Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 0 14946 748756 664465 2022-08-10T13:32:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und seien {{mathl|term=b_1 {{kommadots|}} b_n|SZ=}} und {{mathl|term=c_1 {{kommadots|}} c_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=K |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=.}} Der Basiswechsel werde durch {{ Ma:Vergleichskette |c ||Tb || || || |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |T || {{makl| t_{ij} |}}_{ij} || || || |SZ= }} beschrieben. Dann gilt für die {{ Definitionslink |Diskriminanten| |Definitionsseitenname= Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (c_1 {{kommadots|}} c_n) || (\det( T))^2 \triangle (b_1 {{kommadots|}} b_n) || || || |SZ=. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basiswechsel |Faktname= |Abfrage=Transformation der Diskriminante |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mz14jktgru2qcanae0v6o5r8jg2hoje 0 17185 748748 485361 2022-08-10T13:27:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term=\Q \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term=n|SZ=}} und sei {{math|term=R|SZ=}} der zugehörige Zahlbereich. Sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenes Ideal in {{math|term=R|SZ=.}} Seien {{mathl|term=b_1 {{kommadots|}} b_n \in {{ideala|}}|SZ=}} Elemente, die eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} bilden und für die der Betrag der Diskriminante {{ math/disp|term= \triangle(b_1 {{kommadots|}} b_n) |SZ= }} unter all diesen Basen aus {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} minimal sei. Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || \Z b_1 {{plusdots|}} \Z b_n || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mkujamnm0xiewo7uc631azkexueysbe 0 18370 748801 536435 2022-08-10T14:19:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Normalisierung besitzt die {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathind|T^m|m \in \N|SZ=,}} und der Monoidring {{mathl|term=K[M]}} besitzt die {{math|term=K|SZ=-}}Basis {{mathind|T^m|m \in M|SZ=.}} Daher besitzt der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[T]/K[M]}} die {{math|term=K|SZ=-}}Basis {{mathind|T^m|m \in \N \setminus M|SZ=.}} Die Dimension des Restraumes ist die Anzahl der Elemente einer Basis, und diese Anzahl ist die Anzahl der Lücken, also der {{ Definitionslink |Prämath= |Singularitätsgrad| |Kontext=monomiale Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=M|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Singularitätsgrad |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptxip394y9bk95d3gcwi1aj0ah4d713 0 18806 748848 224246 2022-08-10T14:56:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f\colon X \to Y }} zwischen Teilmengen {{math|term= X\subseteq {\mathbb R}^m, Y\subseteq {\mathbb R}^n }} ist eine {{Definitionswort|topologische Äquivalenz|SZ=,}} wenn es eine stetige Abbildung {{math|term= g\colon Y \to X }} gibt, so dass die Gleichungen {{math|term= g \circ f = \mathrm{id}_X }} und {{math|term= f \circ g = \mathrm{id}_Y }} gelten. |Textart=Definition |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Topologische Äquivalenz |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} clddoa3ml1efdifnjtuc6frmlvtefaq 10 18918 748838 748569 2022-08-10T14:49:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}|mr|[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> 0srchtlx5ujb64zzpbpmtimh9hwpsye 748946 748838 2022-08-10T17:50:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}||[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> hnfgftel4po527w32bhd4zgnqkoxxuy 748947 748946 2022-08-10T17:51:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}|m|[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> ji2rx7u6fa5ad5deacobtlovrzsebpi 748961 748947 2022-08-11T07:10:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}|Hesse|[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> i78yix6ei434uiw5oqufa0079336v1u 0 20930 748829 542765 2022-08-10T14:41:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der Durchschnitt {{mathl|term=C \cap D|SZ=}} besteht nur aus endlich vielen Punkten. Wir können daher {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Projektiver Raum/Unendlicher Körper/Endlich viele Punkte in affiner Umgebung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} annehmen, dass alle Schnittpunkte in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Affine Ebene|K}} ||D_+(Z) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || || |SZ= }} liegen. Es seien {{mathkon|\tilde{F}|und|\tilde{G}|SZ=}} die inhomogenen Polynome aus {{mathl|term=K[X,Y]|SZ=,}} die die affinen Kurven {{mathkon|C \cap {{op:Affine Ebene|K}}|und|D \cap {{op:Affine Ebene|K}}|SZ=}} beschreiben. Damit ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |\sum_{P \in {{op:Projektive Ebene|K}} } {{op:Schnittmultiplizität|F|G|P}} || \sum_{ P \in {{op:Affine Ebene|K}} } {{op:Schnittmultiplizität|\tilde{F}|\tilde{G}|P}} || \sum_{ P \in {{op:Affine Ebene|K}} } {{op:Vektorraumdimension|K[X,Y]_{{{idealm|}}_P}/(\tilde{F},\tilde{G})}} ||{{op:Vektorraumdimension|K[X,Y]/ (\tilde{F},\tilde{G})}} || |SZ=. }} Dabei beruht die letzte Gleichung auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ=. }} Wir wollen die {{math|term=K|SZ=-}}Dimension dieses inhomogenen Restklassenrings mit der Dimension einer Stufe des homogenen Restklassenrings {{mathl|term=(K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell|SZ=}} in Verbindung bringen. Von letzterer wissen wir aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Dimension von Stufe im homogenen Restklassenring/Fakt |Refname= {{{ref2|Fakt}}} |SZ=, }} dass sie für {{math|term=\ell|SZ=}} hinreichend groß gleich {{math|term=mn|SZ=}} ist. Wir wählen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_{mn} |SZ=}} von {{mathl|term= (K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term=\ell|SZ=}} hinreichend groß und fixiert| |ISZ=|ESZ= }} und behaupten, dass die Dehomogenisierungen {{mathl|term=v_i=V_i(X,Y,1)|SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= K[X,Y]/(\tilde{F},\tilde{G}) |SZ=}} bilden. Dazu sei {{mathl|term=q \in K[X,Y]|SZ=}} beliebig vorgegeben mit Homogenisierung {{mathl|term=Q \in K[X,Y,Z] |SZ=}} vom Grad {{math|term=d|SZ=.}} Sei {{math|term=e|SZ=}} so gewählt, dass {{ Ma:Vergleichskette | d+e |\geq| \ell || || || |SZ= }} ist. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Injektivität der Multiplikation mit Z im homogenen Restklassenring/Fakt |Refname= {{{ref3|Fakt}}} |SZ= }} sind die Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term= \lambda \geq 1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ ma:abbele/disp |(K[X,Y,Z]/(F,G))_\ell|(K[X,Y,Z]/(F,G))_{\ell+\lambda} |H|Z^{\lambda} H |SZ=, }} injektiv und daher auch bijektiv, da die Dimensionen übereinstimmen. Insbesondere bilden die {{ mathbed|term= Z^\lambda V_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} mn ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis von {{mathl|term= {{makl| K[X,Y,Z]/(F,G) |}}_{\ell + \lambda}|SZ=.}} Es gibt dann also eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette | Z^{e}Q ||\sum_{i {{=}} 1}^{mn} a_i Z^{d+e-\ell} V_i || || || |SZ=. }} Durch Dehomogenisieren ergibt sich daraus sofort eine Darstellung für {{math|term=q|SZ=.}} Zum Nachweis der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Unabhängigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i{{=}}1}^{mn} a_i v_i || 0 || || || |SZ= }} angenommen, so dass in {{mathl|term=K[X,Y]|SZ=}} eine Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=}} 1}^{mn} a_i v_i || {{op:Dehomogenisierung|A|}} {{op:Dehomogenisierung|F|}} + {{op:Dehomogenisierung|B|}} {{op:Dehomogenisierung|G|}} || || || |SZ= }} vorliegt. Dabei setzen wir {{math|term= {{op:Dehomogenisierung|A|}} , {{op:Dehomogenisierung|B|}} |SZ=}} als Dehomogenisierung von zwei homogenen Polynomen {{mathl|term=A,B \in K[X,Y,Z]|SZ=}} an. Somit liegen zwei homogene Ausdrücke {{ Zusatz/Gs |text=nämlich {{mathlk|term= \sum_{i=1}^{mn} a_iV_i|SZ=}} und {{mathlk|term=AF+BG|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} vor, deren Dehomogenisierungen übereinstimmen. Durch geeignete Wahl von {{mathl|term=r,s,t|SZ=}} können wir annehmen, dass {{ mathkor|term1= \sum_{i=1}^{mn} a_i Z^rV_i |und|term2= Z^sAF +Z^t BG |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=homogen sind und| |ISZ=|ESZ= }} den gleichen Grad besitzen. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Polynomring/Dehomogenisierung/Gleichheit und gleicher Grad/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dann bereits {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i {{=|}} 1}^{mn} a_i Z^rV_i || Z^sAF +Z^t BG || || || |SZ=. }} Diese Gleichung bedeutet {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{i {{=}} 1}^{mn} a_i Z^rV_i || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= K[X,Y,Z]/(F,G)|SZ=,}} woraus sich {{ Ma:Vergleichskette |a_i ||0 || || || |SZ= }} ergibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nu4l0fvzpgukkbxdey37laq7y3gb4h1 0 22364 749032 700854 2022-08-11T11:19:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Abbildung/Situation|SZ=.}} Dann heißt {{math|term= F |SZ=}} {{ Auflistung3 |{{Definitionswort|injektiv|SZ=,}} wenn für je zwei verschiedene{{{zusatz1|}}} Elemente {{ Ma:Vergleichskette |x,x' |\in|L || || || |SZ= }} auch {{ mathkor|term1= F(x) |und|term2= F(x') |SZ= }} verschieden sind. |{{Definitionswort|surjektiv|SZ=,}} wenn es für jedes {{ Ma:Vergleichskette |y |\in|M || || || |SZ= }} mindestens ein Element {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|L || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x) ||y || || || |SZ= }} gibt. |{{Definitionswort|bijektiv|SZ=,}} wenn {{math|term= F |SZ=}} sowohl injektiv als auch surjektiv ist. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Injektiv Surjektiv Bijektiv |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Injektive surjektive bijektive |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t0beze94wyfrvg1iv6xgqgx0kv6i1ft 0 24639 748789 565208 2022-08-10T14:09:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ=äquivalent |Situation= {{Körpererweiterung Element/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung5 |{{math|term=f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |algebraisch| |Definitionsseitenname= Algebra/Algebraische Elemente/Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} |Es gibt ein {{ Definitionslink |normiertes Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= P \in K[X] |mit|bedterm1= P(f) =0 |SZ=. }} |Es besteht eine {{ Definitionslink |lineare Abhängigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den Potenzen {{ math/disp|term= f^0=1,f^1=f,f^2 , f^3, \ldots |SZ=. }} |Die von {{math|term=f|SZ=}} über {{math|term=K|SZ=}} erzeugte {{math|term=K|SZ=-}}Algebra {{mathl|term=K[f] |SZ=}} hat endliche {{math|term=K|SZ=-}}Dimension. |{{math|term=f|SZ=}} liegt in einer {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=-}}Algebra {{ Ma:Vergleichskette |M |\subseteq|L || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung von algebraischen Elementen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fz6tjqd6sjlmakoq2i2uhq2fzuo2n2p 2 27209 749006 746815 2022-08-11T08:32:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{:Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Kursaufbau/Reihenfolge|Kursname=Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I)}} 99wn0iy3d2e4q9wsm0htwhp1b09vgjg 0 28890 748923 620621 2022-08-10T16:01:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= Eine {{ Definitionslink |beschränkte| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |monotone| |Kontext=folge ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=\R|SZ=}} |Übergang= |Folgerung= {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Beschränkte monotone reelle Folge ... |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2dqn4nexvxsi2lvlib8fgnmezalfdh8 0 29703 748833 449688 2022-08-10T14:44:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} mit endlicher {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=n= {{op:dim vr|V|}} |SZ=.}} Es seien {{math|term=n|SZ=}} Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in {{math|term=V|SZ=}} gegeben. Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |{{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} |{{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} bilden ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} |{{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} sind {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tiare35u97e90bwuklxez3n0a55fcmh 0 30983 748761 614347 2022-08-10T13:38:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es sei {{math|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition| |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{math|term= {{liste1n|w}} |SZ=}} eine Familie von Vektoren in {{math|term=W|SZ=.}} a) Zeige{{n Sie}}, dass es maximal eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname=/Definition| |SZ= }} {{Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} mit {{math|term=\varphi(v_i) = w_i|SZ=}} für alle {{math|term=i|SZ=}} geben kann. b) {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit {{math|term=\varphi(v_i) = w_i |SZ=}} für alle {{math|term=i|SZ=}} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=2 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 444j6fagin97zagzyvfpt5bz52l0cde 0 31200 748998 631335 2022-08-11T08:06:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei zunächst {{math|term=T|SZ=}} abgeschlossen und eine Folge {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Folge|x}} |\in| T || || || |SZ= }} gegeben, die in {{math|term={{{M|M}}}|SZ=}} gegen {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|{{{M|M}}} || || || |SZ= }} konvergiert. Wir müssen zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|T || || || |SZ= }} ist.{{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Angenommen, dies wäre nicht der Fall. |Argumentation= Dann liegt {{math|term=x |SZ=}} im offenen Komplement von {{math|term=T|SZ=}} und daher gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} derart, dass der gesamte {{math|term=\epsilon|SZ=-}}{{ Definitionslink |Ball| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} im Komplement von {{math|term= T |SZ=}} liegt. Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | T \cap {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} || \emptyset || || || |SZ=. }} Da die Folge aber gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergiert, gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} derart, dass alle Folgenglieder {{ mathbed|term= x_n ||bedterm1= n \geq n_0 ||bedterm2= |SZ=, }} zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in {{math|term= T |SZ=}} liegen, |Widerspruch= ist dies ein Widerspruch. |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie=Sei nun {{math|term= T |SZ=}} nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in {{math|term= T |SZ=}} konstruieren, die in {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=}} konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu {{math|term= T |SZ=}} gehört. |Teilbeweis= Da {{math|term= T |SZ=}} nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement {{ Ma:Vergleichskette |U |{{defeq}}|{{{M|}}} \setminus T || || || |SZ= }} nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|U || || || |SZ= }} derart, dass in jedem {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Ball von {{math|term= x |SZ=}} auch Punkte außerhalb von {{math|term= U |SZ=,}} also in {{math|term= T |SZ=}} liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} der Durchschnitt {{ Ma:Vergleichskette/disp | T \cap {{op:Offener Ball|x|\frac{1}{n} }} | \neq | \emptyset || || || |SZ=. }} Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element {{math|term= x_n |SZ=}} und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in {{math|term= T |SZ=.}} Die Folge konvergiert gegen {{math|term= x |SZ=,}} da man sich hierzu auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |\epsilon ||1/n || || || |SZ= }} beschränken kann und alle Folgenglieder {{ mathbed|term= x_m ||bedterm1= m \geq n ||bedterm2= |SZ=, }} in {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Offener Ball|x|\frac{1}{m} }} |\subseteq| {{op:Offener Ball|x|\frac{1}{n} }} || || || |SZ= }} liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und {{ Ma:Vergleichskette |x |\notin|T || || || |SZ= }} ist, konvergiert die Folge in {{math|term= T |SZ=}} nicht. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6y5m72u6rl96epbquz51ou87sev17xl 0 31205 748952 722267 2022-08-10T18:19:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und sei {{mathl|term={{op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term={{{M|M}}}|SZ=.}} Man sagt, dass die Folge gegen {{ Ma:Vergleichskette |x |\in| {{{M|M}}} || || || |SZ= }} {{Definitionswort|konvergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem {{ mathbed|term= \epsilon \in \R ||bedterm1= \epsilon > 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |n_0 |\in|\N || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|x_n|x}} | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} gilt. In diesem Fall heißt {{math|term=x|SZ=}} der {{Definitionswort|Grenzwert|SZ=}} oder der {{Definitionswort|Limes|SZ=}} der Folge. Dafür schreibt man auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|}} || x || || || |SZ=. }} Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie {{Definitionswort|konvergiert|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf einen Grenzwert| |ISZ=|ESZ=, }} andernfalls, dass sie {{Definitionswort|divergiert|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konvergente Folge (metrischer Raum) |Definitionswort2=Limes |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12neqgjcckhz9q080tbk5kbutenfhfh 0 31207 748883 389979 2022-08-10T15:26:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} heißt {{Definitionswort|zusammenhängend|SZ=,}} wenn es genau zwei Teilmengen von {{math|term=X|SZ=}} gibt {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{ mathkor|term1= \emptyset |und|term2= X |SZ= }} selbst| |ISZ=|ESZ=, }} die sowohl {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als auch {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zusammenhängend |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0c4puafq1w4m0q49nffzd0kh6dnv8ke 0 31213 748925 722270 2022-08-10T16:02:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |reellen Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |A |\subseteq| T || || || |SZ= }} eine in {{math|term=T|SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge. |Übergang= |Folgerung= Wenn das {{ Definitionslink |Supremum| |Kontext=ang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:sup|A|}} |SZ=}} in {{math|term=T|SZ=}} existiert, so ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:sup|A|}} |\in| A || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Supremum zu abgeschlossenen Mengen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78nneinxi6imf2rm64l3s12a3zzipm8 0 31217 748926 722284 2022-08-10T16:03:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Stetige Abbildung metrisch/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |S |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist auch das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f(S) |SZ= }} zusammenhängend. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Bilder zusammenhängender Räume |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn2rqfgspvvq3l556n46xp7bbdt9nex 10 31218 748927 722285 2022-08-10T16:03:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{{L|L}}} |und|term2= {{{M|M}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name={{{f|f}}} |{{{L|L}}}|{{{M|M}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} snzmx1t8u9l1jjf5144zvvao5en86x5 0 31237 748905 646768 2022-08-10T15:45:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und seien {{ Definitionslink |Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=f_i |{{{M|M}}}| {{KRC/{{{K|K}}}|}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term= {{laufi|1|m}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gegeben mit der zusammengesetzten Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{{M|M}}}| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^m |x| {{tupel|f_1(x)|\ldots| f_m(x)}} |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn alle Komponentenfunktionen {{math|term=f_i|SZ=}} stetig sind. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Produkt |Faktname= |Abfrage=Stetigkeit von Komponentenfunktionen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ooaq82jwuop05x4agbid8qda8kthnu9 0 31269 748951 707678 2022-08-10T18:19:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{op:Folge|a|n={{{k|k}}}}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter der {{Definitionswort|Reihe|SZ=}} {{mathl|term= {{op:Reihe|}} |SZ=}} versteht man die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|s}} |SZ=}} der {{Definitionswort|Partialsummen|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |s_n || {{op:Partialsumme|a}} || || || |SZ=. }} Falls die Folge {{mathl|term= {{op:Folge|s}} |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so sagt man, dass die {{Definitionswort|Reihe konvergiert|msw=Konvergente Reihe|SZ=.}} In diesem Fall schreibt man für den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ebenfalls {{ math/disp|term= {{op:Reihe|a}} |SZ= }} und nennt ihn die {{Definitionswort|Summe|SZ=}} der Reihe. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Reihe |Definitionswort2=Partialsumme |Definitionswort/englisch=Series |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} [[Kategorie:Folgen und Reihen]] k418f7nwsox6xs6jtwm7rmvqytiacde 0 31562 748924 246077 2022-08-10T16:02:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R_{\geq 0} |\R_{\geq 0} |x| \sqrt{x} |SZ=, }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stetig |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2pzjefzx070pcgnhkwkcq2xmmnsrp2d 10 31631 748903 252454 2022-08-10T15:44:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} | {{{L|L}}}| {{{M|M}}} |x|{{{f|f}}}(x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |metrischen Räumen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stetig |Autor= |Bearbeitungsstand= }} myzv2p8af77o05qpw60epty4qr067fo 0 31718 748938 522557 2022-08-10T16:48:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|adj=nichtleere|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | d_T(x) | {{defeq|}} | {{op:inf|d(x,y)|y \in T}} || || || |SZ= }} eine wohldefinierte, {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |{{{M|M}}} |\R || |SZ= }} gegeben ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1heu4kbm92uqs41ut0vrf3mgig7kt3d 0 31760 748904 735651 2022-08-10T15:44:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Metrischer Raum Teilmenge Berührpunkt/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |T|{{{L|L}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen weiteren metrischen Raum {{math|term={{{L|L}}}|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| {{{L|L}}}| || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Die Abbildung {{math|term=f|SZ=}} besitzt in {{math|term=a|SZ=}} den {{ Definitionslink |Grenzwert| |Kontext=abb mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=b|SZ=.}} |Zu jeder {{ Definitionslink |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq {{{L|L}}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | b |\in| V || || || |SZ= }} gibt es eine offene Menge {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq | {{{M|M}}} || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| U || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette | f(U \cap T) | \subseteq |V || || || || |SZ=. }} |Für jede Folge {{mathl|term= {{op:Folge|x}} |SZ=}} in {{math|term=T|SZ=,}} die gegen {{math|term=a|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} konvergiert die {{ Definitionslink |Bildfolge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=f(x_n)}} |SZ=}} gegen {{math|term=b|SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Grenzwert |Faktname= |Abfrage=Charakterisierungen des Grenzwerts einer Abbildung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g2zpa27wjo63hprvhpypp0c76em0vcc 10 31778 748902 252402 2022-08-10T15:43:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{{L|L}}} |und|term2= M |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=T \subseteq {{{L|L}}}|SZ=}} eine Teilmenge und {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} | {{{T|T}}}| {{{M|M}}} |x|{{{f|f}}}(x) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Stetig |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bolf10gse8a50wnybbjg94sh9d9xwbw 0 32570 748915 707737 2022-08-10T15:55:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{KRC|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge, {{ Ma:abb/disp |name=f |U| {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{math|term=\infty|SZ=-}}oft {{ Definitionslink |differenzierbare| |Kontext=höher K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|U || || || |SZ=. }} Dann heißt {{ math/disp|term= {{op:taylorreihe|f|a|x}} |SZ= }} die {{Definitionswort|Taylor-Reihe|SZ=}} zu {{math|term=f|SZ=}} im Entwicklungspunkt {{math|term=a|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Taylor-Reihe in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Taylor-Reihe |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Taylor series |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hijmxtg6ysh2qt61prc2bkao6xchvuq 0 33621 748913 722239 2022-08-10T15:53:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | I || [1, \infty] || || || |SZ= }} ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und sei {{ Ma:abb/disp |name=f |I|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |fallende Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | f(x) |\geq| 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|I || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann existiert das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Integral|1|\infty|f}} |SZ= }} genau dann, wenn die {{ Definitionslink |Reihe| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{n=1}^\infty f(n) |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=reihe R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2=Theorie der reellen Reihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4se4l0ffae5cv7rhxzvzvt6clky97gq 0 33816 748909 695238 2022-08-10T15:49:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{G|G}}} |\subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |{{{G|G}}}|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{P|P}}} |\in|{{{G|G}}} || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |Z || \varphi^{-1}(\varphi( {{{P|P}}})) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Faser durch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{{P|P}}}|SZ=.}} |Voraussetzung= Das {{ Definitionslink |totale Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|{{{P|P}}} }} |SZ=}} sei {{ Definitionslink |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine offene Menge {{ mathbed|term= {{{P|P}}} \in {{{W|W}}} ||bedterm1= {{{W|W}}} \subseteq {{{G|G}}} ||bedterm2= |SZ=, }} eine offene Menge {{ Ma:Vergleichskette |{{{V|V}}} | \subseteq | \R^{n-m} || || || || |SZ= }} und eine stetig differenzierbare Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\psi |{{{V|V}}}|{{{W|W}}} || |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette | \psi({{{V|V}}}) | \subseteq | Z \cap {{{W|W}}} || || || || |SZ= }} ist und {{math|term=\psi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\psi |{{{V|V}}}|Z \cap {{{W|W}}} || |SZ= }} induziert. |Zusatz=Die Abbildung {{math|term=\psi|SZ=}} ist in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |Q |\in|V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und für das {{ Definitionslink |totale Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\psi|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|\varphi| \psi(Q)}} \circ {{op:Totales Differential|\psi|Q}} ||0 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Der Satz über implizite Abbildungen |Stichwort= |Abfrage= |MSW=Satz über implizite Funktionen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yt0xs3d18j6xpc3lgqkh9op8tqnhg1 0 34049 748930 695354 2022-08-10T16:07:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Reeller Vektorraum/Vektorfeld/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei und {{ Definitionslink |lokal einer Lipschitz-Bedingung| |Definitionsseitenname= Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition |SZ= }} genüge. |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | (t_0,w) |\in| I \times U || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= J |mit|bedterm1= t_0 \in J \subseteq I ||bedterm2= |SZ= }} derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige {{ Definitionslink |Lösung für das Anfangswertproblem| |Kontext=System| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w |SZ= }} existiert. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Picard-Lindelöf |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Der Satz von Picard-Lindelöf |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bys5ux8kw964h3m8kma75lsj5t0lrkr 0 34103 748870 633612 2022-08-10T15:12:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq|\R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name={{{h|h}}} |I \times U|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{(n)} || {{{h|h}}} {{makl| t,y ,y' ,y^{\prime \prime} {{kommadots|}} y^{(n-1)} |}} || || || |SZ= }} eine {{Definitionswort|Differentialgleichung der Ordnung|SZ=}} {{math|term=n|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen höherer Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differentialgleichung der Ordnung n |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k83rffso49wbyq0zxuwhhttjg4fmlea 0 35738 748917 640694 2022-08-10T15:56:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |G|W || |SZ= }} eine Abbildung und {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Dann heißt {{math|term={{{f|f}}}|SZ=}} {{Definitionswort|differenzierbar in Richtung|msw=differenzierbar in eine Richtung|SZ=}} {{math|term=v|SZ=,}} falls {{math|term={{{f|f}}}|SZ=}} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} in Richtung {{math|term=v|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Definitionsseitenname= Richtungsableitung/Punkt/Definition |SZ= }} ist. In diesem Fall heißt die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name={{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}}||v}} |G|W |P| {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}}|P|v}} |SZ=, }} die {{Definitionswort|Richtungsableitung}} von {{math|term= {{{f|f}}} |SZ=}} in Richtung {{math|term=v|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Richtungsableitung |Definitionswort2=Differenzierbar in eine Richtung |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} k12zd4vv9v3sbyrnh23jzwcuukzly8n 0 35740 748866 726677 2022-08-10T15:09:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} | G|{{KRC/{{{K|K}}}|}}^m |(x_1 {{kommadots|}} x_n)| {{{f|f}}} (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{=|}} (f_1 (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots}} f_m(x_1 {{kommadots|}} x_n)) |SZ=, | }} gegeben. Dann heißt {{math|term={{{f|f}}}|SZ=}} {{Definitionswort|partiell differenzierbar|SZ=,}} wenn {{math|term={{{f|f}}}|SZ=}} in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |partiell differenzierbar| |Kontext=Punkt {{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. In diesem Fall heißt die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name={{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}|x_i|}} | G | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^m |P| {{op:Partielle Ableitung| {{{f|f}}}|x_i|P}} {{=|}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung|f_1|x_i|P}} {{kommadots|}} {{op:Partielle Ableitung|f_m|x_i|P}} |}} |SZ=, }} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Definitionswort|partielle Ableitung|msw=|SZ=}} von {{math|term={{{f|f}}}|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Partiell differenzierbar |Definitionswort2=Partielle Ableitung |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} 7e2hpztz62a458bhs19ujxdbkuh3x6e 0 35764 748886 646804 2022-08-10T15:28:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass eine {{ Definitionslink |polynomiale Funktion| |Kontext=n {{{K|K|}}} | |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n | {{KRC/{{{K|K}}}|}} |(x_1 {{kommadots|}} x_n) |f(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=, }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (K) |Kategorie2=Theorie der stetigen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h25b9eonso0rykvqd5pjplfupn8uakp 0 35776 748908 740370 2022-08-10T15:48:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}}|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name={{{f|f}}} |G|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| V || || || |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term={{{f|f}}}|SZ=}} {{math|term=n|SZ=-}}mal {{Definitionswort|stetig differenzierbar|SZ=}} ist, wenn für jede Auswahl {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_{n} |SZ=}} von {{math|term=n|SZ=}} Vektoren aus {{math|term=V|SZ=}} die {{ Definitionslink |höhere Richtungsableitung| |Kontext={{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Richtungsableitung|(... {{op:Richtungsableitung| ({{op:Richtungsableitung|{{{f|f}}}||v_1}}) \ldots ||v_2}}) ||v_n}} |SZ= }} in Richtung {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_{n} |SZ=}} existiert und {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=n-mal stetig differenzierbar |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mhuza8ymxdwyyuxjstc1wokt0fnoxzd 0 35784 748918 693604 2022-08-10T15:57:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name={{{f|f}}} | G| {{KRC/{{{K|K}}}|}} ^m |(x_1 {{kommadots|}} x_n)|{{{f|f}}}(x_1 {{kommadots|}} x_n) {{=|}} (f_1 (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots}} f_m(x_1 {{kommadots|}} x_n)) |SZ=, | }} gegeben, die in {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |partiell differenzierbar| |Kontext=Punkt {{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. Dann heißt die Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Jak}({{{f|f}}} )_P | {{defeq|}}| {{op:Jacobimatrix|n|m|{{{f|f}}}|x|P}} || || || |SZ= }} die {{Definitionswort|Jacobi-Matrix|SZ=}} zu {{math|term={{{f|f}}}|SZ=}} im Punkt {{math|term=P|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Jacobi-Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} fikan0ijgrskjg3cqjr8zhsvsr80817 0 36120 748888 510959 2022-08-10T15:30:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=(V, {{op:Bilinearform|-|-}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term= {{{G|G}}} \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=P \in G|SZ=}} ein Punkt und {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{G|G}}}|\R || |SZ= }} eine in {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ mathkor|term1= f |und|term2= {{op:Totales Differential|f|P}} |SZ= }} im Punkt {{math|term=P|SZ=}} den gleichen {{ Definitionslink |Gradienten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0vn82rovjs8o9djildtejdz9samc6pq 0 36162 748901 726676 2022-08-10T15:43:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abb/disp |name=f |G|\R| || |SZ= }} |Voraussetzung= eine {{math|term=(k+1)|SZ=-}}mal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=R n höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |v |\in| \R^n || || || |SZ= }} derart, dass die Strecke von {{ mathkor|term1= P |nach|term2= P+v |SZ= }} ganz in {{math|term=G|SZ=}} liegt. Dann gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette |c |\in| [0,1] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | f(P+v) || \sum_{ {{op:Tupelgrad|r|}} \leq k } {{op:Bruch|1|r!}} D^r f(P) \cdot v^r + \sum_{ {{op:Tupelgrad|r|}} {{=|}} k+1 } {{op:Bruch|1|r!}} D^r f(P+cv) \cdot v^r || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Taylor-Formel in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Taylor-Formel |Stichwort=Richtung |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spvh8u1lf9uexdtwd50lvc39iff297t 0 36229 748884 223077 2022-08-10T15:26:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} heißt {{Definitionswort|vollständig|msw=Vollständiger metrischer Raum|SZ=,}} wenn jede {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=M|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der vollständigen metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vollständiger metrischer Raum |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tsdo2kozi8nma7pwabk4ga7ss55uas9 0 36362 748869 695236 2022-08-10T15:12:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine in {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=R total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=P|SZ=}} ein {{Definitionswort|regulärer Punkt|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Rang| {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || {{op:min| {{op:Vektorraumdimension|K=|V}} | {{op:Vektorraumdimension|K=|W}} }} || || || |SZ= }} ist. Andernfalls heißt {{math|term=P|SZ=}} ein {{Definitionswort|kritischer Punkt|SZ=}} oder ein {{Definitionswort|singulärer Punkt|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Regulärer Punkt |Definitionswort2=Kritischer Punkt |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdc1byq471zizd144cd7fhvhlwenz2n 0 36367 748907 647166 2022-08-10T15:47:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R^2|\R^2 |(x,y)|(x^2-y,x+xy) |SZ=. }} Diese Abbildung ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P ||(x,y) || || || |SZ= }} ist {{ math/disp|term= {{op:Matrix22|2x|-1|1+y|x}} |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} davon ist {{ math/disp|term= 2x^2+1+y |SZ=, }} so dass die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp |y |\neq|-2x^2-1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |regulären Punkte| |Kontext=Rang| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des {{ Faktlink |Satzes über die lokale Umkehrbarkeit|Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} lokal eine {{ Definitionslink |Bijektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, d.h. es gibt {{ Definitionslink |offene Umgebungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= U_1 |und|term2= U_2 |SZ= }} von {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |eingeschränkte Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 || |SZ= }} bijektiv ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung| |ISZ=|ESZ=. }} Wie groß kann dabei {{math|term=U_1|SZ=}} gewählt werden? Wir beschränken uns auf {{ Definitionslink |offene Ballumgebungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(0,0)|r}} |SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |r |>|1 || || || |SZ= }} enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form {{ math/disp|term= ( \pm x,-1) |SZ=. }} Diese werden unter {{math|term=\varphi|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi( \pm x, -1) || {{op:Zeilenvektor|x^2-(-1)| x+x(-1) }} || {{op:Zeilenvektor|x^2+1|0 }} || || |SZ= }} abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben. Betrachten wir hingegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_1 || {{op:Offener Ball|(0,0)|1}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_2 | {{defeq|}} | \varphi(U_1) || || || |SZ= }} Da {{math|term=U_1|SZ=}} keine {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} enthält, ist nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Abbildung/Überall bijektives Differential/Bild offen/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das {{ Definitionslink |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=U_2|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die eingeschränkte Abbildung {{ Ma:abb |name=\varphi {{|}}_{U_1} |U_1|U_2 || |SZ= }} ist nach Definition von {{math|term=U_2|SZ=}} {{ Definitionslink |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} so dass nur die {{ Definitionslink |Injektivität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu untersuchen ist. Das Gleichungssystem {{ mathkor/disp|term1= x^2-y = u |und|term2= x+xy = v |SZ= }} führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || x^2 - u || || || |SZ= }} und auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | x (1+x^2 -u) || x^3 + (1-u)x || v || || |SZ=. }} Seien {{ mathkor|term1= (x,y) |und|term2= (\tilde{x},\tilde{y}) |SZ= }} aus {{mathl|term= {{op:Offener Ball|(0,0) |1}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(x,y) || \varphi( \tilde{x} , \tilde{y}) || || || |SZ= }} gegeben. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3+(1-u)x || v || \tilde{x}^3 + (1-u) \tilde{x} || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || x^3 - \tilde{x}^3 + (1-u) (x- \tilde{x} ) || (x- \tilde{x} ) {{makl|x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u |}} || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x || \tilde{x} || || || |SZ= }} folgt direkt {{ Ma:Vergleichskette |y || \tilde{y} || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |x | \neq | \tilde{x} || || || |SZ= }} muss {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^2+x \tilde{x} + \tilde{x}^2 + 1-u ||0 || || || |SZ= }} sein. Dies bedeutet {{ Ma:Vergleichskette |y || x^2-u || - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 || || |SZ= }} und ebenso {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{y} || -x \tilde{x} -x^2 -1 || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(y+1) ||v || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |y+1 |>| 0 || || || |SZ= }} müssen {{ mathkor|term1= x |und|term2= v |SZ= }} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch {{ mathkor|term1= x |und|term2= \tilde{x} |SZ= }} das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber {{ Ma:Vergleichskette/disp |y || - x \tilde{x} - \tilde{x}^2 -1 |\leq|-1 || || |SZ=, }} so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius {{math|term=1|SZ=}} keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die {{ Definitionslink |Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= x^3 + (1-u)x |SZ=}} nach {{math|term=x|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | 3x^2 + (1-u) || 3x^2 +1 - (x^2-y) || 2x^2 +1 +y || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/k | {{op:Betrag|y|}} |<| 1 || || || |SZ= }} ist dies positiv. Somit ist {{mathl|term= x^3 + (1-u)x |SZ=}} {{ Definitionslink |streng wachsend| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=x|SZ=}} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Reelle Funktion/Ableitung/Monotonieverhalten/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | (u,v) |\in| U_2 || || || |SZ= }} nur ein {{math|term=x|SZ=,}} das die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x^3 + (1-u)x || v || || || |SZ= }} erfüllt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |y ||x^2-u || || || |SZ= }} ist auch die zweite Komponente {{math|term=y|SZ=}} eindeutig bestimmt| |ISZ=.|ESZ=. }} Mit {{ Ma:Vergleichskette |U_1 || {{op:Offener Ball|(0,0)|1}} || || || |SZ= }} liegt also eine Bijektion {{ Ma:abb |name= |U_1|U_2 || |SZ= }} vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qaql42201fven8wpwpn8g3mxzumoceu 0 36368 748868 641086 2022-08-10T15:11:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=G \subseteq V_1|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|V_2 || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=U \subseteq G|SZ=}} eine offene Teilmenge derart, dass für jeden Punkt {{mathl|term=P \in U|SZ=}} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |SZ=}} {{ Definitionslink |bijektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass dann das {{ Definitionslink |Bild| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \varphi(U) |SZ=}} offen in {{math|term=V_2|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über die Umkehrabbildung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Offen |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ssw72robhb96go6oy0khyae4s9y37l 0 36509 748896 397427 2022-08-10T15:38:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^n|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=F \subseteq \R^n|SZ=}} die {{ Definitionslink |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{mathl|term=P \in \R^m|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es auch eine stetige Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=\psi |\R^n|\R || |SZ= }} derart gibt, dass {{math|term=F|SZ=}} die Faser von {{math|term=\psi|SZ=}} über einem Punkt {{math|term=a \in \R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fasern von Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Eindimensional |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ny2xtd7tqu9py6l67nffy6qr3h9k74g 0 36597 748942 531439 2022-08-10T16:53:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= |I \times U|V |(t,v)|f(t,v) |SZ=, }} ein {{Stichwort|Zentralfeld|SZ=,}} d.h. ein {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f|SZ=}} vom Typ {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(t,v) || g(t,v) \cdot v || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |stetigen Funktion| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass zu einem fixierten {{mathl|term=w \in U|SZ=}} die {{ Definitionslink |Lösungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\alpha |J|\R || |SZ= }} der eindimensionalen Differentialgleichung {{ math/disp|term= y'= h(t,y) := g(t, y w ) y \text{ mit } \alpha(t_0 )=1 |SZ= }} zu Lösungen der Differentialgleichung {{ math/disp|term= v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0) = w |SZ= }} führen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Zentralfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Zentralfeld |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5y4dr910f4lkil2fzxyjya0uvpupfs 0 36611 748867 696734 2022-08-10T15:10:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=C= C^0 (T,E) |SZ=}} der Raum der stetigen Abbildungen von {{math|term=T|SZ=}} nach {{math|term=E|SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Supremumsnorm| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{mathl|term=x_1 {{kommadots|}} x_n \in T|SZ=}} und {{mathl|term= y_1 {{kommadots|}} y_n \in E|SZ=}} Punkte. Zeige{{n Sie}}, dass die Teilmenge {{ math/disp|term= {{Mengebed|f \in C| f(x_1) {{=|}} y_1 {{kommadots|}} f(x_n) {{=|}} y_n}} |SZ= }} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=C|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Supremumsnorm |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p0xca2wbx5t91n81j5to9m2ejrc7ub9 0 36746 748779 422250 2022-08-10T13:57:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Konstante Koeffizienten/Situation|SZ=.}} Dann heißt eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Lösungsraumes ein {{Definitionswort|Fundamentalsystem von Lösungen|SZ=}} dieses Systems. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fundamentalsystem |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} echengcms6362q4f6hd1xsgs6e09ci0 0 36804 748887 511498 2022-08-10T15:29:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Teilbeweis{{{opt|}}} |Text= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei {{{adj|}}} {{mathl|term=x \in M|SZ=}} ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch {{ math/disp|term= x_0=x \text{ und } x_n {{defeq}} f^n(x) {{defeq}} f(x_{n-1}) |SZ= }} {{ Definitionslink |rekursiv definierte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=M|SZ=.}} Wir setzen {{mathl|term=a= {{op:Abstand|f(x)|x}} |SZ=.}} Dann gilt für jedes {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f^{n+1}(x)|f^n(x)}} |\leq| c \cdot {{op:Abstand|f^n(x)|f^{n-1}(x)}} |\leq| c^n \cdot {{op:Abstand|f(x)|x}} || c^{n} a || |SZ=. }} Daher gilt aufgrund der {{ Definitionslink |Dreiecksungleichung| |Definitionsseitenname= Metrik/Metrischer Raum/Definition |SZ= }} und der {{ Faktlink |geometrischen Reihe|Faktseitenname= Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für {{mathl|term=n \geq m |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/align/drucklinks | {{op:Abstand|f^n(x)|f^m(x)}} |\leq| {{op:Abstand|f^{n} (x)|f^{n-1} (x)}} + {{op:Abstand|f^{n-1} (x)|f^{n-2} (x)}} {{plusdots|}} {{op:Abstand|f^{m+1} (x)|f^{m}(x)}} |\leq| a \left( c^{n-1}+c^{n-2} {{plusdots|}} c^{m+1} +c^m \right) || a c^m \left( c^{n-m-1}+c^{n-m-2} {{plusdots|}} c^{2} +c^1+1 \right) |\leq|a \sum_{i=0}^\infty c^i |=|c^m a \frac{1}{1-c} |SZ=. }} Zu einem gegebenen {{mathl|term=\epsilon >0|SZ=}} wählt man {{mathl|term=n_0|SZ=}} mit {{mathl|term=c^{n_0} a \frac{1}{1-c} \leq \epsilon|SZ=.}} Dies zeigt, dass eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorliegt, die aufgrund der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen ein {{mathl|term=y \in M|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen, dass dieses {{math|term=y|SZ=}} ein Fixpunkt ist.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die Bildfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied=f(x_n)|}} |SZ=}} konvergiert gegen {{mathl|term=f(y)|SZ=,}} da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, so dass der Grenzwert {{math|term=y|SZ=}} sein muss. |Teilabschluss= }} |Textart=Teilbeweis |Kategorie=Der Banachsche Fixpunktsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5le3xlt8e5qx0unaw07b0blpyajj2su 106 37181 748685 401359 2022-08-10T12:40:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|80| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreislinie/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Surjektive Abbildung mit Struktur/Vektorraumstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Tangentialbündel/S^1/Trivial/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgabe wird der Begriff eines {{math|term=R|SZ=-}}Moduls verwendet {{ Zusatz/Klammer |text=das ist eine direkte Verallgemeinerung des Vektorraumsbegriffes| |ISZ=|ESZ=. }} {{:Kommutative Algebra/Modul/Definition}} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfelder als Modul über Ring/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Zwei Punkte/Gemeinsame Kartenumgebung/Quadrat/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Rechenbeispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} mvphhesvqi1ktudjg6wwvafs09p90me 0 37395 748878 700437 2022-08-10T15:21:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term=\R^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{math|term=C^1|SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= C^k-Diffeomorphismus/Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(J(\varphi))(x) = {{op:Determinante| {{op:Totales Differential|\varphi|x}} |}} |SZ=}} für {{mathl|term=x \in G|SZ=.}} Es sei {{mathl|term={{{S|S}}} \subseteq G}} eine {{ Definitionslink |messbare Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{mathl|term=\varphi({{{S|S}}})|SZ=}} ebenfalls {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^n (\varphi({{{S|S}}})) ||{{op:Integralmaß| {{op:Betrag|J(\varphi)|}} | {{{S|S}}}|\lambda^n}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Die Transformationsformel |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tmf9xoj095fbxs79m8vu2sw6llb74vq 10 37407 748879 531422 2022-08-10T15:21:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term=\R^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=C^1 |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} en2bi8h5fjdjs0wijsgaogtznnwbtph 0 37626 748880 639312 2022-08-10T15:22:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen|U|k}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=k |Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || \sum_{I \subseteq \{1 {{kommadots}} n \},\, {{op:Anzahl|I|}} {{=|}} k } f_I dx_I || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |stetig differenzierbaren Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f_I |U|\R || |SZ=. }} Dann nennt man die {{math|term=(k+1)|SZ=-}}Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |d \omega || \sum_{I \subseteq \{1 {{kommadots}} n \},\, {{op:Anzahl|I|}} {{=|}} k } df_I \wedge dx_I || \sum_{I \subseteq \{1 {{kommadots}} n \},\, {{op:Anzahl|I|}} {{=|}} k } {{makl| \sum_{j {{=|}} 1}^n {{op:Partielle Ableitung|f_I|x_j}} dx_j |}} \wedge dx_I || || |SZ= }} die {{Definitionswort|äußere Ableitung|SZ=}} von {{math|term=\omega|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Äußere Ableitung von Differentialformen (lokaler Fall) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wihopy69hfzk7268r5br5c2nmpzoea 0 37628 748781 649143 2022-08-10T14:01:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term=U \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | k |\in| \N || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=d | {{symbol:Differentialformen|U|k|1}} | {{symbol:Differentialformen|U|k+1|0}} |\omega| d \omega |SZ=, }} die {{ Definitionslink |äußere Ableitung| |Kontext=lokal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Eigenschaften. |Folgerung= {{ Aufzählung5 |Die äußere Ableitung {{ Ma:abbele/disp |name=d |{{symbol:Differentialformen|U|0|1}} | {{symbol:Differentialformen|U|1|0}} || |SZ=, }} ist das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die äußere Ableitung ist {{ Definitionslink |Prämath=\R |linear| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen|U|k|1}} |SZ=}} und {{mathl|term=\tau \in {{symbol:Differentialformen|U|\ell|1}} |SZ=}} gilt die Produktregel {{ Ma:Vergleichskette/disp | d( \omega \wedge \tau) ||( d \omega) \wedge \tau + (-1)^k \omega \wedge (d \tau) || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |k ||0 || || || |SZ= }} ist dies als {{ Ma:Vergleichskette/disp | d( f \tau) ||( d f) \wedge \tau + f d \tau || || || |SZ= }} zu lesen. |Für jede zweimal stetig differenzierbare Differentialform {{math|term=\omega|SZ=}} ist {{mathl|term=d(d \omega) =0|SZ=.}} |Für eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathl|term=W \subseteq \R^m|SZ=}} offen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |W|U || |SZ= }} und jedes {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen|U|k|1}} |SZ=}} gilt für die {{ Definitionslink |zurückgezogenen Differentialformen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |d (\psi^* \omega) || \psi^* (d \omega) || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der äußeren Ableitung von Differentialformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itu5f8qnv4t48pzbs3dlpm5th5eftvu 0 37692 748767 462348 2022-08-10T13:44:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Reeller Vektorraum/Endlich/Situation|SZ=.}} Man nennt zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} und {{mathl|term=w_1 {{kommadots|}} w_n|SZ=}} {{Definitionswort|orientierungsgleich|SZ=,}} wenn die {{ Definitionslink |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ihrer {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |positiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orientierungsgleiche Basen |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qk8q8rseyzoisxz1a0p7gu8qjllgkel 0 37694 748637 554662 2022-08-10T12:00:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Reeller Vektorraum/Endlich/Situation|SZ=.}} Eine {{Definitionswort|Orientierung|SZ=}} auf {{math|term=V|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzklasse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} unter der {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |orientierungsgleich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu sein{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Bei einem {{math|term=0|SZ=-}}dimensionalen Vektorraum, also dem Nullraum, gibt es nur die leere Basis. Es ist aber dennoch sinnvoll, von zwei Orientierungen auf dem Nullraum zu sprechen, die wir durch {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ= }} repräsentieren| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orientierung (Vektorraum) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knzpd1a2v75qs0u8d8m7de7no4prgyt 0 37695 748642 467308 2022-08-10T12:04:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Reeller Vektorraum/Endlich/Situation|SZ=.}} Er heißt {{Definitionswort|orientiert|SZ=,}} wenn auf ihm eine {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklärt ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orientierter Vektorraum |Definitionswort2= |Stichwort=Orientierter Vektorraum |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyecb6iicmbrl8d3y8hoorbu40xneiw 0 37696 748638 406532 2022-08-10T12:01:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= {{{V|V}}}|SZ=}} und {{math|term=W|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |bijektive| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|orientierungstreu|SZ=,}} wenn für jede {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=,}} die die {{ Definitionslink |Orientierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=}} repräsentiert, die Bildvektoren {{mathl|term= \varphi(v_1) {{kommadots|}} \varphi(v_n) |SZ=}} die Orientierung auf {{math|term= W |SZ=}} repräsentieren. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orientierungstreue lineare Abbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71ziy3xz1of543vxwlz5gklws95023r 0 37702 748889 414810 2022-08-10T15:33:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Atlas| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(U_i, V_i, \alpha_i)|SZ=}} heißt {{Definitionswort|orientiert|SZ=,}} wenn jede Karte {{ Definitionslink |orientiert| |Kontext=Karte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und wenn sämtliche Kartenwechsel {{ Definitionslink |orientierungstreu| |Kontext=Kartenwechsel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orientierte Mannigfaltigkeit |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 43o35an6g6mpx0fyq3sixr7q5z7gzvl 0 37733 748898 693753 2022-08-10T15:40:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |W |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |W|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |M || {{mengebed| {{op:Zeilenvektor|x_1| {{kommadots|}}| x_n| \psi(x_1 {{kommadots|}} x_n) }}|(x_1 {{kommadots|}} x_n) \in W }} |\subseteq| W \times \R || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\psi|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und für die {{ Definitionslink |kanonische Volumenform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\omega|SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=}} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\operatorname{Id} \times \psi)^*(\omega) || {{makl| 1+ \sum_{i {{=|}} 1}^n {{makl| {{op:Partielle Ableitung|\psi|x_i}} |}}^2 |}}^{1/2} dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Graph |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r1j2hlxmgrcrmg5l5rsbmwj13y7bcmd 0 37794 748677 476155 2022-08-10T12:37:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten für die {{ Definitionslink |äußeren Potenzen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung4 |Die Elemente der Form {{mathl|term= v_1 {{wedgedots|}} v_n|SZ=}} mit {{mathl|term=v_i \in V|SZ=}} bilden ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=.}} |Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V^n| \bigwedge^n V |(v_1 {{kommadots|}} v_n)| v_1 {{wedgedots|}} v_n |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |multilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |alternierend| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge v \wedge w \wedge v_{i+2} {{wedgedots|}} v_n ||- v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge w \wedge v \wedge v_{i+2} {{wedgedots|}} v_n || || || |SZ=. }} |Seien {{mathl|term=u_1 {{kommadots|}} u_m \in V|SZ=}} gegeben und seien {{ Ma:Vergleichskette/disp | v_j || \sum_{i {{=}} 1}^m a_{ij} u_i || || || |SZ= }} für {{mathl|term=j=1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |v_1 {{wedgedots|}} v_n || \sum_{ (i_1 {{kommadots|}} i_n) \in \{1 {{kommadots|}} m \}^n } {{makl| \prod_{j {{=|}} 1}^n a_{i_j j} |}} u_{i_1 } {{wedgedots|}} u_{i_n} || \sum_{ 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m } {{makl| \sum_{ \pi \in S_n} {{op:Signum|\pi}} \prod_{j {{=|}} 1}^n a_{i_{\pi (j) } j} |}} u_{i_1 } {{wedgedots|}} u_{i_n} || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gtxiw4il90giw4a1emq3qssp8l1k7xl 0 37799 748716 747888 2022-08-10T13:06:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.|Teilstrategie= |Teilbeweis= &nbsp;Da die Elemente der Form {{mathl|term= w_1 {{wedgedots|}} w_n |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=}} bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes {{math|term=w_j|SZ=}} gibt es eine Darstellung {{mathl|term=w_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} v_i|SZ=,}} daher kann man nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{mathl|term=w_1 {{wedgedots|}} w_n|SZ=}} als {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Sei also {{mathl|term= v_{k_1} {{wedgedots|}} v_{k_n} |SZ=}} gegeben mit {{mathl|term=k_j \in \{1 {{kommadots|}} m\} |SZ=.}} Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens| |ISZ=|ESZ= }} erreichen, dass die Indizes {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise streng| |ISZ=|ESZ= }} aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das Dachprodukt {{math|term=0|SZ=.}} Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zum Nachweis der {{ Definitionslink |linearen Unabhängigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zeigen wir unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Unabhängigkeit/Test mit Linearformen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass es zu jeder {{math|term=n|SZ=-}}elementigen Teilmenge {{mathl|term=I=\{i_1 {{kommadots|}} i_n\} \subseteq \{1 {{kommadots|}} m\}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=i_1 < \ldots < i_n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{math|term=K|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\bigwedge^n V|K || |SZ= }} gibt, die {{mathl|term=v_{i_1} {{wedgedots|}} v_{i_n}|SZ=}} nicht auf {{math|term=0|SZ=}} abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf {{math|term=0|SZ=}} abbildet. Dazu genügt es nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |alternierende| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\triangle |V^n|K || |SZ= }} anzugeben mit {{ Ma:Vergleichskette | \triangle {{makl| v_{i_1} {{kommadots|}} v_{i_n} |}} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} aber mit {{ Ma:Vergleichskette | \triangle {{makl| v_{j_1} {{kommadots|}} v_{j_n} |}} || 0 || || || |SZ= }} für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei {{math|term=U|SZ=}} der von den {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \neq i_k ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |erzeugte Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | W || V/U || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Restklassenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann bilden die Bilder der {{ mathbed|term= v_{i_k} ||bedterm1= k=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis von {{math|term=W|SZ=,}} und die Bilder von allen anderen {{math|term=n|SZ=-}}Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf {{math|term=0|SZ=}} geht. Wir betrachten nun die {{ Definitionslink |zusammengesetzte| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ math/disp|term= \triangle: V^n \longrightarrow W^n \cong (K^n)^n \stackrel{ {{op:Determinante||}} }{ \longrightarrow} K |SZ=. }} Diese Abbildung ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Rekursiv/Multilinear/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} multilinear und nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Rekursiv/Alternierend/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} alternierend. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Null, Linear abhängig und Rangeigenschaft/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term=\triangle(z_1 {{kommadots|}} z_n) =0|SZ=}} genau dann, wenn die Bilder von {{math|term=z_i|SZ=}} in {{math|term=W|SZ=}} keine Basis bilden. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g84iztegwksgbda3o0cdq7vejat6cuz 0 37800 748718 231401 2022-08-10T13:07:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} der Dimension {{math|term=m|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt das {{math|term=n|SZ=-}}te {{ Definitionslink |äußere Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=\bigwedge^n V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \binom{m}{n} |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Dimension der äußeren Potenzen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cax7tbhttze3bvt3uzl5wo9rbgbiirm 0 37874 748881 531454 2022-08-10T15:23:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| H || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |euklidischen Halbraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=H \subseteq \R^n|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| U || || || |SZ= }} sei ein Punkt und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |U|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=\varphi|SZ=}} {{Definitionswort|differenzierbar|msw=Total differenzierbar (Halbraum)|SZ=}} in {{math|term=P|SZ=,}} wenn es eine offene Umgebung {{mathl|term=P \in V \subseteq \R^n|SZ=}} und eine Fortsetzung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\varphi} |V|\R^m || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{\varphi} {{|}}_{U \cap V} ||\varphi {{|}}_{U \cap V} || || || |SZ= }} gibt, die in {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differenzierbare Abbildung (Halbraum) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0c42bxuukxfrkrm7tbpse9u0r1zi67 0 37967 748793 540066 2022-08-10T14:13:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{math|term=\omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(n-1) |Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |kompaktem| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Träger| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=,}} |Voraussetzung=die auf dem Rand {{math|term=\partial M|SZ=}} konstant gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|d\omega|M}} || 0 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Satz von Stokes für Differentialformen, die auf dem Rand verschwinden |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tu9xe9o7b851bhmqc0rslhzmloqz42y 0 37986 748740 648367 2022-08-10T13:22:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/{{{zusatz|}}} |text={{math|term={{symbol:Vektorfelder|M}}|SZ=}} bezeichnet hier die Menge der Vektorfelder auf {{math|term=M|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{symbol:Vektorfelder|M}} | {{symbol:Differentialformen|M|1}} |F|\omega_F |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| \omega_F(P) |}} (v) | {{defeq|}} | {{op:Skalarprodukt|F(P)|v}}_P || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term=P \in M|SZ=}} ist und {{math|term=v|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Tangentenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus {{mathl|term=T_PM|SZ=}} bezeichnet, eine {{ Definitionslink |Isomorphie| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Vektorfeldern| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und den {{ Definitionslink |Prämath=1 |Formen |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Theorie der Vektorfelder |Kategorie3=Theorie der 1-Formen auf einer Mannigfaltigkeit |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Vektorfelder und 1-Formen auf riemanschen Mannigfaltigkteiten |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdfk0ldw7v4d1p66lohuxurbn60v86p 0 38018 748893 696040 2022-08-10T15:36:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|1 || || || |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |nichtleere| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Ma:Vergleichskette | \lambda^n(U) |>| 0 || || || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}} ebenso, dass dies für {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nicht gelten muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Offen |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r607t37q7yjx0hzzfhvh2gtjcshrt4 0 38597 748990 453245 2022-08-11T07:55:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Norm (vr)|Anf=No| Ziel=Vektorraum/K/Norm/Definition }} 2ub8sat6y1fyo2qz6t7tlvtxfx2z4qw 0 38775 748717 700478 2022-08-10T13:06:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=k \in \N|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine natürliche Isomorphie {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | \bigwedge^k V^*|{{makl| \bigwedge^k V |}}^* || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | (\psi(f_1 {{wedgedots|}} f_k)) (v_1 {{wedgedots|}} v_k) || {{op:Determinante| (f_i (v_j))_{ij}|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=f_i \in V^*|SZ=}} und {{mathlk|term=v_j \in V|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Dachprodukt und Dualität |Autor= |Bearbeitungsstand= }} joe3y0vbs6k7hnglhwyl8uzpexp56rf 0 39034 748753 401264 2022-08-10T13:30:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term=\R^n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass das von diesen Vektoren erzeugte {{ Definitionslink |Prämath= |Parallelotop| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einen achsenparallelen Würfel {{ Zusatz/Klammer |text=mit positiver Länge| |ISZ=|ESZ= }} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Parallelotope |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hynanu30ok15aqmpxnru5spoayj7r0y 0 39854 748682 466332 2022-08-10T12:39:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | V || \bigwedge^1 V || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rw6f66069hsrm383ycoapb9nis1v5ox 748683 748682 2022-08-10T12:39:56Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Dachprodukt/Konstruktion/n is 1/Aufgabe]] nach [[Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | V || \bigwedge^1 V || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rw6f66069hsrm383ycoapb9nis1v5ox 0 39876 748693 467521 2022-08-10T12:53:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | V |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann entsprechen durch die {{ Definitionslink |Zuordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= [v_1 {{kommadots|}} v_n] \longmapsto [ v_1 {{wedgedots|}} v_n ] |SZ= }} die {{ Definitionslink |Orientierungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=}} den Orientierungen auf {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Orientierungen auf Vektorraum und Dachprodukt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3plq1l4a0fwdg5xxn0urh5pxye4bto4 0 39880 748719 700518 2022-08-10T13:07:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ= }} Vektoren in {{math|term=V|SZ=,}} |Voraussetzung= die miteinander in der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor| v_1|\vdots| v_n}} || M {{op:Spaltenvektor|w_1|\vdots|w_n}} || || || |SZ= }} stehen, wobei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n\times n |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezeichnet. |Übergang= |Folgerung= Dann gilt in {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_1 {{wedgedots|}} v_n || ( {{op:Determinante|M|}}) w_1 {{wedgedots|}} w_n || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Determinantentheorie (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Transformationsformel für volldimensionale Dachprodukte |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bp8k4et50shioownd82wafci0uc3u7y 0 39897 748877 675278 2022-08-10T15:20:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |natürlichen Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\N|SZ=}} und versehen sie mit der {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Metrik| |Definitionsseitenname= Menge/Diskrete Metrik/Beispiel |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\N|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=| abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=Metrik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |Prämath=| überdeckungskompakt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iu6f24ikfpyddu880340fas2nckoro9 0 39903 748643 510160 2022-08-10T12:05:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term=\R^2|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|2|4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|7}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-3|6}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|-5}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bj4lm0eglqm2spjammukqbuaw6p73yh 0 39904 748644 510161 2022-08-10T12:05:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden Basen des {{math|term=\R^3|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|2|4|-5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|7|6|-1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|2|-3}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-3|6|2}} , \, {{op:Spaltenvektor|-4|4|-2}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|0|13}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath=|Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9bqtybbr43qxird0hi7r8xi8jz8hfm8 0 40489 748776 697631 2022-08-10T13:50:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |G|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |total differenzierbare Abbildung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Determinante| {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} |SZ= }} die {{Definitionswort|Jacobi-Determinante|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|Fundamental-Determinante|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} in {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Jacobi-Determinante |Definitionswort2=Fundamental-Determinante |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 043pcz0dtamn1l1k1uw9rfm0hqop6yo 0 41833 748935 533251 2022-08-10T16:14:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zu jeder offenen Teilmenge {{mathl|term=U \subseteq M|SZ=}} betrachten wir die Menge {{mathl|term=C^1(U,\R)|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=U|SZ=.}} Es sei {{mathl|term=M= \bigcup_{i \in I} U_i|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass zu {{mathl|term=V \subseteq U|SZ=}} offen und {{mathl|term=f \in C^1(U,\R)|SZ=}} auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f {{|}}_V |SZ=}} zu {{mathl|term= C^1(V,\R)|SZ=}} gehört. |Sei {{mathl|term=f \in C^1(M,\R)|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term=f=0|SZ=}} genau dann ist, wenn sämtliche Einschränkungen {{mathl|term=f {{|}}_{U_i} =0 |SZ=}} sind. |Es sei eine Familie {{mathl|term=f_i \in C^1(U_i,\R)|SZ=}} von Funktionen gegeben, die die {{Anführung|Verträglichkeitsbedingung|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_i {{|}}_{U_i \cap U_j} || f_j {{|}}_{U_i \cap U_j} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=i,j|SZ=}} erfüllen. Zeige{{n Sie}}, dass es ein {{mathl|term=f \in C^1(M,\R)|SZ=}} gibt mit {{mathl|term=f {{|}}_{U_i} =f_i |SZ=}} für alle {{math|term=i|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2=Garbentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Garbe |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 49npegnmpn5r6lb8re3hpncjz8iy53r 0 42019 748687 406925 2022-08-10T12:41:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath=|Produkt| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \times N |SZ=}} von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Mannigfaltigkeiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produkte von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f3qwam4qaqf4y6zxcprwou32592ql76 0 42751 748645 510173 2022-08-10T12:05:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden Basen des {{math|term=\R^3|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|1|0|4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|2|4|-3}} ,\, {{op:Spaltenvektor|0|3|-5}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|-3|7|2}} , \, {{op:Spaltenvektor|-4|5|-1}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-6|0|11}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4na5avbwo80ayazatga3s8vyqqe75i3 0 47552 748875 677393 2022-08-10T15:18:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=K1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[X] || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} ist kein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist zu zeigen, dass es kein endliches {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Polynomringes gibt. Betrachten wir {{math|term=n|SZ=}} Polynome {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=.}} Es sei {{math|term=d|SZ=}} das Maximum der {{ Definitionslink |Prämath= |Grade| |Kontext=P| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Polynome. Dann hat auch jede {{ Definitionslink |Prämath=K |Linearkombination| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \sum_{i=1}^n a_i P_i |SZ=}} maximal den Grad {{math|term=d|SZ=.}} Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch {{mathl|term=P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Eruegendensystem für alle Polynome. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2=Theorie der Erzeugendensysteme in Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fr6o6s9ny4bsmysi7693thkynfc6fkv 0 48374 749034 392114 2022-08-11T11:24:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{Definitionswort|Primzahlzwilling|SZ=}} ist ein Paar bestehend aus {{ mathkor|term1= p |und|term2= p+2 |SZ=, }} wobei diese beiden Zahlen {{ Definitionslink |Primzahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Primzahlzwillinge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Primzahlzwilling |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jbo9hqbo74n53ftzs6vwfzrhwytw6ic 0 51266 748897 693477 2022-08-10T15:39:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name={{{h|h}}} |U|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gradientenfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |G || {{op:Gradient|{{{h|h}}}|}} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name=\gamma |[a,b]|U || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbarer Weg| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(a) || \gamma(b) || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_\gamma G ||0 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2=Theorie der Wegintegrale (Vektorfeld) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Wegintegrale zu geschlossenen Wegen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfg8b6flwmen9aaspqi5oqpc3kxtuty 0 51913 748731 538296 2022-08-10T13:16:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{mathl|term=V_f|SZ=}} zyklisch ist bedeutet das, dass es ein {{mathl|term=v\in V_f|SZ=}} gibt derart, dass die {{mathl|term=f^i(v), i\in \N|SZ=}} den Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} erzeugen. {{mathl|term=\mu_f|SZ=}} definiert aber eine minimale lineare Abhängigkeit der {{mathl|term=f^i|SZ=,}} also bilden {{math/disp|term=v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{math|term=n|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=\mu_f|SZ=}} ist. Da die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} aber auch der Grad von {{mathl|term=\chi_f|SZ=}} ist und {{mathl|term=\chi_f|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Cayley-Hamilton|Faktseitenname= Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt |Nr= |Refname=|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Vielfaches von {{mathl|term=\mu_f|SZ=}} ist, müssen die beiden Polynome aus Gradgründen übereinstimmen. Sei umgekehrt {{mathl|term=\mu_f = \chi_f|SZ=.}} Sei {{mathl|term=\mu_f = P_1^{e_1}\cdots P_k^{e_k}|SZ=}} die Primfaktorzerlegung des Minimalpolynoms. Weil {{mathl|term=\mu_f|SZ=}} das Minimalpolynom ist, gibt es zu jedem Faktor {{mathl|term=P_i, i\in\{1,\ldots,k\}|SZ=,}} einen Vektor {{mathl|term=x_i\in V|SZ=,}} der von {{mathl|term=\mu_f|SZ=}} annulliert wird, nicht jedoch von {{mathl|term=\mu_f' = \frac{\mu_f}{P_i}|SZ=.}} Andernfalls wäre nämlich {{mathl|term=\mu_f'|SZ=}} ein annullierendes Polynom von kleinerem Grad. Für {{mathl|term=x=x_1 {{plusdots|}} x_k|SZ=}} gilt dann {{mathl|term=\operatorname{Ann}_{K[X]}V = \operatorname{Ann}_{K[X]}(x)|SZ=.}} Wir behaupten nun, dass {{mathl|term=V_f|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K[X] |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=x|SZ=}} erzeugt wird. Denn wegen {{mathl|term=\mu_f=\chi_f|SZ=}} ist die Dimension von {{math|term=V|SZ=}} gleich dem Grad {{math|term=n|SZ=}} von {{mathl|term=\mu_f|SZ=.}} {{math/disp|term=x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)|SZ=}} ist daher ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} womit {{mathl|term=V_f|SZ=}} zyklisch ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgj8ykffck6m16qqeh3vvwxi3zu8g1e 0 51920 748730 310091 2022-08-10T13:14:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term=f\in\operatorname{End}_KV|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraumendomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=V|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=V=\bigoplus_{i\in I}V_i|SZ=,}} wobei für alle {{ Ma:Vergleichskette | i |\in| I || || || |SZ= }} gilt {{mathl|term=f(V_i)\subseteq V_i|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{math|term=f|SZ=}} besitzt genau dann ein nichttriviales annullierendes Polynom, wenn alle Einschränkungen {{mathl|term=f{{|}}V_i, i\in I|SZ=,}} nichttriviale annullierende Polynome besitzen. In diesem Fall gilt {{ math/disp|term= \mu_f =\operatorname{kgV}\left (\mu_{f{{|}}V_i},i\in I\right ) |SZ=, }} wobei {{math|term=\operatorname{kgV}|SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |kleinste gemeinsame Vielfache| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=K[X]|SZ=}} bezeichnet. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6oiq6rq7m24aaxfpil9ztqgmkvl4c83 0 52023 748769 310072 2022-08-10T13:46:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptidealbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=p\in R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Primelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=p |Sockel| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(p^{n-1}M)^1(p)/(p^{n}M)^1(p)|SZ=}} ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Modultheorie/Hauptidealbereiche/Sockel_ist_RmodRp-Vektorraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R/Rp |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Seine {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \operatorname{u}(n,p) := \operatorname{dim}_{R/Rp}(p^{n-1}M)^1(p)/(p^{n}M)^1(p) |SZ= }} heißt die {{ Definitionswort |Prämath=n |te Ulmsche {{math|term=p|SZ=-}}Invariante| |msw=Ulmsche Invariante |SZ= }} von {{math|term=M|SZ=.}} Diese Dimension muss nicht endlich sein. Daher können die Ulmschen Invarianten auch Kardinalzahlen sein. |Textart=Definition |Kategorie=Modultheorie über Hauptidealbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ulmsche Invariante |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ms1yh0594huhdyv0cunz2v1jysc6he 0 52166 749003 736850 2022-08-11T08:12:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die einzelnen Variablen {{math|term=x_i|SZ=}} repräsentieren die {{math|term=i|SZ=-}}te lineare Projektion {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zeilenvektor|x_1 {{kommadots|}} x_n}} | x_i || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind diese {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stetigkeit/Metrischer Raum/Nach K/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind dann auch die monomialen Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=x_1^{\nu_1} x_2^{\nu_2} \cdots x_n^{\nu_n} | {{KRC/{{{K|K}}}|}}^n|{{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} stetig und damit aus dem gleichen Grund überhaupt alle polynomialen Funktionen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ggfbzf8lozmpvpidtyj9tmswy9leadl 0 52430 748814 630621 2022-08-10T14:29:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette |V ||\R^n || || || |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term=\R e_i|SZ=}} zum Standardvektor {{math|term=e_i|SZ=}} besteht das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus allen Vektoren {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_{i-1}|0|x_{i+1}|\vdots| x_n}} |SZ=,}} deren {{math|term=i|SZ=-}}ter Eintrag {{math|term=0|SZ=}} ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term=\R v|SZ=}} zu einem Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{op:Spaltenvektor|a_1|a_2|\vdots|a_n}} |\neq|0 || || |SZ= }} kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n ||0 || || || |SZ= }} bestimmt. Der Orthogonalraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | U || {{op:Orthogonalraum|(\R v)|}} || {{Mengebed| {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots |x_n}}| a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n {{=|}} 0|}} || || |SZ= }} besitzt die Dimension {{math|term=n-1|SZ=,}} es handelt sich also um eine sogenannte {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperebene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man nennt dann {{math|term=v|SZ=}} einen {{Stichwort|Normalenvektor|SZ=}} für die Hyperebene {{math|term=U|SZ=.}} Zu einem Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ=, }} der durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr|m |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ mathbed|term= v_i = {{op:Spaltenvektor|a_{i1}|\vdots|a_{in}|}} ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Gleichungssystems| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | A {{op:Spaltenvektor|x_1|\vdots|x_n}} ||0 || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette |A || {{makl| a_{i j } |}} || || || |SZ= }} die aus den {{math|term=v_i|SZ=}} gebildete Matrix ist. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0e58nx1jjc7zxb0ukxb0x8xekcjbcc 0 52496 748996 633605 2022-08-11T08:04:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times U|V |(t,v)|F(t,v) {{=|}} g(t,v) \cdot v |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiges| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Zentralfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur stetigen Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |w |\in|U || || || |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\alpha |J|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{{z|z}}}'= h(t,{{{z|z}}}) {{defeq}} g(t, {{{z|z}}} w ) \cdot {{{z|z}}} \text{ mit } \alpha(t_0 )=1 |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | v(t) || \alpha(t) \cdot w || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Lösung des Anfangswertproblems| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v'= F(t,v) \text{ mit } v(t_0) = w |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Zentralfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Lösungsansatz für Zentralfelder |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qv83jdyj5yw3jhpp6t8cts6lrfsisg5 0 52498 748928 633604 2022-08-10T16:04:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ= }} eine Funktion. Dann heißt das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times U|V |(t,v)| F(t,v) {{=|}} g(t,v) \cdot v |SZ=, }} ein {{ Definitionswort |Prämath= |Zentralfeld| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Zentralfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Zentralfeld |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2gky7cvlgot6pt3xkjxj3l9z00pme5 0 52767 748846 739173 2022-08-10T14:55:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\R |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | G |\subseteq| V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge. Weiter seien {{ Ma:abb |name=f,g |G |\R || |SZ= }} zwei in {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| G || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=R total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wende{{n Sie}} die {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/R/Kettenregel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Aufgabelink{{{opt2|}}} ||Aufgabeseitenname=Totales Differential/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe |Aufgabeseitenname2= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auf das Diagramm {{ math/disp|term= G \stackrel{f,g} \longrightarrow \R \times \R \stackrel{\operatorname{mult} } \longrightarrow \R }} an, um zu zeigen, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|(f \cdot g)|P}} || g(P) \cdot {{op:Totales Differential|f |P}} + f(P) \cdot {{op:Totales Differential|g|P}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ffiuej1pqa5u841nbe9ne18rxivir3 0 53358 748653 637175 2022-08-10T12:13:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} der reelle Vektorraum, der aus allen unendlich oft differenzierbaren Funktionen von {{math|term=\R|SZ=}} nach {{math|term=\R|SZ=}} besteht. {{ Aufzählung3/a |Zeige{{n Sie}}, dass die Ableitung {{mathl|term=f \mapsto f'|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} nach {{math|term=V|SZ=}} ist. |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwerte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Ableitung und zu jedem Eigenwert mindestens einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In diesem Zusammenhang spricht man auch von {{Stichwort|Eigenfunktionen|msw=Eigenfunktion||SZ=}}| |ISZ=.|ESZ=. }} }} |Bestimme{{n Sie}} zu jeder reellen Zahl die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und deren {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aqkjar6lznsucevyim386bot61o8h30 0 54047 748741 695766 2022-08-10T13:23:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |V |\subset| \R^n || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |k |<|n || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{ Ma:Vergleichskette | \lambda^n(T) || 0 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes für kompakte Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Volumen von Unterräumen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4nhzu5bl33umvbt0lqmjq8kkpalw1ag 0 54156 748933 695762 2022-08-10T16:11:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} aber nicht beschränkte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} wird nicht durch endlich viele Quader überpflastert. Diese Mengen haben aber dennoch ein sinnvolles Volumen {{ Zusatz/Klammer |text=das unendlich sein kann| |ISZ=|ESZ= }} und es gilt auch eine entsprechende Aussage zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Endliche Überpflasterung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} wobei man allerdings als Indexmenge die natürlichen Zahlen zulassen muss. Zu einer Überpflasterung {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \bigcup_{i \in \N} Q_i || || || |SZ= }} muss man {{mathl|term= \sum_{i \in \N} \lambda^n(Q_i) |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von nichtnegativen Zahlen interpretieren. Da wir uns für das Infimum interessieren, sind hierbei nur die konvergenten Reihen relevant {{ Zusatz/Klammer |text=wenn es keine Überpflasterung mit endlicher Volumensumme gibt, so besitzt die Teilmenge das Volumen {{math|term=\infty|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Diese Betrachtung ist beispielsweise dann nötig, wenn man {{ Definitionslink |Prämath= |uneigentliche Integrale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Flächeninhalt eines {{ Zusatz/Klammer |text=unbeschränkten| |ISZ=|ESZ= }} Subgraphen verstehen möchte. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} emlwvzl0hqoknuaj0pz9uy5kr7a9ucs 0 54178 748895 696058 2022-08-10T15:38:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{mathl|term=\R^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{math|term=C^1|SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= C^k-Diffeomorphismus/Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | (J(\varphi))(x) || {{op:Determinante| {{op:Totales Differential|\varphi|x}} |}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|G || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{T|T}}} | \subseteq | {{{H|H}}} || || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term=\R^n|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{T|T}}}|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{mathl|term= \varphi^{-1}(T) |SZ=}} ebenfalls kompakt und es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralmaß|f|{{{T|T}}}|\lambda^n}} || {{op:Integralmaß| (f \circ \varphi ) {{op:Betrag|J(\varphi)|}} |\varphi^{-1}({{{T|T}}})|\lambda^n}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Die Transformationsformel für Integrale |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7v1dq7mqju0dymzbrspltu1n026wp2o 0 54179 748976 691612 2022-08-11T07:42:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term=\R^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{math|term=C^1|SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= C^k-Diffeomorphismus/Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | (J(\varphi))(x) || {{op:Determinante| {{op:Totales Differential|\varphi|x}} |}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|G || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{{T|T}}} |\subseteq | {{{H|H}}} || || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term=\R^n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^n ({{{T|T}}}) || {{op:Integralmaß| {{op:Betrag|J(\varphi)|}} |\varphi^{-1}({{{T|T}}})|\lambda^n}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Die Transformationsformel für Volumina |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q9g58ki15u1107o679ueqv97thkpy1h 0 54257 748894 691426 2022-08-10T15:37:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term=\R^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|{{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{math|term=C^1|SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= C^k-Diffeomorphismus/Definition |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionswort |Prämath= |volumentreu| |msw= |SZ= }} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|(J(\varphi))(x)||}} || {{op:Betrag|{{op:Determinante| {{op:Totales Differential|\varphi|x}} |}}||}} || 1 || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |x |\in|G || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2=Theorie der maßtreuen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Volumentreuer Diffeomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3r0w87gjzy7aig6185b2ubzm55493uy 0 55485 748912 508405 2022-08-10T15:52:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=total R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=h |U|\R || |SZ=, }} die über {{ Ma:abbele/disp |name=G |U|V |P| {{op:Gradient|h|P}} |SZ=, }} ein {{Definitionswort|Gradientenfeld|SZ=}} {{math|term=G|SZ=}} definiert, heißt {{ Definitionswort |Prämath= |Potential| |msw= |SZ= }} des Gradientenfelds. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Potential |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qh12s90jit2eotc4ek2fx6t05j08txo 0 55867 748859 373868 2022-08-10T15:04:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kein Vielfaches der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K|SZ=}} sei. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |G| {{op:GLG||V}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=G |invarianter Untervektorraum| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es einen {{math|term=G|SZ=-}}invarianten Untervektorraum {{mathl|term=W \subseteq V|SZ=}} mit {{mathl|term=V=U \oplus W|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Einen solchen Unterraum nennt man ein {{math|term=G|SZ=-}}{{Stichwort|invariantes Komplement|SZ=}} von {{math|term=U|SZ=}}| |ISZ=.|ESZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Maschke |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Lemma von Maschke |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 41i8jn8en3rf1wpyha2rnsmo5pclh3m 0 55877 748817 373917 2022-08-10T14:32:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affines Gruppenschema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\nu |G \times X|X || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |algebraische Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=X= {{op:Spek|R|}} |SZ=,}} wobei {{math|term=R|SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann liegt jedes {{mathl|term=f \in R|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=G(K) |invarianten| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3a8j912ovfzf6duso9sec0793nx1d43 0 55878 748823 461071 2022-08-10T14:36:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die zur Operation gehörige algebraische Situation, also den {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= N |R| H {{tensor|K}} R || |SZ=, }} wobei {{math|term=H|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=G|SZ=}} sei. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |N(f) || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_i {{tensor|}} f_i || || || |SZ= }} mit {{mathl|term=a_i \in H|SZ=}} und {{mathl|term=f_i \in R|SZ=.}} Für jedes {{mathl|term={{{g|g}}} \in G(K)|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |f {{{g|g}}} || \sum_{i{{=}}1}^n {{{g|g}}} (a_i) {{tensor|}} f_i ||\sum_{i{{=}}1}^n {{{g|g}}} (a_i) f_i || || |SZ=, }} d.h. diese liegen alle in dem von {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} Der von all diesen {{ mathbed|term= f {{{g|g}}} ||bedterm1= {{{g|g}}} \in G(K) ||bedterm2= |SZ=, }} erzeugte Untervektorraum ist also {{ Definitionslink |Prämath=G(K) |invariant| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und endlichdimensional. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gp5v046phx3q1hlprt8yl9yn5i5bxza 0 55882 748841 461070 2022-08-10T14:51:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Ringbeweis |Strategie= |Richtung=1234 |Beweis12= Es sei {{mathl|term=V=V_1 {{oplusdots|}} V_r |SZ=}} die Zerlegung in {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Darstellungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wegen der {{ Definitionslink |Prämath= |Irreduzibilität| |Kontext=Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{mathl|term=(V_i)^G =V_i \cap V^G|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} oder gleich {{math|term=V_i|SZ=,}} daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=nach Umordnung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term=V^G=V_1 {{oplusdots|}} V_s|SZ=.}} Die direkte Summe der verbleibenden irreduziblen Unterräume, also {{mathl|term=W= V_{s+1} {{oplusdots|}} V_r |SZ=}} bilden ein {{math|term=G|SZ=-}}invariantes Komplement. Wenn {{math|term=W'|SZ=}} ein solches {{math|term=G|SZ=-}}Komplement ist, so gilt wieder {{mathl|term=W' \cap V_i = V_i|SZ=}} oder {{math|term= =0|SZ=.}} Bei {{mathl|term= W' \cap V_i = 0 |SZ=}} für ein {{mathl|term=i \geq s+1|SZ=}} würde die Dimension von {{math|term=W'|SZ=}} zu klein werden, also muss {{mathl|term=W'=W|SZ=}} sein. Den Zusatz kann man für die an {{math|term=W|SZ=}} beteiligten {{math|term=V_i|SZ=}} getrennt beweisen. Es sei also {{ Ma:abbele/disp |name=h |V_i|K || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=G |invariante| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei {{mathl|term= {{op:dim vr|V_i|}} \geq 2 |SZ=}} und {{mathl|term=h \neq 0|SZ=}} wäre der Kern ein echter {{math|term=G|SZ=-}}invarianter Untervektorraum im Widerspruch zur Irreduziblität von {{math|term=V_i|SZ=.}} Bei {{mathl|term={{op:dim vr|V_i|}}= 1|SZ=}} und {{mathl|term=h \neq 0|SZ=}} wäre {{math|term=h|SZ=}} eine Bijektion, und dann müsste {{math|term=G|SZ=}} auf {{math|term=V_i|SZ=}} identisch wirken. |Beweis23= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Projektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\pi |V|V^G || |SZ= }} zur Zerlegung {{mathl|term=V=V^G \oplus W|SZ=}} mit dem {{math|term=G|SZ=-}}invarianten Komplement {{math|term=W|SZ=.}} Dabei ist {{mathl|term=\pi(v)=v \neq 0|SZ=}} und dazu gibt es eine Linearform {{ Ma:abb |name=h |V^G|K || |SZ= }} mit {{mathl|term={{{h|h}}}(v) \neq 0|SZ=.}} Die Linearform {{mathl|term={{{h|h}}} \circ \pi|SZ=}} ist {{math|term=G|SZ=-}}verträglich und leistet das Gewünschte. |Beweis34= Sei zunächst {{math|term=U|SZ=}} irreduzibel. Die Räume {{ mathkor|term1= {{op:Hom|U|V}} |und|term2= {{op:Hom|V|U}} |SZ= }} sind {{ Definitionslink |Prämath= |dual| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander, und zwar über die Beziehung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|U|V}} \times {{op:Hom|V|U}} | K |( \varphi, \psi )| {{op:Spur| \varphi \circ \psi|}} |SZ=. }} Dabei ist {{mathl|term= \varphi \circ \psi |SZ=}} ein Endomorphismus auf {{math|term=V|SZ=.}} Wir fassen die Inklusion {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} als eine {{math|term=G|SZ=-}}invariante lineare Abbildung, also als ein Element {{math|term= \varphi |SZ=}} in {{mathl|term={{op:Hom|U|V}}^G |SZ=,}} auf. Nach {{math|term=(3)|SZ=,}} angewendet auf dieses Element, muss es ein {{math|term=G|SZ=-}}invariantes {{mathl|term=\psi \in {{op:Hom|V|U}} \cong {{op:Dualraum|{{op:Hom|U|V}}|}} |SZ=}} mit {{mathl|term=\psi (\varphi) \neq 0|SZ=}} geben, was {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spur| \varphi \circ \psi|}} || {{op:Spur| \psi \circ \varphi|}} |\neq| 0 || || |SZ= }} bedeutet. Die lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \psi \circ \varphi |U|U || |SZ= }} ist daher nicht die Nullabbildung, und sie ist {{math|term=G|SZ=-}}invariant als Verknüpfung von zwei {{math|term=G|SZ=-}}invarianten linearen Abbildungen. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Gleicher Raum/Lemma von Schur/Homothetie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{mathl|term= \psi \circ \varphi |SZ=}} eine Streckung, die wir zur Identität normieren können. Somit ist {{math|term=\psi|SZ=}} eine {{math|term=G|SZ=-}}invariante Projektion auf {{math|term=U|SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||U \oplus {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Im allgemeinen Fall führen wir Induktion über die Dimension von {{math|term=V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\neq|U' |\subseteq|U || || |SZ= }} ein {{math|term=G|SZ=-}}invarianter irreduzibler Untervektorraum. Nach der Vorüberlegung ist {{ Ma:Vergleichskette |V ||U' \oplus V' || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=V'|SZ=}} ebenfalls {{math|term=G|SZ=-}}invariant ist. Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || U' \oplus (U \cap V') || |SZ=. }} Aufgrund der Induktionsvoraussetzung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V' || (U \cap V') \oplus W || || || |SZ= }} mit einem {{math|term=G|SZ=-}}invarianten Untervektorraum {{ Ma:Vergleichskette/disp |W |\subseteq|V' || || || |SZ= }} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||U' \oplus V' || U' \oplus (U \cap V') \oplus W || U \oplus W || |SZ=. }} |Beweis41=Induktion über die Dimension von {{math|term=V|SZ=.}} |Abschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cy3gwxwh6y8p4h43li08pofs89bvec8 0 55900 748919 461076 2022-08-10T15:58:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen, dass ein {{ Definitionslink |Prämath=G |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=G |Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, daraus folgt die Aussage wie {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Auch der Beweis ist analog zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Gruppe/Darstellung/Satz von Maschke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \pi |V|U || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Projektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} auf {{math|term=U|SZ=.}} Zu {{mathl|term=v \in V|SZ=}} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |G|V |g|g ( \pi ( g^{-1} ( v)) ) |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir definieren {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(v) || \int_G g ( \pi ( g^{-1} (v)) ) d \mu || || || |SZ=. }} Aufgrund der Linearität von {{math|term=g|SZ=}} und der {{ Faktlink |Präwort=|Linearität des Integrals|Faktseitenname= Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term=\psi|SZ=}} eine lineare Abbildung, deren Bild in {{math|term=U|SZ=}} liegt, da dies für {{math|term=\pi|SZ=}} gilt und da {{math|term=U|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Für {{mathl|term=u \in U |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi(u) || \int_G g ( \pi ( g^{-1} (u)) ) d \mu || \int_G g ( g^{-1} (u)) d \mu ||\int_G u d \mu || u |SZ=. }} Also ist {{math|term=\psi|SZ=}} ebenfalls eine lineare Projektion von {{math|term=V|SZ=}} auf {{math|term=U|SZ=.}} Für beliebige {{mathl|term=h \in G|SZ=}} und {{mathl|term=v \in V|SZ=}} ist {{ Faktlink |Präwort=aufgrund der|Translationsinvarianz|Faktseitenname= Kompakte Gruppe/Haarsches Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \psi(h v) || \int_G g ( \pi ( g^{-1} (h v)) ) d \mu || \int_G (hg) ( \pi ( (hg)^{-1} (h v)) ) d \mu || \int_G h {{makl| g ( \pi ( g^{-1} ( v)) )|}} d\mu || h {{makl| \int_G g ( \pi ( g^{-1} ( v)) ) d\mu |}} || h \psi(v) |SZ=, }} so dass {{math|term=\psi|SZ=}} mit der Gruppenoperation {{ Definitionslink |Prämath= |verträglich| |Kontext=Gruppenoperation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Also ist {{mathl|term= {{op:Kern|\psi|}} |SZ=}} {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{math|term=G|SZ=-}}invarianter Untervektorraum und somit ein {{ Definitionslink |Prämath=G |Komplement| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jvlithy9ark3bemwd4e3lj0nfhxkqak 0 55908 748900 579130 2022-08-10T15:42:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir zeigen, dass es zu jeder {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |rationalen Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |G| {{op:GLG||V}} || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath=G |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=G |Komplement| |Kontext=Lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gibt. Die induzierte Darstellung {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |K| {{op:GLG||V}} || |SZ= }} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Daher gibt es nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompakte Gruppe/Vollständig reduzibel/Hurwitz Schur/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein {{math|term=K|SZ=-}}Komplement {{mathl|term=W \subseteq V|SZ=.}} Wir betrachten {{ math/disp|term= H {{defeq|}} {{mengebed|g \in G| g(W) {{=}} W}} |SZ=. }} Dies ist eine Untergruppe von {{math|term=G|SZ=,}} die {{math|term=K|SZ=}} umfasst. {{ Faktlink |Präwort=Nach||Faktseitenname= Lineare Gruppe/gW in W/Zariski-Abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term=H|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-abgeschlossen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und daher gleich {{math|term=G|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nl493068k6ujxy843a1inpohgoj0dif 0 55912 748735 461075 2022-08-10T13:19:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (1). Die Operation {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times V|V || |SZ= }} ist nach Voraussetzung ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Morphismus| |Kontext=affine Varietät| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit ist insbesondere zu jedem {{mathl|term=v \in V|SZ=}} die induzierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\phi_v |G|V |g|g(v) |SZ=, }} ein Morphismus {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term=\phi_v|SZ=}} ist die Hintereinanderschaltung von {{ Ma:abbele |name= |G |G \times V |g| (g,v) |SZ=, }} mit der Operationsabbildung| |ISZ=|ESZ=. }} Da {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Zariski-abgeschlossen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, ist auch das Urbild {{mathl|term=\phi_v^{-1}(U)|SZ=}} abgeschlossen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= (2). Offenbar ist {{math|term=H|SZ=}} eine Untergruppe von {{math|term=G|SZ=.}} Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_r |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=.}} Die Bedingung {{mathl|term=g(U) \subseteq U|SZ=}} ist äquivalent zu {{mathl|term=g(v_i) \in U|SZ=}} für {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} r|SZ=.}} Daher ist {{math|term=H|SZ=}} der Durchschnitt von endlich vielen {{ Zusatz/Klammer |text=nach (1)| |ISZ=|ESZ= }} Zariski-abgeschlossenen Mengen und somit selbst abgeschlossen. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnbcna8zz854aymcgqb6z5tnasg6h7p 0 55991 748655 509546 2022-08-10T12:17:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein Körper und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=r \in \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an {{mathlk|term=r \leq n|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und wir betrachten die Wirkungsweise von {{mathl|term= {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} auf dem {{math|term=r|SZ=-}}fachen Produkt von {{math|term=V|SZ=}} mit sich selbst, bei der ein {{math|term=r|SZ=-}}Tupel {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_r|SZ=}} von {{math|term=r|SZ=}} Vektoren aus {{math|term=V|SZ=}} auf ein anderes, durch die Matrix {{mathl|term=g \in {{op:GLG|r|K}}|SZ=}} bestimmtes {{math|term=r|SZ=-}}Tupel abgebildet wird. Mit {{mathl|term=g = {{op:Matrixaij|n=r}} |SZ=}} interessieren wir uns also für die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:GLG|r|K}} \times V^r | V^r |( {{op:Matrixaij|n=r}}, v_1,v_2 {{kommadots|}} v_r)| {{op:Zeilenvektor|\sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i | \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |\ldots| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i||}} |SZ=. }} Ein Tupel wird also stets auf ein Tupel aus Linearkombinationen der Einträge abgebildet. Daher ist der von {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r|SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich dem vom Bildtupel {{mathl|term= g(v_1 {{kommadots|}} v_r) |SZ=}} erzeugten Untervektorraum. Wenn die {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_r |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, so gilt dies auch für das Bildtupel. Für einen {{math|term=r|SZ=-}}dimensionalen Untervektorraum {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} und zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} gibt es stets einen {{ Definitionslink |Prämath= |Automorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=,}} der die eine Basis in die andere Basis überführt. Wenn man also die Operation von {{mathl|term= {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} auf die {{ Zusatz/Klammer |text=offene und dichte| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{mathl|term={{{T|T}}} \subseteq V^r|SZ=}} einschränkt, die aus allen linear unabhängigen {{math|term=r|SZ=-}}Tupeln besteht, so entsprechen die {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen der Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} den {{math|term=r|SZ=-}}dimensionalen Untervektorräumen von {{math|term=V|SZ=,}} und die Elemente der einzelnen Bahnen durchlaufen sämtliche Basen des zugehörigen Raumes. Die Bahnen der Operation auf ganz {{math|term=V^r|SZ=}} sind schwieriger zu charakterisieren. Wir beschreiben die algebraische Version dieser Operation. Die linearen Funktionen auf dem der Operation zugrunde liegenden Vektorraum {{mathl|term=W=V^r|SZ=}} sind die Linearformen {{mathl|term=f=(f_1 {{kommadots|}} f_r)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(v_1 {{kommadots|}} v_r) || f_1(v_1) {{plusdots|}} f_r (v_r) || || || |SZ=. }} Dabei sind die {{math|term=f_i|SZ=}} Linearformen auf {{math|term=V|SZ=,}} die wir direkt als Linearformen auf {{math|term=V^r|SZ=}} über die {{math|term=i|SZ=-}}te Projektion auffassen. Zu {{mathl|term=g \in {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} und {{mathl|term=f= {{op:Zeilenvektor|f_1|\ldots|f_r}} |SZ=}} ist die verknüpfte Abbildung gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | (f g) {{op:Zeilenvektor|v_1 |\ldots|v_r}} || f {{op:Zeilenvektor|\sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i | \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |\ldots| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i||}} || f_1 {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} v_i |}} + f_2 {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} v_i |}} {{plusdots}} f_r {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} v_i |}} || \sum_{i {{=}} 1}^r a_{1i} f_1 {{makl| v_i |}} + \sum_{i {{=}} 1}^r a_{2i} f_2 {{makl|v_i |}} {{plusdots}} \sum_{i {{=}} 1}^r a_{ri} f_r {{makl| v_i |}} || \sum_{i,j} a_{ji} f_j {{makl| v_i |}} ||\sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j {{makl| v_1 |}} + \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j {{makl|v_2 |}} {{plusdots}} \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j {{makl| v_r |}} || {{op:Zeilenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j |\sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j |\ldots| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j}} {{op:Zeilenvektor|v_1 |\ldots|v_r}} |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align |fg || {{op:Zeilenvektor|f_1 |\ldots| f_r}} g || {{op:Zeilenvektor| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{j1} f_j |\sum_{j {{=}} 1}^r a_{j2} f_j |\ldots| \sum_{j {{=}} 1}^r a_{jr} f_j}} || || || |SZ=. }} Es sei nun {{mathl|term=V=K^n|SZ=,}} so dass wir die Gesamtsituation mit Variablen schreiben können. Zum Vektorraum {{math|term= V^r |SZ=}} gehört der Polynomring {{ math/disp|term= K[ X_{ij}\, ,1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq r ] |SZ=. }} Dabei repräsentieren die {{ mathbed|term= X_{ij} ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= |SZ=, }} die Koordinatenfunktionen der {{math|term=j|SZ=-}}ten Kopie des Vektorraums {{math|term=K^n|SZ=.}} Die Variable {{mathl|term=X_{ij}|SZ=}} ist die {{math|term=j|SZ=-}}te Projektion von {{math|term=V^r|SZ=}} auf {{mathl|term=V=K^n|SZ=}} gefolgt von der {{math|term=i|SZ=-}}ten Projektion {{math|term=p_i|SZ=}} von {{math|term=K^n|SZ=}} auf {{math|term=K|SZ=.}} Somit ist {{ Zusatz/Klammer |text=es steht {{math|term=p_i|SZ=}} an der {{math|term=j|SZ=-}}ten Stelle| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | X_{ij} g || {{op:Zeilenvektor|0 |\ldots|p_i|0 |\ldots| 0 }} g || {{op:Zeilenvektor|a_{j1} p_i |\ldots| a_{jr} p_i }} || \sum_{k {{=}} 1}^r a_{jk} X_{ik} || |SZ=. }} Wenn eine Linearform {{ Zusatz/Klammer |text=also eine Linearkombination aller {{math|term=X_{ij}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} in Matrixform als {{math/disp|term={{op:Matrixmn|c|m=n|n=r}}|SZ=}} gegeben ist, wobei die {{mathl|term=c_{ij}|SZ=}} die Koeffizienten zu {{mathl|term=X_{ij}|SZ=}} bezeichnen, so erhält man die durch {{math|term=g|SZ=}} transformierte Linearform, indem man die Matrix von rechts mit der transponierten Matrix zu {{math|term=g|SZ=}} multipliziert, also {{ math/disp|term= {{op:Matrixmn|c'|m=n|n=r}} = {{op:Matrixmn|c|m=n|n=r}} \circ {{op:transponiert|{{op:Matrixaij|n=r}} |}} |SZ=. }} Damit liegt eine Operation der {{mathl|term={{op:GLG|r|K}}|SZ=}} auf dem Polynomring in {{math|term=nr|SZ=}} Variablen vor. Um invariante Polynome zu bekommen, schränken wir die Operation auf die spezielle lineare Gruppe {{mathl|term= {{op:SLG|r|K}} \subseteq {{op:GLG|r|K}} |SZ=}} ein. Dann sind sämtliche {{ Definitionslink |Prämath=r |Minoren| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Variablenmatrix {{ math/disp|term= {{op:Matrixmn|X|m=n|n=r}} |SZ= }} invariant unter der Gruppenoperation. Dazu betrachten wir die {{ Definitionslink |Prämath= |universelle alternierende Abbildung| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Dachprodukt/Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V^r| \bigwedge^r V |(v_1 {{kommadots|}} v_r)| v_1 {{wedgedots|}} v_r |SZ=. }} Diese Abbildung ist nach einer geeigneten Verallgemeinerung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} invariant unter der Gruppenoperation {{ Zusatz/Klammer |text=dafür braucht man, dass die Determinanten von {{math|term=g|SZ=}} gleich {{math|term=1|SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ=. }} Die {{math|term=r|SZ=-}}Minoren sind Linearformen auf dem {{math|term=r|SZ=-}}ten Dachprodukt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1eynoa4x5q2hrj1l0vtz890wplybcno 0 56026 748660 540438 2022-08-10T12:24:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die natürliche Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= G = {{op:GLG||V}} |SZ=}} besitzt nur zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Bahnen| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nämlich den Nullpunkt {{math|term=0|SZ=}} und {{mathl|term=V \setminus \{0\}|SZ=.}} Je zwei von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene Vektoren können ja mit einem geeigneten {{mathl|term=g \in G|SZ=}} ineinander überführt werden. Hier sind also keine interessanten Invarianten zu erwarten. Ein {{ Ma:Vergleichskette | g |\in| G || || || |SZ= }} transformiert aber nicht nur einen einzigen Punkt {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einen Vektor| |ISZ=|ESZ=, }} sondern beliebige Teilmengen {{mathl|term=T \subseteq V|SZ=.}} Die Frage, ob zwei Teilmengen {{mathl|term=T_1,T_2 \subseteq V|SZ=}} mittels einem {{ Ma:Vergleichskette | g |\in| G || || || |SZ= }} ineinander überführt werden können, wird schnell kompliziert {{ Zusatz/Klammer |text=die Menge der betrachteten Objekte muss im Allgemeinen kein Vektorraum mehr sein| |ISZ=|ESZ=. }} Hier betrachten wir endliche geordnete Punktmengen. Wir fixieren eine Zahl {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} und betrachten Punkttupel {{ math/disp|term= (P_1 {{kommadots|}} P_n) \in V^n |SZ=, }} die wir uns als eine geordnete Punktkonfiguration in {{math|term=V|SZ=}} vorstellen. Die Punkte sind also durchnummeriert, und es ist auch der Fall erlaubt, dass {{mathl|term=P_i=P_j|SZ=}} ist. Die Operation der allgemeinen linearen Gruppe dehnt sich sofort auf diese Situation aus, und zwar ist die Operation durch {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG||V}} \times V^n |V^n |(g,v_1,v_2 {{kommadots|}} v_n) |(g(v_1),g(v_2) {{kommadots|}} g(v_n)) |SZ=, }} gegeben. Im einfachsten Fall, bei {{mathl|term=V=K|SZ=,}} geht es um die Operation der {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitengruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Einheiten|K}} |SZ=}} auf {{math|term=K^n|SZ=}} durch skalare komponentenweise Multiplikation. Die Bahnen sind neben dem Nullpunkt die punktierten Geraden durch den Nullpunkt. Außer den konstanten Funktionen gibt es keine invarianten Polynome. Die auf {{mathl|term= K^n \setminus \{0\} |SZ=}} eingeschränkte Operation besitzt den {{math|term=n-1|SZ=-}}dimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} als Quotienten. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2=Theorie der Graßmann-Varietät |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} degj30fliu7zkbw097gdara8ug3r0yx 0 56098 748661 579136 2022-08-10T12:25:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche| |Definitionsseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Natürliche Operation/Beispiel |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeinen linearen Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} auf {{math|term=V|SZ=,}} also die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:GLG||V}} \times V|V |(\varphi,v)| \varphi(v) |SZ=, }} induziert für jede Untergruppe {{mathl|term=G \subseteq {{op:GLG||V}} |SZ=}} eine lineare Operation {{ Ma:abbele/disp |name= | G \times V|V |(\varphi,v)| \varphi(v) |SZ=. }} Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |spezielle lineare Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term={{op:SLG||V}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dazu muss {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein| |ISZ=|ESZ= }} und alle endlichen Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} hinreichend groß ist{{{zusatz1|}}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise ein {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bei {{mathlk|term=K=\R|SZ=}} oder {{mathlk|term=K={{CC}}|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Orthogonale Gruppe||V}} |SZ=}} und die eigentliche {{ Definitionslink |Prämath= |Isometriegruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Spezielle orthogonale Gruppe||V}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2f0iz68jwn9amgro61cn0adi1htens5 0 56218 748662 540136 2022-08-10T12:26:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=G= {{op:GLG||V}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit ihrer natürlichen Operation auf der Menge {{ math/disp|term= M={{mengebed| (v_1 {{kommadots|}} v_n) \in V^n | \text{Basis} }} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Operation {{ Definitionslink |Prämath= |transitiv| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Wie sieht es auf ganz {{math|term=V^n|SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenoperationen |Kategorie2=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o9926yeaow7m3lnbyukaqeplyufjsnf 0 56331 748785 538747 2022-08-10T14:06:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |treu| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |operiere| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sei kein Vielfaches der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixraum der Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also der gemeinsame Eigenraum zum Eigenwert {{math|term=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Vektorraumdimension|V^G|}} || {{op:Bruch|1| {{op:Gruppenordnung|G|}} }} \sum_{\sigma \in G} {{op:Spur|\sigma|}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Fixraum und Spur |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cvld71bz1jkwy7g5g832it05lnoebrf 0 56332 748786 461035 2022-08-10T14:07:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die lineare Abbildung {{ Ma:Vergleichskette/disp | \pi || {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|G|}} }} \sum_{\sigma\in G}\sigma || || || |SZ=. }} Zu {{mathl|term=w \in V|SZ=}} ist {{mathl|term=\pi (w)|SZ=}} {{math|term=G|SZ=-}}invariant und für {{mathl|term=v \in V^G|SZ=}} ist {{mathl|term=\pi (v)=v|SZ=.}} Daher ist {{math|term=\pi |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Projektion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V|V^G || |SZ=. }} Eine lineare Projektion wird in einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |Diagonalmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben, in der {{ Ma:Vergleichskette | m || {{op:Vektorraumdimension|V^G|}} || || || |SZ= }} Einsen und sonst Nullen stehen. Also ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Spur|\pi|}} ||m || || || |SZ=. }} Die Behauptung folgt daraus, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} additiv ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} shfufh07wm6lja04z3nyg9be3eybuau 0 56374 748864 461048 2022-08-10T15:07:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\varphi |\neq|0 || || || |SZ=. }} Wir müssen zeigen, dass {{math|term=\varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U | {{defeq|}} | {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term=U|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=G |invariant| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wegen der Irreduzibilität von {{math|term=\rho_1|SZ=}} ist {{ mathkor|term1= U=0 |oder|term2= U=V_1 |SZ=, }} wobei die zweite Möglichkeit wegen {{ Ma:Vergleichskette |\varphi |\neq|0 || || || |SZ= }} ausscheidet. Also ist der Kern trivial und damit ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei jetzt {{ Ma:Vergleichskette |W | {{defeq|}} | {{op:Bild|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Gruppenoperation/Kern und Bild/Invariant/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term=W|SZ=}} ebenfalls {{math|term=G|SZ=-}}invariant. Der Fall {{mathl|term=W=0|SZ=}} ist wegen {{mathl|term=\varphi\neq 0|SZ=}} ausgeschlossen, also ist {{ Ma:Vergleichskette | W || V_2 || || || |SZ= }} wegen der Irreduzibilität von {{math|term=\rho_2|SZ=}} und somit ist {{math|term=\varphi|SZ=}} auch {{ Definitionslink |Prämath= |surjektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xnc309dk6l08v2o5moagtj3jdi3gfb 0 56377 748788 373869 2022-08-10T14:08:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name=\rho | G| {{op:GLG||V}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Voraussetzung= mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sigma \circ \varphi || \varphi \circ \sigma || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=\sigma \in G|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Streckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Lemma von Schur |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Lemma von Schur |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} to1j5qptl2c7v7v3pny1ptzhy99jvbp 0 56378 748842 461049 2022-08-10T14:51:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aufgrund der Voraussetzung an {{math|term=K|SZ=}} besitzt {{math|term=\varphi|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\lambda|SZ=.}} Wir betrachten {{mathl|term=\varphi-\lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=.}} Da eine Streckung mit jedem Endomorphismus vertauscht, gilt für {{mathl|term=\varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} ebenfalls die Voraussetzung. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Irreduzible Darstellungen/Gruppe/Lemma von Schur/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist also {{mathl|term=\varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} oder gleich {{math|term=0|SZ=.}} Da es einen nichttrivialen Kern {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich den {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\lambda|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} besitzt, muss {{ Ma:Vergleichskette | \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} ||0 || || || |SZ= }} sein, also ist {{math|term=\varphi|SZ=}} ein skalares Vielfaches der Identität. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2nxcx1ipap6usqueov6khoddlixlc82 0 56419 748809 461036 2022-08-10T14:25:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Monome {{mathl|term=X^{\nu_1}_1 \cdots X^{\nu_n}_n|SZ=}} vom Gesamtgrad {{ Ma:Vergleichskette |d || \sum_{j {{=}} 1}^n d_j\nu_j || || || |SZ= }} bilden eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=R_d|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term=d|SZ=-}}ten Stufe {{math|term=R_d|SZ=}} ist also die Anzahl der Elemente in der Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | A_d | {{defeq|}} | {{mengebed| (\nu_1 {{kommadots|}} \nu_n) \in \N^n | \nu_1 d_1+\ldots+\nu_n d_n {{=}} d }} || || || |SZ=. }} Die Behauptung folgt somit aus {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum^\infty_{d {{=}} 0} {{op:Betrag|A_d||}} z^d || \sum^\infty_{d {{=}} 0} \sum_{(\nu_1 {{kommadots|}} \nu_n) \in A_d} z^d || {{makl| \sum^\infty_{\nu_1 {{=}} 0} z^{\nu_1 d_1}|}} \cdots {{makl| \sum^\infty_{\nu_n {{=}} 0} z^{\nu_n d_n}|}} || \frac{1}{1-z^{d_1} } \cdots \frac{1}{1-z^{d_n} } |SZ=, }} wobei wir im letzten Schritt die Formel für die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Reihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verwendet haben. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 550fcnkgzucac0gydo6gmxt63gyas2x 0 56426 748874 636695 2022-08-10T15:16:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |unendlicher Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann lässt sich der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]|SZ=}} auch als die von sämtlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=K |Unteralgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|V|K}} |SZ=}} definieren. Dies beruht darauf, dass ein Polynom {{math|term=\neq 0|SZ=}} auf {{math|term=K^n|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also als Polynomfunktion aufgefasst| |ISZ=|ESZ= }} nicht die Nullfunktion ist. Bei einem endlichen Körper ist dies nicht richtig, wie das Polynom {{mathl|term=X^p-X|SZ=}} über {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} zeigt. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g97uy1x5205z5uhr8p6m3rc4o0v5ssm 0 56427 748765 636631 2022-08-10T13:42:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=V,W|SZ=}} seien {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Den durch {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Dualraum|\varphi|}} | {{op:Dualraum|W|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} über {{mathl|term=f_1 \cdots f_m \mapsto {{op:Dualraum|\varphi|}} (f_1) \dots {{op:Dualraum|\varphi|}} (f_m) |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name= |K[W]|K[V] || |SZ= }} nennt man {{ Definitionswort |Prämath= |induzierten Algebrahomomorphismus| |msw=Induzierter K-Algebrahomomorphismus |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Induzierter Algebrahomomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hy6p0vx9okbvthr09u65yq4d58qmi08 0 56465 748635 373543 2022-08-10T11:59:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |positiv-graduierte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass für jedes {{mathl|term=d \in \N|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Stufe| |Kontext=Graduierung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_d|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dann nennt man die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzreihe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \sum_{d =0 }^\infty {{op:Vektorraumdimension|R_d|}} z^d |SZ= }} die {{ Definitionswort |Prämath= |Hilbert-Reihe| |msw= |SZ= }} von {{math|term=R|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Hilbert-Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hilbert-Reihe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikwhejygbwe8qlk7ss85p6f4fflcwxy 0 56496 748734 458272 2022-08-10T13:18:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Endlichdimensionaler Vektorraum/Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Operation| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |homogen| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. dass für jedes {{mathl|term=\sigma \in G|SZ=}} und {{mathl|term=f \in R_d|SZ=}} auch {{mathl|term=f \sigma \in R_d|SZ=}} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dgznrv8q6nr3vvazzzbbvhq0yshlyxx 0 56500 748732 373471 2022-08-10T13:17:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Endlichdimensionaler Vektorraum/Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixring| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{mathl|term=R^G \subseteq R=K[V]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |induzierten Operation| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=\N |graduierter Unterring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz=Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{makl| R^G |}}_d || (R_d)^G || || || |SZ=, }} die {{math|term=d|SZ=-}}te Stufe des Fixringes ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Fixraum| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der induzierten Operation auf der {{math|term=d|SZ=-}}ten Stufe des Polynomringes. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Graduierung des Fixringes bei linearer Operation |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} is7362ygy0jczhihlbzyrxvux8iso5j 0 56503 748882 333119 2022-08-10T15:25:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Die Elemente eines {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomrings| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]|SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} kann man als Funktionen von {{math|term=V|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} auffassen. Wenn eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} auf {{math|term=V|SZ=}} vorliegt, so ist ein Element {{mathl|term=f \in K[V]^G \subseteq K[V] |SZ=}} eine invariante Funktion von {{math|term=V|SZ=}} nach {{math|term=K|SZ=}} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Definitionsseitenname= Gruppenoperation/Zwei Mengen/Invariante Abbildung/Definition |SZ=. }} Zu {{mathl|term=\sigma \in G|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ist ja {{ Ma:Vergleichskette/disp |f ( \sigma (v)) || (f \sigma) (v) || f(v) || || |SZ=. }} Wenn {{math|term=K|SZ=}} unendlich ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung, d.h. ein Polynom {{mathl|term=f \in K[V]|SZ=,}} das aufgefasst als Funktion auf {{math|term=V|SZ=}} invariant ist, gehört zum Invariantenring {{mathl|term=K[V]^G|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Lineare Operation/Unendlicher Körper/Invariante Funktion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Bei endlichem {{math|term=K|SZ=}} muss die Umkehrung nicht gelten, siehe {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= F_p/Variablenvertauschung/xy^p-x^py/Funktional invariant/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{{zusatz1|}}} |Textart=Bemerkung |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5i4wxl5ks7nwel4wwn3117bkmfw96ww 0 56952 748733 335056 2022-08-10T13:17:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} auf dem eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear operiere| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= |K[V] \times G|K[V] || |SZ= }} die zugehörige Operation auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times {{op:Spek|K[V]|}} | {{op:Spek|K[V]|}} || |SZ= }} die zugehörige Operation auf dem Spektrum. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann liegt über die natürliche Einbettung {{mathl|term=V \subseteq {{op:Spek|K[V]|}}|SZ=}} eine Fortsetzung der Operation vor. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Theorie der Gruppenoperationen auf affinen Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Lineare Operation und Spektrum |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5q7dh0kqljsphir6aq1vqbq3gf7wu78 0 56953 748729 373101 2022-08-10T13:13:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} seien zwei {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\psi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K[W]|K[V] || |SZ= }} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomringen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi^* | {{op:Spek|K[V]|}} | {{op:Spek|K[W]|}} || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann kommutiert das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|V|W| {{op:Spek|K[V]|}} | {{op:Spek|K[W]|}}|abb12=\psi|abb34=\varphi^*|SZ=,}} wobei die vertikalen Abbildungen die natürlichen Einbettungen sind. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgkgfgtnh27gxyjftokkefgu9cxjfve 0 58078 748873 340668 2022-08-10T15:15:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=Q(R)|SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} erhält man im {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=Q(R) {{tensor|R}} M|SZ=}} einen Modul über dem Quotientenkörper {{math|term=Q(R)|SZ=,}} also einen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nennt man auch den {{Stichwort|Rang|SZ=}} des Moduls. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1vleq1kfoqzyzsdv9vjqs6ycnoaekse 0 58969 748790 343755 2022-08-10T14:10:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=linear unabhängig|Anf=Li| |Siehe= |Ziel=Lineare Algebra/Linear unabhängig/Definition }} 0gwh74jwevk8r7hboqd4xpsaphyip30 0 59523 748775 346451 2022-08-10T13:49:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und einer natürlichen Zahl {{math|term=r|SZ=}} nennt man die Menge der {{ Definitionslink |Prämath=r |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} die {{math|term=r|SZ=-}}te {{ Definitionswort |Prämath= |Graßmann-Varietät| |msw= |SZ=. }} Sie wird mit {{mathl|term=G(r,V)|SZ=}} und bei {{mathl|term=V=K^n|SZ=}} mit {{mathl|term=G(r,n)|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Graßmann-Varietät |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Graßmann-Varietät |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0r0p9i7ppzju7jmymf4una6t0dj6y3x 0 59574 748760 373899 2022-08-10T13:37:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |linear reduktive Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=,}} die auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=K |rational operiere| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Invariantenring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=K[V]^G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Invariantenring einer linear reduktiven Gruppe |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ekrjmq1yvh09pzgcuaz2gkkaasxvhw5 0 59627 748865 347044 2022-08-10T15:08:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Gruppe {{math|term=G|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Charakter| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name= |G| {{op:Einheiten|K|}} || |SZ= }} gehört. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfyp20vttb4dm9l7asyrpviec2p1tpl 0 59682 748752 347170 2022-08-10T13:30:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\Z|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} an, die nicht {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig reduzibel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der unendlichen zyklischen Gruppe |Kategorie2=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tjc0gkz1gocg2fjja3tvps0g26mo71 0 61182 749037 373792 2022-08-11T11:26:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ=a |1= Jede {{ Definitionslink |Prämath= |natürliche Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= n \in \N ||bedterm1= n \geq 2 |SZ=, }} besitzt eine Zerlegung in Primfaktoren. |Situation= |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= |Zusatz=D.h. es gibt eine Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||p_1 \cdot p_2 {{cdots}} p_r || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Primzahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p_i|SZ=.}} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie (Existenz) |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pff6xthx3aqkp40yjql27xysdtokyqg 0 61183 749035 699199 2022-08-11T11:25:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{Beweisstruktur |Strategie=Wir beweisen die Existenz durch Induktion über {{math|term= n |SZ=.}} {{ Induktionsbeweis |Strategie= |Anfang= Für {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} liegt eine Primzahl vor{{{zusatz1|.}}} |Schluss= Bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} ist entweder {{math|term= n |SZ=}} eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber {{math|term= n |SZ=}} ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | n || ab || || || |SZ= }} mit kleineren Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |a,b |<| n || || || |SZ=. }} Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für {{math|term= n |SZ=}} zusammen{{{zusatz2|.}}} |Zusammenfassung= }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46bryc1d381dnest2dupjsllmxumhmt 0 61203 748891 690876 2022-08-10T15:34:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |I || [a,b] || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossenes Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Kann man {{math|term=I|SZ=}} in zwei disjunkte {{ Definitionslink |Prämath= |Unterräume| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |I ||T_1 \cup T_2 || || || |SZ= }} derart zerlegen, dass {{ mathkor|term1= T_1 |und|term2= T_2 |SZ= }} untereinander {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Intervalle |Kategorie2=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie3=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=10 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ai0k58be4kbz9ltl86ozsju7xhmb7nt 0 61780 748770 539980 2022-08-10T13:46:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=,}} deren {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{math|term=1|SZ=}} ist, nennt man die {{ Definitionswort |Prämath= |spezielle lineare Gruppe| |msw= |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:SLG||V|}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der speziellen linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Spezielle lineare Gruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7urvnxvn8wmiv15wnqn70t9hzcyhiuw 0 62448 748639 511385 2022-08-10T12:02:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |G| {{op:GLG||V|}} || |SZ= }} heißt eine {{ Definitionswort |Prämath= |stetige Darstellung| |msw= |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Darstellungstheorie von topologischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetige Darstellung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72om9i647u8qts2g7rygbhjwcj3yxkc 0 64751 748971 694946 2022-08-11T07:37:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|\R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abbele/disp |name=f |U|\R || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=h |U|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |b |\in| \R || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |M ||f^{-1}(b) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} über {{math|term=b|SZ=.}} |Voraussetzung= Die eingeschränkte Funktion {{mathl|term= h {{|}}_M |SZ=}} besitze im Punkt {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokales Extremum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=}} und {{math|term=a|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |Prämath= |regulärer Punkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{mathl|term= {{op:Totales Differential| h | a}} |SZ=}} ein Vielfaches von {{mathl|term= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette |\lambda |\in|\R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential| h | a}} || \lambda {{op:Totales Differential| f | a}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Notwendiges Kriterium für die Existenz eines Extremums auf einer Hyperfläche |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t7n3ts4tgr0mc4s71m2yyijklq7eh5k 0 64759 748970 694951 2022-08-11T07:36:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |U|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |M ||f^{-1}(b) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette |b |\in| \R || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term=h |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=\R^n|SZ=,}} |Voraussetzung= deren Einschränkung {{mathl|term=h {{|}}_M |SZ=}} auf {{math|term=M|SZ=}} im {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{math|term=f|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |regulären Punkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |a |\in|M || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokales Extremum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=h|SZ=}} ein Vielfaches von {{mathl|term= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in| \R || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | h || \lambda {{op:Totales Differential| f | a}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mw3fe269awpyevmmv93kj9yqi1y5ci3 0 65108 748707 390778 2022-08-10T12:59:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= Jeder {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Übergang= |Folgerung= besitzt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz von Hamel |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llj8pf943tgres1yb1ylr8plf7tdrgi 0 65109 748708 689559 2022-08-10T12:59:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Sei {{math|term=V|SZ=}} ein Vektorraum über einem Körper {{math|term=K|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks |M || {{mengebed|T \subseteq V| \text{ Die Elemente aus } T \text{ sind linear unabhängig} }} || || || |SZ=. }} Die leere Menge gehört zu {{math|term=M|SZ=,}} also ist {{math|term=M|SZ=}} nicht leer. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |S || \bigcup_{T \in N} T || || || |SZ= }} ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von {{math|term=N|SZ=}} in {{math|term=M|SZ=}} bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq|S || || || |SZ=, }} deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein {{ Ma:Vergleichskette |T |\in|N || || || |SZ=, }} das {{math|term=E|SZ=}} umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem {{ Faktlink |Präwort=|Lemma von Zorn|Faktseitenname= Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term=M|SZ=}} also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|V || || || |SZ=, }} die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von {{math|term=V|SZ=}} gibt. Wir behaupten, dass {{math|term=T|SZ=}} auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} ist. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|T || || || |SZ= }} sind wir fertig. Bei {{ Ma:Vergleichskette |v |\notin|T || || || |SZ= }} ist {{mathl|term=T \cup \{v\}|SZ=}} linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination {{ Ma:Vergleichskette/disp | \sum_{i{{=}}1}^n c_i t_i +cv ||0 || || || |SZ= }} mit Elementen {{ Ma:Vergleichskette |t_i |\in|T || || || |SZ= }} und Koeffizienten {{ Ma:Vergleichskette |c_i,c |\in|K || || || |SZ=, }} die nicht alle {{math|term=0|SZ=}} sind. Dabei kann {{math|term=c|SZ=}} nicht {{math|term=0|SZ=}} sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus {{math|term=T|SZ=}} vorliegen würde. Also kann man {{math|term=v|SZ=}} als Linearkombination der {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_n |SZ=}} ausdrücken. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l0rj41bg27z4ny4shbzgljqnf7p8lji 0 65363 748978 520690 2022-08-11T07:43:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängender| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= ist {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängend| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der wegzusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der zusammenhängenden metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qdhqr4d40aamq9an9pck4k4wjry9sqw 0 66084 748780 593802 2022-08-10T13:59:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Entscheide{{n Sie}}, ob das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Integral|0|\infty|grand= {{op:Betrag|{{op:Bruch| {{op:sin|x|}}| x }}||}} ||x }} |SZ= }} existiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fx4a48psfycg8gjd71vl34mjie2jgv 0 66090 748890 434651 2022-08-10T15:34:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |offene Einheitsintervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=]0,1[|SZ=}} und das {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossene Einheitsintervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=[0,1 ]|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |homöomorph| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Topologie der reellen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Homöomorphismen zwischen metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} imy8yliic8djhl7j7nom4qenk2km770 0 66111 748906 735721 2022-08-10T15:45:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= {{{M|M}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{ Ma:abb/disp |name=f,g | {{{M|M}}} | {{KRC/{{{K|K}}}|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |stetige Funktionen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind auch die Funktionen {{ Ma:abbele/disp |name=f+g | {{{M|M}}} | {{KRC/{{{K|K}}}|}} |x|f(x)+g(x) |SZ=, }} {{ Ma:abbele/disp |name=f-g | {{{M|M}}}|{{KRC/{{{K|K}}}|}} |x|f(x)-g(x) |SZ=, }}{{ Ma:abbele/disp |name=f \cdot g | {{{M|M}}}| {{KRC/{{{K|K}}}|}} |x|f(x) \cdot g(x) |SZ=, }} stetig. Für eine Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{{M|M}}} || || || |SZ=, }} auf der {{math|term=g|SZ=}} keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f/g |U|{{KRC/{{{K|K}}}|}} |x|f(x)/g(x) |SZ=, }} stetig. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der stetigen Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Verknüpfungen von stetigen Funktionen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} astmph4fygc2snde2fyzp1tm5300ys6 0 66440 748922 640097 2022-08-10T16:00:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Intervall/Euklidischer Vektorraum/Kurve/Situation|SZ=.}} Dann heißt {{math|term=f|SZ=}} {{Definitionswort|stetig differenzierbar|SZ=,}} wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} existiert und {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differenzierbare Kurve |Definitionswort2=Ableitung |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nl7i8qfoyhnuy9qz390cuvwvywknpjr 0 66771 748712 648753 2022-08-10T13:02:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC/{{{K|K}}} }} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} ein Punkt, {{ Ma:abb |name=\varphi |G|W || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f |G| {{KRC/{{{K|K}}} }} || |SZ= }} in {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Abbildungen| |Kontext=total {{{K|K}}}| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Produktabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= f \cdot \varphi |G|W || |SZ= }} in {{math|term=P|SZ=}} differenzierbar mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Totales Differential|(f \cdot \varphi)|P|}} || f(P) \cdot {{op:Totales Differential| \varphi|P|}} + {{op:Totales Differential|f|P|}} \cdot \varphi (P) || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Produktregel für totales Differential |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nkgsjd5xnenfn0mljacy79nqsm9lzua 0 67185 748892 696733 2022-08-10T15:35:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abbele/disp |name=f_n |T|\R^m || |SZ= }} eine Folge von Abbildungen. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f_n|SZ=}} genau dann gegen eine {{ Definitionslink |Prämath= |Grenzabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |T|\R^m || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Komponentenfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(f_i)_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |gleichmäßig| |Kontext=Konvergenz R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen {{math|term=f_i|SZ=}} konvergieren. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungsfolgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k5362jz4o8o4bd5n5mbtfufy8l21ew9 0 67430 748911 416732 2022-08-10T15:52:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=U \subseteq \R^{n}|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name={{{h|h}}} |I \times U|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man den Ausdruck {{ Ma:Vergleichskette/disp | y^{(n)} ||{{{h|h}}} {{makl| t,y ,y' ,y^{\prime \prime} {{kommadots|}} y^{(n-1)} |}} || || || |SZ= }} eine {{Stichwort/Antwort|Differentialgleichung der Ordnung|SZ=}} {{math|term=n|SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} maazfqyim4aj8xveaaw0q88feo1258p 0 67442 748958 511027 2022-08-11T07:08:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Für {{ mathbed|term= x \in \R ||bedterm1= x > -1 ||bedterm2= |SZ=, }} heißt die {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= x \longmapsto {{op:Fak(|x|}} {{defeq|}} {{op:Integral|0|\infty|grand=t^x e^{-t} }} |SZ= }} die {{Stichwort/Antwort|Fakultätsfunktion|SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2xq3gsi5y3v31dahfn0we6p4mlsx2nd 0 67452 748929 531449 2022-08-10T16:05:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=,}} {{mathl|term=I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ= }} eine Funktion. Dann heißt das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times U|V |(t,v)|F(t,v) {{=|}} g(t,v) \cdot v |SZ=, }} ein {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |Zentralfeld| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cipvk0oyzplgze8akoa9ersplqbxeet 0 67459 748914 715048 2022-08-10T15:54:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{mathl|term=T \subseteq \R^{{{m|m}}}|SZ=}} heißt kompakt, wenn sie {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} scqk8iqxeuzw8sgnifqdhrcl9vuqwhh 106 67951 748686 408989 2022-08-10T12:40:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|79| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Karten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Wegzusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vertauschung/Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Rotationsmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Sphäre/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Sphäre/Nicht homöomorph/Heuristisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Ohne Diagonale/Diffeomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreislinie/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Surjektive Abbildung von Ebene/Surjektive Tangentialabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Surjektive Abbildung mit Struktur/Vektorraumstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Zwei Punkte/Gemeinsame Kartenumgebung/Quadrat/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Rechenbeispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 6unw4b8nvbzso39mcltot2dwo0a53h8 0 72359 748657 540074 2022-08-10T12:20:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\partial M|SZ=}} und mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{math|term=\omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(n-1) |Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktem| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Träger| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}{{{zusatz1|}}} auf {{math|term=M|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|d\omega|M}} || {{op:Integralform|\omega|\partial M}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pvexwhhrk9s7rxy61qx1fedate1i6f9 0 73663 748759 510825 2022-08-10T13:36:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{{K|{{KRC|}}|}}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=G \subseteq V|SZ=}} eine offene Teilmenge, und {{ Ma:abb |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine im Punkt {{mathl|term=P \in G|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} in {{math|term=P|SZ=}} in jede Richtung {{math|term=v|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|\varphi|P|v|}} || {{op:Totales Differential|\varphi|P|v|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yfzc52w6iaqztgb7wyxezihowkguch 0 73702 748920 715055 2022-08-10T15:59:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term=T \subseteq \R^{{{m|m}}}|SZ=}} eine Teilmenge. Dann ist {{math|term=T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn jede Folge in {{math|term=T|SZ=}} eine in {{math|term=T|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0rfy3j663vkwkuvrk6cjh674nfeiag 0 73903 748910 621479 2022-08-10T15:51:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= {{{L|L}}} |und|term2= {{{M|M}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name={{{f|f}}} |{{{L|L}}}|{{{M|M}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=S \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist auch das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= f(S) |SZ= }} zusammenhängend. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejylkxkq56zltedly73ih7bvs69zps1 0 73904 748950 510295 2022-08-10T17:56:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{mathl|term=U \subseteq \R^n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name={{{h|h}}} |I \times U|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist die {{ Definitionslink |Differentialgleichung höherer Ordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= y^{(n)} ={{{h|h}}} {{makl| t,y ,y' ,y^{\prime \prime} {{kommadots|}} y^{(n-1)} |}} |SZ= }} über die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette | v_i | {{defeq|}} | y^{(i)} || || || |SZ= }} äquivalent zum {{ Definitionslink |Differentialgleichungssystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Spaltenvektor|v_0|v_1|\vdots|v_{n-2}|v_{n-1} }}' || {{op:Spaltenvektor|v_1|v_2|\vdots|v_{n-1}|{{{h|h}}}(t, v_0,v_1 {{kommadots|}} v_{n-1}) }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dd59r5fwp9getmhz43bjeahtvwczjp 0 73918 748960 427705 2022-08-11T07:09:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Teilmenge {{mathl|term=A \subseteq {{{M|M}}}|SZ=}} heißt {{Stichwort/Antwort|abgeschlossen||SZ=,}} wenn das {{ Definitionslink |Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term={{{M|M}}} \setminus A|SZ=}} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dl5d5bjjuy8dg8mvunb82ip47r5jorh 0 73923 748959 510721 2022-08-11T07:09:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{math|term=f|SZ=}} heißt {{Stichwort/Antwort|Lipschitz-stetig|SZ=,}} wenn es eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=c \geq 0|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f(x)|f(y)}} |\leq| c \cdot {{op:Abstand|x|y}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=x,y \in L|SZ=}} gibt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzbw79t8w1g0qnf2ryrx5o79a8o1kvi 0 74637 748783 439829 2022-08-10T14:04:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann bildet die {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ= }} eine Basis des {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraums| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Dualbasis |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jog0j7c3yvem4fv0nlwt31em9rnm8va 106 74721 748681 467106 2022-08-10T12:39:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2015-2016)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|57| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Körperwechsel/Charakteristisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Allerdings können beim Übergang von {{math|term=K|SZ=}} nach {{math|term=L|SZ=}} neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten. {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Körperwechsel/Homomorphismenraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Nach L-Vektorraum/Fortsetzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist Dimension/Nicht 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Determinantenabbildung zu fixierten Dualformen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Transformation des Dachprodukts von Teilfamilien/Determinante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt/Über Konstruktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Permutationen/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Körperwechsel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Körperwechsel/Determinante/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Asymptotische Eigenschaften/Komplexifizierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} cz0jcwrbqzeaxt403qxut7a1k8tt25a 0 74768 748815 466106 2022-08-10T14:30:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung6 |Das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=Körperwechsel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= L {{tensor|K}} V |SZ=}} ist ein {{math|term=L|SZ=-}}Vektorraum. |Es gibt eine kanonische {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V| L {{tensor|K}} V |v| 1 {{tensor|}} v |SZ=. }} Bei {{mathl|term=K=L|SZ=}} ist dies ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zu einer {{ Definitionslink |Prämath=K |linearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} ist die induzierte Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Identität|L|}} {{tensor|}} \varphi |L {{tensor|K}} V |L {{tensor|K}} W || |SZ= }} eine {{math|term=L|SZ=-}}lineare Abbildung. |Zu {{mathl|term=V=K^n|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | L {{tensor|K}} K^n |\cong| L^n || || || |SZ=. }} |Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr|V|K}} || {{op:dim vr|L {{tensor}}_KV|L}} || || || |SZ=. }} |Zu einer weiteren Körpererweiterung {{mathl|term=L \subseteq M|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | M {{tensor|K}} V |\cong|M {{tensor|L}} {{makl| L {{tensor|K}} V |}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eine Isomorphie von {{mathlk|term=M|SZ=-}}Vektorräumen| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte bei einer Körpererweiterung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3x5htr396615nv1ksfg4yhowkmu2h7d 0 74774 748813 466093 2022-08-10T14:28:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) folgt unmittelbar aus der Definition des {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukts| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} (2). Da die {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= V_1 {{tensordots|K}} V_n|SZ=}} sind und {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bar{\psi}(v_1 {{tensordots|}} v_n) || \psi (v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraum {{math|term=F|SZ=}} aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die {{mathl|term=e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_n)}|SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=F|SZ=,}} daher legt die Vorschrift {{ Ma:Vergleichskette/disp |\tilde{\psi} {{makl| e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_n)} |}} | {{defeq|}} | \psi( v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\psi} |F|W || |SZ= }} fest. Wegen der {{ Definitionslink |Prämath= |Multilinearität| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\psi|SZ=}} wird der Untervektorraum {{math|term=U|SZ=}} auf {{math|term=0|SZ=}} abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Faktorisierungssatz|Faktseitenname= Vektorräume/Lineare Abbildung/Faktorisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\overline{\psi} |F/U \cong V_1 {{tensordots|K}} V_n|W || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1x2iof6mn2tmae8nk788iw1d7mm36qb 0 74779 748722 508455 2022-08-10T13:09:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorräume endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{basis|v|}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{basis|w|}} = w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} eine Basis von {{math|term=W|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Hom|V|W}} | {{op:Mat|m|n}} |f| M^{ {{basis|v}} }_{ {{basis|w}} } (f) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K|SZ=-}}Vektorräumen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Homomorphismenraum und Matrizenraum |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sget24s7frdgfkg25z0db08hiim0h9x 0 74780 748671 508456 2022-08-10T12:32:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorräume endlichdimensional/Situation|SZ=}} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Dimensionen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= n |bzw.|term2= m |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr|{{op:Hom|V|W}} |}} || nm || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Dimension des Homomorphismenraumes |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxogoeomf06c3tey7e619sdih1nq5jb 0 74821 748812 585851 2022-08-10T14:27:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |V| {{op:Dualraum|({{op:Dualraum|V|}})|}} |v| {{makl| f \mapsto f(v) |}} |SZ=. }} Wenn {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist {{math|term=\Psi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Natürliche Abbildung ins Bidual |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} okcaoztmavprrx7qe3m1j9h1sbrzkke 0 74827 748727 459358 2022-08-10T13:12:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term=w_1 {{kommadots|}} w_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=W|SZ=}} und {{mathl|term=w_1^* {{kommadots|}} w_n^* |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |f_i ||\varphi^*(w_i^*) || w_i^* \circ \varphi || || |SZ=. }} Dann ist für jeden Vektor {{mathl|term=v \in V|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{makl| \sum_{i {{=}}1 }^n f_i w_i |}} (v) || \sum_{i {{=}}1 }^n f_i (v) w_i || \sum_{i {{=}}1 }^n ( w_i^* \circ \varphi ) (v) w_i || \sum_{i {{=}}1 }^n w_i^* ( \varphi (v)) w_i || \varphi(v) |SZ=, }} wobei die letzte Gleichung auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Basis/Dualbasis/Tautologisches Lemma/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beruht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 16jf2m8jroocuipy24t8z7a1jivuydv 106 74846 748684 447149 2022-08-10T12:40:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|79| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Ist Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zwei abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten/Produkt davon/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Karten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktierte Ebene/Produktmannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von Mannigfaltigkeiten/Wegzusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Diagonale/Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vertauschung/Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Rotationsmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Andere Fasern/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Sphäre/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Sphäre/Nicht homöomorph/Heuristisch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Ohne Diagonale/Diffeomorphietyp/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Surjektive Abbildung von Ebene/Surjektive Tangentialabbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreislinie/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Allgemeine lineare Gruppe/R/Definiere differenzierbare Gruppenstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1xR/Spiegelung/Selbstinverser Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Surjektive Abbildung mit Struktur/Vektorraumstruktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Torus/Produktdarstellung und Schlauch/Bijektion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Torus/Zwei Punkte/Gemeinsame Kartenumgebung/Quadrat/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Rechenbeispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgabe zum Hochladen}} {{ inputaufgabe |Torus/Faserrealisierung/Animation/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} h02tehf8dtlfv9o9u9vh4t24abladw5 0 74858 748663 430679 2022-08-10T12:27:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt für jeden Vektor {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \sum_{i {{=}} 1 }^n v_i^*(v) v_i || || || |SZ=. }} |Zusatz=D.h. die Linearformen {{math|term=v_i^*|SZ=}} ergeben die Skalare {{ Zusatz/Klammer |text=Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} }} eines Vektors bezüglich einer Basis. |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} slzncqp8evwcd4kem8rwvl4zs4xena0 0 74973 748808 527338 2022-08-10T14:24:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term=w_1 {{kommadots|}} w_k|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=U_1 \cap U_2|SZ=.}} Diese ergänzen wir gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} einerseits zu einer Basis {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k, u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term=U_1|SZ=}} und andererseits zu einer Basis {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k, v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} von {{math|term=U_2|SZ=.}} Dann ist {{ math/disp|term= w_1 {{kommadots|}} w_k, u_1 {{kommadots|}} u_n , v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=U_1+U_2|SZ=.}} Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_1w_1 {{plusdots|}} a_k w_k + b_1 u_1 {{plusdots|}} b_n u_n + c_1 v_1 {{plusdots|}} c_mv_m || 0 || || || |SZ=. }} Daraus ergibt sich, dass das Element {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | a_1w_1 {{plusdots|}} a_k w_k + b_1 u_1 {{plusdots|}} b_n u_n ||- c_1 v_1 {{minusdots|}} c_mv_m || || || |SZ= }} zu {{mathl|term=U_1 \cap U_2|SZ=}} gehört. Daraus folgt direkt {{ Ma:Vergleichskette |b_i ||0 || || || |SZ= }} für {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} n|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette |c_j ||0 || || || |SZ= }} für {{mathl|term=j=1 {{kommadots|}} m|SZ=.}} Somit ergibt sich dann auch {{ Ma:Vergleichskette |a_\ell ||0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term=\ell|SZ=.}} Also liegt {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Unabhängigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vor. Insgesamt ist also {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:dim vr|U_1 \cap U_2}} + {{op:dim vr|U_1 + U_2}} || k + k +n +m || k+n +k+m || {{op:dim vr|U_1 }} + {{op:dim vr| U_2}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r8nneq3uc83jvn2cipf0zovqp6mj58u 0 74976 748742 449419 2022-08-10T13:24:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum endlich/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und es seien {{mathl|term=U_1,U_2 \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{ mathkor|term1= {{op:dim vr|U_1}} =n-k_1 |bzw.|term2= {{op:dim vr|U_2}} =n-k_2 |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr|U_1 \cap U_2}} | \geq| n-k_1 -k_2 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Untervektorraum |Faktname= |Abfrage=Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dxprbzrc64s2wvwe3yge43gmyo8dqmi 0 74980 748826 509989 2022-08-10T14:38:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\{ 1 {{kommadots|}} n\} ||I_1 {{uplusdots|}} I_k || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkte Zerlegung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Indexmenge. Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_j || {{op:Span|v_i|i \in I_j}} || || || |SZ= }} die durch die Teilfamilien {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || U_1 {{oplusdots|}} U_k || || || |SZ=. }} Der Extremfall {{mathl|term=I_j=\{j\}|SZ=}} ergibt die direkte Summe {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || K v_1 {{oplusdots|}} K v_n || || || |SZ= }} mit eindimensionalen Untervektorräumen. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der direkten Summen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k9bszg0zewi3b377bgs1vkfuukmu7z9 0 74987 748828 509992 2022-08-10T14:40:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_k |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=.}} Diese können wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu einer Basis {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_k, v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} ergänzen. Dann erfüllt {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || {{op:Span| v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |}} || || || |SZ= }} die gewünschten Eigenschaften. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 90edy0fox4l9q6anlhtydok0bwtjzvj 0 74990 748723 439630 2022-08-10T13:09:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorräume/Situation|SZ=.}} Es seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || V_1 {{oplusdots|}} V_n || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |W || W_1 {{oplusdots|}} W_m || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summenzerlegungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abbele/disp |name=p_j |W|W_j || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |kanonischen Projektionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|V|W}} | \prod_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq m } {{op:Hom|V_i|W_j}} |f| p_j \circ {{makl| f {{|}}_{V_i} |}} |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz=Wenn man die {{mathl|term={{op:Hom|V_i|W_j}}|SZ=}} als Untervektorräume von {{mathl|term= {{op:Hom|V|W}}|SZ=}} auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Hom|V|W}} |\cong | \bigoplus_{1 \leq i \leq n,\, 1 \leq j \leq m } {{op:Hom|V_i|W_j}} || || || |SZ=. }} vor. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2=Theorie der direkten Summen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Direkte Summenzerlegung des Homomorphismenraumes |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nvgwnzcycj8yqejgjfnvbojea82k1t6 0 75035 748728 664078 2022-08-10T13:13:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist gleich dem charakteristischen Polynom {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=,}} wobei {{math|term=M|SZ=}} eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass {{math|term=M|SZ=}} eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen. Von (2) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach {{math|term=n|SZ=,}} wobei die Fälle {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||0,1 || || || |SZ= }} klar sind. Nach Voraussetzung und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term=\varphi|SZ=}} einen Eigenwert, sagen wir {{math|term=\lambda|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}dimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_{n-1} |\subset| V || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_{n-1} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=V_{n-1}|SZ=,}} die wir durch {{math|term=v_n \in V \setminus V_{n-1}|SZ=}} zu einer Basis von {{math|term=V|SZ=}} ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird {{math|term=\varphi|SZ=}} durch eine Matrix der Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|a_{11} | \cdots| a_{1, n-1} |a_{1n} | \vdots |\ddots| \vdots | \vdots |a_{n-1, 1}|\cdots |a_{n-1, n-1} | a_{ n-1 , n } |0|\ldots|0| a_{ n n } }} |SZ= }} beschrieben. Die {{mathl|term=(n-1) \times (n-1)|SZ=-}}Untermatrix beschreibt dabei die Einschränkung {{mathl|term=\varphi{{|}}_{V_{n-1} } |SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=}} auf {{mathl|term=V_{n-1}|SZ=}} bezüglich der gegebenen Basis. Da man das charakteristische Polynom mit jeder beschreibenden Matrix ausrechnen kann, ist {{ Zusatz/Klammer |text=Entwicklung nach der letzten Zeile| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} || {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi{{|}}_{V_{n-1} }|}} \cdot ( X-a_{nn}) || || || |SZ=. }} Daher muss auch das charakteristische Polynom {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi{{|}}_{V_{n-1} }|}} |SZ=}} in Linearfaktoren zerfallen. Wir können also auf {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi{{|}}_{V_{n-1} } |V_{n-1}|V_{n-1} || |SZ= }} die Induktionsvoraussetzung anwenden und erhalten das Resultat. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74n9wxqnpz774yedqqycgmkka85mdl9 0 75042 748792 664093 2022-08-10T14:11:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2). Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu {{math|term=\varphi|SZ=}} obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_i | {{defeq|}} | {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_i |}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind und somit eine invariante Fahne vorliegt. Von (2) nach (1). Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||V_0 |\subset|V_1 |{{subsetdots}}|V_{n-1} |\subset|V_n ||V |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariante Fahne| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Aufgrund des {{ Faktlink |Basisergänzungssatzes|Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine Basis {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_i || {{op:Span|v_1 {{kommadots|}} v_i |}} || || || |SZ=. }} Da die Fahne invariant ist, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(v_i) || b_{1i} v_1 +b_{2i} v_2 {{plusdots|}} b_{ii} v_i || || || |SZ=. }} Bezüglich dieser Basis besitzt die {{ Definitionslink |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} somit {{ Definitionslink |obere Dreiecksgestalt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist gleich dem charakteristischen Polynom {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=,}} wobei {{math|term=M|SZ=}} eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass {{math|term=M|SZ=}} eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen. Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist. Von (4) nach (1). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach {{math|term=n|SZ=,}} wobei die Fälle {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||0,1 || || || |SZ= }} klar sind. Nach Voraussetzung und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term=\varphi|SZ=}} einen Eigenwert und damit auch einen Eigenvektor. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert/Invariante Hyperebene/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}dimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_{n-1} |\subset| V || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_{n-1} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=V_{n-1}|SZ=,}} die wir durch {{mathl|term=v_n \in V \setminus V_{n-1}|SZ=}} zu einer Basis von {{math|term=V|SZ=}} ergänzen. Bezüglich dieser Basis wird {{math|term=\varphi|SZ=}} durch eine Matrix der Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|a_{11} | \cdots| a_{1, n-1} |a_{1n} | \vdots |\ddots| \vdots | \vdots |a_{n-1, 1}|\cdots |a_{n-1, n-1} | a_{ n-1 , n } |0|\ldots|0| a_{ n n } }} |SZ= }} beschrieben. Die {{mathl|term=(n-1) \times (n-1)|SZ=-}}Untermatrix oben links beschreibt dabei die {{ Zusatz/Klammer |text=beidseitige| |ISZ=|ESZ= }} Einschränkung {{mathl|term=\varphi{{|}}_{V_{n-1} } |SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=}} auf {{mathl|term=V_{n-1}|SZ=}} bezüglich der gegebenen Basis. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Teilbarkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist das Minimalpolynom von {{mathl|term= \varphi{{|}}_{V_{n-1} } |SZ=}} ein Teiler des Minimalpolynoms von {{math|term=\varphi|SZ=}} und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung ist {{mathl|term= \varphi{{|}}_{V_{n-1} } |SZ=}} trigonalisierbar und damit auch {{math|term=\varphi|SZ=}} selbst. |Zusammenfassung= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Der Zusatz ergibt sich wie folgt.|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die trigonalisierbare Abbildung {{math|term=\varphi|SZ=}} werde bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|u|}} |SZ=}} durch die Matrix {{math|term=M|SZ=}} beschrieben, und bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} durch die obere Dreiecksmatrix {{math|term=T|SZ=.}} Dann gilt nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette |T || BMB^{-1} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term=B|SZ=}} den Basiswechsel beschreibt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g0ho7mn2npegsjuv6gtsyu92muyrfnp 0 75057 748641 542178 2022-08-10T12:04:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|0|c_1|0| \cdots|\cdots |0|0|0|c_2|0|\cdots |0|\vdots| \ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0| \cdots|0|0|c_{n-2}|0|0|\cdots|\cdots|0|0|c_{n-1}|0|\cdots|\cdots|\cdots|0|0}} |SZ= }} besitzt, wobei die {{math|term=c_i|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} oder gleich {{math|term=1|SZ=}} sind. |Zusatz=D.h., dass {{math|term= \varphi |SZ=}} auf jordansche Normalform gebracht werden kann. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c96xbm2rsucrj8ypfv35g6rvwgniwkq 0 75059 748738 431419 2022-08-10T13:20:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_j) || v_{j-1} || || || |SZ= }} oder {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_j) || 0 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} appcpk99vgg9jw9kca5r2wjggwfc32o 0 75089 748725 447289 2022-08-10T13:10:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{math|term=\varphi|SZ=}} diagonalisierbar ist, so gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} aus {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektoren| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} || {{op:Span|v_i|\text{der Eigenwert zu } v_i \text{ ist } \lambda }} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_1}} {{oplusdots}} {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_k}} || || || |SZ=, }} wobei die Direktheit sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten/Null/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt. Wenn umgekehrt {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_1}} {{oplusdots}} {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda_k}} || || || |SZ= }} vorliegt, so kann man in jedem der Eigenräume eine Basis wählen. Diese Basen bestehen aus Eigenvektoren und ergeben zusammen eine Basis von {{math|term=V|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6du6bc0lde5v4a7ypehty7e6bx4n5df 0 75094 748852 431503 2022-08-10T14:59:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term=G_1,G_2|SZ=}} und {{mathl|term= H_1,H_2 |SZ=}} jeweils verschiedene Geraden im {{math|term=K^3|SZ=.}} Welche {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} hat der Raum {{ Ma:Vergleichskette/disp | W || {{mengebed|\varphi \in {{op:Hom|K^3|K^3}} | \varphi(G_1) \subseteq H_1 \text{ und } \varphi(G_2) \subseteq H_2 }} || || || |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nb3nnv207ktjgdj2mgxj4xnx8cvdlr6 0 75101 748664 447810 2022-08-10T12:27:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_n ||bedterm1= n \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} diejenige {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_1) ||0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi(v_n) ||v_{n-1} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=n \geq 2|SZ=}} festgelegt ist. Ist {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8a2rmmlkvev8jxzbrktvj7cs9jc5jas 0 75117 748835 439875 2022-08-10T14:45:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i^* ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || {{op:Span|v_j|j \in J}} || || || |SZ= }} zu einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |J |\subseteq|I || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum|U|}} || {{op:Span| v_i^*| i \not\in J}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0dxq7by8l6midvwcf5jhr2j716wdb21 0 75118 748839 533315 2022-08-10T14:49:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term=n|SZ=,}} {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_r \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || {{op:Span|f_1 {{kommadots|}} f_r|}} |\subseteq| {{op:Dualraum|V|}} || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Linearformen genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr| {{op:Orthogonalraum|F|}} |}} || n-r || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0x6q3ijtf1li8fuok5zbb3m6d3jua8x 0 75119 748804 459356 2022-08-10T14:22:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= (1) und (2) sind klar. (3). Die Inklusion {{ Ma:Vergleichskette/disp | U |\subseteq | {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum|U|}} |}} |}} || || || |SZ= }} ist auch klar. Sei {{ mathbed|term= v \in V ||bedterm1= v \not\in U ||bedterm2= |SZ=. }} Dann kann man eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=u_1 {{kommadots|}} u_r |SZ=}} von {{math|term=U|SZ=}} zu einer Basis {{mathl|term=u_1 {{kommadots|}} u_r, v, v_1 {{kommadots|}} v_\ell |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} ergänzen. Die Linearform {{math|term=v^*|SZ=}} verschwindet auf {{math|term=U|SZ=}} und gehört daher zu {{math|term= {{op:Orthogonalraum|U|}} |SZ=.}} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |v^*(v) ||1 |\neq|0 || || |SZ= }} ist {{mathl|term=v \not\in {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum|U|}} |}} |}} |SZ=.}} (4). Es sei {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_r|SZ=}} eine Basis von {{math|term= F |SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|K^r || |SZ= }} die aus diesen Linearformen zusammengesetzte Abbildung. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Orthogonalraum|F|}} || {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Wenn die Abbildung {{math|term=\varphi|SZ=}} nicht surjektiv wäre, so wäre {{mathl|term= {{op:Bild|\varphi|}} |SZ=}} ein echter Untervektorraum von {{math|term=K^r|SZ=}} und hätte maximal die Dimension {{mathl|term=r-1|SZ=.}} Es sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{mathl|term=r-1|SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bild|\varphi|}} |\subseteq|W |\subseteq| K^r || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hyperfläche/Kern einer Linearform/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine von {{math|term=0|SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= g |K^r|K || |SZ=, }} deren Kern genau {{math|term=W|SZ=}} ist. Sei {{ Ma:Vergleichskette |g || \sum_{i{{=}} 1}^r a_ip_i || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\sum_{i{{=}} 1}^r a_if_i || g \circ \varphi || 0 || || |SZ=, }} was der linearen Unabhängigkeit der {{math|term=f_i|SZ=}} widerspricht. Also ist {{math|term=\varphi|SZ=}} surjektiv ist und die Aussage folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gt0tbg7moy368xqn2bgtd0u75jul6y 0 75123 748710 439830 2022-08-10T13:01:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ=}} eine weitere Basis mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |w_r || \sum_{ k {{=}} 1}^n a_{kr} v_k || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | w_j^* || \sum_{i {{=}} 1}^n b_{ij} v_i^* || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| b_{ij} |}}_{ij} || {{op:transponiert| {{makl| A^{-1} |}} |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Transponierte| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |inversen Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |A || {{makl| a_{kr} |}}_{kr} || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Basiswechsel für Dualbasen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98onmdn1iun61wode3hktw8h7omn72p 0 75128 748666 446853 2022-08-10T12:29:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{math|term=m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ=. }} Es seien {{mathl|term=v_1^* {{kommadots|}} v_n^*|SZ=}} bzw. {{mathl|term=w_1^* {{kommadots|}} w_m^* |SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich der gegebenen Basen durch die {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) || (a_{ij})_{ij} || || |SZ= }} beschrieben werde. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= |Zusatz=Dann wird die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:Dualraum|W|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} bezüglich der Dualbasen von {{ mathkor|term1= {{op:Dualraum|V|}} |bzw.|term2= {{op:Dualraum|W|}} |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |transponierte Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:transponiert| {{makl| M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} }(\varphi) |}} |}} |SZ=}} beschrieben. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Matrixbeschreibung für die duale Abbildung |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsth27rszmwwnkmkjtmlapbfb3r1ktc 0 75143 748847 449169 2022-08-10T14:55:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die {{ Definitionslink |Prämath= |Kodimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U_1|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die nach Voraussetzung mit der Kodimension von {{math|term=U_2|SZ=}} übereinstimmt| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term=V|SZ=.}} Wenn diese {{math|term=0|SZ=}} ist, so ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_1 ||U_2 ||V || || |SZ= }} und der Nullraum ist das gemeinsame direkte Komplement. Sei nun die Kodimension positiv und die Aussage für kleinere Kodimension schon bewiesen. Bei {{ Ma:Vergleichskette |U_1 ||U_2 || || || |SZ= }} ist die Behauptung klar. Sei also {{ Ma:Vergleichskette |U_1 |\neq|U_2 || || || |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/Vereinigung von Untervektorräumen/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U_1 \cup U_2 |\neq |V || || || |SZ= }} und daher gibt es einen Vektor {{mathl|term=w \in V|SZ=}} mit {{mathl|term=w \not\in U_1 \cup U_2|SZ=.}} Dann besitzen {{ mathkor|term1= U_1'=U_1 \oplus Kw |und|term2= U_2'=U_2 \oplus Kw |SZ= }} eine kleinere gemeinsame Kodimension, so dass wir darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Sei {{math|term=W|SZ=}} ein gemeinsames direktes Komplement von {{math|term= U_1'|SZ=}} und von {{math|term= U_2'|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= W \oplus Kw |SZ=}} ein gemeinsames direktes Komplement von {{math|term= U_1|SZ=}} und von {{math|term=U_2|SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3zgn0iq9uwr1kg4p5s92nqs3ayun9b 0 75153 748836 532158 2022-08-10T14:46:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=v_i,\, i \in I|SZ=,}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Zu einer Teilmenge {{mathl|term=J \subseteq I|SZ=}} sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_J || {{op:Span|v_i|i \in J|}} || || || |SZ= }} der zu {{math|term=J|SZ=}} gehörende {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= p_J |V|V |\sum_{i \in I} a_iv_i | \sum_{i \in J} a_iv_i |SZ=, }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion| |Kontext=idempotent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Das Bild dieser Projektion ist {{math|term=V_J|SZ=}} und man kann die Abbildung auch als {{ Ma:abbele/disp |name=p_J |V|V_J || |SZ= }} auffassen. Auf {{math|term=V_J|SZ=}} liegt die Identität vor. Der {{ Definitionslink |Prämath= |Kern| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|p_J|}} || {{op:Span|v_i|i \not\in J|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ofi98hf0jcmlclw6vb1semjpr4ym2c 0 75345 748771 459022 2022-08-10T13:47:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu zwei {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängigen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |normierten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} nennt man die von {{ math/disp|term= {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }} + {{op:Bruch|w| {{op:Norm|w|}} }} |SZ= }} erzeugte Gerade die {{ Definitionswort |Prämath= |Winkelhalbierende| |msw= |SZ= }} der beiden Strahlen. |Textart=Definition |Kategorie=Winkeltheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Winkelhalbierende |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3y0vndtfvstcku136d7yig2d7brymq2 0 75489 748800 548781 2022-08-10T14:19:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |normierter| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(u,v) | {{defeq|}} | {{op:Norm|u-v|}} || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2=Theorie der metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wbiudd3omr6j0ihejhr98vii8nqrld 0 75497 748810 432524 2022-08-10T14:26:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= v_1 ,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=u_1,u_2 {{kommadots|}} u_n|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} mit{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Hier bezeichnet {{mathl|term= \langle - \rangle |SZ=}} den von den Vektoren {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} nicht das Skalarprodukt| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Span|v_1,v_2 {{kommadots|}} v_i|}} || {{op:Span|u_1,u_2 {{kommadots|}} u_i|}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fz296abxu2egfvkvqxzfowird8v2fm5 0 75593 748736 446361 2022-08-10T13:19:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum endlich/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung4 |{{math|term= \varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Vektor {{mathl|term=v \in V|SZ=}} gibt es ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^k (v) || 0 || || || |SZ=. }} |Es gibt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^k (v_i) || 0 || || || |SZ=. }} für {{mathl|term=i= 1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^k (v_i) || 0 || || || |SZ=. }} für {{mathl|term=i= 1 {{kommadots|}} m|SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cv2unxpgbbuvkt5y714u7ck8l5d4vo 0 75603 748988 432656 2022-08-11T07:54:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Normen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Norm|-|}}_1 |und|term2= {{op:Norm|-|}}_2 |SZ= }} heißen {{ Definitionswort |Prämath= |äquivalent| |msw=Äquivalente Normen |SZ=, }} wenn sie die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definieren. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Äquivalente Norm |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g50zwpizwsgim4mridudse0558nz8rw 0 75915 748916 452631 2022-08-10T15:56:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionswort |Prämath= |asymptotisch stabil| |msw= |SZ=, }} wenn die Folge {{math|term=\varphi^n|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=}} gegen die {{ Definitionslink |Prämath= |Nullabbildung| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Asymptotisch stabil |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hvr10rpfkhdlv5f4oygu1wx4xvmo33p 0 75923 748854 465702 2022-08-10T15:01:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung4 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |asymptotisch stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} konvergiert die Folge {{ mathbed|term= \varphi^n(v) ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} gegen {{ Ma:Vergleichskette | 0 |\in| V || || || |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m \in V|SZ=}} derart, dass {{ mathbed|term= \varphi^n (v_j) ||bedterm1= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m ||bedterm2= |SZ=, }} gegen {{math|term=0|SZ=}} konvergiert. |Der Betrag eines jeden {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Eigenwerts| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist kleiner als {{math|term=1|SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung für asymptotisch stabil |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4k9mvq8gs6jzestbsw7tmrrsgifggj 0 75925 748984 452622 2022-08-11T07:50:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionswort |Prämath= |stabil| |msw=Stabil (Endomorphismus) |SZ=, }} wenn die Folge {{math|term=\varphi^n|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stabil |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ec06tqb09mna9rg0yxko26rfdwlg8b 0 76040 748861 579410 2022-08-10T15:05:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung5 |{{math|term=\varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |stabil| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ist die Folge {{ mathbed|term= \varphi^n(v) ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m \in V|SZ=}} derart, dass {{ mathbed|term= \varphi^n (v_j) ||bedterm1= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m ||bedterm2= |SZ=, }} beschränkt ist. |Der Betrag eines jeden {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Eigenwerts| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist kleiner oder gleich {{math|term=1|SZ=}} und die Eigenwerte mit Betrag {{math|term=1|SZ=}} sind diagonalisierbar, d.h. ihre {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist gleich ihrer {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischen Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für eine beschreibende Matrix {{math|term=M|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} aufgefasst über {{math|term={{CC}}|SZ=,}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Blöcke| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |jordanschen Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{Jordanblock/klein|\lambda}} |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|\lambda|}} |<|1 || || || |SZ= }} oder gleich {{math|term=(\lambda)|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|\lambda|}} ||1 || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung für stabil |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtvu2okn77bb1nybggksl2v5wlwtjgh 0 76875 748656 436045 2022-08-10T12:18:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=(M,{{mengensystem|A}})|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= {{mengensystem|E}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |durchschnittsstabiles Erzeugendensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für {{math|term= {{mengensystem|A}} |SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= \mu_1 |und|term2= \mu_2 |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Maße| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{mathl|term=(M, {{mengensystem|A}}) |SZ=,}} die auf {{math|term= {{mengensystem|E}} |SZ=}} übereinstimmen. Es gebe eine {{ Definitionslink |Prämath= |Ausschöpfung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=M_n \uparrow M|SZ=}} mit {{mathl|term=M_n \in {{mengensystem|E}}|SZ=}} und mit {{mathl|term=\mu_1(M_n) = \mu_2(M_n) < \infty|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu_1 ||\mu_2 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9ip026hu86ze7aw1ibut6c3tusdo76 0 77200 748714 437833 2022-08-10T13:04:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{Basis|v|}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Es sei {{mathl|term=w \in V|SZ=}} ein Vektor mit einer Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |w || \sum_{i {{=}} 1}^n {{skalar|}}_i v_i || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term={{skalar|}}_k \neq 0|SZ=}} sei für ein bestimmtes {{math|term=k|SZ=.}} Es sei {{ math/disp|term= {{Basis|w|}} = v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , w, v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |SZ=. }} Bestimme die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|v|w}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|w|v}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gii2zrju8r4af4b3v1subxxkbt9kl38 0 77203 748762 437838 2022-08-10T13:39:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass der von {{math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|5|3|-1|4}},\, {{op:Spaltenvektor|2|6|5|-3}} , \,{{op:Spaltenvektor|4|-2|-1|1}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=U \subseteq K^4|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=3|SZ=}} besitzt. b) Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die Dimension des {{ Definitionslink |Prämath= |Lösungsraumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=L \subseteq K^4|SZ=}} der linearen Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 7x_1+5x_2+3x_3 -6x_4 ||0 || || || |SZ=. }} c) Bestimme{{n Sie}} eine Basis und die Dimension des Durchschnitts {{mathl|term=U \cap L|SZ=.}} d) Bestätige {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in diesem Beispiel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 98s5b2eycuzdufryji1zq7pirt96lw0 0 77208 748758 564322 2022-08-10T13:35:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein Vektorraum mit {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{basis|v}} |und|term2= {{basis|w}} |SZ=. }} Wenn man die Identität {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Identität||}} |V|V || |SZ= }} bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} vorne und der Basis {{math|term= {{basis|w}} |SZ=}} hinten betrachtet, so ist wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Identität||}} (v_j) || v_j || \sum a_{ij} w_i || || |SZ= }} direkt {{ Ma:Vergleichskette/disp | M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( {{op:Identität||}} ) || {{op:Übergangsmatrix|v|w}} || || || |SZ=, }} d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrix| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} zum Basiswechsel von {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} nach {{math|term= {{basis|w}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Basiswechsel für lineare Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dbwxkc2k18636cen3oseldfab2ak32r 0 77211 748665 438982 2022-08-10T12:28:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|u}} = {{liste1n|u}} ,\, {{basis|v}} = {{liste1n|v}} |und|term2= {{basis|w}} = {{liste1n|w}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zueinander in der Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Übergangsmatrix|u|w}} ||{{op:Übergangsmatrix|v|w}} \circ {{op:Übergangsmatrix|u|v}} || || || |SZ= }} stehen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f7amayxbfagtengsayo06jyis0fdtgk 0 77305 748636 620351 2022-08-10T12:00:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Man nennt die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des von den Spalten {{ Definitionslink |erzeugten Untervektorraums| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K^m|SZ=}} den {{Stichwort/Antwort|(Spalten-)Rang|SZ=}} der Matrix {{math|term=M|SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 781ghzmcx5ezkzp6zcmodmssxz5mxbt 0 77466 748876 585844 2022-08-10T15:18:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=.}} Dann ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Hom|K|W}} |W | \varphi| \varphi(1) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Vektorräumen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Homomorphismenraum/K nach W/Beispiel/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Räume von Homomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6fjmw6tnfy8gh68h6f9m2f7les9ebh 0 77491 748670 532598 2022-08-10T12:32:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} ein {{math|term=n-1|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |V|K || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Kern|f}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4i8d6jb802m1y664xo09eahtg0jgl7n 0 77492 748692 450224 2022-08-10T12:47:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} ein {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |V|K || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U || {{op:Kern|f}} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ezttnea9ea9wnmwr1o0bts9g5aw75yt 0 77493 748724 585858 2022-08-10T13:09:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Unterraum/Direktes Komplement/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es einen eindimensionalen Untervektorraum {{mathl|term=W \subseteq V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || U \oplus W || || || |SZ=. }} Die zu dieser Zerlegung gehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Projektion| |Kontext=direkte Summe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=p_W |V|W || |SZ= }} ist linear und besitzt {{math|term=U|SZ=}} als Kern. Da {{math|term=W|SZ=}} eindimensional ist, gibt es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \psi |W|K || |SZ=. }} Somit ist {{mathl|term= \psi \circ p_W|SZ=}} eine Linearform, deren Kern gerade {{math|term=U|SZ=}} ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nvwyx85r98firyltqt7bumn1bfczlf8 0 77521 748674 440237 2022-08-10T12:35:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |direkten Summenzerlegung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||V_1 \oplus V_2 || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Dualraum|V|}} || {{op:Orthogonalraum|V_1|}} \oplus {{op:Orthogonalraum|V_2|}} || || || |SZ= }} und dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Einschränkung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |dualen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V_1|}} || |SZ= }} auf {{mathl|term= {{op:Orthogonalraum|V_2|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der dualen Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} diho3030yajqiapgi2b8to3iuw6p54p 0 77779 748668 441633 2022-08-10T12:30:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ stichwort/Abfrage |Prämath= |Dualbasis| |msw= |SZ= }} zu einer gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4z4a26my73xsltijolohqlen006n37s 0 77844 748698 441788 2022-08-10T12:56:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort/Abfrage|Fahne|SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rm8tx3813b7j8qt9vdc3hswk3mfpocs 0 77928 748824 442334 2022-08-10T14:37:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Charakterisierungssatz| |msw= |SZ= }} für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nkvmfmqe7lt2g2pmbjxqq5utuc5us3 0 77929 748832 442338 2022-08-10T14:43:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Charakterisierungssatz| |msw= |SZ= }} für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=12 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} thlzw1upeq3bzremoqeb5aqsfoowope 0 77941 748840 567662 2022-08-10T14:50:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= a) Da es eine Basis {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_d |SZ=}} gibt, ist {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=K^d|SZ=.}} Dieser Raum besteht aus allen {{math|term=d|SZ=-}}Tupeln und besitzt damit {{math|term=q^d|SZ=}} Elemente. b) Wenn {{math|term=V|SZ=}} endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge {{math|term=V|SZ=}} direkt aus a). Wenn {{math|term=V|SZ=}} endlich ist, so kann man ganz {{math|term=V|SZ=}} als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist {{math|term=V|SZ=}} endlichdimensional. c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_d|SZ=}} zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass {{math|term=v_{i+1}|SZ=}} jeweils nicht im dem von den {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_i |SZ=}} erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere {{math|term=q^i|SZ=}} Elemente. Das bedeutet, dass man für {{mathl|term=v_{i+1}|SZ=}} genau {{mathl|term=q^d-q^i| }} Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | (q^d -1) (q^d -q) (q^d-q^2) \cdots (q^d-q^{d-2}) (q^d-q^{d-1}) || q^{ {{op:Bruch|d(d-1)|2}} } (q^d-1) (q^{d-1} -1) (q^{d-2} -1 ) \cdots (q^2-1) (q-1) || || || |SZ= }} Basen. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z0xforhnz49n624sdx0sbxtx86x5o0 0 78012 748691 537178 2022-08-10T12:46:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|W || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K|SZ=-}}Vektorräumen. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi || f \circ \varphi \circ f^{-1} || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Ein Vektor {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| K || || || |SZ=, }} wenn {{mathl|term= f(v) |SZ=}} ein Eigenvektor zu {{math|term= \psi |SZ=}} zum Eigenwert {{math|term=a|SZ=}} ist. | {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ= }} besitzen die gleichen Eigenwerte. |Die Abbildung {{math|term=f|SZ=}} induziert für jedes {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| K || || || |SZ= }} einen Isomorphismus {{ Ma:abbele/disp |name=f |{{op:Eigenraum|\varphi| a}} | {{op:Eigenraum|\psi| a}} || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenräume unter einem Isomorphismus |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jnky4bwrnwl6s3thzefkvmvw01jnwy 0 78014 748689 443781 2022-08-10T12:44:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|u|}} || u_1 {{kommadots|}} u_n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || M^{ {{basis|u|}} }_{ {{basis|u|}} } || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=a|SZ=,}} wenn das {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatentupel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=v|SZ=}} bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu {{math|term=M|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term=a|SZ=}} ist. |Zusatz=Insbesondere besitzen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= M |SZ= }} die gleichen Eigenwerte. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenwerte zu Endomorphismus und Matrix |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lu3sstcmw9hj15ld2kz6b438hlli1i5 0 78118 748805 449411 2022-08-10T14:22:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum endlich/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und es seien {{mathl|term=U_1,U_2 \subseteq V|SZ=}} {{ Definitionslink |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{ mathkor|term1= {{op:dim vr|U_1}} =n-k_1 |bzw.|term2= {{op:dim vr|U_2}} =n-k_2 |SZ=. }} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:dim vr|U_1 \cap U_2}} | \geq| n-k_1 -k_2 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0phyuvoshnlsrtax16guxrg2p0s9g0b 0 78174 748819 445338 2022-08-10T14:33:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über {{math|term=n|SZ=}} Vektoren in einem {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p7btwvsgb4eikdvaj7gd50saksf82j4 0 78216 748721 508463 2022-08-10T13:08:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Vektorräume endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{basis|v|}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{basis|w|}} = w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} eine Basis von {{math|term=W|SZ=.}} Dann ist die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Hom|V|W}} | {{op:Mat|m|n}} |f| M^{ {{basis|v}} }_{ {{basis|w}} } (f) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=K|SZ=-}}Vektorräumen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74buy5cx3q8d3272qsuaihe8empoxbd 0 78219 748821 446056 2022-08-10T14:35:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ=}} eine weitere Basis mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |w_r || \sum_{ k {{=}} 1}^n a_{kr} v_k || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | w_j^* || \sum_{i {{=}} 1}^n b_{ij} v_i^* || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{makl| b_{ij} |}}_{ij} || {{op:transponiert| {{makl| A^{-1} |}} |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Transponierte| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |inversen Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |A || {{makl| a_{kr} |}}_{kr} || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4rypphwy0myjj2u8hr0ofvfrgy8u3z8 0 78223 748667 450038 2022-08-10T12:30:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{math|term=m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ=. }} Es seien {{mathl|term=v_1^* {{kommadots|}} v_n^*|SZ=}} bzw. {{mathl|term=w_1^* {{kommadots|}} w_m^* |SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich der gegebenen Basen durch die {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) || (a_{ij})_{ij} || || |SZ= }} beschrieben werde. Dann wird die {{ Definitionslink |Prämath= |duale Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi^* | {{op:Dualraum|W|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} bezüglich der Dualbasen von {{ mathkor|term1= {{op:Dualraum|V|}} |bzw.|term2= {{op:Dualraum|W|}} |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |transponierte Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:transponiert| {{makl| M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} }(\varphi) |}} |}} |SZ=}} beschrieben. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rcyqnwcetdke5hdyifr6s9oo549ow4 0 78224 748820 585848 2022-08-10T14:34:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Dann gibt es eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi |V| {{op:Dualraum|({{op:Dualraum|V|}})|}} |v| {{makl| f \mapsto f(v) |}} |SZ=. }} Wenn {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so ist {{math|term=\Psi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lq6bvdnfrwlgdp3fmwso3nosjcwa2d1 0 78245 748690 446858 2022-08-10T12:45:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|u|}} || u_1 {{kommadots|}} u_n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M || M^{ {{basis|u|}} }_{ {{basis|u|}} } || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis. Dann ist {{mathl|term=v \in V|SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=a|SZ=,}} wenn das {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinatentupel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=v|SZ=}} bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu {{math|term=M|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term=a|SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 71yq920woa479uxldfjri1kbejj68yd 0 78270 748737 446168 2022-08-10T13:20:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum endlich/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{math|term= \varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Vektor {{mathl|term=v \in V|SZ=}} gibt es ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^k (v) || 0 || || || |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^k (v_i) || 0 || || || |SZ=. }} für {{mathl|term=i= 1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi^k (v_i) || 0 || || || |SZ=. }} für {{mathl|term=i= 1 {{kommadots|}} m|SZ=.}} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n5schcaxj0cvgvncy0hl3iai2gmcksj 0 78384 748755 540851 2022-08-10T13:31:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{math|term=q|SZ=}} Elementen und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |zweidimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Fahnen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume über endlichen Körpern |Kategorie2=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 35v4s8slk6eadpecizz0jvarlua0eqc 0 78413 748799 509596 2022-08-10T14:18:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|0|u_1|0| \cdots|\cdots |0|0|0| u_2|0|\cdots |0|\vdots| \ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0| \cdots|0|0|u_{n-2}|0|0|\cdots|\cdots|0|0|u_{n-1}|0|\cdots|\cdots|\cdots|0|0}} |SZ= }} besitzt, wobei die {{math|term=u_i|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} oder gleich {{math|term=1|SZ=}} sind. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e00tpqq1yxgbq4eu4ld274k12qzywh9 0 78414 748696 448018 2022-08-10T12:54:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbaren Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i3ncw0yymf6smsvjp7cc1g44f7j0czw 0 78479 748850 447158 2022-08-10T14:57:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und sei {{mathl|term=\lambda \in K|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptraumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda|}} |SZ=}} gleich der {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\lambda|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Haupträume |Kategorie2=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Dimension der Haupträume |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5zr7hcygbikuahchuvuat5rhhgp18h 0 78520 748849 447279 2022-08-10T14:57:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und sei {{mathl|term=\lambda \in K|SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptraumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda|}} |SZ=}} gleich der {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\lambda|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxjzcntk9rz1y5rfi4lj9td3c3ybddd 0 78693 748992 733086 2022-08-11T07:59:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= a) Der Rand {{mathl|term=\partial M|SZ=}} einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} das offene Intervall als Teilmenge des {{math|term=\R^2|SZ=}} ist aber nicht abgeschlossen. b) Der Rand {{mathl|term=\partial M|SZ=}} einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand ist Mannigfaltigkeit/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Mannigfaltigkeit ohne Rand, das abgeschlossene Intervall besitzt aber Randpunkte. c) Es sei angenommen, dass {{math|term=\R^2|SZ=}} eine Mannigfaltigkeit mit dem Rand {{mathl|term=\R = \R \times \{0\} |SZ=}} ist. Zu {{mathl|term=P \in \R|SZ=}} gibt es dann eine offene Umgebung {{mathl|term=P\in U|SZ=}} und eine Homöomorphie {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} mit einer offenen Menge {{math|term=V \subseteq H|SZ=,}} wobei {{math|term=H|SZ=}} eine Halbebene bezeichnet. Dabei können wir {{math|term=V|SZ=}} durch eine kleinere offene Halbballumgebung um {{math|term=P|SZ=}} ersetzen. Bei einer solchen Karte werden nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} Randpunkte auf Randpunkte abgebildet, d.h. es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\alpha ( U \cap \R ) || V \cap \delta H || || || |SZ=. }} Damit erhält man auch eine Homöomorphie zwischen den Komplementen, also zwischen {{ mathkor|term1= U \setminus U \cap \R |und|term2= V \setminus V \cap \delta H |SZ=. }} Die Halbballumgebung rechts ist aber {{ Definitionslink |Prämath= |wegzusammenhängend| |Vektorraum/K/Norm=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wohingegen die Menge links die disjunkte Vereinigung der Schnitte mit der positiven bzw. der negativen Hälfte ist, die beide offen und auch nicht leer sind, da {{math|term=U|SZ=}} eine Ballumgebung von {{math|term=P|SZ=}} enthält. Daher ist die Menge links nicht zusammenhängend und es kann keine Homöomorphie geben. d) wie c). |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6qjp6wprqqss41h5uniy5bhy7vhy4uv 0 78709 748695 450940 2022-08-10T12:54:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Zu jedem {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbaren Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezü{{latextrenn}}glich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |jordansche Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Jordansche Normalform |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s0y3nppwss2pg9tbgbplww41cs6vo2x 0 78710 748885 448195 2022-08-10T15:27:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Wir beschreiben, wie man zu einer linearen {{ Definitionslink |Prämath= |trigonalisierbaren Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} findet, bezüglich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Kontext=linear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{ Definitionslink |Prämath= |jordanscher Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert {{mathl|term=\lambda \in K|SZ=}} den minimalen Exponenten {{math|term=s|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern| {{makl| \varphi- \lambda {{op:Identität||}} |}}^s||}} || {{op:Kern| {{makl| \varphi- \lambda {{op:Identität||}} |}}^{s+1} }} || || || |SZ=. }} Dieser Kern ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\lambda|SZ=.}} Man setzt {{ Ma:Vergleichskette/disp | V_i || {{op:Kern| {{makl| \varphi- \lambda {{op:Identität||}} |}}^{i} |}} |\subseteq|{{op:Hauptraum|\varphi|\lambda|}} || || |SZ= }} für {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} s |SZ=.}} Dies ergibt eine Kette {{ Ma:Vergleichskette/disp |V_1 || {{op:Eigenraum|\lambda|}} |\subseteq|V_2 |\subset \cdots \subset|V_{s-1} |\subset|V_s || {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda|}} |SZ=. }} Man wählt nun aus {{mathl|term=V_{s} \setminus V_{s-1}|SZ=}} einen Vektor {{math|term=u|SZ=.}} Die Vektoren {{math/disp|term=u, (\varphi- \lambda {{op:Identität||}})(u), (\varphi- \lambda {{op:Identität||}})^2(u) {{kommadots|}} (\varphi- \lambda {{op:Identität||}})^{s-1}(u) |SZ=}} bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in {{mathl|term=V_{s} \setminus V_{s-1}|SZ=}} einen weiteren, zu {{math|term=u|SZ=}} und {{math|term=V_{s-1}|SZ=}} linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn {{mathl|term=V_s \setminus V_{s-1}|SZ=}} ausgeschöpft ist, schaut man, ob {{mathl|term= V_{s-1} \setminus V_{s-2}|SZ=}} bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu {{math|term=\lambda|SZ=}} ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter. Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu {{math|term=\lambda|SZ=}} eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor {{math|term=v|SZ=}} zu {{math|term=\lambda|SZ=}} wählen und dazu sukzessive Urbilder unter {{mathl|term=\varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} finden, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |}} (v') || || || |SZ= }} lösen, dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |v' || {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |}} (v^{\prime \prime} ) || || || |SZ= }} u.s.w. Wenn beispielsweise der Eigenraum {{math|term=k|SZ=-}}dimensional und der Hauptraum {{math|term=(k+1)|SZ=-}}dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter {{mathl|term= \varphi - \lambda {{op:Identität|V|}} |SZ=}} finden. |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4p3aw0zfkp3kvojgmakgmqm7ygr1z7x 0 78729 748974 531473 2022-08-11T07:40:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| H || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |euklidischen Halbraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | H |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| U || || || |SZ= }} sei ein Punkt und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |U|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=\varphi|SZ=}} {{Definitionswort|stetig differenzierbar|msw=Stetig differenzierbar (Halbraum)|SZ=}} in {{math|term=P|SZ=,}} wenn es eine offene Umgebung {{mathl|term=P \in V \subseteq \R^n|SZ=}} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=\tilde{\varphi} |V|\R^m || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \tilde{\varphi} {{|}}_{U \cap V} ||\varphi {{|}}_{U \cap V} || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der euklidischen Halbräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Stetig differenzierbare Abbildung (Halbraum) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e8hht7pa1ljxjpuovsxu1olkirebkag 0 78915 748750 449171 2022-08-10T13:29:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter der {{ Definitionswort |Prämath= |Kodimension| |msw= |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} versteht man die Differenz {{ math/disp|term= {{op:dim vr|V|}} - {{op:dim vr|U|}} |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kodimension |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvl9kj23wvtm21xl9idyn0mf5yhkogt 0 79172 748676 510451 2022-08-10T12:36:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|v}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= {{basis|u}} =u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und {{ mathkor|term1= {{basis|w}} = w_1 {{kommadots|}} w_m |und|term2= {{basis|z}} = z_1 {{kommadots|}} z_m |SZ= }} Basen von {{math|term=W|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix|w|z}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Durch welche Übergangsmatrix wird der Basiswechsel von der Basis {{mathl|term=(v_1 ,0) {{kommadots|}} (v_n,0),(0, w_1) {{kommadots|}} (0, w_m) |SZ=}} zur Basis {{mathl|term=(u_1 ,0) {{kommadots|}} (u_n,0),(0, z_1) {{kommadots|}} (0, z_m) |SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Produktraum| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V \times W |SZ=}} beschrieben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02y30ertiun87qw822z59xt6dtgqzdr 0 79190 748784 529251 2022-08-10T14:05:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= a) Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=,}} die wir zu einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m,v_{m+1} {{kommadots|}} v_n|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} ergänzen. Es sei {{mathl|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^*|SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dualbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dazu, wobei die {{math|term=v_i^*|SZ=}} Linearformen sind. Wir behaupten {{ Ma:Vergleichskette/disp |U || \bigcap _{i {{=}} m+1}^n {{op:Kern|v_i^*|}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_i^*(v_j) ||0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |U |\subseteq| {{op:Kern|v_i^*|}} || || || |SZ= }} für {{mathl|term=i=m+1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} Für einen Vektor {{ Ma:Vergleichskette/disp |v || \sum_{j {{=}} 1}^n a_j v_j || || || |SZ= }} mit {{mathl|term=v \not\in U|SZ=}} ist ein {{ Ma:Vergleichskette/disp |a_j |\neq|0 || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette |j |\geq |m+1 || || || |SZ=. }} Doch dann ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_j^*(v) |\neq|0 || || || |SZ= }} und {{math|term=v|SZ=}} gehört nicht zum Durchschnitt der Kerne. b) Die Linearformen {{mathl|term=v_{m+1}^* {{kommadots|}} v_n^* |SZ=}} kann man zusammen als eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V| K^{m-n} |v| {{op:Zeilenvektor|v_{m+1}^* (v)| \ldots | v_n^*(v) |}} |SZ= }} schreiben. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Kern|\varphi|}} || \bigcap _{i {{=}} m+1}^n {{op:Kern|v_i^*|}} || U || || |SZ=. }} Sei nun {{mathl|term=U \subseteq V=K^n|SZ=}} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |K^n|K^r || |SZ= }} eine lineare Abbildung, deren Kern gleich {{math|term=U|SZ=}} ist. Bezüglich der Standardbasen wird {{math|term=\varphi|SZ=}} durch eine Matrix {{math|term=M|SZ=}} beschrieben. Dann ist {{mathl|term=x \in U|SZ=}} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |Mx || 0 || || || |SZ= }} ist, und dies bedeutet gerade, dass {{math|term=x|SZ=}} eine Lösung des durch die Zeilen gegebenen linearen Gleichungssystems ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qsv6bovti68lc9n8hq7wues6s20twq4 0 79402 748709 451148 2022-08-10T13:00:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=100 |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und seien {{mathl|term=U,W \subseteq V|SZ=}} zwei verschiedene {{math|term=99|SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Welche Dimension hat {{mathl|term=U + W|SZ=}} und welche Dimension hat {{mathl|term=U \cap W|SZ=?}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} plq6588ah5qvsxh8lcjragygs4nhu58 10 79490 748991 734860 2022-08-11T07:56:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term={{KRC}}|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=K|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}}|SZ=}} und der zugehörigen {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Norm|-|}} |SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der Skalarprodukte |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rt8lgpn3yrkn56nck925ozknjumxyea 0 79588 748772 459283 2022-08-10T13:47:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Symmetrische Bilinearform/Situation|SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_i,\, i \in I|SZ=,}} von {{math|term=V|SZ=}} heißt {{Definitionswort|Orthogonalbasis|msw=Orthogonalbasis (Bilinearform)|SZ=,}} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v_i|v_j}} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette/disp |i |\neq|j || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orthogonalität für symmetrische Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orthogonalbasis (Bilinearform) |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4p0r804f7qsj6tjuzlc1drvlvlg3cmk 0 79591 748774 565671 2022-08-10T13:48:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term=A|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Ausartungsraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Bilinearform und {{math|term=U|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |direktes Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also {{ Ma:Vergleichskette/disp |V || A \oplus U || || || |SZ=. }} Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf {{math|term=U|SZ=}} nicht ausgeartet. Es sei {{mathl|term=w_1 {{kommadots|}} w_s |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=A|SZ=}} und {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} eine Basis von {{math|term=U|SZ=.}} Die Vektoren {{math|term=w_i|SZ=}} können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonal| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stehen. Wir müssen uns also nur noch um {{math|term=U|SZ=}} kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf {{math|term=V|SZ=}} haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch {{mathl|term=v \in V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v|v}} |\neq|0 || || || |SZ=. }} Der Orthogonalraum zu {{math|term=v|SZ=}} besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension {{mathl|term= {{op:dim vr|V|}} -1 |SZ=.}} Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v_i|v_i}} | \neq |0 || || || |SZ=. }} Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis {{mathl|term=v_1' {{kommadots|}} v_n' |SZ=}} finden mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Span |v_1 {{kommadots|}} v_i|}} || {{op:Span |v_1' {{kommadots|}} v_i'|}} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=i|SZ=.}} Dies zeigen wir durch Induktion, seien {{mathl|term=v_1' {{kommadots|}} v_i'|SZ=}} schon konstruiert. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |c_j | {{defeq|}} | {{op:Bilinearform| v_j|v_{i+1} }} || || || |SZ= }} und setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |v_{i+1}' || v_{i+1} - \sum_{j {{=}} 1 }^{i} {{op:Bruch|c_j| {{op:Bilinearform|v_j|v_j}} |}} v_j || || || |SZ=. }} Dann ist für {{ Ma:Vergleichskette |k |\leq|i || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bilinearform|v_{i+1}^' | v_k}} || {{op:Bilinearform|v_{i+1} - \sum_{j {{=}} 1 }^{i} {{op:Bruch|c_j| {{op:Bilinearform|v_j|v_j}} |}} v_j | v_k}} || {{op:Bilinearform|v_{i+1} |v_k}} - {{op:Bruch|c_k| {{op:Bilinearform|v_k|v_k }} |}} {{op:Bilinearform|v_k|v_k }} ||0 || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5oo1tx33845isht9f60a3ozgikgbcww 0 79592 748773 510017 2022-08-10T13:48:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.|}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt {{math|term=V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Orthogonalität für symmetrische Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Orthogonalbasis bei symmetrischer Bilinearform |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0586r43t5t1wwyhex2j4w0uemqvunyi 0 79595 748818 510026 2022-08-10T14:33:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.|}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orthogonalität für symmetrische Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kcrbxf57kgnqnqmr1dvfbqwooze6eii 0 79608 748640 452088 2022-08-10T12:03:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Winkel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= \angle (u,v) |SZ= }} nur von der Einschränkung des Skalarproduktes auf den durch {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugten| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} abhängt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Winkeltheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1iynp5pejummgc4vqn4da4cejjte1cm 0 79615 748827 551320 2022-08-10T14:39:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Zu einer jeden {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |{{Basis|v}} ||v_1 {{kommadots|}} v_n || || || |SZ= }} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Bilin|V|}} | {{op:Matq|n|K}} | \Psi| G_{{Basis|v}} (\Psi) |SZ=, }} die einer {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Psi|SZ=}} ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der gegebenen Matrix zuordnet, eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphie| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von Vektorräumen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 827zm5jv0kqbxlqxp889uafpcfcvxmk 0 79716 748872 743326 2022-08-10T15:14:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung5 |Die Folge {{math|term=\varphi^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=.}} |Zu jedem {{mathl|term=v \in V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Folge {{ mathbed|term= \varphi^n(v) ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m \in V|SZ=}} derart, dass {{ mathbed|term= \varphi^n (v_j) ||bedterm1= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m ||bedterm2= |SZ=, }} konvergiert. |Der Betrag eines jeden {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Eigenwerts| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist kleiner oder gleich {{math|term=1|SZ=}} und falls der Betrag {{math|term=1|SZ=}} ist, so ist der Eigenwert selbst {{math|term=1|SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für eine beschreibende Matrix {{math|term=M|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} aufgefasst über {{math|term={{CC}}|SZ=,}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Blöcke| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |jordanschen Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{Jordanblock/klein|\lambda}} |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Betrag|\lambda|}} <1 |SZ=}} oder gleich {{math|term=(1)|SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wcnue8wup19wv0xhdeqiooqwy4hldf 0 79749 748746 585853 2022-08-10T13:26:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorräume/n/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= Es sei {{math|term=Z|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zusammen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |multilinearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \rho |V_1 {{timesdots|}} V_n |Z || |SZ=, }} die zusammen die universelle Eigenschaft aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr=2 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllen. |Übergang= |Folgerung=Dann gibt es einen eindeutig bestimmten {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{tensordots|}} V_n|Z || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cz0sw7sloofrwh01i94khnsrll2d9qg 0 79752 748751 466625 2022-08-10T13:29:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorräume/n/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term=J_1 {{kommadots|}} J_n |SZ=}} Indexmengen und {{ math/disp|term= v_{ij}, j \in J_i |SZ=, }} Vektoren in {{math|term=V_i|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Wenn die Familien jeweils ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V_i|SZ=}} bilden, so ist die Familie {{ math/disp|term= v_{1 j_1} {{tensordots|}} v_{n j_n} \text{ mit } (j_1 {{kommadots|}} j_n) \in J_1 {{timesdots}} J_n |SZ= }} ein Erzeugendensystem von {{mathl|term=V_1 {{tensordots|}} V_n|SZ=.}} |Wenn die Familien jeweils {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=V_i|SZ=}} sind, so ist die Familie {{ math/disp|term= v_{1 j_1} {{tensordots|}} v_{n j_n} \text{ mit } (j_1 {{kommadots|}} j_n) \in J_1 {{timesdots}} J_n |SZ= }} linear unabhängig in {{mathl|term=V_1 {{tensordots|}} V_n|SZ=.}} |Wenn die Familien jeweils eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V_i|SZ=}} bilden, so ist die Familie {{ math/disp|term= v_{1 j_1} {{tensordots|}} v_{n j_n} \text{ mit } (j_1 {{kommadots|}} j_n) \in J_1 {{timesdots}} J_n |SZ= }} eine Basis von {{mathl|term= V_1 {{tensordots|}} V_n |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Basis vom Tensorprodukt |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 72sbk0zhx7r2fuhbnhy99kcf7fw43ml 0 79767 748816 620774 2022-08-10T14:31:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Vektoren aus {{math|term=V|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Die Familie {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{ mathbed|term= 1 {{tensor|}} v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term=L|SZ=-}}Erzeugendensystem von {{mathl|term=L {{tensor|}} V |SZ=}} ist. |Die Familie {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath=K |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{ mathbed|term= 1 {{tensor|}} v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} linear unabhängig {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=L|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term=L {{tensor|}} V |SZ=}} ist. |Die Familie {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{ mathbed|term= 1 {{tensor|}} v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term=L|SZ=-}}Basis von {{mathl|term= L {{tensor|}} V |SZ=}} ist. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte bei einer Körpererweiterung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hrfliuek9ice0a2lgfu3fw277qkm717 0 79780 748745 466105 2022-08-10T13:25:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für fixierte Linearformen {{mathl|term=f_1 \in {{op:Dualraum|V_1}} {{kommadots||}} f_n \in {{op:Dualraum|V_n}} |SZ=}} ist die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V_1 {{timesdots}} V_n |K |(v_1 {{kommadots|}} v_n)| f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) |SZ=, }} nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Linearformen/Produkt/Multilinear/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |multilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und definiert daher eine Linearform auf {{mathl|term=V_1 {{tensordots|}} V_n |SZ=.}} Dies ergibt die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\Psi | {{handzieh|}} {{op:Dualraum|V_1}} {{timesdots||}} {{op:Dualraum| V_n |}} | {{handzieh|}} {{op:Dualraum| {{makl| V_1 {{tensordots|}} V_n |}} }} | (f_1 {{kommadots|}} f_n) | {{makl| (v_1 {{tensordots|}} v_n) \mapsto f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) |}} |SZ=. }} Diese Gesamtzuordnung {{math|term=\Psi|SZ=}} ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Dualraum|V_1}} {{tensordots||}} {{op:Dualraum| V_n |}} | {{op:Dualraum| {{makl| V_1 {{tensordots|}} V_n |}} }} || |SZ= }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Homomorphismenraum/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien {{ mathbed|term= v_{ij} ||bedterm1= 1 \leq j \leq {{op:dim vr|V_i|}} ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{math|term=V_i|SZ=.}} Dann bilden die {{mathl|term=v_{1j_1} {{tensordots|}} v_{nj_n}|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt |Nr=3 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Basis von {{mathl|term= V_1 {{tensordots|}} V_n |SZ=}} und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \Psi ( v_{1j_1}^* {{tensordots|}} v_{nj_n}^* ) || {{makl| v_{1j_1} {{tensordots|}} v_{nj_n} |}}^* || || || |SZ=. }} Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente {{mathl|term=v_{1 k_1} {{tensordots|}} v_{n k_n} |SZ=,}} bei {{mathl|term= (k_1 {{kommadots|}} k_n)=(j_1 {{kommadots|}} j_n) |SZ=}} den Wert {{math|term=1|SZ=}} und andernfalls den Wert {{math|term=0|SZ=}} ergeben. Daher ist {{math|term=\Psi|SZ=}} surjektiv und damit auch injektiv. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} euvyg5zynv6h8u2q2qg7tjikmlpp7a9 0 79788 748834 466208 2022-08-10T14:45:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Vektoren aus {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}} die folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |Die Familie {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist genau dann ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{ mathbed|term= 1 {{tensor|}} v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{math|term=L|SZ=-}}Erzeugendensystem von {{mathl|term=L {{tensor|}} V |SZ=}} ist. |Die Familie {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist genau dann {{ Definitionslink |Prämath=K |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{ mathbed|term= 1 {{tensor|}} v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} linear unabhängig {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=L|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} in {{mathl|term=L {{tensor|}} V |SZ=}} ist. |Die Familie {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=,}} wenn {{ mathbed|term= 1 {{tensor|}} v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{math|term=L|SZ=-}}Basis von {{mathl|term= L {{tensor|}} V |SZ=}} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kvvsgcxlonfxwke6yf45eiq75iobyty 0 79797 748700 453409 2022-08-10T12:57:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^2 {{tensor|\R}} \R^2 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|6|8}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|5|-2}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ld7z91w8wdgn9zpqwsbpasyc9mgf637 0 79798 748701 467771 2022-08-10T12:57:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^2 {{tensor|\R}} \R^3 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|-7|3}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|3|-2|4}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53wdw7qzuhpzy7xw22c4391th3o9j5a 0 79799 748702 453412 2022-08-10T12:57:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^3 {{tensor|\R}} \R^3 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|5| 3|7}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|-8|9|-4}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} da6h59voeosbcyvlzi891ecrnf70wol 0 79800 748705 453422 2022-08-10T12:58:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^3 {{tensor|\R}} \R^3 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|6|- 3|8}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|-5|-1|4}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oruacrdzw7ein0dwhhvndew1t304xab 0 79801 748703 453413 2022-08-10T12:57:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^2 {{tensor|\R}} \R^3 {{tensor|\R}} \R^2 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor| 6|-7}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|-7|3|-3}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|-5|4}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 325vkpnuxu3f8me89rz0g4oxp6wbi9u 0 79804 748704 453414 2022-08-10T12:58:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^2 {{tensor|\R}} \R^3 {{tensor|\R}} \R^4 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|2|- {{op:Bruch|3|7}} }} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|-7| {{op:Bruch|5|4}} | {{op:Bruch|3|5}} }} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|3|1|0|{{op:Bruch|4|3}} }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eyo22wizxm2ide545bzu5u2if4y98j1 0 79821 748744 465835 2022-08-10T13:25:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorräume/Endlichdimensional/n/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= v_{1j}, j \in J_1 {{kommadots|}} v_{nj}, j \in J_n |SZ=,}} und {{mathl|term= w_{1j}, j \in J_1 {{kommadots|}} w_{n j}, j \in J_n |SZ=,}} {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V_1 {{kommadots|}} V_n|SZ=}} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |Basiswechselmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |B_i || M^{ {{basis|v|}}_i }_{ {{basis|w}}_i } || {{makl| a_{irs} |}}_{1 \leq r,s \leq {{op:dim vr|V_i|}} } || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung=Dann ist die Basiswechselmatrix {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=J= J_1 {{timesdots|}} J_n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zwischen den Basen {{ mathkor/disp|term1= v_{1 j_1} {{tensordots|}} v_{n j_n} , \, (j_1 {{kommadots|}} j_n) \in J |und|term2= w_{1 j_1} {{tensordots|}} w_{n j_n} , \, (j_1 {{kommadots|}} j_n) \in J |SZ= }} des Tensorproduktes durch die {{mathl|term= J \times J |SZ=-}}Matrix mit den Einträgen {{ Ma:Vergleichskette/disp |c_{ (j_1 {{kommadots|}} j_n) , ( k_1 {{kommadots|}} k_n) } || a_{1 j_1 k_1} \cdots a_{n j_n k_n} || || || |SZ= }} beschrieben. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Basiswechsel beim Tensorprodukt |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tru3o0jm8rwaflwzlh6ev2000ovdp6k 0 80018 748778 462335 2022-08-10T13:53:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{Vektorraum/Untervektorraum/Situation|SZ=.}} Es sei {{ mathbed|term= u_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} und {{ mathbed|term= v_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine Familie von Vektoren in {{mathl|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Gesamtfamilie {{mathl|term=u_i, i \in I, v_j, j \in J|SZ=,}} genau dann eine Basis von {{math|term=V|SZ=}} ist, wenn {{ mathbed|term= [v_j] ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V/U|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Restklassenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etqwadblwbi4e54vsaqzcxw6jstbqd7 0 80477 748654 550383 2022-08-10T12:15:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term=E|SZ=}} ein reeller {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| E || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |F |\subseteq|E || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| F || || || |SZ= }} ist der Abstand von {{math|term=P|SZ=}} zu {{math|term=F|SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=.}} Im Allgemeinen schreibt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | F || Q+U || || || |SZ= }} mit einem Aufpunkt {{ Ma:Vergleichskette | Q |\in| F || || || |SZ= }} und mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} und bestimmt das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | W || {{op:Orthogonales Komplement|U|}} || || || |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=.}} Wenn {{mathl|term=u_1 {{kommadots|}} u_m |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_k |SZ=}} eine Basis von {{math|term=W|SZ=}} ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Vektor|P|Q}} || \sum_{i {{=}}1 }^m a_i u_i + \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j || || || |SZ=. }} Es ist dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | L || P + \sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j || Q - \sum_{ i {{=}} 1}^m a_iu_i || || |SZ= }} der Lotfußpunkt von {{math|term=P|SZ=}} auf {{math|term=F|SZ=}} und der Abstand von {{math|term=P|SZ=}} zu {{math|term=L|SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|P|F}} || {{op:Abstand|P|L}} || {{op:Norm|\sum_{j {{=}} 1 }^k b_j w_j |}} || || |SZ=. }} Wenn die {{math|term=w_j|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} bilden, so ist dies gleich {{mathl|term= \sqrt{ \sum_{j=1}^k b_j^2} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1k6ooxt78siub8s7gfu94cid4rni3y3 0 80546 748777 456645 2022-08-10T13:52:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass durch {{ Ma:abbele/disp |name= |V| {{op:Dualraum|V|}} |v| {{makl| w \mapsto {{op:Skalarprodukt|v|w}} |}} |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphie| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zwischen {{math|term=V|SZ=}} und seinem {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} gestiftet wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} isknqf2c9kx8zw0s61hnd3zsg18in9s 0 80697 748843 549908 2022-08-10T14:52:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Fundamentalsatzes der Algebra|Faktseitenname= Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt {{math|term=\varphi|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq|V || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Eigengerade| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Da eine Isometrie vorliegt, ist das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement|E|}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ebenfalls {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariant| |Kontext=Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und die Einschränkung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi{{|}}_{ {{op:Orthogonales Komplement|E|}} } |{{op:Orthogonales Komplement|E|}} |{{op:Orthogonales Komplement|E|}} || |SZ= }} ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von {{math|term={{op:Orthogonales Komplement|E|}}|SZ=}} eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von {{math|term=V|SZ=}} bildet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q01602b6cigevwktlnuq9u07lh41wdk 0 80699 748806 457359 2022-08-10T14:23:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Isometrie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianter| |Kontext=Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=}} ebenfalls {{math|term=\varphi|SZ=-}}invariant ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Isometrien (Vektorraum mit Skalarprodukt) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtmstb01j8rhjk9dvi7g02oizh0k78p 0 80700 748697 549916 2022-08-10T12:55:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Isometrie| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |invarianter Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist auch das {{ Definitionslink |orthogonale Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=U^{{senkrecht|}}|SZ=}} invariant. |Zusatz= Insbesondere kann man {{math|term=\varphi|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi ||\varphi_U \oplus \varphi_{U^{{senkrecht|}} } || || || |SZ= }} schreiben, wobei die Einschränkungen {{mathkon|\varphi_U|und|\varphi_{U^{{senkrecht|}}}| SZ=}} ebenfalls Isometrien sind. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der unitären Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Orthogonal |Faktname= |Abfrage=Invarianz des orthogonalen Komplements |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5iy5f8ixrqa55t4bqi8tjg1kesxvqc7 0 80707 748803 457364 2022-08-10T14:21:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Isometrie| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt jeder {{ Definitionslink |Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} den Betrag {{math|term=1|SZ=.}} |Zusatz=Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{KRC|}} || \R || || || |SZ= }} sind nur die Eigenwerte {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} möglich. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Isometrien auf unitären Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Eigenwerte von Isometrien |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vxd0e8r0hwqm5cyhjdlcuxrts1xjvx 0 81027 748648 510034 2022-08-10T12:08:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass diese Form genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Gramsche Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von ihr bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |symmetrisch| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kemsqt34mqj8wmhqrjngv5t0w4gbup 0 81062 748743 579447 2022-08-10T13:24:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation=Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |Sesquilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|v|}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= {{basis|w|}} = w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= G |bzw.|term2= H |SZ= }} die {{ Definitionslink |Gramschen Matrizen| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basen. |Voraussetzung= Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |w_j || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_{ij} v_i || || || |SZ=, }} die wir durch die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |A || {{makl| a_{ij} |}}_{i,j} || || || |SZ= }} ausdrücken. |Übergang= |Folgerung= Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||{{op:transponiert|A||}} G {{op:Komplexe Konjugation|A||}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Sesquilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage=Gramsche Matrix bei Basiswechsel (Sesquilinearform) |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9vj1rk2jz0aubp9pvdmxqtprsizv5m3 0 81309 748754 461606 2022-08-10T13:31:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi, \psi |V|V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\psi|SZ=}} genau dann die {{ Definitionslink |Prämath= |adjungierte Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} ist, wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt| \varphi(v_i)|v_j}} || {{op:Skalarprodukt| v_i| \psi(v_j )}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=i,j \in I|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8h9x0c8wrjajwlxzurlvjyyinfe3grc 0 81525 748649 554670 2022-08-10T12:09:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V |SZ=.|}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|v|}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= {{basis|w|}} = w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= G |bzw.|term2= H |SZ= }} die {{ Definitionslink |Gramschen Matrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen {{ Ma:Vergleichskette/disp |w_j || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_{ij} v_i || || || |SZ=, }} die wir durch die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | A || (a_{ij})_{i,j} || || || |SZ= }} ausdrücken. Dan |Übergang= |Folgerung=n besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp |H ||{{op:transponiert|A||}} G A || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f16hx2s8oguttgenej6hlfqz1fe8fp3 0 81533 748650 554672 2022-08-10T12:11:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term={{{V|V}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}} |Vektor{{latextrenn|}}raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term=m|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} Dann bilden die Dachprodukte {{ math/disp|term= v_{i_1} {{wedgedots|}} v_{i_n} \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m |SZ= }} eine Basis von {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iaad1uo2lemz1iuz11liuv77knhk9ju 0 81558 748768 462349 2022-08-10T13:45:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} und {{mathl|term=w_1 {{kommadots|}} w_n|SZ=}} heißen {{Stichwort/Antwort|orientierungsgleich|SZ=,}} wenn die {{ Definitionslink |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ihrer {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |positiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cgo87vslfcxyku295rn62oqgdvinbsj 0 81931 748713 465465 2022-08-10T13:03:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC||}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\varphi(v)||}} | \leq| {{op:Norm|\varphi|}} \cdot {{op:Norm|v|}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | v |\in|V || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normierten Homomorphismenräume |Kategorie2=Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen normierten Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnldmwhpnsbdrwfrux3iu7tkpc41css 0 82024 748659 471308 2022-08-10T12:22:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M=(v_1 {{kommadots|}} v_n)|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term={\mathbb F}_q|SZ=.}} Dies bedeutet, dass die Spaltenvektoren eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {\mathbb F}_q^n |SZ=}} bilden und dies bedeutet wiederum, dass die {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_i |SZ=}} einen {{math|term=i|SZ=-}}dimensionalen Untervektorraum erzeugen. Ein {{math|term=i|SZ=-}}dimensionaler Untervektorraum besitzt {{math|term= q^{i} |SZ=}} Elemente. Wenn {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_i |SZ=}} fixiert sind, so gibt es {{mathl|term= q^n - q^{i} |SZ=}} Vektoren {{math|term= v_{i+1} |SZ=,}} die sicher stellen, dass der von den Vektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_i,v_{i+1} |SZ=}} erzeugte Untervektorraum eine Dimension mehr hat. Daher ist die Gesamtzahl von solchen Matrizen gleich {{ Ma:Vergleichskette/align | (q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2) \cdots (q^n -q^{n-1}) || qq^2 \cdots q^{n-1} (q^n-1)(q^{n-1} -1) \cdots (q-1) || q^{ \binom{n}{2} } (q^n-1)(q^{n-1} -1) \cdots (q-1) || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5a4wzdz0v44znzlh2pmeo72mzn9kwx4 0 82083 748726 529253 2022-08-10T13:12:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term=V,W|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} von {{math|term=W|SZ=}} durch die Matrix {{math|term=M|SZ=}} beschrieben werde. Es sei {{mathl|term=K \subseteq L|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{math|term=L|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_L |V_L|W_L || |SZ= }} bezüglich der {{math|term=L|SZ=-}}Basen {{mathl|term= 1 {{tensor}} v_1 {{kommadots|}} 1 {{tensor}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V_L|SZ=}} und {{mathl|term= 1 {{tensor}} w_1 {{kommadots|}} 1 {{tensor}} w_m |SZ=}} von {{math|term=W_L|SZ=}} ebenfalls durch die Matrix {{math|term=M|SZ=}} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lgnxgsh2jmk9znq2ho2s24vrjf0wrse 0 82223 748678 466583 2022-08-10T12:38:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=}} nicht der Nullraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spgxka4v09hdfytbv6nknueqweud98l 748679 748678 2022-08-10T12:38:24Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Dachprodukt/Konstruktion/n is Dimension/Nicht 0/Aufgabe]] nach [[Dachprodukt/Konstruktion/n ist Dimension/Nicht 0/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=}} nicht der Nullraum ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spgxka4v09hdfytbv6nknueqweud98l 0 82388 748646 467309 2022-08-10T12:06:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Ein reeller Vektorraum {{math|term=V|SZ=}} heißt {{Stichwort/Antwort|orientiert|SZ=,}} wenn er endlichdimensional und auf ihm eine {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erklärt ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ajxek2oy575p7ozclbhrn55lsc9qgs 0 82439 748694 467522 2022-08-10T12:53:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=V \neq 0|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Dann entsprechen durch die {{ Definitionslink |Zuordnung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= [v_1 {{kommadots|}} v_n] \longmapsto [ v_1 {{wedgedots|}} v_n ] |SZ= }} die {{ Definitionslink |Orientierungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=}} den Orientierungen auf {{mathl|term=\bigwedge^n V|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} krezfv67ml3b0619gntdg3q7y1ndxfc 0 82519 748993 467817 2022-08-11T08:00:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die zwei {{ Definitionslink |Prämath= |Normen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} heißen {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |äquivalent| |msw= |SZ=, }} wenn sie die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} also die gleichen {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Mengen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} definieren. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g8gkvuzm0mku0tk6r6k9btsfk0hb6pe 0 82564 748647 510078 2022-08-10T12:06:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}}, ob die beiden {{ Definitionslink |Prämath=|Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term=\R^2|SZ=,}} {{ mathkor/disp|term1= {{op:Spaltenvektor|1|-4}} ,\, {{op:Spaltenvektor|3|-2}} |und|term2= {{op:Spaltenvektor|6|-5}} ,\, {{op:Spaltenvektor|-5|4}} |SZ=, }} die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Orientierung| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} repräsentieren oder nicht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lebct2nwh5aaqbenw6hz2kk6dsz27zh 0 83073 748706 470202 2022-08-10T12:58:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} in {{mathl|term=\R^3 {{tensor|\R}} \R^2 |SZ=}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Tensorprodukt| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|5|-1|2}} {{tensor||}} {{op:Spaltenvektor|3|-7}} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1dtxyv3xw7w9lpbh1x3luunccd1a7u 0 83133 749028 564358 2022-08-11T11:10:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter Zählen verstehen wir die geordnete systematische, prinzipiell unendliche Abfolge von wohlbestimmten, wohlunterschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere wiederholungsfreien| |ISZ=|ESZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=sprachlichen oder schriftlichen| |ISZ=|ESZ= }} Symbolen. Wir erwähnen einige Möglichkeiten von solchen Abfolgen. {{ Aufzählung9 |{{ math/disp|term= {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}} ,{{|}}{{|}}{{|}} {{|}} , ... |SZ=. }} Dies ist die Strichabfolge. Es wird einfach bei jedem Schritt ein zusätzlicher Strich hinzugefügt. Die Symbole sind die einzelnen Strichfolgen. Der Übergang zum nächsten Symbol ist besonders einfach, die einzelnen Symbole werden aber sehr schnell unhandlich. |{{ math/disp|term= N0,NN0,NNN0,NNNN0,NNNNN0, ... |SZ=. }} Hier hat man den Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=,}} den Nachfolger des Nachfolgers der {{math|term=0|SZ=,}} den Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der {{math|term= 0 |SZ=,}} u.s.w. |Die Lautfolge {{ math/disp|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, \text{elf}, \text{zwölf}, \text{dreizehn}, \text{vierzehn}, ... |SZ=. }} Dies ist zwar sehr vertraut und man weiß, wie es weiter geht, das sprachliche Bildungsgesetz ist aber keineswegs trivial, und bei sehr großen Zahlen kommt man doch ins Schwitzen. Was kommt beispielsweise nach {{ math/disp|term= \text{neunhundertneunundneunzig Trilliarden neunhundertneunundneunzig Trillionen } {{Mathbruch}} \text{ neunhundertneunundneunzig Billiarden neunhundertneunundneunzig Billionen } |SZ= }} {{ math/disp|term= \text{ neunhundertneunundneunzig Milliarden neunhundertneunundneunzig Millionen } {{Mathbruch}} \text{ neunhundertneunundneunzig Tausend neunhundertneunundneunzig} |SZ=? }} Es gibt keine allgemein anerkannte sprachliche Festlegung für beliebig weites Zählen. Jede sprachliche Festlegung, die jede beliebig große natürliche Zahl ausdrücken möchte, muss früher oder später auf eine Vervielfachung von Wörtern zurückgreifen, wie das im Fall der Strichfolge von Anfang an geschieht. Die Wörter werden jedenfalls auch unendlich lang, siehe [[w:Zahlennamen]]. |{{ math/disp|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, \text{elf}, \text{zwölf}, \text{dreizehn}, ..., {{Mathbruch}} \text{neunundneunzig}, \text{zehnmalzehn}, \text{zehnmalzehn und eins}, \text{zehnmalzehn und zwei}, ..., \text{zehnmalzehnmalzehn}, \text{zehnmalzehnmalzehn und eins}, ... |SZ=. }} Hier weiß man, wie die Folge ins Unendliche weitergeht. Statt bei zehn kann man mit der systematischen Vervielfachung auch deutlich später anfangen. |{{ math/disp|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, {{Mathbruch}} \text{zehnundeins}, \text{zehnundzwei}, \text{zehnunddrei}, \text{zehnundvier}, ..., \text{zwanzig}, \text{zwanzigundeins}, \text{zwanzigundzwei}, ... |SZ=. }} Diese Art zu zählen {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ohne das {{Anführung|und}}| |ISZ=|ESZ= }} wird von einigen Leuten vorgeschlagen, um die verkehrte Aussprache von Einer- und Zehnerstellen und damit Zahlendreher zu vermeiden. Siehe den Verein [[w:Zwanzigeins]] {{ Zusatz/Klammer |text=an der Namensgebung und auch auf der Seite des Vereins fällt auf, dass das Verhältnis zu den Zahlen von {{math|term= 11 |SZ=}} bis {{math|term= 19 |SZ=}} unklar ist| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ math/disp|term= \text{yksi}, \text{kaksi}, \text{kolme}, \text{neljä}, \text{viisi}, \text{kuusi}, \text{seitsemän}, \text{kahdeksan},\text{yhdeksän}, {{Mathbruch}} \text{kymmenen}, \text{yksitoista}, \text{kaksitoista}, \text{kolmetoista},...,\text{ kaksikymmentä},\text{kaksikymmentäyksi}, ... |SZ=. }} Was steht dazwischen und wie geht das weiter? |{{ math/disp|term= a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,aa,bb,cc, ... |SZ=. }} Man kann das Alphabet natürlich auch auf andere Weisen zu einer unendlichen Folge fortsetzen. |{{ math/disp|term= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, ... |SZ=. }} Hier ist das Bildungsgesetz bekannt und ziemlich einfach. Wenn die letzte Ziffer nicht {{math|term= 9 |SZ=}} ist, so wird sie um {{math|term=1|SZ=}} erhöht, für die nachfolgende Zahl muss man also in diesem nur die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzen. Wenn die letzte Ziffer eine {{math|term= 9 |SZ=}} ist, muss man sämtliche hinten aneinander liegende {{math|term= 9 |SZ=}}nen durch {{math|term= 0 |SZ=}}en ersetzen und die unmittelbar davor liegende Ziffer durch ihren Nachfolger ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=wie ist das zu verstehen, wenn die Zahl ausschließlich aus {{math|term= 9 |SZ=}}nen besteht| |ISZ=?|ESZ=. }} |{{ math/disp|term= 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010, ... |SZ=. }} }} Entscheidend ist, dass jeweils festgelegt ist, welches Symbol/Objekt als Nächstes kommt. Dies wird in der Regel durch eine mehr oder weniger komplexe Bildungsvorschrift beschrieben, die sagt, wie man aus einem Symbol das Nachfolgersymbol erhält. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5ihctgp78jhmkmc6nddxxn30e9dhxjz 0 83233 749019 630527 2022-08-11T10:08:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativer Halbring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |a,b |\in|R || || || |SZ=. }} Ferner sei {{math|term=n|SZ=}} eine natürliche Zahl. |Übergang= |Folgerung= Dann gilt {{ math/disp|term= {{Binomische Formel|n|a|b|k| |}} |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Der Binomische Lehrsatz |Stichwort= |Abfrage=Binomischer Lehrsatz |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kob2cid3hhd22urxc6kic73z15oqwd0 0 83891 749051 472997 2022-08-11T11:53:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter dem {{ Definitionswort |Prämath= |Betrag| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Betrag|n|}} |SZ=}} einer {{ Definitionslink |Prämath= |ganzen Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl {{mathl|term= -n |SZ=,}} falls {{math|term= n |SZ=}} negativ {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= -n |SZ=}} positiv| |ISZ=|ESZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Betrag |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqvkqavhv3bpnys51hclpu4cskbwmhp 106 91712 748939 536897 2022-08-10T16:49:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven_(Osnabrück_2017-2018)/Arbeitsblattgestaltung|3| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Affine Gerade/Zariski-offen/Definitionsbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Unendlicher Körper/Unendlich viele Werte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Ebene algebraische Kurven/Y^n-X^n/Reelle Nullstelle und beschreibendes Ideal der regulären n-Strahlen/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affine Gerade/Nicht polynomial, aber Zariski stetig/Finde Beispiel/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Komplexer affiner Raum/Affin-algebraisch/Reell/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Abstand zu Teilmenge/Stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Nullfaser/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ball/R^n/Zariski-Topologie/Nicht offen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Ganze Zahlen/Ideale/Charakterisierung von Radikalen/mit Primfaktorzerlegung/Aufgabe|}} {{:Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/Definition|}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nilpotente Elemente/Summe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nilpotentes Element/1+a ist Einheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Nilpotente Elemente und Einheiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutative Ringtheorie/Reduzierter Ring/Definition}} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Ideale/Radikal und reduzierter Restklassenring/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Ideal/Potenzen/Radikal gleich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Ideale/Primideal ist Radikal/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Radikal unter Ringhomomorphismus/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Affin-algebraische Mengen/Ideale mit gleichem Radikal/Gleiche Nullstellenmenge/Aufgabe|}} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affiner Raum/Polynomiale Abbildungen sind Zariski-stetig/Aufgabe|p}} {{inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe|p|tipp=Tipp: Induktion über {{math|term=n|SZ=.}}|}} {{inputaufgabe |Zariski-Topologie/Affine Ebene/Bestimme Abschluss zu verschiedenen Mengen/Aufgabe|p|}} Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe. {{inputaufgabe |Zariski-Topologie/Vergleich zu anderen Topologien/Aufgabe|p}} }} nw0svmrx1oky9toiz656vdxptihphec 106 91723 748937 665782 2022-08-10T16:16:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Kurven_(Osnabrück_2017-2018)/Arbeitsblattgestaltung|14| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/K-Spektrum/Algebraische Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Integritätsbereich/Faktoriell/K-Spektrum/Algebraische Abbildung/Eindeutige Darstellung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische Funktion auf offener Menge/Ring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |K-Spektrum/Quasiaffin/Ring der algebraischen Funktionen/Reduziert/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |Fermat-Kubik/Affin/Algebraische Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/Rationale Funktion mit Pol in (1,1)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Integritätsbereich/Algebraische Funktion/Durchschnitt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |K-Spektrum/Quasiaffin/Algebraischen Funktionen/Lokale Eigenschaft/Aufgabe||}} {{ inputaufgabe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Integritätsbereich/Algebraische Funktion/Injektive Restriktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |K-Spektrum/Abgeschlossene Einbettung/ux-vy/Auf D(x,y) nicht surjektiv/Aufgabe||}} In der folgenden Aufgabe wird das Konzept des {{ Definitionslink |Prämath= |Limes einer Abbildung| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verwendet. Dabei könnte {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Differenzierbare Kurve/t^2-1,t^3-t/y^2 ist x^2+x^3/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} hilfreich sein. {{ inputaufgabe |Algebraische Funktion/C/y^2 ist x^2+x^3/Funktionslimes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Wir kommen zu einer Reihe von äußerst wichtigen Begriffen, die wesentliche Eigenschaften der Strukturgarbe auf einem {{math|term=K|SZ=-}}Spektrum prägnant zusammenfassen. {{:Prägarbe/Definition|}} Die Abbildungen {{math|term= \rho_{V,U}|SZ=}} heißen dabei {{Stichwort|Restriktionsabbildungen|msw=Restriktionsabbildung|SZ=.}} {{:Prägarbe/Gruppe/Definition|}} {{:Prägarbe/Kommutativer Ring/Definition|}} {{ inputaufgabe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Prägarbe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Garbe/Über Prägarbe/Definition|}} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Stetige Abbildungen nach Y/Garbe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Garbe/Ringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbeneigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Garbe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In den folgenden Aufgaben werden Ultrafilter und minimale Primideale besprochen. Wir geben die Definition. {{:Kommutative Ringtheorie/Minimales Primideal/Definition}} {{:Kommutative Ringtheorie/Multiplikative Systeme/Ultrafilter/Definition}} {{inputaufgabe|Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Charakterisierung von Ultrafilter/Aufgabe||}} {{inputaufgabe|Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Komplement ist minimales Primideal/Aufgabe|}} {{inputaufgabe|Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Maximal ohne 1/Existenz/Aufgabe|| zusatz= {{ Zusatz/Klammer |text=Man benutze das Lemma von Zorn| |ISZ=|ESZ=. }}}} {{inputaufgabe|Kommutative Ringtheorie/reduzierte Ringe/Nullteiler und minimale Primideale/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Hilbertscher Nullstellensatz/Affin-algebraische Menge/Korrespondenz/Minimale Primideale/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe|K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Minimale Primideale und irreduzible Komponente/Aufgabe|}} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{inputaufgabe|K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Affine Ebene ohne einen Punkt/Schnittring/Aufgabe|p| zusatz= {{ Zusatz/Klammer |text=Dies besagt, dass eine außerhalb eines Punktes der Ebene definierte algebraische Funktion sich in den Punkt fortsetzen lässt. In der komplexen Analysis nennt man den entsprechenden Satz den {{Stichwort|term=Riemannschen Hebbarkeitssatz}}| |ISZ=|ESZ=. }}}} {{ inputaufgabe |Neilsche Parabel/C/Algebraische Funktion/Stetige Fortsetzung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |K-Spektrum/Affin/Irreduzibel/Definitionsbereich einer rationalen Funktion/Aufgabe|p|}} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme R_f ist noethersch für Überdeckung/Dann noethersch/Aufgabe|p|}} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nulldimensionale Algebra/Reduziert/Aufgabe|p| tipp=Hinweis: Man darf ohne Beweis benutzen, dass es in {{math|term=A}} nur endlich viele Primideale gibt.}} }} 8gih6qsvk8i5mdq0afubks84fvg2f5u 0 93118 748940 522559 2022-08-10T16:50:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Teilmenge/Situation|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Funktion {{ Ma:abb |name=f |M|\R || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |f^{-1}(0) ||T || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oo9vdvfy31x70ihmt0asfyaknhyjhyr 0 93533 748764 525441 2022-08-10T13:40:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term=K^n|SZ=}} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi_{{basis|v}} |K^n| K^n | {{op:Spaltenvektor|s_1|\vdots|s_n}} | {{skalar}}_1 v_1 + {{skalar}}_2 v_2 {{plusdots}} {{skalar}}_n v_n |SZ=, }} die zugehörige bijektive Abbildung im Sinne von {{ Bemerkungslink |Präwort=||Bemerkungsseitenname= Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bijektion/Bemerkung|Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Abbildung im Allgemeinen nicht mit der komponentenweisen Multiplikation im {{math|term=K^n|SZ=}} verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4daq8vl7di3o98q8xcuer5lkxxsvk5 0 93640 748763 525806 2022-08-10T13:40:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine Familie von Vektoren in {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die Familie genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn es einen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} gibt, für den die Familie eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bildet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Unabhängigkeit |Kategorie2=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqkx6ue6cyw1p9j277xxwa1a4i7hfsc 0 94717 748936 579516 2022-08-10T16:15:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V(Y^2-X^2-X^3) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|{{CC}}|}} || || |SZ= }} gegebene Kurve, den Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P || (0,0) |\in|C || || |SZ= }} und das offene Komplement {{ Ma:Vergleichskette |U ||C \setminus \{P\} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Bruch|Y|X}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |algebraische Funktion| |Kontext=K-Spektrum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=U|SZ=}} ist, die nicht auf ganz {{math|term=C|SZ=}} algebraisch ausdehnbar ist. |Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungslimes| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi {{=}} {{op:Bruch|Y|X}} |U| {{CC}} || |SZ= }} nicht existiert. |Zeige{{n Sie}}, dass es {{ Definitionslink |Prämath= |Folgen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Folge|w}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Folge|z}} |SZ=}} in {{math|term=U|SZ=}} gibt, die beide gegen {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergieren| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} für die die {{ Definitionslink |Prämath= |Bildfolgen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unter {{math|term=\varphi|SZ=}} jeweils konvergieren, aber gegen unterschiedliche Werte. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Strukturgarbe auf K-Spektren |Kategorie2=Theorie der Grenzwerte von Abbildungen (metrische Räume) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j9a4ouabuwfil3hdw56tsft9s61xgj8 0 95163 748934 536016 2022-08-10T16:12:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^3 || Y^2 || X^5 || || |SZ= }} und somit muss in einem Schnittpunkt {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^5-X^3 || X^3(X^2-1) || X^3 (X-1)(X+1) || 0 || |SZ= }} sein. Dies ergibt für die {{math|term=X|SZ=-}}Koordinate die Möglichkeiten {{ Ma:Vergleichskette/disp |X ||0,1-1 || || || |SZ=. }} Dies führt auf die Schnittpunkte {{ math/disp|term= (0,0), \, (1,1), \, (1,-1), \, (-1, - {{Imaginäre Einheit|}} ) , \, (-1, - {{Imaginäre Einheit|}} ) |SZ=. }} Wir berechnen die Schnittmultiplizität über die Dimension von {{ math/disp|term= (K[X,Y]/(Y^2-X^3,X^3 (1-X^2)))_{{idealm}} |SZ= }} zu den verschiedenen maximalen Idealen. Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm}} || (X,Y) || || || |SZ= }} geht es um den Ring {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[X,Y]_{(X,Y)} /(Y^2-X^3,X^3 ) || K[X,Y]_{(X,Y)} /(Y^2, X^3 ) || || || |SZ= }} und {{mathl|term=1,X,X^2,Y,YX,YX^2|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieses Ringes, die Schnittmultiplizität ist also {{math|term=6|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm}} || (X-1,Y-1) || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 -X^3 || - (X^2+X+1) (X-1) + (Y+1) (Y-1) || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |X^5 -X^3 || X^3 (X+1) (X-1) || || || |SZ=, }} wobei die Koeffizientenpolynome im lokalen Ring {{mathl|term=K[X,Y]_{{idealm}}|SZ=}} Einheiten sind. Also ist die Schnittmultiplizität gleich {{math|term=1|SZ=.}} Ebenso ist bei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm}} || (X,Y+1) || || || |SZ= }} die Schnittmultiplizität gleich {{math|term=1|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm}} || (X+1,Y \pm {{imaginäre Einheit}} ) || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 -X^3 || (X^2+X+1) (X-1) + (Y+ {{imaginäre Einheit}}) (Y-{{imaginäre Einheit}}) || || || |SZ= }} und nach dem gleichen Argument wie zuvor ist die Schnittmultiplizität gleich {{math|term=1|SZ=.}} Um die Schnittpunkte im Projektiven zu bestimmen, betrachten wir die homogenen Polynome {{ mathkor|term1= ZY^2-X^3 |und|term2= Z^3Y^2-X^5 |SZ= }} und setzen {{ Ma:Vergleichskette |Z ||0 || || || |SZ=. }} Dies ergibt den einzigen weiteren Schnittpunkt {{mathl|term=(0,1,0)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in homogenen Koordinaten| |ISZ=|ESZ=. }} Zur Berechnung der Schnittmultiplizität setzen wir {{ Ma:Vergleichskette |Y ||1 || || || |SZ= }} und müssen den Ring {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[X,Z]/(Z-X^3, Z^3-X^5) || K[X]/(X^5-X^9) || || || |SZ= }} betrachten. Dessen {{math|term=K|SZ=-}}Dimension ist {{math|term=5|SZ=,}} was somit die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0nxfv5l5sqkxvouarwpgmapklik81a9 0 95231 748862 590818 2022-08-10T15:06:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|13|2|1|0|13|2|0|0|13}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term=\varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|13|1|0|0|13|1|0|0|13}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t06e5ipi02wzdieg9w7ig88estgiqz5 0 95232 748863 590810 2022-08-10T15:06:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|11|3|1|0|11|2|0|0|11}} |SZ= }} beschrieben. Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term=\varphi|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|11|1|0|0|11|1|0|0|11}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qd5lg4cozr3mmeq3jnsgygw8ekooy7k 106 96048 748680 539466 2022-08-10T12:38:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Lineare Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|57| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Körperwechsel/Charakteristisches Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Allerdings können beim Übergang von {{math|term=K|SZ=}} nach {{math|term=L|SZ=}} neue Nullstellen des charakteristischen Polynoms und damit neue Eigenwerte und Eigenvektoren auftreten. {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Körperwechsel/Homomorphismenraum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Nach L-Vektorraum/Fortsetzung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/R^3/Vereinfache/3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Konstruktion/n ist Dimension/Nicht 0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Index größer als Dimension/0/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Determinantenabbildung zu fixierten Dualformen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Transformation des Dachprodukts von Teilfamilien/Determinante/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Dachprodukt/Fakt/Über Konstruktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Nach Tensorprodukt/Permutationen/Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dachprodukt/Körperwechsel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Tensorprodukt/Lineare Abbildung/Körperwechsel/Determinante/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Asymptotische Eigenschaften/Komplexifizierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} cqrr8htxdvo2budt81kdoy3p5a5x3cd 0 96302 749001 539785 2022-08-11T08:09:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= {{Reeller Vektorraum/Endlich/Situation|SZ=,}} {{mathl|term=I \subseteq \R|SZ=}} ein offenes Intervall und {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f | I \times U|V |(t,v)|f(t,v) |SZ=, }} ein {{Stichwort/Antwort|zeitunabhängiges Vektorfeld|SZ=,}} wenn {{mathl|term=f(t,v)=f(s,v)|SZ=}} für alle {{mathl|term=s,t \in I|SZ=}} und {{mathl|term=v \in U|SZ=}} gilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p87wzo0tys9gblofyqmrdg2wx55pwhe 0 96496 748932 540895 2022-08-10T16:10:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{math|term=n|SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||V_0 |\subset|V_1 |{{subsetdots|}} | V_{n-1} |\subset| V_n ||V |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Fahne| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Ma:Vergleichskette/disp |W_i |{{defeq}}| {{op:Orthogonalraum|V_{n-i} }} || || || |SZ= }} eine Fahne im {{ Definitionslink |Prämath= |Dualraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} bilden. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a93uiedrcxkaftn8ofufxpp5xoavf47 0 96551 748699 613054 2022-08-10T12:56:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||V_0 |\subset|V_1 |{{subsetdots|}} | V_{n-1} |\subset| V_n ||V |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Fahne| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath={{CC}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} Wir betrachten {{math|term=V|SZ=}} als reellen Vektorraum der reellen Dimension {{math|term=2n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es reelle Untervektorräume {{ Ma:Vergleichskette/disp |W_i |\subseteq| V || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 |\subset|W_1 |\subset|V_1 |\subset|W_2 |\subset|V_2 |{{subsetdots}} |V_{n-1} |\subset|W_n |\subset|V_n |SZ= }} eine reelle Fahne ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Kategorie2=Theorie der komplexen endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3dp73ln0865g0wy5ttfuzsi81e96zj0 0 96662 748853 541751 2022-08-10T14:59:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=.}} Sei {{mathl|term=k \leq n|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es genau dann einen {{ Definitionslink |Prämath= |invarianten Untervektorraum| |Kontext=Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} gibt, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} gibt, bezüglich der die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} die Gestalt {{ math/disp|term= {{op:Matrix66|a_{11}|\ldots|a_{1k}|a_{1k+1} |\ldots|a_{1n}|\vdots |\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|\vdots|a_{k1}|\ldots|a_{kk} |a_{k k+1}|\ldots|a_{kn}|0|\ldots|0| a_{k+1 k+1}|\ldots|a_{k+1 n}| \vdots|\vdots|\vdots| \vdots|\vdots|\vdots|0|\ldots|0| a_{n k+1}|\ldots|a_{n n}||||||||||||||||||||||||||||||||}} |SZ= }} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jtwmmz4gfeamjgpmt02hbgf4v1tew7 0 96831 748830 736720 2022-08-10T14:41:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term=F,G \in K[X]|SZ=}} verschiedene Polynome vom Grad {{ Ma:Vergleichskette |d | \geq |e |\geq|1 || || |SZ= }} und seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |C ||V_+ {{makl| YZ^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |D ||V_+ {{makl| YZ^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |projektiven Abschlüsse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Schnittpunkte von {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Affine Ebene|K|}} |\cong|D_+(Z) || || || |SZ= }} sind einfach die Schnittpunkte der beiden Graphen. Man kann sie bestimmen, indem man die Nullstellen von {{mathl|term=F-G|SZ=}} bestimmt. Dabei gibt es maximal {{math|term=d|SZ=}} Nullstellen, auch wenn man die Multiplizitäten mitzählt {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathl|term=d>e|SZ=}} ist die Multiplizitätensummen genau gleich {{math|term=d|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |e |\geq|2 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gehört zu beiden Kurven auf {{mathl|term=V_+(Z)|SZ=}} noch der Punkt {{mathl|term=(0,1,0)|SZ=,}} dort muss also eine {{Anführung|hohe}} Schnittmultiplizität liegen, um auf die Gleichheit im {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Bezout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zu kommen. Die inhomogenen Kurvengleichungen in {{ Ma:Vergleichskette/disp | D_+(Y) |\cong| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= Z^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) |bzw.|term2= Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |SZ=. }} Wir müssen die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenrings| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= K[X,Z]_{(X,Z)}/ {{makl| Z^{d-1} - {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z), Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} |SZ= }} berechnen. Dieser Ring ist isomorph zu {{ math/disp|term= K[X,Z]_{(X,Z)}/ {{makl| {{op:Homogenisierung|F|}} (X,Z) - Z^{d-e} {{op:Homogenisierung|G|}} , Z^{e-1} - {{op:Homogenisierung|G|}} (X,Z) |}} |SZ=. }} Die linke Gleichung ist homogen vom Grad {{math|term=d|SZ=}} und {{math|term=X^d|SZ=}} kommt darin vor {{ Zusatz/Klammer |text=es sei nun {{mathl|term=d>e|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} so dass wir damit {{math|term=X^d|SZ=}} durch {{Anführung|kleinere}} Monome ausdrücken können. Die rechte Gleichung führt auf {{ Ma:Vergleichskette/disp | Z^{e-1} (1- \beta_e Z - \beta_{e-1} X ) || \sum_{i+j {{=}} e,\, i \geq 2} \beta_j X^iZ^j || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term=1- \beta_e Z^e - \beta_{e-1} X|SZ=}} im lokalen Ring eine Einheit ist, können wir damit {{math|term=Z^{e-1}|SZ=}} durch kleinere Monome ausdrücken. Somit ist {{ mathbed/disp|term= X^iZ^j ||bedterm1= 0 \leq i < d ||bedterm2= 0 \leq j < e-1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Restklassenrings, bestehend aus {{mathl|term=d (e-1)|SZ=}} Elementen. Die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist also {{mathl|term=d (e-1)|SZ=,}} und somit gilt {{ Ma:Vergleichskette | d (e-1) +d || de || || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Der Satz von Bezout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h10ybn7727y88y4d0qwqwz4kz1ctav5 0 97731 748651 548346 2022-08-10T12:12:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{ mathkor|term1= V |bzw.|term2= W |SZ= }} die den affinen Räumen zugrunde liegenden Vektorräume. Nach Voraussetzung ist {{mathl|term= {{op:Vektor|P_1|P_2|}} {{kommadots|}} {{op:Vektor|P_1|P_n|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Es gibt somit {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Festlegungssatz für lineare Abbildungen|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine eindeutig bestimmte {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |\varphi {{makl| {{op:Vektor|P_1|P_i|}} |}} || {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette |i ||1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Jeder Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|E || || || |SZ= }} besitzt eine eindeutige Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp |P || P_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n b_i {{op:Vektor|P_1|P_i|}} || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi (P) |{{defeq}}| Q_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n b_i \varphi {{makl| {{op:Vektor|P_1|P_i|}} |}} || Q_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n b_i {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} || || |SZ= }} eine wohldefinierte Abbildung von {{math|term=E|SZ=}} nach {{math|term=F|SZ=}} gegeben. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | P_i || P_1 + {{op:Vektor|P_1|P_i|}} || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \psi {{makl| P_i |}} || Q_1 + {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} || Q_i || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=auch für {{math|term=P_1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wegen {{ Ma:Vergleichskette/align | \psi (P + v) || \psi {{makl| P_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n b_i {{op:Vektor|P_1|P_i|}} + \sum_{i {{=}} 2}^n c_i {{op:Vektor|P_1|P_i|}} |}} || \psi {{makl| P_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n {{makl| b_i +c_i |}} {{op:Vektor|P_1|P_i|}} |}} || Q_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n {{makl| b_i +c_i |}} {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} || Q_1 + \sum_{i {{=}} 2}^n b_i {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} + \sum_{i {{=}} 2}^n c_i {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} || \psi(P) + \varphi(v) |SZ= }} liegt in der Tat eine affine Abbildung vor. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass aus {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi(P_i) ||Q_i || || || |SZ= }} für den linearen Anteil {{ Ma:Vergleichskette/disp |\psi_0 {{makl| {{op:Vektor|P_1|P_i|}} |}} || {{op:Vektor|Q_1|Q_i|}} || || || |SZ= }} gelten muss und eine affine Abbildung durch den linearen Anteil und den Bildpunkt eines Punktes eindeutig festgelegt ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2v8avxfepny2yoe1vb74kggm4vqp11o 0 97880 748652 548800 2022-08-10T12:13:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |normierter| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=E|SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp |d(P,Q) | {{defeq|}} | {{op:Norm| {{op:Vektor|P|Q}} |}} || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Räume über einem normierten Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} trvpx43wvlcw50bjeify1gdm0y8ufcw 0 98846 748931 664206 2022-08-10T16:08:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{math|term=n|SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |hermitesche Sesquilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. {{ Aufzählung3 |Die Form ist {{ Definitionslink |nicht ausgeartet| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Die Form ist vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=sesquilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=(p,n-p)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem {{mathl|term=p \in {{menge1n|}} |SZ=.}} | |ISZ=|ESZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2=Determinantentheorie (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Determinante |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgykgn9t788c6dwwmc4efr1h9816hee 0 99034 748688 554663 2022-08-10T12:42:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort/Antwort|Orientierung|SZ=}} auf {{math|term=V|SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzklasse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} unter der {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |orientierungsgleich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu sein. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k68nc1644afbkluuadbuk0q6aa6f3nv 0 99035 748831 554664 2022-08-10T14:42:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= v_1 ,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= u_1,u_2 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Span|v_1,v_2 {{kommadots|}} v_i|}} || {{op:Span|u_1,u_2 {{kommadots|}} u_i|}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=i=1 {{kommadots|}} n|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hefci2lqbqqzq403ir3srxn4052npv 0 99197 748811 555671 2022-08-10T14:27:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Wegen der Bijektivität von {{math|term=\varphi|SZ=}} bilden auch die Bilder {{ math/disp|term= \varphi(v_1) {{kommadots|}} \varphi(v_n ) |SZ= }} eine Basis von {{math|term=V|SZ=.}} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi(v_j) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_{ij} v_i || || || |SZ=, }} so dass {{ Ma:Vergleichskette/disp |M || {{makl| a_{ij} |}} _{ij} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |beschreibende Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Abbildung bezüglich der Basis {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} ist. Diese Matrix ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Basiswechselmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term={{op:Übergangsmatrix|\varphi(v) |v}}|SZ=.}} Die Positivität der Determinante dieser Übergangsmatrix bedeutet nach Definition, dass die beiden Basen die gleiche Orientierung repräsentieren. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p1o8qabchhsiip1agsvpvhephiptl0m 106 99351 749027 564345 2022-08-11T11:09:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|5| {{Motto| |Text=Es gibt nur eine Grundrechenart, das Zählen |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen}} {{:Zählen/Nacheinander/Einführung/Textabschnitt}} {{:Zählen/NacheinanderErgänzungen/Einführung/Textabschnitt}} Mit dem Abbildungsbegriff werden wir die bisherigen Beobachtungen in der übernächsten Vorlesung im Rahmen der Dedekind-Peano-Axiome präzisieren und insbesondere beweisen, dass je zwei Modelle der natürlichen Zahlen übereinstimmen. {{Zwischenüberschrift|term=Zählen ohne Zahlen}} {{ inputbild |Mustafa Heinz Sandkasten|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Heinz Ngolo und Mustafa Müller im Sandkasten. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bevor wir Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen, betrachten wir kurz eine noch fundamentalere Idee, wie man Mengen auch ohne Zählkenntnisse untereinander vergleichen kann. {{ inputbeispiel |Kinder/Sandkasten/Vergleichsidee/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen von endlichen Mengen}} {{:Zählen/Endliche Mengen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Man beachte, dass hier die in der letzten Vorlesung eingeführten Konzepte {{Anführung|für alle}} und {{Anführung|es gibt (genau) eines}} eine entscheidende Rolle spielen| |ISZ=.|ESZ= }}|}} {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term=L|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term=M|SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{mathl|term=x \in L|SZ=}} heißt das Element {{ math/disp|term= F(x) \in M |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term=F|SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term=x|SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp |L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term=x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term=F(x)|SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term=F(3)|SZ=}} als {{math|term=a|SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung dieser Menge, da {{math|term=a|SZ=}} und {{math|term=e|SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term=f|SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term=M|SZ=}} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term=i|SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term=M|SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term=F|SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Ma:Vergleichskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(i) ||F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term=M|SZ=}} erfassen. Es kann also Elemente {{mathl|term=m \in M|SZ=}} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term=i|SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(i) | \neq|m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N|\N |x|x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term=F|SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x) ||y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} mindestens eine Lösung {{mathl|term=x \in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} maximal eine Lösung {{mathl|term=x \in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} genau eine Lösung {{mathl|term=x \in L|SZ=}} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |F(x) ||F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette |x ||x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Ma:Vergleichskette | x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | F ( x) |\neq|F ( x' ) || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term={{{n|n}}}|SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass wenn {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term={{op:Anzahl|M}}|SZ=}} oder mit {{mathl|term={{op:Anzahl/Betrag|M}}|SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= |\{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \}|M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term=M|SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term={{{n|n}}}|SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term=1|SZ=}} bis {{math|term={{{n|n}}}|SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Ma:abb/disp |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term={{Menge1n}}|SZ=}} für irgendein {{math|term=n|SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} {{Fußnotenliste}} }} 66vssvibk08zrj2mvr4fm84mvpfd1p8 749030 749027 2022-08-11T11:11:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|5| {{Motto| |Text=Es gibt nur eine Grundrechenart, das Zählen |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen}} {{:Zählen/Nacheinander/Einführung/Textabschnitt}} {{:Zählen/NacheinanderErgänzungen/Einführung/Textabschnitt}} Mit dem Abbildungsbegriff werden wir die bisherigen Beobachtungen in der übernächsten Vorlesung im Rahmen der Dedekind-Peano-Axiome präzisieren und insbesondere beweisen, dass je zwei Modelle der natürlichen Zahlen übereinstimmen. {{Zwischenüberschrift|term=Zählen ohne Zahlen}} {{ inputbild |Mustafa Heinz Sandkasten|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Heinz Ngolo und Mustafa Müller im Sandkasten. |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Bevor wir Mengen mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen, betrachten wir kurz eine noch fundamentalere Idee, wie man Mengen auch ohne Zählkenntnisse untereinander vergleichen kann. {{ inputbeispiel |Kinder/Sandkasten/Vergleichsidee/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen von endlichen Mengen}} {{:Zählen/Endliche Mengen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Man beachte, dass hier die in der letzten Vorlesung eingeführten Konzepte {{Anführung|für alle}} und {{Anführung|es gibt (genau) eines}} eine entscheidende Rolle spielen| |ISZ=.|ESZ= }}|}} {{:Abbildungen/Zählen/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} j0iv8zkgz8yc7825rw57y2yaey4ojai 106 99352 749020 564815 2022-08-11T10:15:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|6| {{Zwischenüberschrift|term=Darstellungsmöglichkeiten für Abbildungen}} Wir modellieren das Abzählen einer Menge {{math|term= M |SZ=}} mathematisch als eine bijektive Abbildung zwischen einer Menge der Form {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=}} und {{math|term= M |SZ=.}} Wir wollen zeigen, dass dabei das {{math|term= n |SZ=}} unabhängig von der gewählten Abbildung ist. Um dies klar begründen zu können, müssen wir uns etwas genauer mit Abbildungen beschäftigen. Abbildungen können auf recht unterschiedliche Arten dargestellt werden. Zu nennen sind {{ Zusatz/Klammer |text=vollständige oder unvollständige| |ISZ=|ESZ= }} Wertetabellen, der Graph einer Abbildung, Säulen- und Kuchendiagramme, Pfeildiagramme, Höhenlinien, Animationen. Eine besondere Rolle spielen funktionale Vorschriften, mit denen häufig Abbildungen festgelegt werden, das sind Ausdrücke der Form {{mathl|term= x^2, \sqrt{x}, {{op:exp|x|}}, {{op:sin|x|}} |SZ=.}} {{:Abbildung/Darstellungsmöglichkeiten/Gallerie/Textabschnitt}} Wir wollen zu zwei gegebenen Nummerierungen einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} also zu zwei bijektiven Abbildungen {{ Ma:abb |name= \varphi | {{Menge1n}} | M || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name= \psi | {{Menge1k}} | M || |SZ= }} zeigen, dass {{ Ma:Vergleichskette |n ||k || || || |SZ= }} ist. Da bei einer Bijektion sich die Elemente der beiden Mengen eindeutig entsprechen, führt dies zu einer eindeutigen Entsprechung zwischen {{ mathkor|term1= {{Menge1n}} |und|term2= {{Menge1k}} |SZ=. }} Mit diesem Trick, dem die Hintereinanderschaltung von Abbildungen und die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung zugrunde liegt, kann man also unter Umgehung der Menge {{math|term= M |SZ=}} direkt diese Teilmengen der natürlichen Zahlen untereinander vergleichen. {{Zwischenüberschrift|term=Die Hintereinanderschaltung von Abbildungen}} {{:Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Umkehrabbildung}} {{ inputdefinition |Abbildung/Identität/Definition|| }} Die Identität ist natürlich bijektiv. Umgekehrt kann man zu einer bijektiven Abbildung eine Abbildung derart angeben, dass die Verknüpfung die Identität ergibt. {{ inputdefinition |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} Die Umkehrabbildung zu {{math|term= F |SZ=}} wird mit {{math|term= F^{-1} |SZ=}} bezeichnet. Es gilt die charakteristische Eigenschaft, dass sowohl {{mathl|term= F \circ F^{-1} |SZ=}} als auch {{mathl|term= F^{-1} \circ F |SZ=}} die Identität {{ Zusatz/Klammer |text=auf den jeweiligen Mengen| |ISZ=|ESZ= }} sind. {{ inputbeispiel |Bijektiv/Nummerierung/Umkehrabbildung/Beispiel|| }} Wir erwähnen noch die konstanten Abbildungen. {{ inputdefinition |Abbildung/Konstant/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Wohldefiniertheit der Anzahl}} {{ inputbild |VerschiedeneNummerierungen|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor=Bocardodarapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir kehren zu dem Problem zurück, warum die Anzahl einer endlichen Menge wohldefiniert ist, warum es also egal ist, in welcher Reihenfolge man zählt. {{:Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist ein Induktionsbeweis, ein Prinzip, das wir später begründen werden| |ISZ=.|ESZ= }}}} {{Zwischenüberschrift|term=Zählen von Prozessen}} {{:Natürliche Zahlen/Zählen/Prozesse/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} s4ofebf3q333ok3iiwib0wbnf6zg5wh 106 99353 749021 565932 2022-08-11T10:16:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|7| {{Motto| |Text=Ich will jeden Spieler jeden Tag ein bisschen besser machen |Autor=[[w:Jürgen Klinsmann|Jürgen Klinsmann]] }} In der vorletzten Vorlesung haben wir uns zuerst mit dem Zählen in dem Sinne beschäftigt, dass auf eine natürliche Zahl eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl, nämlich ihr Nachfolger, folgt. In dieser und den folgenden Vorlesungen werden wir sehen, dass diese Eigenschaft die natürlichen Zahlen auszeichnet und dass man alle anderen Eigenschaften der natürlichen Zahlen, wie beispielsweise die Rechengesetze, letztlich darauf zurückführen kann. Auf dieser Eigenschaft der natürlichen Zahlen beruht auch das Beweisprinzip der vollständigen Induktion. {{Zwischenüberschrift|term=Die Dedekind-Peano-Axiome}} {{:Dedekind-Peano-Axiome/Zählen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Man mache sich klar, dass diese Bedingungen den Bedingungen der vorletzten Vorlesung entsprechen. Dabei ist {{math|term= N |SZ=}} die jeweilige Menge, {{math|term= \prime |SZ=}} bezeichnet die Nachfolgerabbildung und {{math|term= 0 |SZ=}} das Startsymbol {{ Zusatz/Klammer |text=dort hatten wir zumeist {{math|term= 1 |SZ=}} als Startsymbol gewählt| |ISZ=|ESZ=. }} Jedes Dedekind-Peano-Modell sieht ähnlich aus wie eine der dort aufgelisteten Möglichkeiten. |zusatz2={{ Zusatz/Fußnote |text=Gegenargument: Dies stimmt nicht, wenn man willkürlich ein anderes Startelement als die vertraute {{math|term= 0 |SZ=}} festlegt| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz3={{ Zusatz/Fußnote |text=Zu Beginn dieses Kurses sollte man generell der eigenen Intuition misstrauen. Sehr häufig verbirgt sich hinter der sogenannten Intuition nur eine unreflektierte und unbegründete Gewohnheit. Stattdessen sollte man genau beachten, in welchen Sätzen und wie Gesetzmäßigkeiten erarbeitet und begründet werden, und wie sich das mit intuitiven Erwartungen deckt. Dieser Ansatz ist auch sinnvoll, um sich später in Schüler, die eine gewisse Intuition noch nicht entwickelt haben, besser einfühlen zu können| |ISZ=.|ESZ= }} |zusatz4={{ Zusatz/Fußnote |text=Frage: Was ist Ihr intuitiver Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen| |ISZ=?|ESZ= }} }} Ausgehend von den Peano-Axiomen kann man eine Addition auf der Menge der natürlichen Zahlen definieren, wobei die Nachfolgerfunktion der Addition mit {{ Ma:Vergleichskette | 1 || 0' || || || |SZ= }} entspricht. Die Definierbarkeit beruht selbst auf dem Induktionsprinzip. Ebenso kann man eine Multiplikation definieren und die üblichen Eigenschaften wie Kommutativität und Assoziativität nachweisen. Dies werden wir in den nächsten Vorlesungen ausführen. {{Zwischenüberschrift|term=Isomorphieprinzip}} {{:Dedekind-Peano-Axiome/Zählen/Isomorphieprinzip/Textabschnitt}} Es sei bemerkt, dass die Konstruktion der bijektiven Abbildung zwischen zwei Modellen im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über den Nachfolger für praktische Zwecke nicht gut geeignet ist. Wenn man von einer natürlichen Zahl, die im Zehnersystem gegeben ist, die Darstellung im Dreiersystem ausrechnen möchte, so müsste man gemäß dieser Methode im Dreiersystem so lange zählen, wie es die im Zehnersystem gegebene Zahl vorgibt. Da gibt es deutlich effektivere Methoden, die wir später kennenlernen werden. {{Zwischenüberschrift|term=Das Induktionsprinzip für Aussagen}} {{:Dedekind-Peano-Axiome/Zählen/Induktionsprinzip/Textabschnitt|zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Die Indexschreibweise {{math|term=a_k|SZ=}} bedeutet, dass eine Abbildung {{mathl|term=k \mapsto a_k|SZ=}} vorliegt| |ISZ=.|ESZ= }}|}} {{Fußnotenliste}} }} rr0u64qy9vihpzyxove5mtxasgpl3y1 106 99354 749022 567102 2022-08-11T10:17:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|8| Wir führen nun die Addition und die Multiplikation von natürlichen Zahlen ein. Dabei müssen wir uns kurz klar machen, um was für eine Struktur es sich überhaupt handelt. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist hier auch erlaubt, dass die beiden Zahlen gleich sind. Dann könnte man sich an dem Wort zwei stören, da ja dann nur eine Zahl vorliegt. In einem solchen Zusammenhang sind die Zahlangaben so zu verstehen, dass sie zählen, wie oft eine Zahl aufgerufen wird| |ISZ=.|ESZ= }} natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine neue Zahl, ihre Summe {{mathl|term= a+b |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ihr Produkt {{mathlk|term= a\cdot b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zugeordnet. In der vierten Vorlesung haben wir schon aus zwei Mengen ihre Vereinigung bzw. ihren Durchschnitt gebildet. In der sechsten Vorlesung haben wir Abbildungen hintereinandergeschaltet und so eine neue Abbildung bekommen. Für diese Situationen gibt es das Konzept der Verknüpfung. Um dies angemessen formulieren zu können, benötigen wir die Produktmenge. {{Zwischenüberschrift|term=Produktmengen}} {{:Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Verknüpfungen}} {{:Verknüpfung/Produktmenge bekannt/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Addition auf den natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Addition/Nachfolgerzählen/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition/Summe ist 0/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Addition und disjunkte Vereinigung}} {{:Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Textabschnitt}} {{ inputbemerkung |Natürliche Zahlen/Addition/Strecken/Bemerkung||zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=wie in der fünften Vorlesung erwähnt| |ISZ=|ESZ= }} }} Später werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beweisen, dass die Addition mit dem schriftlichen Addieren ausgerechnet werden kann, dass also der Algorithmus des schriftlichen Addierens korrekt ist. {{Fußnotenliste}} }} 9plk9yse83anlf0qs7dfk0bxt3pgvgv 106 99355 749023 567097 2022-08-11T10:17:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|9| {{Motto| |Text=In theory, 'theory' and 'praxis' are the same, in praxis they aren't |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=, siehe die sechzehnte Vorlesung.}} Die folgende Eigenschaft heißt {{Stichwort|Integritätseigenschaft|msw=Integritätsbereich|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt|Lemma|| || }} Die folgende Eigenschaft heißt {{Stichwort|Kürzungsregel|msw=Kürzungsregel|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Anzahl der Produktmenge}} {{:Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Potenzen}} {{:Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Quadratzahl/Definition|| }} {{Fußnotenliste}} }} b709gciuvfpd2bsi1usbthmgd3qioom 106 99356 749024 567458 2022-08-11T10:17:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|10| {{Zwischenüberschrift|term=Die Ordnungsrelation}} Wir wollen auf den natürlichen Zahlen die Größer- bzw. genauer die Größergleich-Ordnung einführen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Diese Eigenschaften heißen der Reihe nach {{Stichwort|Reflexivität|SZ=,}} {{Stichwort|Transitivität|SZ=}} und {{Stichwort|Antisymmetrie|SZ=.}} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Ordnung auf den natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Ordnung/Einführung/Textabschnitt}} Die algorithmische Bestimmung der Ordnungsrelation im Dezimalsystem werden wir in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahl/Zehnersystem/Größenvergleich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} beschreiben. {{Zwischenüberschrift|term=Maxima und Minima}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Endliche Teilmenge/Maximum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmenge/Minimum/Definition|| }} Die leere Menge besitzt weder ein Maximum noch ein Minimum. Die Gesamtmenge {{math|term= \N |SZ=}} besitzt das Minimum {{math|term= 0 |SZ=}} und kein Maximum. Aus dem Induktionsprinzip folgt die nächste wichtige Eigenschaft, die besagt, dass die natürlichen Zahlen {{Stichwort|wohlgeordnet|msw=Wohlordnung|SZ=}} sind. Vom intuitiven Standpunkt her ist sie selbstverständlich, wir führen sie aber trotzdem auf das Induktionsprinzip zurück. Es geht in diesem Beweis weniger dadrum, sich über die Satzaussage zu vergewissern, sondern vielmehr Einblicke in mathematisches Argumentieren zu gewinnen. Es ist auch ein Beispiel dafür, wie man eine Aussage über Teilmengen zu einer Aussage über natürliche Zahlen macht, um das Induktionsprinzip anwenden zu können. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Differenz von natürlichen Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Differenz/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} atdns9412qahuwlsxb298q6sdgdicjp 106 99357 749025 591233 2022-08-11T10:19:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|11| {{Motto| |Text=Kultur ist Reichtum an Problemen. |Autor=Egon Friedell }} {{Zwischenüberschrift|term=Axiomatik}} {{:Grundkurs Mathematik/Axiomatik/Elementare Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Kommutative Halbringe}} {{:Natürliche Zahlen/Halbring/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt|Lemma|| || }} Das folgende Beispiel zeigt, dass in einem kommutativen Halbring im Allgemeinen nicht die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |0x ||0 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= x |SZ=}} gilt. Für die natürlichen Zahlen und in jedem kommutativen Ring gilt diese Eigenschaft. Es ist also keineswegs so, dass man jede Eigenschaft, die im derzeit hauptsächlich interessierenden Zahlenbereich {{ Zusatz/Klammer |text=also derzeit die natürlichen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} gilt aus dem Begriff eines kommutativen Halbringes ableiten kann. {{ inputbeispiel |Kommutativer Halbring/Drei Elemente/Spezielle Eigenschaften/1/Beispiel|| }} Die folgende Aussage heißt das {{Stichwort|allgemeine Distributivgesetz|msw=Allgemeines Distributivgesetz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Potenzgesetze}} Wie für die natürlichen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} gelten in jedem kommutativen Halbring die folgenden {{Stichwort|Potenzgesetze|msw=Potenzgesetze|SZ=.}} Man beachte, dass bei der Potenz {{math|term= a^n |SZ=}} die Basis {{math|term= a |SZ=}} aus dem kommutativen Halbring und der Exponent {{math|term= n |SZ=}} eine natürliche Zahl ist. Die Schreibweise {{mathl|term= a^b |SZ=}} mit {{math|term= a,b |SZ=}} aus dem Halbring hat im Allgemeinen keine Bedeutung. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Halbring/Potenzgesetze/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die binomische Formel}} Die Gültigkeit der ersten binomischen Formel ist keine Besonderheit der natürlichen Zahlen, sondern folgt allein aus den im Begriff eines Halbringes zusammengefassten Eigenschaften. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt|Korollar|| || }} Die zweite und die dritte binomische Formel lässt sich nicht in einem beliebigen Halbring formulieren, da in ihnen das Minuszeichen bzw. die Subtraktion vorkommt, die es in einem beliebigen kommutativen Halbring nicht gibt und die innerhalb der natürlichen Zahlen auch nur eingeschränkt ausführbar ist. Stattdessen werden wir uns den höheren Potenzen von Summen zuwenden. Die {{Stichwort|erste binomische Formel}} besagt wie eben formuliert {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+b)^2 || a^2 +2ab +b^2 || || || |SZ=. }} Für die dritte Potenz einer Summe gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+b)^3 || a^3 +3a^2b +3ab^2+b^3 || || || |SZ= }} und für die vierte Potenz {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+b)^4 || a^4 +4a^3b+6 a^2b^2 +4ab^3+b^4 || || || |SZ=. }} Worauf beruht dieser Zusammenhang und wo kommen diese Vorfaktoren her? Betrachten wir die dritte Potenz. Es ist {{ Zusatz/Klammer |text=wieder in einem beliebigen kommutativen Halbring| |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | (a+b)^3 || (a+b) (a+b)^2 || (a+b) (a^2+ 2ab +b^2) || a (a^2+ 2ab +b^2) +b (a^2+ 2ab +b^2) || a^3 +2a^2b +ab^2 +a^2b +2ab^2 +b^3 || a^ 3+3a^2b+3ab^2+b^3 |SZ=. }} Für die vierte Potenz siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Binomische Formel/Vierte Potenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} In dieser Weise kann man jede Potenz einer Summe als Summe von Produkten ausdrücken, wobei die auftretenden Koeffizienten {{Stichwort|Binomialkoeffizienten|msw=Binomialkoeffizient}} heißen. Um diese einzuführen, müssen wir uns mit elementarer Kombinatorik beschäftigen, was wir in der übernächsten Vorlesung tun werden. {{Zwischenüberschrift|term=Die Potenzmenge}} Wir schließen mit einem Objekt ab, das ein eher ungewöhnliches Beispiel für einen kommutativen Halbring und auch ein Beispiel für eine geordnete, aber nicht total geordnete Menge ist, die Potenzmenge. Sie ist auch wichtig im Rahmen der elementaren Kombinatorik. {{ inputdefinition |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} Wenn {{math|term= M |SZ=}} die Menge der Leute im Kurs sind, so kann man {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=}} als die Menge aller Parties auffassen, die diese Leute feiern können, wenn man eine Party mit der Menge der anwesenden Leute identifiziert. {{ inputbeispiel |Potenzmenge/Geordnet durch Inklusion/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt|Lemma|| || }} Im vorstehenden Beispiel kann man die Rollen der Addition und der Multiplikation vertauschen, da das Distributivgesetz auch in der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | A \cup (B \cap C) || (A \cup B) \cap (A \cup C) || || || |SZ= }} gilt. {{Fußnotenliste}} }} 9wq2j7rit5o2xlaygclcmhwxhtyxkh2 106 99358 749026 706163 2022-08-11T10:21:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|12| {{Motto| |Text=Man muss auch teilen können. |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Teilbarkeitseigenschaften}} Wir besprechen nun die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine weitere natürliche Zahl teilt. {{:Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches}} {{:Natürliche Zahlen/GgT und KgV/Einführung/Textabschnitt|}} Wir werden später als eine Anwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung {{ Zusatz/Klammer |text={{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} sehen, dass jeder gemeinsame Teiler den größten gemeinsamen Teiler teilt und dass jedes gemeinsame Vielfache ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist. {{Zwischenüberschrift|term=Primzahlen}} {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k |SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term= 1 |SZ=}} ist also keine Primzahl. Eine Zahl {{math|term= \geq 2 |SZ=,}} die keine Primzahl ist, heißt {{Stichwort|zusammengesetzt|msw=Zusammengesetzte Zahl|SZ=.}} Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}} |SZ=.}} Für eine Primzahl {{math|term=p|SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p |SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. Ein wichtiger Satz ist der Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung. Eine einfache Version davon ist der folgende Satz. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|| || }} Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher {{ Ma:Vergleichskette | 105 || 3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Für {{math|term= 35 |SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | 35 || 5 \cdot 7 || || || |SZ= }} und man erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | 105 || 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term= 5 |SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette | 105 || 5 \cdot 21 || 5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Gelegentlich betrachten wir die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | 1 || 1 || || || |SZ= }} als die Primfaktorzerlegung der {{math|term= 1 |SZ=,}} hier tritt jeder Primfaktor mit dem Exponenten {{math|term= 0 |SZ=}} auf, das leere Produkt ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Wir werden später in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist, einiger Vorbereitungen bedarf und am besten innerhalb der ganzen Zahlen bewiesen wird. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{ inputfaktbeweis1 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz|zusatz2=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Teilerbeziehung/Differenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz3=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N |SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. || }} {{Zwischenüberschrift|term=Primzahlprobleme}} In der Vorlesung Grundkurs Mathematik geht es um Sachverhalte, die allesamt seit mindestens {{math|term= 120 |SZ=}} Jahren gut verstanden sind und zu einem großen Teil sogar bis in die griechische Antike zurückreichen. Wir unterbrechen die allgemeine Darstellung und gehen kurz auf die Frage ein, was Mathematiker in der Forschung machen. Das ist im Allgemeinen schwierig zu vermitteln, im zahlentheoretischen Kontext gibt es aber einige Beispiele, die sich leicht erläutern lassen. {{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} qa28zyec8xbjwkvhtgwpeq6mfz8q0hc 749033 749026 2022-08-11T11:23:07Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|12| {{Motto| |Text=Man muss auch teilen können. |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Teilbarkeitseigenschaften}} Wir besprechen nun die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl eine weitere natürliche Zahl teilt. {{:Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches}} {{:Natürliche Zahlen/GgT und KgV/Einführung/Textabschnitt|}} Wir werden später als eine Anwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung {{ Zusatz/Klammer |text={{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} sehen, dass jeder gemeinsame Teiler den größten gemeinsamen Teiler teilt und dass jedes gemeinsame Vielfache ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ist. {{Zwischenüberschrift|term=Primzahlen}} {{:Primzahlen/Auflistung/Unendlichkeit/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Primzahlprobleme}} In der Vorlesung Grundkurs Mathematik geht es um Sachverhalte, die allesamt seit mindestens {{math|term= 120 |SZ=}} Jahren gut verstanden sind und zu einem großen Teil sogar bis in die griechische Antike zurückreichen. Wir unterbrechen die allgemeine Darstellung und gehen kurz auf die Frage ein, was Mathematiker in der Forschung machen. Das ist im Allgemeinen schwierig zu vermitteln, im zahlentheoretischen Kontext gibt es aber einige Beispiele, die sich leicht erläutern lassen. {{:Mathematische Probleme/Beispiel Primzahlzwillinge/Einführung/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} 3vxechnc53ru0gan1c7vrq0b3vrmbff 106 99359 749039 604284 2022-08-11T11:35:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Elementare Kombinatorik}} In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit elementarer Kombinatorik, dabei ist ein wichtiges Ziel, die Binomialkoeffizienten einzuführen, um die allgemeine binomische Formel formulieren und beweisen zu können. Die Kombinatorik beschäftigt sich mit dem systematischen Abzählen {{ Zusatz/Klammer |text=Anzahl bestimmen| |ISZ=|ESZ= }} von endlichen Mengen. Zwei wichtige Prinzipien haben wir schon kennengelernt, nämlich das Additivitätsprinzip für disjunkte Mengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und das Multiplikativitätsprinzip für Produktmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} In der folgenden Aussage bezeichnen wir zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |L|M || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| M || || || |SZ= }} die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{-1} (y) | {{defeq|}} | {{Mengebed|x \in L|f(x) {{=}} y}} || || || |SZ= }} als {{Stichwort|Urbildmenge|SZ=}} zu {{math|term=y|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Fakultät}} {{ inputbild |E L Kirchner Variete|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Dieses Tanzpaar hat sich schon gefunden. Für die verbliebenen Personen gibt es insgesamt noch {{mathl|term= (n-1)! |SZ=}} Möglichkeiten (Gemälde von [[w:Ernst Ludwig Kirchner|Ernst Ludwig Kirchner]]). |Autor=Ernst Ludwig Kirchner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{:Elementare Kombinatorik/Die Fakultät (N)/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Binomialkoeffizienten}} {{:Elementare Kombinatorik/Binomialkoeffizienten/N/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 230px {{!}} right {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Der binomische Lehrsatz}} {{:Kommutativer Halbring/Binomi/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} j3xjjt3c91y2imieyrktmkr9chj78sl 749041 749039 2022-08-11T11:36:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|13| {{Zwischenüberschrift|term=Elementare Kombinatorik}} In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit elementarer Kombinatorik, dabei ist ein wichtiges Ziel, die Binomialkoeffizienten einzuführen, um die allgemeine binomische Formel formulieren und beweisen zu können. Die Kombinatorik beschäftigt sich mit dem systematischen Abzählen {{ Zusatz/Klammer |text=Anzahl bestimmen| |ISZ=|ESZ= }} von endlichen Mengen. Zwei wichtige Prinzipien haben wir schon kennengelernt, nämlich das Additivitätsprinzip für disjunkte Mengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} und das Multiplikativitätsprinzip für Produktmengen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} In der folgenden Aussage bezeichnen wir zu einer Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |L|M || |SZ= }} zu {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| M || || || |SZ= }} die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | f^{-1} (y) | {{defeq|}} | {{Mengebed|x \in L|f(x) {{=}} y}} || || || |SZ= }} als {{Stichwort|Urbildmenge|SZ=}} zu {{math|term=y|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Fakultät}} {{ inputbild |E L Kirchner Variete|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Dieses Tanzpaar hat sich schon gefunden. Für die verbliebenen Personen gibt es insgesamt noch {{mathl|term= (n-1)! |SZ=}} Möglichkeiten (Gemälde von [[w:Ernst Ludwig Kirchner|Ernst Ludwig Kirchner]]). |Autor=Ernst Ludwig Kirchner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{:Elementare Kombinatorik/Die Fakultät (N)/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Binomialkoeffizienten}} {{:Elementare Kombinatorik/Binomialkoeffizienten/N/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der binomische Lehrsatz}} {{:Kommutativer Halbring/Binomi/Textabschnitt}} {{Fußnotenliste}} }} c4nfmvb1r28d1811snzuqjh9go9n4ii 106 99360 749043 579664 2022-08-11T11:40:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|14| {{Motto| |Text=Kunst gibt nicht das Sichtbare wieder, sondern Kunst macht sichtbar |Autor=[[w:Paul Klee|Paul Klee]] }} {{Zwischenüberschrift|term=Division mit Rest}} {{:Natürliche Zahlen/Division mit Rest/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Zifferndarstellung für natürliche Zahlen}} Mit der Division mit Rest können wir die Existenz und Eindeutigkeit der üblichen Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl beweisen. Hinter der Zifferndarstellung verbirgt sich eine Mischung aus Addition, Multiplikation und Potenzierung {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|gemischte Darstellung|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir konzentrieren uns hauptsächlich auf die Ziffernentwicklung im {{Stichwort|Dezimalsystem|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Zehnersystem|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz|| || }} Eine natürliche Zahl wird im Zehnersystem einfach dadurch angegeben, dass die Ziffern nebeneinander hingeschrieben werden, wobei links die höchststellige Ziffer {{ Zusatz/Klammer |text=die vorderste Ziffer| |ISZ=|ESZ= }} und rechts die niedrigststellige Ziffer, also die Einerziffer, steht. Die Zahl {{ math/disp|term= 4 \cdot 10^5 + 6 \cdot 10^4+3 \cdot 10^3+0 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 +5 \cdot 10^0 |SZ= }} wird also einfach als {{ math/disp|term= 463075 |SZ= }} geschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=in der gemischten Summen-und Produktdarstellung hätte man den Ausdruck {{mathl|term=0 \cdot 10^2 |SZ=}} auch weglassen können, nicht aber in der Dezimaldarstellung| |ISZ=|ESZ=. }} Eine beliebige natürliche Zahl im Dezimalsystem mit {{math|term=k|SZ=}} Ziffern gibt man als {{ math/disp|term= a_{k-1}a_{k-2} \ldots a_2a_1a_0 |SZ= }} an, was die Zahl {{ math/disp|term= a_{k-1} 10^{k-1} + a_{k-2} 10^{k-2} {{plusdots|}} a_2 10^2 + a_1 10 +a_0 |SZ= }} bedeutet. Man beachte, dass wegen der gewünschten Kongruenz {{mathl|term=a_i 10^{i}|SZ=}} die Durchnummerierung der Ziffern bei {{math|term=0|SZ=}} anfängt, und somit bei insgesamt {{math|term=k|SZ=}} Ziffern die höchststellige Ziffer die Nummer {{mathl|term=k-1|SZ=}} besitzt. Wenn man von der {{math|term=i|SZ=-}}ten Ziffer spricht, meint man die Ziffer, die sich auf {{mathl|term=10^{i}|SZ=}} bezieht. Von daher spricht man besser von der Einerziffer {{ Zusatz/Klammer |text=bezieht sich auf {{ Ma:Vergleichskette |1 ||10^0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} der Zehnerziffer, der Hunderterziffer, der Tausenderziffer u.s.w. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch Ziffernentwicklungen zuzulassen, die vorne mit Nullen beginnen, beispielsweise wenn man bei der Addition zweier natürlicher Zahlen gleich viele Ziffern haben möchte. Die Potenzen {{mathl|term=10^i|SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Bündelungseinheiten|msw=Bündelungseinheit|SZ=.}} Man fasst eine Zahl in Bündel von solchen Einheiten zusammen, wobei von einem Bündel maximal {{math|term=9|SZ=}} genommen werden, da {{math|term=10|SZ=}} Bündeleinheiten durch die nächsthöhere Bündelungseinheit ausgedrückt werden kann {{ Zusatz/Klammer |text=und muss, um eine eindeutige Darstellung zu erreichen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn eine große Punktmenge vorliegt, so wird dieses Bündelungsprinzip sichtbar, wenn man zuerst {{math|term=10|SZ=-}}Bündel formt {{ Zusatz/Klammer |text=indem man jeweils {{math|term=10|SZ=}} Punkte zusammenfasst, umkreist, markiert| |ISZ=|ESZ=, }} dann zehn Zehnerbündel zu einem Hunderterbündel zusammenfasst und so weiter. {{ inputbemerkung |Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Natürliche Zahl/Zehnersystem/Vorteile/Nachteile/Bemerkung|| }} Eine zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} entsprechende Aussage gilt für jede {{Stichwort|Basis|msw=Basis (Stellenwertsystem)|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette |g |\geq|2 || || || |SZ= }} statt {{ Ma:Vergleichskette |g ||10 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |g ||2 || || || |SZ= }} spricht man vom {{Stichwort|Dualsystem|SZ=,}} die einzigen Ziffern sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |g ||3 || || || |SZ= }} vom {{Stichwort|Dreiersystem|SZ=}} mit den Ziffern {{mathl|term=0,1,2|SZ=}} u.s.w. Bei {{ Ma:Vergleichskette |g ||16 || || || |SZ= }} spricht man vom {{Stichwort|Hexadezimalsystem|SZ=}} und verwendet die Ziffern {{mathl|term=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F|SZ=.}} Dass das Dezimalsystem nur eine unter vielen möglichen Darstellungen einer natürlichen Zahl ist, wird besonders deutlich, wenn man Darstellungen in verschiedenen Ziffernsystemen {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Stellenwertsystemen|msw=Stellenwertsystem|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ineinander umrechnet. {{ inputbeispiel |Natürliche Zahl/Dezimalsystem/Umrechnung/Beispiel|| }} }} 8kitid6u144ujwu07xoovw1axk39l5w 749046 749043 2022-08-11T11:44:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt. wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|14| {{Motto| |Text=Kunst gibt nicht das Sichtbare wieder, sondern Kunst macht sichtbar |Autor=[[w:Paul Klee|Paul Klee]] }} {{Zwischenüberschrift|term=Division mit Rest}} {{:Natürliche Zahlen/Division mit Rest/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Zifferndarstellung für natürliche Zahlen}} {{:Natürliche Zahlen/Zifferndarstellung/Einführung/Textabschnitt}} }} c2otj4e6yt4jiiggzodpkzn735r3yaf 106 99361 749048 571008 2022-08-11T11:48:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|15| In dieser Vorlesung besprechen wir, wie sich im Dezimalsystem der Nachfolger, die Größergleichrelation und die Addition darstellen. {{Zwischenüberschrift|term=Der Nachfolger und die Ordnung im Dezimalsystem}} Zuerst bemerken wir, dass das übliche Zählen {{ Zusatz/Klammer |text=Einerstelle um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöhen und eventuell mit den höheren Ziffern verarbeiten| |ISZ=|ESZ=, }} das wir auch in der [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Vorlesung 5|fünften Vorlesung]] als eine Zählmöglichkeit erwähnt hatten, korrekt ist. Dies ist eine zwar einfache, aber dennoch durchzuführende Überlegung, da für uns eine Ziffernfolge nicht durch die Reihenfolge im Zählprozess festgelegt ist, sondern über die Interpretation als gemischte Darstellung mit Summen, Produkten und Potenzen. {{:Natürliche Zahlen/Zehnersystem/Nachfolger und Ordnung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Schriftliches Addieren}} {{:Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote}} {{ inputbemerkung |Algorithmus/Schriftliches Rechnen/Grundkurs/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Algorithmus/Korrektheit/Invarianzprinzip/Bemerkung|| }} {{Fußnotenliste}} }} kvs49ioo4mq3vzdaejmuuubcbxrz1hx 106 99363 749049 571873 2022-08-11T11:50:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|17| {{Motto| |Text=If you don't know how to fix it, please stop breaking it |Autor=[[w:Severn Suzuki|Severn Suzuki]] }} {{Zwischenüberschrift|term=Terme und Gleichungen}} {{:Terme/Natürliche Zahlen/Variablen/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|}} {{Zwischenüberschrift|term=Gleichungen in einer Variablen}} In dieser Vorlesung beschäftigen wir uns mit Gleichungen von dem zuletzt beschriebenen Typ, in dem nur eine Variable vorkommt, und die von einer einfachen Bauart sind. {{:Gleichungen/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote|zusatz3=Fußnote|zusatz4=Fußnote|zusatz5=Fußnote||}} {{Zwischenüberschrift|term=Umformungen}} {{:Gleichungen/Eine Variable/Umformungen/Textabschnitt}} Ein wichtiges Leitmotiv für Zahlenbereichserweiterungen ist es, dass eine bestimmte Art von Gleichungen, die bisher {{ Zusatz/Klammer |text=in einem bestimmten Zahlenbereich| |ISZ=|ESZ= }} nur unter ganz bestimmten Bedingungen eine Lösung besitzt, stets eine Lösung besitzt. Dieses Motiv wird beim Übergang von {{math|term= \N |SZ=}} nach {{math|term= \Z |SZ=,}} von {{math|term= \Z |SZ=}} nach {{math|term= \Q |SZ=}} und von {{math|term= \Q |SZ=}} nach {{math|term= \R |SZ=}} auftreten. {{Zwischenüberschrift|term=Ungleichungen}} {{:Ungleichungen/Eine Variable/Einführung/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} lmpfka8kzqm3rhdqo483zq2imzihx9v 106 99364 749050 572232 2022-08-11T11:52:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|18| {{Motto| |Text=Drei Schritte vor und zwei zurück, so kommt der Mensch voran |Autor=[[w:Petra Pascal|Petra Pascal]] }} {{Zwischenüberschrift|term=Die ganzen Zahlen}} Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp |a+x ||b || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | a,b |\in| \N || || || |SZ= }} formulierbar ist, aber es dort bei {{ Ma:Vergleichskette |a |>|b || || || |SZ= }} keine Lösung gibt. Wir würden gerne von dieser Gleichung links und rechts {{math|term= a |SZ=}} {{Anführung|abziehen|SZ=,}} um links {{ Ma:Vergleichskette/disp | a+x-a || x || || || |SZ= }} und rechts die Lösung {{mathl|term= b-a |SZ=}} für {{math|term= x |SZ=}} zu erhalten. Um dies durchführen zu können, müssen wir die natürlichen Zahlen zu einem größeren Zahlenbereich erweitern, nämlich zur Menge der ganzen Zahlen. Solche Zahlenbereichserweiterungen ziehen sich durch die gesamte Mathematik, egal ob in der Schule oder auf der Hochschule. Wir werden noch die Erweiterung von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen und von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen kennenlernen. Eine wichtige Motivation ist dabei, so wie hier, dass man Lösungen für gewisse Gleichungen finden möchte, für die es im Ausgangszahlenbereich keine Lösung gibt, und dass man diese Lösungen auch rechnerisch auffinden und handhaben möchte. Zugleich möchte man mit den neuen Zahlen möglichst viel machen können, was man im Ausgangsbereich kann, also beispielsweise nach wie vor addieren und multiplizieren, wobei auch die gleichen Gesetzmäßigkeiten weiter gelten sollen {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|Permanenzprinzip|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Da wir von nun an mit verschiedenen Zahlenbereichen arbeiten, wird es wichtig, zu betonen, in welchem Zahlenbereich wir uns befinden. Die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | 5+x || 2 || || || |SZ= }} besitzt in {{math|term= \N |SZ=}} keine Lösung. Diese Tatsache bleibt unabhängig davon bestehen, dass es in anderen Bereichen eine Lösung gibt. Wir führen jetzt die Menge der ganzen Zahlen ein, auf denen wir dann bald die Verknüpfungen festlegen und die zugehörigen Rechengesetze nachweisen werden. {{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Negation/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=in der fünften Vorlesung}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Addition auf den ganzen Zahlen}} Wir kommen zur Addition auf den ganzen Zahlen. {{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Addition/Einführung/Textabschnitt|}} In beiden Fällen erfüllt also das Negative {{math|term= -x |SZ=}} zu {{math|term= x |SZ=}} die Eigenschaft {{ Ma:Vergleichskette | x+ (-x) || 0 || || || |SZ=. }} Für die Assoziativität der Addition in {{math|term= \Z |SZ=}} geben wir noch ein weiteres einleuchtenderes Argument, das sich an der inhaltlichen Beschreibung der Addition von ganzen Zahlen als einen gerichteten Transport von Objekten {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen zwei Haufen, also mit Rücktransport| |ISZ=|ESZ= }} orientiert. Diese Interpretation deckt sich mit den Festlegungen in {{ Definitionslink |Prämath=der |Definition| |Definitionsseitenname= Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition |SZ=. }} In dieser Interpretation ist aber das Assoziativgesetz unmittelbar einleuchtend, da man die Hintereinanderausführung von drei Transportprozessen als einen Gesamtprozess auffassen kann, aber auch die beiden ersten Prozesse zusammenfassen oder die beiden letzten zusammenfassen kann. {{Zwischenüberschrift|term=Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen}} {{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Multiplikation/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Betrag}} {{ inputdefinition |Ganze Zahlen/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also stets eine natürliche Zahl. }} ho4va11pxum0zfqc2pvtomai8q760vx 106 99365 749052 604294 2022-08-11T11:58:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|19| {{Motto| |Text=Das Leben ist schön. Von einfach war nie die Rede. |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Kommutative Ringe}} Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit einem neuen Begriff. {{Kommutativer Ring/Halbring und Z bekannt/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=|zusatz2=}} {{Zwischenüberschrift|term=Gruppen}} {{:Gruppentheorie/Z/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Ordnung auf den ganzen Zahlen}} {{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Angeordneter Ring/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Teilbarkeitsbeziehung für ganze Zahlen}} Wir wollen die Teilbarkeitsbeziehung von {{math|term= \N |SZ=}} auf {{math|term= \Z |SZ=}} erweitern. {{inputdefinition|Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition|}} Für natürliche Zahlen {{mathl|term= a,b |SZ=}} gilt {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=}} in {{math|term= \N |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=}} in {{math|term= \Z |SZ=}} gilt. Die folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} sie beruht ausschließlich auf Eigenschaften eines kommutativen Ringes. {{inputfaktbeweisaufgabe|Teilbarkeitstheorie (Z)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Zifferndarstellung für ganze Zahlen}} {{:Ganze Zahlen/Zifferndarstellung/Direkt/Textabschnitt}} }} sr63yiupk3i3golm7pxcihm3behipj5 749053 749052 2022-08-11T11:58:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Grundkurs Mathematik_(Osnabrück_2018-2019)/Teil_I/Vorlesungsgestaltung|19| {{Motto| |Text=Das Leben ist schön. Von einfach war nie die Rede. |Autor= }} {{Zwischenüberschrift|term=Kommutative Ringe}} Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit einem neuen Begriff. {{:Kommutativer Ring/Halbring und Z bekannt/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=|zusatz2=}} {{Zwischenüberschrift|term=Gruppen}} {{:Gruppentheorie/Z/Gleichungen/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Ordnung auf den ganzen Zahlen}} {{:Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Angeordneter Ring/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Teilbarkeitsbeziehung für ganze Zahlen}} Wir wollen die Teilbarkeitsbeziehung von {{math|term= \N |SZ=}} auf {{math|term= \Z |SZ=}} erweitern. {{inputdefinition|Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen/Definition|}} Für natürliche Zahlen {{mathl|term= a,b |SZ=}} gilt {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=}} in {{math|term= \N |SZ=}} genau dann, wenn {{mathl|term= a {{|}} b |SZ=}} in {{math|term= \Z |SZ=}} gilt. Die folgende Aussage ist eine direkte Verallgemeinerung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} sie beruht ausschließlich auf Eigenschaften eines kommutativen Ringes. {{inputfaktbeweisaufgabe|Teilbarkeitstheorie (Z)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Zifferndarstellung für ganze Zahlen}} {{:Ganze Zahlen/Zifferndarstellung/Direkt/Textabschnitt}} }} hp42dv91ot172xyq4cv90j3ec65idm3 0 100584 748997 643840 2022-08-11T08:05:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Metrischer Raum/Situation|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| {{{M|M}}} || || || |SZ= }} ein Punkt. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \{P\} |SZ=}} {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3q19yvmd4i6ygl2o60x4xgqaf7fgejc 0 100701 748798 590749 2022-08-10T14:17:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir beweisen zuerst die Äquivalenz zwischen (1) und (2). Der Restklassenmodul {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} ist ein {{math|term=R /{{idealm|}}|SZ=-}}Vektorraum, der {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=d|SZ=}} besitzt. Wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp |(f_1 {{kommadots|}} f_n,f_{n+1} {{kommadots|}} f_d) || {{idealm|}} || || || |SZ= }} ist, so bilden die Restklassen eine Basis von {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} und jedes Teilsystem davon ist linear unabhängig. Wenn umgekehrt die Restklasen von {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{mathl|term= {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} linear unabhängig sind, so lassen diese sich {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Basisergänzungssatz|Faktseitenname= Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} durch {{mathl|term=g_{n+1} {{kommadots|}} g_d \in {{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} zu einer Basis von {{mathl|term={{idealm|}} / {{idealm|}}^2 |SZ=}} ergänzen. Diese Elemente werden wiederum durch Elemente {{mathl|term=f_{n+1} {{kommadots|}} f_d \in {{idealm|}} |SZ=}} repräsentiert, und nach dem Lemma von Nakayama gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | (f_1 {{kommadots}} f_n, f_{n+1} {{kommadots|}} f_d ) || {{idealm|}} || || || |SZ=. }} Wir beweisen nun die Äquivalenz zwischen (1) und (3). Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} | {{defeq|}} | (f_1 {{kommadots|}} f_n) || || || |SZ=. }} Sei zunächst wieder durch {{mathl|term=f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |SZ=}} eine Ergänzung zu einem vollen Erzeugendensystem von {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gegeben. Dann sind die Restklassen von {{mathl|term=f_{n+1} {{kommadots|}} f_d |SZ=}} in {{mathl|term=R/{{ideala}} |SZ=}} ein Erzeugendensystem des maximalen Ideals {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealn|}} || {{idealm|}} / {{ideala|}} || || || |SZ= }} von {{mathl|term=R/ {{ideala|}} |SZ=.}} Damit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Einbettungsdimension| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term=d-n|SZ=}} und somit ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Noetherscher lokaler Ring/Einbettungsdimension/Dimension/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Dimension von {{mathl|term=R/ {{ideala|}} |SZ=}} höchstens {{mathl|term=d-n|SZ=.}} Andererseits ist die Dimension aber auch zumindest {{math|term=d-n|SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Lokal/Parameterrealisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wäre nämlich die Dimension von {{mathl|term=R/ {{ideala|}} |SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp |m |<|d-n || || || |SZ=, }} so würde es Parameter {{ Ma:Vergleichskette/disp |g_1 {{kommadots|}} g_m |\in| R/ {{ideala|}} || || || |SZ= }} geben, und diese würden zusammen mit den {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} in {{math|term=R|SZ=}} das maximale Ideal als Radikal beschreiben, was nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht sein kann. Wenn umgekehrt {{mathl|term=R/ {{ideala|}} |SZ=}} regulär der Dimension {{mathl|term=d-n|SZ=}} ist, so sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealn|}} || (g_{n+1} {{kommadots}} g_d) || || || |SZ=. }} Diese {{math|term=g_i|SZ=}} werden durch {{mathl|term= f_{n+1} {{kommadots}} f_d \in {{idealm}} |SZ=}} repräsentiert und die {{mathl|term=f_1 {{kommadots|}} f_n|SZ=}} erzeugen {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pokh33eoyxhj6j6sfk7lsdt84nto7pj 0 102930 748844 569620 2022-08-10T14:53:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L ||K[X]/(X^n-a) || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die durch die Hinzunahme einer {{math|term=n|SZ=-}}ten Wurzel aus einem Element {{mathl|term=a \in K|SZ=}} entstehe. Es sei {{math|term=x|SZ=}} die Restklasse von {{math|term=X|SZ=.}} Dann wird {{math|term=\mu_x|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=1,x,x^2 {{kommadots|}} x^{n-1} |SZ=}} von {{math|term=L|SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|0|0|\ldots|0|a|1|0|\ldots|0|0|0|1|\ldots|0|0|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|\vdots|0|0|\ldots|1|0}} |SZ= }} beschrieben. Somit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=x|SZ=}} gleich {{math|term=\pm a|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Vorzeichen hängt davon ab, ob {{math|term=n|SZ=}} gerade oder ungerade ist| |ISZ=|ESZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} ist {{math|term=0|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Die Spur bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3=Theorie der Radikalerweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} atfe9xjwjg5q841l65me9o6p8e1mtwk 0 103020 748860 570137 2022-08-10T15:04:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und sei {{mathl|term=b_1 {{kommadots|}} b_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (b_1 {{kommadots|}} b_n) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basis |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5dl4z096q9uis4fzfdi2sr3dwx779s 0 103022 748837 570140 2022-08-10T14:47:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (b_1 {{kommadots|}} b_n) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r7pgik8u391sku5cp2nor42fwey0fjv 0 104506 748673 588400 2022-08-10T12:34:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]|SZ=}} ein Polynom {{math|term=\neq 0|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Hyperfläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{mathl|term=P \in V|SZ=}} ein Punkt. Man nennt die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenringes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= K[ X_1 {{kommadots}} X_n ]_{ {{idealm|}}_P }/J_{F,P} |SZ=}} die {{ Definitionswort |Prämath= |Milnorzahl| |msw=Milnorzahl |SZ= }} im Punkt {{math|term=P|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Milnorzahl |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5btbtzlm9nd04nhe42u7ry86vxcsig1 0 104513 748845 588404 2022-08-10T14:53:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die durch ein Polynom der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |F || X_1 \cdots X_n || || || |SZ= }} gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das {{ Definitionslink |Prämath= |Jacobiideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |J_F || {{makl| X_2 \cdots X_n , X_1 X_3 \cdots X_n {{kommadots|}} X_1 \cdots X_{n-1} }} || || || |SZ=. }} Wir betrachten den Restklassenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{(0{{kommadots|}} 0)} / J_F |SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n ||2 || || || |SZ= }} ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist {{math|term=1|SZ=.}} Bei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|3 || || || |SZ= }} hingegen sind die Monome {{ math/disp|term= X_1^n,\, n \in \N |SZ=, }} linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} unendlich. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} dieser Hyperfläche ist also unendlich. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0k16txwddiep16ivtqh410rxfwm22ux 106 104580 749012 593179 2022-08-11T09:15:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|27| {{Zwischenüberschrift|term=Entfaltungen}} {{:Holomorphe Funktion/Entfaltung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Algebraisch bestimmte Diffeomorphismen}} Wir besprechen nun wichtige Kriterien, mit denen man {{math|term=f|SZ=}} und {{mathl|term= f+h |SZ=,}} wobei {{math|term=h|SZ=}} bezogen auf {{math|term=f|SZ=}} eine große Nullstellenordnung besitzt, als rechtsäquivalent nachweisen kann. Dazu arbeitet man mit der Entfaltung {{mathl|term= f+th |SZ=,}} die ja {{math|term=f|SZ=}} in {{mathl|term= f+h |SZ=}} deformiert, und dazu passenden Vektorfeldern. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Addition/Rechtsäquivalenz/Ausdehnung und Vektorfeld/Biholomorphe Abbildung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Monomiale Kurve/X^3+Y^4/Rechtsäquivalenz/Entfaltung/Beispiel|| }} Der Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe_Funktion/2_Variablen/x^2_und_x^2y/Nicht_einfach/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zeigt, dass die Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{idealm}}^2 || || || |SZ= }} für {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} nicht ausreichen würde. }} cu28eehzqwr2whalqu2oyu0fpk29end 106 104581 749013 594108 2022-08-11T09:15:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesungsgestaltung|28| {{Zwischenüberschrift|term=Endliche Bestimmtheit}} {{:Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Endliche Bestimmtheit/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweisverweis |Holomorphe Funktion/Rangbedingung/Morse-Lemma/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Fakt|Satz|| || }} }} r41043yupxrqn08mybsvem30bikadci 10 104644 748981 582378 2022-08-11T07:48:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette | {{{G|G}}} |\subseteq| V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=f |{{{G|G}}}| {{KRC|}} || |SZ= }} eine zweimal {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8f5z4mb72tu2equyweqsoalogf9ikf 0 104645 748987 641505 2022-08-11T07:52:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Offen/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/K/Situation|SZ=.}} Es sei eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots||}} n ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term=V|SZ=}} gegeben mit den zugehörigen {{ Definitionslink |Richtungsableitungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= D_i {{defeq|}} D_{v_i} ||bedterm1= i=1 {{kommadots||}} n ||bedterm2= |SZ=. }} Ein {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| G || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |nichtausgeartet| |msw=Nichtausgearteter kritischer Punkt |SZ=, }} wenn die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Hesse-Matrix|f|{{{P|P}}}|n}} |SZ= }} nicht {{math|term=0|SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Nichtausgearteter kritischer Punkt |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5hpmbr4gyup7hs1u4kuub751771ko61 0 104647 749011 582432 2022-08-11T09:14:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Offen/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/K/Situation|SZ=.}} Es sei eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots||}} n ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term=V|SZ=}} gegeben mit den Koordinaten {{math|term=x_i|SZ=}} und den zugehörigen {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= \partial_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots||}} n ||bedterm2= |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| G || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteter| |Kontext=Hesse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kritischer Punkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann erzeugen die partiellen Ableitungen {{mathl|term= \partial_i f|SZ=}} im lokalen Ring das maximale Ideal. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=P|SZ=}} ist {{math|term=1|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34yj2lqcrl33u4omqaso95zokd6txr0 0 104652 749008 585756 2022-08-11T09:05:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=g |U| {{CC}} || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen, heißt {{ Definitionswort |Prämath= |Morsefunktion| |msw= |SZ=, }} wenn sie keine {{ Definitionslink |Prämath= |ausgearteten| |Kontext=Hesse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Punkte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt und alle {{ Definitionslink |Prämath= |kritischen Werte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} nur einfach vorkommen. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Morsefunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Morsefunktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g18rf41azxtgzm11ps9u08b08kk4s13 0 104670 748669 593163 2022-08-10T12:31:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen, eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in | U || || || |SZ=. }} Es seien {{ math/disp|term= h_1 {{kommadots|}} h_\mu \in {\mathcal O}_n |SZ= }} holomorphe Funktionen, deren Restklassen im Restklassenraum {{ Ma:Vergleichskette/disp | { \mathcal O}_n /J_f || { \mathcal O}_n / ( \partial_1 f {{kommadots|}} \partial_n f ) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bilden. Dann nennt man die holomorphe Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |U' \times {{CC|}}^\mu | {{CC|}} |(z,w)| f(z) + \sum_{j {{=}} 1}^\mu w_j h_j(z) |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{ Ma:Vergleichskette/k |U' |\subseteq|U || || || |SZ= }} ein gemeinsamer Definitionsbereich der {{math|term=h_j|SZ=}} sei| |ISZ=|ESZ= }} die {{ Definitionswort |Prämath= |Standardentfaltung| |msw=Standardentfaltung |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Standardentfaltung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2tgu5uvjn90bbjaewx4ma2b0a1cle08 0 104671 749010 593166 2022-08-11T09:13:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Zur Funktion {{mathl|term=X^2-Y^3|SZ=}} bilden {{mathl|term=1,Y|SZ=}} eine Basis von {{mathl|term= {\mathcal O}/ {{makl| 2X,3Y^2 |}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Standardentfaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist also {{ Ma:abbele/disp |name= | {{CC|}}^2 \times {{CC|}}^2 | {{CC|}} |(x,y,v,w)| x^2-y^3 +v+wy |SZ=. }} Zu einem fixierten Parameterpaar {{mathl|term=(v,w)|SZ=}} besitzt die dadurch parametrisierte Funktion {{math|term=f_{v,w} |SZ=}} die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= 2x |und|term2= - 3y^2+w |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette |w ||0 || || || |SZ= }} besitzt {{math|term=f_{v,w}|SZ=}} den einzigen singulären Punkt {{mathl|term=(0,0)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der aber nur bei {{mathlk|term=v=0|SZ=}} auf der Faser liegt| |ISZ=|ESZ=, }} der {{ Definitionslink |Prämath= |ausgeartet| |Kontext=Hesse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=2|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette |w |\neq|0 || || || |SZ= }} besitzt {{math|term=f_{v,w}|SZ=}} die beiden singulären Punkte {{ mathkor|term1= (0, \sqrt{w/3)} |und|term2= (0,- \sqrt{w/3)} |SZ=, }} die beide nicht ausgeartet sind. Die Anzahl der nichtausgearteten kritischen Punkte stimmt also mit der Milnorzahl der Ausgangshyperfläche überein. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Neilsche Parabel |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 36jodlodej6w7hv5nejxlbd5kmbybzn 0 104732 748957 647758 2022-08-11T05:53:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb |name=f_1 |U_1| {{CC|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f_2 |U_2| {{CC|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktionen| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U_1,U_2 |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|U_1,U_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1(0) ||f_2(0) ||0 || || |SZ=. }} Dann heißen {{mathl|term=f_1,f_2|SZ=}} {{ Definitionswort |Prämath= |rechtsäquivalent| |msw=Rechtsäquivalenz |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=im Nullpunkt| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es offene Teilmengen {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|V_1 |\subseteq|U_1 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|V_2 |\subseteq|U_2 || || |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |biholomorphe Abbildung| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi |V_1|V_2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rechtsäquivalenz |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a9hr7ilgx3338tyamhbesi6lwpp4eyi 0 104759 748999 593569 2022-08-11T08:07:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abb |name=f | U| {{CC|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| U |\subseteq| {{CC|}}^2 || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Voraussetzung= mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |einfachen Singularität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer der folgenden Funktionen. {{ Aufzählung5 |{{ math/disp|term= x^{k+1} +y^2 \text{ mit } \, k \geq 1 ,\, \text{ Typ } A_k |SZ=. }} |{{ math/disp|term= x^2y +y^{k-1} \text{ mit } \, k \geq 4 ,\, \text{ Typ } D_k |SZ=. }} |{{ math/disp|term= x^{3} +y^4 ,\, \text{ Typ } E_6 |SZ=. }} |{{ math/disp|term= x^{3} +xy^3 ,\, \text{ Typ } E_7 |SZ=. }} |{{ math/disp|term= x^{3} +y^5 ,\, \text{ Typ } E_8 |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der einfachen Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Klassifikationssatz für einfache ebene Singularitäten |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1ym7v9wj1t2wojwyltm2jkorkmwsx1 0 104784 749009 585777 2022-08-11T09:12:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abb |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgearteten| |Kontext=Hesse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} isolierten Singularität im Nullpunkt. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur Quadrik {{mathl|term=x_1^2 {{plusdots|}} x_n^2 |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bdd2mubmnlljfse2opewn8dx8g0hpbz 0 104785 748994 585778 2022-08-11T08:01:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abb |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem kritischen Punkt im Nullpunkt. |Voraussetzung= Der Rang der {{ Definitionslink |Prämath= |Hesse-Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=f|SZ=}} sei {{math|term=k|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Funktion der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp |g ||x_1^2 {{plusdots|}} x_k^2 +h || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |h |\in| {{idealm|}}^3 || || || |SZ= }} und wobei {{math|term=h|SZ=}} nur von den Variablen {{mathl|term= x_{k+1} {{kommadots|}} x_n |SZ=}} abhängt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vtj2vb5my84md5ft4mmzn3x5n0ghul 0 104793 748975 585783 2022-08-11T07:41:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abb |name=f | U| {{CC|}} || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| U |\subseteq| {{CC|}}^2 || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Voraussetzung= mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |einfachen Singularität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im Nullpunkt. Das dritte {{ Definitionslink |Prämath= |Taylorpolynom| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} sei {{math|term=x^2y|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |rechtsäquivalent| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= x^2y +y^{k-1} |SZ=}} für ein {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|5 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der einfachen Singularitäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hymvk8otpgqta40pe635qqns82ehunn 0 105146 748782 592589 2022-08-10T14:03:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |lokalen Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |R || K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)} /(XY,XZ) || || || |SZ=, }} der geometrisch aus einer Ebene und einer Geraden besteht. Für die {{ Definitionslink |Prämath= |Potenzen| |Kontext=Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideals| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{idealm|}} || (X,Y,Z) || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}^n || (X^n) + (Y,Z)^n || || || |SZ=, }} da ja sämtliche Monome, in denen neben {{math|term=X|SZ=}} noch eine weitere Variable vorkommt, gleich {{math|term=0|SZ=}} sind. Somit gilt für die Restklassenräume {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealm|}}^n/ {{idealm|}}^{n+1} || K \langle X^n,Y^n,Y^{n-1}Z {{kommadots|}} Z^n \rangle || || || |SZ= }} und dessen {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{math|term=n+2|SZ=.}} Somit ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Samuel-Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ringes gleich {{ Ma:Vergleichskette |H_R(n) || n+2 || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Hilbert-Samuel-Multiplizität| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Ringes ist {{math|term=1|SZ=.}} Der Ring ist aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2=Theorie der Stanley-Reisner-Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 33q46viffql970g5e9ekc3anxy7t88z 0 105790 748858 591942 2022-08-10T15:02:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Länge/Definition|| }} Die Länge ist eine natürliche Zahl oder unendlich. Es wird sich herausstellen, dass die Moduln mit endlicher Länge eine restriktive, aber sehr wichtige Klasse von Moduln bilden. Da man sich für das Maximum interessiert kann man grundsätzlich mit {{ Ma:Vergleichskette |M_0 ||0 || || || |SZ= }} starten und mit {{ Ma:Vergleichskette |M_\ell ||M || || || |SZ= }} aufhören. Wenn {{math|term=R|SZ=}} ein Körper und {{math|term=M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so geht es einfach um die maximale Kette von Untervektorräumen. Diese nennt man {{ Definitionslink |Prämath= |Fahnen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bei diesen geht die {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraumdimension| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit jedem Schritt um {{math|term=1|SZ=}} hoch. In diesem Fall ist die Länge also einfach die Vektorraumdimension. Der Nullmodul hat die Länge {{math|term=0|SZ=.}} Da man sich für maximale Ketten interessiert, erhebt sich insbesondere die Frage, wann man eine Inklusion {{ Ma:Vergleichskette |N |\subset|M || || || |SZ= }} von Moduln durch Zwischenmoduln verfeinern kann. Ein Zwischenmodul {{ Ma:Vergleichskette/disp |N |\subseteq| L |\subseteq|M || || |SZ= }} entspricht einem Untermodul {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 ||N/N |\subseteq|L/N |\subseteq|M/N || |SZ= }} und so gelangt man zur Fragestellung, welche Moduln nur den Nullmodul und sich selbst als Untermodul besitzen. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Definition|| }} Ein Modul ist also genau dann einfach, wenn er genau zwei Untermoduln besitzt, nämlich den Nullmodul und sich selbst, und dies ist genau dann der Fall, wenn seine Länge gleich {{math|term=1|SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge/Fakt|Lemma|| || }} Die komplexen Zahlen haben als {{math|term= \R|SZ=-}}Modul die Länge {{math|term=2|SZ=,}} aber als {{math|term={{CC}}|SZ=-}}Modul die Länge {{math|term=1|SZ=.}} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Kompositionsreihe/Definition|| }} Eine Kompositionsreihe ist einfach eine Kette von Untermoduln, die man nicht weiter verfeinern kann, zwischen {{ mathkor|term1= M_{i-1} |und|term2= M_i |SZ= }} liegt kein weiterer Untermodul. Ein Modul endlicher Länge besitzt auch eine Kompositionsreihe, und zwar ist eine jede Kette maximaler Länge automatisch eine Kompositionsreihe, da sie nicht verfeinert werden kann. Umgekehrt besitzt ein Modul mit einer Kompositionsreihe endliche Länge, was nicht selbstverständlich ist. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Über Kompositionsreihe/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Länge/Kurze exakte Sequenz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Restklassenring/Endliche Länge/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Endliche Länge/Artinsch und noethersch/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Länge für endlich erzeugte Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ephkbmoouijc86x31dt6wz9owq8oh5n 0 105871 748856 584947 2022-08-10T15:02:19Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge//Fakt]] nach [[Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge/Fakt]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche erzeugte| |kon=Algebra|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} und sei {{math|term=M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt {{math|term=M|SZ=}} genau dann endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Länge| |kon=Modul|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ=, }} wenn {{math|term=M|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |kon=vr|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} ist. |Zusatz=Wenn {{math|term=K|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossen| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} ist, so stimmt die Länge mit der {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraumdimension überein. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Länge für endlich erzeugte Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxzjsz13s7qklaf34ms9u5zu3hd4nhx 0 105872 748857 584946 2022-08-10T15:02:20Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge//Fakt/Beweis]] nach [[Kommutativer Ring/Endlicher Typ/Algebraisch abgeschlossen/Modul/Länge/Fakt/Beweis]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wenn {{math|term=M|SZ=}} als {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraum endlichdimensional ist, so hat {{math|term=M|SZ=}} automatisch endliche Länge, da jeder Untermodul auch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} ist. Die Rückrichtung zeigen wir durch Induktion über die Länge. Wenn die Länge gleich {{math|term=1|SZ=}} ist, so ist der Modul {{ Definitionslink |Prämath= |einfach| |kon=Modul|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} und somit nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Modul/Einfach/Restklassenkörper/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} von der Form {{ Ma:Vergleichskette |M || R/ {{idealm|}} || || || |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}} |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Hilbertschen Nullstellensatz|Faktseitenname= Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq| R/ {{idealm|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Körpererweiterung| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} und der Modul ist ein endlichdimensionaler {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraum. Es sei nun {{math|term=M|SZ=}} ein {{math|term=R|SZ=-}}Modul endlicher Länge {{math|term= \geq 2|SZ=.}} Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz {{ math/disp|term= 0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M/N \cong R/ {{idealm|}} \longrightarrow 0 |SZ= }} mit einem einfachen Restklassenmodul und einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |kon=|msw=| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname={{{def|}}} |SZ= }} {{math|term=N|SZ=}} kleinerer Länge. Nach Induktionsvoraussetzung bzw. dem Fall einfacher Moduln stehen links und rechts endlichdimensionale {{math|term=K|SZ=-}}Vektorräume. Daher ist auch der Modul {{math|term=M|SZ=}} als {{math|term=K|SZ=-}}Vektorraum endlichdimensional. Wenn zusätzlich {{math|term=K|SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, so zeigt man die Gleichheit von Länge und Dimension entsprechend durch Induktion, wobei der Induktionsanfang wiederum auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht, der hier besagt, dass sämtliche Restklassenkörper isomorph zu {{math|term=K|SZ=}} selbst sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3avj9yt31w8oquscf456nnh45lztfxk 0 106068 748797 592591 2022-08-10T14:17:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verwenden {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also den natürlichen {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |Isomorphismus| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | {{idealm|}}/{{idealm}}^2 | {{op:Kählermodul|R|K}} {{tensor|R}} R/ {{idealm|}} |[f]| df {{tensor|}} 1 |SZ=. }} Wenn {{math|term= \Omega_{R {{|}} K} |SZ=}} ein freier {{math|term=R|SZ=-}}Modul und sein Rang gleich der Dimension {{math|term=d|SZ=}} ist, so gilt dies auch für den {{math|term=R/ {{idealm|}} |SZ=-}}Modul {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|K}} {{tensor|R}} R/ {{idealm|}} |SZ=}} und dann ist insbesondere {{mathl|term= {{idealm|}}/ {{idealm|}}^2 |SZ=}} ein {{math|term=d|SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath=R/ {{idealm|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dies bedeutet nach Definition, dass {{math|term=R|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |regulär| |Kontext=lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass {{mathl|term= {{idealm|}}/ {{idealm|}}^2 |SZ=}} und entsprechend {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R|K}} {{tensor|R}} R/ {{idealm|}} |SZ=}} ein {{math|term=d|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum ist, und {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{math|term={{op:Kählermodul|R|K}} |SZ=}} als {{math|term=R|SZ=-}}Modul von {{math|term=d|SZ=}} Elementen erzeugt wird. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Integritätsbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{mathl|term=Q(R)|SZ=}} sein {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Algebra/Körper/Endlicher Typ/Integer/Dimension und Transzendenzgrad/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Transzendenzgrad| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=Q(R)|SZ=}} über {{math|term=K|SZ=}} gleich der Dimension von {{math|term=R|SZ=.}} Da der Modul der Kähler-Differentiale mit {{ Definitionslink |Prämath= |Nenneraufnahmen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verträglich ist, gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |{{op:Kählermodul|R|K}} {{tensor|R}} Q(R) || {{op:Kählermodul|Q(R)|K}} || || || |SZ=. }} Da {{math|term=K|SZ=}} vollkommen ist, ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|Q(R) || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vollkommener Körper/Körpererweiterung/Endlich erzeugt/Separabel erzeugt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nicht endlich, aber| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |separabel| |Kontext=nichtendliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Damit ist {{mathl|term= {{op:Kählermodul|Q(R)|K}} |SZ=}} ein freier {{math|term=Q(R)|SZ=-}}Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der {{math|term=R|SZ=-}}Modul {{mathl|term= {{op:Kählermodul|Q(R)|K}} |SZ=}} die Eigenschaft, dass er von {{math|term=d|SZ=}} Elementen {{mathl|term=\omega_1 {{kommadots|}} \omega_d |SZ=}} erzeugt wird und dass die Tensorierung mit {{math|term=Q(R)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=Q(R) |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{math|term=d|SZ=}} ist. Somit müssen die {{mathl|term=\omega_1 {{kommadots|}} \omega_d |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=R |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sein, da sie dies über {{math|term=Q(R)|SZ=}} sind, und daher handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Also ist {{math|term={{op:Kählermodul|R|K}}|SZ=}} frei vom Rang {{math|term=d|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4w9pj1op6atd2op34zm3mffi7dzvnb 0 106240 748986 585737 2022-08-11T07:51:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |holomorph| |msw= |SZ=, }} wenn sie {{ Definitionslink |Prämath= |komplex-differenzierbar| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Holomorphe Funktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r7mjsh6b7ysmmly5u2tcf6dom5fs7z9 0 106241 749005 585741 2022-08-11T08:16:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |komplex-analytisch| |msw=Komplex-analytische Funktion |SZ=, }} wenn sie sich in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|U || || || |SZ= }} auf einer offenen Umgebung {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|V |\subseteq|U || || |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente Potenzreihe| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschreiben lässt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie2=Theorie der komplex-analytischen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Komplex-analytische Funktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sso5ajiw7y9ucm6x2p3hvf7d9p2bilf 0 106256 749004 585747 2022-08-11T08:12:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} eine auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |holomorph| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn {{math|term=f|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |komplex-analytisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jc3wvyjkiy3iw274b280ccbinpbwyg 0 107051 748807 588401 2022-08-10T14:23:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach Voraussetzung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | J_F | {{defeq|}} | {{makl| \partial_1 F {{kommadots|}} \partial_n F |}} |\subseteq| {{idealm}}_P || || |SZ= }} mit einem einzigen maximalen Ideal {{mathl|term= {{idealm|}}_P |SZ=}} zu einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|K^n || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Maximales Ideal/Radikal/Restklassenring/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |R/J_F || R_{ {{idealm}}_P}/ J_F R_{ {{idealm}}_P} || || || |SZ= }} und somit stimmt auch die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} überein. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t1mb6nf163ak6fptimsx5c9vh9758cu 0 108555 749007 594030 2022-08-11T09:04:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{mathl|term=x^n+wx|SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Entfaltung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette |f(x) ||x^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=sei {{ Ma:Vergleichskette |n |\geq|2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Zeige, dass für {{ mathbed|term= w \in {{CC|}} ||bedterm1= w \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} die deformierte Funktion {{mathl|term=f_w|SZ=}} genau {{math|term=n-1|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |nichtausgeartete| |Kontext=Hesse| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kritische Punkte besitzt. Wie lautet die {{ Definitionslink |Prämath= |Milnorzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} selbst? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 28s3821o7rfibkptv7g8oc59lcc5pkc 0 109256 748711 595880 2022-08-10T13:01:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |r |\in|\N || || || |SZ=. }} Ein {{ Definitionswort |Prämath= |reelles Vektorbündel| |msw=Reelles Vektorbündel |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} vom {{ Definitionswort |Prämath= |Rang| |msw=Rang (reelles Vektorbündel) |SZ= }} {{math|term=r|SZ=}} ist ein topologischer Raum zusammen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |stetigen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} derart, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p^{-1}(x)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=r |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Homöomorphismen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |p^{-1} {{makl| U_i |}} | U_i \times \R^r || |SZ= }} über {{math|term=U_i|SZ=}} gibt, die in jeder Faser einen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Isomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{makl| \varphi_i |}}_x |p^{-1} (x) | \R^r || |SZ= }} induzieren. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Reelles Vektorbündel |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} poofvh9rxotzwyjo6wf24qoyq5eeev7 0 109434 748825 617166 2022-08-10T14:38:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Eine projektive Varietät {{math|term=X|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} ist nach Definition {{ Zusatz/Klammer |text=realisierbar als| |ISZ=|ESZ= }} eine abgeschlossene Untervarietät {{ Ma:Vergleichskette |X |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ=. }} Hierbei konkurrieren zwei Sichtweisen: Einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=und dies nennt man den {{Stichwort|extrinsischen Standpunkt|msw=Extrinsischer Standpunkt|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} erlaubt die Realisierung von {{math|term=X|SZ=}} als Teilmenge eines projektiven Raumes, Konzepte, Strukturen, Eigenschaften des umgebenden Raumes durch Einschränkung auf {{math|term=X|SZ=}} zu verwenden, man kann das Schnittverhalten von {{math|term=X|SZ=}} mit anderen Untervarietäten {{math|term=Y|SZ=}} untersuchen, man kann nach Beziehungen zum offenen Komplement {{mathl|term={{op:Projektiver Raum|n|K}} \setminus X |SZ=}} Ausschau halten. Ferner nimmt jede Visualisierung von {{math|term=X|SZ=}} Bezug auf einen umgebenden Raum. Andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=und dies nennt man den {{Stichwort|intrinsischen Standpunkt|msw=Intrinsischer Standpunkt|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} kann man sich fragen, welche Eigenschaften von {{math|term=X|SZ=}} der Varietät selbst inhärent und unabhängig von einer gewissen Realisierung zukommen. Die Varietät {{math|term=X|SZ=}} ist typischerweise {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Schema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer {{Anführung|anderen}} Varietät {{math|term=X'|SZ=,}} die als eine abgeschlossene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |X' |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n'|K}} || || || |SZ= }} gegeben ist. Welche Eigenschaften von {{ mathkor|term1= X |bzw.|term2= X' |SZ= }} sind unabhängig von den jeweiligen Einbettungen? Die beiden Standpunkte überschneiden sich, wenn man folgende Fragen betrachtet: Wie viele Einbettungen für ein gegebenes {{math|term= X |SZ=}} gibt es? Kann man sich eine Übersicht über alle möglichen Einbettungen von {{math|term= X |SZ=}} in einen projektiven Raum verschaffen? Gibt es eine beste Einbettung, wo etwa die Dimension des umgebenden Raumes klein ist oder wo die Beziehung zu ihm besonders übersichtlich ist. Gibt es eine besonders natürliche Einbettung, die mit charakteristischen Objekten auf {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängt? Betrachten wir beispielsweise die abgeschlossene projektive Kurve {{ Ma:Vergleichskette |C ||V {{makl| Y^2-XZ |}} |\subset| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ=. }} Dies ist eine Kurve vom Grad {{math|term=2|SZ=,}} ihr Durchschnitt mit einer jeden Geraden besteht aus zwei Punkten {{ Zusatz/Klammer |text=gezählt mit Vielfachheiten| |ISZ=|ESZ=. }} Die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |{{op:Projektive Ebene|K|}} |(s,t)| {{op:Zeilenvektor|s^2|st|t^2|}} |SZ=, }} induziert einen Isomorphismus {{ Ma:abb |name= |{{op:Projektive Gerade|K|}} |C \subset {{op:Projektive Ebene|K|}} |SZ=, }} d.h. die Kurve ist isomorph zur projektiven Geraden und somit eine {{Anführung|unnötig gekrümmte}} Version der projektiven Geraden. Allerdings sind Kurven vom Grad zwei {{ Zusatz/Klammer |text=Quadriken, Kegelschnitte| |ISZ=|ESZ= }} natürliche Objekte in der Ebene, und, von der projektiven Geraden aus gesehen, bilden die Elemente {{mathl|term=s^2,st,t^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der zweiten homogenen Stufe {{mathl|term=K[s,t]_2|SZ=}} des homogenen Koordinatenringes {{math|term=K[s,t]|SZ=}} der projektiven Geraden. Diese treten wiederum als globale Schnitte der {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbaren Garbe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektive Gerade|K|}}|2}} |SZ=}} auf. In der Tat werden wir sehen, dass die verschiedenen Einbettungen von {{math|term=X|SZ=}} in einen projektiven Raum mit globalen Schnitten auf invertierbaren Garben auf {{math|term=X|SZ=}} zusammenhängen. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} alff9jcmt863mq6gt09m51ofymjk3xb 0 109947 748766 646428 2022-08-10T13:44:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |r |\in|\N || || || |SZ=. }} Ein {{ Definitionswort |Prämath= |differenzierbares Vektorbündel| |msw=Differenzierbares Vektorbündel |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} vom {{ Definitionswort |Prämath= |Rang| |msw=Rang (reelles Vektorbündel) |SZ= }} {{math|term=r|SZ=}} ist eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Abbildung| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=p |V|X || |SZ= }} derart, dass jede {{ Definitionslink |Prämath= |Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p^{-1}(x)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=r |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reeller Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |Diffeomorphismen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi_i |p^{-1} {{makl| U_i |}} | U_i \times \R^r || |SZ= }} über {{math|term=U_i|SZ=}} gibt, die in jeder Faser einen {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Isomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{makl| \varphi_i |}}_x |p^{-1} (x) | \R^r || |SZ= }} induzieren. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Differenzierbares Vektorbündel |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h2c0cl4m1xszbjtqcc68qwlezxzdeff 0 110395 748985 647759 2022-08-11T07:51:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Ma:abb |name=f_1 |U_1| {{CC|}} || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f_2 |U_2| {{CC|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktionen| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |U_1,U_2 |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|U_1,U_2 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |f_1(0) ||f_2(0) ||0 || || |SZ=. }} Man sagt, dass die Hyperflächen {{ mathkor|term1= V(f_1) |und|term2= V(f_2) |SZ= }} zueinander {{ Definitionswort |Prämath= |lokal analytisch isomorph| |msw= |SZ= }} sind, wenn es offene Umgebungen {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|W_1 |\subseteq|U_1 || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in|W_2 |\subseteq|U_2 || || |SZ= }} und eine {{ Definitionslink |Prämath= |biholomorphe Abbildung| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | W_1|W_2 || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi^{-1} (V(f_2) \cap W_2) ||V(f_1) \cap W_1 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lokal analytisch isomorphe Hyperflächen |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} je02riommszc6hnshqufsj8uzfpxhk3 0 115927 748720 617976 2022-08-10T13:08:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir können {{ Ma:Vergleichskette |e ||1 || || || |SZ= }} annehmen, da das Zurückziehen von Garben mit der Tensorierung verträglich ist und da der Grad {{ Aufgabelink |Präwort=nach||Aufgabeseitenname= Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Tensorierung/Grad/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} additiv bezüglich der Tensorierung von invertierbaren Garben ist. Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | G |\in| {{op:Schnitte| {{op:Projektive Ebene|K|}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |1 }} }} || K[X,Y,Z]_1 || || |SZ= }} ein Schnitt, der als Polynom in {{mathl|term=K[X,Y,Z]|SZ=}} kein Vielfaches von {{math|term=F|SZ=}} sei. Dann kann man {{math|term=G|SZ=}} auch als einen von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenen Schnitt in {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Schnitte| C | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}}|1 }} {{|}}_C |}} || {{op:Schnitte| C | {{op:Getwistete Strukturgarbe| C|1 }} |}} || || || |SZ= }} betrachten. Es geht um den Grad des Nullstellendivisors zu {{math|term=G|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette |C || V_+(F) || || || |SZ=. }} Sei {{ Ma:Vergleichskette |P || (a,b,c) |\in| V_+(F) || || || |SZ= }} ein Punkt der Kurve. Die Nullstellenordnung eines Schnittes einer invertierbaren Garbe kann man in einer affinen Umgebung des Punktes ausrechnen. Ohne Einschränkung sei {{ Ma:Vergleichskette |c ||1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |P |\in| D_+(Z) || || || |SZ=. }} Die affine Gleichung der Kurve ist dann die Dehomogenisierung von {{math|term=F|SZ=}} bezüglich der Variablen {{math|term=Z|SZ=}} und der Schnitt wird unter der Identifizierung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |}} {{|}} D_+(Z) | {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Ebene|K|}} |1}} {{|}} D_+(Z) |1| Z |SZ= }} gleich der Dehomogenisierung {{math|term=G'|SZ=}} von {{math|term=G|SZ=.}} Der lokale Ring der Kurve ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Strukturgarbe|C, P|}} || {{makl| K [ {{op:Bruch|X|Z}}, {{op:Bruch|Y|Z}} ] /(F') |}}_{( {{op:Bruch|X|Z}}-a, {{op:Bruch|Y|Z}}-b )} || || || |SZ= }} und die Ordnung von {{math|term= G' |SZ=}} in diesem Ring ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsrin/K/Restklassenkörper/Ordnung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gleich der {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Strukturgarbe|C, P|}} /(G') || {{makl| K [ {{op:Bruch|X|Z}}, {{op:Bruch|Y|Z}} ] /(F') |}}_{( {{op:Bruch|X|Z}}-a, {{op:Bruch|Y|Z}}-b )} /(G') || K [ {{op:Bruch|X|Z}}, {{op:Bruch|Y|Z}} ] _{( {{op:Bruch|X|Z}}-a, {{op:Bruch|Y|Z}}-b )} /(F', G') || || |SZ=. }} Diese Beschreibung ist symmetrisch in {{ mathkor|term1= F |und|term2= G |SZ=. }} Deshalb ist der Grad des Nullstellendivisors zu {{math|term=G|SZ=}} auf {{math|term=V_+(F)|SZ=}} gleich dem Grad des Nullstellendivisors zu {{math|term=F|SZ=}} auf {{ Ma:Vergleichskette |V_+(G) || {{op:Projektive Gerade|K|}} || || || |SZ=. }} Für ein homogenes Polynom vom Grad {{math|term=d|SZ=}} auf einer projektiven Geraden ist aber die Summe über alle Nullstellenordnungen gleich {{math|term=d|SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acb4e6a2m3kc61tjtd60287g4inffj7 0 116819 748995 736552 2022-08-11T08:02:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Zusatz/Klammer |text=überschneidungsfreie| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionswort |Prämath= |geometrische Realisierung| |msw=Geometrische Realisierung eines Graphen |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} im {{math|term=\R^d|SZ=}} besteht aus folgenden Daten. {{ Aufzählung3 |Eine {{ Definitionslink |Prämath= |injektive| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |V| \R^d |v|P_v |SZ=, }} zu jedem Knotenpunkt {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} gibt es also einen Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P_v |\in| \R^d || || || |SZ= }} und verschiedene Knotenpunkte besitzen verschiedene Realisierungen {{math|term=P_v|SZ=.}} |Zu jeder Kante {{ Ma:Vergleichskette |L || \{u ,v \} |\in|E || || || |SZ= }} eine injektive {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_L |[0,1]|\R^d || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \varphi_L(0) || P_u || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \varphi_L(1) || P_v || || || |SZ=. }} |Für verschiedene Kanten {{ Ma:Vergleichskette |L |\neq|L' || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi_L(]0,1[) \cap \varphi_{L'}(]0,1[) || \emptyset || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der geometrischen Realisierung von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Geometrische Realisierung eines Graphen |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0jb1todfmppennjq8juiepm4qbwxara 0 117397 748749 641542 2022-08-10T13:28:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Adjazenzmatrix| |Kontext=Graph| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= |vollständigen Graphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K_n|SZ=}} ist nach Definition die {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|x|-1| \ldots|-1|-1|-1|x|-1|\ldots|-1|\vdots|\ddots|\ddots| \ddots|\vdots|-1|\ldots|-1|x|-1|-1|-1|\ldots|-1|x}} |SZ=. }} In diesem Fall ist es einfacher, direkt die {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu berechnen. Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||-1 || || || |SZ= }} steht hier überall {{math|term=-1|SZ=}} und der Kern besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Spaltenvektor|1|-1|0| \vdots|0|0}} , \, {{op:Spaltenvektor|0|1|-1| \vdots|0|0}} {{kommadots}} {{op:Spaltenvektor|0|0|0| \vdots|1|-1}} |SZ=. }} Somit ist {{math|term=-1|SZ=}} ein Eigenwert mit {{ Definitionslink |Prämath= |geometrischer Vielfachheit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n-1|SZ=.}} Für {{ Ma:Vergleichskette |x ||n-1 || || || |SZ= }} ergibt sich die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix55|n-1|-1| \ldots|-1|-1|-1|n-1|-1|\ldots|-1|\vdots|\ddots|\ddots| \ddots|\vdots|-1|\ldots|-1|n-1|-1|-1|-1|\ldots|-1|n-1}} |SZ= }} und der Kern davon ist {{ math/disp|term= \R {{op:Spaltenvektor|1|1| \vdots|1|1}} |SZ=. }} Somit ist {{math|term=n-1|SZ=}} ein Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit {{math|term=1|SZ=.}} Da die Summe der geometrischen Vielfachheiten bereits die Dimension {{math|term=n|SZ=}} ist, handelt es sich jeweils auch um die {{ Definitionslink |Prämath= |algebraischen Vielfachheiten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und das charakteristische Polynom ist {{ math/disp|term= (x+1)^{n-1} (x-n+1) |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des charakteristischen Polynoms eines Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79sy5drsj1soaqyzn44uztkiav0dyaf 0 120240 748972 634593 2022-08-11T07:38:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=,}} {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |w |\in|V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ=, }} eine Funktion. Dann heißt das {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times U|V |(t,v)| F(t,v) {{=|}} g(t,v) \cdot w |SZ=, }} ein {{ Definitionswort |Prämath= |Vektorfeld mit konstanter Richtung| |msw=Vektorfeld mit konstanter Richtung |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanter Richtung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Vektorfeld mit konstanter Richtung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2qubcz26nefdrpxqr5z6zrpea75d0yl 0 120242 748973 691966 2022-08-11T07:38:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |I |\subseteq| \R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Intervall| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:Vergleichskette |w |\in| \R^n || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=g |I \times U|\R |(t,v)|g(t,v) |SZ=, }} eine Funktion mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorfeld mit konstanter Richtung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |I \times U|V |(t,v)| F(t,v) {{=|}} g(t,v) \cdot w |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Lösung des Anfangswertproblemes {{ Ma:Vergleichskette/disp | v' || F(t,v) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp |v(t_0) || {{op:Spaltenvektor|a_1|\vdots|a_n}} || || || |SZ= }} von der Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma(t) || {{op:Spaltenvektor|a_1|\vdots|a_n}} + \beta(t) w || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:abbele/disp |name= \beta |J| \R || |SZ= }} eine Lösung des {{ Definitionslink |Prämath= |eindimensionalen Anfangswertproblems| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | z' || h(t,z) | {{defeq|}} | g(t, a_1+ z w_1 {{kommadots|}} a_n + z w_n) || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta(t_0) ||0 || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanter Richtung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jdde1njxgwu0z7s1qnmdh134cvsu9cm 0 121175 748757 673521 2022-08-10T13:35:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche|Faktseitenname= Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |S/ {{idealp|}}S || S/ {{idealq}}_1^{e_1} {{timesdots}} S/ {{idealq|}}_k^{e_k} || || || |SZ=. }} Wir können über dem {{ Definitionslink |Prämath= |diskreten Bewertungsring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=R_{{idealp|}} |SZ=}} argumentieren, also davon ausgehen, dass {{math|term=R|SZ=}} ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist {{math|term=S|SZ=}} ein freier {{math|term=R|SZ=-}}Modul vom Rang {{math|term=n|SZ=}} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | S/{{idealp}} S || S {{tensor|R}} R/{{idealp}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R/{{idealp}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Oben rechts steht das Produkt der {{math|term= R/{{idealp}}|SZ=-}}Vektorräume {{math|term= S/{{idealq}}_j^{e_j} |SZ=}} und es ist zu zeigen, dass deren {{math|term= R/{{idealp}} |SZ=-}}Dimension gleich {{math|term= e_jf_j |SZ=}} ist. Dies zeigen wir durch Induktion über {{ Ma:Vergleichskette |e ||e_j || || || |SZ=, }} wobei der Induktionsanfang für {{ Ma:Vergleichskette |e ||1 || || || |SZ= }} die Definition des Trägheitsgrades {{math|term= f_j|SZ=}} ist. Wegen {{ Ma:Vergleichskette |{{idealq}}^{e+1} |\subseteq|{{idealq}}^{e} || || || |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/disp| {{idealq}}^{e} / {{idealq}}^{e+1} | S/{{idealq}}^{e+1} |S/ {{idealq}}^{e} }} vor. Dabei ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{idealq}}^{e} / {{idealq}}^{e+1} || {{idealq}}^{e} S_{{idealq}} / {{idealq}}^{e+1} S_{{idealq}} || S_{{idealq}} / {{idealq}} S_{{idealq}} || S/ {{idealq}} || |SZ=. }} Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hkq86rtr54dphlpvkcilohvsgs41moh 0 122773 748944 646480 2022-08-10T17:24:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} und sei {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine in {{math|term=P|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=K total| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=P|SZ=}} ein {{Definitionswort|regulärer Punkt|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} wenn {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Rang| {{op:Totales Differential|\varphi|P}} |}} || {{op:min| {{op:Vektorraumdimension|K=|V}} | {{op:Vektorraumdimension|K=|W}} }} || || || |SZ= }} gilt. Andernfalls heißt {{math|term=P|SZ=}} ein {{Definitionswort|kritischer Punkt|SZ=}} oder ein {{Definitionswort|singulärer Punkt|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der regulären Punkte von differenzierbaren Abbildungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Regulärer Punkt |Definitionswort2=Kritischer Punkt |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oknx71u08948zfgd9m1mquy7u1sfhck 0 122796 748739 646566 2022-08-10T13:21:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |G|W || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=P|SZ=}} in Richtung {{math|term=v|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=R Richtung Punkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn die {{ Zusatz/Klammer |text=auf einem Intervall um {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| \R || || || |SZ= }} definierte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g |I|W |t| g(t) {{=}} f(P+tv) |SZ=, }} in {{math|term=0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. In diesem Fall ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} || g'(0) || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (R) |Kategorie2=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Richtungsableitung und differenzierbare Kurve |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ns7ijgufh76wtymizzfehrnt6usqx28 0 122797 748822 646565 2022-08-10T14:36:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und {{ Ma:abb |name={{{f|f}}} |G|W || |SZ= }} eine Abbildung. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} ein Punkt und {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ein fixierter Vektor. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=P|SZ=}} in Richtung {{math|term=v|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=R Richtung Punkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die {{ Zusatz/Klammer |text=auf einem Intervall um {{ Ma:Vergleichskette |0 |\in| \R || || || |SZ= }} definierte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=g |I|W |t| g(t) {{=}} f(P+tv) |SZ=, }} in {{math|term=0|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbar| |Kontext=Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und dass in diesem Fall {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} || g'(0) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jcsvlcc8e8nrd4hr4wxuv4nabmmcn1o 0 123837 748945 679413 2022-08-10T17:49:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Für {{math|term=L|SZ=}} liegt die Faktorisierung {{math/disp|term= {{op:Einheiten|R|}} \stackrel{ {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} }{ \longrightarrow} \Gamma \setminus \{0\} \stackrel{\ell}{ \longrightarrow} \R^{r+s} |SZ=}} vor. Ein Element {{ Ma:Vergleichskette |f |\in|{{op:Einheiten|K|}} || || || |SZ= }} wird genau dann unter {{math|term=L|SZ=}} auf den Nullvektor abgebildet, wenn {{math|term=\tau(f)|SZ=}} in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag {{math|term=1|SZ=}} besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkten| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge von {{math|term= \R^r \times {{CC}}^s |SZ=}} aber ja auch im Gitter {{math|term= \Gamma |SZ=.}} Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von {{math|term= \tau |SZ=}} auch die zugrunde liegende Menge in {{math|term=R|SZ=}} endlich. Also haben diese Elemente endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sind {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von {{math|term=R|SZ=}} in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag {{math|term=1|SZ=,}} wird also unter {{math|term=L|SZ=}} auf {{math|term=0|SZ=}} abgebildet. |Sei {{ Ma:Vergleichskette |f |\in| {{op:Einheiten|R|}} || || || |SZ= }} eine Einheit und sei {{math/disp|term=( \rho_1(f) {{kommadots|}} \rho_r(f); \sigma_{r+1} (f), {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+1}|}} (f) {{kommadots|}} \sigma_{r+s} (f), {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+s}|}} (f) |SZ=}} das totale komplexe Einbettungstupel. Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Norm von {{math|term=f|SZ=}} gleich {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \rho_1(f) \cdots \rho_r(f) \sigma_{r+1} (f) \cdot {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+1}|}} (f) \cdots \sigma_{r+s} (f) \cdot {{op:Komplexe Konjugation|\sigma_{r+s}|}} (f) || \rho_1(f) \cdots \rho_r(f) {{op:Betrag|\sigma_{r+1} (f)|}}^2 \cdots {{op:Betrag|\sigma_{r+s} (f)||}}^2 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist der Betrag davon gleich {{math|term=1|SZ=.}} Unter der komponentenweise genommenen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:ln(| {{op:Betrag| - |}} |}} | {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r \times {{makl| {{op:Einheiten|{{CC}} }} |}}^{2s} | \R^r \times \R^{2s} || |SZ= }} wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{j {{=}} 1}^r {{op:ln| {{op:Betrag| \rho_j(f) }}|}} + \sum_{i {{=}} 1}^s {{op:ln| {{op:Betrag|\sigma_{r+i} (f)|}} }} + \sum_{i {{=}} 1}^s {{op:ln| {{op:Betrag| {{op:Komplexe Konjugation| \sigma_{r+i}|}} (f)|}} }} || \sum_{j {{=}} 1}^r {{op:ln| {{op:Betrag| \rho_j(f) }}|}} + 2 \sum_{i {{=}} 1}^s {{op:ln| {{op:Betrag|\sigma_{r+i} (f)|}} }} || 0 || || |SZ=. }} Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass {{math|term= L(f) |SZ=}} auf der Hyperebene {{math|term=H|SZ=}} liegt. |Es ist zu zeigen, dass das Bild {{mathl|term= L( {{op:Einheiten|R|}} ) |SZ=}} mit jeder beschränkten Teilmenge von {{math|term= H |SZ=}} einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter {{math|term= \ell |SZ=}} ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter {{math|term= \Gamma |SZ=}} ist endlich. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bq2dutbtm2faxpyuuhzok19futon9np 0 124160 748855 671682 2022-08-10T15:01:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=\zeta|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2} |SZ=}} des {{math|term=p|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörpers| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2} ) || \pm p^{p-2} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Diskriminante von Kreisteilungsringen zu Primzahl |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l99kj96h84hv3t94yem7komg8gfvw7h 0 126235 748787 664413 2022-08-10T14:08:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei zunächst {{ Ma:Vergleichskette |K ||\Q[z] || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term=k|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Element/Charakteristisches Polynom/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist das Minimalpolynom gleich {{mathl|term=(X- z_1)(X-z_2) \cdots (X-z_k)|SZ=.}} Der Vergleich des konstanten Koeffizienten und des Koeffizienten zu {{math|term=X^{k-1}|SZ=}} ergibt die Behauptung. Im Allgemeinen sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq|K ||\Q[z] |\subseteq|L || |SZ= }} und es sei {{math|term=M|SZ=}} die Matrix über {{math|term=\Q|SZ=,}} die die Multiplikation mit {{math|term=z|SZ=}} auf {{math|term=K|SZ=}} bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= y_1 {{kommadots|}} y_k |SZ=}} beschreibt. Zu einer {{math|term=K|SZ=-}}Basis {{mathl|term=z_1 {{kommadots|}} z_\ell |SZ=}} von {{math|term=L|SZ=}} ist {{mathl|term=y_iz_j|SZ=}} eine {{math|term=\Q|SZ=-}}Basis von {{math|term=L|SZ=,}} und die Multiplikation mit {{math|term=z|SZ=}} auf {{math|term=L|SZ=}} wird durch die Blockmatrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix44|M|0|\ldots|0|0|M|\ldots|0|\vdots|\ddots|\ddots|\vdots|0|\ldots|0|M}} |SZ= }} beschrieben. Deren Spur ist das {{math|term=\ell|SZ=-}}Fache der Spur von {{math|term=M|SZ=}} und deren Determinante ist die {{math|term=\ell|SZ=-}}te Potenz der Determinante von {{math|term=M|SZ=.}} Ebenso treten die verschiedenen komplexen Zahlen {{math|term=z_i|SZ=}} jeweils {{math|term=\ell|SZ=-}}fach auf. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2gc5fhxon7dtnp0r96gjf58a2bggx40 0 126457 748747 665444 2022-08-10T13:26:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |vollkommener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=A|SZ=}} eine lokale {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=A|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |Prämath= |reduziert| |Kontext=Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also ein Körper| |ISZ=|ESZ= }} wenn der {{ Definitionslink |Prämath= |Modul der Kählerdifferentiale| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A|K}} |SZ=}} gleich {{math|term=0|SZ=}} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5jwl92r0lpd8w1qu6kwkv499jrcqy9 0 127174 748921 669688 2022-08-10T16:00:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K_p|SZ=}} der {{math|term=p|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu einer Primzahl {{math|term=p|SZ=}} und sei {{math|term=\zeta|SZ=}} eine primitive {{math|term=p|SZ=-}}te Einheitswurzel. Bestimme{{n Sie}} die Übergangsmatrix und ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= 1, \zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{p-2 } |SZ=}} und {{mathl|term= \zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} ,\zeta^{p-2}, \zeta^{p-1 } |SZ=}} von {{math|term= K_p |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2e77vkqawkzepk4xaxoq2w66duumbdj 0 127261 748941 670027 2022-08-10T16:52:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |q |\geq|2 || || || |SZ= }} eine natürliche Zahl. Bestimme{{n Sie}} für die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q |\subseteq| \Q[X]/(X^3-q) || || || |SZ= }} und ein Element {{mathl|term=a+bx+cx^2 |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Multiplikationsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=1,x,x^2|SZ=,}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Spur| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6rnquohipqdp72eeiq28swgw62quo82 0 127604 748851 671350 2022-08-10T14:58:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Primzahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |q ||p^r || || || |SZ= }} und {{math|term=\zeta|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |primitive| |Kontext=Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=p^r|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Diskriminante| |Kontext=Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{ {{op:Eulersche Phi-Funktion|p^r|}} -1 } |SZ=}} des {{math|term=p^r|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungskörpers| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (1,\zeta,\zeta^2 {{kommadots|}} \zeta^{ {{op:Eulersche Phi-Funktion|p^r|}} -1} ) || \pm p^{p^{r-1}(rp-r-1)} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} towvqzv66k7j30iraljod7j0snlzhny 0 128231 748715 677010 2022-08-10T13:05:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_n|SZ=}} und {{mathl|term=w_1 {{kommadots|}} w_n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Basen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term=\R^n|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann stimmen die zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |\Gamma ||\Z v_1 {{oplusdots}} \Z v_n || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |\Delta ||\Z w_1 {{oplusdots}} \Z w_n || || || |SZ= }} genau dann überein, wenn ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ganzzahlig mit {{ Definitionslink |Prämath= |Determinante| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\pm 1|SZ=}} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Gitter |Kategorie2=Theorie der ganzzahligen Matrizen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Gitter und Übergangsmatrix |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3h8aiu8xnzq0755wicn83d93dzzb7cb 0 128262 748802 675342 2022-08-10T14:20:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} im {{math|term=\R^n|SZ=}} und sei {{math|term=P|SZ=}} das davon {{ Definitionslink |erzeugte Parallelotop| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt für das {{ Definitionslink |Borel-Lebesgue-Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\lambda|SZ=}} auf {{math|term=\R^n|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\lambda(P) || {{op:Betrag|{{op:Determinante(| v_1 {{kommadots}} v_n |}}||}} || || || |SZ=, }} wobei in der Matrix die Koordinaten von {{math|term=v_i|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Prämath= |Standardbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} stehen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2=Determinantentheorie (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Volumen eines Parallelotops und Determinante |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 86lbmxg3gqrgs3pw4hr0rwq4otfa5kd 0 128483 748943 677026 2022-08-10T17:22:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischer Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |\Delta |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |diskrete| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Untergruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |B |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkte| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmenge derart, dass {{ Ma:Vergleichskette |\bigcup_{ v \in \Delta } v+B || V || || || |SZ= }} ist. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\Delta|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gitter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56s0zddlbtfpfrjgri9fhvpu078baeu 0 128905 748675 680587 2022-08-10T12:35:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=A|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} kommutative {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} Elemente in {{math|term=A|SZ=.}} Dann wird die {{Definitionswort|Diskriminante}} von {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (b_1 {{kommadots}} b_n) || {{op:Determinante(| {{op:Spur| b_ib_j|}}_{i,j} |}} || || || |SZ= }} definiert. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Diskriminate einer Basis |Definitionswort2= |Stichwort=Diskriminante |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qp5olr7tw9041ho9c9fx1ygjbb8jzup 0 131350 749002 697397 2022-08-11T08:11:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |G |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |G|\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die im Punkt {{ Ma:Vergleichskette |P |\in|G || || || |SZ= }} ein surjektives {{ Definitionslink |totales Differential| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |v |\in| T_PZ || || || |SZ= }} ein Vektor des {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraumes an die Faser| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=Z|SZ=}} zu {{math|term= \varphi |SZ=}} durch {{math|term=P|SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Kurve| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma |]- \epsilon, \epsilon[ |Z || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für ein geeignetes {{ Ma:Vergleichskette/k | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(0) ||P || || || |SZ= }} und mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \gamma'(t) || v || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der Tangentialräume an Fasern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rcotv3wx516tmopbazb8moocsih3jmc 0 132318 748672 732869 2022-08-10T12:33:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Geschlecht| |Kontext=Riemann| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=g|SZ=}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \omega_1 {{kommadots|}} \omega_g |\in| {{op:Schnitte|X|\Omega_{X }|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des Vektorraumes der {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphen Differentialformen| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man {{ Ma:Vergleichskette/disp | \operatorname{Per} | {{defeq|}} | {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor| \int_\gamma \omega_1 |\ldots| \int_\gamma \omega_g }} \in {{CC|}}^g | \gamma \in \pi_1 (X) }} || || || |SZ= }} das {{ Definitionswort |Prämath= |Periodengitter| |msw=Periodengitter (Basis) |SZ= }} zu der gegebenen Basis. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der jacobischen Varietät |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Periodengitter (Basis) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nfthtlhs0fyetz7ebc11bi87yeae1a0 0 135456 748658 732574 2022-08-10T12:21:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Auf dem {{math|term=\Z^n|SZ=}} induzierte jede {{ Definitionslink |Prämath= |Norm| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=\R^n|SZ=}} über {{ Ma:Vergleichskette | h(P) || {{op:Norm|P|}}^2 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |schwache Höhenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Die Endlichkeitsbedingung (3) ist klar {{ Zusatz/Klammer |text=man denke etwa an die {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} Die Dreiecksabschätzung ergibt {{ Ma:Vergleichskette/align | h(P+Q) || {{op:Norm|P+Q|}}^2 |\leq| {{makl| {{op:Norm|P|}} +{{op:Norm|Q|}} |}}^2 || {{op:Norm|P|}}^2 + {{op:Norm|Q|}}^2 + 2 {{op:Norm|P|}} \cdot {{op:Norm|Q|}} || h(Q) + {{op:Norm|P|}}^2 + 2 {{op:Norm|P|}} \cdot {{op:Norm|Q|}} |\leq| 2 h(Q) + S_1 |SZ=, }} wobei die letzte Abschätzung darauf beruht, dass bei fixiertem {{math|term= P |SZ=}} bis auf endlich viele Ausnahmen {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|P|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} {{op:Norm|Q|}} || || || |SZ= }} gilt. In der Eigenschaft (2) gilt Gleichheit mit {{ Ma:Vergleichskette | S_2 || 0 || || || |SZ=, }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5t1sciuvlhv04nid7fiap60uj73qiv 0 135462 748983 715327 2022-08-11T07:49:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |Betrag| |Kontext=Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Betrag|-|}} |K| \R || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=K|SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |archimedisch| |msw=Archimedischer Betrag |SZ=, }} wenn die Menge {{math|term=\N|SZ=}} in {{math|term=K|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Beträge auf einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Archimedischer Betrag |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qy2a2hebnuxv8mxr0nqcshewy76asq5 0 136218 748871 720130 2022-08-10T15:13:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=E|SZ=}} die durch eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze Weierstraßgleichung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |Y^2 ||X^3+aX+b || || || |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |Prämath= |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über einem Körper {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und es sei {{math|term= Q(E) |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |Funktionenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath=Q(E) |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für den {{ Definitionslink |Prämath= |Frobeniushomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=F |Q(E)| Q(E) || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7h8dymkq27t1z57qao3fn1y45kc73io 0 136587 748899 722700 2022-08-10T15:41:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=N|SZ=}} eine positive natürliche Zahl. Es sei {{ Ma:Vergleichskette |M |\in| {{op:SLG|2|\Z}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=u,v|SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |Gitter| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \Lambda |SZ=}} und dem zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Torus| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{CC|}} /\Lambda |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann definieren {{math|term=u,v |SZ=}} und die durch {{math|term=M|SZ=}} transformierte Basis {{math|term=u',v'|SZ=}} genau dann die gleiche {{math|term=N|SZ=-}}Torsionsbasis von {{math|term= {{CC|}} /\Lambda |SZ=,}} wenn {{math|term=M|SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptkongruenzgruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\Gamma(N)|SZ=}} gehört. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ndjdbcf63j2sjsk8veyeaekey08z3f1 0 137659 749000 730697 2022-08-11T08:08:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Für eine auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} sind folgende Aussagen äquivalent. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |{{math|term=f|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |komplex-differenzierbar| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |{{math|term=f|SZ=}} ist unendlich oft komplex differenzierbar. |{{math|term=f|SZ=}} lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kgnzgqc40gia59kpj5siu68k3s74k1o 106 140577 748962 748294 2022-08-11T07:24:51Z Schlobido 36317 /* Projektdurchführung */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) === Anderes cooles Zeug === * Hilfe der Wiki-Community ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === ... [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ tasoap40fs52e2umu3fkkvbfygiuruc 748963 748962 2022-08-11T07:25:07Z Schlobido 36317 /* Projektdurchführung */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. https://de.wikiversity.org/wiki/Datei:Bubble_gggggg.jpg https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) === Anderes cooles Zeug === * Hilfe der Wiki-Community ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === ... [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ l9hoy9cifd4c4pi3le20ckmmk8uvsck 748964 748963 2022-08-11T07:26:16Z Schlobido 36317 /* Projektdurchführung */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) === Anderes cooles Zeug === * Hilfe der Wiki-Community ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === ... [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ tc89immi5qo5tuoutg8rhayehthol3h 748965 748964 2022-08-11T07:26:35Z Schlobido 36317 /* Anderes cooles Zeug */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) === Anderes cooles Zeug === ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === ... [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ grhx4jbspf36gmqbylwmdlnyxqf64ry 748966 748965 2022-08-11T07:26:50Z Schlobido 36317 /* Fazit / Reflexion */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) === Anderes cooles Zeug === ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ dvaelb4wl6og7gvl2gwm89bsl4ouchd 748967 748966 2022-08-11T07:33:25Z Schlobido 36317 /* Projektdurchführung */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) === Anderes cooles Zeug === ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ i9v305ewyfzs7qvoi1sgebva3mj3yau 748968 748967 2022-08-11T07:34:43Z Schlobido 36317 /* Projektdurchführung */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) Mit diesen Anfragen kann man dann natürlich noch weiter spielen und filtern. Also etwa nur nach geographischen Orten und sich diese zum Beispiel auf einer Weltkarte anzeigen lassen. === Anderes cooles Zeug === ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ 144cymb46lrc9koxtuq1u8x7qr0tykb 748969 748968 2022-08-11T07:35:02Z Schlobido 36317 /* Projektdurchführung */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) Mit diesen Anfragen kann man dann natürlich noch weiter spielen und filtern. Also etwa nur nach geographischen Orten und sich diese zum Beispiel auf einer Weltkarte anzeigen lassen. === Anderes cooles Zeug === ... * Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?" ... [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] * Kontakt zu den Podcastern ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ 0adfgatqjjfss9s3ahnizy3fq1lpkyn 748977 748969 2022-08-11T07:42:45Z Schlobido 36317 /* Anderes cooles Zeug */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) Mit diesen Anfragen kann man dann natürlich noch weiter spielen und filtern. Also etwa nur nach geographischen Orten und sich diese zum Beispiel auf einer Weltkarte anzeigen lassen. === Erwähnenswertes === '''* Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?"''' Nachdem ich den Artikel für Erwin Kreuz übersetzt hatte, wurde mir vorgeschlagen, diesen für den "Schon gewusst?"-Bereich auf der Wikipedia-Hauptseite vorzuschlagen. In dieser Rubrik sollen neue Artikel, die ansonsten vielleicht nicht viel Beachtung erhalten, vorgestellt werden. Die Diskussions-Seite für "Schon gewusst?" findet man übrigens hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia_Diskussion:Hauptseite/Schon_gewusst Ich hatte mir vorher überhaupt noch keine Gedanken darüber gemacht, wie die Artikel für die Hauptseite ausgewählt werden und fand es sehr spannend zu sehen, wie die Community gemeinsam darüber entscheidet. Und gerade für mich als Wikipedia-Neuling, war es natürlich ein tolles Feedback und eine große Motivation zu sehen, dass das, was ich mache gesehen und meine Arbeit unterstützt wird. [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] '''* Kontakt zu den Podcastern''' ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ 17wj2ubrwq0xhcao0jyndsydpkjdnex 748979 748977 2022-08-11T07:45:14Z Schlobido 36317 /* Erwähnenswertes */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) Mit diesen Anfragen kann man dann natürlich noch weiter spielen und filtern. Also etwa nur nach geographischen Orten und sich diese zum Beispiel auf einer Weltkarte anzeigen lassen. === Erwähnenswertes === '''* Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?"''' Nachdem ich den Artikel für Erwin Kreuz übersetzt hatte, wurde mir vorgeschlagen, diesen für den "Schon gewusst?"-Bereich auf der Wikipedia-Hauptseite vorzuschlagen. In dieser Rubrik sollen neue Artikel, die ansonsten vielleicht nicht viel Beachtung erhalten, vorgestellt werden. Die Diskussions-Seite für "Schon gewusst?" findet man übrigens hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia_Diskussion:Hauptseite/Schon_gewusst Ich hatte mir vorher überhaupt noch keine Gedanken darüber gemacht, wie die Artikel für die Hauptseite ausgewählt werden und fand es sehr spannend zu sehen, wie die Community gemeinsam darüber entscheidet. Und gerade für mich als Wikipedia-Neuling, war es natürlich ein tolles Feedback und eine große Motivation zu sehen, dass das, was ich mache gesehen und meine Arbeit unterstützt wird. Am 11. Juli war es dann soweit und Erwins Geschichte wurde bei "Schon gewusst?" gefeatured. [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] Wirklich nett war auch die Rückmeldung, dass über 43.000 Seitenaufrufe stattgefunden hatten. Für mich wirklich eine enorme Menge. [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] '''* Kontakt zu den Podcastern''' ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ hl7y7t7dvgbgca5con8t2kgjicryi30 748980 748979 2022-08-11T07:46:36Z Schlobido 36317 /* Erwähnenswertes */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) Mit diesen Anfragen kann man dann natürlich noch weiter spielen und filtern. Also etwa nur nach geographischen Orten und sich diese zum Beispiel auf einer Weltkarte anzeigen lassen. === Erwähnenswertes === '''* Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?"''' Nachdem ich den Artikel für Erwin Kreuz übersetzt hatte, wurde mir vorgeschlagen, diesen für den "Schon gewusst?"-Bereich auf der Wikipedia-Hauptseite vorzuschlagen. In dieser Rubrik sollen neue Artikel, die ansonsten vielleicht nicht viel Beachtung erhalten, vorgestellt werden. Die Diskussions-Seite für "Schon gewusst?" findet man übrigens hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia_Diskussion:Hauptseite/Schon_gewusst Ich hatte mir vorher überhaupt noch keine Gedanken darüber gemacht, wie die Artikel für die Hauptseite ausgewählt werden und fand es sehr spannend zu sehen, wie die Community gemeinsam darüber entscheidet. Und gerade für mich als Wikipedia-Neuling, war es natürlich ein tolles Feedback und eine große Motivation zu sehen, dass das, was ich mache gesehen und meine Arbeit unterstützt wird. Am 11. Juli war es dann soweit und Erwins Geschichte wurde bei "Schon gewusst?" gefeatured. [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] Wirklich nett war auch die Rückmeldung, dass über 43.000 Seitenaufrufe stattgefunden hatten. Für mich wirklich eine enorme Menge. Und damit auch bei weitem der von mir mitbearbeitete Artikel mit den meisten Aufrufen. [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] '''* Kontakt zu den Podcastern''' ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ a4djqlp73s6e8yuwks8v2movq5ve7fv 748982 748980 2022-08-11T07:49:00Z Schlobido 36317 /* Erwähnenswertes */ wikitext text/x-wiki === Projektidee === Bei meinem Projekt war es mir wichtig ein Thema zu wählen, dass möglich viele Möglichkeiten bietet verschiedene Plattformen (Wikipedia, WikiData etc.) und Funktionen im Wikiversum kennenzulernen und mich daran auszuprobieren. Gleichzeitig sollte es idealerweise natürlich auch meinen persönlichen Interessen entsprechen. Ich habe daher zunächst einfach mal geschaut, was sich im deutschen Wikiversum bereits über verschiedene Themen die mich interessieren (bestimmte Autoren, Serien etc.) finden lässt und wo ich überhaupt noch Potential sehe, selbst neue Inhalte einzubringen. Da ich recht viele Podcast höre, stieß ich dabei sehr bald auf die Wikipedia-Seite des Zeit - Verbrechen Podcasts und stellte fest, dass es dort eine Episodenliste mit Informationen zu den Episoden aber vor allem auch interne Links zu Wikiepedia-Seiten über die Themen zu finden gab. Das fand ich an sich richtig super, da man hier noch mal tiefer in die verschiedenen Themen einsteigen kann. Ich habe mich also nach einem Podcast umgeschaut, bei dem erstmal so eine Liste noch zu ergänzen wäre. Das war der Fall bei [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)|Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)]]. Da es sich hier um einen Geschichtspodcast handelt, fand ich die Idee hier nochmal besonders spannend, da historische Ereignisse oft so komplex sind, dass sie in ihrer kompletten Gänze kaum in einer ca. 1-stündigen Podcast-Episode zu behandeln sind und hier für mich der Mehrwert von Zusatzinformationen aus der Wikipedia besonders hoch schien. Außerdem ist es so, dass es bei den mittlerweile deutlich über 300 Episoden des Podcasts oft Verknüpfungen zwischen früheren Episoden erstellt werden können und sich so nach und nach, Folge für Folge, aus kleineren Einzelinformationen ein immer detailreicheres Gesamtbild entwickeln kann. Ich fand es daher super spannend, denn Podcast so gesehen im Wikiversum zu erschließen und es interessierten Hörern einfach zu machen, mehr zu ehrfahren und zu sehen, wie gewisse Themenbereiche und Episoden miteinander verknüpft sind. === Projektdurchführung === * '''Recherche und Ideen-Brainstorming:''' Zunächst einmal habe ich weitere Podcast-Wikipedia Seiten durchstöbert, um zu sehen, wie andere dabei vorgegangen sind, einen Podcast zu erschließen. Also etwa, wie sehen die Tabellen aus und welche Informationen beinhalten sie. Das sollte als ein erster Eindruck dienen, um herauszufinden, was alles möglich ist und zu überlegen, was ich persönlich für den GaG-Podcast am sinnvollsten halte. * '''Phase 1: Bearbeiten von Wikipedia Inhalten:''' Um erst einmal überhaupt mehr Erfahrung mit dem Bearbeiten von Wikipedia-Seiten zu erhalten, habe ich mir zuerst anhand der anderen Podcast-Listen angeschaut, wie man diese erstellt und eine erste Liste für den GaG-Podcast auf dessen Wikipedia-Seite erstellt. Dies noch indem ich die einzelnen Episoden-Informationen von meiner Podcatcher-App in die Tabelle übertragen habe. Das hat soweit alles funktioniert wie es sollte, aber führte innerhalb kürzester Zeit zu zwei Erkenntnissen. Erstens: über 300 Episoden per Hand eintragen ist vielleicht eine tolle Fleißarbeit, aber viel Zeit und Motivation, andere spannende Dinge im Wikiversum zu lernen, bleibt da wohl nicht. Und zweitens gefiel es mir auch nicht diese am Ende dann sehr lange Liste an dieser Stelle zu erstellen. Klar, man kann diese einklappbar machen, aber ich persönlich fand das dann schon ziemlich lästig und unübersichtlich. Wenn man sich nur mal allgemein über den Podcast informieren will, dann nervt es wahrscheinlich eher, mehrere Tabellen einklappen zu müssen oder endlos zu scrollen. Daher folgte ich dem Beispielen andere Episodenlisten und erstellte meine erste eigene Wikipedia-Seite [[w:Geschichten_aus_der_Geschichte_(Podcast)%2FEpisodenliste|Geschichten aus der Geschichte Episodenliste]], die ich dann mit der GaG-Hauptseite verlinkte. Hier war es dann auch viel leichter, die Tabellen übersichtlicher zu gestalten, da ich diese nun Nach Jahren unterteilen und ein Inhaltsverzeichnis zur besseren Navigation einfügen konnte. Ein Wikipedia-User war auch gleich so lieb, mir ein Wiki-Data Objekt für die Liste anzulegen [[Datei:Wikidata.svg|x16px|link=d:Q111831048]] (bis dahin hatte ich überhaupt nicht daran gedacht, dass Items auch zu Listen erstellt werden können) und diese mit meiner Wikipedia-Seite verknüpft, was sehr cool war. Außerdem war es sehr spannend dann später in einer unserer Sitzungen zu lernen, wie man eine der Tabelle entsprechende SPARQL-Query erstellt und diese dem WikiData-Objekt hinzufügt. Als nächstes ging es darum die Inhalte so anzupassen, dass sie * '''Phase 2: OpenRefine, WikiData-Objekte und excel2wiki:''' Da es wie erwähnt, nicht gerade effizient wäre 300+ Episoden per Hand in Wikipedia einzustellen, habe ich mich dafür entschieden, OpenRefine zu nutzen. Den RSS-Feed des Podcasts habe ich von der offiziellen Seite (https://www.geschichte.fm/) eingelesen und dann die Liste mit Items nach meinen Wünschen für die Weiterarbeit angepasst. Dazu gehörten zum einen die Auswahl, von für mich relevanten Listen-Items. Für mich war zum Beispiel nicht wichtig, ob die Episoden bei ITunes mit einem "Explicit"-Tag versehen wurden oder nicht, da dies von mir weder in der Wikipedia-Tabelle, noch in den Wiki-Data Items zu den einzelnen Folgen aufgegriffen wird. Als nächstes ging es darum, die Informationen in den Spalten für die Übertragung aufzubereiten. Beispielsweise musste das Datum in ein passendes Format für WikiData gebracht werden und die Episodendauer von Sekunden im Feed, auf eine Stunden-Minuten Anzeige á la "0:43" für die Wikipedia-Tabelle umgewandelt werden. Für einige der Neueren Episoden beinhaltet der Feed außerdem Schlagworte. Da es sich hier aber um ITunes Schlagworte handelt, fanden sich dort auch einige, die nicht sinnvoll zu übernehmen waren. Etwa die Namen der Autoren oder allgemein das Schlagwort Geschichte. Für die Suche nach einem Geschichtspodcast auf Itunes ergibt dies natürlich Sinn, aber nicht für eine Episodenliste, in der Zusatzinformationen zu erwähnten Themen, Ereignissen und Persönlichkeiten gebildet werden sollen. Ich habe diese also erst einmal bereinigt. Sobald die Tabelle und ihre Inhalte meinen Wünschen entsprach, habe ich diese als Excel-Datei ausgeben lassen und mit dem Tool excel2wiki (https://excel2wiki.toolforge.org/) in eine Wikipedia-Tabelle umwandeln lassen, die ich in meine Episodenlisten-Seite kopiert habe. Bei dieser ersten Version der Tabellen, war die Link Spalte noch nicht vorhanden. Diese habe ich dann erst nach erstellen der einzelnen Wiki-Data Objekte hinzugefügt. Für das Erstellen der WikiData-Objekte habe ich dann die Tabelle noch in einigen Aspekten neu angepasst, zum Beispiel musste die Dauer hier von der Stunden-Minuten-Formatierung, in Minuten umgewandelt werden. Als nächstes habe ich dann in OpenRefine ein WikiData-Schema für die Episoden erstellt und diese dann nach Wiki-Data exportiert. Ich habe mich hierbei übrigens gezielt dafür entschieden, den deutschen Titel auch als englisches Label zu nutzen, da es mir nicht gefiel, sonst nur die numerische ID für die einzelnen Folgen angezeigt zu bekommen. Ich weiß, dass das scheinbar eine etwas kontroverse Vorgehensweise in der WikiData-Community ist. Beim Stöbern habe ich aber sowohl Beispiele gefunden, die das englische Label einfach frei gelassen haben, als auch Beispiele, die es so wie ich machen. Es scheint also keiner festen Regel zu widersprechen. Die Titel selbst auf Englisch zu übersetzen war für mich aber auch keine Option, da sich dies für mich etwas anmaßend angefühlt hätte. Nachdem ich die erste Version meiner WikiData Objekte erstellt hatte, wurde ich dann von einem netten Nutzer darauf hingewiesen, dass einige der Statements, die ich benutzt hatte, nicht wirklich für Podcastformate korrekt seien und die Person hat dann eine Beispiel-Episode für mich mit richtigen Statements angepasst. Ich habe daraufhin mein Schema in OpenRefine verändert, aber bei einem dieser Vorgänge wurden die vorhandenen WikiData Objekte dummerweise nicht überschrieben, sondern stattdessen neue Dubletten dieser erstellt. Ich habe zunächst versucht, die Episoden mit QuickStatements automatisiert zu mergen, aber muss zugeben, dass mir das weder mit dem Wikipedia-Guide, noch dem Anschauen von Youtube-Videos gelungen ist. Ich habe diese daher also nach und nach per Hand gemerged. Immerhin hat das Merge-Helferlein (https://www.wikidata.org/wiki/Help:Merge/de#Das_%E2%80%9EMerge%E2%80%9C-Helferlein), die Sache ein wenig erträglicher gemacht. * '''Phase 3: Themenlinks in Wikipedia und main subjects in WikiData:''' Mein nächstes Ziel war es nun, in der die verschiedenen Episodenthemen in der Episodenliste zu verlinken und den Wikidata-Objekten main subjects hinzuzufügen, um den Podcast im Grunde genommen inhaltlich zu erschließen. Dies ermöglicht dann eine tiefere Auseinandersetzung mit den Themen und auch ein leichteres Stöbern bzw. das schnelle finden besonderer Themen oder Persönlichkeiten im Podcast-Portfolio von Geschichten aus der Geschichte. Um die Episoden sinnvoll zu Verschlagworten, habe ich verschiedene Informationsquellen genutzt. Zum einen, wie bereits beschrieben, die bereinigten Itunes-Keywords aus dem RSS-Feed. Bei vielen Episoden war der Folgentitel bereits ausreichend aussagekräftig, aber einige waren auch eher "kryptisch" formuliert wie etwa "Von Kindern und Kegeln". Hier halfen dann oft der Untertitel oder zumindest die Shownotes auf der Homepage des Podcasts weiter. In einigen Fällen musste ich aber auch einfach nochmal selbst in den Podcast reinhören. Als nächstes habe ich dann main subjects für die einzelnen Wikidata-Objekte angelegt. Dies war mit einer der langwierigsten Aufgaben. Zum Teil konnte ich hier natürlich bereits die Themen aus der Episodenliste übernehmen, aber ich wollte bei den Wikidata-Objekten noch zusatzliche Inhalte verschlagworten, die später für SPARQL Queries interessant sein könnten. Ich wollte es ermöglichen, die Episodeninhalte zeitlich und geographisch suchbar zu machen und diese auch dementsprechend darzustellen. In der Geschichtswissenschaft, lässt sich oft (wenn auch ungewollt), noch ein gewisser Eurozentrismus oder ein Fokus auf westlich geprägte (da es die USA etc. einschließt) Kulturen, feststellen. Dies liegt einerseits daran, das wir als Menschen aus diesem Kulturkreis, schon mehr kennen oder von gewissen Dingen wenigstens schon einmal im Ansatz etwas gehört haben. Als Podcaster fallen einem da natürlich schneller Themen ein, die interessant sein könnten, während man bei einer komplett fremden Kultur erst einmal nach diesen Recherchieren muss. Außerdem ist gibt es auch in der heutigen Zeit noch Sprachbarrieren zu überwinden. Tendienziell finden sich deutlich mehr deutsch/englische Publikationen, zu Europa und Amerika betreffenden Themen, als anderen Teilen der Welt und daher ist der Zugang zu diesen auch deutlich einfacher. So entstehen oftmals ungewollt "blinde Flecken". Ich fand es daher spannend, sich anschauen zu können, wie etwa die geographische Verteilung von besprochenen Themen ist. Wie oft wird etwa ein Thema aus einem asiatischen Kulturkreis im Vergleich besprochen? Über die Geschichte welcher Länder haben wir im Podcast bisher besonders viel gelernt und welche kamen bisher überhaupt noch nicht vor? Daher habe ich in den main subjects zeitliche und geographische Daten hinzugefügt. Das war natürlich mal besser und mal schlechter möglich. Nicht alle Episoden beschäftigen sich mit einem Thema, dass zeitlich oder geographisch genau festlegbar ist. Etwa weil es sich um langanhaltende geschichtliche Prozesse handelte oder weil es nicht auf einen oder wenige Orte beschränkt war. * '''Phase 4: Übersetzungen aus der englischsprachigen Wikipedia:''' Natürlich war es nicht immer möglich, für jedes Thema bereits einen Wikipedia-Artikel zum verlinken zu finden. Oft lag das auch daran, dass es in Deutschland nicht so bekannte Themen sind, man aber durchaus Artikel in anderssprachigen (vor allem der englischen Wikipedia) findet. Ich habe mich daher mit dem Übersetzungstool von Wikipedia vertraut gemacht. So habe ich etwa die den Wikipedia-Artikel für [[w:Erwin_Kreuz|Erwin Kreuz]] überetzt. Das hat mir muss ich sagen, sehr viel Spaß gemacht, da die Übersetzungs-Seite wirklich sehr angenehm und komfortable zu nutzen ist. Etwa was das Übernehmen von Layouts, Bildern, Informationsboxen usw. angeht. Außerdem war es für mich, in Anbetracht meiner zeitlichen Kapazitäten, deutlich sinnvoller, bereits bestehende Artikel zu übersetzen, als selbst einen komplett neuen Artikel mit Quellen und Belegen von Grund auf neu zu schreiben. * '''Phase 5: SPARQL Queries und Informationsauswertung:''' Anhand der ausführlichen Wikidata main subjects konnte ich nun mit verschiedenen SPARQL-Queries experimentieren. Zunächst habe ich mit einer sehr simplen Abfrage einen Überblick über die vergebenen Schlagworte erhalten (https://w.wiki/5Y$7). Durch das Hinzufügen der Count-Funktion, ließ sich dann feststellen, welche Schlagworte besonders häufig vorkommen (https://w.wiki/5Kw3) und dies auf verschiedene Art und Weise graphisch darstellen. [[Datei:Bubble_gggggg.jpg|center|800px]] Hier sieht man noch alle Schlagworte ungefiltert, aber man sieht bereits, dass die Vermutung, dass öfter Themen aus dem westlichen Kulturraum auftreten, gar nicht so falsch war. Die Vereinigten Staaten und europäische Orte treten besonders häufig auf. Auch die Dominanz des Schlagwortes Wien ist recht naheliegend, da die beiden Podcaster in Wien studiert haben und einer der beiden auch immer noch dort lebt. Zudem erkennt man auch gleich, dass Themen aus der neueren Geschichte öfter vorkommen als altgeschichtliche oder archäologische Themen. Nach Schlagwortkategorien sähe das ganze übrigens so aus: [[Datei:Themenfgdfgdfsgsdg.jpg|center|800px]] ==> https://query.wikidata.org/embed.html#%23defaultView%3ABubbleChart%0ASELECT%20%3FinstanceOfLabel%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20AS%20%3Fcount)%0AWHERE%0A%7B%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP179%20wd%3AQ63386294.%0A%20%20%3Fitem%20wdt%3AP921%20%3Fthema.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Fthema%20wdt%3AP31%20%3FinstanceOf.%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20SERVICE%20wikibase%3Alabel%20%7B%20bd%3AserviceParam%20wikibase%3Alanguage%20%22%5BAUTO_LANGUAGE%5D%2Cde%2Cen%22%20%7D%0A%7D%0AGROUP%20BY%20%3FinstanceOfLabel%0AHAVING%20(COUNT(%3FinstanceOfLabel)%20%3E%202)%0AORDER%20BY%20DESC(%3Fcount) Mit diesen Anfragen kann man dann natürlich noch weiter spielen und filtern. Also etwa nur nach geographischen Orten und sich diese zum Beispiel auf einer Weltkarte anzeigen lassen. === Erwähnenswertes === '''* Auswahl eines übersetzten Artikels für "Schon gewusst?"''' Nachdem ich den Artikel für Erwin Kreuz übersetzt hatte, wurde mir vorgeschlagen, diesen für den "Schon gewusst?"-Bereich auf der Wikipedia-Hauptseite vorzuschlagen. In dieser Rubrik sollen neue Artikel, die ansonsten vielleicht nicht viel Beachtung erhalten, vorgestellt werden. Die Diskussions-Seite für "Schon gewusst?" findet man übrigens hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia_Diskussion:Hauptseite/Schon_gewusst Ich hatte mir vorher überhaupt noch keine Gedanken darüber gemacht, wie die Artikel für die Hauptseite ausgewählt werden und fand es sehr spannend zu sehen, wie die Community gemeinsam darüber entscheidet. Und gerade für mich als Wikipedia-Neuling, war es natürlich ein tolles Feedback und eine große Motivation zu sehen, dass das, was ich mache gesehen und meine Arbeit unterstützt wird. Am 11. Juli war es dann soweit und Erwins Geschichte wurde bei "Schon gewusst?" gefeatured. [[Datei:Erwin_Kreuz_bei_"Schon_gewusst?".jpg|1200px]] Wirklich nett war auch die Rückmeldung, dass über 43.000 Seitenaufrufe stattgefunden hatten. Für mich wirklich eine enorme Menge. Und damit auch bei weitem der von mir mitbearbeitete Artikel mit den meisten Aufrufen. [[Datei:Erwin Kreuz Feedback.jpg|center|mini]] '''* Kontakt zu den Podcastern''' https://www.geschichte.fm/archiv/fgag02/ ... === Fazit / Reflexion === [...] * Hilfe der Wiki-Community [[Datei:Einfluss Schlobido.jpg|center]] __NOTOC__ kcrab04ywcz59iphsiwds42pc6antib 106 140578 748953 748467 2022-08-10T21:33:53Z SchallenderRauch 36315 /* Planung */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> ==== Planungsphase 1 ==== <div style="text-align:justify;">Persönlicher Mehrwert, des Projektes, neben dem Erlernen verschiedener Techniken im Zusammenhang mit Wikiprojekten, sollte sein sich mit den Texten der ZfS zu befassen. Eine Originalausgabe der ZfS in den Händen zu halten und haptisch zu erfahren war ein nicht zu vernachlässigendes Motiv, nach Originalausgaben der ZfS zu recherchieren um in Erfahrung zu bringen ob eine Bibliothek im Stuttgarter Umfeld diese Ausgaben besitzt. Ziel war es eigene Scans der Originale anzufertigen, da frei online verfügbaren Scans von archive.org auf der Grundlage eines photomechanischen Nachdrucks von 1980 <ref>Horkheimer, M. & Institut Für Sozialforschung (Frankfurt Am Main, G. (1980). Zeitschrift für Sozialforschung. Deutscher Taschenbuch Verlag.</ref> erstellt wurden, also Abbilder eines Abbildes waren. Die Ausgaben des KIM Hohenheim erwiesen sich leider als Reprint daher wurde von der Erstellung eigener Lichtbilder abgesehen und die oben genannten bereits verfügbaren Scans verwendet. Zur Rechtslage des Downloads der Dateien von archive.org und des Uploads auf Wikicommons wurde Bezug auf § 68 UrhG genommen „Vervielfältigungen gemeinfreier visueller Werke werden nicht durch verwandte Schutzrechte nach den Teilen 2 und 3 geschützt.“ <ref>{{Internetquelle |url= https://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__68.html|titel=§ 68 UrhG(2021)|abruf=2022-08-10 }}</ref> === Umsetzung === <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === <div style="text-align:justify;"></div> === Ausblick === <div style="text-align:justify;"></div> * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum 3n99nalwhr23dojr2eop56nnt829buy 748954 748953 2022-08-10T21:54:22Z SchallenderRauch 36315 /* Planungsphase 1 */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> ==== Planungsphase 1 ==== <div style="text-align:justify;">Persönlicher Mehrwert, des Projektes, neben dem Erlernen verschiedener Techniken im Zusammenhang mit Wikiprojekten, sollte sein sich mit den Texten der ZfS zu befassen. Eine Originalausgabe der ZfS in den Händen zu halten und haptisch zu erfahren war ein nicht zu vernachlässigendes Motiv, nach Originalausgaben der ZfS zu recherchieren um in Erfahrung zu bringen ob eine Bibliothek im Stuttgarter Umfeld diese Ausgaben besitzt. Ziel war es eigene Scans der Originale anzufertigen, da frei online verfügbaren Scans von archive.org auf der Grundlage eines photomechanischen Nachdrucks von 1980 <ref>Horkheimer, M. & Institut Für Sozialforschung (Frankfurt Am Main, G. (1980). Zeitschrift für Sozialforschung. Deutscher Taschenbuch Verlag.</ref> erstellt wurden, also Abbilder eines Abbildes waren. Die Ausgaben des KIM Hohenheim erwiesen sich leider als Reprint daher wurde von der Erstellung eigener Lichtbilder abgesehen und die oben genannten bereits verfügbaren Scans verwendet. Zur Rechtslage des Downloads der Dateien von archive.org und des Uploads auf Wikicommons wurde Bezug auf § 68 UrhG genommen „Vervielfältigungen gemeinfreier visueller Werke werden nicht durch verwandte Schutzrechte nach den Teilen 2 und 3 geschützt“ <ref>{{Internetquelle |url= https://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__68.html|titel=§ 68 UrhG(2021)|abruf=2022-08-10 }}</ref>. Die Klärung der Verfügbarkeiten der benötigten Dateien bildeten das Ende dieser ersten Planungsphase. Zum Umfang des Projektes wurde bewusst keine Zielvorgabe gemacht, da das Gesamtprojekt, die Erschließung aller gemeinfreien Aufsätze aus der ZfS über das Semester hinausgehen würde und als Hobbyprojekt weitergeführt werden sollte. Zudem war die Lehrveranstaltung so aufgebaut, dass mit dem Kennenlernen neuer Methoden sich bezüglich des übergeordneten Ziels, Editieren im Wikiversum, neue Aufgabenfelder ergeben könnten, die mit in das Semesterprojekt einfließen könnten. Die Reihenfolge der Transkriptionen sollte chronologisch erfolgen, eine solche Systematik wäre für eventuelle Nutzer nachvollziehbar und wirkt der Gefahr entgegen sich zuerst die „Sahnestückchen“ herauszusuchen und danach mit nachlassender Motivation kämpfen zu müssen. </div> === Umsetzung === <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === <div style="text-align:justify;"></div> === Ausblick === <div style="text-align:justify;"></div> * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum bhf6bp4l03ik0abxy4h72pnljz2jvyt 748955 748954 2022-08-10T22:15:41Z SchallenderRauch 36315 /* Planung */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> ==== Planungsphase 1 ==== <div style="text-align:justify;">Persönlicher Mehrwert, des Projektes, neben dem Erlernen verschiedener Techniken im Zusammenhang mit Wikiprojekten, sollte sein sich mit den Texten der ZfS zu befassen. Eine Originalausgabe der ZfS in den Händen zu halten und haptisch zu erfahren war ein nicht zu vernachlässigendes Motiv, nach Originalausgaben der ZfS zu recherchieren um in Erfahrung zu bringen ob eine Bibliothek im Stuttgarter Umfeld diese Ausgaben besitzt. Ziel war es eigene Scans der Originale anzufertigen, da frei online verfügbaren Scans von archive.org auf der Grundlage eines photomechanischen Nachdrucks von 1980 <ref>Horkheimer, M. & Institut Für Sozialforschung (Frankfurt Am Main, G. (1980). Zeitschrift für Sozialforschung. Deutscher Taschenbuch Verlag.</ref> erstellt wurden, also Abbilder eines Abbildes waren. Die Ausgaben des KIM Hohenheim erwiesen sich leider als Reprint daher wurde von der Erstellung eigener Lichtbilder abgesehen und die oben genannten bereits verfügbaren Scans verwendet. Zur Rechtslage des Downloads der Dateien von archive.org und des Uploads auf Wikicommons wurde Bezug auf § 68 UrhG genommen „Vervielfältigungen gemeinfreier visueller Werke werden nicht durch verwandte Schutzrechte nach den Teilen 2 und 3 geschützt“ <ref>{{Internetquelle |url= https://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__68.html|titel=§ 68 UrhG(2021)|abruf=2022-08-10 }}</ref>. Die Klärung der Verfügbarkeiten der benötigten Dateien bildeten das Ende dieser ersten Planungsphase. Zum Umfang des Projektes wurde bewusst keine Zielvorgabe gemacht, da das Gesamtprojekt, die Erschließung aller gemeinfreien Aufsätze aus der ZfS über das Semester hinausgehen würde und als Hobbyprojekt weitergeführt werden sollte. Zudem war die Lehrveranstaltung so aufgebaut, dass mit dem Kennenlernen neuer Methoden sich bezüglich des übergeordneten Ziels, Editieren im Wikiversum, neue Aufgabenfelder ergeben könnten, die mit in das Semesterprojekt einfließen könnten. Die Reihenfolge der Transkriptionen sollte chronologisch erfolgen, eine solche Systematik wäre für eventuelle Nutzer nachvollziehbar und wirkt der Gefahr entgegen sich zuerst die „Sahnestückchen“ herauszusuchen und danach mit nachlassender Motivation kämpfen zu müssen. </div> ==== Planungsphase 2 ==== <div style="text-align:justify;"> Eine Zweite Planungsphase ergab sich aus der während des Semesters gelernten neuen Techniken. Der seit Januar 2022 gelaunchte Dienst OpenAlex bietet die Möglichkeit über eine API die gesamten Titel der Aufsätze und Reviews der ZfS mit einigen Metadaten als JSON-file herunterzuladen. Dies ermöglichte eine Bearbeitung in OpenRefine um von dort aus automatisiert Datenobjekte und Metadaten in Wikidata zu erzeugen. Hier bezog sich die Planung hauptsächlich auf das Vorbereiten der Daten in OpenRefine und überschnitt sich somit mit der Umstzungsarbeit. </div> === Umsetzung === <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === <div style="text-align:justify;"></div> === Ausblick === <div style="text-align:justify;"></div> * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum dv8lx9jnhzs4py28ersf2l4sp0dyyqv 748956 748955 2022-08-10T23:00:54Z SchallenderRauch 36315 /* Umsetzung */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> ==== Planungsphase 1 ==== <div style="text-align:justify;">Persönlicher Mehrwert, des Projektes, neben dem Erlernen verschiedener Techniken im Zusammenhang mit Wikiprojekten, sollte sein sich mit den Texten der ZfS zu befassen. Eine Originalausgabe der ZfS in den Händen zu halten und haptisch zu erfahren war ein nicht zu vernachlässigendes Motiv, nach Originalausgaben der ZfS zu recherchieren um in Erfahrung zu bringen ob eine Bibliothek im Stuttgarter Umfeld diese Ausgaben besitzt. Ziel war es eigene Scans der Originale anzufertigen, da frei online verfügbaren Scans von archive.org auf der Grundlage eines photomechanischen Nachdrucks von 1980 <ref>Horkheimer, M. & Institut Für Sozialforschung (Frankfurt Am Main, G. (1980). Zeitschrift für Sozialforschung. Deutscher Taschenbuch Verlag.</ref> erstellt wurden, also Abbilder eines Abbildes waren. Die Ausgaben des KIM Hohenheim erwiesen sich leider als Reprint daher wurde von der Erstellung eigener Lichtbilder abgesehen und die oben genannten bereits verfügbaren Scans verwendet. Zur Rechtslage des Downloads der Dateien von archive.org und des Uploads auf Wikicommons wurde Bezug auf § 68 UrhG genommen „Vervielfältigungen gemeinfreier visueller Werke werden nicht durch verwandte Schutzrechte nach den Teilen 2 und 3 geschützt“ <ref>{{Internetquelle |url= https://www.gesetze-im-internet.de/urhg/__68.html|titel=§ 68 UrhG(2021)|abruf=2022-08-10 }}</ref>. Die Klärung der Verfügbarkeiten der benötigten Dateien bildeten das Ende dieser ersten Planungsphase. Zum Umfang des Projektes wurde bewusst keine Zielvorgabe gemacht, da das Gesamtprojekt, die Erschließung aller gemeinfreien Aufsätze aus der ZfS über das Semester hinausgehen würde und als Hobbyprojekt weitergeführt werden sollte. Zudem war die Lehrveranstaltung so aufgebaut, dass mit dem Kennenlernen neuer Methoden sich bezüglich des übergeordneten Ziels, Editieren im Wikiversum, neue Aufgabenfelder ergeben könnten, die mit in das Semesterprojekt einfließen könnten. Die Reihenfolge der Transkriptionen sollte chronologisch erfolgen, eine solche Systematik wäre für eventuelle Nutzer nachvollziehbar und wirkt der Gefahr entgegen sich zuerst die „Sahnestückchen“ herauszusuchen und danach mit nachlassender Motivation kämpfen zu müssen. </div> ==== Planungsphase 2 ==== <div style="text-align:justify;"> Eine Zweite Planungsphase ergab sich aus der während des Semesters gelernten neuen Techniken. Der seit Januar 2022 gelaunchte Dienst OpenAlex bietet die Möglichkeit über eine API die gesamten Titel der Aufsätze und Reviews der ZfS mit einigen Metadaten als JSON-file herunterzuladen. Dies ermöglichte eine Bearbeitung in OpenRefine um von dort aus automatisiert Datenobjekte und Metadaten in Wikidata zu erzeugen. Hier bezog sich die Planung hauptsächlich auf das Vorbereiten der Daten in OpenRefine und überschnitt sich somit mit der Umstzungsarbeit. </div> === Umsetzung === ==== Einfach mal loslegen ==== <div style="text-align:justify;"></div> ==== Projekt anmelden ==== <div style="text-align:justify;"></div> ==== gestalterische Überlegungen ==== <div style="text-align:justify;"></div> ==== Metadaten erfassen und verlinken ==== <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === <div style="text-align:justify;"></div> === Ausblick === <div style="text-align:justify;"></div> * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum 7q1k1zywfgy8q40tfazwd5ffbj8pomo 0 140860 749018 744260 2022-08-11T09:58:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kompakte| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |zusammenhängende| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Fläche| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Geschlecht| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=.}} Es sei {{math|term= D |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Divisor| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=}} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Divisor riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3 |SZ=}} und sei {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|X|D}} |SZ=}} die zugehörige {{ Definitionslink |Prämath= |invertierbare Garbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass {{mathl|term= {{op:Schnitte|X|{{op:Getwistete Strukturgarbe|X|D}}}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 3 |SZ=}} besitzt. |Es sei {{mathl|term= x,y,z |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Schnitte|X|{{op:Getwistete Strukturgarbe|X|D}}}} |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass es in {{mathl|term= {{op:Schnitte|X|{{op:Getwistete Strukturgarbe|X|3 D}}}} |SZ=}} eine nichttriviale Beziehung zwischen den Monomen in {{math|term= x,y,z |SZ=}} vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} geben muss. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf einer kompakten riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74c7sfkog3ogfei4vlpzcodxznlli7a 0 140944 749017 744498 2022-08-11T09:53:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abb |name= \gamma |[0,1]|X || |SZ= }} ein stetiger Weg mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(0) || Q || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \gamma(1) || P || || || |SZ= }} und sei {{math|term= g |SZ=}} ein Keim in {{math|term= P |SZ=,}} der durch {{ Definitionslink |Prämath= |analytische Fortsetzung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} längs {{math|term= \gamma |SZ=}} aus {{math|term= f_Q |SZ=}} entsteht. Dann gibt es eine Unterteilung {{ Ma:Vergleichskette |0 ||t_0 |<|t_1 |<| \ldots |<|t_{n-1} |<|t_n ||1 |SZ=, }} zusammenhängende offene Mengen {{ Ma:Vergleichskette |U_i |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma( [t_{i-1}, t_{i} ] |\subseteq|U_i || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphe Funktionen| |Kontext=riemannsche Fläche| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |f_i |\in| {{op:SchnittringX|U_i|}} || || || |SZ= }} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette |f_1 ||f_Q || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette |f_n ||g || || || |SZ= }} und {{ mathkor|term1= f_i |und|term2= f_{i+1} |SZ= }} in einer offenen Umgebung von {{mathl|term= \gamma(t_i) |SZ=}} übereinstimmen. Wir zeigen durch Induktion nach {{math|term= i |SZ=,}} dass {{math|term= f_i |SZ=}} mit {{math|term= f {{|}}_{U_i} |SZ=}} übereinstimmt. Aufgrund des Zusammenhangs und des Identitätssatzes genügt es, die Übereinstimmung im Halm eines Punktes nachzuweisen. Daher ergibt sich der Induktionsschritt direkt aus der Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | f_{i+1, \gamma(t_i)} || f_{i, \gamma(t_i) } || f_{\gamma(t_i)} || || |SZ=, }} der Induktionsanfang ist unmittelbar erfüllt. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fu71qyfbj048czi9kmalgaukbx07lj 0 142028 748948 748486 2022-08-10T17:53:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | N |\in| \N_+ || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{imaginäre Einheit}} |N}} } || || || |SZ= }} die {{math|term= N |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter der {{math|term= N |SZ=-}}ten {{ Definitionswort |Prämath= |Fourier-Matrix| |msw=Fourier-Matrix |SZ= }} versteht man die {{math|term= N \times N |SZ=-}}Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_N || {{makl| \zeta^{j \cdot k} |}}_{0 \leq j,k \leq N-1} || {{op:Matrix55|1|1|1| \ldots|1|1|\zeta|\zeta^2|\ldots|\zeta^{N-1}|1 |\zeta^2| \zeta^4|\ldots| \zeta^{2 (N-1)}|\vdots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|1|\zeta^{N+1}|\zeta^{2(N+1)}| \ldots|\zeta^{(N+1)(N+1)} }} || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Fourier-Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fourier-Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsft71qzxz4gwfuv7lyc1a069ieyce8 0 142031 748949 748519 2022-08-10T17:54:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Komplexe Einheitswurzel/N/Fourier-Matrix/Definition|| }} Entscheidend sind dabei für die Exponenten die Restklassen {{math|term= j \cdot k \mod N |SZ=.}} Es handelt sich um eine symmetrische Matrix. Die ersten Fourier-Matrizen sind {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_1 || (1) || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_2 || {{op:Matrix22|1|1|1|-1}} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_3 || {{op:Matrix33|1|1|1|1|\zeta_3|\zeta_3^2|1|\zeta_3^2|\zeta }} || {{op:Matrix33|1|1|1|1| {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} | {{op:Bruch|-1 - \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} |1| {{op:Bruch|-1 - \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} | {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} }} || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_4 || {{op:Matrix44|1|1|1|1|1| {{imaginäre Einheit|}} |-1| - {{imaginäre Einheit|}} |1|-1|1|-1|1|- {{imaginäre Einheit|}} |-1| {{imaginäre Einheit|}} }} || || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt|Lemma|| || }} Für einen Vektor {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| {{CC|}}^N || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= {{op:Bruch|1|N}} {{op:Komplexe Konjugation|F_N|y}} y |SZ=}} die {{Stichwort|diskrete Fourier-Transformation|msw=|SZ=}} von {{math|term= y |SZ=,}} das Ergebnis nennt man den {{Stichwort|Fourier-Vektor|msw=|SZ=}} zu {{math|term= y |SZ=,}} und für einen {{ Zusatz/Klammer |text=Spektral| |ISZ=|ESZ=- }}Vektor {{ Ma:Vergleichskette | c |\in| {{CC|}}^N || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= F_Nc |SZ=}} die {{Stichwort|inverse diskrete Fourier-Transformation|msw=|SZ=}} von {{math|term= c |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind diese beiden linearen Operationen invers zueinander. Die Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | y || F_N c || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | c || {{op:Bruch|1|N}} {{op:Komplexe Konjugation|F_N|}} y || || || |SZ= }} nennt man die Fourier-Summe oder Fourier-Darstellung für {{math|term= y |SZ=.}} Im gegebenen Kontext sind zu einem Vektor {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| {{CC|}}^N || || || |SZ= }} die Koeffizienten {{math|term= y_j |SZ=}} für beliebige Indizes {{ Ma:Vergleichskette | j |\in| \N || || || |SZ= }} als {{math|term= y_{j \mod N} |SZ=}} mit dem kanonischen Vertreter zwischen {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= N-1 |SZ=}} zu verstehen. Dies gilt insbesondere in der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Vektoren/C^N/Periodische Faltung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Matrix/Periodische Faltung/Produkt/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fourier-Matrizen |Kategorie2=Theorie der diskreten Fourier-Transformation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cfomvi4x5pqprfh8v0pq40j33ehkzgw 0 142059 748791 2022-08-10T14:10:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=lineare Abhängigkeit|Anf=Li| |Siehe=linear unabhängig |Ziel=/Definition }} 41ve0ob3c76ub4wlbi5bk4cd0mkffec 0 142060 748794 2022-08-10T14:14:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=dimensionale (Mfkt)|Anf=Di| |Siehe=Dimension (Mfkt) |Ziel=/Definition }} tdf4rmojp79pjp6wgpspv94terlf5t7 0 142061 748795 2022-08-10T14:14:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=orientierte (Mfkt)|Anf=Or| |Siehe=orientiert (Mfkt) |Ziel=/Definition }} 3l03kjvabjzpnszkym5ooil9nbj8c71 0 142062 748796 2022-08-10T14:15:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=orientiert (Mfkt)|Anf=Or| |Siehe= |Ziel=Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Orientiert/Definition }} rdyw5wcu22s37khr3qyqn6jwoo2boc3 0 142063 748989 2022-08-11T07:54:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Normen (vr)|Anf=No| |Siehe=Norm (vr) |Ziel=/Definition }} 9mbv8wvp1xgaxh5fnrtw0yxetaflhlb 106 142064 749014 2022-08-11T09:35:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{latex|Kurs:Riemannsche_Flächen/1/Klausur}} 7mmqf2jxsxj70tu1vof4pu9gvh1awom 106 142065 749015 2022-08-11T09:35:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{latex|Kurs:Riemannsche_Flächen/2/Klausur}} 5p1zx8cja16tkyzxrpst4snb2f0ouy8 106 142066 749016 2022-08-11T09:36:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{latex|Kurs:Riemannsche_Flächen/3/Klausur}} rsklyfqepuztuyxhner5zzq16vaoy8w 0 142067 749029 2022-08-11T11:11:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Natural numbers|svg|500px {{!}} right {{!}} |Text=Der natürliche Zahlenstrahl, die Gerade hat im Moment noch keine eigenständige Bedeutung. In diesem Zählmodell bedeutet das Zählen, um eine Schrittlänge nach rechts zu gehen. Die Beschriftung mit den Dezimalzahlen gibt die Identifizierung mit einem anderen Zählmodell. |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir halten die folgenden Eigenschaften eines sinnvollen Zählens fest. {{ Aufzählung5 |Es gibt ein Startelement, mit dem man das Zählen anfängt. |Zu jeder Zahl gibt es eine eindeutig bestimme Nachfolgerzahl. |Das Startelement ist selbst kein Nachfolger. |Jede Zahl, die nicht das Startelement ist, besitzt einen eindeutig bestimmten Vorgänger. |Durch Zählen erhält man ausgehend vom Startelement früher oder später alle Zahlen. }} {{ inputbild |NachfolgermitSchleife|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Welche Eigenschaft erfüllt dieses {{Anführung|Zählsystem}} nicht? |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Damit schließen wir insbesondere aus, dass man im Kreis zählt, wie beispielsweise mit den Wochentagen Montag, Dienstag, ..., Sonntag, Montag. Da hat jeder Tag einen eindeutig bestimmten Vorgängertag und es gibt kein Startelement ohne Vorgänger. Die letzte Eigenschaft stellt sich, dass man keine unnötigen Zahlen mitschleppt, die für das Zählen nicht gebraucht werden. Eine solche Zählmenge nennen wir ein Modell der natürlichen Zahlen oder schlicht natürliche Zahlen. Unabhängig vom Modell bezeichnen wir zu {{math|term= n |SZ=}} den Nachfolger als {{math|term= n^\prime |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=später auch mit {{math|term= n+1 |SZ=,}} im Moment haben wir aber die Addition noch nicht eingeführt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir treffen noch eine wichtige Vereinbarung über das Startelement. In den Beispielen oben hatten wir das Zählen mit einem {{math|term= 1 |SZ=-}}ähnlichen Symbol begonnen. Von den soeben fixierten Eigenschaften ist die Bezeichnung des Startelements unerheblich. Im Folgenden werden wir allerdings die Zahlen dazu verwenden, Anzahlen von endlichen Mengen auszudrücken, also zu zählen in einem weiteren Sinne. Da es auch die leere Menge gibt, werden wir daher das Startelement {{math|term= 0 |SZ=}} nennen und den Nachfolger davon {{ Ma:Vergleichskette/disp | 0' || 1 || || || |SZ=. }} Für uns ist also {{math|term= 0 |SZ=}} eine natürliche Zahl. Gründe dafür werden wir schon heute kennen lernen. Die natürlichen Zahlen werden mit {{math|term= \N |SZ=}} bezeichnet, die Menge der positiven natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit {{math|term= \N_+ |SZ=,}} da gehört die {{math|term= 0 |SZ=}} nicht dazu. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ktp2btlvw4f19yydw6u6sln064zdkli 0 142068 749031 2022-08-11T11:18:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Ma:abb |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x |SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1|M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2|M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Ma:Vergleichskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Ma:Vergleichskette/disp | L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term=x|SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term=F(x)|SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term= F(3) |SZ=}} als {{math|term= a |SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung dieser Menge, da {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= f |SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term= M |SZ=}} eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term= i |SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Ma:Vergleichskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(i) || F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} erfassen. Es kann also Elemente {{ Ma:Vergleichskette | m |\in| M || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term= i |SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(i) | \neq| m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} left {{!}} |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Ma:abbele/disp |name= |\N|\N |x|x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |F(x) ||y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| M || || || |SZ= }} mindestens eine Lösung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| M || || || |SZ= }} maximal eine Lösung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{mathl|term=y \in M|SZ=}} genau eine Lösung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Ma:Vergleichskette | F(x) || F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Ma:Vergleichskette | x || x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Ma:Vergleichskette | x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Ma:Vergleichskette | F ( x) |\neq|F ( x' ) || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass wenn {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dass dann {{ Ma:Vergleichskette/disp |n ||k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Anzahl/Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Ma:abb/disp |name= |\{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \}| M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term={{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Ma:abb/disp |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=}} für irgendein {{math|term= n |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ig3kas8r9qqk4e2b5025xcd1kmrhmq4 0 142069 749036 2022-08-11T11:25:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |New Animation Sieve of Eratosthenes|gif|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das {{Stichwort|Sieb des Eratosthenes}} liefert eine einfache Methode, eine Liste von Primzahlen unterhalb einer bestimmten Größe {{math|term= k |SZ=}} zu erstellen. Man streicht einfach die echten Vielfachen der kleinen {{ Zusatz/Klammer |text=kleiner als oder gleich {{math|term= \sqrt{k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} schon etablierten Primzahlen durch, die verbleibenden Zahlen sind prim. |Autor= |Benutzer=M.qrius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ=, }} und die müssen verschieden sein. {{math|term= 1 |SZ=}} ist also keine Primzahl. Eine Zahl {{math|term= \geq 2 |SZ=,}} die keine Primzahl ist, heißt {{Stichwort|zusammengesetzt|msw=Zusammengesetzte Zahl|SZ=.}} Die ersten Primzahlen sind {{mathl|term= 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, {{ldots}} |SZ=.}} Für eine Primzahl {{math|term=p|SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gilt folgende Alternative: Entweder teilt {{math|term= p |SZ=}} die Zahl {{math|term= n |SZ=,}} oder aber {{ mathkor|term1= p |und|term2= n |SZ= }} sind teilerfremd. Ein gemeinsamer Teiler muss ja ein Teiler von {{math|term= p |SZ=}} sein, und da kommen nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= p |SZ= }} in Frage. Ein wichtiger Satz ist der Satz über die eindeutige Primfaktorzerlegung. Eine einfache Version davon ist der folgende Satz. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt|Satz|| || }} Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} beispielsweise findet man den Primfaktor {{math|term=3|SZ=}} und kann daher {{ Ma:Vergleichskette | 105 || 3 \cdot 35 || || || |SZ= }} schreiben. Für {{math|term= 35 |SZ=}} hat man die Zerlegung {{ Ma:Vergleichskette | 35 || 5 \cdot 7 || || || |SZ= }} und man erhält {{ Ma:Vergleichskette/disp | 105 || 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Wenn man mit dem Primfaktor {{math|term= 5 |SZ=}} startet, so ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette | 105 || 5 \cdot 21 || 5 \cdot 3 \cdot 7 || || |SZ=, }} insgesamt kommen also die gleichen Primfaktoren vor. Gelegentlich betrachten wir die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | 1 || 1 || || || |SZ= }} als die Primfaktorzerlegung der {{math|term= 1 |SZ=,}} hier tritt jeder Primfaktor mit dem Exponenten {{math|term= 0 |SZ=}} auf, das leere Produkt ist {{math|term= 1 |SZ=.}} Wir werden später in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zeigen, dass die Primfaktorzerlegung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist, was keineswegs selbstverständlich ist, einiger Vorbereitungen bedarf und am besten innerhalb der ganzen Zahlen bewiesen wird. Der folgende Satz wird Euklid zugeschrieben. {{ inputbild |Euklid-von-Alexandria 1|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} |epsname=Euklid-von-Alexandria_1 |Text=[[w:Euklid|Euklid (4. Jahrhundert v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Luestling |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.bath.ac.uk/~ma1dp/Biography.html }} {{ inputfaktbeweis1 |Primzahlen/Unendlich viele/Fakt|Satz|zusatz2=&nbsp; {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Teilerbeziehung/Differenz/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} |zusatz3=Dies ist ein Widerspruch, da ein {{math|term= p_i |SZ=}} nicht gleichzeitig ein Teiler und kein Teiler von {{math|term= N |SZ=}} sein kann. Also muss die Annahme {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die Endlichkeit der Primzahlmenge| |ISZ=|ESZ= }} falsch gewesen sein. || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primzahlen |Kategorie2=Die Unendlichkeit der Primzahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l9r9h4t5nw52hf1acfawjhwmyw7jdbq 14 142070 749038 2022-08-11T11:26:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Die Unendlichkeit der Primzahlen| ||}} 7j3omso7mq0f40vy751z74kr0wu3e70 0 142071 749040 2022-08-11T11:35:58Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die folgende {{Stichwort|allgemeine binomische Formel}} oder {{Stichwort|binomischer Lehrsatz|SZ=}} bringt die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung in einem kommutativen Halbring und insbesondere für die natürlichen Zahlen miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| || }} Den vorstehenden Satz kann man sich auch folgendermaßen klar machen. Beim Ausmultiplizieren von {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+b)^n || \underbrace{ (a+b) \cdot (a+b) \cdots (a+b) }_{n\text{-fach } } || || || |SZ= }} muss jeder Summand {{ Faktlink |Präwort=gemäß dem|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem Faktor| |ISZ=|ESZ= }} mit jedem Summanden multipliziert werden. Für jedes Teilprodukt muss man sich bei jedem Faktor entscheiden, ob man den vorderen Summanden {{math|term= a |SZ=}} oder den hinteren Summanden {{math|term= b |SZ=}} nimmt. Die einzelnen Produkte haben die Form {{mathl|term= a^k b^{n-k} |SZ=,}} wobei {{math|term= k |SZ=}} die Anzahl der Faktoren ist, bei denen {{math|term=a|SZ=}} gewählt wurde und {{math|term= n-k |SZ=}} die Anzahl der Faktoren ist, bei denen {{math|term= b |SZ=}} gewählt wurde. Wenn man {{math|term=k|SZ=}} fixiert, so kann man sich fragen, auf wie viele Arten das Produkt {{mathl|term= a^k b^{n-k} |SZ=}} zustande kommen kann. Eine solche Möglichkeit ist dadurch gegeben, dass man unter den {{math|term=n|SZ=}} Faktoren bestimmt, an welchen von ihnen {{math|term= a |SZ=}} gewählt wird. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der {{math|term=k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= {{Menge1n}} |SZ=,}} also gleich {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7slwlz9jmsl3j27v2868rrg4234fnkb 749042 749040 2022-08-11T11:37:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 230px {{!}} right {{!}} |epsname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die folgende {{Stichwort|allgemeine binomische Formel}} oder {{Stichwort|binomischer Lehrsatz|SZ=}} bringt die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung in einem kommutativen Halbring und insbesondere für die natürlichen Zahlen miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| || }} Den vorstehenden Satz kann man sich auch folgendermaßen klar machen. Beim Ausmultiplizieren von {{ Ma:Vergleichskette/disp | (a+b)^n || \underbrace{ (a+b) \cdot (a+b) \cdots (a+b) }_{n\text{-fach } } || || || |SZ= }} muss jeder Summand {{ Faktlink |Präwort=gemäß dem|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem Faktor| |ISZ=|ESZ= }} mit jedem Summanden multipliziert werden. Für jedes Teilprodukt muss man sich bei jedem Faktor entscheiden, ob man den vorderen Summanden {{math|term= a |SZ=}} oder den hinteren Summanden {{math|term= b |SZ=}} nimmt. Die einzelnen Produkte haben die Form {{mathl|term= a^k b^{n-k} |SZ=,}} wobei {{math|term= k |SZ=}} die Anzahl der Faktoren ist, bei denen {{math|term=a|SZ=}} gewählt wurde und {{math|term= n-k |SZ=}} die Anzahl der Faktoren ist, bei denen {{math|term= b |SZ=}} gewählt wurde. Wenn man {{math|term=k|SZ=}} fixiert, so kann man sich fragen, auf wie viele Arten das Produkt {{mathl|term= a^k b^{n-k} |SZ=}} zustande kommen kann. Eine solche Möglichkeit ist dadurch gegeben, dass man unter den {{math|term=n|SZ=}} Faktoren bestimmt, an welchen von ihnen {{math|term= a |SZ=}} gewählt wird. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der {{math|term=k|SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= {{Menge1n}} |SZ=,}} also gleich {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pjms4d4cnzb0gpg9onop0f3yrajr4bj 0 142072 749044 2022-08-11T11:41:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Jede natürliche Zahl lässt sich bekanntlich als eine Ziffernfolge {{Anführung|im Zehnersystem}} ausdrücken. Dies beruht auf der {{ Zusatz/Klammer |text=sukzessiven| |ISZ=|ESZ= }} Division mit Rest. Eine natürliche Zahl ist nicht durch jede natürliche Zahl teilbar, die Division mit Rest liefert eine Operation, die stets durchführbar ist. {{ inputbild |Pie division|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Dcoetzee |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Division mit Rest/N/Induktion/Fakt|Satz|| }} Bei der Division mit Rest nennt man auch {{math|term=n|SZ=}} {{Stichwort|Dividend|SZ=}} und {{math|term= d |SZ=}} {{Stichwort|Divisor|SZ=.}} Die Zahl {{math|term= q |SZ=}} nennt man {{Stichwort|Quotienten|msw=Quotient|SZ=}} oder {{Stichwort|ganzzahligen Anteil|msw=Ganzzahliger Anteil|SZ=}} und {{math|term= r |SZ=}} den {{Stichwort|Rest|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Division mit Rest/N/Auffinden/Bemerkung|| }} In der Schule verwendet man häufig eine Darstellung für die Division mit Rest wie {{ math/disp|term= n \text{ durch } d \text{ ist } q \text{ Rest } r |SZ=. }} Dies ist in Hinblick auf die mathematische Weiterverarbeitung ungünstiger als die im Satz verwendete Gleichungsform. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Division mit Rest (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k3k7434emhiemv6pufce0383m6bvqql 14 142073 749045 2022-08-11T11:41:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Division mit Rest (N)| ||}} czeeqfvvlm25wjwgymyhvenq6wyd4i5 0 142074 749047 2022-08-11T11:46:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Mit {{ Faktlink |Präwort=der|Division mit Rest|Faktseitenname= Division mit Rest/N/Induktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} können wir die Existenz und Eindeutigkeit der üblichen Zifferndarstellung einer natürlichen Zahl beweisen. Hinter der Zifferndarstellung verbirgt sich eine Mischung aus Addition, Multiplikation und Potenzierung {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|gemischte Darstellung|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wir konzentrieren uns hauptsächlich auf die Ziffernentwicklung im {{Stichwort|Dezimalsystem|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Zehnersystem|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt|Satz|| || }} Eine natürliche Zahl wird im Zehnersystem einfach dadurch angegeben, dass die Ziffern nebeneinander hingeschrieben werden, wobei links die höchststellige Ziffer {{ Zusatz/Klammer |text=die vorderste Ziffer| |ISZ=|ESZ= }} und rechts die niedrigststellige Ziffer, also die Einerziffer, steht. Die Zahl {{ math/disp|term= 4 \cdot 10^5 + 6 \cdot 10^4+3 \cdot 10^3+0 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 +5 \cdot 10^0 |SZ= }} wird also einfach als {{ math/disp|term= 463075 |SZ= }} geschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=in der gemischten Summen-und Produktdarstellung hätte man den Ausdruck {{mathl|term=0 \cdot 10^2 |SZ=}} auch weglassen können, nicht aber in der Dezimaldarstellung| |ISZ=|ESZ=. }} Eine beliebige natürliche Zahl im Dezimalsystem mit {{math|term= k |SZ=}} Ziffern gibt man als {{ math/disp|term= a_{k-1}a_{k-2} \ldots a_2a_1a_0 |SZ= }} an, was die Zahl {{ math/disp|term= a_{k-1} 10^{k-1} + a_{k-2} 10^{k-2} {{plusdots|}} a_2 10^2 + a_1 10 +a_0 |SZ= }} bedeutet. Man beachte, dass wegen der gewünschten Kongruenz {{mathl|term= a_i 10^{i} |SZ=}} die Durchnummerierung der Ziffern bei {{math|term= 0 |SZ=}} anfängt, und somit bei insgesamt {{math|term= k|SZ=}} Ziffern die höchststellige Ziffer die Nummer {{mathl|term= k-1 |SZ=}} besitzt. Wenn man von der {{math|term= i |SZ=-}}ten Ziffer spricht, meint man die Ziffer, die sich auf {{mathl|term= 10^{i} |SZ=}} bezieht. Von daher spricht man besser von der Einerziffer {{ Zusatz/Klammer |text=bezieht sich auf {{ Ma:Vergleichskette |1 || 10^0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} der Zehnerziffer, der Hunderterziffer, der Tausenderziffer u.s.w. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch Ziffernentwicklungen zuzulassen, die vorne mit Nullen beginnen, beispielsweise wenn man bei der Addition zweier natürlicher Zahlen gleich viele Ziffern haben möchte. Die Potenzen {{mathl|term= 10^i |SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Bündelungseinheiten|msw=Bündelungseinheit|SZ=.}} Man fasst eine Zahl in Bündel von solchen Einheiten zusammen, wobei von einem Bündel maximal {{math|term= 9 |SZ=}} genommen werden, da {{math|term=10|SZ=}} Bündeleinheiten durch die nächsthöhere Bündelungseinheit ausgedrückt werden kann {{ Zusatz/Klammer |text=und muss, um eine eindeutige Darstellung zu erreichen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn eine große Punktmenge vorliegt, so wird dieses Bündelungsprinzip sichtbar, wenn man zuerst {{math|term= 10 |SZ=-}}Bündel formt {{ Zusatz/Klammer |text=indem man jeweils {{math|term= 10 |SZ=}} Punkte zusammenfasst, umkreist, markiert| |ISZ=|ESZ=, }} dann zehn Zehnerbündel zu einem Hunderterbündel zusammenfasst und so weiter. {{ inputbemerkung |Zehnersystem/Division mit Rest/Durchführung/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Natürliche Zahl/Zehnersystem/Vorteile/Nachteile/Bemerkung|| }} Eine zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Natürliche Zahl/Eindeutige Darstellung im Zehnersystem/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} entsprechende Aussage gilt für jede {{Stichwort|Basis|msw=Basis (Stellenwertsystem)|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette | g |\geq| 2 || || || |SZ= }} statt {{ Ma:Vergleichskette | g || 10 || || || |SZ=. }} Bei {{ Ma:Vergleichskette | g || 2 || || || |SZ= }} spricht man vom {{Stichwort|Dualsystem|SZ=,}} die einzigen Ziffern sind {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=, }} bei {{ Ma:Vergleichskette | g || 3 || || || |SZ= }} vom {{Stichwort|Dreiersystem|SZ=}} mit den Ziffern {{mathl|term= 0,1,2 |SZ=}} u.s.w. Bei {{ Ma:Vergleichskette | g || 16 || || || |SZ= }} spricht man vom {{Stichwort|Hexadezimalsystem|SZ=}} und verwendet die Ziffern {{mathl|term= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |SZ=.}} Dass das Dezimalsystem nur eine unter vielen möglichen Darstellungen einer natürlichen Zahl ist, wird besonders deutlich, wenn man Darstellungen in verschiedenen Ziffernsystemen {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Stellenwertsystemen|msw=Stellenwertsystem|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ineinander umrechnet. {{ inputbeispiel |Natürliche Zahl/Dezimalsystem/Umrechnung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jzyeh6n5n4vj3h2dh2yf173uv3wxbt6