[ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
31.1 Funciones y variables para teoría de números |
[ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Devuelve el n-ésimo número de Bernoulli del entero n.
Los números de Bernoulli iguales a cero son suprimidos si zerobern
vale false
.
Véase también burn
.
(%i1) zerobern: true$ (%i2) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]); 1 1 1 1 1 (%o2) [1, - -, -, 0, - --, 0, --, 0, - --] 2 6 30 42 30 (%i3) zerobern: false$ (%i4) map (bern, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]); 1 1 1 5 691 7 3617 43867 (%o4) [1, - -, -, - --, --, - ----, -, - ----, -----] 2 6 30 66 2730 6 510 798
Devuelve el n-ésimo polinomio de Bernoulli de variable x.
Devuelve la función zeta de Riemann para el argumento s. El valor que devuelve es del tipo "big float" (bfloat) y n es su número de dígitos.
Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac")
.
Devuelve la función zeta de Hurwitz para los argumentos s y h. El valor que devuelve es del tipo "big float" (bfloat) y n es su número de dígitos.
La función zeta de Hurwitz se define como
sum ((k+h)^-s, k, 0, inf)
Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac")
.
Es el coeficiente binomial x!/(y! (x - y)!)
.
Si x y y son enteros, entonces se calcula el valor numérico
del coeficiente binomial. Si y o x - y son enteros,
el coeficiente binomial se expresa como un polinomio.
Ejemplos:
(%i1) binomial (11, 7); (%o1) 330 (%i2) 11! / 7! / (11 - 7)!; (%o2) 330 (%i3) binomial (x, 7); (x - 6) (x - 5) (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) x (%o3) ------------------------------------------------- 5040 (%i4) binomial (x + 7, x); (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 7) (%o4) ------------------------------------------------------- 5040 (%i5) binomial (11, y); (%o5) binomial(11, y)
Devuelve el n-ésimo número de Bernoulli del entero n. La función burn
puede ser más eficiente que bern
para n grande (mayor que 105, por ejemplo), pues bern
calcula todos los números de Bernoulli hasta n antes de devolver el resultado.
La función burn
se beneficia del hecho de que los números racionales de Bernoulli pueden aproximarse por funciones zeta con una eficiencia aceptable.
Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("bffac")
.
Transforma expr a fracciones continuas. La expresión expr debe contener fracciones continuas y raíces cuadradas de números enteros. Los operandos de la expresión pueden combinarse con operadores aritméticos. Además de fracciones continuas y raíces cuadradas, los factores de la expresión deben ser enteros o números racionales. Maxima no tiene más conocimiento sobre operaciones con fracciones continuas que el que aporta la función cf
.
La función cf
evalúa sus argumentos después de asignar a la variable listarith
el valor false
, retornando una fracción continua en forma de lista.
Una fracción continua a + 1/(b + 1/(c + ...))
se representa como la lista [a, b, c, ...]
, donde los elementos a
, b
, c
, ... se evalúan como enteros. La expresión expr puede contener también sqrt (n)
donde n
es un entero; en tal caso, cf
devolverá tantos términos de la fracción continua como indique el valor de la variable cflength
multiplicado por el período.
Una fracción continua puede reducirse a un número evaluando la representación aritmética que devuelve cfdisrep
. Véase también cfexpand
, que es otra alternativa para evaluar fracciones continuas.
Véanse asimismo cfdisrep
, cfexpand
y cflength
.
Ejemplos:
(%i1) cf ([5, 3, 1]*[11, 9, 7] + [3, 7]/[4, 3, 2]); (%o1) [59, 17, 2, 1, 1, 1, 27] (%i2) cf ((3/17)*[1, -2, 5]/sqrt(11) + (8/13)); (%o2) [0, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 4, 1, 9, 1, 9, 2]
cflength
controla cuantos períodos de la fracción continua se calculan para números irracionales algebraicos.
(%i1) cflength: 1$ (%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2); (%o2) [1, 1, 1, 1, 2] (%i3) cflength: 2$ (%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2); (%o4) [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2] (%i5) cflength: 3$ (%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2); (%o6) [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
cfdisrep
.
(%i1) cflength: 3$ (%i2) cfdisrep (cf (sqrt (3)))$ (%i3) ev (%, numer); (%o3) 1.731707317073171
cf
.
(%i1) cf ([1,1,1,1,1,2] * 3); (%o1) [4, 1, 5, 2] (%i2) cf ([1,1,1,1,1,2]) * 3; (%o2) [3, 3, 3, 3, 3, 6]
Construye y devuelve una expresión aritmética ordinaria de la forma a + 1/(b + 1/(c + ...))
a partir de la representación en formato lista de la fracción continua [a, b, c, ...]
.
(%i1) cf ([1, 2, -3] + [1, -2, 1]); (%o1) [1, 1, 1, 2] (%i2) cfdisrep (%); 1 (%o2) 1 + --------- 1 1 + ----- 1 1 + - 2
Devuelve la matriz con los numeradores y denominadores de la última (columna 1) y penúltima (columna 2) convergentes de la fracción continua x.
(%i1) cf (rat (ev (%pi, numer))); `rat' replaced 3.141592653589793 by 103993/33102 =3.141592653011902 (%o1) [3, 7, 15, 1, 292] (%i2) cfexpand (%); [ 103993 355 ] (%o2) [ ] [ 33102 113 ] (%i3) %[1,1]/%[2,1], numer; (%o3) 3.141592653011902
Valor por defecto: 1
La variable cflength
controla el número de términos de la fracción continua que devuelve la función cf
, que será cflength
multiplicado por el período. Así, el valor por defecto será el de un período.
(%i1) cflength: 1$ (%i2) cf ((1 + sqrt(5))/2); (%o2) [1, 1, 1, 1, 2] (%i3) cflength: 2$ (%i4) cf ((1 + sqrt(5))/2); (%o4) [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2] (%i5) cflength: 3$ (%i6) cf ((1 + sqrt(5))/2); (%o6) [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
La llamada divsum (n, k)
devuelve la suma de los divisores de n elevados a la k-ésima potencia.
La llamada divsum (n)
devuelve la suma de los divisores de n.
(%i1) divsum (12); (%o1) 28 (%i2) 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12; (%o2) 28 (%i3) divsum (12, 2); (%o3) 210 (%i4) 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2; (%o4) 210
Devuelve el n-ésimo número de Euler del entero no negativo n.
Para la constante de Euler-Mascheroni, véase %gamma
.
(%i1) map (euler, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]); (%o1) [1, 0, - 1, 0, 5, 0, - 61, 0, 1385, 0, - 50521]
Es la constante de Euler-Mascheroni, 0.5772156649015329 ....
Representa la función factorial. Maxima considera factorial (x)
lo mismo que x!
.
Véase !
.
Devuelve el n-ésimo número de Fibonacci. La llamada fib(0)
es igual a 0, fib(1)
devuelve 1 y
fib (-n)
es igual a (-1)^(n + 1) * fib(n)
.
Después de llamar a fib
, la variable prevfib
toma el valor fib (x - 1)
, que es el número de Fibonacci que precede al último calculado.
(%i1) map (fib, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]); (%o1) [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
Expresa los números de Fibonacci en expr en términos de la razón áurea %phi
,
que es (1 + sqrt(5))/2
, aproximadamente 1.61803399.
Ejemplos:
(%i1) fibtophi (fib (n)); n n %phi - (1 - %phi) (%o1) ------------------- 2 %phi - 1 (%i2) fib (n-1) + fib (n) - fib (n+1); (%o2) - fib(n + 1) + fib(n) + fib(n - 1) (%i3) fibtophi (%); n + 1 n + 1 n n %phi - (1 - %phi) %phi - (1 - %phi) (%o3) - --------------------------- + ------------------- 2 %phi - 1 2 %phi - 1 n - 1 n - 1 %phi - (1 - %phi) + --------------------------- 2 %phi - 1 (%i4) ratsimp (%); (%o4) 0
Devuelve la factorización del argumento n, siendo éste un
número entero positivo. Si n=p1^e1..pk^nk
es la descomposición
de n en números primos, ifactors
devuelve [[p1, e1], ... , [pk, ek]]
.
Los métodos de factorización son las divisones tentativas hasta el 9973, así como los métodos rho de Pollard y el de la curva elíptica.
(%i1) ifactors(51575319651600); (%o1) [[2, 4], [3, 2], [5, 2], [1583, 1], [9050207, 1]] (%i2) apply("*", map(lambda([u], u[1]^u[2]), %)); (%o2) 51575319651600
Devuelve la raíz entera n-ésima del valor absoluto de x.
(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$ (%i2) map (lambda ([a], inrt (10^a, 3)), l); (%o2) [2, 4, 10, 21, 46, 100, 215, 464, 1000, 2154, 4641, 10000]
Calcula el inverso de n módulo m.
La llamada inv_mod (n,m)
devuelve false
si n es un divisor nulo módulo m.
(%i1) inv_mod(3, 41); (%o1) 14 (%i2) ratsimp(3^-1), modulus=41; (%o2) 14 (%i3) inv_mod(3, 42); (%o3) false
Devuelve el símbolo de Jacobi para p y q.
(%i1) l: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]$ (%i2) map (lambda ([a], jacobi (a, 9)), l); (%o2) [1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]
Devuelve el mínimo común múltiplo de sus argumentos. Los argumentos pueden ser tanto expresiones en general como enteros.
Es necesario cargar en memoria esta función haciendo load ("functs")
.
Devuelve el menor de los primos mayores que n.
(%i1) next_prime(27); (%o1) 29
Expande la expresión expr en fracciones parciales respecto de la variable principal var. La función partfrac
hace una descomposición completa en fracciones parciales. El algoritmo que se utiliza se basa en el hecho de que los denominadores de la expansión en fracciones parciales (los factores del denominador original) son primos relativos. Los numeradores se pueden escribir como combinaciones lineales de los denominadores.
(%i1) 1/(1+x)^2 - 2/(1+x) + 2/(2+x); 2 2 1 (%o1) ----- - ----- + -------- x + 2 x + 1 2 (x + 1) (%i2) ratsimp (%); x (%o2) - ------------------- 3 2 x + 4 x + 5 x + 2 (%i3) partfrac (%, x); 2 2 1 (%o3) ----- - ----- + -------- x + 2 x + 1 2 (x + 1)
Utiliza un algoritmo modular para calcular a^n mod m
,
siendo a y n enteros cualesquiera y m un entero positivo.
Si n es negativo, se utilizará inv_mod
para encontrar el
inverso modular.
(%i1) power_mod(3, 15, 5); (%o1) 2 (%i2) mod(3^15,5); (%o2) 2 (%i3) power_mod(2, -1, 5); (%o3) 3 (%i4) inv_mod(2,5); (%o4) 3
Comprueba si el número entero n es o no primo, devolviendo true
o false
según el caso.
Cuando el resultado de primep (n)
es false
, n es un
número compuesto, y si es true
, n es primo con alta probabilidad.
Si n es menor que 341550071728321, se utiliza una versión
determinística de la prueba de Miller-Rabin. En tal caso,
si primep (n)
devuelve true
, entonces n es un número primo.
Para n mayor que 34155071728321 primep
realiza un número de pruebas
de seudo-primalidad de Miller-Rabin igual a primep_number_of_tests
y una
prueba de seudo-primalidad de Lucas. La probabilidad de que n pase una
prueba de Miller-Rabin es menor que 1/4. Con el valor por defecto de
primep_number_of_tests
, que es 25, la probabilidad de que n
sea compuesto es menor que 10^-15.
Valor por defecto: 25
Número de pruebas de Miller-Rabin a realizar por primep
.
Devuelve el mayor de los primos menores que n.
(%i1) prev_prime(27); (%o1) 23
Devuelve la unidad principal de sqrt (n)
, siendo n un entero; consiste en la resolución de la ecuación de Pell a^2 - n b^2 = 1
.
(%i1) qunit (17); (%o1) sqrt(17) + 4 (%i2) expand (% * (sqrt(17) - 4)); (%o2) 1
Devuelve el número de enteros menores o iguales a n que son primos relativos con n.
Valor por defecto: true
Si zerobern
vale false
, bern
excluye los números de Bernoulli iguales a cero.
See bern
.
Devuelve la función zeta de Riemann para x entero negativo, 0, 1 o número par positivo. No se evalúa zeta (n)
para cualesquiera otros argumentos, incluyendo racionales no enteros, números en coma flotante o argumentos complejos.
Véanse también bfzeta
y zeta%pi
.
(%i1) map (zeta, [-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5]); 2 4 1 1 1 %pi %pi (%o1) [0, ---, 0, - --, - -, inf, ----, zeta(3), ----, zeta(5)] 120 12 2 6 90
Valor por defecto: true
Si zeta%pi
vale true
, zeta
devuelve una expresión proporcional a %pi^n
si n
es un número par positivo. En caso contrario, zeta
no se evalúa y devuelve la forma nominal zeta (n)
.
(%i1) zeta%pi: true$ (%i2) zeta (4); 4 %pi (%o2) ---- 90 (%i3) zeta%pi: false$ (%i4) zeta (4); (%o4) zeta(4)
[ << ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
This document was generated by Robert Dodier on diciembre, 22 2007 using texi2html 1.76.