Wikibooks:Schwarzes Brett

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    <title>Wikibooks:Schwarzes Brett</title>
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[[Kategorie:Wikibooks:Zusammenarbeit|{{PAGENAME}}]]
{{Projektnavigation Zusammenarbeit|WB:SB}}
&lt;div style=&quot;text-align:center; border:3px blue; border-style:solid; background-color:white;&quot;&gt;
'''[//de.wikibooks.org/w/wiki.phtml?title=Wikibooks:Schwarzes_Brett&amp;action=edit&amp;section=new Jetzt könnt ihr direkt einen neuen Eintrag hinterlassen]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;border: 1px solid black; background: #cfcfcf; padding: 10px; margin: 10px 0px;&quot;&gt;
Vielleicht hast du auch vor, ein Buch zu schreiben, suchst aber noch Partner, die dir dabei helfen. Dann bist du hier genau richtig. Trag dich einfach ganz unten (mit einer kurzen Beschreibung des geplanten Buches) ein und warte, bis sich weitere Interessenten melden.

'''Hinweis:''' Bitte notiere auch immer, welche Aufgabe du übernehmen willst. Also beispielsweise Autor, Rechtschreibüberprüfung, inhaltliche Kontrolle usw.
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;font-size:90%;&quot;&gt;&lt;p&gt;'''Global message delivery:''' Diese Ankündigungen landen im Normalfall hier; bei Bedarf kann [[m:Distribution list/Global message delivery|diese Liste]] geändert werden. Es wird empfohlen, eine Kurzfassung in die [[Wikibooks:Rundschau|Rundschau]] aufzunehmen. Ausnahme: Informationen zum '''[[Wikibooks:VisualEditor|VisualEditor]].'''&lt;/p&gt;&lt;p&gt;'''Zum Archiv:''' Um Zweifelsfälle zu vermeiden, sollten alle Themen archiviert werden – wegen der Einheitlichkeit mit anderen Archiven nach Ablauf eines Jahres. Sie sind zu finden im Archiv des Jahres, in dem der letzte Beitrag gespeichert wurde.&lt;/p&gt;&lt;/div&gt;
{{Archiv Übersicht| Wikibooks:Schwarzes Brett/ Archiv| {{FULLPAGENAME}} }}

== Neue Funktionen der MediaWiki-Software ==
Neuere Informationen zum [[Wikibooks:VisualEditor|VisualEditor]] siehe dort; hier werden sie als Duplikat gestrichen.

&lt;div style=&quot;margin-left:3em; font-size:90%&quot;&gt;
* unter einer gemeinsamen Überschrift zusammengefasst -- [[Benutzer:Juetho|Jürgen]] 11:47, 25. Jan. 2016 (CET)
* an den Anfang des Schwarzen Bretts verschoben -- [[Benutzer:Juetho|Jürgen]] 09:52, 28. Feb. 2016 (CET)
In der Zwischenzeit wurde nicht auf neue Funktionen hingewiesen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 13:53, 26. Feb. 2018 (CET)
&lt;/div&gt;
{{Archiv Hinweis|New print to pdf feature for mobile web readers|832905}}
{{Archiv Hinweis|Global preferences are available|854588|Globale Einstellungen sind nun verfügbar, jene können auf der ensprechenden Spezialseite konfiguriert werden.}}
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{{Archiv Hinweis|The GFDL license on Commons|859575|Dateien, die ausschließlich unter GFDL gestellt werden, dürfen nicht mehr auf Commons hochgeladen werden.}}
{{Archiv Hinweis|Linter bei Mathe für Nicht-Freaks nun standardmäßig aktiviert|860429}}

== The 2022 Community Wishlist Survey will happen in January ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;de&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Hallo zusammen,

Wir hoffen es geht Euch gut und Ihr seid so sicher wie möglich in diesen herausfordernden Zeiten! Wir möchten Euch ein paar Sachen zur kommenden Community-Wunschliste 2022 sagen. Wir möchten auch Eure Meinung dazu hören.

Zusammenfassung:

&lt;div style=&quot;font-style:italic;&quot;&gt;
Wie werden die [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey|Umfrage zur Community-Wunschliste]] 2022 im Januar 2022 laufen lassen. Wir brauchen mehr Zeit um an den Wünschen aus 2021 zu arbeiten. Wir brauchen außerdem etwas Zeit um ein paar Änderungen an der Wunschliste 2022 vorzubereiten. In der Zwischenzeit könnte Ihr in einer [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|dafür vorbereiteten ''Sandbox'' erste Ideen für 2022 eintragen]].
&lt;/div&gt;

=== Vorschlag und Wunscherfüllung werden im selben Jahr passieren ===

In der Vergangenheit hat das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Communiy-Tech-Team]] die Befragung immer im November des Vorjahrs durchgeführt. Die Umfrage zur [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021|Wunschliste 2021]] lief beispielsweise im November 2020. Das hat vor ein paar Jahren wunderbar geklappt, damals haben wir mit der Abarbeitung der Wünsche sofort nach der Veröffentlichung der Ergebnisse angefangen.

In 2021 gab es allerdings eine Verzögerung zwischen der Veröffentlichung der Ergebnisse und dem Start der Arbeiten an den neuen Wünschen. Bis Juli 2021 haben wir noch an den [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2020|Wünschen aus 2020 gearbeitet]].

Wir hoffen,. dass die Wunschliste 2022 im Januar 2022 intuitiver ist. Es gibt uns auch mehr Zeit, an den Wünschen 2021 zu arbeiten.

=== Stärkung der Teilnahme früher eher vernachlässigter Communities ===

Wie denken darüber nach, wie es künftig einfacher ist, an der Wunschliste teilzunehmen. Wir wollen mehr Übersetzungen unterstützen, und mit geringen Ressourcen ausgestattete Communities ermutigen aktiver zu werden. Wir würden gerne mehr Zeit haben, dies durchzuführen.

=== Ein neuer Platz um mit uns über Prioritäten und noch nicht erledigte Wünsche zu sprechen ===

Wir haben jetzt 365 Tage ohne eine Wunschliste. Wir möchten Euch ermutigen, uns anzusprechen. Wir hoffen von Euch auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionseite]] zu hören, aber würden uns auch freuen Euch auf den zweimonatlichen ''Sprich-mit-uns''-Treffen zu sehen. Diese werden an zwei verschiedenen Zeiten angeboten werden, damit alle Zeitzonen um den Globus teilnehmen können.

Wir werden unser erstes Treffen am '''15. September um 23:00 UTC''' starten. Mehr Informationen über die Tagesordnung und das Format werden bald veröffentlicht.

=== Brainstorming und Entwürfe vor der eigentlichen Vorschlagsphase ===

Falls Du schon früher Ideen für Wünsche haben solltest, kannst Du die [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|neue ''Sandbox'' der Community-Wunschlistenumfrage]] benutzen. Damit wirst Du diese Wünsche bis Januar 2022 nicht vergessen. Du kannst zu den Wünschen zurückkommen und sie verfeinern. Aber denkt dran: Wünsche in den Sandboxen zählen bei der Umfrage nicht als Wunsch!

=== Feedback ===
* Wie sollten wir dei Wuschlistenseiten verbessern?
* Wie möchtet Ihr die neue [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|''Sandbox'']] benutzen?
* Seht ihr irgendwelche Risiken bei der Verschiebung der Umfrage auf 2022, und wenn ja, welche?
* Was würde helgfen, damit in 2022 mehr Leute an der Umfrage teilnehmen?

Antwortet auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite]] (egal, in welcher Sprache) oder bei unseren ''Sprich-mit-uns''-Treffen.
&lt;/div&gt;

[[user:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[user talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 02:23, 7. Sep. 2021 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=21980442 --&gt;

== Die Arbeit in den Wikis vereinfachen, durch bessere Software – Vorbereitung der Umfrage Technische Wünsche gestartet  ==

Für jeden Klick, den du hier oder auf den Schwesterprojekten machst, nutzt du Software – egal, ob du schon lange dabei bist, oder erst kürzlich deine erste Bearbeitung getätigt hast, ob du viel technische Erfahrung hast oder überhaupt gar keine. Und wenn du dich hin und wieder darüber ärgerst, dass die Software nicht so funktioniert, wie du es gerne hättest, bringst du genau die richtigen Voraussetzungen mit, an der [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]] teilzunehmen.

Um einige der technischen Probleme anzugehen, die vielen den Wiki-Alltag erschweren, gibt es das Projekt [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. Dort wird aktuell an Verbesserungen in den Bereichen „[[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]“ (Gewinnerthema der Umfrage 2019) und „[[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Bessere Unterstützung von Geoinformationen|Bessere Unterstützung für Geoinformationen]]“ (2020) gearbeitet. '''Jetzt laufen die Vorbereitungen für die nächste Umfrage.''' Sie soll Ende Januar in der deutschsprachigen Wikipedia stattfinden und dient dazu zu bestimmen, mit welchem neuen Schwerpunkt sich das Projektteam zwei Jahre beschäftigen soll. Damit möglichst viele Menschen mitentscheiden können, wo es technische Verbesserungen geben soll, wird nicht über konkrete Probleme abgestimmt, sondern über allgemeine '''Themenschwerpunkte'''. Diese sind so formuliert, dass man sie auch ohne technische Expertise gut verstehen kann.

'''Fällt dir ein Thema ein, in dem man durch Verbesserung der Software die Arbeit in den Wikis leichter machen könnte?''' Dann trag es bis zum 14. November auf dem [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]] ein. Es reicht, wenn du das Thema allgemein beschreibst, ergänzt um 2-3 konkrete Probleme aus Anwendersicht. Falls du ein konkretes technisches Problem hast und nicht weißt, zu welchem größeren Thema es passen würde, kannst du es ebenfalls auf dem [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]] notieren und das Team Technische Wünsche schaut dann, wozu es passt.

'''Wie geht es weiter?''' Ab dem 15. November sichtet das Team Technische Wünsche verschiedene Quellen aus den deutschsprachigen Communitys (u.a. den [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]], [[w:WP:Verbesserungsvorschläge|WP:Verbesserungsvorschläge]] und [[w:WP:Verbesserungsvorschläge/Feature-Requests|WP:Verbesserungsvorschläge/Feature-Requests]])&lt;ref&gt;&lt;cite class=&quot;note&quot;&gt;Wenn du Ideen für weitere Quellen hast, notiere auch sie gerne bis zum 14. November [[w:WD:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|auf dieser Diskussionsseite]].&lt;/cite&gt;&lt;/ref&gt; und schnürt daraus Themen-Pakete, die im Rahmen von zwei Jahren machbar wären. Möglicherweise werden in diesem Zuge auch vorgeschlagene Themenschwerpunkte etwas umformuliert oder zusammengefasst. Wenn die Themenschwerpunkte fertig geschnürt sind, werden sie im Wiki vorgestellt und können (und sollen) dort kommentiert werden, bevor die Umfrage beginnt. Damit dafür noch ausreichend Zeit bleibt, startet der Zeitraum für die Einreichungen schon jetzt. 

Die wichtigsten Meilensteine auf dem Weg zur Ermittlung des nächsten Themenschwerpunkts im Überblick:

* '''bis 14. November: Themen oder Probleme vorschlagen'''
* 6. bis 19. Dezember: Zur Wahl stehende Themenschwerpunkte kommentieren
* ''Feiertage und Puffer für Anpassungen''
* 24. Januar bis 6. Februar: Die Umfrage Technische Wünsche findet statt – es kann abgestimmt werden

Diejenigen, die keine Vorschläge für Themen oder Probleme haben, sind natürlich herzlich eingeladen, sich schon jetzt die nächsten Schritte vorzumerken. Wir werden unter anderem hier aber auch noch informieren, wenn der nächste Schritt beginnt. 

Einige Infos zum Konzept der Umfrage finden sich schon jetzt [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]]. Auf der dortigen [[w:WD:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind Fragen und Anregungen sehr willkommen. -- [[Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 12:56, 27. Okt. 2021 (CEST)

PS: Wenn du über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf deiner Diskussionsseite informiert werden möchtest, kannst du hier den [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|Newsletter]] abonnieren.
&lt;references /&gt;

== Bevorstehende Konsultation anlässlich der Wahlen zum Board of Trustees ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content /&gt;
:''Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback:2022 Board of Trustees election/Upcoming Call for Feedback about the Board of Trustees elections|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback:2022 Board of Trustees election/Upcoming Call for Feedback about the Board of Trustees elections}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Das Board of Trustees bereitet eine Konsultation der Community vom 7. Januar bis 10. Februar 2022 zu den bevorstehenden Boardwahlen vor.

Obwohl die Details erst in der Woche vor der Konsultation festgelegt werden, stehen schon jetzt mindestens zwei Fragen fest, die während der Konsultation gestellt werden sollen:

* Wie kann eine faire Vertretung aufstrebender Communities im Board am besten gewährleistet werden?

* Wie sollten sich die Kandidierenden während der Wahl einbringen dürfen?

Es können noch weitere Fragen hinzukommen, aber das Movement Strategy and Governance Team möchte den Mitgliedern der Communitys und den Affiliates Zeit geben, sich bereits mit den bestätigten Fragen auseinanderzusetzen und Ideen vorzubereiten, bevor die Konsultation beginnt. Wir entschuldigen uns dafür, dass wir zum jetzigen Zeitpunkt noch keine vollständige Liste der Fragen haben. Die Liste der Fragen sollte nur um ein oder zwei Fragen erweitert werden. Wir wollen die Communitys nicht mit Anfragen überhäufen, aber wir möchten sie darauf hinweisen und freuen uns über Feedback zu diesen wichtigen Fragen.

'''Möchtest du bei der Organisation von lokalen Gesprächsrunden während dieser Konsultation helfen?'''

Kontaktiere das [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance Team]] auf Meta, auf [https://t.me/wmboardgovernancechat Telegram], oder per E-Mail an msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org.

Bitte meldet euch, wenn ihr Fragen oder Bedenken habt. Das Team &quot;Movement Strategy and Governance&quot; wird bis zum 3. Januar nur in geringem Umfang besetzt sein. Bitte entschuldige eventuelle Verzögerungen während dieser Zeit. Wir wissen auch, dass einige Communitys und Affiliates über die Feiertage im Dezember offline sind. Wir entschuldigen uns, wenn unsere Nachricht dich während der Feiertage erreicht hat.

Beste Grüße,

das Movement Strategy &amp; Governance Team&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

{{int:thank-you}} [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 20:42, 27. Dez. 2021 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Schon mal vormerken: Vom 24.1. bis zum 6.2. findet die Umfrage Technische Wünsche statt ==

'''Die 6. Umfrage Technische Wünsche steht vor der Tür …'''
[[Datei:Boxillustruation-150pxwidth-png.png|300px|rechts|alt=Das Bild zeigt eine Wahlurne mit dem Logo des Projekts Technische Wünsche]]
… genauer gesagt hinter dem 24. Türchen. '''Vom 24. Januar bis 6. Februar 2022''' findet die nächste '''[[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]]''' in der deutschsprachigen Wikipedia statt. Wie schon in den letzten beiden Jahren geht es darum, den Bereich zu bestimmen, in dem technische Verbesserungen am dringendsten nötig sind. Mit diesem Bereich beschäftigt sich das Projektteam [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]] (WMDE) dann zwei Jahre lang, in engem Austausch mit den deutschsprachigen Communitys. 

Welcher Bereich das ist, sollen möglichst viele Menschen mitentscheiden können. Darum ist die Umfrage so aufgesetzt, dass man auch ohne technische Expertise oder langjährige Mitarbeit verstehen kann, worum es geht. Es stehen [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte#Diese 16 Themenschwerpunkte stehen zur Wahl|16 Themenschwerpunkte]] zur Wahl, die im Vorfeld gemeinsam mit den deutschsprachigen Communitys erarbeitet wurden. Neu ist in diesem Jahr, dass alle Abstimmenden angeben, welche fünf Themenschwerpunkte ihnen am wichtigsten sind. Das Konzept ist [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]] genauer beschrieben. Dort finden sich auch Antworten auf häufig gestellte Fragen und einiges mehr. Auf der [[w:Wikipedia Diskussion:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind außerdem Fragen und Anregungen sehr willkommen. 

Wir würden uns freuen, wenn ab dem 24. Januar auch viele Mitarbeitende aus den Schwesterprojekten mit dabei sind, denn die Verbesserungen, die bei den Technischen Wünschen umgesetzt werden, betreffen in der Regel alle Wikis. Technikkenntnisse oder viele Bearbeitungen sind ausdrücklich &lt;u&gt;nicht nötig&lt;/u&gt;, um teilzunehmen. Gerne weitersagen! -- Für das Team Technische Wünsche, [[w:Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 15:33, 6. Jan. 2022 (CET)

PS: Wer über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf der eigenen Diskussionsseite informiert werden möchte, kann [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|hier den Newsletter abonnieren]].

== Wiki Loves Folklore is back! ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;

{{int:please-translate}}

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]]
You are humbly invited to participate in the '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' an international photography contest organized on Wikimedia Commons to document folklore and intangible cultural heritage from different regions, including, folk creative activities and many more. It is held every year from the '''1st till the 28th''' of February.

You can help in enriching the folklore documentation on Commons from your region by taking photos, audios, videos, and [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:UploadWizard&amp;campaign=wlf_2022 submitting] them in this commons contest.

You can also [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Organize|organize a local contest]] in your country and support us in translating the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|project pages]] to help us spread the word in your native language.

Feel free to contact us on our [[:c:Commons talk:Wiki Loves Folklore 2022|project Talk page]] if you need any assistance. 

'''Kind regards,'''

'''Wiki loves Folklore International Team'''

--[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 14:14, 9. Jan. 2022 (CET)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Tiven2240/wlf&amp;oldid=22560402 --&gt;

== Umfrage zur Community-Wunschliste 2022 ==

[[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|right|200px]]
Die '''[[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2022|Umfrage zur Community-Wunschliste 2022]]''' ist ab jetzt eröffnet!

Diese Umfrage ist der Prozess, durch den Communities entscheiden, woran das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community Tech]] Team im kommenden Jahr arbeiten soll. Wir möchten jeden dazu ermutigen, sich bis zum '''23. Januar''' daran zu beteiligen, oder die Vorschläge anderer zu kommentieren, um sie zu verbessern.

Die Communities werden zwischen dem 28. Januar und dem 11. Februar über die Vorschläge abstimmen.

Das Community Tech-Team konzentriert sich auf Werkzeuge für erfahrene Wikimedia-Benutzer. Du kannst in jeder Sprache Vorschläge machen, wir werden sie für dich übersetzen. Vielen Dank, wir freuen uns auf Vorschläge von dir! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 19:12, 10. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Der Call for Feedback zu den Boardwahlen hat begonnen ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.'']]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Der Call for Feedback: Wahlen zum Board ist jetzt eröffnet und läuft bis zum 7. Februar 2022. 

Mit diesem Call for Feedback verfolgt das Team für Bewegungsstrategie und Governance einen neuen Ansatz. Er bezieht das Feedback der Community aus dem Jahr 2021 mit ein. Anstatt mit Vorschlägen zu beginnen, dreht sich der Call um Schlüsselfragen des Boards. Die Schlüsselfragen stammen aus den Rückmeldungen zur Boardwahl 2021. Ziel ist es, ein gemeinsames Gespräch und eine gemeinsame Entwicklung von Vorschlägen zu diesen Schlüsselfragen anzuregen.

[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections|Nimm an den Diskussionen teil.]]

Herzlichst,

das Movement Strategy &amp; Governance Team&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:18, 14. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Sprich mit dem Community Tech-Team ==

[[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|150px|{{dir|{{pagelang}}|left|right}}]]
{{int:Hello}}

Wir – das Team, das an der Umfrage zur Community-Wunschliste arbeitet – möchten dich zu einem Online-Treffen mit uns einladen. Es wird am [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220119T1800 '''{{#time:j xg|2022-01-19}} ({{#time:l|2022-01-19}}), {{#time:H:i e|18:00|de|1}}'''] per Zoom stattfinden und eine Stunde dauern. Für diese externe Plattform gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 '''Klick hier, um teilzunehmen'''].

'''Programm'''

* Bring Entwürfe deiner Vorschläge mit und sprich mit einem Mitglied des Community Tech-Teams über deine Fragen, wie du deinen Vorschlag verbessern kannst

'''Format'''

Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder übertragen. Eine Mitschrift ohne Namensnennung wird erstellt und auf Meta veröffentlicht. Die Präsentation (die gesamte Tagesordnung mit Ausnahme der Fragen und Antworten) wird auf Englisch gehalten.

Wir können Fragen auf Deutsch, Englisch, Französisch, Polnisch und Spanisch beantworten. Wenn du vorab Fragen stellen möchtest, füge sie auf der [[m:Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite der Abstimmung über die Technischen Wünsche]] ein oder sende sie an sgrabarczuk@wikimedia.org.

[[m:Special:MyLanguage/User:NRodriguez (WMF)|Natalia Rodriguez]] ([[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community-Tech]]-Manager) veranstaltet das Treffen.

'''Einladungslink'''

* [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 Nimm online teil]
* Meeting ID: &lt;span dir=ltr&gt;85804347114&lt;/span&gt;
* [https://wikimedia.zoom.us/u/keu6UeRT0T Wähle dich über deinen Ort ein]
Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 01:17, 18. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

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If your affiliate/language project is developing its own education initiatives, please remember to take advantage of this newsletter to publish your stories with the wider movement that shares your passion for education. You can submit newsletter articles in your own language or submit bilingual articles for the education newsletter. For the month of January the deadline to submit articles is on the 20th January. We look forward to reading your stories.

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&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;div style=&quot;margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[User:ZI Jony|&lt;span style=&quot;color:#8B0000&quot;&gt;'''ZI Jony'''&lt;/span&gt;]] [[User talk:ZI Jony|&lt;sup&gt;&lt;span style=&quot;color:Green&quot;&gt;&lt;i&gt;(Talk)&lt;/i&gt;&lt;/span&gt;&lt;/sup&gt;]], {{&lt;includeonly&gt;subst:&lt;/includeonly&gt;#time:l G:i, d F Y|}} (UTC)&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:ZI_Jony/MassMessage/Awareness_of_Education_Newsletter/List_of_Village_Pumps&amp;oldid=21244129 --&gt;

== Desktop Verbesserungen und Einladung zu Sprechzeiten ==

{{int:Hello}}. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet.

Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs, sowie weiteres betreffen.

Die Verbesserung sind nun als Standard für Leser und Editoren auf 24 Wikipedias festgesetzt, darunter für die [[:fr:|französische]], die [[:pt:|portugiesische]] und die [[:fa:|persische]] Wikipedia. 

Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector] Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen.

=== Seit dem letzten Update neu eingebaute Funktionen ===
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/User_menu|Nutzer Menü]] – die Navigation intuitiver gestalten durch die visuelle Hervorhebung der Struktur von Nutzer-Links und deren Zweck.
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Sticky Header|Sticky header]] – Zugriff auf wichtige Funktionen (Login, Versionsgeschichte, Diskussionen, etc.) ohne wieder an den Seitenanfang gehen zu müssen.

Für eine vollständige Liste der Funktionen besuche bitte die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektseite]]. Wir laden auch auf unsere [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Updates|Updates-Seite]] ein.
[[File:Table_of_contents_shown_on_English_Wikipedia_02.webm|thumb|600px|center]]
&lt;br clear=all&gt;
=== Wie man die Verbesserungen aktiviert ===
[[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]]
* Es ist möglich, [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|in den Einstellungen auf der Registerkarte &quot;Aussehen&quot;]] das Kästchen &quot;{{int:prefs-vector-enable-vector-1-label}}&quot; zu deaktivieren. (Es muss leer sein.) Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren.
* Wenn man der Meinung ist dass dies als Standard für alle Leser und Redakteure des Wikis gut wäre, kann man gerne eine Diskussion mit der Gemeinschaft beginnen und mich kontaktieren.
* In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors.

=== Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen ===
Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]].

Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am online-Meeting mit uns teilnehmen ([https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220127T1500 '''{{#time:j xg|2022-01-27}} ({{#time:l|2022-01-27}}), {{#time:H:i e|15:00|de|1}}''']).

So kann man an unserem Online-Treffen teilnehmen

* [https://wikimedia.zoom.us/j/89205402895 Nimm online teil]
* Meeting ID: &lt;span dir=ltr&gt;89205402895&lt;/span&gt;
* [https://wikimedia.zoom.us/u/kdPQ6k2Bcm Wähle dich über deinen Ort ein]

{{int:Feedback-thanks-title}}

Im Namen des Web-Teams der Wikimedia Foundation, [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 07:14, 25. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 5 ==

&lt;section begin=&quot;ucoc-newsletter&quot;/&gt;
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

&lt;span style=&quot;font-size:200%;&quot;&gt;'''Neues von Movement Strategy und Governance'''&lt;/span&gt;&lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:120%; color:#404040;&quot;&gt;'''Ausgabe 5, Januar 2022'''&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%; float:right;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]&lt;/span&gt;
----
Willkommen zur fünften Ausgabe der Movement Strategy und Governance Newsletter (früher bekannt als Universal Code of Conduct News)! Dieser neu gestaltete Newsletter enthält relevante Neuigkeiten und Ereignisse über die Movement Charta, den Universellen Verhaltenskodex, Grants zur Umsetzung der Movement Strategy, Board-Wahlen und andere relevante MSG-Themen.

Dieser Newsletter wird vierteljährlich verschickt, während häufigere Updates auch wöchentlich oder zweiwöchentlich an Abonnenten verschickt werden. Bitte denk daran, dich [[:m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|anzumelden]], wenn du diese Updates erhalten möchtest.
&lt;div style=&quot;margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;&quot;&gt;

*'''Call for Feedback zu den Board-Wahlen''' - Wir laden Euch ein, Euch Euer Feedback zu den anstehenden Wahlen zum WMF Board of Trustees zu geben. Der Call for Feedback wurde am 10. Januar 2022 veröffentlicht und wird am 16. Februar 2022 enden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Call for Feedback about the Board elections|Weiterlesen]])
*'''Ratifizierung des Universellen Verhaltenskodex''' - Im Jahr 2021 befragte die WMF die Communitys, wie der Text des Universellen Verhaltenskodexes umgesetzt werden soll. Der überarbeitete Entwurf der Umsetzungsleitlinien sollte im März zur Abstimmung durch die Community bereit sein. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Universal Code of Conduct Ratification|Weiterlesen]])
*'''Movement Strategy Implementation Grants''' - Während wir weiterhin viele interessante Vorschläge prüfen, ermutigen und begrüßen wir weitere Vorschläge und Ideen, die auf eine spezifische Initiative aus den Empfehlungen der Movement Strategy abzielen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Movement Strategy Implementation Grants|Weiterlesen]])
*'''Die Neuausrichtung des Newsletters''' - Da der UCoC-Newsletter in den MSG-Newsletter übergeht, können Sie gemeinsam mit dem Moderatorenteam über die Neuausrichtung des Newsletters nachdenken und entscheiden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#The New Direction for the Newsletter|Weiter lesen]])
*'''Diff Blogs''' - Die neuesten Veröffentlichungen über MSG findest Du auf Wikimedia Diff. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Diff Blogs|Weiterlesen]])&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;ucoc-newsletter&quot;/&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 02:51, 29. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Wiki Loves Folklore is extended till 15th March ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;{{int:please-translate}}

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]]
Greetings from Wiki Loves Folklore International Team,

We are pleased to inform you that [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore|Wiki Loves Folklore]] an international photographic contest on Wikimedia Commons has been extended till the '''15th of March 2022'''. The scope of the contest is focused on folk culture of different regions on categories, such as, but not limited to, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, etc.

We would like to have your immense participation in the photographic contest to document your local Folk culture on Wikipedia. You can also help with the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|translation]] of project pages and share a word in your local language.

Best wishes,

'''International Team'''&lt;br /&gt;
'''Wiki Loves Folklore'''

[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 05:50, 22. Feb. 2022 (CET)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=22754428 --&gt;

== Nicht vergessen: beteiligt Euch an den Gesprächen zum UCoC und stimmt mit ab! ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo allerseits,

Im Rahmen des Ratifikationsverfahrens für die Leitlinien zur Umsetzung des Universal Code of Conduct (UCoC) ist eine [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|'''Abstimmung in SecurePoll vom 7. bis 21. März 2022''']] geplant. Wahlberechtigte sind eingeladen, eine Umfragefrage zu beantworten und Kommentare zu teilen. [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information|Siehe Wahlinformationen und Details zur Wahlberechtigung]]. Bei der Umfrage werden die Wähler*innen gefragt, ob sie die Umsetzung des Universal Code of Conduct auf der Grundlage der vorgeschlagenen Leitlinien unterstützen.

Der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) bietet eine Grundlage für akzeptables Verhalten für das gesamte &quot;Movement&quot;. Die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinien im gesamten Movement veröffentlicht. In einer Erklärung des [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Board_noticeboard/January_2022_-_Board_of_Trustees_on_Community_ratification_of_enforcement_guidelines_of_UCoC|Wikimedia Foundation Board]] wird zu einem [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|Ratifikationsverfahren]] aufgerufen, bei dem die Stimmberechtigten die Möglichkeit haben, die Umsetzung der UCoC-Leitlinien in einer Abstimmung zu unterstützen oder abzulehnen. Wikimedianerinnen und Wikimedianer sind eingeladen, wichtige Informationen zu [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information/Volunteer|übersetzen und zu teilen]]. Weitere Informationen über den UCoC findest du auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|Projektseite]] und den [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/FAQ|häufig gestellten Fragen]] im Meta-Wiki.

Folgende Veranstaltungen sind geplant, um mehr zu erfahren und zu diskutieren:
* Ein [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations/Panel_Q&amp;A|Community-Panel]] am 18. Februar 2022 um 15:00 UTC zeigt die Perspektiven von Teilnehmern kleiner und mittelgroßer Communities auf.
* Das [[m:Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance]] (MSG) Team veranstaltet Gesprächsrunden am 25. Februar 2022 um 12:00 Uhr UTC und am 4. März 2022 um 15:00 Uhr UTC. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations|'''melde dich für diese Gesprächsrunden an''']], um mit dem Projektteam und dem Entwurfskomitee über die aktualisierten Leitlinien für die Umsetzung und das Ratifikationsverfahren zu sprechen. Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/2022_conversation_hour_summaries|Gesprächsrunde Hour summaries]] für Notizen vom 4. Februar 2022.

Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org oder ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Herzlichst,

Movement Strategy and Governance &lt;br /&gt;
Wikimedia Foundation &lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:12, 25. Feb. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Coming soon ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;de&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
=== Demnächst: Verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen ===

Hallo, ab dem 9. März werden verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen in deinem Wiki verfügbar sein:
* Grundlegende Verbesserungen des [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor-Vorlagendialogs]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|1]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen von einer Seite entfernen (VisualEditor)|2]]),
* Verbesserungen, um das Einfügen einer Vorlage auf einer Seite zu erleichtern ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen suchen und einfügen|3]]) (für die Vorlagendialoge in [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor]], dem [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:WikiEditor#/media/File:VectorEditorBasic-en.png|2010 Wikitext]] und dem [[Mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|neuen Wikitextmodus]]),
* und Verbesserungen in der Erweiterung für die Syntaxhervorhebung [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserung der Farben der Syntaxhervorhebung|4]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Zusammengehörige Klammerpaare hervorheben|5]]) (die auf Wikis mit Schreibrichtung von links-nach-rechts verfügbar ist).

Alle diese Änderungen sind Teil des Projekts „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Vorlagen]]“ der [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche|Technischen Wünsche bei WMDE]]. Wir hoffen, dass sie euch bei eurer Arbeit helfen werden und würden uns über euer Feedback auf den Diskussionsseiten dieser Projekte freuen. &lt;/div&gt; - [[m:User:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:38, 28. Feb. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&amp;oldid=22907463 --&gt;

== Universal Code of Conduct - Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien läuft vom 7. bis 21. März 2022 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo zusammen,

Die Abstimmung zur Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist jetzt eröffnet! Die '''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting|Abstimmung auf SecurePoll]]'' hat am 7. März 2022 begonnen und wird am 21. März 2022 abgeschlossen. Bitte [[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|lies mehr über die Informationen für Wähler und zur Wahlberechtigung]].

Der Universal Code of Conduct (UCoC) enthält die Grundregeln für akzeptables Verhalten im gesamten &quot;Movement&quot;. Die überarbeiteten Leitlinien zur Umsetzung wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinie im gesamten &quot;Movement&quot; veröffentlicht. Du kannst [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|mehr über das UCoC-Projekt]] lesen.

Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Herzlichst,

Movement Strategy and Governance

Wikimedia Foundation&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 18:03, 8. Mär. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Einladung Workshop neue Administratoren: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr ==

[[Datei:Wikipedia Administrator.svg|mini|alternativtext=Logo der Administratoren]]
Der '''2. Adminworkshop''' der deutschsprachigen Wikipedia findet am Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr online statt. Teilnehmen können sowohl Administratorinnen und Administratoren als auch alle anderen Interessierten. Auf der Agenda stehen Maßnahmen zur Verbesserung der Einarbeitung und Dokumentation des Adminjobs. Weitere Infos zur Teilnahme findet ihr im neu gegründeten
'''[[w:Wikipedia:WikiProjekt Administratoren/Workshops#2. Admin-Workshop: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr|WikiProjekt Administratoren]]'''. Weitere Workshops werden ebenfalls auf dieser Seite angekündigt.&lt;/br&gt;
Im Rahmen der [[w:Wikipedia:AdminConvention 2022|AdminCon 2022]] wurde der Wunsch geäußert die Zusammenarbeit unter den Admins zu verbessern und neue gewählte in die verantwortungsvollen Aufgaben einzuführen. Daraus hat sich das neue Format der regelmäßigen Workshops entwickelt. Die Schwesterprojekte möchten wir einladen sich zu beteiligen, um besser voneinander lernen zu können. Gruß, --[[Benutzer:Wnme|Wnme]] 21:27, 11. Mär. 2022 (CET)

== Wiki Loves Folklore 2022 ends tomorrow ==

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]]
International photographic contest [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022| Wiki Loves Folklore 2022]] ends on 15th March 2022 23:59:59 UTC. This is the last chance of the year to upload images about local folk culture, festival, cuisine, costume, folklore etc on Wikimedia Commons. Watch out our social media handles for regular updates and declaration of Winners. 

([https://www.facebook.com/WikiLovesFolklore/ Facebook] , [https://twitter.com/WikiFolklore Twitter ] , [https://www.instagram.com/wikilovesfolklore/ Instagram])

The writing competition Feminism and Folklore will run till 31st of March 2022 23:59:59 UTC. Write about your local folk tradition, women, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, folk games, folk cuisine, folk wear, folklore, and tradition, including ballads, folktales, fairy tales, legends, traditional song and dance, folk plays, games, seasonal events, calendar customs, folk arts, folk religion, mythology etc. on your local Wikipedia. Check if your [[:m:Feminism and Folklore 2022/Project Page|local Wikipedia is participating]]

A special competition called '''Wiki Loves Falles''' is organised in Spain and the world during 15th March 2022 till 15th April 2022 to document local folk culture and [[:en:Falles|Falles]] in Valencia, Spain. Learn more about it on  [[:ca:Viquiprojecte:Falles 2022|Catalan Wikipedia project page]].

We look forward for your immense co-operation.

Thanks 
Wiki Loves Folklore international Team
[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 15:40, 14. Mär. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=22754428 --&gt;

== Die Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien des Universal Code of Conduct ist beendet. ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''
Hallo,

Die Abstimmung über die Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist am 21. März 2022 zu Ende gegangen. Über {{#expr:2300}} Wikimedianer/innen haben in verschiedenen Regionen unseres &quot;Movements&quot; abgestimmt. Vielen Dank an alle, die sich an diesem Prozess beteiligt haben! Die Prüfergruppe überprüft jetzt die Abstimmung auf ihre Richtigkeit. Bitte gib ihnen bis zu zwei Wochen Zeit, um ihre Arbeit abzuschließen.

Die endgültigen Ergebnisse der Abstimmung werden [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Results|hier]] bekannt gegeben, zusammen mit den relevanten Statistiken und einer Zusammenfassung der Kommentare, sobald sie verfügbar sind. Bitte sieh dir [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|die Wählerinformationsseite]] an, um mehr über die nächsten Schritte zu erfahren. Du kannst auf der Projekt-Talkseite [[m:Talk:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|im Meta-Wiki]] in jeder Sprache Kommentare abgeben. Du kannst das UCoC-Projektteam auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Viele Grüße,

Movement Strategy and Governance&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 03:19, 30. Mär. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen ==

[[File:New table of contents shown on English wikipedia.png|thumb]]
Hallo!

Habt ihr bemerkt, dass einige Wikis eine veränderte Desktop-Oberfläche haben? Interessiert ihr euch für die nächsten Schritte? Vielleicht habt ihr Fragen oder Ideen zum Design oder technischen Details?

Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''29. April 2022 um 15:00 CEST, 20:00 CEST''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/88045453898 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 88045453898. [https://wikimedia.zoom.us/u/kcOMICmyyA Wähle dich über deinen Ort ein].

'''Agenda'''

* Informationen zu den letzten Entwicklungen
* Fragen und Antworten, Diskussion

'''Format'''

Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder gestreamt. Notizen werden in einem [https://docs.google.com/document/d/1G4tfss-JBVxyZMxGlOj5MCBhOO-0sLekquFoa2XiQb8/edit# Google Doc] aufgezeichnet. [[mw:User:OVasileva_(WMF)|Olga Vasileva]] (Produkt-Manager) veranstaltet das Treffen. Der Präsentationsteil findet auf Englisch statt.

Wir können Fragen beantworten, die auf Englisch, Französisch, Italienisch und Polnisch. Wenn du im Voraus Fragen stellen möchtest, kannst du diese auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Diskussionsseite]] stellen oder an sgrabarczuk@wikimedia.org senden.

At this meeting, both [[foundation:Friendly_space_policy|Friendly space policy]] and the [[mw:Special:MyLanguage/Code_of_Conduct|Verhaltensregeln]] for Wikimedia technical spaces apply. Für Zoom gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht.

Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 02:29, 26. Apr. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Bald gibt es weitere Verbesserung rund um die Arbeit mit Vorlagen ==

[[File:Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors durch das Technische Wünsche Team.webm|thumb|Grundlegende Überarbeitung des Vorlagendialogs]]
Hallo, in Kürze kommen weitere Verbesserungen rund um Vorlagen in dein Wiki:

Der [[mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|'''Vorlagendialog''' im VisualEditor]] und im [[mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|2017 Wikitext-Editor]] (Beta-Funktion) wird '''grundlegend verbessert''':
Dies soll dabei helfen, besser zu verstehen, was die Vorlage erwartet, wie man in der Vorlage navigieren kann, und wie man Parameter hinzufügt.
* [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Diskussionsseite]]

In der '''Syntaxhervorhebung''' ([[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]]-Erweiterung), kann ein Modus für '''Farbfehlsichtige''' in den Einstellungen aktiviert werden. 
* [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Diskussionsseite]]

Die Bereitstellung soll am 10. Mai erfolgen. Dies sind die letzten Verbesserungen aus dem Themenschwerpunkt „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]” des Projekts [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. 

Wir freuen uns über Feedback auf den Diskussionsseiten! -- Für das Team Technische Wünsche: [[w:de:Benutzerin:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:26, 29. Apr. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&amp;oldid=23222382 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Editing news 2022 #1&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;&lt;i&gt;[[metawiki:VisualEditor/Newsletter/2022/April|In einer anderen Sprache lesen]] • [[m:VisualEditor/Newsletter|Abonnement-Liste für den Newsletter]]&lt;/i&gt;
[[File:Junior Contributor New Topic Tool Completion Rate.png|thumb|Neue *Editoren waren erfolgreicher mit dem neuen Werkzeug.]]

Das [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools#New discussion tool|New topic tool]](EN) hilft Bearbeitenden neue ==Abschnitte== auf Diskussionsseiten zu erstellen. Neue *Nutzer sind erfolgreicher mit diesem Werkzeug. Es gibt einen entsprechenden [[mw:Talk pages project/New topic#21 April 2022|Bericht]](EN). Bald wird die Funktion bei allen Wikiprojekten freigegeben, die am Test teil genommen haben. Die Funktion ist ausschaltbar: [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing-discussion]].&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

[[User:Whatamidoing (WMF)|Whatamidoing (WMF)]] 20:55, 2. Mai 2022 (CEST)&lt;small&gt;, übersetzt auf wb durch [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;/small&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Quiddity (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&amp;oldid=22019984 --&gt;

== Update zu den Desktop-Verbesserungen ==

[[File:Table of contents shown on English Wikipedia 02.webm|thumb]]
; Dies zum neuen Standard machen
Hallo. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Unsere Arbeit ist fast beendet! 🎉

Wir würden uns freuen, wenn diese Verbesserungen der Standard für alle Leser und Autoren in allen Wikis werden würden. &lt;span style=&quot;background-color:#fc3;&quot;&gt;In den kommenden Wochen werden wir Gespräche mit weiteren Wikis beginnen, darunter auch deins. 🗓️&lt;/span&gt; Gerne lesen wir eure Anregungen!

Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs sowie Weiteres betreffen. Die Verbesserungen sind bereits auf mehr als 30 Wikis in den Standardeinstellungen für Leser und Autoren sichtbar, unter anderem in den Wikipedias auf [[:fr:|Französisch]], [[:pt:|Portugiesisch]] und [[:fa:|Persisch]].

Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector]-Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen.

; Die neuesten Funktionen
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Table of contents|Inhaltsverzeichnis]] - Unsere Version ist einfacher zu erreichen, erhält den Kontext der Seite und ermöglicht die Navigation auf der Seite, ohne zu scrollen. Es wird derzeit in unseren Pilot-Wikis getestet.  Es ist auch für Benutzer verfügbar, die den Skin Vector 2022 aktiviert haben.
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Page tools|Seitenwerkzeuge]] - Es gibt nun zwei Arten von Links in der Seitenleiste. Es gibt Aktionen und Werkzeuge für einzelne Seiten (wie [[Special:RecentChangesLinked|Änderungen an verlinkten Seiten]]) und Links für das ganze Wiki (wie [[Special:RecentChanges|Letzte Änderungen]]). Wir werden diese in zwei intuitive Menüs aufteilen.
; Wie man die Verbesserungen aktiviert
[[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]]
* Es ist möglich, die Funktionen zu aktivieren, indem man [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|im Reiter &quot;Aussehen&quot; in den Einstellungen]] &quot;{{int:skinname-vector-2022}}&quot; auswählt. Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren.
* In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors.

; Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen

Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Online-Treffen mit uns teilnehmen]].

Danke! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 17:54, 21. Jun. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Results of Wiki Loves Folklore 2022 is out! ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
{{int:please-translate}}
[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]]

Hi, Greetings

The winners for '''[[c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' is announced!

We are happy to share with you winning images for this year's edition. This year saw over 8,584 images represented on commons in over 92 countries. Kindly see images '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Winners|here]]'''

Our profound gratitude to all the people who participated and organized local contests and photo walks for this project.

We hope to have you contribute to the campaign next year.

'''Thank you,'''

'''Wiki Loves Folklore International Team'''

--[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 18:12, 4. Jul. 2022 (CEST)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=23454230 --&gt;

==  Schlage Stellungnahmen für den Wahl-Kompass 2022 vor ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Liebe alle,

Community-Mitglieder sind anläßlich der [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022|Wahl zum Board of Trustees 2022]] eingeladen, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|Vorschläge für Aussagen im Wahl-o-mat zu machen]].

Ein Wahl-o-mat ist ein Instrument, das den Wähler*innen hilft, die Kandidat*innen auszuwählen, die am besten mit ihren Überzeugungen und Ansichten übereinstimmen. Community-Mitglieder schlagen den Kandidat*innen Aussagen vor, die sie mit Hilfe einer Lickert-Skala (zustimmen/neutral/ nicht zustimmen) beantworten sollen. Die Antworten der Kandidat*innen auf die Aussagen werden in den Wahl-o-mat eingepflegt. Die Wähler/innen nutzen das Tool, indem sie ihre Antwort auf die Aussagen eingeben (zustimmen/ablehnen/neutral). Die Ergebnisse zeigen die Kandidat*innen, die am besten mit den Überzeugungen und Ansichten der Wähler*innen übereinstimmen.

Hier ist die Zeitleiste für den Wahl-o-mat:

8. bis 20. Juli: Freiwillige schlagen Aussagen für den Wahl-Kompass vor

21. - 22. Juli: Der Wahlausschuss überprüft die Erklärungen auf ihre Klarheit und streicht themenfremde Erklärungen.

23. Juli - 1. August: Die Communitys stimmen über die Erklärungen ab

2. bis 4. August: Der Wahlausschuss wählt die 15 besten Stellungnahmen aus

5. bis 12. August: Kandidat*innen positionieren sich zu den Aussagen

15. August: Der Wahl-o-mat steht ab jetzt den Wahlberechtigten zur Verfügung, um sie bei ihrer Wahlentscheidung zu unterstützen.

Der Wahlausschuss wird Anfang August die 15 besten Aussagen auswählen. Der Wahlausschuss wird den Prozess überwachen, unterstützt vom Movement Strategy and Governance Team. MSG prüft, ob die Fragen klar sind, ob es keine Duplikate gibt, ob es Tippfehler gibt und so weiter.

Beste Grüße,

Movement Strategy and Governance

''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:Xeno (WMF)|Xeno (WMF)]] 17:17, 12. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''
Das Team &quot;Movement Strategy and Governance&quot; sucht nach Community-Mitgliedern, die sich als Wahlhelfer bei den anstehenden Wahlen zum Board of Trustees zur Verfügung stellen.

Die Idee für das Wahlhelferprogramm entstand während der Wahlen zum Wikimedia Board of Trustees 2021. Das Programm erwies sich als erfolgreich. Mit Hilfe der Wahlhelfer*innen konnten wir die Reichweite und die Beteiligung an der Wahl im Vergleich zu 2017 um 1.753 Wähler/innen erhöhen.  Die Wahlbeteiligung lag insgesamt bei 10,13 %, 1,1 Prozentpunkte höher, und 214 Wikis waren bei der Wahl vertreten. 

Aber in insgesamt 74 Wikis, die 2017 nicht teilgenommen haben, haben bei der Wahl 2021 Wähler*innen mitgemacht. Willst du mithelfen, die Beteiligung zu verbessern?

Wahlhelfer*innen werden in den folgenden Bereichen helfen:
* Übersetzen von Kurznachrichten und Ankündigung der laufenden Wahlen in den Kanälen der Communitys
* Optional: Beobachte die Community-Kanäle auf Kommentare und Fragen der Communitys

Freiwillige sollten:

* Bei Gesprächsrunden und Veranstaltungen die Friendly-Space-Politik aufrechterhalten
* Der Community die Leitlinien und Abstimmungsinformationen auf neutrale Art und Weise präsentieren

Möchtest du dich als Wahlhelfer*in engagieren und dafür sorgen, dass deine Community bei der Wahl vertreten ist? Melde dich [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|hier]] an, um aktuelle Informationen zu erhalten. Du kannst die [[m:Special:MyLanguage/Talk:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|Diskussionsseite]] für Fragen zur Übersetzung nutzen.&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:MNadzikiewicz (WMF)| MNadzikiewicz (WMF)]] 10:45, 20. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Bekanntgabe der sechs Kandidat*innen für die Wahl zum Board of Trustees 2022 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot;/&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo zusammen,

Das Wahlverfahren der Affiliates (Chapter und Usergroups) ist abgeschlossen. Vertreter*innen der einzelnen Affiliates (Chapter und Usergroups) haben sich über die Kandidat*innen informiert, indem sie die Erklärungen der Kandidat*innen gelesen, die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen geprüft und die vom Analyse-Komitee erstellten Bewertungen der Kandidat*innen berücksichtigt haben. Die ausgewählten Kandidat*innen für das Board of Trustees 2022 sind:

* Tobechukwu Precious Friday ([[User:Tochiprecious|Tochiprecious]])
* Farah Jack Mustaklem ([[User:Fjmustak|Fjmustak]])
* Shani Evenstein Sigalov ([[User:Esh77|Esh77]])
* Kunal Mehta ([[User:Legoktm|Legoktm]])
* Michał Buczyński ([[User:Aegis Maelstrom|Aegis Maelstrom]])
* Mike Peel ([[User:Mike Peel|Mike Peel]])

Du kannst mehr Informationen über die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Results|Ergebnisse]] und [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Stats|Statistiken]] dieser Boardwahlen sehen.

Bitte nimm dir einen Moment Zeit, um den Vertretern der Affiliates (Chapter und Usergroups) und den Mitgliedern des Analyse-Komitees dafür zu danken, dass sie an diesem Prozess teilgenommen und dazu beigetragen haben, das Board of Trustees in seiner Kapazität und Diversität zu erweitern. Diese Stunden ehrenamtlicher Arbeit verbinden uns über Verständnis und Perspektive hinweg. Vielen Dank für deine Teilnahme.

Vielen Dank an die Community-Mitglieder, die sich als Kandidat*in für das Board of Trustees zur Verfügung gestellt haben. Die Entscheidung, in das Board of Trustees einzutreten, ist keine leichte Entscheidung. Die Zeit und das Engagement, das die Kandidat*innen bis jetzt gezeigt haben, sprechen für ihr Engagement in diesem &quot;Movement&quot;. Herzlichen Glückwunsch an die Kandidat*innen, die ausgewählt worden sind. Große Anerkennung und Dankbarkeit für die Kandidat*innen, die nicht ausgewählt wurden. Bitte stellt Wikimedia weiterhin eure Führungsqualität zur Verfügung.

Vielen Dank an alle, die bei dieser Boardwahl das Affiliate-Verfahren verfolgt haben. Du kannst die Ergebnisse der Wahl der Affiliates (Chapter und Usergroups) einsehen.

Der nächste Teil der Boardwahlen ist die Community-Wahlperiode. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022#Timeline|Hier kannst du den Zeitplan für die Boardwahlen einsehen]]. Zur Vorbereitung der Community-Wahlperiode gibt es einige Dinge, an denen sich Community-Mitglieder auf folgende Weise beteiligen können:

* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Lest die Aussagen der Kandidat*innen]] und die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen der Affiliate-Vertreter*innen.
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Questions_for_Candidates|Schlage Fragen vor und wähle 6 aus, die die Kandidat*innen während ihres Video-Q&amp;A beantworten sollen]].
* Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Analyse-Komitee Bewertungen der Kandidat*innen auf der Erklärung der einzelnen Kandidaten]].
* [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Community Voting/Election Compass|Vorschläge zu Aussagen für das Wahlomat-Tool]] können die Wähler*innen nutzen, um herauszufinden, welche Kandidat*innen am besten zu ihren Prinzipien passen.
* Ermutige andere in deiner Community, sich an den Wahlen zu beteiligen.

Beste Grüße,

Movement Strategy and Governance

''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot;/&gt;

[[User:MNadzikiewicz (WMF)|MNadzikiewicz (WMF)]] 15:20, 20. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;</text>
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    <title>Segelflug: Seitengleitflug</title>
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      <timestamp>2022-07-20T15:10:21Z</timestamp>
      <contributor>
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      </contributor>
      <comment>/* Einsatzgebiete */Endteil ist falsch. Endanflug ist richtig</comment>
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      <text bytes="2085" xml:space="preserve">{{Navigation Thema
|zurücklink=Segelflug: Landung
|hochlink=Segelflug
|vorlink=Segelflug: Streckenflug}}

Der Seitengleitflug ist einer der stabilsten Flugzustände überhaupt und baut sehr effektiv Höhe ab.
Er wird umgangssprachlich einfach Slip (aus dem Englischen), und das Ausführen dieses Flugzustandes Slippen, genannt.

== Ausführung ==
=== Verfahren ===
'''Wie slippt man?'''
Zuerst schlägt man das Querruder in die Richtung aus, in die man slippen will (in den Wind).
Wegen des negativen Wendemoments, giert das Flugzeug jetzt kurz in die Gegenrichtung.
Durch volles Seitenruder in die Richtung des negativen Wendmoments, hält man das Flugzeug in der seitlichen Lage und kontrolliert die Fluglage mit Höhen- und Querruder.
Auch wenn der Fahrtmesser jetzt mangels Anströmung der Druckabnahme 0 km/h anzeigt stürzt man nicht ab.

'''Ausleiten?'''
Das Ausleiten funktioniert in genau entgegengesetzter Reihenfolge, allerdings ist darauf zu achten, dass es nicht zu aggressiv erfolgt. Ansonsten kann bei geringer Fahrt die hängende Fläche beim Zurückdrehen zu langsam werden und das Flugzeug kippt über diese in's Trudeln.

'''Wohin slippt man?'''
Man slippt so, dass die Nase gegen die Windrichtung zeigt.
Bei Windstille ist es natürlich egal.

'''Sonstiges''':
Zumindest bei der Ka8 kann der Slip durch leichtes Ausfahren der Bremsklappen gut stabilisiert werden.

=== Einsatzgebiete ===
Der Seitengleitflug wird hauptsächlich dazu verwendet, schnell Höhe zu verlieren.
Zu diesem Bedarf kann es aus verschiedenen Gründen kommen.
Im Normalfall wird die Platzrunden- und Landeeinteilung fachgerecht vorgenommen.
Wird jedoch im Endanflug festgestellt, dass die Höhe immer noch zu hoch ist, und die Bremsklappen nicht ausreichen, so kann man in diesem Fall slippen.
Anderer Bedarf könnte entstehen, falls während eines Streckenfluges (mit entsprechend hoher Flughöhe) ein heftiger Wetterumschwung (Gewitter o.&amp;nbsp;ä.) falsch eingeschätzt wurde und eine schnelle sichere Landung angestrebt wird.


Interessant sind [[Segelflug: Streckenflug|Streckenflüge]].</text>
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    <title>Benutzer Diskussion:Yomomo</title>
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      <timestamp>2022-07-20T18:09:24Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Petrus3743</username>
        <id>38710</id>
      </contributor>
      <comment>Neuer Abschnitt /* Die Klassischen Probleme der antiken_Mathematik */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="93570" xml:space="preserve">
== Rho und Quellen ==

Hallo Yomomo,

auf irgendwelchen Hauptseiten wollte ich das nicht besprechen (falls es was zu besprechen gibt): 

* Deine Löschung von Rhos Seite fand ich nicht so ganz einwandfrei. Oder hast Du mit ihm vorher gesprochen? Wenn Du vorher nicht mit ihm gesprochen hast, hätte ich eine Löschankündigung ([[Wikibooks:Löschkandidaten/_Löschankündigungen]]) für aktzeptabel gehalten.
* Ich stimme zwar mit Deiner Ansicht über den &quot;Quellenkult&quot; (sehr schönes Wort) überein, aber Du hast Dich mit der Quellenarbeit nicht sonderlich hervorgetan, finde ich. 
*:Kritikpunkte im Einzelnen:
*:* nur wenig Quellen
*:* kein sauberer Seitenverweis und Hinweise auf Übersetzungsmöglichkeiten bei Fremdsprachen
*:* falsche Übernahme von Daten aus Quellen
*:* falsche Autorennennung
*:* davon abgesehen, dass der Quellenangabe Daten fehlten, wie zum Beispiel das Abrufdatum (was ich hier auf Nutzer- und Diskussionsseiten allerdings nicht ganz so schlimm finde, wollte es nur der Vollständigkeit halber erwähnen)
*:Daher finde ich es schwierig, wenn Du über Quellen redest.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 14:37, 27. Dez. 2020 (CET)

{{-|Im Lösch-Logbuch steht als Begründung: „Einverständnis des Autors nach Löschdiskussion“. Allerdings kann ich nirgends ein Einverständnis von Rho zur Löschung erkennen, nur dass er die Kritik an der Recht-Seite versteht bzw. nachvollziehen kann. – In aller Regel muss bei einer Seite auch die dazugehörige Disk. gelöscht werden. – Darüber hinaus will ich mich in eure Diskussion nicht einmischen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 15:31, 27. Dez. 2020 (CET)}}

{{--|Ich nehme an, Yomomo meinte das hier: [[Spezial:Diff/940131/940141]]. Wegen des nicht-erkennbaren mangelnden Einverständnisses habe ich das hier thematisiert. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 16:45, 27. Dez. 2020 (CET)}}

{{---|Ich hab es so in Erinnerung, dass Rho irgendwo geschrieben hatte, dass es ihm lieber ist, selber seine Seiten zu löschen. Da er den ganzen Inhalt tatsächlich selber gelöscht hatte, ging ich davon aus, dass er damit gemeint hat, dass er die Seite nicht mehr braucht. Wenn ich das doch missverstanden habe, kann er ja selber sich beschweren, man kann ja jeder Zeit die Seite wieder- oder erneut erstellen... Was Quellen hier in Wikibooks betrifft, da hast du Hirnspuk ja Recht, ich hab letztendlich in meinen Bücher keine oder kaum eine Quelle angegeben. Das ist also irgendwie völlig auf der anderen Extreme. Andererseits ist es doch Standard Mathematik (oder Physik) Wissen. Im Notfall könnte ich als Bibliographie irgendwelche Schulbücher (egal welche) angeben und langsam (mit Seitenangabe und alles) nachholen... Das ist ja auch in den anderen Bücher hier unterschiedlich, manche haben (noch) keine Literatur (z.B. [[Staatsbürgerkunde Deutschland]], manche nur Wikipedia Seiten (z.B. [[Familie Blaumeise]]) andere wieder ein ziemlich ausführliche Literatur (vor allem mit Internet Seiten (z.B. [[Computerhardware für Anfänger]]) usw,  LG!!}}

KOMMENTAR Rho : 
Geht in Ordnung mit der Löschung. 
[[Benutzer:Rho]][[Spezial:Beiträge/2003:D3:870E:C31:D5DE:C503:6C65:57A1|2003:D3:870E:C31:D5DE:C503:6C65:57A1]] 17:34, 28. Dez. 2020 (CET)

Hallo Yomomo,

keine Hektik. 

Die Löschung bei Rho hat sich ja nun erledigt. (Er hatte übrigens nur die Diskussion entfernt, die Du nicht gelöscht hast, was Du noch nachholen solltest, und nicht die Seite selbst). Tendenziell machst Du Dich als Admin mit so einem Verhalten aber angreifbar. An &quot;Löschen über den kurzen Dienstweg&quot; habe ich überhaupt nichts auszusetzen. Mich stört aber eine Löschung &quot;ohne Kontaktaufnahme&quot; wie es leider hier üblich und in den verbuddelten Regeln erläutert ist. Dein Löschen hier war für mich so ein gefühltes Mittelding.

Mathematik braucht ja quasi keine Quellenangaben. Wobei es mal eine hübsche Herausforderung wäre, ein Mathelehrbuch zu schreiben, wo wirklich alle Primär-Quellen angegeben sind; das gehört aber wohl in die Kategorie &quot;Lebensaufgabe&quot; {{Smiley}}. Auch Lehrbücher haben üblicherweise keine Quellenangaben, eher weiterführende/empfohlene Literatur. Deine Corona-Kritik hingegen sollte Quellen haben. Die meinte ich. Dort hast Du weder Zitationsstandards verwendet, noch hast Du die Quellen, die Du verwendet hast, sinnvoll erläutert und eingebunden. Im Fließtext, wo Du Dich immer wieder auf Informationen beziehst, sollten Quellen angegeben werden, die aber fehlen. Sonst ist die Seite Deine persönliche Meinung, und hinterlässt, wie ich schon schrieb, keinen guten Eindruck.

PS: Du solltest daran denken, auch auf Deiner eigenen Diskussionsseite zu unterschreiben {{Smiley}}.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:53, 28. Dez. 2020 (CET)

:Hallo Hirnspuk! Danke für die Kommentare! {{Smiley}} ähm, ja, unterschreiben muss ich auch machen. Die Seite von Rho hatte er doch schon selber vorher geleert, ich weiß nicht, ob ein nicht Admin das sehen kann, sonst hätte ich das sicher nicht gemacht... Ist aber jetzt schon vorbei {{Smiley}}...  Die Disk Seite war jetzt zwar nicht leer, aber da war nur dein Eintrag geblieben (und die ganze Disk steht ja in der Disk von Rho)... Also hab ich jetzt auch gelöscht. Über die Korona-Maßnahmen Kritik, hast du ja auch Recht, wenn ich wieder Zeit dafür habe, werde ich nachholen und auch als Dialog entwickeln (mit Argumenten und Gegenargumenten) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 21:10, 28. Dez. 2020 (CET)

{{--|Hallo Yo, nein, ich bin ziemlich sicher, ein Nicht-Admin kann das nicht sehen. Dann ist der kurze Dienstweg ja erfüllt {{Smiley}}. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 22:11, 28. Dez. 2020 (CET)}}

== Bürokrat ==

Moin Yomomo,
ich würde deine Kandidatur unterstützen. Ich halte dich für einen sehr fähigen und kompetenten Administrator und bin froh, dass du bei WB mitarbeitest. Viele Grüße -- [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 22:33, 15. Feb. 2021 (CET)
: Hey Qwertz. Vielen vielen Dank :-). Wie schon in der Seite von Jürgen geschrieben, ich hab nachgeschaut. Es ist so, dass das einzige, was einen Bürokrat von einem Admin unterscheidet, ist Adminrechte nach den Wünschen der Community geben zu können (aber nicht weg zu nehmen). Bei kleineren Communities wird die Sache in der Regel von Stewards erledigt, also, no big deal. Über die Haltung von HirnSpuk kann ich nur sagen, dass ich mir vorstellen kann, dass es vor allem an seine unterschiedliche Meinung was Korona betrifft liegt. Zu diesem Thema kann ich nur sagen, dass ich seine Kritik wirklich extrem schätze und für mich in der Regel sehr hilfreich ist (auch wenn wir einer anderen Meinung sind) :-). Danke nochmal und LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 22:46, 15. Feb. 2021 (CET)
{{--|Kurze Rückmeldung, weil ich es grad sehe: Ja, es liegt an der Corona-Seite. Ein Admin und ein Bürokrat hat in meinen Augen ein Vorbild zu sein und das sehe ich auf der Corona-Seite einfach nicht. Aber es scheint ja zu werden {{Smiley}} (PS: Schweden macht jetzt auch langsam vorsichtig in Masken: https://www.thelocal.se/20210223/stockholm-set-to-announce-new-coronavirus-measures/ {{Smiley|;-)}}). Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:54, 4. Mär. 2021 (CET)}}

== SLAs und Struktur ==

Hallo Yo,

zu den beiden SLAs (Achtung: Das ist nur meine Meinung):
* Seite aus Planimetrie → Das Problem entstand aus der [[Vorlage:AutoInhalt]], die dort benutzt wird. Ich finde das so, wie es dort steht überaus unglücklich. Ich würde aber tatsächlich Deinen Einwand dort stehen lassen und entweder die Autoren des Buches oder die Autoren der Vorlage tätig werden lassen oder ansprechen, dass sie das Problem beseitigen. Zweite Variante: das ist ein Autorenwunsch und könnte einfach durchgeführt werden. Damit beseitigt man aber nicht das Problem und macht nur Symptombekämpfung.
* Seite aus dem Kochbuch ist etwas schwieriger. Man könnte Guy mal begrüßen und ihn betreuen und nach den Plänen fragen. Die Änderung und Löschung einfach so, wäre mir zu schwammig. Deine Einwände, die Du auf der Seite schreibst, finde ich sinnvoll, daher würde ich diese Löschung auch nicht durchführen. Solange es in der Wikipedia einen Eintrag über die Bremer Küche gibt, nimmt das Löschen der Seite Informationen aus dem Kochbuch. Und ich persönlich fänd das blöd.
Oder Du lässt halt einfach einen anderen Admin entscheiden, wenn es denn mal jemand sieht.

Zu Struktur, wegen der Schokobanane: 
Grundsätzlich hätte ich nichts gegen die Entwicklung von Texten im Hauptnamensraum, wenn sie denn sinnvoll kategorisiert sind und es Regeln für ihre Erstellung und Wartung gibt. Was hälst Du davon, wenn wir [[Benutzer:HirnSpuk/_Wikibooks_Projektentwicklung/_2018]] wieder aufleben lassen (Das hatte Jürgen mal in meinen BNR verschoben,&quot;[[Benutzer_Diskussion:HirnSpuk#Wikibooks-Projektentwicklung|weil so etwas bei uns nicht gemacht wird]]&quot;)? Mein Gedanke war, auf dieser Seite genausowas zu besprechen. Oder hast Du da kein Interesse dran? Was dagegen, wenn ich das alleine machen würde?

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:40, 4. Mär. 2021 (CET)

PS: Ists eigentlich okay für Dich, wenn ich Yo sage?

:Ja, Yo finde ich ganz OK :-). Ich hab deine Links über Projektentwicklung kurz geschaut. Ja, es bedarf schon Änderungen. Ich merke allerdings, dass für WikiFoundation der geringere Anzahl von Freiwilligen allgemein ein Problem darstellt. Ich denke mir, dass, dieses Problem zu lösen, noch wichtiger ist. Hast du da Ideen?

:Auf der anderen Seite: Die ganze Geschichte mit den Maßnahmen angeblich gegen Korona bedruckt mich immer mehr und mehr. Ich bin wirklich am Rand des Wahnsinns (wenn ich nicht die Grenze schon überquert habe). In Schweden haben wir NULL Übersterblichkeit für die Saison 2019-20 gehabt. NULL!!! Voraussichtlich wird es auch nächstes Jahr auch so sein (die Übersterblichkeit in der jetzigen Welle war niedriger trotz höhere Anzahl von Todesfälle). In Österreich wird die sogenannte &quot;Inzidenz&quot; als Entscheidungswegweiser benutzt. EINE ABSOLUTE ZAHL!!! OHNE JEGLICHE BERÜCKSICHTIGUNG DARAUF, WIE VIELE TESTS GEMACHT WERDEN!!! Geschweige jetzt Randomisierung. Grundsätze der wissenschaftliche Arbeit werden, einfach so, völlig ignoriert. Der VfGH hat schon Entscheidungen gegen die Maßnahmen getroffen. Der VfGH wird AUCH IGNORIERT!!! Einfach so. Und offenbar gibt es keine Strafen, wenn eine Regierung Entscheidungen trifft, die das Grundgesetz widersprechen. Also, wenn ich jetzt über Rot fahre, muss ich schon bezahlen, das Grundgesetz hingegen ist nicht wichtig, da kann man alles machen, kein Problem. Das Volk wird ja nächstes mal entscheiden, oder? Das kann ich mir nicht glauben. Das ist aber so. Wie auch immer, du bist ja da einer anderen Meinung, was kann man machen. Jetzt bin ich allerdings der Sache ein bisschen los. Therapiestunde {{smiley}}! LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:38, 4. Mär. 2021 (CET)

:PS: Über die SLA: Ich lasse sie so, bis vielleicht jemand reagiert, ich bin eher deiner Meinung auch, die du hier oben ausgedrückt hast...

{{--|Hast Du von der WMF mehr Daten? Ich denke die Zugriffe, Inhalte und Projektgröße von de.wb ist noch nicht kritisch, gehört hätte ich davon auch noch nichts. Ideen habe ich diverse. Nützt in meinen Augen nur nichts, wenn wir auf die bestehende Struktur mit Kleinständerungen einfach drauf setzen. Ich würd erstmal aufräumen, dabei aber auf Altem aufbauen. Qwertz Ansatz war: Erstmal alles rigoros weg und dann neu machen. Welchen dieser Ansätze magst Du lieber?

Meine Wünsche für Wikibooks:
* offenes, willkommendes, diverses Klima, basierend auf Respekt
*: heißt:
** keine Schnelllöschungen von Inhalt
** keine Löschanträge für auch die kleinsten Inhalte
** Ergebnisoffene Inhaltsentwicklung auch für den größten Käse (solange sinnvolle Quellenarbeit betrieben wird und der Buchcharakter im Vordergrund steht)
*: aber:
** Fragmente, Zweifelhaftes, etc. sollte dennoch aus den Bücherregalen verschwinden (aber nicht gelöscht werden, ich würde Kategorien nutzen, um dieser Lage Herr zu werden)
* klare Regeln, klare Hilfen, klare Struktur
*: dazu hätte ich diverse Ideen, die aber sicher auch anders ausgestaltet werden könnten.
* engere Verzahnung mit anderen Wikiprojekten, gerade die Wikiversity ist ein natürliches Geschwister von Wikibooks, dafür haben wir viel zu wenig Kontakt.
Um das alles zu leisten sehe ich die Notwendigkeit den Wikibooks-Namensraum und den Hilfe-Namensraum aufzuräumen, sowie Kategorien cleverer zu nutzen. Wenn man dann etwas aufgeräumt hat, dann hätte ich schon auch sehr viele Ideen für die Öffentlichkeitsarbeit, aber die macht in meinen Augen nur dann Sinn, wenn hier etwas mehr Ruhe drin ist. 

Überraschenderweise haben sich die OpenRewi-Jungs-und-Mädels nicht abschrecken lassen. Vielleicht wirken die akademisch als Multiplikatoren, das wär schon schick. Bei Mathe-für-nicht-Freaks ist das ja interessanterweise nicht eingetreten und ich hab auch den Eindruck, als wollen sie von Wikibooks weg. Da gabs kürzlich so eine Umfrage, die ich jetzt aber leider nicht mehr wieder finde. Auch früher gabs diese Überlegungen auch schon: [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Archiv/_Wechsel_der_Plattform]]

Meine Kritik basiert auf folgenden von mir als unangenehm wahrgenommenen Problemen:
* Regeln sind im Hilfenamensraum verbuddelt und teilweise nicht konsistent
* Hilfeseiten beschreiben in epischer Breite organisch gewachsene Strukturen
* Kategorien werden zwar benutzt, aber ihr möglicher Nutzen wird nicht voll ausgespielt

Anfangen müsste man als erstes damit, dass man sich 
# einigt, ob Wikibooks eher ein geschlossenes, Autoren schützendes Projekt sein soll, oder das Wikiprinzip wirklich voll ausspielt (oder halt eine beliebige Mischung aus beidem). Z. B. gibt es zur Zeit kein Verfahren um &quot;Auflagen&quot; zu fixieren. Und
# die aktiven Autoren besser ins Boot holt, was ich durch eine Aktiven-Befragung versuchen würde zu erreichen.
Darauf aufbauend kann man weiter denken und arbeiten.

Nun zum Thema Corona: Auch wenn es nicht so wirkt, ich hab die Schn*** auch sowas von voll! Mir geht es in erster Linie auf den Keks, dass geschlafen wird. Letztes Jahr bis Juni, okay, da musste man auf Sicht fahren, aber dieses zweiwöchige Gegurke, was da jetzt statt findet ist furchtbar. Es war wirklich GENUG Zeit sich beliebige Pläne in die Schublade zu legen. Und z. B. die Restaurants, die sich mit ihren Hygiene-Plänen den A aufgerissen haben, tritt man dann wieder in den selbigen und sagt: Macht halt zu! Was mich nervt an diesem Inzidenz-Quark: keiner interessiert sich für die Steigung. Keiner interessiert sich für die effektive Belastung des Gesundheitssystems. Und der Steigung! Es ist doch was völlig anderes, ob die Intensivstationen täglich leerer werden, oder ob sie täglich voller werden. Und im Moment sieht es wohl danach aus, als ob es einen Zusammenhang zwischen täglichen Neuinfektionen und Intensivstationsbelegung gibt. Sowas muss doch berücksichtigt werden. Dann hält der RKI-Chef gefühlt jeden Tag seine Nase in die Pressekonferenz. Wieso? Ja, okay, als Chef muss er ne Meinung haben, und auch ab und zu mal nen guten Eindruck machen, aber überlasst doch bitte die Aussagen Leuten, die auch wirklich was davon verstehen? Warum gibt es kein Expertengremium bestehend aus Prof. D., Prof. K. und wie die üblichen Verdächtigen nicht alle heißen, was einmal wöchentlich eine Live-PK macht? Wo sind die Kommunikatoren, die der Bevölkerung das ganze sinnvoll erklären? Ist ja nicht so, dass wir das Problem erst seit gestern hätten... Und dann diese leidigen Masken: Ja, ist okay! Nur für den Fall, dass es etwas bringt, lohnt es sich. Aber FFP2-PFLICHT im BUS??? Was soll das? Hätte ich ja nichts gegen, wenns eine kostenlose FFP2 Maske mit jedem Busticket gäbe (die auch auf den Träger angepasst wird, sonst isses eh Blödsinn). Aber nöö... Da is schön jeder selber in der Pflicht. Erinnerst Du Dich noch? Letztes Jahr? Den ersten Lockdown haben wir komplett ohne Maske hinter uns gebracht... Soviel zu meiner Therapiestunde {{Smiley}}... Wird schon! Der Frühling kommt. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:45, 4. Mär. 2021 (CET)}}

{{--|PS: Die Übersterblichkeit in Schweden ist nur dann null, wenn man die Zahlen so interpretiert, wie Du das tust. Du kannst nicht auf der einen Seite sagen: &quot;Schweden macht voll viel für die Gesundheit, deswegen sind die voll gut&quot; und auf der anderen Seite: &quot;Die Sterblichkeit dieses Jahr war so hoch, wie vor 15 Jahren, das ist völlig normal&quot;. Das ist argumentativ mindestens schwierig. Und für die rechtlichen Zusammenhänge fehlen mir Quellen, das kann ich nicht beurteilen. Und wenn Du bei rot fährst musst Du üblicherweise nur zahlen wenn Du erwischt wirst. Also schön die Kirche im Dorf lassen... {{Smiley}} --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:52, 5. Mär. 2021 (CET)}}
*Nicht mal eine einfache Geldstrafe müssen die Politiker bezahlen, wenn sie gesetzwidrige Verordnungen erlassen. Nicht mal das... Was muss dann passieren, damit wir verstehen, dass so was EXTREM problematisch ist? Egal jetzt aus welchem Grund die Entscheidungen getroffen werden...
*Du kannst die Kurve mit der Mortalität in Schweden über die letzten 110 Jahren [[w:COVID-19-Pandemie_in_Schweden#Tägliche_Todesfälle_seit_Oktober_2015_und_jährliche_Sterberate_seit_1910_(alle_Todesursachen)|hier]] sehen (und die Daten in Bearbeitungsmodus). Sagen wir es so statistisch: Wir können viel schwieriger ausschließen, dass wir keinen Einfluss auf die Mortalität hatten, als ausschließen, dass der Einfluss mehr als 3% Erhöhung war (also: &quot;gewöhnliche&quot; schwere Grippe). Viel auffälliger ist der niedriger Wert 2018-19, wenn wir aber die Schwankungen auch nur der letzten 10 Jahren betrachten, war der Wert eher um die Grenze der Schwankung nach unten. Das Argument ist daher nicht &quot;die Sterblichkeit dieses Jahr war so hoch, wie vor 15 Jahren, das ist völlig normal&quot;, sondern: &quot;Die Mortalität dieses Jahr liegt innerhalb der gewöhnlichen Schwankungen der letzten Jahren. Es ist schwer (wenn nicht sogar unmöglich) eine Wirkung der Epidemie auf die Mortalität zu begründen. Wenn überhaupt, dann liegt diese Wirkung eindeutig im (statistischen) ''Rahmen'' von anderen Epidemien der letzten Jahren.&quot; Ein Vergleich mit dem Wert 1918-19, macht die Sache etwas klarer... LG [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 08:05, 5. Mär. 2021 (CET)

{{-|*Ich brauch mehr Informationen, um dazu etwas sagen zu können. Um welche &quot;gesetzeswidrige Verordnung&quot; geht es? Erstmal muss geklärt werden, ob das überhaupt gesetzeswidrig war, oder nur so wirkt. In der deutschen Verfassung ist zum Beispiel festgelegt, dass die Verfassung sehr wohl durch andere Gesetze eingeschränkt werden kann und darf. In DE muss für strafrechtliche Ermittlungen meines Wissens nach erstmal die Immunität der Politiker aufgehoben werden (was in DE übrigens in letzter Zeit recht häufig geschehen ist). Keine Ahnung, wie das in AT ist. Aber sich einfach so zu beschweren dass die &quot;bösen Politiker&quot; ja nicht zur Rechenschaft gezogen werden, und Du Ordnungsgelder bezahlen musst, macht es zu einfach. Du kannst zur genaueren Erläuterung sicher auch die Damen und Herren in unserem neuen Projekt fragen {{Smiley}}.
*Dann mal {{w|Butter bei die Fische}}: Untermauere Deine These mit Berechnungen. Wir haben ganz klare statistische Daten (die in Deinem Link übrigens falsch angegeben scheinen: erstmal um den Faktor 100 und dann auch noch mit falschen Nachkommastellen und offenbar falsch zugeordnet), die sich einem Test stellen lassen. Welchen Test wählst Du aus? Warum? Wie sind die Ergebnisse für &quot;kein Einfluss&quot; und &quot;kein Einfluss größer 3%&quot;. Wir müssen schon allein bis ins Jahr 2012 zurück gehen, um gleich hohe Todeszahlen pro 100k zu finden. Die Steigung der jährlichen Änderung war deutlich länger nicht mehr so stark. Und das ist nur die jährliche Änderung. Darüber hinaus: Es ist ja nicht nur entscheidend wieviele Leute &quot;im Jahr&quot; sterben?
**Wie ist die Demografie?
**Wird medizinische Behandlung benötigt?
**Sterben &quot;alle gleichzeitig&quot;?
:Ein Vergleich mit 18/19 ist völlig unerheblich: Anderes Gesundheitssystem, anderes Verständnis für Hygiene und Schutz, viel zu lange her, um es statistisch in Zusammenhang zu bringen, herrje, die Existenz von Viren in Ihrem eigentlichen Sinn war insgesamt grad mal ~20 Jahre bekannt.
Vielleicht sollte ich mal einen Editwar auf Deiner Corona-Seite starten und alles zurücksetzen, bevor Du diese meine Fragen nicht beantwortet hast. Du vermeidest ja in chronischer Regelmäßigkeit präzise Antworten auf meine Fragen. {{Smiley}} Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 10:54, 5. Mär. 2021 (CET)}}

:Ja, super... Wie wäre es mit einem Editwar für alle Daten, die nur absolute Zahlen von positiven Tests angeben, ohne jeglichen Vergleich auf durchgeführten Tests? Wie wäre es mit einem Editwar für alle angegebenen &quot;Sterblichkeiten&quot;, die auf gar keine randomisierten Daten basieren und kaum was mit IFR zu tun haben? Wie wäre es mit einem Editwar wegen der Unterdrückung von zahlreichen Studien (z.B. von Ioannides), allein weil sie nicht die Meinung vertreten, dass wir mit einer extrem großen Gefahr zu tun haben. Wenn Editwar, dann BITTE ausgeglichen... Aber meinetwegen, kannst ja anfangen...
:Was jetzt die Daten für die Mortalität betrifft, sie sind genau das, was da geschrieben ist: Todesfälle zwischen Oktober eines Jahrs bis September des nächsten, durch Bevölkerung des nächsten, und das mal 1000, also Todesfälle pro 1000 Einwohner, die (auf alle Fälle nicht vermeidbare) Ungenauigkeit liegt unter 1% (kannst du selber probieren, indem du mal die Bevölkerung des vorherigen und mal des nächsten Jahres benutzt). Und allein mit dem vorherigen Jahr zu vergleichen, wo wir eine eindeutige Untersterblichkeit hatten, ist nicht nur unwissenschaftlich, es ist schlicht und einfach gemein... Wenn du willst, kann ich dir auch die EXCEL schicken und die Links von schwedischen Statistik. LG [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 11:16, 5. Mär. 2021 (CET)
{{--|1=Herrje. Das war ein dummer Spruch. Wenn ich das täte, gehörte ich gesperrt. Warum antwortest Du nicht einfach mal, nennst Quellen, zeigst Zusammenhänge auf, rechnest die Statistik-Tests vor, die Du durchgeführt hast? sondern beschwerst Dich schon wieder? Wer etwas behauptet muss es begründen. Und wer das nicht tut, muss sich Kritik gefallen lassen.

Wo wird denn z. B. die Studie von Ioannidis unterdrückt?
*https://www.aerzteblatt.de/forum/137996#entry137996
*https://www.n-tv.de/wissen/Covid-19-weniger-toedlich-als-vermutet-article22104272.html
*https://www.laborjournal.de/editorials/2009.php
*https://www.sueddeutsche.de/gesundheit/coronavirus-massnahmen-studien-stanford-john-ioannidis-lockdown-1.5187909
*https://taz.de/Coronamythen-und-Fakten-3/!5738507/
*https://www.merkur.de/welt/who-corona-studie-tote-uebersterblichkeit-infektion-pandemie-zr-90073439.html
*https://www.heise.de/tp/features/Ioannidis-Mehr-als-500-Millionen-sollen-bereits-mit-Covid-19-infiziert-gewesen-sein-4938011.html
Ein Querschnitt durch alle Arten von Medien, durch alle Arten von Veröffentlichungestypen, ermittelt durch eine kurze Google-Suche. Die Studie von Ioannidis, auf die Du wahrscheinlich anspielst, steht auch völlig öffentlich auf der WHO Seite: https://www.who.int/bulletin/online_first/BLT.20.265892.pdf Wo bitteschön wird hier was unterdrückt?

Ich gebe zu, dass ich die Darstellung tatsächlich missinterpretiert habe. Fehler passieren. Wo steht denn, dass die Zahlen nur mit letztem Jahr verglichen werden? Quelle? Du schneiderst Dir die Statistiken trotzdem zurecht, wie sie Dir passen. Die Zahlen von 19/20 beinhalten nämlich nicht die volle Welle, da die Sache ja erst im März losging und wir sehr deutlich sehen, geht eine Coronawelle offensichtlich im September/Oktober los. Was sagst Du denn dazu? Und '''nochmal''' Es ist ein ''Riesen-Unterschied'', ob 1000 Leute pro Monat sterben, und im nächsten Jahr 1040 pro Monat oder im nächsten Jahr in einem Monat 1480 und im Rest nur 1000. Und es ist auch ein Unterschied, ob die friedlich in ihrem Bettchen versterben, oder ob sie vorher noch 2 Wochen auf der Intensivstation lagen. Warum nimmst Du Dir nichtmal eine Quelle vor, die die Relation zur Grippe wirklich gut zeigt: https://www.rki.de/DE/Content/Infekt/EpidBull/Archiv/2020/Ausgaben/41_20.pdf?__blob=publicationFile?

Mal völlig ab von allen Meinungsverschiedenheiten, nehmen wir an: Das Gesundheitssystem überlastet. Wie willst Du das vertreten? Du kannst nicht ausschließen, dass es passiert, zumindest lokal. Wie willst Du also vertreten, wenn es passiert? Gib mir einfach eine Antwort auf diese Frage. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 13:40, 5. Mär. 2021 (CET)}}
:Verhältnismäßigkeit soll vorhanden sein. Es gibt nicht nur eine Krankheit, nicht nur ein Land auf der Welt, nicht nur eine Todesursache. Aber das akzeptierst du als Argument wieder nicht... 
:Und wie wird mit dem Artikel von Ioannides und jegliche Gegenmeinung in Wikipedia umgegangen?
:Ja, vielleicht ist doch besser ab September bis August.
:Du hast geschrieben, dass wenn wir die Mortalität mit dem vorherigen Jahr vergleichen, dann ist sie erhöht, oder?
:LG! :-) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 14:05, 5. Mär. 2021 (CET)

{{--|Und Du antwortest schon wieder nicht auf meine Frage.

Wenn ich das als Argument akzeptieren soll: Was haben denn andere Krankheiten und Todesursachen mit der Coronapandemie zu tun? Wo ist denn da das Argument? Bspw. der Zusammenhang: &quot;Corona ist nicht schlimm, bei Autounfällen sterben auch Menschen&quot; ist nunmal Schwachsinn.  Völlig abgesehen davon, dass das nichts miteinander zu tun hat, gibt es noch einen viel stärkeren ''Grund:'' Wenn wir alle sofort aufhören würden mit Autofahren, würde unmittelbar sofort niemand mehr sterben. Ein Autounfall ist und bleibt nunmal '''nicht ansteckend'''. Ähnliches beim Rauchen. Auch Rauchen ist '''nicht ansteckend'''.

Thema, &quot;wie wird mit Ioannidis in der Wikipedia umgegangen&quot;: Die gesellschaftlichen Implikationen der Gruppendynamik der Wikipedia steht hier nicht zur Debatte. Nur weil Youtube Bhakdis Videos löscht, wird seine Meinung nicht unterdrückt. Youtube bezahlt die Server und die Software, ergo bestimmen die, was dort geht und was nicht. Das kann uns gefallen, oder auch nicht. Eine Meinungsunterdrückung wäre, wenn man ein Verkaufsverbot für seine Bücher erlassen würde. Aber siehe da &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;https://www.weltbild.de/artikel/buch/corona-fehlalarm-zahlen-daten-und-hintergruende-zwischen_27841533-1&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, lieferbar, Thalia, Amazon, lokale Buchhandlungen überall kann mans kaufen... Das macht es trotzdem nicht zu einer validen Wikipedia-Quelle. Und Ioannidis Covid19-Meinung ist in seinem Wikipedia-Artikel sehr wohl aufgenommen. Wo ist also das Problem?

Ich kritisiere nicht die Auswahl des Zeitraums. Ich kritisiere, dass dieser willkürlich erfolgt und so, wie er gewählt wurde nicht repräsentativ ist, sondern Deiner Argumentation in die Hände spielt. Im Frühjahr 22 wählst Du ihn dann wieder anders? Eine Präsentation statistischer Tests, die Dein Argument untermauern könnten, bleibst Du schuldig. Du behauptest einfach nur.

Keine Ahnung, ob ich das geschrieben habe, oder nicht. Ausschließen will ich es nicht. Verlinke wo und ich setze es ins Verhältnis, oder entschuldige mich dafür. Wenn ich das so geäußert habe, dann ist das mit Sicherheit nicht Fehlersicher. Wie Du oben gesehen hast, mache ich durchaus Fehler in der Dateninterpretation. Wie jeder.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:41, 5. Mär. 2021 (CET)}}

== [[Vorlage:Dokumentation]] ==

Warum überschreibst Du unsere Vorlage mit der Wikipedia-Vorlage? Welchen Sinn macht das? Und hast Du überprüft, ob das jetzt bei allen Vorlagen noch passt? Da sind jetzt nicht mehr funktionierende Links drin. Wie ist Dein Plan. Sowas hätte ich eigentlich gern vorher auf einer Gemeinschaftsseite abgesprochen gesehen. Gleiches gilt für [[Vorlage:Kasten]]. Hier scheint es zumindest keine größeren Konsequenzen zu geben. Darüber hinaus wurden Module importiert für Vorlagenverwaltung. Erklärst Du mir bitte, was da wie geschehen soll? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:03, 6. Mär. 2021 (CET)
:offenbar was schief gegangen. Ich hab nämlich die Vorlage Graph und ihre Untervorlagen importiert, normalerweise werden bei diesem Prozess bestehende Vorlagen NICHT überschrieben, muss nachschauen, was ich da machen kann... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 18:20, 6. Mär. 2021 (CET)
:Ich glaub jetzt soll es wieder gehen. LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 18:35, 6. Mär. 2021 (CET)
{{--|Oberflächlich sieht es jetzt zumindest okay aus. Hoffen wir, dass da nicht tiefer irgendwas verkurbelt ist. Was willst Du denn mit der Schriftzeichendarstellung? Und wie willst Du mit den LUA-Seiten verfahren. Hier kann doch keiner LUA so wirklich außer Stephan? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:43, 6. Mär. 2021 (CET)}}
Das geht um Datendarstellung, siehe z.B. [[Benutzer:Yomomo/_Corona#Weitere_Diagramme|hier]]. Die Schriftzeichendarstellung erscheint nur, wenn keine Parameter im Vorlag benutzt wird. Die Vorlage ist einfach sehr praktisch und ist etwas, dass ich auch für Mathematrix seit Langem gebraucht habe. Das kann man ja auch von nun an überall benutzen. Im &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Vorlage:Graph}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; und ihre Untervorlagen brauchen wir hier gar nichts übernehmen, ich kann immer wieder die neueste Version aus Wikipedia importieren (diesmal OHNE Untervorlagen :-) ). Also, Lua Kenntnisse sind daher nicht notwendig. Die Vorlage würde allerdings in Wiki.de auch importiert (aus dem Englischen). Die Lösung des Problems mit Dokumentation war Gott sei dank nicht besonders kompliziert, ich hab einfach auf die letzte Wikibooksversion zurückgesetzt. Also keine Sorge, dass etwas tieferes verkurbelt wird. Ich hoffe (und kann mir vorstellen), dass du die Vorlage Graph auch wirklich nützlich findest... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 18:56, 6. Mär. 2021 (CET)

{{-|Die Vorlage:Graph braucht es überhaupt nicht, für das, was Du willst, die hätte überhaupt nicht importiert werden müssen.

Bei Vorlage:Dokumentation sind jetzt diverse Änderungen in der Versionsgeschichte eingebunden, die aus der Wikipedia-Versionsgeschichte stammen. Eine kurze Stichprobe lässt mich vermuten, dass es scheinbar tatsächlich keinen Einfluss gibt. Dennoch stehen da jetzt möglicherweise Autoren in der Versionsgeschichte, die an unserer Vorlage überhaupt keinen Anteil hatten. Außerdem hast Du 49 Vorlagen und Module importiert. Räum dort bitte auf und passe die Dokumentation an und/oder lösche nicht Benötigtes. 

Beispiele: 
* [[Modul:PageUtil]], die Wikipedia hat dafür eine Dokumentation, die ist aber aufgrund deren Struktur nicht mit hierher übertragen worden. Wofür wird das gebraucht? Die Links auf Modul:PageUtil sind nicht wirklich aussagekräftig.
* [[Vorlage:Anker]] ist nun defekt, vgl. z. B. [[Esperanto:_Kapitel_19]]... 
* [[Vorlage:Graph:Chart]] enthält Rotlinks, die aber eigentlich Erklärungen leisten sollten, die es nun nicht mehr gibt.
* [[Vorlage:Graph:Lines]] hätte, wie es in der Vorlagendokumentation steht, besser aus {{mw|Template:Graph:Lines}} importiert werden sollen.
Ich möchte jetzt nicht alle 49 Importe überprüfen, also kümmere Dich bitte zeitnah selber darum. 

Die Graphendarstellung ist nicht meins. Ich finde das eine Programmierfingerübung, die aber wahnsinnig schwer zu warten ist. Ich verstehe den Ansatz, würde es aber für größere Sachen nicht nutzen und ärgere mich in der Wikipedia jedes Mal wenn ich über diese Krücke stolpere. Ich favorisiere den Upload der Quelldateien (als OpenDocument) und einen SVG-Graphexport. Das ist zwar ähnlich aufwendig aber sehr viel weniger Fehleranfällig. Und im VE ist das noch viel größere Gurke und erhöht die Zutrittsbeschränkung für Edits von weniger technikaffinen Menschen.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 21:04, 6. Mär. 2021 (CET)}}
Ja, ich sehe was du meinst. Allerdings ist die Idee, dass man die eigentlichen Daten auch direkt sehen (und daher überprüfen und ggf. auch ändern) kann. Das bedeutet u.A.: wenn du die Daten ändern willst, brauchst du nicht ein neues Bild hochladen... Beim importieren war es immer geschrieben, dass bestehende Vorlagen nicht ersetzt werden können, ich hab also dieses Ereignis nicht erwartet. Na, ja, es wird etwas dauern, aber ich werde das langsam korrigieren und nächstes mal beim Import viel vorsichtiger sein... Die Versionsgeschichte werde ich leider nicht mehr ändern können, das ist allerdings eindeutig geschrieben, wenn es aus der Wikipedia Seite kommt... LG und danke für die Anmerkungen! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 21:16, 6. Mär. 2021 (CET)

== [[Quadriviale Kuriositäten]] ==

Moin, das war schon richtig so. Und wenn Du
* [[Spezial:Diff/894579/952050]]
* [[Spezial:Diff/890194/952049]]
* und [[Spezial:Diff/951726/952051]]
anschaust, kannst Du das auch sehr einfach feststellen.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:54, 18. Mär. 2021 (CET)

:Hi [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]. Jetzt hab ich gecheckt was tu meinst {{smiley}}. Hat ein bisschen gedauert, sorry. Meinst du wir wollten mit einem Header die ganze Kommunity informieren? LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 22:52, 18. Mär. 2021 (CET)

{{--|Wenn Du das für sinnvoll hälst, und das unterstützt, dann würde ich sagen, mach. Schließlich bist Du gewählter Admin und könntest das tun. Dann solltest Du aber wohl mit Pro stimmen {{Smiley|;-)}}.

Um etwas ausführlicher Stellung zu nehmen: Kommt drauf an, finde ich. Die Frage ist, wie weit man mit den Headern geht und wie &quot;klein&quot; man die machen kann. Wenn das eine Zeile ist, dann fänd ich das okay, wenn das ein großer Kasten ist, hielte ich das eher nicht für okay. Darüber hinaus läuft die Wahl nach aktuellen Regeln 4 Wochen. Die ganzen vier Wochen einen Kasten einblenden hielte ich für Unsinn. Ich denke vielleicht die letzten 5 Tage könnte man darauf nochmal aufmerksam machen.

Dennoch ist die &quot;Aufdringlichkeit&quot; der Header mit Bedacht einzusetzen. Damit wurden bisher ja nur Dinge angekündigt, wie Edit-Zwangspausen o. ä. Es besteht die Gefahr, dass Leute anfangen den Header zu ignorieren, wenn man Dinge damit &quot;bewirbt&quot;, die &quot;nicht so wichtig&quot; sind. Dann laufen evtl. wirklich wichtige Dinge ins Leere. Eine schwierige Entscheidung.

Für eben sowas würde ich gerne mal eine &quot;Community-Befragung&quot; für uns intern durchführen. Damit man mal ne Idee kriegt, was alle so wollen. Da reicht die Skala ja von &quot;mir doch egal, hauptsache ich kann hier Bücher schreiben&quot; zu &quot;Alter, dieser Sauhaufen gehört dringend auf die-und-die-Weise aufgeräumt&quot;. Problem: Das ist sehr aufwendig. Würdest Du sowas gut finden? Dafür fänd ich nämlich so ein Header wirklich sinnvoll!

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 02:34, 19. Mär. 2021 (CET)}}

Hi, wollte nur nochmal daran erinnern, da Du ja einen Header vorgeschlagen hattest; laut aktuellen Regeln liefe theoretisch die Abstimmung demnächst aus. Ich gehe mal fest davon aus, dass ''niemand'' das wirklich wahr genommen hat. Wenn Du also Lust hast diesen Probeballon zu zünden und zu gucken, was passiert (ich wär ziemlich neugierig), dann kannst Du wegen mir gern mal so eine Headerbox schalten. Sonst würde ich die Abstimmung in 5 Tagen ergebnislos zu machen. Was meinst Du? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 23:08, 13. Apr. 2021 (CEST)
:ich kann das morgen nachmittags machen, ich hoffe ich vergesse es nicht :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 23:18, 13. Apr. 2021 (CEST)
:: Kein Stress... Wenn Dus vergisst oder das reale Leben wichtiger is, isses halt so. Hängt ja nix dran. LG --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 23:56, 13. Apr. 2021 (CEST)

== Nur der Vollständigkeit halber... ==

Bezüglich [[Spezial:Diff/prev/952472]]: Ich finde in den Löschregeln keine Regel, die Schnelllöschung bei fremdsprachlichen Inhalten auf der Benutzerseite rechtfertigt. Hingegen gibt es die [[Hilfe:Neues_Buch_beginnen/_inoffizielles_Buch]]: &quot;Niemand vergreift sich an deinen Benutzerseiten, du bist ungestört.&quot; Solange da also keine Spam-Links sind, ist das Verhalten von Dir zwar ehrenhaft (Du möchtest aufräumen) aber zweifelhaft (Du verwehrst jemandem die Arbeit, weil Du seine Sprache nicht verstehst).

Versteh mich nicht falsch, ich werd jetzt keine Knüppel schmeißen deswegen (hab den Text auch rudimentär übersetzen lassen), aber es macht schon einen schlechten Eindruck und auf Basis von &quot;Alle gleiche Rechte&quot; müsstest Du das dann auch bei einem englischen Text tun, der beginnt mit den Worten: &quot;In the next few month I will expand this text to translate it to german in two years&quot;. 

Und ich denke wir sind uns einig: Das wäre quatsch? Du verstehst? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:52, 23. Mär. 2021 (CET)

:Alle Seiten, die fremdsprachlich sind und Spam sind werden gelöscht. Auch auf englisch. Es sollte klar sein, dass wir sonst hier voll mit &quot;Benutzern&quot; wären, die ihre Werbung machen wollen. Die Seite nicht zu löschen, wäre dann in diesem Sinne eher eine Verletzung der Regel &quot;Alle gleiche Rechte&quot;. Es ist die Verantwortung der Person, die den Text schreibt, die geringe Mühe zu geben, den Satz &quot;In the next few month I will expand this text to translate it to german in two years&quot; in eine Sprache zu übersetzen, wo es klar durch unsere Reaktion wird, dass sie von uns verständlich ist. Allerdings niemand verhindert diese Person, in der Wiki ihrer Sprache zu schreiben. Ich hab diese Seite NICHT sofort gelöscht (wie ich das in der Regel tue), genau aus dem Grund, dass ich kein offensichtlichen Spam da sehe (kein Link auf andere Seiten) und weil ich den Text nicht verstehe. Vergleiche mit [[Shisha]], wo eben &quot;nur&quot; einer der beiden Regel verletzt wurde (Deutsch aber doch spam). Wenn der Benutzer ernsthaft ist, dann wird er bald reagieren... Wenn nicht, wird es dann irgendwann gelöscht und er/sie kann jeder Zeit mit einem anderen Namen wieder melden und sich beschweren (auch in zwei Jahren :-) ). Seine/Ihre Rechte sind daher dadurch nicht verletzt. Vielleicht kannst du aber dann die Übersetzung auf seine/ihre Seite schreiben :-). LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:58, 23. Mär. 2021 (CET)

{{--|Zeig mir die Regeln, die fremdsprachliche Inhalte unter Drohung der Schnelllöschung verbieten? Wenn es keine gibt, dann lass abstimmen, wie wir damit umgehen wollen.

Eine Übersetzung kann ich nicht leisten, ich habe automatische Übersetzer befragt, um Obszönitäten zu prüfen. Ein Kontakt ist völlig legitim, bei mangelnder Reaktion auch die Löschung. Ich bin ja nicht dafür jeden Krempel aufzuheben. Aber eine unmittelbare Schnelllöschungsandrohung finde ich unhöflich. Wenn das Stewards machen, weil sie wikiübergreifenden Spam verfolgen, dann ist das was anderes. 

&quot;Wenn der Benutzer ernsthaft ist...&quot; dann könnte es auch sein, dass er nie wieder kommt. Mal ehrlich, ich lege meine Zettel auf einen freien Tisch in einer Bibliothek und gehe kurz aufs Klo, komme wieder und jemand hat ihn umgedreht und drauf geschrieben &quot;arbeite gefälligst so, wie ich das von Dir erwarte, sonst schmeiß ich den Zettel weg!&quot;. In diese Bibliothek geh ich nie wieder.

Und er braucht keinen anderen Namen. Du löscht ja mit seiner Benutzerseite nicht seinen Account.

Der inflationäre Gebrauch der Schnelllöschvorlage hat mich immer gestört und das wird mich weiter stören und ich werde dagegen ankämpfen. Ich habe schon eine Idee, die ich demnächst auf den Verbesserungsvorschlägen präsentieren werde. Ich verstehe, dass es für Dich sinnvoll ist so zu arbeiten, weil es Dir die Arbeit erleichtert. Nichts desto trotz ist es unverschämt und unhöflich. Und Werbe-Spam der an Links erkennbar ist, ist was völlig anderes. Dein Vorgehen bei [[Shisha]] ist hart aber völlig legitim. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 14:49, 23. Mär. 2021 (CET)}}

Βρε άνθρωπε του θεού, την κοινή λογική χρησιμοποιώ. Τι δουλειά έχει ένα κείμενο στα ελληνικά στην γερμανική βικιπαίδεια, εκτός αν είναι μέρος ενός βιβλίου διδασκαλίας ελληνικών ή αν μεταφράζεται (στα γερμανικά) ή αν ο χρήστης ή η χρήστρια δηλώσει (στα γερμανικά) ότι για τον έναν ή τον άλλο λόγο το χρειάζεται εδώ; Κατά τη γνώμη μου δείχνεις μερικές φορές υπερβολική ευαισθησία, σε ότι αφορά τις διαγραφές... Τέλος πάντων, αν για σένα είναι τόσο μεγάλο πρόβλημα, να την αφήσουμε τη σελίδα, δε χάθηκε ο κόσμος... Φιλιά! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 15:08, 23. Mär. 2021 (CET)

{{-|Tränen gelacht, Küsse zurück, auch, wenn ich nicht gemeint war. [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 15:30, 23. Mär. 2021 (CET)}}

Dafür, dass Du darüber jammerst, dass Du gemobbt wurdest, ist das eine ganz schöne Latte. Folgerichtig müsstest Du jetzt Deine eigene Seite schnelllöschen. Soll ich: &quot;Τέλος πάντων, αν για σένα είναι τόσο μεγάλο πρόβλημα, να την αφήσουμε τη σελίδα, δε χάθηκε ο κόσμος&quot; als Aufforderung auffassen zu gehen? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:37, 23. Mär. 2021 (CET) PS: Und wenn Du hier tonnenweise Seiten importierst, ohne zu prüfen, ob dadurch was kaputt geht, ist das also okay? Aufgeräumt hast Du immer noch nicht. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:43, 23. Mär. 2021 (CET)

Ich verstehs nicht: Warum seid Ihr eigentlich so sensibel, wenn ich gegen Löschen und für Höflichkeit bin, werft mir aber übermäßige Sensibilität vor? Dann knutscht mal schön! 

Sorry für die vielen kleinen Edits, ich bin gerade ziemlich in Rage! Mein einführender Kommentar war ein freundlicher Hinweis. Mehr nicht. Dafür ist das hier ganz schön schnell eskaliert mit völlig dämlichen Argumenten: &quot;Wenn wir hier fremdsprachliche Text zulassen, sind wir bald mit Werbung vollgespamt&quot;. Das hab ich nicht gesagt, und das sagt auch niemand. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:49, 23. Mär. 2021 (CET)

:Jetzt mal die Übersetzung:
:''Hey du, Mensch, ich benutze hier Hausverstand. Was hat ein Text auf Griechisch in der deutschen Wiki zu tun, außer wenn er Teil eines Griechisch-Kurses ist, oder übersetzt wird (und zwar auf Deutsch), oder der/die User*in erwähnt (auf Deutsch), dass er/sie aus irgendeinem Grund den Text hier braucht? Meines Erachtens bist du manchmal überempfindlich, was Löschanträge angeht. Wie auch immer, wenn das für dich so wichtig ist, können wir die Seite nicht löschen, das ist ja nicht das Ende der Welt. Küsse''
:Ich hoffe, dass du spätestens jetzt die Problematik einer fremden Sprache im deutschen Wikibooks verstehst. Wer soll überprüfen, was da steht? Automatische Übersetzer können oft nicht die kleinen Nuancen der Sprache übersetzen, was einen großen Unterschied ausmachen kann. Es kann sein, dass da eine grobe Beleidigung gegen eine Person steht (die der automatische Übersetzer nicht &quot;versteht&quot;). Selbstverständlich kann das gleiche getarnt in einem fremd Sprache Kurs vorkommen, aber zumindest steht dann daneben eine Übersetzung (auch wenn sie falsch ist). Aber wie schon gesagt, wenn es für dich halt so wichtig ist, braucht die Seite nicht weg. Die Community entscheidet und ich als Admin soll ihrer Wünschen folgen. Und wenn du jetzt die einzige Person bist, die sich meldet, dann mach ich das, was du sagst, kein Problem. LG! :-) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:01, 23. Mär. 2021 (CET)

{{-|Kommt mal wieder runter. Gibt keinen Grund, sich aufzuheizen. Ich bin auch fürs Löschen. Ich bin ohnehin immer fürs Löschen.  [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 20:18, 23. Mär. 2021 (CET)}}
Hirnspuk, ich versteh auch nicht warum du dich gemobbt fühlst (oder hab ich das falsch verstanden?). Ich hab dich weder mit eine Sperrung, noch mit einem Löschen deiner Beiträge bedroht, ich hab auch deine Argumente nicht &quot;dämlich&quot; bezeichnet, ich hab auch nicht versucht, sie zu verzerren (was meines Erachtens du in alle diese vier Punkte tust). Ich bleibe sachlich (zumindest meines Erachtens) und präsentiere Argumente und würde mich freuen, wenn wir dabei bleiben... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:38, 23. Mär. 2021 (CET)

{{--|1=Danke für die Aufklärung! Ihr habt recht. Ich bin überempfindlich. Seid sogut und behaltet das im Hinterkopf. Ich bitte um Entschuldigung. Danke für Eure Geduld. Zur Erklärung: Ich fühlte mich mit Mitteln, die Streitpunkt waren, lächerlich gemacht. Sogar mit Erfolg, da jemand lachte. Das hat weh getan. Zu allem Überfluss wurde exakt demonstriert, was demonstriert werden sollte, das tut jetzt doppelt weh {{Smiley|:-(}}. Allerdings fühle ich mich nicht gemobbt. Der Hinweis galt dem möglichen Gefühl einer Person, die eine &quot;Schnelllöschankündigung&quot; kassiert (nichtmal dieser aktuellen Person speziell, sondern einfach nur allgemein).

Wie ich sagte: Ich bin nicht gegen die Löschung, sonst hätte ich meinen Einspruch direkt auf der Seite platziert, oder die Schnelllöschankündigung gegen einen Löschantrag ersetzt. Ich bin gegen die Nutzung der Schnelllöschvorlage für diese Zwecke. Du musst als Admin diese Verantwortung tragen. Ich hätte jeden anderen Admin auf die – '''in meinen Augen(!)''' – Unverhältnismäßigkeit der Mittel ebenso hingewiesen. Und ich – in der gleichen Situation – hätte anders gehandelt. Kürzlich habe ich Jürgen bei einer ähnlichen Situation einen Hinweis gegeben. Ich bin dafür, eine Regelung für fremdsprachliche Inhalte zu finden und festzuschreiben. Das war ich auch vor der Demonstration. Die Vorlage sagt: &quot;Nach den Regeln der Schnelllöschung&quot;. Und da gibt es nunmal keine für fremdsprachliche Inhalte (zumindest habe ich sie nicht gefunden, und daher danach gefragt). Es werden also Werkzeuge benutzt, die für diesen Fall nicht vorgesehen sind. Fremdsprachliche Inhalte ''mit'' Links im Hauptnamensraum sind was anderes als fremdsprachliche Inhalte im Nutzernamensraum ''ohne'' Links. Schnelllöschen in Fall 1, ja, auf jeden Fall, Schnelllöschen in Fall 2... mhh... Find ich unschön (mal etwas schöner gesagt). Wie gesagt, ich werde mich demnächst mit einer Idee auf den Verbesserungsvorschlägen melden.

Die einzelnen Punkte gehe ich nach und nach durch und versuche mich zu erklären:
# &quot;Es sollte klar sein, dass wir sonst hier voll mit &quot;Benutzern&quot; wären, die ihre Werbung machen wollen.&quot; – Das halte ich für ein dämliches Argument. Das soll keine Beleidigung sein, denn das Argument zieht den Schluss: Fremdsprachliche Inhalte=Werbung, was ich in dieser Exklusivität für falsch halte.
# Ich habe nicht mit Sperrung gedroht, das kann ich nicht.
# Ich habe nicht mit Löschung gedroht, auch das kann ich nicht, ich habe nur gesagt: Deiner eigenen Logik folgend müsstest Du Deine Seite löschen, da sie fremdsprachliche Inhalte enthält. Fremdsprachliche Inhalte als Antwort auf eine Frage. Einfach so. Kommentarlos. Ohne die erklärenden Argumente aus dem übersetzenden Post. Einen sehr viel einfacheren Fall hast Du als Schnelllösch-Drohungs-Grund angenommen.
# Möglicherweise könntest Du den Eindruck haben, ich verzerre Deine Argumente, wobei ich jetzt recht lange überlegt habe und nicht verstehe, was Du meinst. Es ärgert mich allerdings, dass Du auf meine Argumente nie einzugehen scheinst.
Du könntest auch annehmen, ich hätte Dich als unverschämt und unhöflich beleidigen wollen. Das möchte ich nicht. Im Gegenteil, ich gehe davon aus, dass Du ein sehr höflicher Mensch bist. Ich möchte nur sagen, dass der Einsatz der Schnelllöschung unhöflich wirkt.
Meine ersten beiden Posts nehme ich als sachlich wahr. Erklärungen, wo sie es nicht sind, nehme ich gerne an. Meine letzten Posts sind es definitiv nicht. Das tut mir leid. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 01:06, 24. Mär. 2021 (CET)}}

== Danke und Hinweis ==

Danke fürs Aufpassen im Spanisch-Buch. Habs mal aufgeräumt (Ja, das sehe ich als Werbe-Spam, umfangreichere Antwort auf meiner Disk).

Tust Du mir noch den Gefallen und räumst Deine 49 Importe bitte auf?

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 01:30, 9. Apr. 2021 (CEST)
:Das dauert etwas länger... Sorry dafür. Bitte, wann auch immer du bei irgendeinem von diesen Imports ein Problem feststellst, das für dich wichtig ist, aufgehoben zu werden, mich informieren... Danke! LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 07:57, 9. Apr. 2021 (CEST)

{{--|Ich mein das jetzt nicht böse, aber das finde ich nicht in Ordnung. Klar sag ich bescheid, wenn mir was auffällt, aber so viel, wie mir aufgefallen ist, als ich ganz kurz mal eben drauf guckte, hätte ich erwartet, dass das schon längst erledigt ist. Du hast ja nur das wirklich, wirklich Oberflächliche gemacht. Und wenn anderen Leuten was auffällt, wissen die vermutlich nichtmal &quot;wo&quot; was kaputt ist, sodass sie sich nicht melden können. Ist jetzt immerhin schon über einen Monat. Und die ganzen Module kann ich eh nicht einschätzen. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 13:27, 9. Apr. 2021 (CEST)}}
Hast ja eher Recht, Ich werde mich bemühen, passt :-) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 14:50, 9. Apr. 2021 (CEST)
{{-|Vielen Dank {{Smiley}} --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 16:54, 9. Apr. 2021 (CEST)}}

Also, die sind eigentlich alle neue Vorlagen, die die Anwendungen in Wikibooks sonst nicht beeinflussen. Hast du ein Problem, wenn ich diejenigen lösche, die gar nicht gebraucht werden (nichts auf diese Vorlagen wird verlinkt)? LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:55, 10. Apr. 2021 (CEST)

{{-|Irgendwie scheinen alle immer den Eindruck zu haben, ich wollte alles auf biegen und brechen aufheben {{Smiley}}. Nein, nur zu! Für den Fall, dass Du irgendwo extrem unschlüssig bist, kannst Du auch &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Löschankündigung}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; benutzen. Vgl. [[Wikibooks:Löschkandidaten/ Löschankündigungen]]. Das Verfahren ist eingeschlafen, obwohl es ja – besonders für solche Fälle – relativ sinnvoll ist. Im Prinzip ist es gedacht als 4-Augen-Prinzip für &quot;hoffnungslose Fälle&quot; mit einer Frist von 2 Wochen. Das scheinen auch schon alle Regeln zu sein, die es dazu gibt. Was mein Hauptkritikpunkt daran ist. 

Wegen mir, kannst Du, wenn Du einmal dabei bist, auch gleich die [[:Kategorie:Wikibooks: Schnelllöschkandidaten]] leer machen. Allgemeiner Teil des BGB... würde ich aufheben, das hätte mir schonmal helfen können, ergo erachte ich es als lehrreich. Da möchte ich aber eine zweite Meinung zu. Um Bremer Küche hab ich mich gekümmert ( [[Spezial:Permanentlink/954693#Kochbuch]]), den Autor von [[Transformatorische Bildung]] ''könnte'' man ''vielleicht'' nochmal ansprechen, wenn man so richtig motiviert ist {{Smiley}}, was ich in diesem Fall nicht bin. Entscheide {{Smiley}}. Der Rest scheint mir, als könne er weg (Ja, auch der &quot;Stein des Anstoßes&quot; {{Smiley|;-)}}). Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 14:36, 10. Apr. 2021 (CEST)}}

== QM-Entwurf ==

Hi, bezüglich Deiner hier geäußerten Bedenken [[Spezial:Diff/prev/954574]]: &quot;Ich hab wirklich keine Ahnung, wie ich unter Umständen mehrere Benutzer unter ausreichender Beobachtung halten könnte.&quot; Wollte ich Dich darauf hinweisen, dass ich an einer Idee arbeite, diese Situation zu lösen, guckst Du dort: [[Benutzer:HirnSpuk/_Werkstatt/_Willkommen#QM-Eskalation_–_erster_Entwurf]]

Die grundsätzliche Idee: Wir bauen eine mehrstufige Qualitätsmanagement-Vorlage mit automatischer Kategorisierung, die immer weiter eskaliert (bis hin zu Lösch-Verfahren). Diese gilt für ALLE Seiten. Das Tracking der Probleme stelle ich mir über automatisch durch entsprechende Vorlagen vergebene Kategorien vor. Das ist wirklich erstmal ''nur'' ein absoluter Basisentwurf und weit weg von nutzbar. Wenn Du aber Interesse hast, kannst Du es gerne verfolgen und Ideen und Vorschläge direkt auf der Seite dadrunter schreiben. Bitte nicht auf die Diskussionsseite, da ich meinen BNR umstrukturieren wollte und es die Diskussionsseite noch nicht gibt.

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:44, 9. Apr. 2021 (CEST)

== Löschen ==

Hey, Yomomo,
bzgl. der auf [[Wikibooks:Löschkandidaten/_2021-01]] angestoßenen Diskussion möchte ich folgende Meinung loswerden:
* Ich finde, auch bei unbegrenztem Speicherplatz sollte man löschen, wir können ja nichts für die Unzulänglichkeiten der Wiki-Software.
* Das Projekt ist nach Löschung insgesamt in einem ordentlicheren Zustand als vorher, weil diese nicht fortgeführten Projekte eher abschreckend wirken,
* dass ein aufgegebenen Projekt von einer anderen Person nennenswert fortgesetzt wurde, hatten wir bis auf 1..2 Ausnahmen noch nicht, löscht man, kann jemand mit dem selben Buchtitel neu beginnen,
* ein*e neue*r Autor*in erstellt sich gerne auch eine eigene Struktur in seinen Büchern, in der will er/sie von der alten Struktur eher nichts mehr haben. Die alte Struktur taucht aber in der Versionsgeschichte auf und verfälscht damit die tatsächliche Autorenschaft (etwa so, wie es Juetho meinen Buchanfang [[Kurzeinstieg_Java]] verschandelt hat, an dem Buch wird niemals wieder jemand nennswert arbeiten). Würde man hier löschen und neu beginnen, wäre der/die Autor*in auch frei von Altlasten in der Versionsgeschichte. Ein Beispiel hierzu ist [[Linux-Praxisbuch/ Konsole/ find]]. 
* Wir wollen doch Autor*Innen motivieren, sich im Schreiben zu versuchen. Für manche ist das nichts, manche entdecken das als Hobby. Es ist sicher demotivierend wenn man weiß, dass die ersten halbgaren Versuche für den Rest der Erdzeit bestehen bleiben und man nichts dagegen tun kann. Beispiel hierzu ist [[Wikibooks:Löschkandidaten/_2021-01#Swift]]. 

Über mehr und auch gegenteilige Meinungen würde ich mich freuen. --[[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 11:55, 14. Apr. 2021 (CEST)
{{-|Da nach gegenteiligen Meinungen gefragt wurde: Ihr kennt meine Meinung: generell Contra löschen, wenns nicht nur Quark ist. Allerdings sehe ich den Bedarf, die Notwendigkeit und auch den Wunsch nach einem &quot;aufgeräumteren Zustand&quot;. Könntet Ihr Euch vorstellen den aufgeräumten Zustand über andere Mittel als das Löschen herzustellen? Beispielsweise über eine sauberere Kategorisierung? Würde es dann immer noch &quot;abschrecken&quot;? 

Könntest Du @[[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] bitte mal genauer erläutern, warum
# nicht fortgeführte Projekte &quot;abschrecken&quot; sollten? Ich hab dieses Wort &quot;abschrecken&quot; immer nur theoretisch gelesen, noch nie hab ich einen IP-Kommentar gesehen, wo es heißt (o. ä.): &quot;Alter, in diesem Sauhaufen schreib ich doch kein Buch.&quot; Gibt es dafür Beispiele? Und wenn ja, kannst Du sie verlinken? Oder ist das ein persönliches Gefühl, so wie mein persönliches Gefühl, dass vorhandene Ideen mehr motivieren, als sich etwas neu ausdenken zu müssen?
# Die aktuelle Praxis der Autor:innennennung bei Wikibooks halte ich in der Tat für verbesserungswürdig, halte ich aber nicht für das dringendste Problem. Vielleicht schilderst Du mal Deine Sichtweise auf [[Diskussion:Kurzeinstieg Java]], damit man auch mal Deine Seite kennt und nicht nur diese kurzen Hinweise, die Du immer mal wieder in Diskussionen äußerst. Jürgen hat dort übrigens sehr deutlich auf Deine Urheberschaft hingewiesen. Nichts desto trotz sehe ich dort (und generell in dieser Beziehung) trotzdem Probleme.
# Wofür genau ist [[Linux-Praxisbuch/ Konsole/ find]] ein Beispiel? Versionsgeschichte und Diskussionsseite bringen mich diesbezüglich nicht weiter.
# Ich sehe den Ansatz anders: &quot;Autor[:i]nnen motivieren, sich im Schreiben zu versuchen&quot; ist in meinen Augen ganz klar '''kein Ziel''' von Wikibooks; sondern &quot;Die Erstellung freier Lehr-, Fach- und Sachbücher&quot;. Die grobe Vorstellung, dass man ein lehrreiches Werk schreiben &quot;kann&quot; und ein Konzept &quot;wie&quot; man das zu tun gedenkt, sollte schon vorhanden sein. Dennoch muss Platz für Versuche (auch Fehlversuche) sein. Doch wenn diese &quot;Fehlversuche&quot; ein Minimum an Mehrwert haben, sollte man sie aufheben, wie z. B. [[Nachhilfeunterricht]]. Wofür ist [[Wikibooks:Löschkandidaten/_2021-01#Swift]] ein Beispiel? Das sieht doch durchaus nach Löschung aus (selbst, wenn man meine Contra-Stimme wertet)? Ergo konnte der Autor doch etwas dagegen tun? Davon abgesehen wäre die Lizenz hier mehr oder weniger eindeutig: Tu damit, was Du willst, solange Du sagst, dass ichs geschrieben hab. Das schließt &quot;Aufheben&quot; durchaus mit ein. Aber ich verliere mich in Details.
* Eine Möglichkeit des Forks (über Upload-Import) fänd ich seehr sinnvoll.
Bei Bedarf, nehmt diese Meinungsäußerung gerne mit dahin, wo Ihr sie für angemessen haltet, wenn Ihr woanders weiter sprechen wollt. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 17:34, 14. Apr. 2021 (CEST)}}

{{-| # Das ist (a) mein persönliches Gefühl, wenn ich beispielsweise das Linux-Buch aufschlage und mir die mangelnde Aktualität und Qualität ins Auge springt und (b), was die ursprüngliche Idee von WSSW begründete, Diskussionen im beruflichen und persönlichen Umfeld (ewig her). 
# Ich beschreibe nichts auf der Diskussionsseite. 
# [[Linux-Praxisbuch/ Konsole/ find]] ist ein Beispiel für eine Seite, die man löschen müsste. Tut man das nicht, sondern löscht als neuer Autor*in den Text und fügt dann sinnvolle Inhalte ein, ist der ursprüngliche Autor*in der Seite weiterhin in der Versionsgeschichte sichtbar, allerdings ohne dass er Beiträge zur aktuellen Seite hat. Tatsächlich aber wird sich dafür niemand finden, weder für das Eine, noch für das Andere. Wenn man dann noch ewig diskutieren muss, um solche Seiten zu löschen, demotiviert das sogar mich. 
# Ich bin hier vollständig gegenteiliger Meinung. 
* Wo ist &quot;Fork&quot; im Zusammenhang mit pro/contra löschen zu sehen? 
--[[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 23:03, 14. Apr. 2021 (CEST)}}
{{-|#Interessant, danke.
# Schade, dann hätte man eine zentrale Anlaufstelle, auf der man Deine Einstellung nachvollziehen könnte.
# Ich verstehe. Und jetzt sehe ich auch das Problem. Leider sehe ich auch ein '''aber''': Das ist ein zentrales Wikimedia-Merkmal, auf das wir nicht verzichten können. Vielleicht könnten wir mit einer Löschregel-Ergänzung gegensteuern?
# Aktuell ist es nunmal so, dass es keine Richtlinie gibt, die &quot;beliebige Menschen zum probieren ermutigen&quot; heißt. Wir haben aber die klare &quot;Zielvorgabe&quot;: &quot;Die Erstellung freier Lehr-, Fach- und Sachbücher&quot;. Die Auslegung dazu ist natürlich persönliche Ansicht. Ich persönlich halte einen akzeptablen Kompromiss für denkbar, der sowohl den &quot;Probierern&quot; als auch den &quot;Konzeptern&quot; gerecht werden kann.
* Ganz praktisches Beispiel: Ein Fork hätte die Diskussionen für Deine Java Geschichte vollständig verhindert. Du hättest nur die Kapitel übernommen, die Du hättest ausbauen oder umarbeiten wollen und den Rest vollständig selbst gemacht → keine Löschdiskussionen, keine Randdiskussionen, keine unterschiedliche Leistungsbewertung, kein Vorwurf an Jürgen jetzt, denn Du hättest ja machen können, wie Du willst. Wenn man dann noch die &quot;Ressourcen&quot; (die Du &quot;halbgare Versuche&quot; nennst) aus der prominenten Platzierung entfernt, dann ist allen gedient. Ich hab mein &quot;nicht löschen&quot;, Du hast kein &quot;aber das sieht doof aus&quot;. Einziges Problem, was bleibt, ist die Namensgebung (Gleicher Name, anderer Inhalt), hier könnte man ein System etablieren, was die Jahreszahl mit in den Buchnamen integriert. Zum Beispiel sowas wie &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[(2014)Java]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

'''Folge:''' weniger pro/contra löschen. Weniger Diskussion, weniger Disruption, besserer Gesamteindruck. Einzig der administrative Aufwand bleibt gleich, denn statt Löschdiskussionen auszuwerten und sich ggf. als Admin in der Diskussion positionieren zu müssen, müsste man entsprechend ggf. Uploadimports durchführen.

Allerdings, der Salzkrümel: ich halte es für denkbar, dass ich bei diesem Gedankengang bestimmte Bedingungen übersehe. Das ist jetzt erstmal nur ein spontaner Schnellschuss, um eine Kompromisslösung anzubieten.

--[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 04:22, 15. Apr. 2021 (CEST)}}

{{--|Zu ''Aktuell ist es nunmal so, dass es keine Richtlinie gibt, die &quot;beliebige Menschen zum probieren ermutigen&quot; heißt.'': Wir haben aber auch nicht das Gegenteil. Wer ohnehin schon im Berufsleben Autor*in ist, der hat seine Wege, Dinge zu veröffentlichen. Bis auf zwei &quot;Großprojekte&quot; probieren sich hier alle aus, praktisch lebt WB von denen, die sich ausprobieren. Viele verlassen danach WB wieder, es bleiben Buchfragmente übrig. Und diese Fragmente definieren die Umgebung, in der ein neuer Autor*in sein Buch schreibt.

Die Sache mit dem Fork hatte ich damals angemerkt, aber Juetho hat das damals ohne meine Zustimmung gemacht. Von Juetho und Klaus sollte &quot;Macht&quot; demonstriert werden. Finde ich heute noch lächerlich und kleingeistig. Jetzt liegen zwei Java-Bücher rum und verwaisen. Beide Bücher sind in einem schlechten Zustand, der nächste Autor*in findet sie und denkt sich bestimmt: &quot;Oh, neben diesem Mist soll mein nächstes Werk liegen?&quot;. Zum Glück geht es den Beteiligten an den Großprojekten nicht so: sie schreiben trotzdem!

Nun gut, was auch immer den Gesamteindruck verbessert, dabei die Autor*innen (vor den bösen Admins) schützt soll mir recht sein. 

Noch einen Punkt, der das Thema Löschen betrifft: Wer die Hilfeseiten schreibt(schrieb), der macht(e) die Regeln. Regeln, die sich nicht einem Communityprozess zuordnen lassen, gehören natürlich auch gelöscht. Das begründet mit meinem Wunsch nach einer rein technischen Hilfe. [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 10:18, 15. Apr. 2021 (CEST)}}
Hallo von mir auch... {{smiley}} Ich glaube, dass die Argumente hier für die Zeit dargelegt wurden, ich finde noch keine ausreichende Zwischenlösung, wir können für die Zeit eine Pause machen und wir kommen dann wieder in drei Tage. Was ich treffend finde, ist die Anmerkung über das Benehmen der Gemeinschaft (und nicht nur der Admins) den neuen (und den alten...) gegenüber. Ich denke auch darüber nach, ob ich einen Vorschlag habe. Also, bitte für die Zeit eine Pause und wir können nach drei Tagen wieder mit der Argumentation anfangen. Danke! LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 10:25, 15. Apr. 2021 (CEST)

{{-|Von mir aus Gern! Damit Ihr im Bilde seid, was in meinem Kopf diesbezüglich gerade herumgeht:
* [[Benutzer:HirnSpuk/ Werkstatt/ Willkommen]] – Nicht vom Titel der Seite beeindrucken lassen. Bei Bedarf Kommentare bitte direkt auf die Seite in einen eigenen Abschnitt schreiben
* Ich möchte auch [[Benutzer:HirnSpuk/ Wikibooks Projektentwicklung/ 2018]] im Wikibooksnamensraum wieder reaktivieren. 
* Zum Thema Benehmen kommen demnächst Richtlinien der Wikimedia: [[Wikibooks:Schwarzes Brett#2. Phase des Universellen Verhaltenskodex]]
Da es sich hier um Deine Disk handelt und Du um 3 Tage Ruhe gebeten hast, meld ich mich erst wieder, wenn von Dir hier wieder was kommt. Ich wollte Euch nur nicht bis zum WE über meine Pläne im Unklaren lassen. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 12:54, 15. Apr. 2021 (CEST)}}
Meine persönliche Erfahrung nach hat es bei meiner Entscheidung, ein Buch zu schreiben, keine Rolle gespielt, dass manche Namensräume &quot;belegt&quot; waren oder dass es viele unfertige Projekte gab. Die Größe des Buches ist meiner Ansicht nach auch nicht entscheidend, sondern viel mehr seine Vollständigkeit. Wenn ich das gut verstehe, finden wir es alle problematisch, wenn es so viele Projekte im Hauptnamensraum gibt, die &quot;verlassen&quot; sind und dafür sollten/dürften wir eine Lösung finden. Obwohl folgende Idee sicherlich auch vorher vorgekommen ist: Wie wäre es mit einem anfänglichen Verschiebensvorschlag (nach sagen wir mal 6 Monate Inaktivität des Hauptautors) und ein anschließendes Verschieben in einem &quot;Abstellraum&quot; (nach sagen wir mal noch einem Monat) und dann nach noch einem Jahr löschen (wobei das verschobene Buch gelöscht wird, also etwas in Richtung &quot;Abstellraum: BLABLA)? Dadurch bleibt die Versionsgeschichte bestehen (und das Buch kann jede Zeit &quot;wiederbelebt&quot; werden (falls das irgendeinmal vorkommt). Dies wurde selbstverständlich einige bestehende Bücher betreffen (die die 6-Monate Grenze bei Weitem schon überschritten haben).

Was jetzt die Motivation betrifft, das ist ja ein anderes Thema. Ein Löschantrag bei einer aktiven Person kommt nicht gerade gut an. Das ist allerdings nur ein Teil des ganzen Themas und daher lieber später unter einem anderen Titel diskutieren. LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:31, 19. Apr. 2021 (CEST)
{{-|Versteh ich das richtig? Du willst:
# Verschiebevorschlag bei 6 Monate Inaktivität, Frist 1 Monat
# Nach 7 Monaten ab in eine Art &quot;Abstallkammer&quot;
# Löschen nach 1 Jahr und 7 Monaten
Korrekt? 

Widerspricht zwar Deiner Idee nicht zu löschen, widerspricht dem Wikiprinzip und wäre nicht mein Favorit, könnte ich aber zähneknirschend mit leben. Das einzige was mich daran stört ist: [[Nachhilfeunterricht]] würde dieser Regelung zum Opfer fallen. Das rudimentäre Grundgerüst was dort steht, finde ich völlig erhaltenswert. Wenn solche Fälle dabei unter die Räder kommen, dann will ich aber eine Fristverlängerung auf mindestens 3 Jahre. Bei [[Swift]] sehe ich das anders. 

Ich bin allerdings nur dann dafür, wenn wir die Abstellkammer ordentlich aufräumen und prominent platzieren. Im Moment ist sie das nämlich nicht. Und Inhalt der aktuell in selbige reingetan wird erhält damit quasi ein &quot;Löschurteil&quot; weil nicht mehr auffindbar.

Und das gilt natürlich nicht für den Benutzernamensraum, oder? Wenn Ihr den mitnehmen möchtet plädiere ich für deutlich höhere Fristen im Benutzernamensraum (vielleicht 5 Jahre). 

Was hieltet Ihr davon, wenn wir erstmal alle &quot;Problemfälle&quot; als solche markieren und schauen, was dabei alles anfällt, vielleicht mit einer Kategorie [[:Kategorie:Sortieroffensive20]]? Das ist neutral genug, dass sich niemand davon auf die Füße getreten fühlt und man kann die Hauptseiten der Bücher, die die Leute, die sich damit beschäftigen wollen, erstmal damit ausstatten und so in der Gruppe eine Liste an &quot;Diskussionsfällen&quot; zusammentragen. Das ist eh nicht alles &quot;morgen&quot; machbar. Und so hätte man eine deutlich bessere Diskussionsgrundlage. Vielleicht fallen dabei sogar Sachen auf, die relativ schnell durch die Löschdiskussion zu bearbeiten wären.

Wir haben übrigens [[Vorlage:Löschung Wiedervorlage]], die mich damals zur Aktivität motiviert hat. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 13:26, 19. Apr. 2021 (CEST)}}

== Bildlizenzen ==

Hallo Yomomo,

ich hab grad zufällig Dein Bilderverzeichnis gefunden. Hast Du das benutzt, um die Lizenzangaben verfügbar zu halten? Ich bin mir nicht sicher, ob das ausreicht. Auf den Seiten selbst sind die Bilder damit ja quasi ohne entsprechende Angaben verwendet. Ich hatte grad ein ähnliches gedankliches Problem und wollte Dich auf die Seiten hinweisen, die mir dabei unter gekommen sind und die Ideen, die mir dazu durch den Kopf gegangen sind. Vielleicht führt es uns irgendwo hin.

* [[c:special:Permanentlink/559354101#Question_about_licensing_–_fulfilling_different_licensing_requirements]]
* [[Hilfe:Bilder/_Einbinden#Weitere_Möglichkeiten]] die rote Box (hab ich danach mal nachgetragen)
* [[Spezial:Diff/960199/960396]] – Das war meine erste Lösungsidee, mit &quot;versteckten&quot; Fußnoten. Ich weiß noch nicht, ob das wirklich sinnvoll ist.
Während ich mir die Mathematrix anschaute, ist mir Dein Youtube-Link aufgefallen. Es könnte es sein, dass da Markenrechte verletzt werden, das weiß ich aber nicht genau. Schau Dir mal dieses Bild und seine Lizenzangaben an: [[c:File:YouTube_Logo_(2005-2011).png]]. Aber das ist nur son Bauchgefühl und wollte ich mal mit erwähnen. Oder kannst dazu mehr sagen, was über mein Bauchgefühl hinaus geht? Wär ich sehr interessiert dran.

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 12:48, 12. Mai 2021 (CEST)

:Hey! vielen Dank für die Anmerkung! Das &quot;original&quot; von youtube hab ich genau aus diesem Grund vermieden. Sollte aber nicht gelten, dass bei CC Lizenz die Erwähnung irgendwo ausreichend soll? Ich meine, ist nicht das, was der Satz &quot;However, you could provide links to the file description pages or other sources in the books' end matter.&quot; bedeutet? Wenn ich das falsch verstehe, werde ich einfach die Bilder ändern, das ist nicht so schwer :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:53, 12. Mai 2021 (CEST)
{{--|Ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung. Ich seh sowas im Zweifel eher etwas strenger. Wenn Du Dein Bilderverzeichnis nicht hättest (was ich zu Anfang gar nicht gesehen hatte), hätte ich auch gesagt änder das am besten auf jeden Fall. Aber so ist das so ein Grenzfall wo es mal wieder echt praktisch wäre Rechtsprofis an seiner Seite zu haben. Ich hab ja die Hoffnung, dass die OpenRewi-Leute da über kurz oder lang gut ansprechbar sind. Ich kanns Dir echt nicht sagen. Da Dein Bilderverzeichnis auf jeder Seite mitverlinkt ist, könnte man wohl argumentieren, dass das ausreicht. Das mit dem End-Matter-Link verstehe ich quasi für ein zusammengefasstes PDF o. ä. Aber wie gesagt: Ich weiß es nicht. Ich wollt Dir nur Rückmeldung geben, dass es mir aufgefallen ist. Tut mir leid, dass ich dazu nicht mehr sagen kann. 

Meine Fußnotenlösung habe ich auch für mich später mal überlegt, dann müsste man beim ausdrucken etc. nicht darüber nachdenken, wie man das mit der Lizenzangabe macht. Ob das wirklich sinnvoll ist, wird die Zeit dann zeigen. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:39, 12. Mai 2021 (CEST)}}

== Zusammenarbeit? ==

Isses okay, wenn ich daran arbeite, wenn ich Zeit und Lust finde: [[Benutzer:Yomomo/_Imports]]? Ich frag nur, weil Nutzerseiten ja üblicherweise tabu sind. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 16:23, 13. Mai 2021 (CEST)
:Sehr gern :-), das war ja dein Vorschlag ;-). [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:15, 13. Mai 2021 (CEST)
::Hab mal was gemacht. Gucks Dir mal an... Danke fürs Anlegen der Seite. So können wir ja nix mehr vergessen. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:59, 14. Mai 2021 (CEST)

Hi! Hier passt es am besten hin, nur so als Hinweis, mir ist gerade ein Punkt aufgefallen, der wirklich lästig ist: Ich hab grad versucht mir die [[Vorlage:Dokumentation]] anzuschauen. Durch die importierten Edits ist quasi nicht mehr nachvollziehbar, was da wann warum geschehen ist (das müsste man jetzt Edit für Edit manuell anschauen und kann es nicht mehr durchklicken). Das soll kein Vorwurf sein. Nur ein Argument, falls es nochmal irgendwann in anderem Zusammenhang wichtig werden sollte. Vielleicht kann man das ja auch auf irgendne Hilfeseite schreiben (also, wie das mit dem Importieren ist, und welche Fehler auftauchen können), vielleicht [[Hilfe:Handbuch für Administratoren]]? Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  04:01, 24. Jul. 2021 (CEST)

== Änderungen Hauptseite ==

Moin, mal ne Frage zu Deiner Arbeitslast und Wünschen... ein kleines bisschen dauert es noch. Ich überlege die Hauptseite mit in meinen neuen Projektnavigationsvorschlag einzubinden. Was wär Dir denn lieber, die Hauptseite einmal anfassen, oder je nach Bedarf? Wenn Dus nur einmal machen willst, würde ich mit der Projektnavigation erstmal noch weiter machen, dann kann man das gleich in einem Aufwasch machen. Oder was meinst Du? Keinen Stress... Antworte, wann Du Zeit findest. Meldest Du Dich nicht, mach ich erstmal mit der Projektnavigation weiter. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:59, 14. Mai 2021 (CEST)
:Ich bin eher für das Prinzip &quot;wer die Arbeit macht, soll auch die Entscheidung treffen&quot;, wenn jemand etwas macht und die anderen nur mit Kritik dazu kommen, finde ich es nicht so konstruktiv :-). Also, du kannst dann entscheiden. Die Hauptseite/Debug hat ein paar Probleme (vor allem mit Handy), aber ich finde die Debug Version doch besser als die jetzige. Wenn du dann noch was anderes machen willst und dann erst auch die Hauptseite, passt es ja auch :-) LG! Georg [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 13:09, 19. Mai 2021 (CEST)
{{--|Vielen Dank. Kannst Du Details zu den (mobil-)Problemen nennen? Bei mir ist alles prima, zumindest so grob. Mir wärs zwar lieber ich könnte die &quot;Einklapp&quot;-Lösung auch mobil haben, aber das gibt der Minerva-Skin nicht her. Ansonsten seh ich nichts. Wo siehst Du also die Probleme? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:03, 19. Mai 2021 (CEST)}}
Außerhalb des Ausklappens gibt es kaum was: nur zwei Bildchen oben rechts haben noch kein Link :-). Ich finde auch die neue Einteilung in Bereichen viel treffender. Mir wäre es auch lieber, dass erst das Editorial erscheint und dann das zufällige Buch, aber wie schon gesagt, du machst die Arbeit, du entscheidest :-). Wichtiger ist es mir allerdings (muss aber auch nicht sein), das im Editorial ein Hinweis auf die [[en:w:Wikipedia:Five_pillars|fünf Grundregeln]] der Wikipedia ganz am Anfang steht, die fünf Regel, die aus mir völlig unverständlichen Gründen in der [[w:Wikipedia:Grundprinzipien|deutschen Wiki]] auf vier Regeln reduziert wurden (etwa wie das [[w:Farm der Tiere|Orwellsche]]: &quot;alle Tiere sind gleich, manche aber sind gleicher als die anderen) :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:47, 19. Mai 2021 (CEST)
{{-|Vom Ausklappen musste ich mich leider verabschieden. Das ist einfach zu komplex. Ein Link auf die Regalseite wird es tun. Die Links unter den Bildchen sind noch in Arbeit. Das war unter Anderem der Grund Dich hier um Meinung zu fragen. Ich werde mir dann noch etwas Zeit nehmen. Das Editorial und das zufällige Buch tauschen ist wohl kein großer Akt. 

Zum &quot;Farm der Tiere&quot;-Vergleich muss ich leider etwas ausholen. Ich glaube, Du liegst hier falsch. Grundsätzlich unterliegen wird mehreren Prinzipien bei Wikibooks Deutschland. Zum einen unterliegen wir den &quot;Regeln&quot; der Wikimedia-Foundation und ihrer Nutzungsbedingungen, denen wir als Nutzer ja zugestimmt haben:
* [[m:Terms_of_use]] – Da ist von diesen fünf Säulen überhaupt keine Rede.
Dann unterliegen wir den historisch gewachsenen Wikiprozessen. Sehr schön nachzulesen ist das ebenfalls auf Meta:
* [[m:Wikimedia power structure]]
Diese Struktur ist natürlich weder in Stein gemeißelt noch gültig über &quot;alle&quot; Projekte ohne Diskussion, da sich Prozesse, Rechtssysteme, Abläufe etc. unterscheiden.
Der dritte Baustein sind die Gründungsprinzipien der Wikipedia, als &quot;Mutter&quot; aller Wikimedia-Projekte, inklusive der Wikimedia selbst. Dazu auf Meta: 
* [[m:Founding principles]]
Wie Du siehst, sind das dort sechs Prinzipien und nicht nur fünf oder vier. Sie unterscheiden sich auch von den fünf oder vier von der englischen oder deutschen Wikipedia, die Du ins Feld führst. Aber dass sich die Regeln und Richtlinien von Projekt zu Projekt unterscheiden und organisch entwickeln ist nachvollziehbar und wird ebenfalls zentral thematisiert:
* [[m:Policy]]
Und schließlich gibt es noch eine zentrale Anlaufstelle, wo alle zentralen Regeln und Richtlinien gesammelt sind:
* [[m:Meta:Policies and guidelines]]
Dazu muss man auch Kommentare wie zum Beispiel diesen hier berücksichtigen: [[w:en:Wikipedia:Principles]]: &quot;The English Wikipedia does not have a single, definitive statement of the community's values and principles. Over the years, several editors have written summaries of these values and principles as well as essays expressing their ideas about what is important. Below is a list of some of these popular pages:&quot; 

Oder auch einer der Gründer der Wikipedia: [[w:en:User:Jimbo_Wales/Statement_of_principles]], hier sind es acht Pinzipien.

Du siehst also: alles ist fließend, alles ist nicht in Stein gemeißelt und ein Vergleich mit George Orwell ist irgendwie deplatziert, denke ich. Darüber hinaus: die fünfte &quot;englische Regel&quot; ist auf der deutschen Seite sehr wohl aufgeführt. Wenn auch nicht in der &quot;Liste der vier&quot;.

Kommen wir zurück auf Wikibooks: sämtliche Regeln, die wir hier haben, sind in Hilfeseiten kodifiziert. Teils auch mehrfach. Und ihre Auswirkungen basieren auf persönlichen Erfahrungen und Interpretationen. Diese Situation gilt es in meinen Augen dringend zu verbessern. Das geht aber weder von heute auf morgen, noch &quot;einfach so&quot;. Wir sind schließlich eine Gemeinschaft. Ich werde also weder die englische, noch die deutsche Wikipedia zugrunde legen, sondern am ehesten [[Hilfe:Statut]]. Zumindest solange wir nichts besseres haben.

Am Rande: Die Regel &quot;Ignoriere alle Regeln&quot; gibt es hier auf Wikibooks nicht. Sie wird öfter zitiert, teils gelebt, aber verschriftlicht, geschweige denn von der Gemeinschaft dokumentiert akzeptiert, ist sie nicht.

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 11:54, 28. Mai 2021 (CEST)}}

== Namenskonventionen ==

Hi, Du hast dort: [[Spezial:Diff/960592/960634]] darauf hingewiesen, dass Du die Seiten verschieben willst. Gibts da einen speziellen Grund für, außer &quot;Das ham wa schon immer so gemacht&quot;? Auf der Namenskonventionenseite werden Ausnahmen durchaus zugelassen, wenn auch davor gewarnt wird, dass jemand die Sache umbenennen will. Was hieltest Du davon, wenn wir mal ausprobieren die Leute einfach mal machen zu lassen? Würde auch weniger Arbeit machen. Die einzige Namenskonvention, die wir brauchen ist doch eigentlich &quot;eine klare Zuordnung zum Buch&quot; und das ist ja bisher gegeben. Mir ists aber egal. Aktuell sind die Regeln halt so. Nur für die Zukunft würde ich es ändern. Gerade auch im Hinblick auf &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{DISPLAYTITLE:So gehts doch auch}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Da muss man doch nicht so ewig viele Sonderzeichen in die URLs kippen ;-)... Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 02:20, 16. Mai 2021 (CEST)

:Es geht nicht um den Namen, sondern um die Gliederung in Unterkapitel. Mit dem Strich haben wir drei &quot;Bücher&quot;, die nicht irgendwie verbunden sind, man braucht / oder : für die Gliederung. Das wird für ihn ja so besser funktionieren. Ich hab mich auch gefragt, ob ich die Verschiebung dem Benutzer überlasse, ich glaube aber, dass er Hilfe in dieser Sache braucht. Ich hab in seiner Seite jetzt weiter kommentiert, schau mal nach. Ich hab den Eindruck, dass wir in dieser Hinsicht etwas in den [[Hilfe:Erste Schritte auf der Spielwiese|&quot;ersten Schritten&quot;]] ändern sollen, damit man auf die [[Hilfe:Wikibooks-Lehrbuch#Du_willst_dein_eigenes_Buch_schreiben|etwas vollständigere Anleitung]] schneller kommen kann... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 17:14, 16. Mai 2021 (CEST)

{{--|Hab mir die Diskussion angeschaut. Solange wie er glücklich ist und es Dich nicht stört, alles prima mit mir. 

Ich denke aber Deine Interpretation ist falsch. Ob man die Kapitel jetzt mit einem Doppelpunkt oder einem Halbgeviert trennt, für die interne Struktur ist das doch egal? Das sind alles einzelne Seiten im Hauptnamensraum (oder Bücher, wie Du sagst). Der Doppelpunkt hat keine semantische Sonderrolle im Mediawiki, soweit ich weiß. Zu einem Gesamtwerk wird das erst durch die Benennung (vom Sinn, und das war hier ja gegeben) und die Verlinkung (von der Navigation, und auch das war gegeben). Lediglich der Schrägstrich wird als implizite Struktur (Unterseiten) verstanden. Oder hast Du da als Admin tieferen Einblick, der was anderes sagt? Mir ist das im Prinzip aber egal. Ich würde es einfach nur aufbrechen, weil es Arbeit macht (Verschiebungen; Diskussionen über Typografie, die an der Stelle überflüssig ist; Sonderzeichen in URLs, wobei man hier argumentieren könnte, wir haben sowieso ä, ö und ü {{Smiley}}; wobei man die schneller sieht, als unterschiedliche Arten von geviert-Strichen und Leerzeichen).

Ich hab allerdings nicht überprüft, ob irgendwelche Navigationsvorlagen automatisch auf den Doppelpunkt abstellen. Das wär für mich aber kein Argument, weil ich die Arbeitserleichterung durch gesparte Diskussionen und Verschiebungen auf lange Sicht höher einschätze, als ein paar Vorlagen zu ändern.

Die Hilfeseite würde ich nicht ändern, bevor wir eine Idee haben, wo wir hinwollen; ich hab in letzter Zeit immer mal nur Kleinigkeiten ergänzt. Teilweise stießen die auf Gegenliebe, teils nicht. Ich weiß nicht, wie Du das mit den Hilfeseiten meinst. Mach doch einfach mal, wie Du denkst und stells dann auf den Verbesserungsvorschlägen vor, wenn Du unsicher bist? Oder willst Du mir einfach bescheid sagen und ich guck drüber, ob ich verstehe, was gemeint ist? Willst Du von der Spielwiese auf &quot;Du willst ein eigenes Buch schreiben?&quot; verlinken? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 10:16, 17. Mai 2021 (CEST)}}

== Seitenschutz ändern? ==

Moin, mein Ziel für die Hauptseite ist die Integration aller Informationen in andere Seiten, sodass die Hauptseite nur noch strukturell geändert werden muss, die inhaltliche Änderung aber an anderer Stelle statt findet. Damit möchte ich bewirken, dass man bei Bedarf Informationen nur noch an einer Stelle ändern brauch. Ich würde das &quot;Editorial&quot; gerne in [[Wikibooks:Über Wikibooks]] integrieren, jedoch ist die Seite geschützt. Macht ja auch Sinn. Ich denke wir können die Schutzstufe aber reduzieren auf &quot;Bearbeiten nur durch angemeldete Benutzer&quot; (gerne auch &quot;Erfahrene Benutzer&quot;, ich weiß aber nicht, ob man so fein abstufen kann)? Was meinst Du? Was hälst Du von dem Plan? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 15:52, 28. Mai 2021 (CEST)

== Feedback zur Umfrageplanung ==

Moin, ich bin dabei eine Umfrage vorzubereiten, um mal abzufragen, wohin die Reise bei Wikibooks gehen könnte. Im Moment macht ja jeder so eher sein eigenes Ding. Ich hätte bevor ich die Umfrage Live schalte gern ein wenig Feedback. Wenn Du Dich dazu in der Lage siehst, freu ich mich, wenn Du Dich mit diesem Eintrag beschäftigst: [[Wikibooks:Ich brauche Hilfe#Ich hätte gerne Feedback zu einer geplanten Umfrage]]. Insbesondere plane ich Sitenotices zu benutzen, dafür bräuchte ich Admin-Hilfe. Wenn Du Zeit und Lust findest, herzlichen Dank. Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  00:05, 3. Jun. 2021 (CEST)

{{-|Danke fürs schalten des Headers. Du hast aber den kompletten Eintrag veröffentlicht. Ich find den etwas lang. Wenn Du Zeit und Lust findest, ersetz ihn doch mit dieser Box. Danke und Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  00:14, 2. Aug. 2021 (CEST)}}

{{Box|icon=Wikibooks-logo.svg|icon-size=50px|inhalt=&lt;div style=&quot;font-size: 0.9em; text-align: center;&quot;&gt;Bitte nimm an der Umfrage zur zukünftigen Gestaltung der deutschen Wikibooks teil. Die Umfrage läuft mindestens bis zum 1.&amp;#8239;September&amp;#8239;2021, 0:00&amp;#8239;CEST. Die Umfrage hat 75 Fragen, dauert ungefähr 40 Minuten und kann auf Wunsch auch in 5 Einzelteilen zu je ungefähr 10 Minuten durchgeführt werden.

&amp;bull; '''[[Wikibooks:Projektentwicklung/2021/Umfrage Grundsätzliche Meinungen|Hier geht's los!]]''' &amp;bull; '''[https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks:Projektentwicklung/2021/Umfrage_Grundsätzliche_Meinungen/Antworten&amp;action=edit&amp;section=new&amp;preload=Vorlage:Vorgabe/Umfrage&amp;preloadtitle=Antworten%20von%20&amp;#126;&amp;#126;&amp;#126;&amp;minor=1&amp;editintro=Vorlage:Vorgabe/Umfrage/Introtext Direkt zur Umfrage]'''&lt;span style=&quot;float:right&quot;&gt;''Danke für die Hilfe'' – [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;}}

== Import ==

Hallo Yomomo,

vielen Dank fürs kümmern. Ich schreibe diesen Abschnitt als zusätzliche Erinnerung, ich hatte die Befürchtung, dass Du vielleicht das Ping aus der Wikipedia nicht zeitnah wahr nimmst: Hast Du [[w:Wikipedia:Redaktion_Chemie/Qualitätssicherung#1,6-Diaminohexan-Verfahren]] gesehen? Könntest Du den zusätzlichen Import der Versionsgeschichte bitte noch für die verschobene Seite [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]] nachholen? Da ist die eigentliche Autor:in verloren gegangen. Danke. Guten Rutsch und Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  13:37, 30. Dez. 2021 (CET)
:Ich hab das: [https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Praktikum_Organische_Chemie/1,6-Diaminohexan-Verfahren&amp;action=history] schon gemacht. Reicht das nicht aus? Dann soll ich mit Matthias etwas ausmachen, dass er den Quelltext von [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]] in seinem PC speichert, dann soll ich die Seite löschen, die Seite Praktikum_Organische_Chemie/1,6-Diaminohexan-Verfahren soll dann noch mal verschoben werden und von Mathias wieder korrigiert.. LG [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:29, 31. Dez. 2021 (CET)
:: Ah, tut mir leid, das hab ich nicht gesehen. Dann ist ja alles erledigt. Wie gesagt, guten Rutsch! Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  20:07, 31. Dez. 2021 (CET)
::: Passt! Frohes neues! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 05:58, 1. Jan. 2022 (CET)

== [[:de:Wikipedia:Redaktion Chemie/Qualitätssicherung#1,6-Diaminohexan-Verfahren]] ==

Kannst du bitte dort mal vorbeischauen? --[[Spezial:Beiträge/162.23.111.57|162.23.111.57]] 16:01, 3. Jan. 2022 (CET)
:Ich nehme an, es geht um das Problem des Absatzes hier oben drüber (''Import'')? Der Import ist erledigt, wie dort steht. Ich habe versucht aufzuräumen, da aber auf der Zielseite schon eine Seite steht, konnte ich da nichts tun. Ich nehme an, dass das mit Admin-Rechten deutlich einfacher ist. Ich schätze ein erneuter Import ist nicht zu verhindern. Ich nehme an am einfachsten ist ein erneuter Import von [[w:1,6-Diaminohexan-Verfahren]] nach [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]]. Dann verschmelzen die Versionsgeschichten ja automatisch. Die Reste kann ich dann ja entsprechend markieren. Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  16:48, 3. Jan. 2022 (CET)
:Den neuen Import hab ich schon Ende Dezember gemacht. Wie vorher geschrieben: Ich soll mit Matthias etwas ausmachen, dass er den Quelltext von [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]] in seinem PC speichert, dann soll ich die Seite löschen, die Seite Praktikum_Organische_Chemie/1,6-Diaminohexan-Verfahren soll dann noch mal verschoben werden und von Mathias wieder korrigiert. Ist jetzt nicht so eilig, wird erledigt, keine Sorge :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 17:11, 3. Jan. 2022 (CET)

== How we will see unregistered users ==

&lt;section begin=content/&gt;
Hallo!

Du erhältst diese Nachricht, da du Administrator in einem Wikimedia-Wiki bist.

Wenn heute jemand unangemeldet eine Bearbeitung in einem Wikimedia-Wiki vornimmt, zeigen wir dessen IP-Adresse an. Wie viele von euch bereits wissen, werden wir dies in der Zukunft nicht mehr tun können. Dies ist eine Entscheidung der Rechtsabteilung der Wikimedia Foundation aufgrund der Änderung von Normen und Vorschriften zum Datenschutz im Internet.

Statt der IP-Adresse zeigen wir eine maskierte Identität. Als Admin '''wirst du weiterhin auf die IP zugreifen können'''. Es wird auch neue Benutzerrechte für diejenigen geben, die die vollständigen IPs von unangemeldeten Benutzern sehen müssen, um Vandalismus, Belästigung und Spam bekämpfen zu können ohne Admin zu sein. Kontrollierer werden ebenfalls Teile der IP sehen können, auch ohne dieses Benutzerrecht. Wir arbeiten auch an [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|besseren Werkzeugen]] zur Unterstützung.

Wenn du die Seite noch nicht gesehen hast, kannst du [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/de|auf Meta mehr lesen]]. Wenn du sicherstellen möchtest, keine technischen Änderungen in den Wikimedia-Wikis zu verpassen, kannst du [[m:Tech/News/de|den wöchentlichen technischen Newsletter]] [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|abonnieren]].

Wir haben [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|zwei Möglichkeiten vorgeschlagen]], wie diese Identität funktionieren kann. '''Wir würden uns über deine Rückmeldung freuen''', welche Möglichkeit für dich und dein Wiki am besten funktionieren würde, jetzt und in der Zukunft. Du kannst [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|es uns auf der Diskussionsseite wissen lassen]]. Du kannst in deiner Sprache schreiben. Die Vorschläge wurden im Oktober veröffentlicht und wir werden nach dem 17. Januar entscheiden.

Danke. 
/[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]&lt;section end=content/&gt;

19:12, 4. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johan (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(2)&amp;oldid=22532495 --&gt;

== Kann man mir gewisse Schnelllöschrechte einräumen? ==

Hallo Yomomo,

da Sie ja Admin sind: Ich wollte bloß fragen, ob man meinem Benutzeraccount für den Namespace meines Buchprojektes ([[Mathematik für Faule]]) Schnelllöschrechte einräumen kann. Da ich nämlich häufig bei Kapitelbenennungen Fehler mache, besteht dazu einiger Anlass. Vielen Dank im Voraus! --[[Benutzer:Mathmensch|Mathmensch]] 18:50, 19. Apr. 2022 (CEST)

:Hi! Leider geht das meines Wissens nicht. Allerdings, interessantes Projekt, wenn du Lust hast, könnten wir Kontakt aufnehmen und zusammenarbeiten (auch wenn ich seit einiger Zeit kaum aktiv bin...) Sonst übernehme ich das Löschen nur... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:48, 19. Apr. 2022 (CEST)

::Fehlerkorrekturen sind in der Tat sehr willkommen! Was den Inhalt angeht, so würde ich gerne zunächst sozusagen das &quot;Grundschema&quot; alleine aufbauen, weil ich eine sehr genaue Vorstellung habe, wie später alles aussehen soll. Des weiteren habe ich unter größten Mühen für zahlreiche Sätze vereinfachte Beweise erbracht, welche von den &quot;Standard&quot;beweisen teils stark abweichen.

::Ich werde versuchen, bei Neuanlagen die Seitentitel etwas gründlicher zu durchdenken.

::Viele Grüße, --[[Benutzer:Mathmensch|Mathmensch]] 12:23, 20. Apr. 2022 (CEST)

== [[Wikibooks:Löschkandidaten/ Urheberrechtsverletzungen#Kartenspiele: Monte Bank]] ==

ist seit Januar offen, obwohl ein glasklarer Fall. Bitte abarbeiten. Danke. --[[Benutzer:NilsLindenberg|NilsLindenberg]] 17:37, 22. Apr. 2022 (CEST)

== Wozu die nbsp? ==

Hallo, warum erzwingst du [[Natur und Technik für den Pflichtschulabschluss: Die Erdatmosphäre|da]] so hässliche Umbrüche? Z.B.:

&quot;&lt;br&gt;
Die '''Thermosphäre''' ist der nächste Höhenbereich&lt;br&gt;
der Erdatmosphäre, in dem&lt;br&gt;
ihre Temperatur erneut mit der Höhe (extrem)&lt;br&gt;
ansteigt und ca. 1100°C erreicht. Das liegt daran,&lt;br&gt; 
&quot;

&quot;ihre Temperatur&quot; würde noch locker in die 2. Zeile passen. 
--[[Spezial:Beiträge/2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F|2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F]] 16:14, 25. Apr. 2022 (CEST)

:nbsp ist ja kein Umbruch sondern verhindert neue Absätze. Wenn ich das gut in Erinnerung habe, hab ich sie benutzt, damit nicht NUR ein Wort vor dem Bild und der Rest nach dem Bild steht, was bei manchen Browsern doch passieren kann. Z.B &quot;Die&quot; vor dem Bild und &quot;Thermosphäre&quot; nach dem Bild, dann muss man ja nach dem Artikel &quot;Die&quot; suchen... [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 16:47, 25. Apr. 2022 (CEST)
:: &quot;gut in Erinnerung&quot;? Das ist gerade mal eine gute Stunde her. Warum ein vorm Umbrechen geschütztes &quot;ihre Temperatur erneut&quot; mitten im Satz das Problem behebt, erkenne ich trotzdem nicht. Naja, nicht so wichtig. --[[Spezial:Beiträge/2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F|2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F]] 17:00, 25. Apr. 2022 (CEST)
:::Die Artikel mit dieser Begründung an die Worte zu binden ist durchaus legitim. Das hat mit Umbruchs-Erzwingung nichts zu tun. Das wäre der Fall, wenn es ''immer und überall'' so aussähe. Im Gegenteil, das verhindert weder Absätze noch erzwingt es Umbrüche. Es ''verhindert'' Umbrüche im Sinnzusammenhang und das ist hier ja der Zweck. Klassisch würde das bei Zwangsleerzeichen eingesetzt, wie Nummerierungen oder Abkürzung, sodass die Abkürzungen nicht umgebrochen werden. Man kann das sicher diskutieren, aber dafür wäre es hilfreich um Erklärung zu bitten und nicht mit Unterstellungen zu starten, z.&amp;#8239;B. &quot;Warum benutzt Du dort nbsp?&quot; statt &quot;Warum erzwingst Du sowas hässliches?&quot;, denn weder Zwang noch hässlich war hier die Intention. Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  20:20, 25. Apr. 2022 (CEST)
::::&quot;Das ist gerade mal eine gute Stunde her.&quot; Interessant. Hatte nicht gemerkt. Ich benutze Texteditor und immer wieder wikEd. Das hat wikEd offensichtlich automatisch gemacht. Aber ist jetzt letztendlich kein Problem. [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:15, 27. Apr. 2022 (CEST)
::::: Ah, das klärt dann, warum das so willkürlich aussieht. Danke. --[[Spezial:Beiträge/2003:E7:2718:F600:9C96:A62E:DD03:2221|2003:E7:2718:F600:9C96:A62E:DD03:2221]] 10:41, 27. Apr. 2022 (CEST)

== [[Mathematrix:_MA_TER/_Theorie/_Geometrische_Konstruktionen#Die_Klassischen_Probleme_der_antiken_Mathematik|Die Klassischen Probleme der antiken_Mathematik]] ==

Servus Yomomo,

ich habe das erste klassische Problem eingearbeitet. Ein paar Überschriften habe ich dabei geändert. Bitte schau' mal rein, vielleicht gefällt es dir auch. Gruß --[[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]] 20:09, 20. Jul. 2022 (CEST)</text>
      <sha1>9uqigyacg948s58vpyjdjs94zokkjus</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>999745</id>
      <parentid>999744</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T18:09:55Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Petrus3743</username>
        <id>38710</id>
      </contributor>
      <comment>/* Die Klassischen Probleme der antiken_Mathematik */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="93570" xml:space="preserve">
== Rho und Quellen ==

Hallo Yomomo,

auf irgendwelchen Hauptseiten wollte ich das nicht besprechen (falls es was zu besprechen gibt): 

* Deine Löschung von Rhos Seite fand ich nicht so ganz einwandfrei. Oder hast Du mit ihm vorher gesprochen? Wenn Du vorher nicht mit ihm gesprochen hast, hätte ich eine Löschankündigung ([[Wikibooks:Löschkandidaten/_Löschankündigungen]]) für aktzeptabel gehalten.
* Ich stimme zwar mit Deiner Ansicht über den &quot;Quellenkult&quot; (sehr schönes Wort) überein, aber Du hast Dich mit der Quellenarbeit nicht sonderlich hervorgetan, finde ich. 
*:Kritikpunkte im Einzelnen:
*:* nur wenig Quellen
*:* kein sauberer Seitenverweis und Hinweise auf Übersetzungsmöglichkeiten bei Fremdsprachen
*:* falsche Übernahme von Daten aus Quellen
*:* falsche Autorennennung
*:* davon abgesehen, dass der Quellenangabe Daten fehlten, wie zum Beispiel das Abrufdatum (was ich hier auf Nutzer- und Diskussionsseiten allerdings nicht ganz so schlimm finde, wollte es nur der Vollständigkeit halber erwähnen)
*:Daher finde ich es schwierig, wenn Du über Quellen redest.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 14:37, 27. Dez. 2020 (CET)

{{-|Im Lösch-Logbuch steht als Begründung: „Einverständnis des Autors nach Löschdiskussion“. Allerdings kann ich nirgends ein Einverständnis von Rho zur Löschung erkennen, nur dass er die Kritik an der Recht-Seite versteht bzw. nachvollziehen kann. – In aller Regel muss bei einer Seite auch die dazugehörige Disk. gelöscht werden. – Darüber hinaus will ich mich in eure Diskussion nicht einmischen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 15:31, 27. Dez. 2020 (CET)}}

{{--|Ich nehme an, Yomomo meinte das hier: [[Spezial:Diff/940131/940141]]. Wegen des nicht-erkennbaren mangelnden Einverständnisses habe ich das hier thematisiert. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 16:45, 27. Dez. 2020 (CET)}}

{{---|Ich hab es so in Erinnerung, dass Rho irgendwo geschrieben hatte, dass es ihm lieber ist, selber seine Seiten zu löschen. Da er den ganzen Inhalt tatsächlich selber gelöscht hatte, ging ich davon aus, dass er damit gemeint hat, dass er die Seite nicht mehr braucht. Wenn ich das doch missverstanden habe, kann er ja selber sich beschweren, man kann ja jeder Zeit die Seite wieder- oder erneut erstellen... Was Quellen hier in Wikibooks betrifft, da hast du Hirnspuk ja Recht, ich hab letztendlich in meinen Bücher keine oder kaum eine Quelle angegeben. Das ist also irgendwie völlig auf der anderen Extreme. Andererseits ist es doch Standard Mathematik (oder Physik) Wissen. Im Notfall könnte ich als Bibliographie irgendwelche Schulbücher (egal welche) angeben und langsam (mit Seitenangabe und alles) nachholen... Das ist ja auch in den anderen Bücher hier unterschiedlich, manche haben (noch) keine Literatur (z.B. [[Staatsbürgerkunde Deutschland]], manche nur Wikipedia Seiten (z.B. [[Familie Blaumeise]]) andere wieder ein ziemlich ausführliche Literatur (vor allem mit Internet Seiten (z.B. [[Computerhardware für Anfänger]]) usw,  LG!!}}

KOMMENTAR Rho : 
Geht in Ordnung mit der Löschung. 
[[Benutzer:Rho]][[Spezial:Beiträge/2003:D3:870E:C31:D5DE:C503:6C65:57A1|2003:D3:870E:C31:D5DE:C503:6C65:57A1]] 17:34, 28. Dez. 2020 (CET)

Hallo Yomomo,

keine Hektik. 

Die Löschung bei Rho hat sich ja nun erledigt. (Er hatte übrigens nur die Diskussion entfernt, die Du nicht gelöscht hast, was Du noch nachholen solltest, und nicht die Seite selbst). Tendenziell machst Du Dich als Admin mit so einem Verhalten aber angreifbar. An &quot;Löschen über den kurzen Dienstweg&quot; habe ich überhaupt nichts auszusetzen. Mich stört aber eine Löschung &quot;ohne Kontaktaufnahme&quot; wie es leider hier üblich und in den verbuddelten Regeln erläutert ist. Dein Löschen hier war für mich so ein gefühltes Mittelding.

Mathematik braucht ja quasi keine Quellenangaben. Wobei es mal eine hübsche Herausforderung wäre, ein Mathelehrbuch zu schreiben, wo wirklich alle Primär-Quellen angegeben sind; das gehört aber wohl in die Kategorie &quot;Lebensaufgabe&quot; {{Smiley}}. Auch Lehrbücher haben üblicherweise keine Quellenangaben, eher weiterführende/empfohlene Literatur. Deine Corona-Kritik hingegen sollte Quellen haben. Die meinte ich. Dort hast Du weder Zitationsstandards verwendet, noch hast Du die Quellen, die Du verwendet hast, sinnvoll erläutert und eingebunden. Im Fließtext, wo Du Dich immer wieder auf Informationen beziehst, sollten Quellen angegeben werden, die aber fehlen. Sonst ist die Seite Deine persönliche Meinung, und hinterlässt, wie ich schon schrieb, keinen guten Eindruck.

PS: Du solltest daran denken, auch auf Deiner eigenen Diskussionsseite zu unterschreiben {{Smiley}}.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:53, 28. Dez. 2020 (CET)

:Hallo Hirnspuk! Danke für die Kommentare! {{Smiley}} ähm, ja, unterschreiben muss ich auch machen. Die Seite von Rho hatte er doch schon selber vorher geleert, ich weiß nicht, ob ein nicht Admin das sehen kann, sonst hätte ich das sicher nicht gemacht... Ist aber jetzt schon vorbei {{Smiley}}...  Die Disk Seite war jetzt zwar nicht leer, aber da war nur dein Eintrag geblieben (und die ganze Disk steht ja in der Disk von Rho)... Also hab ich jetzt auch gelöscht. Über die Korona-Maßnahmen Kritik, hast du ja auch Recht, wenn ich wieder Zeit dafür habe, werde ich nachholen und auch als Dialog entwickeln (mit Argumenten und Gegenargumenten) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 21:10, 28. Dez. 2020 (CET)

{{--|Hallo Yo, nein, ich bin ziemlich sicher, ein Nicht-Admin kann das nicht sehen. Dann ist der kurze Dienstweg ja erfüllt {{Smiley}}. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 22:11, 28. Dez. 2020 (CET)}}

== Bürokrat ==

Moin Yomomo,
ich würde deine Kandidatur unterstützen. Ich halte dich für einen sehr fähigen und kompetenten Administrator und bin froh, dass du bei WB mitarbeitest. Viele Grüße -- [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 22:33, 15. Feb. 2021 (CET)
: Hey Qwertz. Vielen vielen Dank :-). Wie schon in der Seite von Jürgen geschrieben, ich hab nachgeschaut. Es ist so, dass das einzige, was einen Bürokrat von einem Admin unterscheidet, ist Adminrechte nach den Wünschen der Community geben zu können (aber nicht weg zu nehmen). Bei kleineren Communities wird die Sache in der Regel von Stewards erledigt, also, no big deal. Über die Haltung von HirnSpuk kann ich nur sagen, dass ich mir vorstellen kann, dass es vor allem an seine unterschiedliche Meinung was Korona betrifft liegt. Zu diesem Thema kann ich nur sagen, dass ich seine Kritik wirklich extrem schätze und für mich in der Regel sehr hilfreich ist (auch wenn wir einer anderen Meinung sind) :-). Danke nochmal und LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 22:46, 15. Feb. 2021 (CET)
{{--|Kurze Rückmeldung, weil ich es grad sehe: Ja, es liegt an der Corona-Seite. Ein Admin und ein Bürokrat hat in meinen Augen ein Vorbild zu sein und das sehe ich auf der Corona-Seite einfach nicht. Aber es scheint ja zu werden {{Smiley}} (PS: Schweden macht jetzt auch langsam vorsichtig in Masken: https://www.thelocal.se/20210223/stockholm-set-to-announce-new-coronavirus-measures/ {{Smiley|;-)}}). Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:54, 4. Mär. 2021 (CET)}}

== SLAs und Struktur ==

Hallo Yo,

zu den beiden SLAs (Achtung: Das ist nur meine Meinung):
* Seite aus Planimetrie → Das Problem entstand aus der [[Vorlage:AutoInhalt]], die dort benutzt wird. Ich finde das so, wie es dort steht überaus unglücklich. Ich würde aber tatsächlich Deinen Einwand dort stehen lassen und entweder die Autoren des Buches oder die Autoren der Vorlage tätig werden lassen oder ansprechen, dass sie das Problem beseitigen. Zweite Variante: das ist ein Autorenwunsch und könnte einfach durchgeführt werden. Damit beseitigt man aber nicht das Problem und macht nur Symptombekämpfung.
* Seite aus dem Kochbuch ist etwas schwieriger. Man könnte Guy mal begrüßen und ihn betreuen und nach den Plänen fragen. Die Änderung und Löschung einfach so, wäre mir zu schwammig. Deine Einwände, die Du auf der Seite schreibst, finde ich sinnvoll, daher würde ich diese Löschung auch nicht durchführen. Solange es in der Wikipedia einen Eintrag über die Bremer Küche gibt, nimmt das Löschen der Seite Informationen aus dem Kochbuch. Und ich persönlich fänd das blöd.
Oder Du lässt halt einfach einen anderen Admin entscheiden, wenn es denn mal jemand sieht.

Zu Struktur, wegen der Schokobanane: 
Grundsätzlich hätte ich nichts gegen die Entwicklung von Texten im Hauptnamensraum, wenn sie denn sinnvoll kategorisiert sind und es Regeln für ihre Erstellung und Wartung gibt. Was hälst Du davon, wenn wir [[Benutzer:HirnSpuk/_Wikibooks_Projektentwicklung/_2018]] wieder aufleben lassen (Das hatte Jürgen mal in meinen BNR verschoben,&quot;[[Benutzer_Diskussion:HirnSpuk#Wikibooks-Projektentwicklung|weil so etwas bei uns nicht gemacht wird]]&quot;)? Mein Gedanke war, auf dieser Seite genausowas zu besprechen. Oder hast Du da kein Interesse dran? Was dagegen, wenn ich das alleine machen würde?

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:40, 4. Mär. 2021 (CET)

PS: Ists eigentlich okay für Dich, wenn ich Yo sage?

:Ja, Yo finde ich ganz OK :-). Ich hab deine Links über Projektentwicklung kurz geschaut. Ja, es bedarf schon Änderungen. Ich merke allerdings, dass für WikiFoundation der geringere Anzahl von Freiwilligen allgemein ein Problem darstellt. Ich denke mir, dass, dieses Problem zu lösen, noch wichtiger ist. Hast du da Ideen?

:Auf der anderen Seite: Die ganze Geschichte mit den Maßnahmen angeblich gegen Korona bedruckt mich immer mehr und mehr. Ich bin wirklich am Rand des Wahnsinns (wenn ich nicht die Grenze schon überquert habe). In Schweden haben wir NULL Übersterblichkeit für die Saison 2019-20 gehabt. NULL!!! Voraussichtlich wird es auch nächstes Jahr auch so sein (die Übersterblichkeit in der jetzigen Welle war niedriger trotz höhere Anzahl von Todesfälle). In Österreich wird die sogenannte &quot;Inzidenz&quot; als Entscheidungswegweiser benutzt. EINE ABSOLUTE ZAHL!!! OHNE JEGLICHE BERÜCKSICHTIGUNG DARAUF, WIE VIELE TESTS GEMACHT WERDEN!!! Geschweige jetzt Randomisierung. Grundsätze der wissenschaftliche Arbeit werden, einfach so, völlig ignoriert. Der VfGH hat schon Entscheidungen gegen die Maßnahmen getroffen. Der VfGH wird AUCH IGNORIERT!!! Einfach so. Und offenbar gibt es keine Strafen, wenn eine Regierung Entscheidungen trifft, die das Grundgesetz widersprechen. Also, wenn ich jetzt über Rot fahre, muss ich schon bezahlen, das Grundgesetz hingegen ist nicht wichtig, da kann man alles machen, kein Problem. Das Volk wird ja nächstes mal entscheiden, oder? Das kann ich mir nicht glauben. Das ist aber so. Wie auch immer, du bist ja da einer anderen Meinung, was kann man machen. Jetzt bin ich allerdings der Sache ein bisschen los. Therapiestunde {{smiley}}! LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:38, 4. Mär. 2021 (CET)

:PS: Über die SLA: Ich lasse sie so, bis vielleicht jemand reagiert, ich bin eher deiner Meinung auch, die du hier oben ausgedrückt hast...

{{--|Hast Du von der WMF mehr Daten? Ich denke die Zugriffe, Inhalte und Projektgröße von de.wb ist noch nicht kritisch, gehört hätte ich davon auch noch nichts. Ideen habe ich diverse. Nützt in meinen Augen nur nichts, wenn wir auf die bestehende Struktur mit Kleinständerungen einfach drauf setzen. Ich würd erstmal aufräumen, dabei aber auf Altem aufbauen. Qwertz Ansatz war: Erstmal alles rigoros weg und dann neu machen. Welchen dieser Ansätze magst Du lieber?

Meine Wünsche für Wikibooks:
* offenes, willkommendes, diverses Klima, basierend auf Respekt
*: heißt:
** keine Schnelllöschungen von Inhalt
** keine Löschanträge für auch die kleinsten Inhalte
** Ergebnisoffene Inhaltsentwicklung auch für den größten Käse (solange sinnvolle Quellenarbeit betrieben wird und der Buchcharakter im Vordergrund steht)
*: aber:
** Fragmente, Zweifelhaftes, etc. sollte dennoch aus den Bücherregalen verschwinden (aber nicht gelöscht werden, ich würde Kategorien nutzen, um dieser Lage Herr zu werden)
* klare Regeln, klare Hilfen, klare Struktur
*: dazu hätte ich diverse Ideen, die aber sicher auch anders ausgestaltet werden könnten.
* engere Verzahnung mit anderen Wikiprojekten, gerade die Wikiversity ist ein natürliches Geschwister von Wikibooks, dafür haben wir viel zu wenig Kontakt.
Um das alles zu leisten sehe ich die Notwendigkeit den Wikibooks-Namensraum und den Hilfe-Namensraum aufzuräumen, sowie Kategorien cleverer zu nutzen. Wenn man dann etwas aufgeräumt hat, dann hätte ich schon auch sehr viele Ideen für die Öffentlichkeitsarbeit, aber die macht in meinen Augen nur dann Sinn, wenn hier etwas mehr Ruhe drin ist. 

Überraschenderweise haben sich die OpenRewi-Jungs-und-Mädels nicht abschrecken lassen. Vielleicht wirken die akademisch als Multiplikatoren, das wär schon schick. Bei Mathe-für-nicht-Freaks ist das ja interessanterweise nicht eingetreten und ich hab auch den Eindruck, als wollen sie von Wikibooks weg. Da gabs kürzlich so eine Umfrage, die ich jetzt aber leider nicht mehr wieder finde. Auch früher gabs diese Überlegungen auch schon: [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Archiv/_Wechsel_der_Plattform]]

Meine Kritik basiert auf folgenden von mir als unangenehm wahrgenommenen Problemen:
* Regeln sind im Hilfenamensraum verbuddelt und teilweise nicht konsistent
* Hilfeseiten beschreiben in epischer Breite organisch gewachsene Strukturen
* Kategorien werden zwar benutzt, aber ihr möglicher Nutzen wird nicht voll ausgespielt

Anfangen müsste man als erstes damit, dass man sich 
# einigt, ob Wikibooks eher ein geschlossenes, Autoren schützendes Projekt sein soll, oder das Wikiprinzip wirklich voll ausspielt (oder halt eine beliebige Mischung aus beidem). Z. B. gibt es zur Zeit kein Verfahren um &quot;Auflagen&quot; zu fixieren. Und
# die aktiven Autoren besser ins Boot holt, was ich durch eine Aktiven-Befragung versuchen würde zu erreichen.
Darauf aufbauend kann man weiter denken und arbeiten.

Nun zum Thema Corona: Auch wenn es nicht so wirkt, ich hab die Schn*** auch sowas von voll! Mir geht es in erster Linie auf den Keks, dass geschlafen wird. Letztes Jahr bis Juni, okay, da musste man auf Sicht fahren, aber dieses zweiwöchige Gegurke, was da jetzt statt findet ist furchtbar. Es war wirklich GENUG Zeit sich beliebige Pläne in die Schublade zu legen. Und z. B. die Restaurants, die sich mit ihren Hygiene-Plänen den A aufgerissen haben, tritt man dann wieder in den selbigen und sagt: Macht halt zu! Was mich nervt an diesem Inzidenz-Quark: keiner interessiert sich für die Steigung. Keiner interessiert sich für die effektive Belastung des Gesundheitssystems. Und der Steigung! Es ist doch was völlig anderes, ob die Intensivstationen täglich leerer werden, oder ob sie täglich voller werden. Und im Moment sieht es wohl danach aus, als ob es einen Zusammenhang zwischen täglichen Neuinfektionen und Intensivstationsbelegung gibt. Sowas muss doch berücksichtigt werden. Dann hält der RKI-Chef gefühlt jeden Tag seine Nase in die Pressekonferenz. Wieso? Ja, okay, als Chef muss er ne Meinung haben, und auch ab und zu mal nen guten Eindruck machen, aber überlasst doch bitte die Aussagen Leuten, die auch wirklich was davon verstehen? Warum gibt es kein Expertengremium bestehend aus Prof. D., Prof. K. und wie die üblichen Verdächtigen nicht alle heißen, was einmal wöchentlich eine Live-PK macht? Wo sind die Kommunikatoren, die der Bevölkerung das ganze sinnvoll erklären? Ist ja nicht so, dass wir das Problem erst seit gestern hätten... Und dann diese leidigen Masken: Ja, ist okay! Nur für den Fall, dass es etwas bringt, lohnt es sich. Aber FFP2-PFLICHT im BUS??? Was soll das? Hätte ich ja nichts gegen, wenns eine kostenlose FFP2 Maske mit jedem Busticket gäbe (die auch auf den Träger angepasst wird, sonst isses eh Blödsinn). Aber nöö... Da is schön jeder selber in der Pflicht. Erinnerst Du Dich noch? Letztes Jahr? Den ersten Lockdown haben wir komplett ohne Maske hinter uns gebracht... Soviel zu meiner Therapiestunde {{Smiley}}... Wird schon! Der Frühling kommt. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:45, 4. Mär. 2021 (CET)}}

{{--|PS: Die Übersterblichkeit in Schweden ist nur dann null, wenn man die Zahlen so interpretiert, wie Du das tust. Du kannst nicht auf der einen Seite sagen: &quot;Schweden macht voll viel für die Gesundheit, deswegen sind die voll gut&quot; und auf der anderen Seite: &quot;Die Sterblichkeit dieses Jahr war so hoch, wie vor 15 Jahren, das ist völlig normal&quot;. Das ist argumentativ mindestens schwierig. Und für die rechtlichen Zusammenhänge fehlen mir Quellen, das kann ich nicht beurteilen. Und wenn Du bei rot fährst musst Du üblicherweise nur zahlen wenn Du erwischt wirst. Also schön die Kirche im Dorf lassen... {{Smiley}} --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:52, 5. Mär. 2021 (CET)}}
*Nicht mal eine einfache Geldstrafe müssen die Politiker bezahlen, wenn sie gesetzwidrige Verordnungen erlassen. Nicht mal das... Was muss dann passieren, damit wir verstehen, dass so was EXTREM problematisch ist? Egal jetzt aus welchem Grund die Entscheidungen getroffen werden...
*Du kannst die Kurve mit der Mortalität in Schweden über die letzten 110 Jahren [[w:COVID-19-Pandemie_in_Schweden#Tägliche_Todesfälle_seit_Oktober_2015_und_jährliche_Sterberate_seit_1910_(alle_Todesursachen)|hier]] sehen (und die Daten in Bearbeitungsmodus). Sagen wir es so statistisch: Wir können viel schwieriger ausschließen, dass wir keinen Einfluss auf die Mortalität hatten, als ausschließen, dass der Einfluss mehr als 3% Erhöhung war (also: &quot;gewöhnliche&quot; schwere Grippe). Viel auffälliger ist der niedriger Wert 2018-19, wenn wir aber die Schwankungen auch nur der letzten 10 Jahren betrachten, war der Wert eher um die Grenze der Schwankung nach unten. Das Argument ist daher nicht &quot;die Sterblichkeit dieses Jahr war so hoch, wie vor 15 Jahren, das ist völlig normal&quot;, sondern: &quot;Die Mortalität dieses Jahr liegt innerhalb der gewöhnlichen Schwankungen der letzten Jahren. Es ist schwer (wenn nicht sogar unmöglich) eine Wirkung der Epidemie auf die Mortalität zu begründen. Wenn überhaupt, dann liegt diese Wirkung eindeutig im (statistischen) ''Rahmen'' von anderen Epidemien der letzten Jahren.&quot; Ein Vergleich mit dem Wert 1918-19, macht die Sache etwas klarer... LG [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 08:05, 5. Mär. 2021 (CET)

{{-|*Ich brauch mehr Informationen, um dazu etwas sagen zu können. Um welche &quot;gesetzeswidrige Verordnung&quot; geht es? Erstmal muss geklärt werden, ob das überhaupt gesetzeswidrig war, oder nur so wirkt. In der deutschen Verfassung ist zum Beispiel festgelegt, dass die Verfassung sehr wohl durch andere Gesetze eingeschränkt werden kann und darf. In DE muss für strafrechtliche Ermittlungen meines Wissens nach erstmal die Immunität der Politiker aufgehoben werden (was in DE übrigens in letzter Zeit recht häufig geschehen ist). Keine Ahnung, wie das in AT ist. Aber sich einfach so zu beschweren dass die &quot;bösen Politiker&quot; ja nicht zur Rechenschaft gezogen werden, und Du Ordnungsgelder bezahlen musst, macht es zu einfach. Du kannst zur genaueren Erläuterung sicher auch die Damen und Herren in unserem neuen Projekt fragen {{Smiley}}.
*Dann mal {{w|Butter bei die Fische}}: Untermauere Deine These mit Berechnungen. Wir haben ganz klare statistische Daten (die in Deinem Link übrigens falsch angegeben scheinen: erstmal um den Faktor 100 und dann auch noch mit falschen Nachkommastellen und offenbar falsch zugeordnet), die sich einem Test stellen lassen. Welchen Test wählst Du aus? Warum? Wie sind die Ergebnisse für &quot;kein Einfluss&quot; und &quot;kein Einfluss größer 3%&quot;. Wir müssen schon allein bis ins Jahr 2012 zurück gehen, um gleich hohe Todeszahlen pro 100k zu finden. Die Steigung der jährlichen Änderung war deutlich länger nicht mehr so stark. Und das ist nur die jährliche Änderung. Darüber hinaus: Es ist ja nicht nur entscheidend wieviele Leute &quot;im Jahr&quot; sterben?
**Wie ist die Demografie?
**Wird medizinische Behandlung benötigt?
**Sterben &quot;alle gleichzeitig&quot;?
:Ein Vergleich mit 18/19 ist völlig unerheblich: Anderes Gesundheitssystem, anderes Verständnis für Hygiene und Schutz, viel zu lange her, um es statistisch in Zusammenhang zu bringen, herrje, die Existenz von Viren in Ihrem eigentlichen Sinn war insgesamt grad mal ~20 Jahre bekannt.
Vielleicht sollte ich mal einen Editwar auf Deiner Corona-Seite starten und alles zurücksetzen, bevor Du diese meine Fragen nicht beantwortet hast. Du vermeidest ja in chronischer Regelmäßigkeit präzise Antworten auf meine Fragen. {{Smiley}} Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 10:54, 5. Mär. 2021 (CET)}}

:Ja, super... Wie wäre es mit einem Editwar für alle Daten, die nur absolute Zahlen von positiven Tests angeben, ohne jeglichen Vergleich auf durchgeführten Tests? Wie wäre es mit einem Editwar für alle angegebenen &quot;Sterblichkeiten&quot;, die auf gar keine randomisierten Daten basieren und kaum was mit IFR zu tun haben? Wie wäre es mit einem Editwar wegen der Unterdrückung von zahlreichen Studien (z.B. von Ioannides), allein weil sie nicht die Meinung vertreten, dass wir mit einer extrem großen Gefahr zu tun haben. Wenn Editwar, dann BITTE ausgeglichen... Aber meinetwegen, kannst ja anfangen...
:Was jetzt die Daten für die Mortalität betrifft, sie sind genau das, was da geschrieben ist: Todesfälle zwischen Oktober eines Jahrs bis September des nächsten, durch Bevölkerung des nächsten, und das mal 1000, also Todesfälle pro 1000 Einwohner, die (auf alle Fälle nicht vermeidbare) Ungenauigkeit liegt unter 1% (kannst du selber probieren, indem du mal die Bevölkerung des vorherigen und mal des nächsten Jahres benutzt). Und allein mit dem vorherigen Jahr zu vergleichen, wo wir eine eindeutige Untersterblichkeit hatten, ist nicht nur unwissenschaftlich, es ist schlicht und einfach gemein... Wenn du willst, kann ich dir auch die EXCEL schicken und die Links von schwedischen Statistik. LG [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 11:16, 5. Mär. 2021 (CET)
{{--|1=Herrje. Das war ein dummer Spruch. Wenn ich das täte, gehörte ich gesperrt. Warum antwortest Du nicht einfach mal, nennst Quellen, zeigst Zusammenhänge auf, rechnest die Statistik-Tests vor, die Du durchgeführt hast? sondern beschwerst Dich schon wieder? Wer etwas behauptet muss es begründen. Und wer das nicht tut, muss sich Kritik gefallen lassen.

Wo wird denn z. B. die Studie von Ioannidis unterdrückt?
*https://www.aerzteblatt.de/forum/137996#entry137996
*https://www.n-tv.de/wissen/Covid-19-weniger-toedlich-als-vermutet-article22104272.html
*https://www.laborjournal.de/editorials/2009.php
*https://www.sueddeutsche.de/gesundheit/coronavirus-massnahmen-studien-stanford-john-ioannidis-lockdown-1.5187909
*https://taz.de/Coronamythen-und-Fakten-3/!5738507/
*https://www.merkur.de/welt/who-corona-studie-tote-uebersterblichkeit-infektion-pandemie-zr-90073439.html
*https://www.heise.de/tp/features/Ioannidis-Mehr-als-500-Millionen-sollen-bereits-mit-Covid-19-infiziert-gewesen-sein-4938011.html
Ein Querschnitt durch alle Arten von Medien, durch alle Arten von Veröffentlichungestypen, ermittelt durch eine kurze Google-Suche. Die Studie von Ioannidis, auf die Du wahrscheinlich anspielst, steht auch völlig öffentlich auf der WHO Seite: https://www.who.int/bulletin/online_first/BLT.20.265892.pdf Wo bitteschön wird hier was unterdrückt?

Ich gebe zu, dass ich die Darstellung tatsächlich missinterpretiert habe. Fehler passieren. Wo steht denn, dass die Zahlen nur mit letztem Jahr verglichen werden? Quelle? Du schneiderst Dir die Statistiken trotzdem zurecht, wie sie Dir passen. Die Zahlen von 19/20 beinhalten nämlich nicht die volle Welle, da die Sache ja erst im März losging und wir sehr deutlich sehen, geht eine Coronawelle offensichtlich im September/Oktober los. Was sagst Du denn dazu? Und '''nochmal''' Es ist ein ''Riesen-Unterschied'', ob 1000 Leute pro Monat sterben, und im nächsten Jahr 1040 pro Monat oder im nächsten Jahr in einem Monat 1480 und im Rest nur 1000. Und es ist auch ein Unterschied, ob die friedlich in ihrem Bettchen versterben, oder ob sie vorher noch 2 Wochen auf der Intensivstation lagen. Warum nimmst Du Dir nichtmal eine Quelle vor, die die Relation zur Grippe wirklich gut zeigt: https://www.rki.de/DE/Content/Infekt/EpidBull/Archiv/2020/Ausgaben/41_20.pdf?__blob=publicationFile?

Mal völlig ab von allen Meinungsverschiedenheiten, nehmen wir an: Das Gesundheitssystem überlastet. Wie willst Du das vertreten? Du kannst nicht ausschließen, dass es passiert, zumindest lokal. Wie willst Du also vertreten, wenn es passiert? Gib mir einfach eine Antwort auf diese Frage. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 13:40, 5. Mär. 2021 (CET)}}
:Verhältnismäßigkeit soll vorhanden sein. Es gibt nicht nur eine Krankheit, nicht nur ein Land auf der Welt, nicht nur eine Todesursache. Aber das akzeptierst du als Argument wieder nicht... 
:Und wie wird mit dem Artikel von Ioannides und jegliche Gegenmeinung in Wikipedia umgegangen?
:Ja, vielleicht ist doch besser ab September bis August.
:Du hast geschrieben, dass wenn wir die Mortalität mit dem vorherigen Jahr vergleichen, dann ist sie erhöht, oder?
:LG! :-) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 14:05, 5. Mär. 2021 (CET)

{{--|Und Du antwortest schon wieder nicht auf meine Frage.

Wenn ich das als Argument akzeptieren soll: Was haben denn andere Krankheiten und Todesursachen mit der Coronapandemie zu tun? Wo ist denn da das Argument? Bspw. der Zusammenhang: &quot;Corona ist nicht schlimm, bei Autounfällen sterben auch Menschen&quot; ist nunmal Schwachsinn.  Völlig abgesehen davon, dass das nichts miteinander zu tun hat, gibt es noch einen viel stärkeren ''Grund:'' Wenn wir alle sofort aufhören würden mit Autofahren, würde unmittelbar sofort niemand mehr sterben. Ein Autounfall ist und bleibt nunmal '''nicht ansteckend'''. Ähnliches beim Rauchen. Auch Rauchen ist '''nicht ansteckend'''.

Thema, &quot;wie wird mit Ioannidis in der Wikipedia umgegangen&quot;: Die gesellschaftlichen Implikationen der Gruppendynamik der Wikipedia steht hier nicht zur Debatte. Nur weil Youtube Bhakdis Videos löscht, wird seine Meinung nicht unterdrückt. Youtube bezahlt die Server und die Software, ergo bestimmen die, was dort geht und was nicht. Das kann uns gefallen, oder auch nicht. Eine Meinungsunterdrückung wäre, wenn man ein Verkaufsverbot für seine Bücher erlassen würde. Aber siehe da &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;https://www.weltbild.de/artikel/buch/corona-fehlalarm-zahlen-daten-und-hintergruende-zwischen_27841533-1&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;, lieferbar, Thalia, Amazon, lokale Buchhandlungen überall kann mans kaufen... Das macht es trotzdem nicht zu einer validen Wikipedia-Quelle. Und Ioannidis Covid19-Meinung ist in seinem Wikipedia-Artikel sehr wohl aufgenommen. Wo ist also das Problem?

Ich kritisiere nicht die Auswahl des Zeitraums. Ich kritisiere, dass dieser willkürlich erfolgt und so, wie er gewählt wurde nicht repräsentativ ist, sondern Deiner Argumentation in die Hände spielt. Im Frühjahr 22 wählst Du ihn dann wieder anders? Eine Präsentation statistischer Tests, die Dein Argument untermauern könnten, bleibst Du schuldig. Du behauptest einfach nur.

Keine Ahnung, ob ich das geschrieben habe, oder nicht. Ausschließen will ich es nicht. Verlinke wo und ich setze es ins Verhältnis, oder entschuldige mich dafür. Wenn ich das so geäußert habe, dann ist das mit Sicherheit nicht Fehlersicher. Wie Du oben gesehen hast, mache ich durchaus Fehler in der Dateninterpretation. Wie jeder.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:41, 5. Mär. 2021 (CET)}}

== [[Vorlage:Dokumentation]] ==

Warum überschreibst Du unsere Vorlage mit der Wikipedia-Vorlage? Welchen Sinn macht das? Und hast Du überprüft, ob das jetzt bei allen Vorlagen noch passt? Da sind jetzt nicht mehr funktionierende Links drin. Wie ist Dein Plan. Sowas hätte ich eigentlich gern vorher auf einer Gemeinschaftsseite abgesprochen gesehen. Gleiches gilt für [[Vorlage:Kasten]]. Hier scheint es zumindest keine größeren Konsequenzen zu geben. Darüber hinaus wurden Module importiert für Vorlagenverwaltung. Erklärst Du mir bitte, was da wie geschehen soll? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:03, 6. Mär. 2021 (CET)
:offenbar was schief gegangen. Ich hab nämlich die Vorlage Graph und ihre Untervorlagen importiert, normalerweise werden bei diesem Prozess bestehende Vorlagen NICHT überschrieben, muss nachschauen, was ich da machen kann... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 18:20, 6. Mär. 2021 (CET)
:Ich glaub jetzt soll es wieder gehen. LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 18:35, 6. Mär. 2021 (CET)
{{--|Oberflächlich sieht es jetzt zumindest okay aus. Hoffen wir, dass da nicht tiefer irgendwas verkurbelt ist. Was willst Du denn mit der Schriftzeichendarstellung? Und wie willst Du mit den LUA-Seiten verfahren. Hier kann doch keiner LUA so wirklich außer Stephan? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:43, 6. Mär. 2021 (CET)}}
Das geht um Datendarstellung, siehe z.B. [[Benutzer:Yomomo/_Corona#Weitere_Diagramme|hier]]. Die Schriftzeichendarstellung erscheint nur, wenn keine Parameter im Vorlag benutzt wird. Die Vorlage ist einfach sehr praktisch und ist etwas, dass ich auch für Mathematrix seit Langem gebraucht habe. Das kann man ja auch von nun an überall benutzen. Im &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Vorlage:Graph}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; und ihre Untervorlagen brauchen wir hier gar nichts übernehmen, ich kann immer wieder die neueste Version aus Wikipedia importieren (diesmal OHNE Untervorlagen :-) ). Also, Lua Kenntnisse sind daher nicht notwendig. Die Vorlage würde allerdings in Wiki.de auch importiert (aus dem Englischen). Die Lösung des Problems mit Dokumentation war Gott sei dank nicht besonders kompliziert, ich hab einfach auf die letzte Wikibooksversion zurückgesetzt. Also keine Sorge, dass etwas tieferes verkurbelt wird. Ich hoffe (und kann mir vorstellen), dass du die Vorlage Graph auch wirklich nützlich findest... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 18:56, 6. Mär. 2021 (CET)

{{-|Die Vorlage:Graph braucht es überhaupt nicht, für das, was Du willst, die hätte überhaupt nicht importiert werden müssen.

Bei Vorlage:Dokumentation sind jetzt diverse Änderungen in der Versionsgeschichte eingebunden, die aus der Wikipedia-Versionsgeschichte stammen. Eine kurze Stichprobe lässt mich vermuten, dass es scheinbar tatsächlich keinen Einfluss gibt. Dennoch stehen da jetzt möglicherweise Autoren in der Versionsgeschichte, die an unserer Vorlage überhaupt keinen Anteil hatten. Außerdem hast Du 49 Vorlagen und Module importiert. Räum dort bitte auf und passe die Dokumentation an und/oder lösche nicht Benötigtes. 

Beispiele: 
* [[Modul:PageUtil]], die Wikipedia hat dafür eine Dokumentation, die ist aber aufgrund deren Struktur nicht mit hierher übertragen worden. Wofür wird das gebraucht? Die Links auf Modul:PageUtil sind nicht wirklich aussagekräftig.
* [[Vorlage:Anker]] ist nun defekt, vgl. z. B. [[Esperanto:_Kapitel_19]]... 
* [[Vorlage:Graph:Chart]] enthält Rotlinks, die aber eigentlich Erklärungen leisten sollten, die es nun nicht mehr gibt.
* [[Vorlage:Graph:Lines]] hätte, wie es in der Vorlagendokumentation steht, besser aus {{mw|Template:Graph:Lines}} importiert werden sollen.
Ich möchte jetzt nicht alle 49 Importe überprüfen, also kümmere Dich bitte zeitnah selber darum. 

Die Graphendarstellung ist nicht meins. Ich finde das eine Programmierfingerübung, die aber wahnsinnig schwer zu warten ist. Ich verstehe den Ansatz, würde es aber für größere Sachen nicht nutzen und ärgere mich in der Wikipedia jedes Mal wenn ich über diese Krücke stolpere. Ich favorisiere den Upload der Quelldateien (als OpenDocument) und einen SVG-Graphexport. Das ist zwar ähnlich aufwendig aber sehr viel weniger Fehleranfällig. Und im VE ist das noch viel größere Gurke und erhöht die Zutrittsbeschränkung für Edits von weniger technikaffinen Menschen.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 21:04, 6. Mär. 2021 (CET)}}
Ja, ich sehe was du meinst. Allerdings ist die Idee, dass man die eigentlichen Daten auch direkt sehen (und daher überprüfen und ggf. auch ändern) kann. Das bedeutet u.A.: wenn du die Daten ändern willst, brauchst du nicht ein neues Bild hochladen... Beim importieren war es immer geschrieben, dass bestehende Vorlagen nicht ersetzt werden können, ich hab also dieses Ereignis nicht erwartet. Na, ja, es wird etwas dauern, aber ich werde das langsam korrigieren und nächstes mal beim Import viel vorsichtiger sein... Die Versionsgeschichte werde ich leider nicht mehr ändern können, das ist allerdings eindeutig geschrieben, wenn es aus der Wikipedia Seite kommt... LG und danke für die Anmerkungen! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 21:16, 6. Mär. 2021 (CET)

== [[Quadriviale Kuriositäten]] ==

Moin, das war schon richtig so. Und wenn Du
* [[Spezial:Diff/894579/952050]]
* [[Spezial:Diff/890194/952049]]
* und [[Spezial:Diff/951726/952051]]
anschaust, kannst Du das auch sehr einfach feststellen.

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:54, 18. Mär. 2021 (CET)

:Hi [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]. Jetzt hab ich gecheckt was tu meinst {{smiley}}. Hat ein bisschen gedauert, sorry. Meinst du wir wollten mit einem Header die ganze Kommunity informieren? LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 22:52, 18. Mär. 2021 (CET)

{{--|Wenn Du das für sinnvoll hälst, und das unterstützt, dann würde ich sagen, mach. Schließlich bist Du gewählter Admin und könntest das tun. Dann solltest Du aber wohl mit Pro stimmen {{Smiley|;-)}}.

Um etwas ausführlicher Stellung zu nehmen: Kommt drauf an, finde ich. Die Frage ist, wie weit man mit den Headern geht und wie &quot;klein&quot; man die machen kann. Wenn das eine Zeile ist, dann fänd ich das okay, wenn das ein großer Kasten ist, hielte ich das eher nicht für okay. Darüber hinaus läuft die Wahl nach aktuellen Regeln 4 Wochen. Die ganzen vier Wochen einen Kasten einblenden hielte ich für Unsinn. Ich denke vielleicht die letzten 5 Tage könnte man darauf nochmal aufmerksam machen.

Dennoch ist die &quot;Aufdringlichkeit&quot; der Header mit Bedacht einzusetzen. Damit wurden bisher ja nur Dinge angekündigt, wie Edit-Zwangspausen o. ä. Es besteht die Gefahr, dass Leute anfangen den Header zu ignorieren, wenn man Dinge damit &quot;bewirbt&quot;, die &quot;nicht so wichtig&quot; sind. Dann laufen evtl. wirklich wichtige Dinge ins Leere. Eine schwierige Entscheidung.

Für eben sowas würde ich gerne mal eine &quot;Community-Befragung&quot; für uns intern durchführen. Damit man mal ne Idee kriegt, was alle so wollen. Da reicht die Skala ja von &quot;mir doch egal, hauptsache ich kann hier Bücher schreiben&quot; zu &quot;Alter, dieser Sauhaufen gehört dringend auf die-und-die-Weise aufgeräumt&quot;. Problem: Das ist sehr aufwendig. Würdest Du sowas gut finden? Dafür fänd ich nämlich so ein Header wirklich sinnvoll!

Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 02:34, 19. Mär. 2021 (CET)}}

Hi, wollte nur nochmal daran erinnern, da Du ja einen Header vorgeschlagen hattest; laut aktuellen Regeln liefe theoretisch die Abstimmung demnächst aus. Ich gehe mal fest davon aus, dass ''niemand'' das wirklich wahr genommen hat. Wenn Du also Lust hast diesen Probeballon zu zünden und zu gucken, was passiert (ich wär ziemlich neugierig), dann kannst Du wegen mir gern mal so eine Headerbox schalten. Sonst würde ich die Abstimmung in 5 Tagen ergebnislos zu machen. Was meinst Du? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 23:08, 13. Apr. 2021 (CEST)
:ich kann das morgen nachmittags machen, ich hoffe ich vergesse es nicht :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 23:18, 13. Apr. 2021 (CEST)
:: Kein Stress... Wenn Dus vergisst oder das reale Leben wichtiger is, isses halt so. Hängt ja nix dran. LG --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 23:56, 13. Apr. 2021 (CEST)

== Nur der Vollständigkeit halber... ==

Bezüglich [[Spezial:Diff/prev/952472]]: Ich finde in den Löschregeln keine Regel, die Schnelllöschung bei fremdsprachlichen Inhalten auf der Benutzerseite rechtfertigt. Hingegen gibt es die [[Hilfe:Neues_Buch_beginnen/_inoffizielles_Buch]]: &quot;Niemand vergreift sich an deinen Benutzerseiten, du bist ungestört.&quot; Solange da also keine Spam-Links sind, ist das Verhalten von Dir zwar ehrenhaft (Du möchtest aufräumen) aber zweifelhaft (Du verwehrst jemandem die Arbeit, weil Du seine Sprache nicht verstehst).

Versteh mich nicht falsch, ich werd jetzt keine Knüppel schmeißen deswegen (hab den Text auch rudimentär übersetzen lassen), aber es macht schon einen schlechten Eindruck und auf Basis von &quot;Alle gleiche Rechte&quot; müsstest Du das dann auch bei einem englischen Text tun, der beginnt mit den Worten: &quot;In the next few month I will expand this text to translate it to german in two years&quot;. 

Und ich denke wir sind uns einig: Das wäre quatsch? Du verstehst? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:52, 23. Mär. 2021 (CET)

:Alle Seiten, die fremdsprachlich sind und Spam sind werden gelöscht. Auch auf englisch. Es sollte klar sein, dass wir sonst hier voll mit &quot;Benutzern&quot; wären, die ihre Werbung machen wollen. Die Seite nicht zu löschen, wäre dann in diesem Sinne eher eine Verletzung der Regel &quot;Alle gleiche Rechte&quot;. Es ist die Verantwortung der Person, die den Text schreibt, die geringe Mühe zu geben, den Satz &quot;In the next few month I will expand this text to translate it to german in two years&quot; in eine Sprache zu übersetzen, wo es klar durch unsere Reaktion wird, dass sie von uns verständlich ist. Allerdings niemand verhindert diese Person, in der Wiki ihrer Sprache zu schreiben. Ich hab diese Seite NICHT sofort gelöscht (wie ich das in der Regel tue), genau aus dem Grund, dass ich kein offensichtlichen Spam da sehe (kein Link auf andere Seiten) und weil ich den Text nicht verstehe. Vergleiche mit [[Shisha]], wo eben &quot;nur&quot; einer der beiden Regel verletzt wurde (Deutsch aber doch spam). Wenn der Benutzer ernsthaft ist, dann wird er bald reagieren... Wenn nicht, wird es dann irgendwann gelöscht und er/sie kann jeder Zeit mit einem anderen Namen wieder melden und sich beschweren (auch in zwei Jahren :-) ). Seine/Ihre Rechte sind daher dadurch nicht verletzt. Vielleicht kannst du aber dann die Übersetzung auf seine/ihre Seite schreiben :-). LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:58, 23. Mär. 2021 (CET)

{{--|Zeig mir die Regeln, die fremdsprachliche Inhalte unter Drohung der Schnelllöschung verbieten? Wenn es keine gibt, dann lass abstimmen, wie wir damit umgehen wollen.

Eine Übersetzung kann ich nicht leisten, ich habe automatische Übersetzer befragt, um Obszönitäten zu prüfen. Ein Kontakt ist völlig legitim, bei mangelnder Reaktion auch die Löschung. Ich bin ja nicht dafür jeden Krempel aufzuheben. Aber eine unmittelbare Schnelllöschungsandrohung finde ich unhöflich. Wenn das Stewards machen, weil sie wikiübergreifenden Spam verfolgen, dann ist das was anderes. 

&quot;Wenn der Benutzer ernsthaft ist...&quot; dann könnte es auch sein, dass er nie wieder kommt. Mal ehrlich, ich lege meine Zettel auf einen freien Tisch in einer Bibliothek und gehe kurz aufs Klo, komme wieder und jemand hat ihn umgedreht und drauf geschrieben &quot;arbeite gefälligst so, wie ich das von Dir erwarte, sonst schmeiß ich den Zettel weg!&quot;. In diese Bibliothek geh ich nie wieder.

Und er braucht keinen anderen Namen. Du löscht ja mit seiner Benutzerseite nicht seinen Account.

Der inflationäre Gebrauch der Schnelllöschvorlage hat mich immer gestört und das wird mich weiter stören und ich werde dagegen ankämpfen. Ich habe schon eine Idee, die ich demnächst auf den Verbesserungsvorschlägen präsentieren werde. Ich verstehe, dass es für Dich sinnvoll ist so zu arbeiten, weil es Dir die Arbeit erleichtert. Nichts desto trotz ist es unverschämt und unhöflich. Und Werbe-Spam der an Links erkennbar ist, ist was völlig anderes. Dein Vorgehen bei [[Shisha]] ist hart aber völlig legitim. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 14:49, 23. Mär. 2021 (CET)}}

Βρε άνθρωπε του θεού, την κοινή λογική χρησιμοποιώ. Τι δουλειά έχει ένα κείμενο στα ελληνικά στην γερμανική βικιπαίδεια, εκτός αν είναι μέρος ενός βιβλίου διδασκαλίας ελληνικών ή αν μεταφράζεται (στα γερμανικά) ή αν ο χρήστης ή η χρήστρια δηλώσει (στα γερμανικά) ότι για τον έναν ή τον άλλο λόγο το χρειάζεται εδώ; Κατά τη γνώμη μου δείχνεις μερικές φορές υπερβολική ευαισθησία, σε ότι αφορά τις διαγραφές... Τέλος πάντων, αν για σένα είναι τόσο μεγάλο πρόβλημα, να την αφήσουμε τη σελίδα, δε χάθηκε ο κόσμος... Φιλιά! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 15:08, 23. Mär. 2021 (CET)

{{-|Tränen gelacht, Küsse zurück, auch, wenn ich nicht gemeint war. [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 15:30, 23. Mär. 2021 (CET)}}

Dafür, dass Du darüber jammerst, dass Du gemobbt wurdest, ist das eine ganz schöne Latte. Folgerichtig müsstest Du jetzt Deine eigene Seite schnelllöschen. Soll ich: &quot;Τέλος πάντων, αν για σένα είναι τόσο μεγάλο πρόβλημα, να την αφήσουμε τη σελίδα, δε χάθηκε ο κόσμος&quot; als Aufforderung auffassen zu gehen? Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:37, 23. Mär. 2021 (CET) PS: Und wenn Du hier tonnenweise Seiten importierst, ohne zu prüfen, ob dadurch was kaputt geht, ist das also okay? Aufgeräumt hast Du immer noch nicht. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:43, 23. Mär. 2021 (CET)

Ich verstehs nicht: Warum seid Ihr eigentlich so sensibel, wenn ich gegen Löschen und für Höflichkeit bin, werft mir aber übermäßige Sensibilität vor? Dann knutscht mal schön! 

Sorry für die vielen kleinen Edits, ich bin gerade ziemlich in Rage! Mein einführender Kommentar war ein freundlicher Hinweis. Mehr nicht. Dafür ist das hier ganz schön schnell eskaliert mit völlig dämlichen Argumenten: &quot;Wenn wir hier fremdsprachliche Text zulassen, sind wir bald mit Werbung vollgespamt&quot;. Das hab ich nicht gesagt, und das sagt auch niemand. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:49, 23. Mär. 2021 (CET)

:Jetzt mal die Übersetzung:
:''Hey du, Mensch, ich benutze hier Hausverstand. Was hat ein Text auf Griechisch in der deutschen Wiki zu tun, außer wenn er Teil eines Griechisch-Kurses ist, oder übersetzt wird (und zwar auf Deutsch), oder der/die User*in erwähnt (auf Deutsch), dass er/sie aus irgendeinem Grund den Text hier braucht? Meines Erachtens bist du manchmal überempfindlich, was Löschanträge angeht. Wie auch immer, wenn das für dich so wichtig ist, können wir die Seite nicht löschen, das ist ja nicht das Ende der Welt. Küsse''
:Ich hoffe, dass du spätestens jetzt die Problematik einer fremden Sprache im deutschen Wikibooks verstehst. Wer soll überprüfen, was da steht? Automatische Übersetzer können oft nicht die kleinen Nuancen der Sprache übersetzen, was einen großen Unterschied ausmachen kann. Es kann sein, dass da eine grobe Beleidigung gegen eine Person steht (die der automatische Übersetzer nicht &quot;versteht&quot;). Selbstverständlich kann das gleiche getarnt in einem fremd Sprache Kurs vorkommen, aber zumindest steht dann daneben eine Übersetzung (auch wenn sie falsch ist). Aber wie schon gesagt, wenn es für dich halt so wichtig ist, braucht die Seite nicht weg. Die Community entscheidet und ich als Admin soll ihrer Wünschen folgen. Und wenn du jetzt die einzige Person bist, die sich meldet, dann mach ich das, was du sagst, kein Problem. LG! :-) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:01, 23. Mär. 2021 (CET)

{{-|Kommt mal wieder runter. Gibt keinen Grund, sich aufzuheizen. Ich bin auch fürs Löschen. Ich bin ohnehin immer fürs Löschen.  [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 20:18, 23. Mär. 2021 (CET)}}
Hirnspuk, ich versteh auch nicht warum du dich gemobbt fühlst (oder hab ich das falsch verstanden?). Ich hab dich weder mit eine Sperrung, noch mit einem Löschen deiner Beiträge bedroht, ich hab auch deine Argumente nicht &quot;dämlich&quot; bezeichnet, ich hab auch nicht versucht, sie zu verzerren (was meines Erachtens du in alle diese vier Punkte tust). Ich bleibe sachlich (zumindest meines Erachtens) und präsentiere Argumente und würde mich freuen, wenn wir dabei bleiben... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:38, 23. Mär. 2021 (CET)

{{--|1=Danke für die Aufklärung! Ihr habt recht. Ich bin überempfindlich. Seid sogut und behaltet das im Hinterkopf. Ich bitte um Entschuldigung. Danke für Eure Geduld. Zur Erklärung: Ich fühlte mich mit Mitteln, die Streitpunkt waren, lächerlich gemacht. Sogar mit Erfolg, da jemand lachte. Das hat weh getan. Zu allem Überfluss wurde exakt demonstriert, was demonstriert werden sollte, das tut jetzt doppelt weh {{Smiley|:-(}}. Allerdings fühle ich mich nicht gemobbt. Der Hinweis galt dem möglichen Gefühl einer Person, die eine &quot;Schnelllöschankündigung&quot; kassiert (nichtmal dieser aktuellen Person speziell, sondern einfach nur allgemein).

Wie ich sagte: Ich bin nicht gegen die Löschung, sonst hätte ich meinen Einspruch direkt auf der Seite platziert, oder die Schnelllöschankündigung gegen einen Löschantrag ersetzt. Ich bin gegen die Nutzung der Schnelllöschvorlage für diese Zwecke. Du musst als Admin diese Verantwortung tragen. Ich hätte jeden anderen Admin auf die – '''in meinen Augen(!)''' – Unverhältnismäßigkeit der Mittel ebenso hingewiesen. Und ich – in der gleichen Situation – hätte anders gehandelt. Kürzlich habe ich Jürgen bei einer ähnlichen Situation einen Hinweis gegeben. Ich bin dafür, eine Regelung für fremdsprachliche Inhalte zu finden und festzuschreiben. Das war ich auch vor der Demonstration. Die Vorlage sagt: &quot;Nach den Regeln der Schnelllöschung&quot;. Und da gibt es nunmal keine für fremdsprachliche Inhalte (zumindest habe ich sie nicht gefunden, und daher danach gefragt). Es werden also Werkzeuge benutzt, die für diesen Fall nicht vorgesehen sind. Fremdsprachliche Inhalte ''mit'' Links im Hauptnamensraum sind was anderes als fremdsprachliche Inhalte im Nutzernamensraum ''ohne'' Links. Schnelllöschen in Fall 1, ja, auf jeden Fall, Schnelllöschen in Fall 2... mhh... Find ich unschön (mal etwas schöner gesagt). Wie gesagt, ich werde mich demnächst mit einer Idee auf den Verbesserungsvorschlägen melden.

Die einzelnen Punkte gehe ich nach und nach durch und versuche mich zu erklären:
# &quot;Es sollte klar sein, dass wir sonst hier voll mit &quot;Benutzern&quot; wären, die ihre Werbung machen wollen.&quot; – Das halte ich für ein dämliches Argument. Das soll keine Beleidigung sein, denn das Argument zieht den Schluss: Fremdsprachliche Inhalte=Werbung, was ich in dieser Exklusivität für falsch halte.
# Ich habe nicht mit Sperrung gedroht, das kann ich nicht.
# Ich habe nicht mit Löschung gedroht, auch das kann ich nicht, ich habe nur gesagt: Deiner eigenen Logik folgend müsstest Du Deine Seite löschen, da sie fremdsprachliche Inhalte enthält. Fremdsprachliche Inhalte als Antwort auf eine Frage. Einfach so. Kommentarlos. Ohne die erklärenden Argumente aus dem übersetzenden Post. Einen sehr viel einfacheren Fall hast Du als Schnelllösch-Drohungs-Grund angenommen.
# Möglicherweise könntest Du den Eindruck haben, ich verzerre Deine Argumente, wobei ich jetzt recht lange überlegt habe und nicht verstehe, was Du meinst. Es ärgert mich allerdings, dass Du auf meine Argumente nie einzugehen scheinst.
Du könntest auch annehmen, ich hätte Dich als unverschämt und unhöflich beleidigen wollen. Das möchte ich nicht. Im Gegenteil, ich gehe davon aus, dass Du ein sehr höflicher Mensch bist. Ich möchte nur sagen, dass der Einsatz der Schnelllöschung unhöflich wirkt.
Meine ersten beiden Posts nehme ich als sachlich wahr. Erklärungen, wo sie es nicht sind, nehme ich gerne an. Meine letzten Posts sind es definitiv nicht. Das tut mir leid. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 01:06, 24. Mär. 2021 (CET)}}

== Danke und Hinweis ==

Danke fürs Aufpassen im Spanisch-Buch. Habs mal aufgeräumt (Ja, das sehe ich als Werbe-Spam, umfangreichere Antwort auf meiner Disk).

Tust Du mir noch den Gefallen und räumst Deine 49 Importe bitte auf?

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 01:30, 9. Apr. 2021 (CEST)
:Das dauert etwas länger... Sorry dafür. Bitte, wann auch immer du bei irgendeinem von diesen Imports ein Problem feststellst, das für dich wichtig ist, aufgehoben zu werden, mich informieren... Danke! LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 07:57, 9. Apr. 2021 (CEST)

{{--|Ich mein das jetzt nicht böse, aber das finde ich nicht in Ordnung. Klar sag ich bescheid, wenn mir was auffällt, aber so viel, wie mir aufgefallen ist, als ich ganz kurz mal eben drauf guckte, hätte ich erwartet, dass das schon längst erledigt ist. Du hast ja nur das wirklich, wirklich Oberflächliche gemacht. Und wenn anderen Leuten was auffällt, wissen die vermutlich nichtmal &quot;wo&quot; was kaputt ist, sodass sie sich nicht melden können. Ist jetzt immerhin schon über einen Monat. Und die ganzen Module kann ich eh nicht einschätzen. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 13:27, 9. Apr. 2021 (CEST)}}
Hast ja eher Recht, Ich werde mich bemühen, passt :-) [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 14:50, 9. Apr. 2021 (CEST)
{{-|Vielen Dank {{Smiley}} --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 16:54, 9. Apr. 2021 (CEST)}}

Also, die sind eigentlich alle neue Vorlagen, die die Anwendungen in Wikibooks sonst nicht beeinflussen. Hast du ein Problem, wenn ich diejenigen lösche, die gar nicht gebraucht werden (nichts auf diese Vorlagen wird verlinkt)? LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:55, 10. Apr. 2021 (CEST)

{{-|Irgendwie scheinen alle immer den Eindruck zu haben, ich wollte alles auf biegen und brechen aufheben {{Smiley}}. Nein, nur zu! Für den Fall, dass Du irgendwo extrem unschlüssig bist, kannst Du auch &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Löschankündigung}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt; benutzen. Vgl. [[Wikibooks:Löschkandidaten/ Löschankündigungen]]. Das Verfahren ist eingeschlafen, obwohl es ja – besonders für solche Fälle – relativ sinnvoll ist. Im Prinzip ist es gedacht als 4-Augen-Prinzip für &quot;hoffnungslose Fälle&quot; mit einer Frist von 2 Wochen. Das scheinen auch schon alle Regeln zu sein, die es dazu gibt. Was mein Hauptkritikpunkt daran ist. 

Wegen mir, kannst Du, wenn Du einmal dabei bist, auch gleich die [[:Kategorie:Wikibooks: Schnelllöschkandidaten]] leer machen. Allgemeiner Teil des BGB... würde ich aufheben, das hätte mir schonmal helfen können, ergo erachte ich es als lehrreich. Da möchte ich aber eine zweite Meinung zu. Um Bremer Küche hab ich mich gekümmert ( [[Spezial:Permanentlink/954693#Kochbuch]]), den Autor von [[Transformatorische Bildung]] ''könnte'' man ''vielleicht'' nochmal ansprechen, wenn man so richtig motiviert ist {{Smiley}}, was ich in diesem Fall nicht bin. Entscheide {{Smiley}}. Der Rest scheint mir, als könne er weg (Ja, auch der &quot;Stein des Anstoßes&quot; {{Smiley|;-)}}). Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 14:36, 10. Apr. 2021 (CEST)}}

== QM-Entwurf ==

Hi, bezüglich Deiner hier geäußerten Bedenken [[Spezial:Diff/prev/954574]]: &quot;Ich hab wirklich keine Ahnung, wie ich unter Umständen mehrere Benutzer unter ausreichender Beobachtung halten könnte.&quot; Wollte ich Dich darauf hinweisen, dass ich an einer Idee arbeite, diese Situation zu lösen, guckst Du dort: [[Benutzer:HirnSpuk/_Werkstatt/_Willkommen#QM-Eskalation_–_erster_Entwurf]]

Die grundsätzliche Idee: Wir bauen eine mehrstufige Qualitätsmanagement-Vorlage mit automatischer Kategorisierung, die immer weiter eskaliert (bis hin zu Lösch-Verfahren). Diese gilt für ALLE Seiten. Das Tracking der Probleme stelle ich mir über automatisch durch entsprechende Vorlagen vergebene Kategorien vor. Das ist wirklich erstmal ''nur'' ein absoluter Basisentwurf und weit weg von nutzbar. Wenn Du aber Interesse hast, kannst Du es gerne verfolgen und Ideen und Vorschläge direkt auf der Seite dadrunter schreiben. Bitte nicht auf die Diskussionsseite, da ich meinen BNR umstrukturieren wollte und es die Diskussionsseite noch nicht gibt.

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 18:44, 9. Apr. 2021 (CEST)

== Löschen ==

Hey, Yomomo,
bzgl. der auf [[Wikibooks:Löschkandidaten/_2021-01]] angestoßenen Diskussion möchte ich folgende Meinung loswerden:
* Ich finde, auch bei unbegrenztem Speicherplatz sollte man löschen, wir können ja nichts für die Unzulänglichkeiten der Wiki-Software.
* Das Projekt ist nach Löschung insgesamt in einem ordentlicheren Zustand als vorher, weil diese nicht fortgeführten Projekte eher abschreckend wirken,
* dass ein aufgegebenen Projekt von einer anderen Person nennenswert fortgesetzt wurde, hatten wir bis auf 1..2 Ausnahmen noch nicht, löscht man, kann jemand mit dem selben Buchtitel neu beginnen,
* ein*e neue*r Autor*in erstellt sich gerne auch eine eigene Struktur in seinen Büchern, in der will er/sie von der alten Struktur eher nichts mehr haben. Die alte Struktur taucht aber in der Versionsgeschichte auf und verfälscht damit die tatsächliche Autorenschaft (etwa so, wie es Juetho meinen Buchanfang [[Kurzeinstieg_Java]] verschandelt hat, an dem Buch wird niemals wieder jemand nennswert arbeiten). Würde man hier löschen und neu beginnen, wäre der/die Autor*in auch frei von Altlasten in der Versionsgeschichte. Ein Beispiel hierzu ist [[Linux-Praxisbuch/ Konsole/ find]]. 
* Wir wollen doch Autor*Innen motivieren, sich im Schreiben zu versuchen. Für manche ist das nichts, manche entdecken das als Hobby. Es ist sicher demotivierend wenn man weiß, dass die ersten halbgaren Versuche für den Rest der Erdzeit bestehen bleiben und man nichts dagegen tun kann. Beispiel hierzu ist [[Wikibooks:Löschkandidaten/_2021-01#Swift]]. 

Über mehr und auch gegenteilige Meinungen würde ich mich freuen. --[[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 11:55, 14. Apr. 2021 (CEST)
{{-|Da nach gegenteiligen Meinungen gefragt wurde: Ihr kennt meine Meinung: generell Contra löschen, wenns nicht nur Quark ist. Allerdings sehe ich den Bedarf, die Notwendigkeit und auch den Wunsch nach einem &quot;aufgeräumteren Zustand&quot;. Könntet Ihr Euch vorstellen den aufgeräumten Zustand über andere Mittel als das Löschen herzustellen? Beispielsweise über eine sauberere Kategorisierung? Würde es dann immer noch &quot;abschrecken&quot;? 

Könntest Du @[[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] bitte mal genauer erläutern, warum
# nicht fortgeführte Projekte &quot;abschrecken&quot; sollten? Ich hab dieses Wort &quot;abschrecken&quot; immer nur theoretisch gelesen, noch nie hab ich einen IP-Kommentar gesehen, wo es heißt (o. ä.): &quot;Alter, in diesem Sauhaufen schreib ich doch kein Buch.&quot; Gibt es dafür Beispiele? Und wenn ja, kannst Du sie verlinken? Oder ist das ein persönliches Gefühl, so wie mein persönliches Gefühl, dass vorhandene Ideen mehr motivieren, als sich etwas neu ausdenken zu müssen?
# Die aktuelle Praxis der Autor:innennennung bei Wikibooks halte ich in der Tat für verbesserungswürdig, halte ich aber nicht für das dringendste Problem. Vielleicht schilderst Du mal Deine Sichtweise auf [[Diskussion:Kurzeinstieg Java]], damit man auch mal Deine Seite kennt und nicht nur diese kurzen Hinweise, die Du immer mal wieder in Diskussionen äußerst. Jürgen hat dort übrigens sehr deutlich auf Deine Urheberschaft hingewiesen. Nichts desto trotz sehe ich dort (und generell in dieser Beziehung) trotzdem Probleme.
# Wofür genau ist [[Linux-Praxisbuch/ Konsole/ find]] ein Beispiel? Versionsgeschichte und Diskussionsseite bringen mich diesbezüglich nicht weiter.
# Ich sehe den Ansatz anders: &quot;Autor[:i]nnen motivieren, sich im Schreiben zu versuchen&quot; ist in meinen Augen ganz klar '''kein Ziel''' von Wikibooks; sondern &quot;Die Erstellung freier Lehr-, Fach- und Sachbücher&quot;. Die grobe Vorstellung, dass man ein lehrreiches Werk schreiben &quot;kann&quot; und ein Konzept &quot;wie&quot; man das zu tun gedenkt, sollte schon vorhanden sein. Dennoch muss Platz für Versuche (auch Fehlversuche) sein. Doch wenn diese &quot;Fehlversuche&quot; ein Minimum an Mehrwert haben, sollte man sie aufheben, wie z. B. [[Nachhilfeunterricht]]. Wofür ist [[Wikibooks:Löschkandidaten/_2021-01#Swift]] ein Beispiel? Das sieht doch durchaus nach Löschung aus (selbst, wenn man meine Contra-Stimme wertet)? Ergo konnte der Autor doch etwas dagegen tun? Davon abgesehen wäre die Lizenz hier mehr oder weniger eindeutig: Tu damit, was Du willst, solange Du sagst, dass ichs geschrieben hab. Das schließt &quot;Aufheben&quot; durchaus mit ein. Aber ich verliere mich in Details.
* Eine Möglichkeit des Forks (über Upload-Import) fänd ich seehr sinnvoll.
Bei Bedarf, nehmt diese Meinungsäußerung gerne mit dahin, wo Ihr sie für angemessen haltet, wenn Ihr woanders weiter sprechen wollt. Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 17:34, 14. Apr. 2021 (CEST)}}

{{-| # Das ist (a) mein persönliches Gefühl, wenn ich beispielsweise das Linux-Buch aufschlage und mir die mangelnde Aktualität und Qualität ins Auge springt und (b), was die ursprüngliche Idee von WSSW begründete, Diskussionen im beruflichen und persönlichen Umfeld (ewig her). 
# Ich beschreibe nichts auf der Diskussionsseite. 
# [[Linux-Praxisbuch/ Konsole/ find]] ist ein Beispiel für eine Seite, die man löschen müsste. Tut man das nicht, sondern löscht als neuer Autor*in den Text und fügt dann sinnvolle Inhalte ein, ist der ursprüngliche Autor*in der Seite weiterhin in der Versionsgeschichte sichtbar, allerdings ohne dass er Beiträge zur aktuellen Seite hat. Tatsächlich aber wird sich dafür niemand finden, weder für das Eine, noch für das Andere. Wenn man dann noch ewig diskutieren muss, um solche Seiten zu löschen, demotiviert das sogar mich. 
# Ich bin hier vollständig gegenteiliger Meinung. 
* Wo ist &quot;Fork&quot; im Zusammenhang mit pro/contra löschen zu sehen? 
--[[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 23:03, 14. Apr. 2021 (CEST)}}
{{-|#Interessant, danke.
# Schade, dann hätte man eine zentrale Anlaufstelle, auf der man Deine Einstellung nachvollziehen könnte.
# Ich verstehe. Und jetzt sehe ich auch das Problem. Leider sehe ich auch ein '''aber''': Das ist ein zentrales Wikimedia-Merkmal, auf das wir nicht verzichten können. Vielleicht könnten wir mit einer Löschregel-Ergänzung gegensteuern?
# Aktuell ist es nunmal so, dass es keine Richtlinie gibt, die &quot;beliebige Menschen zum probieren ermutigen&quot; heißt. Wir haben aber die klare &quot;Zielvorgabe&quot;: &quot;Die Erstellung freier Lehr-, Fach- und Sachbücher&quot;. Die Auslegung dazu ist natürlich persönliche Ansicht. Ich persönlich halte einen akzeptablen Kompromiss für denkbar, der sowohl den &quot;Probierern&quot; als auch den &quot;Konzeptern&quot; gerecht werden kann.
* Ganz praktisches Beispiel: Ein Fork hätte die Diskussionen für Deine Java Geschichte vollständig verhindert. Du hättest nur die Kapitel übernommen, die Du hättest ausbauen oder umarbeiten wollen und den Rest vollständig selbst gemacht → keine Löschdiskussionen, keine Randdiskussionen, keine unterschiedliche Leistungsbewertung, kein Vorwurf an Jürgen jetzt, denn Du hättest ja machen können, wie Du willst. Wenn man dann noch die &quot;Ressourcen&quot; (die Du &quot;halbgare Versuche&quot; nennst) aus der prominenten Platzierung entfernt, dann ist allen gedient. Ich hab mein &quot;nicht löschen&quot;, Du hast kein &quot;aber das sieht doof aus&quot;. Einziges Problem, was bleibt, ist die Namensgebung (Gleicher Name, anderer Inhalt), hier könnte man ein System etablieren, was die Jahreszahl mit in den Buchnamen integriert. Zum Beispiel sowas wie &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;[[(2014)Java]]&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;.

'''Folge:''' weniger pro/contra löschen. Weniger Diskussion, weniger Disruption, besserer Gesamteindruck. Einzig der administrative Aufwand bleibt gleich, denn statt Löschdiskussionen auszuwerten und sich ggf. als Admin in der Diskussion positionieren zu müssen, müsste man entsprechend ggf. Uploadimports durchführen.

Allerdings, der Salzkrümel: ich halte es für denkbar, dass ich bei diesem Gedankengang bestimmte Bedingungen übersehe. Das ist jetzt erstmal nur ein spontaner Schnellschuss, um eine Kompromisslösung anzubieten.

--[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 04:22, 15. Apr. 2021 (CEST)}}

{{--|Zu ''Aktuell ist es nunmal so, dass es keine Richtlinie gibt, die &quot;beliebige Menschen zum probieren ermutigen&quot; heißt.'': Wir haben aber auch nicht das Gegenteil. Wer ohnehin schon im Berufsleben Autor*in ist, der hat seine Wege, Dinge zu veröffentlichen. Bis auf zwei &quot;Großprojekte&quot; probieren sich hier alle aus, praktisch lebt WB von denen, die sich ausprobieren. Viele verlassen danach WB wieder, es bleiben Buchfragmente übrig. Und diese Fragmente definieren die Umgebung, in der ein neuer Autor*in sein Buch schreibt.

Die Sache mit dem Fork hatte ich damals angemerkt, aber Juetho hat das damals ohne meine Zustimmung gemacht. Von Juetho und Klaus sollte &quot;Macht&quot; demonstriert werden. Finde ich heute noch lächerlich und kleingeistig. Jetzt liegen zwei Java-Bücher rum und verwaisen. Beide Bücher sind in einem schlechten Zustand, der nächste Autor*in findet sie und denkt sich bestimmt: &quot;Oh, neben diesem Mist soll mein nächstes Werk liegen?&quot;. Zum Glück geht es den Beteiligten an den Großprojekten nicht so: sie schreiben trotzdem!

Nun gut, was auch immer den Gesamteindruck verbessert, dabei die Autor*innen (vor den bösen Admins) schützt soll mir recht sein. 

Noch einen Punkt, der das Thema Löschen betrifft: Wer die Hilfeseiten schreibt(schrieb), der macht(e) die Regeln. Regeln, die sich nicht einem Communityprozess zuordnen lassen, gehören natürlich auch gelöscht. Das begründet mit meinem Wunsch nach einer rein technischen Hilfe. [[Benutzer:Qwertz84|Qwertz84]] 10:18, 15. Apr. 2021 (CEST)}}
Hallo von mir auch... {{smiley}} Ich glaube, dass die Argumente hier für die Zeit dargelegt wurden, ich finde noch keine ausreichende Zwischenlösung, wir können für die Zeit eine Pause machen und wir kommen dann wieder in drei Tage. Was ich treffend finde, ist die Anmerkung über das Benehmen der Gemeinschaft (und nicht nur der Admins) den neuen (und den alten...) gegenüber. Ich denke auch darüber nach, ob ich einen Vorschlag habe. Also, bitte für die Zeit eine Pause und wir können nach drei Tagen wieder mit der Argumentation anfangen. Danke! LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 10:25, 15. Apr. 2021 (CEST)

{{-|Von mir aus Gern! Damit Ihr im Bilde seid, was in meinem Kopf diesbezüglich gerade herumgeht:
* [[Benutzer:HirnSpuk/ Werkstatt/ Willkommen]] – Nicht vom Titel der Seite beeindrucken lassen. Bei Bedarf Kommentare bitte direkt auf die Seite in einen eigenen Abschnitt schreiben
* Ich möchte auch [[Benutzer:HirnSpuk/ Wikibooks Projektentwicklung/ 2018]] im Wikibooksnamensraum wieder reaktivieren. 
* Zum Thema Benehmen kommen demnächst Richtlinien der Wikimedia: [[Wikibooks:Schwarzes Brett#2. Phase des Universellen Verhaltenskodex]]
Da es sich hier um Deine Disk handelt und Du um 3 Tage Ruhe gebeten hast, meld ich mich erst wieder, wenn von Dir hier wieder was kommt. Ich wollte Euch nur nicht bis zum WE über meine Pläne im Unklaren lassen. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 12:54, 15. Apr. 2021 (CEST)}}
Meine persönliche Erfahrung nach hat es bei meiner Entscheidung, ein Buch zu schreiben, keine Rolle gespielt, dass manche Namensräume &quot;belegt&quot; waren oder dass es viele unfertige Projekte gab. Die Größe des Buches ist meiner Ansicht nach auch nicht entscheidend, sondern viel mehr seine Vollständigkeit. Wenn ich das gut verstehe, finden wir es alle problematisch, wenn es so viele Projekte im Hauptnamensraum gibt, die &quot;verlassen&quot; sind und dafür sollten/dürften wir eine Lösung finden. Obwohl folgende Idee sicherlich auch vorher vorgekommen ist: Wie wäre es mit einem anfänglichen Verschiebensvorschlag (nach sagen wir mal 6 Monate Inaktivität des Hauptautors) und ein anschließendes Verschieben in einem &quot;Abstellraum&quot; (nach sagen wir mal noch einem Monat) und dann nach noch einem Jahr löschen (wobei das verschobene Buch gelöscht wird, also etwas in Richtung &quot;Abstellraum: BLABLA)? Dadurch bleibt die Versionsgeschichte bestehen (und das Buch kann jede Zeit &quot;wiederbelebt&quot; werden (falls das irgendeinmal vorkommt). Dies wurde selbstverständlich einige bestehende Bücher betreffen (die die 6-Monate Grenze bei Weitem schon überschritten haben).

Was jetzt die Motivation betrifft, das ist ja ein anderes Thema. Ein Löschantrag bei einer aktiven Person kommt nicht gerade gut an. Das ist allerdings nur ein Teil des ganzen Themas und daher lieber später unter einem anderen Titel diskutieren. LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:31, 19. Apr. 2021 (CEST)
{{-|Versteh ich das richtig? Du willst:
# Verschiebevorschlag bei 6 Monate Inaktivität, Frist 1 Monat
# Nach 7 Monaten ab in eine Art &quot;Abstallkammer&quot;
# Löschen nach 1 Jahr und 7 Monaten
Korrekt? 

Widerspricht zwar Deiner Idee nicht zu löschen, widerspricht dem Wikiprinzip und wäre nicht mein Favorit, könnte ich aber zähneknirschend mit leben. Das einzige was mich daran stört ist: [[Nachhilfeunterricht]] würde dieser Regelung zum Opfer fallen. Das rudimentäre Grundgerüst was dort steht, finde ich völlig erhaltenswert. Wenn solche Fälle dabei unter die Räder kommen, dann will ich aber eine Fristverlängerung auf mindestens 3 Jahre. Bei [[Swift]] sehe ich das anders. 

Ich bin allerdings nur dann dafür, wenn wir die Abstellkammer ordentlich aufräumen und prominent platzieren. Im Moment ist sie das nämlich nicht. Und Inhalt der aktuell in selbige reingetan wird erhält damit quasi ein &quot;Löschurteil&quot; weil nicht mehr auffindbar.

Und das gilt natürlich nicht für den Benutzernamensraum, oder? Wenn Ihr den mitnehmen möchtet plädiere ich für deutlich höhere Fristen im Benutzernamensraum (vielleicht 5 Jahre). 

Was hieltet Ihr davon, wenn wir erstmal alle &quot;Problemfälle&quot; als solche markieren und schauen, was dabei alles anfällt, vielleicht mit einer Kategorie [[:Kategorie:Sortieroffensive20]]? Das ist neutral genug, dass sich niemand davon auf die Füße getreten fühlt und man kann die Hauptseiten der Bücher, die die Leute, die sich damit beschäftigen wollen, erstmal damit ausstatten und so in der Gruppe eine Liste an &quot;Diskussionsfällen&quot; zusammentragen. Das ist eh nicht alles &quot;morgen&quot; machbar. Und so hätte man eine deutlich bessere Diskussionsgrundlage. Vielleicht fallen dabei sogar Sachen auf, die relativ schnell durch die Löschdiskussion zu bearbeiten wären.

Wir haben übrigens [[Vorlage:Löschung Wiedervorlage]], die mich damals zur Aktivität motiviert hat. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 13:26, 19. Apr. 2021 (CEST)}}

== Bildlizenzen ==

Hallo Yomomo,

ich hab grad zufällig Dein Bilderverzeichnis gefunden. Hast Du das benutzt, um die Lizenzangaben verfügbar zu halten? Ich bin mir nicht sicher, ob das ausreicht. Auf den Seiten selbst sind die Bilder damit ja quasi ohne entsprechende Angaben verwendet. Ich hatte grad ein ähnliches gedankliches Problem und wollte Dich auf die Seiten hinweisen, die mir dabei unter gekommen sind und die Ideen, die mir dazu durch den Kopf gegangen sind. Vielleicht führt es uns irgendwo hin.

* [[c:special:Permanentlink/559354101#Question_about_licensing_–_fulfilling_different_licensing_requirements]]
* [[Hilfe:Bilder/_Einbinden#Weitere_Möglichkeiten]] die rote Box (hab ich danach mal nachgetragen)
* [[Spezial:Diff/960199/960396]] – Das war meine erste Lösungsidee, mit &quot;versteckten&quot; Fußnoten. Ich weiß noch nicht, ob das wirklich sinnvoll ist.
Während ich mir die Mathematrix anschaute, ist mir Dein Youtube-Link aufgefallen. Es könnte es sein, dass da Markenrechte verletzt werden, das weiß ich aber nicht genau. Schau Dir mal dieses Bild und seine Lizenzangaben an: [[c:File:YouTube_Logo_(2005-2011).png]]. Aber das ist nur son Bauchgefühl und wollte ich mal mit erwähnen. Oder kannst dazu mehr sagen, was über mein Bauchgefühl hinaus geht? Wär ich sehr interessiert dran.

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 12:48, 12. Mai 2021 (CEST)

:Hey! vielen Dank für die Anmerkung! Das &quot;original&quot; von youtube hab ich genau aus diesem Grund vermieden. Sollte aber nicht gelten, dass bei CC Lizenz die Erwähnung irgendwo ausreichend soll? Ich meine, ist nicht das, was der Satz &quot;However, you could provide links to the file description pages or other sources in the books' end matter.&quot; bedeutet? Wenn ich das falsch verstehe, werde ich einfach die Bilder ändern, das ist nicht so schwer :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:53, 12. Mai 2021 (CEST)
{{--|Ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung. Ich seh sowas im Zweifel eher etwas strenger. Wenn Du Dein Bilderverzeichnis nicht hättest (was ich zu Anfang gar nicht gesehen hatte), hätte ich auch gesagt änder das am besten auf jeden Fall. Aber so ist das so ein Grenzfall wo es mal wieder echt praktisch wäre Rechtsprofis an seiner Seite zu haben. Ich hab ja die Hoffnung, dass die OpenRewi-Leute da über kurz oder lang gut ansprechbar sind. Ich kanns Dir echt nicht sagen. Da Dein Bilderverzeichnis auf jeder Seite mitverlinkt ist, könnte man wohl argumentieren, dass das ausreicht. Das mit dem End-Matter-Link verstehe ich quasi für ein zusammengefasstes PDF o. ä. Aber wie gesagt: Ich weiß es nicht. Ich wollt Dir nur Rückmeldung geben, dass es mir aufgefallen ist. Tut mir leid, dass ich dazu nicht mehr sagen kann. 

Meine Fußnotenlösung habe ich auch für mich später mal überlegt, dann müsste man beim ausdrucken etc. nicht darüber nachdenken, wie man das mit der Lizenzangabe macht. Ob das wirklich sinnvoll ist, wird die Zeit dann zeigen. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 20:39, 12. Mai 2021 (CEST)}}

== Zusammenarbeit? ==

Isses okay, wenn ich daran arbeite, wenn ich Zeit und Lust finde: [[Benutzer:Yomomo/_Imports]]? Ich frag nur, weil Nutzerseiten ja üblicherweise tabu sind. --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 16:23, 13. Mai 2021 (CEST)
:Sehr gern :-), das war ja dein Vorschlag ;-). [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:15, 13. Mai 2021 (CEST)
::Hab mal was gemacht. Gucks Dir mal an... Danke fürs Anlegen der Seite. So können wir ja nix mehr vergessen. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:59, 14. Mai 2021 (CEST)

Hi! Hier passt es am besten hin, nur so als Hinweis, mir ist gerade ein Punkt aufgefallen, der wirklich lästig ist: Ich hab grad versucht mir die [[Vorlage:Dokumentation]] anzuschauen. Durch die importierten Edits ist quasi nicht mehr nachvollziehbar, was da wann warum geschehen ist (das müsste man jetzt Edit für Edit manuell anschauen und kann es nicht mehr durchklicken). Das soll kein Vorwurf sein. Nur ein Argument, falls es nochmal irgendwann in anderem Zusammenhang wichtig werden sollte. Vielleicht kann man das ja auch auf irgendne Hilfeseite schreiben (also, wie das mit dem Importieren ist, und welche Fehler auftauchen können), vielleicht [[Hilfe:Handbuch für Administratoren]]? Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  04:01, 24. Jul. 2021 (CEST)

== Änderungen Hauptseite ==

Moin, mal ne Frage zu Deiner Arbeitslast und Wünschen... ein kleines bisschen dauert es noch. Ich überlege die Hauptseite mit in meinen neuen Projektnavigationsvorschlag einzubinden. Was wär Dir denn lieber, die Hauptseite einmal anfassen, oder je nach Bedarf? Wenn Dus nur einmal machen willst, würde ich mit der Projektnavigation erstmal noch weiter machen, dann kann man das gleich in einem Aufwasch machen. Oder was meinst Du? Keinen Stress... Antworte, wann Du Zeit findest. Meldest Du Dich nicht, mach ich erstmal mit der Projektnavigation weiter. Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 00:59, 14. Mai 2021 (CEST)
:Ich bin eher für das Prinzip &quot;wer die Arbeit macht, soll auch die Entscheidung treffen&quot;, wenn jemand etwas macht und die anderen nur mit Kritik dazu kommen, finde ich es nicht so konstruktiv :-). Also, du kannst dann entscheiden. Die Hauptseite/Debug hat ein paar Probleme (vor allem mit Handy), aber ich finde die Debug Version doch besser als die jetzige. Wenn du dann noch was anderes machen willst und dann erst auch die Hauptseite, passt es ja auch :-) LG! Georg [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 13:09, 19. Mai 2021 (CEST)
{{--|Vielen Dank. Kannst Du Details zu den (mobil-)Problemen nennen? Bei mir ist alles prima, zumindest so grob. Mir wärs zwar lieber ich könnte die &quot;Einklapp&quot;-Lösung auch mobil haben, aber das gibt der Minerva-Skin nicht her. Ansonsten seh ich nichts. Wo siehst Du also die Probleme? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 19:03, 19. Mai 2021 (CEST)}}
Außerhalb des Ausklappens gibt es kaum was: nur zwei Bildchen oben rechts haben noch kein Link :-). Ich finde auch die neue Einteilung in Bereichen viel treffender. Mir wäre es auch lieber, dass erst das Editorial erscheint und dann das zufällige Buch, aber wie schon gesagt, du machst die Arbeit, du entscheidest :-). Wichtiger ist es mir allerdings (muss aber auch nicht sein), das im Editorial ein Hinweis auf die [[en:w:Wikipedia:Five_pillars|fünf Grundregeln]] der Wikipedia ganz am Anfang steht, die fünf Regel, die aus mir völlig unverständlichen Gründen in der [[w:Wikipedia:Grundprinzipien|deutschen Wiki]] auf vier Regeln reduziert wurden (etwa wie das [[w:Farm der Tiere|Orwellsche]]: &quot;alle Tiere sind gleich, manche aber sind gleicher als die anderen) :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:47, 19. Mai 2021 (CEST)
{{-|Vom Ausklappen musste ich mich leider verabschieden. Das ist einfach zu komplex. Ein Link auf die Regalseite wird es tun. Die Links unter den Bildchen sind noch in Arbeit. Das war unter Anderem der Grund Dich hier um Meinung zu fragen. Ich werde mir dann noch etwas Zeit nehmen. Das Editorial und das zufällige Buch tauschen ist wohl kein großer Akt. 

Zum &quot;Farm der Tiere&quot;-Vergleich muss ich leider etwas ausholen. Ich glaube, Du liegst hier falsch. Grundsätzlich unterliegen wird mehreren Prinzipien bei Wikibooks Deutschland. Zum einen unterliegen wir den &quot;Regeln&quot; der Wikimedia-Foundation und ihrer Nutzungsbedingungen, denen wir als Nutzer ja zugestimmt haben:
* [[m:Terms_of_use]] – Da ist von diesen fünf Säulen überhaupt keine Rede.
Dann unterliegen wir den historisch gewachsenen Wikiprozessen. Sehr schön nachzulesen ist das ebenfalls auf Meta:
* [[m:Wikimedia power structure]]
Diese Struktur ist natürlich weder in Stein gemeißelt noch gültig über &quot;alle&quot; Projekte ohne Diskussion, da sich Prozesse, Rechtssysteme, Abläufe etc. unterscheiden.
Der dritte Baustein sind die Gründungsprinzipien der Wikipedia, als &quot;Mutter&quot; aller Wikimedia-Projekte, inklusive der Wikimedia selbst. Dazu auf Meta: 
* [[m:Founding principles]]
Wie Du siehst, sind das dort sechs Prinzipien und nicht nur fünf oder vier. Sie unterscheiden sich auch von den fünf oder vier von der englischen oder deutschen Wikipedia, die Du ins Feld führst. Aber dass sich die Regeln und Richtlinien von Projekt zu Projekt unterscheiden und organisch entwickeln ist nachvollziehbar und wird ebenfalls zentral thematisiert:
* [[m:Policy]]
Und schließlich gibt es noch eine zentrale Anlaufstelle, wo alle zentralen Regeln und Richtlinien gesammelt sind:
* [[m:Meta:Policies and guidelines]]
Dazu muss man auch Kommentare wie zum Beispiel diesen hier berücksichtigen: [[w:en:Wikipedia:Principles]]: &quot;The English Wikipedia does not have a single, definitive statement of the community's values and principles. Over the years, several editors have written summaries of these values and principles as well as essays expressing their ideas about what is important. Below is a list of some of these popular pages:&quot; 

Oder auch einer der Gründer der Wikipedia: [[w:en:User:Jimbo_Wales/Statement_of_principles]], hier sind es acht Pinzipien.

Du siehst also: alles ist fließend, alles ist nicht in Stein gemeißelt und ein Vergleich mit George Orwell ist irgendwie deplatziert, denke ich. Darüber hinaus: die fünfte &quot;englische Regel&quot; ist auf der deutschen Seite sehr wohl aufgeführt. Wenn auch nicht in der &quot;Liste der vier&quot;.

Kommen wir zurück auf Wikibooks: sämtliche Regeln, die wir hier haben, sind in Hilfeseiten kodifiziert. Teils auch mehrfach. Und ihre Auswirkungen basieren auf persönlichen Erfahrungen und Interpretationen. Diese Situation gilt es in meinen Augen dringend zu verbessern. Das geht aber weder von heute auf morgen, noch &quot;einfach so&quot;. Wir sind schließlich eine Gemeinschaft. Ich werde also weder die englische, noch die deutsche Wikipedia zugrunde legen, sondern am ehesten [[Hilfe:Statut]]. Zumindest solange wir nichts besseres haben.

Am Rande: Die Regel &quot;Ignoriere alle Regeln&quot; gibt es hier auf Wikibooks nicht. Sie wird öfter zitiert, teils gelebt, aber verschriftlicht, geschweige denn von der Gemeinschaft dokumentiert akzeptiert, ist sie nicht.

Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 11:54, 28. Mai 2021 (CEST)}}

== Namenskonventionen ==

Hi, Du hast dort: [[Spezial:Diff/960592/960634]] darauf hingewiesen, dass Du die Seiten verschieben willst. Gibts da einen speziellen Grund für, außer &quot;Das ham wa schon immer so gemacht&quot;? Auf der Namenskonventionenseite werden Ausnahmen durchaus zugelassen, wenn auch davor gewarnt wird, dass jemand die Sache umbenennen will. Was hieltest Du davon, wenn wir mal ausprobieren die Leute einfach mal machen zu lassen? Würde auch weniger Arbeit machen. Die einzige Namenskonvention, die wir brauchen ist doch eigentlich &quot;eine klare Zuordnung zum Buch&quot; und das ist ja bisher gegeben. Mir ists aber egal. Aktuell sind die Regeln halt so. Nur für die Zukunft würde ich es ändern. Gerade auch im Hinblick auf &lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{DISPLAYTITLE:So gehts doch auch}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;. Da muss man doch nicht so ewig viele Sonderzeichen in die URLs kippen ;-)... Gruß --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 02:20, 16. Mai 2021 (CEST)

:Es geht nicht um den Namen, sondern um die Gliederung in Unterkapitel. Mit dem Strich haben wir drei &quot;Bücher&quot;, die nicht irgendwie verbunden sind, man braucht / oder : für die Gliederung. Das wird für ihn ja so besser funktionieren. Ich hab mich auch gefragt, ob ich die Verschiebung dem Benutzer überlasse, ich glaube aber, dass er Hilfe in dieser Sache braucht. Ich hab in seiner Seite jetzt weiter kommentiert, schau mal nach. Ich hab den Eindruck, dass wir in dieser Hinsicht etwas in den [[Hilfe:Erste Schritte auf der Spielwiese|&quot;ersten Schritten&quot;]] ändern sollen, damit man auf die [[Hilfe:Wikibooks-Lehrbuch#Du_willst_dein_eigenes_Buch_schreiben|etwas vollständigere Anleitung]] schneller kommen kann... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 17:14, 16. Mai 2021 (CEST)

{{--|Hab mir die Diskussion angeschaut. Solange wie er glücklich ist und es Dich nicht stört, alles prima mit mir. 

Ich denke aber Deine Interpretation ist falsch. Ob man die Kapitel jetzt mit einem Doppelpunkt oder einem Halbgeviert trennt, für die interne Struktur ist das doch egal? Das sind alles einzelne Seiten im Hauptnamensraum (oder Bücher, wie Du sagst). Der Doppelpunkt hat keine semantische Sonderrolle im Mediawiki, soweit ich weiß. Zu einem Gesamtwerk wird das erst durch die Benennung (vom Sinn, und das war hier ja gegeben) und die Verlinkung (von der Navigation, und auch das war gegeben). Lediglich der Schrägstrich wird als implizite Struktur (Unterseiten) verstanden. Oder hast Du da als Admin tieferen Einblick, der was anderes sagt? Mir ist das im Prinzip aber egal. Ich würde es einfach nur aufbrechen, weil es Arbeit macht (Verschiebungen; Diskussionen über Typografie, die an der Stelle überflüssig ist; Sonderzeichen in URLs, wobei man hier argumentieren könnte, wir haben sowieso ä, ö und ü {{Smiley}}; wobei man die schneller sieht, als unterschiedliche Arten von geviert-Strichen und Leerzeichen).

Ich hab allerdings nicht überprüft, ob irgendwelche Navigationsvorlagen automatisch auf den Doppelpunkt abstellen. Das wär für mich aber kein Argument, weil ich die Arbeitserleichterung durch gesparte Diskussionen und Verschiebungen auf lange Sicht höher einschätze, als ein paar Vorlagen zu ändern.

Die Hilfeseite würde ich nicht ändern, bevor wir eine Idee haben, wo wir hinwollen; ich hab in letzter Zeit immer mal nur Kleinigkeiten ergänzt. Teilweise stießen die auf Gegenliebe, teils nicht. Ich weiß nicht, wie Du das mit den Hilfeseiten meinst. Mach doch einfach mal, wie Du denkst und stells dann auf den Verbesserungsvorschlägen vor, wenn Du unsicher bist? Oder willst Du mir einfach bescheid sagen und ich guck drüber, ob ich verstehe, was gemeint ist? Willst Du von der Spielwiese auf &quot;Du willst ein eigenes Buch schreiben?&quot; verlinken? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 10:16, 17. Mai 2021 (CEST)}}

== Seitenschutz ändern? ==

Moin, mein Ziel für die Hauptseite ist die Integration aller Informationen in andere Seiten, sodass die Hauptseite nur noch strukturell geändert werden muss, die inhaltliche Änderung aber an anderer Stelle statt findet. Damit möchte ich bewirken, dass man bei Bedarf Informationen nur noch an einer Stelle ändern brauch. Ich würde das &quot;Editorial&quot; gerne in [[Wikibooks:Über Wikibooks]] integrieren, jedoch ist die Seite geschützt. Macht ja auch Sinn. Ich denke wir können die Schutzstufe aber reduzieren auf &quot;Bearbeiten nur durch angemeldete Benutzer&quot; (gerne auch &quot;Erfahrene Benutzer&quot;, ich weiß aber nicht, ob man so fein abstufen kann)? Was meinst Du? Was hälst Du von dem Plan? Viele Grüße --[[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]] 15:52, 28. Mai 2021 (CEST)

== Feedback zur Umfrageplanung ==

Moin, ich bin dabei eine Umfrage vorzubereiten, um mal abzufragen, wohin die Reise bei Wikibooks gehen könnte. Im Moment macht ja jeder so eher sein eigenes Ding. Ich hätte bevor ich die Umfrage Live schalte gern ein wenig Feedback. Wenn Du Dich dazu in der Lage siehst, freu ich mich, wenn Du Dich mit diesem Eintrag beschäftigst: [[Wikibooks:Ich brauche Hilfe#Ich hätte gerne Feedback zu einer geplanten Umfrage]]. Insbesondere plane ich Sitenotices zu benutzen, dafür bräuchte ich Admin-Hilfe. Wenn Du Zeit und Lust findest, herzlichen Dank. Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  00:05, 3. Jun. 2021 (CEST)

{{-|Danke fürs schalten des Headers. Du hast aber den kompletten Eintrag veröffentlicht. Ich find den etwas lang. Wenn Du Zeit und Lust findest, ersetz ihn doch mit dieser Box. Danke und Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  00:14, 2. Aug. 2021 (CEST)}}

{{Box|icon=Wikibooks-logo.svg|icon-size=50px|inhalt=&lt;div style=&quot;font-size: 0.9em; text-align: center;&quot;&gt;Bitte nimm an der Umfrage zur zukünftigen Gestaltung der deutschen Wikibooks teil. Die Umfrage läuft mindestens bis zum 1.&amp;#8239;September&amp;#8239;2021, 0:00&amp;#8239;CEST. Die Umfrage hat 75 Fragen, dauert ungefähr 40 Minuten und kann auf Wunsch auch in 5 Einzelteilen zu je ungefähr 10 Minuten durchgeführt werden.

&amp;bull; '''[[Wikibooks:Projektentwicklung/2021/Umfrage Grundsätzliche Meinungen|Hier geht's los!]]''' &amp;bull; '''[https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks:Projektentwicklung/2021/Umfrage_Grundsätzliche_Meinungen/Antworten&amp;action=edit&amp;section=new&amp;preload=Vorlage:Vorgabe/Umfrage&amp;preloadtitle=Antworten%20von%20&amp;#126;&amp;#126;&amp;#126;&amp;minor=1&amp;editintro=Vorlage:Vorgabe/Umfrage/Introtext Direkt zur Umfrage]'''&lt;span style=&quot;float:right&quot;&gt;''Danke für die Hilfe'' – [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;/span&gt;&lt;/div&gt;}}

== Import ==

Hallo Yomomo,

vielen Dank fürs kümmern. Ich schreibe diesen Abschnitt als zusätzliche Erinnerung, ich hatte die Befürchtung, dass Du vielleicht das Ping aus der Wikipedia nicht zeitnah wahr nimmst: Hast Du [[w:Wikipedia:Redaktion_Chemie/Qualitätssicherung#1,6-Diaminohexan-Verfahren]] gesehen? Könntest Du den zusätzlichen Import der Versionsgeschichte bitte noch für die verschobene Seite [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]] nachholen? Da ist die eigentliche Autor:in verloren gegangen. Danke. Guten Rutsch und Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  13:37, 30. Dez. 2021 (CET)
:Ich hab das: [https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Praktikum_Organische_Chemie/1,6-Diaminohexan-Verfahren&amp;action=history] schon gemacht. Reicht das nicht aus? Dann soll ich mit Matthias etwas ausmachen, dass er den Quelltext von [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]] in seinem PC speichert, dann soll ich die Seite löschen, die Seite Praktikum_Organische_Chemie/1,6-Diaminohexan-Verfahren soll dann noch mal verschoben werden und von Mathias wieder korrigiert.. LG [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 19:29, 31. Dez. 2021 (CET)
:: Ah, tut mir leid, das hab ich nicht gesehen. Dann ist ja alles erledigt. Wie gesagt, guten Rutsch! Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  20:07, 31. Dez. 2021 (CET)
::: Passt! Frohes neues! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 05:58, 1. Jan. 2022 (CET)

== [[:de:Wikipedia:Redaktion Chemie/Qualitätssicherung#1,6-Diaminohexan-Verfahren]] ==

Kannst du bitte dort mal vorbeischauen? --[[Spezial:Beiträge/162.23.111.57|162.23.111.57]] 16:01, 3. Jan. 2022 (CET)
:Ich nehme an, es geht um das Problem des Absatzes hier oben drüber (''Import'')? Der Import ist erledigt, wie dort steht. Ich habe versucht aufzuräumen, da aber auf der Zielseite schon eine Seite steht, konnte ich da nichts tun. Ich nehme an, dass das mit Admin-Rechten deutlich einfacher ist. Ich schätze ein erneuter Import ist nicht zu verhindern. Ich nehme an am einfachsten ist ein erneuter Import von [[w:1,6-Diaminohexan-Verfahren]] nach [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]]. Dann verschmelzen die Versionsgeschichten ja automatisch. Die Reste kann ich dann ja entsprechend markieren. Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  16:48, 3. Jan. 2022 (CET)
:Den neuen Import hab ich schon Ende Dezember gemacht. Wie vorher geschrieben: Ich soll mit Matthias etwas ausmachen, dass er den Quelltext von [[Organische Chemie für Schüler/ Lactose-Nachweis]] in seinem PC speichert, dann soll ich die Seite löschen, die Seite Praktikum_Organische_Chemie/1,6-Diaminohexan-Verfahren soll dann noch mal verschoben werden und von Mathias wieder korrigiert. Ist jetzt nicht so eilig, wird erledigt, keine Sorge :-) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 17:11, 3. Jan. 2022 (CET)

== How we will see unregistered users ==

&lt;section begin=content/&gt;
Hallo!

Du erhältst diese Nachricht, da du Administrator in einem Wikimedia-Wiki bist.

Wenn heute jemand unangemeldet eine Bearbeitung in einem Wikimedia-Wiki vornimmt, zeigen wir dessen IP-Adresse an. Wie viele von euch bereits wissen, werden wir dies in der Zukunft nicht mehr tun können. Dies ist eine Entscheidung der Rechtsabteilung der Wikimedia Foundation aufgrund der Änderung von Normen und Vorschriften zum Datenschutz im Internet.

Statt der IP-Adresse zeigen wir eine maskierte Identität. Als Admin '''wirst du weiterhin auf die IP zugreifen können'''. Es wird auch neue Benutzerrechte für diejenigen geben, die die vollständigen IPs von unangemeldeten Benutzern sehen müssen, um Vandalismus, Belästigung und Spam bekämpfen zu können ohne Admin zu sein. Kontrollierer werden ebenfalls Teile der IP sehen können, auch ohne dieses Benutzerrecht. Wir arbeiten auch an [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/Improving tools|besseren Werkzeugen]] zur Unterstützung.

Wenn du die Seite noch nicht gesehen hast, kannst du [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation/de|auf Meta mehr lesen]]. Wenn du sicherstellen möchtest, keine technischen Änderungen in den Wikimedia-Wikis zu verpassen, kannst du [[m:Tech/News/de|den wöchentlichen technischen Newsletter]] [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|abonnieren]].

Wir haben [[m:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation#IP Masking Implementation Approaches (FAQ)|zwei Möglichkeiten vorgeschlagen]], wie diese Identität funktionieren kann. '''Wir würden uns über deine Rückmeldung freuen''', welche Möglichkeit für dich und dein Wiki am besten funktionieren würde, jetzt und in der Zukunft. Du kannst [[m:Talk:IP Editing: Privacy Enhancement and Abuse Mitigation|es uns auf der Diskussionsseite wissen lassen]]. Du kannst in deiner Sprache schreiben. Die Vorschläge wurden im Oktober veröffentlicht und wir werden nach dem 17. Januar entscheiden.

Danke. 
/[[m:User:Johan (WMF)|Johan (WMF)]]&lt;section end=content/&gt;

19:12, 4. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johan (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Johan_(WMF)/Target_lists/Admins2022(2)&amp;oldid=22532495 --&gt;

== Kann man mir gewisse Schnelllöschrechte einräumen? ==

Hallo Yomomo,

da Sie ja Admin sind: Ich wollte bloß fragen, ob man meinem Benutzeraccount für den Namespace meines Buchprojektes ([[Mathematik für Faule]]) Schnelllöschrechte einräumen kann. Da ich nämlich häufig bei Kapitelbenennungen Fehler mache, besteht dazu einiger Anlass. Vielen Dank im Voraus! --[[Benutzer:Mathmensch|Mathmensch]] 18:50, 19. Apr. 2022 (CEST)

:Hi! Leider geht das meines Wissens nicht. Allerdings, interessantes Projekt, wenn du Lust hast, könnten wir Kontakt aufnehmen und zusammenarbeiten (auch wenn ich seit einiger Zeit kaum aktiv bin...) Sonst übernehme ich das Löschen nur... LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 20:48, 19. Apr. 2022 (CEST)

::Fehlerkorrekturen sind in der Tat sehr willkommen! Was den Inhalt angeht, so würde ich gerne zunächst sozusagen das &quot;Grundschema&quot; alleine aufbauen, weil ich eine sehr genaue Vorstellung habe, wie später alles aussehen soll. Des weiteren habe ich unter größten Mühen für zahlreiche Sätze vereinfachte Beweise erbracht, welche von den &quot;Standard&quot;beweisen teils stark abweichen.

::Ich werde versuchen, bei Neuanlagen die Seitentitel etwas gründlicher zu durchdenken.

::Viele Grüße, --[[Benutzer:Mathmensch|Mathmensch]] 12:23, 20. Apr. 2022 (CEST)

== [[Wikibooks:Löschkandidaten/ Urheberrechtsverletzungen#Kartenspiele: Monte Bank]] ==

ist seit Januar offen, obwohl ein glasklarer Fall. Bitte abarbeiten. Danke. --[[Benutzer:NilsLindenberg|NilsLindenberg]] 17:37, 22. Apr. 2022 (CEST)

== Wozu die nbsp? ==

Hallo, warum erzwingst du [[Natur und Technik für den Pflichtschulabschluss: Die Erdatmosphäre|da]] so hässliche Umbrüche? Z.B.:

&quot;&lt;br&gt;
Die '''Thermosphäre''' ist der nächste Höhenbereich&lt;br&gt;
der Erdatmosphäre, in dem&lt;br&gt;
ihre Temperatur erneut mit der Höhe (extrem)&lt;br&gt;
ansteigt und ca. 1100°C erreicht. Das liegt daran,&lt;br&gt; 
&quot;

&quot;ihre Temperatur&quot; würde noch locker in die 2. Zeile passen. 
--[[Spezial:Beiträge/2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F|2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F]] 16:14, 25. Apr. 2022 (CEST)

:nbsp ist ja kein Umbruch sondern verhindert neue Absätze. Wenn ich das gut in Erinnerung habe, hab ich sie benutzt, damit nicht NUR ein Wort vor dem Bild und der Rest nach dem Bild steht, was bei manchen Browsern doch passieren kann. Z.B &quot;Die&quot; vor dem Bild und &quot;Thermosphäre&quot; nach dem Bild, dann muss man ja nach dem Artikel &quot;Die&quot; suchen... [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 16:47, 25. Apr. 2022 (CEST)
:: &quot;gut in Erinnerung&quot;? Das ist gerade mal eine gute Stunde her. Warum ein vorm Umbrechen geschütztes &quot;ihre Temperatur erneut&quot; mitten im Satz das Problem behebt, erkenne ich trotzdem nicht. Naja, nicht so wichtig. --[[Spezial:Beiträge/2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F|2003:E7:2718:F600:85D:4B5A:249F:182F]] 17:00, 25. Apr. 2022 (CEST)
:::Die Artikel mit dieser Begründung an die Worte zu binden ist durchaus legitim. Das hat mit Umbruchs-Erzwingung nichts zu tun. Das wäre der Fall, wenn es ''immer und überall'' so aussähe. Im Gegenteil, das verhindert weder Absätze noch erzwingt es Umbrüche. Es ''verhindert'' Umbrüche im Sinnzusammenhang und das ist hier ja der Zweck. Klassisch würde das bei Zwangsleerzeichen eingesetzt, wie Nummerierungen oder Abkürzung, sodass die Abkürzungen nicht umgebrochen werden. Man kann das sicher diskutieren, aber dafür wäre es hilfreich um Erklärung zu bitten und nicht mit Unterstellungen zu starten, z.&amp;#8239;B. &quot;Warum benutzt Du dort nbsp?&quot; statt &quot;Warum erzwingst Du sowas hässliches?&quot;, denn weder Zwang noch hässlich war hier die Intention. Viele Grüße, [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;sup&gt;[[Benutzer Diskussion:HirnSpuk|Disk]]&lt;/sup&gt; –  20:20, 25. Apr. 2022 (CEST)
::::&quot;Das ist gerade mal eine gute Stunde her.&quot; Interessant. Hatte nicht gemerkt. Ich benutze Texteditor und immer wieder wikEd. Das hat wikEd offensichtlich automatisch gemacht. Aber ist jetzt letztendlich kein Problem. [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 09:15, 27. Apr. 2022 (CEST)
::::: Ah, das klärt dann, warum das so willkürlich aussieht. Danke. --[[Spezial:Beiträge/2003:E7:2718:F600:9C96:A62E:DD03:2221|2003:E7:2718:F600:9C96:A62E:DD03:2221]] 10:41, 27. Apr. 2022 (CEST)

== [[Mathematrix:_MA_TER/_Theorie/_Geometrische_Konstruktionen#Die_Klassischen_Probleme_der_antiken_Mathematik|Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik]] ==

Servus Yomomo,

ich habe das erste klassische Problem eingearbeitet. Ein paar Überschriften habe ich dabei geändert. Bitte schau' mal rein, vielleicht gefällt es dir auch. Gruß --[[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]] 20:09, 20. Jul. 2022 (CEST)</text>
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    <title>Mathe für Nicht-Freaks: Sitemap</title>
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Diese Seite listet alle Kapitel des Projekts „Mathe für Nicht-Freaks“ auf. Diese Seite dient zur Übersicht und aus ihr werden die komplette Navigation und die Inhaltsverzeichnisse der einzelnen Bücher generiert.

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| Fortschritt 50% – Wesentliche Inhalte sind vorhanden, es müssen aber noch wichtige Inhalte hinzugefügt werden (oft befinden sich auf der Seite ToDo-Hinweise, was noch ergänzt werden muss).
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| Fortschritt 75% – Kapitel ist inhaltlich fertig, muss aber noch überarbeitet werden (Korrektur von Rechtschreibfehlern, Formulierungen so verändern, dass sie verständlicher sind oder besser klingen. Unnötige und unpassende Füllwörter wie „auch“ entfernen).
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| Fortschritt 100% – Kapitel ist inhaltlich fertig und wurde mindestens einmal Korrektur gelesen. Aber auch diese Kapitel kannst du Korrektur lesen. Sprich: Rechtschreibfehler korrigieren und Formulierungen verbessern. Auch diese Kapitel können (wie alle anderen) inhaltlich ergänzt werden.
|} 

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik|Grundlagen der Mathematik]] ==

=== Was ist Mathematik? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Mathematik?|Was ist Mathematik?]] {{Symbol|100%}}

=== Einführung in die Logik ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Logik und Aussagen|Logik und Aussagen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Junktor|Junktoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagenlogik|Aussagenlogik]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wahrheitstabelle|Wahrheitstabelle]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie|Tautologien]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Quantor|Quantoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution|Aussageform und Substitution]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prädikatenlogik|Prädikatenlogik]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagen formalisieren|Aussagen formalisieren]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagen negieren|Aussagen negieren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Klassenlogik|Klassenlogik]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gesetze der Logik|Gesetze der Logik]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Logik|Aufgaben]]

=== Beweise und Beweismethoden ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweis|Was sind Beweise?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Direkter und indirekter Beweis|Direkter und indirekter Beweis]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Fallunterscheidung und Kontraposition|Fallunterscheidung und Kontraposition]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Notwendige und hinreichende Bedingungen|Notwendige und hinreichende Bedingungen]] {{Symbol|100%}}

=== Vollständige Induktion ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Definition und Erklärung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion: Beispiele|Beispielaufgaben]] {{Symbol|75%}}

=== Mengenlehre ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Menge|Definition einer Menge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise|Mengenschreibweisen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mengendiagramme: Euler- und Venn-Diagramm|Euler- und Venn-Diagramme]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge|Teilmenge und echte Teilmenge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge|Potenzmenge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge und Allklasse|Leere Menge und Allklasse]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfungen zwischen Mengen|Mengenverknüpfungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Durchschnitt von Mengen|Durchschnitt von Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung von Mengen|Vereinigung von Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Differenz, symmetrische Differenz und Komplement|Differenz, symmetrische Differenz und Komplement]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Boolesche Algebra|Boolesche Algebra]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme|Disjunkte Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar|Tupel und geordnetes Paar]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Formeln der Mengenlehre|Formeln der Mengenlehre]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Russells Antinomie und Klassen|Russells Antinomie und Klassen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Axiomatische Mengenlehre|Axiomatische Mengenlehre]] {{Symbol|100%}}

=== Relationen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Relation|Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binäre Relation|Binäre Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften binärer Relationen|Eigenschaften binärer Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äquivalenzrelation|Äquivalenzrelationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ordnungsrelation|Ordnungsrelationen]] {{Symbol|100%}}

=== Abbildungen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion|Abbildungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung|Verknüpfungen]] {{Symbol|75%}}

=== Mächtigkeit von Mengen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mächtigkeit von Mengen|Mächtigkeit von Mengen]] {{Symbol|100%}}

=== Gleichungsumformungen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungen: Umformungen|Gleichungsumformungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Terme: Umformungen|Termumformungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Gleichungsumformungen|Aufgaben]]

=== Summe, Produkt und Fakultät ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt|Summe und Produkt]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gaußsche Summenformel|Gaußsche Summenformel]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften für Summe und Produkt|Eigenschaften für Summe und Produkt]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät|Fakultät]] {{Symbol|100%}}

=== Binomialkoeffizient ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|Der binomische Lehrsatz]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient: Rechenregeln|Rechenregeln]] {{Symbol|100%}}

=== Anhang ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wörterbuch|Wörterbuch mathematischer Begriffe]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Liste mathematischer Symbole|Liste mathematischer Symbole]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung|Zusammenfassung]]
* [[c:File:Grundlagen der Mathematik.pdf|PDF-Version (Beta)]]

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 1|Analysis 1]] ==
=== Was ist Analysis? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Analysis?|Was ist Analysis?]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wozu Analysis studieren?|Wozu Analysis studieren?]] {{Symbol|100%}}

=== Was sind reelle Zahlen? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Reelle Zahlen|Was sind reelle Zahlen?]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zahlengerade|Die Zahlengerade]] {{Symbol|100%}}
: Todo: Die Addition wird mit einer Subtraktion erklärt. Es sollte zunächst eine Addition mit zwei positiven Zahlen erklärt werden. -- [[Benutzer:Stephan Kulla|Stephan Kulla]] 23:33, 23. Okt. 2017 (CEST)

=== Körperaxiome ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Körperaxiome|Körperaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen aus den Körperaxiomen|Folgerungen aus den Körperaxiomen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenz|Potenzen reeller Zahlen]] {{Symbol|75%}}

=== Anordnungsaxiome ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anordnungsaxiome|Anordnungsaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen der Anordnungsaxiome|Folgerungen der Anordnungsaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Betrag, Maximum und Minimum|Betragsfunktion, Maximum und Minimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervall|Intervalle]] {{Symbol|100%}}

=== Vollständigkeit reeller Zahlen  ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit|Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: In dem Artikel [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit]] gibt es im ersten Abschnitt einen Link zu einem Wikipedia-Artikel. Hier muss man sich überlegen, ob wir diesen Beweis selbst führen wollen oder wie wir den Link in der Druckversion gestalten wollen.
:* TODO: Ich bin nach wie vor der Meinung, dass dieser Abschnitt in ein Ausblickskapitel gehört, und nicht vorangestellt werden sollte! who2010
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Archimedisches Axiom|Das archimedische Axiom]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Aus einem Feedback &quot;Beim Archimedischen Axiom wird das Axiom negiert, um seine Bedeutung besser zu erklären. Ich tat mir hierbei recht schwer herauszulesen, ob dann im weiteren Verlauf immer noch die Rede von der negierten Version oder der normalen war. &quot;
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bernoulli-Ungleichung|Bernoullische Ungleichung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Allgemeine Intervallschachtelung|Allgemeine Intervallschachtelungen]] {{Symbol|100%}}

=== Die komplexen Zahlen  ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation|Einleitung und Motivation]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexen Zahlen: Definition|Definition komplexer Zahlen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Konjugation und Betrag komplexer Zahlen|Betrag und Konjugation]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Polarform bzw. Polardarstellung komplexer Zahlen|Polardarstellung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Zahlen: Darstellung komplexwertiger Funktionen|Darstellung komplexwertiger Funktionen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu komplexen Zahlen|Aufgaben]]

=== Supremum und Infimum ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum|Supremum und Infimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliches Supremum und Infimum|Uneigentliches Supremum und Infimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum bestimmen und beweisen|Supremum und Infimum bestimmen und beweisen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum: Eigenschaften|Eigenschaften Supremum und Infimum]] {{Symbol|25%}}
:* TODO: [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremumsaxiom|Das Supremumsaxiom]] {{Symbol|0%}}

=== Wurzel reeller Zahlen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzel|Wurzel reeller Zahlen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzgleichungen|Lösungen von Potenzgleichungen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der Wurzel|Rechenregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit rationalem Exponenten|Verallgemeinerte Potenzen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Wurzeln|Aufgaben]]

=== Folgen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folge|Definition]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Explizite und rekursive Bildungsgesetze für Folgen|Explizite und rekursive Bildungsgesetze]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele und Eigenschaften von Folgen|Beispiele und Eigenschaften]] {{Symbol|100%}}
:TODO: Abschnitt zu Eigenschaften könnte man in ein extra Kapitel verschieben
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Folgen|Aufgaben]]

=== Konvergenz und Divergenz ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Konvergenz und Divergenz|Definition Grenzwert]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz beweisen|Konvergenz und Divergenz beweisen]] {{Symbol|100%}}
: TODO: Artikel umstrukturieren, erst allgemeines Vorgehen erklären, unabhängig davon, ob Konvergenz oder Divergenz gezeigt werden soll
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Beispiele|Beispiele für Grenzwerte]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren|Unbeschränkte Folgen divergieren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen|Grenzwertsätze]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium für Folgen|Monotoniekriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz rekursiver Folgen beweisen|Konvergenzbeweise rekursiver Folgen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Konvergenz und Divergenz|Aufgaben]]

=== Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teilfolge|Teilfolgen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt einer Folge|Häufungspunkte von Folgen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt und Berührpunkt einer Menge|Häufungs- und Berührpunkte von Mengen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Bolzano-Weierstraß|Satz von Bolzano-Weierstraß]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bestimmte Divergenz, uneigentliche Konvergenz|Bestimmte Divergenz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der bestimmten Divergenz|Bestimmte Divergenz: Regeln]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lim sup und Lim inf|Lim sup und Lim inf]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium|Cauchy-Folgen]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium als Vollständigkeitsaxiom|Cauchy-Kriterium als Vollständigkeitsaxiom]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen|Aufgaben]]

=== Reihen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Reihe|Begriff der Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln für Reihen|Rechenregeln für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teleskopsumme und Teleskopreihe|Teleskopsumme und Teleskopreihe]] {{Symbol|100%}}
:* Animation: Zusammenziehen der Teleskopsumme; Aufgabe &lt;math&gt;\sum (-1)^k&lt;/math&gt; (eine Teleskopsumme?!)
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|Geometrische Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|Harmonische Reihe]] {{Symbol|100%}}
:* Was ist so harmonisch an der harmonischen Reihe?
* [[Mathe für Nicht-Freaks: e-Reihe|e-Reihe]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe|Absolute Konvergenz einer Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Umordnungssatz für Reihen|Umordnungssatz für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Produkt für Reihen|Cauchy-Produkt für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Reihen|Aufgaben]]

=== Konvergenzkriterien für Reihen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien|Übersicht Konvergenzkriterien]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium für Reihen|Cauchy-Kriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beschränkte Reihen und Konvergenz|Beschränkte Reihen und Konvergenz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majoranten- und Minorantenkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] {{Symbol|100%}}
:* Die Reihenfolge von Quotienten- und Wurzelkriterium sollte vertauscht werden, da das Wurzelkriterium nicht immer zum Standardstoff gehört.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchysches Verdichtungskriterium|Verdichtungskriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anwendung der Konvergenzkriterien bei Reihen|Anwendung der Konvergenzkriterien]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen|Aufgaben]]

=== Potenzreihen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzreihen|Definition und Beispiele]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenzradius von Potenzreihen|Konvergenzradius]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen|Aufgaben]] {{Symbol|100%}}

=== Exponential- und Logarithmusfunktion ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Herleitung und Definition der Exponentialfunktion|Herleitung und Definition der Exponentialfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Exponentialfunktion|Eigenschaften der Exponentialfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Die Logarithmusfunktion|Logarithmusfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit reellen Exponenten|Verallgemeinerte Potenzen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen|Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Exponential- und Logarithmusfunktion|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus|Sinus und Kosinus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Sinus und Kosinus|Eigenschaften des Sinus und Kosinus]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus und Arkuskosinus]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tangens und Kotangens|Tangens und Kotangens]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens und Arkuskotangens]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus|Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Stetigkeit ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit von Funktionen|Stetigkeit von Funktionen]] {{Symbol|100%}}
:* ToDo: In diesen Kapitel könnte man noch Bezüge zur historischen Entwicklung des Stetigkeitsbegriffs einbauen.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgenkriterium der Stetigkeit: Folgenstetigkeit|Folgenkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit|Epsilon-Delta-Kriterium]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Das Epsilon-Delta-Kriterium aufgefasst als Spiel
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert von Funktionen|Grenzwert von Funktionen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komposition stetiger Funktionen|Komposition stetiger Funktionen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium|Stetigkeit beweisen]] {{Symbol|75%}}
:* TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unstetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium|Unstetigkeit beweisen]] {{Symbol|75%}}
:* TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zwischenwertsatz|Zwischenwertsatz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum|Satz vom Minimum und Maximum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit der Umkehrfunktion|Stetigkeit der Umkehrfunktion]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichmäßige Stetigkeit|Gleichmäßige Stetigkeit]] {{Symbol|50%}}
:*TODO: In der Animation mit der Wurzel und 1/x Funktion sollte das rote Rechteck bis zum Punkt (0,0) gehen.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-Stetigkeit]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Wie sehen Beweise mit der Lipschitz-Stetigkeit aus?
:* TODO: Wie kann man beweisen, dass eine Funktion Lipschitz-stetig / nicht Lipschitz-stetig ist?
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Stetigkeit|Aufgaben]]
:* TODO: Uneigentliche Stetigkeit, Einseitige Grenzwerte, Stetige Fortsetzung von Funktionen
:* Notiz: Artikel [[Mathe für Nicht-Freaks: Topologische Definition der Stetigkeit|Topologische Definition der Stetigkeit]] war ursprünglich geplant, sollte aber erst später im Buch zur Topologie kommen.

=== Ableitung ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit|Ableitung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitungsregeln: Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel, Summenregel, Faktorregel|Ableitungsregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spezielle Ableitungsregeln|Spezielle Ableitungsregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung der Umkehrfunktion|Ableitung der Umkehrfunktion]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Ableitungen|Beispiele für Ableitungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung höherer Ordnung|Ableitung höherer Ordnung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Rolle|Satz von Rolle]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung|Konstanzkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion|Monotoniekriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und lokale Extrema|Ableitung und lokale Extrema]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Regel von L'Hospital|Regel von L'Hospital]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit|Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 1|Aufgaben 1]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 2|Aufgaben 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 3|Aufgaben 3]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 4|Aufgaben 4]]


Geplante Themen: Konvexe Funktionen, Hölderische Ungleichung, Reihe und Ableitung

=== Integrale ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Integral einer Funktion|Das Integral]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Riemannintegral|Riemannintegral]] {{Symbol|50%}}
: TODO: In der Herleitung sollte ein Beispiel einer Funktion gewählt werden, die auch negativ ist. -- [[Benutzer:Stephan Kulla|Stephan Kulla]] 21:12, 18. Okt. 2017 (CEST)
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Riemannintegrals|Eigenschaften des Riemannintegrals]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Regelintegral|Regelintegral]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mittelwertsatz für Integrale|Mittelwertsatz für Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Substitutionsregel für Integrale|Substitutionsregel]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Partielle Integration|Partielle Integration]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliche Integrale|Uneigentliche Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale|Beispiele für Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Integralen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

Geplante Themen: Trapez-Regel, Hölderische Ungleichung für Integrale, Riemannsche Summe, Riemann-Integral

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Algebra 1|Lineare Algebra 1]] ==

=== Einführung in die lineare Algebra ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:EmmaBrink|EmmaBrink]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Algebra?|Was ist Algebra?]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlegende Eigenschaften algebraischer Strukturen|Eigenschaften algebraischer Strukturen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gruppen|Gruppen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ringe|Ringe]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Körper|Körper]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht zu algebraischer Strukturen|Übersicht zu algebraischer Strukturen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektoren und Vektorräume in der Schule|Vektorbegriff aus der Schule]] {{Symbol|50%}}

=== Vektorräume ===
Verantwortlicher: [[Benutzer:Der Annulator|Der Annulator]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Einführung in den Vektorraum|Einführung in den Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum|Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Eigenschaften|Eigenschaften von Vektorräumen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für Vektorräume führen|Beweise für Vektorräume führen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Nullvektorraum|Nullvektorraum]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Der Körper als Vektorraum|Der Körper als Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Koordinatenräume|Koordinatenräume]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgenräume|Folgenräume]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Funktionsräume|Funktionsräume]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Polynomraum|Polynomraum]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Untervektorraum|Untervektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen|Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Summe von Unterräumen|Summe von Unterräumen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Innere direkte Summe und Komplement|Innere direkte Summe und Komplement]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äußere direkte Summe|Äußere direkte Summe]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Nebenklassen eines Unterraums|Nebenklassen eines Unterraums]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum|Faktorraum]] {{Symbol|100%}}

=== Linearkombinationen, Erzeugendensystem und Basis ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:Zornsches Lemma|Zornsches Lemma]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Linearkombinationen|Linearkombinationen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spann, Erzeugnis, lineare Hülle|Spann einer Menge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erzeugendensystem|Erzeugendensystem]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren|Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Basis eines Vektorraums|Basis eines Vektorraums]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz|Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dimension eines Vektorraums|Dimension eines Vektorraums]] {{Symbol|100%}}

=== Lineare Abbildungen ===
Verantwortlicher: [[Benutzer:Klaus.mattis|Klaus.mattis]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen, Homomorphismus|Lineare Abbildungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften Linearer Abbildungen|Eigenschaften linearer Abbildungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prinzip der linearen Fortsetzung|Prinzip der linearen Fortsetzung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für lineare Abbildungen führen|Beweise für lineare Abbildungen führen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monomorphismus (Lineare Algebra)|Monomorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Epimorphismus (Lineare Algebra)|Epimorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Isomorphismus (Lineare Algebra)|Isomorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Endomorphismus, Automorphismus|Endomorphismus und Automorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung: Bild|Bild einer linearen Abbildung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kern einer linearen Abbildung|Kern einer linearen Abbildung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen|Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum linearer Abbildungen|Vektorraum linearer Abbildungen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dualraum|Dualraum]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu linearen Abbildungen|Aufgaben]] {{Symbol|100%}}

===Matrizen===
Verantwortlicher: [[Benutzer:GruenerBogen|GruenerBogen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung und darstellende Matrix|Einführung in Matrizen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildungsmatrizen|Abbildungsmatrizen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Definition der Matrix|Matrizen Allgemein]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorielle Operationen für Matrizen|Vektorraumstruktur auf Matrizen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Basiswechselmatrizen|Basiswechselmatrizen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrix: Rang|Rang einer Matrix]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inverse Matrizen|Inverse Matrizen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Matrizen|Aufgaben]] {{Symbol|25%}}

=== Isomorphiesatz und Dimensionsformel ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:Zornsches Lemma|Zornsches Lemma]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel|Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Homomorphiesatz und Isomorphiesatz|Homomorphiesatz und Isomorphiesatz]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dimensionsformel|Dimensionsformel]] {{Symbol|25%}}

=== Gleichungssysteme und Matrizen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungssysteme und Matrizen|Gleichungssysteme und Matrizen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrix: Zeilenstufenform|Zeilenstufenform einer Matrix]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gaußverfahren|Gaußverfahren]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cramer'sche Regel|Cramer'sche Regel]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anwendungsbeispiele|Anwendungsbeispiele]] {{Symbol|0%}}

=== Die Determinante einer Matrix ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinanten|Determinante einer Matrix]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinante einer Abbildung|Determinante einer Abbildung]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Determinante|Eigenschaften der Determinante]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Laplacescher Entwicklungssatz|Laplacescher Entwicklungssatz]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Permutationen|Permutationen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Formel der Determinante|Leibniz-Formel der Determinante]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinante besonderer Matrizen|Determinante besonderer Matrizen]] {{Symbol|0%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Maßtheorie|Maßtheorie]] ==

=== Einleitung und Grundbegriffe ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Maßtheoretische Begriffe|Übersicht: Maßtheoretische Begriffe]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inhalte auf Ringen|Inhalte auf Ringen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen|Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prämaße und Maße|Prämaße und Maße]] {{Symbol|75%}}

=== Konstruktion von Maßen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konstruktion von Maßen|Einführung in die Konstruktion von Maßen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erzeugte sigma-Algebren|Erzeugte sigma-Algebren]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äußere Maße, Messbarkeit, Satz von Caratheodory, Fortsetzungssatz|Existenz einer Fortsetzung]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz|Eindeutigkeit einer Fortsetzung]] {{Symbol|50%}}

=== Lebesgue-Integration ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Integration?|Was ist Integration?]] {{Symbol|25%}}

== [[Serlo: EN: Real Analysis|Real Analysis]] ==

=== Help ===

* [[Serlo: EN: Translating Articles|I want more articles. How do I translate?]]
* [[Serlo: EN: Guidelines for translation|Guidelines for translation]]

=== Introduction ===

* [[Serlo: EN: What is Analysis?|What is analysis?]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Why study analysis?|Why study analysis?]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Propositional logic|Propositional logic]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Mathematical induction|Mathematical induction]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Real numbers|Real numbers]] {{Symbol|50%}}

=== Complex numbers ===

* [[Serlo: EN: Introduction and motivation|Introduction and motivation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Definition of complex numbers|Definition of complex numbers]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Absolute value and conjugation|Absolute value and conjugation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Polar representation|Polar representation]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Drawing complex-valued functions|Drawing complex-valued functions]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: complex numbers|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Supremum and infimum ===

* [[Serlo: EN: Supremum and infimum|Supremum and infimum]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The infinite case|The infinite case]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove existence of a supremum or infimum|How to prove existence of a supremum or infimum]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Properties of supremum and infimum|Properties of supremum and infimum]] {{Symbol|50%}}

=== Sequences ===

* [[Serlo: EN: Sequences|Sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Explicit and recursive description|Explicit and recursive description]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples and properties of sequences|Examples and properties of sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: sequences|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Convergence and divergence ===

* [[Serlo: EN: Limit: Convergence and divergence|Definition of limit]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove convergence and divergence|How to prove convergence and divergence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples for limits|Examples for limits]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Unbounded sequences diverge|Unbounded sequences diverge]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Limit theorems|Limit theorems]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The squeeze theorem|The squeeze theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monotony criterion|Monotony criterion]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove convergence for recursive sequences|How to prove convergence for recursive sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: convergence and divergence|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences ===

* [[Serlo: EN: Subsequence|Subsequence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Accumulation points of sequences|Accumulation points of sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Accumulation points of sets|Accumulation points of sets]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The Bolzano-Weierstrass theorem|The Bolzano-Weierstrass theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Divergence to infinity|Divergence to infinity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Divergence to infinity: rules|Divergence to infinity: rules]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Lim sup and lim inf|Lim sup and lim inf]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy sequences|Cauchy sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Series ===

* [[Serlo: EN: Series|Series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computation rules for series|Computation rules for series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Telescoping sums and series|Telescoping sums and series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Geometric series|Geometric series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Harmonic series|Harmonic series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exponential series|Exponential series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Absolute convergence of a series|Absolute convergence of a series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Rearrangement theorem for series|Rearrangement theorem for series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Series|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Convergence criteria for series ===

* [[Serlo: EN: Overview: convergence criteria|Overview: convergence criteria]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy criterion|Cauchy criterion]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Term test|Term test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Bounded series and convergence|Bounded series and convergence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Direct comparison test|Direct comparison test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Root test|Root test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Ratio test|Ratio test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Alternating series test|Alternating series test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy condensation test|Cauchy condensation test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Application of convergence criteria|Application of convergence criteria]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Convergence criteria for series|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Exponential and Logarithm functions ===

* [[Serlo: EN: Derivation and definition of the exponential series|Derivation and definition of the exponential series]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Properties of the exponential series|Properties of the exponential series]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Logarithmic function|Logarithmic function]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Real exponents|Real exponents]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exp and log functions for complex numbers|Exp and log functions for complex numbers]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Exponential and Logarithm functions|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Trigonometric and Hyperbolic functions ===

* [[Serlo: EN: Sine and cosine|Sine and cosine]] {{Symbol|50%}}

=== Continuity ===

* [[Serlo: EN: Continuity of functions|Continuity of functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Epsilon-delta definition of continuity|Epsilon-delta definition of continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Sequential definition of continuity|Sequential definition of continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Limit of functions|Limit of functions]] {{Symbol|25%}}
* [[Serlo: EN: Proving continuity|Proving continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proving discontinuity|Proving discontinuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Composition of continuous functions|Composition of continuous functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Extreme value theorem|Extreme value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Intermediate value theorem|Intermediate value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Continuity of the inverse function|Continuity of the inverse function]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Uniform continuity|Uniform continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Lipschitz continuity|Lipschitz continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Continuity|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Differential Calculus ===

* [[Serlo: EN: Derivatives|Derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computing derivatives|Computing derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computing derivatives - special|Computing derivatives - special]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivative - inverse function|Derivative - inverse function]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples for derivatives|Examples for derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivatives of higher order|Derivatives of higher order]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Rolle's theorem|Rolle's theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Mean value theorem|Mean value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Constant functions|Constant functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monotone functions|Monotone functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivative and local extrema|Derivative and local extrema]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: L'Hôspital's rule|L'Hôspital's rule]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Overview: continuity and differentiability|Overview: continuity and differentiability]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 1|Exercises 1]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 2|Exercises 2]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 3|Exercises 3]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 4|Exercises 4]] {{Symbol|50%}}


== [[Serlo: EN: Linear algebra|Linear algebra]] ==

=== Vector spaces ===

* [[Serlo: EN: Introduction: Vector space|Introduction: Vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space|Vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space: properties|Vector space: properties]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proofs for vector spaces|Proofs for vector spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Field as a vector space|Field as a vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Coordinate spaces|Coordinate spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Sequence spaces|Sequence spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Function spaces|Function spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Subspace|Subspace]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|Cosets of a subspace]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Quotient space|Quotient space]] {{Symbol|50%}}

=== Linear combinations, generators and bases ===

* [[Serlo: EN: Linear combinations|Linear combinations]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Span|Span]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Generators|Generators]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Linear independence|Linear independence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Basis|Basis]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Steinitz's theorem|Steinitz's theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Dimension|Dimension]] {{Symbol|50%}}

=== Linear maps ===

* [[Serlo: EN: Linear map|Linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Properties of linear maps|Properties of linear maps]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Linear continuation|Linear continuation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proofs for linear maps|Proofs for linear maps]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monomorphisms|Monomorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Epimorphisms|Epimorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Isomorphisms|Isomorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Endomorphism and Automorphism|Endomorphism and Automorphism]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Image of a linear map|Image of a linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Kernel of a linear map|Kernel of a linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises Linear Maps|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Matrices ===

* [[Serlo: EN: Introduction: Matrices|Introduction: Matrices]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Defintion of a matrix|Defintion of a matrix]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space structure on matrices|Vector space structure on matrices]] {{Symbol|50%}}

== [[Serlo: EN: Measure theory|Measure theory]] ==

=== Introduction, basic definitions ===
* [[Serlo: EN: Overview: Objects in Measure Theory|Overview: Objects in Measure Theory]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Volumes on rings|Volumes on rings]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Continuity of volumes on rings|Continuity of volumes on rings]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Pre-measures and measures|Pre-measures and measures]] {{Symbol|50%}}

=== Constructiong measures ===
* [[Serlo: EN: Constructing measures: overview|Constructing measures: overview]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Generated sigma-algebras|Generated sigma-algebras]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Existence of a measure continuation|Existence of a measure continuation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Uniqueness of a continuation|Uniqueness of a continuation]] {{Symbol|50%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfänge|Buchanfänge]] ==

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Algebra by Morrison69|Algebra]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Gewöhnliche Differentialgleichungen by Stephan Kulla|Gewöhnliche Differentialgleichungen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321|Maßtheorie]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321|Partielle Differentialgleichungen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 2|Analysis 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra 2|Lineare Algebra 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum|Abstellraum]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Taylor Entwicklung|Taylor Entwicklung]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Mitmachen für (Nicht-)Freaks|Mitmachen für (Nicht-)Freaks]] ==

=== Erste Schritte ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wer kann mitmachen|Wer kann mitmachen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie kann ich beitragen|Wie kann ich beitragen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie melde ich mich an|Wie melde ich mich an?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wer sind meine Ansprechpersonen|Wer sind meine Ansprechpersonen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie fange ich ein neues Buch an|Wie fange ich ein neues Buch an?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eine persönliche Spielwiese erstellen|Eine persönliche Spielwiese erstellen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Einen Artikel bearbeiten|Einen Artikel bearbeiten]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispielartikel|Beispielartikel]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hilfreiche Links|Hilfreiche Links]] {{Symbol|50%}}

=== Zusammenarbeit ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Interaktion mit der Community|Interaktion mit der Community]]{{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Best Practices für Entscheidungsprozesse|Best Practices für Entscheidungsprozesse]]{{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Umfragen|Umfragen]]{{Symbol|100%}}
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=== Unser Arbeitsprozess ===

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{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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    <title>Traktorenlexikon: Massey Ferguson MF 8737</title>
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      <timestamp>2022-07-20T16:22:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <ip>84.161.222.99</ip>
      </contributor>
      <comment>/* Motor */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="2640" xml:space="preserve">{{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Massey Ferguson|HERSTELLER= Massey Ferguson}}
{{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox
| HERSTELLER = AGCO Massey Ferguson 
| MODELLREIHE = MF 8700
| MODELL = MF 8737
| BILD = 
| BILDBESCHREIBUNG = 
| BAUWEISE = 
| PRODUKTIONSBEGINN = 
| PRODUKTIONSENDE = 
| STÜCKZAHL = 
| EIGENGEWICHT = 10800
| LÄNGE = 
| BREITE = 
| HÖHE = 
| RADSTAND = 
| BODENFREIHEIT = 
| SPURWEITE = 
| SPURWEITE VORNE = 
| SPURWEITE HINTEN = 
| WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 
| WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 
| BEREIFUNG VORNE = 600/65R34
| BEREIFUNG HINTEN = 710/75R42
| LEISTUNG KW = 300
| LEISTUNG PS = 400
| NENNDREHZAHL = 
| ZYLINDER = 6
| HUBRAUM = 8400
| DREHMOMENTANSTIEG = 
| KRAFTSTOFF = Diesel und AdBlue
| KÜHLSYSTEM = 
| ANTRIEBSTYP = Allrad
| GETRIEBE = DynaVT
| HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 50
| KATEGORIESORTIERUNG = 
}}

Der MF 8737 war bis zur nachträglichen Einführung des [[Traktorenlexikon: Massey Ferguson MF 8740|MF 8740]] der Stärkste je gebaute Trakotr von [[Traktorenlexikon: Massey Ferguson|Massey Ferguson]].

==Motor==

Der Sechszylinder AGCO-Power Motor mit 8,4 Litern Hubraum leistet mit Elektronischem Power Management (EPM) 400 PS.

==Kupplung==

==Getriebe==

Der MF 8737 besitzt das Stufenlose DynaVT Getriebe.

==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts==

1. Geschwindigkeitsbereich (Feld): 0,03 – 28 km/h Vorwärts und 0,03 – 16 km/h Rückwärts

2. Geschwindigkeitsbereich (Straße): 0,03 – 50 km/h* Vorwärts und 0,03 – 38 km/h Rückwärts40 km/h Eco bei 1.400 U/min – 50 km/h* Eco bei 1.550 U/min

==Zapfwelle==

Zapfwellengeschindigkeiten: 540 Eco, 1000 und 1000 Eco
Frontzapfwelle: 1000

==Bremsen==

==Achsen==

==Lenkung==

==Hydrauliksystem und Kraftheber==

===Heckhydraulik===

Die Heckhydraulik, die mit Kat. 3 oder Kat. 4 ausgestattet werden kann, hebt 12000 Kilogramm. Die maximale Durchflussmenge des Hydrauliksystems liegt bei 205 Liter/min. Im Heck sind 6 Steuergeräte erhältlich.

===Fronthydraulik===

Die im Vorderachsblock integrierte Fronthydraulik (Kat. 3) stemmt 5000 Kilogramm. Es sind 2 Steuergeräte erhältlich.

==Elektrische Ausrüstung==

==Maße und Abmessungen==

==Bereifung==

Vorne: 600/65R34

Hinten: 710/75R42

==Füllmengen==

Der in den 630 Liter großen Dieseltank integrierte AdBlue Tank fasst 60 Liter.

==Verbrauch==

==Ausstattungsvarianten==

Es sind zwei Ausstattungsvarianten erhältlich: 

* Efficient

* Exclusive

==Kabine==

==Sonderausrüstung==

==Literatur &amp; Weblinks==
&lt;references /&gt;

{{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Massey Ferguson|HERSTELLER= Massey Ferguson}}</text>
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    <title>Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum</title>
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      <timestamp>2022-07-20T16:49:16Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sascha Lill 95</username>
        <id>82704</id>
      </contributor>
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      <comment>Rechtschreibkorrektur: &quot;definition&quot; -&gt; &quot;Definition&quot;</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32632" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
In diesem Artikel betrachten wir den ''Faktorraum'' &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; eines &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraums &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bezüglich eines Untervektorraums &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Der Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; ist ein Vektorraum, in dem wir wie in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bis auf Abweichungen in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rechnen können.

Der Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; wird auch häufig ''Quotientenraum'' genannt. 
== Einführung == 
===Rechnen mit Lösungen eines linearen Gleichungssystems===
Wir betrachten die Matrix
{{Formel|&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 1\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;}}
Wir wollen nun versuchen, für verschiedene Vektoren &lt;math&gt;b \in \R^2&lt;/math&gt; das lineare Gleichungssystem &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; zu lösen. Für &lt;math&gt;b_1 = (3,-7)^T&lt;/math&gt; erhalten wir beispielsweise &lt;math&gt;x_1 = (1,2,-4)^T&lt;/math&gt; als eine Lösung und für &lt;math&gt;b_2 = (1,2)^T&lt;/math&gt; beispielsweise &lt;math&gt;x_2 = (2,0,3)^T&lt;/math&gt; als eine Lösung. Das heißt, es gilt &lt;math&gt;Ax_1 = b_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;Ax_2 = b_2&lt;/math&gt;. Wir suchen nun eine Lösung für &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;. Dafür müssen wir das Gleichungssystem nicht erneut lösen, sondern können unsere bisherigen Lösungen verwenden, indem wir sie addieren. Dann haben wir &lt;math&gt;A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2&lt;/math&gt;, also ist &lt;math&gt;x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T&lt;/math&gt; ist eine Lösung von &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;.

Lösungen für das obige Gleichungssystem sind nicht eindeutig: Das Gleichungssystem &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; wird auch von &lt;math&gt;x_1' = (2,1,-4)^T&lt;/math&gt; gelöst und &lt;math&gt;Ax = b_2&lt;/math&gt; auch von &lt;math&gt;x_2' = (-1,3,3)^T&lt;/math&gt;.  Die Lösungen &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; sowie &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_2'&lt;/math&gt; unterscheiden sich voneinander: Es gilt &lt;math&gt;x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T&lt;/math&gt;. Die Unterschiede &lt;math&gt;(-1,1,0)^T&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(3,-3,0)^T&lt;/math&gt; sind beide Lösungen des (homogenen) Gleichungssystems &lt;math&gt;Ax = 0&lt;/math&gt;. Das heißt, sie liegen im Kern von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.{{todo| Kern einer Matrix verlinken}}
Das gilt auch im Allgemeinen: Sind &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; zwei verschiedene Lösungen von &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, so unterscheiden sie sich nur um ein Element im Kern von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, denn &lt;math&gt;A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0&lt;/math&gt;. Den Kern von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bezeichnen wir im Folgenden mit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Wir können diese allgemeine Regel auf die beiden Lösungen &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;Ax = b_1 + b_2&lt;/math&gt; anwenden. Damit sehen wir, dass die Differenz &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt.

Bei Skalaren &lt;math&gt;\lambda\in \R&lt;/math&gt; können wir genauso vorgehen: Wir haben eine Lösung &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; und wollen &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt; lösen, ohne neu zu rechnen. Wieder können wir eine Lösung erhalten, indem wir unsere bereits bestimmte Lösung &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; benutzen. Es gilt &lt;math&gt;A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1&lt;/math&gt;, also ist &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; eine Lösung. Für die zweite Lösung &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; funktioniert das auch: &lt;math&gt;x = \lambda x_1'&lt;/math&gt; ist eine Lösung von &lt;math&gt;Ax=\lambda b&lt;/math&gt;. Wieder ist der Unterschied zwischen &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda x_1'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Wir können also mit Lösungen von linearen Gleichungssystemen rechnen, um neue Lösungen zu finden. Dabei sind uns Unterschiede in &lt;math&gt;\ker(A)=U&lt;/math&gt; bei den Rechenergebnissen egal. Man sagt auch, die Vektoren sind ''modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;'' gleich, wenn sie sich nur um etwas in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; unterscheiden. Zum Beispiel sind die Lösungen &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; des Gleichungssystems &lt;math&gt;Ax=b_1+b_2&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; gleich. Beim Rechnen mit Lösungen von linearen Gleichungssystemen rechnen wir also modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.

Neben dem Fachbegriff ist „modulo“ ein schönes Synonym von „bis auf“ oder „bis auf etwas in“. Also sind zwei Vektoren &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; gleich, wenn sie bis auf etwas in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; gleich sind, d.h. wenn es ein &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; gibt, so dass &lt;math&gt;v=v'+u&lt;/math&gt;. Das ist äquivalent dazu, dass die Differenz &lt;math&gt;v-v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt: Gilt &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;v=v'+u&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;u=v-v'\in U&lt;/math&gt;. Umgekehrt ist &lt;math&gt;v-v'=u\in U&lt;/math&gt;, wenn &lt;math&gt;v=v'+u&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt;.

=== Konstruktion des Faktorraums ===
In dem Beispiel haben wir in einem Vektorraum &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; gerechnet, die Ergebnisse aber nur bis auf Unterschiede in einem Unterraum &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; betrachtet. Wir haben Vektoren &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt; als gleich angesehen. Um das Rechnen bis auf etwas in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; zu formalisieren, identifizieren wir Vektoren, welche gleich modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; sind. Dafür konstruieren wir eine [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äquivalenzrelation|Äquivalenzrelation]] &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; und bilden &lt;math&gt;V/\sim&lt;/math&gt;. Wir definieren
{{Formel|&lt;math&gt;v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.&lt;/math&gt;}}
Diese Relation haben wir schon einmal gesehen, es ist die Relation mit der wir die Menge der [[Mathe für Nicht-Freaks: Nebenklassen eines Unterraums#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|Nebenklassen eines Unterraums]] definiert haben. Dort haben wir gesehen, dass &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; eine Äquivalenzrelation ist. Die Menge der Äquivalenzklassen haben wir mit &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; bezeichnet.

Nun wollen wir mit diesen Vektoren modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; rechnen, das heißt, wir wollen eine Vektorraumstruktur auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; definieren. Dafür definieren wir die Addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; und skalare Multiplikation &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Für &lt;math&gt;v+U, w+U \in V/U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; definieren wir
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w + U) &amp;:= (v+w) + U\\
\lambda \boxdot (v+U) &amp; := (\lambda \cdot v) + U
\end{align}&lt;/math&gt;}}
Die Vektorraumoperationen haben wir hierbei auf [[Mathe für Nicht-Freaks: Äquivalenzrelation#Anker:Äquivalenzklasse|Repräsentanten]] definiert. Das heißt, wir haben uns aus den involvierten Nebenklassen jeweils ein Element gesucht und mit Hilfe von diesen &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; definiert. Im Allgemeinen haben Nebenklassen jedoch verschiedene Repräsentanten. Es ist aber noch nicht klar, ob die Definitionen von &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; von der Wahl der Repräsentanten unabhängig sind. Andernfalls wäre die Definition nicht sinnvoll: Zum Beispiel könnte dann &lt;math&gt;v,w,v',w'\in V&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v+U=v'+U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w+U=w'+U&lt;/math&gt; sein, aber &lt;math&gt;(v+w)+U\neq (v'+w')+U&lt;/math&gt;.

Das heißt, wir müssen zeigen, dass diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Diesen Beweis führen wir weiter unten. Die Eigenschaft, dass die Definition nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, nennt man Wohldefiniertheit, weil wir zeigen müssen, dass die Definition, die wir hingeschrieben haben, auch ein eindeutiges mathematisches Objekt liefert. Das tun wir [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|weiter unten]].

Wir müssen auch noch zeigen, dass &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; mit dieser Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist.  Auch das werden wir weiter [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|unten sehen]].

== Definition ==
Im vorherigen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie ein Vektorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; aussehen kann, dessen Vektorraumstruktur dem Rechnen modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; entspricht.
Die Elemente von &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; sind die Nebenklassen &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. Die Vektorraumstruktur wollen wir über die Repräsentanten definieren. Achtung: Wir müssen noch die ''Wohldefiniertheit'' beweisen, d.h. dass das Ergebnis der Addition bzw. skalaren Multiplikation nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt. Das machen wir in [[#Anker:Wohldefiniertheit|diesem Abschnitt]].

Um die Addition und Skalarmultiplikation auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; von der auf &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; zu unterscheiden, bezeichnen wir die Operationen auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; in diesem Artikel mit „&lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;“ und „&lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;“. Andere Artikel und Quellen verwenden meist „&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;“ und „&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;“ für die Vektorraumoperationen.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Faktorraum bzw. Quotientenraum
 |definition=
Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; ein Untervektorraum von  &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; und 

{{Formel|&lt;math&gt;V/U = \{v + U\mid v \in V\}&lt;/math&gt;}}

die Menge der [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Nebenklassen_eines_Unterraums|Nebenklassen]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Weiter seien &lt;math&gt;v,w \in V&lt;/math&gt;. 

Wir definieren die ''Addition'' in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; durch:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\
&amp;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 

Analog definieren wir die ''skalare Multiplikation'' auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; als:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\
&amp;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 
}}
=== Erklärung zur Definition ===
Wir haben die Addition und Skalarmultiplikation auf dem Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; definiert. Aber was genau bedeuten die Formeln &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U&lt;/math&gt;? Um die Addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; zu definieren, brauchen wir zwei Vektoren aus &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Vektoren in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; sind Nebenklassen, haben also die Form &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w+U&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt;. Die Addition dieser Vektoren &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U)&lt;/math&gt; können wir berechnen, indem wir erst &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;v+w&lt;/math&gt; addieren und anschließend die zugehörige Nebenklasse &lt;math&gt;(v+w)+U&lt;/math&gt; bilden: 
{{Formel|&lt;math&gt;{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{Nebenklasse}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{Nebenklasse}}}}_{\text{Addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{Addition in } V} } +U}_{\text{Nebenklasse}}}
&lt;/math&gt;}}
Die skalare Multiplikation funktioniert ähnlich: Für ein Skalar &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; und eine Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; wollen wir &lt;math&gt;\lambda\boxdot (v+U)&lt;/math&gt; definieren. Dafür berechnen wir erst das Skalarprodukt &lt;math&gt;\lambda\cdot v&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; und bilden danach die Nebenklasse dieses Vektors &lt;math&gt;(\lambda\cdot v)+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;
{\color{OliveGreen}\underbrace{
\lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{Nebenklasse}}}}_{\text{Skalare Multiplikation in } V/U }}
= 
{\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{Skalare Multiplikation in }V} }+U}_{\text{Nebenklasse}}  }
&lt;/math&gt;}}
Wir berechnen also erst die Addition bzw. skalare Multiplikation der Repräsentanten in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; und bilden anschließend die Nebenklasse. Man sagt: Die Vektorraumstruktur auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; ist die von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; „induzierte“ Vektorraumstruktur.
=== Wohldefiniertheit der Operationen im Faktorraum {{Anker|Wohldefiniertheit}} ===
Wir wollen  prüfen, ob die Operationen von &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; von der Wahl von Repräsentanten unabhängig – also wohldefiniert – sind.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum
 |satz=Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U\subseteq
V&lt;/math&gt; ein Untervektorraum.
Dann sind die Addition in und skalare
Multiplikation auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; wohldefiniert.
 |beweis=
Für die Wohldefiniertheit müssen wir Folgendes zeigen:
Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten derselben Nebenklasse einsetzen,
erhalten wir das gleiche Ergebnis.
Mathematisch bedeutet dies, dass wir Folgendes zeigen müssen:
* Für &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;: Sind &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w + U = w' + U&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;(v + w) + U = (v' + w') + U&lt;/math&gt;.
* Für &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;: Sind &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Wohldefiniertheit der Addition
 |beweisschritt= Per Definition von [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Nebenklassen_eines_Unterraums|Nebenklassen]] müssen wir zeigen,
dass &lt;math&gt;(v+w) - (v' + w') \in U&lt;/math&gt; gilt.
Wegen &lt;math&gt;(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')&lt;/math&gt; ist dies äquivalent dazu,
dass &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Nun repräsentieren &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w'&lt;/math&gt; die jeweils gleiche Nebenklasse modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Also ist &lt;math&gt;v-v', w-w' \in U&lt;/math&gt;.
Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, folgt &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Also ist die Definition von &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation
 |beweisschritt=Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; sehen
wir genauso:
Wir müssen in obiger Notation zeigen,
dass &lt;math&gt;\lambda\cdot v - \lambda\cdot v'  = \lambda\cdot (v-v') \in U&lt;/math&gt; gilt.
Da &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; die gleiche Nebenklasse modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; repräsentieren,
ist per Definition von Nebenklassen &lt;math&gt;v-v' \in U&lt;/math&gt;.
Weil &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum ist,
gilt folglich &lt;math&gt;\lambda\cdot(v-v') \in U&lt;/math&gt;.
Also ist die skalare Multiplikation unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.
}}
}}

===Beweis der Vektorraumaxiome===

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum ist, indem wir die Axiome für &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; auf die für &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum
 |aufgabe=Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; ein Untervektorraum, dann ist &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; mit den oben definierten Verknüpfungen ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum
 |lösung=
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Eigenschaften der kommutativen, additiven Gruppe (auch [[w:abelsche   Gruppe|abelsche Gruppe]] genannt)
 |beweisschritt=
Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien &lt;math&gt;v,w,z \in V&lt;/math&gt;.

'''1. Assoziativität:''' 

Wir führen zurück auf die Assoziativität in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align} 
(v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &amp;=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em]
&amp;= (v+(w+z))+U  \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Assoziativität im Vektorraum } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+z)+U \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em]
&amp;= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Kommutativität'''

Auch die Kommutativität führen wir zurück auf die in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w+U) &amp;=(v+w)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kommutativität im Vektorraum }V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (w+v)+U \\[0.3em]
&amp;= (w+U) \boxplus (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''3. Existenz des neutralen Elements'''

Da wir Verschiebungen von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; betrachten, sollte &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; (als Nebenklasse &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;), das neutrale Element bezüglich der Addition sein. Wir führen zurück auf die Neutralität von &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U&lt;/math&gt;}}

'''4. Existenz inverser Elemente'''

Wir betrachten die Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. Für das zu &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; inverse Element &lt;math&gt;v'+U&lt;/math&gt; muss gelten: 

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.&lt;/math&gt;}}

Die Addition eines Elements mit seinem Inversen liefert also das neutrale Element &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;. 

Wir führen das Inverse von &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; auch wieder zurück auf Inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; ein Repräsentant von &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(-v)&lt;/math&gt; sein Inverses in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann gilt:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.&lt;/math&gt;}}
Das zu &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; inverse Element ist also &lt;math&gt;-v+U&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Distributivgesetze
 |beweisschritt=
'''1. Skalares Distributivgesetz'''

Für die Multiplikation eines Vektors (im Faktorraum also einer Nebenklasse) mit der Summe von Skalaren gilt: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Distributivgesetz im Vektorraum } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em]
&amp;= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}

'''2. Vektorielles Distributivgesetz'''

Genauso können wir zeigen, dass auch das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Vektoren (d.h. im Faktorraum Nebenklassen) gilt: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lambda  \boxdot (v+U \boxplus w+U) &amp;= \lambda  \boxdot (v+w)+U \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Distributivgesetz im Vektorraum } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
|ziel=Eigenschaften der Skalarmultiplikation
|beweisschritt=
Wir zeigen jetzt, dass die skalare Multiplikation von Nebenklassen auch die entsprechenden Vektorraumaxiome erfüllt, wieder durch Zurückführung auf die entsprechenden Eigenschaften der skalaren Multiplikation in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dazu seien &lt;math&gt;\lambda, \mu \in K&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v,
w \in V&lt;/math&gt;. Dann gelten folgende Axiome: 

'''1. Assoziativgesetz für Skalare'''

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda  \cdot \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Assoziativgesetz im Vektorraum } V \right.}\\
&amp;= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\
&amp;=\lambda \boxdot  ((\mu v)+U)\\
&amp;=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U))
\end{align}&lt;/math&gt;}}
gilt. 

'''2. Neutrales Element der skalaren Multiplikation'''

Wir wollen nachweisen, dass &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; auch für &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; das neutrale Element ist. 
Das heißt es muss &lt;math&gt;1 \boxdot (v+U)=v+U&lt;/math&gt; gelten. Mit Zurückführung auf die Neutralität von 1 in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; erhalten wir: Wegen &lt;math&gt;1\cdot v = v&lt;/math&gt; ist 
{{Formel|&lt;math&gt;1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U&lt;/math&gt;}}
Also ist &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; das
neutrale Element der skalaren Multiplikation und &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum.
}}}}

== Beispiele ==
=== Satellitenbilder ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
  |titel=Satellitenbilder
  |beispiel=
[[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline von New York]]
[[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellitenbild von New York]]

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York. 

Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir Informationen aus drei Dimensionen in zwei Dimensionen projizieren. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. 

Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes. 

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Faktorraum des &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt; modulo der &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse vorstellen. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse liegen, werden dabei miteinander identifiziert und jede solche Äquivalenzklasse entspricht einem Bildpunkt auf dem Satellitenbild.


}}

=== Beispiel im endlichen Vektorraum ===
Oben haben wir uns ein anschauliches Beispiel angeschaut. Im zweiten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns ein abstrakteres Zahlenbeispiel an. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Quotientenraum in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;
 |beispiel=
Im [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|Vektorraum-Artikel]] haben wir gesehen, wie wir uns &lt;math&gt;(\Z/5\Z)^2&lt;/math&gt; als Gitterpunkte auf einem [[w:Torus|Torus]] vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns &lt;math&gt;(\Z/3\Z)^2&lt;/math&gt; ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen:

Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt:
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
[[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt.
Damit erhalten wir &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild:
[[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualisierung eines zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper mit drei Elementen auf einem Torus]]

Der von &lt;math&gt;(1, 1)^T&lt;/math&gt; erzeugte Unterraum &lt;math&gt;U \subseteq (\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;, entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke.
[[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualisierung eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;+(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;-(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus:
[[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualisierung der Nebenklassen eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten:

# Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist &lt;math&gt;{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}&lt;/math&gt;.

Wenn wir die Nebenklassen von &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; vollständig beschrieben.
}}

== Zusammenhang Faktorraum und Komplement ==
Im Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; rechnen wir mit Vektoren in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bis auf Abweichungen in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Anteile in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Anker:Komplement UVR|Komplement]]. Ein Komplement eines Unterraums &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; ist ein Unterraum &lt;math&gt;W\subseteq V&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;U\oplus W=V&lt;/math&gt; gilt. Hierbei bezeichnet &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; die [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Direkte_Summe#Direkte_Summe_von_Vektorr%C3%A4umen|innere direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\oplus W=U+W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Ein Vektor &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; lässt sich dann eindeutig schreiben als &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;. Das Komplement selbst muss aber [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Nichteindeutigkeit_von_Komplementen|nicht eindeutig]] sein! Es kann verschiedene Unterräume &lt;math&gt;W,W'\subseteq V&lt;/math&gt; geben, mit &lt;math&gt;U\oplus W=V=U\oplus W'&lt;/math&gt;. 

Beim Faktorraum &quot;vergessen&quot; wir den Anteil von &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;, der in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf die Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V\to V/U, \quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
Ist &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt; für eindeutige &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, dann können wir analog den &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-Teil vergessen, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf den &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;-Teil &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w&lt;/math&gt;}}
Anscheinend ähneln sich &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und ein Komplement &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;. Können wir die beiden Vektorräume &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; identifizieren, d.h. sind sie [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Isomorphismus_(Lineare_Algebra)|isomorph]]? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |satz=Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann ist die Projektion &lt;math&gt;f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U&lt;/math&gt; ein linearer Isomorphismus zwischen &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; und dem Quotientenraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.
 |beweis=
Wir wollen zeigen, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear, d.h. mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich, und bijektiv ist.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Linearität von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Da &lt;math&gt;W \subseteq V&lt;/math&gt; ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt, es gilt für &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v, w \in W&lt;/math&gt;
{{Formel|&lt;math&gt;f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)&lt;/math&gt;}}
sowie
{{Formel|&lt;math&gt;f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Surjektivität von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Sei &lt;math&gt;v + U \in V/U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement zu &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist, finden wir &lt;math&gt;u \in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w \in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v = u+w&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{formel|&lt;math&gt;f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,&lt;/math&gt;}}
wobei wir in &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; benutzt haben, dass &lt;math&gt;(w+u)-w=u\in U&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w+U=(w+u)+U&lt;/math&gt; gilt. Also ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; surjektiv.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Injektivität von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Wir zeigen &lt;math&gt;\ker(f)=\{0\}&lt;/math&gt;. Sei dafür &lt;math&gt;w\in\ker(f)&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Also gilt &lt;math&gt;w+U=f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;w=w-0\in U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ist, gilt &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;w\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, folgt &lt;math&gt;w\in U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w=0&lt;/math&gt;.
}}
}}
Wir haben gesehen, dass &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; isomorph zu jedem beliebigen Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten &lt;math&gt;U\oplus V/U=V&lt;/math&gt;. Doch Achtung: Weil &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; kein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; bilden.
Wir können aber stattdessen die [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äußere_direkte_Summe|''äußere'' direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; betrachten:
{{Formel|&lt;math&gt;U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}&lt;/math&gt;}}
Dies kann zwar nicht gleich &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; sein, aber isomorph zu &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Das werden wir nun zeigen. 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=&lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;
 |satz=Sei &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum eines &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraums &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann gilt &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;. 
 |beweis= 
Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U+W=V&lt;/math&gt;. Aus dem [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|vorherigen Satz]] wissen wir, dass die Abbildung
{{Formel|&lt;math&gt;f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist. Wir zeigen damit zunächst, dass
{{Formel|&lt;math&gt;g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist, wobei hier &lt;math&gt;U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}&lt;/math&gt; die ''äußere'' direkte Summe bezeichnet.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; ist linear
 |beweisschritt= Es gilt &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;. Damit folgt direkt, dass &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; linear ist, da Addition und skalare Multiplikation auf &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; komponentenweise definiert sind und &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear sind.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; ist bijektiv
 |beweisschritt= Das folgt ebenfalls aus &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;, da die Identität &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bijektiv sind.
}}
Wir haben also &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong U\oplus W&lt;/math&gt;. Nach '''diesem Satz''' ist die innere direkte Summe der Unterräume &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; isomorph zu ihrer äußeren direkten Summe. Also gilt &lt;math&gt;V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U&lt;/math&gt;, wobei mit &lt;math&gt;U\oplus_I W&lt;/math&gt; die innere direkte Summe von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; gemeint ist.
{{todo|&quot;diesem Satz&quot; zum passenden Satz verlinken}}
}}

== Aufgaben ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Die Projektion ist linear
 |aufgabe=Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; ein Unterraum. Zeige, dass die kanonische Projektion
{{Formel|&lt;math&gt;\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
linear ist.
 |lösung=
Seien &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; beliebig. Wir schreiben wieder &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; für die Vektorraumstruktur auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Es gilt
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
  &amp; \pi(\lambda v+w) \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\  \text{Definition von }\pi   \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda v+w)+U \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\boxplus \right.} \\[0.3em]
= &amp; ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\boxdot  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Definition von }\pi  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w).
\end{align}&lt;/math&gt;}}
Also ist &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; linear.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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    <title>Mathematrix: MA TER/ Theorie/ Geometrische Konstruktionen</title>
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      <timestamp>2022-07-20T17:57:10Z</timestamp>
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        <username>Petrus3743</username>
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      <comment>/* Die Klassische Probleme der antiken Mathematik */ Beschreibung mit 2 Bilder</comment>
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      <text bytes="14098" xml:space="preserve">{{:Mathematrix: Vorlage: Oben}}
&lt;onlyinclude&gt;
=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias''. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Ziehe einen Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;.
# Ziehe eine Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
# Errichte die Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; und bestimme die Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.
# Errichte die Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet.
# Ziehe eine Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet. 
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade; dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;.
# Verdopple die Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.
# Zeichne einen Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;.
# Ziehe abschließend eine Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;.

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\frac{355}{113}&lt;/math&gt; zu erreichen ist.

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um seinen Mittelpunkt &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge und verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus.
# Ziehe die Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt;
# Ziehe einen Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F.&lt;/math&gt;
# Halbiere die Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;G.&lt;/math&gt;
# Verbinde &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C,&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H.&lt;/math&gt;
# Bestimme den Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r.&lt;/math&gt; 
# Verbinde &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:''' Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
*{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}
*{{w|Konstruktion mit Zirkel und_Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}
*{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}
*{{w|Quadratrix des Hippias}}
*{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Gemetrie}}
*{{w|Nachkommastelle}}
*{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}

==== Die Dreiteilung des Winkels====
===== Dreiteilung des Winkels die Aufgabe=====
===== Dreiteilung des Winkels Versuche=====
==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
{{:Mathematrix: Vorlage: Unten}}</text>
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        <username>Petrus3743</username>
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      <comment>/* Näherungskonstruktion */ 1Link ergänzt</comment>
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&lt;onlyinclude&gt;
=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias''. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Ziehe einen Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;.
# Ziehe eine Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
# Errichte die Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; und bestimme die Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.
# Errichte die Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet.
# Ziehe eine Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet. 
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade; dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;.
# Verdopple die Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.
# Zeichne einen Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;.
# Ziehe abschließend eine Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;.

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\frac{355}{113}&lt;/math&gt; zu erreichen ist.

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um seinen Mittelpunkt &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge und verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus.
# Ziehe die Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt;
# Ziehe einen Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F.&lt;/math&gt;
# Halbiere die Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;G.&lt;/math&gt;
# Verbinde &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C,&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H.&lt;/math&gt;
# Bestimme den Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r.&lt;/math&gt; 
# Verbinde &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:''' Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
*{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}
*{{w|Konstruktion mit Zirkel und_Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}
*{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}
*{{w|Quadratrix des Hippias}}
*{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Gemetrie}}
*{{w|Nachkommastelle}}
*{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}
*{{w|Quadratur des Kreises#Konstruktion von Jacob de Gelder|Konstruktion von Jacob de Gelder}}

==== Die Dreiteilung des Winkels====
===== Dreiteilung des Winkels die Aufgabe=====
===== Dreiteilung des Winkels Versuche=====
==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
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        <username>Petrus3743</username>
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      <comment>/* Weblinks */ besser ohne Aufzählungspunkte</comment>
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=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias''. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Ziehe einen Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;.
# Ziehe eine Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
# Errichte die Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; und bestimme die Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.
# Errichte die Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet.
# Ziehe eine Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet. 
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade; dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;.
# Verdopple die Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.
# Zeichne einen Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;.
# Ziehe abschließend eine Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;.

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\frac{355}{113}&lt;/math&gt; zu erreichen ist.

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um seinen Mittelpunkt &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge und verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus.
# Ziehe die Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt;
# Ziehe einen Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F.&lt;/math&gt;
# Halbiere die Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;G.&lt;/math&gt;
# Verbinde &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C,&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H.&lt;/math&gt;
# Bestimme den Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r.&lt;/math&gt; 
# Verbinde &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:''' Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}

{{w|Konstruktion mit Zirkel und_Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}

{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}

{{w|Quadratrix des Hippias}}

{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Gemetrie}}

{{w|Nachkommastelle}}

{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}

{{w|Quadratur des Kreises#Konstruktion von Jacob de Gelder|Konstruktion von Jacob de Gelder}}

==== Die Dreiteilung des Winkels====
===== Dreiteilung des Winkels die Aufgabe=====
===== Dreiteilung des Winkels Versuche=====
==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
{{:Mathematrix: Vorlage: Unten}}</text>
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&lt;onlyinclude&gt;
=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
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&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias''. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Ziehe einen Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;.
# Ziehe eine Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
# Errichte die Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; und bestimme die Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.
# Errichte die Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet.
# Ziehe eine Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet. 
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade; dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;.
# Verdopple die Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.
# Zeichne einen Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;.
# Ziehe abschließend eine Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;.

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\tfrac{355}{113}&lt;/math&gt; zu erreichen ist.

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um seinen Mittelpunkt &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge und verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus.
# Ziehe die Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt;
# Ziehe einen Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F.&lt;/math&gt;
# Halbiere die Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;G.&lt;/math&gt;
# Verbinde &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C,&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H.&lt;/math&gt;
# Bestimme den Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r.&lt;/math&gt; 
# Verbinde &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:''' Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}

{{w|Konstruktion mit Zirkel und_Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}

{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}

{{w|Quadratrix des Hippias}}

{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Gemetrie}}

{{w|Nachkommastelle}}

{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}

{{w|Quadratur des Kreises#Konstruktion von Jacob de Gelder|Konstruktion von Jacob de Gelder}}

==== Die Dreiteilung des Winkels====
===== Dreiteilung des Winkels die Aufgabe=====
===== Dreiteilung des Winkels Versuche=====
==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
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      <contributor>
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      <comment>/* Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik */ Ergänzung zum Beweis + 1 Link</comment>
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=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen (Beweis 1882 durch Ferdinand von Lindemann) als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias''. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Ziehe einen Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;.
# Ziehe eine Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
# Errichte die Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; und bestimme die Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.
# Errichte die Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet.
# Ziehe eine Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet. 
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade; dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;.
# Verdopple die Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.
# Zeichne einen Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;.
# Ziehe abschließend eine Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;.

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\tfrac{355}{113}&lt;/math&gt; zu erreichen ist.

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um seinen Mittelpunkt &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge und verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus.
# Ziehe die Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt;
# Ziehe einen Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F.&lt;/math&gt;
# Halbiere die Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;G.&lt;/math&gt;
# Verbinde &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C,&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H.&lt;/math&gt;
# Bestimme den Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r.&lt;/math&gt; 
# Verbinde &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:''' Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}

{{w|Quadratur des Kreises#Beweis der Unmöglichkeit|Beweis der Unmöglichkeit}}

{{w|Konstruktion mit Zirkel und_Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}

{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}

{{w|Quadratrix des Hippias}}

{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Gemetrie}}

{{w|Nachkommastelle}}

{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}

{{w|Quadratur des Kreises#Konstruktion von Jacob de Gelder|Konstruktion von Jacob de Gelder}}

==== Die Dreiteilung des Winkels====
===== Dreiteilung des Winkels die Aufgabe=====
===== Dreiteilung des Winkels Versuche=====
==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
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      <comment>/* Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik */ Beweis der Unmöglichkeit in &quot;Die Quadratur des Kreises&quot;</comment>
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=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die Unmöglichkeit einer solchen Konstruktion. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias''. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Ziehe einen Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;.
# Ziehe eine Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
# Errichte die Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; und bestimme die Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt;.
# Errichte die Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet.
# Ziehe eine Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet. 
# Ziehe den Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade; dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;.
# Verdopple die Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.
# Zeichne einen Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;.
# Ziehe abschließend eine Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;.

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\tfrac{355}{113}&lt;/math&gt; zu erreichen ist.

'''Vorgehensweise'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um seinen Mittelpunkt &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Zeichne das Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge und verlängere die Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus.
# Ziehe die Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt;
# Ziehe einen Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F.&lt;/math&gt;
# Halbiere die Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;G.&lt;/math&gt;
# Verbinde &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C,&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H.&lt;/math&gt;
# Bestimme den Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r.&lt;/math&gt; 
# Verbinde &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K.&lt;/math&gt;
# Zeichne eine Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L.&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:''' Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}

{{w|Quadratur des Kreises#Beweis der Unmöglichkeit|Beweis der Unmöglichkeit}}

{{w|Konstruktion mit Zirkel und_Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}

{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}

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{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Gemetrie}}

{{w|Nachkommastelle}}

{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}

{{w|Quadratur des Kreises#Konstruktion von Jacob de Gelder|Konstruktion von Jacob de Gelder}}

==== Die Dreiteilung des Winkels====
===== Dreiteilung des Winkels die Aufgabe=====
===== Dreiteilung des Winkels Versuche=====
==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
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      <comment>/* Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik */ kleine Korrekturen, Beschreibungen vereinfacht;  /* Die Dreiteilung des Winkels */ Beschreibung mit 4 Bilder und div. Links</comment>
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=== Dreieckskonstruktionen===
==== Dreieckskonstruktionen Einführung====
Ein Dreieck ist eine geschlossene ebene Figur mit drei Strecken als Seiten. Die Dreieckkonstruktion ist von selber aus eine Herausforderung und ein Weg, einige Fertigkeiten zu üben. Sie gilt als Vorbereitung und Einführung allgemein für die Geometrie. Ziel ist ein Dreieck mit drei vorgegebenen Größen nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren. Solche Konstruktionen waren sehr beliebt schon in der Antike. Wichtig ist zu wissen, dass die Summe aller Winkel genau 180° und jeder Winkel kleiner als 180° ist und dass keine Seite größer als die Summe der anderen zwei sein darf.

Es gibt vier verschiedenen Aufgabensorten, je nachdem, was gegeben ist. Wenn drei Seiten gegeben sind, dann spricht man von der SSS (Seite-Seite-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und der dazwischen liegender Winkel gegeben sind, spricht man von der SWS (Seite-Winkel-Seite) Konstruktion. Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen den Seiten liegt, gegeben sind, dann spricht man von der SSW Konstruktion (Seite-Seite-Winkel). Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, dann spricht man von der WSW Konstruktion (Winkel-Seite-Winkel).

&lt;big&gt;'''Konventionen'''&lt;/big&gt;

Die Seiten jedes Dreiecks werden klein geschrieben (mit a, b und c). Die gegenüber liegenden Eckpunkte werden entsprechend groß geschrieben mit (A, B und C). Für die entsprechenden Winkel werden die griechischen klein Buchstaben α, β und γ benutzt (Alpha, Beta und Gamma). Also, wenn A der Eckpunkt ist, ist der Winkel an diesem Punkt α und die gegenüberliegende Seite a. Man zeichnet die Seiten nacheinander im Gegenuhrzeigersinn. Unten zeichnet man i.d.R. die Seite a&lt;ref&gt;&lt;small&gt;Diese Konventionen werden i.d.R. in den Schulbüchern verwendet (und oft von Lehrern erwartet). Selbstverständlich darf (und kann) man irgendwelche andere (mehr oder weniger kongruenten) Symbole benutzen (außer wenn die Lehrperson das nicht erlaubt; so eine Haltung werde ich allerdings hier nicht kommentieren...).&lt;/small&gt;&lt;/ref&gt;.
&lt;references/&gt;
==== SSS Konstruktion====
Wenn drei Seiten gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSS-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
[[Datei:01-Dreieck-SSS.gif|links|700px]]
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
==== SWS Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und der Winkel dazwischen gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SWS.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== SSW Konstruktion====
Wenn zwei Seiten und ein Winkel, der nicht zwischen diesen Seiten steht, gegeben sind, geht man wie in den folgenden Bildern vor. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW-8.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-SSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

==== WSW Konstruktion====
Wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind, gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn die zwei Winkel am Rand der gegebenen Seite stehen, dann geht man wie in den folgenden Bildern vor. Wenn einer der gegebenen Winkel, der Winkel gegenüber der gegebenen Seite ist, dann berechnet man erst den dritten Winkel (180°− die anderen beiden Winkel) und geht dann vor, wie in den folgenden Bildern. Die Schritte sieht man am Rand jedes Bildes.
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;

&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-1.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-2.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-3.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-4.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-5.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-6.svg|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW-7.svg|links|500px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
Die ganzen Schritten kann man in der folgenden Animation sehen:
&lt;div class=&quot;tleft&quot; style=&quot;clear:none&quot;&gt;[[Datei:01-Dreieck-WSW.gif|links|700px]]&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;clear:both;&quot;&gt;&lt;/div&gt;


&lt;small&gt;Herzlichem Dank an [[Benutzer:Petrus3743|Petrus3743]], der die Seite vorbereitet hat und die Erlaubnis gegeben hat, sie hier zu benutzen. Für weitere Konstruktionen kann man seinem Link folgen&lt;/small&gt;

=== Die Klassischen Probleme der antiken Mathematik===
Als '''Die drei antiken Probleme''' oder '''Klassische Probleme der antiken Mathematik''' werden bezeichnet:
* die Quadratur des Kreises
* die Dreiteilung des Winkels
* die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen als sogenannte ''Konstruktion mit Zirkel und Lineal'' nicht (exakt) lösbar. Lässt man jedoch ein weiteres Hilfsmittel zu, sind exakte Lösungen machbar. Im Folgenden werden Konstruktionen mit Hilfsmitteln, wie z.&amp;nbsp;B. ein Lineal mit Markierung des relevanten Wertes, die Verwendung von Kurven sowie Näherungskonstruktionen (Approximationen) beschrieben. 

==== Die Quadratur des Kreises====
Die Quadratur des Kreises ist eines der bekanntesten Probleme aus der Geometrie der Antike. Viele Mathematiker und Laien versuchten vergeblich eine exakte Lösung allein mit Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) zu finden. Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die Unmöglichkeit einer solchen Konstruktion. Sie ist äquivalent (gleichwertig) mit der ''Rektifikation des Kreises'', bei der man versucht konstruktiv den Kreisumfang als gerade Strecke darzustellen.

In vielen Ländern ist ''Quadratur des Kreises'' der Begriff für eine unlösbare Aufgabe. 
   
===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' ein Quadrat zu konstruieren, dessen Flächeninhalt gleich dem Flächeninhalt eines vorgegebenen Kreises ist. Die Länge der Seite des gesuchten Quadrates ist gleich &lt;math&gt;r \cdot\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;; darin ist &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; der Radius des vorgegebenen Kreises.

===== Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias ===== 
Für die Rektifikation des Kreises fand der griechische Sophist Hippias von Elis (um 350 v. Chr.) die nach ihm benannte Kurve ''Quadratrix des Hippias'' als zusätzliches Konstruktionsmittel. Darstellbar ist diese Kurve z.&amp;nbsp;B. mit einer ''Software für Dynamische Geometrie'' (wie die nebenstehende Zeichnung), als Ausdruck der Kurve auf Papier oder als eine maschinell angefertigte Schablone.

Im kartesischen Koordinatensystem wird die Quadratrix (&lt;math&gt;a=1&lt;/math&gt;) beschrieben durch die Gleichung:
::&lt;math&gt; x=y \cdot \cot \left(\frac{\pi}{2a} \cdot y \right)&lt;/math&gt;

'''Konstruktionsschritte'''
[[Datei:01-Quadratur des Kreises-Quadratrix.svg|500px|rechts]]

# Keis mit Radius &lt;math&gt;\overline{AB}=a=1 &lt;/math&gt;
# Halbgerade ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; 
# Senkrechte &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
# Quadrat &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt; sowie Quadratrix (rote Linie) durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; nach obiger Formel; dabei ergibt sich der Punkt &lt;math&gt;F =\tfrac{2}{\pi}&lt;/math&gt;
# Strecke &lt;math&gt;\overline{AC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; verlängern
# Senkrechte zu &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; mit Fußpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; bis sie den Kreis in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; schneidet
# Linie von &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;, bis sie die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; schneidet 
# Kreisbogen mit Radius &lt;math&gt;\overline{AH}&lt;/math&gt; bis auf die Halbgerade, dabei ergibt sich der Schnittpunkt &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt;
# Strecke &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; verdoppeln; dabei ergibt sich der halbe Kreisumfang &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;
# Halbkreis über &lt;math&gt;\overline{A\pi}&lt;/math&gt;
# Abschließende Linie ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; bis auf die Verlängerung der Strecke &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt;

Somit ergibt sich mit &lt;math&gt;\overline{AI}=\sqrt{\pi}&lt;/math&gt; die gesuchte Seite des Quadrates, dessen Flächeninhalt exakt gleich dem des Kreises ist.

==== Näherungskonstruktion ====
Mit mehr oder weniger Konstruktionsaufwand kann jede gewünschte Genauigkeit, ausgedrückt z.B. als absoluten Fehler bezogen auf den Sollwert &lt;math&gt;\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;, erreicht werden. Die nun folgende weniger bekannte Näherung hat eine Genauigkeit die geringfügig besser ist als die, die mit dem Zu Chongzhi-Bruch &lt;math&gt;\tfrac{355}{113}&lt;/math&gt; (5. Jahrhundert) zu erreichen ist.

'''Konstruktionsschritte'''
[[Datei:01 Quadratur des Kreises E-8.svg|400px|rechts]] 

# Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um Mittelpunkt &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;
# Quadrat &lt;math&gt;MBCA&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; als Seitenlänge sowie Strecke &lt;math&gt;\overline{CB}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; hinaus verlängern
# Diagonale &lt;math&gt;\overline{MC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;D&lt;/math&gt;
# Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;\overline{AC},&lt;/math&gt; ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;E&lt;/math&gt;
# Halbkreis um &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; im Uhrzeigersinn, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;F&lt;/math&gt;
# Strecke &lt;math&gt;\overline{DE}&lt;/math&gt; halbieren in &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; verbinden, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;H&lt;/math&gt;
# Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; so bestimmen, dass &lt;math&gt;|FJ| = \overline{MC} = \sqrt{2}\cdot r&lt;/math&gt; 
# Punkt &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; berbinden, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;
# Parallele zu &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; bis Strecke &lt;math&gt;\overline{MB}&lt;/math&gt;, ergibt Schnittpunkt &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;
 
Wird die Strecke &lt;math&gt;\overline{KL}&lt;/math&gt; verdoppelt, ergibt dies die Seitenlänge &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;  eines Quadrates mit einem Flächeninhalt, der nahezu gleich dem des Kreises ist.

'''Fehlerbetrachtung'''

'''Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:'''&lt;br /&gt;
Konstruierte Seite des Quadrates '''a''' = 1,772453865554221... [LE]

Soll-Seite des Quadrates '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;\sqrt{\pi}\cdot 1 [LE] &lt;/math&gt; = 1,772453850905516... [LE]

Absoluter Fehler = '''a''' - '''a'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000014648705... = 1,4648...E-8 [LE]

Fläche des konstruierten Quadrates '''A''' = '''a'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ‭3,141592705518100‬... [FE]‬‬

Soll-Fläche des Quadrates '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = &lt;math&gt;{\pi}\cdot 1 [FE]&lt;/math&gt; =  3,141592653589793... [FE]

Absoluter Fehler = '''A''' - '''A'''&lt;sub&gt;s&lt;/sub&gt; = 0,000000051928307... = 5,1928...E-8 [FE]

'''Fazit:'''

Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \sqrt{\pi} &lt;/math&gt; bzw. sechs Nachkommastellen sind gleich denen von &lt;math&gt; \pi &lt;/math&gt;.
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler der Seite '''a''' ≈ 1,5 mm
* Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche '''A''' ≈ 5,2 mm&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;           

===== Weblinks =====
{{w|Quadratur des Kreises|Quadratur des Kreises}}

{{w|Quadratur des Kreises#Beweis der Unmöglichkeit|Beweis der Unmöglichkeit}}

{{w|Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktion mit Zirkel und Lineal}}

{{w|Hippias von Elis|Hippias von Elis}}

{{w|Quadratrix des Hippias}}

{{w|Dynamische Geometrie|Software für Dynamische Geometrie}}

{{w|Nachkommastelle}}

{{w|Zu Chongzhi#Bestimmung der Kreiszahl|Zu Chongzhi-Bruch}}

{{w|Quadratur des Kreises#Konstruktion von Jacob de Gelder|Konstruktion von Jacob de Gelder}}

==== Die Dreiteilung des Winkels ====
[[Datei:01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.svg|rechts|380px]]
[[Datei:01-Dreiteilung-des-Winkels-Bieberbach.gif|rechts|500px]]
Die Dreiteilung des Winkels ist ein klassisches Problem, für das bereits die alten Griechen (5. Jahrhundert v. Chr.) versuchten eine Lösung zu finden.    

===== Die Aufgabe =====
Die Aufgabe besteht darin, in ''endlich vielen Konstruktionsschritten'' einen beliebigen Winkel allein mit Zirkel und unskaliertem Lineal in drei gleich große Winkel zu teilen. Erst 1837 gelang Pierre-Laurent Wantzel der Beweis, dass dies unmöglich ist.

===== Konstruktion mithilfe eines rechtwinkligen dreieckigen Lineals =====
Eine bemerkenswerte einfache Lösung fand 1932 Ludwig Bieberbach mithilfe des – wie er ihn nannte – Rechtwinkelhaken als zusätzliches Konstruktionsmittel.

'''Konstruktionsschritte'''

(Die Animation hat am Ende 60 sek. Pause.)

# Kreis mit beliebigem Radius &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; um Mittelpunkt &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; 
# Erster Winkelschenkel &lt;math&gt;\overline{PB}&lt;/math&gt;
# Kreis um &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt;\overline{PA}&lt;/math&gt;
# Ersten Winkelschenkel &lt;math&gt;\overline{PB}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; verlängern, ergibt den Schnittpunkt &lt;math&gt;O&lt;/math&gt;
# Kreisbogen um &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt;\overline{PB}&lt;/math&gt;
# Zweiter Winkelschenkel &lt;math&gt;\overline{PC}&lt;/math&gt;, ergibt im Scheitel &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; den zu drittelnden Winkels &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;   
# Dreieckiges Lineal (z.B. ein Geodreieck) folgendermaßen auf die Zeichnung legen:
:: Der Scheitel des Winkels &lt;math&gt;90^\circ&lt;/math&gt; bestimmt auf dem Winkelschenkel &lt;math&gt;\overline{PC}&lt;/math&gt; den Punkt &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, eine Kathete des Dreiecks verläuft durch den Punkt &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; und die andere tangiert den Kreis um &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;. 
#&lt;li value=&quot;8&quot;&gt; Punkt &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; verbinden sowie Tangente ab &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; an den Kreis um &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
:: Somit zeigt sich der oben genannte ''Rechtwinkelhaken'' (rot). Der von den Strecken &lt;math&gt;\overline{OS}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\overline{PS}&lt;/math&gt; eingeschlossene Winkel ist exakt &lt;math&gt;\tfrac{\delta}{3}&lt;/math&gt;
#&lt;li value=&quot;9&quot;&gt; Parallele ab &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{OS}&lt;/math&gt;, dabei ergeben sich der Wechselwinkel oder Z-Winkel &lt;math&gt;\tfrac{\delta}{3}&lt;/math&gt; und der Punkt &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; auf dem Kreisbogen um &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; 
# Parallele ab &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;\overline{PD}&lt;/math&gt;, dabei ergibt sich der Berührungspunkt &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; der Tangente an den Kreis um &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;
# Abschließende Linie ab &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;E&lt;/math&gt;, bis sie den Kreisbogen um &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; schneidet  

Somit ist der Winkel &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; exakt gedrittelt, denn es gilt
:&lt;math&gt;\overline{PS} = 2\cdot\cos\left(\frac{\delta}{3}\right)&lt;/math&gt;

===== Näherungskonstruktion =====
Im Jahr 2011 sandte Chris Alberts eine außerordentlich gute Näherung einer Winkeldreiteilung an Rouben Rostamian (University of Maryland, Baltimore County).
Mit der im Folgenden beschriebenen stark vereinfachten Konstruktion wird folgendes erreicht:
* Ein großer Teil der Konstruktion liegt meist in der unteren Hälfte des Kreises &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt;. 
* Eine ''praktikable'' Dreiteilung des Winkels ab nahe &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;180^\circ&lt;/math&gt;. 
[[Datei:01 Dreiteilung des Winkels-180°-2.svg|rechts|550px]]
[[Datei:01 Dreiteilung des Winkels-180°-2-Animation.gif|rechts|550px]] 

'''Vorgehensweise'''

# Kreis &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt; mit beliebigem Durchmesser &lt;math&gt;\overline{AB}&lt;/math&gt; um Mittelpunkt &lt;math&gt;O.&lt;/math&gt;
# Winkelschenkel &lt;math&gt;\overline{OA}&lt;/math&gt; und Winkelschenkel &lt;math&gt;\overline{OC}&lt;/math&gt; schließen den Winkel &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; im Scheitel &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ein, &lt;math&gt;\overline{OB}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\overline{OC}&lt;/math&gt; den Ergänzungswinkel &lt;math&gt;\gamma.&lt;/math&gt;
# Kreis &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; um &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt;\tfrac{1}{3}\overline{OA}&lt;/math&gt;; die Verlängerung des Winkelschenkels &lt;math&gt;\overline{CO}&lt;/math&gt; schneidet Kreis &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;D.&lt;/math&gt;
# Durchmesser &lt;math&gt;\overline{EF}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\angle{EOA=45^\circ}&lt;/math&gt; und Verbindung des Punktes &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;E.&lt;/math&gt; 
# Punkt &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; auf Kreis &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; so, dass &lt;math&gt;|EG| = \overline{EO}.&lt;/math&gt;
# Strecke &lt;math&gt;\overline{OF}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; halbieren, die anschließende Mittelsenkrechte von &lt;math&gt;|GH|&lt;/math&gt; schneidet &lt;math&gt;\overline{OE}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;I,&lt;/math&gt; ergibt &lt;math&gt;|IG| = \overline{IH}.&lt;/math&gt;
# Parallele zu &lt;math&gt;\overline{ED}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; erreicht Kreis &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;J.&lt;/math&gt;
# Parallele zu &lt;math&gt;\overline{IJ}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;D,&lt;/math&gt; Punkt &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; darauf so, dass &lt;math&gt;\overline{JK}=\overline{JE}.&lt;/math&gt;
# Linie ab &lt;math&gt;J&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; erreicht Kreis &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;L,&lt;/math&gt; anschließend Linie ab &lt;math&gt;L&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;O.&lt;/math&gt;
# Parallele zu &lt;math&gt;\overline{LO}&lt;/math&gt; ab &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; erreicht Kreis &lt;math&gt;k_2&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;M.&lt;/math&gt;
# Strecke &lt;math&gt;\overline{KE}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; hinaus verlängern, Punkt &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; darauf so, dass &lt;math&gt;\overline{MN}=\overline{MD}.&lt;/math&gt;
# Linie ab &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; durch &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; erreicht Kreis &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;P.&lt;/math&gt;
# Bestimme Punkt &lt;math&gt;Q&lt;/math&gt; so, dass Winkel &lt;math&gt;POQ = 30^\circ,&lt;/math&gt; Verbindung &lt;math&gt;Q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ergibt den Winkel &lt;math&gt;AOQ = \beta.&lt;/math&gt;
# Mittelsenkrechte von &lt;math&gt;|CQ|&lt;/math&gt; schneidet &lt;math&gt;k_1&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;R,&lt;/math&gt; verbinde &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;O.&lt;/math&gt;
# Bestimme Punkt &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; so, dass Winkel &lt;math&gt;QOS = 120^\circ.&lt;/math&gt;
# Abschließende Verbindung &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;O&lt;/math&gt; ergibt Winkel &lt;math&gt;SOB = \delta.&lt;/math&gt;

* Der Winkel &lt;math&gt;AOQ=\beta&lt;/math&gt; ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels &lt;math&gt;AOC =\alpha.&lt;/math&gt;
* Der Winkel &lt;math&gt;SOB = \delta&lt;/math&gt; ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels &lt;math&gt;COB =\gamma.&lt;/math&gt;

'''Fehlerbetrachtung'''

Eine Fehleranalyse, ähnlich Chris Alberts' Konstruktion, ist nicht vorhanden. 

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten ''dreizehn'' Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt;, sprich, die Differenzwerte aus &lt;math&gt;\frac{\alpha}{3} - \beta&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\frac{\gamma}{3} - \delta,&lt;/math&gt; werden von GeoGebra stets mit &lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt; angezeigt.

Betrachtet man die Grafik in GeoGebra, in sehr kleinen Schritten, die zu- oder abnehmenden Winkelweiten des Winkels &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\delta&lt;/math&gt; mithilfe des ''Schiebereglers'' oder der Animation, ist vereinzelt eine max. Abweichung &lt;math&gt;1 \cdot 10^{-13}\mathrm{^\circ}&lt;/math&gt; vom SOLL-Wert &lt;math&gt;\frac{\alpha}{3}&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;\frac{\gamma}{3}&lt;/math&gt; ablesbar.

'''Fazit'''

Der in GeoGebra ablesbare Differenzwert von max. &lt;math&gt;1\cdot 10^{-13}\mathrm{^\circ}&lt;/math&gt; entspricht einem absoluten Fehler &lt;math&gt;F&lt;/math&gt; der&amp;nbsp;– nicht eingezeichneten&amp;nbsp;– Sehne &lt;math&gt;|AQ|&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;|BS|,&lt;/math&gt; der sich wie folgt ergibt:
:&lt;math&gt;F = 2\cdot \sin \left(\frac{1\cdot 10^{-13}\mathrm{^\circ}}{2} \right)= 0{,}000\;000\; 000\; 000\;001\; 745\ldots = 1{,}745\ldots\cdot 10^{-15}\;[\mathrm{LE}]&lt;/math&gt;

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Milliarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ≈ 56 Minuten, das ist etwas weniger als 7-mal die Entfernung Erde – Sonne), wäre der absolute Fehler der beiden&amp;nbsp;– nicht eingezeichneten&amp;nbsp;– Sehnen &lt;math&gt;|AQ|&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;|BS|&lt;/math&gt; ≈ 1,7 mm.

===== Weblinks =====
{{w|Dreiteilung des Winkels}}

{{w|Dreiteilung des Winkels#Beweis der Unmöglichkeit|Beweis der Unmöglichkeit}}

{{w|Winkel}}

{{w|Tangente}}

{{w|Winkel#Wechselwinkel oder Z-Winkel|Wechselwinkel oder Z-Winkel}}

{{commons|File:01 Dreiteilung des Winkels Chris Alberts.svg|Dreiteilung des Winkels von Chris Alberts}} 

{{w|GeoGebra}}

{{w|Lichtgeschwindigkeit}}

* [https://www.geogebra.org/m/jrnnqj85 Dreiteilung des Winkels, interaktiv] 

==== Die Würfelverdoppelung====
===== Würfelverdoppelung die Aufgabe=====
===== Würfelverdoppelung Versuche=====

=== Konstruktionen von regelmäßigen Vielecken===
==== Das Regelmäßige Fünfeck und der goldene Schnitt ====
&lt;/onlyinclude&gt;&lt;onlyinclude&gt;
&lt;/onlyinclude&gt;
{{:Mathematrix: Vorlage: Unten}}</text>
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    <title>Serlo: EN: Quotient space</title>
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      <timestamp>2022-07-20T16:31:51Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sascha Lill 95</username>
        <id>82704</id>
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      <comment>/* Construction of the quotient space */</comment>
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      <text bytes="31252" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
In this article we consider the ''quotient space'' &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; of a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with respect to a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. The quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space in which we can do computations as in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, up to an addition of arbitrary terms from &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.

== Introduction == 
===Computations with solutions of a linear system===
We consider the matrix
{{Formel|&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 1\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;}}
We now want to solve the linear system of equations &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; for different vectors &lt;math&gt;b \in \R^2&lt;/math&gt;. For example, taking &lt;math&gt;b_1 = (3,-7)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_1 = (1,2,-4)^T&lt;/math&gt; and for &lt;math&gt;b_2 = (1,2)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_2 = (2,0,3)^T&lt;/math&gt;. That is, &lt;math&gt;Ax_1 = b_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;Ax_2 = b_2&lt;/math&gt; hold. What is then the solution for &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;? To find this out, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;: We just have to add our previous solutions together, since &lt;math&gt;A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2&lt;/math&gt;. Thus, a solution to &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt; is given by &lt;math&gt;x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T&lt;/math&gt;.

The solution to the above system of equations is not unique. For instance, the system &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_1' = (2,1,-4)^T&lt;/math&gt; and the system &lt;math&gt;Ax = b_2&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_2' = (-1,3,3)^T&lt;/math&gt;. The solutions &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt;, as well as &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2'&lt;/math&gt; differ from each other. Their differences are &lt;math&gt;x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T&lt;/math&gt;. Both &lt;math&gt;(-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(3,-3,0)^T&lt;/math&gt; are solutions to the (homogeneous) linear system &lt;math&gt;Ax = 0&lt;/math&gt;. That is, they lie in the ''kernel'' of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.{{todo| Link kernel of a matrix}}
This &quot;kernel property&quot; is true in general: if &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; are two different solutions of &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, they differ exactly by an element in the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, because &lt;math&gt;A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0&lt;/math&gt;. Since the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; is important, we give it the separate name &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in the following.
Conversely, whenever we have two solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1 + b_2&lt;/math&gt;, then their difference &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')&lt;/math&gt; is in the kernel &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So once a single solution is found, then the kernel can be used to find all solutions to the system. Put differently, we can consider two vectors whose difference is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; as equivalent, since if one vector solves &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, then the other also does.

For scalar multiplication by &lt;math&gt;\lambda\in \R&lt;/math&gt;, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; again: We have a solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; and we want to solve &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt; without recalculating. Again, we can obtain a solution by using our already determined solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;: We have &lt;math&gt;A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; is a solution to &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt;. For the second solution &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; this also works: &lt;math&gt;x = \lambda x_1'&lt;/math&gt; is a solution of &lt;math&gt;Ax=\lambda b&lt;/math&gt;. Again, the difference of both (equivalent) solutions &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda x_1'&lt;/math&gt; is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So we can scale solutions of linear systems to find solutions to scaled systems. While scaling, the differences stay in &lt;math&gt;\ker(A)=U&lt;/math&gt;, so both solutions stay equivalent.
A different way to say that two vectors are equivalent is to say that they are ''the same modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;'' whenever they differ only by some vector in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. For example, the solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of the system of equations &lt;math&gt;Ax=b_1+b_2&lt;/math&gt; are equal modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, since &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2') \in U&lt;/math&gt;. When calculating with solutions of systems of linear equations, we therefore calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.


=== Construction of the quotient space ===
In the example, we made calculations in a vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, but only looked at the results up to differences in a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. That is, we considered two vectors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; as equivalent, whenever &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt;. To formalise these &quot;calculations up to some element in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;&quot;, we identify vectors which using an [[Serlo: EN: Equivalence relation|equivalence relation]] &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; that is defined by
{{Formel|&lt;math&gt;v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.&lt;/math&gt;}}
This is exactly the relation we used to define [[Serlo: EN: Cosets of a subspace#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|cosets of a subspace]]. In this article, we have also checked that &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; is an equivalence relation. Mathematically, the set of all equivalence classes is denoted by &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

We will now show that on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we can define a natural vector space structure. To do so, we introduce an addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and a scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;: For &lt;math&gt;v+U, w+U \in V/U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; we define
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w + U) &amp;:= (v+w) + U\\
\lambda \boxdot (v+U) &amp; := (\lambda \cdot v) + U
\end{align}&lt;/math&gt;}}
These definitions make use of [[Serlo: EN: Equivalence relation#Anker:Äquivalenzklasse|representatives]]. That is, we took one element from each involved coset to define &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. However, we still have to show that the definitions are independent of the chosen representative.

That is, we must show that this definition is independent of the choice of representative and thus makes sense. We give this proof [[Serlo: EN: Quotient space#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|further below]].
The property that a mathematical definition makes sense is also called ''well-definedness''.

We also need to show that &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space with this addition and scalar multiplication, which we will do [[Serlo: EN: Quotient space#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|below]].

== Definition ==
Im vorherigen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie ein Vektorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; aussehen kann, dessen Vektorraumstruktur dem Rechnen modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; entspricht.
Die Elemente von &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; sind die Nebenklassen &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. Die Vektorraumstruktur wollen wir über die Repräsentanten definieren. Achtung: Wir müssen noch die ''Wohldefiniertheit'' beweisen, d.h. dass das Ergebnis der Addition bzw. skalaren Multiplikation nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt. Das machen wir in [[#Anker:Wohldefiniertheit|diesem Abschnitt]].

Um die Addition und Skalarmultiplikation auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; von der auf &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; zu unterscheiden, bezeichnen wir die Operationen auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; in diesem Artikel mit „&lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;“ und „&lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;“. Andere Artikel und Quellen verwenden meist „&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;“ und „&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;“ für die Vektorraumoperationen.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Quotient space
 |definition=
Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; ein Untervektorraum von  &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; und 

{{Formel|&lt;math&gt;V/U = \{v + U\mid v \in V\}&lt;/math&gt;}}

die Menge der [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Nebenklassen_eines_Unterraums|Nebenklassen]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Weiter seien &lt;math&gt;v,w \in V&lt;/math&gt;. 

Wir definieren die ''Addition'' in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; durch:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\
&amp;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 

Analog definieren wir die ''skalare Multiplikation'' auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; als:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\
&amp;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 
}}
=== Explanation of the definition ===
Wir haben die Addition und Skalarmultiplikation auf dem Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; definiert. Aber was genau bedeuten die Formeln &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U&lt;/math&gt;? Um die Addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; zu definieren, brauchen wir zwei Vektoren aus &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Vektoren in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; sind Nebenklassen, haben also die Form &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w+U&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt;. Die Addition dieser Vektoren &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U)&lt;/math&gt; können wir berechnen, indem wir erst &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; zu &lt;math&gt;v+w&lt;/math&gt; addieren und anschließend die zugehörige Nebenklasse &lt;math&gt;(v+w)+U&lt;/math&gt; bilden: 
{{Formel|&lt;math&gt;{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{coset}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{coset}}}}_{\text{addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{addition in } V} } +U}_{\text{coset}}}
&lt;/math&gt;}}
Die skalare Multiplikation funktioniert ähnlich: Für ein Skalar &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; und eine Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; wollen wir &lt;math&gt;\lambda\boxdot (v+U)&lt;/math&gt; definieren. Dafür berechnen wir erst das Skalarprodukt &lt;math&gt;\lambda\cdot v&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; und bilden danach die Nebenklasse dieses Vektors &lt;math&gt;(\lambda\cdot v)+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;
{\color{OliveGreen}\underbrace{
\lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{coset}}}}_{\text{scalar multiplication in } V/U }}
= 
{\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{scalar multiplication in }V} }+U}_{\text{coset}}  }
&lt;/math&gt;}}
Wir berechnen also erst die Addition bzw. skalare Multiplikation der Repräsentanten in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; und bilden anschließend die Nebenklasse. Man sagt: Die Vektorraumstruktur auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; ist die von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; „induzierte“ Vektorraumstruktur.
=== Well-defined operations in the quotient space {{Anker|Wohldefiniertheit}} ===
Wir wollen  prüfen, ob die Operationen von &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; von der Wahl von Repräsentanten unabhängig – also wohldefiniert – sind.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Well-defined operations in the quotient space
 |satz=Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U\subseteq
V&lt;/math&gt; ein Untervektorraum.
Dann sind die Addition in und skalare
Multiplikation auf &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; wohldefiniert.
 |beweis=
Für die Wohldefiniertheit müssen wir Folgendes zeigen:
Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten derselben Nebenklasse einsetzen,
erhalten wir das gleiche Ergebnis.
Mathematisch bedeutet dies, dass wir Folgendes zeigen müssen:
* Für &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;: Sind &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w + U = w' + U&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;(v + w) + U = (v' + w') + U&lt;/math&gt;.
* Für &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;: Sind &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt;, so ist &lt;math&gt;(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined addition
 |beweisschritt= Per definition von [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Nebenklassen_eines_Unterraums|Nebenklassen]] müssen wir zeigen,
dass &lt;math&gt;(v+w) - (v' + w') \in U&lt;/math&gt; gilt.
Wegen &lt;math&gt;(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')&lt;/math&gt; ist dies äquivalent dazu,
dass &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Nun repräsentieren &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; bzw. &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w'&lt;/math&gt; die jeweils gleiche Nebenklasse modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Also ist &lt;math&gt;v-v', w-w' \in U&lt;/math&gt;.
Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, folgt &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Also ist die Definition von &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined scalar multiplication
 |beweisschritt=Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; sehen
wir genauso:
Wir müssen in obiger Notation zeigen,
dass &lt;math&gt;\lambda\cdot v - \lambda\cdot v'  = \lambda\cdot (v-v') \in U&lt;/math&gt; gilt.
Da &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; die gleiche Nebenklasse modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; repräsentieren,
ist per Definition von Nebenklassen &lt;math&gt;v-v' \in U&lt;/math&gt;.
Weil &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum ist,
gilt folglich &lt;math&gt;\lambda\cdot(v-v') \in U&lt;/math&gt;.
Also ist die skalare Multiplikation unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.
}}
}}

===Establishing the vector space axioms===

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum ist, indem wir die Axiome für &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; auf die für &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Proof of the vector space axioms in quotient space
 |aufgabe=Sei &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum und &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; ein Untervektorraum, dann ist &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; mit den oben definierten Verknüpfungen ein &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraum
 |lösung=
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Eigenschaften der kommutativen, additiven Gruppe (auch [[w:abelsche   Gruppe|abelsche Gruppe]] genannt)
 |beweisschritt=
Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien &lt;math&gt;v,w,z \in V&lt;/math&gt;.

'''1. Associativity:''' 

We trace back the associativity to associativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align} 
(v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &amp;=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em]
&amp;= (v+(w+z))+U  \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associativity in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+z)+U \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em]
&amp;= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Commutativity'''

We also trace commutativity back to commutativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w+U) &amp;=(v+w)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{commutativity in the vector space }V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (w+v)+U \\[0.3em]
&amp;= (w+U) \boxplus (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''3. Existence of a neutral element'''

Since we are considering displacements of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, the coset &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt; should be the neutral element with respect to addition. We can verify this by using that &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; is the neutral element in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U&lt;/math&gt;}}

'''4. Existence of an inverse'''

We consider the coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. For the inverse &lt;math&gt;v'+U&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;, we need that

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.&lt;/math&gt;}}

Thus, the addition of an element with its inverse indeed yields the neutral element &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;. 

We also trace the inverse of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; back to inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; be a representative of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(-v)&lt;/math&gt; its inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then,

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.&lt;/math&gt;}}
Thus, the element inverse to &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;-v+U&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Distributive laws
 |beweisschritt=
'''1. Scalar Distributive Law'''

Multiplication of a vector (in a quotient space, i.e., the vector is a coset) with a sum of scalars yields: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em]
&amp;= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}

'''2. Vector Distributive Law'''

Likewise, we can show that the distributive law also holds for the multiplication of a scalar with the sum of two vectors (i.e., with two cosets in the quotient space): 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lambda  \boxdot (v+U \boxplus w+U) &amp;= \lambda  \boxdot (v+w)+U \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
|ziel=Properties of scalar multiplication
|beweisschritt=
We now show that the scalar multiplication of cosets also satisfies the corresponding vector space axioms. Again, we trace back properties in the quotient space back to the corresponding properties in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. To this end, let &lt;math&gt;\lambda, \mu \in K&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v,
w \in V&lt;/math&gt;. Then the following axioms hold: 

'''1. Associative law for scalars'''

The scalar multiplication is associative, since

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda  \cdot \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associative law in the vector space } V \right.}\\
&amp;= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\
&amp;=\lambda \boxdot  ((\mu v)+U)\\
&amp;=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U))
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Neutral element of scalar multiplication'''

We want to prove that &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is also the neutral element for &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. 
That is, &lt;math&gt;1 \boxdot (v+U)=v+U&lt;/math&gt; must hold. Since 1 is neutral in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and since &lt;math&gt;1\boxdot v = v&lt;/math&gt;, we get
{{Formel|&lt;math&gt;1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is the
neutral element of scalar multiplication and &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is indeed a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space.
}}}}

== Examples ==
=== Satellite images ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
  |titel=Satellite images
  |beispiel=
[[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline of New York]]
[[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellite image of New York]]

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York. 

Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir Informationen aus drei Dimensionen in zwei Dimensionen projizieren. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. 

Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes. 

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Faktorraum des &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt; modulo der &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse vorstellen. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse liegen, werden dabei miteinander identifiziert und jede solche Äquivalenzklasse entspricht einem Bildpunkt auf dem Satellitenbild.


}}

=== Example in finite vector space ===
Oben haben wir uns ein anschauliches Beispiel angeschaut. Im zweiten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns ein abstrakteres Zahlenbeispiel an. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Quotient space in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;
 |beispiel=
Im [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|Vektorraum-Artikel]] haben wir gesehen, wie wir uns &lt;math&gt;(\Z/5\Z)^2&lt;/math&gt; als Gitterpunkte auf einem [[w:Torus|Torus]] vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns &lt;math&gt;(\Z/3\Z)^2&lt;/math&gt; ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen:

Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt:
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
[[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt.
Damit erhalten wir &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild:
[[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualisierung eines zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper mit drei Elementen auf einem Torus]]

Der von &lt;math&gt;(1, 1)^T&lt;/math&gt; erzeugte Unterraum &lt;math&gt;U \subseteq (\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;, entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke.
[[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualisierung eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;+(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;-(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus:
[[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualisierung der Nebenklassen eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten:

# Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist &lt;math&gt;{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}&lt;/math&gt;.

Wenn wir die Nebenklassen von &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; vollständig beschrieben.
}}

== Relationship between quotient space and complement ==
Im Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; rechnen wir mit Vektoren in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bis auf Abweichungen in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Anteile in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Anker:Komplement UVR|Komplement]]. Ein Komplement eines Unterraums &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; ist ein Unterraum &lt;math&gt;W\subseteq V&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;U\oplus W=V&lt;/math&gt; gilt. Hierbei bezeichnet &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; die [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Direkte_Summe#Direkte_Summe_von_Vektorr%C3%A4umen|innere direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\oplus W=U+W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Ein Vektor &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; lässt sich dann eindeutig schreiben als &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;. Das Komplement selbst muss aber [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Nichteindeutigkeit_von_Komplementen|nicht eindeutig]] sein! Es kann verschiedene Unterräume &lt;math&gt;W,W'\subseteq V&lt;/math&gt; geben, mit &lt;math&gt;U\oplus W=V=U\oplus W'&lt;/math&gt;. 

Beim Faktorraum &quot;vergessen&quot; wir den Anteil von &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;, der in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf die Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V\to V/U, \quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
Ist &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt; für eindeutige &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, dann können wir analog den &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-Teil vergessen, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf den &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;-Teil &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w&lt;/math&gt;}}
Anscheinend ähneln sich &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und ein Komplement &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;. Können wir die beiden Vektorräume &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; identifizieren, d.h. sind sie [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Isomorphismus_(Lineare_Algebra)|isomorph]]? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Isomorphism between complement and quotient space
 |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |satz=Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann ist die Projektion &lt;math&gt;f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U&lt;/math&gt; ein linearer Isomorphismus zwischen &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; und dem Quotientenraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.
 |beweis=
Wir wollen zeigen, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear, d.h. mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich, und bijektiv ist.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Linearity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Da &lt;math&gt;W \subseteq V&lt;/math&gt; ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt, es gilt für &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v, w \in W&lt;/math&gt;
{{Formel|&lt;math&gt;f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)&lt;/math&gt;}}
sowie
{{Formel|&lt;math&gt;f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Surjectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Sei &lt;math&gt;v + U \in V/U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement zu &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist, finden wir &lt;math&gt;u \in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w \in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v = u+w&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{formel|&lt;math&gt;f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,&lt;/math&gt;}}
wobei wir in &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; benutzt haben, dass &lt;math&gt;(w+u)-w=u\in U&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w+U=(w+u)+U&lt;/math&gt; gilt. Also ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; surjektiv.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Injectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Wir zeigen &lt;math&gt;\ker(f)=\{0\}&lt;/math&gt;. Sei dafür &lt;math&gt;w\in\ker(f)&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Also gilt &lt;math&gt;w+U=f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;w=w-0\in U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ist, gilt &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;w\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, folgt &lt;math&gt;w\in U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w=0&lt;/math&gt;.
}}
}}
Wir haben gesehen, dass &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; isomorph zu jedem beliebigen Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten &lt;math&gt;U\oplus V/U=V&lt;/math&gt;. Doch Achtung: Weil &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; kein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; bilden.
Wir können aber stattdessen die [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äußere_direkte_Summe|''äußere'' direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; betrachten:
{{Formel|&lt;math&gt;U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}&lt;/math&gt;}}
Dies kann zwar nicht gleich &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; sein, aber isomorph zu &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Das werden wir nun zeigen. 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=&lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;
 |satz=Sei &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum eines &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraums &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann gilt &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;. 
 |beweis= 
Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U+W=V&lt;/math&gt;. Aus dem [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|vorherigen Satz]] wissen wir, dass die Abbildung
{{Formel|&lt;math&gt;f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist. Wir zeigen damit zunächst, dass
{{Formel|&lt;math&gt;g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist, wobei hier &lt;math&gt;U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}&lt;/math&gt; die ''äußere'' direkte Summe bezeichnet.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is linear
 |beweisschritt= Es gilt &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;. Damit folgt direkt, dass &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; linear ist, da Addition und skalare Multiplikation auf &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; komponentenweise definiert sind und &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear sind.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is bijective
 |beweisschritt= Das folgt ebenfalls aus &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;, da die Identität &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bijektiv sind.
}}
Wir haben also &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong U\oplus W&lt;/math&gt;. Nach '''diesem Satz''' ist die innere direkte Summe der Unterräume &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; isomorph zu ihrer äußeren direkten Summe. Also gilt &lt;math&gt;V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U&lt;/math&gt;, wobei mit &lt;math&gt;U\oplus_I W&lt;/math&gt; die innere direkte Summe von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; gemeint ist.
{{todo|&quot;diesem Satz&quot; zum passenden Satz verlinken}}
}}

== Exercises ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=The projection is linear
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; a subspace. Show that the canonical projection.
{{Formel|&lt;math&gt;\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
is linear.
 |lösung=
Let &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; be arbitrary. We again write &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; for the vector space structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. We then have
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
  &amp; \pi(\lambda v+w) \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\  \text{definition of }\pi   \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda v+w)+U \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxplus \right.} \\[0.3em]
= &amp; ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxdot  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\pi  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w).
\end{align}&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; is linear.
}}

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      <contributor>
        <username>Sascha Lill 95</username>
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      <comment>/* Definition */</comment>
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      <text bytes="30767" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
In this article we consider the ''quotient space'' &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; of a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with respect to a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. The quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space in which we can do computations as in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, up to an addition of arbitrary terms from &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.

== Introduction == 
===Computations with solutions of a linear system===
We consider the matrix
{{Formel|&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 1\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;}}
We now want to solve the linear system of equations &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; for different vectors &lt;math&gt;b \in \R^2&lt;/math&gt;. For example, taking &lt;math&gt;b_1 = (3,-7)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_1 = (1,2,-4)^T&lt;/math&gt; and for &lt;math&gt;b_2 = (1,2)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_2 = (2,0,3)^T&lt;/math&gt;. That is, &lt;math&gt;Ax_1 = b_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;Ax_2 = b_2&lt;/math&gt; hold. What is then the solution for &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;? To find this out, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;: We just have to add our previous solutions together, since &lt;math&gt;A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2&lt;/math&gt;. Thus, a solution to &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt; is given by &lt;math&gt;x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T&lt;/math&gt;.

The solution to the above system of equations is not unique. For instance, the system &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_1' = (2,1,-4)^T&lt;/math&gt; and the system &lt;math&gt;Ax = b_2&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_2' = (-1,3,3)^T&lt;/math&gt;. The solutions &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt;, as well as &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2'&lt;/math&gt; differ from each other. Their differences are &lt;math&gt;x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T&lt;/math&gt;. Both &lt;math&gt;(-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(3,-3,0)^T&lt;/math&gt; are solutions to the (homogeneous) linear system &lt;math&gt;Ax = 0&lt;/math&gt;. That is, they lie in the ''kernel'' of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.{{todo| Link kernel of a matrix}}
This &quot;kernel property&quot; is true in general: if &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; are two different solutions of &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, they differ exactly by an element in the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, because &lt;math&gt;A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0&lt;/math&gt;. Since the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; is important, we give it the separate name &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in the following.
Conversely, whenever we have two solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1 + b_2&lt;/math&gt;, then their difference &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')&lt;/math&gt; is in the kernel &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So once a single solution is found, then the kernel can be used to find all solutions to the system. Put differently, we can consider two vectors whose difference is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; as equivalent, since if one vector solves &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, then the other also does.

For scalar multiplication by &lt;math&gt;\lambda\in \R&lt;/math&gt;, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; again: We have a solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; and we want to solve &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt; without recalculating. Again, we can obtain a solution by using our already determined solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;: We have &lt;math&gt;A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; is a solution to &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt;. For the second solution &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; this also works: &lt;math&gt;x = \lambda x_1'&lt;/math&gt; is a solution of &lt;math&gt;Ax=\lambda b&lt;/math&gt;. Again, the difference of both (equivalent) solutions &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda x_1'&lt;/math&gt; is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So we can scale solutions of linear systems to find solutions to scaled systems. While scaling, the differences stay in &lt;math&gt;\ker(A)=U&lt;/math&gt;, so both solutions stay equivalent.
A different way to say that two vectors are equivalent is to say that they are ''the same modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;'' whenever they differ only by some vector in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. For example, the solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of the system of equations &lt;math&gt;Ax=b_1+b_2&lt;/math&gt; are equal modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, since &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2') \in U&lt;/math&gt;. When calculating with solutions of systems of linear equations, we therefore calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.


=== Construction of the quotient space ===
In the example, we made calculations in a vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, but only looked at the results up to differences in a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. That is, we considered two vectors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; as equivalent, whenever &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt;. To formalise these &quot;calculations up to some element in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;&quot;, we identify vectors which using an [[Serlo: EN: Equivalence relation|equivalence relation]] &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; that is defined by
{{Formel|&lt;math&gt;v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.&lt;/math&gt;}}
This is exactly the relation we used to define [[Serlo: EN: Cosets of a subspace#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|cosets of a subspace]]. In this article, we have also checked that &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; is an equivalence relation. Mathematically, the set of all equivalence classes is denoted by &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

We will now show that on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we can define a natural vector space structure. To do so, we introduce an addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and a scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;: For &lt;math&gt;v+U, w+U \in V/U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; we define
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w + U) &amp;:= (v+w) + U\\
\lambda \boxdot (v+U) &amp; := (\lambda \cdot v) + U
\end{align}&lt;/math&gt;}}
These definitions make use of [[Serlo: EN: Equivalence relation#Anker:Äquivalenzklasse|representatives]]. That is, we took one element from each involved coset to define &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. However, we still have to show that the definitions are independent of the chosen representative.

That is, we must show that this definition is independent of the choice of representative and thus makes sense. We give this proof [[Serlo: EN: Quotient space#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|further below]].
The property that a mathematical definition makes sense is also called ''well-definedness''.

We also need to show that &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space with this addition and scalar multiplication, which we will do [[Serlo: EN: Quotient space#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|below]].

== Definition ==
In the previous section, we considered what a vector space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; might look like, in which we can calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
The elements of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are the cosets &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. We want to define the vector space structure using the representatives. [[#Anker:Wohldefiniertheit|Further below]] , we then show that the definition makes mathematical sense, that is, the vector space structure is proven to be ''well--defined''.

To distinguish addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; from that on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, we refer to the operations on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as &quot;&lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;&quot; in this article. Other articles and sources mostly use &quot;&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;&quot; for the vector space operations.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Quotient space
 |definition=
Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; be a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with

{{Formel|&lt;math&gt;V/U = \{v + U\mid v \in V\}&lt;/math&gt;}}

being the set of [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|cosets]] of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Further, let &lt;math&gt;v,w be \in V&lt;/math&gt;. 

We define the ''addition'' in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; by:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\
&amp;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 

Analogously, we define ''scalar multiplication'' on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\
&amp;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 
}}
=== Explanation of the definition ===
A short explanation concerning the brackets appearing in &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U&lt;/math&gt;: To define the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we need two vectors from &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Vectors in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are cosets, so &lt;math&gt;(v+U)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(w+U)&lt;/math&gt; denote cosets given by &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt;. The expression &lt;math&gt;(v+w)+U&lt;/math&gt; is also a coset, namely the one associated with &lt;math&gt;v+w&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{coset}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{coset}}}}_{\text{addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{addition in } V} } +U}_{\text{coset}}}
&lt;/math&gt;}}
The scalar multiplication works similarly: For a scalar &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; and a coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; we want to define &lt;math&gt;\lambda\boxdot (v+U)&lt;/math&gt;. For this we first calculate the scalar product &lt;math&gt;\lambda\cdot v&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the associated coset &lt;math&gt;(\lambda\cdot v)+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;
{\color{OliveGreen}\underbrace{
\lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{coset}}}}_{\text{scalar multiplication in } V/U }}
= 
{\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{scalar multiplication in }V} }+U}_{\text{coset}}  }
&lt;/math&gt;}}
So we first execute the addition or scalar multiplication of the representatives in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the coset to get the addition or scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Mathematically, we also say that the vector space structure on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; &quot;induces&quot; the structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

=== Well-defined operations in the quotient space {{Anker|Wohldefiniertheit}} ===
We want to check whether the operations of &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; are independent of the choice of representatives - that is, ''they are well-defined''.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Well-defined operations in the quotient space
 |satz=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq
V&lt;/math&gt; a subspace of vectors.
Then addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are well-defined.
 |beweis=
For well-definedness, we need to show the following:
If in the definition, we plug in different representatives of the coset(s) on the left-hand side, we end up with the same coset on the right-hand side.
Mathematically, we have to show :
* For &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w + U = w' + U&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(v + w) + U = (v' + w') + U&lt;/math&gt;.
* For &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined addition
 |beweisschritt= By definition of a [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|coset]] we have to show that &lt;math&gt;(v+w) - (v' + w') \in U&lt;/math&gt; holds.
Since &lt;math&gt;(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')&lt;/math&gt;, this is equivalent to &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Now &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; or &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w'&lt;/math&gt; each represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Thus, &lt;math&gt;v-v', w-w' \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, it follows that &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
So the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; is indeed independent of the choice of representatives.

}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined scalar multiplication
 |beweisschritt=Well-definedness of the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; can be seen in same way:
In the above notation, we have to show that &lt;math&gt;\lambda\cdot v - \lambda\cdot v' = \lambda\cdot (v-v') \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, we have &lt;math&gt;v-v' \in U&lt;/math&gt;.
And since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace, we also have &lt;math&gt;\lambda\cdot(v-v') \in U&lt;/math&gt;.
So the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; is also independent of the choice of representative.
}}
}}

===Establishing the vector space axioms===

We show that the quotient space is again a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space by taking the axioms valid for &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and inferring those axioms of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Hence, taking quotient spaces is a way to generate new vector spaces from an existing &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space, just like taking subspaces.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Proof of the vector space axioms in quotient space
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; a subspace of it, then &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; with the operations &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; defined above is also a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space
 |lösung=
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Eigenschaften der kommutativen, additiven Gruppe (auch [[w:abelsche   Gruppe|abelsche Gruppe]] genannt)
 |beweisschritt=
Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien &lt;math&gt;v,w,z \in V&lt;/math&gt;.

'''1. Associativity:''' 

We trace back the associativity to associativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align} 
(v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &amp;=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em]
&amp;= (v+(w+z))+U  \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associativity in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+z)+U \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em]
&amp;= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Commutativity'''

We also trace commutativity back to commutativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w+U) &amp;=(v+w)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{commutativity in the vector space }V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (w+v)+U \\[0.3em]
&amp;= (w+U) \boxplus (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''3. Existence of a neutral element'''

Since we are considering displacements of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, the coset &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt; should be the neutral element with respect to addition. We can verify this by using that &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; is the neutral element in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U&lt;/math&gt;}}

'''4. Existence of an inverse'''

We consider the coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. For the inverse &lt;math&gt;v'+U&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;, we need that

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.&lt;/math&gt;}}

Thus, the addition of an element with its inverse indeed yields the neutral element &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;. 

We also trace the inverse of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; back to inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; be a representative of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(-v)&lt;/math&gt; its inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then,

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.&lt;/math&gt;}}
Thus, the element inverse to &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;-v+U&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Distributive laws
 |beweisschritt=
'''1. Scalar Distributive Law'''

Multiplication of a vector (in a quotient space, i.e., the vector is a coset) with a sum of scalars yields: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em]
&amp;= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}

'''2. Vector Distributive Law'''

Likewise, we can show that the distributive law also holds for the multiplication of a scalar with the sum of two vectors (i.e., with two cosets in the quotient space): 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lambda  \boxdot (v+U \boxplus w+U) &amp;= \lambda  \boxdot (v+w)+U \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
|ziel=Properties of scalar multiplication
|beweisschritt=
We now show that the scalar multiplication of cosets also satisfies the corresponding vector space axioms. Again, we trace back properties in the quotient space back to the corresponding properties in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. To this end, let &lt;math&gt;\lambda, \mu \in K&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v,
w \in V&lt;/math&gt;. Then the following axioms hold: 

'''1. Associative law for scalars'''

The scalar multiplication is associative, since

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda  \cdot \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associative law in the vector space } V \right.}\\
&amp;= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\
&amp;=\lambda \boxdot  ((\mu v)+U)\\
&amp;=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U))
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Neutral element of scalar multiplication'''

We want to prove that &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is also the neutral element for &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. 
That is, &lt;math&gt;1 \boxdot (v+U)=v+U&lt;/math&gt; must hold. Since 1 is neutral in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and since &lt;math&gt;1\boxdot v = v&lt;/math&gt;, we get
{{Formel|&lt;math&gt;1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is the
neutral element of scalar multiplication and &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is indeed a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space.
}}}}

== Examples ==
=== Satellite images ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
  |titel=Satellite images
  |beispiel=
[[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline of New York]]
[[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellite image of New York]]

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York. 

Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir Informationen aus drei Dimensionen in zwei Dimensionen projizieren. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. 

Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes. 

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Faktorraum des &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt; modulo der &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse vorstellen. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse liegen, werden dabei miteinander identifiziert und jede solche Äquivalenzklasse entspricht einem Bildpunkt auf dem Satellitenbild.


}}

=== Example in finite vector space ===
Oben haben wir uns ein anschauliches Beispiel angeschaut. Im zweiten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns ein abstrakteres Zahlenbeispiel an. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Quotient space in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;
 |beispiel=
Im [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|Vektorraum-Artikel]] haben wir gesehen, wie wir uns &lt;math&gt;(\Z/5\Z)^2&lt;/math&gt; als Gitterpunkte auf einem [[w:Torus|Torus]] vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns &lt;math&gt;(\Z/3\Z)^2&lt;/math&gt; ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen:

Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt:
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
[[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt.
Damit erhalten wir &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild:
[[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualisierung eines zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper mit drei Elementen auf einem Torus]]

Der von &lt;math&gt;(1, 1)^T&lt;/math&gt; erzeugte Unterraum &lt;math&gt;U \subseteq (\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;, entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke.
[[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualisierung eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;+(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;-(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus:
[[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualisierung der Nebenklassen eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten:

# Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist &lt;math&gt;{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}&lt;/math&gt;.

Wenn wir die Nebenklassen von &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; vollständig beschrieben.
}}

== Relationship between quotient space and complement ==
Im Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; rechnen wir mit Vektoren in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bis auf Abweichungen in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Anteile in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Anker:Komplement UVR|Komplement]]. Ein Komplement eines Unterraums &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; ist ein Unterraum &lt;math&gt;W\subseteq V&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;U\oplus W=V&lt;/math&gt; gilt. Hierbei bezeichnet &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; die [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Direkte_Summe#Direkte_Summe_von_Vektorr%C3%A4umen|innere direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\oplus W=U+W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Ein Vektor &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; lässt sich dann eindeutig schreiben als &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;. Das Komplement selbst muss aber [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Nichteindeutigkeit_von_Komplementen|nicht eindeutig]] sein! Es kann verschiedene Unterräume &lt;math&gt;W,W'\subseteq V&lt;/math&gt; geben, mit &lt;math&gt;U\oplus W=V=U\oplus W'&lt;/math&gt;. 

Beim Faktorraum &quot;vergessen&quot; wir den Anteil von &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;, der in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf die Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V\to V/U, \quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
Ist &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt; für eindeutige &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, dann können wir analog den &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-Teil vergessen, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf den &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;-Teil &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w&lt;/math&gt;}}
Anscheinend ähneln sich &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und ein Komplement &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;. Können wir die beiden Vektorräume &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; identifizieren, d.h. sind sie [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Isomorphismus_(Lineare_Algebra)|isomorph]]? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Isomorphism between complement and quotient space
 |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |satz=Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann ist die Projektion &lt;math&gt;f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U&lt;/math&gt; ein linearer Isomorphismus zwischen &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; und dem Quotientenraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.
 |beweis=
Wir wollen zeigen, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear, d.h. mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich, und bijektiv ist.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Linearity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Da &lt;math&gt;W \subseteq V&lt;/math&gt; ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt, es gilt für &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v, w \in W&lt;/math&gt;
{{Formel|&lt;math&gt;f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)&lt;/math&gt;}}
sowie
{{Formel|&lt;math&gt;f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Surjectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Sei &lt;math&gt;v + U \in V/U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement zu &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist, finden wir &lt;math&gt;u \in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w \in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v = u+w&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{formel|&lt;math&gt;f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,&lt;/math&gt;}}
wobei wir in &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; benutzt haben, dass &lt;math&gt;(w+u)-w=u\in U&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w+U=(w+u)+U&lt;/math&gt; gilt. Also ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; surjektiv.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Injectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Wir zeigen &lt;math&gt;\ker(f)=\{0\}&lt;/math&gt;. Sei dafür &lt;math&gt;w\in\ker(f)&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Also gilt &lt;math&gt;w+U=f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;w=w-0\in U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ist, gilt &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;w\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, folgt &lt;math&gt;w\in U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w=0&lt;/math&gt;.
}}
}}
Wir haben gesehen, dass &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; isomorph zu jedem beliebigen Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten &lt;math&gt;U\oplus V/U=V&lt;/math&gt;. Doch Achtung: Weil &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; kein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; bilden.
Wir können aber stattdessen die [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äußere_direkte_Summe|''äußere'' direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; betrachten:
{{Formel|&lt;math&gt;U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}&lt;/math&gt;}}
Dies kann zwar nicht gleich &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; sein, aber isomorph zu &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Das werden wir nun zeigen. 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=&lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;
 |satz=Sei &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum eines &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraums &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann gilt &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;. 
 |beweis= 
Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U+W=V&lt;/math&gt;. Aus dem [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|vorherigen Satz]] wissen wir, dass die Abbildung
{{Formel|&lt;math&gt;f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist. Wir zeigen damit zunächst, dass
{{Formel|&lt;math&gt;g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist, wobei hier &lt;math&gt;U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}&lt;/math&gt; die ''äußere'' direkte Summe bezeichnet.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is linear
 |beweisschritt= Es gilt &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;. Damit folgt direkt, dass &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; linear ist, da Addition und skalare Multiplikation auf &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; komponentenweise definiert sind und &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear sind.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is bijective
 |beweisschritt= Das folgt ebenfalls aus &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;, da die Identität &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bijektiv sind.
}}
Wir haben also &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong U\oplus W&lt;/math&gt;. Nach '''diesem Satz''' ist die innere direkte Summe der Unterräume &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; isomorph zu ihrer äußeren direkten Summe. Also gilt &lt;math&gt;V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U&lt;/math&gt;, wobei mit &lt;math&gt;U\oplus_I W&lt;/math&gt; die innere direkte Summe von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; gemeint ist.
{{todo|&quot;diesem Satz&quot; zum passenden Satz verlinken}}
}}

== Exercises ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=The projection is linear
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; a subspace. Show that the canonical projection.
{{Formel|&lt;math&gt;\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
is linear.
 |lösung=
Let &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; be arbitrary. We again write &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; for the vector space structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. We then have
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
  &amp; \pi(\lambda v+w) \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\  \text{definition of }\pi   \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda v+w)+U \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxplus \right.} \\[0.3em]
= &amp; ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxdot  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\pi  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w).
\end{align}&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; is linear.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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      <timestamp>2022-07-20T16:57:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sascha Lill 95</username>
        <id>82704</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Definition */</comment>
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      <text bytes="30764" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
In this article we consider the ''quotient space'' &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; of a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with respect to a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. The quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space in which we can do computations as in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, up to an addition of arbitrary terms from &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.

== Introduction == 
===Computations with solutions of a linear system===
We consider the matrix
{{Formel|&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 1\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;}}
We now want to solve the linear system of equations &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; for different vectors &lt;math&gt;b \in \R^2&lt;/math&gt;. For example, taking &lt;math&gt;b_1 = (3,-7)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_1 = (1,2,-4)^T&lt;/math&gt; and for &lt;math&gt;b_2 = (1,2)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_2 = (2,0,3)^T&lt;/math&gt;. That is, &lt;math&gt;Ax_1 = b_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;Ax_2 = b_2&lt;/math&gt; hold. What is then the solution for &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;? To find this out, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;: We just have to add our previous solutions together, since &lt;math&gt;A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2&lt;/math&gt;. Thus, a solution to &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt; is given by &lt;math&gt;x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T&lt;/math&gt;.

The solution to the above system of equations is not unique. For instance, the system &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_1' = (2,1,-4)^T&lt;/math&gt; and the system &lt;math&gt;Ax = b_2&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_2' = (-1,3,3)^T&lt;/math&gt;. The solutions &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt;, as well as &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2'&lt;/math&gt; differ from each other. Their differences are &lt;math&gt;x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T&lt;/math&gt;. Both &lt;math&gt;(-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(3,-3,0)^T&lt;/math&gt; are solutions to the (homogeneous) linear system &lt;math&gt;Ax = 0&lt;/math&gt;. That is, they lie in the ''kernel'' of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.{{todo| Link kernel of a matrix}}
This &quot;kernel property&quot; is true in general: if &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; are two different solutions of &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, they differ exactly by an element in the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, because &lt;math&gt;A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0&lt;/math&gt;. Since the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; is important, we give it the separate name &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in the following.
Conversely, whenever we have two solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1 + b_2&lt;/math&gt;, then their difference &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')&lt;/math&gt; is in the kernel &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So once a single solution is found, then the kernel can be used to find all solutions to the system. Put differently, we can consider two vectors whose difference is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; as equivalent, since if one vector solves &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, then the other also does.

For scalar multiplication by &lt;math&gt;\lambda\in \R&lt;/math&gt;, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; again: We have a solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; and we want to solve &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt; without recalculating. Again, we can obtain a solution by using our already determined solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;: We have &lt;math&gt;A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; is a solution to &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt;. For the second solution &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; this also works: &lt;math&gt;x = \lambda x_1'&lt;/math&gt; is a solution of &lt;math&gt;Ax=\lambda b&lt;/math&gt;. Again, the difference of both (equivalent) solutions &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda x_1'&lt;/math&gt; is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So we can scale solutions of linear systems to find solutions to scaled systems. While scaling, the differences stay in &lt;math&gt;\ker(A)=U&lt;/math&gt;, so both solutions stay equivalent.
A different way to say that two vectors are equivalent is to say that they are ''the same modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;'' whenever they differ only by some vector in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. For example, the solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of the system of equations &lt;math&gt;Ax=b_1+b_2&lt;/math&gt; are equal modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, since &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2') \in U&lt;/math&gt;. When calculating with solutions of systems of linear equations, we therefore calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.


=== Construction of the quotient space ===
In the example, we made calculations in a vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, but only looked at the results up to differences in a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. That is, we considered two vectors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; as equivalent, whenever &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt;. To formalise these &quot;calculations up to some element in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;&quot;, we identify vectors which using an [[Serlo: EN: Equivalence relation|equivalence relation]] &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; that is defined by
{{Formel|&lt;math&gt;v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.&lt;/math&gt;}}
This is exactly the relation we used to define [[Serlo: EN: Cosets of a subspace#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|cosets of a subspace]]. In this article, we have also checked that &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; is an equivalence relation. Mathematically, the set of all equivalence classes is denoted by &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

We will now show that on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we can define a natural vector space structure. To do so, we introduce an addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and a scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;: For &lt;math&gt;v+U, w+U \in V/U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; we define
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w + U) &amp;:= (v+w) + U\\
\lambda \boxdot (v+U) &amp; := (\lambda \cdot v) + U
\end{align}&lt;/math&gt;}}
These definitions make use of [[Serlo: EN: Equivalence relation#Anker:Äquivalenzklasse|representatives]]. That is, we took one element from each involved coset to define &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. However, we still have to show that the definitions are independent of the chosen representative.

That is, we must show that this definition is independent of the choice of representative and thus makes sense. We give this proof [[Serlo: EN: Quotient space#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|further below]].
The property that a mathematical definition makes sense is also called ''well-definedness''.

We also need to show that &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space with this addition and scalar multiplication, which we will do [[Serlo: EN: Quotient space#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|below]].

== Definition ==
In the previous section, we considered what a vector space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; might look like, in which we can calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
The elements of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are the cosets &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. We want to define the vector space structure using the representatives. [[#Anker:Wohldefiniertheit|Further below]] , we then show that the definition makes mathematical sense, that is, the vector space structure is proven to be ''well--defined''.

To distinguish addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; from that on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, we refer to the operations on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as &quot;&lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;&quot; in this article. Other articles and sources mostly use &quot;&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;&quot; for the vector space operations.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Quotient space
 |definition=
Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; be a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with

{{Formel|&lt;math&gt;V/U = \{v + U\mid v \in V\}&lt;/math&gt;}}

being the set of [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|cosets]] of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Further, let &lt;math&gt;v,w be \in V&lt;/math&gt;. 

We define the ''addition'' in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; by:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\
&amp;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 

Analogously, we define ''scalar multiplication'' on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\
&amp;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 
}}
=== Explanation of the definition ===
A short explanation concerning the brackets appearing in &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U&lt;/math&gt;: To define the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we need two vectors from &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Vectors in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are cosets, so &lt;math&gt;(v+U)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(w+U)&lt;/math&gt; denote cosets given by &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt;. The expression &lt;math&gt;(v+w)+U&lt;/math&gt; is also a coset, namely the one associated with &lt;math&gt;v+w&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{coset}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{coset}}}}_{\text{addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{addition in } V} } +U}_{\text{coset}}}
&lt;/math&gt;}}
The scalar multiplication works similarly: For a scalar &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; and a coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; we want to define &lt;math&gt;\lambda\boxdot (v+U)&lt;/math&gt;. For this we first calculate the scalar product &lt;math&gt;\lambda\cdot v&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the associated coset &lt;math&gt;(\lambda\cdot v)+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;
{\color{OliveGreen}\underbrace{
\lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{coset}}}}_{\text{scalar multiplication in } V/U }}
= 
{\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{scalar multiplication in }V} }+U}_{\text{coset}}  }
&lt;/math&gt;}}
So we first execute the addition or scalar multiplication of the representatives in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the coset to get the addition or scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Mathematically, we also say that the vector space structure on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; &quot;induces&quot; the structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

=== Well-defined operations in the quotient space {{Anker|Wohldefiniertheit}} ===
We want to check whether the operations of &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; are independent of the choice of representatives - that is, ''they are well-defined''.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Well-defined operations in the quotient space
 |satz=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq
V&lt;/math&gt; a subspace of vectors.
Then addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are well-defined.
 |beweis=
For well-definedness, we need to show the following:
If in the definition, we plug in different representatives of the coset(s) on the left-hand side, we end up with the same coset on the right-hand side.
Mathematically, we have to show :
* For &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w + U = w' + U&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(v + w) + U = (v' + w') + U&lt;/math&gt;.
* For &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined addition
 |beweisschritt= By definition of a [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|coset]] we have to show that &lt;math&gt;(v+w) - (v' + w') \in U&lt;/math&gt; holds.
Since &lt;math&gt;(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')&lt;/math&gt;, this is equivalent to &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Now &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; or &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w'&lt;/math&gt; each represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Thus, &lt;math&gt;v-v', w-w' \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, it follows that &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
So the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; is indeed independent of the choice of representatives.

}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined scalar multiplication
 |beweisschritt=Well-definedness of the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; can be seen in same way:
In the above notation, we have to show that &lt;math&gt;\lambda\cdot v - \lambda\cdot v' = \lambda\cdot (v-v') \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, we have &lt;math&gt;v-v' \in U&lt;/math&gt;.
And since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace, we also have &lt;math&gt;\lambda\cdot(v-v') \in U&lt;/math&gt;.
So the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; is also independent of the choice of representative.
}}
}}

===Establishing the vector space axioms===

We show that the quotient space is again a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space by taking the axioms valid for &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and inferring those axioms of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Hence, taking quotient spaces is a way to generate new vector spaces from an existing &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space, just like taking subspaces.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Proof of the vector space axioms in quotient space
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; a subspace of it, then &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; with the operations &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; defined above is also a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space
 |lösung=
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Establishing properties of a commutative additive group (also called an [[w: EN: Abelian group|Abelian group]]).
 |beweisschritt=
We first consider the properties of addition. For this let &lt;math&gt;v,w,z \in V&lt;/math&gt;.

'''1. Associativity:''' 

We trace back the associativity to associativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align} 
(v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &amp;=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em]
&amp;= (v+(w+z))+U  \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associativity in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+z)+U \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em]
&amp;= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Commutativity'''

We also trace commutativity back to commutativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w+U) &amp;=(v+w)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{commutativity in the vector space }V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (w+v)+U \\[0.3em]
&amp;= (w+U) \boxplus (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''3. Existence of a neutral element'''

Since we are considering displacements of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, the coset &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt; should be the neutral element with respect to addition. We can verify this by using that &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; is the neutral element in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U&lt;/math&gt;}}

'''4. Existence of an inverse'''

We consider the coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. For the inverse &lt;math&gt;v'+U&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;, we need that

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.&lt;/math&gt;}}

Thus, the addition of an element with its inverse indeed yields the neutral element &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;. 

We also trace the inverse of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; back to inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; be a representative of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(-v)&lt;/math&gt; its inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then,

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.&lt;/math&gt;}}
Thus, the element inverse to &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;-v+U&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Distributive laws
 |beweisschritt=
'''1. Scalar Distributive Law'''

Multiplication of a vector (in a quotient space, i.e., the vector is a coset) with a sum of scalars yields: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em]
&amp;= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}

'''2. Vector Distributive Law'''

Likewise, we can show that the distributive law also holds for the multiplication of a scalar with the sum of two vectors (i.e., with two cosets in the quotient space): 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lambda  \boxdot (v+U \boxplus w+U) &amp;= \lambda  \boxdot (v+w)+U \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
|ziel=Properties of scalar multiplication
|beweisschritt=
We now show that the scalar multiplication of cosets also satisfies the corresponding vector space axioms. Again, we trace back properties in the quotient space back to the corresponding properties in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. To this end, let &lt;math&gt;\lambda, \mu \in K&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v,
w \in V&lt;/math&gt;. Then the following axioms hold: 

'''1. Associative law for scalars'''

The scalar multiplication is associative, since

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda  \cdot \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associative law in the vector space } V \right.}\\
&amp;= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\
&amp;=\lambda \boxdot  ((\mu v)+U)\\
&amp;=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U))
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Neutral element of scalar multiplication'''

We want to prove that &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is also the neutral element for &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. 
That is, &lt;math&gt;1 \boxdot (v+U)=v+U&lt;/math&gt; must hold. Since 1 is neutral in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and since &lt;math&gt;1\boxdot v = v&lt;/math&gt;, we get
{{Formel|&lt;math&gt;1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is the
neutral element of scalar multiplication and &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is indeed a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space.
}}}}

== Examples ==
=== Satellite images ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
  |titel=Satellite images
  |beispiel=
[[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline of New York]]
[[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellite image of New York]]

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York. 

Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir Informationen aus drei Dimensionen in zwei Dimensionen projizieren. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. 

Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes. 

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Faktorraum des &lt;math&gt;\R^3&lt;/math&gt; modulo der &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse vorstellen. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-Achse liegen, werden dabei miteinander identifiziert und jede solche Äquivalenzklasse entspricht einem Bildpunkt auf dem Satellitenbild.


}}

=== Example in finite vector space ===
Oben haben wir uns ein anschauliches Beispiel angeschaut. Im zweiten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns ein abstrakteres Zahlenbeispiel an. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Quotient space in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;
 |beispiel=
Im [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|Vektorraum-Artikel]] haben wir gesehen, wie wir uns &lt;math&gt;(\Z/5\Z)^2&lt;/math&gt; als Gitterpunkte auf einem [[w:Torus|Torus]] vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns &lt;math&gt;(\Z/3\Z)^2&lt;/math&gt; ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen:

Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt:
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
[[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Eine Ebene zu einem Torus verkleben]]
Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt.
Damit erhalten wir &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild:
[[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualisierung eines zweidimensionalen Vektorraums über dem Körper mit drei Elementen auf einem Torus]]

Der von &lt;math&gt;(1, 1)^T&lt;/math&gt; erzeugte Unterraum &lt;math&gt;U \subseteq (\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;, entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke.
[[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualisierung eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;+(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um &lt;math&gt;-(1,0)^T&lt;/math&gt; von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus:
[[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualisierung der Nebenklassen eines Unterraums in F3^2 auf einem Torus]]
Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten:

# Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}&lt;/math&gt;.
# Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist &lt;math&gt;{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}&lt;/math&gt;.

Wenn wir die Nebenklassen von &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; vollständig beschrieben.
}}

== Relationship between quotient space and complement ==
Im Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; rechnen wir mit Vektoren in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bis auf Abweichungen in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Anteile in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Anker:Komplement UVR|Komplement]]. Ein Komplement eines Unterraums &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; ist ein Unterraum &lt;math&gt;W\subseteq V&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;U\oplus W=V&lt;/math&gt; gilt. Hierbei bezeichnet &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; die [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Direkte_Summe#Direkte_Summe_von_Vektorr%C3%A4umen|innere direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\oplus W=U+W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Ein Vektor &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; lässt sich dann eindeutig schreiben als &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;. Das Komplement selbst muss aber [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Nichteindeutigkeit_von_Komplementen|nicht eindeutig]] sein! Es kann verschiedene Unterräume &lt;math&gt;W,W'\subseteq V&lt;/math&gt; geben, mit &lt;math&gt;U\oplus W=V=U\oplus W'&lt;/math&gt;. 

Beim Faktorraum &quot;vergessen&quot; wir den Anteil von &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;, der in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf die Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V\to V/U, \quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
Ist &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt; für eindeutige &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, dann können wir analog den &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-Teil vergessen, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf den &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;-Teil &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w&lt;/math&gt;}}
Anscheinend ähneln sich &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und ein Komplement &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;. Können wir die beiden Vektorräume &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; identifizieren, d.h. sind sie [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Isomorphismus_(Lineare_Algebra)|isomorph]]? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Isomorphism between complement and quotient space
 |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |satz=Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann ist die Projektion &lt;math&gt;f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U&lt;/math&gt; ein linearer Isomorphismus zwischen &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; und dem Quotientenraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.
 |beweis=
Wir wollen zeigen, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear, d.h. mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich, und bijektiv ist.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Linearity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Da &lt;math&gt;W \subseteq V&lt;/math&gt; ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt, es gilt für &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v, w \in W&lt;/math&gt;
{{Formel|&lt;math&gt;f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)&lt;/math&gt;}}
sowie
{{Formel|&lt;math&gt;f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Surjectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Sei &lt;math&gt;v + U \in V/U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement zu &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist, finden wir &lt;math&gt;u \in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w \in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v = u+w&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{formel|&lt;math&gt;f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,&lt;/math&gt;}}
wobei wir in &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; benutzt haben, dass &lt;math&gt;(w+u)-w=u\in U&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w+U=(w+u)+U&lt;/math&gt; gilt. Also ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; surjektiv.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Injectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Wir zeigen &lt;math&gt;\ker(f)=\{0\}&lt;/math&gt;. Sei dafür &lt;math&gt;w\in\ker(f)&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Also gilt &lt;math&gt;w+U=f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;w=w-0\in U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ist, gilt &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;w\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, folgt &lt;math&gt;w\in U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w=0&lt;/math&gt;.
}}
}}
Wir haben gesehen, dass &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; isomorph zu jedem beliebigen Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten &lt;math&gt;U\oplus V/U=V&lt;/math&gt;. Doch Achtung: Weil &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; kein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; bilden.
Wir können aber stattdessen die [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äußere_direkte_Summe|''äußere'' direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; betrachten:
{{Formel|&lt;math&gt;U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}&lt;/math&gt;}}
Dies kann zwar nicht gleich &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; sein, aber isomorph zu &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Das werden wir nun zeigen. 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=&lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;
 |satz=Sei &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum eines &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraums &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann gilt &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;. 
 |beweis= 
Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U+W=V&lt;/math&gt;. Aus dem [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|vorherigen Satz]] wissen wir, dass die Abbildung
{{Formel|&lt;math&gt;f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist. Wir zeigen damit zunächst, dass
{{Formel|&lt;math&gt;g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist, wobei hier &lt;math&gt;U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}&lt;/math&gt; die ''äußere'' direkte Summe bezeichnet.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is linear
 |beweisschritt= Es gilt &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;. Damit folgt direkt, dass &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; linear ist, da Addition und skalare Multiplikation auf &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; komponentenweise definiert sind und &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear sind.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is bijective
 |beweisschritt= Das folgt ebenfalls aus &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;, da die Identität &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bijektiv sind.
}}
Wir haben also &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong U\oplus W&lt;/math&gt;. Nach '''diesem Satz''' ist die innere direkte Summe der Unterräume &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; isomorph zu ihrer äußeren direkten Summe. Also gilt &lt;math&gt;V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U&lt;/math&gt;, wobei mit &lt;math&gt;U\oplus_I W&lt;/math&gt; die innere direkte Summe von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; gemeint ist.
{{todo|&quot;diesem Satz&quot; zum passenden Satz verlinken}}
}}

== Exercises ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=The projection is linear
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; a subspace. Show that the canonical projection.
{{Formel|&lt;math&gt;\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
is linear.
 |lösung=
Let &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; be arbitrary. We again write &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; for the vector space structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. We then have
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
  &amp; \pi(\lambda v+w) \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\  \text{definition of }\pi   \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda v+w)+U \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxplus \right.} \\[0.3em]
= &amp; ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxdot  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\pi  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w).
\end{align}&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; is linear.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
      <sha1>0kga47569ccf2r8b31b4lcxd95ckrck</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <timestamp>2022-07-20T17:31:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sascha Lill 95</username>
        <id>82704</id>
      </contributor>
      <comment>/* Examples */</comment>
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      <text bytes="30349" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
In this article we consider the ''quotient space'' &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; of a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with respect to a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. The quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space in which we can do computations as in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, up to an addition of arbitrary terms from &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.

== Introduction == 
===Computations with solutions of a linear system===
We consider the matrix
{{Formel|&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 1\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;}}
We now want to solve the linear system of equations &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; for different vectors &lt;math&gt;b \in \R^2&lt;/math&gt;. For example, taking &lt;math&gt;b_1 = (3,-7)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_1 = (1,2,-4)^T&lt;/math&gt; and for &lt;math&gt;b_2 = (1,2)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_2 = (2,0,3)^T&lt;/math&gt;. That is, &lt;math&gt;Ax_1 = b_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;Ax_2 = b_2&lt;/math&gt; hold. What is then the solution for &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;? To find this out, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;: We just have to add our previous solutions together, since &lt;math&gt;A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2&lt;/math&gt;. Thus, a solution to &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt; is given by &lt;math&gt;x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T&lt;/math&gt;.

The solution to the above system of equations is not unique. For instance, the system &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_1' = (2,1,-4)^T&lt;/math&gt; and the system &lt;math&gt;Ax = b_2&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_2' = (-1,3,3)^T&lt;/math&gt;. The solutions &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt;, as well as &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2'&lt;/math&gt; differ from each other. Their differences are &lt;math&gt;x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T&lt;/math&gt;. Both &lt;math&gt;(-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(3,-3,0)^T&lt;/math&gt; are solutions to the (homogeneous) linear system &lt;math&gt;Ax = 0&lt;/math&gt;. That is, they lie in the ''kernel'' of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.{{todo| Link kernel of a matrix}}
This &quot;kernel property&quot; is true in general: if &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; are two different solutions of &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, they differ exactly by an element in the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, because &lt;math&gt;A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0&lt;/math&gt;. Since the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; is important, we give it the separate name &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in the following.
Conversely, whenever we have two solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1 + b_2&lt;/math&gt;, then their difference &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')&lt;/math&gt; is in the kernel &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So once a single solution is found, then the kernel can be used to find all solutions to the system. Put differently, we can consider two vectors whose difference is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; as equivalent, since if one vector solves &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, then the other also does.

For scalar multiplication by &lt;math&gt;\lambda\in \R&lt;/math&gt;, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; again: We have a solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; and we want to solve &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt; without recalculating. Again, we can obtain a solution by using our already determined solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;: We have &lt;math&gt;A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; is a solution to &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt;. For the second solution &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; this also works: &lt;math&gt;x = \lambda x_1'&lt;/math&gt; is a solution of &lt;math&gt;Ax=\lambda b&lt;/math&gt;. Again, the difference of both (equivalent) solutions &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda x_1'&lt;/math&gt; is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So we can scale solutions of linear systems to find solutions to scaled systems. While scaling, the differences stay in &lt;math&gt;\ker(A)=U&lt;/math&gt;, so both solutions stay equivalent.
A different way to say that two vectors are equivalent is to say that they are ''the same modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;'' whenever they differ only by some vector in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. For example, the solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of the system of equations &lt;math&gt;Ax=b_1+b_2&lt;/math&gt; are equal modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, since &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2') \in U&lt;/math&gt;. When calculating with solutions of systems of linear equations, we therefore calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.


=== Construction of the quotient space ===
In the example, we made calculations in a vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, but only looked at the results up to differences in a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. That is, we considered two vectors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; as equivalent, whenever &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt;. To formalise these &quot;calculations up to some element in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;&quot;, we identify vectors which using an [[Serlo: EN: Equivalence relation|equivalence relation]] &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; that is defined by
{{Formel|&lt;math&gt;v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.&lt;/math&gt;}}
This is exactly the relation we used to define [[Serlo: EN: Cosets of a subspace#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|cosets of a subspace]]. In this article, we have also checked that &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; is an equivalence relation. Mathematically, the set of all equivalence classes is denoted by &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

We will now show that on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we can define a natural vector space structure. To do so, we introduce an addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and a scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;: For &lt;math&gt;v+U, w+U \in V/U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; we define
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w + U) &amp;:= (v+w) + U\\
\lambda \boxdot (v+U) &amp; := (\lambda \cdot v) + U
\end{align}&lt;/math&gt;}}
These definitions make use of [[Serlo: EN: Equivalence relation#Anker:Äquivalenzklasse|representatives]]. That is, we took one element from each involved coset to define &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. However, we still have to show that the definitions are independent of the chosen representative.

That is, we must show that this definition is independent of the choice of representative and thus makes sense. We give this proof [[Serlo: EN: Quotient space#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|further below]].
The property that a mathematical definition makes sense is also called ''well-definedness''.

We also need to show that &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space with this addition and scalar multiplication, which we will do [[Serlo: EN: Quotient space#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|below]].

== Definition ==
In the previous section, we considered what a vector space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; might look like, in which we can calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
The elements of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are the cosets &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. We want to define the vector space structure using the representatives. [[#Anker:Wohldefiniertheit|Further below]] , we then show that the definition makes mathematical sense, that is, the vector space structure is proven to be ''well--defined''.

To distinguish addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; from that on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, we refer to the operations on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as &quot;&lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;&quot; in this article. Other articles and sources mostly use &quot;&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;&quot; for the vector space operations.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Quotient space
 |definition=
Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; be a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with

{{Formel|&lt;math&gt;V/U = \{v + U\mid v \in V\}&lt;/math&gt;}}

being the set of [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|cosets]] of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Further, let &lt;math&gt;v,w be \in V&lt;/math&gt;. 

We define the ''addition'' in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; by:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\
&amp;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 

Analogously, we define ''scalar multiplication'' on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\
&amp;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 
}}
=== Explanation of the definition ===
A short explanation concerning the brackets appearing in &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U&lt;/math&gt;: To define the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we need two vectors from &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Vectors in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are cosets, so &lt;math&gt;(v+U)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(w+U)&lt;/math&gt; denote cosets given by &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt;. The expression &lt;math&gt;(v+w)+U&lt;/math&gt; is also a coset, namely the one associated with &lt;math&gt;v+w&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{coset}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{coset}}}}_{\text{addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{addition in } V} } +U}_{\text{coset}}}
&lt;/math&gt;}}
The scalar multiplication works similarly: For a scalar &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; and a coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; we want to define &lt;math&gt;\lambda\boxdot (v+U)&lt;/math&gt;. For this we first calculate the scalar product &lt;math&gt;\lambda\cdot v&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the associated coset &lt;math&gt;(\lambda\cdot v)+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;
{\color{OliveGreen}\underbrace{
\lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{coset}}}}_{\text{scalar multiplication in } V/U }}
= 
{\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{scalar multiplication in }V} }+U}_{\text{coset}}  }
&lt;/math&gt;}}
So we first execute the addition or scalar multiplication of the representatives in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the coset to get the addition or scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Mathematically, we also say that the vector space structure on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; &quot;induces&quot; the structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

=== Well-defined operations in the quotient space {{Anker|Wohldefiniertheit}} ===
We want to check whether the operations of &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; are independent of the choice of representatives - that is, ''they are well-defined''.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Well-defined operations in the quotient space
 |satz=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq
V&lt;/math&gt; a subspace of vectors.
Then addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are well-defined.
 |beweis=
For well-definedness, we need to show the following:
If in the definition, we plug in different representatives of the coset(s) on the left-hand side, we end up with the same coset on the right-hand side.
Mathematically, we have to show :
* For &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w + U = w' + U&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(v + w) + U = (v' + w') + U&lt;/math&gt;.
* For &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined addition
 |beweisschritt= By definition of a [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|coset]] we have to show that &lt;math&gt;(v+w) - (v' + w') \in U&lt;/math&gt; holds.
Since &lt;math&gt;(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')&lt;/math&gt;, this is equivalent to &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Now &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; or &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w'&lt;/math&gt; each represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Thus, &lt;math&gt;v-v', w-w' \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, it follows that &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
So the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; is indeed independent of the choice of representatives.

}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined scalar multiplication
 |beweisschritt=Well-definedness of the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; can be seen in same way:
In the above notation, we have to show that &lt;math&gt;\lambda\cdot v - \lambda\cdot v' = \lambda\cdot (v-v') \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, we have &lt;math&gt;v-v' \in U&lt;/math&gt;.
And since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace, we also have &lt;math&gt;\lambda\cdot(v-v') \in U&lt;/math&gt;.
So the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; is also independent of the choice of representative.
}}
}}

===Establishing the vector space axioms===

We show that the quotient space is again a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space by taking the axioms valid for &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and inferring those axioms of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Hence, taking quotient spaces is a way to generate new vector spaces from an existing &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space, just like taking subspaces.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Proof of the vector space axioms in quotient space
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; a subspace of it, then &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; with the operations &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; defined above is also a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space
 |lösung=
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Establishing properties of a commutative additive group (also called an [[w: EN: Abelian group|Abelian group]]).
 |beweisschritt=
We first consider the properties of addition. For this let &lt;math&gt;v,w,z \in V&lt;/math&gt;.

'''1. Associativity:''' 

We trace back the associativity to associativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align} 
(v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &amp;=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em]
&amp;= (v+(w+z))+U  \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associativity in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+z)+U \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em]
&amp;= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Commutativity'''

We also trace commutativity back to commutativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w+U) &amp;=(v+w)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{commutativity in the vector space }V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (w+v)+U \\[0.3em]
&amp;= (w+U) \boxplus (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''3. Existence of a neutral element'''

Since we are considering displacements of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, the coset &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt; should be the neutral element with respect to addition. We can verify this by using that &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; is the neutral element in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U&lt;/math&gt;}}

'''4. Existence of an inverse'''

We consider the coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. For the inverse &lt;math&gt;v'+U&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;, we need that

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.&lt;/math&gt;}}

Thus, the addition of an element with its inverse indeed yields the neutral element &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;. 

We also trace the inverse of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; back to inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; be a representative of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(-v)&lt;/math&gt; its inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then,

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.&lt;/math&gt;}}
Thus, the element inverse to &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;-v+U&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Distributive laws
 |beweisschritt=
'''1. Scalar Distributive Law'''

Multiplication of a vector (in a quotient space, i.e., the vector is a coset) with a sum of scalars yields: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em]
&amp;= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}

'''2. Vector Distributive Law'''

Likewise, we can show that the distributive law also holds for the multiplication of a scalar with the sum of two vectors (i.e., with two cosets in the quotient space): 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lambda  \boxdot (v+U \boxplus w+U) &amp;= \lambda  \boxdot (v+w)+U \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
|ziel=Properties of scalar multiplication
|beweisschritt=
We now show that the scalar multiplication of cosets also satisfies the corresponding vector space axioms. Again, we trace back properties in the quotient space back to the corresponding properties in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. To this end, let &lt;math&gt;\lambda, \mu \in K&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v,
w \in V&lt;/math&gt;. Then the following axioms hold: 

'''1. Associative law for scalars'''

The scalar multiplication is associative, since

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda  \cdot \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associative law in the vector space } V \right.}\\
&amp;= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\
&amp;=\lambda \boxdot  ((\mu v)+U)\\
&amp;=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U))
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Neutral element of scalar multiplication'''

We want to prove that &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is also the neutral element for &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. 
That is, &lt;math&gt;1 \boxdot (v+U)=v+U&lt;/math&gt; must hold. Since 1 is neutral in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and since &lt;math&gt;1\boxdot v = v&lt;/math&gt;, we get
{{Formel|&lt;math&gt;1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is the
neutral element of scalar multiplication and &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is indeed a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space.
}}}}

== Examples ==
=== Satellite images ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
  |titel=Satellite images
  |beispiel=
[[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline of New York]]
[[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellite image of New York]]

We imagine that we are standing on a vantage point in New York City from which we are looking at the skyline. In this situation, we will see the city in three dimensions. So objects (e.g. skyscrapers) can be identified with vectors in &lt;math&gt;V = \R^3&lt;/math&gt;. However, there are also situations where we want to look at the city in only two dimensions, for instance, when taking a virtual tour using a map or a satellite image of New York.

If we want to create a map or a satellite image, we need to &quot;project&quot; information from three dimensions into two dimensions. This process can mathematically be described by a reduction to some quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

For example, let us take a look at the edge of a skyscraper. On the oblique image, we see that an edge reaches about 600 feet up into the air. However, on the satellite image, the edge is just displayed as a dot. So all points (= vectors) on the edge are identified with this one dot. The dot is then a coset in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. The vector space &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is given by the (1-dimensional) &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-axis, since after adding a vector on the &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-axis (i.e., shifting a point up or down), we end up at the same dot on the sattelite image. The space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; contains all dots, i.e., it corresponds to the (2-dimensional) map.

}}

=== Example in finite vector space ===
Now, we turn to a more abstract mathematical example, that will involve some donuts.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Quotient space in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;
 |beispiel=
In the [[Serlo: EN: Vector space#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|vector space article]], we considered the abstract mathematical set &lt;math&gt;(\Z/5\Z)^2&lt;/math&gt;, which can be seen as lattice points on a [[w: EN: Torus|torus]] (= surface of a donut). Using the same method, we can think of &lt;math&gt;(\Z/3\Z)^2&lt;/math&gt; as 9 lattice points on a torus as well:

We obtain a torus from a square by stretching gluing the edges as follows:
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Gluing a square to a torus]]
[[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Forming a torus from a plane]]
In other words, the surface of a donut is the same as a square, where, if you walk out on one edge, you immediately enter it at the opposite side.
Thus we may visualize &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; as follows: On the torus, we draw nine points in lattice form. We then get the following picture:
[[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualization of a two-dimensional vector space over a field with three elements on a torus]]

The subspace &lt;math&gt;U \subseteq (\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; generated by &lt;math&gt;(1, 1)^T&lt;/math&gt;, corresponds to a discrete straight line. We put this line through the above points.
[[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualization of a subspace in F3^2 on a torus]]
We now have points lying on two different sides directly next to our line. Some points are lying directly to the right of the line; that is, they are displaced from the straight line by &lt;math&gt;+(1,0)^T&lt;/math&gt;. Some other points lie directly to the left of our line; that is, they are displaced by &lt;math&gt;-(1,0)^T&lt;/math&gt;. In the picture it looks like this:
[[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualization of the cosets of a subspace in F3^2 on a torus]]
The vector space &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; also allows for &quot;adding the points on the donut&quot;: Here, we get the following relations:

# If we add a point on the left and a point on the right of the line, we get a point on the line: For example, &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}&lt;/math&gt;.
# If we add two points on the left of the line, we get a point on the right: For example, we have &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}&lt;/math&gt;.
# If we add two points on the right of the line, we get a point on the left: For example, &lt;math&gt;{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}&lt;/math&gt;.

If we form the quotient space &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; (with 3 cosets), we see that two points have the same position with respect to the line (on/left/right) if they are in the same coset. Each coset then consists of 3 points. Furthermore, our addition relations above just represent the addition on the quotient space &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt;.
}}

== Relationship between quotient space and complement ==
Im Faktorraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; rechnen wir mit Vektoren in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; bis auf Abweichungen in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. Anteile in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Anker:Komplement UVR|Komplement]]. Ein Komplement eines Unterraums &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; ist ein Unterraum &lt;math&gt;W\subseteq V&lt;/math&gt;, sodass &lt;math&gt;U\oplus W=V&lt;/math&gt; gilt. Hierbei bezeichnet &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; die [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Direkte_Summe#Direkte_Summe_von_Vektorr%C3%A4umen|innere direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\oplus W=U+W&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Ein Vektor &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; lässt sich dann eindeutig schreiben als &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;. Das Komplement selbst muss aber [[Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vektorraum:_Innere_direkte_Summe_und_Komplement#Nichteindeutigkeit_von_Komplementen|nicht eindeutig]] sein! Es kann verschiedene Unterräume &lt;math&gt;W,W'\subseteq V&lt;/math&gt; geben, mit &lt;math&gt;U\oplus W=V=U\oplus W'&lt;/math&gt;. 

Beim Faktorraum &quot;vergessen&quot; wir den Anteil von &lt;math&gt;v&lt;/math&gt;, der in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; liegt, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf die Nebenklasse &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V\to V/U, \quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
Ist &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt; für eindeutige &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, dann können wir analog den &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-Teil vergessen, indem wir &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; auf den &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;-Teil &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; abbilden:
{{Formel|&lt;math&gt;V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w&lt;/math&gt;}}
Anscheinend ähneln sich &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und ein Komplement &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;. Können wir die beiden Vektorräume &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; identifizieren, d.h. sind sie [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Isomorphismus_(Lineare_Algebra)|isomorph]]? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Isomorphism between complement and quotient space
 |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |satz=Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann ist die Projektion &lt;math&gt;f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U&lt;/math&gt; ein linearer Isomorphismus zwischen &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; und dem Quotientenraum &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.
 |beweis=
Wir wollen zeigen, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear, d.h. mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich, und bijektiv ist.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Linearity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Da &lt;math&gt;W \subseteq V&lt;/math&gt; ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt, es gilt für &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;v, w \in W&lt;/math&gt;
{{Formel|&lt;math&gt;f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)&lt;/math&gt;}}
sowie
{{Formel|&lt;math&gt;f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Surjectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Sei &lt;math&gt;v + U \in V/U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement zu &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist, finden wir &lt;math&gt;u \in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w \in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;v = u+w&lt;/math&gt;. Dann gilt
{{formel|&lt;math&gt;f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,&lt;/math&gt;}}
wobei wir in &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; benutzt haben, dass &lt;math&gt;(w+u)-w=u\in U&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w+U=(w+u)+U&lt;/math&gt; gilt. Also ist &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; surjektiv.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Injectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Wir zeigen &lt;math&gt;\ker(f)=\{0\}&lt;/math&gt;. Sei dafür &lt;math&gt;w\in\ker(f)&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Also gilt &lt;math&gt;w+U=f(w)=0+U&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;w=w-0\in U&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ist, gilt &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Da &lt;math&gt;w\in U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, folgt &lt;math&gt;w\in U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und somit &lt;math&gt;w=0&lt;/math&gt;.
}}
}}
Wir haben gesehen, dass &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; isomorph zu jedem beliebigen Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten &lt;math&gt;U\oplus V/U=V&lt;/math&gt;. Doch Achtung: Weil &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; kein Untervektorraum von &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; bilden.
Wir können aber stattdessen die [[Mathe_für_Nicht-Freaks:_Äußere_direkte_Summe|''äußere'' direkte Summe]] von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; betrachten:
{{Formel|&lt;math&gt;U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}&lt;/math&gt;}}
Dies kann zwar nicht gleich &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; sein, aber isomorph zu &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Das werden wir nun zeigen. 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=&lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;
 |satz=Sei &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; ein Untervektorraum eines &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-Vektorraums &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Dann gilt &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;. 
 |beweis= 
Sei &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; ein Komplement von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, d.h. &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;U+W=V&lt;/math&gt;. Aus dem [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|vorherigen Satz]] wissen wir, dass die Abbildung
{{Formel|&lt;math&gt;f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist. Wir zeigen damit zunächst, dass
{{Formel|&lt;math&gt;g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)&lt;/math&gt;}}
ein Isomorphismus ist, wobei hier &lt;math&gt;U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}&lt;/math&gt; die ''äußere'' direkte Summe bezeichnet.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is linear
 |beweisschritt= Es gilt &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;. Damit folgt direkt, dass &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; linear ist, da Addition und skalare Multiplikation auf &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; komponentenweise definiert sind und &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; linear sind.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is bijective
 |beweisschritt= Das folgt ebenfalls aus &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;, da die Identität &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; bijektiv sind.
}}
Wir haben also &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong U\oplus W&lt;/math&gt;. Nach '''diesem Satz''' ist die innere direkte Summe der Unterräume &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; isomorph zu ihrer äußeren direkten Summe. Also gilt &lt;math&gt;V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U&lt;/math&gt;, wobei mit &lt;math&gt;U\oplus_I W&lt;/math&gt; die innere direkte Summe von &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; gemeint ist.
{{todo|&quot;diesem Satz&quot; zum passenden Satz verlinken}}
}}

== Exercises ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=The projection is linear
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; a subspace. Show that the canonical projection.
{{Formel|&lt;math&gt;\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
is linear.
 |lösung=
Let &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; be arbitrary. We again write &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; for the vector space structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. We then have
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
  &amp; \pi(\lambda v+w) \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\  \text{definition of }\pi   \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda v+w)+U \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxplus \right.} \\[0.3em]
= &amp; ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxdot  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\pi  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w).
\end{align}&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; is linear.
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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    </revision>
    <revision>
      <id>999741</id>
      <parentid>999740</parentid>
      <timestamp>2022-07-20T17:50:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sascha Lill 95</username>
        <id>82704</id>
      </contributor>
      <comment>/* Relationship between quotient space and complement */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29900" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
In this article we consider the ''quotient space'' &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; of a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with respect to a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. The quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space in which we can do computations as in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, up to an addition of arbitrary terms from &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.

== Introduction == 
===Computations with solutions of a linear system===
We consider the matrix
{{Formel|&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ -1 &amp; -1 &amp; 1\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;}}
We now want to solve the linear system of equations &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt; for different vectors &lt;math&gt;b \in \R^2&lt;/math&gt;. For example, taking &lt;math&gt;b_1 = (3,-7)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_1 = (1,2,-4)^T&lt;/math&gt; and for &lt;math&gt;b_2 = (1,2)^T&lt;/math&gt;, we get a solution &lt;math&gt;x_2 = (2,0,3)^T&lt;/math&gt;. That is, &lt;math&gt;Ax_1 = b_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;Ax_2 = b_2&lt;/math&gt; hold. What is then the solution for &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt;? To find this out, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;: We just have to add our previous solutions together, since &lt;math&gt;A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b_1 + b_2&lt;/math&gt;. Thus, a solution to &lt;math&gt;Ax = b_1+b_2&lt;/math&gt; is given by &lt;math&gt;x_1 + x_2 = (3,2,-1)^T&lt;/math&gt;.

The solution to the above system of equations is not unique. For instance, the system &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_1' = (2,1,-4)^T&lt;/math&gt; and the system &lt;math&gt;Ax = b_2&lt;/math&gt; is also solved by &lt;math&gt;x_2' = (-1,3,3)^T&lt;/math&gt;. The solutions &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt;, as well as &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2'&lt;/math&gt; differ from each other. Their differences are &lt;math&gt;x_1 = x_1' + (-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_2 = x_2' + (3,-3,0)^T&lt;/math&gt;. Both &lt;math&gt;(-1,1,0)^T&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(3,-3,0)^T&lt;/math&gt; are solutions to the (homogeneous) linear system &lt;math&gt;Ax = 0&lt;/math&gt;. That is, they lie in the ''kernel'' of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;.{{todo| Link kernel of a matrix}}
This &quot;kernel property&quot; is true in general: if &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x'&lt;/math&gt; are two different solutions of &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, they differ exactly by an element in the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, because &lt;math&gt;A(x-x') = Ax-Ax' = b - b = 0&lt;/math&gt;. Since the kernel of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; is important, we give it the separate name &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in the following.
Conversely, whenever we have two solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1 + b_2&lt;/math&gt;, then their difference &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2')&lt;/math&gt; is in the kernel &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So once a single solution is found, then the kernel can be used to find all solutions to the system. Put differently, we can consider two vectors whose difference is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; as equivalent, since if one vector solves &lt;math&gt;Ax = b&lt;/math&gt;, then the other also does.

For scalar multiplication by &lt;math&gt;\lambda\in \R&lt;/math&gt;, we can use linearity of &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; again: We have a solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;Ax = b_1&lt;/math&gt; and we want to solve &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt; without recalculating. Again, we can obtain a solution by using our already determined solution &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt;: We have &lt;math&gt;A(\lambda x_1) = \lambda(Ax_1) = \lambda b_1&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; is a solution to &lt;math&gt;Ax = \lambda b_1&lt;/math&gt;. For the second solution &lt;math&gt;x_1'&lt;/math&gt; this also works: &lt;math&gt;x = \lambda x_1'&lt;/math&gt; is a solution of &lt;math&gt;Ax=\lambda b&lt;/math&gt;. Again, the difference of both (equivalent) solutions &lt;math&gt;\lambda x_1&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda x_1'&lt;/math&gt; is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So we can scale solutions of linear systems to find solutions to scaled systems. While scaling, the differences stay in &lt;math&gt;\ker(A)=U&lt;/math&gt;, so both solutions stay equivalent.
A different way to say that two vectors are equivalent is to say that they are ''the same modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;'' whenever they differ only by some vector in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. For example, the solutions &lt;math&gt;x_1+x_2&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;x_1'+x_2'&lt;/math&gt; of the system of equations &lt;math&gt;Ax=b_1+b_2&lt;/math&gt; are equal modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, since &lt;math&gt;(x_1+x_2) - (x_1'+x_2') \in U&lt;/math&gt;. When calculating with solutions of systems of linear equations, we therefore calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.


=== Construction of the quotient space ===
In the example, we made calculations in a vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, but only looked at the results up to differences in a subspace &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. That is, we considered two vectors &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; as equivalent, whenever &lt;math&gt;v-v'\in U&lt;/math&gt;. To formalise these &quot;calculations up to some element in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;&quot;, we identify vectors which using an [[Serlo: EN: Equivalence relation|equivalence relation]] &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; that is defined by
{{Formel|&lt;math&gt;v\sim v'\quad :\iff \quad v -v' \in U.&lt;/math&gt;}}
This is exactly the relation we used to define [[Serlo: EN: Cosets of a subspace#Definition:Menge der Nebenklassen eines Unterraums|cosets of a subspace]]. In this article, we have also checked that &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; is an equivalence relation. Mathematically, the set of all equivalence classes is denoted by &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

We will now show that on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we can define a natural vector space structure. To do so, we introduce an addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and a scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;: For &lt;math&gt;v+U, w+U \in V/U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; we define
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w + U) &amp;:= (v+w) + U\\
\lambda \boxdot (v+U) &amp; := (\lambda \cdot v) + U
\end{align}&lt;/math&gt;}}
These definitions make use of [[Serlo: EN: Equivalence relation#Anker:Äquivalenzklasse|representatives]]. That is, we took one element from each involved coset to define &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. However, we still have to show that the definitions are independent of the chosen representative.

That is, we must show that this definition is independent of the choice of representative and thus makes sense. We give this proof [[Serlo: EN: Quotient space#Satz:Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum|further below]].
The property that a mathematical definition makes sense is also called ''well-definedness''.

We also need to show that &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is a vector space with this addition and scalar multiplication, which we will do [[Serlo: EN: Quotient space#Aufgabe:Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum|below]].

== Definition ==
In the previous section, we considered what a vector space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; might look like, in which we can calculate modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
The elements of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are the cosets &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. We want to define the vector space structure using the representatives. [[#Anker:Wohldefiniertheit|Further below]] , we then show that the definition makes mathematical sense, that is, the vector space structure is proven to be ''well--defined''.

To distinguish addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; from that on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, we refer to the operations on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as &quot;&lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;&quot; in this article. Other articles and sources mostly use &quot;&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;&quot; and &quot;&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;&quot; for the vector space operations.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Quotient space
 |definition=
Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; be a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; with

{{Formel|&lt;math&gt;V/U = \{v + U\mid v \in V\}&lt;/math&gt;}}

being the set of [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|cosets]] of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Further, let &lt;math&gt;v,w be \in V&lt;/math&gt;. 

We define the ''addition'' in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; by:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxplus: (V/U\times V/U)\to V/U\\
&amp;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 

Analogously, we define ''scalar multiplication'' on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; as:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
&amp;\boxdot: (K\times V/U)\to V/U\\
&amp;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U. 
\end{align}&lt;/math&gt;}} 
}}
=== Explanation of the definition ===
A short explanation concerning the brackets appearing in &lt;math&gt;(v+U)\boxplus (w+U):= (v+w)+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \boxdot (v+U):= (\lambda \cdot v)+U&lt;/math&gt;: To define the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;, we need two vectors from &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Vectors in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are cosets, so &lt;math&gt;(v+U)&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(w+U)&lt;/math&gt; denote cosets given by &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt;. The expression &lt;math&gt;(v+w)+U&lt;/math&gt; is also a coset, namely the one associated with &lt;math&gt;v+w&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;{\color{OliveGreen}\underbrace{ {\color{Blue}\underbrace{v+U}_{\text{coset}}} \boxplus {\color{Blue}\underbrace{w+U}_{\text{coset}}}}_{\text{addition in }V/U} } = {\color{Blue} \underbrace{{\color{OliveGreen} \underbrace{(v+w)}_{\text{addition in } V} } +U}_{\text{coset}}}
&lt;/math&gt;}}
The scalar multiplication works similarly: For a scalar &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; and a coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; we want to define &lt;math&gt;\lambda\boxdot (v+U)&lt;/math&gt;. For this we first calculate the scalar product &lt;math&gt;\lambda\cdot v&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the associated coset &lt;math&gt;(\lambda\cdot v)+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;
{\color{OliveGreen}\underbrace{
\lambda\boxdot {\color{Blue}\underbrace{(v+U)}_{\text{coset}}}}_{\text{scalar multiplication in } V/U }}
= 
{\color{Blue}\underbrace{ {\color{OliveGreen} \underbrace{(\lambda \cdot v)}_{\text{scalar multiplication in }V} }+U}_{\text{coset}}  }
&lt;/math&gt;}}
So we first execute the addition or scalar multiplication of the representatives in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and then turn to the coset to get the addition or scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Mathematically, we also say that the vector space structure on &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; &quot;induces&quot; the structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

=== Well-defined operations in the quotient space {{Anker|Wohldefiniertheit}} ===
We want to check whether the operations of &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; are independent of the choice of representatives - that is, ''they are well-defined''.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Well-defined operations in the quotient space
 |satz=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq
V&lt;/math&gt; a subspace of vectors.
Then addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; are well-defined.
 |beweis=
For well-definedness, we need to show the following:
If in the definition, we plug in different representatives of the coset(s) on the left-hand side, we end up with the same coset on the right-hand side.
Mathematically, we have to show :
* For &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w + U = w' + U&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(v + w) + U = (v' + w') + U&lt;/math&gt;.
* For &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;: If &lt;math&gt;v + U = v' + U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt;, then &lt;math&gt;(\lambda\cdot v) + U = (\lambda\cdot v') + U&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined addition
 |beweisschritt= By definition of a [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|coset]] we have to show that &lt;math&gt;(v+w) - (v' + w') \in U&lt;/math&gt; holds.
Since &lt;math&gt;(v+w)-(v'+w') = v+w-v'-w' = (v-v') + (w-w')&lt;/math&gt;, this is equivalent to &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
Now &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; or &lt;math&gt;w&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w'&lt;/math&gt; each represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
Thus, &lt;math&gt;v-v', w-w' \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, it follows that &lt;math&gt;(v-v') + (w-w') \in U&lt;/math&gt;.
So the addition &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; is indeed independent of the choice of representatives.

}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Well-defined scalar multiplication
 |beweisschritt=Well-definedness of the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; can be seen in same way:
In the above notation, we have to show that &lt;math&gt;\lambda\cdot v - \lambda\cdot v' = \lambda\cdot (v-v') \in U&lt;/math&gt;.
Since &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v'&lt;/math&gt; represent the same coset modulo &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, we have &lt;math&gt;v-v' \in U&lt;/math&gt;.
And since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a subspace, we also have &lt;math&gt;\lambda\cdot(v-v') \in U&lt;/math&gt;.
So the scalar multiplication &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; is also independent of the choice of representative.
}}
}}

===Establishing the vector space axioms===

We show that the quotient space is again a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space by taking the axioms valid for &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and inferring those axioms of &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. Hence, taking quotient spaces is a way to generate new vector spaces from an existing &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space, just like taking subspaces.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Proof of the vector space axioms in quotient space
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U \subseteq V&lt;/math&gt; a subspace of it, then &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; with the operations &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; defined above is also a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space
 |lösung=
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Establishing properties of a commutative additive group (also called an [[w: EN: Abelian group|Abelian group]]).
 |beweisschritt=
We first consider the properties of addition. For this let &lt;math&gt;v,w,z \in V&lt;/math&gt;.

'''1. Associativity:''' 

We trace back the associativity to associativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align} 
(v+U)\boxplus ((w+U) \boxplus (z+U)) &amp;=(v+U) \boxplus ((w+z)+U) \\ [0.3em]
&amp;= (v+(w+z))+U  \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associativity in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+z)+U \\[0.3em]
&amp;= ((v+w)+U) \boxplus (z+U) \\[0.3em]
&amp;= ((v+U) \boxplus (w+U)) \boxplus (z+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Commutativity'''

We also trace commutativity back to commutativity in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(v+U) \boxplus (w+U) &amp;=(v+w)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{commutativity in the vector space }V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (w+v)+U \\[0.3em]
&amp;= (w+U) \boxplus (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''3. Existence of a neutral element'''

Since we are considering displacements of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, the coset &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt; should be the neutral element with respect to addition. We can verify this by using that &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; is the neutral element in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (0 + U) =(v+0)+U = v+U&lt;/math&gt;}}

'''4. Existence of an inverse'''

We consider the coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;. For the inverse &lt;math&gt;v'+U&lt;/math&gt; of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;, we need that

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U) \boxplus (v'+U)= 0+U.&lt;/math&gt;}}

Thus, the addition of an element with its inverse indeed yields the neutral element &lt;math&gt;0+U&lt;/math&gt;. 

We also trace the inverse of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; back to inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; be a representative of &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;(-v)&lt;/math&gt; its inverse in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then,

{{Formel|&lt;math&gt;(v+U)\boxplus ((-v)+U)=(v-v)+U = 0+U.&lt;/math&gt;}}
Thus, the element inverse to &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt; is &lt;math&gt;-v+U&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Distributive laws
 |beweisschritt=
'''1. Scalar Distributive Law'''

Multiplication of a vector (in a quotient space, i.e., the vector is a coset) with a sum of scalars yields: 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda + \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda +\mu)\cdot v)+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot v +\mu \cdot v)+U\\[0.3em]
&amp;= \lambda v +U \boxplus \mu v+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \mu \boxdot (v+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}

'''2. Vector Distributive Law'''

Likewise, we can show that the distributive law also holds for the multiplication of a scalar with the sum of two vectors (i.e., with two cosets in the quotient space): 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lambda  \boxdot (v+U \boxplus w+U) &amp;= \lambda  \boxdot (v+w)+U \\[0.3em]
&amp;= (\lambda \cdot (v+w))+U \\[0.3em]
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{distributive law in the vector space } V \right.} \\[0.3em]
&amp;= (\lambda v + \lambda w)+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda v+U \boxplus \lambda w+U \\[0.3em]
&amp;= \lambda \boxdot (v+U) \boxplus \lambda \boxdot (w+U)
\end{align}&lt;/math&gt;}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
|ziel=Properties of scalar multiplication
|beweisschritt=
We now show that the scalar multiplication of cosets also satisfies the corresponding vector space axioms. Again, we trace back properties in the quotient space back to the corresponding properties in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. To this end, let &lt;math&gt;\lambda, \mu \in K&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v,
w \in V&lt;/math&gt;. Then the following axioms hold: 

'''1. Associative law for scalars'''

The scalar multiplication is associative, since

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
(\lambda  \cdot \mu) \boxdot (v+U) &amp;= ((\lambda \cdot \mu) \cdot v)+U\\
&amp;\quad{\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{associative law in the vector space } V \right.}\\
&amp;= (\lambda \cdot (\mu) \cdot v))+U\\
&amp;=\lambda \boxdot  ((\mu v)+U)\\
&amp;=\lambda \boxdot (\mu \boxdot (v+U))
\end{align}&lt;/math&gt;}}


'''2. Neutral element of scalar multiplication'''

We want to prove that &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is also the neutral element for &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt;. 
That is, &lt;math&gt;1 \boxdot (v+U)=v+U&lt;/math&gt; must hold. Since 1 is neutral in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; and since &lt;math&gt;1\boxdot v = v&lt;/math&gt;, we get
{{Formel|&lt;math&gt;1 \boxdot (v+U) =(1 \cdot v) + U =v+U&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;1 \in K&lt;/math&gt; is the
neutral element of scalar multiplication and &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is indeed a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space.
}}}}

== Examples ==
=== Satellite images ===
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
  |titel=Satellite images
  |beispiel=
[[File:New York City (7558468802).jpg|thumb|Skyline of New York]]
[[File:New_York_satellite_map.jpg|thumb|Satellite image of New York]]

We imagine that we are standing on a vantage point in New York City from which we are looking at the skyline. In this situation, we will see the city in three dimensions. So objects (e.g. skyscrapers) can be identified with vectors in &lt;math&gt;V = \R^3&lt;/math&gt;. However, there are also situations where we want to look at the city in only two dimensions, for instance, when taking a virtual tour using a map or a satellite image of New York.

If we want to create a map or a satellite image, we need to &quot;project&quot; information from three dimensions into two dimensions. This process can mathematically be described by a reduction to some quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.

For example, let us take a look at the edge of a skyscraper. On the oblique image, we see that an edge reaches about 600 feet up into the air. However, on the satellite image, the edge is just displayed as a dot. So all points (= vectors) on the edge are identified with this one dot. The dot is then a coset in &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. The vector space &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is given by the (1-dimensional) &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-axis, since after adding a vector on the &lt;math&gt;x_3&lt;/math&gt;-axis (i.e., shifting a point up or down), we end up at the same dot on the sattelite image. The space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; contains all dots, i.e., it corresponds to the (2-dimensional) map.

}}

=== Example in finite vector space ===
Now, we turn to a more abstract mathematical example, that will involve some donuts.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Quotient space in &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt;
 |beispiel=
In the [[Serlo: EN: Vector space#Anker:Richtungen-komplizierter-VR|vector space article]], we considered the abstract mathematical set &lt;math&gt;(\Z/5\Z)^2&lt;/math&gt;, which can be seen as lattice points on a [[w: EN: Torus|torus]] (= surface of a donut). Using the same method, we can think of &lt;math&gt;(\Z/3\Z)^2&lt;/math&gt; as 9 lattice points on a torus as well:

We obtain a torus from a square by stretching gluing the edges as follows:
[[File:Torus from rectangle.gif|thumb|Gluing a square to a torus]]
[[File:Ebene zu Torus verkleben 01.png|center|500px|Forming a torus from a plane]]
In other words, the surface of a donut is the same as a square, where, if you walk out on one edge, you immediately enter it at the opposite side.
Thus we may visualize &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; as follows: On the torus, we draw nine points in lattice form. We then get the following picture:
[[File:Visualisierung von F3^2 auf Torus.png|center|500px|Visualization of a two-dimensional vector space over a field with three elements on a torus]]

The subspace &lt;math&gt;U \subseteq (\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; generated by &lt;math&gt;(1, 1)^T&lt;/math&gt;, corresponds to a discrete straight line. We put this line through the above points.
[[File:Unterraum von F3^2 aufgespannt durch (1,1) auf Torus.svg|center|Visualization of a subspace in F3^2 on a torus]]
We now have points lying on two different sides directly next to our line. Some points are lying directly to the right of the line; that is, they are displaced from the straight line by &lt;math&gt;+(1,0)^T&lt;/math&gt;. Some other points lie directly to the left of our line; that is, they are displaced by &lt;math&gt;-(1,0)^T&lt;/math&gt;. In the picture it looks like this:
[[File:Nebenklasse von (1,1) in F3^2 auf Torus.svg|center|Visualization of the cosets of a subspace in F3^2 on a torus]]
The vector space &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2&lt;/math&gt; also allows for &quot;adding the points on the donut&quot;: Here, we get the following relations:

# If we add a point on the left and a point on the right of the line, we get a point on the line: For example, &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Purple}(1,1)^T}&lt;/math&gt;.
# If we add two points on the left of the line, we get a point on the right: For example, we have &lt;math&gt;{\color{Red}(0,1)^T} + {\color{Red}(2,0)^T} = {\color{Blue}(2,1)^T}&lt;/math&gt;.
# If we add two points on the right of the line, we get a point on the left: For example, &lt;math&gt;{\color{Blue}(0,2)^T} + {\color{Blue}(1,0)^T} = {\color{Red}(1,2)^T}&lt;/math&gt;.

If we form the quotient space &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt; (with 3 cosets), we see that two points have the same position with respect to the line (on/left/right) if they are in the same coset. Each coset then consists of 3 points. Furthermore, our addition relations above just represent the addition on the quotient space &lt;math&gt;(\Z / 3\Z)^2/U&lt;/math&gt;.
}}

== Relationship between quotient space and complement ==
In the quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; we calculate with vectors in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; up to arbitrary modifications from &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. We know another construction that can be interpreted similarly: The [[Serlo: EN: Inner direct sum and complement#Anker:Komplement UVR|complement]]. A complement of a subspace &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; is a subspace &lt;math&gt;W\subseteq V&lt;/math&gt; such that &lt;math&gt;U\oplus W=V&lt;/math&gt;. Here &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; denotes the [[Serlo: EN:_Direct Sum#Direkte_Summe_von_Vektorr%C3%A4umen|inner direct sum]] of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, that is, &lt;math&gt;U\oplus W=U+W&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. A vector &lt;math&gt;v\in V&lt;/math&gt; can then be decomposed uniquely as &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt;, where &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;. But the complement itself is then [[Serlo: EN: Inner direct sum and complement#Nichteindeutigkeit_von_Komplementen|not unique]]! There can be different subspaces &lt;math&gt;W,W'\subseteq V&lt;/math&gt;, with &lt;math&gt;U\oplus W=V=U\oplus W'&lt;/math&gt;. 

For the quotient space, we &quot;forget&quot; the part of &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; that is in &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; by identifying &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; with the coset &lt;math&gt;v+U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;V\to V/U, \quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
If &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; is a complement of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v=u+w&lt;/math&gt; for distinct &lt;math&gt;u\in U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt;, then we can analogously forget the &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-part by mapping &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; to the &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;-part, called &lt;math&gt;w&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;V=U\oplus W\to W, \quad v=u+w\mapsto w&lt;/math&gt;}}
Apparently &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; and the complement &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; are similar. Can we identify the two vector spaces &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;, i.e., are they [[Serlo: EN:_Isomorphisms|isomorphic]]? Yes, they are, as we prove in the following theorem. 

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Isomorphism between complement and quotient space
 |anker=Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum
 |satz=Let &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; be a complement of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then the projection &lt;math&gt;f\colon W\to V/U; w\mapsto w + U&lt;/math&gt; is a linear isomorphism between &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; and the quotient space &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;.
 |beweis=
We want to show that &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is linear, i.e., compatible with addition and scalar multiplication, and bijective.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Linearity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Since &lt;math&gt;W \subseteq V&lt;/math&gt; is a subspace and scalar multiplication and addition is defined on representatives, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is compatible with addition and scalar multiplication. That is, for &lt;math&gt;\lambda \in K&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;v, w \in W&lt;/math&gt;, we have
{{Formel|&lt;math&gt;f(v + w) = (v+w) + U = (v+U) \boxplus (w+U) = f(v) \boxplus f(w)&lt;/math&gt;}}
and
{{Formel|&lt;math&gt;f(\lambda\cdot v) = (\lambda\cdot v) + U = \lambda \boxdot (v + U) = \lambda \boxdot f(v).&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Surjectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
Let &lt;math&gt;v + U \in V/U&lt;/math&gt;. Since &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; is a complement of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, we find &lt;math&gt;u \in U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w \in W&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;v = u+w&lt;/math&gt;. Then 
{{formel|&lt;math&gt;f(w) = w + U \overset{(*)}{=} (w + u) + U = v+U,&lt;/math&gt;}}
where we used in &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; that &lt;math&gt;(w+u)-w=u\in U&lt;/math&gt; and thus &lt;math&gt;w+U=(w+u)+U&lt;/math&gt; holds. So &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; is surjective.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Injectivity of &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;
 |beweisschritt=
We show &lt;math&gt;\ker(f)=\{0\}&lt;/math&gt;. Let &lt;math&gt;w\in\ker(f)&lt;/math&gt;, i.e. &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; with &lt;math&gt;f(w)=0+U&lt;/math&gt;. So &lt;math&gt;w+U=f(w)=0+U&lt;/math&gt; holds. Thus &lt;math&gt;w=w-0\in U&lt;/math&gt;. Since &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; is a complement of &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;, we have &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;. Further, &lt;math&gt;w\in U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;w\in W&lt;/math&gt; implies &lt;math&gt;w\in U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt;, so &lt;math&gt;w=0&lt;/math&gt;.
}}
}}
We have seen that &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is isomorphic to any complement of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;. So it should also behave like a complement, i.e. &lt;math&gt;U\oplus V/U=V&lt;/math&gt; should hold. But be careful: Because &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt; is not a subspace of &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, we cannot form the inner direct sum with &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;.
However, we can still consider the [[Serlo: EN: Outer_direct_sum|''outer'' direct sum]] of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;:
{{Formel|&lt;math&gt;U\oplus V/U=\{(u,v+U)\mid u\in U, v+U\in V/U\}&lt;/math&gt;}}
This may not be equal to &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;, but it may be isomorphic to &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. And we will show that it indeed is isomorphic.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=&lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt;
 |satz=Let &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; be a subspace of a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space &lt;math&gt;V&lt;/math&gt;. Then, &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong V&lt;/math&gt; holds. 
 |beweis= 
Let &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; be a complement of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;, i.e. &lt;math&gt;U\cap W=\{0\}&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;U+W=V&lt;/math&gt;. From the [[#Satz:Isomorphismus vom Komplement und Faktorraum|previous theorem]] we know that the function
{{Formel|&lt;math&gt;f\colon W\to V/U,\quad w\mapsto w+U&lt;/math&gt;}}
is an isomorphism. We use this to show that
{{Formel|&lt;math&gt;g\colon U\oplus W\to U\oplus V/U,\quad (u,w)\mapsto (u,w+U)&lt;/math&gt;}}
is an isomorphism, where &lt;math&gt;U\oplus W=\{(u,w)\mid u\in U, w\in W\}&lt;/math&gt; denotes the ''outer'' direct sum.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is linear
 |beweisschritt= We have &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; for all &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;. It follows directly that &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is linear, since addition and scalar multiplication on &lt;math&gt;U\oplus W&lt;/math&gt; are defined component-wise and as &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; are linear.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; is bijective
 |beweisschritt= This also follows from &lt;math&gt;g(u,w)=(\operatorname{id}_U(u),f(w))&lt;/math&gt; for all &lt;math&gt;(u,w)\in U\oplus W&lt;/math&gt;, since the identity &lt;math&gt;\operatorname{id}_U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; are bijective.
}}
Thus we have &lt;math&gt;U\oplus V/U\cong U\oplus W&lt;/math&gt;. By '''this theorem''', the inner direct sum of the subspaces &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;W&lt;/math&gt; is isomorphic to their outer direct sum. So &lt;math&gt;V=U\oplus_I W\cong U \oplus W\cong U\oplus V/U&lt;/math&gt;, where &lt;math&gt;U\oplus_I W&lt;/math&gt; denotes the inner direct sum of &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;W&lt;/math&gt;.
{{todo|link &quot;this theorem&quot; to the appropriate theorem}}
}}

== Exercises ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=The projection is linear
 |aufgabe=Let &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; be a &lt;math&gt;K&lt;/math&gt;-vector space and &lt;math&gt;U\subseteq V&lt;/math&gt; a subspace. Show that the canonical projection.
{{Formel|&lt;math&gt;\pi\colon V\to V/U,\quad v\mapsto v+U&lt;/math&gt;}}
is linear.
 |lösung=
Let &lt;math&gt;v,w\in V&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\lambda\in K&lt;/math&gt; be arbitrary. We again write &lt;math&gt;\boxplus&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\boxdot&lt;/math&gt; for the vector space structure on &lt;math&gt;V/U&lt;/math&gt;. We then have
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
  &amp; \pi(\lambda v+w) \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\  \text{definition of }\pi   \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda v+w)+U \\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxplus \right.} \\[0.3em]
= &amp; ((\lambda v)+U)\boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\boxdot  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot (v+U)) \boxplus (w+U)\\[0.3em]
  &amp; {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{definition of }\pi  \right.} \\[0.3em]
= &amp; (\lambda \boxdot \pi(v)) \boxplus \pi(w).
\end{align}&lt;/math&gt;}}
So &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; is linear.
}}

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