Fruchtbringendes Wörterbuch: R

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    <title>Fruchtbringendes Wörterbuch: R</title>
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* '''Race-condition:''' Wettlaufsituation
* '''Racing team:''' Rennstall
* '''Rack:''' Platinengehäuse, Einbaugehäuse; Gestell, Regal
* '''Radar:''' Funkmeßtechnik, Funkmeß
* '''Radio frequency identification, RFID:''' siehe auch RFID-Etikett; Funkerkennung
* '''Ragequit:''' Das wutbedingte Verlassen von einem laufenden Videospiel, Wutschluss (als Wortneuschöpfung)
* '''Raid:''' Angriff, Festplattenverbund (EDV)
* '''Rallye:''' Rennen, Rennwettkampf, ggf. Sternfahrt
* '''Range (EDV):''' Bereich, Wertebereich
* '''Ranger:''' Wildhüter, Wild(park)wart, Wild(park)aufseher
* '''Range extender (Auto, EDV):''' Reichweitenvergrößerer
* '''Ranking:''' Rangliste, ggf. Bestenliste; Einstufung, Rangzuweisung, Rangverteilung
* '''Rapid prototyping:''' Schnellentwurf
* '''Rating:''' Bewertung, Bonitätsbewertung
* '''Rating-Agentur:''' Bonitätsagentur
* '''Razzia:''' Aushebung
* '''Reader:''' Lesebuch, -heft, Blütenlese
* '''Readme:''' Info, Wichtige Hinweise, Wichtig, Liesmich&lt;!--sehr gängig in deutschsprachigen Anwendungspaketen, wenn auch stilistisch nicht gut--&gt;
* '''Readme-Datei:''' Hinweisdatei, Liesmich-Datei, Bitte-lesen-Datei (gesehen bei der Installation von Adobe Photoshop)
* '''Reality show:''' Fernspannsendung &lt;!-- siehe Diskussion --&gt;
* '''Reality check:''' Zusammenprall mit der Wirklichkeit
* '''Reballing (EDV):''' Neubelotung, Neubeperlung, siehe auch Deballing.
* '''Receiver:''' siehe auch [[Fruchtbringendes Wörterbuch:_T|Tuner]]; Empfänger, Empfangsgerät, Radio
* '''Record:''' 1. Datensatz; 2. Schallplatte, Platte&lt;!--verkürztes Wort für LP--&gt;, LP&lt;!--je nach dem--&gt;
* '''Recorder:''' Rekorder, Aufnahmegerät
* '''recyclen, recyceln:''' rezyklieren (1/2006: 11.700), wiedergewinnen, wiederverwerten, wiederaufbereiten, *(wertstoff)kreiseln
* '''Recycling:''' Altstoffnutzung, Rezyklierung, Wiedergewinnung, Rohstoffwiederaufarbeitung, Wiederverwertung, Abfallverwertung, Wiederaufbereitung, *(Wertstoff)kreislung
* '''Redo:''' Wiederholen
* '''Reduced instruction set computing/computer, RISC:''' verringerter Befehlssatz-Rechner
* '''Refactoring:''' Umgestaltung, Quelltextumgestaltung (12/2005: 0), Quelltextbereinigung, *Umstrukturierung, Umerstellung (8/2005: 1), Umfabrizierung (8/2005: 0), Refabrizierung (8/2005: 6), Refaktorierung, Refaktorieren, Refakturisieren
* '''Referee:''' Schiedsrichter
* '''Referer:''' Verweis
* '''Reform:''' Neuordnung, Umgestaltung
* '''Reframing:''' Umdeutung
* '''Reflow-Lötanlage:''' Wiederaufschmelzlötanlage, Rückflußlötanlage
* '''refurbished:''' (wieder)aufgearbeitet
* '''Regime:''' Herrschaft, Regentschaft, Regiment, Staatsgewalt, -macht, die Machthaber, ggf. Diktatur, Tyrannei, Militärregierung
* '''Region:''' Gegend, Umgegend, Gebiet, Biet, der Gau, das Gäu (vgl. 'Allgäu'), Landstrich, Bezirk; Heimat, Umgebung; Bereich, Gefilde (gehoben)
* '''Regisseur:''' Spiel-, Bühnen-, Hörspiel-, Filmleiter&lt;!--von frz.: régisseur, régir leiten; aus Wikipedia--&gt;, Filmdirektor, Realisator, Umsetzer
* '''Reha(bilitation):''' Nachsorge; Wiedergenesung, Vollgenesung; Wiedereingliederung
* '''Relational View:''' Beziehungsorientierung
* '''Relaunch:''' Neustart, Kurswechsel, Strategieänderung
* '''relaxed:''' entspannt, gelöst
* '''relaxen:''' 1. sich entspannen, ausspannen; 2. sich erholen
* '''Release:''' Freigabeversion, Ausgabe, Herausgabe, Veröffentlichung, Erscheinung
* '''Release candidate:''' Freigabekandidat, Meilenstein
* '''reliable:''' zuverlässig, verläßlich, vertrauenswürdig
* '''Reliability:''' Betriebssicherheit, Zuverlässigkeit
* '''relocaten:''' versetzen, umziehen, aussiedeln, umlagern
* '''Remainder(s):''' Restauflage, Remittende(n), Restbestand/~bestände (Einzelhandel)
* '''Remake:''' Neuauflage, Neufassung Neu- bzw. Wiederverfilmung, u. U.:  Aufguss
* '''Rematch:''' Rückspiel (8/2006: 850.000), Rückrunde (8/2006: 1.060.000)
* '''Remote access (EDV):''' Fernzugriff (12/2003: 11.600), DFÜ-Netzwerk (12/2003: 48.800), DFÜ-Netz (12/2003: 475)
* '''rendern (Computergrafik):''' wiedergeben, berechnen, rastern, erzeugen, veroberflächlichen
* '''Report:''' Meldung, Bericht, Arbeit
* '''Reporting:''' Berichtswesen, Auswertung
* '''Repository:''' Repositorium, Projektarchiv
* '''Reservoir:''' Speicher, Lager, Vorrat, Repositorium
* '''resizen:''' *umgrößern, Größe ändern
* '''Resident Engineer:''' Verbindungsingenieur
* '''Resort:''' Kurort, Oase, Entspannungsort
* '''Resource:''' Ressource. 1. Betriebsmittel (EDV); 2. Quelle; 3. Rohstoff, Vorräte, Bodenschätze, Mittel, Kräfte; [menschliche R.] Fachwissen, Fachleute, menschliche Arbeitskraft
* '''Resource-Based View:''' Ressourcenorientierung
* '''Respawn:''' erneut starten, Erneuerung
* '''Responsiveness (EDV):''' Antwortverhalten, Ansprechverhalten. Besonders in der HTML-Entwicklung ''Responsive Design:'' unverzügliche Rückmeldungen
* '''Responsible disclosure:''' verantwortungsvolle Geheimhaltung
* '''Restaurant:''' Gaststätte, Wirtshaus, Restauration&lt;!--früher in Deutschland gebräuchlicher Ausdruck--&gt;, Restaurang (5/2005: 656) &lt;!--die Schreibweise Restaurang ist im Schwedischen üblich--&gt;, Restaurat
* '''Restauration:''' 1. Erneuerung, Wiederherstellung 2. Gasthaus (s. Restaurant)
* '''restaurieren:''' erneuern, wiederherstellen
* '''resumen:''' wiederaufnehmen, weitermachen
* '''Retreat:''' Zufluchtsort, Oase, Entspannungsort
* '''Retrofit:''' Nachrüstung, Umbau, Modernisierung 
* '''Return:''' 1. Taste: Absatztaste, Zeilenschaltung 2. Zeichen: Absatzzeichen
* '''Reverse-engineering:''' Rekonstruktion, Nachbau, Nachkonstruktion, Rückbau
* '''reverten:''' rückgängig machen, umkehren
* '''Review:''' Durchsicht, Rezension, Kritik, Besprechung
* '''Revival:''' Neuinszenierung, Auferweckung, Auferstehung', Wiederbelebung
* '''RFID-Etikett:''' Funketikett (12/2004: 182; 6/2008: 16.600), Transponder (6/2008: 851.000) [Funketikett&lt;u&gt;en&lt;/u&gt; 12/2004: 9.090; 11/2006: 59.700]
* '''Riff (Musik):''' Phrase, Lauf
* '''rippen:''' 1. Schule: abziehen, rupfen; 2. EDV: abziehen, auslesen, kopieren
* '''Riser card (EDV):''' Nebenplatine (12/2003: 1; 11/2006: 67), Querplatine (12/2003: 4; 11/2006: 55), Sekundärplatine (12/2003: 1; 11/2006: 3), Steckplatine (12/2003: 404; 11/2006: 12.500) [möglicherweise schon anderweitig belegt]
* '''Roadbook:''' Aufschrieb, Gebetbuch (Rallyesport), engl.: ''pacenote''
* '''Road Movie:''' Asphaltstreifen bzw. -film, Straßenfilm, Unterwegsfilm, Wegfilm &lt;!-- Film, der vorwiegend vom Unterwegssein und der Selbstfindung seiner Hauptakteure handelt; in den 1960er/1970er Jahren aufgekommenes Filmgenre) --&gt;
* '''Road pricing:''' Maut, Straßenbenutzungsgebühr, ggf. Innenstadtmaut
* '''Road Show:''' Gassenschau, Straßenschau, Informationsveranstaltung
* '''Roadmap:''' Projektzeitplan, Fahrplan, Etappenplan, Leitfaden&lt;!--in Büchern--&gt;
* '''Roaming (Telekommunikation):''' Durchleitung
* '''roasten:''' (Verb) englisch: to roast - braten, ugs. jmd. fertig machen, hochnehmen, synonym für dissen
* '''Rock 'n' Roll:''' 
* '''Rollback:''' 1. Politik: Zurückdrängung; 2. EDV: Rücksatz
* '''Roll-Container:''' 1. Schubladenwagen&lt;!-- im Büro unter dem Schreibtisch --&gt;; 2. Fahrpalette &lt;!-- im Supermarkt --&gt;
* '''Roll-out:''' EDV: Einführung, Softwareverteilung, Ausrollen; Selbstfahrpremiere &lt;!-- im Flugzeugbau: fährt aber fliegt noch nicht --&gt;
* '''Rooky, Rookie:''' Frischling, Quietschie (12/2003: 691), Neuling, Novize, Anfänger
* '''Rootkit''': Hochstapler
* '''Router:''' Vermittlungsknoten, Weiche, Wegefinder
* '''roundabout:''' ungefähr, etwa
* '''Rowdy:''' Rabauke
* '''Royals:''' königliche Familie, die Königlichen
* '''RSS:''' Nachrichtenweitervergabe, Nachrichtensyndikation, Nachrichtensyndizierung, Syndikation, Syndizierung&lt;!--Die Bezeichnungen ''Syndikation'', ''Syndizierung'' werden u. a. bei der FAZ verwendet--&gt;, Nachrichtenverteiler
* '''RSS-Feed:''' RSS-Nachrichten, RSS-Nachrichtenquelle
* '''Rucola:''' Rauke
* '''Run:''' Ansturm
* '''Running-Gag:''' Kennerwitz, Wiederholwitz, Kettenwitz, Dauerwitz, Endloswitz, *Läuferwitz, *Kehrwitz
* '''Rucksack-Tourist:''' Rucksackreisender (Rucksackreisende: 12/2003: 2.900)&lt;!-- *Rucksackturist (1/2004: 0)--&gt;
* '''Rush hour:''' Stoßzeit, Hauptverkehrszeit

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[[es:Diccionario Fructuoso: R]]
[[nl:Vruchtbrengend woordenboek/R]]</text>
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    <title>Wikibooks:Schwarzes Brett</title>
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      <contributor>
        <username>MediaWiki message delivery</username>
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      </contributor>
      <comment>Neuer Abschnitt /* Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers */</comment>
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[[Kategorie:Wikibooks:Zusammenarbeit|{{PAGENAME}}]]
{{Projektnavigation Zusammenarbeit|WB:SB}}
&lt;div style=&quot;text-align:center; border:3px blue; border-style:solid; background-color:white;&quot;&gt;
'''[//de.wikibooks.org/w/wiki.phtml?title=Wikibooks:Schwarzes_Brett&amp;action=edit&amp;section=new Jetzt könnt ihr direkt einen neuen Eintrag hinterlassen]'''
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;border: 1px solid black; background: #cfcfcf; padding: 10px; margin: 10px 0px;&quot;&gt;
Vielleicht hast du auch vor, ein Buch zu schreiben, suchst aber noch Partner, die dir dabei helfen. Dann bist du hier genau richtig. Trag dich einfach ganz unten (mit einer kurzen Beschreibung des geplanten Buches) ein und warte, bis sich weitere Interessenten melden.

'''Hinweis:''' Bitte notiere auch immer, welche Aufgabe du übernehmen willst. Also beispielsweise Autor, Rechtschreibüberprüfung, inhaltliche Kontrolle usw.
&lt;/div&gt;

&lt;div style=&quot;font-size:90%;&quot;&gt;&lt;p&gt;'''Global message delivery:''' Diese Ankündigungen landen im Normalfall hier; bei Bedarf kann [[m:Distribution list/Global message delivery|diese Liste]] geändert werden. Es wird empfohlen, eine Kurzfassung in die [[Wikibooks:Rundschau|Rundschau]] aufzunehmen. Ausnahme: Informationen zum '''[[Wikibooks:VisualEditor|VisualEditor]].'''&lt;/p&gt;&lt;p&gt;'''Zum Archiv:''' Um Zweifelsfälle zu vermeiden, sollten alle Themen archiviert werden – wegen der Einheitlichkeit mit anderen Archiven nach Ablauf eines Jahres. Sie sind zu finden im Archiv des Jahres, in dem der letzte Beitrag gespeichert wurde.&lt;/p&gt;&lt;/div&gt;
{{Archiv Übersicht| Wikibooks:Schwarzes Brett/ Archiv| {{FULLPAGENAME}} }}

== Neue Funktionen der MediaWiki-Software ==
Neuere Informationen zum [[Wikibooks:VisualEditor|VisualEditor]] siehe dort; hier werden sie als Duplikat gestrichen.

&lt;div style=&quot;margin-left:3em; font-size:90%&quot;&gt;
* unter einer gemeinsamen Überschrift zusammengefasst -- [[Benutzer:Juetho|Jürgen]] 11:47, 25. Jan. 2016 (CET)
* an den Anfang des Schwarzen Bretts verschoben -- [[Benutzer:Juetho|Jürgen]] 09:52, 28. Feb. 2016 (CET)
In der Zwischenzeit wurde nicht auf neue Funktionen hingewiesen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 13:53, 26. Feb. 2018 (CET)
&lt;/div&gt;
{{Archiv Hinweis|New print to pdf feature for mobile web readers|832905}}
{{Archiv Hinweis|Global preferences are available|854588|Globale Einstellungen sind nun verfügbar, jene können auf der ensprechenden Spezialseite konfiguriert werden.}}
{{Archiv Hinweis|Editing of sitewide CSS/JS is only possible for interface administrators from now|857265|permission handling for CSS/JS pages has changed. Bei de-Wikibooks fungiert Stephan Kulla als „Oberflächenadministrator“. }}
{{Archiv Hinweis|The GFDL license on Commons|859575|Dateien, die ausschließlich unter GFDL gestellt werden, dürfen nicht mehr auf Commons hochgeladen werden.}}
{{Archiv Hinweis|Linter bei Mathe für Nicht-Freaks nun standardmäßig aktiviert|860429}}

== The 2022 Community Wishlist Survey will happen in January ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;de&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Hallo zusammen,

Wir hoffen es geht Euch gut und Ihr seid so sicher wie möglich in diesen herausfordernden Zeiten! Wir möchten Euch ein paar Sachen zur kommenden Community-Wunschliste 2022 sagen. Wir möchten auch Eure Meinung dazu hören.

Zusammenfassung:

&lt;div style=&quot;font-style:italic;&quot;&gt;
Wie werden die [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey|Umfrage zur Community-Wunschliste]] 2022 im Januar 2022 laufen lassen. Wir brauchen mehr Zeit um an den Wünschen aus 2021 zu arbeiten. Wir brauchen außerdem etwas Zeit um ein paar Änderungen an der Wunschliste 2022 vorzubereiten. In der Zwischenzeit könnte Ihr in einer [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|dafür vorbereiteten ''Sandbox'' erste Ideen für 2022 eintragen]].
&lt;/div&gt;

=== Vorschlag und Wunscherfüllung werden im selben Jahr passieren ===

In der Vergangenheit hat das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Communiy-Tech-Team]] die Befragung immer im November des Vorjahrs durchgeführt. Die Umfrage zur [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021|Wunschliste 2021]] lief beispielsweise im November 2020. Das hat vor ein paar Jahren wunderbar geklappt, damals haben wir mit der Abarbeitung der Wünsche sofort nach der Veröffentlichung der Ergebnisse angefangen.

In 2021 gab es allerdings eine Verzögerung zwischen der Veröffentlichung der Ergebnisse und dem Start der Arbeiten an den neuen Wünschen. Bis Juli 2021 haben wir noch an den [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2020|Wünschen aus 2020 gearbeitet]].

Wir hoffen,. dass die Wunschliste 2022 im Januar 2022 intuitiver ist. Es gibt uns auch mehr Zeit, an den Wünschen 2021 zu arbeiten.

=== Stärkung der Teilnahme früher eher vernachlässigter Communities ===

Wie denken darüber nach, wie es künftig einfacher ist, an der Wunschliste teilzunehmen. Wir wollen mehr Übersetzungen unterstützen, und mit geringen Ressourcen ausgestattete Communities ermutigen aktiver zu werden. Wir würden gerne mehr Zeit haben, dies durchzuführen.

=== Ein neuer Platz um mit uns über Prioritäten und noch nicht erledigte Wünsche zu sprechen ===

Wir haben jetzt 365 Tage ohne eine Wunschliste. Wir möchten Euch ermutigen, uns anzusprechen. Wir hoffen von Euch auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionseite]] zu hören, aber würden uns auch freuen Euch auf den zweimonatlichen ''Sprich-mit-uns''-Treffen zu sehen. Diese werden an zwei verschiedenen Zeiten angeboten werden, damit alle Zeitzonen um den Globus teilnehmen können.

Wir werden unser erstes Treffen am '''15. September um 23:00 UTC''' starten. Mehr Informationen über die Tagesordnung und das Format werden bald veröffentlicht.

=== Brainstorming und Entwürfe vor der eigentlichen Vorschlagsphase ===

Falls Du schon früher Ideen für Wünsche haben solltest, kannst Du die [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|neue ''Sandbox'' der Community-Wunschlistenumfrage]] benutzen. Damit wirst Du diese Wünsche bis Januar 2022 nicht vergessen. Du kannst zu den Wünschen zurückkommen und sie verfeinern. Aber denkt dran: Wünsche in den Sandboxen zählen bei der Umfrage nicht als Wunsch!

=== Feedback ===
* Wie sollten wir dei Wuschlistenseiten verbessern?
* Wie möchtet Ihr die neue [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey/Sandbox|''Sandbox'']] benutzen?
* Seht ihr irgendwelche Risiken bei der Verschiebung der Umfrage auf 2022, und wenn ja, welche?
* Was würde helgfen, damit in 2022 mehr Leute an der Umfrage teilnehmen?

Antwortet auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite]] (egal, in welcher Sprache) oder bei unseren ''Sprich-mit-uns''-Treffen.
&lt;/div&gt;

[[user:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[user talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 02:23, 7. Sep. 2021 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=21980442 --&gt;

== Die Arbeit in den Wikis vereinfachen, durch bessere Software – Vorbereitung der Umfrage Technische Wünsche gestartet  ==

Für jeden Klick, den du hier oder auf den Schwesterprojekten machst, nutzt du Software – egal, ob du schon lange dabei bist, oder erst kürzlich deine erste Bearbeitung getätigt hast, ob du viel technische Erfahrung hast oder überhaupt gar keine. Und wenn du dich hin und wieder darüber ärgerst, dass die Software nicht so funktioniert, wie du es gerne hättest, bringst du genau die richtigen Voraussetzungen mit, an der [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]] teilzunehmen.

Um einige der technischen Probleme anzugehen, die vielen den Wiki-Alltag erschweren, gibt es das Projekt [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. Dort wird aktuell an Verbesserungen in den Bereichen „[[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]“ (Gewinnerthema der Umfrage 2019) und „[[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Bessere Unterstützung von Geoinformationen|Bessere Unterstützung für Geoinformationen]]“ (2020) gearbeitet. '''Jetzt laufen die Vorbereitungen für die nächste Umfrage.''' Sie soll Ende Januar in der deutschsprachigen Wikipedia stattfinden und dient dazu zu bestimmen, mit welchem neuen Schwerpunkt sich das Projektteam zwei Jahre beschäftigen soll. Damit möglichst viele Menschen mitentscheiden können, wo es technische Verbesserungen geben soll, wird nicht über konkrete Probleme abgestimmt, sondern über allgemeine '''Themenschwerpunkte'''. Diese sind so formuliert, dass man sie auch ohne technische Expertise gut verstehen kann.

'''Fällt dir ein Thema ein, in dem man durch Verbesserung der Software die Arbeit in den Wikis leichter machen könnte?''' Dann trag es bis zum 14. November auf dem [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]] ein. Es reicht, wenn du das Thema allgemein beschreibst, ergänzt um 2-3 konkrete Probleme aus Anwendersicht. Falls du ein konkretes technisches Problem hast und nicht weißt, zu welchem größeren Thema es passen würde, kannst du es ebenfalls auf dem [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]] notieren und das Team Technische Wünsche schaut dann, wozu es passt.

'''Wie geht es weiter?''' Ab dem 15. November sichtet das Team Technische Wünsche verschiedene Quellen aus den deutschsprachigen Communitys (u.a. den [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Wunschparkplatz|Wunschparkplatz]], [[w:WP:Verbesserungsvorschläge|WP:Verbesserungsvorschläge]] und [[w:WP:Verbesserungsvorschläge/Feature-Requests|WP:Verbesserungsvorschläge/Feature-Requests]])&lt;ref&gt;&lt;cite class=&quot;note&quot;&gt;Wenn du Ideen für weitere Quellen hast, notiere auch sie gerne bis zum 14. November [[w:WD:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|auf dieser Diskussionsseite]].&lt;/cite&gt;&lt;/ref&gt; und schnürt daraus Themen-Pakete, die im Rahmen von zwei Jahren machbar wären. Möglicherweise werden in diesem Zuge auch vorgeschlagene Themenschwerpunkte etwas umformuliert oder zusammengefasst. Wenn die Themenschwerpunkte fertig geschnürt sind, werden sie im Wiki vorgestellt und können (und sollen) dort kommentiert werden, bevor die Umfrage beginnt. Damit dafür noch ausreichend Zeit bleibt, startet der Zeitraum für die Einreichungen schon jetzt. 

Die wichtigsten Meilensteine auf dem Weg zur Ermittlung des nächsten Themenschwerpunkts im Überblick:

* '''bis 14. November: Themen oder Probleme vorschlagen'''
* 6. bis 19. Dezember: Zur Wahl stehende Themenschwerpunkte kommentieren
* ''Feiertage und Puffer für Anpassungen''
* 24. Januar bis 6. Februar: Die Umfrage Technische Wünsche findet statt – es kann abgestimmt werden

Diejenigen, die keine Vorschläge für Themen oder Probleme haben, sind natürlich herzlich eingeladen, sich schon jetzt die nächsten Schritte vorzumerken. Wir werden unter anderem hier aber auch noch informieren, wenn der nächste Schritt beginnt. 

Einige Infos zum Konzept der Umfrage finden sich schon jetzt [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]]. Auf der dortigen [[w:WD:Umfragen/Technische_Wünsche_2022_Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind Fragen und Anregungen sehr willkommen. -- [[Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 12:56, 27. Okt. 2021 (CEST)

PS: Wenn du über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf deiner Diskussionsseite informiert werden möchtest, kannst du hier den [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|Newsletter]] abonnieren.
&lt;references /&gt;

== Bevorstehende Konsultation anlässlich der Wahlen zum Board of Trustees ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content /&gt;
:''Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback:2022 Board of Trustees election/Upcoming Call for Feedback about the Board of Trustees elections|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback:2022 Board of Trustees election/Upcoming Call for Feedback about the Board of Trustees elections}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Das Board of Trustees bereitet eine Konsultation der Community vom 7. Januar bis 10. Februar 2022 zu den bevorstehenden Boardwahlen vor.

Obwohl die Details erst in der Woche vor der Konsultation festgelegt werden, stehen schon jetzt mindestens zwei Fragen fest, die während der Konsultation gestellt werden sollen:

* Wie kann eine faire Vertretung aufstrebender Communities im Board am besten gewährleistet werden?

* Wie sollten sich die Kandidierenden während der Wahl einbringen dürfen?

Es können noch weitere Fragen hinzukommen, aber das Movement Strategy and Governance Team möchte den Mitgliedern der Communitys und den Affiliates Zeit geben, sich bereits mit den bestätigten Fragen auseinanderzusetzen und Ideen vorzubereiten, bevor die Konsultation beginnt. Wir entschuldigen uns dafür, dass wir zum jetzigen Zeitpunkt noch keine vollständige Liste der Fragen haben. Die Liste der Fragen sollte nur um ein oder zwei Fragen erweitert werden. Wir wollen die Communitys nicht mit Anfragen überhäufen, aber wir möchten sie darauf hinweisen und freuen uns über Feedback zu diesen wichtigen Fragen.

'''Möchtest du bei der Organisation von lokalen Gesprächsrunden während dieser Konsultation helfen?'''

Kontaktiere das [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance Team]] auf Meta, auf [https://t.me/wmboardgovernancechat Telegram], oder per E-Mail an msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org.

Bitte meldet euch, wenn ihr Fragen oder Bedenken habt. Das Team &quot;Movement Strategy and Governance&quot; wird bis zum 3. Januar nur in geringem Umfang besetzt sein. Bitte entschuldige eventuelle Verzögerungen während dieser Zeit. Wir wissen auch, dass einige Communitys und Affiliates über die Feiertage im Dezember offline sind. Wir entschuldigen uns, wenn unsere Nachricht dich während der Feiertage erreicht hat.

Beste Grüße,

das Movement Strategy &amp; Governance Team&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

{{int:thank-you}} [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 20:42, 27. Dez. 2021 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Schon mal vormerken: Vom 24.1. bis zum 6.2. findet die Umfrage Technische Wünsche statt ==

'''Die 6. Umfrage Technische Wünsche steht vor der Tür …'''
[[Datei:Boxillustruation-150pxwidth-png.png|300px|rechts|alt=Das Bild zeigt eine Wahlurne mit dem Logo des Projekts Technische Wünsche]]
… genauer gesagt hinter dem 24. Türchen. '''Vom 24. Januar bis 6. Februar 2022''' findet die nächste '''[[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]]''' in der deutschsprachigen Wikipedia statt. Wie schon in den letzten beiden Jahren geht es darum, den Bereich zu bestimmen, in dem technische Verbesserungen am dringendsten nötig sind. Mit diesem Bereich beschäftigt sich das Projektteam [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]] (WMDE) dann zwei Jahre lang, in engem Austausch mit den deutschsprachigen Communitys. 

Welcher Bereich das ist, sollen möglichst viele Menschen mitentscheiden können. Darum ist die Umfrage so aufgesetzt, dass man auch ohne technische Expertise oder langjährige Mitarbeit verstehen kann, worum es geht. Es stehen [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte#Diese 16 Themenschwerpunkte stehen zur Wahl|16 Themenschwerpunkte]] zur Wahl, die im Vorfeld gemeinsam mit den deutschsprachigen Communitys erarbeitet wurden. Neu ist in diesem Jahr, dass alle Abstimmenden angeben, welche fünf Themenschwerpunkte ihnen am wichtigsten sind. Das Konzept ist [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]] genauer beschrieben. Dort finden sich auch Antworten auf häufig gestellte Fragen und einiges mehr. Auf der [[w:Wikipedia Diskussion:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind außerdem Fragen und Anregungen sehr willkommen. 

Wir würden uns freuen, wenn ab dem 24. Januar auch viele Mitarbeitende aus den Schwesterprojekten mit dabei sind, denn die Verbesserungen, die bei den Technischen Wünschen umgesetzt werden, betreffen in der Regel alle Wikis. Technikkenntnisse oder viele Bearbeitungen sind ausdrücklich &lt;u&gt;nicht nötig&lt;/u&gt;, um teilzunehmen. Gerne weitersagen! -- Für das Team Technische Wünsche, [[w:Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 15:33, 6. Jan. 2022 (CET)

PS: Wer über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf der eigenen Diskussionsseite informiert werden möchte, kann [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|hier den Newsletter abonnieren]].

== Wiki Loves Folklore is back! ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;

{{int:please-translate}}

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]]
You are humbly invited to participate in the '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' an international photography contest organized on Wikimedia Commons to document folklore and intangible cultural heritage from different regions, including, folk creative activities and many more. It is held every year from the '''1st till the 28th''' of February.

You can help in enriching the folklore documentation on Commons from your region by taking photos, audios, videos, and [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:UploadWizard&amp;campaign=wlf_2022 submitting] them in this commons contest.

You can also [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Organize|organize a local contest]] in your country and support us in translating the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|project pages]] to help us spread the word in your native language.

Feel free to contact us on our [[:c:Commons talk:Wiki Loves Folklore 2022|project Talk page]] if you need any assistance. 

'''Kind regards,'''

'''Wiki loves Folklore International Team'''

--[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 14:14, 9. Jan. 2022 (CET)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Tiven2240/wlf&amp;oldid=22560402 --&gt;

== Umfrage zur Community-Wunschliste 2022 ==

[[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|right|200px]]
Die '''[[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2022|Umfrage zur Community-Wunschliste 2022]]''' ist ab jetzt eröffnet!

Diese Umfrage ist der Prozess, durch den Communities entscheiden, woran das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community Tech]] Team im kommenden Jahr arbeiten soll. Wir möchten jeden dazu ermutigen, sich bis zum '''23. Januar''' daran zu beteiligen, oder die Vorschläge anderer zu kommentieren, um sie zu verbessern.

Die Communities werden zwischen dem 28. Januar und dem 11. Februar über die Vorschläge abstimmen.

Das Community Tech-Team konzentriert sich auf Werkzeuge für erfahrene Wikimedia-Benutzer. Du kannst in jeder Sprache Vorschläge machen, wir werden sie für dich übersetzen. Vielen Dank, wir freuen uns auf Vorschläge von dir! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 19:12, 10. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Der Call for Feedback zu den Boardwahlen hat begonnen ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.'']]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Der Call for Feedback: Wahlen zum Board ist jetzt eröffnet und läuft bis zum 7. Februar 2022. 

Mit diesem Call for Feedback verfolgt das Team für Bewegungsstrategie und Governance einen neuen Ansatz. Er bezieht das Feedback der Community aus dem Jahr 2021 mit ein. Anstatt mit Vorschlägen zu beginnen, dreht sich der Call um Schlüsselfragen des Boards. Die Schlüsselfragen stammen aus den Rückmeldungen zur Boardwahl 2021. Ziel ist es, ein gemeinsames Gespräch und eine gemeinsame Entwicklung von Vorschlägen zu diesen Schlüsselfragen anzuregen.

[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections|Nimm an den Diskussionen teil.]]

Herzlichst,

das Movement Strategy &amp; Governance Team&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:18, 14. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Sprich mit dem Community Tech-Team ==

[[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|150px|{{dir|{{pagelang}}|left|right}}]]
{{int:Hello}}

Wir – das Team, das an der Umfrage zur Community-Wunschliste arbeitet – möchten dich zu einem Online-Treffen mit uns einladen. Es wird am [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220119T1800 '''{{#time:j xg|2022-01-19}} ({{#time:l|2022-01-19}}), {{#time:H:i e|18:00|de|1}}'''] per Zoom stattfinden und eine Stunde dauern. Für diese externe Plattform gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 '''Klick hier, um teilzunehmen'''].

'''Programm'''

* Bring Entwürfe deiner Vorschläge mit und sprich mit einem Mitglied des Community Tech-Teams über deine Fragen, wie du deinen Vorschlag verbessern kannst

'''Format'''

Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder übertragen. Eine Mitschrift ohne Namensnennung wird erstellt und auf Meta veröffentlicht. Die Präsentation (die gesamte Tagesordnung mit Ausnahme der Fragen und Antworten) wird auf Englisch gehalten.

Wir können Fragen auf Deutsch, Englisch, Französisch, Polnisch und Spanisch beantworten. Wenn du vorab Fragen stellen möchtest, füge sie auf der [[m:Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite der Abstimmung über die Technischen Wünsche]] ein oder sende sie an sgrabarczuk@wikimedia.org.

[[m:Special:MyLanguage/User:NRodriguez (WMF)|Natalia Rodriguez]] ([[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community-Tech]]-Manager) veranstaltet das Treffen.

'''Einladungslink'''

* [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 Nimm online teil]
* Meeting ID: &lt;span dir=ltr&gt;85804347114&lt;/span&gt;
* [https://wikimedia.zoom.us/u/keu6UeRT0T Wähle dich über deinen Ort ein]
Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 01:17, 18. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Subscribe to the This Month in Education newsletter - learn from others and share your stories ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
Dear community members, 

Greetings from the EWOC Newsletter team and the education team at Wikimedia Foundation. We are very excited to share that we on tenth years of Education Newsletter ([[m:Education/News|This Month in Education]]) invite you to join us by [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|subscribing to the newsletter on your talk page]] or by [[m:Education/News/Newsroom|sharing your activities in the upcoming newsletters]]. The Wikimedia Education newsletter is a monthly newsletter that collects articles written by community members using Wikimedia projects in education around the world, and it is published by the EWOC Newsletter team in collaboration with the Education team. These stories can bring you new ideas to try, valuable insights about the success and challenges of our community members in running education programs in their context. 

If your affiliate/language project is developing its own education initiatives, please remember to take advantage of this newsletter to publish your stories with the wider movement that shares your passion for education. You can submit newsletter articles in your own language or submit bilingual articles for the education newsletter. For the month of January the deadline to submit articles is on the 20th January. We look forward to reading your stories.

Older versions of this newsletter can be found in the [[outreach:Education/Newsletter/Archives|complete archive]].

More information about the newsletter can be found at [[m:Education/News/Publication Guidelines|Education/Newsletter/About]].

For more information, please contact spatnaik{{@}}wikimedia.org.
------
&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;&lt;div style=&quot;margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;&quot;&gt;[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[User:ZI Jony|&lt;span style=&quot;color:#8B0000&quot;&gt;'''ZI Jony'''&lt;/span&gt;]] [[User talk:ZI Jony|&lt;sup&gt;&lt;span style=&quot;color:Green&quot;&gt;&lt;i&gt;(Talk)&lt;/i&gt;&lt;/span&gt;&lt;/sup&gt;]], {{&lt;includeonly&gt;subst:&lt;/includeonly&gt;#time:l G:i, d F Y|}} (UTC)&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:ZI_Jony/MassMessage/Awareness_of_Education_Newsletter/List_of_Village_Pumps&amp;oldid=21244129 --&gt;

== Desktop Verbesserungen und Einladung zu Sprechzeiten ==

{{int:Hello}}. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet.

Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs, sowie weiteres betreffen.

Die Verbesserung sind nun als Standard für Leser und Editoren auf 24 Wikipedias festgesetzt, darunter für die [[:fr:|französische]], die [[:pt:|portugiesische]] und die [[:fa:|persische]] Wikipedia. 

Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector] Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen.

=== Seit dem letzten Update neu eingebaute Funktionen ===
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/User_menu|Nutzer Menü]] – die Navigation intuitiver gestalten durch die visuelle Hervorhebung der Struktur von Nutzer-Links und deren Zweck.
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Sticky Header|Sticky header]] – Zugriff auf wichtige Funktionen (Login, Versionsgeschichte, Diskussionen, etc.) ohne wieder an den Seitenanfang gehen zu müssen.

Für eine vollständige Liste der Funktionen besuche bitte die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektseite]]. Wir laden auch auf unsere [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Updates|Updates-Seite]] ein.
[[File:Table_of_contents_shown_on_English_Wikipedia_02.webm|thumb|600px|center]]
&lt;br clear=all&gt;
=== Wie man die Verbesserungen aktiviert ===
[[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]]
* Es ist möglich, [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|in den Einstellungen auf der Registerkarte &quot;Aussehen&quot;]] das Kästchen &quot;{{int:prefs-vector-enable-vector-1-label}}&quot; zu deaktivieren. (Es muss leer sein.) Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren.
* Wenn man der Meinung ist dass dies als Standard für alle Leser und Redakteure des Wikis gut wäre, kann man gerne eine Diskussion mit der Gemeinschaft beginnen und mich kontaktieren.
* In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors.

=== Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen ===
Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]].

Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am online-Meeting mit uns teilnehmen ([https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220127T1500 '''{{#time:j xg|2022-01-27}} ({{#time:l|2022-01-27}}), {{#time:H:i e|15:00|de|1}}''']).

So kann man an unserem Online-Treffen teilnehmen

* [https://wikimedia.zoom.us/j/89205402895 Nimm online teil]
* Meeting ID: &lt;span dir=ltr&gt;89205402895&lt;/span&gt;
* [https://wikimedia.zoom.us/u/kdPQ6k2Bcm Wähle dich über deinen Ort ein]

{{int:Feedback-thanks-title}}

Im Namen des Web-Teams der Wikimedia Foundation, [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 07:14, 25. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=20689438 --&gt;

== Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 5 ==

&lt;section begin=&quot;ucoc-newsletter&quot;/&gt;
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

&lt;span style=&quot;font-size:200%;&quot;&gt;'''Neues von Movement Strategy und Governance'''&lt;/span&gt;&lt;br&gt;
&lt;span style=&quot;font-size:120%; color:#404040;&quot;&gt;'''Ausgabe 5, Januar 2022'''&lt;/span&gt;&lt;span style=&quot;font-size:120%; float:right;&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]&lt;/span&gt;
----
Willkommen zur fünften Ausgabe der Movement Strategy und Governance Newsletter (früher bekannt als Universal Code of Conduct News)! Dieser neu gestaltete Newsletter enthält relevante Neuigkeiten und Ereignisse über die Movement Charta, den Universellen Verhaltenskodex, Grants zur Umsetzung der Movement Strategy, Board-Wahlen und andere relevante MSG-Themen.

Dieser Newsletter wird vierteljährlich verschickt, während häufigere Updates auch wöchentlich oder zweiwöchentlich an Abonnenten verschickt werden. Bitte denk daran, dich [[:m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|anzumelden]], wenn du diese Updates erhalten möchtest.
&lt;div style=&quot;margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;&quot;&gt;

*'''Call for Feedback zu den Board-Wahlen''' - Wir laden Euch ein, Euch Euer Feedback zu den anstehenden Wahlen zum WMF Board of Trustees zu geben. Der Call for Feedback wurde am 10. Januar 2022 veröffentlicht und wird am 16. Februar 2022 enden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Call for Feedback about the Board elections|Weiterlesen]])
*'''Ratifizierung des Universellen Verhaltenskodex''' - Im Jahr 2021 befragte die WMF die Communitys, wie der Text des Universellen Verhaltenskodexes umgesetzt werden soll. Der überarbeitete Entwurf der Umsetzungsleitlinien sollte im März zur Abstimmung durch die Community bereit sein. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Universal Code of Conduct Ratification|Weiterlesen]])
*'''Movement Strategy Implementation Grants''' - Während wir weiterhin viele interessante Vorschläge prüfen, ermutigen und begrüßen wir weitere Vorschläge und Ideen, die auf eine spezifische Initiative aus den Empfehlungen der Movement Strategy abzielen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Movement Strategy Implementation Grants|Weiterlesen]])
*'''Die Neuausrichtung des Newsletters''' - Da der UCoC-Newsletter in den MSG-Newsletter übergeht, können Sie gemeinsam mit dem Moderatorenteam über die Neuausrichtung des Newsletters nachdenken und entscheiden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#The New Direction for the Newsletter|Weiter lesen]])
*'''Diff Blogs''' - Die neuesten Veröffentlichungen über MSG findest Du auf Wikimedia Diff. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Diff Blogs|Weiterlesen]])&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;ucoc-newsletter&quot;/&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 02:51, 29. Jan. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Wiki Loves Folklore is extended till 15th March ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;{{int:please-translate}}

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]]
Greetings from Wiki Loves Folklore International Team,

We are pleased to inform you that [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore|Wiki Loves Folklore]] an international photographic contest on Wikimedia Commons has been extended till the '''15th of March 2022'''. The scope of the contest is focused on folk culture of different regions on categories, such as, but not limited to, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, etc.

We would like to have your immense participation in the photographic contest to document your local Folk culture on Wikipedia. You can also help with the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|translation]] of project pages and share a word in your local language.

Best wishes,

'''International Team'''&lt;br /&gt;
'''Wiki Loves Folklore'''

[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 05:50, 22. Feb. 2022 (CET)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=22754428 --&gt;

== Nicht vergessen: beteiligt Euch an den Gesprächen zum UCoC und stimmt mit ab! ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo allerseits,

Im Rahmen des Ratifikationsverfahrens für die Leitlinien zur Umsetzung des Universal Code of Conduct (UCoC) ist eine [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|'''Abstimmung in SecurePoll vom 7. bis 21. März 2022''']] geplant. Wahlberechtigte sind eingeladen, eine Umfragefrage zu beantworten und Kommentare zu teilen. [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information|Siehe Wahlinformationen und Details zur Wahlberechtigung]]. Bei der Umfrage werden die Wähler*innen gefragt, ob sie die Umsetzung des Universal Code of Conduct auf der Grundlage der vorgeschlagenen Leitlinien unterstützen.

Der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) bietet eine Grundlage für akzeptables Verhalten für das gesamte &quot;Movement&quot;. Die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinien im gesamten Movement veröffentlicht. In einer Erklärung des [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Board_noticeboard/January_2022_-_Board_of_Trustees_on_Community_ratification_of_enforcement_guidelines_of_UCoC|Wikimedia Foundation Board]] wird zu einem [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|Ratifikationsverfahren]] aufgerufen, bei dem die Stimmberechtigten die Möglichkeit haben, die Umsetzung der UCoC-Leitlinien in einer Abstimmung zu unterstützen oder abzulehnen. Wikimedianerinnen und Wikimedianer sind eingeladen, wichtige Informationen zu [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information/Volunteer|übersetzen und zu teilen]]. Weitere Informationen über den UCoC findest du auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|Projektseite]] und den [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/FAQ|häufig gestellten Fragen]] im Meta-Wiki.

Folgende Veranstaltungen sind geplant, um mehr zu erfahren und zu diskutieren:
* Ein [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations/Panel_Q&amp;A|Community-Panel]] am 18. Februar 2022 um 15:00 UTC zeigt die Perspektiven von Teilnehmern kleiner und mittelgroßer Communities auf.
* Das [[m:Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance]] (MSG) Team veranstaltet Gesprächsrunden am 25. Februar 2022 um 12:00 Uhr UTC und am 4. März 2022 um 15:00 Uhr UTC. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations|'''melde dich für diese Gesprächsrunden an''']], um mit dem Projektteam und dem Entwurfskomitee über die aktualisierten Leitlinien für die Umsetzung und das Ratifikationsverfahren zu sprechen. Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/2022_conversation_hour_summaries|Gesprächsrunde Hour summaries]] für Notizen vom 4. Februar 2022.

Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org oder ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Herzlichst,

Movement Strategy and Governance &lt;br /&gt;
Wikimedia Foundation &lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:12, 25. Feb. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Coming soon ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;de&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
=== Demnächst: Verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen ===

Hallo, ab dem 9. März werden verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen in deinem Wiki verfügbar sein:
* Grundlegende Verbesserungen des [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor-Vorlagendialogs]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|1]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen von einer Seite entfernen (VisualEditor)|2]]),
* Verbesserungen, um das Einfügen einer Vorlage auf einer Seite zu erleichtern ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen suchen und einfügen|3]]) (für die Vorlagendialoge in [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor]], dem [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:WikiEditor#/media/File:VectorEditorBasic-en.png|2010 Wikitext]] und dem [[Mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|neuen Wikitextmodus]]),
* und Verbesserungen in der Erweiterung für die Syntaxhervorhebung [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserung der Farben der Syntaxhervorhebung|4]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Zusammengehörige Klammerpaare hervorheben|5]]) (die auf Wikis mit Schreibrichtung von links-nach-rechts verfügbar ist).

Alle diese Änderungen sind Teil des Projekts „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Vorlagen]]“ der [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche|Technischen Wünsche bei WMDE]]. Wir hoffen, dass sie euch bei eurer Arbeit helfen werden und würden uns über euer Feedback auf den Diskussionsseiten dieser Projekte freuen. &lt;/div&gt; - [[m:User:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:38, 28. Feb. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&amp;oldid=22907463 --&gt;

== Universal Code of Conduct - Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien läuft vom 7. bis 21. März 2022 ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Hallo zusammen,

Die Abstimmung zur Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist jetzt eröffnet! Die '''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting|Abstimmung auf SecurePoll]]'' hat am 7. März 2022 begonnen und wird am 21. März 2022 abgeschlossen. Bitte [[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|lies mehr über die Informationen für Wähler und zur Wahlberechtigung]].

Der Universal Code of Conduct (UCoC) enthält die Grundregeln für akzeptables Verhalten im gesamten &quot;Movement&quot;. Die überarbeiteten Leitlinien zur Umsetzung wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinie im gesamten &quot;Movement&quot; veröffentlicht. Du kannst [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|mehr über das UCoC-Projekt]] lesen.

Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Herzlichst,

Movement Strategy and Governance

Wikimedia Foundation&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 18:03, 8. Mär. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Einladung Workshop neue Administratoren: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr ==

[[Datei:Wikipedia Administrator.svg|mini|alternativtext=Logo der Administratoren]]
Der '''2. Adminworkshop''' der deutschsprachigen Wikipedia findet am Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr online statt. Teilnehmen können sowohl Administratorinnen und Administratoren als auch alle anderen Interessierten. Auf der Agenda stehen Maßnahmen zur Verbesserung der Einarbeitung und Dokumentation des Adminjobs. Weitere Infos zur Teilnahme findet ihr im neu gegründeten
'''[[w:Wikipedia:WikiProjekt Administratoren/Workshops#2. Admin-Workshop: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr|WikiProjekt Administratoren]]'''. Weitere Workshops werden ebenfalls auf dieser Seite angekündigt.&lt;/br&gt;
Im Rahmen der [[w:Wikipedia:AdminConvention 2022|AdminCon 2022]] wurde der Wunsch geäußert die Zusammenarbeit unter den Admins zu verbessern und neue gewählte in die verantwortungsvollen Aufgaben einzuführen. Daraus hat sich das neue Format der regelmäßigen Workshops entwickelt. Die Schwesterprojekte möchten wir einladen sich zu beteiligen, um besser voneinander lernen zu können. Gruß, --[[Benutzer:Wnme|Wnme]] 21:27, 11. Mär. 2022 (CET)

== Wiki Loves Folklore 2022 ends tomorrow ==

[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]]
International photographic contest [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022| Wiki Loves Folklore 2022]] ends on 15th March 2022 23:59:59 UTC. This is the last chance of the year to upload images about local folk culture, festival, cuisine, costume, folklore etc on Wikimedia Commons. Watch out our social media handles for regular updates and declaration of Winners. 

([https://www.facebook.com/WikiLovesFolklore/ Facebook] , [https://twitter.com/WikiFolklore Twitter ] , [https://www.instagram.com/wikilovesfolklore/ Instagram])

The writing competition Feminism and Folklore will run till 31st of March 2022 23:59:59 UTC. Write about your local folk tradition, women, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, folk games, folk cuisine, folk wear, folklore, and tradition, including ballads, folktales, fairy tales, legends, traditional song and dance, folk plays, games, seasonal events, calendar customs, folk arts, folk religion, mythology etc. on your local Wikipedia. Check if your [[:m:Feminism and Folklore 2022/Project Page|local Wikipedia is participating]]

A special competition called '''Wiki Loves Falles''' is organised in Spain and the world during 15th March 2022 till 15th April 2022 to document local folk culture and [[:en:Falles|Falles]] in Valencia, Spain. Learn more about it on  [[:ca:Viquiprojecte:Falles 2022|Catalan Wikipedia project page]].

We look forward for your immense co-operation.

Thanks 
Wiki Loves Folklore international Team
[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 15:40, 14. Mär. 2022 (CET)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&amp;oldid=22754428 --&gt;

== Die Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien des Universal Code of Conduct ist beendet. ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''
Hallo,

Die Abstimmung über die Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist am 21. März 2022 zu Ende gegangen. Über {{#expr:2300}} Wikimedianer/innen haben in verschiedenen Regionen unseres &quot;Movements&quot; abgestimmt. Vielen Dank an alle, die sich an diesem Prozess beteiligt haben! Die Prüfergruppe überprüft jetzt die Abstimmung auf ihre Richtigkeit. Bitte gib ihnen bis zu zwei Wochen Zeit, um ihre Arbeit abzuschließen.

Die endgültigen Ergebnisse der Abstimmung werden [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Results|hier]] bekannt gegeben, zusammen mit den relevanten Statistiken und einer Zusammenfassung der Kommentare, sobald sie verfügbar sind. Bitte sieh dir [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|die Wählerinformationsseite]] an, um mehr über die nächsten Schritte zu erfahren. Du kannst auf der Projekt-Talkseite [[m:Talk:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|im Meta-Wiki]] in jeder Sprache Kommentare abgeben. Du kannst das UCoC-Projektteam auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org

Viele Grüße,

Movement Strategy and Governance&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 03:19, 30. Mär. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen ==

[[File:New table of contents shown on English wikipedia.png|thumb]]
Hallo!

Habt ihr bemerkt, dass einige Wikis eine veränderte Desktop-Oberfläche haben? Interessiert ihr euch für die nächsten Schritte? Vielleicht habt ihr Fragen oder Ideen zum Design oder technischen Details?

Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''29. April 2022 um 15:00 CEST, 20:00 CEST''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/88045453898 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 88045453898. [https://wikimedia.zoom.us/u/kcOMICmyyA Wähle dich über deinen Ort ein].

'''Agenda'''

* Informationen zu den letzten Entwicklungen
* Fragen und Antworten, Diskussion

'''Format'''

Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder gestreamt. Notizen werden in einem [https://docs.google.com/document/d/1G4tfss-JBVxyZMxGlOj5MCBhOO-0sLekquFoa2XiQb8/edit# Google Doc] aufgezeichnet. [[mw:User:OVasileva_(WMF)|Olga Vasileva]] (Produkt-Manager) veranstaltet das Treffen. Der Präsentationsteil findet auf Englisch statt.

Wir können Fragen beantworten, die auf Englisch, Französisch, Italienisch und Polnisch. Wenn du im Voraus Fragen stellen möchtest, kannst du diese auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Diskussionsseite]] stellen oder an sgrabarczuk@wikimedia.org senden.

At this meeting, both [[foundation:Friendly_space_policy|Friendly space policy]] and the [[mw:Special:MyLanguage/Code_of_Conduct|Verhaltensregeln]] for Wikimedia technical spaces apply. Für Zoom gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht.

Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 02:29, 26. Apr. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Bald gibt es weitere Verbesserung rund um die Arbeit mit Vorlagen ==

[[File:Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors durch das Technische Wünsche Team.webm|thumb|Grundlegende Überarbeitung des Vorlagendialogs]]
Hallo, in Kürze kommen weitere Verbesserungen rund um Vorlagen in dein Wiki:

Der [[mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|'''Vorlagendialog''' im VisualEditor]] und im [[mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|2017 Wikitext-Editor]] (Beta-Funktion) wird '''grundlegend verbessert''':
Dies soll dabei helfen, besser zu verstehen, was die Vorlage erwartet, wie man in der Vorlage navigieren kann, und wie man Parameter hinzufügt.
* [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Diskussionsseite]]

In der '''Syntaxhervorhebung''' ([[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]]-Erweiterung), kann ein Modus für '''Farbfehlsichtige''' in den Einstellungen aktiviert werden. 
* [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Diskussionsseite]]

Die Bereitstellung soll am 10. Mai erfolgen. Dies sind die letzten Verbesserungen aus dem Themenschwerpunkt „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]” des Projekts [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. 

Wir freuen uns über Feedback auf den Diskussionsseiten! -- Für das Team Technische Wünsche: [[w:de:Benutzerin:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:26, 29. Apr. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&amp;oldid=23222382 --&gt;

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;Editing news 2022 #1&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;message&quot;/&gt;&lt;i&gt;[[metawiki:VisualEditor/Newsletter/2022/April|In einer anderen Sprache lesen]] • [[m:VisualEditor/Newsletter|Abonnement-Liste für den Newsletter]]&lt;/i&gt;
[[File:Junior Contributor New Topic Tool Completion Rate.png|thumb|Neue *Editoren waren erfolgreicher mit dem neuen Werkzeug.]]

Das [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools#New discussion tool|New topic tool]](EN) hilft Bearbeitenden neue ==Abschnitte== auf Diskussionsseiten zu erstellen. Neue *Nutzer sind erfolgreicher mit diesem Werkzeug. Es gibt einen entsprechenden [[mw:Talk pages project/New topic#21 April 2022|Bericht]](EN). Bald wird die Funktion bei allen Wikiprojekten freigegeben, die am Test teil genommen haben. Die Funktion ist ausschaltbar: [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing-discussion]].&lt;section end=&quot;message&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

[[User:Whatamidoing (WMF)|Whatamidoing (WMF)]] 20:55, 2. Mai 2022 (CEST)&lt;small&gt;, übersetzt auf wb durch [[Benutzer:HirnSpuk|HirnSpuk]]&lt;/small&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Quiddity (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&amp;oldid=22019984 --&gt;

== Update zu den Desktop-Verbesserungen ==

[[File:Table of contents shown on English Wikipedia 02.webm|thumb]]
; Dies zum neuen Standard machen
Hallo. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Unsere Arbeit ist fast beendet! 🎉

Wir würden uns freuen, wenn diese Verbesserungen der Standard für alle Leser und Autoren in allen Wikis werden würden. &lt;span style=&quot;background-color:#fc3;&quot;&gt;In den kommenden Wochen werden wir Gespräche mit weiteren Wikis beginnen, darunter auch deins. 🗓️&lt;/span&gt; Gerne lesen wir eure Anregungen!

Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs sowie Weiteres betreffen. Die Verbesserungen sind bereits auf mehr als 30 Wikis in den Standardeinstellungen für Leser und Autoren sichtbar, unter anderem in den Wikipedias auf [[:fr:|Französisch]], [[:pt:|Portugiesisch]] und [[:fa:|Persisch]].

Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector]-Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen.

; Die neuesten Funktionen
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Table of contents|Inhaltsverzeichnis]] - Unsere Version ist einfacher zu erreichen, erhält den Kontext der Seite und ermöglicht die Navigation auf der Seite, ohne zu scrollen. Es wird derzeit in unseren Pilot-Wikis getestet.  Es ist auch für Benutzer verfügbar, die den Skin Vector 2022 aktiviert haben.
* [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Page tools|Seitenwerkzeuge]] - Es gibt nun zwei Arten von Links in der Seitenleiste. Es gibt Aktionen und Werkzeuge für einzelne Seiten (wie [[Special:RecentChangesLinked|Änderungen an verlinkten Seiten]]) und Links für das ganze Wiki (wie [[Special:RecentChanges|Letzte Änderungen]]). Wir werden diese in zwei intuitive Menüs aufteilen.
; Wie man die Verbesserungen aktiviert
[[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]]
* Es ist möglich, die Funktionen zu aktivieren, indem man [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|im Reiter &quot;Aussehen&quot; in den Einstellungen]] &quot;{{int:skinname-vector-2022}}&quot; auswählt. Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren.
* In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors.

; Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen

Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Online-Treffen mit uns teilnehmen]].

Danke! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 17:54, 21. Jun. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&amp;oldid=23201372 --&gt;

== Results of Wiki Loves Folklore 2022 is out! ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot; class=&quot;mw-content-ltr&quot;&gt;
{{int:please-translate}}
[[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]]

Hi, Greetings

The winners for '''[[c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' is announced!

We are happy to share with you winning images for this year's edition. This year saw over 8,584 images represented on commons in over 92 countries. Kindly see images '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Winners|here]]'''

Our profound gratitude to all the people who participated and organized local contests and photo walks for this project.

We hope to have you contribute to the campaign next year.

'''Thank you,'''

'''Wiki Loves Folklore International Team'''

--[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] 18:12, 4. Jul. 2022 (CEST)

&lt;/div&gt;
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&amp;oldid=23454230 --&gt;

==  Schlage Stellungnahmen für den Wahl-Kompass 2022 vor ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''

Liebe alle,

Community-Mitglieder sind anläßlich der [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022|Wahl zum Board of Trustees 2022]] eingeladen, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|Vorschläge für Aussagen im Wahl-o-mat zu machen]].

Ein Wahl-o-mat ist ein Instrument, das den Wähler*innen hilft, die Kandidat*innen auszuwählen, die am besten mit ihren Überzeugungen und Ansichten übereinstimmen. Community-Mitglieder schlagen den Kandidat*innen Aussagen vor, die sie mit Hilfe einer Lickert-Skala (zustimmen/neutral/ nicht zustimmen) beantworten sollen. Die Antworten der Kandidat*innen auf die Aussagen werden in den Wahl-o-mat eingepflegt. Die Wähler/innen nutzen das Tool, indem sie ihre Antwort auf die Aussagen eingeben (zustimmen/ablehnen/neutral). Die Ergebnisse zeigen die Kandidat*innen, die am besten mit den Überzeugungen und Ansichten der Wähler*innen übereinstimmen.

Hier ist die Zeitleiste für den Wahl-o-mat:

8. bis 20. Juli: Freiwillige schlagen Aussagen für den Wahl-Kompass vor

21. - 22. Juli: Der Wahlausschuss überprüft die Erklärungen auf ihre Klarheit und streicht themenfremde Erklärungen.

23. Juli - 1. August: Die Communitys stimmen über die Erklärungen ab

2. bis 4. August: Der Wahlausschuss wählt die 15 besten Stellungnahmen aus

5. bis 12. August: Kandidat*innen positionieren sich zu den Aussagen

15. August: Der Wahl-o-mat steht ab jetzt den Wahlberechtigten zur Verfügung, um sie bei ihrer Wahlentscheidung zu unterstützen.

Der Wahlausschuss wird Anfang August die 15 besten Aussagen auswählen. Der Wahlausschuss wird den Prozess überwachen, unterstützt vom Movement Strategy and Governance Team. MSG prüft, ob die Fragen klar sind, ob es keine Duplikate gibt, ob es Tippfehler gibt und so weiter.

Beste Grüße,

Movement Strategy and Governance

''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:Xeno (WMF)|Xeno (WMF)]] 17:17, 12. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;

== Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers ==

&lt;section begin=&quot;announcement-content&quot; /&gt;
:''[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]''
:''&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&amp;group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers}}&amp;language=&amp;action=page&amp;filter= {{int:please-translate}}]&lt;/div&gt;''
Das Team &quot;Movement Strategy and Governance&quot; sucht nach Community-Mitgliedern, die sich als Wahlhelfer bei den anstehenden Wahlen zum Board of Trustees zur Verfügung stellen.

Die Idee für das Wahlhelferprogramm entstand während der Wahlen zum Wikimedia Board of Trustees 2021. Das Programm erwies sich als erfolgreich. Mit Hilfe der Wahlhelfer*innen konnten wir die Reichweite und die Beteiligung an der Wahl im Vergleich zu 2017 um 1.753 Wähler/innen erhöhen.  Die Wahlbeteiligung lag insgesamt bei 10,13 %, 1,1 Prozentpunkte höher, und 214 Wikis waren bei der Wahl vertreten. 

Aber in insgesamt 74 Wikis, die 2017 nicht teilgenommen haben, haben bei der Wahl 2021 Wähler*innen mitgemacht. Willst du mithelfen, die Beteiligung zu verbessern?

Wahlhelfer*innen werden in den folgenden Bereichen helfen:
* Übersetzen von Kurznachrichten und Ankündigung der laufenden Wahlen in den Kanälen der Communitys
* Optional: Beobachte die Community-Kanäle auf Kommentare und Fragen der Communitys

Freiwillige sollten:

* Bei Gesprächsrunden und Veranstaltungen die Friendly-Space-Politik aufrechterhalten
* Der Community die Leitlinien und Abstimmungsinformationen auf neutrale Art und Weise präsentieren

Möchtest du dich als Wahlhelfer*in engagieren und dafür sorgen, dass deine Community bei der Wahl vertreten ist? Melde dich [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|hier]] an, um aktuelle Informationen zu erhalten. Du kannst die [[m:Special:MyLanguage/Talk:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|Diskussionsseite]] für Fragen zur Übersetzung nutzen.&lt;br /&gt;&lt;section end=&quot;announcement-content&quot; /&gt;

[[User:MNadzikiewicz (WMF)| MNadzikiewicz (WMF)]] 10:45, 20. Jul. 2022 (CEST)
&lt;!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&amp;oldid=22503045 --&gt;</text>
      <sha1>m01cn30w8eg9yujw9xjwbap1i95d4wn</sha1>
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    <title>Gitarre: Effekte</title>
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      <contributor>
        <username>Hombre</username>
        <id>100801</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Fuzz */</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="63223" xml:space="preserve">&lt;noinclude&gt;
{{:Gitarre/ Navi|Sologitarre|
{{:Gitarre:_Sologitarre/ Navi}}|
{{:Gitarre:_Sologitarre/ Navi Equipment}}|
img=Guitar 1.svg |bg=#F8f8f8|border=darkorange|color=dark|px=80|navi=Einführung in die Sologitarre}}
&lt;/noinclude&gt;

{{todo|E-Gitarren-Profis müssen diese Seite fachlich ergänzen, überprüfen&lt;br /&gt;natürlich auch: Fehler berichtigen, Stil verbessern...|Gitarre|Mjchael}}

Oft werden zwischen Gitarre und Amp noch Effektgeräte geschaltet. Diese modulieren das Signal durch eine spezielle elektronische Schaltung. Die bekanntesten Effekte sind Verzerrung (Overdrive oder Distortion), Hall, Echo und Verzögerung (Delay).

=Effektgeräte=
Es gibt zahlreiche Geräte, hier ein kleiner Überblick.
Flanger, Delay, Chorus, Phaser, Tremolo, Reverb(Hall), Distortion, Overdrive, Kompressor, Synthesizer, WahWah, Sustain 
==Einzelne Effektpedale==
[[File:1979 MXR Distortion +.jpg|thumb|MXR Distortion Pedal]]
Effektpedale (Bodentreter, Tretminen) spielen trotz der Flut an digitalen Multieffektgeräten immer noch eine große Rolle bei den Gitarristen. Zum einen ist diese Spezies Musiker in Bezug auf Equipment immer noch sehr konservativ, zum anderen kann man mit Einzeleffekten immer wieder neue Sounds ausprobieren, immer wieder an kleinen Stellschrauben drehen um noch ein wenig besser zu klingen und immer wieder seine Zusammenstellung ändern, wie man es gerade für richtig hält.

Vorteil der Einzeleffekte ist auf jeden Fall die Austauschbarkeit eines einzelnen Pedals. Wenn einem der Sound des Halls in einem Multieffektgerät nicht so richtig gefallen mag, kann man den nicht so einfach austauschen, sondern muss ein Hallgerät in einen eventuell vorhandenen Effektweg einschleifen. 

Außerdem kann man die Einzeleffekte viel besser bedienen. Man muss sich nicht durch vielschichtige Menüs klicken um an den zu ändernden Parameter zu gelangen. Man dreht am Knopf, fertig. Das Finden von sogenannten „Sweetpoints“ also Einstellungen eines Reglers, an dem der ganze Effekt am besten klingt, ist viel einfacher. 

===Preisklassen===

Die Preise der kleinen Geräte sind höchst unterschiedlich. Da kann man einen Verzerrer für unter 20, -- Euro erwerben, es gibt aber auch Verzerrer, die um die 500, -- Euro liegen. Oder gar gebrauchte Geräte, die auf dem Markt schwindelerregende Summer erzielen. 

Bei den gebrauchten Geräten handelt es sich um Originale, die einen unvergleichlichen Klang erzielen sollen. Ein Beispiel ist ein Klon „Centaur“ der Original-Serie, der auf dem Gebrauchtmarkt um die 10 000, -- Euro erzielt. Der Hersteller hat aus diesem Grund sogar auf ein Nachfolgemodell geschrieben: „Kindly remember: the ridiculous hype that offends so many is not of my making“ also etwa: „Bitte denken Sie daran: Der lächerliche Hype, der so viele beleidigt, ist nicht mein Werk“.

Woher kommen aber die Preisunterschiede bei den neuen Effektpedalen. Da spielt als erstes das Produktionsland eine Rolle. In China verdienen die Leute eben sehr viel weniger als in Deutschland und arbeiten dort auch nicht immer unter Arbeitsbedingungen, die man „human“ nennen würde. Das drückt natürlich den Preis. Oftmals spart man zudem dann noch an der Endkontrolle. Das hat zur Folge, dass eine höhere Anzahl an „Montagsgeräten“ auf den Marktkommen, was aber in Kauf genommen wird.

Auch die Effektpedale, die von den großen Musikinstrumenten Kaufhäusern als Hausmarke angeboten werden, sind solche „Rebrands“. Diese können noch einmal günstiger angeboten werden, weil der Vertrieb ohne Zwischenhändler auskommt. 

Die Bauteile können sehr unterschiedliche Qualitäten haben. Billige Schalter und Potis halten oft nicht besonders lange, drücken aber den Verkaufspreis. Auch beim Gehäuse kann gespart werden. Ein Plastikgehäuse ist natürlich lange nicht so stabil, wie ein Metallgehäuse.

Entwicklungskosten. Die günstigen Pedale sind in der Regel sogenannte „Clons“ von deutlich teureren Geräten. In der Beschreibung kann man dann Sätze lesen wie: „Inspiriert vom Gerät XY“. Das spart natürlich bei der Entwicklung der Pedale. Viele Pedale kommen auch unter einer neuen Marke noch einmal auf den Markt (rebranding). Ein Pedal der Marke X für 50,-- Euro kommt nach zwei Jahren als Pedal der Marke Y in einem neuen Design noch einmal auf den Markt und kostet dann nur noch 40,-- Euro. 

[[File:Ibanez TS-808 Tube Screamer Overdrive Pro (True bypass Mod and Tone Mod).jpg|thumb|Ibanez Tube Screamer]]
Zum guten Schluss spielt auch die Art der Fertigung und die Anzahl der zu fertigenden Pedale eine Rolle. Teure Pedale werden von Hand in kleinen Stückzahlen gefertigt, billige dagegen industriell und natürlich in großen Mengen. 

Daraus ergeben sich drei Klassen von Pedalen, wobei die Übergänge natürlich fließend sind. Budget Pedale werden zumeist in China in großen Stückzahlen 
Gefertigt. Es handelt sich dabei in der Regel um „Clone“ bekannter Pedale. Beispiele Hierfür sind Joyo, Mooer, Behringer, Caline, Tone City, etc. 

Die Mittelklasse setzt auch auf industrielle Fertigung und höhere Stückzahlen, die Fertigung erfolgt allerdings in den USA oder Japan. Man setzt bei den Geräten auf Road-Tauglichkeit und entsprechend hohe Qualität der Bauteile. Bekannt sind BOSS, Electro Harmonics, MXR oder die Serie 3 von JHS Pedals.

Boutique-Pedal Hersteller setzen auf Qualität und Individualität. Kleine Stückzahlen, handgearbeitet, ausgesuchte Bauteile und eine eigene Entwicklung zeichnen die Pedale aus. Die Firma WeeBoo aus Hannover zum Beispiel ist ein Ein-Mann-Betrieb. Die Pedale werden nebenberuflich entwickelt und gefertigt. Von diesen Boutique-Pedal Herstellern gibt es eine ganze Menge. Rodenberg aus Deutschland, Beetronics, Amptweaker, Jackson Audio, JHS Pedals, Strymon, Wren &amp; Cuff, Wampler, Fulltone, Vertex oder Z.Vex aus den USA, Mad Professor aus Finnland und viele andere mehr. Dazu kommen die Boutique Pedale, die von Amp-Herstellern angeboten werden. Diezel, Bogner, Suhr, Fortin und Friedman sollen als Beispiele dienen.

Natürlich gibt es keine festen Grenzen zwischen den Klassen. Die Übergänge sind fließend. So nutzen einige Herstelle die günstige Produktion in China, die Entwicklung findet aber in anderen Ländern statt. So entwickelt zum Beispiel Blackstar in in Großbritannien, die Produktion ist aber in China, oder Carl Martin entwickelt in Dänemark, die Produktion findet ebenfalls in China statt. Dabei bekommen die chinesischen Firmen genaue Vorgaben, wie die Produktion auszusehen hat.

===Effektpedale aussuchen===

Am besten, man geht in das Musikgeschäft seiner Wahl, quatscht mit dem Verkäufer, der hoffentlich Ahnung hat (was leider nicht immer der Fall ist) und probiert dann möglichst viele Pedale aus und vergleicht sie miteinander in der Praxis. Am besten noch mit einer Gitarre, die der eigenen möglichst ähnlich ist an einem Verstärker, dessen Sound man kennt. Antesten nennt man das in Musikerkreisen. Davon sollte man soviel Gebrauch machen, wie man kann. Auch das Equipment der Band-Kollegen oder der anderen Musiker, die man so kennt sollte man mal antesten, wenn der Besitzer es zulässt. 

Leider hat man nicht immer diese Möglichkeiten. Mittleiweile gibt es bei YouTube massenweise Videos, in denen Effektpedale vorgestellt werden. Manche sogar ohne dass dazwischen gequatscht wird und nur das Pedal mit seinen Soundmöglichkeiten zu sehen und vor allem zu hören ist. Damit kommt man oftmals auch schon weiter, auch wenn der Anbieter des Videos vom Hersteller des Effektes möglicherweise bezahlt wird. Die Aufnahmen für das Video werden dann natürlich unter Studio-Bedingungen gemacht. Im Proberaum wird das Ganze sicherlich dann doch noch etwas anders klingen. Aber die Richtung, in die es geht wird einem klar.

Kommt man an der Bestellung im Internet nicht vorbei, bieten viele Händler die Möglichkeit an, eine Rezension zu veröffentlichen. Auch die kann man bei der Beurteilung zur Rate ziehen. Zumindest auf den Seiten der großen Musikalienhändler sind die Rezensionen noch nicht so unglaubwürdig, wie bei den großen Online-Kaufhäusern. Thomann bietet dazu noch den Stompenberg FX an. Hier kann man Effektpedale virtuell ausprobieren. Das geht recht einfach und man kann sich zumindest ungefähr vorstellen, wie der Effekt klingt, auch wenn das ganze recht steril klingt.

===Netzteile===

Die meisten Effekt-Pedale lassen sich mit Batterien oder mit einem Netzteil betreiben. Nun sind ja Batterien überhaupt nicht mehr zeitgemäß, aber auch aus rein praktischen Gründen nicht zu empfehlen. Sie sind nämlich immer genau dann leer, wenn man sie am wichtigsten braucht. Frei nach Murphy’s Gesetz: „Alles was schiefgehen kann, geht auch schief!“ 

Ist die Batterie oder der Akku leer, so muss man sich dann auch erst einmal auf Fehlersuche begeben, was nicht immer so einfach ist. Dann benötigt man auch auf jeden Fall Ersatz und die Frage ist dann, ist denn der Ersatz auch voll? Und auch aus Kostengründen kann man nur zu einem Netzteil raten. Die Effektpedale sind nämlich nicht zu unterschätzenden Stromfresser. Viele verbrauchen auch Strom, solange ein Kabel im Input steckt und der Effekt nur auf Stand-by läuft. Bei der Probe vergessen, den Stecker aus dem Input herauszuziehen, bei der nächsten Probe ist die Batterie oder der Akku leer.

Plant man mehrere Effekte einzusetzen, sollte man sich gleich damit beschäftigen ein Mehrfachnetzteil zu erwerben. Einzelne Effekte kann man noch mit einem einzelnen, handelsüblichen Netzteil betreiben, hat man mehrere Effekte zu versorgen, ist es deutlich angenehmer, auf eine zentrale Stromversorgung zurückgreifen zu können.

Was muss ich nun beim Kauf eines Netzteiles beachten? Das hängt davon ab, was für Pedale ich betreiben möchte. Moderne, digitale Pedale mit reichlich Funktionen verbrauchen durch die hohe Rechenleistung, die benötigt wird, auch viel Strom. Das Netzteil sollte dafür als ausreichend Strom zur Verfügung stellen. Neben den üblichen 9 Volt 500 mA Ausgängen ist es möglich, dass ich für bestimmte Overdrive, Distortion oder Fuzz Effekte auch mit 12 oder 18 Volt betreiben kann, wodurch sie mehr Headroom, also mehr Gain und damit mehr Verzerrung bekommen. Habe ich solche Effekte, benötige ich auch Ausgänge mit entsprechender Volt Zahl. Mache Netzteile bieten hierfür sogar schaltbare Ausgänge. Damit ist man dann noch flexibler. 

Sind die Ausgänge eines Mehrfachnetzteils nicht gut genug getrennt, kann es in Verbindung mit anfälligen Effekten zu Brummen kommen. Da hilft nur Probieren oder der Austausch des Netzteils, bzw. des Effektes, wenn man den Übeltäter ermittelt hat.

Es gibt Effekte, die sensibel auf Netzteile reagieren. Sie verändern durch die Art des Netzteils sogar den Sound und müssen dann mit dem zugehörigen und in diesem Fall wahrscheinlich mitgelieferten Netzteil betrieben werden. 

Schön ist, wenn man das Netzteil unter dem Pedalboard verbauen kann. Da nimmt es dann auf dem Pedalboard keinen Platz mehr weg. Dazu sollte man vorher gucken, wie hoch das Netzteil ist. 

Für kleine und mittlere Pedalboards gibt es auch Netzteile, die gleichzeitig ein Stimmgerät beinhalten. Das kann für das eine oder andere Pedalboard genau das richtige Feature sein.

=== Patchkabel===

Hat man mehrere Effektpedale im Einsatz muss man sie mit entsprechenden Kabeln verbinden um das Signal zum Verstärker zu bekommen. Diese kurzen Kabel nennt man „Patchkabel“.  Sie sind entweder mit geraden oder mit Winkelsteckern ausgestattet. Zum Verbinden von zwei Pedalen, die die Input- und Output Anschlüsse an der Seite haben, wie es bei den meisten Geräten der Fall ist, eignen sich Winkelstecker am besten. Haben die Pedale die Anschlüsse an der Hinterseite, was sehr praktisch und platzsparend sein kann, dann sind oftmals gerade Stecker besser, wenn sich nicht eine weitere Reihe Effekte dahinter befindet und Platz haben muss. 

Für den Einsteiger gibt es bunte Patchkabel bei dem Musikalienhändler der Wahl Mehrfachpack schon für wenige Euro. Für den Anfang sind diese völlig ausreichend. Die Verschweißten Stecker dieser Kabel haben aber den Nachteil, dass man sie nicht reparieren kann und sie doch recht schnell kaputtgehen. Bei größeren Effektboards kann da die Fehlersuche schon mal zur Geduldsprobe werden, wenn man ein defektes Kabel hat.

Deswegen sollte man sein Pedalboard so früh wie möglich auf bessere Kabel umstellen. Dabei bieten viele Kabelhersteller Bausätze an, mit denen man exakt die richtige Länge mit den geeigneten Steckern selber kombinieren kann. Das sorgt für Ordnung auf dem Pedalboard und kurze Kabel. 

Es gibt auch Verbindungen, die nur aus den Steckern bestehen. Das sind mehr oder weniger nur zwei Stecker, die zu einem Teil verarbeitet worden sind. Das ist auf den ersten Blick eine gute Lösung, problematisch ist die Höher der beiden Buchsen, die verbunden werden sollen. Ist die zu unterschiedlich, kann der Stecker das nicht mehr ausgleichen. Manche benötigen sogar exakt die gleiche Höhe. Dann muss man auch auf Qualität achten. Es gibt Modelle dabei, die doch sehr schnell kaputt gehen. Und für meinen persönlichen Geschmack liegen die Fußschalter der benachbarten Pedale manchmal zu dicht beieinander, dass eine Fehlbedienung nicht ausgeschlossen ist.,

Profis geben ein Vermögen für Kabel aus. Das liegt daran, das durch schlechte Kabel auch immer Sound verloren geht. Das lohnt sich aber nur bei ebenso hochwertigen Effekt-Pedalen, sonst kann das Patchkabel auch mal mehr kosten, als der angeschlossene Effekt.

===Pedalboard===

Diese kleinen bunten Kisten können, wenn man erst einmal auf den Geschmack gekommen ist, schnell zu einer Sucht werden. Schnell sammeln sich immer mehr im Besitz des Gitarristen an. Man muss Ordnung in das Chaos bekommen.

Mittlerweile gibt es eine ganze Reihe verschiedener Pedalboards zu kaufen. Die Pedale werden dabei auf einem Pedalboard befestigt und fest verdrahtet. Dazu gibt es dann eine passende Tasche oder sogar einen Koffer. Ein paar luxuriösere Boards haben sogar schon ein Netzteil und Kabel für die Stromversorgung der Pedale an Board, was die Sache dann schon vereinfacht. Dabei werden diese Boards von sehr kompakt bis ziemlich riesig angeboten. Jeder sollte seine passende Größe finden. 

Gängigste Art der Befestigung der Pedale auf dem Board sind Klettbänder. Die Oberfläche der Boards sind dabei schon mit Klett vollständig beklebt, man muss unter das Pedal nur einen Streifen des selbstklebenden Klettbandes kleben und man kann es auf dem Board ziemlich frei platzieren. Manche Pedalhersteller liefern zum Effekt auch gleichen einen passenden Klettaufkleber für die Unterseite des Pedals mit, was das ganze deutlich stabiler macht. 

Die Klettbefestigung hat den Vorteil, dass man sein Pedalboard recht schnell umbauen kann, wenn man sich zum Beispiel ein neues Pedal gekauft hat, das man in seine Effektkette integrieren möchte. Oder man braucht für einen Song einen neuen Sound. Schnell ist das entsprechende Pedal auf dem Board montiert.

Der Nachteil am Klett ist, dass die Befestigung nicht besonders stabil ist. Kommst man zu stark an ein Pedal, löst es sich vom Board und im schlimmsten Fall zieht man damit auch gleich die Stromversorgung oder das Anschlusskabel mit ab. Das hat dann den Totalausfall der Gitarrenanlage zur Folge.

Die stabilere Variante ist die Befestigung der Pedale mit sogenannten Mounties, das sind kleine Metallteile, die an die Unterseite der Pedale mittels der Schrauben, die die Bodenplatte fixieren, befestigt werden. Damit kann man sie auf dafür ausgelegt Pedalboards schrauben. Diese Pedalboards sind aus Metall und haben unzählige Löcher, die die Befestigung der Pedal ermöglichen. So ist das Board stabiler aufgebaut. Dafür ist der Umbau schon etwas stressiger. 

===Schalter===

Mittels Schalter lassen sich mehrere Wege, die ein Gitarrensignal durch eine Effektkette nehmen soll realisieren. Die einfachste Möglichkeit sind dabei die ABY-Boxen. Das Signal, dass am Eingang ankommt geht entweder an den Ausgang A, B oder sogar an beide Ausgänge (Y). Mit dem Schalter kann man also zwei verschiedene Verstärker betreiben. Entweder einzeln oder beide zusammen. Vor die Amps kann man dann auch noch Effekte legen. Es gibt auch Schalter, die noch mehr Ausgänge haben. Man kann also noch mehr Verstärker abwechselnd ansteuern. 

Für komplexere Anwendungen gibt es Looper. Gemeint sind aber nicht die kleinen Geräte, die ein paar Takte Musik aufnehmen und dann in Endlosschleife wiedergeben können, sondern Geräte an die man seine Effekte anschließt und man sie innerhalt des Gerätes zusammenstellen und per Fußschalter aktivieren kann. 

Hört sich kompliziert an, ist es aber nicht. Ein Looper ist mit zum Beispiel mit 8 Loops ausgestattet. Man kann also acht Einzeleffekte anschließen. Im Looper kann man jedem Fußschalter alle Effekte zuordnen, die man für seinen Sound haben möchte. So braucht man für das ändern eines Sounds nur einen Klick auf den Fußschalter, alles ist wie es soll. Zudem kann man meist auch den Kanalwechselschalter seines Amps in den Looper integrieren. Vom Clean in den Lead Sound ist es wieder nur ein Fußklick und der Looper schaltet neben den Effekten auch den Amp in den Leadkanal. 

Das Ganze funktioniert entweder rein analog, sprich die Wege des Signals werden über rein analoge Schalter geregelt. Es gibt aber auch Router, die digital arbeiten. Da funktioniert zwar der Signalfluß analog, die Schaltwege werden aber digital verarbeitet, was zu einer ganzen Reihe weiterer Möglichkeiten führt. Man kann so auch Midi fähige Effektgeräte in das Setup übernehmen und per Midi Befehl ansteuern. 

Wer schon einmal auf den Bühnen der Profi-Gitarristen unterwegs war, kennt die ausgeschlafenen Schaltsysteme, die da benutzt werden. Ein riesiger Aufwand wird da betrieben. Alle Effekte sind in geschlossenen Kisten verbaut, dass die Regler nicht verstellt werden können, alles ist fest verkabelt und wird auf der Bühne von einem reinen Schaltboard gesteuert. Nur so ist gewährleistet, dass man ohne Probleme bei jeder Show auf die gleichen Sounds zurückgreifen kann. 

===Flexibel oder einfach?===

In dem mittlerweile doch recht hart umkämpften Markt der Effektpedale gibt es immer mehr Pedale, die unglaublich viele Einstellmöglichkeiten haben. Das macht sie zu vielseitig einsetzbaren Werkzeugen zur Sounderstellung. Macht man für sich alleine zu Hause Musik, ist das eine wunderbare Sache. Man kann sich super mit dem gerät beschäftigen und das letzte aus ihm herauskitzeln. 

Im Probenraum und erst recht auf der Bühne nutzen die vielen Features oftmals ziemlich wenig, denn während einer Probe an irgendwelchen Reglern zu drehen, dass nervt nicht nur die Bandkollegen, sondern führt auch oft dazu, dass man einen Sound nicht mehr reproduzieren kann. Und auf der Bühne sollte man sich davor hüten, während der Show zwischen den Stücken irgendwelche Regler drehen zu müssen. Eine Fehlbedienung ist da schon fast vorprogrammiert. 

===Buffer===

Ein großes Thema bei Gitarristen ist immer noch die Verwendung von Effekten mit True-Bypass bzw. Buffered-Bypass. Bypass ist der ausgeschaltete Zustand des Effektgerätes, in dem das Eingangssignal an den Ausgang durchgeleitet wird. Wenn das Signal innerhalb des Effektgerätes nicht bearbeitet wird, hat man den True-Bypass. Verwendet man insgesamt mittlere Kabelwege und nur wenige Effekte, ist das auch die beste Lösung. 

Habe ich lange Kabelwege und/oder viele Effekte kann es dazu kommen, dass das Signal an Höhen verliert. Durch einen Buffered-Bypass kann man diesen Höhenverlust kompensieren. Es ist also gut, wenn man im Signalweg auch ein Effekt-Pedal mit Buffered-Bypass hat. Hat man dieses Effektgerät nicht, kann man sich auch einen extra Buffer zulegen, der den Höhenverlust ausgleicht. Man muss aber erst darauf achten, wenn man tatsächlich viele Effekte und sehr lange Kabel verwendet.

==Multi-Effektgeräte==
[[File:BOSS GT-3.jpg|thumb|BOSS GT-3]]
Multieffektgeräte beherbergen mehrere verschiedene Effekte, die nicht der gleichen Familie angehören. Ein Gerät, das Hall und Echo bereitstellt, würde man also nicht als Multieffektgerät bezeichnen. Ebenso ein Pedal mit Booster und Overdrive oder verschiedenen Modulationseffekten. Erst wenn mehrere Aspekte des Gitarrensounds bearbeitet werden können, spricht man von einem Multieffektgerät. 

Die einfachen Multieffekte arbeiten meist zum Teil analog für Overdrive und Distortion und digital für Modulationseffekte, Echo und Hall. Man nennt diese Geräte auch Effekt-Strips. Sie sind sehr kompakt und haben für jeden Effekt auch die dazugehörigen Regler an Bord. Sie lassen sich nicht programmieren, sondern man muss seinen Sound mittels der Regler einstellen. Die Bedienbarkeit ist also kein Problem. Benötigt man aber viele verschiedene Sounds, wird es schwierig.

Dann benötigt man ein digitales Multieffektgerät. Diese sind mit Klangprozessoren ausgestattet und beherbergen als einzelnes Gerät eine Vielzahl nützlicher Effekte, die durch Programmierung miteinander kombiniert werden können. Dadurch, dass diese Gattung der Effektgeräte mit wenig Technik viele Effekte ausgeben kann, klingen die Effekte meist nicht so gut wie die der einzelnen Effektgeräte.

'''Für wen sind Multi-Effektgeräte geeignet?''' Für Einsteiger und um sich eine Übersicht über die breite Palette der angebotenen Effekte zu verschaffen, sind diese Geräte sehr gut geeignet. Allerdings sind die Werks-Presets, also die Sounds, die dem Gerät vom Hersteller mitgegeben werden, fast immer sehr Effektüberladen. Man möchte nämlich, dass der zukünftige Käufer beim Antesten des Gerätes gleich mitbekommt, was die Kiste denn so alles draufhat. Im Bandkontext sind solche Sounds allerdings kaum zu gebrauchen. Auch zum alleine spielen klingen diese Sounds sicher toll, aber man hört bei vielen zugeschalteten oder extrem eingestellten Effekten seine Fehler nicht mehr. 

Ebenso sind die Geräte zum Üben hervorragend, da einige Geräte auch Drum-Patterns und ein Metronom integriert haben. Man kann sich möglicherweise mit dem Looper (wenn vorhanden) schnell Jam-Track einspielen, zu den man fantastisch üben kann. Dazu funktionieren diese Geräte auch leise sehr gut, ein Soundverlust bei leisem Betrieb wie bei Röhrenverstärkern ist nicht gegeben. Zudem haben sie einen Kopfhörerausgang, was bei einem Röhrenverstärker unüblich ist, da man technisch einen hohen Aufwand treiben muss, um einen Kopfhörer-Ausgang zu ermöglichen.

Macht man zu Hause Aufnahmen mit einer DAW (Digital Audio Workstation, ein Computerprogramm, das als Aufnahmestudio fungiert) am Computer, kann man die meisten digitalen Multieffektgeräte als Interface einsetzten. Der Sound wird im Multieffektgerät digital produziert und als Daten an die DAW weitergegeben, die diese dann weiterbearbeiten und wiedergeben kann. Auch sogenanntes „Reamping“ ist möglich. Die Gitarre wird über ein Interface in den Computer direkt eingespielt. Beim Remix (abmischen, also fertigstellen des Songs) wird dieses Signal dann in das Multieffektgerät geleitet, hier kann es dann bearbeitet werden und geht dann wieder zurück in den Rechner und wird als bearbeitetes Signal abgespielt. Man kann so in der Praxis seinen Gitarrensound erst ganz am Ende des Aufnahmeprozesses einstellen und muss sich nicht schon bei der Aufnahme entscheiden, welche Effekte man zu welchem Sound nutzen möchte. Das ist allerdings eine Sache für Profis. 

Viele greifen jedoch lieber zu Einzel-Pedalen, da so feinere Sounds möglich sind, als ein Multi-Effektgerät es hergibt. Es gibt natürlich Multi-Effekte in der &quot;Oberklasse&quot; die gute Sounds bei sämtlichen Effekten haben, welche aber für den Hobbymusiker kaum bezahlbar sind. 

'''Vorteil eines Multi-Effektgeräts''' Ein Multi-Effektgerät birgt den Vorteil in sich, dass fertige Sounds abrufbereit sind. Wenn man zum Beispiel bei einem Song einen 80er-Jahre Hardrock-Sound mit dezentem Einsatz von Chorus spielt und der nächste Song einen cleanen Sound mit deftigem Einsatz von Chorus erfordert, werden bei einem Multi-Effektgerät einfach zwei Sounds erstellt, gesichert und anschließend abgerufen. Bei einzelnen Effektpedalen muss das Chorus-Pedal nachgestellt werden. Es muss eventuell der Amp neu eingestellt werden (Distortion-Kanal, Gain, EQ, Master Volume, etc...). Vielleicht soll noch ein Delay in bestimmter Weise dazu, dann muss auch dieses Pedal eingestellt werden, und und und...

Für die meisten Geräte haben sich im Internet Gruppen gebildet. Man kann sich hier aber nicht nur Tipp und Tricks abgucken, meist werden auch Sounds getauscht. Hier kann man sich aus einem bunten Blumenstraß an Sounds die Besten heraussuchen. Manchmal bietet der Hersteller auch auf seiner Seite eigene Sounds an, die man herunterladen kann. Ein netter Service. Allerdings sollte man seine Erwartungen an diese Sounds nicht zu hochschrauben, denn in den Foren werden nicht nur brauchbare Sound getauscht, da schwirrt auch massenweise Unsinn herum. So kann man für viele Geräte auch professionelle Sounds käuflich erwerben. Die sind gar nicht mal so teuer und ersparen einem viel Zeit, die man benötigt, um Sound zu programmieren.

'''Nachteile des Multi-Effektgerätes''' Die meisten Multieffektgeräte sind mit einer überschaubaren Anzahl an Bedienelementen ausgestattet. Das liegt daran, dass sich das Gerät mit der Anzahl von Knöpfen, Schaltern und Tasten auch verteuert und durch die wachsende Konkurrenz spielt möglichst niedrige Preis eine immer entscheidendere Rolle. Zudem kann man bei den Geräten eine mittlerweile unüberschaubare Anzahl von Parametern kontrollieren, dass es gar nicht mehr möglich ist, alle mit einem Bedienelement auszustatten. So haben die meisten Regler des Multieffektes viele Funktionen und die Bedienbarkeit am Gerät selber ist schwierig. Das gilt auch für Geräte, die über eine Touch-Screen verfügen. Da ist es zwar einfach, aber optimal ist sicher anders.

Man bedient diese Geräte dann am besten über eine Software. Diese Programme zeigen einfach auf, was zu bedienen ist und man stellt die Parameter mit der Maus ein. Wenn man in einer Band spielt, und das Effektgerät dort auch nutzt, sollte man zumindest den Feinschliff an den Sounds bei einer Probe vornehmen, damit er auch in den Bandkontext passt. Das ist gar nicht so einfach. Hat man keinen Computer im Probenraum, ist es gut, wenn man die Bedienung seines Gerätes auch beherrscht. Die anderen Bandmitglieder haben dazu nämlich gar keine Lust und es geht auch immer wertvolle Probenzeit verloren. 

Man verliert sich beim Programmieren eines Sounds schnell in den Unendlichkeiten der Parameter. Hier kann man noch etwas drehen, da etwas verbessern, da etwas ausprobieren und da noch etwas Pepp. Und am Ende des Tages hat man zwar viel Zeit mit der Gitarre verbracht, aber nur wenig gespielt und viel programmiert. Vielleicht nicht der Sinn der Sache. Es gibt eine Menge Gitarristen, die genau aus diesem Grund wieder auf Einzeleffekte umgestiegen sind.

'''Anschluss des Multieffektgerätes''' Die oben beschriebenen Effekt-Strips sind dafür gebaut, einfach vor einem Verstärker eingesetzt zu werden. Die Gitarren in den Input, den Output mit dem Verstärker verbinden und loslegen. Das gleiche kann man auch mit den digitalen Geräten machen, das wäre die einfachste Anwendung, aber man hat weitere Möglichkeiten. 

Viele verwenden die „Vier Kabel Methode“. Dazu benötigt man einen Verstärker und ein Multieffektgerät die über einen Effektloop verfügen. Die vier Kabel werden wie folgt angewendet. Das erste Kabel geht von der Gitarre in den Input des Multieffektes. Das zweite vom Effekt Send des Effektes in den Input des Gitarrenverstärkers. Das dritte vom Effekt send des Verstärkers in den Effekt Return des Effektes und das vierte schließlich vom Output des Effektes in den Effekt Return des Verstärkers.

Das Ganze funktioniert dann so: Das Gitarrensignal bekommt zunächst die Bearbeitung, die bei Einzelpedalen vor dem Verstärker geschaltet wären. Es durchläuft falls vorhanden etwa WahWah, Kompressor und Overdrive. Dann wird das Signal durch den Effekt-Send herausgeführt und passiert die Vorstufe des Verstärkers. Hier bekommt es Verzerrung vom Verstärker und wird durch den Equalizer bearbeitet. Dann wird es durch den Effekt Send wieder aus dem Verstärker durch den Effekt Return in das Effektgerät geleitet und wird nun mit Echo und Hall bearbeitet. Anschließend läuft es vom Output des Effektes über den Effekt Return des Verstärkers in die Endstufe. Oftmals muss man am Multieffektgerät den Effektweg in der Programmierung anschalten. Er kann sogar bei einigen Geräten per Fußschalter ein- und ausgeschaltet werden.

Die meisten Multieffektgeräte bringen heute auch eine Amp- und eine Boxensimulation mit. Viele Gitarristen nutzen diese Möglichkeit heute auch für ihren Bühnensound. Das hat nämlich den Vorteil, dass man gar keinen Verstärker mehr mitzunehmen braucht, sondern mit dem Output einfach ins Mischpult geht. Und schon ist der Aufbau fertig. Über die PA wird der Sound dann gesteuert. Und so ist es dann auch leicht, einen Stereo-Sound zu fahren, denn so gut wie alle Multieffektgeräte verfügen über einen Stereo-Ausgang. Damit es dann noch besser geschützt vor Störgeräuschen ist, haben einige Geräte auch XLR Buchsen eingebaut, die einen symmetrischen Anschluss an das Mischpult ermöglichen.

Es gibt auch extra für den Betrieb von Multieffektgeräten entwickelte Aktiv-Boxen, an die man sein Gerät anschließen kann. Einfach vom Output des Gerätes in den Input der Box gehen. Man verwendet im Multieffektgerät die Ampsimulation, kann aber in der Box auch auf verschiedene digital erzeugte Boxensimulationen aufrufen. Bei diesen Boxen handelt es sich nicht um Gitarrenboxen im eigentlichen Sinn, diese übertragen nur Frequenzen bis rund 9000 Hz, sondern um Full-Range Boxen, die für den gesamten Frequenzbereich ausgelegt sind, wie etwa normale PA-Boxen. Dadurch können sie etwa auch Signale von Westerngitarren etc. übertragen. 

Auch gern genutzt wird das Multieffektgerät vor einer Gitarrenendstufe mit Gitarrenbox. Das hat den Vorteil, dass man trotz digitaler Klangerzeugung ein gutes Feeling für den Verstärker vermittelt bekommt. Auch wenn die digitalen Lösungen genau in diesem Bereich oft noch Schwächen haben.

In den Effektweg des Multieffektes lassen sich weitere Effekte einschleifen. Gefällt einem der Hall des Gerätes nicht oder hat man einen Effekt, der in dem Gerät gar nicht vorhanden ist und möchte ihn an einer bestimmten Stelle des virtuellen Signalweges nutzen, kann man sein Hallgerät oder diesen Effekt über den Effektweg nutzen. Effekt Send in den Input, den Output an den Effekt Return, den Effektweg einschalten, fertig. Bei vielen Multieffekten kann man die Position des Eingeschliffenen Effektes sogar einstellen. Man kann den Hall etwa am Ende der Effektkette platzieren.

Zur Bedienung auf der Bühne oder im Proberaum verfügt ein Multieffektgerät über eine Reihe von Fußschaltern und sehr oft auch über ein Pedal, manchmal sogar zwei Pedale, denen man Parameter zuweisen kann. So kann man die Lautstärke mit dem einen und das WahWah mit dem anderen Pedal bedienen. 

Die meisten Fußschalter können programmiert werden. Bei jedem Sound könnten sie mit anderen Funktionen ausgestattet werden. Je mehr es sind, destoi besser ist es, weil man so Doppelbelegungen vermeidet. Man sollte mit dem Fuß die Sounds umschalten können. Diese sind oft in Bänken zusammengefasst. Ein Sound der A6 heißt liegt in der Bank A auf Platz 6. Man muss dann die Bänke und auch die Nummern schalten können, um möglichst schnell von einem zum anderen Sound zu kommen. Sind die Sounds einfach nur durchnummeriert, kann man sie sich so zusammenbasteln, dass man während eines Auftrittes immer nur einen Sound nach oben schalten muss um den nächsten Sound, der benötigt wird, zu erhalten. 

Viele Multieffekte kann man aber auch so schalten, dass Man einem Sound verschiedene Effekte zuordnet. Man hat also einen Verstärker eingestellt und kann nun mit den Tasten von einem Kanal des Verstärkers zum anderen, verschiedene Verzerrer davor aktivieren, Chorus dazu schalten, Echos und Hall anwählen etc. Man hat also im Prinzip zu dem Verstärker ein Pedalboard direkt verfügbar. 

Zusätzliche Taster (oder oft Doppelfunktionen/zwei Tasten gleichzeitig) schalten den Tuner ein und schalten den Rest des Gerätes stumm oder stellen 

Weniger ist oft mehr: Dieses Prinzip gilt gerade bei den Multi-Effektgeräten. Natürlich ist dies auch bei allen anderen Effekten der Fall. Nur sind bei Multi-Effektgeräten viele Effekte gleichzeitig kombinierbar, was leicht zur Überladung des Sounds führen kann. Empfohlene Betrachtungsweise für die Effekte: Sie sind das Salz in der Suppe! Dezenter Einsatz ist gefragt, wenn nicht der Effekt etwas Besonderes erreichen soll (oft bei Tom Morello zu beobachten).

Bekannte Hersteller von Bodeneffektgeräten: Digitech, Zoom, Korg, Boss, Vox, Line6

==Rack Effektgeräte==
Man kann sie in 19&quot; Racks (weltweiter Standard) einbauen und muss zur Steuerung noch eine externe (Midi-)Schaltleiste anschließen, um sie zu bedienen. In den 80er Jahren war der Andrang groß, weil viele wie Ihre Idole klingen wollten.
Der Haken war der sehr hohe Preis (manchmal über 50.000€ für ein Rack!). Ein berühmter Rackbauer und auch Pionier auf diesem Gebiet ist Bob Bradshaw, welcher für viele Gitarristen ein System zusammengestellt hatte.
Die Qualität ist natürlich viel höher als bei den Boden-Multi-Effektgeräten.
Teilweise wurden mehrere Verstärker und hiermit verbundene Effektgeräte mit nur einem Tritt auf einen Schalter gewechselt,
die Vorteile liegen auf der Hand. 
In einem Rack waren jeweils Vorstufe, Verzerrer, mehrere Effekte, Equalizer und Endstufe zusammengefasst. Ein eingebauter Lüfter hinter und manchmal auch zwischen den Geräten sorgte für die benötigte Kühlung.

'''19&quot; Rack''' : [http://de.wikipedia.org/wiki/Rack]

==Verzerrer==

Verzerrer ist eine Art Oberbegriff für verschiedene Arten von Effekten, die entweder selber eine Verzerrung erzeugen oder durch ihren Einsatz den Verstärker dazu bewegen, selber in den Verzerrungsbereich zu gehen. Diese Verzerrer bekommt man als einzelnes Effekt-Pedal oder in einem Multieffektgerät implementiert. Sie können entweder analog oder auch digital arbeiten. Im digitalen Fall wird zunächst das Eingangssignal in ein digitales Signal umgewandelt, dieses Signal bearbeitet und am Ende der Effektkette wieder in ein analoges Signal zurückgewandelt.

Verzerrung entsteht, wenn man ein elektronisches Bauteil übersteuert. Der Eingangspegel ist also so hoch, dass das Bauteil diesen nicht mehr verarbeiten kann. Der Pegel wird also in seinen Spitzen abgeschnitten. Aus der gleichmäßigen Welle werden also die höchsten Ausschläge nicht mehr bearbeitet. Röhren setzen langsam mit dieser Begrenzung ein, was zur Folge hat, dass die Verzerrung sehr harmonisch ist und Obertöne zu der Welle hinzugefügt werden. Andere Bauteile, wie etwa Transistoren schneiden die Welle einfach ab, es kommt zu einer sehr „kaputt“ klingenden Verzerrung (was gewollt sein kann, siehe Fuzz-Pedale). 

Zusätzlich zu der Verzerrung wird auch die Dynamik des Signales reduziert, da die Spitzen des Pegels reduziert werden. Das Signal wird komprimiert. Je mehr Verzerrung man hat, desto mehr wird das Signal auch komprimiert.

===Geschichte===

Vielleicht etwas Geschichte vorweg. Gitarrenverstärker gibt es etwa seit den 1930 Jahren. Sie waren so konzipiert, dass sie eben nicht verzerren, sondern das Signal aus der Gitarre möglichst sauber wiedergaben. Sie sollten eben einfach lauter werden, um sich gegen andere Instrumente, wie etwa das Schlagzeug, durchsetzen zu können.

In der 1950er Jahren wurden die Bands lauter. Es entwickelte sich der Rock’n’Roll und seiner verwandten Genres. Dazu wurden die Verstärker immer weiter aufgedreht, bis sie schließlich bei immer höherer Laustärke begannen, harmonisch zu verzerren, weil Vor- und/oder Endstufe überlastet waren. Genau dieser Sound wurde dann auch von vielen Gitarristen gewünscht und genutzt. Das hatte allerdings den Nachteil, dass die Verstärker sehr sehr laut waren und die anderen Instrumente dagegenhalten mussten.

Mit der Entwicklung der Transistor-Technik kam man aber schnell auf die Idee, dass man Transistoren ja auch übersteuern kann. Heraus kamen die ersten Fuzz-Pedale, wie etwas das Maestro FZ-1 Fuzztone, allen bekannt von dem Song „I can get no Satisfaction“ von den Rolling Stones. Keith Richards soll den Sound dieses damals gerade erst erschienenen Effekts gar nicht gemocht haben, die anderen Bandmitglieder sollen sich aber durchgesetzt haben. Die Fuzz-Pedale erfreuten sich schnell großer Beliebtheit und verbreiteten sich rasch. 

Da der Sound der Fuzz-Pedale sehr harsch ist, man nannte den Sound auch Kreissäge oder Rasierapparat, suchte man aber nach einer Verzerrung, die weicher und harmonischer klang. Eben wie eine weit aufgerissener Röhrenverstärker. So kamen die ersten Overdrive-Pedale in den späten 1970er Jahren auf den Markt, die diesen Sound simulieren sollten. Nur wenig später wurden dann auch die ersten Distortion-Pedale entwickelt, deren Verzerrung deutlich höher war, als die der Overdrive-Pedale und den Sound eines stark verzerrenden Röhren-Amps simulierten.

===Booster===

Booster erzeugen normalerweise selber gar keine Verzerrung, sondern verstärken (boosten) das Signal der Gitarre einfach. Das nennt man dann etwa Clean-Boost, Pure-Boost, Linear-Boost oder ähnlich. Der Sinn des Ganzen ist, den nachgeschalteten Verstärker zu übersteuern und in die Sättigung zu bringen. Vor einem Clean eigestellten Röhrenverstärker eingesetzt kann man per Fußtritt eine Pegelanhebung um 20 dB und mehr erreichen, dass der Amp nun einen verzerrten Sound (Crunch) hat. Man macht so aus einem einkanaligen Amp einen Zweikanäler.
 
Vor einem schon verzerrt eingestellten Amp hebt der Booster die Verzerrung noch einmal an, so dass man aus einem Crunch-Kanal einen Lead-Kanal machen kann. 

Viele nutzen den Booster auch dafür, die Unterschiede zweier Gitarren im Output-Level anzugleichen. Eine Gitarre mit Single-Coil Tonabnehmern hat oft deutlich weniger Output, als eine mit Humbuckern. Ein Tritt auf den Booster gleicht diesen Unterschied aus.

Für die eben beschriebenen Funktionen reicht ein Regler aus, der mit Volume oder Gain beschriftet ist und die Stärke der Signalanhebung regelt. Viele Booster greifen aber auch aktiv in das Klanggeschehen ein. Treble-Booster gibt es schon viel Länger als Clean-Booster. Sie sollen die Höhen verstärken, um den Sound aggressiver zu machen. Brian May, Rory Gallagher, Toni Iommi, David Evens (The Edge) und Rickie Blackmore zum Beispiel nutzen für ihre Sounds Treble Booster (um nur einige zu nennen). 

Moderne Booster sind aber nicht auf Treble- oder Mid-Boost beschränkt. Viele bieten einen Equalizer um den Sound in die richtige Richtung zu bringen. So kann man nicht nur einen Verstärker zu übersteuern bringen, sondern auch noch dessen Sound beeinflussen, dass man tatsächlich einen Kanal dazu gewinnt.  

Manche Gitarristen lassen den Booster auch die ganze Zeit eingeschaltet, weil sie mit dem Booster und dessen Klangregelung aus ihrem Amp den besten Sound herauskitzeln. 

Mit einem Booster lassen sich auch andere Verzerrerpedale „anblasen“. Leider geht das nicht mit allen Pedalen. Viele vertragen den Boost nicht so gut. Es lohnt sich allerdings, hier unterschiedliche Settings einmal auszuprobieren. 

===Overdrive===

Overdrive-Pedale sollen vor dem Verstärker den Sound eines übersteuerten Röhren-Verstärkers erzeugen und so verzerrte Sounds auch bei geringeren Lautstärken möglich machen. Zudem wird auch der Gitarrensound in der Regel durch eine Klangregelung beeinflusst. Dabei gibt es aber Unterschiede, die zunächst beschrieben werden sollen.

Die klassischen Overdrive-Pedale lieferten zu dem verzerrten Sound auch einen Mid-Boost (auch gerne Mittennase genannt), also eine deutliche Verstärkung im Bereich der Mitten. Das war so auch tatsächlich von vielen Gitarristen so gewünscht, damit sich der Gitarrensound im Bandkontext gut durchsetzt. Dagegen gibt es aber auch sogenannte transparente Overdrives, die eben diesen Mittenboost nicht haben. Sie werden auch Natural-Overdrives genannt. Bestes Beispiel für ein Overdrive Pedal mit Mid-Boost ist der Tube-Screamer von Ibanez, der Klassiker unter den Overdrive-Pedalen. Dagegen ein gutes Beispiel für ein transparentes Overdive Pedal ist Nobels ODR-1, das sich schon seit langer Zeit großer Beliebtheit erfreut. 

Ein wichtiges Qualitätsmerkmal bei einem Overdrive ist die Dynamik, das heißt, wie spricht er auf den Anschlag des Gitarristen an. Setzt er das Phrasing des Gitarristen auch um. Haben leise Passagen auch den gleichen Charakter wie die lauten und passt das Pedal die Verzerrung auch genau an. Bei leisem Spiel kann das Pedal den Ton auch unverzerrt wiedergeben. Wird man langsam lauter geht es langsam in die Verzerrung. Dabei ist der Anschlag verzerrt, klingt der Ton ab, hört auch die Verzerrung auf. Der Verzerrer sollte sich so verhalten, wie es auch ein Röhrenverstärker tun würde.

Ein Overdrive-Pedal sollte den Klang der Gitarre auch mit Verzerrung klar übernehmen und nicht durch seinen eigenen Sound überdecken. Es muss immer deutlich hörbar sein, welche Gitarre an den Verzerrer angeschlossen ist. Eine Telecaster sollte also mit Verzerrung auch weiter als Telecaster identifizierbar und von einer Les Paul eindeutig zu unterscheiden sein.

In der Regel sind Overdrive-Pedale mit einem Regler für Gain (oder Drive), einem für Volume und einer Klangregelung ausgestattet. Gain regelt dabei den Grad der Verzerrung und Volume den Ausgangspegel. Die Klangregelung begnügt sich ganz oft nur mit einem Tone-Regler. Der kann aber von Firma zu Firma ganz unterschiedlich auf den Sound einwirken. Manche sind nur High-Cut-Filter, mit denen man die Höhen beschneiden kann, damit die Verzerrung nicht zu aggressiv klingt. Besser ausgestattete Pedale haben einen Dreibändigen Equalizer, ähnlich dem am Verstärker, mit Regler für Höhen, Mitten und Bässe. Damit lässt sich der Sound dann schon sehr komfortabel anpassen. Zudem muss das Overdrive-Pedal auch mit Dem Volume-Regler der Gitarre interagieren. Auch hier kommt es darauf an, dass das Soundverhalten des Pedals genau wie das Soundverhalten eines übersteuerten Röhrenverstärkers ist. 

Für ein Overdrive-Pedal gibt es mehrere Anwendungsmöglichkeiten. Zunächst kann man es auch als Booster einsetzen. Klassische Einstellung ist Gain auf Null und Volume auf 10. Dabei kann man natürlich mit der Einstellung experimentieren. John Petrucci von Dream Theatre hat vor seinem Mesa Boogie Rectifier (Verstärker) einen Ibanez Tube Screamer mit genau dieser Einstellung geschaltet. Der Tube Screamer bläst den Amp nochmal extra an, bringt ihn noch mehr in die Sättigung, und der Tube Screamer gibt dem Signal noch die typischen Mitten mit, was den Sound wärmer macht. 

Die ursprüngliche und beliebteste Verwendung eines Overdrive-Pedals ist die Funktion als zweite Zerrstufe für den Amp. Das heißt, dass am Amp ein verzerrter Sound eingestellt ist und der Overdrive seine Verzerrung mit dem des Amps kombiniert. Dabei kann der Sound des Amps oder auch der Sound des Verzerrers dominierend sein. Durch viel testen und ausprobieren kommt man zu besonderen Ergebnissen. Aus dem Crunch-Sound des Amps kann mittels Overdrive zum Beispiel ein Lead-Sound werden, oder der Crunch Sound aus der Strophe wird im Refrain mit dem Overdrive mit reichlich Druck ausgestattet. Die Möglichkeiten sind sehr vielfältig. Es ist keine schlechte Idee, sich für die Soundbasteleien mit Amp und Pedal viel Zeit zu nehmen. Viele Pedale, etwa die meisten von der Firma Boss oder MXR sind auf eine solche Verwendung ausgelegt. Für sich alleine klingen sie oft recht stark nach Transistor. Dafür spielen sie ihre Stärken in Verbindung mit dem Amp voll aus. 

Viele Gitarristen setzen ihre Overdrive-Pedale aus vor dem Clean eingestellten Verstärker ein. Sie erzeugen also die komplette Verzerrung mit Pedalen. Dazu suchen sie sich natürlich Pedale aus, die einen sehr natürlichen Sound haben. Es kommt bei dieser Verwendung also darauf an, die in Frage kommenden Geräte ausgiebig zu testen. So kommt man auf einfache Weise zu seinem Wunschsound.

Wichtige Overdrive Pedale:
* Ibanez TS 1 Tube Screamer
* BOSS OD 1 Overdrive
* Nobels ODR 1
* Fulltone OCD
* BOSS BD 1 Blues Driver

===Distortion===

Distortion Pedale entstanden schon kurz nach der Einführung von Overdrive-Pedalen. Der Wunsch war noch mehr Verzerrung und ein aggressiver, dreckiger Sound. Dabei werden die Mitten nicht geboostet, wie man es vom Overdrive kennt. Die Regler sind die gleichen, wie beim Overdrive, Gain, Volume und Klangregelung und werden auch genauso verwendet.

Wichtigstes Qualitätsmerkmal des Distortion ist, dass der Sound nicht matschig klingen darf. Schlägt man einen Akkord an, so muss man den Akkord auch deutlich heraushören können. Ist dies nicht der Fall, kann es daran liegen, dass das Eingangssignal zu viel Bässe hat, denn die Bässe neigen als erstes zum matschen, oder das Pedal ist für den Grad der Verzerrung nicht mehr geeignet.

Noch heikler wird es für das Pedal, muss es Akkorde auflösen. Werden Akkordtöne kurz nacheinander gespielt und stehen gelassen, muss man sie im Ohr genau voneinander trennen können. Schafft das Pedal  das nicht, hilft nur weniger Gain.

Da Distortion-Pedal bei hohen Verzerrungsgraden gerne viele Nebengeräusche produzieren, setzten viele Gitarristen nach dem Distortion Pedal ein Noise-Gate ein. Dieses wird dann so eingestellt, dass es genau bei dem Pegel, den das Pedal an Störgeräuschen erzeugt, den Signalfluss unterbindet. Das Noise-Gate setzt den Pegel dann also auf Null, so dass in den Spielpausen des Gitarristen der Amp stumm bleibt. Eine Distortion-Pedal haben genau deswegen schon ein solches Noisegate eingebaut.

Als Booster werden Distortion-Pedale selten eingesetzt, oft aber als Verzerrer vor einem Clean eingestellten Amp oder als zweite Zerrstufe, also beides Anwendungen, die wir schon vom Overdrive kennen. Auch hier lohnt es sich viel auszuprobieren und zu testen. 

===Metal-Distortion===

Metal-Pedale sind im Grunde nichts Anderes als Distortion-Pedale, die eine noch heftigere Verzerrung bieten. In der Regel haben sie auch eine umfangreichere Klangregelung, denn im Metal sind andere Sounds gefordert als im Rock, auch wenn man keine klare Grenze ziehen kann. Auch haben die verschiedenen Untergenres im Metal teils deutlich unterschiedliche Klangvorstellungen. Und diesen Klangvorstellungen werden die Metal-Pedale dann gerecht.

Metal-Pedale klingen im Vergleich zu Distortion-Pedalen oft synthetischer. Kreissäge, Rasierer oder ähnliches werden oft zum Vergleich angeführt. Die warmen Rocksounds sind nicht zu erwarten, so kommt es vielfach auf die Mitten an, denn die sind für den warmen Sound verantwortlich. So eine typische Trash-Metal Equalizer-Einstellung wäre Bässe rein, Mitten raus, Höhen rein. Für die Bässe wäre es dann noch gut, wenn der Equalizer hinter der Zerre liegt, um matschen zu vermeiden. Mid-Scoop-Sound nennt man das.

Eine Pedale bieten eben für die Bearbeitung der Mitten einen besonderen Regler an, der es ermöglicht, die Ansatzfrequenz der Mitten einzustellen, einen semi-parametrischen Equalizer für die Mid-Frequenzen. Ein Normaler Mitteregler setzt bei einer ganz bestimmten Frequenz an und erhöht oder senkt diese und die benachbarten Frequenzen je nach Einstellung. Diesen Ansatzpunkt kann man bei semi-parametrischen Equalizern nach in der Frequenz oben oder nach unten schieben, sodass man seinen Regelbereich, den es zu erhöhen oder zu senken gilt in einem gewissen Rahmen wählen kann. Man sucht also erst einmal die Stelle im Frequenzband, die am stärksten den Sound beeinflusst oder stört und hebt dann erst an oder senkt ab. Ein gutes Werkzeug für Metal-Gitarristen. 

Es gibt Metal Distortion Pedale, die ganz prägend für bestimmte Stilrichtungen des Metal waren oder sind. Bekannt ist zum Beispiel das HM 2 von Boss, dass den Sound des schwedischen Death-Metal prägte. Entombed oder Dismember sind bekannte Beispiele für Bands, die mit diesem Pedal arbeiteten. 

Möchte man seinem Sound doch ein wenig Leben einhauchen, dann setzt man das Metal-Pedal vor einem nur leicht verzerrten Amp ein. Wenn der Amp dann noch schön röhrig warm kling, dann bekommt man gute Ergebnisse.

===Fuzz===

Die älteste Möglichkeit, seinen Gitarrensound zu verzerren ist das Fuzz-Pedal oder die Fuzz-Box. Anfang der 60er Jahre kam die Transistortechnik auf und schon schnell merkte man, dass man Transistoren wie Röhren übersteuern kann. Heraus kam allerding kein schöner, warmer Sound, sondern alles klang, als wäre irgendetwas kaputt. 

So klingt ein Fuzz noch heute, irgendwie kaputt, nicht warm wie ein Röhrenverstärker. Für die Musiker der 60er Jahre war das Fuzz in Verbindung mit dem verzerrten Amp die Möglichkeit, schöne verzerrte Sound herzustellen. Led Zeppelin, Jimi Hendrix, Pink Floyd um nur einige zu nennen, setzten Fuzz Pedale immer gerne ein.

Beschäftigt man sich mit Fuzz-Pedalen, landet man sehr schnell bei der Frage, die Gitarristen häufig und heftig diskutieren, nämlich ob man Silizium oder Germanium Transistoren in ein Fuzz-Pedal verbauen sollte. Wie so oft kann man die Frage ganz einfach beantworten, denn es ist einzig und allein Geschmacksache. Germanium-Transistoren klingen wärmer und nicht ganz so kaputt, Silizium-Transistoren erzeugen den deutlich aggressiveren Sound. Beide Arte von Transistoren sind seit langen im Einsatz und erzeugen auf sehr vielen Bühnen großartige Sounds.

Bei den Reglern finden wir auch bei den Fuzz-Pedalen nichts Neues. Gain, Volume und eine Klangregelung.

Wichtige Fuzz Pedale
* Electro-Harmonix Big Muff π
* Maestro FZ 1
* Dunlop Fuzzface
* British Pedal Company Tone Bender

===Amp in a Box===

Die neueste Art des Overdrive-Effektes sind die sogenannten Amp-in-a-Box Effekte. Sie sollen den Sound eines bestimmten Amps simulieren und so den eigentlichen Amp ersetzen können. Dabei gibt es analoge Pedale, die zum Teil erstaunlich Nahe an diese Soundvorstellungen herankommen. Neu und im Trend sind digital simulierte Amps. Auch diese digitalen Effekte bekommt man mittlerweile in Pedalform, vom Mini-Pedal, das nur einen Amp simulieren kann, bis zu größeren Pedalen, die gleich ein ganzes Arsenal von Amps anbieten.

Amp in a Box Pedale kann man wie andere Verzerrerpedale einsetzen. Vor dem clean eingestellten Amp simulieren sie das Ampmodell für das sie gebaut worden sind. Das Signal wird allerdings durch den Vorverstärker des Amps natürlich auch gefärbt. Auch vor einem verzerrt eingestellten Amp kann man gute Ergebnisse erzielen, die dann natürlich nicht mehr so deutlich nach dem vorgeschalteten Amp klingen. Möchte man den Vorverstärker seines Amps nicht in der Signalkette haben, dann kann man den Amp in a Box einfach an den Effekt-Return des Amps anschließen und das Signal geht direkt in die Endstufe des Amps. 

Noch einfacher kann man den Ausgang Amp in a Box auch mit einer Boxensimulation verbinden und dann direkt ins Mischpult gehen. Manche dieser Pedale bieten auch gleich Boxensimulationen mit ab, so dass auch das direkte Einspeisen des Signals in das Mischpult nötig ist. Eine solche Lösung kann auch ein Backup sein, also eine Reserve-Verstärker, wenn der Hauptverstärker bei einem Gig abraucht. Besser so als gar nicht. 

===Anschluss von Verzerrer-Pedalen===

Auf vielen Effektboards von Gitarristen findet man die Verzerrer von wenig nach viel Verzerrung angeordnet. Also zuerst der Booster, dann das Overdrive-Pedal und schließlich Distortion oder Fuzz. Der Sinn dahinter ist, dass man mit dem Booster auch das Overdrive oder Distortion Pedal anblasen kann. Gleiches Gilt für Overdrive und Distortion. Von der Technik ist es wie vor einem Amp. Man erhöht den Pegel des Signals (Booster) um aus dem Overdrive mehr Verzerrung herauszukitzeln. So kann man von Rhythmus-Sounds zu Lead-Sounds kommen.

Oft sieht man den Booster auch hinter den anderen Verzerrern. Man schaltet damit eine höhere Laustärke, wenn man beispielsweise ein Solo spielt. Auch ein Overdrive mit dem fest ganz heruntergeregeltem Gain-Regler macht hinter den anderen Verzerrern Sinn. Man kann seinem Sound am Ende noch mal einen schönen Mid-Boost geben, wenn man möchte. Man wird also noch einmal flexibler.

Vor Band in a Box Pedalen kann man auch die verschiedenen anderen Verzerrer schalten und sie so einsetzen, als würden sie vor einem ausgewachsenen Verstärker geschaltet werden. 

Manche Verstärker vertragen sich leider nicht so gut mit Verzerrerpedalen. Manchmal sind es nur einzelne Pedale, die der Verstärker nicht mag, manchmal eher alle. Röhrenverstärker sind da meistens pflegeleichter. Der Anschluss der Pedale ist meist kein Problem, Transistorverstärker sind das schon empfindlicher, was den Anschluss von Verzerrern angeht und digital arbeitende Verstärker mögen oft gar keine vorgeschalteten Verzerrer. Das kann man durch ausprobieren leicht herausfinden. Bei clean eingestellten Verstärkern ist das Problem etwas seltener, will man ein Pedal mit dem verzerrten Amp interagieren lassen, kommt es häufiger vor, das sich Amp und Verzerrer nicht vertragen und mein keinen brauchbaren Sound einstellen kann. Wie gesagt, testen hilft.

==Hallfedern==
Kein richtiges Effektgerät, jedoch oft in Verstärkern eingebaut, um Hall (Räumlichkeit, Nachhall) auf analogem Weg zu erzeugen.
Hierzu befinden sich mehrere metallische Federn in einem Gehäuse. Das Tonsignal durchläuft die Federn und durch diese Verzögerung entsteht der Halleffekt.

Mehr Info :[http://de.wikipedia.org/wiki/Hallger%C3%A4t]

=Hall und Echo=
Um akustische Akkordpassagen oder Sololäufe etwas voller klingen zu lassen, bedienen sich viele Gitarristen eines Hall- oder Echo-Effektes. Die Unterschiede zwischen Hall und Echo sind nicht allzu groß. Das Echo wiederholt die Töne zeitversetzt, der Hall lässt die Töne länger nachklingen.

Speziell mit dem Echo ist es möglich, mit einer einzigen Gitarre mehrstimmige Melodiepassagen zu spielen. Dafür muss die Wiederholungs-Rate entsprechend lang eingestellt werden, so dass die bereits gespielten Töne zeitversetzt nochmals erklingen. Besonders in Kombination mit [[Gitarre: Arpeggios|Arpeggios]] können auf diese Weise erstaunlich professionell klingende Melodieläufe entworfen werden. Will man das Ganze in einem Lied einsetzen, so muss die Wiederholungs-Rate des Echos natürlich an die Geschwindigkeit des Liedes angepasst werden.

=Chorus und Flanger=
[[Bild:Gitarren-Bodeneffektgerät Ibanez CF7.jpg|thumb|Ibanez CF7 Bodeneffektgerät Chorus/Flanger]]
Der Chorus ist ein Standard-Effekt, der bei vielen bekannten Gitarristen ein fester Bestandteil ihres Sounds ist. Chorus bedeutet, dass der Effekt den gespielten Ton mit zusätzlichen Tönen in einer leicht abweichenden Tonhöhe anreichert. Er lässt die Gitarre etwas fetter klingen, da der Zuhörer den Eindruck hat, dass mehrere Gitarren das Gleiche spielen (so wie bei einem Chor). Sehr oft wird der Chorus im Stereobetrieb benutzt, hierzu sind auch die meisten Pedale mit 2 Ausgängen versehen.

Ein Flanger erzeugt einen Sound, der meist mit dem eines vorbeifliegenden Flugzeugs verglichen wird, wenn die Modulationsgeschwindigkeit auf langsam eingestellt ist. Dabei wird eine Kopie des Signals zusätzlich zum Original mit einer Zeitverzögerung eingemischt, wobei der zeitliche Abstand von Originalsignal zu Kopie ständig variiert wird. Es handelt sich somit um eine Art Delay mit ständig wechselnder Länge. Die Verzögerung schwankt dabei meist zwischen ca. 1 bis 10&amp;nbsp;ms. Durch Einmischen des so modulierten Signals in das Originalsignal (Rückkopplung) kann der Effekt zusätzlich an Tiefe gewinnen.Mit dem Flanger wird auch oft ein Pseudo-Stereosignal erzeugt, in dem man die Zeitverzögerungen für den linken und rechten Kanal gegeneinander Phasenweise veschiebt.
&lt;br clear=&quot;all&quot; /&gt;

=Arpeggiator=
Hier handelt es sich um einen Effekt, der aus einzelnen Tönen Akkorde generiert. Damit dies überhaupt korrekt funktionieren kann, muss am Arpeggiator stets die Tonart eingestellt werden, in der man sich befindet. Zudem ist es unerlässlich, dass die Gitarre absolut akkurat gestimmt ist, sonst hört sich dieser Effekt nur wie &quot;Katzengejammer&quot; an!

=Oktaver=
Der Oktaver erzeugt zusätzlich zum gespielten Ton einen zweiten Ton, der je nach Einstellung eine Oktave höher oder tiefer liegt. Oft ist es auch möglich, den gespielten Ton durch den erzeugten zu ersetzen, so dass eine Gitarre wie ein Bass klingen kann (wie zum Beispiel bei Seven Nation Army von den White Stripes).
Die Einstellung mit einer Oktave höher wird als 12-saitiger Gitarren-Ersatz benutzt, wobei im Gegensatz zur echten 12-saitigen Gitarre die hohe E- und H-Saite auch eine Oktave erhöht werden.

=Tremolo=
Der Tremolo-Effekt variiert die Lautstärke der Gitarre in der eingestellten Geschwindigkeit.

=Pitch-Shifter=
Mit Hilfe dieses Effekts lässt sich die Gitarre auf elektronischem Wege um ein beliebig viele Halbtöne (meistens +/-12) nach oben oder unten verstimmtes Signal erweitern, ähnlich wie bei dem Oktaver, aber jetzt in einzelnen Halbtonschritten (z.B. um eine Quinte oder Quarte erhöht). 
Sehr oft wird der Effekt verwendet, um zweistimmige Melodien zu spielen, wofür man sonst einen zusätzlichen Gitarristen bräuchte.
Dieser Effekt wird eher selten auf der Bühne oder im Studio eingesetzt, da eine reelle 2te Gitarre einfach wesentlich besser klingt. Ausnahmen gibt es natürlich, z.B. Steve Vai benutzt den Effekt gerne.
Eine weitere Benutzungsvariante ist der &quot;Detune&quot; (= verstimmt) Modus. Hierzu wird nur geringfügig vom 2ten Signal Gebrauch gemacht, und auch meistens nur 1 Halbton verstimmt.

=WahWah=
[[Image:BOSS PW-10 V-Wah pedal.jpg|right|thumb|WahWah-Pedal]]
Nach der Verzerrung ist der Wah-Wah-Effekt wohl zweifelsfrei der beliebteste und meistgespielte Effekt den es gibt.

Der WahWah Effekt wird meist vom Gitarristen selber über ein Fußpedal gesteuert. Moderne Multieffektgeräte bieten meist ein sog. Auto-WahWah an, das aber vom Klang als auch von den Möglichkeiten dem manuellen WahWah in Form eines Fußpedals weit unterlegen ist. Es gibt aber einige 19-Zoll-Multieffektgeräte, die den Anschluss eines Midi-Fußpedals erlauben, und somit auch eine größere Kontrolle über den Klang. Bei einigen 19-Zöllern ist der Klang so gut, dass er kaum von den herkömmlichen WahWahs zu unterscheiden ist.

Der Name WahWah ist dabei eigentlich selbsterklärend, es ist die phonetische Schreibweise des Klangs der durch einen WahWah-Effekt erreicht werden kann (im Deutschen 'uWahuWah')
&lt;br clear=&quot;all&quot; /&gt;

== Funktion von WahWah ==

(Diese Erläuterung bezieht sich auf Fußpedale)

Anhand eines am Pedal angebrachten Druckschalters lässt sich der WahWah-Effekt ein- und ausschalten. Hierzu wird das Pedal lediglich einmal ganz durchgetreten um ein- oder auszuschalten. Mittlerweile sind aber auch Pedale mit sog. ''silent &quot;auto-off&quot;'' Funktionen erhältlich, bei denen der WahWah-Effekt allein durch Berühren bzw. Nicht-Berühren des Pedals ein und ausgeschaltet werden kann.

Im Pedal ist ein Verstärker verbaut, der je nach Stellung des Pedals bestimmte Frequenzen anhebt, also verstärkt, während andere wiederum abgesenkt werden.

Zum Beispiel werden bei flacher Pedalstellung die hohen Mitten und insbesondere Höhen verstärkt, während tiefe Mitten und Bässe abgesenkt werden. Je weiter nun das Pedal geneigt wird, desto mehr tiefe Frequenzen werden verstärkt, wobei gleichzeitig mehr und mehr Höhen und hohe Mitten abgesenkt werden.

Man könnte also von einem parametrischen Equalizer sprechen.

Neuere Effektpedale bieten die Möglichkeit, verschiedene Parameter wie beispielsweise die Breite des zu verstärkenden Frequenzbandes oder den Grad der Verstärkung zu manipulieren, und bieten somit ein ziemlich breites Spektrum an unterschiedlichen Gitarrensounds.

== Einsatz von WahWah ==

Egal ob für markante Soli Einlagen oder ''&quot;easy Reggae-Grooves&quot;'', der WahWah-Effekt ist für fast alle Musikrichtungen interessant. Durch die Möglichkeit ihn als &quot;Quasi-Midboost&quot; zu verwenden, wirkt der Einsatz eines WahWah-Effekts aber anscheinend proportional zur Lautstärke der gesamten Combo.

Aber auch als rein akustisches Hilfsmittel kann ein WahWah-Effekt zum Einsatz kommen. Beispielsweise als sog. ''offenes WahWah'' bei dem ein WahWah-Pedal in einer Stellung arretiert wird.

Dementsprechend breit ist das Spektrum berühmter Musiker, die auf den Einsatz von WahWah Pedalen setzten. Es reicht von Virtuosen wie Jimi Hendrix (wahnsinnig intuitiver Einsatz von WahWah-Effekten bei &quot;Voodoo Chile&quot;) über Großmeister wie Eric Clapton bis hin zu Ausnahmekünstlern wie David Gilmour. Aber auch in der modernen Punk/Rock-Szene (Green Day, Die Ärzte o.ä.) ist sowohl live als auch im Studio immer wieder ein WahWah-Effekt zu hören.

== Spielen mit WahWah ==

Um selber in den Genuss eines WahWah-Effektes zu kommen, bedarf es in erster Linie Geld. Ein einfaches WahWah-Pedal kann gut und gerne 150&amp;nbsp;€ (Stand Juli 2005) kosten. Bei Pedalen in dieser Preiskategorie sollte die Ausgabe allerdings schon eher als Investition auf Lebenszeit gesehen werden, denn WahWah-Pedale sind elektronisch gesehen sehr einfach gestrickt und gelten allgemein als robust und beinahe unverwüstlich.

Anfangs werden viele vom recht kurzen Pedalweg überrascht sein. Um ein WahWah-Pedal richtig zu bedienen, bedarf es ein wenig &quot;Zehenspitzengefühl&quot;. Aber im Großen und Ganzen muss das Spielen mit einem WahWah-Pedal nicht lange erlernt werden sondern gelingt meist schon nach wenigen Minuten intuitiv.

==E-Bow==
{{Wikipedia|E-Bow}}
[[Image:EBow.jpg|100px|left|E-Bow]]
Viele Gitarristen wissen heute gar nicht mehr, was ein E-Bow überhaupt ist! Es handelt sich dabei um ein Gerät, das die Saiten einer E-Gitarre durch Magnetismus zum Schwingen bringt. Damit lässt sich ein sehr geigenähnlicher Sound erzielen, welcher enorm weich klingt.

Man muss dieses batteriebetriebene Gerät einfach nur über eine Saite halten und schon beginnt sie zu schwingen. Damit ist das E-Bow für besonders softe Melodiepassagen bestens geeignet. Zum Beispiel beim Lied &quot;Wonderwall&quot; hört man im Hintergrund ein Cello brummen, aber in Wirklichkeit ist das ein E-Bow.

== Schlussbemerkung ==

Obwohl vom Klang als auch von der Technik wohl einer der eher schlichten Effekte, ist der WahWah-Effekt in seiner Art und in seinen Möglichkeiten so vielfältig wie kein Zweiter.

Kurzum, ein WahWah-Effekt gehört in jeden (E-)Gitarristen Haushalt.

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Oft werden zwischen Gitarre und Amp noch Effektgeräte geschaltet. Diese modulieren das Signal durch eine spezielle elektronische Schaltung. Die bekanntesten Effekte sind Verzerrung (Overdrive oder Distortion), Hall, Echo und Verzögerung (Delay).

=Effektgeräte=
Es gibt zahlreiche Geräte, hier ein kleiner Überblick.
Flanger, Delay, Chorus, Phaser, Tremolo, Reverb(Hall), Distortion, Overdrive, Kompressor, Synthesizer, WahWah, Sustain 
==Einzelne Effektpedale==
[[File:1979 MXR Distortion +.jpg|thumb|MXR Distortion Pedal]]
Effektpedale (Bodentreter, Tretminen) spielen trotz der Flut an digitalen Multieffektgeräten immer noch eine große Rolle bei den Gitarristen. Zum einen ist diese Spezies Musiker in Bezug auf Equipment immer noch sehr konservativ, zum anderen kann man mit Einzeleffekten immer wieder neue Sounds ausprobieren, immer wieder an kleinen Stellschrauben drehen um noch ein wenig besser zu klingen und immer wieder seine Zusammenstellung ändern, wie man es gerade für richtig hält.

Vorteil der Einzeleffekte ist auf jeden Fall die Austauschbarkeit eines einzelnen Pedals. Wenn einem der Sound des Halls in einem Multieffektgerät nicht so richtig gefallen mag, kann man den nicht so einfach austauschen, sondern muss ein Hallgerät in einen eventuell vorhandenen Effektweg einschleifen. 

Außerdem kann man die Einzeleffekte viel besser bedienen. Man muss sich nicht durch vielschichtige Menüs klicken um an den zu ändernden Parameter zu gelangen. Man dreht am Knopf, fertig. Das Finden von sogenannten „Sweetpoints“ also Einstellungen eines Reglers, an dem der ganze Effekt am besten klingt, ist viel einfacher. 

===Preisklassen===

Die Preise der kleinen Geräte sind höchst unterschiedlich. Da kann man einen Verzerrer für unter 20, -- Euro erwerben, es gibt aber auch Verzerrer, die um die 500, -- Euro liegen. Oder gar gebrauchte Geräte, die auf dem Markt schwindelerregende Summer erzielen. 

Bei den gebrauchten Geräten handelt es sich um Originale, die einen unvergleichlichen Klang erzielen sollen. Ein Beispiel ist ein Klon „Centaur“ der Original-Serie, der auf dem Gebrauchtmarkt um die 10 000, -- Euro erzielt. Der Hersteller hat aus diesem Grund sogar auf ein Nachfolgemodell geschrieben: „Kindly remember: the ridiculous hype that offends so many is not of my making“ also etwa: „Bitte denken Sie daran: Der lächerliche Hype, der so viele beleidigt, ist nicht mein Werk“.

Woher kommen aber die Preisunterschiede bei den neuen Effektpedalen. Da spielt als erstes das Produktionsland eine Rolle. In China verdienen die Leute eben sehr viel weniger als in Deutschland und arbeiten dort auch nicht immer unter Arbeitsbedingungen, die man „human“ nennen würde. Das drückt natürlich den Preis. Oftmals spart man zudem dann noch an der Endkontrolle. Das hat zur Folge, dass eine höhere Anzahl an „Montagsgeräten“ auf den Marktkommen, was aber in Kauf genommen wird.

Auch die Effektpedale, die von den großen Musikinstrumenten Kaufhäusern als Hausmarke angeboten werden, sind solche „Rebrands“. Diese können noch einmal günstiger angeboten werden, weil der Vertrieb ohne Zwischenhändler auskommt. 

Die Bauteile können sehr unterschiedliche Qualitäten haben. Billige Schalter und Potis halten oft nicht besonders lange, drücken aber den Verkaufspreis. Auch beim Gehäuse kann gespart werden. Ein Plastikgehäuse ist natürlich lange nicht so stabil, wie ein Metallgehäuse.

Entwicklungskosten. Die günstigen Pedale sind in der Regel sogenannte „Clons“ von deutlich teureren Geräten. In der Beschreibung kann man dann Sätze lesen wie: „Inspiriert vom Gerät XY“. Das spart natürlich bei der Entwicklung der Pedale. Viele Pedale kommen auch unter einer neuen Marke noch einmal auf den Markt (rebranding). Ein Pedal der Marke X für 50,-- Euro kommt nach zwei Jahren als Pedal der Marke Y in einem neuen Design noch einmal auf den Markt und kostet dann nur noch 40,-- Euro. 

[[File:Ibanez TS-808 Tube Screamer Overdrive Pro (True bypass Mod and Tone Mod).jpg|thumb|Ibanez Tube Screamer]]
Zum guten Schluss spielt auch die Art der Fertigung und die Anzahl der zu fertigenden Pedale eine Rolle. Teure Pedale werden von Hand in kleinen Stückzahlen gefertigt, billige dagegen industriell und natürlich in großen Mengen. 

Daraus ergeben sich drei Klassen von Pedalen, wobei die Übergänge natürlich fließend sind. Budget Pedale werden zumeist in China in großen Stückzahlen 
Gefertigt. Es handelt sich dabei in der Regel um „Clone“ bekannter Pedale. Beispiele Hierfür sind Joyo, Mooer, Behringer, Caline, Tone City, etc. 

Die Mittelklasse setzt auch auf industrielle Fertigung und höhere Stückzahlen, die Fertigung erfolgt allerdings in den USA oder Japan. Man setzt bei den Geräten auf Road-Tauglichkeit und entsprechend hohe Qualität der Bauteile. Bekannt sind BOSS, Electro Harmonics, MXR oder die Serie 3 von JHS Pedals.

Boutique-Pedal Hersteller setzen auf Qualität und Individualität. Kleine Stückzahlen, handgearbeitet, ausgesuchte Bauteile und eine eigene Entwicklung zeichnen die Pedale aus. Die Firma WeeBoo aus Hannover zum Beispiel ist ein Ein-Mann-Betrieb. Die Pedale werden nebenberuflich entwickelt und gefertigt. Von diesen Boutique-Pedal Herstellern gibt es eine ganze Menge. Rodenberg aus Deutschland, Beetronics, Amptweaker, Jackson Audio, JHS Pedals, Strymon, Wren &amp; Cuff, Wampler, Fulltone, Vertex oder Z.Vex aus den USA, Mad Professor aus Finnland und viele andere mehr. Dazu kommen die Boutique Pedale, die von Amp-Herstellern angeboten werden. Diezel, Bogner, Suhr, Fortin und Friedman sollen als Beispiele dienen.

Natürlich gibt es keine festen Grenzen zwischen den Klassen. Die Übergänge sind fließend. So nutzen einige Herstelle die günstige Produktion in China, die Entwicklung findet aber in anderen Ländern statt. So entwickelt zum Beispiel Blackstar in in Großbritannien, die Produktion ist aber in China, oder Carl Martin entwickelt in Dänemark, die Produktion findet ebenfalls in China statt. Dabei bekommen die chinesischen Firmen genaue Vorgaben, wie die Produktion auszusehen hat.

===Effektpedale aussuchen===

Am besten, man geht in das Musikgeschäft seiner Wahl, quatscht mit dem Verkäufer, der hoffentlich Ahnung hat (was leider nicht immer der Fall ist) und probiert dann möglichst viele Pedale aus und vergleicht sie miteinander in der Praxis. Am besten noch mit einer Gitarre, die der eigenen möglichst ähnlich ist an einem Verstärker, dessen Sound man kennt. Antesten nennt man das in Musikerkreisen. Davon sollte man soviel Gebrauch machen, wie man kann. Auch das Equipment der Band-Kollegen oder der anderen Musiker, die man so kennt sollte man mal antesten, wenn der Besitzer es zulässt. 

Leider hat man nicht immer diese Möglichkeiten. Mittleiweile gibt es bei YouTube massenweise Videos, in denen Effektpedale vorgestellt werden. Manche sogar ohne dass dazwischen gequatscht wird und nur das Pedal mit seinen Soundmöglichkeiten zu sehen und vor allem zu hören ist. Damit kommt man oftmals auch schon weiter, auch wenn der Anbieter des Videos vom Hersteller des Effektes möglicherweise bezahlt wird. Die Aufnahmen für das Video werden dann natürlich unter Studio-Bedingungen gemacht. Im Proberaum wird das Ganze sicherlich dann doch noch etwas anders klingen. Aber die Richtung, in die es geht wird einem klar.

Kommt man an der Bestellung im Internet nicht vorbei, bieten viele Händler die Möglichkeit an, eine Rezension zu veröffentlichen. Auch die kann man bei der Beurteilung zur Rate ziehen. Zumindest auf den Seiten der großen Musikalienhändler sind die Rezensionen noch nicht so unglaubwürdig, wie bei den großen Online-Kaufhäusern. Thomann bietet dazu noch den Stompenberg FX an. Hier kann man Effektpedale virtuell ausprobieren. Das geht recht einfach und man kann sich zumindest ungefähr vorstellen, wie der Effekt klingt, auch wenn das ganze recht steril klingt.

===Netzteile===

Die meisten Effekt-Pedale lassen sich mit Batterien oder mit einem Netzteil betreiben. Nun sind ja Batterien überhaupt nicht mehr zeitgemäß, aber auch aus rein praktischen Gründen nicht zu empfehlen. Sie sind nämlich immer genau dann leer, wenn man sie am wichtigsten braucht. Frei nach Murphy’s Gesetz: „Alles was schiefgehen kann, geht auch schief!“ 

Ist die Batterie oder der Akku leer, so muss man sich dann auch erst einmal auf Fehlersuche begeben, was nicht immer so einfach ist. Dann benötigt man auch auf jeden Fall Ersatz und die Frage ist dann, ist denn der Ersatz auch voll? Und auch aus Kostengründen kann man nur zu einem Netzteil raten. Die Effektpedale sind nämlich nicht zu unterschätzenden Stromfresser. Viele verbrauchen auch Strom, solange ein Kabel im Input steckt und der Effekt nur auf Stand-by läuft. Bei der Probe vergessen, den Stecker aus dem Input herauszuziehen, bei der nächsten Probe ist die Batterie oder der Akku leer.

Plant man mehrere Effekte einzusetzen, sollte man sich gleich damit beschäftigen ein Mehrfachnetzteil zu erwerben. Einzelne Effekte kann man noch mit einem einzelnen, handelsüblichen Netzteil betreiben, hat man mehrere Effekte zu versorgen, ist es deutlich angenehmer, auf eine zentrale Stromversorgung zurückgreifen zu können.

Was muss ich nun beim Kauf eines Netzteiles beachten? Das hängt davon ab, was für Pedale ich betreiben möchte. Moderne, digitale Pedale mit reichlich Funktionen verbrauchen durch die hohe Rechenleistung, die benötigt wird, auch viel Strom. Das Netzteil sollte dafür als ausreichend Strom zur Verfügung stellen. Neben den üblichen 9 Volt 500 mA Ausgängen ist es möglich, dass ich für bestimmte Overdrive, Distortion oder Fuzz Effekte auch mit 12 oder 18 Volt betreiben kann, wodurch sie mehr Headroom, also mehr Gain und damit mehr Verzerrung bekommen. Habe ich solche Effekte, benötige ich auch Ausgänge mit entsprechender Volt Zahl. Mache Netzteile bieten hierfür sogar schaltbare Ausgänge. Damit ist man dann noch flexibler. 

Sind die Ausgänge eines Mehrfachnetzteils nicht gut genug getrennt, kann es in Verbindung mit anfälligen Effekten zu Brummen kommen. Da hilft nur Probieren oder der Austausch des Netzteils, bzw. des Effektes, wenn man den Übeltäter ermittelt hat.

Es gibt Effekte, die sensibel auf Netzteile reagieren. Sie verändern durch die Art des Netzteils sogar den Sound und müssen dann mit dem zugehörigen und in diesem Fall wahrscheinlich mitgelieferten Netzteil betrieben werden. 

Schön ist, wenn man das Netzteil unter dem Pedalboard verbauen kann. Da nimmt es dann auf dem Pedalboard keinen Platz mehr weg. Dazu sollte man vorher gucken, wie hoch das Netzteil ist. 

Für kleine und mittlere Pedalboards gibt es auch Netzteile, die gleichzeitig ein Stimmgerät beinhalten. Das kann für das eine oder andere Pedalboard genau das richtige Feature sein.

=== Patchkabel===

Hat man mehrere Effektpedale im Einsatz muss man sie mit entsprechenden Kabeln verbinden um das Signal zum Verstärker zu bekommen. Diese kurzen Kabel nennt man „Patchkabel“.  Sie sind entweder mit geraden oder mit Winkelsteckern ausgestattet. Zum Verbinden von zwei Pedalen, die die Input- und Output Anschlüsse an der Seite haben, wie es bei den meisten Geräten der Fall ist, eignen sich Winkelstecker am besten. Haben die Pedale die Anschlüsse an der Hinterseite, was sehr praktisch und platzsparend sein kann, dann sind oftmals gerade Stecker besser, wenn sich nicht eine weitere Reihe Effekte dahinter befindet und Platz haben muss. 

Für den Einsteiger gibt es bunte Patchkabel bei dem Musikalienhändler der Wahl Mehrfachpack schon für wenige Euro. Für den Anfang sind diese völlig ausreichend. Die Verschweißten Stecker dieser Kabel haben aber den Nachteil, dass man sie nicht reparieren kann und sie doch recht schnell kaputtgehen. Bei größeren Effektboards kann da die Fehlersuche schon mal zur Geduldsprobe werden, wenn man ein defektes Kabel hat.

Deswegen sollte man sein Pedalboard so früh wie möglich auf bessere Kabel umstellen. Dabei bieten viele Kabelhersteller Bausätze an, mit denen man exakt die richtige Länge mit den geeigneten Steckern selber kombinieren kann. Das sorgt für Ordnung auf dem Pedalboard und kurze Kabel. 

Es gibt auch Verbindungen, die nur aus den Steckern bestehen. Das sind mehr oder weniger nur zwei Stecker, die zu einem Teil verarbeitet worden sind. Das ist auf den ersten Blick eine gute Lösung, problematisch ist die Höher der beiden Buchsen, die verbunden werden sollen. Ist die zu unterschiedlich, kann der Stecker das nicht mehr ausgleichen. Manche benötigen sogar exakt die gleiche Höhe. Dann muss man auch auf Qualität achten. Es gibt Modelle dabei, die doch sehr schnell kaputt gehen. Und für meinen persönlichen Geschmack liegen die Fußschalter der benachbarten Pedale manchmal zu dicht beieinander, dass eine Fehlbedienung nicht ausgeschlossen ist.,

Profis geben ein Vermögen für Kabel aus. Das liegt daran, das durch schlechte Kabel auch immer Sound verloren geht. Das lohnt sich aber nur bei ebenso hochwertigen Effekt-Pedalen, sonst kann das Patchkabel auch mal mehr kosten, als der angeschlossene Effekt.

===Pedalboard===

Diese kleinen bunten Kisten können, wenn man erst einmal auf den Geschmack gekommen ist, schnell zu einer Sucht werden. Schnell sammeln sich immer mehr im Besitz des Gitarristen an. Man muss Ordnung in das Chaos bekommen.

Mittlerweile gibt es eine ganze Reihe verschiedener Pedalboards zu kaufen. Die Pedale werden dabei auf einem Pedalboard befestigt und fest verdrahtet. Dazu gibt es dann eine passende Tasche oder sogar einen Koffer. Ein paar luxuriösere Boards haben sogar schon ein Netzteil und Kabel für die Stromversorgung der Pedale an Board, was die Sache dann schon vereinfacht. Dabei werden diese Boards von sehr kompakt bis ziemlich riesig angeboten. Jeder sollte seine passende Größe finden. 

Gängigste Art der Befestigung der Pedale auf dem Board sind Klettbänder. Die Oberfläche der Boards sind dabei schon mit Klett vollständig beklebt, man muss unter das Pedal nur einen Streifen des selbstklebenden Klettbandes kleben und man kann es auf dem Board ziemlich frei platzieren. Manche Pedalhersteller liefern zum Effekt auch gleichen einen passenden Klettaufkleber für die Unterseite des Pedals mit, was das ganze deutlich stabiler macht. 

Die Klettbefestigung hat den Vorteil, dass man sein Pedalboard recht schnell umbauen kann, wenn man sich zum Beispiel ein neues Pedal gekauft hat, das man in seine Effektkette integrieren möchte. Oder man braucht für einen Song einen neuen Sound. Schnell ist das entsprechende Pedal auf dem Board montiert.

Der Nachteil am Klett ist, dass die Befestigung nicht besonders stabil ist. Kommst man zu stark an ein Pedal, löst es sich vom Board und im schlimmsten Fall zieht man damit auch gleich die Stromversorgung oder das Anschlusskabel mit ab. Das hat dann den Totalausfall der Gitarrenanlage zur Folge.

Die stabilere Variante ist die Befestigung der Pedale mit sogenannten Mounties, das sind kleine Metallteile, die an die Unterseite der Pedale mittels der Schrauben, die die Bodenplatte fixieren, befestigt werden. Damit kann man sie auf dafür ausgelegt Pedalboards schrauben. Diese Pedalboards sind aus Metall und haben unzählige Löcher, die die Befestigung der Pedal ermöglichen. So ist das Board stabiler aufgebaut. Dafür ist der Umbau schon etwas stressiger. 

===Schalter===

Mittels Schalter lassen sich mehrere Wege, die ein Gitarrensignal durch eine Effektkette nehmen soll realisieren. Die einfachste Möglichkeit sind dabei die ABY-Boxen. Das Signal, dass am Eingang ankommt geht entweder an den Ausgang A, B oder sogar an beide Ausgänge (Y). Mit dem Schalter kann man also zwei verschiedene Verstärker betreiben. Entweder einzeln oder beide zusammen. Vor die Amps kann man dann auch noch Effekte legen. Es gibt auch Schalter, die noch mehr Ausgänge haben. Man kann also noch mehr Verstärker abwechselnd ansteuern. 

Für komplexere Anwendungen gibt es Looper. Gemeint sind aber nicht die kleinen Geräte, die ein paar Takte Musik aufnehmen und dann in Endlosschleife wiedergeben können, sondern Geräte an die man seine Effekte anschließt und man sie innerhalt des Gerätes zusammenstellen und per Fußschalter aktivieren kann. 

Hört sich kompliziert an, ist es aber nicht. Ein Looper ist mit zum Beispiel mit 8 Loops ausgestattet. Man kann also acht Einzeleffekte anschließen. Im Looper kann man jedem Fußschalter alle Effekte zuordnen, die man für seinen Sound haben möchte. So braucht man für das ändern eines Sounds nur einen Klick auf den Fußschalter, alles ist wie es soll. Zudem kann man meist auch den Kanalwechselschalter seines Amps in den Looper integrieren. Vom Clean in den Lead Sound ist es wieder nur ein Fußklick und der Looper schaltet neben den Effekten auch den Amp in den Leadkanal. 

Das Ganze funktioniert entweder rein analog, sprich die Wege des Signals werden über rein analoge Schalter geregelt. Es gibt aber auch Router, die digital arbeiten. Da funktioniert zwar der Signalfluß analog, die Schaltwege werden aber digital verarbeitet, was zu einer ganzen Reihe weiterer Möglichkeiten führt. Man kann so auch Midi fähige Effektgeräte in das Setup übernehmen und per Midi Befehl ansteuern. 

Wer schon einmal auf den Bühnen der Profi-Gitarristen unterwegs war, kennt die ausgeschlafenen Schaltsysteme, die da benutzt werden. Ein riesiger Aufwand wird da betrieben. Alle Effekte sind in geschlossenen Kisten verbaut, dass die Regler nicht verstellt werden können, alles ist fest verkabelt und wird auf der Bühne von einem reinen Schaltboard gesteuert. Nur so ist gewährleistet, dass man ohne Probleme bei jeder Show auf die gleichen Sounds zurückgreifen kann. 

===Flexibel oder einfach?===

In dem mittlerweile doch recht hart umkämpften Markt der Effektpedale gibt es immer mehr Pedale, die unglaublich viele Einstellmöglichkeiten haben. Das macht sie zu vielseitig einsetzbaren Werkzeugen zur Sounderstellung. Macht man für sich alleine zu Hause Musik, ist das eine wunderbare Sache. Man kann sich super mit dem gerät beschäftigen und das letzte aus ihm herauskitzeln. 

Im Probenraum und erst recht auf der Bühne nutzen die vielen Features oftmals ziemlich wenig, denn während einer Probe an irgendwelchen Reglern zu drehen, dass nervt nicht nur die Bandkollegen, sondern führt auch oft dazu, dass man einen Sound nicht mehr reproduzieren kann. Und auf der Bühne sollte man sich davor hüten, während der Show zwischen den Stücken irgendwelche Regler drehen zu müssen. Eine Fehlbedienung ist da schon fast vorprogrammiert. 

===Buffer===

Ein großes Thema bei Gitarristen ist immer noch die Verwendung von Effekten mit True-Bypass bzw. Buffered-Bypass. Bypass ist der ausgeschaltete Zustand des Effektgerätes, in dem das Eingangssignal an den Ausgang durchgeleitet wird. Wenn das Signal innerhalb des Effektgerätes nicht bearbeitet wird, hat man den True-Bypass. Verwendet man insgesamt mittlere Kabelwege und nur wenige Effekte, ist das auch die beste Lösung. 

Habe ich lange Kabelwege und/oder viele Effekte kann es dazu kommen, dass das Signal an Höhen verliert. Durch einen Buffered-Bypass kann man diesen Höhenverlust kompensieren. Es ist also gut, wenn man im Signalweg auch ein Effekt-Pedal mit Buffered-Bypass hat. Hat man dieses Effektgerät nicht, kann man sich auch einen extra Buffer zulegen, der den Höhenverlust ausgleicht. Man muss aber erst darauf achten, wenn man tatsächlich viele Effekte und sehr lange Kabel verwendet.

==Multi-Effektgeräte==
[[File:BOSS GT-3.jpg|thumb|BOSS GT-3]]
Multieffektgeräte beherbergen mehrere verschiedene Effekte, die nicht der gleichen Familie angehören. Ein Gerät, das Hall und Echo bereitstellt, würde man also nicht als Multieffektgerät bezeichnen. Ebenso ein Pedal mit Booster und Overdrive oder verschiedenen Modulationseffekten. Erst wenn mehrere Aspekte des Gitarrensounds bearbeitet werden können, spricht man von einem Multieffektgerät. 

Die einfachen Multieffekte arbeiten meist zum Teil analog für Overdrive und Distortion und digital für Modulationseffekte, Echo und Hall. Man nennt diese Geräte auch Effekt-Strips. Sie sind sehr kompakt und haben für jeden Effekt auch die dazugehörigen Regler an Bord. Sie lassen sich nicht programmieren, sondern man muss seinen Sound mittels der Regler einstellen. Die Bedienbarkeit ist also kein Problem. Benötigt man aber viele verschiedene Sounds, wird es schwierig.

Dann benötigt man ein digitales Multieffektgerät. Diese sind mit Klangprozessoren ausgestattet und beherbergen als einzelnes Gerät eine Vielzahl nützlicher Effekte, die durch Programmierung miteinander kombiniert werden können. Dadurch, dass diese Gattung der Effektgeräte mit wenig Technik viele Effekte ausgeben kann, klingen die Effekte meist nicht so gut wie die der einzelnen Effektgeräte.

'''Für wen sind Multi-Effektgeräte geeignet?''' Für Einsteiger und um sich eine Übersicht über die breite Palette der angebotenen Effekte zu verschaffen, sind diese Geräte sehr gut geeignet. Allerdings sind die Werks-Presets, also die Sounds, die dem Gerät vom Hersteller mitgegeben werden, fast immer sehr Effektüberladen. Man möchte nämlich, dass der zukünftige Käufer beim Antesten des Gerätes gleich mitbekommt, was die Kiste denn so alles draufhat. Im Bandkontext sind solche Sounds allerdings kaum zu gebrauchen. Auch zum alleine spielen klingen diese Sounds sicher toll, aber man hört bei vielen zugeschalteten oder extrem eingestellten Effekten seine Fehler nicht mehr. 

Ebenso sind die Geräte zum Üben hervorragend, da einige Geräte auch Drum-Patterns und ein Metronom integriert haben. Man kann sich möglicherweise mit dem Looper (wenn vorhanden) schnell Jam-Track einspielen, zu den man fantastisch üben kann. Dazu funktionieren diese Geräte auch leise sehr gut, ein Soundverlust bei leisem Betrieb wie bei Röhrenverstärkern ist nicht gegeben. Zudem haben sie einen Kopfhörerausgang, was bei einem Röhrenverstärker unüblich ist, da man technisch einen hohen Aufwand treiben muss, um einen Kopfhörer-Ausgang zu ermöglichen.

Macht man zu Hause Aufnahmen mit einer DAW (Digital Audio Workstation, ein Computerprogramm, das als Aufnahmestudio fungiert) am Computer, kann man die meisten digitalen Multieffektgeräte als Interface einsetzten. Der Sound wird im Multieffektgerät digital produziert und als Daten an die DAW weitergegeben, die diese dann weiterbearbeiten und wiedergeben kann. Auch sogenanntes „Reamping“ ist möglich. Die Gitarre wird über ein Interface in den Computer direkt eingespielt. Beim Remix (abmischen, also fertigstellen des Songs) wird dieses Signal dann in das Multieffektgerät geleitet, hier kann es dann bearbeitet werden und geht dann wieder zurück in den Rechner und wird als bearbeitetes Signal abgespielt. Man kann so in der Praxis seinen Gitarrensound erst ganz am Ende des Aufnahmeprozesses einstellen und muss sich nicht schon bei der Aufnahme entscheiden, welche Effekte man zu welchem Sound nutzen möchte. Das ist allerdings eine Sache für Profis. 

Viele greifen jedoch lieber zu Einzel-Pedalen, da so feinere Sounds möglich sind, als ein Multi-Effektgerät es hergibt. Es gibt natürlich Multi-Effekte in der &quot;Oberklasse&quot; die gute Sounds bei sämtlichen Effekten haben, welche aber für den Hobbymusiker kaum bezahlbar sind. 

'''Vorteil eines Multi-Effektgeräts''' Ein Multi-Effektgerät birgt den Vorteil in sich, dass fertige Sounds abrufbereit sind. Wenn man zum Beispiel bei einem Song einen 80er-Jahre Hardrock-Sound mit dezentem Einsatz von Chorus spielt und der nächste Song einen cleanen Sound mit deftigem Einsatz von Chorus erfordert, werden bei einem Multi-Effektgerät einfach zwei Sounds erstellt, gesichert und anschließend abgerufen. Bei einzelnen Effektpedalen muss das Chorus-Pedal nachgestellt werden. Es muss eventuell der Amp neu eingestellt werden (Distortion-Kanal, Gain, EQ, Master Volume, etc...). Vielleicht soll noch ein Delay in bestimmter Weise dazu, dann muss auch dieses Pedal eingestellt werden, und und und...

Für die meisten Geräte haben sich im Internet Gruppen gebildet. Man kann sich hier aber nicht nur Tipp und Tricks abgucken, meist werden auch Sounds getauscht. Hier kann man sich aus einem bunten Blumenstraß an Sounds die Besten heraussuchen. Manchmal bietet der Hersteller auch auf seiner Seite eigene Sounds an, die man herunterladen kann. Ein netter Service. Allerdings sollte man seine Erwartungen an diese Sounds nicht zu hochschrauben, denn in den Foren werden nicht nur brauchbare Sound getauscht, da schwirrt auch massenweise Unsinn herum. So kann man für viele Geräte auch professionelle Sounds käuflich erwerben. Die sind gar nicht mal so teuer und ersparen einem viel Zeit, die man benötigt, um Sound zu programmieren.

'''Nachteile des Multi-Effektgerätes''' Die meisten Multieffektgeräte sind mit einer überschaubaren Anzahl an Bedienelementen ausgestattet. Das liegt daran, dass sich das Gerät mit der Anzahl von Knöpfen, Schaltern und Tasten auch verteuert und durch die wachsende Konkurrenz spielt möglichst niedrige Preis eine immer entscheidendere Rolle. Zudem kann man bei den Geräten eine mittlerweile unüberschaubare Anzahl von Parametern kontrollieren, dass es gar nicht mehr möglich ist, alle mit einem Bedienelement auszustatten. So haben die meisten Regler des Multieffektes viele Funktionen und die Bedienbarkeit am Gerät selber ist schwierig. Das gilt auch für Geräte, die über eine Touch-Screen verfügen. Da ist es zwar einfach, aber optimal ist sicher anders.

Man bedient diese Geräte dann am besten über eine Software. Diese Programme zeigen einfach auf, was zu bedienen ist und man stellt die Parameter mit der Maus ein. Wenn man in einer Band spielt, und das Effektgerät dort auch nutzt, sollte man zumindest den Feinschliff an den Sounds bei einer Probe vornehmen, damit er auch in den Bandkontext passt. Das ist gar nicht so einfach. Hat man keinen Computer im Probenraum, ist es gut, wenn man die Bedienung seines Gerätes auch beherrscht. Die anderen Bandmitglieder haben dazu nämlich gar keine Lust und es geht auch immer wertvolle Probenzeit verloren. 

Man verliert sich beim Programmieren eines Sounds schnell in den Unendlichkeiten der Parameter. Hier kann man noch etwas drehen, da etwas verbessern, da etwas ausprobieren und da noch etwas Pepp. Und am Ende des Tages hat man zwar viel Zeit mit der Gitarre verbracht, aber nur wenig gespielt und viel programmiert. Vielleicht nicht der Sinn der Sache. Es gibt eine Menge Gitarristen, die genau aus diesem Grund wieder auf Einzeleffekte umgestiegen sind.

'''Anschluss des Multieffektgerätes''' Die oben beschriebenen Effekt-Strips sind dafür gebaut, einfach vor einem Verstärker eingesetzt zu werden. Die Gitarren in den Input, den Output mit dem Verstärker verbinden und loslegen. Das gleiche kann man auch mit den digitalen Geräten machen, das wäre die einfachste Anwendung, aber man hat weitere Möglichkeiten. 

Viele verwenden die „Vier Kabel Methode“. Dazu benötigt man einen Verstärker und ein Multieffektgerät die über einen Effektloop verfügen. Die vier Kabel werden wie folgt angewendet. Das erste Kabel geht von der Gitarre in den Input des Multieffektes. Das zweite vom Effekt Send des Effektes in den Input des Gitarrenverstärkers. Das dritte vom Effekt send des Verstärkers in den Effekt Return des Effektes und das vierte schließlich vom Output des Effektes in den Effekt Return des Verstärkers.

Das Ganze funktioniert dann so: Das Gitarrensignal bekommt zunächst die Bearbeitung, die bei Einzelpedalen vor dem Verstärker geschaltet wären. Es durchläuft falls vorhanden etwa WahWah, Kompressor und Overdrive. Dann wird das Signal durch den Effekt-Send herausgeführt und passiert die Vorstufe des Verstärkers. Hier bekommt es Verzerrung vom Verstärker und wird durch den Equalizer bearbeitet. Dann wird es durch den Effekt Send wieder aus dem Verstärker durch den Effekt Return in das Effektgerät geleitet und wird nun mit Echo und Hall bearbeitet. Anschließend läuft es vom Output des Effektes über den Effekt Return des Verstärkers in die Endstufe. Oftmals muss man am Multieffektgerät den Effektweg in der Programmierung anschalten. Er kann sogar bei einigen Geräten per Fußschalter ein- und ausgeschaltet werden.

Die meisten Multieffektgeräte bringen heute auch eine Amp- und eine Boxensimulation mit. Viele Gitarristen nutzen diese Möglichkeit heute auch für ihren Bühnensound. Das hat nämlich den Vorteil, dass man gar keinen Verstärker mehr mitzunehmen braucht, sondern mit dem Output einfach ins Mischpult geht. Und schon ist der Aufbau fertig. Über die PA wird der Sound dann gesteuert. Und so ist es dann auch leicht, einen Stereo-Sound zu fahren, denn so gut wie alle Multieffektgeräte verfügen über einen Stereo-Ausgang. Damit es dann noch besser geschützt vor Störgeräuschen ist, haben einige Geräte auch XLR Buchsen eingebaut, die einen symmetrischen Anschluss an das Mischpult ermöglichen.

Es gibt auch extra für den Betrieb von Multieffektgeräten entwickelte Aktiv-Boxen, an die man sein Gerät anschließen kann. Einfach vom Output des Gerätes in den Input der Box gehen. Man verwendet im Multieffektgerät die Ampsimulation, kann aber in der Box auch auf verschiedene digital erzeugte Boxensimulationen aufrufen. Bei diesen Boxen handelt es sich nicht um Gitarrenboxen im eigentlichen Sinn, diese übertragen nur Frequenzen bis rund 9000 Hz, sondern um Full-Range Boxen, die für den gesamten Frequenzbereich ausgelegt sind, wie etwa normale PA-Boxen. Dadurch können sie etwa auch Signale von Westerngitarren etc. übertragen. 

Auch gern genutzt wird das Multieffektgerät vor einer Gitarrenendstufe mit Gitarrenbox. Das hat den Vorteil, dass man trotz digitaler Klangerzeugung ein gutes Feeling für den Verstärker vermittelt bekommt. Auch wenn die digitalen Lösungen genau in diesem Bereich oft noch Schwächen haben.

In den Effektweg des Multieffektes lassen sich weitere Effekte einschleifen. Gefällt einem der Hall des Gerätes nicht oder hat man einen Effekt, der in dem Gerät gar nicht vorhanden ist und möchte ihn an einer bestimmten Stelle des virtuellen Signalweges nutzen, kann man sein Hallgerät oder diesen Effekt über den Effektweg nutzen. Effekt Send in den Input, den Output an den Effekt Return, den Effektweg einschalten, fertig. Bei vielen Multieffekten kann man die Position des Eingeschliffenen Effektes sogar einstellen. Man kann den Hall etwa am Ende der Effektkette platzieren.

Zur Bedienung auf der Bühne oder im Proberaum verfügt ein Multieffektgerät über eine Reihe von Fußschaltern und sehr oft auch über ein Pedal, manchmal sogar zwei Pedale, denen man Parameter zuweisen kann. So kann man die Lautstärke mit dem einen und das WahWah mit dem anderen Pedal bedienen. 

Die meisten Fußschalter können programmiert werden. Bei jedem Sound könnten sie mit anderen Funktionen ausgestattet werden. Je mehr es sind, destoi besser ist es, weil man so Doppelbelegungen vermeidet. Man sollte mit dem Fuß die Sounds umschalten können. Diese sind oft in Bänken zusammengefasst. Ein Sound der A6 heißt liegt in der Bank A auf Platz 6. Man muss dann die Bänke und auch die Nummern schalten können, um möglichst schnell von einem zum anderen Sound zu kommen. Sind die Sounds einfach nur durchnummeriert, kann man sie sich so zusammenbasteln, dass man während eines Auftrittes immer nur einen Sound nach oben schalten muss um den nächsten Sound, der benötigt wird, zu erhalten. 

Viele Multieffekte kann man aber auch so schalten, dass Man einem Sound verschiedene Effekte zuordnet. Man hat also einen Verstärker eingestellt und kann nun mit den Tasten von einem Kanal des Verstärkers zum anderen, verschiedene Verzerrer davor aktivieren, Chorus dazu schalten, Echos und Hall anwählen etc. Man hat also im Prinzip zu dem Verstärker ein Pedalboard direkt verfügbar. 

Zusätzliche Taster (oder oft Doppelfunktionen/zwei Tasten gleichzeitig) schalten den Tuner ein und schalten den Rest des Gerätes stumm oder stellen 

Weniger ist oft mehr: Dieses Prinzip gilt gerade bei den Multi-Effektgeräten. Natürlich ist dies auch bei allen anderen Effekten der Fall. Nur sind bei Multi-Effektgeräten viele Effekte gleichzeitig kombinierbar, was leicht zur Überladung des Sounds führen kann. Empfohlene Betrachtungsweise für die Effekte: Sie sind das Salz in der Suppe! Dezenter Einsatz ist gefragt, wenn nicht der Effekt etwas Besonderes erreichen soll (oft bei Tom Morello zu beobachten).

Bekannte Hersteller von Bodeneffektgeräten: Digitech, Zoom, Korg, Boss, Vox, Line6

==Rack Effektgeräte==
Man kann sie in 19&quot; Racks (weltweiter Standard) einbauen und muss zur Steuerung noch eine externe (Midi-)Schaltleiste anschließen, um sie zu bedienen. In den 80er Jahren war der Andrang groß, weil viele wie Ihre Idole klingen wollten.
Der Haken war der sehr hohe Preis (manchmal über 50.000€ für ein Rack!). Ein berühmter Rackbauer und auch Pionier auf diesem Gebiet ist Bob Bradshaw, welcher für viele Gitarristen ein System zusammengestellt hatte.
Die Qualität ist natürlich viel höher als bei den Boden-Multi-Effektgeräten.
Teilweise wurden mehrere Verstärker und hiermit verbundene Effektgeräte mit nur einem Tritt auf einen Schalter gewechselt,
die Vorteile liegen auf der Hand. 
In einem Rack waren jeweils Vorstufe, Verzerrer, mehrere Effekte, Equalizer und Endstufe zusammengefasst. Ein eingebauter Lüfter hinter und manchmal auch zwischen den Geräten sorgte für die benötigte Kühlung.

'''19&quot; Rack''' : [http://de.wikipedia.org/wiki/Rack]

==Verzerrer==

Verzerrer ist eine Art Oberbegriff für verschiedene Arten von Effekten, die entweder selber eine Verzerrung erzeugen oder durch ihren Einsatz den Verstärker dazu bewegen, selber in den Verzerrungsbereich zu gehen. Diese Verzerrer bekommt man als einzelnes Effekt-Pedal oder in einem Multieffektgerät implementiert. Sie können entweder analog oder auch digital arbeiten. Im digitalen Fall wird zunächst das Eingangssignal in ein digitales Signal umgewandelt, dieses Signal bearbeitet und am Ende der Effektkette wieder in ein analoges Signal zurückgewandelt.

Verzerrung entsteht, wenn man ein elektronisches Bauteil übersteuert. Der Eingangspegel ist also so hoch, dass das Bauteil diesen nicht mehr verarbeiten kann. Der Pegel wird also in seinen Spitzen abgeschnitten. Aus der gleichmäßigen Welle werden also die höchsten Ausschläge nicht mehr bearbeitet. Röhren setzen langsam mit dieser Begrenzung ein, was zur Folge hat, dass die Verzerrung sehr harmonisch ist und Obertöne zu der Welle hinzugefügt werden. Andere Bauteile, wie etwa Transistoren schneiden die Welle einfach ab, es kommt zu einer sehr „kaputt“ klingenden Verzerrung (was gewollt sein kann, siehe Fuzz-Pedale). 

Zusätzlich zu der Verzerrung wird auch die Dynamik des Signales reduziert, da die Spitzen des Pegels reduziert werden. Das Signal wird komprimiert. Je mehr Verzerrung man hat, desto mehr wird das Signal auch komprimiert.

===Geschichte===

Vielleicht etwas Geschichte vorweg. Gitarrenverstärker gibt es etwa seit den 1930 Jahren. Sie waren so konzipiert, dass sie eben nicht verzerren, sondern das Signal aus der Gitarre möglichst sauber wiedergaben. Sie sollten eben einfach lauter werden, um sich gegen andere Instrumente, wie etwa das Schlagzeug, durchsetzen zu können.

In der 1950er Jahren wurden die Bands lauter. Es entwickelte sich der Rock’n’Roll und seiner verwandten Genres. Dazu wurden die Verstärker immer weiter aufgedreht, bis sie schließlich bei immer höherer Laustärke begannen, harmonisch zu verzerren, weil Vor- und/oder Endstufe überlastet waren. Genau dieser Sound wurde dann auch von vielen Gitarristen gewünscht und genutzt. Das hatte allerdings den Nachteil, dass die Verstärker sehr sehr laut waren und die anderen Instrumente dagegenhalten mussten.

Mit der Entwicklung der Transistor-Technik kam man aber schnell auf die Idee, dass man Transistoren ja auch übersteuern kann. Heraus kamen die ersten Fuzz-Pedale, wie etwas das Maestro FZ-1 Fuzztone, allen bekannt von dem Song „I can get no Satisfaction“ von den Rolling Stones. Keith Richards soll den Sound dieses damals gerade erst erschienenen Effekts gar nicht gemocht haben, die anderen Bandmitglieder sollen sich aber durchgesetzt haben. Die Fuzz-Pedale erfreuten sich schnell großer Beliebtheit und verbreiteten sich rasch. 

Da der Sound der Fuzz-Pedale sehr harsch ist, man nannte den Sound auch Kreissäge oder Rasierapparat, suchte man aber nach einer Verzerrung, die weicher und harmonischer klang. Eben wie eine weit aufgerissener Röhrenverstärker. So kamen die ersten Overdrive-Pedale in den späten 1970er Jahren auf den Markt, die diesen Sound simulieren sollten. Nur wenig später wurden dann auch die ersten Distortion-Pedale entwickelt, deren Verzerrung deutlich höher war, als die der Overdrive-Pedale und den Sound eines stark verzerrenden Röhren-Amps simulierten.

===Booster===

Booster erzeugen normalerweise selber gar keine Verzerrung, sondern verstärken (boosten) das Signal der Gitarre einfach. Das nennt man dann etwa Clean-Boost, Pure-Boost, Linear-Boost oder ähnlich. Der Sinn des Ganzen ist, den nachgeschalteten Verstärker zu übersteuern und in die Sättigung zu bringen. Vor einem Clean eigestellten Röhrenverstärker eingesetzt kann man per Fußtritt eine Pegelanhebung um 20 dB und mehr erreichen, dass der Amp nun einen verzerrten Sound (Crunch) hat. Man macht so aus einem einkanaligen Amp einen Zweikanäler.
 
Vor einem schon verzerrt eingestellten Amp hebt der Booster die Verzerrung noch einmal an, so dass man aus einem Crunch-Kanal einen Lead-Kanal machen kann. 

Viele nutzen den Booster auch dafür, die Unterschiede zweier Gitarren im Output-Level anzugleichen. Eine Gitarre mit Single-Coil Tonabnehmern hat oft deutlich weniger Output, als eine mit Humbuckern. Ein Tritt auf den Booster gleicht diesen Unterschied aus.

Für die eben beschriebenen Funktionen reicht ein Regler aus, der mit Volume oder Gain beschriftet ist und die Stärke der Signalanhebung regelt. Viele Booster greifen aber auch aktiv in das Klanggeschehen ein. Treble-Booster gibt es schon viel Länger als Clean-Booster. Sie sollen die Höhen verstärken, um den Sound aggressiver zu machen. Brian May, Rory Gallagher, Toni Iommi, David Evens (The Edge) und Rickie Blackmore zum Beispiel nutzen für ihre Sounds Treble Booster (um nur einige zu nennen). 

Moderne Booster sind aber nicht auf Treble- oder Mid-Boost beschränkt. Viele bieten einen Equalizer um den Sound in die richtige Richtung zu bringen. So kann man nicht nur einen Verstärker zu übersteuern bringen, sondern auch noch dessen Sound beeinflussen, dass man tatsächlich einen Kanal dazu gewinnt.  

Manche Gitarristen lassen den Booster auch die ganze Zeit eingeschaltet, weil sie mit dem Booster und dessen Klangregelung aus ihrem Amp den besten Sound herauskitzeln. 

Mit einem Booster lassen sich auch andere Verzerrerpedale „anblasen“. Leider geht das nicht mit allen Pedalen. Viele vertragen den Boost nicht so gut. Es lohnt sich allerdings, hier unterschiedliche Settings einmal auszuprobieren. 

===Overdrive===

Overdrive-Pedale sollen vor dem Verstärker den Sound eines übersteuerten Röhren-Verstärkers erzeugen und so verzerrte Sounds auch bei geringeren Lautstärken möglich machen. Zudem wird auch der Gitarrensound in der Regel durch eine Klangregelung beeinflusst. Dabei gibt es aber Unterschiede, die zunächst beschrieben werden sollen.

Die klassischen Overdrive-Pedale lieferten zu dem verzerrten Sound auch einen Mid-Boost (auch gerne Mittennase genannt), also eine deutliche Verstärkung im Bereich der Mitten. Das war so auch tatsächlich von vielen Gitarristen so gewünscht, damit sich der Gitarrensound im Bandkontext gut durchsetzt. Dagegen gibt es aber auch sogenannte transparente Overdrives, die eben diesen Mittenboost nicht haben. Sie werden auch Natural-Overdrives genannt. Bestes Beispiel für ein Overdrive Pedal mit Mid-Boost ist der Tube-Screamer von Ibanez, der Klassiker unter den Overdrive-Pedalen. Dagegen ein gutes Beispiel für ein transparentes Overdive Pedal ist Nobels ODR-1, das sich schon seit langer Zeit großer Beliebtheit erfreut. 

Ein wichtiges Qualitätsmerkmal bei einem Overdrive ist die Dynamik, das heißt, wie spricht er auf den Anschlag des Gitarristen an. Setzt er das Phrasing des Gitarristen auch um. Haben leise Passagen auch den gleichen Charakter wie die lauten und passt das Pedal die Verzerrung auch genau an. Bei leisem Spiel kann das Pedal den Ton auch unverzerrt wiedergeben. Wird man langsam lauter geht es langsam in die Verzerrung. Dabei ist der Anschlag verzerrt, klingt der Ton ab, hört auch die Verzerrung auf. Der Verzerrer sollte sich so verhalten, wie es auch ein Röhrenverstärker tun würde.

Ein Overdrive-Pedal sollte den Klang der Gitarre auch mit Verzerrung klar übernehmen und nicht durch seinen eigenen Sound überdecken. Es muss immer deutlich hörbar sein, welche Gitarre an den Verzerrer angeschlossen ist. Eine Telecaster sollte also mit Verzerrung auch weiter als Telecaster identifizierbar und von einer Les Paul eindeutig zu unterscheiden sein.

In der Regel sind Overdrive-Pedale mit einem Regler für Gain (oder Drive), einem für Volume und einer Klangregelung ausgestattet. Gain regelt dabei den Grad der Verzerrung und Volume den Ausgangspegel. Die Klangregelung begnügt sich ganz oft nur mit einem Tone-Regler. Der kann aber von Firma zu Firma ganz unterschiedlich auf den Sound einwirken. Manche sind nur High-Cut-Filter, mit denen man die Höhen beschneiden kann, damit die Verzerrung nicht zu aggressiv klingt. Besser ausgestattete Pedale haben einen Dreibändigen Equalizer, ähnlich dem am Verstärker, mit Regler für Höhen, Mitten und Bässe. Damit lässt sich der Sound dann schon sehr komfortabel anpassen. Zudem muss das Overdrive-Pedal auch mit Dem Volume-Regler der Gitarre interagieren. Auch hier kommt es darauf an, dass das Soundverhalten des Pedals genau wie das Soundverhalten eines übersteuerten Röhrenverstärkers ist. 

Für ein Overdrive-Pedal gibt es mehrere Anwendungsmöglichkeiten. Zunächst kann man es auch als Booster einsetzen. Klassische Einstellung ist Gain auf Null und Volume auf 10. Dabei kann man natürlich mit der Einstellung experimentieren. John Petrucci von Dream Theatre hat vor seinem Mesa Boogie Rectifier (Verstärker) einen Ibanez Tube Screamer mit genau dieser Einstellung geschaltet. Der Tube Screamer bläst den Amp nochmal extra an, bringt ihn noch mehr in die Sättigung, und der Tube Screamer gibt dem Signal noch die typischen Mitten mit, was den Sound wärmer macht. 

Die ursprüngliche und beliebteste Verwendung eines Overdrive-Pedals ist die Funktion als zweite Zerrstufe für den Amp. Das heißt, dass am Amp ein verzerrter Sound eingestellt ist und der Overdrive seine Verzerrung mit dem des Amps kombiniert. Dabei kann der Sound des Amps oder auch der Sound des Verzerrers dominierend sein. Durch viel testen und ausprobieren kommt man zu besonderen Ergebnissen. Aus dem Crunch-Sound des Amps kann mittels Overdrive zum Beispiel ein Lead-Sound werden, oder der Crunch Sound aus der Strophe wird im Refrain mit dem Overdrive mit reichlich Druck ausgestattet. Die Möglichkeiten sind sehr vielfältig. Es ist keine schlechte Idee, sich für die Soundbasteleien mit Amp und Pedal viel Zeit zu nehmen. Viele Pedale, etwa die meisten von der Firma Boss oder MXR sind auf eine solche Verwendung ausgelegt. Für sich alleine klingen sie oft recht stark nach Transistor. Dafür spielen sie ihre Stärken in Verbindung mit dem Amp voll aus. 

Viele Gitarristen setzen ihre Overdrive-Pedale aus vor dem Clean eingestellten Verstärker ein. Sie erzeugen also die komplette Verzerrung mit Pedalen. Dazu suchen sie sich natürlich Pedale aus, die einen sehr natürlichen Sound haben. Es kommt bei dieser Verwendung also darauf an, die in Frage kommenden Geräte ausgiebig zu testen. So kommt man auf einfache Weise zu seinem Wunschsound.

Wichtige Overdrive Pedale:
* Ibanez TS 1 Tube Screamer
* BOSS OD 1 Overdrive
* Nobels ODR 1
* Fulltone OCD
* BOSS BD 1 Blues Driver

===Distortion===

Distortion Pedale entstanden schon kurz nach der Einführung von Overdrive-Pedalen. Der Wunsch war noch mehr Verzerrung und ein aggressiver, dreckiger Sound. Dabei werden die Mitten nicht geboostet, wie man es vom Overdrive kennt. Die Regler sind die gleichen, wie beim Overdrive, Gain, Volume und Klangregelung und werden auch genauso verwendet.

Wichtigstes Qualitätsmerkmal des Distortion ist, dass der Sound nicht matschig klingen darf. Schlägt man einen Akkord an, so muss man den Akkord auch deutlich heraushören können. Ist dies nicht der Fall, kann es daran liegen, dass das Eingangssignal zu viel Bässe hat, denn die Bässe neigen als erstes zum matschen, oder das Pedal ist für den Grad der Verzerrung nicht mehr geeignet.

Noch heikler wird es für das Pedal, muss es Akkorde auflösen. Werden Akkordtöne kurz nacheinander gespielt und stehen gelassen, muss man sie im Ohr genau voneinander trennen können. Schafft das Pedal  das nicht, hilft nur weniger Gain.

Da Distortion-Pedal bei hohen Verzerrungsgraden gerne viele Nebengeräusche produzieren, setzten viele Gitarristen nach dem Distortion Pedal ein Noise-Gate ein. Dieses wird dann so eingestellt, dass es genau bei dem Pegel, den das Pedal an Störgeräuschen erzeugt, den Signalfluss unterbindet. Das Noise-Gate setzt den Pegel dann also auf Null, so dass in den Spielpausen des Gitarristen der Amp stumm bleibt. Eine Distortion-Pedal haben genau deswegen schon ein solches Noisegate eingebaut.

Als Booster werden Distortion-Pedale selten eingesetzt, oft aber als Verzerrer vor einem Clean eingestellten Amp oder als zweite Zerrstufe, also beides Anwendungen, die wir schon vom Overdrive kennen. Auch hier lohnt es sich viel auszuprobieren und zu testen.

Wichtige Distortion Pedale:
* Boss DS-1 
* ProCo Rat
* Suhr Riot
* MXR Distortion Plus

===Metal-Distortion===

Metal-Pedale sind im Grunde nichts Anderes als Distortion-Pedale, die eine noch heftigere Verzerrung bieten. In der Regel haben sie auch eine umfangreichere Klangregelung, denn im Metal sind andere Sounds gefordert als im Rock, auch wenn man keine klare Grenze ziehen kann. Auch haben die verschiedenen Untergenres im Metal teils deutlich unterschiedliche Klangvorstellungen. Und diesen Klangvorstellungen werden die Metal-Pedale dann gerecht.

Metal-Pedale klingen im Vergleich zu Distortion-Pedalen oft synthetischer. Kreissäge, Rasierer oder ähnliches werden oft zum Vergleich angeführt. Die warmen Rocksounds sind nicht zu erwarten, so kommt es vielfach auf die Mitten an, denn die sind für den warmen Sound verantwortlich. So eine typische Trash-Metal Equalizer-Einstellung wäre Bässe rein, Mitten raus, Höhen rein. Für die Bässe wäre es dann noch gut, wenn der Equalizer hinter der Zerre liegt, um matschen zu vermeiden. Mid-Scoop-Sound nennt man das.

Eine Pedale bieten eben für die Bearbeitung der Mitten einen besonderen Regler an, der es ermöglicht, die Ansatzfrequenz der Mitten einzustellen, einen semi-parametrischen Equalizer für die Mid-Frequenzen. Ein Normaler Mitteregler setzt bei einer ganz bestimmten Frequenz an und erhöht oder senkt diese und die benachbarten Frequenzen je nach Einstellung. Diesen Ansatzpunkt kann man bei semi-parametrischen Equalizern nach in der Frequenz oben oder nach unten schieben, sodass man seinen Regelbereich, den es zu erhöhen oder zu senken gilt in einem gewissen Rahmen wählen kann. Man sucht also erst einmal die Stelle im Frequenzband, die am stärksten den Sound beeinflusst oder stört und hebt dann erst an oder senkt ab. Ein gutes Werkzeug für Metal-Gitarristen. 

Es gibt Metal Distortion Pedale, die ganz prägend für bestimmte Stilrichtungen des Metal waren oder sind. Bekannt ist zum Beispiel das HM 2 von Boss, dass den Sound des schwedischen Death-Metal prägte. Entombed oder Dismember sind bekannte Beispiele für Bands, die mit diesem Pedal arbeiteten. 

Möchte man seinem Sound doch ein wenig Leben einhauchen, dann setzt man das Metal-Pedal vor einem nur leicht verzerrten Amp ein. Wenn der Amp dann noch schön röhrig warm kling, dann bekommt man gute Ergebnisse.

===Fuzz===

Die älteste Möglichkeit, seinen Gitarrensound zu verzerren ist das Fuzz-Pedal oder die Fuzz-Box. Anfang der 60er Jahre kam die Transistortechnik auf und schon schnell merkte man, dass man Transistoren wie Röhren übersteuern kann. Heraus kam allerding kein schöner, warmer Sound, sondern alles klang, als wäre irgendetwas kaputt. 

So klingt ein Fuzz noch heute, irgendwie kaputt, nicht warm wie ein Röhrenverstärker. Für die Musiker der 60er Jahre war das Fuzz in Verbindung mit dem verzerrten Amp die Möglichkeit, schöne verzerrte Sound herzustellen. Led Zeppelin, Jimi Hendrix, Pink Floyd um nur einige zu nennen, setzten Fuzz Pedale immer gerne ein.

Beschäftigt man sich mit Fuzz-Pedalen, landet man sehr schnell bei der Frage, die Gitarristen häufig und heftig diskutieren, nämlich ob man Silizium oder Germanium Transistoren in ein Fuzz-Pedal verbauen sollte. Wie so oft kann man die Frage ganz einfach beantworten, denn es ist einzig und allein Geschmacksache. Germanium-Transistoren klingen wärmer und nicht ganz so kaputt, Silizium-Transistoren erzeugen den deutlich aggressiveren Sound. Beide Arte von Transistoren sind seit langen im Einsatz und erzeugen auf sehr vielen Bühnen großartige Sounds.

Bei den Reglern finden wir auch bei den Fuzz-Pedalen nichts Neues. Gain, Volume und eine Klangregelung.

Wichtige Fuzz Pedale
* Electro-Harmonix Big Muff π
* Maestro FZ 1
* Dunlop Fuzzface
* British Pedal Company Tone Bender

===Amp in a Box===

Die neueste Art des Overdrive-Effektes sind die sogenannten Amp-in-a-Box Effekte. Sie sollen den Sound eines bestimmten Amps simulieren und so den eigentlichen Amp ersetzen können. Dabei gibt es analoge Pedale, die zum Teil erstaunlich Nahe an diese Soundvorstellungen herankommen. Neu und im Trend sind digital simulierte Amps. Auch diese digitalen Effekte bekommt man mittlerweile in Pedalform, vom Mini-Pedal, das nur einen Amp simulieren kann, bis zu größeren Pedalen, die gleich ein ganzes Arsenal von Amps anbieten.

Amp in a Box Pedale kann man wie andere Verzerrerpedale einsetzen. Vor dem clean eingestellten Amp simulieren sie das Ampmodell für das sie gebaut worden sind. Das Signal wird allerdings durch den Vorverstärker des Amps natürlich auch gefärbt. Auch vor einem verzerrt eingestellten Amp kann man gute Ergebnisse erzielen, die dann natürlich nicht mehr so deutlich nach dem vorgeschalteten Amp klingen. Möchte man den Vorverstärker seines Amps nicht in der Signalkette haben, dann kann man den Amp in a Box einfach an den Effekt-Return des Amps anschließen und das Signal geht direkt in die Endstufe des Amps. 

Noch einfacher kann man den Ausgang Amp in a Box auch mit einer Boxensimulation verbinden und dann direkt ins Mischpult gehen. Manche dieser Pedale bieten auch gleich Boxensimulationen mit ab, so dass auch das direkte Einspeisen des Signals in das Mischpult nötig ist. Eine solche Lösung kann auch ein Backup sein, also eine Reserve-Verstärker, wenn der Hauptverstärker bei einem Gig abraucht. Besser so als gar nicht. 

===Anschluss von Verzerrer-Pedalen===

Auf vielen Effektboards von Gitarristen findet man die Verzerrer von wenig nach viel Verzerrung angeordnet. Also zuerst der Booster, dann das Overdrive-Pedal und schließlich Distortion oder Fuzz. Der Sinn dahinter ist, dass man mit dem Booster auch das Overdrive oder Distortion Pedal anblasen kann. Gleiches Gilt für Overdrive und Distortion. Von der Technik ist es wie vor einem Amp. Man erhöht den Pegel des Signals (Booster) um aus dem Overdrive mehr Verzerrung herauszukitzeln. So kann man von Rhythmus-Sounds zu Lead-Sounds kommen.

Oft sieht man den Booster auch hinter den anderen Verzerrern. Man schaltet damit eine höhere Laustärke, wenn man beispielsweise ein Solo spielt. Auch ein Overdrive mit dem fest ganz heruntergeregeltem Gain-Regler macht hinter den anderen Verzerrern Sinn. Man kann seinem Sound am Ende noch mal einen schönen Mid-Boost geben, wenn man möchte. Man wird also noch einmal flexibler.

Vor Band in a Box Pedalen kann man auch die verschiedenen anderen Verzerrer schalten und sie so einsetzen, als würden sie vor einem ausgewachsenen Verstärker geschaltet werden. 

Manche Verstärker vertragen sich leider nicht so gut mit Verzerrerpedalen. Manchmal sind es nur einzelne Pedale, die der Verstärker nicht mag, manchmal eher alle. Röhrenverstärker sind da meistens pflegeleichter. Der Anschluss der Pedale ist meist kein Problem, Transistorverstärker sind das schon empfindlicher, was den Anschluss von Verzerrern angeht und digital arbeitende Verstärker mögen oft gar keine vorgeschalteten Verzerrer. Das kann man durch ausprobieren leicht herausfinden. Bei clean eingestellten Verstärkern ist das Problem etwas seltener, will man ein Pedal mit dem verzerrten Amp interagieren lassen, kommt es häufiger vor, das sich Amp und Verzerrer nicht vertragen und mein keinen brauchbaren Sound einstellen kann. Wie gesagt, testen hilft.

==Hallfedern==
Kein richtiges Effektgerät, jedoch oft in Verstärkern eingebaut, um Hall (Räumlichkeit, Nachhall) auf analogem Weg zu erzeugen.
Hierzu befinden sich mehrere metallische Federn in einem Gehäuse. Das Tonsignal durchläuft die Federn und durch diese Verzögerung entsteht der Halleffekt.

Mehr Info :[http://de.wikipedia.org/wiki/Hallger%C3%A4t]

=Hall und Echo=
Um akustische Akkordpassagen oder Sololäufe etwas voller klingen zu lassen, bedienen sich viele Gitarristen eines Hall- oder Echo-Effektes. Die Unterschiede zwischen Hall und Echo sind nicht allzu groß. Das Echo wiederholt die Töne zeitversetzt, der Hall lässt die Töne länger nachklingen.

Speziell mit dem Echo ist es möglich, mit einer einzigen Gitarre mehrstimmige Melodiepassagen zu spielen. Dafür muss die Wiederholungs-Rate entsprechend lang eingestellt werden, so dass die bereits gespielten Töne zeitversetzt nochmals erklingen. Besonders in Kombination mit [[Gitarre: Arpeggios|Arpeggios]] können auf diese Weise erstaunlich professionell klingende Melodieläufe entworfen werden. Will man das Ganze in einem Lied einsetzen, so muss die Wiederholungs-Rate des Echos natürlich an die Geschwindigkeit des Liedes angepasst werden.

=Chorus und Flanger=
[[Bild:Gitarren-Bodeneffektgerät Ibanez CF7.jpg|thumb|Ibanez CF7 Bodeneffektgerät Chorus/Flanger]]
Der Chorus ist ein Standard-Effekt, der bei vielen bekannten Gitarristen ein fester Bestandteil ihres Sounds ist. Chorus bedeutet, dass der Effekt den gespielten Ton mit zusätzlichen Tönen in einer leicht abweichenden Tonhöhe anreichert. Er lässt die Gitarre etwas fetter klingen, da der Zuhörer den Eindruck hat, dass mehrere Gitarren das Gleiche spielen (so wie bei einem Chor). Sehr oft wird der Chorus im Stereobetrieb benutzt, hierzu sind auch die meisten Pedale mit 2 Ausgängen versehen.

Ein Flanger erzeugt einen Sound, der meist mit dem eines vorbeifliegenden Flugzeugs verglichen wird, wenn die Modulationsgeschwindigkeit auf langsam eingestellt ist. Dabei wird eine Kopie des Signals zusätzlich zum Original mit einer Zeitverzögerung eingemischt, wobei der zeitliche Abstand von Originalsignal zu Kopie ständig variiert wird. Es handelt sich somit um eine Art Delay mit ständig wechselnder Länge. Die Verzögerung schwankt dabei meist zwischen ca. 1 bis 10&amp;nbsp;ms. Durch Einmischen des so modulierten Signals in das Originalsignal (Rückkopplung) kann der Effekt zusätzlich an Tiefe gewinnen.Mit dem Flanger wird auch oft ein Pseudo-Stereosignal erzeugt, in dem man die Zeitverzögerungen für den linken und rechten Kanal gegeneinander Phasenweise veschiebt.
&lt;br clear=&quot;all&quot; /&gt;

=Arpeggiator=
Hier handelt es sich um einen Effekt, der aus einzelnen Tönen Akkorde generiert. Damit dies überhaupt korrekt funktionieren kann, muss am Arpeggiator stets die Tonart eingestellt werden, in der man sich befindet. Zudem ist es unerlässlich, dass die Gitarre absolut akkurat gestimmt ist, sonst hört sich dieser Effekt nur wie &quot;Katzengejammer&quot; an!

=Oktaver=
Der Oktaver erzeugt zusätzlich zum gespielten Ton einen zweiten Ton, der je nach Einstellung eine Oktave höher oder tiefer liegt. Oft ist es auch möglich, den gespielten Ton durch den erzeugten zu ersetzen, so dass eine Gitarre wie ein Bass klingen kann (wie zum Beispiel bei Seven Nation Army von den White Stripes).
Die Einstellung mit einer Oktave höher wird als 12-saitiger Gitarren-Ersatz benutzt, wobei im Gegensatz zur echten 12-saitigen Gitarre die hohe E- und H-Saite auch eine Oktave erhöht werden.

=Tremolo=
Der Tremolo-Effekt variiert die Lautstärke der Gitarre in der eingestellten Geschwindigkeit.

=Pitch-Shifter=
Mit Hilfe dieses Effekts lässt sich die Gitarre auf elektronischem Wege um ein beliebig viele Halbtöne (meistens +/-12) nach oben oder unten verstimmtes Signal erweitern, ähnlich wie bei dem Oktaver, aber jetzt in einzelnen Halbtonschritten (z.B. um eine Quinte oder Quarte erhöht). 
Sehr oft wird der Effekt verwendet, um zweistimmige Melodien zu spielen, wofür man sonst einen zusätzlichen Gitarristen bräuchte.
Dieser Effekt wird eher selten auf der Bühne oder im Studio eingesetzt, da eine reelle 2te Gitarre einfach wesentlich besser klingt. Ausnahmen gibt es natürlich, z.B. Steve Vai benutzt den Effekt gerne.
Eine weitere Benutzungsvariante ist der &quot;Detune&quot; (= verstimmt) Modus. Hierzu wird nur geringfügig vom 2ten Signal Gebrauch gemacht, und auch meistens nur 1 Halbton verstimmt.

=WahWah=
[[Image:BOSS PW-10 V-Wah pedal.jpg|right|thumb|WahWah-Pedal]]
Nach der Verzerrung ist der Wah-Wah-Effekt wohl zweifelsfrei der beliebteste und meistgespielte Effekt den es gibt.

Der WahWah Effekt wird meist vom Gitarristen selber über ein Fußpedal gesteuert. Moderne Multieffektgeräte bieten meist ein sog. Auto-WahWah an, das aber vom Klang als auch von den Möglichkeiten dem manuellen WahWah in Form eines Fußpedals weit unterlegen ist. Es gibt aber einige 19-Zoll-Multieffektgeräte, die den Anschluss eines Midi-Fußpedals erlauben, und somit auch eine größere Kontrolle über den Klang. Bei einigen 19-Zöllern ist der Klang so gut, dass er kaum von den herkömmlichen WahWahs zu unterscheiden ist.

Der Name WahWah ist dabei eigentlich selbsterklärend, es ist die phonetische Schreibweise des Klangs der durch einen WahWah-Effekt erreicht werden kann (im Deutschen 'uWahuWah')
&lt;br clear=&quot;all&quot; /&gt;

== Funktion von WahWah ==

(Diese Erläuterung bezieht sich auf Fußpedale)

Anhand eines am Pedal angebrachten Druckschalters lässt sich der WahWah-Effekt ein- und ausschalten. Hierzu wird das Pedal lediglich einmal ganz durchgetreten um ein- oder auszuschalten. Mittlerweile sind aber auch Pedale mit sog. ''silent &quot;auto-off&quot;'' Funktionen erhältlich, bei denen der WahWah-Effekt allein durch Berühren bzw. Nicht-Berühren des Pedals ein und ausgeschaltet werden kann.

Im Pedal ist ein Verstärker verbaut, der je nach Stellung des Pedals bestimmte Frequenzen anhebt, also verstärkt, während andere wiederum abgesenkt werden.

Zum Beispiel werden bei flacher Pedalstellung die hohen Mitten und insbesondere Höhen verstärkt, während tiefe Mitten und Bässe abgesenkt werden. Je weiter nun das Pedal geneigt wird, desto mehr tiefe Frequenzen werden verstärkt, wobei gleichzeitig mehr und mehr Höhen und hohe Mitten abgesenkt werden.

Man könnte also von einem parametrischen Equalizer sprechen.

Neuere Effektpedale bieten die Möglichkeit, verschiedene Parameter wie beispielsweise die Breite des zu verstärkenden Frequenzbandes oder den Grad der Verstärkung zu manipulieren, und bieten somit ein ziemlich breites Spektrum an unterschiedlichen Gitarrensounds.

== Einsatz von WahWah ==

Egal ob für markante Soli Einlagen oder ''&quot;easy Reggae-Grooves&quot;'', der WahWah-Effekt ist für fast alle Musikrichtungen interessant. Durch die Möglichkeit ihn als &quot;Quasi-Midboost&quot; zu verwenden, wirkt der Einsatz eines WahWah-Effekts aber anscheinend proportional zur Lautstärke der gesamten Combo.

Aber auch als rein akustisches Hilfsmittel kann ein WahWah-Effekt zum Einsatz kommen. Beispielsweise als sog. ''offenes WahWah'' bei dem ein WahWah-Pedal in einer Stellung arretiert wird.

Dementsprechend breit ist das Spektrum berühmter Musiker, die auf den Einsatz von WahWah Pedalen setzten. Es reicht von Virtuosen wie Jimi Hendrix (wahnsinnig intuitiver Einsatz von WahWah-Effekten bei &quot;Voodoo Chile&quot;) über Großmeister wie Eric Clapton bis hin zu Ausnahmekünstlern wie David Gilmour. Aber auch in der modernen Punk/Rock-Szene (Green Day, Die Ärzte o.ä.) ist sowohl live als auch im Studio immer wieder ein WahWah-Effekt zu hören.

== Spielen mit WahWah ==

Um selber in den Genuss eines WahWah-Effektes zu kommen, bedarf es in erster Linie Geld. Ein einfaches WahWah-Pedal kann gut und gerne 150&amp;nbsp;€ (Stand Juli 2005) kosten. Bei Pedalen in dieser Preiskategorie sollte die Ausgabe allerdings schon eher als Investition auf Lebenszeit gesehen werden, denn WahWah-Pedale sind elektronisch gesehen sehr einfach gestrickt und gelten allgemein als robust und beinahe unverwüstlich.

Anfangs werden viele vom recht kurzen Pedalweg überrascht sein. Um ein WahWah-Pedal richtig zu bedienen, bedarf es ein wenig &quot;Zehenspitzengefühl&quot;. Aber im Großen und Ganzen muss das Spielen mit einem WahWah-Pedal nicht lange erlernt werden sondern gelingt meist schon nach wenigen Minuten intuitiv.

==E-Bow==
{{Wikipedia|E-Bow}}
[[Image:EBow.jpg|100px|left|E-Bow]]
Viele Gitarristen wissen heute gar nicht mehr, was ein E-Bow überhaupt ist! Es handelt sich dabei um ein Gerät, das die Saiten einer E-Gitarre durch Magnetismus zum Schwingen bringt. Damit lässt sich ein sehr geigenähnlicher Sound erzielen, welcher enorm weich klingt.

Man muss dieses batteriebetriebene Gerät einfach nur über eine Saite halten und schon beginnt sie zu schwingen. Damit ist das E-Bow für besonders softe Melodiepassagen bestens geeignet. Zum Beispiel beim Lied &quot;Wonderwall&quot; hört man im Hintergrund ein Cello brummen, aber in Wirklichkeit ist das ein E-Bow.

== Schlussbemerkung ==

Obwohl vom Klang als auch von der Technik wohl einer der eher schlichten Effekte, ist der WahWah-Effekt in seiner Art und in seinen Möglichkeiten so vielfältig wie kein Zweiter.

Kurzum, ein WahWah-Effekt gehört in jeden (E-)Gitarristen Haushalt.

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{{todo|E-Gitarren-Profis müssen diese Seite fachlich ergänzen, überprüfen&lt;br /&gt;natürlich auch: Fehler berichtigen, Stil verbessern...|Gitarre|Mjchael}}

Oft werden zwischen Gitarre und Amp noch Effektgeräte geschaltet. Diese modulieren das Signal durch eine spezielle elektronische Schaltung. Die bekanntesten Effekte sind Verzerrung (Overdrive oder Distortion), Hall, Echo und Verzögerung (Delay).

=Effektgeräte=
Es gibt zahlreiche Geräte, hier ein kleiner Überblick.
Flanger, Delay, Chorus, Phaser, Tremolo, Reverb(Hall), Distortion, Overdrive, Kompressor, Synthesizer, WahWah, Sustain 
==Einzelne Effektpedale==
[[File:1979 MXR Distortion +.jpg|thumb|MXR Distortion Pedal]]
Effektpedale (Bodentreter, Tretminen) spielen trotz der Flut an digitalen Multieffektgeräten immer noch eine große Rolle bei den Gitarristen. Zum einen ist diese Spezies Musiker in Bezug auf Equipment immer noch sehr konservativ, zum anderen kann man mit Einzeleffekten immer wieder neue Sounds ausprobieren, immer wieder an kleinen Stellschrauben drehen um noch ein wenig besser zu klingen und immer wieder seine Zusammenstellung ändern, wie man es gerade für richtig hält.

Vorteil der Einzeleffekte ist auf jeden Fall die Austauschbarkeit eines einzelnen Pedals. Wenn einem der Sound des Halls in einem Multieffektgerät nicht so richtig gefallen mag, kann man den nicht so einfach austauschen, sondern muss ein Hallgerät in einen eventuell vorhandenen Effektweg einschleifen. 

Außerdem kann man die Einzeleffekte viel besser bedienen. Man muss sich nicht durch vielschichtige Menüs klicken um an den zu ändernden Parameter zu gelangen. Man dreht am Knopf, fertig. Das Finden von sogenannten „Sweetpoints“ also Einstellungen eines Reglers, an dem der ganze Effekt am besten klingt, ist viel einfacher. 

===Preisklassen===

Die Preise der kleinen Geräte sind höchst unterschiedlich. Da kann man einen Verzerrer für unter 20, -- Euro erwerben, es gibt aber auch Verzerrer, die um die 500, -- Euro liegen. Oder gar gebrauchte Geräte, die auf dem Markt schwindelerregende Summer erzielen. 

Bei den gebrauchten Geräten handelt es sich um Originale, die einen unvergleichlichen Klang erzielen sollen. Ein Beispiel ist ein Klon „Centaur“ der Original-Serie, der auf dem Gebrauchtmarkt um die 10 000, -- Euro erzielt. Der Hersteller hat aus diesem Grund sogar auf ein Nachfolgemodell geschrieben: „Kindly remember: the ridiculous hype that offends so many is not of my making“ also etwa: „Bitte denken Sie daran: Der lächerliche Hype, der so viele beleidigt, ist nicht mein Werk“.

Woher kommen aber die Preisunterschiede bei den neuen Effektpedalen. Da spielt als erstes das Produktionsland eine Rolle. In China verdienen die Leute eben sehr viel weniger als in Deutschland und arbeiten dort auch nicht immer unter Arbeitsbedingungen, die man „human“ nennen würde. Das drückt natürlich den Preis. Oftmals spart man zudem dann noch an der Endkontrolle. Das hat zur Folge, dass eine höhere Anzahl an „Montagsgeräten“ auf den Marktkommen, was aber in Kauf genommen wird.

Auch die Effektpedale, die von den großen Musikinstrumenten Kaufhäusern als Hausmarke angeboten werden, sind solche „Rebrands“. Diese können noch einmal günstiger angeboten werden, weil der Vertrieb ohne Zwischenhändler auskommt. 

Die Bauteile können sehr unterschiedliche Qualitäten haben. Billige Schalter und Potis halten oft nicht besonders lange, drücken aber den Verkaufspreis. Auch beim Gehäuse kann gespart werden. Ein Plastikgehäuse ist natürlich lange nicht so stabil, wie ein Metallgehäuse.

Entwicklungskosten. Die günstigen Pedale sind in der Regel sogenannte „Clons“ von deutlich teureren Geräten. In der Beschreibung kann man dann Sätze lesen wie: „Inspiriert vom Gerät XY“. Das spart natürlich bei der Entwicklung der Pedale. Viele Pedale kommen auch unter einer neuen Marke noch einmal auf den Markt (rebranding). Ein Pedal der Marke X für 50,-- Euro kommt nach zwei Jahren als Pedal der Marke Y in einem neuen Design noch einmal auf den Markt und kostet dann nur noch 40,-- Euro. 

[[File:Ibanez TS-808 Tube Screamer Overdrive Pro (True bypass Mod and Tone Mod).jpg|thumb|Ibanez Tube Screamer]]
Zum guten Schluss spielt auch die Art der Fertigung und die Anzahl der zu fertigenden Pedale eine Rolle. Teure Pedale werden von Hand in kleinen Stückzahlen gefertigt, billige dagegen industriell und natürlich in großen Mengen. 

Daraus ergeben sich drei Klassen von Pedalen, wobei die Übergänge natürlich fließend sind. Budget Pedale werden zumeist in China in großen Stückzahlen 
Gefertigt. Es handelt sich dabei in der Regel um „Clone“ bekannter Pedale. Beispiele Hierfür sind Joyo, Mooer, Behringer, Caline, Tone City, etc. 

Die Mittelklasse setzt auch auf industrielle Fertigung und höhere Stückzahlen, die Fertigung erfolgt allerdings in den USA oder Japan. Man setzt bei den Geräten auf Road-Tauglichkeit und entsprechend hohe Qualität der Bauteile. Bekannt sind BOSS, Electro Harmonics, MXR oder die Serie 3 von JHS Pedals.

Boutique-Pedal Hersteller setzen auf Qualität und Individualität. Kleine Stückzahlen, handgearbeitet, ausgesuchte Bauteile und eine eigene Entwicklung zeichnen die Pedale aus. Die Firma WeeBoo aus Hannover zum Beispiel ist ein Ein-Mann-Betrieb. Die Pedale werden nebenberuflich entwickelt und gefertigt. Von diesen Boutique-Pedal Herstellern gibt es eine ganze Menge. Rodenberg aus Deutschland, Beetronics, Amptweaker, Jackson Audio, JHS Pedals, Strymon, Wren &amp; Cuff, Wampler, Fulltone, Vertex oder Z.Vex aus den USA, Mad Professor aus Finnland und viele andere mehr. Dazu kommen die Boutique Pedale, die von Amp-Herstellern angeboten werden. Diezel, Bogner, Suhr, Fortin und Friedman sollen als Beispiele dienen.

Natürlich gibt es keine festen Grenzen zwischen den Klassen. Die Übergänge sind fließend. So nutzen einige Herstelle die günstige Produktion in China, die Entwicklung findet aber in anderen Ländern statt. So entwickelt zum Beispiel Blackstar in in Großbritannien, die Produktion ist aber in China, oder Carl Martin entwickelt in Dänemark, die Produktion findet ebenfalls in China statt. Dabei bekommen die chinesischen Firmen genaue Vorgaben, wie die Produktion auszusehen hat.

===Effektpedale aussuchen===

Am besten, man geht in das Musikgeschäft seiner Wahl, quatscht mit dem Verkäufer, der hoffentlich Ahnung hat (was leider nicht immer der Fall ist) und probiert dann möglichst viele Pedale aus und vergleicht sie miteinander in der Praxis. Am besten noch mit einer Gitarre, die der eigenen möglichst ähnlich ist an einem Verstärker, dessen Sound man kennt. Antesten nennt man das in Musikerkreisen. Davon sollte man soviel Gebrauch machen, wie man kann. Auch das Equipment der Band-Kollegen oder der anderen Musiker, die man so kennt sollte man mal antesten, wenn der Besitzer es zulässt. 

Leider hat man nicht immer diese Möglichkeiten. Mittleiweile gibt es bei YouTube massenweise Videos, in denen Effektpedale vorgestellt werden. Manche sogar ohne dass dazwischen gequatscht wird und nur das Pedal mit seinen Soundmöglichkeiten zu sehen und vor allem zu hören ist. Damit kommt man oftmals auch schon weiter, auch wenn der Anbieter des Videos vom Hersteller des Effektes möglicherweise bezahlt wird. Die Aufnahmen für das Video werden dann natürlich unter Studio-Bedingungen gemacht. Im Proberaum wird das Ganze sicherlich dann doch noch etwas anders klingen. Aber die Richtung, in die es geht wird einem klar.

Kommt man an der Bestellung im Internet nicht vorbei, bieten viele Händler die Möglichkeit an, eine Rezension zu veröffentlichen. Auch die kann man bei der Beurteilung zur Rate ziehen. Zumindest auf den Seiten der großen Musikalienhändler sind die Rezensionen noch nicht so unglaubwürdig, wie bei den großen Online-Kaufhäusern. Thomann bietet dazu noch den Stompenberg FX an. Hier kann man Effektpedale virtuell ausprobieren. Das geht recht einfach und man kann sich zumindest ungefähr vorstellen, wie der Effekt klingt, auch wenn das ganze recht steril klingt.

===Netzteile===

Die meisten Effekt-Pedale lassen sich mit Batterien oder mit einem Netzteil betreiben. Nun sind ja Batterien überhaupt nicht mehr zeitgemäß, aber auch aus rein praktischen Gründen nicht zu empfehlen. Sie sind nämlich immer genau dann leer, wenn man sie am wichtigsten braucht. Frei nach Murphy’s Gesetz: „Alles was schiefgehen kann, geht auch schief!“ 

Ist die Batterie oder der Akku leer, so muss man sich dann auch erst einmal auf Fehlersuche begeben, was nicht immer so einfach ist. Dann benötigt man auch auf jeden Fall Ersatz und die Frage ist dann, ist denn der Ersatz auch voll? Und auch aus Kostengründen kann man nur zu einem Netzteil raten. Die Effektpedale sind nämlich nicht zu unterschätzenden Stromfresser. Viele verbrauchen auch Strom, solange ein Kabel im Input steckt und der Effekt nur auf Stand-by läuft. Bei der Probe vergessen, den Stecker aus dem Input herauszuziehen, bei der nächsten Probe ist die Batterie oder der Akku leer.

Plant man mehrere Effekte einzusetzen, sollte man sich gleich damit beschäftigen ein Mehrfachnetzteil zu erwerben. Einzelne Effekte kann man noch mit einem einzelnen, handelsüblichen Netzteil betreiben, hat man mehrere Effekte zu versorgen, ist es deutlich angenehmer, auf eine zentrale Stromversorgung zurückgreifen zu können.

Was muss ich nun beim Kauf eines Netzteiles beachten? Das hängt davon ab, was für Pedale ich betreiben möchte. Moderne, digitale Pedale mit reichlich Funktionen verbrauchen durch die hohe Rechenleistung, die benötigt wird, auch viel Strom. Das Netzteil sollte dafür als ausreichend Strom zur Verfügung stellen. Neben den üblichen 9 Volt 500 mA Ausgängen ist es möglich, dass ich für bestimmte Overdrive, Distortion oder Fuzz Effekte auch mit 12 oder 18 Volt betreiben kann, wodurch sie mehr Headroom, also mehr Gain und damit mehr Verzerrung bekommen. Habe ich solche Effekte, benötige ich auch Ausgänge mit entsprechender Volt Zahl. Mache Netzteile bieten hierfür sogar schaltbare Ausgänge. Damit ist man dann noch flexibler. 

Sind die Ausgänge eines Mehrfachnetzteils nicht gut genug getrennt, kann es in Verbindung mit anfälligen Effekten zu Brummen kommen. Da hilft nur Probieren oder der Austausch des Netzteils, bzw. des Effektes, wenn man den Übeltäter ermittelt hat.

Es gibt Effekte, die sensibel auf Netzteile reagieren. Sie verändern durch die Art des Netzteils sogar den Sound und müssen dann mit dem zugehörigen und in diesem Fall wahrscheinlich mitgelieferten Netzteil betrieben werden. 

Schön ist, wenn man das Netzteil unter dem Pedalboard verbauen kann. Da nimmt es dann auf dem Pedalboard keinen Platz mehr weg. Dazu sollte man vorher gucken, wie hoch das Netzteil ist. 

Für kleine und mittlere Pedalboards gibt es auch Netzteile, die gleichzeitig ein Stimmgerät beinhalten. Das kann für das eine oder andere Pedalboard genau das richtige Feature sein.

=== Patchkabel===

Hat man mehrere Effektpedale im Einsatz muss man sie mit entsprechenden Kabeln verbinden um das Signal zum Verstärker zu bekommen. Diese kurzen Kabel nennt man „Patchkabel“.  Sie sind entweder mit geraden oder mit Winkelsteckern ausgestattet. Zum Verbinden von zwei Pedalen, die die Input- und Output Anschlüsse an der Seite haben, wie es bei den meisten Geräten der Fall ist, eignen sich Winkelstecker am besten. Haben die Pedale die Anschlüsse an der Hinterseite, was sehr praktisch und platzsparend sein kann, dann sind oftmals gerade Stecker besser, wenn sich nicht eine weitere Reihe Effekte dahinter befindet und Platz haben muss. 

Für den Einsteiger gibt es bunte Patchkabel bei dem Musikalienhändler der Wahl Mehrfachpack schon für wenige Euro. Für den Anfang sind diese völlig ausreichend. Die Verschweißten Stecker dieser Kabel haben aber den Nachteil, dass man sie nicht reparieren kann und sie doch recht schnell kaputtgehen. Bei größeren Effektboards kann da die Fehlersuche schon mal zur Geduldsprobe werden, wenn man ein defektes Kabel hat.

Deswegen sollte man sein Pedalboard so früh wie möglich auf bessere Kabel umstellen. Dabei bieten viele Kabelhersteller Bausätze an, mit denen man exakt die richtige Länge mit den geeigneten Steckern selber kombinieren kann. Das sorgt für Ordnung auf dem Pedalboard und kurze Kabel. 

Es gibt auch Verbindungen, die nur aus den Steckern bestehen. Das sind mehr oder weniger nur zwei Stecker, die zu einem Teil verarbeitet worden sind. Das ist auf den ersten Blick eine gute Lösung, problematisch ist die Höher der beiden Buchsen, die verbunden werden sollen. Ist die zu unterschiedlich, kann der Stecker das nicht mehr ausgleichen. Manche benötigen sogar exakt die gleiche Höhe. Dann muss man auch auf Qualität achten. Es gibt Modelle dabei, die doch sehr schnell kaputt gehen. Und für meinen persönlichen Geschmack liegen die Fußschalter der benachbarten Pedale manchmal zu dicht beieinander, dass eine Fehlbedienung nicht ausgeschlossen ist.,

Profis geben ein Vermögen für Kabel aus. Das liegt daran, das durch schlechte Kabel auch immer Sound verloren geht. Das lohnt sich aber nur bei ebenso hochwertigen Effekt-Pedalen, sonst kann das Patchkabel auch mal mehr kosten, als der angeschlossene Effekt.

===Pedalboard===

Diese kleinen bunten Kisten können, wenn man erst einmal auf den Geschmack gekommen ist, schnell zu einer Sucht werden. Schnell sammeln sich immer mehr im Besitz des Gitarristen an. Man muss Ordnung in das Chaos bekommen.

Mittlerweile gibt es eine ganze Reihe verschiedener Pedalboards zu kaufen. Die Pedale werden dabei auf einem Pedalboard befestigt und fest verdrahtet. Dazu gibt es dann eine passende Tasche oder sogar einen Koffer. Ein paar luxuriösere Boards haben sogar schon ein Netzteil und Kabel für die Stromversorgung der Pedale an Board, was die Sache dann schon vereinfacht. Dabei werden diese Boards von sehr kompakt bis ziemlich riesig angeboten. Jeder sollte seine passende Größe finden. 

Gängigste Art der Befestigung der Pedale auf dem Board sind Klettbänder. Die Oberfläche der Boards sind dabei schon mit Klett vollständig beklebt, man muss unter das Pedal nur einen Streifen des selbstklebenden Klettbandes kleben und man kann es auf dem Board ziemlich frei platzieren. Manche Pedalhersteller liefern zum Effekt auch gleichen einen passenden Klettaufkleber für die Unterseite des Pedals mit, was das ganze deutlich stabiler macht. 

Die Klettbefestigung hat den Vorteil, dass man sein Pedalboard recht schnell umbauen kann, wenn man sich zum Beispiel ein neues Pedal gekauft hat, das man in seine Effektkette integrieren möchte. Oder man braucht für einen Song einen neuen Sound. Schnell ist das entsprechende Pedal auf dem Board montiert.

Der Nachteil am Klett ist, dass die Befestigung nicht besonders stabil ist. Kommst man zu stark an ein Pedal, löst es sich vom Board und im schlimmsten Fall zieht man damit auch gleich die Stromversorgung oder das Anschlusskabel mit ab. Das hat dann den Totalausfall der Gitarrenanlage zur Folge.

Die stabilere Variante ist die Befestigung der Pedale mit sogenannten Mounties, das sind kleine Metallteile, die an die Unterseite der Pedale mittels der Schrauben, die die Bodenplatte fixieren, befestigt werden. Damit kann man sie auf dafür ausgelegt Pedalboards schrauben. Diese Pedalboards sind aus Metall und haben unzählige Löcher, die die Befestigung der Pedal ermöglichen. So ist das Board stabiler aufgebaut. Dafür ist der Umbau schon etwas stressiger. 

===Schalter===

Mittels Schalter lassen sich mehrere Wege, die ein Gitarrensignal durch eine Effektkette nehmen soll realisieren. Die einfachste Möglichkeit sind dabei die ABY-Boxen. Das Signal, dass am Eingang ankommt geht entweder an den Ausgang A, B oder sogar an beide Ausgänge (Y). Mit dem Schalter kann man also zwei verschiedene Verstärker betreiben. Entweder einzeln oder beide zusammen. Vor die Amps kann man dann auch noch Effekte legen. Es gibt auch Schalter, die noch mehr Ausgänge haben. Man kann also noch mehr Verstärker abwechselnd ansteuern. 

Für komplexere Anwendungen gibt es Looper. Gemeint sind aber nicht die kleinen Geräte, die ein paar Takte Musik aufnehmen und dann in Endlosschleife wiedergeben können, sondern Geräte an die man seine Effekte anschließt und man sie innerhalt des Gerätes zusammenstellen und per Fußschalter aktivieren kann. 

Hört sich kompliziert an, ist es aber nicht. Ein Looper ist mit zum Beispiel mit 8 Loops ausgestattet. Man kann also acht Einzeleffekte anschließen. Im Looper kann man jedem Fußschalter alle Effekte zuordnen, die man für seinen Sound haben möchte. So braucht man für das ändern eines Sounds nur einen Klick auf den Fußschalter, alles ist wie es soll. Zudem kann man meist auch den Kanalwechselschalter seines Amps in den Looper integrieren. Vom Clean in den Lead Sound ist es wieder nur ein Fußklick und der Looper schaltet neben den Effekten auch den Amp in den Leadkanal. 

Das Ganze funktioniert entweder rein analog, sprich die Wege des Signals werden über rein analoge Schalter geregelt. Es gibt aber auch Router, die digital arbeiten. Da funktioniert zwar der Signalfluß analog, die Schaltwege werden aber digital verarbeitet, was zu einer ganzen Reihe weiterer Möglichkeiten führt. Man kann so auch Midi fähige Effektgeräte in das Setup übernehmen und per Midi Befehl ansteuern. 

Wer schon einmal auf den Bühnen der Profi-Gitarristen unterwegs war, kennt die ausgeschlafenen Schaltsysteme, die da benutzt werden. Ein riesiger Aufwand wird da betrieben. Alle Effekte sind in geschlossenen Kisten verbaut, dass die Regler nicht verstellt werden können, alles ist fest verkabelt und wird auf der Bühne von einem reinen Schaltboard gesteuert. Nur so ist gewährleistet, dass man ohne Probleme bei jeder Show auf die gleichen Sounds zurückgreifen kann. 

===Flexibel oder einfach?===

In dem mittlerweile doch recht hart umkämpften Markt der Effektpedale gibt es immer mehr Pedale, die unglaublich viele Einstellmöglichkeiten haben. Das macht sie zu vielseitig einsetzbaren Werkzeugen zur Sounderstellung. Macht man für sich alleine zu Hause Musik, ist das eine wunderbare Sache. Man kann sich super mit dem gerät beschäftigen und das letzte aus ihm herauskitzeln. 

Im Probenraum und erst recht auf der Bühne nutzen die vielen Features oftmals ziemlich wenig, denn während einer Probe an irgendwelchen Reglern zu drehen, dass nervt nicht nur die Bandkollegen, sondern führt auch oft dazu, dass man einen Sound nicht mehr reproduzieren kann. Und auf der Bühne sollte man sich davor hüten, während der Show zwischen den Stücken irgendwelche Regler drehen zu müssen. Eine Fehlbedienung ist da schon fast vorprogrammiert. 

===Buffer===

Ein großes Thema bei Gitarristen ist immer noch die Verwendung von Effekten mit True-Bypass bzw. Buffered-Bypass. Bypass ist der ausgeschaltete Zustand des Effektgerätes, in dem das Eingangssignal an den Ausgang durchgeleitet wird. Wenn das Signal innerhalb des Effektgerätes nicht bearbeitet wird, hat man den True-Bypass. Verwendet man insgesamt mittlere Kabelwege und nur wenige Effekte, ist das auch die beste Lösung. 

Habe ich lange Kabelwege und/oder viele Effekte kann es dazu kommen, dass das Signal an Höhen verliert. Durch einen Buffered-Bypass kann man diesen Höhenverlust kompensieren. Es ist also gut, wenn man im Signalweg auch ein Effekt-Pedal mit Buffered-Bypass hat. Hat man dieses Effektgerät nicht, kann man sich auch einen extra Buffer zulegen, der den Höhenverlust ausgleicht. Man muss aber erst darauf achten, wenn man tatsächlich viele Effekte und sehr lange Kabel verwendet.

==Multi-Effektgeräte==
[[File:BOSS GT-3.jpg|thumb|BOSS GT-3]]
Multieffektgeräte beherbergen mehrere verschiedene Effekte, die nicht der gleichen Familie angehören. Ein Gerät, das Hall und Echo bereitstellt, würde man also nicht als Multieffektgerät bezeichnen. Ebenso ein Pedal mit Booster und Overdrive oder verschiedenen Modulationseffekten. Erst wenn mehrere Aspekte des Gitarrensounds bearbeitet werden können, spricht man von einem Multieffektgerät. 

Die einfachen Multieffekte arbeiten meist zum Teil analog für Overdrive und Distortion und digital für Modulationseffekte, Echo und Hall. Man nennt diese Geräte auch Effekt-Strips. Sie sind sehr kompakt und haben für jeden Effekt auch die dazugehörigen Regler an Bord. Sie lassen sich nicht programmieren, sondern man muss seinen Sound mittels der Regler einstellen. Die Bedienbarkeit ist also kein Problem. Benötigt man aber viele verschiedene Sounds, wird es schwierig.

Dann benötigt man ein digitales Multieffektgerät. Diese sind mit Klangprozessoren ausgestattet und beherbergen als einzelnes Gerät eine Vielzahl nützlicher Effekte, die durch Programmierung miteinander kombiniert werden können. Dadurch, dass diese Gattung der Effektgeräte mit wenig Technik viele Effekte ausgeben kann, klingen die Effekte meist nicht so gut wie die der einzelnen Effektgeräte.

'''Für wen sind Multi-Effektgeräte geeignet?''' Für Einsteiger und um sich eine Übersicht über die breite Palette der angebotenen Effekte zu verschaffen, sind diese Geräte sehr gut geeignet. Allerdings sind die Werks-Presets, also die Sounds, die dem Gerät vom Hersteller mitgegeben werden, fast immer sehr Effektüberladen. Man möchte nämlich, dass der zukünftige Käufer beim Antesten des Gerätes gleich mitbekommt, was die Kiste denn so alles draufhat. Im Bandkontext sind solche Sounds allerdings kaum zu gebrauchen. Auch zum alleine spielen klingen diese Sounds sicher toll, aber man hört bei vielen zugeschalteten oder extrem eingestellten Effekten seine Fehler nicht mehr. 

Ebenso sind die Geräte zum Üben hervorragend, da einige Geräte auch Drum-Patterns und ein Metronom integriert haben. Man kann sich möglicherweise mit dem Looper (wenn vorhanden) schnell Jam-Track einspielen, zu den man fantastisch üben kann. Dazu funktionieren diese Geräte auch leise sehr gut, ein Soundverlust bei leisem Betrieb wie bei Röhrenverstärkern ist nicht gegeben. Zudem haben sie einen Kopfhörerausgang, was bei einem Röhrenverstärker unüblich ist, da man technisch einen hohen Aufwand treiben muss, um einen Kopfhörer-Ausgang zu ermöglichen.

Macht man zu Hause Aufnahmen mit einer DAW (Digital Audio Workstation, ein Computerprogramm, das als Aufnahmestudio fungiert) am Computer, kann man die meisten digitalen Multieffektgeräte als Interface einsetzten. Der Sound wird im Multieffektgerät digital produziert und als Daten an die DAW weitergegeben, die diese dann weiterbearbeiten und wiedergeben kann. Auch sogenanntes „Reamping“ ist möglich. Die Gitarre wird über ein Interface in den Computer direkt eingespielt. Beim Remix (abmischen, also fertigstellen des Songs) wird dieses Signal dann in das Multieffektgerät geleitet, hier kann es dann bearbeitet werden und geht dann wieder zurück in den Rechner und wird als bearbeitetes Signal abgespielt. Man kann so in der Praxis seinen Gitarrensound erst ganz am Ende des Aufnahmeprozesses einstellen und muss sich nicht schon bei der Aufnahme entscheiden, welche Effekte man zu welchem Sound nutzen möchte. Das ist allerdings eine Sache für Profis. 

Viele greifen jedoch lieber zu Einzel-Pedalen, da so feinere Sounds möglich sind, als ein Multi-Effektgerät es hergibt. Es gibt natürlich Multi-Effekte in der &quot;Oberklasse&quot; die gute Sounds bei sämtlichen Effekten haben, welche aber für den Hobbymusiker kaum bezahlbar sind. 

'''Vorteil eines Multi-Effektgeräts''' Ein Multi-Effektgerät birgt den Vorteil in sich, dass fertige Sounds abrufbereit sind. Wenn man zum Beispiel bei einem Song einen 80er-Jahre Hardrock-Sound mit dezentem Einsatz von Chorus spielt und der nächste Song einen cleanen Sound mit deftigem Einsatz von Chorus erfordert, werden bei einem Multi-Effektgerät einfach zwei Sounds erstellt, gesichert und anschließend abgerufen. Bei einzelnen Effektpedalen muss das Chorus-Pedal nachgestellt werden. Es muss eventuell der Amp neu eingestellt werden (Distortion-Kanal, Gain, EQ, Master Volume, etc...). Vielleicht soll noch ein Delay in bestimmter Weise dazu, dann muss auch dieses Pedal eingestellt werden, und und und...

Für die meisten Geräte haben sich im Internet Gruppen gebildet. Man kann sich hier aber nicht nur Tipp und Tricks abgucken, meist werden auch Sounds getauscht. Hier kann man sich aus einem bunten Blumenstraß an Sounds die Besten heraussuchen. Manchmal bietet der Hersteller auch auf seiner Seite eigene Sounds an, die man herunterladen kann. Ein netter Service. Allerdings sollte man seine Erwartungen an diese Sounds nicht zu hochschrauben, denn in den Foren werden nicht nur brauchbare Sound getauscht, da schwirrt auch massenweise Unsinn herum. So kann man für viele Geräte auch professionelle Sounds käuflich erwerben. Die sind gar nicht mal so teuer und ersparen einem viel Zeit, die man benötigt, um Sound zu programmieren.

'''Nachteile des Multi-Effektgerätes''' Die meisten Multieffektgeräte sind mit einer überschaubaren Anzahl an Bedienelementen ausgestattet. Das liegt daran, dass sich das Gerät mit der Anzahl von Knöpfen, Schaltern und Tasten auch verteuert und durch die wachsende Konkurrenz spielt möglichst niedrige Preis eine immer entscheidendere Rolle. Zudem kann man bei den Geräten eine mittlerweile unüberschaubare Anzahl von Parametern kontrollieren, dass es gar nicht mehr möglich ist, alle mit einem Bedienelement auszustatten. So haben die meisten Regler des Multieffektes viele Funktionen und die Bedienbarkeit am Gerät selber ist schwierig. Das gilt auch für Geräte, die über eine Touch-Screen verfügen. Da ist es zwar einfach, aber optimal ist sicher anders.

Man bedient diese Geräte dann am besten über eine Software. Diese Programme zeigen einfach auf, was zu bedienen ist und man stellt die Parameter mit der Maus ein. Wenn man in einer Band spielt, und das Effektgerät dort auch nutzt, sollte man zumindest den Feinschliff an den Sounds bei einer Probe vornehmen, damit er auch in den Bandkontext passt. Das ist gar nicht so einfach. Hat man keinen Computer im Probenraum, ist es gut, wenn man die Bedienung seines Gerätes auch beherrscht. Die anderen Bandmitglieder haben dazu nämlich gar keine Lust und es geht auch immer wertvolle Probenzeit verloren. 

Man verliert sich beim Programmieren eines Sounds schnell in den Unendlichkeiten der Parameter. Hier kann man noch etwas drehen, da etwas verbessern, da etwas ausprobieren und da noch etwas Pepp. Und am Ende des Tages hat man zwar viel Zeit mit der Gitarre verbracht, aber nur wenig gespielt und viel programmiert. Vielleicht nicht der Sinn der Sache. Es gibt eine Menge Gitarristen, die genau aus diesem Grund wieder auf Einzeleffekte umgestiegen sind.

'''Anschluss des Multieffektgerätes''' Die oben beschriebenen Effekt-Strips sind dafür gebaut, einfach vor einem Verstärker eingesetzt zu werden. Die Gitarren in den Input, den Output mit dem Verstärker verbinden und loslegen. Das gleiche kann man auch mit den digitalen Geräten machen, das wäre die einfachste Anwendung, aber man hat weitere Möglichkeiten. 

Viele verwenden die „Vier Kabel Methode“. Dazu benötigt man einen Verstärker und ein Multieffektgerät die über einen Effektloop verfügen. Die vier Kabel werden wie folgt angewendet. Das erste Kabel geht von der Gitarre in den Input des Multieffektes. Das zweite vom Effekt Send des Effektes in den Input des Gitarrenverstärkers. Das dritte vom Effekt send des Verstärkers in den Effekt Return des Effektes und das vierte schließlich vom Output des Effektes in den Effekt Return des Verstärkers.

Das Ganze funktioniert dann so: Das Gitarrensignal bekommt zunächst die Bearbeitung, die bei Einzelpedalen vor dem Verstärker geschaltet wären. Es durchläuft falls vorhanden etwa WahWah, Kompressor und Overdrive. Dann wird das Signal durch den Effekt-Send herausgeführt und passiert die Vorstufe des Verstärkers. Hier bekommt es Verzerrung vom Verstärker und wird durch den Equalizer bearbeitet. Dann wird es durch den Effekt Send wieder aus dem Verstärker durch den Effekt Return in das Effektgerät geleitet und wird nun mit Echo und Hall bearbeitet. Anschließend läuft es vom Output des Effektes über den Effekt Return des Verstärkers in die Endstufe. Oftmals muss man am Multieffektgerät den Effektweg in der Programmierung anschalten. Er kann sogar bei einigen Geräten per Fußschalter ein- und ausgeschaltet werden.

Die meisten Multieffektgeräte bringen heute auch eine Amp- und eine Boxensimulation mit. Viele Gitarristen nutzen diese Möglichkeit heute auch für ihren Bühnensound. Das hat nämlich den Vorteil, dass man gar keinen Verstärker mehr mitzunehmen braucht, sondern mit dem Output einfach ins Mischpult geht. Und schon ist der Aufbau fertig. Über die PA wird der Sound dann gesteuert. Und so ist es dann auch leicht, einen Stereo-Sound zu fahren, denn so gut wie alle Multieffektgeräte verfügen über einen Stereo-Ausgang. Damit es dann noch besser geschützt vor Störgeräuschen ist, haben einige Geräte auch XLR Buchsen eingebaut, die einen symmetrischen Anschluss an das Mischpult ermöglichen.

Es gibt auch extra für den Betrieb von Multieffektgeräten entwickelte Aktiv-Boxen, an die man sein Gerät anschließen kann. Einfach vom Output des Gerätes in den Input der Box gehen. Man verwendet im Multieffektgerät die Ampsimulation, kann aber in der Box auch auf verschiedene digital erzeugte Boxensimulationen aufrufen. Bei diesen Boxen handelt es sich nicht um Gitarrenboxen im eigentlichen Sinn, diese übertragen nur Frequenzen bis rund 9000 Hz, sondern um Full-Range Boxen, die für den gesamten Frequenzbereich ausgelegt sind, wie etwa normale PA-Boxen. Dadurch können sie etwa auch Signale von Westerngitarren etc. übertragen. 

Auch gern genutzt wird das Multieffektgerät vor einer Gitarrenendstufe mit Gitarrenbox. Das hat den Vorteil, dass man trotz digitaler Klangerzeugung ein gutes Feeling für den Verstärker vermittelt bekommt. Auch wenn die digitalen Lösungen genau in diesem Bereich oft noch Schwächen haben.

In den Effektweg des Multieffektes lassen sich weitere Effekte einschleifen. Gefällt einem der Hall des Gerätes nicht oder hat man einen Effekt, der in dem Gerät gar nicht vorhanden ist und möchte ihn an einer bestimmten Stelle des virtuellen Signalweges nutzen, kann man sein Hallgerät oder diesen Effekt über den Effektweg nutzen. Effekt Send in den Input, den Output an den Effekt Return, den Effektweg einschalten, fertig. Bei vielen Multieffekten kann man die Position des Eingeschliffenen Effektes sogar einstellen. Man kann den Hall etwa am Ende der Effektkette platzieren.

Zur Bedienung auf der Bühne oder im Proberaum verfügt ein Multieffektgerät über eine Reihe von Fußschaltern und sehr oft auch über ein Pedal, manchmal sogar zwei Pedale, denen man Parameter zuweisen kann. So kann man die Lautstärke mit dem einen und das WahWah mit dem anderen Pedal bedienen. 

Die meisten Fußschalter können programmiert werden. Bei jedem Sound könnten sie mit anderen Funktionen ausgestattet werden. Je mehr es sind, destoi besser ist es, weil man so Doppelbelegungen vermeidet. Man sollte mit dem Fuß die Sounds umschalten können. Diese sind oft in Bänken zusammengefasst. Ein Sound der A6 heißt liegt in der Bank A auf Platz 6. Man muss dann die Bänke und auch die Nummern schalten können, um möglichst schnell von einem zum anderen Sound zu kommen. Sind die Sounds einfach nur durchnummeriert, kann man sie sich so zusammenbasteln, dass man während eines Auftrittes immer nur einen Sound nach oben schalten muss um den nächsten Sound, der benötigt wird, zu erhalten. 

Viele Multieffekte kann man aber auch so schalten, dass Man einem Sound verschiedene Effekte zuordnet. Man hat also einen Verstärker eingestellt und kann nun mit den Tasten von einem Kanal des Verstärkers zum anderen, verschiedene Verzerrer davor aktivieren, Chorus dazu schalten, Echos und Hall anwählen etc. Man hat also im Prinzip zu dem Verstärker ein Pedalboard direkt verfügbar. 

Zusätzliche Taster (oder oft Doppelfunktionen/zwei Tasten gleichzeitig) schalten den Tuner ein und schalten den Rest des Gerätes stumm oder stellen 

Weniger ist oft mehr: Dieses Prinzip gilt gerade bei den Multi-Effektgeräten. Natürlich ist dies auch bei allen anderen Effekten der Fall. Nur sind bei Multi-Effektgeräten viele Effekte gleichzeitig kombinierbar, was leicht zur Überladung des Sounds führen kann. Empfohlene Betrachtungsweise für die Effekte: Sie sind das Salz in der Suppe! Dezenter Einsatz ist gefragt, wenn nicht der Effekt etwas Besonderes erreichen soll (oft bei Tom Morello zu beobachten).

Bekannte Hersteller von Bodeneffektgeräten: Digitech, Zoom, Korg, Boss, Vox, Line6

==Rack Effektgeräte==
Man kann sie in 19&quot; Racks (weltweiter Standard) einbauen und muss zur Steuerung noch eine externe (Midi-)Schaltleiste anschließen, um sie zu bedienen. In den 80er Jahren war der Andrang groß, weil viele wie Ihre Idole klingen wollten.
Der Haken war der sehr hohe Preis (manchmal über 50.000€ für ein Rack!). Ein berühmter Rackbauer und auch Pionier auf diesem Gebiet ist Bob Bradshaw, welcher für viele Gitarristen ein System zusammengestellt hatte.
Die Qualität ist natürlich viel höher als bei den Boden-Multi-Effektgeräten.
Teilweise wurden mehrere Verstärker und hiermit verbundene Effektgeräte mit nur einem Tritt auf einen Schalter gewechselt,
die Vorteile liegen auf der Hand. 
In einem Rack waren jeweils Vorstufe, Verzerrer, mehrere Effekte, Equalizer und Endstufe zusammengefasst. Ein eingebauter Lüfter hinter und manchmal auch zwischen den Geräten sorgte für die benötigte Kühlung.

'''19&quot; Rack''' : [http://de.wikipedia.org/wiki/Rack]

==Verzerrer==

Verzerrer ist eine Art Oberbegriff für verschiedene Arten von Effekten, die entweder selber eine Verzerrung erzeugen oder durch ihren Einsatz den Verstärker dazu bewegen, selber in den Verzerrungsbereich zu gehen. Diese Verzerrer bekommt man als einzelnes Effekt-Pedal oder in einem Multieffektgerät implementiert. Sie können entweder analog oder auch digital arbeiten. Im digitalen Fall wird zunächst das Eingangssignal in ein digitales Signal umgewandelt, dieses Signal bearbeitet und am Ende der Effektkette wieder in ein analoges Signal zurückgewandelt.

Verzerrung entsteht, wenn man ein elektronisches Bauteil übersteuert. Der Eingangspegel ist also so hoch, dass das Bauteil diesen nicht mehr verarbeiten kann. Der Pegel wird also in seinen Spitzen abgeschnitten. Aus der gleichmäßigen Welle werden also die höchsten Ausschläge nicht mehr bearbeitet. Röhren setzen langsam mit dieser Begrenzung ein, was zur Folge hat, dass die Verzerrung sehr harmonisch ist und Obertöne zu der Welle hinzugefügt werden. Andere Bauteile, wie etwa Transistoren schneiden die Welle einfach ab, es kommt zu einer sehr „kaputt“ klingenden Verzerrung (was gewollt sein kann, siehe Fuzz-Pedale). 

Zusätzlich zu der Verzerrung wird auch die Dynamik des Signales reduziert, da die Spitzen des Pegels reduziert werden. Das Signal wird komprimiert. Je mehr Verzerrung man hat, desto mehr wird das Signal auch komprimiert.

===Geschichte===

Vielleicht etwas Geschichte vorweg. Gitarrenverstärker gibt es etwa seit den 1930 Jahren. Sie waren so konzipiert, dass sie eben nicht verzerren, sondern das Signal aus der Gitarre möglichst sauber wiedergaben. Sie sollten eben einfach lauter werden, um sich gegen andere Instrumente, wie etwa das Schlagzeug, durchsetzen zu können.

In der 1950er Jahren wurden die Bands lauter. Es entwickelte sich der Rock’n’Roll und seiner verwandten Genres. Dazu wurden die Verstärker immer weiter aufgedreht, bis sie schließlich bei immer höherer Laustärke begannen, harmonisch zu verzerren, weil Vor- und/oder Endstufe überlastet waren. Genau dieser Sound wurde dann auch von vielen Gitarristen gewünscht und genutzt. Das hatte allerdings den Nachteil, dass die Verstärker sehr sehr laut waren und die anderen Instrumente dagegenhalten mussten.

Mit der Entwicklung der Transistor-Technik kam man aber schnell auf die Idee, dass man Transistoren ja auch übersteuern kann. Heraus kamen die ersten Fuzz-Pedale, wie etwas das Maestro FZ-1 Fuzztone, allen bekannt von dem Song „I can get no Satisfaction“ von den Rolling Stones. Keith Richards soll den Sound dieses damals gerade erst erschienenen Effekts gar nicht gemocht haben, die anderen Bandmitglieder sollen sich aber durchgesetzt haben. Die Fuzz-Pedale erfreuten sich schnell großer Beliebtheit und verbreiteten sich rasch. 

Da der Sound der Fuzz-Pedale sehr harsch ist, man nannte den Sound auch Kreissäge oder Rasierapparat, suchte man aber nach einer Verzerrung, die weicher und harmonischer klang. Eben wie eine weit aufgerissener Röhrenverstärker. So kamen die ersten Overdrive-Pedale in den späten 1970er Jahren auf den Markt, die diesen Sound simulieren sollten. Nur wenig später wurden dann auch die ersten Distortion-Pedale entwickelt, deren Verzerrung deutlich höher war, als die der Overdrive-Pedale und den Sound eines stark verzerrenden Röhren-Amps simulierten.

===Booster===

Booster erzeugen normalerweise selber gar keine Verzerrung, sondern verstärken (boosten) das Signal der Gitarre einfach. Das nennt man dann etwa Clean-Boost, Pure-Boost, Linear-Boost oder ähnlich. Der Sinn des Ganzen ist, den nachgeschalteten Verstärker zu übersteuern und in die Sättigung zu bringen. Vor einem Clean eigestellten Röhrenverstärker eingesetzt kann man per Fußtritt eine Pegelanhebung um 20 dB und mehr erreichen, dass der Amp nun einen verzerrten Sound (Crunch) hat. Man macht so aus einem einkanaligen Amp einen Zweikanäler.
 
Vor einem schon verzerrt eingestellten Amp hebt der Booster die Verzerrung noch einmal an, so dass man aus einem Crunch-Kanal einen Lead-Kanal machen kann. 

Viele nutzen den Booster auch dafür, die Unterschiede zweier Gitarren im Output-Level anzugleichen. Eine Gitarre mit Single-Coil Tonabnehmern hat oft deutlich weniger Output, als eine mit Humbuckern. Ein Tritt auf den Booster gleicht diesen Unterschied aus.

Für die eben beschriebenen Funktionen reicht ein Regler aus, der mit Volume oder Gain beschriftet ist und die Stärke der Signalanhebung regelt. Viele Booster greifen aber auch aktiv in das Klanggeschehen ein. Treble-Booster gibt es schon viel Länger als Clean-Booster. Sie sollen die Höhen verstärken, um den Sound aggressiver zu machen. Brian May, Rory Gallagher, Toni Iommi, David Evens (The Edge) und Rickie Blackmore zum Beispiel nutzen für ihre Sounds Treble Booster (um nur einige zu nennen). 

Moderne Booster sind aber nicht auf Treble- oder Mid-Boost beschränkt. Viele bieten einen Equalizer um den Sound in die richtige Richtung zu bringen. So kann man nicht nur einen Verstärker zu übersteuern bringen, sondern auch noch dessen Sound beeinflussen, dass man tatsächlich einen Kanal dazu gewinnt.  

Manche Gitarristen lassen den Booster auch die ganze Zeit eingeschaltet, weil sie mit dem Booster und dessen Klangregelung aus ihrem Amp den besten Sound herauskitzeln. 

Mit einem Booster lassen sich auch andere Verzerrerpedale „anblasen“. Leider geht das nicht mit allen Pedalen. Viele vertragen den Boost nicht so gut. Es lohnt sich allerdings, hier unterschiedliche Settings einmal auszuprobieren. 

===Overdrive===

Overdrive-Pedale sollen vor dem Verstärker den Sound eines übersteuerten Röhren-Verstärkers erzeugen und so verzerrte Sounds auch bei geringeren Lautstärken möglich machen. Zudem wird auch der Gitarrensound in der Regel durch eine Klangregelung beeinflusst. Dabei gibt es aber Unterschiede, die zunächst beschrieben werden sollen.

Die klassischen Overdrive-Pedale lieferten zu dem verzerrten Sound auch einen Mid-Boost (auch gerne Mittennase genannt), also eine deutliche Verstärkung im Bereich der Mitten. Das war so auch tatsächlich von vielen Gitarristen so gewünscht, damit sich der Gitarrensound im Bandkontext gut durchsetzt. Dagegen gibt es aber auch sogenannte transparente Overdrives, die eben diesen Mittenboost nicht haben. Sie werden auch Natural-Overdrives genannt. Bestes Beispiel für ein Overdrive Pedal mit Mid-Boost ist der Tube-Screamer von Ibanez, der Klassiker unter den Overdrive-Pedalen. Dagegen ein gutes Beispiel für ein transparentes Overdive Pedal ist Nobels ODR-1, das sich schon seit langer Zeit großer Beliebtheit erfreut. 

Ein wichtiges Qualitätsmerkmal bei einem Overdrive ist die Dynamik, das heißt, wie spricht er auf den Anschlag des Gitarristen an. Setzt er das Phrasing des Gitarristen auch um. Haben leise Passagen auch den gleichen Charakter wie die lauten und passt das Pedal die Verzerrung auch genau an. Bei leisem Spiel kann das Pedal den Ton auch unverzerrt wiedergeben. Wird man langsam lauter geht es langsam in die Verzerrung. Dabei ist der Anschlag verzerrt, klingt der Ton ab, hört auch die Verzerrung auf. Der Verzerrer sollte sich so verhalten, wie es auch ein Röhrenverstärker tun würde.

Ein Overdrive-Pedal sollte den Klang der Gitarre auch mit Verzerrung klar übernehmen und nicht durch seinen eigenen Sound überdecken. Es muss immer deutlich hörbar sein, welche Gitarre an den Verzerrer angeschlossen ist. Eine Telecaster sollte also mit Verzerrung auch weiter als Telecaster identifizierbar und von einer Les Paul eindeutig zu unterscheiden sein.

In der Regel sind Overdrive-Pedale mit einem Regler für Gain (oder Drive), einem für Volume und einer Klangregelung ausgestattet. Gain regelt dabei den Grad der Verzerrung und Volume den Ausgangspegel. Die Klangregelung begnügt sich ganz oft nur mit einem Tone-Regler. Der kann aber von Firma zu Firma ganz unterschiedlich auf den Sound einwirken. Manche sind nur High-Cut-Filter, mit denen man die Höhen beschneiden kann, damit die Verzerrung nicht zu aggressiv klingt. Besser ausgestattete Pedale haben einen Dreibändigen Equalizer, ähnlich dem am Verstärker, mit Regler für Höhen, Mitten und Bässe. Damit lässt sich der Sound dann schon sehr komfortabel anpassen. Zudem muss das Overdrive-Pedal auch mit Dem Volume-Regler der Gitarre interagieren. Auch hier kommt es darauf an, dass das Soundverhalten des Pedals genau wie das Soundverhalten eines übersteuerten Röhrenverstärkers ist. 

Für ein Overdrive-Pedal gibt es mehrere Anwendungsmöglichkeiten. Zunächst kann man es auch als Booster einsetzen. Klassische Einstellung ist Gain auf Null und Volume auf 10. Dabei kann man natürlich mit der Einstellung experimentieren. John Petrucci von Dream Theatre hat vor seinem Mesa Boogie Rectifier (Verstärker) einen Ibanez Tube Screamer mit genau dieser Einstellung geschaltet. Der Tube Screamer bläst den Amp nochmal extra an, bringt ihn noch mehr in die Sättigung, und der Tube Screamer gibt dem Signal noch die typischen Mitten mit, was den Sound wärmer macht. 

Die ursprüngliche und beliebteste Verwendung eines Overdrive-Pedals ist die Funktion als zweite Zerrstufe für den Amp. Das heißt, dass am Amp ein verzerrter Sound eingestellt ist und der Overdrive seine Verzerrung mit dem des Amps kombiniert. Dabei kann der Sound des Amps oder auch der Sound des Verzerrers dominierend sein. Durch viel testen und ausprobieren kommt man zu besonderen Ergebnissen. Aus dem Crunch-Sound des Amps kann mittels Overdrive zum Beispiel ein Lead-Sound werden, oder der Crunch Sound aus der Strophe wird im Refrain mit dem Overdrive mit reichlich Druck ausgestattet. Die Möglichkeiten sind sehr vielfältig. Es ist keine schlechte Idee, sich für die Soundbasteleien mit Amp und Pedal viel Zeit zu nehmen. Viele Pedale, etwa die meisten von der Firma Boss oder MXR sind auf eine solche Verwendung ausgelegt. Für sich alleine klingen sie oft recht stark nach Transistor. Dafür spielen sie ihre Stärken in Verbindung mit dem Amp voll aus. 

Viele Gitarristen setzen ihre Overdrive-Pedale aus vor dem Clean eingestellten Verstärker ein. Sie erzeugen also die komplette Verzerrung mit Pedalen. Dazu suchen sie sich natürlich Pedale aus, die einen sehr natürlichen Sound haben. Es kommt bei dieser Verwendung also darauf an, die in Frage kommenden Geräte ausgiebig zu testen. So kommt man auf einfache Weise zu seinem Wunschsound.

Wichtige Overdrive Pedale:
* Ibanez TS 1 Tube Screamer
* BOSS OD 1 Overdrive
* Nobels ODR 1
* Fulltone OCD
* BOSS BD 1 Blues Driver

===Distortion===

Distortion Pedale entstanden schon kurz nach der Einführung von Overdrive-Pedalen. Der Wunsch war noch mehr Verzerrung und ein aggressiver, dreckiger Sound. Dabei werden die Mitten nicht geboostet, wie man es vom Overdrive kennt. Die Regler sind die gleichen, wie beim Overdrive, Gain, Volume und Klangregelung und werden auch genauso verwendet.

Wichtigstes Qualitätsmerkmal des Distortion ist, dass der Sound nicht matschig klingen darf. Schlägt man einen Akkord an, so muss man den Akkord auch deutlich heraushören können. Ist dies nicht der Fall, kann es daran liegen, dass das Eingangssignal zu viel Bässe hat, denn die Bässe neigen als erstes zum matschen, oder das Pedal ist für den Grad der Verzerrung nicht mehr geeignet.

Noch heikler wird es für das Pedal, muss es Akkorde auflösen. Werden Akkordtöne kurz nacheinander gespielt und stehen gelassen, muss man sie im Ohr genau voneinander trennen können. Schafft das Pedal  das nicht, hilft nur weniger Gain.

Da Distortion-Pedal bei hohen Verzerrungsgraden gerne viele Nebengeräusche produzieren, setzten viele Gitarristen nach dem Distortion Pedal ein Noise-Gate ein. Dieses wird dann so eingestellt, dass es genau bei dem Pegel, den das Pedal an Störgeräuschen erzeugt, den Signalfluss unterbindet. Das Noise-Gate setzt den Pegel dann also auf Null, so dass in den Spielpausen des Gitarristen der Amp stumm bleibt. Eine Distortion-Pedal haben genau deswegen schon ein solches Noisegate eingebaut.

Als Booster werden Distortion-Pedale selten eingesetzt, oft aber als Verzerrer vor einem Clean eingestellten Amp oder als zweite Zerrstufe, also beides Anwendungen, die wir schon vom Overdrive kennen. Auch hier lohnt es sich viel auszuprobieren und zu testen.

Wichtige Distortion Pedale:
* Boss DS-1 
* ProCo Rat
* Suhr Riot
* MXR Distortion Plus

===Metal-Distortion===

Metal-Pedale sind im Grunde nichts Anderes als Distortion-Pedale, die eine noch heftigere Verzerrung bieten. In der Regel haben sie auch eine umfangreichere Klangregelung, denn im Metal sind andere Sounds gefordert als im Rock, auch wenn man keine klare Grenze ziehen kann. Auch haben die verschiedenen Untergenres im Metal teils deutlich unterschiedliche Klangvorstellungen. Und diesen Klangvorstellungen werden die Metal-Pedale dann gerecht.

Metal-Pedale klingen im Vergleich zu Distortion-Pedalen oft synthetischer. Kreissäge, Rasierer oder ähnliches werden oft zum Vergleich angeführt. Die warmen Rocksounds sind nicht zu erwarten, so kommt es vielfach auf die Mitten an, denn die sind für den warmen Sound verantwortlich. So eine typische Trash-Metal Equalizer-Einstellung wäre Bässe rein, Mitten raus, Höhen rein. Für die Bässe wäre es dann noch gut, wenn der Equalizer hinter der Zerre liegt, um matschen zu vermeiden. Mid-Scoop-Sound nennt man das.

Eine Pedale bieten eben für die Bearbeitung der Mitten einen besonderen Regler an, der es ermöglicht, die Ansatzfrequenz der Mitten einzustellen, einen semi-parametrischen Equalizer für die Mid-Frequenzen. Ein Normaler Mitteregler setzt bei einer ganz bestimmten Frequenz an und erhöht oder senkt diese und die benachbarten Frequenzen je nach Einstellung. Diesen Ansatzpunkt kann man bei semi-parametrischen Equalizern nach in der Frequenz oben oder nach unten schieben, sodass man seinen Regelbereich, den es zu erhöhen oder zu senken gilt in einem gewissen Rahmen wählen kann. Man sucht also erst einmal die Stelle im Frequenzband, die am stärksten den Sound beeinflusst oder stört und hebt dann erst an oder senkt ab. Ein gutes Werkzeug für Metal-Gitarristen. 

Es gibt Metal Distortion Pedale, die ganz prägend für bestimmte Stilrichtungen des Metal waren oder sind. Bekannt ist zum Beispiel das HM 2 von Boss, dass den Sound des schwedischen Death-Metal prägte. Entombed oder Dismember sind bekannte Beispiele für Bands, die mit diesem Pedal arbeiteten. 

Möchte man seinem Sound doch ein wenig Leben einhauchen, dann setzt man das Metal-Pedal vor einem nur leicht verzerrten Amp ein. Wenn der Amp dann noch schön röhrig warm kling, dann bekommt man gute Ergebnisse.

Wichtige Metal-Distortion Pedale:
* Boss HM 1 Heavy Metal
* Boss MT 2 Metal Zone
* MXR Fulbore Distortion
* Blackstar LT-Metal
* TC-Electronic Dark Matter

===Fuzz===

Die älteste Möglichkeit, seinen Gitarrensound zu verzerren ist das Fuzz-Pedal oder die Fuzz-Box. Anfang der 60er Jahre kam die Transistortechnik auf und schon schnell merkte man, dass man Transistoren wie Röhren übersteuern kann. Heraus kam allerding kein schöner, warmer Sound, sondern alles klang, als wäre irgendetwas kaputt. 

So klingt ein Fuzz noch heute, irgendwie kaputt, nicht warm wie ein Röhrenverstärker. Für die Musiker der 60er Jahre war das Fuzz in Verbindung mit dem verzerrten Amp die Möglichkeit, schöne verzerrte Sound herzustellen. Led Zeppelin, Jimi Hendrix, Pink Floyd um nur einige zu nennen, setzten Fuzz Pedale immer gerne ein.

Beschäftigt man sich mit Fuzz-Pedalen, landet man sehr schnell bei der Frage, die Gitarristen häufig und heftig diskutieren, nämlich ob man Silizium oder Germanium Transistoren in ein Fuzz-Pedal verbauen sollte. Wie so oft kann man die Frage ganz einfach beantworten, denn es ist einzig und allein Geschmacksache. Germanium-Transistoren klingen wärmer und nicht ganz so kaputt, Silizium-Transistoren erzeugen den deutlich aggressiveren Sound. Beide Arte von Transistoren sind seit langen im Einsatz und erzeugen auf sehr vielen Bühnen großartige Sounds.

Bei den Reglern finden wir auch bei den Fuzz-Pedalen nichts Neues. Gain, Volume und eine Klangregelung.

Wichtige Fuzz Pedale
* Electro-Harmonix Big Muff π
* Maestro FZ 1
* Dunlop Fuzzface
* British Pedal Company Tone Bender

===Amp in a Box===

Die neueste Art des Overdrive-Effektes sind die sogenannten Amp-in-a-Box Effekte. Sie sollen den Sound eines bestimmten Amps simulieren und so den eigentlichen Amp ersetzen können. Dabei gibt es analoge Pedale, die zum Teil erstaunlich Nahe an diese Soundvorstellungen herankommen. Neu und im Trend sind digital simulierte Amps. Auch diese digitalen Effekte bekommt man mittlerweile in Pedalform, vom Mini-Pedal, das nur einen Amp simulieren kann, bis zu größeren Pedalen, die gleich ein ganzes Arsenal von Amps anbieten.

Amp in a Box Pedale kann man wie andere Verzerrerpedale einsetzen. Vor dem clean eingestellten Amp simulieren sie das Ampmodell für das sie gebaut worden sind. Das Signal wird allerdings durch den Vorverstärker des Amps natürlich auch gefärbt. Auch vor einem verzerrt eingestellten Amp kann man gute Ergebnisse erzielen, die dann natürlich nicht mehr so deutlich nach dem vorgeschalteten Amp klingen. Möchte man den Vorverstärker seines Amps nicht in der Signalkette haben, dann kann man den Amp in a Box einfach an den Effekt-Return des Amps anschließen und das Signal geht direkt in die Endstufe des Amps. 

Noch einfacher kann man den Ausgang Amp in a Box auch mit einer Boxensimulation verbinden und dann direkt ins Mischpult gehen. Manche dieser Pedale bieten auch gleich Boxensimulationen mit ab, so dass auch das direkte Einspeisen des Signals in das Mischpult nötig ist. Eine solche Lösung kann auch ein Backup sein, also eine Reserve-Verstärker, wenn der Hauptverstärker bei einem Gig abraucht. Besser so als gar nicht. 

===Anschluss von Verzerrer-Pedalen===

Auf vielen Effektboards von Gitarristen findet man die Verzerrer von wenig nach viel Verzerrung angeordnet. Also zuerst der Booster, dann das Overdrive-Pedal und schließlich Distortion oder Fuzz. Der Sinn dahinter ist, dass man mit dem Booster auch das Overdrive oder Distortion Pedal anblasen kann. Gleiches Gilt für Overdrive und Distortion. Von der Technik ist es wie vor einem Amp. Man erhöht den Pegel des Signals (Booster) um aus dem Overdrive mehr Verzerrung herauszukitzeln. So kann man von Rhythmus-Sounds zu Lead-Sounds kommen.

Oft sieht man den Booster auch hinter den anderen Verzerrern. Man schaltet damit eine höhere Laustärke, wenn man beispielsweise ein Solo spielt. Auch ein Overdrive mit dem fest ganz heruntergeregeltem Gain-Regler macht hinter den anderen Verzerrern Sinn. Man kann seinem Sound am Ende noch mal einen schönen Mid-Boost geben, wenn man möchte. Man wird also noch einmal flexibler.

Vor Band in a Box Pedalen kann man auch die verschiedenen anderen Verzerrer schalten und sie so einsetzen, als würden sie vor einem ausgewachsenen Verstärker geschaltet werden. 

Manche Verstärker vertragen sich leider nicht so gut mit Verzerrerpedalen. Manchmal sind es nur einzelne Pedale, die der Verstärker nicht mag, manchmal eher alle. Röhrenverstärker sind da meistens pflegeleichter. Der Anschluss der Pedale ist meist kein Problem, Transistorverstärker sind das schon empfindlicher, was den Anschluss von Verzerrern angeht und digital arbeitende Verstärker mögen oft gar keine vorgeschalteten Verzerrer. Das kann man durch ausprobieren leicht herausfinden. Bei clean eingestellten Verstärkern ist das Problem etwas seltener, will man ein Pedal mit dem verzerrten Amp interagieren lassen, kommt es häufiger vor, das sich Amp und Verzerrer nicht vertragen und mein keinen brauchbaren Sound einstellen kann. Wie gesagt, testen hilft.

==Hallfedern==
Kein richtiges Effektgerät, jedoch oft in Verstärkern eingebaut, um Hall (Räumlichkeit, Nachhall) auf analogem Weg zu erzeugen.
Hierzu befinden sich mehrere metallische Federn in einem Gehäuse. Das Tonsignal durchläuft die Federn und durch diese Verzögerung entsteht der Halleffekt.

Mehr Info :[http://de.wikipedia.org/wiki/Hallger%C3%A4t]

=Hall und Echo=
Um akustische Akkordpassagen oder Sololäufe etwas voller klingen zu lassen, bedienen sich viele Gitarristen eines Hall- oder Echo-Effektes. Die Unterschiede zwischen Hall und Echo sind nicht allzu groß. Das Echo wiederholt die Töne zeitversetzt, der Hall lässt die Töne länger nachklingen.

Speziell mit dem Echo ist es möglich, mit einer einzigen Gitarre mehrstimmige Melodiepassagen zu spielen. Dafür muss die Wiederholungs-Rate entsprechend lang eingestellt werden, so dass die bereits gespielten Töne zeitversetzt nochmals erklingen. Besonders in Kombination mit [[Gitarre: Arpeggios|Arpeggios]] können auf diese Weise erstaunlich professionell klingende Melodieläufe entworfen werden. Will man das Ganze in einem Lied einsetzen, so muss die Wiederholungs-Rate des Echos natürlich an die Geschwindigkeit des Liedes angepasst werden.

=Chorus und Flanger=
[[Bild:Gitarren-Bodeneffektgerät Ibanez CF7.jpg|thumb|Ibanez CF7 Bodeneffektgerät Chorus/Flanger]]
Der Chorus ist ein Standard-Effekt, der bei vielen bekannten Gitarristen ein fester Bestandteil ihres Sounds ist. Chorus bedeutet, dass der Effekt den gespielten Ton mit zusätzlichen Tönen in einer leicht abweichenden Tonhöhe anreichert. Er lässt die Gitarre etwas fetter klingen, da der Zuhörer den Eindruck hat, dass mehrere Gitarren das Gleiche spielen (so wie bei einem Chor). Sehr oft wird der Chorus im Stereobetrieb benutzt, hierzu sind auch die meisten Pedale mit 2 Ausgängen versehen.

Ein Flanger erzeugt einen Sound, der meist mit dem eines vorbeifliegenden Flugzeugs verglichen wird, wenn die Modulationsgeschwindigkeit auf langsam eingestellt ist. Dabei wird eine Kopie des Signals zusätzlich zum Original mit einer Zeitverzögerung eingemischt, wobei der zeitliche Abstand von Originalsignal zu Kopie ständig variiert wird. Es handelt sich somit um eine Art Delay mit ständig wechselnder Länge. Die Verzögerung schwankt dabei meist zwischen ca. 1 bis 10&amp;nbsp;ms. Durch Einmischen des so modulierten Signals in das Originalsignal (Rückkopplung) kann der Effekt zusätzlich an Tiefe gewinnen.Mit dem Flanger wird auch oft ein Pseudo-Stereosignal erzeugt, in dem man die Zeitverzögerungen für den linken und rechten Kanal gegeneinander Phasenweise veschiebt.
&lt;br clear=&quot;all&quot; /&gt;

=Arpeggiator=
Hier handelt es sich um einen Effekt, der aus einzelnen Tönen Akkorde generiert. Damit dies überhaupt korrekt funktionieren kann, muss am Arpeggiator stets die Tonart eingestellt werden, in der man sich befindet. Zudem ist es unerlässlich, dass die Gitarre absolut akkurat gestimmt ist, sonst hört sich dieser Effekt nur wie &quot;Katzengejammer&quot; an!

=Oktaver=
Der Oktaver erzeugt zusätzlich zum gespielten Ton einen zweiten Ton, der je nach Einstellung eine Oktave höher oder tiefer liegt. Oft ist es auch möglich, den gespielten Ton durch den erzeugten zu ersetzen, so dass eine Gitarre wie ein Bass klingen kann (wie zum Beispiel bei Seven Nation Army von den White Stripes).
Die Einstellung mit einer Oktave höher wird als 12-saitiger Gitarren-Ersatz benutzt, wobei im Gegensatz zur echten 12-saitigen Gitarre die hohe E- und H-Saite auch eine Oktave erhöht werden.

=Tremolo=
Der Tremolo-Effekt variiert die Lautstärke der Gitarre in der eingestellten Geschwindigkeit.

=Pitch-Shifter=
Mit Hilfe dieses Effekts lässt sich die Gitarre auf elektronischem Wege um ein beliebig viele Halbtöne (meistens +/-12) nach oben oder unten verstimmtes Signal erweitern, ähnlich wie bei dem Oktaver, aber jetzt in einzelnen Halbtonschritten (z.B. um eine Quinte oder Quarte erhöht). 
Sehr oft wird der Effekt verwendet, um zweistimmige Melodien zu spielen, wofür man sonst einen zusätzlichen Gitarristen bräuchte.
Dieser Effekt wird eher selten auf der Bühne oder im Studio eingesetzt, da eine reelle 2te Gitarre einfach wesentlich besser klingt. Ausnahmen gibt es natürlich, z.B. Steve Vai benutzt den Effekt gerne.
Eine weitere Benutzungsvariante ist der &quot;Detune&quot; (= verstimmt) Modus. Hierzu wird nur geringfügig vom 2ten Signal Gebrauch gemacht, und auch meistens nur 1 Halbton verstimmt.

=WahWah=
[[Image:BOSS PW-10 V-Wah pedal.jpg|right|thumb|WahWah-Pedal]]
Nach der Verzerrung ist der Wah-Wah-Effekt wohl zweifelsfrei der beliebteste und meistgespielte Effekt den es gibt.

Der WahWah Effekt wird meist vom Gitarristen selber über ein Fußpedal gesteuert. Moderne Multieffektgeräte bieten meist ein sog. Auto-WahWah an, das aber vom Klang als auch von den Möglichkeiten dem manuellen WahWah in Form eines Fußpedals weit unterlegen ist. Es gibt aber einige 19-Zoll-Multieffektgeräte, die den Anschluss eines Midi-Fußpedals erlauben, und somit auch eine größere Kontrolle über den Klang. Bei einigen 19-Zöllern ist der Klang so gut, dass er kaum von den herkömmlichen WahWahs zu unterscheiden ist.

Der Name WahWah ist dabei eigentlich selbsterklärend, es ist die phonetische Schreibweise des Klangs der durch einen WahWah-Effekt erreicht werden kann (im Deutschen 'uWahuWah')
&lt;br clear=&quot;all&quot; /&gt;

== Funktion von WahWah ==

(Diese Erläuterung bezieht sich auf Fußpedale)

Anhand eines am Pedal angebrachten Druckschalters lässt sich der WahWah-Effekt ein- und ausschalten. Hierzu wird das Pedal lediglich einmal ganz durchgetreten um ein- oder auszuschalten. Mittlerweile sind aber auch Pedale mit sog. ''silent &quot;auto-off&quot;'' Funktionen erhältlich, bei denen der WahWah-Effekt allein durch Berühren bzw. Nicht-Berühren des Pedals ein und ausgeschaltet werden kann.

Im Pedal ist ein Verstärker verbaut, der je nach Stellung des Pedals bestimmte Frequenzen anhebt, also verstärkt, während andere wiederum abgesenkt werden.

Zum Beispiel werden bei flacher Pedalstellung die hohen Mitten und insbesondere Höhen verstärkt, während tiefe Mitten und Bässe abgesenkt werden. Je weiter nun das Pedal geneigt wird, desto mehr tiefe Frequenzen werden verstärkt, wobei gleichzeitig mehr und mehr Höhen und hohe Mitten abgesenkt werden.

Man könnte also von einem parametrischen Equalizer sprechen.

Neuere Effektpedale bieten die Möglichkeit, verschiedene Parameter wie beispielsweise die Breite des zu verstärkenden Frequenzbandes oder den Grad der Verstärkung zu manipulieren, und bieten somit ein ziemlich breites Spektrum an unterschiedlichen Gitarrensounds.

== Einsatz von WahWah ==

Egal ob für markante Soli Einlagen oder ''&quot;easy Reggae-Grooves&quot;'', der WahWah-Effekt ist für fast alle Musikrichtungen interessant. Durch die Möglichkeit ihn als &quot;Quasi-Midboost&quot; zu verwenden, wirkt der Einsatz eines WahWah-Effekts aber anscheinend proportional zur Lautstärke der gesamten Combo.

Aber auch als rein akustisches Hilfsmittel kann ein WahWah-Effekt zum Einsatz kommen. Beispielsweise als sog. ''offenes WahWah'' bei dem ein WahWah-Pedal in einer Stellung arretiert wird.

Dementsprechend breit ist das Spektrum berühmter Musiker, die auf den Einsatz von WahWah Pedalen setzten. Es reicht von Virtuosen wie Jimi Hendrix (wahnsinnig intuitiver Einsatz von WahWah-Effekten bei &quot;Voodoo Chile&quot;) über Großmeister wie Eric Clapton bis hin zu Ausnahmekünstlern wie David Gilmour. Aber auch in der modernen Punk/Rock-Szene (Green Day, Die Ärzte o.ä.) ist sowohl live als auch im Studio immer wieder ein WahWah-Effekt zu hören.

== Spielen mit WahWah ==

Um selber in den Genuss eines WahWah-Effektes zu kommen, bedarf es in erster Linie Geld. Ein einfaches WahWah-Pedal kann gut und gerne 150&amp;nbsp;€ (Stand Juli 2005) kosten. Bei Pedalen in dieser Preiskategorie sollte die Ausgabe allerdings schon eher als Investition auf Lebenszeit gesehen werden, denn WahWah-Pedale sind elektronisch gesehen sehr einfach gestrickt und gelten allgemein als robust und beinahe unverwüstlich.

Anfangs werden viele vom recht kurzen Pedalweg überrascht sein. Um ein WahWah-Pedal richtig zu bedienen, bedarf es ein wenig &quot;Zehenspitzengefühl&quot;. Aber im Großen und Ganzen muss das Spielen mit einem WahWah-Pedal nicht lange erlernt werden sondern gelingt meist schon nach wenigen Minuten intuitiv.

==E-Bow==
{{Wikipedia|E-Bow}}
[[Image:EBow.jpg|100px|left|E-Bow]]
Viele Gitarristen wissen heute gar nicht mehr, was ein E-Bow überhaupt ist! Es handelt sich dabei um ein Gerät, das die Saiten einer E-Gitarre durch Magnetismus zum Schwingen bringt. Damit lässt sich ein sehr geigenähnlicher Sound erzielen, welcher enorm weich klingt.

Man muss dieses batteriebetriebene Gerät einfach nur über eine Saite halten und schon beginnt sie zu schwingen. Damit ist das E-Bow für besonders softe Melodiepassagen bestens geeignet. Zum Beispiel beim Lied &quot;Wonderwall&quot; hört man im Hintergrund ein Cello brummen, aber in Wirklichkeit ist das ein E-Bow.

== Schlussbemerkung ==

Obwohl vom Klang als auch von der Technik wohl einer der eher schlichten Effekte, ist der WahWah-Effekt in seiner Art und in seinen Möglichkeiten so vielfältig wie kein Zweiter.

Kurzum, ein WahWah-Effekt gehört in jeden (E-)Gitarristen Haushalt.

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    <title>Traktorenlexikon: IHC 946</title>
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{{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox
| HERSTELLER = International Harvester
| MODELLREIHE = C-Familie
| MODELL = 946
| BILD = IHC 946.jpg
| BILDBESCHREIBUNG = IHC-946
| BAUWEISE = Halbrahmen/Blockbauweise
| PRODUKTIONSBEGINN = 6/1971
| PRODUKTIONSENDE = 6/1977
| STÜCKZAHL = 4188
| EIGENGEWICHT = 3600 (Allrad: 4000)
| LÄNGE = 3912 (A: 3935)
| BREITE = 2060 (A: 2088)
| HÖHE = 2568
| RADSTAND = 2590 (Allrad: 2560)
| BODENFREIHEIT = 470 (Allrad: 382)
| SPURWEITE = 1560/1644
| SPURWEITE VORNE = 1550+1650
| SPURWEITE HINTEN = 1644+1900
| WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 4610
| WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 5440
| BEREIFUNG VORNE = 7.50-18  (A: 10-24)
| BEREIFUNG HINTEN = 14-34
| LEISTUNG KW = 62,2/65,9
| LEISTUNG PS = 85/90
| NENNDREHZAHL = 2100/2200
| ZYLINDER = 6
| HUBRAUM = 5073
| DREHMOMENTANSTIEG = 
| KRAFTSTOFF = Diesel
| KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung
| ANTRIEBSTYP = Hinterrad- oder Allradantrieb
| GETRIEBE = 12/5-Getriebe
| HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 25 oder 30
| KATEGORIESORTIERUNG = IHC 946
}}

Durch die neue Motorenstraße war es den Neussern möglich, auch große Motoren zu fertigen. 1971 liefen die ersten Sechszylinder-Motoren vom Band. Dabei erhielt das Modell 946 den Sechszylinder-Motor mit 85 PS und kurzem Hub. Da in dieser neuen Leistungsklasse keine großen Stückzahlen zu erwarten waren, verzichtete IH auf ein hauseigenes Getriebe. Im Mai 1974 erhöhte IH die Motorleistung durch eine leichte Drehzahlsteigerung auf 90 PS. 


Der '''946''' ist ein in den 1970er Jahren von [[Traktorenlexikon: IHC|IHC]] (International Harvester Company) in Neuss produzierter Traktor. Die ersten Schlepper dieses Typs heißen '''48 S''' (ohne Allrad) und '''48 AS''' (Allrad). Ab Juli 1972 gebaute Traktoren haben die entsprechende Bezeichnung '''946 S''' und '''946 AS'''.

==Bauart==
* Motor-Getriebeblock mit pendelnder Vorderachse
* Bis 9/1972 hatte der 946 noch einen Halbrahmen, der dann durch die tragende Ölwanne entfiel.

==Motor==  
* IHC, Typ: D-310, stehender, wassergekühlter Viertakt-Sechszylinder-Reihen-Saugmotor mit Direkteinspritzverfahren, hängende Ventile mit Rotocap-System, zahnradgetriebene Nockenwelle, siebenfach-gelagerte Kurbelwelle, Druckumlaufschmierung mittels Zahnradpumpe, Verteiler-Einspritzpumpe mit hydraulischem Regler, Mehrloch-Einspritzdüse, Lanchaster-Balancer, Dreiring-Leichtmetall-Kolben, Trockenluftfilter mit Vorabscheider, Kraftstoff-Doppelfilter mit Wasserabscheider und Zweikreis-Thermostat mit Wabenkühler und Lüfter.


* Höchstleistung = 92 PS oder Dauerleistung = 85 PS bei 2100 U/min.
* Bohrung = 98,4 mm, Hub = 111,1 mm
* Verdichtung = 16:1
* Drehzahlbereich = 650 bis 2310 U/min.
* Max. Drehmoment = 32,3 mkp (= 317 Nm ) bei 1600 U/min.
* Kompressionsdruck = 22 bis 24 kp/cm²
* Mittlere Kolbengeschwindigkeit = 7,80 m/s
* Öldruck = 3,5 bis 3,8 bar
* Mittlerer Effektivdruck = 6,84 bar
* Förderdruck der Kraftstoffpumpe = 5,3 bis 6,0 kp/cm² mit Nenndrehzahl
* Einspritzmenge = 47 mm³/Hub bei Nenndrehzahl
* Max. Einspritzdruck = 205 bis 213 kp/cm²


* Bosch-Verteiler-Einspritzpumpe, Typ: EP VA 6 100 H 1050 CR 78
* Bosch-Mehrloch-Düse, Typ: DLL 150 S 2641
* Bosch-Düsen-Halter, Typ: KBL 90 S 104/4
* Donaldson-Trockenluftfilter, Typ: FVG 06-5107
* Kühler-Lüfter mit sechs Blätter und 500 mm Durchmesser


Ab Mai 1974:
* Dauerleistung = 90 PS bei 2200 U/min. ab Motor-Nummer: 043 113


* Bosch-Verteiler-Einspritzpumpe, Typ: EP VA 6 100 H 1100 CR 21-6


* Einführung der Dreiring-Kolben anstelle der Vierring-Kolben ab 12/1972

==Kupplung== 
* Trockene Zweifachkupplung von Fichtel &amp; Sachs, Typ: DUT 280-295/280
* Fuß betätigte Fahrkupplung und Handhebel betätigte Zapfwellenkupplung

==Getriebe==
* Synchronisiertes ZF-Wechsel-Gruppen-Getriebe, Typ: T-3313
* Wechselgetriebe mit sechs Vorwärts-und fünf Rückwärtsgängen
* Gruppengetriebe in die Bereiche L-H und R unterteilt
* 1. und 2. Gang mit Bolzenschaltung, nicht synchronisiert 
* 12 Vorwärts- und 5 Rückwärtsgänge

Optional mit Kriechgängen
* Schubradgeschaltetes Kriechgang-Getriebe mit zwei Gängen je Gruppe
* 16 Vorwärts-und 7 Rückwärtsgänge


* 25 oder 30 km/h Höchstgeschwindigkeit 
(die 30km-Version lief ab Werk bis zu 40km/h)

==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts==

{| class=&quot;wikitable&quot;
! colspan=&quot;9&quot; | Geschwindigkeiten in km/h&lt;br /&gt;für ZF T-3313, 12/5-Getriebe mit Bereifung 16.9R38, 30-km/h-Getriebeversion
|-
! || colspan=&quot;2&quot; | Kriechgänge || colspan=&quot;6&quot; | Normalgänge
|-
! Gruppe || 1 || 2 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6
|-
| Normal || 1,4 || 2,2 || 3,4 || 5,4 || 8,3 || 12,9 || 20,5 || 29,1
|-
| Zwischen || 1,1 || 1,7 || 2,7 || 4,2 || 6,5 || 10,0 || 16,0 || 22,7
|-
| Rückwärts || 1,5 || 2,3 || 3,6 || 5,6 || 8,8 || 13,5 || 21,5 || –
|}


* Getriebe 16+7

Kriechgruppe-Langsam
* 1.Gang = 1,13 km/h.  (0,314 m/s)
* 2.Gang = 1,45 km/h.  (0,403 m/s)

Kriechgruppe-Schnell
* 1.Gang = 1,77 km/h.  (0,491 m/s)
* 2.Gang = 2,27 km/h.  (0,630 m/s)

Kriechgruppe-Rückwärts
* 1.Gang = 1,52 km/h.  (0,422 m/s)
* 2.Gang = 2,38 km/h.  (0,661 m/s)


Langsame-Gruppe
* 1.Gang = 2,78 km/h.   (0,77 m/s)
* 2.Gang = 4,35 km/h.   (1,21 m/s)
* 3.Gang = 6,75 km/h.   (1,87 m/s)
* 4.Gang = 10,41 km/h.  (2,89 m/s)
* 5.Gang = 16,60 km/h.  (4,61 m/s)
* 6.Gang = 22,98 km/h.  (6,38 m/s)


Schnelle-Gruppe
* 1.Gang = 3,56 km/h.   (0,99 m/s)
* 2.Gang = 5,57 km/h.   (1,55 m/s)
* 3.Gang = 8,65 km/h.   (2,40 m/s)
* 4.Gang = 13,33 km/h.  (3,70 m/s)
* 5.Gang = 21,26 km/h.  (5,90 m/s)
* 6.Gang = 29,42 km/h.  (8,17 m/s)


Rückwärts-Gruppe
* 1.Gang = 3,73 km/h.   (1,036 m/s)
* 2.Gang = 5,85 km/h.   (1,62 m/s)
* 3.Gang = 9,08 km/h.   (2,52 m/s)
* 4.Gang = 14,00 km/h.  (3,89 m/s)
* 5.Gang = 22,32 km/h.  (6,20 m/s)

==Zapfwelle==
* Fahr-unabhängige Motorzapfwelle mit genormten Profil, 1 3/8&quot;- 6 Keile  (Form-A)
* Zweifach schaltbar, 540/min und 1000/min

* 540 U/min. mit 1764 U/min.- Motordrehzahl   ( Leistung = 72,4 PS )
* Oder: 643 U/min. mit Nenndrehzahl    ( Leistung = 81 PS )

* 1000 U/min. mit 1955 U/min.- Motordrehzahl    ( Leistung = 78 PS )
* Oder: 1074 U/min. mit Nenndrehzahl    ( Leistung = 81 PS )

==Bremsen==
* hydraulisch betätigte Trommelbremsen als Betriebsbremse mit Einzelradbremsfunktion und 250 mm Durchmesser
* unabhängige Handbremse (auch als Trommelbremse) mit 250 mm Durchmesser
* Max. mittlere Verzögerung bei 25 km/h. = 4,1 m/s² mit 30 kp-Pedalkraft
* Bremsweg = 6,0 m


* Optional mit Druckluft-Bremsanlage

==Achsen==
* Pendelnd aufgehängte Stahl-Vorderachse bei der Hinterradantrieb-Ausführung
* Optional als Teleskop-Vorderachse, mit Spurweiten von 1550 bis 1822 mm


* Optional als pendelnd aufgehängte ZF-Triebachse, Typ: APL 3050 oder 3052 mit seitlicher Gelenkwelle


* Hinterachse mit Planetengetriebe 
* Optional mit Verstellfelgen, Spurweiten von 1624 bis 2124 mm

* Pedal betätigte, selbstausrückende Differentialsperre


* 946: nichtausziehbare Vorderachse oder ausziehbar um 18&quot;
* 946A: Planetenlenkantriebsachse mit Differential

==Lenkung== 
* Hydrostatische DANFOSS-Lenkung, Typ: Orbitrol-OSPB 100
* Förderleistung des Wechselventils auf 10 bis 12 l/min. eingestellt


* Einführung Lenksteuerpumpe und Tandem-Hydraulikpumpe ohne Mengenteiler ab 7/1972

==Hydrauliksystem und Kraftheber==
* ZF-Regelhydraulik in Blockbauweise, Typ: KR 25 mit Unterlenkerreglung 
* Dreipunktaufhängung der Kategorie II mit Fanghaken
* Überdruckventil des Hauptzylinder auf 200 kp/cm² eingestellt
* Doppelt wirkendes Bosch-Regel-Steuergerät, Typ: HY/SR 10 H 1/175/13
* Schwimmstellung, Zugwiderstands-und Lageregelung
* Hydraulische Transportsicherung durch Senkdrossel
* Bosch-Tandem-Hydraulik-Pumpe, Typ: HY/ZFR 11/8+8 AL 104
* Förderleistung = 27,0 l/min. mit 165 bar  ( max. 175 bar )
* Hydraulikleistung = 13,5 PS

* Durchgehende Hubkraft = 2290 kp
* Max. Hubkraft = 3000 kg


* Einführung der Mischregelung ab 10/1972
* Einführung der Tandempumpe mit erhöhter Förderleistung ab 11/1972
* Einführung der Kategorie III-Fanghaken ab 8/1973
* Einführung der Blattfeder-Unterlenker-Meßwertgeber ab 5/1974
* Einführung Regel-Steuergerät ohne Sicherheitsventil ab 5/1976
* Änderung der Fanghaken und Lastarme auf CONRAD-Schnellkuppler ab 5/1977

==Steuergräte==
* bis zu 6 einfach und doppelt wirkende Steuergeräte

==Elektrische Ausrüstung==
* 12 Volt-Einrichtung nach StVZO

* Bosch-Lichtmaschine, 14 V-28 A 22
* Bosch-Spannungsregler, 14V-AD 1
* Bosch-Anlasser, JD 12 V-4 PS
* Batterie, 12 V-110 Ah
* Beru-Kaltstart-Heizrohr, 12 V-55 A

==Maße und Abmessungen==
Hinterradantrieb-Ausführung
* Länge = 3912  mm
* Breite = 2060  mm
* Höhe = 2568  mm
* Radstand = 2590  mm
* Bodenfreiheit = 470 mm

* Vordere Spurweite = 1550 und 1650 mm  
* Hintere Spurweite = 1644 und 1900 mm


Allrad-Ausführung
* Länge = 3935  mm
* Breite = 2088 mm
* Höhe = 2568  mm
* Radstand = 2560  mm
* Bodenfreiheit = 380  mm


==Gewicht==
* Stützlast am Zugmaul: 1500 kg

Leergewicht:
* IHC 946 : 3750
*IHC 946AS : 4150

===Bereifung===
Standardbereifung-Hinterradantrieb-Ausführung
* Vorne = 7.50-18 AS Front ( Felge = 5,50 F x 18 )
* Hinten = 18,4/15-34 AS   ( Felge = DW 16 x 34 )

Optional:
* Vorne = 7.50-20 AS Front
* Hinten = 15-30, 14-38, 14-34 und 15,5-38 AS


Standardbereifung-Allrad-Ausführung
* Vorne = 10-24 AS
* Hinten = 14-34 AS

Optional:
* Vorne = 11-24 AS
* Hinten = 15-34, 14-38 und 15,5-38 AS


andere Angabe:
* vorne: 7.50R18 .. 12.4R24
* hinten: 16.9R38 .. 16.9R38
* hinten: 18.4R38 .. 18.4R38
* hinten: 18.4R30

==Füllmengen==
* Kraftstoff: ca. 110 l
* Getriebe incl. Hydraulik ohne Allrad = 36 l
* Getriebe incl. Hydraulik mit Allrad = 42 l
* Kühlwasser = 25 l
* Motoröl = 12 l
* Endantrieb der Hinterachse je 7,7 l
* Allrad-Vorderachse = 5,6 l
* Planetengetriebe-Vorderachse je 0,45 l
* Bremsflüssigkeit = 0,4 l

===Verbrauch===
* Optimaler Kraftstoffverbrauch = 166 g/PSh bei 67,6 PS und 1880 U/min.
* Kraftstoffverbrauch = 14,6 kg/h mit Nennleistung und Nenndrehzahl


* bei Vollgas ohne Last ca. 8 l/Std.

==Kabine==
* Fahrerstand mit Sicherheitsrahmen, Komfort-Sitz, linkem Beifahrersitz, Traktormeter, Lade-, Kraftstoff-, Temperatur-und Öldruck-Anzeige
* Auf Wunsch mit Fritzmeier-Verdeck oder Comfort 2000-Kabine (ab 1976)

==Sonderausstattung==
* Frontgewichte ( Koffergewichte )
* inneres Frontgewicht
* Verstellfelgen hinten
* Zusatzsteuergeräte
* Zugpendel
* Rückfahrscheinwerfer
* Druckluftanlage
* Comfort 2000-Kabine (ab 1976)
* Frontlader
* Hitch
* Rückfahreinrichtung
* Zusatzhubzylinder für die Heckhydraulik

==Sonstiges==
* Serien-Nummern = DO3 0701 D 001000 bis DO3 0701 D 005329


* Mit Einführung der Formel-S-Kampagne im Jahr 1972 sind die Felgen weiß
* Ab 1975 geänderte Schriftzüge als schwarze Streifen an der Motorhaube

Durch die unterschiedliche Bereifung, Getriebeüberstzung (wurde innerhalb des Produktionszeitraumes geändert. Siehe auch ABE), unterschiedliche Enddrehzahleinstellung von Werk aus usw., laufen die 946 teilweise tatsächlich mit Werkseinstellung bis über 40km/h.

==Literatur==
* IHC-Traktoren  ( Jürgen Svensson ) Seite 160
* Datenbuch der Schlepper aus Neuss  ( Buschmann/Dittmer/Hood ) Seite 104
* OLDTIMER TRAKTOR Ausgabe 09/2013, Seite 10 ff.

==Weblinks==

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    <title>Vokabeltexte Chinesisch/ Vokabellektionen/ Lektion 259</title>
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        <username>Christian-bauer</username>
        <id>6469</id>
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |黍}}  || shu3 || Radikal Nr. 202 = Hirse, Hirsekorn, Echte Hirse, Panicum miliaceum, Sorghum, Korn, Mais|| [[Datei:黍-order.gif|40px]] [[wikt:en:黍|wiktionary]]
[https://hanziyuan.net/#黍 Etymologie:] [[Datei:黍-oracle.svg|40px]][[Datei:黍-bronze.svg|40px]][[Datei:黍-seal.svg|40px]][[Datei:黍-bigseal.svg|40px]]
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[https://hanziyuan.net/#畟 Etymologie:]
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== Zusammengesetzte Wörter ==

=== 紊 ===
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== Ausdrücke ==

=== 紊 ===
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== Sätze ==

=== 紊 ===
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=== 菽 ===
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== Lückentexte ==
=== [https://ctext.org/liji/ens Das Buch der Riten] ===

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! [https://ctext.org/liji/tan-gong-i/ens  Tan Gong 上 (Teil 1):]  !! Übersetzung James Legge
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| 妇人不 den Hanfgürtel wechseln  ||  Women (in mourning) do not (change) the girdle made of dolichos fibre.
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| 有 neue Opfer 如 die Opfer am ersten Mondtag  ||  When new offerings (of grain or fruits) are presented (beside the body in the coffin), they should be (abundant) like the offerings on the first day of the moon.
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| Nach der Beerdigung, 各以其服 entfernen  ||  When the interment has taken place, everyone should make a change in his mourning dress.
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| ---  || The gutters of the tent-like frame over the coffin should be like the double gutters of a house.
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| 君即位而为 seinen Sarg  ||  When a ruler succeeds to his state, he makes his coffin,
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| 岁一 lackiert 之 und 藏   ||  and thereafter varnishes it once a year, keeping it deposited away.
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| Rückrufe der Toten, öffnen ihrer 齿  ||   Calling the departed back; plugging the teeth open;
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| gerade 足, 饭  ||  keeping the feet straight; filling the mouth;
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| schmücken des Leichnams, Vorhänge in der Halle, 并作  ||  dressing the corpse; and curtaining the hall: these things are set about together.
|}

=== [[:zh:Wikijunior:太阳系/金星|Wikijunior: 太阳系/金星 Sonnensystem/Venus]] ===

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|-
! [[:zh:Wikijunior:太阳系/金星|Wikijunior: 太阳系/金星 Sonnensystem/Venus ]]  !! Übersetzung Christian Bauer
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| 金星 是 由 什么 构成 的？||  Aus was ist die Venus zusammengesetzt
|-
| 金星 的 Zusammensetzung 与 地球 相似，|| Die Zusammensetzung der Venus und die der Erde sind ähnlich.
|-
| 有 festen 的 内 Kern 和 flüssigen 的 外 Kern。|| Sie haben einen festen inneren Kern und einen flüssigen äußeren Kern.
|-
| 金星 的 Mantel 和 Kruste 由 Gestein zusammengesetzt，|| Der Venusmantel und die -Kruste sind aus Gestein zusammengesetzt.
|-
| Kruste 的 上面 有 一 Schicht dichter 的 大气。|| Die Krustenoberfläche besitzt eine Schicht dichter Atmosphäre. 
|-
|   
|-
| 如果 我 站 在 上面 会有 多重？|| Wie schwer wäre ich, wenn ich auf der Venusoberfläche stehen würde? 
|-
| 如果 你 的 Körper-重 是 45 公斤，||  Wenn dein Körpergewicht 45 kg betragen würde
|-
| 那么 你 在 金星 上 就 只 有 36 公斤，|| dann hättest du auf der Venusoberfläche nur 36 kg. 
|-
| Praktisch 的 Differenz 并不是 很大。||  Praktisch ist die Differenz also nicht sehr groß. 
|-
| 你 在 金星 上 的 Gewicht in etwa 是 你 在 地球 上 的 Gewicht 的 9/10|| Dein Gewicht auf der Venusoberfläche ist in etwa 9/10 deines Gewichts auf der Erodoberfläche. 
|}

=== Haenisch: Lehrgang der klassischen chinesischen Schriftsprache === 

第十二課

第十二课

dì shí èr kè

Zwölfte Lektion 
---------------------------
乡村四月

xiāng cūn sì yuè 

In einem ländlichen Dorf im April
---------------------------
ein Bauer 最忙

nóng jiā zuì máng

ist ein Bauer am meisten beschäftigt
---------------------------
_村的四月，是 Bauer 最忙的時節

乡村的四月，是 Bauer 最忙的时节

xiāng cūn de sì yuè, shì nóng jiā zuì máng de shí jié

Der vierte Monat in einem ländlichen Dorf ist die Zeit, in der ein Bauer am meisten beschäftigt ist.
---------------------------
田家少 Muße im 月

tián jiā shǎo xián yuè

Ein Landwirt hat nur wenig Muße im Monat
---------------------------
五月人 ein Vielfaches 忙
wǔ yuè rén bèi máng

Im fünften Monat ist er ein Vielfaches beschäftigt
---------------------------
大麦 bereits gelb

dà mài yǐ huáng

die Gerste ist bereits gelb
---------------------------
Kuckuck-鸟欢 singt

bù gǔ niǎo huān chàng

Der Kuckuck singt freudig
---------------------------
小麦 wird reif

xiǎo mài jiāng shú

der Weizen wird reif
---------------------------
每石 Preis 至二两外

měi shí jià zhì èr liǎng wài

Der Preis für jedes Shi (Trockenmaß für Getreide; 10 dou) erreicht mehr als zwei Tael.
---------------------------
你吃过 köstlich 的 gedämpfte 麦子吗

nǐ chī guò měi wèi de shāo mài zi ma

Hast du die köstlichen gedämpften Klöse gegessen?
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Das nachfolgende [[s:zh:%E9%84%89%E6%9D%91%E5%9B%9B%E6%9C%88 | Gedicht mit Namen 乡村四月]] 
stammt von [[s:zh:Author:%E7%BF%81%E5%8D%B7 Wēng Juǎn]].
Es handelt sich um einen [[w:en:Qijue| qī yán jué gōu 7-Worte-Vierzeiler]]: 
(Die Übersetzung darf gerne verbessert werden)
---------------------------
绿 gewordene 山原白 gefüllte 川，

lǜ biàn shān yuán bái mǎn chuān,

Die Berge sind grün, die Flüsse sind weiß
---------------------------
Des Kuckucks Stimme 里雨如烟。

zǐ guī shēng lǐ yǔ rú yān.

Man hört des Kuckucks Stimme; der Regen ist wie Rauch
---------------------------
乡村四月 müßige 人少，

xiāng cūn sì yuè xián rén shǎo,

In einem ländlichen Dorf im vierten Monat gibt es nur wenige müßige Menschen
---------------------------
才了 Seidenraupe Maulbeerblätter 又 pflanzen 田。

cái le cán sāng yòu chā tián.

Gerade kam die Seidenraupe in die Maulbeerblätter, und die Felder sind bepflanzt
---------------------------

== Texte ==

=== [https://archive.org/details/yyentzuerhchip02wadeuoft Colloquial Chinese: Excercise I: 12  ] ===
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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;七斗麦子
&lt;br/&gt;九斗米
&lt;br/&gt;一斗黍子
}} 
|| 
&lt;br/&gt; qi1 dou4 mai4 zi5 
&lt;br/&gt; jiu3 dou4 mi3 
&lt;br/&gt; yi1 dou4 shu3 zi5 
||
&lt;br/&gt;7 Dou (Dekaliter) Weizen
&lt;br/&gt;9 Dou Reis
&lt;br/&gt;Ein Dou Hirse
|}


=== [https://archive.org/details/shortcourseofpri00materich A short course of primary lessons in mandarin: 第十二课] ===

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| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;1. 有话请说
&lt;br/&gt;2. 四下都和平
&lt;br/&gt;3. 王好,百姓就好
&lt;br/&gt;4. 你走你的,我走我的
&lt;br/&gt;5. 我光要说一句话
&lt;br/&gt;6. 这两句话那个说的多
&lt;br/&gt;7. 能彀那么说吗
&lt;br/&gt;8. 少有那么说的
&lt;br/&gt;9. 那句话说不得
&lt;br/&gt;10. 不是那么说的
&lt;br/&gt;11. 那是没有的话
&lt;br/&gt;12. 那里的话
&lt;br/&gt;13. 先生来了吗?答:来了
&lt;br/&gt;14. 一个一个的都走了
&lt;br/&gt;15. 你有零钱没有
&lt;br/&gt;16. 你那么慢,我就等不得
&lt;br/&gt;17. 你上这里来,我要问你一句话
&lt;br/&gt;18. 他们两个人气的了不得,没有说和的吗? 答:他们自己和了
&lt;br/&gt;19. 他有气是我的不是,谁呌我这么不和气
&lt;br/&gt;20. 东西这么好,这二两四钱二实在不贵? 答:那个贵的多了,三两有零
&lt;br/&gt;21. 在你们的会里是男人多,是女人多? 答:有二十多个男人,有几十个女人
&lt;br/&gt;22. 我不要他的书,一来纸不好,二来字不清楚
&lt;br/&gt;23. 有的是钱,就是没有学问
&lt;br/&gt;24. 那个姓都的我不很认得
&lt;br/&gt;25. 你去不去?答:我先问问我的母亲,他呌我去我就去
}}
|| 
&lt;br/&gt;1. you3 hua4 qing3 shuo1 
&lt;br/&gt;2. si4 xia4 dou1/du1 he2/he4/huo2 ping2 
&lt;br/&gt;3. wang2 hao3 , bai3 xing4 jiu4 hao3 
&lt;br/&gt;4. ni3 zou3 ni3 de5 , wo3 zou3 wo3 de5 
&lt;br/&gt;5. wo3 guang1 yao4 shuo1 yi1 ju4 hua4 
&lt;br/&gt;6. zhe4/zhei4 liang3 ju4 hua4 na4/nei4 ge4 shuo1 de5 duo1 
&lt;br/&gt;7. neng2 gou4 na4/nei4 me5 shuo1 ma5 
&lt;br/&gt;8. shao3 you3 na4/nei4 me5 shuo1 de5 
&lt;br/&gt;9. na4/nei4 ju4 hua4 shuo1 bu4 de2/de5/dei3 
&lt;br/&gt;10. bu4 shi4 na4/nei4 me5 shuo1 de5 
&lt;br/&gt;11. na4/nei4 shi4 mei2/mo4 you3 de5 hua4 
&lt;br/&gt;12. na4/nei4 li3 de5 hua4 
&lt;br/&gt;13. xian1 sheng1 lai2 le5 ma5 ? da2 : lai2 le5 
&lt;br/&gt;14. yi1 ge4 yi1 ge4 de5 dou1/du1 zou3 le5 
&lt;br/&gt;15. ni3 you3 ling2 qian2 mei2/mo4 you3 
&lt;br/&gt;16. ni3 na4/nei4 me5 man4 , wo3 jiu4 deng3 bu4 de2/de5/dei3 
&lt;br/&gt;17. ni3 shang4 zhe4/zhei4 li3 lai2 , wo3 yao4 wen4 ni3 yi1 ju4 hua4 
&lt;br/&gt;18. ta1 men5 liang3 ge4 ren2 qi4 de5 le5 bu4 de2/de5/dei3 , mei2/mo4 you3 shuo1 he2/he4/huo2 de5 ma5 ? da2 : ta1 men5 zi4 ji3 he2/he4/huo2 le5 
&lt;br/&gt;19. ta1 you3 qi4 shi4 wo3 de5 bu4 shi4 , shei2 呌 wo3 zhe4/zhei4 me5 bu4 he2/he4/huo2 qi4 
&lt;br/&gt;20. dong1 xi1 zhe4/zhei4 me5 hao3 , zhe4/zhei4 er4 liang3 si4 qian2 er4 shi2 zai4 bu4 gui4 ? da2 : na4/nei4 ge4 gui4 de5 duo1 le5 , san1 liang3 you3 ling2 
&lt;br/&gt;21. zai4 ni3 men5 de5 hui4 li3 shi4 nan2 ren2 duo1 , shi4 nü3/ru3 ren2 duo1 ? da2 : you3 er4 shi2 duo1 ge4 nan2 ren2 , you3 ji1 shi2 ge4 nü3/ru3 ren2 
&lt;br/&gt;22. wo3 bu4 yao4 ta1 de5 shu1 , yi1 lai2 zhi3 bu4 hao3 , er4 lai2 zi4 bu4 qing1 chu3 
&lt;br/&gt;23. you3 de5 shi4 qian2 , jiu4 shi4 mei2/mo4 you3 xue2 wen4 
&lt;br/&gt;24. na4/nei4 ge4 xing4 dou1/du1 de5 wo3 bu4 hen3 ren4 de2/de5/dei3 
&lt;br/&gt;25. ni3 qu4 bu4 qu4 ? da2 : wo3 xian1 wen4 wen4 wo3 de5 mu3 qin1 , ta1 呌 wo3 qu4 wo3 jiu4 qu4 
||
&lt;br/&gt;1. If you have anything to say, please say it.
&lt;br/&gt;2. There is peace on all sides.
&lt;br/&gt;3. When the king is good, the people will be good.
&lt;br/&gt;4. You go your way, and I will go mine.
&lt;br/&gt;5. I merely wish to speak a few words.
&lt;br/&gt;6. Of these two expressions, which is more frequently used?
&lt;br/&gt;7. Can one speak in that way?
&lt;br/&gt;8. There are but few who speak in that way.
&lt;br/&gt;9. It is not proper to use that expression.
&lt;br/&gt;10. It is not said in that way.
&lt;br/&gt;11. There is nothing of the kind.
&lt;br/&gt;12. It is no such thing.
&lt;br/&gt;13. You have come, eh? Answer: I have come.
&lt;br/&gt;14. One by one all departed.
&lt;br/&gt;15. Have you any small change?
&lt;br/&gt;16. If you are so slow, I cannot wait for you.
&lt;br/&gt;17. Come here, I want to ask you a question.
&lt;br/&gt;18. Those two people are awfully angry; is there no peace-maker? Answer: They came to a reconciliation themselves.
&lt;br/&gt;19. It is my fault that he is so angry; how came I to be so discourteous?
&lt;br/&gt;20. Seeing the article is so good, two taels four mace and two candareens is certainly not dear. Answer: That one is much dearer, it is over three ounces.
&lt;br/&gt;21. Are there more men, or more women in your society? Answer: There are some twenty-odd of men, and a few tens of women.
&lt;br/&gt;22. I do not want his book: in the first place, the paper is bad, in the second place, the characters are indistinct.
&lt;br/&gt;23. Money is the thing he has, rather than scholarship
&lt;br/&gt;24. I am not very well acquainted with that man Tu.
&lt;br/&gt;25. Are you going or not? Answer: I will first ask my mother. If she lets me go, I will go.
|}

=== [https://archive.org/details/shortcourseofpri00materich A short course of primary lessons in mandarin: 第十二課 (traditionell)] ===

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|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;1. 有話請說
&lt;br/&gt;2. 四下都和平
&lt;br/&gt;3. 王好,百姓就好
&lt;br/&gt;4. 你走你的,我走我的
&lt;br/&gt;5. 我光要說一句話
&lt;br/&gt;6. 這兩句話那箇說的多
&lt;br/&gt;7. 能彀那麼說嗎
&lt;br/&gt;8. 少有那麼說的
&lt;br/&gt;9. 那句話說不得
&lt;br/&gt;10. 不是那麼說的
&lt;br/&gt;11. 那是沒有的話
&lt;br/&gt;12. 那裏的話
&lt;br/&gt;13. 先生來了嗎?答:來了
&lt;br/&gt;14. 一箇一箇的都走了
&lt;br/&gt;15. 你有零錢没有
&lt;br/&gt;16. 你那麼慢,我就等不得
&lt;br/&gt;17. 你上這裏來,我要問你一句話
&lt;br/&gt;18. 他們兩箇人氣的了不得,沒有說和的嗎? 答:他們自己和了
&lt;br/&gt;19. 他有氣是我的不是,誰呌我這麼不和氣
&lt;br/&gt;20. 東西這麼好,這二兩四錢二實在不貴? 答:那箇貴的多了,三兩有零
&lt;br/&gt;21. 在你們的會裏是男人多,是女人多? 答:有二十多箇男人,有幾十箇女人
&lt;br/&gt;22. 我不要他的書,一來紙不好,二來字不清楚
&lt;br/&gt;23. 有的是錢,就是沒有學問
&lt;br/&gt;24. 那箇姓都的我不很認得
&lt;br/&gt;25. 你去不去?答:我先問問我的母親,他呌我去我就去
}} 
|| 
&lt;br/&gt;1. you3 hua4 qing3 shuo1 
&lt;br/&gt;2. si4 xia4 dou1/du1 he2/he4/huo2 ping2 
&lt;br/&gt;3. wang2 hao3 , bai3 xing4 jiu4 hao3 
&lt;br/&gt;4. ni3 zou3 ni3 de5 , wo3 zou3 wo3 de5 
&lt;br/&gt;5. wo3 guang1 yao4 shuo1 yi1 ju4 hua4 
&lt;br/&gt;6. zhe4/zhei4 liang3 ju4 hua4 na4/nei4 ge4 shuo1 de5 duo1 
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&lt;br/&gt;19. ta1 you3 qi4 shi4 wo3 de5 bu4 shi4 , shei2 呌 wo3 zhe4/zhei4 me5 bu4 he2/he4/huo2 qi4 
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&lt;br/&gt;22. wo3 bu4 yao4 ta1 de5 shu1 , yi1 lai2 zhi3 bu4 hao3 , er4 lai2 zi4 bu4 qing1 chu3 
&lt;br/&gt;23. you3 de5 shi4 qian2 , jiu4 shi4 mei2/mo4 you3 xue2 wen4 
&lt;br/&gt;24. na4/nei4 ge4 xing4 dou1/du1 de5 wo3 bu4 hen3 ren4 de2/de5/dei3 
&lt;br/&gt;25. ni3 qu4 bu4 qu4 ? da2 : wo3 xian1 wen4 wen4 wo3 de5 mu3 qin1 , ta1 呌 wo3 qu4 wo3 jiu4 qu4 
||
&lt;br/&gt;1. If you have anything to say, please say it.
&lt;br/&gt;2. There is peace on all sides. 
&lt;br/&gt;3. When the king is good, the people will be good. 
&lt;br/&gt;4. You go your way, and I will go mine. 
&lt;br/&gt;5. I merely wish to speak a few words. 
&lt;br/&gt;6. Of these two expressions, which is more frequently used? 
&lt;br/&gt;7. Can one speak in that way? 
&lt;br/&gt;8. There are but few who speak in that way. 
&lt;br/&gt;9. It is not proper to use that expression. 
&lt;br/&gt;10. It is not said in that way. 
&lt;br/&gt;11. There is nothing of the kind. 
&lt;br/&gt;12. It is no such thing. 
&lt;br/&gt;13. You have come, eh? Answer: I have come. 
&lt;br/&gt;14. One by one all departed. 
&lt;br/&gt;15. Have you any small change? 
&lt;br/&gt;16. If you are so slow, I cannot wait for you.
&lt;br/&gt;17. Come here, I want to ask you a question. 
&lt;br/&gt;18. Those two people are awfully angry; is there no peace-maker? Answer: They came to a reconciliation themselves. 
&lt;br/&gt;19. It is my fault that he is so angry; how came I to be so discourteous? 
&lt;br/&gt;20. Seeing the article is so good, two taels four mace and two candareens is certainly not dear. Answer: That one is much dearer, it is over three ounces. 
&lt;br/&gt;21. Are there more men, or more women in your society? Answer: There are some twenty-odd of men, and a few tens of women.
&lt;br/&gt;22. I do not want his book: in the first place, the paper is bad, in the second place, the characters are indistinct. 
&lt;br/&gt;23. Money is the thing he has, rather than scholarship 
&lt;br/&gt;24. I am not very well acquainted with that man Tu. 
&lt;br/&gt;25. Are you going or not? Answer: I will first ask my mother. If she lets me go, I will go.
|}

=== [https://archive.org/details/shortcourseofpri00materich A short course of primary lessons in mandarin: 第十四課 (traditionell)] ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;1. 人人都是要死的
&lt;br/&gt;2. 這箇中國人不會說外國話
&lt;br/&gt;3. 他不是外國人,他是本地人
&lt;br/&gt;4. 在那箇地方中國人不少
&lt;br/&gt;5. 男女老少都喫好飯
&lt;br/&gt;6. 這西國紙不喫墨
&lt;br/&gt;7. 現在沒有錢,過兩天我就給你
&lt;br/&gt;8. 錢不彀,還少 一大些/許多 
&lt;br/&gt;9. 他就是會說大話
&lt;br/&gt;10. 我的母親還不 很/大 老
&lt;br/&gt;11. 不要緊這是箇老實人
&lt;br/&gt;12. 這地方的人沒甚麼大學問
&lt;br/&gt;13. 有的說這大地是四方的,有的說地中有人
&lt;br/&gt;14. 你這裏是甚麼書,是中國書,是外國書? 答:甚麼書都有,就是中國書多
}} 
|| 
&lt;br/&gt;1. ren2 ren2 dou1/du1 shi4 yao4 si3 de5 
&lt;br/&gt;2. zhe4/zhei4 ge4 zhong1/zhong4 guo2 ren2 bu4 hui4 shuo1 wai4 guo2 hua4 
&lt;br/&gt;3. ta1 bu4 shi4 wai4 guo2 ren2 , ta1 shi4 ben3 de4/di4 ren2 
&lt;br/&gt;4. zai4 na4/nei4 ge4 de4/di4 fang1 zhong1/zhong4 guo2 ren2 bu4 shao3 
&lt;br/&gt;5. nan2 nü3/ru3 lao3 shao3 dou1/du1 喫 hao3 fan4 
&lt;br/&gt;6. zhe4/zhei4 xi1 guo2 zhi3 bu4 喫 mo4 
&lt;br/&gt;7. xian4 zai4 mei2/mo4 you3 qian2 , guo4 liang3 tian1 wo3 jiu4 gei3 ni3 
&lt;br/&gt;8. qian2 bu4 gou4 , hai2/huan2 shao3  yi1 da4 xie1 / xu3 duo1 
&lt;br/&gt;9. ta1 jiu4 shi4 hui4 shuo1 da4 hua4 
&lt;br/&gt;10. wo3 de5 mu3 qin1 hai2/huan2 bu4  hen3 / da4  lao3 
&lt;br/&gt;11. bu4 yao4 jin3 zhe4/zhei4 shi4 ge4 lao3 shi2 ren2 
&lt;br/&gt;12. zhe4/zhei4 de4/di4 fang1 de5 ren2 mei2/mo4 shen4 me5 da4 xue2 wen4 
&lt;br/&gt;13. you3 de5 shuo1 zhe4/zhei4 da4 de4/di4 shi4 si4 fang1 de5 , you3 de5 shuo1 de4/di4 zhong1/zhong4 you3 ren2 
&lt;br/&gt;14. ni3 zhe4/zhei4 li3 shi4 shen4 me5 shu1 , shi4 zhong1/zhong4 guo2 shu1 , shi4 wai4 guo2 shu1 ? da2 : shen4 me5 shu1 dou1/du1 you3 , jiu4 shi4 zhong1/zhong4 guo2 shu1 duo1 
||
&lt;br/&gt;1. All men must die. 
&lt;br/&gt;2. This Chinaman cannot speak any foreign language. 
&lt;br/&gt;3. He is not a foreigner; he is a native. 
&lt;br/&gt;4. There are not a few Chinese at that place. 
&lt;br/&gt;5. Male and female, old and young, all eat good food. 
&lt;br/&gt;6. This foreign paper does not absorb ink. 
&lt;br/&gt;7. I have no money at present after a few days I will give it to you. 
&lt;br/&gt;8. The money is insufficient; it is short by a large amount. 
&lt;br/&gt;9. He is given to boasting. 
&lt;br/&gt;10. My mother is not yet very old. 
&lt;br/&gt;11. No matter; this is an honest man. 
&lt;br/&gt;12. The people of this place have no great learning. 
&lt;br/&gt;13. There are some who say the earth is square, while others say there are men who live in the centre of the earth.
&lt;br/&gt;14. What books have you here are they Chinese or foreign? Answer: We have all kinds of books, but the larger part are Chinese.
|}


=== [https://archive.org/details/shortcourseofpri00materich A short course of primary lessons in mandarin: 第十一课] ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;1. 我要十二个钱
&lt;br/&gt;2. 他有二十吊钱
&lt;br/&gt;3. 王师 母/娘 有十八个女学生
&lt;br/&gt;4. 四十六个钱就彀了
&lt;br/&gt;5. 这七十 几/来 个字我都会写
&lt;br/&gt;6. 我数了这些钱有四百零八个
&lt;br/&gt;7. 在那里有我的二百七十三个钱
&lt;br/&gt;8. 我的母亲没有那么些钱
&lt;br/&gt;9. 你学会了多少字? 答:有一百上下
&lt;br/&gt;10. 那两吊五百钱是我自己的
&lt;br/&gt;11. 在你们这里五百个钱 呌/是 一吊
&lt;br/&gt;12. 我们那里一 千/千个 钱 呌/是 一吊
&lt;br/&gt;13. 我有一千零零九个钱
&lt;br/&gt;14. 你那里的字有多少字母? 容:有二十六个
&lt;br/&gt;15. 这两个字都写的不对
}}
|| 
&lt;br/&gt;1. wo3 yao4 shi2 er4 ge4 qian2 
&lt;br/&gt;2. ta1 you3 er4 shi2 diao4 qian2 
&lt;br/&gt;3. wang2 shi1 ´ mu3 / niang2  you3 shi2 ba1 ge4 nü3/ru3 xue2 sheng1 
&lt;br/&gt;4. si4 shi2 liu4 ge4 qian2 jiu4 gou4 le5 
&lt;br/&gt;5. zhe4/zhei4 qi1 shi2  ji1 / lai2  ge4 zi4 wo3 dou1/du1 hui4 xie3 
&lt;br/&gt;6. wo3 shu3/shuo4 le5 zhe4/zhei4 xie1 qian2 you3 si4 bai3 ling2 ba1 ge4 
&lt;br/&gt;7. zai4 na4/nei4 li3 you3 wo3 de5 er4 bai3 qi1 shi2 san1 ge4 qian2 
&lt;br/&gt;8. wo3 de5 mu3 qin1 mei2/mo4 you3 na4/nei4 me5 xie1 qian2 
&lt;br/&gt;9. ni3 xue2 hui4 le5 duo1 shao3 zi4 ? da2 : you3 yi1 bai3 shang4 xia4 
&lt;br/&gt;10. na4/nei4 liang3 diao4 wu3 bai3 qian2 shi4 wo3 zi4 ji3 de5 
&lt;br/&gt;11. zai4 ni3 men5 zhe4/zhei4 li3 wu3 bai3 ge4 qian2 呌/ shi4  yi1 diao4 
&lt;br/&gt;12. wo3 men5 na4/nei4 li3 yi1  qian1 / qian1 ge4  qian2 呌/ shi4  yi1 diao4 
&lt;br/&gt;13. wo3 you3 yi1 qian1 ling2 ling2 jiu3 ge4 qian2 
&lt;br/&gt;14. ni3 na4/nei4 li3 de5 zi4 you3 duo1 shao3 zi4 mu3 ? rong2 : you3 er4 shi2 liu4 ge4 
&lt;br/&gt;15. zhe4/zhei4 liang3 ge4 zi4 dou1/du1 xie3 de5 bu4 dui4 
||
&lt;br/&gt;1. I want twelve cash.
&lt;br/&gt;2. He has twenty thousand cash (or twenty strings).
&lt;br/&gt;3. Mrs. Wang has eighteen female pupils.
&lt;br/&gt;4. Forty-six cash will be enough.
&lt;br/&gt;5. I can write all of these seventy odd characters.
&lt;br/&gt;6. I have counted these cash, there are four hundred and eight.
&lt;br/&gt;7. There are there two hundred and seventy three cash of mine.
&lt;br/&gt;8. My mother has not that much money.
&lt;br/&gt;9. How many characters have you learned? Answar: A hundred, more or less.
&lt;br/&gt;10. Those two thousand five hundred cash are my own
&lt;br/&gt;11. With you here, five hundred cash is a string,
&lt;br/&gt;12. With us a thousand cash is a string.
&lt;br/&gt;13. I have one thousand and nine of these cash.
&lt;br/&gt;14. How many letters do you have in your written language? Answer: We have twenty six.
&lt;br/&gt;15. These two characters are both incorrectly written.
|}

=== [https://archive.org/details/shortcourseofpri00materich A short course of primary lessons in mandarin: 第十一課 (traditionell)] ===

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |
&lt;br/&gt;1. 我要十二箇錢
&lt;br/&gt;2. 他有二十吊錢
&lt;br/&gt;3. 王師 母/娘 有十八箇女學生
&lt;br/&gt;4. 四十六箇錢就彀了
&lt;br/&gt;5. 這七十 幾/來 箇字我都會寫
&lt;br/&gt;6. 我數了這些錢有四百零八箇
&lt;br/&gt;7. 在那裏有我的二百七十三箇錢
&lt;br/&gt;8. 我的母親沒有那麼些錢
&lt;br/&gt;9. 你學會了多少字? 答:有一百上下
&lt;br/&gt;10. 那兩吊五百錢是我自己的
&lt;br/&gt;11. 在你們這裏五百箇錢 呌/是 一吊
&lt;br/&gt;12. 我們那裏一 千/千箇 錢 呌/是 一吊
&lt;br/&gt;13. 我有一千零零九箇錢
&lt;br/&gt;14. 你那裏的字有多少字母? 容:有二十六個
&lt;br/&gt;15. 這兩箇字都寫的不對
}} 
|| 
&lt;br/&gt;1. wo3 yao4 shi2 er4 ge4 qian2 
&lt;br/&gt;2. ta1 you3 er4 shi2 diao4 qian2 
&lt;br/&gt;3. wang2 shi1 ´ mu3 / niang2  you3 shi2 ba1 ge4 nü3/ru3 xue2 sheng1 
&lt;br/&gt;4. si4 shi2 liu4 ge4 qian2 jiu4 gou4 le5 
&lt;br/&gt;5. zhe4/zhei4 qi1 shi2  ji3 / lai2  ge4 zi4 wo3 dou1/du1 hui4 xie3 
&lt;br/&gt;6. wo3 shu3/shuo4 le5 zhe4/zhei4 xie1 qian2 you3 si4 bai3 ling2 ba1 ge4 
&lt;br/&gt;7. zai4 na4/nei4 li3 you3 wo3 de5 er4 bai3 qi1 shi2 san1 ge4 qian2 
&lt;br/&gt;8. wo3 de5 mu3 qin1 mei2/mo4 you3 na4/nei4 me5 xie1 qian2 
&lt;br/&gt;9. ni3 xue2 hui4 le5 duo1 shao3 zi4 ? da2 : you3 yi1 bai3 shang4 xia4 
&lt;br/&gt;10. na4/nei4 liang3 diao4 wu3 bai3 qian2 shi4 wo3 zi4 ji3 de5 
&lt;br/&gt;11. zai4 ni3 men5 zhe4/zhei4 li3 wu3 bai3 ge4 qian2 呌/ shi4  yi1 diao4 
&lt;br/&gt;12. wo3 men5 na4/nei4 li3 yi1  qian1 / qian1 ge4  qian2 呌/ shi4  yi1 diao4 
&lt;br/&gt;13. wo3 you3 yi1 qian1 ling2 ling2 jiu3 ge4 qian2 
&lt;br/&gt;14. ni3 na4/nei4 li3 de5 zi4 you3 duo1 shao3 zi4 mu3 ? rong2 : you3 er4 shi2 liu4 ge4 
&lt;br/&gt;15. zhe4/zhei4 liang3 ge4 zi4 dou1/du1 xie3 de5 bu4 dui4 
||
&lt;br/&gt;1. I want twelve cash. 
&lt;br/&gt;2. He has twenty thousand cash (or twenty strings). 
&lt;br/&gt;3. Mrs. Wang has eighteen female pupils.
&lt;br/&gt;4. Forty-six cash will be enough.
&lt;br/&gt;5. I can write all of these seventy odd characters.
&lt;br/&gt;6. I have counted these cash, there are four hundred and eight.
&lt;br/&gt;7. There are there two hundred and seventy three cash of mine.
&lt;br/&gt;8. My mother has not that much money. 
&lt;br/&gt;9. How many characters have you learned? Answar: A hundred, more or less.
&lt;br/&gt;10. Those two thousand five hundred cash are my own 
&lt;br/&gt;11. With you here, five hundred cash is a string,
&lt;br/&gt;12. With us a thousand cash is a string. 
&lt;br/&gt;13. I have one thousand and nine of these cash.
&lt;br/&gt;14. How many letters do you have in your written language? Answer: We have twenty six.
&lt;br/&gt;15. These two characters are both incorrectly written.
|}


== Drei-Zeichen-Klassiker ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |此五常， 不容紊。}}  || cǐ wǔ cháng bù róng wěn || Giles: These five virtues admit of no compromise.([[Vokabeltexte_Chinesisch/_Drei-Zeichen-Klassiker/_Lektion_36 |Drei-Zeichen-Klassiker 36]])
|}

== Wiederholung Vokabeln für Drei-Zeichen-Klassiker ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
|-
! Zeichen !! Pinyin  !! Übersetzung
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |此}}  || ci3 || dies, dieser
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |五}}  || wu3 || fünf
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |常}}  || chang2 || allgemein, oft
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |不}}  || bu4 || nein, nicht
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |容}}  || rong2 || Gesicht, Miene, aussehen, schauen, beinhalten, umfassen, erlauben, ermöglichen, halten, festhalten, Rong
|-
| {{:Vokabeltexte_Chinesisch/ Vorlage:Chinesisch |紊}}  || wen4 || verwickelt, verwickelte/ wen3: verwickelt, verwickelte
|}


&lt;noinclude&gt;
{{Navigation zurückhochvor|
 zurücktext=Lektion 258|
 zurücklink=Vokabeltexte_Chinesisch/_Vokabellektionen/ Lektion 258|
 hochtext=Buch Vokabellektionen|
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&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Mathe für Nicht-Freaks: Sitemap</title>
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Diese Seite listet alle Kapitel des Projekts „Mathe für Nicht-Freaks“ auf. Diese Seite dient zur Übersicht und aus ihr werden die komplette Navigation und die Inhaltsverzeichnisse der einzelnen Bücher generiert.

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| Fortschritt 0% – Kapitel besitzt keinen oder kaum Inhalt. Das Kapitel muss neu geschrieben bzw. ergänzt und überarbeitet werden.
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| Fortschritt 25% – Kapitel befindet sich in der Entwicklung, muss aber noch wesentlich ergänzt werden.
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| Fortschritt 50% – Wesentliche Inhalte sind vorhanden, es müssen aber noch wichtige Inhalte hinzugefügt werden (oft befinden sich auf der Seite ToDo-Hinweise, was noch ergänzt werden muss).
|-
| {{Symbol|75%}}
| Fortschritt 75% – Kapitel ist inhaltlich fertig, muss aber noch überarbeitet werden (Korrektur von Rechtschreibfehlern, Formulierungen so verändern, dass sie verständlicher sind oder besser klingen. Unnötige und unpassende Füllwörter wie „auch“ entfernen).
|-
| {{Symbol|100%}}
| Fortschritt 100% – Kapitel ist inhaltlich fertig und wurde mindestens einmal Korrektur gelesen. Aber auch diese Kapitel kannst du Korrektur lesen. Sprich: Rechtschreibfehler korrigieren und Formulierungen verbessern. Auch diese Kapitel können (wie alle anderen) inhaltlich ergänzt werden.
|} 

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik|Grundlagen der Mathematik]] ==

=== Was ist Mathematik? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Mathematik?|Was ist Mathematik?]] {{Symbol|100%}}

=== Einführung in die Logik ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Logik und Aussagen|Logik und Aussagen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Junktor|Junktoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagenlogik|Aussagenlogik]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wahrheitstabelle|Wahrheitstabelle]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie|Tautologien]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Quantor|Quantoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution|Aussageform und Substitution]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prädikatenlogik|Prädikatenlogik]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagen formalisieren|Aussagen formalisieren]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagen negieren|Aussagen negieren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Klassenlogik|Klassenlogik]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gesetze der Logik|Gesetze der Logik]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Logik|Aufgaben]]

=== Beweise und Beweismethoden ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweis|Was sind Beweise?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Direkter und indirekter Beweis|Direkter und indirekter Beweis]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Fallunterscheidung und Kontraposition|Fallunterscheidung und Kontraposition]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Notwendige und hinreichende Bedingungen|Notwendige und hinreichende Bedingungen]] {{Symbol|100%}}

=== Vollständige Induktion ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Definition und Erklärung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion: Beispiele|Beispielaufgaben]] {{Symbol|75%}}

=== Mengenlehre ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Menge|Definition einer Menge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise|Mengenschreibweisen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mengendiagramme: Euler- und Venn-Diagramm|Euler- und Venn-Diagramme]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge|Teilmenge und echte Teilmenge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge|Potenzmenge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge und Allklasse|Leere Menge und Allklasse]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfungen zwischen Mengen|Mengenverknüpfungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Durchschnitt von Mengen|Durchschnitt von Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung von Mengen|Vereinigung von Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Differenz, symmetrische Differenz und Komplement|Differenz, symmetrische Differenz und Komplement]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Boolesche Algebra|Boolesche Algebra]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme|Disjunkte Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar|Tupel und geordnetes Paar]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Formeln der Mengenlehre|Formeln der Mengenlehre]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Russells Antinomie und Klassen|Russells Antinomie und Klassen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Axiomatische Mengenlehre|Axiomatische Mengenlehre]] {{Symbol|100%}}

=== Relationen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Relation|Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binäre Relation|Binäre Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften binärer Relationen|Eigenschaften binärer Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äquivalenzrelation|Äquivalenzrelationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ordnungsrelation|Ordnungsrelationen]] {{Symbol|100%}}

=== Abbildungen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion|Abbildungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung|Verknüpfungen]] {{Symbol|75%}}

=== Mächtigkeit von Mengen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mächtigkeit von Mengen|Mächtigkeit von Mengen]] {{Symbol|100%}}

=== Gleichungsumformungen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungen: Umformungen|Gleichungsumformungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Terme: Umformungen|Termumformungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Gleichungsumformungen|Aufgaben]]

=== Summe, Produkt und Fakultät ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt|Summe und Produkt]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gaußsche Summenformel|Gaußsche Summenformel]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften für Summe und Produkt|Eigenschaften für Summe und Produkt]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät|Fakultät]] {{Symbol|100%}}

=== Binomialkoeffizient ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|Der binomische Lehrsatz]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient: Rechenregeln|Rechenregeln]] {{Symbol|100%}}

=== Anhang ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wörterbuch|Wörterbuch mathematischer Begriffe]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Liste mathematischer Symbole|Liste mathematischer Symbole]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung|Zusammenfassung]]
* [[c:File:Grundlagen der Mathematik.pdf|PDF-Version (Beta)]]

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 1|Analysis 1]] ==
=== Was ist Analysis? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Analysis?|Was ist Analysis?]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wozu Analysis studieren?|Wozu Analysis studieren?]] {{Symbol|100%}}

=== Was sind reelle Zahlen? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Reelle Zahlen|Was sind reelle Zahlen?]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zahlengerade|Die Zahlengerade]] {{Symbol|100%}}
: Todo: Die Addition wird mit einer Subtraktion erklärt. Es sollte zunächst eine Addition mit zwei positiven Zahlen erklärt werden. -- [[Benutzer:Stephan Kulla|Stephan Kulla]] 23:33, 23. Okt. 2017 (CEST)

=== Körperaxiome ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Körperaxiome|Körperaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen aus den Körperaxiomen|Folgerungen aus den Körperaxiomen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenz|Potenzen reeller Zahlen]] {{Symbol|75%}}

=== Anordnungsaxiome ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anordnungsaxiome|Anordnungsaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen der Anordnungsaxiome|Folgerungen der Anordnungsaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Betrag, Maximum und Minimum|Betragsfunktion, Maximum und Minimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervall|Intervalle]] {{Symbol|100%}}

=== Vollständigkeit reeller Zahlen  ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit|Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: In dem Artikel [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit]] gibt es im ersten Abschnitt einen Link zu einem Wikipedia-Artikel. Hier muss man sich überlegen, ob wir diesen Beweis selbst führen wollen oder wie wir den Link in der Druckversion gestalten wollen.
:* TODO: Ich bin nach wie vor der Meinung, dass dieser Abschnitt in ein Ausblickskapitel gehört, und nicht vorangestellt werden sollte! who2010
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Archimedisches Axiom|Das archimedische Axiom]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Aus einem Feedback &quot;Beim Archimedischen Axiom wird das Axiom negiert, um seine Bedeutung besser zu erklären. Ich tat mir hierbei recht schwer herauszulesen, ob dann im weiteren Verlauf immer noch die Rede von der negierten Version oder der normalen war. &quot;
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bernoulli-Ungleichung|Bernoullische Ungleichung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Allgemeine Intervallschachtelung|Allgemeine Intervallschachtelungen]] {{Symbol|100%}}

=== Die komplexen Zahlen  ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation|Einleitung und Motivation]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexen Zahlen: Definition|Definition komplexer Zahlen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Konjugation und Betrag komplexer Zahlen|Betrag und Konjugation]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Polarform bzw. Polardarstellung komplexer Zahlen|Polardarstellung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Zahlen: Darstellung komplexwertiger Funktionen|Darstellung komplexwertiger Funktionen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu komplexen Zahlen|Aufgaben]]

=== Supremum und Infimum ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum|Supremum und Infimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliches Supremum und Infimum|Uneigentliches Supremum und Infimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum bestimmen und beweisen|Supremum und Infimum bestimmen und beweisen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum: Eigenschaften|Eigenschaften Supremum und Infimum]] {{Symbol|25%}}
:* TODO: [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremumsaxiom|Das Supremumsaxiom]] {{Symbol|0%}}

=== Wurzel reeller Zahlen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzel|Wurzel reeller Zahlen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzgleichungen|Lösungen von Potenzgleichungen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der Wurzel|Rechenregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit rationalem Exponenten|Verallgemeinerte Potenzen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Wurzeln|Aufgaben]]

=== Folgen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folge|Definition]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Explizite und rekursive Bildungsgesetze für Folgen|Explizite und rekursive Bildungsgesetze]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele und Eigenschaften von Folgen|Beispiele und Eigenschaften]] {{Symbol|100%}}
:TODO: Abschnitt zu Eigenschaften könnte man in ein extra Kapitel verschieben
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Folgen|Aufgaben]]

=== Konvergenz und Divergenz ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Konvergenz und Divergenz|Definition Grenzwert]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz beweisen|Konvergenz und Divergenz beweisen]] {{Symbol|100%}}
: TODO: Artikel umstrukturieren, erst allgemeines Vorgehen erklären, unabhängig davon, ob Konvergenz oder Divergenz gezeigt werden soll
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Beispiele|Beispiele für Grenzwerte]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren|Unbeschränkte Folgen divergieren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen|Grenzwertsätze]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium für Folgen|Monotoniekriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz rekursiver Folgen beweisen|Konvergenzbeweise rekursiver Folgen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Konvergenz und Divergenz|Aufgaben]]

=== Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teilfolge|Teilfolgen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt einer Folge|Häufungspunkte von Folgen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt und Berührpunkt einer Menge|Häufungs- und Berührpunkte von Mengen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Bolzano-Weierstraß|Satz von Bolzano-Weierstraß]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bestimmte Divergenz, uneigentliche Konvergenz|Bestimmte Divergenz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der bestimmten Divergenz|Bestimmte Divergenz: Regeln]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lim sup und Lim inf|Lim sup und Lim inf]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium|Cauchy-Folgen]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium als Vollständigkeitsaxiom|Cauchy-Kriterium als Vollständigkeitsaxiom]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen|Aufgaben]]

=== Reihen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Reihe|Begriff der Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln für Reihen|Rechenregeln für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teleskopsumme und Teleskopreihe|Teleskopsumme und Teleskopreihe]] {{Symbol|100%}}
:* Animation: Zusammenziehen der Teleskopsumme; Aufgabe &lt;math&gt;\sum (-1)^k&lt;/math&gt; (eine Teleskopsumme?!)
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|Geometrische Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|Harmonische Reihe]] {{Symbol|100%}}
:* Was ist so harmonisch an der harmonischen Reihe?
* [[Mathe für Nicht-Freaks: e-Reihe|e-Reihe]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe|Absolute Konvergenz einer Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Umordnungssatz für Reihen|Umordnungssatz für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Produkt für Reihen|Cauchy-Produkt für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Reihen|Aufgaben]]

=== Konvergenzkriterien für Reihen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien|Übersicht Konvergenzkriterien]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium für Reihen|Cauchy-Kriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beschränkte Reihen und Konvergenz|Beschränkte Reihen und Konvergenz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majoranten- und Minorantenkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] {{Symbol|100%}}
:* Die Reihenfolge von Quotienten- und Wurzelkriterium sollte vertauscht werden, da das Wurzelkriterium nicht immer zum Standardstoff gehört.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchysches Verdichtungskriterium|Verdichtungskriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anwendung der Konvergenzkriterien bei Reihen|Anwendung der Konvergenzkriterien]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen|Aufgaben]]

=== Potenzreihen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzreihen|Definition und Beispiele]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenzradius von Potenzreihen|Konvergenzradius]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Exponential- und Logarithmusfunktion ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Herleitung und Definition der Exponentialfunktion|Herleitung und Definition der Exponentialfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Exponentialfunktion|Eigenschaften der Exponentialfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Die Logarithmusfunktion|Logarithmusfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit reellen Exponenten|Verallgemeinerte Potenzen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen|Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Exponential- und Logarithmusfunktion|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus|Sinus und Kosinus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Sinus und Kosinus|Eigenschaften des Sinus und Kosinus]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus und Arkuskosinus]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tangens und Kotangens|Tangens und Kotangens]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens und Arkuskotangens]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus|Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Stetigkeit ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit von Funktionen|Stetigkeit von Funktionen]] {{Symbol|100%}}
:* ToDo: In diesen Kapitel könnte man noch Bezüge zur historischen Entwicklung des Stetigkeitsbegriffs einbauen.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgenkriterium der Stetigkeit: Folgenstetigkeit|Folgenkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit|Epsilon-Delta-Kriterium]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Das Epsilon-Delta-Kriterium aufgefasst als Spiel
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert von Funktionen|Grenzwert von Funktionen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komposition stetiger Funktionen|Komposition stetiger Funktionen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium|Stetigkeit beweisen]] {{Symbol|75%}}
:* TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unstetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium|Unstetigkeit beweisen]] {{Symbol|75%}}
:* TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zwischenwertsatz|Zwischenwertsatz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum|Satz vom Minimum und Maximum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit der Umkehrfunktion|Stetigkeit der Umkehrfunktion]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichmäßige Stetigkeit|Gleichmäßige Stetigkeit]] {{Symbol|50%}}
:*TODO: In der Animation mit der Wurzel und 1/x Funktion sollte das rote Rechteck bis zum Punkt (0,0) gehen.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-Stetigkeit]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Wie sehen Beweise mit der Lipschitz-Stetigkeit aus?
:* TODO: Wie kann man beweisen, dass eine Funktion Lipschitz-stetig / nicht Lipschitz-stetig ist?
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Stetigkeit|Aufgaben]]
:* TODO: Uneigentliche Stetigkeit, Einseitige Grenzwerte, Stetige Fortsetzung von Funktionen
:* Notiz: Artikel [[Mathe für Nicht-Freaks: Topologische Definition der Stetigkeit|Topologische Definition der Stetigkeit]] war ursprünglich geplant, sollte aber erst später im Buch zur Topologie kommen.

=== Ableitung ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit|Ableitung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitungsregeln: Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel, Summenregel, Faktorregel|Ableitungsregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spezielle Ableitungsregeln|Spezielle Ableitungsregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung der Umkehrfunktion|Ableitung der Umkehrfunktion]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Ableitungen|Beispiele für Ableitungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung höherer Ordnung|Ableitung höherer Ordnung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Rolle|Satz von Rolle]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung|Konstanzkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion|Monotoniekriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und lokale Extrema|Ableitung und lokale Extrema]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Regel von L'Hospital|Regel von L'Hospital]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit|Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 1|Aufgaben 1]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 2|Aufgaben 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 3|Aufgaben 3]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 4|Aufgaben 4]]


Geplante Themen: Konvexe Funktionen, Hölderische Ungleichung, Reihe und Ableitung

=== Integrale ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Integral einer Funktion|Das Integral]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Riemannintegral|Riemannintegral]] {{Symbol|50%}}
: TODO: In der Herleitung sollte ein Beispiel einer Funktion gewählt werden, die auch negativ ist. -- [[Benutzer:Stephan Kulla|Stephan Kulla]] 21:12, 18. Okt. 2017 (CEST)
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Riemannintegrals|Eigenschaften des Riemannintegrals]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Regelintegral|Regelintegral]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mittelwertsatz für Integrale|Mittelwertsatz für Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Substitutionsregel für Integrale|Substitutionsregel]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Partielle Integration|Partielle Integration]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliche Integrale|Uneigentliche Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale|Beispiele für Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Integralen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

Geplante Themen: Trapez-Regel, Hölderische Ungleichung für Integrale, Riemannsche Summe, Riemann-Integral

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Algebra 1|Lineare Algebra 1]] ==

=== Einführung in die lineare Algebra ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:EmmaBrink|EmmaBrink]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Algebra?|Was ist Algebra?]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlegende Eigenschaften algebraischer Strukturen|Eigenschaften algebraischer Strukturen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gruppen|Gruppen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ringe|Ringe]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Körper|Körper]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht zu algebraischer Strukturen|Übersicht zu algebraischer Strukturen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektoren und Vektorräume in der Schule|Vektorbegriff aus der Schule]] {{Symbol|50%}}

=== Vektorräume ===
Verantwortlicher: [[Benutzer:Der Annulator|Der Annulator]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Einführung in den Vektorraum|Einführung in den Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum|Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Eigenschaften|Eigenschaften von Vektorräumen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für Vektorräume führen|Beweise für Vektorräume führen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Nullvektorraum|Nullvektorraum]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Der Körper als Vektorraum|Der Körper als Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Koordinatenräume|Koordinatenräume]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgenräume|Folgenräume]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Funktionsräume|Funktionsräume]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Polynomraum|Polynomraum]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Untervektorraum|Untervektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen|Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Summe von Unterräumen|Summe von Unterräumen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Innere direkte Summe und Komplement|Innere direkte Summe und Komplement]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äußere direkte Summe|Äußere direkte Summe]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Nebenklassen eines Unterraums|Nebenklassen eines Unterraums]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum|Faktorraum]] {{Symbol|100%}}

=== Linearkombinationen, Erzeugendensystem und Basis ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:Zornsches Lemma|Zornsches Lemma]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Linearkombinationen|Linearkombinationen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spann, Erzeugnis, lineare Hülle|Spann einer Menge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erzeugendensystem|Erzeugendensystem]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren|Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Basis eines Vektorraums|Basis eines Vektorraums]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz|Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dimension eines Vektorraums|Dimension eines Vektorraums]] {{Symbol|100%}}

=== Lineare Abbildungen ===
Verantwortlicher: [[Benutzer:Klaus.mattis|Klaus.mattis]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen, Homomorphismus|Lineare Abbildungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften Linearer Abbildungen|Eigenschaften linearer Abbildungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prinzip der linearen Fortsetzung|Prinzip der linearen Fortsetzung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für lineare Abbildungen führen|Beweise für lineare Abbildungen führen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monomorphismus (Lineare Algebra)|Monomorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Epimorphismus (Lineare Algebra)|Epimorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Isomorphismus (Lineare Algebra)|Isomorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Endomorphismus, Automorphismus|Endomorphismus und Automorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung: Bild|Bild einer linearen Abbildung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kern einer linearen Abbildung|Kern einer linearen Abbildung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen|Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum linearer Abbildungen|Vektorraum linearer Abbildungen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dualraum|Dualraum]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu linearen Abbildungen|Aufgaben]] {{Symbol|100%}}

===Matrizen===
Verantwortlicher: [[Benutzer:GruenerBogen|GruenerBogen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung und darstellende Matrix|Einführung in Matrizen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildungsmatrizen|Abbildungsmatrizen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Definition der Matrix|Matrizen Allgemein]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorielle Operationen für Matrizen|Vektorraumstruktur auf Matrizen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Basiswechselmatrizen|Basiswechselmatrizen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrix: Rang|Rang einer Matrix]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inverse Matrizen|Inverse Matrizen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Matrizen|Aufgaben]] {{Symbol|25%}}

=== Isomorphiesatz und Dimensionsformel ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:Zornsches Lemma|Zornsches Lemma]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel|Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Homomorphiesatz und Isomorphiesatz|Homomorphiesatz und Isomorphiesatz]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dimensionsformel|Dimensionsformel]] {{Symbol|25%}}

=== Gleichungssysteme und Matrizen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungssysteme und Matrizen|Gleichungssysteme und Matrizen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrix: Zeilenstufenform|Zeilenstufenform einer Matrix]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gaußverfahren|Gaußverfahren]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cramer'sche Regel|Cramer'sche Regel]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anwendungsbeispiele|Anwendungsbeispiele]] {{Symbol|0%}}

=== Die Determinante einer Matrix ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinanten|Determinante einer Matrix]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinante einer Abbildung|Determinante einer Abbildung]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Determinante|Eigenschaften der Determinante]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Laplacescher Entwicklungssatz|Laplacescher Entwicklungssatz]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Permutationen|Permutationen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Formel der Determinante|Leibniz-Formel der Determinante]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinante besonderer Matrizen|Determinante besonderer Matrizen]] {{Symbol|0%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Maßtheorie|Maßtheorie]] ==

=== Einleitung und Grundbegriffe ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Maßtheoretische Begriffe|Übersicht: Maßtheoretische Begriffe]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inhalte auf Ringen|Inhalte auf Ringen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen|Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prämaße und Maße|Prämaße und Maße]] {{Symbol|75%}}

=== Konstruktion von Maßen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konstruktion von Maßen|Einführung in die Konstruktion von Maßen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erzeugte sigma-Algebren|Erzeugte sigma-Algebren]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äußere Maße, Messbarkeit, Satz von Caratheodory, Fortsetzungssatz|Existenz einer Fortsetzung]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz|Eindeutigkeit einer Fortsetzung]] {{Symbol|50%}}

=== Lebesgue-Integration ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Integration?|Was ist Integration?]] {{Symbol|25%}}

== [[Serlo: EN: Real Analysis|Real Analysis]] ==

=== Help ===

* [[Serlo: EN: Translating Articles|I want more articles. How do I translate?]]
* [[Serlo: EN: Guidelines for translation|Guidelines for translation]]

=== Introduction ===

* [[Serlo: EN: What is Analysis?|What is analysis?]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Why study analysis?|Why study analysis?]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Propositional logic|Propositional logic]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Mathematical induction|Mathematical induction]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Real numbers|Real numbers]] {{Symbol|50%}}

=== Complex numbers ===

* [[Serlo: EN: Introduction and motivation|Introduction and motivation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Definition of complex numbers|Definition of complex numbers]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Absolute value and conjugation|Absolute value and conjugation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Polar representation|Polar representation]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Drawing complex-valued functions|Drawing complex-valued functions]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: complex numbers|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Supremum and infimum ===

* [[Serlo: EN: Supremum and infimum|Supremum and infimum]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The infinite case|The infinite case]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove existence of a supremum or infimum|How to prove existence of a supremum or infimum]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Properties of supremum and infimum|Properties of supremum and infimum]] {{Symbol|50%}}

=== Sequences ===

* [[Serlo: EN: Sequences|Sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Explicit and recursive description|Explicit and recursive description]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples and properties of sequences|Examples and properties of sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: sequences|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Convergence and divergence ===

* [[Serlo: EN: Limit: Convergence and divergence|Definition of limit]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove convergence and divergence|How to prove convergence and divergence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples for limits|Examples for limits]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Unbounded sequences diverge|Unbounded sequences diverge]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Limit theorems|Limit theorems]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The squeeze theorem|The squeeze theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monotony criterion|Monotony criterion]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove convergence for recursive sequences|How to prove convergence for recursive sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: convergence and divergence|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences ===

* [[Serlo: EN: Subsequence|Subsequence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Accumulation points of sequences|Accumulation points of sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Accumulation points of sets|Accumulation points of sets]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The Bolzano-Weierstrass theorem|The Bolzano-Weierstrass theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Divergence to infinity|Divergence to infinity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Divergence to infinity: rules|Divergence to infinity: rules]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Lim sup and lim inf|Lim sup and lim inf]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy sequences|Cauchy sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Series ===

* [[Serlo: EN: Series|Series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computation rules for series|Computation rules for series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Telescoping sums and series|Telescoping sums and series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Geometric series|Geometric series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Harmonic series|Harmonic series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exponential series|Exponential series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Absolute convergence of a series|Absolute convergence of a series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Rearrangement theorem for series|Rearrangement theorem for series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Series|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Convergence criteria for series ===

* [[Serlo: EN: Overview: convergence criteria|Overview: convergence criteria]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy criterion|Cauchy criterion]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Term test|Term test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Bounded series and convergence|Bounded series and convergence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Direct comparison test|Direct comparison test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Root test|Root test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Ratio test|Ratio test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Alternating series test|Alternating series test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy condensation test|Cauchy condensation test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Application of convergence criteria|Application of convergence criteria]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Convergence criteria for series|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Exponential and Logarithm functions ===

* [[Serlo: EN: Derivation and definition of the exponential series|Derivation and definition of the exponential series]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Properties of the exponential series|Properties of the exponential series]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Logarithmic function|Logarithmic function]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Real exponents|Real exponents]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exp and log functions for complex numbers|Exp and log functions for complex numbers]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Exponential and Logarithm functions|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Trigonometric and Hyperbolic functions ===

* [[Serlo: EN: Sine and cosine|Sine and cosine]] {{Symbol|50%}}

=== Continuity ===

* [[Serlo: EN: Continuity of functions|Continuity of functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Epsilon-delta definition of continuity|Epsilon-delta definition of continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Sequential definition of continuity|Sequential definition of continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Limit of functions|Limit of functions]] {{Symbol|25%}}
* [[Serlo: EN: Proving continuity|Proving continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proving discontinuity|Proving discontinuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Composition of continuous functions|Composition of continuous functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Extreme value theorem|Extreme value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Intermediate value theorem|Intermediate value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Continuity of the inverse function|Continuity of the inverse function]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Uniform continuity|Uniform continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Lipschitz continuity|Lipschitz continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Continuity|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Differential Calculus ===

* [[Serlo: EN: Derivatives|Derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computing derivatives|Computing derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computing derivatives - special|Computing derivatives - special]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivative - inverse function|Derivative - inverse function]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples for derivatives|Examples for derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivatives of higher order|Derivatives of higher order]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Rolle's theorem|Rolle's theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Mean value theorem|Mean value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Constant functions|Constant functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monotone functions|Monotone functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivative and local extrema|Derivative and local extrema]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: L'Hôspital's rule|L'Hôspital's rule]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Overview: continuity and differentiability|Overview: continuity and differentiability]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 1|Exercises 1]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 2|Exercises 2]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 3|Exercises 3]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 4|Exercises 4]] {{Symbol|50%}}


== [[Serlo: EN: Linear algebra|Linear algebra]] ==

=== Vector spaces ===

* [[Serlo: EN: Introduction: Vector space|Introduction: Vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space|Vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space: properties|Vector space: properties]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proofs for vector spaces|Proofs for vector spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Field as a vector space|Field as a vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Coordinate spaces|Coordinate spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Sequence spaces|Sequence spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Function spaces|Function spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Subspace|Subspace]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|Cosets of a subspace]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Quotient space|Quotient space]] {{Symbol|25%}}

=== Linear combinations, generators and bases ===

* [[Serlo: EN: Linear combinations|Linear combinations]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Span|Span]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Generators|Generators]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Linear independence|Linear independence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Basis|Basis]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Steinitz's theorem|Steinitz's theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Dimension|Dimension]] {{Symbol|50%}}

=== Linear maps ===

* [[Serlo: EN: Linear map|Linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Properties of linear maps|Properties of linear maps]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Linear continuation|Linear continuation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proofs for linear maps|Proofs for linear maps]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monomorphisms|Monomorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Epimorphisms|Epimorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Isomorphisms|Isomorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Endomorphism and Automorphism|Endomorphism and Automorphism]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Image of a linear map|Image of a linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Kernel of a linear map|Kernel of a linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises Linear Maps|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Matrices ===

* [[Serlo: EN: Introduction: Matrices|Introduction: Matrices]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Defintion of a matrix|Defintion of a matrix]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space structure on matrices|Vector space structure on matrices]] {{Symbol|50%}}

== [[Serlo: EN: Measure theory|Measure theory]] ==

=== Introduction, basic definitions ===
* [[Serlo: EN: Overview: Objects in Measure Theory|Overview: Objects in Measure Theory]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Volumes on rings|Volumes on rings]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Continuity of volumes on rings|Continuity of volumes on rings]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Pre-measures and measures|Pre-measures and measures]] {{Symbol|50%}}

=== Constructiong measures ===
* [[Serlo: EN: Constructing measures: overview|Constructing measures: overview]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Generated sigma-algebras|Generated sigma-algebras]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Existence of a measure continuation|Existence of a measure continuation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Uniqueness of a continuation|Uniqueness of a continuation]] {{Symbol|50%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfänge|Buchanfänge]] ==

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Algebra by Morrison69|Algebra]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Gewöhnliche Differentialgleichungen by Stephan Kulla|Gewöhnliche Differentialgleichungen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321|Maßtheorie]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321|Partielle Differentialgleichungen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 2|Analysis 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra 2|Lineare Algebra 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum|Abstellraum]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Taylor Entwicklung|Taylor Entwicklung]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Mitmachen für (Nicht-)Freaks|Mitmachen für (Nicht-)Freaks]] ==

=== Erste Schritte ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wer kann mitmachen|Wer kann mitmachen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie kann ich beitragen|Wie kann ich beitragen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie melde ich mich an|Wie melde ich mich an?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wer sind meine Ansprechpersonen|Wer sind meine Ansprechpersonen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie fange ich ein neues Buch an|Wie fange ich ein neues Buch an?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eine persönliche Spielwiese erstellen|Eine persönliche Spielwiese erstellen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Einen Artikel bearbeiten|Einen Artikel bearbeiten]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispielartikel|Beispielartikel]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hilfreiche Links|Hilfreiche Links]] {{Symbol|50%}}

=== Zusammenarbeit ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Interaktion mit der Community|Interaktion mit der Community]]{{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Best Practices für Entscheidungsprozesse|Best Practices für Entscheidungsprozesse]]{{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Umfragen|Umfragen]]{{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie gebe ich gutes Feedback|Wie gebe ich gutes Feedback?]]{{Symbol|75%}}

=== Unser Arbeitsprozess ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Artikelworkflow|Artikelworkflow]]{{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Phabricator|Phabricator]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundvorstellung finden|Grundvorstellung finden]]{{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Artikelplan erstellen|Artikelplan erstellen]]{{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bestehende Artikel überarbeiten|Bestehende Artikel überarbeiten]]{{Symbol|75%}}

=== Bearbeiten von Inhalten ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie funktioniert der Editor|Wie funktioniert der Editor?]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlegende Formatierungen|Grundlegende Formatierungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vorlagen|Vorlagen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Formelumgebung|Formelumgebung]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spickzettel für Mathe-Formeln|Spickzettel für Mathe-Formeln]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hochladen und Einbinden von Medien|Hochladen und Einbinden von Medien]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inhalte doppelt einbinden|Inhalte doppelt Einbinden]] {{Symbol|75%}}

=== Konventionen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sprachliche Konventionen|Sprachliche Konventionen]]{{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Formatierungskonventionen|Formatierungskonventionen]]{{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mathematische Konventionen|Mathematische Konventionen]]{{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zitieren und Quellenangaben|Zitieren und Quellenangaben]]{{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hinweise zu Lizenzen|Hinweise zu Lizenzen]]{{Symbol|75%}}

=== Medien erstellen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erstellen von Medien|Erstellen von Medien]]{{Symbol|50%}}

=== Bearbeiten der Projektstruktur ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sitemap|Sitemap]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Artikel erstellen|Artikel erstellen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Artikel umbenennen und löschen|Artikel umbenennen und löschen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inhalte in den Abstellraum verschieben|Inhalte in den Abstellraum verschieben]] {{Symbol|75%}}

=== Wiki-Tools ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Volltextsuche|Volltextsuche]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beobachtungsliste|Beobachtungsliste]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Linter|Linter]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Banner|Banner]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zugriffszahlen messen|Zugriffszahlen messen]] {{Symbol|75%}}
* [[Spezial:Änderungen an verlinkten Seiten/Mathe für Nicht-Freaks: Sitemap|Letzte Änderungen am Projekt]] {{Symbol|100%}}

=== Printausgabe ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Print specification|Spezifikation unserer Buchausgaben]]{{Symbol|100%}}

=== Archiv ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Archiv|Archiv]]{{Symbol|0%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Über das Projekt|Über das Projekt]] ==

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Projektbeschreibung|Über das Projekt]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unterstütze uns|Unterstütze uns!]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kopiere uns|Kopiere uns!]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spenden|Spenden]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unsere didaktische Vision|Unsere didaktische Vision]]

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Diese Seite listet alle Kapitel des Projekts „Mathe für Nicht-Freaks“ auf. Diese Seite dient zur Übersicht und aus ihr werden die komplette Navigation und die Inhaltsverzeichnisse der einzelnen Bücher generiert.

{| class=&quot;wikitable&quot;
|+ Legende
! Symbol
! Bedeutung
|-
| &lt;span style=&quot;color:#BA0000;&quot;&gt;roter Link&lt;/span&gt;
| Link auf ein Kapitel, welches noch nicht existiert und welches noch geschrieben werden muss.
|-
| &lt;span style=&quot;color:#0645AD;&quot;&gt;blauer Link&lt;/span&gt;
| Kapitel wurde bereits angelegt und enthält Inhalt.
|-
| {{Symbol|0%}}
| Fortschritt 0% – Kapitel besitzt keinen oder kaum Inhalt. Das Kapitel muss neu geschrieben bzw. ergänzt und überarbeitet werden.
|-
| {{Symbol|25%}}
| Fortschritt 25% – Kapitel befindet sich in der Entwicklung, muss aber noch wesentlich ergänzt werden.
|-
| {{Symbol|50%}}
| Fortschritt 50% – Wesentliche Inhalte sind vorhanden, es müssen aber noch wichtige Inhalte hinzugefügt werden (oft befinden sich auf der Seite ToDo-Hinweise, was noch ergänzt werden muss).
|-
| {{Symbol|75%}}
| Fortschritt 75% – Kapitel ist inhaltlich fertig, muss aber noch überarbeitet werden (Korrektur von Rechtschreibfehlern, Formulierungen so verändern, dass sie verständlicher sind oder besser klingen. Unnötige und unpassende Füllwörter wie „auch“ entfernen).
|-
| {{Symbol|100%}}
| Fortschritt 100% – Kapitel ist inhaltlich fertig und wurde mindestens einmal Korrektur gelesen. Aber auch diese Kapitel kannst du Korrektur lesen. Sprich: Rechtschreibfehler korrigieren und Formulierungen verbessern. Auch diese Kapitel können (wie alle anderen) inhaltlich ergänzt werden.
|} 

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik|Grundlagen der Mathematik]] ==

=== Was ist Mathematik? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Mathematik?|Was ist Mathematik?]] {{Symbol|100%}}

=== Einführung in die Logik ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Logik und Aussagen|Logik und Aussagen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Junktor|Junktoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagenlogik|Aussagenlogik]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wahrheitstabelle|Wahrheitstabelle]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie|Tautologien]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Quantor|Quantoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution|Aussageform und Substitution]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prädikatenlogik|Prädikatenlogik]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagen formalisieren|Aussagen formalisieren]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aussagen negieren|Aussagen negieren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Klassenlogik|Klassenlogik]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gesetze der Logik|Gesetze der Logik]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Logik|Aufgaben]]

=== Beweise und Beweismethoden ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweis|Was sind Beweise?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Direkter und indirekter Beweis|Direkter und indirekter Beweis]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Fallunterscheidung und Kontraposition|Fallunterscheidung und Kontraposition]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Notwendige und hinreichende Bedingungen|Notwendige und hinreichende Bedingungen]] {{Symbol|100%}}

=== Vollständige Induktion ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion|Definition und Erklärung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vollständige Induktion: Beispiele|Beispielaufgaben]] {{Symbol|75%}}

=== Mengenlehre ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Menge|Definition einer Menge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise|Mengenschreibweisen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mengendiagramme: Euler- und Venn-Diagramm|Euler- und Venn-Diagramme]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge|Teilmenge und echte Teilmenge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge|Potenzmenge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge und Allklasse|Leere Menge und Allklasse]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfungen zwischen Mengen|Mengenverknüpfungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Durchschnitt von Mengen|Durchschnitt von Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung von Mengen|Vereinigung von Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Differenz, symmetrische Differenz und Komplement|Differenz, symmetrische Differenz und Komplement]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Boolesche Algebra|Boolesche Algebra]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Disjunkte Mengen und paarweise disjunkte Mengensysteme|Disjunkte Mengen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tupel und geordnetes Paar|Tupel und geordnetes Paar]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt|Kartesisches Produkt]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Formeln der Mengenlehre|Formeln der Mengenlehre]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Russells Antinomie und Klassen|Russells Antinomie und Klassen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Axiomatische Mengenlehre|Axiomatische Mengenlehre]] {{Symbol|100%}}

=== Relationen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Relation|Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binäre Relation|Binäre Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften binärer Relationen|Eigenschaften binärer Relationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äquivalenzrelation|Äquivalenzrelationen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ordnungsrelation|Ordnungsrelationen]] {{Symbol|100%}}

=== Abbildungen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildung, Funktion|Abbildungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfung|Verknüpfungen]] {{Symbol|75%}}

=== Mächtigkeit von Mengen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mächtigkeit von Mengen|Mächtigkeit von Mengen]] {{Symbol|100%}}

=== Gleichungsumformungen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungen: Umformungen|Gleichungsumformungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Terme: Umformungen|Termumformungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Gleichungsumformungen|Aufgaben]]

=== Summe, Produkt und Fakultät ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt|Summe und Produkt]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gaußsche Summenformel|Gaußsche Summenformel]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Summenformel|Geometrische Summenformel]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften für Summe und Produkt|Eigenschaften für Summe und Produkt]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Fakultät|Fakultät]] {{Symbol|100%}}

=== Binomialkoeffizient ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient|Binomialkoeffizient]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz|Der binomische Lehrsatz]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient: Rechenregeln|Rechenregeln]] {{Symbol|100%}}

=== Anhang ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wörterbuch|Wörterbuch mathematischer Begriffe]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Liste mathematischer Symbole|Liste mathematischer Symbole]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlagen der Mathematik: Zusammenfassung|Zusammenfassung]]
* [[c:File:Grundlagen der Mathematik.pdf|PDF-Version (Beta)]]

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 1|Analysis 1]] ==
=== Was ist Analysis? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Analysis?|Was ist Analysis?]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wozu Analysis studieren?|Wozu Analysis studieren?]] {{Symbol|100%}}

=== Was sind reelle Zahlen? ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Reelle Zahlen|Was sind reelle Zahlen?]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zahlengerade|Die Zahlengerade]] {{Symbol|100%}}
: Todo: Die Addition wird mit einer Subtraktion erklärt. Es sollte zunächst eine Addition mit zwei positiven Zahlen erklärt werden. -- [[Benutzer:Stephan Kulla|Stephan Kulla]] 23:33, 23. Okt. 2017 (CEST)

=== Körperaxiome ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Körperaxiome|Körperaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen aus den Körperaxiomen|Folgerungen aus den Körperaxiomen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenz|Potenzen reeller Zahlen]] {{Symbol|75%}}

=== Anordnungsaxiome ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anordnungsaxiome|Anordnungsaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen der Anordnungsaxiome|Folgerungen der Anordnungsaxiome]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Betrag, Maximum und Minimum|Betragsfunktion, Maximum und Minimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervall|Intervalle]] {{Symbol|100%}}

=== Vollständigkeit reeller Zahlen  ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit|Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: In dem Artikel [[Mathe für Nicht-Freaks: Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit]] gibt es im ersten Abschnitt einen Link zu einem Wikipedia-Artikel. Hier muss man sich überlegen, ob wir diesen Beweis selbst führen wollen oder wie wir den Link in der Druckversion gestalten wollen.
:* TODO: Ich bin nach wie vor der Meinung, dass dieser Abschnitt in ein Ausblickskapitel gehört, und nicht vorangestellt werden sollte! who2010
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Archimedisches Axiom|Das archimedische Axiom]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Aus einem Feedback &quot;Beim Archimedischen Axiom wird das Axiom negiert, um seine Bedeutung besser zu erklären. Ich tat mir hierbei recht schwer herauszulesen, ob dann im weiteren Verlauf immer noch die Rede von der negierten Version oder der normalen war. &quot;
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bernoulli-Ungleichung|Bernoullische Ungleichung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Allgemeine Intervallschachtelung|Allgemeine Intervallschachtelungen]] {{Symbol|100%}}

=== Die komplexen Zahlen  ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Zahlen: Einleitung und Motivation|Einleitung und Motivation]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexen Zahlen: Definition|Definition komplexer Zahlen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Konjugation und Betrag komplexer Zahlen|Betrag und Konjugation]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Polarform bzw. Polardarstellung komplexer Zahlen|Polardarstellung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Zahlen: Darstellung komplexwertiger Funktionen|Darstellung komplexwertiger Funktionen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu komplexen Zahlen|Aufgaben]]

=== Supremum und Infimum ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum|Supremum und Infimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliches Supremum und Infimum|Uneigentliches Supremum und Infimum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum bestimmen und beweisen|Supremum und Infimum bestimmen und beweisen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum: Eigenschaften|Eigenschaften Supremum und Infimum]] {{Symbol|25%}}
:* TODO: [[Mathe für Nicht-Freaks: Supremumsaxiom|Das Supremumsaxiom]] {{Symbol|0%}}

=== Wurzel reeller Zahlen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzel|Wurzel reeller Zahlen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzgleichungen|Lösungen von Potenzgleichungen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der Wurzel|Rechenregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit rationalem Exponenten|Verallgemeinerte Potenzen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Wurzeln|Aufgaben]]

=== Folgen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folge|Definition]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Explizite und rekursive Bildungsgesetze für Folgen|Explizite und rekursive Bildungsgesetze]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele und Eigenschaften von Folgen|Beispiele und Eigenschaften]] {{Symbol|100%}}
:TODO: Abschnitt zu Eigenschaften könnte man in ein extra Kapitel verschieben
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Folgen|Aufgaben]]

=== Konvergenz und Divergenz ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Konvergenz und Divergenz|Definition Grenzwert]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz beweisen|Konvergenz und Divergenz beweisen]] {{Symbol|100%}}
: TODO: Artikel umstrukturieren, erst allgemeines Vorgehen erklären, unabhängig davon, ob Konvergenz oder Divergenz gezeigt werden soll
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert: Beispiele|Beispiele für Grenzwerte]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren|Unbeschränkte Folgen divergieren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen|Grenzwertsätze]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium für Folgen|Monotoniekriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz rekursiver Folgen beweisen|Konvergenzbeweise rekursiver Folgen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Konvergenz und Divergenz|Aufgaben]]

=== Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teilfolge|Teilfolgen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt einer Folge|Häufungspunkte von Folgen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt und Berührpunkt einer Menge|Häufungs- und Berührpunkte von Mengen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Bolzano-Weierstraß|Satz von Bolzano-Weierstraß]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Bestimmte Divergenz, uneigentliche Konvergenz|Bestimmte Divergenz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der bestimmten Divergenz|Bestimmte Divergenz: Regeln]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lim sup und Lim inf|Lim sup und Lim inf]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium|Cauchy-Folgen]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium als Vollständigkeitsaxiom|Cauchy-Kriterium als Vollständigkeitsaxiom]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-Folgen|Aufgaben]]

=== Reihen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Reihe|Begriff der Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln für Reihen|Rechenregeln für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Teleskopsumme und Teleskopreihe|Teleskopsumme und Teleskopreihe]] {{Symbol|100%}}
:* Animation: Zusammenziehen der Teleskopsumme; Aufgabe &lt;math&gt;\sum (-1)^k&lt;/math&gt; (eine Teleskopsumme?!)
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|Geometrische Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|Harmonische Reihe]] {{Symbol|100%}}
:* Was ist so harmonisch an der harmonischen Reihe?
* [[Mathe für Nicht-Freaks: e-Reihe|e-Reihe]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe|Absolute Konvergenz einer Reihe]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Umordnungssatz für Reihen|Umordnungssatz für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Produkt für Reihen|Cauchy-Produkt für Reihen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Reihen|Aufgaben]]

=== Konvergenzkriterien für Reihen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien|Übersicht Konvergenzkriterien]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Kriterium für Reihen|Cauchy-Kriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beschränkte Reihen und Konvergenz|Beschränkte Reihen und Konvergenz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majoranten- und Minorantenkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] {{Symbol|100%}}
:* Die Reihenfolge von Quotienten- und Wurzelkriterium sollte vertauscht werden, da das Wurzelkriterium nicht immer zum Standardstoff gehört.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cauchysches Verdichtungskriterium|Verdichtungskriterium]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anwendung der Konvergenzkriterien bei Reihen|Anwendung der Konvergenzkriterien]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen|Aufgaben]]

=== Potenzreihen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzreihen|Definition und Beispiele]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenzradius von Potenzreihen|Konvergenzradius]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen|Aufgaben]] {{Symbol|100%}}

=== Exponential- und Logarithmusfunktion ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Herleitung und Definition der Exponentialfunktion|Herleitung und Definition der Exponentialfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Exponentialfunktion|Eigenschaften der Exponentialfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Die Logarithmusfunktion|Logarithmusfunktion]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Potenzen mit reellen Exponenten|Verallgemeinerte Potenzen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen|Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Exponential- und Logarithmusfunktion|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus und Kosinus|Sinus und Kosinus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Sinus und Kosinus|Eigenschaften des Sinus und Kosinus]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Arkussinus und Arkuskosinus|Arkussinus und Arkuskosinus]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Tangens und Kotangens|Tangens und Kotangens]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Arkustangens und Arkuskotangens|Arkustangens und Arkuskotangens]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus|Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

=== Stetigkeit ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit von Funktionen|Stetigkeit von Funktionen]] {{Symbol|100%}}
:* ToDo: In diesen Kapitel könnte man noch Bezüge zur historischen Entwicklung des Stetigkeitsbegriffs einbauen.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgenkriterium der Stetigkeit: Folgenstetigkeit|Folgenkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit|Epsilon-Delta-Kriterium]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Das Epsilon-Delta-Kriterium aufgefasst als Spiel
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grenzwert von Funktionen|Grenzwert von Funktionen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Komposition stetiger Funktionen|Komposition stetiger Funktionen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium|Stetigkeit beweisen]] {{Symbol|75%}}
:* TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Unstetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium|Unstetigkeit beweisen]] {{Symbol|75%}}
:* TODO: Abschnitt zum Grenzwert einer Funktion fehlt.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Zwischenwertsatz|Zwischenwertsatz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum|Satz vom Minimum und Maximum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit der Umkehrfunktion|Stetigkeit der Umkehrfunktion]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichmäßige Stetigkeit|Gleichmäßige Stetigkeit]] {{Symbol|50%}}
:*TODO: In der Animation mit der Wurzel und 1/x Funktion sollte das rote Rechteck bis zum Punkt (0,0) gehen.
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-Stetigkeit]] {{Symbol|100%}}
:* TODO: Wie sehen Beweise mit der Lipschitz-Stetigkeit aus?
:* TODO: Wie kann man beweisen, dass eine Funktion Lipschitz-stetig / nicht Lipschitz-stetig ist?
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Stetigkeit|Aufgaben]]
:* TODO: Uneigentliche Stetigkeit, Einseitige Grenzwerte, Stetige Fortsetzung von Funktionen
:* Notiz: Artikel [[Mathe für Nicht-Freaks: Topologische Definition der Stetigkeit|Topologische Definition der Stetigkeit]] war ursprünglich geplant, sollte aber erst später im Buch zur Topologie kommen.

=== Ableitung ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und Differenzierbarkeit|Ableitung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitungsregeln: Kettenregel, Quotientenregel, Produktregel, Summenregel, Faktorregel|Ableitungsregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spezielle Ableitungsregeln|Spezielle Ableitungsregeln]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung der Umkehrfunktion|Ableitung der Umkehrfunktion]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Ableitungen|Beispiele für Ableitungen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung höherer Ordnung|Ableitung höherer Ordnung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Rolle|Satz von Rolle]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung|Konstanzkriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monotoniekriterium: Zusammenhang zwischen Monotonie und Ableitung einer Funktion|Monotoniekriterium]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung und lokale Extrema|Ableitung und lokale Extrema]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Regel von L'Hospital|Regel von L'Hospital]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit|Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 1|Aufgaben 1]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 2|Aufgaben 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 3|Aufgaben 3]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zur Ableitung 4|Aufgaben 4]]


Geplante Themen: Konvexe Funktionen, Hölderische Ungleichung, Reihe und Ableitung

=== Integrale ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Integral einer Funktion|Das Integral]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Riemannintegral|Riemannintegral]] {{Symbol|50%}}
: TODO: In der Herleitung sollte ein Beispiel einer Funktion gewählt werden, die auch negativ ist. -- [[Benutzer:Stephan Kulla|Stephan Kulla]] 21:12, 18. Okt. 2017 (CEST)
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Riemannintegrals|Eigenschaften des Riemannintegrals]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Regelintegral|Regelintegral]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Mittelwertsatz für Integrale|Mittelwertsatz für Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Substitutionsregel für Integrale|Substitutionsregel]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Partielle Integration|Partielle Integration]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliche Integrale|Uneigentliche Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale|Beispiele für Integrale]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Integralen|Aufgaben]] {{Symbol|0%}}

Geplante Themen: Trapez-Regel, Hölderische Ungleichung für Integrale, Riemannsche Summe, Riemann-Integral

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Algebra 1|Lineare Algebra 1]] ==

=== Einführung in die lineare Algebra ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:EmmaBrink|EmmaBrink]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Algebra?|Was ist Algebra?]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Grundlegende Eigenschaften algebraischer Strukturen|Eigenschaften algebraischer Strukturen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gruppen|Gruppen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ringe|Ringe]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Körper|Körper]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht zu algebraischer Strukturen|Übersicht zu algebraischer Strukturen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektoren und Vektorräume in der Schule|Vektorbegriff aus der Schule]] {{Symbol|50%}}

=== Vektorräume ===
Verantwortlicher: [[Benutzer:Der Annulator|Der Annulator]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Einführung in den Vektorraum|Einführung in den Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum|Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Eigenschaften|Eigenschaften von Vektorräumen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für Vektorräume führen|Beweise für Vektorräume führen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Nullvektorraum|Nullvektorraum]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Der Körper als Vektorraum|Der Körper als Vektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Koordinatenräume|Koordinatenräume]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Folgenräume|Folgenräume]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Funktionsräume|Funktionsräume]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Polynomraum|Polynomraum]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Untervektorraum|Untervektorraum]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen|Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Summe von Unterräumen|Summe von Unterräumen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Innere direkte Summe und Komplement|Innere direkte Summe und Komplement]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äußere direkte Summe|Äußere direkte Summe]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Nebenklassen eines Unterraums|Nebenklassen eines Unterraums]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum|Faktorraum]] {{Symbol|100%}}

=== Linearkombinationen, Erzeugendensystem und Basis ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:Zornsches Lemma|Zornsches Lemma]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Linearkombinationen|Linearkombinationen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Spann, Erzeugnis, lineare Hülle|Spann einer Menge]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erzeugendensystem|Erzeugendensystem]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren|Lineare Unabhängigkeit von Vektoren]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Basis eines Vektorraums|Basis eines Vektorraums]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz|Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dimension eines Vektorraums|Dimension eines Vektorraums]] {{Symbol|100%}}

=== Lineare Abbildungen ===
Verantwortlicher: [[Benutzer:Klaus.mattis|Klaus.mattis]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen, Homomorphismus|Lineare Abbildungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften Linearer Abbildungen|Eigenschaften linearer Abbildungen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prinzip der linearen Fortsetzung|Prinzip der linearen Fortsetzung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Beweise für lineare Abbildungen führen|Beweise für lineare Abbildungen führen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Monomorphismus (Lineare Algebra)|Monomorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Epimorphismus (Lineare Algebra)|Epimorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Isomorphismus (Lineare Algebra)|Isomorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Endomorphismus, Automorphismus|Endomorphismus und Automorphismus]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung: Bild|Bild einer linearen Abbildung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Kern einer linearen Abbildung|Kern einer linearen Abbildung]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen|Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum linearer Abbildungen|Vektorraum linearer Abbildungen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dualraum|Dualraum]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu linearen Abbildungen|Aufgaben]] {{Symbol|100%}}

===Matrizen===
Verantwortlicher: [[Benutzer:GruenerBogen|GruenerBogen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Abbildung und darstellende Matrix|Einführung in Matrizen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abbildungsmatrizen|Abbildungsmatrizen]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Definition der Matrix|Matrizen Allgemein]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Vektorielle Operationen für Matrizen|Vektorraumstruktur auf Matrizen]] {{Symbol|100%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrizenmultiplikation|Matrizenmultiplikation]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Basiswechselmatrizen|Basiswechselmatrizen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrix: Rang|Rang einer Matrix]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inverse Matrizen|Inverse Matrizen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Matrizen|Aufgaben]] {{Symbol|25%}}

=== Isomorphiesatz und Dimensionsformel ===
Verantwortliche: [[Benutzerin:Zornsches Lemma|Zornsches Lemma]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel|Intuition hinter Isomorphiesatz und Dimensionsformel]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Homomorphiesatz und Isomorphiesatz|Homomorphiesatz und Isomorphiesatz]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Dimensionsformel|Dimensionsformel]] {{Symbol|25%}}

=== Gleichungssysteme und Matrizen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gleichungssysteme und Matrizen|Gleichungssysteme und Matrizen]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Matrix: Zeilenstufenform|Zeilenstufenform einer Matrix]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Gaußverfahren|Gaußverfahren]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Cramer'sche Regel|Cramer'sche Regel]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Anwendungsbeispiele|Anwendungsbeispiele]] {{Symbol|0%}}

=== Die Determinante einer Matrix ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinanten|Determinante einer Matrix]] {{Symbol|25%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinante einer Abbildung|Determinante einer Abbildung]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Determinante|Eigenschaften der Determinante]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Laplacescher Entwicklungssatz|Laplacescher Entwicklungssatz]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Permutationen|Permutationen]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Formel der Determinante|Leibniz-Formel der Determinante]] {{Symbol|0%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Determinante besonderer Matrizen|Determinante besonderer Matrizen]] {{Symbol|0%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Maßtheorie|Maßtheorie]] ==

=== Einleitung und Grundbegriffe ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Übersicht: Maßtheoretische Begriffe|Übersicht: Maßtheoretische Begriffe]] {{Symbol|50%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Inhalte auf Ringen|Inhalte auf Ringen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen|Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Prämaße und Maße|Prämaße und Maße]] {{Symbol|75%}}

=== Konstruktion von Maßen ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Konstruktion von Maßen|Einführung in die Konstruktion von Maßen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Erzeugte sigma-Algebren|Erzeugte sigma-Algebren]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Äußere Maße, Messbarkeit, Satz von Caratheodory, Fortsetzungssatz|Existenz einer Fortsetzung]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Ausschöpfungen, Dynkin-Systeme, Eindeutigkeitssatz|Eindeutigkeit einer Fortsetzung]] {{Symbol|50%}}

=== Lebesgue-Integration ===
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Was ist Integration?|Was ist Integration?]] {{Symbol|25%}}

== [[Serlo: EN: Real Analysis|Real Analysis]] ==

=== Help ===

* [[Serlo: EN: Translating Articles|I want more articles. How do I translate?]]
* [[Serlo: EN: Guidelines for translation|Guidelines for translation]]

=== Introduction ===

* [[Serlo: EN: What is Analysis?|What is analysis?]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Why study analysis?|Why study analysis?]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Propositional logic|Propositional logic]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Mathematical induction|Mathematical induction]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Real numbers|Real numbers]] {{Symbol|50%}}

=== Complex numbers ===

* [[Serlo: EN: Introduction and motivation|Introduction and motivation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Definition of complex numbers|Definition of complex numbers]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Absolute value and conjugation|Absolute value and conjugation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Polar representation|Polar representation]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Drawing complex-valued functions|Drawing complex-valued functions]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: complex numbers|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Supremum and infimum ===

* [[Serlo: EN: Supremum and infimum|Supremum and infimum]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The infinite case|The infinite case]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove existence of a supremum or infimum|How to prove existence of a supremum or infimum]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Properties of supremum and infimum|Properties of supremum and infimum]] {{Symbol|50%}}

=== Sequences ===

* [[Serlo: EN: Sequences|Sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Explicit and recursive description|Explicit and recursive description]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples and properties of sequences|Examples and properties of sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: sequences|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Convergence and divergence ===

* [[Serlo: EN: Limit: Convergence and divergence|Definition of limit]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove convergence and divergence|How to prove convergence and divergence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples for limits|Examples for limits]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Unbounded sequences diverge|Unbounded sequences diverge]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Limit theorems|Limit theorems]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The squeeze theorem|The squeeze theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monotony criterion|Monotony criterion]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: How to prove convergence for recursive sequences|How to prove convergence for recursive sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: convergence and divergence|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences ===

* [[Serlo: EN: Subsequence|Subsequence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Accumulation points of sequences|Accumulation points of sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Accumulation points of sets|Accumulation points of sets]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: The Bolzano-Weierstrass theorem|The Bolzano-Weierstrass theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Divergence to infinity|Divergence to infinity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Divergence to infinity: rules|Divergence to infinity: rules]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Lim sup and lim inf|Lim sup and lim inf]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy sequences|Cauchy sequences]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Subsequences, Accumulation points and Cauchy sequences|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Series ===

* [[Serlo: EN: Series|Series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computation rules for series|Computation rules for series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Telescoping sums and series|Telescoping sums and series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Geometric series|Geometric series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Harmonic series|Harmonic series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exponential series|Exponential series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Absolute convergence of a series|Absolute convergence of a series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Rearrangement theorem for series|Rearrangement theorem for series]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Series|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Convergence criteria for series ===

* [[Serlo: EN: Overview: convergence criteria|Overview: convergence criteria]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy criterion|Cauchy criterion]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Term test|Term test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Bounded series and convergence|Bounded series and convergence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Direct comparison test|Direct comparison test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Root test|Root test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Ratio test|Ratio test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Alternating series test|Alternating series test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cauchy condensation test|Cauchy condensation test]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Application of convergence criteria|Application of convergence criteria]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Convergence criteria for series|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Exponential and Logarithm functions ===

* [[Serlo: EN: Derivation and definition of the exponential series|Derivation and definition of the exponential series]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Properties of the exponential series|Properties of the exponential series]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Logarithmic function|Logarithmic function]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Real exponents|Real exponents]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exp and log functions for complex numbers|Exp and log functions for complex numbers]] {{Symbol|0%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Exponential and Logarithm functions|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Trigonometric and Hyperbolic functions ===

* [[Serlo: EN: Sine and cosine|Sine and cosine]] {{Symbol|50%}}

=== Continuity ===

* [[Serlo: EN: Continuity of functions|Continuity of functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Epsilon-delta definition of continuity|Epsilon-delta definition of continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Sequential definition of continuity|Sequential definition of continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Limit of functions|Limit of functions]] {{Symbol|25%}}
* [[Serlo: EN: Proving continuity|Proving continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proving discontinuity|Proving discontinuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Composition of continuous functions|Composition of continuous functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Extreme value theorem|Extreme value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Intermediate value theorem|Intermediate value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Continuity of the inverse function|Continuity of the inverse function]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Uniform continuity|Uniform continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Lipschitz continuity|Lipschitz continuity]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Continuity|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Differential Calculus ===

* [[Serlo: EN: Derivatives|Derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computing derivatives|Computing derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Computing derivatives - special|Computing derivatives - special]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivative - inverse function|Derivative - inverse function]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Examples for derivatives|Examples for derivatives]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivatives of higher order|Derivatives of higher order]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Rolle's theorem|Rolle's theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Mean value theorem|Mean value theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Constant functions|Constant functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monotone functions|Monotone functions]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Derivative and local extrema|Derivative and local extrema]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: L'Hôspital's rule|L'Hôspital's rule]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Overview: continuity and differentiability|Overview: continuity and differentiability]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 1|Exercises 1]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 2|Exercises 2]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 3|Exercises 3]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises: Derivatives 4|Exercises 4]] {{Symbol|50%}}


== [[Serlo: EN: Linear algebra|Linear algebra]] ==

=== Vector spaces ===

* [[Serlo: EN: Introduction: Vector space|Introduction: Vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space|Vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space: properties|Vector space: properties]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proofs for vector spaces|Proofs for vector spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Field as a vector space|Field as a vector space]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Coordinate spaces|Coordinate spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Sequence spaces|Sequence spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Function spaces|Function spaces]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Subspace|Subspace]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Cosets of a subspace|Cosets of a subspace]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Quotient space|Quotient space]] {{Symbol|25%}}

=== Linear combinations, generators and bases ===

* [[Serlo: EN: Linear combinations|Linear combinations]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Span|Span]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Generators|Generators]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Linear independence|Linear independence]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Basis|Basis]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Steinitz's theorem|Steinitz's theorem]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Dimension|Dimension]] {{Symbol|50%}}

=== Linear maps ===

* [[Serlo: EN: Linear map|Linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Properties of linear maps|Properties of linear maps]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Linear continuation|Linear continuation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Proofs for linear maps|Proofs for linear maps]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Monomorphisms|Monomorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Epimorphisms|Epimorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Isomorphisms|Isomorphisms]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Endomorphism and Automorphism|Endomorphism and Automorphism]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Image of a linear map|Image of a linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Kernel of a linear map|Kernel of a linear map]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Exercises Linear Maps|Exercises]] {{Symbol|50%}}

=== Matrices ===

* [[Serlo: EN: Introduction: Matrices|Introduction: Matrices]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Defintion of a matrix|Defintion of a matrix]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Vector space structure on matrices|Vector space structure on matrices]] {{Symbol|50%}}

== [[Serlo: EN: Measure theory|Measure theory]] ==

=== Introduction, basic definitions ===
* [[Serlo: EN: Overview: Objects in Measure Theory|Overview: Objects in Measure Theory]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Volumes on rings|Volumes on rings]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Continuity of volumes on rings|Continuity of volumes on rings]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Pre-measures and measures|Pre-measures and measures]] {{Symbol|50%}}

=== Constructiong measures ===
* [[Serlo: EN: Constructing measures: overview|Constructing measures: overview]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Generated sigma-algebras|Generated sigma-algebras]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Existence of a measure continuation|Existence of a measure continuation]] {{Symbol|50%}}
* [[Serlo: EN: Uniqueness of a continuation|Uniqueness of a continuation]] {{Symbol|50%}}

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfänge|Buchanfänge]] ==

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Algebra by Morrison69|Algebra]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Gewöhnliche Differentialgleichungen by Stephan Kulla|Gewöhnliche Differentialgleichungen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321|Maßtheorie]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321|Partielle Differentialgleichungen]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 2|Analysis 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra|Lineare Algebra]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra 2|Lineare Algebra 2]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum|Abstellraum]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Taylor Entwicklung|Taylor Entwicklung]]
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wahrscheinlichkeitstheorie|Wahrscheinlichkeitstheorie]]

== [[Mathe für Nicht-Freaks: Mitmachen für (Nicht-)Freaks|Mitmachen für (Nicht-)Freaks]] ==

=== Erste Schritte ===

* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wer kann mitmachen|Wer kann mitmachen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie kann ich beitragen|Wie kann ich beitragen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie melde ich mich an|Wie melde ich mich an?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wer sind meine Ansprechpersonen|Wer sind meine Ansprechpersonen?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Wie fange ich ein neues Buch an|Wie fange ich ein neues Buch an?]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Eine persönliche Spielwiese erstellen|Eine persönliche Spielwiese erstellen]] {{Symbol|75%}}
* [[Mathe für Nicht-Freaks: Einen Artikel bearbeiten|Einen Artikel bearbeiten]] {{Symbol|75%}}
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* [[Mathe für Nicht-Freaks: Hilfreiche Links|Hilfreiche Links]] {{Symbol|50%}}

=== Zusammenarbeit ===

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=== Unser Arbeitsprozess ===

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=== Bearbeiten von Inhalten ===

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=== Konventionen ===

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=== Medien erstellen ===

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=== Printausgabe ===
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{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
      <sha1>3yya1aif39t9d5wtfaoe6tu06rp2u6z</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen</title>
    <ns>0</ns>
    <id>101487</id>
    <revision>
      <id>999718</id>
      <parentid>999545</parentid>
      <timestamp>2022-07-19T20:05:03Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Who2010</username>
        <id>67276</id>
      </contributor>
      <comment>/* Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius */ Aufgabe zu Dirichlet-Reihen ergänzt</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="25238" xml:space="preserve">{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}
== Konvergenzradius bestimmen ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen 1
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty 2^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k^2} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{\sqrt k} x^{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k^2} x^{k^2}&lt;/math&gt; 
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^k x^{k^2}&lt;/math&gt;

 |lösung='''Vorbemerkung:''' Sämtliche Potenzreihe in dieser Aufgabe lassen sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard lösen.
{{Liste
 |item1=
'''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' Hier gilt mit &lt;math&gt;c_k=2^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{2^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2 \\[0.3em]
&amp; = 2
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;.

 |item2='''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' Hier gilt mit &lt;math&gt;c_k=2^{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{2^{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{k^2}k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{k} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' Hier gilt mit &lt;math&gt;c_k=2^{\sqrt k}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{2^{\sqrt k}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{\sqrt k}k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac 1{\sqrt k}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} e^{\frac 1{\sqrt k}\cdot \ln 2} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \exp \text{ stetig}\right.} \\[0.3em]
&amp; = e^{\limsup_{n \to \infty} \frac 1{\sqrt k}\cdot \ln 2} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k\to \infty} \frac 1{\sqrt k}=0\right.} \\[0.3em]
&amp; = e^{0\cdot \ln 2} \\[0.3em]
&amp; = e^0 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:''' Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k^2} x^{k^2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizientenfolge
 
 {{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases} 2^{n} &amp; \text{für } n=k^2, \\
 0 &amp; \text{sonst} \end{cases}&lt;/math&gt;}}

Damit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k^2]{2^{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{k^2}{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2 \\[0.3em]
&amp; = 2
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:''' Bei der letzten Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k} x^{k^2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizientenfolge
 
 {{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases} 2^{k}=2^{\sqrt n} &amp; \text{für } n=k^2, \\
 0 &amp; \text{sonst} \end{cases}&lt;/math&gt;}}

Damit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k^2]{2^{k}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{k}{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[k]{2} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k\to \infty} \sqrt[k]{2}=1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{2} \right.} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 =1&lt;/math&gt;.
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen 2
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{k^s}{k!}x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+(-1)^k)!} x^{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\begin{cases} a^n &amp; \text{für gerade } n, \\
b^n &amp; \text{für ungerade } n, \end{cases}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \left( \prod_{i=2}^k \left(1- \frac 1i \right)^i \right)x^k&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 
 
Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ohne Weiteres anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)^s}{(k+1)!}}{\frac{k^s}{k!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s \cdot k!}{(k+1)!\cdot k^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s \cdot k!}{(k+1)\cdot k! \cdot k^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s}{k^s\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s}{k^s}\cdot \frac 1{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^s \cdot \frac 1{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^s \cdot \frac 1{k+1} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \frac 1k = \lim\limits_{k\to \infty} \frac 1{k+1} = 0\right.} \\[0.3em]
&amp; = \left( 1+0\right)^s \cdot 0 \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist ebenfalls anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k^s}{k!}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k^s}}{\sqrt[k]{k!}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} \frac{(\sqrt[k]{k})^s}{\sqrt[k]{k!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac{\limsup\limits_{k \to \infty}(\sqrt[k]{k})^s}{\limsup\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{k!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \text{ und } \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!} = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit folgt ebenfalls &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

 |item2='''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' Auch hier ist die Formel von Cauchy-Hadmard schwer anzuwenden. Dazu müssten wir den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{\binom{2k}{k}}&lt;/math&gt; bestimmen, was alles andere als einfach ist. Die Formel von Euler hingegen ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom {2(k+1)}{k+1} \right|}{\left| \binom {2k}k \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom{2(k+1)}{k+1} \right| = \binom{2k+2}{k+1} = \frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot (2k+2-(k+1))!} = \frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot (k+1)!} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!}}{\frac{(2k)!}{k!k!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden} \right.} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{(2k+2)!\cdot k!\cdot k!}{(2k)!\cdot (k+1)!\cdot (k+1)!} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{(2k+2)\cdot (2k+1)\cdot (2k)!\cdot k!\cdot k!}{(2k)!\cdot (k+1)\cdot k! \cdot (k+1)\cdot k!} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ (2k)! \text{ und } k! \text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{(2k+2)\cdot (2k+1)}{(k+1)\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{4k^2+6k+2}{k^2+2k+1} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{4+\frac 6k +\frac 2{k^2}}{1+\frac 2k+\frac 1{k^2}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k \to \infty}  \frac 6k = \lim\limits_{k \to \infty}  \frac 2k = \lim\limits_{k \to \infty} \frac 2{k^2} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac 1{k^2} =0\right.} \\[0.3em]
&amp; =\frac{4+0+0}{1+0+0} \\[0.3em]
&amp; = 4
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 14&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Damit habe wir im Übrigen auch gezeigt: 

{{Formel|&lt;math&gt;\lim_{k\to \infty} \sqrt[k]{\binom{2k}{k}} = 4&lt;/math&gt;}}}}

 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' Für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe gilt

{{Formel|&lt;math&gt;c_k = \frac{1}{(k+(-1)^k)!} = \begin{cases}
\frac{1}{(2n+(-1)^{2n})!} = \frac 1{(2n+1)!} &amp; \text{für } k=2n, \\
\frac{1}{(2n+1+(-1)^{2n+1})!} = \frac 1{(2n)!} &amp; \text{für } k=2n+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}} 

Damit ist die Formel von Euler nicht anwendbar, da die Quotientenfolge &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht konvergiert. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{|c_{2n+1}|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{\frac{1}{(2n)!}} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{\frac{2n+1}{(2n+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[2n+1]{2n+1}}{\sqrt[2n+1]{(2n+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = \infty \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{(2n+1)} = 1 \text{ und } \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!} = \infty \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{(2n+1)!} = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius der Potenzreihe gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen. Die Formel von Euler ist aus demselben Grund wie Teilaufgabe 3 nicht anwendbar. Daher verwenden wir die Formel von Cauch-Hadamard.

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} =  \limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{b^k} = \limsup\limits_{k \to \infty} b = b&lt;/math&gt;. 
# Ist &lt;math&gt;a&gt;b&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} =  \limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k} = \limsup\limits_{k \to \infty} a = a&lt;/math&gt;. 

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard eher ungeeignet, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\prod\limits_{i=2}^k \left( 1-\frac 1i\right)^i}&lt;/math&gt; bestimmen, was sehr schwierig ist. Die Formel von Euler ergibt mit Hilfe des (hoffentlich bekannten) Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty}  \left( 1-\frac 1{k} \right)^{k} = \frac 1e&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\prod\limits_{i=2}^{k+1} \left( 1-\frac 1i\right)^{i}}{\prod\limits_{i=2}^k \left( 1-\frac 1i\right)^i} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \prod\limits_{i=2}^{k+1} \left( 1-\frac 1i\right)^{i} = \prod\limits_{i=2}^{k} \left( 1-\frac 1i\right)^{k} \cdot  \left(1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\prod\limits_{i=2}^{k} \left( 1-\frac 1i\right)^{i} \cdot \left( 1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1}}{\prod\limits_{i=2}^k \left( 1-\frac 1i\right)^i} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \prod\limits_{i=2}^{k} \left( 1-\frac 1i\right)^{i} \text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \left( 1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k \to \infty}  \left( 1-\frac 1{k} \right)^{k} = \frac 1e \Longrightarrow \lim\limits_{k \to \infty}  \left( 1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1} = \frac 1e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.
}}
}}

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Binomialreihen 
 |aufgabe=Bestimme das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen.
 
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 32}{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{-\frac 12}{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{-\frac 32}{k}&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1=
'''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' Wir verwenden das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]]:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
|a_k| &amp;= \left| \binom{\frac 32}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\frac 32 \cdot \frac 12 \cdot \left(-\frac 12 \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 32-k+2\right) \cdot \left( \frac 32-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 32 \cdot \frac 12 \cdot \left|-\frac 12 \right| \cdot \ldots \cdot \left| \frac 32-k+2\right| \cdot \left| \frac 32-k+1\right|}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot \cdot 1} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \left| -\frac 12 \right| = \frac 12, \ldots ,  \left| \frac 32-k+2 \right| = k-\frac 72 , \  \left| \frac 32-k+1 \right| = k-\frac 52 \right.} \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 32}{k} \cdot \frac{\frac 12}{k-1} \cdot \frac{\frac 12}{1} \cdot \frac{\frac 32}{2} \ldots \cdot \frac{k-\frac 72}{k-3} \cdot \frac{k-\frac 52}{k-2} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{für } k&gt; 2 \text{ gilt } \frac{\frac 12}{1} \le 1, \ldots ,  \frac{k-\frac 72}{k-3} \le 1, \  \frac{k-\frac 52}{k-2}\le 1 \right.} \\[0.5em]
&amp;\le \frac{\frac 32}{k} \cdot \frac{\frac 12}{k-1} \cdot 1 \\[0.5em]
&amp;= \frac 34 \cdot \frac 1{k(k-1)} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{für } k\ge 2 \text{ gilt } k \ge (k-1) \Longrightarrow \frac 1k \le \frac 1{k-1}\right.}\\[0.5em]
&amp;= \frac 34 \cdot \frac 1{(k-1)^2} 
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Da die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=2}^\infty \frac 34 \cdot \frac 1{(k-1)^2} = \frac 34 \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt; konvergiert, konvergiert mit dem Majorantenkriterium auch die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 32}{k}&lt;/math&gt; (absolut).

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Genz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;s \ge 1&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' Das Majorantenkriterium mit der Abschätzung aus Teilaufgabe 1 ist hier nicht anwendbar, da wir hier lediglich die Abschätzung

{{Formel|&lt;math&gt;|a_k| = \left| \binom{\frac 12}{k} \right| = \ldots \le \frac 12 \cdot \frac 1k&lt;/math&gt;}}

ergibt, und die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac 12 \cdot \frac 1k&lt;/math&gt; als [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] divergiert. Auch mit anderen Abschätzungen ist das Majorantenkriterium hier nicht anwendbar.

Stattdessen können wir hier das [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] anwenden. Dazu müssen wir uns allerdings zunächst einnmal überlegen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k}&lt;/math&gt; alternierend ist. Dies folgt allerdings unmittelbar aus

{{Formel|&lt;math&gt;\binom{\frac 12}{k+1} = \frac{\frac 12 \cdot \left( \frac 12 -1\right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 12 -k+1\right)\cdot \overbrace{\left( \frac 12 -(k+1)+1\right)}^{\left( \frac 12 -k\right)}}{1\cdot 2 \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{\frac 12 \cdot \left( \frac 12 -1\right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 12 -k+2\right)\cdot }{1\cdot 2 \cdot k} \cdot \frac{\frac 12 -k}{k+1} = \binom{\frac 12}{k} \cdot \frac{\overbrace{\frac 12 -k}^{&lt;0}}{\underbrace{k+1}_{&gt;0}}&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;k\ge 1&lt;/math&gt;}}

Außerdem ist &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k} = \binom{\frac 12}{0} + \sum\limits_{k=1}^\infty \binom{\frac 12}{k} = 1 + \left| \sum\limits_{k=1}^\infty \binom{\frac 12}{k} \right|&lt;/math&gt;. Wir müssen also zeigen, dass &lt;math&gt;a_k = \left| \binom{\frac 12}{k} \right|&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.

# &lt;math&gt;a_{k+1} = \left| \binom{\frac 12}{k+1} \right| = \left| \binom{\frac 12}{k} \right| \cdot \frac{\left| \frac 12 -k\right|}{k+1} = \left| \binom{\frac 12}{k} \right| \cdot \underbrace{\frac{k -\frac 12}{k+1}}_{\le 1} \le  \left| \binom{\frac 12}{k} \right| = a_k&lt;/math&gt;, also ist &lt;math&gt;(a_k)&lt;/math&gt; monoton fallend.
# Es gilt
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \le |a_k| &amp;= \left| \binom{\frac 12}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\frac 12 \cdot \left(-\frac 12 \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 12-k+2\right) \cdot \left( \frac 12-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 12 \cdot \left|-\frac 12 \right| \cdot \left|-\frac 32 \right| \cdot \ldots \cdot \left| \frac 12-k+2\right| \cdot \left| \frac 12-k+1\right|}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot \cdot 1} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \left| -\frac 12 \right| = \frac 12, \ldots ,  \left| \frac 12-k+2 \right| = k-\frac 52 , \  \left| \frac 12-k+1 \right| = k-\frac 32 \right.} \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 12}{k} \cdot \frac{\frac 12}{1} \cdot \frac{\frac 32}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{k-\frac 52}{k-2} \cdot \frac{k-\frac 32}{k-1} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{für } k&gt; 1 \text{ gilt } \frac{\frac 12}{1} \le 1, \ldots ,  \frac{k-\frac 52}{k-2} \le 1, \  \frac{k-\frac 32}{k-1}\le 1 \right.} \\[0.5em]
&amp;\le \frac{\frac 12}{k} \cdot 1 \\[0.5em]
&amp; \to 0 \text{ mit } k \to \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}
Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] ist &lt;math&gt;(a_k)&lt;/math&gt; eine Nullfolge. 

Also konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k}&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Ganz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;0 \le s \le 1&lt;/math&gt; konvergiert. Mit Hilfe des [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen#Aufgabe:Kriterium von Raabe|Kriteriums von Raabe]] lässt sich sogar zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert.}}
 |item3=
'''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' Auch hier können wir das [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] anwenden. Der Beweis, dass die Reihe alternierend und monoton fallend ist kann eins zu eins aus der Teilaufgabe 2 übernommen werden. Der Beweis, dass die Folge &lt;math&gt;a_k = \binom{-\frac 12}k&lt;/math&gt; eine Nullfolge ist, ist hier allerdings etwas schwieriger. Die Abschätzung aus Teilaufgabe 2 ergibt hier lediglich die Ungleichung

{{Formel|&lt;math&gt;0\le |a_k| = \left| \binom{-\frac 12}{k} \right| = \ldots \le 1,&lt;/math&gt;}}

was nicht ausreicht. Hier müssen wir genauer abschätzen. Dazu benötigen wir verschiedene [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Exponentialfunktion|Eigenschaften der Exponentialfunktion]]:
# Es gilt
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \le |a_k| &amp;= \left| \binom{-\frac 12}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\left(-\frac 12 \right) \cdot \left(-\frac 32 \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac 12-k+2\right) \cdot \left( -\frac 12-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 12 \cdot \frac 32 \cdot \ldots \cdot k-\frac 32 \cdot k-\frac 12}{1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot \cdot k} \\[0.5em]
&amp;= \frac{1-\frac 12}{1} \cdot \frac{2-\frac 12}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{(k-1)-\frac 12}{k-1} \cdot \frac{k-\frac 12}{k} \\[0.5em]
&amp;= \left( 1-\frac{\frac 12}{1} \right) \cdot \left( 1-\frac{\frac 12}{2} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{\frac 12}{k-1} \right) \cdot \left( 1-\frac{\frac 12}{k} \right) \\[0.5em]
&amp;= \prod_{i=1}^k \left( 1-\frac{\frac 12}{i} \right) \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \exp (x)\ge 1+x \Longrightarrow \exp(-x)\ge 1-x \text{ mit } x=\frac{\frac 12}{i} \right.} \\[0.5em]
&amp;\le \prod_{i=1}^k \exp \left( -\frac{\frac 12}{i} \right) \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \exp(x)\cdot \exp(y)=\exp (x+y) \Longrightarrow \prod_{i=1}^k \exp(x_i)=\sum_{i=1}^k \exp(x_i) \text{ mit } x_i=-\frac{\frac 12}{i} \right.} \\[0.5em]
&amp;= \exp \left( \sum_{i=1}^k \left[-\frac{\frac 12}{i}\right] \right) \\[0.5em]
&amp;= \exp \left( -\frac 12 \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i} \right) \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\  \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}=\infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} \exp(-x)=0 \right.} \\[0.5em]
&amp; \to 0 \text{ mit } k \to \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}
Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] ist &lt;math&gt;(a_k)&lt;/math&gt; eine Nullfolge. 

Also konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{-\frac 12}{k}&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Ganz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;-1 &lt; s &lt; 0&lt;/math&gt; konvergiert.}}
 |item4=
'''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''  In diesem Fall gilt die Abschätzung

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \le |a_k| &amp;= \left| \binom{-\frac 32}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\left(-\frac 32 \right) \cdot \left(-\frac 52 \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac 32-k+2\right) \cdot \left( -\frac 32-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 32}{1} \cdot \frac{\frac 52}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{k-\frac 12}{k-1} \cdot \frac{k+\frac 12}{k} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \frac{\frac 32}{1} \ge 1, \ \frac{\frac 52}{2} \ge 1, \ldots ,\  \frac{k-\frac 12}{k-1} \ge 1, \  \frac{k+\frac 12}{k} \right.} \\[0.5em]
&amp; \ge 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit kann &lt;math&gt;a_k = \binom{-\frac 32}{k}&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] ist die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0} \infty \binom{-\frac 32}{k}&lt;/math&gt; divergent.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Ernet lässt sich allgemeiner ganz analog zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;s &lt; -1&lt;/math&gt; divergiert.}}
}}
}}

== Dirichletsche Reihen ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Dirichletsche Reihen 
 |aufgabe=Eine Reihen der Form &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt; heißt &lt;dfn&gt;Dirichletsche Reihe&lt;/dfn&gt;. Zeige:
 
# Es gibt eine &lt;dfn&gt;Konvergenzabszisse&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;\lambda \in \R&lt;/math&gt;, so dass die Reihe konvergiert für &lt;math&gt;s&gt;\lambda&lt;/math&gt; und divergiert für &lt;math&gt;s&lt;\lambda&lt;/math&gt;.
# Bestimme die Konvergenzabszisse &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; für die folgenden Dirichlet-Reihen:
{{Formel|&lt;math&gt;\text{(a)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^2}{k^s} \qquad \text{(b)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k^s} \qquad \text{(c)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^s} \qquad \text{(d)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2^kk^s}&lt;/math&gt;}}

'''Hinweis:''' Zur Lösung der 1. Teilaufgabe zeige zunächst mit Hilfe des [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen#Aufgabe:Dirichlet-Kriterium|Dirichlet-Kriteriums]]: Konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^{s_0}}&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;s_0&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;s&gt;s_0&lt;/math&gt;.
 |lösung=
}}

== Approximation der Umkehrfunktion ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Approximation der Umkehrfunktion
 |aufgabe=Betrachte die Funktion 

{{Formel|&lt;math&gt;g : (0,e) \to (-\infty,\tfrac 1e ), \ g(x)=\tfrac{\ln x}{x}&lt;/math&gt;}}

Berechne für &lt;math&gt;g^{-1}&lt;/math&gt; das Taylor-Polynom 2.Ordnung

 |lösung=

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |name=Schritt 1
 |ziel=Existenz und Berechnung von &lt;math&gt;(g^{-1})'(0)&lt;/math&gt;
 |beweisschritt= 
&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; ist auf &lt;math&gt;(0,e)&lt;/math&gt; differenzierbar als Quotient der beiden differenzierbaren Funktionen &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\text{id}&lt;/math&gt; mit der Ableitung

{{Formel|&lt;math&gt;g'(x) =\frac{1-\ln x}{x^2}&lt;/math&gt;}}

Weiter ist &lt;math&gt;g'(x) =\frac{1-\ln x}{x^2}&gt;0&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt;\ln x &lt;1&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;x \in (0,e)&lt;/math&gt;. Also ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist &lt;math&gt;g:(0,e) \to g(]0,e[)&lt;/math&gt; bijektiv. Weiter ist &lt;math&gt;g(1)=0&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;0 \in g(]0,e[)&lt;/math&gt;, und es gilt &lt;math&gt;g'(1)=1 \ne 0&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;g^{-1}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; differenzierbar mit 

{{Formel|&lt;math&gt;(g^{-1})'(0)= \frac{1}{g'(1)} = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |name=Schritt 2
 |ziel=Existenz und Berechnung von &lt;math&gt;(g^{-1})''(0)&lt;/math&gt;
 |beweisschritt= 
&lt;math&gt;g'&lt;/math&gt; ist auf &lt;math&gt;(0,e)&lt;/math&gt; nach der Quotientenregel differenzierbar mit

{{Formel|&lt;math&gt;g''(x) = \frac{-x-(1-\ln x)2x}{x^4} = \frac{-3-2\ln x}{x^3}&lt;/math&gt;}}

Damit ist &lt;math&gt;(g^{-1})' = \tfrac{1}{g' \circ g^{-1}}&lt;/math&gt; nach der Quotienten- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt mit &lt;math&gt;g''(1)=\tfrac{-3-0}{1^3}=-3&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(g^{-1})''(0)= \frac{0-g''(g^{-1}(0))((g^{-1})'(0))}{(g'(g^{-1}(0))^2} = -\frac{g''(g^{-1}(0))}{(g'(g^{-1}(0))^3} = -\frac{g''(1)}{(g'(1)^3} = -\frac{-3}{1} = 3&lt;/math&gt;}}
}}
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
      <sha1>0l8l514gkxljl8y65aqxosm4fxp86e4</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>999721</id>
      <parentid>999718</parentid>
      <timestamp>2022-07-19T20:22:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Who2010</username>
        <id>67276</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dirichletsche Reihen */ erg</comment>
      <model>wikitext</model>
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== Konvergenzradius bestimmen ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen 1
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty 2^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k^2} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{\sqrt k} x^{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k^2} x^{k^2}&lt;/math&gt; 
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^k x^{k^2}&lt;/math&gt;

 |lösung='''Vorbemerkung:''' Sämtliche Potenzreihe in dieser Aufgabe lassen sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard lösen.
{{Liste
 |item1=
'''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' Hier gilt mit &lt;math&gt;c_k=2^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{2^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2 \\[0.3em]
&amp; = 2
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;.

 |item2='''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' Hier gilt mit &lt;math&gt;c_k=2^{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{2^{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{k^2}k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{k} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' Hier gilt mit &lt;math&gt;c_k=2^{\sqrt k}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{2^{\sqrt k}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{\sqrt k}k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac 1{\sqrt k}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} e^{\frac 1{\sqrt k}\cdot \ln 2} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \exp \text{ stetig}\right.} \\[0.3em]
&amp; = e^{\limsup_{n \to \infty} \frac 1{\sqrt k}\cdot \ln 2} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k\to \infty} \frac 1{\sqrt k}=0\right.} \\[0.3em]
&amp; = e^{0\cdot \ln 2} \\[0.3em]
&amp; = e^0 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:''' Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k^2} x^{k^2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizientenfolge
 
 {{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases} 2^{n} &amp; \text{für } n=k^2, \\
 0 &amp; \text{sonst} \end{cases}&lt;/math&gt;}}

Damit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k^2]{2^{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{k^2}{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2 \\[0.3em]
&amp; = 2
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:''' Bei der letzten Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty 2^{k} x^{k^2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizientenfolge
 
 {{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases} 2^{k}=2^{\sqrt n} &amp; \text{für } n=k^2, \\
 0 &amp; \text{sonst} \end{cases}&lt;/math&gt;}}

Damit folgt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k^2]{2^{k}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac{k}{k^2}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} 2^{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[k]{2} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k\to \infty} \sqrt[k]{2}=1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{2} \right.} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 =1&lt;/math&gt;.
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen 2
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{k^s}{k!}x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+(-1)^k)!} x^{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\begin{cases} a^n &amp; \text{für gerade } n, \\
b^n &amp; \text{für ungerade } n, \end{cases}&lt;/math&gt;  mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \left( \prod_{i=2}^k \left(1- \frac 1i \right)^i \right)x^k&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 
 
Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ohne Weiteres anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)^s}{(k+1)!}}{\frac{k^s}{k!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s \cdot k!}{(k+1)!\cdot k^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s \cdot k!}{(k+1)\cdot k! \cdot k^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s}{k^s\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^s}{k^s}\cdot \frac 1{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^s \cdot \frac 1{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^s \cdot \frac 1{k+1} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \frac 1k = \lim\limits_{k\to \infty} \frac 1{k+1} = 0\right.} \\[0.3em]
&amp; = \left( 1+0\right)^s \cdot 0 \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist ebenfalls anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k^s}{k!}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k^s}}{\sqrt[k]{k!}} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} \frac{(\sqrt[k]{k})^s}{\sqrt[k]{k!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac{\limsup\limits_{k \to \infty}(\sqrt[k]{k})^s}{\limsup\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{k!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \text{ und } \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!} = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit folgt ebenfalls &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

 |item2='''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' Auch hier ist die Formel von Cauchy-Hadmard schwer anzuwenden. Dazu müssten wir den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{\binom{2k}{k}}&lt;/math&gt; bestimmen, was alles andere als einfach ist. Die Formel von Euler hingegen ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom {2(k+1)}{k+1} \right|}{\left| \binom {2k}k \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom{2(k+1)}{k+1} \right| = \binom{2k+2}{k+1} = \frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot (2k+2-(k+1))!} = \frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot (k+1)!} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!}}{\frac{(2k)!}{k!k!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden} \right.} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{(2k+2)!\cdot k!\cdot k!}{(2k)!\cdot (k+1)!\cdot (k+1)!} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{(2k+2)\cdot (2k+1)\cdot (2k)!\cdot k!\cdot k!}{(2k)!\cdot (k+1)\cdot k! \cdot (k+1)\cdot k!} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ (2k)! \text{ und } k! \text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{(2k+2)\cdot (2k+1)}{(k+1)\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{4k^2+6k+2}{k^2+2k+1} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \frac{4+\frac 6k +\frac 2{k^2}}{1+\frac 2k+\frac 1{k^2}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k \to \infty}  \frac 6k = \lim\limits_{k \to \infty}  \frac 2k = \lim\limits_{k \to \infty} \frac 2{k^2} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac 1{k^2} =0\right.} \\[0.3em]
&amp; =\frac{4+0+0}{1+0+0} \\[0.3em]
&amp; = 4
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 14&lt;/math&gt;.
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Damit habe wir im Übrigen auch gezeigt: 

{{Formel|&lt;math&gt;\lim_{k\to \infty} \sqrt[k]{\binom{2k}{k}} = 4&lt;/math&gt;}}}}

 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' Für die Koeffizientenfolge der Potenzreihe gilt

{{Formel|&lt;math&gt;c_k = \frac{1}{(k+(-1)^k)!} = \begin{cases}
\frac{1}{(2n+(-1)^{2n})!} = \frac 1{(2n+1)!} &amp; \text{für } k=2n, \\
\frac{1}{(2n+1+(-1)^{2n+1})!} = \frac 1{(2n)!} &amp; \text{für } k=2n+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}} 

Damit ist die Formel von Euler nicht anwendbar, da die Quotientenfolge &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht konvergiert. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{|c_{2n+1}|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{\frac{1}{(2n)!}} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{\frac{2n+1}{(2n+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[2n+1]{2n+1}}{\sqrt[2n+1]{(2n+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = \infty \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{(2n+1)} = 1 \text{ und } \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k!} = \infty \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{(2n+1)!} = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenzradius der Potenzreihe gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen. Die Formel von Euler ist aus demselben Grund wie Teilaufgabe 3 nicht anwendbar. Daher verwenden wir die Formel von Cauch-Hadamard.

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} =  \limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{b^k} = \limsup\limits_{k \to \infty} b = b&lt;/math&gt;. 
# Ist &lt;math&gt;a&gt;b&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} =  \limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k} = \limsup\limits_{k \to \infty} a = a&lt;/math&gt;. 

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard eher ungeeignet, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\prod\limits_{i=2}^k \left( 1-\frac 1i\right)^i}&lt;/math&gt; bestimmen, was sehr schwierig ist. Die Formel von Euler ergibt mit Hilfe des (hoffentlich bekannten) Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty}  \left( 1-\frac 1{k} \right)^{k} = \frac 1e&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\prod\limits_{i=2}^{k+1} \left( 1-\frac 1i\right)^{i}}{\prod\limits_{i=2}^k \left( 1-\frac 1i\right)^i} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \prod\limits_{i=2}^{k+1} \left( 1-\frac 1i\right)^{i} = \prod\limits_{i=2}^{k} \left( 1-\frac 1i\right)^{k} \cdot  \left(1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\prod\limits_{i=2}^{k} \left( 1-\frac 1i\right)^{i} \cdot \left( 1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1}}{\prod\limits_{i=2}^k \left( 1-\frac 1i\right)^i} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \prod\limits_{i=2}^{k} \left( 1-\frac 1i\right)^{i} \text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp;\lim\limits_{k \to \infty} \left( 1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k \to \infty}  \left( 1-\frac 1{k} \right)^{k} = \frac 1e \Longrightarrow \lim\limits_{k \to \infty}  \left( 1-\frac 1{k+1} \right)^{k+1} = \frac 1e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit besitzt die Potenzreihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.
}}
}}

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Binomialreihen 
 |aufgabe=Bestimme das Konvergenzverhalten der folgenden Reihen.
 
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 32}{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{-\frac 12}{k}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{-\frac 32}{k}&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1=
'''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' Wir verwenden das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]]:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
|a_k| &amp;= \left| \binom{\frac 32}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\frac 32 \cdot \frac 12 \cdot \left(-\frac 12 \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 32-k+2\right) \cdot \left( \frac 32-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 32 \cdot \frac 12 \cdot \left|-\frac 12 \right| \cdot \ldots \cdot \left| \frac 32-k+2\right| \cdot \left| \frac 32-k+1\right|}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot \cdot 1} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \left| -\frac 12 \right| = \frac 12, \ldots ,  \left| \frac 32-k+2 \right| = k-\frac 72 , \  \left| \frac 32-k+1 \right| = k-\frac 52 \right.} \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 32}{k} \cdot \frac{\frac 12}{k-1} \cdot \frac{\frac 12}{1} \cdot \frac{\frac 32}{2} \ldots \cdot \frac{k-\frac 72}{k-3} \cdot \frac{k-\frac 52}{k-2} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{für } k&gt; 2 \text{ gilt } \frac{\frac 12}{1} \le 1, \ldots ,  \frac{k-\frac 72}{k-3} \le 1, \  \frac{k-\frac 52}{k-2}\le 1 \right.} \\[0.5em]
&amp;\le \frac{\frac 32}{k} \cdot \frac{\frac 12}{k-1} \cdot 1 \\[0.5em]
&amp;= \frac 34 \cdot \frac 1{k(k-1)} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{für } k\ge 2 \text{ gilt } k \ge (k-1) \Longrightarrow \frac 1k \le \frac 1{k-1}\right.}\\[0.5em]
&amp;= \frac 34 \cdot \frac 1{(k-1)^2} 
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Da die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=2}^\infty \frac 34 \cdot \frac 1{(k-1)^2} = \frac 34 \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt; konvergiert, konvergiert mit dem Majorantenkriterium auch die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 32}{k}&lt;/math&gt; (absolut).

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Genz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;s \ge 1&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' Das Majorantenkriterium mit der Abschätzung aus Teilaufgabe 1 ist hier nicht anwendbar, da wir hier lediglich die Abschätzung

{{Formel|&lt;math&gt;|a_k| = \left| \binom{\frac 12}{k} \right| = \ldots \le \frac 12 \cdot \frac 1k&lt;/math&gt;}}

ergibt, und die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac 12 \cdot \frac 1k&lt;/math&gt; als [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] divergiert. Auch mit anderen Abschätzungen ist das Majorantenkriterium hier nicht anwendbar.

Stattdessen können wir hier das [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] anwenden. Dazu müssen wir uns allerdings zunächst einnmal überlegen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k}&lt;/math&gt; alternierend ist. Dies folgt allerdings unmittelbar aus

{{Formel|&lt;math&gt;\binom{\frac 12}{k+1} = \frac{\frac 12 \cdot \left( \frac 12 -1\right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 12 -k+1\right)\cdot \overbrace{\left( \frac 12 -(k+1)+1\right)}^{\left( \frac 12 -k\right)}}{1\cdot 2 \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{\frac 12 \cdot \left( \frac 12 -1\right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 12 -k+2\right)\cdot }{1\cdot 2 \cdot k} \cdot \frac{\frac 12 -k}{k+1} = \binom{\frac 12}{k} \cdot \frac{\overbrace{\frac 12 -k}^{&lt;0}}{\underbrace{k+1}_{&gt;0}}&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;k\ge 1&lt;/math&gt;}}

Außerdem ist &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k} = \binom{\frac 12}{0} + \sum\limits_{k=1}^\infty \binom{\frac 12}{k} = 1 + \left| \sum\limits_{k=1}^\infty \binom{\frac 12}{k} \right|&lt;/math&gt;. Wir müssen also zeigen, dass &lt;math&gt;a_k = \left| \binom{\frac 12}{k} \right|&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.

# &lt;math&gt;a_{k+1} = \left| \binom{\frac 12}{k+1} \right| = \left| \binom{\frac 12}{k} \right| \cdot \frac{\left| \frac 12 -k\right|}{k+1} = \left| \binom{\frac 12}{k} \right| \cdot \underbrace{\frac{k -\frac 12}{k+1}}_{\le 1} \le  \left| \binom{\frac 12}{k} \right| = a_k&lt;/math&gt;, also ist &lt;math&gt;(a_k)&lt;/math&gt; monoton fallend.
# Es gilt
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \le |a_k| &amp;= \left| \binom{\frac 12}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\frac 12 \cdot \left(-\frac 12 \right) \cdot \ldots \cdot \left( \frac 12-k+2\right) \cdot \left( \frac 12-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 12 \cdot \left|-\frac 12 \right| \cdot \left|-\frac 32 \right| \cdot \ldots \cdot \left| \frac 12-k+2\right| \cdot \left| \frac 12-k+1\right|}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot \cdot 1} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \left| -\frac 12 \right| = \frac 12, \ldots ,  \left| \frac 12-k+2 \right| = k-\frac 52 , \  \left| \frac 12-k+1 \right| = k-\frac 32 \right.} \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 12}{k} \cdot \frac{\frac 12}{1} \cdot \frac{\frac 32}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{k-\frac 52}{k-2} \cdot \frac{k-\frac 32}{k-1} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \text{für } k&gt; 1 \text{ gilt } \frac{\frac 12}{1} \le 1, \ldots ,  \frac{k-\frac 52}{k-2} \le 1, \  \frac{k-\frac 32}{k-1}\le 1 \right.} \\[0.5em]
&amp;\le \frac{\frac 12}{k} \cdot 1 \\[0.5em]
&amp; \to 0 \text{ mit } k \to \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}
Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] ist &lt;math&gt;(a_k)&lt;/math&gt; eine Nullfolge. 

Also konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{\frac 12}{k}&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Ganz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;0 \le s \le 1&lt;/math&gt; konvergiert. Mit Hilfe des [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen#Aufgabe:Kriterium von Raabe|Kriteriums von Raabe]] lässt sich sogar zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert.}}
 |item3=
'''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' Auch hier können wir das [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] anwenden. Der Beweis, dass die Reihe alternierend und monoton fallend ist kann eins zu eins aus der Teilaufgabe 2 übernommen werden. Der Beweis, dass die Folge &lt;math&gt;a_k = \binom{-\frac 12}k&lt;/math&gt; eine Nullfolge ist, ist hier allerdings etwas schwieriger. Die Abschätzung aus Teilaufgabe 2 ergibt hier lediglich die Ungleichung

{{Formel|&lt;math&gt;0\le |a_k| = \left| \binom{-\frac 12}{k} \right| = \ldots \le 1,&lt;/math&gt;}}

was nicht ausreicht. Hier müssen wir genauer abschätzen. Dazu benötigen wir verschiedene [[Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften der Exponentialfunktion|Eigenschaften der Exponentialfunktion]]:
# Es gilt
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \le |a_k| &amp;= \left| \binom{-\frac 12}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\left(-\frac 12 \right) \cdot \left(-\frac 32 \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac 12-k+2\right) \cdot \left( -\frac 12-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 12 \cdot \frac 32 \cdot \ldots \cdot k-\frac 32 \cdot k-\frac 12}{1\cdot 2 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot \cdot k} \\[0.5em]
&amp;= \frac{1-\frac 12}{1} \cdot \frac{2-\frac 12}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{(k-1)-\frac 12}{k-1} \cdot \frac{k-\frac 12}{k} \\[0.5em]
&amp;= \left( 1-\frac{\frac 12}{1} \right) \cdot \left( 1-\frac{\frac 12}{2} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1-\frac{\frac 12}{k-1} \right) \cdot \left( 1-\frac{\frac 12}{k} \right) \\[0.5em]
&amp;= \prod_{i=1}^k \left( 1-\frac{\frac 12}{i} \right) \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \exp (x)\ge 1+x \Longrightarrow \exp(-x)\ge 1-x \text{ mit } x=\frac{\frac 12}{i} \right.} \\[0.5em]
&amp;\le \prod_{i=1}^k \exp \left( -\frac{\frac 12}{i} \right) \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \exp(x)\cdot \exp(y)=\exp (x+y) \Longrightarrow \prod_{i=1}^k \exp(x_i)=\sum_{i=1}^k \exp(x_i) \text{ mit } x_i=-\frac{\frac 12}{i} \right.} \\[0.5em]
&amp;= \exp \left( \sum_{i=1}^k \left[-\frac{\frac 12}{i}\right] \right) \\[0.5em]
&amp;= \exp \left( -\frac 12 \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i} \right) \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\  \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}=\infty \text{ und } \lim_{x \to \infty} \exp(-x)=0 \right.} \\[0.5em]
&amp; \to 0 \text{ mit } k \to \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}
Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] ist &lt;math&gt;(a_k)&lt;/math&gt; eine Nullfolge. 

Also konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom{-\frac 12}{k}&lt;/math&gt;.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Ganz analog lässt sich allgemeiner zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;-1 &lt; s &lt; 0&lt;/math&gt; konvergiert.}}
 |item4=
'''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''  In diesem Fall gilt die Abschätzung

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
0 \le |a_k| &amp;= \left| \binom{-\frac 32}{k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \left| \frac{\left(-\frac 32 \right) \cdot \left(-\frac 52 \right) \cdot \ldots \cdot \left( -\frac 32-k+2\right) \cdot \left( -\frac 32-k+1\right)}{1\cdot 2\cdot 3 \cdot \ldots \cdot (k-1) \cdot k}\right| \\[0.5em]
&amp;= \frac{\frac 32}{1} \cdot \frac{\frac 52}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{k-\frac 12}{k-1} \cdot \frac{k+\frac 12}{k} \\[0.5em]
&amp;{\color{OliveGreen}\left\downarrow\ \frac{\frac 32}{1} \ge 1, \ \frac{\frac 52}{2} \ge 1, \ldots ,\  \frac{k-\frac 12}{k-1} \ge 1, \  \frac{k+\frac 12}{k} \right.} \\[0.5em]
&amp; \ge 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Damit kann &lt;math&gt;a_k = \binom{-\frac 32}{k}&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] ist die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0} \infty \binom{-\frac 32}{k}&lt;/math&gt; divergent.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Ernet lässt sich allgemeiner ganz analog zeigen, dass die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;s &lt; -1&lt;/math&gt; divergiert.}}
}}
}}

== Dirichletsche Reihen ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Dirichletsche Reihen 
 |aufgabe=Eine Reihen der Form &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt; heißt &lt;dfn&gt;Dirichletsche Reihe&lt;/dfn&gt; oder &lt;dfn&gt;Dirichlet-Reihe&lt;/math&gt;. Zeige:
 
# Es gibt eine &lt;dfn&gt;Konvergenzabszisse&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;\lambda \in \R&lt;/math&gt;, so dass die Reihe konvergiert für &lt;math&gt;s&gt;\lambda&lt;/math&gt; und divergiert für &lt;math&gt;s&lt;\lambda&lt;/math&gt;.
# Bestimme die Konvergenzabszisse &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; für die folgenden Dirichlet-Reihen:
{{Formel|&lt;math&gt;\text{(a)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^2}{k^s} \qquad \text{(b)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k^s} \qquad \text{(c)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^s} \qquad \text{(d)} \ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{2^kk^s}&lt;/math&gt;}}

'''Hinweis:''' Zur Lösung der 1. Teilaufgabe zeige zunächst mit Hilfe des [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen#Aufgabe:Dirichlet-Kriterium|Dirichlet-Kriteriums]]: Konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^{s_0}}&lt;/math&gt; für ein &lt;math&gt;s_0&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;s&gt;s_0&lt;/math&gt;.
 |lösung=
}}

== Approximation der Umkehrfunktion ==
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Approximation der Umkehrfunktion
 |aufgabe=Betrachte die Funktion 

{{Formel|&lt;math&gt;g : (0,e) \to (-\infty,\tfrac 1e ), \ g(x)=\tfrac{\ln x}{x}&lt;/math&gt;}}

Berechne für &lt;math&gt;g^{-1}&lt;/math&gt; das Taylor-Polynom 2.Ordnung

 |lösung=

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |name=Schritt 1
 |ziel=Existenz und Berechnung von &lt;math&gt;(g^{-1})'(0)&lt;/math&gt;
 |beweisschritt= 
&lt;math&gt;g&lt;/math&gt; ist auf &lt;math&gt;(0,e)&lt;/math&gt; differenzierbar als Quotient der beiden differenzierbaren Funktionen &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\text{id}&lt;/math&gt; mit der Ableitung

{{Formel|&lt;math&gt;g'(x) =\frac{1-\ln x}{x^2}&lt;/math&gt;}}

Weiter ist &lt;math&gt;g'(x) =\frac{1-\ln x}{x^2}&gt;0&lt;/math&gt;, da &lt;math&gt;\ln x &lt;1&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;x \in (0,e)&lt;/math&gt;. Also ist &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist &lt;math&gt;g:(0,e) \to g(]0,e[)&lt;/math&gt; bijektiv. Weiter ist &lt;math&gt;g(1)=0&lt;/math&gt;, also &lt;math&gt;0 \in g(]0,e[)&lt;/math&gt;, und es gilt &lt;math&gt;g'(1)=1 \ne 0&lt;/math&gt;. Damit ist &lt;math&gt;g^{-1}&lt;/math&gt; in &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; differenzierbar mit 

{{Formel|&lt;math&gt;(g^{-1})'(0)= \frac{1}{g'(1)} = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |name=Schritt 2
 |ziel=Existenz und Berechnung von &lt;math&gt;(g^{-1})''(0)&lt;/math&gt;
 |beweisschritt= 
&lt;math&gt;g'&lt;/math&gt; ist auf &lt;math&gt;(0,e)&lt;/math&gt; nach der Quotientenregel differenzierbar mit

{{Formel|&lt;math&gt;g''(x) = \frac{-x-(1-\ln x)2x}{x^4} = \frac{-3-2\ln x}{x^3}&lt;/math&gt;}}

Damit ist &lt;math&gt;(g^{-1})' = \tfrac{1}{g' \circ g^{-1}}&lt;/math&gt; nach der Quotienten- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt mit &lt;math&gt;g''(1)=\tfrac{-3-0}{1^3}=-3&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;(g^{-1})''(0)= \frac{0-g''(g^{-1}(0))((g^{-1})'(0))}{(g'(g^{-1}(0))^2} = -\frac{g''(g^{-1}(0))}{(g'(g^{-1}(0))^3} = -\frac{g''(1)}{(g'(1)^3} = -\frac{-3}{1} = 3&lt;/math&gt;}}
}}
}}

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}</text>
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    <title>OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Keine Eheschließung/Eheschließung vor der Flucht Lösung</title>
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      <timestamp>2022-07-20T06:52:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>RheaNachtigall</username>
        <id>99346</id>
      </contributor>
      <comment>Korrektur gelesen</comment>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21486" xml:space="preserve">&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;/p&gt;
{{OpenRewi/Kapitelanfang}}
&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Autorin:''' Cana Mungan&lt;/big&gt;&lt;/p&gt;&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' keines    &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' Familiennachzug; Nachzug von Eheleuten zu anerkannten Flüchtlingen; Eheschließung nach der Flucht; Stellvertretungsehe; Lebensunterhaltssicherung; ausreichender Wohnraum; Nachweis von Sprachkenntnissen; Scheinehe.   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Keine Eheschließung/Eheschließung vor der Flucht SV|Soll das Familienleben an der Prüfungsangst scheitern?]]   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad:''' Anfänger*innen   &lt;/blockquote&gt;

== A. Fallfrage ==
Das Ehepaar möchte wissen, ob M einen Anspruch auf Nachzug zu ihrem als Flüchtling anerkannten Ehemann W hat.

=== I. Anspruchsgrundlage ===

Anspruchsgrundlage für ein nationales Visum zum Zwecke des Nachzugs zu Eheleuten ist §&amp;nbsp;30&amp;nbsp;AufenthG (§&amp;nbsp;6&amp;nbsp;III&amp;nbsp;AufenthG). Darüber hinaus sind auch die Vorschriften nach §§&amp;nbsp;5, 27 und §&amp;nbsp;29&amp;nbsp;I bis III und V AufenthG heranzuziehen, falls ihr Anwendungsbereich nicht ausgeschlossen ist.{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|M bezweckt einen längerfristigen Aufenthalt zum Zwecke der Familienzusammenführung. Nach ihrer Einreise wird ihr die zuständige Ausländerbehörde eine Aufenthaltserlaubnis nach § 30 AufenthG erteilen. 
Für die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis ist nach § 5 II AufenthG grundsätzlich Voraussetzung, dass die antragstellende Person 
1. mit dem erforderlichen Visum eingereist ist und
2. die für die Erteilung maßgeblichen Angaben bereits im Visumantrag gemacht hat.
Nach § 6 III AufenthG ist für längerfristige Aufenthalte eine Einreise mit einem sogenannten &quot;nationalen Visum&quot; erforderlich. Nach § 4 I 2 Nr. 1 AufenthG handelt es sich dabei um einen Aufenthaltstitel.
Von dem Visumerfordernis kann die Ausländerbehörde absehen, wenn die Voraussetzungen eines Anspruchs auf Erteilung erfüllt sind oder es auf Grund besonderer Umstände des Einzelfalls nicht zumutbar ist, das Visumverfahren nachzuholen. |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
|style=background: rgb(0,43,94);
background: linear-gradient(90deg, rgba(0,43,94,1) 0%, rgba(47,96,152,1) 8%, rgba(94,149,210,1) 68%)
|bg=black
|bg2=white
|tc1=white
|tc2=black}}

=== II. Besondere Erteilungsvoraussetzungen ===

==== 1. Wirksame Eheschließung ====
Es liegt vorliegend eine sogenannte Stellvertretungsehe oder „Handschuh-Ehe“ vor. Eine sogenannte Handschuhehe ist eine Ehe, bei der die Eheschließung in Abwesenheit eines Ehepartners in Vertretung durch eine andere Person durchgeführt wurde. Diese kann grundsätzlich als schützenswerte Ehe in Deutschland anerkannt werden. Bei einer Handschuhehe hat die Mittelsperson nur die vom Vertretenen vorgegebene Konsenserklärung vor dem Trauungsorgan abzugeben, ohne eigene Entscheidungsfreiheit zur Partnerwahl zu besitzen.

Die Wirksamkeit der Eheschließung richtet sich gemäß Art. 11, 13 EGBGB nach dem jeweils anwendbaren Familienrecht. Bezüglich der formellen Eheschließungsvoraussetzungen (zum Beispiel persönliche Anwesenheit, Vertretung etc.) müssen nach Art. 11 Abs. 1 EGBGB die Formerfordernisse des Rechts des Staates, in dem das Rechtsgeschäft vorgenommen wird, erfüllt sein. Wird der Vertrag durch einen Vertreter geschlossen, so ist der Staat maßgeblich, in dem die Handschuhehe geschlossen wurde, Art. 11 Abs. 3 EGBGB. Die materielle Rechtmäßigkeit der Eheschließung (zum Beispiel Ehefähigkeit, Ehehindernisse, Fehlen von Willensmängeln etc.) richtet sich gemäß Art.13 Abs. 1 EGBGB für jeden Verlobten nach dem Recht des Staates, dem er angehört.

Vorliegend sind beide Eheleute syrische Staatsangehörige. Die Ehe wurde in Syrien geschlossen. Damit bestimmt sich die Wirksamkeit der Eheschließung nach syrischem Recht. Nach syrischem Recht ist die Stellvertretung bei der Eheschließung erlaubt, solange der Stellvertreter lediglich den Willen einer der Parteien zum Ausdruck bringt (vgl. Art. 8 I syrisches Personalstatutsgesetz).

Nicht mit syrischem Recht vereinbar wäre es, wenn der Stellvertreter über das „Ob“ der Heirat oder über die Wahl des Ehepartners entscheiden würde. Dies würde über die zulässige Stellvertretung „bei der Eheschließung“ hinausgehen. Die Auswahl des Ehepartners kann nicht dem Stellvertreter überlassen werden. Solch eine Stellvertretung im Willen ist auch nach deutschem Recht nicht wirksam, da sie gegen die öffentliche Ordnung (ordre public) verstieße (Art. 6 EGBGB). Insbesondere verstößt eine Eheschließung mit Stellvertretung im Willen gegen grundlegende Menschenrechtsprinzipien der deutschen Verfassung (Art. 1, Art. 2 I, Art. 3 II GG), den Grundsatz der Selbstbestimmung in höchstpersönlichen Angelegenheiten und degradiert den Akt der Eheschließung zu einem bloßen Handelsgeschäft. Anhaltspunkte für eine solche Willensvertretung fehlen hier. Eine Willensvertretung lag insbesondere auch nicht deshalb vor, weil sich die Ehegatten zum Zeitpunkt der Eheschließung noch nie begegnet waren. Ausreichend zum Ausschluss einer Willensvertretung ist vielmehr, dass der Vertretene die Identität der Verlobten kennt und seine Vollmacht sich auf diese bestimmte, unverwechselbare Person beschränkt, so dass auszuschließen ist, dass der für einen Verlobten handelnde Vertreter jedweder anderen, zum Termin der Eheschließung erscheinenden Person das „Ja-Wort“ des Vertretenen übermitteln würde.&lt;ref&gt;Vgl.OLG Zweibrücken,  Beschluss vom 8.12.2010 - 3 W 175/10; AG Gießen, Beschluss vom 31.1.2000 – 22 III 81/99 – juris; AG Lüdenscheidt, Beschluss vom 13.1.2016 – 5 F 1442/14 - juris&lt;/ref&gt;
==== 2. Volljährigkeit bei Eheschließung ====
Nach §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG ist für den Nachzug zu Eheleuten, sowohl bei ausländischen als auch deutschen Staatsangehörigen, grundsätzlich Voraussetzung, dass beide Eheleute das [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|18. Lebensjahr vollendet haben]]. Vorliegend waren die Eheleute im Zeitpunkt ihrer Eheschließung beide volljährig.

==== 3. Aufenthaltstitel der stammberechtigten Person ====
Nach §'''&amp;nbsp;'''29'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1 i.V.m. §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''AufenthG muss die in Deutschland lebende [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|stammberechtigte Person]] einen der in der Vorschrift genannten Aufenthaltstitel besitzen.

Vorliegend ist der stammberechtigte W als anerkannter Flüchtling im Besitz einer Aufenthaltserlaubnis gemäß §'''&amp;nbsp;'''25 II 1 Alt. 1'''&amp;nbsp;'''AufenthG und erfüllt damit die Voraussetzung des §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''lit.'''&amp;nbsp;'''c'''&amp;nbsp;'''AufenthG. Er besitzt diese Aufenthaltserlaubnis auch seit mindestens zwei Jahren. Unschädlich ist hierbei, dass der Aufenthaltstitel vorliegend „abgelaufen“ ist. Der W hat vor Ablauf seines Aufenthaltstitels und damit rechtzeitig einen Antrag auf Verlängerung bei der zuständigen Ausländerbehörde gestellt. Damit greift die Fiktionswirkung des §'''&amp;nbsp;'''81'''&amp;nbsp;'''IV'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG. Danach gilt der bisherige Aufenthaltstitel bei rechtzeitiger Antragstellung vom Zeitpunkt seines Ablaufs bis zur Entscheidung der Ausländerbehörde als fortbestehend.&lt;ref&gt;So auch: Bergmann/Dienelt, Ausländerrecht, 13. Aufl. 2013, AufenthG § 29 Rn. 6; Oberhäuser, in: Nomos-Praxis, Migrationsrecht in der Praxis, § 6 Rn. 102.&lt;/ref&gt;

==== 4. Sprachkenntnisse der nachzugswilligen Person ====

===== a) Nachweis von Deutschkenntnissen =====
Nach §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''AufenthG muss sich der*die nachzugswillige Ehepartner*in vor Einreise auf einfacher Art in deutscher Sprache verständigen können.&lt;ref&gt;Vgl. EuGH, Urt. v. 09.07.2015 - C-153/14 K und A gegen Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/M23038 asyl.net: M23038].&lt;/ref&gt; Dies setzt den Nachweis von Sprachkenntnissen auf dem Niveau A1 voraus (vgl. Legaldefinition in §'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''IX'''&amp;nbsp;'''AufenthG).

M verfügt zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht über die nach §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''AufenthG erforderlichen Deutschkenntnisse. Zwar besucht sie bereits seit mehreren Monaten einen Deutschkurs. Einen aussagefähigen Nachweis hierüber wie das Sprachzeugnis des Goethe-Instituts kann sie indes zum jetzigen Zeitpunkt nicht beibringen. Zum aktuellen Zeitpunkt legte sie nicht in anderer Weise substantiiert und nachvollziehbar dar, dass sie über die von ihr angeführten Sprachfertigkeiten verfügt. 

Falls M mündliche Sprachfertigkeiten auf dem Niveau A1 oder höher besitzt, ist zu erwägen, ob eine Feststellung der Sprachkenntnisse in einem Alltagsgespräch bei der Vorsprache bei der Auslandsvertretung beantragt werden sollte. In der Regel wird die Sprachfähigkeit nicht offenkundig vorliegen, sodass es auf die Vorlage eines anerkannten Sprachzertifikats ankommt.&lt;ref&gt;So z.B. das Zertifikat „Start Deutsch 1“ des Goethe-Institutes, „Start Deutsch 1“ der Telc GmbH, des TestDaF-Instituts e.V. oder von Partner-Organisationen bzw. Lizenznehmern.&lt;/ref&gt;

===== b) Ausnahmen vom Spracherfordernis =====
Für das Spracherfordernis finden sich in §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''AufenhG eine Reihe von Ausnahmetatbeständen.  

Nach § 30 I 3 Nr. 1 AufenthG ist der Sprachnachweis dann nicht erforderlich, wenn die stammberechtigte Person einen Aufenthaltstitel aus humanitären Gründen besitzt (wie hier der W als anerkannter Flüchtling) und die Ehe bereits bestand, als die Person ihren Lebensmittelpunkt nach Deutschland verlegt hat. Dieser Ausnahmetatbestand kommt vorliegend nicht zum Zuge, da die Ehe nicht bereits zu dem Zeitpunkt bestanden hat, als W seinen Lebensmittelpunkt nach Deutschland verlegt hat. 

Fraglich ist, ob hier der Ausnahmetatbestand des § 30 I 3 Nr. 2 AufenthG gegeben ist. Danach ist vom Spracherfordernis abzusehen, wenn die nachzugswillige Person wegen einer körperlichen, geistigen oder seelischen Krankheit oder Behinderung nicht in der Lage ist, einfache Kenntnisse der deutschen Sprache nachzuweisen. Im vorliegenden Fall liegt aktuell kein ärztliches Attest vor, welches einen Zusammenhang zwischen einer geistigen oder seelischen Krankheit von M und den unzureichenden Prüfungsergebnissen darzustellen vermag.  

Damit bleibt fraglich, ob aufgrund der großen Prüfungsangst und der damit einhergehenden erfolgslosen Prüfungsversuche die Härtefallklausel des §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''6'''&amp;nbsp;'''AufenthG zum Zuge kommen kann. 

Danach ist von dem Spracherfordernis abzusehen, wenn es der nachzugswilligen Person auf Grund besonderer Umstände des Einzelfalles nicht möglich oder nicht zumutbar ist, vor der Einreise Bemühungen zum Erwerb einfacher Sprachkenntnisse zu unternehmen. Diese Unzumutbarkeit kann sich daraus ergeben, dass es der Person in ihrem Heimatland nicht möglich oder nicht zumutbar ist, die deutsche Sprache innerhalb angemessener Zeit zu erlernen. Aus dem grundrechtlich geforderten Schutz von Ehe und Familie nach Art.'''&amp;nbsp;'''6'''&amp;nbsp;'''GG leitet das Bundesverwaltungsgericht die Verpflichtung ab, die integrationspolitisch begründete – und grundsätzlich beanstandungsfreie – Regelung des Sprachnachweiserfordernisses so auszulegen, dass ein schonender Ausgleich der in ihr zum Ausdruck kommenden öffentlichen Interessen mit dem privaten Interesse der Betroffenen an einem ehelichen und familiären Zusammenleben im Bundesgebiet stattfindet.&lt;ref&gt;BVerwG, Urt. v. 4.9.2012, Az.: 10 C 12.12, [https://www.asyl.net/rsdb/M20089 asyl.net: M20089].&lt;/ref&gt; Dies bedeute, dass der betroffenen Person grundsätzlich nur zumutbare Bemühungen zum Spracherwerb abverlangt werden dürfen, die den zeitlichen Rahmen von einem Jahr nicht überschreiten. Ein Härtefall ist daher anzunehmen, wenn es ihr trotz ernsthafter Bemühungen von einem Jahr Dauer nicht gelungen ist, das erforderliche Sprachniveau zu erreichen. Dieses Jahr stellt einen Richtwert der zumutbaren Bemühungen dar. Die Grenze kann im Einzelfall nach kürzerer Dauer erreicht sein.&lt;ref&gt;Vgl. Auswärtiges Amt, [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/101441d43c4bbac8da90ad8bb00903be/visumhandbuch-data.pdf Visumshandbuch], Stand: März 2022, 74. Ergänzungslieferung, Kapitel „Nachweis einfacher Deutschkenntnisse beim Ehegattennachzug“&lt;/ref&gt;

Für die zu fordernden Lernbemühungen der antragstellenden Person können sich unter dem Gesichtspunkt der Zumutbarkeit Einschränkungen sowohl aus deren persönlicher Situation als auch aus den besonderen Umständen im Herkunftsland ergeben. Bei der Zumutbarkeitsprüfung sind insbesondere die Verfügbarkeit von Lernangeboten, deren Kosten, ihre Erreichbarkeit sowie persönliche Umstände zu berücksichtigen, die der Wahrnehmung von Lernangeboten entgegenstehen können. Anhaltspunkte können nach Auffassung des BVerwG in der Person des*der nachzugswilligen Ehepartner*in oder in den äußeren Umständen liegen, so zum Beispiel ihrem Gesundheitszustand, ihren kognitiven Fähigkeiten, die Erreichbarkeit von Sprachkursen oder die zumutbare tatsächliche Verfügbarkeit von Sprachlernangeboten &lt;ref&gt;Vgl. BT-Ds. 18/5420,26; Auswärtiges Amt, [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/101441d43c4bbac8da90ad8bb00903be/visumhandbuch-data.pdf Visumshandbuch], Stand: März 2022, 74. Ergänzungslieferung, Kapitel „Nachweis einfacher Deutschkenntnisse beim Ehegattennachzug“&lt;/ref&gt;

Ob zumutbare Bemühungen allein durch die erfolglose Teilnahme an einer Sprachprüfung eines anerkannten Prüfungsanbieters nachgewiesen werden können, hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalls (zum Beispiel regelmäßige / unregelmäßige Teilnahme an einem vorgeschalteten Sprachkurs) ab. Ein Hinweis auf erfolgte Lernbemühungen könnte laut BVerwG-Urteil aber zum Beispiel sein, dass die betreffende Person zwar die schriftlichen Anforderungen nicht erfüllt, wohl aber die mündlichen. Die Vorlage weiterer Nachweise (Anwesenheitslisten, Einschreibungen, Beschreibung der Lernbemühungen etc.) kann im Einzelfall sachdienlich sein. Entscheidend ist, dass ernsthafte und nachhaltige Lernanstrengungen plausibel und nachvollziehbar dargelegt werden.

Es bestehen laut Sachverhalt zunächst entsprechende Zugangsmöglichkeiten zu Sprachkursen für M in Syrien. Entsprechende Sprachkursangebote nimmt sie aktuell wahr und kann die Kosten für den Kurs aufbringen. Sie hat allerdings ihre bisherigen erfolglosen Bemühungen unter Vorlage entsprechender Nachweise darzulegen. Falls die Prüfungsangst anhand ärztlicher Atteste feststellbar ist, wäre die Einholung eines entsprechenden ärztlichen Gutachtens ratsam.

=== III. Allgemeine Erteilungsvoraussetzungen ===

==== 1. Sicherung des Lebensunterhalts ====
Zu den Regelerteilungsvoraussetzungen gehört in erster Linie das Erfordernis der Sicherung des Lebensunterhalts gemäß §'''&amp;nbsp;'''5'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG i.V.m. § 27 III 1 AufenthG. Der Lebensunterhalt einer Person gilt nach §'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG als gesichert, wenn sie ihn einschließlich ausreichenden Krankenversicherungsschutzes ohne Inanspruchnahme öffentlicher Mittel bestreiten kann. Nicht als öffentliche Mittel gelten der Bezug der in §'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''AufenthG genannten Leistungen (Kindergeld, Kinderzuschlag, Erziehungsgeld, Elterngeld, BAföG oder ALG I).&lt;ref&gt;Für die genaue Berechnung siehe Fall Nr. 35 „[[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|Familienleben nur in Deutschland möglich]]“ &lt;/ref&gt;

Unter Zugrundelegung dieser Grundsätze ist vorliegend der Lebensunterhalt gesichert. W kann mit seinem Nettogehalt von 1.800 Euro den Lebensunterhalt seiner Familie bei potenziellem Nachzug sichern. Die nachziehende Ehefrau M kann in die (gesetzliche) Familienkrankenversicherung aufgenommen werden.

==== 2. Ausreichender Wohnraum ====
Ferner muss nach § 29 I AufenthG ausreichender Wohnraum für die Familie nach erfolgtem Nachzug zur Verfügung stehen. 

{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|Trotz Anerkennung der Flüchtlingseigenschaft kommen vorliegend nicht die erleichterten Voraussetzungen eines &quot;privilegierten Familiennachzuges&quot; nach § 29 II 2 AufenthG zur Anwendung (vgl. zu dem Begriff vgl. [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|Fall Nr. 35 &quot;Familienleben nur in Deutschland möglich&quot;]]). Grund hierfür ist, dass der erforderliche Antrag (die sog. &quot;fristwahrende Anzeige&quot;) nicht innerhalb von drei Monaten nach unanfechtbarer Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft gestellt wurde (§ 29 II 2 Nr. 1 AufenthG). |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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Die Voraussetzung „ausreichend“ bezieht sich auf die Größe der Wohnung im Hinblick auf die Zahl der Bewohner*innen. Die Obergrenze bildet das Sozialwohnungsniveau, das heißt es darf keine bessere Ausstattung verlangt werden, als sie auch typischerweise Sozialwohnungen in der jeweiligen Region aufweisen. Die Untergrenze bilden die auch für Deutsche geltenden Rechtsvorschriften der Länder, also z. B. die Wohnungsaufsichtsgesetze oder in Ermangelung solcher Gesetze das allgemeine Polizei- bzw. Ordnungsrecht (vgl. hierzu auch Legaldefinition in § 2'''&amp;nbsp;'''IV'''&amp;nbsp;'''AufenthG). Ausreichender Wohnraum ist – unbeschadet landesrechtlicher Regelungen – stets vorhanden, wenn für jedes Familienmitglied über sechs Jahren zwölf Quadratmeter und für jedes Familienmitglied unter sechs Jahren zehn Quadratmeter Wohnfläche zur Verfügung stehen und Nebenräume (Küche, Bad, WC) in angemessenem Umfang mitbenutzt werden können. Eine Unterschreitung dieser Wohnungsgröße um etwa zehn Prozent ist unschädlich. Wohnräume, die von Dritten mitbenutzt werden, bleiben grundsätzlich außer Betracht; mitbenutzte Nebenräume können berücksichtigt werden.&lt;ref&gt;Vgl. BMI, [https://www.asyl.net/recht/gesetzestexte/weisungen/allgemeine-verwaltungsvorschrift-zum-aufenthg Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum Aufenthaltsgesetz] vom 26.10.2009, Nr. 2.4; siehe hierzu auch Fall Nr. 35 „[[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|Familienleben nur in Deutschland möglich]]“ &lt;/ref&gt;

Im vorliegenden Fall ist – unabhängig von eventuell günstigeren landesrechtlichen Regelungen – der Wohnraum der 65 m² großen Wohnung des Stammberechtigten W als ausreichend anzusehen.

=== IV. Ausschluss des Anspruchs auf Familiennachzug ===

==== 1. Scheinehe ====
Bestehen Anhaltspunkte für eine Scheinehe nach § 27 Ia Nr. 1 AufenthG, kann die zuständige Auslandsvertretung eine gesonderte Prüfung einleiten, in der beide Eheleute zeitgleich von der Auslandsvertretung und der zuständigen Ausländerbehörde zu ihrer „Partnerschaftsbiographie“ angehört werden. 

Vorliegend besteht ein Risiko, dass die Auslandsvertretung von sich aus eine Scheineheprüfung einleitet, da das Paar per Stellvertretungsehe geheiratet hat. Allerdings kann angebracht werden, dass es dem W als anerkanntem Flüchtling unmöglich war für die Eheschließung in sein Herkunftsland Syrien zu reisen, wo ihm Verfolgung droht. Darüber hinaus könnte jedoch auch die hohe Altersdifferenz zwischen den Eheleuten die Auslandsvertretung dazu  veranlassen, eine Prüfung anzustrengen.

==== 2. Nötigung zur Ehe ====
Anhaltspunkte dafür, dass M oder W nach § 27 Ia Nr. 2 AufenthG zur Ehe genötigt wurden, liegen nicht vor. 

== B. Ergebnis ==
Zum jetzigen Zeitpunkt kann nicht mit Sicherheit gesagt werden, ob ein Antrag auf ein nationales Visum positiv beschieden werden würde. Mit entsprechenden Nachweisen, wie oben aufgezeigt und entsprechenden Ausführungen zur Unzumutbarkeit der weiteren Trennung wäre es denkbar ein Visumsverfahren anzustrengen.

==Weiterführende Literatur==
* Informationsportal mit detaillierten, laufend aktualisierten und zum Teil länderspezifischen Informationen zum Familiennachzug: https://familie.asyl.net/ausserhalb-europas/
* UNHCR Deutschland, Familienzusammenführung zu Personen mit internationalem Schutz - Rechtliche Probleme und deren praktische Auswirkungen, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2017/AM17-4_thema_famzus.pdf Asylmagazin 4/2017, Themenschwerpunkt Familienzusammenführung], S. 132–137
* [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/86bc1cf8d085561fed2c213ae8607115/visumhandbuch-data.pdf Auswärtiges Amt,] [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/101441d43c4bbac8da90ad8bb00903be/visumhandbuch-data.pdf Visumshandbuch], Stand: März 2022

{{OpenRewi/Kapitelende}}</text>
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      <timestamp>2022-07-20T06:55:01Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>RheaNachtigall</username>
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      </contributor>
      <comment>/* 2. Ausreichender Wohnraum */</comment>
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      <text bytes="21409" xml:space="preserve">&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;/p&gt;
{{OpenRewi/Kapitelanfang}}
&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;big&gt;'''Autorin:''' Cana Mungan&lt;/big&gt;&lt;/p&gt;&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' keines    &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' Familiennachzug; Nachzug von Eheleuten zu anerkannten Flüchtlingen; Eheschließung nach der Flucht; Stellvertretungsehe; Lebensunterhaltssicherung; ausreichender Wohnraum; Nachweis von Sprachkenntnissen; Scheinehe.   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Keine Eheschließung/Eheschließung vor der Flucht SV|Soll das Familienleben an der Prüfungsangst scheitern?]]   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad:''' Anfänger*innen   &lt;/blockquote&gt;

== A. Fallfrage ==
Das Ehepaar möchte wissen, ob M einen Anspruch auf Nachzug zu ihrem als Flüchtling anerkannten Ehemann W hat.

=== I. Anspruchsgrundlage ===

Anspruchsgrundlage für ein nationales Visum zum Zwecke des Nachzugs zu Eheleuten ist §&amp;nbsp;30&amp;nbsp;AufenthG (§&amp;nbsp;6&amp;nbsp;III&amp;nbsp;AufenthG). Darüber hinaus sind auch die Vorschriften nach §§&amp;nbsp;5, 27 und §&amp;nbsp;29&amp;nbsp;I bis III und V AufenthG heranzuziehen, falls ihr Anwendungsbereich nicht ausgeschlossen ist.{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|M bezweckt einen längerfristigen Aufenthalt zum Zwecke der Familienzusammenführung. Nach ihrer Einreise wird ihr die zuständige Ausländerbehörde eine Aufenthaltserlaubnis nach § 30 AufenthG erteilen. 
Für die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis ist nach § 5 II AufenthG grundsätzlich Voraussetzung, dass die antragstellende Person 
1. mit dem erforderlichen Visum eingereist ist und
2. die für die Erteilung maßgeblichen Angaben bereits im Visumantrag gemacht hat.
Nach § 6 III AufenthG ist für längerfristige Aufenthalte eine Einreise mit einem sogenannten &quot;nationalen Visum&quot; erforderlich. Nach § 4 I 2 Nr. 1 AufenthG handelt es sich dabei um einen Aufenthaltstitel.
Von dem Visumerfordernis kann die Ausländerbehörde absehen, wenn die Voraussetzungen eines Anspruchs auf Erteilung erfüllt sind oder es auf Grund besonderer Umstände des Einzelfalls nicht zumutbar ist, das Visumverfahren nachzuholen. |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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=== II. Besondere Erteilungsvoraussetzungen ===

==== 1. Wirksame Eheschließung ====
Es liegt vorliegend eine sogenannte Stellvertretungsehe oder „Handschuh-Ehe“ vor. Eine sogenannte Handschuhehe ist eine Ehe, bei der die Eheschließung in Abwesenheit eines Ehepartners in Vertretung durch eine andere Person durchgeführt wurde. Diese kann grundsätzlich als schützenswerte Ehe in Deutschland anerkannt werden. Bei einer Handschuhehe hat die Mittelsperson nur die vom Vertretenen vorgegebene Konsenserklärung vor dem Trauungsorgan abzugeben, ohne eigene Entscheidungsfreiheit zur Partnerwahl zu besitzen.

Die Wirksamkeit der Eheschließung richtet sich gemäß Art. 11, 13 EGBGB nach dem jeweils anwendbaren Familienrecht. Bezüglich der formellen Eheschließungsvoraussetzungen (zum Beispiel persönliche Anwesenheit, Vertretung etc.) müssen nach Art. 11 Abs. 1 EGBGB die Formerfordernisse des Rechts des Staates, in dem das Rechtsgeschäft vorgenommen wird, erfüllt sein. Wird der Vertrag durch einen Vertreter geschlossen, so ist der Staat maßgeblich, in dem die Handschuhehe geschlossen wurde, Art. 11 Abs. 3 EGBGB. Die materielle Rechtmäßigkeit der Eheschließung (zum Beispiel Ehefähigkeit, Ehehindernisse, Fehlen von Willensmängeln etc.) richtet sich gemäß Art.13 Abs. 1 EGBGB für jeden Verlobten nach dem Recht des Staates, dem er angehört.

Vorliegend sind beide Eheleute syrische Staatsangehörige. Die Ehe wurde in Syrien geschlossen. Damit bestimmt sich die Wirksamkeit der Eheschließung nach syrischem Recht. Nach syrischem Recht ist die Stellvertretung bei der Eheschließung erlaubt, solange der Stellvertreter lediglich den Willen einer der Parteien zum Ausdruck bringt (vgl. Art. 8 I syrisches Personalstatutsgesetz).

Nicht mit syrischem Recht vereinbar wäre es, wenn der Stellvertreter über das „Ob“ der Heirat oder über die Wahl des Ehepartners entscheiden würde. Dies würde über die zulässige Stellvertretung „bei der Eheschließung“ hinausgehen. Die Auswahl des Ehepartners kann nicht dem Stellvertreter überlassen werden. Solch eine Stellvertretung im Willen ist auch nach deutschem Recht nicht wirksam, da sie gegen die öffentliche Ordnung (ordre public) verstieße (Art. 6 EGBGB). Insbesondere verstößt eine Eheschließung mit Stellvertretung im Willen gegen grundlegende Menschenrechtsprinzipien der deutschen Verfassung (Art. 1, Art. 2 I, Art. 3 II GG), den Grundsatz der Selbstbestimmung in höchstpersönlichen Angelegenheiten und degradiert den Akt der Eheschließung zu einem bloßen Handelsgeschäft. Anhaltspunkte für eine solche Willensvertretung fehlen hier. Eine Willensvertretung lag insbesondere auch nicht deshalb vor, weil sich die Ehegatten zum Zeitpunkt der Eheschließung noch nie begegnet waren. Ausreichend zum Ausschluss einer Willensvertretung ist vielmehr, dass der Vertretene die Identität der Verlobten kennt und seine Vollmacht sich auf diese bestimmte, unverwechselbare Person beschränkt, so dass auszuschließen ist, dass der für einen Verlobten handelnde Vertreter jedweder anderen, zum Termin der Eheschließung erscheinenden Person das „Ja-Wort“ des Vertretenen übermitteln würde.&lt;ref&gt;Vgl.OLG Zweibrücken,  Beschluss vom 8.12.2010 - 3 W 175/10; AG Gießen, Beschluss vom 31.1.2000 – 22 III 81/99 – juris; AG Lüdenscheidt, Beschluss vom 13.1.2016 – 5 F 1442/14 - juris&lt;/ref&gt;
==== 2. Volljährigkeit bei Eheschließung ====
Nach §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG ist für den Nachzug zu Eheleuten, sowohl bei ausländischen als auch deutschen Staatsangehörigen, grundsätzlich Voraussetzung, dass beide Eheleute das [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|18. Lebensjahr vollendet haben]]. Vorliegend waren die Eheleute im Zeitpunkt ihrer Eheschließung beide volljährig.

==== 3. Aufenthaltstitel der stammberechtigten Person ====
Nach §'''&amp;nbsp;'''29'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1 i.V.m. §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''AufenthG muss die in Deutschland lebende [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|stammberechtigte Person]] einen der in der Vorschrift genannten Aufenthaltstitel besitzen.

Vorliegend ist der stammberechtigte W als anerkannter Flüchtling im Besitz einer Aufenthaltserlaubnis gemäß §'''&amp;nbsp;'''25 II 1 Alt. 1'''&amp;nbsp;'''AufenthG und erfüllt damit die Voraussetzung des §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''lit.'''&amp;nbsp;'''c'''&amp;nbsp;'''AufenthG. Er besitzt diese Aufenthaltserlaubnis auch seit mindestens zwei Jahren. Unschädlich ist hierbei, dass der Aufenthaltstitel vorliegend „abgelaufen“ ist. Der W hat vor Ablauf seines Aufenthaltstitels und damit rechtzeitig einen Antrag auf Verlängerung bei der zuständigen Ausländerbehörde gestellt. Damit greift die Fiktionswirkung des §'''&amp;nbsp;'''81'''&amp;nbsp;'''IV'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG. Danach gilt der bisherige Aufenthaltstitel bei rechtzeitiger Antragstellung vom Zeitpunkt seines Ablaufs bis zur Entscheidung der Ausländerbehörde als fortbestehend.&lt;ref&gt;So auch: Bergmann/Dienelt, Ausländerrecht, 13. Aufl. 2013, AufenthG § 29 Rn. 6; Oberhäuser, in: Nomos-Praxis, Migrationsrecht in der Praxis, § 6 Rn. 102.&lt;/ref&gt;

==== 4. Sprachkenntnisse der nachzugswilligen Person ====

===== a) Nachweis von Deutschkenntnissen =====
Nach §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''AufenthG muss sich der*die nachzugswillige Ehepartner*in vor Einreise auf einfacher Art in deutscher Sprache verständigen können.&lt;ref&gt;Vgl. EuGH, Urt. v. 09.07.2015 - C-153/14 K und A gegen Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/M23038 asyl.net: M23038].&lt;/ref&gt; Dies setzt den Nachweis von Sprachkenntnissen auf dem Niveau A1 voraus (vgl. Legaldefinition in §'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''IX'''&amp;nbsp;'''AufenthG).

M verfügt zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht über die nach §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''AufenthG erforderlichen Deutschkenntnisse. Zwar besucht sie bereits seit mehreren Monaten einen Deutschkurs. Einen aussagefähigen Nachweis hierüber wie das Sprachzeugnis des Goethe-Instituts kann sie indes zum jetzigen Zeitpunkt nicht beibringen. Zum aktuellen Zeitpunkt legte sie nicht in anderer Weise substantiiert und nachvollziehbar dar, dass sie über die von ihr angeführten Sprachfertigkeiten verfügt. 

Falls M mündliche Sprachfertigkeiten auf dem Niveau A1 oder höher besitzt, ist zu erwägen, ob eine Feststellung der Sprachkenntnisse in einem Alltagsgespräch bei der Vorsprache bei der Auslandsvertretung beantragt werden sollte. In der Regel wird die Sprachfähigkeit nicht offenkundig vorliegen, sodass es auf die Vorlage eines anerkannten Sprachzertifikats ankommt.&lt;ref&gt;So z.B. das Zertifikat „Start Deutsch 1“ des Goethe-Institutes, „Start Deutsch 1“ der Telc GmbH, des TestDaF-Instituts e.V. oder von Partner-Organisationen bzw. Lizenznehmern.&lt;/ref&gt;

===== b) Ausnahmen vom Spracherfordernis =====
Für das Spracherfordernis finden sich in §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''AufenhG eine Reihe von Ausnahmetatbeständen.  

Nach § 30 I 3 Nr. 1 AufenthG ist der Sprachnachweis dann nicht erforderlich, wenn die stammberechtigte Person einen Aufenthaltstitel aus humanitären Gründen besitzt (wie hier der W als anerkannter Flüchtling) und die Ehe bereits bestand, als die Person ihren Lebensmittelpunkt nach Deutschland verlegt hat. Dieser Ausnahmetatbestand kommt vorliegend nicht zum Zuge, da die Ehe nicht bereits zu dem Zeitpunkt bestanden hat, als W seinen Lebensmittelpunkt nach Deutschland verlegt hat. 

Fraglich ist, ob hier der Ausnahmetatbestand des § 30 I 3 Nr. 2 AufenthG gegeben ist. Danach ist vom Spracherfordernis abzusehen, wenn die nachzugswillige Person wegen einer körperlichen, geistigen oder seelischen Krankheit oder Behinderung nicht in der Lage ist, einfache Kenntnisse der deutschen Sprache nachzuweisen. Im vorliegenden Fall liegt aktuell kein ärztliches Attest vor, welches einen Zusammenhang zwischen einer geistigen oder seelischen Krankheit von M und den unzureichenden Prüfungsergebnissen darzustellen vermag.  

Damit bleibt fraglich, ob aufgrund der großen Prüfungsangst und der damit einhergehenden erfolgslosen Prüfungsversuche die Härtefallklausel des §'''&amp;nbsp;'''30'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''6'''&amp;nbsp;'''AufenthG zum Zuge kommen kann. 

Danach ist von dem Spracherfordernis abzusehen, wenn es der nachzugswilligen Person auf Grund besonderer Umstände des Einzelfalles nicht möglich oder nicht zumutbar ist, vor der Einreise Bemühungen zum Erwerb einfacher Sprachkenntnisse zu unternehmen. Diese Unzumutbarkeit kann sich daraus ergeben, dass es der Person in ihrem Heimatland nicht möglich oder nicht zumutbar ist, die deutsche Sprache innerhalb angemessener Zeit zu erlernen. Aus dem grundrechtlich geforderten Schutz von Ehe und Familie nach Art.'''&amp;nbsp;'''6'''&amp;nbsp;'''GG leitet das Bundesverwaltungsgericht die Verpflichtung ab, die integrationspolitisch begründete – und grundsätzlich beanstandungsfreie – Regelung des Sprachnachweiserfordernisses so auszulegen, dass ein schonender Ausgleich der in ihr zum Ausdruck kommenden öffentlichen Interessen mit dem privaten Interesse der Betroffenen an einem ehelichen und familiären Zusammenleben im Bundesgebiet stattfindet.&lt;ref&gt;BVerwG, Urt. v. 4.9.2012, Az.: 10 C 12.12, [https://www.asyl.net/rsdb/M20089 asyl.net: M20089].&lt;/ref&gt; Dies bedeute, dass der betroffenen Person grundsätzlich nur zumutbare Bemühungen zum Spracherwerb abverlangt werden dürfen, die den zeitlichen Rahmen von einem Jahr nicht überschreiten. Ein Härtefall ist daher anzunehmen, wenn es ihr trotz ernsthafter Bemühungen von einem Jahr Dauer nicht gelungen ist, das erforderliche Sprachniveau zu erreichen. Dieses Jahr stellt einen Richtwert der zumutbaren Bemühungen dar. Die Grenze kann im Einzelfall nach kürzerer Dauer erreicht sein.&lt;ref&gt;Vgl. Auswärtiges Amt, [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/101441d43c4bbac8da90ad8bb00903be/visumhandbuch-data.pdf Visumshandbuch], Stand: März 2022, 74. Ergänzungslieferung, Kapitel „Nachweis einfacher Deutschkenntnisse beim Ehegattennachzug“&lt;/ref&gt;

Für die zu fordernden Lernbemühungen der antragstellenden Person können sich unter dem Gesichtspunkt der Zumutbarkeit Einschränkungen sowohl aus deren persönlicher Situation als auch aus den besonderen Umständen im Herkunftsland ergeben. Bei der Zumutbarkeitsprüfung sind insbesondere die Verfügbarkeit von Lernangeboten, deren Kosten, ihre Erreichbarkeit sowie persönliche Umstände zu berücksichtigen, die der Wahrnehmung von Lernangeboten entgegenstehen können. Anhaltspunkte können nach Auffassung des BVerwG in der Person des*der nachzugswilligen Ehepartner*in oder in den äußeren Umständen liegen, so zum Beispiel ihrem Gesundheitszustand, ihren kognitiven Fähigkeiten, die Erreichbarkeit von Sprachkursen oder die zumutbare tatsächliche Verfügbarkeit von Sprachlernangeboten &lt;ref&gt;Vgl. BT-Ds. 18/5420,26; Auswärtiges Amt, [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/101441d43c4bbac8da90ad8bb00903be/visumhandbuch-data.pdf Visumshandbuch], Stand: März 2022, 74. Ergänzungslieferung, Kapitel „Nachweis einfacher Deutschkenntnisse beim Ehegattennachzug“&lt;/ref&gt;

Ob zumutbare Bemühungen allein durch die erfolglose Teilnahme an einer Sprachprüfung eines anerkannten Prüfungsanbieters nachgewiesen werden können, hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalls (zum Beispiel regelmäßige / unregelmäßige Teilnahme an einem vorgeschalteten Sprachkurs) ab. Ein Hinweis auf erfolgte Lernbemühungen könnte laut BVerwG-Urteil aber zum Beispiel sein, dass die betreffende Person zwar die schriftlichen Anforderungen nicht erfüllt, wohl aber die mündlichen. Die Vorlage weiterer Nachweise (Anwesenheitslisten, Einschreibungen, Beschreibung der Lernbemühungen etc.) kann im Einzelfall sachdienlich sein. Entscheidend ist, dass ernsthafte und nachhaltige Lernanstrengungen plausibel und nachvollziehbar dargelegt werden.

Es bestehen laut Sachverhalt zunächst entsprechende Zugangsmöglichkeiten zu Sprachkursen für M in Syrien. Entsprechende Sprachkursangebote nimmt sie aktuell wahr und kann die Kosten für den Kurs aufbringen. Sie hat allerdings ihre bisherigen erfolglosen Bemühungen unter Vorlage entsprechender Nachweise darzulegen. Falls die Prüfungsangst anhand ärztlicher Atteste feststellbar ist, wäre die Einholung eines entsprechenden ärztlichen Gutachtens ratsam.

=== III. Allgemeine Erteilungsvoraussetzungen ===

==== 1. Sicherung des Lebensunterhalts ====
Zu den Regelerteilungsvoraussetzungen gehört in erster Linie das Erfordernis der Sicherung des Lebensunterhalts gemäß §'''&amp;nbsp;'''5'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG i.V.m. § 27 III 1 AufenthG. Der Lebensunterhalt einer Person gilt nach §'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AufenthG als gesichert, wenn sie ihn einschließlich ausreichenden Krankenversicherungsschutzes ohne Inanspruchnahme öffentlicher Mittel bestreiten kann. Nicht als öffentliche Mittel gelten der Bezug der in §'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''AufenthG genannten Leistungen (Kindergeld, Kinderzuschlag, Erziehungsgeld, Elterngeld, BAföG oder ALG I).&lt;ref&gt;Für die genaue Berechnung siehe Fall Nr. 35 „[[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|Familienleben nur in Deutschland möglich]]“ &lt;/ref&gt;

Unter Zugrundelegung dieser Grundsätze ist vorliegend der Lebensunterhalt gesichert. W kann mit seinem Nettogehalt von 1.800 Euro den Lebensunterhalt seiner Familie bei potenziellem Nachzug sichern. Die nachziehende Ehefrau M kann in die (gesetzliche) Familienkrankenversicherung aufgenommen werden.

==== 2. Ausreichender Wohnraum ====
Ferner muss nach § 29 I AufenthG ausreichender Wohnraum für die Familie nach erfolgtem Nachzug zur Verfügung stehen. 

{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|Trotz Anerkennung der Flüchtlingseigenschaft kommen vorliegend nicht die erleichterten Voraussetzungen eines [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|„privilegierten Familiennachzuges“]] nach § 29 II 2 AufenthG zur Anwendung. Grund hierfür ist, dass der erforderliche Antrag (die sogenannte „fristwahrende Anzeige“) nicht innerhalb von drei Monaten nach unanfechtbarer Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft gestellt wurde (§ 29 II 2 Nr. 1 AufenthG). |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
|style=background: rgb(0,43,94);
background: linear-gradient(90deg, rgba(0,43,94,1) 0%, rgba(47,96,152,1) 8%, rgba(94,149,210,1) 68%)
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Die Voraussetzung „ausreichend“ bezieht sich auf die Größe der Wohnung im Hinblick auf die Zahl der Bewohner*innen. Die Obergrenze bildet das Sozialwohnungsniveau, das heißt es darf keine bessere Ausstattung verlangt werden, als sie auch typischerweise Sozialwohnungen in der jeweiligen Region aufweisen. Die Untergrenze bilden die auch für Deutsche geltenden Rechtsvorschriften der Länder, also z. B. die Wohnungsaufsichtsgesetze oder in Ermangelung solcher Gesetze das allgemeine Polizei- bzw. Ordnungsrecht (vgl. hierzu auch Legaldefinition in § 2'''&amp;nbsp;'''IV'''&amp;nbsp;'''AufenthG). Ausreichender Wohnraum ist – unbeschadet landesrechtlicher Regelungen – stets vorhanden, wenn für jedes Familienmitglied über sechs Jahren zwölf Quadratmeter und für jedes Familienmitglied unter sechs Jahren zehn Quadratmeter Wohnfläche zur Verfügung stehen und Nebenräume (Küche, Bad, WC) in angemessenem Umfang mitbenutzt werden können. Eine Unterschreitung dieser Wohnungsgröße um etwa zehn Prozent ist unschädlich. Wohnräume, die von Dritten mitbenutzt werden, bleiben grundsätzlich außer Betracht; mitbenutzte Nebenräume können berücksichtigt werden.&lt;ref&gt;Vgl. BMI, [https://www.asyl.net/recht/gesetzestexte/weisungen/allgemeine-verwaltungsvorschrift-zum-aufenthg Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum Aufenthaltsgesetz] vom 26.10.2009, Nr. 2.4; siehe hierzu auch 35) „[[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Eheschließung vor der Flucht Lösung|Familienleben nur in Deutschland möglich]]“ &lt;/ref&gt;

Im vorliegenden Fall ist – unabhängig von eventuell günstigeren landesrechtlichen Regelungen – der Wohnraum der 65 m² großen Wohnung des Stammberechtigten W als ausreichend anzusehen.

=== IV. Ausschluss des Anspruchs auf Familiennachzug ===

==== 1. Scheinehe ====
Bestehen Anhaltspunkte für eine Scheinehe nach § 27 Ia Nr. 1 AufenthG, kann die zuständige Auslandsvertretung eine gesonderte Prüfung einleiten, in der beide Eheleute zeitgleich von der Auslandsvertretung und der zuständigen Ausländerbehörde zu ihrer „Partnerschaftsbiographie“ angehört werden. 

Vorliegend besteht ein Risiko, dass die Auslandsvertretung von sich aus eine Scheineheprüfung einleitet, da das Paar per Stellvertretungsehe geheiratet hat. Allerdings kann angebracht werden, dass es dem W als anerkanntem Flüchtling unmöglich war für die Eheschließung in sein Herkunftsland Syrien zu reisen, wo ihm Verfolgung droht. Darüber hinaus könnte jedoch auch die hohe Altersdifferenz zwischen den Eheleuten die Auslandsvertretung dazu  veranlassen, eine Prüfung anzustrengen.

==== 2. Nötigung zur Ehe ====
Anhaltspunkte dafür, dass M oder W nach § 27 Ia Nr. 2 AufenthG zur Ehe genötigt wurden, liegen nicht vor. 

== B. Ergebnis ==
Zum jetzigen Zeitpunkt kann nicht mit Sicherheit gesagt werden, ob ein Antrag auf ein nationales Visum positiv beschieden werden würde. Mit entsprechenden Nachweisen, wie oben aufgezeigt und entsprechenden Ausführungen zur Unzumutbarkeit der weiteren Trennung wäre es denkbar ein Visumsverfahren anzustrengen.

==Weiterführende Literatur==
* Informationsportal mit detaillierten, laufend aktualisierten und zum Teil länderspezifischen Informationen zum Familiennachzug: https://familie.asyl.net/ausserhalb-europas/
* UNHCR Deutschland, Familienzusammenführung zu Personen mit internationalem Schutz - Rechtliche Probleme und deren praktische Auswirkungen, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2017/AM17-4_thema_famzus.pdf Asylmagazin 4/2017, Themenschwerpunkt Familienzusammenführung], S. 132–137
* [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/86bc1cf8d085561fed2c213ae8607115/visumhandbuch-data.pdf Auswärtiges Amt,] [https://www.auswaertiges-amt.de/blob/207816/101441d43c4bbac8da90ad8bb00903be/visumhandbuch-data.pdf Visumshandbuch], Stand: März 2022

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&lt;big&gt;'''Autor*in:''' Laura Hinder, [[Benutzer:RheaNachtigall|Rhea Nachtigall]]&lt;/big&gt;   
&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' Keines   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/§ 25a AufenthG SV|Aufenthaltsgewährung bei gut integrierten Jugendlichen und Heranwachsenden (§ 25a AufenthG)]], [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Titelerteilungssperre, § 10 AufenthG SV|Titelerteilungssperre nach erfolglosem Asylantrag (§ 10 III AufenthG)]]   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[ OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/%C2%A7_25a_AufenthG_SV | Auszubildend - und gut integriert?]]   &lt;/blockquote&gt;
&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad:''' Anfänger*innen   &lt;/blockquote&gt;

Fraglich ist, ob E einen Anspruch auf die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis nach § 25a AufenthG hat. Dazu müsste sie die speziellen Erteilungsvoraussetzungen des § 25a I 1 AufenthG erfüllen, es dürfte kein Versagung- oder Ausschlussgrund vorliegen (§ 25a I 3, III AufenthG), die allgemeinen Voraussetzungen zur Erteilung eines Aufenthaltstitels (§ 5 AufenthG) müssten grundsätzlich erfüllt sein und aufgrund des zuvor abgelehnten Asylantrags dürfte keine Titelerteilungssperre nach § 10 III AufenthG greifen.

==A. Erteilungsvoraussetzungen==

===I. Spezielle Erteilungsvoraussetzungen, § 25a I 1 AufenthG===
E müsste die speziellen Erteilungsvoraussetzungen des § 25 I 1 AufenthG erfüllen.

====1. Persönlicher Anwendungsbereich: &quot;jugendlich oder heranwachsend&quot; und &quot;geduldet&quot;====
E müsste dem persönlichen Anwendungsbereich des § 25a AufenthG unterfallen.

=====a. Jugendlich oder heranwachsend=====
Gemäß § 25 I 1 AufenthG erstreckt sich der Anwendungsbereich auf Jugendliche und Heranwachsende. Nach der Gesetzesbegründung sind die Definitionen des Jugendgerichtsgesetzes (JGG) anwendbar.&lt;ref&gt;[https://dserver.bundestag.de/btd/18/040/1804097.pdf BT-Drs. 18/4097], S. 42.&lt;/ref&gt; Nach § 1 II GG ist Jugendlicher, wer 14, aber noch nicht 18, Heranwachsender, wer 18, aber noch nicht 21 Jahre alt ist. Laut Sachverhalt ist E 19 Jahre alt. Damit ist sie &quot;heranwachsend&quot; im Sinne der Norm.

=====b. Geduldet=====
E müsste zudem &quot;geduldet&quot; sein. Laut Sachverhalt ist E in Besitz einer [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ § 60c AufenthG Ausbildungsduldung Lösung|Ausbildungsduldung]]. Die Ausländerbehörde hat der E mitgeteilt, dass Inhaber*innen einer Ausbildungsduldung nicht in den persönlichen Anwendungsbereich der Norm fielen, da [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ § 19d AufenthG Lösung|§&amp;nbsp;19d&amp;nbsp;Ia AufenthG]] eine abschließende Regelung für die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis an Inhaber*innen einer Ausbildungsduldung darstelle und der Besitz einer Ausbildungsduldung die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis nach § 25a AufenthG demnach sperre.

Gegen diese Ansicht spricht bereits der Wortlaut der Norm, der nicht nach Art der Duldung differenziert. Auch bei der Ausbildungsduldung handelt es sich gemäß § 60 I 1 AufenthG um eine Duldung nach § 60a II 3  AufenthG. Sinn und Zweck der Einführung der Ausbildungsduldung war, mehr Rechtssicherheit für Geduldete und Ausbildungsbetriebe zu schaffen.&lt;ref&gt;[https://dserver.bundestag.de/btd/18/086/1808616.pdf BT-Drs. 18/8616], S. 26.&lt;/ref&gt; Es widerspräche diesem Ziel, eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25a AufenthG und damit einen noch rechtssicheren Aufenthaltsstatus zu verweigern. Auch systematische Argumente sprechen gegen einen Ausschluss: Gemäß § 60c VIII AufenthG bleibt § 60a AufenthG im Übrigen unberührt. Demnach sperrt der Anspruch auf eine Duldung nach § 60c AufenthG den möglicherweise aus anderen Gründen bestehenden Anspruch auf eine Duldung nach § 60a AufenthG nicht.&lt;ref&gt;Siehe auch Breidenbach, in: Kluth/Heusch, BeckOK AuslR, 30. Ed. 1.7.2021, AufenthG § 60c Rn. 40.&lt;/ref&gt; Dass eine Duldung nach § 60c AufenthG, wenn sie schon die normale Duldung nicht ausschließt, einen Anspruch auf eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25a AufenthG sperren können sollte, erscheint widersprüchlich.

Demnach ist E als Inhaberin einer Ausbildungsduldung &quot;geduldet&quot; im Sinne der Norm.{{Anker|Verfahrensduldung}}{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Einige Ausländerbehörden und Gerichte hatten in der Vergangenheit die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis abgelehnt, wenn die Antragsteller*innen lediglich über eine sogenannte „Verfahrensduldung“ verfügten; eine Duldung, die nur aufgrund eines anhängigen Rechtsschutzverfahrens, etwas gegen eine Abschiebung, erteilt wird. Das BVerwG hat für [[OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bezügen/_§_25b_AufenthG_Lösung#Anker:Verfahrensduldung |§ 25b AufenthG]] klargestellt, dass es für die Erteilung unerheblich ist, welche Art von Duldung vorliegt.&lt;ref&gt;[https://www.bverwg.de/181219U1C34.18.0 BVerwG, Urt. v. 18.12.2019, Az.: 1 C 34/18], Rn. 28.&lt;/ref&gt; Dies dürfte auf § 25a AufenthG übertragbar sein.&lt;ref&gt;Röder, in: BeckOK Migrations- und Integrationsrecht, Decker/Bader/Kothe, 10. Edition, Stand: 15.1.2022, § 25a AufenthG, Rn. 7.&lt;/ref&gt;

Zudem hat das Bundesverwaltungsgericht in dieser Entscheidung klargestellt, dass es nicht auf die tatsächliche Erteilung der Duldung ankommt, sondern dass es ausreichend ist, wenn ein Duldungsgrund tatsächlich vorliegt.&lt;ref&gt;[https://www.bverwg.de/181219U1C34.18.0 BVerwG, Urt. v. 18.12.2019, Az.: 1 C 34/18], Rn. 24.&lt;/ref&gt;

Der maßgebliche Zeitpunkt für das Vorliegen der Duldung (oder des Anspruchs darauf) ist, ebenso wie für alle anderen Erteilungsvoraussetzungen, der Zeitpunkt der Erteilung, beziehungsweise im gerichtlichen Verfahren der Zeitpunkt der letzten mündlichen Verhandlung oder Entscheidung in der Tatsacheninstanz.&lt;ref&gt;[https://www.bverwg.de/181219U1C34.18.0 BVerwG, Urt. v. 18.12.2019, Az.: 1 C 34/18], Rn. 23.&lt;/ref&gt; Insofern ist ein „Hineinwachsen“ in den persönlichen Anwendungsbereich des § 25a AufenthG im Laufe eines gerichtlichen Verfahrens möglich. Zusätzlich muss die Duldung aber auch bei Vollendung des 21. Lebensjahres vorgelegen haben.&lt;ref&gt;Röder, in: Decker/Bader/Kothe, BeckOK Migrations- und Integrationsrecht, 10. Edition, Stand 15.1.2022, AufenthG § 25a Rn. 7.&lt;/ref&gt;}}

E unterfällt dem persönlichen Anwendungsbereich der Norm.

==== 2. Voraufenthaltszeit, § 25a I 1 Nr. 1 AufenthG ====
E müsste weiterhin die erforderliche Voraufenthaltszeit von vier Jahren (erlaubt, geduldet oder gestattet) gemäß § 25a I 1 Nr. 1 AufenthG erfüllen. E ist Ende 2016 nach Deutschland eingereist und hat direkt nach der Ankunft ein Asylgesuch geäußert. Die Ausländerbehörde beruft sich jedoch für den Beginn des gestatteten Aufenthalts auf den Zeitpunkt der förmlichen Asylantragstellung Anfang 2018 und geht daher davon aus, dass E nur eine Voraufenthaltszeit von ca. drei Jahren vorzuweisen hat.

Dagegen ist einzuwenden, dass auch die Phase zwischen Asylgesuch und der kraft Gesetzes eintretenden Aufenthaltsgestattung (§ 55 I 1 und 3 AufenthG) zu berücksichtigen ist, wenn sich die Stellung des förmlichen Asylantrages aus von der antragstellenden Person nicht zu vertretenden Gründen verzögert hat.&lt;ref&gt; Röder, in: Decker/Bader/Kothe, BeckOK Migrations- und Integrationsrecht, 10. Ed., Stand 15.1.2022, AufenthG § 25a Rn. 20; näher dazu auch [https://www.asyl.net/fileadmin/user%20upload/beitraege%20asylmagazin/Beitraege%20AM%202016/AM%2016-4-5%20Beitrag%20Röder.pdf Röder, §§ 25a und b AufenthG – Hiergeblieben!? Die neuen Bleiberechte bei gelungener Integration, Asylmagazin 4–5/201]6, 108 (110f).&lt;/ref&gt; 

E erfüllt demnach die erforderliche Voraufenthaltszeit. 

==== 3. Erfolgreicher Schulbesuch oder Schul-/Berufsabschluss, § 25a I 1 Nr. 2 AufenthG ====
E müsste gemäß § 25a I 1 Nr. 2 AufenthG seit vier Jahren erfolgreich eine Schule besucht (Alt. 1) oder einen anerkannten Schul- oder Berufsabschluss erworben haben (Alt. 2). Laut Sachverhalt hat E einen Hauptschulabschluss in Deutschland erworben. Demnach ist die Voraussetzung des § 25a I 1 Nr. 2 Alt. 2 AufenthG erfüllt. {{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Nach der Gesetzesbegründung können die Regelmäßigkeit des Schulbesuchs sowie die Versetzung in die nächste Klasse als Kriterien für die Beurteilung des „Erfolgs“ des Schulbesuchs herangezogen werden.&lt;ref&gt;[https://dserver.bundestag.de/btd/18/040/1804097.pdf BT-Drs. 18/4097], S. 42.&lt;/ref&gt; Dies darf jedoch nicht schematisch geschehen, es ist stets eine Einzelfallbetrachtung unter Berücksichtigung der individuellen Situation und Entwicklung der antragstellenden Person erforderlich.&lt;ref&gt;Röder, in: Decker/Bader/Kothe, BeckOK Migrations- und Integrationsrecht, 10. Ed., Stand 15.1.2022, AufenthG § 25a Rn. 26.&lt;/ref&gt;}}

==== 4. Antragstellung vor Vollendung des 21. Lebensjahres, § 25a I 1 Nr. 3 AufenthG ====
Der Antrag auf die Erteilung der Aufenthaltserlaubnis müsste gemäß § 25a I 1 Nr. 3 AufenthG vor dem 21. Geburtstag von E gestellt worden sein. Laut Sachverhalt ist E 19 Jahre alt und hat den Antrag bei der Ausländerbehörde bereits gestellt. Der Antrag wurde daher rechtzeitig gestellt.

==== 5. &quot;Positive Integrationsprognose&quot;, § 25a I 1 Nr. 4 AufenthG ====
Es müsste gemäß § 25a I 1 Nr. 4 AufenthG gewährleistet erscheinen, dass E sich in die Lebensverhältnisse in Deutschland einfügen kann. Eine solche &quot;positive Integrationsprognose&quot; kann gestellt werden, wenn die begründete Erwartung besteht, dass sich E in sozialer, wirtschaftlicher und rechtlicher Hinsicht in die Lebensverhältnisse der Bundesrepublik Deutschland einfügen kann.&lt;ref&gt;Röder, in: Decker/Bader/Kothe, BeckOK Migrations- und Integrationsrecht, 10. Ed., Stand 15.1.2022, AufenthG § 25a Rn. 29.&lt;/ref&gt; Um dies zu beurteilen, ist eine die konkreten individuellen Lebensumstände berücksichtigende Gesamtbetrachtung geboten. Dabei können Kenntnisse der deutschen Sprache, des Vorhandenseins eines festen Wohnsitzes und enger persönlicher Beziehungen zu dritten Personen außerhalb der eigenen Familie, des Schulbesuchs und des Bemühens um eine Berufsausbildung und Erwerbstätigkeiten, des sozialen und bürgerschaftlichen Engagements sowie der Akzeptanz der hiesigen Rechts- und Gesellschaftsordnung berücksichtigt werden.&lt;ref&gt;[https://openjur.de/u/363278.html OVG Niedersachen, Urt. v. 19.3.2012, Az.: 8 LB 5/11]; [https://openjur.de/u/2250083.html VGH Baden-Württemberg, Beschl. v. 3.6.2020, Az.: 11 S 427/20], Rn. 43.&lt;/ref&gt;

Aus dem Sachverhalt ergeben sich keine Anhaltspunkte, die gegen eine positive Integrationsprognose für E sprechen. Für eine positive Prognose spricht insbesondere ihre bisherige Bildungsbiographie mit dem erfolgreichen Hauptschulabschluss und der Aufnahme der Ausbildung als Kfz-Mechatronikerin.

==== 6. &quot;Verfassungstreue&quot;, § 25a I 1 Nr. 5 AufenthG ====
Es bestehen keine konkreten Anhaltspunkte dafür, dass E sich nicht zur freiheitlichen demokratischen Grundordnung der Bundesrepublik Deutschland bekennt, sodass § 25a I 1 Nr. 5 AufenthG ebenfalls erfüllt ist.

{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Ein aktives Bekenntnis, wie zum Beispiel die sogenannte &quot;Loyalitätserklärung&quot;, die im Rahmen von § 10 I StAG üblich ist, ist nicht erforderlich. Dies ergibt sich systematisch aus einem Vergleich mit § 25b I Nr. 2 AufenthG, der ein aktives Bekenntnis zur freiheitlich demokratischen Grundordnung verlangt, während § 25a I 1 Nr. 5 AufenthG nur die Abwesenheit von konkreten Anhaltspunkten gegen ein Bekenntnis voraussetzt. Wenn die Ausländerbehörde im Einzelfall Anhaltspunkte für eine fehlende Verfassungstreue hat, muss sie die antragstellende Person damit zunächst konfrontieren, wenn die Verweigerung der Aufenthaltserlaubnis aus diesem Grund beabsichtigt ist.&lt;ref&gt; Röder, in: Decker/Bader/Kothe, BeckOK Migrations- und Integrationsrecht, 10. Ed., Stand 15.1.2022, AufenthG § 25a Rn. 32.&lt;/ref&gt;}}

=== II. Ausschlussgrund: Aussetzung der Abschiebung aufgrund eigener falscher Angaben oder Identitätstäuschung, § 25a I 3 AufenthG ===
Die Abschiebung von E dürfte gemäß § 25a I 3 AufenthG nicht aufgrund eigener falscher Angaben oder einer Identitätstäuschung ausgesetzt sein.

Die Erteilung einer Ausbildungsduldung ist gemäß § 60c II Nr. 1 AufenthG ausgeschlossen, wenn ein Ausschlussgrund nach § 60a VI AufenthG vorliegt. Ein solcher liegt gemäß § 60a VI 1 Nr. 2 S. 2 AufenthG vor, wenn die Abschiebung aus selbst zu vertretenen Gründen nicht durchgeführt werden kann, insbesondere bei einer Täuschung über die eigene Identität oder Staatsangehörigkeit oder bei falschen Angaben.


Da E in Besitz einer Ausbildungsduldung ist, kann davon ausgegangen werden, dass sie ihr Abschiebungshindernis nicht aufgrund entsprechender Falschangaben oder Täuschung selbst zu vertreten hat. {{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Täuschungshandlungen der Eltern dürfen Minderjährigen im Rahmen des § 25a I 3 AufenthG nicht zugerechnet werden, auch wenn diese ihre gesetzlichen Vertreter*innen sind. Es entsteht auch keine automatische Aufklärungspflicht bei Eintritt der Volljährigkeit, insofern stellt das bloße Fortwirkenlassen einer Täuschung oder falscher Angaben keinen zwingenden Ausschlussgrund dar, es kann lediglich im Rahmen der Ermessensentscheidung über die Erteilung berücksichtigt werden.&lt;ref&gt;[https://openjur.de/u/684187.html BVerwG, Urt. v. 14.5.2013, Az.: 1 C 17.12], Rn. 16.&lt;/ref&gt; Schädlich ist im Hinblick auf den Ausschlussgrund nur ein aktives Verhalten nach Eintritt der Volljährigkeit.&lt;ref&gt;Fränkel, in: NK-Ausländerrecht, 2. Aufl. 2016, § 25a Rn. 11.&lt;/ref&gt;}}

===III. Allgemeine Erteilungsvoraussetzungen, §§ 5, 10 III AufenthG===
Neben den speziellen Erteilungsvoraussetzungen des § 25a AufenthG, müssten grundsätzlich auch im Zeitpunkt der Erteilung der Aufenthaltserlaubnis die allgemeinen Erteilungsvoraussetzungen des § 5 AufenthG vorliegen - soweit diese nicht durch § 25a AufenthG als Spezielregelung modifiziert werden - und es dürfte keine Titelerteilungssperre nach § 10 III AufenthG greifen.

====1. § 5 AufenthG====

{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Von den allgemeinen Erteilungsvoraussetzungen des § 5 I AufenthG kann gemäß § 5 III AufenthG im Ermessenswege abgesehen werden. Für ein Absehen etwa von der Passpflicht kann sprechen, dass ein Nationalpass bereits beantragt und alle zumutbaren Handlungen für die Beschaffung des Passes vorgenommen wurden. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die antragstellende Person selbst noch minderjährig ist und die fehlende Passbeschaffung somit nicht ihr, sondern den Eltern anzulasten ist.&lt;ref&gt; [https://openjur.de/u/2382341.html OVG Sachsen-Anhalt, Beschl. v. 14.12.2021, Az.: 2 M 117/21], Rn. 30 ff.&lt;/ref&gt;}}

===== a. Lebensunterhaltssicherung, § 5 I Nr. 1 i.V.m. 25a I 2 AufenthG =====
E müsste gemäß § 5 I Nr. 1 AufenthG ihren Lebensunterhalt sichern können. Diese allgemeine Erteilungsvoraussetzung wird durch § 25a I 2 AufenthG dahingehend modifiziert, dass während einer schulischen oder beruflichen Ausbildung oder einem Hochschulstudium die Inanspruchnahme öffentlicher Leistungen zur Sicherstellung des eigenen Lebensunterhalts die Erteilung der Aufenthaltserlaubnis nicht ausschließt. Der Sachverhalt macht keine näheren Angaben zu der Lebensunterhaltssicherung der E. Das Gehalt in der Ausbildung zur Kfz-Mechatronikerin richtet sich in der Regel nach den tarifgebundenen Vereinbarungen, anderenfalls gilt der gesetzliche Mindestlohn. Es ist davon auszugehen, dass E ihren Lebensunterhalt durch die Ausbildungsvergütung bestreiten kann. Sofern sie zusätzlich öffentliche Leistungen in Anspruch nimmt, ist dies gemäß § 25a I 2 AufenthG unschädlich. Die Voraussetzung der Lebensunterhaltssicherung ist mithin erfüllt.

===== b. Geklärte Identität und Erfüllung der Passpflicht, § 5 I Nr. 1a und 4 AufenthG =====
Die Voraussetzungen der geklärten Identität und Erfüllung der Passpflicht werden von E, die laut Sachverhalt einen gültigen und anerkannten Nationalpass bei der Ausländerbehörde vorgelegt hat, erfüllt.

===== c. Kein Ausweisungsinteresse und keine Beeinträchtigung oder Gefährdung sonstiger Interessen der BRD, § 5 I Nr. 2 und 3 AufenthG =====
Dem Sachverhalt lassen sich keine Informationen entnehmen, die ein Ausweisungsinteresse gemäß § 54 AufenthG oder eine Beeinträchtigung oder Gefährdung sonstiger Interessen der BRD durch E begründen könnten.

===== d. Einreise mit dem erforderlichen Visum, § 5 II AufenthG =====
Gemäß § 5 II AufenthG müsste E mit dem erforderlichen Visum eingereist sein. Dies ist nicht der Fall. Von dem Visumerfordernis ist aber regelmäßig nach § 5 III 2 AufenthG im Ermessenswege abzusehen. Es ist zwar eine umfassende und grundsätzlich offene Abwägung zwischen den hinter dem Visumserfordernis stehenden öffentlichen Interessen und den privaten Interessen der antragstellenden Person zu treffen; zugunsten der E ist aber die gesetzgeberische Intention des § 25a AufenthG angemessen zu berücksichtigen, gut integrierten Jugendlichen bzw. Heranwachsenden eine eigene gesicherte Aufenthaltsperspektive einzuräumen, indem eine Aufenthaltserlaubnis erteilt wird. Damit existiert ein öffentliches Interesse an der Regularisierung des Aufenthalts, das – bei Erfüllung der Voraussetzungen des Soll-Anspruchs aus § 25a AufenthG und sofern keine Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass das Visumverfahren bewusst umgangen wurde – schwerer wiegt, als das Interesse an der Einhaltung der Visumspflicht.&lt;ref&gt;[https://openjur.de/u/2250083.html VGH Baden-Württemberg, Beschl. v. 3.6.2020, Az.: 11 S 427/20], Rn. 48.&lt;/ref&gt;

====2. Keine Titelerteilungssperre, § 10 III AufenthG====
E dürfte keiner sogenannten [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Titelerteilungssperre, § 10 AufenthG Lösung|Titelerteilungssperre]] gemäß § 10 III AufenthG für abgelehnte Asylbewerber*innen unterliegen. Gemäß § 10 III 1 AufenthG darf einer ausländischen Person, deren Asylantrag unanfechtbar abgelehnt worden ist, oder die ihren Asylantrag zurückgenommen hat, vor der Ausreise ein Aufenthaltstitel nur nach Maßgabe des Abschnitts 5 (Aufenthalt aus völkerrechtlichen, humanitären oder politischen Gründen) erteilt werden. Sofern der Asylantrag als offensichtlich unbegründet abgelehnt wurde, darf gemäß § 10 III 2 AufenthG vor der Ausreise überhaupt kein Aufenthaltstitel erteilt werden. Eine Titelerteilungssperre besteht gemäß § 10 III 3 AufenthG dann nicht, wenn ein Anspruch auf Erteilung eines Aufenthaltstitels besteht. Da es sich bei der &quot;Soll-Regelung&quot; des § 25a AufenthG nach der Rechtsprechung des Bundesverwaltungsgerichts nicht um einen gesetzlichen Anspruch handelt&lt;ref&gt;[https://www.bverwg.de/120718U1C16.17.0 BVerwG, Urt. v. 12.7.2018, Az.: 1 C 16/17], Rn. 27; [https://www.bverwg.de/171215U1C31.14.0 BVerwG, Urt. v. 17.12.2015, Az.: 1 C 31/14]; [https://www.bverwg.de/161208U1C37.07.0 BVerwG, Urt. v. 16.12.2008, Az.: 1 C 37/07].&lt;/ref&gt;, ist § 10 III 3 AufenthG nicht anwendbar. Fraglich ist daher, ob der Asylantrag der E als offensichtlich unbegründet abgelehnt worden ist, oder ob eine &quot;einfach&quot; unbegründete Ablehnung vorliegt. Mangels anderslautender Angaben im Sachverhalt ist davon auszugehen, dass der Asylantrag der E &quot;einfach&quot; unbegründet abgelehnt wurde. Gemäß § 10 III 1 AufenthG darf ihr in diesem Fall ein Aufenthaltstitel nach Maßgabe des Abschnitts 5 erteilt werden. Bei der Aufenthaltserlaubnis nach § 25a AufenthG handelt es sich um einen Aufenthaltstitel aus dem Abschnitt 5 des AufenthG. Demnach unterliegt E vorliegend keiner Titelerteilungssperre aus § 10 III  AufenthG.

{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Eine Titelerteilungssperre kann auch die Folge eines Einreise- und Aufenthaltsverbots (§ 11 I AufenthG) sein. Wenn die Erteilungsvoraussetzungen für § 25a AufenthG vorliegen, soll dieses jedoch gemäß § 11 IV 2 AufenthG aufgehoben werden.}}
==B. Rechtsfolge==
Bei Erfüllung der Erteilungsvoraussetzungen besteht gemäß § 25a I 1 AufenthG kein strikter Anspruch auf Erteilung der Aufenthaltserlaubnis, die Erteilung ist aber der gesetzliche vorgesehene Regelfall („soll...erteilt werden“). Eine Versagung kommt danach allenfalls in besonders gelagerten atypischen Konstellationen in Betracht. Ein derartiger Ausnahmefall ist hier nicht ersichtlich, sodass E eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25a I 1 AufenthG erhält.

{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Eine für die Praxis besonders relevante Streitfrage ist, ob es sich um einen rechtsmissbräuchlichen Fall handelt, wenn eine Duldung aufgrund der Rücknahme eines Asylantrags erteilt wurde. In dieser Konstellation wird ein Asylantrag zurückgenommen, um den für die Erteilung der Aufenthaltserlaubnis erforderlichen Duldungsstatus zu erhalten. Nach Auffassung des VGH Baden-Württemberg&lt;ref&gt;[https://openjur.de/u/2250083.html VGH Baden-Württemberg, Beschl. v. 3.6.2020, Az.: 11 S 427/20], Rn. 49.&lt;/ref&gt; und der hiesigen Auffassung handelt sich dabei nicht um einen atypischen, weil rechtsmissbräuchlichen Fall, sodass der Erteilung eines Aufenthaltstitels nach § 25a AufenthG nichts im Wege steht – für die Beurteilung dieser Frage sollte dennoch anwaltlicher Rat eingeholt werden. Zu beachten ist, dass der Antrag auf die Erteilung der Aufenthaltserlaubnis auch gestellt werden kann, ohne dass bereits eine Duldung vorhanden ist. Zum maßgeblichen Zeitpunkt für das Vorliegen der erforderlichen Duldung, [[OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bezügen/_§_25a_AufenthG_Lösung#Anker:Verfahrensduldung|siehe oben]].}}

==C. Abwandlung==

Fraglich ist, ob auch die Eltern von E eine Aufenthaltserlaubnis bekommen können. Gemäß § 25a II 1 AufenthG kann den Eltern einer minderjährigen Person, die eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25a I AufenthG besitzt, eine Aufenthaltserlaubnis erteilt werden, wenn ihre Abschiebung nicht aufgrund falscher Angaben oder aufgrund von Täuschungen über die Identität oder Staatsangehörigkeit oder mangels Erfüllung zumutbarer Anforderungen an die Beseitigung von Ausreisehindernissen verhindert oder verzögert wird (Nr. 1) und der Lebensunterhalt eigenständig durch Erwerbstätigkeit gesichert ist (Nr. 2). Laut Sachverhalt ist E 17 Jahre alt und damit minderjährig. Ihre Eltern können den Lebensunterhalt eigenständig durch Erwerbstätigkeit sichern. Aus dem Sachverhalt ergeben sich keine Hinweise darauf, dass die Eltern Mitwirkungspflichten verletzt oder über ihre Identität getäuscht hätten. Damit steht die Erteilung einer Aufenthaltserlaubnis nach § 25a II 1 AufenthG im Ermessen der Ausländerbehörde (&quot;kann...erteilt werden&quot;). 

Daneben kommt für die Eltern gegebenenfalls auch eine [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/§ 25b AufenthG SV|Aufenthaltserlaubnis nach § 25b AufenthG]] in Betracht, wenn sie die entsprechenden Voraussetzungen erfüllen.


==Weiterführende Literatur==

* [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2016/AM_16-4-5_Beitrag_R%C3%B6der.pdf, Röder, §§ 25a und b AufenthG – Hiergeblieben!? Die neuen Bleiberechte bei gelungener Integration, Asylmagazin 4–5/2016], 108.

* Deibel, Die neue Aufenthaltserlaubnis für Jugendliche und Heranwachsende in § 25a AufenthG, ZAR 2011, 241.

==Zusammenfassung: Die wichtigsten Punkte==
* Eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25a I AufenthG kann auch dann erteilt werden, wenn die antragstellende Person eine Ausbildungsduldung hat.
* Es besteht ein Regelerteilungsanspruch auf eine Aufenthaltserlaubnis nach § 25a I AufenthG, sodass der Antrag nur in atypischen Fällen abgelehnt werden darf.
* § 25a II AufenthG enthält auch die Möglichkeit abgeleiteter Aufenthaltserlaubnisse für bestimmte Familienangehörige.&lt;br /&gt;
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    <title>OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/ Gleichgeschlechtliche Liebe Lösung</title>
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        <username>Pia Lotta Storf</username>
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{{OpenRewi/Kapitelanfang}}
&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;/p&gt;

&lt;big&gt;'''Autorin:''' Pia Lotta Storf&lt;/big&gt;   
&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' Grundlagen der Statusbestimmung; Konzept der Gruppenverfolgung   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' Materielles Asylrecht; Bestimmte soziale Gruppe gem. § 3b I Nr. 4 AsylG; LGBTIQ; Gender Identity; Geschlechtsidentität, Irak.   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Gleichgeschlechtliche Liebe SV|Gleichgeschlechtliche Liebe]]   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad''': Fortgeschrittene   &lt;/blockquote&gt;

Zu prüfen ist, ob die Ablehnung des Flüchtlingsschutzes für A durch das BAMF materiell rechtmäßig ist. 

==A. Materielle Rechtmäßigkeit des Bescheids für A==
Das ist der Fall, wenn eine Ermächtigungsgrundlage gegeben ist und die Voraussetzungen für das Vorliegen der Flüchtlingseigenschaft in der Person von A nicht gegeben sind.

=== I. Ermächtigungsgrundlage ===
Als Ermächtigungsgrundlage kommen die Regelungen über den Flüchtlingsschutz gemäß&amp;nbsp;§§&amp;nbsp;3&amp;nbsp;ff.&amp;nbsp;AsylG in Betracht.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Die nationale Rechtsgrundlage zur Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft nach §§ 3 ff. AsylG ist in ein Mehrebenensystem eingebettet. Auf völkerrechtlicher Ebene bestimmt die Genfer Flüchtlingskonvention (GFK) die Definition der Flüchtlingseigenschaft und die Rechte von Flüchtlingen. &lt;ref&gt;Zu den Grundlagen siehe asyl.net Themen: [https://www.asyl.net/themen/asylrecht/schutzformen/fluechtlingsschutz/ Flüchtlingsschutz].&lt;/ref&gt;  Auf europarechtlicher Ebene wurden diese Vorgaben in der Qualifikations-RL&lt;ref&gt; Qualifikationsrichtlinie (2011/95/EU) vom 13.12.2011 über Normen für die Zuerkennung des internationalen Schutzstatus (Flüchtlingseigenschaft im Sinne der Genfer Flüchtlingskonvention sowie subsidiärer Schutz), auch Anerkennungs-RL oder Status-RL, [https://www.asyl.net/recht/gesetzestexte/eu-recht/richtlinien/qualifikationsrichtlinie-201195eu/ asyl.net: „Recht“ / „Gesetzestexte“ / „EU-Recht“].&lt;/ref&gt; konkretisiert. Zudem wurde durch die Qualifikations-RL die Schutzform des subsidiären Schutzes geschaffen. Diese wird zusammen mit dem Flüchtlingsschutz als internationaler Schutz bezeichnet. Die Einbettung im Mehrebenensystem wird insbesondere bei der Auslegung wertungsoffener Begriffe, wie etwa bei den Verfolgungsgründen relevant. &lt;ref&gt; Stichwort: völkerrechtsfreundliche Auslegung, gem. Art. 59 II, 25 GG; vgl. auch BVerfG, Beschl. v. 14.10.2004, Az.: 2 BvR 1481/04 zur Berücksichtigung der Entscheidungen des EGMR (Rs. Görgülü), [https://www.asyl.net/rsdb/M5709/ asyl.net: M5709.] &lt;/ref&gt; |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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=== II. Vorliegen der Voraussetzungen der Ermächtigungsgrundlage ===
Gemäß § 3 IV AsylG wird einer ausländischen Person, die Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist, die Flüchtlingseigenschaft zuerkannt, sofern keine Ausschlussgründe vorliegen. 

Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist eine Person, die sich aus begründeter Furcht vor Verfolgung aufgrund eines Verfolgungsgrundes gemäß § 3b I AsylG außerhalb ihres Herkunftslandes – dessen Staatsangehörigkeit sie besitzt – befindet, wenn sie den Schutz ihres Herkunftslandes nicht in Anspruch nehmen kann oder wegen der Verfolgungsfurcht nicht in Anspruch nehmen will.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Das BAMF und die Verwaltungsgerichte nutzen verschiedene Erkenntnisquellen, um die für einen Asylantrag maßgeblichen Anhaltspunkte zu prüfen. Nach Art. 4 III lit. a Qualifikations-RL sind sie verpflichtet Informationen zur Lage im Herkunftsland zu berücksichtigen. 

Die Verwaltungsgerichte veröffentlichen eine Liste ihrer Erkenntnismittel.&lt;ref&gt; Vgl. etwa [https://www.berlin.de/gerichte/verwaltungsgericht/service/erkenntnismittellisten/irak/ VG Berlin zum Irak.]&lt;/ref&gt; Dabei wird den Lageberichten des Auswärtigen Amts (AA) durch BAMF und Verwaltungsgerichte eine besondere Bedeutung beigemessen. Dies wird von Fachleuten kritisiert, da in den AA-Berichten nicht immer die Qualitätsstandards zur Beschaffung von Herkunftslandinformationen eingehalten werden.&lt;ref&gt;Zu den Standards siehe Leitfaden des Österreichischen Roten Kreuzes und ACCORD, [https://www.asyl.net/view/recherche-von-herkunftslaenderinformationen/ Recherche von Herkunftsländerinformationen], Stand: Dezember 2014.&lt;/ref&gt; Die AA-Berichte sind zwar nur für den Dienstgebrauch, aber Asylantragstellende in einem laufenden Verfahren können die Lageberichte zum Herkunftsland bei der Informationsvermittlungsstelle des BAMF beantragen. Es muss ein Dokument aus einem laufenden Verfahren oder ein Antrag ans BAMF oder die Ausländerbehörde beigelegt werden. Maßgeblich für die Recherche von Herkunftslandinformationen ist die Datenbank des [https://www.ecoi.net/de/ European Country of Origin Information Network] von ACCORD, einer Abteilung des Österreichischen Roten Kreuzes. Diese enthält Informationen von über 160 Quellen, die regelmäßig aktualisiert werden.

Zum vorliegenden Fall können folgende Quellen beachtlich sein:

- UNHCR: [https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf Schutzerwägungen Irak]

- ILGA World: [https://ilga.org/state-sponsored-homophobia-report State-Sponsored Homophobia Report]

- Amnesty International: [https://www.amnesty.de/informieren/amnesty-report Menschenrechtsberichte]

- US Department of State: [https://www.state.gov/reports-bureau-of-democracy-human-rights-and-labor/country-reports-on-human-rights-practices/ Menschenrechtsberichte]|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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==== 1. Verfolgungsgrund ====
{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Zur Prüfung der Flüchtlingseigenschaft ist es hilfreich ein Prüfungsschema zugrunde zu legen. Dabei weichen in verschiedenen Quellen zu findende Prüfungsreihenfolgen im Aufbau zum Teil voneinander ab. &lt;ref&gt;  Siehe etwa das Prüfungsschema in [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3. Fall Nr. 14 Ahmadiyya in Pakistan]. &lt;/ref&gt;

In der Praxis wird die Prüfung von Verfolgungsgrund, Verfolgungshandlung, Verfolgungsprognose und Nexus insbesondere bei Gruppenverfolgungen oft zusammen verhandelt. Aus didaktischen Gründen wird in diesem Lösungsvorschlag zunächst der Verfolgungsgrund separat geprüft. |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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In Betracht kommt vorliegend insbesondere der Verfolgungsgrund der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe, gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Hier ließe sich auch über weitere Verfolgungsgründe nachdenken. In Betracht kommt zusätzlich eine religiöse &lt;ref&gt; UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 42.&lt;/ref&gt; oder politisch motivierte Verfolgung &lt;ref&gt;Sußner, Flucht-Geschlecht-Sexualität. Eine menschenrechtsbasierte Perspektive auf Grundversorgung und Asylstatus, 2020, S. 303.&lt;/ref&gt;. Die als abweichend markierte sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität kann als Bruch mit der religiösen oder politischen Norm verstanden werden.&lt;ref&gt; [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 25; ausführlich: Sußner, 2020, S. 170 ff.&lt;/ref&gt; Die Falllösung orientiert sich daran wie Verwaltungsgerichte an ähnliche Fallgestaltungen herangehen und ist daher auf die Probleme der Verfolgung aufgrund der Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe zugeschnitten.}}Eine bestimmte soziale Gruppe liegt laut §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG vor, wenn die Mitglieder dieser Gruppe angeborene Merkmale, einen unveränderbaren gemeinsamen Hintergrund gemein haben oder Merkmale teilen, die so bedeutsam für die Identität oder das Gewissen sind, dass die betreffende Person nicht gezwungen werden darf, auf sie zu verzichten, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG. Nach dem Wortlaut der Norm („'''und'''“) muss die Gruppe zudem in dem betreffenden Land eine deutlich abgegrenzte Identität haben und von der sie umgebenden Gesellschaft als andersartig betrachtet werden, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG.{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Nach dem Wortlaut von § 3b I Nr. 4 AsylG (und auch Art. 10 lit. d S. 1 Qualifikations-RL) müssen die Voraussetzungen des angeborenen Merkmals „und“ der abgrenzbaren Identität kumulativ erfüllt sein. Demgegenüber setzt der UNHCR voraus, dass ein gemeinsames Merkmal vorliegt oder die Gruppe von von der Gesellschaft als eine Gruppe wahrgenommen wird. Siehe hierzu weitergehender Fall Nr. 16 „[https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_H%C3%A4usliche_Gewalt_L%C3%B6sung Häusliche Gewalt]“.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|bg2=white
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|tc2=black}}Eine Verfolgung wegen der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe kann auch vorliegen, wenn sie an die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität anknüpft, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG.&lt;ref&gt;Grundlegend dazu, EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z  gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260]; ausführlich dazu Markard, EuGH zur sexuellen Orientierung als Fluchtgrund, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2013/AM2013-12_beitragmarkard.pdf Asylmagazin 12/2013].&lt;/ref&gt; 

Aufgrund der Vielschichtigkeit, Fluidität und Interdependenz von As geschlechtlicher Identität (nicht-binär/ transgeschlechtlich)&lt;ref&gt;In der deutschen Rechtsprechung wird Transsexualität teilweise fälschlich als „sexuelle Orientierung“ eingeordnet, vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.18, RO 13 K 17.32861, Rn. 27.&lt;/ref&gt; und sexueller Identität (lesbisch bei rechtlicher Geschlechtszuordnung als Mann) kommen verschiedene Gruppenzugehörigkeiten in Betracht. Auch eine erhöhte Vulnerabilität aufgrund des Zusammenspiels verschiedener Gruppenzugehörigkeiten kommt in Betracht.&lt;ref&gt;Sußner, 2020, S. 173 ff.&lt;/ref&gt;{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Yogyakarta-Prinzipien zur Anwendung der Menschenrechte in Bezug auf die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität (sexual identity, gender orientation, SOGI).&lt;ref&gt; Yogyakarta Principles in den sechs Sprachen der Vereinten Nationen: http://yogyakartaprinciples.org/; deutsche Übersetzung: https://www.lsvd.de/de/ct/3359-yogyakarta-prinzipien.&lt;/ref&gt; 
 
Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert Geschlechtsidentität wie folgt: “Gender identity is understood to refer to each person’s deeply felt internal and individual experience of gender, which may or may not correspond with the sex assigned at birth, including the personal sense of the body (which may involve, if freely chosen, modification of bodily appearance or function by medical, surgical or other means) and other expressions of gender, including dress, speech and mannerisms.”

Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert sexuelle Orientierung wie folgt: “Sexual orientation is understood to refer to each person’s capacity for profound emotional, affectional and sexual attraction to, and intimate and sexual relations with, individuals of a different gender or the same gender or more than one gender.”}}

==== a) Unveräußerliches Merkmal, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp; a&amp;nbsp;AsylG ====
Die Geschlechtsidentität von A könnte ein unveräußerliches Merkmal sein.

As Personenstandseintrag ist männlich. Dahingegen ordnet A das eigene Geschlecht als nicht-binär ein, und fühlt sich jedenfalls eher als Frau, denn als Mann. Nach Außen drückt A die geschlechtliche Identität durch lange Haare, glattrasierte Wangen, Make-up, androgyne Kleidung und eine angepasste Stimmlage aus. Jedenfalls entspricht A nicht den gesellschaftlichen Konformitätsvorstellungen an Geschlecht und transzendiert die Binarität der traditionellen Geschlechterordnung. Die Argumentation des BAMF, dass A das eigene Auftreten leicht verändern könnte, lässt sich so verstehen, dass davon ausgegangen wird, dass in der Person von A kein solches unveräußerliches Merkmal vorliegt. As Auftreten ist jedoch unmittelbarer Ausdruck der eigenen Geschlechtsidentität. Die geschlechtliche Identität jenseits der binären Zuordnung als Mann oder Frau ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG. &lt;ref&gt;Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 41&lt;/ref&gt; Ein unveräußerliches Merkmal liegt daher im Fall von A vor.

As sexuelle Orientierung könnte ebenfalls ein geschütztes Merkmal sein. A definiert die eigene sexuelle Orientierung als homosexuell. Nach Maßgabe des Personenstandsregisters müssten As Beziehungen zu Frauen als heterosexuell definiert werden. Die sexuelle Orientierung ist als höchstpersönlicher Lebensbereich geschützt.&lt;ref&gt;BVerfG, Beschl. v. 22.01.2020, Az.: 2 BvR 1807/19, [https://www.asyl.net/rsdb/M28078 asyl.net: M28078]; vgl. Anmerkung hierzu Braun/Dörr/Träbert, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Asylmagazin 3/2020], S. 81 ff.&lt;/ref&gt; Die Definition des eigenen Begehrens obliegt daher jeder Person selbst. &lt;ref&gt;Vgl. Berg/ Millbank, in: Spijkerboer, Fleeing Homophobia (2013), S.122 f.&lt;/ref&gt; Eine homosexuelle Orientierung ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten. &lt;ref&gt;Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21-7-8_themenschwerpunkt_lgbti_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt;

Sowohl As geschlechtliche Identität als auch As sexuelle Orientierung sind damit geschützte Merkmale gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp;&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=In der Praxis stellt die Glaubhaftigkeitsprüfung gerade in SOGI bezogenen Fällen die größte Herausforderung dar.&lt;ref&gt; Vgl. Prinzip 3 der Yogyakarta Prinzipien; Rehaag/ Collin, Canadian Journal of Human Rights 9:1 (2020), S. 3 ff. &lt;/ref&gt; Eine länderbezogene [https://www.lsvd.de/de/recht/rechtsprechung/asylrecht Übersicht aktueller Entscheidungen] stellt der LSVD zusammen.

So hat bspw. das VG Magdeburg eine BAMF-Entscheidung korrigiert, in der einem Mann aus Saudi-Arabien die Homosexualität wegen zu klischeehafter Darstellung nicht geglaubt worden war und festgestellt, dass die Flüchtlingseigenschaft vorliegt.&lt;ref&gt;VG Magdeburg, Urteil vom 10.03.2020 - 9 A 294/18 &lt;/ref&gt;  

Der EuGH hat in seiner Rechtsprechung Vorgaben zur Prüfung der sexuellen Orientierung als Verfolgungsgrund gemacht. So dürfen Beurteilung nicht anhand von Befragungen erfolgen, die allein auf stereotypen Vorstellungen von homosexuellen Personen beruhen. Befragungen zu sexuellen Praktiken, Beweise oder „Tests“ zum Nachweis der sexuellen Orientierung sind unzulässig. Zudem ist es unzulässig, allein deswegen von einer mangelnden Glaubhaftmachung ausgehen, weil eine Person die behauptete sexuelle Ausrichtung nicht bei der ersten Gelegenheit zur Darlegung der Verfolgungsgründe geltend gemacht hat. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 02.12.2014 - C-148/13, C-149/13, C-150/13 - A,B,C gegen Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/M22497 asyl.net: M22497].&lt;/ref&gt;  Psychologische Tests und Gutachten zur Feststellung von Homosexualität wiederum sind laut EuGH unter bestimmten Bedingungen zulässig. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 25.01.2018 - C-473/16 F gegen Ungarn, [https://www.asyl.net/rsdb/M25902 asyl.net: M25902].

Das Difference, Stigma, Shame, and Harm (DSSH)-Modell schlägt vor, dass sich die Befragung darauf konzentrieren sollte, die Wahrnehmung der Asylsuchenden in Bezug auf die Differenz, die Stigmatisierung, die Scham und den Schaden, den sie erfahren haben, zu eruieren.&lt;ref&gt;Vgl. Dawson/Gerber, Assessing the Refugee Claims of LGBTI People: Is the DSSH Model Useful for Determining Claims by Women for Asylum Based on Sexual Orientation?, in International Journal of Refugee Law, 29(2), 2017, S. 292–322.&lt;/ref&gt;}}'''b)''' '''Abgegrenzte Gruppe, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG'''

A müsste aufgrund der unveräußerlichen Merkmale als Teil einer von der umgebenden irakischen Gesellschaft deutlich abgegrenzten Gruppe gesehen werden. Die Verfolgung von A, bzw. As Schutzlosigkeit müsste gerade aus der gesellschaftlichen Betrachtung als andersartig resultieren.&lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt;

Die Bildung der sozialen Gruppe ist abhängig von der Gesellschaft des Herkunftsstaates. Fragen der sexuellen Orientierung oder der Geschlechtsidentität werden in der irakischen Gesellschaft weitgehend tabuisiert. Abweichungen von tradierten Vorstellungen werden von großen Teilen der Bevölkerung als unvereinbar mit Religion und Kultur abgelehnt.&lt;ref&gt;ACCORD, [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Anfragebeantwortung zum Irak: Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

A weicht von tradierten Geschlechternormen und heteronormativer sexueller Orientierung ab. Es ließe sich einwenden, dass A aus rein personenstandsrechtlicher Sicht heterosexuelle Beziehungen führe. Jedoch dürfte diese Zuschreibung aufgrund der erkennbar von der gesellschaftlichen Norm abweichenden geschlechtlichen Identität As nicht aufrecht zu erhalten sein. Dabei könnte es Kontexte geben, in denen A allein auf der Straße als schwul oder jedenfalls nicht als heterosexueller Mann gelesen würde und Kontexte, in denen A in Begleitung einer Partnerin als lesbisch gelesen würde. Diese Zuschreibung von geschützten Merkmalen ist asylrechtlich relevant, § 3b II AsylG.

Die Verfolgung und besondere Schutzlosigkeit basieren also auf As wahrnehmbarer Abweichung von geschlechtlichen und sexuellen Normen. Daher liegt auch die Zugehörigkeit zu einer gesellschaftlich abgegrenzten Gruppe vor.

A gehört damit einer sozialen Gruppe im Sinne des §'''&amp;nbsp;'''3b I Nr. 4 AsylG an.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Verfolgungsgründe bei Queerness

Die flüchtlingsrechtliche Prüfung von Queerness als Abweichung von gesellschaftlichen Erwartungen an Geschlecht – sowohl in Bezug auf geschlechtliche Identität als auch sexuelle Orientierung – wird oft anhand von stereotypen Bildern und Erwartungen durchgeführt. Um den Schutz von Personen, die in Bezug auf SOGI verfolgt werden, sicherzustellen, bedarf es einer menschenrechtsbasierten Auslegung des Flüchtlingsrechts.&lt;ref&gt; Andrade/ Danisi/ Dustin/ Ferreira/ Held, [https://www.sogica.org/wp-content/uploads/2020/07/The-SOGICA-surveys-report_1-July-2020-1.pdf SOGICA Report], Queering Asylum in Europe: A Survey Report, 2020. Markard, Kriegsflüchtlinge, 2012, S. 142 ff.&lt;/ref&gt;

So ist es zum Beispiel wichtig auch nichtgefestigte Identitäten (pre-transition etwa) als unveränderliches Merkmal anzuerkennen, da sie unverzichtbar für die Identität sind.&lt;ref&gt; Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 47.&lt;/ref&gt;  Zudem stellen Art. 10 II Qualifikations-RL und § 3b II AsylG klar, dass auch zugeschriebene Homosexualität ein Verfolgungsgrund sein kann. Für eine solche Auslegung enthalten u.a. die [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html UNHCR Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen] und die [http://yogyakartaprinciples.org/ Yogyakarta Prinzipien] Interpretationsempfehlungen}}


'''2. Verfolgungshandlung'''

Es müsste eine Verfolgungshandlung gemäß §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG vorliegen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Als „Verfolgung“ iSd. Genfer Flüchtlingskonvention wird jede dauerhafte oder systematische Verletzung grundlegender Menschenrechte angesehen. Grundlegende Menschenrechte, von denen selbst im Notstandsfall gem. Art. 15 EMRK nicht abgewichen werden darf, sind das Recht auf Leben, das Verbot der Sklaverei und das strafrechtliche Gesetzlichkeitsprinzip.  

Die Verfolgungshandlung muss eine bestimmte Intensitätsschwelle übersteigen um als Menschenrechtsverletzung zu gelten, § 3a I AsylG:

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Art, Nr. 1 Var. 1

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Wiederholung, Nr. 1 Var. 2

- Kumulierung verschiedener Maßnahmen, einschließlich einer Verletzung der Menschenrechte, die so gravierend ist, dass eine Person davon in ähnlicher Weise, wie in Nummer 1 beschrieben, betroffen ist, Nr. 2.

Eine Verfolgungshandlung setzt nach dem BVerwG einen gezielten aktiven Eingriff in ein geschütztes Rechtsgut voraus.&lt;ref&gt;BVerwG, U. v. 7.11.2009, Az.: 10 C.52.07, juris; Bergmann, in Bergmann/Dienelt, Ausländerrecht, 13. Aufl. 2020, AsylG §3a Rn. 4.&lt;/ref&gt;  Faktische Bedrohungen oder bürgerkriegsähnliche Zustände genügen nach dem BVerwG dafür nicht. Bei der Bewertung einer Handlung als Verfolgung sind gemäß Art. 4 III lit. c Qualifikations-RL auch die individuelle Lage sowie die persönlichen Umstände der antragstellenden Person miteinzubeziehen.}}


Als Fluchtgrund trägt A den brutalen Mord eines Bekannten aufgrund dessen angeblicher Homosexualität vor. Wegen dieses Ereignisses hat A Angst, wegen der eigenen nicht-binären Geschlechtsidentität und Homosexualität „als nächstes dran zu sein“.

A gibt an, als Kind für „zu feminines Verhalten“ von der eigenen Familie geschlagen worden zu sein. Im Erwachsenenalter erfährt A keine derartige körperliche Gewalt durch die eigene Familie mehr.

Fraglich ist, ob diese Ereignisse als flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgungshandlungen eingestuft werden können.

Die von A geschilderten Ohrfeigen reichen nicht aus, um als individuelle Verfolgungshandlungen eine Verletzungshandlung im Sinne des § 3a AsylG zu begründen. Zudem fehlt es diesbezüglich an dem erforderlichen unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Umständen, die die Furcht vor Verfolgung begründen und der tatsächlichen Flucht. A hat angegeben der Gewalt durch die eigene Familie im Erwachsenenalter nicht mehr ausgesetzt zu sein.

Laut EuGH spricht das Bestehen strafrechtlicher Bestimmungen, die spezifisch homosexuelle Personen betreffen, dafür, dass diese Personen als eine bestimmte soziale Gruppe anzusehen sind; wenn aber diese Rechtsnormen, die Homosexualität oder Abweichungen von cis-Geschlechtlichkeit kriminalisieren oder anderweitig sanktionieren, unangewendet bleiben, stellen sie laut Gerichtshof keine Verfolgungshandlung i.S.d. Art. 9 I Qualifikations-RL dar. &lt;ref&gt;EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260].&lt;/ref&gt;

Im Irak wird Homosexualität oder Transgeschlechtlichkeit nicht direkt kriminalisiert.&lt;ref&gt;Vgl. [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34 unter Bezug auf den Lagebericht des AA von Dezember 2018.&lt;/ref&gt; Jedoch nutzen Behörden andere Straftatbestände wie Erregung öffentlichen Ärgernis oder Prostitution überproportional häufig, um Personen zu verhaften, die gleichgeschlechtliche sexuelle Beziehungen eingehen; eine einheitliche Verfolgungspraxis ist jedoch nicht auszumachen.&lt;ref&gt;EUAA, Query response on Iraq: Situation of LGBTI persons, 13.10.2021, [https://www.ecoi.net/en/document/2062153.html ecoi.net: ID 2062153];

[https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34.&lt;/ref&gt;

Aufgrund dieser Berichtslage ist davon auszugehen, dass A von staatlichen Behörden mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit diskriminierende Maßnahmen drohen. Das Regelbeispiel von Verfolgungshandlungen des § 3a II Nr. 2 AsylG liegt also vor.

A drohen zudem mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit gewaltsame Übergriffe durch Personen außerhalb der Familie, also durch nichtstaatliche Akteure.

Die Berichte über regelmäßige Gewalt gegen LGBTIQ-Personen zeigen, dass für diese immer die Gefahr im Raum steht, angegriffen zu werden ohne, dass sie auf den Schutz des Staates vertrauen können. &lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt; Laut Bericht des UN-Sonderberichterstatters wird im Irak in traditionellen und sozialen Medien zur Gewalt gegen Männer und Jungen auf der Basis ihrer tatsächlichen oder der ihnen zugeschriebenen sexuellen Orientierung oder geschlechtlichen Identität aufgerufen. So berichten lokale Quellen von Milizen, die „Tötungslisten“ verfasst und als Angehörige sexueller Minderheiten wahrgenommene Personen hingerichtet hätten. &lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak: [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

Auf dieser Grundlage ist davon auszugehen, dass die im Irak bestehende soziale Ächtung von homosexuellen, transgeschlechtlichen und allen nicht den traditionellen Geschlechterrollen entsprechenden Personen die asylrechtliche Erheblichkeitsschwelle übersteigt.&lt;ref&gt;Vgl. VG Berlin, Urt. v. 2.11.2021, Az.: 29 K 285.17 A, juris, Rn. 22 f.&lt;/ref&gt;

Dabei decken sich die Herkunftslandinformationen mit den Angaben von A, wonach eine Person aus dem Bekanntenkreis aufgrund ihrer Homosexualität brutal ermordet wurde.

Aufgrund dessen ist hier davon auszugehen, dass auch das Regelbeispiel des § 3a II Nr. 1 AsylG, die Anwendung physischer oder psychischer Gewalt, gegeben ist.
A droht aufgrund dieser Erkenntnisse mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgung.{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|In der Rechtsprechung wird in solchen Fällen, in denen die Wahrscheinlichkeit einer individuellen Verfolgung abgelehnt wird, auf das Konzept der „Gruppenverfolgung“ abgestellt.&lt;ref&gt;Siehe hierzu ausführlich [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3 Fall Nr. 14 „Ahmadyyia in Pakistan“]. &lt;/ref&gt;  &quot;Gruppenverfolgung&quot; ist ein Begriff, den das BVerwG entwickelt hat. Danach muss eine asylsuchende Person nicht notwendigerweise ein individuelles Verfolgungsschicksal darlegen, sondern kann sich darauf berufen, dass sie einer Gruppe angehört, die im Herkunftsland aus asylerheblichen Gründen verfolgt wird.

Die Gefahr eigener Verfolgung, kann sich nicht nur aus gegen eine Person selbst gerichteten Maßnahmen ergeben, „sondern auch aus gegen Dritte gerichteten Maßnahmen, wenn diese Dritten wegen eines asylerheblichen Merkmals verfolgt werden, das [die Person] mit ihnen teilt, und wenn [sie] sich mit ihnen in einer nach Ort, Zeit und Wiederholungsträchtigkeit vergleichbaren Lage befindet (Gefahr der Gruppenverfolgung)“. &lt;ref&gt; BVerwG Urt. v. 21.4.2009 – 10 C 11/08, NVWZ 2009, 1237; vgl auch BVerfGE 54, 341 (358 f.); 83, 216 (231 f.) &lt;/ref&gt;
 
Bei einer Gruppenverfolgung sehen die Verfolgenden von individuellen Aspekten ab. Vielmehr gilt ihre Verfolgung der gesamten Gruppe. Die einzelnen Mitglieder der Gruppe sind in solchen Fällen unabhängig von ihrem eigenen Verhalten von Verfolgung bedroht, sodass es nur vom Zufall abhängt wer verfolgt wird. Die Feststellung einer solchen gruppengerichteten Verfolgung setzt einen staatlichen Verfolgungsplan oder eine bestimmte Verfolgungsdichte voraus. Diese rechtfertigt die Regelvermutung eigener Verfolgung der einzelnen Gruppenmitglieder.&lt;ref&gt; Huber/Mantel, in AufenthG/Hruschka (2021), AsylG § 3b Rn. 26; Tiedemann, Flüchtlingsrecht, 2017, S. 46 f.; VG Hamburg Urt. v. 24.9.2018 – 8 A 7823/16, Rn. 27 ff [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;


'''Abgrenzung: Gruppenbezogener Verfolgungsgrund und Beweiserleichterung'''

Der Verfolgungsgrund „Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe“ ist von dem prozessualen Konstrukt „Gruppenverfolgung“, der eine Beweiserleichterung bewirkt, abzugrenzen. Eine soziale Gruppe kann unabhängig davon vorliegen, ob alle Mitglieder der Gruppe verfolgt werden; die Verfolgung ist also gerade kein die Gruppe konstituierendes Merkmal.

Dahingegen ergibt sich die Gruppenverfolgung gerade erst aus der realen Gefahr für eine Vielzahl der Gruppenmitglieder. Bei entsprechender Verfolgungsdichte wird eine widerlegliche Vermutung der Gefahr, verfolgt zu werden, für jede einzelne Person der Gruppe abgeleitet.&lt;ref&gt;Vgl. VG Hamburg, Urt. v. 24.9.2018, Az.: 8 A 7823/16, [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;  Für eine solche '''erhöhte Verfolgungsdichte''' müssen die Übergriffe so zahlreich, schwer und willkürlich wie eine systematische Verfolgung sein. In einer wertenden Gesamtbetrachtung muss sich für jedes einzelne Gruppenmitglied nicht nur die Möglichkeit, sondern die beachtliche Gefahr eigener Betroffenheit ergeben.&lt;ref&gt; BVerwG, Urt. v. 21.4.2009, Az.: 10 C 11/08, [https://www.asyl.net/rsdb/M15716 asyl.net: M15716]; Dietz, Ausländer- und Asylrecht, §9 Der vierteilige Asylantrag i.w.S. nach §13 AsylG Rn. 365. &lt;/ref&gt;

'''Hinweis:''' in der Rechtsprechung wir der Begriff „Gruppenverfolgung“ nicht konsequent nur für die Bezeichnung dieses Instruments der Beweiserleichterung genutzt. Der Begriff wird uneinheitlich verwendet und häufig auch bei der Prüfung genutzt, ob die Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe vorliegt.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
|style=background: rgb(0,43,94);
background: linear-gradient(90deg, rgba(0,43,94,1) 0%, rgba(47,96,152,1) 8%, rgba(94,149,210,1) 68%)
|bg=black
|bg2=white
|tc1=white
|tc2=black}}&lt;br /&gt;'''3. Kausalität zwischen Verfolgungsgründen und Verfolgungshandlung oder fehlendem Schutz, §&amp;nbsp;3a&amp;nbsp;III&amp;nbsp;AsylG'''
Zusätzlich müsste zwischen der in §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG normierten Verfolgungshandlung oder dem fehlenden Schutz und dem in §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''AsylG geregelten Verfolgungsgrund eine kausale Verknüpfung bestehen (sogenannter Nexus, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''AsylG). Die Verknüpfung ist danach zu beurteilen, worauf die Maßnahme oder die Schutzverweigerung objektiv erkennbar gerichtet ist und nicht nach den subjektiven Gründen oder Motiven, die die Verfolgenden oder Schutzakteure dabei leiten. Unerheblich ist, ob die betroffene Person tatsächlich die ausschlaggebenden Merkmale aufweist, sofern ihr diese Merkmale von zugeschrieben werden, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''II'''&amp;nbsp;'''AsylG.

Die Verfolgungshandlungen drohen A hier gerade wegen der Wahrnehmung von A als Mitglied der LGBTIQ-Gemeinschaft.

Die erforderliche Verknüpfung im Sinne des § 3a III AsylG liegt somit vor.
'''4. Begründete Furcht vor Verfolgung'''&lt;br /&gt;Gem. § 3 I Nr. 1 AsylG, sowie den zugrundeliegenden Regelungen in Art. 1 A Nr. 2 GFK, Art. 9 Qualifikations-RL, kommt es auf die Furcht vor Verfolgung an. Daher sind nicht nur erlittene, sondern auch mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit (real risk) drohende Menschenrechtsverletzungen zu berücksichtigen.&lt;ref&gt;OVG NRW, Urt. v. 29.10.2020, Az.: 9 A 1980/17.A, juris Rn. 32; Kluth, in: BeckOK AuslR, 30. Ed. 1.7.2021, AsylG § 3a Rn. 12.&lt;/ref&gt;

Es kommt darauf an, ob bei einer Gesamtschau aller festgestellten Umstände und ihrer Bedeutung bei einer besonnenen, vernünftig denkenden Person in der Lage der Betroffenen Furcht vor Verfolgung hervorgerufen werden könnte.&lt;ref&gt;Vgl. BVerwG, Urt. v. 20.2.2013, Az.: 10 C 23/12, juris Rn. 32; Beschl. v. 7.2.2008, Az.: 10 C 33/07, juris Rn. 37.&lt;/ref&gt;

Aufgrund der oben dargestellten Berichtslage, ist davon auszugehen, dass A bei potenzieller Rückkehr mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit Verfolgungshandlungen ausgesetzt sein wird. Die Verfolgungsprognose ist daher zu bejahen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=„Diskretion“

2013 urteilte der EuGH: „Bei der Prüfung eines Antrags auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft können die zuständigen Behörden vernünftigerweise nicht erwarten, dass der Asylbewerber seine Homosexualität in seinem Herkunftsland geheim hält oder Zurückhaltung beim Ausleben seiner sexuellen Ausrichtung übt, um die Gefahr einer Verfolgung zu vermeiden.“&lt;ref&gt; EuGH, X, Y, Z v Minister voor Immigratie en Asiel, C‑199/12 - C‑201/12, 7. November 2013; vgl. auch zur KLarstellung der Übersetzung [https://www.asyl.net/view/eugh-klarstellung-prognose-zu-moeglicher-diskretion-beim-ausleben-der-sexuellen-orientierung-im-herkunftsstaat-ist-unzulaessig asyl.net Meldung vom 21.10.2021] &lt;/ref&gt;

Zudem darf die „Diskretion“ bezüglich der sexuellen Orientierung weder unterstellt noch prognostisch vermutet werden.&lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;   Ausgangspunkt für die Prüfung der Verfolgungswahrscheinlichkeit muss also grundsätzlich eine offen gelebte sexuelle Orientierung sein.&lt;ref&gt; UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f.; ausführlich hierzu siehe Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21_7-8_inhalt_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt; Das diskrete Ausleben der sexuellen Orientierung schützt zudem nicht sicher vor Verfolgung. Denn bereits das Aufkommen eines entsprechenden Verdachts kann zu Verfolgungshandlungen führen. &lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;}}


'''6. Keine interne Schutzalternative'''

Die Flüchtlingseigenschaft wird nicht zuerkannt, wenn eine interne Schutzmöglichkeit besteht. Das setzt voraus, dass die betroffene Person in einem Teil des Herkunftslandes keine begründete Furcht vor Verfolgung oder Zugang zu Schutz vor Verfolgung nach §&amp;nbsp;3d&amp;nbsp;AsylG hat und sicher und legal in diesen Landesteil reisen kann, dort aufgenommen wird und vernünftigerweise eine dortige Niederlassung erwartet werden kann (§&amp;nbsp;3e&amp;nbsp;AsylG).&lt;ref&gt;VG Stuttgart Urt. v. 9.6.2021 – 8 K 4016.18, Rn. 16.&lt;/ref&gt;

In Bagdad werden im Landesvergleich die meisten homophoben Gewalttaten dokumentiert. Dies liegt jedoch nicht unbedingt daran, dass es in anderen Landesteilen sicherer ist, sondern daran, dass viele Menschenrechtsorganisationen dort ansässig sind und die Menschenrechtsverletzungen leichter dokumentieren können. Auch in andern Landesteilen gibt es keine sicheren Orte für Personen aus dem LGBTI Spektrum.&lt;ref&gt;[https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f..]&lt;/ref&gt;

Damit gibt es keine interne Schutzalternative. 

==== 7. Kein Ausschluss ====
Für einen Ausschluss liegen keine Anhaltspunkte vor.

=== III. Ergebnis ===
A hat Anspruch auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft. Der Bescheid ist nicht materiell rechtmäßig. 

== B. Ergebnis ==

Die Ablehnung der Zuerkennung des Flüchtlingsschutzes an A durch das BAMF ist materiell rechtswidrig.

==Weiterführende Literatur/ Materialien==
*Berlit/Dörig/Storey: Glaubhaftigkeitsprüfung bei Asylklagen aufgrund religiöser Konversion oder Homosexualität: Ein Ansatz von Praktikern (Teil 2):(ZAR 2016, 332).
*Dudley, Gruppenverfolgung im Asyl- und Flüchtlingsrecht, 2021.
*[https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Braun/Dörr/Träbert, Asylmagazin 3/2020, S. 81-84.] 
*[https://www.lsvd.de/de/ct/919-FAQs-Lesbische-schwule-bisexuelle-trans-und-inter-Gefluechtete LSVD FAQs zu Geflüchteten aus dem LSBTI Spektrum]
*[https://www.lsvd.de/de/ct/1305-Ratgeber-Asylrecht-fuer-gefluechtete-Lesben-und-Schwule LSVD Ratgeber]: Asylrecht für geflüchtete Lesben und Schwule, Stand Sommer 2019. 
*[https://www.queer-refugees.de/wp-content/uploads/2018/10/leitfaden-fur-lsbti-gefluchtete-deutsch.pdf LSVD Leitfaden für lesbische, schwule, bisexuelle, trans* und inter* (LSBTI) Geflüchtete in Deutschland] 

==Zusammenfassung: Die wichtigsten Punkte==

*Bei der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe ist sowohl das Vorliegen eines geteilten geschützten Merkmals zu prüfen als auch die soziale Wahrnehmung als Gruppe im Herkunftsland.
*Gruppenverfolgung ist eine beweisrechtliche Figur; Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe eine materiell-rechtliche Frage.
*In LGBTIQ-Fällen darf eine Entscheidung grundsätzlich nicht aufgrund der Erwartung getroffen werden, dass die antragstellende Person ihre sexuelle Orientierung oder geschlechtliche Identität bei einer Rückkehr geheimhalten wird. 
*In LGBTIQ-Fällen stellt in der Praxis die Glaubhaftigkeitsprüfung die größte Herausforderung für die Anerkennung als Flüchtling dar. 
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&lt;big&gt;'''Autorin:''' Pia Lotta Storf&lt;/big&gt;   
&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' Grundlagen der Statusbestimmung; Konzept der Gruppenverfolgung   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' Materielles Asylrecht; Bestimmte soziale Gruppe gem. § 3b I Nr. 4 AsylG; LGBTIQ; Gender Identity; Geschlechtsidentität, Irak.   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Gleichgeschlechtliche Liebe SV|Gleichgeschlechtliche Liebe]]   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad''': Fortgeschrittene   &lt;/blockquote&gt;

Zu prüfen ist, ob die Ablehnung des Flüchtlingsschutzes für A durch das BAMF materiell rechtmäßig ist. 

==A. Materielle Rechtmäßigkeit des Bescheids für A==
Das ist der Fall, wenn eine Ermächtigungsgrundlage gegeben ist und die Voraussetzungen für das Vorliegen der Flüchtlingseigenschaft in der Person von A nicht gegeben sind.

=== I. Ermächtigungsgrundlage ===
Als Ermächtigungsgrundlage kommen die Regelungen über den Flüchtlingsschutz gemäß&amp;nbsp;§§&amp;nbsp;3&amp;nbsp;ff.&amp;nbsp;AsylG in Betracht.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Die nationale Rechtsgrundlage zur Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft nach §§ 3 ff. AsylG ist in ein Mehrebenensystem eingebettet. Auf völkerrechtlicher Ebene bestimmt die Genfer Flüchtlingskonvention (GFK) die Definition der Flüchtlingseigenschaft und die Rechte von Flüchtlingen. &lt;ref&gt;Zu den Grundlagen siehe asyl.net Themen: [https://www.asyl.net/themen/asylrecht/schutzformen/fluechtlingsschutz/ Flüchtlingsschutz].&lt;/ref&gt;  Auf europarechtlicher Ebene wurden diese Vorgaben in der Qualifikations-RL&lt;ref&gt; Qualifikationsrichtlinie (2011/95/EU) vom 13.12.2011 über Normen für die Zuerkennung des internationalen Schutzstatus (Flüchtlingseigenschaft im Sinne der Genfer Flüchtlingskonvention sowie subsidiärer Schutz), auch Anerkennungs-RL oder Status-RL, [https://www.asyl.net/recht/gesetzestexte/eu-recht/richtlinien/qualifikationsrichtlinie-201195eu/ asyl.net: „Recht“ / „Gesetzestexte“ / „EU-Recht“].&lt;/ref&gt; konkretisiert. Zudem wurde durch die Qualifikations-RL die Schutzform des subsidiären Schutzes geschaffen. Diese wird zusammen mit dem Flüchtlingsschutz als internationaler Schutz bezeichnet. Die Einbettung im Mehrebenensystem wird insbesondere bei der Auslegung wertungsoffener Begriffe, wie etwa bei den Verfolgungsgründen relevant. &lt;ref&gt; Stichwort: völkerrechtsfreundliche Auslegung, gem. Art. 59 II, 25 GG; vgl. auch BVerfG, Beschl. v. 14.10.2004, Az.: 2 BvR 1481/04 zur Berücksichtigung der Entscheidungen des EGMR (Rs. Görgülü), [https://www.asyl.net/rsdb/M5709/ asyl.net: M5709.] &lt;/ref&gt; |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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=== II. Vorliegen der Voraussetzungen der Ermächtigungsgrundlage ===
Gemäß § 3 IV AsylG wird einer ausländischen Person, die Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist, die Flüchtlingseigenschaft zuerkannt, sofern keine Ausschlussgründe vorliegen. 

Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist eine Person, die sich aus begründeter Furcht vor Verfolgung aufgrund eines Verfolgungsgrundes gemäß § 3b I AsylG außerhalb ihres Herkunftslandes – dessen Staatsangehörigkeit sie besitzt – befindet, wenn sie den Schutz ihres Herkunftslandes nicht in Anspruch nehmen kann oder wegen der Verfolgungsfurcht nicht in Anspruch nehmen will.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Das BAMF und die Verwaltungsgerichte nutzen verschiedene Erkenntnisquellen, um die für einen Asylantrag maßgeblichen Anhaltspunkte zu prüfen. Nach Art. 4 III lit. a Qualifikations-RL sind sie verpflichtet Informationen zur Lage im Herkunftsland zu berücksichtigen. 

Die Verwaltungsgerichte veröffentlichen eine Liste ihrer Erkenntnismittel.&lt;ref&gt; Vgl. etwa [https://www.berlin.de/gerichte/verwaltungsgericht/service/erkenntnismittellisten/irak/ VG Berlin zum Irak.]&lt;/ref&gt; Dabei wird den Lageberichten des Auswärtigen Amts (AA) durch BAMF und Verwaltungsgerichte eine besondere Bedeutung beigemessen. Dies wird von Fachleuten kritisiert, da in den AA-Berichten nicht immer die Qualitätsstandards zur Beschaffung von Herkunftslandinformationen eingehalten werden.&lt;ref&gt;Zu den Standards siehe Leitfaden des Österreichischen Roten Kreuzes und ACCORD, [https://www.asyl.net/view/recherche-von-herkunftslaenderinformationen/ Recherche von Herkunftsländerinformationen], Stand: Dezember 2014.&lt;/ref&gt; Die AA-Berichte sind zwar nur für den Dienstgebrauch, aber Asylantragstellende in einem laufenden Verfahren können die Lageberichte zum Herkunftsland bei der Informationsvermittlungsstelle des BAMF beantragen. Es muss ein Dokument aus einem laufenden Verfahren oder ein Antrag ans BAMF oder die Ausländerbehörde beigelegt werden. Maßgeblich für die Recherche von Herkunftslandinformationen ist die Datenbank des [https://www.ecoi.net/de/ European Country of Origin Information Network] von ACCORD, einer Abteilung des Österreichischen Roten Kreuzes. Diese enthält Informationen von über 160 Quellen, die regelmäßig aktualisiert werden.

Zum vorliegenden Fall können folgende Quellen beachtlich sein:

- UNHCR: [https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf Schutzerwägungen Irak]

- ILGA World: [https://ilga.org/state-sponsored-homophobia-report State-Sponsored Homophobia Report]

- Amnesty International: [https://www.amnesty.de/informieren/amnesty-report Menschenrechtsberichte]

- US Department of State: [https://www.state.gov/reports-bureau-of-democracy-human-rights-and-labor/country-reports-on-human-rights-practices/ Menschenrechtsberichte]|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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==== 1. Verfolgungsgrund ====
{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Zur Prüfung der Flüchtlingseigenschaft ist es hilfreich ein Prüfungsschema zugrunde zu legen. Dabei weichen in verschiedenen Quellen zu findende Prüfungsreihenfolgen im Aufbau zum Teil voneinander ab. &lt;ref&gt;  Siehe etwa das Prüfungsschema in [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3. Fall Nr. 14 Ahmadiyya in Pakistan]. &lt;/ref&gt;

In der Praxis wird die Prüfung von Verfolgungsgrund, Verfolgungshandlung, Verfolgungsprognose und Nexus insbesondere bei Gruppenverfolgungen oft zusammen verhandelt. Aus didaktischen Gründen wird in diesem Lösungsvorschlag zunächst der Verfolgungsgrund separat geprüft. |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|tc2=black}}Ein Verfolgungsgrund gemäß&amp;nbsp;§&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;AsylG müsste vorliegen. Dies ist der Fall, wenn der betroffenen Person aufgrund eines der fünf in der GFK genannten Merkmale (&quot;Rasse&quot;, Religion, Nationalität, politische Überzeugung oder Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe) im Staat ihrer Staatsangehörigkeit Verfolgung droht oder kein Schutz gewährt wird.

In Betracht kommt vorliegend insbesondere der Verfolgungsgrund der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe, gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Hier ließe sich auch über weitere Verfolgungsgründe nachdenken. In Betracht kommt zusätzlich eine religiöse &lt;ref&gt; UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 42.&lt;/ref&gt; oder politisch motivierte Verfolgung &lt;ref&gt;Sußner, Flucht-Geschlecht-Sexualität. Eine menschenrechtsbasierte Perspektive auf Grundversorgung und Asylstatus, 2020, S. 303.&lt;/ref&gt;. Die als abweichend markierte sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität kann als Bruch mit der religiösen oder politischen Norm verstanden werden.&lt;ref&gt; [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 25; ausführlich: Sußner, 2020, S. 170 ff.&lt;/ref&gt; Die Falllösung orientiert sich daran wie Verwaltungsgerichte an ähnliche Fallgestaltungen herangehen und ist daher auf die Probleme der Verfolgung aufgrund der Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe zugeschnitten.}}Eine bestimmte soziale Gruppe liegt laut §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG vor, wenn die Mitglieder dieser Gruppe angeborene Merkmale, einen unveränderbaren gemeinsamen Hintergrund gemein haben oder Merkmale teilen, die so bedeutsam für die Identität oder das Gewissen sind, dass die betreffende Person nicht gezwungen werden darf, auf sie zu verzichten, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG. Nach dem Wortlaut der Norm („'''und'''“) muss die Gruppe zudem in dem betreffenden Land eine deutlich abgegrenzte Identität haben und von der sie umgebenden Gesellschaft als andersartig betrachtet werden, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG.{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Nach dem Wortlaut von § 3b I Nr. 4 AsylG (und auch Art. 10 lit. d S. 1 Qualifikations-RL) müssen die Voraussetzungen des angeborenen Merkmals „und“ der abgrenzbaren Identität kumulativ erfüllt sein. Demgegenüber setzt der UNHCR voraus, dass ein gemeinsames Merkmal vorliegt oder die Gruppe von von der Gesellschaft als eine Gruppe wahrgenommen wird. Siehe hierzu weitergehender Fall Nr. 16 „[https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_H%C3%A4usliche_Gewalt_L%C3%B6sung Häusliche Gewalt]“.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|tc2=black}}Eine Verfolgung wegen der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe kann auch vorliegen, wenn sie an die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität anknüpft, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG.&lt;ref&gt;Grundlegend dazu, EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z  gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260]; ausführlich dazu Markard, EuGH zur sexuellen Orientierung als Fluchtgrund, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2013/AM2013-12_beitragmarkard.pdf Asylmagazin 12/2013].&lt;/ref&gt; 

Aufgrund der Vielschichtigkeit, Fluidität und Interdependenz von As geschlechtlicher Identität (nicht-binär/ transgeschlechtlich)&lt;ref&gt;In der deutschen Rechtsprechung wird Transsexualität teilweise fälschlich als „sexuelle Orientierung“ eingeordnet, vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.18, RO 13 K 17.32861, Rn. 27.&lt;/ref&gt; und sexueller Identität (lesbisch bei rechtlicher Geschlechtszuordnung als Mann) kommen verschiedene Gruppenzugehörigkeiten in Betracht. Auch eine erhöhte Vulnerabilität aufgrund des Zusammenspiels verschiedener Gruppenzugehörigkeiten kommt in Betracht.&lt;ref&gt;Sußner, 2020, S. 173 ff.&lt;/ref&gt;{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Yogyakarta-Prinzipien zur Anwendung der Menschenrechte in Bezug auf die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität (sexual identity, gender orientation, SOGI).&lt;ref&gt; Yogyakarta Principles in den sechs Sprachen der Vereinten Nationen: http://yogyakartaprinciples.org/; deutsche Übersetzung: https://www.lsvd.de/de/ct/3359-yogyakarta-prinzipien.&lt;/ref&gt; 
 
Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert Geschlechtsidentität wie folgt: “Gender identity is understood to refer to each person’s deeply felt internal and individual experience of gender, which may or may not correspond with the sex assigned at birth, including the personal sense of the body (which may involve, if freely chosen, modification of bodily appearance or function by medical, surgical or other means) and other expressions of gender, including dress, speech and mannerisms.”

Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert sexuelle Orientierung wie folgt: “Sexual orientation is understood to refer to each person’s capacity for profound emotional, affectional and sexual attraction to, and intimate and sexual relations with, individuals of a different gender or the same gender or more than one gender.”}}

==== a) Unveräußerliches Merkmal, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp; a&amp;nbsp;AsylG ====
Die Geschlechtsidentität von A könnte ein unveräußerliches Merkmal sein.

As Personenstandseintrag ist männlich. Dahingegen ordnet A das eigene Geschlecht als nicht-binär ein, und fühlt sich jedenfalls eher als Frau, denn als Mann. Nach Außen drückt A die geschlechtliche Identität durch lange Haare, glattrasierte Wangen, Make-up, androgyne Kleidung und eine angepasste Stimmlage aus. Jedenfalls entspricht A nicht den gesellschaftlichen Konformitätsvorstellungen an Geschlecht und transzendiert die Binarität der traditionellen Geschlechterordnung. Die Argumentation des BAMF, dass A das eigene Auftreten leicht verändern könnte, lässt sich so verstehen, dass davon ausgegangen wird, dass in der Person von A kein solches unveräußerliches Merkmal vorliegt. As Auftreten ist jedoch unmittelbarer Ausdruck der eigenen Geschlechtsidentität. Die geschlechtliche Identität jenseits der binären Zuordnung als Mann oder Frau ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG. &lt;ref&gt;Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 41&lt;/ref&gt; Ein unveräußerliches Merkmal liegt daher im Fall von A vor.

As sexuelle Orientierung könnte ebenfalls ein geschütztes Merkmal sein. A definiert die eigene sexuelle Orientierung als homosexuell. Nach Maßgabe des Personenstandsregisters müssten As Beziehungen zu Frauen als heterosexuell definiert werden. Die sexuelle Orientierung ist als höchstpersönlicher Lebensbereich geschützt.&lt;ref&gt;BVerfG, Beschl. v. 22.01.2020, Az.: 2 BvR 1807/19, [https://www.asyl.net/rsdb/M28078 asyl.net: M28078]; vgl. Anmerkung hierzu Braun/Dörr/Träbert, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Asylmagazin 3/2020], S. 81 ff.&lt;/ref&gt; Die Definition des eigenen Begehrens obliegt daher jeder Person selbst. &lt;ref&gt;Vgl. Berg/ Millbank, in: Spijkerboer, Fleeing Homophobia (2013), S.122 f.&lt;/ref&gt; Eine homosexuelle Orientierung ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten. &lt;ref&gt;Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21-7-8_themenschwerpunkt_lgbti_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt;

Sowohl As geschlechtliche Identität als auch As sexuelle Orientierung sind damit geschützte Merkmale gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp;&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=In der Praxis stellt die Glaubhaftigkeitsprüfung gerade in SOGI bezogenen Fällen die größte Herausforderung dar.&lt;ref&gt; Vgl. Prinzip 3 der Yogyakarta Prinzipien; Rehaag/ Collin, Canadian Journal of Human Rights 9:1 (2020), S. 3 ff. &lt;/ref&gt; Eine länderbezogene [https://www.lsvd.de/de/recht/rechtsprechung/asylrecht Übersicht aktueller Entscheidungen] stellt der LSVD zusammen.

So hat bspw. das VG Magdeburg eine BAMF-Entscheidung korrigiert, in der einem Mann aus Saudi-Arabien die Homosexualität wegen zu klischeehafter Darstellung nicht geglaubt worden war und festgestellt, dass die Flüchtlingseigenschaft vorliegt.&lt;ref&gt;VG Magdeburg, Urteil vom 10.03.2020 - 9 A 294/18 &lt;/ref&gt;  

Der EuGH hat in seiner Rechtsprechung Vorgaben zur Prüfung der sexuellen Orientierung als Verfolgungsgrund gemacht. So dürfen Beurteilung nicht anhand von Befragungen erfolgen, die allein auf stereotypen Vorstellungen von homosexuellen Personen beruhen. Befragungen zu sexuellen Praktiken, Beweise oder „Tests“ zum Nachweis der sexuellen Orientierung sind unzulässig. Zudem ist es unzulässig, allein deswegen von einer mangelnden Glaubhaftmachung ausgehen, weil eine Person die behauptete sexuelle Ausrichtung nicht bei der ersten Gelegenheit zur Darlegung der Verfolgungsgründe geltend gemacht hat. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 02.12.2014 - C-148/13, C-149/13, C-150/13 - A,B,C gegen Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/M22497 asyl.net: M22497].&lt;/ref&gt;  Psychologische Tests und Gutachten zur Feststellung von Homosexualität wiederum sind laut EuGH unter bestimmten Bedingungen zulässig. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 25.01.2018 - C-473/16 F gegen Ungarn, [https://www.asyl.net/rsdb/M25902 asyl.net: M25902].

Das Difference, Stigma, Shame, and Harm (DSSH)-Modell schlägt vor, dass sich die Befragung darauf konzentrieren sollte, die Wahrnehmung der Asylsuchenden in Bezug auf die Differenz, die Stigmatisierung, die Scham und den Schaden, den sie erfahren haben, zu eruieren.&lt;ref&gt;Vgl. Dawson/Gerber, Assessing the Refugee Claims of LGBTI People: Is the DSSH Model Useful for Determining Claims by Women for Asylum Based on Sexual Orientation?, in International Journal of Refugee Law, 29(2), 2017, S. 292–322.&lt;/ref&gt;}}'''b)''' '''Abgegrenzte Gruppe, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG'''

A müsste aufgrund der unveräußerlichen Merkmale als Teil einer von der umgebenden irakischen Gesellschaft deutlich abgegrenzten Gruppe gesehen werden. Die Verfolgung von A, bzw. As Schutzlosigkeit müsste gerade aus der gesellschaftlichen Betrachtung als andersartig resultieren.&lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt;

Die Bildung der sozialen Gruppe ist abhängig von der Gesellschaft des Herkunftsstaates. Fragen der sexuellen Orientierung oder der Geschlechtsidentität werden in der irakischen Gesellschaft weitgehend tabuisiert. Abweichungen von tradierten Vorstellungen werden von großen Teilen der Bevölkerung als unvereinbar mit Religion und Kultur abgelehnt.&lt;ref&gt;ACCORD, [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Anfragebeantwortung zum Irak: Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

A weicht von tradierten Geschlechternormen und heteronormativer sexueller Orientierung ab. Es ließe sich einwenden, dass A aus rein personenstandsrechtlicher Sicht heterosexuelle Beziehungen führe. Jedoch dürfte diese Zuschreibung aufgrund der erkennbar von der gesellschaftlichen Norm abweichenden geschlechtlichen Identität As nicht aufrecht zu erhalten sein. Dabei könnte es Kontexte geben, in denen A allein auf der Straße als schwul oder jedenfalls nicht als heterosexueller Mann gelesen würde und Kontexte, in denen A in Begleitung einer Partnerin als lesbisch gelesen würde. Diese Zuschreibung von geschützten Merkmalen ist asylrechtlich relevant, § 3b II AsylG.

Die Verfolgung und besondere Schutzlosigkeit basieren also auf As wahrnehmbarer Abweichung von geschlechtlichen und sexuellen Normen. Daher liegt auch die Zugehörigkeit zu einer gesellschaftlich abgegrenzten Gruppe vor.

A gehört damit einer sozialen Gruppe im Sinne des §'''&amp;nbsp;'''3b I Nr. 4 AsylG an.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Verfolgungsgründe bei Queerness

Die flüchtlingsrechtliche Prüfung von Queerness als Abweichung von gesellschaftlichen Erwartungen an Geschlecht – sowohl in Bezug auf geschlechtliche Identität als auch sexuelle Orientierung – wird oft anhand von stereotypen Bildern und Erwartungen durchgeführt. Um den Schutz von Personen, die in Bezug auf SOGI verfolgt werden, sicherzustellen, bedarf es einer menschenrechtsbasierten Auslegung des Flüchtlingsrechts.&lt;ref&gt; Andrade/ Danisi/ Dustin/ Ferreira/ Held, [https://www.sogica.org/wp-content/uploads/2020/07/The-SOGICA-surveys-report_1-July-2020-1.pdf SOGICA Report], Queering Asylum in Europe: A Survey Report, 2020. Markard, Kriegsflüchtlinge, 2012, S. 142 ff.&lt;/ref&gt;

So ist es zum Beispiel wichtig auch nichtgefestigte Identitäten (pre-transition etwa) als unveränderliches Merkmal anzuerkennen, da sie unverzichtbar für die Identität sind.&lt;ref&gt; Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 47.&lt;/ref&gt;  Zudem stellen Art. 10 II Qualifikations-RL und § 3b II AsylG klar, dass auch zugeschriebene Homosexualität ein Verfolgungsgrund sein kann. Für eine solche Auslegung enthalten u.a. die [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html UNHCR Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen] und die [http://yogyakartaprinciples.org/ Yogyakarta Prinzipien] Interpretationsempfehlungen}}


'''2. Verfolgungshandlung'''

Es müsste eine Verfolgungshandlung gemäß §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG vorliegen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Als „Verfolgung“ iSd. Genfer Flüchtlingskonvention wird jede dauerhafte oder systematische Verletzung grundlegender Menschenrechte angesehen. Grundlegende Menschenrechte, von denen selbst im Notstandsfall gem. Art. 15 EMRK nicht abgewichen werden darf, sind das Recht auf Leben, das Verbot der Sklaverei und das strafrechtliche Gesetzlichkeitsprinzip.  

Die Verfolgungshandlung muss eine bestimmte Intensitätsschwelle übersteigen um als Menschenrechtsverletzung zu gelten, § 3a I AsylG:

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Art, Nr. 1 Var. 1

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Wiederholung, Nr. 1 Var. 2

- Kumulierung verschiedener Maßnahmen, einschließlich einer Verletzung der Menschenrechte, die so gravierend ist, dass eine Person davon in ähnlicher Weise, wie in Nummer 1 beschrieben, betroffen ist, Nr. 2.

Eine Verfolgungshandlung setzt nach dem BVerwG einen gezielten aktiven Eingriff in ein geschütztes Rechtsgut voraus.&lt;ref&gt;BVerwG, U. v. 7.11.2009, Az.: 10 C.52.07, juris; Bergmann, in Bergmann/Dienelt, Ausländerrecht, 13. Aufl. 2020, AsylG §3a Rn. 4.&lt;/ref&gt;  Faktische Bedrohungen oder bürgerkriegsähnliche Zustände genügen nach dem BVerwG dafür nicht. Bei der Bewertung einer Handlung als Verfolgung sind gemäß Art. 4 III lit. c Qualifikations-RL auch die individuelle Lage sowie die persönlichen Umstände der antragstellenden Person miteinzubeziehen.}}


Als Fluchtgrund trägt A den brutalen Mord eines Bekannten aufgrund dessen angeblicher Homosexualität vor. Wegen dieses Ereignisses hat A Angst, wegen der eigenen nicht-binären Geschlechtsidentität und Homosexualität „als nächstes dran zu sein“.

A gibt an, als Kind für „zu feminines Verhalten“ von der eigenen Familie geschlagen worden zu sein. Im Erwachsenenalter erfährt A keine derartige körperliche Gewalt durch die eigene Familie mehr.

Fraglich ist, ob diese Ereignisse als flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgungshandlungen eingestuft werden können.

Die von A geschilderten Ohrfeigen reichen nicht aus, um als individuelle Verfolgungshandlungen eine Verletzungshandlung im Sinne des § 3a AsylG zu begründen. Zudem fehlt es diesbezüglich an dem erforderlichen unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Umständen, die die Furcht vor Verfolgung begründen und der tatsächlichen Flucht. A hat angegeben der Gewalt durch die eigene Familie im Erwachsenenalter nicht mehr ausgesetzt zu sein.

Laut EuGH spricht das Bestehen strafrechtlicher Bestimmungen, die spezifisch homosexuelle Personen betreffen, dafür, dass diese Personen als eine bestimmte soziale Gruppe anzusehen sind; wenn aber diese Rechtsnormen, die Homosexualität oder Abweichungen von cis-Geschlechtlichkeit kriminalisieren oder anderweitig sanktionieren, unangewendet bleiben, stellen sie laut Gerichtshof keine Verfolgungshandlung i.S.d. Art. 9 I Qualifikations-RL dar. &lt;ref&gt;EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260].&lt;/ref&gt;

Im Irak wird Homosexualität oder Transgeschlechtlichkeit nicht direkt kriminalisiert.&lt;ref&gt;Vgl. [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34 unter Bezug auf den Lagebericht des AA von Dezember 2018.&lt;/ref&gt; Jedoch nutzen Behörden andere Straftatbestände wie Erregung öffentlichen Ärgernis oder Prostitution überproportional häufig, um Personen zu verhaften, die gleichgeschlechtliche sexuelle Beziehungen eingehen; eine einheitliche Verfolgungspraxis ist jedoch nicht auszumachen.&lt;ref&gt;EUAA, Query response on Iraq: Situation of LGBTI persons, 13.10.2021, [https://www.ecoi.net/en/document/2062153.html ecoi.net: ID 2062153];

[https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34.&lt;/ref&gt;

Aufgrund dieser Berichtslage ist davon auszugehen, dass A von staatlichen Behörden mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit diskriminierende Maßnahmen drohen. Das Regelbeispiel von Verfolgungshandlungen des § 3a II Nr. 2 AsylG liegt also vor.

A drohen zudem mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit gewaltsame Übergriffe durch Personen außerhalb der Familie, also durch nichtstaatliche Akteure.

Die Berichte über regelmäßige Gewalt gegen LGBTIQ-Personen zeigen, dass für diese immer die Gefahr im Raum steht, angegriffen zu werden ohne, dass sie auf den Schutz des Staates vertrauen können. &lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt; Laut Bericht des UN-Sonderberichterstatters wird im Irak in traditionellen und sozialen Medien zur Gewalt gegen Männer und Jungen auf der Basis ihrer tatsächlichen oder der ihnen zugeschriebenen sexuellen Orientierung oder geschlechtlichen Identität aufgerufen. So berichten lokale Quellen von Milizen, die „Tötungslisten“ verfasst und als Angehörige sexueller Minderheiten wahrgenommene Personen hingerichtet hätten. &lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak: [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

Auf dieser Grundlage ist davon auszugehen, dass die im Irak bestehende soziale Ächtung von homosexuellen, transgeschlechtlichen und allen nicht den traditionellen Geschlechterrollen entsprechenden Personen die asylrechtliche Erheblichkeitsschwelle übersteigt.&lt;ref&gt;Vgl. VG Berlin, Urt. v. 2.11.2021, Az.: 29 K 285.17 A, juris, Rn. 22 f.&lt;/ref&gt;

Dabei decken sich die Herkunftslandinformationen mit den Angaben von A, wonach eine Person aus dem Bekanntenkreis aufgrund ihrer Homosexualität brutal ermordet wurde.

Aufgrund dessen ist hier davon auszugehen, dass auch das Regelbeispiel des § 3a II Nr. 1 AsylG, die Anwendung physischer oder psychischer Gewalt, gegeben ist.
A droht aufgrund dieser Erkenntnisse mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgung.{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|In der Rechtsprechung wird in solchen Fällen, in denen die Wahrscheinlichkeit einer individuellen Verfolgung abgelehnt wird, auf das Konzept der „Gruppenverfolgung“ abgestellt.&lt;ref&gt;Siehe hierzu ausführlich [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3 Fall Nr. 14 „Ahmadyyia in Pakistan“]. &lt;/ref&gt;  &quot;Gruppenverfolgung&quot; ist ein Begriff, den das BVerwG entwickelt hat. Danach muss eine asylsuchende Person nicht notwendigerweise ein individuelles Verfolgungsschicksal darlegen, sondern kann sich darauf berufen, dass sie einer Gruppe angehört, die im Herkunftsland aus asylerheblichen Gründen verfolgt wird.

Die Gefahr eigener Verfolgung, kann sich nicht nur aus gegen eine Person selbst gerichteten Maßnahmen ergeben, „sondern auch aus gegen Dritte gerichteten Maßnahmen, wenn diese Dritten wegen eines asylerheblichen Merkmals verfolgt werden, das [die Person] mit ihnen teilt, und wenn [sie] sich mit ihnen in einer nach Ort, Zeit und Wiederholungsträchtigkeit vergleichbaren Lage befindet (Gefahr der Gruppenverfolgung)“. &lt;ref&gt; BVerwG Urt. v. 21.4.2009 – 10 C 11/08, NVWZ 2009, 1237; vgl auch BVerfGE 54, 341 (358 f.); 83, 216 (231 f.) &lt;/ref&gt;
 
Bei einer Gruppenverfolgung sehen die Verfolgenden von individuellen Aspekten ab. Vielmehr gilt ihre Verfolgung der gesamten Gruppe. Die einzelnen Mitglieder der Gruppe sind in solchen Fällen unabhängig von ihrem eigenen Verhalten von Verfolgung bedroht, sodass es nur vom Zufall abhängt wer verfolgt wird. Die Feststellung einer solchen gruppengerichteten Verfolgung setzt einen staatlichen Verfolgungsplan oder eine bestimmte Verfolgungsdichte voraus. Diese rechtfertigt die Regelvermutung eigener Verfolgung der einzelnen Gruppenmitglieder.&lt;ref&gt; Huber/Mantel, in AufenthG/Hruschka (2021), AsylG § 3b Rn. 26; Tiedemann, Flüchtlingsrecht, 2017, S. 46 f.; VG Hamburg Urt. v. 24.9.2018 – 8 A 7823/16, Rn. 27 ff [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;


'''Abgrenzung: Gruppenbezogener Verfolgungsgrund und Beweiserleichterung'''

Der Verfolgungsgrund „Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe“ ist von dem prozessualen Konstrukt „Gruppenverfolgung“, der eine Beweiserleichterung bewirkt, abzugrenzen. Eine soziale Gruppe kann unabhängig davon vorliegen, ob alle Mitglieder der Gruppe verfolgt werden; die Verfolgung ist also gerade kein die Gruppe konstituierendes Merkmal.

Dahingegen ergibt sich die Gruppenverfolgung gerade erst aus der realen Gefahr für eine Vielzahl der Gruppenmitglieder. Bei entsprechender Verfolgungsdichte wird eine widerlegliche Vermutung der Gefahr, verfolgt zu werden, für jede einzelne Person der Gruppe abgeleitet.&lt;ref&gt;Vgl. VG Hamburg, Urt. v. 24.9.2018, Az.: 8 A 7823/16, [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;  Für eine solche '''erhöhte Verfolgungsdichte''' müssen die Übergriffe so zahlreich, schwer und willkürlich wie eine systematische Verfolgung sein. In einer wertenden Gesamtbetrachtung muss sich für jedes einzelne Gruppenmitglied nicht nur die Möglichkeit, sondern die beachtliche Gefahr eigener Betroffenheit ergeben.&lt;ref&gt; BVerwG, Urt. v. 21.4.2009, Az.: 10 C 11/08, [https://www.asyl.net/rsdb/M15716 asyl.net: M15716]; Dietz, Ausländer- und Asylrecht, §9 Der vierteilige Asylantrag i.w.S. nach §13 AsylG Rn. 365. &lt;/ref&gt;

'''Hinweis:''' in der Rechtsprechung wir der Begriff „Gruppenverfolgung“ nicht konsequent nur für die Bezeichnung dieses Instruments der Beweiserleichterung genutzt. Der Begriff wird uneinheitlich verwendet und häufig auch bei der Prüfung genutzt, ob die Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe vorliegt.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|tc2=black}}&lt;br /&gt;'''3. Kausalität zwischen Verfolgungsgründen und Verfolgungshandlung oder fehlendem Schutz, §&amp;nbsp;3a&amp;nbsp;III&amp;nbsp;AsylG'''
Zusätzlich müsste zwischen der in §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG normierten Verfolgungshandlung oder dem fehlenden Schutz und dem in §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''AsylG geregelten Verfolgungsgrund eine kausale Verknüpfung bestehen (sogenannter Nexus, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''AsylG). Die Verknüpfung ist danach zu beurteilen, worauf die Maßnahme oder die Schutzverweigerung objektiv erkennbar gerichtet ist und nicht nach den subjektiven Gründen oder Motiven, die die Verfolgenden oder Schutzakteure dabei leiten. Unerheblich ist, ob die betroffene Person tatsächlich die ausschlaggebenden Merkmale aufweist, sofern ihr diese Merkmale von zugeschrieben werden, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''II'''&amp;nbsp;'''AsylG.

Die Verfolgungshandlungen drohen A hier gerade wegen der Wahrnehmung von A als Mitglied der LGBTIQ-Gemeinschaft.

Die erforderliche Verknüpfung im Sinne des § 3a III AsylG liegt somit vor.

'''4. Begründete Furcht vor Verfolgung'''&lt;br /&gt;Gemäß §'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AsylG, sowie den zugrundeliegenden Regelungen in Art.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''A'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''GFK, Art.'''&amp;nbsp;'''9'''&amp;nbsp;'''Qualifikations-RL, kommt es auf die Furcht vor Verfolgung an. Daher sind nicht nur erlittene, sondern auch mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit (real risk) drohende Menschenrechtsverletzungen zu berücksichtigen.&lt;ref&gt;Kluth, in: BeckOK AuslR, 30. Ed. 1.7.2021, AsylG § 3a Rn. 12; vgl. OVG NRW, Urt. v. 29.10.2020, Az.: 9 A 1980/17.A, juris Rn. 32.&lt;/ref&gt;

Es kommt darauf an, ob bei einer Gesamtschau aller festgestellten Umstände und ihrer Bedeutung bei einer besonnenen, vernünftig denkenden Person in der Lage der Betroffenen Furcht vor Verfolgung hervorgerufen werden könnte.&lt;ref&gt;Vgl. BVerwG, Urt. v. 20.2.2013, Az.: 10 C 23/12, juris Rn. 32; Beschl. v. 7.2.2008, Az.: 10 C 33/07, juris Rn. 37.&lt;/ref&gt;

Aufgrund der oben dargestellten Berichtslage, ist davon auszugehen, dass A bei potenzieller Rückkehr mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit Verfolgungshandlungen ausgesetzt sein wird. Die Verfolgungsprognose ist daher zu bejahen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=„Diskretion“

2013 urteilte der EuGH: „Bei der Prüfung eines Antrags auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft können die zuständigen Behörden vernünftigerweise nicht erwarten, dass der Asylbewerber seine Homosexualität in seinem Herkunftsland geheim hält oder Zurückhaltung beim Ausleben seiner sexuellen Ausrichtung übt, um die Gefahr einer Verfolgung zu vermeiden.“&lt;ref&gt; EuGH, X, Y, Z v Minister voor Immigratie en Asiel, C‑199/12 - C‑201/12, 7. November 2013; vgl. auch zur KLarstellung der Übersetzung [https://www.asyl.net/view/eugh-klarstellung-prognose-zu-moeglicher-diskretion-beim-ausleben-der-sexuellen-orientierung-im-herkunftsstaat-ist-unzulaessig asyl.net Meldung vom 21.10.2021] &lt;/ref&gt;

Zudem darf die „Diskretion“ bezüglich der sexuellen Orientierung weder unterstellt noch prognostisch vermutet werden.&lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;   Ausgangspunkt für die Prüfung der Verfolgungswahrscheinlichkeit muss also grundsätzlich eine offen gelebte sexuelle Orientierung sein.&lt;ref&gt; UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f.; ausführlich hierzu siehe Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21_7-8_inhalt_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt; Das diskrete Ausleben der sexuellen Orientierung schützt zudem nicht sicher vor Verfolgung. Denn bereits das Aufkommen eines entsprechenden Verdachts kann zu Verfolgungshandlungen führen. &lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;}}

'''5. Verfolgungsakteur'''

Die Verfolgung kann von staatlichen oder von staatsähnlichen Stellen ausgehen (§'''&amp;nbsp;'''3c'''&amp;nbsp;'''AsylG) oder von nichtstaatlichen Akteur*innen (§'''&amp;nbsp;'''3d'''&amp;nbsp;'''AsylG), sofern weder die vorgenannten Akteur*innen noch internationale Organisationen willens oder in der Lage sind Schutz vor Verfolgung zu bieten.

Der Schutz vor Verfolgung muss nach § 3d II AsylG wirksam und darf nicht vorübergehend sein. Generell ist ein solcher Schutz gewährleistet, wenn die in Nr. 1 und Nr. 2 genannten Akteur*innen geeignete Schritte einleiten, um die Verfolgung zu verhindern, beispielsweise durch wirksame Rechtsvorschriften zur Ermittlung, Strafverfolgung und Ahndung von Handlungen, die eine Verfolgung darstellen, und wenn die betroffene Person Zugang zu diesem Schutz hat.

Übereinstimmende Berichte des Auswärtigen Amtes, US-amerikanischen Außenministeriums und lokalen Menschenrechtsorganisationen ergeben, dass staatliche Stellen trotz wiederholter Drohungen und Gewalt gegen LGBTI-Personen keine rechtliche Verfolgung sicherstellen.&lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak v. 11.2.2019: Lage von Intersex- und Transgender-Personen inklusive in der Autonomen Region Kurdistan; USDOS, Country Report on Human Rights Practices 2017 – Iraq, 20.4.2018, Section 6; IraQueer, 2018, S. 10; VG Saarland, Urt. v. 12.11.2020, Az.: 6 K 45/19, Rn. 36, juris.&lt;/ref&gt;

'''6. Keine interne Schutzalternative'''

Die Flüchtlingseigenschaft wird nicht zuerkannt, wenn eine interne Schutzmöglichkeit besteht. Das setzt voraus, dass die betroffene Person in einem Teil des Herkunftslandes keine begründete Furcht vor Verfolgung oder Zugang zu Schutz vor Verfolgung nach §&amp;nbsp;3d&amp;nbsp;AsylG hat und sicher und legal in diesen Landesteil reisen kann, dort aufgenommen wird und vernünftigerweise eine dortige Niederlassung erwartet werden kann (§&amp;nbsp;3e&amp;nbsp;AsylG).&lt;ref&gt;VG Stuttgart Urt. v. 9.6.2021 – 8 K 4016.18, Rn. 16.&lt;/ref&gt;

In Bagdad werden im Landesvergleich die meisten homophoben Gewalttaten dokumentiert. Dies liegt jedoch nicht unbedingt daran, dass es in anderen Landesteilen sicherer ist, sondern daran, dass viele Menschenrechtsorganisationen dort ansässig sind und die Menschenrechtsverletzungen leichter dokumentieren können. Auch in andern Landesteilen gibt es keine sicheren Orte für Personen aus dem LGBTI Spektrum.&lt;ref&gt;[https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f..]&lt;/ref&gt;

Damit gibt es keine interne Schutzalternative. 

==== 7. Kein Ausschluss ====
Für einen Ausschluss liegen keine Anhaltspunkte vor.

=== III. Ergebnis ===
A hat Anspruch auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft. Der Bescheid ist nicht materiell rechtmäßig. 

== B. Ergebnis ==

Die Ablehnung der Zuerkennung des Flüchtlingsschutzes an A durch das BAMF ist materiell rechtswidrig.

==Weiterführende Literatur/ Materialien==
*Berlit/Dörig/Storey: Glaubhaftigkeitsprüfung bei Asylklagen aufgrund religiöser Konversion oder Homosexualität: Ein Ansatz von Praktikern (Teil 2):(ZAR 2016, 332).
*Dudley, Gruppenverfolgung im Asyl- und Flüchtlingsrecht, 2021.
*[https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Braun/Dörr/Träbert, Asylmagazin 3/2020, S. 81-84.] 
*[https://www.lsvd.de/de/ct/919-FAQs-Lesbische-schwule-bisexuelle-trans-und-inter-Gefluechtete LSVD FAQs zu Geflüchteten aus dem LSBTI Spektrum]
*[https://www.lsvd.de/de/ct/1305-Ratgeber-Asylrecht-fuer-gefluechtete-Lesben-und-Schwule LSVD Ratgeber]: Asylrecht für geflüchtete Lesben und Schwule, Stand Sommer 2019. 
*[https://www.queer-refugees.de/wp-content/uploads/2018/10/leitfaden-fur-lsbti-gefluchtete-deutsch.pdf LSVD Leitfaden für lesbische, schwule, bisexuelle, trans* und inter* (LSBTI) Geflüchtete in Deutschland] 

==Zusammenfassung: Die wichtigsten Punkte==

*Bei der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe ist sowohl das Vorliegen eines geteilten geschützten Merkmals zu prüfen als auch die soziale Wahrnehmung als Gruppe im Herkunftsland.
*Gruppenverfolgung ist eine beweisrechtliche Figur; Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe eine materiell-rechtliche Frage.
*In LGBTIQ-Fällen darf eine Entscheidung grundsätzlich nicht aufgrund der Erwartung getroffen werden, dass die antragstellende Person ihre sexuelle Orientierung oder geschlechtliche Identität bei einer Rückkehr geheimhalten wird. 
*In LGBTIQ-Fällen stellt in der Praxis die Glaubhaftigkeitsprüfung die größte Herausforderung für die Anerkennung als Flüchtling dar. 
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        <username>Pia Lotta Storf</username>
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&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;/p&gt;

&lt;big&gt;'''Autorin:''' Pia Lotta Storf&lt;/big&gt;   
&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' Grundlagen der Statusbestimmung; Konzept der Gruppenverfolgung   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' Materielles Asylrecht; Bestimmte soziale Gruppe gem. § 3b I Nr. 4 AsylG; LGBTIQ; Gender Identity; Geschlechtsidentität, Irak.   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Gleichgeschlechtliche Liebe SV|Gleichgeschlechtliche Liebe]]   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad''': Fortgeschrittene   &lt;/blockquote&gt;

Zu prüfen ist, ob die Ablehnung des Flüchtlingsschutzes für A durch das BAMF materiell rechtmäßig ist. 

==A. Materielle Rechtmäßigkeit des Bescheids für A==
Das ist der Fall, wenn eine Ermächtigungsgrundlage gegeben ist und die Voraussetzungen für das Vorliegen der Flüchtlingseigenschaft in der Person von A nicht gegeben sind.

=== I. Ermächtigungsgrundlage ===
Als Ermächtigungsgrundlage kommen die Regelungen über den Flüchtlingsschutz gemäß&amp;nbsp;§§&amp;nbsp;3&amp;nbsp;ff.&amp;nbsp;AsylG in Betracht.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Die nationale Rechtsgrundlage zur Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft nach §§ 3 ff. AsylG ist in ein Mehrebenensystem eingebettet. Auf völkerrechtlicher Ebene bestimmt die Genfer Flüchtlingskonvention (GFK) die Definition der Flüchtlingseigenschaft und die Rechte von Flüchtlingen. &lt;ref&gt;Zu den Grundlagen siehe asyl.net Themen: [https://www.asyl.net/themen/asylrecht/schutzformen/fluechtlingsschutz/ Flüchtlingsschutz].&lt;/ref&gt;  Auf europarechtlicher Ebene wurden diese Vorgaben in der Qualifikations-RL&lt;ref&gt; Qualifikationsrichtlinie (2011/95/EU) vom 13.12.2011 über Normen für die Zuerkennung des internationalen Schutzstatus (Flüchtlingseigenschaft im Sinne der Genfer Flüchtlingskonvention sowie subsidiärer Schutz), auch Anerkennungs-RL oder Status-RL, [https://www.asyl.net/recht/gesetzestexte/eu-recht/richtlinien/qualifikationsrichtlinie-201195eu/ asyl.net: „Recht“ / „Gesetzestexte“ / „EU-Recht“].&lt;/ref&gt; konkretisiert. Zudem wurde durch die Qualifikations-RL die Schutzform des subsidiären Schutzes geschaffen. Diese wird zusammen mit dem Flüchtlingsschutz als internationaler Schutz bezeichnet. Die Einbettung im Mehrebenensystem wird insbesondere bei der Auslegung wertungsoffener Begriffe, wie etwa bei den Verfolgungsgründen relevant. &lt;ref&gt; Stichwort: völkerrechtsfreundliche Auslegung, gem. Art. 59 II, 25 GG; vgl. auch BVerfG, Beschl. v. 14.10.2004, Az.: 2 BvR 1481/04 zur Berücksichtigung der Entscheidungen des EGMR (Rs. Görgülü), [https://www.asyl.net/rsdb/M5709/ asyl.net: M5709.] &lt;/ref&gt; |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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=== II. Vorliegen der Voraussetzungen der Ermächtigungsgrundlage ===
Gemäß § 3 IV AsylG wird einer ausländischen Person, die Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist, die Flüchtlingseigenschaft zuerkannt, sofern keine Ausschlussgründe vorliegen. 

Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist eine Person, die sich aus begründeter Furcht vor Verfolgung aufgrund eines Verfolgungsgrundes gemäß § 3b I AsylG außerhalb ihres Herkunftslandes – dessen Staatsangehörigkeit sie besitzt – befindet, wenn sie den Schutz ihres Herkunftslandes nicht in Anspruch nehmen kann oder wegen der Verfolgungsfurcht nicht in Anspruch nehmen will.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Das BAMF und die Verwaltungsgerichte nutzen verschiedene Erkenntnisquellen, um die für einen Asylantrag maßgeblichen Anhaltspunkte zu prüfen. Nach Art. 4 III lit. a Qualifikations-RL sind sie verpflichtet Informationen zur Lage im Herkunftsland zu berücksichtigen. 

Die Verwaltungsgerichte veröffentlichen eine Liste ihrer Erkenntnismittel.&lt;ref&gt; Vgl. etwa [https://www.berlin.de/gerichte/verwaltungsgericht/service/erkenntnismittellisten/irak/ VG Berlin zum Irak.]&lt;/ref&gt; Dabei wird den Lageberichten des Auswärtigen Amts (AA) durch BAMF und Verwaltungsgerichte eine besondere Bedeutung beigemessen. Dies wird von Fachleuten kritisiert, da in den AA-Berichten nicht immer die Qualitätsstandards zur Beschaffung von Herkunftslandinformationen eingehalten werden.&lt;ref&gt;Zu den Standards siehe Leitfaden des Österreichischen Roten Kreuzes und ACCORD, [https://www.asyl.net/view/recherche-von-herkunftslaenderinformationen/ Recherche von Herkunftsländerinformationen], Stand: Dezember 2014.&lt;/ref&gt; Die AA-Berichte sind zwar nur für den Dienstgebrauch, aber Asylantragstellende in einem laufenden Verfahren können die Lageberichte zum Herkunftsland bei der Informationsvermittlungsstelle des BAMF beantragen. Es muss ein Dokument aus einem laufenden Verfahren oder ein Antrag ans BAMF oder die Ausländerbehörde beigelegt werden. Maßgeblich für die Recherche von Herkunftslandinformationen ist die Datenbank des [https://www.ecoi.net/de/ European Country of Origin Information Network] von ACCORD, einer Abteilung des Österreichischen Roten Kreuzes. Diese enthält Informationen von über 160 Quellen, die regelmäßig aktualisiert werden.

Zum vorliegenden Fall können folgende Quellen beachtlich sein:

- UNHCR: [https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf Schutzerwägungen Irak]

- ILGA World: [https://ilga.org/state-sponsored-homophobia-report State-Sponsored Homophobia Report]

- Amnesty International: [https://www.amnesty.de/informieren/amnesty-report Menschenrechtsberichte]

- US Department of State: [https://www.state.gov/reports-bureau-of-democracy-human-rights-and-labor/country-reports-on-human-rights-practices/ Menschenrechtsberichte]|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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==== 1. Verfolgungsgrund ====
{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Zur Prüfung der Flüchtlingseigenschaft ist es hilfreich ein Prüfungsschema zugrunde zu legen. Dabei weichen in verschiedenen Quellen zu findende Prüfungsreihenfolgen im Aufbau zum Teil voneinander ab. &lt;ref&gt;  Siehe etwa das Prüfungsschema in [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3. Fall Nr. 14 Ahmadiyya in Pakistan]. &lt;/ref&gt;

In der Praxis wird die Prüfung von Verfolgungsgrund, Verfolgungshandlung, Verfolgungsprognose und Nexus insbesondere bei Gruppenverfolgungen oft zusammen verhandelt. Aus didaktischen Gründen wird in diesem Lösungsvorschlag zunächst der Verfolgungsgrund separat geprüft. |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|tc2=black}}Ein Verfolgungsgrund gemäß&amp;nbsp;§&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;AsylG müsste vorliegen. Dies ist der Fall, wenn der betroffenen Person aufgrund eines der fünf in der GFK genannten Merkmale (&quot;Rasse&quot;, Religion, Nationalität, politische Überzeugung oder Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe) im Staat ihrer Staatsangehörigkeit Verfolgung droht oder kein Schutz gewährt wird.

In Betracht kommt vorliegend insbesondere der Verfolgungsgrund der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe, gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Hier ließe sich auch über weitere Verfolgungsgründe nachdenken. In Betracht kommt zusätzlich eine religiöse &lt;ref&gt; UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 42.&lt;/ref&gt; oder politisch motivierte Verfolgung &lt;ref&gt;Sußner, Flucht-Geschlecht-Sexualität. Eine menschenrechtsbasierte Perspektive auf Grundversorgung und Asylstatus, 2020, S. 303.&lt;/ref&gt;. Die als abweichend markierte sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität kann als Bruch mit der religiösen oder politischen Norm verstanden werden.&lt;ref&gt; [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 25; ausführlich: Sußner, 2020, S. 170 ff.&lt;/ref&gt; Die Falllösung orientiert sich daran wie Verwaltungsgerichte an ähnliche Fallgestaltungen herangehen und ist daher auf die Probleme der Verfolgung aufgrund der Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe zugeschnitten.}}Eine bestimmte soziale Gruppe liegt laut §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG vor, wenn die Mitglieder dieser Gruppe angeborene Merkmale, einen unveränderbaren gemeinsamen Hintergrund gemein haben oder Merkmale teilen, die so bedeutsam für die Identität oder das Gewissen sind, dass die betreffende Person nicht gezwungen werden darf, auf sie zu verzichten, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG. Nach dem Wortlaut der Norm („'''und'''“) muss die Gruppe zudem in dem betreffenden Land eine deutlich abgegrenzte Identität haben und von der sie umgebenden Gesellschaft als andersartig betrachtet werden, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG.{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Nach dem Wortlaut von § 3b I Nr. 4 AsylG (und auch Art. 10 lit. d S. 1 Qualifikations-RL) müssen die Voraussetzungen des angeborenen Merkmals „und“ der abgrenzbaren Identität kumulativ erfüllt sein. Demgegenüber setzt der UNHCR voraus, dass ein gemeinsames Merkmal vorliegt oder die Gruppe von von der Gesellschaft als eine Gruppe wahrgenommen wird. Siehe hierzu weitergehender Fall Nr. 16 „[https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_H%C3%A4usliche_Gewalt_L%C3%B6sung Häusliche Gewalt]“.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|bg2=white
|tc1=white
|tc2=black}}Eine Verfolgung wegen der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe kann auch vorliegen, wenn sie an die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität anknüpft, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG.&lt;ref&gt;Grundlegend dazu, EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z  gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260]; ausführlich dazu Markard, EuGH zur sexuellen Orientierung als Fluchtgrund, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2013/AM2013-12_beitragmarkard.pdf Asylmagazin 12/2013].&lt;/ref&gt; 

Aufgrund der Vielschichtigkeit, Fluidität und Interdependenz von As geschlechtlicher Identität (nicht-binär/ transgeschlechtlich)&lt;ref&gt;In der deutschen Rechtsprechung wird Transsexualität teilweise fälschlich als „sexuelle Orientierung“ eingeordnet, vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.18, RO 13 K 17.32861, Rn. 27.&lt;/ref&gt; und sexueller Identität (lesbisch bei rechtlicher Geschlechtszuordnung als Mann) kommen verschiedene Gruppenzugehörigkeiten in Betracht. Auch eine erhöhte Vulnerabilität aufgrund des Zusammenspiels verschiedener Gruppenzugehörigkeiten kommt in Betracht.&lt;ref&gt;Sußner, 2020, S. 173 ff.&lt;/ref&gt;{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Yogyakarta-Prinzipien zur Anwendung der Menschenrechte in Bezug auf die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität (sexual identity, gender orientation, SOGI).&lt;ref&gt; Yogyakarta Principles in den sechs Sprachen der Vereinten Nationen: http://yogyakartaprinciples.org/; deutsche Übersetzung: https://www.lsvd.de/de/ct/3359-yogyakarta-prinzipien.&lt;/ref&gt; 
 
Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert Geschlechtsidentität wie folgt: “Gender identity is understood to refer to each person’s deeply felt internal and individual experience of gender, which may or may not correspond with the sex assigned at birth, including the personal sense of the body (which may involve, if freely chosen, modification of bodily appearance or function by medical, surgical or other means) and other expressions of gender, including dress, speech and mannerisms.”

Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert sexuelle Orientierung wie folgt: “Sexual orientation is understood to refer to each person’s capacity for profound emotional, affectional and sexual attraction to, and intimate and sexual relations with, individuals of a different gender or the same gender or more than one gender.”}}

==== a) Unveräußerliches Merkmal, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp; a&amp;nbsp;AsylG ====
Die Geschlechtsidentität von A könnte ein unveräußerliches Merkmal sein.

As Personenstandseintrag ist männlich. Dahingegen ordnet A das eigene Geschlecht als nicht-binär ein, und fühlt sich jedenfalls eher als Frau, denn als Mann. Nach Außen drückt A die geschlechtliche Identität durch lange Haare, glattrasierte Wangen, Make-up, androgyne Kleidung und eine angepasste Stimmlage aus. Jedenfalls entspricht A nicht den gesellschaftlichen Konformitätsvorstellungen an Geschlecht und transzendiert die Binarität der traditionellen Geschlechterordnung. Die Argumentation des BAMF, dass A das eigene Auftreten leicht verändern könnte, lässt sich so verstehen, dass davon ausgegangen wird, dass in der Person von A kein solches unveräußerliches Merkmal vorliegt. As Auftreten ist jedoch unmittelbarer Ausdruck der eigenen Geschlechtsidentität. Die geschlechtliche Identität jenseits der binären Zuordnung als Mann oder Frau ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG. &lt;ref&gt;Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 41&lt;/ref&gt; Ein unveräußerliches Merkmal liegt daher im Fall von A vor.

As sexuelle Orientierung könnte ebenfalls ein geschütztes Merkmal sein. A definiert die eigene sexuelle Orientierung als homosexuell. Nach Maßgabe des Personenstandsregisters müssten As Beziehungen zu Frauen als heterosexuell definiert werden. Die sexuelle Orientierung ist als höchstpersönlicher Lebensbereich geschützt.&lt;ref&gt;BVerfG, Beschl. v. 22.01.2020, Az.: 2 BvR 1807/19, [https://www.asyl.net/rsdb/M28078 asyl.net: M28078]; vgl. Anmerkung hierzu Braun/Dörr/Träbert, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Asylmagazin 3/2020], S. 81 ff.&lt;/ref&gt; Die Definition des eigenen Begehrens obliegt daher jeder Person selbst. &lt;ref&gt;Vgl. Berg/ Millbank, in: Spijkerboer, Fleeing Homophobia (2013), S.122 f.&lt;/ref&gt; Eine homosexuelle Orientierung ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten. &lt;ref&gt;Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21-7-8_themenschwerpunkt_lgbti_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt;

Sowohl As geschlechtliche Identität als auch As sexuelle Orientierung sind damit geschützte Merkmale gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp;&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=In der Praxis stellt die Glaubhaftigkeitsprüfung gerade in SOGI bezogenen Fällen die größte Herausforderung dar.&lt;ref&gt; Vgl. Prinzip 3 der Yogyakarta Prinzipien; Rehaag/ Collin, Canadian Journal of Human Rights 9:1 (2020), S. 3 ff. &lt;/ref&gt; Eine länderbezogene [https://www.lsvd.de/de/recht/rechtsprechung/asylrecht Übersicht aktueller Entscheidungen] stellt der LSVD zusammen.

So hat bspw. das VG Magdeburg eine BAMF-Entscheidung korrigiert, in der einem Mann aus Saudi-Arabien die Homosexualität wegen zu klischeehafter Darstellung nicht geglaubt worden war und festgestellt, dass die Flüchtlingseigenschaft vorliegt.&lt;ref&gt;VG Magdeburg, Urteil vom 10.03.2020 - 9 A 294/18 &lt;/ref&gt;  

Der EuGH hat in seiner Rechtsprechung Vorgaben zur Prüfung der sexuellen Orientierung als Verfolgungsgrund gemacht. So dürfen Beurteilung nicht anhand von Befragungen erfolgen, die allein auf stereotypen Vorstellungen von homosexuellen Personen beruhen. Befragungen zu sexuellen Praktiken, Beweise oder „Tests“ zum Nachweis der sexuellen Orientierung sind unzulässig. Zudem ist es unzulässig, allein deswegen von einer mangelnden Glaubhaftmachung ausgehen, weil eine Person die behauptete sexuelle Ausrichtung nicht bei der ersten Gelegenheit zur Darlegung der Verfolgungsgründe geltend gemacht hat. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 02.12.2014 - C-148/13, C-149/13, C-150/13 - A,B,C gegen Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/M22497 asyl.net: M22497].&lt;/ref&gt;  Psychologische Tests und Gutachten zur Feststellung von Homosexualität wiederum sind laut EuGH unter bestimmten Bedingungen zulässig. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 25.01.2018 - C-473/16 F gegen Ungarn, [https://www.asyl.net/rsdb/M25902 asyl.net: M25902].

Das Difference, Stigma, Shame, and Harm (DSSH)-Modell schlägt vor, dass sich die Befragung darauf konzentrieren sollte, die Wahrnehmung der Asylsuchenden in Bezug auf die Differenz, die Stigmatisierung, die Scham und den Schaden, den sie erfahren haben, zu eruieren.&lt;ref&gt;Vgl. Dawson/Gerber, Assessing the Refugee Claims of LGBTI People: Is the DSSH Model Useful for Determining Claims by Women for Asylum Based on Sexual Orientation?, in International Journal of Refugee Law, 29(2), 2017, S. 292–322.&lt;/ref&gt;}}'''b)''' '''Abgegrenzte Gruppe, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG'''

A müsste aufgrund der unveräußerlichen Merkmale als Teil einer von der umgebenden irakischen Gesellschaft deutlich abgegrenzten Gruppe gesehen werden. Die Verfolgung von A, bzw. As Schutzlosigkeit müsste gerade aus der gesellschaftlichen Betrachtung als andersartig resultieren.&lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt;

Die Bildung der sozialen Gruppe ist abhängig von der Gesellschaft des Herkunftsstaates. Fragen der sexuellen Orientierung oder der Geschlechtsidentität werden in der irakischen Gesellschaft weitgehend tabuisiert. Abweichungen von tradierten Vorstellungen werden von großen Teilen der Bevölkerung als unvereinbar mit Religion und Kultur abgelehnt.&lt;ref&gt;ACCORD, [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Anfragebeantwortung zum Irak: Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

A weicht von tradierten Geschlechternormen und heteronormativer sexueller Orientierung ab. Es ließe sich einwenden, dass A aus rein personenstandsrechtlicher Sicht heterosexuelle Beziehungen führe. Jedoch dürfte diese Zuschreibung aufgrund der erkennbar von der gesellschaftlichen Norm abweichenden geschlechtlichen Identität As nicht aufrecht zu erhalten sein. Dabei könnte es Kontexte geben, in denen A allein auf der Straße als schwul oder jedenfalls nicht als heterosexueller Mann gelesen würde und Kontexte, in denen A in Begleitung einer Partnerin als lesbisch gelesen würde. Diese Zuschreibung von geschützten Merkmalen ist asylrechtlich relevant, § 3b II AsylG.

Die Verfolgung und besondere Schutzlosigkeit basieren also auf As wahrnehmbarer Abweichung von geschlechtlichen und sexuellen Normen. Daher liegt auch die Zugehörigkeit zu einer gesellschaftlich abgegrenzten Gruppe vor.

A gehört damit einer sozialen Gruppe im Sinne des §'''&amp;nbsp;'''3b I Nr. 4 AsylG an.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Verfolgungsgründe bei Queerness

Die flüchtlingsrechtliche Prüfung von Queerness als Abweichung von gesellschaftlichen Erwartungen an Geschlecht – sowohl in Bezug auf geschlechtliche Identität als auch sexuelle Orientierung – wird oft anhand von stereotypen Bildern und Erwartungen durchgeführt. Um den Schutz von Personen, die in Bezug auf SOGI verfolgt werden, sicherzustellen, bedarf es einer menschenrechtsbasierten Auslegung des Flüchtlingsrechts.&lt;ref&gt; Andrade/ Danisi/ Dustin/ Ferreira/ Held, [https://www.sogica.org/wp-content/uploads/2020/07/The-SOGICA-surveys-report_1-July-2020-1.pdf SOGICA Report], Queering Asylum in Europe: A Survey Report, 2020. Markard, Kriegsflüchtlinge, 2012, S. 142 ff.&lt;/ref&gt;

So ist es zum Beispiel wichtig auch nichtgefestigte Identitäten (pre-transition etwa) als unveränderliches Merkmal anzuerkennen, da sie unverzichtbar für die Identität sind.&lt;ref&gt; Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 47.&lt;/ref&gt;  Zudem stellen Art. 10 II Qualifikations-RL und § 3b II AsylG klar, dass auch zugeschriebene Homosexualität ein Verfolgungsgrund sein kann. Für eine solche Auslegung enthalten u.a. die [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html UNHCR Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen] und die [http://yogyakartaprinciples.org/ Yogyakarta Prinzipien] Interpretationsempfehlungen}}


'''2. Verfolgungshandlung'''

Es müsste eine Verfolgungshandlung gemäß §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG vorliegen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Als „Verfolgung“ iSd. Genfer Flüchtlingskonvention wird jede dauerhafte oder systematische Verletzung grundlegender Menschenrechte angesehen. Grundlegende Menschenrechte, von denen selbst im Notstandsfall gem. Art. 15 EMRK nicht abgewichen werden darf, sind das Recht auf Leben, das Verbot der Sklaverei und das strafrechtliche Gesetzlichkeitsprinzip.  

Die Verfolgungshandlung muss eine bestimmte Intensitätsschwelle übersteigen um als Menschenrechtsverletzung zu gelten, § 3a I AsylG:

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Art, Nr. 1 Var. 1

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Wiederholung, Nr. 1 Var. 2

- Kumulierung verschiedener Maßnahmen, einschließlich einer Verletzung der Menschenrechte, die so gravierend ist, dass eine Person davon in ähnlicher Weise, wie in Nummer 1 beschrieben, betroffen ist, Nr. 2.

Eine Verfolgungshandlung setzt nach dem BVerwG einen gezielten aktiven Eingriff in ein geschütztes Rechtsgut voraus.&lt;ref&gt;BVerwG, U. v. 7.11.2009, Az.: 10 C.52.07, juris; Bergmann, in Bergmann/Dienelt, Ausländerrecht, 13. Aufl. 2020, AsylG §3a Rn. 4.&lt;/ref&gt;  Faktische Bedrohungen oder bürgerkriegsähnliche Zustände genügen nach dem BVerwG dafür nicht. Bei der Bewertung einer Handlung als Verfolgung sind gemäß Art. 4 III lit. c Qualifikations-RL auch die individuelle Lage sowie die persönlichen Umstände der antragstellenden Person miteinzubeziehen.}}


Als Fluchtgrund trägt A den brutalen Mord eines Bekannten aufgrund dessen angeblicher Homosexualität vor. Wegen dieses Ereignisses hat A Angst, wegen der eigenen nicht-binären Geschlechtsidentität und Homosexualität „als nächstes dran zu sein“.

A gibt an, als Kind für „zu feminines Verhalten“ von der eigenen Familie geschlagen worden zu sein. Im Erwachsenenalter erfährt A keine derartige körperliche Gewalt durch die eigene Familie mehr.

Fraglich ist, ob diese Ereignisse als flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgungshandlungen eingestuft werden können.

Die von A geschilderten Ohrfeigen reichen nicht aus, um als individuelle Verfolgungshandlungen eine Verletzungshandlung im Sinne des § 3a AsylG zu begründen. Zudem fehlt es diesbezüglich an dem erforderlichen unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Umständen, die die Furcht vor Verfolgung begründen und der tatsächlichen Flucht. A hat angegeben der Gewalt durch die eigene Familie im Erwachsenenalter nicht mehr ausgesetzt zu sein.

Laut EuGH spricht das Bestehen strafrechtlicher Bestimmungen, die spezifisch homosexuelle Personen betreffen, dafür, dass diese Personen als eine bestimmte soziale Gruppe anzusehen sind; wenn aber diese Rechtsnormen, die Homosexualität oder Abweichungen von cis-Geschlechtlichkeit kriminalisieren oder anderweitig sanktionieren, unangewendet bleiben, stellen sie laut Gerichtshof keine Verfolgungshandlung i.S.d. Art. 9 I Qualifikations-RL dar. &lt;ref&gt;EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260].&lt;/ref&gt;

Im Irak wird Homosexualität oder Transgeschlechtlichkeit nicht direkt kriminalisiert.&lt;ref&gt;Vgl. [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34 unter Bezug auf den Lagebericht des AA von Dezember 2018.&lt;/ref&gt; Jedoch nutzen Behörden andere Straftatbestände wie Erregung öffentlichen Ärgernis oder Prostitution überproportional häufig, um Personen zu verhaften, die gleichgeschlechtliche sexuelle Beziehungen eingehen; eine einheitliche Verfolgungspraxis ist jedoch nicht auszumachen.&lt;ref&gt;EUAA, Query response on Iraq: Situation of LGBTI persons, 13.10.2021, [https://www.ecoi.net/en/document/2062153.html ecoi.net: ID 2062153];

[https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34.&lt;/ref&gt;

Aufgrund dieser Berichtslage ist davon auszugehen, dass A von staatlichen Behörden mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit diskriminierende Maßnahmen drohen. Das Regelbeispiel von Verfolgungshandlungen des § 3a II Nr. 2 AsylG liegt also vor.

A drohen zudem mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit gewaltsame Übergriffe durch Personen außerhalb der Familie, also durch nichtstaatliche Akteure.

Die Berichte über regelmäßige Gewalt gegen LGBTIQ-Personen zeigen, dass für diese immer die Gefahr im Raum steht, angegriffen zu werden ohne, dass sie auf den Schutz des Staates vertrauen können. &lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt; Laut Bericht des UN-Sonderberichterstatters wird im Irak in traditionellen und sozialen Medien zur Gewalt gegen Männer und Jungen auf der Basis ihrer tatsächlichen oder der ihnen zugeschriebenen sexuellen Orientierung oder geschlechtlichen Identität aufgerufen. So berichten lokale Quellen von Milizen, die „Tötungslisten“ verfasst und als Angehörige sexueller Minderheiten wahrgenommene Personen hingerichtet hätten. &lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak: [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

Auf dieser Grundlage ist davon auszugehen, dass die im Irak bestehende soziale Ächtung von homosexuellen, transgeschlechtlichen und allen nicht den traditionellen Geschlechterrollen entsprechenden Personen die asylrechtliche Erheblichkeitsschwelle übersteigt.&lt;ref&gt;Vgl. VG Berlin, Urt. v. 2.11.2021, Az.: 29 K 285.17 A, juris, Rn. 22 f.&lt;/ref&gt;

Dabei decken sich die Herkunftslandinformationen mit den Angaben von A, wonach eine Person aus dem Bekanntenkreis aufgrund ihrer Homosexualität brutal ermordet wurde.

Aufgrund dessen ist hier davon auszugehen, dass auch das Regelbeispiel des § 3a II Nr. 1 AsylG, die Anwendung physischer oder psychischer Gewalt, gegeben ist.
A droht aufgrund dieser Erkenntnisse mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgung.{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|In der Rechtsprechung wird in solchen Fällen, in denen die Wahrscheinlichkeit einer individuellen Verfolgung abgelehnt wird, auf das Konzept der „Gruppenverfolgung“ abgestellt.&lt;ref&gt;Siehe hierzu ausführlich [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3 Fall Nr. 14 „Ahmadyyia in Pakistan“]. &lt;/ref&gt;  &quot;Gruppenverfolgung&quot; ist ein Begriff, den das BVerwG entwickelt hat. Danach muss eine asylsuchende Person nicht notwendigerweise ein individuelles Verfolgungsschicksal darlegen, sondern kann sich darauf berufen, dass sie einer Gruppe angehört, die im Herkunftsland aus asylerheblichen Gründen verfolgt wird.

Die Gefahr eigener Verfolgung, kann sich nicht nur aus gegen eine Person selbst gerichteten Maßnahmen ergeben, „sondern auch aus gegen Dritte gerichteten Maßnahmen, wenn diese Dritten wegen eines asylerheblichen Merkmals verfolgt werden, das [die Person] mit ihnen teilt, und wenn [sie] sich mit ihnen in einer nach Ort, Zeit und Wiederholungsträchtigkeit vergleichbaren Lage befindet (Gefahr der Gruppenverfolgung)“. &lt;ref&gt; BVerwG Urt. v. 21.4.2009 – 10 C 11/08, NVWZ 2009, 1237; vgl auch BVerfGE 54, 341 (358 f.); 83, 216 (231 f.) &lt;/ref&gt;
 
Bei einer Gruppenverfolgung sehen die Verfolgenden von individuellen Aspekten ab. Vielmehr gilt ihre Verfolgung der gesamten Gruppe. Die einzelnen Mitglieder der Gruppe sind in solchen Fällen unabhängig von ihrem eigenen Verhalten von Verfolgung bedroht, sodass es nur vom Zufall abhängt wer verfolgt wird. Die Feststellung einer solchen gruppengerichteten Verfolgung setzt einen staatlichen Verfolgungsplan oder eine bestimmte Verfolgungsdichte voraus. Diese rechtfertigt die Regelvermutung eigener Verfolgung der einzelnen Gruppenmitglieder.&lt;ref&gt; Huber/Mantel, in AufenthG/Hruschka (2021), AsylG § 3b Rn. 26; Tiedemann, Flüchtlingsrecht, 2017, S. 46 f.; VG Hamburg Urt. v. 24.9.2018 – 8 A 7823/16, Rn. 27 ff [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;


'''Abgrenzung: Gruppenbezogener Verfolgungsgrund und Beweiserleichterung'''

Der Verfolgungsgrund „Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe“ ist von dem prozessualen Konstrukt „Gruppenverfolgung“, der eine Beweiserleichterung bewirkt, abzugrenzen. Eine soziale Gruppe kann unabhängig davon vorliegen, ob alle Mitglieder der Gruppe verfolgt werden; die Verfolgung ist also gerade kein die Gruppe konstituierendes Merkmal.

Dahingegen ergibt sich die Gruppenverfolgung gerade erst aus der realen Gefahr für eine Vielzahl der Gruppenmitglieder. Bei entsprechender Verfolgungsdichte wird eine widerlegliche Vermutung der Gefahr, verfolgt zu werden, für jede einzelne Person der Gruppe abgeleitet.&lt;ref&gt;Vgl. VG Hamburg, Urt. v. 24.9.2018, Az.: 8 A 7823/16, [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;  Für eine solche '''erhöhte Verfolgungsdichte''' müssen die Übergriffe so zahlreich, schwer und willkürlich wie eine systematische Verfolgung sein. In einer wertenden Gesamtbetrachtung muss sich für jedes einzelne Gruppenmitglied nicht nur die Möglichkeit, sondern die beachtliche Gefahr eigener Betroffenheit ergeben.&lt;ref&gt; BVerwG, Urt. v. 21.4.2009, Az.: 10 C 11/08, [https://www.asyl.net/rsdb/M15716 asyl.net: M15716]; Dietz, Ausländer- und Asylrecht, §9 Der vierteilige Asylantrag i.w.S. nach §13 AsylG Rn. 365. &lt;/ref&gt;

'''Hinweis:''' in der Rechtsprechung wir der Begriff „Gruppenverfolgung“ nicht konsequent nur für die Bezeichnung dieses Instruments der Beweiserleichterung genutzt. Der Begriff wird uneinheitlich verwendet und häufig auch bei der Prüfung genutzt, ob die Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe vorliegt.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
|style=background: rgb(0,43,94);
background: linear-gradient(90deg, rgba(0,43,94,1) 0%, rgba(47,96,152,1) 8%, rgba(94,149,210,1) 68%)
|bg=black
|bg2=white
|tc1=white
|tc2=black}}&lt;br /&gt;'''3. Kausalität zwischen Verfolgungsgründen und Verfolgungshandlung oder fehlendem Schutz, §&amp;nbsp;3a&amp;nbsp;III&amp;nbsp;AsylG'''
Zusätzlich müsste zwischen der in §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG normierten Verfolgungshandlung oder dem fehlenden Schutz und dem in §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''AsylG geregelten Verfolgungsgrund eine kausale Verknüpfung bestehen (sogenannter Nexus, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''AsylG). Die Verknüpfung ist danach zu beurteilen, worauf die Maßnahme oder die Schutzverweigerung objektiv erkennbar gerichtet ist und nicht nach den subjektiven Gründen oder Motiven, die die Verfolgenden oder Schutzakteure dabei leiten. Unerheblich ist, ob die betroffene Person tatsächlich die ausschlaggebenden Merkmale aufweist, sofern ihr diese Merkmale von zugeschrieben werden, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''II'''&amp;nbsp;'''AsylG.

Die Verfolgungshandlungen drohen A hier gerade wegen der Wahrnehmung von A als Mitglied der LGBTIQ-Gemeinschaft.

Die erforderliche Verknüpfung im Sinne des § 3a III AsylG liegt somit vor.

'''4. Begründete Furcht vor Verfolgung'''&lt;br /&gt;Gemäß §'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AsylG, sowie den zugrundeliegenden Regelungen in Art.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''A'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''GFK, Art.'''&amp;nbsp;'''9'''&amp;nbsp;'''Qualifikations-RL, kommt es auf die Furcht vor Verfolgung an. Daher sind nicht nur erlittene, sondern auch mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit (real risk) drohende Menschenrechtsverletzungen zu berücksichtigen.&lt;ref&gt;Kluth, in: BeckOK AuslR, 30. Ed. 1.7.2021, AsylG § 3a Rn. 12; vgl. OVG NRW, Urt. v. 29.10.2020, Az.: 9 A 1980/17.A, juris Rn. 32.&lt;/ref&gt;

Es kommt darauf an, ob bei einer Gesamtschau aller festgestellten Umstände und ihrer Bedeutung bei einer besonnenen, vernünftig denkenden Person in der Lage der Betroffenen Furcht vor Verfolgung hervorgerufen werden könnte.&lt;ref&gt;Vgl. BVerwG, Urt. v. 20.2.2013, Az.: 10 C 23/12, juris Rn. 32; Beschl. v. 7.2.2008, Az.: 10 C 33/07, juris Rn. 37.&lt;/ref&gt;

Aufgrund der oben dargestellten Berichtslage, ist davon auszugehen, dass A bei potenzieller Rückkehr mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit Verfolgungshandlungen ausgesetzt sein wird. Die Verfolgungsprognose ist daher zu bejahen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=„Diskretion“

2013 urteilte der EuGH: „Bei der Prüfung eines Antrags auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft können die zuständigen Behörden vernünftigerweise nicht erwarten, dass der Asylbewerber seine Homosexualität in seinem Herkunftsland geheim hält oder Zurückhaltung beim Ausleben seiner sexuellen Ausrichtung übt, um die Gefahr einer Verfolgung zu vermeiden.“&lt;ref&gt; EuGH, X, Y, Z v Minister voor Immigratie en Asiel, C‑199/12 - C‑201/12, 7. November 2013; vgl. auch zur KLarstellung der Übersetzung [https://www.asyl.net/view/eugh-klarstellung-prognose-zu-moeglicher-diskretion-beim-ausleben-der-sexuellen-orientierung-im-herkunftsstaat-ist-unzulaessig asyl.net Meldung vom 21.10.2021] &lt;/ref&gt;

Zudem darf die „Diskretion“ bezüglich der sexuellen Orientierung weder unterstellt noch prognostisch vermutet werden.&lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;   Ausgangspunkt für die Prüfung der Verfolgungswahrscheinlichkeit muss also grundsätzlich eine offen gelebte sexuelle Orientierung sein.&lt;ref&gt; UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f.; ausführlich hierzu siehe Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21_7-8_inhalt_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt; Das diskrete Ausleben der sexuellen Orientierung schützt zudem nicht sicher vor Verfolgung. Denn bereits das Aufkommen eines entsprechenden Verdachts kann zu Verfolgungshandlungen führen. &lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;}}

'''5. Verfolgungsakteur'''

Die Verfolgung kann von staatlichen oder von staatsähnlichen Stellen ausgehen (§'''&amp;nbsp;'''3c'''&amp;nbsp;'''AsylG) oder von nichtstaatlichen Akteur*innen (§'''&amp;nbsp;'''3d'''&amp;nbsp;'''AsylG), sofern weder die vorgenannten Akteur*innen noch internationale Organisationen willens oder in der Lage sind Schutz vor Verfolgung zu bieten.

Der Schutz vor Verfolgung muss nach § 3d II AsylG wirksam und darf nicht vorübergehend sein. Generell ist ein solcher Schutz gewährleistet, wenn die in Nr. 1 und Nr. 2 genannten Akteur*innen geeignete Schritte einleiten, um die Verfolgung zu verhindern, beispielsweise durch wirksame Rechtsvorschriften zur Ermittlung, Strafverfolgung und Ahndung von Handlungen, die eine Verfolgung darstellen, und wenn die betroffene Person Zugang zu diesem Schutz hat.

Übereinstimmende Berichte des Auswärtigen Amtes, US-amerikanischen Außenministeriums und lokalen Menschenrechtsorganisationen ergeben, dass staatliche Stellen trotz wiederholter Drohungen und Gewalt gegen LGBTI-Personen keine rechtliche Verfolgung sicherstellen.&lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak v. 11.2.2019: Lage von Intersex- und Transgender-Personen inklusive in der Autonomen Region Kurdistan; USDOS, Country Report on Human Rights Practices 2017 – Iraq, 20.4.2018, Section 6; IraQueer, 2018, S. 10; VG Saarland, Urt. v. 12.11.2020, Az.: 6 K 45/19, Rn. 36, juris.&lt;/ref&gt;

'''6. Keine interne Schutzalternative'''

Die Flüchtlingseigenschaft wird nicht zuerkannt, wenn eine interne Schutzmöglichkeit besteht. Das setzt voraus, dass die betroffene Person in einem Teil des Herkunftslandes keine begründete Furcht vor Verfolgung oder Zugang zu Schutz vor Verfolgung nach §&amp;nbsp;3d&amp;nbsp;AsylG hat und sicher und legal in diesen Landesteil reisen kann, dort aufgenommen wird und vernünftigerweise eine dortige Niederlassung erwartet werden kann (§&amp;nbsp;3e&amp;nbsp;AsylG).&lt;ref&gt;VG Stuttgart Urt. v. 9.6.2021 – 8 K 4016.18, Rn. 16.&lt;/ref&gt;

In Bagdad werden im Landesvergleich die meisten homophoben Gewalttaten dokumentiert. Dies liegt jedoch nicht unbedingt daran, dass es in anderen Landesteilen sicherer ist, sondern daran, dass viele Menschenrechtsorganisationen dort ansässig sind und die Menschenrechtsverletzungen leichter dokumentieren können. Auch in andern Landesteilen gibt es keine sicheren Orte für Personen aus dem LGBTI Spektrum.&lt;ref&gt;[https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f..]&lt;/ref&gt;

Damit gibt es keine interne Schutzalternative. 

==== 7. Kein Ausschluss ====
Für einen Ausschluss liegen keine Anhaltspunkte vor.

=== III. Ergebnis ===
A hat Anspruch auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft. Der Bescheid ist nicht materiell rechtmäßig. 

== B. Ergebnis ==

Die Ablehnung der Zuerkennung des Flüchtlingsschutzes an A durch das BAMF ist materiell rechtswidrig.

==Weiterführende Literatur/ Materialien==
*Berlit/Dörig/Storey: Glaubhaftigkeitsprüfung bei Asylklagen aufgrund religiöser Konversion oder Homosexualität: Ein Ansatz von Praktikern (Teil 2):(ZAR 2016, 332).
*Dudley, Gruppenverfolgung im Asyl- und Flüchtlingsrecht, 2021.
*[https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Braun/Dörr/Träbert, Asylmagazin 3/2020, S. 81-84.] 
*[https://www.lsvd.de/de/ct/919-FAQs-Lesbische-schwule-bisexuelle-trans-und-inter-Gefluechtete LSVD FAQs zu Geflüchteten aus dem LSBTI Spektrum]
*[https://www.lsvd.de/de/ct/1305-Ratgeber-Asylrecht-fuer-gefluechtete-Lesben-und-Schwule LSVD Ratgeber]: Asylrecht für geflüchtete Lesben und Schwule, Stand Sommer 2019. 
*[https://www.queer-refugees.de/wp-content/uploads/2018/10/leitfaden-fur-lsbti-gefluchtete-deutsch.pdf LSVD Leitfaden für lesbische, schwule, bisexuelle, trans* und inter* (LSBTI) Geflüchtete in Deutschland] 

==Zusammenfassung: Die wichtigsten Punkte==

*Bei der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe ist sowohl das Vorliegen eines geteilten geschützten Merkmals zu prüfen als auch die soziale Wahrnehmung als Gruppe im Herkunftsland.
*Gruppenverfolgung ist eine beweisrechtliche Figur; Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe eine materiell-rechtliche Frage.
*In LGBTIQ-Fällen darf eine Entscheidung grundsätzlich nicht aufgrund der Erwartung getroffen werden, dass die antragstellende Person ihre sexuelle Orientierung oder geschlechtliche Identität bei einer Rückkehr geheimhalten wird. 
*In LGBTIQ-Fällen stellt in der Praxis die Glaubhaftigkeitsprüfung die größte Herausforderung für die Anerkennung als Flüchtling dar. 
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        <username>Pia Lotta Storf</username>
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&lt;p style=&quot;clear: both;&quot;&gt;&lt;/p&gt;

&lt;big&gt;'''Autorin:''' Pia Lotta Storf&lt;/big&gt;   
&lt;blockquote&gt;'''Notwendiges Vorwissen:''' Grundlagen der Statusbestimmung; Konzept der Gruppenverfolgung   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Behandelte Themen:''' Materielles Asylrecht; Bestimmte soziale Gruppe gem. § 3b I Nr. 4 AsylG; LGBTIQ; Gender Identity; Geschlechtsidentität, Irak.   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Zugrundeliegender Sachverhalt:''' [[OpenRewi/ Fallbuch zum Asylrecht mit aufenthaltsrechtlichen Bezügen/Gleichgeschlechtliche Liebe SV|Gleichgeschlechtliche Liebe]]   &lt;/blockquote&gt;

&lt;blockquote&gt;'''Schwierigkeitsgrad''': Fortgeschrittene   &lt;/blockquote&gt;

Zu prüfen ist, ob die Ablehnung des Flüchtlingsschutzes für A durch das BAMF materiell rechtmäßig ist. 

==A. Materielle Rechtmäßigkeit des Bescheids für A==
Das ist der Fall, wenn eine Ermächtigungsgrundlage gegeben ist und die Voraussetzungen für das Vorliegen der Flüchtlingseigenschaft in der Person von A nicht gegeben sind.

=== I. Ermächtigungsgrundlage ===
Als Ermächtigungsgrundlage kommen die Regelungen über den Flüchtlingsschutz gemäß&amp;nbsp;§§&amp;nbsp;3&amp;nbsp;ff.&amp;nbsp;AsylG in Betracht.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Die nationale Rechtsgrundlage zur Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft nach §§ 3 ff. AsylG ist in ein Mehrebenensystem eingebettet. Auf völkerrechtlicher Ebene bestimmt die Genfer Flüchtlingskonvention (GFK) die Definition der Flüchtlingseigenschaft und die Rechte von Flüchtlingen. &lt;ref&gt;Zu den Grundlagen siehe asyl.net Themen: [https://www.asyl.net/themen/asylrecht/schutzformen/fluechtlingsschutz/ Flüchtlingsschutz].&lt;/ref&gt;  Auf europarechtlicher Ebene wurden diese Vorgaben in der Qualifikations-RL&lt;ref&gt; Qualifikationsrichtlinie (2011/95/EU) vom 13.12.2011 über Normen für die Zuerkennung des internationalen Schutzstatus (Flüchtlingseigenschaft im Sinne der Genfer Flüchtlingskonvention sowie subsidiärer Schutz), auch Anerkennungs-RL oder Status-RL, [https://www.asyl.net/recht/gesetzestexte/eu-recht/richtlinien/qualifikationsrichtlinie-201195eu/ asyl.net: „Recht“ / „Gesetzestexte“ / „EU-Recht“].&lt;/ref&gt; konkretisiert. Zudem wurde durch die Qualifikations-RL die Schutzform des subsidiären Schutzes geschaffen. Diese wird zusammen mit dem Flüchtlingsschutz als internationaler Schutz bezeichnet. Die Einbettung im Mehrebenensystem wird insbesondere bei der Auslegung wertungsoffener Begriffe, wie etwa bei den Verfolgungsgründen relevant. &lt;ref&gt; Stichwort: völkerrechtsfreundliche Auslegung, gem. Art. 59 II, 25 GG; vgl. auch BVerfG, Beschl. v. 14.10.2004, Az.: 2 BvR 1481/04 zur Berücksichtigung der Entscheidungen des EGMR (Rs. Görgülü), [https://www.asyl.net/rsdb/M5709/ asyl.net: M5709.] &lt;/ref&gt; |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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=== II. Vorliegen der Voraussetzungen der Ermächtigungsgrundlage ===
Gemäß § 3 IV AsylG wird einer ausländischen Person, die Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist, die Flüchtlingseigenschaft zuerkannt, sofern keine Ausschlussgründe vorliegen. 

Flüchtling gemäß § 3 I AsylG ist eine Person, die sich aus begründeter Furcht vor Verfolgung aufgrund eines Verfolgungsgrundes gemäß § 3b I AsylG außerhalb ihres Herkunftslandes – dessen Staatsangehörigkeit sie besitzt – befindet, wenn sie den Schutz ihres Herkunftslandes nicht in Anspruch nehmen kann oder wegen der Verfolgungsfurcht nicht in Anspruch nehmen will.{{Klappbox |'''Weiterführende Hinweise'''|Das BAMF und die Verwaltungsgerichte nutzen verschiedene Erkenntnisquellen, um die für einen Asylantrag maßgeblichen Anhaltspunkte zu prüfen. Nach Art. 4 III lit. a Qualifikations-RL sind sie verpflichtet Informationen zur Lage im Herkunftsland zu berücksichtigen. 

Die Verwaltungsgerichte veröffentlichen eine Liste ihrer Erkenntnismittel.&lt;ref&gt; Vgl. etwa [https://www.berlin.de/gerichte/verwaltungsgericht/service/erkenntnismittellisten/irak/ VG Berlin zum Irak.]&lt;/ref&gt; Dabei wird den Lageberichten des Auswärtigen Amts (AA) durch BAMF und Verwaltungsgerichte eine besondere Bedeutung beigemessen. Dies wird von Fachleuten kritisiert, da in den AA-Berichten nicht immer die Qualitätsstandards zur Beschaffung von Herkunftslandinformationen eingehalten werden.&lt;ref&gt;Zu den Standards siehe Leitfaden des Österreichischen Roten Kreuzes und ACCORD, [https://www.asyl.net/view/recherche-von-herkunftslaenderinformationen/ Recherche von Herkunftsländerinformationen], Stand: Dezember 2014.&lt;/ref&gt; Die AA-Berichte sind zwar nur für den Dienstgebrauch, aber Asylantragstellende in einem laufenden Verfahren können die Lageberichte zum Herkunftsland bei der Informationsvermittlungsstelle des BAMF beantragen. Es muss ein Dokument aus einem laufenden Verfahren oder ein Antrag ans BAMF oder die Ausländerbehörde beigelegt werden. Maßgeblich für die Recherche von Herkunftslandinformationen ist die Datenbank des [https://www.ecoi.net/de/ European Country of Origin Information Network] von ACCORD, einer Abteilung des Österreichischen Roten Kreuzes. Diese enthält Informationen von über 160 Quellen, die regelmäßig aktualisiert werden.

Zum vorliegenden Fall können folgende Quellen beachtlich sein:

- UNHCR: [https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf Schutzerwägungen Irak]

- ILGA World: [https://ilga.org/state-sponsored-homophobia-report State-Sponsored Homophobia Report]

- Amnesty International: [https://www.amnesty.de/informieren/amnesty-report Menschenrechtsberichte]

- US Department of State: [https://www.state.gov/reports-bureau-of-democracy-human-rights-and-labor/country-reports-on-human-rights-practices/ Menschenrechtsberichte]|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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==== 1. Verfolgungsgrund ====
{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Zur Prüfung der Flüchtlingseigenschaft ist es hilfreich ein Prüfungsschema zugrunde zu legen. Dabei weichen in verschiedenen Quellen zu findende Prüfungsreihenfolgen im Aufbau zum Teil voneinander ab. &lt;ref&gt;  Siehe etwa das Prüfungsschema in [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3. Fall Nr. 14 Ahmadiyya in Pakistan]. &lt;/ref&gt;

In der Praxis wird die Prüfung von Verfolgungsgrund, Verfolgungshandlung, Verfolgungsprognose und Nexus insbesondere bei Gruppenverfolgungen oft zusammen verhandelt. Aus didaktischen Gründen wird in diesem Lösungsvorschlag zunächst der Verfolgungsgrund separat geprüft. |verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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In Betracht kommt vorliegend insbesondere der Verfolgungsgrund der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe, gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Hier ließe sich auch über weitere Verfolgungsgründe nachdenken. In Betracht kommt zusätzlich eine religiöse &lt;ref&gt; UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 42.&lt;/ref&gt; oder politisch motivierte Verfolgung &lt;ref&gt;Sußner, Flucht-Geschlecht-Sexualität. Eine menschenrechtsbasierte Perspektive auf Grundversorgung und Asylstatus, 2020, S. 303.&lt;/ref&gt;. Die als abweichend markierte sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität kann als Bruch mit der religiösen oder politischen Norm verstanden werden.&lt;ref&gt; [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 25; ausführlich: Sußner, 2020, S. 170 ff.&lt;/ref&gt; Die Falllösung orientiert sich daran wie Verwaltungsgerichte an ähnliche Fallgestaltungen herangehen und ist daher auf die Probleme der Verfolgung aufgrund der Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe zugeschnitten.}}Eine bestimmte soziale Gruppe liegt laut §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;AsylG vor, wenn die Mitglieder dieser Gruppe angeborene Merkmale, einen unveränderbaren gemeinsamen Hintergrund gemein haben oder Merkmale teilen, die so bedeutsam für die Identität oder das Gewissen sind, dass die betreffende Person nicht gezwungen werden darf, auf sie zu verzichten, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG. Nach dem Wortlaut der Norm („'''und'''“) muss die Gruppe zudem in dem betreffenden Land eine deutlich abgegrenzte Identität haben und von der sie umgebenden Gesellschaft als andersartig betrachtet werden, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG.{{Klappbox |'''Hinweis zur Fallprüfung'''|Nach dem Wortlaut von § 3b I Nr. 4 AsylG (und auch Art. 10 lit. d S. 1 Qualifikations-RL) müssen die Voraussetzungen des angeborenen Merkmals „und“ der abgrenzbaren Identität kumulativ erfüllt sein. Demgegenüber setzt der UNHCR voraus, dass ein gemeinsames Merkmal vorliegt oder die Gruppe von von der Gesellschaft als eine Gruppe wahrgenommen wird. Siehe hierzu weitergehender Fall Nr. 16 „[https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_H%C3%A4usliche_Gewalt_L%C3%B6sung Häusliche Gewalt]“.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
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|tc2=black}}Eine Verfolgung wegen der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe kann auch vorliegen, wenn sie an die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität anknüpft, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG.&lt;ref&gt;Grundlegend dazu, EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z  gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260]; ausführlich dazu Markard, EuGH zur sexuellen Orientierung als Fluchtgrund, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2013/AM2013-12_beitragmarkard.pdf Asylmagazin 12/2013].&lt;/ref&gt; 

Aufgrund der Vielschichtigkeit, Fluidität und Interdependenz von As geschlechtlicher Identität (nicht-binär/ transgeschlechtlich)&lt;ref&gt;In der deutschen Rechtsprechung wird Transsexualität teilweise fälschlich als „sexuelle Orientierung“ eingeordnet, vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.18, RO 13 K 17.32861, Rn. 27.&lt;/ref&gt; und sexueller Identität (lesbisch bei rechtlicher Geschlechtszuordnung als Mann) kommen verschiedene Gruppenzugehörigkeiten in Betracht. Auch eine erhöhte Vulnerabilität aufgrund des Zusammenspiels verschiedener Gruppenzugehörigkeiten kommt in Betracht.&lt;ref&gt;Sußner, 2020, S. 173 ff.&lt;/ref&gt;{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Yogyakarta-Prinzipien zur Anwendung der Menschenrechte in Bezug auf die sexuelle Orientierung und geschlechtliche Identität (sexual identity, gender orientation, SOGI).&lt;ref&gt; Yogyakarta Principles in den sechs Sprachen der Vereinten Nationen: http://yogyakartaprinciples.org/; deutsche Übersetzung: https://www.lsvd.de/de/ct/3359-yogyakarta-prinzipien.&lt;/ref&gt; 
 
Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert Geschlechtsidentität wie folgt: “Gender identity is understood to refer to each person’s deeply felt internal and individual experience of gender, which may or may not correspond with the sex assigned at birth, including the personal sense of the body (which may involve, if freely chosen, modification of bodily appearance or function by medical, surgical or other means) and other expressions of gender, including dress, speech and mannerisms.”

Die Einleitung der Yogyakarta Prinzipien definiert sexuelle Orientierung wie folgt: “Sexual orientation is understood to refer to each person’s capacity for profound emotional, affectional and sexual attraction to, and intimate and sexual relations with, individuals of a different gender or the same gender or more than one gender.”}}

==== a) Unveräußerliches Merkmal, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp; a&amp;nbsp;AsylG ====
Die Geschlechtsidentität von A könnte ein unveräußerliches Merkmal sein.

As Personenstandseintrag ist männlich. Dahingegen ordnet A das eigene Geschlecht als nicht-binär ein, und fühlt sich jedenfalls eher als Frau, denn als Mann. Nach Außen drückt A die geschlechtliche Identität durch lange Haare, glattrasierte Wangen, Make-up, androgyne Kleidung und eine angepasste Stimmlage aus. Jedenfalls entspricht A nicht den gesellschaftlichen Konformitätsvorstellungen an Geschlecht und transzendiert die Binarität der traditionellen Geschlechterordnung. Die Argumentation des BAMF, dass A das eigene Auftreten leicht verändern könnte, lässt sich so verstehen, dass davon ausgegangen wird, dass in der Person von A kein solches unveräußerliches Merkmal vorliegt. As Auftreten ist jedoch unmittelbarer Ausdruck der eigenen Geschlechtsidentität. Die geschlechtliche Identität jenseits der binären Zuordnung als Mann oder Frau ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten, § 3b I Nr. 4 Hs. 2 AsylG. &lt;ref&gt;Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 41&lt;/ref&gt; Ein unveräußerliches Merkmal liegt daher im Fall von A vor.

As sexuelle Orientierung könnte ebenfalls ein geschütztes Merkmal sein. A definiert die eigene sexuelle Orientierung als homosexuell. Nach Maßgabe des Personenstandsregisters müssten As Beziehungen zu Frauen als heterosexuell definiert werden. Die sexuelle Orientierung ist als höchstpersönlicher Lebensbereich geschützt.&lt;ref&gt;BVerfG, Beschl. v. 22.01.2020, Az.: 2 BvR 1807/19, [https://www.asyl.net/rsdb/M28078 asyl.net: M28078]; vgl. Anmerkung hierzu Braun/Dörr/Träbert, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Asylmagazin 3/2020], S. 81 ff.&lt;/ref&gt; Die Definition des eigenen Begehrens obliegt daher jeder Person selbst. &lt;ref&gt;Vgl. Berg/ Millbank, in: Spijkerboer, Fleeing Homophobia (2013), S.122 f.&lt;/ref&gt; Eine homosexuelle Orientierung ist jedenfalls so fundamental für die Identität, dass eine Person nicht gezwungen werden kann, auf sie zu verzichten. &lt;ref&gt;Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21-7-8_themenschwerpunkt_lgbti_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt;

Sowohl As geschlechtliche Identität als auch As sexuelle Orientierung sind damit geschützte Merkmale gemäß §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit&amp;nbsp;&amp;nbsp;a&amp;nbsp;AsylG.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=In der Praxis stellt die Glaubhaftigkeitsprüfung gerade in SOGI bezogenen Fällen die größte Herausforderung dar.&lt;ref&gt; Vgl. Prinzip 3 der Yogyakarta Prinzipien; Rehaag/ Collin, Canadian Journal of Human Rights 9:1 (2020), S. 3 ff. &lt;/ref&gt; Eine länderbezogene [https://www.lsvd.de/de/recht/rechtsprechung/asylrecht Übersicht aktueller Entscheidungen] stellt der LSVD zusammen.

So hat bspw. das VG Magdeburg eine BAMF-Entscheidung korrigiert, in der einem Mann aus Saudi-Arabien die Homosexualität wegen zu klischeehafter Darstellung nicht geglaubt worden war und festgestellt, dass die Flüchtlingseigenschaft vorliegt.&lt;ref&gt;VG Magdeburg, Urteil vom 10.03.2020 - 9 A 294/18 &lt;/ref&gt;  

Der EuGH hat in seiner Rechtsprechung Vorgaben zur Prüfung der sexuellen Orientierung als Verfolgungsgrund gemacht. So dürfen Beurteilung nicht anhand von Befragungen erfolgen, die allein auf stereotypen Vorstellungen von homosexuellen Personen beruhen. Befragungen zu sexuellen Praktiken, Beweise oder „Tests“ zum Nachweis der sexuellen Orientierung sind unzulässig. Zudem ist es unzulässig, allein deswegen von einer mangelnden Glaubhaftmachung ausgehen, weil eine Person die behauptete sexuelle Ausrichtung nicht bei der ersten Gelegenheit zur Darlegung der Verfolgungsgründe geltend gemacht hat. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 02.12.2014 - C-148/13, C-149/13, C-150/13 - A,B,C gegen Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/M22497 asyl.net: M22497].&lt;/ref&gt;  Psychologische Tests und Gutachten zur Feststellung von Homosexualität wiederum sind laut EuGH unter bestimmten Bedingungen zulässig. &lt;ref&gt;EuGH, Urteil vom 25.01.2018 - C-473/16 F gegen Ungarn, [https://www.asyl.net/rsdb/M25902 asyl.net: M25902].&lt;/ref&gt;

Das Difference, Stigma, Shame, and Harm (DSSH)-Modell schlägt vor, dass sich die Befragung darauf konzentrieren sollte, die Wahrnehmung der Asylsuchenden in Bezug auf die Differenz, die Stigmatisierung, die Scham und den Schaden, den sie erfahren haben, zu eruieren.&lt;ref&gt;Vgl. Dawson/Gerber, Assessing the Refugee Claims of LGBTI People: Is the DSSH Model Useful for Determining Claims by Women for Asylum Based on Sexual Orientation?, in International Journal of Refugee Law, 29(2), 2017, S. 292–322.&lt;/ref&gt;}}'''b)''' '''Abgegrenzte Gruppe, §&amp;nbsp;3b&amp;nbsp;I&amp;nbsp;Nr.&amp;nbsp;4&amp;nbsp;Hs.&amp;nbsp;1&amp;nbsp;lit.&amp;nbsp;b&amp;nbsp;AsylG'''

A müsste aufgrund der unveräußerlichen Merkmale als Teil einer von der umgebenden irakischen Gesellschaft deutlich abgegrenzten Gruppe gesehen werden. Die Verfolgung von A, bzw. As Schutzlosigkeit müsste gerade aus der gesellschaftlichen Betrachtung als andersartig resultieren.&lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt;

Die Bildung der sozialen Gruppe ist abhängig von der Gesellschaft des Herkunftsstaates. Fragen der sexuellen Orientierung oder der Geschlechtsidentität werden in der irakischen Gesellschaft weitgehend tabuisiert. Abweichungen von tradierten Vorstellungen werden von großen Teilen der Bevölkerung als unvereinbar mit Religion und Kultur abgelehnt.&lt;ref&gt;ACCORD, [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Anfragebeantwortung zum Irak: Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

A weicht von tradierten Geschlechternormen und heteronormativer sexueller Orientierung ab. Es ließe sich einwenden, dass A aus rein personenstandsrechtlicher Sicht heterosexuelle Beziehungen führe. Jedoch dürfte diese Zuschreibung aufgrund der erkennbar von der gesellschaftlichen Norm abweichenden geschlechtlichen Identität As nicht aufrecht zu erhalten sein. Dabei könnte es Kontexte geben, in denen A allein auf der Straße als schwul oder jedenfalls nicht als heterosexueller Mann gelesen würde und Kontexte, in denen A in Begleitung einer Partnerin als lesbisch gelesen würde. Diese Zuschreibung von geschützten Merkmalen ist asylrechtlich relevant, § 3b II AsylG.

Die Verfolgung und besondere Schutzlosigkeit basieren also auf As wahrnehmbarer Abweichung von geschlechtlichen und sexuellen Normen. Daher liegt auch die Zugehörigkeit zu einer gesellschaftlich abgegrenzten Gruppe vor.

A gehört damit einer sozialen Gruppe im Sinne des §'''&amp;nbsp;'''3b I Nr. 4 AsylG an.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Verfolgungsgründe bei Queerness

Die flüchtlingsrechtliche Prüfung von Queerness als Abweichung von gesellschaftlichen Erwartungen an Geschlecht – sowohl in Bezug auf geschlechtliche Identität als auch sexuelle Orientierung – wird oft anhand von stereotypen Bildern und Erwartungen durchgeführt. Um den Schutz von Personen, die in Bezug auf SOGI verfolgt werden, sicherzustellen, bedarf es einer menschenrechtsbasierten Auslegung des Flüchtlingsrechts.&lt;ref&gt; Andrade/ Danisi/ Dustin/ Ferreira/ Held, [https://www.sogica.org/wp-content/uploads/2020/07/The-SOGICA-surveys-report_1-July-2020-1.pdf SOGICA Report], Queering Asylum in Europe: A Survey Report, 2020. Markard, Kriegsflüchtlinge, 2012, S. 142 ff.&lt;/ref&gt;

So ist es zum Beispiel wichtig auch nichtgefestigte Identitäten (pre-transition etwa) als unveränderliches Merkmal anzuerkennen, da sie unverzichtbar für die Identität sind.&lt;ref&gt; Vgl. UNHCR, [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen], 2012, Rn. 47.&lt;/ref&gt;  Zudem stellen Art. 10 II Qualifikations-RL und § 3b II AsylG klar, dass auch zugeschriebene Homosexualität ein Verfolgungsgrund sein kann. Für eine solche Auslegung enthalten u.a. die [https://www.refworld.org/docid/50348afc2.html UNHCR Richtlinien zum Internationalen Schutz Nr. 9 zur Verfolgung von LGBTI-Personen] und die [http://yogyakartaprinciples.org/ Yogyakarta Prinzipien] Interpretationsempfehlungen}}


'''2. Verfolgungshandlung'''

Es müsste eine Verfolgungshandlung gemäß §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG vorliegen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=Als „Verfolgung“ iSd. Genfer Flüchtlingskonvention wird jede dauerhafte oder systematische Verletzung grundlegender Menschenrechte angesehen. Grundlegende Menschenrechte, von denen selbst im Notstandsfall gem. Art. 15 EMRK nicht abgewichen werden darf, sind das Recht auf Leben, das Verbot der Sklaverei und das strafrechtliche Gesetzlichkeitsprinzip.  

Die Verfolgungshandlung muss eine bestimmte Intensitätsschwelle übersteigen um als Menschenrechtsverletzung zu gelten, § 3a I AsylG:

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Art, Nr. 1 Var. 1

- Schwerwiegende Verletzung aufgrund ihrer Wiederholung, Nr. 1 Var. 2

- Kumulierung verschiedener Maßnahmen, einschließlich einer Verletzung der Menschenrechte, die so gravierend ist, dass eine Person davon in ähnlicher Weise, wie in Nummer 1 beschrieben, betroffen ist, Nr. 2.

Eine Verfolgungshandlung setzt nach dem BVerwG einen gezielten aktiven Eingriff in ein geschütztes Rechtsgut voraus.&lt;ref&gt;BVerwG, U. v. 7.11.2009, Az.: 10 C.52.07, juris; Bergmann, in Bergmann/Dienelt, Ausländerrecht, 13. Aufl. 2020, AsylG §3a Rn. 4.&lt;/ref&gt;  Faktische Bedrohungen oder bürgerkriegsähnliche Zustände genügen nach dem BVerwG dafür nicht. Bei der Bewertung einer Handlung als Verfolgung sind gemäß Art. 4 III lit. c Qualifikations-RL auch die individuelle Lage sowie die persönlichen Umstände der antragstellenden Person miteinzubeziehen.}}


Als Fluchtgrund trägt A den brutalen Mord eines Bekannten aufgrund dessen angeblicher Homosexualität vor. Wegen dieses Ereignisses hat A Angst, wegen der eigenen nicht-binären Geschlechtsidentität und Homosexualität „als nächstes dran zu sein“.

A gibt an, als Kind für „zu feminines Verhalten“ von der eigenen Familie geschlagen worden zu sein. Im Erwachsenenalter erfährt A keine derartige körperliche Gewalt durch die eigene Familie mehr.

Fraglich ist, ob diese Ereignisse als flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgungshandlungen eingestuft werden können.

Die von A geschilderten Ohrfeigen reichen nicht aus, um als individuelle Verfolgungshandlungen eine Verletzungshandlung im Sinne des § 3a AsylG zu begründen. Zudem fehlt es diesbezüglich an dem erforderlichen unmittelbaren Zusammenhang zwischen den Umständen, die die Furcht vor Verfolgung begründen und der tatsächlichen Flucht. A hat angegeben der Gewalt durch die eigene Familie im Erwachsenenalter nicht mehr ausgesetzt zu sein.

Laut EuGH spricht das Bestehen strafrechtlicher Bestimmungen, die spezifisch homosexuelle Personen betreffen, dafür, dass diese Personen als eine bestimmte soziale Gruppe anzusehen sind; wenn aber diese Rechtsnormen, die Homosexualität oder Abweichungen von cis-Geschlechtlichkeit kriminalisieren oder anderweitig sanktionieren, unangewendet bleiben, stellen sie laut Gerichtshof keine Verfolgungshandlung i.S.d. Art. 9 I Qualifikations-RL dar. &lt;ref&gt;EuGH, Urt. v. 7.11.2013, Az.: C-199/12, C-200/12, C-201/12 X,Y,Z gg. Niederlande, [https://www.asyl.net/rsdb/m21260 asyl.net: M21260].&lt;/ref&gt;

Im Irak wird Homosexualität oder Transgeschlechtlichkeit nicht direkt kriminalisiert.&lt;ref&gt;Vgl. [https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34 unter Bezug auf den Lagebericht des AA von Dezember 2018.&lt;/ref&gt; Jedoch nutzen Behörden andere Straftatbestände wie Erregung öffentlichen Ärgernis oder Prostitution überproportional häufig, um Personen zu verhaften, die gleichgeschlechtliche sexuelle Beziehungen eingehen; eine einheitliche Verfolgungspraxis ist jedoch nicht auszumachen.&lt;ref&gt;EUAA, Query response on Iraq: Situation of LGBTI persons, 13.10.2021, [https://www.ecoi.net/en/document/2062153.html ecoi.net: ID 2062153];

[https://www.rechtsprechung.niedersachsen.de/jportal/portal/page/bsndprod.psml?doc.id=MWRE190004082&amp;st=null&amp;showdoccase=1 VG Hannover, Urt. v. 18.11.2019, Az.: 6 A 4557/17], Rn. 34.&lt;/ref&gt;

Aufgrund dieser Berichtslage ist davon auszugehen, dass A von staatlichen Behörden mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit diskriminierende Maßnahmen drohen. Das Regelbeispiel von Verfolgungshandlungen des § 3a II Nr. 2 AsylG liegt also vor.

A drohen zudem mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit gewaltsame Übergriffe durch Personen außerhalb der Familie, also durch nichtstaatliche Akteure.

Die Berichte über regelmäßige Gewalt gegen LGBTIQ-Personen zeigen, dass für diese immer die Gefahr im Raum steht, angegriffen zu werden ohne, dass sie auf den Schutz des Staates vertrauen können. &lt;ref&gt;Vgl. VG Regensburg, Urt. v. 12.10.2018, Az.: RO 13 K 17.32861 Rn. 27.&lt;/ref&gt; Laut Bericht des UN-Sonderberichterstatters wird im Irak in traditionellen und sozialen Medien zur Gewalt gegen Männer und Jungen auf der Basis ihrer tatsächlichen oder der ihnen zugeschriebenen sexuellen Orientierung oder geschlechtlichen Identität aufgerufen. So berichten lokale Quellen von Milizen, die „Tötungslisten“ verfasst und als Angehörige sexueller Minderheiten wahrgenommene Personen hingerichtet hätten. &lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak: [https://www.ecoi.net/de/dokument/2064702.html Lage von LGBTIQ+-Personen], 1.12.2021; EASO, Country of Origin Information Report, Iraq: Targeting of Individuals, März 2019, S. 78; BFA, Länderinformationsblatt Irak, S. 91.&lt;/ref&gt;

Auf dieser Grundlage ist davon auszugehen, dass die im Irak bestehende soziale Ächtung von homosexuellen, transgeschlechtlichen und allen nicht den traditionellen Geschlechterrollen entsprechenden Personen die asylrechtliche Erheblichkeitsschwelle übersteigt.&lt;ref&gt;Vgl. VG Berlin, Urt. v. 2.11.2021, Az.: 29 K 285.17 A, juris, Rn. 22 f.&lt;/ref&gt;

Dabei decken sich die Herkunftslandinformationen mit den Angaben von A, wonach eine Person aus dem Bekanntenkreis aufgrund ihrer Homosexualität brutal ermordet wurde.

Aufgrund dessen ist hier davon auszugehen, dass auch das Regelbeispiel des § 3a II Nr. 1 AsylG, die Anwendung physischer oder psychischer Gewalt, gegeben ist.
A droht aufgrund dieser Erkenntnisse mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit flüchtlingsschutzrechtlich relevante Verfolgung.{{Klappbox |'''Hinweise zur Fallprüfung'''|In der Rechtsprechung wird in solchen Fällen, in denen die Wahrscheinlichkeit einer individuellen Verfolgung abgelehnt wird, auf das Konzept der „Gruppenverfolgung“ abgestellt.&lt;ref&gt;Siehe hierzu ausführlich [https://de.wikibooks.org/wiki/OpenRewi/_Fallbuch_zum_Asylrecht_mit_aufenthaltsrechtlichen_Bez%C3%BCgen/_Ahmadiyya_in_Pakistan_L%C3%B6sung#cite_ref-3 Fall Nr. 14 „Ahmadyyia in Pakistan“]. &lt;/ref&gt;  &quot;Gruppenverfolgung&quot; ist ein Begriff, den das BVerwG entwickelt hat. Danach muss eine asylsuchende Person nicht notwendigerweise ein individuelles Verfolgungsschicksal darlegen, sondern kann sich darauf berufen, dass sie einer Gruppe angehört, die im Herkunftsland aus asylerheblichen Gründen verfolgt wird.

Die Gefahr eigener Verfolgung, kann sich nicht nur aus gegen eine Person selbst gerichteten Maßnahmen ergeben, „sondern auch aus gegen Dritte gerichteten Maßnahmen, wenn diese Dritten wegen eines asylerheblichen Merkmals verfolgt werden, das [die Person] mit ihnen teilt, und wenn [sie] sich mit ihnen in einer nach Ort, Zeit und Wiederholungsträchtigkeit vergleichbaren Lage befindet (Gefahr der Gruppenverfolgung)“. &lt;ref&gt; BVerwG Urt. v. 21.4.2009 – 10 C 11/08, NVWZ 2009, 1237; vgl auch BVerfGE 54, 341 (358 f.); 83, 216 (231 f.) &lt;/ref&gt;
 
Bei einer Gruppenverfolgung sehen die Verfolgenden von individuellen Aspekten ab. Vielmehr gilt ihre Verfolgung der gesamten Gruppe. Die einzelnen Mitglieder der Gruppe sind in solchen Fällen unabhängig von ihrem eigenen Verhalten von Verfolgung bedroht, sodass es nur vom Zufall abhängt wer verfolgt wird. Die Feststellung einer solchen gruppengerichteten Verfolgung setzt einen staatlichen Verfolgungsplan oder eine bestimmte Verfolgungsdichte voraus. Diese rechtfertigt die Regelvermutung eigener Verfolgung der einzelnen Gruppenmitglieder.&lt;ref&gt; Huber/Mantel, in AufenthG/Hruschka (2021), AsylG § 3b Rn. 26; Tiedemann, Flüchtlingsrecht, 2017, S. 46 f.; VG Hamburg Urt. v. 24.9.2018 – 8 A 7823/16, Rn. 27 ff [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;


'''Abgrenzung: Gruppenbezogener Verfolgungsgrund und Beweiserleichterung'''

Der Verfolgungsgrund „Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe“ ist von dem prozessualen Konstrukt „Gruppenverfolgung“, der eine Beweiserleichterung bewirkt, abzugrenzen. Eine soziale Gruppe kann unabhängig davon vorliegen, ob alle Mitglieder der Gruppe verfolgt werden; die Verfolgung ist also gerade kein die Gruppe konstituierendes Merkmal.

Dahingegen ergibt sich die Gruppenverfolgung gerade erst aus der realen Gefahr für eine Vielzahl der Gruppenmitglieder. Bei entsprechender Verfolgungsdichte wird eine widerlegliche Vermutung der Gefahr, verfolgt zu werden, für jede einzelne Person der Gruppe abgeleitet.&lt;ref&gt;Vgl. VG Hamburg, Urt. v. 24.9.2018, Az.: 8 A 7823/16, [https://www.asyl.net/rsdb/M27319 asyl.net: M27319]; VG Göttingen, Urt. v. 8.11.2018, Az.: 2 A 292/17, Rn. 23.&lt;/ref&gt;  Für eine solche '''erhöhte Verfolgungsdichte''' müssen die Übergriffe so zahlreich, schwer und willkürlich wie eine systematische Verfolgung sein. In einer wertenden Gesamtbetrachtung muss sich für jedes einzelne Gruppenmitglied nicht nur die Möglichkeit, sondern die beachtliche Gefahr eigener Betroffenheit ergeben.&lt;ref&gt; BVerwG, Urt. v. 21.4.2009, Az.: 10 C 11/08, [https://www.asyl.net/rsdb/M15716 asyl.net: M15716]; Dietz, Ausländer- und Asylrecht, §9 Der vierteilige Asylantrag i.w.S. nach §13 AsylG Rn. 365. &lt;/ref&gt;

'''Hinweis:''' in der Rechtsprechung wir der Begriff „Gruppenverfolgung“ nicht konsequent nur für die Bezeichnung dieses Instruments der Beweiserleichterung genutzt. Der Begriff wird uneinheitlich verwendet und häufig auch bei der Prüfung genutzt, ob die Zugehörigkeit zu einer sozialen Gruppe vorliegt.|verborgen=true|ta1=left|ta2=left
|style=background: rgb(0,43,94);
background: linear-gradient(90deg, rgba(0,43,94,1) 0%, rgba(47,96,152,1) 8%, rgba(94,149,210,1) 68%)
|bg=black
|bg2=white
|tc1=white
|tc2=black}}&lt;br /&gt;'''3. Kausalität zwischen Verfolgungsgründen und Verfolgungshandlung oder fehlendem Schutz, §&amp;nbsp;3a&amp;nbsp;III&amp;nbsp;AsylG'''
Zusätzlich müsste zwischen der in §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''AsylG normierten Verfolgungshandlung oder dem fehlenden Schutz und dem in §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''AsylG geregelten Verfolgungsgrund eine kausale Verknüpfung bestehen (sogenannter Nexus, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3a'''&amp;nbsp;'''III'''&amp;nbsp;'''AsylG). Die Verknüpfung ist danach zu beurteilen, worauf die Maßnahme oder die Schutzverweigerung objektiv erkennbar gerichtet ist und nicht nach den subjektiven Gründen oder Motiven, die die Verfolgenden oder Schutzakteure dabei leiten. Unerheblich ist, ob die betroffene Person tatsächlich die ausschlaggebenden Merkmale aufweist, sofern ihr diese Merkmale von zugeschrieben werden, vgl. §'''&amp;nbsp;'''3b'''&amp;nbsp;'''II'''&amp;nbsp;'''AsylG.

Die Verfolgungshandlungen drohen A hier gerade wegen der Wahrnehmung von A als Mitglied der LGBTIQ-Gemeinschaft.

Die erforderliche Verknüpfung im Sinne des § 3a III AsylG liegt somit vor.

'''4. Begründete Furcht vor Verfolgung'''&lt;br /&gt;Gemäß §'''&amp;nbsp;'''3'''&amp;nbsp;'''I'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''AsylG, sowie den zugrundeliegenden Regelungen in Art.'''&amp;nbsp;'''1'''&amp;nbsp;'''A'''&amp;nbsp;'''Nr.'''&amp;nbsp;'''2'''&amp;nbsp;'''GFK, Art.'''&amp;nbsp;'''9'''&amp;nbsp;'''Qualifikations-RL, kommt es auf die Furcht vor Verfolgung an. Daher sind nicht nur erlittene, sondern auch mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit (real risk) drohende Menschenrechtsverletzungen zu berücksichtigen.&lt;ref&gt;Kluth, in: BeckOK AuslR, 30. Ed. 1.7.2021, AsylG § 3a Rn. 12; vgl. OVG NRW, Urt. v. 29.10.2020, Az.: 9 A 1980/17.A, juris Rn. 32.&lt;/ref&gt;

Es kommt darauf an, ob bei einer Gesamtschau aller festgestellten Umstände und ihrer Bedeutung bei einer besonnenen, vernünftig denkenden Person in der Lage der Betroffenen Furcht vor Verfolgung hervorgerufen werden könnte.&lt;ref&gt;Vgl. BVerwG, Urt. v. 20.2.2013, Az.: 10 C 23/12, juris Rn. 32; Beschl. v. 7.2.2008, Az.: 10 C 33/07, juris Rn. 37.&lt;/ref&gt;

Aufgrund der oben dargestellten Berichtslage, ist davon auszugehen, dass A bei potenzieller Rückkehr mit beachtlicher Wahrscheinlichkeit Verfolgungshandlungen ausgesetzt sein wird. Die Verfolgungsprognose ist daher zu bejahen.{{Vorlage:OpenRewi/Kritik|Inhalt=„Diskretion“

2013 urteilte der EuGH: „Bei der Prüfung eines Antrags auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft können die zuständigen Behörden vernünftigerweise nicht erwarten, dass der Asylbewerber seine Homosexualität in seinem Herkunftsland geheim hält oder Zurückhaltung beim Ausleben seiner sexuellen Ausrichtung übt, um die Gefahr einer Verfolgung zu vermeiden.“&lt;ref&gt; EuGH, X, Y, Z v Minister voor Immigratie en Asiel, C‑199/12 - C‑201/12, 7. November 2013; vgl. auch zur KLarstellung der Übersetzung [https://www.asyl.net/view/eugh-klarstellung-prognose-zu-moeglicher-diskretion-beim-ausleben-der-sexuellen-orientierung-im-herkunftsstaat-ist-unzulaessig asyl.net Meldung vom 21.10.2021] &lt;/ref&gt;

Zudem darf die „Diskretion“ bezüglich der sexuellen Orientierung weder unterstellt noch prognostisch vermutet werden.&lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;   Ausgangspunkt für die Prüfung der Verfolgungswahrscheinlichkeit muss also grundsätzlich eine offen gelebte sexuelle Orientierung sein.&lt;ref&gt; UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f.; ausführlich hierzu siehe Dörr/Träbert/Braun, [https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2021/AM21_7-8_inhalt_web.pdf Asylmagazin 7-8/2021], S. 262.&lt;/ref&gt; Das diskrete Ausleben der sexuellen Orientierung schützt zudem nicht sicher vor Verfolgung. Denn bereits das Aufkommen eines entsprechenden Verdachts kann zu Verfolgungshandlungen führen. &lt;ref&gt;VG Braunschweig, Urt. v. 9.8.2021, Az.: 2 A 77/18, asyl.net: M30055.&lt;/ref&gt;}}

'''5. Verfolgungsakteur'''

Die Verfolgung kann von staatlichen oder von staatsähnlichen Stellen ausgehen (§'''&amp;nbsp;'''3c'''&amp;nbsp;'''AsylG) oder von nichtstaatlichen Akteur*innen (§'''&amp;nbsp;'''3d'''&amp;nbsp;'''AsylG), sofern weder die vorgenannten Akteur*innen noch internationale Organisationen willens oder in der Lage sind Schutz vor Verfolgung zu bieten.

Der Schutz vor Verfolgung muss nach § 3d II AsylG wirksam und darf nicht vorübergehend sein. Generell ist ein solcher Schutz gewährleistet, wenn die in Nr. 1 und Nr. 2 genannten Akteur*innen geeignete Schritte einleiten, um die Verfolgung zu verhindern, beispielsweise durch wirksame Rechtsvorschriften zur Ermittlung, Strafverfolgung und Ahndung von Handlungen, die eine Verfolgung darstellen, und wenn die betroffene Person Zugang zu diesem Schutz hat.

Übereinstimmende Berichte des Auswärtigen Amtes, US-amerikanischen Außenministeriums und lokalen Menschenrechtsorganisationen ergeben, dass staatliche Stellen trotz wiederholter Drohungen und Gewalt gegen LGBTI-Personen keine rechtliche Verfolgung sicherstellen.&lt;ref&gt;ACCORD, Anfragebeantwortung zum Irak v. 11.2.2019: Lage von Intersex- und Transgender-Personen inklusive in der Autonomen Region Kurdistan; USDOS, Country Report on Human Rights Practices 2017 – Iraq, 20.4.2018, Section 6; IraQueer, 2018, S. 10; VG Saarland, Urt. v. 12.11.2020, Az.: 6 K 45/19, Rn. 36, juris.&lt;/ref&gt;

'''6. Keine interne Schutzalternative'''

Die Flüchtlingseigenschaft wird nicht zuerkannt, wenn eine interne Schutzmöglichkeit besteht. Das setzt voraus, dass die betroffene Person in einem Teil des Herkunftslandes keine begründete Furcht vor Verfolgung oder Zugang zu Schutz vor Verfolgung nach §&amp;nbsp;3d&amp;nbsp;AsylG hat und sicher und legal in diesen Landesteil reisen kann, dort aufgenommen wird und vernünftigerweise eine dortige Niederlassung erwartet werden kann (§&amp;nbsp;3e&amp;nbsp;AsylG).&lt;ref&gt;VG Stuttgart Urt. v. 9.6.2021 – 8 K 4016.18, Rn. 16.&lt;/ref&gt;

In Bagdad werden im Landesvergleich die meisten homophoben Gewalttaten dokumentiert. Dies liegt jedoch nicht unbedingt daran, dass es in anderen Landesteilen sicherer ist, sondern daran, dass viele Menschenrechtsorganisationen dort ansässig sind und die Menschenrechtsverletzungen leichter dokumentieren können. Auch in andern Landesteilen gibt es keine sicheren Orte für Personen aus dem LGBTI Spektrum.&lt;ref&gt;[https://www.unhcr.org/dach/wp-content/uploads/sites/27/2019/09/UNHCR_Schutzerw%C3%A4gungen_Irak_Mai_2019-1.pdf UNHCR-Erwägungen zum Schutzbedarf von Personen, die aus dem Irak fliehen, 2019, 120 f..]&lt;/ref&gt;

Damit gibt es keine interne Schutzalternative. 

==== 7. Kein Ausschluss ====
Für einen Ausschluss liegen keine Anhaltspunkte vor.

=== III. Ergebnis ===
A hat Anspruch auf Zuerkennung der Flüchtlingseigenschaft. Der Bescheid ist nicht materiell rechtmäßig. 

== B. Ergebnis ==

Die Ablehnung der Zuerkennung des Flüchtlingsschutzes an A durch das BAMF ist materiell rechtswidrig.

==Weiterführende Literatur/ Materialien==
*Berlit/Dörig/Storey: Glaubhaftigkeitsprüfung bei Asylklagen aufgrund religiöser Konversion oder Homosexualität: Ein Ansatz von Praktikern (Teil 2):(ZAR 2016, 332).
*Dudley, Gruppenverfolgung im Asyl- und Flüchtlingsrecht, 2021.
*[https://www.asyl.net/fileadmin/user_upload/beitraege_asylmagazin/Beitraege_AM_2020/AM20_3_anm_braun_doerr_traebert_bverfg.pdf Braun/Dörr/Träbert, Asylmagazin 3/2020, S. 81-84.] 
*[https://www.lsvd.de/de/ct/919-FAQs-Lesbische-schwule-bisexuelle-trans-und-inter-Gefluechtete LSVD FAQs zu Geflüchteten aus dem LSBTI Spektrum]
*[https://www.lsvd.de/de/ct/1305-Ratgeber-Asylrecht-fuer-gefluechtete-Lesben-und-Schwule LSVD Ratgeber]: Asylrecht für geflüchtete Lesben und Schwule, Stand Sommer 2019. 
*[https://www.queer-refugees.de/wp-content/uploads/2018/10/leitfaden-fur-lsbti-gefluchtete-deutsch.pdf LSVD Leitfaden für lesbische, schwule, bisexuelle, trans* und inter* (LSBTI) Geflüchtete in Deutschland] 

==Zusammenfassung: Die wichtigsten Punkte==

*Bei der Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe ist sowohl das Vorliegen eines geteilten geschützten Merkmals zu prüfen als auch die soziale Wahrnehmung als Gruppe im Herkunftsland.
*Gruppenverfolgung ist eine beweisrechtliche Figur; Zugehörigkeit zu einer bestimmten sozialen Gruppe eine materiell-rechtliche Frage.
*In LGBTIQ-Fällen darf eine Entscheidung grundsätzlich nicht aufgrund der Erwartung getroffen werden, dass die antragstellende Person ihre sexuelle Orientierung oder geschlechtliche Identität bei einer Rückkehr geheimhalten wird. 
*In LGBTIQ-Fällen stellt in der Praxis die Glaubhaftigkeitsprüfung die größte Herausforderung für die Anerkennung als Flüchtling dar. 
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    <title>Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenzradius von Potenzreihen</title>
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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; einen &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; besitzt. Das ist eine reelle Zahl &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so dass die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt; divergiert. Dabei kann auch &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; gelten. Für den Grenzfall &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von &lt;dfn&gt;Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von &lt;dfn&gt;Euler&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|&lt;/math&gt; aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; oder die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt; divergiert. Es gilt also &lt;math&gt;1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt;, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;}}

der &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge, &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;.
# Die Potenzreihe divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in &lt;math&gt;x_0 \neq 0&lt;/math&gt; , so konvergiert sie in jedem Punkt &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] &lt;math&gt;(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}&lt;/math&gt; eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke &lt;math&gt;S&gt;0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|c_k x_0^k| \le S&lt;/math&gt;. Damit folgt für &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt;:
 
{{Formel|&lt;math&gt;|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k &lt;/math&gt;}}

Dabei ist &lt;math&gt;q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} &lt; 1&lt;/math&gt;. Also konvergiert die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k&lt;/math&gt; absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &lt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;r&lt;R&lt;/math&gt;, für das &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt; konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt;.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &gt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;R&lt;r&lt;|x|&lt;/math&gt;. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt;. Diese ist aber ein Widerspruch zu &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Also kann &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;, denn ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;. Daher konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\left( \frac{|x|^k}{k} \right)&lt;/math&gt; gegen &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;, als Quotient der geometrischen Folge &lt;math&gt;(|x|^k)&lt;/math&gt; mit der Potenzfolge &lt;math&gt;(k^1)&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert (das Intervall &lt;math&gt;]-R;R[&lt;/math&gt;), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle &lt;math&gt;]-\infty ;-R[&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;]R;\infty [&lt;/math&gt;).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|thumb|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k&lt;/math&gt; an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x|^k \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt;. Sie besitzt damit den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;. Da immer &lt;math&gt;\sqrt[k]{|x|^k}=|x|&lt;/math&gt; gilt, kann man bei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; auch direkt dem Limes Superior von &lt;math&gt;\sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt;. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt; divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Euler&lt;/dfn&gt;. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; eine Potenzreihe und und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt; der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# &lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;   &lt;dfn&gt;(Formel von Cauchy-Hadamard)&lt;/dfn&gt;
# &lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;, falls der Grenzwert  existiert     &lt;dfn&gt;(Formel von Euler)&lt;/dfn&gt;

Dabei gilt hier &lt;math&gt;\frac{1}{0}=\infty&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=0&lt;/math&gt;.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;L&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1L \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1L
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1L&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1L&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;L=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;L=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;q&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1q \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1q
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1q&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1q&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;q=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;q=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euer deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}

Ebenso erhalten wir dies aus der &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. 
 
Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt für die erste Reihe mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Mit der Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit &lt;math&gt;c_k = \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sind beispielsweise &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k&lt;/math&gt;.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \R&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt; für alle reellen &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; konvergiert ist die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 &amp; \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde, falls &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Sinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; der Sinusreihe von oben:

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 &amp; \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt;.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; ist der Nenner für ungerade &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Der Konvergenzradius ist daher &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty k^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1{k^s}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ ist die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit &lt;math&gt;c_k=k^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt;. Damit ist

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt; ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizienten

{{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases}
1 &amp; \text{für} \ n=k!, \\
0 &amp; \text{sonst}
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle &lt;math&gt;n \ne k!&lt;/math&gt; man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!}\le |x|^k&lt;/math&gt;, und da die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!} &gt; 1&lt;/math&gt;, also kann &lt;math&gt;(x^{k!})&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit &lt;math&gt;c_k = a^k + b^k&lt;/math&gt; der Quotient &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge &lt;math&gt;\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}&lt;/math&gt;. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b&lt;/math&gt;.
# Ist &lt;math&gt;b&lt;a&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a&lt;/math&gt;.

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k&lt;/math&gt; kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier &lt;math&gt;|x|=1&lt;/math&gt;) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; also auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; divergieren die Reihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1&lt;/math&gt; jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen &lt;math&gt;((-1)^k)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k&lt;/math&gt; gilt: Für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge &lt;math&gt;\left( \frac 1k\right)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k&lt;/math&gt;, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; als auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, wegen &lt;math&gt;\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}&lt;/math&gt; und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt;. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; gemacht werden.}}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; wollen wir noch festhalten:

# Ist &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k&lt;/math&gt;. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls &lt;math&gt;(c_k)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.
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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; einen &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; besitzt. Das ist eine reelle Zahl &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so dass die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt; divergiert. Dabei kann auch &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; gelten. Für den Grenzfall &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von &lt;dfn&gt;Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von &lt;dfn&gt;Euler&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|&lt;/math&gt; aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; oder die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt; divergiert. Es gilt also &lt;math&gt;1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt;, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;}}

der &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge, &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;.
# Die Potenzreihe divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in &lt;math&gt;x_0 \neq 0&lt;/math&gt; , so konvergiert sie in jedem Punkt &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] &lt;math&gt;(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}&lt;/math&gt; eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke &lt;math&gt;S&gt;0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|c_k x_0^k| \le S&lt;/math&gt;. Damit folgt für &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt;:
 
{{Formel|&lt;math&gt;|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k &lt;/math&gt;}}

Dabei ist &lt;math&gt;q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} &lt; 1&lt;/math&gt;. Also konvergiert die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k&lt;/math&gt; absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &lt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;r&lt;R&lt;/math&gt;, für das &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt; konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt;.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &gt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;R&lt;r&lt;|x|&lt;/math&gt;. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt;. Diese ist aber ein Widerspruch zu &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Also kann &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;, denn ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;. Daher konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\left( \frac{|x|^k}{k} \right)&lt;/math&gt; gegen &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;, als Quotient der geometrischen Folge &lt;math&gt;(|x|^k)&lt;/math&gt; mit der Potenzfolge &lt;math&gt;(k^1)&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert (das Intervall &lt;math&gt;]-R;R[&lt;/math&gt;), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle &lt;math&gt;]-\infty ;-R[&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;]R;\infty [&lt;/math&gt;).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|thumb|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k&lt;/math&gt; an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x|^k \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt;. Sie besitzt damit den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;. Da immer &lt;math&gt;\sqrt[k]{|x|^k}=|x|&lt;/math&gt; gilt, kann man bei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; auch direkt dem Limes Superior von &lt;math&gt;\sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt;. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt; divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Euler&lt;/dfn&gt;. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; eine Potenzreihe und und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt; der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# &lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;   &lt;dfn&gt;(Formel von Cauchy-Hadamard)&lt;/dfn&gt;
# &lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;, falls der Grenzwert  existiert     &lt;dfn&gt;(Formel von Euler)&lt;/dfn&gt;

Dabei gilt hier &lt;math&gt;\frac{1}{0}=\infty&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=0&lt;/math&gt;.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;L&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1L \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1L
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1L&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1L&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;L=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;L=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;q&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1q \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1q
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1q&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1q&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;q=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;q=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euer deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}

Ebenso erhalten wir dies aus der &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. 
 
Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt für die erste Reihe mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Mit der Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit &lt;math&gt;c_k = \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sind beispielsweise &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k&lt;/math&gt;.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \R&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt; für alle reellen &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; konvergiert ist die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 &amp; \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde, falls &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Sinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; der Sinusreihe von oben:

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 &amp; \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt;.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; ist der Nenner für ungerade &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Der Konvergenzradius ist daher &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty k^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1{k^s}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ ist die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit &lt;math&gt;c_k=k^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt;. Damit ist

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt; ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizienten

{{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases}
1 &amp; \text{für} \ n=k!, \\
0 &amp; \text{sonst}
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle &lt;math&gt;n \ne k!&lt;/math&gt; man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!}\le |x|^k&lt;/math&gt;, und da die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!} &gt; 1&lt;/math&gt;, also kann &lt;math&gt;(x^{k!})&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit &lt;math&gt;c_k = a^k + b^k&lt;/math&gt; der Quotient &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge &lt;math&gt;\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}&lt;/math&gt;. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b&lt;/math&gt;.
# Ist &lt;math&gt;b&lt;a&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a&lt;/math&gt;.

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k&lt;/math&gt; kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier &lt;math&gt;|x|=1&lt;/math&gt;) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; also auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; divergieren die Reihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1&lt;/math&gt; jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen &lt;math&gt;((-1)^k)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k&lt;/math&gt; gilt: Für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge &lt;math&gt;\left( \frac 1k\right)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k&lt;/math&gt;, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; als auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, wegen &lt;math&gt;\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}&lt;/math&gt; und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt;. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; gemacht werden.[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 2.pdf|thumb|Veranschaulichung des Konvergenzradius mit Randwerten]] }}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; wollen wir noch festhalten:

# Ist &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k&lt;/math&gt;. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls &lt;math&gt;(c_k)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.
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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; einen &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; besitzt. Das ist eine reelle Zahl &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so dass die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt; divergiert. Dabei kann auch &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; gelten. Für den Grenzfall &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von &lt;dfn&gt;Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von &lt;dfn&gt;Euler&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|&lt;/math&gt; aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; oder die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt; divergiert. Es gilt also &lt;math&gt;1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt;, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;}}

der &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge, &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;.
# Die Potenzreihe divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in &lt;math&gt;x_0 \neq 0&lt;/math&gt; , so konvergiert sie in jedem Punkt &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] &lt;math&gt;(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}&lt;/math&gt; eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke &lt;math&gt;S&gt;0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|c_k x_0^k| \le S&lt;/math&gt;. Damit folgt für &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt;:
 
{{Formel|&lt;math&gt;|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k &lt;/math&gt;}}

Dabei ist &lt;math&gt;q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} &lt; 1&lt;/math&gt;. Also konvergiert die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k&lt;/math&gt; absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &lt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;r&lt;R&lt;/math&gt;, für das &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt; konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt;.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &gt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;R&lt;r&lt;|x|&lt;/math&gt;. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt;. Diese ist aber ein Widerspruch zu &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Also kann &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;, denn ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;. Daher konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\left( \frac{|x|^k}{k} \right)&lt;/math&gt; gegen &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;, als Quotient der geometrischen Folge &lt;math&gt;(|x|^k)&lt;/math&gt; mit der Potenzfolge &lt;math&gt;(k^1)&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert (das Intervall &lt;math&gt;]-R;R[&lt;/math&gt;), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle &lt;math&gt;]-\infty ;-R[&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;]R;\infty [&lt;/math&gt;).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|600px|center|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k&lt;/math&gt; an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x|^k \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt;. Sie besitzt damit den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;. Da immer &lt;math&gt;\sqrt[k]{|x|^k}=|x|&lt;/math&gt; gilt, kann man bei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; auch direkt dem Limes Superior von &lt;math&gt;\sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt;. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt; divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Euler&lt;/dfn&gt;. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; eine Potenzreihe und und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt; der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# &lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;   &lt;dfn&gt;(Formel von Cauchy-Hadamard)&lt;/dfn&gt;
# &lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;, falls der Grenzwert  existiert     &lt;dfn&gt;(Formel von Euler)&lt;/dfn&gt;

Dabei gilt hier &lt;math&gt;\frac{1}{0}=\infty&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=0&lt;/math&gt;.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;L&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1L \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1L
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1L&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1L&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;L=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;L=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;q&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1q \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1q
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1q&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1q&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;q=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;q=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euer deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}

Ebenso erhalten wir dies aus der &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. 
 
Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt für die erste Reihe mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Mit der Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit &lt;math&gt;c_k = \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sind beispielsweise &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k&lt;/math&gt;.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \R&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt; für alle reellen &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; konvergiert ist die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 &amp; \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde, falls &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Sinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; der Sinusreihe von oben:

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 &amp; \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt;.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; ist der Nenner für ungerade &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Der Konvergenzradius ist daher &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty k^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1{k^s}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ ist die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit &lt;math&gt;c_k=k^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt;. Damit ist

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt; ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizienten

{{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases}
1 &amp; \text{für} \ n=k!, \\
0 &amp; \text{sonst}
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle &lt;math&gt;n \ne k!&lt;/math&gt; man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!}\le |x|^k&lt;/math&gt;, und da die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!} &gt; 1&lt;/math&gt;, also kann &lt;math&gt;(x^{k!})&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit &lt;math&gt;c_k = a^k + b^k&lt;/math&gt; der Quotient &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge &lt;math&gt;\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}&lt;/math&gt;. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b&lt;/math&gt;.
# Ist &lt;math&gt;b&lt;a&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a&lt;/math&gt;.

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k&lt;/math&gt; kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier &lt;math&gt;|x|=1&lt;/math&gt;) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; also auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; divergieren die Reihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1&lt;/math&gt; jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen &lt;math&gt;((-1)^k)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k&lt;/math&gt; gilt: Für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge &lt;math&gt;\left( \frac 1k\right)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k&lt;/math&gt;, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; als auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, wegen &lt;math&gt;\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}&lt;/math&gt; und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt;. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; gemacht werden.[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 2.pdf|thumb|Veranschaulichung des Konvergenzradius mit Randwerten]] }}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; wollen wir noch festhalten:

# Ist &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k&lt;/math&gt;. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls &lt;math&gt;(c_k)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.
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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; einen &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; besitzt. Das ist eine reelle Zahl &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so dass die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt; divergiert. Dabei kann auch &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; gelten. Für den Grenzfall &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von &lt;dfn&gt;Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von &lt;dfn&gt;Euler&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|&lt;/math&gt; aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; oder die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt; divergiert. Es gilt also &lt;math&gt;1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt;, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;}}

der &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge, &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;.
# Die Potenzreihe divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in &lt;math&gt;x_0 \neq 0&lt;/math&gt; , so konvergiert sie in jedem Punkt &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] &lt;math&gt;(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}&lt;/math&gt; eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke &lt;math&gt;S&gt;0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|c_k x_0^k| \le S&lt;/math&gt;. Damit folgt für &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt;:
 
{{Formel|&lt;math&gt;|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k &lt;/math&gt;}}

Dabei ist &lt;math&gt;q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} &lt; 1&lt;/math&gt;. Also konvergiert die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k&lt;/math&gt; absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &lt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;r&lt;R&lt;/math&gt;, für das &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt; konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt;.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &gt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;R&lt;r&lt;|x|&lt;/math&gt;. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt;. Diese ist aber ein Widerspruch zu &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Also kann &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;, denn ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;. Daher konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\left( \frac{|x|^k}{k} \right)&lt;/math&gt; gegen &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;, als Quotient der geometrischen Folge &lt;math&gt;(|x|^k)&lt;/math&gt; mit der Potenzfolge &lt;math&gt;(k^1)&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert (das Intervall &lt;math&gt;]-R;R[&lt;/math&gt;), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle &lt;math&gt;]-\infty ;-R[&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;]R;\infty [&lt;/math&gt;).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|600px|center|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k&lt;/math&gt; an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x|^k \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt;. Sie besitzt damit den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;. Da immer &lt;math&gt;\sqrt[k]{|x|^k}=|x|&lt;/math&gt; gilt, kann man bei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; auch direkt dem Limes Superior von &lt;math&gt;\sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt;. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt; divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Euler&lt;/dfn&gt;. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; eine Potenzreihe und und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt; der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# &lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;   &lt;dfn&gt;(Formel von Cauchy-Hadamard)&lt;/dfn&gt;
# &lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;, falls der Grenzwert  existiert     &lt;dfn&gt;(Formel von Euler)&lt;/dfn&gt;

Dabei gilt hier &lt;math&gt;\frac{1}{0}=\infty&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=0&lt;/math&gt;.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;L&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1L \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1L
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1L&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1L&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;L=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;L=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;q&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1q \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1q
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1q&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1q&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;q=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;q=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euer deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}

Ebenso erhalten wir dies aus der &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. 
 
Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt für die erste Reihe mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Mit der Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit &lt;math&gt;c_k = \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sind beispielsweise &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k&lt;/math&gt;.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \R&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt; für alle reellen &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; konvergiert ist die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 &amp; \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde, falls &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Sinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; der Sinusreihe von oben:

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 &amp; \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt;.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; ist der Nenner für ungerade &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Der Konvergenzradius ist daher &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty k^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1{k^s}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ ist die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit &lt;math&gt;c_k=k^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt;. Damit ist

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt; ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizienten

{{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases}
1 &amp; \text{für} \ n=k!, \\
0 &amp; \text{sonst}
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle &lt;math&gt;n \ne k!&lt;/math&gt; man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!}\le |x|^k&lt;/math&gt;, und da die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!} &gt; 1&lt;/math&gt;, also kann &lt;math&gt;(x^{k!})&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit &lt;math&gt;c_k = a^k + b^k&lt;/math&gt; der Quotient &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge &lt;math&gt;\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}&lt;/math&gt;. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b&lt;/math&gt;.
# Ist &lt;math&gt;b&lt;a&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a&lt;/math&gt;.

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k&lt;/math&gt; kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier &lt;math&gt;|x|=1&lt;/math&gt;) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; also auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; divergieren die Reihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1&lt;/math&gt; jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen &lt;math&gt;((-1)^k)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k&lt;/math&gt; gilt: Für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge &lt;math&gt;\left( \frac 1k\right)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k&lt;/math&gt;, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; als auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, wegen &lt;math&gt;\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}&lt;/math&gt; und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt;. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; gemacht werden.[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 2.pdf|center|600px|Veranschaulichung des Konvergenzradius mit Randwerten]] }}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; wollen wir noch festhalten:

# Ist &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k&lt;/math&gt;. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls &lt;math&gt;(c_k)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.
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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; einen &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; besitzt. Das ist eine reelle Zahl &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so dass die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt; divergiert. Dabei kann auch &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; gelten. Für den Grenzfall &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von &lt;dfn&gt;Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von &lt;dfn&gt;Euler&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|&lt;/math&gt; aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; oder die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt; divergiert. Es gilt also &lt;math&gt;1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt;, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;}}

der &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge, &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;.
# Die Potenzreihe divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in &lt;math&gt;x_0 \neq 0&lt;/math&gt; , so konvergiert sie in jedem Punkt &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] &lt;math&gt;(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}&lt;/math&gt; eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke &lt;math&gt;S&gt;0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|c_k x_0^k| \le S&lt;/math&gt;. Damit folgt für &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt;:
 
{{Formel|&lt;math&gt;|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k &lt;/math&gt;}}

Dabei ist &lt;math&gt;q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} &lt; 1&lt;/math&gt;. Also konvergiert die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k&lt;/math&gt; absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &lt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;r&lt;R&lt;/math&gt;, für das &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt; konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt;.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &gt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;R&lt;r&lt;|x|&lt;/math&gt;. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt;. Diese ist aber ein Widerspruch zu &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Also kann &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;, denn ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;. Daher konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\left( \frac{|x|^k}{k} \right)&lt;/math&gt; gegen &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;, als Quotient der geometrischen Folge &lt;math&gt;(|x|^k)&lt;/math&gt; mit der Potenzfolge &lt;math&gt;(k^1)&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert (das Intervall &lt;math&gt;]-R;R[&lt;/math&gt;), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle &lt;math&gt;]-\infty ;-R[&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;]R;\infty [&lt;/math&gt;).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|600px|center|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Analog zum Konvergenradius von Potenzreihen, haben &lt;dfn&gt;Dirichlet-Reihe&lt;/dfn&gt;, das sind Reihen der Form &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;, eine &lt;dfn&gt;Konvergenzabszisse&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;\lambda \in \R&lt;/math&gt;, so dass die Reihe für alle &lt;math&gt;s&gt;\lambda&lt;/math&gt; konvergiert und für alle &lt;math&gt;s&lt;\lambda&lt;/math&gt; divergiert. Wir werden hier Dirichlet-Reihen nicht genauer besprechen, da sie nicht Bestandteil der meisten Analysis-Grundvorlesungen sind. Wer Interesse an Dirichlet-Reihe hat kann sich gerne der entsprechenden [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Aufgabe:Dirichletsche Reihen|Übungsaufgabe]] widmen.}}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k&lt;/math&gt; an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x|^k \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt;. Sie besitzt damit den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;. Da immer &lt;math&gt;\sqrt[k]{|x|^k}=|x|&lt;/math&gt; gilt, kann man bei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; auch direkt dem Limes Superior von &lt;math&gt;\sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt;. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt; divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Euler&lt;/dfn&gt;. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; eine Potenzreihe und und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt; der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# &lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;   &lt;dfn&gt;(Formel von Cauchy-Hadamard)&lt;/dfn&gt;
# &lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;, falls der Grenzwert  existiert     &lt;dfn&gt;(Formel von Euler)&lt;/dfn&gt;

Dabei gilt hier &lt;math&gt;\frac{1}{0}=\infty&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=0&lt;/math&gt;.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;L&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1L \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1L
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1L&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1L&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;L=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;L=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;q&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1q \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1q
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1q&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1q&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;q=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;q=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euer deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}

Ebenso erhalten wir dies aus der &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. 
 
Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt für die erste Reihe mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Mit der Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit &lt;math&gt;c_k = \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sind beispielsweise &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k&lt;/math&gt;.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \R&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt; für alle reellen &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; konvergiert ist die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 &amp; \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde, falls &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Sinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; der Sinusreihe von oben:

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 &amp; \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt;.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; ist der Nenner für ungerade &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Der Konvergenzradius ist daher &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty k^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1{k^s}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ ist die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit &lt;math&gt;c_k=k^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt;. Damit ist

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt; ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizienten

{{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases}
1 &amp; \text{für} \ n=k!, \\
0 &amp; \text{sonst}
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle &lt;math&gt;n \ne k!&lt;/math&gt; man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!}\le |x|^k&lt;/math&gt;, und da die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!} &gt; 1&lt;/math&gt;, also kann &lt;math&gt;(x^{k!})&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit &lt;math&gt;c_k = a^k + b^k&lt;/math&gt; der Quotient &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge &lt;math&gt;\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}&lt;/math&gt;. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b&lt;/math&gt;.
# Ist &lt;math&gt;b&lt;a&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a&lt;/math&gt;.

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k&lt;/math&gt; kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier &lt;math&gt;|x|=1&lt;/math&gt;) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; also auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; divergieren die Reihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1&lt;/math&gt; jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen &lt;math&gt;((-1)^k)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k&lt;/math&gt; gilt: Für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge &lt;math&gt;\left( \frac 1k\right)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k&lt;/math&gt;, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; als auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, wegen &lt;math&gt;\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}&lt;/math&gt; und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt;. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; gemacht werden.[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 2.pdf|center|600px|Veranschaulichung des Konvergenzradius mit Randwerten]] }}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; wollen wir noch festhalten:

# Ist &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k&lt;/math&gt;. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls &lt;math&gt;(c_k)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.
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In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass jede Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; einen &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; besitzt. Das ist eine reelle Zahl &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so dass die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt; divergiert. Dabei kann auch &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; gelten. Für den Grenzfall &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; kann keine allgemeine Konvergenzaussage getroffen werden. Zur Berechnung des Konvergenzradius werden wir zwei Formeln herleiten. Die Formel von &lt;dfn&gt;Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; werden wir aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die Formel von &lt;dfn&gt;Euler&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;R=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|&lt;/math&gt; aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. Außerdem werden wir noch zahlreiche Beispiele zur Berechnung des Konvergenzradius durchdiskutieren.

== Definition und Existenz des Konvergenzradius ==

Wir wissen bereits, dass beispielsweise die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; oder die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt; divergiert. Es gilt also &lt;math&gt;1=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;. Die Frage ist nun, ob so eine Grenzzahl, der sogenannte &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt;, für jede Potenzreihe existiert. Zunächst definieren wir dazu:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition
 |titel=Konvergenzradius
 |definition=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe. Dann heißt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\sup \left\{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\right\}&lt;/math&gt;}}

der &lt;dfn&gt;Konvergenzradius&lt;/dfn&gt; der Potenzreihe.
}}

Wir zeigen nun, dass dieser Konvergenzradius tatsächlich für jede Potenzreihe existiert:

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Existenz des Konvergenzradius
 |satz=
Sei &lt;math&gt;(c_k)_{k \in \N}&lt;/math&gt; eine Folge, &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; die zugehörige Potenzreihe und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Dann gilt:

# Die Potenzreihe konvergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;.
# Die Potenzreihe divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;.

 |beweis= {{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Hilfsaussage: Konvergiert die Potenzreihe in &lt;math&gt;x_0 \neq 0&lt;/math&gt; , so konvergiert sie in jedem Punkt &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Da nach Voraussetzung &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; konvergiert, ist nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] &lt;math&gt;(c_k x_0^k)_{k \in \N_0}&lt;/math&gt; eine Nullfolge. Da [[Mathe für Nicht-Freaks: Unbeschränkte Folgen divergieren#Konvergente Folgen sind beschränkt|konvergente Folgen beschränkt sind]], gibt es eine Schranke &lt;math&gt;S&gt;0&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|c_k x_0^k| \le S&lt;/math&gt;. Damit folgt für &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;|x_0|&lt;/math&gt;:
 
{{Formel|&lt;math&gt;|c_k x^k| = \left| c_k x_0^k \cdot \left( \frac{x}{x_0}\right)^k\right| = |c_k x_0^k |\cdot \underbrace{\left| \frac{x}{x_0}\right|^k}_{=q^k} \le S \cdot q^k &lt;/math&gt;}}

Dabei ist &lt;math&gt;q = \left| \frac{x}{x_0} \right| = \frac{|x|}{|x_0|} &lt; 1&lt;/math&gt;. Also konvergiert die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty S\cdot q^k = S\cdot \sum_{k=0}^\infty q^k&lt;/math&gt; absolut. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x_0^k&lt;/math&gt; ebenfalls absolut.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;R&lt;/math&gt;, so konvergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &lt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;r&lt;R&lt;/math&gt;, für das &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt; konvergiert. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt folgt damit, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert.}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=Ist &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;R&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt;.
 |beweisschritt=
 
Sei &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x| &gt; R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Wir führen hier einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; konvergiert.  Nach der 
[[Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum#Definition des Supremums und Infimums|Definition des Supremums]] gibt es erneut ein &lt;math&gt;r \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;R&lt;r&lt;|x|&lt;/math&gt;. Mit der Hilfsaussage aus dem 1. Beweisschritt konvergiert dann aber &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k r^k&lt;/math&gt;. Diese ist aber ein Widerspruch zu &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty a_k r^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt;. Also kann &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; nicht konvergieren.}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Geometrische Reihe und Verwandtes
 |beispiel=

* Wir haben oben und im Kapitel zuvor schon gesehen, dass die [[Mathe für Nicht-Freaks: Geometrische Reihe|geometrische Reihe]] &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat.
* Ebenso haben die mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;, denn ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|a_k| = \frac{|x|^k}{k} \le |x|^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;k \in \N&lt;/math&gt;. Daher konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k}&lt;/math&gt; [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der geometrischen Reihe als Majorante. Ist andererseits &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so divergiert &lt;math&gt;\left( \frac{|x|^k}{k} \right)&lt;/math&gt; gegen &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;, als Quotient der geometrischen Folge &lt;math&gt;(|x|^k)&lt;/math&gt; mit der Potenzfolge &lt;math&gt;(k^1)&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe. Bei der Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^2}&lt;/math&gt; kann man ganz analog argumentieren.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Im Reelen grenzt der Konvergenzradius anschaulich den Bereich auf der Zahlengerade, in dem die Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; absolut konvergiert (das Intervall &lt;math&gt;]-R;R[&lt;/math&gt;), von den Bereichen ab, in denen die Potenzreihe divergiert (die Intervalle &lt;math&gt;]-\infty ;-R[&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;]R;\infty [&lt;/math&gt;).[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 1.pdf|600px|center|Veranschaulichung des Konvergenzradius]] }}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Analog zum Konvergenradius von Potenzreihen, haben &lt;dfn&gt;Dirichlet-Reihe&lt;/dfn&gt;, das sind Reihen der Form &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;, eine &lt;dfn&gt;Konvergenzabszisse&lt;/dfn&gt; &lt;math&gt;\lambda \in \R&lt;/math&gt;, so dass die Reihe für alle &lt;math&gt;s&gt;\lambda&lt;/math&gt; konvergiert und für alle &lt;math&gt;s&lt;\lambda&lt;/math&gt; divergiert. Wir werden hier Dirichlet-Reihen nicht genauer besprechen, da sie nicht Bestandteil der meisten Analysis-Grundvorlesungen sind. Wer Interesse an Dirichlet-Reihe hat kann sich gerne der entsprechenden [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Aufgabe:Dirichletsche Reihen|Übungsaufgabe]] widmen. [[File:Veranschaulichung Konvergenzabszisse.pdf|center|600px|Veranschaulichung der Konvergenzabszisse]]}}

== Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius ==

Zur praktischen Anwendung werden wir nun zwei Formeln für den Konvergenzradius herleiten. Dabei werden wir die erste aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] und die zweite aus dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] herleiten. 

=== Einstiegsbeispiel ===

Dabei schauen wir uns zunächst als konkretes Beispiel die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{\frac{2^k}{k}}_{=c_k} \cdot x^k&lt;/math&gt; an. 

==== Anwendung des Wurzelkriteriums ====

Wir erhalten 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| \frac{2^k}{k} \cdot x^k \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\frac{2^k}{k} \cdot |x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{\sqrt[k]{2^k}}{\sqrt[k]{k}} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k\to \infty} \frac{2}{\sqrt[k]{k}} \cdot |x|^k \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[k]{k} \to 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also konvergiert die Reihe absolut für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt;. Sie besitzt damit den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 12&lt;/math&gt;. Da immer &lt;math&gt;\sqrt[k]{|x|^k}=|x|&lt;/math&gt; gilt, kann man bei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; auch direkt dem Limes Superior von &lt;math&gt;\sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt; bilden. Genauer betrachtet gilt 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|}}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt;. Wir werden sie weiter unten allgemein für jede Potenzreihe beweisen.

==== Anwendung des Quotientenkriteriums ====

Hier erhalten wir 

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}\cdot x^{k+1}}{\frac{2^k}{k} \cdot x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}} \cdot \left| \frac{x^{k+1}}{x^k} \right| \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} \frac{2^{k+1}\cdot k}{2^k \cdot k+1} \cdot  \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k\to \infty} 2 \cdot \frac{k}{k+1} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \frac{k}{k+1} = \frac 1{1+\frac 1k} \to \frac{1}{1+0} = 1 \text{ mit } k \to \infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 2 \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 12 \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 12
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also folgt ebenso, dass die Reihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 12&lt;/math&gt; absolut konvergiert und für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 12&lt;/math&gt; divergiert. Damit folgt der Konvergenzradius 

{{Formel|&lt;math&gt;R=\frac 12 = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \frac{\frac{2^{k+1}}{k+1}}{\frac{2^k}{k}}} = \frac{1}{\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right|}&lt;/math&gt;}}

Diese Formel heißt die &lt;dfn&gt;Formel von Euler&lt;/dfn&gt;. Wir werden diese nun ebenso allgemein beweisen.

=== Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler ===

Nun zeigen wir allgemein

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz
 |titel=Die Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler
 |satz=
Sei &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; eine Potenzreihe und und &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\}&lt;/math&gt; der Konvergenzradius der Potenzreihe. Dann gilt

# &lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;   &lt;dfn&gt;(Formel von Cauchy-Hadamard)&lt;/dfn&gt;
# &lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;, falls der Grenzwert  existiert     &lt;dfn&gt;(Formel von Euler)&lt;/dfn&gt;

Dabei gilt hier &lt;math&gt;\frac{1}{0}=\infty&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\frac{1}{\infty}=0&lt;/math&gt;.

 |beweis= 
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1L&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;L=\limsup\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;L&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=L} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1L \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1L
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1L&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1L&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1L&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;L=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;L=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{|c_k \cdot x^k|} &amp; = \limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|} \cdot \sqrt[k]{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\limsup_{k\to \infty} \sqrt[k]{\left| c_k \right|}}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Wurzelkriterium|Wurzelkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweisschritt
 |ziel=&lt;math&gt;R=\frac 1q&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;q=\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt;
 |beweisschritt={{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Fallunterscheidung
 |fall1=&lt;math&gt;0&lt;q&lt;\infty&lt;/math&gt;
 |beweis1=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \limsup_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=q} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; \begin{cases}
&lt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&lt;\frac 1q \\
&gt; 1 &amp; \text{ falls } |x|&gt;\frac 1q
\end{cases}
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&lt;\frac 1q&lt;/math&gt; und divergiert für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;|x|&gt;\frac 1q&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \frac 1q&lt;/math&gt;.
 |fall2=&lt;math&gt;q=\infty&lt;/math&gt;
 |beweis2=
Für &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt; gilt dann
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=\infty} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für kein &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;x \neq 0&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = 0&lt;/math&gt;.

 |fall3=&lt;math&gt;q=0&lt;/math&gt;
 |beweis3=
{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}x^{k+1}}{c_kx^k} \right| &amp; = \lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right| \cdot \frac{|x|^{k+1}}{|x|^k} \\[0.3em]
&amp; = \underbrace{\lim_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|}_{=0} \cdot |x| \\[0.3em]
&amp; = 0 &lt; 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Quotientenkriterium]] konvergiert die Potenzreihe für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt;. Also gilt für den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\sup \{ r \in \R \mid \sum_{k=0}^\infty c_k x^k \text{ konvergiert absolut}\} = \infty&lt;/math&gt;.
}}
}}
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Bei den Vor- und Nachteilen der beiden Formeln, verhält es sich genauso als beim [[Mathe für Nicht-Freaks: Quotientenkriterium|Vergleich zwischen Quotienten- und Wurzelkriterium]]. Mit der Formel von Euler ist der Konvergenzradius im Allgemeinen leichter zu bestimmen, jedoch ist sie nicht immer anwendbar. Und zwar dann, wenn der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; nicht existiert, oder wenn der Quotient nicht definiert ist.  Beispiele dafür sind die Sinus- und Kosinusreihe weiter unten. Ein Beispiel, bei dem die Formel von Euer deutlich einfacher anzuwenden ist, ist die Binomialreihe.}}

=== Beispiele ===

==== Die geometrische Reihe und Verwandtes ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der geometrischen Reihe
 |beispiel=Wie wir schon wissen hat die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \underbrace{1}_{=c_k}\cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. Wir überprüfen dies nochmal mit unseren beiden neuen Formeln:

Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}} = \frac{1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}

Ebenso erhalten wir dies aus der &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;R = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right|} = \frac{1}{\lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1}} = \frac 11 = 1&lt;/math&gt;}}
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius von mit der geometrischen Reihe verwandten Reihen
 |beispiel=Ebenso haben die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac 1k \cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2} \cdot x^k&lt;/math&gt; den Konvergentradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;. 
 
Die &lt;dfn&gt;Formel von Cauchy-Hadamard&lt;/dfn&gt; ergibt für die erste Reihe mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Mit der Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ergibt sich ebenso für die zweite Reihe mit &lt;math&gt;c_k = \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{k+1}}{\frac 1k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;. Natürlich hätten wir auch den Konvergenzradius der ersten Reihe mit der Formel von Euler und den der zweiten Reihe mit der Formel von Cauchy-Hadamard bestimmen können.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage
 |typ=Verständnisfrage
 |frage=
Gib zwei weitere Potenzreihen an, die den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; haben.

 |antwort=
Es gibt natürlich unendlich viele Beipiele. Zwei weitere Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; sind beispielsweise &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^3}\cdot x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty k\cdot x^k&lt;/math&gt;.
}}

==== Die Binomialreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Binomialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, bei dem die Formel von Euler deutlich einfacher anzuwenden ist als die Formel von Cauchy-Hadamrd ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk \cdot x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \R&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssten wir &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left| \binom sk \right|}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne weiteres möglich ist. Die Formel von Euler hingegen ist wesentlich einfacher anzuwenden, denn es ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k+1} \right|}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \left| \binom s{k+1} \right| = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1) \cdot \overbrace{(s-(k+1)+1)}^{=(s-k)}|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k \cdot (k+1)} = \frac{|s\cdot (s-1)\cdot \ldots \cdot (s-k+1)|}{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k} \cdot \frac{|s-k|}{k+1} = \left| \binom sk \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\left| \binom s{k} \right| \cdot \frac{|s-k|}{k+1}}{\left| \binom sk \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|s-k|}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{|\frac sk -1|}{1+\frac 1k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1k = \lim_{k \to \infty} \frac sk = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac{|0-1|}{1+0} \\[0.3em]
&amp; = \frac 11 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt; für alle reellen &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
}}

==== Exponential-, Sinus- und Kosinusreihe ====

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Exponentialreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, die für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; konvergiert ist die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k!} \cdot x^k&lt;/math&gt;. 

Bei der Formel von Cauchy-Hadamard müssen wir hier &lt;math&gt;\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|}=\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k!}}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so einfach ist, außer der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; ist bekannt. Die Formel von Euler hingegen ist erneut ohne weiteres anwendbar und liefert

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{\left| \frac{1}{(k+1)!} \right|}{\left| \frac 1{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k+1)!} \\[0.3em]
&amp; = \lim_{k \to \infty} \frac{k!}{k!\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k!\text{ kürzen} \right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{k+1} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel
 |titel=Konvergenzradius der Sinusreihe
 |beispiel=Ein Beispiel einer Potenzreihe, dbei der die Formel von Euler nicht anwendbar ist, ist die Sinusreihe 
 
{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1}=x-\frac 1{3!} \cdot x^3 + \frac 1{5!}\cdot x^5 - \frac 1{7!}\cdot x^7 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle geraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
0 &amp; \text{für} \ n=2k, \\
\frac {(-1)^{\frac{n-1}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde, falls &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gerade ist. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist anwendbar, falls der Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty&lt;/math&gt; bekannt ist. Denn es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| c_{2k+1} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{\frac {1}{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k+1]{(2k+1)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Sinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.

Ein eleganterer und kürzerer Beweis für den Konvergenzradius nutzt das [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] mit der Exponentialreihe als Majorante. Es gilt nämlich mit der Definition der Koeffizienten &lt;math&gt;c_n&lt;/math&gt; der Sinusreihe von oben:

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
0 &amp; \text{für } \ n=2k, \\
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k+1 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] die Sinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Also ist der Konvergenzaradius der Sinusreihe ebenfalls gleich &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

Sehr ähnlich kann man zeigen, dass die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt; hat.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius der Kosinusreihe
 |aufgabe=
Bestimme den Konvergenzradius der Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt;.

 |beweis=Bei der Kosinusreihe
 
 {{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k}=1-\frac 1{2!} \cdot x^2 + \frac 1{4!}\cdot x^4 - \frac 1{6!}\cdot x^6 \pm \ldots&lt;/math&gt;}} 

Bei dieser Reihe sind alle ungeraden Koeffizienten gleich &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;. D.h. es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \text{ mit } c_n=\begin{cases}
\frac {(-1)^{\frac{n}2}}{n!} &amp; \text{für} \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für} \ n=2k+1
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist, wie schon bei der Sinusreihe, auch hier nicht anwendbar, denn im Quotenten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; ist der Nenner für ungerade &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; gleich null. Die Formel von Cauchy-Hadamard hingegen ist erneut anwendbar. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| c_{2k} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\left| \frac {(-1)^{k}}{(2k)!} \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ |(-1)^k|=1 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[2k]{\frac {1}{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp; = \frac {1}{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k!}=\infty \Longrightarrow \lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[2k]{(2k)!}=\infty \right.} \\[0.3em]
&amp; = 0
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Kosinusreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}&lt;/math&gt; ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}
{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis
 |titel=Konvergenzradius der Kosiunsreihe mit Majorantenkriterium
 |beweis=
Erneut können wir alternativ das Majorantenkriterium mit der Exponantialreihe als Majoranten anwenden. Es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;|c_n x^n|=\left\{ \begin{array}{rl}
\frac {1}{n!}|x|^n &amp; \text{für } \ n=2k, \\
0 &amp; \text{für } \ n=2k+1
 \end{array} \right\} \leq \frac{1}{n!}|x|^n \text{ für jedes } n \in \N_0&lt;/math&gt;}}

Da die Exponentialreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert  mit dem Majorantenkriterium die Kosinusreihe ebenfalls für jedes &lt;math&gt;x \in \R&lt;/math&gt; absolut. Der Konvergenzradius ist daher &lt;math&gt;R=\infty&lt;/math&gt;.
}}

== Aufgaben zur Bestimmung des Konvergenzradius ==

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe
 |titel=Konvergenzradius von Potenzreihen
 |aufgabe=Bestimme jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.

# &lt;math&gt;\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;s \in \Q&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty k^k x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{k^k} x^k&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt;
# &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty (a^k+b^k)x^k&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;a&gt;0, \ b&gt;0&lt;/math&gt;

 |lösung=

{{Liste
 |item1='''Lösung zu Teilaufgabe 1:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt mit &lt;math&gt;c_k=\frac 1{k^s}&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{(\limsup\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{k})^s} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1 \Longrightarrow \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k} = 1\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1^s} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ ist die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; anwendbar und ergibt ebenso:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac 1{(k+1)^s}}{\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^s}{(k+1)^s} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac 1{k^s}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim_{k \to \infty} \frac 1{k^s} = 0 \right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1{1+0} \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item2=
'''Lösung zu Teilaufgabe 2:''' 

Hier ist die Formel von Cauchy-Hadamard sogar einfacher. Sie ergibt unmittelbar mit &lt;math&gt;c_k=k^k&lt;/math&gt;:

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|c_k|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \limsup\limits_{k \to \infty} k \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist der Konvergenradius gleich &lt;math&gt;R=0&lt;/math&gt;.

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist ebenfalls anwendbar, wir benötigen jedoch den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt;. Damit ist

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k \cdot (k+1)}{k^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)^k}{k^k} \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( \frac{k+1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \left( 1+\frac{1}{k}\right)^k \cdot (k+1) \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e , \ \lim_{k \to \infty} (k+1) = \infty\right.} \\[0.3em]
&amp; = \infty
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.
 |item3='''Lösung zu Teilaufgabe 3:''' 

Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hier sehr schwierig anwendbar, denn wir müssten den Grenzwert &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{\frac{k!}{k^k}} = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{k!}}{k}&lt;/math&gt; bestimmen, was nicht so ohne Weiteres möglich ist. 

Die Formel von &lt;dfn&gt;Euler-Formel&lt;/dfn&gt; ist deutlich einfacher anwendbar. Erneut unter Zuhilfenahme des Grenzwerts &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e&lt;/math&gt; ergibt sich

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{c_{k+1}}{c_k}\right| &amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{k!}{k^k}} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{(k+1)! \cdot k^k}{(k+1)^{k+1}\cdot k!} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k!\cdot (k+1) \cdot k^k}{k!\cdot (k+1)^k\cdot (k+1)} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ k! \text{ und } (k+1) \text{ kürzen}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{k^k}{(k+1)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \text{erneut Kehrwert bilden}\right.} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\frac{(k+1)^k}{k^k}} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( \frac{k+1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp; = \lim\limits_{k \to \infty} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \lim\limits_{k\to \infty} \left( 1+\frac 1k \right)^k = e\right.} \\[0.3em]
&amp; = \frac 1e
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also ist auch hier &lt;math&gt;R=\frac 1{\frac 1e} = e&lt;/math&gt;.

 |item4='''Lösung zu Teilaufgabe 4:'''

Bei der Potenzreihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!} = \sum_{k=0}^\infty 1\cdot x^{k!} = \sum_{n=0}^\infty c_n \cdot x^n&lt;/math&gt; gilt für die Koeffizienten

{{Formel|&lt;math&gt;c_n=\begin{cases}
1 &amp; \text{für} \ n=k!, \\
0 &amp; \text{sonst}
\end{cases}&lt;/math&gt;}}

Die Formel von Euler ist bei dieser Potenzreihe nicht anwendbar, da für alle &lt;math&gt;n \ne k!&lt;/math&gt; man im Quotienten &lt;math&gt;\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|&lt;/math&gt; durch null teilen würde. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist hingegen anwendbar und es gilt

{{Formel|&lt;math&gt;\begin{align}
\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| c_n\right|} &amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| c_{k!} \right|} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k!]{\left| 1 \right|} \\[0.3em]
&amp;\ {\color{OliveGreen} \left\downarrow\ \sqrt[m]{1}=1 \text{ für alle } m \in \N \right.} \\[0.3em]
&amp; = \limsup_{k \to \infty} 1 \\[0.3em]
&amp; = 1
\end{align}&lt;/math&gt;}}

Also hat die Reihe den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=\frac 11 = 1&lt;/math&gt;.

Alternativ können wir hier auch direkt argumentieren, da die Bauart der Reihe sehr einfach ist:

# Ist &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!}\le |x|^k&lt;/math&gt;, und da die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; absolut konvergiert, konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum_{k=0}^\infty x^{k!}&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium|Majorantenkriterium]] ebenfalls absolut.
# Ist &lt;math&gt;|x|&gt;1&lt;/math&gt;, so gilt &lt;math&gt;|x|^{k!} &gt; 1&lt;/math&gt;, also kann &lt;math&gt;(x^{k!})&lt;/math&gt; keine Nullfolge sein. Mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]] divergiert die Reihe daher in diesem Fall.

Also folgt so ebenfalls &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt;.

 |item5='''Lösung zu Teilaufgabe 5:'''

Bei dieser Potenzreihe ist die Formel von Euler nicht geeignt, da mit &lt;math&gt;c_k = a^k + b^k&lt;/math&gt; der Quotient &lt;math&gt;\left| \frac{c_{k+1}}{c_k} \right|&lt;/math&gt; schwer zu untersuchen ist. Bei der Formel von Cauchy-Hadamard erhalten wir die Folge &lt;math&gt;\sqrt[k]{c_k} = \sqrt[k]{a^k+b^k}&lt;/math&gt;. Diese lässt sich mit Hilfe einer Fallunterscheidung untersuchen:

# Ist &lt;math&gt;a&lt;b&lt;/math&gt;, so gilt: &lt;math&gt;b=\sqrt[k]{b^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{b^k+b^k} = \sqrt[k]{2b^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{b^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = b&lt;/math&gt;.
# Ist &lt;math&gt;b&lt;a&lt;/math&gt;, so gilt analog: &lt;math&gt;a=\sqrt[k]{a^k} \le \sqrt[k]{a^k+b^k} \le \sqrt[k]{a^k+a^k} = \sqrt[k]{2a^k} = \sqrt[k]{2} \cdot \sqrt[k]{a^k} = \sqrt[k]{k} \cdot b&lt;/math&gt;. Wegen &lt;math&gt;\lim\limits_{k\to \infty} \sqrt[k]{k}=1&lt;/math&gt; folgt nun mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Sandwichsatz, Einschnürungssatz, Einschließungssatz|Der Sandwichsatz]] &lt;math&gt;\lim\limits_{k \to \infty} \sqrt[k]{a^k+b^k} = a&lt;/math&gt;.

Insgesamt ergibt sich &lt;math&gt;\limsup\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \lim\limits_ {k\to \infty}\sqrt[k]{|c_k|} = \max \{ a;b \}&lt;/math&gt;. Für den Konvergenzradius der Potenzreihe folgt damit 

{{Formel|&lt;math&gt; R = \frac{1}{\max \{ a;b \}} = \min \left\{ \frac 1{a};\frac 1{b} \right\}&lt;/math&gt;}}

}}
}}

Ähnliche, ganz hervoragende, Aufgaben zum Potenzradius finden sich am Ende des Kapitels im [[Mathe für Nicht-Freaks: Aufgaben zu Potenzreihen#Konvergenzradius bestimmen|Aufgabenteil]].

== Verhalten auf dem Rand des Konvergenzradius ==

Am Beipiel der drei Potenzreihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1k x^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2} x^k&lt;/math&gt; kann man erkennen, dass das Verhalten auf dem Rand der Konvergenzradius (hier &lt;math&gt;|x|=1&lt;/math&gt;) sehr unterschiedlich sein kann:

* Für die geometrische Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; also auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; divergieren die Reihen &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty 1&lt;/math&gt; jeweils mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium|Trivialkriterium]], da die Folgen &lt;math&gt;((-1)^k)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;(1)&lt;/math&gt; keine Nullfolgen sind. 
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1kx^k&lt;/math&gt; gilt: Für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac 1k&lt;/math&gt; mit dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]], da die Folge &lt;math&gt;\left( \frac 1k\right)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolgen ist. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; hingegen ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe|harmonische Reihe]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k&lt;/math&gt;, welche bekanntlich divergiert.
* Für die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}x^k&lt;/math&gt; gilt: Sowohl für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; als auch für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; konvergiert die Reihe. Für &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; ergibt sich die [[Mathe für Nicht-Freaks: Harmonische Reihe#Die Reihe der reziproken Quadratzahlen|Reihe der reziproken Quadratzahlen]] &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, welche bekanntlich (absolut) konvergiert. Ebenso konvergiert für &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt; die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \frac 1{k^2}&lt;/math&gt;, wegen &lt;math&gt;\left| (-1)^k \frac 1{k^2}\right|=\frac 1{k^2}&lt;/math&gt; und da [[Mathe für Nicht-Freaks: Absolute Konvergenz einer Reihe#Jede absolut konvergente Reihe konvergiert|jede absolut konvergente Reihe konvergiert]].

Eine Reihe , die ebenfalls den Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; hat, deren Konvergenzverhalten auf dem Rand des Konvergenzradius jedoch schwieriger zu bestimmen ist, ist die Binomialreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty \binom sk x^k&lt;/math&gt;. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe im Aufgabenteil.

{{:Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis|Hat eine Potenzreihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k x^k&lt;/math&gt; den Konvergenzradius &lt;math&gt;R&lt;/math&gt;, so kann keine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten der Potenzreihe für &lt;math&gt;|x|=R&lt;/math&gt; gemacht werden.[[File:Veranschaulichung Konvergenzradius 2.pdf|center|600px|Veranschaulichung des Konvergenzradius mit Randwerten]] }}

Für Potenzreihen mit Konvergenzradius &lt;math&gt;R=1&lt;/math&gt; wollen wir noch festhalten:

# Ist &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty c_k \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k&lt;/math&gt;. Diese Reihe kann dann mit den bekannten Konvergenzkriterien untersucht werden.
# Ist &lt;math&gt;x=-1&lt;/math&gt;, so ergibt sich die Reihe &lt;math&gt;\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k c_k&lt;/math&gt;. Nach dem [[Mathe für Nicht-Freaks: Leibniz-Kriterium|Leibniz-Kriterium]] konvergiert die Reihe, falls &lt;math&gt;(c_k)&lt;/math&gt; eine monoton fallende Nullfolge ist.
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