Theory Binary

Up to index of Isabelle/HOL/ex

theory Binary
imports Main
begin

(*  Title:      HOL/ex/Binary.thy
    ID:         $Id: Binary.thy,v 1.10 2008/03/01 13:10:13 wenzelm Exp $
    Author:     Makarius
*)

header {* Simple and efficient binary numerals *}

theory Binary
imports Main
begin

subsection {* Binary representation of natural numbers *}

definition
  bit :: "nat => bool => nat" where
  "bit n b = (if b then 2 * n + 1 else 2 * n)"

lemma bit_simps:
    "bit n False = 2 * n"
    "bit n True = 2 * n + 1"
  unfolding bit_def by simp_all

ML {*
structure Binary =
struct
  fun dest_bit (Const (@{const_name False}, _)) = 0
    | dest_bit (Const (@{const_name True}, _)) = 1
    | dest_bit t = raise TERM ("dest_bit", [t]);

  fun dest_binary (Const (@{const_name HOL.zero}, Type (@{type_name nat}, _))) = 0
    | dest_binary (Const (@{const_name HOL.one}, Type (@{type_name nat}, _))) = 1
    | dest_binary (Const (@{const_name bit}, _) $ bs $ b) = 2 * dest_binary bs + dest_bit b
    | dest_binary t = raise TERM ("dest_binary", [t]);

  fun mk_bit 0 = @{term False}
    | mk_bit 1 = @{term True}
    | mk_bit _ = raise TERM ("mk_bit", []);

  fun mk_binary 0 = @{term "0::nat"}
    | mk_binary 1 = @{term "1::nat"}
    | mk_binary n =
        if n < 0 then raise TERM ("mk_binary", [])
        else
          let val (q, r) = Integer.div_mod n 2
          in @{term bit} $ mk_binary q $ mk_bit r end;
end
*}


subsection {* Direct operations -- plain normalization *}

lemma binary_norm:
    "bit 0 False = 0"
    "bit 0 True = 1"
  unfolding bit_def by simp_all

lemma binary_add:
    "n + 0 = n"
    "0 + n = n"
    "1 + 1 = bit 1 False"
    "bit n False + 1 = bit n True"
    "bit n True + 1 = bit (n + 1) False"
    "1 + bit n False = bit n True"
    "1 + bit n True = bit (n + 1) False"
    "bit m False + bit n False = bit (m + n) False"
    "bit m False + bit n True = bit (m + n) True"
    "bit m True + bit n False = bit (m + n) True"
    "bit m True + bit n True = bit ((m + n) + 1) False"
  by (simp_all add: bit_simps)

lemma binary_mult:
    "n * 0 = 0"
    "0 * n = 0"
    "n * 1 = n"
    "1 * n = n"
    "bit m True * n = bit (m * n) False + n"
    "bit m False * n = bit (m * n) False"
    "n * bit m True = bit (m * n) False + n"
    "n * bit m False = bit (m * n) False"
  by (simp_all add: bit_simps)

lemmas binary_simps = binary_norm binary_add binary_mult


subsection {* Indirect operations -- ML will produce witnesses *}

lemma binary_less_eq:
  fixes n :: nat
  shows "n ≡ m + k ==> (m ≤ n) ≡ True"
    and "m ≡ n + k + 1 ==> (m ≤ n) ≡ False"
  by simp_all
  
lemma binary_less:
  fixes n :: nat
  shows "m ≡ n + k ==> (m < n) ≡ False"
    and "n ≡ m + k + 1 ==> (m < n) ≡ True"
  by simp_all

lemma binary_diff:
  fixes n :: nat
  shows "m ≡ n + k ==> m - n ≡ k"
    and "n ≡ m + k ==> m - n ≡ 0"
  by simp_all

lemma binary_divmod:
  fixes n :: nat
  assumes "m ≡ n * k + l" and "0 < n" and "l < n"
  shows "m div n ≡ k"
    and "m mod n ≡ l"
proof -
  from `m ≡ n * k + l` have "m = l + k * n" by simp
  with `0 < n` and `l < n` show "m div n ≡ k" and "m mod n ≡ l" by simp_all
qed

ML {*
local
  infix ==;
  val op == = Logic.mk_equals;
  fun plus m n = @{term "plus :: nat => nat => nat"} $ m $ n;
  fun mult m n = @{term "times :: nat => nat => nat"} $ m $ n;

  val binary_ss = HOL_basic_ss addsimps @{thms binary_simps};
  fun prove ctxt prop =
    Goal.prove ctxt [] [] prop (fn _ => ALLGOALS (full_simp_tac binary_ss));

  fun binary_proc proc ss ct =
    (case Thm.term_of ct of
      _ $ t $ u =>
      (case try (pairself (`Binary.dest_binary)) (t, u) of
        SOME args => proc (Simplifier.the_context ss) args
      | NONE => NONE)
    | _ => NONE);
in

val less_eq_proc = binary_proc (fn ctxt => fn ((m, t), (n, u)) =>
  let val k = n - m in
    if k >= 0 then
      SOME (@{thm binary_less_eq(1)} OF [prove ctxt (u == plus t (Binary.mk_binary k))])
    else
      SOME (@{thm binary_less_eq(2)} OF
        [prove ctxt (t == plus (plus u (Binary.mk_binary (~ k - 1))) (Binary.mk_binary 1))])
  end);

val less_proc = binary_proc (fn ctxt => fn ((m, t), (n, u)) =>
  let val k = m - n in
    if k >= 0 then
      SOME (@{thm binary_less(1)} OF [prove ctxt (t == plus u (Binary.mk_binary k))])
    else
      SOME (@{thm binary_less(2)} OF
        [prove ctxt (u == plus (plus t (Binary.mk_binary (~ k - 1))) (Binary.mk_binary 1))])
  end);

val diff_proc = binary_proc (fn ctxt => fn ((m, t), (n, u)) =>
  let val k = m - n in
    if k >= 0 then
      SOME (@{thm binary_diff(1)} OF [prove ctxt (t == plus u (Binary.mk_binary k))])
    else
      SOME (@{thm binary_diff(2)} OF [prove ctxt (u == plus t (Binary.mk_binary (~ k)))])
  end);

fun divmod_proc rule = binary_proc (fn ctxt => fn ((m, t), (n, u)) =>
  if n = 0 then NONE
  else
    let val (k, l) = Integer.div_mod m n
    in SOME (rule OF [prove ctxt (t == plus (mult u (Binary.mk_binary k)) (Binary.mk_binary l))]) end);

end;
*}

simproc_setup binary_nat_less_eq ("m <= (n::nat)") = {* K less_eq_proc *}
simproc_setup binary_nat_less ("m < (n::nat)") = {* K less_proc *}
simproc_setup binary_nat_diff ("m - (n::nat)") = {* K diff_proc *}
simproc_setup binary_nat_div ("m div (n::nat)") = {* K (divmod_proc @{thm binary_divmod(1)}) *}
simproc_setup binary_nat_mod ("m mod (n::nat)") = {* K (divmod_proc @{thm binary_divmod(2)}) *}

method_setup binary_simp = {*
  Method.no_args (Method.SIMPLE_METHOD'
    (full_simp_tac
      (HOL_basic_ss
        addsimps @{thms binary_simps}
        addsimprocs
         [@{simproc binary_nat_less_eq},
          @{simproc binary_nat_less},
          @{simproc binary_nat_diff},
          @{simproc binary_nat_div},
          @{simproc binary_nat_mod}])))
*} "binary simplification"


subsection {* Concrete syntax *}

syntax
  "_Binary" :: "num_const => 'a"    ("$_")

parse_translation {*
let

val syntax_consts = map_aterms (fn Const (c, T) => Const (Syntax.constN ^ c, T) | a => a);

fun binary_tr [Const (num, _)] =
      let
        val {leading_zeros = z, value = n, ...} = Syntax.read_xnum num;
        val _ = z = 0 andalso n >= 0 orelse error ("Bad binary number: " ^ num);
      in syntax_consts (Binary.mk_binary n) end
  | binary_tr ts = raise TERM ("binary_tr", ts);

in [("_Binary", binary_tr)] end
*}


subsection {* Examples *}

lemma "$6 = 6"
  by (simp add: bit_simps)

lemma "bit (bit (bit 0 False) False) True = 1"
  by (simp add: bit_simps)

lemma "bit (bit (bit 0 False) False) True = bit 0 True"
  by (simp add: bit_simps)

lemma "$5 + $3 = $8"
  by binary_simp

lemma "$5 * $3 = $15"
  by binary_simp

lemma "$5 - $3 = $2"
  by binary_simp

lemma "$3 - $5 = 0"
  by binary_simp

lemma "$123456789 - $123 = $123456666"
  by binary_simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 - $998877665544332211 =
  $1111111111222222222232334455668900112233"
  by binary_simp

lemma "(1111111111222222222233333333334444444444::nat) - 998877665544332211 =
  1111111111222222222232334455668900112233"
  by simp

lemma "(1111111111222222222233333333334444444444::int) - 998877665544332211 =
  1111111111222222222232334455668900112233"
  by simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 * $998877665544332211 =
    $1109864072938022197293802219729380221972383090160869185684"
  by binary_simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 * $998877665544332211 -
      $5555555555666666666677777777778888888888 =
    $1109864072938022191738246664062713555294605312381980296796"
  by binary_simp

lemma "$42 < $4 = False"
  by binary_simp

lemma "$4 < $42 = True"
  by binary_simp

lemma "$42 <= $4 = False"
  by binary_simp

lemma "$4 <= $42 = True"
  by binary_simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 < $998877665544332211 = False"
  by binary_simp

lemma "$998877665544332211 < $1111111111222222222233333333334444444444 = True"
  by binary_simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 <= $998877665544332211 = False"
  by binary_simp

lemma "$998877665544332211 <= $1111111111222222222233333333334444444444 = True"
  by binary_simp

lemma "$1234 div $23 = $53"
  by binary_simp

lemma "$1234 mod $23 = $15"
  by binary_simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 div $998877665544332211 =
    $1112359550673033707875"
  by binary_simp

lemma "$1111111111222222222233333333334444444444 mod $998877665544332211 =
    $42245174317582819"
  by binary_simp

lemma "(1111111111222222222233333333334444444444::int) div 998877665544332211 =
    1112359550673033707875"
  by simp  -- {* legacy numerals: 30 times slower *}

lemma "(1111111111222222222233333333334444444444::int) mod 998877665544332211 =
    42245174317582819"
  by simp  -- {* legacy numerals: 30 times slower *}

end

Binary representation of natural numbers

lemma bit_simps:

  bit n False = 2 * n
  bit n True = 2 * n + 1

Direct operations -- plain normalization

lemma binary_norm:

  bit 0 False = 0
  bit 0 True = 1

lemma binary_add:

  n + 0 = n
  0 + n = n
  1 + 1 = bit 1 False
  bit n False + 1 = bit n True
  bit n True + 1 = bit (n + 1) False
  1 + bit n False = bit n True
  1 + bit n True = bit (n + 1) False
  bit m False + bit n False = bit (m + n) False
  bit m False + bit n True = bit (m + n) True
  bit m True + bit n False = bit (m + n) True
  bit m True + bit n True = bit (m + n + 1) False

lemma binary_mult:

  n * 0 = 0
  0 * n = 0
  n * 1 = n
  1 * n = n
  bit m True * n = bit (m * n) False + n
  bit m False * n = bit (m * n) False
  n * bit m True = bit (m * n) False + n
  n * bit m False = bit (m * n) False

lemma binary_simps:

  bit 0 False = 0
  bit 0 True = 1
  n + 0 = n
  0 + n = n
  1 + 1 = bit 1 False
  bit n False + 1 = bit n True
  bit n True + 1 = bit (n + 1) False
  1 + bit n False = bit n True
  1 + bit n True = bit (n + 1) False
  bit m False + bit n False = bit (m + n) False
  bit m False + bit n True = bit (m + n) True
  bit m True + bit n False = bit (m + n) True
  bit m True + bit n True = bit (m + n + 1) False
  n * 0 = 0
  0 * n = 0
  n * 1 = n
  1 * n = n
  bit m True * n = bit (m * n) False + n
  bit m False * n = bit (m * n) False
  n * bit m True = bit (m * n) False + n
  n * bit m False = bit (m * n) False

Indirect operations -- ML will produce witnesses

lemma binary_less_eq(1):

  n == m + k ==> m  n == True

and binary_less_eq(2):

  m == n + k + 1 ==> m  n == False

lemma binary_less(1):

  m == n + k ==> m < n == False

and binary_less(2):

  n == m + k + 1 ==> m < n == True

lemma binary_diff(1):

  m == n + k ==> m - n == k

and binary_diff(2):

  n == m + k ==> m - n == 0

lemma binary_divmod(1):

  [| m == n * k + l; 0 < n; l < n |] ==> m div n == k

and binary_divmod(2):

  [| m == n * k + l; 0 < n; l < n |] ==> m mod n == l

Concrete syntax

Examples

lemma

  bit (bit 1 True) False = 6

lemma

  bit (bit (bit 0 False) False) True = 1

lemma

  bit (bit (bit 0 False) False) True = bit 0 True

lemma

  bit (bit 1 False) True + bit 1 True = bit (bit (bit 1 False) False) False

lemma

  bit (bit 1 False) True * bit 1 True = bit (bit (bit 1 True) True) True

lemma

  bit (bit 1 False) True - bit 1 True = bit 1 False

lemma

  bit 1 True - bit (bit 1 False) True = 0

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) True) False) True) False)
                 True)
            True)
       False)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    False)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        False)
   True -
  bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) True) True) False) True) True =
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) True) False) True) False)
                 True)
            True)
       False)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    False)
               True)
          True)
     False)
   False)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             False)
        True)
   False

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                False)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    False)
               True)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
   False -
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   True =
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            False)
       True)
     True)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     False)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       False)
                  True)
             False)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     True)
                False)
           False)
      True)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  False)
                                     True)
                                False)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     True)
   True)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  True)
             False)
        False)
   True

lemma

  1111111111222222222233333333334444444444 - 998877665544332211 =
  1111111111222222222232334455668900112233

lemma

  1111111111222222222233333333334444444444 - 998877665544332211 =
  1111111111222222222232334455668900112233

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                False)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    False)
               True)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
   False *
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   True =
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) True) True) False) True)
               False)
          True)
     False)
   False)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  True)
             False)
        False)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               False)
                          True)
                     True)
                False)
           False)
      False)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  False)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  False)
             True)
        False)
      False)
                                         True)
                                    True)
                               False)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             False)
                        False)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  True)
                                     False)
                                True)
                           False)
                      True)
                 False)
            False)
       True)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  False)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    True)
  False)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      False)
                 False)
            True)
       True)
     False)
                                        False)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          False)
     False)
   False)
                                      True)
                                 True)
                            False)
                       False)
                  True)
             False)
        False)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                False)
           True)
      True)
    True)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              True)
         True)
    True)
  True)
                                     True)
                                False)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     True)
                                        False)
                                   False)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          False)
     False)
   False)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        False)
   False

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                False)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    False)
               True)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
   False *
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   True -
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) False) False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     True)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  False)
                             False)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    True)
  False)
                                     False)
                                False)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       False)
     True)
                                        False)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    False)
               True)
          False)
     False)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       False)
                  False)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      True)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   True)
              False)
         True)
    True)
  True)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            False)
       True)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          False)
     False)
   False)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                False)
           False)
      False)
    False)
                                       True)
                                  False)
                             True)
                        True)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  True)
                                     False)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            False)
       False)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         False)
                    True)
               False)
          False)
     True)
   False)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  True)
             False)
        False)
   False =
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) True) True) False) True)
               False)
          True)
     False)
   False)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  True)
             False)
        False)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               False)
                          True)
                     True)
                False)
           False)
      False)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  False)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  True)
             True)
        False)
      False)
                                         True)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     True)
                False)
           True)
      False)
    True)
                                       False)
                                  False)
                             True)
                        True)
                   True)
              False)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                False)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       False)
     True)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         True)
                    False)
               True)
          False)
     True)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        True)
      False)
                                         True)
                                    True)
                               False)
                          True)
                     True)
                False)
           False)
      False)
    True)
                                       False)
                                  False)
                             True)
                        False)
                   True)
              True)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                True)
                           False)
                      True)
                 False)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            False)
                       False)
                  True)
             True)
        False)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               False)
                          False)
                     False)
                False)
           True)
      True)
    False)
                                       True)
                                  False)
                             True)
                        True)
                   True)
              True)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       True)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    False)
               False)
          True)
     True)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
   False

lemma

  (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) True) False) True) False
   < bit (bit 1 False) False) =
  False

lemma

  (bit (bit 1 False) False
   < bit (bit (bit (bit (bit 1 False) True) False) True) False) =
  True

lemma

  (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) True) False) True) False
    bit (bit 1 False) False) =
  False

lemma

  (bit (bit 1 False) False
    bit (bit (bit (bit (bit 1 False) True) False) True) False) =
  True

lemma

  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                 False)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               False)
          False)
     False)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         True)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            False)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     False)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  False)
             True)
        False)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               False)
                          False)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    True)
                                       False)
                                  False)
                             True)
                        False)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       False)
                  True)
             True)
        True)
      True)
                                         True)
                                    True)
                               False)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      True)
    True)
                                       False)
                                  False)
                             False)
                        True)
                   True)
              True)
         False)
    False
   < bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   True)
              True)
         False)
    False)
  False)
                                     True)
                                True)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       True)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               False)
          True)
     True)
   True)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     False)
                False)
           True)
      True) =
  False

lemma

  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  False)
                             False)
                        True)
                   False)
              True)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 True)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     True)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  True)
             False)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  False)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True
   < bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  True)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      True)
                 False)
            False)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      True)
                                         True)
                                    True)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     True)
                                False)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               True)
          False)
     False)
   False)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                False)
           True)
      False)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             False)
                        False)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  True)
                                     True)
                                True)
                           True)
                      False)
                 False)
            False)
       True)
     True)
                                        False)
                                   False)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       False)
                  True)
             False)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     True)
                True)
           False)
      False) =
  True

lemma

  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                 False)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               False)
          False)
     False)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         True)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            False)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     False)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  False)
             True)
        False)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               False)
                          False)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    True)
                                       False)
                                  False)
                             True)
                        False)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       False)
                  True)
             True)
        True)
      True)
                                         True)
                                    True)
                               False)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      True)
    True)
                                       False)
                                  False)
                             False)
                        True)
                   True)
              True)
         False)
    False
    bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   True)
              True)
         False)
    False)
  False)
                                     True)
                                True)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       True)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               False)
          True)
     True)
   True)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     False)
                False)
           True)
      True) =
  False

lemma

  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  False)
                             False)
                        True)
                   False)
              True)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 True)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          True)
     True)
   False)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  True)
             False)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  False)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True
    bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  True)
                                     True)
                                True)
                           False)
                      True)
                 False)
            False)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      True)
                                         True)
                                    True)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     True)
                                False)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              True)
                         True)
                    False)
               True)
          False)
     False)
   False)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                False)
           True)
      False)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             False)
                        False)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  True)
                                     True)
                                True)
                           True)
                      False)
                 False)
            False)
       True)
     True)
                                        False)
                                   False)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       False)
                  True)
             False)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               False)
                          True)
                     True)
                True)
           False)
      False) =
  True

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) False) True) True)
                            False)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   False div
  bit (bit (bit (bit 1 False) True) True) True =
  bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) True

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) False) True) True)
                            False)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   False mod
  bit (bit (bit (bit 1 False) True) True) True =
  bit (bit (bit 1 True) True) True

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                False)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    False)
               True)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
   False div
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   True =
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) True) True) False) False)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        True)
                                   True)
                              False)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   False)
                                      True)
                                 True)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      True)
                                         True)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              True)
         True)
    False)
  True)
                                     True)
                                False)
                           True)
                      False)
                 False)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         False)
                    False)
               False)
          False)
     False)
   True)
                                      False)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
   True

lemma

  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) False) False)
                False)
           False)
      True)
    True)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     False)
                                        True)
                                   False)
                              False)
                         True)
                    True)
               True)
          True)
     True)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       True)
                  True)
             True)
        True)
      False)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           False)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             False)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      True)
                 False)
            True)
       False)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    True)
               True)
          True)
     False)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      False)
                                         False)
                                    True)
                               True)
                          False)
                     False)
                True)
           True)
      True)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         False)
    True)
  True)
                                     False)
                                False)
                           False)
                      False)
                 True)
            True)
       True)
     True)
                                        True)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    False)
               True)
          False)
     True)
   True)
                                      False)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  True)
             True)
        False)
   False mod
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 True) False) True) True) True) False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            False)
                       True)
                  False)
             True)
        True)
      True)
                                         False)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                True)
           True)
      False)
    False)
                                       False)
                                  True)
                             True)
                        True)
                   False)
              False)
         True)
    True)
  False)
                                     False)
                                True)
                           True)
                      False)
                 True)
            False)
       True)
     True)
                                        True)
                                   False)
                              True)
                         True)
                    False)
               False)
          False)
     True)
   True)
                                      True)
                                 False)
                            True)
                       True)
                  False)
             False)
        True)
   True =
  bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
   (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
     (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
  (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
    (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit
      (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit (bit 1 False) False) True)
   False)
                                      True)
                                 True)
                            False)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
      False)
                                         True)
                                    False)
                               True)
                          True)
                     True)
                False)
           False)
      False)
    False)
                                       True)
                                  True)
                             False)
                        False)
                   True)
              False)
         False)
    False)
  False)
                                     False)
                                True)
                           False)
                      True)
                 False)
            True)
       True)
     False)
                                        False)
                                   True)
                              False)
                         False)
                    False)
               True)
          False)
     False)
   True)
                                      True)
                                 True)
                            True)
                       False)
                  False)
             False)
        True)
   True

lemma

  1111111111222222222233333333334444444444 div 998877665544332211 =
  1112359550673033707875

lemma

  1111111111222222222233333333334444444444 mod 998877665544332211 =
  42245174317582819