette/disp |a R |\cong| \Z^n |\subseteq|R |\cong|\Z^n || |SZ=. }} Deshalb ist die Restklassengruppe {{mathl|term= \Z^n/ aR|SZ=}} endlich und wegen der natürlichen Surjektion {{ Ma:abb |name= | \Z^n/ aR| R/{{ideala}} || |SZ= }} ist auch der Restklassenring endlich. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cp12ttdv1p5bhr1tzpyt0azwpfk0qay 0 120979 767211 638490 2022-08-15T15:29:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=K|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Kantengraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \Psi | {{op:Aut|G|}} | {{op:Aut|K|}} || |SZ= }} gibt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{math|term=\Psi|SZ=}} nicht injektiv sein muss. |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung {{math|term=\Psi|SZ=}} nicht surjektiv sein muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Kantengraphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=5 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b1nc8ntb4nc9bcgl8mcpu7azwue4hwv 0 121096 766988 638427 2022-08-15T14:47:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die Zuordnung, die einem {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m|SZ=}} die Kantenfolge {{mathl|term=\{ v_1, v_2\} {{kommadots|}} \{ v_{m-1}, v_m\} |SZ=}} zuordnet. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Zuordnung nicht injektiv sein muss. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine Kantenfolge {{math|term=e_1,e_2,e_3|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |e_1 \cap e_2 |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |e_2 \cap e_3 |\neq| \emptyset || || || |SZ=, }} die nicht als ein {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} realisiert werden kann. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q5dm53h5lw6sscrwlc278mejrxcqjer 0 121097 766986 638441 2022-08-15T14:47:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass in dem Weg ein {{ Definitionslink |Prämath= |Blatt| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorkommt, aber weder als Anfangs- noch als Endpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p2b4mtlu5fqmwlwsgjvgil0425cr7ak 0 121220 767223 638933 2022-08-15T15:36:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zumindest zwei Knotenpunkten. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Blatt| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Graphen angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omo4s5iibm6idfvpbjsls5pm1cyspd9 0 121222 767202 638942 2022-08-15T15:28:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (V,E) |SZ=,}} der zumindest zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Blätter| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, und bei dem der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht in einem Blatt angenommen wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hyym3yxsjlqvxjz6vztrz628sz3ha3a 0 121292 767077 639953 2022-08-15T15:07:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R^2|\R |(x,y)| {{op:min|x|y}} |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Skizziere{{n Sie}} die Funktion. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|\R^2 || || || |SZ= }} und jede Richung {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|\R^2 || || || |SZ=, }} ob die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in diesem Punkt und in diese Richtung existiert. |Bestimme{{n Sie}} für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4dgl9xwupevpl5lwd6idedvhrgozhlj 0 121298 766934 640041 2022-08-15T14:39:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)| x^2y^5 - {{op:cos(|x^3-y^2|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0th7jmw495bgfidxugxri8etq7hm3u2 0 121299 766935 640039 2022-08-15T14:39:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^3|\R^2 |(x,y,z)| {{op:Zeilenvektor|\sqrt{x^2y^2+3} +x^3yz^2 | x^{11}-x^2y^3e^{xz } - {{op:ln(|x^2+y^2+x^4z^6+1|}}||}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yyok9zb0m932mlyioh4rsgujd942h0 0 121307 767273 644144 2022-08-15T15:42:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Zur Bestimmung des Grades muss man einfach gucken, wie viele Felder von einem bestimmten schwarzen Feld aus auf den beiden Diagonalen liegen, wobei das Feld selbst nicht mitgezählt wird. Ein schwarzer Eckpunkt hat den Grad {{math|term=7|SZ=,}} das Feld, auf dem im Bildchen der Läufer platziert ist, hat den Grad {{math|term=13|SZ=.}} Dies ist auch der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir behaupten, dass der Abstand zwischen je zwei Punkten höchstens {{math|term=2|SZ=}} ist. Hierzu muss man die einzelnen Punkte unter Berücksichtigung der Symmetrie durchgehen. Daraus ergibt sich auch, dass der Radius und der Durchmesser ebenfalls {{math|term=2|SZ=}} ist. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} midw068uwtbahziglo54gq2jr7j0r7c 0 121315 766972 639439 2022-08-15T14:45:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Rundgang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knoten den {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tkalfx8zqpwvsz4k2z2uw57dj904g0s 0 121321 767032 639641 2022-08-15T14:55:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Graphen mindestens so groß ist wie sein {{ Definitionslink |Prämath= |Radius| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass der Durchmesser eines Graphen höchstens doppelt so groß ist wie sein Radius. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für jede natürliche Zahl {{math|term=n|SZ=}} einen Graphen an, bei dem sowohl der Durchmesser als auch der Radius gleich {{math|term=n|SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3aiwxakskw0lhcoknt80jx4znnbixk 0 121322 767226 639467 2022-08-15T15:36:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (V,E) |SZ=,}} der kein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dessen Knotenanzahl um {{math|term=1|SZ=}} größer als seine Kantenanzahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Bäume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptwz21s6zyfgjc12wf7g5h8h891275o 0 121324 766997 639642 2022-08-15T14:49:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Springer auf einem {{math|term=4 \times 4|SZ=-}}Brett. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19u9n90wl281i7s9t9b6shy5no659jh 0 121325 766996 639640 2022-08-15T14:49:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Erreichbarkeitsgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Läufer auf einem {{math|term=4 \times 4|SZ=-}}Brett. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6x0xgx124tdugurnl7hj40j6fpp2xy 0 121326 766984 639534 2022-08-15T14:47:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die{{n Sie}} {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} Knoten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} coanfnza1t4g6z5x3cxjkh51mhfikwl 0 121332 767277 641469 2022-08-15T15:43:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |2-edge connected graph|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=|rekursiv|Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qw28tl4vv1t9bi18f43vnsypl5ybyv2 0 121333 767279 639621 2022-08-15T15:43:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Antenna graph|svg|100px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=|rekursiv|Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9lrrz3qqtc8r31qmz7gpcgtykafpc2b 0 121336 766995 639519 2022-08-15T14:49:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} zum Turm auf einem {{math|term=3 \times 3|SZ=-}}Schachbrett. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Spannbäume von {{math|term=G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhzu7ddo7sulo831bg4v93fj1ahtybf 0 121339 766993 639523 2022-08-15T14:48:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} zum Läufer auf einem {{math|term=4 \times 4|SZ=-}}Schachbrett. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Spannbäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Spannbäume von {{math|term=G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9xvbixinjxhjus28xmddfj9v6xxi3y 0 121346 766943 639647 2022-08-15T14:41:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der Knotenmenge {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |linearer| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Multigraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} gegeben, wobei {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} die Anzahl der Kanten zwischen {{ mathkor|term1= v_i |und|term2= v_{i+1} |SZ= }} sei {{ Zusatz/Klammer |text=und sonst gebe es keine Kanten| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} gleich {{mathl|term=a_1 \cdots a_{n-1}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2=Theorie der ungerichteten Multigraphen ohne Schleifen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpinivhx83rx9oy1ph1qur3gd835rz1 0 121348 767286 639575 2022-08-15T15:44:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit zwei {{ Definitionslink |Prämath= |vollen Untergraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |F,H |\subseteq|G || || || |SZ= }} mit {{ Zusatz/Klammer |text=auf der Vertexmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F \cap H ||\{P\} || || || |SZ= }} und derart, dass alle Kanten von {{math|term=G|SZ=}} entweder zu {{math|term=F|SZ=}} oder zu {{math|term=H|SZ=}} gehören. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} gleich dem Produkt der Anzahl der aufspannenden Bäume von {{math|term=F|SZ=}} und der Anzahl der aufspannenden Bäume von {{math|term=H|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} abcd98keuqf8p76ifscascjviine62i 0 121350 767566 639657 2022-08-15T16:34:50Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für einen Untergraphen {{ Ma:Vergleichskette |H ||(V,F) |\subseteq|G || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also mit voller Vertexmenge| |ISZ=|ESZ= }} die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |{{math|term=H|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=H|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannender Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=H|SZ=}} ist maximal kreisfrei, d. h. sobald man eine Kante aus {{math|term=G|SZ=}} zu {{math|term=H|SZ=}} hinzutut, entsteht ein {{ Definitionslink |Prämath= |Kreis| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=H|SZ=}} ist minimal zusammenhängend, d. h. sobald man eine Kante herausnimmt, wird der Graph unzusammenhängend. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9f8gk89ownef57dcgwi1oeer9pmmszb 0 121352 766982 639628 2022-08-15T14:47:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knoten. Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Bäume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hnbi3hob8ujxsaeaz9lqtir76c91gv6 0 121355 767224 639646 2022-08-15T15:36:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Blätter| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zumindest so groß ist wie die Summe {{ math/disp|term= \sum_{d(v) \geq 3} (d(v)-2) |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kkotoqhvuzoq9srguhg2osmp8q8lfz7 0 121356 767201 639651 2022-08-15T15:28:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängender| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term=G|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |aufspannenden Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit Durchmesser {{math|term=d|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ryxmqkziimxlz234loc4jlyvhkmy8op 0 121359 767227 639655 2022-08-15T15:36:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |u,v |\in|G || || || |SZ= }} Knoten in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Baum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=35419|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{math|term=G|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Weg| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=u|SZ=}} nach {{math|term=v|SZ=}} der Länge {{mathl|term=43425|SZ=}} gibt, aber keinen Weg der Länge {{mathl|term=51796|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1krlbmwxaeo72lpxr39jcy19ocdlykt 0 121367 766949 640298 2022-08-15T14:41:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R^n | \R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomfunktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} im Nullpunkt {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ncv5qsnl8rtlc4t0n75cgyy9jcivuc 0 121370 767006 640312 2022-08-15T14:50:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarmultiplikation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | \R \times V| V |(s,v)|sv |SZ=, }} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (s,v) || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi|P}} (t,w) ||tv+ sw || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6zn7qzqcukmrbc0s0f39712k0cdtb4 0 121372 767020 640311 2022-08-15T14:53:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine Abbildung und {{ Ma:abb |name=L |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=total R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=P|SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |totalen Differential| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=L|SZ=.}} | Der {{ Definitionslink |Prämath= |Limes| |Kontext=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|v|0, v \neq 0|}} \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ {{op:Norm|v|}} } |SZ= }} existiert und ist gleich {{math|term=0|SZ=.}} |Der Limes {{ math/disp|term= {{op:Funktionslimes|v|0, v \neq 0|}} \frac{ {{op:Norm|\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)|}}}{ {{op:Norm|v|}} } |SZ= }} existiert und ist gleich {{math|term=0|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jkws86z67vzv82p1tzbjj4efpu5xild 0 121503 767078 640619 2022-08-15T15:07:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R^2|\R |(x,y)| x {{op:Betrag|y|}} |SZ=, }} für jeden Punkt {{math|term=P|SZ=}} und jede Richtung {{math|term=v|SZ=,}} ob die {{ Definitionslink |Prämath= |Richtungsableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=P|SZ=}} in Richtung {{math|term=v|SZ=}} existiert und ob die Funktion in {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ek8a638h193lrqd48tkk3fl60t3xl7o 0 121613 767019 641362 2022-08-15T14:53:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Kommentar{{{opt|}}} |Text= Hier sind zwei Richtungen zu zeigen. Falls {{math|\varphi}} in {{math|(0,0)}} total differenzierbar ist, existieren insbesondere die partiellen Ableitungen im Nullpunkt und sind dort stetig. Die partielle Ableitung bezüglich {{math|x}} ist genau {{math|f(y)}}, was die Stetigkeit von {{math|f(y)}} in {{math|0}} zeigt. Der schwierigere Fall ist die Umkehrung. Wir nehmen also an, dass {{math|f}} in {{math|0}} stetig ist, und müssen die totale Differenzierbarkeit von {{math|\varphi}} in {{math|(0,0)}} zeigen. Die partielle Ableitung nach {{math|x}} in {{math|(0,0)}} ist die Ableitung der Koordinatenfunktion {{math|x\mapsto x f(0)}} und existiert somit. Für die partielle Ableitung nach {{math|y}} müssen wir aufpassen, dass wir nicht {{math|f'(y)}} verwenden, weil {{math|f}} nicht differenzierbar sein muss. Tatsächlich ist diese partielle Ableitung aber die Ableitung der Koordinatenfunktion {{math|y \mapsto 0 f(y) {{=}} 0}} und ist somit konstant Null. An dieser Stelle müssen wir jedoch sehr vorsichtig sein, denn die Existenz der partiellen Ableitungen allein genügt im Allgemeinen ''nicht'', um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen. Insbesondere können wir hier ''nicht'' {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/R/Existenz_und_Stetigkeit_der_partiellen_Ableitungen_impliziert_Differenzierbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} verwenden. Weshalb kann der Satz hier nicht verwendet werden? Zwar haben wir gezeigt, dass die partiellen Ableitungen im Punkt {{math|P}} existieren und dort stetig sind. Jedoch fordert der Satz, dass die partiellen Ableitungen auch außerhalb von {{math|P}}, nämlich in einer ganzen Umgebung von {{math|P}} existieren müssen. Dies können wir hier aber ''nicht'' zeigen, weil in einem Punkt {{math|(x_0,y_0)}} mit {{math|y_0\ne 0}} die partielle Ableitung nach {{math|y}} nicht existiert, weil dafür {{math|f'(y)}} existieren müsste. Um die totale Differenzierbarkeit zu zeigen, kann direkt mit der Definition von {{ Definitionslink |total differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gearbeitet werden. Da wir bereits die partiellen Ableitungen in {{math|P}} bestimmt haben, wissen wir bereits, wie das totale Differential aussieht (es wird durch die Jacobi-Matrix beschrieben). Es muss also noch die Funktion {{math|r}} aus der Definition angegeben werden und begründet werden, dass diese stetig ist und in Null verschwindet. |Textart=Kommentar |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3m5twn9zdly5yyabztqg1i989w2asy 0 121727 767391 641802 2022-08-15T16:05:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x,y) ||x {{op:sin|y|}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} auf {{math|term=\R^2|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Extrema| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass die Einschränkung von {{math|term=f|SZ=}} auf die durch {{ Ma:Vergleichskette |y ||x || || || |SZ= }} gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt. |Bestimme{{n Sie}}, ob die Einschränkung von {{math|term=f|SZ=}} auf die durch {{ Ma:Vergleichskette |y ||x || || || |SZ= }} gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |p1=2 |p2=4 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} blbhlcf5thhvi0owfx67e2uu6mfnfjh 0 121747 767063 664174 2022-08-15T15:05:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{ Definitionslink |Prämath=2 \times 2 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Determinante||}} | {{op:Matq|2|K=\R}} {{=|}} \R^4 | \R | {{op:Matrix22|x|y|z|w}} | xw-zy |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Determinante||}} |SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Untersuche {{mathl|term= {{op:Determinante||}} |SZ=}} auf lokale Extrema. Bestimme{{n Sie}} insbesondere den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt. |Finde{{n Sie}} einen zweidimensionalen Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq|{{op:Matq|2|K=\R}} || || || |SZ=, }} auf dem die {{ Zusatz/Klammer |text=Einschränkung der| |ISZ=|ESZ= }} Determinante ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokales Minimum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2=Determinantentheorie (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2u3oe99bxbbwd0uapvh37oor3w2qwk 0 121749 766992 646711 2022-08-15T14:48:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R^3|\R || |SZ= }} eine dreimal {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=R n höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Partielle Ableitung||z}} {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung||x}} f || {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||y}} {{op:Partielle Ableitung||z}} f || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Schwarz (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fff8xsgvccweqpoe2v9k3n6vfmipunp 0 121751 767071 641979 2022-08-15T15:06:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{\prime \prime} +e^t y' +ty || t^2+3 || || || |SZ= }} mit den Anfangsbedingungen {{ Ma:Vergleichskette |y(0) ||2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y'(0) ||5 || || || |SZ= }} durch einen {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis zur vierten Ordnung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lfg1t97vznbjxv4i2vshbof5fqkaapr 0 121800 766989 648398 2022-08-15T14:48:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Feld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Vektorfeld {{ Ma:Vergleichskette/disp |F {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|ye^x| {{op:sin|y|}} }} || || || |SZ= }} auf {{math|term=\R^2|SZ=}} zum Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|\R^2 |t| {{op:Spaltenvektor|t|t^2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qef3atrmc2kwnc2pk3dicjg5mjc0wfh 0 121801 766990 648399 2022-08-15T14:48:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Feld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Vektorfeld {{ Ma:Vergleichskette/disp |F {{op:Spaltenvektor|x|y}} || {{op:Spaltenvektor|y+e^x| {{op:sin|y|}} }} || || || |SZ= }} auf {{math|term=\R^2|SZ=}} zum Weg {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[0,1]|\R^2 |t| {{op:Spaltenvektor|t|t^2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1fgg6ipotqekc3hoqojvh8azho1z3k2 0 121850 766932 642451 2022-08-15T14:39:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für {{ Definitionslink |Prämath= |partiell differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |\R^n|\R^m || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= {{{g|g}}} |\R^m|\R^k || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term={{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} |SZ=}} nicht partiell differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1iurynd8ebmdrtd7a8j23t8kb6u08x1 0 121852 766933 642454 2022-08-15T14:39:24Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für {{ Definitionslink |Prämath= |partiell differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktionen {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |\R^n|\R^m || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= {{{g|g}}} |\R^m|\R^k || |SZ= }} derart, dass auch {{mathl|term={{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} |SZ=}} partiell differenzierbar ist, dass aber {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Jak}({{{g|g}}} \circ {{{f|f}}} )_P || \operatorname{Jak}({{{g|g}}} )_{ {{{f|f}}}(P)} \circ \operatorname{Jak}( {{{f|f}}} )_P || || |SZ= }} nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} potskwm1d18388e6s3wlp7vrw8zjtky 0 122049 766985 643195 2022-08-15T14:47:34Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Wald| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Bäume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trrd1o9eykb0xqnybwow6ljdari0jem 0 122066 767012 643317 2022-08-15T14:51:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^m || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |D | \subseteq | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |G| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= {{{g|g}}} |D| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^k || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | {{{f|f}}}(G) | \subseteq |D || || || || |SZ= }} gilt. Es sei weiter angenommen, dass {{math|term= {{{f|f}}}|SZ=}} und {{math|term= {{{g|g}}}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbar| |Kontext={{{K|K}}} n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= g \circ f |SZ=}} stetig differenzierbar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (K) |Kategorie2=Theorie der höheren Richtungsableitungen (K) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o7ijbpsezikmu3vu52110tju8kmy8gu 0 122068 767018 643329 2022-08-15T14:52:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |W|U || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V || || || |SZ= }} bzw. in {{ Ma:Vergleichskette |\varphi(P) |\in|W || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |total differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildungen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ein Vektor. Zeige{{n Sie}} mit der Kettenregel, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|( \psi \circ \varphi)|P|v}} || {{op:Richtungsableitung|( \psi)|\varphi(P)| {{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} }} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjb3kh3ukihwi43n6l9dvcbf3oj93lr 0 122074 767234 643381 2022-08-15T15:37:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn jede {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon bipartit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lr9qyfqum0jzqzut8fltvvh0qkk8cuv 0 122075 767212 643387 2022-08-15T15:29:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der nicht {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und in dem es keinen {{ Definitionslink |Prämath= |Kreis| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Länge {{math|term=3|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1q9gcgmarnqjf7y9jqfcbxttvt59lkr 0 122078 767268 643390 2022-08-15T15:42:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |Es gibt unter allen {{ Zusatz/Klammer |text=durch Inklusion geordneten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Paarungen| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |größte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Paarung. |{{math|term=G|SZ=}} ist selbst eine {{ Definitionslink |Prämath= |Paarung| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Alle {{ Definitionslink |Prämath= |Wege| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=G|SZ=}} haben die Länge {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=leer oder| |ISZ=|ESZ= }} ein- oder zweielementig. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nalv91grhhsfl1pqopeexrrfp588m9o 0 122154 767014 643792 2022-08-15T14:52:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=R n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vierter Ordnung der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R^2|\R |(x,y)|f(x,y) {{=|}} x {{op:sin|y|}} - e^{ xy } |SZ=, }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lpo5onqto4of1wvyeduducmms0jyl0 0 122227 767283 643777 2022-08-15T15:44:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |SZ=}} eine Hintereinanderschaltung von {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |D_i || {{op:Partielle Ableitung||x_i}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} ||0 || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | s_j |>| r_j || || || |SZ= }} für ein {{math|term= j |SZ=}} ist. |Zeige {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} || {{op:Bruch|r_1! \cdots r_n!|(r_1-s_1) ! \cdots (r_n-s_n)!}} X_1^{r_1-s_1} \cdots X_n^{r_n-s_n} || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | s_j |\leq| r_j || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren partiellen Ableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ro99vwo41sjr2t2woy0lavczapewcfa 0 122228 767562 643779 2022-08-15T16:33:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Monom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |SZ=}} eine Hintereinanderschaltung von {{ Definitionslink |Prämath= |partiellen Ableitungen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | D_i || {{op:Partielle Ableitung||x_i}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} {{op:Zeilenvektor|0|\ldots|0}} || 0 || || || |SZ=, }} falls {{ Ma:Vergleichskette | s_j |\neq| r_j || || || |SZ= }} für ein {{math|term= j |SZ=}} ist. |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| D_1^{r_1} \cdots D_n^{r_n} |}} {{makl| X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} |}} {{op:Zeilenvektor|0|\ldots|0}} || r_1! \cdots r_n! || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der höheren partiellen Ableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j62uip7a9b759rudp6rsdc97id5e8sb 0 122253 767191 643857 2022-08-15T15:26:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} mit {{ Faktlink |Präwort=dem|Eigenwertkriterium|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|7|0|0|0|5|-4|0|-4|2}} |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrischen Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4h76hw8jv8p4znan5ysx0gpt0rkuo5r 0 122261 767064 646008 2022-08-15T15:05:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Diamond graph|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Koko90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=ungerichtet| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum abgebildeten Graphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Adjazenzmatrix eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96difgrkh0z91c24pa0m1pfdop2mmie 0 122289 767065 644083 2022-08-15T15:05:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Diamond graph|svg|200px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten Diamantgraphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 25zm2kkq4131nea9hi9xemi0lf5yddb 0 122332 767233 644206 2022-08-15T15:37:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |bipartiter Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |V || A \uplus B || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Knotenüberdeckungszahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} durch das {{ Definitionslink |Prämath= |Minimum| |Kontext=N| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Anzahl von {{math|term=A|SZ=}} und der Anzahl von {{math|term=B|SZ=}} beschränkt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lzdmvwf2cqnbqqe1ie0677jgeymmt9w 0 122390 767247 644592 2022-08-15T15:39:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den folgenden Graphen. Die Knotenmenge besteht aus den Zahlen von {{math|term=10|SZ=}} bis {{math|term=99|SZ=,}} und zwei Zahlen werden genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie in genau einer Ziffer {{ Zusatz/Klammer |text=an der richtigen Stelle| |ISZ=|ESZ= }} übereinstimmen. {{ Aufzählung6 |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu jedem Punkt des Graphen. |Wie viele Knoten und wie viele Kanten besitzt der Graph? |Was ist der Durchmesser des Graphen? |Was ist der Radius des Graphen? |Gibt es einen Graphautomorphismus, der die {{math|term=21|SZ=}} in die {{math|term=12|SZ=}} überführt und die {{math|term=23|SZ=}} auf sich selbst? |Ist die Vertauschung von Einer- und Zehnerziffer ein Graphautomorphismus? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |p6=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2isc8mp27ynyttie98nkrzxxcq7mrt 0 122393 767208 644613 2022-08-15T15:29:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |hamiltonsch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es einen knotenbijektiven {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von einem {{ Definitionslink |Prämath= |Rundgang| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nach {{math|term=G|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ek76bb0sv5474mkmlpkhcbyhhvo7reh 0 122396 767207 644619 2022-08-15T15:29:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |hamiltonsch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn sein {{ Definitionslink |Prämath= |Umfang| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit seiner Knotenanzahl übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m78az0pe2bqj3u6x504p9d4n2twx28p 0 122403 767206 644693 2022-08-15T15:28:57Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen zusammenhängenden Graphen, der nicht {{ Definitionslink |Prämath= |hamiltonsch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |eulersch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen zusammenhängenden Graphen, der hamiltonsch und nicht eulersch ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3st6gmjdkt6cmo8skibhtfr8tfu2uio 0 122411 767281 646034 2022-08-15T15:43:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Manila metro|svg|500px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Korean Rail Fan |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} zum Netzgraphen {{math|term=G|SZ=}} der Metro Manila die folgenden graphentheoretischen Invarianten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei gelten Recto und Doroteo Jose als eine Station, EDSA und Taft Avenue gelten als eine Station, Araneta Center und Cubao gelten als eine Station. North Avenue und Roosevelt sind durch eine Kante verbunden| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Blätter| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Pureza. |Den {{ Definitionslink |Prämath= |Maximalgrad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} In welchen Stationen wird er angenommen? |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=0.5 |p2=1 |p3=0.5 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} td9enqow2arxvd0h7xdjx9wzktodkin 0 122413 767269 644672 2022-08-15T15:42:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Maximal matching|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ Aufzählung3 |Ist die abgebildete {{ Definitionslink |Prämath= |Paarung| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} maximal? |Skizziere{{n Sie}} eine optimale Paarung für den Graphen. |Ist der Graph {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aje7botjhzjzqrbptzyfs8l30zacl8m 0 122417 766980 644688 2022-08-15T14:46:44Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K_n|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |hamiltonsch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5jffi0b2c60rnf9jro8dkru15jscox 0 122418 766981 644690 2022-08-15T14:46:54Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |vollständige Graph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K_4|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |eulersch| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57wzn628tf4i1j5hskm4lxlj3ddg3rf 0 122465 767284 644924 2022-08-15T15:44:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |G|B || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zulässige Färbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb |name= \theta |B|B' || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term=\theta \circ f|SZ=}} eine zulässige Färbung auf {{math|term=G|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Färbungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7q0o5icoq2icchd24q7ekls3ht9o148 0 122466 767205 644929 2022-08-15T15:28:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=B|SZ=}} eine Menge. Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |zulässige Färbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= f |G|B || |SZ= }} dasselbe ist wie ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |G|(B, {{op:Potenzmengezwei|B|}} ) || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Färbungen von Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3nds7wruqni6sj0oyhuerpqofjbws6i 0 122468 767222 644939 2022-08-15T15:35:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Baumes| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knoten gleich {{mathl|term=X(X-1)^{n-1}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2=Das chromatische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ttumgmdknvr03ps9la3w7ba1682gcu 0 122471 767199 644942 2022-08-15T15:27:47Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=b|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Blatt| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} und sei {{math|term=H|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Untergraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bei dem {{math|term=b|SZ=}} und die zugehörige Kante entfernt wurde. Zeige{{n Sie}}, dass zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |chromatischen Polynomen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Chromatisches Polynom|G|}} || (X-1) {{op:Chromatisches Polynom|H|}} || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das chromatische Polynom |Kategorie2=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cyvimh994c2ifkwnq3x2dvj5yuopnxl 0 122473 767232 644946 2022-08-15T15:37:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} durch Induktion über {{math|term=n|SZ=,}} dass das {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Rundganges| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=n|SZ=}} Knoten gleich {{mathl|term=(X-1)^{n}+ (-1)^n(X-1)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bäume |Kategorie2=Das chromatische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9k7gjgkt09v4qwhremo8wmdn0djqpkb 0 122484 767195 644978 2022-08-15T15:27:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Vielfachheiten| |Kontext=Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur reellen {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|0|1|1|1|0|0|1|0|0|}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h3ku21wjqk1oymj5lds87e0x9wgnfan 0 122496 767209 645014 2022-08-15T15:29:27Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=H|SZ=}} ein fixierter {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu einer Kante {{math|term=e|SZ=}} eines Graphen {{math|term=G|SZ=}} stets eine natürliche Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Hom} (G \setminus \{ e\},H) || \operatorname{Hom} (G , H) \uplus \operatorname{Hom} (G/e , H) || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rie327nwpumvkfd3y1u5q6g1ny2hqoa 0 122500 767473 645031 2022-08-15T16:19:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Bull graph.circo|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten Stiergraphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4jf09sqk7hkcgzss4sfgx8cwqzh80ys 0 122503 767474 645038 2022-08-15T16:19:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Bull graph.circo|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Koko 90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term=G|SZ=}} der abgebildete Stiergraph. {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |chromatische Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2=Das chromatische Polynom |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=5 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1cz2c7c2ixxur7nu4nahp8w3vfayk23 0 122509 767200 645064 2022-08-15T15:27:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=H|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||G_1 \uplus G_2 || || || |SZ= }} die disjunkte Vereinigung von Graphen {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Identifizierung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Hom} (G ,H) || \operatorname{Hom} (G_1 , H) \times \operatorname{Hom} (G_2 , H) || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kuffc896opeckkvjnaym1lztsdyzdz3 0 122545 767461 647273 2022-08-15T16:17:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Für welche der Schachfiguren Turm, Läufer, Dame, König ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{mathl|term=8 \times 8|SZ=-}}Feld {{ Definitionslink |Prämath= |planar| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6q1w8neck53ym05m3qe07x8e47babic 0 122546 767460 645413 2022-08-15T16:17:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Springer {{ Zusatz/Klammer |text=Pferd| |ISZ=|ESZ= }} auf einem {{mathl|term=8 \times 8|SZ=-}}Feld {{ Definitionslink |Prämath= |planar| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 834v9xgni40g0owm11au1sh65njo650 0 122547 767192 645183 2022-08-15T15:26:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Setena llibertat de l'aire|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des abgebildeten Graphen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79hsiy2m2ktt9j1j3il8qbccsbxv70t 0 122582 767203 645377 2022-08-15T15:28:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man einen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann eindimensional realisieren kann, wenn jede {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von ihm ein {{ Definitionslink |Prämath= |Pfad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bb1vdeoruptfzmjx4yai91q5kijpehn 0 122584 767270 645379 2022-08-15T15:42:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |planar| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn jede {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von ihm planar ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gf796cwipc9m3put9n7jphyporgbvc 0 122594 767455 645415 2022-08-15T16:16:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Turm auf einem {{mathl|term=2 \times 3|SZ=-}}Feld {{ Definitionslink |Prämath= |planar| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Schach |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qw6k3ztf76edzwywy1y17jcdck0gf9u 0 122595 767457 645417 2022-08-15T16:16:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur Turm auf einem {{mathl|term=3 \times 3|SZ=-}}Feld {{ Definitionslink |Prämath= |planar| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= 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|Lizenz=public domain |Bemerkung= }} Wir betrachten den Nachbarschaftsgraphen zu Kontinentaleuropa. {{ Aufzählung6 |Ist Europa {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Was ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Abstand| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen Portugal und Norwegen? |Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Taille| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Europa? |Was ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Deutschland? |Was ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalgrad| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Europa? |Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Ungarn? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Färbungen von planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oxfibhn78s6udgcbkjg8jida7nhmawg 0 122652 767415 646019 2022-08-15T16:10:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} eine ebene Realisierung des {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=5|SZ=}} Punkten und {{math|term=9|SZ=}} Kanten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4syvd7kvj6zt4fl8qfd61h6wgi6xjyg 0 122653 767416 646023 2022-08-15T16:10:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |zulässige Färbung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=5|SZ=}} Punkten und {{math|term=9|SZ=}} Kanten mit {{math|term=4|SZ=}} Farben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Färbungen von planaren Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4d0fwxec53jv1ivwchmc2suaizzpok 0 122656 767287 646039 2022-08-15T15:44:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Es sei {{math|term=\varphi|SZ=}} injektiv. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | d(P) |\leq| d( \varphi(P)) || || || |SZ= }} für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} gilt. |Wie sieht es aus, wenn {{math|term=\varphi|SZ=}} nicht injektiv ist? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0k8bumnuy1z27d77mas0f9jkg8drqdi 0 122739 767456 646386 2022-08-15T16:16:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Spielzuggraph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Schachfigur König auf einem {{mathl|term=3 \times 3|SZ=-}}Feld {{ Definitionslink |Prämath= |planar| 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|Bearbeitungsstand= }} ck3pnfb77sr1x99ntkuvvrkr6j77ox7 0 125099 766977 658101 2022-08-15T14:46:14Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Zusatz/Klammer |text=ordnungstheoretischen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Verknüpfung {{math|term= \sqcup |SZ=}} assoziativ ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verbandstheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lkbbdpen4k16njxwlgd2i6o50o2dqqp 0 125101 766976 658104 2022-08-15T14:46:04Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in einem {{ Zusatz/Klammer |text=ordnungstheoretischen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Verband| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} das Absorptionsgesetz {{ 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nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der monomialen Ideale im Polynomring |Kategorie2=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor=Idee: Markus Wageringel |Bearbeitungsstand= }} ivusjoh78vstrvcmuhiewklncinmr0b 0 125653 767073 661674 2022-08-15T15:07:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f | \R| \R || |SZ= }} eine {{math|term=n|SZ=-}}fach {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion mit der Eigenschaft, dass die {{math|term=n|SZ=-}}te Ableitung überall positiv ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} maximal {{math|term=n|SZ=}} Nullstellen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pom8tysfkpl1magvtli3306ttf7xps1 0 125780 767555 661659 2022-08-15T16:31:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=x|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x}} |<|1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{ Ma:Vergleichskette |x_n | {{defeq|}} |x^n || || || |SZ= }} gegen {{math|term=0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6w9070wl4x39erishcksu478njfe8yn 0 125868 767321 661965 2022-08-15T15:49:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-Topologie| |Kontext=Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} eines {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringes| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} in der Tat eine {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8fqf3mk3tytvncard13mi06na03kagq 0 125875 767240 662084 2022-08-15T15:38:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\Z[X]|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oqdp5p6fr9kl79yz14angssyfxo9p9q 0 125876 767492 662022 2022-08-15T16:22:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Zmod|p|}} [X] |SZ=}} für verschiedene Primzahlen {{math|term=p|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rp9l2dwkfs8i30xfbvlfy0qse3zo3su 0 126245 767151 664440 2022-08-15T15:19:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man gebe Beispiele für Unterringe {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|L || || || |SZ=, }} die je zwei der folgenden Eigenschaften erfüllen, aber nicht die dritte. {{ Aufzählung3 |{{math|term=R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |ganz| |Kontext=Ringerweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Z|SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |Q(R) ||L || || || |SZ=. }} |{{math|term=R|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndq50azfbxrvrswcc9v065ez4hrlh59 0 126256 767384 664489 2022-08-15T16:04:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein endlicher {{ Definitionslink |Prämath= |reduzierter| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=R|SZ=}} ein Produkt von endlichen Körpern ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Ringe |Kategorie2=Theorie der Produktringe (kommutative Algebra) |Kategorie3=Theorie der Reduktion (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8fummkt2idncksgr5subvz3saoaien 0 126361 767522 665013 2022-08-15T16:26:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} Beispiele für {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=,}} wo die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |R|\Z || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bzw. nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Spur bei endlichen freien kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etjzxwi65d3luugjlzh4qxyjh25zxm0 0 126368 767494 665034 2022-08-15T16:22:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremdes| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Tupel von ganzen Zahlen. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt, die das Tupel als eine Zeile enthält und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term=\pm 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Matrizen |Kategorie2=Elementarteilersatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6nift0c021elkkvg0b3qggiognjth8 0 126377 767381 665048 2022-08-15T16:04:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |L| {{CC|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |L|L || |SZ= }} auch {{mathl|term= \rho \circ \varphi |SZ=}} ein Ringhomomorphismus nach {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist, und dass daher die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} auf der Menge der komplexen Einbettungen von {{math|term=L|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8a5f3ya7seahkycf5qpn2gd7dk9734 0 126378 767382 665049 2022-08-15T16:04:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, wenn die Bildkörper unter allen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jr0x91hhphv2feamxmm3g0sgqfpjqvu 0 126452 767423 665345 2022-08-15T16:11:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|\Q[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealp|}} || (F) |\in| {{op:Spek|\Q[X]|}} |\subseteq| {{op:Spek|\Z[X]|}} || || |SZ=, }} wobei die letzte Inklusion zur Nenneraufnahme {{ Ma:abb |name= | \Z[X] | \Q[X] || |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gehört. Zeige{{n Sie}}, dass{{n Sie}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Abschluss| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Spek|\Z[X]|}} |SZ=}} gleich {{math|term=V( {{ideala|}} )|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || {{Mengebed|qF| q \in \Q|qF \in \Z[X] }} || || || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}} ferner, dass zu isomorphen Restekörpern {{ mathkor|term1= {{op:Restekörper| {{idealp|}}_1|}} |und|term2= {{op:Restekörper| {{idealp|}}_2 |}} |SZ= }} die Restklassenringe {{ mathkor|term1= R/ {{ideala|}}_1 |und|term2= R/ {{ideala|}}_2 |SZ= }} nicht isomorph sein müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der primitiven Polynome über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5frna0hmlrhynk7j1rvb1mhbto6lvb 0 126519 767477 665901 2022-08-15T16:19:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Bilinearform genau dann {{ Definitionslink |nicht ausgeartet| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Bilinearform bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9gm023zt3q113u8s5hqeisrsv46ib1 0 126551 767042 666722 2022-08-15T14:59:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung, die einem Element {{ mathbed|term= q \in Q(R) ||bedterm1= q \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} den {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=}} zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt. {{Aufzählung2|Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hauptdivisor|q_1 q_2|}} || {{op:Hauptdivisor|q_1|}} + {{op:Hauptdivisor|q_2|}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Hauptdivisor|q_1+ q_2|}} |\geq| \min \{ {{op:Hauptdivisor|q_1|}} , {{op:Hauptdivisor|q_2|}} \} || || || |SZ=. }} }} Zeige{{n Sie}} insbesondere, dass diese Zuordnung einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |Q(R) \setminus \{0\} | {{op:Divisorengruppe|R|}} || |SZ= }} definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3whmw30qt0lj93kazrucj0ytgwzna2 0 126556 767041 668697 2022-08-15T14:58:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{Aufzählung2 |Es sei {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |gebrochenes Ideal| |Kontext=Dedekindbereich |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer Darstellung {{ Ma:Vergleichskette | {{idealf}} || {{op:Bruch|{{ideala}} |h}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |h |\in|R || || || |SZ= }} und einem Ideal {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} |\subseteq | R || || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Divisor zu Ideal| {{idealf|}} |}} || {{op:Divisor zu Ideal| {{ideala|}} |}} - {{op:Hauptdivisor|h|}} || || || |SZ=. }} |Zu einem {{ Definitionslink |Divisor| |Kontext=Dedekindbereich |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=D|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |E || D+ {{op:Hauptdivisor|h|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |effektiv| |Definitionsseitenname= Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Id}(D) || {{op:Bruch|\operatorname{Id}(E)|h }} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfnagpuyvxioh0x3i8e5a6cnlg0btzy 0 126637 767541 672357 2022-08-15T16:29:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= \sum_{n=0}^{\infty} {{op:Bruch|2n+7|n^3-4n^2+3n-5}} |SZ=}} auf {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenz| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Kategorie=Theorie der rationalen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmtch3ejoldfnbu7upsdpgjt0daqyj5 0 126645 767390 666229 2022-08-15T16:05:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} keine Exponentialfunktion sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzg6kuknqij8iqsbc9xweg6iz8zofln 0 126665 767503 666450 2022-08-15T16:23:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wo die {{math|term=-1|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Elementes auftritt, und ein Beispiel, wo dies nicht der Fall ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7m6yijmyxr8yqfj2aspcjqjbgk5usbl 0 126666 766877 681643 2022-08-15T14:28:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} im {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Z[\sqrt{3}] |SZ=}} endlich viele Elemente {{math|term= f_1 {{kommadots|}} f_m |SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=13|SZ=}} ist, und die die Eigenschaft erfüllen, dass jedes Element mit der Norm {{math|term=13|SZ=}} zu einem der {{math|term=f_j|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |assoziiert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(3)) |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6yqc4yo9u9ylcmdmr14kzeoy58ieg8 0 126673 767053 666564 2022-08-15T15:02:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|f|}} |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=(f)|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nin94zqpgfjfsrv93vtnugkllllrof4 0 126674 767058 666571 2022-08-15T15:04:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} als ein Produkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || u p_1^{\nu_1} \cdots p_r^{\nu_r} || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Primelementen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p_i|SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=u|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass dann für den zugehörigen {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptdivisor|f|}} || \nu_1 (p_1) {{plusdots|}} \nu_r (p_r) || || || |SZ= }} gilt, wobei die {{math|term=(p_i)|SZ=}} die von {{math|term=p_i|SZ=}} erzeugten {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def5|}}} |SZ= }} bezeichnen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Hauptdivisor |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igzro653bslexvjo6b3e1e0jlzh48vw 0 126675 767054 666573 2022-08-15T15:02:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\notin|S || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutatives Diagramm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kommutatives Quadrat/ru|R \setminus \{0\} | \operatorname{Eff Div} (R) |R_S \setminus \{0\}| \operatorname{Eff Div} (R_S) |}} vorliegt, wobei die vertikale Abbildung rechts einfach diejenigen Komponenten {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} eines {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Divisors| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=D|SZ=}} vergisst, die nicht zu {{math|term= {{op:Spek|R_S|}} |SZ=}} gehören. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5xyi8717b1prna597viv9tajzjulyr 0 126689 767517 666667 2022-08-15T16:25:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|\N || || || |SZ= }} die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Normen| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 0|SZ=}} in {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=T|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, das von gewissen Primzahlpotenzen {{math|term=p^i|SZ=}} erzeugt wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tcnpvq860bdepd0n49t48rq8k8xxz9c 0 126701 767497 666733 2022-08-15T16:22:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=N | ({{op:Effektive Divisoren|R|}},+) | (\N_+, \cdot) || |SZ= }} festlegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7v1xatkmiz0t5yfbv2pekgasces8g2 0 126703 767496 666902 2022-08-15T16:22:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=N | {{op:Divisorenklassengruppe|R|}} | {{op:Einheiten|\Q|}}_+ / T |SZ= }} definiert, wobei {{math|term=T|SZ=}} die Menge der Beträge von Normen von Elementen {{math|term=\neq 0|SZ=}} aus {{math|term=R|SZ=}} bezeichnet. Zeige{{n Sie}} ferner, dass {{ Ma:Vergleichskette |{{makl| {{op:Einheiten|\Q|}}_+ |}}^d |\subseteq|T || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dfx2b00luuxjskvbgip6qu1eu7b6y0 0 126707 767052 688995 2022-08-15T15:02:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ mathkor|term1= {{idealf|}} |und|term2= {{idealg|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochene Ideale| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definieren, wenn sie als {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gauw9f0uq3tvaze3xobdi4fxbw3c726 0 126714 767515 666969 2022-08-15T16:25:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |{{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette |g |\in|S || || || |SZ=, }} beide nicht {{math|term=0|SZ=,}} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahmen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= R_f |und|term2= S_g |SZ= }} zueinander isomorph sind. |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{idealp|}} |SZ=}} von {{math|term=R|SZ=}} und ein Primideal {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term=S|SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= R_{{idealp|}} |und|term2= S_{{idealq|}} |SZ= }} zueinander isomorph sind. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= Q(R) |und|term2= Q(S) |SZ= }} sind isomorph. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Nenneraufnahme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atteq9bet8z1s99puhcnxgjpb3vzkgm 0 126761 767367 684160 2022-08-15T15:57:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R || \R[X,Y]/ {{makl| X^2+Y^2-1 |}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass alle {{ Definitionslink |Prämath= |Primideale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} der Form {{mathl|term= (X-a,Y-b) |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|\R || || || |SZ= }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorklasse| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} festlegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pu33l4jygxqtjjioibkrfv9kp6uu61i 0 126765 767057 667404 2022-08-15T15:03:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass unter der Korrespondenz {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} zwischen Idealen {{math|term=\neq 0|SZ=}} und Divisoren in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summe| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Idealen dem Minimum von Divisoren entspricht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2=Idealtheorie in Dedekindbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3iddmbii5if8gko30tx0xg9o2i3t870 0 126794 767377 667687 2022-08-15T16:03:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für welche Primzahlen {{math|term=p|SZ=}} das Polynom {{ Ma:Vergleichskette | X^2+3 |\in| {{op:Zmod|p|}}[X] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist bzw. in einfache {{ Definitionslink |Prämath= |Linearfaktoren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zerfällt. Für welche Primzahlen ist {{math|term=\Z_{(p)}[X]/(X^2-3)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j38turo1fayayjargt5uwma9zqe1nlb 0 126811 767542 672591 2022-08-15T16:29:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Untersuche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math/disp|term= \sum_{n=0}^{\infty} {{op:Bruch|4n-9|2n^3-5n^2-6n+2}} |SZ=}} auf {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenz| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ypxab7672gmabvhss9ue5lc9yypntu 0 126814 767303 667870 2022-08-15T15:46:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| \Z[X] || || || |SZ= }} ein Polynom, das in {{math|term=\Q[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass für alle Primzahlen {{math|term=p|SZ=}} bis auf endlich viele Ausnahmen alle Primpolynome in der {{ Definitionslink |Prämath= |Primfaktorzerlegung| |Kontext=Hauptidealbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |F |\in| {{op:Zmod|p|}}[X] || || || |SZ= }} einfach sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5j1bea3uuv4vpb908j5id1xmemvegnp 0 126831 767378 667975 2022-08-15T16:03:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ringerweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\Z|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=S|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p} |SZ=}} normal ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der normalen Integritätsbereiche |Kategorie3=Theorie der endlichen freien Algebren über Z |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j7albcrbdco3jr5snfd8u8pqnzjsno3 0 127008 767061 668722 2022-08-15T15:04:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=Q(R)|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|Q(R) \setminus \{0\} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|R || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |effektiv| |Kontext=Divisor Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqarx2kbertscfvjsneoh50i3q9tnfm 0 127012 767059 668713 2022-08-15T15:04:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=Q(R)|SZ=}} und sei {{math|term=D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |q |\in|R || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= D + {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |effektiv| |Kontext=Divisor Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q0fii9va591m5i663erkiruhw5phop0 0 127028 767056 668778 2022-08-15T15:03:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |effektiven Divisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |inverse gebrochene Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala}}^{-1} || {{Mengebed|q \in Q(R)|q \cdot {{ideala}} \subseteq R }} || || || |SZ= }} gleich dem zu {{math|term=-E|SZ=}} gehörenden gebrochenen Ideal {{mathl|term=\operatorname{Id} (-E) |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sozrfuwbkj2e272eak1etbrtnn2w6qu 0 127029 767420 668782 2022-08-15T16:11:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K[X,Y]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in zwei Variablen und {{ Ma:Vergleichskette |{{idealm|}} || (X,Y) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}} \cdot {{idealm|}}^2 || {{idealm|}} \cdot (X^2,Y^2) || || || |SZ=. }} {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochenen Ideale| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 0|SZ=}} zu diesem Ring keine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikation von Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (noetherscher Integritätsbereich) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in zwei Variablen über einem Körper |Kategorie3=Das Produkt von Idealen (kommutative Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wwezglexlnrvuvois22we8gghkfkmx 0 127034 767043 678350 2022-08-15T14:59:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{idealf|}} |und|term2= {{idealg|}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochene Ideale| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=.}} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf|}} \cdot {{idealg|}} || R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf|}} || {{idealg|}}^{-1} || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rthpqa4ivgefj4tcphnd62ghjr2zcqe 0 127048 767051 668911 2022-08-15T15:01:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass man jedes {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochene Ideal| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealf|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealf|}} || {{ideala|}} \cdot {{idealb|}}^{-1} || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Idealen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{ideala|}} |und|term2= {{idealb|}} |SZ= }} darstellen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcqd7zog0f5xxdm9wxqa9lpgkqz1vyo 0 127087 767055 679255 2022-08-15T15:03:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Zeige{{n Sie}}, dass jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} von maximal zwei Elementen {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie in Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itntro9bs0t4vge22qbtnavxsts5wd6 0 127238 767238 680893 2022-08-15T15:38:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=B|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu einem von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|B[X] || || || |SZ= }} sei {{mathl|term= \operatorname{ord} (P)|SZ=}} die minimale {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Koeffizienten von {{math|term=P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{ord} (P Q) ||\operatorname{ord} (P) + \operatorname{ord} (Q) || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem Dedekindbereich |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcabaqdmqmb400iu1oogt8fgpv2nmxq 0 127263 767373 669967 2022-08-15T15:58:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratfreie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zahl {{math|term=\geq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term=\Z[X]/(X^3-b^2)|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5kqlm9voi2gahrmyh5n7r9g0h3tlxq4 0 127472 767468 670612 2022-08-15T16:18:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| K[X] || || || |SZ= }} ein Polynom. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |{{math|term=P|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt eine Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| L || || || |SZ= }} derart, dass {{math|term=P|SZ=}} über {{math|term=L|SZ=}} in einfache Linearfaktoren zerfällt. |{{math|term=P|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=P'|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=P|SZ=}} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=P'|SZ=}} erzeugen das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sww5gi1v36xebvcjg7kpbbn8xbj60uw 0 127597 767306 672128 2022-08-15T15:47:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f(x) || {{op:Bruch|x^2-3|x+2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | g(y) || {{op:Bruch|y+4|y^2-5}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | h(x) | {{defeq|}} | g(f(x)) || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term=h|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen| |ISZ=|ESZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=h|SZ=}} mit Hilfe von Teil 1. |Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term=h|SZ=}} mit Hilfe der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5eqi22pw9x476re6599grhrz11vwz0h 0 127674 767472 672032 2022-08-15T16:19:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name=f,g,h |\R|\R || |SZ= }} Funktionen. Dabei seien {{ mathkor|term1= g |und|term2= h |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Punkt {{math|term=a|SZ=}} und es gelte {{ Ma:Vergleichskette |g(x) |\leq|f(x) |\leq|h(x) || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=a|SZ=}} stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxkm47bwbtdg4l7rjkm1racm7mbpqii 0 127682 767074 672049 2022-08-15T15:07:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name=f,g,h |\R|\R || |SZ= }} Funktionen. Dabei seien {{ mathkor|term1= g |und|term2= h |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Punkt {{math|term=a|SZ=}} und es gelte {{ Ma:Vergleichskette |g(x) |\leq|f(x) |\leq|h(x) || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|\R || || || |SZ=. }} Ferner sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |g'(a) ||h'(a) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=a|SZ=}} differenzierbar ist, und dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |f'(a) ||g'(a) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgrb4ksggocmas4r88pru9igntsxqx8 0 127782 767469 680216 2022-08-15T16:18:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Taylor-Polynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=3|SZ=}} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|\R |x| {{op:sin|x|}} {{op:cos|x|}} |SZ=, }} im Entwicklungspunkt {{math|term=\pi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58y3otny948wl4xkwm875dfyoa8bwki 0 127810 767536 672533 2022-08-15T16:28:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Definiere{{n Sie}} die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | [-1,1] | \R | x | f(x) |SZ=, }} deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} und Radius {{math|term= 1 |SZ=}} ist. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Taylorpolynom| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tik1odb62u1in1khrbncwxuc0mrqilm 0 127856 767072 672696 2022-08-15T15:07:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R| \R_+ || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Ableitung der Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp |g(x) | {{defeq|}} | {{op:Bruch|f(f(x))| f(x) }} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ee23lm2vou8vz2lxxo9lw2q1a2gj3c5 0 127868 767539 715239 2022-08-15T16:28:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=g,h |\R|\R_+ || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) | {{defeq|}} | {{op:Bruch|g(x)|h(x)^n}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass man die Ableitung von {{math|term=f|SZ=}} als einen Bruch mit {{mathl|term=h^{n+1}(x)|SZ=}} im Nenner schreiben kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqcl357kxwb8o3a24xmbo041m84xdbl 0 127873 767305 672745 2022-08-15T15:47:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | f(x) || {{op:Bruch|x|x+1}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | g(y) || {{op:Bruch|y|y+2}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | h(x) | {{defeq|}} | g(f(x)) || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term=h|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen| |ISZ=|ESZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=h|SZ=}} mit Hilfe von Teil 1. |Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term=h|SZ=}} mit Hilfe der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} apbmtqzll223nk9fn8pp0fy9ni1gr7n 0 127893 767500 672898 2022-08-15T16:23:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|T || || || |SZ= }} ineinander enthaltene {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Primteiler der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} auch ein Teiler der Diskriminante von {{math|term=T|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Diskriminanten (Zahlbereiche) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n96p2hzhcbhlc4104k7adeqrry6u9n5 0 127912 767288 673053 2022-08-15T15:44:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |A ||R[X]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |monogene| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealb|}} || {{op:Annullator|dX|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Annullator| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=dX|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A|R}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kählermodul|A|R}} |\cong| A/ {{idealb|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 364h4qrsqcqcwpd8pz6kwcsh6x9os38 0 127914 767537 680616 2022-08-15T16:28:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|\Z}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Annullator| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{op:Kählermodul|R|\Z}} |SZ=}} von einem Element erzeugt wird, und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines solchen Erzeugers im Betrag mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Zahlbereiches übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3=Theorie der Diskriminanten (Zahlbereiche) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a0e8v5kgcosxcha2ps05ivfoee1r4ws 0 127917 767374 673048 2022-08-15T15:58:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Annullator| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath=R |Moduls| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Annullatoren (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Restklassenringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k8jnwuat08y5lfpyskzokkp3joafesb 0 127919 767509 673051 2022-08-15T16:24:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} gibt, die den {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|\Z}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |annulliert| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owyzjkfiwjilqxg4eolk698d0g52esm 0 127974 767467 673552 2022-08-15T16:18:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separable Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K[X] |\subseteq|L[X] || || || |SZ= }} die zugehörige endliche Erweiterung der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen. Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Kählermodul|L[X]|K[X]}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p2c42n23nrq4g6gioposypnlnpdvew8 0 127976 767466 673553 2022-08-15T16:18:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separable Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K[X] |\subseteq|L[X] || || || |SZ= }} die zugehörige endliche Erweiterung der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen. Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|fundamentale Gleichung|Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Fall. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie der endlichen separablen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ffc5o7r49cvijq1m8ngu797ppiak50d 0 127991 767376 673651 2022-08-15T16:03:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Erweiterung| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} und {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein Primideal von {{math|term=S|SZ=}} über {{math|term={{idealp}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |\subseteq |{{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} || || || |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restekörper (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie3=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5hbl7rbj10cfkqi7azivmv0pgbqownc 0 128056 767318 674194 2022-08-15T15:49:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S ||R^G || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|S || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikatives System| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Operation von {{math|term=G|SZ=}} auf {{mathl|term=R_T|SZ=}} gibt, und dass der zugehörige Invariantenring gleich {{math|term=S_T|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fc9j0s5d3nifnpamah66gigroyibvco 0 128057 767319 674195 2022-08-15T15:49:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S ||R^G || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spek|S|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Operation von {{math|term=G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{makl| R/ {{idealp|}}R |}}_{S \setminus {{idealp|}} }|SZ=}} gibt. Zeige{{n Sie}}, dass der zugehörige Invariantenring den {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} ||}} |SZ=}} enthält. Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass dabei der Restekörper echt kleiner sein kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0jly9jwvkeqaaoztsgxs4awcedvl07 0 128058 767320 674193 2022-08-15T15:49:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |S ||R^G || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=G|SZ=}} in natürlicher Weise auch auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R[X]|SZ=}} operiert, und dass der zugehörige Invariantenring gleich {{mathl|term=S[X]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bcpvy4jp0i1i95rsu1eps1gg7cinrkk 0 128061 767317 674192 2022-08-15T15:49:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || \prod_{\sigma \in G} (X- f\sigma ) |\in| R[X] || || |SZ= }} unter der natürlichen Operation von {{math|term=G|SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über einem kommutativen Ring |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} di719wvy5vbxzq00m57wvarjpawbbsu 0 128129 767048 674586 2022-08-15T15:01:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und sei {{math|term=S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} in {{math|term=L|SZ=.}} Interpretiere{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Satz über die Galoiskorrespondenz|Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |normalen| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zwischenringe zwischen {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ=. }} Welche Gruppen wirken auf diesen Ringen und wie sehen die {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenringe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 88n0bhrypjk9628r2f31iwm2r6ghlmt 0 128137 767045 674623 2022-08-15T15:00:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K ||Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Es sei {{math|term=S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} in {{math|term=L|SZ=,}} sei {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\{ {{idealq}}_1 {{kommadots}} {{idealq}}_k \} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es einen natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |G| {{op:Permutationsgruppe|{{idealq|}}_1 {{kommadots|}} {{idealq|}}_k|}} || |SZ= }} gibt, und dass dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{mathl|term=\bigcap_{j {{=}} 1}^k {{op:Zerlegungsgruppe|G| {{idealq|}}_j }} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjgn8mqj42omufv232kbci98w5cutez 0 128159 767524 679305 2022-08-15T16:26:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Z |\subseteq| R || \Z[X]/ {{makl|X^3-3X+1 |}} || || || |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigungsort| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} ferner die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie (Differentiale) für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} le2q8v5ljdstg5b8umidd4az2i0mb1f 0 128312 767514 675741 2022-08-15T16:25:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ mathbed|term= f \in R ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} mit der Eigenschaft gibt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |faktoriell| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6mgkfmfxw6d5lj3c1o8d2xz14t81m64 0 128314 767507 675747 2022-08-15T16:24:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{ideala|}} |\neq|0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |m |\in|\N || || || |SZ= }} derart gibt, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |inverse Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}}^{-1} |SZ=}} zu {{mathl|term={{ideala}}^m|SZ=}} äquivalent ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8114qawddaa3ibioa88116g8al9gcw 0 128348 767535 679316 2022-08-15T16:28:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} sämtliche {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der {{ Definitionslink |Prämath= |Grundmasche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gitters| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Gamma_R|SZ=}} gleich {{math|term=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sk2gany1rvg5pu0rzxnyprg068fixc 0 128357 767154 676005 2022-08-15T15:20:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=1, {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} von {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Ganzheitsmatrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den Flächeninhalt der {{ Definitionslink |Prämath= |Grundmasche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gitters| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Gittertheorie für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nu2a3um99ejuovv674qdbp2cmddsecm 0 128363 767351 676080 2022-08-15T15:54:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R_n || \Z[X] /{{makl| {{op:Kreisteilungspolynom|n|}} |}} || || || |SZ= }} der {{math|term=n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{math|term=n|SZ=}} nicht teile. Es sei {{math|term=f|SZ=}} die multiplikative {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=p|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|n|}} |}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=p^r|SZ=}} genau dann die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Ideals| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R_n|SZ=}} ist, wenn {{math|term=r|SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term=f|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ps227rka44v5iwhs3kcpczblqedyghi 0 128411 767380 676311 2022-08-15T16:04:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term=H|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Galoisgruppe|\Q|K}} | \operatorname{Aut} ( {{op:Einheitswurzelgruppe||K|}} ) |\sigma| (\zeta \mapsto \sigma (\zeta) ) |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlkörper/Galoissch/Wirkung auf Einheitswurzeln/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |K^H || K_n || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=n|SZ=}} die Anzahl der Einheitswurzeln in {{math|term=K|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2=Galoistheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3f8bgf6e55khq0g6y4k1pka0yz86dvn 0 128431 767313 715977 2022-08-15T15:48:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} in der Tat eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0oxu4nk1w4lxf6fhng10ons7aoa5wb 0 128433 767314 715988 2022-08-15T15:48:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|G || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=G/T|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |torsionsfrei| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1camd89k4o32tgc91qpq6sargd7v396 0 128434 767316 715989 2022-08-15T15:49:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=kommutativ| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln in einem kommutativen Ring |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer kommutativen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pv0r6i61ofpsafc47nwnrub4azyrln 0 128444 767046 676475 2022-08-15T15:00:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |Q(R) |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} in {{math|term=L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{op:Galoisgruppe|K|L}}|SZ=}} in natürlicher Weise auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorengruppe| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Divisorengruppe|S|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1w49jk7ouge83ct51op0n7wjzp5bytb 0 128447 767047 676479 2022-08-15T15:00:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |Q(R) |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} in {{math|term=L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{op:Galoisgruppe|K|L}}|SZ=}} in natürlicher Weise auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Divisorenklassengruppe|S|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kck64ignoz9uytbjj6k8cpbnwt0snk4 0 128450 767050 676488 2022-08-15T15:01:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K ||Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Es sei {{math|term=S|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} in {{math|term=L|SZ=,}} sei {{math|term= {{idealp|}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\{ {{idealq}}_1 {{kommadots}} {{idealq}}_k \} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sum_{j {{=}} 1}^k {{idealq}}_j |SZ=}} unter der natürlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Galoisgruppe auf der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorengruppe| |Kontext=Dedekindbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |invariant| |Kontext=Fixpunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14l3r9sbiptskgplyfnjy1t2f0owbt0 0 128456 767501 679317 2022-08-15T16:23:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Q |\subseteq| K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass für die Anzahl {{math|term=r|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |r ||0 || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette |r ||n || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0fp7d1kq6p96lg2yrdqlkdv5nc77n0 0 128466 767526 717441 2022-08-15T16:27:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Q/\Z|SZ=}} unendlich ist und jedes Element eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die rationalen Zahlen als additive Gruppe |Kategorie2=Ordnung (Gruppentheorie) |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e816hbn1yheb2ykxg81d8ve7e3gghwd 0 128469 767502 676936 2022-08-15T16:23:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |abelschen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} und es sei {{math|term=S|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|G || || || |SZ= }} eine Untergruppe mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H ||G/N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |R ||S^N |\subseteq|K ||L^N || |SZ=. }} Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine Primzahl und {{math|term= {{idealq}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |unverzweigtes| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} oberhalb von {{math|term=(p)|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | {{idealp|}} || {{idealq}} \cap R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung des kommutativen Diagrammes {{kommutatives Quadrat/ru| {{op:Zerlegungsgruppe|G| {{idealq|}} }} | {{op:Galoisgruppe| {{op:Zmod|p|}} | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} |}} | {{op:Zerlegungsgruppe|H| {{idealp|}} }} | {{op:Galoisgruppe| {{op:Zmod|p|}} | {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |}} |SZ=}} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Kette/Zerlegungsgruppen/Galoisgruppen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Artinsymbol| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{op:Artinsymbol|\Q|L|p|}}|SZ=}} auf das Artinsymbol {{math|term={{op:Artinsymbol|\Q|K|p|}}|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o9avax4jqvjg5c7pgmaz04otwjn0du8 0 128470 767044 676939 2022-08-15T14:59:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K ||Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=.}} Es sei {{math|term=T|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |ganze Abschluss| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} in {{math|term=M|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|G || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Normalteiler| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |H ||G/N || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |S ||T^N || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |L ||M^N || || || |SZ= }} der zugehörige Zwischenring bzw. Zwischenkörper, auf dem {{math|term=H|SZ=}} galoissch operiert mit Fixring {{math|term=R|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{idealr|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=T|SZ=}} über {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} in {{math|term=S|SZ=}} und {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein kommutatives Diagramm {{kommutatives Quadrat/ru| {{op:Zerlegungsgruppe|G| {{idealr|}} }} | {{op:Galoisgruppe| {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | {{op:Restekörper| {{idealr|}} |}} |}} | {{op:Zerlegungsgruppe|H| {{idealq|}} }} | {{op:Galoisgruppe| {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} |}} |SZ=}} von {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, wobei die horizontalen Abbildungen von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} herrühren {{ Zusatz/Klammer |text=alle Erweiterungen der Restekörper seien {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die linke Abbildung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Turm/Zerlegungsgruppe auf Zerlegungsgruppe/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} herrührt und die rechte vertikale Abbildung durch die Körperkette {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |\subseteq| {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} |\subseteq| {{op:Restekörper| {{idealr|}} |}} || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tun5j01b0ayx7qdnlpjv3cxa9gugzgx 0 128511 767506 677233 2022-08-15T16:24:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=}} und sei {{math|term=R|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=}} die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Rang| {{op:Einheiten|R|}}|}} |\leq|d-1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Rang| {{op:Einheiten|R|}}|}} |\geq| \begin{cases} {{op:Bruch|d|2}} -1, \text{ bei } d \text{ gerade} , \\ {{op:Bruch|d-1|2}}, \text{ bei } d \text{ ungerade} , \end{cases} || || || |SZ= }} gelten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ektishvce65na4w444cwnstqiuf1qj0 0 128521 767534 677387 2022-08-15T16:28:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\Z[\sqrt{5}]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term=\{1,-1\} \times \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie2=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cx8lz6y56ipxac311ersdkt9uak73i3 0 128534 767508 677537 2022-08-15T16:24:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ohne {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Einbettung| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines jeden Elementes {{ mathbed|term= x \in R ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} positiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Elementen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ado60amcz0v90g6icy577dnj9mnry2g 0 128539 767315 677548 2022-08-15T15:48:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |G|H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass dies einen Homomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Torsionsuntergruppe|G|}} | {{op:Torsionsuntergruppe|H|}} || |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einen Homomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |G/ {{op:Torsionsuntergruppe|G|}} | H/{{op:Torsionsuntergruppe|H|}} || |SZ= }} derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Rechteck/25/ru|0| {{op:Torsionsuntergruppe|G|}} | G| G/ {{op:Torsionsuntergruppe|G|}} | 0|0|{{op:Torsionsuntergruppe|H|}} | H| H/ {{op:Torsionsuntergruppe|H|}} |0 }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |exakten| |Kontext=Komplex| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Zeilen ergibt. |Sei {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen. |Sei {{math|term= \varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hxifaiflt2rfo5ozgccftkgp43yb3ta 0 128546 767419 677558 2022-08-15T16:11:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen {{math|term=F|SZ=}} vom Grad {{math|term=4|SZ=}} mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei {{math|term=R|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K ||\Q[X]/(F) || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=.}} {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=a) |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Courbe quatrième degré 04|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=b) |Autor= |Benutzer=Lydienoria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Courbe quatrième degré 10|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=c) |Autor= |Benutzer=Lydienoria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q3l06e2xzg68qmyx5snu34qz3rgpxqk 0 128547 767366 677569 2022-08-15T15:57:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf den von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenen {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|\R|}} |SZ=}} die folgende Menge von vier Abbildungen. {{ Ma:Vergleichskette/disp |G ||\{ \text{Identität}\, , \text{Negation} \, , \text{Invertierung} ,\, \text{Negation des Inversen} \} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe? |Die Gruppe {{math|term=G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in natürlicher Weise auf {{math|term= {{op:Einheiten|\R|}} |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es {{ Definitionslink |Prämath= |Fixpunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Bestimme{{n Sie}} ein übersichtliches {{ Definitionslink |Prämath= |Repräsentantensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Operation aus (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Anordnung der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Gruppen |Kategorie3=Theorie der Gruppenoperationen |Objektkategorie=Die Kleinsche Vierergruppe |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dbnoo3818r6jmndz8u9auw65iu4d30f 0 128555 767518 679330 2022-08-15T16:25:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=r|SZ=}} reellen Einbettungen und {{math|term=s|SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen und es sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots}} u_{r+s-1} |SZ=}} ein System von {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} Es sei {{math|term=\Lambda |SZ=}} das von {{mathl|term= L(u_1) {{kommadots|}} L(u_{r+s-1}) |SZ=}} im Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |H || {{Mengebed|(v_1 {{kommadots|}} v_{r+s})| \sum_{j {{=}} 1}^{r+s} v_j {{=}} 0 }} |\subset| \R^{r+s} || || || |SZ= }} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwischen dem {{ Definitionslink |Prämath= |Regulator| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und dem Volumen einer {{ Definitionslink |Prämath= |Grundmasche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\mathfrak M |SZ=}} von {{math|term=\Lambda|SZ=}} der Zusammenhang {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sqrt{r+s} \cdot {{op:Regulator|R|}} || \operatorname{vol} {{makl| \mathfrak M |}} || || || |SZ= }} besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Regulators eines Zahlbereiches |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pt8032zt2jkeaqcyri8x5167yk9afv4 0 128568 767520 679326 2022-08-15T16:26:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereiche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb |name=\varphi |R|S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |u |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} / {{op:Einheitswurzelgruppe||R}} |SZ=}} keinerlei Wurzel besitze {{ Zusatz/Klammer |text=dazu ist äquivalent, dass {{math|term=u|SZ=}} Teil eines Systems von {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|S || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |u ||v^n || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=n|SZ=}} ein Teiler von {{math|term=d|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pnr8rw65eyirytxxtu6i6cm44vapnll 0 128577 767299 677873 2022-08-15T15:46:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe der {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || \Z[Y] / {{makl| Y^4-Y^3-4Y^2+4Y+1 |}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |verzweigt| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und für {{ Ma:Vergleichskette |p ||3,5 || || || |SZ= }} verzweigt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfzehnte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5eqg1pc7rks858rwb29j2qfyenq9co4 0 128579 767368 677875 2022-08-15T15:57:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit Hilfe der {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |p ||2,5 || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |verzweigt| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und für {{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} verzweigt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der neunte Kreisteilungsring |Objektkategorie2=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s2rwc51ndjj16as6vgfwu7zsbws0x0p 0 128581 767512 677886 2022-08-15T16:24:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|R_f|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11k4lh2u6zsgm08g8mwakiu6dbua0ep 0 128582 767513 677896 2022-08-15T16:25:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=r|SZ=}} reellen und {{math|term=s|SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ=, }} ein Element mit der Primidealzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f) || {{idealp|}}_1^{r_1} \cdots {{idealp|}}_k^{r_k} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|R_f|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Einheitswurzelgruppe||R}} \times \Z^{r+s+k-1} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie2=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3lbuncxr5hiwpv1c3vn9vecrpj2d0sg 0 128598 767521 678410 2022-08-15T16:26:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrum| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereiches| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=X|SZ=}} von der Form {{math|term=D(f)|SZ=}} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ctfcn2cvfkmzhl9oyoce78l3h1atxq2 0 128599 767379 719564 2022-08-15T16:03:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} und sei {{math|term=R|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=r|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=s|SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige{{n Sie}}, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe {{math|term= \Z^{r+s-1}|SZ=}} durch {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Automorphismen| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wirkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0s6f7uau7w5sab8z8dmsimr6ie7hvue 0 128605 767547 677977 2022-08-15T16:30:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reell-quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Konjugation| |Kontext=quadratischer Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Einheiten|R|}} / \{ \pm 1\} |\cong| \Z || || || |SZ= }} als Negation wirkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sjnx1vy3x2ez73syj59h399ojr9f0k8 0 128648 767545 680623 2022-08-15T16:29:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmische Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|R|}} | {{op:Kählermodul|R|\Z}} |f| {{op:Bruch|df|f}} |SZ=, }} für {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[\sqrt{2}] || || || |SZ= }} mit Hilfe einer {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Bildes einer Fundamentaleinheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7hlua9aimjxgnhiy4kt1lzi18csro1k 0 128649 767546 680619 2022-08-15T16:29:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmische Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheiten|R|}} | {{op:Kählermodul|R|\Z}} |f| {{op:Bruch|df|f}} |SZ=, }} für {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[\sqrt{7}] || || || |SZ= }} mit Hilfe einer {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Bildes einer Fundamentaleinheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(7)) |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxdpyy601iehkl7db67w0mf7cw6h416 0 128672 767498 678354 2022-08-15T16:23:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |r | \geq |1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Einbettungen| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=s|SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Es gelte {{ Ma:Vergleichskette |r+s |\geq|3 || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|\R || || || |SZ= }} eine fixierte reelle Einbettung. Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |\delta |>|0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |u |\in|R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |1 |<|u |\leq|1+ \delta || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4c84i5twx1o1kn880hdneqssniesy2b 0 128677 767505 678392 2022-08-15T16:23:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zugehörigem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Jedes System von {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |Algebraerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} über {{math|term=\Z|SZ=.}} |Für jeden Zahlbereich {{ Ma:Vergleichskette |S |\subset|R || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|S|}} |SZ=}} echt kleiner als der Rang von {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=.}} |Die Wirkung der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Einheiten|R|}}/ {{op:Einheitswurzelgruppe||R}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbmrme8e3gjlgc570z15vvp0hfu2oh0 0 128680 767504 678391 2022-08-15T16:23:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit zugehörigem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden ein {{ Definitionslink |Prämath= |Algebraerzeugendensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=}} über {{math|term=\Z|SZ=.}} |Für jeden Zahlbereich {{ Ma:Vergleichskette |S |\subset|R || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|S|}} |SZ=}} eine echte Teilmenge von {{math|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=.}} |Die Wirkung der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Einheiten|R|}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmvqvutv7xtb4xogskx7gp2gdhvp4n5 0 128693 767361 678543 2022-08-15T15:56:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^3+2X-1 |\in|\Z[X] || || |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} in {{math|term=\Q[X]|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugen. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} explizit eine Darstellung der {{math|term=1|SZ=}} an. |Zeige{{n Sie}}, dass das von {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} erzeugte Ideal in {{math|term=\Z[X]|SZ=}} eine minimale positive ganze Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |>|0 || || || |SZ= }} enthält. |Bestimme{{n Sie}}, für welche {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X]/ {{makl| X^3+2X-1 |}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |reduziert| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} für diejenigen Primzahlen {{math|term=p|SZ=,}} für die der Faserring nicht reduziert ist, die Primfaktorzerlegung von {{math|term=X^3+2X-1|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X] |SZ=.}} |Ist {{ Ma:Vergleichskette |R || \Z[X]/ {{makl| X^3+2X-1 |}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Faserringe zu Zahlbereichen |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3+2X-1 |Stichwort= |Punkte=12 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |p5=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8yawmkrfyymaabn6wmnu4ns8xxwtmhf 0 128698 767152 678548 2022-08-15T15:19:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der reellen und der {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Einbettungen| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette/disp |K || \Q[X]/ {{makl| X^3+2X-1 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3+2X-1 |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0qrr30suf22tfzu97nwnmrjohzcvael 0 128702 767153 719565 2022-08-15T15:20:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| \Z[X] || || || |SZ= }} ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad {{math|term=d|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |K || \Q[X]/(P) || || || |SZ=. }} Woran erkennt man am {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=P|SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von {{math|term=K|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie2=Theorie der endlichen Körpererweiterungen von Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4uxzohb2bs8bw1k0y6jt669j0q5ck2u 0 128766 767372 679138 2022-08-15T15:58:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Z |\subseteq|R || \Z[X] {{makl| X^n-a |}} || || |SZ= }} eine reine Wurzelerweiterung von {{math|term=\Z|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kählermodul|R|\Z}} |SZ=}} durch {{math|term=an|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |annulliert| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nad8hipco7kd80as91dpi5d1357xvzc 0 128775 767035 679213 2022-08-15T14:56:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ideals {{math|term=(X^2+1)|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^4+1 |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der achte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdw8s1nb8pkumu66vxhbizcthj27ay8 0 128777 767499 679216 2022-08-15T16:23:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ideals {{math|term=(X^2+7)|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^3- 2 |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Zahlbereich zur dritten Wurzel aus 2 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jwxa7f5jnoe7wp2c4v5mb906ujp1d55 0 128802 767511 679403 2022-08-15T16:24:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit ausschließlich {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=L|SZ=}} besitze keine reelle Einbettung. Zeige{{n Sie}}, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Rechteck/23/ru| {{op:Einheiten|K|}} | {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r |\R^r| {{op:Einheiten|L|}} | {{makl| {{op:Einheiten|{{CC|}}|}} |}} ^r |\R^r|abb12= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} |abb45= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} |abb23= {{op:ln| {{op:Betrag|-|}} |}}|abb56= 2 {{op:ln| {{op:Betrag|-|}} |}}|abb36= \cdot 2}} existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmischen Gesamtabbildungen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odlthwvgieggqx5nmt4zgkmqnf2o54v 0 128821 767267 679495 2022-08-15T15:41:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} eine Erweiterung von {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ringen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \operatorname{Aut}_R \,(S) |SZ=}} in natürlicher Weise auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Kählermodul|S|R}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=R |linear| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2=Theorie der K-Algebra-Automorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie3=Invariantentheorie (Algebra) |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} efex4vbjn21admytu2k8bzirpesg0p7 0 128833 767349 680494 2022-08-15T15:54:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K_5|SZ=}} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=R_5|SZ=}} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=3 \times 3 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|\Q|K_5}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3pxmqrm67975k6b2hc9nt9t8gtra1eg 0 128835 767350 680501 2022-08-15T15:54:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K_7|SZ=}} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=R_7|SZ=}} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=5 \times 5 |Matrizen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die die {{ Definitionslink |Prämath= |Operation| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Galoisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Galoisgruppe|\Q|K_7}} |SZ=}} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschreiben. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der siebte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} repxs1o34tgfziir3z8n096y26ui59q 0 128858 767352 680502 2022-08-15T15:55:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=R_p|SZ=}} der {{math|term=p|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch die {{ Definitionslink |Prämath= |logarithmische Ableitung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Einheitswurzelgruppe||R_p}} | {{op:Kählermodul|R_p |\Z }} || |SZ= }} gegeben ist, dessen {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term=\{ \pm 1\}|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnf8c9huh8kgbh49odmuws3s9b192nu 0 128916 767308 680636 2022-08-15T15:47:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Ring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R|Algebra| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |universellen Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |A| {{op:Kählermodul|R|A}} |f| df |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Unteralgebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=A|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qicd0vh0rquqwbariuk2r2jc5p2eoja 0 128931 767353 681602 2022-08-15T15:55:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=R_p|SZ=}} der {{math|term=p|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |universellen Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=d |R_p| {{op:Kählermodul|R_p|\Z|}} |f|df |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34xtfdzllolr2asps6hfuwif3ll37r4 0 128932 767523 681603 2022-08-15T16:26:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|R || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |universellen Derivation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=d |R| {{op:Kählermodul|R|\Z|}} |f|df |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} gleich {{math|term=Q(R)|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3pxcc68kk49ewduu2ffx90si31ome42 0 128943 767634 766595 2022-08-16T06:54:07Z Jeb 26942 /* 16. August */ Datenpflege wikitext text/x-wiki Dienstags, meist ab 8:30: https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam 2022 == 16. August == [[Datei:FactGrid-Logo.png|mini|FactGrid-Logo]] Rezepte * Idee: Rezeptesammlung der ''Gartenlaube'' latent i.V.m. FoodStudio @ SLUBdresden. Wir erschließen die Rezepte ohnehin alle, mit wenig Zusatzaufwand Abfragen, Analysen und Visualisierungen ermöglichen : Datenmodell? Genre [[d:Property:P136]]=Rezept ist umstritten, besser ''instance of'' [[d:Property:P31]]=Rezept? : Schlagworte ''main subject'': ggf. Speisename, Hauptzutat*en, ggf. Regional, ggf. wesentliches Küchengerät ? * Idee von ChristianE: FactGrid für Rezeptdetails, https://database.factgrid.de/wiki/Special:WhatLinksHere/Item:Q393545, vgl. [[c:Category:FactGrid]] : Datenmodell von Olaf Simons in ''Young chicken with almond farce between skin and flesh'' [https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436785 (Q436785)], Amaranthes Frauenzimmer-Lexicon (1715), Spalte 899-900, https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436785 : https://database.factgrid.de/wiki/FactGrid:Die_Gartenlaube (https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436784) + https://database.factgrid.de/wiki/Item:Q436809 (Datenlaube) * Dokumentation im Blog https://diedatenlaube.github.io/ und/oder Hypotheses gelegentlich Kleine Edition (in Arbeit) * Jens: ''Katechismus des Radfahrsportes: Ein Gang durch die radsportliche Litteratur, 1897'', https://nfg.hypotheses.org/2886 Datenpflege mangels Gästen * [[d:Q113531282#P1343]], ''Ausstellung von Erzeugnissen für Kinderpflege, Ernährung und Erziehung'', 15. Mai 1895 == 9. August == [[File:Paul Rachel Altdresdner Familienleben.pdf|page=1|mini|Fanfare For The Common(s) Man: Paul Rachel [https://www.youtube.com/watch?v=c2zurZig4L8]]] * Gast: Jenny (Universitäts- und Landesbibliothek Tirol in Innsbruck) * neu in den Commons: [[c:File:Paul Rachel Altdresdner Familienleben.pdf]], 1915 Leipzig {{wikisource|Ein Denkmal praktischen Gemeinsinnes|''Ein Denkmal praktischen Gemeinsinnes'', Die Gartenlaube, 1866}} {{wikisource|Leipzig|überhaupt: ''Leipzig'' @Wikisource!}} {{wikisource|Kleine Bilder aus der Gegenwart/Zwei unpolitische „Kongresse“|Kleine Bilder aus der Gegenwart: Zwei unpolitische „Kongresse“}} Kleine Editionen * Saxorum: ''[https://saxorum.hypotheses.org/7842 Sächsische Dorfzeitung, 05. August 1897. – „Aufruf.“]'', Tag dort: [https://saxorum.hypotheses.org/tag/kleine-editionen Kleine Editionen] * netzwerk fahrrad|geschichte, Tag: https://nfg.hypotheses.org/tag/kleine-editionen * Idee: beispielhaft kleine Editionen für Mikrofilme (Handschriften, ...) inkl. damit teils detailierte*re Erschließung (in K10+ und Wikidata) == 2. August == [[Datei:XY Logo.jpg|mini|Cold-Case]] * Wer hat Valten Hackschauer [[d:Q113355111]] gesehen? Beschreibung: ziemlich lang, hager, bleiches Angesicht, schlechte schwarze Haare, bekleidet mit einem grauen Rock * Artikel Dresdner Geschichtsblätter ohne K10plus-Verbundkatalogeintrag: https://w.wiki/5X4V Projektbericht: ? Twitter: #FragenGibtEsÜberall feat. #QuellenGibtEsÜberall ''[[w:Edel-Pflaume|Kloden]]'' (hier aber nicht) in Sachsen: {{wikisource|Die Obstkammer Berlins|Die Obstkammer Berlins, 1874}} {{wikisource|Die Obstkammer Berlins (Die Gartenlaube 1894/41)|Die Obstkammer Berlins, 1894}} {{wikisource|MKL1888:Obstgarten}} [[Datei:WD10 - Wikidata 10 logo - black text colored icon.png|mini|WD10 - Wikidata 10 logo - black text colored icon]] Call for Participation: [[vBIB]] > [[VBIB/vBiB22|#vBiB22]], https://www.vbib.net/callforparticipation/ bis 2. September * vgl. 2021 [[VBIB21/DatenlaubeCon|DatenlaubeCon]], Leitmotiv: ''Digitale Perspektiven'', Oberthemen: ''Wandel'', ''Zukunft'' und ''Nachhaltigkeit'', JB: ''Kleine Editionen für Digital Humanities mit Hypotheses.org und Wikisource – und mit Wikiversity?'', eingereicht 10 * [[c:Category:Wikidata's 10th birthday logo]] Bibliothek * ''[https://nfg.hypotheses.org/2814 Sächsische Radfahrer-Zeitung: Weltrunde, 8. Juli 1899]'', S. 274–276 == 26. Juli == [[File:Leonard Nimoy Spock 1966.JPG|mini|hochkant|Faszinierend...sicher nicht nur für ihn...]] * [[C:Category:Bildnisse hervorragender Dresdner aus fünf Jahrhunderten (1908)]] * Christoph: Bürgersoldaten Heft 30 zu 80% fertig * Kriegsgräber: Potential bei Abgleich zwischen verschiedenen Datenquellen (Wikidata, https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof, andere Listen....) * Jens: https://twitter.com/POPinvention und http://www.politicsofpatents.org/ * Tobias: Projekt für https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof (gemeinsam mit Christian Erlinger), evtl. Mix'n'match * Matthias: [[File:Noto_Emoji_KitKat_1f36f.svg|20px]] https://twitter.com/DDHefte/status/1551622116369473537 -> LOST-Projekt zu Ancestry, [https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/343996/43 Totengedenkbuch], GLAM Maynooth * [[c:Category:Wikimedia+Libraries International Convention 2022]] == 19. Juli == [[Datei:Otto Richter Geschichte der Stadt Dresden Teil 1 Mittelalter.djvu|page=6|mini|WS-Stand proudly presents: OOOOtttoooo Riiichteeer hätte [[w:de:Michael Buffer|'''er''']] so angesagt.:)]] [[Datei:Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|mini|Wikimedia+Libraries Meetup 2022]] Hands on: *Wie kann ich im Stadtwiki ein Bild einbinden? *Wie kann ich Links erzeugen?/Verlinkung zu Wikidata und Wikisource? [[flickrphoto:5982831568|test]] [[flickruser:milanboers|milanboers]] *Wie kann ich bei Wikidata die Zeiträume der Hefte erfassen? *Welche Hefte sind bei Wikidata noch zu erfassen, weil sie da noch nicht dabei sind? [https://w.wiki/5UMw Query "Fehlender Editor"] Einladung geschickt an den Dresdner Fechtclub, der seine Geschichte im Stadtwiki dokumentieren möchte und ebenfalls viele Bilder hat, die es einzupflegen gilt DienstagsDamen: * Stand der Nachforschungen zu [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Hanna_Kr%C3%BCger Hanna Krüger] Dresdner Geschichtsblätter * Die Dresdner Kirchenbücher [[d:Q113121076|Q113121076]], AW verzeichnet die gleichnamige Geschichtsblätterrubrik in Wikidata ggf. mit Verweis auf die Digitalisate. Frisch vom WS-Stand-Scanner: * Otto Richter: ''Geschichte der Stadt Dresden. Erster Theil: Dresden im Mittelalter.'' Dresden 1900, Baensch Bibliothek * Vergangene Woche: [[s:Max Eyth]], Franz Dotzauer [[d:Q111461862#P1343]], Palace Cinema Maastricht [[d:Q38238095]], ... * Sharon Mizota: ''[https://medium.com/metadata-learning-unlearning/words-matter-reconciling-museum-metadata-with-wikidata-61a75898bffb Words Matter: Reconciling museum metadata with Wikidata]'', 14. Juli 2022, medium.com * Jens Bemme: ''Kleine Editionen für Digital Humanities'', in: Public Humanities, 15. Juli 2022, https://publicdh.hypotheses.org/476 * Dominik Waßenhoven: ''Mit Wikipedia lehren: Ein Erfahrungsbericht'', 15. Juli 2022, https://gwd.hypotheses.org/540 == 12. Juli == [[Datei:LABA Kiep it real.jpg|mini|LABA Kiep it real]] Off topic: Der Fall "Monika", https://laba.de/der-fall-monika-krawcec/, Twitter: #LandeskundlicheProduktentwicklung, über: Urheberrecht, Persönlichkeitsrecht, Kunstfreiheit & LABA in Görlitz {{wikisource|Aus den Gedanken und Erinnerungen|Aus den „Gedanken und Erinnerungen“ von Otto Fürst von Bismarck, 1898}} * Was ist eine [[w:Digitale Edition]]? Gast: [[Benutzer:SchallenderRauch]], vgl. [[s:Zeitschrift für Sozialforschung]], [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] und Ausblick auf nächsten Dienstag * Hands on: editieren, fragen, editieren, ... == 8. Juli: #LNdWDD == [[Datei:Wikiversitätsstadt.png|mini|Wikiversitätsstadt Dresden]] Wir werden am Freitagabend voraussichtlich 21:00 und 22:00 für jeweils eine halbe Stunde(+) auf '''[https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam]''' gemeinsam an Projekten des Dresdner Geschichtsvereins und des Citizen Science-Projekts ''[[DieDatenlaube]]'' arbeiten, zeigen, erklären und ''hacken''. Themenwünsche sind willkommen. Spezifischen Beratungsbedarf ggf. mit Wunschuhrzeit bitte hier auf der [[Diskussion:DieDatenlaube/Notizen]]-Seite notieren. * Items zu [[d:Q112939692|Langen Nacht der Wissenschaften]] [[:Kategorie:Dresden|Dresden]]: z.B. [[d:Special:WhatLinksHere/Q31837129|DRESDEN-concept]] Karte: [https://w.wiki/5R6i https://w.wiki/5R6i] Dresden * {{wikisource|Dresden}} * {{wikisource|Sachsen}} * {{wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} :: {{wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} :: {{wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens}} :: {{wikisource|Dresdner Hefte}} :::* [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] :::* Bitte beim Korrigieren helfen: [[s:Index:Heft03VereinGeschichteDresden1880.pdf]], z.B. gelbe Seiten prüfen, korrigieren und speichern! * Totenschau: Wer ist wo begraben (ohne Bild der Grabstelle auf commons)? ** Alter Annenfriedhof: https://w.wiki/5QyY ** Trinitatisfriedhof: https://w.wiki/5Qya ** Johannisfriedhof: https://w.wiki/5Qyc ** ... Die Gartenlaube, https://diedatenlaube.github.io/ [[Datei:Die Gartenlaube (1896) b 0191.jpg|mini|''In einer Amalfitaner Maccaronifabrik'', in: ''[[s:An der Küste von Amalfi|An der Küste von Amalfi]]'', Die Gartenlaube, 1896]] * z.B. [[s:Die Gartenlaube (1898)]] oder ein anderer Jahrgang: [[s:Die_Gartenlaube#Sachregister_1853–1867]] oder einzelne Artikel: * {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} * {{wikisource|Ein Mondglobus für Schule und Haus}} * {{wikisource|Milchmarkt am Singel zu Amsterdam}} * {{wikisource|Verhütung der Nervosität}} * {{wikisource|Gebirgsbach}} * {{wikisource|Der Krieg um Cuba}} * {{wikisource|Die Bronze in der plastischen Kunst}} * {{wikisource|Der Straßenkampf in Frankfurt a. M. vor fünfzig Jahren}} * {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} * {{wikisource|Eine teure Fahrt durch den Suezkanal}} * {{wikisource|Die Ausstellung nationaler Frauenarbeiten im Haag}} * {{wikisource|Ein neues Verfahren zum Konservieren der Eier}} * {{wikisource|Die Wildkatze}} * {{wikisource|Die größten und kleinsten Goldmünzen}} * {{wikisource|Von der II. Münchener Kraft- und Arbeitsmaschinenausstellung}} * {{wikisource|Erdbeeren}} * ... <gallery> Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Geschichtsverein Stadtwiki Dresden] Wikidata_Dresdner_Hefte.jpg|[[s:Dresdner Hefte]] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Geschichtsverein]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|mini|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) </gallery> == 5. Juli == [[Datei:Radfahrerinnenwissen Dresdner Heft 150.png|mini|Kauft! [https://www.dresdner-geschichtsverein.de/ Radfahrerinnenwissen] oder so [[s:Ein neues Kriegsfahrrad]]]] * Unser [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Artikel]] ist nun eingereicht. * Andreas und Jens sprechen am 3. September in [[w:de:Oelsnitz/Vogtl.|Oelsnitz/Vogtl.]]: [[Kurs:Wikiversum für Ortschronisten (2022)]] * Außerdem wächst [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * rund ums Torf: [[s:Eine Wanderung durch das oldenburgische Moorgebiet]] :: ARTE: [https://www.arte.tv/de/videos/100291-010-A/re-first-lady-of-whisky/ Re: First Lady of Whisky : Schottland auf neuen Wegen], 22. Dezember 2021 ([https://ncnean.com/ ncnean.com/]) Ausblick * Hackathon ist immer!? Lange Nacht der Wissenschaften in Dresden am 08. Juli 2022, 17–00 Uhr. Machen wir was und wann? Bitte fertigkorrigieren: * <s>[[s:de:Besprechungsprotokoll Wannseekonferenz]]</s>, Fertig: 6.7.2022 == 28. Juni == [[File:Knötel I, 5.jpg|thumb|Banner der freiwilligen Sachsen]] [[File:Dresdens Festungswerke im Jahre 1811.pdf|page=20|thumb|Dresdens Festungswerke 1811]] * taufrisch digitalisiert nach Hinweis im Artikel in den Dresdner Geschichtsblättern: ''Das Dresdner Landwehr-Bataillon'' 1813/14 von Paul Rachel (1892) [[d:Q111792485]]: ** Die '''<u>Dresdner Landwehr-Blätter (1813/14)</u>'''! [[d:Q111792515]] Auf WS bringen? ***Das ist Geschichte pur, eine echte Primärquelle. Vielen Dank an SLUB! * Totenschau: Kann in Wikidata eine Aussage: ''Todesanzeige'' im Datenobjekt der betreffende Person eingerichtet werden? {{ping|Mfchris84}} Ich würde gerne jpg's von Todesanzeigen hochladen. Als normales Bild wäre dies sicher unpassend, auch als themenverwandtes Bild. ** Beispiel: [[d:Q126171]], eingefügt unter Grabbild, nicht optimal. Einfügung als themenverwandtes Bild nicht möglich, da Porträt vorhanden. * weitere Themenseiten: z.B. als virtuelle Prunothek: [[s:Woher das Sprichwort: Hier ist nicht gut Kirschen essen?]] :Query: [https://w.wiki/5MtM Die Gartenlaube] zu irgendwas mit Früchten und Tieren ... * geplant: [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * Kannegießer (1811) Festungswerke Dresdnes, 1890 als Vereinsgabe ist bei google aufgetaucht, Andreas bindet die Bilder in Commens ein, eventuell Wikisource-Projekt, da wenig Text https://www.google.de/books/edition/_/5pJX-twRUXQC?hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjp9d3b8M_4AhVYSvEDHeIBDvYQ7_IDegQIFBAC == 21. Juni == Dresdner Hefte: 150. * [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] * [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|DDHefte-Ideen]] * Presskonferenz zu neuem Logo & 150. Dresdner Heft um 11 Uhr (im Anschluss) Juhu!! Damit verbunden, werde ich schön twittern und auf alles aufmerksam machen! Die Gartenlaube * [[s:Naturwissenschaftliche Wochenschrift]] (WikiCite!) 59. [[BibChatDE/Geschichtsvereine]] am 20. Juni * 18–19 Uhr auf Twitter: Geschichtsvereine & Bibliotheken: Was geht?, #BibChatDE, https://www.bibchat.de/geschichtsvereine-bibliotheken-was-geht/ Bitte am Projekt beteiligen * [[s:Index:Wannsee Protokoll januar 1942.pdf]] * Suche nach weiteren Artikeln von '''[[s:Theodor Heinrich Gampe]]''' (auch Autor in [https://de.wikisource.org/wiki/Die_Gartenlaube/Autoren#G Die Gartenlaube]), insbesondere zu den Steinbrechern mit Illustrationen von [[w:Robert Sterl|Robert Sterl]] == 14. Juni == [[Datei:Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|mini|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022)]] Besuch: Zentralbibliothek Zürich und aus Pankow Zentralgut, https://zentralgut.ch/ (Luzern) {{wikisource|Index:Kurze Lebens-Notizen zu der Portrait-Gallerie merkwürdiger Luzerner auf der Bürgerbibliothek in Luzern.pdf}} Dresdner Hefte+ ... Die Datenlaube*''live'' * {{wikisource|Die Gartenlaube (1898)}} * Bitte alle verschlagworten (main subject): https://w.wiki/43s :) * #1Lib1Nearby https://w.wiki/5HAM where is Stadtbibliothek Pankow ? * [https://www.ngzh.ch/publikationen/neujahrsblatt Neujahrsblätter Zürich ab 1799] * vgl. dazu auch Beiträge zur Pankower Heimatgeschichte / Freundeskreis der Chronik Pankow e.V * Probleme der oral history (Mehrfachbefragung etc.) * Seite fürs Ausprobieren (DD-Hefte): https://de.wikiversity.org/wiki/DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen * Idee aus Pankow: Kontakt zu ÖBs suchen, Netzwerke nutzen um Interessierte für Workshops im Bereich Wikiversum zu finden == 7. Juni == [[Datei:15482-Weixdorf-1913-Badende_im_Prinz_Hermannbad-Brück_&_Sohn_Kunstverlag.jpg|mini|Waldbad Weixdorf]] * [[s:Sommerfrische]]n, u.a. [[d:Q105046940|Sonntagsbesuche in der Sommerfrische]] :: Weixdorf: [[d:Q98804415|Waldbad Weixdorf (Q98804415), LfDS object ...]] * Beifang: Ludwig Blume-Siebert, u.a. bei [[s:Boetticher:Blume-Siebert,_Ludwig|Bötticher]] und Wikidata-Query: https://w.wiki/5FFT * {{wikisource|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland}} [[Projekt:Geschichtsvereine 2x|#Geschichtsvereine 22]] am Wochenende: * Programm: https://saechsische-landesgeschichte.de/event/workshop_geschichtsvereine22_220611/ * [[Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons]] ... 150 [[s:Dresdner Hefte]] ... neues Design, begleitende Wisskomm, ... All dies '''Dilettantinnen- und Dilettantenforschung'''! i.S.v. [[w:Dilettant]] == 31. Mai == Dresdner Hefte * [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|Anleitungen]] <gallery> Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Geschichtsverein Stadtwiki Dresden] Wikidata_Dresdner_Hefte.jpg|[[s:Dresdner Hefte]] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Geschichtsverein]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] </gallery> * Website für Überblick entweder bei https://www.dresdner-geschichtsverein.de (ist aber gerade im relaunchen, daher vielleicht im Wikiversum oder auch bei Github https://ddhefte.github.io/) * Übersicht Mitteilungen ist aufgeräumt, analog zu den Geschichtsblättern (Danke) https://de.wikisource.org/wiki/Mitteilungen_des_Vereins_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens * Bürgersoldaten läuft, Bilder freistellen als next step (Steffen fragt Matthias, wie es geht) * andere CitizienScience-Projekte an der SLUB (z.B. Ausschreibung https://www.citizenscience-wettbewerb.de) * neues "Futter" bei Steffen: W. Nagel: Die alte Dresdener Augustusbrücke, Verein für Geschichte Dresdens 1924 https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/695/12 Lauben''piepser'' * [[s:Frauen als Schrankenwärterinnen]] * [[s:Von der Kirgisen-Karawane]] * [[s:Weihnachtsfeier in einer Spreewaldschule]] * [[s:Neapolitanische Straßenhändler]] * [[s:Eisenbahnreformen]] == 24. Mai == [[Datei:Wikisource-Infostand-Dresden.jpg|mini|Wikisource Infostand SLUB]] * Zu Gast: [https://www.buergerschaffenwissen.de/ueber-uns Moritz Müller] mit dem Projekt ''[https://www.buergerschaffenwissen.de/projekt/hallische-heiratsgeschichten Hallische Heiratsgeschichten]'' * ''Hackathon ist immer'' beim [[Bibliothekskongress_2022#Hackathon_ist_immer|Bibliothekskongress 2022]] Geschichtsverein DD * Damen-Visuals: Tweets, Stadtwiki, Commons * Sachregister,[https://github.com/ddhefte/ddhefte/tree/main/register via sachregister.txt] * Queries * Schlagworte, Wartungslisten u.a. via [https://scholia.toolforge.org/topic/Q111475060/curation Heft 90 auf scholia] und [https://w.wiki/5CM4 Random-List "Gartenlaube"] (Limit hochzählen) * [[d:Q112031419|Todtenschau]], Query dazu [https://w.wiki/5CLs w.wiki/5CLs] ** ohne Stadtwiki-Artikel: https://w.wiki/5CM3 *** 1895, Nr. 3 ist online, mit Gottlieb Traugott Bienert: [[d:Q112119761]] * Mitmacherklärungen an mehreren Stellen bieten und bündeln: [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|Ideensammlung]] GLAM * [[w:de:Wikipedia:GLAM/Digitaltag 2022|Wikipedia:GLAM/Digitaltag 2022]] * Relaunch [https://www.slub-dresden.de/forschen/citizen-science/wikisource-beratung Wikisource-Beratung] im Juni, siehe [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB]] == 17. Mai == [[Datei:Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|mini|Wikimedia+Libraries Meetup]] * [[m:Wikimedia+Libraries International Convention 2022]], 23-24 July 2022 | Maynooth ([[d:Q750265]]) - Ireland * Malerwerke des 19. Jh.: bis Buchstabe F jetzt bearbeitet [[s:de:Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts – Erster Band#F]] ** in Dresden geboren, gewirkt oder gestorben: https://w.wiki/5AUv ** Einträge ohne AKL-Online Eintrag [https://www.degruyter.com/database/akl/html]: https://w.wiki/5AUx Wer kann einen AKL-Eintrag schreiben? --> Caroline kümmert sich Geschichtsverein Dresden [[Datei:Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu|mini|Heft30VereinGeschichteDresden1926]] * NEU: '''[[s:Index:Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu|Heft 30: Dresdner Bürgersoldaten, 1926]]''' (Achtung: 10-Tage-Frist beachten bei Projekten über 50 Seiten!) * Cover, 1-50: bis 150 kommt noch: https://github.com/ddhefte :Ladies :* Maria Theresia Riedel: [[d:Q94992245#P1710]] :* https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens :Auswertung * Matthias macht (un)sichtbare Frauen sichtbar mit SPARQL --> je mehr Daten wir vergeben, je mehr können wir auswerten Diskussion um Sachregister (ein Traum!)Kleines SPARQL-Tutorial: https://w.wiki/5Asd (K10+1774342774) vs. https://w.wiki/5Asg (K10+1774167077) :Transkription * Wikisource-Aufgaben für die ewig publizierenden @DDHefte Vorschlag Themenseiten und Dokumentenseiten zu bauen und für die Mitteilungen extra Seite mit Inhaltsverzeichnis zu bauen, siehe https://de.wikisource.org/wiki/Dresdner_Geschichtsbl%C3%A4tter, jetzt gibt es auch noch Festschriften (argghhh!!) https://twitter.com/AltesDresden/status/1524464384881434625/photo/1 Paper * [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022]-Einreichung: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', Vollversion bis 4. Juli, Aspekte: Hackathon ist immer, Digitaler Umbruch, ''regelmäßige und individuelle Werkstatt als ‘mentale Infrastruktur’ für Publikationen historischer Quellen, deren Edition und Datenpflege'' Die Gartenlaube * {{Wikisource|Der rheinische Karneval}} :* [[w:Rheinischer Karneval]], 1...9, [[d:Q2147804]] feat. ''#TrickleDownDatenlaube'' (vgl. Twitter) * {{Wikisource|Neues vom Spargel}} ''"Außerdem tritt er auch für das Dörren des Spargels ein. Da dieses einfacher ist als das Einmachen in Büchsen, so dürfte es von unseren Hausfrauen gern versucht werden."'' vs. Liebigs Fleischextrakt : ... vor 219 Jahren wurde der Chemiker Justus von Liebig geboren ... :: {{Wikisource|Schnelligkeitssauce}} :: Suche: ''Fleischextrakt'' und ''Fleischextract'' in der Gartenlaube > https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Spezial:Suche&search=liebig+fleischextract&fulltext=1&profile=default&ns0=1&ns102=1&ns104=1 == 10. Mai == [[Datei:Die Gartenlaube (1898) b 0661 1.jpg|mini|''[[s:Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen|Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen]]'', Die Gartenlaube, 1898, S. 661]] [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre]] * Query '''[http://w.wiki/43s w.wiki/43s]''' für alle Gartenlaubeartikel ohne Verschlagwortung in den Wikidata-Items via [[s:Wikisource:Wikidata#Abfragen]] * [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022]-Einreichung: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', von Jens Bemme, Juliane Flade und Caroline Förster * #LinkedOpenStoryTelling '''[https://sites.google.com/view/ddhefte @ddhefte]''' * [https://twitter.com/hashtag/H%C3%BCgelkulturdaten?src=hashtag_click Hügelkulturdaten] * Malerwerke des 19. Jh.: Welche Frauen sind dabei? '''[https://w.wiki/59BN w.wiki/59BN]''' (Stand jetzt) ** davon Dresdnerinnen: '''[https://w.wiki/59Dj w.wiki/59Dj]''' * haben wir Bock auf Podcast oder doch [https://www.youtube.com/watch?v=W8r-tXRLazsVideo?_click Video?] ... und/oder doch druckbare PDFs? :* Vortrag über das Projekt 'Die Datenlaube' zur Pecha Kucha Night (online) in Weimar Die fabelhafte Welt der Digital Humanities am 25. Juni 2020, DOI [https://doi.org/10.5281/zenodo.3908534 10.5281/zenodo.3908534] :* vBIB20: ''[https://av.tib.eu/media/36438 Die Datenlaube: Neues Wissen und Daten aus alten Texten – Mit Wikisource, Wikidata und mit Commons]'' :* '''[[VBIB21/DatenlaubeCon]]''': ''[https://av.tib.eu/media/55578 Datenlauben(um)welten. Ökologien der Gartenlaube]'', ''[https://av.tib.eu/media/55590 Wikidata+Wikisource: Semantische Inhaltserschließung]'' * neues Dresdner Heft 150 [https://sites.google.com/view/ddhefte @ddhefte] ist Jubiläumsheft Thema "Mobilität", wer hat eine feine Idee für so ein [https://archiv.dresden.de/bild.aspx?VEID=352367&DEID=10 Titelbild?] Meine Vorschläge (Andreas): <gallery> Leporello HillgerNPG 1898 Bild 01 Brücke Photo.jpg|alte, schmale Augustus-Brücke (Fußgänger im Gänsemarsch) Leporello Dresden APD Bild 12 Postplatz Foto.jpg|mit Radfahrer und ohne Fahrradständer Leporello Hermann Poy 1900 Bild 07 Postplatz Photo.jpg|mit Handwagen 4x4 (4 Räder, 4 Leute) Leporello Dresden 1885 Bild 02 Terrassentreppe Photo.jpg|ruhender Verkehr, Parkscheinkontrolle (Suche in Krokotasche) </gallery> == 3. Mai == [[Datei:Bergbau bei Freiberg 1745.jpg|mini|Bergbau bei Freiberg, 1745]] [[Datei:Die Gartenlaube (1890) b 464.jpg|mini|''Helgoland'', Die Gartenlaube, 1890, S. 464]] Geschichtsverein DD * "Welches konkrete Forschungsinteresse wird seitens der SLUB mit diesem Projekt verfolgt?", wird im [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens#Auflistung_der_weiblichen_Mitglieder_im_Jahr_1919 Stadtwiki DD] gefragt und: "Was ist der Hintergrund dieser Auflistung der weiblichen Mitglieder des Vereins im Jahr 1919?" (...) "Dieses und ähnliche Themen im Stadtwiki finde ich sehr elitär und weitesgehend unverständlich." * Ja nun ... * Auch hier gibt es Kritik: [[w:de:Wikipedia_Diskussion:Dresden#Neues_von_Wikisource]]. Sollten wir dabei bleiben, die Artikel über Wikidata zu verlinken oder temporär einen direkten Link zum Digitalisat einfügen? :Neu :* {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} :* {{Wikisource|Geschichte des Dresdner Christmarkts|''Geschichte des Dresdner Christmarkts'', erschienen in: ''Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Achtes Heft'', 1888}} Die Gartenlaube * [https://twitter.com/LucasWerkmeistr/status/1520789808263708674 @LucasWerkmeistr], Lucas Werkmeister: "the Wikidata Image Positions tool (https://wd-image-positions.toolforge.org) now supports, in addition to “depicts”, the property “named place on map”, which can also have “relative position within image” qualifiers", {{Wikisource|Helgoland (Die Gartenlaube 1890/15)|Helgoland-Karte in: Die Gartenlaube, 1890/15}} *Tag der kulturArbeit, egalitär am 1. Mai für ''Die Gartenlaube'', 1898 :* {{Wikisource|Der Tod der Kaiserin von Oesterreich}} :* {{Wikisource|Kaiserin Elisabeth von Oesterreich}} :* {{Wikisource|Die schweizer Lieblingsplätze der Kaiserin Elisabeth}} :* {{Wikisource|Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen}} [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GENEME Call], 9. Mai * DIGITALITÄT UND DIVERSITÄT : MIT DIGITALER TRANSFORMATION BARRIEREN ÜBERWINDEN!? Im Mittelpunkt der diesjährigen GeNeMe steht die Diskussion von Fragen der Inklusion und Diversität im Rahmen digitaler Innovationen. Dabei sollen insbesondere folgende Fragen reflektiert werden: An welcher Stelle konnte Digitalität während der Pandemie Barrieren abbauen, wo sind neue, vormals unbeachtete Barrieren entstanden? Welche Herausforderungen stellen sich in der Weiterentwicklung von Gemeinschaften in Neuen Medien? Welche Mittel und Wege für die Beförderung von mehr Diversität und Inklusion zeichnen sich bereits ab? == 26. April == [[Datei:Radlerin und Radler 1899, p317.jpg|mini|Radlerin und Radler 1899, S. 317. Vgl. [https://nfg.hypotheses.org/2340 ''Oster-Fernfahrt Dresden-Berlin, 1899'']]] Geschichtsverein DD * [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Anna_Regner Anna Regner] out of [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens Mitgliederliste 1919 (Frauen)], +1 [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Clara_Reinheckel Clara Reinheckel] :* [[w:Liste sächsischer Hoflieferanten]] :* ... und in Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Liste_s%C3%A4chsischer_Hoflieferanten Liste sächsischer Hoflieferanten]?! * '''Neu''': [[s:Dresdner Geschichtsblätter]] Die Gartenlaube {{Wikisource|Tee}} {{Wikisource|Kaffee}} Wisskomm * ''[https://saxorum.hypotheses.org/7344 Neues aus dem Landesdigitalisierungsprogramm: Transkriptionen und Transliterationen]'', Saxorum, 26. April 2022 Titelseiten <gallery> Dresdner-Heft 001.jpg Dresdner-Heft 024.jpg </gallery> Idee * Digitale Mittagspause für Neumitglieder des Dresdner Geschichtsvereins == 19. April == [[Datei:Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-12-09, p486.jpg|mini|Sächsische Radfahrer-Zeitung, 2. Dezember 1899, S. 486.]] Geschichtsverein Dresden * neue Query-Sammlung: [[DieDatenlaube/Geschichtsverein Dresden (Wikidata)]] als Bausteine für einen zukünftigen Kurs Außerdem * meta: ''[https://saxorum.hypotheses.org/7216 „Neues vom Tourenbuche“ und von digitalen Editionen mit Hypotheses]'' – übers Bloggen mit Transkriptionen als digitale Editionen * Kartenausschnitt eines Tourenbuchs für Radfahrer: Fichtelberg und Umgebung: [[c:Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-11-11, p442.jpg|Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-11-11]] * ''[https://nfg.hypotheses.org/2296 Sächsische Radfahrer-Zeitung: Für die nächste Zeit dürfte es Arbeit genug geben]'' {{Wikisource|Die poetische Ukraine|Friedrich von Bodenstedt: ''Die poetische Ukraine : Eine Sammlung kleinrussischer Volkslieder, ins Deutsche übertragen'', 1845}} == 12. April == [[Datei:Die Gartenlaube (1861) 352.jpg|mini|[[s:Anzeige: Das Buch vom gesunden und kranken Menschen|Anzeige: Das Buch vom gesunden und kranken Menschen, in: Die Gartenlaube, 1861.]]]] Bocknetz+ * [[c:category:Bocknetz]] * Carl Ernst Bock: ''Das Buch vom gesunden und kranken Menschen'', [[d:Q111532082#P1343|(Q111532082)]] '''Neue alte [[s:Dresdner Hefte]]''' * [[d:User:Erfurth/Dresdner Hefte|#Wikidata-Wartungslisten]]: '''[https://scholia.toolforge.org/venue/Q14916674/curation Try it!]''', Ella Judenfeind-Hülße ([[d:Q111584386]]) :Exkurs [[d:Wikidata:Scholia/de]]: Datenkuration im Allgemeinen und von fehlenden Autoren und Mainsubjects in Scholia-Datenitems: Mehrere Aspekte von Scholia haben zugehörige Seiten, die dabei helfen, Lücken in Bezug auf das betreffende Profil zu kuratieren. Sie können in der Regel durch Hinzufügen von /curation zur URL des Profils aufgerufen werden. * Dank an AW! (Heft 20: Autor [[w:de:Ernst Sigismund|Ernst Sigismund]] wird erst 2024 gemeinfrei.) <gallery> Heft20VereinGeschichteDresden1907 Umschlag.jpg Heft21VereinGeschichteDresden1909.djvu Heft28VereinGeschichteDresden1920.djvu Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu </gallery> Diskussion * Begriffe: Wie erklären wir Funktionen & Community*ies von Wiki*source, *data; *pedia, *Commons, für #Geschichtsvereine22 + DDHefte-Leser:innen? == 5. April == * NGO in der Gartenlaube, vgl. [[DieDatenlaube/Notizen#15. Februar|15. Februar]] {{wikisource|Verein zum Schutz der Kinder vor Ausnutzung und Mißhandlung|''Verein zum Schutz der Kinder vor Ausnutzung und Mißhandlung'', 1899}} * [http://digital.slub-dresden.de/kollektionen/73/ Kollektion 73] | Fulltext-Search, name disambiguation und AQID -> vgl. [https://github.com/ddhefte/ddhefte/blob/main/howto/readme.md Mini-Howtos] == 28. März == [[Datei:Graphic Recording der Digitalen Mittagspause mit Jens Bemme zu Open Citizen Science.png|mini|Graphic Recording der Digitalen Mittagspause von ''[https://www.buergerschaffenwissen.de/citizen-science/veranstaltungen/online-format-mittagspause-mit-buerger-schaffen-wissen Bürger schaffen Wissen]'' mit Jens Bemme zu ''Open Citizen Science'']] Quarantäne*n :Infektionskrankheiten im 19. Jahrhundert: https://w.wiki/Kim :Sämtliche "Krankheiten", die in der Gartenlaube beschrieben wurden: https://w.wiki/Kiy 1899 {{wikisource|Die Gartenlaube (1899)}} * Wer möchte einen Projektbericht für [https://saxorum.hypotheses.org/ Saxorum] texten: [[s:Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919|''~ 1869–1919'']]? (Motivation, Beteiligte, Lerneffekte, nächste Pläne, Wikisource + Wikidata, ...) * ME baut (und zeigt) '''[[d:User:Erfurth/Dresdner Hefte]]''' neue LOST-Zusammenhänge, neues GitHub-Repositorium: https://github.com/ddhefte/ * Jens baut mit am 150. [[s:Dresdner Hefte|Dresdner Heft]]: [[Projekt:Radfahrerwissen in Dresden]] == 21. März == [[Datei:Coding da Vinci Nearby.svg|mini|Coding da Vinci ''[[d:Wikidata:1Lib1Nearby|Nearby]]]]'' * Fertig: [[s:Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919]] * Coding da Vinci Ost*3: [[Kurs:CodingDaVinciOst3]], Ton|Bild dazu auf Youtube: [[d:Q111313655]] * ''Der Dresdner Pulverturm: Eine schwierige Spurensuche'', [[d:Q111328005#P50]] von und mit Prof. Alexander Kästner * Am Freitag, 12-13 Uhr: [[Kurs:Digitale Mittagspause (mitforschen 2022)]] * ... ''[[d:Wikidata:1Lib1Nearby|Nearby]]'' ... == 15. März == * [http://w.wiki/43s Abfrage] für alle Gartenlaube-Artikel ohne Verschlagwortung in den Wikidata-Items * Datenqualität verbessern: [https://w.wiki/4o2 Abfrage] für Artikel mit einem Schlagwort; geeignet, um Artikel zu finden, in denen Bilder und ''subtitle'' ergänzt werden können. * ME: [[d:Q56230405|Stadtwiki Dresden wird 2023 zwanzig Jahre alt]] * Neues Item für den Vorgänger-''Verein für Geschichte Dresdens'': [[d:Q111243259]] == 8. März == [[Datei:50JVereinGeschichteDresden1919.djvu|mini|50JVereinGeschichteDresden1919]] Wikisource-Einführung für und mit dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]] : Projekt-Indexseite: [[s:Index:50JVereinGeschichteDresden1919.djvu]] : ME empfiehl Registerseiten :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/A]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/B]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/C]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/D]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/E]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/F]] ... ME zeigte erste DD-Hefte-Beispieleinzelheftseite im Stadtwiki DD: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Dresdner_Heft_62:_Caroline,_Berta,_Gret_und_die_anderen_-_Frauen_und_Frauenbewegung_in_Dresden {{Wikisource|Jahr und Tag|„Jahr und Tag.“}} ''Codex Dresdensis'' (1892) {{Wikisource|Neuestes zur altamerikanischen Kultur}} {{Wikisource|Altamerikanische Kulturbilder}} == 1. März == [[File:Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|thumb|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers]] * ME: die ersten 100 Dresdner Hefte-Kapitel als Sneak-Preview in Wikidata: https://w.wiki/4tsP, : Kapitelübersicht: https://w.wiki/4tsU : Karte: https://w.wiki/4tsX : Orgachart: https://w.wiki/4tsu : Vorschlag: Github-Repositorien für den Dresdner Geschichtsverein * {{wikisource|Butter und Margarine|''Butter und Margarine'' und Carl Adam Bischoff ... vgl. Diskussionsseite}} * [[d:Q2312961#P1343|Spottmüntzen]]! Sonstiges * [[c:Category:Images from the Deutsche Fotothek needing category review as of 1 October 2009]], oft muss nur die Reviewvorlage entfernt werden und Kategorien sind so okay * [[c:Category:Hep-Hep-Krawalle]], mit neuer aufwändiger Karte von Christoph Pallaske, [https://twitter.com/pallaske/status/1498558402280275969 gebaut] mit [[w:Paint.NET]] mit Farbscala von https://colorbrewer2.org/#type=sequential&scheme=BuGn&n=3 == 22. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 601.jpg|mini|Kasperletheater, 1892]] * {{Wikisource|Kasperletheater|''Kasperletheater'', 1892}} * {{Wikisource|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland'', 1892}} Dresdner Hefte * {{Wikisource|Dresdner Hefte|''Dresdner Hefte'' nun mit den verschiedenen historischen Heftreihen: rot, braun, blau, grün}} [[BibChatDE]] und openGLAMmodul * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455 Klexikon * [https://klexikon.zum.de/wiki/Sachsen Sachsen], [https://klexikon.zum.de/wiki/Dresden Dresden] Dresden: https://www.verschwundene-bauwerke.de/ == 15. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1896) b 0432.jpg|mini|Bilder von der Berliner Gewerbe-Ausstellung. Nach der Natur gezeichnet von Willy Stöwer, (1896)]] * Willy Stöwer-Tage: https://w.wiki/4oRj : {{Wikisource|Sehenswürdigkeiten der Ausstellungen 1896}} * {{Wikisource|Eine klassische Pflanzstätte der Musik}} * {{Wikisource|Dresdner Hefte}} NGOs * {{Wikisource|Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger|Deutsche Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger}} * {{Wikisource|Internationale Rotkreuz- und Rothalbmond-Bewegung}} * {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} * {{Wikisource|Gesellschaft der Waisenfreunde (Die Gartenlaube)|Gesellschaft der Waisenfreunde}} * ... == 8. Februar == Vote! '''Community Wishlist Survey 2022''': [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Wikisource#Bibliographic_Structured_Data_on_Wikisource|Bibliographic Structured Data on Wikisource]] [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 597.jpg|mini|Am Schächenbach]] Zur gefl. Beachtung! * {{Wikisource|Allgemeines Handlungs-Adress-Handbuch für das Herzogthum Nassau|''Allgemeines Handlungs-Adress-Handbuch für das Herzogthum Nassau'', 1836}} * {{Wikisource|Herzogtum Nassau|Themenseite: Herzogtum Nassau}} * {{Wikisource|Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts – Erster Band|Friedrich von Boetticher: ''Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts'' – Erster Band}} 1lib1ref * {{Wikisource|Am Schächenbach}} * #1lib1nearby: https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/46.87241,8.65159, Schächen (UR) Skript (Hochschule der Medien) * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)]], Literatursammlung wächst (auch im Item), Anregungen sind willkommen! [[Datei:¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!]] Bildergänzungen! ''Willy Stöwer''-Tage!! {{Wikisource|Sehenswürdigkeiten der Ausstellungen 1896}} {{Wikisource|Aus den Werkstätten des Vulkan}} {{Wikisource|Das neue Reichstagshaus}} Dresdner Geschichtsverein * Neues WS+WD-Projekt demnächst fürs Hefte-Jubiläum: Heft 27 (1918), ''[http://digital.slub-dresden.de/id402053923-19180400 50 Jahre Verein für Geschichte Dresdens, 1869–1919] : Im Auftrage des Vorstands verfaßt Dr. Gg. Hrm. Muller, Direktor des Ratsarchivs, Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens, Heft 27'' – Rechteklärung, Projektteam, Wisskomm- und Visualisierungskonzept im Frühjahr 2022! == 1. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1895) 895.jpg|mini|"Gartenlaube-Walzer", Op. 461, Johann Strauß (Sohn), Piano, S. 1 von 6, ''Die Gartenlaube'', 1895]] * Community Wishlist Survey 2022: [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Wikisource#Bibliographic_Structured_Data_on_Wikisource|Bibliographic Structured Data on Wikisource]] * {{Wikisource|Giralda|Wer kennt die „Giralda“ von Eugene De Blaas?}} * {{Wikisource|Gartenlaube-Walzer|''Gartenlaube-Walzer'', 1895}} * {{Wikisource|Der „Gartenlaube-Walzer“ von Johann Strauß|''Der „Gartenlaube-Walzer“ von Johann Strauß'', 1895}} * '''Digitale Heimatforschung im Wiki*versum''': Das Projekt ''Kamptaler Sakrallandschaften''. Auf Basis einer klassichen Publikation, eines heimatkundlichen Inventars aller [[w:Bildstock|sakralen Kleindenkmäler (Bildstöcke, Marterl, Wegkreuze)]] im [[w:Niederösterreich|niederösterreichischen]] [[w:Kamptal|Kamptal]], werden sämtliche dort beschriebenen Denkmäler in Wikidata strukturiert erfasst und das Bildmaterial in Commons unter CC BY veröffentlicht. ** [https://kamptalersakrallandschaften.gitlab.io kamptalersakrallandschaften.gitlab.io] - Website des Projektfortschritts ** [[c:Category:Files uploaded by User:Mfchris84/Kamptaler Sakrallandschaften|Commons Kategorie des Projektes]] ** Das Projekt gilt auch als ''Horizonterweiterung'' zu Insellösungen wie dem durchaus berechtigten [https://www.marterl.at www.marterl.at] *** Denkmäler die auf materl.at erfasst sind und im Projekt beschrieben wurden, werden durch die Wikidata-Property [[d:P7866|marterl.at ID]] verlinkt. Daher keine Konkurrenz, sondern Vernetzung! ** Auf Basis der Erfassung können automatisiert Wiki-Tabellen wie [[regiowiki:Liste der sakralen Kleindenkmäler in Schönberg am Kamp]] im RegiowikiAT erstelt werden. == 25. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1873) b 029.jpg|mini|"Plötzlich wurden die beobachteten Hamster unruhig, und husch! fuhr die ganze Sippe theils in die Schlupflöcher, theils in’s dichte Getreide."]] * ME: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022 * Bewerbung, [https://doi.org/10.5281/zenodo.5894284 zenodo.5894284] * {{Wikisource|Republikanische Hofetiquette|''Republikanische Hofetiquette'': "Der Präsident ließ nämlich im sogenannten Ostzimmer den Neujahrsgratulanten einen großen Käse aufstellen von dem sich Jeder, so viel er wollte, herunterschneiden konnte, und von dem die Abfälle, wie die gesellschaftliche Chronik aus jener Zeit meldet, auf den kostbaren Teppichen zertreten wurden." Die Gartenlaube, 1881, Heft 21.}} :: Unser Neujahrsempfang? [[c:Category:Huschhalle|Huschhalle]], Nachtansicht ergänzen! :: {{Wikisource|Aus der Mappe eines Künstlers|husch! & Hamster, in: ''Aus der Mappe eines Künstlers'', Die Gartenlaube, 1873, Heft 2}} * [[DieDatenlaube/Lehre|Modul im Sommersemester]]: Intro texten! * See: [[c:User:Mfchris84/common.js|... quickpresets_settings.js]] == 18. Januar == [[Datei:Signatur_Moritz_Wilhelm_Drobisch.PNG|mini|Autograph von Drobisch, Brief aus Leipzig 1829, [https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/254957/191 SLUB]]] * {{wikisource|Ein Senior der Wissenschaft - Moritz Wilhelm Drobisch}} -> [[s:de:Haan:Moritz Wilhelm Drobisch|Haan:Moritz Wilhelm Drobisch]] und [https://www.wikidata.org/wiki/Special:WhatLinksHere/Q67131 Wikidata: WhatLinksHere] Heinrich Nisle * [[c:Category:Heinrich Nisle]], noch fehlen seine Bilder in: * {{wikisource|Am Plansee}} * #1lib1ref: https://citationhunt.toolforge.org == 11. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 264.jpg|mini|Die Gartenlaube (1892) b 264]] [https://de.wikisource.org/wiki/Sächsisches_Schriftsteller-Lexicon Sächsisches Schriftsteller-Lexicon] ist im Entstehen für die [[de:s:Benutzer:Erfurth/Gartenlaube x Schriftsteller-Lexicon|Forschungsfrage]]: :Wie sieht der Historiker [https://de.wikisource.org/wiki/Wilhelm_Haan Wilhelm Haan] (1801-1884) die Mitwirkung Sächsischer Schriftsteller an der Gartenlaube ? {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein|Der Dresdner Geschichtsverein ... und seine Vereinsgesschichte}} :* {{Wikisource|Dresdner Hefte}} :* {{Wikisource|Der Reisewitzische Garten in Plauen bei Dresden|Adolf Hantzsch: ''Der Reisewitzische Garten in Plauen bei Dresden''}} Vogelschutz am Kulturdatenhügel w/ :* {{Wikisource|Deutsche Singvögel als italienische Delikatesse|''Deutsche Singvögel als italienische Delikatesse'', 1892}} :* {{Wikisource|Gesetz, betreffend den Schutz von Vögeln|''Gesetz, betreffend den Schutz von Vögeln'', 1888}} Geschichtsvereine in Chemnitz https://chemnitzer-geschichtsverein.de, Leipzig http://leipziger-geschichtsverein.de, Dresden https://dresdner-geschichtsverein.de und Sachsen https://saechsische-landesgeschichte.de == 4. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) p 001.jpg|mini|Die Gartenlaube (1892) p 001]] * {{Wikisource|Die Gartenlaube (1892)}} * Bearbeitungsstand in Vorlage einbauen: <s>https://de.wikisource.org/wiki/Vorlage:S%C3%A4chsisches_Schriftsteller-Lexicon</s> fertig. * PDF entfaltet sich nicht: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Handbuch_der_Politik_Band_3.pdf * https://pageviews.toolforge.org/?project=de.wikisource.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-20&pages=Impfgesetz * Neues Projekt, Andreas Wagner: "Für jeden Künstler soll eine separate Seite angelegt werden, dazu wird eine Textbox usw. benötigt, mit Verlinkung nach Wikidata. Das wird eine größere Sache, aber für Kunsthistoriker ist das Werk ein Standard, dessen Bearbeitung bei uns aus meiner Sicht überfällig ist. Ich freu mich drauf und hoffe auf Unterstützung." {{Wikisource|Wikisource_Diskussion:Projekte#Friedrich_von_Boetticher:_Malerwerke_des_neunzehnten_Jahrhunderts|Friedrich von Boetticher: Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts}} == DatenlaubeJam '21 == Archiv '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''' == Werkzeug== <gallery> Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] </gallery> 3ihd3ooughw39j946gtjflm6oc325wq 0 128949 767544 680749 2022-08-15T16:29:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=u|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |R ||\Z[\sqrt{2}] || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die multiplikative {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=u|SZ=}} in {{math|term=R/pR|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |p ||2,3,5,7,11 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lvltsfb5vyujjz69vyp2l2na6vhvuge 0 128965 767413 680882 2022-08-15T16:10:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|\Z[X] || || || |SZ= }} ein ganzzahliges normiertes Polynom, dass in {{math|term=\Q[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=P|SZ=}} auch in {{math|term=\Z[X]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k2zfiz28lkg49pj49wdp7oo1wcjk50n 0 128982 767068 680983 2022-08-15T15:06:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=B|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |diskreter Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |u |\in| {{op:Einheiten|B|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term=X^n-u|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=B[X]|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || B[X]/ {{makl| X^n-u |}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normal| |Kontext=Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, falls {{math|term=n|SZ=}} eine Einheit in {{math|term=B|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen freien Algebren über diskreten Bewertungsringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icl0rp1nmdtc3005ohaqrdfozo0uxr5 0 129197 767495 682898 2022-08-15T16:22:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass in {{math|term= \Z[X] |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Ideale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{makl| X^4-7,X^3-5 |}} |und|term2= (X+55,282) |SZ= }} übereinstimmen. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ideals {{math|term=(X^3-5)|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^4- 7 |}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Norm des Ideals {{math|term= (X^4-7) |SZ=}} im Zahlbereich {{mathl|term= \Z[X]/ {{makl| X^3- 5 |}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Z |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=4 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hvrxokamk9ks64u3p352si6oe1vm6t 106 129242 766769 688972 2022-08-15T13:32:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|31| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Wachstum/Exponentiell/Corona/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Exponentialfunktion/Verdoppelung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialgleichung/Verzögerung/Linearer Ansatz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialgleichung/y' ist y/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Differentialgleichung/y' ist cy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Anfangswertproblem/y' ist 2/y(5) ist 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 3t^2-3t+4/y (-1) ist -5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 3t^3-2t+5/y (3) ist 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist sin t/y(pi) ist 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ortsunabhängige Differentialgleichung/Konstanter Abstand zwischen Lösungen/Verständnis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differentialgleichung/Orts- und zeitunabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildung/R^2 nach R/Hängt nur von einer Variablen ab/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktionen auf Intervall/Ableitungsabbildung/Linear Kern Dimension/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Differenzierbare Funktionen/R nach R/Unendlich/Ableitungsabbildung/Eigenwerte Eigenvektoren Dimension/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y hoch 2 Drittel/Aufgabe|| |zusatz=Finde{{n Sie}} eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Wüstenausbreitung/y' ist Wurzel aus y/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zeitunabhängige Differentialgleichung/x^n als Lösung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorfeld/1/Nullstellenfrei und injektive Lösungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Verzögerte Differentialgleichung/y' ist y(t-1)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 3t^2-4t+7/y (2) ist 5/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gewöhnliche Differentialgleichung/y' ist t+y/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist t^3 durch t^2+1/y (1) ist 2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ortsunabhängiges Anfangswertproblem/y ist 1 durch sinh t/y (1) ist 7/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp: Man schreibe Sinus hyperbolicus mit der Exponentialfunktion, führe die Substitution {{ Ma:Vergleichskette |s ||e^t || || || |SZ= }} durch und finde so eine Stammfunktion. }} {{ inputaufgabe |Differentialgleichung/R/Höhere_Ordnung/y(n)_ist_y/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp=Denke an Potenzreihen. }} }} czu7gpj0jh5m0rhb3hnmyp7ojewe9hv 106 129706 767583 693394 2022-08-15T16:41:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Permutation/Element/Funktionale Hülle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Element/Funktionale Hülle/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionssymbolstammbaum/Arithmetischer Ausdruck/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formales Funktionssymbol/Stelligkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammengesetztes Funktionssymbol/fggg/Symbolkette/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktional abgeschlossen/Formales Funktionssymbol/Abgeschlossen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Funktionale Hülle/1,3,pi,e, Wurzel 7/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches Modell/Keine Funktionssymbole/Elementare Äquivalenz/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches Modell/Einelementige elementare Äquivalenzklassen/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Permutation/Beispiel/Automorphismen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Z mod 12/Automorphismen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Q und R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Teilkörper von R/Automorphismengruppe trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Automorphismengruppe nicht trivial/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Elementare Äquivalenz/Einelementig/Nicht trennbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktkonfiguration in Ebene/Keine lineare Abbildung/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionale Hülle/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der Mathematik interessiert man sich nicht nur für die von einer Teilmenge einer Struktur erzeugte funktionale Hülle, sondern auch für Unterstrukturen, in denen zusätzlich noch die gleichen Gesetzmäßigkeiten {{ Zusatz/Klammer |text=ausgedrückt durch ein Axiomensystem {{math|term=\Gamma|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wie in der Struktur gelten, beispielsweise die von einer Teilmenge erzeugten Untergruppen, Unterringe, Unterkörper, Untervektorräume. Diese von einer Teilmenge erzeugten {{math|term= {{Symbolalphabet|}}-\Gamma |SZ=-}}Strukturen kann man oft, wenn es sie überhaupt gibt, als Durchschnitt über alle {{math|term= {{Symbolalphabet|}}-\Gamma |SZ=-}}Unterstrukturen erhalten, die die Teilmenge umfassen. {{ inputaufgabe |Gruppe/Z/Funktionale Hülle und Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Surjektive Abbildung/Unterstruktur/Durchschnitt erfüllt nicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu einer {{math|term=S|SZ=-}}Struktur {{math|term=M|SZ=}} und einer {{math|term=S|SZ=-}}Unterstruktur {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq |M || || || |SZ= }} versteht man unter der relativen {{math|term=S|SZ=-}}{{Stichwort|Automorphismengruppe|SZ=}} von {{math|term=M|SZ=}} bezüglich {{math|term=N|SZ=}} die Menge der {{ Definitionslink |Prämath=S |Automorphismen| |Kontext=Struktur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} die die Elemente aus {{math|term=N|SZ=}} in sich überführen. Sie wird mit {{mathl|term=S-{{op:Aut|M|N}} |SZ=}} bezeichnet. {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Untergruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Galoistheorie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Modelltheorie/Relative Automorphismengruppe/Konstantenanreicherung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir erinnern an die Definition eines algebraisch abgeschlossenen Körpers. Die komplexen Zahlen {{math|term={{CC}}|SZ=}} sind algebraisch abgeschlossen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=|Fundamentalsatz der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} nicht. {{:Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition}} {{ inputaufgabe |Algebraisch abgeschlossener Körper/Definition mit Axiomenschema/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Endliche Struktur/Logische Äquivalenzklassen/Isomorphie/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Gruppe/Z mod 2 x Z mod 4/Isomorphe Untergruppe/Nicht fortsetzbar/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Angeordneter Körper/Supremumseigenschaft/Reell-abgeschlossen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Verwende{{n Sie}}, dass Polynomfunktionen auf einem angeordneten Körper stetig sind. }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Punktestand/Charakterisierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Prädikatenlogik/Gleicher Punktestand/Nicht isomorph/Beispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} lexksp198qxl8t66ar775ta58856oq8 0 130465 767487 690173 2022-08-15T16:21:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung4 |Zu {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|U' |\subseteq|V || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum|U|}} |\supseteq| {{op:Orthogonalraum|U'|}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Orthogonalraum|0|}} ||V || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Orthogonalraum|V|}} || 0 || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum|U|}} |}} |}} || U || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term=V|SZ=}} endlichdimensional. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr| {{op:Orthogonalraum|U|}} |}} || {{op:dim vr|V|}} - {{op:dim vr|U|}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 272rxraexiec60vd5swy0avp47lakfh 0 130769 767387 693416 2022-08-15T16:05:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=S|SZ=}} ein Symbolalphabet ohne Funktionssymbole und sei {{math|term=M|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Charakterisiere{{n Sie}} die Automorphismengruppe von {{math|term=M|SZ=}} mit Hilfe der {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Fall. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} adm8ciq9gnngaqzl5cvgtn4il9g8bao 0 130771 767386 693418 2022-08-15T16:05:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=S|SZ=}} ein Symbolalphabet und sei {{math|term=M|SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass alle {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenzklassen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einelementig seien. Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Fall. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hoamcjw2xltlvw8eqbdget9xndbpkpj 106 131064 767577 728264 2022-08-15T16:40:17Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Cauchy-Produkt von Reihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Definition|| }} Insbesondere in Hinblick auf {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist es wichtig, dass das Cauchy-Produkt sich auf Reihen bezieht, deren Indizierung bei {{math|term=0|SZ=}} beginnt. {{ inputfaktbeweis |Komplexe Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt|Lemma||zusatz1=Klammer |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Potenzreihen}} {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Potenzreihe/Definition|| }} Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Zahl {{mathbed|term=z \in {{CC}}|bedterm1=z \neq 0|SZ=,}} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man {{math|term=z|SZ=}} variieren lässt und dann die Potenzreihe im Konvergenzbereich eine Funktion in {{math|term=z|SZ=}} darstellt. Genauer spricht man von einer Potenzreihe mit Entwicklungspunkt {{math|term=0|SZ=.}} Eine Potenzreihe mit {{Stichwort|Entwicklungspunkt}} {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} ist ein Ausdruck der Form {{math/disp|term= \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n |SZ=.}} Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der neunten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty z^n |SZ=,}} die für {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|z|}} | <| 1 || || || || |SZ= }} konvergiert und dort die Funktion {{mathl|term= 1/(1-z) |SZ=}} darstellt, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die Exponentialreihe, die für jede komplexe Zahl konvergiert und zur komplexen Exponentialfunktion führt. {{Zwischenüberschrift|term=Die Exponentialreihe und die komplexe Exponentialfunktion}} {{:Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=&nbsp;Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=allg R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Basis {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:exp|1|}} || 1+1+ {{op:Bruch|1|2}}+ {{op:Bruch|1|6}}+ {{op:Bruch|1|24}}+ {{op:Bruch|1|120}} + \cdots || || || |SZ= }} ist, und dass {{mathl|term= {{op:exp|1|}} |SZ=}} mit der früher eingeführten eulerschen Zahl {{math|term=e|SZ=}} übereinstimmt {{ Zusatz/Klammer |text={{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Potenzreihendarstellung und Exponentdarstellung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Eulersche Zahl/Zinsdarstellung und Fakultätsreihe/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |zusatz3={{Zusatz/Fußnote|text=Eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/k | T | \subseteq | {{CC}} || || || |SZ= }} heißt abgeschlossen, wenn jede Folge in {{math|term= T |SZ=,}} die in {{math|term= {{CC}} |SZ=}} konvergiert, schon in {{math|term= T |SZ=}} konvergiert. Eine reelle Folge, die aufgefasst als komplexe Folge konvergiert, konvergiert offenbar in {{math|term= \R |SZ=.}}}}|zusatz4=Die folgende Aussage nennt man die {{Stichwort|Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion|SZ=.}} }} {{Zwischenüberschrift|term=Die trigonometrischen Reihen}} {{:Trigonometrische Reihen/C/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} aym08yxgzkb3955iaxcbwbs77zsu970 106 131093 767576 721793 2022-08-15T16:40:07Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Arbeitsblattgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Reihe/Cauchyprodukt/Nicht Partialsummen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihe/R/Cauchyprodukt/1 durch n^2 und 1 durch n^3/Erste fünf Glieder/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische_Reihe_mal_Exponentialreihe/Ordnung_4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reihen/C/Produkt/Quadratrand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Unbeschränkt/Aufgabe||zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Aus der Stetigkeit, die wir aber noch nicht bewiesen haben, folgt daraus, dass {{math|term=\R_+|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen Exponentialfunktion ist| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Konvergente_Reihe/Je_zwei_Glieder_zusammenfassen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinusreihe mal Kosinusreihe/Koeffizienten bis 6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kosinusfunktion/Komplex/Reelle Nullstellen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächsten Aufgaben verwenden die Definition einer {{Stichwort|periodischen Funktion|msw=Periodische Funktion|SZ=.}} {{:R nach R/Periodische Funktion/Definition}} {{ inputaufgabe |Periodische Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Periodische Funktion/Stetig/Ist beschränkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Periodische Funktionen/Rationales Verhältnis der Längen/Summe ist periodisch/Abstand/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Vierte Potenz/Bis fünfter Koeffizient/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Exponentialreihe/C/Abschätzung für Restglied/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eulersche Zahl/Berechnung mit Exponentialreihe/4 Nachkommastellen/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Exponentialreihe/Durch x^n/Unbeschränkt/Aufgabe|p|zusatz1=Fußnote |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sinus/C/Additionstheorem/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Periodische Funktion/R/Gleichmäßig stetig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Fußnotenliste}} }} qhui2vx06fozmfkfai7x7tjlngjal1m 0 131267 767464 697035 2022-08-15T16:17:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n| \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\lambda^n (S) |\neq|0 || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T || \varphi(S) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} unter {{math|term=\varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} unter {{math|term=\varphi|SZ=}} in den Schwerpunkt von {{math|term=T|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2=Maßtheorie für lineare Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtsceod2r2cbcabtz6h98pkveqdo304 0 131275 767465 697036 2022-08-15T16:18:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n| \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Verschiebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |\lambda^n (S) |\neq|0 || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T || \varphi(S) || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} unter {{math|term=\varphi|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=S|SZ=}} unter {{math|term=\varphi|SZ=}} in den Schwerpunkt von {{math|term=T|SZ=}} abgebildet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49vbx9ftwp50v0oa8newlkgns2skgsn 0 131284 767462 697056 2022-08-15T16:17:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | \{P_1 {{kommadots|}} P_k \} |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} endlich viele Punkte. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\epsilon |>|0 || || || |SZ= }} derart, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenen Bälle| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|P_j|\epsilon}} |SZ=}} paarweise zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} seien. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |T || \bigcup_{j {{=}} 1}^k {{op:Abgeschlossener Ball|P_j|\epsilon}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=T|SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| \sum_{j {{=}} 1}^k P_j|k}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rikerdbz96hujznb9hh337agvxejjzw 0 131293 767397 697092 2022-08-15T16:06:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |G || {{Mengebed|(x,y) \in \R_+ \times \R_+|x^2 > y^3}} || || || |SZ=, }} wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G| \R^2 |(x,y)| (xy,x^2-y^3) |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\varphi|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf sein {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} induziert. |Zeige{{n Sie}}, dass das Rechteck {{ Ma:Vergleichskette |Q || [3,4] \times [1,2] || || || |SZ= }} in {{math|term=G|SZ=}} liegt. |Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt des Bildes von {{ Ma:Vergleichskette |Q || [3,4] \times [1,2] || || || |SZ= }} unter {{math|term=\varphi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=3 |p2=1 |p3=1 |p4=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rk3y68yr5ug0cepjjpjltj9mwcxune0 0 131323 766690 697311 2022-08-15T12:22:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2| \R^2 | {{op:Zeilenvektor|x|y}} | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|x^2|2}} |x+y}} |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Ist {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Ist {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Achsenkreuzes unter {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor|x|y}} |\in| \R^2 || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14ldoiam7fijx347xenbua4p5yknch3 0 131346 767479 697385 2022-08-15T16:20:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | \R_+ \times \R \times \R|\R | {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} | y {{op:ln|x|}} -3xz^2 |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |totale Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in jedem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum an die Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} durch den Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1|0|-3}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5y3qz1eg35wcewfyd0f19nfpfnt7t93 0 131359 767478 697439 2022-08-15T16:20:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | \R^4|\R^2 | {{op:Zeilenvektor|x|y|z|w}} | {{op:Zeilenvektor|e^{xy}-xw^2| {{op:sin|y|}} -z {{op:cos|w|}}+yz^2w^3 }} |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |totale Differential| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in jedem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z|w}} |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || {{op:Zeilenvektor|0| {{op:Bruch|\pi|2}} |1|0}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Punkt| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term=\varphi|SZ=}} ist und bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum an die Faser| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in Punkt {{mathl|term=P|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwpx8qwp59zxuuxwu6ja7ca73y7q3uj 0 131362 767463 697449 2022-08-15T16:17:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]| \R_{+} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Schwerpunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Intervalls {{mathl|term=[a,b]|SZ=}} zur Massenverteilung {{math|term=f|SZ=}} mit der {{math|term=x|SZ=-}}Koordinate des geometrischen Schwerpunktes des {{ Definitionslink |Prämath= |Subgraphen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=f|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Schwerpunktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb2q3kmb1lom1ulgg6w9dujjp9v9cgc 0 131367 767559 697460 2022-08-15T16:33:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Anfangswertproblem| |Kontext=höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y^{\prime \prime} = y' y + {{op:sin|t|}} \text{ mit } y(0) =0 \text{ und } y'(0)=1 |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihenansatz| |Kontext=DG, höhere Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis zur Ordnung {{math|term=5|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Potenzreihenansatz für gewöhnliche Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3t7wtwwcmsvbdpsxogrbxe56wcpu3d5 0 131387 767490 701281 2022-08-15T16:21:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |[-1,1]|\R^2 |t|{{op:Zeilenvektor|2t-1,t^2+1|}} |SZ=, }} gegeben. Berechne{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=Feld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} längs dieses Weges zum {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(x,y) || {{op:Zeilenvektor|xy^2-x|2xy-y^2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74yzfc4pkkb3kmdm6nwnx22uepcjizx 0 131391 767408 697583 2022-08-15T16:09:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^3| \R | {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} | xyz |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}}|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}}|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Hesse-Matrix zu {{math|term=\varphi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1|1|1}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Hesse-Form zu {{math|term=\varphi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|1|1|1}} |SZ=}} mit Hilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Eigenwertkriteriums|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |p4=3 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0uklbv8oimrupwcoqc107rm7wf58ta 0 131396 767304 697650 2022-08-15T15:47:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |\R^3| \R^3 | {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} | {{op:Zeilenvektor|x^2-y^3|xz+ {{op:sin|y|}} |yz^2}} |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} |SZ=.}} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobi-Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x|y|z}} |SZ=.}} |Begründe{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} in einer offenen Umgebung des Punktes {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Zeilenvektor|1|0|1}} || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismus| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschreibt. |Bestimme{{n Sie}} die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= \varphi(P) |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 23vo9ovc67ijzwf6xn0dwh98z7wg3ey 0 131512 767237 698515 2022-08-15T15:37:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklassen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |elementaren Äquivalenz| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in der {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|2}} \times {{op:Zmod|3}} |SZ=}} zum Symbolalphabet {{ Ma:Vergleichskette |S || \{ 0,+ \} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz für Elemente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ezi4zuctmb45njs7hxoqeb7rwvp09q 0 131665 766907 699324 2022-08-15T14:35:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Axiom{{{opt|}}} |Text=Die reellen Zahlen {{math|term=\R|SZ=}} sind {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. jede {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=\R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition 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/Definition |SZ= }} versus {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Injektiv, surjektiv, bijektiv. Isomorphismus, Automorphismus, Homomorphismus, Homöomorphismus, Endomorphismus, Epimorphismus. Stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar. |Textart=Beispielliste |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t6prpmojkppyuey1n4clnc4zink8ly8 0 131799 767476 700362 2022-08-15T16:19:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmenge der natürlichen Zahlen, die man als Summe von drei Quadraten schreiben kann, {{ Definitionslink |Prämath= |arithmetisch repräsentierbar| |Kontext=Relation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Formuliere{{n Sie}} in der arithmetischen Sprache, dass die {{math|term=7|SZ=}} keine Summe von drei Quadraten ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit (N) |Kategorie2=Theorie der Quadratsummen in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzwgfydxfdzrfbki74gkimfzj0cp4s9 106 132012 766804 713436 2022-08-15T13:52:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblattgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Projektiver Raum/Globale algebraische Funktionen/Sind K/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektiver Raum/D+(X) \cup D+(Y)/Konstante Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektiver Raum/D +(f)/Rationale Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Endliche Erweiterung/Nichteinheit bleibt Nichteinheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Morphismus/X^2+YZ^2 +Z^(m+1)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Morphismus/xy-z^n/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlich erzeugte Algebra/Ganz/Endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/1/Nicht konstant/Nicht algebraisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationaler Funktionenkörper/Echter Zwischenkörper/Darüber endlich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Algebra/Algebraisch abhängig/Definition|}} {{ inputaufgabe |Polynome/n Variablen/Variablen/Algebraisch unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/n Variablen/Algebraisch abhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Affiner Raum/Polynomiale Abbildung/Höhere Dimension/Nicht surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Algebra/K/Algebraisch unabhängig/Isomorphie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Restklassenring/Algebraisch abgeschlossen/Endlich über Polynomring in einer Variablen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Transitivität der Endlichkeit (Algebren)/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Endliche Erweiterung/KX/Explizit/Relation über X invers/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Projektive Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Projektive Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektion weg von Punkt/Ebene/Gleichung für Fasergerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kuspe/Affine Gerade/Keine Fortsetzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektion weg von Punkt/Ebene/Auf Gerade/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektion weg von Punkt/Ebene/Fermat-Quadrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Der Beweis der folgenden Aussage erfordert das Konzept der {{ Definitionslink |Prämath= |Separabilität für Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=den|Charakterisierungssatz|Faktseitenname= Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für separable Polynome. {{ inputaufgabe |Projektion weg von Punkt/Ebene/Generischer Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektion weg von Punkt/Ebene/Charakterisitk p/Beispiel/Generischer Grad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektion weg vom Punkt/Auf Kurve/Sekanten/Achsenkreuz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Projektive Gerade/Unendlich/Folgenkonvergenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektive ebene glatte Kurve/Grad d/Morphismus mit d-1 Faserpunkte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebene projektive Kurven/Fermat-Kubik auf P^1/2 zu 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ndu91za2sc1h5ccfn6sas6p9asfrh1r 106 132018 767568 730227 2022-08-15T16:36:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblattgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben}} Die folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf {{ Faktlink |Präwort=den|Chinesischen Restsatz|Faktseitenname= Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für den Polynomring {{math|term=K[X]|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Polynom/Q X modulo X^4-1/Produkt von Körpern/Restklasse von X^3+X/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produktring/RRRRCCC/Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring K X/Produkt von Linearfaktoren/Restklassenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring K X/Algebraisch abgeschlossen/Restklassenring/Struktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Chinesischer Restsatz/RX modulo X^3-7X^2+3X-21/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Projektive Gerade/Quotient aus Linearformen/Schnitte/Lineare Transformation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Glatte projektive Kurve/q nach P^1/Konstante/Transformation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Ringhomomorphismus/Faserring/Definition}} {{ inputaufgabe |Potenzabbildung/KX/Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faser/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisgleichung/Morphismus/2 zu 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nulldimensionale Algebra/Reduziert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Elliptische Kurve/Y hoch 2 ist X hoch 3 -3X-2/X/Faserring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionenkörper/Rationale Abbildung/Grad/Maximum/Ausnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Glatte Kurven/Algebraisch abgeschlossen/Morphismus/Endlich/Faser/Verzweigungsordnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Elliptische Kurve/Zerlegungsform/Projektion/Verzweigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dedekindbereich/Endliche Erweiterungen/Verzweigung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Wurzelaufnahme aus Einheit/Normal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Diskreter Bewertungsring/Quadratwurzelaufnahme/Normal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Separables Polynom/Über Erweiterungskörper/Definition|}} {{ inputaufgabe |Separables Polynom/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Separables Polynom/Teiler ebenfalls/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben diskutieren, zunächst auf der Ringebene, wie sich Körperautomorphismen einer Körpererweiterung des Grundkörpers auf Varietäten auswirken. {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Polynomring/Ring-Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Körperautomorphismus/Polynomring/Ringautomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Körperautomorphismus/Algebra/Ringautomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die vorstehende Aufgabe bedeutet, dass unter {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=L |Punktideale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in natürlicher Weise auf Punktideale abgebildet werden. Die entsprechende Abbildung auf dem affinen Raum über {{math|term=L|SZ=}} wird mit {{math|term= \varphi^* |SZ=}} bezeichnet, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^*(a_1 {{kommadots|}} a_n) || ( \varphi^{-1} (a_1) {{kommadots|}} \varphi^{-1} (a_n)) || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Endlicher Galoiserweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körperautomorphismus/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Körpererweiterung/Polynomring/Affiner Raum/Polynom und Nullstellenmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass ein {{math|term=K|SZ=-}}Automorphismus auf {{math|term=L|SZ=}} einen Automorphismus auf einer über {{math|term=K|SZ=}} definierten Hyperfläche {{math|term=V(F)|SZ=}} induziert. Das gilt allgemeiner für über {{math|term=K|SZ=}} definierte Varietäten und auch für über {{math|term=K|SZ=}} definierte projektiven Varietäten. {{ inputaufgabe |Elliptische Kurve/K/Körpererweiterung/Automorphismus/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 1m8hqb6fl45k3cr7mw1kaj27kewm03v 0 132918 767354 704079 2022-08-15T15:55:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperfläche| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=3|SZ=.}} Woran scheitert bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} die Idee, mit Hilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte {{ Ma:Vergleichskette |P,Q |\in|V_+(F) || || || |SZ= }} gegebenen Geraden eine Addition auf {{math|term=V_+(F) |SZ=}} zu definieren? Wie sieht es bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||1 || || || |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ssicv0dgjkwryqr3quwdhg3k83nayw7 0 133284 767516 704788 2022-08-15T16:25:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} ganzzahlig sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbtqkszyqhbdpjzzoavfysu17p25x41 0 133554 767360 708191 2022-08-15T15:56:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die kubische projektive Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+(X^3+Y^3+Z^3+XY^2+YZ^2+ZX^2+XYZ) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene| {{op:Zmod|2|}}|}} || || || |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die Kurve keine {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=-}}Punkte besitzt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Kurve nicht {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Bestimme{{n Sie}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Erweiterungskörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Zmod|2|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|2^k|}} || || || |SZ=, }} über dem die Kurve einen singulären Punkt besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shi5cx31l14eo5la1gv3cq53q4vetri 0 133570 766945 706717 2022-08-15T14:41:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |X ||X_1 \uplus X_2 || || || |SZ= }} die disjunkte Vereinigung der Varietäten {{ mathkor|term1= X_1 |und|term2= X_2 |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=.}} In welcher Beziehung stehen die {{ Definitionslink |Prämath= |Zeta-Funktionen| |Kontext=Weil| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ mathkor|term1= X_1 |und|term2= X_2 |SZ= }} zur Zeta-Funktion von {{math|term=X_1 \uplus X_2|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} na8frveofbfsf4f01550jni2e9wcawz 0 133671 767177 713377 2022-08-15T15:24:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma || \Z u + \Z v |\subseteq| {{CC|}} || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma' || \Z (mu) + \Z (nv) |\subseteq| \Gamma || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |m,n |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den Kern {{ Zusatz/Klammer |text=mit Anzahl| |ISZ=|ESZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=Torus 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= | {{CC|}}/ \Gamma' | {{CC|}} /\Gamma || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2=Theorie der Isogenien zwischen elliptischen Kurven über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8cwwfdzrwy0bvitd631vmbebwc03ym 0 133710 767409 707053 2022-08-15T16:09:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch {{ Ma:abbele/disp |name= |K|K^2 |t|{{op:Zeilenvektor|t^2|t^3}} |SZ=, }} definierten Kurve heißt {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(x,y) |\in| K^2 || || || |SZ= }} genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |x^3 ||y^2 || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j1fbtvqjr1edojg3gfw0alkyonipyu8 0 133735 767040 707164 2022-08-15T14:58:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=n}} Variablen und sei {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |affine Raum| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften. {{Aufzählung4 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | V(0) ||{{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=, }} d.h. der ganze affine Raum ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Menge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette |V(1) || \emptyset || || || |SZ=, }} d.h. die leere Menge ist eine affin-algebraische Menge. |Es seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_k }} affin-algebraische Mengen mit {{ Ma:Vergleichskette |V_i ||V( {{ideala}}_i) || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_1 \cup V_2 {{cupdots}} V_k || V({{ideala}}_1 \cdot {{ideala}}_2 \cdots {{ideala}}_k) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist die Vereinigung von endlich vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge. |Es seien {{ mathbed|term= V_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} affin-algebraische Mengen mit {{ Ma:Vergleichskette |V_i ||V( {{ideala}}_i) || || || |SZ=. }} Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcap_{i \in I} V_i || V {{makl| \sum_{i \in I} {{ideala}}_i |}} || || || |SZ=. }} Insbesondere ist der Durchschnitt von beliebig vielen affin-algebraischen Mengen wieder eine affin-algebraische Menge.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2ieu3pbezprttfjru0c5kl8m40vuhv 0 133788 767365 707328 2022-08-15T15:57:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F || X^3+aXZ^2+bZ^3 -Y^2Z |\in| K[X,Y,Z] |\in| || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} mit gewissen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|K || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=F|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Hesse-Matrix von {{math|term=F|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(0,1,0)|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} ein nichttriviales Element des Kernes der Hesse-Matrix von {{math|term=F|SZ=}} im Punkt {{mathl|term=(0,1,0)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie2=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 07d2htbimolj1k84j0v47ho55tfaoep 0 133795 767394 707348 2022-08-15T16:06:22Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 3|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^3+Y^3+Z^3 || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Kontext=formal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=F|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Hesse-Matrix von {{math|term=F|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Schnittpunkte von {{math|term=V_+(F)|SZ=}} mit der projektiven Nullstellenmenge zur Determinate der Hesse-Matrix von {{math|term=F|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette |K || {{CC|}} || || || |SZ= }} |Bestimme{{n Sie}} für jeden Schnittpunkt aus Teil (3) die Tangente und bestätige {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Hesse-Matrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljbuolf5wwot8scgk7tsy0tj8fre6bs 0 133796 767427 707350 2022-08-15T16:12:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F ||G+ZH || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=\geq 3|SZ=}} in drei Variablen mit {{ Ma:Vergleichskette |G,H |\in| K[X,Y] || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=K|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} osqr9goeuc0fqqx9pwjwsud2oh3c7hd 0 133982 766832 708068 2022-08-15T14:06:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die beiden Kurven {{ Ma:Vergleichskette |C || V(Y) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |D || V(Y-X^2) || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |affine Koordinatenring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=C|SZ=}} und auch der von {{math|term=D|SZ=}} in natürlicher Weise gleich {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Restklassenringes {{ Ma:Vergleichskette | R || K[X,Y]/(Y,Y-X^2) || || || |SZ=, }} der den Durchschnitt der beiden Kurven beschreibt. |Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |Einheiten| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=}} gibt, die man nicht als ein Produkt von Einheiten schreiben kann, die von den beiden Koordinantenringen herrühren. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qtgyrrad3k8aiz6zhn92jkhr328afag 0 133987 767450 708080 2022-08-15T16:15:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebenen| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} selbst einen projektiven Raum der gleichen Dimension bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ecxuoea9875h89jfgyj0v9txo232px3 0 133988 767449 708081 2022-08-15T16:15:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term=P_0, P_1 {{kommadots|}} P_{N} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=abgeschlossene| |ISZ=|ESZ= }} Punkte im {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektiver Raum|N|K}} |SZ=,}} die in keiner {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Kontext=projektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} liegen. Sei {{ Ma:Vergleichskette |0 |\leq|r |\leq|N || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= P_0, P_1 {{kommadots|}} P_{r} |SZ=}} in keinem projektiven Unterraum der Dimension {{mathl|term=<r|SZ=}} enthalten ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Hyperebenen, die die Punkte {{mathl|term= P_0, P_1 {{kommadots|}} P_{r} |SZ=}} beinhalten, einen projektiven Unterraum der Dimension {{math|term= N-1-r |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Raum aller Hyperebenen| |ISZ=|ESZ= }} bilden. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q97mn3qcdj66j12of8b6pkpu8tot0r3 0 134020 767037 708271 2022-08-15T14:57:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || \{P_1 {{kommadots|}} P_n \} |\subseteq| K^2 || || || |SZ= }} eine endliche Punktmenge in der Ebene über einem unendlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term=M|SZ=}} als Durchschnitt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Kurven| |Kontext=eben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erhalten kann. |Zeige{{n Sie}}, dass man {{math|term=M|SZ=}} als Durchschnitt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |irreduziblen| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} algebraischen Kurven erhalten kann. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Schnitttheorie von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=3 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6uxum7fu58xi63e62a4zrlwv1tw7zc3 0 134045 767336 708309 2022-08-15T15:52:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ausgehend vom {{ Definitionslink |Prämath= |pythagoreischen Tripel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(5,12,13)|SZ=}} mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kongruente Zahl/Pythagoreische Lösung/Zugehöriger Punkt auf elliptischer Kurve/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einen Punkt auf der durch {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3-900X || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kongruenten Zahlen |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} leg7psyts99saneyh7s9bqkgn4i5xvu 0 134068 767243 708369 2022-08-15T15:38:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P ||(a,b,c) |\in|V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} ein Punkt einer {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen projektiven Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass man die {{ Definitionslink |Prämath= |Glattheit| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=P|SZ=}} in einer beliebigen affinen Umgebung {{mathl|term= D_+(X),D_+(Y),D_+(Z) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu der {{math|term=P|SZ=}} gehören muss| |ISZ=|ESZ= }} überprüfen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkbl1qay1u0xfbn6r7ihla7djdvm0cc 0 134089 767245 708421 2022-08-15T15:38:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem unendlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette |C || C_1 \cup C_2 || || || |SZ= }} mit zwei affinen, in {{math|term=C|SZ=}} offenen {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen Kurven| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= C_1 |und|term2= C_2 |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32klb2jwu0h2i8vlpvyeahbtt6gh607 0 134091 767242 708426 2022-08-15T15:38:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |ebene affine Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |C || V(X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4) || || || |SZ= }} über {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} und die durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=eben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |D || V_+(X^2Y^4+X^4Y^2+XZ^5+X^4Z^2+YZ^5+Y^4Z^2) || || || || |SZ= }} {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=C|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=ebene affine Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Man folgere, dass das Polynom {{math|term= X^2Y^4+X^4Y^2+X+X^4+Y+Y^4 |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Polynom n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass jeder Punkt aus {{mathl|term=K^2|SZ=}} zu {{math|term=C|SZ=}} gehört. |Zeige{{n Sie}}, dass jeder {{math|term=K|SZ=-}}Punkt aus {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|K|}} |SZ=}} zu {{math|term=D|SZ=}} gehört. |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=D|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h3x806oee90edhujdi9wr9zvh2wk0ko 0 134104 767446 708490 2022-08-15T16:15:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkte| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Kurve| |Kontext=eben| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+(YZ^2-X^3) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie2=Theorie der kubischen projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1c6mm4pfitbyqphgmr76pug1jac58iq 0 134108 767362 709131 2022-08-15T15:56:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein Polynom {{mathl|term=X^3+aX+b|SZ=}} genau dann keine mehrfachen Nullstellen {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar auch nach keiner {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=4a^3 + 27b^2|SZ=}} von {{math|term=0|SZ=}} verschieden ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} col550lw30zwyo3h9eyg0qrbwdlz9m3 0 134115 767355 708516 2022-08-15T15:55:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette |y^2 || x^3 +ax+b || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette |y^2 || x^3 +a'x+b' || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurven| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= C |und|term2= C' |SZ= }} in kurzer Weierstraßform, wobei die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette |c^4a' ||a || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c^6 b' ||b || || || |SZ= }} mit einem {{ Ma:Vergleichskette |c |\in|K || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ=, }} gelte. Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Kurven die gleiche {{ Definitionslink |Prämath=j |Invariante| |Kontext=j| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xeipjwj4ix4j4ld3ze97ynlltpe1yb 0 134120 767363 708524 2022-08-15T15:56:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Funktion| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F (\lambda) ||{{op:Bruch| (\lambda^2 - \lambda +1)^3| \lambda^2 ( \lambda -1)^2}} || || || |SZ= }} in der Variablen {{math|term=\lambda|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(1 - \lambda) || F( \lambda) || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F( {{op:Bruch|1|\lambda}} ) || F(\lambda) || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F( {{op:Bruch|1|1-\lambda}} ) || F( {{op:Bruch|\lambda -1|\lambda}} ) || F( {{op:Bruch|\lambda|\lambda -1 }} ) || F(\lambda) || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jq0vne1r5q1h55xtgapwbaj1mcphuuo 0 134124 767358 715856 2022-08-15T15:56:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath=j |Invariante| |Kontext=j| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3+x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+X |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gawtxn5jil218bxogjyc21ntudak5n3 0 134125 767357 708532 2022-08-15T15:55:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath=j |Invariante| |Kontext=j| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3+1 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9h6vvlvhzi826fsmu0zdmmka2rhp6ur 0 134128 767356 708542 2022-08-15T15:55:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K ||Q(R) || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |y^2 || x^3 +ax+b || || || |SZ= }} die Gleichung für eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine lineare Transformation derart gibt, dass in der neuen Gleichung für die Kurve die Koeffizienten aus {{math|term=R|SZ=}} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3sbr1nsjjztmtyjnio1efcqh8wbhvk8 0 134132 767428 708624 2022-08-15T16:12:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P ||(a,b,c) |\in|V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |glatter Punkt| |Kontext=ebene projektive Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |ebenen projektiven Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|D_+(Z) || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |c |\neq|0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das lineare homogene Polynom {{ math/disp|term= {{op:Partielle Ableitung|F|X}} (P) X + {{op:Partielle Ableitung|F|Y}} (P) Y+ {{op:Partielle Ableitung|F|Z}} (P) Z |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierung| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des affin-linearen Polynoms ist, das die Tangente in {{math|term= D_+(Z) |SZ=}} beschreibt, vergleiche {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Ebene algebraische Kurven/Glatter Punkt/Tangente/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4bmckaxmopfu7doiovxt8xmhuu6ntdh 0 134141 767451 708591 2022-08-15T16:15:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum|n|K}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term=n|SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |P || {{op:Zeilenvektor|a_0|a_1|\ldots|a_n|}} |\in| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} ein Punkt davon mit {{ Ma:Vergleichskette |a_i,a_j |\neq|0 || || || |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| D_+(X_i) \cap D_+(X_j) || || || |SZ=. }} Die affinen Koordinaten des Punktes in {{ Ma:Vergleichskette |D_+(X_i) |\cong| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|a_0|a_i}} | {{op:Bruch|a_1|a_i}} | \ldots| {{op:Bruch|a_{i-1} |a_i}}| {{op:Bruch|a_{i+1} |a_i}}|\ldots | {{op:Bruch|a_n|a_i}} |}} |SZ=}} und die affinen Koordinaten des Punktes in {{ Ma:Vergleichskette |D_+(X_j) |\cong| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|a_0|a_j}} | {{op:Bruch|a_1|a_j}} | \ldots| {{op:Bruch|a_{j-1} |a_j}}| {{op:Bruch|a_{j+1} |a_j}} |\ldots | {{op:Bruch|a_n|a_j}} |}} |SZ=.}} Wir setzen den Polynomring zu {{math|term=D_+(X_i)|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette |S_i ||K[ {{op:Bruch|X_0|X_i}} , {{op:Bruch|X_1|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1} |X_i}} , {{op:Bruch|X_{i+1} |X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_n|X_i}}] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Unterring des {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Funktionenkörpers| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K(X_0,X_1 {{kommadots}} X_n )|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und entsprechend den Polynomring zu {{math|term=D_+(X_j)|SZ=}} als {{ Ma:Vergleichskette/disp |S_j || K[ {{op:Bruch|X_0|X_j}} , {{op:Bruch|X_1|X_j}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{j-1} |X_j}}, {{op:Bruch|X_{j+1} |X_j}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_n|X_j}}] || || || |SZ= }} an. Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=affine Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=P|SZ=}} in {{math|term=D_+(X_i)|SZ=}} mit dem lokalen Ring von {{math|term=P|SZ=}} in {{math|term=D_+(X_j)|SZ=}} als Unterring von {{mathl|term=K(X_0,X_1 {{kommadots}} X_n )|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1m1eiieajvrszatabsybvq5nw5vrdjm 0 134143 767297 708618 2022-08-15T15:46:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|F|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=F|SZ=}} bezüglich der Variablen {{math|term=X_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Wenn {{math|term=F|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und {{ Ma:Vergleichskette |F |\neq|X_n || || || |SZ= }} ist, so ist auch {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|F|}} |SZ=}} irreduzibel. |Wenn {{math|term=F|SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term=X_n|SZ=}} ist und {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|F|}} |SZ=}} irreduzibel ist, so ist auch {{math|term=F|SZ=}} irreduzibel. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bnu3heiq99gsiz77xtyl94905mfu2og 0 134147 767296 708621 2022-08-15T15:45:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq X_n|SZ=}} und es sei {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|F|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=F|SZ=}} bezüglich der Variablen {{math|term=X_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= K[ {{op:Bruch|X_0|X_n}} , {{op:Bruch|X_1|X_n}} {{kommadots}} {{op:Bruch|X_{n-1} |X_n}} ]/ ({{op:Dehomogenisierung|F|}} )|SZ=}} ist ein Unterring des {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]/(F) |SZ=.}} |Der Quotientenkörper zu {{mathl|term= K[ {{op:Bruch|X_0|X_n}} , {{op:Bruch|X_1|X_n}} {{kommadots}} {{op:Bruch|X_{n-1} |X_n}} ]/ ({{op:Dehomogenisierung|F|}} )|SZ=}} ist ein Unterkörper des {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörpers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]/(F) |SZ=.}} |Wenn man {{math|term=F|SZ=}} nach einer anderen Variablen dehomogenisiert {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term=F|SZ=}} keine Variable ist| |ISZ=|ESZ=, }} so entsteht in Teil (2) der gleiche Quotientenkörper. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2=Theorie der Funktionenkörper (Varietäten) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bcnrfjbocm2x64jh5rbapo30tgl9x0u 0 134149 767295 708623 2022-08-15T15:45:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibles| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogenes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das keine Variable sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V_+(F) || || || |SZ= }} ein Punkt, es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V_+(F) \cap D_+(X_i) || || || |SZ= }} eine affine Umgebung und sei {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|F|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dehomogenisierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=F|SZ=}} bezüglich {{math|term=X_i|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der im affinen Koordinatenring {{mathl|term=K[ {{op:Bruch|X_0|X_i}}, {{op:Bruch|X_0|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_{i-1} |X_i}}, {{op:Bruch|X_{i+1}|X_i}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|X_n|X_i}} ]/( {{op:Dehomogenisierung|F|}} ) |SZ=}} gebildete {{ Definitionslink |Prämath= |lokale Ring| |Kontext=affine Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum Punkt {{math|term=P|SZ=}} für jedes {{math|term=i|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|D_+(X_i) || || || |SZ= }} den gleichen Unterring im Funktionenkörper zu {{math|term=V_+(F)|SZ=}} ergibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der homogenen Polynome |Kategorie2=Theorie der lokalen Ringe von Varietäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ro7g8hg8gfcpqk65jbv8s9gjs9aewd 0 134316 767122 716154 2022-08-15T15:14:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+1 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summe| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (2,3)+ (3, \sqrt{28}) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pawkoqt1u4vhz59jjm8iclk3utyxsg4 0 134317 767132 709561 2022-08-15T15:16:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3-25x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summe| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-5)(X+5)/Ganzzahliger Punkt/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1681|144|}} | {{op:Bruch|62279|1728|}} }} + {{op:Zeilenvektor| 5 | 0 }} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-25X |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} siihtcakjotmt3zf4pn72txbt51rcts 0 134320 767135 709566 2022-08-15T15:17:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3-x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenstruktur| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=E {{makl| {{op:Zmod|3|}} |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} anw71e0blcxs4dooztbz6ys8kb04h76 0 134321 767136 730073 2022-08-15T15:17:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3-x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E |SZ=}} über {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenstruktur| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E {{makl| {{op:Zmod|5|}} |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 551mywpveb4gghqyy7c4ihgvrtfz80g 0 134508 767160 730024 2022-08-15T15:21:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \langle 3+7 {{imaginäre Einheit|}} , 2-5 {{imaginäre Einheit}} \rangle || || || |SZ= }} das Element {{math|term=\tau|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalbereich| |Kontext=Modulsubstitution| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=D|SZ=}} derart, dass {{math|term=\Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \langle 1, \tau \rangle |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4b6t4nnlotiyfs33nlsfu0swe35vp7z 0 134514 767167 723224 2022-08-15T15:22:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass innerhalb der Menge aller {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Tori| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Teilmenge derjenigen Tori, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismenring| |Kontext=Torus 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} größer als {{math|term=\Z|SZ=}} ist, {{Anführung|dünn}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie2=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 44q55iar1kx4card3d0wqt5as85m3ew 0 134516 767161 730025 2022-08-15T15:21:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \langle \sqrt{5} + {{imaginäre Einheit|}} , 3- \sqrt{2} {{imaginäre Einheit}} \rangle || || || |SZ= }} das Element {{math|term=\tau|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalbereich| |Kontext=Modulsubstitution| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=D|SZ=}} derart, dass {{math|term=\Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \langle 1, \tau \rangle |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} evwxqccb07k9f8gqn848vgav66bzznn 0 134517 767162 730026 2022-08-15T15:21:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \langle 1 , -e + \pi {{imaginäre Einheit}} \rangle || || || |SZ= }} das Element {{math|term=\tau|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalbereich| |Kontext=Modulsubstitution| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=D|SZ=}} derart, dass {{math|term=\Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \langle 1, \tau \rangle |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppsg1jrhijc038fojgmu8p4pxpcvt7j 0 134518 767158 710042 2022-08-15T15:20:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \langle r+s {{imaginäre Einheit|}} , t+u {{imaginäre Einheit}} \rangle || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |r,s,t,u |\in|\Z || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | ru-st ||1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\Gamma|SZ=}} das Standardgitter {{mathl|term= \langle 1, {{imaginäre Einheit}} \rangle |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6met7ffov2cl1t0ng4myenqv3v6t42w 0 134524 767159 710079 2022-08-15T15:21:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term=\Gamma|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem Gitter in {{ Ma:Vergleichskette |\Z + \Z {{imaginäre Einheit}} |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ=. }} |{{math|term=\Gamma|SZ=}} ist streckungsäquivalent zu einem Gitter in {{ Ma:Vergleichskette |\Q + \Q {{imaginäre Einheit}} |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ=. }} |{{math|term=\Gamma|SZ=}} ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form {{mathl|term= \Z + \Z \tau |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | \tau |\in|D || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \tau |\in| \Q + \Q {{imaginäre Einheit}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lttvsahrulwf5ud63ug6dohhvh497uy 0 134563 767331 723240 2022-08-15T15:51:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismengruppe| |Kontext=komplexe Lie-Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{CC|}}/(\Z + \Z {{imaginäre Einheit}}) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie 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Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma || \Z u + \Z v |\subseteq| {{CC|}} || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma' || \langle au +bv, cu+dv \rangle |\subseteq| \Gamma || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untergitter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl von {{mathl|term=\Gamma/\Gamma'|SZ=}} gleich dem Betrag der {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2=Theorie der Isogenien zwischen elliptischen Kurven über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l5jkbzkzfehkjimfnp0g5jlvt0yyj5b 0 134574 767168 723238 2022-08-15T15:22:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Eindimensionaler Torus/C/Isogen/Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf den {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Tori| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isogenien zwischen eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r307e4xazbbu8n8c9wczwr1fsnsat92 0 134577 767169 710277 2022-08-15T15:22:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie {{ math/disp|term= w^{-2} ,\, w \in \Gamma' |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |summierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qi17xnk2lj1b44pcx0f6sglsxdbo9ni 0 134580 767082 730078 2022-08-15T15:08:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=f,g|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term=\Gamma |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auch {{ mathkor|term1= f+g |und|term2= f \cdot g |SZ= }} elliptisch sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gllvlp2dqbpzdo2wzo5zekhkq9lbb1o 0 134581 767081 710287 2022-08-15T15:08:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term=\Gamma |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} auch {{math|term=f^{-1} |SZ=}} elliptisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fjlvc744r7svdwko1i1cajr9vbmefkd 0 134582 767079 710288 2022-08-15T15:08:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term=\Gamma |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f' |SZ=}} elliptisch ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oieg9garxvwly6639kimeu3m21xq6jr 0 134584 767080 710303 2022-08-15T15:08:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term=\Gamma |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine eindeutige Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette |f ||g+h || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |geraden| |Kontext=komplexe Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} elliptischen Funktion {{math|term=g|SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |ungeraden| |Kontext=komplexe Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} elliptischen Fuktion {{math|term=h|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vgsb4cenoetzzweofag9tl9wyp1jh9 0 134616 767171 710492 2022-08-15T15:23:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} direkt, dass {{ math/disp|term= {{Mengebed|s \in {{CC|}} |s \Gamma \subseteq \Gamma }} |SZ= }} ein Unterring von {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fcofoqdhug95alel9df7fv0pekakgql 0 134682 767166 710841 2022-08-15T15:22:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z) || \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |ungerade| |Kontext=komplexe Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p99e4v2r5lcnco39k2guyru2k1zhci6 0 134685 767325 710929 2022-08-15T15:50:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vollständig sind, dass also in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} jede {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7i4prgm0nmfz6bq2hkmztm4fue45qvd 0 134686 767165 710932 2022-08-15T15:22:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma ||\langle v_1,v_2 \rangle |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(z) || \sum_{v \in \Gamma} (z-v)^{-3} || || || |SZ= }} in den Punkten {{mathl|term= {{op:Bruch|v_1|2}}, {{op:Bruch|v_2|2}}, {{op:Bruch|v_1+v_2 |2}}, |SZ=}} eine Nullstelle besitzt, und dass dies innerhalb der halboffenen Gittermasche {{mathl|term= {{Mengebed|sv_1+tv_2|0 \leq s,t < 1}} |SZ=}} die einzigen Nullstellen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gduwizh83sx5ia1du41zhrq34qie8x 0 134770 767181 711137 2022-08-15T15:24:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit dem Torus {{mathl|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=}} und der zugehörigen elliptischen Kurve aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Festlegungen in {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/Diskriminante/Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Absolute Invariante/Definition |SZ= }} mit den Festlegungen in {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Diskriminante/Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/j-Invariante/Definition |SZ= }} übereinstimmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2sg8z5skv8tak119r0w37y1z1ewybd 0 134855 767540 711340 2022-08-15T16:29:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \langle u ,v \rangle |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |\in| {{op:GLG|2|\Z}} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |s |>| 2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_ {(m,n) \in \Z^2, \, (m,n) \neq (0,0)} (mu+nv)^{-s} || \sum_ {(k,\ell) \in \Z^2, \, (k,\ell) \neq (0,0)} (k(au+bv)+ \ell (cu+dv) )^{-s} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2=Theorie der Eisenstein-Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f7zio26x73u3sr72x0305f3ngqamlln 0 134860 767179 717734 2022-08-15T15:24:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalente| |Kontext=Gitter C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Tori| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über C |Kategorie2=Theorie der Gitter in C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ime8pk1sz7hh1durog34q62rzudtt7d 0 134889 767182 711619 2022-08-15T15:24:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und {{math|term= \wp|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Weierstraßsche Funktion| |Kontext=p| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\wp|SZ=.}} Drücke {{math|term= \wp^{\prime \prime}|SZ=}} als rationale Kombination in {{ mathkor|term1= \wp |und|term2= \wp' |SZ= }} aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3llazb2isfqp6zdeaqzepl9xwln2l5 0 134890 767164 711622 2022-08-15T15:21:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f |SZ=}} eine rationale Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=h | V_+ (F) | {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |f || h \circ \psi || || || |SZ= }} mit {{math|term= \psi |SZ=}} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8x6qjpt79x9fynsgl3o31v6ykqq9mjj 0 134901 767076 711847 2022-08-15T15:07:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionslimiten| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Differenzenquotienten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} js4w0ti95buezjdkyqoutw5dl1m5qgd 0 134964 767529 712373 2022-08-15T16:27:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine Telmenge, die das {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K || || || |SZ= }} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{Op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} gibt, die gegen {{math|term= x |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ts16ew9441lp1gjzyxe0d31m266515d 0 134970 766708 712414 2022-08-15T12:38:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Aufzählung8 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | b^{x+x'} || b^x \cdot b^{x'} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x,x' |\in| \R || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | b^{-x} || {{op:Bruch|1|b^x}} || || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x |>|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |b^x |>|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |<|1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |x |>|0 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |b^x |<|1 || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |>|1 || || || |SZ= }} ist {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |b |<|1 || || || |SZ= }} ist {{math|term= f |SZ=}} {{ Definitionslink |streng fallend| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | (b^{x})^{x'} || b^{ x \cdot x'} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x,x' |\in|\R || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R_+ || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | (ab)^x || a^x \cdot b^x || || || |SZ=. }} }} hbj9kj5h8e26cltqq8zf74ilyx6ynry 0 134974 766736 712427 2022-08-15T13:05:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} folgende Eigenschaften besitzt. {{:Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaftsliste}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bepss5nq8pqrjn68cmear059ywuddsw 0 134975 766745 712428 2022-08-15T13:12:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=b|SZ=}} eine {{ Definitionslink |positive| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=monoton| |Definitionsseitenname= 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2022-08-15T15:51:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | \R |z| {{op:Betrag|z|}}^2 |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} deqx2l614lbiyadxguvxhq7yxh04yei 0 134982 767335 712467 2022-08-15T15:52:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c |<|d || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Q || {{Mengebed|z \in {{CC|}}| a \leq {{op:Realteil|z|}} \leq b| c \leq {{op:Imaginärteil|z|}} \leq d}} || || || |SZ= }} das dadurch definierte Reckteck in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |Q| {{CC|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1gmm9z0kejkm8ng6knmk9envjex037 0 134983 767334 712462 2022-08-15T15:52:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |c |<|d || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q || {{Mengebed|z \in {{CC|}}| a \leq {{op:Realteil|z|}} \leq b| c \leq {{op:Imaginärteil|z|}} \leq d}} || || || |SZ= }} das dadurch definierte Reckteck in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Es sei {{math|term=z_n|SZ=}} eine Folge in {{math|term=Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten Teilmengen in euklidischen Räumen |Kategorie2=Theorie der komplexen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3ncdr5kewdimd5bu9zqkx1foatnxjf 0 134985 767414 712473 2022-08-15T16:10:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |periodische Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig stetig| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der periodischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6pukf9xkx64q23nnua1zn5hsyfftyv7 0 134986 767548 712500 2022-08-15T16:30:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Untersuche die Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp |x_n || {{op:Bruch|1| \sqrt[k]{n} }} || || || |SZ= }} auf {{ Definitionslink |Prämath= |Konvergenz| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qvhw3evx2bjnhxgpg5lcifnzf0u1hee 0 134991 767298 712529 2022-08-15T15:46:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=z \in {{CC}},\, {{op:Betrag|z|}} <1 |SZ=.}} Bestimme{{n Sie}} und beweise{{n Sie}} eine Formel für die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|Glied= {{imaginäre Einheit|}}^k z^k}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mted9632rszml3yshuo48nqiwg8uzoz 0 134992 766749 712531 2022-08-15T13:19:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Summe der {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Reihe|Glied= {{op:Bruch|1|(3- {{imaginäre Einheit|}})^k }} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awlagvjltel3nmzqda22ej6ib05zvrw 0 135016 767333 720845 2022-08-15T15:51:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |E || {{CC|}}/\Gamma || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |komplexer Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} entspricht. Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term=m|SZ=-}}Multiplikation {{ Ma:abbele/disp |name= [m] |E|E || |SZ= }} den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Kurvenabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=m^2|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isogenien zwischen elliptischen Kurven über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iicczsfj4a7oo9fe27e79z9zx4svllu 0 135061 767120 713052 2022-08-15T15:14:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Faserring| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Produktzerlegung| |ISZ=|ESZ= }} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Morphismus| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | V(Y^2-X^3+3X+2)| {{op:Affine Gerade| {{CC|}} |}} | (x,y)|x |SZ=, }} für die Punkte {{ Aufzählung3 | {{ Ma:Vergleichskette/disp |P ||0 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |Q ||2 || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||3 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen affinen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-3X-2 |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pebwpycwmf6oe8h2oqjzaf4gyvr6ou 0 135080 767252 713242 2022-08-15T15:39:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | S ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}}|n \in \N_+ }} |\subseteq |\R || || || |SZ=. }} Die Funktion {{ Ma:abb |name=f |S|\R || |SZ= }} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl| {{op:Bruch|1|n}} |}} || x_n || || || |SZ= }} festgelegt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Folge eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie2=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Stammbruchraum |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34kas6fwwmhwd7kebv6mbyqfwk65lxt 0 135081 767253 713154 2022-08-15T15:40:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Op:Folge}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | S ||{{Mengebed| {{op:Bruch|1|n}}|n \in \N_+ }} |\subseteq |\R || || || |SZ=. }} Die Funktion {{ Ma:abb |name=f |S|\R || |SZ= }} sei durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f {{makl| {{op:Bruch|1|n}} |}} || x_n || || || |SZ= }} festgelegt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Folgen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Stammbruchraum |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbb3bu1htm0qf24aaq3l4vurfio8n0q 0 135082 766775 713187 2022-08-15T13:39:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |k |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{mathl|term={{op:Folge/lr|Glied={{op:Bruch|1|n^k}} }}|SZ=}} gegen {{math|term=0|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der rationalen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gbt00r9hyddsow0e7aa0yppc0o08fkd 0 135083 767560 713204 2022-08-15T16:33:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Angeordneter Körper/Situation|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= {{op:Folge|}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Folgen| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=K|SZ=,}} wobei {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} gegen {{math|term=x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiere| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Differenzenfolge {{mathl|term=x_n-y_n|SZ=}} sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Folge|y|}} |SZ=}} ebenfalls gegen {{math|term=x|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dlonjiby1f05ho5usteekqviahr4az9 0 135101 767095 732515 2022-08-15T15:10:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismenring| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzqr9nhsxu5rsre7g6nqkr8y4ylktwa 0 135104 767332 717714 2022-08-15T15:51:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit zugehörigem {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC|}}/\Gamma |\cong| V_+(F) || || || |SZ= }} die algebraische Realisierung des Torus als {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Zusatz/Klammer |text=holomorphe| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=Torus 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im algebraischen Sinn ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isogenien auf einer elliptischen Kurve über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ijbrohwb2b8l550k2waydsyz85ydc7f 0 135119 767324 717715 2022-08-15T15:50:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma_1, \Gamma_2 |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Tori| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC|}}/\Gamma_1, {{CC|}}/\Gamma_2 |SZ=.}} Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{CC|}}/\Gamma_i |\cong| V_+(F_i) || || || |SZ= }} die algebraischen Realisierungen der Tori als {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurven| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Zusatz/Klammer |text=holomorphe| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=Torus 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{CC|}}/\Gamma_1 | {{CC|}}/\Gamma_2 || |SZ= }} auch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im algebraischen Sinn ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isogenien zwischen elliptischen Kurven über C |Kategorie2=Theorie der Isogenien zwischen eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8cvrr4dl4kxovc1w8vov2fq3myubh2 0 135133 767185 713485 2022-08-15T15:25:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatte Kurven| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |C|D || |SZ= }} eine nichtkonstante {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|C || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(Q) || P || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Verzweigungsordnung|Q|P}} || {{op:Vektorraumdimension|{\mathcal O}_{C,Q} / {{idealm|}}_P {\mathcal O}_{C,Q}|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Morphismen zwischen glatten Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ivilr9wubvz0kwznhk1a6epg97ft06 0 135150 767371 713673 2022-08-15T15:58:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Definitionslink |Reihen| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Reihe|a|k=i}} |und|term2= {{op:Reihe|b|k=j}} |SZ= }} {{ Definitionslink |komplexer Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nennen wir die Reihe {{ math/disp|term= {{op:Reihe|d}} \text{ mit } d_k = {{sumj0k|a_k b_{j} }} + \sum_{i {{=}} 0}^{k-1} a_ib_k |SZ= }} das {{Anführung|Quadratrandprodukt}} der beiden Reihen. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass jedes Produkt {{mathl|term=a_ib_j|SZ=}} genau zu einem {{math|term=d_k|SZ=}} beiträgt. |Die beiden Reihen seien konvergent. Zeige{{n Sie}}, dass auch die Reihe {{mathl|term= \sum_{k {{=}} 0}^\infty d_k |SZ=}} konvergent ist, und dass deren Summe gleich dem Produkt der beiden Reihen ist. | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6at66zbtvpcoeoenife4jve4gkojij 0 135322 767256 714321 2022-08-15T15:40:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abb |name=f | T| \R || |SZ= }} eine Funktion, wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenfolge| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_n | {{defeq}} | {{op:Bruch|1|n}} f || || || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Die Funktionenfolge {{math|term=f_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert punktweise| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen die Nullfunktion. |Die Konvergenz ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig| |Kontext=Konvergenz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n6opma9hcdlj3kht0sqwcpxrxe0rnhs 0 135332 767257 714349 2022-08-15T15:40:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f | \R| \R || |SZ= }} eine Funktion, wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenfolge| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f_n|SZ=,}} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_n (x) | {{defeq}} | \begin{cases} f(x), \text{ wenn } x \in [-n,n] , \\ 0 \text{ sonst} , \end{cases} || || || |SZ= }} definiert ist. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass die Funktionenfolge {{math|term=f_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |punktweise| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term=f|SZ=}} konvergiert. |Charakterisiere die {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßige Konvergenz| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Funktionenfolge. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p5odtf6fphhgdojuy09x7z9rtj05ib8 0 135337 767250 714386 2022-08-15T15:39:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine nichtleere Menge und {{ Ma:abb |name=f_n |T| {{KRC|}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |konstante Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Wert {{math|term=x_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Folge {{math|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |konvergent| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Funktionenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|f|}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |punktweise konvergent| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Funktionenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|f|}} |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig konvergent| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zvehortow51bndjus8i7s4g0rd471a 0 135340 767262 714391 2022-08-15T15:41:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine endliche Menge und sei {{ Ma:abbele/disp |name= f_n |T| {{KRC|}} || |SZ= }} eine Funktionenfolge auf {{math|term=T|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, das {{math|term= {{op:Folge|f|}} |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |punktweise konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term= {{op:Folge|f|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ih7etxohubvehchfytzowkxg7q0g7g 0 135346 767263 714399 2022-08-15T15:41:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine Menge und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f_n,g_n,h_n |T| \R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenfolgen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_n(x) |\leq| g_n(x) |\leq| h_n(x) || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|T || || || |SZ= }} und alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ=. }} Die Funktionenfolgen {{ mathkor|term1= {{op:Folge|f|}} |und|term2= {{op:Folge|h|}} |SZ= }} seien {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig konvergent| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen die Grenzfunktion {{ Ma:abb |name=f |T| {{KRC|}} || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass auch {{mathl|term= {{op:Folge|g|}} |SZ=}} gleichmäßig gegen {{math|term=f|SZ=}} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ab07uqyb1bhrd0u6n5701049ut65yyn 0 135376 767471 714512 2022-08-15T16:19:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f | \Q| {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht die Nullfunktion. Zeige{{n Sie}}, dass die Wertefamilie {{ mathbed|term= f(q) ||bedterm1= q \in \Q ||bedterm2= |SZ=, }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |summierbar| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (komplexe Zahlen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hm1xvo2xvmg1k92v7dughk284pvxckd 0 135379 767323 714541 2022-08-15T15:50:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Reihe|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |absolut konvergente| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Reihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch jede {{ Definitionslink |Prämath= |Umordnung| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0c62mmk4uc8pgh854gbrojzsmeqeom 0 135437 767389 715263 2022-08-15T16:05:32Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Exponentialfunktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:exp|x|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Approximation| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einschließlich der Restfunktion {{math|term=r(x)|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} im Nullpunkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (C) |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nsmsrzxxtxnclyovwpi4sppknsdcpro 0 135439 767327 715269 2022-08-15T15:50:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |komplexe Betragsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | {{CC|}} | z | {{op:Betrag|z|}} |SZ=, }} im Nullpunkt nicht {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 411j22ji36tf5izg4t27yxdpyopo2kj 0 135440 767543 715271 2022-08-15T16:29:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Realteil| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | {{CC|}} | z | {{op:Realteil|z|}} |SZ=, }} in keinem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k29reqgvowxuel1xuics1hjjyjp8p3y 0 135442 767255 715274 2022-08-15T15:40:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ= }} eine Funktion, die {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}} abbildet. Die Funktion sei in {{ Ma:Vergleichskette |a |\in| \R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als komplexe Funktion| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dann auch die reelle Funktion {{math|term=f {{|}}_{\R} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als Funktion von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} differenzierbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar mit der gleichen Ableitung| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4d5nj4zdf5p27z0aulv0b383np5dg9 0 135443 767326 715275 2022-08-15T15:50:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |komplexe Betragsfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | {{CC|}} | z | {{op:Betrag|z|}} |SZ=, }} in keinem Punkt {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5zxjs82zr0lg6o8qh4ywqlx0iqlcgua 0 135467 767573 715332 2022-08-15T16:37:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |nichtarchimedisch| |Kontext=Betrag| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|f+g|}} |\leq| {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|f|}} | {{op:Betrag|g|}} }} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |f,g |\in|K || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qjcbg39cse1rys91ys4avhdl9w8iibp 0 135476 767571 715347 2022-08-15T16:37:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf einem Körper |Kategorie2=Theorie der metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kitqtuo21axl4apsjmb0bv10c6yk5n 0 135482 767564 715357 2022-08-15T16:34:30Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=R|SZ=}} der zugehöriger {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |maximales Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung|-| {{idealp|}} }} |SZ=}} die zugehörige Bewertung auf {{math|term=K|SZ=}} und {{math|term= {{op:Betrag|-|}}_{{idealp}} |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | R_{{idealp}} || {{Mengebed|f \in K| {{op:Betrag|f|}}_{{idealp}} \leq 1 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nichtarchimedischen Beträge auf einem Zahlkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i74zpzlipq29y6bjzvdejs7dh0y22ws 0 135487 767485 715372 2022-08-15T16:21:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |V/2V ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c25oef27nxrmm1nzanfyiloh6wnzfms 0 135488 767486 715373 2022-08-15T16:21:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \neq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette |V/2V ||0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0g8w338w3qco45xlfizdnikay2yf87f 0 135492 767385 715441 2022-08-15T16:04:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 2|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Einheiten|K|}}/ {{makl| {{op:Einheiten|K}} }}^2 |\cong| {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten in endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der Quadratrestgruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zaycgdxvh9tlcp9s6yzwf5v8v3yujh 0 135514 767392 715612 2022-08-15T16:06:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathbed|term= a_j||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie {{ Definitionslink |komplexer Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie genau dann {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die Familie der {{ Definitionslink |Prämath= |Realteile| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= {{op:Realteil|a_j}} ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} und die Familie der {{ Definitionslink |Prämath= |Imaginärteile| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= {{op:Imaginärteil|a_j}} ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} summierbar ist. Zeige{{n Sie}}, das in diesem Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{ j \in J} a_j || ( \sum_{ j \in J} {{op:Realteil|a_j}}) + {{imaginäre Einheit||}} ( \sum_{ j \in J} {{op:Imaginärteil|a_j}}) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (komplexe Zahlen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hwuukjxjjyyd3xsq15j2htrmv4g7hgq 0 135518 767248 715618 2022-08-15T15:39:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form {{math|term=n^k|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |n,k |\in| \N_{\geq 2} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie der Kehrwerte der echten Potenzen {{ Definitionslink |Prämath= |summierbar| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (reelle Zahlen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxu4aiacjsu03aa9b7oz42cmyooq1z6 0 135525 767345 715658 2022-08-15T15:53:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Negiere{{n Sie}} die Aussage, dass eine Folge {{mathl|term=x_n|SZ=}} in einem angeordneten Körper gegen {{math|term=x|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} durch Umwandlung der Quantoren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kf4f60vul7e3rtkwmtql9m44vjimerr 0 135542 767532 715819 2022-08-15T16:27:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} die folgenden {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbeträge| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von rationalen Zahlen. {{ Aufzählung4 |{{math|term={{op:Betrag|13|}}_{5}|SZ=,}} |{{math|term={{op:Betrag| -1|}}_{16}|SZ=,}} |{{math|term={{op:Betrag| {{op:Bruch|100|33|}} |}}_{2}|SZ=,}} |{{math|term={{op:Betrag| {{op:Bruch|-121|169|}} |}}_{13}|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ot3zol9p6ty3zk739fama677hq3b14h 0 135547 767528 730265 2022-08-15T16:27:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Betrag|-|}}_p |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbetrag| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|p^n|}}_p || p^{-n} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\Z || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjezdxqd52bwilsonkmp0kpv1rkig1f 0 135548 767527 718081 2022-08-15T16:27:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= {{op:Betrag|-|}}_p |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbetrag| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=\Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Folge genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich des gegebenen Betrags ist, wenn die Folge der {{ Definitionslink |Prämath=p |Exponenten| |Kontext=Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=x_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |bestimmt divergent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term= + \infty|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5dh60awf5toj60xvuecd87fsyf30il 0 135550 767533 715828 2022-08-15T16:28:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Konstruiere{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Folge||}} |SZ=}} von {{ Definitionslink |Prämath= |rationalen Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich jedes {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbetrages| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term=0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hh12q7047qmucwf45n3s1huglsyczwl 0 135556 767134 715860 2022-08-15T15:16:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3-X || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Q|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der Punkt {{ Ma:Vergleichskette |(1,0) |\in| E(\Q) || || || |SZ= }} nach der {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq| \Q[ \sqrt{2} ] || || || |SZ= }} einen Halbierungspunkt bekommt. Bestimme{{n Sie}} die Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=\Q[ \sqrt{2} ] |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eines solchen Halbierungspunktes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnhcav531galrlbdos8i6yxh4oj08ff 0 135564 767113 717720 2022-08-15T15:13:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=,}} gegeben in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |Das Polynom {{mathl|term= X^3+aX+b |SZ=}} besitzt in {{math|term=\R|SZ=}} genau eine Nullstelle. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=2|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|2|E(\R)}} |SZ=,}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | E(R) |\cong| S^1 || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Lie-Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung {{math|term=m|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|m|E(\R)}} |SZ=,}} ist isomorph zu {{math|term= {{op:Zmod|m|}} |SZ=}} für alle {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tl6xzezo0yierqlzyv61dlsebs1voa6 0 135567 767111 717727 2022-08-15T15:13:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=,}} gegeben in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |Das Polynom {{mathl|term= X^3+aX+b |SZ=}} besitzt in {{math|term=\R|SZ=}} drei Nullstellen. |Die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=2|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|2|E(\R)}} |SZ=,}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | E(R) |\cong| S^1 \times {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Lie-Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Torsionsuntergruppe zur Ordnung {{math|term=m|SZ=,}} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|m|E(\R)}} |SZ=,}} ist isomorph zu {{math|term= {{op:Zmod|m|}} \times {{op:Zmod|2|}}|SZ=}} für alle geraden {{ Ma:Vergleichskette |m |\geq| 2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und isomorph zu {{math|term= {{op:Zmod|m|}}|SZ=}} für {{math|term=m|SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7t6p9nw5drolwsqrz9ioj2n9l9dax0 0 135569 767117 717721 2022-08-15T15:14:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=,}} gegeben in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |Das Polynom {{mathl|term= X^3+aX+b |SZ=}} besitzt in {{math|term=\R|SZ=}} drei Nullstellen. |{{math|term=E(\R)|SZ=}} besteht in der metrischen Topologie aus zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gilt die {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |E(\R) |\cong| S^1 \uplus S^1 || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | E(R) |\cong| S^1 \times {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Lie-Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der reellen Lie-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ih6abxtb2tk3hbd5ktbcyypinivmntv 0 135572 767115 717726 2022-08-15T15:13:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=,}} gegeben in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. {{ Aufzählung4 |Das Polynom {{mathl|term= X^3+aX+b |SZ=}} besitzt in {{math|term=\R|SZ=}} genau eine Nullstellen. |{{math|term=E(\R)|SZ=}} ist in der metrischen Topologie {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gilt die {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphie| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |E(\R) |\cong| S^1 || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | E(R) |\cong| S^1 || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Lie-Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der reellen Lie-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fms61143j2jkldtr4k0991y3plr2562 0 135575 767114 717716 2022-08-15T15:13:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=.}} Skizziere{{n Sie}} die Möglichkeiten, wie {{math|term=E(\R)|SZ=}} auf {{math|term=E( {{CC|}} )|SZ=}} liegen kann {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/R/Eine Komponente/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der reellen Lie-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n4k1ficq8yozu9hivb762j3md8tij6z 0 135576 767129 716001 2022-08-15T15:16:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3+X || || || |SZ= }} die reelle und die komplexe {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+X |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5d3vc515mg05mivknvfsriz84pj3y1p 0 135587 767309 716000 2022-08-15T15:47:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \N_+ || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow {{op:Torsionsuntergruppeordnung|m|G}} \longrightarrow G \stackrel{ \cdot m}{\longrightarrow} mG \longrightarrow 0 |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvd9mgqs5iwt8yo6eu7au33ufs6b8o0 0 135590 767574 716014 2022-08-15T16:37:40Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \varphi |L|L || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_L || R {{tensor|K}} L |\cong| L [X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} L [X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} die entsprechende {{math|term=L|SZ=-}}Algebra. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{math|term= {{op:Identität|R|}} {{tensor|}} \varphi |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=R_L |SZ=}} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Abbildung aus (1) ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, aber im Allgemeinen kein {{math|term=L|SZ=-}}Algebraautomorphismus. |Es sei nun {{ Ma:Vergleichskette |L ||K[T]/(G) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(T) || P |\in| K[T] || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R_L |\cong| K[T,X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(G, {{ideala}} ) || || || |SZ= }} und dass die Abbildung aus (1) der {{ Definitionslink |Prämath= |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=T \mapsto P, X_i \mapsto X_i |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der K-Algebra-Automorphismen (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dswpy29682bucaufckw89crqcbo53qd 0 135600 767096 716038 2022-08-15T15:10:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3 +aX+b || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |L|L || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Automorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \varphi^* | E(L)|E(L) || |SZ= }} die zugehörige Abbildung auf den {{ Definitionslink |Prämath=L |rationalen Punkten| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi^*|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7sozgnzke6qbh5iqqtjgsoayheupue9 0 135604 767123 716054 2022-08-15T15:15:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3+2 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Aufzählung3 |{{ Ma:Vergleichskette/disp |K ||\Q || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |K || \Q[ \sqrt[3]{2} ] || || || |SZ=, }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp |K || \Q[ \sqrt[3]{2} , \sqrt{-3} ] || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+2 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1jlvs97sgnbwujra6sn3bs0ynaufksz 0 135609 767128 716056 2022-08-15T15:15:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die durch {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3+7X || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} den kleinsten {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} für den die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} von {{math|term=E(K)|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+7X |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skgxek7rqx6jk9vzypjc7scr8xwr6g1 0 135624 767118 717718 2022-08-15T15:14:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=,}} gegeben in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Zerlegungsform| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X- \lambda_3) || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_1 |<| \lambda_2 |<| \lambda_3 || || |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette | B || (0, \lambda_2) || || || |SZ= }} und zerlegen {{ Ma:Vergleichskette |E(\R) || M \uplus N || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{Mengebed|P \in E(\R)| \lambda_1 \leq x(P) \leq \lambda_2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |N || {{Mengebed|P \in E(\R)| x(P) \geq \lambda_3}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass durch {{mathl|term=P \mapsto P +B |SZ=}} eine Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} gegeben ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Summe von zwei Punkten {{ Ma:Vergleichskette |P,Q |\in|M || || || |SZ= }} in {{math|term=N|SZ=}} liegt. |Zeige{{n Sie}}, dass die Summe von zwei Punkten {{ Ma:Vergleichskette |P,Q |\in|N || || || |SZ= }} wieder in {{math|term=N|SZ=}} liegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der reellen Lie-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cqkqd0p53q0qz1lc86xy0qq3ghp5t32 0 135625 767176 716116 2022-08-15T15:23:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | E || {{CC|}}/\Gamma || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=m|SZ=}} von {{math|term=E|SZ=}} in kanonischer Weise {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassengruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1|m}} \Gamma /\Gamma |SZ=}} ist, und das diese wiederum isomorph zu {{mathl|term= \Gamma/ m \Gamma |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nofwefaqr3a9zaeduug84qjqzpx9yws 0 135627 767172 716145 2022-08-15T15:23:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | E || {{CC|}}/\Gamma || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \ell |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass unter den natürlichen Identifizierungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Gamma/ \ell^n \Gamma |\cong| {{op:Torsionsuntergruppeordnung| \ell^n| E}} || || || |SZ= }} mit {{mathl|term=[g] \mapsto {{op:Bruch|1| \ell^n}} [g] |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Torsionsuntergruppe/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die Diagramme {{Kommutatives Quadrat/ru| \Gamma/ \ell^{n+1} \Gamma | \Gamma/ \ell^n \Gamma | {{op:Torsionsuntergruppeordnung| \ell^{n+1}| E}} | {{op:Torsionsuntergruppeordnung| \ell^n| E}} |abb34= \cdot \ell }} kommutieren, wobei oben die natürliche Restklassenabbildung zur Untergruppe {{ Ma:Vergleichskette | \ell^{n+1} \Gamma | \subseteq |\ell^{n} \Gamma || || || |SZ= }} steht. {{ManSie|Man folgere|Folgern Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Modul| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T_\ell (E) |SZ=}} kanonisch {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \varprojlim_{n \in \N} \Gamma/ \ell^n \Gamma |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9r13csz9gfso7lzo29lj4t1dzyjmodq 0 135633 767121 716162 2022-08-15T15:14:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+1 || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summen| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (0,1)+ (0,1) |SZ=}} und {{mathl|term= (0,1)+ (0,1)+ (0,1) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ee77dsp70afhnqll34fu7frnxa4zyiu 0 135639 767127 716179 2022-08-15T15:15:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+4X || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summe| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (2,4)+ (2,4) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+4X |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j29j9etogp2eicyntn1z6l62rtofjk0 0 135642 767116 716203 2022-08-15T15:13:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=}} nicht {{ Zusatz/Klammer |text=als Gruppe| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6446oaa2mxciavscmwk54ga351jc2x 0 135643 767086 716205 2022-08-15T15:09:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} nicht {{ Zusatz/Klammer |text=als Gruppe| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugt| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aonzoayfnsbvkd0a53wqlfrqxkgy2hb 0 135644 767112 717719 2022-08-15T15:13:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=,}} gegeben in {{ Definitionslink |Prämath= |kurzer Weierstraßform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Zerlegungsform| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X- \lambda_3) || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_1 |<| \lambda_2 |<| \lambda_3 || || |SZ=. }} Begünde{{n Sie}} durch eine Skizze, dass {{mathl|term= ( \lambda_3,0) |SZ=}} einen Halbierungspunkt besitzt und dass {{ mathkor|term1= ( \lambda_1,0) |und|term2= ( \lambda_2,0) |SZ= }} keinen Halbierungspunkt besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der reellen Lie-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qysdh8bcf7ynumrn3zu4w82gmg8yrc6 0 135655 767429 716499 2022-08-15T16:12:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Punktes {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|27|100}} | {{op:Bruch|35|64}} | {{op:Bruch|13|11}} }} |\in| {{op:Projektive Ebene|\Q|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2mxm2degmh5kl9qri6gkjpxfrufedk0 0 135657 767436 716510 2022-08-15T16:13:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines jeden Punktes auf der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=}} eine positive natürliche Zahl ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1v3w9mb3mzohnwa86yc8u3xzi8jsfu4 0 135659 767438 718771 2022-08-15T16:13:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Punktes {{mathl|term=(x,1)|SZ=}} auf der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=}} gleich dem Maximum der {{ Definitionslink |Prämath= |Beträge| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Zählers und des Nenners in einer gekürzten Darstellung von {{math|term=x|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shprfbu8j54yuxtdvez84agli9obe9c 0 135660 767435 716511 2022-08-15T16:13:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Punkte auf der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{mathl|term=6,7,8,9,10|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6aubhj5zr9iw3hntlis9k4v03utfc1a 0 135668 767088 716604 2022-08-15T15:09:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+rX^2+sX+t || || || |SZ= }} die Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Verdoppelung eines Punktes {{math|term=(x,y)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |y |\neq|0 || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2(x,y) || {{op:Zeilenvektor| \alpha^2 -2x -r | \alpha^3 -3 \alpha x- \alpha r + y}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || {{op:Bruch|3x^2+2rx+s|2y}} || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfmbqqphi0yr5kle7mfmpk1kc9ywd4n 0 135670 767089 716608 2022-08-15T15:09:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X- \lambda_3) || || || |SZ= }} die Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |Zerlegungsform| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Verdoppelung eines Punktes {{math|term=(x,y)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |y |\neq|0 || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | 2(x,y) || {{op:Zeilenvektor| \alpha^2 -2x + \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 | \alpha^3 -3 \alpha x + \alpha ( \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 ) +y }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || {{op:Bruch|3x^2-2 (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 ) x+ \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_1\lambda_3 + \lambda_2 \lambda_3|2y}} || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1ge3x577f75l1o83ewaoc1c61rseqv 0 135682 767148 717717 2022-08-15T15:19:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||(X- \lambda_1)(X-\lambda_2)(X-\lambda_3) || || || |SZ= }} die Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E |SZ=}} in {{ Definitionslink |Prämath= |Zerlegungsform| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette |\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 |\in|K || || || |SZ=. }} Es gelte {{ Ma:Vergleichskette | - \lambda_i || \mu_i^2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |w || \mu_1\mu_2 + \mu_1\mu_3 + \mu_2\mu_3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | z || -( \mu_1+\mu_2+\mu_3) w + \mu_1 \mu_2\mu_3 || || || |SZ= }} die Verdoppelungsgleichung {{ Ma:Vergleichskette | 2 (w,z) || (0, \mu_1 \mu_2 \mu_3) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5lkrogejow7j7bmg7dkk92xjnd3ze61 0 135770 767294 717257 2022-08-15T15:45:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |rationale Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |streng wachsende| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |[0,1]| [a,b] || |SZ= }} gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} omkcyjvzk7lyabc03yf5p70mkw4fkbs 0 135802 767312 717414 2022-08-15T15:48:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |m |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=m|SZ=}} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|m|G}} |SZ=}} in natürlicher Weise ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|m|}} |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8z4wvr8ygkj3andy5y5hwopbtsd00q 0 135808 767310 717432 2022-08-15T15:48:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{math|term=\ell|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Modul| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in natürlicher Weise ein {{ Definitionslink |Prämath=\hat{ \Z}_\ell |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bt4ltup17vd5wqqycwnwryfh5vfinb2 0 135813 767525 730288 2022-08-15T16:26:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=\ell|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Modul| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \Q/\Z |SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_\ell (\Q/\Z ) || \hat{\Z}_\ell || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Q mod Z |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0b1s4einh6hb4n113wrfvn22y9j5ti 0 135853 767104 717640 2022-08-15T15:12:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3+1 || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Reduktionen für die Punktemenge {{ math/disp|term= {{elliptischo|}} ,\,(-1,0) ,\,(0,1) ,\, (0,-1) ,\,(2,3) ,\, (2,-3) |SZ= }} für die Primzahlen {{ Ma:Vergleichskette |p ||2,3,5,7 || || || |SZ=. }} Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+1 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okca09xzrzxp23b41ylwkpzbefx9tzt 0 135857 767106 717641 2022-08-15T15:12:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die durch {{ Ma:Vergleichskette | y^2 || x^3-x || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Reduktionen für die Punktemenge {{ math/disp|term= (0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {{elliptischo|}} |SZ= }} für die Primzahlen {{ Ma:Vergleichskette |p ||2,3,5,7 || || || |SZ=. }} Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fkr2dnx2s92i7qixigoxv50undelm25 0 135858 767090 717637 2022-08-15T15:09:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass für eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über {{math|term= \Q |SZ=}} die Reduktionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | E(\Q) | E( {{op:Zmod|p|}} ) || |SZ= }} im Allgemeinen nicht surjektiv ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zqw7jrk13bhzt9kp4tnuhf06vm3fk2 0 135864 767337 717655 2022-08-15T15:52:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für {{ Ma:Vergleichskette |n ||5,6,7,13,14,15 || || || |SZ= }} einen Punkt der durch {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3-n^2X || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, der kein {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kongruenten Zahlen |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mejr1tw0lb1e4rnq92kza3ldim01bot 0 135868 767107 717661 2022-08-15T15:12:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die beiden affinen Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+16 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |V^2 +V ||U^3 || || || |SZ= }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Q|SZ=}} definieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsc83jcmtv297h2208g2tf8ei9q9g32 0 135870 767108 717663 2022-08-15T15:12:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die beiden affinen Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+16 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |V^2 +V ||U^3 || || || |SZ=, }} die nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3+16/Andere Darstellung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Q|SZ=}} definieren, jeweils die Primzahlen {{math|term=p|SZ=,}} für die die Kurve über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m0ppte9cila8mrlfsze4pcqae8z8bg1 0 135876 767109 717677 2022-08-15T15:12:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die beiden affinen Gleichungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+16 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |V^2 +V ||U^3 || || || |SZ=, }} die nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3+16/Andere Darstellung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Q|SZ=}} definieren, den {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktionstyp| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Primzahlen {{math|term=p|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |schlechter Reduktion| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5inlos1b6cjlbylm1lcdem9uyegnxow 0 135880 767364 717759 2022-08-15T15:57:02Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Polynom der Form {{ math/disp|term= Y^2+rY+s -X^3-aX^2-bX-c |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |r,s,a,b,c |\in|K || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzibel| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term=K[X,Y]|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Teilbarkeitstheorie in Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ah97psgwfuw9vnb9nok907xi842g5c2 0 135907 767554 717993 2022-08-15T16:31:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |reelle Sinusfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term=[0, \pi] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konkav| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die reelle Sinusfunktion auf {{mathl|term=[- \pi, 0] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die reelle Sinusfunktion im Nullpunkt einen {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Punkte=3 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4r16ffv2182r60xjoeub7ctucftnnrv 0 135908 767400 718020 2022-08-15T16:07:23Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine affin-lineare Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | \R|\R |x|ax+b |SZ=, }} sowohl {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |Prämath= |konkav| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l7aa7fma9ljkvnzsh53fvsqwjsp8u4r 0 135913 767418 718314 2022-08-15T16:10:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele |name=f |\R|\R |x| f(x) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq|2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} höchstens {{mathl|term=n-2|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wendepunkte |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11fvky7j4hj36fw1stk6srjgda5rvfd 0 135914 767551 718039 2022-08-15T16:30:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a |<|b |<|c || || |SZ= }} und seien {{ Ma:abb |name=g |[a,b]|\R || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=h |[b,c]|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |g(b) |\neq| h(b) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |f(x) || \begin{cases} g(x) \text{ für } x \leq b \, , \\ h(x) \text{ für } x > b \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ompmaevm8yue5k8j976dgg84xokvmay 0 135915 767553 718042 2022-08-15T16:31:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= | \R_+|\R |x| {{op:Bruch|1|x|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24zuqg4mkyxlv85w4b9dq9au2deozgo 0 135916 767552 718049 2022-08-15T16:30:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} eine Funktion, die in {{math|term=a|SZ=}} und in {{math|term=b|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isolierte lokale Minima| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6mwz48o846fay4yideinl9g3mpjfqq 0 135928 767426 718114 2022-08-15T16:12:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= p_1 {{kommadots|}} p_n |SZ=}} endlich viele {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für jede Primzahl den {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktionstyp| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3- p_1 \cdots p_n || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5xjpr9t2a6hph3wluw1rytujih4gt7d 0 135931 767550 718148 2022-08-15T16:30:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |I,J |\subseteq| \R || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Intervalle| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=f |I|J || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |wachsende| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvexe| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Umkehrfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f^{-1} |J|I || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konkav| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1e5klffa0arsrzc5qcqydmsikcfnz9n 0 135936 767549 718158 2022-08-15T16:30:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvexe| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|\R || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Tangente| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an den Graphen in {{math|term= (a,f(a)) |SZ=}} mit dem Graphen oberhalb eines {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell einpunktigen| |ISZ=|ESZ= }} Intervalles übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2v8dleihto7gw1qxxg0jsogx55qfnj 0 135947 767491 718306 2022-08-15T16:22:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |offenes Intervall| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=f |I|\R || |SZ= }} eine dreimal {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion und {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|I || || || |SZ= }} ein Punkt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{\prime \prime} (x) || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{\prime \prime \prime} (x) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=x|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wendepunkte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ksmpei2hb8n4igpoe5gwjz1gokliw86 0 135953 767425 732451 2022-08-15T16:12:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|\R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |offenes Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb |name=f |I| \R || |SZ= }} eine durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegebene Funktion und {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|I || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term=f|SZ=}} eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt. {{ Aufzählung4 |{{math|term=f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a+ \epsilon ] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvex| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=f|SZ=}} ist auf {{mathl|term=[a- \epsilon, a+ \epsilon ]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konkav| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a] |SZ=}} konvex und auf {{mathl|term= [a, a + \epsilon]|SZ=}} konkav. |{{math|term=f|SZ=}} ist auf {{mathl|term= [a- \epsilon, a] |SZ=}} konkav und auf {{mathl|term= [a, a + \epsilon]|SZ=}} konvex. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9bwfwof6td22c3plj8lky3063adth2 0 135963 767412 718358 2022-08-15T16:09:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || x^4+ax^3+bx^2+cx+d || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=4|SZ=.}} Charakterisiere{{n Sie}} durch eine Bedingung an die Koeffizienten {{mathl|term=a,b,c,d|SZ=}} die Eigenschaft, dass {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Wendepunkte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wendepunkte |Kategorie2=Theorie der quartischen Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} my5ezvihl34ozwf8vq2ktfs1h0er6zm 0 136044 767434 718774 2022-08-15T16:13:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jeder Schranke {{ Ma:Vergleichskette |S |\in|\R_+ || || || |SZ= }} nur endliche viele {{math|term=\Q|SZ=-}}rationale Punkte auf der projektiven Geraden {{math|term= {{op:Projektive Gerade|\Q|}} |SZ=}} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unterhalb von {{math|term=S|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1s3o128brf4hxmm5upjzlrcgv9f3tz 0 136058 767440 718879 2022-08-15T16:14:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | H(xy) |\leq| H(x) H(y) || || || |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |absolute Höhe| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Allgemeinen echt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3toc5b4ahx51vao8pduh33cuxblgziw 0 136060 767453 718909 2022-08-15T16:16:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es zu jeder Schranke {{ Ma:Vergleichskette |S |\in|\R_+ || || || |SZ= }} nur endliche viele {{math|term=\Q|SZ=-}}rationale Punkte auf dem projektiven Raum {{math|term= {{op:Projektiver Raum|m|\Q|}} |SZ=}} gibt, deren {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unterhalb von {{math|term=S|SZ=}} liegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1locmrl8ogxzfsd0rja7x8rjamp178n 0 136063 767448 718915 2022-08-15T16:15:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| {{op:Projektiver Raum|m| {{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} }} || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |{{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} | {{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körperautomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem induzierten Automorphismus auf dem projektiven Raum. Zeige{{n Sie}}, dass für die {{ Definitionslink |Prämath= |absolute Höhe| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | H(\varphi(P)) || H(P) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk7cg0z2n3bqjx59zievgvkuuslrvwd 0 136080 767442 719149 2022-08-15T16:14:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Punktes {{ Ma:Vergleichskette |(f,1) |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} nicht unbedingt gleich {{math|term=1|SZ=}} sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vorwbbd6o2wlish33nh9ruezd37dyj 0 136081 767443 719150 2022-08-15T16:14:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Punktes {{ Ma:Vergleichskette |(f,1) |\in| {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} gleich {{math|term=1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der Einheiten in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ifj5oq01xld1f7gw3u3ugygnm8zvhx0 0 136082 767439 719154 2022-08-15T16:14:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Höhe| |Kontext=projektiver Raum K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den Punkt {{ Ma:Vergleichskette |( {{op:Bruch|2+3 {{Imaginäre Einheit||}}|1-5 {{Imaginäre Einheit||}}|}} ,1) |\in| {{op:Projektive Gerade| \Q[ {{imaginäre Einheit||}} ]|}} || || || |SZ= }} über dem Körper {{math|term=\Q[ {{imaginäre Einheit||}} ] |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der vierte Kreisteilungskörper über Q |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgtghn3klcfhcyyfy3ws7zbo9mdt45t 0 136121 767278 719297 2022-08-15T15:43:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Sinusfunktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | {{CC|}} |z| {{op:sin|z|}} |SZ=, }} nur reelle Nullstellen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gowfagr5l84um86lwlkv0dh5tg0pidj 0 136123 767346 719300 2022-08-15T15:54:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Kosinusfunktion| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}} | {{CC|}} |z| {{op:cos|z|}} |SZ=, }} nur reelle Nullstellen besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8pkvrrswp22m6wu3rduxzvizhidgao 0 136126 767441 719317 2022-08-15T16:14:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es in der Situation von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} keine {{ Zusatz/Klammer |text=von {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} unabhängige| |ISZ=|ESZ= }} positive Konstante {{math|term=c|SZ=}} derart gibt, dass die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | H(xy) |\geq| c H(x) H(y) || || || |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |absolute Höhe| |Kontext=projektiver Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h87mgmmdwmbg3yr5a3j1sv4g4batnx9 0 136129 767369 719331 2022-08-15T15:57:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=P(x)|SZ=}} ein reelles Polynom vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine positive reelle Zahl {{math|term=c|SZ=}} derart gibt, dass die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|P(x) |}} | 1}} | \geq | c \cdot {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|x |}}^d | 1}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| \R || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Polynomfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mu97npa7on0u7betolf85fbfvt5ubzs 0 136137 767563 719400 2022-08-15T16:34:20Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |F |\in|K[X] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Polynom| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Betrag|-|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine positive reelle Zahl {{ Ma:Vergleichskette |c |>|0 || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|F(x)|}} |1 }} |\geq| c \cdot {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|x|}}^d |1 }} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5bbu13a897q513w8bejbd7nc3vqju9 0 136143 767483 719435 2022-08-15T16:20:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette |f,g |\in|K[X] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremde| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, ohne {{ Faktlink |Präwort=den|Hilbertschen Nullstellensatz|Faktseitenname= Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} heranzuziehen, dass das von den {{ Definitionslink |Prämath= |Homogenisierungen| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |F,G |\in| K[X,Y] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte Ideal| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Potenzen von {{math|term=X|SZ=}} und von {{math|term=Y|SZ=}} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Hilbertsche Nullstellensatz (geometrische Versionen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6j550a1g333epicy3m4awx9616vycu 0 136149 767144 719562 2022-08-15T15:18:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} gegeben durch eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_i |\in|K || || || |SZ=. }} Es sei eine reelle Einbettung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| \R || || || |SZ= }} fixiert und es sei {{ Ma:Vergleichskette | E (\R) || S^1 \uplus S^1 || || || |SZ= }} die zugehörige reelle Kurve, vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es sei {{math|term=r|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Rang| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve. Zeige{{n Sie}}, dass beide reellen Zusammenhangskomponenten von {{math|term= E(\R) |SZ=}} jeweils {{math|term=r|SZ=}} Elemente besitzen, die jeweils {{math|term=E(K)|SZ=}} modulo Torsion erzeugen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgzi6viz4fbr66ldur91t0bgc2eorf6 0 136150 767143 719559 2022-08-15T15:18:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} gegeben durch eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_i |\in|K || || || |SZ=. }} Es sei eine reelle Einbettung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| \R || || || |SZ= }} fixiert und es sei {{ Ma:Vergleichskette | E (\R) || S^1 \uplus S^1 || || || |SZ= }} die zugehörige reelle Kurve, vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, wo die eine reelle Zusammenhangskomponente von {{math|term= E(\R) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=E(K)|SZ=}} enthält, die andere aber nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hj5wa0qkufdskl8znr0h7331sboepu 0 136151 767146 719563 2022-08-15T15:18:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} gegeben durch eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_i |\in|K || || || |SZ=. }} Es sei eine reelle Einbettung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| \R || || || |SZ= }} fixiert und es sei {{ Ma:Vergleichskette | E (\R) || S^1 \uplus S^1 || || || |SZ= }} die zugehörige reelle Kurve, vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, wo die beiden reellen Zusammenhangskomponente von {{math|term= E(\R) |SZ=}} jeweils kein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E(K) |SZ=}} enthalten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 99oa4ktwkjpcd0p1tgn8qvjjweoo6nz 0 136152 767147 719566 2022-08-15T15:19:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1, \varphi_2 |K| \R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die zugehörigen elliptischen Kurven {{ mathkor|term1= E(\R)_1 |und|term2= E(\R)_2 |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als topologischer Raum mit der metrischen Topologie| |ISZ=|ESZ= }} und nicht {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als Gruppe| |ISZ=|ESZ= }} sein müssen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owrkv8mxdpey0p5sgz2y3rfnky1hu9i 0 136156 767142 719570 2022-08-15T15:18:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1, \varphi_2 |K| {{CC|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Einbettungen| |Kontext=Zahlkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zwischen den zugehörigen elliptischen Kurven {{ mathkor|term1= E( {{CC|}} )_1 |und|term2= E( {{CC|}} )_2 |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über C |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} som2umtx6ej8wgpbhphwj2kbnjba8zo 0 136158 767145 719576 2022-08-15T15:18:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} gegeben durch eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || (X- \lambda_1)(X- \lambda_2)(X-\lambda_3) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \lambda_i |\in|K || || || |SZ=. }} Es sei eine reelle Einbettung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| \R || || || |SZ= }} fixiert und es sei {{ Ma:Vergleichskette | E (\R) || S^1 \uplus S^1 || || || |SZ= }} die zugehörige reelle Kurve, vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/R/Zwei Komponenten/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp | E(K)_0 | {{defeq|}} |E(K) \cap S^1 || || || |SZ= }} mit derjenigen Komponente, die das neutrale Element {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} enthält, eine Untergruppe von {{math|term=E(K)|SZ=}} ist und dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp| E(K)_0 |E(K)| {{op:Zmod|2|}} }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} le1z24xcu3jfaaflvtfuhe09vucntzc 0 136163 767481 719606 2022-08-15T16:20:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= f | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ= }} eine im Punkt {{math|term= a |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}fach {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass das {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=f|SZ=}} im Punkt {{math|term=a|SZ=,}} geschrieben in der verschobenen Variablen {{math|term= x-a |SZ=,}} gleich dem {{math|term= n |SZ=-}}ten Taylor-Polynom der Funktion {{ Ma:Vergleichskette | g(x) || f(x+a) || || || |SZ= }} im Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=geschrieben in der Variablen {{math|term= x |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 52bx9mgkfbcp2fch0qu32dblfstmc21 0 136166 767482 719620 2022-08-15T16:20:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ= }} eine Funktion. Vergleiche{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |polynomiale Interpolation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term= n+1 |SZ=}} gegebenen Punkten und die {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynome| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= n |SZ=}} zu einem Punkt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie2=Theorie der Interpolation durch Polynome in einer Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b58aezz2f3g2flv58c41bs9fubq3egl 0 136168 767480 719622 2022-08-15T16:20:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man mache|Machen Sie}} sich klar, dass man zu einer Funktion {{ Ma:abb |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ= }} das {{math|term=n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Taylor-Polynom| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term=b|SZ=}} nicht aus dem {{math|term=n|SZ=-}}ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt {{math|term=a|SZ=}} bestimmen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in einer Variablen (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2uv8uyijtow1tudzo45pnh7ye9ifbst 0 136172 766779 719638 2022-08-15T13:43:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=I|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|I || || || |SZ= }} ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte {{ Ma:Vergleichskette | f'(a) || 0 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung2 |Wenn {{ Ma:Vergleichskette |f^{\prime \prime }(a) |>| 0 || || || |SZ= }} ist, so besitzt {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=a|SZ=}} ein {{ Definitionslink |isoliertes lokales Minimum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Wenn {{ Ma:Vergleichskette | f^{ \prime \prime}(a) |<|0 || || || |SZ= }} ist, so besitzt {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=a|SZ=}} ein {{ Definitionslink |isoliertes lokales Maximum| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tiyrtdrdmk8utqnzb207xviak7g152g 0 136220 767421 720137 2022-08-15T16:11:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|p|}} || || || |SZ=, }} wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X]| K[X] || |SZ= }} und dadurch {{math|term=K[X] |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X] |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Beschreibe{{n Sie}} die folgenden Polynome {{math|term=F|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X] |Linearkombination| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der Basis {{mathl|term= X^0,X^1 {{kommadots|}} X^{p-1} |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F || 2 +2X^1 +X^2 || || || |SZ= }} |{{ Ma:Vergleichskette |p ||5 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F ||X^5 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |p ||2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F || X^3+X^4+X^9 || || || |SZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette |p ||3 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |F || 2X^2 +X^3+ X^5+2X^7 || || || |SZ=. }} | }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmq5406t75a33pjv12yaoo70r3g4hlq 0 136221 767422 720139 2022-08-15T16:11:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Zmod|p|}} || || || |SZ=, }} wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || |SZ= }} und dadurch {{math|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |Modul| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für diesen Modul. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qh9gq4o2ebgvke18dmwmuv2p1gng5y2 0 136227 767131 720226 2022-08-15T15:16:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3+X || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls eine solche vorliegt| |ISZ=|ESZ= }} die Anzahl der Punkte für die Körper mit {{ Ma:Vergleichskette | p || 2,3, 5,7,11,13 || || || |SZ= }} Elementen und vergleiche mit {{ Faktlink |Präwort=der|Hasse-Schranke|Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+X |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8kp8g44pg3ks4rks33io33rcrep8eb8 0 136228 767125 720227 2022-08-15T15:15:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3+2X-3 || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls eine solche vorliegt| |ISZ=|ESZ= }} die Anzahl der Punkte für die Körper mit {{ Ma:Vergleichskette | p || 2,3, 5,7,11,13 || || || |SZ= }} Elementen und vergleiche mit {{ Faktlink |Präwort=der|Hasse-Schranke|Faktseitenname= Elliptische Kurve/Endlicher Körper/Hasse-Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+2X-3 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33dt6v4xntpvul1e298kurege55r6bq 0 136242 767093 720415 2022-08-15T15:10:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K || {{op:Endlicher Körper|q|}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^e || || || |SZ= }} Elementen und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\Phi | E_{{op:Algebraischer Abschluss|K|}} | E_{{op:Algebraischer Abschluss|K|}} || |SZ= }} der {{math|term=e|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Algebraischer Abschluss|K|}} |lineare Frobenius| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |r |\in|\N || || || |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette |s |\in|\N || || || |SZ= }} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Torsionsuntergruppeordnung|r| E({{op:Algebraischer Abschluss|K|}}) }} | \subseteq| {{op:Kern(| {{op:Identität |E_{{op:Algebraischer Abschluss|K|}}|}} - \Phi^s |}} || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | s |\in|\N || || || |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette | r |\in|\N || || || |SZ= }} gibt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern(| {{op:Identität |E_{{op:Algebraischer Abschluss|K|}}|}} - \Phi^s |}} | \subseteq| {{op:Torsionsuntergruppeordnung|r| E({{op:Algebraischer Abschluss|K|}}) }} || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} axdnt7v4ynffzr7u8ms692eekmkfxp3 0 136243 767094 720419 2022-08-15T15:10:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=,}} die durch eine Weierstraßgleichung {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || X^3+aX+b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in| K || || || |SZ= }} gegeben sei. Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|K || || || |SZ= }} ein Element {{ Ma:Vergleichskette |y |\in|L || || || |SZ= }} in einer {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term=(x,y)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=L |rationaler Punkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b42bhk76baolxdod83ybl1az41ni9zs 0 136258 767130 720507 2022-08-15T15:16:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+X || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über {{math|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath={{op:Zmod|5|}} |rationalen Punkte| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=E|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Zeta-Funktion| |Kontext=Weil| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=E|SZ=.}} |Erstelle{{n Sie}} eine Formel für die Anzahl der {{math|term= {{op:Endlicher Körper|5^r|}} |SZ=-}}rationalen Punkte von {{math|term=E|SZ=}} für jedes {{ Ma:Vergleichskette |r |\in| \N_+ || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{math|term= {{op:Endlicher Körper|5^r|}} |SZ=-}}rationalen Punkte von {{math|term=E|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |r ||2,3,4 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7acjujfsm6kqogz0s81ojhf64o2ts3w 0 136263 767452 720514 2022-08-15T16:16:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Reihe {{mathl|term= \sum_{r {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch|N_r|r|}} t^r |SZ=,}} wobei {{math|term= N_r |SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |rationalen Punkte| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des projektiven Raumes {{math|term= {{op:Projektiver Raum|n|{{op:Endlicher Körper|q|}} }} |SZ=}} bezeichnet, für {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|t|}} |<| {{op:Bruch|1|q^n}} || || || |SZ= }} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n8jzrkq2orfedd47folgidl14gzlxuz 0 136264 767447 720513 2022-08-15T16:15:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} eine projektive Varietät über einem endlichen Körper {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} und sei {{math|term=N_r |SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |rationalen Punkte| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=X|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{ Ma:Vergleichskette |m |\in|\N || || || |SZ= }} derart gibt, dass die Reihe {{mathl|term= \sum_{r {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch|N_r|r|}} t^r |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|t|}} |<| {{op:Bruch|1|m}} || || || |SZ= }} konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qee18vaefxdxnd6wzifij8rz8lwg76x 0 136287 767569 720836 2022-08-15T16:37:00Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die additive Gruppe {{math|term=(K,0,+)|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Charakteristik eines Körpers |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} geqclc3bqhk5m1xog4xusx5bu0js575 0 136288 767347 720837 2022-08-15T15:54:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die Kreisgruppe {{math|term=S^1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n2i03wd5oqoang5kg2b2oh503l68j5z 0 136289 767484 720839 2022-08-15T16:21:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |komplexer Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als kommutative Gruppe {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rb1xazsodmood3ybvsw78y6pzyxxxc8 0 136292 767084 720852 2022-08-15T15:08:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |divisibel| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der divisiblen Gruppen |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9c8d2b9p9n7a5uwnj3c79hp4qfzygl 0 136300 767348 720872 2022-08-15T15:54:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=\ell|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Modul| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T_\ell (S^1) |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= S^1 |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flmyf7ip0p1x64qjgjoz82ao1gxgi2b 0 136305 767430 720894 2022-08-15T16:12:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} gleich {{math|term= \Z|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf der projektiven Geraden |Kategorie2=Theorie der Divisorenklassengruppe (glatte Kurve) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7euxy0s2i8d8x9elknb3se66we1jcp 0 136307 767099 720903 2022-08-15T15:11:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 || X^3+aX+b || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Weierstraßgleichung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | K(X) |\subseteq| K(E) || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=Y|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbxlekjnqxgpr08ljd2z64zzppnyvfa 0 136319 767141 721046 2022-08-15T15:18:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die über {{math|term=\Z|SZ=}} definiert sei, und sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| E(\Q) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\Q |rationaler Punkt| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=P|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionspunkt| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term=n|SZ=}} derart gibt, dass für alle Primzahlen {{math|term=p|SZ=,}} für die die Reduktion modulo {{math|term=p|SZ=}} eine elliptische Kurve ist, der zugehörige Punkt {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{P} |\in| E( {{op:Zmod|p|}} ) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \leq n|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8dvlr5uyl94valxir0pdqipgksuqae0 0 136321 767150 721097 2022-08-15T15:19:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3 + {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Q[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=}} und über {{math|term=\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} von {{math|term=E(\Q[ {{imaginäre Einheit|}} ]) |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Torsionsuntergruppe zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} von {{math|term= E( {{CC|}} ) |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Torsionsuntergruppe zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} von {{math|term= E( {{op:Zmod|5|}} ) |SZ=,}} wobei der Reduktionshomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]| {{op:Zmod|5|}} | {{imaginäre Einheit|}} | 2 |SZ=, }} zugrunde liegt. |Bestimme{{n Sie}} die Torsionsuntergruppe zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} von {{math|term= E( {{op:Zmod|5|}} ) |SZ=,}} wobei der Reduktionshomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]| {{op:Zmod|5|}} | {{imaginäre Einheit|}} | 3 |SZ=, }} zugrunde liegt. |Bestimme{{n Sie}} die Torsionsuntergruppe zur Ordnung {{math|term=2|SZ=}} von {{math|term= E( {{op:Endlicher Körper|9|}} ) |SZ=,}} wobei der Reduktionshomomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name= |\Z[ {{imaginäre Einheit|}} ]| {{op:Endlicher Körper|9|}} \cong {{op:Zmod|3|}} [ {{imaginäre Einheit|}} ] \cong {{op:Zmod|3|}} [ T ] /(T^2+1) | {{imaginäre Einheit|}} | {{imaginäre Einheit|}} |SZ=, }} zugrunde liegt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über Dedekindbereichen |Kategorie3=Theorie der elliptischen Kurven über C |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6auyeye12agl2unw55kd6gwewj6o8p1 0 136338 767103 721220 2022-08-15T15:11:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[t] || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen und sei {{ Ma:Vergleichskette | K(t) || Q(K[t]) || || || |SZ= }} sein {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über {{math|term=K(t)|SZ=,}} die in {{ Definitionslink |Prämath= |Legendrescher Normalform| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 || x(x-1)(x- t) || || || |SZ= }} gegeben sei. {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass man jede elliptische Kurve über {{math|term=K|SZ=}} in Legendrescher Normalform als Reduktion von {{math|term=E|SZ=}} mittels {{mathl|term= t \mapsto \lambda|SZ=}} im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Gruppenhomomorphismus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erhalten kann. |Für welche {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in| K || || || |SZ= }} ist die Reduktion keine elliptische Kurve? |Welche {{ Definitionslink |Prämath=K(t) |rationalen Punkte| |Kontext=Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=E|SZ=}} gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96kwyzkfq9wm3u9f9l5a1k57e0i1n54 0 136339 767138 721226 2022-08-15T15:17:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |p |\geq|7 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es gebe in {{math|term= E( {{op:Zmod|p|}} ) |SZ=}} ein Element der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann sämtliche Elemente {{math|term= \neq {{elliptischo}} |SZ=}} die Ordnung {{math|term=p|SZ=}} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qocq8paxnhj02emroqmeg5ygc717hck 0 136427 767338 721952 2022-08-15T15:52:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Überprüfe{{n Sie}}, dass für die ungeraden quadratfreien Zahlen {{math|term=n|SZ=}} unterhalb von {{math|term=32|SZ=,}} die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |kongruent| |Kontext=Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, die Anzahlbedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Anzahl| {{Mengebed|(x,y,z) \in \Z^3| 2x^2+y^2+8z^2 {{=|}} n }} |}} || 2 \cdot {{op:Anzahl| {{Mengebed|(x,y,z) \in \Z^3| 2x^2+y^2+32 z^2 {{=|}} n }} |}} || || || |SZ= }} nicht gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kongruenten Zahlen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen in drei Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1m9gz3to7sv53u9g0njkblrkbz7b2ve 0 136457 767100 722152 2022-08-15T15:11:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |a_1 ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a_p ||0 || || || |SZ= }} für alle Primzahlen {{math|term=p|SZ=.}} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |Dirichletreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | L(s) || \sum a_n n^{-s} || || || |SZ= }} zu {{ Definitionslink |Prämath= |multiplikativen| |Kontext=zahlentheoretische Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Koeffizienten {{math|term=a_n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/L-Reihe/Rekursionsbedingung/a p ist 0/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | L(s) || \sum_{k \in \N_+} \lambda (k) k^{1-2s} || || || |SZ= }} ist, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda(k) || \begin{cases} 1 ,\text{ falls die Anzahl aller Primfaktoren von } k \text{ gerade ist}, \\ -1 \text{ sonst}, \end{cases} || || || |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dirichletreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1rzweqscy3liz4j4j4svywzv6ruwxz2 0 136472 767139 722376 2022-08-15T15:17:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | b_{p^r} | {{defeq|}} | p^r + 1 - {{op:Anzahl| E( {{op:Endlicher Körper|p^r|}} )||}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k |b_{p^0} ||b_1 ||2 || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |r |\geq|2 || || || |SZ= }} die rekursive Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | b_{p^{r+1} } || b_p \cdot b_{p^r} - p \cdot b_{p^{r-1} } || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der L-Reihen zu elliptischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9iojxfql5r4218s1ezhqxf0hyj39oeb 0 136485 767410 723322 2022-08-15T16:09:35Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | C || V_+(Y^2Z-X^3) | \subseteq| {{op:Projektive Ebene||}} || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term=K|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette |P || (0,0,1) || || || |SZ= }} der einzige {{ Definitionslink |Prämath= |singuläre Punkt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve ist. |Zeige{{n Sie}}, dass man auf {{mathl|term= C \setminus \{P\} |SZ=}} wie im elliptischen Fall {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette | {{elliptischo|}} ||(0,1,0) || || || |SZ= }} als neutralem Element| |ISZ=|ESZ= }} eine Gruppenverknüpfung definieren kann. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalisierungsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | C \subseteq {{op:Projektive Ebene|K|}} | (u,v) | (u^2v,u^3, v^3) |SZ=, }} bijektiv ist. |Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Neilsche Parabel/Monomiale Abbildung/Geradenbedingung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Gerade|K|}} || D_+(v) || {{op:Projektive Gerade|K|}} \setminus \{ (0,1 )\} || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Affine Gerade|K|}} |und|term2= C \setminus \{P\} |SZ= }} definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k7yf85sgwt9pra23bdqj2cu6anl9kqv 0 136510 767140 722343 2022-08-15T15:17:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||(X-a)(X-b)(X-c) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |a,b,c |\in|\Z || || || |SZ= }} verschieden gegeben und sei {{math|term=E|SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die folgenden Aussagen. {{ Aufzählung3 |{{math|term=E|SZ=}} besitzt modulo einer {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |schlechte Reduktion| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term=p|SZ=}} ein Teiler des Produktes {{mathl|term= (a-b)(a-c)(b-c) |SZ=}} ist. |{{math|term=E|SZ=}} besitzt modulo {{math|term=p|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |additive Reduktion| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term=p|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |gemeinsamer Teiler| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=a-b,a-c,b-c|SZ=}} ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn {{math|term=p|SZ=}} ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist. |Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn {{mathl|term=a-b,a-c,b-c|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mxok55ush0tp26aazwtjk90viop10ms 0 136512 767133 722353 2022-08-15T15:16:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} für jede Primzahl den {{ Definitionslink |Prämath= |Reduktionstyp| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette |Y^2 ||X^3- 2X || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-2X |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1fkgg4olj1bb00osicw4c48am0ou1r 0 136516 767102 722403 2022-08-15T15:11:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Z|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |guter Reduktion| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} modulo einer Primzahl {{math|term=p|SZ=.}} Es seien {{math|term= a_{p^r} |SZ=}} die in der {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Primzahlpotenzkoeffizienten/Definition |SZ= }} rekursiv definierten Zahlen und es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp | b_{p^r} | {{defeq|}} | p^r + 1 - {{op:Anzahl| E_p( {{op:Endlicher Körper|p^r|}} )||}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Differenzen {{ Ma:Vergleichskette |f_r || b_{p^r}-a_{p^r} || || || |SZ= }} die Rekursion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_{r+1} || a_p f_{r} - pf_{r-1} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |f_0 ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||0 || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der L-Reihen zu elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk7tcosqjx0uwwrs8k9vlkxcyk7warv 0 136569 767344 722612 2022-08-15T15:53:41Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Index| |Kontext=Gruppentheorie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Kongruenzuntergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Stufe {{math|term=2|SZ=,}} also {{math|term= \Gamma(2)|SZ=,}} in der vollen {{ Definitionslink |Prämath= |Modulgruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} figbzvrdjrfbd6uvzqy6z63gsnccew0 0 136598 767291 722770 2022-08-15T15:45:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einer Menge {{math|term=M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiert| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq|M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalbereich| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für diese Operation. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |R |\subseteq|G || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Repräsentantensystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Nebenklassen| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= G/H |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{ math/disp|term= \bigcup_{g \in R} g(D) |SZ= }} ein Fundamentalbereich der auf {{math|term=H|SZ=}} eingeschränkten Operation auf {{math|term=M|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qh3v3ktnd3toowp1be5ewljed58z1g 0 136624 767470 723131 2022-08-15T16:18:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:SLG|2| {{op:Zmod|p|}} }} |SZ=}} von den Matrizen {{ Ma:Vergleichskette | S || {{op:Matrix22|0|-1|1|0|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | T || {{op:Matrix22|1|1|0|1|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugt| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der speziellen linearen Gruppen über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der speziellen linearen Gruppe über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0w5aezj4mrbkqmseo3sxokz4cdflfb 0 136628 767258 723050 2022-08-15T15:40:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalbereiches| |Kontext=Modulsubstitution| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq| {{Obere Halbebene|}} || || || |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Modulsubstitution| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter der Exponentialfunktion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{Obere Halbebene|}} | {{op:Offener Ball|0|1}} \setminus \{ 0 \} |z| e^{2 \pi z {{imaginäre Einheit}} } |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6jryeowl0b2wxn2kvzom9ajabwv4wy 0 136632 767339 723075 2022-08-15T15:52:51Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\in|\N || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Index| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untergruppe {{math|term= \Gamma(N) |SZ=}} in {{math|term= \Gamma_1(N) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iaa31qvqwn99qgws5xvtpfj11flz08p 0 136633 767342 723076 2022-08-15T15:53:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\in|\N || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Index| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untergruppe {{math|term= \Gamma_1(N) |SZ=}} in {{math|term= \Gamma (N) |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkeia0tz7hg3tnx6da1y87grsv4ujfv 0 136634 767340 723077 2022-08-15T15:53:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\in|\N || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Index| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Untergruppe {{math|term= \Gamma_0(N) |SZ=}} in {{math|term= {{op:SLG|2|\Z}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jv7cfnvolibgwser3vhyheb9vfdtat5 0 136659 767343 723300 2022-08-15T15:53:31Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=N|SZ=}} eine positive natürliche Zahl. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\in| {{op:SLG|2|\Z}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=u,v|SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Lambda |SZ=}} und dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC|}} /\Lambda |SZ=.}} Es sei {{math|term= u',v' |SZ=}} die mit {{math|term=M|SZ=}} transformierte Basis. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term={{op:Bruch|v|N}} |SZ=}} und {{math|term={{op:Bruch|v'|N}}|SZ=}} genau dann das gleiche {{math|term=N|SZ=-}}Torsionselement von {{math|term= {{CC|}}/\Lambda |SZ=}} definieren, wenn {{math|term=M|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Kongruenzuntergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Gamma_1(N)|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85jg7j0hg7g80dcjxgyx5bgedfjai1w 0 136660 767341 723301 2022-08-15T15:53:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=N|SZ=}} eine positive natürliche Zahl. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\in| {{op:SLG|2|\Z}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=u,v|SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Lambda |SZ=}} und dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC|}} /\Lambda |SZ=.}} Es sei {{math|term= u',v' |SZ=}} die mit {{math|term=M|SZ=}} transformierte Basis. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term={{op:Bruch|v|N}} |SZ=}} und {{math|term={{op:Bruch|v'|N}}|SZ=}} genau dann die gleiche Untergruppe von {{math|term= {{CC|}}/\Lambda |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=N|SZ=}} definieren, wenn {{math|term=M|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Kongruenzuntergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Gamma_0(N)|SZ=}} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vt2nwl3f1dja78lirm6cqpdpsxpqsp 0 136666 767359 723338 2022-08-15T15:56:12Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |ebene projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | C || V_+(Y^2Z-X^2Z-X^3) | \subseteq| {{op:Projektive Ebene||}} || || || |SZ= }} über einem Körper {{math|term=K|SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette | P || (0,0,1) || || || |SZ= }} der einzige {{ Definitionslink |Prämath= |singuläre Punkt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve ist. |Zeige{{n Sie}}, dass man auf {{mathl|term= C \setminus \{P\} |SZ=}} wie im elliptischen Fall {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette | {{elliptischo|}} || (0,1,0) || || || |SZ= }} als neutralem Element| |ISZ=|ESZ= }} eine Gruppenverknüpfung definieren kann. |Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Normalisierungsabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Projektive Gerade|K|}} | C \subseteq {{op:Projektive Ebene|K|}} | (u,v) | ( u^2v +2uv^2, u^3+3u^2v +2uv^2 ,v^3) |SZ=, }} die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (0,1) |und|term2= (-2,1) |SZ= }} auf {{math|term=P|SZ=}} abbildet und ansonsten bijektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Ebene algebraische Kurve/x^2-y^2+y^3/Beschreibung/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}} unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Kubische_Kurve/Y^2 ist X^3+X^2/Normalisierungsabbildung/Geradenbedingung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} |\cong| D_+(u (u+2v)) || {{op:Projektive Gerade|K|}} \setminus \{ (0,1 ), (-2,1) \} || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenisomorphismus| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{1\} |und|term2= C \setminus \{P \} |SZ= }} definiert, wobei die punktierte Gerade mit der Multiplikation versehen ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kubischen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom Y^2-X^3-X^2 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lnihw41evv8er7uuavwblff69ktv8s 0 136686 767292 723671 2022-08-15T15:45:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die auf einer Menge {{math|term=M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |H |\subseteq|G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine kanonische surjektive Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |M / H | M / G || |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnenräumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Quotienten zu einer Gruppenoperation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2818kpdm13xp9mswjsma8uzg415skce 0 136701 767424 723643 2022-08-15T16:11:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sum_{n \in \N} \sqrt{n} z^n |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|z|}} |<| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xz1u5zk2xyixbymo6plhotgze4tikz 0 136702 767101 723646 2022-08-15T15:11:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=\Q|SZ=}} und es sei {{math|term= \sum_{n \in \N_+} a_n n^{-s} |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath=L |Reihe| |Kontext=L elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \sum_{n \in \N_+} a_n q^n |SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|q|}} |<|1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_L-Reihen_zu_elliptischen_Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qurevsf9g8xh7f4xaqjthrcme8h8xdm 106 136715 767614 761657 2022-08-15T21:14:44Z Nk114 36305 /* Semesterprojekte */ wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Open Government und Open Data''' | Thema: “Das Wikiversum” – Beiträge offener Daten in GLAM-Institutionen und deren Nutzung für freies und vernetztes Wissen der Gegenwart, Modul 332582,<br /> Twitter-Hashtag: ''#openGLAMmodul'' | '''Ziele''' | Nach erfolgreichem Abschluss des Wahlmodules sind die Studierenden befähigt autonom insbesondere in Wikimediaportalen zu kooperieren, eigene Projekte zu verwirklichen und zu beraten. Sie sind in der Lage offene Datenbestände manuell und mit (semi)-automatischen Methoden zu kuratieren. Insbesondere die Verbindung zwischen Ressourcen aus dem bibliothekarischen Kontext und deren gewinnbringender Nutzung in einer offenen und gemeinschaftlich erstellten Enzyklopädie befähigt die Studierenden für eine offene Wissenschaft und Gesellschaft einzutreten. Die Studierenden reflektieren ihre Arbeit und Wirkungen im Wikiversum. | '''Autoren''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], [[Benutzer:Mfchris84|Christian Erlinger]] | '''Ort''' | Hochschule der Medien Stuttgart | '''Termin''' | Sommersemester 2022: Mi, 8:15-11:30 Uhr }} [[Datei:HdM Logo.svg|mini|Hochschule der Medien]] Vermittelt werden Grundlagen, Methoden und Strategien kuratorischer und redaktioneller Projektarbeit, Datenpflege und Kommunikation in und mit den Informationsinfrastrukturen von Wikimedia (Wikiversum), insbesondere stehen dabei die Portal Wikidata, Wikisource und Wikimedia Commons im Fokus. Die Prüfungsleistung besteht aus der Bearbeitung eines selbst entwickelten Projektes bzw. selbst gewählter Projekte auf Basis der im Modul vermittelten Open GLAM-Methoden in den Portalen und Infrastrukturen des Wikiversums. Gegenseitige Wissensvermittlung, Dokumentation und Reflexion dieser Arbeit mit offenen Daten sind Bestandteile der Modulleistungen. Die Lehrveranstaltung findet vollständig virtuell über Zoom statt, wöchentliche Doppelstunden zur Anleitung, für Feedback und Austausch sowie darüber hinaus begleitende Projekt- und Teamarbeit, Kollaboration und kollegiale Beratung während der Projektbearbeitung. == Terminplan == * Auftakt: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/1|16. März 2022]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/2|23. März]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/3|30. März]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/4|6. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/5|13. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/6|20. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/7|27. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/8|4. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/9|11. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/10|18. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/11|25. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/12|31. Mai]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/13|15. Juni]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/14|22. Juni]] * Abschluss: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|29. Juni]] == TeilnehmerInnen == * --[[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] ([[Benutzer Diskussion:Mfchris84|Diskussion]]) 13:07, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jeb|Jeb]] ([[Benutzer Diskussion:Jeb|Diskussion]]) 16:33, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:SchallenderRauch|SchallenderRauch]] ([[Benutzer Diskussion:SchallenderRauch|Diskussion]]) 16:56, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Nk114|Nk114]] ([[Benutzer Diskussion:Nk114|Diskussion]]) 17:34, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jp090|Jp090]] ([[Benutzer Diskussion:Jp090|Diskussion]]) 18:03 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:ArthurSinclair407|ArthurSinclair407]] ([[Benutzer Diskussion:ArthurSinclair407|Diskussion]]) 23:58, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Tb167‬|Tb167‬]] ([[Benutzer Diskussion:Tb167‬|Diskussion]]) 00:04, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Schlobido|Schlobido‬]] ([[Benutzer Diskussion:Schlobido|Diskussion]]) 10:00, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Bandersnatch Clumberdoodle|Bandersnatch Clumberdoodle]] ([[Benutzer Diskussion:Bandersnatch Clumberdoodle|Diskussion]]) 10:03, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:CemWacholder|CemWacholder]] ([[Benutzer Diskussion:CemWacholder|Diskussion]]) 20:19:00, 17. Mär. 2022 (CET) == Bewertung == Die Beurteilung der Lehrveranstaltung setzt sich aus folgenden Teilen zusammen: * 50 % Projektarbeit: Konzeption, (Team-)Arbeit, Dokumentation * 10 % Präsentation der Projektarbeit * 30 % Mitarbeitskomponente: Regelmässige Reflexion des Lernfortschritts, aktive Beiträge (Reflexion von Literatur, "Veranstaltungen", Videos, Community-Engagements), Diskussionsbeiträge * 10 % Editrate == Wikiversity-"Hausübungen" == * [[WikidataCon2021 Summaries|Zusammenfassung eines WikidataCon21-Beitrags]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/SPARQL-Queries für Wikipedia-Listen|SPARQL-Query für eine Wikipedia-Liste]] == Werkzeug == * Wikiversität * Wikisource * Wikidata, https://query.wikidata.org/ * Wikipedia * Wikicite * (Structured Data on) Wikimedia Commons * ... * Quickstatements: https://quickstatements.toolforge.org/ * Scholia: https://scholia.toolforge.org/ * Open Refine https://openrefine.org/ * GitHub: vgl. https://github.com/DieDatenlaube * Wikidata Image Positions: https://wd-image-positions.toolforge.org/ * {{Wikisource|Vorlage:Annotate QID}} * ... * 1lib1ref: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:1Lib1Ref * [[Projekt:1Lib1Nearby|1lib1nearby]]: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'' * Wissenschaftskommunikation mit offenen Daten * https://wikidata8.bleeptrack.de/, brauchen wir ein Modullogo? == Projekte == === Beispiele === * {{Wikisource|Die Gartenlaube}} :* [[DieDatenlaube]] * {{wikisource|Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919}} === Aktive === [[Datei:Coding.png|mini|Coding]] * [[w:en:Siobhan Leachman|Siobhan Leachman]] * [[m:Wikimedia_Foundation_elections/2021/Candidates/Gerard_Meijssen|Gerard Meijssen]]: https://ultimategerardm.blogspot.com/ * [[m:User:Ainali|Jan Ainali]] und [[m:User:Abbe98|Albin Larsson]]: ''Wikidata LIVE editing'', https://www.youtube.com/channel/UC30DIisp0xZuNloH5GTbmlQ * ''[[outreach:Wikipedian_in_Residence/de|Wikipedian in Residence]]'' weltweit === Semesterprojekte === * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Geschichten aus der Geschichte Podcast]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Stuttgart goes Wikimedia]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Headspace]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Weird Crimes]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/Kartenspiele_and_more]] == Bibliothek == * ''[https://www.teaching-matters-blog.ed.ac.uk/tag/podcast/ Teaching Matters blog (and podcast)] – Promoting, discussing and celebrating teaching at The University of Edinburgh'' * Ines Mergel: ''Open collaboration in the public sector: The case of social coding on GitHub'', DOI [https://doi.org/10.1016/j.giq.2015.09.004 10.1016/j.giq.2015.09.004], [https://kops.uni-konstanz.de/bitstream/handle/123456789/35190/Mergel_0-356945.pdf Open Access]-Fassung, in: Government Information Quarterly, Vol 32, Issue 4, October 2015, 464-472. * Helene Hahn: [https://www.digis-berlin.de/wissenswertes/hr-openglam/ Handreichung] ''Kooperativ in die digitale Zeit – wie öffentliche Kulturinstitutionen Cultural Commons fördern : eine Einführung in offene Kulturdaten'', [http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:0297-zib-59131 urn:nbn:de:0297-zib-59131], digis Berlin 2016. * Jens Bemme, Martin Munke: ''Open Citizen Science: Leitbild für kuratorische Praktiken in Wissenschaftlichen Bibliotheken'', in: Bibliotheken als Orte kuratorischer Praxis, Klaus Ulrich Werner (Hrsg.), Berlin, Boston: De Gruyter Saur, 2020. DOI [https://doi.org/10.1515/9783110673722-013 10.1515/9783110673722-013]. * Florian Thiery: ''[[d:Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones|Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones]]'', ''[[d:Category:WikiProject Samian Terra Sigillata|WikiProject Samian Terra Sigillata]]'', 2021. * Laurie M. Bridges, Raymond Pun, and Roberto A. Arteaga: ''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project]], 2021. * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455. * Marlene Neumann, Jens Bemme: ''[https://www.bibchat.de/ankuendigung-57-bibchatde-wie-viel-wikiversum-steckt-schon-in-unseren-bibliotheken/ Ankündigung 57. BibChatDE: Wie viel Wikiversum steckt schon in unseren Bibliotheken? : Oder: Wie viel Wikipedia, Wikisource, Wikidata, …, Wikimedia Commons sollten in Bibliotheken stecken? Was fehlt?]'', [[BibChatDE/Wikiversum|BibChatDE]], 16. Januar 2022. * Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki, Andreas Weich: ''[https://mediastudies.hypotheses.org/2875 WELCHE DATEN? WELCHE LITERACY? — Ein Kommentar zur Data-Literacy-Charta des Stifterverbandes von Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki und Andreas Weich]'', mediastudies.hypotheses.org, 17.Dez. 2021/1. Feb. 2022. * Katharina Prager: ''[https://cms.falter.at/blogs/thinktank/2022/02/04/agenda-2032-rebellische-bibliotheken-als-fuenfte-gewalt/ Agenda 2032: Rebellische Bibliotheken als fünfte Gewalt]'', 4. Februar 2022 * Jens Bemme: ''Digitale Landeskunde: A Global Project'', https://saxorum.hypotheses.org/6803, 1. März 2022. * Jens Bemme: ''Wikipedia zu Gast beim [[BibChatDE]] – mit den Geschwistern. Sind wir fit fürs Wikiversum?'', SLUBlog, 14. März 2022, https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2022/03/14/wikipedia-zu-gast-beim-bibchatde. <gallery> Wikipedia und Bibliotheken.pdf|Marlene Neumann: Wikipedia und Bibliotheken, 2021. Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019. Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, August 2019. Wikimedia Commons web.pdf|Wikimedia Commons-Broschüre, 2016. Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘.pdf|Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘, 2021. Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube.pdf|Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube, 2021. Hybrid LOD Ogham Workflow.png|Florian Thiery: Hybrid LOD Ogham Workflow, 2021. Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers </gallery> === Nebenan === * Sandra Folie: [https://ufind.univie.ac.at/de/course.html?lv=135051&semester=2022S 135051 ''PS Sozialtheorie: Wikipedia - Literatur - Literaturwissenschaft''], Universität Wien (2022S) * Frick, Claudia. (2022). Wikipedia-Artikel statt Hausarbeiten (p. 41). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.6557127 * [[Bibliothekskongress 2022]] [[Kategorie:Hochschule der Medien]] [[Kategorie:Bibliothek]] rdb1cr6jha15a6mj1khtb0q09cqe64n 767619 767614 2022-08-15T21:51:56Z Jp090 36306 Projekt hinzugefügt wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Open Government und Open Data''' | Thema: “Das Wikiversum” – Beiträge offener Daten in GLAM-Institutionen und deren Nutzung für freies und vernetztes Wissen der Gegenwart, Modul 332582,<br /> Twitter-Hashtag: ''#openGLAMmodul'' | '''Ziele''' | Nach erfolgreichem Abschluss des Wahlmodules sind die Studierenden befähigt autonom insbesondere in Wikimediaportalen zu kooperieren, eigene Projekte zu verwirklichen und zu beraten. Sie sind in der Lage offene Datenbestände manuell und mit (semi)-automatischen Methoden zu kuratieren. Insbesondere die Verbindung zwischen Ressourcen aus dem bibliothekarischen Kontext und deren gewinnbringender Nutzung in einer offenen und gemeinschaftlich erstellten Enzyklopädie befähigt die Studierenden für eine offene Wissenschaft und Gesellschaft einzutreten. Die Studierenden reflektieren ihre Arbeit und Wirkungen im Wikiversum. | '''Autoren''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], [[Benutzer:Mfchris84|Christian Erlinger]] | '''Ort''' | Hochschule der Medien Stuttgart | '''Termin''' | Sommersemester 2022: Mi, 8:15-11:30 Uhr }} [[Datei:HdM Logo.svg|mini|Hochschule der Medien]] Vermittelt werden Grundlagen, Methoden und Strategien kuratorischer und redaktioneller Projektarbeit, Datenpflege und Kommunikation in und mit den Informationsinfrastrukturen von Wikimedia (Wikiversum), insbesondere stehen dabei die Portal Wikidata, Wikisource und Wikimedia Commons im Fokus. Die Prüfungsleistung besteht aus der Bearbeitung eines selbst entwickelten Projektes bzw. selbst gewählter Projekte auf Basis der im Modul vermittelten Open GLAM-Methoden in den Portalen und Infrastrukturen des Wikiversums. Gegenseitige Wissensvermittlung, Dokumentation und Reflexion dieser Arbeit mit offenen Daten sind Bestandteile der Modulleistungen. Die Lehrveranstaltung findet vollständig virtuell über Zoom statt, wöchentliche Doppelstunden zur Anleitung, für Feedback und Austausch sowie darüber hinaus begleitende Projekt- und Teamarbeit, Kollaboration und kollegiale Beratung während der Projektbearbeitung. == Terminplan == * Auftakt: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/1|16. März 2022]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/2|23. März]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/3|30. März]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/4|6. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/5|13. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/6|20. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/7|27. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/8|4. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/9|11. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/10|18. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/11|25. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/12|31. Mai]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/13|15. Juni]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/14|22. Juni]] * Abschluss: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|29. Juni]] == TeilnehmerInnen == * --[[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] ([[Benutzer Diskussion:Mfchris84|Diskussion]]) 13:07, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jeb|Jeb]] ([[Benutzer Diskussion:Jeb|Diskussion]]) 16:33, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:SchallenderRauch|SchallenderRauch]] ([[Benutzer Diskussion:SchallenderRauch|Diskussion]]) 16:56, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Nk114|Nk114]] ([[Benutzer Diskussion:Nk114|Diskussion]]) 17:34, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jp090|Jp090]] ([[Benutzer Diskussion:Jp090|Diskussion]]) 18:03 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:ArthurSinclair407|ArthurSinclair407]] ([[Benutzer Diskussion:ArthurSinclair407|Diskussion]]) 23:58, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Tb167‬|Tb167‬]] ([[Benutzer Diskussion:Tb167‬|Diskussion]]) 00:04, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Schlobido|Schlobido‬]] ([[Benutzer Diskussion:Schlobido|Diskussion]]) 10:00, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Bandersnatch Clumberdoodle|Bandersnatch Clumberdoodle]] ([[Benutzer Diskussion:Bandersnatch Clumberdoodle|Diskussion]]) 10:03, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:CemWacholder|CemWacholder]] ([[Benutzer Diskussion:CemWacholder|Diskussion]]) 20:19:00, 17. Mär. 2022 (CET) == Bewertung == Die Beurteilung der Lehrveranstaltung setzt sich aus folgenden Teilen zusammen: * 50 % Projektarbeit: Konzeption, (Team-)Arbeit, Dokumentation * 10 % Präsentation der Projektarbeit * 30 % Mitarbeitskomponente: Regelmässige Reflexion des Lernfortschritts, aktive Beiträge (Reflexion von Literatur, "Veranstaltungen", Videos, Community-Engagements), Diskussionsbeiträge * 10 % Editrate == Wikiversity-"Hausübungen" == * [[WikidataCon2021 Summaries|Zusammenfassung eines WikidataCon21-Beitrags]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/SPARQL-Queries für Wikipedia-Listen|SPARQL-Query für eine Wikipedia-Liste]] == Werkzeug == * Wikiversität * Wikisource * Wikidata, https://query.wikidata.org/ * Wikipedia * Wikicite * (Structured Data on) Wikimedia Commons * ... * Quickstatements: https://quickstatements.toolforge.org/ * Scholia: https://scholia.toolforge.org/ * Open Refine https://openrefine.org/ * GitHub: vgl. https://github.com/DieDatenlaube * Wikidata Image Positions: https://wd-image-positions.toolforge.org/ * {{Wikisource|Vorlage:Annotate QID}} * ... * 1lib1ref: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:1Lib1Ref * [[Projekt:1Lib1Nearby|1lib1nearby]]: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'' * Wissenschaftskommunikation mit offenen Daten * https://wikidata8.bleeptrack.de/, brauchen wir ein Modullogo? == Projekte == === Beispiele === * {{Wikisource|Die Gartenlaube}} :* [[DieDatenlaube]] * {{wikisource|Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919}} === Aktive === [[Datei:Coding.png|mini|Coding]] * [[w:en:Siobhan Leachman|Siobhan Leachman]] * [[m:Wikimedia_Foundation_elections/2021/Candidates/Gerard_Meijssen|Gerard Meijssen]]: https://ultimategerardm.blogspot.com/ * [[m:User:Ainali|Jan Ainali]] und [[m:User:Abbe98|Albin Larsson]]: ''Wikidata LIVE editing'', https://www.youtube.com/channel/UC30DIisp0xZuNloH5GTbmlQ * ''[[outreach:Wikipedian_in_Residence/de|Wikipedian in Residence]]'' weltweit === Semesterprojekte === * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Geschichten aus der Geschichte Podcast]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Stuttgart goes Wikimedia]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Headspace]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Weird Crimes]] * [[Projektejp090/Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Vitamine und Spiritualität]] * Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/15 * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/Kartenspiele_and_more]] == Bibliothek == * ''[https://www.teaching-matters-blog.ed.ac.uk/tag/podcast/ Teaching Matters blog (and podcast)] – Promoting, discussing and celebrating teaching at The University of Edinburgh'' * Ines Mergel: ''Open collaboration in the public sector: The case of social coding on GitHub'', DOI [https://doi.org/10.1016/j.giq.2015.09.004 10.1016/j.giq.2015.09.004], [https://kops.uni-konstanz.de/bitstream/handle/123456789/35190/Mergel_0-356945.pdf Open Access]-Fassung, in: Government Information Quarterly, Vol 32, Issue 4, October 2015, 464-472. * Helene Hahn: [https://www.digis-berlin.de/wissenswertes/hr-openglam/ Handreichung] ''Kooperativ in die digitale Zeit – wie öffentliche Kulturinstitutionen Cultural Commons fördern : eine Einführung in offene Kulturdaten'', [http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:0297-zib-59131 urn:nbn:de:0297-zib-59131], digis Berlin 2016. * Jens Bemme, Martin Munke: ''Open Citizen Science: Leitbild für kuratorische Praktiken in Wissenschaftlichen Bibliotheken'', in: Bibliotheken als Orte kuratorischer Praxis, Klaus Ulrich Werner (Hrsg.), Berlin, Boston: De Gruyter Saur, 2020. DOI [https://doi.org/10.1515/9783110673722-013 10.1515/9783110673722-013]. * Florian Thiery: ''[[d:Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones|Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones]]'', ''[[d:Category:WikiProject Samian Terra Sigillata|WikiProject Samian Terra Sigillata]]'', 2021. * Laurie M. Bridges, Raymond Pun, and Roberto A. Arteaga: ''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project]], 2021. * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455. * Marlene Neumann, Jens Bemme: ''[https://www.bibchat.de/ankuendigung-57-bibchatde-wie-viel-wikiversum-steckt-schon-in-unseren-bibliotheken/ Ankündigung 57. BibChatDE: Wie viel Wikiversum steckt schon in unseren Bibliotheken? : Oder: Wie viel Wikipedia, Wikisource, Wikidata, …, Wikimedia Commons sollten in Bibliotheken stecken? Was fehlt?]'', [[BibChatDE/Wikiversum|BibChatDE]], 16. Januar 2022. * Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki, Andreas Weich: ''[https://mediastudies.hypotheses.org/2875 WELCHE DATEN? WELCHE LITERACY? — Ein Kommentar zur Data-Literacy-Charta des Stifterverbandes von Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki und Andreas Weich]'', mediastudies.hypotheses.org, 17.Dez. 2021/1. Feb. 2022. * Katharina Prager: ''[https://cms.falter.at/blogs/thinktank/2022/02/04/agenda-2032-rebellische-bibliotheken-als-fuenfte-gewalt/ Agenda 2032: Rebellische Bibliotheken als fünfte Gewalt]'', 4. Februar 2022 * Jens Bemme: ''Digitale Landeskunde: A Global Project'', https://saxorum.hypotheses.org/6803, 1. März 2022. * Jens Bemme: ''Wikipedia zu Gast beim [[BibChatDE]] – mit den Geschwistern. Sind wir fit fürs Wikiversum?'', SLUBlog, 14. März 2022, https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2022/03/14/wikipedia-zu-gast-beim-bibchatde. <gallery> Wikipedia und Bibliotheken.pdf|Marlene Neumann: Wikipedia und Bibliotheken, 2021. Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019. Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, August 2019. Wikimedia Commons web.pdf|Wikimedia Commons-Broschüre, 2016. Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘.pdf|Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘, 2021. Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube.pdf|Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube, 2021. Hybrid LOD Ogham Workflow.png|Florian Thiery: Hybrid LOD Ogham Workflow, 2021. Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers </gallery> === Nebenan === * Sandra Folie: [https://ufind.univie.ac.at/de/course.html?lv=135051&semester=2022S 135051 ''PS Sozialtheorie: Wikipedia - Literatur - Literaturwissenschaft''], Universität Wien (2022S) * Frick, Claudia. (2022). Wikipedia-Artikel statt Hausarbeiten (p. 41). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.6557127 * [[Bibliothekskongress 2022]] [[Kategorie:Hochschule der Medien]] [[Kategorie:Bibliothek]] g0gw08rkc67v009lbhp4sw8ra4nxamw 767621 767619 2022-08-15T21:53:37Z Jp090 36306 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Open Government und Open Data''' | Thema: “Das Wikiversum” – Beiträge offener Daten in GLAM-Institutionen und deren Nutzung für freies und vernetztes Wissen der Gegenwart, Modul 332582,<br /> Twitter-Hashtag: ''#openGLAMmodul'' | '''Ziele''' | Nach erfolgreichem Abschluss des Wahlmodules sind die Studierenden befähigt autonom insbesondere in Wikimediaportalen zu kooperieren, eigene Projekte zu verwirklichen und zu beraten. Sie sind in der Lage offene Datenbestände manuell und mit (semi)-automatischen Methoden zu kuratieren. Insbesondere die Verbindung zwischen Ressourcen aus dem bibliothekarischen Kontext und deren gewinnbringender Nutzung in einer offenen und gemeinschaftlich erstellten Enzyklopädie befähigt die Studierenden für eine offene Wissenschaft und Gesellschaft einzutreten. Die Studierenden reflektieren ihre Arbeit und Wirkungen im Wikiversum. | '''Autoren''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], [[Benutzer:Mfchris84|Christian Erlinger]] | '''Ort''' | Hochschule der Medien Stuttgart | '''Termin''' | Sommersemester 2022: Mi, 8:15-11:30 Uhr }} [[Datei:HdM Logo.svg|mini|Hochschule der Medien]] Vermittelt werden Grundlagen, Methoden und Strategien kuratorischer und redaktioneller Projektarbeit, Datenpflege und Kommunikation in und mit den Informationsinfrastrukturen von Wikimedia (Wikiversum), insbesondere stehen dabei die Portal Wikidata, Wikisource und Wikimedia Commons im Fokus. Die Prüfungsleistung besteht aus der Bearbeitung eines selbst entwickelten Projektes bzw. selbst gewählter Projekte auf Basis der im Modul vermittelten Open GLAM-Methoden in den Portalen und Infrastrukturen des Wikiversums. Gegenseitige Wissensvermittlung, Dokumentation und Reflexion dieser Arbeit mit offenen Daten sind Bestandteile der Modulleistungen. Die Lehrveranstaltung findet vollständig virtuell über Zoom statt, wöchentliche Doppelstunden zur Anleitung, für Feedback und Austausch sowie darüber hinaus begleitende Projekt- und Teamarbeit, Kollaboration und kollegiale Beratung während der Projektbearbeitung. == Terminplan == * Auftakt: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/1|16. März 2022]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/2|23. März]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/3|30. März]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/4|6. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/5|13. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/6|20. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/7|27. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/8|4. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/9|11. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/10|18. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/11|25. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/12|31. Mai]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/13|15. Juni]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/14|22. Juni]] * Abschluss: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|29. Juni]] == TeilnehmerInnen == * --[[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] ([[Benutzer Diskussion:Mfchris84|Diskussion]]) 13:07, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jeb|Jeb]] ([[Benutzer Diskussion:Jeb|Diskussion]]) 16:33, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:SchallenderRauch|SchallenderRauch]] ([[Benutzer Diskussion:SchallenderRauch|Diskussion]]) 16:56, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Nk114|Nk114]] ([[Benutzer Diskussion:Nk114|Diskussion]]) 17:34, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jp090|Jp090]] ([[Benutzer Diskussion:Jp090|Diskussion]]) 18:03 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:ArthurSinclair407|ArthurSinclair407]] ([[Benutzer Diskussion:ArthurSinclair407|Diskussion]]) 23:58, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Tb167‬|Tb167‬]] ([[Benutzer Diskussion:Tb167‬|Diskussion]]) 00:04, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Schlobido|Schlobido‬]] ([[Benutzer Diskussion:Schlobido|Diskussion]]) 10:00, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Bandersnatch Clumberdoodle|Bandersnatch Clumberdoodle]] ([[Benutzer Diskussion:Bandersnatch Clumberdoodle|Diskussion]]) 10:03, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:CemWacholder|CemWacholder]] ([[Benutzer Diskussion:CemWacholder|Diskussion]]) 20:19:00, 17. Mär. 2022 (CET) == Bewertung == Die Beurteilung der Lehrveranstaltung setzt sich aus folgenden Teilen zusammen: * 50 % Projektarbeit: Konzeption, (Team-)Arbeit, Dokumentation * 10 % Präsentation der Projektarbeit * 30 % Mitarbeitskomponente: Regelmässige Reflexion des Lernfortschritts, aktive Beiträge (Reflexion von Literatur, "Veranstaltungen", Videos, Community-Engagements), Diskussionsbeiträge * 10 % Editrate == Wikiversity-"Hausübungen" == * [[WikidataCon2021 Summaries|Zusammenfassung eines WikidataCon21-Beitrags]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/SPARQL-Queries für Wikipedia-Listen|SPARQL-Query für eine Wikipedia-Liste]] == Werkzeug == * Wikiversität * Wikisource * Wikidata, https://query.wikidata.org/ * Wikipedia * Wikicite * (Structured Data on) Wikimedia Commons * ... * Quickstatements: https://quickstatements.toolforge.org/ * Scholia: https://scholia.toolforge.org/ * Open Refine https://openrefine.org/ * GitHub: vgl. https://github.com/DieDatenlaube * Wikidata Image Positions: https://wd-image-positions.toolforge.org/ * {{Wikisource|Vorlage:Annotate QID}} * ... * 1lib1ref: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:1Lib1Ref * [[Projekt:1Lib1Nearby|1lib1nearby]]: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'' * Wissenschaftskommunikation mit offenen Daten * https://wikidata8.bleeptrack.de/, brauchen wir ein Modullogo? == Projekte == === Beispiele === * {{Wikisource|Die Gartenlaube}} :* [[DieDatenlaube]] * {{wikisource|Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919}} === Aktive === [[Datei:Coding.png|mini|Coding]] * [[w:en:Siobhan Leachman|Siobhan Leachman]] * [[m:Wikimedia_Foundation_elections/2021/Candidates/Gerard_Meijssen|Gerard Meijssen]]: https://ultimategerardm.blogspot.com/ * [[m:User:Ainali|Jan Ainali]] und [[m:User:Abbe98|Albin Larsson]]: ''Wikidata LIVE editing'', https://www.youtube.com/channel/UC30DIisp0xZuNloH5GTbmlQ * ''[[outreach:Wikipedian_in_Residence/de|Wikipedian in Residence]]'' weltweit === Semesterprojekte === * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Geschichten aus der Geschichte Podcast]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Stuttgart goes Wikimedia]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Headspace]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Weird Crimes]] * [[Projektejp090/Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Vitamine und Spiritualität]] * [[Projektejp090/Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/Vitamine Und Spiritualität]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/Kartenspiele_and_more]] == Bibliothek == * ''[https://www.teaching-matters-blog.ed.ac.uk/tag/podcast/ Teaching Matters blog (and podcast)] – Promoting, discussing and celebrating teaching at The University of Edinburgh'' * Ines Mergel: ''Open collaboration in the public sector: The case of social coding on GitHub'', DOI [https://doi.org/10.1016/j.giq.2015.09.004 10.1016/j.giq.2015.09.004], [https://kops.uni-konstanz.de/bitstream/handle/123456789/35190/Mergel_0-356945.pdf Open Access]-Fassung, in: Government Information Quarterly, Vol 32, Issue 4, October 2015, 464-472. * Helene Hahn: [https://www.digis-berlin.de/wissenswertes/hr-openglam/ Handreichung] ''Kooperativ in die digitale Zeit – wie öffentliche Kulturinstitutionen Cultural Commons fördern : eine Einführung in offene Kulturdaten'', [http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:0297-zib-59131 urn:nbn:de:0297-zib-59131], digis Berlin 2016. * Jens Bemme, Martin Munke: ''Open Citizen Science: Leitbild für kuratorische Praktiken in Wissenschaftlichen Bibliotheken'', in: Bibliotheken als Orte kuratorischer Praxis, Klaus Ulrich Werner (Hrsg.), Berlin, Boston: De Gruyter Saur, 2020. DOI [https://doi.org/10.1515/9783110673722-013 10.1515/9783110673722-013]. * Florian Thiery: ''[[d:Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones|Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones]]'', ''[[d:Category:WikiProject Samian Terra Sigillata|WikiProject Samian Terra Sigillata]]'', 2021. * Laurie M. Bridges, Raymond Pun, and Roberto A. Arteaga: ''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project]], 2021. * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455. * Marlene Neumann, Jens Bemme: ''[https://www.bibchat.de/ankuendigung-57-bibchatde-wie-viel-wikiversum-steckt-schon-in-unseren-bibliotheken/ Ankündigung 57. BibChatDE: Wie viel Wikiversum steckt schon in unseren Bibliotheken? : Oder: Wie viel Wikipedia, Wikisource, Wikidata, …, Wikimedia Commons sollten in Bibliotheken stecken? Was fehlt?]'', [[BibChatDE/Wikiversum|BibChatDE]], 16. Januar 2022. * Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki, Andreas Weich: ''[https://mediastudies.hypotheses.org/2875 WELCHE DATEN? WELCHE LITERACY? — Ein Kommentar zur Data-Literacy-Charta des Stifterverbandes von Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki und Andreas Weich]'', mediastudies.hypotheses.org, 17.Dez. 2021/1. Feb. 2022. * Katharina Prager: ''[https://cms.falter.at/blogs/thinktank/2022/02/04/agenda-2032-rebellische-bibliotheken-als-fuenfte-gewalt/ Agenda 2032: Rebellische Bibliotheken als fünfte Gewalt]'', 4. Februar 2022 * Jens Bemme: ''Digitale Landeskunde: A Global Project'', https://saxorum.hypotheses.org/6803, 1. März 2022. * Jens Bemme: ''Wikipedia zu Gast beim [[BibChatDE]] – mit den Geschwistern. Sind wir fit fürs Wikiversum?'', SLUBlog, 14. März 2022, https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2022/03/14/wikipedia-zu-gast-beim-bibchatde. <gallery> Wikipedia und Bibliotheken.pdf|Marlene Neumann: Wikipedia und Bibliotheken, 2021. Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019. Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, August 2019. Wikimedia Commons web.pdf|Wikimedia Commons-Broschüre, 2016. Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘.pdf|Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘, 2021. Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube.pdf|Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube, 2021. Hybrid LOD Ogham Workflow.png|Florian Thiery: Hybrid LOD Ogham Workflow, 2021. Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers </gallery> === Nebenan === * Sandra Folie: [https://ufind.univie.ac.at/de/course.html?lv=135051&semester=2022S 135051 ''PS Sozialtheorie: Wikipedia - Literatur - Literaturwissenschaft''], Universität Wien (2022S) * Frick, Claudia. (2022). Wikipedia-Artikel statt Hausarbeiten (p. 41). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.6557127 * [[Bibliothekskongress 2022]] [[Kategorie:Hochschule der Medien]] [[Kategorie:Bibliothek]] lgpukdejzh6fnqvus5vkuzxwol9kltj 767622 767621 2022-08-15T21:54:09Z Jp090 36306 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Open Government und Open Data''' | Thema: “Das Wikiversum” – Beiträge offener Daten in GLAM-Institutionen und deren Nutzung für freies und vernetztes Wissen der Gegenwart, Modul 332582,<br /> Twitter-Hashtag: ''#openGLAMmodul'' | '''Ziele''' | Nach erfolgreichem Abschluss des Wahlmodules sind die Studierenden befähigt autonom insbesondere in Wikimediaportalen zu kooperieren, eigene Projekte zu verwirklichen und zu beraten. Sie sind in der Lage offene Datenbestände manuell und mit (semi)-automatischen Methoden zu kuratieren. Insbesondere die Verbindung zwischen Ressourcen aus dem bibliothekarischen Kontext und deren gewinnbringender Nutzung in einer offenen und gemeinschaftlich erstellten Enzyklopädie befähigt die Studierenden für eine offene Wissenschaft und Gesellschaft einzutreten. Die Studierenden reflektieren ihre Arbeit und Wirkungen im Wikiversum. | '''Autoren''' | [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], [[Benutzer:Mfchris84|Christian Erlinger]] | '''Ort''' | Hochschule der Medien Stuttgart | '''Termin''' | Sommersemester 2022: Mi, 8:15-11:30 Uhr }} [[Datei:HdM Logo.svg|mini|Hochschule der Medien]] Vermittelt werden Grundlagen, Methoden und Strategien kuratorischer und redaktioneller Projektarbeit, Datenpflege und Kommunikation in und mit den Informationsinfrastrukturen von Wikimedia (Wikiversum), insbesondere stehen dabei die Portal Wikidata, Wikisource und Wikimedia Commons im Fokus. Die Prüfungsleistung besteht aus der Bearbeitung eines selbst entwickelten Projektes bzw. selbst gewählter Projekte auf Basis der im Modul vermittelten Open GLAM-Methoden in den Portalen und Infrastrukturen des Wikiversums. Gegenseitige Wissensvermittlung, Dokumentation und Reflexion dieser Arbeit mit offenen Daten sind Bestandteile der Modulleistungen. Die Lehrveranstaltung findet vollständig virtuell über Zoom statt, wöchentliche Doppelstunden zur Anleitung, für Feedback und Austausch sowie darüber hinaus begleitende Projekt- und Teamarbeit, Kollaboration und kollegiale Beratung während der Projektbearbeitung. == Terminplan == * Auftakt: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/1|16. März 2022]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/2|23. März]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/3|30. März]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/4|6. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/5|13. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/6|20. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/7|27. April]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/8|4. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/9|11. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/10|18. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/11|25. Mai]] * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/12|31. Mai]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/13|15. Juni]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/14|22. Juni]] * Abschluss: [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|29. Juni]] == TeilnehmerInnen == * --[[Benutzer:Mfchris84|Mfchris84]] ([[Benutzer Diskussion:Mfchris84|Diskussion]]) 13:07, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jeb|Jeb]] ([[Benutzer Diskussion:Jeb|Diskussion]]) 16:33, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:SchallenderRauch|SchallenderRauch]] ([[Benutzer Diskussion:SchallenderRauch|Diskussion]]) 16:56, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Nk114|Nk114]] ([[Benutzer Diskussion:Nk114|Diskussion]]) 17:34, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Jp090|Jp090]] ([[Benutzer Diskussion:Jp090|Diskussion]]) 18:03 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:ArthurSinclair407|ArthurSinclair407]] ([[Benutzer Diskussion:ArthurSinclair407|Diskussion]]) 23:58, 15. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Tb167‬|Tb167‬]] ([[Benutzer Diskussion:Tb167‬|Diskussion]]) 00:04, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Schlobido|Schlobido‬]] ([[Benutzer Diskussion:Schlobido|Diskussion]]) 10:00, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:Bandersnatch Clumberdoodle|Bandersnatch Clumberdoodle]] ([[Benutzer Diskussion:Bandersnatch Clumberdoodle|Diskussion]]) 10:03, 16. Mär. 2022 (CET) * --[[Benutzer:CemWacholder|CemWacholder]] ([[Benutzer Diskussion:CemWacholder|Diskussion]]) 20:19:00, 17. Mär. 2022 (CET) == Bewertung == Die Beurteilung der Lehrveranstaltung setzt sich aus folgenden Teilen zusammen: * 50 % Projektarbeit: Konzeption, (Team-)Arbeit, Dokumentation * 10 % Präsentation der Projektarbeit * 30 % Mitarbeitskomponente: Regelmässige Reflexion des Lernfortschritts, aktive Beiträge (Reflexion von Literatur, "Veranstaltungen", Videos, Community-Engagements), Diskussionsbeiträge * 10 % Editrate == Wikiversity-"Hausübungen" == * [[WikidataCon2021 Summaries|Zusammenfassung eines WikidataCon21-Beitrags]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/SPARQL-Queries für Wikipedia-Listen|SPARQL-Query für eine Wikipedia-Liste]] == Werkzeug == * Wikiversität * Wikisource * Wikidata, https://query.wikidata.org/ * Wikipedia * Wikicite * (Structured Data on) Wikimedia Commons * ... * Quickstatements: https://quickstatements.toolforge.org/ * Scholia: https://scholia.toolforge.org/ * Open Refine https://openrefine.org/ * GitHub: vgl. https://github.com/DieDatenlaube * Wikidata Image Positions: https://wd-image-positions.toolforge.org/ * {{Wikisource|Vorlage:Annotate QID}} * ... * 1lib1ref: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:1Lib1Ref * [[Projekt:1Lib1Nearby|1lib1nearby]]: ''[https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2020/07/23/fragen-gibt-es-ueberall-1lib1nearby-sommerprojekte-fuer-menscheninbibliotheken Fragen gibt es überall. #1Lib1Nearby-Sommerprojekte für #MenschenInBibliotheken]'' * Wissenschaftskommunikation mit offenen Daten * https://wikidata8.bleeptrack.de/, brauchen wir ein Modullogo? == Projekte == === Beispiele === * {{Wikisource|Die Gartenlaube}} :* [[DieDatenlaube]] * {{wikisource|Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919}} === Aktive === [[Datei:Coding.png|mini|Coding]] * [[w:en:Siobhan Leachman|Siobhan Leachman]] * [[m:Wikimedia_Foundation_elections/2021/Candidates/Gerard_Meijssen|Gerard Meijssen]]: https://ultimategerardm.blogspot.com/ * [[m:User:Ainali|Jan Ainali]] und [[m:User:Abbe98|Albin Larsson]]: ''Wikidata LIVE editing'', https://www.youtube.com/channel/UC30DIisp0xZuNloH5GTbmlQ * ''[[outreach:Wikipedian_in_Residence/de|Wikipedian in Residence]]'' weltweit === Semesterprojekte === * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Geschichten aus der Geschichte Podcast]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Stuttgart goes Wikimedia]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Headspace]] * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Weird Crimes]] * [[Projektejp090/Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/15|Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Vitamine und Spiritualität]] * * [[Kurs:Open_Government_und_Open_Data_(HdM_2022)/Kartenspiele_and_more]] == Bibliothek == * ''[https://www.teaching-matters-blog.ed.ac.uk/tag/podcast/ Teaching Matters blog (and podcast)] – Promoting, discussing and celebrating teaching at The University of Edinburgh'' * Ines Mergel: ''Open collaboration in the public sector: The case of social coding on GitHub'', DOI [https://doi.org/10.1016/j.giq.2015.09.004 10.1016/j.giq.2015.09.004], [https://kops.uni-konstanz.de/bitstream/handle/123456789/35190/Mergel_0-356945.pdf Open Access]-Fassung, in: Government Information Quarterly, Vol 32, Issue 4, October 2015, 464-472. * Helene Hahn: [https://www.digis-berlin.de/wissenswertes/hr-openglam/ Handreichung] ''Kooperativ in die digitale Zeit – wie öffentliche Kulturinstitutionen Cultural Commons fördern : eine Einführung in offene Kulturdaten'', [http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:0297-zib-59131 urn:nbn:de:0297-zib-59131], digis Berlin 2016. * Jens Bemme, Martin Munke: ''Open Citizen Science: Leitbild für kuratorische Praktiken in Wissenschaftlichen Bibliotheken'', in: Bibliotheken als Orte kuratorischer Praxis, Klaus Ulrich Werner (Hrsg.), Berlin, Boston: De Gruyter Saur, 2020. DOI [https://doi.org/10.1515/9783110673722-013 10.1515/9783110673722-013]. * Florian Thiery: ''[[d:Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones|Wikidata:WikiProject Irish Ogham Stones]]'', ''[[d:Category:WikiProject Samian Terra Sigillata|WikiProject Samian Terra Sigillata]]'', 2021. * Laurie M. Bridges, Raymond Pun, and Roberto A. Arteaga: ''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project]], 2021. * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455. * Marlene Neumann, Jens Bemme: ''[https://www.bibchat.de/ankuendigung-57-bibchatde-wie-viel-wikiversum-steckt-schon-in-unseren-bibliotheken/ Ankündigung 57. BibChatDE: Wie viel Wikiversum steckt schon in unseren Bibliotheken? : Oder: Wie viel Wikipedia, Wikisource, Wikidata, …, Wikimedia Commons sollten in Bibliotheken stecken? Was fehlt?]'', [[BibChatDE/Wikiversum|BibChatDE]], 16. Januar 2022. * Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki, Andreas Weich: ''[https://mediastudies.hypotheses.org/2875 WELCHE DATEN? WELCHE LITERACY? — Ein Kommentar zur Data-Literacy-Charta des Stifterverbandes von Marcus Burkhardt, Katja Grashöfer, Shintaro Miyazaki und Andreas Weich]'', mediastudies.hypotheses.org, 17.Dez. 2021/1. Feb. 2022. * Katharina Prager: ''[https://cms.falter.at/blogs/thinktank/2022/02/04/agenda-2032-rebellische-bibliotheken-als-fuenfte-gewalt/ Agenda 2032: Rebellische Bibliotheken als fünfte Gewalt]'', 4. Februar 2022 * Jens Bemme: ''Digitale Landeskunde: A Global Project'', https://saxorum.hypotheses.org/6803, 1. März 2022. * Jens Bemme: ''Wikipedia zu Gast beim [[BibChatDE]] – mit den Geschwistern. Sind wir fit fürs Wikiversum?'', SLUBlog, 14. März 2022, https://blog.slub-dresden.de/beitrag/2022/03/14/wikipedia-zu-gast-beim-bibchatde. <gallery> Wikipedia und Bibliotheken.pdf|Marlene Neumann: Wikipedia und Bibliotheken, 2021. Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019. Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, August 2019. Wikimedia Commons web.pdf|Wikimedia Commons-Broschüre, 2016. Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘.pdf|Metadaten und Links für ‚Die Bauwerke und Denkmäler der Welt‘, 2021. Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube.pdf|Wikicite, Caviar für Die Gartenlaube, 2021. Hybrid LOD Ogham Workflow.png|Florian Thiery: Hybrid LOD Ogham Workflow, 2021. Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers </gallery> === Nebenan === * Sandra Folie: [https://ufind.univie.ac.at/de/course.html?lv=135051&semester=2022S 135051 ''PS Sozialtheorie: Wikipedia - Literatur - Literaturwissenschaft''], Universität Wien (2022S) * Frick, Claudia. (2022). Wikipedia-Artikel statt Hausarbeiten (p. 41). Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.6557127 * [[Bibliothekskongress 2022]] [[Kategorie:Hochschule der Medien]] [[Kategorie:Bibliothek]] ox1oyhd2bvs0d1tjuimz3luvu9ouow7 0 136737 767067 724275 2022-08-15T15:06:25Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} alle Lösungen der {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y'=t^2y^2,\, y> 0 |SZ=, }} mit dem {{ Faktlink |Lösungsansatz für getrennte Variablen|Faktseitenname= Gewöhnliche Differentialgleichung/Getrennte Variablen/Lösungsexistenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit getrennten Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} azgbwtgddyle9pbll1azn4nzi5ta5ld 0 136741 767254 724300 2022-08-15T15:40:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f | \R| \R |x| {{op:sin(|x^2|}} |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der gleichmäßigen Stetigkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} al3z0tww6k9s53km1wcojkliymbr76b 0 136779 767156 725619 2022-08-15T15:20:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die konstanten Lösungen der {{ Definitionslink |Prämath= |gewöhnlichen Differentialgleichung| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | y' || {{op:Bruch|{{op:cos(| {{op:cos|t^2|}} |}} - e^{ t^3 }| ( t^{4} +9) e^{-t^2} + \sqrt{t^4+ e^{t} } |}} {{makl| y^2-y-3 |}} || || || |SZ= }} |Textart=Aufgabe 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2022-08-15T15:50:01Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Kosinusfunktion| |Kontext=C|msw=Kosinus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über ihre Potenzreihe {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Potenzreihe/Ableitung durch formale Ableitung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1hicepb7t0cwo7pz3cx1hh3ulppm773 0 136887 767066 726358 2022-08-15T15:06:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ 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reell ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} konstant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh3wyq8wt3srbrlhyyck5iqb4ynx169 0 137386 767097 729819 2022-08-15T15:10:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} mit kurzer Weierstraßgleichung {{ Ma:Vergleichskette |y^2 ||x^3+ax+b || || || |SZ=. }} Wir betrachten den Ring {{ Ma:Vergleichskette/disp | S ||K[x_1,x_2,y_1,y_2]/( y_1^2-x_1^3-ax_1-b, y_2^2-x_2^3-ax_2-b ) || || || |SZ=, }} in dem man die Gruppenstruktur auf der elliptischen Kurve mit rationalen Funktionen formulieren kann, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Erweiterung| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K[x_1,x_2] |\subseteq| S || || || |SZ= }} vorliegt. |Bestimme{{n Sie}} eine Ganzheitsgleichung für {{mathl|term=y_2-y_1|SZ=}} über {{math|term= K[x_1,x_2]|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} eine Ganzheitsgleichung für {{mathl|term= {{op:Bruch| y_2-y_1| x_2-x_1}}|SZ=}} über {{math|term= K(x_1,x_2) |SZ=.}} }} vor. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=3 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9h54dnz0988yayvxcvlrts07dchzv3m 0 137388 767098 729841 2022-08-15T15:11:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} mit kurzer Weierstraßgleichung {{ Ma:Vergleichskette |y^2 ||x^3+ax+b || || || |SZ=. }} Eliminiere{{n Sie}} in der Formel für die Addition {{ Zusatz/Klammer |text= siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} die Terme {{ mathkor|term1= y_1^1 |und|term2= y_2^2 |SZ= }} unter Verwendung der Kurvengleichung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvkcocgeao3yvd8uyqmiudist9iw8vu 0 137404 767038 729905 2022-08-15T14:57:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rückzug der {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=dx|SZ=}} unter der Additionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Affine Ebene|K|}} \cong {{op:Affine Gerade|K|}} \times {{op:Affine Gerade|K|}} | {{op:Affine Gerade|K|}} | (x_1,x_2)| x_1+x_2 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2=Theorie der affinen Gruppenschemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tfvmij05fjbf38st2qkmlq77b9t3b4c 0 137405 767039 729903 2022-08-15T14:58:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} den Rückzug der {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialform| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=dx|SZ=}} unter der Multiplikationsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{makl| {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} |}} \times {{makl| {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} |}} | {{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\} | (x_1,x_2)| x_1 \cdot x_2 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2=Theorie der affinen Gruppenschemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dzqlaoyhn0eld02xkvb93x8di9cjz8l 0 137415 767570 729920 2022-08-15T16:37:10Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Betrag|-|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Wir setzen im {{ Definitionslink |Prämath= |nichtarchimedischen| |Kontext=Betrag| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Fall {{ Ma:Vergleichskette | \delta ||0 || || || |SZ= }} und im archimedischen Fall {{ Ma:Vergleichskette | \delta ||1 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|f+g|}} |\leq| 2^\delta \cdot {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|f|}} | {{op:Betrag|g|}} }} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |f,g |\in|K || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53mfdkrnqr265aznp954s5wsk8m7uk5 0 137417 767087 729929 2022-08-15T15:09:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+rX^2+sX+t || || || |SZ= }} die Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Addition auf {{math|term=E|SZ=}} im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (x_1,y_1) + (x_2,y_2) || {{op:Zeilenvektor| \alpha^2-r -x_1-x_2 | \alpha {{makl| \alpha^2-r -x_1-x_2 |}} + \beta }} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \alpha || {{op:Bruch|y_2-y_1|x_2-x_1}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \beta || y_1 - \alpha x_1 || || || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9odgph438kp0fcqp0rkyoav7j0u7pp 0 137431 767163 730035 2022-08-15T15:21:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für das {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma || \langle 3+ {{imaginäre Einheit|}} , -1+2 {{imaginäre Einheit}} \rangle || || || |SZ= }} das Element {{math|term=\tau|SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath= |Fundamentalbereich| |Kontext=Modulsubstitution| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=D|SZ=}} derart, dass {{math|term=\Gamma|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalent| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= \langle 1, \tau \rangle |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ukxjncp00rnt7jhv29aydcb5bosocb 0 137438 767241 732481 2022-08-15T15:38:21Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f || xy^3+y+x^3 || 0 || || || |SZ= }} gegebene Kurve in {{math|term= {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Charakteristik|K|}} || 7 || || || |SZ= }} der Punkt {{mathl|term=(4,2)|SZ=}} ein singulärer Punkt der Kurve ist. |Zeige{{n Sie}}, dass die Kurve bei {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Charakteristik|K|}} |\neq| 7 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatt| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phnr5knvtiroyatm9nsc0b1tlh39ja1 0 137442 767137 730075 2022-08-15T15:17:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} auf der durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |y^2 ||x^3-x || || || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= E |SZ=}} über {{math|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenstruktur| |Kontext=elliptische Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= E {{makl| {{op:Zmod|7|}} |}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l3dm80302ovfmk6nouvwhxalj7vw2mu 0 137446 767531 730085 2022-08-15T16:27:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den Abstand zwischen den beiden rationalen Zahlen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|3|7}} |und|term2= {{op:Bruch|5|13}} |SZ=, }} wenn {{math|term=\Q |SZ=}} mit dem {{math|term=2|SZ=-}}adischen {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbetrag| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1shkf4rfly0o2oyr886a50eueidxkmw 0 137451 767092 730106 2022-08-15T15:10:06Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= [n] |E|E || |SZ= }} die Multiplikation mit {{math|term=n|SZ=}} auf {{math|term=E|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige Vorschubsabbildung der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Divisorenklassengruppe|E|}}|{{op:Divisorenklassengruppe|E|}} |D| [n]_*D |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9hpeb8tt9iyw3x1tsxfael5grmxw14z 0 137453 767091 730108 2022-08-15T15:09:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= [n] |E|E || |SZ= }} die Multiplikation mit {{math|term=n|SZ=}} auf {{math|term=E|SZ=.}} Beschreibe{{n Sie}} die zugehörige Rückzugsabbildung der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Divisorenklassengruppe|E|}}|{{op:Divisorenklassengruppe|E|}} |D| [n]^* D |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ih8mltmp61t7v6ijkgiryvw678da6i9 0 137454 767396 730111 2022-08-15T16:06:42Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Fermatkubik {{ Ma:Vergleichskette/disp |E ||V_+(X^3+Y^3+Z^3) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene| {{CC|}} |}} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=E|SZ=}} zur rationalen Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|X|Y}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t5v3qj3e6i1971woancme40hpga778v 0 137458 767184 730118 2022-08-15T15:25:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |C ||V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |H,G |\in|K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=d|SZ=.}} Es seien {{math|term=G|SZ=}} und {{math|term=H|SZ=}} keine Vielfache von {{math|term=F|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |q || {{op:Bruch|H|G}} || || || |SZ= }} die zugehörige rationale Funktion im {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Kurve. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |C \cap V_+(G) || \sum_P m_P P || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |C \cap V_+(H) || \sum_P n_P P || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=m_P|SZ=}} bzw. {{math|term=n_P|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Schnittmultiplizitäten| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnen. Zeige{{n Sie}}, dass für den {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptdivisor| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=q|SZ=}} auf {{math|term=C|SZ=}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hauptdivisor|q|}} || \sum_P (m_P-n_P) P || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der Schnittmultiplizität (ebene Kurven) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nwc5klw9i89dtru6cfg7sh0evnyj3ov 0 137464 767124 730143 2022-08-15T15:15:16Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || X^3+2X-3 || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über verschiedenen Körpern {{math|term=K|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Zerlege{{n Sie}} das Polynom {{math|term= X^3+2X-3|SZ=}} in {{math|term=\Q[X]|SZ=}} in irreduzible Faktoren. |Skizziere{{n Sie}} den reellen Verlauf der Kurve. |Zerlege{{n Sie}} das Polynom {{math|term= X^3+2X-3|SZ=}} in {{math|term= {{CC|}} [X]|SZ=}} in irreduzible Faktoren. |Bestimme{{n Sie}}, für welche Primzahlen {{math|term=p|SZ=}} sich keine elliptische Kurve über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ergibt. |Bestimme{{n Sie}} den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+2X-3 |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=4 |p5=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spdqtweu8hmd640xljk6vfqdniaelnw 0 137468 767083 730153 2022-08-15T15:08:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+aX+b || || || |SZ= }} die Gleichung einer {{ Definitionslink |Prämath= |elliptischen Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und es sei {{math|term= \{ {{elliptischo|}}, P_1, P_2, P_3 \} |SZ=}} die Untergruppe der Elemente der Ordnung {{math|term=\leq 2|SZ=.}} {{ManSie|Man beschreibe|Beschreiben Sie}} einen Hauptdivisor, bei dem genau diese vier Punkte nichttrivial vorkommen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34v1df2l3zpurqsy6k2c169hsa3stef 0 137470 767126 730157 2022-08-15T15:15:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || X^3+3X-4 || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über verschiedenen Körpern {{math|term=K|SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Zerlege{{n Sie}} das Polynom {{math|term= X^3+3X-4 |SZ=}} in {{math|term=\Q[X]|SZ=}} in irreduzible Faktoren. |Skizziere{{n Sie}} den reellen Verlauf der Kurve. |Zerlege{{n Sie}} das Polynom {{math|term= X^3+3X-4 |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}} [X]|SZ=}} in irreduzible Faktoren. |Bestimme{{n Sie}}, für welche Primzahlen {{math|term=p|SZ=}} sich keine elliptische Kurve über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} ergibt. |Bestimme{{n Sie}} den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3+3X-4 |Stichwort= |Punkte=10 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=4 |p5=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} isdoxyi6bbn8r5opkp6s8b28qkaenvp 0 137475 767110 730181 2022-08-15T15:12:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=,}} die durch die affine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || X^3-X+6 || || || |SZ= }} gegeben ist. {{ Aufzählung5 |Bestimme{{n Sie}} die Torsionsuntergruppe der Ordnung {{math|term=2|SZ=}} für {{math|term= E(\R) |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Torsionsuntergruppe der Ordnung {{math|term=2|SZ=}} für {{math|term= E( {{CC|}} ) |SZ=.}} |Parametrisiere{{n Sie}} den oberen Bogen von {{math|term=E(\R)|SZ=}} als Funktion über einem geeigneten Definitionsbereich. |Bestimme{{n Sie}} die Koordinaten der Punkte von {{math|term=E(\R)|SZ=,}} wo die Funktion aus (3) lokale Extrema annimmt. |Beschreibe{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} derart, dass die Punkte aus Teil (4) zu {{math|term=E(K) |SZ=}} gehören. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven über R |Kategorie3=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Objektkategorie=Die elliptische Kurve Y^2 ist X^3-X+6 |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=3 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xyw9oim7f5jpxrs2u8mh9tr3pqpfe5 0 137488 767149 730237 2022-08-15T15:19:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 2|SZ=,}} die affin durch eine Gleichung der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 || {{makl| X- \lambda_1 |}} {{makl| X- \lambda_2 |}} {{makl| X- \lambda_3 |}} || || || |SZ= }} gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass unter der durch {{math|term=X|SZ=}} gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten {{mathl|term= {{elliptischo|}},\, {{op:Zeilenvektor|\lambda_1|0}},\, {{op:Zeilenvektor|\lambda_2|0}} ,\, {{op:Zeilenvektor|\lambda_3|0}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Verzweigung| |Kontext=Kurvenmorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spoyamcpfvv7z88o32jevfzajs2qg38 0 137497 767530 730267 2022-08-15T16:27:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} verschiedene Primzahlen und seien {{ mathkor|term1= {{op:Betrag|-|}}_p |und|term2= {{op:Betrag|-|}}_q |SZ= }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbeträge| |Kontext=Q| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |h(x) | {{defeq|}} | {{op:Betrag|x|}}_p \cdot {{op:Betrag|x|}}_q || || || |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=\Q|SZ=}} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Beträge auf Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jczfco9dkgvbgfizpu55353hlazc5mb 0 137499 767119 730274 2022-08-15T15:14:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term=K|SZ=,}} die durch eine affine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+aX+b || || || |SZ= }} gegeben sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|K(t) || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Variablen über {{math|term=K|SZ=.}} Es sei {{mathl|term=(t,u)|SZ=}} ein Punkt der Kurve über einem Erweiterungskörper {{ Ma:Vergleichskette |L |\supseteq|K(t) || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term=(t,u)|SZ=}} in {{math|term=E_{L}|SZ=}} unendliche Ordnung besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56arn0jrt3lktczzudr7n9hm62xnx1y 0 137507 767170 730339 2022-08-15T15:22:56Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{CC|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|0 || || || |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette | s \Gamma | \subseteq |\Gamma || || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\cong| \Z^2 || || || |SZ= }} eine Identifizierung und {{math|term=M|SZ=}} die beschreibende Matrix der Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=s | \Gamma| \Gamma || |SZ= }} unter dieser Identifizierung. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | {{CC|}}/\Gamma | {{CC|}}/\Gamma | [z]| [sz] |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl des Kernes von {{math|term=\varphi |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=M|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isogenien zwischen eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ccop1hxvjnn860onguirqze1s16jjqh 0 137510 767174 730315 2022-08-15T15:23:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | E || {{CC|}}/\Gamma || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{math|term= \ell |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass ein Isomorphismus {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\cong| \Z^2 || || || |SZ= }} einen Isomorphismus {{ Ma:Vergleichskette/disp |T_\ell (E) |\cong| \hat{\Z}_\ell \times \hat{\Z}_\ell || || || |SZ= }} induziert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pq1naah0ezaf1aol2qxpnn404put3mq 0 137514 767173 730320 2022-08-15T15:23:26Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma_1,\Gamma_2 |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | E_1 || {{CC|}}/\Gamma_1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | E_2 || {{CC|}}/\Gamma_2 || || || |SZ=, }} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Tori| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{CC|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|0 || || || |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |s \Gamma_1 |\subseteq| \Gamma_2 || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E_1|E_2 || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= \ell |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der zugehörige Homomorphismus der {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Moduln| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_\ell | T_\ell(E_1)| T_\ell(E_2) || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} unter den kanonischen Isomorphismen {{ Ma:Vergleichskette | T_\ell (E_1) |\cong| \varprojlim_{n \in \N} \Gamma_1/ \ell^n \Gamma_1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | T_\ell (E_2) |\cong| \varprojlim_{n \in \N} \Gamma_2/ \ell^n \Gamma_2 || || || |SZ= }} aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} mit dem projektiven Limes zu {{ Ma:abb |name= s | \Gamma_1 / \ell^n \Gamma_1|\Gamma_2 / \ell^n \Gamma_2 || |SZ= }} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der Isogenien zwischen eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rmesomlro09y9gaznj1rk4lcr1ju7vh 0 137517 767175 730341 2022-08-15T15:23:46Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | E || {{CC|}}/\Gamma || || || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{CC|}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |s |\neq|0 || || || |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |s \Gamma |\subseteq| \Gamma || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |E|E || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Isogenie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Kurvenmorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=}} mit der Determinante von {{ Ma:abbele/disp |name=s |\Gamma|\Gamma || |SZ= }} und mit der Determinante des zugehörigen Endomorphismus des {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Moduls| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_\ell | T_\ell(E)| T_\ell(E) || |SZ= }} für jede {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\ell|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der Isogenien auf einem eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5s98cbq4yr3uez146878ense3lbc5eq 0 137525 767311 730344 2022-08-15T15:48:11Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette |m,n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |teilerfremd| |Kontext=Z| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Torsionsuntergruppe| |Kontext=Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Ordnung {{math|term=mn|SZ=}} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|mn|G}} |SZ=}} die direkte Summe aus den Torsionsuntergruppen {{ mathkor|term1= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|m|G}} |und|term2= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|n|G}} |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dy4cfzmrfl2qz2x6yn39ht4thhr7uuk 0 137535 767444 730373 2022-08-15T16:14:55Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=C|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi | C | {{op:Projektive Gerade|K|}} || |SZ= }} ein nichtkonstanter Morphismus. Zeige{{n Sie}}, dass die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Hauptdivisor/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} induzierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_* | {{op:Divisorengruppe|C|}} | {{op:Divisorengruppe| {{op:Projektive Gerade|K}} |}} \cong \Z |D| \varphi_*D |SZ=, }} einfach die {{ Definitionslink |Prämath= |Gradabbildung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nnya1i1a0fxxavv1wjdx2bngy2s2h6h 0 137536 767186 730375 2022-08-15T15:25:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=C|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |glatte| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |projektive Kurve| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= K|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch den {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Divisor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eines Divisors eine natürliche Zerlegung der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorengruppe| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Divisorenklassengruppe| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegeben ist, wobei die Teile zueinander in {{ Zusatz/Klammer |text=nach Wahl eines Punktes kanonischer| |ISZ=|ESZ= }} Bijektion stehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8jflzt9lgj1kgzgb57uyu5x5ygoeu71 0 137545 768081 762806 2022-08-16T10:18:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Für eine ebene projektive Kurve vom Grad {{math|term=d|SZ=}} lässt sich die Kohomologiegruppe zur Strukturgarbe explizit angeben. Wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V_+(F) || || || |SZ= }} und {{math|term=F|SZ=}} die Form {{mathl|term= Z^n+ \text{andere Terme} |SZ=}} besitzt, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | H^1(C, {{op:Strukturgarbe|C|}} ) || {{op:Kokern(| (( K[X,Y,Z]/(F))_X)_0 \oplus (( K[X,Y,Z]/(F))_Y)_0 \longrightarrow (( K[X,Y,Z]/(F))_{XY})_0|}} || || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |R ||K[X,Y,Z]/(F) || || || |SZ= }} der homogene Koordinatenring der Kurve, wobei die {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahme| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an {{math|term=X|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term=Y|SZ=}} bzw. {{math|term=XY|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gemacht wird und davon die nullte homogene Komponente genommen wird. Bei {{math|term=F|SZ=}} vom Grad {{math|term=3|SZ=}} ist die Kohomologie gleich {{mathl|term=K {{op:Bruch|Z^2|XY}} |SZ=.}} Die Kohomologieklasse {{mathl|term={{op:Bruch|Z^2|XY}} |SZ=}} lässt sich nicht als Summe von Elementen aus {{mathl|term= (R_X)_0 |SZ=}} und {{mathl|term= (R_Y)_0 |SZ=}} ausdrücken. Dagegen ist beispielsweise in der Kohomologiegruppe unter Verwendung der Kurvengleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |Z^3 || XG+YH || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |G,H |\in|K[X,Y,Z] || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term=2|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|Z^3|X^2Y}} || {{op:Bruch|XG+YH|X^2Y}} || {{op:Bruch|XG|X^2Y}} + {{op:Bruch|YH|X^2Y}} || {{op:Bruch|G|XY}} + {{op:Bruch|H|X^2}} || {{op:Bruch|aZ^2 +bX^2+cY^2 +d XY+eXZ+fYZ|XY}} || {{op:Bruch|aZ^2 |XY}} |SZ=, }} d.h. {{math|term={{op:Bruch|Z^3|X^2Y}} |SZ=}} ist ein Vielfaches von {{math|term= {{op:Bruch|Z^2|XY}} |SZ=.}} Bei {{math|term=F|SZ=}} vom Grad {{math|term=4|SZ=}} wird die Kohomologie durch die Basiselemente {{mathl|term= {{op:Bruch|Z^2|XY}}, {{op:Bruch|Z^3|X^2Y}}, {{op:Bruch|Z^3|XY^2}} |SZ=}} erzeugt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lbc1i32pwqp3lgr1d3wnu8noudlii8j 0 137568 767395 730541 2022-08-15T16:06:33Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |globalen Differentialformen| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+ {{makl| X^4+Y^4+Z^4 |}} |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über einem Körper der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\neq 2|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} szn6eyn160n9gftcz0xltpyi8zovjg3 0 137570 767432 730539 2022-08-15T16:13:15Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass es auf der projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K|}} |SZ=}} außer der Nullform keine globalen {{ Definitionslink |Prämath= |Differentialformen| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale auf dem projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4o1hux6ot16oou2f276glg30w1avj8j 0 137571 767411 730543 2022-08-15T16:09:45Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |globalen Differentialformen| |Kontext=Kähler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf der Kurve {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_+ {{makl| X^3-Y^2Z |}} |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf einem Schema |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8rg3eco8yrn0pvs0tj89ldhfgzg9hmh 0 137582 767180 730582 2022-08-15T15:24:36Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |E || {{CC|}} /\Gamma || || || |SZ= }} der zugehörige komplexe Torus, aufgefasst als elliptische Kurve. Beschreibe, inwiefern das Gitter {{math|term=\Gamma |SZ=}} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Tate-Moduln| |Kontext=elliptisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=T_\ell(E)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term=\ell|SZ=}} Primzahl| |ISZ=|ESZ= }} zusammenhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Tate-Modul einer elliptischen Kurve |Kategorie2=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e9pls7viybgmxteuycp5ywp2ajt7m4f 0 138080 767431 731587 2022-08-15T16:13:05Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass auf {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Bruch|dz|z}} |SZ=}} nicht die Form {{math|term=df|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphen Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der komplex-projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tjsmlksomudzldvqxcw2f0c9ztbq9wj 2 138399 767603 733469 2022-08-15T18:44:54Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki {{Babel|swg|en-3|de|sv-1}} j26bezxsflphki5s1neowm92072c6up 767604 767603 2022-08-15T18:45:14Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki {{Babel|en-3|de|sv-1}} 6vruxdb31undpo11jxj18evaa0jc9f1 0 138905 767375 734448 2022-08-15T15:58:52Z Arbota 36910 Ersetzung wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |X| {{CC|}} || |SZ= }} eine Funktion. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term=f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |holomorph| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jede mit der komplexen Struktur kompatible Karte {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V \subseteq {{CC|}} || |SZ= }} ist {{mathl|term= f \circ \alpha^{-1}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |holomorph| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=f|SZ=}} ist in jedem Punkt durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Potenzreihe| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschreibbar. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bl9e9jo4lkev7i0r4uobnpowjg3uqbk 0 138907 767229 734451 2022-08-15T15:36:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Aussagen gelten. {{ Aufzählung4 |Konstante Funktionen sind {{ Definitionslink |Prämath= |holomorph| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Summe von holomorphen Funktionen ist holomorph. |Das Produkt von holomorphen Funktionen ist holomorph. |Zu einer nullstellenfreien holomorphen Funktion {{math|term=f|SZ=}} ist auch {{math|term=f^{-1}|SZ=}} holomorph. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6weugvp1as3viqr8k7jdf10fqiwl8wb 108 140253 766740 749198 2022-08-15T13:08:20Z Jp090 36306 Verlinkungen vorgenommen wikitext text/x-wiki == Kartenspiele für Kinder == Was gibt es schöneres als die Zufriedenheit der Kinder? Genau dafür haben wir unten einen Überblick über diverse Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren abgebildet. {| class="wikitable sortable" |+ Skatkartenspiele für Kinder und Jugendliche |- ! Bild !! Spiel !! Kurzbeschreibung !! Alter !! Spieleranzahl |- | Beispiel || Bassadewitz || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Berliner Beschiss / Bullshit || Beispiel || Ab 6 Jahren || 3 - 13 Spieler |- | Bild || [https://de.wikipedia.org/wiki/Mau-Mau%20(Kartenspiel) Mau Mau] || Bei Mau Mau geht es darum, seine Karten möglichst schnell abzulegen. || ab 3 Jahren || 2 - 4 Spieler |- | Beispiel || [https://en.wikipedia.org/wiki/Slapjack SLAPJACK] || Beispiel || Ab 5 Jahren || 2 - 8 Spieler |- | Beispiel || Schwarzer Peter || Beispiel || ab 5 Jahren || 2 - 12 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Beispiel || ab 7 Jahren || 2 - 5 Spieler |- | Beispiel || Deutsches Solo || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Brandeln || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Ecartel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Schweller (Rolling Stone) || Beispiel || Ab 8 Jahren || ab 3 Spielern |- | Beispiel || Schwimmen || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Vietnamesischer Poker || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Zwicken || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Hund || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || das Planetenspiel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || 6 nimmt! || Beispiel || ab 6 Jahren || 2 bis 10 |-} === Fakten und Wissenswertes === ==== Homo Erectus ==== Wusstest du, dass es bereits vor den Homo Sapiens eine menschliche Spezies gegeben hat, die aufgrund ihres Spieltriebs Homo Erectus benannt wurden. Sie waren zudem die erste Art der Gattung Homo, die Afrika verließen und sich über den Orient nach Asien und Europa ausbreiteten. ==== Warum hat ein klassisches Deck genau 52 Karten? ==== So genau wissen wir das leider selber nicht. Es gibt verschiedene Theorien - warum das so sein könnte. Eine Theorie findet ihren Ursprung zu Zeiten des britischen / französischen Kolonialismus. Historiker vermuten, dass die "klassische" Version eines Skatkartenspieles, daher kommt, dass die Franzosen dies schon immer mit 52 Karten spielten. Eine weitere Theorie besagt, dass es die Anzahl der Wochen im Jahr widerspiegeln soll. Addiert man alle Werte der 52 Karten zusammen erhält man 365, was genau die Anzahl der Tage im Jahr entspricht. Noch eine Theorie ... Nun dürft ihr euch selbst ein Bild davon machen. Falls von weiteren Theorien gehört habt, lasst gerne einen Edit da. ==== Wo und wann wurden Kartenspiele erfunden? ==== Nun hierzu können wir dir leider auch keine genaue Antwort geben ==== Welches ist das seltenste Kartenspiel der Welt? ==== Auf unserem Heimatplaneten gibt es bereits unzählige Kartenspiele in verschiedenen Variationen. Das aber älteste und somit auch wertvollste Kartenspiel kommt aus den Niederlanden und heißt Tarot 52-Kartendeck. Es wurde circa im 15. Jahrhundert zu einem heute nicht mehr vergleichbaren Preis gehandelt und aufgrund seiner Seltenheit in das New Yorker Metropolitan Museum of Art ausgestellt. 1970 gab es jedoch einen Interessenten, der das Kartendeck um jeden Preis besitzen wollte. Dafür zahlte er einen stolzen Preis von 2800$ US-Dollar. Für die Zeiten damals war dies noch eine große Summe an Geld, heutzutage finden sich auf Plattformen wie Ebay sämtliche Kartendecks für bis zu 2000€ - der Wahnsinn. ==== Warum haben die meisten Kartenspiele vier unterschiedliche Farben? ==== Überall auf der Welt haben Karten in Kartenspielen die verschiedensten Motive, Farben und Symbole. Wobei letzteres sich auf die französische Art gefestigt hat - bestehend aus Karo, Herz, Pik und Kreuz. Eine lange Zeit gespielte Variante stammt aus China aus dem 15. Jahrhundert und hatte ein Motiv aus verschiedenen Geldwerten. Abgesehen davon bilden die Hofkarten "Bube", "Dame", und "König" berühmte Persönlichkeiten aus der Geschichte und Mythologie ab. Eine Zusammenfassung findet ihr hier drunter: {| class="wikitable sortable" |+ Überblick Hofkarten nach berühmten Persönlichkeiten |- ! Symbol !! Kartenwert !! berühmte Persönlichkeit |- | Kreuz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_der_Gro%C3%9Fe Alexander der Große] |- | Pik|| König || [https://de.wikipedia.org/wiki/David David] |- | Herz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_der_Gro%C3%9Fe Karl der Große] |- | Karo || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Gaius_Iulius_Caesar Julius Caesar] |- | Kreuz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Juno%20(Mythologie) römische Göttin Juno] |- | Pik || Dame || griechische [https://de.wikipedia.org/wiki/Athene Göttin Pallas Athene] |- | Herz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judith%20und%20Holofernes%20(Sujet) Judith aus der Bibel] |- | Karo || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Rachel%20(Bibel) Rahel aus der Bibel] |- | Kreuz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lancelot Ritter Lancelot] |- | Pik || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Holger%20Danske Ritter Holger Danske] |- | Herz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89tienne_de_Vignolles Étienne de Vignolles], Mitstreiter der [https://de.wikipedia.org/wiki/Jeanne_d%E2%80%99Arc Johanna von Orleans] |- | Karo || Bube || [https://de.wikisource.org/wiki/MKL1888:H%C3%A9ktor Hektor von Troja] |} ==== Wer ist der größte Hersteller von Kartenspielen weltweit? ==== Den Thron teilen sich im Grunde zwei Hersteller von Kartenspielen. Einer davon ist ein Hersteller mit Hauptsitz in Kentucky, USA. Seine Gründung geht auf das Jahr 1867 zurück. Die United States Playing Card Company (USPC) verzeichnete im Jahre 2018 einen Umsatz von 112 Millionen US-Dollar. Der CEO des USPC entschied sich nach Jahrelanger Mitarbeit den anderen größten Hersteller zu Übernehmen und wurde somit als Mitglied in das Cartamundi Executive Committee aufgenommen. Cartamundi ist also der andere größte Hersteller von Kartenspielen und kommt Ursprünglich aus Turnhout, Belgien. Produziert werden die Kartenspiele neben dem Hauptsitz in Belgien auch in weiteren Ländern wie Japan, Indien, Polen, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Irland, den USA und Brasilien. Cartamundi erzielte im Jahre 2018 einen Umsatz von sogar 440 Millionen US-Dollar. Die Geschichte des Herstellers Cartamundi geht bis ins Jahr 1765 zurück. ==== Welches ist das berühmteste Kartenspiel aller Zeiten? ==== Das bislang berühmteste Kartenspiel wurde im Jahre 1885 zum ersten mal Produziert und hat sowohl den 2. Weltkrieg als auch den Vietnamkrieg miterlebt. Bicycle heißt das wohl meisterkaufteste Spiel aller Zeiten und wurde von der United States Playing Card Company hergestellt. ==== Wie sahen die Karten aus Kartenspielen vor dem 15. Jahrhundert aus? ==== Für den ein oder anderen Feminist wird dies keine erfreuliche Neuigkeit sein. Kartenspiele von dem 15. Jahrhundert enthielten nämlich keine weiblichen Charaktere, sie zeigten lediglich einen König, einen Ritter und einen Schurken (Bube) ==== Woraus bestanden die ersten Karten aus Kartenspielen? ==== Die Karten aus den frühen Zeiten bestanden im Grunde aus Elfenbeinplättchen. Sie wurden ähnlich wie Dominosteine gelegt. In Indien wurde beispielsweise früher mit kreisrunden Spielkarten gespielt. Heutzutage werden Karten allerdings aus Kunststoff und Papier hergestellt. ==== Wie haben die Menschen früher Karten gespielt? ==== Bis ins 18. Jahrhundert war es völlig normal mit Einsätzen von Hab und Gut auf das Kartenspiel zu setzen, das gefiel der damals noch einflussreichen Kirche ganz und gar nicht und verbat daraufhin das Spielen von Karten. ==== Was hat man früher mit Karten noch so getrieben? ==== Abgesehen vom Spielen wurden Karten früher auch für weitere Zwecke genutzt, die uns heute unglaublich ungewöhnlich vorkommen. Beispielsweise als Liebesbriefe, Einladungen zu Festen oder auch als Gutscheine. In den Niederlanden sollen Mütter die vom Armut betroffen waren ihre Babys an den Haustüren wohlhabender hinterlassen. Dazu legten sie meist eine Spielkarte auf welcher der Name des Babys stand und einer Bitte um Hilfe. Im April 2003 veröffentlichte nach der Besetzung des Irak, die US-Amerikanische Regierung ein Kartendeck mit 57 Karten. Darauf abgebildet waren 55 Mitglieder der entmachteten irakischen Regierung. Die Karten wurden demnach an die amerikanischen Truppen im Irak verteilt. Neben den 55 Karten mit den gesuchten Personen gab es aber noch 2 weitere Karten, diese dienten als Joker und enthielten eine Liste mit arabischen Titeln und Rängen des irakischen Militärs. Die Karte Pik Ass bildete sogar den Staatspräsidenten des Irak Saddam Hussein ab. Die Kreuz Ass Karte bildete seinen ältesten Sohn Qusai Hussein ab, er war zudem Leiter der Sicherheitspolizei und der Republikanischen Garden im Irak. Die Spielkarte Herz Ass stand für den zweitältesten Sohn Udai, er war vor seinem Tod Chef der Miliz Fida iyyi Saddam. Die letzte Ass Karte Pik stellte den Staatsminister, entfernten Cousin und engsten vertrautesten Saddams ab. Passend zur Chronologie der Spielkarten, waren dies die zu derzeit mächtigsten Männer im Irak. == Quellen und Einzelnachweise == https://www.giffits.de/magazin/teuflisch-kurios-prominent-zehn-facts-zum-kartenspielen/ <br> 03tn22l2k4m8xsdsfkcpkur8nlmwmo2 767598 766740 2022-08-15T18:21:07Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki == Kartenspiele für Kinder == Was gibt es schöneres als die Zufriedenheit der Kinder? Genau dafür haben wir unten einen Überblick über diverse Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren abgebildet. {| class="wikitable sortable" |+ Skatkartenspiele für Kinder und Jugendliche |- ! Bild !! Spiel !! Kurzbeschreibung !! Alter !! Spieleranzahl |- | Beispiel || Bassadewitz || Bassadewitz wird mit 32 Karten gespielt, wobei es klassisch mit einem deutschen Blatt und moderner auch mit einem französischen Blatt gespielt wird. Es entspricht in seiner Spielweise einem einfachen Stichspiel. In der Regel wird das Spiel mit vier Spielern gespielt, kann jedoch auch zu dritt oder zu fünft gespielt werden. Ziel eines jeden Spielers ist es, seine Augenzahl zum Spielende möglichst gering zu halten. Die Rangfolge der Karten ist As/Daus (5 Augen bzw. 11 Augen[1]), König (4 Augen), Dame/Ober (3 Augen), Bube/Unter (2 Augen), 10 (10 Augen), 9 (0 Augen), 8 (0 Augen), 7 (0 Augen), einen Trumpf gibt es nicht.[2] Zusammen sind im Spiel entsprechend 96 bzw. 120 Augen vorhanden. Bei vier Mitspielern werden 8 Karten gegeben und das Spiel geht entsprechend über acht Runden, in denen jeder Spieler eine Karte spielt. Beim Spiel zu dritt bekommt jeder Spieler 10, beim Spiel zu fünft jeder 6 Karten. Der linke Nachbar des Gebers (Vorhand) spielt aus. Die Mitspieler bedienen die Farbe im Uhrzeigersinn (Bedienpflicht) und wer nicht bedienen kann, wirft eine beliebige Karte ab. Der Spieler mit der jeweils höchsten Karte der angespielten Farbe gewinnt den Stich. || ab 10 Jahren || 4 Spieler |- | Beispiel || Berliner Beschiss / Bullshit || Beispiel || Ab 6 Jahren || 3 - 13 Spieler |- | Bild || [https://de.wikipedia.org/wiki/Mau-Mau%20(Kartenspiel) Mau Mau] || Bei Mau Mau geht es darum, seine Karten möglichst schnell abzulegen. || ab 3 Jahren || 2 - 4 Spieler |- | Beispiel || [https://en.wikipedia.org/wiki/Slapjack SLAPJACK] || Beispiel || Ab 5 Jahren || 2 - 8 Spieler |- | Beispiel || Schwarzer Peter || Beispiel || ab 5 Jahren || 2 - 12 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Beispiel || ab 7 Jahren || 2 - 5 Spieler |- | Beispiel || Deutsches Solo || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Brandeln || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Ecartel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Schweller (Rolling Stone) || Beispiel || Ab 8 Jahren || ab 3 Spielern |- | Beispiel || Schwimmen || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Vietnamesischer Poker || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Zwicken || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Hund || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || das Planetenspiel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || 6 nimmt! || Beispiel || ab 6 Jahren || 2 bis 10 |-} === Fakten und Wissenswertes === ==== Homo Erectus ==== Wusstest du, dass es bereits vor den Homo Sapiens eine menschliche Spezies gegeben hat, die aufgrund ihres Spieltriebs Homo Erectus benannt wurden. Sie waren zudem die erste Art der Gattung Homo, die Afrika verließen und sich über den Orient nach Asien und Europa ausbreiteten. ==== Warum hat ein klassisches Deck genau 52 Karten? ==== So genau wissen wir das leider selber nicht. Es gibt verschiedene Theorien - warum das so sein könnte. Eine Theorie findet ihren Ursprung zu Zeiten des britischen / französischen Kolonialismus. Historiker vermuten, dass die "klassische" Version eines Skatkartenspieles, daher kommt, dass die Franzosen dies schon immer mit 52 Karten spielten. Eine weitere Theorie besagt, dass es die Anzahl der Wochen im Jahr widerspiegeln soll. Addiert man alle Werte der 52 Karten zusammen erhält man 365, was genau die Anzahl der Tage im Jahr entspricht. Noch eine Theorie ... Nun dürft ihr euch selbst ein Bild davon machen. Falls von weiteren Theorien gehört habt, lasst gerne einen Edit da. ==== Wo und wann wurden Kartenspiele erfunden? ==== Nun hierzu können wir dir leider auch keine genaue Antwort geben ==== Welches ist das seltenste Kartenspiel der Welt? ==== Auf unserem Heimatplaneten gibt es bereits unzählige Kartenspiele in verschiedenen Variationen. Das aber älteste und somit auch wertvollste Kartenspiel kommt aus den Niederlanden und heißt Tarot 52-Kartendeck. Es wurde circa im 15. Jahrhundert zu einem heute nicht mehr vergleichbaren Preis gehandelt und aufgrund seiner Seltenheit in das New Yorker Metropolitan Museum of Art ausgestellt. 1970 gab es jedoch einen Interessenten, der das Kartendeck um jeden Preis besitzen wollte. Dafür zahlte er einen stolzen Preis von 2800$ US-Dollar. Für die Zeiten damals war dies noch eine große Summe an Geld, heutzutage finden sich auf Plattformen wie Ebay sämtliche Kartendecks für bis zu 2000€ - der Wahnsinn. ==== Warum haben die meisten Kartenspiele vier unterschiedliche Farben? ==== Überall auf der Welt haben Karten in Kartenspielen die verschiedensten Motive, Farben und Symbole. Wobei letzteres sich auf die französische Art gefestigt hat - bestehend aus Karo, Herz, Pik und Kreuz. Eine lange Zeit gespielte Variante stammt aus China aus dem 15. Jahrhundert und hatte ein Motiv aus verschiedenen Geldwerten. Abgesehen davon bilden die Hofkarten "Bube", "Dame", und "König" berühmte Persönlichkeiten aus der Geschichte und Mythologie ab. Eine Zusammenfassung findet ihr hier drunter: {| class="wikitable sortable" |+ Überblick Hofkarten nach berühmten Persönlichkeiten |- ! Symbol !! 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Einer davon ist ein Hersteller mit Hauptsitz in Kentucky, USA. Seine Gründung geht auf das Jahr 1867 zurück. Die United States Playing Card Company (USPC) verzeichnete im Jahre 2018 einen Umsatz von 112 Millionen US-Dollar. Der CEO des USPC entschied sich nach Jahrelanger Mitarbeit den anderen größten Hersteller zu Übernehmen und wurde somit als Mitglied in das Cartamundi Executive Committee aufgenommen. Cartamundi ist also der andere größte Hersteller von Kartenspielen und kommt Ursprünglich aus Turnhout, Belgien. Produziert werden die Kartenspiele neben dem Hauptsitz in Belgien auch in weiteren Ländern wie Japan, Indien, Polen, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Irland, den USA und Brasilien. Cartamundi erzielte im Jahre 2018 einen Umsatz von sogar 440 Millionen US-Dollar. 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Heutzutage werden Karten allerdings aus Kunststoff und Papier hergestellt. ==== Wie haben die Menschen früher Karten gespielt? ==== Bis ins 18. Jahrhundert war es völlig normal mit Einsätzen von Hab und Gut auf das Kartenspiel zu setzen, das gefiel der damals noch einflussreichen Kirche ganz und gar nicht und verbat daraufhin das Spielen von Karten. ==== Was hat man früher mit Karten noch so getrieben? ==== Abgesehen vom Spielen wurden Karten früher auch für weitere Zwecke genutzt, die uns heute unglaublich ungewöhnlich vorkommen. Beispielsweise als Liebesbriefe, Einladungen zu Festen oder auch als Gutscheine. In den Niederlanden sollen Mütter die vom Armut betroffen waren ihre Babys an den Haustüren wohlhabender hinterlassen. Dazu legten sie meist eine Spielkarte auf welcher der Name des Babys stand und einer Bitte um Hilfe. Im April 2003 veröffentlichte nach der Besetzung des Irak, die US-Amerikanische Regierung ein Kartendeck mit 57 Karten. 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In der Regel wird das Spiel mit vier Spielern gespielt, kann jedoch auch zu dritt oder zu fünft gespielt werden. Ziel eines jeden Spielers ist es, seine Augenzahl zum Spielende möglichst gering zu halten. Die Rangfolge der Karten ist As/Daus (5 Augen bzw. 11 Augen[1]), König (4 Augen), Dame/Ober (3 Augen), Bube/Unter (2 Augen), 10 (10 Augen), 9 (0 Augen), 8 (0 Augen), 7 (0 Augen), einen Trumpf gibt es nicht.[2] Zusammen sind im Spiel entsprechend 96 bzw. 120 Augen vorhanden. Bei vier Mitspielern werden 8 Karten gegeben und das Spiel geht entsprechend über acht Runden, in denen jeder Spieler eine Karte spielt. Beim Spiel zu dritt bekommt jeder Spieler 10, beim Spiel zu fünft jeder 6 Karten. Der linke Nachbar des Gebers (Vorhand) spielt aus. Die Mitspieler bedienen die Farbe im Uhrzeigersinn (Bedienpflicht) und wer nicht bedienen kann, wirft eine beliebige Karte ab. Der Spieler mit der jeweils höchsten Karte der angespielten Farbe gewinnt den Stich. || ab 10 Jahren || 4 Spieler |- | Beispiel || Berliner Beschiss / Bullshit || Die Karten werden in aufsteigender Reihenfolge gespielt und die Anzahl der Karten darf nicht verändert werden in einem "Zug". (Spieler 1: 2 sechs, Spieler 2: 2 sieben, Spieler 3: 2 acht) Der nachfolgende Spieler kann immer (aber muss nicht) über die gelegten Karten des Vorgängers entscheiden, ob jene richtig oder falsch sind, also nicht den angesagten Karten entsprechen. In diesem Falle sagt er "Bullshit" in die Runde. Sagt er, sie seien richtig, und sie sind es, so scheidet der gesamte Stapel Karten aus dem Spiel aus, wobei die Karten nicht angeschaut werden dürfen. Sind sie aber falsch, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Sagt er, sie seien Bullshit, und sie sind es, so muss der Vorgänger den gesamten Stapel Karten auf die Hand nehmen. Sind sie aber richtig, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Nach einer gewissen Zeit sind gewisse Karten vollständig aus dem Spiel ausgeschieden, können also nicht mehr gelegt werden. Dann kann jeder Spieler beim Legen sagen, welche draußen sind. (Bsp.: Spieler 1 müsste eine 6 legen. Er denkt 6 und 7 seien draußen, also sagt er "sechs draußen, sieben draußen, hier ist eine acht".) Nun kann nur der nachfolgende Spieler das Gegenteil behaupten, in dem er ihm eine 7 zeigt, und jener dann den ganzen Stapel auf die Hand nimmt, währenddessen Spieler 2 seine 7 ablegt. Daraus folgt, dass je weniger Karten der nachfolgende Spieler hat, umso mehr kann behauptet werden, es sei schon fast alles draußen, auch wenn man die Karten selbst auf der Hand hat. Gewonnen hat, wer als erster keine Karten mehr hat. Das Spiel ist beendet, sobald nur noch zwei Spieler Karten haben. || Ab 6 Jahren || 3 - 13 Spieler |- | Bild || [https://de.wikipedia.org/wiki/Mau-Mau%20(Kartenspiel) Mau Mau] || Bei Mau Mau geht es darum, seine Karten möglichst schnell abzulegen. || ab 3 Jahren || 2 - 4 Spieler |- | Beispiel || [https://en.wikipedia.org/wiki/Slapjack SLAPJACK] || Ein 52-Karten- Deck wird unter allen Spielern so gleichmäßig wie möglich in verdeckte Stapel aufgeteilt. Ein Spieler entfernt die oberste Karte seines Stapels und legt sie offen auf die Spielfläche in Reichweite aller Spieler. Die Spieler tun dies abwechselnd im Uhrzeigersinn, bis ein Bube auf den Stapel gelegt wird. An diesem Punkt können alle Spieler versuchen, den Stapel mit der Hand zu schlagen, mit der sie die Karte nicht gelegt haben; wer den Stapel zuerst mit der Hand bedeckt, nimmt den Stapel, mischt ihn und legt ihn unter seinen Stapel. Wenn ein anderer Spieler seine Karte über den Buben legt, bevor er geschlagen wird, können der Bube und die darunter liegenden Karten nicht von einem Spieler genommen werden, bis der nächste Bube aufgedeckt wird. Wenn ein Spieler keine Karten mehr hat, hat er eine weitere Chance, einen Buben zu schlagen und wieder ins Spiel zu kommen, aber wenn er scheitert, ist er raus. Das Gameplay wird mit solchen Händen fortgesetzt, bis ein Spieler alle Karten erworben hat. || Ab 5 Jahren || 2 - 8 Spieler |- | Beispiel || Schwarzer Peter || Das jüngste Kind oder das Kind, das die meisten Karten hält, oder der Spieler links vom Geber zieht nun aus dem Blatt seines linken Nachbarn eine Karte und steckt sie zu seinem Blatt. Kann er mit dieser Karte ein Paar bilden, so legt er dies ab. Sodann ist der linke Nachbar an der Reihe und spielt in gleicher Weise. Auf diese Art setzt sich das Spiel solange fort, bis alle Paare abgelegt und einem Spieler als einzige Karte der Schwarze Peter in der Hand bleibt. Dieser Spieler ist Schwarzer Peter und erhält die vereinbarte „Strafe“, wie etwa einen schwarzen Punkt auf Stirn, Nase oder Wange. || ab 5 Jahren || 2 - 12 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Der Kartengeber teilt beim offenen Spiel jeweils drei verdeckte Karten einzeln an alle Spielteilnehmer aus, an sich selbst jedoch zwei Päckchen mit jeweils drei Karten. Er sieht sich die Karten eines der beiden seiner Stapel an und entscheidet, ob er mit diesen Karten spielen möchte oder nicht. Will er mit den Karten des ersten Stapels spielen, so muss er den zweiten Stapel offen in die Tischmitte legen. Will er die Karten des ersten Stapels nicht behalten, so legt er diese drei Karten offen in die Mitte des Tisches und muss die Karten des zweiten Stapels aufnehmen. Die übrigen Karten werden beiseitegelegt. Der Spieler links vom Geber beginnt das Spiel. Er kann entweder eine Karte oder alle drei Karten aus der Hand mit Karten in der Mitte tauschen – jedoch nicht zwei. Möchte er nicht tauschen, so kann er entweder mit der Aussage „Ich schiebe“ keine Karte tauschen, oder aber das Spiel schließen, indem er klopft oder "ich mache zu" sagt. Als Verlierer gelten der oder die Spieler, die am Ende des Spiels die Kartenkombinationen mit den wenigsten Punkten vorweisen können. || ab 7 Jahren || 2 - 5 Spieler |- | Beispiel || Deutsches Solo || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Brandeln || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Ecartel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Schweller (Rolling Stone) || Beispiel || Ab 8 Jahren || ab 3 Spielern |- | Beispiel || Schwimmen || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Vietnamesischer Poker || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Zwicken || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || Hund || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || das Planetenspiel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || 6 nimmt! || Beispiel || ab 6 Jahren || 2 bis 10 |-} === Fakten und Wissenswertes === ==== Homo Erectus ==== Wusstest du, dass es bereits vor den Homo Sapiens eine menschliche Spezies gegeben hat, die aufgrund ihres Spieltriebs Homo Erectus benannt wurden. Sie waren zudem die erste Art der Gattung Homo, die Afrika verließen und sich über den Orient nach Asien und Europa ausbreiteten. ==== Warum hat ein klassisches Deck genau 52 Karten? ==== So genau wissen wir das leider selber nicht. Es gibt verschiedene Theorien - warum das so sein könnte. Eine Theorie findet ihren Ursprung zu Zeiten des britischen / französischen Kolonialismus. Historiker vermuten, dass die "klassische" Version eines Skatkartenspieles, daher kommt, dass die Franzosen dies schon immer mit 52 Karten spielten. Eine weitere Theorie besagt, dass es die Anzahl der Wochen im Jahr widerspiegeln soll. Addiert man alle Werte der 52 Karten zusammen erhält man 365, was genau die Anzahl der Tage im Jahr entspricht. Noch eine Theorie ... Nun dürft ihr euch selbst ein Bild davon machen. Falls von weiteren Theorien gehört habt, lasst gerne einen Edit da. ==== Wo und wann wurden Kartenspiele erfunden? ==== Nun hierzu können wir dir leider auch keine genaue Antwort geben ==== Welches ist das seltenste Kartenspiel der Welt? ==== Auf unserem Heimatplaneten gibt es bereits unzählige Kartenspiele in verschiedenen Variationen. Das aber älteste und somit auch wertvollste Kartenspiel kommt aus den Niederlanden und heißt Tarot 52-Kartendeck. Es wurde circa im 15. Jahrhundert zu einem heute nicht mehr vergleichbaren Preis gehandelt und aufgrund seiner Seltenheit in das New Yorker Metropolitan Museum of Art ausgestellt. 1970 gab es jedoch einen Interessenten, der das Kartendeck um jeden Preis besitzen wollte. Dafür zahlte er einen stolzen Preis von 2800$ US-Dollar. Für die Zeiten damals war dies noch eine große Summe an Geld, heutzutage finden sich auf Plattformen wie Ebay sämtliche Kartendecks für bis zu 2000€ - der Wahnsinn. ==== Warum haben die meisten Kartenspiele vier unterschiedliche Farben? ==== Überall auf der Welt haben Karten in Kartenspielen die verschiedensten Motive, Farben und Symbole. Wobei letzteres sich auf die französische Art gefestigt hat - bestehend aus Karo, Herz, Pik und Kreuz. Eine lange Zeit gespielte Variante stammt aus China aus dem 15. Jahrhundert und hatte ein Motiv aus verschiedenen Geldwerten. Abgesehen davon bilden die Hofkarten "Bube", "Dame", und "König" berühmte Persönlichkeiten aus der Geschichte und Mythologie ab. Eine Zusammenfassung findet ihr hier drunter: {| class="wikitable sortable" |+ Überblick Hofkarten nach berühmten Persönlichkeiten |- ! Symbol !! Kartenwert !! berühmte Persönlichkeit |- | Kreuz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_der_Gro%C3%9Fe Alexander der Große] |- | Pik|| König || [https://de.wikipedia.org/wiki/David David] |- | Herz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_der_Gro%C3%9Fe Karl der Große] |- | Karo || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Gaius_Iulius_Caesar Julius Caesar] |- | Kreuz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Juno%20(Mythologie) römische Göttin Juno] |- | Pik || Dame || griechische [https://de.wikipedia.org/wiki/Athene Göttin Pallas Athene] |- | Herz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judith%20und%20Holofernes%20(Sujet) Judith aus der Bibel] |- | Karo || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Rachel%20(Bibel) Rahel aus der Bibel] |- | Kreuz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lancelot Ritter Lancelot] |- | Pik || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Holger%20Danske Ritter Holger Danske] |- | Herz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89tienne_de_Vignolles Étienne de Vignolles], Mitstreiter der [https://de.wikipedia.org/wiki/Jeanne_d%E2%80%99Arc Johanna von Orleans] |- | Karo || Bube || [https://de.wikisource.org/wiki/MKL1888:H%C3%A9ktor Hektor von Troja] |} ==== Wer ist der größte Hersteller von Kartenspielen weltweit? ==== Den Thron teilen sich im Grunde zwei Hersteller von Kartenspielen. Einer davon ist ein Hersteller mit Hauptsitz in Kentucky, USA. Seine Gründung geht auf das Jahr 1867 zurück. Die United States Playing Card Company (USPC) verzeichnete im Jahre 2018 einen Umsatz von 112 Millionen US-Dollar. Der CEO des USPC entschied sich nach Jahrelanger Mitarbeit den anderen größten Hersteller zu Übernehmen und wurde somit als Mitglied in das Cartamundi Executive Committee aufgenommen. Cartamundi ist also der andere größte Hersteller von Kartenspielen und kommt Ursprünglich aus Turnhout, Belgien. Produziert werden die Kartenspiele neben dem Hauptsitz in Belgien auch in weiteren Ländern wie Japan, Indien, Polen, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Irland, den USA und Brasilien. Cartamundi erzielte im Jahre 2018 einen Umsatz von sogar 440 Millionen US-Dollar. Die Geschichte des Herstellers Cartamundi geht bis ins Jahr 1765 zurück. ==== Welches ist das berühmteste Kartenspiel aller Zeiten? ==== Das bislang berühmteste Kartenspiel wurde im Jahre 1885 zum ersten mal Produziert und hat sowohl den 2. Weltkrieg als auch den Vietnamkrieg miterlebt. Bicycle heißt das wohl meisterkaufteste Spiel aller Zeiten und wurde von der United States Playing Card Company hergestellt. ==== Wie sahen die Karten aus Kartenspielen vor dem 15. Jahrhundert aus? ==== Für den ein oder anderen Feminist wird dies keine erfreuliche Neuigkeit sein. Kartenspiele von dem 15. Jahrhundert enthielten nämlich keine weiblichen Charaktere, sie zeigten lediglich einen König, einen Ritter und einen Schurken (Bube) ==== Woraus bestanden die ersten Karten aus Kartenspielen? ==== Die Karten aus den frühen Zeiten bestanden im Grunde aus Elfenbeinplättchen. Sie wurden ähnlich wie Dominosteine gelegt. In Indien wurde beispielsweise früher mit kreisrunden Spielkarten gespielt. Heutzutage werden Karten allerdings aus Kunststoff und Papier hergestellt. ==== Wie haben die Menschen früher Karten gespielt? ==== Bis ins 18. Jahrhundert war es völlig normal mit Einsätzen von Hab und Gut auf das Kartenspiel zu setzen, das gefiel der damals noch einflussreichen Kirche ganz und gar nicht und verbat daraufhin das Spielen von Karten. ==== Was hat man früher mit Karten noch so getrieben? ==== Abgesehen vom Spielen wurden Karten früher auch für weitere Zwecke genutzt, die uns heute unglaublich ungewöhnlich vorkommen. Beispielsweise als Liebesbriefe, Einladungen zu Festen oder auch als Gutscheine. In den Niederlanden sollen Mütter die vom Armut betroffen waren ihre Babys an den Haustüren wohlhabender hinterlassen. Dazu legten sie meist eine Spielkarte auf welcher der Name des Babys stand und einer Bitte um Hilfe. Im April 2003 veröffentlichte nach der Besetzung des Irak, die US-Amerikanische Regierung ein Kartendeck mit 57 Karten. Darauf abgebildet waren 55 Mitglieder der entmachteten irakischen Regierung. Die Karten wurden demnach an die amerikanischen Truppen im Irak verteilt. Neben den 55 Karten mit den gesuchten Personen gab es aber noch 2 weitere Karten, diese dienten als Joker und enthielten eine Liste mit arabischen Titeln und Rängen des irakischen Militärs. Die Karte Pik Ass bildete sogar den Staatspräsidenten des Irak Saddam Hussein ab. Die Kreuz Ass Karte bildete seinen ältesten Sohn Qusai Hussein ab, er war zudem Leiter der Sicherheitspolizei und der Republikanischen Garden im Irak. Die Spielkarte Herz Ass stand für den zweitältesten Sohn Udai, er war vor seinem Tod Chef der Miliz Fida iyyi Saddam. Die letzte Ass Karte Pik stellte den Staatsminister, entfernten Cousin und engsten vertrautesten Saddams ab. Passend zur Chronologie der Spielkarten, waren dies die zu derzeit mächtigsten Männer im Irak. == Quellen und Einzelnachweise == https://www.giffits.de/magazin/teuflisch-kurios-prominent-zehn-facts-zum-kartenspielen/ <br> orcxjo9lmn8v13lnbfnes0cszk7rnni 767600 767599 2022-08-15T18:39:09Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki == Kartenspiele für Kinder == Was gibt es schöneres als die Zufriedenheit der Kinder? Genau dafür haben wir unten einen Überblick über diverse Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren abgebildet. {| class="wikitable sortable" |+ Skatkartenspiele für Kinder und Jugendliche |- ! Bild !! Spiel !! Kurzbeschreibung !! Alter !! Spieleranzahl |- | Beispiel || Bassadewitz || Bassadewitz wird mit 32 Karten gespielt, wobei es klassisch mit einem deutschen Blatt und moderner auch mit einem französischen Blatt gespielt wird. Es entspricht in seiner Spielweise einem einfachen Stichspiel. In der Regel wird das Spiel mit vier Spielern gespielt, kann jedoch auch zu dritt oder zu fünft gespielt werden. Ziel eines jeden Spielers ist es, seine Augenzahl zum Spielende möglichst gering zu halten. Die Rangfolge der Karten ist As/Daus (5 Augen bzw. 11 Augen[1]), König (4 Augen), Dame/Ober (3 Augen), Bube/Unter (2 Augen), 10 (10 Augen), 9 (0 Augen), 8 (0 Augen), 7 (0 Augen), einen Trumpf gibt es nicht.[2] Zusammen sind im Spiel entsprechend 96 bzw. 120 Augen vorhanden. Bei vier Mitspielern werden 8 Karten gegeben und das Spiel geht entsprechend über acht Runden, in denen jeder Spieler eine Karte spielt. Beim Spiel zu dritt bekommt jeder Spieler 10, beim Spiel zu fünft jeder 6 Karten. Der linke Nachbar des Gebers (Vorhand) spielt aus. Die Mitspieler bedienen die Farbe im Uhrzeigersinn (Bedienpflicht) und wer nicht bedienen kann, wirft eine beliebige Karte ab. Der Spieler mit der jeweils höchsten Karte der angespielten Farbe gewinnt den Stich. || ab 10 Jahren || 4 Spieler |- | Beispiel || Berliner Beschiss / Bullshit || Die Karten werden in aufsteigender Reihenfolge gespielt und die Anzahl der Karten darf nicht verändert werden in einem "Zug". (Spieler 1: 2 sechs, Spieler 2: 2 sieben, Spieler 3: 2 acht) Der nachfolgende Spieler kann immer (aber muss nicht) über die gelegten Karten des Vorgängers entscheiden, ob jene richtig oder falsch sind, also nicht den angesagten Karten entsprechen. In diesem Falle sagt er "Bullshit" in die Runde. Sagt er, sie seien richtig, und sie sind es, so scheidet der gesamte Stapel Karten aus dem Spiel aus, wobei die Karten nicht angeschaut werden dürfen. Sind sie aber falsch, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Sagt er, sie seien Bullshit, und sie sind es, so muss der Vorgänger den gesamten Stapel Karten auf die Hand nehmen. Sind sie aber richtig, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Nach einer gewissen Zeit sind gewisse Karten vollständig aus dem Spiel ausgeschieden, können also nicht mehr gelegt werden. Dann kann jeder Spieler beim Legen sagen, welche draußen sind. (Bsp.: Spieler 1 müsste eine 6 legen. Er denkt 6 und 7 seien draußen, also sagt er "sechs draußen, sieben draußen, hier ist eine acht".) Nun kann nur der nachfolgende Spieler das Gegenteil behaupten, in dem er ihm eine 7 zeigt, und jener dann den ganzen Stapel auf die Hand nimmt, währenddessen Spieler 2 seine 7 ablegt. Daraus folgt, dass je weniger Karten der nachfolgende Spieler hat, umso mehr kann behauptet werden, es sei schon fast alles draußen, auch wenn man die Karten selbst auf der Hand hat. Gewonnen hat, wer als erster keine Karten mehr hat. Das Spiel ist beendet, sobald nur noch zwei Spieler Karten haben. || Ab 6 Jahren || 3 - 13 Spieler |- | Bild || [https://de.wikipedia.org/wiki/Mau-Mau%20(Kartenspiel) Mau Mau] || Bei Mau Mau geht es darum, seine Karten möglichst schnell abzulegen. || ab 3 Jahren || 2 - 4 Spieler |- | Beispiel || [https://en.wikipedia.org/wiki/Slapjack SLAPJACK] || Ein 52-Karten- Deck wird unter allen Spielern so gleichmäßig wie möglich in verdeckte Stapel aufgeteilt. Ein Spieler entfernt die oberste Karte seines Stapels und legt sie offen auf die Spielfläche in Reichweite aller Spieler. Die Spieler tun dies abwechselnd im Uhrzeigersinn, bis ein Bube auf den Stapel gelegt wird. An diesem Punkt können alle Spieler versuchen, den Stapel mit der Hand zu schlagen, mit der sie die Karte nicht gelegt haben; wer den Stapel zuerst mit der Hand bedeckt, nimmt den Stapel, mischt ihn und legt ihn unter seinen Stapel. Wenn ein anderer Spieler seine Karte über den Buben legt, bevor er geschlagen wird, können der Bube und die darunter liegenden Karten nicht von einem Spieler genommen werden, bis der nächste Bube aufgedeckt wird. Wenn ein Spieler keine Karten mehr hat, hat er eine weitere Chance, einen Buben zu schlagen und wieder ins Spiel zu kommen, aber wenn er scheitert, ist er raus. Das Gameplay wird mit solchen Händen fortgesetzt, bis ein Spieler alle Karten erworben hat. || Ab 5 Jahren || 2 - 8 Spieler |- | Beispiel || Schwarzer Peter || Das jüngste Kind oder das Kind, das die meisten Karten hält, oder der Spieler links vom Geber zieht nun aus dem Blatt seines linken Nachbarn eine Karte und steckt sie zu seinem Blatt. Kann er mit dieser Karte ein Paar bilden, so legt er dies ab. Sodann ist der linke Nachbar an der Reihe und spielt in gleicher Weise. Auf diese Art setzt sich das Spiel solange fort, bis alle Paare abgelegt und einem Spieler als einzige Karte der Schwarze Peter in der Hand bleibt. Dieser Spieler ist Schwarzer Peter und erhält die vereinbarte „Strafe“, wie etwa einen schwarzen Punkt auf Stirn, Nase oder Wange. || ab 5 Jahren || 2 - 12 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Der Kartengeber teilt beim offenen Spiel jeweils drei verdeckte Karten einzeln an alle Spielteilnehmer aus, an sich selbst jedoch zwei Päckchen mit jeweils drei Karten. Er sieht sich die Karten eines der beiden seiner Stapel an und entscheidet, ob er mit diesen Karten spielen möchte oder nicht. Will er mit den Karten des ersten Stapels spielen, so muss er den zweiten Stapel offen in die Tischmitte legen. Will er die Karten des ersten Stapels nicht behalten, so legt er diese drei Karten offen in die Mitte des Tisches und muss die Karten des zweiten Stapels aufnehmen. Die übrigen Karten werden beiseitegelegt. Der Spieler links vom Geber beginnt das Spiel. Er kann entweder eine Karte oder alle drei Karten aus der Hand mit Karten in der Mitte tauschen – jedoch nicht zwei. Möchte er nicht tauschen, so kann er entweder mit der Aussage „Ich schiebe“ keine Karte tauschen, oder aber das Spiel schließen, indem er klopft oder "ich mache zu" sagt. Als Verlierer gelten der oder die Spieler, die am Ende des Spiels die Kartenkombinationen mit den wenigsten Punkten vorweisen können. || ab 7 Jahren || 2 - 5 Spieler |- | Beispiel || Ecartel ||Jeder Mitspieler bekommt 5 Karten. Die elfte Karte wird aufgedeckt und bestimmt die Trumpffarbe. Der Talon wird quer über diese Karte gelegt. Falls diese Karte ein König ist, kann sich der Geber bereits einen Punkt aufschreiben. Bevor mit dem Ausspielen begonnen wird, können die beiden Spieler Karten tauschen, wenn sie wollen. Vorhand fragt dazu: „Darf ich?“ Bejaht der Geber, darf Vorhand beliebig viele Karten verdeckt zur Seite legen und erhält dafür neue. Danach darf der Geber tauschen. Dies kann beliebig wiederholt werden, bis der Talon aufgebraucht ist oder einer der beiden Spieler nicht mehr tauschen will. Nun zieht Vorhand zum ersten Stich an. Es besteht Zugabe- und Stichzwang, d.h. die ausgespielte Farbe muss zugegeben und wenn möglich || ab 8 Jahren || 2 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Ziel ist es, die richtigen Karten zu sammeln und dadurch eine hohe Punktzahl zu erreichen. Gezählt werden entweder Karten gleicher Farbe oder 3 gleiche Werte verschiedener Farbe. Eine Zahlenkarte zählt ihren aufgedruckten Wert, eine Bildkarte zählt 10 Punkte (aber 3 Buben, Damen oder Könige zählen 30 ½ Punkte), ein Ass zählt 11 Punkte. 31 Punkte zählen nur folgende Kombinationen: 2 Bildkarten oder die 10 und ein Ass gleicher Farbe oder 3 Asse. In allen anderen Kombinationen, mit denen 31 Punkte erzielt werden können, zählt das Ass nur einen Punkt. Die Karten werden gemischt und folgendermaßen verteilt: Der Geber gibt jedem Spieler eine Karte und legt eine offen in die Mitte, bevor er sich selbst eine Karte gibt. Dies wiederholt er noch zweimal, sodass jeder Mitspieler 3 Karten hat. Reihum darf jeder Spieler entweder eine seiner Handkarten oder alle 3 gegen eine oder alle der in der Mitte liegenden Karten austauschen. Er kann auch in einer Runde passen (auf das Austauschen verzichten), dafür ist er in der nächsten Runde zum Tausch von einer oder 3 Karten verpflichtet. Dies wird so lange fortgesetzt, bis ein Spieler glaubt, genügend Punkte beisammen zu haben und das Spiel, wenn er an der Reihe ist, beendet, indem er passt. Jeder ihm nachfolgende Spieler kann noch einmal Karten tauschen, bevor alle ihre Karten aufdecken müssen. || ab 10 Jahren || 3 - 6 Spieler |- | Beispiel || Hund || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || das Planetenspiel || Beispiel || Beispiel || Beispiel |- | Beispiel || 6 nimmt! || Beispiel || ab 6 Jahren || 2 bis 10 |-} === Fakten und Wissenswertes === ==== Homo Erectus ==== Wusstest du, dass es bereits vor den Homo Sapiens eine menschliche Spezies gegeben hat, die aufgrund ihres Spieltriebs Homo Erectus benannt wurden. Sie waren zudem die erste Art der Gattung Homo, die Afrika verließen und sich über den Orient nach Asien und Europa ausbreiteten. ==== Warum hat ein klassisches Deck genau 52 Karten? ==== So genau wissen wir das leider selber nicht. Es gibt verschiedene Theorien - warum das so sein könnte. Eine Theorie findet ihren Ursprung zu Zeiten des britischen / französischen Kolonialismus. Historiker vermuten, dass die "klassische" Version eines Skatkartenspieles, daher kommt, dass die Franzosen dies schon immer mit 52 Karten spielten. Eine weitere Theorie besagt, dass es die Anzahl der Wochen im Jahr widerspiegeln soll. Addiert man alle Werte der 52 Karten zusammen erhält man 365, was genau die Anzahl der Tage im Jahr entspricht. Noch eine Theorie ... Nun dürft ihr euch selbst ein Bild davon machen. Falls von weiteren Theorien gehört habt, lasst gerne einen Edit da. ==== Wo und wann wurden Kartenspiele erfunden? ==== Nun hierzu können wir dir leider auch keine genaue Antwort geben ==== Welches ist das seltenste Kartenspiel der Welt? ==== Auf unserem Heimatplaneten gibt es bereits unzählige Kartenspiele in verschiedenen Variationen. Das aber älteste und somit auch wertvollste Kartenspiel kommt aus den Niederlanden und heißt Tarot 52-Kartendeck. Es wurde circa im 15. Jahrhundert zu einem heute nicht mehr vergleichbaren Preis gehandelt und aufgrund seiner Seltenheit in das New Yorker Metropolitan Museum of Art ausgestellt. 1970 gab es jedoch einen Interessenten, der das Kartendeck um jeden Preis besitzen wollte. Dafür zahlte er einen stolzen Preis von 2800$ US-Dollar. Für die Zeiten damals war dies noch eine große Summe an Geld, heutzutage finden sich auf Plattformen wie Ebay sämtliche Kartendecks für bis zu 2000€ - der Wahnsinn. ==== Warum haben die meisten Kartenspiele vier unterschiedliche Farben? ==== Überall auf der Welt haben Karten in Kartenspielen die verschiedensten Motive, Farben und Symbole. Wobei letzteres sich auf die französische Art gefestigt hat - bestehend aus Karo, Herz, Pik und Kreuz. Eine lange Zeit gespielte Variante stammt aus China aus dem 15. Jahrhundert und hatte ein Motiv aus verschiedenen Geldwerten. Abgesehen davon bilden die Hofkarten "Bube", "Dame", und "König" berühmte Persönlichkeiten aus der Geschichte und Mythologie ab. Eine Zusammenfassung findet ihr hier drunter: {| class="wikitable sortable" |+ Überblick Hofkarten nach berühmten Persönlichkeiten |- ! Symbol !! Kartenwert !! berühmte Persönlichkeit |- | Kreuz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_der_Gro%C3%9Fe Alexander der Große] |- | Pik|| König || [https://de.wikipedia.org/wiki/David David] |- | Herz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_der_Gro%C3%9Fe Karl der Große] |- | Karo || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Gaius_Iulius_Caesar Julius Caesar] |- | Kreuz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Juno%20(Mythologie) römische Göttin Juno] |- | Pik || Dame || griechische [https://de.wikipedia.org/wiki/Athene Göttin Pallas Athene] |- | Herz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judith%20und%20Holofernes%20(Sujet) Judith aus der Bibel] |- | Karo || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Rachel%20(Bibel) Rahel aus der Bibel] |- | Kreuz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lancelot Ritter Lancelot] |- | Pik || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Holger%20Danske Ritter Holger Danske] |- | Herz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89tienne_de_Vignolles Étienne de Vignolles], Mitstreiter der [https://de.wikipedia.org/wiki/Jeanne_d%E2%80%99Arc Johanna von Orleans] |- | Karo || Bube || [https://de.wikisource.org/wiki/MKL1888:H%C3%A9ktor Hektor von Troja] |} ==== Wer ist der größte Hersteller von Kartenspielen weltweit? ==== Den Thron teilen sich im Grunde zwei Hersteller von Kartenspielen. Einer davon ist ein Hersteller mit Hauptsitz in Kentucky, USA. Seine Gründung geht auf das Jahr 1867 zurück. Die United States Playing Card Company (USPC) verzeichnete im Jahre 2018 einen Umsatz von 112 Millionen US-Dollar. Der CEO des USPC entschied sich nach Jahrelanger Mitarbeit den anderen größten Hersteller zu Übernehmen und wurde somit als Mitglied in das Cartamundi Executive Committee aufgenommen. Cartamundi ist also der andere größte Hersteller von Kartenspielen und kommt Ursprünglich aus Turnhout, Belgien. Produziert werden die Kartenspiele neben dem Hauptsitz in Belgien auch in weiteren Ländern wie Japan, Indien, Polen, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Irland, den USA und Brasilien. Cartamundi erzielte im Jahre 2018 einen Umsatz von sogar 440 Millionen US-Dollar. Die Geschichte des Herstellers Cartamundi geht bis ins Jahr 1765 zurück. ==== Welches ist das berühmteste Kartenspiel aller Zeiten? ==== Das bislang berühmteste Kartenspiel wurde im Jahre 1885 zum ersten mal Produziert und hat sowohl den 2. Weltkrieg als auch den Vietnamkrieg miterlebt. Bicycle heißt das wohl meisterkaufteste Spiel aller Zeiten und wurde von der United States Playing Card Company hergestellt. ==== Wie sahen die Karten aus Kartenspielen vor dem 15. Jahrhundert aus? ==== Für den ein oder anderen Feminist wird dies keine erfreuliche Neuigkeit sein. Kartenspiele von dem 15. Jahrhundert enthielten nämlich keine weiblichen Charaktere, sie zeigten lediglich einen König, einen Ritter und einen Schurken (Bube) ==== Woraus bestanden die ersten Karten aus Kartenspielen? ==== Die Karten aus den frühen Zeiten bestanden im Grunde aus Elfenbeinplättchen. Sie wurden ähnlich wie Dominosteine gelegt. In Indien wurde beispielsweise früher mit kreisrunden Spielkarten gespielt. Heutzutage werden Karten allerdings aus Kunststoff und Papier hergestellt. ==== Wie haben die Menschen früher Karten gespielt? ==== Bis ins 18. Jahrhundert war es völlig normal mit Einsätzen von Hab und Gut auf das Kartenspiel zu setzen, das gefiel der damals noch einflussreichen Kirche ganz und gar nicht und verbat daraufhin das Spielen von Karten. ==== Was hat man früher mit Karten noch so getrieben? ==== Abgesehen vom Spielen wurden Karten früher auch für weitere Zwecke genutzt, die uns heute unglaublich ungewöhnlich vorkommen. Beispielsweise als Liebesbriefe, Einladungen zu Festen oder auch als Gutscheine. In den Niederlanden sollen Mütter die vom Armut betroffen waren ihre Babys an den Haustüren wohlhabender hinterlassen. Dazu legten sie meist eine Spielkarte auf welcher der Name des Babys stand und einer Bitte um Hilfe. Im April 2003 veröffentlichte nach der Besetzung des Irak, die US-Amerikanische Regierung ein Kartendeck mit 57 Karten. Darauf abgebildet waren 55 Mitglieder der entmachteten irakischen Regierung. Die Karten wurden demnach an die amerikanischen Truppen im Irak verteilt. Neben den 55 Karten mit den gesuchten Personen gab es aber noch 2 weitere Karten, diese dienten als Joker und enthielten eine Liste mit arabischen Titeln und Rängen des irakischen Militärs. Die Karte Pik Ass bildete sogar den Staatspräsidenten des Irak Saddam Hussein ab. Die Kreuz Ass Karte bildete seinen ältesten Sohn Qusai Hussein ab, er war zudem Leiter der Sicherheitspolizei und der Republikanischen Garden im Irak. Die Spielkarte Herz Ass stand für den zweitältesten Sohn Udai, er war vor seinem Tod Chef der Miliz Fida iyyi Saddam. Die letzte Ass Karte Pik stellte den Staatsminister, entfernten Cousin und engsten vertrautesten Saddams ab. Passend zur Chronologie der Spielkarten, waren dies die zu derzeit mächtigsten Männer im Irak. == Quellen und Einzelnachweise == https://www.giffits.de/magazin/teuflisch-kurios-prominent-zehn-facts-zum-kartenspielen/ <br> s7ycnvki35wh1tc7ekimjcveprqel8q 767601 767600 2022-08-15T18:42:02Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki == Kartenspiele für Kinder == Was gibt es schöneres als die Zufriedenheit der Kinder? Genau dafür haben wir unten einen Überblick über diverse Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren abgebildet. {| class="wikitable sortable" |+ Skatkartenspiele für Kinder und Jugendliche |- ! Bild !! Spiel !! Kurzbeschreibung !! Alter !! Spieleranzahl |- | Beispiel || Bassadewitz || Bassadewitz wird mit 32 Karten gespielt, wobei es klassisch mit einem deutschen Blatt und moderner auch mit einem französischen Blatt gespielt wird. Es entspricht in seiner Spielweise einem einfachen Stichspiel. In der Regel wird das Spiel mit vier Spielern gespielt, kann jedoch auch zu dritt oder zu fünft gespielt werden. Ziel eines jeden Spielers ist es, seine Augenzahl zum Spielende möglichst gering zu halten. Die Rangfolge der Karten ist As/Daus (5 Augen bzw. 11 Augen[1]), König (4 Augen), Dame/Ober (3 Augen), Bube/Unter (2 Augen), 10 (10 Augen), 9 (0 Augen), 8 (0 Augen), 7 (0 Augen), einen Trumpf gibt es nicht.[2] Zusammen sind im Spiel entsprechend 96 bzw. 120 Augen vorhanden. Bei vier Mitspielern werden 8 Karten gegeben und das Spiel geht entsprechend über acht Runden, in denen jeder Spieler eine Karte spielt. Beim Spiel zu dritt bekommt jeder Spieler 10, beim Spiel zu fünft jeder 6 Karten. Der linke Nachbar des Gebers (Vorhand) spielt aus. Die Mitspieler bedienen die Farbe im Uhrzeigersinn (Bedienpflicht) und wer nicht bedienen kann, wirft eine beliebige Karte ab. Der Spieler mit der jeweils höchsten Karte der angespielten Farbe gewinnt den Stich. || ab 10 Jahren || 4 Spieler |- | Beispiel || Berliner Beschiss / Bullshit || Die Karten werden in aufsteigender Reihenfolge gespielt und die Anzahl der Karten darf nicht verändert werden in einem "Zug". (Spieler 1: 2 sechs, Spieler 2: 2 sieben, Spieler 3: 2 acht) Der nachfolgende Spieler kann immer (aber muss nicht) über die gelegten Karten des Vorgängers entscheiden, ob jene richtig oder falsch sind, also nicht den angesagten Karten entsprechen. In diesem Falle sagt er "Bullshit" in die Runde. Sagt er, sie seien richtig, und sie sind es, so scheidet der gesamte Stapel Karten aus dem Spiel aus, wobei die Karten nicht angeschaut werden dürfen. Sind sie aber falsch, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Sagt er, sie seien Bullshit, und sie sind es, so muss der Vorgänger den gesamten Stapel Karten auf die Hand nehmen. Sind sie aber richtig, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Nach einer gewissen Zeit sind gewisse Karten vollständig aus dem Spiel ausgeschieden, können also nicht mehr gelegt werden. Dann kann jeder Spieler beim Legen sagen, welche draußen sind. (Bsp.: Spieler 1 müsste eine 6 legen. Er denkt 6 und 7 seien draußen, also sagt er "sechs draußen, sieben draußen, hier ist eine acht".) Nun kann nur der nachfolgende Spieler das Gegenteil behaupten, in dem er ihm eine 7 zeigt, und jener dann den ganzen Stapel auf die Hand nimmt, währenddessen Spieler 2 seine 7 ablegt. Daraus folgt, dass je weniger Karten der nachfolgende Spieler hat, umso mehr kann behauptet werden, es sei schon fast alles draußen, auch wenn man die Karten selbst auf der Hand hat. Gewonnen hat, wer als erster keine Karten mehr hat. Das Spiel ist beendet, sobald nur noch zwei Spieler Karten haben. || Ab 6 Jahren || 3 - 13 Spieler |- | Bild || [https://de.wikipedia.org/wiki/Mau-Mau%20(Kartenspiel) Mau Mau] || Bei Mau Mau geht es darum, seine Karten möglichst schnell abzulegen. || ab 3 Jahren || 2 - 4 Spieler |- | Beispiel || [https://en.wikipedia.org/wiki/Slapjack SLAPJACK] || Ein 52-Karten- Deck wird unter allen Spielern so gleichmäßig wie möglich in verdeckte Stapel aufgeteilt. Ein Spieler entfernt die oberste Karte seines Stapels und legt sie offen auf die Spielfläche in Reichweite aller Spieler. Die Spieler tun dies abwechselnd im Uhrzeigersinn, bis ein Bube auf den Stapel gelegt wird. An diesem Punkt können alle Spieler versuchen, den Stapel mit der Hand zu schlagen, mit der sie die Karte nicht gelegt haben; wer den Stapel zuerst mit der Hand bedeckt, nimmt den Stapel, mischt ihn und legt ihn unter seinen Stapel. Wenn ein anderer Spieler seine Karte über den Buben legt, bevor er geschlagen wird, können der Bube und die darunter liegenden Karten nicht von einem Spieler genommen werden, bis der nächste Bube aufgedeckt wird. Wenn ein Spieler keine Karten mehr hat, hat er eine weitere Chance, einen Buben zu schlagen und wieder ins Spiel zu kommen, aber wenn er scheitert, ist er raus. Das Gameplay wird mit solchen Händen fortgesetzt, bis ein Spieler alle Karten erworben hat. || Ab 5 Jahren || 2 - 8 Spieler |- | Beispiel || Schwarzer Peter || Das jüngste Kind oder das Kind, das die meisten Karten hält, oder der Spieler links vom Geber zieht nun aus dem Blatt seines linken Nachbarn eine Karte und steckt sie zu seinem Blatt. Kann er mit dieser Karte ein Paar bilden, so legt er dies ab. Sodann ist der linke Nachbar an der Reihe und spielt in gleicher Weise. Auf diese Art setzt sich das Spiel solange fort, bis alle Paare abgelegt und einem Spieler als einzige Karte der Schwarze Peter in der Hand bleibt. Dieser Spieler ist Schwarzer Peter und erhält die vereinbarte „Strafe“, wie etwa einen schwarzen Punkt auf Stirn, Nase oder Wange. || ab 5 Jahren || 2 - 12 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Der Kartengeber teilt beim offenen Spiel jeweils drei verdeckte Karten einzeln an alle Spielteilnehmer aus, an sich selbst jedoch zwei Päckchen mit jeweils drei Karten. Er sieht sich die Karten eines der beiden seiner Stapel an und entscheidet, ob er mit diesen Karten spielen möchte oder nicht. Will er mit den Karten des ersten Stapels spielen, so muss er den zweiten Stapel offen in die Tischmitte legen. Will er die Karten des ersten Stapels nicht behalten, so legt er diese drei Karten offen in die Mitte des Tisches und muss die Karten des zweiten Stapels aufnehmen. Die übrigen Karten werden beiseitegelegt. Der Spieler links vom Geber beginnt das Spiel. Er kann entweder eine Karte oder alle drei Karten aus der Hand mit Karten in der Mitte tauschen – jedoch nicht zwei. Möchte er nicht tauschen, so kann er entweder mit der Aussage „Ich schiebe“ keine Karte tauschen, oder aber das Spiel schließen, indem er klopft oder "ich mache zu" sagt. Als Verlierer gelten der oder die Spieler, die am Ende des Spiels die Kartenkombinationen mit den wenigsten Punkten vorweisen können. || ab 7 Jahren || 2 - 5 Spieler |- | Beispiel || Ecartel ||Jeder Mitspieler bekommt 5 Karten. Die elfte Karte wird aufgedeckt und bestimmt die Trumpffarbe. Der Talon wird quer über diese Karte gelegt. Falls diese Karte ein König ist, kann sich der Geber bereits einen Punkt aufschreiben. Bevor mit dem Ausspielen begonnen wird, können die beiden Spieler Karten tauschen, wenn sie wollen. Vorhand fragt dazu: „Darf ich?“ Bejaht der Geber, darf Vorhand beliebig viele Karten verdeckt zur Seite legen und erhält dafür neue. Danach darf der Geber tauschen. Dies kann beliebig wiederholt werden, bis der Talon aufgebraucht ist oder einer der beiden Spieler nicht mehr tauschen will. Nun zieht Vorhand zum ersten Stich an. Es besteht Zugabe- und Stichzwang, d.h. die ausgespielte Farbe muss zugegeben und wenn möglich || ab 8 Jahren || 2 Spieler |- | Beispiel || Schwimmen || Ziel ist es, die richtigen Karten zu sammeln und dadurch eine hohe Punktzahl zu erreichen. Gezählt werden entweder Karten gleicher Farbe oder 3 gleiche Werte verschiedener Farbe. Eine Zahlenkarte zählt ihren aufgedruckten Wert, eine Bildkarte zählt 10 Punkte (aber 3 Buben, Damen oder Könige zählen 30 ½ Punkte), ein Ass zählt 11 Punkte. 31 Punkte zählen nur folgende Kombinationen: 2 Bildkarten oder die 10 und ein Ass gleicher Farbe oder 3 Asse. In allen anderen Kombinationen, mit denen 31 Punkte erzielt werden können, zählt das Ass nur einen Punkt. Die Karten werden gemischt und folgendermaßen verteilt: Der Geber gibt jedem Spieler eine Karte und legt eine offen in die Mitte, bevor er sich selbst eine Karte gibt. Dies wiederholt er noch zweimal, sodass jeder Mitspieler 3 Karten hat. Reihum darf jeder Spieler entweder eine seiner Handkarten oder alle 3 gegen eine oder alle der in der Mitte liegenden Karten austauschen. Er kann auch in einer Runde passen (auf das Austauschen verzichten), dafür ist er in der nächsten Runde zum Tausch von einer oder 3 Karten verpflichtet. Dies wird so lange fortgesetzt, bis ein Spieler glaubt, genügend Punkte beisammen zu haben und das Spiel, wenn er an der Reihe ist, beendet, indem er passt. Jeder ihm nachfolgende Spieler kann noch einmal Karten tauschen, bevor alle ihre Karten aufdecken müssen. || ab 10 Jahren || 3 - 6 Spieler |- | Beispiel || Schnipp-Schnapp-Schnurr || : Jeder Spieler bekommt die gleiche Anzahl Karten. Ein eventuell verbleibender Rest wird als Talon in die Mitte gelegt. Er wird benötigt, wenn das Spiel nicht mehr weitergehen kann, weil eine bestimmte Karte fehlt. Nun beginnt der erste Spieler und legt eine Karte auf den Tisch, z.B. Herz-7, und sagt: „Schnipp.“ Der Spieler, der die Herz-8 auf der Hand hat, legt sie auf die Herz-7 und sagt: „Schnapp.“ Es folgen die Herz-9 („Schnurr“), Herz-10 („Basilorum“) und der Herz-Bube („Burr“). Weiter geht es mit Herz-Dame („Schnipp“), Herz-König („Schnapp“) und Herz-Ass („Schnurr“). Der Spieler, der die letzte Karte einer Farbe hinzugeben konnte, darf mit einer anderen Karte aus einer beliebigen Farbe weitermachen und ruft: „Basilorum!“. Sieger ist, wer zuerst alle Karten abwerfen konnte. || ab 6 Jahren || 2+ |-} === Fakten und Wissenswertes === ==== Homo Erectus ==== Wusstest du, dass es bereits vor den Homo Sapiens eine menschliche Spezies gegeben hat, die aufgrund ihres Spieltriebs Homo Erectus benannt wurden. Sie waren zudem die erste Art der Gattung Homo, die Afrika verließen und sich über den Orient nach Asien und Europa ausbreiteten. ==== Warum hat ein klassisches Deck genau 52 Karten? ==== So genau wissen wir das leider selber nicht. Es gibt verschiedene Theorien - warum das so sein könnte. Eine Theorie findet ihren Ursprung zu Zeiten des britischen / französischen Kolonialismus. Historiker vermuten, dass die "klassische" Version eines Skatkartenspieles, daher kommt, dass die Franzosen dies schon immer mit 52 Karten spielten. Eine weitere Theorie besagt, dass es die Anzahl der Wochen im Jahr widerspiegeln soll. Addiert man alle Werte der 52 Karten zusammen erhält man 365, was genau die Anzahl der Tage im Jahr entspricht. Noch eine Theorie ... Nun dürft ihr euch selbst ein Bild davon machen. Falls von weiteren Theorien gehört habt, lasst gerne einen Edit da. ==== Wo und wann wurden Kartenspiele erfunden? ==== Nun hierzu können wir dir leider auch keine genaue Antwort geben ==== Welches ist das seltenste Kartenspiel der Welt? ==== Auf unserem Heimatplaneten gibt es bereits unzählige Kartenspiele in verschiedenen Variationen. Das aber älteste und somit auch wertvollste Kartenspiel kommt aus den Niederlanden und heißt Tarot 52-Kartendeck. Es wurde circa im 15. Jahrhundert zu einem heute nicht mehr vergleichbaren Preis gehandelt und aufgrund seiner Seltenheit in das New Yorker Metropolitan Museum of Art ausgestellt. 1970 gab es jedoch einen Interessenten, der das Kartendeck um jeden Preis besitzen wollte. Dafür zahlte er einen stolzen Preis von 2800$ US-Dollar. Für die Zeiten damals war dies noch eine große Summe an Geld, heutzutage finden sich auf Plattformen wie Ebay sämtliche Kartendecks für bis zu 2000€ - der Wahnsinn. ==== Warum haben die meisten Kartenspiele vier unterschiedliche Farben? ==== Überall auf der Welt haben Karten in Kartenspielen die verschiedensten Motive, Farben und Symbole. Wobei letzteres sich auf die französische Art gefestigt hat - bestehend aus Karo, Herz, Pik und Kreuz. Eine lange Zeit gespielte Variante stammt aus China aus dem 15. Jahrhundert und hatte ein Motiv aus verschiedenen Geldwerten. Abgesehen davon bilden die Hofkarten "Bube", "Dame", und "König" berühmte Persönlichkeiten aus der Geschichte und Mythologie ab. Eine Zusammenfassung findet ihr hier drunter: {| class="wikitable sortable" |+ Überblick Hofkarten nach berühmten Persönlichkeiten |- ! Symbol !! Kartenwert !! berühmte Persönlichkeit |- | Kreuz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_der_Gro%C3%9Fe Alexander der Große] |- | Pik|| König || [https://de.wikipedia.org/wiki/David David] |- | Herz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_der_Gro%C3%9Fe Karl der Große] |- | Karo || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Gaius_Iulius_Caesar Julius Caesar] |- | Kreuz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Juno%20(Mythologie) römische Göttin Juno] |- | Pik || Dame || griechische [https://de.wikipedia.org/wiki/Athene Göttin Pallas Athene] |- | Herz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judith%20und%20Holofernes%20(Sujet) Judith aus der Bibel] |- | Karo || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Rachel%20(Bibel) Rahel aus der Bibel] |- | Kreuz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lancelot Ritter Lancelot] |- | Pik || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Holger%20Danske Ritter Holger Danske] |- | Herz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89tienne_de_Vignolles Étienne de Vignolles], Mitstreiter der [https://de.wikipedia.org/wiki/Jeanne_d%E2%80%99Arc Johanna von Orleans] |- | Karo || Bube || [https://de.wikisource.org/wiki/MKL1888:H%C3%A9ktor Hektor von Troja] |} ==== Wer ist der größte Hersteller von Kartenspielen weltweit? ==== Den Thron teilen sich im Grunde zwei Hersteller von Kartenspielen. Einer davon ist ein Hersteller mit Hauptsitz in Kentucky, USA. Seine Gründung geht auf das Jahr 1867 zurück. Die United States Playing Card Company (USPC) verzeichnete im Jahre 2018 einen Umsatz von 112 Millionen US-Dollar. Der CEO des USPC entschied sich nach Jahrelanger Mitarbeit den anderen größten Hersteller zu Übernehmen und wurde somit als Mitglied in das Cartamundi Executive Committee aufgenommen. Cartamundi ist also der andere größte Hersteller von Kartenspielen und kommt Ursprünglich aus Turnhout, Belgien. Produziert werden die Kartenspiele neben dem Hauptsitz in Belgien auch in weiteren Ländern wie Japan, Indien, Polen, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Irland, den USA und Brasilien. Cartamundi erzielte im Jahre 2018 einen Umsatz von sogar 440 Millionen US-Dollar. Die Geschichte des Herstellers Cartamundi geht bis ins Jahr 1765 zurück. ==== Welches ist das berühmteste Kartenspiel aller Zeiten? ==== Das bislang berühmteste Kartenspiel wurde im Jahre 1885 zum ersten mal Produziert und hat sowohl den 2. Weltkrieg als auch den Vietnamkrieg miterlebt. Bicycle heißt das wohl meisterkaufteste Spiel aller Zeiten und wurde von der United States Playing Card Company hergestellt. ==== Wie sahen die Karten aus Kartenspielen vor dem 15. Jahrhundert aus? ==== Für den ein oder anderen Feminist wird dies keine erfreuliche Neuigkeit sein. Kartenspiele von dem 15. Jahrhundert enthielten nämlich keine weiblichen Charaktere, sie zeigten lediglich einen König, einen Ritter und einen Schurken (Bube) ==== Woraus bestanden die ersten Karten aus Kartenspielen? ==== Die Karten aus den frühen Zeiten bestanden im Grunde aus Elfenbeinplättchen. Sie wurden ähnlich wie Dominosteine gelegt. In Indien wurde beispielsweise früher mit kreisrunden Spielkarten gespielt. Heutzutage werden Karten allerdings aus Kunststoff und Papier hergestellt. ==== Wie haben die Menschen früher Karten gespielt? ==== Bis ins 18. Jahrhundert war es völlig normal mit Einsätzen von Hab und Gut auf das Kartenspiel zu setzen, das gefiel der damals noch einflussreichen Kirche ganz und gar nicht und verbat daraufhin das Spielen von Karten. ==== Was hat man früher mit Karten noch so getrieben? ==== Abgesehen vom Spielen wurden Karten früher auch für weitere Zwecke genutzt, die uns heute unglaublich ungewöhnlich vorkommen. Beispielsweise als Liebesbriefe, Einladungen zu Festen oder auch als Gutscheine. In den Niederlanden sollen Mütter die vom Armut betroffen waren ihre Babys an den Haustüren wohlhabender hinterlassen. Dazu legten sie meist eine Spielkarte auf welcher der Name des Babys stand und einer Bitte um Hilfe. Im April 2003 veröffentlichte nach der Besetzung des Irak, die US-Amerikanische Regierung ein Kartendeck mit 57 Karten. Darauf abgebildet waren 55 Mitglieder der entmachteten irakischen Regierung. Die Karten wurden demnach an die amerikanischen Truppen im Irak verteilt. Neben den 55 Karten mit den gesuchten Personen gab es aber noch 2 weitere Karten, diese dienten als Joker und enthielten eine Liste mit arabischen Titeln und Rängen des irakischen Militärs. Die Karte Pik Ass bildete sogar den Staatspräsidenten des Irak Saddam Hussein ab. Die Kreuz Ass Karte bildete seinen ältesten Sohn Qusai Hussein ab, er war zudem Leiter der Sicherheitspolizei und der Republikanischen Garden im Irak. Die Spielkarte Herz Ass stand für den zweitältesten Sohn Udai, er war vor seinem Tod Chef der Miliz Fida iyyi Saddam. Die letzte Ass Karte Pik stellte den Staatsminister, entfernten Cousin und engsten vertrautesten Saddams ab. Passend zur Chronologie der Spielkarten, waren dies die zu derzeit mächtigsten Männer im Irak. == Quellen und Einzelnachweise == https://www.giffits.de/magazin/teuflisch-kurios-prominent-zehn-facts-zum-kartenspielen/ <br> rlr6ax3lxkopmgrbec9bmhnp7ubn9w9 767602 767601 2022-08-15T18:43:34Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki == Kartenspiele für Kinder == Was gibt es schöneres als die Zufriedenheit der Kinder? Genau dafür haben wir unten einen Überblick über diverse Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren abgebildet. {| class="wikitable sortable" |+ Skatkartenspiele für Kinder und Jugendliche |- ! ! Spiel !! Kurzbeschreibung !! Alter !! Spieleranzahl |- | Bassadewitz || Bassadewitz wird mit 32 Karten gespielt, wobei es klassisch mit einem deutschen Blatt und moderner auch mit einem französischen Blatt gespielt wird. Es entspricht in seiner Spielweise einem einfachen Stichspiel. In der Regel wird das Spiel mit vier Spielern gespielt, kann jedoch auch zu dritt oder zu fünft gespielt werden. Ziel eines jeden Spielers ist es, seine Augenzahl zum Spielende möglichst gering zu halten. Die Rangfolge der Karten ist As/Daus (5 Augen bzw. 11 Augen[1]), König (4 Augen), Dame/Ober (3 Augen), Bube/Unter (2 Augen), 10 (10 Augen), 9 (0 Augen), 8 (0 Augen), 7 (0 Augen), einen Trumpf gibt es nicht.[2] Zusammen sind im Spiel entsprechend 96 bzw. 120 Augen vorhanden. Bei vier Mitspielern werden 8 Karten gegeben und das Spiel geht entsprechend über acht Runden, in denen jeder Spieler eine Karte spielt. Beim Spiel zu dritt bekommt jeder Spieler 10, beim Spiel zu fünft jeder 6 Karten. Der linke Nachbar des Gebers (Vorhand) spielt aus. Die Mitspieler bedienen die Farbe im Uhrzeigersinn (Bedienpflicht) und wer nicht bedienen kann, wirft eine beliebige Karte ab. Der Spieler mit der jeweils höchsten Karte der angespielten Farbe gewinnt den Stich. || ab 10 Jahren || 4 Spieler |- | Berliner Beschiss / Bullshit || Die Karten werden in aufsteigender Reihenfolge gespielt und die Anzahl der Karten darf nicht verändert werden in einem "Zug". (Spieler 1: 2 sechs, Spieler 2: 2 sieben, Spieler 3: 2 acht) Der nachfolgende Spieler kann immer (aber muss nicht) über die gelegten Karten des Vorgängers entscheiden, ob jene richtig oder falsch sind, also nicht den angesagten Karten entsprechen. In diesem Falle sagt er "Bullshit" in die Runde. Sagt er, sie seien richtig, und sie sind es, so scheidet der gesamte Stapel Karten aus dem Spiel aus, wobei die Karten nicht angeschaut werden dürfen. Sind sie aber falsch, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Sagt er, sie seien Bullshit, und sie sind es, so muss der Vorgänger den gesamten Stapel Karten auf die Hand nehmen. Sind sie aber richtig, so muss er den ganzen Stapel auf die Hand nehmen. Nach einer gewissen Zeit sind gewisse Karten vollständig aus dem Spiel ausgeschieden, können also nicht mehr gelegt werden. Dann kann jeder Spieler beim Legen sagen, welche draußen sind. (Bsp.: Spieler 1 müsste eine 6 legen. Er denkt 6 und 7 seien draußen, also sagt er "sechs draußen, sieben draußen, hier ist eine acht".) Nun kann nur der nachfolgende Spieler das Gegenteil behaupten, in dem er ihm eine 7 zeigt, und jener dann den ganzen Stapel auf die Hand nimmt, währenddessen Spieler 2 seine 7 ablegt. Daraus folgt, dass je weniger Karten der nachfolgende Spieler hat, umso mehr kann behauptet werden, es sei schon fast alles draußen, auch wenn man die Karten selbst auf der Hand hat. Gewonnen hat, wer als erster keine Karten mehr hat. Das Spiel ist beendet, sobald nur noch zwei Spieler Karten haben. || Ab 6 Jahren || 3 - 13 Spieler |- | [https://de.wikipedia.org/wiki/Mau-Mau%20(Kartenspiel) Mau Mau] || Bei Mau Mau geht es darum, seine Karten möglichst schnell abzulegen. || ab 3 Jahren || 2 - 4 Spieler |- | [https://en.wikipedia.org/wiki/Slapjack SLAPJACK] || Ein 52-Karten- Deck wird unter allen Spielern so gleichmäßig wie möglich in verdeckte Stapel aufgeteilt. Ein Spieler entfernt die oberste Karte seines Stapels und legt sie offen auf die Spielfläche in Reichweite aller Spieler. Die Spieler tun dies abwechselnd im Uhrzeigersinn, bis ein Bube auf den Stapel gelegt wird. An diesem Punkt können alle Spieler versuchen, den Stapel mit der Hand zu schlagen, mit der sie die Karte nicht gelegt haben; wer den Stapel zuerst mit der Hand bedeckt, nimmt den Stapel, mischt ihn und legt ihn unter seinen Stapel. Wenn ein anderer Spieler seine Karte über den Buben legt, bevor er geschlagen wird, können der Bube und die darunter liegenden Karten nicht von einem Spieler genommen werden, bis der nächste Bube aufgedeckt wird. Wenn ein Spieler keine Karten mehr hat, hat er eine weitere Chance, einen Buben zu schlagen und wieder ins Spiel zu kommen, aber wenn er scheitert, ist er raus. Das Gameplay wird mit solchen Händen fortgesetzt, bis ein Spieler alle Karten erworben hat. || Ab 5 Jahren || 2 - 8 Spieler |- | Schwarzer Peter || Das jüngste Kind oder das Kind, das die meisten Karten hält, oder der Spieler links vom Geber zieht nun aus dem Blatt seines linken Nachbarn eine Karte und steckt sie zu seinem Blatt. Kann er mit dieser Karte ein Paar bilden, so legt er dies ab. Sodann ist der linke Nachbar an der Reihe und spielt in gleicher Weise. Auf diese Art setzt sich das Spiel solange fort, bis alle Paare abgelegt und einem Spieler als einzige Karte der Schwarze Peter in der Hand bleibt. Dieser Spieler ist Schwarzer Peter und erhält die vereinbarte „Strafe“, wie etwa einen schwarzen Punkt auf Stirn, Nase oder Wange. || ab 5 Jahren || 2 - 12 Spieler |- | Schwimmen || Der Kartengeber teilt beim offenen Spiel jeweils drei verdeckte Karten einzeln an alle Spielteilnehmer aus, an sich selbst jedoch zwei Päckchen mit jeweils drei Karten. Er sieht sich die Karten eines der beiden seiner Stapel an und entscheidet, ob er mit diesen Karten spielen möchte oder nicht. Will er mit den Karten des ersten Stapels spielen, so muss er den zweiten Stapel offen in die Tischmitte legen. Will er die Karten des ersten Stapels nicht behalten, so legt er diese drei Karten offen in die Mitte des Tisches und muss die Karten des zweiten Stapels aufnehmen. Die übrigen Karten werden beiseitegelegt. Der Spieler links vom Geber beginnt das Spiel. Er kann entweder eine Karte oder alle drei Karten aus der Hand mit Karten in der Mitte tauschen – jedoch nicht zwei. Möchte er nicht tauschen, so kann er entweder mit der Aussage „Ich schiebe“ keine Karte tauschen, oder aber das Spiel schließen, indem er klopft oder "ich mache zu" sagt. Als Verlierer gelten der oder die Spieler, die am Ende des Spiels die Kartenkombinationen mit den wenigsten Punkten vorweisen können. || ab 7 Jahren || 2 - 5 Spieler |- | Ecartel ||Jeder Mitspieler bekommt 5 Karten. Die elfte Karte wird aufgedeckt und bestimmt die Trumpffarbe. Der Talon wird quer über diese Karte gelegt. Falls diese Karte ein König ist, kann sich der Geber bereits einen Punkt aufschreiben. Bevor mit dem Ausspielen begonnen wird, können die beiden Spieler Karten tauschen, wenn sie wollen. Vorhand fragt dazu: „Darf ich?“ Bejaht der Geber, darf Vorhand beliebig viele Karten verdeckt zur Seite legen und erhält dafür neue. Danach darf der Geber tauschen. Dies kann beliebig wiederholt werden, bis der Talon aufgebraucht ist oder einer der beiden Spieler nicht mehr tauschen will. Nun zieht Vorhand zum ersten Stich an. Es besteht Zugabe- und Stichzwang, d.h. die ausgespielte Farbe muss zugegeben und wenn möglich || ab 8 Jahren || 2 Spieler |- | Schwimmen || Ziel ist es, die richtigen Karten zu sammeln und dadurch eine hohe Punktzahl zu erreichen. Gezählt werden entweder Karten gleicher Farbe oder 3 gleiche Werte verschiedener Farbe. Eine Zahlenkarte zählt ihren aufgedruckten Wert, eine Bildkarte zählt 10 Punkte (aber 3 Buben, Damen oder Könige zählen 30 ½ Punkte), ein Ass zählt 11 Punkte. 31 Punkte zählen nur folgende Kombinationen: 2 Bildkarten oder die 10 und ein Ass gleicher Farbe oder 3 Asse. In allen anderen Kombinationen, mit denen 31 Punkte erzielt werden können, zählt das Ass nur einen Punkt. Die Karten werden gemischt und folgendermaßen verteilt: Der Geber gibt jedem Spieler eine Karte und legt eine offen in die Mitte, bevor er sich selbst eine Karte gibt. Dies wiederholt er noch zweimal, sodass jeder Mitspieler 3 Karten hat. Reihum darf jeder Spieler entweder eine seiner Handkarten oder alle 3 gegen eine oder alle der in der Mitte liegenden Karten austauschen. Er kann auch in einer Runde passen (auf das Austauschen verzichten), dafür ist er in der nächsten Runde zum Tausch von einer oder 3 Karten verpflichtet. Dies wird so lange fortgesetzt, bis ein Spieler glaubt, genügend Punkte beisammen zu haben und das Spiel, wenn er an der Reihe ist, beendet, indem er passt. Jeder ihm nachfolgende Spieler kann noch einmal Karten tauschen, bevor alle ihre Karten aufdecken müssen. || ab 10 Jahren || 3 - 6 Spieler |- | Schnipp-Schnapp-Schnurr || : Jeder Spieler bekommt die gleiche Anzahl Karten. Ein eventuell verbleibender Rest wird als Talon in die Mitte gelegt. Er wird benötigt, wenn das Spiel nicht mehr weitergehen kann, weil eine bestimmte Karte fehlt. Nun beginnt der erste Spieler und legt eine Karte auf den Tisch, z.B. Herz-7, und sagt: „Schnipp.“ Der Spieler, der die Herz-8 auf der Hand hat, legt sie auf die Herz-7 und sagt: „Schnapp.“ Es folgen die Herz-9 („Schnurr“), Herz-10 („Basilorum“) und der Herz-Bube („Burr“). Weiter geht es mit Herz-Dame („Schnipp“), Herz-König („Schnapp“) und Herz-Ass („Schnurr“). Der Spieler, der die letzte Karte einer Farbe hinzugeben konnte, darf mit einer anderen Karte aus einer beliebigen Farbe weitermachen und ruft: „Basilorum!“. Sieger ist, wer zuerst alle Karten abwerfen konnte. || ab 6 Jahren || 2+ |-} === Fakten und Wissenswertes === ==== Homo Erectus ==== Wusstest du, dass es bereits vor den Homo Sapiens eine menschliche Spezies gegeben hat, die aufgrund ihres Spieltriebs Homo Erectus benannt wurden. Sie waren zudem die erste Art der Gattung Homo, die Afrika verließen und sich über den Orient nach Asien und Europa ausbreiteten. ==== Warum hat ein klassisches Deck genau 52 Karten? ==== So genau wissen wir das leider selber nicht. Es gibt verschiedene Theorien - warum das so sein könnte. Eine Theorie findet ihren Ursprung zu Zeiten des britischen / französischen Kolonialismus. Historiker vermuten, dass die "klassische" Version eines Skatkartenspieles, daher kommt, dass die Franzosen dies schon immer mit 52 Karten spielten. Eine weitere Theorie besagt, dass es die Anzahl der Wochen im Jahr widerspiegeln soll. Addiert man alle Werte der 52 Karten zusammen erhält man 365, was genau die Anzahl der Tage im Jahr entspricht. Noch eine Theorie ... Nun dürft ihr euch selbst ein Bild davon machen. Falls von weiteren Theorien gehört habt, lasst gerne einen Edit da. ==== Wo und wann wurden Kartenspiele erfunden? ==== Nun hierzu können wir dir leider auch keine genaue Antwort geben ==== Welches ist das seltenste Kartenspiel der Welt? ==== Auf unserem Heimatplaneten gibt es bereits unzählige Kartenspiele in verschiedenen Variationen. Das aber älteste und somit auch wertvollste Kartenspiel kommt aus den Niederlanden und heißt Tarot 52-Kartendeck. Es wurde circa im 15. Jahrhundert zu einem heute nicht mehr vergleichbaren Preis gehandelt und aufgrund seiner Seltenheit in das New Yorker Metropolitan Museum of Art ausgestellt. 1970 gab es jedoch einen Interessenten, der das Kartendeck um jeden Preis besitzen wollte. Dafür zahlte er einen stolzen Preis von 2800$ US-Dollar. Für die Zeiten damals war dies noch eine große Summe an Geld, heutzutage finden sich auf Plattformen wie Ebay sämtliche Kartendecks für bis zu 2000€ - der Wahnsinn. ==== Warum haben die meisten Kartenspiele vier unterschiedliche Farben? ==== Überall auf der Welt haben Karten in Kartenspielen die verschiedensten Motive, Farben und Symbole. Wobei letzteres sich auf die französische Art gefestigt hat - bestehend aus Karo, Herz, Pik und Kreuz. Eine lange Zeit gespielte Variante stammt aus China aus dem 15. Jahrhundert und hatte ein Motiv aus verschiedenen Geldwerten. Abgesehen davon bilden die Hofkarten "Bube", "Dame", und "König" berühmte Persönlichkeiten aus der Geschichte und Mythologie ab. Eine Zusammenfassung findet ihr hier drunter: {| class="wikitable sortable" |+ Überblick Hofkarten nach berühmten Persönlichkeiten |- ! Symbol !! Kartenwert !! berühmte Persönlichkeit |- | Kreuz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_der_Gro%C3%9Fe Alexander der Große] |- | Pik|| König || [https://de.wikipedia.org/wiki/David David] |- | Herz || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Karl_der_Gro%C3%9Fe Karl der Große] |- | Karo || König || [https://de.wikipedia.org/wiki/Gaius_Iulius_Caesar Julius Caesar] |- | Kreuz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Juno%20(Mythologie) römische Göttin Juno] |- | Pik || Dame || griechische [https://de.wikipedia.org/wiki/Athene Göttin Pallas Athene] |- | Herz || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judith%20und%20Holofernes%20(Sujet) Judith aus der Bibel] |- | Karo || Dame || [https://de.wikipedia.org/wiki/Rachel%20(Bibel) Rahel aus der Bibel] |- | Kreuz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lancelot Ritter Lancelot] |- | Pik || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/Holger%20Danske Ritter Holger Danske] |- | Herz || Bube || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%89tienne_de_Vignolles Étienne de Vignolles], Mitstreiter der [https://de.wikipedia.org/wiki/Jeanne_d%E2%80%99Arc Johanna von Orleans] |- | Karo || Bube || [https://de.wikisource.org/wiki/MKL1888:H%C3%A9ktor Hektor von Troja] |} ==== Wer ist der größte Hersteller von Kartenspielen weltweit? ==== Den Thron teilen sich im Grunde zwei Hersteller von Kartenspielen. Einer davon ist ein Hersteller mit Hauptsitz in Kentucky, USA. Seine Gründung geht auf das Jahr 1867 zurück. Die United States Playing Card Company (USPC) verzeichnete im Jahre 2018 einen Umsatz von 112 Millionen US-Dollar. Der CEO des USPC entschied sich nach Jahrelanger Mitarbeit den anderen größten Hersteller zu Übernehmen und wurde somit als Mitglied in das Cartamundi Executive Committee aufgenommen. Cartamundi ist also der andere größte Hersteller von Kartenspielen und kommt Ursprünglich aus Turnhout, Belgien. Produziert werden die Kartenspiele neben dem Hauptsitz in Belgien auch in weiteren Ländern wie Japan, Indien, Polen, Deutschland, Frankreich, Großbritannien, Irland, den USA und Brasilien. Cartamundi erzielte im Jahre 2018 einen Umsatz von sogar 440 Millionen US-Dollar. Die Geschichte des Herstellers Cartamundi geht bis ins Jahr 1765 zurück. ==== Welches ist das berühmteste Kartenspiel aller Zeiten? ==== Das bislang berühmteste Kartenspiel wurde im Jahre 1885 zum ersten mal Produziert und hat sowohl den 2. Weltkrieg als auch den Vietnamkrieg miterlebt. Bicycle heißt das wohl meisterkaufteste Spiel aller Zeiten und wurde von der United States Playing Card Company hergestellt. ==== Wie sahen die Karten aus Kartenspielen vor dem 15. Jahrhundert aus? ==== Für den ein oder anderen Feminist wird dies keine erfreuliche Neuigkeit sein. Kartenspiele von dem 15. Jahrhundert enthielten nämlich keine weiblichen Charaktere, sie zeigten lediglich einen König, einen Ritter und einen Schurken (Bube) ==== Woraus bestanden die ersten Karten aus Kartenspielen? ==== Die Karten aus den frühen Zeiten bestanden im Grunde aus Elfenbeinplättchen. Sie wurden ähnlich wie Dominosteine gelegt. In Indien wurde beispielsweise früher mit kreisrunden Spielkarten gespielt. Heutzutage werden Karten allerdings aus Kunststoff und Papier hergestellt. ==== Wie haben die Menschen früher Karten gespielt? ==== Bis ins 18. Jahrhundert war es völlig normal mit Einsätzen von Hab und Gut auf das Kartenspiel zu setzen, das gefiel der damals noch einflussreichen Kirche ganz und gar nicht und verbat daraufhin das Spielen von Karten. ==== Was hat man früher mit Karten noch so getrieben? ==== Abgesehen vom Spielen wurden Karten früher auch für weitere Zwecke genutzt, die uns heute unglaublich ungewöhnlich vorkommen. Beispielsweise als Liebesbriefe, Einladungen zu Festen oder auch als Gutscheine. In den Niederlanden sollen Mütter die vom Armut betroffen waren ihre Babys an den Haustüren wohlhabender hinterlassen. Dazu legten sie meist eine Spielkarte auf welcher der Name des Babys stand und einer Bitte um Hilfe. Im April 2003 veröffentlichte nach der Besetzung des Irak, die US-Amerikanische Regierung ein Kartendeck mit 57 Karten. Darauf abgebildet waren 55 Mitglieder der entmachteten irakischen Regierung. Die Karten wurden demnach an die amerikanischen Truppen im Irak verteilt. Neben den 55 Karten mit den gesuchten Personen gab es aber noch 2 weitere Karten, diese dienten als Joker und enthielten eine Liste mit arabischen Titeln und Rängen des irakischen Militärs. Die Karte Pik Ass bildete sogar den Staatspräsidenten des Irak Saddam Hussein ab. Die Kreuz Ass Karte bildete seinen ältesten Sohn Qusai Hussein ab, er war zudem Leiter der Sicherheitspolizei und der Republikanischen Garden im Irak. Die Spielkarte Herz Ass stand für den zweitältesten Sohn Udai, er war vor seinem Tod Chef der Miliz Fida iyyi Saddam. Die letzte Ass Karte Pik stellte den Staatsminister, entfernten Cousin und engsten vertrautesten Saddams ab. Passend zur Chronologie der Spielkarten, waren dies die zu derzeit mächtigsten Männer im Irak. == Quellen und Einzelnachweise == https://www.giffits.de/magazin/teuflisch-kurios-prominent-zehn-facts-zum-kartenspielen/ <br> o0jxvgsywj3x6mjgrkhvh4i6kef5q62 0 140689 766743 766102 2022-08-15T13:10:13Z Jp090 36306 /* Kartenspiel für Kinder */ Erklärungssatz beigefügt wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum ist. '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' ist nur ein kleiner Teil der Wikiversität. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary] Mein Favorit ist das Wikispecies Projekt. Es hat recht viel Freude bereitet, sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert und zudem noch einen Beitrag verfassen zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> * Bildung aus der Hosentasche Bedauerlich ist, das Verfassen eines Beitrags und weitere Funktionen konnten nicht über das Smartphone getätigt werden. Heutzutage ist das ein Rückschritt in der Gesellschaft, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein und remote ToDo's erledigen. == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 c6ungwlg67h488fk2w0yqia8w13y71x 766765 766743 2022-08-15T13:28:10Z Jp090 36306 /* Lessons Learned */ um weitere Punkte und Aspekte erweitert wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum ist. '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' ist nur ein kleiner Teil der Wikiversität. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary] Mein Favorit ist das Wikispecies Projekt. Es hat recht viel Freude bereitet, sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert und zudem noch einen Beitrag verfassen zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br> * Bildung aus der Hosentasche Bedauerlich ist, das Verfassen eines Beitrags und weitere Funktionen konnten nicht über das Smartphone getätigt werden. Heutzutage ist das ein Rückschritt in der Gesellschaft, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein und remote ToDo's erledigen. == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 qyubksrmd0u9idhf08wjg10aozu6vgv 766766 766765 2022-08-15T13:29:40Z Jp090 36306 /* Kartenspiel für Kinder */ eine weitere Verlinkung vorgenommen zu Wikidata Card Game wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. https://cardgame.blinry.org/?Q223649 dieses Wikidata, könnte in den darauffolgenden Semestern als Erweiterung zum Beitrag dienen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum ist. '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' ist nur ein kleiner Teil der Wikiversität. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary] Mein Favorit ist das Wikispecies Projekt. Es hat recht viel Freude bereitet, sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert und zudem noch einen Beitrag verfassen zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br> * Bildung aus der Hosentasche Bedauerlich ist, das Verfassen eines Beitrags und weitere Funktionen konnten nicht über das Smartphone getätigt werden. Heutzutage ist das ein Rückschritt in der Gesellschaft, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein und remote ToDo's erledigen. == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 dyyf7sak6h5c6meqv07pnv06xmdmg20 767606 766766 2022-08-15T19:49:41Z Jp090 36306 Zwischenspeichern: Sätze umformuliert und Sätze hingegefügt wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. https://cardgame.blinry.org/?Q223649 dieses Wikidata, könnte in den darauffolgenden Semestern als Erweiterung zum Beitrag dienen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist es, kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum überhaupt ist. Was viele nicht Wissen ist, dass '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' nur ein kleiner Teil der Wikiversität ist. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary]. Mein Favorit ist Wikispecies. Die kollaborative Arbeitsweise in diesem Kurs war hervorragend. In dem Fall ist es eine positive Erfahrung gewesen während der Lehrveranstaltungen sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert s sie 'ausbaufähig' aufb und für ut und zudem noch einen Beitrag zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br> * Bildung aus der Hosentasche Bedauerlich ist, das Verfassen eines Beitrags und weitere Funktionen konnten nicht über das Smartphone getätigt werden. Heutzutage ist das ein Rückschritt in der Gesellschaft, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein und remote ToDo's erledigen. == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 g6g8lwte8jp5k91iv06ih15h6bvxoog 767609 767606 2022-08-15T20:23:48Z Jp090 36306 Umformuliert und weitere Sätze hinzugefügt wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. https://cardgame.blinry.org/?Q223649 dieses Wikidata, könnte in den darauffolgenden Semestern als Erweiterung zum Beitrag dienen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist es, kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum überhaupt ist. Was viele nicht Wissen ist, dass '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' nur ein kleiner Teil der Wikiversität ist. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary]. Mein Favorit ist Wikispecies. Die kollaborative Arbeitsweise in diesem Kurs war hervorragend. In dem Fall ist es eine positive Erfahrung gewesen während der Lehrveranstaltungen sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert s sie 'ausbaufähig' aufb und für ut und zudem noch einen Beitrag zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br>Bildung aus der Hosentasche Bildung aus der Hosentasch == * Bildung aus der Hosentasche Ein weiteres Thema das erfreulicherweise unter diesen Aspekten fällt ist das Thema Bildung aus der Hosentasche. Funktionen wie Vorschau und über das Smartphone getätigt werden. Heutzutage könnte das jedoch eher ein Rückschritt in der Gesellschaft sein, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein. Dies ist in Zeiten von Smartphones und Algorithmen nicht mehr abstreitbar. Wann und wo man möchte ToDo's remote erledigen, Beiträge abspeichern und per "klick" aufrufen und editieren. Dazu Bedarf es jedoch (zumindest aus der Web-Perspektive) noch weitere Funktionen. Wobei nicht abzustreiten bleibt, dass sämtliche Anläufe von Apps bisher funktionieren. te ToDo's erledigabgespeicherteen Beiärag per "klick" zu öffnen undirekt d editien. Remote und kollaborativ sind dabei die Schlüsselbegriffewort. sdas Verfassen eines Beitrags und weitere Funktion(option Vorschauht über das Smartphone getätigt werden. Heutzutage ist das ein Rückschritt in der Gesellschaft, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein und remote ToDo's erledigen. == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 0138zpyl1sp158zdkyamtkothtkfs7g 767610 767609 2022-08-15T20:30:53Z Jp090 36306 Etwas ist beim letzten Speichern Schief gegangen; Sätze umgestellt wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. https://cardgame.blinry.org/?Q223649 dieses Wikidata, könnte in den darauffolgenden Semestern als Erweiterung zum Beitrag dienen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist es, kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum überhaupt ist. Was viele nicht Wissen ist, dass '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' nur ein kleiner Teil der Wikiversität ist. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary]. Mein Favorit ist Wikispecies. Die kollaborative Arbeitsweise in diesem Kurs war hervorragend. In dem Fall ist es eine positive Erfahrung gewesen während der Lehrveranstaltungen sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert s sie 'ausbaufähig' aufb und für ut und zudem noch einen Beitrag zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br>Bildung aus der Hosentasche * Ein weiteres Thema das erfreulicherweise unter diesen Aspekten fällt ist das Thema Bildung aus der Hosentasche. Bedauerlicherweise ist es so, dass es meist an Motivation oder Fachkräftemangel liegt, jedoch sind gute Anwendungen für Smartphones, die zum Wohle der Bildung und Weiterbildung dienen, eher die Seltenheit. Heutzutage könnte das jedoch eher ein Rückschritt in der Gesellschaft sein, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein. Dies ist in Zeiten von Smartphones und Algorithmen nicht mehr abstreitbar. Wann und wo man möchte ToDo's remote erledigen, Beiträge abspeichern und per "klick" aufrufen und editieren. Dazu Bedarf es jedoch (zumindest aus der Web-Perspektive) noch weitere Funktionen in Hinblick auf die sämtlichen Wikiversionen. Wobei nicht abzustreiten ist, dass sämtliche Anläufe von Apps bisher funktionieren . == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 pw3rd4ra4kibrxykqy1oc3yl6lm66b1 767611 767610 2022-08-15T20:33:33Z Jp090 36306 Kleinen Satz gelöscht wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. https://cardgame.blinry.org/?Q223649 dieses Wikidata, könnte in den darauffolgenden Semestern als Erweiterung zum Beitrag dienen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist es, kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum überhaupt ist. Was viele nicht Wissen ist, dass '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' nur ein kleiner Teil der Wikiversität ist. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary]. Mein Favorit ist Wikispecies. Die kollaborative Arbeitsweise in diesem Kurs war hervorragend. In dem Fall ist es eine positive Erfahrung gewesen während der Lehrveranstaltungen sich mit Themen auseinanderzusetzen für die man sich interessiert s sie 'ausbaufähig' aufb und für ut und zudem noch einen Beitrag zu dürfen, denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br>Bildung aus der Hosentasche * Ein weiteres Thema das erfreulicherweise unter diesen Aspekten fällt ist das Thema Bildung aus der Hosentasche. Bedauerlicherweise ist es so, dass es meist an Motivation oder Fachkräftemangel liegt, jedoch sind gute Anwendungen für Smartphones, die zum Wohle der Bildung und Weiterbildung dienen, eher die Seltenheit. Heutzutage könnte das jedoch eher ein Rückschritt in der Gesellschaft sein, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein. Dies ist in Zeiten von Smartphones und Algorithmen nicht mehr abstreitbar. Wann und wo man möchte ToDo's remote erledigen, Beiträge abspeichern und per "klick" aufrufen und editieren. Dazu Bedarf es jedoch (zumindest aus der Web-Perspektive) noch weitere Funktionen in Hinblick auf die sämtlichen Wikiversionen. Wobei nicht abzustreiten ist, dass sämtliche Anläufe von Apps bisher funktionieren . == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 mpkvzvgk3lo6zvd4omx1grdmlxha2zi 767612 767611 2022-08-15T20:39:46Z Jp090 36306 Sätze umformuliert wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. Dieses Projekt wurde gemeinsam mit meiner Kommilitonin Nk114 in's Leben gerufen. https://cardgame.blinry.org/?Q223649 dieses Wikidata, könnte in den darauffolgenden Semestern als Erweiterung zum Beitrag dienen. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität in einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren (Chakra Farbe, Stelle am Körper, Charaktereigenschaft, Element und Heilsteine). === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. Nach dem Verinnerlichen des Beitrags, sollten die Leser und Leserinnen folgende Frage beantworten können:<br> # Welche Vitamine werden aus welchen Lebensmitteln gewonnen?<br> # Wie viel aller Vitamine benötigt der menschliche Körper täglich?<br> # Was passiert mit dem Organismus, wenn zu wenig dieser Vitamine aufgenommen wird?<br> === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist es, kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum überhaupt ist. Was viele nicht Wissen ist, dass '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' nur ein kleiner Teil der Wikiversität ist. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary]. Mein Favorit ist Wikispecies. Die kollaborative Arbeitsweise in diesem Kurs war hervorragend. In dem Fall ist es eine positive Erfahrung gewesen, mich während der Lehrveranstaltungen mit Themen auseinanderzusetzen, für die ich mich besonders interessiere. Beiträge 'ausbaufähig' zu Verfassen soll einem Nachhaltigkeitszweck dienen. Denn '''Wissen ist Macht'''! === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> <br>Bildung aus der Hosentasche * Ein weiteres Thema das erfreulicherweise unter diesen Aspekten fällt ist das Thema Bildung aus der Hosentasche. Bedauerlicherweise ist es so, dass es meist an Motivation oder Fachkräftemangel liegt, jedoch sind gute Anwendungen für Smartphones, die zum Wohle der Bildung und Weiterbildung dienen, eher die Seltenheit. Heutzutage könnte das jedoch eher ein Rückschritt in der Gesellschaft sein, denn jede/r gute Wissenschaftler/in möchte immer und überall verfügbar sein. Dies ist in Zeiten von Smartphones und Algorithmen nicht mehr abstreitbar. Wann und wo man möchte ToDo's remote erledigen, Beiträge abspeichern und per "klick" aufrufen und editieren. Dazu Bedarf es jedoch (zumindest aus der Web-Perspektive) noch weitere Funktionen in Hinblick auf die sämtlichen Wikiversionen. Wobei nicht abzustreiten ist, dass sämtliche Anläufe von Apps bisher funktionieren . == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 o1ut4fmxb0x0gxpy45td16qkmwr6vqq 108 140824 766776 748382 2022-08-15T13:39:07Z Jp090 36306 Beitrag finalisiert, letzten Inhalt ergänzt wikitext text/x-wiki Im folgenden Artikel sind die häufigsten Symbole, welche sich in der spirituellen Welt wiederfinden übersichtlich Dargestellt. {| class="wikitable sortable" |+ Spirituelle Symbole |- ! Symbol !! Name !! Herkunft !! Geschichte |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lotosblumen Lotusblume] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus] || In der Spiritualität ist die Lotusblume (oder auch Lotusblüte, [https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna%20Chakra Ajna-Chakra] genannt) ein Zeichen der Erleuchtung. Sie symbolisiert das bekannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Drittes%20Auge dritte Auge]. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hamsa Hamsa], ''خمسة''|| [https://de.wikipedia.org/wiki/Islam Islam] || Auch bekannt als [https://de.wikipedia.org/wiki/Hand der Fatima]. Dieses spirituelle Symbol wird zum Schutz des Bösen oder zum Schutz von Bösen blicken verwendet. Dem Träger der Hamsa wird Glück und Kraft begegnen. Hamsa bedeutet im arabischen die Zahl "fünf", welche die fünf Finger an einer Hand symbolisch Darstellt. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Yin%20und%20Yang Yin Yang], ''太極圖 / 太极图'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Daoismus Daoismus] || Alles steht im Gleichgewicht; zu allem gibt es ein Gegenpol. Das schwarz-weiße Taijitu beschreib genau dies. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Blume%20des%20Lebens Blume des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judentum Judentum] || Dieses Symbol besteht aus genau 19 Kreisen, die ineinander verzweigt sind. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Baum%20des%20Lebens Baum des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Kelten Keltisch] || Ein Symbol welches bereits Bestandteil einer Vielzahl von Jahrtausendalten Völkern ist. Es steht für die kosmische Ordnung. Ein alter Glaube besagt, dass der Baum des Lebens den Himmel, die Erde und die Unterwelt miteinander verbindet. Heute wird dieser als Zeichen für Hoffnung und ein glückliches und gesundes Leben bezeichnet. Dieses spirituelle Symbol versteckte sich bereits in vielen Märchen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Br%C3%BCder_Grimm Gebrüder Grimm], wie bspw. [https://de.wikipedia.org/wiki/Aschenputtel Aschenputtel], [https://de.wikipedia.org/wiki/Frau%20Holle Frau Holle], [https://de.wikipedia.org/wiki/Schneewittchen Schneewittchen] und vielen mehr. |- | '''☥ ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Anch Anch], ''ˁnḫ'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Als Symbol des göttlichen Lebens bedeutet das Anch (auch Ankh) ein Leben im Diesseits und ewiges Leben im Jenseits. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hermesstab Hermesstab] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie Griechische Mythologie] || Dieses Symbol findet man häufig in Arztpraxen wieder. Er bedeutete im [https://de.wikipedia.org/wiki/Altertum Altertum] das Erkennungszeichen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Herold Herolde] und wurde demnach auch Heroldsstab genannt. Später stand er symbolisch für das Handeln in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Heraldik Heraldik], zu dieser Zeit nannten die Menschen ihn Merkurstab. Im 20. Jahrhundert wurde der Hermesstab als Symbol des U.S. Army Medical Corps eingeführt und dient seither als medizinisches Symbol. Als Ursprung des Symbols wird jedoch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie griechische Mythologie] definiert, zu diesen Zeiten hieß der Stab allerdings [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84skulapstab Äskulapstab]. |- | || Schlange || Bibel || Die Schlange dient als Symbol der Fruchtbarkeit. Sie Kommt ursprünglich aus der Schöpfungsgeschichte Adams und Evas. Eva: "aber von den Früchten des Baumes mitten im Garten hat Gott gesagt: Esset nicht davon, rühret sie auch nicht an, dass ihr nicht sterbet!" Da sprach die Schlange zur Frau: "Ihr werdet keineswegs des Todes sterben […]". Außerdem steht die Schlange noch als Vermittlerin zwischen Himmel und Erde. Des weiteren steht sie ursymbolisch für die sich ewig erneuernden Kraft des weiblichen Blutes. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Swastika Swastika] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Dieses spirituelle Symbol wird vor allem im Hinduismus und Buddhismus als Sonnenrad gepriesen. Die Swastika wird als Glücksbringer geschätzt. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Nazi Nazis] missbrauchten dieses Symbol als ihr Hakenkreuz während des zweiten Weltkriegs. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Horusauge Auge des Horus] || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Das Horusauge wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Auge%20des%20Re Auge des Re], Auge des Aton oder östliches Auge genannt. Es symbolisiert die Sonnenscheibe der alten Ägyptischen Sonnengötter ([https://de.wikipedia.org/wiki/Amun Amun-Re], [https://de.wikipedia.org/wiki/Re-Harachte Re-Harachte] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Aton Aton]). |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Dharmachakra Dharma-Rad] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus] || Das Dharma-Rad ist das bekannteste Symbol der Buddhisten. Es steht buchstäblich für das "Rad der Lehre". Es soll daran erinnern, dass der Geist die Welt nicht verlässt, er verändert nur seine Form und lebt im Körper eines neuen Wesens weiter. Nach dem buddhistischen Glauben, erinnert das Dharma-Rad an die Wege zur Erkenntnis aller Dinge. Es soll ins [https://de.wikipedia.org/wiki/Nirwana Nirwana] führen, wo alles Leid wie Gier, Wut und Hass keinen Platz haben. |- | '''ॐ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Om OM] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Om oder Aum ist nicht nur eine heilige Silbe aus dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Sanskrit Sanskrit], vielmehr ist es das wichtigste und bekannteste [https://de.wikipedia.org/wiki/Mantra Bija Mantra]. Es repräsentiert den Urklang der Schöpfung der Essenz der [https://de.wikipedia.org/wiki/Veda Veda]. OM führt im Körper, Geist und der Seele zur Harmonie. |} <br> <br> Im folgenden gibt es einen Überblick über alle [https://de.wikipedia.org/wiki/Chakra Chakren]. {| class="wikitable" |+ Alle 7 Chakren |- ! Chakra !! Name !! Chakra Farbe !! Stelle !! Charaktereigenschaft !! Element !! Heilsteine |- | Btbh || Sahasrara Chakra (Kronenchakra)|| violett || Am Scheites des Kopfes || Empathie, Spiritualität || Universum || Diamant, Amethyst, Bergkristall, Selenit |- | [[Datei:Beispiel.png|mini|आज्ञा]] || Ajna Chakra (Stirnchakra) || indigo || Mitte des Kopfes; zwischen den Augenbrauen || Intellekt, Intuition, Wahrnehmung, alle geistigen Kräfte || Geist || Lapislazuli, indigoblauer Saphir, Sodalith |- | || Vishuddha Chakra (Kehlkopfchakra) || blau || Höhe des Kehlkopfes, des Nackens, dem Kieferbereich, der Stimme der Luft- und Speiseröhre || Kommunikation, Kreativität || Äther || Aquamarin, Türkis, Chalzedon |- | || Anahata Chakra (Herzchakra) || grün || Brustraum || Liebe, Heilung || Luft || Rosenquarz, Smaragd, Rhodonit, Malachit, Jade |- | || Manipura Chakra (Solarplexuschakra) || gelb || Oberhalb des Bauchnabels || Weisheit, Macht, Willenskraft || Feuer || Tigerauge, Bernstein, Edeltopas, Zitrin |- | || Svadhisthana Chakra (Sakralchakra) || orange || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich des Kreuzbeins || Sexualität, Kreativität || Wasser || Karneol, Mondstein |- | || Muladhara Chakra (Wurzelchakra) || rot || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich der Genitalien || Urvertrauen || Erde || Achat, Blutstein, Blutjaspis, Granat, Rubin |} == Quellen == <br> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna_Chakra Ajna Chakra], Yogawiki.</ref> <ref>[https://whttps://www.yoga-vidya.de/chakra/sahasrara-chakra-kronenchakra/ Sahasrara Chakra], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://www.yogaeasy.de/artikel/das-siebte-chakra-sahasrara-das-kronenchakra Kronenchakra], Yoga Easy.</ref> <ref>[https://blumedeslebensbedeutung.com/ Blume des Lebens], Blumedeslebens.</ref> <ref>[https://www.gruene-insel.de/blog/2019/baum-des-lebens/ Baum des Lebens], Grüne Insel.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Schlange Schlange], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Om OM], Yogawiki.</ref> <ref>[https://www.die-bibel.de/bibeln/online-bibeln/lesen/LU84/GEN.3/1.-Mose-3], Bibel die Schlange.</ref> kw64mnbyxx4pfx1weu7rlq8q0agtuth 766777 766776 2022-08-15T13:40:06Z Jp090 36306 Absatz hinzugefügt wikitext text/x-wiki Im folgenden Artikel sind die häufigsten Symbole, welche sich in der spirituellen Welt wiederfinden übersichtlich Dargestellt. {| class="wikitable sortable" |+ Spirituelle Symbole |- ! Symbol !! Name !! Herkunft !! Geschichte |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lotosblumen Lotusblume] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus] || In der Spiritualität ist die Lotusblume (oder auch Lotusblüte, [https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna%20Chakra Ajna-Chakra] genannt) ein Zeichen der Erleuchtung. Sie symbolisiert das bekannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Drittes%20Auge dritte Auge]. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hamsa Hamsa], ''خمسة''|| [https://de.wikipedia.org/wiki/Islam Islam] || Auch bekannt als [https://de.wikipedia.org/wiki/Hand der Fatima]. Dieses spirituelle Symbol wird zum Schutz des Bösen oder zum Schutz von Bösen blicken verwendet. Dem Träger der Hamsa wird Glück und Kraft begegnen. Hamsa bedeutet im arabischen die Zahl "fünf", welche die fünf Finger an einer Hand symbolisch Darstellt. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Yin%20und%20Yang Yin Yang], ''太極圖 / 太极图'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Daoismus Daoismus] || Alles steht im Gleichgewicht; zu allem gibt es ein Gegenpol. Das schwarz-weiße Taijitu beschreib genau dies. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Blume%20des%20Lebens Blume des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judentum Judentum] || Dieses Symbol besteht aus genau 19 Kreisen, die ineinander verzweigt sind. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Baum%20des%20Lebens Baum des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Kelten Keltisch] || Ein Symbol welches bereits Bestandteil einer Vielzahl von Jahrtausendalten Völkern ist. Es steht für die kosmische Ordnung. Ein alter Glaube besagt, dass der Baum des Lebens den Himmel, die Erde und die Unterwelt miteinander verbindet. Heute wird dieser als Zeichen für Hoffnung und ein glückliches und gesundes Leben bezeichnet. Dieses spirituelle Symbol versteckte sich bereits in vielen Märchen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Br%C3%BCder_Grimm Gebrüder Grimm], wie bspw. [https://de.wikipedia.org/wiki/Aschenputtel Aschenputtel], [https://de.wikipedia.org/wiki/Frau%20Holle Frau Holle], [https://de.wikipedia.org/wiki/Schneewittchen Schneewittchen] und vielen mehr. |- | '''☥ ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Anch Anch], ''ˁnḫ'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Als Symbol des göttlichen Lebens bedeutet das Anch (auch Ankh) ein Leben im Diesseits und ewiges Leben im Jenseits. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hermesstab Hermesstab] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie Griechische Mythologie] || Dieses Symbol findet man häufig in Arztpraxen wieder. Er bedeutete im [https://de.wikipedia.org/wiki/Altertum Altertum] das Erkennungszeichen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Herold Herolde] und wurde demnach auch Heroldsstab genannt. Später stand er symbolisch für das Handeln in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Heraldik Heraldik], zu dieser Zeit nannten die Menschen ihn Merkurstab. Im 20. Jahrhundert wurde der Hermesstab als Symbol des U.S. Army Medical Corps eingeführt und dient seither als medizinisches Symbol. Als Ursprung des Symbols wird jedoch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie griechische Mythologie] definiert, zu diesen Zeiten hieß der Stab allerdings [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84skulapstab Äskulapstab]. |- | || Schlange || Bibel || Die Schlange dient als Symbol der Fruchtbarkeit. Sie Kommt ursprünglich aus der Schöpfungsgeschichte Adams und Evas. Eva: "aber von den Früchten des Baumes mitten im Garten hat Gott gesagt: Esset nicht davon, rühret sie auch nicht an, dass ihr nicht sterbet!" Da sprach die Schlange zur Frau: "Ihr werdet keineswegs des Todes sterben […]". <br> Außerdem steht die Schlange noch als Vermittlerin zwischen Himmel und Erde. Des weiteren steht sie ursymbolisch für die sich ewig erneuernde Kraft des weiblichen Blutes. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Swastika Swastika] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Dieses spirituelle Symbol wird vor allem im Hinduismus und Buddhismus als Sonnenrad gepriesen. Die Swastika wird als Glücksbringer geschätzt. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Nazi Nazis] missbrauchten dieses Symbol als ihr Hakenkreuz während des zweiten Weltkriegs. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Horusauge Auge des Horus] || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Das Horusauge wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Auge%20des%20Re Auge des Re], Auge des Aton oder östliches Auge genannt. Es symbolisiert die Sonnenscheibe der alten Ägyptischen Sonnengötter ([https://de.wikipedia.org/wiki/Amun Amun-Re], [https://de.wikipedia.org/wiki/Re-Harachte Re-Harachte] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Aton Aton]). |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Dharmachakra Dharma-Rad] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus] || Das Dharma-Rad ist das bekannteste Symbol der Buddhisten. Es steht buchstäblich für das "Rad der Lehre". Es soll daran erinnern, dass der Geist die Welt nicht verlässt, er verändert nur seine Form und lebt im Körper eines neuen Wesens weiter. Nach dem buddhistischen Glauben, erinnert das Dharma-Rad an die Wege zur Erkenntnis aller Dinge. Es soll ins [https://de.wikipedia.org/wiki/Nirwana Nirwana] führen, wo alles Leid wie Gier, Wut und Hass keinen Platz haben. |- | '''ॐ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Om OM] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Om oder Aum ist nicht nur eine heilige Silbe aus dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Sanskrit Sanskrit], vielmehr ist es das wichtigste und bekannteste [https://de.wikipedia.org/wiki/Mantra Bija Mantra]. Es repräsentiert den Urklang der Schöpfung der Essenz der [https://de.wikipedia.org/wiki/Veda Veda]. OM führt im Körper, Geist und der Seele zur Harmonie. |} <br> <br> Im folgenden gibt es einen Überblick über alle [https://de.wikipedia.org/wiki/Chakra Chakren]. {| class="wikitable" |+ Alle 7 Chakren |- ! Chakra !! Name !! Chakra Farbe !! Stelle !! 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Heilsteine |- | Btbh || Sahasrara Chakra (Kronenchakra)|| violett || Am Scheites des Kopfes || Empathie, Spiritualität || Universum || Diamant, Amethyst, Bergkristall, Selenit |- | [[Datei:Beispiel.png|mini|आज्ञा]] || Ajna Chakra (Stirnchakra) || indigo || Mitte des Kopfes; zwischen den Augenbrauen || Intellekt, Intuition, Wahrnehmung, alle geistigen Kräfte || Geist || Lapislazuli, indigoblauer Saphir, Sodalith |- | || Vishuddha Chakra (Kehlkopfchakra) || blau || Höhe des Kehlkopfes, des Nackens, dem Kieferbereich, der Stimme der Luft- und Speiseröhre || Kommunikation, Kreativität || Äther || Aquamarin, Türkis, Chalzedon |- | || Anahata Chakra (Herzchakra) || grün || Brustraum || Liebe, Heilung || Luft || Rosenquarz, Smaragd, Rhodonit, Malachit, Jade |- | || Manipura Chakra (Solarplexuschakra) || gelb || Oberhalb des Bauchnabels || Weisheit, Macht, Willenskraft || Feuer || Tigerauge, Bernstein, Edeltopas, Zitrin |- | || Svadhisthana Chakra (Sakralchakra) || orange || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich des Kreuzbeins || Sexualität, Kreativität || Wasser || Karneol, Mondstein |- | || Muladhara Chakra (Wurzelchakra) || rot || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich der Genitalien || Urvertrauen || Erde || Achat, Blutstein, Blutjaspis, Granat, Rubin |} == Quellen == <br> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna_Chakra Ajna Chakra], Yogawiki.</ref> <ref>[https://whttps://www.yoga-vidya.de/chakra/sahasrara-chakra-kronenchakra/ Sahasrara Chakra], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://www.yogaeasy.de/artikel/das-siebte-chakra-sahasrara-das-kronenchakra Kronenchakra], Yoga Easy.</ref> <ref>[https://blumedeslebensbedeutung.com/ Blume des Lebens], Blumedeslebens.</ref> <ref>[https://www.gruene-insel.de/blog/2019/baum-des-lebens/ Baum des Lebens], Grüne Insel.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Schlange Schlange], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Om OM], Yogawiki.</ref> <ref>[https://www.die-bibel.de/bibeln/online-bibeln/lesen/LU84/GEN.3/1.-Mose-3], Bibel die Schlange.</ref> jexgnkdhick6ta9r1wp3wpzhwteq2t2 108 141520 766721 766037 2022-08-15T12:50:54Z Jp090 36306 Beitrag finalisiert wikitext text/x-wiki == Übersicht aller Vitamine und Minerale für eine gesunde und ausgewogene Ernährung == Dieser Beitrag soll als Gesamtübersicht für diejenigen dienen, die beabsichtigen sich gesund, ausgewogen und vital zu ernähren. Ferner wird in diesem Projekt eine abstrakte Gliederung dargestellt, welche sich hervorragend zum abspeichern anbietet. '''Vitamine sind in erster Linie lebensnotwendige organische Stoffe, welche der menschliche Körper mithilfe von Lebensmitteln aufnehmen muss, da er diese nicht in ausrechender Menge selbst herstellen kann.''' Im Folgenden Beitrag werden sowohl richtige als auch schein-richtige Vitamine aufgeführt. Zu den Fettlöslichen Vitaminen gehören Vitamin A, D, E und K. Zu den Wasserlöslichen Vitaminen gehören Vitamin B1, B2, B5 (Pantothensäure), B6, B12, C, Biotin, Folat und Niacin. Zu den Mineralstoffen gehören Calcium, Chlorid, Kalium, Magnesium, Natrium und Phosphor. Zu den Spurenelementen gehören Eisen, Florid, Jod, Selen und Zink. Die fett- und wasserlöslichen Vitamine sind existenziell für die Gesundheit und sind für das Wachstum, die Entwicklung und den Stoffwechsel des menschlichen Organismus verantwortlich. Sie dienen nicht als Energieträger wie andere Nährstoffe in diesem Beitrag. Die tägliche Aufnahme der Vitamine liegt für den Bedarf im Mikro- und Milligrammbereich. Mangelerscheinungen machen sich dann bemerkbar, wenn eine unzureichende Menge jener Vitamine eingenommen wird bzw. es zu keiner Zufuhr dieser Vitamine kommt. Die Fachbegriffe dieser Vorgänge sind [https://de.wikipedia.org/wiki/Hypovitaminose Hypovitaminose] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Avitaminose Avitaminose].<ref>[https://www.pharmawiki.ch/wiki/index.php?wiki=Vitamine], Pharmawiki.</ref> [[Datei:https://www.pharmawiki.ch/wiki/media/Vitamine_1.png|mini| 4 fettlösliche & 9 wasserlösliche Vitamine]] [https://de.wikipedia.org/wiki/Mineralstoff Mineralstoffe] hingegen sind anorganische Stoffe, die zumeist als Salze in Erzeugnissen vorkommen. Sie sind wesentlich für den Sauerstofftransport, den Aufbau der Knochen und Zähne, den Metabolismus, die Homöostase und die Reizleitung im [https://de.wikipedia.org/wiki/Nervensystem Nervensystem]. Mineralstoffe sorgen primär für die Vorbeugung und Behandlung von Mangelerscheinungen.<ref>[https://www.pharmawiki.ch/wiki/index.php?wiki=Mineralstoffe], Pharmawiki.</ref> Spurenelemente werden in der Chemie auch als Mikroelemente bezeichnet. === Fettlösliche Vitamine === Fettlösliche Vitamine schützen Zellen, lassen Wunden vesser verheilen, stärken Zähne und Knochen und sorgen für einen gesunden PH-Wert. Diese Art Vitamine lösen sich nicht in Wasser sondern in Fett, welches dafür zuständig ist, den Energietransport zu gewährleisten. ==== Vitamin A ==== Das erste aller fettlöslichen Vitamine ist das [https://de.wikipedia.org/wiki/Vitamin%20A Vitamin A]. '''Etwa 0,8mg Vitamin A benötigt der weibliche Organismus am Tag. Bei Männern liegt die optimale Menge bei etwa 1mg pro Tag. Vitamin A in Lebensmitteln erkennt man an gelb-orangenem und grünem Obst und Gemüse.''' ===== Lebensmittel ===== * Grünkohl * Möhren * Petersilie * Getrocknete Aprikosen * Wirsing * Dill * Palmöl * Feldsalat * Paprika rot * Chicorée * Spinat * Kürbis ===== Mangelerscheinung ===== * Verringerung der Sehschärfe * Störung Hell-Dunkel-Adaption (folge => Nachtblindheit) * Trockene Haare * Trockene Nägel * Trockene Augen * Schäden an Geruchs- und Tastsinne ==== Vitamin D ==== Dieses Vitamin lässt sich vom Körper mithilfe von Sonnenlicht aufnehmen. Für diejenige die das Sonnenlicht meiden gibt es eine Vielzahl an Lebensmitteln, die den [https://de.wikipedia.org/wiki/Vitamin%20D Vitamin D] Haushalt decken. Streng genommen ist jedoch Vitamin D keine richtiges Vitamin. Dieses Vitamin ist dafür zuständig das Immunsystem zu stärken und vor Krankheitserregern zu schützen. Diabetes Typ-1 und multiple Sklerose kann hiermit auch gehemmt werden. Außerdem dient es zur Kräftigung der Muskulatur, Schutzwirkung für Nervenzellen im Gehirn, Verringerung von Gefäßerkrankungen, Schutzwirkung gegen Krebs, Schutz vor Rachitis und wirkt sich positiv auf das Herz-Kreislaufsystem aus. '''Anhand der Sonnenbestrahlung kann der Körper ca. 80 bis 90% des notwendigen täglichen Bedarfs von Vitamin D reproduzieren. Die biologisch aktive Form von Vitamin D wird [https://de.wikipedia.org/wiki/Calcitriol Calcitriol] genannt, welches von der Leber und Niere in das zuvor genannte Hormon gewandelt wird. Vitamin D gibt es abgesehen von der Sonnenbestrahlung in zwei Unterschiedlichen Formen. D2 findet sich in pflanzlichen und D3 in tierischen Lebensmitteln wieder.''' '''Kinder, Jugendliche und Erwachsene sollten für eine gesunde Lebensweise ca. 20mg täglich zu sich nehmen. Dieser Messwert gilt gleichermaßen für Schwangere und Stillende.''' '''Achtung! Experten und Ärzte warnen davor, zur Vorbeugung von Vitamin D-Mangel in ein Solarium zu gehen!!''' ===== Lebensmittel ===== * Pfifferlinge * Champignons ===== Mangelerscheinung ===== * Haarausfall * erhöhte Infektanfälligkeit * Muskelschwäche * Muskelschmerzen * Gliederschmerzen * Gestörte Knochenmineralisation (bei Kindern "[https://de.wikipedia.org/wiki/Rachitis Rachitis]", bei Erwachsenen "[https://de.wikipedia.org/wiki/Osteomalazie Osteomalazie]", im höheren Alter "[https://de.wikipedia.org/wiki/Osteoporose Osteoporose]") * Missempfindung in den Fingern * Migräne * Muskelkrämpfe * Depressionen * Krebs * Herz-Kreislauf-Erkrankungen * Schlaganfall * Atemwegserkrankungen (z.B. Asthma) * Stoffwechselerkrankungen (z.B. Diabetes Typ-2) * Autoimmunkrankheiten (z.B. Multiple Sklerose) * Rheuma ==== Vitamin E ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Vitamin%20E Vitamin E] dient als Sammelname für fettlösliche antioxidativen Wirkungen. Dieses Vitamin wird im Magen-Darm-Trakt aufgenommen. Es entgiftet aggressive Sauerstoffverbindungen, die bei Stoffwechselreaktionen, UV-Strahlung und Zigarettenrauchen entstehen. '''Zum täglichen Bedarf gehören in etwa 11 bis 15mg Vitamin E.''' ===== Lebensmittel ===== * Weizenkeimöl * Sonnenblumenöl * Palmöl * Olivenöl * Mandeln * Pinienkerne * Pekannuss * Cashewkerne ===== Vitamin E arme Lebensmittel ===== * Spargel * Spinat * Kartoffeln * Erbsen * Gurken * Kirschen * Aprikosen * Pfirsiche ===== Mangelerscheinung ===== * Eingeschränkte Koordinationsfähigkeit * Eingeschränkte Reflexe * Gehschwäche * Muskelschwäche * Schwere [https://de.wikipedia.org/wiki/An%C3%A4mie Anämie] (bei Babys) * Häufiges Zittern * Müdigkeit * Netzhauterkrankungen * Abbau der geistigen Leistung * Verzögerung der Wundheilung ==== Vitamin K ==== Vitamin K ist für die Bildung von Blutgerinnung und den Knochenstoffwechsel zuständig. '''Eine Erwachsene Person sollte täglich zwischen 0,06 und 0,07mg zu sich nehmen. Dieser Richtwert gilt ebenfalls für Schwangere und Stillende. Ältere Personen 51 Jahren sollten allerdings zwischen 0,065 und 0,08mg zur täglichen Mahlzeit einplanen. Dafür benötigt man lediglich 100g Knollensellerie und eine Avocado oder 50g Rosenkohl.''' '''Faustregel: Je grüner das Ost/Gemüse ist, desto mehr Vitamin K ist darin enthalten.''' ===== Lebensmittel ===== * Spinat * Brokkoli * Grünkohl * Apfelsine * Avocado * Birne * Chinakohl * Kopfsalat * Petersilie * Pflaumen * Rosenkohl * Knollensellerie * Erdbeeren * Weintrauben * Spirulina-Alge * Schnittlauch * Kürbiskernöl * Olivenöl * Rapsöl * Traubenkernöl ===== Mangelerscheinung ===== * Verschluss der [https://de.wikipedia.org/wiki/Gallengang Gallengänge] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mukoviszidose Mukoviszidose] * Magenblutungen * Bildung von blauen Flecken * Störungen des Fettstoffwechsels * Darmerkrankungen * Lebererkrankungen * Krebs === Wasserlösliche Vitamine === Diese Form der Vitamine ist im Körper dafür zuständig die Haut, das Bindegewebe und die Nerven zu stärken. Zudem unterstützen sie das Immunsystem und helfen bei der Entgiftung des Körpers. Ohne wasserlösliche Vitamine würde der Stoffwechsel nicht funktionieren. ==== Vitamin B1 ==== Dieses Vitamin ist das erste des Vitamin-B-Komplexes. Es wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Thiamin Thiamin] genannt und ist insbesondere für den Energiestoffwechsel essenziell. Vitamin B1 reagiert empfindlich auf Hitze und Sauerstoff. '''Eine erwachsene Person benötigt zwischen 1 bis 1,2mg täglich. Schwangere und Stillende ca. 1,2 bis 1,3mg. ===== Lebensmittel ===== * Vollkornprodukte * Haferflocken * Weizenkeime * Sonnenblumenkerne * Erdnüsse * Pinienkerne * Hülsenfrüchte ===== Mangelerscheinung ===== * Störungen im Kohlenhydratstoffwechsel * Störungen im Nervensystem * Müdigkeit * Übelkeit * Kopfschmerzen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Beriberi Beri-Beri] (eher in Entwicklungsländern) ==== Vitamin B2 ==== Dieses Vitamin wandelt im Körper Traubenzucker oder Fettsäuren in Energie um. Wird außerdem auch als [https://de.wikipedia.org/wiki/Riboflavin Riboflavin] oder Lactoflavin bezeichnet, früher allerdings noch unter der Bezeichnung Vitamin G bekannt. '''Der tägliche Bedarf von Vitamin B2 liegt bei etwa 1,1 bis 1,4mg, Schwangere und Stillende benötigen allerdings 1,3 bis 1,4mg.''' ===== Lebensmittel ===== * Hefe * Pilze * [https://de.wikipedia.org/wiki/Rotalgen Rotalgen] Pulver * [https://de.wikipedia.org/wiki/Spirulina Spirulina] Pulver * Roggen * Weizen * Hafer * Gerste * Hirse * Buchweizen * Leinsamen * Mandeln * Erdnüsse * Sonnenblumenkerne * Kürbiskerne * Cashewkerne * Erbsen * Bohnen * Linsen * Pekannuss * Dill * Kerbel * Grünkohl * Brokkoli * Kresse * Champignons * Trüffel * Steinpilze * [https://de.wikipedia.org/wiki/Shiitake Shiitakepilz] * Pfifferling * Morchel * Maracuja * [https://de.wikipedia.org/wiki/Acerola Acerola] * Pfirsich * Aprikose * Papaya * Honigmelone ===== Mangelerscheinung ===== * Wachstumsstörungen * Hautkrankheiten * Schleimhautentzündungen * Müdigkeit * Lippenprobleme * Eingerissene Mundwinkel * Augenhornhautentzündung ==== Vitamin B5 ==== Das nächste Vitamin in der Rangliste ist Vitamin B5 (Pantothensäure), dieser ist wichtig für den Stoffwechsel. '''Vitamin B5 benötigt ein Erwachsener ca. 5mg täglich, dabei wird nicht nach Geschlecht unterschieden. Lediglich Stillende benötigen etwas mehr, hierbei liegt der empfohlene Bedarf bei 7mg am Tag.''' ===== Lebensmittel ===== * Hefe * Erdnüsse * Champignons * Naturreis * Linsen * Brokkoli * Apfel ===== Mangelerscheinung ===== * Kopfschmerzen * Müdigkeit * Muskelschwäche * [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Burning-Feet-Syndrom&redirect=no Burning Feet] * Taube oder schmerzende Muskeln * Anämie * Immunschwächen * Magenschmerzen * Schlaflosigkeit * Depressionen ==== Vitamin B6 ==== Dieses Vitamin ([https://de.wikipedia.org/wiki/Pyridoxin Pyridoxin]) regelt alle zentralen Abläufe im Körper und ist zudem das wichtigste Coenzym im Aminosäure-Stoffwechsel. Zuständig ist es für die Bildung der Botenstoffen in den Nerven und im Fettstoffwechsel. Dazu beeinflusst es bestimmte Hormonaktivitäten und wirkt sich auf das Immunsystem aus. '''Der tägliche Bedarf liegt bei etwa 1,4mg bei Frauen und 1,6mg bei Männern. Schwangere sollten jedoch 1,5 bis 1,8mg am Tag zu sich nehmen und Stillende 1,6mg.''' ===== Lebensmittel ===== * Vollkornprodukte * Kartoffeln * Hülsenfrüchte * Grüne Bohnen * Erbsen * Linsen * Brokkoli * Rosenkohl * Spinat * Feldsalat * Tomaten * Avocados * Bananen * Walnüsse * Erdnüsse ===== Mangelerscheinung ===== * Chronische Verdauungsstörung * Hautausschläge * Entzündungen im Mundbereich * Blutarmut * Durchfall * Erbrechen * Krämpfe (bei Kleinkindern) ==== Vitamin B12 ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Cobalamine Cobalamin] wirkt unterstützend bei der Bildung roter Blutkörperchen, der Bildung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Desoxyribonukleins%C3%A4ure DNA] und dem Zellwachstum sowie der Zellteilung. '''Bei erwachsenen wird eine tägliche Zufuhr des Vitamins von etwa 0,03mg, bei Schwangeren ca. 0,035 und Stillenden sogar 0,04mg empfohlen. Menschen die viel Schwarzen Tee, Alkohol oder Leinsamen konsumieren, wird empfohlen auf die B12 Zufuhr besonders zu achten.''' ===== Lebensmittel ===== * Sauerkraut * Shiitake * Wurzelgemüse * Weizengrassaft * Hefe * Spirulina * Nori Blätter ===== Mangelerscheinung ===== * Blutarmut * Nervenstörungen * Schwäche * Müdigkeit * Chronische Entzündungen * Sensibilitätsstörungen * Lähmungen * Brennende Zunge * Kribbeln in Armen und Beinen * Kopfschmerzen * Depressionen * Verwirrtheit * Haarausfall ==== Vitamin C ==== Dieses Vitamin wirkt antioxidativ und ist unter anderem zuständig für den Aufbau des Bindegewebes, der Knochen und der Zähne. '''Eine erwachsene Person sollte täglich ca. 95 bis 110mg zu sich nehmen. Schwangere 105mg und Stillende etwa 125mg.''' ===== Lebensmittel ===== * Acerola * Hagebutte * Sanddornbeeren * Guave * Schwarze Johannisbeere * Rote Paprika * Brokkoli * Rosenkohl * Grünkohl * Erdbeeren * Zitronen * Orangen * Rotkohl * Spinat * Weißkohl * Kiwi * Grapefruit * Mandarinen * Mango * Heidelbeeren * Ananas * Sauerkraut * Kartoffeln ===== Mangelerscheinung ===== * Zahnfleischbluten * Zahnausfall * Blutungen * Schlechte Verheilung von Wunden * Gelenkschmerzen * Gelenkentzündungen * Höheres Infektionsrisiko ==== Biotin ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Biotin Biotin] ist unter anderem auch als Vitamin B7 oder (veraltet) Vitamin H (Vitamin I) bekannt. Es spielt als prosthetische Gruppe von Enzymen eine essenzielle Rolle im Stoffwechsel, zudem ist es wichtig für die epigenetische Regulation der Genfunktion im Zellkern. '''Erwachsene sollten täglich in etwa 0,04mg zu sich nehmen, dasselbe gilt auch für Schwangere. Stillende hingegen sollten eine täglichen Ration von etwa 0,045mg zuführen.''' ===== Lebensmittel ===== * Bananen * Birnen * Kirschen * Grapefruit * Aprikosen * Erdbeeren * Spinat * Avocado * Naturreis * Linsen * Champignons * Walnüsse * Haferflocken * Erdnüsse * Haselnüsse * Weizenkleie * Sojabohnen * Tomaten * Erbsen * Spargel * Kartoffeln * Blumenkohl ===== Mangelerscheinung ===== * Haarausfall * Schuppiger Hautausschlag * Ekzeme * Blasse Haut * Depressionen * Höhere Infektionsanfälligkeit * Brüchige Nägel * Starke Müdigkeit * Appetitlosigkeit ==== Folat ==== Folat übernimmt eine wichtige Rolle für alle Wachstumsprozesse im Körper. '''Erwachsene sollte täglich etwa 0,3mg Folat zu sich nehmen. Schwangere und Stillende allerdings zwischen 0,45 und 0,55mg.''' ===== Lebensmittel ===== * Sojabohnen * Weiße Bohnen * Linsen * Mungobohnen * Kidneybohnen * Grüne Bohnen * Blumenkohl * Feldsalat * Spinat * Naturreis * Weißbrot * Vollkornbrot ===== Mangelerscheinung ===== * Müdigkeit * Anämie * Blasse Haut * Reizbarkeit * Kurzatmigkeit * Schwindel * Schmerzen und Veränderungen der Zunge * Eingeschränkter Geschmackssinn * Durchfall * Gewichtsverlust * Depressionen ==== Niacin ==== Dies ist ebenfalls ein wichtiger Coenzym und für die Reaktionen in allen Körperzellen zuständig sowie für Auf- und Abbau von Kohlenhydraten, Aminosäuren und Fettsäuren. Es kann außerdem auch bei der optimalen Einnahme den Cholesterinspiegel senken und mentale Energie, Motivation, gute Laune und höhere Konzentrationsfähigkeit hervorrufen. Niacin ist auch unter der Bezeichnung Vitamin B3 bekannt. '''Erwachsene sollten täglich etwa 13 bis 18mg Niacin zu sich nehmen. Bei Schwangeren und Stillenden liegt die empfohlene Menge in etwa bei 16mg.''' ===== Lebensmittel ===== * Reiskleie * Weizenkleie * Hefe * Erdnussmehl * Schokopulver * Senfsamen * Erdnüsse * Spirulina * Shiitake * Sesam * Chillipulver * Korianderblätter * Paprikapulver * Petersilie * Ingwer * Tomatenpulver * Hanfsamen * Estragon * Chia-Samen * Cayennepfeffer * Vollkornprodukte * Sonnenblumenkerne * Wildreis * Fenchel * Buchweizen * Bulgur * Hirse * Pfirsich * Sauerteig-Brot * Oregano * Kreuzkümmel * Weinblätter * Sellerie * Pinienkerne * Pfifferlinge * Mandeln * Champignons * Bohnenkraut ===== Mangelerscheinung ===== * Kopfschmerzen * Müdigkeit * Schwindel * Nervosität * Reizbarkeit * Übelkeit und Erbrechen * Verdauungsstörungen * Mundtrockenheit * [https://de.wikipedia.org/wiki/Pellagra Pellagra] === Mineralstoffe === Die Folgenden Mineralstoffe werden auch als sogenannte Makromineralstoffe bezeichnet. Sie sind für den erhalt der Knochen, der Muskeln, des Herzes und des Gehirns im menschlichen Körper zuständig. Darüber hinaus gelten sie als maßgeblichen Anteil einer gesunden Ernährung. ==== Calcium ==== Hiervon benötigt der menschliche Körper in etwa 800 bis 1000mg am Tag. Bei Schwangeren und Stillenden liegt der tägliche Bedarf bei etwa 1200mg. [https://de.wikipedia.org/wiki/Calcium Calcium (Ca)] sorgt für die Stabilität der Zähne und Knochen. Dazu unterstützt es dieser Mineralstoff die Aufrechterhaltung der Muskeln, des Nervensystems und des Immunsystems. Calcium schützt außerdem auch vor Entzündungen und hilft dabei Allergien vorzubeugen. '''Damit Calcium vom Darm gut aufgenommen werden kann, ist es wichtig parallel dazu Vitamin D zu sich zu nehmen.''' ===== Lebensmittel ===== * Brokkoli * Blattspinat * Chinakohl * Grünkohl * Fenchel * Senfblätter * Weiße Bohnen * Rucola * Mangold * Getrocknete Feigen * Tahin (Sesampaste) * Vollkornbrot * Müsli * Natürliches Mineralwasser * Soja-, Hafer-, Mandel-, Reisdrink * Mandeln * Haselnüsse * [https://de.wikipedia.org/wiki/Amarant%20(Pflanzengattung) Amarant] * Tofu ===== Mangelerscheinung ===== * Muskelschwäche * Hautveränderungen (trockene Haut und Ekzeme) * Haarausfall * Brüchige Nägel * Minderung der Knochendichte * Osteoporose * Herzrhythmusstörungen * Niedriger Blutdruck ==== Chlorid ==== Chlorid ist als Salzsäure ein wesentlicher Bestandteil des Magensaftes, welcher für die Verdauung und Abwehr von Krankheitserregern zuständig ist. Es spielt außerdem auch eine erhebliche Rolle für den Säure-Basen-Haushalt im Körper. Bei allen Personen die über 15 Jahre alt sind liegt der tägliche Bedarf von Chlorid bei etwa 2300mg. '''Gemeinsam mit Natrium regelt Chlorid den Blutdruck. Chlorid und Natrium gehen Hand in Hand. ''' ===== Mangelerscheinung ===== * Störungen im Säure-Basen-Haushalt ([https://de.wikipedia.org/wiki/Alkalose Alkalose]) * Erbrechen * Chronische Nierenkrankheit * Nierenversagen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Arterielle%20Hypotonie Hypotonie] * Herzrhythmusstörungen ==== Kalium ==== Kalium (K) befindet sich vorwiegend (98%) in den Zellen und ist daher relevant für die Funktion der Zellen, Nerven und Muskeln. Zu dem hat es zahlreiche weitere Stoffwechselaufgaben im Körper. Bei Erwachsenen wird ein Tagesbedarf von ca. zwei Gramm empfohlen. '''Kalium wurde ursprünglich Potassium genannt. Viele Erkrankungen mit Kaliumbeteiligung haben das Kürzel „Kal“ in ihren Bezeichnungen. Menschen die unter ständigem Stress leben, sollten ebenfalls mehr Kalium zu sich nehmen.''' ===== Lebensmittel ===== * Bananen * Aprikosen * Tomatenmark * Tomaten * Avocado * Karotten * Kohlrabi * Kartoffeln * Rosenkohl * Paprika * Champignons * Trockenobst * Dinkel * Roggen * Buchweizen * Haselnüsse * Cashewkerne * Erdnüsse * Mandeln * Zartbitterschokolade ===== Mangelerscheinung ===== * Herzrhythmusstörungen * Muskelschwäche * Verminderte Reflexe * Müdigkeit * Verstopfung * Durchfall * Kreislaufprobleme * Sehstörung * [https://de.wikipedia.org/wiki/Polyurie Polyurie] (vermehrtes Ausscheiden von Urin) * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cushing-Syndrom Cushing-Syndrom] * Akutes oder chronisches Nierenversagen ==== Magnesium ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Magnesium Magnesium (Mg)] sollte dem menschlichen Organismus etwa 350mg am Tag zugefügt werden. Es wird benötigt, um den Energiestoffwechsel in Form zu halten, aber auch für die Reizübertragung von Nerven auf Muskeln ist dieses Mineral von wesentlicher Bedeutung. ''''Ein erwachsener Mensch sollte täglich ca. 300 bis 350mg zu sich nehmen. Schwangere benötigen 310mg dahingegen stillende Frauen ca. 390mg pro Tag. Sportler haben ebenfalls einen erhöhten Magnesiumbedarf, die Zufuhr sollte daher in diesem Fall bei über 350mg täglich liegen. [https://de.wikipedia.org/wiki/Kleie Weizenkleie] enthält in etwa 550mg Magnesium auf 100g, daher eignet sich diese Getreideverarbeitung am besten, um den täglichen Bedarf mit einer kleinen Menge (50g pro Tag) zu decken. An zweiter Stelle stehen die Kürbiskerne (ca. 535mg/100g) gefolgt von Sonnenblumenkernen (ca. 420mg/100g).'''' ===== Lebensmittel ===== * Weizenkleie * Kürbiskerne * Sonnenblumenkerne * Brokkoli * Vollkornprodukte * Naturreis * Nüsse * Kartoffeln ===== Mangelerscheinung ===== * Muskelkrämpfe * Innere Unruhe * Konzentrationsschwäche * Benommenheit * Schwindel * Erhöhte Reizbarkeit * Kopfschmerzen * Verspannung im Nacken und Rücken * Herzrhythmusstörungen * Herzrasen * Magen-Darm-Beschwerden * Taubheitsgefühl in Armen und Beinen * Verstärkung allergischer Reaktionen * Bluthochdruck ==== Natrium ==== Der Wasserhaushalt im Körper wird unter anderem von [https://de.wikipedia.org/wiki/Natrium Natrium (Na)] reguliert. Außerdem ist dieses Mineral für den Einklang des Säure-Basen-Haushalts und des Blutdrucks zuständig. ''''Eine erwachsene Person sollte ca. 1500mg Natrium pro Tag zu sich nehmen. Um die [https://de.wikipedia.org/wiki/Plazenta Plazenta] ausreichend mit Blut versorgen zu können, ist es ratsam während der Schwangerschaft unter 20mg Natrium pro Liter Wasser zu sich zu nehmen.'''' ===== Obst & Gemüse ===== * [https://de.wikipedia.org/wiki/Passiflora%20edulis Passionsfrucht] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Agaven Agave] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Papaya Papaya] * Avocado * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nashi-Birne Nashi-Birne] * Getrocknete [https://de.wikipedia.org/wiki/Gemeiner%20Bocksdorn Goji-Beeren] * Mango * Apfel * Kokosnuss * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mangold Mangold] * Knollensellerie * Artischocke * Spinat * Rote Beete * Karotte * Süßkartoffel * Fenchelknolle ===== Getreide, Nüsse, Kerne & Samen ===== * Mais * Dinkel * Brauner [https://de.wikipedia.org/wiki/Reis Reis] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Quinoa Quinoa] * Amaranth * [https://de.wikipedia.org/wiki/Akazien Akaziensamen] * Senfsamen * Leinsamen * Mohnsamen * Chiasamen * Sesam * Kidneybohnen * Kichererbsen * Erdnüsse * Lupinenkerne ===== Verarbeitete Lebensmittel ===== * Räuchertofu * Saucen * Salat-Dressings * Ketchup * Margarine * Salzgurken ===== Mangelerscheinung ===== * Übelkeit * Kopfschmerzen * Erbrechen * Muskelschmerzen * Verwirrtheit * Nierenerkrankungen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Zirrhose Zirrhose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Herzinsuffizienz Herzinsuffizienz] ==== Phosphor ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Phosphor Phosphor (P)] ist ein wesentlicher Bestandteil der Knochen, Zähne und Zellen. Außerdem unterstützt es bei der Energieproduktion und der Regulation des Säure-Basen-Gleichgewichts. '''Erwachsene benötigen am Tag eine Zufuhr von etwa 700mg Phosphor. Bei schwangeren ist es erforderlich eine Menge von etwa 800mg und bei stillenden sogar 900mg täglich zu sich zu nehmen. Chiasamen enthalten ca. 860mg Phosphor auf 100g, Linsen hingegen 281mg/100g. Dieses Mineralstoff ist nach Calcium das zweithäufigste Mineral im Körper. Da Phosphor in den meisten Lebensmitteln sowie verarbeiteten Lebensmitteln reichlich vorhanden ist, besteht die Gefahr eins Mangels darin nur in den seltensten Fälle z. B. bei fast Verhungerten.''' ===== Lebensmittel ===== * Chia Samen * Leinsamen * Amarant * Mandeln * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hirse Goldhirse] * Linsen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Nutzhanf Hanfsamen] * Kürbiskerne * Sonnenblumenkerne * Hefe * Senfkörner * Sesam * Kakaopulver * Paranüsse * Sojabohnen * Cashewkerne * Kümmel * Pinienkerne * Dill * Hafer * Hartweizen * Kreuzkümmel * Pistazien * Mandeln * Koriander * Quinoa * [https://de.wikipedia.org/wiki/Goabohne Goabohnen] * Anis * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kerbel Kerbel] * Petersilie * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserreis Wildreis] * Knoblauch * Erdnüsse * Kidneybohnen * Sellerie * Kartoffelbrot * Currypulver * Popcorn * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matcha Matcha Grüntee] * Buchweizen * Zwiebeln * Weiße Bohnen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Majoran Majoran] * Räuchertofu * [https://de.wikipedia.org/wiki/Bulgur Bulgur] * Kurkuma * Rote Linsen * Basilikum * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tempeh Tempeh] * Mandelmus * Kichererbsen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Safran Safran] * Thymian * Macadamia Nüsse * [https://de.wikipedia.org/wiki/Pumpernickel Pumpernickel] * Couscous * [https://de.wikipedia.org/wiki/Litchie Litchie] * Erbsen usw. ===== Mangelerscheinung ===== * Appetitsverlust * [https://de.wikipedia.org/wiki/An%C3%A4mie Anämie] * Muskelschwäche * Knochenschmerzen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Rachitis Rachitis] (bei Kindern) * Knochenschwund (bei Erwachsenen) * Geschwächtes Immunsystem * Erhöhte Wahrscheinlichkeit einer Infektion === Spurenelemente === Spurenelemente sind im Körper für lebensnotwendige Prozesse verantwortlich. Sie werden unter anderem auch als Mikrostoffe bezeichnet. Abgesehen davon sind Spurenelemente anorganisch. Daher ist eine Zufuhr dieser Vitamine maßgeblich für eine gesunde Lebensweise. ==== Eisen ==== Zu den natürlichen Vorkommen von [https://de.wikipedia.org/wiki/Eisen Eisen (Fe)] zählen Lebensmittel wie [https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%BClsenfrucht Hülsenfrüchte], grünes Gemüse, [https://de.wikipedia.org/wiki/Vollkorn Vollkorn]produkte und viele weitere. Der Spitzenreiter mit einem Eisengehalt pro 100g von 12,5mg verdient sich somit der Kürbiskern. '''Der Körper verliert täglich Eisen und kann ihn nicht selbst nachbilden.''' '''Vitamin C erhöht die Eisenaufnahme im Körper.''' '''Tierische Produkte (Milch, Eier, Fleisch) schränken die Eisenaufnahme ein.''' '''Täglich sollte ein Erwachsener 10 bis 15 mg Eisen zu sich nehmen. Schwangere haben wegen der erhöhten Blutmenge einen höheren Eisenbedarf, daher sollten sie täglich etwa 30mg einnehmen. Stillende nur 20mg.''' '''Der menschliche Organismus kann das meiste Eisen aus Nahrungsquellen nicht komplett aufnehmen, daher liegen empfohlene Angaben immer über dem eigentlichen Bedarf.''' <ref>[https://www.ferrotone.com/de-de/mehr-zu-eisen/wie-viel-eisen-brauche-ich/], Fakten über Eisen.</ref> ===== Hülsenfrüchte, Nüsse, Kerne ===== * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erbsen Erbsen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linsen Linsen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sojabohne Sojasprossen/Sojabohne] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kichererbsen%20(Gattung) Kichererbsen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gartenbohne Grüne Bohnen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kidneybohne Kidneybohnen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gartenbohne Weiße Bohnen] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Edamame Edamame] * Kürbiskerne * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sesam Sesam] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Pistazien Pistazien] ===== Grünes Gemüse ===== * [https://de.wikipedia.org/wiki/Spinat Spinat] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Garten-Schwarzwurzel Schwarzwurzel] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mangold Mangold] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Feldsalat Feldsalat] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BCnkohl Grünkohl] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Rosenkohl Rosenkohl] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Rucola Rucola] ===== Weitere ===== * [https://de.wikipedia.org/wiki/Haferflocken Haferflocken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tofu Tofu] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Basilikum Basilikum] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tahina Tahin (Tahini, Tahina) / Sesammus] * Vollkornprodukte * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mais Mais] * Champignons * [https://de.wikipedia.org/wiki/Currybaum Curryblatt (vom Currybaum)] ===== Mangelerscheinung & Symptome ===== * Blasse Haut * Kopfschmerzen * Vergesslichkeit * Müdigkeit * Schwindel * Konzentrationsstörungen * Nervosität (innere Unruhe) * Appetitlosigkeit * Schwächegefühl * Erhöhte Infektanfälligkeit * Hauttrockenheit * Brennende Zunge * Rissige Lippen * Sodbrennen * Schluckbeschwerden * Starker Haarausfall * Brüchige Nägel * Leistungsmangel * Kurzatmigkeit * Herzklopfen * Gestörte Bildung von [https://de.wikipedia.org/wiki/Erythrozyt roten Blutkörperchen] ==== Fluorid ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Fluor Fluor (F)] ist für die Behandlung von [https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnkaries Karies] und empfindlicher [https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnhals Zahnhälse] zuständig. Zudem hilft Fluorid beim Aufbau und Festigung der Knochen. '''Größere Mengen an Calcium, Magnesium und Aluminium hemmen die Aufnahme von Fluorid.''' '''Die empfohlene Menge pro Tag liegt bei etwa 2 bis 3,7mg. Schwangere und Stillende sollten täglich 3,1mg zu sich nehmen.''' ===== Obst ===== * Rote Johannisbeere * Bananen * Stachelbeeren * Birnen ===== Gemüse ===== * Weiße Bohnen * Spinat * Mais * Zwiebeln * Linsen * Tomaten * Champignons * Grünkohl * Gurke ===== Nüsse & Kerne ===== * Walnüsse * Cashewkerne * Erdnüsse * Mandeln ===== Getreide ===== * Weizenkleie * Weizenkeime * Haferflocken * Hirse * Naturreis * Roggenbrot ===== Weiteres ===== * Fluoridiertes Speisesalz * Fluoridhaltige Zahnpasta * Trink- und Mineralwasser * Schwarzer Tee ===== Mangelerscheinung & Symptome ===== * Erhöhte Kariesanfälligkeit * Gehemmter Knochen- und Körperwachstum * erhöhtes Risiko von Knochenbrüchen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Osteoporose Osteoporose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Atherosklerose Atherosklerose] ==== Iod ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Iod Iod (I)] ist ein wesentlicher Bestandteil der Schilddrüsenhormone, der Stoffwechselregulation und der geschlechtlichen Reproduktion. '''Die Bezeichnung "Jod" ist mittlerweile veraltet und sollte nicht mehr verwendet werden.''' '''Dieses Element wurde früher aus dem Seetang gewonnen.''' '''Der menschliche Körper enthält ca. 10 bis 20mg Iod.''' '''Iodid darf nicht überdosiert werden, da es infolgedessen zu einer Vergiftung und im worst-case zum Tode führen kann!''' '''Iod kann der Körper nicht selbst bilden und muss daher zugefügt werden.''' ===== Lebensmittel ===== * Jodiertes Speisesalz * Brokkoli * Spinat * Roggenbrot * Erbsen * Bananen * Algen (in Maßen nicht in Massen) ===== Mangelerscheinung ===== * Langsamer Stoffwechsel → Gewichtszunahme * Verzögerte geistige Entwicklung * Taubstummheit * Entwicklungsstörungen im Kindesalter * Fehlgeburt bzw. Fehlbildung * Antriebslosigkeit * Depressionen * Schlafprobleme * Kältegefühl * Wassereinlagerungen * Unfruchtbarkeit ===== Symptome bei Überdosierung ===== * Metallischer Geschmack * Entzündung der Schleimhäute * Unerwünschte Hautreaktionen * Blutungen * Fieber * Reizbarkeit * Akne * Innere Unruhe * Magen-Darm-Beschwerden ==== Selen ==== Dieses Spurenelement ist lebensnotwendig für das Immunsystem, die Produktion von Schilddrüsenhormonen und Fruchtbarkeit des Mannes. Außerdem wird gezielt geforscht, ob und welche Rolle Selen bei der Entstehung von Autoimmunkrankheiten und Krebs spielt. Ein Mangel an [https://de.wikipedia.org/wiki/Selen Selen (Se)] kann zur Ursache vieler Beschwerden werden. ''''Dient der Aktivierung zahlreicher Enzyme. Schützt vor freien Schwermetallen und Umweltgiften. Verbessert das Immunsystem bzw. die Immunabwehr. Fördert Wundheilung.'''' ===== Gemüse ===== * Brokkoli * Knoblauch * Chicorée * Rettich * Weißkohl * Paprika * Steinpilze * Champignons * Pfifferlinge * Kartoffeln * Grünkohl * Zwiebeln * Spargel * Tofu ===== Getreide ===== * Hafer * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hirse Hirse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gerste Gerste] * Naturreis ===== Hülsenfrüchte ===== * Linsen * Kichererbsen ===== Nüsse & Samen ===== * Leinsamen * Sesam * [https://de.wikipedia.org/wiki/Luzerne Luzerne Samen (Alfalfa)] * Kichererbsen * Paranuss * [https://de.wikipedia.org/wiki/Mexikanische%20Chia Chia Samen] * Pistazien * Kürbiskerne * Getrocknete Kokosnuss * Erdnuss * Haselnuss ===== Mangelerscheinung ===== * Weiße Flecken auf den Nägeln * Dünne Haare * Haarausfall * Schuppige Haut * Störung der Leber ==== Zink ==== [https://de.wikipedia.org/wiki/Zink Zink (Zn)] ist ein Chemisches Element mit der Ordnungszahl 20. ''''Die optimale tägliche Zufuhr von Zink bei einem Mann liegt zwischen 11 und 16mg. Bei Frauen allerdings nur zwischen 7 und 10mg. Schwangere und Stillende sollen optimalerweise zwischen 7 und 14mg zu sich nehmen.'''' ===== Lebensmittel ===== * Mohn-Samen * Kürbiskerne * Sonnenblumenkerne * Leinsamen * Haferflocken * Paranüsse * Vollkornmehl * Kichererbsen * Linsen * Erdnüsse * Buchweizen * Walnüsse ===== Mangelerscheinung ===== * Erhöhte Infektanfälligkeit * Appetitlosigkeit * Durchfall * Schlechte Wundheilung * Wachstumsstörungen und -verzögerungen * Fruchtbarkeitsstörungen * Müdigkeit * Verminderte Leistungsfähigkeit * Konzentrationsschwäche * Haarausfall == Persönliches == !! '''''Als Veganerin werde ich bewusst im gesamten Beitrag nicht auf tierische Produkte eingehen. '''''!! Wie man in diesem Beitrag deutlich sehen kann, erhält man wichtige Vitamine und Stoffe auch bei einer veganen Ernährungsweise. Wieso also nicht einfach auf die Unterstützung von Massentierhaltung und Tierquälerei verzichten?!? :) == Quellen und Einzelnachweise == https://de.wikipedia.org/wiki/Hypovitaminose <br> https://de.wikipedia.org/wiki/Vitamin<br> https://de.wikipedia.org/wiki/Mineralstoff<br> https://www.peta.de/themen/fleisch/<br> https://www.netdoktor.de/laborwerte/vitamin-d/<br> BfR (2021): [https://www.bfr.bund.de/cm/343/aktualisierte-hoechstmengenvorschlaege-fuer-vitamine-und-mineralstoffe-in-nahrungsergaenzungsmitteln-und-angereicherten-lebensmitteln.pdf Aktualisierte Höchstmengenvorschläge für Vitamine und Mineralstoffe in Nahrungsergänzungsmitteln und angereicherten Lebensmitteln], Stellungnahme Nr. 009/2021 <br> BfR (2021): [https://www.bfr.bund.de/cm/343/hoechstmengenvorschlaege-fuer-vitamin-b6-in-lebensmitteln-inklusive-nahrungsergaenzungsmitteln.pdf Höchstmengenvorschläge für Vitamin B6 in Lebensmitteln inklusive Nahrungsergänzungsmitteln]<br> DGE (2020): [https://www.dge.de/wissenschaft/referenzwerte/?L=0 D-A-CH Referenzwerte für die Nährstoffzufuhr], 2. Auflage, 6. Ausgabe 2020 <br> Bechthold A, Albrecht V, Leschik-Bonnet E, Heseker H (2012): [https://www.ernaehrungs-umschau.de/fileadmin/Ernaehrungs-Umschau/pdfs/pdf%202012/06%2012/EU06%202012%20324%20336.qxd.pdf Beurteilung der Vitaminversorgung in Deutschland], Teil 1: Daten zur Vitaminzufuhr, Ernährungsumschau (6)<br> Bechthold A, Albrecht V, Leschik-Bonnet E, Heseker H (2012): [https://www.ernaehrungs-umschau.de/fileadmin/Ernaehrungs-Umschau/pdfs/pdf%202012/07%2012/EU07%202012%20396%20401.qxd.pdf Beurteilung der Vitaminversorgung in Deutschland], Teil 2: Kritische Vitamine und Vitaminzufuhr in besonderen Lebenssituationen, Ernährungsumschau (7) <br> Brasky T M, White E, Chi-Ling C (2017): [https://ascopubs.org/doi/10.1200/JCO.2017.72.7735 Long-Term, Supplemental, One-Carbon Metabolism–Related Vitamin B Use in Relation to Lung Cancer Risk in the Vitamins and Lifestyle (VITAL) Cohort]. Journal fo Clinical Oncology <br> p10wlcxvc24qvukc6l5c5uympgpkmld 106 141557 767627 746893 2022-08-16T06:21:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{Kapitelnummer|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |kontrolle={{Kapitelnummer|{{{1|}}}|{{{2|}}}|}} |#default= {{Umrahmung/grün|{{Kapitelnummer|{{{1|}}}|{{{2|}}}{{:Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Vorlesung/Fuß|{{{1|}}}|}}|}}|}} }} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Hilfsstruktur]]</noinclude> 7m5g1qjic39cxsze1zdgh9oq94kjey8 106 141626 768042 746965 2022-08-16T09:29:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengenalgebra/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Sigmaalgebra/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Messraum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Erzeugte Sigmaalgebra/Definition|| }} {{ 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Aug. 2022 (CEST) 6hy1gmelakefaeshwjp6wg565erb5pt 2 142240 767760 762180 2022-08-16T07:42:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde geleert. wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 768091 767760 2022-08-16T10:53:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Kategorie:Theorie der kommutativen Ringe (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Theorie der Restklassenringe von Z (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Kommutative Algebra (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Algebra (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Elementare Gruppentheorie (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Gruppentheorie (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Topologie der reellen Zahlen (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Theorie der reellen Zahlen (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | bearbeiten) Kategorie:Körpertheorie (Vorlageneinbindung) ‎ (← Links | 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Aug. 2022 (CEST) 76b73ockdll6fytr1mxi1u12mm21cfu 106 142388 767607 2022-08-15T20:02:32Z Jeb 26942 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{in Arbeit}}{{Kurs Box | '''Wikipedia:60 Minuten '''| Diversity & Wikipedia. Was hat das mit Bibliotheken zu tun? | '''Methode''' | Präsentation + Diskussion | '''Termin'''| Mo., 26. September 2022, 19–20:00 | '''Autoren''' | Marlene Neumann (Stadtbibliothek Erlangen), Jens Bemme (SLUB Dresden) }} == Bibliothek == <gallery> </gallery> 73rc443g9eawtpp6a39pit2trpsro90 106 142389 767613 2022-08-15T21:12:29Z Nk114 36305 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki == Kursbeschreibung == Der Kurs Open Gouvernement und Open Data wurde im Bachelor Studiengang „Informationswissenschaften“ an der Hochschule der Medien in Stuttgart im Sommersemester 2022 zum Ersten Mal angeboten. Dieser Kurs war jedoch nicht auf diesen Studiengang begrenzt. Andere Fachrichtungen hatten ebenso die Chance, an diesem Kurs teilzunehmen und das Wikiversum ebenso kennenzulernen, soweit eben das Interesse besteht. == Projektbeschreibung == Die Suche nach einem geeigneten Projekt kam mir persönlich etwas schwierig vor. Podcasts höre ich leider keine aktiv, die Serien, die ich mir gerne ansehe, sind leider auch entweder so beliebt oder so alt, dass auch die Erstellung einer Episodenliste sich nicht als geeignet herausstellte. Nach einem Gespräch mit einer weiteren Person in diesem Kurs sind wir gemeinsam auf die Idee gekommen, ein bereits abgeschlossenes Projekt aus einem anderen Kurs auf Wikiversity zu veröffentlichen. Hierbei handelte es sich um das Projekt „Kartenspiele für Kinder“ aus dem Kurs Medienpädagogik aus dem Sommersemester 21. Hierin ging es um die Erstellung eines Kartenspiels, welches sich gut als ein interaktives Event mit Kindern in einer Bibliothek spielen lässt. Die Veröffentlichung dieses Projektes sollte wie folgt von uns vorgenommen werden: * Eine geeignete Plattform finden: das Wikiversum ist recht groß, jede Plattform hat unterschiedliche Projekte mit unterschiedlichen Fachrichtungen. Unser erster Gedanken ging dabei an das Klexikon. Natürlich wollten wir nicht einfach so anfangen, dort zu editieren und vielleicht alles durcheinanderzubringen, somit fragten wir dort erst mal per E-Mail an. Leider kam da auch recht schnell ein klares „Nein“ zurück und starteten das Projekt auf Wikiversity. * Das eigene Spiel und weitere Spiele sammeln, weiter ausarbeiten und diese auf der Projektseite veröffentlichen und wenn möglich verlinken. === Ziel === Unser Ziel war es, viele Kartenspiele für Kinder auf einer einzigen Seite zu haben. Leider ging die Recherche nach guten Kartenspielen schwer voran. Altersempfehlungen können oft sehr unterschiedlich ausgelegt/definiert sein. Da wir selbst eher ungeeignet dazu sind, selbst eine Altersempfehlung zu definieren, begrenzten wir uns auf Quellen aus dem Internet. == Erste Schritte im Wikiversum == Das erste editieren erfolgte auf der Projektseite des Projekts. Erst später begann ich auch Bilder auf Wikicommons hochzuladen oder neue Seiten auf Wikipedia anzulegen. === Probleme === Wie mit allen neuen Aktivitäten, müssen irgendwann und irgendwo Probleme auftauchen. ==== Belege ==== Wikipedia Artikel sollten belegt werden. Das steigt die Glaubhaftigkeit des Artikels sehr. Probleme kamen mir hier an zwei Instanzen auf. Zum einen wollte ich eine, wie ich zuerst dachte, Internetseite als Quelle angeben. Beim veröffentlichen kam jedoch die Meldung, dass Wikipedia die Quelle als Spam erkannt hat. Erst nach dem überprüfen der Internetseite stellte sich heraus, dass es ein „Wikiwand“-Artikel war. Wikiwand ist eine Software, die normale Wikipedia Seiten in einem anderen, „moderneren“, Look anzeigen lässt. Dies passierte mir noch zwei weitere Male, jedoch waren das normale Internetseiten und ich weiß leider bis jetzt nicht, was Wikipedia an ihnen auszusetzten hatte. ==== Wie finde ich Einträge zum Editieren, wenn ich von nichts eine richtige Ahnung habe/Kein Nischenwissen besitze ==== Besonders zu Beginn, tat ich mich schwer, erste Artikel zu finden und einfach los zu editieren. Leider besitze ich kein besonderes Nischenwissen was einen Artikel verbessern oder expandieren könnte. == Weiteres editieren == Um das Problem meiner Mängel an Edits zu lösen, recherchierte ich weiter auf Wikipedia und kam über das Community Portal der englischen Seite auf eine Sammlung an Artikeln, die entweder eine Übersetzung, Grammatik- und Rechtschreibprüfung oder sogar die Aufnahme neuer Themen auflisteten. Hier sah ich meine Chance. === Übersetzungen === Um meine bilingualen Fähigkeiten endlich mal zunutze zu machen, fing ich an Seiten zu übersetzten oder englische Artikel auf Rechtschreibfehler zu überprüfen. DeepL war in meinen Übersetzungen mein aller größter Freund, da mein Englisch Vokabular definitiv nicht auf Nischenthemen übergreift. Ein Artikel über Züge (Um genauer zu sein die Baureihe 423) stellte sich hierbei als überraschend schwierig heraus. Diese Seiten überlasse ich in Zukunft den Traispottern. === Pfarrer Braun === Eines, wovon ich allerdings Ahnung habe, ist Pfarrer Braun. Oft genug musste ich im Kindesalter die Serie mit meinen Eltern ansehen. Diesen Spaß möchte ich den Englisch Sprechenden Menschen nicht verwehren. Unter der Rubrik Culture articles needing translation from German Wikipedia fand ich die englische Pfarrer Braun Seite, und fing an zu übersetzten. Hier erstellte ich eine Episodenliste der 22 Folgen, übersetzte diese von deutsch auf Englisch und fügte die typischen Attribute wie „Regie“ und „Erstausstrahlung“ hinzu. === Erstellen neuer Seiten === 2 neue Seiten habe ich ebenfalls erstellt Diese wäre zum einen die Seite zu „Edo Kiriko“. Eine japanische Glaskunst, die noch keine eigene Seite hatte. Ein weiterer Artikel wurde mittlerweile aber wieder gelöscht. Der war offensichtlich nicht so gut. == Fazit == Ohne diesen Kurs hätte ich sicherlich nie hinter die Kulissen geguckt. Setzt man sich weiter mit dem Wikiversum auseinander, fällt einem schnell auf, dass auch das Allwissende Wikipedia doch nicht alles weiß. === Interaktionen === Bevor ich selbst auf Wikipedia editiert habe, hätte ich nie gedacht, wie interaktiv die Community wirklich ist. Sofort nach meinem ersten Edit hat ein Benutzer aus meiner Diskussionsseite Tipps hinterlassen. Dies kam sehr überraschend, aber absolut nicht ungewollt. === Was hätte ich noch gerne ausprobiert === Gerne hätte ich noch mehr Einblick hinter die Kulissen, die Community und deren Funktionen/Möglichkeiten gesehen. 6vy8meizthg2b2gginqjkxgmzzyyf7j 767615 767613 2022-08-15T21:19:35Z Nk114 36305 wikitext text/x-wiki == Kursbeschreibung == Der Kurs Open Gouvernement und Open Data wurde im Bachelor Studiengang „Informationswissenschaften“ an der Hochschule der Medien in Stuttgart im Sommersemester 2022 zum Ersten Mal angeboten. Dieser Kurs war jedoch nicht auf diesen Studiengang begrenzt. Andere Fachrichtungen hatten ebenso die Chance, an diesem Kurs teilzunehmen und das Wikiversum ebenso kennenzulernen, soweit eben das Interesse besteht. == Projektbeschreibung == Die Suche nach einem geeigneten Projekt kam mir persönlich etwas schwierig vor. Podcasts höre ich leider keine aktiv, die Serien, die ich mir gerne ansehe, sind leider auch entweder so beliebt oder so alt, dass auch die Erstellung einer Episodenliste sich nicht als geeignet herausstellte. Nach einem Gespräch mit einer weiteren Person in diesem Kurs sind wir gemeinsam auf die Idee gekommen, ein bereits abgeschlossenes Projekt aus einem anderen Kurs auf Wikiversity zu veröffentlichen. Hierbei handelte es sich um das Projekt „Kartenspiele für Kinder“ aus dem Kurs Medienpädagogik aus dem Sommersemester 21. Hierin ging es um die Erstellung eines Kartenspiels, welches sich gut als ein interaktives Event mit Kindern in einer Bibliothek spielen lässt. Die Veröffentlichung dieses Projektes sollte wie folgt von uns vorgenommen werden: * Eine geeignete Plattform finden: das Wikiversum ist recht groß, jede Plattform hat unterschiedliche Projekte mit unterschiedlichen Fachrichtungen. Unser erster Gedanken ging dabei an das Klexikon. Natürlich wollten wir nicht einfach so anfangen, dort zu editieren und vielleicht alles durcheinanderzubringen, somit fragten wir dort erst mal per E-Mail an. Leider kam da auch recht schnell ein klares „Nein“ zurück und starteten das Projekt auf Wikiversity. * Das eigene Spiel und weitere Spiele sammeln, weiter ausarbeiten und diese auf der Projektseite veröffentlichen und wenn möglich verlinken. === Ziel === Unser Ziel war es, viele Kartenspiele für Kinder auf einer einzigen Seite zu haben. Leider ging die Recherche nach guten Kartenspielen schwer voran. Altersempfehlungen können oft sehr unterschiedlich ausgelegt/definiert sein. Da wir selbst eher ungeeignet dazu sind, selbst eine Altersempfehlung zu definieren, begrenzten wir uns auf Quellen aus dem Internet. == Erste Schritte im Wikiversum == Das erste editieren erfolgte auf der Projektseite des Projekts. Erst später begann ich auch Bilder auf Wikicommons hochzuladen oder neue Seiten auf Wikipedia anzulegen. === Probleme === Wie mit allen neuen Aktivitäten, müssen irgendwann und irgendwo Probleme auftauchen. ==== Belege ==== Wikipedia Artikel sollten belegt werden. Das steigt die Glaubhaftigkeit des Artikels sehr. Probleme kamen mir hier an zwei Instanzen auf. Zum einen wollte ich eine, wie ich zuerst dachte, Internetseite als Quelle angeben. Beim veröffentlichen kam jedoch die Meldung, dass Wikipedia die Quelle als Spam erkannt hat. Erst nach dem überprüfen der Internetseite stellte sich heraus, dass es ein „Wikiwand“-Artikel war. Wikiwand ist eine Software, die normale Wikipedia Seiten in einem anderen, „moderneren“, Look anzeigen lässt. Dies passierte mir noch zwei weitere Male, jedoch waren das normale Internetseiten und ich weiß leider bis jetzt nicht, was Wikipedia an ihnen auszusetzten hatte. ==== Wie finde ich Einträge zum Editieren, wenn ich von nichts eine richtige Ahnung habe/Kein Nischenwissen besitze ==== Besonders zu Beginn, tat ich mich schwer, erste Artikel zu finden und einfach los zu editieren. Leider besitze ich kein besonderes Nischenwissen was einen Artikel verbessern oder expandieren könnte. == Weiteres editieren == Um das Problem meiner Mängel an Edits zu lösen, recherchierte ich weiter auf Wikipedia und kam über das Community Portal der englischen Seite auf eine Sammlung an Artikeln, die entweder eine Übersetzung, Grammatik- und Rechtschreibprüfung oder sogar die Aufnahme neuer Themen auflisteten. Hier sah ich meine Chance. === Übersetzungen === Um meine bilingualen Fähigkeiten endlich mal zunutze zu machen, fing ich an Seiten zu übersetzten oder englische Artikel auf Rechtschreibfehler zu überprüfen. DeepL war in meinen Übersetzungen mein aller größter Freund, da mein Englisch Vokabular definitiv nicht auf Nischenthemen übergreift. Ein Artikel über Züge (Um genauer zu sein die Baureihe 423) stellte sich hierbei als überraschend schwierig heraus. Diese Seiten überlasse ich in Zukunft den Traispottern. === Pfarrer Braun === Eines, wovon ich allerdings Ahnung habe, ist [https://en.wikipedia.org/wiki/Pfarrer%20Braun Pfarrer Braun]. Oft genug musste ich im Kindesalter die Serie mit meinen Eltern ansehen. Diesen Spaß möchte ich den Englisch Sprechenden Menschen nicht verwehren. Unter der Rubrik Culture articles needing translation from German Wikipedia fand ich die englische Pfarrer Braun Seite, und fing an zu übersetzten. Hier erstellte ich eine Episodenliste der 22 Folgen, übersetzte diese von deutsch auf Englisch und fügte die typischen Attribute wie „Regie“ und „Erstausstrahlung“ hinzu. === Erstellen neuer Seiten === 2 neue Seiten habe ich ebenfalls erstellt Diese wäre zum einen die Seite zu „[https://de.wikipedia.org/wiki/Edo%20Kiriko Edo Kiriko]“. Eine japanische Glaskunst, die noch keine eigene Seite hatte. Diese Seite erstellte ich nicht nur in englisch, sondern auch in deutsch. Ein weiterer Artikel wurde mittlerweile aber wieder gelöscht. Der war offensichtlich nicht so gut. == Fazit == Ohne diesen Kurs hätte ich sicherlich nie hinter die Kulissen geguckt. Setzt man sich weiter mit dem Wikiversum auseinander, fällt einem schnell auf, dass auch das Allwissende Wikipedia doch nicht alles weiß. === Interaktionen === Bevor ich selbst auf Wikipedia editiert habe, hätte ich nie gedacht, wie interaktiv die Community wirklich ist. Sofort nach meinem ersten Edit hat ein Benutzer aus meiner Diskussionsseite Tipps hinterlassen. Dies kam sehr überraschend, aber absolut nicht ungewollt. === Was hätte ich noch gerne ausprobiert === Gerne hätte ich noch mehr Einblick hinter die Kulissen, die Community und deren Funktionen/Möglichkeiten gesehen. g5cbclhvc0wd03o3b93sj23h3othlv4 0 142390 767616 2022-08-15T21:45:48Z Saltrabook 36915 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki Europäisches Konsortium für maritime Gesundheitsforschung und -erziehung jp4h1vir7zld69pncmjezh1ezyetms0 767617 767616 2022-08-15T21:46:30Z Saltrabook 36915 wikitext text/x-wiki Europäisches Konsortium für maritime Gesundheitsforschung und -erziehung danke t1dgvaf6hlto0fiy0l5y9cwwaf3wqaj 767618 767617 2022-08-15T21:49:41Z Saltrabook 36915 wikitext text/x-wiki Europäisches Konsortium für maritime Gesundheitsforschung und -erziehung [https://en.wikiversity.org/wiki/Maritime_Health_Research_and_Education-NET/EU_Consortium_for_Maritime_Health_Research_and_Education English version] qvoe7ogzaupeskopdx2rfqa3uv67jkf 767620 767618 2022-08-15T21:53:16Z Saltrabook 36915 wikitext text/x-wiki Europäisches Konsortium für maritime Gesundheitsforschung und -erziehung [https://en.wikiversity.org/wiki/Maritime_Health_Research_and_Education-NET/EU_Consortium_for_Maritime_Health_Research_and_Education English version] [https://es.wikiversity.org/wiki/El_Consorcio_Europeo_para_la_investigaci%C3%B3n_y_la_educaci%C3%B3n_en_salud_mar%C3%ADtima Spanische Version] == Einführung == Das EU-Konsortium für maritime Gesundheitsforschung und -bildung ist ein gemeinnütziges, internationales Netzwerk maritimer Forschungs- und Bildungsinstitutionen zur Zusammenarbeit bei der Förderung von Gesundheitsforschung und -bildung zugunsten von See- und Transportarbeitern. Es ist ein ziegelfreies Zentrum, das interessierte Institutionen mit Aktivitäten in der maritimen, beruflichen und öffentlichen Gesundheitsforschung und -ausbildung vereint, um Fördermittel zu beantragen. == Die Ziele == * Schaffung eines Netzwerks von Forschern zur Entwicklung wissenschaftlicher Forschung und Ausbildung im Bereich Gesundheit und Sicherheit auf See und Beantragung von Fördermitteln * Forschungs- und Bildungsgruppen aufbauen und Fördermittel beantragen * Der Schwerpunkt liegt auf Bluthochdruck und Diabetes Typ 2, Früherkennung und Prävention * Zusammenarbeit mit den Arbeitnehmerorganisationen * Organisieren Sie öffentliche Treffen, um die Forschungs- und Bildungsaktivitäten einem breiteren Publikum vorzustellen * Seefahrtsstudenten, Seeleute und Transportarbeiter in Diabetes Typ 2 und Bluthochdruck, Selbstkontrolle und Gesundheitsförderung ausbilden == Zweck == Die Ziele sind die Bildung und Bereitstellung von Forschungsergebnissen in hoher Qualität durch den Einsatz standardisierter Methoden zum Nutzen aller Arbeitnehmer und Bürger. == Ethische Anforderungen == Die ethischen Regeln für die Datenbankrecherche an den jeweiligen Universitäten und anderen Zentren [http://www.icohweb.org/site_new/multimedia/core_documents/pdf/code_ethics_eng_2012.pdf ICOH Code of ethics] werden eingehalten. Die Vertraulichkeit im Umgang mit personenbezogenen Daten erfolgt gemäß den von den nationalen Datenschutzbehörden festgelegten Regeln. Normalerweise sind keine sensiblen personenbezogenen Daten enthalten, sodass eine Genehmigung durch die Ethikkommission nicht erforderlich ist. Bei allen Fragebögen wird als erste Frage nach Aufklärung gefragt. Die Vorgesetzten achten darauf, dass die Datenverarbeitung nach dem Arztgeheimnisgesetz als Leitlinie guter epidemiologischer Praxis erfolgt. Die Anonymität der Teilnehmer wird in jeder Weise gewahrt und in der Projektbeschreibung darauf hingewiesen. Es wird sichergestellt, dass die elektronische Tabelle gesperrt ist, damit die Informationen von niemand anderem als den Forschern eingesehen werden können. Die Forscher respektieren das individuelle Eigentum an den Daten und teilen Publikationen und die Daten, wo dies zweckmäßig ist, und pflegen stets gute Partnerschaften. [https://allea.org/code-of-conduct/#toggle-id-18 Der Europäische Verhaltenskodex für Integrität in der Forschung zur Selbstregulierung in der gesamten Forschung] == Vorstand == Die wichtigste Entscheidungsinstanz des Konsortiums ist der Vorstand. Der Vorstand setzt sich aus Vertretern der assoziierten Institutionen zusammen == Zentrumskoordinator == * Der Vorstand wählt einen Koordinator des Konsortiums für 1 Jahr, der bei der jährlichen Vorstandssitzung im August wiedergewählt wird * OneBoard-Meetings finden jährlich statt * Der Koordinator ist für die Einberufung von Vorstandssitzungen verantwortlich == Beratender Ausschuss == Eingeladen sind Vertreter von Partnern in Gewerkschaften, Ministerien, Universitäten und staatlichen Behörden == Ziele == Der Beirat legt in Zusammenarbeit mit dem Koordinator Ziele fest, für welche Forschungs- und Bildungsbereiche und Förderanträge priorisiert werden sollen und welche Ergebnisse von der Forschung in diesen Bereichen erwartet werden. == Auswertung der Aktivitäten des Zentrums == Der Vorstand nimmt jedes Jahr eine Bewertung der Aktivitäten des Konsortiums vor. Der Koordinator legt dem Vorstand Ende Dezember einen Jahresbericht vor. Finanzbuchhaltung. Es gibt keine separaten Konten für das Zentrum, da die Wirtschaft bei jedem der Teilnehmer platziert wird. == Finanzielle Ressourcen == Die Hauptfinanzquelle für die Tätigkeit des Konsortiums sind die vorhandenen Ressourcen einzelner Teilnehmer und nationaler und internationaler Forschungsstiftungen. == Angabe von Veröffentlichungen == Nachfolgend sind die Veröffentlichungen aus dem aufgeführt: Eigene Institution, EU Consortium Centre in ... == Jährlicher Statusbericht == Der Koordinator ist verantwortlich für die Erstellung eines jährlichen Statusberichts, der vom Vorstand genehmigt wird. Der Fortschrittsbericht sollte einen kurzen Überblick über die Ergebnisse des letzten Jahres mit Unterschriften und Datum enthalten ==[[/Satzung/]]== == Fonds und Organisationen == European Foundation Study of Diabetes (EFSD) – http://www.europeandiabetesfoundation.org/<br> ITF Seafarers Trust https://www.seafarerstrust.org/ <br> [https://novonordiskfonden.dk/en/ Novo Nordisk gefunden]<br> https://www.eshonline.org/online-education/teaching-seminars/ <br> Forschungsstiftung für Bluthochdruck<br> http://www.hypertensionresearchfoundation.ch/EN/projets.html <br> https://research-and-innovation.ec.europa.eu/research-area/health/diabetes_en<br> [https://ec.europa.eu/esf/main.jsp?catId=67&langId=de&newsId=9691 Der Europäische Sozialfonds]<br> [https://www.danishdiabetesacademy.dk/grants Dänische Diabetesakademie]<br> Die Europäische Gesellschaft für Bluthochdruck https://www.eshonline.org/<br> [https://www.norden.org/en/funding-opportunities/nordic-council-ministers-funding-programme-ngo-co-operation-baltic-sea-region Nordic Council Ministers Funding NGO Cooperation Baltic Sea Region] <br> [https://www.norden.org/en/information/about-funding-nordic-council-ministers Finanzierung der Minister des Nordischen Rates]<br> [https://www.norden.org/en/funding-opportunities/nordic-council-ministers-open-call-funding-opportunity-nordic-russian-co Nordic Council Ministers Funding-opportunity Nordic-Russian Co-Operation] < br> [https://terravivagrants.org/grant-makers/cross-cutting/nippon-foundation/ Nippon Foundation]<br> == Literatur == [https://omeganetcohorts.eu/resources/scientific-publications/ Omeganet Publications] tn58nmeb8361jv6qzvl4vt5ctsw8j4s 0 142391 767623 2022-08-15T21:55:33Z Saltrabook 36915 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki Statuten § 1 Der Name des Konsortiums lautet „The EU Consortium for Maritime Health Research and Education“ § 2 Das Konsortium Das Konsortium wird vom Koordinator oder zwei seiner benannten Mitglieder unterzeichnet Die Mitglieder des Konsortiums haften nicht persönlich für die dem Konsortium obliegenden Verpflichtungen § 3 Die Generalversammlung Ist die höchste Autorität des Konsortiums Findet einmal im Jahr im Dezember oder Januar statt Sie wird mindestens 3 Wochen im Voraus unter Angabe der Tagesordnung und unter rechtzeitiger Information über die eingegangenen Anträge schriftlich oder elektronisch (per Post) einberufen. Darüber hinaus werden Informationen auf der Website des Konsortiums bereitgestellt Die Vorschläge, die in die Tagesordnung aufgenommen werden müssen, müssen vor dem 1. Dezember beim Koordinator eingehen § 4 Die Tagesordnung Die Generalversammlung Wahl des Koordinators, des stellvertretenden Koordinators, des Schatzmeisters und des Sekretärs. Der Bericht des Koordinators. Diskussion Möglicherweise § 5 Das Geschäftsjahr ist das Kalenderjahr Die Gebühren sind vor der Durchführung der Mitgliederversammlung zu entrichten, wenn die Stimmabgabe und die Ausübung des Stimmrechts gewünscht wird. § 6 Der Vorstand hält mindestens 2 Sitzungen im Jahr ab. Das Konsortium hält jedes Jahr mindestens ein wissenschaftliches Treffen ab § 7 Änderung der Satzung Diese können nur in der Jahreshauptversammlung und nur dann stattfinden, wenn 2/3 der anwesenden stimmberechtigten Mitglieder dafür stimmen § 8 Auflösung des Konsortiums Dies kann in einer Mitgliederversammlung erfolgen, wenn 2/3 der Mitglieder die Teilnahme schriftlich oder durch einen Bevollmächtigten beschließen. Wenn das Konsortium über Vermögenswerte verfügt, wird entschieden, diese an einem Bestimmungsort anzuhäufen, der der Klausel des Unternehmenszwecks entspricht Diese Satzung wurde von der Mitgliederversammlung angenommen.... Verweise 4s2rmvlwemgqf4t1ozi0uuuk04xo5uo 767624 767623 2022-08-15T22:23:12Z Saltrabook 36915 wikitext text/x-wiki Statuten § 1<br> * Aufgezählter Listeneintrag<br> * Der Name des Konsortiums lautet „The EU Consortium for Maritime Health Research and Education“ § 2<br> Das Konsortium<br> * Das Konsortium wird vom Koordinator oder zwei seiner benannten Mitglieder unterzeichnet * Die Mitglieder des Konsortiums haften nicht persönlich für die dem Konsortium obliegenden Verpflichtungen § 3<br> * Die Generalversammlung Ist die höchste Autorität des Konsortiums * Findet einmal im Jahr im Dezember oder Januar statt * Sie wird mindestens 3 Wochen im Voraus unter Angabe der Tagesordnung und unter rechtzeitiger Information über die eingegangenen Anträge schriftlich oder elektronisch (per Post) einberufen. Darüber hinaus werden Informationen auf der Website des Konsortiums bereitgestellt * Die Vorschläge, die in die Tagesordnung aufgenommen werden müssen, müssen vor dem 1. Dezember beim Koordinator eingehen § 4<br> Die Tagesordnung Die Generalversammlung * Wahl des Koordinators, des stellvertretenden Koordinators, des Schatzmeisters und des Sekretärs. * Der Bericht des Koordinators. * Diskussion * Möglicherweise § 5<br> * Das Geschäftsjahr ist das Kalenderjahr * Die Gebühren sind vor der Durchführung der Mitgliederversammlung zu entrichten, wenn die Stimmabgabe und die Ausübung des Stimmrechts gewünscht wird. * § 6 * Der Vorstand hält mindestens 2 Sitzungen im Jahr ab. * Das Konsortium hält jedes Jahr mindestens ein wissenschaftliches Treffen ab § 7 Änderung der Satzung * Diese können nur in der Jahreshauptversammlung und nur dann stattfinden, wenn 2/3 der anwesenden stimmberechtigten Mitglieder dafür stimmen § 8 Auflösung des Konsortiums * Dies kann in einer Mitgliederversammlung erfolgen, wenn 2/3 der Mitglieder die Teilnahme schriftlich oder durch einen Bevollmächtigten beschließen. * Wenn das Konsortium über Vermögenswerte verfügt, wird entschieden, diese an einem Bestimmungsort anzuhäufen, der der Klausel des Unternehmenszwecks entspricht * Diese Satzung wurde von der Mitgliederversammlung angenommen.... p7y50u5rctgjq9rdv12n8aba40f6ylh 2 142392 767635 2022-08-16T06:54:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki ==Gestaltung der Definitionsliste und der Faktliste== Die Definitionsliste: In Kurs:{{{Kursname|Kursname}}}/Definitionsliste schreibt man <nowiki> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Listen]]</noinclude> </nowiki> und dann im Verlauf der Vorlesung die einzelnen Definitionen der Vorlesungen (mit inputdefinitionsklappe). 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In Kurs:{{{Kursname|Kursname}}}/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage schreibt man <nowiki> {{Zufallsauswahl|INHALT={{:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Liste der Hauptsätze}}}}<noinclude>[[Kategorie:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Listen]]</noinclude> </nowiki> rx9oxj98j5zs65dvxv5xn7p3wmnry6a 767638 767635 2022-08-16T07:01:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <nowiki>{{-Seite-}} {{-Seitenname-}} Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}/Definitionsliste<nowiki> {{-Seitennameende-}}</nowiki> <nowiki><noinclude>[[Kategorie:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Listen]]</noinclude></nowiki> <nowiki>{{-Seitenende-}}</nowiki> <nowiki>{{-Seite-}} {{-Seitenname-}} Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}/Definitionsabfrage<nowiki> {{-Seitennameende-}}</nowiki> <nowiki>{{Zufallsauswahl|INHALT={{:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Definitionsliste}}|}}</nowiki> <nowiki><noinclude>[[Kategorie:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Listen]]</noinclude></nowiki> <nowiki>{{-Seitenende-}}</nowiki> <nowiki>{{-Seite-}} {{-Seitenname-}} Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}/Liste der Hauptsätze<nowiki> {{-Seitennameende-}}</nowiki> <nowiki><noinclude>[[Kategorie:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Listen]]</noinclude></nowiki> <nowiki>{{-Seitenende-}}</nowiki> <nowiki>{{-Seite-}} {{-Seitenname-}} Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage<nowiki> {{-Seitennameende-}}</nowiki> <nowiki>{{Zufallsauswahl|INHALT={{:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Liste der Hauptsätze}}|}}</nowiki> <nowiki><noinclude>[[Kategorie:Kurs:</nowiki>{{{Kursname|Kursname}}}<nowiki>/Listen]]</noinclude></nowiki> <nowiki>{{-Seitenende-}}</nowiki> a4e82905i9pionoqpawi9c6iic552he 2 142393 767637 2022-08-16T06:54:51Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki ==Kategorisierung== Die erzeugten (roten) Kategorien werden kategorisiert, indem folgendes eingetragen wird. 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Als Beispiel betrachten wir die Erde {{ Zusatz/Klammer |text=ihre Oberfläche| |ISZ=|ESZ=, }} die in der Wissenschaftsgeschichte lange für eine Scheibe gehalten wurde, und zwar aus gutem Grund. Sie sieht nämlich lokal aus wie eine Ebene. Dies spiegelt sich auch in den Karten wieder, die man sich von ihr macht. Eine Karte ist ein ebenes {{Anführung|Blatt|SZ=,}} dessen Punkte in Bijektion zu einem Ausschnitt der Erdoberfläche steht. Insbesondere bei kleinen Ausschnitten halten wir das für unproblematisch, bei Karten aber, die große Ausschnitte oder gar die gesamte Erde wiedergeben sollen, tauchen schnell Fragen auf, was die Karte richtig wiedergibt und was nicht, Fragen nach der Längentreue, Flächentreue, Winkeltreue, Fragen über fehlende Punkte oder mehrfach auftretende Punkte, Fortsetzungsfragen, Krümmungsfragen ... {{ inputbild |Stereographic projection in 3D|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Stereographic_projection_in_3D |Text=Die stereographische Projektion, wenn man die Ebene nicht durch den Äquator, sondern durch den Südpol legt. |Autor= |Benutzer=Mark.Howison |Domäne=en.Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir besprechen zunächst die {{stichwort|stereographische Projektion}} der Kugeloberfläche. {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel|zusatz1=Fußnote| }} Eine {{Stichwort|Mannigfaltigkeit|SZ=}} ist ein geometrisches Gebilde, das {{Anführung|lokal}} so aussieht wie der euklidische Raum {{math|term= \R^n |SZ=.}} Dabei setzen wir dieses geometrische Gebilde als einen {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, und lokal wird dadurch präzisiert, dass es eine Überdeckung aus offenen Mengen gibt, die homöomorph zu offenen Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} sind. Obwohl wir im Folgenden mit topologischen Räumen arbeiten sei erwähnt, dass sich der Vorstellungsgehalt des Folgenden nicht verringert, wenn man bei einem topologischen Raum einfach an einen metrischen Raum denkt. {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}} {{:Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Einführung/Textabschnitt}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Einführung/Textabschnitt|}} Wir haben schon früher im Kontext des Zwischenwertsatzes von {{ Definitionslink |zusammenhängenden metrischen Räumen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gesprochen. Die gleiche Definition verwenden wir auch für topologische Räume. {{ inputdefinition |Topologische Grundbegriffe/Zusammenhängender Raum/Definition|| }} Häufig interessiert man sich nur für zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, vor allem deshalb, da man im nicht zusammenhängenden Fall die einzelnen {{Anführung|Zusammenhangskomponenten|SZ=}} getrennt voneinander untersuchen kann. Wir besprechen kurz niedrigdimensionale Mannigfaltigkeiten. {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nulldimensional/Beispiel|| }} {{ inputbild |Circle - black simple|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Circle_-_black_simple |Text=Eine Kreislinie ist eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit |Autor= |Benutzer=Dakdada |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Eindimensional/Beispiel||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Allerdings haben wir den Kompaktheitsbegriff bisher nur für Teilmengen im {{math|term= \R^n |SZ=}} definiert; wir werden bald sehen, dass es sich um einen absoluten Begriff handelt, der nicht von der Einbettung abhängt. Man kann also {{math|term=\R|SZ=}} nicht irgendwie in den {{math|term= \R^n |SZ=}} homöomorph einbetten, so dass das Bild kompakt ist| |ISZ=.|ESZ= }} }} Ab der Dimension zwei ist es ohne starke zusätzliche Voraussetzungen nicht möglich, sich eine Übersicht über alle Mannigfaltigkeiten zu verschaffen. {{Fußnotenliste|}} }} 4abmcp27grentqm7dym3cdfrla1zvsr 106 142546 767803 2022-08-16T08:13:44Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|2| }} 40bds7f9f19c6a2ltzxdwfap621erar 767968 767803 2022-08-16T08:42:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|2| {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz über implizite Abbildungen und Mannigfaltigkeiten}} Die Einheitssphäre, die wir in der letzten Vorlesung als ein motivierendes Beispiel einer Mannigfaltigkeit besprochen haben, ist die Faser zur differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^3 | \R | (x,y,z) | x^2+y^2+z^2 |SZ=, }} über {{math|term= 1 |SZ=.}} Diese Abbildung ist mit Ausnahme des Nullpunkts {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der Satz über implizite Abbildung macht in dieser Situation weitreichende Aussagen über die lokale Gestalt der Faser zu einer Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |\R^n| \R^m || |SZ=, }} nämlich, dass es lokal Homöomorphismen zwischen der Faser in einem regulären Punkt und einer offenen Menge des {{math|term= \R^k |SZ=}} gibt, wobei {{math|term= k |SZ=}} die Differenz zwischen der Dimension des Ausgangsraumes und der Dimension des Zielraumes ist. Wir werden gleich sehen, dass solche Fasern nicht nur topologische Mannigfaltigkeiten, sondern auch differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. Wir formulieren den Satz über implizite Abbildungen in einer Version, aus der sich ablesen lässt, dass die regulären Fasern differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind. {{:Implizite Abbildung/Untermannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Abbildungen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Abbildung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbemerkung |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Maximaler Atlas/Diffeomorph/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Differenzierbare Funktionen}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/R/Differenzierbare Funktionen/Spezialfall von Abbildung/Textabschnitt|}} }} jsztrbyet4v8uj6f5h8dn0oq2d8dujs 106 142547 767804 2022-08-16T08:13:54Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|3| }} dds4ujhfhvc0nqwvr16ufi6jp8rlwsd 767981 767804 2022-08-16T08:44:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Der Tangentialraum einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum/Motivation/Einführung/Textabschnitt|}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über Wege/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialraum/Definition|| }} {{:Differenzierbare Mannigfaltikeit/Funktorielle Eigenschaften des Tangentialraums/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Regulär/Über Rang/Definition|| }} Diese Definition verallgemeinert die entsprechende {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Differenzierbare Abbildung/R/Regulärer Punkt/Maximaler Rang/Definition |SZ= }} von euklidischen Teilmengen auf Mannigfaltigkeiten. Sie bedeutet einfach, dass bei {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{dim} (L) |\geq| \operatorname{dim} (M) || || || |SZ= }} die Tangentialabbildung in {{math|term= Q |SZ=}} surjektiv sein muss und bei {{ Ma:Vergleichskette | \operatorname{dim} (L) |\leq| \operatorname{dim} (M) || || || |SZ= }} injektiv sein muss. }} e1vxg0t3zm1oqmh1jvxg3rzhswdllmb 106 142548 767805 2022-08-16T08:14:04Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|4| }} 5s4vkkfhomva7p3c5l41ek7kispbd7s 767995 767805 2022-08-16T08:47:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|4| {{Zwischenüberschrift|term=Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}} {{:Mannigfaltigkeiten/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Einführung/Über regulär/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Durch die letzte Aussage ergibt sich auch, dass der in einem regulären Punkt {{math|term= P |SZ=}} der Faser {{math|term= M |SZ=}} einer differenzierbaren Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi |G|\R^k || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen, als Kern des totalen Differentials {{ Zusatz/Klammer |text=als Untervektorraum von {{ Ma:Vergleichskette/k | \R^n || T_P \R^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} definierte {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an die Faser als einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Der {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} ist aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Punktweise/Tangentialraum als Unterraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Untervektorraum von {{ Ma:Vergleichskette | T_P\R^n || \R^n || || || |SZ= }} der Dimension {{mathl|term= n-k |SZ=.}} Auch der Kern des surjektiven totalen Differentials {{ Ma:abb |name= {{op:Totales Differential|\varphi|P|}} | \R^n | \R^k || |SZ= }} ist ein {{mathl|term= (n-k) |SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum von {{math|term= \R^n |SZ=.}} Die Gleichheit der beiden Untervektorräume ergibt sich daraus, dass die den abstrakten Tangentialraum definierenden differenzierbaren Kurven {{ Ma:abbele/disp |name=\gamma |I|M || |SZ= }} verknüpft mit {{math|term= \varphi |SZ=}} konstant sind, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Reguläre Faser/Tangentialraum als Kern und zu Mannigfaltigkeit/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Tangentialbündel}} {{:Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Torus_vectors_oblique |Text=Ein Vektorfeld auf einem Torus. Jedem Punkt des Torus wird eine tangentiale Richtung zugeordnet, dies wird durch die Pfeile angedeutet. |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition|| }} Ein Vektorfeld weist also jedem Punkt einen Richtungsvektor in diesem Punkt zu. Man sagt auch kurz, das ein Vektorfeld ein {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} im Tangentialbündel ist. Vektorfelder führen zu gewöhnlichen Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition|| }} Die Schnitte im Kotangentialbündel heißen {{math|term=1|SZ=-}}Differentialformen. Wir werden darauf ausführlich zurückkommen. {{Fußnotenliste|}} }} 6clhky160zf43gdyig70qojy7daem83 106 142549 767806 2022-08-16T08:14:14Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|5| }} 3x45031b8esil6cp0778zh3aeqc3ooc 768000 767806 2022-08-16T09:00:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|term=Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=also Schnitte im Kotangentialbündel| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf [[Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{ Ma:Vergleichskette | V || K^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel {{ Zusatz/Klammer |text=da keine Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt|Korollar|| || }} }} 5ekci00meeixi54z2ong9797401ss6m 768001 768000 2022-08-16T09:01:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|5| {{Zwischenüberschrift|term=Produkte von Mannigfaltigkeiten}} {{:Produkt von Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Dachprodukt}} Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=also Schnitte im Kotangentialbündel| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden. Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf [[Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48]] verweisen. Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen. {{:Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition}} Das wichtigste Beispiel ist die Determinante {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{ Ma:Vergleichskette | V || K^n || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel {{ Zusatz/Klammer |text=da keine Standardbasis| |ISZ=|ESZ= }} in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra. {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste}} }} gawpwb1nem7844u3j5vg46kj5d4dpdr 106 142550 767807 2022-08-16T08:14:24Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|6| }} j1fa1osz9hysj8ychmd1tx0vz500xmm 768002 767807 2022-08-16T09:02:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Eigenschaften des Dachprodukts}} {{:Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Dimension/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Dachprodukte bei linearen Abbildungen}} {{:Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Abbildungseigenschaften/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Algebrastruktur/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} }} fgxijlipqju0cp8ygo09wrcvasbzbmx 106 142551 767808 2022-08-16T08:14:34Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|7| }} 2gv25rt00e0i6nmr8s7j6ahtmzmt5dq 768004 767808 2022-08-16T09:04:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|7| {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf reellen Vektorräumen}} {{:Orientierung/Vektorräume/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Bei einem eindimensionalen reellen Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=einer Geraden| |ISZ=|ESZ= }} ist eine Orientierung einfach durch einen einzigen Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} gegeben, d.h. es wird einfach eine der beiden {{Anführung|Halbgeraden}} als {{Anführung|positiv}} ausgezeichnet. Dies ist wiederum äquivalent zu einer Identifizierung von {{math|term= V |SZ=}} mit {{math|term= \R |SZ=,}} der mit der Standardorientierung versehen ist, bei der {{math|term= 1 |SZ=}} positiv ist. Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Orientierung/Dachprodukt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |One Big Arm|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=One_Big_Arm |Text=Eine rechtswinkende [[w:Winkerkrabbe|Winkerkrabbe]]. Wenn sie sich auf einer dreidimensionalen orientierten Mannigfaltigkeit bewegt, bleibt sie stets rechtswinkend (weshalb es sich um einen sinnvollen Begriff handelt). Auf einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit kann sie linkswinkend werden. |Autor=Charles Lam |Benutzer=Brian679 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten}} {{:Orientierung auf Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputbild |Möbius strip|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Mobius_strip |Text=Das Möbius-Band ist das typische Beispiel einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit. Damit es eine Mannigfaltigkeit ist, darf der Rand nicht dazu gehören; dann ist es aber auch keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^3 |SZ=,}} diese sind nämlich stets orientierbar. |Autor= |Benutzer=Dbenbenn |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei einer orientierten Mannigfaltigkeit besitzt jeder Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} eine Orientierung. Man kann einfach eine beliebige Kartenumgebung {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| U || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aus dem orientierten Atlas| |ISZ=|ESZ= }} wählen und die Orientierung auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} mittels {{mathl|term= T_P(\alpha^{-1}) |SZ=}} nach {{mathl|term= T_PM |SZ=}} transportieren. Wegen der Orientierungstreue der Kartenwechsel ist diese Orientierung unabhängig von der gewählten Kartenumgebung. In einer orientierten Mannigfaltigkeit kann man auch zu zwei Basen in den Tangentialräumen zu zwei verschiedenen Punkten sagen, ob sie die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht. Dies ist der Fall, wenn beide Basen die Orientierung der Mannigfaltigkeit repräsentieren oder aber beide nicht. Eine Mannigfaltigkeit heißt {{Stichwort|orientierbar|SZ=,}} wenn sie diffeomorph zu einer orientierten Mannigfaltigkeit ist. D.h. wenn es einen Atlas gibt, der die gleiche differenzierbare Struktur definiert und der zusätzlich orientiert werden kann. {{Zwischenüberschrift|term=Kompaktheit}} {{:Kompaktheit/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt||}} {{Zwischenüberschrift|term=Maße auf Mannigfaltigkeiten}} {{:Maße auf Mannigfaltigkeiten/Allgemeines/Ansatz mit Dichten/Bemerkung}} {{Fußnotenliste|}} }} ecs0g6t6ojkxskbwwbpswmwno7ehbqc 106 142552 767809 2022-08-16T08:14:44Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|8| }} 11bzp3rkdnwqoa9fvu5kzaz4v5bp5hc 768015 767809 2022-08-16T09:09:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|8| {{Zwischenüberschrift|term=Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten}} Zu einer Mannigfaltigkeit {{math|term=M|SZ=}} kann man zum Tangentialbündel {{math|term=TM|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. zum Kotangentialbündel {{math|term= T^*M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das {{math|term=k|SZ=-}}te Dachprodukt {{mathl|term= \bigwedge^k TM |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term= \bigwedge^k T^*M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bilden. Es ist punktweise für {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|M || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \bigwedge^k TM |}}_P || \bigwedge^k T_P M || || || |SZ= }} definiert und es gibt wieder eine Projektionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^k TM |M || |SZ=. }} Zu einer Karte {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} und der zugehörigen Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name= T \alpha |TU|TV {{=|}} V \times \R^n || |SZ= }} ergibt sich die Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name=\bigwedge^k ( T \alpha) |\bigwedge^k TU| \bigwedge^k TV {{=|}} V \times \bigwedge ^k \R^n || |SZ=. }} Mit Hilfe dieser Abbildungen kann man auf {{mathl|term= \bigwedge^k TM |SZ=}} eine Topologie und auch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definieren. {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die Ableitungen {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}} |SZ=}} wurden in der zweiten Vorlesung eingeführt| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Das Zurückziehen von Differentialformen}} {{:Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt|}} Die beschreibenden Funktionen zu einer Differentialform haben also das gleiche Transformationsverhalten wie die Dichten, die auf einer Karte ein kontinuierliches Maß auf einer Mannigfaltigkeit beschreiben. {{ inputfaktbeweis |Differentialform/Lokal/Zurückziehen unter partiell konstanter Abbildung/Fakt|Korollar|| || }} {{Fußnotenliste}} }} 2cuog2w93872bt4wrysi922hyqptp5x 106 142553 767810 2022-08-16T08:14:54Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|9| }} 7rdvw737fb9re8tnp0c3x9ohblxk68z 768028 767810 2022-08-16T09:16:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|9| Wir kommen nun zur Integrationstheorie auf Mannigfaltigkeiten. Ausgangspunkt dafür ist, dass auf einer Mannigfaltigkeit der Dimension {{math|term= n |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}Form gegeben ist. Bei einer offenen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} mit den Koordinaten {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} entspricht dabei die Integration bezüglich der Form {{mathl|term= dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} der Integration bezüglich des Lebesgue-Maßes. Bei einer Mannigfaltigkeit muss man die Form und das zugehörige Maß {{Anführung|zusammenkleben|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|term=Positive Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenformen und Orientierung}} Die Existenz einer stetigen nullstellenfreien Volumenform auf einer Mannigfaltigkeit hängt eng mit ihrer Orientierbarkeit zusammen. Von der folgenden Aussage werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch die Umkehrung beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumenform auf Fasern}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt|Korollar|| || }} Der vorstehende Satz liefert zwar in dieser wichtigen Situation die Existenz eines positiven Maßes, aber noch nicht die kanonische Volumenform, die wir in der nächsten Vorlesung über die riemannsche Metrik einführen werden. Für den Zusammenhang zwischen den beiden Konzepten siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktionen/Volumenform/Orthogonale Gradienten und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare reguläre Funktion/R^n/Volumenform über Gradienten/Als Differentialform/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Flächenform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Integration längs einer differenzierbaren Abbildung}} {{:Mannigfaltigkeit/Differentialform/Integration längs Abbildung/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste|}} }} h2npkwoli95ghvz3t3ro8c4ovwxn98c 106 142554 767811 2022-08-16T08:15:04Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|10| }} gsmky8p6wwof8xkgee85erek4ntd0fa 768030 767811 2022-08-16T09:17:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|10| {{ inputbild |Georg Friedrich Bernhard Riemann|jpeg| 200px {{!}} right {{!}} |epsname=Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann |Text=[[w:Georg Friedrich Bernhard Riemann|Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)]] |Autor= |Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/scientific-identity/explore.htm }} {{Zwischenüberschrift|term=Riemannsche Mannigfaltigkeiten}} Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius {{math|term= r |SZ=}} besitzt den Flächeninhalt {{mathl|term= 4 \pi r^2 |SZ=.}} Dies ist ein klassisches Resultat, doch wie kann man den Flächeninhalt einer solchen zweidimensionalen Mannigfaltigkeit präzise erfassen? Um die Maß- und Integrationstheorie der vorhergehenden Vorlesungen anwenden zu können, brauchen wie eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Form auf der Fläche. Über den Begriff der Riemannschen Metrik werden wir zeigen, dass es auf Flächen, die im dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet sind, ein natürliches Flächenmaß gibt, mit dem man den Flächeninhalt ausrechnen kann. {{ inputbild |Sphere with three handles|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Sphere_with_three_handles |Text=Die grüne Oberfläche erbt vom umgebenden euklidischen Raum das Skalarprodukt. Dies erlaubt darauf eine sinnvolle Flächenmessung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/C^1/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|}} Die einfachsten Beispiele sind abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} wobei sich das Standardskalarprodukt direkt auf {{math|term= M |SZ=}} überträgt. {{Zwischenüberschrift|term=Vektorfelder und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit}} Böse Zungen behaupten, dass Physiker nicht den Unterschied zwischen Vektorfeldern und {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen kennen. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten entsprechen sich in der Tat diese Objekte. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Vektorfelder und 1-Formen/Fakt|Lemma||zusatz={{{zusatz2|}}} || }} {{ inputbemerkung |Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/R^n/Einschränkung eines Vektorfeldes/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Kreislinie in R^2/Zurückgezogenes Vektorfeld zu konstantem Vektorfeld e1/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die kanonische Volumenform auf einer orientierten riemannschen Mannigfaltigkeit}} {{:Riemannsche Mannigfaltigkeit/Kanonische Volumenform/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste|}} }} smd9u9stz1urbflvq45e4p2gi8y6lgt 106 142555 767812 2022-08-16T08:15:14Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|11| }} t01016bbwbtqxyjmv2r1amwrqidhtye 768032 767812 2022-08-16T09:18:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|11| In dieser Vorlesung setzen wir die Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten fort und berechnen insbesondere einige Flächeninhalte. {{Zwischenüberschrift|term=Berechnungen auf riemannschen Mannigfaltigkeiten}} {{ inputfaktbeweis |Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt|Korollar|| || }} Mit diesem Ansatz kann man beispielsweise den Flächeninhalt der Einheitssphäre berechnen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Obere Halbkugel/Graph/Fläche/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Flächenstück im Raum/Einbettung/Flächenform/Fakt|Korollar||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote || }} {{ inputbemerkung |Graph einer Funktion/Zweidimensional/EFG-Formel/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Flächenberechnung/Ignorierung von Nullmengen/Bemerkung|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Rotationsflächen}} {{:Rotationsflächen/Riemannsch/Flächeninhalt/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Kartographie}} Die {{ Zusatz/Klammer |text=abstrakte| |ISZ=|ESZ= }} Kartographie beschäftigt sich mit Karten für die Oberfläche einer Kugel. {{ inputbild |Cilinderprojectie-constructie|jpg| 350px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=KoenB |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Flächenberechnung/Beispiel|| }} Die {{Stichwort|Mercator-Projektion|SZ=}} geht von der zuletzt genannten Projektion aus, ersetzt aber das unbeschränkte Intervall {{math|term= \R |SZ=}} über eine Diffeomorphie durch ein beschränktes Intervall, so dass eine winkeltreue Karte entsteht. {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel|| }} {{Fußnotenliste}} }} gco4gid1id55x6qx2gnbfyzw9h70m7z 106 142556 767813 2022-08-16T08:15:24Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|12| }} tjs794bq8y61tl647ff0vb9oitk7hre 768034 767813 2022-08-16T09:20:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|12| {{Zwischenüberschrift|term=Die äußere Ableitung}} In dieser Vorlesung werden wir ein neuartiges mathematisches Objekt kennenlernen, die sogenannte äußere Ableitung. Es handelt sich dabei um einen Ableitungsbegriff, der aus Differentialformen vom Grad {{math|term= k |SZ=}} Differentialformen von Grad {{mathl|term= k+1 |SZ=}} macht. Für eine Differentialform vom Grad {{math|term= 0 |SZ=,}} also eine Funktion {{math|term= f |SZ=,}} ist die zugehörige äußere Ableitung einfach die {{math|term= 1 |SZ=-}}Form {{math|term= df |SZ=,}} also die Differentialform, die jedem Punkt {{math|term= P |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem euklidischen Raum| |ISZ=|ESZ= }} das totale Differential {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Totales Differential|f|P}} | \R^n | \R || |SZ= }} bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=bei einer Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die Tangentialabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= T_P(f) |T_PM|\R || |SZ= }} zuordnet. In der eindimensionalen Differentialrechnung sind Funktionen und ihre Ableitungen bzw. Stammfunktionen gleichartige Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt auch noch für differenzierbare Kurven| |ISZ=|ESZ=, }} aber schon bei der Einführung des totalen Differentials zu einer Funktion in mehreren Variablen war die Ableitung ein fundamental anderes Objekt als die Funktion. Zwar können entlang vorgegebener Richtungen höhere Richtungsableitungen definiert werden, die selbst wieder Funktionen sind, doch erfassen diese jeweils nur einen Teilaspekt der Ableitung der Funktion, während das totale Differential die volle Information enthält. Mit diesem wesentlichen Unterschied von Funktion und Ableitung hängt auch zusammen, dass wir uns im Höherdimensionalen noch nicht mit der umgekehrten Frage beschäftigt haben, welche Ableitungen eine Stammfunktion besitzen. Eine Funktion in mehreren Variablen kann keine Stammfunktion besitzen, nur für eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Differentialform {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. das zugehörige Vektorfeld| |ISZ=|ESZ= }} ist dies eine sinnvolle Fragestellung. Der Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der Richtungsableitungen stellt dabei schon ein wichtiges notwendiges Kriterium für die Existenz einer Stammfunktion zu einer {{math|term= 1 |SZ=-}}Differentialform dar. Mit der Theorie der äußeren Ableitungen findet die Frage nach Stammfunktionen bzw. Stammformen ihren natürlichen Rahmen. Darüber hinaus erlaubt sie, den Satz von Stokes prägnant zu formulieren. Ferner können mit der äußeren Ableitung wesentliche topologische Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit charakterisiert werden, was allerdings weit über diese Vorlesung hinausgeht. {{:Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputdefinition |Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Geschlossen/Definition|| }} {{ inputdefinition |Differentialform auf Mannigfaltigkeit/Exakt/Definition|| }} Eine exakte Differentialform ist also eine Differentialform, für die es eine {{Stichwort|Stammform|SZ=}} {{math|term= \sigma |SZ=}} gibt. Mit diesen Begriffen kann man die obige Aussage {{ Ma:Vergleichskette | dd || 0 || || || |SZ= }} so formulieren, dass jede exakte Form geschlossen ist. Die Geschlossenheit ist also eine notwendige Bedingung dafür, dass es eine Stammform geben kann. Es sei hier ohne Beweis bemerkt, dass dieses notwendige Kriterium für den {{math|term= \R^n |SZ=}} auch hinreichend ist. Diese Äquivalenz gilt aber keineswegs auf jeder Mannigfaltigkeit. {{Zwischenüberschrift|term=Euklidische Halbräume}} {{:Euklidischer Halbraum/Einführung/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt}} }} bqbtdm4hmgzng4tm5u7goird19fkiqq 106 142557 767814 2022-08-16T08:15:34Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|13| }} 3dn45fjssnyvzp2st4jrjr7t3zb2sy5 768038 767814 2022-08-16T09:24:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Einführung/Textabschnitt|zusatz2=Fußnote}} Wir wissen bereits, dass die Faser einer differenzierbaren regulären Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten die Struktur einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit trägt. Auf einem ähnlichen Argument beruht der folgende Satz, der die Existenz von sehr vielen berandeten Mannigfaltigkeiten sichert. {{ inputfaktbeweis |Reguläre Funktion auf Mannigfaltigkeit/Urbild halbseitiger Intervalle/Mannigfaltigkeit mit Rand/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Vollkugel/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quader/Ohne Kanten und Ecken/Mannigfaltigkeit mit Rand/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand}} {{:Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Rand/Orientierung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} smg1t3qhulwqeh8fqiqphilaidztnav 106 142558 767815 2022-08-16T08:15:44Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|14| }} 8wao0mzp5m69am80spbwaswuga5nfcu 768039 767815 2022-08-16T09:26:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|14| Wir besprechen nun eine wichtige analytische Hilfstechnik namens {{Stichwort|Partition der Eins|SZ=.}} Wir werden sie im Beweis für die Aussage, dass orientierbare Mannigfaltigkeiten eine positive Volumenform besitzen, und für den Beweis des Satzes von Stokes einsetzen. In dieser Vorlesung werden wir Partitionen der Eins konstruieren, wozu wir zunächst einige topologische Begriffe benötigen. {{Zwischenüberschrift|term=Kompakte Ausschöpfung}} {{ inputbild |Inner point|png|150px {{!}} right {{!}} |epsname=Inner_point |Text=Das offene Innere ist die Vereinigung aller inneren Punkte, also derjenigen Punkte von {{math|term=T|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im Bild {{math|term=E|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} die mit einer ganzen offenen Umgebung in {{math|term=T|SZ=}} enthalten sind. |Autor= |Benutzer=Zasdfgbnm |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Teilmenge/Abschluss/Definition|| }} Für metrische Räume haben wir den Abschluss als Menge aller Berührpunkte schon in der 35sten Vorlesung eingeführt, siehe auch {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Abschluss/Berührungspunkte/Durchschnitt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Teilmenge/Inneres/Definition|| }} Diese beiden Begriffe stehen durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Topologischer Abschluss|T|}} || X \setminus {{op:Offene Innere|(X \setminus T)|}} || || || |SZ= }} miteinander in Beziehung. Auch der Begriff des Randes überträgt sich von der metrischen Situation auf beliebige topologische Räume. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Teilmenge/Rand/Definition|M=X| }} Man beachte, dass dieser topologische Rand ein anderes Konzept ist als der Rand bei einer berandeten Mannigfaltigkeit, allerdings besteht eine Beziehung, die in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist topologischer Rand des Komplementes/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besprochen wird. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Funktion/Träger/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Kompakte Ausschöpfung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Partitionen der Eins}} {{:Mannigfaltigkeit/Partition der Eins/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten und Volumenformen}} Mit Hilfe von Partitionen der Eins können wir nun die Umkehrung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beweisen. {{ inputfaktbeweis |Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{Fußnotenliste|}} }} cwwn3q2l9gjazpitgiupbu7t8hpu5gz 106 142559 767816 2022-08-16T08:15:54Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|15| }} edcf1drf6tj7ay887mkfb21w0a83hqa 768041 767816 2022-08-16T09:28:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|15| {{ inputbild |SS-stokes|jpg| 150px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:George Gabriel Stokes|George Stokes (1819 -1903)]] |Autor= |Benutzer=Kelson |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Satz von Stokes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Mathematik. Er stiftet eine direkte Beziehung zwischen dem Integral einer Differentialform über dem Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit und dem Integral der äußeren Ableitung dieser Form über der gesamten Mannigfaltigkeit. Damit handelt es sich um eine weitgehende Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung, nach dem das bestimmte Integral einer auf einem Intervall definierten Funktion mittels der Stammfunktion allein durch die Werte am Intervallrand ausgedrückt werden kann. {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Stokes-Quaderversion}} Bevor wir den Satz von Stokes allgemein formulieren und beweisen, geben wir die Quaderversion davon, bei der der Definitionsbereich der Differentialform ein Quader ist, dessen Rand aus seinen Seiten besteht. Damit dieses geometrische Objekt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist, müssen wir die {{Anführung|Kanten|}} herausnehmen. Allerdings sind die Kanten auf den Seiten jeweils Nullmengen {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Seiten auf dem Gesamtquader| |ISZ=|ESZ=, }} so dass beim Integrieren diese Teilmengen ignoriert werden können. {{ inputfaktbeweis |Satz von Stokes/Quaderversion/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote || }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Stokes}} {{:Satz von Stokes/Mannigfaltigkeiten mit Rand/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Unter dem Träger einer Differentialform versteht man den topologischen Abschluss der Punkte, auf denen die Form {{mathlk|term=\neq 0 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }}}} Es gibt viele Möglichkeiten, die Volumenform {{ Ma:Vergleichskette | \tau || dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=}} als äußere Ableitung einer {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}Form zu realisieren, beispielsweise mit {{ Ma:Vergleichskette | \omega || x_1dx_2 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} Damit kann man die Berechnung des Volumens eines berandeten Körpers auf die Berechung eines Integrals über den Rand zurückführen. Im ebenen Fall nennt man diese Aussage auch den {{Stichwort|Satz von Green|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote| || }} {{ inputfaktbeweis |Integration auf ebener Mannigfaltigkeit mit Rand/Satz von Green/Flächenversion/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Satz von Green/Nicht glatter Rand/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Satz von Stokes/Divergenzsatz/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Der Brouwersche Fixpunktsatz}} {{:Mannigfaltigkeiten mit Rand/Stokes/Retraktion/Brouwerscher Fixpunktsatz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste|}} }} bisooscfdapgol2cxc6rp9n7gdmcqxs 106 142560 767817 2022-08-16T08:16:04Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki {{Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesungsgestaltung|16| }} eq53ovfdpif29khlsuaxx5lzxr5p46j 106 142561 767818 2022-08-16T08:16:14Z Arbota 36910 Bot: Automatischer Import von Artikeln wikitext text/x-wiki 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|Inhalt= In der folgenden Definition bezeichnen wir zu einer Karte {{ Ma:abb |name= \alpha | U | V || |SZ= }} und einer Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} die nach {{math|term= V |SZ=}} transportierte Differentialform mit {{mathl|term= \alpha_* \omega |SZ=.}} Das ist dasselbe wie die zurückgezogene Form {{mathl|term= \alpha^{-1 *} \omega |SZ=.}} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Definition||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die zur Karte {{math|term= U |SZ=}} gehörenden Funktionen {{math|term= f |SZ=,}} die hier mit der {{math|term= n |SZ=-}}Standardform multipliziert werden, entsprechen den am Ende der 81sten Vorlesung erwähnten Dichten, mit denen ein Maß auf der Mannigfaltigkeit beschrieben werden kann| |ISZ=.|ESZ= }} }} Dabei ist die Funktion {{math|term= f |SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | f(Q) || \omega {{makl| \alpha^{-1} (Q) ,T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}(e_1) {{wedgedots|}} T_Q {{makl| \alpha^{-1} |}}( e_n) |}} || || || |SZ= }} festgelegt. Eine solche positive Volumenform kann es nur geben, wenn die Mannigfaltigkeit {{ Definitionslink |orientierbar| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Vorbereitende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition|| }} Nach dem vorstehenden Lemma ist dieses Volumenmaß wohldefiniert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Positive Volumenform/Volumenmaß/Ist Maß/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} handelt es sich um ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Für eine offene Menge {{ Ma:Vergleichskette | M |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} eine messbare Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| M || || || |SZ= }} und eine positive {{math|term= n |SZ=-}}Form {{ Ma:Vergleichskette | \omega || f dx_1 {{wedgedots}} dx_n || || || |SZ= }} ist einfach {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_T \omega || \int_T f d \lambda^n || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Volumenform/Integration/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Volumenformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qoqgggkhvjta70oihh9bwu97nh85slp 14 142732 768027 2022-08-16T09:14:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Theorie der Volumenformen| ||}} prmdy1zu7y8mkan67dqu931a3mhebb5 0 142733 768036 2022-08-16T09:23:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der {{math|term= \R^n |SZ=}} sei mit der durch die Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, ferner sei der Halbraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | H_{\leq 0} || {{mengebed|x \in \R^n|x_1 \leq 0 }} || || || |SZ= }} als der {{Anführung|innere Halbraum|}} ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene {{ Zusatz/Klammer |text=also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit {{mathlk|term= H_{\leq 0} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | E || {{mengebed|x \in \R^n|x_1 {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} durch die Basis {{mathl|term= e_2 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} definierte Orientierung die {{Stichwort|Orientierung durch die äußere Normale|SZ=.}} Eine beliebige Basis {{mathl|term= v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= E |SZ=}} repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| H_+ || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das bedeutet, nach {{Anführung|außen|SZ=,}} also raus aus dem Halbraum zu zeigen| |ISZ=|ESZ= }} die Basis {{mathl|term= v,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= v |SZ=}} zuerst| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \R^n |SZ=}} die Ausgangsorientierung repräsentiert {{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist für eine Halbgerade {{ Ma:Vergleichskette |H || \R_{\geq 0} |\subseteq| \R || || |SZ= }} mit seinem einzigen Randpunkt {{math|term= \{0\} |SZ=}} folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf {{mathl|term= \{0\} |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ=, }} und {{math|term=-|SZ=}} repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| \R_- || || || |SZ= }} der entgegengesetzte Vektor {{math|term= -w |SZ=}} die Standardorientierung von {{math|term= \R |SZ=}} repräsentiert. Für den negativen Halbraum {{mathl|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} repräsentiert hingegen im Nullpunkt {{math|term= + |SZ=}} die Orientierung durch die äußere Normale| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} in einem Randpunkt {{math|term= P |SZ=}} eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum {{mathl|term= T_P (\partial M) |SZ=}} des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine {{Anführung|innere|}} und eine {{Anführung|äußere Hälfte|}} des Tangentialraumes. {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gs3s6sdwncd2hcd34itgbos8aewhc8o 768037 768036 2022-08-16T09:24:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der {{math|term= \R^n |SZ=}} sei mit der durch die Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen, ferner sei der Halbraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | H_{\leq 0} || {{mengebed|x \in \R^n|x_1 \leq 0 }} || || || |SZ= }} als der {{Anführung|innere Halbraum|}} ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene {{ Zusatz/Klammer |text=also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit {{mathlk|term= H_{\leq 0} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | E || {{mengebed|x \in \R^n|x_1 {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} durch die Basis {{mathl|term= e_2 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} definierte Orientierung die {{Stichwort|Orientierung durch die äußere Normale|SZ=.}} Eine beliebige Basis {{mathl|term= v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= E |SZ=}} repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| H_+ || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das bedeutet, nach {{Anführung|außen|SZ=,}} also raus aus dem Halbraum zu zeigen| |ISZ=|ESZ= }} die Basis {{mathl|term= v,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= v |SZ=}} zuerst| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \R^n |SZ=}} die Ausgangsorientierung repräsentiert {{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist für eine Halbgerade {{ Ma:Vergleichskette |H || \R_{\geq 0} |\subseteq| \R || || |SZ= }} mit seinem einzigen Randpunkt {{math|term= \{0\} |SZ=}} folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf {{mathl|term= \{0\} |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ=, }} und {{math|term=-|SZ=}} repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| \R_- || || || |SZ= }} der entgegengesetzte Vektor {{math|term= -w |SZ=}} die Standardorientierung von {{math|term= \R |SZ=}} repräsentiert. Für den negativen Halbraum {{mathl|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} repräsentiert hingegen im Nullpunkt {{math|term= + |SZ=}} die Orientierung durch die äußere Normale| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} in einem Randpunkt {{math|term= P |SZ=}} eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum {{mathl|term= T_P (\partial M) |SZ=}} des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine {{Anführung|innere|}} und eine {{Anführung|äußere Hälfte|}} des Tangentialraumes. {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l0x3vuyqjgugqxr4em1j422j4bx7a6z 14 142734 768054 2022-08-16T09:36:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Mehrdimensionale Analysis/Kurse]] ejp5221jy0rvwbzj3l8t2j7hqa8eof1 14 142735 768055 2022-08-16T09:37:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)]] te6du03i5jbedptzlpi353oic8iexxp 14 142736 768056 2022-08-16T09:38:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)]] te6du03i5jbedptzlpi353oic8iexxp 14 142737 768057 2022-08-16T09:39:04Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)]] te6du03i5jbedptzlpi353oic8iexxp 14 142738 768059 2022-08-16T09:40:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Sonstiges]] 6bq4mxodj3d4pn76jwxo9npwvn7g4u0 14 142739 768060 2022-08-16T09:40:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)]] te6du03i5jbedptzlpi353oic8iexxp 14 142740 768061 2022-08-16T09:41:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Sonstiges]] 6bq4mxodj3d4pn76jwxo9npwvn7g4u0 14 142741 768077 2022-08-16T10:07:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=(|Anf2=W|Anf3=e|(Weg-)zusammenhängend (MSW)}} lozepythx8ey30pwxe824ya6o2ooii5 14 142742 768159 2022-08-16T11:22:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Ringtheorie (Algebra)| ||}} 1wmpbityb1ezu7z015o5hs7lbhtacfc 14 142743 768164 2022-08-16T11:22:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Kommutative Algebra| ||}} k26idsizk304g2b0qqa05tpk176steg 14 142744 768193 2022-08-16T11:27:10Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Algebraische Topologie| ||}} 4emnpvp4f8n0m2b1eqsc5x0wyaw1w6j 14 142745 768208 2022-08-16T11:29:07Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Topologie| ||}} bpkhr1ht4zkssc05p3w5vd20w58lgnu 14 142746 768210 2022-08-16T11:29:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Mathematische Disziplinen| ||}} 0w4wkf71sio0947l31ytjrswiu7uilm 14 142747 768243 2022-08-16T11:34:27Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der eindimensionalen noetherschen Integritsbereiche| ||}} 1j9d83p38sgccj5nrdisw17uw633lj0 14 142748 768249 2022-08-16T11:34:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der eindimensionalen kommutativen Ringe| ||}} b59bxi9pw12tvh4ny15fh6bdtj95v5p 14 142749 768344 2022-08-16T11:48:12Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der semilokalen Ringe| ||}} ll81ifpxqxhjlwlojwwzz50t2tn6e0t 14 142750 768363 2022-08-16T11:50:41Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der Restklassenbildung| ||}} 7zshm0593na43p6xigs55xjc56snzoc 14 142751 768381 2022-08-16T11:53:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der Schemata| ||}} eh9fbi6ylr2ypk6opnkeakrdldn2a5o