Wikibooks:Schwarzes Brett

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[[Kategorie:Wikibooks:Zusammenarbeit|{{PAGENAME}}]]
{{Projektnavigation Zusammenarbeit|WB:SB}}
&lt;div style=&quot;text-align:center; border:3px blue; border-style:solid; background-color:white;&quot;&gt;
'''[//de.wikibooks.org/w/wiki.phtml?title=Wikibooks:Schwarzes_Brett&amp;action=edit&amp;section=new Jetzt könnt ihr direkt einen neuen Eintrag hinterlassen]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;border: 1px solid black; background: #cfcfcf; padding: 10px; margin: 10px 0px;&quot;&gt;
Vielleicht hast du auch vor, ein Buch zu schreiben, suchst aber noch Partner, die dir dabei helfen. Dann bist du hier genau richtig. Trag dich einfach ganz unten (mit einer kurzen Beschreibung des geplanten Buches) ein und warte, bis sich weitere Interessenten melden.

'''Hinweis:''' Bitte notiere auch immer, welche Aufgabe du übernehmen willst. Also beispielsweise Autor, Rechtschreibüberprüfung, inhaltliche Kontrolle usw.
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;font-size:90%;&quot;&gt;&lt;p&gt;'''Global message delivery:''' Diese Ankündigungen landen im Normalfall hier; bei Bedarf kann [[m:Distribution list/Global message delivery|diese Liste]] geändert werden. Es wird empfohlen, eine Kurzfassung in die [[Wikibooks:Rundschau|Rundschau]] aufzunehmen. Ausnahme: Informationen zum '''[[Wikibooks:VisualEditor|VisualEditor]].'''&lt;/p&gt;&lt;p&gt;'''Zum Archiv:''' Um Zweifelsfälle zu vermeiden, sollten alle Themen archiviert werden – wegen der Einheitlichkeit mit anderen Archiven nach Ablauf eines Jahres. Sie sind zu finden im Archiv des Jahres, in dem der letzte Beitrag gespeichert wurde.&lt;/p&gt;&lt;/div&gt;
{{Archiv Übersicht| Wikibooks:Schwarzes Brett/ Archiv| {{FULLPAGENAME}} }}

== Neue Funktionen der MediaWiki-Software ==
Neuere Informationen zum [[Wikibooks:VisualEditor|VisualEditor]] siehe dort; hier werden sie als Duplikat gestrichen.

&lt;div style=&quot;margin-left:3em; font-size:90%&quot;&gt;
* unter einer gemeinsamen Überschrift zusammengefasst -- [[Benutzer:Juetho|Jürgen]] 11:47, 25. Jan. 2016 (CET)
* an den Anfang des Schwarzen Bretts verschoben -- [[Benutzer:Juetho|Jürgen]] 09:52, 28. Feb. 2016 (CET)
In der Zwischenzeit wurde nicht auf neue Funktionen hingewiesen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 13:53, 26. Feb. 2018 (CET)
&lt;/div&gt;
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{{Archiv Hinweis|Linter bei Mathe für Nicht-Freaks nun standardmäßig aktiviert|860429}}

== The 2022 Community Wishlist Survey will happen in January ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;de&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Hallo zusammen,

Wir hoffen es geht Euch gut und Ihr seid so sicher wie möglich in diesen herausfordernden Zeiten! Wir möchten Euch ein paar Sachen zur kommenden Community-Wunschliste 2022 sagen. Wir möchten auch Eure Meinung dazu hören.

Zusammenfassung:

&lt;div style=&quot;font-style:italic;&quot;&gt;
Wie werden die [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey|Umfrage zur Community-Wunschliste]] 2022 im Januar 2022 laufen lassen. Wir brauchen mehr Zeit um an den Wünschen aus 2021 zu arbeiten. Wir brauchen außerdem etwas Zeit um ein paar Änderungen an der Wunschliste 2022 vorzubereiten. In der Zwischenzeit könnte Ihr in einer [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|dafür vorbereiteten ''Sandbox'' erste Ideen für 2022 eintragen]].
&lt;/div&gt;

=== Vorschlag und Wunscherfüllung werden im selben Jahr passieren ===

In der Vergangenheit hat das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Communiy-Tech-Team]] die Befragung immer im November des Vorjahrs durchgeführt. Die Umfrage zur [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021|Wunschliste 2021]] lief beispielsweise im November 2020. Das hat vor ein paar Jahren wunderbar geklappt, damals haben wir mit der Abarbeitung der Wünsche sofort nach der Veröffentlichung der Ergebnisse angefangen.

In 2021 gab es allerdings eine Verzögerung zwischen der Veröffentlichung der Ergebnisse und dem Start der Arbeiten an den neuen Wünschen. Bis Juli 2021 haben wir noch an den [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2020|Wünschen aus 2020 gearbeitet]].

Wir hoffen,. dass die Wunschliste 2022 im Januar 2022 intuitiver ist. Es gibt uns auch mehr Zeit, an den Wünschen 2021 zu arbeiten.

=== Stärkung der Teilnahme früher eher vernachlässigter Communities ===

Wie denken darüber nach, wie es künftig einfacher ist, an der Wunschliste teilzunehmen. Wir wollen mehr Übersetzungen unterstützen, und mit geringen Ressourcen ausgestattete Communities ermutigen aktiver zu werden. Wir würden gerne mehr Zeit haben, dies durchzuführen.

=== Ein neuer Platz um mit uns über Prioritäten und noch nicht erledigte Wünsche zu sprechen ===

Wir haben jetzt 365 Tage ohne eine Wunschliste. Wir möchten Euch ermutigen, uns anzusprechen. Wir hoffen von Euch auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionseite]] zu hören, aber würden uns auch freuen Euch auf den zweimonatlichen ''Sprich-mit-uns''-Treffen zu sehen. Diese werden an zwei verschiedenen Zeiten angeboten werden, damit alle Zeitzonen um den Globus teilnehmen können.

Wir werden unser erstes Treffen am '''15. September um 23:00 UTC''' starten. Mehr Informationen über die Tagesordnung und das Format werden bald veröffentlicht.

=== Brainstorming und Entwürfe vor der eigentlichen Vorschlagsphase ===

Falls Du schon früher Ideen für Wünsche haben solltest, kannst Du die [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|neue ''Sandbox'' der Community-Wunschlistenumfrage]] benutzen. Damit wirst Du diese Wünsche bis Januar 2022 nicht vergessen. Du kannst zu den Wünschen zurückkommen und sie verfeinern. Aber denkt dran: Wünsche in den Sandboxen zählen bei der Umfrage nicht als Wunsch!

=== Feedback ===
* Wie sollten wir dei Wuschlistenseiten verbessern?
* Wie möchtet Ihr die neue [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|''Sandbox'']] benutzen?
* Seht ihr irgendwelche Risiken bei der Verschiebung der Umfrage auf 2022, und wenn ja, welche?
* Was würde helgfen, damit in 2022 mehr Leute an der Umfrage teilnehmen?

Antwortet auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite]] (egal, in welcher Sprache) oder bei unseren ''Sprich-mit-uns''-Treffen.
&lt;/div&gt;

[[user:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[user talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 02:23, 7. Sep. 2021 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=21980442 --&gt;

== Die Arbeit in den Wikis vereinfachen, durch bessere Software – Vorbereitung der Umfrage Technische Wünsche gestartet  ==

Für jeden Klick, den du hier oder auf den Schwesterprojekten machst, nutzt du Software – egal, ob du schon lange dabei bist, oder erst kürzlich deine erste Bearbeitung getätigt hast, ob du viel technische Erfahrung hast oder überhaupt gar keine. Und wenn du dich hin und wieder darüber ärgerst, dass die Software nicht so funktioniert, wie du es gerne hättest, bringst du genau die richtigen Voraussetzungen mit, an der [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]] teilzunehmen.

Um einige der technischen Probleme anzugehen, die vielen den Wiki-Alltag erschweren, gibt es das Projekt [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. Dort wird aktuell an Verbesserungen in den Bereichen „[[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]“ (Gewinnerthema der Umfrage 2019) und „[[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Bessere Unterstützung von Geoinformationen|Bessere Unterstützung für Geoinformationen]]“ (2020) gearbeitet. '''Jetzt laufen die Vorbereitungen für die nächste Umfrage.''' Sie soll Ende Januar in der deutschsprachigen Wikipedia stattfinden und dient dazu zu bestimmen, mit welchem neuen Schwerpunkt sich das Projektteam zwei Jahre beschäftigen soll. Damit möglichst viele Menschen mitentscheiden können, wo es technische Verbesserungen geben soll, wird nicht über konkrete Probleme abgestimmt, sondern über allgemeine '''Themenschwerpunkte'''. Diese sind so formuliert, dass man sie auch ohne technische Expertise gut verstehen kann.

'''Fällt dir ein Thema ein, in dem man durch Verbesserung der Software die Arbeit in den Wikis leichter machen könnte?''' Dann trag es bis zum 14. November auf dem [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]] ein. Es reicht, wenn du das Thema allgemein beschreibst, ergänzt um 2-3 konkrete Probleme aus Anwendersicht. Falls du ein konkretes technisches Problem hast und nicht weißt, zu welchem größeren Thema es passen würde, kannst du es ebenfalls auf dem [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]] notieren und das Team Technische Wünsche schaut dann, wozu es passt.

'''Wie geht es weiter?''' Ab dem 15. November sichtet das Team Technische Wünsche verschiedene Quellen aus den deutschsprachigen Communitys (u.a. den [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]], [[w:WP:Verbesserungsvorschläge|WP:Verbesserungsvorschläge]] und [[w:WP:Verbesserungsvorschläge/Feature-Requests|WP:Verbesserungsvorschläge/Feature-Requests]])&lt;ref&gt;&lt;cite class=&quot;note&quot;&gt;Wenn du Ideen für weitere Quellen hast, notiere auch sie gerne bis zum 14. November [[w:WD:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|auf dieser Diskussionsseite]].&lt;/cite&gt;&lt;/ref&gt; und schnürt daraus Themen-Pakete, die im Rahmen von zwei Jahren machbar wären. Möglicherweise werden in diesem Zuge auch vorgeschlagene Themenschwerpunkte etwas umformuliert oder zusammengefasst. Wenn die Themenschwerpunkte fertig geschnürt sind, werden sie im Wiki vorgestellt und können (und sollen) dort kommentiert werden, bevor die Umfrage beginnt. Damit dafür noch ausreichend Zeit bleibt, startet der Zeitraum für die Einreichungen schon jetzt. 

Die wichtigsten Meilensteine auf dem Weg zur Ermittlung des nächsten Themenschwerpunkts im Überblick:

* '''bis 14. November: Themen oder Probleme vorschlagen'''
* 6. bis 19. Dezember: Zur Wahl stehende Themenschwerpunkte kommentieren
* ''Feiertage und Puffer für Anpassungen''
* 24. Januar bis 6. Februar: Die Umfrage Technische Wünsche findet statt – es kann abgestimmt werden

Diejenigen, die keine Vorschläge für Themen oder Probleme haben, sind natürlich herzlich eingeladen, sich schon jetzt die nächsten Schritte vorzumerken. Wir werden unter anderem hier aber auch noch informieren, wenn der nächste Schritt beginnt. 

Einige Infos zum Konzept der Umfrage finden sich schon jetzt [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]]. Auf der dortigen [[w:WD:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind Fragen und Anregungen sehr willkommen. -- [[Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 12:56, 27. Okt. 2021 (CEST)

PS: Wenn du über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf deiner Diskussionsseite informiert werden möchtest, kannst du hier den [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|Newsletter]] abonnieren.
&lt;references /&gt;

== Bevorstehende Konsultation anlässlich der Wahlen zum Board of Trustees ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content /&gt;
:''Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback:2022 Board of Trustees election/Upcoming Call for Feedback about the Board of Trustees elections|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback:2022 Board of Trustees election/Upcoming Call for Feedback about the Board of Trustees elections}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Das Board of Trustees bereitet eine Konsultation der Community vom 7. Januar bis 10. Februar 2022 zu den bevorstehenden Boardwahlen vor.

Obwohl die Details erst in der Woche vor der Konsultation festgelegt werden, stehen schon jetzt mindestens zwei Fragen fest, die während der Konsultation gestellt werden sollen:

* Wie kann eine faire Vertretung aufstrebender Communities im Board am besten gewährleistet werden?

* Wie sollten sich die Kandidierenden während der Wahl einbringen dürfen?

Es können noch weitere Fragen hinzukommen, aber das Movement Strategy and Governance Team möchte den Mitgliedern der Communitys und den Affiliates Zeit geben, sich bereits mit den bestätigten Fragen auseinanderzusetzen und Ideen vorzubereiten, bevor die Konsultation beginnt. Wir entschuldigen uns dafür, dass wir zum jetzigen Zeitpunkt noch keine vollständige Liste der Fragen haben. Die Liste der Fragen sollte nur um ein oder zwei Fragen erweitert werden. Wir wollen die Communitys nicht mit Anfragen überhäufen, aber wir möchten sie darauf hinweisen und freuen uns über Feedback zu diesen wichtigen Fragen.

'''Möchtest du bei der Organisation von lokalen Gesprächsrunden während dieser Konsultation helfen?'''

Kontaktiere das [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance Team]] auf Meta, auf [https://t.me/wmboardgovernancechat Telegram], oder per E-Mail an msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org.

Bitte meldet euch, wenn ihr Fragen oder Bedenken habt. Das Team &quot;Movement Strategy and Governance&quot; wird bis zum 3. Januar nur in geringem Umfang besetzt sein. Bitte entschuldige eventuelle Verzögerungen während dieser Zeit. Wir wissen auch, dass einige Communitys und Affiliates über die Feiertage im Dezember offline sind. Wir entschuldigen uns, wenn unsere Nachricht dich während der Feiertage erreicht hat.

Beste Grüße,

das Movement Strategy &amp; Governance Team&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

{{int:thank-you}} [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 20:42, 27. Dez. 2021 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Schon mal vormerken: Vom 24.1. bis zum 6.2. findet die Umfrage Technische Wünsche statt ==

'''Die 6. Umfrage Technische Wünsche steht vor der Tür …'''
[[Datei:Boxillustruation-150pxwidth-png.png|300px|rechts|alt=Das Bild zeigt eine Wahlurne mit dem Logo des Projekts Technische Wünsche]]
… genauer gesagt hinter dem 24. Türchen. '''Vom 24. Januar bis 6. Februar 2022''' findet die nächste '''[[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]]''' in der deutschsprachigen Wikipedia statt. Wie schon in den letzten beiden Jahren geht es darum, den Bereich zu bestimmen, in dem technische Verbesserungen am dringendsten nötig sind. Mit diesem Bereich beschäftigt sich das Projektteam [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]] (WMDE) dann zwei Jahre lang, in engem Austausch mit den deutschsprachigen Communitys. 

Welcher Bereich das ist, sollen möglichst viele Menschen mitentscheiden können. Darum ist die Umfrage so aufgesetzt, dass man auch ohne technische Expertise oder langjährige Mitarbeit verstehen kann, worum es geht. Es stehen [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte#Diese 16 Themenschwerpunkte stehen zur Wahl|16 Themenschwerpunkte]] zur Wahl, die im Vorfeld gemeinsam mit den deutschsprachigen Communitys erarbeitet wurden. Neu ist in diesem Jahr, dass alle Abstimmenden angeben, welche fünf Themenschwerpunkte ihnen am wichtigsten sind. Das Konzept ist [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]] genauer beschrieben. Dort finden sich auch Antworten auf häufig gestellte Fragen und einiges mehr. Auf der [[w:Wikipedia Diskussion:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind außerdem Fragen und Anregungen sehr willkommen. 

Wir würden uns freuen, wenn ab dem 24. Januar auch viele Mitarbeitende aus den Schwesterprojekten mit dabei sind, denn die Verbesserungen, die bei den Technischen Wünschen umgesetzt werden, betreffen in der Regel alle Wikis. Technikkenntnisse oder viele Bearbeitungen sind ausdrücklich &lt;u&gt;nicht nötig&lt;/u&gt;, um teilzunehmen. Gerne weitersagen! -- Für das Team Technische Wünsche, [[w:Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 15:33, 6. Jan. 2022 (CET)

PS: Wer über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf der eigenen Diskussionsseite informiert werden möchte, kann [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|hier den Newsletter abonnieren]].

== Wiki Loves Folklore is back! ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;

{{int:please-translate}}

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]]
You are humbly invited to participate in the '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' an international photography contest organized on Wikimedia Commons to document folklore and intangible cultural heritage from different regions, including, folk creative activities and many more. It is held every year from the '''1st till the 28th''' of February.

You can help in enriching the folklore documentation on Commons from your region by taking photos, audios, videos, and [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:UploadWizard&amp;campaign=wlf_2022 submitting] them in this commons contest.

You can also [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Organize|organize a local contest]] in your country and support us in translating the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|project pages]] to help us spread the word in your native language.

Feel free to contact us on our [[:c:Commons talk:Wiki Loves Folklore 2022|project Talk page]] if you need any assistance. 

'''Kind regards,'''

'''Wiki loves Folklore International Team'''

--[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 14:14, 9. Jan. 2022 (CET)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Tiven2240/wlf&amp;oldid=22560402 --&gt;

== Umfrage zur Community-Wunschliste 2022 ==

[[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|right|200px]]
Die '''[[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2022|Umfrage zur Community-Wunschliste 2022]]''' ist ab jetzt eröffnet!

Diese Umfrage ist der Prozess, durch den Communities entscheiden, woran das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community Tech]] Team im kommenden Jahr arbeiten soll. Wir möchten jeden dazu ermutigen, sich bis zum '''23. Januar''' daran zu beteiligen, oder die Vorschläge anderer zu kommentieren, um sie zu verbessern.

Die Communities werden zwischen dem 28. Januar und dem 11. Februar über die Vorschläge abstimmen.

Das Community Tech-Team konzentriert sich auf Werkzeuge für erfahrene Wikimedia-Benutzer. Du kannst in jeder Sprache Vorschläge machen, wir werden sie für dich übersetzen. Vielen Dank, wir freuen uns auf Vorschläge von dir! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 19:12, 10. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Der Call for Feedback zu den Boardwahlen hat begonnen ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.'']]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Der Call for Feedback: Wahlen zum Board ist jetzt eröffnet und läuft bis zum 7. Februar 2022. 

Mit diesem Call for Feedback verfolgt das Team für Bewegungsstrategie und Governance einen neuen Ansatz. Er bezieht das Feedback der Community aus dem Jahr 2021 mit ein. Anstatt mit Vorschlägen zu beginnen, dreht sich der Call um Schlüsselfragen des Boards. Die Schlüsselfragen stammen aus den Rückmeldungen zur Boardwahl 2021. Ziel ist es, ein gemeinsames Gespräch und eine gemeinsame Entwicklung von Vorschlägen zu diesen Schlüsselfragen anzuregen.

[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections|Nimm an den Diskussionen teil.]]

Herzlichst,

das Movement Strategy &amp; Governance Team&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:18, 14. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Sprich mit dem Community Tech-Team ==

[[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|150px|{{dir|{{pagelang}}|left|right}}]]
{{int:Hello}}

Wir – das Team, das an der Umfrage zur Community-Wunschliste arbeitet – möchten dich zu einem Online-Treffen mit uns einladen. Es wird am [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220119T1800 '''{{#time:j xg|2022-01-19}} ({{#time:l|2022-01-19}}), {{#time:H:i e|18:00|de|1}}'''] per Zoom stattfinden und eine Stunde dauern. Für diese externe Plattform gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 '''Klick hier, um teilzunehmen'''].

'''Programm'''

* Bring Entwürfe deiner Vorschläge mit und sprich mit einem Mitglied des Community Tech-Teams über deine Fragen, wie du deinen Vorschlag verbessern kannst

'''Format'''

Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder übertragen. Eine Mitschrift ohne Namensnennung wird erstellt und auf Meta veröffentlicht. Die Präsentation (die gesamte Tagesordnung mit Ausnahme der Fragen und Antworten) wird auf Englisch gehalten.

Wir können Fragen auf Deutsch, Englisch, Französisch, Polnisch und Spanisch beantworten. Wenn du vorab Fragen stellen möchtest, füge sie auf der [[m:Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite der Abstimmung über die Technischen Wünsche]] ein oder sende sie an sgrabarczuk@wikimedia.org.

[[m:Special:MyLanguage/User:NRodriguez (WMF)|Natalia Rodriguez]] ([[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community-Tech]]-Manager) veranstaltet das Treffen.

'''Einladungslink'''

* [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 Nimm online teil]
* Meeting ID: &lt;span dir=ltr&gt;85804347114&lt;/span&gt;
* [https://wikimedia.zoom.us/u/keu6UeRT0T Wähle dich über deinen Ort ein]
Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 01:17, 18. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

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If your affiliate/language project is developing its own education initiatives, please remember to take advantage of this newsletter to publish your stories with the wider movement that shares your passion for education. You can submit newsletter articles in your own language or submit bilingual articles for the education newsletter. For the month of January the deadline to submit articles is on the 20th January. We look forward to reading your stories.

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&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;div style=&quot;margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[User:ZI Jony|&lt;span style=&quot;color:#8B0000&quot;&gt;'''ZI Jony'''&lt;/span&gt;]] [[User talk:ZI Jony|&lt;sup&gt;&lt;span style=&quot;color:Green&quot;&gt;&lt;i&gt;(Talk)&lt;/i&gt;&lt;/span&gt;&lt;/sup&gt;]], {{&lt;includeonly&gt;subst:&lt;/includeonly&gt;#time:l G:i, d F Y|}} (UTC)&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:ZI_Jony/MassMessage/Awareness_of_Education_Newsletter/List_of_Village_Pumps&amp;oldid=21244129 --&gt;

== Desktop Verbesserungen und Einladung zu Sprechzeiten ==

{{int:Hello}}. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet.

Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs, sowie weiteres betreffen.

Die Verbesserung sind nun als Standard für Leser und Editoren auf 24 Wikipedias festgesetzt, darunter für die [[:fr:|französische]], die [[:pt:|portugiesische]] und die [[:fa:|persische]] Wikipedia. 

Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector] Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen.

=== Seit dem letzten Update neu eingebaute Funktionen ===
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/User_menu|Nutzer Menü]] – die Navigation intuitiver gestalten durch die visuelle Hervorhebung der Struktur von Nutzer-Links und deren Zweck.
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Sticky Header|Sticky header]] – Zugriff auf wichtige Funktionen (Login, Versionsgeschichte, Diskussionen, etc.) ohne wieder an den Seitenanfang gehen zu müssen.

Für eine vollständige Liste der Funktionen besuche bitte die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektseite]]. Wir laden auch auf unsere [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Updates|Updates-Seite]] ein.
[[File:Table_of_contents_shown_on_English_Wikipedia_02.webm|thumb|600px|center]]
&lt;br clear=all&gt;
=== Wie man die Verbesserungen aktiviert ===
[[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]]
* Es ist möglich, [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|in den Einstellungen auf der Registerkarte &quot;Aussehen&quot;]] das Kästchen &quot;{{int:prefs-vector-enable-vector-1-label}}&quot; zu deaktivieren. (Es muss leer sein.) Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren.
* Wenn man der Meinung ist dass dies als Standard für alle Leser und Redakteure des Wikis gut wäre, kann man gerne eine Diskussion mit der Gemeinschaft beginnen und mich kontaktieren.
* In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors.

=== Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen ===
Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]].

Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am online-Meeting mit uns teilnehmen ([https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220127T1500 '''{{#time:j xg|2022-01-27}} ({{#time:l|2022-01-27}}), {{#time:H:i e|15:00|de|1}}''']).

So kann man an unserem Online-Treffen teilnehmen

* [https://wikimedia.zoom.us/j/89205402895 Nimm online teil]
* Meeting ID: &lt;span dir=ltr&gt;89205402895&lt;/span&gt;
* [https://wikimedia.zoom.us/u/kdPQ6k2Bcm Wähle dich über deinen Ort ein]

{{int:Feedback-thanks-title}}

Im Namen des Web-Teams der Wikimedia Foundation, [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 07:14, 25. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 5 ==

&lt;section begin=&quot;ucoc-newsletter&quot;/&gt;
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

&lt;span style=&quot;font-size:200%;&quot;&gt;'''Neues von Movement Strategy und Governance'''&lt;/span&gt;&lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:120%; color:#404040;&quot;&gt;'''Ausgabe 5, Januar 2022'''&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%; float:right;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]&lt;/span&gt;
----
Willkommen zur fünften Ausgabe der Movement Strategy und Governance Newsletter (früher bekannt als Universal Code of Conduct News)! Dieser neu gestaltete Newsletter enthält relevante Neuigkeiten und Ereignisse über die Movement Charta, den Universellen Verhaltenskodex, Grants zur Umsetzung der Movement Strategy, Board-Wahlen und andere relevante MSG-Themen.

Dieser Newsletter wird vierteljährlich verschickt, während häufigere Updates auch wöchentlich oder zweiwöchentlich an Abonnenten verschickt werden. Bitte denk daran, dich [[:m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|anzumelden]], wenn du diese Updates erhalten möchtest.
&lt;div style=&quot;margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;&quot;&gt;

*'''Call for Feedback zu den Board-Wahlen''' - Wir laden Euch ein, Euch Euer Feedback zu den anstehenden Wahlen zum WMF Board of Trustees zu geben. Der Call for Feedback wurde am 10. Januar 2022 veröffentlicht und wird am 16. Februar 2022 enden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Call for Feedback about the Board elections|Weiterlesen]])
*'''Ratifizierung des Universellen Verhaltenskodex''' - Im Jahr 2021 befragte die WMF die Communitys, wie der Text des Universellen Verhaltenskodexes umgesetzt werden soll. Der überarbeitete Entwurf der Umsetzungsleitlinien sollte im März zur Abstimmung durch die Community bereit sein. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Universal Code of Conduct Ratification|Weiterlesen]])
*'''Movement Strategy Implementation Grants''' - Während wir weiterhin viele interessante Vorschläge prüfen, ermutigen und begrüßen wir weitere Vorschläge und Ideen, die auf eine spezifische Initiative aus den Empfehlungen der Movement Strategy abzielen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Movement Strategy Implementation Grants|Weiterlesen]])
*'''Die Neuausrichtung des Newsletters''' - Da der UCoC-Newsletter in den MSG-Newsletter übergeht, können Sie gemeinsam mit dem Moderatorenteam über die Neuausrichtung des Newsletters nachdenken und entscheiden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#The New Direction for the Newsletter|Weiter lesen]])
*'''Diff Blogs''' - Die neuesten Veröffentlichungen über MSG findest Du auf Wikimedia Diff. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Diff Blogs|Weiterlesen]])&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;ucoc-newsletter&quot;/&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 02:51, 29. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Wiki Loves Folklore is extended till 15th March ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;{{int:please-translate}}

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]]
Greetings from Wiki Loves Folklore International Team,

We are pleased to inform you that [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore|Wiki Loves Folklore]] an international photographic contest on Wikimedia Commons has been extended till the '''15th of March 2022'''. The scope of the contest is focused on folk culture of different regions on categories, such as, but not limited to, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, etc.

We would like to have your immense participation in the photographic contest to document your local Folk culture on Wikipedia. You can also help with the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|translation]] of project pages and share a word in your local language.

Best wishes,

'''International Team'''&lt;br /&gt;
'''Wiki Loves Folklore'''

[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 05:50, 22. Feb. 2022 (CET)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=22754428 --&gt;

== Nicht vergessen: beteiligt Euch an den Gesprächen zum UCoC und stimmt mit ab! ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo allerseits,

Im Rahmen des Ratifikationsverfahrens für die Leitlinien zur Umsetzung des Universal Code of Conduct (UCoC) ist eine [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|'''Abstimmung in SecurePoll vom 7. bis 21. März 2022''']] geplant. Wahlberechtigte sind eingeladen, eine Umfragefrage zu beantworten und Kommentare zu teilen. [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information|Siehe Wahlinformationen und Details zur Wahlberechtigung]]. Bei der Umfrage werden die Wähler*innen gefragt, ob sie die Umsetzung des Universal Code of Conduct auf der Grundlage der vorgeschlagenen Leitlinien unterstützen.

Der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) bietet eine Grundlage für akzeptables Verhalten für das gesamte &quot;Movement&quot;. Die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinien im gesamten Movement veröffentlicht. In einer Erklärung des [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Board_noticeboard/January_2022_-_Board_of_Trustees_on_Community_ratification_of_enforcement_guidelines_of_UCoC|Wikimedia Foundation Board]] wird zu einem [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|Ratifikationsverfahren]] aufgerufen, bei dem die Stimmberechtigten die Möglichkeit haben, die Umsetzung der UCoC-Leitlinien in einer Abstimmung zu unterstützen oder abzulehnen. Wikimedianerinnen und Wikimedianer sind eingeladen, wichtige Informationen zu [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information/Volunteer|übersetzen und zu teilen]]. Weitere Informationen über den UCoC findest du auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|Projektseite]] und den [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/FAQ|häufig gestellten Fragen]] im Meta-Wiki.

Folgende Veranstaltungen sind geplant, um mehr zu erfahren und zu diskutieren:
* Ein [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations/Panel_Q&amp;A|Community-Panel]] am 18. Februar 2022 um 15:00 UTC zeigt die Perspektiven von Teilnehmern kleiner und mittelgroßer Communities auf.
* Das [[m:Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance]] (MSG) Team veranstaltet Gesprächsrunden am 25. Februar 2022 um 12:00 Uhr UTC und am 4. März 2022 um 15:00 Uhr UTC. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations|'''melde dich für diese Gesprächsrunden an''']], um mit dem Projektteam und dem Entwurfskomitee über die aktualisierten Leitlinien für die Umsetzung und das Ratifikationsverfahren zu sprechen. Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/2022_conversation_hour_summaries|Gesprächsrunde Hour summaries]] für Notizen vom 4. Februar 2022.

Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org oder ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Herzlichst,

Movement Strategy and Governance &lt;br /&gt;
Wikimedia Foundation &lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:12, 25. Feb. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Coming soon ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;de&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
=== Demnächst: Verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen ===

Hallo, ab dem 9. März werden verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen in deinem Wiki verfügbar sein:
* Grundlegende Verbesserungen des [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor-Vorlagendialogs]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|1]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen von einer Seite entfernen (VisualEditor)|2]]),
* Verbesserungen, um das Einfügen einer Vorlage auf einer Seite zu erleichtern ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen suchen und einfügen|3]]) (für die Vorlagendialoge in [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor]], dem [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:WikiEditor#/media/File:VectorEditorBasic-en.png|2010 Wikitext]] und dem [[Mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|neuen Wikitextmodus]]),
* und Verbesserungen in der Erweiterung für die Syntaxhervorhebung [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserung der Farben der Syntaxhervorhebung|4]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Zusammengehörige Klammerpaare hervorheben|5]]) (die auf Wikis mit Schreibrichtung von links-nach-rechts verfügbar ist).

Alle diese Änderungen sind Teil des Projekts „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Vorlagen]]“ der [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche|Technischen Wünsche bei WMDE]]. Wir hoffen, dass sie euch bei eurer Arbeit helfen werden und würden uns über euer Feedback auf den Diskussionsseiten dieser Projekte freuen. &lt;/div&gt; - [[m:User:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:38, 28. Feb. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&amp;oldid=22907463 --&gt;

== Universal Code of Conduct - Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien läuft vom 7. bis 21. März 2022 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo zusammen,

Die Abstimmung zur Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist jetzt eröffnet! Die '''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting|Abstimmung auf SecurePoll]]'' hat am 7. März 2022 begonnen und wird am 21. März 2022 abgeschlossen. Bitte [[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|lies mehr über die Informationen für Wähler und zur Wahlberechtigung]].

Der Universal Code of Conduct (UCoC) enthält die Grundregeln für akzeptables Verhalten im gesamten &quot;Movement&quot;. Die überarbeiteten Leitlinien zur Umsetzung wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinie im gesamten &quot;Movement&quot; veröffentlicht. Du kannst [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|mehr über das UCoC-Projekt]] lesen.

Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Herzlichst,

Movement Strategy and Governance

Wikimedia Foundation&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 18:03, 8. Mär. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Einladung Workshop neue Administratoren: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr ==

[[Datei:Wikipedia Administrator.svg|mini|alternativtext=Logo der Administratoren]]
Der '''2. Adminworkshop''' der deutschsprachigen Wikipedia findet am Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr online statt. Teilnehmen können sowohl Administratorinnen und Administratoren als auch alle anderen Interessierten. Auf der Agenda stehen Maßnahmen zur Verbesserung der Einarbeitung und Dokumentation des Adminjobs. Weitere Infos zur Teilnahme findet ihr im neu gegründeten
'''[[w:Wikipedia:WikiProjekt Administratoren/Workshops#2. Admin-Workshop: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr|WikiProjekt Administratoren]]'''. Weitere Workshops werden ebenfalls auf dieser Seite angekündigt.&lt;/br&gt;
Im Rahmen der [[w:Wikipedia:AdminConvention 2022|AdminCon 2022]] wurde der Wunsch geäußert die Zusammenarbeit unter den Admins zu verbessern und neue gewählte in die verantwortungsvollen Aufgaben einzuführen. Daraus hat sich das neue Format der regelmäßigen Workshops entwickelt. Die Schwesterprojekte möchten wir einladen sich zu beteiligen, um besser voneinander lernen zu können. Gruß, --[[Benutzer:Wnme|Wnme]] 21:27, 11. Mär. 2022 (CET)

== Wiki Loves Folklore 2022 ends tomorrow ==

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]]
International photographic contest [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022| Wiki Loves Folklore 2022]] ends on 15th March 2022 23:59:59 UTC. This is the last chance of the year to upload images about local folk culture, festival, cuisine, costume, folklore etc on Wikimedia Commons. Watch out our social media handles for regular updates and declaration of Winners. 

([https://www.facebook.com/WikiLovesFolklore/ Facebook] , [https://twitter.com/WikiFolklore Twitter ] , [https://www.instagram.com/wikilovesfolklore/ Instagram])

The writing competition Feminism and Folklore will run till 31st of March 2022 23:59:59 UTC. Write about your local folk tradition, women, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, folk games, folk cuisine, folk wear, folklore, and tradition, including ballads, folktales, fairy tales, legends, traditional song and dance, folk plays, games, seasonal events, calendar customs, folk arts, folk religion, mythology etc. on your local Wikipedia. Check if your [[:m:Feminism and Folklore 2022/Project Page|local Wikipedia is participating]]

A special competition called '''Wiki Loves Falles''' is organised in Spain and the world during 15th March 2022 till 15th April 2022 to document local folk culture and [[:en:Falles|Falles]] in Valencia, Spain. Learn more about it on  [[:ca:Viquiprojecte:Falles 2022|Catalan Wikipedia project page]].

We look forward for your immense co-operation.

Thanks 
Wiki Loves Folklore international Team
[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 15:40, 14. Mär. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=22754428 --&gt;

== Die Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien des Universal Code of Conduct ist beendet. ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''
Hallo,

Die Abstimmung über die Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist am 21. März 2022 zu Ende gegangen. Über {{#expr:2300}} Wikimedianer/innen haben in verschiedenen Regionen unseres &quot;Movements&quot; abgestimmt. Vielen Dank an alle, die sich an diesem Prozess beteiligt haben! Die Prüfergruppe überprüft jetzt die Abstimmung auf ihre Richtigkeit. Bitte gib ihnen bis zu zwei Wochen Zeit, um ihre Arbeit abzuschließen.

Die endgültigen Ergebnisse der Abstimmung werden [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Results|hier]] bekannt gegeben, zusammen mit den relevanten Statistiken und einer Zusammenfassung der Kommentare, sobald sie verfügbar sind. Bitte sieh dir [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|die Wählerinformationsseite]] an, um mehr über die nächsten Schritte zu erfahren. Du kannst auf der Projekt-Talkseite [[m:Talk:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|im Meta-Wiki]] in jeder Sprache Kommentare abgeben. Du kannst das UCoC-Projektteam auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Viele Grüße,

Movement Strategy and Governance&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 03:19, 30. Mär. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen ==

[[File:New table of contents shown on English wikipedia.png|thumb]]
Hallo!

Habt ihr bemerkt, dass einige Wikis eine veränderte Desktop-Oberfläche haben? Interessiert ihr euch für die nächsten Schritte? Vielleicht habt ihr Fragen oder Ideen zum Design oder technischen Details?

Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''29. April 2022 um 15:00 CEST, 20:00 CEST''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/88045453898 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 88045453898. [https://wikimedia.zoom.us/u/kcOMICmyyA Wähle dich über deinen Ort ein].

'''Agenda'''

* Informationen zu den letzten Entwicklungen
* Fragen und Antworten, Diskussion

'''Format'''

Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder gestreamt. Notizen werden in einem [https://docs.google.com/document/d/1G4tfss-JBVxyZMxGlOj5MCBhOO-0sLekquFoa2XiQb8/edit# Google Doc] aufgezeichnet. [[mw:User:OVasileva_(WMF)|Olga Vasileva]] (Produkt-Manager) veranstaltet das Treffen. Der Präsentationsteil findet auf Englisch statt.

Wir können Fragen beantworten, die auf Englisch, Französisch, Italienisch und Polnisch. Wenn du im Voraus Fragen stellen möchtest, kannst du diese auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Diskussionsseite]] stellen oder an sgrabarczuk@wikimedia.org senden.

At this meeting, both [[foundation:Friendly_space_policy|Friendly space policy]] and the [[mw:Special:MyLanguage/Code_of_Conduct|Verhaltensregeln]] for Wikimedia technical spaces apply. Für Zoom gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht.

Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 02:29, 26. Apr. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Bald gibt es weitere Verbesserung rund um die Arbeit mit Vorlagen ==

[[File:Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors durch das Technische Wünsche Team.webm|thumb|Grundlegende Überarbeitung des Vorlagendialogs]]
Hallo, in Kürze kommen weitere Verbesserungen rund um Vorlagen in dein Wiki:

Der [[mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|'''Vorlagendialog''' im VisualEditor]] und im [[mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|2017 Wikitext-Editor]] (Beta-Funktion) wird '''grundlegend verbessert''':
Dies soll dabei helfen, besser zu verstehen, was die Vorlage erwartet, wie man in der Vorlage navigieren kann, und wie man Parameter hinzufügt.
* [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Diskussionsseite]]

In der '''Syntaxhervorhebung''' ([[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]]-Erweiterung), kann ein Modus für '''Farbfehlsichtige''' in den Einstellungen aktiviert werden. 
* [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Diskussionsseite]]

Die Bereitstellung soll am 10. Mai erfolgen. Dies sind die letzten Verbesserungen aus dem Themenschwerpunkt „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]” des Projekts [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. 

Wir freuen uns über Feedback auf den Diskussionsseiten! -- Für das Team Technische Wünsche: [[w:de:Benutzerin:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:26, 29. Apr. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&amp;oldid=23222382 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Editing news 2022 #1&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;&lt;i&gt;[[metawiki:VisualEditor/Newsletter/2022/April|In einer anderen Sprache lesen]] • [[m:VisualEditor/Newsletter|Abonnement-Liste für den Newsletter]]&lt;/i&gt;
[[File:Junior Contributor New Topic Tool Completion Rate.png|thumb|Neue *Editoren waren erfolgreicher mit dem neuen Werkzeug.]]

Das [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools#New discussion tool|New topic tool]](EN) hilft Bearbeitenden neue ==Abschnitte== auf Diskussionsseiten zu erstellen. Neue *Nutzer sind erfolgreicher mit diesem Werkzeug. Es gibt einen entsprechenden [[mw:Talk pages project/New topic#21 April 2022|Bericht]](EN). Bald wird die Funktion bei allen Wikiprojekten freigegeben, die am Test teil genommen haben. Die Funktion ist ausschaltbar: [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing-discussion]].&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

[[User:Whatamidoing (WMF)|Whatamidoing (WMF)]] 20:55, 2. Mai 2022 (CEST)&lt;small&gt;, übersetzt auf wb durch [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;/small&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Quiddity (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&amp;oldid=22019984 --&gt;

== Update zu den Desktop-Verbesserungen ==

[[File:Table of contents shown on English Wikipedia 02.webm|thumb]]
; Dies zum neuen Standard machen
Hallo. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Unsere Arbeit ist fast beendet! 🎉

Wir würden uns freuen, wenn diese Verbesserungen der Standard für alle Leser und Autoren in allen Wikis werden würden. &lt;span style=&quot;background-color:#fc3;&quot;&gt;In den kommenden Wochen werden wir Gespräche mit weiteren Wikis beginnen, darunter auch deins. 🗓️&lt;/span&gt; Gerne lesen wir eure Anregungen!

Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs sowie Weiteres betreffen. Die Verbesserungen sind bereits auf mehr als 30 Wikis in den Standardeinstellungen für Leser und Autoren sichtbar, unter anderem in den Wikipedias auf [[:fr:|Französisch]], [[:pt:|Portugiesisch]] und [[:fa:|Persisch]].

Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector]-Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen.

; Die neuesten Funktionen
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Table of contents|Inhaltsverzeichnis]] - Unsere Version ist einfacher zu erreichen, erhält den Kontext der Seite und ermöglicht die Navigation auf der Seite, ohne zu scrollen. Es wird derzeit in unseren Pilot-Wikis getestet.  Es ist auch für Benutzer verfügbar, die den Skin Vector 2022 aktiviert haben.
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Page tools|Seitenwerkzeuge]] - Es gibt nun zwei Arten von Links in der Seitenleiste. Es gibt Aktionen und Werkzeuge für einzelne Seiten (wie [[Special:RecentChangesLinked|Änderungen an verlinkten Seiten]]) und Links für das ganze Wiki (wie [[Special:RecentChanges|Letzte Änderungen]]). Wir werden diese in zwei intuitive Menüs aufteilen.
; Wie man die Verbesserungen aktiviert
[[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]]
* Es ist möglich, die Funktionen zu aktivieren, indem man [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|im Reiter &quot;Aussehen&quot; in den Einstellungen]] &quot;{{int:skinname-vector-2022}}&quot; auswählt. Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren.
* In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors.

; Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen

Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Online-Treffen mit uns teilnehmen]].

Danke! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 17:54, 21. Jun. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Results of Wiki Loves Folklore 2022 is out! ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
{{int:please-translate}}
[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]]

Hi, Greetings

The winners for '''[[c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' is announced!

We are happy to share with you winning images for this year's edition. This year saw over 8,584 images represented on commons in over 92 countries. Kindly see images '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Winners|here]]'''

Our profound gratitude to all the people who participated and organized local contests and photo walks for this project.

We hope to have you contribute to the campaign next year.

'''Thank you,'''

'''Wiki Loves Folklore International Team'''

--[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 18:12, 4. Jul. 2022 (CEST)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=23454230 --&gt;

==  Schlage Stellungnahmen für den Wahl-Kompass 2022 vor ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Liebe alle,

Community-Mitglieder sind anläßlich der [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022|Wahl zum Board of Trustees 2022]] eingeladen, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|Vorschläge für Aussagen im Wahl-o-mat zu machen]].

Ein Wahl-o-mat ist ein Instrument, das den Wähler*innen hilft, die Kandidat*innen auszuwählen, die am besten mit ihren Überzeugungen und Ansichten übereinstimmen. Community-Mitglieder schlagen den Kandidat*innen Aussagen vor, die sie mit Hilfe einer Lickert-Skala (zustimmen/neutral/ nicht zustimmen) beantworten sollen. Die Antworten der Kandidat*innen auf die Aussagen werden in den Wahl-o-mat eingepflegt. Die Wähler/innen nutzen das Tool, indem sie ihre Antwort auf die Aussagen eingeben (zustimmen/ablehnen/neutral). Die Ergebnisse zeigen die Kandidat*innen, die am besten mit den Überzeugungen und Ansichten der Wähler*innen übereinstimmen.

Hier ist die Zeitleiste für den Wahl-o-mat:

8. bis 20. Juli: Freiwillige schlagen Aussagen für den Wahl-Kompass vor

21. - 22. Juli: Der Wahlausschuss überprüft die Erklärungen auf ihre Klarheit und streicht themenfremde Erklärungen.

23. Juli - 1. August: Die Communitys stimmen über die Erklärungen ab

2. bis 4. August: Der Wahlausschuss wählt die 15 besten Stellungnahmen aus

5. bis 12. August: Kandidat*innen positionieren sich zu den Aussagen

15. August: Der Wahl-o-mat steht ab jetzt den Wahlberechtigten zur Verfügung, um sie bei ihrer Wahlentscheidung zu unterstützen.

Der Wahlausschuss wird Anfang August die 15 besten Aussagen auswählen. Der Wahlausschuss wird den Prozess überwachen, unterstützt vom Movement Strategy and Governance Team. MSG prüft, ob die Fragen klar sind, ob es keine Duplikate gibt, ob es Tippfehler gibt und so weiter.

Beste Grüße,

Movement Strategy and Governance

''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:Xeno (WMF)|Xeno (WMF)]] 17:17, 12. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''
Das Team &quot;Movement Strategy and Governance&quot; sucht nach Community-Mitgliedern, die sich als Wahlhelfer bei den anstehenden Wahlen zum Board of Trustees zur Verfügung stellen.

Die Idee für das Wahlhelferprogramm entstand während der Wahlen zum Wikimedia Board of Trustees 2021. Das Programm erwies sich als erfolgreich. Mit Hilfe der Wahlhelfer*innen konnten wir die Reichweite und die Beteiligung an der Wahl im Vergleich zu 2017 um 1.753 Wähler/innen erhöhen.  Die Wahlbeteiligung lag insgesamt bei 10,13 %, 1,1 Prozentpunkte höher, und 214 Wikis waren bei der Wahl vertreten. 

Aber in insgesamt 74 Wikis, die 2017 nicht teilgenommen haben, haben bei der Wahl 2021 Wähler*innen mitgemacht. Willst du mithelfen, die Beteiligung zu verbessern?

Wahlhelfer*innen werden in den folgenden Bereichen helfen:
* Übersetzen von Kurznachrichten und Ankündigung der laufenden Wahlen in den Kanälen der Communitys
* Optional: Beobachte die Community-Kanäle auf Kommentare und Fragen der Communitys

Freiwillige sollten:

* Bei Gesprächsrunden und Veranstaltungen die Friendly-Space-Politik aufrechterhalten
* Der Community die Leitlinien und Abstimmungsinformationen auf neutrale Art und Weise präsentieren

Möchtest du dich als Wahlhelfer*in engagieren und dafür sorgen, dass deine Community bei der Wahl vertreten ist? Melde dich [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|hier]] an, um aktuelle Informationen zu erhalten. Du kannst die [[m:Special:MyLanguage/Talk:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|Diskussionsseite]] für Fragen zur Übersetzung nutzen.&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:MNadzikiewicz (WMF)| MNadzikiewicz (WMF)]] 10:45, 20. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Bekanntgabe der sechs Kandidat*innen für die Wahl zum Board of Trustees 2022 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot;/&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo zusammen,

Das Wahlverfahren der Affiliates (Chapter und Usergroups) ist abgeschlossen. Vertreter*innen der einzelnen Affiliates (Chapter und Usergroups) haben sich über die Kandidat*innen informiert, indem sie die Erklärungen der Kandidat*innen gelesen, die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen geprüft und die vom Analyse-Komitee erstellten Bewertungen der Kandidat*innen berücksichtigt haben. Die ausgewählten Kandidat*innen für das Board of Trustees 2022 sind:

* Tobechukwu Precious Friday ([[User:Tochiprecious|Tochiprecious]])
* Farah Jack Mustaklem ([[User:Fjmustak|Fjmustak]])
* Shani Evenstein Sigalov ([[User:Esh77|Esh77]])
* Kunal Mehta ([[User:Legoktm|Legoktm]])
* Michał Buczyński ([[User:Aegis Maelstrom|Aegis Maelstrom]])
* Mike Peel ([[User:Mike Peel|Mike Peel]])

Du kannst mehr Informationen über die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Results|Ergebnisse]] und [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Stats|Statistiken]] dieser Boardwahlen sehen.

Bitte nimm dir einen Moment Zeit, um den Vertretern der Affiliates (Chapter und Usergroups) und den Mitgliedern des Analyse-Komitees dafür zu danken, dass sie an diesem Prozess teilgenommen und dazu beigetragen haben, das Board of Trustees in seiner Kapazität und Diversität zu erweitern. Diese Stunden ehrenamtlicher Arbeit verbinden uns über Verständnis und Perspektive hinweg. Vielen Dank für deine Teilnahme.

Vielen Dank an die Community-Mitglieder, die sich als Kandidat*in für das Board of Trustees zur Verfügung gestellt haben. Die Entscheidung, in das Board of Trustees einzutreten, ist keine leichte Entscheidung. Die Zeit und das Engagement, das die Kandidat*innen bis jetzt gezeigt haben, sprechen für ihr Engagement in diesem &quot;Movement&quot;. Herzlichen Glückwunsch an die Kandidat*innen, die ausgewählt worden sind. Große Anerkennung und Dankbarkeit für die Kandidat*innen, die nicht ausgewählt wurden. Bitte stellt Wikimedia weiterhin eure Führungsqualität zur Verfügung.

Vielen Dank an alle, die bei dieser Boardwahl das Affiliate-Verfahren verfolgt haben. Du kannst die Ergebnisse der Wahl der Affiliates (Chapter und Usergroups) einsehen.

Der nächste Teil der Boardwahlen ist die Community-Wahlperiode. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022#Timeline|Hier kannst du den Zeitplan für die Boardwahlen einsehen]]. Zur Vorbereitung der Community-Wahlperiode gibt es einige Dinge, an denen sich Community-Mitglieder auf folgende Weise beteiligen können:

* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Lest die Aussagen der Kandidat*innen]] und die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen der Affiliate-Vertreter*innen.
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Questions_for_Candidates|Schlage Fragen vor und wähle 6 aus, die die Kandidat*innen während ihres Video-Q&amp;A beantworten sollen]].
* Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Analyse-Komitee Bewertungen der Kandidat*innen auf der Erklärung der einzelnen Kandidaten]].
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Community Voting/Election Compass|Vorschläge zu Aussagen für das Wahlomat-Tool]] können die Wähler*innen nutzen, um herauszufinden, welche Kandidat*innen am besten zu ihren Prinzipien passen.
* Ermutige andere in deiner Community, sich an den Wahlen zu beteiligen.

Beste Grüße,

Movement Strategy and Governance

''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot;/&gt;

[[User:MNadzikiewicz (WMF)|MNadzikiewicz (WMF)]] 15:20, 20. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Bot policy ==

Hello. To facilitate [[:m:Special:MyLanguage/Stewards|steward]] granting of bot access, I suggest implementing the [[m:Special:MyLanguage/Bot policy|standard bot policy]] on this wiki. In particular, this policy allows stewards to automatically flag known interlanguage linking bots (if this page says that is acceptable) or bots that fix double redirects. The policy also enables [[m:Bot policy#Global_bots|global bots]] on this wiki (if this page says that is acceptable), which are trusted bots that will be given bot access on every wiki that allows global bots.

This policy makes bot access requesting much easier for local users, operators, and stewards. To implement it we only need to create a redirect to this page from [[Project:Bot policy]], and add a line at the top noting that it is used here. If you use or prefer to use a dedicated project page for handling bot flag requests, that is also acceptable. Please read [[m:Special:MyLanguage/Bot policy|the text at Meta-Wiki]] before commenting. If you object, please say so; I hope to implement in two weeks if there is no objection, since it is particularly written to streamline bot requests on wikis with little or no community interested in bot access requests. Thank you for your consideration. --'''[[User:Rschen7754|Rs]][[User talk:Rschen7754|chen]][[Special:Contributions/Rschen7754|7754]]''' 04:48, 24. Jul. 2022 (CEST)

:@[[Benutzer:Rschen7754|Rschen7754]] is this the list of global bots? [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:GlobalUsers&amp;group=global-bot] I'm all for it, btw. [[Benutzer:NilsLindenberg|NilsLindenberg]] 13:02, 24. Jul. 2022 (CEST)
::Yes. There is an approval process bots have to go through before getting on that list. --'''[[User:Rschen7754|Rs]][[User talk:Rschen7754|chen]][[Special:Contributions/Rschen7754|7754]]''' 21:26, 24. Jul. 2022 (CEST)
:@[[Benutzer:NilsLindenberg|NilsLindenberg]] I suppose it is. Could you please explain why you are &quot;all for it&quot;? I struggle with weighing. Thanks, Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  15:36, 24. Jul. 2022 (CEST)
::As a side note, unlike most German language wikis, this wiki no longer has bureaucrats (who can grant the bot flag locally), which is why I proposed this. --'''[[User:Rschen7754|Rs]][[User talk:Rschen7754|chen]][[Special:Contributions/Rschen7754|7754]]''' 21:26, 24. Jul. 2022 (CEST)
::Ich sags mal auf Deutsch: für mich spricht nichts gegen den Vorschlag. Und der hiesige Verwaltungsaufwand sinkt. [[Benutzer:NilsLindenberg|NilsLindenberg]] 21:35, 24. Jul. 2022 (CEST)

== Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen ==

[[File:Vector 2022 showing language menu with a blue menu trigger and blue menu items 01.jpg|thumb]]
Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Reading/Web/Desktop Improvements/de|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''26. Juli 2022 at [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220726T1200 12:00 UTC] and [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220726T1900 19:00 UTC]''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/5304280674 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 5304280674. [https://wikimedia.zoom.us/u/kc2hamfYz9 Wähle dich über deinen Ort ein].

[[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web/de|Mehr dazu]]. Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 18:27, 25. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 7 ==

&lt;section begin=&quot;msg-newsletter&quot;/&gt;
&lt;div style = &quot;line-height: 1.2&quot;&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:200%;&quot;&gt;'''Neues von Movement Strategy und Governance'''&lt;/span&gt;&lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:120%; color:#404040;&quot;&gt;'''Ausgabe 7 – Juli - September 2022'''&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%; float:right;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]&lt;/span&gt; 
----
Willkommen zur 7. Ausgabe der Movement Strategy and Governance News! Der Newsletter informiert über relevante Neuigkeiten und Veranstaltungen zur Umsetzung der Strategieempfehlungen der Wikimedia Foundation für das Movement, über andere relevante Themen im Zusammenhang mit der Governance des Movements sowie über verschiedene Projekte und Aktivitäten, die vom Movement Strategy and Governance (MSG) Team der Wikimedia Foundation unterstützt werden.  

Der MSG Newsletter wird vierteljährlich versandt, während der häufiger erscheinende [[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy/Updates|Movement Strategy Weekly]] wöchentlich erscheint. Bitte vergiss nicht, dich [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|hier]] anzumelden, wenn du zukünftige Ausgaben des Newsletters erhalten möchtest.
&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;&quot;&gt; 

* '''Nachhaltigkeit im Movement''': Der jährliche Nachhaltigkeitsbericht der Wikimedia Foundation wurde veröffentlicht. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A1|Weiterlesen]])
* '''Verbesserung der Benutzerfreundlichkeit''': Aktuelle Verbesserungen der Desktop-Oberfläche für Wikimediaprojekte. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A2|Weiterlesen]])
* '''Sicherheit und Inklusion''': Aktuelles zum Überarbeitungsprozess der Leitlinien zur Durchsetzung des Universal Code of Conduct. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A3|Weiterlesen]])
* '''Gleichberechtigung in der Entscheidungsfindung''': Berichte aus den Gesprächsrunden der Hubs, die jüngsten Fortschritte des Entwurfskomitees der Movement Charter und ein neues Weißbuch für die Zukunft der Beteiligung in der Wikimedia-Bewegung. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A4|Weiterlesen]])
* '''Koordination der Stakeholder''': Einführung eines Helpdesks für Affiliates und freiwillige Communities, die an der Partnerschaft für Inhalte arbeiten. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A5|Weiterlesen]])
* '''Entwicklung der Führungsqualität''': Updates zu den Führungsqualitäten der Organisatoren des Wikimedia Movements in Brasilien und Kap Verde. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A6|Weiterlesen]])
* '''Internes Wissensmanagement''': Start eines neuen Portals für technische Dokumentation und Community-Ressourcen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A7|Weiterlesen]])
* '''Erneuerung im Freien Wissen''': hochwertige audiovisuelle Ressourcen für wissenschaftliche Experimente und ein neues Toolkit zur Aufzeichnung mündlicher Mitschriften. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A8|Weiterlesen]])
* '''Evaluieren, iterieren und anpassen''': Ergebnisse aus dem Pilotprojekt Equity Landscape ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A9|Weiterlesen]])
* '''Weitere Neuigkeiten und Aktualisierungen''': ein neues Forum zur Diskussion über die Umsetzung der Movement Strategy, die bevorstehende Wahl zum Board of Trustees der Wikimedia Foundation, ein neuer Podcast zur Diskussion über die Movement Strategy und eine personelle Veränderung im Movement Strategy and Governance Team der Foundation. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/7#A10|Weiterlesen]])
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;msg-newsletter&quot;/&gt;

[[Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)|MNadzikiewicz (WMF)]] 15:43, 3. Aug. 2022 (CEST)</text>
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    <title>Traktorenlexikon: Allis-Chalmers</title>
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      <contributor>
        <username>Baupit</username>
        <id>56622</id>
      </contributor>
      <comment>/* Typen */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="5170" xml:space="preserve">{{:Traktorenlexikon: Navigation}}
[[Datei:Allis-Chalmers 190 XT.jpg|thumb|Allis-Chalmers 190 XT]]
Die 1901 gegründete Firma '''Allis-Chalmers''' hatte ihren Sitz in Milwaukee, USA. 

==Geschichte==
1912 wurde der erste Benzintraktor vorgestellt.
In den 1920er Jahren kaufte Allis-Chalmers mehrere andere Firmen auf, u.a. auch Monarch Tractor. 

1955 bot Allis Chalmers den ersten Radschlepper mit Dieselmotor an (Raupenschlepper gab es schon früher mit Dieselmotor). Im gleichen Jahr wurde auch die Firma Gleaner Harvester gekauft.

1960 kaufte man den französischen Traktorenhersteller [[Traktorenlexikon:_Vendeuvre|Vendeuvre]] auf.

1969 bis in die Mitte der 70er Jahre arbeitete [[Traktorenlexikon:_Renault|Renault]] mit diesem amerikanischen Hersteller zusammen.

1985 wurde Allis Chalmers von [[Traktorenlexikon: Deutz|Deutz]] übernommen, die Produktion der Allis-Chalmers-Traktoren wurden im gleichen Jahr beendet. Der neue Markenname war [[Traktorenlexikon: Deutz-Allis|Deutz-Allis]].

1990 übernahm der [[Traktorenlexikon: AGCO|AGCO-Corporation-Konzern]], einer der weltweit größten Anbieter von Traktoren und Landmaschinen, den Bereich Deutz-Allis von Kloeckner-Humboldt-Deutz. Es entstand nun die Traktorenmarke [[Traktorenlexikon: AGCO-Allis|AGCO-Allis]].

==Typen==
[[Datei:Allis Chalmers GDO 569-at Driffield-P8100559.JPG|thumb|[[Traktorenlexikon: Allis-Chalmers B|Allis-Chalmers B]]]]
Es wurden Schlepper mit folgenden Typenbezeichnungen vertrieben (''die Liste ist noch unvollständig''):


{{:Traktorenlexikon:_Create|Model 10-18}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model 6-12}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model 15-30/18-30}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model 20-35}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model 25-40}}


===B===
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model B}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model L (12-20/15-25)}}
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{{:Traktorenlexikon:_Create|Model UC}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|Model A}}
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===D===
[[Datei:Allis-Chalmers D21 series II tractor.jpg|thumb|Allis-Chalmers D 21]]
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===E===
[[Datei:Allis-Chalmers ED-40.jpg|thumb|Allis-Chalmers ED 40]]
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===F===
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===G===
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===HD===
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===W===
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===100er-Serie===
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===Serie 4-WD===
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===Serie 5000===
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===Serie 6000===
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===Serie 7000===
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===Serie 8000===
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{{:Traktorenlexikon:_Create|8050}}
{{:Traktorenlexikon:_Create|8070}}

== Weblinks ==
{{Commons|Category:Allis-Chalmers tractors|Allis-Chalmers-Traktoren}}
{{Wikipedia1|Allis-Chalmers}}
* [http://www.allischalmers.com www.allischalmers.com]
* [http://www.agcocorp.com www.agcocorp.com]
* http://www.tractordata.com/farm-tractors/tractor-brands/allischalmers/allischalmers-tractors.html

{{:Traktorenlexikon: Navigation}}</text>
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    <title>Traktorenlexikon: Porsche-Diesel Junior L</title>
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      <timestamp>2022-08-03T17:20:57Z</timestamp>
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        <ip>2001:9E8:B187:9000:2D9D:B129:3F83:A4</ip>
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      <text bytes="5917" xml:space="preserve">{{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK= Traktorenlexikon: Porsche-Diesel |HERSTELLER= Porsche-Diesel}}
{{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox
| HERSTELLER = [[Traktorenlexikon: Porsche-Diesel|Porsche-Diesel]]
| MODELLREIHE = Junior
| MODELL = Junior F109
| BILD = Porsche Junior F109 1963.jpg
| BILDBESCHREIBUNG = Porsche Diesel Junior F109
| BAUWEISE = rahmenlose Blockbauweise
| PRODUKTIONSBEGINN = 1957
| PRODUKTIONSENDE = 1960
| STÜCKZAHL = 3000
| EIGENGEWICHT = 910
| LÄNGE = 2840
| BREITE = 1464
| HÖHE = 1536
| RADSTAND = 1838
| BODENFREIHEIT = 370
| SPURWEITE = 1054-1764
| SPURWEITE VORNE = 
| SPURWEITE HINTEN = 
| WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 2750
| WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 
| BEREIFUNG VORNE = 4.40-16
| BEREIFUNG HINTEN = 8-24
| LEISTUNG KW = 10,2
| LEISTUNG PS = 14
| NENNDREHZAHL = 2250
| ZYLINDER = 1
| HUBRAUM = 822
| DREHMOMENTANSTIEG = 
| KRAFTSTOFF = Diesel
| KÜHLSYSTEM = Lüftkühlung
| ANTRIEBSTYP = Hinterradantrieb
| GETRIEBE = 6/2-Getriebe
| HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 29,9
| KATEGORIESORTIERUNG = Porsche-Diesel Junior L
}}

Der '''Junior L''' ist ein zwischen 1957 und 1960 gefertigtes Modell der Junior-Baureihe von [[Traktorenlexikon: Porsche-Diesel|Porsche-Diesel]]. Der Junior L war als Nachfolger des P 111 wieder als Tragschlepper konzipiert und konnte somit als neuer Bauernschlepper gelten. Die leicht gestiegene Motorleistung war vor allen dem Porsche-Optima-Verbrennungsverfahren zu verdanken. Ab 1958 war dann auch die ölhydraulische Kupplung verfügbar. Dadurch konnte die Einmann-Bedienung &quot;Hydrostop&quot; verwendet werden.

==Motor==  
* Porsche-Diesel, Typ: F 108, stehender-luftgekühlter 1-Zylinder-/4-Takt-Wirbelkammer-Dieselmotor mit Druckumlaufschmierung, hängende Ventile, Bosch-Einspritzsystem, Ölbadluftfilter, zweifach-gelagerter Kurbelwelle, untenliegende-zahnradgetriebene Nockenwelle, Fernthermometer und Radial-Kühlgebläse
* Bohrung = 95 mm, Hub = 116 mm
* Kompression = 18 atü
* Verdichtung = 19:1
* Drehmoment = 4,45 mkp bei Nenndrehzahl  ( Max. Drehmoment = 4,8 mkp )
* Mittlere Kolbengeschwindigkeit = 8,7 m/sec. bei Nenndrehzahl
* Bosch-Einspritzpumpe, Typ: PF 1 A 60 BS 419/2
* Bosch-Einspritzdüse, Typ: DN 30 S 2 oder SD 158
* Drehzahl der Ölpumpe = 2500 U/min. bei Nenndrehzahl
* Förderleistung der Ölpumpe = 14,0 l/min. bei Nenndrehzahl
* Drehzahl des Kühlgebläse = 5550 U/min. bei Nenndrehzahl
* Luftfördermenge = 172 l/sec. bei Nenndrehzahl
==Kupplung== 
* Einscheiben-Trockenkupplung von Fichtel &amp; Sachs, Typ: K 10 ( K 180 )
* Ab 1958 zusätzlich mit ölhydraulischer Voith-Strömungskupplung
==Getriebe==
* ZF-Zahnrad-Wechselgetriebe, Typ: A-4
* Zwei Gruppen mit je drei Vorwärts-und einem Rückwärtsgang
* Erster Gang als Kriechgang geeignet
* Schaltgetriebe mit 6 Vorwärts- und 2 Rückwärtsgängen

===Geschwindigkeiten vor- und rückwärts===
Mit Hinterradbereifung 8-24 AS
* 1.Gang = 1,8 km/h; 2.Gang = 3,0 km/h; 3.Gang = 5,0 km/h; 4.Gang = 7,2 km/h; 5.Gang = 12,5 km/h; 6.Gang = 19,9 km/h.
* 1.Rückwärtsgang = 1,3 km/h; 2.Rückwärtsgang = 5,1 km/h.
==Zapfwelle==
* Umschaltbare Zapfwelle als Getriebe-oder Wegzapfwelle
* Normprofil nach DIN 9611, Form A  ( Leistung = 12,4 PS )
* Getriebezapfwelle mit 540 U/min. bei 1989 U/min.- Motordrehzahl oder 666 U/min. bei Nenndrehzahl
* Wegzapfwelle in allen Gängen benutzbar
* Direkt vom Motor angetriebener Mähantrieb mit 1038 U/min. bei Nenndrehzahl
* Optional mit aufsteckbarer Riemenscheibe, Rechts-und Linksdrehend
* 180 mm Durchmesser und 100 mm Breite
* Drehzahl = 1833 U/min. bei Nenndrehzahl  ( Riemengeschwindigkeit = 17,3 m/sec. )
==Bremsen==
* Fußbetätigte Innenbackenbremse auf die Hinterräder wirkend, als Lenkbremse zu verwenden
* Unabhängige Getriebe-Handbremse
==Achsen==
* Vorderachse als ausziehbare und in der Spur achtfach-verstellbare Pendelachse
* Erste Ausführung als Rohrachse von Porsche-Diesel, später als trapezförmige Ausführung von der Bergischen Achsenfabrik
* Hinterachse als Portalachse, durch Felgen und Radscheiben in der Spur sechsfach-verstellbar
* Mechanische Differentialsperre
* Achslast vorne = 390 kg, hinten = 630 kg
==Lenkung== 
* ZF-Zahnsegmentlenkung
==Hydrauliksystem und Kraftheber==
* Optional mit einfach wirkendem Porsche-Diesel-Kraftheber mit Dreipunkt-oder Vierpunktaufhängung
* Zylinder mit 75,5 mm Kolbendurchmesser
* Förderpumpe von Plessey oder Eckerle mit 10 l/min. bei 125 bar
* Arbeitsvermögen = 250 mkp

==Steuergeräte==

==Elektrische Ausrüstung==
* Komplette Bosch-Lichtanlage nach STVZO
* Batterie 12V-56 Ah; Bosch-Anlasser 12V-1,0 PS; Bosch-Lichtmaschine 12V-75 W
==Maße und Abmessungen ==
* Länge = 2840 mm, breite je nach Spurweite = 1464-1764 mm, höhe bis Lenkrad = 1535 mm
* Eigengewicht = 1020 kg / zul. Gesamtgewicht = 1460 kg
===Bereifung===
* Serienbereifung vorne = 4,50-16 ASF, hinten = 8-24 AS
* Optional hinten = 9-24 AS
==Füllmengen==
* Tankinhalt = 22,5 l
* Getriebeöl = 9,5 l
* Kraftheber = 3,0 l
* Motoröl = 4,5 l
* Lenkung = 1,9 l
* Portalachse je Seite = 1,6 l
* Hydraulische Kupplung ~ 3,5 l
===Verbrauch===
* Spez. Kraftstoffverbrauch = 185 g/PSh bei Nenndrehzahl
* Spez. Ölverbrauch = 1,5-2,0 g/PSh bei Nenndrehzahl
==Kabine==
* Fahrerplattform mit gummigefederter Sitzschale mit Parallelogrammführung und linkem Kotflügelsitz
* Optional mit Fritzmeier-Verdeck, rechtem Kotflügelsitz und Rückscheinwerfer
==Sonderausrüstung==
* Riemenscheibe, Kraftheber, Mähwerk, Zusatzgewichte für Frontstoßplatte und Hinterräder, Geräterahmen, Rückscheinwerfer, Verdeck, zweiter Kotflügelsitz, Vorderradkotflügel, verstellbare Ackerschiene, Porsche-Hydrostop
==Sonstiges==

==Literatur==
* Porsche und Allgaier-Das Typenbuch   ( A. Mößmer )
* Allgaier-Porsche-Diesel-Datenbuch   ( A. Bauer )
* Porsche-Diesel-Prospekte   ( A. Bauer )
==Weblinks==

{{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK= Traktorenlexikon: Porsche-Diesel |HERSTELLER= Porsche-Diesel}}</text>
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    <title>Mathe für Nicht-Freaks: Potenz</title>
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      <contributor>
        <username>Ioanscheffel</username>
        <id>106846</id>
      </contributor>
      <comment>Motivation der Definition</comment>
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      <text bytes="24835" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Aus der Schule kennst du Potenzen wie &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; die abkürzende Schreibweise für &lt;math&gt;5 \cdot 5 \cdot 5&lt;/math&gt;. Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

== Intuitive Definition der Potenz ==
[[Datei:Mplwp xsquared.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;.]]
[[Datei:Mplwp xcubed.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt;.]]
Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=intuitive Definition der Potenz
 |definition=
Die Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; ist definiert über

{{Formel|&lt;math&gt;x^k=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}}}

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

* Wir wissen nicht, was &lt;math&gt;x^0=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{0\text{-mal}}&lt;/math&gt; sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{-1\text{-mal}}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{\tfrac 12\text{-mal}}&lt;/math&gt; nicht sinnvoll.
* Der Ausdruck &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

== Formale Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten ==
[[File:Elemente der Potenzschreibweise.svg|thumb|Die Elemente der Potenzschreibweise: &lt;math&gt;\text{Potenzwert}=\text{Basis}^\text{Exponent}&lt;/math&gt;]]
Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten
 |definition=
Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; definiert:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
x^0 &amp; := 1 \\
x^{k+1}&amp; :=x \cdot x^k
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Insbesondere definieren wir &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt;.}}

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^{k+1}=x \cdot x^k&lt;/math&gt;}}

wird &lt;dfn&gt;Rekursionsschritt&lt;/dfn&gt; genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

{{Formel|&lt;math&gt;5^3= 5 \cdot 5^2&lt;/math&gt;}}

Wenn wir &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; ausgerechnet haben, können wir &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; nach obiger Gleichung ausrechnen. &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus &lt;math&gt;5^1&lt;/math&gt; berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt;, die man wegen der Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt;}}

gleich eins setzen kann. Die Formel &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; wird &lt;dfn&gt;Rekursionsanfang&lt;/dfn&gt; genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{array}{rll}
&amp; 5^3 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^3=5 \cdot 5^2}\right.\\
=\ &amp; 5 \cdot 5^2 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^2=5 \cdot 5^1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5^1) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^1=5 \cdot 5^0}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 5^0)) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsanfang: } 5^0=1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 1)) \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5)  \\
=\ &amp; 5 \cdot 25  \\
=\ &amp; 125
\end{array}&lt;/math&gt;}}

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

* Wir wissen, was &lt;math&gt;x^0&lt;/math&gt; ist.
* Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
* Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
* Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

== Warum ist &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; definiert? ==
Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt; undefiniert gewesen, aber die Gleichung &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang  &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle &lt;math&gt;a,b \in \R&lt;/math&gt; und insbesondere auch für &lt;math&gt;b=0&lt;/math&gt; erfüllt sein. Es soll also gelten:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Gleichzeitig ist &lt;math&gt;a+0=a&lt;/math&gt; und deswegen

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a} = x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Damit diese Gleichung für alle &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;a \in \R&lt;/math&gt; gelten kann, muss &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; sein. Die Tatsache &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; folgt also aus der Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt;. In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns) &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt; gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|binomische Lehrsatz]] und die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen &lt;math&gt;0^0=0&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt;0^a=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;a\in \R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt; auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Abschnitt [[w:Potenz (Mathematik)#Null hoch Null|„Null hoch Null“]] des Wikipedia-Artikels zur Potenz.}}

== Das Prinzip der Rekursion ==
Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsschritt&quot;&gt;Rekursionsschritt:&lt;/dfn&gt; Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsanfang&quot;&gt;Rekursionsanfang:&lt;/dfn&gt; Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Definiere das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; rekursiv.
 |antwort=
Folgende zwei Formeln definieren das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x&lt;/math&gt; rekursiv:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \cdot x &amp; = 0 \\
(k+1) \cdot x &amp; = x + k \cdot x
\end{align}&lt;/math&gt;}}}}

== Rechenregeln für Potenzen ==
=== Übersicht ===
Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; zurückgegriffen:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{m+n}=x^m\cdot x^n&lt;/math&gt;}}

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

* &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;

=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=

Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |erklärung=

Wir betrachten das Produkt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n&lt;/math&gt; zweier Potenzen &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; zur selben Basis &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; mit irgendwelchen Exponenten &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Anschaulich ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

und

{{Formel|&lt;math&gt;x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Also ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Wir multiplizieren das Produkt von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; mit dem Produkt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Das Produkt von &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ist genau die Potenz &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}&lt;/math&gt; verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

 |zusammenfassung=
Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Vollständiger Induktion]] an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, und lassen die andere Variable, also &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, fest.

 |beweis=

Sei &lt;math&gt;m\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^0=x^m\cdot1=x^m=x^{m+0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^{n+1}=x^{m+(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; x^m\cdot x^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^m\cdot(x\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot(x^m\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } x^m\cdot x^n=x^{m+n} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot x^{m+n} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{(m+n)+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{(m+n)+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{m+(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^0=1=x^0=x^{k\cdot0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^{n+1}=x^{k(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x^k)^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x^k)^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot(x^k)^n \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x^k)^n=x^{kn} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot x^{kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Produkt von Potenzen mit gleicher Basis} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Distributivgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=Seien &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^0=1=1\cdot1=x^0\cdot y^0&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^{k+1}=x^{k+1}\cdot y^{k+1}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x\cdot y)^{k+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x\cdot y)^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x\cdot y)^k \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x^k\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot x^k)\cdot(y\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{k+1} \text{ und } y^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+1}\cdot y^{k+1}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

== Potenzen mit negativen Exponenten ==
Für eine reelle Zahl &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; wollen wir die Definition der Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; auf ganzzahlige Exponenten &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt; erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel &lt;math&gt;5^{-3}&lt;/math&gt; das Produkt von „&lt;math&gt;-3&lt;/math&gt; vielen“ &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht &lt;math&gt;-5^3=-125&lt;/math&gt;? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber &lt;math&gt;5=5^1=5^{-3+4}=5^{-3}\cdot5^4=-125\cdot625&lt;/math&gt;. Es macht also keinen Sinn, &lt;math&gt;5^{-3}=-5^3&lt;/math&gt;zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

* Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
* Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden betrachten wir ein einfaches Beispiel: Wir wissen, dass &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; für jede reelle Zahl &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; gilt und dass &lt;math&gt;x^{a+b}=x^a\cdot x^b&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a,b\in \N_0&lt;/math&gt;. Zur Verallgemeinerung auf &lt;math&gt;a,b\in \Z&lt;/math&gt; betrachten wir zunächst &lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;b=-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt;. Wir erhalten &lt;math&gt;1=x^0=x^{1+(-1)}=x \cdot x^{-1}&lt;/math&gt;. Da wir &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; fordern können wir die Gleichung umstellen zu &lt;math&gt;\frac{1}{x}=x^{-1}&lt;/math&gt;. Intuitiv ist klar, dass wir um &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; zu erhalten durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen müssen. Den gleichen Trick können wir auch für ein allgemeines &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; anwenden. Mit der Forderung &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; ergibt sich aus &lt;math&gt;1=x^0=x^{k+(-k)}=x^k \cdot x^{-k}&lt;/math&gt; die folgende sinvolle Definition:

{{todo|Weiterschreiben}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Potenz mit ganzzahligem Exponenten
 |definition=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; bereits definiert. Für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; legen wir fest:
{{Formel|&lt;math&gt;x^k:=\frac1{x^{-k}}&lt;/math&gt;}}
}}
Beachte, dass in dieser Definition &lt;math&gt;x^{-k}&lt;/math&gt; bereits definiert ist, da &lt;math&gt;-k&gt;0&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; gilt. Und wegen &lt;math&gt;x\ne0&lt;/math&gt; ist auch &lt;math&gt;x^{-k}\ne0&lt;/math&gt;. Wir teilen also nicht durch &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.

== Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen Zahlen ==
=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}
 |beweis=Unsere Definition von &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt; hängt davon ab, ob die Exponenten &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; negativ sind oder nicht.
Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=Für &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.
 |fall2=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=Sei &lt;math&gt;n=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m=-n+m+n=a+b&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^n}\cdot x^{m+n}=x^m&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall3=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=Sei &lt;math&gt;m=a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;n=-m+m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^b}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot\frac1{x^{m+n}}=\frac1{x^n}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^{m+n}\cdot x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall4=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis4=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.
 |fall5=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis5=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.
 |fall6=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis6=Sei &lt;math&gt;m=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^m=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^m}\cdot\frac1{x^n}=\frac1{x^{m+n}}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^m\cdot x^n\cdot x^{m+n}&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=
Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=
 Für &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

 |fall2=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Sei &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{an}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^n=x^{an}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^n=\left(\frac1{x^a}\right)^n\cdot(x^a)^n=(x^k)^n\cdot x^{an}=(x^k)^n\cdot\frac1{x^{kn}}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
Sei &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{kb}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^k)^b=x^{kb}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt wie gewünscht

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}=\frac1{x^{kb}}=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |fall4=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis4=
Seien &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt;.
Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^b=x^{ab}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^b=\left(\frac1{x^a}\right)^b\cdot(x^a)^b=(x^k)^b\cdot x^{ab}=\frac1{(x^k)^n}\cdot x^{kn}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.
}}}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=
Seien &lt;math&gt;x,y\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=

Unsere Definition der &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-ten Potenz hängt davon ab, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; negativ ist oder nicht. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; wurde der Beweis der Gleichung &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für &lt;math&gt;k &lt; 0&lt;/math&gt;.

Sei also &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=\tfrac1{(x\cdot y)^a}&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^k=\tfrac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y^k=\tfrac1{y^a}&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^a=x^a\cdot y^a&lt;/math&gt;}}

Es folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{(x\cdot y)^k}=\frac1{x^k}\cdot\frac1{y^k}&lt;/math&gt;}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;(x\cdot y)^k\cdot x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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      <timestamp>2022-08-03T17:17:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Ioanscheffel</username>
        <id>106846</id>
      </contributor>
      <comment>Sinvolle Definition fuer 0^-k? Hinweis</comment>
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      <text bytes="25343" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Aus der Schule kennst du Potenzen wie &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; die abkürzende Schreibweise für &lt;math&gt;5 \cdot 5 \cdot 5&lt;/math&gt;. Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

== Intuitive Definition der Potenz ==
[[Datei:Mplwp xsquared.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;.]]
[[Datei:Mplwp xcubed.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt;.]]
Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=intuitive Definition der Potenz
 |definition=
Die Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; ist definiert über

{{Formel|&lt;math&gt;x^k=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}}}

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

* Wir wissen nicht, was &lt;math&gt;x^0=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{0\text{-mal}}&lt;/math&gt; sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{-1\text{-mal}}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{\tfrac 12\text{-mal}}&lt;/math&gt; nicht sinnvoll.
* Der Ausdruck &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

== Formale Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten ==
[[File:Elemente der Potenzschreibweise.svg|thumb|Die Elemente der Potenzschreibweise: &lt;math&gt;\text{Potenzwert}=\text{Basis}^\text{Exponent}&lt;/math&gt;]]
Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten
 |definition=
Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; definiert:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
x^0 &amp; := 1 \\
x^{k+1}&amp; :=x \cdot x^k
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Insbesondere definieren wir &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt;.}}

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^{k+1}=x \cdot x^k&lt;/math&gt;}}

wird &lt;dfn&gt;Rekursionsschritt&lt;/dfn&gt; genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

{{Formel|&lt;math&gt;5^3= 5 \cdot 5^2&lt;/math&gt;}}

Wenn wir &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; ausgerechnet haben, können wir &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; nach obiger Gleichung ausrechnen. &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus &lt;math&gt;5^1&lt;/math&gt; berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt;, die man wegen der Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt;}}

gleich eins setzen kann. Die Formel &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; wird &lt;dfn&gt;Rekursionsanfang&lt;/dfn&gt; genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{array}{rll}
&amp; 5^3 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^3=5 \cdot 5^2}\right.\\
=\ &amp; 5 \cdot 5^2 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^2=5 \cdot 5^1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5^1) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^1=5 \cdot 5^0}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 5^0)) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsanfang: } 5^0=1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 1)) \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5)  \\
=\ &amp; 5 \cdot 25  \\
=\ &amp; 125
\end{array}&lt;/math&gt;}}

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

* Wir wissen, was &lt;math&gt;x^0&lt;/math&gt; ist.
* Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
* Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
* Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

== Warum ist &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; definiert? ==
Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt; undefiniert gewesen, aber die Gleichung &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang  &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle &lt;math&gt;a,b \in \R&lt;/math&gt; und insbesondere auch für &lt;math&gt;b=0&lt;/math&gt; erfüllt sein. Es soll also gelten:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Gleichzeitig ist &lt;math&gt;a+0=a&lt;/math&gt; und deswegen

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a} = x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Damit diese Gleichung für alle &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;a \in \R&lt;/math&gt; gelten kann, muss &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; sein. Die Tatsache &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; folgt also aus der Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt;. In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns) &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt; gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|binomische Lehrsatz]] und die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen &lt;math&gt;0^0=0&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt;0^a=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;a\in \R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt; auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Abschnitt [[w:Potenz (Mathematik)#Null hoch Null|„Null hoch Null“]] des Wikipedia-Artikels zur Potenz.}}

== Das Prinzip der Rekursion ==
Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsschritt&quot;&gt;Rekursionsschritt:&lt;/dfn&gt; Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsanfang&quot;&gt;Rekursionsanfang:&lt;/dfn&gt; Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Definiere das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; rekursiv.
 |antwort=
Folgende zwei Formeln definieren das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x&lt;/math&gt; rekursiv:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \cdot x &amp; = 0 \\
(k+1) \cdot x &amp; = x + k \cdot x
\end{align}&lt;/math&gt;}}}}

== Rechenregeln für Potenzen ==
=== Übersicht ===
Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; zurückgegriffen:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{m+n}=x^m\cdot x^n&lt;/math&gt;}}

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

* &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;

=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=

Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |erklärung=

Wir betrachten das Produkt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n&lt;/math&gt; zweier Potenzen &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; zur selben Basis &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; mit irgendwelchen Exponenten &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Anschaulich ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

und

{{Formel|&lt;math&gt;x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Also ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Wir multiplizieren das Produkt von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; mit dem Produkt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Das Produkt von &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ist genau die Potenz &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}&lt;/math&gt; verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

 |zusammenfassung=
Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Vollständiger Induktion]] an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, und lassen die andere Variable, also &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, fest.

 |beweis=

Sei &lt;math&gt;m\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^0=x^m\cdot1=x^m=x^{m+0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^{n+1}=x^{m+(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; x^m\cdot x^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^m\cdot(x\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot(x^m\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } x^m\cdot x^n=x^{m+n} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot x^{m+n} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{(m+n)+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{(m+n)+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{m+(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^0=1=x^0=x^{k\cdot0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^{n+1}=x^{k(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x^k)^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x^k)^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot(x^k)^n \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x^k)^n=x^{kn} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot x^{kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Produkt von Potenzen mit gleicher Basis} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Distributivgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=Seien &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^0=1=1\cdot1=x^0\cdot y^0&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^{k+1}=x^{k+1}\cdot y^{k+1}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x\cdot y)^{k+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x\cdot y)^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x\cdot y)^k \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x^k\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot x^k)\cdot(y\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{k+1} \text{ und } y^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+1}\cdot y^{k+1}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

== Potenzen mit negativen Exponenten ==
Für eine reelle Zahl &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; wollen wir die Definition der Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; auf ganzzahlige Exponenten &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt; erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel &lt;math&gt;5^{-3}&lt;/math&gt; das Produkt von „&lt;math&gt;-3&lt;/math&gt; vielen“ &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht &lt;math&gt;-5^3=-125&lt;/math&gt;? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber &lt;math&gt;5=5^1=5^{-3+4}=5^{-3}\cdot5^4=-125\cdot625&lt;/math&gt;. Es macht also keinen Sinn, &lt;math&gt;5^{-3}=-5^3&lt;/math&gt;zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

* Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
* Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden betrachten wir ein einfaches Beispiel: Wir wissen, dass &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; für jede reelle Zahl &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; gilt und dass &lt;math&gt;x^{a+b}=x^a\cdot x^b&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a,b\in \N_0&lt;/math&gt;. Zur Verallgemeinerung auf &lt;math&gt;a,b\in \Z&lt;/math&gt; betrachten wir zunächst &lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;b=-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt;. Wir erhalten &lt;math&gt;1=x^0=x^{1+(-1)}=x \cdot x^{-1}&lt;/math&gt;. Da wir &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; fordern können wir die Gleichung umstellen zu &lt;math&gt;\frac{1}{x}=x^{-1}&lt;/math&gt;. Intuitiv ist klar, dass wir um &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; zu erhalten durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen müssen. Den gleichen Trick können wir auch für ein allgemeines &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; anwenden. Mit der Forderung &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; ergibt sich aus &lt;math&gt;1=x^0=x^{k+(-k)}=x^k \cdot x^{-k}&lt;/math&gt; die folgende sinvolle Definition:

{{todo|Weiterschreiben}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Potenz mit ganzzahligem Exponenten
 |definition=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; bereits definiert. Für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; legen wir fest:
{{Formel|&lt;math&gt;x^k:=\frac1{x^{-k}}&lt;/math&gt;}}
}}
Beachte, dass in dieser Definition &lt;math&gt;x^{-k}&lt;/math&gt; bereits definiert ist, da &lt;math&gt;-k&gt;0&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; gilt. Und wegen &lt;math&gt;x\ne0&lt;/math&gt; ist auch &lt;math&gt;x^{-k}\ne0&lt;/math&gt;. Wir teilen also nicht durch &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Man könnte sich fragen, ob eine sinnvolle Definition für &quot;&lt;math&gt;0^{-k}&lt;/math&gt;&quot; möglich ist. Da wir in der Herleitung obiger Definition sowohl durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen als auch &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; fordern, ist dieser Weg ausgeschlossen. Außerdem ist dieser Fall von geringem praktischen Interesse, da wir ja über &lt;math&gt;0^k=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; verfügen. Somit kann &quot;&lt;math&gt;0^{-k}&lt;/math&gt;&quot; getrost undefiniert bleiben.}}

== Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen Zahlen ==
=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}
 |beweis=Unsere Definition von &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt; hängt davon ab, ob die Exponenten &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; negativ sind oder nicht.
Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=Für &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.
 |fall2=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=Sei &lt;math&gt;n=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m=-n+m+n=a+b&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^n}\cdot x^{m+n}=x^m&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall3=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=Sei &lt;math&gt;m=a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;n=-m+m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^b}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot\frac1{x^{m+n}}=\frac1{x^n}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^{m+n}\cdot x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall4=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis4=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.
 |fall5=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis5=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.
 |fall6=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis6=Sei &lt;math&gt;m=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^m=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^m}\cdot\frac1{x^n}=\frac1{x^{m+n}}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^m\cdot x^n\cdot x^{m+n}&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=
Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=
 Für &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

 |fall2=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Sei &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{an}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^n=x^{an}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^n=\left(\frac1{x^a}\right)^n\cdot(x^a)^n=(x^k)^n\cdot x^{an}=(x^k)^n\cdot\frac1{x^{kn}}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
Sei &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{kb}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^k)^b=x^{kb}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt wie gewünscht

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}=\frac1{x^{kb}}=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |fall4=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis4=
Seien &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt;.
Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^b=x^{ab}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^b=\left(\frac1{x^a}\right)^b\cdot(x^a)^b=(x^k)^b\cdot x^{ab}=\frac1{(x^k)^n}\cdot x^{kn}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.
}}}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=
Seien &lt;math&gt;x,y\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=

Unsere Definition der &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-ten Potenz hängt davon ab, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; negativ ist oder nicht. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; wurde der Beweis der Gleichung &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für &lt;math&gt;k &lt; 0&lt;/math&gt;.

Sei also &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=\tfrac1{(x\cdot y)^a}&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^k=\tfrac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y^k=\tfrac1{y^a}&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^a=x^a\cdot y^a&lt;/math&gt;}}

Es folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{(x\cdot y)^k}=\frac1{x^k}\cdot\frac1{y^k}&lt;/math&gt;}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;(x\cdot y)^k\cdot x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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        <username>Ioanscheffel</username>
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Aus der Schule kennst du Potenzen wie &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; die abkürzende Schreibweise für &lt;math&gt;5 \cdot 5 \cdot 5&lt;/math&gt;. Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

== Intuitive Definition der Potenz ==
[[Datei:Mplwp xsquared.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;.]]
[[Datei:Mplwp xcubed.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt;.]]
Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=intuitive Definition der Potenz
 |definition=
Die Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; ist definiert über

{{Formel|&lt;math&gt;x^k=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}}}

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

* Wir wissen nicht, was &lt;math&gt;x^0=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{0\text{-mal}}&lt;/math&gt; sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{-1\text{-mal}}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{\tfrac 12\text{-mal}}&lt;/math&gt; nicht sinnvoll.
* Der Ausdruck &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

== Formale Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten ==
[[File:Elemente der Potenzschreibweise.svg|thumb|Die Elemente der Potenzschreibweise: &lt;math&gt;\text{Potenzwert}=\text{Basis}^\text{Exponent}&lt;/math&gt;]]
Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten
 |definition=
Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; definiert:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
x^0 &amp; := 1 \\
x^{k+1}&amp; :=x \cdot x^k
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Insbesondere definieren wir &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt;.}}

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^{k+1}=x \cdot x^k&lt;/math&gt;}}

wird &lt;dfn&gt;Rekursionsschritt&lt;/dfn&gt; genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

{{Formel|&lt;math&gt;5^3= 5 \cdot 5^2&lt;/math&gt;}}

Wenn wir &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; ausgerechnet haben, können wir &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; nach obiger Gleichung ausrechnen. &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus &lt;math&gt;5^1&lt;/math&gt; berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt;, die man wegen der Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt;}}

gleich eins setzen kann. Die Formel &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; wird &lt;dfn&gt;Rekursionsanfang&lt;/dfn&gt; genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{array}{rll}
&amp; 5^3 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^3=5 \cdot 5^2}\right.\\
=\ &amp; 5 \cdot 5^2 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^2=5 \cdot 5^1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5^1) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^1=5 \cdot 5^0}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 5^0)) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsanfang: } 5^0=1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 1)) \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5)  \\
=\ &amp; 5 \cdot 25  \\
=\ &amp; 125
\end{array}&lt;/math&gt;}}

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

* Wir wissen, was &lt;math&gt;x^0&lt;/math&gt; ist.
* Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
* Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
* Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

== Warum ist &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; definiert? ==
Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt; undefiniert gewesen, aber die Gleichung &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang  &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle &lt;math&gt;a,b \in \R&lt;/math&gt; und insbesondere auch für &lt;math&gt;b=0&lt;/math&gt; erfüllt sein. Es soll also gelten:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Gleichzeitig ist &lt;math&gt;a+0=a&lt;/math&gt; und deswegen

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a} = x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Damit diese Gleichung für alle &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;a \in \R&lt;/math&gt; gelten kann, muss &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; sein. Die Tatsache &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; folgt also aus der Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt;. In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns) &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt; gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|binomische Lehrsatz]] und die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen &lt;math&gt;0^0=0&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt;0^a=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;a\in \R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt; auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Abschnitt [[w:Potenz (Mathematik)#Null hoch Null|„Null hoch Null“]] des Wikipedia-Artikels zur Potenz.}}

== Das Prinzip der Rekursion ==
Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsschritt&quot;&gt;Rekursionsschritt:&lt;/dfn&gt; Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsanfang&quot;&gt;Rekursionsanfang:&lt;/dfn&gt; Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Definiere das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; rekursiv.
 |antwort=
Folgende zwei Formeln definieren das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x&lt;/math&gt; rekursiv:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \cdot x &amp; = 0 \\
(k+1) \cdot x &amp; = x + k \cdot x
\end{align}&lt;/math&gt;}}}}

== Rechenregeln für Potenzen ==
=== Übersicht ===
Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; zurückgegriffen:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{m+n}=x^m\cdot x^n&lt;/math&gt;}}

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

* &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;

=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=

Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |erklärung=

Wir betrachten das Produkt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n&lt;/math&gt; zweier Potenzen &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; zur selben Basis &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; mit irgendwelchen Exponenten &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Anschaulich ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

und

{{Formel|&lt;math&gt;x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Also ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Wir multiplizieren das Produkt von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; mit dem Produkt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Das Produkt von &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ist genau die Potenz &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}&lt;/math&gt; verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

 |zusammenfassung=
Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Vollständiger Induktion]] an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, und lassen die andere Variable, also &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, fest.

 |beweis=

Sei &lt;math&gt;m\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^0=x^m\cdot1=x^m=x^{m+0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^{n+1}=x^{m+(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; x^m\cdot x^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^m\cdot(x\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot(x^m\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } x^m\cdot x^n=x^{m+n} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot x^{m+n} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{(m+n)+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{(m+n)+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{m+(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^0=1=x^0=x^{k\cdot0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^{n+1}=x^{k(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x^k)^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x^k)^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot(x^k)^n \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x^k)^n=x^{kn} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot x^{kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Produkt von Potenzen mit gleicher Basis} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Distributivgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=Seien &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^0=1=1\cdot1=x^0\cdot y^0&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^{k+1}=x^{k+1}\cdot y^{k+1}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x\cdot y)^{k+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x\cdot y)^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x\cdot y)^k \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x^k\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot x^k)\cdot(y\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{k+1} \text{ und } y^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+1}\cdot y^{k+1}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

== Potenzen mit negativen Exponenten ==
Für eine reelle Zahl &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; wollen wir die Definition der Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; auf ganzzahlige Exponenten &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt; erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel &lt;math&gt;5^{-3}&lt;/math&gt; das Produkt von „&lt;math&gt;-3&lt;/math&gt; vielen“ &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht &lt;math&gt;-5^3=-125&lt;/math&gt;? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber &lt;math&gt;5=5^1=5^{-3+4}=5^{-3}\cdot5^4=-125\cdot625&lt;/math&gt;. Es macht also keinen Sinn, &lt;math&gt;5^{-3}=-5^3&lt;/math&gt;zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

* Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
* Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden betrachten wir ein einfaches Beispiel: Wir wissen, dass &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; für jede reelle Zahl &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; gilt und dass &lt;math&gt;x^{a+b}=x^a\cdot x^b&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a,b\in \N_0&lt;/math&gt;. Zur Verallgemeinerung auf &lt;math&gt;a,b\in \Z&lt;/math&gt; betrachten wir zunächst &lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;b=-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt;. Wir erhalten &lt;math&gt;1=x^0=x^{1+(-1)}=x \cdot x^{-1}&lt;/math&gt;. Da wir &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; fordern können wir die Gleichung umstellen zu &lt;math&gt;\frac{1}{x}=x^{-1}&lt;/math&gt;. Intuitiv ist klar, dass wir um &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; zu erhalten durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen müssen. Den gleichen Trick können wir auch für ein allgemeines &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; anwenden. Mit der Forderung &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; ergibt sich aus &lt;math&gt;1=x^0=x^{k+(-k)}=x^k \cdot x^{-k}&lt;/math&gt; die folgende sinnvolle Definition:

{{todo|Weiterschreiben}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Potenz mit ganzzahligem Exponenten
 |definition=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; bereits definiert. Für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; legen wir fest:
{{Formel|&lt;math&gt;x^k:=\frac1{x^{-k}}&lt;/math&gt;}}
}}
Beachte, dass in dieser Definition &lt;math&gt;x^{-k}&lt;/math&gt; bereits definiert ist, da &lt;math&gt;-k&gt;0&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; gilt. Und wegen &lt;math&gt;x\ne0&lt;/math&gt; ist auch &lt;math&gt;x^{-k}\ne0&lt;/math&gt;. Wir teilen also nicht durch &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Man könnte sich fragen, ob eine sinnvolle Definition für &quot;&lt;math&gt;0^{-k}&lt;/math&gt;&quot; möglich ist. Da wir in der Herleitung obiger Definition sowohl durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen als auch &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; fordern, ist dieser Weg ausgeschlossen. Außerdem ist dieser Fall von geringem praktischen Interesse, da wir ja über &lt;math&gt;0^k=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; verfügen. Somit kann &quot;&lt;math&gt;0^{-k}&lt;/math&gt;&quot; getrost undefiniert bleiben.}}

== Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen Zahlen ==
=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}
 |beweis=Unsere Definition von &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt; hängt davon ab, ob die Exponenten &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; negativ sind oder nicht.
Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=Für &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.
 |fall2=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=Sei &lt;math&gt;n=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m=-n+m+n=a+b&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^n}\cdot x^{m+n}=x^m&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall3=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=Sei &lt;math&gt;m=a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;n=-m+m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^b}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot\frac1{x^{m+n}}=\frac1{x^n}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^{m+n}\cdot x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall4=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis4=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.
 |fall5=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis5=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.
 |fall6=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis6=Sei &lt;math&gt;m=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^m=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^m}\cdot\frac1{x^n}=\frac1{x^{m+n}}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^m\cdot x^n\cdot x^{m+n}&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=
Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=
 Für &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

 |fall2=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Sei &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{an}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^n=x^{an}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^n=\left(\frac1{x^a}\right)^n\cdot(x^a)^n=(x^k)^n\cdot x^{an}=(x^k)^n\cdot\frac1{x^{kn}}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
Sei &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{kb}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^k)^b=x^{kb}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt wie gewünscht

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}=\frac1{x^{kb}}=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |fall4=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis4=
Seien &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt;.
Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^b=x^{ab}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^b=\left(\frac1{x^a}\right)^b\cdot(x^a)^b=(x^k)^b\cdot x^{ab}=\frac1{(x^k)^n}\cdot x^{kn}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.
}}}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=
Seien &lt;math&gt;x,y\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=

Unsere Definition der &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-ten Potenz hängt davon ab, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; negativ ist oder nicht. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; wurde der Beweis der Gleichung &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für &lt;math&gt;k &lt; 0&lt;/math&gt;.

Sei also &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=\tfrac1{(x\cdot y)^a}&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^k=\tfrac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y^k=\tfrac1{y^a}&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^a=x^a\cdot y^a&lt;/math&gt;}}

Es folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{(x\cdot y)^k}=\frac1{x^k}\cdot\frac1{y^k}&lt;/math&gt;}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;(x\cdot y)^k\cdot x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}

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      <contributor>
        <username>Ioanscheffel</username>
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      <comment>Definitien 0^k in erweitertem Zahlenraum als unendlich</comment>
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Aus der Schule kennst du Potenzen wie &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; als Abkürzungen für Produkte mit immer demselben Faktor. So ist &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; die abkürzende Schreibweise für &lt;math&gt;5 \cdot 5 \cdot 5&lt;/math&gt;. Um die Theorie der Analysis sauber aufzubauen, dürfen wir keine bekannten Sachverhalte der Schule übernehmen und müssen so auch den Begriff der Potenz neu (und sauber) einführen. Hier werden wir das Hilfsmittel der Rekursion kennen lernen, welches dir noch oft im Studium der Mathematik begegnen wird.

== Intuitive Definition der Potenz ==
[[Datei:Mplwp xsquared.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;.]]
[[Datei:Mplwp xcubed.svg|miniatur|class=noprint|Die Funktion &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt;.]]
Intuitiv können wir die Potenz mit natürlichem Exponenten folgendermaßen definieren:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=intuitive Definition der Potenz
 |definition=
Die Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; ist definiert über

{{Formel|&lt;math&gt;x^k=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}}}

Dies entspricht der Vorstellung der Potenz, welche wir aus der Schule haben. Doch diese Definition birgt folgende Nachteile:

* Wir wissen nicht, was &lt;math&gt;x^0=\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{0\text{-mal}}&lt;/math&gt; sein soll. Generell überträgt sich obige Gleichung nicht auf solche &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. So sind die Ausdrücke &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{-1\text{-mal}}&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;\underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{\tfrac 12\text{-mal}}&lt;/math&gt; nicht sinnvoll.
* Der Ausdruck &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; ist zwar intuitiv verständlich, er ist aber nicht mathematisch definiert. Wenn man also die Theorie der Analysis exakt aufbauen möchte, dann kann man die obige Definition nicht verwenden.

== Formale Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten ==
[[File:Elemente der Potenzschreibweise.svg|thumb|Die Elemente der Potenzschreibweise: &lt;math&gt;\text{Potenzwert}=\text{Basis}^\text{Exponent}&lt;/math&gt;]]
Mathematisch exakt wird die Potenz rekursiv definiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=rekursive Definition der Potenz mit natürlichem Koeffizienten
 |definition=
Die Potenz ist rekursiv über die folgenden beiden Formeln für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; definiert:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
x^0 &amp; := 1 \\
x^{k+1}&amp; :=x \cdot x^k
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Insbesondere definieren wir &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt;.}}

Hier werden zwei Eigenschaften der Potenz angegeben, die zusammen bereits den Wert jeder Potenz eindeutig festlegen. Die Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^{k+1}=x \cdot x^k&lt;/math&gt;}}

wird &lt;dfn&gt;Rekursionsschritt&lt;/dfn&gt; genannt. Durch sie lässt sich jede Potenz auf eine Potenz mit einem um eins verringerten Exponenten zurückführen. So ist nach dem Rekursionsschritt

{{Formel|&lt;math&gt;5^3= 5 \cdot 5^2&lt;/math&gt;}}

Wenn wir &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; ausgerechnet haben, können wir &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; nach obiger Gleichung ausrechnen. &lt;math&gt;5^2&lt;/math&gt; selbst kann durch weitere Anwendung des Rekursionsschritts aus &lt;math&gt;5^1&lt;/math&gt; berechnet werden und so weiter. Irgendwann landet man so bei der Potenz &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt;, die man wegen der Formel

{{Formel|&lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt;}}

gleich eins setzen kann. Die Formel &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; wird &lt;dfn&gt;Rekursionsanfang&lt;/dfn&gt; genannt und beendet die Rekursion. Insgesamt erhält man so

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{array}{rll}
&amp; 5^3 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^3=5 \cdot 5^2}\right.\\
=\ &amp; 5 \cdot 5^2 &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^2=5 \cdot 5^1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5^1) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsschritt: } 5^1=5 \cdot 5^0}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 5^0)) &amp; \ \left|\ {\color{Orange} \text{Rekursionsanfang: } 5^0=1}\right. \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot (5 \cdot 1)) \\
=\ &amp; 5 \cdot (5 \cdot 5)  \\
=\ &amp; 5 \cdot 25  \\
=\ &amp; 125
\end{array}&lt;/math&gt;}}

Man sieht hier exemplarisch, wie durch Angabe von zwei Eigenschaften der Wert jeder Potenz eindeutig festgelegt ist. Diese Vorgehensweise hat folgende Vorteile:

* Wir wissen, was &lt;math&gt;x^0&lt;/math&gt; ist.
* Wir haben sowohl in der Angabe des Rekursionsschritts als auch bei der Angabe des Rekursionsanfangs keine Ausdrücke verwendet, die wir nicht vorher schon definiert haben.
* Die beiden Eigenschaften der Rekursion sind auch dann gültig, wenn &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; keine natürliche Zahl ist. Diese Eigenschaften sind also insofern charakteristisch für die Potenz, als dass sie auch für den verallgemeinerten Potenzbegriff mit beliebigen Exponenten gelten.
* Die rekursive Definition zeigt einen Weg, wie Sätze über Potenzen mit Hilfe von vollständiger Induktion bewiesen werden können.

== Warum ist &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; definiert? ==
Diese Frage ist berechtigt. Schließlich hätten wir ja auch &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; als Rekursionsanfang definieren können. Zwar wäre dann &lt;math&gt;5^0&lt;/math&gt; undefiniert gewesen, aber die Gleichung &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; lässt sich mit der Intuition der Potenz als k-fache Multiplikation leicht erklären. Auch die Potenz &lt;math&gt;5^3&lt;/math&gt; könnten wir ohne Probleme mit dem Rekursionsanfang  &lt;math&gt;5^1=5&lt;/math&gt; berechnen.

Der Grund liegt darin, dass für die allgemeine Potenz die Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

erfüllt sein soll. Obige Gleichung soll für alle &lt;math&gt;a,b \in \R&lt;/math&gt; und insbesondere auch für &lt;math&gt;b=0&lt;/math&gt; erfüllt sein. Es soll also gelten:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Gleichzeitig ist &lt;math&gt;a+0=a&lt;/math&gt; und deswegen

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a} = x^{a+0} = x^a \cdot x^0&lt;/math&gt;}}

Damit diese Gleichung für alle &lt;math&gt;x&gt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;a \in \R&lt;/math&gt; gelten kann, muss &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; sein. Die Tatsache &lt;math&gt;x^0 = 1&lt;/math&gt; folgt also aus der Gleichung

{{Formel|&lt;math&gt;x^{a+b}=x^a \cdot x^b&lt;/math&gt;}}

welche man als die charakteristische Gleichung der Potenz ansehen kann. Auch der Rekursionsschritt folgt aus obiger Gleichung. Damit hat die rekursive Definition den Vorteil, dass sie auf der charakteristischen Gleichung der allgemeinen Potenz beruht und mit ihr begründet werden kann.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Es gibt in der Literatur keine eindeutige Definition für &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt;. In Analysis-Lehrbüchern wird normalerweise (wie bei uns) &lt;math&gt;0^0=1&lt;/math&gt; gesetzt. Dadurch bleiben so wichtige Ergebnisse wie der [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|binomische Lehrsatz]] und die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] für den jeweiligen Spezialfall gültig. Manche Autoren setzen hingegen &lt;math&gt;0^0=0&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt;0^a=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;a\in \R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; ist. Manchmal wird dieser Ausdruck in der Literatur auch je nach Kontext anders definiert, und gelegentlich bleibt &lt;math&gt;0^0&lt;/math&gt; auch undefiniert. Genauere Erklärungen findet man im Abschnitt [[w:Potenz (Mathematik)#Null hoch Null|„Null hoch Null“]] des Wikipedia-Artikels zur Potenz.}}

== Das Prinzip der Rekursion ==
Im obigen Abschnitt hast du das Definitionsschema der Rekursion kennen gelernt. Hierfür ist die Angabe des Rekursionsanfangs und des Rekursionsschritts notwendig:

* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsschritt&quot;&gt;Rekursionsschritt:&lt;/dfn&gt; Durch den Rekursionsschritt kann ein Ausdruck auf einen Ausdruck „mit geringerer Ordnung“ reduziert werden. Dieser Schritt wird so lange angewandt, bis man den Rekursionsanfang verwenden kann.
* &lt;dfn title=&quot;Rekursionsanfang&quot;&gt;Rekursionsanfang:&lt;/dfn&gt; Beendet die Rekursion, indem definiert wird, was der Ausdruck mit der „geringsten Ordnung“ sein soll.

Durch diese beiden Angaben wird eine Art Algorithmus definiert, wie Ausdrücke ausgerechnet werden können (siehe obiges Beispiel mit der Potenz). Solltest du programmieren können, wirst du dieses Prinzip vielleicht schon von deinen Programmiertätigkeiten her kennen.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=Definiere das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x=\underbrace{x+x+\ldots+x}_{k\text{-mal}}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k \in \N_0&lt;/math&gt; rekursiv.
 |antwort=
Folgende zwei Formeln definieren das Produkt &lt;math&gt;k \cdot x&lt;/math&gt; rekursiv:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \cdot x &amp; = 0 \\
(k+1) \cdot x &amp; = x + k \cdot x
\end{align}&lt;/math&gt;}}}}

== Rechenregeln für Potenzen ==
=== Übersicht ===
Um uns zu überlegen, warum unsere formale Definition der Potenz Sinn ergibt, haben wir auf folgende Rechenregel für &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; zurückgegriffen:

{{Formel|&lt;math&gt;x^{m+n}=x^m\cdot x^n&lt;/math&gt;}}

Diese war aber nur eine Motivation für uns, wie wir die Potenz definieren wollen. Dass unsere formale Definition einer Potenz tatsächlich diese Rechenregel erfüllt, müssen wir erst noch beweisen. Dies werden wir im Folgenden nachholen. Auch werden wir folgende Rechenregeln beweisen, die aus der Schule bekannt sind:

* &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;

=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=

Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |erklärung=

Wir betrachten das Produkt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n&lt;/math&gt; zweier Potenzen &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; zur selben Basis &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; mit irgendwelchen Exponenten &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Anschaulich ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

und

{{Formel|&lt;math&gt;x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Also ist

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Wir multiplizieren das Produkt von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; mit dem Produkt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;. Das können wir zusammenfassen zu einem Produkt von insgesamt &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{m\text{-mal}}\cdot\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{n\text{-mal}}=\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}&lt;/math&gt;}}

Das Produkt von &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; vielen &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ist genau die Potenz &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\underbrace{x\cdot x\cdot\ldots\cdot x}_{(m+n)\text{-mal}}=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

So haben wir einen anschauliche Argumentation dafür gefunden, dass folgende zu zeigende Rechenregel gilt.

{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

Jedoch haben wir die unsaubere Notation mit &lt;math&gt;\underbrace{\ldots}&lt;/math&gt; verwendet. Es ist auch nicht klar, was in diesem „Beweis“ passiert, wenn &lt;math&gt;m=0&lt;/math&gt; oder &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; ist. Wie können wir diese Regel sauber mithilfe unserer rekursiven Definition der Potenz beweisen?

 |zusammenfassung=
Um die rekursive Definition der Potenz verwenden zu können, bietet sich ein Beweis mittels [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Vollständiger Induktion]] an. Allerdings kommen in der zu zeigenden Aussage zwei Variablen &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; vor, über die eine vollständige Induktion gemacht werden kann. Wir suchen uns einfach eine davon aus, sagen wir &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;, und lassen die andere Variable, also &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, fest.

 |beweis=

Sei &lt;math&gt;m\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^0=x^m\cdot1=x^m=x^{m+0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^{n+1}=x^{m+(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; x^m\cdot x^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^m\cdot(x\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot(x^m\cdot x^n) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } x^m\cdot x^n=x^{m+n} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x\cdot x^{m+n} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{(m+n)+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{(m+n)+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{m+(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt; fest. Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;n\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^0=1=x^0=x^{k\cdot0}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^{n+1}=x^{k(n+1)}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x^k)^{n+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x^k)^{n+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot(x^k)^n \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x^k)^n=x^{kn} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^k\cdot x^{kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Produkt von Potenzen mit gleicher Basis} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+kn} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Distributivgesetz in } \N_0 \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k(n+1)}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=Seien &lt;math&gt;x,y\in\R&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion über &lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Vollständige Induktion
 |erfuellungsmenge=&lt;math&gt;k\in\N_0&lt;/math&gt;
 |aussageform=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsanfang=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^0=1=1\cdot1=x^0\cdot y^0&lt;/math&gt;}}

 |induktionsvoraussetzung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |induktionsbehauptung=
{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^{k+1}=x^{k+1}\cdot y^{k+1}&lt;/math&gt;}}

 |beweis_induktionsschritt=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp; (x\cdot y)^{k+1} \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } (x\cdot y)^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x\cdot y)^k \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Induktionsvoraussetzung } (x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot y)\cdot(x^k\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz und Kommutativgesetz in } \R \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; (x\cdot x^k)\cdot(y\cdot y^k) \\[0.3em]
&amp; {\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{Definition von } x^{k+1} \text{ und } y^{k+1} \right.} \\[0.3em]
=\ &amp; x^{k+1}\cdot y^{k+1}
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}
}}

== Potenzen mit negativen Exponenten ==
Für eine reelle Zahl &lt;math&gt;x\in\R&lt;/math&gt; wollen wir die Definition der Potenz &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; auf ganzzahlige Exponenten &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt; erweitern. Die Potenz soll also auch für negative Exponenten &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; definiert werden. Dies wird sich nämlich als praktisch erweisen.

Auf den ersten Blick macht es nicht so viel Sinn. Nach unserer intuitiven Vorstellung wäre zum Beispiel &lt;math&gt;5^{-3}&lt;/math&gt; das Produkt von „&lt;math&gt;-3&lt;/math&gt; vielen“ &lt;math&gt;5&lt;/math&gt;en. Was soll das bitteschön sein? Vielleicht &lt;math&gt;-5^3=-125&lt;/math&gt;? Wenn wir so tun, als ob alle Rechenregeln für Potenzen weiterhin gelten, wäre aber &lt;math&gt;5=5^1=5^{-3+4}=5^{-3}\cdot5^4=-125\cdot625&lt;/math&gt;. Es macht also keinen Sinn, &lt;math&gt;5^{-3}=-5^3&lt;/math&gt;zu definieren. Wir sollten uns erst einmal überlegen, wie eine sinnvolle Definition aussehen könnte. Im Wesentlichen gibt es zwei Anforderungen:

* Die Definition sollte anschaulich erklärbar sein.
* Alle bisherigen Rechenregeln für Potenzen sollten weiterhin gelten.

Um diesen Anforderungen gerecht zu werden betrachten wir ein einfaches Beispiel: Wir wissen, dass &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; für jede reelle Zahl &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; gilt und dass &lt;math&gt;x^{a+b}=x^a\cdot x^b&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;a,b\in \N_0&lt;/math&gt;. Zur Verallgemeinerung auf &lt;math&gt;a,b\in \Z&lt;/math&gt; betrachten wir zunächst &lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;b=-1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt;. Wir erhalten &lt;math&gt;1=x^0=x^{1+(-1)}=x \cdot x^{-1}&lt;/math&gt;. Da wir &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; fordern können wir die Gleichung umstellen zu &lt;math&gt;\frac{1}{x}=x^{-1}&lt;/math&gt;. Intuitiv ist klar, dass wir um &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; zu erhalten durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen müssen. Den gleichen Trick können wir auch für ein allgemeines &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; anwenden. Mit der Forderung &lt;math&gt;x\neq 0&lt;/math&gt; ergibt sich aus &lt;math&gt;1=x^0=x^{k+(-k)}=x^k \cdot x^{-k}&lt;/math&gt; die folgende sinnvolle Definition:

{{todo|Weiterschreiben}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Potenz mit ganzzahligem Exponenten
 |definition=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;x^k&lt;/math&gt; bereits definiert. Für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; legen wir fest:
{{Formel|&lt;math&gt;x^k:=\frac1{x^{-k}}&lt;/math&gt;}}
}}
Beachte, dass in dieser Definition &lt;math&gt;x^{-k}&lt;/math&gt; bereits definiert ist, da &lt;math&gt;-k&gt;0&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; gilt. Und wegen &lt;math&gt;x\ne0&lt;/math&gt; ist auch &lt;math&gt;x^{-k}\ne0&lt;/math&gt;. Wir teilen also nicht durch &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis
 |noprint=ja
 |1=
Man könnte sich fragen, ob eine sinnvolle Definition für &quot;&lt;math&gt;0^{-k}&lt;/math&gt;&quot; möglich ist. Da wir in der Herleitung obiger Definition sowohl durch &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; teilen als auch &lt;math&gt;x^0=1&lt;/math&gt; fordern, ist dieser Weg ausgeschlossen. Außerdem ist dieser Fall von geringem praktischen Interesse, da wir ja über &lt;math&gt;0^k=0&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt; verfügen. Somit kann &quot;&lt;math&gt;0^{-k}&lt;/math&gt;&quot; in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; getrost undefiniert bleiben. Im erweiterten Zahlenraum &lt;math&gt;\bar{\R}:=\R\cup \{\infty\}&lt;/math&gt; wäre &lt;math&gt;0^k=\infty&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; sinnvoll.}}

== Übertragung der Rechenregeln auf den ganzen Zahlen ==
=== Produkt von Potenzen mit gleicher Basis ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleicher Basis
 |satz=Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;m,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^{m+n}&lt;/math&gt;}}
 |beweis=Unsere Definition von &lt;math&gt;x^m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}&lt;/math&gt; hängt davon ab, ob die Exponenten &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;/math&gt; negativ sind oder nicht.
Wir führen also eine Fallunterscheidung durch. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=Für &lt;math&gt;m,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.
 |fall2=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=Sei &lt;math&gt;n=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m=-n+m+n=a+b&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^n}\cdot x^{m+n}=x^m&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall3=&lt;math&gt;m\ge0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=Sei &lt;math&gt;m=a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;n=-m+m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^b}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;x^m\cdot\frac1{x^{m+n}}=\frac1{x^n}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^{m+n}\cdot x^n&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
 |fall4=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis4=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 2 zurückführen.
 |fall5=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;m+n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis5=Da Addition in &lt;math&gt;\Z&lt;/math&gt; und Multiplikation in &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; kommutativ sind, gilt &lt;math&gt;x^m\cdot x^n=x^n\cdot x^m&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^{m+n}=x^{n+m}&lt;/math&gt;.
Indem wir die Variablen &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; vertauschen, lässt sich dieser Fall also auf Fall 3 zurückführen.
 |fall6=&lt;math&gt;m&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis6=Sei &lt;math&gt;m=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Somit ist &lt;math&gt;m+n=-(a+b)&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^m=\frac1{x^a}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x^n=\frac1{x^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{m+n}=\frac1{x^{a+b}}&lt;/math&gt;.
Für &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass
{{Formel|&lt;math&gt;x^a\cdot x^b=x^{a+b}&lt;/math&gt;}}
gilt. Es folgt
{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{x^m}\cdot\frac1{x^n}=\frac1{x^{m+n}}&lt;/math&gt;}}
Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;x^m\cdot x^n\cdot x^{m+n}&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}
}}

=== Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Zusammenfassen von mehrmaligem Potenzieren
 |satz=
Sei &lt;math&gt;x\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und seien &lt;math&gt;k,n\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |beweis=
Wir führen eine Fallunterscheidung durch, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; jeweils negativ sind oder nicht. In den einzelnen Fällen führen wir die Rechenregel jeweils auf die bereits bewiesene Regel für nichtnegative Exponenten zurück.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis1=
 Für &lt;math&gt;k,n\in\N_0&lt;/math&gt; wurde die Rechenregel bereits bewiesen, sodass in diesem Fall nichts mehr zu tun ist.

 |fall2=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n\ge0&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Sei &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{an}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^n=x^{an}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^n=\left(\frac1{x^a}\right)^n\cdot(x^a)^n=(x^k)^n\cdot x^{an}=(x^k)^n\cdot\frac1{x^{kn}}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
Sei &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x^{kn}=\frac1{x^{kb}}&lt;/math&gt;. Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^k)^b=x^{kb}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt wie gewünscht

{{Formel|&lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}=\frac1{x^{kb}}=x^{kn}&lt;/math&gt;}}

 |fall4=&lt;math&gt;k&lt;0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n&lt;0&lt;/math&gt;
 |beweis4=
Seien &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;n=-b&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a,b\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;x^k=\frac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(x^k)^n=\frac1{(x^k)^b}&lt;/math&gt;.
Wir wissen bereits, dass &lt;math&gt;(x^a)^b=x^{ab}&lt;/math&gt; gilt. Somit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;1=\left(\frac1{x^a}\cdot x^a\right)^b=\left(\frac1{x^a}\right)^b\cdot(x^a)^b=(x^k)^b\cdot x^{ab}=\frac1{(x^k)^n}\cdot x^{kn}&lt;/math&gt;}}

Also gilt wie gewünscht &lt;math&gt;(x^k)^n=x^{kn}&lt;/math&gt;.
}}}}

=== Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Produkt von Potenzen mit gleichem Exponenten
 |satz=
Seien &lt;math&gt;x,y\in\R\setminus\{0\}&lt;/math&gt; und sei &lt;math&gt;k\in\Z&lt;/math&gt;. Dann gilt

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;}}

 |beweis=

Unsere Definition der &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-ten Potenz hängt davon ab, ob &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; negativ ist oder nicht. Für &lt;math&gt;k\ge0&lt;/math&gt; wurde der Beweis der Gleichung &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=x^k\cdot y^k&lt;/math&gt; bereits durchgeführt. Damit fehlt nur noch der Beweis für &lt;math&gt;k &lt; 0&lt;/math&gt;.

Sei also &lt;math&gt;k=-a&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt;. Nach Definition ist &lt;math&gt;(x\cdot y)^k=\tfrac1{(x\cdot y)^a}&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x^k=\tfrac1{x^a}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;y^k=\tfrac1{y^a}&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;a\in\N_0&lt;/math&gt; haben wir bereits gezeigt, dass gilt:

{{Formel|&lt;math&gt;(x\cdot y)^a=x^a\cdot y^a&lt;/math&gt;}}

Es folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\frac1{(x\cdot y)^k}=\frac1{x^k}\cdot\frac1{y^k}&lt;/math&gt;}}

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit &lt;math&gt;(x\cdot y)^k\cdot x^k\cdot y^k&lt;/math&gt;, so erhalten wir die Behauptung.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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    </revision>
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    <title>Python/ if</title>
    <ns>0</ns>
    <id>116343</id>
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      </contributor>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="7168" xml:space="preserve">Ein Programm, was einfach von vorne bis hinten linear durchläuft, nützt uns höchstens begrenzt. Wir brauchen die Möglichkeit, den Verlauf zu verzweigen, basierend auf der Prüfung von Bedingungen. Wie die meisten Programmiersprachen stellt uns Python dazu das Konstrukt 'if-else' (englisch für &quot;wenn&quot;-&quot;sonst&quot;) zur Verfügung.

== if ==
Ein einfaches Beispiel für eine Abfrage:

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
    print(&quot;Die Zahl ist positiv&quot;)
if eingabe &lt; 0:
    print(&quot;Die Zahl ist negativ&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
============ RESTART: D:\AA_Projekte\Programmierung\Python\ifelse.py ===========
Bitte geben Sie eine Zahl ein: -3
Die Zahl ist negativ
============ RESTART: D:\AA_Projekte\Programmierung\Python\ifelse.py ===========
Bitte geben Sie eine Zahl ein: 5
Die Zahl ist positiv
&lt;/syntaxhighlight&gt;

In der ersten Zeile bitten wir den Nutzer um die Eingabe einer Ganzzahl. Interessanter sind die Zeilen zwei und vier. Hier lassen wir den Computer eine Bedingung prüfen, nämlich &quot;eingabe &gt; 0&quot;. 

Damit Python die Prüfung durchführen kann, muss sie nach einem festen Schma aufgebaut sein:
# sie beginnt mit dem [[Python/ Keywords|Schlüsselwort]] '''if'''
# dann folgt die Bedingung an sich, hier &quot;größer Null&quot; bzw. &quot;kleiner Null&quot;
# damit Python weiß, dass die Prüfung zu Ende ist, müssen wir sie mit einem &quot;:&quot; abschliessen.

Zusätzlich brauchen wir eine Unterscheidung, welche Befehle zu welcher Verzweigung gehören. Wenn Sie andere Programmiersprachen kennen, sind sie gewöhnt, dass diese Blöcke mit gescchweiften Klammern &quot;{}&quot; eingefasst sind. Bei Python verwenden wir stattdessen Code-Einrückung.

== Einrückung ==
Indem wir Code einrücken, teilen wir Python mit, wie Anweisungen gruppiert werden sollen: 
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
    print(&quot;Wir sind innerhalb des if-Blocks&quot;)
print(&quot;wir sind außerhalb des if-Blocks&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Das erste print wird nur ausgeführt, wenn Sie eine positive Zahl eingeben. Das zweite print, nicht mehr eingerückt, wird immer ausgeführt.

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
============ RESTART: D:\AA_Projekte\Programmierung\Python\ifelse.py ===========
Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: -5
wir sind außerhalb des if-Blocks
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Diese Methode der Gruppierung hat den Vorteil, dass sie für Menschen leicht lesbar ist. Jede tiefere Ebene wird einfach weiter eingerückt:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
    print(&quot;Die Zahl ist positiv.&quot;)
    if eingabe &gt; 5:
        print(&quot;Die Zahl ist größer als 5.&quot;)
        if eingabe &gt; 20:
            print(&quot;Die Zahl ist größer als 20.&quot;)
            if eingabe &gt; 100:
                print(&quot;Die Zahl ist größer als 100.&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Wir haben zwei verschiedene Möglichkeiten, den Code einzurücken:
* mit der Leertaste: ein Leerzeichen genügt schon,  
* mit der Tabulatortaste (&quot;tab&quot;, als ASCII &quot;\t&quot;)

Python ist es egal, wenn wir die verschiedenen Möglichkeiten mischen, die Einrücktiefe muss nur innerhalb einer Ebene gleich sein. Allerdings geht die Lesbarkeit schnell verloren:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
   print(&quot;Die Zahl ist positiv.&quot;)
   if eingabe &gt; 5:
     print(&quot;Die Zahl ist größer als 5.&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Quasi-Standard sind vier Leerzeichen pro Ebene (die meisten Code-Editoren ersetzen &quot;einmal Tab&quot; daher durch vier Leerzeichen). Am besten gewöhnen Sie sich das ebenfalls an. In den meisten Fällen ist dies auch der Standard ihres Editors (wie bspw. [[Python/ IDLE|IDLE]]).

== else ==
Mit ''else'' geben wir einen alternativen &quot;Codezweig&quot; an, der dann ausgeführt wird, falls der if-Zweig nicht ausgeführt wird:
&lt;!-- todo: bessere Beispiel --&gt;
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe % 2 == 0:
    print(&quot;Die Zahl ist gerade&quot;)
else:
    print(&quot;Die Zahl ist ungerade&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
=================== RESTART: D:\AA_Projekte\Python\ifelse.py ===================
Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: 37
die Zahl ist ungerade
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Wir lassen also die Bedingung einmal prüfen und verzweigen den Code an Hand dieser Prüfung (&quot;Wenn-Sonst&quot;).

Im Unterschied dazu führt dieser Code

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe % 2 == 0:
    print(&quot;Die Zahl ist gerade&quot;)
if eingabe % 2 != 0:
    print(&quot;Die Zahl ist ungerade&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

zwei Prüfungen durch (&quot;Wenn-Wenn&quot;). Bei if-else wird also immer Code ausgeführt. Bei zwei if-Prüfungen kann es vorkommen, dass gar kein Code ausgeführt wird, nämlich dann, wenn beide Prüfungen scheitern.

== elif ==
Nicht jede Prüfbedingung ist binär, d.h. sie hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Beispielsweise hat die Woche sieben Tage:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
wochentag = &quot;Dienstag&quot;
if wochentag == &quot;Montag&quot;:
    print(&quot;Montag&quot;)
if wochentag == &quot;Dienstag&quot;:
    print(&quot;Dienstag&quot;)
if wochentag == &quot;Mittwoch&quot;:
    print(&quot;Mittwoch&quot;)
if wochentag == &quot;Donnerstag&quot;:
    print(&quot;Donnerstag&quot;)
if wochentag == &quot;Freitag&quot;:
    print(&quot;Freitag&quot;)
if wochentag == &quot;Samstag&quot;:
    print(&quot;Samstag&quot;)
if wochentag == &quot;Sonntag&quot;:
    print(&quot;Sonntag&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Diese Aneinanderreihung von if ist ineffizient, da jede der sieben Prüfungen vorgenommen wird. Im Beispiel wissen wir schon, dass Dienstag ist, trotzdem prüft Python auf Mittwoch bis Sonntag.

Um eine Kette von logisch zusammenhängenden if-else zu verknüpfen, bietet uns Python den '''elif'''-Operator (= else-if):

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
wochentag = &quot;Dienstag&quot;
if wochentag == &quot;Montag&quot;:
    print(&quot;Montag&quot;)
elif wochentag == &quot;Dienstag&quot;:
    print(&quot;Dienstag&quot;)
elif wochentag == &quot;Mittwoch&quot;:
    print(&quot;Mittwoch&quot;)
elif wochentag == &quot;Donnerstag&quot;:
    print(&quot;Donnerstag&quot;)
elif wochentag == &quot;Freitag&quot;:
    print(&quot;Freitag&quot;)
elif wochentag == &quot;Samstag&quot;:
    print(&quot;Samstag&quot;)
elif wochentag == &quot;Sonntag&quot;:
    print(&quot;Sonntag&quot;)
else:
    print(&quot;Die Woche hat nur sieben Tage&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

== match ==
Seit Version 3.10 können wir '''match''' nutzen, um uns Schreibarbeit zu sparen und die Abfragen noch logischer zu gruppieren:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
wochentag = &quot;Samstag&quot;
match wochentag:
    case &quot;Montag&quot;:
        print(&quot;Montag&quot;)
    case &quot;Dienstag&quot;:
        print(&quot;Dienstag&quot;)
    case &quot;Mittwoch&quot;:
        print(&quot;Mittwoch&quot;)
    case &quot;Donnerstag&quot;:
        print(&quot;Donnerstag&quot;)
    case &quot;Freitag&quot;:
        print(&quot;Freitag&quot;)
    case &quot;Samstag&quot;|&quot;Sonntag&quot;:
        print(&quot;Wochenende&quot;)
    case(_):
        print(&quot;Die Woche hat nur sieben Tage&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Zwei Dinge sollten Ihnen auffallen: 
# An Stelle des else müssen wir den Unterstrich &quot;_&quot; nutzen, um die &quot;Restfälle&quot; abzufangen.  
# Mit dem &quot;|&quot; können Sie verschiedene Werte gruppieren um sie gemeinsam abzuhandeln

== Datentyp: Bool(ean) ==</text>
      <sha1>5dew62x4yitgtb1twuv617daoig0tvb</sha1>
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      <timestamp>2022-08-04T09:05:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>NilsLindenberg</username>
        <id>105915</id>
      </contributor>
      <model>wikitext</model>
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      <text bytes="7910" xml:space="preserve">Ein Programm, was einfach von vorne bis hinten linear durchläuft, nützt uns höchstens begrenzt. Wir brauchen die Möglichkeit, den Verlauf zu verzweigen, basierend auf der Prüfung von Bedingungen. Wie die meisten Programmiersprachen stellt uns Python dazu das Konstrukt 'if-else' (englisch für &quot;wenn&quot;-&quot;sonst&quot;) zur Verfügung.

== if ==
Ein einfaches Beispiel für eine Abfrage:

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
    print(&quot;Die Zahl ist positiv&quot;)
if eingabe &lt; 0:
    print(&quot;Die Zahl ist negativ&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
============ RESTART: D:\AA_Projekte\Programmierung\Python\ifelse.py ===========
Bitte geben Sie eine Zahl ein: -3
Die Zahl ist negativ
============ RESTART: D:\AA_Projekte\Programmierung\Python\ifelse.py ===========
Bitte geben Sie eine Zahl ein: 5
Die Zahl ist positiv
&lt;/syntaxhighlight&gt;

In der ersten Zeile bitten wir den Nutzer um die Eingabe einer Ganzzahl. Interessanter sind die Zeilen zwei und vier. Hier lassen wir den Computer eine Bedingung prüfen, nämlich &quot;eingabe &gt; 0&quot;. 

Damit Python die Prüfung durchführen kann, muss sie nach einem festen Schma aufgebaut sein:
# sie beginnt mit dem [[Python/ Keywords|Schlüsselwort]] '''if'''
# dann folgt die Bedingung an sich, hier &quot;größer Null&quot; bzw. &quot;kleiner Null&quot;
# damit Python weiß, dass die Prüfung zu Ende ist, müssen wir sie mit einem &quot;:&quot; abschliessen.

Zusätzlich brauchen wir eine Unterscheidung, welche Befehle zu welcher Verzweigung gehören. Wenn Sie andere Programmiersprachen kennen, sind sie gewöhnt, dass diese Blöcke mit gescchweiften Klammern &quot;{}&quot; eingefasst sind. Bei Python verwenden wir stattdessen Code-Einrückung.

== Einrückung ==
Indem wir Code einrücken, teilen wir Python mit, wie Anweisungen gruppiert werden sollen: 
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
    print(&quot;Wir sind innerhalb des if-Blocks&quot;)
print(&quot;wir sind außerhalb des if-Blocks&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Das erste print wird nur ausgeführt, wenn Sie eine positive Zahl eingeben. Das zweite print, nicht mehr eingerückt, wird immer ausgeführt.

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
============ RESTART: D:\AA_Projekte\Programmierung\Python\ifelse.py ===========
Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: -5
wir sind außerhalb des if-Blocks
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Diese Methode der Gruppierung hat den Vorteil, dass sie für Menschen leicht lesbar ist. Jede tiefere Ebene wird einfach weiter eingerückt:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
    print(&quot;Die Zahl ist positiv.&quot;)
    if eingabe &gt; 5:
        print(&quot;Die Zahl ist größer als 5.&quot;)
        if eingabe &gt; 20:
            print(&quot;Die Zahl ist größer als 20.&quot;)
            if eingabe &gt; 100:
                print(&quot;Die Zahl ist größer als 100.&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Wir haben zwei verschiedene Möglichkeiten, den Code einzurücken:
* mit der Leertaste: ein Leerzeichen genügt schon,  
* mit der Tabulatortaste (&quot;tab&quot;, als ASCII &quot;\t&quot;)

Python ist es egal, wenn wir die verschiedenen Möglichkeiten mischen, die Einrücktiefe muss nur innerhalb einer Ebene gleich sein. Allerdings geht die Lesbarkeit schnell verloren:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe &gt; 0:
   print(&quot;Die Zahl ist positiv.&quot;)
   if eingabe &gt; 5:
     print(&quot;Die Zahl ist größer als 5.&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Quasi-Standard sind vier Leerzeichen pro Ebene (die meisten Code-Editoren ersetzen &quot;einmal Tab&quot; daher durch vier Leerzeichen). Am besten gewöhnen Sie sich das ebenfalls an. In den meisten Fällen ist dies auch der Standard ihres Editors (wie bspw. [[Python/ IDLE|IDLE]]).

== else ==
Mit ''else'' geben wir einen alternativen &quot;Codezweig&quot; an, der dann ausgeführt wird, falls der if-Zweig nicht ausgeführt wird:
&lt;!-- todo: bessere Beispiel --&gt;
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe % 2 == 0:
    print(&quot;Die Zahl ist gerade&quot;)
else:
    print(&quot;Die Zahl ist ungerade&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
=================== RESTART: D:\AA_Projekte\Python\ifelse.py ===================
Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: 37
die Zahl ist ungerade
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Wir lassen also die Bedingung einmal prüfen und verzweigen den Code an Hand dieser Prüfung (&quot;Wenn-Sonst&quot;).

Im Unterschied dazu führt dieser Code

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
eingabe = int(input(&quot;Bitte geben Sie eine Ganzzahl ein: &quot;))
if eingabe % 2 == 0:
    print(&quot;Die Zahl ist gerade&quot;)
if eingabe % 2 != 0:
    print(&quot;Die Zahl ist ungerade&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

zwei Prüfungen durch (&quot;Wenn-Wenn&quot;). Bei if-else wird also immer Code ausgeführt. Bei zwei if-Prüfungen kann es vorkommen, dass gar kein Code ausgeführt wird, nämlich dann, wenn beide Prüfungen scheitern.

== elif ==
Nicht jede Prüfbedingung ist binär, d.h. sie hat nur zwei mögliche Ergebnisse. Beispielsweise hat die Woche sieben Tage:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
wochentag = &quot;Dienstag&quot;
if wochentag == &quot;Montag&quot;:
    print(&quot;Montag&quot;)
if wochentag == &quot;Dienstag&quot;:
    print(&quot;Dienstag&quot;)
if wochentag == &quot;Mittwoch&quot;:
    print(&quot;Mittwoch&quot;)
if wochentag == &quot;Donnerstag&quot;:
    print(&quot;Donnerstag&quot;)
if wochentag == &quot;Freitag&quot;:
    print(&quot;Freitag&quot;)
if wochentag == &quot;Samstag&quot;:
    print(&quot;Samstag&quot;)
if wochentag == &quot;Sonntag&quot;:
    print(&quot;Sonntag&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Diese Aneinanderreihung von if ist ineffizient, da jede der sieben Prüfungen vorgenommen wird. Im Beispiel wissen wir schon, dass Dienstag ist, trotzdem prüft Python auf Mittwoch bis Sonntag.

Um eine Kette von logisch zusammenhängenden if-else zu verknüpfen, bietet uns Python den '''elif'''-Operator (= else-if):

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
wochentag = &quot;Dienstag&quot;
if wochentag == &quot;Montag&quot;:
    print(&quot;Montag&quot;)
elif wochentag == &quot;Dienstag&quot;:
    print(&quot;Dienstag&quot;)
elif wochentag == &quot;Mittwoch&quot;:
    print(&quot;Mittwoch&quot;)
elif wochentag == &quot;Donnerstag&quot;:
    print(&quot;Donnerstag&quot;)
elif wochentag == &quot;Freitag&quot;:
    print(&quot;Freitag&quot;)
elif wochentag == &quot;Samstag&quot;:
    print(&quot;Samstag&quot;)
elif wochentag == &quot;Sonntag&quot;:
    print(&quot;Sonntag&quot;)
else:
    print(&quot;Die Woche hat nur sieben Tage&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

== match ==
Seit Version 3.10 können wir '''match''' nutzen, um uns Schreibarbeit zu sparen und die Abfragen noch logischer zu gruppieren:
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
wochentag = &quot;Samstag&quot;
match wochentag:
    case &quot;Montag&quot;:
        print(&quot;Montag&quot;)
    case &quot;Dienstag&quot;:
        print(&quot;Dienstag&quot;)
    case &quot;Mittwoch&quot;:
        print(&quot;Mittwoch&quot;)
    case &quot;Donnerstag&quot;:
        print(&quot;Donnerstag&quot;)
    case &quot;Freitag&quot;:
        print(&quot;Freitag&quot;)
    case &quot;Samstag&quot;|&quot;Sonntag&quot;:
        print(&quot;Wochenende&quot;)
    case(_):
        print(&quot;Die Woche hat nur sieben Tage&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Zwei Dinge sollten Ihnen auffallen: 
# An Stelle des else müssen wir den Unterstrich &quot;_&quot; nutzen, um die &quot;Restfälle&quot; abzufangen.  
# Mit dem &quot;|&quot; können Sie verschiedene Werte gruppieren um sie gemeinsam abzuhandeln

== Datentyp: Bool(ean) ==
Um die logischen Werte &quot;wahr&quot; und &quot;falsch&quot; zu speichern, gibt es bei Python einen eigenen Datentyp: Boolean, kurz bool. Dieser kann entweder den Wert ''True'' (wahr) oder ''False'' (falsch annehmen):
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
ist_heute_Donnerstag = True
print(type(ist_heute_Donnerstag))
&lt;/syntaxhighlight&gt;
&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot;&gt;
=================== RESTART: D:\AA_Projekte\Python\ifelse.py ===================
&lt;class 'bool'&gt;
&gt;&gt;&gt;
&lt;/syntaxhighlight&gt;

Bitten achten Sie auf die Schreibweise (großes T bzw. großes F).

&lt;syntaxhighlight lang=&quot;python&quot; line&gt;
ist_heute_Donnerstag = True
if ist_heute_Donnerstag:
    print (&quot;Donnerstag!&quot;)
&lt;/syntaxhighlight&gt;

== Verkettung von Bedingungen ==

== Der &quot;Last-Christmas&quot;-Fehler ==</text>
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    </revision>
  </page>
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    <title>Traktorenlexikon: Allis-Chalmers Model 10-18</title>
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      <timestamp>2022-08-03T13:58:59Z</timestamp>
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        <username>Baupit</username>
        <id>56622</id>
      </contributor>
      <comment>Neue Seite (vgl. [[WB:AZ]])</comment>
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{{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox
| HERSTELLER = ALLIS CHALMERS
| MODELLREIHE = 
| MODELL = 10-18
| BILD = 
| BILDBESCHREIBUNG = 
| BAUWEISE = Gussrahmenbauweise
| PRODUKTIONSBEGINN = 1914
| PRODUKTIONSENDE = 1923
| STÜCKZAHL = 189
| EIGENGEWICHT = 2.177
| LÄNGE = 3.556
| BREITE = 1.778
| HÖHE = 1.905
| RADSTAND = 
| BODENFREIHEIT = 
| SPURWEITE = 
| SPURWEITE VORNE = 
| SPURWEITE HINTEN = 
| WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 
| WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 1.524
| BEREIFUNG VORNE = 813 x 152
| BEREIFUNG HINTEN = 1.422 x 305
| LEISTUNG KW = 7,3
| LEISTUNG PS = 9,9
| NENNDREHZAHL = 720
| ZYLINDER = 2
| HUBRAUM = 4.966
| DREHMOMENTANSTIEG = 
| KRAFTSTOFF = Kerosin/Benzin
| KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung
| ANTRIEBSTYP = Heckantrieb
| GETRIEBE = 1 V/1 R
| HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 3,70
| KATEGORIESORTIERUNG = 
}}

Der erste Traktor von ALLIS CHALMERS, wurde im Jahr 1914, unter der Modellbezeichnung 10-18 vorgestellt. Als dreirädrige Konstruktion mit Stahlgussrahmen und Zweizylinder-Wechselstrommotor wurde dieser Traktor gefertigt. Als Treibstoff diente Kerosin oder Benzin. Eine Besonderheit dieser Konstruktion war das seitlich-versetzte Vorderrad. Allerdings war der recht hohe Verkaufspreis, ein Grund für die geringe Verbreitung.


==Motor==
* ALLIS CHALMERS, wassergekühlter gegenläufiger Zweizylinder-Benzinmotor mit L-Zylinderkopf, KINGSTON Dual-Vergaser, K-W oder KINGSTON-Magnetzündung und BENNETT-Trockenluftfilter.


* Bohrung = 133,35 mm, Hub = 177,8 mm


* Leistung an der Deichsel = 9,9 PS


==Kupplung==
* Handbetätigte Spreizschuhkupplung


==Getriebe==
* Im Ölbad laufendes Getriebe


1 Vorwärts- und 1 Rückwärtsgang


==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts==
* Vorwärts- und Rückwärtsgeschwindigkeit = 3,70 km/h


==Zapfwelle==
* Optional mit Riemenscheibe


368 mm Durchmesser und 165 mm breite

* 17,8 PS mit 720 U/min.


==Bremsen==

==Achsen==
* Vorderachse als versetztes starres Einzelrad ausgebildet


* Starre Hinterachse, Angetrieben vom Getriebe über ein Rollenritzel auf Großzahnrad in der hinteren Felge


==Lenkung==

==Hydrauliksystem und Kraftheber==

==Steuergeräte==

==Elektrische Ausrüstung==
* CHAMPION-Zündkerze, Typ: W-14


==Maße und Abmessungen==
* Länge = 3.556 mm
* Breite = 1.778 mm
* Höhe über Lenkrad = 1.905 mm


==Bereifung==
&quot;Stahlbereifung:&quot;

* Vorne = 813 x 152 mm
* Hinten = 1.422 x 305 mm


==Füllmengen==
* Tankinhalt = 90,0 l
* Zusätzlicher Tank = 22,7 l
* Kühlsystem = 27,3 l
* Getriebe = 9,1 l


==Verbrauch==

==Kabine==

==Sonderausrüstung==
* Verstellbare Schwenkdeichsel
* 14&quot; Ölwanne
* Riemenscheibe


==Sonstiges==
* Preis 1914 = 1.950 Dollar

* Preis 1920 = 895 Dollar

* Preis 1923 = 360 Dollar


==Literatur &amp; Weblinks==
* TractorData. com  (Allis Chalmers)
* ALLIS-CHALMERS Farm Tractors and Crawlers, Data Book  (Terry Dean)  Seite 8-9
* ALLIS-CHALMERS Tractors and Crawlers, Illustrated Buyer´s-Guide  (Terry Dean)  Seite 18-19
&lt;references /&gt;

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