Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.23 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 106 13155 748405 748324 2022-08-09T16:30:27Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 0 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 - Grundlagen === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung mit QS-Zerlegung|Lösung mit QS-Zerlegung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Nullstellenverfahren|Nullstellenverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Fixpunktiteration/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] # [[Kurs:Numerik I/6 Interpolation|Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] # '''[[Konvexkombination|Konvexkombination]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] cypz1tyvl4e1j2lkscihcqvgbf2bgqr 748406 748405 2022-08-09T16:32:36Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 1 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 - Grundlagen === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 - Messen, Fehler in der Numerik === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung mit QS-Zerlegung|Lösung mit QS-Zerlegung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Nullstellenverfahren|Nullstellenverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Fixpunktiteration/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] # [[Kurs:Numerik I/6 Interpolation|Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] # '''[[Konvexkombination|Konvexkombination]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] nwnnhq7zln1mtwu08whpn7wnitpxj7r 748407 748406 2022-08-09T16:37:13Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 2 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 - Grundlagen === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 - Messen, Fehler in der Numerik === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung mit QS-Zerlegung|Lösung mit QS-Zerlegung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3 - Nullstellen- und Fixpunktverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Nullstellenverfahren|Nullstellenverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Fixpunktiteration/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... === Kapitel 4 - Interpolation und Splines === * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] # [[Kurs:Numerik I/6 Interpolation|Interpolation]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombination]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] === Kapitel 5 - Numerische Integration === [[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] === Kapitel 6 - Minimierungsverfahren von Fehlerfunktionen === * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] 2akum4gant0rcmmob011ccnlsn5k1rf 748408 748407 2022-08-09T16:38:29Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 4 - Interpolation und Splines */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 - Grundlagen === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 - Messen, Fehler in der Numerik === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung mit QS-Zerlegung|Lösung mit QS-Zerlegung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3 - Nullstellen- und Fixpunktverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Nullstellenverfahren|Nullstellenverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Fixpunktiteration/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... === Kapitel 4 - Interpolation und Splines === * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/6 Interpolation|Interpolation]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombination]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/7 Splines]] === Kapitel 5 - Numerische Integration === [[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] === Kapitel 6 - Minimierungsverfahren von Fehlerfunktionen === * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] d2dtblf3brqhinle0vfqrmle361mpj8 748409 748408 2022-08-09T16:38:40Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 5 - Numerische Integration */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 - Grundlagen === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 - Messen, Fehler in der Numerik === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung mit QS-Zerlegung|Lösung mit QS-Zerlegung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3 - Nullstellen- und Fixpunktverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Nullstellenverfahren|Nullstellenverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Fixpunktiteration/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... === Kapitel 4 - Interpolation und Splines === * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/6 Interpolation|Interpolation]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombination]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/7 Splines]] === Kapitel 5 - Numerische Integration === * [[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] === Kapitel 6 - Minimierungsverfahren von Fehlerfunktionen === * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] 62qs327tkosh3u4zps5j0bnjsdrbycu 748410 748409 2022-08-09T16:51:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 - Grundlagen === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 - Messen, Fehler in der Numerik === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung mit QS-Zerlegung|Lösung mit QS-Zerlegung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3 - Nullstellen- und Fixpunktverfahren === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Nullstellenverfahren|Nullstellenverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Fixpunktiteration/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... === Kapitel 4 - Interpolation und Splines === * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/6 Interpolation|Interpolation]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombination]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/7 Splines]] === Kapitel 5 - Numerische Integration === * [[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] === Kapitel 6 - Minimierungsverfahren von Fehlerfunktionen === * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] 4g9y90ry4ioenoi5ydexvua7kz3dyn5 0 14929 748582 663346 2022-08-10T11:12:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und {{math|term=R|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=.}} Dann enthält {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} Elemente {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=,}} die eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} sind. |Textart=Fakt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basis |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 249d1bqjukczopdkjjuqjz187n25uqr 0 14931 748588 666305 2022-08-10T11:20:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |\Q |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und {{math|term=R|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein von {{math|term=0|SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Prämath= |Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term=R|SZ=.}} |Voraussetzung= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | b_1 {{kommadots|}} b_n |\in|{{ideala|}} || || || |SZ= }} Elemente, die eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} bilden und für die der Betrag der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Elemente| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= {{op:Betrag|\triangle (b_1 {{kommadots|}} b_n) }} |SZ= }} unter all diesen Basen aus {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} minimal sei. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{ideala|}} || \Z b_1 {{plusdots|}} \Z b_n || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die additive Struktur von Idealen in Zahlbereichen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9n7fpcqegsvnx0uo8kb67700dj1a3yb 0 15077 748581 664466 2022-08-10T11:09:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |separable| |Definitionsseitenname= Endliche Körpererweiterung/Separabel/Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und sei {{mathl|term=b_1 {{kommadots|}} b_n|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=.}} Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \triangle (b_1 {{kommadots|}} b_n) |\neq| 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Diskriminante bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basis |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyxp0r2i8f1cmiuc52keb3l08n2357j 0 18904 748566 577641 2022-08-10T10:53:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | K || \R || || || |SZ=. }} Wir wollen die reellen Quadriken klassifizieren, und zwar hauptsächlich hinsichtlich der affin-linearen Äquivalenz für die erzeugten Hauptideale. D.h. wir dürfen affine Variablentransformationen durchführen und teilen. Aufgrund von {{Faktlink |Faktseitenname= Affine Quadriken in zwei Variablen/Erste Reduktion/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} }} kann man annehmen, dass die beschreibende Gleichung die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2 ||aX^2+bX+c || || || |SZ= }} hat. Bei {{ Ma:Vergleichskette | a || b || 0 || || |SZ= }} kann man durch eine Transformation {{mathl|term= Y \mapsto \sqrt{c}Y }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=c >0}}| |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{mathl|term=Y \mapsto \sqrt{-c}Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=c < 0}}| |ISZ=|ESZ= }} und anschließende Division durch {{math|term= \pm c }} erreichen, dass die rechte Seite gleich {{ mathlist|term1= 1 ||term2= -1 |oder|term3= 0 |SZ= }} ist. Bei {{ Ma:Vergleichskette | a || 0 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | b |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann man {{mathl|term= bX+c }} als neue Variable nehmen, und erhält die Gleichung {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || X || || || |SZ=. }} Sei nun {{ Ma:Vergleichskette | a |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann kann man durch eine Transformation {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{a} }} bzw. {{mathl|term= X \mapsto X/\sqrt{-a} }} erreichen, dass {{ Ma:Vergleichskette | a || \pm 1 || || || |SZ= }} ist. Durch quadratisches Ergänzen kann man {{math|term= b }} zu {{math|term= 0 |SZ=}} machen. Bei {{ Ma:Vergleichskette | c || 0 || || || |SZ= }} kann man auf {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || \pm X^2 || || || |SZ= }} transformieren. Sei also {{ Ma:Vergleichskette | c |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Dann kann man durch eine simultane Transformation {{mathl|term= X \mapsto uX,\, Y \mapsto uY}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=u=\sqrt{ \pm c}|SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und anschließende Division erreichen, dass {{ Ma:Vergleichskette | c || \pm 1 || || || |SZ= }} ist. Wir haben also noch die Möglichkeiten {{ Ma:Vergleichskette | Y^2 || \pm X^2 \pm 1 || || || |SZ= }} zu betrachten, wobei {{ Ma:Vergleichskette/disp | Y^2-X^2 || \pm 1 || || || |SZ= }} zueinander äquivalent sind. Wir wissen also, dass jede reelle Quadrik auf eine der folgenden neun Formen gebracht werden kann. {{ Auflistung9 |{{mathl|term=Y^2=0 \, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das ist eine {{Stichwort|term=verdoppelte Gerade|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=1\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das bedeutet {{mathl|term=Y= \pm 1|SZ=,}} das sind also {{Stichwort|term=zwei parallele Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=-1\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das ist {{Stichwort|term=leer}}. |{{mathl|term=Y^2=X \, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das ist eine {{Stichwort|term=Parabel|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=X^2\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das bedeutet {{mathl|term=(Y-X)(Y+X)=0|SZ=,}} es handelt sich also um {{Stichwort|term=zwei sich kreuzende Geraden|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=-X^2\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Die einzige Lösung ist der {{Stichwort|term=Punkt}} {{mathl|term=(0,0)|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=X^2+1\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das bedeutet {{mathl|term=(Y-X)(Y+X)=1|SZ=,}} das ist also eine {{Stichwort|term=Hyperbel|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=-X^2+1\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das ist ein {{Stichwort|term=Einheitskreis|SZ=.}} |{{mathl|term=Y^2=-X^2-1\, }} {{math|term=\,}} {{math|term=\,}} Das ist wieder {{Stichwort|term=leer|SZ=.}} }} Sind diese neun Typen alle untereinander verschieden? Das hängt davon ab, welchen Äquivalenz-Begriff man zugrunde legt. Die Typen III und IX sind beide leer, haben also identisches Nullstellengebilde. Andererseits sind die zugehörigen Restklassenringe {{ mathkor/disp|term1= \R[X,Y]/(Y^2+1) |und|term2= \R[X,Y]/(X^2+Y^2+1) |SZ= }} nicht isomorph, und über den komplexen Zahlen sind die Nullstellengebilde nicht gleich. Deshalb werden sie auch hier als verschieden betrachtet. Ansonsten sind diese Nullstellengebilde meistens schon aus topologischen Gründen verschieden {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. ist der Einheitkreis {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die Hyperbel ist nicht kompakt und hat zwei Zusammenhangskomponenten, die Parabel ist nicht kompakt mit einer Zusammenhangskomponenten, etc.| |ISZ=|ESZ=. }} Allerdings ist die verdoppelte Gerade und die Parabel reell-topologisch gleich, und die Hyperbel und die parallelen Geraden ebenfalls. Hier sind aber jeweils die Restklassenringe und im zweiten Fall auch die komplexen Versionen verschieden. Z. B. ist {{mathl|term= K[X,Y]/(Y^2) |SZ= }} nicht reduziert, aber {{ Ma:Vergleichskette | K[X,Y]/(Y^2-X) |\cong| K[Y] || || || |SZ= }} ist ein Integritätsbereich. Die komplexe Hyperbel ist zusammenhängend, da sie isomorph zu {{ Ma:Vergleichskette | {{CC}}^\times ||{{CC}} \setminus \{ 0\} || || || |SZ= }} ist, also zur punktierten komplexen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|{{CC}}|}} \setminus \{ 0\} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Reell |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 924tnjl37p3fhayxjqgcl9b7996e3sx 10 18918 748560 738436 2022-08-10T10:41:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}}</includeonly><noinclude> <includeonly>{{#ifeq:{{{kon|}}}||[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }}</includeonly> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> hvboz7jwtqquotqqlq3b38l9fd0ueb1 748562 748560 2022-08-10T10:44:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}||[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> hnfgftel4po527w32bhd4zgnqkoxxuy 748564 748562 2022-08-10T10:45:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}|top|[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> rfjyr5gpqwc5kgwkelup5ca60vav8f2 748569 748564 2022-08-10T10:57:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{Fachbereich Mathematik/Verweisvorlage|Beschreibungstext=Sie dient dazu, auf eine mathematische Definition zu verweisen. Als Linkverankerung dient der Begriff (bzw. eine Variante), wie er im Text vorkommt. Der Verankerungstext kann auch sowas sein wie {{Anführung|aufgrund der Definition}}. Die Latex-Version soll mit dem Latex label/ref-System arbeiten. Dem Referenzparameter kann in einem Haupttext ein Wert zugeordnet werden, beispielsweise {{Anführung|(siehe/vgl. Definition 5.3)}}.}} Zur Verlinkung der Definition für {{Anführung|kompakt}} sollte der Eintrag so aussehen: <pre> {{ Definitionslink |kompakt| |Definitionsseitenname= Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition |SZ= }} </pre> Darüber hinaus gibt es ein Weiterleitungssystem, damit nicht jedes mal nach dem genauen Namen der Definition gesucht werden muss. Dann sieht der Eintrag so aus <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> bzw. <pre> {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} </pre> In der letzten Form ist der Eintrag im Kontext eine Spezifizierungshilfe für die Weiterleitungen. </noinclude><includeonly>{{#switch: {{NAMESPACE}} |Kurs={{Vorlage:Definitionslink in Kurs|{{{1|}}}| |Prämath/klammer={{{Prämath/klammer|}}} |Prämath={{{Prämath|}}} |msw={{{msw|}}} |Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}} |Kontext2={{{Kontext2|}}} |prä={{{prä|}}} |Refname={{{Refname|}}} |Definitionsseitenname={{{Definitionsseitenname|}}} |SZ={{{SZ|}}}|}} |#default={{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|(${{{Prämath/klammer|}}}$)-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|${{{Prämath|}}}$-|}}\definitionsverweis {{{{1|}}}}{{{{term|{{{Refname|}}}}}}}{{{{SZ|}}}} |en={{#if:{{{Prämath/klammer|}}}|({{math|term={{{Prämath/klammer|}}}|SZ=}})-|}}{{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{{1|}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}{{{SZ|}}} |#default= {{#if:{{{Prämath|}}}|{{math|term={{{Prämath|}}}|SZ=-}}|}}{{#ifeq:{{{Definitionsseitenname}}}|/Definition|{{Mathematische Standardverlinkung|prä={{{prä|}}}|1={{{1|}}}|linkwort={{{1|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|SZ={{{SZ|}}} }} |[[{{{term|{{{Definitionsseitenname}}}}}}|{{{1}}}{{{term|{{{Refname|}}}}}}]]{{{SZ|}}}}} }}{{Verschlagworte:Definitionswort verlinkte Verwendung|{{{1|}}}{{{term|}}}|Kontext={{{Kontext|}}}{{{kon|}}}|Kontext2={{{Kontext2|}}}|msw={{{msw|}}}}}}} {{#ifeq:{{{kon|}}}|vr|[[Kategorie:kon mit Eintrag]]| }} </includeonly><noinclude> Es liegt eine weitere Funktion vor: {{Semantische Vorlage für Stichwort}}</noinclude> cqei52npzi4okx5tyfnvu8um4phyut6 0 20340 748567 734749 2022-08-10T10:54:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= (X,\tau)}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term= x\in X|SZ=.}} Eine Teilmenge {{math|term= U\subseteq X}} mit {{math|term= x \in U}} heißt {{Definitionswort|Umgebung}} von {{math|term=x \in X|SZ=,}} wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= V \subseteq X}} mit {{mathl|term=x \in V|SZ=}} und {{math|term= V\subseteq U}} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Umgebungen in einem topologischen Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Umgebung |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cww20l70f7wbroxm32i92f24wtu273z 0 20410 748568 224247 2022-08-10T10:55:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= f\colon X \to Y }} topologischer Räume ist eine {{Definitionswort|topologische Äquivalenz|SZ=,}} wenn es eine stetige Abbildung {{math|term= g\colon Y \to X }} gibt, so dass die Gleichungen {{math|term= g \circ f = \mathrm{id}_X }} und {{math|term= f \circ g = \mathrm{id}_Y }} gelten. |Textart=Definition |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Topologische Äquivalenz |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ksa35n1kz5kcj9iu7c54kcf5i55nke5 106 20452 748396 748314 2022-08-09T16:05:28Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung (2.10) ergibt sich aus ::<math>\|A^{-1}\| = \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} = \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} = \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1}.</math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] g9mhpb5f3xoqrisd9vkiq7rnv28adpa 748397 748396 2022-08-09T16:07:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung (2.10) ergibt sich aus :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] dhh8y4urdchmnm3o5sm8ncykvblfawd 748398 748397 2022-08-09T16:14:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung ergibt sich aus der Definition der [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4tjp3ltx3vznkgiil1x95zali1to6qe 748400 748398 2022-08-09T16:15:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung ergibt sich aus der Definition der [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \displaystyle \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \ \stackrel{y=Ax}{=} \ \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] aei6cjc8r8rfdu30yvdtaj1rxtiohww 748401 748400 2022-08-09T16:16:02Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung ergibt sich aus der Definition der [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \displaystyle \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \ \ \stackrel{y=Ax}{=} \ \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pn17mxnstjl0c86hw429zbtexdb2e9m 748402 748401 2022-08-09T16:17:28Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung ergibt sich aus der Definition der [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \displaystyle \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \ \ \stackrel{y=Ax}{=} \ \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] nw74ny86pykjwhjeor14mjkyv7lf812 748403 748402 2022-08-09T16:22:53Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung ergibt sich aus der Definition der [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \displaystyle \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \ \ \stackrel{y=Ax}{=} \ \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> einer regulären Matrix <math> A</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus dem [[#Satz - Konditionszahl|Satz zur Konditionszahl]] ergibt sich zudem über die Berechnung des Maximums im Zähler und des Minimums im Nenner folgende Eigenschaft: :<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix (Identität) bezeichnet. == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 3rrzcgfoeaqfiry8rcqzm7fpar0nbu4 748404 748403 2022-08-09T16:23:58Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-symmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \cdot \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_o^+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung ergibt sich aus der Definition der [[induzierte Matrixnorm|induzierten Matrixnorm]] :<math> \begin{array}{rcl} \|A^{-1}\| & = & \displaystyle \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \ \ \stackrel{y=Ax}{=} \ \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} \\ & = & \displaystyle \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1} \\ \end{array} </math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> einer regulären Matrix <math> A</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus dem [[#Satz - Konditionszahl|Satz zur Konditionszahl]] ergibt sich zudem über die Berechnung des Maximums im Zähler und des Minimums im Nenner folgende Eigenschaft: :<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix (Identität) bezeichnet. == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qbtb4n9jm5bj75pbw7seuxl7etx5nij 0 20591 748576 701593 2022-08-10T11:03:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{mathl|term=(R, {{idealm}},K)|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlich erzeugter| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann stimmt die {{ Definitionslink |Prämath= |minimale Erzeugendenzahl| |Kontext=Modul| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Minimale Erzeugendenzahl|V}} |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraums| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= V/{{idealm}}V |SZ=}} überein. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Lemma von Nakayama |Kategorie2=Theorie der minimalen Erzeugendenzahl von Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Modulerzeuger und Erzeuger mod {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bshzakrsbmgay9qsq4zpbd5essv399j 0 20795 748592 537847 2022-08-10T11:25:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Der {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K[M]/{{idealm}}^n || K[M]/(n M_+) || || || |SZ= }} hat die Elemente aus {{mathl|term= M \setminus n M_+ }} als {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt |Refname= {{{ref1|Fakt}}} |SZ= }} bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck {{mathl|term= \frac{ {{op:Anzahl|M \setminus n M_+}} }{n} }} für {{mathl|term= n \mapsto \infty }} gegen {{math|term= e_1 |SZ=.}} Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0lwb3vqhggj8xctywnqggfagcc30ao4 0 20799 748591 537940 2022-08-10T11:24:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Sei {{math|term=R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |noetherscher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lokaler Ring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |maximalem Ideal| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{idealm|}}|SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenkörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |K || R/{{idealm|}} || || || |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann besitzen die {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenmoduln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{idealm|}}^n/{{idealm|}}^{n+1}|SZ=}} endliche {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} |Zusatz= Wenn {{math|term=R|SZ=}} einen Körper {{math|term= K |SZ=}} enthält, der isomorph auf den Restklassenkörper abgebildet wird, so sind auch die Restklassenringe {{mathl|term= R/{{idealm|}}^n |SZ=}} von endlicher Dimension über {{math|term=K|SZ=.}} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= {{math|term={{idealm|}}^n/{{idealm|}}^{n+1}|SZ=}} und {{math|term=R/{{idealm|}}^n|SZ=}} |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 99kj7gmmg035883p6grnjl7y6jh41uv 0 22022 748575 528271 2022-08-10T11:02:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |reeller| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen ist, heißt {{Definitionswort|euklidischer Vektorraum|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Euklidischer Vektorraum |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eaxsnffv90wqri7fdf0lk6hkru7s50b 14 23828 748515 196787 2022-08-10T09:00:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Trigonalisierbar}} 7ioni8fhmnkscog17iturgbgqa4sxdr 0 23832 748604 598659 2022-08-10T11:34:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} und {{ Ma:abb/disp |name=f |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Fahne| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Fahne/Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || V_0 |\subset | V_1 | {{subsetdots|}}| V_{n-1} | \subset | V_n |V |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath=f |invariant| |msw=Invariante Fahne |SZ=, }} wenn {{ Ma:Vergleichskette | f(V_i) |\subseteq | V_i || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=i=0,1 {{kommadots|}} n-1,n|SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der invarianten Untervektorräume zu einem Endomorphismus |Kategorie3=Theorie der Fahnen von Untervektorräumen |Objektkategorie= |Definitionswort=Invariante Fahne |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zaun5ssgz7hfo8do79kxhsnokszdas 0 24706 748585 574498 2022-08-10T11:17:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= Wir setzen {{ mathkor|term1= {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}}=n |und|term2= {{op:Grad Körpererweiterung|L|M}}=m |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | x_1 {{kommadots|}} x_n |\in| L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=K |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | y_1 {{kommadots|}} y_m |\in| M || || || |SZ= }} eine {{math|term=L|SZ=-}}Basis von {{math|term=M|SZ=.}} Wir behaupten, dass die Produkte {{ mathbed/disp|term= x_iy_j ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= 1 \leq j \leq m |SZ=, }} eine {{math|term=K|SZ=-}}Basis von {{math|term=M|SZ=}} bilden. |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum {{math|term=M|SZ=}} über {{math|term=K|SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Teilbeweis= Sei dazu {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| M || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ mathbed/disp|term= z=b_1 y_1 {{plusdots}} b_m y_m |mit Koeffizienten|bedterm1= b_j \in L |SZ=. }} Wir können jedes {{math|term=b_j|SZ=}} als {{ mathbed|term= b_j = a_{1j}x_1 {{plusdots}} a_{nj}x_n |mit Koeffizienten|bedterm1= a_{ij} \in K |SZ= }} ausdrücken. Das ergibt {{ Ma:Vergleichskette/align |z || b_1y_1 {{plusdots}} b_my_m || (a_{11}x_1 {{plusdots}} a_{n1}x_n)y_1 {{plusdots}} (a_{1m}x_1 {{plusdots}} a_{nm}x_n)y_m || \sum_{1\leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m} a_{ij} x_iy_j |SZ=. }} Daher ist {{math|term=z|SZ=}} eine {{math|term=K|SZ=-}}Linearkombination der Produkte {{mathl|term=x_iy_j|SZ=.}} }} {{ Teilbeweis |Teilziel=Um zu zeigen, dass diese Produkte {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} sind, |Teilbeweis=sei {{ Ma:Vergleichskette/disp |0 || \sum_{1\leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m} c_{ij} x_iy_j || || || |SZ= }} angenommen mit {{mathl|term=c_{ij} \in K|SZ=.}} Wir schreiben dies als {{ Ma:Vergleichskette |0 || \sum_{j {{=|}} 1}^m {{makl| \sum_{i {{=|}} 1}^n c_{ij}x_i |}} y_j || || || |SZ=. }} Da die {{math|term=y_j|SZ=}} linear unabhängig über {{math|term=L|SZ=}} sind und die Koeffizienten der {{math|term=y_j|SZ=}} zu {{math|term=L|SZ=}} gehören, folgt, dass {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{i {{=|}} 1}^n c_{ij}x_i || 0 || || || |SZ= }} ist für jedes {{math|term=j|SZ=.}} Da die {{math|term=x_i|SZ=}} linear unabhängig über {{math|term=K|SZ=}} sind und {{mathl|term=c_{ij} \in K|SZ=}} ist, folgt, dass {{ Ma:Vergleichskette | c_{ij} ||0 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term=i,j|SZ=}} ist. }} }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gdyrxa274jw6j14q6bfke5qttsxo3j7 0 25359 748579 426686 2022-08-10T11:05:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |\Q | \subset|\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}] ||L || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass einerseits {{mathl|term=1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}|SZ=}} und andererseits {{ mathbed|term= (\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i} ||bedterm1= i=0,1,2,3 ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=L|SZ=}} bildet. Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Übergangsmatrizen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für diese Basen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biquadratischen Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1v88sd0ejs2rshllqojagdsp38guj36 0 25376 748577 415642 2022-08-10T11:04:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Körper Vektorraum/Situation|SZ=.}} Dann heißt ein {{ Definitionslink |linear unabhängiges| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i \in V ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term=V|SZ=}} eine {{Definitionswort|Basis|SZ=}} von {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Basis |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Basis |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26q1ydqrpzgr0cilq2ctpcqt26q502j 14 25698 748513 228420 2022-08-10T08:59:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Charakteristische Polynom ||}} 2n18l2sqs6c3z8ruu76aeo2yhlhfyy2 0 29244 748580 459091 2022-08-10T11:06:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{:Vektorraum/Situation|SZ=}} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} |Voraussetzung= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | w |\in| V || || || |SZ= }} ein Vektor mit einer Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | w || \sum_{i {{=}} 1}^n {{skalar|}}_i v_i || || || |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | {{skalar|}}_k |\neq|0 || || || |SZ= }} sei für ein bestimmtes {{math|term=k|SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann ist auch die Familie {{ math/disp|term= v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , w, v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |SZ= }} eine Basis von {{math|term=V|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Austausch |Faktname=Basisaustauschlemma |Abfrage=Austauschlemma |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0sn3uodqbp0m7kx2nxzj36xz94w5wys 14 29659 748510 741258 2022-08-10T08:58:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der alternierenden Abbildungen‎|Determinante |Theorie der Matrizen|Determinante |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Determinante }} qbcb5m3y8qc6zmj7mohwp0xbrmpoh5s 14 29752 748506 664321 2022-08-10T08:52:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen|Matrix |Theorie der Matrizen (Körper)|Abbildung |Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen|Lineare Abbildung }} rfepb6wqf174azkp9lpzcfrzxs2hk37 0 29757 748611 612375 2022-08-10T11:41:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || || |SZ= }} und sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{math|term=m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind die in {{ Definitionslink |Definition| |Definitionsseitenname= Lineare Abbildung/Matrix zu Basis und umgekehrt/Definition |Refname= {{{def1|}}} |SZ= }} festgelegten Abbildungen {{ math/disp|term= \varphi \longmapsto M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) \text{ und } M \longmapsto \varphi^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } (M) |SZ= }} {{ Definitionslink |invers| |Definitionsseitenname= Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} zueinander. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Korresponendenz von Matrizen und linearen Abbildungen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} madkypw7j2d8hgxu9ce78h5hv199k29 0 29758 748605 614144 2022-08-10T11:35:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{math|term=m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ=. }} Zu einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} heißt die {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) || (a_{ij})_{ij} || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= a_{ij}|SZ=}} die {{math|term= i|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Koordinate| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \varphi(v_j )|SZ=}} bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|w}}|SZ=}} ist, die {{Definitionswort|beschreibende Matrix zu|SZ=}} {{math|term= \varphi |SZ=}} bezüglich der Basen. Zu einer Matrix {{ Ma:Vergleichskette |M || (a_{ij})_{ij} |\in| {{op:Mat||}} || || |SZ= }} heißt die durch {{ math/disp|term= v_j \longmapsto {{sumi1m| a_{ij} w_i}} |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Refname={{{ref1|}}} |SZ= }} definierte lineare Abbildung {{mathl|term=\varphi^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } (M)|SZ=}} die {{Definitionswort|durch|msw=durch Matrix festgelegte lineare Abbildung|SZ=}} {{math|term=M|SZ=}} {{Definitionswort|festgelegte lineare Abbildung|msw=durch Matrix festgelegte lineare Abbildung|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Matrix zu linearer Abbildung |Definitionswort2=Festgelegte lineare Abbildung |Definitionswort/englisch=Matrix for a linear mapping |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fiz8cfi3l036y8mvitbfbkkfuv3ymzl 0 34483 748438 508938 2022-08-09T18:02:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{tabellemitvierspalten |leit1=Funktion|leit2=Stammfunktion|leit3=Bemerkung|leit4=Link | {{math|term=x^n|SZ=}} | {{math|term= \frac{1}{n+1}x^{n+1}|SZ=}} | {{math|term=n \in \N|SZ=}} | | {{math|term=x^n|SZ=}} | {{math|term= \frac{1}{n+1}x^{n+1}|SZ=}} | {{math|term=x \neq 0|SZ=,}} {{math|term=n \in \Z,\, n \neq -1|SZ=}} | | {{math|term=x^a|SZ=}} | {{math|term= \frac{1}{a+1}x^{a+1}|SZ=}} | {{math|term=x \in \R_+|SZ=,}} {{math|term=a \in \R,\, a \neq -1|SZ=}} |[[Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Fakt|{{math|term=\bullet|SZ=}} ]] | {{math|term=x^{-1} }} | {{math|term= {{op:ln|x|}}|SZ=}} | {{math|term=x \in \R_+|SZ=}} |[[Natürlicher Logarithmus/Ableitung/Fakt|{{math|term=\bullet|SZ=}} ]] | {{math|term= {{op:ln|x|}}|SZ=}} | {{math|term=x {{op:ln|x|}} - x|SZ=}} | {{math|term=x \in \R_+|SZ=}} |[[Stammfunktion/Logarithmus/Beispiel|{{math|term=\bullet|SZ=}} ]] | {{math|term= {{op:exp|x|}}|SZ=}} | {{math|term= 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lvqkrlsknjq9vg1u9znzi4fx6maynxp 0 36131 748565 421947 2022-08-10T10:46:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |globalen Extrema| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} für die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |D|\R |(x,y)|x^2+y^2+xy |SZ=, }} wobei {{ Ma:Vergleichskette | D |\subset| \R^2 || || || |SZ= }} das durch die Eckpunkte {{ mathlist|term1= (0,0) ||term2= (1,0) |und|term3= (0,1) |SZ= }} gegebene {{ Definitionslink |abgeschlossene| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=volle| |ISZ=|ESZ= }} Dreieck ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j8zhme6w5hlp9ffgnoh4w95r13haixf 0 36182 748572 665880 2022-08-10T11:00:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |nicht-ausgeartete| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (n-q,q) |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{math|term=G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Zeige{{n Sie}}, dass das Vorzeichen von {{mathl|term= {{op:Determinante|G|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term=(-1)^q|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2=Determinantentheorie (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Determinante |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gpxjbkl16m0notvx8pbxka899z9jaf 0 36350 748574 640363 2022-08-10T11:02:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V_1 |und|term2= V_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |reelle Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ mathkor|term1= U_1 \subseteq V_1 |und|term2= U_2 \subseteq V_2 |SZ= }} {{ Definitionslink |offene| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} Teilmengen. Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |U_1|U_2 || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath=C^k |Diffeomorphismus| |msw= |SZ=, }} wenn {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |bijektiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=k|SZ=-}}mal {{ Definitionslink |stetig differenzierbar| |Kontext=R n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, und wenn die {{ Definitionslink |Umkehrabbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi^{-1} |U_2|U_1 || |SZ= }} ebenfalls {{math|term=k|SZ=-}}mal stetig differenzierbar ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Diffeomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Diffeomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knwzd78kayssndpuh7ro17rj119r062 0 37654 748633 540053 2022-08-10T11:57:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\partial M|SZ=}} und mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} und es sei {{math|term=\omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(n-1) |Differentialform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktem| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Träger| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }}{{{zusatz1|}}} auf {{math|term=M|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralform|d\omega|M}} || {{op:Integralform|\omega|\partial M}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Der Satz von Stokes (Mannigfaltigkeit mit Rand) |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 502jldj0v4wuhf3k6d4eq8hirptojw4 0 37699 748583 406533 2022-08-10T11:13:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Karte| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\alpha |U|V || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| M || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen heißt {{Definitionswort|orientiert|SZ=,}} wenn der {{math|term= \R^n |SZ=}} {{ Definitionslink |orientiert| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orientierte Karte |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9pi6dw4zu3fktndshadkx30l08jknnz 0 37798 748616 462279 2022-08-10T11:46:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} der Dimension {{math|term=m|SZ=.}} Es sei {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und es sei {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann bilden die Dachprodukte {{ math/disp|term= v_{i_1} {{wedgedots|}} v_{i_n} \text{ mit } 1 \leq i_1 < \ldots < i_n \leq m |SZ= }} eine Basis von {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Basis für Dachprodukte |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68h0qsfd8fxyqjsh33bbkuhkxu91w3a 0 37828 748594 696076 2022-08-10T11:26:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Euklidischer Raum/Situation|SZ=,}} sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} und sei {{math|term=P|SZ=}} das davon {{ Definitionslink |erzeugte Parallelotop| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt für das {{ Definitionslink |Borel-Lebesgue-Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\lambda_V|SZ=}} auf {{math|term=V|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda_V(P) || {{makl| {{op:Determinante|( {{op:Skalarprodukt|v_i|v_j}} )_{1 \leq i,j \leq n} |}} |}}^{1/2} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Maßtheorie für euklidische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Parallelotop |Faktname= |Abfrage=Volumen eines Parallelotops mit Skalarprodukt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2i2v9sp7z07cou1mrmij13r3q7uj4pa 0 39159 748563 401306 2022-08-10T10:45:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Ma:abbele/disp |name=f |[0,1]|\R |t|1-t^2 |SZ=. }} Für welche {{ mathbed|term= x,y \in [0,1] ||bedterm1= x <y ||bedterm2= |SZ=, }} besitzt die zugehörige dreistufige {{ Zusatz/Klammer |text=maximale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |untere Treppenfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=f|SZ=}} den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Treppenfunktionen |Kategorie3=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} at5vkgc3l0a0d8v30rhnxr393r03dzh 0 39822 748584 401346 2022-08-10T11:15:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} für {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Kurven| |Kontext=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \gamma_1,\gamma_2 |I|M || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | \gamma_1(0) || \gamma_2(0) || P || || |SZ= }} eine Äquivalenzrelation, die in einer {{ Zusatz/Klammer |text=jeder| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Karte| |kon=Mfk| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{ Definitionslink |Ableitungen| |Kontext=höher| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} bis zur Ordnung {{math|term=k|SZ=}} berücksichtigt. Wie sehen einfache Vertreter dieser Äquivalenzrelation aus? Definiere{{n Sie}} eine Vektorraumstruktur auf der {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Jets |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p2nxc0zvluaduzm09g1kw8efxf189ae 0 40106 748590 648365 2022-08-10T11:23:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Die eine Richtung wurde bereits {{ Faktlink |Präwort=in||Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Impliziert orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bewiesen. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Es sei also umgekehrt {{math|term=M|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |orientierbar| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und ein {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |orientierter Atlas| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= (U_i,V_i,\alpha_i) ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term=M|SZ=}} gegeben. Dabei ist {{mathl|term=V_i \subseteq \R^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=R^n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Prämath= |Koordinaten| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} definieren eine nullstellenfreie stetige {{ Zusatz/Klammer |text=sogar beliebig oft differenzierbare| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Volumenfom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |SZ=}} auf {{math|term=V_i|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp |\omega_i || \alpha_i^* dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ= }} und erhalten so eine nullstellenfreie Volumenform auf {{math|term= U_i |SZ=,}} die wir außerhalb von {{math|term= U_i |SZ=}} durch {{math|term= 0 |SZ=}} fortsetzen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Diese Fortsetzung ist natürlich nicht stetig, das spielt aber für das Folgende keine Rolle| |ISZ=.|ESZ=. }} Es sei nun {{ mathbed|term= h_j ||bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} eine der Überdeckung {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} untergeordnete, stetige {{ Definitionslink |Prämath= |Partition der Eins| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die es {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt. Insbesondere gibt es also für jedes {{math|term=j|SZ=}} ein {{mathl|term=i(j)|SZ=}} derart, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Träger| |Kontext=Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=h_j|SZ=}} in {{mathl|term= U_{i(j)} |SZ=}} liegt. Daher sind die {{mathl|term=h_j \omega_{i(j)}|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetige| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=-}}Differentialformen auf {{math|term=M|SZ=.}} Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \omega || \sum_{j \in J} h_j \omega_{i(j)} || || || |SZ=. }} Dies ist für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| M || || || |SZ= }} eine endliche Summe und somit eine wohldefinierte stetige {{math|term=n|SZ=-}}Differentialform auf {{math|term=M|SZ=.}} Für einen Punkt {{mathl|term=P \in M|SZ=}} und eine die Orientierung repräsentierende {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{mathl|term= T_PM |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp |\omega(P; v_1 {{kommadots|}} v_n) || \sum_{j \in J} h_j(P) \omega_{i(j)} (P; v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ=. }} Dabei gibt es ein {{math|term=j|SZ=}} mit {{mathl|term=h_j(P) >0|SZ=,}} und für dieses {{math|term=j|SZ=}} ist auch {{mathl|term=\omega_{i(j)}(P; v_1 {{kommadots|}} v_n) > 0|SZ=,}} so dass diese Form überall positiv ist. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flj9k71wf3z15ym77wl067wlt31iny0 0 40980 748600 241831 2022-08-10T11:31:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Körper Vektorraum endlichdimensional/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=.}} Dann nennt man jeden {{mathl|term=(n-1)|SZ=-}}dimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} eine {{Definitionswort|Hyperebene|SZ=}} in {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Untervektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Hyperebene |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xvl930f6vvnk4m4tn9qqv1xnwtzx7m 0 42114 748589 252539 2022-08-10T11:21:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Sprechweise{{{opt|}}} |Text= Man sagt, dass eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{Stichwort|natürlich|SZ=}} ist, wenn sie durch die Objekte selbst nahegelegt wird. Beispielsweise sind die Einbettungen {{mathl|term= \N \rightarrow \Z \rightarrow \Q \rightarrow \R |SZ=}} natürlich, dagegen sind die Bijektionen {{mathl|term= \N \cong \Z \cong \Q |SZ=}} nicht natürlich. Oder: zwischen zwei Vektorräumen der gleichen Dimension gibt es viele {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphismen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} im allgemeinen ist davon aber keiner besser als ein anderer. In bestimmten Situationen gibt es aber auch einen natürlichen Isomorphimus, insbesondere, wenn die Vektoren gewisse Objekte repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. den Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem {{ Definitionslink |Prämath= |Bidual| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }}| |ISZ=|ESZ= }} |Textart=Sprechweise |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Einführung in die Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cw0e1cjdf19mgug4yjjcio7be8ek3qm 0 42714 748622 254502 2022-08-10T11:50:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{Definitionswort|Hyperebene|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | H |\subseteq| V || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{mathl|term=n-1|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dcjh1buvxch6wipmut6sqf3pir7mu8s 748623 748622 2022-08-10T11:50:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{Definitionswort|Hyperebene|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette | H |\subseteq| V || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Prämath= |affiner Unterraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Dimension {{mathl|term=n-1|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a3dig76pkdt2jq8usbo0nsre2pxqah7 0 43039 748595 566466 2022-08-10T11:27:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Endliche graduierte Körpererweiterung/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Eigenschaften |Folgerung= {{ Aufzählung5 |Jede homogene Stufe {{mathl|term=L_d|SZ=}} besitzt die {{ Definitionslink |Prämath=K |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=1|SZ=.}} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} ||{{op:Anzahl|D|}} || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette |D || (d_1 {{kommadots|}} d_m) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=D|SZ=}} und es sei {{ mathbed|term= x_i \in L_{d_i} ||bedterm1= x_i \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} fixiert. Dann ist {{ Ma:Vergleichskette |L || K[x_1 {{kommadots}} x_m] || || || |SZ=. }} Insbesondere wird {{math|term=L|SZ=}} von homogenen Elementen erzeugt. |Jedes {{ Definitionslink |Prämath= |homogene Element| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= x \in L_d ||bedterm1= x \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} besitzt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Minimalpolynom| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der Form {{mathl|term= X^n -a |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| K || || || |SZ=. }} |Die Körpererweiterung {{ Ma:Vergleichskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Radikalerweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Elementare Eigenschaften einer graduierten Körpererweiterung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cdqpg34j454i3o1gt4hpqmp0mkviwwq 0 43054 748615 579009 2022-08-10T11:45:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den von {{ mathkor|term1= \sqrt{2} |und|term2= \sqrt{3} |SZ= }} erzeugten Unterkörper {{ Ma:Vergleichskette |L ||\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3} ) || \Q[\sqrt{2}, \sqrt{3} ] || || |SZ= }} von {{math|term={{CC}}|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder von {{math|term=\R|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Elemente {{mathl|term= 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} |SZ=}} bilden dabei unmittelbar ein {{ Definitionslink |Prämath=\Q |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sogar eine Basis, da man andernfalls {{math|term=\sqrt{3}|SZ=}} als rationale Linearkombination von {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= \sqrt{2} |SZ= }} ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine {{ Definitionslink |Prämath= |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Prämath= |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vier vor. Sei {{ Ma:Vergleichskette |D ||{{op:Zmod|2}} \times {{op:Zmod|2}} || || || |SZ=. }} Wir setzen {{ math/disp|term= L_{(0,0)} =\Q, \, L_{(1,0)} =\Q \cdot \sqrt{2}, \, L_{(0,1)} =\Q \cdot \sqrt{3} \, , L_{(1,1)} =\Q \cdot \sqrt{6} |SZ=, }} und erhalten dadurch eine {{ Definitionslink |Prämath=D |graduierte Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\Q|SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der graduierten Körpererweiterungen von Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Körpererweiterung Q(\sqrt(2), \sqrt(3)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hk7zzfazoc5tvjeigw1my11f52sejj3 0 44142 748608 259070 2022-08-10T11:37:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Man sagt, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= \varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_n |V|V || |SZ= }} {{Definitionswort|simultan diagonalisierbar|SZ=}} sind, wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term=V|SZ=}} gibt, so dass jedes {{math|term=v_i|SZ=}} für jedes {{math|term=\varphi_j|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Eigenvektor| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der diagonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Simultan diagonalisierbar |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d2vybknb9h8wuv8o7u7hyl4xf3liw9a 0 47677 748629 277038 2022-08-10T11:54:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |trigonalisierbar| |msw= |SZ=, }} wenn sie bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |obere Dreiecksmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Trigonalisierbare Abbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6b4apaqw3kpe5sajroczu9a8ewe7ofu 0 49034 748587 525351 2022-08-10T11:19:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation}} und sei {{math|term=K[X]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=Körper 1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} Sei {{ Ma:Vergleichskette | d |\in| \N || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Menge aller Polynome vom Grad {{mathl|term= \leq d |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term=K[X]|SZ=}} ist. Was ist seine {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern als Vektorraum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8a5gp6dyzc6c39oaab07p38v6g2qo4n 0 52833 748593 630617 2022-08-10T11:26:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Sei also eine Orthonormalbasis {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} gegeben und sei {{ Ma:Vergleichskette |w || \sum_{i {{=|}} 1}^na_iu_i || || || |SZ=. }} Dann ist für jedes {{math|term=j|SZ=}} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|w|u_j}} || {{op:Skalarprodukt|\sum_{i{{=}}1}^na_iu_i |u_j}} || a_j || f(u_j) || |SZ=. }} D.h. die beiden linearen Abbildungen {{mathl|term= v \mapsto {{op:Skalarprodukt|w|v}} |SZ=}} und {{math|term=f|SZ=}} stimmen auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} überein, sind also nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} identisch. Für jeden anderen Vektor {{ Ma:Vergleichskette | w' || \sum_{i {{=|}} 1}^n b_iu_i || || || |SZ= }} ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor {{ mathkor|term1= u_j |von|term2= f(u_j) |SZ= }} verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dmyv14n9a8o6bcuv46c30se1q2sdsne 0 55859 748603 511381 2022-08-10T11:33:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=\rho |G| {{op:GLG||V|}} || |SZ= }} nennt man eine {{ Zusatz/Klammer |text=endlichdimensionale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionswort |Prämath= |Darstellung| |msw=Darstellung einer Gruppe |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term=K|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Darstellung einer Gruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 11pdl5eavjlionv9cs4rm1jpoedcotz 0 55881 748610 373889 2022-08-10T11:40:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung4 | {{math|term=G|SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |linear reduktiv| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zu jeder {{ Definitionslink |Prämath=K |rationalen Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} besitzt {{mathl|term=V^G \subseteq V|SZ=}} ein eindeutig bestimmtes {{ Definitionslink |Prämath=G |Komplement| |Kontext=Lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=W \subseteq V|SZ=.}} Dabei gilt {{mathl|term= {{makl| {{op:Dualraum|W|}} |}}^G=0 |SZ=.}} |Zu jeder {{ Definitionslink |Prämath=K |rationalen Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und jedem {{ mathbed|term= v \in V^G ||bedterm1= v \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} gibt es eine {{ Definitionslink |Prämath=G |invariante| |Kontext=Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Linearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=f \in {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} mit {{mathl|term=f(v) \neq 0|SZ=.}} |Zu jeder {{ Definitionslink |Prämath=K |rationalen Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} und jedem {{ Definitionslink |Prämath=G |Untervektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=U \subseteq V|SZ=}} gibt es ein {{ Definitionslink |Prämath=G |Komplement| |Kontext=Lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Charakterisierung von linear reduktiven Gruppen |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 50giveuo8rh25qs6fh54zn1t955xxt4 0 56082 748602 373482 2022-08-10T11:32:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Endlichdimensionaler Vektorraum/Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term=K[V]|SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{math|term=V|SZ=.}} Die Operation der Gruppe {{math|term=G|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} auf {{mathl|term=K[V]|SZ=,}} die für jedes {{mathl|term=\sigma \in G|SZ=}} per {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Definitionsseitenname= Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Lineare Abbildung/Kontravariant/Definition |SZ= }} durch die Zuordnung {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Dualraum|V|}} |{{op:Dualraum|V|}} |f| f \circ \sigma |SZ=, }} festgelegt ist, nennt man die {{ Definitionswort |Prämath= |induzierte Operation auf dem Polynomring| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Induzierte Operation auf Polynomring |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 949u631xjnvonjehskdl9u07ga8bk5l 0 56355 748598 540430 2022-08-10T11:29:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Charakteristik| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=0|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist jede {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen zyklischen Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod|r|}} |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:GLG|n|K}} |SZ=}} in einer geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von der Form {{ Ma:abbele/disp |name= | {{op:Zmod|r|}} | {{op:GLG|n|K}} |{{{i|i}}}| {{op:Diagonalmatrix5|\zeta_1^{ {{{i|i}}} } | \zeta_2^{ {{{i|i}}} } |\ddots|\zeta_{n-1}^{ {{{i|i}}} } | \zeta_n^{ {{{i|i}}} } |}} |SZ=, }} mit gewissen {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitswurzeln| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=\zeta_j|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Darstellung einer endlichen zyklischen Gruppe |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kte5rzr7itpbugeeq6884xw6od7jrgt 0 56379 748597 347250 2022-08-10T11:29:10Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kommutative Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist jede {{ Definitionslink |Prämath= |irreduzible Darstellung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} in einen {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eindimensional. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Lemma von Schur |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Irreduzible Darstellung zu kommutativer Gruppe |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3t8gtvph77echcrnecatlkjoia3adp 0 56421 748618 636689 2022-08-10T11:47:30Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Man nennt die von allen formalen Monomen {{mathl|term= f_1 \cdot f_2 \cdots f_m |SZ=,}} wobei die {{math|term=f_i|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |Linearformen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=}} sind, symbolisch erzeugte kommutative {{math|term=K|SZ=-}}Algebra, die die linearen Beziehungen zwischen den Linearformen respektiert, den {{ Definitionswort |Prämath= |Polynomring| |msw= |SZ= }} zu {{math|term=V|SZ=.}} Er wird mit {{ math/disp|term= K[V] |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Polynomring zu einem Vektorraum |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6hgfmxrg1hyxo8u2auqqiic8isiroe6 10 56429 748601 373529 2022-08-10T11:31:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name= |G \times V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Operation| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=G|SZ=}} auf {{math|term=V|SZ={{{SZ|}}}}} |Textart=Situation |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 92mh7fznhr7a6jvkxshmk1sd6gai1hu 14 56477 748511 652079 2022-08-10T08:58:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Spur |Theorie der Spur (Modulendomorphismus)|Körper}} l82odaf3jik8ai406h8ozc13wwqgevv 0 56495 748634 333276 2022-08-10T11:58:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Endlichdimensionaler Vektorraum/Gruppenoperation/Situation|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die {{ Definitionslink |Prämath= |induzierte Operation| |Kontext=Polynomring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |Prämath= |Polynomring| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |R ||K[V] || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |homogen| |Kontext=Ringhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} d.h. für jedes {{mathl|term=\sigma \in G|SZ=}} und {{mathl|term=f \in R_d|SZ=}} ist auch {{mathl|term=f \sigma \in R_d|SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mpf2pwmy7l1uivfkbp8xqe93eshnri3 0 57115 748612 508482 2022-08-10T11:42:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:abb |name= \varphi |V|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=M|SZ=}} beschrieben werde. Dann nennt man {{mathl|term={{op:Spur|M|}} }} die {{ Definitionswort |Prämath= |Spur| |msw= |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} geschrieben {{mathl|term={{op:Spur|\varphi|}} |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Spur (Endomorphismus) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Spur (Endomorphismus) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrqbayxbu1lqaclharqh3026qfy8y2n 0 59536 748620 373862 2022-08-10T11:49:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |affin-algebraische Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} über {{math|term=K|SZ=.}} Unter einer {{ Definitionswort |Prämath=K |rationalen Darstellung| |msw=rationale Darstellung |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}} versteht man einen {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppenhomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |G| {{op:GLG||V|}} || |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also eine {{ Definitionslink |Prämath= |Darstellung| |Kontext=Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=G|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die durch einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebrahomomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Hopf-Algebren| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zu {{ mathkor|term1= G |bzw.|term2= {{op:GLG||V|}} |SZ= }} induziert wird. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der affin-algebraischen Gruppen |Kategorie2=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Rationale Darstellung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0v4xwtu5ziq77qyxmy0crc4vc6mreiy 14 59558 748505 346614 2022-08-10T08:52:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen|Exponentialabbildung |Theorie der Lie-Gruppen|Exponentialabbildung}} o7vms086xfp7b0p2uof6qp9rfh543pj 0 61773 748626 457177 2022-08-10T11:52:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Vektorraum/Situation|SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aller {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=V|SZ=}} nennt man die {{ Definitionswort |Prämath= |allgemeine lineare Gruppe| |msw= |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=.}} Sie wird mit {{mathl|term= {{op:GLG||V|}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der allgemeinen linearen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Allgemeine lineare Gruppe |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gsu9eetule8o8fvkjqiifh1ckxp8hlv 0 62410 748596 374296 2022-08-10T11:28:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} nennt man {{mathl|term=K v_i|SZ=}} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{ Definitionswort |Prämath= |Koordinatenachse| |msw= |SZ=. }} Die Sprechweise ist vor allem für eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalbasis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |euklidischen Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} verbreitet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Basen von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Koordinatenachse |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xxjcdq0dm5f0o14lh3otnmph6teahj 0 64598 748436 461115 2022-08-09T18:00:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= a) {{:Tangens/Ableitung/1 durch cos^2/Fakt/Beweis|opt=Text}} b) {{:Arkustangens/Ableitung/1 durch 1+x^2/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lyjyl5ouhgrrrj4sqxuodd6m6nwfheq 106 66567 748557 747693 2022-08-10T10:31:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe|p||| |Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe|p||| |Komplexe_Exponentialfunktion/Skalarprodukt/Abschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Metrischer Raum/Folge und Häufungspunkte/Abgeschlossen/Aufgabe|p||| |Weltmeisterschaften/1970_bis_2014/Auswahl/Vollständige_Metrik/Aufgabe|p||| |Differenzierbare Kurve/R/Total differenzierbar/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineares Differentialgleichungssystem/1 2 3 5/Anfangswertproblem -4 3/Aufgabe|p||| |Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Taylorpolynom/Zweite Ordnung/e^x yz^2-xy/(1,0,-1)/Aufgabe|p||| |Bestimmtes Integral/Variable Grenzen/Extrema/Aufgabe|p||| |Jacobi-Matrix und reguläre Punkte/(a,b,c,d,u,v) nach (au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2)/Aufgabe|p||| |Graph/R nach R/Faser und Regularität/Aufgabe|p||| |Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gradientenfeld/y-cos(x+z),x,2z-cos(x+z)/Potential/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 15ms3gsyvnrzn4teeam1mm1pj98eldn 0 66927 748599 396113 2022-08-10T11:30:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Gramsche Matrix| |msw= |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Bilinearform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} bezüglich einer {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term=V|SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} judswr3of4c6xcq5cjxj7dyw6bmns1n 0 69738 748561 409235 2022-08-10T10:43:24Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |kompaktem Träger| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Prämath= |Ableitung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=f'|SZ=}} ebenfalls kompakten Träger hat, und dass {{ Ma:Vergleichskette | \int_\R f' d \lambda^1 ||0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Stokes |Kategorie2=Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s96l4dx3l879qddhq3v3fz41n9jyvyf 0 73681 748556 579370 2022-08-10T10:29:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |{{CC}}^2|{{CC}}^2 |(x,y)|(xe^y, -e^{-y}) |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}}, dass die Determinante des {{ Definitionslink |Prämath= |totalen Differentials| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= \varphi |SZ=}} in jedem Punkt gleich {{math|term=1|SZ=}} ist. b) Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=\varphi|SZ=}} nicht injektiv ist. c) Bestimme{{n Sie}} das Bild von {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der maßtreuen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=2 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7vvwadf2znsy3krp60p6nx23zym2hr 0 74157 748559 429249 2022-08-10T10:35:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=h |\R^n|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetig differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | G(P) || {{op:Gradient|h|P}} || || || |SZ= }} das zugehörige Gradientenfeld. Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |\R|\R^n || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| \R || || || |SZ= }} ein Zeitpunkt mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \varphi'(t) || 0 || || || |SZ=. }} a) Es sei {{math|term= h |SZ=}} zweimal stetig differenzierbar. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} konstant ist. b) Zeige{{n Sie}} durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) {{math|term= \varphi |SZ=}} nicht konstant sein muss. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differentialgleichungen zu Gradientenfeldern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=4 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tv0mb9te13p51ors1wxqxo7eu2b1cqp 0 74381 748617 700542 2022-08-10T11:46:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_k |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=U|SZ=}} und {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} eine Basis von {{math|term=W|SZ=,}} die zusammen eine Basis von {{math|term=V|SZ=}} ergeben. Bezüglich dieser Basis wird {{math|term=\varphi|SZ=}} insgesamt durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Blockmatrix| |Kontext=2| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |M || {{op:Matrix22|A|0|0|B}} || || || |SZ= }} beschrieben, wobei {{math|term=A|SZ=}} die Einschränkung {{mathl|term=\varphi {{|}}_U |SZ=}} und {{math|term=B|SZ=}} die Einschränkung {{mathl|term=\varphi {{|}}_W |SZ=}} beschreibt. Dann ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Determinante/Diagonale Blockmatrix/Links unten 0/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} || {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || {{op:Determinante| {{makl| t {{op:Identität||}} -M |}} |}} || {{op:Determinante| {{makl| t {{op:Identität||}} -A |}} |}} {{op:Determinante| {{makl| t {{op:Identität||}} -B |}} |}} || {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi{{|}}_U |}} \cdot {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi{{|}}_W |}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmq9evoi22rx7097stp5f00iwcvz5pn 0 74917 748624 448658 2022-08-10T11:51:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Familie von Punkten {{ mathbed|term= P_i \in E ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |affinen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} heißt eine {{ Definitionswort |Prämath= |affine Basis| |msw= |SZ= }} von {{math|term=E|SZ=,}} wenn zu einem {{mathl|term=i_0 \in I|SZ=}} die Vektorfamilie {{ mathbed/disp|term= {{op:Vektor|P_{i_0}|P_i}} ||bedterm1= i \in I \setminus \{ i_0\} ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der affinen Basen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Affine Basis |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4or2em5g71n0uriqz3k3y4o176zhquh 14 75039 748517 431306 2022-08-10T09:01:42Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring)|Endomorphismus |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Einsetzung |Theorie_der_Vektorräume_als_Polynomringmoduln| }} igfvj2ee2dogudkqtgw6fnqk5dyp66w 0 75624 748614 465085 2022-08-10T11:43:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |normierte| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung=Es sei {{math|term=V|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensional| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der stetigen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Stetigkeit linearer Abbildungen (endlichdimensional) |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ce6o6q4oo8q6rogyljs5rkualtripk1 0 76041 748619 743324 2022-08-10T11:48:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |V|V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Endomorphismus| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung5 |Die Folge {{math|term=\varphi^n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:End|V|}} |SZ=.}} |Zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die Folge {{ mathbed|term= \varphi^n(v) ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Prämath= |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term=v_1 {{kommadots|}} v_m \in V|SZ=}} derart, dass {{ mathbed|term= \varphi^n (v_j) ||bedterm1= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m ||bedterm2= |SZ=, }} konvergiert. |Der Betrag eines jeden {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Eigenwerts| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist kleiner oder gleich {{math|term=1|SZ=}} und falls der Betrag {{math|term=1|SZ=}} ist, so ist der Eigenwert selbst {{math|term=1|SZ=}} und {{ Definitionslink |Prämath= |diagonalisierbar| |Kontext=Eigenwert| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für eine beschreibende Matrix {{math|term=M|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} aufgefasst über {{math|term={{CC}}|SZ=,}} sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Jordan-Blöcke| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |jordanschen Normalform| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gleich {{ math/disp|term= {{Jordanblock/klein|\lambda}} |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|\lambda|}} |<|1 || || || |SZ= }} oder gleich {{math|term=(1)|SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Asymptotik von Potenzen von Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dc93m480341da5mp0knmfmcmg9h2jtd 0 77340 748609 438475 2022-08-10T11:38:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= {{Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=W|SZ=}} ein {{math|term=m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{ Ma:Vergleichskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ=. }} Zu einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |V|W || |SZ= }} heißt die {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M ||M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) || (a_{ij})_{ij} || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= a_{ij}|SZ=}} die {{math|term= i|SZ=-}}te {{ Definitionslink |Koordinate| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{mathl|term= \varphi(v_j )|SZ=}} bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|w}}|SZ=}} ist, die {{Definitionswort|beschreibende Matrix zu|SZ=}} {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich der Basen. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Matrix zu linearer Abbildung |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Matrix for a linear mapping |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kugyhl3mfcmownv4ptrj8zxfqco2fgc 0 77343 748606 438483 2022-08-10T11:36:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Unter der {{Stichwort/Antwort|beschreibenden Matrix zu|SZ=}} {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich der Basen versteht man die {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp |M 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Dann nennt man {{mathl|term={{op:Spur|M|}} }} die {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |Spur| |msw= |SZ= }} von {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r83fzt048pz5po4gbelk092tpqt515k 0 77842 748631 451149 2022-08-10T11:55:11Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |trigonalisierbare| |msw= |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ=, }} wobei {{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlichdimensionaler| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d9v07x080472a24eswjso8e1r8kgdle 0 77843 748632 449627 2022-08-10T11:55:52Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{math|term={{{V|V}}}|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{{K|K}}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=\varphi |V|V || |SZ= }} heißt {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |trigonalisierbar| |msw= |SZ=, }} wenn sie bezüglich einer geeigneten {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} durch eine {{ Definitionslink |obere Dreiecksmatrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=- }} m32l5snxtonsvksmudsemz5ibpr486e 0 77857 748625 449538 2022-08-10T11:51:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Eine Familie von Punkten {{ mathbed|term= P_i \in E ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |affine Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=E|SZ=}} über einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} heißt eine {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |affine Basis| |msw= |SZ= }} von {{math|term=E|SZ=,}} wenn zu einem {{mathl|term=i_0 \in I|SZ=}} die Vektorfamilie {{ mathbed/disp|term= {{op:Vektor|P_{i_0}|P_i}} ||bedterm1= i \in I \setminus \{ i_0\} ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=V|SZ=}} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=- }} m0turtww4twe4lfmz3tltgzgqg18k01 14 78066 748516 443684 2022-08-10T09:00:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen|Endomorphismus |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Ordnung |Ordnung (Gruppentheorie)|Endomorphismus }} ckj30wro3kcyepyevfhrpfdep2yha70 0 94779 748628 533791 2022-08-10T11:53:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Antwort|Monoidring}} {{math|term=K[M]}} ist der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | K [M] ||\bigoplus_{m \in M} K e_m || || || |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= e_m ||bedterm1= m \in M ||bedterm2= |SZ=, }} und der auf den Basiselementen durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | e_m \cdot e_k | {{defeq|}} |e_{m+k} || || || |SZ= }} festgelegten Multiplikation. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9qn80v74e04hr2tzs8l53rss7whnw0j 0 95230 748630 590734 2022-08-10T11:54:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb/disp |name=\varphi |\R^3|\R^3 || |SZ= }} werde bezüglich der Standardbasis durch die {{ Definitionslink |Matrix| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ 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Finde{{n Sie}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Basis| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} bezüglich der {{math|term= \varphi |SZ=}} durch die Matrix {{ math/disp|term= {{op:Matrix33|9|1|0|0|9|1|0|0|9}} |SZ= }} beschrieben wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8nin5ndxvojvb9536t7hvngwbg2b1tk 14 95562 748514 538150 2022-08-10T08:59:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Das charakteristische Polynom|Endomorphismus |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Charakteristisches Polynom}} ri0zeune3l06ngui08lrfad5mzjscoq 0 96298 748627 539781 2022-08-10T11:53:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Zu einer linearen Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=f |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=V|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=n|SZ=}} heißt eine {{ Definitionslink |Fahne| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Fahne/Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ math/disp|term= 0=V_0 \subset V_1 {{subsetdots|}} V_{n-1} \subset V_n= V |SZ= }} {{math|term=f|SZ=-}}{{Stichwort/Antwort|invariant|SZ=,}} wenn {{mathl|term=f(V_i) \subseteq V_i|SZ=}} für alle {{mathl|term=i=0,1 {{kommadots|}} n-1,n|SZ=}} ist. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5ltdldi4l8d8l6tgh5u2npqawucg4x 14 102973 748509 652278 2022-08-10T08:57:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der endlichen Körpererweiterungen|Multiplikationsabbildung |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Multiplikationsabbildung |Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen freien Algebren|Körper }} p3pauq3gqskvqjt6h714u1agjtp846p 0 112988 748433 607375 2022-08-09T17:56:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Umkehrfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} der reellen {{ Definitionslink |Tangensfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:abbele/disp |name= |\R|] - {{op:Bruch|\pi|2}} , {{op:Bruch|\pi|2}} [ |x| {{op:arctan|x|}} |SZ=, }} und heißt {{Definitionswort|Arkustangens|msw=Arkustangens|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Arkustangens| |Definitionswort2= |Definitionswort/englisch=Arctan |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g9b5hnnspazzgl7yvl7lvste1lol6ep 0 112994 748432 607388 2022-08-09T17:55:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Die {{ Definitionslink |Tangensfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= |\R \setminus {{makl|{{op:Bruch|\pi|2}} + \Z \pi|}}|\R |x| {{op:tan|x|}} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opab|tan|x|}} || {{op:Bruch|1|{{op:cos|x|pot=2}}||}} || || || |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Kotangensfunktion| |Kontext=R| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= | \R \setminus \Z \pi |\R |x| {{op:cot|x|}} |SZ=, }} ist differenzierbar mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{opab|cot|x |}} || - {{op:Bruch|1| {{op:sin|x|pot=2}}||}} || || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ableitung |Faktname= |Abfrage=Ableitung von Tangens und Kotangens |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4yo4agp2a6b7736q5efv8ifzwj648k 14 114728 748503 612609 2022-08-10T08:50:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen|Dimensionsformel |Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume|Formel ||}} fdkbr0gw4hyu4q2ubkthtuzr0n2wvdm 0 123013 748570 647746 2022-08-10T10:58:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine auf einer {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Menge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |U |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |holomorph| |msw= |SZ=, }} wenn sie {{ Definitionslink |Prämath= |komplex-differenzierbar| |Kontext=1| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Holomorphe Funktion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} toxwcrwvvps1zsm24a5jr5wqfr6vht2 14 126137 748512 741259 2022-08-10T08:59:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Determinantentheorie|Körper |Theorie der alternierenden Abbildungen (Körper)‎|Determinante |Theorie der Matrizen (Körper)|Determinante |Theorie der Endomorphismen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum|Determinante }} t68szmvuuaf48sbfs92iia468lsawso 106 129960 748411 745659 2022-08-09T16:52:09Z Bert Niehaus 20843 /* Ursprung der Materialen */ wikitext text/x-wiki [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen in metrischen Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> 7fyyrd6gsvn5tu4s8uq8xmtnk1flrz2 748412 748411 2022-08-09T16:54:11Z Bert Niehaus 20843 /* (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren */ wikitext text/x-wiki [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen in metrischen Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> 5pn69iieqqa9iw2fxfbvnzvpbujl72h 748413 748412 2022-08-09T16:55:21Z Bert Niehaus 20843 /* (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren */ wikitext text/x-wiki [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen in metrischen Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum|Beispiel p-nomierbarer Raum]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die Vorlesungsinhalte entlang eines Skriptes in Wikiversity abgebildet. Eine direkte Nutzung in Lehrveranstaltung aus Folien erfordert eine Anpassung der Inhalten und eine Segmentierung der Inhalte in Unterabschnitte, die als Folien dargestellt werden. Entsprechend von Rückfragen und Anmerkungen in Vorlesungen wurden in erstellten Foliensätze mit zusätzlichen Begründung ergänzt, damit eine bessere eigenständige Nacharbeit der Vorlesungsinhalte möglich wird. === PDF-Export und digitale handschriftliche Annotation === Ein PDF-Export ist standardmäßig als PDF in Wikiveristy möglich. Studierende können die PDF exportieren und in der OpenSource-Software [[w:de:Xournal|Xournal]] auf Linux, Windows oder Mac editieren und eigene handschriftliche Anmerkungen digital ergänzen. === PanDoc-Electron === Mit Pandoc-Electron kann man aus Wiki-Inhalten Präsentation oder LibreOffice-Dokumenten exportiert werden, die dann weiter mit individuellen Anmerkungen versehen werden können. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig, weil an mehreren Stellen bei Verbesserungen eine Aktualisierung der Inhalte vorgenommen werden muss. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> b2af8lg3wvo0xhy6mtlbz5gmc4zrloy 106 131046 748364 732560 2022-08-09T13:56:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Information]] Donnerstag, 24.03.22 10:00 - 13:00. Samstag, 21.05.22, 10:00 - 13:00. Freitag, 30.09.22 10:00 - 13:00 in 35/E01. 75nz4mm0tvlc8er0e7qgadzrosvu0xo 106 131126 748478 745652 2022-08-10T06:59:58Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' zunächst der Zusammenhang zwischen der ''lokalen Beschränktheit'' der Topologie und Quasinormen bzw. <math>p</math>-Normen hergestellt. === Lokale Beschränktheit der Topologie === Die lokale Beschränktheit der Topologie ist eine topologische Eigenschaft, die über das System <math>\mathcal{T}</math> der offenen Mengen ausgedrückt wird. Mit offenen Mengen im Kontext der Algebrerweiterungen zu arbeiten ist aber ist aber sehr aufwändig. Daher geht man zu einem topologieerzeugenden Gaugefunktional <math>p</math>-Norm bzw. Quasinorm. === Zusammenhang - Lokale Beschränktheit - p-Norm - Quasinorm === Wenn man nachgewiesen hat, dass die lokale Beschränkheit äquivalent zu der <math>p</math>-Normierbarkeit der Topologie ist, wird man die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität analog zum Vorgehen bei Banachalgebren bzgl. der Konstruktion der Algebraerweiterungen nach Arens (1958)<ref name="Arens"/> durchführen können. === Zusammenhang - p-Norm - Quasinorm === Die lokale Beschränkheit ist zudem auch äquivalent zu der Quasinormierbarkeit der Topologie. Damit kann nun auch einen alternativen Beweis für die Algebraerweiterungen mit Quasinorm analog durchführen. Die Quasihalbnormen haben allerdings erst bei der Behandlung der Charakterisierung von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-regulären Elementen in pseudokonvexen Räumen]] eine besondere Bedeutung. == Charakterisierung der P-Regularität == Für kommutative lokalbeschränkte Algebren erhält man folgende Charakterisierung: * <math>z\in A</math> permanent singulär <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in \mathcal{TNT}(A)</math> (topologischer Nullteiler) * <math>z\in A</math> <math>\mathcal{P}</math>-regulär <math>\Longleftrightarrow</math> es gibt ein <math>D > 0</math> mit <math>\|x\| \leq D \cdot \|z\cdot x\|</math> für alle <math>x \in A</math> Dabei ist <math>\| \cdot \| </math> eine <math>p</math>-Norm bzw. eine Quasinorm. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] == P-Regularität über p-Normen bzw. Quasinorm == Mit dieser Äquivalenz von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|p-Normierbarkeit]], lokaler Beschränktheit der Topologie und [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Quasinormierbeit]] kann man die Charakterisierung der <math>\mathcal{P}</math>-Regularität aus Wegen erhalten. * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über <math>p</math>-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über Quasiormen]] == Topologisierung der Polynomalgebra == Ein wesentlicher Schritt für den Beweis des <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität auf pseudokonvexen Räumen, bei den die <math>p</math>-Halbnormen nicht multiplikativ sind, ist der Zusammenhang zwischen einer <math>p</math>-Halbnorm und einer Quasihalbnorm, da dieser Zusammenhang für eine einzelne <math display="inline">p</math>-Norm und der korrespondierenden Halbnorm gezeigt wird, werden wir hier nicht den Beweis <math>\mathcal{P}</math>-Regularität für lokal beschränkte bzw. <math>p</math>-normierbare Räume direkt führen, sondern den Beweis direkt für korrespondierende Quasinorm führen. Später wird dann das Systems der topologieerzeugenden <math display="inline">p</math>-Halbnormen durch ein System von Quasihalbnormen ersetzt und für diese System die Algebraerweiterung konstruiert. === Bemerkung: Polynomalgebren === Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein <math>z \in A</math> invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Algebra der Polynome <math>A[t]</math>]] betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> über die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] konstruiert wird. [[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]] === Bemerkung: Zusammenhang zwischen p-Norm und Quasinorm === Der Beweis für einen <math>p</math>-normierbaren Raum kann analog zur Banachalgebraerweiterungen der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität (nach Arens 1958<ref name="Arens">Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548</ref>) geführt werden. Der Beweis für den Zusammenhang <math display="inline">p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> und einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q</math> findet man bei Köthe (1966)<ref name="Koethe">Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.</ref> === Bemerkung zum Satz über die Quasinormierbarkeit === Ein wesentlicher Teil des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen nach Köthe<ref name="Koethe"/> ist der Zusammenhang, zwischen eine lokalbeschränkten Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum und der Quasinormierbarkeit des Raumes. === Bemerkung zum Satz über die p-Normierbarkeit === Der zweite Teil für den Nachweis des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen liefert der Zusammenhang, dass jede lokalbeschränkte Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum auch durch ein <math>p</math>-Norm erzeugt werden kann. == Aufgabe für Studierende == Sei <math>(A,\|\cdot \|_A) </math> eine topologische Algebra, für die die Topologie durch eine <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|_A: A \to \mathbb{R}_0^{+} </math> erzeugt wird. * '''([[Topologische Nullteiler]])''' Formulieren Sie ein äquivalentes Kriterium für <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> über die <math display="inline">p</math>-Norm. * '''([[Normen, Metriken, Topologie|Homogenität der Norm]])''' Analysieren Sie die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|Charakterisierung der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität]] mit <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> bzw. <math>z \notin \mathcal{TNT}(A)</math> und identifizieren die Stellen, an denen die Homogenität der Norm verwendet die allgemeinere Eigenschaft der <math>p</math>-Homogenität ersetzen werden muss? == Definition: Lokalbeschränkt== Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum. Eine Menge <math display="inline">M\subset V</math> heißt beschränkt, falls gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in\mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle \lambda _{_{U}}>0} : \lambda _{_{U}} \cdot M\subset U. </math> <math display="inline">V</math> heißt ''lokalbeschränkt'', falls es eine beschränkte Nullumgebung gibt. == Aufgabe für Studierende == Betrachten Sie, den topologische Algebra der stetigen Funktionen <math>A:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> mit den Maximumshalbnormen :<math>\|\cdot \|_n := \displaystyle \max_{x \in [-n,n]} | f(x) | </math> Mit dem Halbnormensystem <math> \|\cdot \|_{\mathbb{N}} := \{ \|\cdot \|_n \, \colon \, n \in \mathbb{N} \} </math> ist <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine lokalkonvexer Vektorraum. * Zeigen Sie mit dem Topologisierungslemma, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine topologische Algebra mit Multiplikation <math>h:=f\cdot g </math> und <math>h(x):= f(x) \cdot g(x)</math> für <math>x \in \mathbb{R}</math> ist. * Zeigen Sie, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> ''nicht'' lokalbeschränkt ist (Beweis durch Widerspruch). === Hinweis zur Aufgabe === * Nehmen Sie an, dass die <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>U_0 = B_\varepsilon^{n}(0_A)</math> lokal beschränkt ist. Dabei sei <math>U_1 = B_\varepsilon^{n+1}(0_A)</math> * Dann verwenden Sie die Funktionenfolge <math>(f_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{N}} </math> mit folgender Eigenschaft: : <math> \begin{array}{rrcl} f_\alpha: & \mathbb{R}^{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{ für } & x \leq n \\ \alpha \cdot (x-n) & \mbox{ für } & x > n \\ \end{array} \right. \end{array} </math> === Zeichnen der Funktionsgraphen === * Zeichnen Sie die Funktionen und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \in U_0 </math> gilt. * Ferner gilt es für alle <math>\lambda > 0 </math> eine Funktion <math>f_\alpha \in U_0 </math>, die nicht in und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \notin \lambda \cdot U_0 </math> gilt und damit die Bedingung <math> \lambda \cdot U_0 \not \subseteq U_1 </math>. == Satz: Quasinormierbarkeit == Die Topologie eines topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn <math display="inline">V</math> lokalbeschränkt ist. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] == Zusammenhang Minkowski-Funktionale und absolut p-konvex Menge == Wenn eine Menge <math display="inline">M</math> eine absolut p-konvexe Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> ist, dann ist das zugehörige [[Minkowski-Funktional]] <math>p_M</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] mit <math display="inline">0< p \leq 1</math>, das zusätzlich die Dreiecksungleichung für alle <math>x,y \in V</math> erfüllt :<math> p_M(x+y) \leq p_M(x) + p_M(y) </math> Aus diesem Grund wird für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität wird der Begriff eine absolute <math>p</math>-konvexen Mengen als Verallgemeinerung von konvexen Mengen und einer konvexen Mengen benötigt. == Definition: absolut p-konvex == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann heißt <math display="inline">M</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex, wenn gilt :<math> \forall_{\displaystyle x,y\in M} : |\lambda|^p+|\mu|^p \leq 1 \,\Longrightarrow\, \lambda x + \mu y \in M </math> == Definition: absolut p-konvexe Hülle == Die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle der Menge <math display="inline">M</math> (Bezeichnung: <math display="inline">\Gamma_p(M)</math>) ist der Schnitt über alle absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Mengen, die <math display="inline">M</math> enthalten. :<math>\Gamma_p(M) := \displaystyle \bigcap_{\stackrel{\widetilde{M} \supseteq M}{\widetilde{M}\, absolut \, p-konvex} } \widetilde{M} </math> == Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> über dem Kör\-per <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann läßt sich die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle von <math display="inline">M</math> wie folgt schreiben: :<math display="block"> \Gamma_p(M)=\left\{ \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \, : \, n \in \mathbb{N} \wedge x_j\in M \wedge \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1 \right\} =: \widehat{M} </math> == Beweisidee == Der [[p-konvexe Hülle|vollständige Beweis]] werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) <math>\Gamma_p(M) \subseteq \widehat{M}</math> liefert und (3) die Teilmengenbeziehung <math> \widehat{M} \subseteq \Gamma_p(M) </math>. * '''(Beweisteil 1)''' <math display="inline">M\subset \widehat{M}</math>, * '''(Beweisteil 2)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist absolut <math display="inline">p</math>-konvex und * '''(Beweisteil 3)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist in jeder absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M}\supset M</math> enthalten. Für den vollständigen Beweis siehe [[p-konvexe Hülle]]. == Satz: p-Normbierbarkeit der Topologie == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann <math display="inline">p</math>-normierbar, wenn dieser eine <math display="inline">p</math>-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit <math display="inline"> 0 < p \leq 1</math>. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz über die p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräume]]. == Korrespondenzsatz für p-Normen und Quasinormen == Die Topologie eines <math display="inline">p</math>-normierbaren topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann durch eine Quasinorm erzeugt werden. == Beweis == Jeder <math display="inline">p</math>-normierbare topologische Vektorraum ist lokal beschränkt und auch jeder Raum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man :<math> (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ quasinormierbar } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ lokalbeschränkt } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ p-normierbar } </math>. Damit sind die drei Begriffe äquivalent für die Eigenschaft der Topologie und man kann für jede <math>p</math>-Norm eine korrespondierende Quasinorm finden, die die gleiche Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf <math>A</math> erzeugt. <math>\Box</math>. === Zusammenhang von p in der p-Norm und der Stetigkeitskonstante === Umgekehrt soll nun gezeigt werden, dass jeder lokalbeschränkte Raum für ein geeignet gewähltes <math display="inline">p\in (0,1]</math> auch <math display="inline">p</math>-normierbar ist. Zunächst noch eine Definition die im Zusammenhang mit der Stetigkeitskonstanten der Addition einer Quasinorm steht. Der folgende Beweis zeigt, wie man dieses <math display="inline">p\in (0,1]</math> identifiziert (siehe Köthe<ref name="Koethe"/>). == Definition: Konkavitätsmodul == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein lokalbeschränkter topologischer Vektorraum und <math display="inline">U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0)</math> eine beschränkte Nullumgebung, dann heißt * <math display="inline">\varrho(U):=\inf\{K > 0: U+U\subset K\cdot U\} </math> Konkavitätsmodul der Nullumgebung <math display="inline">U</math> und * <math display="inline">\varrho (\mathcal{T}):=\inf\{ \varrho(U) : U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0) \} </math> Konkavitätsmodul der Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math>. == Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume == Ist <math display="inline">\varrho(V)=2^{\frac{1}{p_o} }</math> der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum <math display="inline">V</math>, so gibt es zu jedem <math display="inline">p<p_o</math> eine topologieerzeugende <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>. === Bemerkung === Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung <math>U</math> mit <math>K > 0 </math> "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus <math>U</math> wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung <math>K \cdot U</math> liegen. === Beweis === siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz zum Konkavitätsmodul in lokalbeschränkten Algebren]]. == Zusammenfassung Korrespondenzsatz == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann quasinormierbar (d.h. es gibt eine Quasinorm, die die Topologie auf <math display="inline">\,V</math> erzeugt), wenn <math display="inline">V</math> <math display="inline">p</math>-normierbar ist. In den obigen Beweisen wurde allerdings noch nicht berücksichtigt, dass für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität auch die Multiplikation stetig sein muss. Dieses erfolgt nun. == Stetigkeit der Multiplikation in der Algebra == Allgemein gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> auch für jede Nullumgebung und damit auch für die beschränkte Nullumgebung <math>U</math> ein Nullumgebung <math>U_0</math> mit <math>U_0\cdot U_0 \subseteq U </math>. === Lokalbeschränkte Topologie === Da <math> \{ \lambda \cdot U \}_{\lambda > 0} </math> eine Umgebungsbasis der Topologie darstellt, gibt es <math> \lambda_o > 0 </math> mit <math>\lambda_o \cdot U \subseteq U_0 </math> und man erhält: :<math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U_0\cdot U_0 \subseteq U </math> === Anwendung auf Quasinormen 1=== Wendet man diese Mengeninklusion auf die Quasinorm <math>\|\cdot \|_Q</math> als [[Minkowski-Funktional]] der lokalbeschränkten kreisförmigen Nullumgebung an, gilt für alle <math>x,y \in A \setminus\{ 0_A \}</math> :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot x \in \lambda_o \cdot U \mbox{ und } \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot y \in \lambda_o \cdot U </math> und man erhält mit <math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U </math> :<math> \left \| \frac{\lambda_o \cdot x}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o \cdot y}{\|y\|_Q + \varepsilon} \right\|_Q \leq 1 </math> === Anwendung auf Quasinormen 2=== Die Eigenschaft der Homogenität der Quasinorm liefert dann :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq 1 </math> Da die obige Ungleichung für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, erhält man ebenfalls :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq \frac{1}{\lambda_o^2} \cdot \|x\|_Q \cdot \|y\|_Q </math> === Stetigkeitskonstante der Multiplikation === Der Faktor <math>C_Q:= \frac{1}{\lambda_o^2} > 0 </math> ist hier die Stetigkeitskonstante der Multiplikation, die neben der Konstante <math> D > 0 </math> aus der Negation der Definition eines topologischen Nullteilers ebenfalls für die Topologisierung der Polynomalgebra <math>A[t]</math> berücksichtigt werden muss. === Anwendung auf Quasinormen 3 === Die Ungleichung wurde für <math>x,y \in A\setminus \{0_A\}</math>. Falls <math>x = 0_A</math> oder <math>y = 0_A</math> gilt, ist die Ungleichung sogar eine Gleichheit mit :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q = \left\| x \right\|_Q = \left\| y \right\|_Q = 0 </math> == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie die obigen Ungleichung für die korrespondierende <math>p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> zur Quasinorm<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q </math>. * Erläutern Sie, wie Sie mit der <math>p</math>-Homogenität beim Nachweis der Ungleichung für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> umgehen müssen, damit Sie eine ähnliche Ungleichung erhalten. * Bestimmen Sie für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> die Stetigkeitskonstante <math>C_p> 0 </math> der Multiplikation mit: :<math> \|x \cdot y \|_p \leq C_p \cdot \|x\|_p \cdot \|y \|_p</math> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Minkowski-Funktional]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Topologische Nullteiler]] * [[Satz zur Quasinormierbarkeit]] * [[Satz zur p-Normierbarkeit]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ehpbraxn2dfp2i62xdflkxo3ddpd0x0 106 131150 748475 700575 2022-08-10T06:59:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Für <math>p</math>-Normen in <math>p</math>-[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|Regularitätsbeweisen]] bzw. [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbormen]] beim Nachweis der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] benötigt man als absorbierende Mengen eine absolute <math>p</math>-konvexe Menge. Diese Verallgemeinerung von konvexen Mengen auf [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|pseudokonvexe Räume]] benötigt den Begriff der (absolute) <math>p</math>-konvexen Hülle (siehe Köthe 1966<ref name="Koethe">Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.</ref>). == Definition: p-konvex == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann heißt <math display="inline">M</math> <math display="inline">p</math>-konvex, wenn gilt :<math> \forall_{\displaystyle x,y\in M;\lambda,\mu\geq 0} : \lambda^p+\mu^p = 1 \,\Longrightarrow\, \lambda x + \mu y \in M </math> == Definition: absolut p-konvex == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann heißt <math display="inline">M</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex, wenn gilt :<math> \forall_{\displaystyle x,y\in M} : |\lambda|^p+|\mu|^p \leq 1 \,\Longrightarrow\, \lambda x + \mu y \in M </math> == Definition: p-konvexe Hülle == Die <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle der Menge <math display="inline">M</math> (Bezeichnung: <math display="inline">\mathcal{C}_p(M)</math>) ist der Schnitt über alle <math display="inline">p</math>-konvexen Mengen, die <math display="inline">M</math> enthalten. :<math>\mathcal{C}_p(M) := \displaystyle \bigcap_{\stackrel{\widetilde{M} \supseteq M}{\widetilde{M}\, p-konvex} } \widetilde{M} </math> == Definition: absolut p-konvexe Hülle == Die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle der Menge <math display="inline">M</math> (Bezeichnung: <math display="inline">\Gamma_p(M)</math>) ist der Schnitt über alle absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Mengen, die <math display="inline">M</math> enthalten. :<math>\Gamma_p(M) := \displaystyle \bigcap_{\stackrel{\widetilde{M} \supseteq M}{\widetilde{M}\, absolut \, p-konvex} } \widetilde{M} </math> == Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann lässt sich die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle von <math display="inline">M</math> wie folgt schreiben: :<math display="block"> \Gamma_p(M)=\left\{ \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \, : \, n \in \mathbb{N} \wedge x_j\in M \wedge \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1 \right\} =: \widehat{M} </math> == Beweis == Es werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) <math>\Gamma_p(M) \subseteq \widehat{M}</math> liefert und (3) die Teilmengenbeziehung <math> \widehat{M} \subseteq \Gamma_p(M) </math>. * '''(Beweisteil 1)''' <math display="inline">M\subset \widehat{M}</math>, * '''(Beweisteil 2)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist absolut <math display="inline">p</math>-konvex und * '''(Beweisteil 3)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist in jeder absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M}\supset M</math> enthalten. === Beweisteil 1 === <math display="inline">M\subset \widehat{M}</math>, denn <math display="inline">M=\{\alpha_x x: \alpha_x=1 \wedge x\in M\} \subset \widehat{M}</math> === Beweisteil 2 === Seien nun <math display="inline">x,y \in \widehat{M}</math> und <math display="inline"> |\alpha|^p + |\beta|^p\leq 1 </math> gegeben. Man muss zeigen, dass <math display="inline">\alpha x + \beta y \in \widehat{M}</math> liegt. ==== Beweisteil 2.1 - Absolut p-konvex ==== Mit <math display="inline">x,y \in \widehat{M}</math> sollen nun <math display="inline">x,y \in \widehat{M}</math> die folgende Darstellungen haben: * <math> \displaystyle x = \sum_{i=1}^{m} \alpha_i x_i </math> mit <math> \displaystyle \sum_{i=1}^{m} |\alpha_i|^p \leq 1 </math> * <math> \displaystyle y = \sum_{i=1}^{n} \beta_i y_i </math> mit <math> \displaystyle \sum_{i=1}^{n} |\beta_i|^p \leq 1 </math> Man zeigt nun das <math>\widehat{M}</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex ist- ==== Beweisteil 2.2 - Absolut p-konvex ==== <math>\widehat{M}</math> ist absolut <math display="inline">p</math>-konvex, denn es gilt mit <math display="inline"> |\alpha|^p + |\beta|^p\leq 1 </math>: :<math> \begin{array}{rcl} \sum_{i=1}^{m} |\alpha\alpha_i|^p + \sum_{j=1}^{n} |\beta\beta_j|^p &=& |\alpha|^p\underbrace{\sum_{i=1}^{m} |\alpha_i|^p}_{\leq 1} + |\beta|^p \underbrace{\sum_{j=1}^{n} |\beta_j|^p}_{\leq 1} \\ &\leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \leq 1 . \\ \end{array} </math> Damit erhält man: :<math display="block"> \alpha \cdot x + \beta \cdot y = \alpha\sum_{i=1}^{m} \alpha_i x_i+\beta \sum_{j=1}^{n} \beta_j y_j \in \widehat{M} . </math> ==== Beweisteil 2.3 - Nullvektor ==== <math display="inline">0_V\in \widehat{M}</math>, denn es gilt <math display="inline">0_V=\alpha \cdot x</math> mit <math display="inline">\alpha = 0 = |\alpha|^p \leq 1</math> und ein beliebiges <math display="inline">x\in M</math> erhält <math display="inline">0_V=\alpha \cdot x \in \widehat{M}</math>. === Beweisteil 3 === Wir zeigen nun, dass die absolut <math>p</math>-konvexe Hülle in jeder absolut <math>p</math>-konvexen Obermenge <math>\widetilde{M}</math> von <math>M</math> enthalten ist. ==== Beweisteil 3.1 - Induktion über Anzahl der Summanden ==== Nun soll induktiv über die Anzahl der Summanden <math>n</math> gezeigt werden, dass jedes Element der Form :<math display="block"> \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \mbox{ mit } x_j\in M \mbox{ und } \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1 </math> in einer gegebenen absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M} \supset M</math> enthalten ist. ==== Beweisteil 3.2 - Induktionsanfang ==== Für <math display="inline">n=2</math> folgt die Behauptung über die Definition einer absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M}\supset M</math>. ==== Beweisteil 3.3 - Induktionsvoraussetzung ==== Nun gelte die Voraussetzung für <math display="inline">n</math>, d.h.: :<math display="block"> \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \in \widetilde{M} \mbox{ mit } x_j\in M \mbox{ und } \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1. </math> ==== Beweisteil 3.4 - Induktionsschritt ==== Für <math display="inline">n+1</math> ergibt sich die Behauptung wie folgt: Sei <math display="inline">\displaystyle x:=\sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j x_j</math> und <math display="inline">\displaystyle \sum_{j=1}^{n+1} |\alpha_j |^p\leq 1</math> mit <math display="inline">x_j\in M</math> für alle <math display="inline">j \in \{1,\dots ,n+1\}</math>. <math display="inline">x\in \widetilde{M}</math> ist nun zu beweisen. ==== Beweisteil 3.5 - Induktionsschritt ==== Ist <math display="inline">\alpha_{n+1}=1</math>, so ist nichts zu zeigen, da dann alle <math>|\alpha_j|=0</math> sind für <math> j \in \{1,\ldots , n\}</math> . ==== Beweisteil 3.6 - Konstruktion einer p-Konvexkombination aus n Summanden ==== Wir konstruktruieren nun eine Summe von nicht-negativen Summanden <math> \beta_j \geq 0 </math> :<math display="block"> \beta_j := \frac{\alpha_j}{ \sqrt[p]{ 1-|\alpha_{n+1}|^p } } \mbox{ mit } \sum_{j=1}^{n} \left| \beta_j \right|^p \leq 1 </math> ==== Beweisteil 3.7 - Anwendung der Induktionsvoraussetzung ==== Sei also <math display="inline">|\alpha_{n+1}|<1</math>. Die Ungleichung :<math display="block"> \sum_{j=1}^{n} \underbrace{\left| \frac{\alpha_j}{ \sqrt[p]{ 1-|\alpha_{n+1}|^p } } \right|^p}_{= | \beta_j |^p} = \frac{1}{ 1-|\alpha_{n+1}|^p } \cdot \underbrace{ \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p }_{\leq 1-|\alpha_{n+1}|^p} \leq 1 </math> liefert nach Induktionsvoraussetzung <math display="inline">\displaystyle z:= \sum_{j=1}^{n} \beta_j \cdot x_j = \sum_{j=1}^{n} \frac{\alpha_j}{ \sqrt[p]{ 1-|\alpha_{n+1}|^p } } \cdot x_j \in \widetilde{M}</math>. ==== Beweisteil 3.8 - Induktionsschritt ==== Da <math display="inline">\widetilde{M}</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex ist, folgt mit <math display="inline">\left(\sqrt[p]{1-|\alpha_{n+1}|^p}\right)^p +|\alpha_{n+1}|^p=1</math> :<math display="block"> \widetilde{M} \ni \left(\sqrt[p]{1-|\alpha_{n+1}|^p}\right) z + \alpha_{n+1}x_{n+1} = \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j + \alpha_{n+1}x_{n+1} = \sum_{j=1}^{n+1} \alpha_j x_j. </math> === Beweis 4 === Aus den Beweisteilen <math display="inline">(1)</math>, <math display="inline">(2)</math> und <math display="inline">(3)</math> zusammen folgt die Behauptung. <math> \Box </math> == Lemma: p-konvexe Hülle == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann lässt sich die <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle von <math display="inline">M</math> wie folgt schreiben: :<math display="block"> {\cal C}_p(M)=\left\{ \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \, : \, n \in \mathbb{N} \wedge x_j\in M \wedge \alpha_j \in [0,1] \wedge \sum_{j=1}^{n} \alpha_j^p = 1 \right\} </math> == Beweis: Aufgabe für Lernende == Übertragen Sie den obigen Beweis analog auf die <math>p</math>-konvexe Hülle. == Siehe auch == * [[Minkowski-Funktional]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] * [[Konvexkombination]] * [[Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 30d0m2rst6a1jhzwsjk1ydww36dkcsg 0 131862 748437 700982 2022-08-09T18:01:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Stammfunktion der Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x}} |SZ=}} ist der natürliche Logarithmus. Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:sin|x|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= -{{op:cos|x|}} |SZ=,}} die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:cos|x|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:sin|x|}} |SZ=.}} Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1+x^2|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:arctan|x|}} |SZ=,}} es ist ja {{:Arkustangens/Ableitung/1 durch 1+x^2/Fakt/Beweis|}} Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1-x^2|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= ]{-1},1[ |SZ=}} ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| {{op:Bruch|1+x|1-x}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:ln(|1+x|}} - {{op:ln(|1-x}} |}} || || || |SZ=, }} es ist ja {{:Stammfunktion/1 durch 1- x^2/Fakt/Beweis|opt=Text}} Auf {{mathl|term= \R \setminus \{-1,1\} |SZ=}} ist {{ mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| {{op:Betrag| {{op:Bruch|1+x|1-x}} |}}||}} |SZ= }} eine Stammfunktion. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} exh7pk0cza6en61bmfwqm0kbcelwumw 106 136395 748558 740245 2022-08-10T10:33:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p||| |Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p||| |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe|p||| |Kreis/Eingeschriebenes n-Eck/Approximation/Aufgabe|p||| |Graph (Abbildung)/R/Addition/Aufgabe|p||| |Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/3/Dreiecksgestalt/1/Aufgabe|p||| |Satz von Schwarz/Dreierumordnung/Aufgabe|p||| |Differenzierbarkeit/K/Totale Differenzierbarkeit impliziert richtungsweise Differenzierbarkeit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Invertierung/Ableitung/Reell und komplex/Aufgabe|p||| |Bilinearform/Symmetrisch/2/Erster Minor 0/Aufgabe|p||| |Lokale Extrema/3x^2-2xy-y^2+5x/Aufgabe|p||| |Totale Differenzierbarkeit/Bijektiv, nicht regulär/Aufgabe|p||| |Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} k63j8yq1by694d4yhnwyze6pp0b98mg 106 136966 748427 734827 2022-08-09T17:47:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|31| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Wachsende Funktion/R nach R/Folgenlimes und Funktionslimes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Grenzwert/Funktion/Unendlich/Rechenregeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/Unabhängigkeit vom Startpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/Beschränkt/Stetige Fortsetzbarkeit/Existenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rechenregeln für uneigentliche Integrale/Formuliere und beweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/1 durch x(x-1)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/x^2-3x+5 durch x^4+2x^3+5x+8/1 bis infty/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/e^(-t)/0 bis infty/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/1 durch 1+t^2/Über R/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/1 durch sqrt(1-t^2)/-1 bis 1/Berechnung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/1 durch (x+1) sqrt(x)/0 bis infty/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monoton fallend/Uneigentliches Integral/Limes ist null/Ohne Monotonie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/Halboffenes Einheitsintervall nach R+/Fallend/Gleichheit des Integrals der Umkehrfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/Betrag sin x durch x/0 bis infty/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Sonne und Erde/Lageenergie/Erde unendlich/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/x^3-3x+5 durch x^4+2x^3+5x+8/0 bis infty/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/sin x durch x/0 bis infty/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=(Versuche{{n Sie}} nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.) }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/Stetige unbeschränkte positive Funktion/Uneigentliches Integral existiert/Beispiel/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Uneigentliches Integral/Beidseitig/Monotone Folgenapproximation der Randpunkte/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} omkz7mis7f7zzffquacx7xmry67zyks 106 136985 748551 741630 2022-08-10T09:55:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|50| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen. {{ inputaufgabe |Extrema/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Extrema/x^2-y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Extrema/x^2-y^4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Extrema/2x^2+3y^2+5xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Extrema/2x^2+3y^2+4xy/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Extrema/4x^2-xy+5y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lokale Extrema/3x^2-2xy-y^2+5x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Extrema/xz durch x^2+y^2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Extrema/-3x^2+2xy-7y^2+x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reguläre Punkte und Extrema/(x,y) nach x hoch y/Hintereinanderschaltung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Monom/XYZ/Ableitung/Hesse-Form/Typ/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Determinante/2x2/Extremaleigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Hesse-Form/Eigenvektor/Positiver Eigenwert/Kein Maximum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kritische Punkte/Typ/Extrema/xy^2-x^3y/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kritische Punkte und Extrema/(x,y) nach (x^2+xy-6y^2-y)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Punktsymmetrische Funktion/Nullpunkt kritisch/Extrema/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Extrema/Abgeschlossene Kreisscheibe/x^2+y^3-y^2-y/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Extrema/Knopfloch/Umrundung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Extrema/xy sqrt (3-x^2-y^2)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Bestimmtes Integral/Variable Grenzen/Extrema/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/Ein Zwischenschritt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hyperbel/1 bis 2/Maximale dreistufige untere Treppenfunktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Zwei Funktionen/Gleiche quadratische Approximation/Extremum oder nicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion in mehreren Variablen/Zwei Funktionen/Gleiche quadratische Approximation/Extremum oder nicht/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Funktion/Extrema/x^2+9y^2+6xy/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Extrema/cos x durch cos y/x,y kleiner pi durch 2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/Parabel/2 Zwischenschritte/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion in zwei Variablen/h(x^2+y^2)/Extrema/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Isolierter Punkt/R^2 nach R/Stetig/Ist Extremum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} f5t03f5utmwbd3lrif9y0plngul0pr6 0 138851 748386 745148 2022-08-09T15:35:04Z Eric-schumacher 23857 /* mathematische Aktivitäten im Kletterpark */ wikitext text/x-wiki <big>'''Hier entsteht eine zu meiner Masterarbeit begleitende Wiki-Seite. In Bearbeitung<br></big> _______________________________________________________</br></br> [[File:FotoJetKletterpark.jpg|400px|KLETTERPARK ERIC]] </br> Die folgende Lernressource entstand aus der Überlegung, Aspekte der Schulmathematik an einem außerschulischen Lernort unter Zuhilfenahme (mathematischer) Apps digital und analog erleb- und erfahrbar zu machen. Der Besuch eines Kletterparks könnte als Exkursionsstädte im Rahmen eines Schulausfluges genutzt werden könnte.</br> Der Kletterpark als mathematischen Lernort bietet sowohl den positiven Nutzen des außerschulischen Lernens als auch die Chance fächerübergreifendem Unterrichts (in diesem Beispiel wären sowohl Mathematik/ Physik, Sport und/ oder Informatik kombinierbar). Die Einbindung von Apps bietet darüber hinaus die Möglichkeit zur Förderung digitaler Kompetenzen. Des Weiteren ergeben sich durch die gegeben Lernumgebung weitere positive Effekte auf den Bildungsprozess. = Notwendigkeit = = Vorteile außerschulischen Lernens = = Vorteile fächerübergreifenden Unterrichts = = positive Seitenaspekte auf den Entwicklungs- und Bildungsprozess = = PhyPhox - Das Smartphone als Messinstument = Die App ''PhyPhox'' wurde 2016 von Wissenschaftlern des 2. Physikalische Institut A der RWTH Aachen als digitales Werkzeug zur modernen und attraktiven Naturwissenschaftsbildung für die Lehre in Schule, aber auch für ein vielfältiges Lernen jenseits des Klassenzimmers entwickelt. PhyPhox steht dabei für physical phone experiments. Die App ist kosten- und werbefrei sowohl für Android als auch für iOS nutzbar. Sie ermöglicht eine schülergerechte Durchführung von Experimenten und Messungen mit Hilfe integrierter Smartphone-Sensoren. Nutzbar sind die Sensoren Beschleunigung, Gyroskop, Magnetfeld, Licht, Magnetfeld, GPS, Temperatur, Druck, Luftfeuchtigkeit undund</br></br> (http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/view/775) Die nachfolgende Anleitung ist zum einfacheren Umgang mit der App phyphox erstellt worden, dabei werden die wichtigen Funktionen und ihre Bedienung erläutert: == 1. Installation der App == PhyPhox ist kosten- als auch werbefrei sowohl für iOS als auch Android im jeweiligen App-Store downloadbar.</br> Link für iOS: https://apps.apple.com/de/app/phyphox/id1127319693 </br> Link für Android: https://play.google.com/store/apps/details?id=de.rwth_aachen.phyphox&hl=de&gl=US </br> == 2. Erste Schritte in PhyPhox == * Öffnen der App * Wahl eines definierten Experimentes im Hauptmenü * Start der Messung == 3. Live-Übertragung der Messdaten an den Computer == Es ist möglich und je nach Experiment manchmal nötig, die App per Fernzugriff zu steuern. Dazu wird lediglich das Smartphone und ein PC/Laptop/Tablet benötigt: * Einrichtung des Smartphones als Hotspot * Öffnen des Experiments auf der App * Untermenü öffnen (Button mit den drei vertikal angeordneten Punkten) * Häkchen bei "Fernzugriff erlauben" setzten und mit "OK" bestätigen * Verbindung des PCs mit dem Hotspot des Smartphones * Am PC: Internetbrowser öffnen und die auf der App angezeigte URL Adresse eingeben. Das Experiment wird nun auf dem PC angezeigt. * Das Experiment kann nun am PC über den Play-Button gestartet und gestoppt werden. * Nach dem Versuch können am PC im Untermenü unter "Daten exportieren" die gemessenen Daten gespeichert werden und beispielsweise mit Open Office Calc geöffnet und weiterverarbeitet werden. Die Übertragung der Daten ist entweder per Bluetooth oder per Mail möglich == 4. Eigenes Experiement erstellen (einfach) == * "Plus-Zeichen" im Hauptmenü drücken * Namen des Experiments eingeben * Puffergröße und Sensorrate angeben: 0 steht für die höchstmögliche Genauigkeit * gewünschter Sensor aktivieren. Wichtig hierbei ist, dass lediglich je '''ein Sensor''' benutzt werden kann. Wie die Daten graphisch dargestellt werden, ist nicht wähl- oder veränderbar. * Experiment speichern, welches anschließend im Hauptmenü aufrufbar ist. == 5. Eigenes Experiment erstellen (komplex) == Auf der eigenen PhyPhox-Webseite gibt es einen Editor, in dem komplexere Experimente selbst erstellt werden können. Hier können beispielsweise verschiedene Sensoren miteinander verknüpft werden oder das Design ausgewählt werden. Darüber hinaus kann programmiert werden, welche Daten wie angezeigt bzw. zum Export gespeichert werden. https://phyphox.org/editor/ === erstelltes Experiment teilen und laden === Im Editor gibt es die Möglichkeit, das erstellte Experiment in einem QR-Code zu speichern. Dieser Code kann als Bild-Datei gespeichert werden und so beispielsweise einer Schulklasse bereitgestellt werden. </br> Der Ablauf ist ganz einfach:</br> * Öffnen der App auf dem Smatphone * Im Untermenü auf "Experiment zur Sammlung hinzufügen" drücken * QR-Code scannen * Experiment speichern. Danach kann das Experiment im Hauptmenü gespeichert und benutzt werden. = Experimente im Kletterpark = == Geschwindigkeit Seilrutsche == Das folgende Experiment soll die Geschwindigkeit einer Seilrutsche messen. Dabei ist es egal, wie lang und wie schnell die vorliegende Seilrutsche ist. Die Messung geschieht per GPS-Daten. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Homburg entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung der Geschwindigkeit einer Seilrutsche ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX.png|150px|1. Geschwindigkeit Seilrutsche PHYPHOX]]. </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Quickjump "Freefall == Das folgende Experiment misst den Höhenunterschied, der bei einem Sprung von einer Plattform in die Tiefe in vertikaler Richtung zurückgelegt wird. Die Messung geschieht per integriertem Barometer über den Luftdruck. Zu Beginn des Experimentes ergibt sich aus dem Luftdruck, welcher in der Umgebung des Geräts herrscht, eine Höhe. Die Höhe wird allerdings nicht mit der Höhe ü.NN, sondern zunächst mit 0 angegeben. Springt man nun in die Tiefe, errechnet das Gerät aus dem sich verändertem Luftdruck, welcher Höhenunterschied zurückgelegt wurde. Dabei ist es egal, von welcher Höhe man "springt", selbst Messungen aus einem Meter Höhe werden adäquat aufgezeichnet. Die folgenden Materialien sind aus einem Besuch im Kletterpark "FunForrest" in Kandel entstanden. === Messwerkzeug/ Erstelltes Tool === Das erstelle Werkzeug zur Messung des Höhenunterschieds bei einem Sprung in die Tiefe ist mithilfe des Editors auf der PhyPhox-Website programmiert worden. Eine Anleitung, wie das Experiment teil- und nutzbar ist, wurde in Kapitel XXX gegeben. Der benötigte QR ist:</br> [[File:Freier Fall PHYPHOX.png|150px|Freier Fall PHYPHOX]] </br> Das Experiment kann aber auch im Editor für den jeweiligen gebrauch angepasst und verändert werden (beispielsweise Änderung des Namens, Icon oder Funktionsweise). Dazu muss die Datei heruntergeladen und im Editor geöffnet werden, wo sie anschließend bearbeitet werden kann. Link zum Download: http://www.file4.de/9541 === Auswerten der Daten === === Weiterverarbeitung der Daten === === Schwierigkeiten bei der Messwerterfassung === == Kinematische Größen durch Differenziation == == Kinematische Größen durch Integration== Eine weitere Alternative stellt das programmierte Experiment „Kinematische Größen durch Integration“ dar. In dem Kapitel 8.4.2 „Quickjump Freefall“ wurde begründet, weshalb der Beschleunigungssensor am gleichnamigem Hindernis nicht angewendet werden konnte. Gleichzeitig wurde eine mögliche Konstruktion vorgeschlagen, die eine zielführende Anwendung des Sensors gewährleistet. Unter der Voraussetzung, dass eine solche Konstruktion errichtet werden kann, ist das dazugehörige Experiment bereits programmiert worden und unter dem QR-Code im Anhang III abrufbar. Dort werden die Beschleunigungswerte via Sensor direkt gemessen und veranschaulicht, in zwei weiteren Diagrammen werden mithilfe des Integrierens die Geschwindigkeit sowie der zurückgelegte Weg veranschaulicht b36glpbrj18m330fu92alwevocpf521 106 139398 748555 741635 2022-08-10T10:23:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|50|23|Kurs=|}} 3qyzrozez3zgaxud5dcanpdhbnyh2y4 106 140393 748554 743921 2022-08-10T10:23:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|50|22|Kurs=|}} 8fgxtt9scm9dbuiv5rxwdujkuyoy1x9 106 140578 748461 744328 2022-08-09T22:25:42Z SchallenderRauch 36315 /* Projektidee */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste. * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === === Umsetzung === === Ergebnisse === === Ausblick === * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum d51iv2gd003u1gf64ugdrrfnv7mmayg 748462 748461 2022-08-09T22:38:48Z SchallenderRauch 36315 /* Planung */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste. * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. === Umsetzung === === Ergebnisse === === Ausblick === * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum qb1fb9kzn8axg5mfcnb3xzyew7mrh5u 748463 748462 2022-08-09T22:44:22Z SchallenderRauch 36315 /* Projektidee */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. === Umsetzung === === Ergebnisse === === Ausblick === * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum 3m3jf6v740ekf4f6wvtfsen6dcrwomy 748464 748463 2022-08-09T22:45:03Z SchallenderRauch 36315 /* Planung */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> === Umsetzung === === Ergebnisse === === Ausblick === * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum mlqrqc3sv3sy6yglxflh6z601qlf45i 748465 748464 2022-08-09T22:45:36Z SchallenderRauch 36315 /* Umsetzung */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> === Umsetzung === <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === === Ausblick === * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum 9lz2lui8cuekanyo028yqi6sk6luj1p 748466 748465 2022-08-09T22:45:49Z SchallenderRauch 36315 /* Ergebnisse */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> === Umsetzung === <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === <div style="text-align:justify;"></div> === Ausblick === * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum 4dke98nns7n6tj91sllvxm41w9fjfgh 748467 748466 2022-08-09T22:46:14Z SchallenderRauch 36315 /* Ausblick */ wikitext text/x-wiki == Projekt Zeitschrift für Sozialforschung == === Projektidee === <div style="text-align:justify;">Die Ursprüngliche Idee des Projekts bestand darin, die gemeinfrei gewordenen Aufsätze aus der Zeitschrift für Sozialforschung in der Wikisource zu erschließen. Ursprünglich ging es um die Verfügbarmachung der Texte, das heißt im Vordergrund standen Recherche nach geeigneten Lichtbildern (Scans) für die Wikicommons oder nach Zugriff auf die Originalausgaben der Zeitschrift um selbst Passende Dateien zu erstellen und die Transkription der Texte. Im laufe des Projekts und mit fortschreitenden Kompetenzen die aus der Lehrveranstaltung gezogen werden konnten, stellte sich aber heraus, das eine Sinnvolle Umsetzung des Vorhabens die Erschließung in möglichst vielen Teilen des Wikiversums zum Ziel haben musste.</div> * Die Verfügbarmachung in den Wikicommons erfüllt eine Archivierungsfunktion der digitalisierten Zeitschrift * Die Transkription in der Wikisource macht den Text digitalisiert verfügbar und nutzbar. * Aber auch Verlinkungen innerhalb der Wikisource bieten Nutzer:innen die Möglichkeit eine für ihre Zwecke geeignete Darstellungsweise zu finden. * Die Erschließung in Wikidata macht die Texte auffindbar und bildet Metadaten zu den Aufsätzen ab, außerdem ermöglicht sie den Nutzerinnen Abfragen über die Abfragesprache SPARQL. * Schließlich sollten die Verlinkungen der verschiedenen Wikiseiten ein intuitives navigieren zwischen den zusammengehörenden Inhalten ermöglichen. === Planung === <div style="text-align:justify;">Die Planungsphasen des Projekts gliedern sich in zwei Hauptplanungsphasen auf. Zuerst sollten die geeigneten Lichtbilddateien gefunden oder erstellt werden und dann die Transkription vorangetrieben werden. Zum Zweiten wurde die automatisierte Erfassung aller Aufsätze und Rezensionen aus der ZfS in Wikidata geplant und umgesetzt. </div> === Umsetzung === <div style="text-align:justify;"></div> === Ergebnisse === <div style="text-align:justify;"></div> === Ausblick === <div style="text-align:justify;"></div> * Bearbeitung vesrchiedener Judaica in wikisource aus der Quelle [https://anno.onb.ac.at/ ANNO]z.B. ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=frb&datum=1893&zoom=33/ Freies Blatt] ** [https://anno.onb.ac.at/cgi-content/anno?aid=jar Der Jüdische Arbeiter] * Nach Rücksprache mit [http://www.gedenkstaette-grafeneck.de/startseite Gedenkstätte Grafeneck Dokumentationszentrum] evtl. Erfassung von über 10.000 "Euthanasie"-opfern in Wikidata === Fazit === == Aufgaben und Reflexionen aus der Vorlesung == === Sitzung 1 === === Sitzung 2 === ==== Bearbeitung der Wikipedia-Seite des Heimatortes ==== *In der Ersten Sitzung sollte die Wikipedia-Seite des Heimatortes der Teinehmer:innen bearbeitet werden. Die Vorgehensweise auf Wikipedia war noch unbekannt und die Änderungen, die vorgenommen wurden, eher zögerlich. Trotzdem konnte ich meinem Heimatort den Namen meiner Grundschule samt Quellenverweis mit Link auf deren Webseite hinzufügen. * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum == Weitere Edits == == Learnings == * lorem ipsum * lorem ipsum * lorem ipsum 5zy8wb5n49fu3zgfu5umgjp9jj1a0fs 0 140689 748363 746762 2022-08-09T13:55:18Z Jp090 36306 /* Positive Lerneffekte */ Inhalt ergänzt wikitext text/x-wiki == Projekte == === [https://de.wikiversity.org/wiki/Projekt:Kartenspiele_f%C3%BCr_Kinder Kartenspiel für Kinder] === In diesem Projekt werden Kartenspiele für Kinder unter 10 Jahren aufgelistet. In dieser Aufzählung finden sich eine Kurzbeschreibung des Spiels, das jeweils empfohlene Mindestalter und die Spieleranzahl wieder. Zu dieser Auflistung beinhaltet das Projekt außerdem eine Reihe an wissenswerten Fakten und geschichtlichen Begebenheiten rund um das Thema Karten und Kartenspiele. Darüber hinaus wir in diesem Projekt eine Tabelle aufgeführt, die aufzeigen soll, hinter welcher Skatkarte sich welche berühmte Persönlichkeit verbirgt. === Wikiversity Beitrag über [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Projekt:Spirituelle%20Symbole&action=edit Spirituelle Symbole] === In diesem Projekt werden die bekanntesten Symbole aus der Spiritualität mithilfe einer Tabelle aufgeführt. Diese Tabelle beinhaltet zu den sämtlichen Symbolen eine Kurzbeschreibung sowie die Herkunft. Darüber hinaus enthält dieses Projekt eine Übersicht aller sieben Chakren. === Wikiversity Beitrag über eine Übersicht aller [[Projekt:Vitamine|Vitamine]] === noch in Erstellung Es folgen noch die Weiteren Punkte. Dieser Beitrag soll dazu dienen, eine Konfrontation zu diesem lebensnotwendigen Thema möglich zu machen. Darüber hinaus kann der Beitrag in den Folgesemestern für weiteren Ausbau, Verbesserung, Erweiterung und Verschönerung verwendet werden. === Edit: Erweiterung des Beitrags um alle Helden aus [https://de.wikipedia.org/wiki/Dota DotA2] === == Lessons Learned == === Positive Lerneffekte === Eines meiner positiven Lerneffekte im Kurs "Open Government & Open Data" ist kennengelernt zu haben, wie mächtig das Wikiversum ist. '''[https://en.wikipedia.org/wiki/Main%20Page Wikipedia]''' ist nur ein kleiner Teil der Wikiversität. Zu der breiten Palette gehören zudem noch [https://commons.wikimedia.org/wiki/ Wikimedia Commons], [https://www.mediawiki.org/wiki/MediaWiki MediaWiki], [https://meta.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Meta-Wiki], [https://wikisource.org/wiki/Main%20Page Mehrsprachige Wikisource], [https://species.wikimedia.org/wiki/Main%20Page Wikispecies], [https://en.wikibooks.org/wiki/Main%20Page Wikibooks], [https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main%20Page Wikidata], [https://wikimania.wikimedia.org/wiki/Wikimania Wikimania], [https://en.wikinews.org/wiki/Main%20Page Wikinews],[https://en.wikiquote.org/wiki/Main%20Page Wikiquote], [https://en.wikisource.org/wiki/Main%20Page Wikisource], [https://en.wikivoyage.org/wiki/Main%20Page Wikivoyage], [https://en.wiktionary.org/wiki/Wiktionary:Main%20Page Wiktionary] Mein Favorit ist das Wikispecies Projekt. === Verbesserungsvorschläge === * Es wäre denkbar ein Projekt für alle Kursteilnehmenden über das gesamte Semester als Teilprojekt zum eigenen Vorhaben zu definieren. Die könnte so aussehen, dass die Lehrenden zu Beginn des Semesters ein Thema vorgeben und dies gliedern. Jede/r Teilnehmer/in erhält nach Abstimmung einen "Bereich", den es über das gesamte Semester (Kursdauer) zu erarbeiten gilt. * Freigabe eines "Cheatsheets" in Form von Formelsammlung etc. Ein Beispiel hierfür: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Cheatsheet-en.pdf ===== Pro und Contra ===== + Alle Teilnehmenden bringen sich aktiv ein, da jedem spezifisch etwas zugeordnet wird<br> + Verbesserung der Wikiversity in nur einem Beitrag<br> + Kollaboratives Lernen <br> + Gegenseitige Unterstützung anhand Beispielen auf der direkten Beitragsseite - Teilnehmende können nicht zeitgleich Editieren<br> - Teilnehmende verlieren womöglich schnell den Überblick <br> - Es bedarf Vertrauen, dass Teilnehmende "ihren" Part auch wirklich bearbeiten<br> == Wikiversum Verknüpfungen == https://de.wikipedia.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090<br> https://de.wikiversity.org/wiki/Spezial:Beitr%C3%A4ge/Jp090 == Weitere Links == https://de.wikipedia.org/wiki/Dota_2 j5ti7ndvjajtwfa959yaw3033kmyrl6 108 140824 748368 747965 2022-08-09T14:33:19Z Jp090 36306 Dharma-Rad, Om, Auge des Re und Swastika um Inhalt ergänzt wikitext text/x-wiki Im folgenden Artikel sind die häufigsten Symbole, welche sich in der spirituellen Welt wiederfinden übersichtlich Dargestellt. {| class="wikitable sortable" |+ Spirituelle Symbole |- ! Symbol !! Name !! Herkunft !! Geschichte |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lotosblumen Lotusblume] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus] || In der Spiritualität ist die Lotusblume (oder auch Lotusblüte, [https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna%20Chakra Ajna-Chakra] genannt) ein Zeichen der Erleuchtung. Sie symbolisiert das bekannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Drittes%20Auge dritte Auge]. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hamsa Hamsa], ''خمسة''|| [https://de.wikipedia.org/wiki/Islam Islam] || Auch bekannt als [https://de.wikipedia.org/wiki/Hand der Fatima]. Dieses spirituelle Symbol wird zum Schutz des Bösen oder zum Schutz von Bösen blicken verwendet. Dem Träger der Hamsa wird Glück und Kraft begegnen. Hamsa bedeutet im arabischen die Zahl "fünf", welche die fünf Finger an einer Hand symbolisch Darstellt. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Yin%20und%20Yang Yin Yang], ''太極圖 / 太极图'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Daoismus Daoismus] || Alles steht im Gleichgewicht; zu allem gibt es ein Gegenpol. Das schwarz-weiße Taijitu beschreib genau dies. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Blume%20des%20Lebens Blume des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judentum Judentum] || Dieses Symbol besteht aus genau 19 Kreisen, die ineinander verzweigt sind. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Baum%20des%20Lebens Baum des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Kelten Keltisch] || Ein Symbol welches bereits Bestandteil einer Vielzahl von Jahrtausendalten Völkern ist. Es steht für die kosmische Ordnung. Ein alter Glaube besagt, dass der Baum des Lebens den Himmel, die Erde und die Unterwelt miteinander verbindet. Heute wird dieser als Zeichen für Hoffnung und ein glückliches und gesundes Leben bezeichnet. Dieses spirituelle Symbol versteckte sich bereits in vielen Märchen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Br%C3%BCder_Grimm Gebrüder Grimm], wie bspw. [https://de.wikipedia.org/wiki/Aschenputtel Aschenputtel], [https://de.wikipedia.org/wiki/Frau%20Holle Frau Holle], [https://de.wikipedia.org/wiki/Schneewittchen Schneewittchen] und vielen mehr. |- | '''☥ ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Anch Anch], ''ˁnḫ'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Als Symbol des göttlichen Lebens bedeutet das Anch (auch Ankh) ein Leben im Diesseits und ewiges Leben im Jenseits. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hermesstab Hermesstab] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie Griechische Mythologie] || Dieses Symbol findet man häufig in Arztpraxen wieder. Er bedeutete im [https://de.wikipedia.org/wiki/Altertum Altertum] das Erkennungszeichen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Herold Herolde] und wurde demnach auch Heroldsstab genannt. Später stand er symbolisch für das Handeln in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Heraldik Heraldik], zu dieser Zeit nannten die Menschen ihn Merkurstab. Im 20. Jahrhundert wurde der Hermesstab als Symbol des U.S. Army Medical Corps eingeführt und dient seither als medizinisches Symbol. Als Ursprung des Symbols wird jedoch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie griechische Mythologie] definiert, zu diesen Zeiten hieß der Stab allerdings [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84skulapstab Äskulapstab]. |- | || Schlange || || |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Swastika Swastika] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Dieses spirituelle Symbol wird vor allem im Hinduismus und Buddhismus als Sonnenrad gepriesen. Die Swastika wird als Glücksbringer geschätzt. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Nazi Nazis] missbrauchten dieses Symbol als ihr Hakenkreuz während des zweiten Weltkriegs. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Horusauge Auge des Horus] || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Das Horusauge wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Auge%20des%20Re Auge des Re], Auge des Aton oder östliches Auge genannt. Es symbolisiert die Sonnenscheibe der alten Ägyptischen Sonnengötter ([https://de.wikipedia.org/wiki/Amun Amun-Re], [https://de.wikipedia.org/wiki/Re-Harachte Re-Harachte] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Aton Aton]). |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Dharmachakra Dharma-Rad] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus] || Das Dharma-Rad ist das bekannteste Symbol der Buddhisten. Es steht buchstäblich für das "Rad der Lehre". Es soll daran erinnern, dass der Geist die Welt nicht verlässt, er verändert nur seine Form und lebt im Körper eines neuen Wesens weiter. Nach dem buddhistischen Glauben, erinnert das Dharma-Rad an die Wege zur Erkenntnis aller Dinge. Es soll ins [https://de.wikipedia.org/wiki/Nirwana Nirwana] führen, wo alles Leid wie Gier, Wut und Hass keinen Platz haben. |- | '''ॐ''' || OM || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Om oder Aum ist nicht nur eine heilige Silbe aus dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Sanskrit Sanskrit], vielmehr ist es das wichtigste und bekannteste [https://de.wikipedia.org/wiki/Mantra Bija Mantra]. Es repräsentiert den Urklang der Schöpfung der Essenz der [https://de.wikipedia.org/wiki/Veda Veda]. OM führt im Körper, Geist und der Seele zur Harmonie. |} <br> <br> Im folgenden gibt es einen Überblick über alle [https://de.wikipedia.org/wiki/Chakra Chakren]. {| class="wikitable" |+ Alle 7 Chakren |- ! Chakra !! Name !! Chakra Farbe !! Aura Farbe !! Stelle !! Charaktereigenschaft !! Element !! Heilsteine |- | Btbh || Sahasrara Chakra (Kronenchakra)|| || || Am Scheites des Kopfes || Empathie || Universum || Diamant, Amethyst, Bergkristall, Selenit |- | [[Datei:Beispiel.png|mini|आज्ञा]] || Ajna Chakra || Weiß || Indigo || Mitte des Kopfes; zwischen den Augenbrauen || Intellekt, Intuition, alle geistigen Kräfte || Geist || |- | || Vishuddha Chakra || || || || || || |- | || Anahata Chakra || || || || || || |- | || Manipura Chakra || || || || || || |- | || Svadhisthana Chakra || || || || || || |- | || Muladhara Chakra || || || || || || |} == Quellen == <br> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna_Chakra Ajna Chakra], Yogawiki.</ref> <ref>[https://whttps://www.yoga-vidya.de/chakra/sahasrara-chakra-kronenchakra/ Sahasrara Chakra], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://www.yogaeasy.de/artikel/das-siebte-chakra-sahasrara-das-kronenchakra Kronenchakra], Yoga Easy.</ref> <ref>[https://blumedeslebensbedeutung.com/ Blume des Lebens], Blumedeslebens.</ref> <ref>[https://www.gruene-insel.de/blog/2019/baum-des-lebens/ Baum des Lebens], Grüne Insel.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Schlange Schlange], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Om OM], Yogawiki.</ref> quxcr7zg4o5qnkb026sxfhciyu70115 748380 748368 2022-08-09T14:58:55Z Jp090 36306 Chakren um Inhalt ergänzt wikitext text/x-wiki Im folgenden Artikel sind die häufigsten Symbole, welche sich in der spirituellen Welt wiederfinden übersichtlich Dargestellt. {| class="wikitable sortable" |+ Spirituelle Symbole |- ! Symbol !! Name !! Herkunft !! Geschichte |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lotosblumen Lotusblume] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus] || In der Spiritualität ist die Lotusblume (oder auch Lotusblüte, [https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna%20Chakra Ajna-Chakra] genannt) ein Zeichen der Erleuchtung. Sie symbolisiert das bekannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Drittes%20Auge dritte Auge]. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hamsa Hamsa], ''خمسة''|| [https://de.wikipedia.org/wiki/Islam Islam] || Auch bekannt als [https://de.wikipedia.org/wiki/Hand der Fatima]. Dieses spirituelle Symbol wird zum Schutz des Bösen oder zum Schutz von Bösen blicken verwendet. Dem Träger der Hamsa wird Glück und Kraft begegnen. Hamsa bedeutet im arabischen die Zahl "fünf", welche die fünf Finger an einer Hand symbolisch Darstellt. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Yin%20und%20Yang Yin Yang], ''太極圖 / 太极图'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Daoismus Daoismus] || Alles steht im Gleichgewicht; zu allem gibt es ein Gegenpol. Das schwarz-weiße Taijitu beschreib genau dies. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Blume%20des%20Lebens Blume des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judentum Judentum] || Dieses Symbol besteht aus genau 19 Kreisen, die ineinander verzweigt sind. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Baum%20des%20Lebens Baum des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Kelten Keltisch] || Ein Symbol welches bereits Bestandteil einer Vielzahl von Jahrtausendalten Völkern ist. Es steht für die kosmische Ordnung. Ein alter Glaube besagt, dass der Baum des Lebens den Himmel, die Erde und die Unterwelt miteinander verbindet. Heute wird dieser als Zeichen für Hoffnung und ein glückliches und gesundes Leben bezeichnet. Dieses spirituelle Symbol versteckte sich bereits in vielen Märchen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Br%C3%BCder_Grimm Gebrüder Grimm], wie bspw. [https://de.wikipedia.org/wiki/Aschenputtel Aschenputtel], [https://de.wikipedia.org/wiki/Frau%20Holle Frau Holle], [https://de.wikipedia.org/wiki/Schneewittchen Schneewittchen] und vielen mehr. |- | '''☥ ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Anch Anch], ''ˁnḫ'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Als Symbol des göttlichen Lebens bedeutet das Anch (auch Ankh) ein Leben im Diesseits und ewiges Leben im Jenseits. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hermesstab Hermesstab] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie Griechische Mythologie] || Dieses Symbol findet man häufig in Arztpraxen wieder. Er bedeutete im [https://de.wikipedia.org/wiki/Altertum Altertum] das Erkennungszeichen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Herold Herolde] und wurde demnach auch Heroldsstab genannt. Später stand er symbolisch für das Handeln in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Heraldik Heraldik], zu dieser Zeit nannten die Menschen ihn Merkurstab. Im 20. Jahrhundert wurde der Hermesstab als Symbol des U.S. Army Medical Corps eingeführt und dient seither als medizinisches Symbol. Als Ursprung des Symbols wird jedoch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie griechische Mythologie] definiert, zu diesen Zeiten hieß der Stab allerdings [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84skulapstab Äskulapstab]. |- | || Schlange || || |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Swastika Swastika] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Dieses spirituelle Symbol wird vor allem im Hinduismus und Buddhismus als Sonnenrad gepriesen. Die Swastika wird als Glücksbringer geschätzt. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Nazi Nazis] missbrauchten dieses Symbol als ihr Hakenkreuz während des zweiten Weltkriegs. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Horusauge Auge des Horus] || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Das Horusauge wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Auge%20des%20Re Auge des Re], Auge des Aton oder östliches Auge genannt. Es symbolisiert die Sonnenscheibe der alten Ägyptischen Sonnengötter ([https://de.wikipedia.org/wiki/Amun Amun-Re], [https://de.wikipedia.org/wiki/Re-Harachte Re-Harachte] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Aton Aton]). |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Dharmachakra Dharma-Rad] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus] || Das Dharma-Rad ist das bekannteste Symbol der Buddhisten. Es steht buchstäblich für das "Rad der Lehre". Es soll daran erinnern, dass der Geist die Welt nicht verlässt, er verändert nur seine Form und lebt im Körper eines neuen Wesens weiter. Nach dem buddhistischen Glauben, erinnert das Dharma-Rad an die Wege zur Erkenntnis aller Dinge. Es soll ins [https://de.wikipedia.org/wiki/Nirwana Nirwana] führen, wo alles Leid wie Gier, Wut und Hass keinen Platz haben. |- | '''ॐ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Om OM] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Om oder Aum ist nicht nur eine heilige Silbe aus dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Sanskrit Sanskrit], vielmehr ist es das wichtigste und bekannteste [https://de.wikipedia.org/wiki/Mantra Bija Mantra]. Es repräsentiert den Urklang der Schöpfung der Essenz der [https://de.wikipedia.org/wiki/Veda Veda]. OM führt im Körper, Geist und der Seele zur Harmonie. |} <br> <br> Im folgenden gibt es einen Überblick über alle [https://de.wikipedia.org/wiki/Chakra Chakren]. {| class="wikitable" |+ Alle 7 Chakren |- ! Chakra !! Name !! Chakra Farbe !! Stelle !! Charaktereigenschaft !! Element !! Heilsteine |- | Btbh || Sahasrara Chakra (Kronenchakra)|| violett || Am Scheites des Kopfes || Empathie, Spiritualität || Universum || Diamant, Amethyst, Bergkristall, Selenit |- | [[Datei:Beispiel.png|mini|आज्ञा]] || Ajna Chakra || indigo || Mitte des Kopfes; zwischen den Augenbrauen || Intellekt, Intuition, Wahrnehmung, alle geistigen Kräfte || Geist || Lapislazuli, indigoblauer Saphir, Sodalith |- | || Vishuddha Chakra || blau || Höhe des Kehlkopfes, des Nackens, dem Kieferbereich, der Stimme der Luft- und Speiseröhre || Kommunikation, Kreativität || Äther || Aquamarin, Türkis, Chalzedon |- | || Anahata Chakra || grün || Brustraum || Liebe, Heilung || Luft || Rosenquarz, Smaragd, Rhodonit, Malachit, Jade |- | || Manipura Chakra || gelb || Oberhalb des Bauchnabels || Weisheit, Macht, Willenskraft || Feuer || Tigerauge, Bernstein, Edeltopas, Zitrin |- | || Svadhisthana Chakra || orange || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich des Kreuzbeins || Sexualität, Kreativität || Wasser || Karneol, Mondstein |- | || Muladhara Chakra || rot || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich der Genitalien || Urvertrauen || Erde || Achat, Blutstein, Blutjaspis, Granat, Rubin |} == Quellen == <br> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna_Chakra Ajna Chakra], Yogawiki.</ref> <ref>[https://whttps://www.yoga-vidya.de/chakra/sahasrara-chakra-kronenchakra/ Sahasrara Chakra], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://www.yogaeasy.de/artikel/das-siebte-chakra-sahasrara-das-kronenchakra Kronenchakra], Yoga Easy.</ref> <ref>[https://blumedeslebensbedeutung.com/ Blume des Lebens], Blumedeslebens.</ref> <ref>[https://www.gruene-insel.de/blog/2019/baum-des-lebens/ Baum des Lebens], Grüne Insel.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Schlange Schlange], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Om OM], Yogawiki.</ref> t0zwtl1uslr6rdwj00xpxltw1fprr3c 748382 748380 2022-08-09T15:02:53Z Jp090 36306 Chakren um weiteren Inhalt ergänzt wikitext text/x-wiki Im folgenden Artikel sind die häufigsten Symbole, welche sich in der spirituellen Welt wiederfinden übersichtlich Dargestellt. {| class="wikitable sortable" |+ Spirituelle Symbole |- ! Symbol !! Name !! Herkunft !! Geschichte |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Lotosblumen Lotusblume] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus] || In der Spiritualität ist die Lotusblume (oder auch Lotusblüte, [https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna%20Chakra Ajna-Chakra] genannt) ein Zeichen der Erleuchtung. Sie symbolisiert das bekannte [https://de.wikipedia.org/wiki/Drittes%20Auge dritte Auge]. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hamsa Hamsa], ''خمسة''|| [https://de.wikipedia.org/wiki/Islam Islam] || Auch bekannt als [https://de.wikipedia.org/wiki/Hand der Fatima]. Dieses spirituelle Symbol wird zum Schutz des Bösen oder zum Schutz von Bösen blicken verwendet. Dem Träger der Hamsa wird Glück und Kraft begegnen. Hamsa bedeutet im arabischen die Zahl "fünf", welche die fünf Finger an einer Hand symbolisch Darstellt. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Yin%20und%20Yang Yin Yang], ''太極圖 / 太极图'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Daoismus Daoismus] || Alles steht im Gleichgewicht; zu allem gibt es ein Gegenpol. Das schwarz-weiße Taijitu beschreib genau dies. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Blume%20des%20Lebens Blume des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Judentum Judentum] || Dieses Symbol besteht aus genau 19 Kreisen, die ineinander verzweigt sind. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Baum%20des%20Lebens Baum des Lebens] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Kelten Keltisch] || Ein Symbol welches bereits Bestandteil einer Vielzahl von Jahrtausendalten Völkern ist. Es steht für die kosmische Ordnung. Ein alter Glaube besagt, dass der Baum des Lebens den Himmel, die Erde und die Unterwelt miteinander verbindet. Heute wird dieser als Zeichen für Hoffnung und ein glückliches und gesundes Leben bezeichnet. Dieses spirituelle Symbol versteckte sich bereits in vielen Märchen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Br%C3%BCder_Grimm Gebrüder Grimm], wie bspw. [https://de.wikipedia.org/wiki/Aschenputtel Aschenputtel], [https://de.wikipedia.org/wiki/Frau%20Holle Frau Holle], [https://de.wikipedia.org/wiki/Schneewittchen Schneewittchen] und vielen mehr. |- | '''☥ ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Anch Anch], ''ˁnḫ'' || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Als Symbol des göttlichen Lebens bedeutet das Anch (auch Ankh) ein Leben im Diesseits und ewiges Leben im Jenseits. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Hermesstab Hermesstab] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie Griechische Mythologie] || Dieses Symbol findet man häufig in Arztpraxen wieder. Er bedeutete im [https://de.wikipedia.org/wiki/Altertum Altertum] das Erkennungszeichen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Herold Herolde] und wurde demnach auch Heroldsstab genannt. Später stand er symbolisch für das Handeln in der [https://de.wikipedia.org/wiki/Heraldik Heraldik], zu dieser Zeit nannten die Menschen ihn Merkurstab. Im 20. Jahrhundert wurde der Hermesstab als Symbol des U.S. Army Medical Corps eingeführt und dient seither als medizinisches Symbol. Als Ursprung des Symbols wird jedoch die [https://de.wikipedia.org/wiki/Griechische%20Mythologie griechische Mythologie] definiert, zu diesen Zeiten hieß der Stab allerdings [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84skulapstab Äskulapstab]. |- | || Schlange || || |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Swastika Swastika] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Dieses spirituelle Symbol wird vor allem im Hinduismus und Buddhismus als Sonnenrad gepriesen. Die Swastika wird als Glücksbringer geschätzt. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Nazi Nazis] missbrauchten dieses Symbol als ihr Hakenkreuz während des zweiten Weltkriegs. |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Horusauge Auge des Horus] || [https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84gyptisch Ägyptisch] || Das Horusauge wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Auge%20des%20Re Auge des Re], Auge des Aton oder östliches Auge genannt. Es symbolisiert die Sonnenscheibe der alten Ägyptischen Sonnengötter ([https://de.wikipedia.org/wiki/Amun Amun-Re], [https://de.wikipedia.org/wiki/Re-Harachte Re-Harachte] und [https://de.wikipedia.org/wiki/Aton Aton]). |- | || [https://de.wikipedia.org/wiki/Dharmachakra Dharma-Rad] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus] || Das Dharma-Rad ist das bekannteste Symbol der Buddhisten. Es steht buchstäblich für das "Rad der Lehre". Es soll daran erinnern, dass der Geist die Welt nicht verlässt, er verändert nur seine Form und lebt im Körper eines neuen Wesens weiter. Nach dem buddhistischen Glauben, erinnert das Dharma-Rad an die Wege zur Erkenntnis aller Dinge. Es soll ins [https://de.wikipedia.org/wiki/Nirwana Nirwana] führen, wo alles Leid wie Gier, Wut und Hass keinen Platz haben. |- | '''ॐ''' || [https://de.wikipedia.org/wiki/Om OM] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Buddhismus Buddhismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Hinduismus Hinduismus], [https://de.wikipedia.org/wiki/Jainismus Jainismus] || Om oder Aum ist nicht nur eine heilige Silbe aus dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Sanskrit Sanskrit], vielmehr ist es das wichtigste und bekannteste [https://de.wikipedia.org/wiki/Mantra Bija Mantra]. Es repräsentiert den Urklang der Schöpfung der Essenz der [https://de.wikipedia.org/wiki/Veda Veda]. OM führt im Körper, Geist und der Seele zur Harmonie. |} <br> <br> Im folgenden gibt es einen Überblick über alle [https://de.wikipedia.org/wiki/Chakra Chakren]. {| class="wikitable" |+ Alle 7 Chakren |- ! Chakra !! Name !! Chakra Farbe !! Stelle !! Charaktereigenschaft !! Element !! Heilsteine |- | Btbh || Sahasrara Chakra (Kronenchakra)|| violett || Am Scheites des Kopfes || Empathie, Spiritualität || Universum || Diamant, Amethyst, Bergkristall, Selenit |- | [[Datei:Beispiel.png|mini|आज्ञा]] || Ajna Chakra (Stirnchakra) || indigo || Mitte des Kopfes; zwischen den Augenbrauen || Intellekt, Intuition, Wahrnehmung, alle geistigen Kräfte || Geist || Lapislazuli, indigoblauer Saphir, Sodalith |- | || Vishuddha Chakra (Kehlkopfchakra) || blau || Höhe des Kehlkopfes, des Nackens, dem Kieferbereich, der Stimme der Luft- und Speiseröhre || Kommunikation, Kreativität || Äther || Aquamarin, Türkis, Chalzedon |- | || Anahata Chakra (Herzchakra) || grün || Brustraum || Liebe, Heilung || Luft || Rosenquarz, Smaragd, Rhodonit, Malachit, Jade |- | || Manipura Chakra (Solarplexuschakra) || gelb || Oberhalb des Bauchnabels || Weisheit, Macht, Willenskraft || Feuer || Tigerauge, Bernstein, Edeltopas, Zitrin |- | || Svadhisthana Chakra (Sakralchakra) || orange || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich des Kreuzbeins || Sexualität, Kreativität || Wasser || Karneol, Mondstein |- | || Muladhara Chakra (Wurzelchakra) || rot || Am unteren Ende der Wirbelsäule, im Bereich der Genitalien || Urvertrauen || Erde || Achat, Blutstein, Blutjaspis, Granat, Rubin |} == Quellen == <br> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Ajna_Chakra Ajna Chakra], Yogawiki.</ref> <ref>[https://whttps://www.yoga-vidya.de/chakra/sahasrara-chakra-kronenchakra/ Sahasrara Chakra], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://www.yogaeasy.de/artikel/das-siebte-chakra-sahasrara-das-kronenchakra Kronenchakra], Yoga Easy.</ref> <ref>[https://blumedeslebensbedeutung.com/ Blume des Lebens], Blumedeslebens.</ref> <ref>[https://www.gruene-insel.de/blog/2019/baum-des-lebens/ Baum des Lebens], Grüne Insel.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Schlange Schlange], Yoga Vidya.</ref> <ref>[https://wiki.yoga-vidya.de/Om OM], Yogawiki.</ref> m6307p1a34f0871zze5kw34wpjhp2hp 106 141065 748351 748342 2022-08-09T12:38:31Z Bert Niehaus 20843 /* Lösung mittels QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \R^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \R^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \R^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \R^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \R^{(n-k)\times k} </math> (vgl. (3.39)): :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \R^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \R^{k\times k}, </math> Dann gilt: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \R^{n\times n}</math> und <math>S \in \R^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \R^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \R^n, y^{(1)} \in \R^k, y^{(2)} \in \R^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \R^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \R^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \R^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \R^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gqipy0pfj9m1bia2guq75jo17du6id8 748352 748351 2022-08-09T12:50:00Z Bert Niehaus 20843 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math> (vgl. (3.39)): :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5432wtkwqncl41ep7q8heatwdgjm1j2 748353 748352 2022-08-09T12:56:03Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math> (vgl. (3.39)): :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9evwt28d5t16abcjxmsesljjpks4t9u 748354 748353 2022-08-09T12:57:23Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] o3kiomx0elylewtkdh77m6hambmg07h 748355 748354 2022-08-09T13:35:46Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] kap67eso8m9wj2rts0uzkkoyloesodx 748356 748355 2022-08-09T13:39:39Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. === Bemerkung - Fehlerquadratprobleme === In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 027jzic8gmgpwg37pdrbj8xoks83qbh 748357 748356 2022-08-09T13:40:02Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Fehlerquadratprobleme */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0x6ag51rl3jv2yqxj647rd56rgfxllh 748358 748357 2022-08-09T13:41:09Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung ==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] r154lr02y48gh3v24sccr738bya8rrk 748359 748358 2022-08-09T13:48:11Z Bert Niehaus 20843 /* Satz - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung ==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] op39dd7l8c1hvn9op6c0ihogwmf1ti6 748360 748359 2022-08-09T13:48:52Z Bert Niehaus 20843 /* Folgerung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgeru ng QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] teho2fnljkab5dhomarvk0i47oa7gj6 748361 748360 2022-08-09T13:49:21Z Bert Niehaus 20843 /* Folgeru ng QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems :<math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem hat man <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4xyd1cww4brnjxgtspijvqr18rbf9tk 748365 748361 2022-08-09T14:16:37Z Bert Niehaus 20843 /* Folgerung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>\|Ax^* -b\| =\|y^{(2)}\|</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math> === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] n1u2ycymbjlq6af2c457tj09rskgkat 748366 748365 2022-08-09T14:17:10Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] fko75sxclvfmebltxp8jjrlvxpvdyjz 748367 748366 2022-08-09T14:18:15Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir unter Verwendung von (3.38) und Lemma 3.23 :<math>\|b - Ax^*\|_2^2 = \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \left\| Q^T b - Sx \right\|_2^2 = \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2.</math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] r8wj0rtk9fo4hs10bkx6r8wx30l1f3i 748369 748367 2022-08-09T14:43:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\left\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\right\|_2^2 \\ & = & \left\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \right\|_2^2 \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gfgrc4qbrvcqddfbvbni3kmsi3dcl1t 748370 748369 2022-08-09T14:44:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\left\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\right\|_2^2 \\ & = & \left\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \right\|_2^2 \\ & = & \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] rfozeiqlvcg2ibynqd5qjseetpaaoyh 748371 748370 2022-08-09T14:45:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hwenabopjyfsqly3m3x0mqvyu4qouux 748372 748371 2022-08-09T14:45:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} & = & \left\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \right\|_2^2 \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 821ggxtn0wz8xvenygqbfgh1q0crcmv 748373 748372 2022-08-09T14:46:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9imvquh77rcd3ea088e1at41vz2howk 748375 748373 2022-08-09T14:50:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungsatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gtu1qw7tf0dctx5aqufgiy453kzc4d6 748376 748375 2022-08-09T14:50:39Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^1 - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^2 \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^2 \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^1 - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^1.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0ptbs6s56ni5yzihy8trcistnxle6e4 748378 748376 2022-08-09T14:51:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. === Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung === unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> Daraus folgt :<math>\|b - Ax\|_2 \ge \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> sowie :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gmmyk5nha4uogewslsxymxgohylely6 748379 748378 2022-08-09T14:58:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutig Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] suwkhk3v7lms3k8df2lf7z1hgwnob9q 748381 748379 2022-08-09T15:00:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Eindeutig Lösung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Nach Satz 4.3 und Lemma 4.6 besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem sowie das System <math>Rx = y^1</math> eine eindeutige Lösung. Wir geben zum letzten Satz ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] llq7h0dtlugxzw2wp9kvbwxkmjcozst 748383 748381 2022-08-09T15:04:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0oqc21b22c7samxq7pgtqq9ghrtu32c 748384 748383 2022-08-09T15:09:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Nach Beispiel 3.32 liefert eine QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. ::<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -13/2 \\ -5/2 \end{pmatrix}</math> lautet ::<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := (3/2, 1/2)^T.</math> Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch ::<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} 99/34 \\ -5/34 \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> ---- Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in Satz 4.7 dargestellten Weg, vergleichen. In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. (Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>k^2/2</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung.) Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>b - Ax</math> weitere <math>nk</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr ::<math>\frac 12 nk^2 + \frac 16 k^3 + nk</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind ::(4.14) <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. Für das sich aus Satz 4.7 ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. Wie ein Vergleich von (3.55) und (4.14) liefert, müssen demnach für beide Wege im Fall <math>n \approx k</math> etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, während der Weg über die QS-Zerlegung für <math>n \gg k</math> etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen erfordert wie der über die Normalgleichungen. Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] i9fbwcwop1nzaxn0k5f4ym85l6io1ei 748387 748384 2022-08-09T15:42:03Z Bert Niehaus 20843 /* Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die Konditionszahl von <math>A^TA</math> über die Konditionszahl der invertierbaren oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Der Spaltenrang von <math>A</math> ist 2, da die beiden Spalten von <math>A</math> nicht linear abhängig sind. Nun liefert die QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> die folgende obere Dreiecksmatrix <math>R</math> und die folgenden Vektoren <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 3 - Lösung für das Ausgleichsproblem === Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. :<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}</math> lautet :<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)^T.</math> === Beispielschritt 4 - Approximationsfehler des Ausgleichsproblems === Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch :<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> == Vergleich der Lösungswege bzgl. Zerlegung == Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatz]] dargestellten Weg, vergleichen. === Gemeinsamkeiten === In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>\frac{k^2}{2}</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung. === Daten für das Gleichungssystem === Der Lösungsvektor <math>x\in \mathbb{R}^k</math> hat in der Regel eine feste Dimension <math>k\leq n</math> während <math>n </math> die Anzahl der Gleichungen für Daten angibt, die bzgl. <math>\|Ax-b\|_2</math> in der euklidischen Norm minimiert werden soll. === Berechnungsaufwand - Cholesky-Zerlegung === Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>Ax-b</math> weitere <math>n\cdot k</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr :<math>\frac 12 n\cdot k^2 + \frac 16 \cdot k^3 + n\cdot k</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind : <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. === Berechnungsaufwand - QS-Zerlegung === Für das sich aus dem QS-Zerlegungssatz ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. === Vergleich ''n'' nahe bei ''k'' === Wenn <math>n</math> nahe bei <math>k</math> liegt (<math>n \approx k</math>) benötigen im Vergleich der beiden Verfahren demnach für beide Wege etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen. === Vergleich ''n'' groß im Vergleich zu ''k'' === Ist <math>n</math> sehr groß im Vergleich zu <math>k</math> müssen über den Weg der QS-Zerlegung etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie der Lösung über die Normalgleichungen (Cholesky). === Berechnungsaufwand und Konditionszahl === Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5yhpxn1ehubm2hgzfj0rf8mnanumdkp 748390 748387 2022-08-09T15:45:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die [[Konditionszahl]] von <math>A^TA</math> über die [[Konditionszahl]] der invertierbaren oberen [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Der Spaltenrang von <math>A</math> ist 2, da die beiden Spalten von <math>A</math> nicht linear abhängig sind. Nun liefert die QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> die folgende obere Dreiecksmatrix <math>R</math> und die folgenden Vektoren <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 3 - Lösung für das Ausgleichsproblem === Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. :<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}</math> lautet :<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)^T.</math> === Beispielschritt 4 - Approximationsfehler des Ausgleichsproblems === Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch :<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> == Vergleich der Lösungswege bzgl. Zerlegung == Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatz]] dargestellten Weg, vergleichen. === Gemeinsamkeiten === In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>\frac{k^2}{2}</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung. === Daten für das Gleichungssystem === Der Lösungsvektor <math>x\in \mathbb{R}^k</math> hat in der Regel eine feste Dimension <math>k\leq n</math> während <math>n </math> die Anzahl der Gleichungen für Daten angibt, die bzgl. <math>\|Ax-b\|_2</math> in der euklidischen Norm minimiert werden soll. === Berechnungsaufwand - Cholesky-Zerlegung === Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>Ax-b</math> weitere <math>n\cdot k</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr :<math>\frac 12 n\cdot k^2 + \frac 16 \cdot k^3 + n\cdot k</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind : <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. === Berechnungsaufwand - QS-Zerlegung === Für das sich aus dem QS-Zerlegungssatz ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. === Vergleich ''n'' nahe bei ''k'' === Wenn <math>n</math> nahe bei <math>k</math> liegt (<math>n \approx k</math>) benötigen im Vergleich der beiden Verfahren demnach für beide Wege etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen. === Vergleich ''n'' groß im Vergleich zu ''k'' === Ist <math>n</math> sehr groß im Vergleich zu <math>k</math> müssen über den Weg der QS-Zerlegung etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie der Lösung über die Normalgleichungen (Cholesky). === Berechnungsaufwand und Konditionszahl === Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel 4.9 ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(ATA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] r0utqqoptafxi2eo4o9hoxnaqpcnomf 748391 748390 2022-08-09T15:52:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 4.9 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die [[Konditionszahl]] von <math>A^TA</math> über die [[Konditionszahl]] der invertierbaren oberen [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Der Spaltenrang von <math>A</math> ist 2, da die beiden Spalten von <math>A</math> nicht linear abhängig sind. Nun liefert die QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> die folgende obere Dreiecksmatrix <math>R</math> und die folgenden Vektoren <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 3 - Lösung für das Ausgleichsproblem === Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. :<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}</math> lautet :<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)^T.</math> === Beispielschritt 4 - Approximationsfehler des Ausgleichsproblems === Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch :<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> == Vergleich der Lösungswege bzgl. Zerlegung == Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatz]] dargestellten Weg, vergleichen. === Gemeinsamkeiten === In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>\frac{k^2}{2}</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung. === Daten für das Gleichungssystem === Der Lösungsvektor <math>x\in \mathbb{R}^k</math> hat in der Regel eine feste Dimension <math>k\leq n</math> während <math>n </math> die Anzahl der Gleichungen für Daten angibt, die bzgl. <math>\|Ax-b\|_2</math> in der euklidischen Norm minimiert werden soll. === Berechnungsaufwand - Cholesky-Zerlegung === Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>Ax-b</math> weitere <math>n\cdot k</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr :<math>\frac 12 n\cdot k^2 + \frac 16 \cdot k^3 + n\cdot k</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind : <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. === Berechnungsaufwand - QS-Zerlegung === Für das sich aus dem QS-Zerlegungssatz ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. === Vergleich ''n'' nahe bei ''k'' === Wenn <math>n</math> nahe bei <math>k</math> liegt (<math>n \approx k</math>) benötigen im Vergleich der beiden Verfahren demnach für beide Wege etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen. === Vergleich ''n'' groß im Vergleich zu ''k'' === Ist <math>n</math> sehr groß im Vergleich zu <math>k</math> müssen über den Weg der QS-Zerlegung etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie der Lösung über die Normalgleichungen (Cholesky). === Berechnungsaufwand und Konditionszahl === Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: ==== Beispiel - Vergleich Konditionszahl ==== Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> Damit ergibt sich ::<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := .5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Dann erhält man ::<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. Man errechnet hier ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> ::<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] dipiur5mehzm7qyi8mk12bwpczytlgk 748392 748391 2022-08-09T16:01:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Vergleich Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die [[Konditionszahl]] von <math>A^TA</math> über die [[Konditionszahl]] der invertierbaren oberen [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Der Spaltenrang von <math>A</math> ist 2, da die beiden Spalten von <math>A</math> nicht linear abhängig sind. Nun liefert die QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> die folgende obere Dreiecksmatrix <math>R</math> und die folgenden Vektoren <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 3 - Lösung für das Ausgleichsproblem === Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. :<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}</math> lautet :<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)^T.</math> === Beispielschritt 4 - Approximationsfehler des Ausgleichsproblems === Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch :<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> == Vergleich der Lösungswege bzgl. Zerlegung == Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatz]] dargestellten Weg, vergleichen. === Gemeinsamkeiten === In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>\frac{k^2}{2}</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung. === Daten für das Gleichungssystem === Der Lösungsvektor <math>x\in \mathbb{R}^k</math> hat in der Regel eine feste Dimension <math>k\leq n</math> während <math>n </math> die Anzahl der Gleichungen für Daten angibt, die bzgl. <math>\|Ax-b\|_2</math> in der euklidischen Norm minimiert werden soll. === Berechnungsaufwand - Cholesky-Zerlegung === Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>Ax-b</math> weitere <math>n\cdot k</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr :<math>\frac 12 n\cdot k^2 + \frac 16 \cdot k^3 + n\cdot k</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind : <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. === Berechnungsaufwand - QS-Zerlegung === Für das sich aus dem QS-Zerlegungssatz ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. === Vergleich ''n'' nahe bei ''k'' === Wenn <math>n</math> nahe bei <math>k</math> liegt (<math>n \approx k</math>) benötigen im Vergleich der beiden Verfahren demnach für beide Wege etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen. === Vergleich ''n'' groß im Vergleich zu ''k'' === Ist <math>n</math> sehr groß im Vergleich zu <math>k</math> müssen über den Weg der QS-Zerlegung etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie der Lösung über die Normalgleichungen (Cholesky). === Berechnungsaufwand und Konditionszahl === Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: === Beispiel - Vergleich Konditionszahl === Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> ==== Berechnung von ''A^TA'' ==== Damit ergibt sich für die Berechnung von <math>A^TA</math>: :<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> ==== Maschinengenauigkeit 1 ==== Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := 0.5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Damit liegt <math>\varepsilon^2</math> unterhalb der zugehörigen Maschinengenauigkeit und wird als 0 gespeichert. ==== Maschinengenauigkeit 2 ==== Dann erhält man [[Gleitkommadarstellung]] für <math>1 + \varepsilon^2</math> :<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. ==== Maschinengenauigkeit 3 - Invertierbarkeit ==== Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. ==== Konditionszahl 4 ==== Man errechnet hier :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> :<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jhcgvdqztrs2frksfhv3aup1ppszacn 748393 748392 2022-08-09T16:02:28Z Bert Niehaus 20843 /* Maschinengenauigkeit 2 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die [[Konditionszahl]] von <math>A^TA</math> über die [[Konditionszahl]] der invertierbaren oberen [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Der Spaltenrang von <math>A</math> ist 2, da die beiden Spalten von <math>A</math> nicht linear abhängig sind. Nun liefert die QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> die folgende obere Dreiecksmatrix <math>R</math> und die folgenden Vektoren <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 3 - Lösung für das Ausgleichsproblem === Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. :<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}</math> lautet :<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)^T.</math> === Beispielschritt 4 - Approximationsfehler des Ausgleichsproblems === Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch :<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> == Vergleich der Lösungswege bzgl. Zerlegung == Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatz]] dargestellten Weg, vergleichen. === Gemeinsamkeiten === In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>\frac{k^2}{2}</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung. === Daten für das Gleichungssystem === Der Lösungsvektor <math>x\in \mathbb{R}^k</math> hat in der Regel eine feste Dimension <math>k\leq n</math> während <math>n </math> die Anzahl der Gleichungen für Daten angibt, die bzgl. <math>\|Ax-b\|_2</math> in der euklidischen Norm minimiert werden soll. === Berechnungsaufwand - Cholesky-Zerlegung === Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>Ax-b</math> weitere <math>n\cdot k</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr :<math>\frac 12 n\cdot k^2 + \frac 16 \cdot k^3 + n\cdot k</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind : <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. === Berechnungsaufwand - QS-Zerlegung === Für das sich aus dem QS-Zerlegungssatz ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. === Vergleich ''n'' nahe bei ''k'' === Wenn <math>n</math> nahe bei <math>k</math> liegt (<math>n \approx k</math>) benötigen im Vergleich der beiden Verfahren demnach für beide Wege etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen. === Vergleich ''n'' groß im Vergleich zu ''k'' === Ist <math>n</math> sehr groß im Vergleich zu <math>k</math> müssen über den Weg der QS-Zerlegung etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie der Lösung über die Normalgleichungen (Cholesky). === Berechnungsaufwand und Konditionszahl === Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: === Beispiel - Vergleich Konditionszahl === Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> ==== Berechnung von ''A^TA'' ==== Damit ergibt sich für die Berechnung von <math>A^TA</math>: :<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> ==== Maschinengenauigkeit 1 ==== Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := 0.5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Damit liegt <math>\varepsilon^2</math> unterhalb der zugehörigen Maschinengenauigkeit und wird als 0 gespeichert. ==== Maschinengenauigkeit 2 ==== Dann erhält man [[Gleitkomma-Darstellung]] für <math>1 + \varepsilon^2</math> :<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. ==== Maschinengenauigkeit 3 - Invertierbarkeit ==== Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. ==== Konditionszahl 4 ==== Man errechnet hier :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> :<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] s4v5qrka8reum78frccpqlc6moj1fzk 748395 748393 2022-08-09T16:04:41Z Bert Niehaus 20843 /* Konditionszahl 4 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernressoure zum Thema QS-Zerlegung kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Folien können in der [[Wiki2Reveal]]-Darstellung handschriftlich im Browser beschriftet werden. == Lösung mittels ''QS''-Zerlegung == Für eine QS-Zerlegung stellen wir zunächst fest, dass sich eine Matrix mit maximalen Spaltenrang in ein Produkt von * einer [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonalen]] quadratischen Matrix <math>Q\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und * erweiterten oberen Dreiecksmatrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> === Lemma - QS-Zerlegung === Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> gegeben und <math>A = QS</math> eine Zerlegung von <math>A</math>, wobei <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> eine Matrix der folgenden Gestalt ist mit <math>\mathbf 0 := (0) \in \mathbb{R}^{(n-k)\times k} </math>: :<math>S = \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times k}, R := \begin{pmatrix} * & \ldots & * \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & * \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, </math> Dann gilt für die obere Dreiecksmatrix <math>R</math>: :(i) <math>\det(R) \neq 0</math>, :(ii) <math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \big(\operatorname{cond}_2(R)\big)^2</math>. === Beweis - QS-Zerlegungslemma === Der Beweis gliedert sich in folgende Schritte: * ==== Beweisschritt 1 - Einsetzung ==== Da <math>Q</math> eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>A=QS</math> ist, gilt mit <math>(QS)^T = S^TQ^T</math>: :<math>A^T A = \underbrace{S^TQ^T}_{=A^T}\, \underbrace{QS}_{=A} = S^TS = \begin{pmatrix} R^T & \mathbf 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} = R^TR.</math> Dabei wurde u.a. verwendet, dass für [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrizen <math>Q</math> und <math>s \in \mathbb{R}^n</math> gilt: :<math>(Qs)^TQs=\langle Qs,Qs\rangle = \langle s,s\rangle = s^Ts</math> ==== Beweisschritt 2 - Betrachtung des Ranges ==== Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> ist nach Lemma 4.1 insbesondere :<math>0 \neq \det(A^TA) = \det(R^TR) = \big(\det(R)\big)^2</math>. Damit gilt <math>det(A^TA) > 0 </math> und <math>det(R) \not= 0</math> und (i) ist korrekt. ==== Beweisschritt 3 - Kondition der Matrix ==== Ferner erhält man durch die Gleichheit von <math>A^T A = R^TR</math> aus Beweisschritt 1 die Gleichheit der Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR).</math> Damit kann man die [[Konditionszahl]] von <math>A^TA</math> über die [[Konditionszahl]] der invertierbaren oberen [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] <math>R</math> berechnen. ==== Beweisschritt 4 - Kondition der Matrix ==== Wendet man nun [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma für die Konditionszahl]] auf die reguläre obere Dreiecksmatrix <math>R</math> an, erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(R^TR) = (\operatorname{cond}_2(R))^2.</math> ==== Beweisschritt 5 - Kondition der Matrix ==== Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] und mit der Invertierbarkeit von <math>R</math> sind die Eigenwerte der Matrix <math>R^TR</math> positiv. Insgesamt erhält man mit Schritt 4 die Eigenschaft (ii) aus dem Lemma. :<math> \operatorname{cond}_2(A^TA) = \operatorname{cond}_2(R^TR) = \big( \operatorname{cond}_2(R) \big)^2 </math> q.e.d. ==== Bemerkung - Fehlerquadratprobleme ==== In dem obige [[#Satz - QS-Zerlegung|Satz für die QS-Zerlegung]] wurde der maximale Spaltenrang <math>k</math> der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>k \leq n </math> vorausgesetzt. Der folgende Satz gibt an, wie Fehlerquadratprobleme mittels einer QS-Zerlegung von <math>A</math> gelöst werden können. === Satz - QS-Zerlegung === '''Voraussetzungen''' Es seien <math>A \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math>, <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>, <math>R \in \mathbb{R}^{k\times k}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>Q \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>eine [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale]] Matrix und <math>S \in \mathbb{R}^{n\times k}</math> gegeben wie in [[#Lemma - QS-Zerlegung|Lemma - QS-Zerlegung]]. Weiter sei der Vektor <math>Q^T b \in \mathbb{R}^n</math> dargestellt in der Form :<math>Q^T b = \begin{pmatrix} y^{(1)} \\ y^{(2)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n, y^{(1)} \in \mathbb{R}^k, y^{(2)} \in \mathbb{R}^{n-k}.</math> ==== Folgerung QS-Zerlegung==== Dann ist der Vektor <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> genau dann die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems <math>\min_{x\in \mathbb{R}^k} \|Ax-b\|_2,</math>, wenn <math>x^*</math> eindeutige die Lösung des Systems <math>Rx = y^{(1)}</math> ist. Außerdem gilt für den Fehler <math>\|Ax^*-b\|_2 = \left\|y^{(2)}\right\|_2.</math> ==== Bemerkung QS-Zerlegung==== Ziel des Lösungsverfahrens für ein gesuchtest <math>x</math> ist es, sich möglichst gut bzgl. der euklidschen Norm mit <math>Ax</math> an den Vektor <math>b</math> anzunähern. Die eindeutige Lösung des linearen Ausgleichsproblems liefert mit <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: * <math>Rx = y^{(1)}</math> ein Gleichungssystem mit einer einfach zu lösenden oberen Dreiecksmatrix <math>R</math> und * mit <math>y^{(2)}</math> bzw. <math>\|y^{(2)}\|_2</math> ein Maß für die minimale Abweichung von <math>Ax</math> und <math>b</math> über <math>\|Ax^* -b\|_2 =\|y^{(2)}\|_2</math> bzgl. der Lösung <math>x^*</math>. === Beweis === Für einen beliebigen Vektor <math>v \in \mathbb{R}^k</math> erhalten wir für eine orthogonale Matrix <math>Q</math> eine längetreue Abbildung über: :<math> \| Qv \|_2^2 = \langle Qv,Qv \rangle = \langle v,v \rangle = \| v \|_2^2 \quad (\ast) </math> Ferner gilt für orthogonale Matrizen <math>Q^TQ = I </math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix als neutrales Element der Matrixmultiplikation ist. ==== Beweisschritt 1 - Anwendung QS-Zerlegung ==== unter Verwendung des [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatzes]] und der Ersetzung von <math>A=QS</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \|b - Ax^*\|_2^2 & = & \left\| (QQ^T)b - QSx \right\|_2^2 = \bigg\| Q\big( \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big) \bigg\|_2^2 \\ & = & \big\| \underbrace{Q^Tb - Sx}_{=v} \big\|_2^2 \mbox{ mit QS-Zerlegungssatz} \\ & = & \left\| \begin{pmatrix} y^1 \\ y^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} R \\ \mathbf 0 \end{pmatrix} x \right\|_2^2 = \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2^2 + \left\| y^{(2)} \right\|_2^2 \\ \end{array} </math> ==== Beweisschritt 2 - Anwendung QS-Zerlegung ==== Daraus folgt für einen beliebigen Vektor <math>\widehat{x} \in \mathbb{R}^{k}</math> :<math>\|A\widehat{x} - b\|_2 \geq \min_{x \in \mathbb{R}^{k}} \|Ax - b\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2</math> ==== Beweisschritt 3 - Eindeutige Lösung QS-Zerlegung ==== Ferner gilt :<math>\|b - Ax\|_2 = \left\| y^{(2)} \right\|_2 \Leftrightarrow \left\| y^{(1)} - Rx \right\|_2 = 0 \Leftrightarrow Rx = y^{(1)}.</math> Damit ist alles gezeigt. q.e.d. === Bemerkung === Nach dem Satz und dem Lemma zur QS-Zerlegung besitzen das <math>l_2</math>-Approximationsproblem, wobei man versucht <math>Ax</math> in der <math>l_2</math>-Norm möglichst gut anzunähern, eine eindeutige Lösung. Dies ist äquivalent zu der eindeutigen Lösbarkeit des Systems <math>Rx = y^1</math>. Abschließend geben wir zu dem letzten Satz noch ein Beispiel. == Beispiel - QS-Zerlegung == Wir betrachten das Fehlerquadratproblem mit den Daten ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ 1 & 7 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 1 - gesuchter Vektor === Wir suchen nun eine Vektor <math>x^*\in \mathbb{R}^2</math>, der den Abstand <math> \|Ax - b \|_2 </math> zwischen <math>Ax</math> und <math>b</math> minimiert. === Beispielschritt 2 - QS-Zerlegung === Der Spaltenrang von <math>A</math> ist 2, da die beiden Spalten von <math>A</math> nicht linear abhängig sind. Nun liefert die QS-Zerlegung von <math>A</math> mit gleichzeitiger Berechnung von <math>Q^T b</math> die folgende obere Dreiecksmatrix <math>R</math> und die folgenden Vektoren <math>y^{(1)}</math> und <math>y^{(2)}</math>: ::<math>R := \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \quad y^{(1)} := \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}, \quad y^{(2)} := \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix}.</math> === Beispielschritt 3 - Lösung für das Ausgleichsproblem === Die Lösung von <math>Rx = y^{(1)}</math> bzw. :<math>\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{13}{2} \\ -\frac{5}{2} \end{pmatrix}</math> lautet :<math>x^* = (x^*_1, x^*_2)^T := \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \right)^T.</math> === Beispielschritt 4 - Approximationsfehler des Ausgleichsproblems === Der zugehörige Approximationsfehler in der Euklidischen Norm ist gegeben durch :<math>\|b - Ax^*\|_2 = \left\| y^2 \right\|_2 = \left\| \begin{pmatrix} \frac{99}{34} \\ -\frac{5}{34} \end{pmatrix} \right\|_2 = \frac{\sqrt{9826}}{34} = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac 12 \sqrt{34} \approx 2.915.</math> == Vergleich der Lösungswege bzgl. Zerlegung == Wir wollen nun die beiden beschriebenen Lösungswege für das <math>l_2</math>-Problem, die Lösung der Normalgleichungen mittels Cholesky-Zerlegung und die Lösung über den in [[#Satz - QS-Zerlegung|QS-Zerlegungssatz]] dargestellten Weg, vergleichen. === Gemeinsamkeiten === In beiden Fällen muss die rechte Seite <math>b</math> des Systems <math>Ax = b</math> von links mit einer Matrix multipliziert werden. Weiter sind bei der Cholesky-Zerlegung zwei und bei dem Weg über die QS-Zerlegung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem zu lösen. Da die Lösung eines solchen Systems nur etwa <math>\frac{k^2}{2}</math> Multiplikationen und Divisionen erfordert, vernachlässigen wir hier diesen zusätzlichen Aufwand bei der Cholesky-Zerlegung. === Daten für das Gleichungssystem === Der Lösungsvektor <math>x\in \mathbb{R}^k</math> hat in der Regel eine feste Dimension <math>k\leq n</math> während <math>n </math> die Anzahl der Gleichungen für Daten angibt, die bzgl. <math>\|Ax-b\|_2</math> in der euklidischen Norm minimiert werden soll. === Berechnungsaufwand - Cholesky-Zerlegung === Im Fall der Lösung der Normalgleichungen benötigt man ferner zur Berechnung der symmetrischen Matrix <math>A^TA</math> etwa <math>\frac 12 nk^2</math> und für die Cholesky-Zerlegung etwa <math>\frac 16 k^3</math> wesentliche Rechenoperationen. Daneben erfordert die Berechnung des Residuenvektors <math>Ax-b</math> weitere <math>n\cdot k</math> Multiplikationen, so dass die zuletzt genannten Teilaufgaben zusammen ungefähr :<math>\frac 12 n\cdot k^2 + \frac 16 \cdot k^3 + n\cdot k</math> wesentliche Rechenoperationen erfordern, das sind : <math>\sim \frac 12 nk^2</math> für <math>n \gg k</math> und <math>\sim \frac 23 n^3</math> für <math>n \approx k</math>. === Berechnungsaufwand - QS-Zerlegung === Für das sich aus dem QS-Zerlegungssatz ergebende Vorgehen benötigt man über die Matrix-Vektor-Multiplikation und die Lösung eines Dreieckssystems hinaus nur die Berechnung der QS-Zerlegung von <math>A</math>. === Vergleich ''n'' nahe bei ''k'' === Wenn <math>n</math> nahe bei <math>k</math> liegt (<math>n \approx k</math>) benötigen im Vergleich der beiden Verfahren demnach für beide Wege etwa gleich viele wesentliche Rechenoperationen. === Vergleich ''n'' groß im Vergleich zu ''k'' === Ist <math>n</math> sehr groß im Vergleich zu <math>k</math> müssen über den Weg der QS-Zerlegung etwa doppelt so viele wesentliche Rechenoperationen durchgeführt werden, wie der Lösung über die Normalgleichungen (Cholesky). === Berechnungsaufwand und Konditionszahl === Letzterem Nachteil der QS-Zerlegung steht jedoch entgegen, dass bei ihr nach Lemma 4.6 die Konditionszahl <math>\kappa := \left[ \operatorname{cond}_2 \left( A^TA \right) \right]^{1/2}</math> bzw. für quadratisches <math>A</math> (vgl. Satz 4.5) die Zahl <math>\kappa := \operatorname{cond}_2(A)</math> den Rundungsfehlereinfluss bei der Lösung des Dreieckssystems bestimmt, während dies bei dem Weg über die Normalgleichungen die Zahl <math>\kappa^2</math> ist. Wir geben dazu ein (allerdings etwas extremes) Beispiel: === Beispiel - Vergleich Konditionszahl === Es sei <math>n := 6, k := 5</math> und <math>A \in \mathbb{R}^{6\times 5}</math> mit einem <math>\varepsilon > 0</math> gegeben durch ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \varepsilon & & & & \\ & \varepsilon & & & \\ & & \varepsilon & & \\ & & & \varepsilon & \\ & & & & \varepsilon \end{pmatrix}.</math> ==== Berechnung von ''A^TA'' ==== Damit ergibt sich für die Berechnung von <math>A^TA</math>: :<math>A^TA = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 + \varepsilon^2 \end{pmatrix}.</math> ==== Maschinengenauigkeit 1 ==== Es seien nun <math>b := 10</math> und <math>r := 10</math> die Basis und Mantissenlänge des verwendeten Computers, so dass <math>eps = 5 \cdot 10^{-10}</math> die zugehörige Maschinengenauigkeit ist. Weiter sei <math>\varepsilon := 0.5_{10} - 5</math> und damit <math>\varepsilon^2 = .25_{10} - 10</math>. Damit liegt <math>\varepsilon^2</math> unterhalb der zugehörigen Maschinengenauigkeit und wird als 0 gespeichert. ==== Maschinengenauigkeit 2 ==== Dann erhält man [[Gleitkomma-Darstellung]] für <math>1 + \varepsilon^2</math> :<math>gl(1 + \varepsilon^2) = 1, \quad gl(A^TA) = (a_{ij})</math> mit <math>a_{ij} := 1</math> <math>(i, j = 1, \ldots, 5)</math>. ==== Maschinengenauigkeit 3 - Invertierbarkeit ==== Die Matrix <math>gl(A^TA)</math> hat offenbar den Rang 1 und ist singulär. ==== Konditionszahl 4 ==== Man errechnet hier für die [[Konditionszahl]]: :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \approx 2_{10} + 11,</math> :<math>\left[ \operatorname{cond}_2(A^TA) \right]^{1/2} = \left[ \frac{5 + \varepsilon^2}{\varepsilon^2} \right]^{1/2} \approx 4.5_{10} + 5.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Dreiecksmatrix|Dreiecksmatrix]] * [[w:de:orthogonale Matrix|orthogonale Matrix]] * [[Konditionszahl]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen]] * [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Konditionszahl_Normalengleichung|Lemma - Konditionszahl Normalengleichung]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20mit%20QS-Zerlegung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] tkeztngsof63uauwmuu6cykso9m8mcv 4 141067 748350 746792 2022-08-09T12:10:45Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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Helferlein !! data-sort-type="number" | Anzahl der Benutzer !! data-sort-type="number" | Aktive Benutzer |- |EnhancedTalkBlue || 52 || 1 |- |EnhancedTalkSand || 40 || 1 |- |EnhancedTalkSun || 33 || 1 |- |HotCat || 52 || 1 |- |MicroButtons || 114 || 0 |- |PageWatcher || 65 || 1 |- |ResizeGalleries || 66 || 1 |- |SemanticTemplates || 94 || 0 |- |SemanticTemplatesNew || 35 || 2 |- |Upload || 12 || 0 |- |show-usergroup || 51 || 1 |- |show-usergroup-with-external || 35 || 1 |- |toolserver-integration || 95 || 0 |- |wikEd || 89 || 0 |} * [[Spezial:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: EnhancedTalkBlue,52,1 EnhancedTalkSand,40,1 EnhancedTalkSun,33,1 HotCat,52,1 MicroButtons,114,0 PageWatcher,65,1 ResizeGalleries,66,1 SemanticTemplates,94,0 SemanticTemplatesNew,35,2 Upload,12,0 show-usergroup,51,1 show-usergroup-with-external,35,1 toolserver-integration,95,0 wikEd,89,0 --> 0occlvh7nzdkiol7xqy71xc8qvvysvy 108 141093 748458 746367 2022-08-09T19:08:44Z ChristianSW 15793 Commonscat wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Wir tüfteln mit Scratch, Klemmbausteinen und Elektronik. |BILD=Tüftlerclub 26.07.2022.jpg }} {{Fachbereich|Informatik}} == Unsere Themen == === Arduino === * [[Arduino]] * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] === Scratch === * [[Scratch]] * '''[https://www.de.scratch-wiki.info/wiki/Scratch_in_Schneverdingen/T%C3%BCftlerclub unsere Seite]''' im Scratch-Wiki == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] == Wikimedia == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 2p1l85uty672oj5xra9obhtfkwt12rt 748459 748458 2022-08-09T19:09:12Z ChristianSW 15793 Bild wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Wir tüfteln mit Scratch, Klemmbausteinen und Elektronik. |BILD=Tüftlerclub 26.07.2022 II.jpg }} {{Fachbereich|Informatik}} == Unsere Themen == === Arduino === * [[Arduino]] * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] === Scratch === * [[Scratch]] * '''[https://www.de.scratch-wiki.info/wiki/Scratch_in_Schneverdingen/T%C3%BCftlerclub unsere Seite]''' im Scratch-Wiki == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] == Wikimedia == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 0q1ierw1k9ovetat2xmw6wurx3tnwa3 748460 748459 2022-08-09T19:09:36Z ChristianSW 15793 Bild wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Wir tüfteln mit Scratch, Klemmbausteinen und Elektronik. |BILD=Tüftlerclub 26.07.2022.jpg }} {{Fachbereich|Informatik}} == Unsere Themen == === Arduino === * [[Arduino]] * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] === Scratch === * [[Scratch]] * '''[https://www.de.scratch-wiki.info/wiki/Scratch_in_Schneverdingen/T%C3%BCftlerclub unsere Seite]''' im Scratch-Wiki == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] == Wikimedia == {{Commonscat|Tüftlerclub}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 2p1l85uty672oj5xra9obhtfkwt12rt 106 141266 748518 747393 2022-08-10T09:03:35Z Luca Roth 29503 /* Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == cyscui09iqnx12q3oyvrljj884v0jsb 748521 748518 2022-08-10T09:04:28Z Luca Roth 29503 /* Untersuchungsgegenstand */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == h5k6d0jwmdcbuzl5pnbnoe2cb7elhe0 748523 748521 2022-08-10T09:05:16Z Luca Roth 29503 /* Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == 5mldobz4l9aygse3ry7b6utlc601cox 748524 748523 2022-08-10T09:07:40Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || || Bei .... || |- | Durchlauf 2 || || Bei... || |- | Durchlauf 3 || || Bei... || |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == dabfazdqxcltq21uea5bj0s4wdm77ld 748529 748524 2022-08-10T09:25:08Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || || Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || || Bei... || |- | Durchlauf 3 || || Bei... || |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == nw21tyx14qpchnkrp5u7k7izwah28bj 748530 748529 2022-08-10T09:26:08Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || || Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || || Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || || Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == lby9n4aw9vypr2s0pfc1m9humh1fu6w 748533 748530 2022-08-10T09:27:13Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ! Durchlauf !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == k59xosdh0j1qgqpffxjs1jxrgokn7tn 748534 748533 2022-08-10T09:27:32Z Sebastian Wark 29733 /* Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ! Durchlauf !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == mikd75f2dz9ha6brutr4u8g7yrx71la 748535 748534 2022-08-10T09:27:35Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | Durchlauf || Beobachtung || Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == irf1q4p53w1jv727u6epirv8bdyej4u 748536 748535 2022-08-10T09:27:59Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Durchlauf'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Durchlauf 1 || Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == b6x5ila75bdesf6rfvhrl3hlogq053e 748537 748536 2022-08-10T09:28:23Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == nxfowod9u79u8a5xuxr6adjjjqg7mkm 748538 748537 2022-08-10T09:29:18Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | Durchlauf || Geschwindigkeitswerte || Beobachtung || Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == e7imbrhtwp4qjl1rbw0gmxhhdryq2a8 748539 748538 2022-08-10T09:29:50Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == 2c7789cip577skec1zw81nxcj6ga29w 748540 748539 2022-08-10T09:32:34Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | Durchlauf || Geschwindigkeitswerte || Beobachtung || Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == meumpy4znuthxvs5rhza699921bleny 748541 748540 2022-08-10T09:34:03Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! Durchlauf !! Geschwindigkeitswerte !! Beobachtung !! Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == bojgujuuz2otcnqj7flpuv7ug8c7ndq 748542 748541 2022-08-10T09:35:22Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | Durchlauf || Geschwindigkeitswerte || Beobachtung || Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie |- | Durchlauf || Geschwindigkeitswerte || Beobachtung || Ergebnis Comsol |- | Durchlauf 1 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | Durchlauf 2 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | Durchlauf 3 || Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == tqqu147v5dh9bnd7bqg0kpy9m1g9pq8 748544 748542 2022-08-10T09:37:03Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- ! vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == 1vb15do0ghnxdo5y26ni53b9l6rsv6h 748545 748544 2022-08-10T09:37:54Z Luca Roth 29503 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | vin1 in [m/s]|| vin2 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]|| mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s] || mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s] |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == bzadyk4jbar4pappxgf9wqw3grnyvge 748546 748545 2022-08-10T09:38:52Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref> Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == oncp8ilpsgvvmlh8y3slurgomb2228j 748547 748546 2022-08-10T09:39:31Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref>. ''Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen'' === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- | '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | Bei .... || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- | Bei... || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == s0ya0fexfccwkq33qmv5fpjjwex2y1z 748548 748547 2022-08-10T09:43:36Z Sebastian Wark 29733 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref>. ''Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen'' === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ||Durchläufe| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- ||Durchlauf 1| In diesem Schritt wurde das Netz verfeinert und weitere Randbedingungen festgesetzt, sodass die Diffussion den Stromlinien folgt, d.h. es ist erkennbar, dass sich dieKonzentration von 250 mol/m³ im Einstrom im Gebiet unterschiedlich verhält und abgeschwächt wird. Die Konzentration ist also entlang der Stromlinien stärker und wird so zum Ausfluss transportiert || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- ||Durchlauf 2| Im Vergleich zum ersten Bild wurde die Randbedingung geändert, sodass nun der Einstrom in die Richtung der Normalen erfolgt und somit die Konentration zu Beginn stärker ist und erst danach wie in Durchlauf 1 den Stromlienien folgt. || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- ||Differenzplot| Dieser Plott kennzeichnet die Differenz zwischen Durchlauf1 und Duchlauf 2. Hierbei wird erkennbar, dass besonders am Einstromtrom die Differenz bezüglich der Konzentration am größten ist. || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == oyg0dxumnjyknmq04q0mg1n7awl0tmp 748549 748548 2022-08-10T09:44:23Z Sebastian Wark 29733 /* Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref>. ''Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen'' === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ||Durchläufe|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- ||Durchlauf 1|| In diesem Schritt wurde das Netz verfeinert und weitere Randbedingungen festgesetzt, sodass die Diffussion den Stromlinien folgt, d.h. es ist erkennbar, dass sich dieKonzentration von 250 mol/m³ im Einstrom im Gebiet unterschiedlich verhält und abgeschwächt wird. Die Konzentration ist also entlang der Stromlinien stärker und wird so zum Ausfluss transportiert || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- ||Durchlauf 2|| Im Vergleich zum ersten Bild wurde die Randbedingung geändert, sodass nun der Einstrom in die Richtung der Normalen erfolgt und somit die Konentration zu Beginn stärker ist und erst danach wie in Durchlauf 1 den Stromlienien folgt. || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- ||Differenzplot|| Dieser Plott kennzeichnet die Differenz zwischen Durchlauf1 und Duchlauf 2. Hierbei wird erkennbar, dass besonders am Einstromtrom die Differenz bezüglich der Konzentration am größten ist. || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == inzxixh2q2ax84ncu4qks66wxe8kfhx 748550 748549 2022-08-10T09:44:48Z Luca Roth 29503 wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle das Luft mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten einströmen lassen kann, wobei die drei Röhren die Luft beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) ==Modellierungszyklus 1 - Fluss mit masselosen Teilchen == [[Datei:Gitterpunkte_zur_Approximation_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Gitterpunkte zur Approximation erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Untersuchungsgegenstand === * Wir betrachten hier zunächst masselose Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb ders Reinraums === Ergebnisse des Modellierungszyklus 1 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 1,922 7,5473 13,179 18,814 24,446 30,079 35,712 41,346 6,979 56,369 || 0,044374 0,17158 0,29889 0,42369 0,54729 0,6742 0,80121 0,92828 1,0557 1,2644 || 1,978 7,796 13,609 19,42 25,233 31,045 36,856 42,667 48,479 58,164 || 0,01431 0,036978 0,060413 0,084867 0,10678 0,12873 0,14894 0,16728 0,18433 0,2203 || 1,9781 7,7961 13,6091 19,4202 25,2332 31,0453 36,8563 42,6673 48,4794 58,1644 || [[File:Diagramm 1 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s ||Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer unwesentlich höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 10 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen dem Fluidfluss folgen und ausströmen, wobei dennoch einige am Rand anhaften und nicht ausströmen.|| [[File:Flowa.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 25 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und es wird erkennbar, dass weniger Teilchen am Rand anhaften.|| [[File:Flowb.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-Fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft wird die Geschwindigkeit in den Röhren auf 60 [m/s] beschleunigt, sodass die Teilchen noch immer dem Fluidfluss folgen und ausströmen. Allerdings hat sich die Bewegung der Partikel auf den Bahnen geändert und die Teilchen strömen konzentrierter und mit einer deutlich höheren Geschwindigkeit aus.|| [[File:Flowc.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''vin1 in [m/s]'''|| '''vin2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 1 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in x – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeitskomponente in y – Richtung über Ausfluss 2 in [m/s]'''|| '''mittlere Geschwindigkeit über die Ausflüsse in [m/s]''' |- | 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 || 0,5 2 3,5 5 6,5 8 9,5 11 12,5 14 || 1,922 2,063 2,1521 2,2571 2,3601 2,465 2,5713 2,6753 2,7828 2,9674 || 0,04437 0,04784 0,04261 0,03747 0,03158 0,02561 0,02074 0,01405 0,00838 0,00096 || 1,978 2,0853 2,2462 2,3912 2,5382 2,6833 2,827 2,973 3,1155 3,3476 || 0,01431 0,015124 0,016582 0,018374 0,019076 0,019623 0,019021 0,019233 0,01906 0,018835 || 1,9781 2,0854 2,2463 2,3913 2,5383 2,6834 2,8271 2,9731 3,1156 3,3477 || [[File:Diagramm 2 mittlere Geschwindigkeit.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s ||Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt, demnach haften mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigen langen Bahnen. || [[File:Flowd.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nur noch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 2-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, haften noch mehr Teilchen am Rand an und der Ausfluss folgt auf unregelmäßigeren längeren Bahnen. Das heißt die Teilchen werden zum Teil noch verwirbelt und strömen wieder nach oben, bevor sie ausströmen.|| [[File:Flowe.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases wird der Strom in den Röhren nurnoch auf etwa 2,5 [m/s] beschleunigt. Bei einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases, ist der Ausfluss der Teilchen deutlich geringer und es haften nicht nur Teilchen am oberen Rand an, sondern auch an den unteren Rändern.|| [[File:Flowf.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 2 - Fluss mit massebehafteten Teilchen mit Betrachtung der Trägheitskraft== === Untersuchungsgegenstand === * Hier betrachten wir nun massebehaftete Teilchen, die aus dem Kolben ausströmen und beobachten den Teilchenfluss und eine mögliche Verwirbelung * Diffusion eines z.B. giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer * Außerdem beinhaltet unser Modell die Trägheitskraft === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). Dabei gilt die Erhaltung des Volumenstroms eines inkompressiblen Fluids bei Änderung des durchströmten Querschnitts und das Bernoulli`sche Gesetz<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Gleichung</ref>. ''Hier Formeln/ Kräfte & Gesetze hinzufügen'' === Ergebnisse des Modellierungszyklus 2 === Im Nachfolgenden werden unterschiedliche Einlassgeschwindigkeiten im Zusammenhang mit der Auslassgeschwindigkeit aus dem Kolben simuliert. {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 2 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 4-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun mehr Teilchen , auf Grund der höheren Masse, am Rand anhaften. Zudem strömen einige Teilchen erst gar nicht aus. || [[File:Flow1.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 10-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höhren Masse am Rand anhaften. Außerdem kann beobachtet werden, dass die Teilchen nicht mit der höchsten Geschwindigkeit ausströmen, sondern im Vergleich zum Luftausstrom noch abgebremst werden. || [[File:Flow2.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 11 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 0.5 m/s || Bei konstanter Einstromgeschwindigkeit des Gases und einer 22-fach höheren Einlassgeschwindigkeit der Luft ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Allerdings bleiben nun ähnlich wie oben einige Teilchen, auf Grund der höheren Masse am Rand anhaften. Was nun beobachtet werden kann ist, dass sobald die Teilchen, die nicht am Rand haften bleiben in den Strom aus den Röhren gelangen auf einer konzentrierten Bahn auströmen. || [[File:Flow3.png|thumb|]] |} {| class="wikitable sortable" |+ Parameterstudie: |- | '''Durchlauf'''|| '''Geschwindigkeitswerte'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- | ''Durchlauf 1''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gases vin2= 2 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 4-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Auch die Teilchenbahnen ähneln den masselosen Teilchen, wobei nun einige der Teilchen auf der Strecke hin zum Ausstrom stagnieren und mit einer geringeren Geschwindigkeit als in M1 ausströmen. || [[File:Flow4.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 2''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 5 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 10-fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten, dass einige der Teilchen verwirbeln und erst danach ausströmen oder haften bleiben.|| [[File:Flow5.png|thumb|]] |- | ''Durchlauf 3''|| Einlassgeschwindigkeit der Luft vin1= 0.5 m/s Einstromgeschwindigkeit des Gasesvin2= 11 m/s || Bei konstanter Einlassgeschwindigkeit der Luft und einer 20-Fach höheren Einstromgeschwindigkeit des Gases ist eine ähnliche Geschwindigkeit, wie in M1 in den Röhren zu beobachten. Hier lässt sich zusätzlich noch beobachten,dass nur noch wenige Teilchen ausströmen und eine große Anzahl direkt am oberen Rand anhaften bleibt. || [[File:Flow6.png|thumb|]] |} ==Modellierungszyklus 3 - Fluss mit Betrachtung der Diffusion== === Untersuchungsgegenstand === === Ergebnisse des Modellierungszyklus 3 === {| class="wikitable sortable" |+ |- ||'''Durchläufe'''|| '''Beobachtung'''|| '''Ergebnis Comsol''' |- ||''Durchlauf 1''|| In diesem Schritt wurde das Netz verfeinert und weitere Randbedingungen festgesetzt, sodass die Diffussion den Stromlinien folgt, d.h. es ist erkennbar, dass sich dieKonzentration von 250 mol/m³ im Einstrom im Gebiet unterschiedlich verhält und abgeschwächt wird. Die Konzentration ist also entlang der Stromlinien stärker und wird so zum Ausfluss transportiert || [[File:Flowg.png|thumb|]] |- ||''Durchlauf 2''|| Im Vergleich zum ersten Bild wurde die Randbedingung geändert, sodass nun der Einstrom in die Richtung der Normalen erfolgt und somit die Konentration zu Beginn stärker ist und erst danach wie in Durchlauf 1 den Stromlienien folgt. || [[File:Flowh.png|thumb|]] |- ||''Differenzplot''|| Dieser Plott kennzeichnet die Differenz zwischen Durchlauf1 und Duchlauf 2. Hierbei wird erkennbar, dass besonders am Einstromtrom die Differenz bezüglich der Konzentration am größten ist. || [[File:Flowi.png|thumb|]] |} == Ausblick & Alternativen== {| class="wikitable sortable" |- | Alternativ kann man die Anzahl der Röhren in denen die Luft einströmt variieren bzw. erhöhen. Auch ein feineres Netz wäre vorstellbar. || [[File:Ausblick.png|thumb|]] |- | Außerdem kann man auch eine zeitabhängige Studie durchführen.|| [[Datei:Fluss_mit_massenbehafteten_Partikeln_erstellt_mit_COMSOL_Multiphysics.png|mini|Fluss mit massenbehafteten Partikeln erstellt mit COMSOL Multiphysics]] |} == Literaturverzeichnis == efa4ujodxx91bd85xhsec7292h6wmsv 2 141991 748468 748031 2022-08-10T06:26:08Z Gkjv 35856 wikitext text/x-wiki <gallery> Globallivesproject_Basak_Taner_2014_tur_Istanbul_TR-BA_035_(15774670663).jpg|D__ Mutter hilft d__ Tochter. Lavage-Terrasse-2.JPG|D__ Tochter hilft d__ Mutter. Globallivesproject_Basak_Taner_2014_tur_Istanbul_TR-BA_035_(15774670663).jpg|D__ Tochter hilft d__ Mutter. Lavage-Terrasse-2.JPG|D__ Mutter hilft d__ Tochter. Globallivesproject_Basak_Taner_2014_tur_Istanbul_TR-BA_035_(15774670663).jpg|Eine_ Mutter hilft eine_ Tochter. Lavage-Terrasse-2.JPG|Eine_ Tochter hilft eine_ Mutter. Globallivesproject_Basak_Taner_2014_tur_Istanbul_TR-BA_035_(15774670663).jpg|Eine_ Tochter hilft eine_ Mutter. Lavage-Terrasse-2.JPG|Eine_ Mutter hilft eine_ Tochter. Helping the homeless.jpg|D__ Frau hilft d__ Mann. Helping hand (50010282322).jpg|D__ Mann hilft d__ Frau. Helping the homeless.jpg|D__ Mann hilft d__ Frau. Helping hand (50010282322).jpg|D__ Frau hilft d__ Mann. Helping the homeless.jpg|Ein__ Frau hilft ein__ Mann. Helping hand (50010282322).jpg|Ein__ Mann hilft ein__ Frau. Helping the homeless.jpg|Ein__ Mann hilft ein__ Frau. Helping hand (50010282322).jpg|Ein__ Frau hilft ein__ Mann. </gallery> jcftmlvt75l4zbnjrvlewnjf9vx4sjp 0 142002 748385 748266 2022-08-09T15:27:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Ma:Vergleichskette | a |>| 0 || || || |SZ= }} fixiert. Wir betrachten die Funktion {{ Ma:Vergleichskette/disp | f( {{startvektor|}} ) || e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } || || || |SZ=. }} Es ist unter Verwendung von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Fourier-Transformation/Rechtsseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \hat{f}( {{zielvektor|}} ) || {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \int_\R e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor|}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \int_0^\infty e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{-a {{startvektor}} } d {{startvektor|}} + {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \int_0^{-\infty} e^{ - {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} {{startvektor|}} } e^{a {{startvektor}} } d {{startvektor|}} || {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch|1| a + {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} - {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \int_0^{\infty} e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}}s } e^{-a s } d s || {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch|1| a+ {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} + {{op:Bruch|1|\sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch|1| a- {{imaginäre Einheit|}} {{zielvektor|}} |}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{2\pi} }} \cdot {{op:Bruch|2a| a^2+ {{zielvektor|}}^2 |}} || {{op:Bruch| \sqrt{2} | \sqrt{\pi} }} \cdot {{op:Bruch|a| a^2+ {{zielvektor|}}^2 |}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Fourier-Transformation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iie7tazwakejxqeybd0rfypg8x3zr8i 3 142011 748362 2022-08-09T13:52:03Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=GarryC701335}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 15:52, 9. Aug. 2022 (CEST) 8bfcmt8eo3b19rl3ax5i361eepiiu0d 0 142012 748374 2022-08-09T14:48:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verwenden die Hilfsfunktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | h_{a, {{zielvektor|}} } ( {{startvektor|}} ) |{{defeq}} | e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|{{zielvektor|}} |{{startvektor|}}}} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } || || || |SZ=, }} wobei wir hier mit {{math|term= {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= t |SZ=}} bezeichnen. Es ist unter Verwendung von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Fourier-Transformation/Beidseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \hat{h_{ a , {{zielvektor|}} } } (v) || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ - {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| v |{{startvektor|}}}} } e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor}} |{{startvektor|}}}} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor}} || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor}} - v |{{startvektor|}}}} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor}} || \hat{h_{ a , 0 } } (v-{{zielvektor}} ) || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|a|a^2+ (v_j-{{zielvektor}}_j )^2}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gkk8m3ovgzd3k2z7ddauasw6mxw4nye 748388 748374 2022-08-09T15:43:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verwenden die Hilfsfunktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | h_{a, {{zielvektor|}} } ( {{startvektor|}} ) |{{defeq}} | e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|{{zielvektor|}} |{{startvektor|}}}} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } || || || |SZ=, }} wobei wir hier mit {{math|term= {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= t |SZ=}} bezeichnen. Es ist unter Verwendung von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Fourier-Transformation/Beidseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \hat{h_{ a , {{zielvektor|}} } } (v) || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ - {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| v |{{startvektor|}}}} } e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor}} | {{startvektor|}} }} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor}} || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor}} - v | {{startvektor|}} }} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor}} || \hat{h_{ a , 0 } } (v-{{zielvektor}} ) || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|a|a^2+ (v_j-{{zielvektor}}_j )^2}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angewendet auf {{math|term= f |SZ=}} und {{math|term= h_{a , v } |SZ=}} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_{\R^n} {h_{ a , {{zielvektor|}} } } ({{startvektor}} ) \cdot \hat{f} ({{startvektor}}) d {{startvektor}} || \int_{\R^n} \hat{h_{ a , {{zielvektor|}} } } ({{startvektor}} ) \cdot f({{startvektor}} ) d{{startvektor}} || || || |SZ=. }} Daher ist auch mit der Substitution {{ Ma:Vergleichskette | {{startvektor|}}_j || as_j + {{zielvektor|}}_j || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor|}} | {{startvektor|}} }} } e^{- a {{op:Betrag|t|}} } \hat{f} ( {{startvektor|}} ) d {{startvektor|}} || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|a|a^2+ ( {{startvektor|}}_j-{{zielvektor}}_j )^2}} \cdot f ( {{startvektor|}} ) d {{startvektor|}} || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n{{op:Bruch|a|a^2+ ( a s_j )^2}} \cdot a^n \cdot f ( as + {{zielvektor}} ) d s || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|1| {{makl| 1 + s_j |}}^2}} \cdot f ( as + {{zielvektor}} ) d s || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84y0lzqispqvi5f4pc4kn09e7ddtd10 748428 748388 2022-08-09T17:50:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verwenden die Hilfsfunktionen {{ Ma:Vergleichskette/disp | h_{a, {{zielvektor|}} } ( {{startvektor|}} ) |{{defeq}} | e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|{{zielvektor|}} |{{startvektor|}}}} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } || || || |SZ=, }} wobei wir hier mit {{math|term= {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Summennorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= t |SZ=}} bezeichnen. Es ist unter Verwendung von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Fourier-Transformation/Beidseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | \hat{h_{ a , {{zielvektor|}} } } (v) || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ - {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| v |{{startvektor|}}}} } e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor}} | {{startvektor|}} }} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor}} || {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor}} - v | {{startvektor|}} }} } e^{-a {{op:Betrag|{{startvektor}}||}} } d {{startvektor}} || \hat{h_{ a , 0 } } (v-{{zielvektor}} ) || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|a|a^2+ (v_j-{{zielvektor}}_j )^2}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Fourier-Transformation/R^n/Funktion/Reziprozität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} angewendet auf {{math|term= f |SZ=}} und {{math|term= h_{a , v } |SZ=}} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_{\R^n} {h_{ a , {{zielvektor|}} } } ({{startvektor}} ) \cdot \hat{f} ({{startvektor}}) d {{startvektor}} || \int_{\R^n} \hat{h_{ a , {{zielvektor|}} } } ({{startvektor}} ) \cdot f({{startvektor}} ) d{{startvektor}} || || || |SZ=. }} Daher ist auch mit der Substitution {{ Ma:Vergleichskette | {{startvektor|}}_j || as_j + {{zielvektor|}}_j || || || |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor|}} | {{startvektor|}} }} } e^{- a {{op:Betrag|t|}} } \hat{f} ( {{startvektor|}} ) d {{startvektor|}} || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|a|a^2+ ( {{startvektor|}}_j-{{zielvektor}}_j )^2}} \cdot f ( {{startvektor|}} ) d {{startvektor|}} || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n{{op:Bruch|a|a^2+ ( a s_j )^2}} \cdot a^n \cdot f ( as + {{zielvektor}} ) d s || {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|1| 1 + s_j^2 }} \cdot f ( as + {{zielvektor}} ) d s || || |SZ=. }} Wir untersuchen nun das Grenzwertverhalten dieser Gleichung für {{math|term= a \rightarrow 0 |SZ=.}} Die linke Seite wird dabei nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integrationstheorie/Satz von der majorisierten Konvergenz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Majorante {{math|term= {{op:Norm| \hat{f}|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zu {{math|term= \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor|}} | {{startvektor|}} }} } \hat{f} ( {{startvektor|}} ) d {{startvektor|}} |SZ=.}} Die rechte Seite wird aus dem gleichen Grund und wegen der Stetigkeit von {{math|term= f |SZ=}} zu {{mathl|term= {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} \int_{\R^n}\prod_{j {{=}} 1}^n {{op:Bruch|1| 1 + s_j^2}} \cdot f ( {{zielvektor}} ) d s |SZ=.}} Nach dem Satz von Fubini und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Uneigentliches Integral/1 durch 1+t^2/Über R/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dies gleich {{mathl|term= {{op:Bruch(|2| \pi }}^{n/2} f ( {{zielvektor}} ) \cdot \pi^n |SZ=.}} Also ist insgesamt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \hat{ \hat{f} } (- {{zielvektor|}} ) || \int_{\R^n} e^{ {{imaginäre Einheit|}} {{op:Skalarprodukt| {{zielvektor|}} | {{startvektor|}} }} } \hat{f} ( {{startvektor|}} ) d {{startvektor|}} || {{makl|2 \pi }}^{n/2} f ( {{zielvektor}} ) || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9rd1a24nqw04j0y27lvfm36ofnhfcm1 106 142013 748389 2022-08-09T15:45:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|28|1|Kurs=|}} 84dexf9451490g5glgrkp0zg6b71xhy 0 142014 748394 2022-08-09T16:02:46Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens#Gleitkomma-Darstellung]] erstellt wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Kurs:Numerik_I/Besonderheiten_des_numerischen_Rechnens#Gleitkomma-Darstellung]] p338txnnfv7712rcl8z8hk9j0ggh1ku 0 142015 748399 2022-08-09T16:15:02Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Numerik I/Normen und Fehlerabschätzungen#Definition - Induzierte Matrixnorm]] erstellt wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Kurs:Numerik_I/Normen_und_Fehlerabschätzungen#Definition_-_Induzierte_Matrixnorm]] 2bu20pqenlrqimx57puztxcfqrrkfa2 0 142016 748414 2022-08-09T16:56:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=integrierbar (C)|Anf=In| |Siehe=integrierbare Funktion (C) |Ziel=/Definition }} 88zrw8evt49vjk8dmh3csld04gshp4y 106 142017 748415 2022-08-09T17:01:40Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Die Zielgruppe der Lernressource ist == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4delvp3w3jq57w6eqabtcob29k4ps81 748416 748415 2022-08-09T17:06:35Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Die Zielgruppe der Lernressource ist == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 3x6h795wj9uaddkhu55radcdwph7g0l 748418 748416 2022-08-09T17:13:03Z Bert Niehaus 20843 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} p_k\cdot t^k \mbox{ mit } (p_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> p(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 907pbs70o4fsuwra4vgtk6y2cfvgog6 748419 748418 2022-08-09T17:24:48Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Dann ist <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot |_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qxtfs16mx2ebe9c6m49v23o9cagqi9n 748420 748419 2022-08-09T17:25:36Z Bert Niehaus 20843 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot |_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mcigs7wp0b8esmnzvawf2xrxubhs2gz 748421 748420 2022-08-09T17:26:00Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pvgabcd2d2mepg0tobehq8nohmluio4 748422 748421 2022-08-09T17:26:27Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] f3im1in2agp0jt60qjyv3aacduikc75 748423 748422 2022-08-09T17:33:29Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gn5wm5u4gfl89c2b6mewyzcv1008nvf 748424 748423 2022-08-09T17:33:52Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pr25598kfdz1pzvmpfin607bjflsauz 748429 748424 2022-08-09T17:51:09Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Subadditivität p-Konvexität */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * <math>\alpha = 0 </math> und * <math>\alpha \not= 0 </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0v7p05abhkua2sdxdiqzsykivt0hztb 748439 748429 2022-08-09T18:05:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweisschritt 1 - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweisschritt 2.1 - Fall 2 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} & = & \\ |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2.2 - Streng monotone Funktion - Fall 2 === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(t):= t^p </math> ein streng monotone Funktion auf |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für positive Skalare <math display="inline">t</math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. Da die Funktion :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^+, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^-, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> monoton fallend ist (siehe Ableitung) und <math display="inline">f(0)=1</math> gilt, folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 3plvpjcvyjabgu1j4ksezpuoi35rhaw 748440 748439 2022-08-09T18:05:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2.1 - Fall 2 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweisschritt 1 - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweisschritt 2.1 - Fall 2 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2.2 - Streng monotone Funktion - Fall 2 === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(t):= t^p </math> ein streng monotone Funktion auf |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für positive Skalare <math display="inline">t</math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. Da die Funktion :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^+, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^-, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> monoton fallend ist (siehe Ableitung) und <math display="inline">f(0)=1</math> gilt, folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] c6g5z5emnyqigu3qbzq72qlltpnl13i 748449 748440 2022-08-09T18:23:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2.2 - Streng monotone Funktion - Fall 2 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweisschritt 1 - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweisschritt 2.1 - Fall 2 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2.2 - Streng monotone Funktion - Fall 2 === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math> === Beweisschritt 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare - Fall 2 === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für positive Skalare <math display="inline">t</math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. Da die Funktion :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^+, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^-, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> monoton fallend ist (siehe Ableitung) und <math display="inline">f(0)=1</math> gilt, folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9mte5wgluyfa2d7zx3uquoklc8wtjfy 748450 748449 2022-08-09T18:23:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 2.2 - Streng monotone Funktion - Fall 2 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweisschritt 1 - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweisschritt 2.1 - Fall 2 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2.2 - Streng monotone Funktion - Fall 2 === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweisschritt 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare - Fall 2 === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für positive Skalare <math display="inline">t</math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. Da die Funktion :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^+, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{K}^+ &\longrightarrow& \mathbb{K}^-, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> monoton fallend ist (siehe Ableitung) und <math display="inline">f(0)=1</math> gilt, folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] of47mjxwa0t6boujusdy14h7ie759y7 748451 748450 2022-08-09T18:38:19Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\|_p \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\| = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\| </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5g9hv2pne2jy5oj1p8xfysj5e73zr15 748452 748451 2022-08-09T18:39:12Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\|_p q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0o49lwagqdzg3070wm9pr4hs06filui 748453 748452 2022-08-09T18:39:27Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qbdph5638pm85n9bu9jhu44jdbo3bwm 748454 748453 2022-08-09T18:40:15Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu PN4 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Lernende / Studierende == == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 2yvi48ymm1obhfb9s3u8chpbyvjge9n 748455 748454 2022-08-09T18:47:24Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Lernende / Studierende */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qoqfwvkrje0hc7tdnr2qu8lrsg1hw8f 748456 748455 2022-08-09T18:51:44Z Bert Niehaus 20843 /* Quellennachweise */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ls1as1kvc7r4wrndnx5i7tiqep1cd7n 748457 748456 2022-08-09T18:53:35Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + \underbrace{|\gamma|}_{=t}^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 1oq4mm7k2xwxp5iej2smmx34ls8pu3k 748470 748457 2022-08-10T06:51:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] oakvtlpyy8pa9u7k9aiip91244wsffn 748471 748470 2022-08-10T06:52:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Fall 2.5 - Definition einer Funktion */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ohwgtc04ijr6e3523ndoi3xgop10m31 748473 748471 2022-08-10T06:56:10Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu PN4 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\| + \left\| r \right\| </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qsi7nt9q7agbc6826le6dl5h02i9ipm 748474 748473 2022-08-10T06:56:28Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben für Studierende */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 1brjpu78tmwwlak39ce4e7qst5k7cv6 748480 748474 2022-08-10T07:01:09Z Bert Niehaus 20843 /* Quellennachweise */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = |\underbrace{\alpha}_{=0}|^p + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, 15.10, S.162-166. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] q573bn0wqbkyp5f203jjxwrzuu6yc6t 748482 748480 2022-08-10T07:02:06Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Fall 1 */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> ist z.B. nicht konvergent, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = \underbrace{| \alpha |^p}_{=0} + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, 15.10, S.162-166. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4icudw2qa236m6s5zwkn302l703bg3p 748491 748482 2022-08-10T07:15:46Z Bert Niehaus 20843 /* Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource behandelt ein Beispiel für einen <math>p</math>-normierbaren Raum und kann kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Zielsetzung == In endlichdimensionalen topologischen Vektorräumen kann man ebenfalls <math>p</math>-Normen definieren. Die erzeugte Topologie ist allerdings äquivalent zu einer durch eine Norm definierten topologischen Vektor. Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, eine Potenzreihenvektorraum als Beispiel für einen unendlichdimensionalen Vektorraum zu behandeln, dessen Topologie durch eine <math>p</math>-Norm erzeugt wird. == Potenzreihenvektorraum mit reelen Koeffizienten == Sei <math display="inline">\mathbb{R}^{\infty}[t]</math> die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in <math>\mathbb{R}</math> der Form :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} q_k\cdot t^k \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> === Beispiel - Konvergenzradius Potenzreihe === Für ein <math> \alpha > 0 </math> hat die folgende Reihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \alpha^k \cdot t^k \mbox{ mit } (\alpha^k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> den Konvergenzradius <math>\frac{1}{\alpha}</math> === Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihen === Dabei müssen die Potenzreihen <math display="inline">p \in \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> nicht konvergent sein. Die folgende Potenzreihe :<math display="block"> q(t)=\sum_{k=0}^{\infty} k \cdot t^k \mbox{ mit } (k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> hat z.B. keinen positiven Konvergenzradius, weil die Folge der Koeffizienten <math>(k)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> keine Nullfolge ist. Wir betrachten nun eine Teilmenge <math>V</math> des Raumes beliebiger Potenzreihen mit reellen Koeffizienten. === Definition des Vektorraums === Wir definieren nun den Vektorraum <math>V \subset \mathbb{R}^{\infty}[t]</math> als Teilmenge aller Potenzreihen mit reellen Koeffizienten wie folgt mit <math> 0 < p < 1 </math>. Diese <math>p</math> definiert später die <math>p</math>-Homogenität der [[p-Norm]]: :<math display="block"> \|q\|_p = \sum_{k=0}^{\infty} |q_k|^p \mbox{ mit } (q_k)_{k\in\mathbb{N}_0}\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}_0} </math> Damit der Vektorraum <math>V:= \{ q \in \mathbb{R}^{\infty}[t] \ : \ \|q\|_p < \infty \} </math> definiert. === Bemerkung === Zunächst einmal ist das oben definierte Funktional <math>\|\cdot \|_p : V \to \mathbb{R}_o^{+}</math> lediglich eine Abbildung, die jeder Potenzreihen <math>q\in V</math> eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet. Für diese Abbildung müssen nun die Eigenschaften einer [[p-Norm]] nachgewiesen werden. === Aufgabe für Studierende === Zeigen Sie, dass die obige definierte Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p : V\longrightarrow \mathbb{R}^+_o</math> die ersten drei Eigenschaften [[p-Norm|<math display="inline">p</math>-Norm]] auf <math display="inline">V</math> erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V} : \left\| q \right\|_p \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| q \right\|_p = 0 \Longrightarrow q=0_V </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot q \right\|_p = |\lambda|^p\cdot \left\| q \right\|_p </math> Dabei ist <math>0_V\in V</math> das Nullpolynom aus <math>V</math> ist. === Bemerkung zu PN4 === Für den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) für eine [[p-Norm]] ist noch eine Vorbereitung mit dem [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] notwendig * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> == Lemma - Subadditivität p-Konvexität == Sei <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper mit (<math display="inline">\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}</math>) und <math display="inline"> 0 < p < 1 </math>, dann gilt für alle <math display="inline">\alpha,\beta\in \mathbb{K}</math> :<math display="block"> |\alpha +\beta|^p \leq |\alpha|^p +|\beta|^p . </math> == Beweis == Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl. * '''Fall 1:''' <math>\alpha = 0 </math> und * '''Fall 2:''' <math>\alpha \not= 0 </math> === Beweis - Fall 1 === Für <math display="inline">\alpha=0</math> folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit: :<math display="block"> |\alpha+\beta|^p = |\beta|^p = 0 + |\beta|^p = \underbrace{| \alpha |^p}_{=0} + |\beta|^p </math> === Beweis - Fall 2.1 === Für <math display="inline">\alpha\not= 0</math> formuliert man die Behauptung :<math> |\alpha+\beta|^p\leq |\alpha|^p + |\beta|^p</math> durch Multiplikation mit <math display="inline">\frac{1}{|\alpha|^p}</math> wie folgt um: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} |\alpha+\beta|^p & \leq & |\alpha|^p + |\beta|^p \ \ \Longleftrightarrow \\ |1 +\gamma|^p & \leq & 1 + |\gamma|^p \mbox{ mit } \gamma := \frac{\beta}{\alpha} \\ \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.2 - Streng monotone Funktion === Weil die Funktion <math>g: \mathbb{R}_o^+ \to \mathbb{R}_o^+ </math> mit <math>g(x):= x^p </math> ein streng monotone Funktion auf <math>\mathbb{R}_o^+ </math> ist und die Dreiecksungleichung auf <math>(\mathbb{K},|\cdot|)</math> gilt erhält man für <math> \gamma\in\mathbb{K}</math>: :<math> |1+\gamma| \leq |1| + |\gamma| \Longrightarrow g(|1+\gamma|) \leq g(|1| + |\gamma|) </math> und damit gilt <math>|1+\gamma|^p \leq \big( |1| + |\gamma|\big)^p = \big||1| + |\gamma|\big|^p </math>. === Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt, :<math> |1+\gamma|^p \leq 1 + |\gamma|^p </math> benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung :<math> \big|1+\underbrace{|\gamma|}_{=t}\big|^p \leq 1 + {\underbrace{|\gamma|}_{=t} }^p </math> === Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare === Weil <math display="inline">|1+\gamma|^p \leq |1+|\gamma||^p</math> gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare <math display="inline">t \geq 0 </math> abzuschätzen und man zeigt dann <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math>. === Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion === Man formt die Ungleichung <math display="inline">(1+t)^p \leq 1+t^p</math> zu <math display="inline">(1+t)^p - t^p\leq 1</math> und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion <math>f(t) = (1+t)^p - t^p </math> mit <math>t \in \mathbb{R}_o^+ </math>. === Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion === Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion: :<math> \begin{array}{rcl} f:\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto (1+t)^p - t^p \mbox{ mit der Ableitung }\\ f':\mathbb{R}_o^+ &\longrightarrow& \mathbb{R}, t \longmapsto \underbrace{ \left( \frac{1}{(1+t)^{1-p}} - \frac{1}{t^{1-p}} \right) }_{< 0} \cdot p \end{array} </math> === Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion === Mit <math>t > 0</math> gilt <math> (1+t)^{1-p} > t^{1-p} </math> und damit <math> \frac{1}{(1+t)^{1-p}} < \frac{1}{t^{1-p}} </math>. Damit ist <math>f</math> für alle <math>t > 0 </math> monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und <math display="inline">f(0)=1</math> und <math>f'(t) < 0</math> für alle <math>t > 0 </math> gilt <math display="inline">f(t)\leq 1</math> für alle <math>t \geq 0 </math>. Damit folgt die Behauptung.<math> \Box </math> == Aufgaben für Studierende == * Zeigen Sie nun die Dreieckungleichung für die [[p-Norm]] über den Beweis der folgende Eigenschaft (PN4) und der Anwendung des Lemmas zur [[#Lemma - Subadditivität p-Konvexität|Subadditivität bzgl. p-Konvexität]]: * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle q,r \in V} : \left\| q + r \right\|_p \leq \left\| q \right\|_p + \left\| r \right\|_p </math> * Verwenden Sie die Cauchy-Multiplikation auf dem Raum der Potenzreihen auf <math>V</math>. Ist die Cauchy-Multiplikation eine innere Verknüpfung auf <math>V</math> (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>q\cdot r \in V</math>. * Ist die oben definierte [[p-Norm]] auf der Potenzreihenalgebra bzgl. der Cauchy-Multiplikation submultiplikativ (d.h. für <math>q, r \in V </math> gilt auch <math>\| q\cdot r \|_p \leq \| q\|_p \cdot \| r \|_p </math>. == Quellennachweise == * Köthe, G. (1966). Topologische lineare Räume - Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, New York, 15.10, S.162-166. <references/> == Siehe auch == * [[Potenzreihenalgebra]] * [[p-Norm]] * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Beispiel%20p-nomierbarer%20Raum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: 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Aug. 2022 (CEST) 8rujhwsnt7pfjbpnhb97t72qpg7dth6 0 142027 748472 2022-08-10T06:55:30Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Beispiel p-nomierbarer Raum#Lemma - Subadditivität p-Konvexität]] erstellt wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Beispiel_p-nomierbarer_Raum#Lemma_-_Subadditivität_p-Konvexität]] <!-- remove REDIRECT if Lemma is placed here --> snc3k2nm8xknsdm5wf69n7ndwng1ss2 0 142028 748476 2022-08-10T06:59:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | N |\in| \N_+ || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{imaginäre Einheit}} |N}} } || || || |SZ= }} die {{math|term= N |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter der {{math|term= N |SZ=-}}ten {{ Definitionswort |Prämath= |Fourier-Matrix| |msw= |SZ= }} versteht man die {{math|term= N \times N |SZ=-}}Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_N || {{makl| \zeta^{i \cdot j} |}}_{0 \leq i,j \leq N-1} || {{op:Matrix55|1|1|1| \ldots|1|1|\zeta|\zeta^2|\ldots|\zeta^{N-1}|1 |\zeta^2| \zeta^4|\ldots| \zeta^{2 (N-1)}|\vdots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|1|\zeta^{N+1}|\zeta^{2(N+1)}| \ldots|\zeta^{(N+1)(N+1)} }} || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Fourier-Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fourier-Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7wttu9rszw3vfs515d30lnfii83cihr 748486 748476 2022-08-10T07:12:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | N |\in| \N_+ || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | \zeta || e^{ {{op:Bruch|2 \pi {{imaginäre Einheit}} |N}} } || || || |SZ= }} die {{math|term= N |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |primitive Einheitswurzel| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Unter der {{math|term= N |SZ=-}}ten {{ Definitionswort |Prämath= |Fourier-Matrix| |msw=Fourier-Matrix |SZ= }} versteht man die {{math|term= N \times N |SZ=-}}Matrix {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_N || {{makl| \zeta^{i \cdot j} |}}_{0 \leq i,j \leq N-1} || {{op:Matrix55|1|1|1| \ldots|1|1|\zeta|\zeta^2|\ldots|\zeta^{N-1}|1 |\zeta^2| \zeta^4|\ldots| \zeta^{2 (N-1)}|\vdots|\vdots|\vdots|\ddots|\vdots|1|\zeta^{N+1}|\zeta^{2(N+1)}| \ldots|\zeta^{(N+1)(N+1)} }} || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Fourier-Matrizen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Fourier-Matrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbtmvpey48820xdqfux6a4b9ec8lrim 14 142029 748477 2022-08-10T06:59:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Definitions-Kategorie unter |Theorie der Fourier-Matrizen| ||}} kbbgnyyg9n3co69xb2m3ytgoztnc3g1 14 142030 748479 2022-08-10T07:00:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Fourier-Transformation|Matrix |Theorie der komplexen Einheitswurzeln|Fourier-Matrix |Theorie der Matrizen|Fourier-Matrix}} g6ykmaro3a1dxeqqyvkmvo2yhxjb3z0 748481 748479 2022-08-10T07:01:18Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Fourier-Transformation|Matrix |Theorie der komplexen Einheitswurzeln|Fourier-Matrix |Theorie der symmetrischen Matrizen|Fourier-Matrix}} p9us5p3v28qjvondh2okaw5q5d9cgbw 748520 748481 2022-08-10T09:04:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der diskreten Fourier-Transformation|Matrix |Theorie der komplexen Einheitswurzeln|Fourier-Matrix |Theorie der symmetrischen Matrizen|Fourier-Matrix}} 62xaykuhi23fp0lntx8r2jo7ug3jkbt 0 142031 748483 2022-08-10T07:11:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Komplexe Einheitswurzel/N/Fourier-Matrix/Definition|| }} Entscheidend sind dabei für die Exponenten die Restklassen {{math|term= i \cdot j \mod N |SZ=.}} Es handelt sich um eine symmetrische Matrix. 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ah5osym39z42wic07sltcvu44ualqr8 14 142050 748526 2022-08-10T09:09:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Fakten-Kategorie unter |Theorie der diskreten Fourier-Transformation| ||}} rkqys2ydihmf173xqtn3l5sjwye729a 0 142051 748527 2022-08-10T09:10:16Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=diskrete Fourier-Transformation|Anf=Di| |Siehe= |Ziel=Fourier-Matrix/Einführung/Textabschnitt }} ensz5o88ixqyn1bvf0dm1axpxh47u9y 0 142052 748528 2022-08-10T09:10:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=periodische Faltung|Anf=Pe| |Siehe= |Ziel=Vektoren/C^N/Periodische Faltung/Definition }} gzesuuw165m5vqgbhmzruvuplkanx1a 0 142053 748531 2022-08-10T09:26:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= \zeta |SZ=}} die erste primitive {{math|term= N |SZ=-}}te Einheitswurzel. Es ist {{ Ma:Vergleichskette/align | (DFT( y* z) )_r || {{makl| {{op:Bruch|1|N}} {{op:Komplexe Konjugation|F_N|}} (y*z) |}}_r || {{op:Bruch|1|N}} {{makl| {{op:Komplexe Konjugation|F_N|}} {{makl| {{op:Bruch|1|N}} \sum_{j {{=}} 0}^{N-1} y_j z_{k-j}|}}_k |}}_r || {{op:Bruch|1|N^2}} {{makl| \sum_{k {{=|}} 0}^{N-1} \zeta^{-rk} {{makl| \sum_{\ell + m {{=}} k} y_\ell z_m|}} }} || {{op:Bruch|1|N^2}} {{makl| \sum_{ 0 \leq \ell, m \leq N-1 } \zeta^{-r (\ell +m) } y_\ell z_m |}} || {{op:Bruch|1|N^2}} {{makl| \sum_{ \ell {{=}} 0}^{N-1} \zeta^{-r \ell } y_\ell |}} \cdot {{makl| \sum_{ m {{=}} 0}^{N-1} \zeta^{-r m } z_m |}} || {{op:Bruch|1|N^2}} {{makl| {{op:Komplexe Konjugation|F_N|}} (y) |}}_r \cdot {{makl| {{op:Komplexe Konjugation|F_N|}} (z) |}}_r || (DFT (y))_r \cdot ( DFT(z))_r |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnx9z94bskx7vnyxo64cyzhz9cxkfva 748543 748531 2022-08-10T09:35:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= \zeta |SZ=}} die erste primitive {{math|term= N |SZ=-}}te Einheitswurzel. 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Aug. 2022 (CEST) ijhfrr1be2q5qxucyd2mdsqnmjm9iyf