Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.21 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 4 2133 745309 744395 2022-07-20T08:45:49Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers */ wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Universal Code of Conduct News – Issue 1 == <section begin="ucoc-newsletter"/> <div style = "line-height: 1.2"> <span style="font-size:200%;">'''Universal Code of Conduct - Neuigkeiten'''</span><br> <span style="font-size:120%; color:#404040;">'''Ausgabe 1, Juni 2021'''</span><span style="font-size:120%; float:right;">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]</span> ---- Willkommen zur ersten Ausgabe der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] Nachrichten! Dieser Newsletter soll Wikimedianern helfen, an der Entwicklung des neuen Kodex beteiligt zu bleiben, und soll über relevante Neuigkeiten, Forschung und bevorstehende Ereignisse im Zusammenhang mit dem UCoC informieren. Bitte beachtet, dies ist die erste Ausgabe des UCoC-Newsletters, der an alle Abonnenten und Projekte als Ankündigung der Initiative geliefert wird. Wenn du die zukünftigen Ausgaben auf deiner Diskussionsseite, Village pumps oder anderen spezifischen Seiten, die du für angemessen hältst, zugestellt haben möchtest, dann trage dich bitte [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/UCoC Newsletter Subscription|hier ein]]. Du kannst uns helfen, indem du die Newsletter-Ausgaben in deine Sprachen übersetzt, um die Neuigkeiten zu verbreiten und ein Bewusstsein zu schaffen, damit unsere Community für uns alle sicher bleibt. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/Participate|trage dich hier ein]], wenn du im Voraus über den Entwurf der zu übersetzenden Ausgabe informiert werden möchtest. Deine Mithilfe ist sehr willkommen. </div><div style="margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;"> * '''Konsultationen mit Partnerorganisationen''' – Wikimedia-Mitgliedsorganisationen aller Größen und Formen waren eingeladen, im März und April 2021 an der Konsultation der UCoC-Partnerorganisationen teilzunehmen. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec1|Weiterlesen]]) * '''Zentrale Konsultationen 2021''' – Die Wikimedia Foundation hielt im April und Mai 2021 Konsultationen zu Schlüsselfragen der Anwendung ab, um von der breiteren Wikimedia-Gemeinschaft Meinungen zur Anwendung der UCoC einzuholen. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec2|Weiterlesen]]) * '''Diskussionen am runden Tisch''' – Das UCoC-Moderationsteam veranstaltete im Mai 2021 zwei 90-minütige öffentliche Gespräche am runden Tisch, um die wichtigsten Fragen der UCoC-Durchführung zu diskutieren. Weitere Gespräche sind geplant. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec3|Weiterlesen]]) * '''Phase 2 Entwurfsausschuss''' – Der Entwurfsausschuss für die Phase 2 des UCoC hat am 12. Mai 2021 seine Arbeit aufgenommen. Lesen Sie mehr über seine Arbeit. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec4|Weiterlesen]]) * '''Diff blogs''' – Die UCoC-Moderatoren haben mehrere Blog-Beiträge verfasst, die auf interessanten Erkenntnissen und Einsichten aus den einzelnen Communities während der lokalen Projektkonsultationen, die im ersten Quartal 2021 stattfanden. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec5|Weiterlesen]])</div><section end="ucoc-newsletter"/> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SOyeyele (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SOyeyele_(WMF)/Announcements/German&oldid=21301095 --> == Subscribe to the This Month in Education newsletter - learn from others and share your stories == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Dear community members, Greetings from the EWOC Newsletter team and the education team at Wikimedia Foundation. We are very excited to share that we on tenth years of Education Newsletter ([[m:Education/News|This Month in Education]]) invite you to join us by [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|subscribing to the newsletter on your talk page]] or by [[m:Education/News/Newsroom|sharing your activities in the upcoming newsletters]]. The Wikimedia Education newsletter is a monthly newsletter that collects articles written by community members using Wikimedia projects in education around the world, and it is published by the EWOC Newsletter team in collaboration with the Education team. These stories can bring you new ideas to try, valuable insights about the success and challenges of our community members in running education programs in their context. If your affiliate/language project is developing its own education initiatives, please remember to take advantage of this newsletter to publish your stories with the wider movement that shares your passion for education. You can submit newsletter articles in your own language or submit bilingual articles for the education newsletter. For the month of January the deadline to submit articles is on the 20th January. We look forward to reading your stories. Older versions of this newsletter can be found in the [[outreach:Education/Newsletter/Archives|complete archive]]. More information about the newsletter can be found at [[m:Education/News/Publication Guidelines|Education/Newsletter/About]]. For more information, please contact spatnaik{{@}}wikimedia.org. ------ <div style="text-align: center;"><div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[User:ZI Jony|<span style="color:#8B0000">'''ZI Jony'''</span>]] [[User talk:ZI Jony|^{<span style="color:Green"><i>(Talk)</i></span>}]], {{<includeonly>subst:</includeonly>#time:l G:i, d F Y|}} (UTC)</div></div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:ZI_Jony/MassMessage/Awareness_of_Education_Newsletter/List_of_Village_Pumps&oldid=21244129 --> == Update zu den Desktop-Verbesserungen == [[File:Table of contents shown on English Wikipedia 02.webm|thumb]] ; Dies zum neuen Standard machen Hallo. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Unsere Arbeit ist fast beendet! 🎉 Wir würden uns freuen, wenn diese Verbesserungen der Standard für alle Leser und Autoren in allen Wikis werden würden. <span style="background-color:#fc3;">In den kommenden Wochen werden wir Gespräche mit weiteren Wikis beginnen, darunter auch deins. 🗓️</span> Gerne lesen wir eure Anregungen! Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs sowie Weiteres betreffen. Die Verbesserungen sind bereits auf mehr als 30 Wikis in den Standardeinstellungen für Leser und Autoren sichtbar, unter anderem in den Wikipedias auf [[:fr:|Französisch]], [[:pt:|Portugiesisch]] und [[:fa:|Persisch]]. Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector]-Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen. ; Die neuesten Funktionen * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Table of contents|Inhaltsverzeichnis]] - Unsere Version ist einfacher zu erreichen, erhält den Kontext der Seite und ermöglicht die Navigation auf der Seite, ohne zu scrollen. Es wird derzeit in unseren Pilot-Wikis getestet. Es ist auch für Benutzer verfügbar, die den Skin Vector 2022 aktiviert haben. * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Page tools|Seitenwerkzeuge]] - Es gibt nun zwei Arten von Links in der Seitenleiste. Es gibt Aktionen und Werkzeuge für einzelne Seiten (wie [[Special:RecentChangesLinked|Änderungen an verlinkten Seiten]]) und Links für das ganze Wiki (wie [[Special:RecentChanges|Letzte Änderungen]]). Wir werden diese in zwei intuitive Menüs aufteilen. ; Wie man die Verbesserungen aktiviert [[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]] * Es ist möglich, die Funktionen zu aktivieren, indem man [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|im Reiter "Aussehen" in den Einstellungen]] "{{int:skinname-vector-2022}}" auswählt. Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren. * In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors. ; Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Online-Treffen mit uns teilnehmen]]. Danke! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 17:54, 21. Jun. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=23201372 --> == Results of Wiki Loves Folklore 2022 is out! == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]] Hi, Greetings The winners for '''[[c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' is announced! We are happy to share with you winning images for this year's edition. This year saw over 8,584 images represented on commons in over 92 countries. Kindly see images '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Winners|here]]''' Our profound gratitude to all the people who participated and organized local contests and photo walks for this project. We hope to have you contribute to the campaign next year. '''Thank you,''' '''Wiki Loves Folklore International Team''' --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:12, 4. Jul. 2022 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=23454230 --> == Schlage Stellungnahmen für den Wahl-Kompass 2022 vor == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Liebe alle, Community-Mitglieder sind anläßlich der [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022|Wahl zum Board of Trustees 2022]] eingeladen, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|Vorschläge für Aussagen im Wahl-o-mat zu machen]]. Ein Wahl-o-mat ist ein Instrument, das den Wähler*innen hilft, die Kandidat*innen auszuwählen, die am besten mit ihren Überzeugungen und Ansichten übereinstimmen. Community-Mitglieder schlagen den Kandidat*innen Aussagen vor, die sie mit Hilfe einer Lickert-Skala (zustimmen/neutral/ nicht zustimmen) beantworten sollen. Die Antworten der Kandidat*innen auf die Aussagen werden in den Wahl-o-mat eingepflegt. Die Wähler/innen nutzen das Tool, indem sie ihre Antwort auf die Aussagen eingeben (zustimmen/ablehnen/neutral). Die Ergebnisse zeigen die Kandidat*innen, die am besten mit den Überzeugungen und Ansichten der Wähler*innen übereinstimmen. Hier ist die Zeitleiste für den Wahl-o-mat: 8. bis 20. Juli: Freiwillige schlagen Aussagen für den Wahl-Kompass vor 21. - 22. Juli: Der Wahlausschuss überprüft die Erklärungen auf ihre Klarheit und streicht themenfremde Erklärungen. 23. Juli - 1. August: Die Communitys stimmen über die Erklärungen ab 2. bis 4. August: Der Wahlausschuss wählt die 15 besten Stellungnahmen aus 5. bis 12. August: Kandidat*innen positionieren sich zu den Aussagen 15. August: Der Wahl-o-mat steht ab jetzt den Wahlberechtigten zur Verfügung, um sie bei ihrer Wahlentscheidung zu unterstützen. Der Wahlausschuss wird Anfang August die 15 besten Aussagen auswählen. Der Wahlausschuss wird den Prozess überwachen, unterstützt vom Movement Strategy and Governance Team. MSG prüft, ob die Fragen klar sind, ob es keine Duplikate gibt, ob es Tippfehler gibt und so weiter. Beste Grüße, Movement Strategy and Governance ''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''<br /><section end="announcement-content" /> [[User:Xeno (WMF)|Xeno (WMF)]] 17:17, 12. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Das Team "Movement Strategy and Governance" sucht nach Community-Mitgliedern, die sich als Wahlhelfer bei den anstehenden Wahlen zum Board of Trustees zur Verfügung stellen. Die Idee für das Wahlhelferprogramm entstand während der Wahlen zum Wikimedia Board of Trustees 2021. Das Programm erwies sich als erfolgreich. Mit Hilfe der Wahlhelfer*innen konnten wir die Reichweite und die Beteiligung an der Wahl im Vergleich zu 2017 um 1.753 Wähler/innen erhöhen. Die Wahlbeteiligung lag insgesamt bei 10,13 %, 1,1 Prozentpunkte höher, und 214 Wikis waren bei der Wahl vertreten. Aber in insgesamt 74 Wikis, die 2017 nicht teilgenommen haben, haben bei der Wahl 2021 Wähler*innen mitgemacht. Willst du mithelfen, die Beteiligung zu verbessern? Wahlhelfer*innen werden in den folgenden Bereichen helfen: * Übersetzen von Kurznachrichten und Ankündigung der laufenden Wahlen in den Kanälen der Communitys * Optional: Beobachte die Community-Kanäle auf Kommentare und Fragen der Communitys Freiwillige sollten: * Bei Gesprächsrunden und Veranstaltungen die Friendly-Space-Politik aufrechterhalten * Der Community die Leitlinien und Abstimmungsinformationen auf neutrale Art und Weise präsentieren Möchtest du dich als Wahlhelfer*in engagieren und dafür sorgen, dass deine Community bei der Wahl vertreten ist? Melde dich [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|hier]] an, um aktuelle Informationen zu erhalten. Du kannst die [[m:Special:MyLanguage/Talk:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|Diskussionsseite]] für Fragen zur Übersetzung nutzen.<br /><section end="announcement-content" /> [[User:MNadzikiewicz (WMF)| MNadzikiewicz (WMF)]] 10:45, 20. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> 34vzmq0lncarbzfw2zesxxm4sh1jwh7 106 13155 745307 745169 2022-07-20T06:52:57Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 1 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Lösung mit QS-Zerlegung]] #[[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] #[[Kurs:Numerik I/6 Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] srx6r4sgbua9tom73mlo9kqxsqrobqx 106 20452 745321 740322 2022-07-20T10:45:05Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Konditionszahl */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-ymmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung (2.10) ergibt sich aus ::<math>\|A^{-1}\| = \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} = \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} = \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1}.</math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist <math>\|A\|_2 = 1</math> und <math>\|A^{-1}\|_2 = 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 = \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] f143vq39w15q3jbp1lwl9jo5uqafo46 745341 745321 2022-07-20T11:40:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1b */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-ymmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung (2.10) ergibt sich aus ::<math>\|A^{-1}\| = \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} = \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} = \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1}.</math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist <math>\|A\|_2 \approx 1</math> und <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 = \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0u6sexpdoll8jmewrjzpr0y9szygs1f 745342 745341 2022-07-20T11:41:10Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1b */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-ymmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung (2.10) ergibt sich aus ::<math>\|A^{-1}\| = \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} = \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} = \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1}.</math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist <math>\|A\|_2 \approx 1</math> und <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 7hmh0pmhm4vbacxacrcu8svlkcmw9fl 745343 745342 2022-07-20T11:43:19Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1b */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. == Ziel == In diesem Kapitel werden die Begriffe einer Vektor- und Matrixnorm bereit gestellt und wird in Vorbereitung auf die numerische Lösung linearer Gleichungssysteme der Einfluss von Störungen der Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> und des Vektors <math>b \in \mathbb R^n</math> auf die Lösung des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> untersucht. Im Hinblick auf weitere Anwendungen werden wir dabei zunächst Vektoren aus <math>\mathbb K^n</math> und Matrizen aus <math>\mathbb K^{n \times n}</math> zulassen, wobei <math>\mathbb K := \mathbb R</math> oder <math>\mathbb K := \mathbb C</math> ist. == Fehlerabschätzung in reellen Zahlen == Sei <math>x\in \mathbb{R}</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' (z.B. <math>x := \sqrt{2}</math>) und <math>\tilde{x}\in \mathbb{R}</math> (<math>\tilde{x}=1,41</math>) ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math> === Absoluter Fehler === <math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler'' (im Beispiel: <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math>).<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S.&nbsp;151.</ref>. Der absolute Fehler <math> \Delta_x=1,41 - \sqrt{2}</math> besitzt im Beispiel ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass der Näherungswert zu klein ist im Vergleich zum Sollwert. === Relativer Fehler === :<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''. === Fehlerschranke === * Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke. * Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke. == Fehlerabschätzung in normierten Räumen == Analog kann man die Fehlerabschätzung auf normierte Räume übertragen. Die Norm dient dazu, um die Abweichung von Sollwert und Näherungswert zu messen. === Beispiel === Sei <math>x\in V</math> die exakte vektorielle Darstellung ''(Sollvektor)''. Als Beispiel wird der Vektor <math>x := (\sqrt{2},\pi) \in \mathbb{R}^2 = V</math> verwendet. Wenn man <math>\tilde{x}\in V</math> als näherungsweise Darstellung von <math>x</math> in Berechnungen verwendet, so kann man z.B. <math>\tilde{x}=(1.41 ,3.14)</math> als den Vektor, der näherungsweise den exakten Vektor <math>x</math> darstellt (d.h. <math>\tilde{x} \approx x</math>). === Fehler === Analog zu den reellen Zahlen versucht man nun die Fehler als Abstand zwischen dem Sollvektor und der näherungsweisen Darstellung mathematisch zu beschreiben. Die Norm berechnet dabei die Länge von Vektoren und <math>\| \tilde{x} - x \|</math> liefert damit ein Maß für den Fehler. Gilt <math>\| \tilde{x} - x \| = 0</math>, so ist die Darstellung exakt. === Normen - Fehlerabschätzung 1 === Im Folgenden sei <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über <math>\mathbb K</math>. Mit der Definition von Normen hat man ein Messinstrument in dem Vektorraum zur Verfügung, mit dem Abstände zwischen Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> über die Metrik <math>d(x,y) := \|x-y\|</math> Längen <math>\|x\|</math> von einem Vektor <math>x</math> über die Norm messen kann. === Normen - Fehlerabschätzung 2 === Die über die Abbildung <math>\|\cdot\|: V \to \mathbb R_0^+</math> Norm ist dabei verträglich mit den Vektorraumoperationen. Repräsentiert der Vektor <math>x</math> einen Fehler: * (N1) <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0, \quad x \in V,</math> - Fehlervektor <math>0_V</math> - Nullvektor * (N2) <math>\|\alpha \cdot x\| = |\alpha| \cdot \|x\|, \quad x \in V, \alpha \in \mathbb K</math> - Streckung/Stauchung von Fehlervektoren, * (N3) <math>\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|, \quad x, y \in V</math> - Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung. === Vektornorm - Matrixnorm === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> wird auch ''Vektornorm'' und entsprechend eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> auch ''Matrixnorm'' genannt. === Fehler in Summen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der Dreiecksungleichung zur Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>\|(x + y) - (x_o + y_o)\| = \|(x - x_o) - (y - y_o)\| \le \|x-x_o\| + \|y-y_o\|, </math> === Fehler bei skalaren Vielfachen eine Vektor === Sei <math>x_o \in V</math> der exakte Vektor und <math>x \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math>. Mit der Homogenität der Norm kann man den Fehler des skalierten Vektorswie folgt nach oben berechnen: :<math>\|\alpha (x-x_o)\| = |\alpha| \|x-x_o\|, \quad\alpha \in \mathbb K</math>. Der Fehler vervielfacht somit um <math>|\alpha| </math> bei der Multiplikation mit Skalaren. == Lemma - umgekehrte Dreiecksungleichung == Für eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung <div align="center"><math>\big| \|x\| - \|y\| \big| \le \|x - y\|, \quad x, y \in \mathcal V.</math></div> == Beweis - umgekehrte Dreiecksungleichung == Es seien <math>x, y \in \mathcal V</math>. Dann gilt <div align="center"><math>\|x\| = \|x - y + y\| \le \|x - y\| + \|y\|</math></div> === Beweis 1 === Damit erhält man durch Umformung * (UDG1) <math>\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|</math> Nun betrachten wir * (UDG1) <math>\|x-y\| = |-1|\cdot \|y-x\| = \|y - x\|</math> === Beweis 2 === Das Vertauschen von <math>x</math> und <math>y</math> liefert analog folgende Abschätzung <div align="center">(UDG2) <math>\|y\| - \|x\| \le \|x - y\|</math></div> Die Ungleichungen (UDG1) und (UDG2) zusammen liefern die Behauptung. <div align="right">q.e.d.</div> === Fehler bei Differenzen === Seien <math>x_o,y_o \in V</math> die exakten Vektoren und <math>x,y \in V</math> die numerische Näherung von <math>x_o</math> bzw. <math>y_o</math>. Mit der obigen Fehlerabschätzung kann man den Summenfehler wie folgt nach oben abschätzen: :<math>| \, \|x-x_o\| - \|y-y_o\|\, | \leq \|(x - x_o) - (y - y_o)\| = \|(x - y) - (x_o - y_o)\|, </math> Man kann also die Summe der Einzelfehler bei Differenzen gegen den Fehler bei der Subtraktion nach oben abschätzen. == Vektorraum - Norm - Fehlermaße == Einen Vektorraum <math>\mathcal V</math>, auf dem eine Norm <math>\|\cdot\|</math> definiert ist, bezeichnet man als einen ''normierten Vektorraum''. Man kennzeichnet ihn auch durch <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math>. Auf endlich dimensionalen Vektorräumen sind die Normen äquivalent bzgl. Konvergenz, allerdings kommt es in der Numerik bei der Fehlerabschätzung auf Fehlerschranken an und diese hängen von der konkreten Wahl der Norm ab. === Konvergenz im normierten Raum === Mit numerischen Interationsverfahren versucht man beispielsweise einen Fehler zu minimieren bzw. die Ausgabe einer funktionalen Darstellung <math>f_t</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> an Sollwerte mit wachsendem Zeitindex/Interationindex anzupassen. Der mit einer Norm gemessene Abstand zwischen Soll- und Ist-Wert bestimmt dabei den Fehler des Verfahrens zum Zeitpunkt. Für eine solche Mathematisierung benötigt man den Konvergenzbegriff auf normierten Räumen. === Definition - Konvergenz im normierten Raum === Es sei <math>(\mathcal V, \|\cdot\|)</math> ein normierter Vektorraum. Eine Folge <math>(x_n)</math> von Elementen <math>x_n \in \mathcal V</math> <u>konvergiert</u> gegen <math>x_0 \in \mathcal V</math>, kurz : <math>\lim_{n \to \infty} x_n = x_0,</math> wenn gilt: : <math>\lim_{n \to \infty} \|x_n - x_0\| = 0.</math> === Korollar - Stetigkeit der Normabbildung === Eine Norm <math>\|\cdot\|: \mathcal V \to \mathbb R_+</math> ist stetig, d. h., es gilt : <math>x_0, x_n \in \mathcal V, \quad \lim_{n \to \infty} x_n = x \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = \|x\|.</math> === Beispiele von Normen === Es sei <math>x \in \mathbb K^n</math>. Beispiele für Vektornomen sind * (1) <math>\|x\|_2 := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Euklidische oder <math>l_2</math>-Norm</u>), * (2) <math>\|x\|_1 := \sum^n_{j=1} |x_j|</math> (<u>Summen- oder <math>l_1</math>-Norm</u>), * (3) <math>\|x\|_\infty := \max_{j=1, \ldots, n} |x_j|</math> (<u>Maximum- oder <math>l_\infty</math>-Norm</u>). === Aufgaben - Normeigenschaften === * Beweisen Sie, dass die Maximumnormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. * Beweisen Sie, dass die Summennormen tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen. === Beweis 1 - Euklidische Norm === Für die Euklidische Norm folgt die Dreiecksungleichung mit der [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]]. Und zwar schließt man mit :<math>\|x\|_2^2 = \langle x, x \rangle = \sum^n_{j=1} \overline x_jx_j = \overline x^T x = x^Hx</math> für <math>x^H := \overline x^T</math> === Beweis 2 - Euklidische Norm === Damit erhält man folgende Abschätzung: : <math> \begin{array}{rcl} \|x + y\|^2_2 & = & \langle x + y , x + y \rangle \\ & = & \underbrace{\langle x,x\rangle}_{=\|x\|^2_2} + \underbrace{2 \operatorname{Re} (\langle x,y\rangle)}_{\le 2 \|x\|_2 \|y\|_2} + \underbrace{\langle y,y\rangle}_{=\|y\|^2_2} \\ &\le & (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2\\ \end{array} </math> für alle <math>x, y \in \mathbb K^n</math> gilt, wobei <math>\operatorname{Re}(x)</math> den Realteil von <math>x</math> bezeichnet. === Dreicksungleichung für ''l_p''-Normen === Allgemeiner ist, wie man zeigen kann, für jedes <math>1 \le p < \infty</math> durch :<math>\|x\|_p := \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^p \right)^{1/p}</math> (<math>l_p</math>-Norm) eine Norm definiert, === ''l_p''-Normen und Maximumsnorm === Es gilt folgende Konvergenzaussage: :<math>\lim_{p \to \infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty.</math> === Normenäquivalenzsatz === Man kann mit dem [[Normenäquivalenzsatz]] zeigen, dass je zwei auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum <math>\mathcal V</math> definierte Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> äquivalent sind, d. h., dass es Konstanten <math>c_1, c_2 > 0</math> gibt, so dass gilt: :<math>c_1 \|x\|_a \le \|x\|_b \le c_2 \|x\|_a, \quad x \in \mathcal V.</math> === Fehlerschranken === Wenn man in einem konkreten Problem Fehlerschranken hat, die nicht überschritten werden dürfen, muss man bei dem Übergang von einer Norm zu einem äquivalenten Norm die Fehlerschranken anpassen. Dies ist leicht erkennbar, wenn man eine Norm <math>\|\cdot \|</math> durch eine äquivalente Norm <math>\|\cdot \|_a:= a\cdot \|\cdot \|</math> ersetzt. === Abschätzungen der Normen === Bei den oben genannten Beispielnormen auf <math>\mathcal V := \mathbb K^n</math> gelten die folgenden Abschätzungen: * (A1) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \sqrt{n} \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A2) <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty, \quad x \in \mathbb K^n,</math> * (A3) <math>\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le \sqrt{n} \|x\|_2, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Aufgaben === Beweisen Sie die beiden ersten Abschätzungen (A1) und (A2) als Übung. === Nachweis der Abschätzung (A3) === Die erste Abschätzung in (A3) folgt aus :<math>\sum^n_{j=1} |x_j|^2 \le \left( \sum^n_{j=1} |x_j| \right)^2,</math> Die zweite mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung aus : <math>\sum^n_{j=1} 1 \cdot |x_j| = \langle e, x\rangle \le \|e\|_2 \|x\|_2 = \sqrt{n} \|x\|_2,</math> wobei <math>e \in \mathbb K^n</math> der Vektor ist, der in jeder Komponenten <math>e_j := 1</math> ist. === Bemerkung - Abschätzung (A3) === Für große <math>n \in \mathbb N</math> sind allerdings die jeweils zweiten Abschätzungen in (A3) aufgrund der Größe der auftretenden Konstanten numerisch bedeutungslos. === Beispiele - Matrixnormen === Die folgenden Normen sind Matrixnormen für Matrizen <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math>: * (M1) <math>\|A\| := \left( \sum^n_{j, k = 1} |a_{kj}|^2 \right)^{1/2}</math> (<u>Frobenius-Norm</u>), * (M2) <math>\|A\| := \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (<u>Zeilensummennorm</u>), * (M3) <math>\|A\| := \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (<u>Spaltensummennorm</u>). === Aufgabe - Normeigenschaften === Beweisen Sie, dass die Zeilen- und Spaltensummennorm tatsächlich die Normeigenschaften erfüllen, === Identifikation Matrizen mit Vektoren === Jede Matrix <math>A \in \mathbb K^{n \times n}</math> lässt sich als Vektor der Länge <math>n^2</math> auffassen und die Frobenius-Norm fällt dann mit der Euklidischen Vektornorm zusammen. Somit genügt die Frobenius-Norm auch den Normeigenschaften. === Definition - Submultiplikativität === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man <u>submultiplikativ</u>, falls : <math>\|A\cdot B\| \le \|A\| \cdot \|B\|, \quad A, B \in \mathbb K^{n \times n},</math> === Definition - Verträglichkeit Matrixnorm Vektorrnorm === Eine Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> nennt man mit einer gegebenen Vektornorm <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> <u>verträglich</u>, falls folgende Abschätzung gilt: :<math>\|Ax\|_v \le \|A\| \cdot \|x\|_v, \quad A \in \mathbb K^{n \times n}, \quad x \in \mathbb K^n.</math> === Zusammenhang Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen === Man kann eine quadratische Matrix <math> \mathbb K^{n \times n} </math> als lineare Abbildung von dem <math>\mathbb K^{n}</math> auffassen. Die obige Abschätzung <math>\|Ax\|_v \le \|A\| \|x\|_v</math> hängt mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] zusammen. === Definition - Induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Dann heißt die durch :<math>\|A\| := \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} = \max_{\|x\|_v = 1} \|Ax\|_v, A \in \mathbb K^{n \times n}</math> definierte Norm die durch die Vektornorm <math>\|\cdot\|</math> <u>induzierte Matrixnorm</u> (oder auch Operatornorm von <math>A</math>). === Bemerkung === Man beachte, dass wegen der Kompaktheit der Menge <math>\{x \in \mathbb K^n | \|x\|_v = 1\}</math> und der Stetigkeit der Vektornorm das Maximum in der Definition von <math>\|A\|</math> tatsächlich angenommen wird. Offenbar gilt für die Indentität (Einheitsmatrix) <math>\|I\| = 1</math>. === Satz - Induzierten Matrixnorm === Die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm * (IM1) beistzt die in Normeigenschaften (N1), (N2), (N3) angegebenen Normeigenschaften, * (IM2) bezüglich der zugrunde liegenden Vektornorm verträglich und * (IM3) submultiplikativ === Beweis - Induzierten Matrixnorm === Es seien <math>\|\cdot\|_v: \mathbb K^n \to \mathbb R_0^+</math> die Vektornorm und <math>\|\cdot\|: \mathbb K^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> die induzierte Matrixnorm. ==== (IM1) Normeigenschaften ==== Die Normeigenschaften der Vektornorm <math>\|\cdot\|_v</math> liefern die Normeigenschaften der induzierten Matrixnorm <math>\|\cdot\|</math> unmittelbar. ==== (IM2) Verträglichkeit ==== Ihre Verträglichkeit mit der Vektornorm folgt aus :<math>\|Ax\|_v = \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \|x\|_v \le \left( \max_{x \in \mathbb K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Ax\|_v}{\|x\|_v} \right) \|x\|_v = \|A\| \|x\|_v</math> für <math>x \neq 0</math>. ==== (IM3) Submultiplikativität - 1 ==== Weiter gilt für <math>A, B \in \mathbb K^{n \times n}</math> und <math>x \in \mathbb K^n</math> mit <math>Bx \neq 0</math> :<math>\|ABx\|_v = \frac{\|A(Bx)\|_v}{\|Bx\|_v} \frac{\|Bx\|_v}{\|x\|_v} \le \|A\| \|B\|.</math> ==== (IM4) Submultiplikativität - 2 ==== Im Fall <math>x \neq 0_V</math> und <math>Bx = 0_V</math> hat man sicher auch :<math>0 = \frac{\|ABx\|_v}{\|x\|} \le \|A\| \|B\|.</math> Somit folgt auch die Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm. <div align="right">q.e.d.</div> == Matrixnorm und Spektrum == Die wesentlichen Eigenschaften der durch Vektornormen induzierten Matrixnormen sind im Folgenden zusammengefasst. === Definition - Spektrum === Für eine Matrix <math>B \in \mathbb K^{n \times n}</math> nennt man :<math>\sigma(B) := \{\lambda \in \mathbb C | \lambda\ ist\ Eigenwert\ von\ B\}</math> das <u>Spektrum</u> und : <math>\varrho(B) := \max \{|\lambda|| \lambda \in \sigma(B)\}</math> den <u>Spektralradius</u> von <math>B</math>. === Satz - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Sei <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>. Für die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt : <math>\|A\| \ge \varrho(A).</math> === Beweis - Abschätzung Spektralradius - Martixnorm === Für den Beweis wird Eigenschaft, dass <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> ein Eigenwert zu einem Eigenvektor <math>x \in \mathbb C^n </math> ist, verwendet, um die Vektornorm des Bildes <math>A\cdot x</math> gegen den Spektralradius abzuschätzen. ==== Beweis - 1 ==== Sei <math>x \in \mathbb C^n \setminus \{0\}</math> Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda \in \mathbb C</math> einer Matrix <math>A \in \mathbb C^{n \times n}</math>, d. h. :<math>Ax = \lambda x.</math> ==== Beweis - 2 ==== Mit der zugehörigen Vektornorm <math>\|\cdot\|: \mathbb C^n \to \mathbb R_+</math> gilt dann :<math>\|A\| \ge \frac{\|Ax\|}{\|x\|} = \frac{|\lambda| \|x\|}{\|x\|} = |\lambda|</math> Daraus folgt die Ungleichung der Behauptung. <div align="right">q.e.d. </div> === Bemerkung - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Der folgende Satz besagt, dass die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gerade die in den obigen Beispiel eingeführte Zeilensummen- und Spaltensummennorm sind. === Satz - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Für <math>A := (a_{kj}) \in \mathbb K^{n \times n}</math> und die durch die Vektornormen <math>\|\cdot\|_\infty</math> und <math>\|\cdot\|_1</math> induzierten Matrixnormen <math>\|A\|_\infty</math> bzw. <math>\|A\|_1</math> gilt * <math>\|A\|_\infty = \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> (Zeilensummennorm), * <math>\|A\|_1 = \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}|</math> (Spaltensummennorm). === Beweis - Zeilensummen und Spaltensummennorm === Wir weisen zunächst die Behauptung für die Zeilensummennorm nach. Für <math>x \in \mathbb K^n</math> gilt :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_\infty & = & \max_{k=1, \ldots, n} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_\infty\\ \end{array} </math> ==== Beweis - 1 ==== Somit erghält man : <math>\frac{\|Ax\|_\infty}{\|x\|_\infty} \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|,</math> und die folgende Abschätzung: :<math>\|A\|_\infty \le \max_{k=1, \ldots, n} \sum^n_{j=1} |a_{kj}|</math> folgt. ==== Beweis - 2 ==== Zum Beweis der umgekehrten Abschätzung sei <math>k \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Für <math>x := (x_j) \in \mathbb K^n</math> mit :<math>x_j := \begin{cases} |a_{kj}|/a_{kj}, & \text{falls } a_{kj} \neq 0 \\ 1, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>\|x\|_\infty = 1</math>. ==== Beweis - 3 ==== Somit hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_\infty & = &\max_{\|y\|_\infty=1} \|Ay\|_\infty \\ &\ge & \|Ax\|_\infty \ge \left| \displaystyle \sum^n_{j=1} a_{kj}x_j \right| \\ & = & \displaystyle \sum^n_{j=1} |a_{kj}|. \\ \end{array} </math> Da <math>k</math> beliebig gewählt war, folgt die behauptete Darstellung für <math>\|A\|_\infty</math>. ==== Beweis - 5 ==== Nun gilt weiter für <math>x \in \mathbb K^n</math> :<math> \begin{array}{rcl} \| Ax \|_1 & = & \displaystyle \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right| \\ & \leq & \displaystyle \sum^n_{k=1} \sum^n_{j=1} |a_{kj}| |x_j| = \sum^n_{j=1} \left( \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right)\\ & \leq & \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \sum^n_{j=1} |x_j| = \left( \displaystyle \max_{j=1, \ldots, n} \sum^n_{k=1} |a_{kj}| \right) \|x\|_1. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 6 ==== Zum Beweis der umgekehrten Aussage sei <math>\ell \in \{1, \ldots, n\}</math> beliebig, aber fest gewählt. Mit dem Einheitsvektor <math>e^\ell := (\delta_{k\ell}) \in \mathbb K^n</math> erhält man dann :<math>\|A\|_1 = \max_{\|y\|_1=1} \|Ay\|_1 \ge \|Ae^\ell\|_1 = \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} \delta_{j\ell} \right| = \sum^n_{k=1} |a_{k\ell}|.</math> Damit folgt auch die behauptete Darstellung von <math>\|A\|_1</math>. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Reeller Fall === Im Folgenden beschränken wir uns auf den reellen Fall <math>\mathbb K := \mathbb R</math>. Als unmittelbare Konsequenz aus Satz 2.12 erhält man === Korollar - Reeller Fall === :''Für Matrizen <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt <div align="center"><math>\|A\|_\infty = \|A^T\|_1, \quad \|A\|_1 = \|A^T\|_\infty.</math></div> === Bemerkung - Zusammenhang von Normen im reellen Fall === Der nachstehende Satz liefert im Fall reeller Matrizen für die durch die Euklidische Vektornorm induzierte Matrixnorm eine spezielle Darstellung. === Satz - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math>. Für die durch die Euklidische Vektornorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|_2: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_0^+</math> gilt: :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)}.</math> === Beweis - Euklische Norm - induzierte Matrixnorm === Es ist <math>A^TA \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische und wegen : <math>x^TA^TAx = (Ax)^T (Ax) = \|Ax\|_2^2 \ge 0, \quad x \in \mathbb R^n</math> positiv semi-definite Matrix. ==== Beweis - 1 - Eigenwerte ==== Somit besitzt <math>A^TA</math> Eigenwerte <math>\lambda_k \ge 0</math> <math>(k = 1, \ldots, n)</math> und gibt es zu <math>A^TA</math> ein System <math>u_1, \ldots, u_n \in \mathbb R^n</math> von orthonormalen Eigenvektoren, d. h. es ist : <math>A^TAu_k = \lambda_k u_k, \quad k = 1, \ldots, n</math> und : <math>u^T_k u_l = \delta_{lk}</math>. ==== Beweis - 2 ==== Für <math>x \in \mathbb R^n</math> gilt daher mit der Darstellung <math>x = \sum^n_{k=1} c_ku_k</math> :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|^2_2 & = & x^TA^TAx = \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} c_j (A^TA) u_j \right) \\ & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} c_k u_k \right)^T \left( \sum^n_{j=1} \lambda_j c_j u_j \right) = \sum^n_{k=1} \lambda_k c_k^2 \\ & \leq & \left( \max_{k=1, \ldots, n} \lambda_k \right) \cdot \sum^n_{k=1} c_k^2 = \varrho(A^TA) \|x\|^2_2. \\ \end{array} </math> ==== Beweis - 2 ==== In der obigen Abschätzung wird für einen Eigenvektor <math>\tilde x \in \mathbb R^n</math> zu einem maximalen Eigenwert <math>\lambda_\max</math> von <math>A^TA</math> angenommen, denn :<math> \begin{array}{rcl} \|A\tilde x\|_2^2 & = & \tilde x^TA^TA\tilde x \\ & = &\lambda_\max \tilde x^T \tilde x = \lambda_\max \|\tilde x\|^2_2. \end{array} </math> Damit ist alles bewiesen. <div align="right">q.e.d.</div> === Bemerkung - Spektralnorm === Die Matrixnorm <math>\|A\|_2</math> bezeichnet man auch als Spektralnorm. Dieser Name begründet sich durch den letzten Satz bzw. die in folgendem Satz angegebene Identität für reelle, symmetrische Matrizen. === Satz - Spektralnorm für symmetrische Matrizen=== Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine symmetrische Matrix, d. h. <math>A = A^T</math>. Dann gilt :<math>\|A\|_2 = \varrho(A).</math> Für jede andere durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> gilt :<math>\|A\|_2 \le \|A\|.</math> === Beweis - Spektralnorm für symmetrische Matrizen === Wegen <math>\sigma(A^2) = \{\lambda^2 | \lambda \in \sigma(A)\}</math> gilt <math>\varrho(A^2) = [\varrho(A)]^2</math> und daher aufgrund der Symmetrie von <math>A</math> :<math>\|A\|_2 = \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\varrho(A^2)} = \varrho(A).</math> Der zweite Teil der Behauptung folgt nun mit (2.4). <div align="right"> q.e.d. </div> ==== Beispiel 1a - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Die symmetrische Matrix :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}</math> besitzt die Eigenwerte <math>\lambda_{1,2} = (3 \pm \sqrt{37})/2</math>, so dass folgt: :<math>\|A\|_2 = (3 + \sqrt{37})/2 \approx 4.541.</math> ==== Beispiel 1b - Symmetrische Matrix - Übertragbarkeit auf induzierte Matrixnorm==== Weiter hat man <math>\|A\|_\infty = \|A\|_1 = 5</math>. Damit zeigt dieses Beispiel, dass sich die im Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen stehenden Beziehungen <math>\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1, x \in \mathbb R^n</math> nicht auf die entsprechenden induzierten Matrixnormen übertragen lassen. ==== Beispiel 2 - Nicht-ymmetrische Matrizen ==== Für die nicht symmetrische Matrix <math>A \in \mathbb R^{2 \times 2}</math>, definiert durch :<math>A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow A^TA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix},</math> gilt offenbar <math>\varrho(A) = 1 = \|A\|_\infty, \|A\|_2 = \sqrt{2}</math> und <math>\|A\|_1 = 2</math>. Letzteres zeigt, dass auf die Voraussetzung „<math>A = A^T</math>“ in Satz 2.15 nicht verzichtet werden kann. === Bemerkung - Abschätzung für die Spektralnorm === Der folgende Satz liefert noch Abschätzungen für die Spektralnorm beliebiger quadratischer Matrizen. === Satz - Abschätzung für die Spektralnorm === Für jede Matrix <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> gilt : <math>\|A\|_2 \le \sqrt{\|A\|_\infty \|A\|_1}, \quad \|A\|_2 \le \|A\|_F,</math> wobei <math>\|A\|_F</math> die in Beispiel 2.6 (a) definierte Frobenius-Norm sei. === Beweis 1 - Abschätzung für die Spektralnorm === Mit dem Spektralnormsatz für symmetrische Matrizen und Korollar hat man :<math> \begin{array}{rcl} \|A\|_2 & = & \sqrt{\varrho(A^TA)} = \sqrt{\|A^TA\|_2} \\ & \leq & \sqrt{\|A^TA\|_\infty} \le \sqrt{\|A^T\|_\infty \|A\|_\infty} = \sqrt{\|A\|_1 \|A\|_\infty} \\ \end{array} </math> === Beweis 2 - Abschätzung für die Spektralnorm === Dabei wurde für die zweite Abschätzung die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] verwendet: :<math> \begin{array}{rcl} \|Ax\|_2 & = & \displaystyle \left( \sum^n_{k=1} \left| \sum^n_{j=1} a_{kj} x_j \right|^2 \right)^{1/2} \\ & \le & \displaystyle \left[ \sum^n_{k=1} \left( \sum^n_{j=1} |a_{kj}|^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} |x_j|^2 \right) \right]^{1/2} \\ & = & \|A\|_F \|x\|_2 \\ \end{array} </math> für alle <math>x \in \mathbb R^n</math>. q.e.d. == Die Konditionszahl einer Matrix == === Definition - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine Matrixnorm. Die Zahl :<math>\operatorname{cond}(A) := \|A\| \|A^{-1}\|</math> heißt <u>Kondition</u> oder <u>Konditionszahl</u> der Matrix <math>A</math>. === Bemerkung - Semantik der Konditionszahl === Bei einem numerischen Problem, das ''gut konditioniert'' ist, ist die Konditionszahl klein. Damit verursachen kleine Änderungen in den Daten auch nur geringfügige Änderungen in der Lösung des Problems. Betrachtet man allerdings numerische Probleme mit einer großen Konditionszahl (d.h. das Problem schlecht konditioniert) können geringfügige Veränderungen in den Daten bereits große Änderungen in der Lösung des Problems bewirken. === Bemerkung - Konditionszahl - Abhängigkeit von der Matrixnorm === Man beachte, dass die Konditionszahl einer Matrix im Allgemeinen von der gewählten Matrixnorm abhängig ist. Für diesen Zusammenhang gilt die folgende Aussage: === Satz - Konditionszahl === Sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\|\cdot\|: \mathbb R^n \to \mathbb R_+</math> eine Vektornorm. Für die Kondition von <math>A</math> gilt dann bezüglich der durch <math>\|\cdot\|</math> induzierten Matrixnorm : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> === Beweis - Konditionszahl === Die Beziehung (2.10) ergibt sich aus ::<math>\|A^{-1}\| = \max_{y \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|A^{-1} y\|}{\|y\|} \stackrel{y=Ax}{=} \max_{x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}} \frac{\|x\|}{\|Ax\|} = \max_{\|x\|=1} \frac{1}{\|Ax\|} = \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right)^{-1}.</math> q.e.d. === Bemerkung - Konditionszahl === Die Konditionszahl <math>\operatorname{cond}(A)</math> gibt also die Bandbreite an, um die sich die Vektorlänge eines Vektors <math>x</math> bei Multiplikation mit <math>A</math> ändern kann. Aus (2.10) ergibt sich zudem ::<math>\operatorname{cond}(I) = 1, \quad \operatorname{cond}(A) \ge 1.</math> == Störungsresultate für Matrizen == Wie das numerisches Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der Kondition gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, d.h. bei leichten Veränderungen des Anfangszustand kann sich die Lösung des numerischen Verfahrens stark verändern. Dies hängt insbesondere mit Rundungsfehler zusammen, die als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können. === Lemma - Regularität und induzierte Matrixnorm === Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> eine durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>F \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine Matrix mit <math>\|F\| < 1</math>. Dann ist die Matrix <math>I + F</math> regulär, und es gilt :<math>\|(I + F)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|F\|}.</math> === Beweis - 1 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Die umgekehrte Dreiecksungleichung liefert für <math>x \in \mathbb R^n</math> : <math>\|(I + F)x\| = \|x + Fx\| \ge \|x\| - \|Fx\| \ge \|x\| - \|F\| \|x\| = (1 - \|F\|) \|x\|.</math> Also ist für <math>x \neq 0</math> auch <math>(I + F)x \neq 0</math>, was die Invertierbarkeit von <math>I + F</math> impliziert. Die Setzung <math>y := (I + F)x</math> === Beweis - 2 - Regularität und induzierte Matrixnorm === Der obige Satz liefert weiter :<math>\|y\| \ge (1 - \|F\|) \|(I + F)^{-1}y\|, \quad y \in \mathbb R^n</math> und damit :<math>\frac{\|(I + F)^{-1}y\|}{\|y\|} \le \frac{1}{1 - \|F\|}, \quad y \in \mathbb R^n,</math> was den Beweis des Lemmas komplettiert. q.e.d. === Korollar - Regularität und induzierte Matrixnorm === :''Sei <math>\|\cdot\|: \mathbb R^{n \times n} \to \mathbb R_+</math> die durch eine Vektornorm induzierte Matrixnorm und <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine reguläre Matrix. Für jede Matrix <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math> ist dann die Matrix <math>A + \Delta A</math> regulär, und es gelten die Abschätzungen ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|},</math> ::''<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| \le 2\|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|</math>, falls <math>\|\Delta A\| \le 1/(2A^{-1})</math>. === Beweis - 1 - Korollar === Es ist :<math>\|A^{-1} \Delta A\| \le \|A^{-1}\| \|\Delta A\| < 1</math> und nach Lemma 2.20 somit die Matrix <math>A + \Delta A = A(I + A^{-1} \Delta A)</math> regulär. Mit der Darstellung <math>(A + \Delta A)^{-1} = (I+A^{-1} \Delta A)^{-1} A^{-1}</math> erhält man ferner mit Lemma 2.20 :<math>\|(A + \Delta A)^{-1}\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\Delta A\|} \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|}.</math> === Beweis - 2 - Korollar === Mit der Darstellung :<math>(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1} = (A + \Delta A)^{-1} [I - (A + \Delta A)A^{-1}] = -(A + \Delta A)^{-1}\Delta AA^{-1}</math> und der ersten Ungleichung des Korollars folgt für <math>\|\Delta A\| \le 1/(2 \|A^{-1}\|)</math> ::<math>\|(A + \Delta A)^{-1} - A^{-1}\| = \|(A + \Delta A)^{-1}\| \|A^{-1}\| \|\Delta A\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \frac{1}{2}} \|A^{-1}\| \|\Delta A\| = 2 \|A^{-1}\|^2 \|\Delta A\|.</math> q.e.d. == Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme == Wir beweisen nun als nächstes ein Resultat, welches den Einfluss einer Störung der rechten Seite eines Gleichungssystems auf seine Lösung zeigt. === Satz - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> seien Vektoren mit : (FG1) <math>Ax = b, \quad A(x + \Delta x) = b + \Delta b.</math> Dann gelten für den absoluten bzw. den relativen Fehler von <math>x + \Delta x</math> bezüglich <math>x</math> die Abschätzungen : (FG2) <math>\|(x + \Delta x) - x\| = \|\Delta x\| \le \|A^{-1} \| \|\Delta b\|,</math> : (FG3) <math>\frac{\|(x + \Delta x) - \|x\|}{\|x\|} = \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> ==== Beweis - Fehlerabschätzung gestörter Gleichungssysteme ==== Aus (FG1) folgt unmittelbar <math>A\Delta x = \Delta b</math> bzw. <math>\Delta x = A^{-1} \Delta b</math> und damit (FG2). Aus (FG2) wiederum ergibt sich ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} = \frac{\|A^{-1} \Delta b\|}{\|x\|} \stackrel{Ax=b}{\le} \frac{\|A^{-1}\| \|\Delta b\|}{\|x\|} \frac{\|Ax\|}{\|b\|} \le \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|}.</math> q.e.d. === Bemerkung === Wenn die Kondition einer Matrix <math>A</math> groß, also <math>\operatorname{cond}(A) \gg 1</math> ist, ist auch die obere Schranke für den relativen Fehler in der Lösung der fehlerbehafteten Version des linearen Gleichungssystems <math>Ax = b</math> groß. In einem solchen Fall spricht man von einem schlecht konditionierten Gleichungssystem. Wir geben ein Beispiel für eine Matrix mit großer Kondition. ==== Beispiel 1a ==== Sei <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> sehr klein und <math>A</math> gegeben durch :<math>A := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/\varepsilon \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel 1b ==== Dann ist bei sehr kleinem <math>\varepsilon</math> die Matrixnorm von <math>\|A\|_2 \approx 1</math>, von <math>\|A^{-1}\|_2 \approx 1/\varepsilon</math> und somit die Kondition :<math>\operatorname{cond}_2(A) := \|A\|_2 \|A^{-1}\|_2 \approx \frac{1}{\varepsilon}</math> sehr groß. Ein Gleichungssystem mit <math>A</math> ist also ein schlecht konditioniertes Gleichungssystem. Ähnliches gilt auch im Falle gestörter Matrizen. === Satz - Fehlerabschätzung und Konditionszahl === Mit <math>\|\cdot\|</math> seien gleichzeitig eine Vektornorm auf <math>\mathbb R^n</math> und die durch sie induzierte Matrixnorm auf <math>\mathbb R^{n \times n}</math> bezeichnet. Weiter sei <math>A \in \mathbb R^{n \times n}</math> eine reguläre Matrix und <math>\Delta A \in \mathbb R^{n \times n}</math> sei eine Matrix mit <math>\|\Delta A\| < 1/\|A^{-1}\|</math>. Dann gilt für beliebige Vektoren <math>b, x \in \mathbb R^n</math> und <math>\Delta b, \Delta x \in \mathbb R^n</math> mit : (FK1) <math>Ax = b, \quad (A + \Delta A) (x + \Delta x) = b + \Delta b</math> die Abschätzung : (FK2) <math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\operatorname{cond}(A)}{1 - \operatorname{cond}(A) \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|}} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|b\|} \right).</math> ==== Beweis 1 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Aus (FK1) folgt unmittelbar :<math>(A + \Delta A)\Delta x = \Delta b - \Delta Ax.</math> ==== Beweis 2 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Korollar zur Regularität und Spektralnorm liefert nun die Invertierbarkeit der Matrix <math>A + \Delta A</math> sowie die Abschätzung :<math>\|\Delta x\| \le \frac{\|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} (\|\Delta b\| + \|\Delta A\| \|x\|)</math> ==== Beweis 3 - Fehlerabschätzung und Konditionszahl ==== Division durch <math>\|x\|</math> und Erweiterung der rechten Seite mit <math>\|A\|</math> liefert ::<math>\frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le \frac{\|A\| \|A^{-1}\|}{1 - \|A^{-1}\| \|\Delta A\|} \left( \frac{\|\Delta A\|}{\|A\|} + \frac{\|\Delta b\|}{\|A\| \|x\|} \right).</math> Wegen <math>\|b\| \le \|A\| \|x\|</math> folgt die Behauptung. q.e.d. === Bemerkung === Der Nenner in der Konstanten auf der rechten Seite in obigen Gleichung wird manchmal auch in der Form <math>1 - \|A^{-1}\| \cdot \|\Delta A\|</math> geschrieben. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=2%20Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 8xhqr2eueea6f369yfyazkgp8qurtij 106 21421 745326 745175 2022-07-20T11:08:15Z Bert Niehaus 20843 /* Polynomapproximation mit Monomen */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. === Notation === Um die <math>0 \in\mathbb{K}</math> aus dem verwendeten Körper von dem Nullvektor <math>0_V\in V</math> aus dem Vektorraum <math>V</math> zu unterscheiden, wird bei der Verwendung des Nullvektors <math>0_V</math> mit <math>V</math> indiziert. == Problemstellung == In der Praxis hat man häufig auch ein ''überbestimmtes lineares Gleichungssystem'' <math>Ax = b</math> für eine Matrix <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n > k</math> und eine rechte Seite <math>b \in \mathbb{R}^n</math> zu „lösen“. Da ein solches System mehr Gleichungen als Unbekannte hat, ist im Allgemeinen <math>Ax - b \neq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}^k</math> und besitzt es somit keine exakte Lösung. === Vorgehen - Minimierung des Fehlers === Es macht also Sinn, ein <math>x^*</math> als „Lösung“ zu akzeptieren, für welches der ''Defekt'' <math>Ax - b</math> hinsichtlich einer gewählten <math>l_p</math>-Norm <math>\|\cdot\|_p</math> auf dem <math>\mathbb{R}^k</math> minimal wird, also eine Lösung <math>x^*</math> des Problems :<math>\inf_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_p.</math> === Euklidische Norm - Minimierung des Fehlers 1 === Im Fall der Verwendung der <math>l_2</math>- bzw. Euklidischen Norm lautet dieses Problem :<math>\inf_{x\in \mathbb{R}^k} \|b - Ax\|_2,</math> Im Hinblick auf eine Lösung kann man auch ein äquivalentes Problem bearbeiten, indem man den zu minimierende Ausdruck quadriert: :<math>\inf_{x\in \mathbb{R}^k} \|b - Ax\|_2^2</math> === Euklidische Norm - Minimierung des Fehlers 2 === Die Äquivalenz ergibt sich aus der strengen Monotonie von <math> f(x)=x^2 </math> für <math>x\geq 0</math> und der Eigenschaft der Norm, die einen nicht-negativen Wert liefert. Die Funktionen <math> E_2(x):=\|b - Ax\|_2 </math> und <math> E(x):=\|b - Ax\|_2^2 </math> haben offenbar dieselben Minimalpunkte <math>x</math>, sofern solche existieren. === Euklidische Norm - Differenzierbarkeit 3 === Ferner ist die minimierende Funktion <math>E(x):=\|b - Ax\|_2^2</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}^k</math> differenzierbar. === Euklidische Norm - Fehlerquadratmethode 4 === Bei Wahl der <math>l_2</math>-Norm minimiert man also die Summe der Fehlerquadrate, und man spricht daher auch von ''Fehlerquadratmethode'' oder von ''diskreter <math>l_2</math>-Approximation''. === Nicht-differenzierbare Fehlerfunktionen 5 === Die Lösung des entsprechenden Problems für die <math>l_1</math>- und die <math>l_\infty</math>- bzw. ''Tschebyscheff-Norm'' ist ebenfalls von großem praktischen Interesse, führt aber auf nichtdifferenzierbare Funktionen <math>E_1(x):=\|b - Ax\|_1</math> bzw. <math>E_\infty(x):=\|b - Ax\|_\infty</math>, so dass diese Probleme schwieriger zu lösen sind. (Man kann letztere Probleme als ''lineare Optimierungsprobleme'' formulieren und beispielsweise mit dem sog. ''Simplexalgorithmus'' lösen. === Bemerkung - Euklidische Norm - Fehlerquadratmethode 6 === Bevor wir nun das Problem für <math>E(x):=\|b - Ax\|_2^2</math> weiter untersuchen, wollen wir zunächst zwei Aufgabenstellungen beschreiben und analysieren, die auf ein derartiges über-bestimmtes Gleichungssystem führen. == Anwendung in Naturwissenschaft und Technik == In Naturwissenschaft und Technik hat man oft das Problem, mit einer großen Zahl von Messwerten umgehen zu müssen. Ein anderes, sich häufig stellendes Problem ist es, eine in endlich vielen Punkten gegebene Funktion, welche durch eine rechenaufwändige Vorschrift bestimmt ist, durch eine einfacher zu berechnende zu ersetzen. Beide Probleme kann man gemeinsam angehen und als <math>l_2</math>-Approximationsprobleme beschreiben. === Daten und Messwerte === Wir gehen dazu von <math>n</math> Zahlenpaaren :<math>(t_j, y_j), \quad j = 1, \ldots, n</math> mit <math>t_r \neq t_s</math> für <math>r \neq s</math> aus, wobei üblicherweise <math>n</math> groß ist. Beispielsweise können die <math>y_j \in \R</math> irgendwelche zu unterschiedlichen Zeitpunkten <math>t_j \in \R</math> gemessene Werte oder, im Hinblick auf die Approximation einer gegebenen Funktion <math>f</math>, die Funktionswerte <math>y_j := f(t_j)</math> zu gewissen Zeitpunkten <math>t_j</math> des Definitionsbereichs von <math>f</math> sein. === Ziel der Ausgleichsrechnung 1 === Das Ziel der Ausgleichsrechnung ist es nun, durch geeignete Wahl eines Parametervektors <math>x := (x_1, \ldots, x_k)^T\in \mathbb{R}^k </math> eine Funktion der Gestalt : <math>z(x, t) := x_1v_1(t) + x_2v_2(t) + \ldots + x_kv_k(t), \quad t \in \R</math> mit <math>k</math> gegebenen stetigen Ansatzfunktionen <math>v_i</math> zu finden, so dass die Fehlerquadrate :<math>(y_j - z(x, t_j))^2, \quad j = 1, \ldots, n</math> möglichst klein ausfallen. === Ziel der Ausgleichsrechnung 2 === Dabei sollte sinnvollerweise <math>k \le n</math> sein und ist zumeist <math>k \ll n</math>. Hat man einen solchen Parametervektor <math>x</math> bzw. eine solche Funktion <math>z(x, \cdot)</math> gefunden und sind die Approximationsfehler in (4.5) nicht zu groß, so kann man statt mit den Daten (4.3) nur mit dieser Funktion arbeiten, für die im Fall <math>k \ll n</math> erheblich weniger Information, nämlich nur der Vektor <math>x</math>, abgespeichert werden muss. Weil <math>z(x, \cdot)</math> eine stetige Funktion ist, erlaubt ein solches Vorgehen außerdem, Werte <math>y</math> zu Werten bzw. „Zeiten“ <math>t</math> zu berechnen, für die keine Messung vorliegt. ==== Polynomapproximation mit Monomen ==== Die Ansatzfunktionen hat man so zu wählen, dass sie den gemessenen Prozess möglichst gut beschreiben. Häufig, insbesondere dann, wenn man wenig über den gegebenen Prozess weiß, verwendet man die Monome :<math>v_i(t) := t^{i-1} \quad (i = 1, \ldots, k)</math> so dass : <math>z(x, t) := x_1 + x_2t + \ldots + x_kt^{k-1}, \quad t \in \R</math> ein Polynom vom Grad <math>\le k - 1</math> ist (''Polynomapproximation''). ==== Approximation periodische Prozesse==== Wenn es sich um einen periodischen Prozess handelt, ist es aber beispielsweise günstiger, die <math>k := 2p + 1</math> Funktionen : <math> \begin{array}{rcl} v_1(t) & = & 1 \\ v_2(t) & = & \sin(t), \quad v_3(t)=\cos(t)\\ v_4(t) & = & \sin(2t), \quad v_5(t)=\cos(2t)\\ \ldots & = & \ldots \\ v_k(t) & = & \sin(pt), \quad v_{k+1}(t)=cos(pt) \end{array} </math> als Ansatzfunktionen zu wählen (''trigonometrische Approximation''), weil man dann im Allgemeinen bei gleicher Anzahl von Funktionen kleinere Fehler erhält. ==== Bemerkung - weitere Approximationen ==== Andere Systeme von Ansatzfunktionen können ebenfalls vernünftig sein. Die Wahl der Ansatzfunktionen hängt von dem Wissen über das modellierte System ab. === Summation von Fehlern bei der Approximation === Nun ist es nicht sinnvoll, <math>x</math> so zu wählen, dass die Summe aller Fehler :<math>y_j - z(x, t_j), \quad j = 1, \ldots, n</math> möglichst klein wird, da diese Summe auch bei großen Einzelfehlern sehr klein werden kann, nämlich dann, wenn sich die positiven und negativen Fehler (nahezu) aufheben. === Beispiel Summation von Fehlern bei der Approximation === Nehmen wir als Beispiel <math>y_1=100</math>, <math>y_2=-97</math> und <math>z(x, t_1)=3</math>, <math>z(x, t_2)=1</math>. Berechnet man die Fehlersumme, ergibt sich: :<math>\underbrace{(y_1 - z(x, t_1))}_{=2-100=-98} + \underbrace{(y_2 - z(x, t_2))}_{=1-(-97)=98}=0</math> Der aggregierte Fehler "suggeriert", dass es keine Abweichung von den gemessenen Werten zu den approximierten Werten gibt, obwohl die Einzelfehler in den beide Messdaten betragsmäßig jeweils um 98 abweichen. === Summation von Fehlerquadraten bei der Approximation === Die Größe des Fehlervektors <math>(y_j - z(x, t_j))_{j = 1, \ldots, n}</math> misst man daher mit einer <math>l_p</math>-Norm im <math>\R^n</math>. Insbesondere führt dann die Verwendung der quadrierten <math>l_2</math>- bzw. Euklidischen Norm (siehe den [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Euklidische_Norm_-_Minimierung_des_Fehlers_1|Kommentar]] auf die für alle <math>x \in \R^k</math> differenzierbare Funktion :<math>\tilde F(x) := \sum^n_{j=1} (y_j - z(x, t_j))^2.</math> ==== Von den Ansatzfunktionen zur Matrix ==== Mit folgenden Setzungen erhält man ein lineare Gleichungssystem <math>Ax=b</math>. : <math>b := \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_j \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}, \quad A := \begin{pmatrix} v_1(t_1) & \ldots & v_k(t_1) \\ \vdots & & \vdots \\ v_1(t_j) & \ldots & v_k(t_j) \\ \vdots & & \vdots \\ v_1(t_n) & \ldots & v_k(t_n) \end{pmatrix}.</math> Dabei sucht man geeignete <math>x \in \mathbb{R}^n </math>, die den Fehler minimieren. ==== Summe der Fehlerquadrate und Normen ==== Damit kann eine Fehlerfunktion wie folgt geschrieben werden: :<math>\tilde F(x) := \sum^n_{j=1} (y_j - z(x, t_j))^2 = \sum^n_{j=1} (b_j - (Ax)_j)^2 = \|b - Ax\|^2_2.</math> Das beschriebene Problem der Ausgleichsrechnung ist also von der Form : <math>\inf_{x \in\mathbb{R}^n} \, \|b-Ax\|_2^2</math>, wobei <math>A</math> und <math>b</math> durch Messdaten <math>(t_j,y_j) \in \mathbb{R}^2</math> gegeben sind. ==== Problem der Ausgleichsrechnung ==== Wir betrachten nun allgemein das Problem einer zu minimierende (Fehler-)Funktion :<math>F(x) := \|b - Ax\|^2_2 = \langle b - Ax,b - Ax \rangle = (b - Ax)^T (b - Ax).</math> ==== Bemerkung: Euklidische Skalarprodukt und Matrixmultiplikation ==== Für <math>x,y \in \mathbb{R}^n</math> kann man das Euklische Skalarprodukt auch als Matrizenprodukt darstellen, indem man <math>x,y \in \mathbb{R}^n</math> als Spaltenvektoren auffasst: :<math>\langle x,y \rangle = x^T \cdot y = \sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i </math> ==== Anwendung auf die Fehlerfunktion - Matrixrechenregeln ==== Über Matrixrechenregeln erhält man: :<math>F(x) = (b - Ax)^T (b - Ax) = b^T b - (Ax)^T b - b^TAx + \underbrace{(Ax)^TAx}_{=x^TA^TAx}</math> als quadratische Funktion in <math>k</math> Veränderlichen <math>x=(x_1,\ldots ,x_k)^T</math> : <math>F(x) = \frac 12 x^T (2A^TA)x - (2A^T b)^T x + b^T b</math> schreiben. Für die darin vorkommende Matrix <math>A^TA</math> kann man aussagen: ==== Anwendung auf die Fehlerfunktion - Skalarprodukt ==== Über die Verwendung, dass das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} F(x) & = & \langle b - Ax, b - Ax\rangle \\ & = & \|b\|_2^2 - \underbrace{\langle Ax, b \rangle}_{=\langle b , Ax\rangle} - \langle b,Ax \rangle + \underbrace{\| Ax\|_2^2}_{=\langle x, A^T Ax\rangle} \\ & = & \|b\|_2^2 - 2\cdot \langle b, Ax\rangle + \underbrace{\| Ax\|_2^2}_{=\frac{1}{2}\langle x, 2 A^T Ax\rangle}\\ \end{array} </math> als quadratische Funktion in <math>k</math> Veränderlichen <math>x=(x_1,\ldots ,x_k)^T</math> : <math>F(x) = \frac{1}{2} \left\langle x, (2 A^T A)x \right\rangle - \left\langle 2A^T b, x\right\rangle + \|b\|_2^2</math> schreiben. Für die darin vorkommende Matrix <math>A^TA</math> kann man aussagen: === Lemma - Positiv Definitheit - Rang - symmetrische Matrizen === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann ist die Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> positiv definit. === Beweis === Die Matrix <math>A^TA</math> ist wegen <math>(A^TA)^T = A^TA</math> symmetrisch. Weiter ist sie positiv semidefinit, d. h. es gilt :<math>h^T (A^TA)h = (Ah)^T (Ah) = \|Ah\|^2_2 \ge 0, \quad h \in \R^k.</math> Wegen <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> sind die <math>k</math> Spalten <math>a^1, \ldots, a^k</math> von <math>A</math> linear unabhängig (Zeilenrang = Spaltenrang) und daher hat man ::<math>h^T (A^TA)h = 0 \Leftrightarrow \|Ah\|_2 = 0 \Leftrightarrow Ah = 0 \Leftrightarrow h = 0.</math> q.e.d. === Bemerkung - Rangbedingung === Im Fall der Ausgleichsrechnung mit den polynomialen oder trigonometrischen Ansatzfunktionen ist die Rangbedingung in dem Lemma zur positiv Definitheit von symmetrische Matrizen unter unserer Voraussetzung <math>n \ge k</math> immer erfüllt. Dies besagt das folgenden das folgende Lemma. === Lemma - Rangbedingungen polynomiale/trigonometrische Ansatzfunktionen === Für polynomiale oder trigonometrische Ansatzfunktionen besitzt die gebildete Matrix <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit : <math> A := \begin{pmatrix} v_1(t_1) & \ldots & v_k(t_1) \\ \vdots & & \vdots \\ v_1(t_j) & \ldots & v_k(t_j) \\ \vdots & & \vdots \\ v_1(t_n) & \ldots & v_k(t_n) \end{pmatrix}.</math> und <math>n \ge k</math> den <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. === Beweis - Rangbedingungen polynomiale/trigonometrische Ansatzfunktionen === Für das oben angegebene <math>A</math> und <math>h := (h_1, \ldots, h_k)^T \in \R^k</math> gilt: :<math>Ah = 0 \Leftrightarrow \sum^k_{i=1} h_iv_i(t_j) = 0 \quad (j = 1, \ldots, n).</math> ==== Beweis 1 - polynomial Ansatzfunktionen ==== Wird <math>A</math> insbesondere durch polynomiale Ansatzfunktionen spezifiziert, so implizieren wegen <math>n \ge k</math> die Gleichungen <math> \sum^k_{i=1} h_iv_i(t_j) = 0 </math>, dass ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad <math>\le k - 1</math> dann <math> k</math> verschiedene Nullstellen. ==== Beweis 2 - Fundamentalsatz der Algebra ==== Nach dem [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] kann ein solches Polynom aber höchstens <math>k-1</math> Nullstellen besitzen. ==== Beweis 3 - trigonometrische Ansatzfunktionen ==== Für trigonometrische Ansatzfunktionen schließt man analog mittels komplexer Darstellungen des Sinus und Kosinus (siehe z. B. Collatz/Krabs: Approximationstheorie, Teubner, Stuttgart, 1973<ref>Collatz/Krabs (1973) Approximationstheorie, Teubner, Stuttgart</ref>). q.e.d. == Siehe auch == * [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] * [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter 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{{math|term=V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abbele/disp |name= {{op:Norm|-|}} |V|\R |v| {{op:Norm|v|}} |SZ=, }} heißt {{ Definitionswort |Prämath= |Norm| |msw= |SZ=, }} wenn die folgenden Eigenschaften für alle {{ Ma:Vergleichskette | v,w |\in|V || || || |SZ= }} gelten. {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v|}} |\geq| 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v|}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Ma:Vergleichskette |v ||0 || || || |SZ= }} ist. |Für {{ Ma:Vergleichskette | \lambda |\in| {{KRC|}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | v |\in| V || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|\lambda v|}} || {{op:Betrag|\lambda|}} \cdot {{op:Norm|v|}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Ma:Vergleichskette | v,w 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[https://etherpad.wikimedia.org/p/ChristianSW%2FNotizen Etherpad] * [[Benutzer:ChristianSW/Linkliste|Linkliste]] * [[Benutzer:ChristianSW/Werkstatt|Werkstatt]] * [[Benutzer:ChristianSW/Schnipsel|Schnipsel]] * [[Benutzer:ChristianSW/Recherche|Recherche]] * [[Benutzer:ChristianSW/Python|Python]] == Foren == * [https://forum.calliope.cc forum.calliope.cc] * [https://forum.makecode.com forum.makecode.com] * [https://forum.snap.berkeley.edu forum.snap.berkeley.edu] == Short URLs == * Calliope mini: [https://w.wiki/mz5 https://w.wiki/mz5] * Makey Makey: [https://w.wiki/my$ https://w.wiki/my$] * Micro:bit: [https://w.wiki/mz3 https://w.wiki/mz3] * Scratch: [https://w.wiki/myw https://w.wiki/myw] == YouTube == * [https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc4iL19D7usXmS6NPzD0LvXX Makey Makey for DIY Assistive Technology] rpl3ipl18c2tubgsazfxb1ozj5onwu1 745289 745287 2022-07-19T19:52:16Z ChristianSW 15793 ... wikitext text/x-wiki {{Babel|de|en-2}} ... möchte [[Benutzer:Aschmidt/Projekt:Wikiversity wiederbeleben|Wikiversity wiederbeleben]] == Ideen == * [[Benutzer:ChristianSW/Konstruieren statt konsumieren|Konstruieren statt konsumieren]] ([https://w.wiki/zx7 https://w.wiki/zx7]) * [[Benutzer:ChristianSW/Projektnotizen|Projektnotizen]] * [[Benutzer:ChristianSW/Medienliste|Medienliste]] == Projekte == * [[Projekt:Lernen mit Mikrocontrollern|Lernen mit Mikrocontrollern]] * [[Projekt:Tüftlerclub|Tüftlerclub]] == Notizen == * [https://etherpad.wikimedia.org/p/ChristianSW%2FNotizen Etherpad] * [[Benutzer:ChristianSW/Linkliste|Linkliste]] * [[Benutzer:ChristianSW/Werkstatt|Werkstatt]] * [[Benutzer:ChristianSW/Schnipsel|Schnipsel]] * [[Benutzer:ChristianSW/Recherche|Recherche]] * [[Benutzer:ChristianSW/Python|Python]] == Foren == * [https://forum.calliope.cc forum.calliope.cc] * [https://forum.makecode.com forum.makecode.com] * [https://forum.snap.berkeley.edu forum.snap.berkeley.edu] == Short URLs == * Calliope mini: [https://w.wiki/mz5 https://w.wiki/mz5] * Makey Makey: [https://w.wiki/my$ https://w.wiki/my$] * Micro:bit: [https://w.wiki/mz3 https://w.wiki/mz3] * Scratch: [https://w.wiki/myw https://w.wiki/myw] == YouTube == * [https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc4iL19D7usXmS6NPzD0LvXX Makey Makey for DIY Assistive Technology] negmkvpnj8igxpqgkoh3kmudctgt335 745291 745289 2022-07-19T19:53:11Z ChristianSW 15793 ... wikitext text/x-wiki {{Babel|de|en-2}} ... möchte [[Benutzer:Aschmidt/Projekt:Wikiversity wiederbeleben|Wikiversity wiederbeleben]] == Ideen == * [[Benutzer:ChristianSW/Konstruieren statt konsumieren|Konstruieren statt konsumieren]] ([https://w.wiki/zx7 https://w.wiki/zx7]) * [[Benutzer:ChristianSW/Projektnotizen|Projektnotizen]] * [[Benutzer:ChristianSW/Medienliste|Medienliste]] == Projekte == * [[Projekt:Lernen mit Mikrocontrollern|Lernen mit Mikrocontrollern]] * [[Projekt:Tüftlerclub|Tüftlerclub]] == Notizen == * [https://etherpad.wikimedia.org/p/ChristianSW%2FNotizen Etherpad] * [[Benutzer:ChristianSW/Linkliste|Linkliste]] * [[Benutzer:ChristianSW/Werkstatt|Werkstatt]] * [[Benutzer:ChristianSW/Schnipsel|Schnipsel]] * [[Benutzer:ChristianSW/Recherche|Recherche]] == Foren == * [https://forum.calliope.cc forum.calliope.cc] * [https://forum.makecode.com forum.makecode.com] * [https://forum.snap.berkeley.edu forum.snap.berkeley.edu] == Short URLs == * Calliope mini: [https://w.wiki/mz5 https://w.wiki/mz5] * Makey Makey: [https://w.wiki/my$ https://w.wiki/my$] * Micro:bit: [https://w.wiki/mz3 https://w.wiki/mz3] * Scratch: [https://w.wiki/myw https://w.wiki/myw] == YouTube == * [https://www.youtube.com/playlist?list=PLV2C6SQY-Gc4iL19D7usXmS6NPzD0LvXX Makey Makey for DIY Assistive Technology] iaojx6nqteeyb7a83ijs0x4cloj9jz2 0 123702 745348 649875 2022-07-20T11:49:53Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die sogenannten {{Stichwort|Bernoulli-Polynome|msw=|SZ=}} {{math|term=B_n|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |n 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wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs:Micro:bit und Super:bit|Forum]] 1tz9l8obqozxhs5gtld0p43b9a9px1l 106 134324 745267 742750 2022-07-19T18:49:16Z Moritz Berner 36059 /* Softwareeinsatz */ wikitext text/x-wiki == Gruppe 1 - Mo 10-12 == === Thema 1: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Wirtschaftliche Entwicklungsprognosen|Wirtschaftliche Entwicklungsprognosen]] === ** Anne Luksch, Verena Berger, John Pham ** eine Prognose für eine Aktie berechnen. ** Ziel: Möglichkeit eigenständig eine Prognose für den nächsten Monat zu berechnen, ohne täglich auf Aktienverläufe achten zu müssen. ** Zielgruppe: risikofreudige und risikoaverse Aktionäre, die Entscheidungen darüber treffen müssen, ob sie ihre Aktie in diesem Monat verkaufen oder sie noch weiter halten sollten. ==== Softwareeinsatz ==== ** Tabellenkalkulation, ** Geogebra ** wxMaxima ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 2: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften|Anforderungen und Eigenschaften an ein Produkt modellieren - am Beispiel Schultasche]] === * Mathematische Modellbildung für eine Produktmodellierung (Sek I) Formen und Körper aus der Geometrie, Alle Gegenstände in die Tasche bekommen. * Räumliche Optimierung, Gewichtsoptimierung (möglichst leicht) um die Anforderungen zu erfüllen. (Sek II) * Datenerhebung mit Tabellenkalkulation ==== Softwareeinsatz ==== * [[Geogebra|Gegebra-3D]] (Sek II) * [[3D-Modellierung/Beispiele|Aframe  AR.js - Visualisierung von Objekten]]. ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 4: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Lehrerbedarf|Prognose für den Lehrerbedarf]] === * Lara Marie Drexler, Emily Reiser, Helena Vogel, Anna Schieler * Wie sieht der Bedarf an Mathematiklehrkräften 2026 an rheinland-pfälzischen Gymnasien aus? * Zielgruppe: Bildungspolitiker:innen und Studieninteressierte ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalkulation * GeoGebra * wxMaxima ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A2]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A3]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A4]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A5]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A6]] * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A7]] === Thema 5: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellbildung in der Genetik|Vererbung von Hüftdisplasie beim Hund]] === * Modellierung genetischer Merkmale, Biologie, Tier-Medizin * Theresa Haber, Elias Schüler * Theoretische Zielgruppe für die Modellierungsergebnisse: Medizinier, Hundebesitzer:innen * Kernfrage: An welcher Stelle hilft uns die Modellierung dabei, bessere Entscheidungen zu treffen? * Ziel z.B. wäre die geringere Exposition der Hunde mit schädlichen Umwelteinflüssen, die die Hüftdisplasie noch weiter verstärkt. == Gruppe 2 - Mo 14-16 == === Thema 1: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona_und_Motivation|Corona und Motivation]] === (Friederike Reiter, Lisa Glaub) * Modellierung von Online-Interaktion und Methodeneinsatz auf die Motivation bei Lernenden, * Ziel der Modellbildung: Entscheidungsunterstützung bei der Methodenauswahl * ggf. Zusammenarbeit mit der Social-Media-Gruppe bzgl. Netzwerkmodellierung und [[Fuzzy-Logik]] === Thema 2: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Radioaktivität und Risikoliteralität|Radioaktivität und Risikoliteralität]] === (Isabelle Heringer, Michelle Welter, Jonah Schuster,Noah Buchmann) * Ziel der mathematischen Modellbildung ist die Verbesserung der Risikoliteralität in Sek 1 und/oder Sek II  * Gefährdungsbeurteilung - Kostenberechnung der Prävention und Quantifikation von Konsequenzen, Kosten, ... bei einem Extremereignis - Erdbeben, Super-GAU, ... - Uni-Niveau * Grundschule, Sek I, Sek II, ... * Stochastisch statistische Modellierung ggf. R-Studio * Numerische Modellierung Octave auf Uni-Niveau, === Thema 3: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Fake News in Sozialen Medien|Fake News in Sozialen Medien]] === (Alexander Blasius, Theresa Krausewitz, Alina Bluhm) * Modellierung der Zuordnung von Werbung zu Nutzer:innen  * Zielgruppen: Sek 1 - Lernen wie Marketing in sozialen Medien funktioniert und die Mathematik dahinter kennen lernen. * Sekundarstufe II: Matrizen als lineare Abbildung für die Zuordnung von Personen zu bestimmten Marketingoptionen * Uni-Niveau: Marketing-Strategen - Unternehmen als theoretische Nutzergruppe für die Marketing-Modellierung ==== Softwareeinsatz ==== * GeoGebra * Maxima * LibreOffice Calc ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 4: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Erneuerbare Energien|Erneuerbare Energien]] === (Anna Braun, Jan-Niklas Schwab) * Themenbereich: Kohleaustieg und Autoindustrie, Transformationsprozesse * Orte und Regionen zu finden, in den Photovoltaik und Windräder eingesetzt werden können. * Wo und wann kann Strom produziert werden? Wo und wann wird der Strom gebraucht? Wie kann man Überkapazitäten speichern? * Ziel: Räumlich geeignete Produktionsstandorte finden. * Sek 1: Ziele - Inhaltliche Aspekte thematisieren als Hintergrund für das Schülerengagement für Fridays for Future # Nummerierter Listeneintrag ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalklluration * GeoGebra/WxMaxima * Octave ==== Bearbeitete Aufgaben ==== * [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Aufgaben|A1.4]] === Thema 5: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Räuber-Beute-Modelle|Räuber-Beute-Modelle]] === (Chiara Berres, Kathrin Heine, Katharina Holzer, Lena Bolz) * Räuber-Beute-Beziehung zwischen 3 Arten z.B. Borkenkäfer, Buntspecht und Feinde vom Buntspecht - Greifvögel. ... * Ziel der Modellierung: Minimierung der Baumschäden durch den Borkenkäfer.  * Schädigung durch den Borkenkäfer im Kontext von Nährstoffverfügbarkeit, Trockenstress, Abwehrfähigkeit der Bäume, * Schnittstelle zu Biologie in Sekundarstufe II === Thema 6: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen|Sport - Elfmeterschießen]] === (Robin Schmidt, Lukas Rohn, Lena Kasprzyk, Pascal Jäger) * Themenbereich: Wahrscheinlichkeiten im Elfmeterschießen im Fußball * Verteilung der Treffer und verschossenen Elfmeter bzgl. der gewählten Ecke * dazu bezogene Trefferwahrscheinlichkeit * Ziele der Modellbildung: Verbesserung der Schussstrategie für Spieler, bessere Einschätzung der Torhüter, Unterstützung der Planung im Training * Sek. 1: Geometrische Einteilung des Tores in mehrere Rechtecke, relative und absolute Häufigkeit, Histogramm * Sek. 2: Erwartungswert, Standardabweichung/Mindestgeschwindigkeit des Balls * Uni-Niveau: Mindestgeschwindigkeit des Balls mit mehreren Einflussgrößen ==== Softwareeinsatz ==== * Tabellenkalkulation (Datenverarbeitung) * Geogebra * WXMaxima === Thema 7: [[/Planetenbahnen/]] === (Moritz Berner) [[/Planetenbahnen/]] * Sek 1: Bahnen mit sin und cos darstellen * Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> ==== Softwareeinsatz ==== * Maxima, Berechnung von Konvexkombinationen als Funktionen - Tangentialvektor * Geogebra, Modellierung von 3D-bjekten * Blender - [[3D-Modellierung]] == Nicht bearbeitet im WS2022/23 == === Thema 3: [[Kurs:Mathematische Modellbildung/Spielanalyse - Strategieoptimierung im Sport|Basketball - Wurfanalyse und Trefferwahrscheinlichkeit]] === Nadine Borger, Fabian Kempf, Pascal Jäger, Behcet Öztürk, Florian Hofmann * Statistische Verteilung und Trefferwahrscheinlichkeit, Eigene Wurffdaten * Theoretische Zielgruppe: Trainer, Spieler zur Vorbereitung auf den nächsten Gegner ==== Softwareeinsatz ==== * Software: Tabellenkalkulation Datenverabreitung, Daten * Octave für numerlische Modellierung von Treffern * R-Studio: Statistische Verarbetiung von Daten. räumliche R-Studio - [[Category:Wiki2Reveal]] cgbo1pjxcmzl8onodofvuste0nh1vqr 106 136636 745259 745022 2022-07-19T18:34:19Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, bei denen Geschwindigkeiten über Tangentialvektor an den Kurven ausgedrückt werden und über Gravitation sich die Bahnen der Planeten beeinflussen. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1 === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == '''Darstellung des Sonnensystems in Blender'''== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 === ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall )1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall )n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == lhrb1nvzfvo982vrh87wi30g46tbx8d 745260 745259 2022-07-19T18:38:21Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, bei denen Geschwindigkeiten über Tangentialvektor an den Kurven ausgedrückt werden und über Gravitation sich die Bahnen der Planeten beeinflussen. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1 === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == '''Darstellung des Sonnensystems in Blender'''== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 === ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == hi94dnswmq4u6a7ejhjnk3vuc65aazz 745261 745260 2022-07-19T18:39:31Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung des Sonnensystems in Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, bei denen Geschwindigkeiten über Tangentialvektor an den Kurven ausgedrückt werden und über Gravitation sich die Bahnen der Planeten beeinflussen. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1 === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 === ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == 7jlvj1ap517ms3dnc7ca17ov75afkkr 745262 745261 2022-07-19T18:40:12Z Moritz Berner 36059 /* Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1 */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, bei denen Geschwindigkeiten über Tangentialvektor an den Kurven ausgedrückt werden und über Gravitation sich die Bahnen der Planeten beeinflussen. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 === ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == 3uk2b40hgbkcvytrxbbyad1456lse04 745263 745262 2022-07-19T18:40:40Z Moritz Berner 36059 /* Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, bei denen Geschwindigkeiten über Tangentialvektor an den Kurven ausgedrückt werden und über Gravitation sich die Bahnen der Planeten beeinflussen. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == b8xh8mywgw42hti89evhek6qmdwk603 745264 745263 2022-07-19T18:41:15Z Moritz Berner 36059 /* Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, bei denen Geschwindigkeiten über Tangentialvektor an den Kurven ausgedrückt werden und über Gravitation sich die Bahnen der Planeten beeinflussen. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == cso2unqph80b0q0pbypx31yt5hparva 745265 745264 2022-07-19T18:43:15Z Moritz Berner 36059 /* Ziel der Modellierung */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Die Planetenbahnen === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == 4mhxglttuia621uoe9qds31ez7h3yf7 745266 745265 2022-07-19T18:44:16Z Moritz Berner 36059 /* Modellbeschreibung */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == efk11tobhffsr1hkti0352l3e2nvl2i 745268 745266 2022-07-19T18:52:41Z Moritz Berner 36059 /* Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == tlqjhtbnu1qkw7x87cj5m7zz5y9wrzp 745269 745268 2022-07-19T18:54:53Z Moritz Berner 36059 /* Modellierungszyklen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt. === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == ewfaosvirs2o45l3gbuhtlhxqwcj9e7 745270 745269 2022-07-19T18:55:45Z Moritz Berner 36059 /* Modellierungszyklen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == k2mijr4sphmpnoowe1gpdc4b83tw8to 745271 745270 2022-07-19T18:58:57Z Moritz Berner 36059 /* Quellen/Literatur */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png r34ljuclhrehortxensrx875evk5osm 745272 745271 2022-07-19T19:01:07Z Moritz Berner 36059 /* Softwares */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== <big>*Blender</big> == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png koxcddyo9jbh0atyk2yz05yfaa8qhhj 745273 745272 2022-07-19T19:01:27Z Moritz Berner 36059 /* Softwares */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== ==<big>Blender</big>== == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 2yjjqtznqo55po5anjgkagwammllj0b 745274 745273 2022-07-19T19:01:47Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==Softwares== =Blender= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png c0cewp8wwm002pwdwub4zjsc5df5on0 745275 745274 2022-07-19T19:02:18Z Moritz Berner 36059 /* Softwares */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ===Softwares=== =Blender= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png n2yx9xay6em98u4w9e0bvmxc19g5rch 745276 745275 2022-07-19T19:02:42Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ===Softwares=== =<small>Blender</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 8biueizcavc6xca9f2b440j91v0tzwi 745277 745276 2022-07-19T19:03:08Z Moritz Berner 36059 /* Softwares */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 8wpgbcde1hfiay7fazf7rxirmc3uqz8 745278 745277 2022-07-19T19:07:35Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= Blender ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren und ein == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png g5ymre6c3rsr1jnizgfuoh79gxb8jyk 745280 745278 2022-07-19T19:32:45Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= Blender ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small> == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png kjf0mbxlvnfyxrw9l7kofhwijqaidam 745281 745280 2022-07-19T19:33:09Z Moritz Berner 36059 /* Geogebra */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= Blender ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png lp9p7uheosiv0v2t9y963oxtgeekg2t 745282 745281 2022-07-19T19:36:04Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png kqj80ocy2112pg7shu7j9x7qgity5bk 745283 745282 2022-07-19T19:36:55Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender|Blender(Software)]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png qy5nafu4mkw6i5w0n6a2bzo00llknad 745284 745283 2022-07-19T19:37:29Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender(Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png k1q6hlz8znw1dji7f4s9txmckl83nvk 745285 745284 2022-07-19T19:37:51Z Moritz Berner 36059 /* Blender */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 001xu7fypi3yfab3l7cayuvmlfgy99o 745293 745285 2022-07-19T19:55:25Z Moritz Berner 36059 /* wxMaxima */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png ppfcwnm7ul9dzdctvedq8qp6cpvikan 745295 745293 2022-07-19T19:57:32Z Moritz Berner 36059 /* Wiki2Reveal */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen - Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png mefhe2frt547igaiw75339ijohublcd 745296 745295 2022-07-19T19:58:21Z Moritz Berner 36059 /* Wiki2Reveal */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 5bd6tfdtjql3yruxxo5o6wqgnhybuwt 745297 745296 2022-07-19T19:59:21Z Moritz Berner 36059 /* Wiki2Reveal */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Rotation um nicht im Zentrum liegenden Punkt - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png fz6lod8a6n5cbrvf1cb249f5fskz2ks 745298 745297 2022-07-19T20:00:04Z Moritz Berner 36059 /* Wiki2Reveal */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 27rjzl16ywnzmitfqhsugo2rbfeecyu 745299 745298 2022-07-19T20:01:22Z Moritz Berner 36059 Änderung 745298 von [[Special:Contributions/Moritz Berner|Moritz Berner]] ([[User talk:Moritz Berner|Diskussion]]) rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Rotation um nicht im Zentrum liegenden Punkt - Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png fz6lod8a6n5cbrvf1cb249f5fskz2ks 745300 745299 2022-07-19T20:02:22Z Moritz Berner 36059 Änderung 745299 von [[Special:Contributions/Moritz Berner|Moritz Berner]] ([[User talk:Moritz Berner|Diskussion]]) rückgängig gemacht. wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 27rjzl16ywnzmitfqhsugo2rbfeecyu 745302 745300 2022-07-19T20:09:10Z Moritz Berner 36059 /* Resümee des Modellierten */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 5foc9l0591b6o89ikgpi4drtdl8ot2r 745349 745302 2022-07-20T11:50:51Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == == Optimierung== === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 3yvzgmi89quvwvh35ks87iofnxd217a 745356 745349 2022-07-20T11:54:06Z Moritz Berner 36059 /* Bewertung */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet == Optimierung== === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png mloist121qyfe102u54i0gzfsz2udad 745357 745356 2022-07-20T11:57:27Z Moritz Berner 36059 /* Bewertung */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen - Sek 2-Drehmatrix der Ebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen- Drehmatrizen des Raumes - Sek 3]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen- Uni|Mathematische Grundlagen - Uni]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Uni&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(cos(t), sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass der Funktionswert im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+h(t) = (cos(t)+cos(10 \cdot t), sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man wählt folglich man den Koeffizienten 13,4 vor dem x, der 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png r7k3etkwh6skf70kivy8kk5pqmjdv8f 106 140066 745314 745084 2022-07-20T10:27:19Z Bert Niehaus 20843 /* 3.3.6 Cholesky-Zerlegung positiv definiter Matrizen */ wikitext text/x-wiki == Einführung - Die Zerlegung ''PA'' = ''LR'' == Häufig ist in der numerischen Mathematik das Gleichungssystem <math>Ax = b</math> für eingegebene (feste) reguläre Matrix <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und unterschiedliche rechte Seiten zu lösen. === Effizienzbetrachtung für den Algorithmus === In einem solchen Fall ist es ineffizient, für jede neue rechte Seiten wieder den Gauß-Algorithmus durchzuführen, da er bei jedem Durchlauf in Bezug auf <math>A</math> dieselben Resultate liefern würde. Deshalb möchte man die beim Gauß-Algorithmus durchgeführten Transformationen von <math>A</math> in irgendeiner Form speichern. === Zerlegung in Teiloperationen === Dieses kann in Form einer Zerlegung von <math>A</math> der Form <math>PA = LR</math> geschehen, wie sie im folgenden Unterabschnitt eingeführt wird, wobei <math>L \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine untere Dreiecksmatrix, <math>R \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine obere Dreiecksmatrix und <math>P \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine ''Permutationsmatrix'' ist. === Umformungen als Matrixmultiplikationen === Eine solche Zerlegung bzw. ''Faktorisierung'' von <math>A</math> kann man, wie wir zeigen wollen, mittels des Gauß-Algorithmus mit Spaltenpivotsuche gewinnen. ===Faktorisierung - Lösungsschritte === Liegt eine solche Faktorisierung vor, so kann man das Gleichungssystem <math>Ax = b</math> bzw. <math>LRx = Pb</math> für ein gegebenes <math>b \in \mathbb{R}^n</math> lösen, indem man hintereinander die beiden Dreieckssysteme :<math>Ly = Pb, \quad Rx = y</math> löst, wobei die Lösung <math>y</math> des ersten Systems die rechte Seite des zweiten Systems liefert. === Anwendung für unterschiedliche Vektoren b === Hat man das System <math>Ax = b</math> für mehrere unterschiedliche rechte Seiten <math>b</math> zu lösen, so muss man dann nur einmal die numerisch teuere Zerlegung <math>PA = LR</math> bestimmen, während die Berechnung der Lösung <math>x</math> gemäß <math>Ly = Pb, \quad Rx = y</math> numerisch relativ durch die Verwendung von Dreiecksmatrizen nicht mehr so rechenintensiv ist. == Permutationsmatrizen == In der obigen Beschreibung haben wir die Notwendigkeit identifiziert, dass man für das Lösungsverfahren Zeilen vertauschen müssen. Eine einzelne Zeilvertauschung kann durch ein Matrix <math>Z_{(i,j)}</math> realisiert werden. Durch Matrixmultiplikation kann diese Elementarmatrizen auch zu einer Pemutationsmatrix "zusammenfassen". === Beispiel - Vertauschung 1 und 4 Zeile=== :<math>Z_{(1,4)} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{5 \times 5} </math>. === Maxima - Vertauschung 1 und 4 Zeile=== Geben Sie die <math>Z_{(1,4)}</math> als <math>Z</math> und die folgende Matrix in [[Maxima CAS]] ein :<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{5 \times 5} </math>. und berechnen Sie das Matrizenprodukt über <kbd>Z.A</kbd> mit "." als Operatorsymbol für die Matrixmultiplikation. === Definition - Permutationsmatrix === Jede Matrix <math>P \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit genau einer Eins und sonst nur Nullen in jeder Zeile und Spalte heißt <u>Permutationsmatrix</u>. ==== Beispiel - Permutationsmatrix ==== Die folgende Matrix stellt eine Permutationsmatrix dar: :<math>P := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times 4}.</math> === Definition - Permution === Jede bijektive Abbildung <math>\pi: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}</math> heißt eine <u>Permutation</u>. ==== Zusammenhang Permutation - Permutationsmatrix ==== Offensichtlich ist <math>P \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> genau dann eine Permutionsmatrix, wenn es eine Permutation <math>\pi: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}</math> gibt, so dass :<math>P = \begin{pmatrix} e^{\pi(1)} & ... & e^{\pi(n)} \end{pmatrix}</math> gilt, wobei <math>e^j \in \mathbb{R}^n</math> die <math>j</math>-te Spalte der Einheitsmatrix bezeichnet. ==== Beispiel - Permutation - Permutationmatrix ==== Die im obigen Beispiel genannte Permutationmatrix ist die durch folgende Permutation definiert :<math>\pi(1) := 3, \quad \pi(2) := 1, \quad \pi(3) := 2, \quad \pi(4) := 4,</math> wobei <math>\pi: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}</math> die folgende Permutationmatrix liefert :<math>P = \begin{pmatrix} e^3 & e^1 & e^2 & e^4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^{\pi(1)} & e^{\pi(2)} & e^{\pi(3)} & e^{\pi(4)} \end{pmatrix}.</math> Mittels Zusammenhang von Permutation und Permutationsmatrix kann man nun die Aussagen des folgenden Satzes erschließen. === Satz - Permutationsmatrizen === Sei <math>P \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine Permutationsmatrix und <math>\pi: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}</math> bezeichne die zu der Matrix <math>P</math> gehörende Permutation. Dann gilt: * (i) <math>P</math> ist eine orthogonale Matrix, d. h. es ist <math>P^{-1} = P^T</math>. * (ii) Es gilt ::<math>P^{-1} = P^T = \begin{pmatrix} e^{\pi^{-1}(1)} & ... & e^{\pi^{-1}(n)} \end{pmatrix}</math>. * (iii) Für <math>\alpha := (\alpha_i) \in \mathbb{R}^n</math> gilt :<math>P\alpha = \begin{pmatrix} \alpha_{\pi^{-1}(1)} \\ \vdots \\ \alpha_{\pi^{-1}(n)} \end{pmatrix}, \quad \alpha^TP = \begin{pmatrix} \alpha_{\pi(1)} & ... & \alpha_{\pi(n)} \end{pmatrix}.</math> * (iv) Für jede Matrix <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit Zeilen <math>(z^i)^T</math> und Spalten <math>a^i</math> <math>(i = 1, ..., n)</math> gilt ::(3.6) <math>PA = \begin{pmatrix} \left( z^{\pi^{-1}(1)} \right)^T \\ \vdots \\ \left( z^{\pi^{-1}(n)} \right)^T \end{pmatrix}, \quad AP = \begin{pmatrix} a^{\pi(1)} & ... & a^{\pi(n)} \end{pmatrix}.</math> ==== Beweis. ==== (i) folgt mit (3.5) aus ::<math>\left( P^TP \right)_{ij} = \left[ \begin{pmatrix} \left( e^{\pi(1)} \right)^T \\ \vdots \\ \left( e^{\pi(n)} \right)^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\pi(1)} & ... & e^{\pi(n)} \end{pmatrix} \right]_{ij} = \left[ \left( e^{\pi(i)} \right)^T e^{\pi(j)} \right]_{ij} = (\delta_{\pi(i), \pi(j)})_{ij} = (\delta_{ij})_{ij} = I.</math> Die Behauptung in (ii) ergibt sich aus ::<math>\left[ \begin{pmatrix} e^{\pi^{-1}(1)} & ... & e^{\pi^{-1}(n)} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^{\pi(1)} & ... & e^{\pi(n)} \end{pmatrix} \right]_{ij} = \sum^n_{\ell=1} \left( e^{\pi^{-1}(\ell)} \right)_i \left( e^{\pi(j)} \right)_\ell = \sum^n_{\ell=1} \delta_{i, \pi^{-1}(\ell)} \delta_{\pi(j), \ell}</math> ::<math>= \sum^n_{k=1} \delta_{i, k} \delta_{\pi(j), \pi(k)} = \delta_{\pi(j), \pi(i)} = \delta_{ji} = \delta_{ij}.</math> Die erste Behauptung in (iii) folgt aus ::<math>P\alpha = \sum^n_{j=1} \alpha_j e^{\pi(j)} = \sum^n_{\ell=1} \alpha_{\pi^{-1}(\ell)} e^\ell = (\alpha_{\pi^{-1}(1)}, ..., \alpha_{\pi^{-1}(n)})^T,</math> die zweite folgt mit (ii) und letzterer Identität aus ::<math>\alpha^TP = \left( P^T \alpha \right)^T = \left( \sum^n_{j=1} \alpha_j e^{\pi^{-1}(j)} \right)^T = (\alpha_{\pi(1)}, ..., \alpha_{\pi(n)}).</math> Die entsprechenden Matrixversionen in (iv) folgen analog aus ::<math>PA = \sum^n_{j=1} e^{\pi(j)}(z^j)^T = \sum^n_{\ell=1} e^\ell (z^{\pi^{-1}(\ell)} = \begin{pmatrix} \left( z^{\pi^{-1}(1)} \right)^T \\ \vdots \\ \left( z^{\pi^{-1}(n)} \right)^T \end{pmatrix}</math> sowie unter Verwendung dieser Beziehung und (ii) aus ::<math>AP = \left( P^TA^T \right)^T = \left[ P^T \begin{pmatrix} (a^1)^T \\ \vdots \\ (a^n)^T \end{pmatrix} \right]^T = \begin{pmatrix} (a^{\pi(1)})^T \\ \vdots \\ (a^{\pi(n)})^T \end{pmatrix}^T.</math> q.e.d. Man beachte, dass die Indizes <math>\pi^{-1}(1), ..., \pi^{-1}(n)</math> gemäß Aussage (ii) von Satz 3.10 gerade die Indizes der Einheitsvektoren, welche die Spalten von <math>P^T</math> bzw. die Zeilen von <math>P</math> bilden, sind. Somit bewirkt also die Multiplikation einer Matrix <math>A</math> mit einer Permutationsmatrix von links bzw. rechts eine Permutation der Zeilen bzw. Spalten von <math>A</math>, die der Permutation der Zeilen bzw. Spalten von <math>P</math> im Vergleich mit der Einheitsmatrix entspricht. ==== Beispiel 3.11 ==== Seien ::<math>P := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.</math> Dann folgt ::<math>PA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix},</math> ::<math>AP = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & 6 & 4 \\ 8 & 9 & 7 \end{pmatrix}.</math> ---- In numerischen Implementierungen erfolgt die Abspeicherung einer Permutationsmatrix mit der zugehörigen Permutation <math>\pi</math> in Form eines Vektors ::<math>(\pi^{-1}(1), ..., \pi^{-1}(n))^T \in \mathbb{R}^n</math> oder <math>(\pi(1), ..., \pi(n))^T \in \mathbb{R}^n</math>. Eine besondere Rolle spielen ''Elementarpermutationen'' <math>\pi: \{1, ..., n\} \to \{1, ..., n\}</math>, die zwei Zahlen vertauschen und die restlichen Zahlen unverändert lassen. Im Fall einer Elementarpermutation gibt es also zwei Zahlen <math>i, r \in \{1, ..., n\}</math> mit ::(3.7) <math>\pi(i) = r, \quad \pi(r) = i, \quad \pi(j) = j \quad (j \notin \{i, r\}).</math> Hier gilt wegen ::<math>\pi^{-1}(r) = i = \pi(r), \quad \pi^{-1}(i) = r = \pi(i), \quad \pi^{-1}(j) = j = \pi(j) \quad (j \notin \{i, r\})</math> die Identität <math>\pi^{-1} = \pi</math>, so dass sich für die zu <math>\pi</math> gehörende Permutationsmatrix <math>P \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> (vgl. (3.5)) ergibt: ::(3.8) <math>P^{-1} = P^T = P.</math> == 3.3.2 Frobenius-Matrizen == Wir betrachten eine weitere wichtige Klasse von Matrizen. === Definition - Frobeniusmatrix === Sei <math>k \in \{1, ..., n\}</math>. Jede Matrix der Form :(3.9) <math>\begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & -l_{k+1,k} & 1 & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ & & -l_{n,k} & & & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> heißt <u>Frobenius-Matrix vom Index <math>k</math></u>. === Bemerkung - Frobeniusmatrix === Eine Frobenius-Matrix vom Index <math>k</math> unterscheidet sich von der Einheitsmatrix gleicher Größe also nur in der <math>k</math>-ten Spalte und dort auch nur unterhalb der Diagonalen. Insbesondere lässt sich die prinzipielle Vorgehensweise bei den Zeilenoperationen der <math>k</math>-ten Stufe des Gauß-Algorithmus durch Multiplikation mit einer Frobenius-Matrix vom Index <math>k</math> beschreiben. So gilt für Vektoren <math>z^j \in \mathbb{R}^n</math> <math>(j = 1, ..., n)</math> :(3.10) <math>\begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & -l_{k+1,k} & 1 & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ & & -l_{n,k} & & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \left( z^1\right) ^T \\ \vdots \\ \left( z^n\right) ^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left( z^1\right) ^T \\ \vdots \\ \left( z^k\right) ^T \\ \left( z^{k+1}\right) ^T-l_{k+1,k}\left( z^k\right) ^T \\ \vdots \\ \left( z^n\right) ^T-l_{n,k}\left( z^k\right) ^T \end{pmatrix}</math> Offenbar lässt sich die Frobenius-Matrix in (3.9) mit ::(3.11) <math>f^k := (0, ..., 0, l_{k+1, k}, ..., l_{n, k})^T \in \mathbb{R}^n</math> wegen ::<math>f^k(e^k)^T = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ l_{k+1,k} \\ \vdots \\ l_{n,k}\end{pmatrix} (0, ..., 0, \overbrace{1}^{k\text{-te Stelle}}, 0, ..., 0) = \begin{pmatrix} 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & 0 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & ... & 0 & l_{k+1,k} & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & ... & 0 & l_{n,k} & 0 & ... & 0 \end{pmatrix}</math> in der Form ::(3.12) <math>F_k = I - f^k(e^k)^T</math> darstellen, wobei <math>I \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> die Einheitsmatrix und <math>e^k \in \mathbb{R}^n</math> wieder die <math>k</math>-te Spalte von <math>I</math> bezeichnet. === Lemma 3.13 === :''Für <math>k = 1, ..., n-1</math> sind die Frobenius-Matrizen <math>F_k \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> vom Index <math>k</math> regulär und es gilt für <math>k = 1, ..., n - 1</math> ::(3.13) <math>F^{-1}_k = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & l_{k+1,k} & 1 & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ & & l_{n,k} & & & 1 \end{pmatrix} = I + f^k(e^k)^T</math> :''sowie ::(3.14) <math>F^{-1}_1 \cdots F^{-1}_{n-1} = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ l_{21} & 1 & & & \\ \vdots & l_{32} & 1 & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n1} & l_{n2} & ... & l_{n,n-1} & 1 \end{pmatrix} = I + \sum^{n-1}_{j=1} f^j(e^j)^T.</math> ==== Beweis. ==== Für <math>F_k</math> hat man mit (3.11) die Darstellung (3.12). Wegen ::<math>\left[ I + f^k(e^k)^T \right] \underbrace{\left[ I - f^k(e^k)^T \right]}_{=F_k} = I + f^k(e^k)^T - f^k(e^k)^T - f^k \underbrace{\left[ (e^k)^T f^k \right]}_{=0} (e^k)^T = I</math> folgt ::<math>\det \left( I + f^k(e^k)^T \right) \det \left( I + f^k(e^k)^T \right) = 1,</math> also die Regularität von <math>F_k</math> sowie die behauptete Darstellung von <math>F^{-1}_k</math>. Im Folgenden soll nun mittels vollständiger Induktion die Identität ::(3.15) <math>F^{-1}_1 \cdots F^{-1}_k = I + \sum^k_{j=1} f^j(e^j)^T, \quad k = 1, ..., n - 1</math> nachgewiesen werden, welche im Fall <math>k := n - 1</math> der Formel (3.14) entspricht. Die Darstellung in (3.15) ist sicher richtig für <math>k := 1</math>. Wir nehmen nun weiter an, dass sie für ein beliebiges <math>k \in \{1, ..., n - 2\}</math> richtig ist. Dann gilt die Darstellung in (3.15) auch für <math>k + 1</math>, denn ::<math>F^{-1}_1 \cdots F^{-1}_k F^{-1}_{k+1} = \left[ I + \sum^k_{j=1} f^j(e^j)^T \right] \left[ I+f^{k+1}(e^{k+1})^T \right]</math> ::<math>= I+f^{k+1}(e^{k+1})^T + \sum^k_{j=1} f^j(e^j)^T + \sum^k_{j=1} f^j \underbrace{\left[ (e^j)^T f^{k+1} \right]}_{=0} (e^{k+1})^T = I + \sum^{k+1}_{j=1} f^j(e^j)^T.</math> q.e.d. === Lemma 3.14 === Sei <math>F_k</math> eine wie in (3.12) mit (3.11) dargestellte Frobenius-Matrix vom Index <math>k</math> und <math>P</math> eine Permutationsmatrix mit zugehöriger Elementarpermutation <math>\pi</math> von der Form (3.7) mit <math>i, r \in \{k + 1, ..., n\}</math>. Dann entsteht die Matrix <math>PF_kP</math> aus <math>F_k</math> durch Vertauschen der Einträge <math>i</math> und <math>r</math> in der <math>k</math>-ten Spalte, d. h. :<math>PF_kP = I - \left( Pf^k \right) (e^k)^T.</math> ==== Beweis. ==== Die Aussage ergibt sich unmittelbar aus ::<math>PF_kP = P \left[ I - f^k(e^k)^T \right] P = \underbrace{P^2}_{=I} - [Pf^k][\underbrace{(e^k)^T P}_{=(e^k)^T}],</math> wobei (3.8) und Satz 3.10 (iii) sowie die Forderungen für <math>i</math> und <math>r</math> eingehen. q.e.d. == 3.3.3 Die ''LR''-Zerlegung mittels Gauß-Algorithmus == Im Folgenden wird die allgemeine Vorgehensweise beim Gauß-Algorithmus zur sukzessiven Erzeugung von Matrizen <math>A^{(k)} \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> der Form ::(3.16) <math>A^{(k)} = \begin{pmatrix} a_{11}^{(k)} & a_{12}^{(k)} & ... & ... & ... & a_{1n}^{(k)} \\ & a_{22}^{(k)} & ... & ... & ... & a_{1n}^{(k)} \\ & & \ddots & & & \vdots \\ & & & a_{kk}^{(k)} & ... & a_{kn}^{(k)} \\ & & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nk}^{(k)} & ... & a_{nn}^{(k)} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit Spaltenpivotsuche als Folge spezieller Matrix-Operationen beschrieben. Und zwar wird im <math>k</math>-ten Schritt entsprechend Algorithmus 1 eine Zeilenvertauschung <math>A^{(k)} \to P_kA^{(k)}</math> vorgenommen. Hierbei ist <math>P_k \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine elementare Permutationsmatrix, die nur eine Vertauschung der Zeilen <math>k</math> und <math>p_k \ge k</math> von <math>A^{(k)}</math> bewirkt. (<math>p_k = k</math> und somit <math>P_k = I</math> ist möglich.) Damit ergibt sich gemäß (3.6) und (3.10) ::(3.17) <math>A^{(k+1)} = F_kP_kA^{(k)}</math> mit ::(3.18) <math>F_k := \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & -l_{k+1,k} & 1 & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ & & -l_{n,k} & & & 1 \end{pmatrix}</math> für ::(3.19) <math>l_{p_k, k} := \frac{a^{(k)}_{kk}}{a^{(k)}_{p_k, k}}, \quad l_{ik} =\frac{a^{(k)}_{ik}}{a^{(k)}_{p_k, k}} \quad (i = k + 1, ..., n, i \neq p_k)</math> sowie ::(3.20) <math>P_k := \begin{pmatrix} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & & & & 1 & & & \\ & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & & & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{pmatrix}</math> <math>\begin{array}{ll} \leftarrow & \text{Zeile }k \\ & \\ & \\ & \\ \leftarrow & \text{Zeile }p_k \end{array}</math> Der Index <math>p_k</math> bezeichnet dabei die Position der Zeile aus <math>A^{(k)}</math>, welche das Pivotelement enthält. === Satz 3.15 === :''Mit den Definitionen (3.16) - (3.20) gilt die Identität <math>PA = LR</math> für ::<math>P := P_{n-1} \cdots P_1, \quad R := A^{(n)}</math> :''und ::(3.21) <math>L := \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ \hat{l}_{21} & 1 & & & \\ \vdots & \hat{l}_{32} & 1 & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ \hat{l}_{n1} & \hat{l}_{n2} & ... & \hat{l}_{n,n-1} & 1 \end{pmatrix}</math> :''mit ::(3.22) <math>\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \hat{l}_{k+1,k} \\ \vdots \\ \hat{l}_{n,k} \end{pmatrix} := P_{n-1} \cdots P_{k+1} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ l_{k+1,k} \\ \vdots \\ l_{n,k} \end{pmatrix}</math> ==== Beweis. ==== Für <math>k = 1, 2, ...</math> gilt mit (3.17) sowie (3.8) ::<math>A^{(2)} = F_1P_1A = F_1(P_1A),</math> ::<math>A^{(3)} = F_2P_2A^{(2)} = F_2(P_2F_1\underbrace{P_2)(P_2}_{=I}P_1A),</math> ::<math>A^{(4)} = F_3P_3A^{(3)} = F_3(P_3F_2\underbrace{P_3)(P_3}_{=I}P_2F_1P_2\underbrace{P_3)(P_3}_{=I}P_2P_1A)</math> und so weiter, was schließlich ::(3.23) <math>R = A^{(n)} = \hat F_{n-1} \cdots \hat F_1PA</math> ergibt mit ::<math>P := P_{n-1} \cdots P_1</math> und den Frobenius-Matrizen <math>\hat F_{n-1} = F_{n-1}</math> und ::<math>\hat F_k := P_{n-1} \cdots P_{k+1}F_kP_{k+1} \cdots P_{n-1} = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & -\hat{l}_{k+1,k} & \ddots & & \\ & & \vdots & & \ddots & \\ & & -\hat{l}_{nk} & & & 1 \end{pmatrix}</math> für <math>k = 1, ..., n - 2</math>, wobei in die letzte Identität Lemma 3.14 eingeht. Eine Umformung von (3.23) liefert dann ::<math>PA = \begin{pmatrix} \hat F^{-1}_1 & ... & \hat F^{-1}_{n-1} \end{pmatrix} R = LR,</math> wobei die letzte Gleichheit mit Lemma 3.13 folgt. Damit ist alles bewiesen. q.e.d. Man beachte, dass die Matrix <math>L</math> (3.21) also gerade aus den aktuellen Umrechnungsfaktoren <math>\hat l_{ik}</math> <math>(i > k)</math> gebildet wird, nachdem (sofern erforderlich) die Zeilenvertauschung, welche die Zeile mit dem jeweils gewählten Pivotelement an die richtige Position bringt, erfolgt ist. In Implementierungen werden die frei werdenden Anteile des linken Dreiecks der Matrix <math>A</math> sukzessive mit den Einträgen der unteren Dreiecksmatrix <math>L</math> überschrieben, während sich in dem rechten Dreieck der Matrix <math>A</math> die Einträge der Dreiecksmatrix <math>R</math> ergeben. Die Permutationsmatrix <math>P</math>, deren Zeilen <math>(e^{r_i})^T, i = 1, ..., n</math> genannt seien, lässt sich einfach in Form eines Buchhaltungsvektors <math>r \in \N^n</math> angeben, und es gilt, wie man mit Satz 3.10 erschließt, ::<math>\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ n \end{pmatrix}</math> Wir wollen die Vorgehensweise an einem Beispiel vorführen. ==== Beispiel 3.16 ==== Gegeben sei die Matrix ::<math>A := \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}.</math> Nach Anhängen des für die Speicherung der Zeilenpermutationen zuständigen Buchhaltervektors liefert der Algorithmus folgendes (unterhalb der Treppe ergeben sich sukzessive die Einträge von <math>L</math> aus (3.21), (3.22)): ::<math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \underset{\longrightarrow }{\text{ Zeilentausch }} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> ::<math>\underset{\longrightarrow }{\text{Elimination }} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \frac 12 & \underline {1} & 1 & 1 \\ \frac 12 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \underset{\longrightarrow }{\text{ Zeilentausch }} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ \frac 12 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \frac 12 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> ::<math>\underset{\longrightarrow }{\text{Elimination }} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ \frac 12 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \underline {1} & 1 \\ \frac 12 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \underset{\longrightarrow }{\text{ Elimination }} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ \frac 12 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \frac 12 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> Dabei ist das jeweils gewählte Pivotelement unterstrichen. Der letzte Permutationsvektor <math>(2, 3, 1, 4)^T</math> besagt, dass ::<math>\pi(1) = 3, \quad \pi(2) = 1, \quad \pi(3) = 2, \quad \pi(4) = 4</math> für die zu <math>P</math> gehörende Permutation <math>\pi</math> gilt und dass also <math>PA</math> aus <math>A</math> hervorgeht, indem man die erste Zeile von <math>A</math> in die dritte Position bringt, die zweite in die erste, usw. Es ergibt sich somit die Faktorisierung ::<math>PA = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ \frac 12 & 1 & & \\ 0 & 0 & 1 & \\ \frac 12 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 1 \\ & & & 3 \end{pmatrix} = LR.</math> ---- Man beachte, dass die Zerlegung <math>PA = LR</math> einer Matrix nicht eindeutig ist. Man könnte ja beispielsweise die Matrix <math>L</math> mit einem Skalar <math>\alpha \neq 0</math> und die Matrix <math>R</math> mit dem Skalar <math>1/\alpha</math> multiplizieren. Mit dem Gauß-Algorithmus kann man bekanntlich auch die Determinante von <math>A</math> berechnen. So gilt im Fall, dass eine Zerlegung <math>PA = LR</math> vorliegt, ::<math>\det(P) = (-1)^\sigma</math> und ::<math>\det(PA) = \det(P) \det(A) = \det(L) \det(R) = \prod^n_{i=1} r_{ii},</math> wobei <math>\sigma</math> die Anzahl von paarweisen Zeilenvertauschungen ist, die die Überführung von <math>I</math> in <math>P</math> erfordert bzw. welche beim Gauß-Algorithmus vorgenommen wird und die <math>r_{ii}</math> die Diagonalelemente von <math>R</math> sind. Demnach hat man ::<math>\det(A) = (-1)^\sigma \prod^n_{i=1} r_{ii}.</math> == 3.3.4 Nachiteration == Aufgrund von Rundungsfehlern errechnet man in der Praxis nicht eine Zerlegung <math>LR</math>, sondern eine Zerlegung <math>\tilde L\tilde R</math> von <math>PA</math>, so dass ::<math>PA \approx \tilde L\tilde R</math> gilt. Statt der (hier als eindeutig vorausgesetzten Lösung) <math>x</math> von <math>Ax = b</math> bzw. <math>PAx = Pb</math> berechnet man demnach unter Verwendung von <math>\tilde L</math> und <math>\tilde R</math> eine Näherungslösung <math>x^0</math> und den durch sie erzeugten Defekt ::<math>d^0 := Pb - PAx^0 \neq 0.</math> Daher ist die folgende ''Nachiteration'' sinnvoll: wiederum unter Verwendung der vorliegenden Zerlegung <math>\tilde L\tilde R</math> von <math>PA</math> bestimmt man die Lösung <math>\delta x^0</math> der Defektgleichung ::(3.24) <math>PA\delta x = d^0</math> und setzt man anschließend ::<math>x^1 := x^0 + \delta x^0.</math> Bei exakter Lösung des Systems (3.24) (mit <math>PA</math> und nicht <math>\tilde L\tilde R</math>) hätte man dann ::<math>PAx^1 = PAx^0 + PA\delta x^0 = Pb - d^0 + d^0 = Pb.</math> Da man i. a. jedoch nicht exakt rechnet, könnte man diesen Prozess wiederholen. Normalerweise genügt es jedoch, <math>d^0</math> und <math>\delta x^0</math> mit doppelter Genauigkeit zu berechnen und die beschriebene Nachiteration nur einmal durchzuführen (vgl. Deuflhard/Hohmann). ==== Beispiel 3.17 ==== Wir betrachten das Gleichungssystem <math>Ax = b</math> mit ::<math>A := \begin{pmatrix} 1.05 & 1.02 \\ 1.04 & 1.02 \end{pmatrix}, \quad b := \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.</math> Die Lösung <math>x</math> des Systems lautet ::<math>x \approx (-100, 103.921\ 569)^T.</math> Gauß-Elimination ohne Zeilenvertauschung liefert bei 3-stelliger Rechnung ::<math>\tilde L := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ .990 & 1 \end{pmatrix}, \quad \tilde R := \begin{pmatrix} 1.05 & 1.02 \\ 0 & 0.01 \end{pmatrix}</math> sowie ::<math>\tilde L\tilde R - A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 5_{10} - 4 & 2_{10} - 4 \end{pmatrix}.</math> Man errechnet ::<math>x^0 := (-97.1, 101)^T</math> mit dem Defekt ::<math>d^0 := b - Ax^0 = \begin{cases} (0, 0)^T & (3\text{-stellig}), \\ (0.065, 0.035)^T & (6\text{-stellig}). \end{cases}</math> Nachiteration mit 6-stelliger Rechnung ergibt ::<math>x^1 := x^0 + \delta x^0 = (-99.9, 104)^T.</math> == 3.3.5 Direkte ''LR''-Zerlegung == In gewissen Situationen ist es möglich und zwecks Ausnutzung vorhandener Strukturen der Matrix <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> auch sinnvoll, auf eine Pivotstrategie zu verzichten und mittels einer unteren Dreiecksmatrix <math>L := (l_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und einer oberen Dreiecksmatrix <math>R := (r_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine ''LR''-Zerlegung der Form ::(3.25) <math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ l_{21} & 1 & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n1} & ... & l_{n,n-1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & ... & r_{1n} \\ & r_{22} & ... & r_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & r_{nn} \end{pmatrix}</math> auf direkte Weise zu bestimmen. Eine solche Zerlegung einer regulären Matrix <math>A</math> existiert genau dann, wenn <math>\det(H_k) \neq 0</math> <math>(k = 1, ..., n)</math> für die ''Hauptuntermatrizen'' ::(3.26) <math>H_k := \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & ... & a_{kk} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{k\times k}, \quad k = 1, ..., n</math> von <math>A</math> gilt (z. B. Sätze 2.14 und 2.17 bei Kanzow). Wegen <math>\det(A) \neq 0</math> ist dann auch <math>\det(R) \neq 0</math>, also <math>r_{ii} \neq 0</math> <math>(i = 1, ..., n)</math> und damit das folgende Vorgehen möglich. Existiert eine ''LR''-Zerlegung von <math>A</math> wie in (3.25), so verwendet den Ansatz in (3.25), um für die <math>n^2</math> gesuchten Größen <math>r_{ik}</math> <math>(i \le k)</math> und <math>l_{ik}</math> <math>(i > k)</math> die <math>n^2</math> Bestimmungsgleichungen ::<math>a_{ik} = \sum^n_{j=1} l_{ij} r_{jk}, \quad i, k = 1, ..., n</math> zu erhalten, welche wegen <math>l_{ij} = 0</math> für <math>i < j</math> und <math>r_{jk} = 0</math> für <math>j > k</math> mit ::(3.27) <math>a_{ik} = \sum^{\min(i,k)}_{j=1} l_{ij} r_{jk}, \quad i, k = 1, ..., n</math> identisch sind. Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie man aus den Gleichungen (3.27) die Einträge von <math>L</math> und <math>R</math> bestimmen kann. Zum Beispiel führt eine Berechnung der Zeilen von <math>R</math> und der Spalten von <math>L</math> entsprechend der Parkettierung auf den folgenden Algorithmus: === Algorithmus 2 (Direkte ''LR''-Zerlegung) === (0) Gib <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit <math>\det(A) \neq 0</math> und setze <math>i := 1</math>. (1) Berechne ::<math>r_{ik} := a_{ik} - \sum^{i-1}_{j=1} l_{ij} r_{jk} \quad (k = i, ..., n),</math> ::<math>l_{ki} := \left( a_{ki} - \sum^{i-1}_{j=1} l_{kj} r_{ji} \right) / r_{ii} \quad (k = i + 1, ..., n).</math> (2) Falls <math>i = n</math>, stop! (3) Setze <math>i := i + 1</math> und gehe nach (1). Für eine solche direkte ''LR''-Zerlegung sind insgesamt <math>(n^3/3)(1+0(1/n))</math>, d. h. die gleiche Größenordnung von Multiplikationen und Divisionen wie für den Gauß-Algorithmus erforderlich. == Cholesky-Zerlegung positiv definiter Matrizen == In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die eben vorgestellte ''LR''-Zerlegungen für positiv definite Matrizen besonders attraktiv ist. === Definition - positiv definite Matrix === Eine Matrix <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> heißt <u>positiv definit</u>, falls <math>A</math> symmetrisch, d. h. <math>A = A^T</math> ist und falls gilt: :<math>\langle x,Ax\rangle = x^TAx > 0, \quad x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}.</math> === Bemerkung - positiv definite Matrix === Mit dieser Definition selbst lässt sich, wie es ähnlich häufig in der Mathematik der Fall ist, nur schwer arbeiten. Deshalb sind äquivalente Bedingungen von Interesse. === Hesse-Matrix und ein lokales Minimum einer Fehlerfunktion === Sei <math>f \colon U \subset \R^n \to \R</math> eine [[w:de:Totale Differenzierbarkeit|zweimal stetig differenzierbare Funktion]]. Dann ist die Hesse-Matrix von <math>f</math> am Punkt <math>x=(x_1, \ldots , x_n) \in U</math> definiert durch :<math> \operatorname{H}_f(x):= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x)\right)_{i,j=1,\dots, n}= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x)\\[0.5em] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n}(x) \end{pmatrix}. </math> Ist die Hesse-Matrix an einer Stelle <math>x=(x_1, \ldots , x_n) \in U</math> positiv definit, wobei gleichzeitig der Gradient der Nullvektor ist, dann besitzt <math>f</math> ein lokales Minimum. === Lemma - Kriterien für positive Definitheit === Folgende Aussagen sind für eine Matrix <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit <math>A = A^T</math> äquivalent: * (i) <math>A</math> ist positiv definit. * (ii) Alle Eigenwerte <math>\lambda_i</math> <math>(i = 1, ..., n)</math> von <math>A</math> sind reell und positiv. * (iii) Die Determinanten der <math>n</math> Hauptuntermatrizen <math>H_k</math> <math>(k = 1, ..., n)</math> von <math>A</math> in (3.26) sind alle positiv. === Bemerkung - Kriterien für positive Definitheit === Den Beweis des Lemmas findet man in Büchern der Linearen Algebra. Im Folgenden beweisen wir Eigenschaften positiv definite Matrizen <math> A </math> die positiv Definitheit von allen Untermatrizen und der Invertierbarkeit der Matrix. === Lemma - positiv Definitheit von Untermatrizen === Die Matrix <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> sei positiv definit. Dann gilt: * (i) <math>A</math> ist regulär, * (ii) alle Untermatrizen von <math>A</math> der Form :(3.29) <math>\begin{pmatrix} a_{kk} & ... & a_{k,k+\ell} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k+\ell,k} & ... & a_{k+\ell,k+\ell} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{(\ell+1)\times (\ell+1)}</math> :sind positiv definit, * (iii) <math>\det(A) > 0</math>. === Beweis === Der Beweis erfolgt in der Reihenfolge der drei Eigenschaften von positiv definiten Matrizen aus dem Lemma. ==== Beweis (i) ==== (i) Wäre <math>A</math> singulär, so gäbe es einen Vektor <math>x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}</math> mit <math>Ax = 0</math>. Damit wäre auch <math>x^TAx = 0</math>, was einen Widerspruch zur positiven Definitheit der Matrix <math>A</math> darstellte. ==== Beweis (ii) ==== (ii) Sei nun <math>B \in \mathbb{R}^{(\ell+1)\times (\ell+1)}</math> eine Untermatrix der Form (3.29) und <math>x := (x_i) \in \mathbb{R}^{\ell+1} \setminus \{0\}</math>. Wegen der vorausgesetzten Symmetrie von <math>A</math> ist auch <math>B</math> symmetrisch. Für <math>z := (z_i) \in \mathbb{R}^n</math> mit :<math>z_i := \begin{cases} x_{i+1-k}, & k \le i \le k + \ell \\ 0, & \text{sonst} \end{cases}</math> gilt dann <math>z \neq 0</math> sowie :<math>x^TBx = \sum^{k+\ell}_{i,j=k} a_{ij} x_{i+1-k} x_{j+1-k} = \sum^{k+\ell}_{i,j=k} a_{ij} z_i z_j = \sum^n_{i,j=1} a_{ij} z_i z_j = z^TAz > 0.</math> ==== Beweis (iii) ==== (iii) Die Eigenwerte <math>\lambda_1, ..., \lambda_n</math> von <math>A</math> sind (reell und) positiv, denn für <math>x^{(k)} \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}</math> mit <math>Ax^{(k)} = \lambda_kx^{(k)}</math> gilt ja :<math>0 < (x^{(k)})^TAx^{(k)} = \lambda_k \left[ (x^{(k)})^T x{(k)} \right], \quad k = 1, ..., n</math> (siehe auch Lemma 3.19). Weiter ist die Matrix <math>A</math> nach einem Ergebnis aus der Linearen Algebra diagonalisierbar, d. h., es gibt eine reguläre Matrix <math>S \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit :<math>SAS^{-1} = D,</math> wobei <math>D</math> die Matrix :<math>D := \operatorname{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> ist. Somit folgt :<math>\det(A) = \det(S^{-1}) \det(D) \det(S) = \det(D) = \prod^n_{k=1} \lambda_k > 0.</math> q.e.d. === Satz - Produktzerlegung mit unterer Dreiecksmatrix === Die Matrix <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> sei positiv definit. Dann gibt es genau eine untere Dreiecksmatrix <math>L := (l_{kj}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit <math>l_{kk} > 0</math> <math>(k = 1, ..., n)</math> und :(3.30) <math>A = LL^T.</math> ==== Beweis. ==== Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt. Für <math>n := 1</math> ist eine positiv definite Matrix <math>A = (\alpha) \in \mathbb{R}^{1\times 1}</math> eine positive Zahl <math>\alpha > 0</math>. Eine solche kann eindeutig in der Form ::<math>\alpha = l \cdot l, \quad l = \sqrt{\alpha}</math> geschrieben werden. Wir nehmen nun an, dass die Behauptung für positiv definite Matrizen bis zur Dimension <math>n - 1</math> richtig ist und betrachten jetzt eine positiv definite Matrix <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math>. Diese lässt sich mit der nach Lemma 3.20 positiv definiten Matrix <math>A_{n-1} \in \mathbb{R}^{(n-1)\times (n-1)}</math> und einem Vektor <math>s \in \mathbb{R}^n</math> in der Form ::<math>A = \begin{pmatrix} A_{n-1} & s \\ s^T & a_{nn} \end{pmatrix}</math> partitionieren, wobei <math>A_{n-1}</math> nach der Induktionsvoraussetzung mittels einer eindeutig bestimmten unteren Dreiecksmatrix <math>L_{n-1} := (l_{kj}) \in \mathbb{R}^{(n-1)\times (n-1)}</math> mit <math>l_{kk} > 0</math> <math>(k = 1, ..., n - 1)</math> zerlegt werden kann in ::(3.31) <math>A_{n-1} = L_{n-1}L^T_{n-1}.</math> Für die gesuchte Matrix <math>L \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> machen wir nun einen Ansatz der Form ::<math>L := \begin{pmatrix} L_{n-1} & 0 \\ c^T & \alpha \end{pmatrix}</math> und versuchen wir <math>c \in \mathbb{R}^{n-1}</math> und <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> so zu bestimmen, dass ::(3.32) <math>A = \begin{pmatrix} A_{n-1} & s \\ s^T a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_{n-1} & 0 \\ c^T & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L^T_{n-1} & c \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}</math> gilt. Gleichheit in (3.32) hat man nun wegen (3.31) genau dann, wenn :(3.33) <math>L_{n-1}c = s,</math> :(3.34) <math>c^T c + \alpha^2 = a_{nn}</math> gilt. Die Gleichung (3.33) besitzt sicher eine eindeutige Lösung <math>c = L^{-1}_{n-1}s</math>, da <math>L_{n-1} \in \mathbb{R}^{(n-1)\times (n-1)}</math> als untere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonalelementen regulär ist. Auch die zweite Gleichung (3.34) besitzt offenbar eine Lösung <math>\alpha \in \Complex</math>. Aufgrund von (3.32) gilt außerdem ::<math>\det(A) = \det \begin{pmatrix} L_{n-1} & 0 \\ c^T & \alpha \end{pmatrix} \det \begin{pmatrix} L^T_{n-1} & c \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} = \alpha^2 [\det(L_{n-1})]^2,</math> so dass wegen <math>\det(A) > 0</math> (vgl. Lemma 3.20) und <math>\det(L_{n-1}) = \prod^n_{k=1} l_{kk} > 0</math> auch <math>\alpha^2 > 0</math> ist und somit die Gleichung (3.34) eine eindeutige Lösung <math>\alpha > 0</math> hat. Damit ist alles gezeigt. q.e.d. Die Zerlegung <math>A = LL^T</math> einer positiv definiten Matrix <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> bezeichnet man als ''Cholesky-Zerlegung'' von <math>A</math>. Ein direkter Ansatz zu ihrer Bestimmung ist es, die Gleichungen <math>A = LL^T</math> bzw. die Gleichungen ::<math>\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} l_{11} & & & \\ l_{21} & l_{22} & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n1} & ... & l_{n,n-1} & l_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_{11} & l_{21} & ... & l_{n1} \\ & l_{22} & ... & l_{n2} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & l_{nn} \end{pmatrix}</math> als <math>n(n + 1)/2</math> Bestimmungsgleichungen für die <math>n(n + 1)/2</math> gesuchten Größen <math>l_{ik}</math> <math>(i \ge k)</math> aufzufassen: ::<math>a_{ik} = \sum^k_{j=1} l_{ij} l_{kj}, \quad 1 \le k \le i \le n \quad (i = 1, ..., n).</math> Spaltenweise Berechnung der Einträge der unteren Dreiecksmatrix <math>L \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> aus diesen Gleichungen führt auf den folgenden Algorithmus: === Algorithmus 3 (Cholesky-Zerlegung) === (0) Gib eine positiv definite Matrix <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und setze <math>k := 1</math>. (1) Berechne ::<math>l_{kk} := \left( a_{kk} - \sum^{k-1}_{j=1} l^2_{kj} \right)^{1/2},</math> ::<math>l_{ik} := \left( a_{ik} - \sum^{k-1}_{j=1} l_{ij} l_{kj} \right)/l_{kk} \quad (i = k + 1, ..., n).</math> (2) Falls <math>k = n</math>, stop! (3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). ==== Beispiel 3.22 ==== Gegeben sei die positiv definite Matrix ::<math>A := (a_{ij}) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 10 \end{pmatrix}.</math> Dann errechnet man für den Spaltenindex <math>k := 1</math> die Einträge ::<math>l_{11} := \sqrt{a_{11}} = \sqrt{1} = 1,</math> ::<math>l_{21} := a_{21}/l_{11} = 2/1 = 2,</math> ::<math>l_{31} := a_{31}/l_{11} = 1/1 = 1,</math> für den Spaltenindex <math>k := 2</math> die Einträge ::<math>l_{22} := \sqrt{a_{22} - l^2_{21}} = \sqrt{5 - 4} = 1,</math> ::<math>l_{32} := (a_{32} - l_{31} l_{21})/l_{22} = (2 - 1 \cdot 2)/1 = 0</math> und schließlich für den Spaltenindex <math>k := 3</math> den Eintrag ::<math>l_{33} := \sqrt{a_{33} - l^2_{31} - l^2_{32}} = \sqrt{10 - 1^2 - 0^2} = 3.</math> Somit erhält man für <math>A</math> die Cholesky-Zerlegung ::<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.</math> ---- Eine Cholesky-Zerlegung erfordert insgesamt die folgende Anzahl von Multiplikationen, Divisionen und Berechnungen von Quadratwurzeln: ::<math>\sum^n_{k=1} \left[ k + \sum^n_{i=k+1} k \right] = \sum^n_{k=1} [k + (n - k)k] = \sum^n_{k=1} k + n \sum^n_{k=1} k - \sum^n_{k=1} k^2</math> ::<math>= \frac{n(n + 1)}2 + n \frac{n(n + 1)}2 - \frac{n(n + 1)(2n + 1)}6 = \frac{n^3}6 \left( 1 + 0 \left( \frac 1n \right) \right).</math> Dies sind etwa halb so viele wesentliche Rechenoperationen, wie sie der Gauß-Algorithmus bzw. eine direkte ''LR''-Zerlegung für eine beliebige reguläre Matrix erfordern. == 3.3.7 Bandmatrizen == Bei der Diskretisierung von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen oder auch der Berechnung der Momente kubischer Splines (vgl. Abschnitt 7) ergeben sich lineare Gleichungssysteme <math>Ax = b</math>, bei denen <math>A = (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit <math>\det(A) \neq 0</math> eine ''Bandmatrix'' der ''Bandbreite'' <math>p + q + 1</math> ist, d. h. bei denen <math>A</math> die Gestalt ::(3.35) <math>A := \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1,q+1} & & & \\ \vdots & \ddots & & \ddots & & \\ a_{p+1,1} & & \ddots & & \ddots & \\ & \ddots & & \ddots & & a_{n-q,n} \\ & & \ddots & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{n,n-p} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}</math> hat und somit ::<math>a_{ik} := 0, \quad i = 1, ..., n, \quad 1 \le k < i - p \le n, \quad 1 \le i + q < k \le n</math> mit gewissen <math>p, q \in \{1, ..., n-1\}</math> gilt. Insbesondere spricht man im Fall <math>p = q = 1</math>, d. h. im Fall ::<math>A := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & & & & \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & & & \\ & a_{32} & a_{33} & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & a_{n-2,n-1} & \\ & & & a_{n-1,n-2} & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\ & & & & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{pmatrix}</math> von einer ''Tridiagonalmatrix''. Bei Gleichungssystemen mit Bandmatrizen lässt sich der zu betreibende Aufwand bei allen in diesem Kapitel angesprochenen Methoden verringern, außer bei denen mit Pivotstrategien, da diese die Bandstruktur im Allgemeinen zerstören. Exemplarisch soll das Vorgehen für Bandmatrizen am Beispiel der direkten ''LR''-Zerlegung demonstriert werden. Wenn eine ''LR''-Zerlegung für <math>A</math> in (3.35) möglich ist (und <math>\det(A) \neq 0</math> ist), so ist diese im Fall, dass man die Diagonaleinträge von <math>L</math> als 1 wählt, eindeutig und von der Gestalt ::<math>A = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ l_{21} & \ddots & & & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & & & \\ l_{p+1,1} & & \ddots & \ddots & & \\ & \ddots & & \ddots & \ddots & \\ & & l_{n,n-p} & ... & l_{n,n-1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{11} & ... & r_{1,q+1} & & \\ & \ddots & & \ddots & \\ & & \ddots & & r_{n-q,n} \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & r_{nn} \end{pmatrix}</math> (siehe z. B. Satz 2.29 bei Kanzow). Komponentenschreibweise geschrieben heißt dies ::<math>a_{ik} = \sum^{\min\{i,k\}}_{j=j_0} l_{ij} r_{jk}, \quad i = 1, ..., n, \quad k = \max\{1, i - p\}, ..., \min\{n, i + q\}, \quad j_0 := \max\{1, i - p, k - q\},</math> was bei einer Parkettierung wie in (3.28) auf den folgenden Algorithmus zur Bestimmung der ''LR''-Zerlegung der Bandmatrix <math>A</math> führt: === Algorithmus 4 (''LR''-Zerlegung für Bandmatrizen) === (0) Gib eine Matrix <math>A := (a_{ij}) \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> mit ::<math>a_{ik} := 0, \quad i = 1, ..., n, \quad 1 \le k < i - p \le n, \quad 1 \le i + q < k \le n</math> für gegebene <math>p, q \in \{1, ..., n - 1\}</math> und setze <math>i := 1</math>. (1) Für <math>k = i, ..., \min\{i + q, n\}</math> berechne <math>j_0 = \max\{1, i - p, k - q\}</math> und ::<math>r_{ik} := a_{ik} - \sum^{i-1}_{j=j_0} l_{ij} r_{jk}.</math> (2) Für <math>k = i + 1, ..., \min\{i + p, n\}</math> berechne <math>j_0 = \max\{1, i - p, k - q\}</math> und ::<math>l_{ki} := \left( a_{ki} - \sum^{i-1}_{j=j_0} l_{kj} r_{ji} \right) / r_{ii}.</math> (3) Falls <math>i = n</math>, stop! (4) Setze <math>i := i + 1</math> und gehe nach (1). Ist <math>A</math> eine Tridiagonalmatrix und schreibt man ::(3.36) <math>\begin{pmatrix} \alpha _1 & \beta _2 & & \\ \gamma _2 & \alpha _2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & \beta _n \\ & & \gamma _n & \alpha _n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ l_2 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & l_n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 & r_2 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & r_n \\ & & & d_n \end{pmatrix},</math> so vereinfacht sich Algorithmus 4 zu === Algorithmus 4* (''LR''-Zerlegung Tridiagonalmatrizen) === (0) Gib eine Tridiagonalmatrix <math>A \in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und schreibe <math>A, L</math> und <math>R</math> wie in (3.36). Setze ::<math>d_1 := \alpha_1, \quad r_2 := \beta_2</math> und <math>i := 2</math>. (1) Berechne ::<math>l_i := \gamma_i/d_{i-1}, \quad d_i := \alpha_i - l_i r_i, \quad r_{i+1} := \beta_{i+1}.</math> (2) Falls <math>i = n - 1</math>, berechne ::<math>l_n := \gamma_n/d_{n-1}, \quad d_n := \alpha_n - l_n r_n</math> und stoppe! (3) Setze <math>i := i + 1</math> und gehe nach (1). Man kann zeigen, dass im Fall einer Tridiagonalmatrix eine ''LR''-Zerlegung wie in (3.36) möglich ist, wenn gilt (Lemma 2.28 bei Kanzow): ::<math>|\alpha_1| > |\beta_2|, \quad |\alpha_i| \ge |\gamma_i| + |\beta_{i+1}|, \quad i = 2, ..., n - 1,</math> ::<math>|\alpha_n| \ge |\gamma_n|, \quad \gamma_i \neq 0, \quad i = 2, ..., n.</math> Diese Bedingungen besagen offenbar, dass man für die erste Zeile strikte und für die anderen Zeilen nur normale Diagonaldominanz fordern muss. Die Forderung <math>\gamma_i \neq 0</math> <math>(i = 2, ..., n)</math> macht Sinn, da im anderen Fall eine ''LR''-Zerlegung mit <math>L := I</math> und <math>R := A</math> existiert und folglich nicht berechnet werden muss. Für die ''LR''-Zerlegung einer Tridiagonalmatrix sind offenbar nur ::<math>(n - 2) \cdot 2 + 2 = 2n - 2</math> wesentliche Rechenoperationen erforderlich. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] bzqzn6t2h575ipmylfe1nrdhi4ozbqc 2 140531 745290 743825 2022-07-19T19:52:47Z ChristianSW 15793 löschen wikitext text/x-wiki {{löschen}} 4cupriffjr3dvnm9mleg1812j33st7a 0 140539 745340 742785 2022-07-20T11:39:54Z Jeb 26942 Rückblick wikitext text/x-wiki == 59. BibChatDE (20. Juni 2022) == [[Datei:BibChatDE Logo.png|mini|BibChatDE Logo]] '''Geschichtsvereine & Bibliotheken: Was geht?''', Ankündigung: https://www.bibchat.de/geschichtsvereine-bibliotheken-was-geht/ [[w:Geschichtsverein|Geschichtsvereine]], [[w:Heimatverein|Heimatvereine]] und [[commons:Category:Local_museums_in_Germany|Ortsmuseen]] gibt es allerorten – Institutionen für und mit Menschen, die forschen und recherchieren. Wie arbeiten Bibliotheken und Geschichtsvereine zusammen? Welche gemeinsamen Werte, Potentiale, Ziele und Projekte gibt es und was machen wir daraus? Was geht? Beim BibChat zum Thema „Geschichtsvereine und Bibliotheken“ möchten wir diese Fragen am 20. Juni zwischen 18:00 und 19:00 Uhr diskutieren. Es gibt einen konkreten Anlass: Ende Juni erscheint in Dresden die 150. Ausgabe der [[s:Dresdner Hefte]] des dortigen Geschichtsvereins. Seit Januar arbeitet [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|eine bunt gemischte Gruppe von Bibliotheksmitarbeiter:innen der SLUB Dresden, Vereinsmitgliedern und Wikisourcelern]] daran, Publikationen der Vereinsgeschichte mit Wikisource und Wikidata bürgerwissenschaftlich zu erschließen und zu visualisieren – eine Citizen Science-Kooperation. Davon möchten wir berichten und andere Kooperationen zwischen Bibliotheken, Geschichtsvereinen und Ortsmuseen kennenlernen. Inzwischen haben Kollegen aus Zürich und Berlin am sogenannten ''[[DieDatenlaube/Notizen|DatenlaubeJam]]'' teilgenommen – dem Termin, bei dem das Projektteam wöchentlich online trifft, um dem Dresdner Geschichtsverein mit Datenpflege und Transkriptionen zu helfen. Für den Verein ist das Projekt bereits jetzt ein Gewinn – mit neuen digitalen Methoden, Visualisierungen von Publikationen und historischen Personennetzwerken, mit zusätzlicher öffentlicher Aufmerksamkeit und Ideen für neue Mitglieder. Also, was geht darüber hinaus? Moderation: Caroline Förster ([[s:Dresdner Geschichtsverein]] e.V.) und [[Benutzer:jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) === Rückblick === Jens Bemme: ''Zeit für informelle Infrastruktur? Rückblick auf den 59. BibChatDe – für Geschichtsvereine und Bibliotheken'', 20. Juli 2022, https://saxorum.hypotheses.org/7728 == Fragen == : F1 Geschichtsvereine, Heimatvereine und Ortsmuseen gibt es vielerorts. Welche kennst Du? Bitte Webseiten verlinken, wenn möglich. (18:05 Uhr) :: Welche anderen Initiativen/Aktive kennt ihr? Wie sind diese organisiert? (18:08 Uhr) : F2 Wer forscht dort? Was sind das für Zielgruppen? (18:10 Uhr) : F3 Kooperiert Eure Bibliothek mit Geschichtsvereinen, Ortsmuseum oder schulischen Geschichts-AGs? Worum geht es dabei? (18:15 Uhr) : F4 Wie viel Ortsgeschichte – oder Heimatforschung – passiert in Euren Bibliotheken? Wer ist da aktiv, welches Publikum? Nimmt das Interesse zu oder ab – oder ist es gleichbleibend? (18:25 Uhr) : F5 Welche Themen sind beliebt? Welche Geschichtsprojekte kannst Du empfehlen? Was müsste es mal geben? (18:35 Uhr) : F6 Wie finden Bibliotheken und Geschichtsvereine zusammen? Oder was hindert sie daran? (18:45 Uhr) : F7 Welche Fragen oder Anmerkungen habt ihr noch zum Thema? (18:50 Uhr) == Thesen == [[Datei:Wikimedia Brand Guidelines Update 2022 - WikiIncubator.svg|mini|]] * Bibliotheken sollten digitale Methoden vermitteln (können), um als Scharniere – ''Schnittstellen'' und ''Datenknoten'' – Aktive der Heimatforschung, Orts- und Regionalgeschichte z.B. mit der Fachwissenschaft (Unis, Hochschulen, Archive, ...) zu verknüpfen und miteinander immer wieder ins Gespräch zu bringen. * Geschichtsvereine stehen am Anfang ihrer Digitalisierung. * Regelmäßige kollegiale Onlineworkshops – wie z.B. der offene [[DieDatenlaube/Notizen|DatenlaubeJam]] dienstags – sind z.B. geeignet als digitale verlängerte Werkbank und niedrigschwellige open GLAM-Kollaboration, für (Neu)-Mitgliederbindung von Geschichtsvereinen – überraschenderweise generationenübergreifend sowie als Instrument der Wissenschaftskommunikation. * Die historischen Quellen - (zuerst) analoge oder/und dann digitale - stehen dabei nicht unbedingt (ständig) im Vordergrund der Zusammenarbeit. Sie sind ein Anlass, aber nicht der alleinige Antrieb für ... ''Community building''. * Als "ehrenamtliche Beschäftigung mit lokaler Geschichte" [[Projekt:Heimatforschung als Citizen Science|ist ''Heimatforschung'' auch Citizen Science]]. * Insbesondere aus Kooperationen von Bibliotheken und Geschichtsvereinen können [[w:OER|Open Educational Resources]] für den Geschichts- und Geografieunterricht entstehen! * ''[https://saxorum.hypotheses.org/7095 Hackathon ist immer.]'' == Bibliothek == * [[w:Wikipedia:Redaktion_Geschichte]] * Wikimedia Commons-Kategorien: [[commons:Category:Historical societies|Historical societies]] > '''[[commons:Category:Historical societies in Germany|Historical societies in Germany]]''' {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} {{Wikisource|Dresdner Hefte}} * [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens}} * ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', ''Abstrakt von Jens Bemme, Juliane Flade und Caroline Förster für [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022], Gemeinschaft in Neuen Medien, Jahreskonferenz'', Dresden, 9. Mai 2022 * Matthias Erfurth: ''Linked Open Storytelling'' mit ''Dresdner Heften'', https://sites.google.com/view/ddhefte, 2022 * Workshopwochende: ''[[Projekt:Geschichtsvereine 2x|#Geschichtsvereine22]]'' in Kohren-Sahlis, 11. Juni 2022 mit dem Wikiversum-Workshop [[Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons]] (Jens B.) * Jens Bemme: [[Projekt:Digitale Heimatforschung (innoX2021)]] sowie [[Projekt:Radfahrerwissen in Dresden]] für das 150. Dresdner Heft ''[[d:Q112263987|Keep Moving – Immer in Bewegung. Dresdner Mobilitätsgeschichten]]'', Juni 2022. :* [[c:Category:Dresdner Hefte (150)]] * [https://saechsische-landesgeschichte.de/ Verein für Sächsische Landesgeschichte e.V.] * [[w:Landesverein Sächsischer Heimatschutz]], [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/ www.saechsischer-heimatschutz.de] <gallery> Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum. Beispiele aus der SLUB Dresden, Bibliothekskongress 2022 Digitale Heimat, Forschung und Entwicklung.pdf|mini|Digitale Heimat, Forschung und Entwicklung. [https://doi.org/10.5281/zenodo.5521590 DOI] (Zenodo) Digitale Heimatforschung (InnoX2021).jpg|Digitale Heimatforschung (InnoX2021), Graphic recording von [https://www.anna-albert.com/ Anna Albert] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Hefte]] Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|Stadtwiki Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Dresdner_Hefte Kategorie:Dresdner Hefte] Wikidata Dresdner Hefte.jpg|Wikidata: [[d:Q14916674]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] Radfahrerin, 1899.svg|Illustration von Gustav Bauer, Anzeige für Opel-Räder, [http://digital.slub-dresden.de/id1683809971-18990819/20 Sächsische Radfahrer-Zeitung, 19. August 1899] </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] trftxycqaz9z7oglyqrr9ze5ahpamol 2 140906 745288 744383 2022-07-19T19:51:46Z ChristianSW 15793 löschen wikitext text/x-wiki {{löschen}} 4cupriffjr3dvnm9mleg1812j33st7a 106 141064 745308 745226 2022-07-20T07:05:22Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - \underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> errechnet man ::<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> Mit (4.11) und (4.12) ergibt sich somit ::<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich ::<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. ---- Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer Cholesky-Zerlegung lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht konditioniert. Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''Vandermonde-Matrix'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft große Kondition von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] bjnujpyqedjmtrd4bf2gsn169shok3h 745313 745308 2022-07-20T10:25:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - \underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. ---- Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer Cholesky-Zerlegung lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht konditioniert. Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''Vandermonde-Matrix'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft große Kondition von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gy8nyyt5vx5j3b70rkst4jdm00s4q5i 745317 745313 2022-07-20T10:32:12Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - \underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. ---- Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht konditioniert. Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft große Kondition von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9o48pqee4rz160u7op0abgt6dce2ikn 745318 745317 2022-07-20T10:33:58Z Bert Niehaus 20843 /* Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - \underbrace{(2A^T b)^T}_{=\nabla F(0_V)} x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. ---- Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht konditioniert. Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft große Kondition von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0ddiylvtkzw94cym367djc33x0xoo1y 745319 745318 2022-07-20T10:34:44Z Bert Niehaus 20843 /* Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. ---- Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht konditioniert. Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft große Kondition von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 7nyek7dft0ms681irb3ioq68u11unqr 745320 745319 2022-07-20T10:40:22Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft große Kondition von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] corrb5qia4xb7w7fbpczgqve7d8px6u 745322 745320 2022-07-20T10:52:17Z Bert Niehaus 20843 /* Normalengleichung für höhere k */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma 4.5 === :''Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> ==== Beweis. ==== Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 4jmgakuxup72wfbppnw6zbidh3duik2 745323 745322 2022-07-20T10:54:02Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma 4.5 */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hp705maqjx23fk342we4djdljkksw2w 745327 745323 2022-07-20T11:21:00Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \qquad \mbox(Normalengleichung)</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] led091z80rrbqgyiuxzhkd23xnrl5ji 745328 745327 2022-07-20T11:21:17Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \qquad \mbox{(Normalengleichung)</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 0khkb3bqo18xm4i1nmdpga2geafts0n 745329 745328 2022-07-20T11:21:40Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{(Normalengleichung)</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mci7ueyiutt6r9qs20khvxqxi1e3vei 745330 745329 2022-07-20T11:21:58Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \mbox{\quad (Normalengleichung)</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] klf9pxmahm30wvtv4dajp88juguf6fl 745331 745330 2022-07-20T11:22:12Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \mbox{ (Normalengleichung)</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 47dfu9g5wc10tzv47o2eucpjs0cxxdw 745332 745331 2022-07-20T11:22:35Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] blek42008l2vnr0dpkd8lr8zoakrm7j 745333 745332 2022-07-20T11:22:57Z Bert Niehaus 20843 /* Minimum der Funktion */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] e02hh1246n9vjeueoxzk9q1tpsm731x 745334 745333 2022-07-20T11:32:01Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Konditionszahl Normalengleichung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 \le \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{\ge 0} </math> === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 39t1gozqu7v7ts2kda1cla1n0ekjods 745335 745334 2022-07-20T11:32:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\langle > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 2apvazl1xdhslor71y1fegjlakkcazm 745336 745335 2022-07-20T11:33:03Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach Satz 3.19 hat eine positiv definite Matrix <math>B \in \R^{k\times k}</math> Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 1xykbcurlc6639c0vd2ahlr7j2szgr8 745337 745336 2022-07-20T11:34:53Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach dem [[Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrix]] <math>B \in \R^{k\times k}</math> gilt für die Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 2znhbrbu1bo54otuud2p43b9g0lcb9f 745338 745337 2022-07-20T11:35:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrix]] <math>B \in \R^{k\times k}</math> gilt für die Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 7q7njq8ha47tmjh8ol5b3xcauvuob0l 745339 745338 2022-07-20T11:37:44Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Konditionszahl Normalengleichung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt für die [[Konditionszahl]] :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> === Beweis === Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrix]] <math>B \in \R^{k\times k}</math> gilt für die Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hxqwlg2cywfux79uwvf6w5m4b53vfse 745345 745339 2022-07-20T11:48:17Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Konditionszahl Normalengleichung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt für die [[Konditionszahl]] :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = (\operatorname{cond}_2(A))^2.</math> Dabei bezeichnet der Index 2 an der Konditionszahl, dass die [[Kurs:Numerik_I/Normen_und_Fehlerabschätzungen#Beispiele_von_Normen|Euklidische Norm]] bzw. <math>\el_2</math>-Norm verwendet wurde. === Beweis === Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrix]] <math>B \in \R^{k\times k}</math> gilt für die Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 3h92kyha4ycmft68f9g1rrsaxyqwh8h 745346 745345 2022-07-20T11:48:48Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Konditionszahl Normalengleichung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt für die [[Konditionszahl]] :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = (\operatorname{cond}_2(A))^2.</math> Dabei bezeichnet der Index 2 an der Konditionszahl, dass die [[Kurs:Numerik_I/Normen_und_Fehlerabschätzungen#Beispiele_von_Normen|Euklidische Norm]] bzw. <math>l_2</math>-Norm verwendet wurde. === Beweis === Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrix]] <math>B \in \R^{k\times k}</math> gilt für die Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Weiter hat wegen ::<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = [\lambda_i]^{-1} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <math>\lambda_i</math> die Inverse <math>B^{-1}</math>, die somit auch positiv definit ist, die Eigenwerte <math>[\lambda_i]^{-1}</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. Es gilt folglich nach Satz 2.15 ::<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \lambda_\max/\lambda_\min,</math> wobei <math>\lambda_\max := \lambda_\max(B)</math> und <math>\lambda_\min := \lambda_\min(B)</math> einen größten und kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen ::<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. Folglich schließt man ::<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz 2.19 ::<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] caet0b3moupknr1xk1ahcexf8dt0qyn 4 141067 745279 745187 2022-07-19T19:27:17Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}}} Diese Daten stammen aus dem Cache. Der Zeitpunkt der letzten Aktualisierung: 2022-07-16, 20:37:51Z Uhr. Maximal {{PLURAL:5000|ein Ergebnis ist|5000 Ergebnisse sind}} im Cache verfügbar. {| class="sortable wikitable" ! 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Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} {{:Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt|}} 3bb6x7me6sbsve6bmbjinqy2okxofv8 745250 745245 2022-07-19T17:27:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] 0rxpkf1uoeubklhggp1bl5qawo5f7ty 745310 745250 2022-07-20T09:40:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt]] 127bruclqe3nzn2mne37akmaf6dp2by 745344 745310 2022-07-20T11:48:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] 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2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition|| }} Der Menge aller {{math|term= p |SZ=-}}integrierbaren Funktionen wird mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mathcal{L}^p(X) || \mathcal {L}^p(X, {{Mengensystem|A|}} , \mu) || || || |SZ= }} bezeichnet, es handelt sich um einen {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}Vektorraum. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition|| }} Wir werden zeigen, dass die {{math|term= p |SZ=-}}Norm eine {{ Definitionslink |Prämath= |Halbnorm| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und auf einem geeigneten {{ Definitionslink |Prämath= |Restklassenraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} eine Norm. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Minkowskische 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2022-07-19T16:00:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=H|Anf2=a|Anf3=l|Halbnorm (MSW)}} ljlhz769aa4z822vwmce0hs4drknw7c 0 141084 745246 2022-07-19T16:06:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | p,q |\geq| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Bruch|1|p}} + {{op:Bruch|1|q}} || 1 || || || |SZ= }} und es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |X|\R_{\geq 0} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= 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Definitionslink |Prämath= |messbare Funktionen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_X fg d \mu || {{op:Norm|fg|}}_1 | \leq| {{op:Norm|f|}}_p \cdot {{op:Norm|g|}}_q || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Höldersche Ungleichung |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 68e6gmojsnpxqt4cmuez90tkyt6sd1v 0 141085 745248 2022-07-19T16:11:57Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |X|\R_{\geq 0} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=p |intergrierbare Funktionen| |Kontext=p| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f+g|}}_p | \leq| {{op:Norm|f|}}_p + {{op:Norm|g|}}_p || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Minkowski-Ungleichung |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3kl9faoqlwvbt346mnqssq1rjyd5vqz 745252 745248 2022-07-19T17:32:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ Ma:Vergleichskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |reelle Zahlen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es seien {{ Ma:abbele/disp |name=f,g |X|\R_{\geq 0} || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=p |integrierbare Funktionen| |Kontext=p| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|f+g|}}_p | \leq| {{op:Norm|f|}}_p + {{op:Norm|g|}}_p || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Minkowski-Ungleichung |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cres7iaucsczjup5gc994eh7xaqhro5 0 141087 745253 2022-07-19T17:33:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=integrierbare Funktionen (p)|Anf=In| |Siehe=integrierbare Funktion (p) |Ziel=/Definition }} j6b3cwfbjc8629iny8iv0v7xonpbjmu 0 141088 745254 2022-07-19T17:34:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Halbnorm|Anf=Ha| |Siehe= |Ziel=Vektorraum/K/Halbnorm/Definition }} pqee9rvnjvvqh6gmji8tlms0z0finwe 0 141089 745255 2022-07-19T17:48:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mathcal{N} || {{Mengebed| f:X \rightarrow {{KRC}} \text{ messbar} | f {{=|}} 0 \text{ fast überall } }} || || || |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} der aus allen messbaren Funktionen besteht, für die die Mengen {{mathl|term= {{Mengebed|x \in X|f(x) \neq 0 }} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Nullmenge| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt|Lemma|| || }} Daher liegt für jede reelle Zahl {{ Ma:Vergleichskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} die Unterraumbeziehung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {\mathcal N} |\subseteq| {\mathcal L}_p || || || |SZ= }} vor. {{ inputdefinition |Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Normierter Vektorraum/Fakt|Satz|| || }} Die folgende Aussage heißt Satz von Fischer-Riesz. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Vollständig/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1imsarqx57veshy38hw10oqn74tka7m 0 141090 745256 2022-07-19T17:52:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann sind für eine {{ Definitionslink |Prämath= |messbare Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:abb |name=f |X| {{KRC|}} || |SZ= }} folgende Aussagen äquivalent. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | f || 0 || || || |SZ= }} fast überall. |Es gibt ein {{ Ma:Vergleichskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_X {{op:Betrag|f|}}^p d \mu || 0 || || || |SZ=. }} |Für alle {{ Ma:Vergleichskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_X {{op:Betrag|f|}}^p d \mu || 0 || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2s00dmmck24hf733t6xz3viyiwzf751 0 141091 745257 2022-07-19T17:56:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |Maßraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} und einer {{ Definitionslink |Prämath= |reellen Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} definiert man die {{ Definitionswort |Prämath=L^p |Räume| |msw=Lebesgueraum |SZ= }} durch {{ Ma:Vergleichskette/disp | L^p(X) |{{defeq}}| {\mathcal L}^p(X)/{\mathcal N} || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= {{math|term= L^p |SZ=}} -Raum |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hs2o4fmljj78vm8uk5ek3bzv8kxczde 14 141092 745258 2022-07-19T17:56:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=L|Anf2=e|Anf3=b|Lebesgueraum (MSW)}} kvky1sy3jyx5aecfe8su8anodzqvn8g 108 141093 745286 2022-07-19T19:43:10Z ChristianSW 15793 neu wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG= |BILD= }} {{Fachbereich|Informatik}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] berrnlqm9rc5q42mwzb4wap9ul797z9 745292 745286 2022-07-19T19:53:56Z ChristianSW 15793 ... wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG= |BILD= }} {{Fachbereich|Informatik}} [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] ltakyhl2yjg2zprn5f4zkfo6s8mk9t4 745294 745292 2022-07-19T19:56:01Z ChristianSW 15793 +1 wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG= |BILD= }} {{Fachbereich|Informatik}} == Arduino == * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] n6bjxa34hrcmee2bgvs5eqa1m3ul7gk 745305 745294 2022-07-20T05:42:43Z ChristianSW 15793 KURZBESCHREIBUNG wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Wir tüfteln mit Scratch, Klemmbausteinen und Elektronik. |BILD= }} {{Fachbereich|Informatik}} == Arduino == * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] iqvgsiznllq0i54uce7ece2xlcmka42 106 141094 745301 2022-07-19T20:03:16Z Moritz Berner 36059 Leere Seite erstellt wikitext text/x-wiki phoiac9h4m842xq45sp7s6u21eteeq1 3 141095 745303 2022-07-20T02:51:51Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=BrodieTarr}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 04:51, 20. Jul. 2022 (CEST) 6t83rcee0ezmss5pnkbzpi9nx6uwpra 14 141096 745304 2022-07-20T05:40:17Z ChristianSW 15793 neu wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 2lirmuq5ykq852dt0w22kcbz9pmkvrh 0 141097 745311 2022-07-20T10:03:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Bernoulli-Polynome |Kategorie2=Theorie der Fourierreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0kz3lda3h74tx1dsya5ratmfyo43cpd 745360 745311 2022-07-20T11:57:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Stammbruchquadrat/Summe/Bernoulli-Polynome/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Bernoulli-Polynome |Kategorie2=Theorie der Fourierreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3sbt8mczzqn47sfa9hg6hyeoyyzw9ww 0 141098 745312 2022-07-20T10:22:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die Fourier-Koeffizienten {{math|term= c_{m,n} |SZ=}} zu den Potenzen {{math|term= t^m |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= erfüllen die rekursiven Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{0,0} || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{0,n} || - {{op:Bruch|1| 2 \pi {{imaginäre Einheit}} n }} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{m,0} || {{op:Bruch|1|m}} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | m |\geq| 1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{m,n} || - {{op:Bruch|1| 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} |}} + {{op:Bruch |m|2 \pi {{imaginäre Einheit|}} }} c_{m-1, n} || || || |SZ= }} für {{ Ma:Vergleichskette | m,n |\geq| 1 || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Fourierreihen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jhzcohv48i6vxklyey9iup68qszcegw 745316 745312 2022-07-20T10:30:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die Fourier-Koeffizienten {{math|term= c_{m,n} |SZ=}} zu den Potenzen {{math|term= t^m |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= erfüllen die rekursiven Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{0,0} || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | c_{0,n} || - 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{{op:Bruch|1| 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n }} {{op:Integralstamm(|0|1| t^m e^{- 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n t} }} + {{op:Bruch|m| 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n }} \int_0^1 t^{m-1} e^{- 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n t} dt || - {{op:Bruch| e^{- 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n t} | 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n }} + {{op:Bruch|m| 2 \pi {{imaginäre Einheit|}} n }} c_{m-1, n} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58b8swuvmje483vix0ffjlvxvtxcm6k 0 141100 745324 2022-07-20T10:58:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Bernoulli-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen die folgenden Darstellungen als {{ Definitionslink |Prämath= |Fourierreihen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_{2k}(t) || 2 \cdot (-1)^{k-1} {{op:Bruch| (2k)! | (2 \pi)^{2k}}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:cos(| 2 \pi n t|}} |n^{2k}}} || || || |SZ= }} im geraden Fall und {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_{2k+1}(t) || 2 \cdot (-1)^{k-1} {{op:Bruch| (2k+1)! | (2 \pi)^{2k+1}}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:sin(| 2 \pi n t|}} |n^{2k+1}}} || || || |SZ= }} im ungeraden Fall. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Bernoulli-Polynome |Kategorie2=Theorie der Fourierreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6z7o7g860sbqrcdprqs2q1qaf7bqqqw 745358 745324 2022-07-20T11:57:40Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt]] nach [[Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Bernoulli-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} besitzen die folgenden Darstellungen als {{ Definitionslink |Prämath= |Fourierreihen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_{2k}(t) || 2 \cdot (-1)^{k-1} {{op:Bruch| (2k)! | (2 \pi)^{2k}}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:cos(| 2 \pi n t|}} |n^{2k}}} || || || |SZ= }} im geraden Fall und {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_{2k+1}(t) || 2 \cdot (-1)^{k-1} {{op:Bruch| (2k+1)! | (2 \pi)^{2k+1}}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:sin(| 2 \pi n t|}} |n^{2k+1}}} || || || |SZ= }} im ungeraden Fall. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Bernoulli-Polynome |Kategorie2=Theorie der Fourierreihen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6z7o7g860sbqrcdprqs2q1qaf7bqqqw 0 141101 745325 2022-07-20T11:07:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{ mathkor|term1= F_{2k} |bzw.|term2= F_{2k+1} |SZ= }} die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_1(t) || 2 \cdot (-1) {{op:Bruch|1|2 \pi}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:sin(| 2 \pi n t|}} |n}} || - {{op:Bruch|1| \pi}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:sin(| 2 \pi n t|}} |n}} || t - {{op:Bruch|1|2}} || B_1(t) |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fos0kgeam4au7dj69lvspie8z4lseqk 745359 745325 2022-07-20T11:57:40Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis]] nach [[Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt/Beweis]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien {{ mathkor|term1= F_{2k} |bzw.|term2= F_{2k+1} |SZ= }} die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | F_1(t) || 2 \cdot (-1) {{op:Bruch|1|2 \pi}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:sin(| 2 \pi n t|}} |n}} || - {{op:Bruch|1| \pi}} \sum_{n {{=}} 1}^\infty {{op:Bruch| {{op:sin(| 2 \pi n t|}} |n}} || t - {{op:Bruch|1|2}} || B_1(t) |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fos0kgeam4au7dj69lvspie8z4lseqk 0 141102 745350 2022-07-20T11:51:27Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionswort |Prämath= |Bernoulli-Polynome| |msw=Bernoulli-Polynom |SZ= }} {{math|term=B_n|SZ=}} für {{ Ma:Vergleichskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} sind Polynome vom Grad {{math|term=n|SZ=,}} die rekursiv definiert werden: {{math|term=B_0|SZ=}} ist das konstante Polynom mit dem Wert {{math|term=1|SZ=}} und Polynom {{math|term= B_{n+1} |SZ=}} ist durch die beiden Bedingungen festgelegt: {{math|term= B_{n+1} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Prämath= |Stammfunktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term=(n+1)B_n|SZ=}} und es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_0^1 B_{n+1}(x) dx || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Bernoulli-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Bernoulli-Polynom |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pzk0gxgxztoyyk3y23uw9fhe01b6j6o 14 141103 745351 2022-07-20T11:51:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Definitions-Kategorie unter |Theorie der Bernoulli-Polynome| ||}} rhyc5znifq4edezins4q67x5cearmsq 14 141104 745352 2022-07-20T11:51:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=B|Anf2=e|Anf3=r|Bernoulli-Polynom (MSW)}} 8iiwc0oe4s7an80wdpifs12mdgum998 14 141105 745354 2022-07-20T11:53:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Theorie der Bernoulli-Polynome| ||}} 79idi6mw12sl4c8eidpmgqejnl6yrcw 14 141106 745355 2022-07-20T11:53:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Beweis-Kategorie unter |Theorie der Bernoulli-Polynome| ||}} iod04ol5vgy4hfysm4xzacyaj7kvhuy