Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.21 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 0 27965 746229 604273 2022-07-27T11:32:55Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|term=Tupel}} In der Definition einer Abbildung sind die Definitionsmenge und die Wertemenge grundsätzlich gleichwichtig. Dennoch gibt es Situationen, wo mal das Hauptgewicht auf der einen oder der anderen Menge liegt. Der allgemeine Abbildungsbegriff deckt eben auch Situationen ab, bei denen man zunächst gar nicht unbedingt an Abbildungen denkt. Betrachten wir beispielsweise die Potenzmenge einer Menge {{math|term=M|SZ=.}} Jede Teilmenge von {{math|term=M|SZ=}} kann man mit einer Abbildung von {{math|term=M|SZ=}} in die zweielementige Menge {{mathl|term= \{0,1\} |SZ=}} identifizieren, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Hier ist also die Wertemenge extrem einfach und die Abbildung repräsentiert an jeder Stelle eine Ja/Nein-Entscheidung. Andererseits kann man {{ Zusatz/Klammer |text=geordnete| |SZ= }} Paare {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} zu einer Menge {{math|term=M|SZ=,}} also Elemente aus der Produktmenge {{mathl|term= M \times M |SZ=,}} als eine Abbildung {{ Ma:abb/disp |name=f |\{1,2\}|M || |SZ= }} ansehen, mit {{ mathkor|term1= f(1)=x |und|term2= f(2)=y |SZ=. }} Hier identifiziert man also die Abbildung mit der geordneten Aufzählung der Werte. In einer solchen Situation bezeichnet man die Abbildung häufig mit einem Symbol, das sich an den Bezeichnungen für die Elemente aus {{math|term= M|SZ=}} anlehnt. Wenn man beispielsweise die Elemente aus {{math|term=M|SZ=}} mit {{math|term=x|SZ=}} bezeichnet, so schreibt man für ein Paar häufig {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || (x_1,x_2) || || || |SZ= }} In der Sprache der Abbildungen ist dabei {{math|term= x_i |SZ=}} der Wert der Abbildung {{math|term= x |SZ=}} an der Stelle {{math|term=i|SZ=.}} Die Schreibweise {{math|term= x_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{math|term=x(i)|SZ=}} | |SZ= }} suggeriert, dass das Hauptgewicht darauf liegt, was in der Wertemenge {{math|term= M |SZ=}} passiert, und nicht in der Definitionsmenge. {{ inputdefinition |Menge/I-Tupel und n-Tupel/Definition|| }} Die Menge {{math|term=I|SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang auch {{Stichwort|Indexmenge|SZ=,}} ein Element aus der Indexmenge heißt {{Stichwort|Index|SZ=.}} Bei einem {{math|term=I|SZ=-}}Tupel {{math|term=x|SZ=}} sind die Elemente durch die Indices indiziert. Zu {{ Ma:Vergleichskette | i |\in| I || || || |SZ= }} heißt {{math|term=x_i|SZ=}} die {{math|term=i|SZ=-}}te {{Stichwort|Komponente|SZ=}} des Tupels. Ein {{math|term=n|SZ=-}}Tupel schreibt man meist als {{math/disp|term= (x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=.}} Bei einer zweielementigen Indexmenge spricht man von einem {{Stichwort|Paar|SZ=,}} bei einer dreielementigen Menge von einem {{Stichwort|Tripel|SZ=.}} Die Menge aller {{math|term=I|SZ=-}}Tupel wird mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | M^I || \{f:I \rightarrow M\} || {{op:Abbildungsmenge|I|M}} || || |SZ= }} bezeichnet. Bei {{mathl|term=I=\{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} schreibt man auch {{ math/disp|term= M^n = M^{ \{1 {{kommadots|}} n\} } = \underbrace{M {{timesdots|}} M}_{n\text{-mal} } |SZ=. }} Die reelle Ebene {{math|term=\R^2|SZ=}} ist also nichts anderes als die Menge der Zweitupel von reellen Zahlen, der reelle Raum {{math|term=\R^3|SZ=}} besteht aus allen reellen Tripeln. Bei {{mathl|term=I=\N|SZ=}} spricht man von {{Stichwort|Folgen|SZ=}} in {{math|term=M|SZ=,}} worauf wir in aller Ausführlichkeit noch eingehen werden. Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen| |ESZ=, }} doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge {{mathl|term=I= \{1 {{kommadots|}} n\}|SZ=}} startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen {{mathl|term=J \subseteq I|SZ=}} interessiert, so ist es natürlich, die von {{math|term=I|SZ=}} ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt {{math|term=J|SZ=}} mit einer neuen Nummerierung {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} m\} |SZ=}} zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem {{Anführung|natürliche|SZ=}} Indexmengen, die {{ Zusatz/Klammer |text=allein schon mnemotechnisch| |SZ= }} einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln. Eine lineare Abbildung vom {{math|term=\R^n|SZ=}} in den {{math|term=\R^m|SZ=}} wird z.B. durch eine Matrix mit {{math|term=m|SZ=}} Zeilen und {{math|term=n|SZ=}} Spalten beschrieben, also insgesamt mit {{math|term=mn|SZ=}} Einträgen. Diese Matrixeinträge indiziert man am einfachsten mit einem {{Stichwort|Doppelindex|SZ=}} {{ math/disp|term= a_{ij} |SZ=, }} wobei der eine Index für den {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} und der andere für den {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} steht. Durch eine solche natürliche Bezeichnung ist stets der Bezug klar, und dieser würde völlig verloren gehen, wenn man eine neue Indexmenge der Form {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots|}} mn\}|SZ=}} einführen würde. {{Zwischenüberschrift|term=Familien von Mengen}} Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition|| }} Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind. {{ inputdefinition |Mengenfamilien/Durchschnitt und Vereinigung/Definition|| }} Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird. {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Definition|| }} Sobald eine der beteiligten Mengen {{math|term=M_i|SZ=}} leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die {{math|term=i|SZ=-}}te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen {{math|term=M_i|SZ=}} nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index {{math|term=i|SZ=}} dann ein Element {{mathl|term=x_i \in M_i|SZ=}} wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des {{Stichwort|Auswahlaxioms|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Natürliche Zahlen ab n/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Vielfache von n/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Intervallschachtelung/Beispiel|| zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Die reellen Zahlen werden wir später axiomatisch einführen, Intervallschachtelungen repräsentieren ein wichtiges Existenzprinzip für reelle Zahlen.| |SZ= }} }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Sukzessive Potenzmengen/Beispiel|| zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Es wird also eine Definition unter Bezug auf einen Vorgänger gemacht|ISZ=. |ESZ= }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tupel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} <noinclude><references/></noinclude> pg174igsi5oggidjt5nhyxoxgsq5ou2 14 31199 746169 420845 2022-07-26T17:11:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der metrischen Räume|Folge |Theorie der Folgen|Metrischer Raum |Theorie der Folgen in topologischen Räumen|Metrischer Raum}} 5e8r1rk0im58w3wovkt6nvz0nts2i9g 0 31208 746221 557548 2022-07-27T07:54:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette |T | \subseteq |{{{M|M}}} || || || |SZ= }} eines {{ Definitionslink |metrischen Raumes| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{{M|M}}}|SZ=}} heißt {{Definitionswort|beschränkt|SZ=,}} wenn es eine {{ Definitionslink |reelle Zahl| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term=b|SZ=}} mit {{ math/disp|term= {{op:Abstand|x|y}} \leq b \text { für alle } x,y \in T |SZ= }} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Beschränkte Teilmenge |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} boklr6ely66dvemvwjpi8573jwsbf3o 0 31400 746157 722294 2022-07-26T16:47:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| \R^{{{m|m}}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=T|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Rn| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn jede Folge in {{math|term=T|SZ=}} eine in {{math|term=T|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Der Satz von Heine-Borel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Folgencharakterisierung von kompakt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knsii92hyss6bfqyu0b6q093keim2jh 0 31409 746158 735617 2022-07-26T16:48:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Wenn {{math|term=T|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl {{ Ma:Vergleichskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} ein {{ Ma:Vergleichskette | x_n |\in|T || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Abstand|x_n|0}} |\geq| n || || || || |SZ=. }} Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn {{math|term=T|SZ=}} nicht {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, so gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine Folge {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Folge|x}} |\in| T || || || |SZ=, }} die gegen ein {{mathl|term= x \in \R^{{{m|m}}},\, x \not \in T|SZ=,}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen {{math|term= x |SZ=,}} so dass es keine in {{math|term= T |SZ=}} konvergente Teilfolge geben kann. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei nun {{math|term= T |SZ=}} abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Folge|x}} |\in| T || || || |SZ= }} vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge {{mathl|term= {{op:Folge|Glied= x_{in} }} |SZ=}} beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente {{ Ma:Vergleichskette | i || 1 || || || |SZ=. }} Nach dem {{ Faktlink |Satz von Bolzano-Weierstrass|Faktseitenname= Reelle Zahlen/Bolzano Weierstraß/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es eine Teilfolge {{mathl|term= {{makl| x_{n_j} |}}_{j \in \N} |SZ=}} derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konvergiert dann die gesamte Teilfolge in {{math|term= \R^{{{m|m}}} |SZ=.}} Da {{math|term=T|SZ=}} abgeschlossen ist, liegt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} der Grenzwert in {{math|term=T|SZ=.}} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dokmhl9f95r7iwj5sb00gugpzxkxc1j 10 31546 746210 252453 2022-07-27T06:44:48Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Situation{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Situation |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g54wl93yzo8he15oy1quodrko2qa75u 0 32889 746220 222846 2022-07-27T07:54:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=T|SZ=}} eine Menge, {{math|term=M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:abb/disp |name=f |T|M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann heißt {{math|term=f|SZ=}} {{Definitionswort|beschränkt|SZ=,}} wenn das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=f|SZ=}} in {{math|term=M|SZ=}} {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Beschränkt |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ofvky73b8o8csltziz7s6klj3h4w18b 106 37183 746200 735395 2022-07-26T18:55:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|82| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputbild |DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen| |Text= |Autor=Börnsen |Benutzer=NobbiP |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Spiegel/Orientierungsbeobachtungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Basis/Negation eines Vektors/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/2x2/2 4 -5 7 und -3 6 2 -5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Raum/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Endliche viele kompakte Teilmengen/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Nicht überdeckungskompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Diskrete Metrik/Abgeschlossen und beschränkt/Nicht kompakt//Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |R^3/Zweites Dachprodukt/Standardbasis und Dachbasis zu (9,8,1), (4,7,-3), (2,5,-2)/Umrechnung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/3x3/2 4 -5 7 6 -1 0 2 -3 und -3 6 2 -4 4 -2 -5 0 13/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexer Vektorraum/Als reeller Vektorraum orientiert/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} qvn68c9a07nsjxx3e6w3f2hm89j6eqe 0 37334 746152 540517 2022-07-26T14:38:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term=f,g|SZ=}} {{ Definitionslink |integrierbare| |Kontext=Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbare| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} reellwertige {{ Definitionslink |Funktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} auf {{math|term=M|SZ=}} und {{ Ma:Vergleichskette | a,b |\in| \R || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist auch {{mathl|term=af+bg|SZ=}} integrierbar, und es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralmaß|(af+bg)}} || a {{op:Integralmaß|f}} +b {{op:Integralmaß|g}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Linear |Faktname=Linearität des Integrals |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} frgj5i2i6wsqao2zf1n0y6jnk93to6n 0 38799 746168 235131 2022-07-26T17:09:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Teilfolge|Anf=Te| Ziel=Menge/Teilfolge/Definition }} jsfdgr7xpkfk2la5lje52itre86dmrc 0 39899 746184 675277 2022-07-26T17:36:35Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=| vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der vollständigen metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 359023t55fnh850clmmnkdk0tnsttjp 746191 746184 2022-07-26T18:50:53Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kompakter metrischer Raum/Ist vollständig/Aufgabe]] nach [[Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=| vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2=Theorie der vollständigen metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 359023t55fnh850clmmnkdk0tnsttjp 746194 746191 2022-07-26T18:53:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term=X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=| vollständig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bx3wpj9wc7iq3oq9ywaufyc183emysn 0 62406 746183 374277 2022-07-26T17:26:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Räumen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |längentreu| |msw= |SZ=, }} wenn für alle {{mathl|term=x_1,x_2 \in X|SZ=}} die Beziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | d( \varphi(x), \varphi(x_2)) || d(x_1,x_2) || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Längentreue Abbildung |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jj5x9xsrno9lcjel4et0w3m1zzz5yl9 0 62615 746211 713824 2022-07-27T06:49:00Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq| {{KRC|}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge und es sei |Voraussetzung= {{ Ma:abb/disp |name=f_n |T| {{KRC|}} || |SZ= }} eine Folge von {{ Definitionslink |stetigen Funktionen| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die {{ Definitionslink |gleichmäßig| |Kontext=Funktionenfolge K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen die Funktion {{math|term=f|SZ=}} konvergiert. |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=f|SZ=}} stetig. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c8b7m34lq45zwx5qmidlxg2h97e4agj 106 67953 746201 735396 2022-07-26T18:56:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|81| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputbild |DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen| |Text= |Autor=Börnsen |Benutzer=NobbiP |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Spiegel/Orientierungsbeobachtungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Basis/Negation eines Vektors/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/2x2/2 4 -5 7 und -3 6 2 -5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/(1,0,4),(2,4,-3),(0,3,-5) und (-3,7,2),(-4,5,-1),(-6,0,11)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/1 2 3 und 0 2 -2 und x 5 7/Abhängig von x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von orientierten Mannigfaltigkeiten/Orientiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition|}} {{ inputaufgabe |S^1/Antipodal/Orientierungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von orientierter Mannigfaltigkeit/Vertauschung ist nicht unbedingt orientierungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Raum/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Endliche viele kompakte Teilmengen/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/S^1/Stetig/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/R/Stetig/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Nicht überdeckungskompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Diskrete Metrik/Abgeschlossen und beschränkt/Nicht kompakt//Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Orientierung/3x3/2 4 -5 7 6 -1 0 2 -3 und -3 6 2 -4 4 -2 -5 0 13/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexer Vektorraum/Als reeller Vektorraum orientiert/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/Stetige Abbildung von Intervall nach Basen/Konstante Orientierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} bvquvy8bqppe21s4qidx5lvpx0ik9bg 0 69475 746162 511619 2022-07-26T16:57:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term=X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |abzählbaren Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term=X|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=Überdeckung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} wenn jede Folge {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} in {{math|term=X|SZ=}} einen {{ Definitionslink |Häu{{latextrenn}}fungspunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term=X|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} besitzt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kompaktheit (Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Überdeckungskompakt und folgenkompakt |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3bd1zd1qg6qeohialu0i24qog99909x 0 69476 746204 511620 2022-07-26T19:05:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei {{math|term=X|SZ=}} kompakt und sei eine Folge {{mathl|term= {{op:Folge|}} |SZ=}} gegeben. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. |Argumentation= Das bedeutet, dass es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| X || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| U_y || || || |SZ= }} gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{y \in X} U_y || || || |SZ= }} gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{i {{=|}} 1}^n U_{y_i} || || || |SZ=. }} |Widerspruch= Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch. |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis=Sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei {{ Ma:Vergleichskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |abzählbare Basis| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt, gibt es nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckung besitzt abzählbare Teilüberdeckung/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} eine abzählbare Teilmenge {{mathl|term=J \subseteq I|SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{i \in J} U_i || || || |SZ=. }} Wir können {{mathl|term=J=\N|SZ=}} annehmen. {{ Widerspruchsbeweis |Strategie= |Annahme= Nehmen wir an, dass die Überdeckung {{mathl|term=X= \bigcup_{i \in \N} U_i |SZ=}} keine endliche Teilüberdeckung besitzt. |Argumentation= Dann ist insbesondere {{mathl|term= \bigcup_{i =0}^n U_i \neq X |SZ=,}} und daher gibt es zu jedem {{mathl|term=n \in \N|SZ=}} ein {{ mathbed|term= x_n \in X |mit|bedterm1= x_n \not\in \bigcup_{i =0}^n U_i ||bedterm2= |SZ=. }} Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt {{math|term=x|SZ=.}} Da eine Überdeckung {{mathl|term=X= \bigcup_{i \in \N} U_i |SZ=}} vorliegt, gibt es ein {{mathl|term=k \in \N|SZ=}} mit {{mathl|term=x \in U_k|SZ=.}} Da {{math|term=x|SZ=}} ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in {{math|term=U_k|SZ=.}} |Widerspruch= Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für {{mathl|term=n \geq k|SZ=}} die Folgenglieder {{math|term=x_n|SZ=}} nicht zu {{math|term=U_k|SZ=}} gehören. |Zusammenfassung= }} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i8b7phbflbppxuq63ucvs6xjjp9si5h 0 72450 746167 511606 2022-07-26T17:08:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term={{op:Folge|x}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einer Menge {{math|term=M|SZ=.}} Zu jeder {{ Definitionslink |streng wachsenden| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele |name= |\N|\N |i|n_i |SZ=, }} heißt die Folge {{ math/disp|term= i \longmapsto x_{n_i} |SZ= }} eine {{Definitionswort|Teilfolge|SZ=}} der Folge. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Teilfolge |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nteorkms2urcr8w1eowvpk213z1um5p 106 74843 746176 579399 2022-07-26T17:17:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|76| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Überdeckungskriterium für differenzierbare Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Karte ist Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sphäre/Stereographisch/Koordinaten des Raumes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Ringhomomorphismus auf Funktionen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Koordinateneinbettung/R^m in R^n/Differenzierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Zylinder/Punktierte Ebene/Sphäre ohne Pole/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition. {{:Funktion/K/Homogen/Definition||}} {{ inputaufgabe |Homogene Funktion/Faser/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rotationsmenge/Positive Funktion/Differenzierbar/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ellipsoidoberfläche und Sphäre/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zweidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit/Ohne Punkt/Diffeomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^n/Antipodenabbildung/Diffeomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Viele Diffeomorphismen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgenden Aufgaben sollen erläutern, warum man Mannigfaltigkeiten mit offenen Überdeckungen ansetzt. {{:Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition|}} {{ inputaufgabe |Topologische Mannigfaltigkeit/Folge/Konvergenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologische Mannigfaltigkeit/Rekonstruktion aus Karten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Das in der vorstehenden Aufgabe beschriebene Konstruktionsverfahren für eine Mannigfaltigkeit funktioniert für eine Familie von offenen Teilmengen im {{math|term=\R^n|SZ=}} mit Übergangsabbildungen, die die Kozykelbedingung aus {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Übergangsabbildungen/Kozykelbedingung/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} erfüllen. Allerdings ist der dabei entstehende topologische Raum nicht ohne weiteres ein Hausdorff-Raum. Man spricht vom {{Stichwort|offenen Verkleben|msw=Offenes Verkleben|SZ=}} von Räumen. {{ inputaufgabe |Zwei Geraden/Verklebung/1-Sphäre/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gerade/Verdoppelter Punkt/Verklebung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} In der folgenden Aufgabe interpretiere man {{math|term={{CC}}|SZ=}} als {{math|term=\R^2|SZ=.}} {{ inputaufgabe |Komplexe Multiplikation/Fasern/Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sphäre/Zwei Punkte/Überführender Diffeomorphismus/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Garbeneigenschaft/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Nicht einpunktig/C^1-Funktionen/Nullteiler/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} b1flucbh3w6tp9rulkfil5byqa2ap9x 106 74848 746202 735397 2022-07-26T18:56:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblattgestaltung|81| {{Zwischenüberschrift|term=Aufwärmaufgaben}} {{ inputbild |DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen| |Text= |Autor=Börnsen |Benutzer=NobbiP |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputaufgabe |Spiegel/Orientierungsbeobachtungen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Äquivalenzrelation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vektorraum/Orientierung/Basis/Negation eines Vektors/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/2x2/2 4 -5 7 und -3 6 2 -5/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/(1,0,4),(2,4,-3),(0,3,-5) und (-3,7,2),(-4,5,-1),(-6,0,11)/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/1 2 3 und 0 2 -2 und x 5 7/Abhängig von x/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von orientierten Mannigfaltigkeiten/Orientiert/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |1-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Orientierte Mannigfaltigkeiten/Orientierungstreue Abbildung/Definition|}} {{ inputaufgabe |S^1/Antipodal/Orientierungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Produkt von orientierter Mannigfaltigkeit/Vertauschung ist nicht unbedingt orientierungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endlicher Raum/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Topologischer Raum/Endliche viele kompakte Teilmengen/Kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakter Raum/Abgeschlossene Teilmenge/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/S^1/Stetig/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^1/R/Stetig/Bild/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R/Nicht überdeckungskompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Diskrete Metrik/Abgeschlossen und beschränkt/Nicht kompakt//Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/x^2+y^4+z^6 ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kompakte Mannigfaltigkeit/Surjektive stetige Abbildung von beschränkter offener Menge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Orientierung/3x3/2 4 -5 7 6 -1 0 2 -3 und -3 6 2 -4 4 -2 -5 0 13/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexer Vektorraum/Als reeller Vektorraum orientiert/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |2-Sphäre/Orientierbare Mannigfaltigkeit/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |S^2/Antipodenabbildung ist nicht orientierungstreu/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Orientierung/Stetige Abbildung von Intervall nach Basen/Konstante Orientierung/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} ndzf5yeruzdl6erpzhqb0zpq4yaizco 0 77588 746170 511609 2022-07-26T17:14:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term={{op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{{X|X}}}|SZ=.}} Man sagt, dass die Folge gegen {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{{X|X}}} || || || |SZ= }} {{Definitionswort|konvergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jeder {{ Definitionslink |Prämath= |offenen Umgebung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | U |\subseteq| {{{X|X}}} || || || |SZ= }} von {{math|term=x|SZ=}} gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | n_0 |\in| \N || || || |SZ= }} derart, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| n_0 || || || |SZ= }} die Folgenglieder {{math|term= x_n |SZ=}} zu {{math|term= U |SZ=}} gehören. In diesem Fall heißt {{math|term=x|SZ=}} der {{Definitionswort|Grenzwert|SZ=}} oder der {{Definitionswort|Limes|SZ=}} der Folge. Dafür schreibt man auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|}} || x || || || |SZ=. }} Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie {{Definitionswort|konvergiert|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf einen Grenzwert| |ISZ=|ESZ=, }} andernfalls, dass sie {{Definitionswort|divergiert|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Folgen in topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Konvergente Folge |Definitionswort2=Limes |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mrxpoop6bgn6hlgx46wdjl5lp2b9bo5 746172 746170 2022-07-26T17:15:22Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Topologischer Raum/Konvergenz/Definition]] nach [[Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term={{op:Folge|}}|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Folge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |topologischen Raum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term={{{X|X}}}|SZ=.}} Man sagt, dass die Folge gegen {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| {{{X|X}}} || || || |SZ= }} {{Definitionswort|konvergiert|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. 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Konvergenz von {{ Zusatz/Klammer |text=stochastischen| |ISZ=|ESZ= }} Matrizen relevant sind. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Hausdorff/Definition|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Die Konvergenz in einem metrischen Raum ist ein Spezialfall der Konvergenz in einem topologischen Raum, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Folge/Metrischer Raum/Konvergenz/Topologie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt|Satz|| || }} m549m9if1c4ee2st9mg0i4x55tmqyw0 0 79684 746173 452443 2022-07-26T17:15:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=konvergiert (Topologie)|Anf=Ko| |Siehe= |Ziel=Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition }} 0fpvey682mvqvmus7lz1s07cjj45914 0 96529 746223 541017 2022-07-27T07:57:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologische Räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{ Ma:abbele/disp |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetige Abbildung| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= Es sei {{math|term=X|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| |Kontext=top| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Übergang= |Folgerung= Dann ist das {{ Definitionslink |Prämath= |Bild| |Kontext=abb| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | \varphi(X) |\subseteq| Y || || || |SZ= }} ebenfalls kompakt ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kompaktheit (Topologie) |Kategorie2=Theorie der stetigen Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bfp6dn98qjzwuyftscu2yqhikp4jpdj 106 96533 746175 556841 2022-07-26T17:16:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki Wir stellen hier einige topologische Begriffe zusammen, die für die Äquivalenz von Normen und für die Konvergenz von {{ Zusatz/Klammer |text=stochastischen| |ISZ=|ESZ= }} Matrizen relevant sind. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Hausdorff/Definition|| }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Die Konvergenz in einem metrischen Raum ist ein Spezialfall der Konvergenz in einem topologischen Raum, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Folge/Metrischer Raum/Konvergenz/Topologie/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Folgen/Konvergenz im R^n/Komponentenweise/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Folge/Häufungspunkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt|Lemma|| || }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Heine-Borel|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung in einem Punkt/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt|Satz|| || }} b3mul3bpnea8akn9de10pm3avhxt1on 106 135560 746130 744121 2022-07-26T12:54:50Z Falko Wilms 8588 wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodulin der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. Sem. den Kurs "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege" erfolgreich abschließen möchten. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big>* <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebslehre * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der Organisation * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Organisation sind soziale Systeme * <span style="color:blue;">Organisationsentwicklung </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens. Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisations-beratung, Heidelberg: Carl Auer * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemi-sche Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] 5ocsn5imu0zk7v1ro4u61b5nty83yzf 746131 746130 2022-07-26T12:55:12Z Falko Wilms 8588 wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein ''Lehrmodul'' in der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. Sem. den Kurs "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege" erfolgreich abschließen möchten. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big>* <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebslehre * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der Organisation * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Organisation sind soziale Systeme * <span style="color:blue;">Organisationsentwicklung </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens. Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisations-beratung, Heidelberg: Carl Auer * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemi-sche Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] t8z89gh8l19bf0jnt8ahjpfntmbc6lv 746132 746131 2022-07-26T12:55:41Z Falko Wilms 8588 /* Worum geht es? */ wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein ''Lehrmodul'' in der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. Sem. den Kurs "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege" erfolgreich abschließen möchten. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es in diesem Teil des Lehrangebotes?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big>* <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebslehre * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der Organisation * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Organisation sind soziale Systeme * <span style="color:blue;">Organisationsentwicklung </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens. Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisations-beratung, Heidelberg: Carl Auer * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemi-sche Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] ddbfc2vi7lhv06ad595pqt6ou0ah5wc 746136 746132 2022-07-26T13:03:21Z Falko Wilms 8588 /* behandelte Themen */ wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein ''Lehrmodul'' in der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. Sem. den Kurs "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege" erfolgreich abschließen möchten. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es in diesem Teil des Lehrangebotes?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big> * <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL * <span style="color:red;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebe * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der BWL * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Soziale Systeme </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens. Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisations-beratung, Heidelberg: Carl Auer * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemi-sche Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] 6aalbfsuk7aq6yv2zj4yjoat33vkn1n 746137 746136 2022-07-26T13:05:20Z Falko Wilms 8588 /* Fachliteratur (eBooks aus der FHV-Bibliothek) */ wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein ''Lehrmodul'' in der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. Sem. den Kurs "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege" erfolgreich abschließen möchten. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es in diesem Teil des Lehrangebotes?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big> * <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL * <span style="color:red;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebe * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der BWL * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Soziale Systeme </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens, Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisationsberatung, Heidelberg: Carl Auer * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemische Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] 5uhzqkk1fkaplwmjjgujwqb8qdxu26o 746143 746137 2022-07-26T13:13:13Z Falko Wilms 8588 /* behandelte Themen */ wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein ''Lehrmodul'' in der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. Sem. den Kurs "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege" erfolgreich abschließen möchten. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es in diesem Teil des Lehrangebotes?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big> * <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> <small>=> podcast zum Thema</small>] * <span style="color:red;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebe * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der BWL * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Soziale Systeme </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens, Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisationsberatung, Heidelberg: Carl Auer * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemische Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] iln5nhcb8dehfq898g90p608ckyw0fl 746151 746143 2022-07-26T14:31:15Z Falko Wilms 8588 /* behandelte Themen */ wikitext text/x-wiki {{ImAufbau|}} <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:left">Dieses Lehrangebot ist ein Bestandteil vom '''[http://de.wikipedia.org/wiki/Portal:Wirtschaft/Projekt:Wiwiwiki_Organizational_Behaviour Projekt:Wiwiwiki Organizational Behaviour]''' <br> und gehört zum '''[http://de.wikiversity.org/wiki/Fachbereich_Betriebswirtschaftslehre Wikiversity-Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]'''</div> </div><br><br><br><br> [[File:Wort-Bild-Marke-rgb.svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2022/23</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''BWL-Grundlagen für die Pflege'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein ''Lehrmodul'' in der LV "Betriebswirtschaftliche Grundlagen für die Pflege"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot ''Gesundheits- und Krankenpflege BSc'' an der FH Vorarlberg, die im 3. 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Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Lern-Unterlagen </big>'''</div> * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">Pfadunabhängige Suchmaschinen</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> [https://www.fhv.at/contacts/kontaktdetails/?tx_contactsmanagement_contact%5Bcontact%5D=99&tx_contactsmanagement_contact%5Baction%5D=show&tx_contactsmanagement_contact%5Bcontroller%5D=Contact&cHash=1d9c14090077d90c8bb7eea0ac43b5cf homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] </div> ==<span style="color:grey;">Worum geht es in diesem Teil des Lehrangebotes?== <span style="color:grey;">Kernaufgabe der Gesundheits- und Krankenpflege ist es, Menschen jeden Alters in verschiedensten Lebensphasen verantwortungsvoll zu pflegen und zu betreuen. Dazu braucht es auch ein ein Grundverständnis von ökonomischen Denkansätze, Begrifflichkeiten und ihrer Bedeutung für Gesundheits- und Sozialeinrichtungen. Hier knüpft dieses Lehrangebot an bietet den Studierenden ein solides Basiswissen über grundlegende Prinzipien, Konzepte und Begriffe des ökonomischen Denkens, mit denen betriebswirtschaftliche Aspekte von und in Gesundheits- und Sozialeinrichtungen analysiert und zum Wohle der Betroffenen zu handhaben sind. Zentraler Bezugspunkt dabei ist es, Organisationen als soziale Systeme verstehen zu lernen. ==Hilfreich zu wissen== In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handgeschriebenen Notizen: * gemäß dieser [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf Studie] bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 Studie] bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! * gemäß dieser [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 Studie] ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben! Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren: # Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. ==<span style="color:blue;"><big>behandelte Themen</big>== <small> ( <span style="color:red;">''zentrale Aspekte'' </span><span style="color:blac;"> und </span> <span style="color:blue;">''traditionelle Inhalte'' </span><span style="color:blac;">''')'''</small> <big> * <span style="color:blue;">Einführung in das betriebswirtschaftliche Denken * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> <small>=> podcast zum Thema</small>] * <span style="color:red;">Das Nugget-Chart * <span style="color:blue;">Grundlagen der BWL * <span style="color:red;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;"> <small>=> podcast zum Thema</small>] * <span style="color:red;">Die kommunikationsorientierte Sichtweise * <span style="color:blue;">Nonprofit-Organisationen * <span style="color:blue;">Gesundheitsbetriebe * <span style="color:blue;">Das Zahlenwerk der BWL * <span style="color:blue;">Controlling (Steuerung) * <span style="color:blue;">Ziele und Zielerreichung * <span style="color:blue;">Begründetes Entscheiden * <span style="color:red;">Soziale Systeme </big> ==Was tun, um die Prüfung für dieses Lehrmodul zu bestehen?== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx <span style="color:blue;"> Template zur Verschriftlichung</span>] -------------- </div> Erfahrungsgemäß ist folgendes Vorgehen die beste Prüfungsvorbereitung: * 5er-Gruppen bilden * in der Gruppe zu mind. 5 Themen nach dem Treffen ein Nugget-Chart erstellen :* 3 wesentlichen Kernaussagen zum Thema entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Zielerreichung/Effektivität <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> entwickeln :* 1 Handlungstipp für eine bessere Wirkung/Effizienz <small>(Gegenwart)</small> mit einer erwarteten Folge <small>(Zukunft)</small> ableiten :* den Kern der Tipps prägnanten ''Eye Catcher'' formulieren, der KEINE Überschrift ist :* Am Ende der Erstellung eines Gruppen-Charte überlegen, was im Vorgehen gut/schlecht war, ''um das nächste Chart besser herzustellen!'' * In den ILIAS-Ordner "Gruppen-Charts" für die eigene Gruppe einen Ordner erstellen * alle in der Gruppe erstellen Nugget-Charts in den Gruppenordner hineinlegen <br> ==<big> '''Benotete Prüfungsleistung für dieses Lehrmodul'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/Template.docx diesem '''Template'''] ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den ILIAs-Ordner "Individuelle Prüfungsleistung" ab. Gemäß dem Stundenplan gilt der '''xx.xx.202x um 23:59 Uhr''' als spätester Abgabetermin, der nicht verhandlebar ist <span style="color:red;"> '''Die Kriterien zur Benotung''' der indiviuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. Wird das erforderliche Template nicht benutzt, werden 10 Punkte (von 100) abgezogen. Es können nur Arbeiten benotet werden, die rechtzeitig eingelangt sind und den Namen der Studentin bzw. des Studenten aufweisen. Hier eine wirklich gute Vertextung eines individuellen [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract''']. </span><br> . == Fachliteratur <small>(eBooks aus der FHV-Bibliothek)</small>== * Frodl, Andreas (2017): Gesundheitsbetriebslehre: Betriebswirtschaftslehre des Gesundheitswesens, Wiesbaden: Gabler. * Krizanits, Joana (2020): Einführung in die Methoden der systemischen Organisationsberatung, Heidelberg: Carl Auer * Ellebracht, Heiner; Lenz, Gerhard; Geiseler Lars; Osterhold, Gisela (2018): Systemische Organisations- und Unternehmensberatung. Praxishandbuch für Berater und Führungskräfte, 5. aktual. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Schlüchtermann, Jörg (2020): Betriebswirtschaft und Management im Krankenhaus. Grundlagen und Praxis, 3. Aktual. u. erw. Aufl., Berlin: Medizinisch Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft * Simon, Fritz B. (2015): Einführung in die systemische Organisationstheorie. 5. Auflage. Heidelberg: Carl Auer . [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms|!]] 278k5cpkffba4fx163hv8z663bxjxz5 106 136636 746120 746078 2022-07-26T12:18:05Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexeren überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde, mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Radius 5, der 13,4 Mal innerhalb des Intervalls [0;1] um das Zentrum rotiert. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Maxima-Drehungen.png|thumb|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 6tgsdwj1xxpev0uh9bmjj7o81g4bw1m 746128 746120 2022-07-26T12:49:03Z Moritz Berner 36059 /* Einführung */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexeren überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde, mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Radius 5, der 13,4 Mal innerhalb des Intervalls [0;1] um das Zentrum rotiert. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Maxima-Drehungen.png|thumb|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png hoftgcxvxff1rgfekot7rid667kkgzz 106 136971 746186 743368 2022-07-26T18:39:08Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Arbeitsblattgestaltung|36| {{Zwischenüberschrift|term=Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Metrische Räume/Lipschitz stetig/Gleichmäßig stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Betragsfunktion/Lipschitz-stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Lipschitz-stetig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktion/Wachsend/Stark kontrahierend/f-id streng fallend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Differenzierbare Funktion/Ableitung kleiner r/Starke Kontraktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |e^x-1/Negativ/Keine starke Kontraktion/Banach/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Cauchy-Folge/Häufungspunkt/Konvergent/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrische Räume/Produkt/Cauchy/Komponentenweise/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Euklidischer Raum/Vollständig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Metrischer Raum/Konvergente Folge/Vollständig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fixpunkt/M nach M/Schnitt von Graph mit der Diagonalen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Selbstabbildung/Punktierte abgeschlossene Kreisscheibe/Kein Fixpunkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilmengen im R^n/Nicht beschränkt oder nicht abgeschlossen/Stetige unbeschränkte Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} In der folgenden Aufgaben seien die {{ Definitionslink |Homomorphismenräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \operatorname{Hom} \, (V,W) |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath=|Norm| |Definitionsseitenname= Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Norm/Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\varphi|}} | {{defeq|}} |{{op:sup| {{op:Norm| \varphi(v)}} | {{op:Norm|v|}} {{=|}} 1 }} || || || |SZ= }} versehen. {{ inputaufgabe |Lineare Abbildung/Euklidische Vektorräume/Stark kontrahierend gdw Norm kleiner 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Abbildungsräume/Abgeschlossen und beschränkt/Nach vollständiger metrischer Raum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lipschitz-stetig/Verhalten unter Komposition/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Zahlen/Kompakt und zusammenhängend/Abgeschlossenes beschränktes Intervall/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Beschränkte und kompakte Teilmengen/Produktmenge/Beschränkt und kompakt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/C/Zerfällt in Linearfaktoren/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Vollständiger metrischer Raum/Teilmenge abgeschlossen gdw vollständig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Starke Kontraktion/Q nach Q/Kein Fixpunkt/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lipschitz-stetig/1+ln x/Keine starke Kontraktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Funktion/Auf a,b/Stetig differenzierbar/Lipschitz-stetig/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/R/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 1wupmjtlbhjxcy3qnznhuvcviy3z020 0 137419 746127 737924 2022-07-26T12:46:05Z Falko Wilms 8588 wikitext text/x-wiki __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:140%;><span style="color:blue;">'''<big>Gedanken versprachlichen</big>'''</span></span><br></center> --------<br> Im beruflichen und privaten Alltagsleben geht es immer wieder im Kern um das möglichst bewusste, nachvollziehbare Entscheiden über die Verwendung von knappen Mitteln, um gesetzte Ziele zu erreichen. Immer wieder geht es darum, * in begrenzter Zeit (z. B. bis Urlaubsende, bis der Kunde wiederkommt, bis zum Ende des Produktlebenszyklus, bis zur Marktreife oder bis das Fieber sinkt) * mit begrenzten Mitteln (z. B. gegebene Finanzen, verfügbarer Zeitraum, aktuelle Fähigkeiten, ermittelte Kundenwünsche, technische Funktionalitäten oder eigener Ermüdungszustand) * bestimmte Vorhaben (z. B. den Wochenendeinkauf erledigen, eine Brücke mit bestimmten Eigenschaften erbauen, rechtzeitig den Bus erreichen, in der nötigen Form eine gesetzliche Eingabe machen oder ein zeitzohnenübergreifendes virtuelles Meeting gestalten, eine Operation am offenen Herzen durchführen, zu einem bestimmten Hafen segeln) * möglichst wirkungsvoll in die Tat umzusetzen. Damit dies gelingt, ist a) die zu ''Problematik'', b) das anzustrebende ''Ziel'', c) wirksame ''Rahmenbedingungen'' und d) mögliche ''zieldienliche Maßnahmen'' sprachlich zu erfassen und zu dokumentieren. Beim Abwägen von zielführenden Maßnahmen werden Kosten und Nutzen zumeist in Zahlen angegeben. Sie sind so aufzubereiten, dass allen Beteiligten ein sinnerfassendes Verstehen möglich wird. Auch dafür sind eigene/fremde Gedanken kurz, knapp und dennoch klar verständlich so zu versprachlichen, dass einerseits der bezeichnete Fachinhalt der Mitteilung treffend erfasst werden kann und andererseits keine Irritationen oder Missverständnisse entstehen. Zahlen erscheinen oftmals eindeutiger als verbale Ausführungen. Dies verdeckt die Bedeutung der Entstehungsbedingungen der benutzten Zahlen. Einerseits können Rechenfehler falsche Zahlen ergeben, anderseits sind Zahlen immer zu interpretieren (''z. B.: Ist 15% Abweichung vom Erwarteten noch ein Routinefall oder doch schon Ausnahmefall bzw. ab vielviel Prozennt abweichung wird aus einem "akzeptablen Planungskorridor“ ein Notfall der zu Sofortmaßnahmen führen sollte?'')<br> Aus diesem Grund wird in meinen Lehrangeboten das Erstellen einer am anglo-amerikanischen Standard orientierten Kurzpräsentation geübt. Darin wird zu Beginn der Kernsatz des dargelegten Gedankengangs formuliert, dann erst kommt die Begrüßung. Danach werden nach Wichtigkeit gereiht drei Kernaussagen präsentiert. Abschließend werden zwei daraus ableitbare Handlungstipps aufgeführt, eine für bessere Effektivität und eine für eine verbesserte Effizienz.<br> Gerade im Umgang mit Fachinhalten spielen die Genauigkeit der Sprache und die Genauigkeit des Denkens zusammen. Die korrekte Verwendung von Fachbegriffen und Zeitformen beruht in starkem Maße auf der Abwendung von einer örtlich regionalen Ausprägung einer Sprache bzw. der Anwendung von Hochdeutsch als "Standardsprache". Von akademisch geschulten Menschen wird erwartet, dass die eine korrekte Ausdrucksweise mit einem eher großen Wortschatz anwenden. <br> [[File:Notiz.png|thumb|200px|right|<center>[https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> <big> <span style="color:red;"> '''>> Notiz-Template <<''' </big> </span>]</center>]] Auf diese Weise üben die Studierenden * <span style="color:grey;"> Einen Abstract für den Text zu erstellen (''optional'').</span> * Gedankengänge zu wesentlichen Kernaussagen zu verdichten. Diese Fähigkeit wird immer dann benötigt, wenn aus einer Fülle von wirksamen Details ein grundlegender Überblick zu erarbeiten ist. * zentrale Kernaussagen so zu erklären, dass die Thematik auch Personen ohne fachinhaltliche Vorkenntnisse verständlich wird. Diese Fähigkeit wird immer dann benötigt, wenn Details zu erläutern und einzuordnen sind. Diese Fähigkeiten werden dadurch gefördert, dass die Studierenden immer wieder Ideen und Gedankengänge in einer hilfreichen Form verschriftlichen. Zunächst in Kleingruppen und dann immer eigenständiger gilt es dabei * fremde Gedanken (z. B. aus Texten, Vortragsfolien oder podcasts) * eigene Ideen und Erkenntnisse (z. B. über wesentliche Inhalte des heutigen Treffens im Kurs) kurz, knapp und verständlich zu notieren. Zu diesem Zweck wird eine [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> <span style="color:red;"> '''Notiz-Template''' </span>]bereitgestellt, die erfahrungsgemäß als hilfreich erlebt wird. Der Unterschied zwischen einem [https://falko-wilms.de/HL/mit.pdf <span style="color:red;">'''Text ''mit'' Abstract'''] und dem selben [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">'''Text ''ohne'' Abstract'''] besteht lediglich darin, dass ein Abstrac eine anfängliche Übersicht über das Wesentliche des Textes gibt. Das wird allerdings erst bei einer Textlänge von mehreren Seiten wirklich bedeutsam. Weil es im Leben immer wieder um Entscheidungen über die zieldienliche Verwendung knapper Mittel geht und dabei oft viele unterschiedliche Ansprechpartner einzubeziehen sind, ist die Fähigkeit zur schrifltlichen und mündlichen Versprachlichung von Gedankengängen ein zentraler Bestandteil einer akademischen Lehre. </big> <br><br><br> [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] idrtzi8rk99up94aacwbraqshgp7vlf 0 139396 746185 736377 2022-07-26T18:31:59Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrische Räume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= L \times M |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Produktmetrik| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} versehen. Zeige{{n Sie}}, dass eine Folge {{ Ma:Vergleichskette/disp | z_n || (x_n,y_n) |\in| L \times M || || |SZ= }} genau dann eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist, wenn die beiden Komponentenfolgen {{ mathkor|term1= {{op:Folge|x}} |und|term2= {{op:Folge|y}} |SZ= }} Cauchy-Folgen sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Produkte von metrischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2rese0s1rkqmaetnuj6j0feyx1smy7 106 139479 746189 743920 2022-07-26T18:41:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|36|22|Kurs=|}} s1c18p7pixjyougbslsy7e01my88pzd 106 139480 746188 743919 2022-07-26T18:41:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|36|9|Kurs=|}} ctjtxup5u4cre6muxc5fpf18y6qdfai 2 141068 746144 746062 2022-07-26T14:08:40Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Normierter Raum/Abzählbare Topologie/Separabilität/Einführung/Textabschnitt]] [[Normierter Raum/Banachraum/Summierbarkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Banachraum/Kompakter Operator/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Kompakter Operator/Spektralsatz/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Legendre-Polynome/Einführung/Textabschnitt]] [[Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt]] [[/Textabschnitt]] [[Maßraum/Integralkern/Einführung/Textabschnitt]] [[Integralkern/Integralgleichung/Einführung/Textabschnitt]] {{ inputdefinition |Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition|| }} [[Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt]] pmowcgr0i8xrvx469r0ipcvv1hvs3hi 746207 746144 2022-07-27T06:34:02Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Metrischer Raum/Kompakt/Charakterisierung/Textabschnitt]] [[Normierter Raum/Abzählbare Topologie/Separabilität/Einführung/Textabschnitt]] [[Normierter Raum/Banachraum/Summierbarkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Banachraum/Kompakter Operator/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Kompakter Operator/Spektralsatz/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Legendre-Polynome/Einführung/Textabschnitt]] [[Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt]] [[/Textabschnitt]] [[Maßraum/Integralkern/Einführung/Textabschnitt]] [[Integralkern/Integralgleichung/Einführung/Textabschnitt]] {{ inputdefinition |Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition|| }} [[Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt]] 950060cu0c0jgbit8qhc3k9usaozrrr 0 141138 746117 745518 2022-07-26T12:09:31Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. fx2vtdphj9imm16hzc57w8041b6x76z 746118 746117 2022-07-26T12:14:03Z Moritz Berner 36059 /* Einführung */ wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1 == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> omhaslpbrqtzjnlou6kyshb4pw1h4ob 746119 746118 2022-07-26T12:16:21Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1 */ wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> n27b1srk2dik65z6u27m8ewpcnd8bez 746121 746119 2022-07-26T12:23:11Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. ==<small>Intervallbestimmung</small>== Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> ==Umdrehungen des Mondes um die Erde== Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2</small> == <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] jx38on4mubu0rgvfxqgvnurrq50r5h5 746122 746121 2022-07-26T12:23:29Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2 */ wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. ==<small>Intervallbestimmung</small>== Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> ==Umdrehungen des Mondes um die Erde== Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2</small> == [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> eks8vkw2js82hrqbqdwkpf3xt8x9cew 746123 746122 2022-07-26T12:27:43Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. ==<small>Intervallbestimmung</small>== Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> ==Umdrehungen des Mondes um die Erde== Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2</small> == [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 3</small> == Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. == Anhang 1== [[File:Maxima-Drehungen.png|300px|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 4</small> == 2yvnydjknm20utsphce208sko5iizc2 746124 746123 2022-07-26T12:30:21Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. ==<small>Intervallbestimmung</small>== Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> ==Umdrehungen des Mondes um die Erde== Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2</small> == [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 3</small> == Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 4</small> == [[File:Maxima-Drehungen.png|300px|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 5</small> == Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> rdsucsjb7zgqboj7evxvrfr6zvk00zc 746125 746124 2022-07-26T12:32:21Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 5 */ wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. ==<small>Intervallbestimmung</small>== Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> ==Umdrehungen des Mondes um die Erde== Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2</small> == [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 3</small> == Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 4</small> == [[File:Maxima-Drehungen.png|300px|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 5</small> == Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> == Anhang == [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|300px|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] 3t74w5y4qp85xgypess9mclnaymfaa1 746126 746125 2022-07-26T12:35:07Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. ==<small>Intervallbestimmung</small>== Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> ==Umdrehungen des Mondes um die Erde== Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1</small> == Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2</small> == [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 3</small> == Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 4</small> == [[File:Maxima-Drehungen.png|300px|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> == <small>Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 5</small> == Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <small><math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math></small><br> == Anhang == [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|450px|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] 6ibhoykihhitvsyrsh9offfahxkp6a9 0 141139 746129 745520 2022-07-26T12:50:50Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> duwolvr8wz01413m8y842m4mj68g5be 746133 746129 2022-07-26T12:57:39Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> o0epxgvlzfw0a56d11rn2ga1foml0an 746134 746133 2022-07-26T12:58:49Z Moritz Berner 36059 /* Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2 */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small></small> tga0ae2x3qi32xh3hbfca3amvu7a2x7 746135 746134 2022-07-26T12:59:46Z Moritz Berner 36059 /* Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2 */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> o0epxgvlzfw0a56d11rn2ga1foml0an 746138 746135 2022-07-26T13:06:14Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. dw791t6hkrruogs5ns3v1uzlt9oxiff 746139 746138 2022-07-26T13:10:52Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3</small> == Die endgültige Funktion lautet dann: <small>Ex)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math></small> 309s8gpypp3fi6g5yphe8o3zul6p06v 746140 746139 2022-07-26T13:11:19Z Moritz Berner 36059 /* Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3 */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3</small> == Die endgültige Funktion lautet dann: <small>Ex)=\begin{pmatrix}#= <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math></small> 15re3obfmggz4jic7kq7jwtmkvf7u80 746141 746140 2022-07-26T13:11:37Z Moritz Berner 36059 /* Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3 */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3</small> == Die endgültige Funktion lautet dann: <small>E(x)= <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math></small> lgb99mm2wwg7w8koa5qndstp8d77wxo 746142 746141 2022-07-26T13:12:58Z Moritz Berner 36059 wikitext text/x-wiki == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen</small> == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == <small><math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> </small> == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 2</small> == So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. == <small>Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen 3</small> == Die endgültige Funktion lautet dann: <small>E(x)= <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math></small> == Anhang == [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]] 3xz753dp2ktcv8a1fdculvnm4jxola8 0 141233 746146 745944 2022-07-26T14:15:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= ( M, \mu) |und|term2= (N, \nu) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliche| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Produktraum {{mathl|term= M \times N |SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=K | M \times N | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in diesem Zusammenhang ein {{Stichwort|Integralkern|msw=|SZ=}} oder kurz {{Stichwort|Kern|msw=|SZ=}} heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen ntegrationsbedingungen messbare Funktionen auf {{math|term= M |SZ=}} in messbare {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertige Funktionen auf {{math|term= N |SZ=}} transformieren, indem man die transformierte Funktion {{ Ma:Vergleichskette | T(f) || T_K(f) || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (T(f)) (y) || \int_M K(x,y) f(x) d \mu || || || |SZ= }} definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen. {{ inputbeispiel |Produktintervall/Integralkern/Beispiel|| }} Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen {{math|term= t |SZ=}} und einer Frequenzvariablen {{math|term= u |SZ=,}} aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. {{ inputdefinition |Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition|| }} Hier ist also {{math|term= e^{- {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|u|t}} } |SZ=}} der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lhr8o35ubhxpwvjgz5nsys7la8hnnxs 746147 746146 2022-07-26T14:18:33Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= ( M, \mu) |und|term2= (N, \nu) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliche| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßräume| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Produktraum {{mathl|term= M \times N |SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=K | M \times N | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} die in diesem Zusammenhang ein {{Stichwort|Integralkern|msw=|SZ=}} oder kurz {{Stichwort|Kern|msw=|SZ=}} heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf {{math|term= M |SZ=}} in messbare {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertige Funktionen auf {{math|term= N |SZ=}} transformieren, indem man die transformierte Funktion {{ Ma:Vergleichskette | T(f) || T_K(f) || || || |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | (T(f)) (y) || \int_M K(x,y) f(x) d \mu || || || |SZ= }} definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen. {{ inputbeispiel |Produktintervall/Integralkern/Beispiel|| }} Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen {{math|term= t |SZ=}} und einer Frequenzvariablen {{math|term= u |SZ=,}} aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. {{ inputdefinition |Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition|| }} Hier ist also {{math|term= e^{- {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|u|t}} } |SZ=}} der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9fuj1lwu5uzjy8rr0bdvvmpob3r7dy2 0 141330 746145 2022-07-26T14:09:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wird eine Anfangswertproblem {{ Ma:Vergleichskette | x' || F(t,x) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | f(a) || w || || || |SZ= }} in die Integralgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(s) || w + {{op:Integral|grand=F(t,x(t))|a|s||t}} || || || |SZ= }} übersetzt. Damit konnte die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung unter bestimmten Voraussetzungen gezeigt werden und mit der Picard-Lindelöf-Iteration auch ein approximierendes Berechnungsverfahren begründet werden. Eine allgemeinere Form einer Integralgleichung ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(s) || {{op:Integral|grand=F(s,t,x(t))|a|s||t}} +g(s) || || || |SZ=, }} wobei die Abbildungen {{math|term= g,F |SZ=}} und die gesuchte Abbildung {{math|term= x |SZ=}} Werte im {{math|term= \R^n |SZ=}} besitzt. Da über {{math|term= t |SZ=}} integriert wird, darf das {{math|term= s |SZ=}} sowohl im Integranden als auch in der Integrationsgrenze vorkommen. Diese Gesamtsituation ist sehr allgemein, typischerweise betrachtet man Situationen, wo zusätzliche Bedingungen erfüllt sind. Wir betrachten die Situation, wo die gesuchte Funktion {{math|term= x(t) |SZ=}} linear in den Integranden eingeht, d.h. der Integrand besitzt die Form {{ Ma:Vergleichskette/disp | F(s,t,x(t)) || K(s,t) x(t) || || || |SZ= }} mit einer skalarwertigen Funktion {{math|term= K(s,t) |SZ=,}} die der Integralkern der Integralgleichung heißt. Man unterscheidet nun die folgenden Varianten gemäß der folgenden Fragen {{ Aufzählung3 |Kommt die gesuchte Funktion {{math|term= x(t) |SZ=}} nur im Integranden oder {{ Zusatz/Klammer |text=wie oben| |ISZ=|ESZ= }} auch außerhalb {{ Zusatz/Klammer |text=oben auf der linken Seite| |ISZ=|ESZ= }} vor? |Ist die obere Inegrationsgrenze konstant oder variabel? |Ist {{ Ma:Vergleichskette | g(t) || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=homogner Fall| |ISZ=|ESZ= }} oder nicht {{ Zusatz/Klammer |text=inhomogener Fall| |ISZ=|ESZ=. }} }} Einige Situationen bekommen einen eigenen Namen. {{ Aufzählung4 |{{ Ma:Vergleichskette/disp | 0 || \int_a^b K(s,t) x(t) dt +g (s) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Fredholmsche Integralgleichung erster Art| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | x(s) || \int_a^b K(s,t) x(t) dt +g (s) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Fredholmsche Integralgleichung zweiter Art| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | 0 || \int_a^s K(s,t) x(t) dt +g (s) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Volterrasche Integralgleichung erster Art| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ Ma:Vergleichskette/disp | x(s) || \int_a^s K(s,t) x(t) dt +g (s) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Volterrasche Integralgleichung zweiter Art| |ISZ=|ESZ=. }} }} Eine eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x' || f(t)x + h(t) || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(a) || w || || || |SZ= }} führt auf die Integralgleichung {{ Ma:Vergleichskette/disp | x(s) || w + \int_a^s f(t) x(t) +h(t) dt || w +H(s) + \int_a^s f(t)x(t) dt || || |SZ=, }} wobei {{math|term= H |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= h |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | H(a) || 0 || || || |SZ= }} sei. Dies ist eine Volterrasche Differentialgleichung zweiter Art mit {{ Ma:Vergleichskette | g(s) || w+H(s) || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Integralgleichung/Homogen/Kern konstant/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Volterrasche Integralgleichung/Zweiter Art/Kern unabhängig von Integrationsvariable/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Integralgleichung/Fredholm/Zweiter Art/Lösung/Fakt|Satz|| || }} Wenn {{math|term= g |SZ=}} die Nullfunktion ist, also der homogene Fall vorliegt, so ist die Nullfunktion {{ Ma:Vergleichskette | x(s) || 0 || || || |SZ= }} stets eine Lösung. Für {{math|term= \lambda |SZ=}} betragsmäßig klein bedeutet der Satz, dass die Nulllösung die einzige Lösung gibt. Für großes {{math|term= \lambda |SZ=}} gibt es im Allgemeinen nichttriviale Lösungen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Integralgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bk4iba5yff31uehs0i6mp4njy8lxjyv 0 141331 746148 2022-07-26T14:24:46Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= ( M, \mu) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher| |Kontext=Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Produktraum {{mathl|term= M \times M |SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=K | M \times M | {{KRC|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbarer Integralkern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die zugehörige Transformation {{ Ma:abbele/disp |name=T_K |L^2(M)| L^2(M) |f| T_K(f) |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( T_K(f) ) (u) || \int_M K (u,t) d \mu (t) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linearer Operator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikj8rdq7b3sl36iw4hxd13xdm58w383 746150 746148 2022-07-26T14:25:46Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= ( M, \mu) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |endlicher| |Kontext=Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit dem Produktraum {{mathl|term= M \times M |SZ=}} und sei {{ Ma:abbele/disp |name=K | M \times M | {{KRC|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkter| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbarer Integralkern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die zugehörige Transformation {{ Ma:abbele/disp |name=T_K |L^2(M)| L^2(M) |f| T_K(f) |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( T_K(f) ) (u) || \int_M K (u,t) f(t) d \mu (t) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |linearer Operator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 744fb97gkoukqhplvffs75atq0oegc4 14 141332 746149 2022-07-26T14:24:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Fakten-Kategorie unter |Theorie der Integralkerne| ||}} 3ryt1uqnalvk41rocd8oda3y1c2byey 0 141333 746153 2022-07-26T15:13:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | K(u,t) |\leq|S || || || |SZ= }} eine Schranke. Die Funktion {{math|term= K(u,t) f(t) |SZ=}} ist dann insbesondere auf dem endlichen Maßraum integrierbar, so dass das Integral existiert. Dabei gilt {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks |( T (c_1f_1 +c_2f_2) )(u) || \int_M K (u,t) {{makl| c_1f_1 (t) +c_2f_2 (t) |}} d \mu (t) || c_1 \int_M K (u,t) f_1 (t) d \mu (t) + c_2 \int_M K (u,t) {{makl| f_2 (t) |}} d \mu (t) || c_1 ( T(f_1 ) )(u)+ c_2 ( T(f_2) )(u) || (c_1 ( T(f_1 ) )+ c_2 ( T(f_2) ) ) (u) |SZ= }} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| T(f) }}^2 || \int_M {{op:Betrag|T(f) (u) ||}}^2 d \mu (u) || \int_M {{op:Betrag| \int_M K(u,t) f(t) d \mu (t) }}^2 d \mu (u) |\leq | \int_M {{makl| \int_M {{op:Betrag| K(u,t) f(t) }} d \mu (t) }}^2 d \mu (u) |\leq| S^2\int_M {{makl| \int_M {{op:Betrag| f(t) }} d \mu (t) }}^2 d \mu (u) |\leq| S^2 \int_M {{makl| \mu(M) \int_M {{op:Betrag| f(t) }}^2 d \mu(t) |}} d \mu (u) || S^2 \cdot \mu(M)^2 \cdot {{op:Norm| f }}^2 |SZ=. }} Zitat. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5xfsoeosuvkqta0fw9e6t4rtoxejq1e 14 141334 746154 2022-07-26T15:13:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Beweis-Kategorie unter |Theorie der Integralkerne| ||}} 92y2o9xwa33mwlnweygenod4weyf6tz 0 141335 746155 2022-07-26T16:42:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |endlichen| |Kontext=Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Maß| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= \mu |SZ=}} auf {{math|term= M |SZ=.}} Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=K | M \times M | {{KRC|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |stetiger| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Integralkern| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die zugehörige Transformation {{ Ma:abbele/disp |name=T_K |L^2(M)| L^2(M) |f| T_K(f) |SZ=, }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | ( T_K(f) ) (u) || \int_M K (u,t) f(t) d \mu (t) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter Operator| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} makt2v6oua7wapx0ffo3lkco4pzqq8v 0 141336 746156 2022-07-26T16:44:20Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein stetiger linearer Operator liegt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lps1rnhpwe62mdrq2gwchwcuf9eurj1 0 141337 746159 2022-07-26T16:55:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |{{math|term= X |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |kompakt| 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{{ Definitionslink |Prämath= |konvergente| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Kompaktheit (Topologie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Folgenkompakt |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dzehnrr03i91tb6age000hfdp90o98 746179 746164 2022-07-26T17:19:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |folgenkompakt| |msw=Folgenkompakt |SZ=, }} wenn in ihm jede {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente| |Kontext=Topologie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Kompaktheit (Topologie) |Kategorie2=Theorie der Folgen in topologischen Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Folgenkompakt |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nhdziedehnnad3v1ceyzbkcwo87ulzp 14 141342 746165 2022-07-26T17:02:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=F|Anf2=o|Anf3=l|Folgenkompakt (MSW)}} nmsbdv5fwzh1gvcp2laaklx862ymdqs 0 141344 746177 2022-07-26T17:18:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=konvergente (Topologie)|Anf=Ko| |Siehe=konvergent (Topologie) |Ziel=/Definition }} aax0urotqli8zx4jjl4lz3o5e9fjpl0 0 141345 746178 2022-07-26T17:18:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=konvergent (Topologie)|Anf=Ko| |Siehe= |Ziel=Topologischer Raum/Folge/Konvergenz/Definition }} ir2pp9dw8wsda803gjh2qh2vjqskfp4 0 141346 746180 2022-07-26T17:20:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=total beschränkt|Anf=To| |Siehe= |Ziel=Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition }} am4fis6lr347ihnaaqskvi4v6oed08i 0 141347 746181 2022-07-26T17:24:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |total beschränkt| |msw=Total beschränkt| |SZ=, }} wenn es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} endlich viele Punkte {{ Ma:Vergleichskette | x_1 {{kommadots|}} x_n |\in| M || || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || \bigcup_{i {{=}} 1}^n {{op:Offener Ball|x_i|\epsilon}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Total beschränkt |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ga3cb1j854oo1b5f7afukmda8322730 14 141348 746182 2022-07-26T17:24:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=T|Anf2=o|Anf3=t|Total beschränkt (MSW)}} q04ud1d39q1u66ph378e0uljnj7rzos 0 141349 746187 2022-07-26T18:41:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath= |metrischen Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= M |SZ=,}} die einen {{ Definitionslink |Prämath= |Häufungspunkt| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitze. Zeige{{n Sie}}, dass die Folge {{ Definitionslink |Prämath= |konvergiert| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6xoioz3d339ksi3guwd9ia24qngc7ct 0 141350 746190 2022-07-26T18:50:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= X |SZ=.}} Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Cauchy-Folge/Häufungspunkt/Konvergent/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U_x || || || |SZ= }} derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{x \in X} U_x || || || |SZ= }} eine endliche Teilüberdeckung, also {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{ i {{ =}} 1}^m U_{x_i} || || || |SZ=. }} Dann wären ab einem {{math|term= N |SZ=}} alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} seimbyngrj8bbrzu45houw2tphuw60u 746192 746190 2022-07-26T18:50:53Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kompakter metrischer Raum/Ist vollständig/Aufgabe/Lösung]] nach [[Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= X |SZ=.}} Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Cauchy-Folge/Häufungspunkt/Konvergent/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U_x || || || |SZ= }} derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. 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Von (1) nach (2) ergibt sich wie im Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Topologischer Raum/Abzählbare Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Sei (2) erfüllt. Es sei {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= X |SZ=.}} Nach Voraussetzung besitzt sie eine konvergente Teilfolge. Daraus folgt aber schon, dass die Folge konvergiert. Der Raum ist also vollständig. Wenn {{math|term= X |SZ=}} nicht total beschränkt ist, so gibt es ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} derart, dass von den offenen Bällen {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} keine endliche Auswahl ganz {{math|term= X |SZ=}} überdeckt. Wir können daher eine Folge {{math|term= {{op:Folge|x|}} |SZ=}} konstruieren mit der Eigenschaft, dass zu {{ Ma:Vergleichskette | n |>| m || || || |SZ=. }} der Abstand {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|x_n|x_m}} |\geq| \epsilon || || || |SZ= }} ist. Eine solche Folge besitzt keine konvergente Teilfolge. Sei nun (3) erfüllt. Zum Nachweis der Kompaktheit können wir uns auf Überdeckungen mit offenen Bällen beschränken. Wenn die dabei auftretenden Radien nach unten positiv beschränkt sind, so folgt aus der totalen Beschränktheit, dass eine endliche Teilüberdeckung ausreicht. Es sei also eine offene Überdeckung gegeben, die eine Folge von offenen Bällen {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x_n|\epsilon_n}} |SZ=}} mit einer Nullfolge {{math|term= \epsilon_n |SZ=}} beinhaltet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jxy82md9v3cesiprm1my0g4fz20033s 3 141357 746206 2022-07-26T21:49:17Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=TeodoroLofland}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 23:49, 26. Jul. 2022 (CEST) okac5441w9qvsd4fusuxlap6wtakev0 0 141358 746208 2022-07-27T06:35:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} b4n79fwwfl0mc42z4b79rghxrzb5htn 746212 746208 2022-07-27T06:54:13Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für eine kompakte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T || C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Kompakt/Funktionenmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nm66k9ancp5d0njviy38uw299xa37us 746213 746212 2022-07-27T06:54:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für eine kompakte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq| C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Kompakt/Funktionenmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ajs8y50wb5oqvg5fp9ld694k0lu1swo 746214 746213 2022-07-27T06:55:26Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. 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Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Funktionenmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pgm01ov3pv3c0gpb2a5bhwb9onpbznj 746215 746214 2022-07-27T07:09:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für eine kompakte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq| C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rfk6xzs3b3ykh4u0rhiv3rmy97de0t4 746225 746215 2022-07-27T10:44:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für eine kompakte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq| C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in {{math|term= x |SZ=,}} wenn sie stetig in {{math|term= x |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i9jmiwdx1tkibcuxvseywi7xdh6bwug 14 141359 746209 2022-07-27T06:35:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Theorie der kompakten metrischen Räume| ||}} 0v34iqhgn12tagj327iyc9ohlgqatxa 0 141360 746216 2022-07-27T07:12:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{math|term= Z |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |metrischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| {{op:Abbildungsmenge|X|Z}} || || || |SZ= }} eine Menge von Abbildungen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= Z |SZ=.}} Man nennt {{math|term= T |SZ=}} {{ Definitionswort |Prämath= |gleichgradig stetig| |msw=Gleichgradig stetig |SZ= }} in einem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ=, }} wenn es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |offene Umgebung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U |\subseteq| X || || |SZ= }} derart gibt, dass für alle {{ Ma:Vergleichskette | x' |\in| U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| T || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f(x)| f(x')|}} |\leq| \epsilon || || || |SZ=. }} Man nennt {{math|term= T |SZ=}} {{ Definitionswort |Prämath= |gleichgradig stetig| |msw= |SZ=, }} wenn {{math|term= T |SZ=}} gleichgradig stetig in jedem Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} ist. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Gleichgradig stetig |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fbz4exyypkj6s5p2nqjq512hhdkmd5 14 141361 746217 2022-07-27T07:12:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=G|Anf2=l|Anf3=e|Gleichgradig stetig (MSW)}} ir9tc058z1w1ce3mzkzqihbwxb7ekgc 0 141362 746218 2022-07-27T07:52:22Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| C(X,{{KRC}}) || || || |SZ=, }} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= T |SZ=}} genau dann kompakt, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |{{math|term= T |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |abgeschlossen| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} | {{math|term= T |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |gleichgradig stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} ist das Auswertungsbild {{mathl|term= {{Mengebed|f(x)|f \in T}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s38an7wzaa0d4txd5hhf9h9mx3avvdm 0 141363 746219 2022-07-27T07:53:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=gleichgradig stetig|Anf=Gl| |Siehe= |Ziel=Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition }} 3pjue0vuxh6h1z1jw9qnfqv1u7gdgjg 0 141364 746222 2022-07-27T07:55:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=beschränkt (K)|Anf=Be| |Siehe= |Ziel=Metrischer 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Die Eigenschaft (1) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung {{ Ma:abbele/disp |name= |C(X,{{KRC}})| {{KRC|}} |f| f(x) |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von {{math|term= T |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es endlich viele Funktionen {{math|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq| \bigcup_{i {{=}} 1}^n {{op:Offener Ball|f_i| {{op:Bruch|\epsilon|3}} }} || || || |SZ= }} ist. Für diese endlich vielen Funktionen {{math|term= f_i |SZ=}} finden wir eine gemeinsame offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U |\subseteq| X || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f_i(x)|f_i(x')}} |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | x' |\in|U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Für ein beliebiges {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| T || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| {{op:Offener Ball|f_i| {{op:Bruch|\epsilon|3}} }} || || || |SZ= }} für ein {{math|term= i |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} |\leq | {{op:Abstand|f(x)|f_i(x)}} + {{op:Abstand|f_i(x)|f_i(x')}} + {{op:Abstand|f_i(x')|f(x')}} | \leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} || \epsilon || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxp8b076ud5of19694khtayz5n2se52 746227 746224 2022-07-27T10:55:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei zuerst {{math|term= T |SZ=}} kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung {{ Ma:abbele/disp |name= |C(X,{{KRC}})| {{KRC|}} |f| f(x) |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} fixiert. 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Für diese endlich vielen Funktionen {{math|term= f_i |SZ=}} finden wir eine gemeinsame offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U |\subseteq| X || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f_i(x)|f_i(x')}} |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | x' |\in|U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Für ein beliebiges {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| T || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| {{op:Offener Ball|f_i| {{op:Bruch|\epsilon|3}} }} || || || |SZ= }} für ein {{math|term= i |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} |\leq | {{op:Abstand|f(x)|f_i(x)}} + {{op:Abstand|f_i(x)|f_i(x')}} + {{op:Abstand|f_i(x')|f(x')}} | \leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} || \epsilon || |SZ=. }} Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Folgenkompaktheit, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} besitzt eine Folge in {{math|term= T |SZ=}} eine im Gesamtraum konvergente Folge. Wegen der Abgeschlossenheit von {{math|term= T |SZ=}} muss nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossen/Charakterisierung mit konvergenten Folgen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} die Grenzfunktion der Teilfolge zu {{math|term= T |SZ=}} gehören, was gerade folgenkompakt bedeutet. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rrdcy0p1zykfp0jy0dzy0kji63lv15m 0 141366 746226 2022-07-27T10:49:52Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| C(X,{{KRC}}) || || || |SZ=, }} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= Es gelten die beiden Eigenschaften {{ Aufzählung2 |{{math|term= T |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |gleichgradig stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} ist das Auswertungsbild {{mathl|term= {{Mengebed|f(x)|f \in T}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Übergang= |Folgerung=Dann besitzt jede {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Folge|f|}} |SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} eine in {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |konvergente| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Teilfolge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2m1y9nur61hg64rjmljez15lah5mqg6 746228 746226 2022-07-27T11:03:47Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |kompakter| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |topologischer Raum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| C(X,{{KRC}}) || || || |SZ=, }} versehen mit der {{ Definitionslink |Prämath= |Maximumsnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= Es gelten die beiden Eigenschaften {{ Aufzählung2 |{{math|term= T |SZ=}} ist {{ Definitionslink |Prämath= |gleichgradig stetig| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Für jeden Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} ist das Auswertungsbild {{mathl|term= {{Mengebed|f(x)|f \in T}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |beschränkt| |Kontext=K| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Übergang= |Folgerung=Dann ist {{math|term= T |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total beschränkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fhhmcab1odqbvcy787u21i9g09nqvry 0 141367 746230 2022-07-27T11:44:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} gegeben. Wegen der gleichgradigen Stetigkeit gibt es zu jedem {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U_x |\subseteq| X || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f(x)|f(x') }} |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|4}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | x' |\in| U_x || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| T || || || |SZ=. }} Wegen der Kompaktheit von {{math|term= X |SZ=}} gibt es endlich viele Punkte {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | X || \bigcup_{i {{=}} 1}^n U_{x_i} || || || |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | M || {{Mengebed| f(x_i)| f\in T| i {{=}} 1 {{kommadots|}} n }} || \bigcup_{i {{=}} 1}^n {{Mengebed| f(x_i)| f\in T}} |\subseteq| {{KRC|}} || || |SZ=. }} Da die einzelnen Auswertungsbilder {{math|term= {{Mengebed| f(x_i)| f\in T}} |SZ=}} beschränkt sind, ist auch {{math|term= M |SZ=}} beschränkt und daher gibt es endlich viele Punkte {{mathl|term= z_1 {{kommadots}} z_m |SZ=}} in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | M |\subseteq| \bigcup_{j {{=}} 1}^m {{op:Offener Ball|z_j| {{op:Bruch|\epsilon|4}} }} || || || |SZ=. }} Zu einem Tupel {{ Ma:Vergleichskette | {{Tupel|j_1|\ldots|j_n}} |\in| {{Menge1m}}^n || || || |SZ= }} definieren wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_{ {{Tupel|j_1|\ldots|j_n}} } || {{Mengebed|f \in T| f(x_i) \in {{op:Offener Ball|z_{j_i}| {{op:Bruch|\epsilon|4}} }} \text{ für } i {{=}} 1 {{kommadots}} n }} || || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette | f,g |\in| T_{ {{Tupel|j_1|\ldots|j_n}} } || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | x |\in|X || || || |SZ= }} gibt es ein {{math|term= i |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U_{x_i} || || || |SZ= }} und somit ist {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Abstand|f(x)|g(x)}} |\leq | {{op:Abstand|f(x)|f(x_i)}} + {{op:Abstand|f(x_i)|g(x_i)}} + {{op:Abstand|g(x_i)|g(x)}} |\leq | {{op:Abstand|f(x)|f(x_i)}} + {{op:Abstand|f(x_i)| z_{j_i} }} + {{op:Abstand|z_{j_i} |g(x_i)}} + {{op:Abstand|g(x_i)|g(x)}} |\leq| 4 {{op:Bruch|\epsilon|4}} || \epsilon |SZ=. }} Also ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_{ {{Tupel|j_1|\ldots|j_n}} } |\subseteq| {{op:Offener Ball|f| \epsilon}} || || || |SZ= }} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| T_{ {{Tupel|j_1|\ldots|j_n}} } || || || |SZ= }} und damit überdecken diese endlich vielen Bälle ganz {{math|term= T |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n23v6wj5un7n6e6xhcrmwooq7v5o8vg